# Modèle d'endommagement en dynamique rapide avec l'approche level set épaisse, prise en compte de l'endommagement diffus et amélioration de la discrétisation

Kévin Moreau, Nicolas Moes

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Kévin Moreau, Nicolas Moes. Modèle d'endommagement en dynamique rapide avec l'approche level set épaisse, prise en compte de l'endommagement diffus et amélioration de la discrétisation. 12e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2015, Giens, France. hal-01514287

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Submitted on 26 Apr 2017

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# Modèle d'endommagement en dynamique rapide avec l'approche level set épaisse, prise en compte de l'endommagement diffus et amélioration de la discrétisation

K. Moreau<fnref n="1" />, N. Moës<fnref n="1" />

**Résumé** — L'approche level set épaisse est développée en mécanique de l'endommagement et en dynamique rapide pour traiter des problèmes de rupture de structures subissant des impacts. Dans ce contexte, les résultats obtenus dans [9] sont limités au cas d'une rupture fragile. Nous proposons d'étendre la modélisation à la rupture quasi fragile en considérant [8] combinant local et non local. Nous améliorons la qualité de l'approximation par l'ajout d'un enrichissement approprié des champs cinématiques et la discrétisation du modèle d'évolution de l'endommagement par un schéma implicite exacte [4].

**Mots clés** — level set épaisse (TLS), dynamique explicite, impact, X-FEM.

## 1 Introduction

L'approche level set épaisse est une approche non locale récemment proposée par [7] et formulée afin d'éviter la localisation non physique observée avec les modèles de comportement locaux durant leur phase adoucissante. Les premiers travaux se sont concentrés sur la mécanique de l'endommagement en quasi statique [7, 2] et en dynamique [9]. Les modèles proposés, non locaux en tout point de la structure et à tout instant, ne permettent pas de modéliser une dégradation diffuse. Une formulation très récente [8] tolère une évolution locale de l'endommagement dans les zones de la structure n'ayant pas atteintes la phase adoucissante. Cette extension ouvre la voie à la modélisation des matériaux quasi fragiles et ductiles. Nous poursuivons ici le développement de l'approche en dynamique rapide proposée par [9] pour y inclure les bénéfices d'une telle formulation.

## 2 L'approche level set épaisse

Afin de rendre physique la localisation (zone localisée de mesure non nulle, dissipation énergétique non nulle), l'approche level set épaisse majore le gradient d'endommagement

$$ \|\nabla d\| \le f(d) \quad \text{dans } \Omega. \qquad (1) $$

Cette majoration passe par l'introduction d'un champ auxiliaire $\phi$ continu et vérifiant

$$ \begin{gathered} \phi \ge 0 \quad \text{dans } \Omega, \\ \|\nabla \phi\| \le 1 \quad \text{dans } \Omega, \end{gathered} \qquad (2) $$

et d'une fonction profile d'endommagement $d: \mathbb{R}^+ \to [0; 1]$ continue, paramètre du modèle et telle que

$$ \left\{ \begin{array}{ll} d(\phi) = 0 & \phi = 0 \\ d'(\phi) > 0 & \phi \in [0; l_c[ \\ d(\phi) = 1 & \phi \ge l_c, \end{array} \right. \qquad (3) $$

où $l_c$ est une longueur caractéristique, paramètre du modèle. Le champ d'endommagement est alors déduit par

$$ d = d(\phi) \quad \text{dans } \Omega, \qquad (4) $$

<footnote n="1">¹ GeM, Ecole Centrale Nantes, {kevin.moreau,nicolas.moes}@ec-nantes.fr</footnote>
et le taux d'endommagement par

$$ \dot{d} = d'(\phi)\dot{\phi} \quad \text{dans } \Omega. $$

La fonction $f$ de (1) est construite à l'aide de (2), (3) et (4)

$$ f(d) = \begin{cases} d'(d^{-1}(d)) & d \le 1 \\ d'(l_c) & d = 1 \end{cases} $$

On distingue alors trois zones, illustrées sur la figure (1) :

1. la zone où $\|\nabla\phi\| < 1$ et $\phi < l_c$, notée $\Omega^-$, l'endommagement ne localise pas et le modèle d'évolution utilisé est local,

2. la zone où $\|\nabla\phi\| = 1$ et $\phi < l_c$, notée $\Omega^+$, l'endommagement localise et le modèle d'évolution utilisé est non local,

3. la zone où $\phi \ge l_c$, notée $\Omega_c$, où la structure est totalement endommagée.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1 – domaines impliqués dans l'approche level set épaisse</figcaption></figure>

Dans la zone $\Omega^+$, le modèle d'évolution est régularisé en remplaçant les champs locaux $\dot{d}$ et $Y$ par les champs non locaux $\bar{d}$ et $\bar{Y}$. Ces champs non locaux sont calculés en résolvant deux problèmes variationnels, voir [2, 9] pour une définition précise des champs non locaux et leur méthode d'approximation.

