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# Fonctions d'une variable complexe (avec des applications et de nombreux dessins)

Marc Lenoir

► To cite this version:

Marc Lenoir. Fonctions d'une variable complexe (avec des applications et de nombreux dessins). École d'ingénieur. ENSTA ParisTech, France. 2000. hal-04073590

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Submitted on 18 Apr 2023

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Cours MA 104

Edition 2017-2018

# Fonctions d'une variable complexe

avec des applications et de nombreux dessins

Marc Lenoir
<figure><img src="image_2.png" /></figure>
# Table des matières

## 1 Séries entières 7

1.1 Séries numériques 7

1.1.1 Séries à termes positifs (dans $\mathbb{R}$!) 8

1.1.2 Séries absolument convergentes 10

1.1.3 Séries semi-convergentes 12

1.2 Séries entières 13

1.2.1 Opérations algébriques sur les séries entières 16

1.2.2 Dérivation 16

1.2.3 Primitive 18

1.2.4 Développements en série entière 19

1.2.5 Substitution 20

## 2 Fonctions analytiques 23

2.1 Principe des zéros isolés 24

2.2 Exemples de fonctions analytiques dans $\mathbb{C}$ 26

2.2.1 La fonction exponentielle 27

2.2.2 Trigonométrie 27

2.2.3 Une définition de l'argument 28

## 3 Séries de Fourier 31

3.1 Convergence en moyenne quadratique 31

3.2 Convergence uniforme 33

3.3 Convergence ponctuelle 35

3.3.1 Le théorème de Fejér 36

3.3.2 Le théorème de Dirichlet 38

3.4 Deux exemples 40

3.5 Les distributions périodiques 41

3.5.1 La formule de Poisson 43

3.5.2 Série de Fourier 44

3.5.3 Le cas d'une fonction continue 45

## 4 L'intégrale de Cauchy 47

4.1 La relation de Cauchy-Riemann 47

4.2 Intégrales de chemin 49

4.2.1 Changement de paramétrage 50

4.2.2 Changement de variable 51

4.2.3 Formes différentielles 51

4.2.4 Composition des chemins 52
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>4.3</td>
      <td>La théorie locale</td>
      <td>53</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.1</td>
      <td>La formule de Cauchy locale</td>
      <td>53</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.2</td>
      <td>Développement en série</td>
      <td>56</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.3</td>
      <td>Développement en série de Laurent</td>
      <td>58</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>5</b></td>
      <td><b>La théorie de Cauchy globale</b></td>
      <td><b>61</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1</td>
      <td>L'indice d'un point par rapport à un lacet</td>
      <td>61</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1.1</td>
      <td>Calcul pratique de l'indice</td>
      <td>62</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2</td>
      <td>La formule de Cauchy globale</td>
      <td>63</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3</td>
      <td>Le principe de symétrie</td>
      <td>67</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4</td>
      <td>Le bord orienté d'un compact</td>
      <td>70</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4.1</td>
      <td>Développement en série de Laurent</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.5</td>
      <td>Le théorème de Cauchy homotopique</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.6</td>
      <td>Primitives</td>
      <td>77</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>6</b></td>
      <td><b>Le principe du maximum</b></td>
      <td><b>81</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.1</td>
      <td>En domaine borné</td>
      <td>82</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2</td>
      <td>En domaine non borné</td>
      <td>84</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>7</b></td>
      <td><b>Singularités des fonctions analytiques</b></td>
      <td><b>89</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1</td>
      <td>Singularités isolées</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1.1</td>
      <td>Fonctions méromorphes</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2</td>
      <td>Le théorème des résidus</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2.1</td>
      <td>Calcul pratique des résidus</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2.2</td>
      <td>Le résidu à l'infini</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>8</b></td>
      <td><b>Le principe de l'argument</b></td>
      <td><b>99</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1</td>
      <td>Localisation des zéros</td>
      <td>100</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2</td>
      <td>Inversion des fonctions analytiques</td>
      <td>101</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.1</td>
      <td>Le problème local</td>
      <td>101</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.2</td>
      <td>Le problème global</td>
      <td>103</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.3</td>
      <td>Coupures et déterminations</td>
      <td>104</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>9</b></td>
      <td><b>La transformation de Laplace</b></td>
      <td><b>111</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1</td>
      <td>Transformée de Laplace des fonctions</td>
      <td>111</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1.1</td>
      <td>Analyticité</td>
      <td>112</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1.2</td>
      <td>Propriétés élémentaires</td>
      <td>113</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1.3</td>
      <td>Quelques transformées de Laplace usuelles</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1.4</td>
      <td>Transformée de Laplace d'un produit de convolution</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1.5</td>
      <td>Transformées de Laplace des fonctions à croissance lente</td>
      <td>116</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1.6</td>
      <td>Transformées de Laplace des fonctions analytiques de type exponentiel dans un secteur</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1.7</td>
      <td>Transformées de Laplace des fonctions entières de type exponentiel</td>
      <td>119</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2</td>
      <td>Transformée de Laplace des distributions</td>
      <td>121</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2.1</td>
      <td>Analyticité</td>
      <td>124</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2.2</td>
      <td>Propriétés élémentaires</td>
      <td>125</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2.3</td>
      <td>Quelques transformées de Laplace de distributions</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2.4</td>
      <td>Application au calcul de transformées de Fourier</td>
      <td>127</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2.5</td>
      <td>Transformée de Laplace d'un produit de convolution</td>
      <td>128</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>9.3</td>
      <td>Inversion de la transformation de Laplace</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.3.1</td>
      <td>Calcul pratique</td>
      <td>131</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.3.2</td>
      <td>Développements asymptotiques</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.3.3</td>
      <td>Equations de convolution</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.3.4</td>
      <td>Equations différentielles</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.3.5</td>
      <td>Equations aux dérivées partielles</td>
      <td>136</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>10</b></td>
      <td><b>Espaces de fonctions holomorphes</b></td>
      <td><b>137</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.1</td>
      <td>Topologie</td>
      <td>137</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.1.1</td>
      <td>Propagation de la convergence</td>
      <td>139</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.1.2</td>
      <td>Séries de fonctions méromorphes</td>
      <td>140</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.1.3</td>
      <td>Produits infinis de fonctions holomorphes</td>
      <td>141</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.2</td>
      <td>Approximation des fonctions holomorphes</td>
      <td>147</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>11</b></td>
      <td><b>La sphère de Riemann</b></td>
      <td><b>151</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.1</td>
      <td>Compactification</td>
      <td>151</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.2</td>
      <td>La droite projective complexe</td>
      <td>151</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3</td>
      <td>Projection stéréographique</td>
      <td>152</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.4</td>
      <td>Fonctions holomorphes</td>
      <td>153</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.5</td>
      <td>Le théorème des résidus</td>
      <td>153</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>12</b></td>
      <td><b>Transformations conformes</b></td>
      <td><b>159</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.1</td>
      <td>Applications holomorphes</td>
      <td>159</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.2</td>
      <td>Groupes d'automorphismes</td>
      <td>160</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.2.1</td>
      <td>Automorphismes de C</td>
      <td>160</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.2.2</td>
      <td>Automorphismes de P¹(C)</td>
      <td>161</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.2.3</td>
      <td>Automorphismes du demi-plan supérieur</td>
      <td>162</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.2.4</td>
      <td>Automorphismes du disque unité D.</td>
      <td>164</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.3</td>
      <td>Représentation d'un ouvert simplement connexe</td>
      <td>164</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.3.1</td>
      <td>Prolongement au bord</td>
      <td>168</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.4</td>
      <td>Retour sur la simple connexité</td>
      <td>168</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>13</b></td>
      <td><b>Les fonctions harmoniques</b></td>
      <td><b>171</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>13.1</td>
      <td>Fonctions harmoniques dans un disque</td>
      <td>172</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>13.2</td>
      <td>Problème de Dirichlet</td>
      <td>173</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>I</b></td>
      <td><b>Calculs d'intégrales</b></td>
      <td><b>177</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I.1</td>
      <td>Intégrales de la forme ∫<sub>0</sub><sup>2π</sup> R(sin t, cos t) dt,</td>
      <td>177</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I.2</td>
      <td>Intégrales de la forme ∫<sub>-∞</sub><sup>+∞</sup> R(x) dx</td>
      <td>178</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I.3</td>
      <td>Intégrales de la forme ∫<sub>-∞</sub><sup>+∞</sup> f(x) e<sup>ix</sup> dx</td>
      <td>180</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I.4</td>
      <td>La formule de Gauss ∫<sub>-∞</sub><sup>+∞</sup> e<sup>-x<sup>2</sup></sup> dx = √π</td>
      <td>184</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I.5</td>
      <td>Fonctions présentant des coupures</td>
      <td>185</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>II</b></td>
      <td><b>La méthode du col</b></td>
      <td><b>187</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.1</td>
      <td>Variable réelle : la méthode de Laplace</td>
      <td>187</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.1.1</td>
      <td>Un premier exemple</td>
      <td>187</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.1.2</td>
      <td>Plus généralement</td>
      <td>188</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.1.3</td>
      <td>Cas particulier</td>
      <td>190</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.2</td>
      <td>Variable complexe : la méthode du col</td>
      <td>190</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>II.2.1</td>
      <td>Application de la méthode de Laplace</td>
      <td>190</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.2.2</td>
      <td>Choix du chemin</td>
      <td>194</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III</td>
      <td>La portance d'un profil d'aile</td>
      <td>197</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.1</td>
      <td>L'écoulement autour d'un profil</td>
      <td>197</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.1.1</td>
      <td>Le potentiel complexe</td>
      <td>197</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.1.2</td>
      <td>La dérivée du potentiel complexe</td>
      <td>198</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.1.3</td>
      <td>La circulation</td>
      <td>198</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.1.4</td>
      <td>Les formules de Blasius</td>
      <td>199</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.1.5</td>
      <td>Le paradoxe de d'Alembert</td>
      <td>200</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.2</td>
      <td>L'écoulement autour d'un cercle</td>
      <td>201</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.2.1</td>
      <td>Conditions aux limites</td>
      <td>201</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.2.2</td>
      <td>Points d'arrêt</td>
      <td>201</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.2.3</td>
      <td>Plus généralement</td>
      <td>202</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.3</td>
      <td>Transformations conformes</td>
      <td>204</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.3.1</td>
      <td>La transformation de Joukowski</td>
      <td>204</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.3.2</td>
      <td>La transformation de Karmann-Trefftz</td>
      <td>207</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.4</td>
      <td>Ecoulement autour du profil</td>
      <td>208</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.4.1</td>
      <td>La condition de Kutta-Joukovski</td>
      <td>208</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.4.2</td>
      <td>Les efforts sur le profil</td>
      <td>209</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A</td>
      <td>Trigonométrie</td>
      <td>211</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>B</td>
      <td>Substitution des séries entières</td>
      <td>213</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>C</td>
      <td>Calcul pratique de l'indice</td>
      <td>217</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>D</td>
      <td>Connexité</td>
      <td>221</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>E</td>
      <td>La transformation de Fourier des distributions</td>
      <td>225</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>E.1</td>
      <td>Transformation de Fourier des fonctions à décroissance rapide</td>
      <td>225</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>E.1.1</td>
      <td>L'espace S</td>
      <td>225</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>E.1.2</td>
      <td>Transformation de Fourier sur S</td>
      <td>226</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>E.2</td>
      <td>Transformation de Fourier des distributions tempérées</td>
      <td>226</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>E.2.1</td>
      <td>L'espace S'</td>
      <td>226</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>E.2.2</td>
      <td>La transformation de Fourier sur S'</td>
      <td>227</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>E.2.3</td>
      <td>Propriétés élémentaires</td>
      <td>228</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>E.2.4</td>
      <td>Les formules de réciprocité et de Plancherel</td>
      <td>229</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>E.2.5</td>
      <td>Transformation de Fourier et convolution</td>
      <td>230</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F</td>
      <td>Le rayon de Bohr</td>
      <td>233</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G</td>
      <td>Les homographies</td>
      <td>239</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.1</td>
      <td>Les transformations de Möbius</td>
      <td>239</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.1.1</td>
      <td>L'inversion symétrie</td>
      <td>242</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G.1.2</td>
      <td>La transformation de Cayley</td>
      <td>244</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>H</td>
      <td>La transformation de Schwarz-Christoffel</td>
      <td>245</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I</td>
      <td>Quelques lectures profitables</td>
      <td>249</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
# Chapitre 1

## Séries entières

Dans ce chapitre et dans le suivant, on traitera, sauf mention contraire, indifféremment de séries à valeurs réelles ou complexes. Le début de ce chapitre est consacré à rappeler les résultats élémentaires relatifs à la convergence des séries numériques. Le second paragraphe traite des séries entières ou du moins des résultats élémentaires à cet égard, en fonction de l'utilisation ultérieure que nous en aurons pour l'étude des fonctions holomorphes.

### 1.1 Séries numériques

Commençons par quelques rappels tout à fait élémentaires.

**DÉFINITION 1.1** On dit que la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n$ est convergente si et seulement si la suite de ses sommes partielles $S_N = \sum_{n=0}^{N} s_n$ converge. Plus précisément, si $|S_N - S| \to 0$ quand $N \to \infty$, on écrit

$$ \sum_{n \in \mathbb{N}} s_n = S. $$

**THÉORÈME 1.2 (Critère de Cauchy)** Pour que la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n$ soit convergente, il faut et il suffit que

$$ \forall \varepsilon, \exists N \text{ tel que } \forall q > p > N, \left| \sum_{n=p}^{q} s_n \right| < \varepsilon. \qquad (1.1) $$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

**DÉMONSTRATION.** En effet, comme $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ sont complets, la suite des sommes partielles converge si et seulement si c'est une suite de Cauchy, soit si (1.1) est vérifié.

Q.E.D.

Il en résulte en particulier que le terme général d'une série convergente tend vers 0, mais bien entendu ce n'est pas une condition suffisante de convergence.

La série $\sum_{n \in \mathbb{N}} z^n$ est appelée série géométrique, elle converge pour $|z| < 1$ et on a alors

$$ \sum_{n \in \mathbb{N}} z^n = (1-z)^{-1}; \qquad (1.2) $$

$$ \text{en effet } (1-z)S_N = (1-z) \sum_{n \le N} z^n = 1-z^{N+1}. $$

Selon la nature des termes d'une série, il est plus ou moins difficile d'en étudier la convergence ; bien entendu toutes les propriétés qui peuvent être associées aux termes d'une série s'entendent comme étant valables 'à partir d'un certain rang'.
1.1.1 Séries à termes positifs (dans $\mathbb{R}$!)

Le cas des séries réelles à termes positifs est le plus simple, son importance tient en particulier au fait que s'y ramène l'étude de certaines séries (dites semi-convergentes) à coefficients de signes quelconques ou même complexes.

**PROPOSITION 1.3** *Pour qu'une série à termes positifs converge, il suffit (et il faut !) que la suite de ses sommes partielles soit majorée.*

**DÉMONSTRATION.** Si $S_n$ est majorée alors d'après le lemme **1.4** ci-dessous, elle admet une borne supérieure, soit $s = \sup_n S_n$. Soit alors $\varepsilon > 0$, par définition de la borne supérieure $\exists p$ tel que $S_p \ge s - \varepsilon$, et comme la suite est croissante, $\forall q \ge p, s \ge S_q \ge s - \varepsilon$, ce qui prouve que $s$ est la limite de $S_n$.

Q.E.D.

Le résultat qui précède repose sur le lemme fondamental suivant, qui renvoie en fait à la construction même de $\mathbb{R}$ en tant que complété de $\mathbb{Q}$.

**LEMME 1.4 (Propriété de la borne supérieure)** *Les ensembles majorés de $\mathbb{R}$ admettent une borne supérieure.*

**DÉMONSTRATION.**

► Notons déjà que si $E \subset \mathbb{R}$, les majorants de $E$ sont les mêmes que ceux de $\bar{E}$. Supposons en effet que $x$ soit un majorant de $E$ et que $\alpha \in \bar{E}$ vérifie $x < \alpha$, alors $0 < \alpha - x \le \alpha - y$, $\forall y \in E$, ce qui contredit le fait que $\alpha$ appartienne à l'adhérence de $E$. Comme la borne supérieure, si elle existe, est le plus petit des majorants, il en résulte que $E$ possède une borne supérieure si et seulement si $\bar{E}$ en possède une et par conséquent qu'il suffit de démontrer le lemme pour des ensembles fermés.

► Supposons donc $E$ fermé, notons $b$ un majorant de $E$, choisissons arbitrairement $a \in E$ et pour $a \le x \in E$, posons $E_x = [x, b] \cap E$. Les $E_x$ sont fermés non vides, et comme ils sont emboîtés, une intersection finie d'entre eux n'est pas vide non plus. Comme l'ensemble $[a, b] \cap E$ est fermé et borné, il est compact, et par conséquent $\bigcap_{a \le x \le E} E_x$ n'est pas vide. Soit $s$ appartenant à cette intersection, c'est un majorant de $E$ appartenant à $E$ et donc une (la) borne supérieure de $E$.

Q.E.D.

**COROLLAIRE 1.5 (Principe de comparaison)** *Si $\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n$ et $\sum_{n \in \mathbb{N}} t_n$ sont deux séries à termes positifs et si $\exists N$ tel que $t_n \ge s_n, \forall n \ge N$, alors*

(i) Si la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} t_n$ est convergente, la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n$ l'est également.

(ii) Si la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n$ est divergente, la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} t_n$ l'est également.

**DÉMONSTRATION.** Supposons que $\sum_{n \in \mathbb{N}} t_n$ converge et soit $T$ sa somme, c'est un majorant de la suite des sommes partielles $S_n$ de la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n$, qui converge donc en vertu de la proposition **1.3**. L'item (ii) s'en déduit immédiatement.

Q.E.D.

Le principe de comparaison permet de remplacer les termes d'une série par leur partie principale pour en étudier la convergence ; supposons en effet que $t_n/g(n) \to c \neq 0$ quand $n \to \infty$, alors pour $n$ suffisamment grand, on aura $cg(n)/2 < t_n < 2cg(n)$. En pratique $g$ appartient à un ensemble $\mathcal{J}$ de fonctions de jauge, positives au voisinage de $+\infty$ et tendant vers 0 ou $+\infty$, l'ensemble $\mathcal{J}$ étant stable par multiplication et élévation à une puissance réelle. On prendra couramment pour $\mathcal{J}$ l'ensemble des fonctions de la forme $g(x) = x^\alpha (\operatorname{Log} x)^\beta$.

Un critère essentiel relatif à la convergence des séries à termes positifs décroissants repose sur la comparaison avec une intégrale :
**PROPOSITION 1.6 (Comparaison à une intégrale)** Soit $g$ une fonction positive décroissante au delà de $\heartsuit a$ ; pour que la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} g(n)$ converge, il faut et il suffit que l'intégrale $\int_a^{+\infty} g(x)dx$ converge.

**DÉMONSTRATION.** Soit $n_0$ un entier supérieur à $a$, pour $n_0 \le n \le x < n + 1$, on pose $f(x) = g(n + 1)$ et on aura $g(x + 1) \le f(x) \le g(x)$. Par conséquent

$$ \sum_{k=n_0+1}^{+\infty} g(k) = \sum_{n=n_0}^{+\infty} g(n+1) = \sum_{n=n_0}^{+\infty} \int_{n}^{n+1} f(x)dx \le \sum_{n=n_0}^{+\infty} \int_{n}^{n+1} g(x)dx = \int_{n_0}^{+\infty} g(x)dx $$

et

$$ \int_{n_0+1}^{+\infty} g(t)dt = \int_{n_0}^{+\infty} g(x+1)dx \le \int_{n_0}^{+\infty} f(x)dx = \sum_{n=n_0}^{+\infty} \int_{n}^{n+1} f(x)dx = \sum_{n=n_0}^{+\infty} g(n+1), $$

d'où le résultat.

Q.E.D.

**COROLLAIRE 1.7** La série de Riemann $s_n = n^{-\gamma}$ converge si et seulement si $1 < \gamma$.

La proposition suivante est surtout utile pour l'étude des séries entières, sur laquelle nous aurons l'occasion de revenir de façon plus détaillée :

**PROPOSITION 1.8 (Comparaison à une série géométrique)** Soit $\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n$ une série à termes positifs, deux conditions suffisantes de convergence sont les suivantes :

(i) Règle de d'Alembert

$$ \exists N \text{ et } a \in ]0, 1[ \text{ tels que } \forall n \ge N, \frac{s_{n+1}}{s_n} \le a. \qquad (1.3) $$

(ii) Règle de Cauchy

$$ \exists N \text{ et } a \in ]0, 1[ \text{ tels que } \forall n \ge N, (s_n)^{1/n} \le a. \qquad (1.4) $$

**DÉMONSTRATION.**

► Dans le cas de la règle de d'Alembert, pour $n \ge N$, par récurrence on aura $s_n \le a^{n-N} s_N$ ; or la série géométrique $\sum_{k \in \mathbb{N}} a^k$ converge, et par conséquent la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n$, d'après le principe de comparaison **1.5**.

► De même pour la règle de Cauchy, si $n \ge N$, on a $s_n \le a^n$, d'où le résultat.

Q.E.D.

**COROLLAIRE 1.9** Soit $\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n$ une série à termes positifs

(i) si $s_{n+1}/s_n$ converge, soit vers $a < 1$, alors la série converge.

(ii) si $s_{n+1}/s_n$ converge, soit vers $a > 1$, ou si $s_{n+1}/s_n \to 1$ par valeurs supérieures alors la série diverge.

(iii) si $(s_n)^{1/n}$ converge, soit vers $a < 1$, alors la série converge.

(iv) si $(s_n)^{1/n}$ converge, soit vers $a > 1$ ou si $(s_n)^{1/n} \to 1$ par valeurs supérieures, alors la série diverge.

Notons que si la limite $a$ est égale à 1, il n'est pas possible avec cette seule hypothèse de conclure à la convergence (ou à la divergence).

**DÉMONSTRATION.** Il nous suffira de noter que si $s_{n+1}/s_n$ ou $(s_n)^{1/n}$ reste supérieur à 1 à partir d'un certain rang, alors $s_n$ ne tend pas vers 0, et par conséquent, d'après le théorème **1.2**, la série ne converge pas.

Q.E.D.
On peut même être un peu plus précis :

**LEMME 1.10 (Règle de Raabe-Duhamel)** Une série $\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n$ à termes positifs telle que

$$ \frac{s_{n+1}}{s_n} = 1 - \frac{\alpha}{n} + O(n^{-\beta}), \alpha > 0, \beta > 1, $$

converge si et seulement si $\alpha > 1$.

**DÉMONSTRATION.** On pose $t_n = n^\alpha s_n$, on aura

$$ \frac{t_{n+1}}{t_n} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^\alpha \frac{s_{n+1}}{s_n} = \left(1 + \frac{\alpha}{n} + O(n^{-2})\right) \left(1 - \frac{\alpha}{n} + O(n^{-\beta})\right) = 1 + O(n^{-\gamma}), $$

où $\gamma = \min(2, \beta)$. En vertu du corollaire **1.7** il en résulte que $\text{Log}(t_{n+1}/t_n) = O(n^{-\gamma})$ est le terme général d'une série convergente si et seulement si $\gamma < 1$, c'est-à-dire si $\beta < 1$. et par conséquent que la suite $\text{Log } t_n$ converge, soit vers $\tau$. On aura donc $t_n \to e^\tau$, d'où à partir d'un certain rang $s_n \le 2n^{-\alpha}e^\tau$, et toujours d'après **1.7**, la convergence de la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n$. La réciproque est immédiate puisque si $\alpha > 1$, $s_n$ ne tend pas vers 0.

Q.E.D.

### 1.1.2 Séries absolument convergentes

**DÉFINITION 1.11** On dit que la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n$ est absolument convergente si $\sum_{n \in \mathbb{N}} |s_n|$ converge.

C'est la proposition suivante qui fait tout l'intérêt des séries absolument convergentes.

**PROPOSITION 1.12** Si $\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n$ est absolument convergente, alors elle est convergente.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

**DÉMONSTRATION.** Il suffit de remarquer que $|\sum_{n=p}^{q} s_n| \le \sum_{n=p}^{q} |s_n|$ et d'appliquer le théorème **1.2**

Q.E.D.

**PROPOSITION 1.13** On ne modifie pas la somme d'une série absolument convergente en effectuant des permutations ou des regroupements arbitraires sur ses termes.

**DÉMONSTRATION.** Supposons que $\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n$ soit absolument convergente, de somme $S$.

► Une permutation est une bijection $\sigma$ de $\mathbb{N}$ ; on posera $s'_n = s_{\sigma(n)}$ et $S'_N = \sum_{n=0}^{N} s'_n$.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 1.1 – Permutations</figcaption></figure>

Il est clair tout d'abord, en vertu de la proposition **1.3**, que $\sum_{n \in \mathbb{N}} s'_n$ est absolument convergente, puisque $\forall k \sum_{n=0}^{k} |s'_n| \le \sum_{n \in \mathbb{N}} |s_n|$.
► Par ailleurs pour $\epsilon$ donné, $\exists p$ tel que $\left|\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n - S_p\right| \le \sum_{k>p} |s_k| \le \epsilon/3$.

Notons alors $q = \max_{\ell \le p} \{\sigma^{-1}(\ell)\}$ ; on aura $\sigma^{-1}[0,p] \subset [0,q]$ d'où $\sigma([0,q]^c) \subset [0,p]^c$. Il en résulte que

$$ \left| \sum_{n \in \mathbb{N}} s'_n - S'_q \right| = \left| \sum_{n>q} s'_n \right| \le \sum_{n>q} |s'_n| = \sum_{n>q} |s_{\sigma(n)}| \le \sum_{k>p} |s_k| \le \epsilon/3, $$

► Mais de plus $|S'_q - S_p| = \left| \sum_{n=0}^q s'_n - \sum_{\ell=0}^p s'_{\sigma^{-1}(\ell)} \right| \le \left| \sum_{k>p} s_k \right| \le \sum_{k>p} |s_k| \le \epsilon/3$, soit finalement

$$ \left| \sum_{n \in \mathbb{N}} s_n - \sum_{n \in \mathbb{N}} s'_n \right| \le \left| \sum_{n \in \mathbb{N}} s_n - S_p \right| + \left| S'_q - S_p \right| + \left| S'_q - \sum_{n \in \mathbb{N}} s'_n \right| = \epsilon, $$

et ceci $\forall \epsilon$, d'où la conclusion.

► Un regroupement est défini par une application $\varphi$ strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans lui-même. On posera

$$ s_0'' = \sum_{k=0}^{\varphi(0)} s_k \text{ et } s_{k+1}'' = \sum_{\ell=\varphi(k)+1}^{\varphi(k+1)} s_\ell, $$

Si la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n$ est absolument convergente, alors $\sum_{k \in \mathbb{N}} s_k''$ l'est également car

$$ \sum_{k \le n} |s_k''| = \sum_{k \le n} \left| \sum_{\ell=\varphi(k)+1}^{\varphi(k+1)} s_\ell \right| \le \sum_{k \le n} \sum_{\ell=\varphi(k)+1}^{\varphi(k+1)} |s_\ell| \le \sum_{m \in \mathbb{N}} |s_m|. $$

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 1.2 – Regroupements</figcaption></figure>

► On aura $S_{\varphi(k)} = S_k''$ et par conséquent si les deux séries précédentes convergent

$$ \left| \sum_{n \in \mathbb{N}} s_n - \sum_{n \in \mathbb{N}} s_n'' \right| \le \left| \sum_{n \in \mathbb{N}} s_n - S_{\varphi(k)} \right| + \left| S_k'' - \sum_{n \in \mathbb{N}} s_n'' \right| = \left| \sum_{n>\varphi(k)} s_n \right| + \left| \sum_{n>k} s_n'' \right|. $$

Soit alors $\epsilon > 0$, comme $\varphi$ est croissante, $\exists k$ tel que $\left| \sum_{n>\varphi(k)} s_n \right| \le \epsilon/2$ et $\left| \sum_{n>k} s_n'' \right| \le \epsilon/2$, d'où

$$ \left| \sum_{n \in \mathbb{N}} s_n - \sum_{n \in \mathbb{N}} s_n'' \right| \le \epsilon, $$

soit en fait $\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n = \sum_{n \in \mathbb{N}} s_n''$.
**PROPOSITION 1.14** Si $\sum_{i \in \mathbb{N}} s_i$ et $\sum_{j \in \mathbb{N}} t_j$ sont deux séries absolument convergentes, alors

$$ \left(\sum_{i \in \mathbb{N}} s_i\right)\left(\sum_{j \in \mathbb{N}} t_j\right) = \sum_{n \in \mathbb{N}} w_n \quad \text{où} \quad w_n = \sum_{i+j=n} s_i t_j, $$

la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} w_n$ étant absolument convergente.

**DÉMONSTRATION.** Il est clair tout d'abord que la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} w_n$ converge absolument puisque

$$ \sum_{n \in \mathbb{N}} |w_n| = \sum_{n \in \mathbb{N}} \left| \sum_{i+j=n} s_i t_j \right| \le \sum_{n \in \mathbb{N}} \sum_{i+j=n} |s_i| |t_j| = \left( \sum_{i \in \mathbb{N}} |s_i| \right) \left( \sum_{j \in \mathbb{N}} |t_j| \right). $$

De plus

$$ \left| \sum_{n \le N} w_n - \left( \sum_{i \le N} s_i \right) \left( \sum_{j \le N} t_j \right) \right| = \left| \sum_{n \le N} \sum_{i+j=n} s_i t_j - \sum_{i \le N} \sum_{j \le N} s_i t_j \right| \le \sum_{n=N+1}^{2N} |w_n|, $$

qui tend vers 0 en vertu du théorème 1.2.

Q.E.D.

### 1.1.3 Séries semi-convergentes

Les séries convergentes qui ne sont pas absolument convergentes sont couramment qualifiées de semi-convergentes. Leur étude est beaucoup plus difficile et en particulier, leur somme dépend de l'ordre et des regroupements effectués entre les termes. Un exemple élémentaire est la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} (-1)^n$ qui diverge, alors que

$$ \sum_{m \in \mathbb{N}} ((-1)^m + (-1)^{m+1}) = 0. $$

On montre même qu'étant donnée une série semi-convergente, tout nombre peut être obtenu comme limite d'une série construite à partir des termes qui la composent !

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

La règle suivante, bien que très simple, se révèle souvent utile pour l'étude des séries semi-convergentes :

**LEMME 1.15 (règle d'Abel)** Si les sommes partielles $S_n$ de la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} s_n$ sont majorées en module, soit par $M$, et si la suite $\varepsilon_n$ tend vers 0 en décroissant, alors la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} \varepsilon_n s_n$ converge.

