# Un algorithme de sous-gradient pour le traitement du contact frottant

Michel Fortin, Nicolas Tardieu, Éric Chamberland

► To cite this version:

Michel Fortin, Nicolas Tardieu, Éric Chamberland. Un algorithme de sous-gradient pour le traitement du contact frottant. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01812947

HAL Id: hal-01812947

https://hal.science/hal-01812947v1

Submitted on 12 Jun 2018

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons CC0 1.0 - Universal - International License
Un algorithme de sous-gradient pour le traitement du contact frottant

Michel Fortin * — Nicolas Tardieu ** — Éric Chamberland *

* GIREF, Université Laval, QUEBEC (Québec), CANADA G1K7P4
{mfortin, echamberland}@giref.ulaval.ca

**EDF-R&D, 1 av du Gal de Gaulle, 91128 Clamart Cedex, FRANCE
nicolas.tardieu@edf.fr

RÉSUMÉ. L'objet de cette communication est la présentation d'un algorithme de sous-gradient pour le traitement du contact avec frottement obéissant aux lois de Tresca ou de Coulomb. Il s'agit d'un algorithme itératif de gradient conjugué basé sur une formulation de type Lagrangien augmenté du problème de frottement. Une technique de relèvement de la direction de descente permet en outre de lui conférer des propriétés intéressantes quand la taille des mailles diminue.

ABSTRACT. The goal of this communication is to present a sub-gradient algorithm for the treatment of contact with friction obeying Tresca's or Coulomb's law. It is a conjugate gradient based algorithm based on a augmented Lagrangian formulation of friction. A lifting technique can be applied on the descent direction providing nice properties as the mesh size decreases.

MOTS-CLÉS : Frottement, Contact, Sous-Gradient

KEYWORDS: Friction, Contact, Sub-Gradient

e soumission à 7ème Colloque National en Calcul des Structures, le 16 février 2005.
# 1. Introduction

La prise en compte du frottement devient de plus en plus courante dans les études numériques industrielles. Les techniques qui permettent cette prise en compte se sont en effet beaucoup développées. La grande majorité de ces techniques sont basées sur une formulation de type Lagrangien augmenté [FOR 83] du problème de frottement. Dans ce cadre, différents algorithmes ont été proposés pour la résolution du problème : algorithmes d' Uzawa [LAU 93, SAX 98], de Newton généralisé [ALA 91], de complémentarité linéaire [KLA 88], ... L'objet de cette communication est de proposer, dans le cadre d'une formulation par Lagrangien augmenté, un algorithme original de traitement du frottement de Tresca, l'extension au frottement de Coulomb étant obtenue de manière classique par résolution d'une suite de problèmes avec frottement de Tresca [COC 84].

# 2. Formulation

On s'intéresse au cas d'un corps déformable $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ pouvant entrer en interaction de contact avec frottement de type Tresca avec une fondation rigide. On introduit l'opérateur $g_n$ qui renvoie le gap normal. La résolution d'un tel problème peut s'exprimer sous la forme d'un problème de minimisation :

$$ \min_{v} \max_{\mu_c \ge 0} J(v) + \langle \mu_c, g_n(u) \rangle + j(v) \quad (1) $$

où $J(u)$ est la fonctionnelle d'énergie potentielle, $j(v) = \int_{\Gamma_c} s|v_t|d\Gamma$ où $s$ est le seuil de frottement et $\langle \star, \star \rangle$ représente formellement un crochet de dualité. (1) s'exprime de manière équivalente :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \min_{(v,q)} & \max_{\mu_c \ge 0} J(v) + \langle \mu_c, g_n(v) \rangle + j(q) \\ v = q & \end{array} \right. \quad (2) $$

Cette nouvelle contrainte peut être traitée par un multiplicateur de Lagrange, on définit le Lagrangien augmenté suivant avec $r > 0$ :

$$ L_r^s(u, \lambda_c, \lambda_f, p) = J(u) + \langle \lambda_c, g_n(u) \rangle + \frac{r}{2} \|p - u_t\|^2 + j(p) - \langle \lambda_f, p - u_t \rangle \quad (3) $$

On obtient alors le problème suivant :

$$ \min_{v,q} \max_{\mu_c \ge 0, \mu_f} L_r^s(v, \mu_c, \mu_f, q) \quad (4) $$

On peut remarquer que la minimisation par rapport à $p$ a une solution analytique :

$$ p = \begin{cases} \frac{\lambda_f + r u_t}{\|\lambda_f + r u_t\|} \frac{\|\lambda_f + r u_t\| - s}{r} & \text{si } \|\lambda_f + r u_t\| \ge s \\ 0 & \text{si } \|\lambda_f + r u_t\| \le s \end{cases} \quad (5) $$
On peut montrer que les conditions de stationnarité de ce Lagrangien décrivent bien le contact avec frottement de Tresca [GUE 03]. En outre, si on injecte (5) dans (3), on obtient l'expression du Lagrangien augmenté qui apparaît dans [ALA 91, LAU 93]. Mais si l'on garde le Lagrangien $L_r^s$ sous la forme (3) et que l'on écrit sa condition de stationnarité par rapport à $\mathbf{p}$, on obtient l'inclusion différentielle :

$$0 \in r(\mathbf{p} - \mathbf{u}_t) + \partial j(\mathbf{p}) - \lambda_f \quad (6)$$

