Un théorème analogue à (II) a été publié récemment par LIONS ([2], [3]). Ses méthodes de démonstration sont une généralisation de celles de TITCHMARSH [8] et de DUFRESNOY [1] et s'appuient sur la théorie des fonctions analytiques. Or, un théorème des moments bornés, publié dans ce volume [6], permet d'obtenir le théorème (I) par des méthodes d'analyse des fonctions de variable réelle [5]. Il peut donc être d'intérêt de donner une démonstration du théorème (II), n'égigeant que des méthodes parreilles. C'est ce qui est le but de cet article.

2. Désignons généralement par $S_{l,v}$ le simplexe dont le sommet se trouve à l'origine et la base est définie par les relations

$$0 < t_i \quad (i=1, \dots, n), \quad t_1 v_1 + \dots + t_n v_n = l,$$

$$\text{où } 0 < v_i \quad (i=1, \dots, n), \quad v_1^2 + \dots + v_n^2 = 1 \text{ et } l > 0.$$

Soit $f$ une fonction définie et sommable sur un simplexe $S_{l,v}$ telle que l'intégrale prise sur la base des complexes $S_{l,v}$ contenus dans $S_{l,v}$ est nulle pour presque tout simplexe $S_{l,v}$ pour lequel l'angle entre les vecteurs $v$ et $v_0$ est inférieur à $\varepsilon$, où $\varepsilon$ est un nombre positif donné.

Cela posé, nous démontrerons que la fonction $f(t_1, \dots, t_n) = 0$ dans $S_{l,v}$<fnref n="1" />).

En introduisant, d'une manière convenable, un nouveau système de coordonnées $x_1, \dots, x_n$, on peut placer le simplexe $S_{l,v}$ dans le cube

$$0 < x_i < 1 \quad (i=1, \dots, n)$$

de sorte que la base se trouve sur le plan $x_n=0$. Posons $f=0$ pour tout point du cube en déhors du simplexe. Ainsi la fonction $f$ reste sommable dans le cube tout entier. Désignons par $I_{b_1, \dots, b_n}$ l'intersection du cube par le plan

$$(2) \qquad x_n = (b_1 - b_n)x_1 + \dots + (b_{n-1} - b_n)x_{n-1} + b_n;$$

## Un théorème sur le produit de composition des fonctions de plusieurs variables

par

J. G.-MIKUSIŃSKI et C. RYLL-NARDZEWSKI (Wroclaw).

1. TITCHMARSH [8] a démontré le théorème suivant:

(I) Si $f(t)$ et $g(t)$ sont deux fonctions sommables sur l'intervalle $(0, a)$, telles que le produit de composition

$$\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau$$

s'annule presque partout dans $(0, a)$, on a $f(t)=0$ presque partout dans $(0, b)$ et $g(t)=0$ presque partout dans $(0, c)$, où $b+c \ge a$.

Ce théorème permet de construire une théorie des opérateurs de Heaviside qui est plus générale que celle fondée sur la transformation de Laplace [4]. Une extension de cette théorie aux fonctions de plusieurs variables sera possible dès que l'on généralise le théorème de Titchmarsh. Ce théorème peut être énoncé, pour les fonctions de plusieurs variables, comme il suit:

(II) Si $f(t_1, \dots, t_n)$ et $g(t_1, \dots, t_n)$ sont deux fonctions sommables dans le simplexe

$$S_a: \quad 0 < t_i \quad (i=1, \dots, n), \quad t_1 + \dots + t_n < a,$$

telles que le produit de composition

$$(1) \qquad \int_0^{t_1} \int_0^{t_2} \dots \int_0^{t_n} f(t_1 - t_2, \dots, t_n - t_2) g(t_1, \dots, t_n)$$

s'annule presque partout sur $S_a$, on a $f(t_1, \dots, t_n)=0$ presque partout sur $S_b$ et $g(t_1, \dots, t_n)=0$ presque partout sur $S_c$, où $b+c \ge a$.