**DÉMONSTRATION.** Avec $T_n = \sum_{p \le n} \varepsilon_p s_p$ on aura

$$ \begin{aligned} T_n &= \varepsilon_0 s_0 + \sum_{1 \le p \le n} \varepsilon_p (S_p - S_{p-1}) = \varepsilon_0 s_0 + \sum_{1 \le p \le n} \varepsilon_p S_p - \sum_{0 \le q \le n-1} \varepsilon_{q+1} S_q \\ &= \varepsilon_n S_n + \sum_{0 \le p \le n-1} \varepsilon_p S_p - \sum_{0 \le q \le n-1} \varepsilon_{q+1} S_q = \varepsilon_n S_n + \sum_{0 \le p \le n-1} (\varepsilon_p - \varepsilon_{p+1}) S_p. \end{aligned} $$

La suite $S_n$ étant bornée, on a $\varepsilon_n S_n \to 0$, et comme de plus

$$ \sum_{0 \le p \le n-1} |\varepsilon_p - \varepsilon_{p+1}| |S_p| \le M \sum_{0 \le p \le n-1} |\varepsilon_p - \varepsilon_{p+1}| = M \sum_{0 \le p \le n-1} (\varepsilon_p - \varepsilon_{p+1}) = M (\varepsilon_0 - \varepsilon_n), $$

la série $\sum_{p \in \mathbb{N}} (\varepsilon_p - \varepsilon_{p+1}) S_p$ est absolument convergente, et donc convergente. Il en résulte que la suite $T_n$ converge, d'où le résultat.

Q.E.D.
## 1.2 Séries entières

Après ces quelques rappels, nous entrons maintenant dans le vif du sujet, les séries entières étant à la base de la définition des fonctions analytiques.

**DÉFINITION 1.16** On appelle série entière une série de fonctions

$$ \sum_{n \in \mathbb{N}} f_n(z), \text{où } f_n(z) = a_n z^n. $$

$$ \text{On note } s(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n. $$

En appliquant le principe de comparaison **1.5** on obtient le lemme suivant

**LEMME 1.17** Soient $r_0$ et $r_1 \in \mathbb{R}^+$ ;

(i) si la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| r_0^n$ converge, alors il en est de même de $\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| r^n$ pour $r \in [0, r_0]$,

(ii) si la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| r_1^n$ diverge, alors il en est de même de $\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| r^n$ pour $r \in [r_1, \infty[$.

Rappelons les différents modes usuels de convergence d'une série de fonctions

$$ \sum_{n \in \mathbb{N}} f_n(z) $$

au sein de $\mathcal{C}^0(\bar{\Omega})$, ensemble des fonctions continues et bornées sur $\Omega \subset \mathbb{C}$, muni de la norme de la convergence uniforme $\|f\| = \sup_{z \in \Omega} |f(z)|$.

(i) La convergence ponctuelle : $\forall z \in \Omega$, $\sum_{n \le N} f_n(z)$ possède une limite quand $N \to \infty$.

(ii) La convergence absolue : $\forall z \in \Omega$, $\sum_{n \le N} |f_n(z)|$ possède une limite quand $N \to \infty$;

(iii) La convergence uniforme : $\exists f$ définie sur $\bar{\Omega}$, telle que

$$ \left\| \sum_{n \le N} f_n - f \right\| \to 0 \text{ quand } N \to \infty. $$

(iv) La convergence normale : $\sum_{n \le N} \|f_n\|$ possède une limite quand $N \to \infty$.

Notons également le diagramme suivant relatif à ces diverses formes de convergence

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

En effet, si la série des $\|f_n\|$ converge, la suite de ses sommes partielles est de Cauchy, et par conséquent, $\forall \varepsilon > 0, \exists N$, tel que $\forall m > n > N$, $\left\| \sum_{p=m}^{n} f_p \right\| \le \sum_{p=m}^{n} \|f_p\| \le \varepsilon$. C'est dire que la suite des sommes partielles de la série des $f_n$ est de Cauchy dans $\mathcal{C}^0(\bar{\Omega})$, or cet espace est complet, d'où la convergence uniforme de la série des $f_n$.

**DÉFINITION 1.18** On appelle rayon de convergence de la série entière $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ le nombre réel positif $\rho$ (éventuellement infini) défini par

$$ \rho = \sup \left\{ r \in [0, \infty] \left| \sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| r^n \text{ converge} \right. \right\}. \qquad (1.5) $$
<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Le résultat fondamental relatif aux séries entières est le suivant :

**THÉORÈME 1.19 (Lemme d'Abel)** Soit $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $\rho > 0$ alors

(i) Si $\rho_1 \in [0, \rho[$, la série est normalement convergente sur $\{z \in \mathbb{C} \mid |z| \le \rho_1\}$.

(ii) Si $|z| < \rho$, la série est absolument convergente au point z.

(iii) Si $|z| > \rho$, la série est divergente au point z.

**DÉMONSTRATION.**

▶ Pour $|z| \le \rho_1$, on a $|a_n z^n| \le |a_n| \rho_1^n$, d'où la convergence normale de la série sur le disque de rayon $\rho_1$.

▶ La convergence absolue de la série pour $|z| < \rho$ en résulte en choisissant $\rho_1$ tel que $|z| < \rho_1 < \rho$.

▶ Choisissons $|z_1| > \rho$, alors $\exists \rho_1$ tel que $\rho < \rho_1 < |z_1|$. Si la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z_1^n$ converge, alors son terme général tend vers 0 en vertu du théorème **1.2**, et en particulier $\exists M > 0$ tel que $|a_n| |z_1^n| = |a_n z_1^n| < M, \forall n$. Il en résulte que

$$|a_n| \rho_1^n = |a_n| |z_1^n| \left| \frac{\rho_1}{z_1} \right|^n \le M \left| \frac{\rho_1}{z_1} \right|^n,$$

terme général d'une série géométrique de raison strictement inférieure à 1, et par conséquent convergente. Du principe de comparaison **1.5**, il résulte que $\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| \rho_1^n$ converge, ce qui constitue une contradiction avec la définition même de $\rho$.

Q.E.D.

On ne peut trop insister sur la portée de ce résultat :

(i) Si une série entière converge en un point $z$, alors elle converge dans tout disque de rayon inférieur à $|z|$.

(ii) Hormis sur le bord du disque de convergence une série entière ne peut être convergente sans être absolument convergente.

Précisons également qu'il n'y a aucun résultat général relatif à la convergence de la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ lorsque $|z| = \rho$.

Considérons, par exemple, la série $\sum_{n \ge 1} z^n/n$, elle a pour rayon de convergence 1 et diverge pour $z = 1$. Cependant pour $|z| = 1, z = e^{i\theta} \ne 1$, on montre que la série converge par application de la règle d'Abel **1.15**. En effet, pour $\theta \ne 0 \pmod{2\pi}$)

$$ \begin{aligned} \sum_{n \ge p \ge 1} e^{ip\theta} &= \sum_{n \ge p \ge 1} (e^{i\theta})^p = e^{i\theta} \frac{e^{in\theta} - 1}{e^{i\theta} - 1} \\ &= e^{i\theta} \frac{e^{in\theta/2} - e^{-in\theta/2}}{e^{i\theta/2} - e^{-i\theta/2}} = e^{i(n+1)\theta/2} \frac{\sin(n\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \end{aligned} $$

d'où

$$\left| \sum_{n \ge p \ge 1} e^{ip\theta} \right| \le \frac{1}{|\sin(\theta/2)|}$$

et la convergence de la série avec $\varepsilon_n = 1/n$.

**DÉFINITION 1.20** On appelle disque de convergence de la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ le disque ouvert

$$D = \{z \mid |z| < \rho\},$$

où $\rho$ est le rayon de convergence de la série. Dans le cas où $z$ est réel, ce disque est en fait un segment !
Comme la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est elle-même continue, il résulte du lemme d'Abel **1.19**, qu'une série entière est continue sur son disque de convergence. C'est là une constatation intéressante, mais qui sera bientôt supplantée par le théorème **1.27** qui assure que la somme d'une série entière est indéfiniment dérivable sur son disque de convergence.

La définition **1.5** du rayon de convergence ne permet pas d'en faire aisément le calcul, nous allons en donner ci-dessous une expression plus concrète. Rappelons que, pour $\alpha_n \in \mathbb{R}^+$,

$$ \limsup_{n \to \infty} \alpha_n = \limsup_{p \to \infty} \alpha_p = \inf_n \sup_{p \ge n} \alpha_p, \qquad (1.6) $$

où la limite existe, puisque la suite $t_n = \sup_{p \ge n} \alpha_p$ est décroissante et minorée.

**PROPOSITION 1.21** Si $\rho$ est le rayon de convergence de la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$, on a

$$ \frac{1}{\rho} = \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}. \qquad (1.7) $$

**DÉMONSTRATION.**

► Si $z$ est tel que $\limsup |a_n|^{1/n} |z| < 1$, alors $\exists N$ et $\ell < 1$ tels que $\sup_{p \ge N} |a_p|^{1/p} |z| < \ell$, d'où $|a_p|^{1/p} |z| < \ell$, $\forall p > N$. D'après la règle de Cauchy (**1.4**), il en résulte que la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| |z|^n$ converge; c'est dire que $\rho \ge 1/\limsup |a_n|^{1/n}$.

► Réciproquement si $\limsup |a_n|^{1/n} |z| > 1$, alors $\exists N$ et $\ell > 1$ tels que $\sup_{p \ge n} |a_p|^{1/p} |z| > \ell \forall n > N$. Il en résulte que $\sup_{p \ge n} |a_p| |z|^p > \ell^p$, ce qui exclut la possibilité pour $|a_n| |z|^n$ de tendre vers 0, et donc pour la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| |z|^n$ de converger.

Q.E.D.

Une première propriété surprenante des séries entières est la suivante :

**PROPOSITION 1.22 (Principe des zéros isolés I)** Si $s(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ n'est pas identiquement nulle et si son rayon de convergence $\rho$ n'est pas nul, il existe $r_0 > 0$ tel que $s(z) \neq 0$ pour $0 < |z| < r_0$. ♡

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

**DÉMONSTRATION.** Notons $k$ le plus petit entier tel que $a_k \neq 0$ et

$$ g(z) = z^{-k} s(z) = \sum_{n \ge k} a_n z^{n-k} = \sum_{n \ge k} (a_n z^{-k}) z^n, $$

dont le rayon de convergence n'est autre que $\rho$ en vertu de la formule (**1.7**). La fonction $g$ est donc continue pour $|z| < \rho$ ; elle ne s'annule pas en 0, et donc pas non plus dans un voisinage de 0.

Q.E.D.

On voit donc que lorsqu'une série entière possède un zéro à l'origine, ce zéro est isolé. Il en résulte en particulier qu'une série entière telle que 0 soit point d'accumulation de ses racines est identiquement nulle, ainsi que l'unicité du développement en série entière.C'est là un résultat tout-à-fait significatif qui met en lumière une propriété très particulière des séries entières. Considérons en effet la fonction $x^k \sin(1/x)$, bien que $k-2$ fois dérivable à l'origine, elle ne peut être développée en série entière au voisinage de l'origine puisque ses racines sont les $x_n = 1/(n\pi)$.

<figure><img src="image_12.png" /></figure>
### 1.2.1 Opérations algébriques sur les séries entières

**PROPOSITION 1.23 (Somme)** Soient $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ et $\sum_{n \in \mathbb{N}} b_n z^n$ deux séries entières de rayons de convergence respectifs $\rho_1$ et $\rho_2$, alors

(i) le rayon de convergence $\rho$ de $\sum_{n \in \mathbb{N}} (a_n + b_n)z^n$ est supérieur ou égal à $\min(\rho_1, \rho_2)$ et pour $|z| < \min(\rho_1, \rho_2)$, on a

$$ \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n + \sum_{n \in \mathbb{N}} b_n z^n = \sum_{n \in \mathbb{N}} (a_n + b_n) z^n. $$

(ii) si $\rho_1 \neq \rho_2$, on a $\rho = \min(\rho_1, \rho_2)$.

**DÉMONSTRATION.**

► Il est clair que si $|z| < \min(\rho_1, \rho_2)$ les séries $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ et $\sum_{n \in \mathbb{N}} b_n z^n$ convergent et que par conséquent $\sum_{n \in \mathbb{N}} (a_n + b_n)z^n$, d'où il résulte que $|z| \geq \min(\rho_1, \rho_2)$.

► Supposons que $\rho_1 < \rho < \rho_2$, alors pour $\rho_1 < |z| < \rho$, $\sum_{n \in \mathbb{N}} b_n z^n$ et $\sum_{n \in \mathbb{N}} (a_n + b_n) z^n$ convergent, d'où il résulte que $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ converge, ce qui constitue une contradiction.

Q.E.D.

**PROPOSITION 1.24 (Produit)** Soient $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ et $\sum_{n \in \mathbb{N}} b_n z^n$ deux séries entières de rayons de convergence respectifs $\rho_1$ et $\rho_2$, et $w_n = \sum_{i+j=n} a_i b_j$, alors le rayon de convergence $\rho$ de $\sum_{n \in \mathbb{N}} w_n z^n$ est supérieur ou égal à $\min(\rho_1, \rho_2)$ et pour $|z| < \min(\rho_1, \rho_2)$, on a

$$ \left(\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n\right) \left(\sum_{n \in \mathbb{N}} b_n z^n\right) = \sum_{n \in \mathbb{N}} w_n z^n. $$

**DÉMONSTRATION.** C'est une conséquence de la proposition 1.14.

Q.E.D.

### 1.2.2 Dérivation

**LEMME 1.25** Les séries entières $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ et $\sum_{n \geq 1} na_n z^{n-1}$ ont même rayon de convergence

**DÉMONSTRATION.** Notons $\rho$ et $\rho'$ les rayons de convergence respectifs de $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ et $\sum_{n \geq 1} na_n z^{n-1}$.

► Pour $n \geq r$, on a tout d'abord $|a_n| r^n \leq n |a_n| r^{n-1}$, ce qui prouve que $\rho \geq \rho'$.

► Réciproquement supposons $\rho > 0$, on pourra trouver $r$ et $\rho_1$ tels que $0 < r < \rho_1 < \rho$, et on aura

$$ n|a_n|r^{n-1} = |a_n|\rho_1^n \frac{n}{\rho_1}\left(\frac{r}{\rho_1}\right)^{n-1}. $$

Comme la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| \rho_1^n$ converge, son terme général est borné, et par conséquent $\exists M$ tel que

$$ n|a_n|r^{n-1} \leq \frac{M}{\rho_1} n \left(\frac{r}{\rho_1}\right)^{n-1}. $$

Mais il s'agit là du terme général d'une série convergente, puisqu'en vertu de la règle de d'Alembert (1.3), la série $\sum_{n \geq 1} n(r/\rho_1)^{n-1}$ converge. Il en résulte que $\rho' \geq \rho$, et finalement le résultat.

Q.E.D.
REMARQUE **1.26** En réitérant l'application du lemme **1.25** on constate que le rayon de convergence de la série $\sum_{n \ge k} \frac{n!}{(n-k)!} a_n z^{n-k}$ est indépendant de $k \ge 0$.

La conséquence suivante, a priori tout-à-fait surprenante, est particulièrement importante et constitue l'une des pierres angulaires de la théorie des fonctions analytiques :

**THÉORÈME 1.27** Si $S(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ possède un rayon de convergence $\rho$ strictement positif, alors

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

(i) $T(z) = \sum_{n \ge 1} na_n z^{n-1}$ possède le même rayon de convergence,

(ii) $S(z)$ est dérivable dans son disque de convergence et

$$ \frac{d}{dz} S(z) = T(z). \qquad (1.8) $$

**DÉMONSTRATION.**

► Choisissons $z$ et $r$ tel que $|z| < r < \rho$, et $h$ tel que $0 < |h| \le r - |z|$.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 1.3 – Somme de la série dérivée</figcaption></figure>

Alors $|z+h| \le |z| + |h| \le r < \rho$ et

$$ \frac{S(z+h) - S(z)}{h} - T(z) = \sum_{n \ge 1} a_n \left( \frac{(z+h)^n - z^n}{h} - nz^{n-1} \right), $$

soit en posant $b = z + h$,

$$ \frac{S(z+h) - S(z)}{h} - T(z) = \sum_{n \ge 1} a_n \left( \frac{b^n - z^n}{b-z} - nz^{n-1} \right). $$

► Fixons maintenant $b$, et considérons la fonction $f(b,z) = b^n - z^n$, nous aurons

$$ f(b,z) = (b-z) \sum_{k=0}^{n-1} z^k b^{n-k-1}, $$

d'où, d'une part

$$ \frac{\partial}{\partial z} f(b,z) = -nz^{n-1}, $$

et d'autre part

$$ \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial z} f(b,z) &= -\sum_{k=0}^{n-1} z^k b^{n-k-1} + (b-z) \sum_{k=1}^{n-1} k z^{k-1} b^{n-k-1} \\ &= -\frac{b^n - z^n}{b-z} + (b-z) \sum_{k=1}^{n-1} k z^{k-1} b^{n-k-1}, \end{aligned} $$

soit par conséquent

$$ \frac{b^n - z^n}{b - z} - nz^{n-1} = (b - z) \sum_{k=1}^{n-1} k z^{k-1} b^{n-k-1}. \qquad (1.9) $$
► Si nous remplaçons maintenant $b$ par $z+h$, il en résulte que

$$ \frac{S(z+h) - S(z)}{h} - T(z) = h \sum_{n \ge 2} a_n \sum_{k=1}^{n-1} k z^{k-1} (z+h)^{n-k-1}. $$

Mais de plus

$$ \left| \sum_{k=1}^{n-1} k z^{k-1} (z+h)^{n-k-1} \right| \le r^{n-2} \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{n(n-1)}{2} r^{n-2} $$

d'où

$$ \left| \frac{S(z+h) - S(z)}{h} - T(z) \right| \le \frac{|h|}{2} \sum_{n \ge 2} n(n-1) |a_n| r^{n-2}, $$

où la série $\sum_{n \ge 2} n(n-1)|a_n|r^{n-2}$ converge, selon la remarque **1.26**. Il en résulte que $S(z)$ est dérivable, avec $S'(z) = T(z)$.

Q.E.D.

De ce résultat découle immédiatement le fait qu'une série entière $S(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ est indéfiniment dérivable terme à terme dans son disque de convergence et que dans ce disque

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

$$ \frac{d^k}{dz^k} S(z) = \sum_{n \ge k} a_n \frac{n!}{(n-k)!} z^{n-k}. \qquad (1.10) $$

### 1.2.3 Primitive

**PROPOSITION 1.28** Si $f(x) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ dans le disque de centre 0 et de rayon $r$, alors la série

$$ F(x) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{a_n}{n+1} z^{n+1} $$

converge dans ce disque et sa somme est une primitive de $f$.

**DÉMONSTRATION.**

Posons $c_n = a_n / (n+1)$, $n \ge 1$, on aura $|c_n| \le |a_n|$, d'où la convergence de la série

$$ G(x) = \sum_{n \in \mathbb{N}} c_n z^n $$

et par conséquent de

$$ \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{a_n}{n+1} z^{n+1} = z \sum_{n \in \mathbb{N}} c_n z^n. $$

Il suffit alors d'appliquer le théorème **1.27** pour conclure.

Q.E.D.

Considérons les séries $G(x) = \sum_{n \in \mathbb{N}} x^{2n}$ et $H(x) = \sum_{n \in \mathbb{N}} (-1)^n x^{2n}$, $x \in \mathbb{R}$. D'après (1.2) on aura $G(x) = (1-x^2)^{-1}$ et $H(x) = (1+x^2)^{-1}$, les rayons de convergence étant tous deux égaux à 1. Que le rayon de convergence de $G$ soit égal à 1 n'est pas surprenant, en tout état de cause il ne peut être supérieur, la fonction $G$ étant singulière en $x = \pm 1$. Dans le cas de $H$, par contre une telle obstruction n'existe pas et il est troublant de constater que le rayon de convergence n'est pas plus élevé. C'est là qu'apparaît la supériorité des fonctions d'une variable complexe par rapport à celles d'une variable réelle; dans le cas de $H$ en effet, il est loisible de remplacer $x \in \mathbb{R}$ par $z \in \mathbb{C}$, et on constate aisément que la fonction $H$ possède bien une singularité sur le bord du disque de rayon 1, soit en fait en $z = \pm i$.
<figure><img src="image_16.png" /></figure>

Il ne faudrait cependant pas en déduire qu'il existe nécessairement un point du bord du disque de convergence où la somme d'une série entière n'est pas bornée. Considérons en effet $J(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} e^{-\sqrt{n}z^n}$, on aura $(e^{-\sqrt{n}})^{1/n} = e^{-1/\sqrt{n}}$, d'où il résulte que $\rho(J) = 1$, et que la série représentant $J$ converge normalement sur le disque de rayon 1. En particulier $J$ est bornée sur son disque de convergence; il en est d'ailleurs de même de toutes ses dérivées ainsi qu'on le démontre aisément.

Nous aurons l'occasion de démontrer ultérieurement que si une fonction de variable complexe est dérivable dans un ouvert $\Omega$, alors elle possède un développement en série entière dans tout disque contenu dans $\Omega$. Rien de tel n'est vrai pour les fonctions de variable réelle.

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

### 1.2.4 Développements en série entière

**PROPOSITION 1.29**

$$S(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n \implies a_n = \frac{1}{n!} S^{(n)}(0). \qquad (1.11)$$

**DÉMONSTRATION.** On aura en effet

$$S^{(k)}(z) = \sum_{n \ge k} a_n \frac{n!}{(n-k)!} z^{n-k},$$

d'où le résultat.

Q.E.D.

Il est alors clair que si une fonction admet une représentation sous forme de série entière dans un disque, ses coefficients sont entièrement déterminés et que la série est par conséquent unique. On peut se poser la question inverse : une fonction $f(z)$, indéfiniment dérivable au voisinage de 0, est-elle égale à sa série de Taylor au voisinage de 0 ? Nous verrons ultérieurement que la réponse est oui dans le cas où $z$ est complexe, mais des conditions supplémentaires sont nécessaires dans le cas d'une variable réelle. Si ces conditions ne sont pas vérifiées, le rayon de convergence de la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{n!} f^{(n)}(0)$ peut être nul, et sinon sa somme peut être différente de $f(x)$ dans tout voisinage de 0, il suffit pour s'en convaincre de considérer la fonction définie par

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

$$\begin{aligned} f(x) &= e^{-1/x^2} \quad \text{pour } x > 0 \\ f(x) &= 0 \quad \text{pour } x \le 0, \end{aligned}$$

pour laquelle on a $f^{(n)}(0) = 0$, et qui ne peut laisser indifférents les adeptes de la théorie des distributions. Cette simple constation n'est pas si ancienne, et on a longtemps imaginé qu'un tel phénomène ne pouvait pas se produire ; c'est de cette prise de conscience qu'est née la théorie des fonctions analytiques.

**PROPOSITION 1.30** Soit $f$, indéfiniment dérivable dans un voisinage de 0, et qui vérifie la propriété suivante : $\exists r, M, t > 0 \text{ tels que } \forall n \ge 0$

$$\frac{1}{n!} \sup_{|x| \le r} |f^{(n)}(z)| \le M t^n, \qquad (1.12)$$

alors $f$ est développable en série entière selon sa série de Taylor :

$$f(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{z^n}{n!} f^{(n)}(0), \text{ pour } |z| < \min \left( r, \frac{1}{t} \right).$$
DÉMONSTRATION. Nous nous conterons de démontrer ce résultat dans le cas de la variable réelle, en effet dans
le cas de la variable complexe, la condition (1.12) est automatiquement vérifiée par les fonctions différentiables.
Considérons le développement de Taylor de $f$ au voisinage de 0, on aura

$$
f(x) = f(0) + \sum_{n \le N} \frac{x^n}{n!} f^{(n)}(0) + \frac{x^N}{N!} f^{(N)}(\theta x), \text{ où } \theta \in ]0, 1[.
$$

Avec $\alpha < \min(r, 1/t)$,

$$
\sup_{|x| \le \alpha} \left| \frac{x^N}{N!} f^{(N)}(\theta x) \right| \le \alpha^N M t^N = M (\alpha t)^N,
$$

d'où $\lim_{N \to \infty} \left| \frac{x^N}{N!} f^{(N)}(\theta x) \right| = 0$, pour $|x| \le \alpha$.

Q.E.D.

1.2.5 Substitution

La définition des fonctions analytiques repose sur le résultat de substitution suivant, qui semble assez
naturel, mais dont la démonstration n’est pas tout-à-fait immédiate :

PROPOSITION 1.31 Soit $s(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $\rho$, $|z_0| < \rho$ et $t(h) = z_0 + h$, alors

$$
s(t(h)) = \sum_{q \in \mathbb{N}} c_q h^q,
$$

où $c_q$ est la somme de la série absolument convergente suivante :

$$
c_q = \sum_{m \in \mathbb{N}} \binom{q+m}{m} a_{q+m} z_0^m, \quad q \ge 0
$$

et le rayon de convergence de la série $\sum_{q \in \mathbb{N}} c_q h^q$ est supérieur ou égal à $\rho - |z_0|$.

Dans la formule précédente on a noté

$$
\binom{m}{0} = 1 \quad \forall m \ge 0 \quad \text{soit} \quad c_0 = \sum_{m \in \mathbb{N}} a_m z_0^m.
$$

DÉMONSTRATION.

► Soit donc $|h| < \rho - |z_0|$, par hypothèse la série $\sum_{m \in \mathbb{N}} |a_m|(|z_0| + |h|)^m$ converge, d'où $\forall \varepsilon > 0, \exists N$ tel que
$\sum_{m \ge N+1} |a_m|(|z_0| + |h|)^m \le \varepsilon$. Mais par ailleurs

$$
\sum_{m \in \mathbb{N}} a_m (z_0 + h)^m = a_0 + \sum_{m \in \mathbb{N}^*} a_m \sum_{q=0}^{m} \binom{m}{q} h^{q} z_0^{m-q} = a_0 + \sum_{m \in \mathbb{N}^*} a_m \left( z_0^m + \sum_{q=1}^{m} \binom{m}{q} h^{q} z_0^{m-q} \right),
$$

où la série $\sum_{m \in \mathbb{N}} a_m z_0^m$ converge puisque $|z_0| < \rho$, il en est donc de même de

$$
\sum_{m \ge 1} a_m \sum_{q=1}^{m} \binom{m}{q} h^{q} z_0^{m-q} = \sum_{m \in \mathbb{N}} a_m (z_0 + h)^m - \sum_{m \in \mathbb{N}} a_m z_0^m,
$$

et par conséquent

$$
\sum_{m \in \mathbb{N}} a_m (z_0 + h)^m = \sum_{m \in \mathbb{N}} a_m z_0^m + \sum_{m \ge 1} a_m \sum_{q=1}^{m} \binom{m}{q} h^{q} z_0^{m-q}.
$$
► On peut poursuivre le processus, car la série $\sum_{m \ge 1} \binom{m}{1} a_m z_0^{m-1}$ converge également en vertu du lemme 1.25, d'où

$$ \sum_{m \in \mathbb{N}} a_m (z_0 + h)^m = \sum_{m \in \mathbb{N}} a_m z_0^m + \sum_{m \ge 1} \binom{m}{1} a_m h z_0^{m-1} + \sum_{m \ge 2} a_m \sum_{q=2}^{m} \binom{m}{q} h^q z_0^{m-q}, $$

et par récurrence, $\forall N$

$$ \sum_{m \in \mathbb{N}} a_m (z_0 + h)^m = \sum_{m \ge 0} a_m z_0^m + \sum_{q=1}^{N} h^q \sum_{m \ge q} \binom{m}{q} a_m z_0^{m-q} + \sum_{m \ge N+1} a_m \sum_{q=N+1}^{m} \binom{m}{q} h^q z_0^{m-q}. $$

On aura alors

$$ \begin{aligned} \left| \sum_{m \in \mathbb{N}} a_m (z_0 + h)^m - \sum_{q=0}^{N} h^q \sum_{m \ge q} \binom{m}{q} a_m z_0^{m-q} \right| &\le \sum_{m \ge N+1} |a_m| \sum_{q=N+1}^{m} \binom{m}{q} |h|^q |z_0|^{m-q} \\ &\le \sum_{m \ge N+1} |a_m| (|z_0| + |h|)^m \le \varepsilon, \end{aligned} $$

d'où il résulte que

$$ \sum_{m \in \mathbb{N}} a_m (z_0 + h)^m = \sum_{q \in \mathbb{N}} h^q \sum_{m \ge q} \binom{m}{q} a_m z_0^{m-q}. $$

Q.E.D.

On trouvera dans l'appendice B une démonstration de la proposition plus générale suivante :

**PROPOSITION 1.32** Soit $s(z) = \sum_{m \in \mathbb{N}} a_m z^m$ une série entière de rayon de convergence $\rho(s)$ et $t(h) = \sum_{n \in \mathbb{N}} b_n h^n$ une série entière de rayon de convergence $\rho(t)$. On pose $T(h) = \sum_{n \in \mathbb{N}} |b_n| h^n$ et on suppose qu'il existe $r$ tel que $0 < r < \rho(t)$ et $T(|h|) < \rho(s)$, $\forall |h| < r$ ; alors pour $|h| < r$ on a $|t(h)| < \rho(s)$, et

$$ s(t(h)) = a_0 + \sum_{p \in \mathbb{N}} c_p h^p, $$

où $c_p$ est la somme de la série absolument convergente

$$ c_p = \sum_{m \in \mathbb{N}^*} a_m \sum_{n_1 + \cdots + n_m = p} b_{n_1} \cdots b_{n_m}. $$

La proposition 1.31 en découle en fait : avec $z_0 = b_0$, $b_1 = 1$ et $b_n = 0$, $n \ge 2$. On obtient $c_q$ sous la forme

$$ \begin{aligned} c_q &= \sum_{m \in \mathbb{N}^*} a_m \sum_{n_1 + \cdots + n_m = p} b_{n_1} \cdots b_{n_m} \\ &= a_q + a_{q+1} b_0 \binom{q+1}{1} + \cdots + a_{q+l} (b_0)^l \binom{q+l}{l} + \cdots \\ &= \sum_{m \ge q} \binom{m}{q} a_m (b_0)^{m-q}, \quad q \ge 1 \end{aligned} $$

et

$$ \begin{aligned} c_0 &= a_0 + a_1 b_0 + \cdots + a_l (b_0)^l + \cdots \\ &= a_0 + \sum_{m \ge 1} \binom{m}{0} a_m (b_0)^{m-q} \end{aligned} $$
**PROPOSITION 1.33 (Inverse)** Si le rayon de convergence de $S(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ est strictement positif et si $a_0 \neq 0$, il existe une et une seule série entière $T$ de rayon de convergence strictement positif telle que $S(z)T(z) = 1, \forall |z| < \min(\rho(S), \rho(T))$.