Cette approche modélise de plus la transition continu/discontinu pour laquelle la décohésion locale de la matière au sein des VER peut entraîner l'émergence d'une discontinuité au sein de la structure. Des possibilités similaires ont déjà été proposées dans les travaux [11, 3]. Dans un contexte quasi statique, [2] introduit un enrichissement de type Heaviside rampe afin de modéliser cette discontinuité sans remailler. Nous proposons d'adapter cet enrichissement à la dynamique explicite sur la base des travaux de [5] pour l'enrichissement et [6] pour la condensation de la matrice des masses sur sa diagonale.

## 3 Spécificité de la dynamique

La mécanique linéaire de la rupture prédit, pour le mode 1 de fissuration en dynamique, une vitesse limite de fissuration égale à la vitesse des ondes de Rayleigh $c_R$. Il reste cependant difficile d'observer expérimentalement une telle vitesse de propagation, et des vitesses plus faibles sont systématiquement mesurées. En conséquence, l'existence d'une vitesse limite inférieure à $c_R$ et dépendante du matériau considéré est bien acceptée [10]. L'utilisation d'un modèle d'évolution à effet retard [1] est motivée par ce résultat. En effet, le modèle à effet retard majore les taux d'endommagement local et non local

$$ \dot{d} < \frac{1}{\tau_c} \quad \text{dans } \Omega^{-} \qquad (5) $$

$$ \bar{d} < \frac{1}{\tau_c} \quad \text{dans } \Omega^{+}, \qquad (6) $$
où $\tau_c$ est un temps caractéristique, paramètre du modèle. Dans ces conditions, il est possible de majorer la vitesse de propagation $v_c = \dot{\phi}$ de l'interface $\Gamma_c$ assimilable aux lèvres de fissures

$$ \dot{\phi} < \frac{l_c}{\tau_c}. \qquad (7) $$

Les travaux [4] proposent une discrétisation implicite résolue de façon exacte sur un pas de temps. Les auteurs montrent l'absence d'oscillations dans l'intégration du modèle d'évolution.

# 4 Conclusions

La prise en compte de l'endommagement diffus est réalisée, en comparaison avec les travaux [9], par la modélisation de l'endommagement au sein de la zone $\Omega^-$. Dans cette zone le modèle d'évolution reste local. Dans les zones de forts gradient d'endommagement le phénomène de localisation est possible et le modèle initie une zone non locale $\Omega^+$. Lorsque l'endommagement atteint 1 dans la zone non locale la discontinuité des champs cinématiques se met en place offrant la transition continu/discontinu.

# Références

[1] Olivier Allix and Jean-François Deü. Delayed-damage modelling for fracture prediction of laminated composites under dynamic loading. *Engineering Transactions*, 45(1):29-46, 1997.

[2] Paul-Emile Bernard, Nicolas Moës, and Nicolas Chevaugeon. Damage growth modeling using the Thick Level Set (TLS) approach : efficient and accurate discretization for quasi-static loadings. *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering*, 233-236:11-27, 2011.

[3] Claudia Comi, Stefano Mariani, and Umberto Perego. An extended FE strategy for transition from continuum damage to mode I cohesive crack propagation. *International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics*, 31(2):213-238, 2007.

[4] Fabrice Gatuingt, Rodrigue Desmorat, Marion Chambart, Didier Combescure, and Daniel Guilbaud. Anisotropic 3D delay-damage model to simulate concrete structures. *Revue européenne de mécanique numérique*, 17(5-6-7):749-760, October 2008.

[5] Anita Hansbo and Peter Hansbo. A finite element method for the simulation of strong and weak discontinuities in solid mechanics. *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering*, 193(33-35):3523-3540, 2004.

[6] Thomas Menouillard, Alain Combescure, and H. Bung. Mass lumping strategies for X-FEM explicit dynamics : Application to crack propagation. *International Journal for Numerical Methods in Engineering*, 74:447-474, 2008.

[7] Nicolas Moës, Claude Stolz, Paul-Emile Bernard, and Nicolas Chevaugeon. A level set based model for damage growth : The thick level set approach. *International Journal for Numerical Methods in Engineering*, 86(3):358-380, 2011.

[8] Nicolas Moës, Claude Stolz, and Nicolas Chevaugeon. Coupling local and non-local damage evolution with the Thick Level Set model. 2014.

[9] Kévin Moreau, Nicolas Moës, Didier Picart, and Laurent Stainier. Explicit dynamics with a non-local damage model using the Thick Level Set approach. *International Journal for Numerical Methods in Engineering*, accepted:1-24, 2014.

[10] Krishnaswamy Ravi-Chandar. Dynamic fracture of nominally brittle materials. *International Journal of Fracture*, 90:83-102, 1998.

[11] Angelo Simone, Garth N. Wells, and Lambertus Sluys. From continuous to discontinuous failure in a gradient-enhanced continuum damage model. *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering*, 192(41-42):4581-4607, October 2003.