<footnote n="1">¹) On sait [7] que, si l'intégrale d'une fonction $f$ continue dans un domaine borné $D$ s'annule sur tout segment joignant les points frontières de $D$, on a $f=0$ identiquement dans $D$. La proposition analogue a lieu dans l'espace à un nombre arbitraire de dimensions. Or, le lemme que nous démontrons ici n'en découle pas, car les bases de $S_{l,v}$ ne peuvent pas couper celle de $S_{l,n}$.</footnote>
Parfaitement on peut écrire

$$ (7) \qquad \Phi_v(h;l) = \frac{1}{v_n} \int_{D_l} \dots \int_{D_l} dt_1 \dots dt_{n-1} \int_0^{t_l} d\tau_1 \dots \int_0^{t_n} d\tau_n f(t_1-\tau_1, \dots, t_n-\tau_n) g(\tau_1, \dots, \tau_n), $$

où l'on a (6), et

$$ (8) \qquad \int_0^l \Phi_v(f;l-\lambda) \Phi_v(g;\lambda) d\lambda = \frac{1}{v_n^2} \int_0^l d\lambda \int_{D_{l-\lambda}} dr_1 \dots dr_{n-1} \int_{D_\lambda} ds_1 \dots ds_{n-1} f(r_1, \dots, r_n) g(s_1, \dots, s_n), $$

où

$$ r_n = \frac{1}{v_n} (l - \lambda - v_1 r_1 - \dots - v_{n-1} r_{n-1}), $$

$$ s_n = \frac{1}{v_n} (\lambda - v_1 s_1 - \dots - v_{n-1} s_{n-1}). $$

En substituant, dans l'intégrale multiple de (8)

$$ r_i = t_i - \tau_i, \quad (i=1, 2, \dots, n-1) $$

$$ s_i = \tau_i, $$

$$ \lambda = v_1 \tau_1 + \dots + v_n \tau_n; $$

on parvient sans peine à l'intégrale multiple de (7), ce qui prouve l'identité (5).

**4. Supposons que les fonctions f et g soient continues dans S<sub>l,v</sub>.** Alors, il en est de même de leur produit de composition (1). Les fonctions Φ<sub>v</sub>(f; l), Φ<sub>v</sub>(g; l) et Φ<sub>v</sub>(h, l) sont encore continues par rapport à l et v.

Soient m et p les plus grands nombres tels que f=0 dans S<sub>m,v</sub> et g=0 dans S<sub>p,v</sub>. Supposons que m<l<sub>0</sub>.

Fixons arbitrairement un nombre l₁ tel que m<l₁<l₀. Il existe un nombre ε>0 tel que S<sub>l,v</sub> est contenu dans S<sub>l,v</sub> lorsque |v-v₀|<2ε, où |v-v₀| désigne la longueur du vecteur v-v₀. Remarquons que si l'on fait tendre l₁ vers l₀, ε doit tendre vers 0.

En vertu du n° 2, il existe un nombre m₁ et un vecteur v₁, tels que

$$ (9) \qquad 0 < m_1 < l_1, \\ \Phi_v(f; m_1) \neq 0, \\ |m_1 - m| < l_0 - l_1, $$

$$ (10) \qquad |v_1 - v_0| < \varepsilon. $$

La fonction Φ<sub>v</sub>(f; m₁) étant continue, il existe un nombre η (0<η<ε) tel que

$$ (11) \qquad \Phi_v(f; m_1) \neq 0 \quad \text{pour } |v - v_1| < \eta. $$

Puisque les fonctions f et g sont définies dans S<sub>l,v</sub>, la formule (5) est valable pour l et v tels que le simplexe S<sub>l,v</sub> est contenu dans S<sub>l,v</sub>, en particulier pour 0<l<l₁ et |v-v₁|<η. Si h=0 dans S<sub>l,v</sub>, on a Φ<sub>v</sub>(h,l)=0 et, en vertu du théorème de Titchmarsh et de l'inégalité (11),

$$ \Phi_v(g;l) = 0 \quad \text{pour } 0 < l \le l_1 - m_1 \text{ et } |v - v_1| < \eta. $$

En vertu du n° 2 on a donc g=0 dans S<sub>l,m,v</sub>.

Si l₁→l₀, on a ε→0 et l₁-m₁→l₀-m, v₁→v₀, en vertu de (9) et (10). Π s'ensuit que g=0 dans S<sub>l,m,v</sub>.