**DÉMONSTRATION.** Pour $|z| < \rho(S)$, posons $R(z) = a_0 - S(z)$, on a $S(z) = a_0(1 - R(z)/a_0)$ et comme $R(z) \to 0$ quand $z \to 0$, pour $|z|$ assez petit

$$(S(z))^{-1} = \frac{1}{a_0} \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( \frac{R(z)}{a_0} \right)^n .$$

Comme $R(z) = \sum_{n \ge 1} a_n z^n$, et que la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} z^n$ a pour rayon de convergence 1, il découle de la proposition **1.32** que $\sum_{n \in \mathbb{N}} (R(z)/a_0)^n$ constitue une série entière de la variable $z$, de rayon de convergence strictement positif.

Q.E.D.
# Chapitre 2

## Fonctions analytiques

Ainsi que dans le chapitre précédent les résultats qui suivent sont valables, sauf mention contraire, aussi bien pour les fonctions de variable réelle que complexe. Le dernier paragraphe, dans lequel sont définis l'exponentielle et le logarithme mérite une attention particulière car celles-ci revêtent une importance toute particulière tout au long du développement de la théorie.

**DÉFINITION 2.1** On dit que la fonction $f(z)$ définie dans un voisinage de $z_0$ est

(i) développable en série entière au voisinage de $z_0$ si il existe une série entière

$$s(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} c_n z^n$$

de rayon de convergence strictement positif $\rho$, telle que

$$f(z_0 + h) = \sum_{q \in \mathbb{N}} c_q h^q, \quad \forall |h| < \rho. \qquad (2.1)$$

(ii) analytique dans l'ouvert $\Omega$, si elle est développable en série entière au voisinage de tout point de $\Omega$.

Il est donc clair qu'une fonction analytique dans $\Omega$ y est indéfiniment dérivable, et que ses dérivées successives sont analytiques. Une fonction analytique dans $\mathbb{C}$ tout entier est dite fonction entière.

Notons que si deux fonctions $f_1$ et $f_2$ sont respectivement analytiques sur les ouverts $\Omega_1$ et $\Omega_2$ et coïncident sur leur intersection, alors la fonction $f$ égale à $f_1$ sur $\Omega_1$ et à $f_2$ sur $\Omega_2$ est analytique sur $\Omega = \Omega_1 \cup \Omega_2$; elle est en effet développable en série entière au voisinage de tout point de $\Omega$.

Il ne faut pas se méprendre sur le statut du théorème suivant : ce n'est pas une évidence, et sa démonstration repose sur un théorème non trivial de substitution dans les séries entières.

**THÉORÈME 2.2** Une fonction définie par une série entière est analytique dans son disque de convergence.

**DÉMONSTRATION.** Soit $f(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ de rayon de convergence $\rho$, et $z_0$ tel que $|z_0| < \rho$. Choisissons $r$ tel que $0 < r < \rho - |z_0|$. Pour $|h| \le r$, on a $|z_0| + |h| < \rho$, d'où il résulte que

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

$$\sum_{m \in \mathbb{N}} a_m (z_0 + h)^m = \sum_{q=0}^{\infty} h^q \sum_{m=q}^{\infty} \binom{m}{q} a_m z_0^{m-q} = \sum_{q=0}^{\infty} c_q h^q,$$

en vertu de la proposition 1.31.

Q.É.D.
**THÉORÈME 2.3** Pour qu'une fonction $f(z)$, indéfiniment dérivable dans l'ouvert $\Omega$, y soit analytique, il faut et il suffit qu'en tout point $x_0 \in \Omega$, il existe $r_0$, $M_0$, $t_0 > 0$ tels que

$$ \sup_{|x-x_0|<r_0} |f^{(n)}(x)| \le M_0 n! t_0^n. \quad (2.2) $$

**DÉMONSTRATION.** Nous nous limiterons à démontrer ce théorème dans le cas de la variable réelle, en effet ainsi que nous le verrons par la suite, la condition (2.2) est automatiquement vérifiée par les fonctions dérivables de la variable complexe, qui sont donc analytiques

* On sait déjà que la condition est suffisante, en vertu de la proposition **1.30**.

* Montrons qu'elle est nécessaire. De même qu'au théorème **2.2** ci-dessus, si $f(x) = \sum_{m \in \mathbb{N}} a_m x^m$, $|x_0| < \rho$, $0 < r < \rho - |x_0|$ et $|h| \le r$, alors

$$ \sum_{m \in \mathbb{N}} |a_m| (|x_0| + |h|)^m = \sum_{q=0}^{\infty} |h|^q \sum_{m=q}^{\infty} \binom{m}{q} |a_m| |x_0|^{m-q} \ge \sum_{q=0}^{\infty} |c_q| |h|^q. $$

Il en résulte d'après la proposition **1.29**, que

$$ \left| \frac{1}{q!} f^{(q)}(x_0) \right| = |c_q| = \sum_{m=q}^{\infty} \binom{m}{q} |a_m| |x_0|^{m-q} \le \frac{M}{r^q}, \text{ avec } M = \sum_{m \in \mathbb{N}} |a_m| (|x_0| + r)^m, $$

Posons alors $r_0 = r/2$, pour $|x - x_0| < r_0$, on aura $r_0 < \rho - |x|$ car

$$ \rho - |x| > r + |x_0| - |x| \text{ et } ||x_0| - |x|| < |x - x_0| < r_0 $$

d'où

$$ \rho - |x| > r - r_0 = r_0. $$

Il en résulte que

$$ \left| \frac{1}{q!} f^{(q)}(x) \right| \le \frac{M'}{r_0^q}, \text{ avec } M' = \sum_{m \in \mathbb{N}} |a_m| (|x| + r_0)^m, $$

soit en fait, comme $|x| + r_0 \le |x_0| + r$,

$$ \left| \frac{1}{q!} f^{(q)}(x) \right| \le \frac{M}{r_0^q}, \quad \forall x \text{ tel que } |x - x_0| < r_0. \quad (2.3) $$

Q.E.D.

Dans le cas de la variable réelle, la condition (2.2) peut être adoucie sous la forme suivante :

$$ \sup_{|x| \le r} |f^{(n)}(x)| \le M_0 (n!)^\theta t_0^n, \quad \theta > 1, $$

on définit ainsi la classe de Gevrey d'ordre $\theta$, ce qui fournit une échelle d'espaces intermédiaires entre les fonctions analytiques et les fonctions indéfiniment dérivables.

## 2.1 Principe des zéros isolés

**THÉORÈME 2.4** Soit $f$ analytique dans l'ouvert connexe $\Omega$ (voir la définition **D.1**), si $z_0 \in \Omega$, les conditions suivantes sont équivalentes

(i) $f^{(n)}(z_0) = 0, \forall n \ge 0$

(ii) $f$ est identiquement nulle dans un voisinage de $z_0$
(iii) f est identiquement nulle dans $\Omega$.

DÉMONSTRATION. Il est clair tout d'abord que (iii) $\implies$ (i)

► Si (i) est vérifié, selon la proposition **1.29**, pour $|h|$ suffisamment petit, on aura

$$f(z_0 + h) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{h^n}{n!} f^{(n)}(z_0) = 0,$$

soit (ii)

► Supposons maintenant (ii) vérifié et notons $D$ l'ensemble des points de $\Omega$ au voisinage desquels $f$ s'annule. Il n'est pas vide en vertu de (ii), il est ouvert car si $z \in D$, $f$ s'annule sur un voisinage ouvert $U$ de $z$, et comme $U$ est voisinage de chacun de ses points, $U \subset D$. Mais de plus $D$ est fermé pour la topologie induite sur $\Omega$, car si $z \in \bar{D}$, il existe une suite $z_n$ d'éléments de $D$ qui converge vers $z$, cela implique que tout voisinage de $z$ contient un zéro de $f$ ; et par conséquent que $z \in D$ en vertu du principe des zéros isolés **1.22**. Il en résulte que $D = \Omega$, puisque $\Omega$ est connexe.

Q.E.D.

**COROLLAIRE 2.5** Si deux fonctions analytiques dans l'ouvert connexe $\Omega$ coïncident au voisinage d'un point de $\Omega$, alors elles sont identiques dans $\Omega$.

**COROLLAIRE 2.6 (Principe du prolongement analytique)** Soient $\Omega_1$ et $\Omega_2$ deux ouverts d'intersection non vide et d'union $\Omega$ connexe, et $f_1$ analytique dans $\Omega_1$. Si $f_2$ et $f'_2$ sont analytiques dans $\Omega_2$ et coïncident avec $f_1$ sur $\Omega_1 \cap \Omega_2$, alors $f_2 = f'_2$ dans $\Omega_2$.

DÉMONSTRATION. Les fonctions $g$ et $g'$ égales à $f_1$ dans $\Omega_1$ et respectivement à $f_2$ et $f'_2$ dans $\Omega_2$ sont analytiques dans $\Omega$, elles coïncident sur $\Omega_1$ et et donc sur $\Omega$ tout entier d'après le Corollaire **2.5**.

Q.E.D.

On dit que $f_2$ est le prolongement analytique de $f_1$ à $\Omega_2$. Il faut bien noter que le corollaire n'assure pas l'existence du prolongement analytique, il se contente d'affirmer que s'il existe, il est unique.

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

Nous avons déjà remarqué qu'une série entière peut fort bien être bornée ainsi que ses dérivées sur son disque de convergence.

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Au bord du disque</figcaption></figure>

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>En dehors du disque</figcaption></figure>
En fait on peut même la choisir de telle sorte qu'elle ne puisse être prolongée analytiquement à aucun
ouvert contenant son disque de convergence, ainsi qu'un théorème de Hadamard permet de le montrer
pour la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} e^{-\sqrt{2n}z^2n}$, dont le rayon de convergence est égal à $\lim_{n \to \infty} (e^{-\sqrt{2n}})^{1/2n} = 1$. La Figure
qui précède met en évidence la convergence de la série sur le cercle de rayon 1, et sa divergence sur un
cercle de rayon légèrement supérieur.

**THÉORÈME 2.7** Si $f$ et $g$ sont analytiques dans l'ouvert connexe $\Omega$ et coïncident en une suite de points distincts possédant un point d'accumulation $a \in \Omega$, alors elles coïncident dans $\Omega$ tout entier.

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

**DÉMONSTRATION.** La fonction $f-g$ est développable en série entière au voisinage de $a$ ; en vertu du principe des zéros isolés **1.22** elle est donc nulle dans un voisinage de $a$, et en vertu du corollaire **2.5** dans $\Omega$ tout entier.

Q.E.D.

**PROPOSITION 2.8 (Principe des zéros isolés II)** Soit $f$ analytique et non identiquement nulle dans l'ou-
vert connexe $\Omega$, et $Z(f)$ l'ensemble de ses racines, alors

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

(i) $\forall a \in Z(f)$ il existe un unique entier $m$ appelé ordre du zéro de $f$ au point $a$, tel que

$$
f(z) = (z - a)^m g(z),
$$

où $g$ est analytique et $g(a) \neq 0$.

(ii) $Z(f)$ est au plus dénombrable et n'a pas de point d'accumulation dans $\Omega$.

DÉMONSTRATION.

► Si $a \in Z(f)$, $f$ est développable en série entière au voisinage de $a$, soit

$$
f(z) = \sum_{n \ge 1} c_n (z-a)^n
$$

dans le disque $B_r(a)$. En vertu du théorème 2.7, les $c_n$ ne sont pas tous nuls. On notera $m$ le plus petit indice ($\ge 1$) tel que $c_m \neq 0$, et on aura $f(z) = (z-a)^m g(z)$ où la série entière $g(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} c_{n+m} (z-a)^n$ est convergente dans $B_r(a)$. Notons que $g(0) = c_m \neq 0$, et que cette factorisation est unique, car si

$$
(z - a)^n h(z) = f(z) = (z - a)^m g(z),
$$

avec par exemple $m > n$, on aura $h(z) = (z-a)^{m-n} g(z)$, d'où $h(a) = 0$.

► En vertu du principe des zéros isolés **1.22**, $Z(f)$ ne peut avoir de point d'accumulation dans $\Omega$, il ne possède donc qu'un nombre fini de points dans chaque compact ; c'est donc un ensemble au plus dénombrable, puisque dans un espace métrique localement compact séparable, un ouvert est union dénombrable de compacts.

Q.E.D.

L'hypothèse de connexité est essentielle, car une fonction analytique peut être identiquement nulle dans une composante connexe de $\Omega$ sans être nulle dans $\Omega$ ; dans cette composante connexe particulière les zéros sont d'ordre infini et ne sont pas isolés.

**2.2 Exemples de fonctions analytiques dans $\mathbb{C}$**

La fonction $1/z$ est analytique dans $C \setminus \{0\}$, en effet, si $z_0 \neq 0$, on a

$$
\frac{1}{z_0 + h} = \frac{1}{z_0} \frac{1}{1 + h/z_0} = \frac{1}{z_0} \sum_{n \in \mathbb{N}} (-1)^n \left(\frac{h}{z_0}\right)^n, \quad (2.4)
$$

série dont le rayon de convergence n'est autre que $|z_0|$.
### 2.2.1 La fonction exponentielle

Par définition, on pose

$$e^z = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{z^n}{n!}, \qquad (2.5)$$

série dont le rayon de convergence est infini (règle de d'Alembert) ; la fonction exponentielle est donc une fonction entière.

**PROPOSITION 2.9** La fonction exponentielle est un caractère, c'est-à-dire un homomorphisme complexe :

$$e^{z_1} e^{z_2} = e^{z_1+z_2}. \qquad (2.6)$$

**DÉMONSTRATION.** Selon la proposition **1.14**

$$e^{z_1} e^{z_2} = \left(\sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{z_1^n}{n!}\right) \left(\sum_{m \in \mathbb{N}} \frac{z_2^m}{m!}\right) = \sum_{p \in \mathbb{N}} \sum_{k \le p} \frac{z_1^k}{k!} \frac{z_2^{p-k}}{(p-k)!} = \sum_{p \in \mathbb{N}} \frac{1}{p!} (z_1 + z_2)^p = e^{z_1+z_2}.$$

Q.E.D.

Il en résulte en particulier que $1/e^z = e^{-z}$. Notons que selon le théorème **1.27** on aura

$$\frac{d}{dz} e^z = \sum_{n \ge 1} \frac{z^{n-1}}{(n-1)!} = \sum_{m \in \mathbb{N}} \frac{z^m}{m!} = e^z. \qquad (2.7)$$

### 2.2.2 Trigonométrie

On pose également

$$\cos z = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} \text{ et } \sin z = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1}. \qquad (2.8)$$

On vérifie que

$$\frac{d}{dz} \cos z = \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} z^{2n-1} = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{(-1)^{m-1}}{(2m+1)!} z^{2m+1} = -\sin z \qquad (2.9)$$

$$\frac{d}{dz} \sin z = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} = \cos z,$$

ainsi que la formule de Moivre

$$e^{iz} = \sum_{n \in \mathbb{N}} i^n \frac{z^n}{n!} = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} + i \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1} = \cos z + i \sin z, \qquad (2.10)$$

et

$$\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \text{ et } \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \text{ d'où } \cos(-z) = \cos z \text{ et } \sin(-z) = -\sin z.$$

Notons également que

$$\cos^2 z + \sin^2 z = \left(\frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2}\right)^2 = e^{iz} e^{-iz} = e^0 = 1, \qquad (2.11)$$

et que si $\theta \in \mathbb{R}$, $\cos \theta$ et $\sin \theta$ sont réels, d'où

$$|e^{i\theta}| = \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = 1. \qquad (2.12)$$

Nous renvoyons à l'annexe A pour la démonstration des formules de trigonométrie classiques, dont la validité s'étend donc au cas d'arguments complexes.
### 2.2.3 Une définition de l'argument

Complétons ces rappels par l'étude des variations des fonctions sin y et cos y, où $y \in \mathbb{R}$.

Comme $\cos 0 = 1$, par continuité, $\exists y_0 \in \mathbb{R}$ tel que $\cos y > 0$, pour $y \in [0, y_0]$, et par conséquent, en vertu de (2.9), sin y est strictement croissant dans cet intervalle. Comme de plus $\sin 0 = 0$, on aura également $\sin y > 0$, pour $y \in ]0, y_0]$.

Soit alors $y_1 > y_0$, si on suppose que $\cos y > 0$, pour $y \in [y_0, y_1]$, alors $\sin y > a = \sin y_0$ pour $y \in [y_0, y_1]$, et comme

$$ \cos y_1 - \cos y_0 = - \int_{y_0}^{y_1} \sin y dy, $$

on aura $\cos y_1 - \cos y_0 < -a(y_1 - y_0)$, d'où $\cos y_0 > a(y_1 - y_0)$, et par conséquent

$$ y_1 < \frac{\cos y_0}{a} + y_0, $$

puisque $\cos y_1 > 0$. Il en résulte que $\cos y$ s'annule en un point au moins de l'intervalle $[y_0, y_0 + (\cos y_0)/a]$.

**DÉFINITION 2.10 (de π)** On note $\pi = 2 \times \inf\{y > 0 | \cos y = 0\}$

On aura donc

$$ \cos \frac{\pi}{2} = 0 \text{ d'où } \sin \frac{\pi}{2} = 1, $$

puisque $\cos^2 y + \sin^2 y = 1$ et que $\sin y$ est positif sur $[0, \pi/2]$. On peut résumer ce qui précède en disant que $\cos y$ est strictement décroissant et $\sin y$ strictement croissant sur $[0, \pi/2]$, d'où la proposition suivante, où $\mathbb{T}$ note le cercle de rayon 1 dans le plan complexe et $\mathbb{T}^+$ son intersection avec le quart de plan $x \ge 0$, $y \ge 0$ :

**PROPOSITION 2.11** *L'application $y \in [0, \pi/2] \to e^{iy} = \cos y + i \sin y \in \mathbb{T}^+$, est une bijection et même un homéomorphisme car elle est continue sur un intervalle compact.*

Comme

$$ \sin(\pi/2 + y) = \cos y \text{ et } \cos(\pi/2 + y) = -\sin y; $$

il en est de même sur les intervalles $[\pi/2, \pi]$, $[\pi, 3\pi/2]$, et $[3\pi/2, 2\pi]$. On montre alors aisément que l'application $y \in \mathbb{R} \to e^{iy} = \cos y + i \sin y$ est une bijection $[0, 2\pi] \to \mathbb{T}$, et qu'elle se prolonge à $\mathbb{R}$ en une fonction continue et de période $2\pi$ ; c'est donc également une bijection $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \to \mathbb{T}$. Il en résulte que $e^z$ est périodique de période $2i\pi$.

**DÉFINITION 2.12** *On appelle argument, et on note $\arg(z)$ : $\mathbb{T} \to \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ l'application réciproque de $y \to e^{iy}$. On étend cette définition à un complexe quelconque non nul en posant $\arg z = \arg(z/|z|)$.*

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

Comme $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ est compact pour la topologie induite et $y \to e^{iy}$ continue $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \to \mathbb{T}$, l'argument est une application continue. Par contre, comme $[0, 2\pi]$ n'est pas compact, on ne peut pas démontrer la continuité de la fonction réciproque de $y \to e^{iy}$ : $[0, 2\pi] \to \mathbb{T}$, et pour cause ! On écrira

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

$$ z = |z| \frac{z}{|z|} = |z| e^{i \arg(z/|z|)} = |z| e^{i \arg z}. \qquad (2.13) $$

Notons bien que l'argument ainsi défini, considéré en tant que fonction $C \to \mathbb{R}$ est une fonction multiforme : l'argument d'un nombre complexe est défini dans $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$, c'est-à-dire à un multiple près de $2\pi$ dans $\mathbb{R}$. Bien qu'aucune de ces diverses déterminations de l'argument n'ait prééminence sur les autres, on distingue souvent parmi celles-ci une détermination dite *principale*, celle qui vaut 0 en $z = 1$, on la note $\arg z$.
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE 2.1 – L’argument</figcaption></figure>

### Le Logarithme

On cherche $z = x + iy$ solution de l'équation

$$e^z = w, \qquad (2.14)$$

soit encore, d'après (2.6) et (2.13) $e^x e^{iy} = |w| e^{i \arg w}$, ce qui équivaut d'une part à

$$e^x = |w|, \text{ soit } x = \operatorname{Log}|w|,$$

et d'autre part

$$e^{iy} = e^{i \arg w}, \text{ soit d'après la proposition 2.11, } y = \arg w,$$

puisque $|e^{iy}| = 1$ d'après (A.3). Il en résulte que les solutions de (2.14) sont données par

$$z = x + iy = \operatorname{Log}|w| + i \arg w. \qquad (2.15)$$

Il existe donc plusieurs solutions à l'équation (2.14), elles diffèrent les unes des autres d'un multiple entier de $2i\pi$.

Il est clair d'après (2.15) que $e^z \neq 0, \forall z$, et la question est donc maintenant de savoir si, étant donné un ouvert $\Omega$, que nous supposerons *connexes*, il est possible de définir une fonction *f* *continue* $\Omega \subset \mathbb{C} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{C}$ telle que

$$e^{f(w)} = w.$$

Une telle fonction s'appellera une détermination continue du logarithme dans l'ouvert $\Omega$. Supposons tout d'abord qu'il en existe une, et préoccupons nous de la comparer à d'éventuelles autres, soit $g(w)$ l'une d'entre elle. On aura

$$e^{f(w)-g(w)} = 1,$$

et par conséquent $f(w) - g(w) = i \arg 0$, c'est dire que $h(w) = (f(w) - g(w))/2i\pi$ est une fonction continue ne prenant que des valeurs entières. Pour $k \in \mathbb{Z}$, il est facile de démontrer que $\{w \in \Omega | h(w) = k\}$
est à la fois ouvert et fermé, et donc par connexité que $h$ est constante, soit que nécessairement, $\exists k \in \mathbb{Z}$ tel que

$$f(w) - g(w) = 2ik\pi.$$

Notons qu'une telle détermination n'existe pas dans $C \setminus \{0\}$. Supposons en effet que $u$ en soit une, selon (2.15), on aura

$$u(w) = \log|w| + i \arg w,$$

et si $\theta$ est la fonction réciproque de $y \to e^{iy}$ : $[0, 2\pi[ \to T$, continue sur le domaine connexe $T \setminus \{1\}$, le raisonnement ci-dessus nous prouve que $u(w) - \theta(w)$ est constant, or nous avons montré que $\theta$ n'est pas continue, ce qui constitue une contradiction.

La fonction $f(w)$ est appelée *logarithme complexe*, et nous verrons ultérieurement que le logarithme (et donc l'argument) admet des déterminations continues dans tout ouvert *simplement connexe* (voir la définition **5.20**) ne contenant pas l'origine. Ces déterminations différent de $2ik\pi$, et l'une d'entre elles a pour valeur 0 en $w = 1$, c'est celle correspondant à la détermination de l'argument s'annulant en ce point. Nous l'appellerons *détermination principale du logarithme*, et nous noterons cette détermination

$$\log w = \log|w| + i \arg w. \qquad (2.16)$$

Nous aurons

$$e^{\log z} = z, \text{ et } \log e^z = z. \qquad (2.17)$$

Notons que de la relation $z = e^{\log z}$ découle par dérivation,

$$1 = e^{\log z} \frac{d}{dz} \log z = z \frac{d}{dz} \log z,$$

soit

$$\frac{d}{dz} \log z = \frac{1}{z}. \qquad (2.18)$$

Il en résulte d'après la proposition **1.29** que, nécessairement

$$\begin{align}
\log(z_0 + z) &= \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{n!} z^n \frac{d^n}{dz^n} \log z_0 = \log z_0 + \frac{z}{z_0} + \sum_{n \ge 2} (-1)^{n-1} z^n \frac{(n-1)!}{n!} \left(\frac{1}{z_0}\right)^n \tag{2.19} \\
&= \log z_0 + \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \left(\frac{z}{z_0}\right)^n. \nonumber
\end{align}$$

Le rayon de convergence de cette série étant égal à $|z_0|$. On aura en particulier, pour la détermination principale du logarithme

$$\log(1+z) = \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^n - 1}{n} z^n. \qquad (2.20)$$

La question consistant à déterminer le plus grand domaine du plan complexe où la série ci-dessus possède un prolongement analytique est une question délicate dont la résolution nécessite des outils plus élaborés et qui restera à l'arrière plan de nos préoccupations tout au long du cours.
# Chapitre 3

## Séries de Fourier

Contrairement aux séries entières dont les coefficients ne dépendent que du comportement local de la fonction considérée au voisinage du centre du disque de convergence, le calcul des coefficients de la série de Fourier d'une fonction périodique utilise l'ensemble des valeurs de la fonction.

Il s'agit d'étudier la convergence de séries de la forme

$$ \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k e_k, \text{ où } e_k(\theta) = e^{ik\theta}, \qquad (3.1) $$

dites séries trigonométriques et de déterminer dans quel cas une fonction donnée sur le segment $(-\pi, \pi)$, $2\pi$-périodique, ou si l'on préfère donnée sur le cercle unité $\mathbb{T}$, est la somme d'une telle série. Deux questions se posent essentiellement : pour une topologie donnée, connaissant une fonction $u$ déterminer les $a_k$ tels que la série (3.1) converge vers $u$ d'une part, et d'autre part, déterminer s'il existe une limite, et laquelle, pour (3.1) lorsque les $a_k$ ont connus.

L'une des difficultés provient du fait qu'en fonction des données différents points de vue peuvent être développés, relatifs au mode de convergence ou au fait que l'on cherche le développement d'une fonction périodique donnée ou bien que l'on dispose d'une suite de coefficients et que l'on cherche si et vers quelle fonction la série trigonométrique qui en découle converge.

### 3.1 Convergence en moyenne quadratique

On définira le produit scalaire dans $L^2(-\pi, \pi)$ de la façon suivante :

$$ (u|v)_{L^2(-\pi, \pi)} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} u(\theta) \bar{v}(\theta) d\theta $$

Notons tout d'abord que

$$ (e_n|e_m)_{L^2(-\pi, \pi)} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{i(n-m)\theta} d\theta = \delta_{mn}, \qquad (3.2) $$

c'est-à-dire que les caractères $e_n$ forment un système orthonormé dans $L^2(-\pi, \pi)$.

**PROPOSITION 3.1** Le sous-espace E engendré par les $e_m$ est dense dans $\mathscr{C}_{\#}^0(-\pi, \pi)$, ensemble des fonctions continues sur $\mathbb{R}$ et $2\pi$-périodiques, muni de la topologie de la convergence uniforme, ainsi que dans $L^2(-\pi, \pi)$.
L'ensemble $\mathcal{C}_{\#}^0(-\pi, \pi)$ est formé des fonctions $f$ continues sur $[-\pi, \pi]$ qui vérifient $f(-\pi) = f(\pi)$ et sont donc susceptibles d'un prolongement continu à $\mathbb{R}$ tout entier. On peut également les considérer comme des fonctions continues sur $\mathbb{T} = \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$. A cet effet, si $f \in \mathcal{C}_{\#}^0(-\pi, \pi)$, et si $\theta$ note l'élément de $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$, classe de $x \in \mathbb{R}$, on pose $\tilde{f}(\theta) = f(y)$ avec $y = x + 2k\pi$ où $k$ est choisi de telle sorte que $y \in [-\pi, \pi]$. Il est alors clair que la convergence uniforme dans $\mathcal{C}_{\#}^0(-\pi, \pi)$ est équivalente à celle dans $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z})$ muni de la topologie quotient.

DÉMONSTRATION.

► Le sous-espace $E$ est stable par addition, multiplication, passage au conjugué et contient la fonction constante. De plus il sépare les points dans $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z})$, en effet si $\theta', \theta'' \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$, $\theta' \neq \theta''$, alors $e^{i(\theta'-\theta'')} \neq 1$, soit $e^{i\theta'} \neq e^{i\theta''}$. Comme $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ est compact, d'après le théorème de Stone-Weierstraß, il en résulte que $E$ est dense dans $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z})$ ou encore dans $\mathcal{C}_{\#}^0(-\pi, \pi)$.

► Par ailleurs $C_{\#}^0(-\pi, \pi)$ qui contient l'ensemble des fonctions continues à support compact dans $(-\pi, \pi)$, est dense dans $L^2(-\pi, \pi)$. Comme $C_{\#}^0(-\pi, \pi)$ s'injecte continûment dans $L^2(-\pi, \pi)$, il en résulte que $E$ est dense dans $L^2(-\pi, \pi)$.

Q.E.D.

Si $u \in L^1(-\pi, \pi)$, on note

$$c_n(u) = (u|e_n)_{L^2(-\pi, \pi)} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} u(\theta) e^{-in\theta} d\theta,$$

c'est le n-ième coefficient de Fourier de $u$, tandis que $\sum_{k \in \mathbb{Z}} (u|e_k)e_k$ est la série de Fourier de $u$. On interprétera cette formule de la façon suivante :

$$\sum_{k \in \mathbb{Z}} (u|e_k)e_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{|k| \le n} (u|e_k)e_k.$$

Notons $v$ la fonction égale à $u$ sur $(-\pi, \pi)$ et à 0 à l'extérieur de ce segment, on aura

$$c_k(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \hat{v}(k).$$

Comme par hypothèse $u \in L^1(-\pi, \pi)$, il en est de même de $v$, et par conséquent selon le théorème de Riemann-Lebesgue, $c_n(u) \to 0$ lorsque $|n| \to \infty$.

THÉORÈME 3.2 Si $u \in L^2(-\pi, \pi)$, sa série de Fourier converge dans $L^2(-\pi, \pi)$ et

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

$$u = \sum_{k \in \mathbb{Z}} (u|e_k)e_k. \qquad (3.3)$$

DÉMONSTRATION.