Si de plus on suppose que le problème de min-max en $\mathbf{u}$, $\lambda_c$ et $\lambda_f$ a déjà été résolu, on a $\mathbf{p} = \mathbf{p}_t = \mathbf{u}_t$ et (6) se résume à :

$$0 \in \partial j(\mathbf{p}) - \lambda_f \quad (7)$$

On peut maintenant déterminer dans l'ensemble $\partial j(\mathbf{p}) - \lambda_f$ le sous-gradient de norme minimale noté $\partial L_r^s(\mathbf{p})$. Plusieurs cas de figure se présentent :

$$- \text{Si } \mathbf{p} \neq \mathbf{0}, \qquad \partial L_r^s(\mathbf{p}) = s \frac{\mathbf{p}}{\|\mathbf{p}\|} - \lambda_f$$

$$- \text{Si } \mathbf{p} = \mathbf{0},$$

$$- \text{Si } \lambda_f \le s, \qquad \partial L_r^s(\mathbf{p}) = \mathbf{0}$$

$$- \text{Si } \lambda_f > s, \qquad \partial L_r^s(\mathbf{p}) = \lambda_f \left( \frac{s}{\|\lambda_f\|} - 1 \right)$$

Une fois obtenue les expressions précédentes, on peut mettre sur pied une algorithmie générale basée sur une méthode de descente (que l'on précisera dans la suite) qui s'exprime formellement comme présenté à la Figure 1.

L'algorithme proposé consiste donc à résoudre une suite de problèmes avec des conditions de Dirichlet tangentielles imposées et des conditions de contact sur $\Gamma_C$. Ces conditions sont respectivement imposées à l'aide des multiplicateurs de Lagrange $\lambda_c$ et $\lambda_f$. Détaillons maintenant la mise en œuvre précise de l'algorithme.

$$- n = 0, \text{ choisir } \mathbf{p}^0 \text{ et définir } \|\partial L_r^s(\mathbf{p}^0)\| = 2 * \text{Critère}$$

$$- \text{Tant que } \|\partial L_r^s(\mathbf{p}^n)\| > \text{Critère}$$

$$- \text{Résoudre min}_{\mathbf{v}} \max_{\mu_c \ge 0, \mu_f} L_r^s(\mathbf{v}, \mu_c, \mu_f, \mathbf{p}^n)$$

$$- \text{Calculer } \partial L_r^s(\mathbf{p}^n)$$

$$- \text{Mettre à jour } \mathbf{p}^{n+1} \text{ à l'aide de } \partial L_r^s(\mathbf{p}^n)$$

$$- n = n + 1$$

$$- \text{Fin Tant que}$$

<caption>**Figure 1.** Logique générale</caption>
## 3. Algorithme de résolution

### 3.1. Mise en œuvre de l'algorithme

Pour décrire précisément l’algorithme proposé, nous nous disposons dans le cadre d’une résolution incrémentale par la méthode de Newton et nous définissons l’opérateur $g_t$ qui renvoie la valeur du gap tangentiel. L’algorithme de la Figure 2 appelle les remarques suivantes :

- La logique générale présentée dans l’algorithme de la Figure 1 est appliquée sur le problème linéarisé

- La résolution du système (8) implique la prise en compte du contact unilatéral. La méthode de résolution retenue est sans importance.

- $n = 0$

- Tant que $||\delta\mathbf{u}^n|| > \text{CritèreCorrection}$

- $k = 0$

- Tant que $||\partial L_r^s(\mathbf{p}^n)|| > \text{CritèreSousGradient}$

- Résoudre

$$ egin{cases} 
\mathbf{K}\delta\mathbf{u}^n = \mathbf{F}^{\text{ext}} - \mathbf{F}^{\text{int}}(\mathbf{u}^{n-1}) - \mathbf{B}_c^T\lambda_c^k - \mathbf{B}_f^T\lambda_f^n \\ 
g_t(\Delta\mathbf{u}^{n-1} + \delta\mathbf{u}^n) = \mathbf{p}^k \\ 
\left\{ \begin{array}{l} \lambda_c^k \ge 0 \\ g_n(\Delta\mathbf{u}^{n-1} + \delta\mathbf{u}^n) \le g_n \\ \lambda_c^k(g_n(\Delta\mathbf{u}^{n-1} + \delta\mathbf{u}^n) - g_n) = 0 \end{array} \right. \quad \text{pour chaque liaison} 
\end{cases} 
\quad (8) $$

- $\gamma = \frac{(\partial L_r^s(\mathbf{p}^k) - \partial L_r^s(\mathbf{p}^{k-1}))^T \partial L_r^s(\mathbf{p}^k)}{\partial L_r^s(\mathbf{p}^{k-1})^T \partial L_r^s(\mathbf{p}^{k-1})}$

- Mise à jour $\mathbf{d}^k = \partial L_r^s(\mathbf{p}^k) + \gamma \mathbf{d}^{k-1}$