**5.** Nous venons de démontrer que si h=0 dans S<sub>l,v</sub> et f=0 dans S<sub>m,v</sub> (0<m<l₀), on a g=0 dans S<sub>p,v</sub>, où m+p≥l₀. Le théorème sur le produit de composition des fonctions de plusieurs variables, énoncé au commencement de l'article, se trouve donc démontré pour les fonctions continues. Ce théorème a été énoncé pour le simplexe Sₐ équilatéral, notre démonstration est cependant valable pour des complexes arbitraires. Cette généralisation s'obtient d'ailleurs d'une manière triviale par une transformation affine.

Il reste à généraliser la démonstration pour les fonctions sommaires, non nécessairement continues. On peut y parvenir ou bien en modifiant la démonstration d'une manière évidente, ou bien en remplaçant les fonctions sommables f(t₁, ..., tₙ) et g(t₁, ..., tₙ) par leurs intégrales

$$ F(t_1, \dots, t_n) = \int_0^{t_1} dt_1 \dots \int_0^{t_n} d\tau_n f(\tau_1, \dots, \tau_n) $$
et

$$G(t_1, \dots, t_n) = \int_0^{t_1} \dots \int_0^{t_n} d\tau_1 \dots d\tau_n g(\tau_1, \dots, \tau_n)$$

qui sont évidemment des fonctions continues.

Ouvrages cités.

[1] J. Dufresnoy, *Sur le produit de composition de deux fonctions*, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 225 (1947), p. 857-859.

[2] J. L. Lions, *Supports de produit de composition*, C. R. 232 (1951), p. 1530-1532.

[3] — *Supports de produits de composition*, C. R. 232 (1951), p. 1622-1624.

[4] J. G.-Mikusiński, *Sur les fondements du calcul opératoire*, Studia Mathematica 11 (1950), p. 41-70.

[5] — *A new proof of Titchmarsh's theorem on convolution*, ce volume.

[6] J. G.-Mikusiński and C. Ryll-Nardzewski, *A theorem on bounded moments*, ce volume.

[7] J. Radon, *Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten*, Berichte der Mathematisch-Physicalen Klasse der Königlich-Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften 69 (1917), p. 262-277.

[8] E. C. Titchmarsh, *The zeros of certain integral functions*, Proceedings of the London Mathematical Society 25 (1926), p. 283-302.

PANSTWOWY INSTITUT MATEMATYCZNY
INSTITUT MATHÉMATIQUE DE L'ÉTAT

*(Reçu par la Rédaction le 10. 1. 1952)*

Sur les fonctions satisfaisant à une condition de Lipschitz généralisée (II)

par

W. ORLICZ (Poznań).

1. On doit à DENJOY et KHINTCHINE les premiers exemples de fonctions continues dépourvues presque partout de dérivée approximative. Ils ont démontré l'existence de fonctions continues $f(x)$ telles que

$$ (1) \qquad \lim_{t \to x} \left| \frac{f(t) - f(x)}{t - x} \right| = \infty $$

pour presque tout $x$. La première partie de notre travail, publiée dans le X-ième volume de ce journal et citée dans la suite comme LI, était consacrée à l'étude de fonctions continues pourvues de certaines singularités (par exemple, non-dérivabilité). La partie présente<fnref n="1" />) suit les idées de LI, la notion de limite ordinaire étant remplacée par celle de limite asymptotique. Citons, comme exemple des résultats obtenus, le théorème suivant:

Il existe une fonction satisfaisant à la condition de Lipschitz avec chaque exposant entre 0 et 1, telle que l'on ait (1) pour presque tout $x$.

2. La suite {$f_n(x)$} composée de fonctions mesurables est dite asymptotiquement bornée dans l'ensemble E lorsque $\vartheta_n \to 0$ entraîne la convergence asymptotique sur E de la suite {$\vartheta_n f_n(x)$} vers 0. Cette condition équivaut à la suivante<fnref n="2" />):

<footnote n="1">1) Les résultats du travail ont été présentés le 10 avril 1945 à la Société Polonaise de Mathématique, Section de Cracovie.</footnote>

<footnote n="2">2) Voir W. Orlicz, *On a class of asymptotically divergent sequences of functions*, Studia Mathematica 12 (1951), p. 286-307.</footnote>