Notons $E_n$ le sous-espace engendré par les $e_k$, $k = -n, n$ et $\pi_n$ la projection orthogonale sur $E_n$. Si $u \in L^2(-\pi, \pi)$, on a $\pi_n u = \sum_{k=-n}^{n} (u|e_k)e_k$ car $(\pi_n u - u|e_j) = 0, \forall j, -n \le j \le n$. Soit alors $\varepsilon > 0$, par densité, $\exists v \in E$, tel que $\|u - v\|_{L^2(-\pi, \pi)} \le \varepsilon$; si $n$ est choisi tel que $v \in E_n$, pour $n' \ge n$ on aura

$$\|u - \pi_{n'} u\|_{L^2(-\pi, \pi)} \le \|u - \pi_n u\|_{L^2(-\pi, \pi)} \le \|u - v\|_{L^2(-\pi, \pi)} \le \varepsilon,$$

car $E_n \subset E_{n'}$, ce qui prouve que la série de Fourier de $u$ converge vers $u$.

Q.E.D.
On dit que les $e_m$ forment une base hilbertienne de $L^2(-\pi, \pi)$.

Notons que la convergence dans $L^2$ n'implique que la convergence presque partout d'une sous-suite, mais qu'un résultat relativement récent et difficile de Carleson indique qu'en fait la suite des $\pi_n u$ converge presque partout. Par ailleurs on connaît des exemples de fonctions de $L^1(-\pi, \pi)$ dont la série de Fourier ne converge en aucun point.

**PROPOSITION 3.3 (Riesz-Fischer)** (i) Si la suite $(a_k)_{k \in \mathbb{Z}}$ appartient à $\ell^2$, alors il existe une fonction $u \in L^2(-\pi, \pi)$ telle que $a_k = c_k(u)$, $\forall k \in \mathbb{Z}$. On aura

$$u = \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k e_k.$$

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

(ii) L'application $\alpha = (a_k)_{k \in \mathbb{Z}} \to u = \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k e_k$ est une isométrie : $\ell^2 \to L^2$, c'est ce que l'on appelle encore la formule de Plancherel.

**DÉMONSTRATION.**

► Posons $u_n = \sum_{|k| \le n} a_k e_k$, si $n > m$, on aura

$$\|u_n - u_m\|_{L^2(-\pi, \pi)}^2 = \left\| \sum_{m < |k| \le n} a_k e_k \right\|_{L^2(-\pi, \pi)}^2 = \sum_{m < |k| \le n} |a_k|^2$$

Comme la suite $\alpha_n$ d'éléments de $\ell^2$ définie par $\alpha_n(k) = a_k$ pour $|k| \le n$ et $\alpha_n(k) = 0$ pour $|k| > n$ est convergente, elle est de Cauchy, ainsi par conséquent que la suite des $u_n$. Il en résulte que $u_n$ converge, soit vers $u \in L^2(-\pi, \pi)$. On aura alors

$$c_{\ell}(u) = (u|e_{\ell}) = \lim_{n \to \infty} (u_n|e_{\ell}) = \lim_{n \to \infty} \sum_{|k| \le n} a_k \delta_{k\ell} = a_{\ell}$$

et selon le théorème 3.2, $u = \sum_{k \in \mathbb{Z}} a_k e_k$.

► Ainsi que nous venons de le voir, en vertu de l'orthogonalité des $e_k$, $\|u_n\|_{L^2(-\pi, \pi)}^2 = \sum_{|k| \le n} |a_k|^2$, d'où, par continuité, si $\alpha \in \ell^2$, $\|u\|_{L^2(-\pi, \pi)}^2 = \|\alpha\|_{\ell^2}^2$.

Q.E.D.

Notons que les $e_n$ sont les fonctions propres de l'opérateur auto-adjoint $d^2/d\theta^2$ dans $H_\#^1(-\pi, \pi)$, sous-ensemble des fonctions $2\pi$-périodiques de $H^1(-\pi, \pi)$, et qu'en conséquence ils forment une base hilbertienne de $H_\#^1(-\pi, \pi)$ et de $L^2(-\pi, \pi)$, sous réserve d'une normalisation adéquate.

Notons également que si $u$ est à valeurs réelles, alors $c_{-n} = \bar{c}_n$ et que par conséquent

$$\sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k e_k (\theta) = \sum_{k \in \mathbb{N}} a_k \cos k\theta + b_k \sin k\theta$$

où $a_0 = c_0$, $b_0 = ic_0$, et pour $k \ge 1$, $a_k = c_k + c_{-k} = 2\Re c_k$ et $b_k = i(c_k - c_{-k}) = -2\Im c_k$. Si de plus $u$ est symétrique alors $c_k = c_{-k}$ d'où $b_k = 0$, et si $u$ est antisymétrique $a_k = 0$.

## 3.2 Convergence uniforme

**THÉORÈME 3.4** Si $u \in L^1(-\pi, \pi)$ et si la suite des $c_k(u) \in \ell^1$, alors $u \in C_\#^0(-\pi, \pi)$, et c'est la limite uniforme de sa série de Fourier.

<figure><img src="image_31.png" /></figure>
DÉMONSTRATION. Notons tout d'abord que $\ell^1 \subset \ell^2$, et que par conséquent, en vertu de la proposition 3.3, la série $\sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k(u) e_k$ converge vers $u$ dans $L^2(-\pi, \pi)$. Par ailleurs, on aura

$$ \|u_n - u_m\|_{C_{\#}^0(-\pi, \pi)} \le \sum_{m < |k| \le n} |c_k(u)| \|e_k\|_{C_{\#}^0(-\pi, \pi)} = \sum_{m < |k| \le n} |c_k(u)| $$

d'où la convergence uniforme de la série de Fourier, soit vers $w \in C_{\#}^0(-\pi, \pi)$. Il en résulte que $\sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k(u) e_k$ converge vers $w$ dans $L^2(-\pi, \pi)$, et par conséquent que $w = u$.

Q.E.D.

COROLLAIRE 3.5 Si $u \in C_{\#}^0(-\pi, \pi)$ est de classe $C^1$ par morceaux, alors sa série de Fourier converge unifor-mément vers $u$.

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

DÉMONSTRATION. En effet sur chaque intervalle $[\theta_l, \theta_{l+1}]$ où $u$ est de classe $C^1$,

$$ \int_{\theta_l}^{\theta_{l+1}} u'(\theta) e^{-ik\theta} d\theta = ik \int_{\theta_l}^{\theta_{l+1}} u(\theta) e^{-ik\theta} d\theta + [u(\theta) e^{-ik\theta}]_{\theta_l}^{\theta_{l+1}}. $$

Avec $\theta_0 = -\pi$ et $\theta_{L+1} = \pi$, il en résulte que

$$ c_k(u') = \sum_{l=0}^{L} \int_{\theta_l}^{\theta_{l+1}} u'(\theta) e^{-ik\theta} d\theta = ik \sum_{l=0}^{L} \int_{\theta_l}^{\theta_{l+1}} u(\theta) e^{-ik\theta} d\theta + \sum_{l=0}^{L} [u(\theta) e^{-ik\theta}]_{\theta_l}^{\theta_{l+1}} = ikc_k(u). $$

Comme $u'$ est bornée, elle est de carré intégrable, d'où

$$ \sum_{k \in \mathbb{Z}, k \neq 0} |c_k(u)| = \sum_{k \in \mathbb{Z}, k \neq 0} \frac{1}{k} |c_k(u')| \le \left( \sum_{k \in \mathbb{Z}, k \neq 0} \frac{1}{k^2} \right)^{1/2} \left( \sum_{k \in \mathbb{Z}, k \neq 0} |c_k(u')|^2 \right)^{1/2} < \infty. $$

On peut donc appliquer le résultat précédent.

Q.E.D.

Plus généralement on notera $C_{\#}^m(-\pi, \pi)$ l'ensemble des fonctions périodiques $m$ fois dérivables. En réitérant le procédé précédent, on montre que si $u \in C_{\#}^{m-1}(-\pi, \pi)$ est de classe $C^m$ par morceaux, alors $c_k(u^{(n)}) = ikc_k(u^{(n-1)})$, pour $1 \le n \le m$, d'où la convergence uniforme de $\sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k(u^{(n-1)}) e_k$ vers $u^{(n-1)}$.

THÉORÈME 3.6 Si $u \in L^1(-\pi, \pi)$ et si la suite des $kc_k(u)$ appartient à $\ell^1$, la série de Fourier de $u$ peut être dérivée terme à terme :

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

$$ \frac{d}{d\theta} \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k(u) e_k(\theta) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} ikc_k(u) e_k(\theta). $$

DÉMONSTRATION.

► Comme la suite $kc_k(u) \in \ell^1$, il en est de même de celle des $c_k(u)$, et par conséquent d'après le théorème 3.4 la suite $u_n = \sum_{|k| \le n} c_k(u) e_k$ converge uniformément vers $u \in C_{\#}^0(-\pi, \pi)$. De même la suite $u'_n = \sum_{|k| \le n} ikc_k(u) e_k$ converge uniformément, soit vers $g$.

► Il en résulte que $\forall \theta$,

$$ \int_0^\theta u'_n(t) dt \rightarrow \int_0^\theta g(t) dt, \text{ uniformément.} $$

et par conséquent que

$$ u(\theta) = \lim_{n \to \infty} u_n(\theta) = u(0) + \int_0^\theta g(t) dt. $$

On en déduit que $u$ est dérivable, de dérivée $g = \sum_{k \in \mathbb{Z}} ikc_k(u) e_k$.

Q.E.D.
3.3 Convergence ponctuelle

C'est une question plus difficile car la continuité de $u$ ne suffit pas à assurer la convergence ponctuelle de sa série de Fourier. Il existe plusieurs voies pour aborder cette question : on peut soit modifier la série de Fourier de façon à ce que cette convergence soit assurée, on utilisera à cet effet le procédé de Césaro, soit imposer à $u$ des conditions de régularité supplémentaires.

DÉFINITION 3.7 Si $u$ et $v$ sont intégrables sur $(-\pi; \pi)$ et $2\pi$-périodiques, on pose

$$
u * v(\theta) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} u(\theta - t)v(t)dt,
$$

c'est le produit de convolution de u et v.

La fonction $u * v$ est alors $2\pi$-périodique et

$$
u * v(\theta) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} u(\tau) v(\theta - \tau) d\tau.
$$

En effet, en vertu de la périodicité

$$
\begin{align*}
\int_{-\pi}^{\pi} u(\theta-t)v(t)dt &= \int_{-\pi+\theta}^{\pi+\theta} u(\tau)v(\theta-\tau)d\tau \\
&= -\int_{-\pi}^{-\pi+\theta} u(\tau)v(\theta-\tau)d\tau + \int_{-\pi}^{\pi} u(\tau)v(\theta-\tau)d\tau \\
&\quad + \int_{\pi}^{\pi+\theta} u(\tau)v(\theta-\tau)d\tau
\end{align*}
$$

or

$$
\int_{\pi}^{\pi+\theta} u(\tau) v(\theta - \tau) d\tau = \int_{-\pi}^{-\pi+\theta} u(\tau + 2\pi) v(\theta - \tau + 2\pi) d\tau
$$

d'où

$$
\int_{-\pi}^{\pi} u(\theta - t) v(t) dt = \int_{-\pi}^{\pi} u(\tau) v(\theta - \tau) d\tau.
$$

LEMME 3.8 On a

$$
u * e_k = c_k(u) e_k.
$$

DÉMONSTRATION. En effet

$$
\begin{align*}
c_k(u)e_k(\theta) &= (u|e_k)e_k(\theta) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} u(\tau)e^{ik(\theta-\tau)}d\tau \\
&= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} u(\theta-t)e^{ikt}dt = u*e_k(\theta).
\end{align*}
$$
On aura donc $\sum_{k=-n}^{n} c_k(u)e_k = \sum_{k=-n}^{n} u * e_k(t)$, ce qui conduit à la définition du noyau de Dirichlet

$$D_n(t) = \sum_{k=-n}^{n} e_k(t),$$

et à la formule

$$\sum_{k=-n}^{n} c_k(u) e_k = D_n * u.$$

Il est alors tentant d'essayer de démontrer que $D_n \to \delta$ lorsque $n \to \infty$ ; il se trouve que ce n'est pas le cas et qu'on doit faire appel à une étape supplémentaire de régularisation à cet effet. On notera

$$C_N(t) = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} D_n(t),$$

c'est le noyau de Fejér.

### 3.3.1 Le théorème de Fejér

**DÉFINITION 3.9** On dit que la suite de fonctions $\varphi_n$ est une approximation de l'unité si

(i) $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \varphi_n(t) dt = 1$

(ii) $\int_{-\pi}^{\pi} |\varphi_n(t)| dt$ est borné

(iii) $\forall \delta > 0, \int_{\pi>|t|>\delta} |\varphi_n(t)| dt \to 0$ lorsque $n \to \infty$.

**LEMME 3.10** On a

(i)

$$D_n(t) = \sum_{k=-n}^{n} e^{ikt} = \frac{e^{-int} - e^{i(n+1)t}}{1 - e^{it}} = \frac{(e^{it/2})^{2n+1} - (e^{-it/2})^{2m+1}}{e^{it/2} - e^{-it/2}}.$$

(ii)

$$C_N(t) = \frac{1}{N} \left( \frac{\sin((N+1)t/2)}{\sin t/2} \right)^2$$

**DÉMONSTRATION.** En effet

►

$$\sum_{k=-m}^{n} e^{ikt} = e^{-imt} \sum_{k=0}^{m+n} (e^{it})^k = e^{-imt} \frac{1 - (e^{it})^{(m+n+1)}}{1 - e^{it}} = \frac{e^{-imt} - e^{i(n+1)t}}{1 - e^{it}}$$

et avec $q = e^{it/2}$,

$$\sum_{k=-m}^{n} e^{ikt} = \frac{e^{-it/2} (e^{i(n+1)t} - e^{-imt})}{e^{-it/2} (e^{it} - 1)} = \frac{e^{i(n+1/2)t} - e^{-i(m+1/2)t}}{e^{-it/2} - e^{it/2}} = \frac{q^{(2n+1)t} - q^{-(2m+1)t}}{q - q^{-1}}$$

► On aura alors

$$\begin{align*}
N(q - q^{-1}) C_N(t) &= \sum_{n=0}^{N-1} q^{(2n+1)} - q^{-(2n+1)} = q \sum_{k=0}^{N} (q^2)^k - q^{-1} \sum_{k=0}^{N} (q^{-2})^k \\
&= q \frac{1 - (q^2)^{N+1}}{1 - q^2} - q^{-1} \frac{1 - (q^{-2})^{N+1}}{1 - q^{-2}} = \frac{1 - (q^2)^{N+1}}{q^{-1} - q} - \frac{1 - (q^{-2})^{N+1}}{q - q^{-1}} \\
&= \frac{(q^2)^{N+1} - 2 + (q^{-2})^{N+1}}{q - q^{-1}} = \frac{(q^{N+1} - q^{-(N+1)})^2}{q - q^{-1}}
\end{align*}$$
soit

$$C_N(t) = \frac{1}{N} \frac{(q^{N+1} - q^{-(N+1)})^2}{(q - q^{-1})^2} = \frac{1}{N} \left( \frac{\sin t(N+1)/2}{\sin t/2} \right)^2$$

Q.E.D.

**PROPOSITION 3.11** Le noyau de Fejér est une approximation de l'unité.

**DÉMONSTRATION.**

* On a tout d'abord

$$\int_{-\pi}^{\pi} D_n(t) dt = \sum_{k=-n}^{n} \int_{-\pi}^{\pi} e^{ikt} dt = 2\pi$$

d'où

$$\int_{-\pi}^{\pi} C_N(t) dt = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\pi}^{\pi} D_n(t) dt = 2\pi$$

* On a également, pour $\pi \ge |t| \ge \delta > 0$ $|\sin t/2| \ge \sin \delta/2$, d'où

$$C_N(t) \le \frac{1}{N} \left( \frac{1}{\sin t/2} \right)^2 \le \frac{1}{N} \left( \frac{1}{\sin \delta/2} \right)^2$$

qui tend uniformément vers 0 quand $N \to \infty$. Il en résulte que

$$\int_{\pi>|t|>\delta} C_N(t) dt \to 0 \text{ lorsque } N \to \infty.$$

Enfin $C_N(t)$ est positif et par conséquent une approximation de l'unité.

Q.E.D.

**THÉORÈME 3.12 (de Fejér)** La moyenne des sommes partielles de la série de Fourier d'une fonction u continue $2\pi$-périodique tend uniformément vers u sur $\mathbb{R}$.

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

**DÉMONSTRATION.**

* Rappelons tout d'abord qu'une fonction $f$ continue sur un compact est uniformément continue, en effet dans le cas contraire, $\exists \varepsilon > 0$ tel que $\forall n, \exists x_n, y_n$ vérifiant $|x_n - y_n| < 1/n$ et $|f(x_n) - f(y_n)| > \varepsilon$. Par compacité on peut alors extraire de $x_n$ et $y_n$ deux sous-suites convergentes, nécessairement vers la même limite, ce qui est contradictoire avec l'inégalité $|f(x_n) - f(y_n)| > \varepsilon$.

* Comme $u$ est uniformément continue sur $[-\pi, \pi]$, $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0$, tel que $\forall x \in [-\pi, \pi]$, $|t| < \delta \implies |u(x-t) - u(x)| < \varepsilon$; pour $N$ assez grand on aura par ailleurs $\int_{\pi>|t|>\delta} |C_N(t)| dt \le \varepsilon$, il en résulte que

$$\begin{aligned} \left| \int_{-\pi}^{\pi} u(x-t) C_N(t) dt - u(x) \right| &\le \int_{|t|<\delta} |u(x-t) - u(x)| |C_N(t)| dt + \int_{\pi>|t|>\delta} |u(x-t) - u(x)| |C_N(t)| dt \\ &\le (M + 2 \|u\|_{C_{\theta}^0(-\pi, \pi)}) \varepsilon, \end{aligned}$$

où $M$ note un majorant de $\int_{-\pi}^{\pi} |C_N(t)| dt$.

* Nous avons donc démontré que la suite des fonctions

$$x \to \int_{-\pi}^{\pi} u(x-t) C_N(t) dt = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\pi}^{\pi} u(x-t) D_n(t) dt = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{k=-n}^{n} c_k(u) e_k(x)$$

tend uniformément vers $u$ sur $[-\pi, \pi]$ et donc sur $\mathbb{R}$.

Q.E.D.
### REMARQUE 3.13 En particulier, toute fonction continue $2\pi$-périodique est limite uniforme d'une suite de polynômes trigonométriques.

## 3.3.2 Le théorème de Dirichlet

Si on renonce à la régularisation par le procédé de Césaro, on doit exiger une régularité supplémentaire de la part de $u$. Le théorème de Dirichlet prend alors diverses formes.

**LEMME 3.14** Pour $t \in (-\pi, \pi)$, on a

$$|1 - e^{it}| \geq 2 \frac{|t|}{\pi}.$$

**DÉMONSTRATION.** En effet

$$|1 - e^{it}|^2 = |1 - \cos t|^2 + \sin^2 t = 2(1 - \cos t) = 4 \sin^2 \frac{t}{2},$$

d'où

$$|1 - e^{it}| = 2 \left| \sin \frac{t}{2} \right| \geq 2 \frac{|t|}{\pi},$$

en raison de la convexité de la fonction sin entre 0 et $\pi/2$.

Q.E.D.

### THÉORÈME 3.15 (de Dirichlet)
Soit $u$ intégrable sur $(-\pi; \pi)$, $2\pi$-périodique. Soient $u_0 \in \mathbb{R}$ et $\tau_0 \in [-\pi; \pi]$, si la fonction $\tau \to (u(\tau_0 - \tau) - u_0)/\tau$ est intégrable sur $(-\pi; \pi)$, alors la série de Fourier de $u$ converge vers $u_0$ en $\tau_0$.

**DÉMONSTRATION.**

► Soit $n$ positif, on a

$$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{k=-n}^{n} e^{ikt} dt = 1,$$

et par conséquent, en notant **1** la fonction constante égale à 1, $1 * \sum_{k=-n}^{n} e^{ikt} = 1$ ; d'après le lemme 3.8 on aura donc

$$\sum_{k=-n}^{n} c_k(u) e_k - u_0 \mathbf{1} = (u - u_0 \mathbf{1}) * \sum_{k=-n}^{n} e^{ikt}.$$

► A l'aide du lemme 3.10 on en déduit que

$$\begin{aligned} \sum_{k=-n}^{n} c_k(u) e_k(\tau_0) - u_0 &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (u(\tau_0 - \tau) - u_0) \frac{e^{-in\tau} - e^{i(n+1)\tau}}{1 - e^{i\tau}} d\tau \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{u(\tau_0 - \tau) - u_0}{1 - e^{i\tau}} (e^{-in\tau} - e^{i(n+1)\tau}) d\tau. \end{aligned}$$

On pose alors

$$v(\tau) = \frac{u(\tau_0 - \tau) - u_0}{1 - e^{i\tau}},$$

fonction intégrable en vertu du lemme 3.14, et on obtient

$$\sum_{k=-n}^{n} c_k(u) e_k(\tau_0) - u_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} v(\tau) (e^{-in\tau} - e^{i(n+1)\tau}) d\tau = c_n(v) - c_{-(n+1)}(v)$$
► Le lemme de Riemann-Lebesgue nous assure que $c_ℓ(v) \to 0$ quand $|ℓ| \to \infty$, et donc que $\sum_{k=-n}^{n} c_k(u) e_k(\tau_0) - u_0$ tend vers 0 quand $n$ tend vers $\infty$, soit

$$ \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k(u) e_k(\tau_0) - u_0 = 0. $$

Q.É.D.

**REMARQUE 3.16** Notons qu'il ne suffit pas que la fonction $u$ soit continue en $\tau_0$ pour que l'hypothèse du théorème 3.15 soit satisfaite.

**COROLLAIRE 3.17** Si $u$ est intégrable sur $(-\pi; \pi)$, $2\pi$-périodique et dérivable en $\tau_0$,

$$ \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k(u) e_k(\tau_0) = u(\tau_0). $$

**DÉMONSTRATION.** Si $u$ est dérivable en $\tau_0$, alors $(u(\tau_0 - t) - u(\tau_0))/t$ est bornée dans un voisinage de $t = 0$, d'où le résultat en vertu du théorème 3.15 puisque $u$ est intégrable.

Q.E.D.

**COROLLAIRE 3.18** Si $u$ est intégrable sur $(-\pi; \pi)$, $2\pi$-périodique, possède des limites à gauche et à droite $u_0^-$ et $u_0^+$, ainsi que des dérivées à gauche et à droite en $\tau_0$, alors

$$ \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k(u) e_k(\tau_0) = (u_0^- + u_0^+)/2. $$

**DÉMONSTRATION.** Posons $F(t) = (u(\tau_0 - t) + u(\tau_0 + t))/2$ et $F_0 = (u_0^- + u_0^+)/2$. La fonction

$$ \begin{aligned} G(t) &= F(t) - F_0 = \frac{u(\tau_0 - t) - u_0^-}{2} + \frac{u(\tau_0 + t) - u_0^+}{2} \\ &= \frac{u(\tau_0 - t) - u_0^+}{2} + \frac{u(\tau_0 + t) - u_0^-}{2} \end{aligned} $$

tend vers 0 lorsque $t$ tend vers 0, elle est donc bornée au voisinage de $t = 0$ et par conséquent intégrable. De plus elle possède une dérivée à gauche et à droite, d'où il résute que $G(t)/t$ est intégrable. Selon le théorème 3.15, on aura donc

$$ \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k(F) - F_0 = 0. $$

Or

$$ \begin{aligned} c_k(F) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} F(t) e^{-ikt} dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{u(\tau_0 - t)}{2} e^{-ikt} dt + \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{u(\tau_0 + t)}{2} e^{-ikt} dt \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{u(s)}{2} e^{-ik(\tau_0 - s)} ds + \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{u(s)}{2} e^{-ik(s-\tau_0)} ds \\ &= \frac{1}{2\pi} e^{-ik\tau_0} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{u(s)}{2} e^{iks} ds + \frac{1}{2\pi} e^{ik\tau_0} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{u(s)}{2} e^{-iks} ds = \frac{e^{-ik\tau_0} c_{-k}(u) + e^{ik\tau_0} c_k(u)}{2}, \end{aligned} $$

d'où

$$ \frac{u_0^- + u_0^+}{2} = F_0 = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k(F) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k(u) e^{ik\tau_0}. $$

Q.É.D.
## 3.4 Deux exemples

(i) Considérons tout d'abord la fonction $\psi(\theta) = \theta \sin(\theta/\theta_0)$, où $\theta_0$ vérifie $\operatorname{tg}(\pi/\theta_0) = -\pi/\theta_0$. Ses dérivées s'annulent en $\theta = \pm\pi$, elle se prolonge donc par périodicité à l'extérieur du segment $[-\pi, \pi]$ en une fonction dérivable. Ses coefficients de Fourier sont les suivants :

$$ 
\begin{aligned}
2\pi c_n &= \int_{-\pi}^{\pi} \theta \sin \frac{\theta}{\theta_0} e^{-in\theta} d\theta = \frac{1}{2i} \int_{-\pi}^{\pi} \theta (e^{i(1/\theta_0-n)\theta} - e^{-i(1/\theta_0+n)\theta}) d\theta \\
&= \frac{1}{2i} \left( \frac{1}{(1/\theta_0 - n)^2} [e^{i(1/\theta_0-n)\theta}]_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{i(1/\theta_0 - n)} [\theta e^{i(1/\theta_0-n)\theta}]_{-\pi}^{\pi} \right) \\
&\quad - \frac{1}{2i} \left( \frac{1}{(1/\theta_0 + n)^2} [e^{-i(1/\theta_0+n)\theta}]_{-\pi}^{\pi} - \frac{1}{i(1/\theta_0 + n)} [\theta e^{-i(1/\theta_0+n)\theta}]_{-\pi}^{\pi} \right) \\
&= \sin \pi(1/\theta_0 - n) \left( \frac{1}{(1/\theta_0 - n)^2} + \frac{1}{(1/\theta_0 + n)^2} \right) \\
&\quad - \pi \cos \pi(1/\theta_0 + n) \left( \frac{1}{1/\theta_0 - n} + \frac{1}{1/\theta_0 + n} \right)
\end{aligned}
$$

La Figure 3.1 permet de constater la convergence rapide et uniforme de la série de Fourier, en conformité

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIGURE 3.1 – Convergence uniforme</figcaption></figure>

avec le corollaire 3.5.

(ii) Si maintenant on considère la fonction $\varphi$ égale à $\theta$ sur $[-\pi, \pi]$ et prolongée par périodicité. Ses coefficients de Fourier sont les suivants :

$$ c_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \theta d\theta = 0 $$
et pour $|n| \ge 1$,

$$
\begin{align*}
2\pi c_n &= \int_{-\pi}^{\pi} \theta e^{-in\theta} d\theta = \frac{1}{in} \int_{-\pi}^{\pi} e^{-in\theta} d\theta - \frac{1}{in} [\theta e^{-in\theta}]_{-\pi}^{\pi} \\
&= \frac{1}{n^2} [e^{-in\theta}]_{-\pi}^{\pi} - \frac{1}{in} [\theta e^{-in\theta}]_{-\pi}^{\pi} \\
&= \frac{-2i}{n^2} \sin n\pi - \frac{2\pi}{in} \cos n\pi
\end{align*}
$$

soit

$$
c_n = \frac{(-1)^{n+1}}{in}.
$$

et par conséquent

$$
\varphi(x) = - \sum_{|n| \ge 1} \frac{(-1)^n}{in} e^{inx} = -2 \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^n}{n} \sin nx.
$$

Il n'est plus ici question de convergence uniforme car la limite de la suite des sommes partielles, qui sont continues, n'est elle-même pas continue. Cette non uniformité se traduit par des oscillations de plus en plus rapides (voir la figure 3.2) des sommes partielles auxquelles on fait référence sous le nom de "Phénomène de Gibbs". On peut montrer que le support de ces oscillations se réduit au fur à mesure de la convergence de la série mais qu'il n'en est pas de même de l'amplitude de ces oscillations, qui est en proportion de la discontinuité.

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>FIGURE 3.2 – Phénomène de Gibbs</figcaption></figure>

3.5 Les distributions périodiques

On pourra se reporter à l'appendice E pour les rappels relatifs à la transformation de Fourier des distributions.

Soit $T$ une distribution sur $\mathbb{R}$, on dit qu'elle est périodique de période $a$ si $\tau_a T = T$, où l'on rappelle (E.8) que la translatée d'une distribution est définie par transposition :

$$
\langle \tau_a T, \varphi \rangle = \langle T, \tau_{-a} \varphi \rangle, \text{ avec } \tau_{-a} \varphi(x) = \varphi(x+a).
$$
Nous avons vu précédemment que selon la topologie choisie, une fonction pouvait être, ou non, développable en série de Fourier, mais si on accepte de limiter ses ambitions et de se contenter de la topologie de $\mathcal{S}'$, alors toutes les distributions périodiques peuvent être développées en série de Fourier.

Il sera ultérieurement nécessaire de disposer d'une fonction de $\mathcal{D}$ dont la somme des translées soit identiquement égale à 1. Considérons à cet effet une fonction $\psi$ quelconque de $\mathcal{D}$, et posons $\Psi = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \tau_{ak} \psi$, où la somme est localement finie, puisque $\psi$ est à support compact. La fonction $\Psi$ est périodique de période $a$, en effet

$$ \tau_a \Psi = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \tau_{a(k+1)} \psi = \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} \tau_{a\ell} \psi = \Psi. $$

Posons alors $\rho = \psi/\Psi$, elle vérifie

$$ \sum_{k \in \mathbb{Z}} \tau_{ak} \rho = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \frac{\tau_{ak} \psi}{\tau_{ak} \Psi} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \frac{\tau_{ak} \psi}{\Psi} = \frac{\sum_{k \in \mathbb{Z}} \tau_{ak} \psi}{\Psi} = 1. $$

**THÉORÈME 3.19** Les distributions périodiques sont tempérées.

**DÉMONSTRATION.** Soit $T$ périodique de période $a$, on aura

$$ T = \left( \sum_{k \in \mathbb{Z}} \tau_{ak} \rho \right) T = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \tau_{ak} (\rho T) $$

et par conséquent

$$ \langle T, \varphi \rangle = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \langle \tau_{ak}(\rho T), \varphi \rangle = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \langle \rho T, \tau_{-ak}\varphi \rangle. $$

La distribution $\rho T$ est à support compact, c'est un élément de $\mathcal{E}'$, elle est donc continue pour la topologie de $\mathcal{E}$, c'est dire qu'il existe une constante $C$ et un entier $p$ tels que $\forall \varphi \in \mathcal{D}$,

$$ |\langle \rho T, \varphi \rangle| \le C \sup_{0 \le |\alpha| \le p} \sup_{x \in \text{Supp } \rho T} |\partial^\alpha \varphi(x)|, $$

et en particulier, si $\varphi$ est fixée, $\forall k \in \mathbb{Z}$,

$$ |\langle \rho T, \tau_{-ak} \varphi \rangle| \le C \sup_{0 \le |\alpha| \le p} \sup_{x \in \text{Supp } \rho} |\partial^\alpha \tau_{-ak} \varphi(x)| $$

Comme les fonctions $\varphi$ et $\rho$ sont fixées à support compact, il existe $K$ tel que

$$ \sup_{0 \le |\alpha| \le p} \sup_{x \in \text{Supp } \rho} |\partial^\alpha \tau_{-ak} \varphi(x)| = 0, \forall k > K. $$

Par ailleurs, on a également

$$ \sup_{0 \le |\alpha| \le p} \sup_{x \in \text{Supp } \rho} |\partial^\alpha \tau_{-ak} \varphi(x)| \le \sup_{0 \le |\alpha| \le p} \sup_{x} |\partial^\alpha \tau_{-ak} \varphi(x)| = \sup_{0 \le |\alpha| \le p} \sup_{x} |\partial^\alpha \varphi(x)|, $$

et par conséquent

$$ |\langle T, \varphi \rangle| \le K \sup_{0 \le |\alpha| \le p} \sup_{x} |\partial^\alpha \varphi(x)|, $$

ce qui prouve que $T$ est une distribution tempérée.