- Trouver $\rho > 0$ tel que $\rho = \text{argmin}_{\rho>0} L_r^s(\mathbf{u}^k, \lambda_c, \lambda_f, \mathbf{p}^k + \rho\mathbf{d}^k)$

- Mise à jour $\mathbf{p}^{k+1} = \mathbf{p}^k + \rho\mathbf{d}^k$

- $k = k + 1$

- Fin Tant que

- Fin Tant que

- $\mathbf{u}^{n+1} = \mathbf{u}^n + \delta\mathbf{u}^{n+1}$

- $n = n + 1$

<caption>Figure 2. Algorithme</caption>
– La modélisation d'une autre loi d'interface nécessite des modifications mineures : seule l'expression du sous-gradient est à changer.

– La direction de descente est conjuguée par la formule de Polak-Ribiere.

– La phase de recherche du $\rho$ optimal est réalisée à l'aide d'une méthode de la sécante.

– La matrice tangente du système (8) est indépendante de l'état de contact ou de frottement; au cours des sous-itérations de frottement, elle reste constante ce qui est particulièrement intéressant quand on utilise un solveur direct. C'est là une des particularités de l'algorithme qui a été conçu pour minimiser au maximum le nombre d'assemblage et de factorisation de matrice : une résolution nécessite un très grand nombre d'itérations mais chacune est très peu coûteuse.

## 3.2. Relèvement de la direction de recherche

On peut remarquer que la mise à jour de la variable $p$ fait intervenir des champs qui ne sont pas dans les mêmes espaces fonctionnels : $p \in H^{1/2}(\Gamma_C)$ tandis que $d \in H^{-1/2}(\Gamma_C)$ et il faudrait plutôt écrire $p^{k+1} = p^k + \rho S^{-1}(d^k)$ où $S$ est l'opérateur de Steklov-Poincaré. Cette incohérence a pour effet néfaste de faire dépendre la convergence de l'algorithme de la taille des éléments. A géométrie fixée, le nombre d'itérations nécessaires à l'obtention de la convergence augmentera quand on raffine le maillage. Nous avons cherché à contourner ce problème en relevant la direction de recherche grâce à la résolution du problème annexe suivant :

$$ \left\{ \begin{array}{l} K \tilde{d} = 0 \\ \tilde{d} = 0 \quad \text{sur } \Gamma_D \\ \sigma(\tilde{d}) \cdot n = d \quad \text{sur } \Gamma_C \end{array} \right. \qquad (9) $$

## 4. Illustration numérique

Le calcul réalisé modélise un pain de caoutchouc obéissant à la loi de Mooney-Rivlin que l'on vient presser et faire glisser en déplacement imposée sur une fondation rigide. La loi de frottement est ici la loi de Coulomb. Le calcul comporte 44 pas de chargement et l'on présente sur la Figure 3 le nombre de mises à jour de la variable $p$ nécessaires pour atteindre la convergence sur deux maillage dont l'un comprend 8 fois plus d'éléments que l'autre. On constate que :

– le nombre d'itérations est élevé mais chacune des sous-itérations est peu chère en terme de temps CPU ce qui rend l'algorithme intéressant quand la taille des modèles augmente

– quand on utilise le relèvement de la direction de descente, on observe bien que le nombre d'itérations est quasiment constant quand on raffine le maillage

– l'utilisation du relèvement doit encore être améliorée lorsque la zone de contact devient grande
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 3.** Comparaison du nombre de mises à jour de p</figcaption></figure>

**5. Conclusions**

Un algorithme de sous-gradient conjugué pour le traitement du frottement est proposé dans cette communication. Le nombre élevé d'iterations nécessaire pour atteindre la convergence est largement compensé par le faible nombre de réassemblage et de factorisation de la matrice tangente. Enfin, le relèvement de la direction de descente rend la convergence quasiment indépendante de la taille des éléments.

**6. Bibliographie**

[ALA 91] P.ALART, A.CURNIER - *A mixed formulation for frictional contact problems prone to Newton like solution methods* Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., **92**, 1991

[COC 84] M.COCU - *Existence of solutions of Signorini problems with friction* Int. J. Eng. Sci., **22**, 1984

[FOR 83] M.FORTIN, R.GLOWINSKI - *Augmented Lagrangian Methods. Applications to the numerical solution of boundary value problems* North Holland, 1983

[GUE 03] R.GUÉNETTE - *Rapport sur la résolution de problèmes de contact* Rapport technique du GIREF, 2003

[KLA 88] A.KLARBRING, G.BJORKMAN - *A mathematical programming approach to contact problem with friction and varying contact surface* Computers and Structures, **30**, 1988

[LAU 93] T.A.LAURSEN, J.C.SIMO - *A continuum-based finite element formulation for the implicit solution of multibody, large deformation frictional contact problems* Int. J. Numer Meth Engrg., **36**, 1993

[SAX 98] G.DE SAXCÉ, Z.Q.FENG - *The bipotential method : a constructive approach to design the complete contact law with friction and improved numerical algorithms* Int. J. Math. and Comp. Modelling, **28**, 1998