Q.E.D.
### 3.5.1 La formule de Poisson

Dans ce qui suit, la convergence des séries s'entend au sens de $\mathcal{S}'$, soit en fait $T_k \to T$ si $\langle T_k, \varphi \rangle \to \langle T, \varphi \rangle$, $\forall \varphi \in \mathcal{S}$.

**PROPOSITION 3.20 On a**

$$ \mathcal{F} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \delta_{ak} = \frac{\sqrt{2\pi}}{a} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \delta_{(2\pi/a)k}. \qquad (3.4) $$

**DÉMONSTRATION.**

► On peut tout d'abord noter que la série $\sum_{k \in \mathbb{Z}} \delta_{ak}$ converge au sens de $\mathcal{S}'$, et par continuité de la transformation de Fourier, que la série des transformées de Fourier des $\delta_{ak}$ converge également dans $\mathcal{S}'$.

► Posons $S = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \delta_{ak}$, on a tout d'abord $S = \tau_a S$, d'où $\hat{S}_\xi = \tau_a \hat{S}_\xi = e^{-ia\xi} \hat{S}_\xi$, et par conséquent

$$ (1 - e^{-ia\xi}) \hat{S}_\xi = 0. \qquad (3.5) $$

Il en résulte que $\text{Supp} \hat{S} \subset \{\xi \mid e^{-ia\xi} = 1\} = (2\pi/a)\mathbb{Z}$.

► Choisissons maintenant $\psi \in \mathcal{D}$, identique à 1 au voisinage de 0 et nulle en dehors de $[-a/4, a/4]$, on aura

$$ \langle \hat{S}, \varphi \rangle = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \langle (\tau_{ak} \psi) \hat{S}, \varphi \rangle, $$

soit

$$ \hat{S} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} (\tau_{ak} \psi) \hat{S}. $$

En vertu de (3.5) $(a\xi - 2\pi k) \tau_{ak} \psi \hat{S}_\xi = 0$, soit encore

$$ (a\xi - 2\pi k) \frac{1 - e^{-ia\xi}}{a\xi - 2\pi k} \tau_{ak} \psi \hat{S}_\xi = 0, $$

or, au voisinage de $\xi = (2\pi/a)k$

$$ 1 - e^{-ia\xi} = 1 - e^{-i(a\xi - 2k\pi)} = i(a\xi - 2k\pi) - \sum_{n \ge 2} \frac{(-i)^n (a\xi - 2k\pi)^n}{n!} $$

d'où

$$ \frac{1 - e^{-ia\xi}}{a\xi - 2\pi k} = i + O\left(\xi - \left(\frac{2\pi}{a}\right)k\right), $$

ce qui prouve que $(a\xi - 2\pi k) \tau_{ak} \psi \hat{S}_\xi = 0$, et par conséquent que $\tau_{ak} \psi \hat{S}_\xi = c_k \delta_{(2\pi/a)k}$. On en déduit que

$$ \hat{S} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} (\tau_{ak} \psi) \hat{S} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k \delta_{(2\pi/a)k}. $$

► Pour déterminer les coefficients $c_k$, on peut tout d'abord noter que $S_x = e^{-2i\pi(x/a)}S_x$, d'où

$$ \hat{S} = \tau_{-(2\pi/a)} \hat{S} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k \delta_{(2\pi/a)(k-1)} = \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} c_{\ell+1} \delta_{(2\pi/a)\ell} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_k \delta_{(2\pi/a)k} ; $$

il en résulte que tous les $c_k$ sont égaux, soit à $c$. On aura donc

$$ \hat{S} = c \sum_{k \in \mathbb{Z}} \delta_{(2\pi/a)k}. $$
Pour calculer la constante $c$, on prend $\varphi \in \mathcal{S}$. On aura d'une part

$$ \langle \hat{S}, \tau_{-y} \varphi \rangle = c \sum_{k \in \mathbb{Z}} \langle \delta_{(2\pi/a)k}, \tau_{-y} \varphi \rangle = c \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi((2\pi/a)k + y), $$

et d'autre part

$$ \langle \hat{S}, \tau_{-y} \varphi \rangle = \langle S, \widehat{\tau_{-y} \varphi} \rangle = \left\langle \sum_{k \in \mathbb{Z}} \delta_{ak} e^{iyx} \widehat{\varphi}(x) \right\rangle = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \langle \delta_{ak} e^{iyx} \widehat{\varphi}(x) \rangle = \sum_{k \in \mathbb{Z}} e^{iayk} \widehat{\varphi}(ak) $$

d'où

$$ \begin{align*} c \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) dx &= c \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_{0}^{2\pi/a} \varphi((2\pi/a)k + y) dy = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{\varphi}(ak) \int_{0}^{2\pi/a} e^{iayk} dy = \widehat{\varphi}(0) \int_{0}^{2\pi/a} dy \\ &= (2\pi/a) \widehat{\varphi}(0) = \frac{2\pi/a}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) dx \end{align*} $$

et finalement $c = \sqrt{2\pi/a}$.

Q.E.D.

### 3.5.2 Série de Fourier

Soit maintenant plus généralement $T$, $2\pi$-périodique et $\varphi \in \mathcal{S}$, on a tout d'abord

$$ \begin{align*} \langle \hat{T}, \varphi \rangle &= \langle T, \widehat{\varphi} \rangle = \left\langle \left( \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} \tau_{2\pi\ell} \rho \right) T, \widehat{\varphi} \right\rangle = \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} \langle (\tau_{2\pi\ell} \rho) T, \widehat{\varphi} \rangle = \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} \langle \tau_{2\pi\ell} (\rho T), \widehat{\varphi} \rangle \\ &= \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} \langle \rho T, \tau_{-2\pi\ell} \widehat{\varphi} \rangle = \left\langle \rho T, \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} \tau_{-2\pi\ell} \widehat{\varphi} \right\rangle, \end{align*} $$

mais par ailleurs

$$ \begin{align*} \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} \tau_{-2\pi\ell} \widehat{\varphi}(\xi) &= \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} \widehat{\varphi}(\xi + 2\pi\ell) = \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} \tau_{-\xi} \widehat{\varphi}(2\pi\ell) = \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} e^{-i\xi x} \widehat{\varphi}(x) (2\pi\ell) \\ &= \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} \langle \delta_{2\pi\ell}, e^{-i\xi x} \widehat{\varphi}(x) \rangle = \left\langle \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} \delta_{2\pi\ell}, e^{-i\xi x} \widehat{\varphi}(x) \right\rangle = \left\langle \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} \delta_{2\pi\ell}, e^{-i\xi x} \widehat{\varphi}(x) \right\rangle \\ &= \left\langle \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \delta_k, e^{-i\xi x} \widehat{\varphi}(x) \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \langle \delta_k, e^{-i\xi x} \widehat{\varphi}(x) \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} e^{-i\xi k} \widehat{\varphi}(k). \end{align*} $$

Il en résulte que

$$ \begin{align*} \langle \hat{T}, \varphi \rangle &= \left\langle \rho(\xi) T_{\xi}, \sum_{k \in \mathbb{Z}} e^{-i\xi k} \varphi(k) \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi(k) \langle \rho(\xi) T_{\xi}, e^{-i\xi k} \rangle \\ &= \sum_{k \in \mathbb{Z}} \varphi(k) \widehat{\rho T}(k) \end{align*} $$

car

$$ \widehat{\rho T}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \langle \rho(\xi) T_{\xi}, e^{-ix\xi} \rangle, $$
puisque $\rho T$ est à support compact. On écrira donc

$$ \hat{T} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{\rho T}(k) \delta_k $$

d'où

$$ T = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{k \in \mathbb{Z}} \widehat{\rho T}(k) e^{ikx}. \qquad (3.6) $$

C'est le développement en série de Fourier de la distribution $2\pi$-périodique $T$. Ses coefficients sont les

$$ c_k = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \widehat{\rho T}(k); \qquad (3.7) $$

ils ne dépendent pas du choix de $\rho \in \mathcal{D}$ qui vérifie

$$ \sum_{k \in \mathbb{Z}} \tau_{2\pi k} \rho = 1. $$

### 3.5.3 Le cas d'une fonction continue

Soit $f$ une fonction continue $2\pi$-périodique, on aura

$$ \begin{align*} c_k(f) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \widehat{\rho f}(k) = \frac{1}{2\pi} \langle \rho(x)f(x), e^{-ikx} \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} \rho(x)f(x)e^{-ikx} dx \\ &= \frac{1}{2\pi} \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} \int_{-\pi-2\pi\ell}^{\pi-2\pi\ell} \rho(x)f(x)e^{-ikx} dx = \frac{1}{2\pi} \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} \int_{-\pi}^{\pi} \tau_{2\pi\ell} \rho(y) \tau_{2\pi\ell} f(y) e^{-ik(y-2\pi\ell)} dy \\ &= \frac{1}{2\pi} \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} \int_{-\pi}^{\pi} \tau_{2\pi\ell} \rho(y) f(y) e^{-iky} dy = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left( \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} \tau_{2\pi\ell} \rho(y) \right) f(y) e^{-iky} dy \end{align*} $$

soit

$$ c_k(f) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(y) e^{-iky} dy. \qquad (3.8) $$

On retrouve bien là les traditionnels coefficients de Fourier.
# Chapitre 4

## L'intégrale de Cauchy

Nous ne traiterons plus désormais que de fonctions de variable complexe, ce qui nous permettra un changement de point de vue et l'introduction d'un nouvel outil : l'intégrale de Cauchy. C'est de la confrontation de ces deux approches (séries entières et intégrale de Cauchy) que découle la puissance de la théorie des fonctions holomorphes.

### 4.1 La relation de Cauchy-Riemann

Rappelons tout d'abord que

**DÉFinition 4.1** Soient $f$ et $g$ des fonctions $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ ; on dit qu'elles sont tangentes en $a$ si, pour $r$ suffisamment petit,

$$ \sup_{|z-a|<r} |f(z)-g(z)| = o(r). $$

Le fait pour deux fonctions d'être tangentes en un point constitue une relation d'équivalence.

**DÉFinition 4.2** La fonction $f$ est dérivable en $z_0$ si il existe une application linéaire continue $Df_{z_0} \in \mathcal{L}(\mathbb{C}, \mathbb{C})$ telle que $f(z) - f(z_0)$ et $Df_{z_0}(z - z_0)$ soient tangentes en $z_0$.

Cette définition est bien entendu valable dans un cadre beaucoup plus large tel celui des applications entre espaces de Banach.

Notons que deux applications linéaires tangentes en un point sont identiques et que la dérivée est par conséquent unique. On écrira

$$ f(z) - f(z_0) = (z - z_0) f'(z_0) + o(z - z_0). \quad (4.1) $$

Si $\tilde{f}$ est une fonction dérivable : $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}$, on a

$$ \tilde{f}(x, y) - \tilde{f}(x_0, y_0) = (x - x_0) \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x}(x_0, y_0) + (y - y_0) \frac{\partial \tilde{f}}{\partial y}(x_0, y_0) + o(|x - x_0| + |y - y_0|). $$

Soient maintenant une fonction $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, et $c$ l'application $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}$ définie par

$$ c(x, y) = x + iy. \quad (4.2) $$

Nous poserons

$$ \tilde{f} = f \circ c, \text{ soit } \tilde{f}(x, y) = f(x + iy). \quad (4.3) $$
**PROPOSITION 4.3 (Relation de Cauchy-Riemann)** *Pour que $f$ soit dérivable en $a = \alpha + i\beta$, il faut et il suffit que $\tilde{f}$ le soit en $(\alpha, \beta)$ et que la relation suivante soit vérifiée* ♡

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

$$ \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x}(\alpha, \beta) + i \frac{\partial \tilde{f}}{\partial y}(\alpha, \beta) = 0; \qquad (4.4) \quad ♡ $$

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

on aura alors

$$ f'(a) = \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x}(\alpha, \beta) = -i \frac{\partial \tilde{f}}{\partial y}(\alpha, \beta). \qquad (4.5) $$

On explicite couramment la relation (4.4) sous la forme suivante

$$ \frac{\partial \Re \tilde{f}}{\partial x}(\alpha, \beta) = \frac{\partial \Im \tilde{f}}{\partial y}(\alpha, \beta) \qquad (4.6) $$

$$ \frac{\partial \Im \tilde{f}}{\partial x}(\alpha, \beta) = -\frac{\partial \Re \tilde{f}}{\partial y}(\alpha, \beta), $$

ce qui conduit à parler des relations de Cauchy-Riemann, mais ne présente aucun avantage par rapport à la formule (4.4).

**DÉMONSTRATION.**

► Supposons tout d'abord que $f$ soit dérivable, on aura

$$ D\tilde{f}_{(\alpha,\beta)} = Df_a \circ Dc_{(\alpha,\beta)}, \text{ soit } \left( \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x}(\alpha, \beta), \frac{\partial \tilde{f}}{\partial y}(\alpha, \beta) \right) = f'(a) \cdot (1, i), $$

ou encore

$$ \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x}(\alpha, \beta) = f'(a) \text{ et } \frac{\partial \tilde{f}}{\partial y}(\alpha, \beta) = if'(a). $$

► Réciproquement supposons $\tilde{f}$ dérivable et la relation de Cauchy-Riemann vérifiée, et posons

$$ g(z) = \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x}(\alpha, \beta). $$

Nous aurons

$$ \begin{align*} f(z) - f(a) - (z-a)g(z) &= \tilde{f}(x,y) - \tilde{f}(\alpha, \beta) - ((x-\alpha) + i(y-\beta)) \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x}(\alpha, \beta) \\ &= \tilde{f}(x,y) - \tilde{f}(\alpha, \beta) - \left( (x-\alpha) \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x}(\alpha, \beta) + (y-\beta) \frac{\partial \tilde{f}}{\partial y}(\alpha, \beta) \right) \\ &= o(|x-\alpha| + |y-\beta|) = o(z-a). \end{align*} $$

Q.E.D.

**DÉFINITION 4.4** On dit que $f$ est holomorphe dans l'ouvert $\Omega \subset \mathbb{C}$ si elle est de classe $\mathcal{C}^1$ vis-à-vis de la variable complexe $z$.

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

Notons qu'en fait, ainsi que nous aurons l'occasion de le démontrer ultérieurement, l'hypothèse de continuité de la dérivée est inutile, car les fonctions dérivables sont holomorphes, et même indéfiniment dérivables. Il est donc loisible de supprimer l'hypothèse de continuité de la dérivée dans la définition des
fonctions holomorphes, mais il se trouve que le choix du texte permet quelques simplifications dans l'exposé des propriétés essentielles des fonctions holomorphes.

Posons

$$ \tilde{f}(z, \bar{z}) = \tilde{f}\left(\frac{z+\bar{z}}{2}, \frac{z-\bar{z}}{2i}\right), $$

ce qui conduit à écrire

$$ \frac{\partial \tilde{f}}{\partial z} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x} - i \frac{\partial \tilde{f}}{\partial y} \right) \text{ et } \frac{\partial \tilde{f}}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x} + i \frac{\partial \tilde{f}}{\partial y} \right). \qquad (4.7) $$

Dans ce contexte la relation de Cauchy-Riemann prend la forme suivante :

$$ \frac{\partial \tilde{f}}{\partial \bar{z}} = 0, \qquad (4.8) $$

et on aura

$$ f'(z) = \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x} = \frac{\partial \tilde{f}}{\partial \bar{z}} + \frac{\partial \tilde{f}}{\partial z} = \frac{\partial \tilde{f}}{\partial \bar{z}}. \qquad (4.9) $$

Les précautions que nous avons respectées en introduisant les notations $\tilde{f}$ et $\tilde{f}$ sont souvent considérées comme inutiles et il est courant de rencontrer des formules telles que

$$ f'(z) = \frac{\partial f}{\partial z} + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} \text{ et } \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f}{\partial y} \right), $$

qui doivent être manipulées avec prudence.

C'est la relation (4.4) qui permet de saisir à quel point l'hypothèse de dérivabilité de $f$ est plus contrai-
gnante que celle de dérivabilité pour $\tilde{f}$.

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

## 4.2 Intégrales de chemin

**DÉFinition 4.5** Un chemin est une application continue $\gamma$ d'un intervalle fermé borné $[a, b]$ ($a < b$) de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$. L'origine est le point $\gamma(a)$ et l'extrémité le point $\gamma(b)$. Si $\gamma(a) = \gamma(b)$ on dit que le chemin est un lacet.

On supposera désormais que $\gamma$ est de classe $\mathscr{C}^1$ par morceaux, c'est-à-dire qu'il existe une subdivision (finie !) $a = a_0 < a_1 < \cdots < a_n = b$ de $[a, b]$ telle que la restriction de $\gamma$ à $[a_i, a_{i+1}]$ soit de classe $\mathscr{C}^1$. Il importe de distinguer le chemin, qui est une application $[a, b] \to \mathbb{C}$, de son image $\gamma([a, b])$, deux chemins différents étant susceptibles de partager la même image. En fait, nous n'y sacrifierons pas toujours dans le texte, mais le lecteur est vivement invité à garder en mémoire cette distinction.

**DÉFinition 4.6 (Intégrale de Cauchy)** On appelle intégrale (de Cauchy) de $f$ sur le chemin $\gamma$, et on note

$$ \int_{\gamma} f(z) dz = \sum_{i=0, n-1} \int_{[a_i, a_{i+1}]} f \circ \gamma(t) \gamma'(t) dt = \int_{[a, b]} f \circ \gamma(t) \gamma'(t) dt. \qquad (4.10) $$
<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIGURE 4.1 – Chemins et lacets</figcaption></figure>

4.2.1 Changement de paramétrage

Supposons que $\varphi$ soit une bijection de classe $\mathscr{C}^1$ par morceaux, croissante : $[c, d] \subset \mathbb{R} \to [a, b] \subset \mathbb{R}$,
alors $\theta = \gamma \circ \varphi$ est un chemin, de classe $\mathscr{C}^1$ par morceaux, dont l'image est la même que celle de $\gamma$, et
on aura

$$
\begin{align*}
\int_{\gamma} f(z) dz &= \int_{[a,b]} f \circ \gamma(t) \gamma'(t) dt = \int_{\varphi^{-1}[a,b]} f \circ \gamma \circ \varphi(s) \gamma' \circ \varphi(s) |\varphi'(s)| ds \\
&= \int_{[c,d]} f \circ \gamma \circ \varphi(s) \gamma' \circ \varphi(s) \varphi'(s) ds \\
&= \int_{[c,d]} f \circ \theta(s) \theta'(s) ds = \int_{\theta} f(z) dz,
\end{align*}
$$

soit

$$
\int_{\gamma} f(z) dz = \int_{\gamma \circ \varphi} f(z) dz.
$$

C'est dire que $\gamma$ et $\theta$ sont deux chemins équivalents, qu'on ne distinguera pas par la suite. En particulier on pourra toujours supposer que l'intervalle de variation du paramètre est $[0,1]$ (ou $[0,2\pi]$ quand le chemin est un cercle !)

Choisissons maintenant pour $\varphi$ une bijection décroissante : $[c, d] \to [a, b]$, on aura

$$
\begin{align*}
\int_{\gamma} f(z) dz &= \int_{[a,b]} f \circ \gamma(t) \gamma'(t) dt = \int_{[c,d]} f \circ \gamma \circ \varphi(s) \gamma' \circ \varphi(s) |\varphi'(s)| ds \\
&= - \int_{[c,d]} f \circ \theta(s) \theta'(s) ds = - \int_{\theta} f(z) dz.
\end{align*}
$$

L'intégrale de Cauchy ne dépend donc du paramétrage que par l'intermédiaire du sens de parcours du chemin considéré, elle est changée en son opposée quand le sens de parcours est inversé.

Notons également que, si $\gamma$ est un lacet, alors pour $c \in [a, b]$, le chemin $\theta$ défini par

$$
\theta(s) = \gamma(s), c \le s \le b
$$

$$
\theta(s) = \gamma(s - b + a), \quad b \le s \le b + c - a
$$

est équivalent à $\gamma$, ce qui signifie qu'en fait l'origine $a=b$ est sans importance.

<figure><img src="image_42.png" /></figure>
### 4.2.2 Changement de variable

Soit $\psi$ holomorphe au voisinage de $\gamma$ ; on pose

$$h = f \circ \psi,$$

alors

$$ 
\begin{align*}
\int_{\gamma} h(z) \psi'(z) dz &= \int_{[a,b]} h \circ \gamma(t) \psi' \circ \gamma(t) \gamma'(t) dt \\
&= \int_{[a,b]} f \circ \psi \circ \gamma(t) (\psi \circ \gamma)'(t) dt \\
&= \int_{\psi \circ \gamma} f(z') dz',
\end{align*}
$$

soit

$$ \int_{\gamma} f \circ \psi(z) \psi'(z) dz = \int_{\psi \circ \gamma} f(z') dz', \qquad (4.11) $$

formule qui présente une subtile différence (laquelle ?) avec la formule classique du changement de variable.

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>Changement de paramétrage</figcaption></figure>

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>Changement de variable</figcaption></figure>

Contrairement à l'intégrale de Lebesgue, l'intégrale de Cauchy n'est pas une forme linéaire positive, son signe dépend du sens de parcours du chemin et le changement de variable fait intervenir la dérivée de $\psi$ et non pas son module ; c'est qu'ici la notion adéquate n'est pas celle d'intégrale d'une fonction mais celle d'intégrale d'une forme différentielle sur une variété.

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

On notera que malgré une certaine ressemblance superficielle, les formules (4.10) et (4.11) sont de natures différentes : lors d'un changement de paramétrage, la fonction $\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est supposée continue et dérivable par morceaux, tandis que dans un changement de variable $\psi : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ est holomorphe.

Si $b > a$, et $c = [a, b]$, on note couramment

$$ -\int_{b}^{a} f \circ \gamma(t) \gamma'(t) dt = \int_{a}^{b} f \circ \gamma(t) \gamma'(t) dt = \int_{c} f \circ \gamma(t) \gamma'(t) dt = \int_{\gamma} f(z) dz. $$

### 4.2.3 Formes différentielles

Une forme différentielle de degré 0 sur un ouvert $\Omega \subset \mathbb{C}$ est tout simplement une fonction $g : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ ; une forme différentielle $\omega$ de degré 1 sur $\Omega$ est une application $\Omega \to \mathcal{L}(\mathbb{C}; \mathbb{C})$, c'est encore dire que
$\omega(z)$ est une application linéaire de $\mathbb{C}$ dans lui-même, ou encore que $\langle\omega(z), \zeta\rangle = \omega(z)\zeta$. La différentielle extérieure d'une forme différentielle $g$ de degré 0 est la forme différentielle $dg$ de degré 1 donnée par $\langle dg(z), \zeta\rangle = g'(z)\zeta$.

Si $\gamma$ est un chemin, on note $\langle\gamma^*\omega(t), \tau\rangle = \langle\omega(\gamma(t)), \langle\gamma'(t), \tau\rangle\rangle$, ce qui définit également $\gamma^*\omega$ comme une forme différentielle de degré 1 : $\mathbb{R} \to \mathcal{L}(\mathbb{R}; \mathbb{C})$. Par définition,

$$\int_{\gamma} \omega = \int_{a}^{b} \gamma^{*} \omega.$$

L'application identité **1** : $z \to z$ est linéaire, sa différentielle extérieure est donc l'application constante égale à **1** elle même, on la note $dz$. Avec cette notation, on écrira $\zeta = \langle dz, \zeta\rangle$ et $dg(z) = g'(z)dz$ ainsi que $\gamma^*\omega(t) = \omega(\gamma(t))\gamma'(t)dt$.

(i) Si $\omega(z) = f(z)dz$, on aura $\gamma^*\omega(t) = f(\gamma(t))\gamma'(t)dt$ et

$$\int_{\gamma} f(z) dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt.$$

(ii) Si $\omega = dg$, (on dit alors que la forme différentielle $\omega$ est exacte), alors $\gamma^*\omega(t) = g'(\gamma(t))\gamma'(t)dt = (g \circ \gamma(t))' dt$, d'où $\int_{\gamma} \omega = g \circ \gamma(b) - g \circ \gamma(a)$ ; on dit que $\omega$ possède une primitive. Contrairement au cas des fonctions continues de la variable réelle, qui possèdent une primitive, toutes les formes différentielles ne possèdent pas de primitive.

(iii) Une forme différentielle est dite fermée si elle possède localement une primitive. Le fait pour une forme différentielle d'être fermée n'entraîne pas nécessairement qu'elle soit exacte, cela dépend de la géométrie du domaine $\Omega$ considéré.

### 4.2.4 Composition des chemins

On peut également recoller deux chemins : si $\gamma$ est défini sur $[a, b]$ et $\theta$ sur $[c, d]$ et si $\gamma(b) = \theta(c)$, on peut poser par exemple

$$\begin{aligned} \lambda(t) &= \gamma(t), & a \le t \le b \\ \lambda(t) &= \theta(t+c-b), & b \le t \le b+d-c, \end{aligned}$$

et on aura

$$\int_{\lambda} f(z) dz = \int_{\gamma} f(z) dz + \int_{\theta} f(z) dz ;$$

on note $\lambda = \gamma \lor \theta$.

Si $\theta(t) = \gamma(b+a-t)$, alors les chemins $\gamma$ et $\theta$ ont la même image mais sont parcourus en sens inverses et on a

$$\begin{aligned} \int_{\gamma \vee \theta} f(z) dz &= \int_{\gamma} f(z) dz + \int_{a}^{b} f \circ \theta(t) \theta'(t) dt \\ &= \int_{\gamma} f(z) dz - \int_{a}^{b} f \circ \gamma(b+a-t) \gamma'(b+a-t) dt \\ &= \int_{\gamma} f(z) dz - \int_{a}^{b} f \circ \gamma(s) \gamma'(s) ds = 0. \end{aligned}$$
On constate que le lacet $\gamma \lor \theta$ est équivalent à 0, et que l'hypothèse de croissance dans le changement de paramétrage est essentielle à l'invariance de l'intégrale de chemin.

On peut généraliser cette formule au cas où les chemins ne se raccordent pas et poser

$$ \sum_{i=1}^{n} \int_{\gamma_i} f(z) dz = \int_{\lambda} f(z) dz \text{ avec } \lambda = \bigvee_{i=1}^{n} \gamma_i. $$

On appelle $\lambda$ une *chaîne* et, dans le cas où les $\gamma_i$ sont des lacets, un *cycle*.

## 4.3 La théorie locale

Soient $a \in \mathbb{C}$, et $r > 0$, on utilisera essentiellement dans ce paragraphe le chemin circulaire

$$ \gamma_r^a(t) = a + r e^{2i\pi t}, \quad t \in [0, 1], \qquad (4.12) $$

ce qui en fait reposer les résultats (déjà substantiels) sur des calculs explicites extrêmement simples.

### 4.3.1 La formule de Cauchy locale

Il s'agit là d'un résultat intermédiaire nécessaire à la mise en place de la théorie, mais qui sera ultérieurement supplanté par un résultat considérablement plus général.

**LEMME 4.7** *Soit $f$ continue dans la couronne*

$$ \Xi = \{z \in \mathbb{C} | r < |z - a| < R\} $$

et holomorphe, sauf éventuellement en un point, soit $z_0$, alors si $r < \rho < R$,

(i) *L'intégrale*

$$ \int_{\gamma_{\rho}^{a}} f(z) dz $$

est indépendante de $\rho$,

(ii) si de plus $r = 0$, $f$ étant définie et continue en $a$, alors

$$ \int_{\gamma_{\rho}^{a}} f(z) dz = 0. $$

Nous verrons ultérieurement que les hypothèses faites sur $f$ rendent impossible l'existence d'un tel point $z_0$.

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

**DÉMONSTRATION.**

▷ Posons

$$ \mathcal{S}(\rho) = \int_{\gamma_{\rho}^{a}} f(z) dz; $$

selon la formule du changement de variable (4.11), avec $w = z - a$ et $h(w) = f(z)$, on aura

$$ \mathcal{S}(\rho) = \int_{\gamma_{\rho}^{0}} h(w) dw = 2i\pi\rho \int_{0}^{1} h(\rho e^{2i\pi t}) e^{2i\pi t} dt. $$
<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>FIGURE 4.2 – Invariance vis-à-vis du rayon</figcaption></figure>

Ou encore avec $g(w) = wh(w)$,

$$ \mathcal{I}(\rho) = 2i\pi \int_{0}^{1} g(\rho e^{2i\pi t}) dt. $$

Posons $w_0 = z_0 - a$ ; la fonction $\rho \to g(\rho e^{2i\pi t})$ est continue, et pour $\rho \neq |w_0|$ vérifie

$$ \frac{\partial}{\partial \rho} g(\rho e^{2i\pi t}) = e^{2i\pi t} g'(w) = e^{2i\pi t} (h(w) + wh'(w)). $$

Elle est donc continûment dérivable pour $\rho \neq |w_0|$, et par conséquent

$$ \mathcal{I}'(\rho) = 2i\pi \int_{0}^{1} e^{2i\pi t} g'(\rho e^{2i\pi t}) dt = \frac{1}{\rho} \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial t} g(\rho e^{2i\pi t}) dt = 0. $$

Il en résulte que $\mathcal{I}$ est séparément constante sur $[r, |z_0|]$ et $[|z_0|, R]$, et comme elle est continue, qu'elle est en fait globalement constante sur $[r, R]$.

► Si de plus $r = 0$, on a

$$ \mathcal{I}(\rho) = \lim_{\rho \to 0} \mathcal{I}(\rho) = 2i\pi \int_{0}^{1} g(0) dt = 0. $$

Q.E.D.

LEMME 4.8 Si $z_0 \in \mathbb{C}$ et $r \neq |z_0 - a|$, alors

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

$$ \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma_r^a} \frac{dz}{z - z_0} = \begin{cases} 0 & \text{si } r < |z_0 - a| \\ 1 & \text{si } r > |z_0 - a| \end{cases} \qquad (4.13) $$

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

La structure de cette formule n'est pas sans rappeler celle des formules de représentation intégrale de la théorie du potentiel; nous aurons l'occasion de constater par la suite que cette ressemblance n'est pas fortuite. Notons bien que la fonction $(z - z_0)^{-1}$ n'est pas susceptible du lemme 4.7 car elle n'est pas continue en $z_0$.

DÉMONSTRATION. Avec $w = z - a$ et $w_0 = z_0 - a$, on aura

$$ \int_{\gamma_r^a} \frac{dz}{z - z_0} = \int_{\gamma_r^0} \frac{dw}{w - w_0} $$
► Pour $|w| = r < |w_0|,$

$$ \frac{1}{w - w_0} = \frac{1}{w_0} \frac{1}{w/w_0 - 1} = -\frac{1}{w_0} \sum_{n \in \mathbb{N}} \left(\frac{w}{w_0}\right)^n . $$

Comme le rayon de convergence de cette série est égal à $|\zeta_0|$, elle est uniformément convergente sur $\gamma_r^0$, et par conséquent

$$ \int_{\gamma_r^0} \sum_{n \in \mathbb{N}} \left(\frac{w}{w_0}\right)^n dw = \sum_{n \in \mathbb{N}} \int_{\gamma_r^0} \left(\frac{w}{w_0}\right)^n dw, $$

d'où

$$ \int_{\gamma_r^0} \frac{dw}{w - w_0} = -\frac{1}{w_0} \sum_{n \in \mathbb{N}} \int_{\gamma_r^0} \left(\frac{w}{w_0}\right)^n dw = -2i\pi \sum_{n \in \mathbb{N}} \left(\frac{r}{w_0}\right)^{n+1} \int_0^1 e^{2i\pi(n+1)t} dt = 0. $$

► De même, si $|w| = r > |w_0|,$

$$ \frac{1}{w} \frac{1}{1 - w_0/w} = \frac{1}{w} \sum_{n \in \mathbb{N}} \left(\frac{w_0}{w}\right)^n, $$

d'où

$$ \int_{\gamma_r^0} \frac{1}{\zeta} \sum_{n \in \mathbb{N}} \left(\frac{w_0}{w}\right)^n dw = 2i\pi \sum_{n \in \mathbb{N}} \left(\frac{w_0}{r}\right)^n \int_0^1 \frac{dt}{e^{2i\pi nt}}, $$

soit en fait

$$ \int_{\gamma_r^a} \frac{dz}{z - z_0} = 2i\pi \int_0^1 dt = 2i\pi. $$

Q.E.D.

**THÉORÈME 4.9 (Formule de Cauchy locale)** Si $f$ est holomorphe dans le disque $|z - a| < R$, et si $z_0$ appartient à ce disque avec $|z_0 - a| < r < R$, alors

$$ f(z_0) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma_r^a} \frac{f(z)}{z - z_0} dz. \qquad (4.14) $$

Il s'agit bien là d'une formule de représentation intégrale : la valeur de $f$ en tout point du disque ouvert de rayon $r$ peut être explicitement obtenue à partir de sa trace sur le bord de ce disque.

**DÉMONSTRATION.** On pose

$$ \varphi(z) = \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}, \quad z \neq z_0 \text{ et } \varphi(z_0) = f'(z_0). $$

Comme $f$ est holomorphe, la fonction $\varphi$ est continue dans le disque, et elle y est holomorphe, sauf peut-être en $z_0$. D'après le lemme **4.7** on aura

$$ \int_{\gamma_r^a} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} dz = \int_{\gamma_r^a} \varphi(z) dz = 0, $$

mais le lemme **4.8** nous montre que

$$ \int_{\gamma_r^a} \frac{f(z_0)}{z - z_0} dz = 2i\pi f(z_0), $$

d'où le résultat.

Q.É.D.
<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>FIGURE 4.3 – Formule de Cauchy</figcaption></figure>

### 4.3.2 Développement en série

**THÉORÈME 4.10** Si $f$ est holomorphe dans le disque $|z-a| < R$, alors

$$f(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n (z-a)^n, \text{ où } a_n = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma_r^a} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}} d\zeta, \forall |z-a| < r < R, \quad (4.15)$$

et le rayon de convergence de la série est supérieur ou égal à $R$.

**DÉMONSTRATION.** Soient $z$ et $r$ tels que $|z-a| < r < R$ ; en vertu du théorème 4.9, on a

$$f(z) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma_r^a} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta,$$

mais, si $w = \zeta - a$,

$$\frac{1}{\zeta - z} = \frac{1}{w - (z - a)} = \frac{1}{w} \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( \frac{z - a}{w} \right)^n,$$

d'où

$$f(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{(z-a)^n}{2i\pi} \int_{\gamma_r^a} \frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}} d\zeta,$$

et le résultat.

Q.E.D.

La conséquence suivante est tout-à-fait remarquable, et n'a pas son équivalent pour les fonctions de variable réelle :

**COROLLAIRE 4.11** Une fonction holomorphe est analytique.

Il y a donc coïncidence entre fonctions holomorphes et fonctions analytiques d'une variable complexe. En particulier les fonctions holomorphes sont indéfiniment dérivables et sont sujettes au principe du prolongement analytique.

**PROPOSITION 4.12 (Inégalités de Cauchy)** Soit $f$ holomorphe dans un ouvert contenant le disque $|z-a| \le$

r, alors

$$|f^{(n)}(a)| \le \frac{n!}{r^n} \sup_{z \in \gamma_r^a} |f(z)|. \quad (4.16)$$
<figure><img src="image_52.png" /></figure>

Il s'agit là en fait d'une version renforcée de l'inégalité (2.2) dont nous avons dû faire l'hypothèse pour démontrer qu'une fonction de variable réelle indéfiniment dérivable est analytique, alors qu'elle est automatically vérifiée dans le cas d'une fonction holomorphe.

**DÉMONSTRATION.** En vertu de la proposition **1.29**, on aura en effet $f^{(n)}(a) = n!a_n$, or selon (4.15)

$$a_n = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma_r^a} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}} d\zeta,$$

d'où

$$|a_n| \le \frac{1}{2\pi} \int_{\gamma_r^a} \frac{|f(\zeta)|}{|\zeta - a|^{n+1}} d\zeta \le \frac{1}{2\pi} \sup_{\zeta \in \gamma_r^a} |f(\zeta)| \frac{2\pi r}{r^{n+1}} = \frac{1}{r^n} \sup_{\zeta \in \gamma_r^a} |f(\zeta)|, \quad (4.17)$$

et par conséquent

$$|f^{(n)}(a)| = n! |a_n| \le \frac{n!}{r^n} \sup_{\zeta \in \gamma_r^a} |f(\zeta)|.$$

Q.E.D.

**THÉORÈME 4.13 (Théorème de Liouville)** Une fonction entière f vérifiant

$$|f(z)| \le C (1 + |z|)^p,$$

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

où $p$ est un entier positif ou nul, est un polynôme de degré $p$ au plus. En particulier une fonction entière bornée est constante.

**DÉMONSTRATION.** D'après la formule (4.17), comme $f$ est la somme d'une série entière de rayon de convergence infini, on aura $\forall n, r$

$$|a_n| \le \frac{C(1+r)^p}{r^n},$$

$$\text{d'où } a_n = 0, \forall n > p, \text{ soit } f(z) = \sum_{n=0}^{p} a_n z^n.$$

Q.E.D.

Il n'existe bien sûr aucun résultat de ce type pour les fonctions de variable réelle.

**COROLLAIRE 4.14 (Théorème de d'Alembert) Un polynôme non constant possède au moins une racine complexe.**

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

**DÉMONSTRATION.** Considérons un polynôme $P(z)$ de degré $n$, et la fonction $f(z) = 1/P(z)$. Si $P(z)$ ne s'annule pas sur $\mathbb{C}$, elle est continûment dérivable et donc entière, et de plus bornée. En effet si on suppose que $a_n \neq 0$

$$P(z) = \sum_{k=0}^{n} a_k z^k = z^n \sum_{k=0}^{n} \frac{a_k}{z^{n-k}},$$

ce qui prouve que $|P(z)| \to \infty$ quand $|z| \to \infty$, et donc que $f(z)$ est bornée en dehors d'un disque compact; comme d'autre part $f(z)$ est continue, elle est bornée sur ce disque. Il en résulte que $f(z)$ et donc $P(z)$ est constant.

Q.E.D.
**COROLLAIRE 4.15** Si les racines $a_i$, $i = 1, m$ du polynôme $P(z)$ ont pour multiplicité $k_i$, alors il existe une constante $c$ telle que

$$P(z) = c \prod_{i=1}^{m} (z - a_i)^{k_i}$$

où $k = \sum_{i=1,m} k_i$, et $k$ est le degré de $P$.

**DÉMONSTRATION.** En effet, un développement de Taylor nous fournit

$$P(z) = P(a_i) + (z - a_i)Q(z),$$

où $Q(z)$ est un polynôme de degré $k-1$, soit si $a_i$ est une racine, $P(z) = (z - a_i)Q(z)$. En réitérant l'opération, ce qui est toujours possible jusqu'à ce que $Q(z)$ soit constant, et compte tenu du corollaire précédent, on obtient la formule annoncée.

Q.E.D.

### 4.3.3 Développement en série de Laurent

Nous venons de voir qu'une fonction entière dont le comportement à l'infini se compare à une puissance n'est rien de plus qu'un polynôme, il est donc particulièrement naturel de s'intéresser à des fonctions qui ne sont pas holomorphes dans tout le plan, et en particulier à des fonctions qui ne sont holomorphes qu'à l'extérieur d'un disque ou plus généralement dans une couronne.

**THÉORÈME 4.16** Si $f(z)$ est holomorphe dans la couronne $\Xi = \{z \in \mathbb{C} | r < |z-a| < R\}$, alors, $\forall z \in \Xi$, on

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

où

$$f(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n (z-a)^n, \qquad (4.18)$$

$$c_n = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma_{\rho}^a} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}} d\zeta \quad \forall \rho \text{ tel que } r < \rho < R, \qquad (4.19)$$

et la série converge normalement dans toute couronne $\Xi' = \{z \in \mathbb{C} | r' < |z-a| < R'\}$ où $r < r' < R' < R$.

Il s'agit donc d'une simple généralisation de la formule (4.15) qui fournit les coefficients du développement en série entière d'une fonction holomorphe dans un disque.

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>**FIGURE 4.4 – Développement de Laurent**</figcaption></figure>

**DÉMONSTRATION.** Par changement de variable on se ramène au cas où $a = 0$ en posant $w = z - a$ et $h(w) = f(z)$.
► Comme $\theta \to h(\rho e^{i\theta})$, est continûment dérivable et périodique sur $[0, 2\pi]$, en vertu du corollaire 3.5, elle peut être développée en série de Fourier uniformément convergente; on aura alors

$$h(\rho e^{i\theta}) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n(\rho) e^{in\theta} \text{ où } a_n(\rho) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} h(\rho e^{i\theta}) e^{-in\theta} d\theta.$$

Si on pose $g(\rho, \theta) = h(\rho e^{i\theta})$, on obtient

$$\frac{\partial g}{\partial \theta}(\rho, \theta) = i \rho e^{i\theta} h'(\rho e^{i\theta}) \text{ et } \frac{\partial g}{\partial \rho}(\rho, \theta) = e^{i\theta} h'(\rho e^{i\theta}) = -\frac{i}{\rho} \frac{\partial g}{\partial \theta}(\rho, \theta),$$

d'où, en intégrant par parties,

$$\begin{aligned} a'_{n}(\rho) &= -\frac{i}{2\pi\rho} \int_{0}^{2\pi} \frac{\partial g}{\partial \theta}(\rho, \theta) e^{-in\theta} d\theta = \frac{n}{2\pi\rho} \int_{0}^{2\pi} g(\rho, \theta) e^{-in\theta} d\theta - \frac{i}{2\pi\rho} [g(\rho, \theta) e^{-in\theta}]_{0}^{2\pi} \\ &= \frac{n}{2\pi\rho} \int_{0}^{2\pi} h(\rho e^{i\theta}) e^{-in\theta} d\theta = \frac{n}{\rho} a_{n}(\rho). \end{aligned}$$

Il en résulte que $a_n$ est de la forme

$$a_n(\rho) = c_n \rho^n,$$

soit

$$h(\rho e^{i\theta}) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n e^{in\theta} \rho^n \text{ ou encore } h(w) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n w^n.$$

► La série $\sum_{n \in \mathbb{N}} c_n w^n$ est normalement convergente sur $[0, R']$ dès que $R' < R$, en effet

$$\begin{aligned} |c_n \rho^n| &= |a_n(\rho)| = \frac{1}{2\pi} \left| \int_0^{2\pi} h(\rho e^{i\theta}) e^{-in\theta} d\theta \right| \\ &\le \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |h(\rho e^{i\theta})| d\theta \le M(\rho) = \sup_{\theta \in [0, 2\pi]} |h(\rho e^{i\theta})|. \end{aligned}$$

d'où

$$\sum_{n \in \mathbb{N}} |c_n|(R')^n = \sum_{n \in \mathbb{N}} |c_n|R^n \left(\frac{R'}{R}\right)^n \le M(R) \sum_{n \in \mathbb{N}} \left(\frac{R'}{R}\right)^n = \frac{M(R)}{1-R'/R} = M(R) \frac{R}{R-R'}$$

► De même la série $\sum_{n<0} c_n w^n$ est normalement convergente sur $[r', +\infty]$ dès que $r' > r$ car

$$\sum_{n<0} |c_n|(r')^n = \sum_{n \ge 1} |c_{-n}| r^{-n} \left(\frac{r}{r'}\right)^n \le M(r) \sum_{n \ge 1} \left(\frac{r}{r'}\right)^n = M(r) \frac{r/r'}{1-r/r'} = M(r) \frac{r}{r'-r}$$

► En conclusion, on aura

$$f(z) = h(w) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n (z - a)^n,$$

avec

$$c_n = a_n(\rho) \rho^{-n} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(a + \rho e^{i\theta}) (\rho e^{i\theta})^{-n} d\theta = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma_\rho^a} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - a)^{n+1}} d\zeta \text{ pour } r < \rho < R.$$

Q.E.D.

Un développement en série de Laurent $\sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n (z-a)^n$ se présente donc sous la forme de la somme de deux séries entières, l'une d'entre elles $\sum_{n \in \mathbb{N}} c_n (z-a)^n$ convergeant dans le disque de rayon $R$, et l'autre $\sum_{m>0} c_{-m} (z-a)^{-m}$, relative à la variable $1/(z-a)$, convergeant à l'extérieur du disque de rayon $r$.
# Chapitre 5

# La théorie de Cauchy globale

Au chapitre précédent, la formule de Cauchy (4.14) a été obtenue comme le résultat d'un calcul explicite relatif à une intégrale sur un cercle. En fait on peut montrer que ce résultat s'étend à une grande variété de chemins, au prix de l'abandon du caractère explicite des calculs.

## 5.1 L'indice d'un point par rapport à un lacet

La formule (4.13) nous a montré que

$$ \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma_r^a} \frac{dz}{z-z_0} = \begin{cases} 0 & \text{si } r < |z_0 - a| \\ 1 & \text{si } r > |z_0 - a| \end{cases} $$

De façon plus générale

**DÉFINITION 5.1** Pour $a \notin \gamma$, la quantité

$$ n(\gamma; a) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{1}{z-a} dz \qquad (5.1) $$

est un entier relatif appelé indice du point $a$ par rapport au lacet $\gamma$.

**DÉMONSTRATION.** Selon le changement de variable $w = z - a$ et avec $\delta(s) = \gamma(s) - a$, on aura $n(\gamma; a) = n(\delta; 0)$. Choisisons le paramétrage du lacet $\delta$ de telle sorte que $\delta(0) = \delta(1)$ et posons

$$ g(t) = \int_{0}^{t} \frac{\delta'(s)}{\delta(s)} ds ; $$

on aura donc

$$ g(1) = \int_{0}^{1} \frac{\delta'(s)}{\delta(s)} ds = 2i\pi n(\delta; 0) \text{ et } g'(t) = \frac{\delta'(s)}{\delta(s)}, $$

d'où

$$ \frac{d}{dt} (e^{-g(t)} \delta(t)) = -\frac{\delta'(t)}{\delta(t)} e^{-g(t)} \delta(t) + e^{-g(t)} \delta'(t) = 0. $$

Il en résulte que

$$ \delta(0) = e^{-g(0)} \delta(0) = e^{-g(1)} \delta(1) = e^{-g(1)} \delta(0), $$

soit

$$ e^{-g(1)} = 1, $$

et par conséquent $2i\pi n(\delta; 0) = g(1) = 2i\pi k$, où $k$ est un entier relatif.

Q.E.D.
Dans le cas où $\lambda = \bigvee_{i=1}^n \gamma_i$ est un cycle, on posera

$$n(\lambda; a) = \sum_{i=1}^{n} n(\gamma_i; a).$$

### 5.1.1 Calcul pratique de l'indice

En anglais, de façon tout-à-fait judicieuse l'indice s'appelle winding number (nombre d'enroulement). Dans l'appendice C on montre qu'une méthode pratique de calcul de l'indice du point a par rapport au lacet $\gamma$ est la suivante :

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

On trace une droite $\Delta$ passant par a, on repère les intersections $m_i$ de $\Delta$ avec $\gamma$, à chacune desquelles on associe le nombre $+1$ si, vu de a, $\gamma$ est parcourue dans le sens direct au voisinage de $m_i$, et le nombre $-1$ si $\gamma$ est parcourue dans le sens rétrograde. L'indice est alors la demi-somme de tous ces nombres.

**PROPOSITION 5.2** Soit $\gamma$ un lacet

(i) $n(\gamma; a)$ est constant sur chaque composante connexe de $C \setminus \{\gamma\}$.

(ii) Si D est la composante connexe non bornée de $C \setminus \{\gamma\}$, alors $\forall a \in D$, on $a n(\gamma; a) = 0$.

**DÉMONSTRATION.**

► Soient D l'une des composantes connexes de $C \setminus \{\gamma\}$ et $a \in D$. Notons $f(x) = n(\gamma; x)$ et posons

$$H = \{x \in D | f(x) = f(a)\} ;$$

l'ensemble H est fermé, puisque f est continue, mais si $y \in H$, toujours par continuité, $\exists r$ tel que $|f(y) - f(x)| \le 1/2, \forall x \in B_r(y)$. En fait comme f ne prend que des valeurs entières, on aura $f(x) = f(y), \forall x \in B_y(r)$, ce qui prouve que $B_r(y) \subset H$, et par conséquent que H est ouvert. Par connexité de D il en résulte que $H = D$, c'est-à-dire que f est constante sur chaque composante connexe de $C \setminus \{\gamma\}$, et en particulier sur celle qui contient l'extérieur d'un quelconque disque contenant $\gamma$.

► Comme $\gamma$ est continue, son image est bornée, elle est donc contenue dans un disque, soit $\Delta$. Si a appartient au complémentaire de $\Delta$, la composante connexe D de a n'est pas bornée et contient l'extérieur de $\Delta$. C'est la seule composante connexe non bornée de $C \setminus \{\gamma\}$, car d'une part toute autre composante non bornée rencontrerait l'extérieur de $\Delta$ et d'autre part deux composantes connexes distinctes sont nécessairement disjointes.

► Soit $z \in \Omega$, on peut choisir b suffisamment grand pour que $\pi|z - b| > \int_{\gamma} |d\zeta| = \int_{0}^{1} |\gamma'(s)| ds$ et par conséquent $|n(\gamma; b)| < 1/2$, il en résulte que $n(\gamma; b) = 0$, et comme l'indice est constant sur chaque composante connexe, $n(\gamma; a) = 0 \forall a \in D$.

Q.E.D.

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>FIGURE 5.1 – trois composantes connexes</figcaption></figure>
## 5.2 La formule de Cauchy globale

### DÉFINITION 5.3

(i) Soient $\gamma_1$ et $\gamma_2$ deux lacets dans l'ouvert $\Omega$, on dit que $\gamma_1$ et $\gamma_2$ sont homologues dans l'ouvert $\Omega$ si $n(\gamma_1; w) = n(\gamma_2; w)$ pour tout point $w$ extérieur à $\Omega$.

(ii) On dit qu'un lacet $\gamma$ est homologue à 0, s'il est homologue à un chemin constant, c'est-à-dire dont l'image est réduite à un point; c'est encore dire que $n(\gamma; w) = 0$, $\forall w \notin \Omega$.

On constate aisément que la relation d'homologie constitue une relation d'équivalence. Nonobstant la référence à Cauchy, la démonstration du théorème qui suit sous sa forme générale est récente.

**THÉORÈME 5.4 (Formule de Cauchy : Dixon)** Soit $\Omega$ un ouvert et $f$ une fonction analytique sur $\Omega$ ; si $\gamma$ est un lacet homologue à 0 dans $\Omega$, alors on a

$$ \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z-a} dz = n(\gamma; a) f(a), \forall a \in \Omega \setminus \{\gamma\}. \qquad (5.2) $$

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>Chemin non homologue à 0</figcaption></figure>

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>Chemin homologue à 0.</figcaption></figure>

$\Omega$ est la zone grisée

$\Omega$ est le complémentaire de la zone grisée

### DÉMONSTRATION.

▷ Posons

$$ \varphi(z, w) = \frac{f(z) - f(w)}{z - w}, \quad z \neq w \text{ et } \varphi(w, z) = f'(w); $$

la fonction $\varphi$ est continue et holomorphe en $z$ en dehors de la diagonale, mais de plus

$$ \begin{align*} \varphi(z, w) - \varphi(w, z) &= \frac{f(z) - f(w)}{z-w} - f'(w) \\ &= \frac{f'(w)(z-w) + f''(w)(z-w)^2}{z-w} + o\left(\frac{1}{(z-w)^2}\right) - f'(w) \\ &= \frac{f''(w)}{2}(z-w) + o(z-w), \end{align*} $$

ce qui prouve que $z \to \varphi(z, w)$ est dérivable, et que

$$ \frac{\partial \varphi}{\partial z}(w, w) = \frac{f''(w)}{2}. $$
Par ailleurs, pour $z \neq w$,

$$
\begin{align*}
\frac{\partial \varphi}{\partial z}(z, w) &= \frac{f'(z)(z-w) - (f(z)-f(w))}{(z-w)^2} \\
&= \frac{f'(w)(z-w) + f''(w)(z-w)^2 - f'(w)(z-w) - f''(w)(z-w)^2}{2 + o((z-w)^2)} \\
&= \frac{f''(w)}{2} + \frac{o((z-w)^2)}{(z-w)^2},
\end{align*}
$$

puisque $f$ est indéfiniment dérivable d'après le corollaire **4.11**. Il en résulte que $z \to \varphi(z, w)$ est continûment dérivable, c'est-à-dire holomorphe.

▷ On pose alors

$$
H = \{w \in \mathbb{C} \setminus \{\gamma\} \mid n(\gamma; w) = 0\},
$$

c'est une union de composantes connexes de $\mathbb{C} \setminus \{\gamma\}$ d'après la proposition 5.2, et donc un ouvert de $\mathbb{C}$, d'après le

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>FIGURE 5.2 – L’ensemble H</figcaption></figure>

corollaire **D.12**, puisque $\mathbb{C}\setminus\{\gamma\}$ est un ouvert de $\mathbb{C}$ ; de plus $\mathbb{C}=H\cup\Omega$, puisque $n(\gamma;w)=0$ dans $\bar{\Omega}^c$. Posons

$$
g(z) = \int_{\gamma} \varphi(z, w) dw, \quad z \in \Omega \text{ et } g(z) = \int_{\gamma} \frac{f(w)}{w-z} dw, \quad z \in H,
$$

définition dont la cohérence mérite d'être vérifiée pour $z \in \Omega \cap H$. C'est bien le cas car si $z \in \Omega$,

$$
\begin{align*}
\int_{\gamma} \varphi(z, w) dw &= \int_{\gamma} \frac{f(z) - f(w)}{z-w} dw = f(z) \int_{\gamma} \frac{dw}{z-w} - \int_{\gamma} \frac{f(w)}{z-w} dw \\
&= -f(z) \int_{\gamma} \frac{dw}{w-z} + \int_{\gamma} \frac{f(w)}{w-z} dw \\
&= -2i\pi n(\gamma; z) f(z) + \int_{\gamma} \frac{f(w)}{w-z} dw
\end{align*}
$$

soit

$$
\int_{\gamma} \varphi(z, w) dw = \int_{\gamma} \frac{f(w)}{w-z} dw \text{ pour } z \in \Omega \cap H.
$$

▷ La fonction $g$ est analytique dans $\Omega$ et dans $H$, et c'est par conséquent une fonction entière ; elle tend vers 0 au voisinage de l'infini car ce dernier est inclus dans $H$, elle est donc nulle d'après le théorème de Liouville **4.13**. C'est dire que

$$
0 = g(a) = \int_{\gamma} \frac{f(a) - f(z)}{a-z} dz = f(a) \int_{\gamma} \frac{dz}{a-z} - \int_{\gamma} \frac{f(z)}{a-z} dz, \forall a \in \Omega \setminus \{\gamma\},
$$

soit

$$
\int_{\gamma} \frac{f(z)}{z-a} dz = 2i\pi n(\gamma; a) f(a), \forall a \in \Omega \setminus \{\gamma\}.
$$
Q.E.D.

En appliquant le théorème précédent à la fonction $g(z) = (z - a)f(z)$, on obtient le

**COROLLAIRE 5.5 (Théorème de Cauchy)** Soit $\Omega$ un ouvert et $f$ une fonction analytique sur $\Omega$. Si $\gamma$ est un lacet homologue à 0 dans $\Omega$,

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

$$ \int_{\gamma} f(z) dz = 0. $$

Notons qu'une démonstration tout-à-fait analogue montre que les théorèmes précédents s'appliquent également à des cycles composés d'un nombre fini de lacets. Une autre expression du théorème de Cauchy est la suivante : l'intégrale d'une fonction holomorphe le long d'un lacet ne dépend que de la classe d'homologie de ce lacet.

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

Remarquons par ailleurs que la formule de Cauchy (5.2) nous permet également d'accéder aux dérivées de $f$ par dérivation sous le signe somme :

$$ n(\gamma; a)f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} dz. \qquad (5.3) $$

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

Voici maintenant un résultat remarquable, réciproque du théorème de Cauchy **5.5**, particulièrement utile lorsqu'il s'agit de démontrer qu'une fonction est holomorphe.

**PROPOSITION 5.6 (Théorème de Morera)** Si $\Omega$ est un ouvert, et $f$ une fonction continue sur $\Omega$, alors $f$ est holomorphe dans $\Omega$ dès que

$$ \int_{\partial T} f(z) dz = 0 \qquad (5.4) $$

pour tout triangle $T$ contenu dans $\Omega$.

Notons bien que $f$ peut être holomorphe dans $\Omega$ sans que (5.4) soit vérifiée, cela dépend en fait des propriétés géométriques de $\Omega$, ainsi que nous le verrons plus précisément au paragraphe **5.5**.

**DÉMONSTRATION.** Soit $a \in \Omega$, il existe un disque $B$ de centre $a$ contenu dans $\Omega$. Notons $[a, b]$ le chemin rectiligne joignant $a$ à $b$. Pour $z \in B$, posons

$$ F(z) = \int_{[a,z]} f(w) dw. $$

Si $z_0 \in B$, le triangle de sommets $a, z$ et $z_0$ est inclus dans $B$ et par hypothèse, on aura

$$ \int_{[a,z] \cup [z_0,z] \cup [z_0,a]} f(w) dw = 0, \text{ d'où } F(z) = \int_{[a,z_0] \cup [z_0,z]} f(w) dw. $$

Il en résulte que le quotient différentiel de $F$ en $z_0$ a pour expression

$$ \frac{F(z) - F(z_0)}{z - z_0} = \frac{1}{z - z_0} \int_{[z_0, z]} f(w) dw, $$

d'où

$$ \frac{F(z) - F(z_0)}{z - z_0} - f(z_0) = \frac{1}{z - z_0} \int_{[z_0, z]} (f(w) - f(z_0)) dw, $$

puisque

$$ \frac{1}{z - z_0} \int_{[z_0, z]} dw = \frac{1}{z - z_0} \int_{0}^{1} (z - z_0) dt = 1. $$
Par conséquent

$$
\left| \frac{F(z) - F(z_0)}{z - z_0} - f(z_0) \right| \le \sup_{w \in [z_0, z]} |f(w) - f(z_0)|,
$$

d'où

$$
\frac{F(z) - F(z_0)}{z - z_0} \rightarrow f(z_0) \text{ quand } z \rightarrow z_0.
$$

Nous avons donc montré que *F* était dérivable, avec pour dérivée *f*, par hypothèse continue. Il en résulte que *F* est holomorphe et par conséquent indéfiniment dérivable ; il en est donc bien sûr de même de sa dérivée *f*.

Q.E.D.

LEMME 5.7 (Cantor) Si les $\Delta_n$, $n \in \mathbb{N}$ forment une suite de fermés non vides emboîtés dans un espace métrique complet et si $\text{diam } \Delta_n \to 0$, alors $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Delta_n$ se compose d'un point unique.

DÉMONSTRATION. Considérons une suite $x_n \in \Delta_n$, elle est de Cauchy et converge par conséquent, soit vers $x$, et il est clair que $x \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Delta_n$. Supposons qu'il existe un autre point $y \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Delta_n$ ; $\forall \varepsilon$ on aura $d(x, y) < \varepsilon$, d'où $y = x$.

Q.E.D.

<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>FIGURE 5.3 – Triangles emboîtés</figcaption></figure>

PROPOSITION 5.8 (Théorème de Goursat) Si $\Omega$ est un ouvert, et si $f$ est dérivable dans $\Omega$, alors $f$ est holomorphe dans $\Omega$.

DÉMONSTRATION. Nous démontrerons que $f'$ est continue au voisinage de tout point de $\Omega$ à l'aide du théorème de Morera 5.6.

► Soit donc $\Delta$ un triangle dans le disque $D \subset \Omega$ et $\delta$ son bord. A l'aide des points milieux sur chaque côté de $\Delta$, on peut le subdiviser en quatre triangles égaux $\Delta_i$, $i = 1, 4$, de bords $\delta_i$ ; si on décide de parcourir chaque $\delta_i$ dans le même sens que $\delta$, on a

$$
\int_{\delta} f(z) dz = \sum_{i=1}^{4} \int_{\delta_i} f(z) dz,
$$

ainsi que $|\delta_i| = |\delta|/2$ et $\text{diam } \Delta_i = \text{diam } \Delta/2$. Soit alors $\delta^{(1)}$ l'un des $\delta_i$ tel que

$$
\left| \int_{\delta^{(1)}} f(z) dz \right| \geq \left| \int_{\delta_i} f(z) dz \right|, \quad i = 1, 4,
$$

on aura

$$
\left| \int_{\delta} f(z) dz \right| \le 4 \left| \int_{\delta^{(1)}} f(z) dz \right|.
$$
En réitérant le processus (voir la figure 5.3), on construit une suite de triangles $\Delta^{(n)}$ de bords $\delta^{(n)}$ vérifiant

$$ 
\begin{gathered}
\Delta^{(1)} \supset \Delta^{(2)} \supset \dots \supset \Delta^{(n)} \supset \dots \\
\operatorname{diam} \Delta^{(n)} = 2^{-n} \operatorname{diam} \Delta, \quad |\delta^{(n)}| = 2^{-n} |\delta| \\
\left|\int_{\delta} f(z) dz\right| \le 4^n \left|\int_{\delta^{(n)}} f(z) dz\right|
\end{gathered}
$$

Selon le lemme 5.7, il en résulte que $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Delta^{(n)}$ est réduite à un point unique, soit $z_0$.

► Soit alors $\varepsilon > 0$, comme $f$ est dérivable en $z_0$ il existe $\eta$ tel que pour $0 < |z - z_0| < \eta$, on ait

$$ |f(z) - f(z_0) - (z - z_0) f'(z_0)| < \varepsilon |z - z_0| $$

Pour $n$ suffisamment grand, on aura $\operatorname{diam} \Delta^{(n)} < \eta$, et comme $z_0 \in \Delta^{(n)}$, il en résulte que $\Delta^{(n)} \subset B_{\eta}(z_0)$. On aura

$$ \int_{\delta^{(n)}} f(z) dz = \int_{\delta^{(n)}} (f(z) - f(z_0) - (z - z_0) f'(z_0)) dz $$

car d'après le corollaire 5.5, comme $\delta^{(n)}$ est homologue à 0 dans $\Omega$,

$$ 0 = \int_{\delta^{(n)}} dz = \int_{\delta^{(n)}} z \, dz. $$

► Il en résulte que

$$ \left|\int_{\delta^{(n)}} f(z) dz\right| \le \varepsilon \int_{\delta^{(n)}} |z - z_0| dz \le \varepsilon \operatorname{diam} \Delta^{(n)} |\delta^{(n)}| \le \varepsilon 4^{-n} |\delta| \operatorname{diam} \Delta, $$

et par conséquent

$$ \left|\int_T f(z) dz\right| \le \varepsilon |T| \operatorname{diam} \Delta, $$

d'où $\int_{\delta} f(z) dz = 0$. D'après la proposition 5.6, il en résulte que $f$ est holomorphe.

Q.E.D.

On constate donc qu'en fait il est tout-à-fait possible de définir une fonction holomorphe comme étant dérivable, sans hypothèse de continuité de la dérivée ; c'est d'ailleurs un choix fréquent dans la littérature. L'avantage de la présentation que nous avons choisie réside dans le fait qu'elle permet de disjoindre la démonstration du théorème de Cauchy de celle du théorème de Goursat, dont l'utilité est d'ailleurs plus théorique que pratique.

<figure><img src="image_67.png" /></figure>

**REMARQUE 5.9** On doit noter que lors de la preuve de la Proposition 5.8 les deux résultats qui sont intervenus dans la démonstration sont d'une part le théorème de Cauchy 5.5 appliqué à la fonction constante et à la fonction $f(z) = z$, qui sont à l'évidence analytiques, ainsi que le théorème de Morera qui ne nécessite que la continuité de $f$, et qu'il n'a donc pas été utilisé de résultat faisant intervenir la continuité de la dérivée de $f$.

## 5.3 Le principe de symétrie

Notons $P^+$ et $P^-$ les demi-plans respectifs des complexes dont la partie imaginaire est positive ou négative.
**PROPOSITION 5.10** Soit $U$ un ouvert de $P^+$, dont le bord contient une partie ouverte $\beta$ de l'axe réel. Soit $f$ une fonction holomorphe dans $U$, continue sur l'adhérence de $U$, et telle que $f(\beta)$ soit réel. Soit enfin $\hat{U}$ le symétrique de $U$ par rapport à l'axe réel, alors la fonction $g$ définie selon

<figure><img src="image_68.png" /></figure>

$$g(z) = \overline{f(\tilde{z})}, z \in \hat{U}$$

prolonge la fonction $f$ en une fonction holomorphe définie sur $U \cup \delta \cup \hat{U}$.

**DÉMONSTRATION.** Montrons que $g(z)$ est holomorphe dans $\hat{U}$. On aura en effet

$$\left( \frac{\partial \tilde{g}}{\partial x}, \frac{\partial \tilde{g}}{\partial y} \right) = \left( \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x}, -\frac{\partial \tilde{f}}{\partial y} \right),$$

et par conséquent

$$\frac{\partial \tilde{g}}{\partial x} + i \frac{\partial \tilde{g}}{\partial y} = \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x} - i \frac{\partial \tilde{f}}{\partial y} = \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x} + i \frac{\partial \tilde{f}}{\partial y} = 0$$

en vertu des relations de Cauchy-Riemann (4.4). Comme de plus $g(z) = f(z)$, pour $z \in \beta$, le lemme 5.11 ci-dessous permet de conclure.

Q.E.D.

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIGURE 5.4 – Le principe de symétrie</figcaption></figure>

**LEMME 5.11** Si $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{C}$, et si la fonction $f$ est continue et séparément holomorphe dans $\Omega \cap P^+$ et $\Omega \cap P^-$, alors $f$ est holomorphe dans $\Omega$.

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

**DÉMONSTRATION.** Soit donc un point $z_0$ de $\Omega$ situé sur l'axe réel, nous montrerons que $f$ est holomorphe au voisinage de $z_0$. Considérons un disque $B(z_0)$ de centre $z_0$ inclus dans $\Omega$, selon le théorème de Morera 5.6, il suffit de montrer que l'intégrale de $f$ le long du bord de tout triangle inclus dans $B(z_0)$ est nulle. Les seuls triangles intéressants sont ceux qui ne sont pas inclus dans $P^+$ ou $P^-$. Soit donc $\Delta$ un triangle, $\Delta^+ = P^+ \cap \Delta$ et $\Delta^- = P^- \cap \Delta$, on aura

$$\int_{\partial \Delta} f(z) dz = \int_{\partial \Delta^+} f(z) dz + \int_{\partial \Delta^-} f(z) dz,$$

car les contributions respectives du bord $\beta$ se compensent. Comme $f$ est séparément holomorphe dans $B(z_0) \cap P^+$ et $B(z_0) \cap P^-$, en vertu du théorème de Cauchy on aura $\int_{\gamma} f(z) dz = 0$ pour tout lacet inclus dans l'un de ces deux ensembles. En vertu de la continuité de $f$, il en résulte que

$$\int_{\partial \Delta^+} f(z) dz = \int_{\partial \Delta^-} f(z) dz = 0,$$

et la conclusion.

Q.E.D.
<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>FIGURE 5.5 – Symétrie par rapport à une droite</figcaption></figure>

Ce résultat se généralise aisément au cas d'une symétrie par rapport à un cercle

LEMME **5.12** Notons $J_R(a)$ l'inversion de pôle $a$ et de puissance $R$, $j$ la symétrie $j(z) = \bar{z}$, $C$ la transformation de Cayley (voir l'annexe G), et $S_R(a)$ la similitude définie par $S_R(a)(z) = Rz + a$. On aura

$$S_R(a) \circ C \circ j \circ C^{-1} \circ (S_R(a))^{-1} = J_R(a)$$

DÉMONSTRATION. On rappelle que

$$J_R(a)(z) = a + \frac{R^2(z-a)}{|z-a|^2} = a + \frac{R^2}{(\bar{z}-\bar{a})}$$

et

$$C(z) = \frac{z-i}{z+i} \text{ et } C^{-1}(z) = -i \frac{z+1}{z-1}.$$

On a tout d'abord

$$C \circ j \circ C^{-1} = J_1(0),$$

en effet

$$\frac{i(\bar{z}+1)}{i(\bar{z}+1)} - \frac{i(\bar{z}-1)}{i(\bar{z}-1)} = \frac{2}{2\bar{z}} = \frac{1}{\bar{z}}.$$

D'autre part

$$S_R(a) \circ J_1(0) \circ (S_R(a))^{-1} = \frac{R^2}{(\bar{z}-\bar{a})} + a = J_R(a).$$

Q.E.D.

THÉORÈME **5.13** Soient $B_1 = B_{\rho_1}(a_1)$ et $B_2 = B_{\rho_2}(a_2)$ deux disques de bords respectifs $C_1$ et $C_2$, U un ouvert de $B_1$, dont le bord contient un arc $\alpha$ du cercle $C_1$, f une application holomorphe de U, continue sur $\bar{U}$, telle que $f(\alpha)$ soit contenu dans $C_2$. Alors la fonction

$$g(z) = J_{\rho_2}(a_2) \circ f \circ J_{\rho_1}(a_1)(z), z \in J_{\rho_1}(a_1)(U)$$

prolonge la fonction $f$ à $\bar{U} = J_{\rho_1}(a_1)(U)$ en une fonction holomorphe sur $U \cup \alpha \cup \bar{U}$.

DÉMONSTRATION. On posera $h_1 = S_{\rho_1}(a_1) \circ C$ et $h_2 = S_{\rho_2}(a_2) \circ C$ et

$$\varphi = h_2^{-1} \circ f \circ h_1.$$
De la proposition G.9 on déduit que $\varphi$ est une application holomorphe de $V = h_1^{-1}(U) \subset P^+$ dans $P^+$, qui prend des valeurs réelles aux points de $\beta = h_1^{-1}(\alpha)$, et est par conséquent susceptible de la proposition 5.10 : elle se prolonge à $\hat{V}$ selon

$$ \gamma = j \circ \varphi \circ j $$

en une application holomorphe. Il ne reste plus pour conclure qu'à poser

$$ \begin{aligned} g &= h_2 \circ \gamma \circ h_1^{-1} = h_2 \circ j \circ \varphi \circ j \circ h_1^{-1} \\ &= h_2 \circ j \circ h_2^{-1} \circ f \circ h_1 \circ j \circ h_1^{-1} \\ &= J_{\rho_2}(a_2) \circ f \circ J_{\rho_1}(a_1), \end{aligned} $$

d'après le lemme 5.12.

Q.E.D.

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>FIGURE 5.6 – Symétrie par rapport à un cercle</figcaption></figure>

Il s'agit donc d'un résultat essentiellement similaire à celui de la proposition 5.10 où la symétrie par rapport à l'axe réel a été remplacée par l'inversion.

## 5.4 Le bord orienté d'un compact

Pour certains cycles simples mais fréquemment rencontrés la détermination de l'indice est particulièrement facile et la démonstration du théorème de Cauchy peut s'effectuer à partir de la formule de Green.

LEMME 5.14 Si $\gamma$ est un chemin continûment différentiable, et si sa dérivée $\gamma'$ ne s'annule pas, alors l'application $t \to \gamma(t)$ est injective au voisinage de chaque valeur du paramètre $t$, et son image partage localement le plan en deux régions.

DÉMONSTRATION. Fixons $t$ et supposons non nulle l'application linéaire $\gamma'(t) : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$. On aura alors

$$ \gamma'(t) \cdot h = z_0 h, \text{ où } z_0 \neq 0. $$

Notons $\xi$ un nombre complexe non colinéaire à $z_0$ et définisons $\varphi : ]a, b[ \times \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ par la formule $\varphi(t, u) = \gamma(t) + u\xi$ ; en particulier on aura $\varphi(t, 0) = \gamma(t)$. La dérivée de $\varphi$ est un isomorphisme car tout nombre complexe
s'exprime d'une façon et d'une seule comme combinaison linéaire à coefficients réels de $z_0$ et $\xi$, et le théorème d'inversion locale nous montre alors qu'il existe des voisinages ouverts, $V$ et $W$ respectifs de $(t, 0)$ et $\gamma(t)$ tels que $\varphi$ soit un difféomorphisme $V \to W$. On peut réduire $V$ à une boule centrée en $(t, 0)$ et choisir (par exemple) $\xi$ de telle façon que le jacobien de $\varphi$ soit positif, c'est-à-dire que $\varphi$ conserve l'orientation, ou encore $\text{Im}(\bar{z}_0\xi) > 0$. Si $V^+$ et $V^-$ sont les intersections respectives de $V$ avec $]a, b[ \times \mathbb{R}^+$ et $]a, b[ \times \mathbb{R}^-$, alors leurs images respectives $W^+$ et $W^-$ par $\varphi$ sont des ouverts connexes disjoints tels que $W = W^+ \cup W^- \cup (\gamma \cap W)$. C'est bien dire que localement $\gamma$ sépare le plan en deux régions.

Q.E.D.

**DÉFINITION 5.15** Soit $K$ un compact dont le bord est formé d'une union finie de lacets $\gamma_i$, $i = 1, n$ continûment différentiables par morceaux. On dit que le cycle $\lambda = \bigcup_{i=1}^n \gamma_i$ est le bord orienté du compact $K$ (Figure 5.7) si

(i) les $\gamma_i$ n'admettent pas de points doubles et ne se recoupent pas entre eux.

(ii) les $\gamma'_i$ ne s'annulent pas

(iii) la tangente à $\gamma_i$ orientée dans le sens de parcours s'obtient par rotation de $\pi/2$ à partir de la normale extérieure.

<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>FIGURE 5.7 – Le bord orienté d'un compact</figcaption></figure>

Il s'agit en fait d'hypothèses raisonnablement contraignantes relatives à la géométrie de $K$ qui permettent d'utiliser la formule de Green. Nous allons voir au passage que dans ce contexte, le théorème et la formule de Cauchy en découlent aisément.

**PROPOSITION 5.16** Soient $\gamma$ le bord orienté du compact $K$, et $f$ holomorphe dans l'ouvert $\Omega \supset K$, alors

<figure><img src="image_74.png" /></figure>

$$ \int_{\gamma} f(z) dz = 0, $$

et

$$ \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z-a} dz = f(a), \forall a \in \mathring{K}, $$

**DÉMONSTRATION.** On suppose que $\gamma = \bigcup_{i=1}^n \gamma_i$, où $\gamma_i : [a_i, b_i] \to \mathbb{C}$, $b_i > a_i$.

▷ Posons $c(x, y) = x + iy$, $\gamma = c \circ \tilde{\gamma}$, $K = c(\tilde{K})$, $\tilde{f} = f \circ c$ ; d'après la formule de Green, si $\tilde{v}_j$ est la normale extérieure à $\tilde{K}$, de composantes $(\tilde{v}_j)_x$ et $(\tilde{v}_j)_y$, comme l'élément de longueur le long de $\tilde{\gamma}_j$ n'est autre que $d\tilde{\sigma}_j = \|\tilde{\gamma}'_j(t)\| dt$,

$$ \int_{\tilde{K}} \left( \left. \frac{\partial \tilde{f}}{\partial x} \right|_{x} + i \left. \frac{\partial \tilde{f}}{\partial y} \right|_{y} \right) dxdy = \sum_{j=1}^{n} \int_{a_j}^{b_j} \tilde{f} \circ \tilde{\gamma}_j(t) \left( (\tilde{v}_j)_x(t) + i (\tilde{v}_j)_y(t) \right) \| \tilde{\gamma}'_j(t) \| dt. $$
Par conséquent, selon la relation de Cauchy-Riemann (4.4), comme la tangente à $\tilde{\tau}_j$ s'obtient par rotation de $\pi/2$ à partir de $\tilde{v}_j$ on aura

$$0 = \sum_{j=1}^{n} \int_{a_j}^{b_j} \tilde{f} \circ \tilde{\tau}_j(t) \left( (\tilde{\tau}_j)_x(t) - i (\tilde{\tau}_j)_y(t) \right) \| \tilde{\tau}'_j(t) \| dt.$$

Notons alors que $\tilde{\tau}_j = \tilde{\tau}'_j(t)/\|\tilde{\tau}'_j(t)\|$, d'où

$$0 = -i \sum_{j=1}^{n} \int_{a_j}^{b_j} \tilde{f} \circ \tilde{\tau}_j(t) (i(\tilde{\tau}_j)_y(t) + (\tilde{\tau}_j)_x(t)) \| \tilde{\tau}'_j(t) \| dt \\ = -i \sum_{j=1}^{n} \int_{a_j}^{b_j} f \circ \gamma_j(t) \gamma'_j(t) dt = -i \sum_{j=1}^{n} \int_{\gamma_j} f(z) dz,$$

soit

$$\int_{\gamma} f(z) dz = 0. \qquad (5.5)$$

► Avec $f(z) = 1/(z-b)$, il en résulte en particulier que $n(\lambda; b) = 0$ dès que $b$ est extérieur à $K$.

► Soit $a \in \bar{K}$, et $r$ suffisamment petit pour que le disque $D$ de rayon $r$ et de centre $a$ soit inclus dans $K$. Notons $\lambda_r^a$ le cercle de rayon $r$ et de centre $a$ parcouru dans le sens rétrograde (Figure boriente_cauchy) soit

$$\lambda_r^a(t) = a + re^{-2i\pi t}.$$

On pose $K' = K \setminus D$, ce qui fait de $\gamma \lor \lambda_r^a$ le bord orienté de $K'$ ; selon (5.5) on aura

$$0 = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z-a} dz + \frac{1}{2i\pi} \int_{\lambda_r^a} \frac{f(z)}{z-a} dz,$$

soit

$$\frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z-a} dz = \int_{0}^{1} f(a + re^{-2i\pi t}) dt,$$

et ceci $\forall r$ ; il en résulte que

$$\frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z-a} dz = f(a).$$

Q.E.D.

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>FIGURE 5.8 – La formule de Cauchy</figcaption></figure>

Par comparaison avec la formule (5.2) on en déduit le
COROLLAIRE 5.17 Soit $\lambda$ le bord orienté d'un compact $K$, on a

$$n(\lambda; w) = 1, \forall w \in \mathring{K} \text{ et } n(\lambda; w) = 0, \forall w \in K^c = \mathbb{C} \setminus K. \qquad (5.6)$$

### 5.4.1 Développement en série de Laurent

Revenons un instant sur la démonstration de la formule (4.18). On notera $\Gamma_a$ le cercle de rayon $R$ et de centre $a$ parcouru dans le sens direct et $\gamma_a$, le cercle de rayon $r$ également parcouru dans le sens direct. D'après la proposition 5.16, on a, pour $r < |z| < R$,

$$\begin{aligned} f(z) &= \frac{1}{2i\pi} \int_{\Gamma_a} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta - \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma_a} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta \\ &= \frac{1}{2i\pi} \int_{\Gamma_0} \frac{g(w)}{w - z_0} dw - \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma_0} \frac{g(w)}{w - z_0} dw, \end{aligned}$$

où $w = \zeta - a$, $g(w) = f(\zeta)$ et $z_0 = z - a$. Comme

$$\begin{aligned} \frac{1}{w-z_0} &= \frac{1}{w} \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{1-z_0/w} = \frac{1}{w} \sum_{n \in \mathbb{N}} \left(\frac{z_0}{w}\right)^n, \quad |z_0| < |w| \\ \frac{1}{w-z_0} &= -\frac{1}{z_0-w} = -\frac{1}{z_0} \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{1-w/z_0} = -\frac{1}{z_0} \sum_{n \in \mathbb{N}} \left(\frac{w}{z_0}\right)^n \\ &= -\frac{1}{z_0} \sum_{n \le 0} \left(\frac{z_0}{w}\right)^n = -\frac{1}{z_0} \sum_{n \le -1} \left(\frac{z_0}{w}\right)^{n+1}, \quad |z_0| > |w|; \end{aligned}$$

il en résulte que

$$\begin{aligned} f(z) &= \frac{1}{2i\pi} \sum_{n \in \mathbb{N}} \int_{\Gamma_0} \frac{g(w)}{w} \left(\frac{z_0}{w}\right)^n dw + \frac{1}{2i\pi} \sum_{n \le -1} \int_{\gamma_0} \frac{g(w)}{z_0} \left(\frac{z_0}{w}\right)^{n+1} dw \\ &= \frac{1}{2i\pi} \sum_{n \in \mathbb{N}} \int_{\Gamma_a} f(\zeta) \frac{(z-a)^n}{(\zeta-a)^{n+1}} d\zeta + \frac{1}{2i\pi} \sum_{n \le -1} \int_{\gamma_a} f(\zeta) \frac{(z-a)^n}{(\zeta-a)^{n+1}} d\zeta \end{aligned}$$

soit

$$f(z) = \frac{1}{2i\pi} \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n^n (z - a),$$

où

$$c_n = \int_{\Gamma_a} f(\zeta) \frac{d\zeta}{(\zeta - a)^{n+1}}, \quad n \ge 0 \text{ et } c_n = \int_{\gamma_a} f(\zeta) \frac{d\zeta}{(\zeta - a)^{n+1}}, \quad n < 0. \qquad (5.7)$$

Il s'agit là encore du développement de $f$ en série de Laurent, dont l'expression des coefficients semble moins générale que (4.19) ; ce n'est en fait qu'une apparence en vertu du lemme 4.7. Nous allons voir ci-dessous que cette propriété d'invariance vis-à-vis du chemin n'est pas limitée aux cercles concentriques.

<figure><img src="image_76.png" /></figure>

## 5.5 Le théorème de Cauchy homotopique

Selon le contexte, le théorème de Cauchy prend des formes diverses, l'une des plus utiles nous indique quelles sont les conditions pour que l'intégrale d'une fonction analytique le long d'un chemin ne dépende que des extrémités de ce chemin. C'est en particulier dans ce cadre que l'on peut étudier la question du prolongement analytique.

<figure><img src="image_77.png" /></figure>
## DÉFINITION 5.18

(i) On dit que le chemin $\gamma_1 : [0,1] \to \Omega$ est homotope à $\gamma_0 : [0,1] \to \Omega$ s'il existe une application continue $\varphi : [0,1]^2 \to \Omega$ telle que

$$ \varphi(0, t) = \gamma_0(t) \text{ et } \varphi(1, t) = \gamma_1(t), $$

$$ \varphi(u, 0) = \gamma_0(0) = \gamma_1(0) \text{ et } \varphi(u, 1) = \gamma_0(1) = \gamma_1(1). $$

(ii) On dit que le lacet lacets $\gamma_1 : [0,1] \to \Omega$ est homotope à $\gamma_0 : [0,1] \to \Omega$ s'il existe une application continue $\varphi : [0,1]^2 \to \Omega$ telle que

$$ \varphi(0, t) = \gamma_0(t), \quad \varphi(1, t) = \gamma_1(t) \text{ et } \varphi(u, 0) = \varphi(u, 1). $$

(iii) En particulier on dit que le lacet $\gamma_0$ est homotope à un point (ou à 0) s'il est homotope à un lacet constant.

<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>FIGURE 5.9 – Homotopie</figcaption></figure>

## PROPOSITION 5.19 La relation d'homotopie est une relation d'équivalence

### DÉMONSTRATION.

* Tout d'abord $\gamma$ est homotope à lui même par l'application $\varphi(u, t) = \gamma(t)$.

* De plus si $\gamma_1$ est homotope à $\gamma_0$ par $\varphi(u, t)$, alors $\gamma_0$ est homotope à $\gamma_1$ par $\varphi'(u, t) = \varphi(1-u, t)$.

* Enfin, si $\gamma_0$ est homotope à $\gamma_1$ par $\varphi$ et $\gamma_1$ à $\gamma_2$ par $\psi$, alors $\gamma_0$ est homotope à $\gamma_2$ par $\theta$ où

$$ \theta(u, t) = \begin{cases} \varphi(2u, t) & \text{pour } 0 \le u \le 1/2 \\ \psi(2u-1, t) & \text{pour } 1/2 \le u \le 1 \end{cases} $$

Q.E.D.

On parlera donc de lacets homotopes entre eux. On note $\gamma_0 \simeq \gamma_1$.

### DÉFINITION 5.20 On dit qu'un ouvert $\Omega$ est simplement connexe s'il est connexe et si tout lacet dans $\Omega$ est homotope à un point.

<figure><img src="image_79.png" /></figure>

* Ainsi que le vocabulaire peut le laisser penser, il existe une étroite relation entre connexité et simple connexité. On démontre en effet à l'aide du théorème de Runge 10.16, qu'un ouvert connexe est simplement connexe si et seulement si son complémentaire sur la sphère de Riemann (voir le chapitre 10) est connexe. Cette constatation ouvre la voie à la notion de n-connexité : on dit qu'un ouvert connexe est n-connexe si son complémentaire comporte n composantes connexes.
▷ Il existe également une relation entre l'homotopie et l'homologie, on démontre en effet au chapitre **12** qu'un ouvert connexe est simplement connexe si et seulement si les lacets y sont tous homologues à 0.

**THÉORÈME 5.21** Si $\gamma_0$ et $\gamma_1$ sont deux lacets homotopes dans $\Omega$ et si $f$ y est holomorphe, alors

<figure><img src="image_80.png" /></figure>

$$ \int_{\gamma_0} f(z) dz = \int_{\gamma_1} f(z) dz. \qquad (5.8) $$

Il en résulte en particulier que deux lacets homotopes sont homologues, il suffit à cet effet de choisir $f(z) = 1/(z-\alpha)$, où $\alpha \in \Omega^c$ ; le contraire est faux en général.

**DÉMONSTRATION.**

<figure><img src="image_81.png" /></figure>

▷ La démonstration est particulièrement simple lorsque l'homotopie $\varphi$ est deux fois continûment dérivable.

Posons

$$ g(u) = \int_{0}^{1} f \circ \varphi(u, t) \frac{\partial \varphi}{\partial t}(u, t) dt, $$

on aura

$$ g(0) = \int_{0}^{1} f \circ \varphi(0, t) \frac{\partial \varphi}{\partial t}(0, t) dt = \int_{\gamma_0} f(z) dz \text{ et } g(1) = \int_{\gamma_1} f(z) dz, $$

ainsi que

$$ \begin{aligned} g'(u) &= \int_{0}^{1} \left[ f' \circ \varphi(u, t) \frac{\partial \varphi}{\partial u} \frac{\partial \varphi}{\partial t}(u, t) + f \circ \varphi(u, t) \frac{\partial^2 \varphi}{\partial u \partial t}(u, t) \right] dt \\ &= \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial t} \left( f \circ \varphi(u, t) \frac{\partial \varphi}{\partial u} \right) dt = \left[ f \circ \varphi(u, t) \frac{\partial \varphi}{\partial u} \right]_{t=0}^{t=1} = 0, \end{aligned} $$

d'où

$$ \int_{\gamma_0} f(z) dz = \int_{\gamma_1} f(z) dz. $$

▷ Dans le cas général, l'idée consiste à réaliser une succession de chemins polygonaux intermédiaires entre $\gamma_0$ et $\gamma_1$. Notons que $\varphi$ est uniformément continue, que $K = \varphi([0, 1]^2)$ est compact, et maillons $[0, 1]^2$ selon une grille carrée de pas $1/n$, en choisissant $n$ suffisamment grand pour que

$$ \|(u, t) - (u', t')\| < 2/n \implies |\varphi(u, t) - \varphi(u', t')| < r = d(K, \Omega^c). $$

On note

$$ J_{j,k} = \left[ \frac{j}{n}, \frac{j+1}{n} \right] \times \left[ \frac{k}{n}, \frac{k+1}{n} \right] $$

les mailles de la grille et

$$ Z_{j,k} = \varphi\left(\frac{j}{n}, \frac{k}{n}\right). $$

On aura diam $J_{j,k} = \sqrt{2}/n < 2/n$, et par conséquent diam $\varphi(J_{j,k}) < r$ d'où $P_{j,k} = \varphi(J_{j,k}) \subset B_r(Z_{j,k}) \subset \Omega$. Soit $[Z_{j,k}, Z_{j,k+1}, Z_{j+1,k+1}, Z_{j+1,k}, Z_{j,k}]$, le polygone dont les sommets sont les images de ceux de $J_{j,k}$, il est tout entier contenu dans $B_r(Z_{j,k})$. Comme le complémentaire de $B_r(Z_{j,k})$ est connexe, selon la proposition 5.2, l'indice de $\partial P_{j,k}$ par rapport à tout point de ce complémentaire est nul. et on aura

$$ \int_{\partial P_{j,k}} f(z) dz = 0 $$

pour toute fonction $f$ analytique dans $\Omega$ (voir la figure 5.10).
► Considérons maintenant le chemin $Q_j = [Z_{j,0}, Z_{j,1}, \cdots, Z_{j,n-1}, Z_{j,n} = Z_{j,0}]$, c'est un lacet, et on aura

$$0 = \sum_{k=0,n-1} \int_{\partial P_{j,k}} f(z) dz = \int_{Q_j} f(z) dz - \int_{Q_{j+1}} f(z) dz,$$

soit

$$\int_{Q_0} f(z) dz = \int_{Q_n} f(z) dz$$

► Posons maintenant $\sigma_k(t) = \gamma_0(t)$ pour $k/n < t < (k+1)/n$, le chemin $\sigma_k$ a pour extrémités $Z_{0,k}$ et $Z_{0,k+1}$ et le cycle $\sigma_k \cup [Z_{0,k+1}, Z_{0,k}]$ étant inclus dans le disque $B_r(Z_{0,k})$ est homologue à 0. Il en résulte que

$$\int_{\gamma_0} f(z) dz = \sum_{k=0,n-1} \int_{\sigma_k} f(z) dz = \sum_{k=0,n-1} \int_{[Z_{0,k}, Z_{0,k+1}]} f(z) dz = \int_{Q_0} f(z) dz$$

On aura de même

$$\int_{\gamma_n} f(z) dz = \int_{Q_n} f(z) dz$$

et par conséquent

$$\int_{\gamma_0} f(z) dz = \int_{Q_0} f(z) dz = \int_{Q_n} f(z) dz = \int_{\gamma_1} f(z) dz.$$

Q.E.D.

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>FIGURE 5.10 – Invariance par homotopie</figcaption></figure>

Comme un lacet constant est homologue à 0, le corollaire suivant s'en déduit :

COROLLAIRE 5.22

<figure><img src="image_83.png" /></figure>

(i) Si $\gamma$ est un lacet homotope à un point dans $\Omega$ et si $f$ est holomorphe dans $\Omega$, alors

$$\int_{\gamma} f(z) dz = 0.$$

(ii) Si $\Omega$ est simplement connexe, alors tout lacet dans $\Omega$ est homologue à 0 et par conséquent pour toute fonction $f$ holomorphe dans $\Omega$, on a

$$\int_{\gamma} f(z) dz = 0.$$
Le théorème relatif aux chemins se déduit de celui relatif aux lacets :

COROLLAIRE 5.23 Si $\gamma_0$ et $\gamma_1$ sont deux chemins homotopes dans l'ouvert $\Omega$ et si $f$ est holomorphe dans $\Omega$, alors

<figure><img src="image_84.png" /></figure>

$$ \int_{\gamma_0} f(z) dz = \int_{\gamma_1} f(z) dz. \qquad (5.9) $$

DÉMONSTRATION. Nous aurons

$$ \begin{align*} \varphi(0, t) &= \gamma_0(t), \quad \varphi(1, t) = \gamma_1(t) \\ \varphi(u, 0) &= \gamma_0(0) = \gamma_1(0) \text{ et } \varphi(u, 1) = \gamma_0(1) = \gamma_1(1). \end{align*} $$

Définissons le lacet $\gamma$ de la façon suivante :

$$ \begin{align*} \gamma(t) &= \gamma_0(3t), \quad 0 \le t \le 1/3 \\ \gamma(t) &= \gamma_0(1) = \gamma_1(1), \quad 1/3 \le t \le 2/3 \\ \gamma(t) &= \gamma_1(3(1-t)), \quad 2/3 \le t \le 1, \end{align*} $$

soit en fait un aller le long de $\gamma_0$ suivi d'un arrêt puis d'un retour le long de $\gamma_1$. On aura donc

$$ \int_{\gamma} f(z) dz = \int_{\gamma_0} f(z) dz - \int_{\gamma_1} f(z) dz. $$

Posons

$$ \begin{align*} \psi(u, t) &= \varphi(0, 3t(1-u)), \quad 0 \le t \le 1/3 \\ \psi(u, t) &= \varphi(3t-1, 1-u), \quad 1/3 \le t \le 2/3 \\ \psi(u, t) &= \varphi(1, 3(1-t)(1-u)), \quad 2/3 \le t \le 1, \end{align*} $$

on aura

$$ \psi(0, t) = \gamma(t) \text{ et } \psi(1, t) = \gamma_0(0) = \gamma_1(0), $$

d'où il résulte que $\gamma$ est homotope à un point, et par conséquent

$$ \int_{\gamma} f(z) dz = 0. $$

Q.E.D.

## 5.6 Primitives

La situation est là encore différente du cas des fonctions d'une variable réelle, en effet dans ce cas, si $f$ est intégrable, et si on pose

$$ F(x) = C + \int_{a}^{x} f(t) dt, $$

alors $F' = f$ presque partout. Nous allons voir que dans le cas d'une variable complexe, l'existence d'une primitive dans l'ouvert $\Omega$ dépend dans une large mesure des propriétés topologiques de $\Omega$.

Rappelons que

DÉFINITION 5.24 On dit que $f$ admet une primitive dans l'ouvert $\Omega$, s'il existe une fonction dérivable $F$ définie dans $\Omega$ telle que $F' = f$.

<figure><img src="image_85.png" /></figure>
<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>FIGURE 5.11 – Invariance par homotopie de chemins</figcaption></figure>

**PROPOSITION 5.25** Si $f$ admet une primitive $F$ dans $\Omega$, alors $f$ est holomorphe dans $\Omega$.

DÉMONSTRATION. En effet, la fonction $F$ étant dérivable est holomorphe en vertu du théorème de Goursat **5.8**, elle est donc indéfiniment dérivable d'après le corollaire **4.11**, ainsi bien entendu que sa dérivée $f$.

Q.E.D.

**PROPOSITION 5.26**

<figure><img src="image_87.png" /></figure>

(i) Si $f$ admet une primitive dans $\Omega$, alors $\int_{\gamma} f(z)dz = 0$ pour tout lacet $\gamma$ dans $\Omega$.

(ii) Si $f$ est continue sur l'ouvert connexe $\Omega$, et si $\int_{\gamma} f(z)dz = 0$ pour tout lacet $\gamma$ dans $\Omega$, alors $f$ admet une primitive dans $\Omega$.

DÉMONSTRATION.

► Si $f$ admet une primitive, et si $\gamma$ est un lacet on a

$$ \int_{\gamma} f(z) dz = \int_{a}^{b} F' \circ \gamma(t) \gamma'(t) dt = \int_{a}^{b} (F \circ \gamma)'(t) dt = [F \circ \gamma]_{a}^{b} = 0. $$

► Réciproquement, choisissons $z_0 \in \Omega$, et notons $\lambda$ un chemin d'origine $z_0$ et d'extrémité $z$. Posons alors

$$ F(z) = \int_{\lambda} f(w) dw. $$

Cette définition est indépendante du chemin, car si $\mu$ est un tel autre chemin, $\gamma = \lambda \vee (-\mu)$ est un lacet, et par conséquent, d'après l'hypothèse,

$$ \int_{\lambda} f(w) dw - \int_{\mu} f(w) dw = \int_{\gamma} f(w) dw = 0 $$

Soit alors $\Delta$, un disque de rayon $r$ centré en $z$ inclus dans $\Omega$ et $|h|$ assez petit pour que $z+h \in \Delta$. Dans ce disque, en vertu de la proposition **1.28**, comme $f$ est analytique en vertu du théorème de Morera, elle admet une primitive soit $G(z)$. Pour tout chemin $v(h)$, d'origine $z$ et d'extrémité $z+h$ dans $\Delta$, on aura donc $\int_{v(h)} f(w) dw = G(z+h) - G(z)$, et par conséquent

$$ F(z+h) - F(z) = \int_{\lambda \vee v(h)} f(w) dw - \int_{\lambda} f(w) dw = \int_{v(h)} f(w) dw = G(z+h) - G(z) $$

d'où

$$ F'(z) = \lim_{h \to 0} \frac{F(z+h) - F(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{G(z+h) - G(z)}{h} = G'(z) = f(z). $$
Q.E.D.

<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>FIGURE 5.12 – Primitive</figcaption></figure>

**COROLLAIRE 5.27** Si $f$ est holomorphe dans l'ouvert $\Omega$ simplement connexe, alors $f$ admet une primitive dans $\Omega$.

<figure><img src="image_89.png" /></figure>

**DÉMONSTRATION.** En effet d'après le corollaire **5.22**, on aura $\int_{\gamma} f(z)dz = 0$ pour tout lacet, et d'après la proposition précédente **5.26**, $f$ admet une primitive dans $\Omega$.

Q.E.D.

Si on applique en particulier ce corollaire à la fonction $1/z$, on voit que le Logarithme admet une détermination holomorphe dans tout ouvert simplement connexe ne contenant pas l'origine. Notons bien que $f$ peut être holomorphe sans admettre de primitive. C'est par exemple le cas de $f(z) = 1/(z-a)$ dans le disque pointé $\dot{B}_r(a) = B_r(a) \setminus \{a\}$ (qui n'est pas simplement connexe !) puisque

<figure><img src="image_90.png" /></figure>

<figure><img src="image_91.png" /></figure>

$$ \int_{\gamma} \frac{dz}{z-a} = n(\gamma; a). $$

On touche là du doigt la différence entre primitive locale et primitive globale puisque $1/(z-a)$ n'est autre que la dérivée de $\text{Log}(z-a)$, fonction dont nous avons démontré par ailleurs qu'elle n'admet pas de détermination continue dans le disque pointé. Bien entendu, une fonction peut admettre une primitive dans $\Omega$, même si ce dernier n'est pas simplement connexe, c'est en particulier le cas de

<figure><img src="image_92.png" /></figure>

$$ (z-a)^k, \quad k \neq -1, $$

dont une primitive n'est autre que

$$ \frac{1}{k+1} (z-a)^{k+1}. $$

On voit donc que la validité du théorème de Cauchy est soumise à des conditions diverses et indépendantes :

<figure><img src="image_93.png" /></figure>

* Relative à la fonction $f : \text{l'existence d'une primitive}$

* Relative au lacet $\gamma : \text{qu'il soit homologue à zéro}$

* Relative à l'ouvert $\Omega : \text{qu'il soit simplement connexe}$

Ces conditions ne sont ni équivalentes entre elles ni indépendantes et ne rendent pas compte de toutes les situations. Cependant on montre au chapitre **12** que les conditions suivantes sont équivalentes dans un ouvert connexe :

<figure><img src="image_94.png" /></figure>
(i) Ω est simplement connexe

(ii) Toute fonction analytique dans Ω y admet une primitive

(iii) Tout chemin dans Ω est homologue à 0.

Dans le chapitre suivant nous aborderons le cas non simplement connexe dans le cadre de la formule
des résidus.
# Chapitre 6

## Le principe du maximum

La formule de Cauchy locale (4.14) témoigne d'une considérable solidarité entre les valeurs d'une fonction holomorphe en divers points, dont le principe du maximum sous les diverses formes décrites ci-dessous constitue l'une des conséquences.

**DÉFINITION 6.1 (Propriété de moyenne)** Soit $f$ continue dans l'ouvert $\Omega$. On dit que $f$ possède la propriété de moyenne dans $\Omega$ si pour tout disque fermé $\bar{B}_r(a)$ inclus dans $\Omega$, on a

$$f(a) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(a + re^{i\theta}) d\theta.$$

**LEMME 6.2 (Principe du maximum I)** Si $f$ possède la propriété de moyenne dans l'ouvert $\Omega$ et si $|f|$ sède un maximum relatif en $a \in \Omega$, soit $|f(a)| \ge |f(z)|$ dès que $|z - a|$ est assez petit, alors $f$ est constante dans un voisinage de $a$.

**DÉMONSTRATION.** Le résultat est évident si $f(a) = 0$, supposons donc que ce n'est pas le cas et posons $g(z) = f(z)/f(a)$. Selon la propriété de moyenne,

$$1 = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} g(a + re^{i\theta}) d\theta = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \Re(e(g(a + re^{i\theta}))) d\theta,$$

d'où

$$0 = \int_{0}^{2\pi} (1 - \Re(e(g(a + re^{i\theta}))) d\theta.$$

Comme de plus pour $|z - a|$ assez petit $|f(a)| \ge |f(z)|$ d'où $1 \ge |g(z)| \ge \Re(e(g(z)))$, on a $1 \ge \Re(e(g(a + re^{i\theta})))$ dès que $r$ est assez petit. Il en résulte que $\Re(e(g(a + re^{i\theta}))) = 1$ ; de même $\Im(e(g(a + re^{i\theta}))) = 0$, d'où $g(z) = 1$ au voisinage de $a$, soit $f(z) = f(a)$.

Q.E.D.

**THÉORÈME 6.3 (Principe du maximum II)**

(i) Une fonction holomorphe possède la propriété de moyenne

(ii) Soit $\Omega \subset \mathbb{C}$ un ouvert connexe et $f$ une fonction holomorphe dans $\Omega$. Si $|f|$ possède un maximum relatif en $a \in \Omega$, alors $f$ est constante.

**DÉMONSTRATION.**
► Soit $\bar{B}_r(a)$ un disque centré en $a$ de rayon $r$ inclus dans $\Omega$, d'après la formule (4.14), on aura

$$f(a) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma_r^a} \frac{f(z)}{z-a} dz = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(a + re^{i\theta}) d\theta.$$

► Selon le lemme 6.2, $f$ est constante au voisinage de $a$, et en vertu du principe du prolongement analytique (corollaire 2.5), il en résulte que $f$ est constante dans $\Omega$.

Q.E.D.

REMARQUE 6.4 On peut donner de 6.3 (ii) une démonstration plus élégante : en effet si $f$ n'est pas constante, selon le théorème 8.5 $f(\Omega)$ est ouvert, d'où il existe une boule de centre $f(a)$ contenue dans $f(\Omega)$, et par conséquent un point $\zeta$ (au moins !) tel que $|f(\zeta)| > |f(a)|$. De même on peut trouver $\zeta$ tel que $|\Re f(\zeta)| > |\Re f(a)|$, ce qui prouve qu'une fonction analytique dont le module ou la valeur absolue de la partie réelle (ou imaginaire !) est maximal en un point est constante.

<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>FIGURE 6.1 – Le principe du maximum</figcaption></figure>

## 6.1 En domaine borné

<figure><img src="image_96.png" /></figure>

COROLLAIRE 6.5 Si $\Omega$ est un ouvert relativement compact de $\mathbb{C}$, si $f$ est holomorphe dans $\Omega$ et continue sur $\bar{\Omega}$, alors elle atteint son maximum sur $\partial\Omega$.

DÉMONSTRATION.

► Comme $\bar{\Omega}$ est compact, $f$ y atteint son maximum soit en $a$. Supposons que $a \in \Omega$ et notons $C$ la composante connexe de $a$ dans $\Omega$, c'est un ouvert en vertu du corollaire D.12, et par conséquent d'après le théorème 6.3, $f$ est constante dans $C$ ; elle atteint donc (en particulier) son maximum sur $\partial C$.

► Soit $x \in \partial C$, on ne peut avoir $x \in \Omega$, car si tel était le cas, il existerait un voisinage connexe $V$ de $x$ dans $\Omega$, ce voisinage aurait une intersection non vide avec $C$ puisque $x$ appartient à l'adhérence de $C$, et ne serait pas inclus dans $C$ puisque $x$ n'appartient pas à $C$. L'ensemble $C$ serait alors srictement inclus dans $C \cup V$, ce qui constitue une contradiction puisque selon la proposition D.4, $C \cup V$ est connexe. Par ailleurs $\bar{C} \subset \bar{\Omega}$, et par conséquent $\partial C \subset \partial \Omega$ ; le résultat annoncé en découle.

Q.E.D.
Le principe du maximum admet quelques raffinements permettant de se faire une image très précise des fonctions holomorphes bornées ou de partie réelle bornée dans un disque.

### COROLLAIRE 6.6 (Lemme de Schwarz)

(i) Si $f$ est analytique dans le disque $B_r$ de rayon $r$ centré à l'origine et si

$$f(0) = 0 \text{ et } |f(z)| \le M, \forall z \in B_r,$$

alors

$$|f(z)| \le M|z|/r, \forall z \in B_r.$$

(ii) Si de plus

$$\exists a \in B_r, a \neq 0, \text{ tel que } |f(a)| = M|a|/r,$$

alors

$$f(z) = Mz/r, \forall z \in B_r.$$

#### DÉMONSTRATION.

► Considérons la fonction $g(z) = f(z)/z$, pour $z \in \dot{B}_r = B_r \setminus \{0\}$ ; elle est holomorphe dans la boule pointée $B_r$ et vérifie $zg(z) \to 0$ quand $z \to 0$. D'après le lemme 7.1, il en résulte qu'elle se prolonge en une fonction holomorphe dans $B_r$. On pourra donc poser $g(0) = \lim_{z \to 0} g(z) = (f(z) - f(0))/z = f'(0)$.

► Si on suppose que $|g(z_0)| > M/r$ pour un certain $z_0 \in B_r$, on peut choisir $\varepsilon > 0$ tel que $|z_0| \le r - \varepsilon$ et $|g(z_0)| > M/(r-\varepsilon)$, soit en fait $0 < \varepsilon < \min(r-|z_0|, r-M/|g(z_0)|)$. Mais par hypothèse, si $|z| = r - \varepsilon$, on a $|g(z)| \le M/(r-\varepsilon)$, et par conséquent en vertu du corollaire 6.5 du principe du maximum, $|g(z)| \le M/(r-\varepsilon)$ $\forall |z| \le r - \varepsilon$, ce qui constitue une contradiction. Il en résulte que $|g(z)| \le M/r \forall |z| < r$, soit $|f(z)| \le M|z|/r \forall |z| \in B_r$.

► Si $|f(a)| = M|a|/r$ pour un certain $a \in B_r$, alors $|g(a)| = M/r$, c'est dire que $g$ possède un maximum en $a$, d'où il résulte d'après le principe du maximum 6.3, que $g$ est constante, soit $f(z) = \lambda z$ où $|\lambda| = M/r$.

Q.E.D.

### COROLLAIRE 6.7 (Carathéodory) Si $f$ est analytique dans le disque ouvert $B_r$ de rayon $r$ centré à l'origine et si $\exists A > 0$ tel que

$$f(0) = 0 \text{ et } \Re f(z) \le A, \forall z \in B_r,$$

alors

$$|f(z)| \le 2A|z|/(r - |z|), \forall z \in B_r.$$

#### DÉMONSTRATION.

► Pour $z$ tel que $\Re z \le A$ on a $\Re z \le 2A - \Re z = \Re(2A-z)$, et comme de plus $\Re(2A-z) \ge -\Re z$, on a $|\Re(2A-z)| \ge |\Re z|$. Par ailleurs $\Im(2A-z) = -\Im z$, d'où $|\Im(2A-z)| = |\Im z|$ ; il en résulte que $|2A-z| \ge |z|$.

► Considérons maintenant la transformation homographique

$$u(z) = \frac{z}{2A-z} \text{ qui a pour fonction réciproque } v(\zeta) = \frac{2A\zeta}{1+\zeta}.$$

► Pour $|\zeta| \le 1$, posons

$$\varphi(\zeta) = u \circ f(r\zeta),$$

c'est une fonction holomorphe qui vérifie $\varphi(0) = 0$. Comme $r\zeta \in B_r$, on aura $\Re f(r\zeta) \le A$ d'où en vertu du premier item $|\varphi(\zeta)| \le 1$. Selon le lemme de Schwarz 6.6 on aura donc $|\varphi(\zeta)| \le |\zeta|$.
▷ Avec $\xi = rz$, on aura

$$f(\xi) = v \circ \varphi(\xi/r) = \frac{2A\varphi(\xi/r)}{1 + \varphi(\xi/r)},$$

d'où, comme $|1 + \varphi(\xi/r)| \ge 1 - |\varphi(\xi/r)|$ et $|\varphi(\xi/r)| \le |\xi/r|,$

$$|f(\xi)| \le \frac{2A|\xi/r|}{1 - |\xi/r|} = \frac{2A|\xi|}{r - |\xi|}.$$

Q.E.D.

**COROLLAIRE 6.8 (Hadamard)** Soit $m \in \mathbb{N}$, si $f$ est une fonction entière telle que

$$\Re f(z) \le A|z|^m, \forall z,$$

alors $f$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $m$.

En particulier une fonction entière dont la partie réelle est bornée est constante.

**DÉMONSTRATION.**

▷ On aura $|f(z)| \le |f(0)| + |f(z) + f(0)|$ et pour $|z| < r$, $\Re f(z) \le A|z|^m \le Ar^m$, d'où $\Re(f(z) + f(0)) \le 2Ar^m$; par conséquent, d'après le corollaire 6.7, $|f(z)| \le |f(0)| + 4Ar^m|z|/(r - |z|)$.

▷ Choisissons alors $r = 2|z|$, on aura

$$|f(z)| \le |f(0)| + 2^{m+2}A|z|^m,$$

et le résultat d'après le théorème de Liouville 4.13.

Q.E.D.

## 6.2 En domaine non borné

Dans le cas de certains ouverts non bornés, on peut obtenir des résultats analogues au corollaire 6.5, sous réserve de conditions adéquates sur le comportement à l'infini de la fonction considérée.

**THÉORÈME 6.9 (Phragmén-Lindelöf I)** Soient

$$\mathcal{S}_{\alpha} = \{z = re^{i\theta} \mid r > 0, |\theta| < \pi/2\alpha\}, \alpha > 1/2$$

ainsi que $f$ continue sur $\bar{\mathcal{S}}_{\alpha}$ et holomorphe dans $\mathcal{S}_{\alpha}$. Si $f$ est bornée sur $\partial \mathcal{S}_{\alpha}$ et si pour $|z|$ suffisamment grand,

$$|f(z)| \le C e^{|z|^{\beta}}, \quad 0 < \beta < \alpha,$$

alors

$$\sup_{z \in \mathcal{S}_{\alpha}} |f(z)| = \sup_{z \in \partial \mathcal{S}_{\alpha}} |f(z)|.$$

**DÉMONSTRATION.** On note $M = \sup_{z \in \partial D_{\alpha}} |f(z)|$.

▷ Soient $\varepsilon > 0$, $\gamma \in ]\beta, \alpha[$, $\gamma > 0$, et $F_{\varepsilon}(z) = e^{-\varepsilon z^{\gamma}} f(z)$, où, pour $z = \rho e^{i\theta}$, la détermination de $z^{\gamma}$ est choisie de la façon suivante : $z^{\gamma} = \rho^{\gamma} e^{i\gamma\theta}$, $\theta \in ]-\pi, \pi]$; on aura

$$|F_{\varepsilon}(z)| = |f(z)| e^{-\varepsilon \rho^{\gamma} \cos \gamma \theta}.$$
* Si $z \in \mathcal{S}_\alpha$, on a $|\theta| = \pi/2\alpha$, d'où $|\gamma\theta| < \alpha|\theta| = \pi/2$ et par conséquent $\cos\gamma\theta > 0$. Il en résulte que

$$|F_{\varepsilon}(z)| \le |f(z)| \le M, \forall z \in \mathcal{S}_{\alpha}.$$

* Si $z \in \mathcal{S}_\alpha$, et $|z|$ est assez grand, on a

$$|F_{\varepsilon}(z)| \le C e^{-\varepsilon \rho^{\gamma} \cos \gamma \theta} e^{\rho^{\beta}} = C e^{\rho^{\beta} - \varepsilon \rho^{\gamma} \cos \gamma \theta},$$

or

$$\rho^{\beta} - \varepsilon \rho^{\gamma} \cos \gamma \theta \le \rho^{\beta} - \varepsilon \rho^{\gamma} \cos \pi\gamma/2\alpha = \rho^{\gamma} (\rho^{\beta-\gamma} - \varepsilon \cos \pi\gamma/2\alpha),$$

qui tend vers $-\infty$ quand $\rho \to \infty$. Il en résulte que pour $z \in \mathcal{S}_\alpha$, assez grand, soit $|z| \ge R_\varepsilon$, on a $|F_\varepsilon(z)| \le M$.

* Notons alors $\mathcal{U}_\varepsilon$ l'intersection de $\mathcal{S}_\alpha$ et du disque ouvert de rayon $R_\varepsilon$. Si $z \in \partial \mathcal{U}_\varepsilon$, on a $|F_\varepsilon(z)| \le M$, et par

<figure><img src="image_97.png" /></figure>

conséquent sur $\mathcal{U}_\varepsilon$ tout entier en vertu du corollaire 6.5, puisque $\mathcal{U}_\varepsilon$ est relativement compact. Il en résulte que $|F_\varepsilon(z)| \le M, \forall z \in \mathcal{S}_\alpha$ ; c'est dire que

$$|f(z)| = |F_{\varepsilon}(z)| e^{\varepsilon \rho^{\gamma} \cos \gamma \theta} \le M e^{\varepsilon \rho^{\gamma} \cos \gamma \theta}, \forall \varepsilon > 0,$$

et par conséquent $\sup_{z \in \mathcal{S}_\alpha} |f(z)| \le M = \sup_{z \in \partial \mathcal{S}_\alpha} |f(z)|$.

Q.E.D.

**THÉORÈME 6.10 (Phragmén-Lindelöf II)** Soit $f$ holomorphe dans la bande

$$\mathcal{B}_{a,b} = \{z \mid a < \Re z < b\}$$

et continue sur $\overline{\mathcal{B}}_{a,b}$. Si $f$ est bornée sur $\partial \mathcal{B}_{a,b}$ et si pour $|z|$ assez grand,

$$|f(z)| \le C e^{|z|^\beta}, \beta \ge 0,$$

alors

$$\sup_{z \in \mathcal{B}_{a,b}} |f(z)| = \sup_{z \in \partial \mathcal{B}_{a,b}} |f(z)|.$$

**DÉMONSTRATION.**

* On pose $M = \sup_{z \in \partial \mathcal{B}_{a,b}} |f(z)|$ et $F_\varepsilon(z) = e^{\varepsilon z^n} f(z)$, où $\varepsilon > 0, n > b, n = 2 \pmod 4$. Avec $z = \rho e^{i\theta}$ on a alors

$$|F_{\varepsilon}(z)| = |f(z)| e^{\varepsilon \rho^{n} \cos n\theta}.$$
▷ Quand $|z| = \rho \to \infty$, $|\theta| \to \pi/2$, et par conséquent $n\theta \to \pm\pi$ (mod $2\pi$), soit $\cos n\theta \to -1$. Il en résulte que $\rho^{b-n} + \varepsilon \cos n\theta \to -\varepsilon$ et par conséquent $|F_\varepsilon(z)| \to 0$. Si $\mathcal{U}_\varepsilon$ est l'intersection de $\mathcal{B}_{a,b}$ et de la boule de rayon $R_\varepsilon$, pour $R_\varepsilon$ assez grand on aura donc $\sup_{z \in \mathcal{B}_{a,b}} |F_\varepsilon(z)| = \sup_{z \in \mathcal{U}_\varepsilon} |F_\varepsilon(z)|$.

▷ D'après le corollaire 6.5 on a $\sup_{z \in \mathcal{U}_\varepsilon} |F_\varepsilon(z)| = \sup_{z \in \partial \mathcal{U}_\varepsilon} |F_\varepsilon(z)|$, et par conséquent $\sup_{z \in \mathcal{B}_{a,b}} |F_\varepsilon(z)| = \sup_{z \in \partial \mathcal{B}_{a,b} \cap \mathcal{U}_\varepsilon} |F_\varepsilon(z)| = M_\varepsilon$.

▷ Soit alors $z \in \mathcal{B}_{a,b}$, $\varepsilon_k$ une suite qui tend vers 0 et $\zeta_k$ un point de $\partial \mathcal{B}_{a,b} \cap \mathcal{U}_\varepsilon$ où $M_{\varepsilon_k}$ est atteint, on a donc $\forall k$ assez grand

$$|F_{\varepsilon_k}(z)| \le |F_{\varepsilon_k}(\zeta_k)| = |f(\zeta_k)| |e^{\varepsilon_k(\zeta_k)^n}| \le M |e^{\varepsilon_k(\zeta_k)^n}|,$$

et par conséquent, avec $\zeta_k = r_k e^{i\tau_k}$,

$$|f(z)| = |F_{\varepsilon_k}(z)| e^{-\varepsilon_k \rho^n \cos n\theta} \le M e^{\varepsilon_k \rho^n ((r_k/\rho)^n \cos n\tau_k - \cos n\theta)}.$$

▷ Si la suite $\zeta_k$ n'est pas bornée, quitte à en extraire une sous-suite, on peut supposer qu'elle tend vers l'infini, d'où comme précédemment $\lim_{k \to \infty} \cos n\tau_k = -1$, d'où il résulte que $(r_k/\rho)^n \cos n\tau_k \to -\infty$, et par conséquent que $\varepsilon_k \rho^n ((r_k/\rho)^n \cos n\tau_k - \cos n\theta)$ est négatif au-delà d'un.certain $k$, d'où $|f(z)| \le M$.

▷ Si la suite $\zeta_k$ est bornée, on peut en extraire une sous-suite convergente, soit vers $\zeta = re^{i\tau}$, et on aura

$$\lim_{k \to \infty} \varepsilon_k \rho^n ((r_k/\rho)^n \cos n\tau_k - \cos n\theta) = \lim_{k \to \infty} \varepsilon_k \rho^n ((r/\rho)^n \cos n\tau - \cos n\theta) = 0$$

, d'où $|f(z)| \le M$.

▷ On a donc démontré que, dans tous les cas,

$$|f(z)| \le M = \sup_{z \in \partial \mathcal{B}_{a,b}} |f(z)|.$$

Q.E.D.

**THÉORÈME 6.11 (Le théorème des trois droites d'Hadamard)** Soit $f$ holomorphe dans la bande $\mathcal{B}_{a,b} = \{z \in \mathbb{C} | a < \Re z < b\}$, continue et bornée sur $\overline{\mathcal{B}_{a,b}}$. La fonction $\log M(x)$ où $M(x) = \sup_{y \in \mathbb{R}} |f(x + iy)|$ est convexe sur l'intervalle $[a, b]$.

**DÉMONSTRATION.**

▷ Remarquons tout d'abord que si $M(a)$ (par exemple) est nul, alors le principe de symétrie de Schwartz 5.10 nous assure que $f$ se prolonge et une fonction holomorphe sur la bande $[-b + 2a, b]$, d'où la nullité de $f$ en vertu du principe des zéros isolés 2.8.

▷ On peut donc supposer que $M(a)$ et $M(b)$ ne sont pas nuls; notons $C = \sup_{z \in \mathcal{B}_{a,b}} |f(z)|$. Posons $z = x + iy$ et

$$g(z) = M(a)^{\frac{b-x}{b-a}} M(b)^{\frac{x-a}{b-a}},$$

on aura

$$M(a)^{\frac{b-x}{b-a}} = e^{\frac{b-x}{b-a} \log M(a)} = e^{\frac{b-x}{b-a} \log M(a)} e^{\frac{-iy}{b-a} \log M(a)}$$

d'où

$$|g(z)| = M(a)^{\frac{b-x}{b-a}} M(b)^{\frac{x-a}{b-a}},$$

et en particulier $|g(a + iy)| = M(a)$ et $|g(b + iy)| = M(b)$.

▷ La fonction $\log|g|$ est une combinaison convexe de $\log M(a)$ et $\log M(b)$, elle prend donc ses valeurs entre $\log M(a)$ et $\log M(b)$, et comme le Logarithme est une fonction croissante, il en résulte que $\inf_{z \in \mathcal{B}_{a,b}} |g(z)| = \min(M(a), M(b))$. Posons $h = f/g$, on aura

$$|h(a + iy)| = \frac{|f(a + iy)|}{M(a)} \le 1 \text{ et } |h(b + iy)| = \frac{|f(b + iy)|}{M(b)} \le 1,$$