# Désagrégration temporelle de la valorisation annuelle des prairies en une croissance intra-annuelle par apprentissage

Spillemaecker Laurent

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Spillemaecker Laurent. Désagrégration temporelle de la valorisation annuelle des prairies en une croissance intra-annuelle par apprentissage. Apprentissage [cs.LG]. 2021. hal-03358875

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Submitted on 29 Sep 2021

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# RAPPORT DU STAGE D'APPLICATION
## EN STATISTIQUE DE 2E ANNEE

STRUCTURE D'ACCUEIL : IRISA / INRAE

THEME DU STAGE : Désagrégration temporelle de la valorisation annuelle des prairies en une croissance intra-annuelle par apprentissage

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

UMR

IRISA

INRAE

LIEU DE STAGE : IRISA, 263 Av. Général Leclerc, 35000 Rennes - France

Promotion : 2022

Maître de stage : GRAUX Anne-Isabelle et GUYET Thomas

Tuteur pédagogique : DU ROY Marie

Campus de Ker Lann
rue Blaise Pascal BP37203
35172 BRUZ CEDEX
Tél : 33 (0)2 99 05 32 32
Fax : 33 (0)2 99 05 32 05
communication@ensai.fr
Table des matières

<table><tr><td>1</td><td>Remerciements</td><td>5</td></tr><tr><td>2</td><td>Résumé</td><td>6</td></tr><tr><td>3</td><td>Introduction</td><td>7</td></tr><tr><td>4</td><td>Environnement du stage</td><td>8</td></tr><tr><td>5</td><td>Découverte des données et premières conclusions</td><td>9</td></tr><tr><td>5.1</td><td>Description des données</td><td>9</td></tr><tr><td>5.2</td><td>Analyse de la croissance et des données climatiques</td><td>12</td></tr><tr><td>6</td><td>Construction d'un modèle statistique</td><td>15</td></tr><tr><td>6.1</td><td>Formalisation et approche générale</td><td>15</td></tr><tr><td>6.2</td><td>Prétraitement des données</td><td>15</td></tr><tr><td>6.3</td><td>Choix des modèles</td><td>16</td></tr><tr><td>6.3.1</td><td>Description des classificateurs</td><td>16</td></tr><tr><td>6.3.2</td><td>Description des méthodes</td><td>17</td></tr><tr><td>6.3.3</td><td>Ordre des modèles et initialisation</td><td>17</td></tr><tr><td>7</td><td>Expérimentations et résultats</td><td>18</td></tr><tr><td>7.1</td><td>Analyse des variables</td><td>19</td></tr><tr><td>7.2</td><td>Comparaison des dix-huit modèles</td><td>20</td></tr><tr><td>7.3</td><td>Évaluation qualitative des reconstructions</td><td>23</td></tr><tr><td>8</td><td>Conclusion</td><td>24</td></tr><tr><td>9</td><td>Annexe</td><td>26</td></tr></table>
Table des figures

<table><tr><td>1</td><td>Exemple de courbe de croissance sur une année</td><td>9</td></tr><tr><td>2</td><td>Histogramme du cumul des précipitations (mm) et courbe des températures minimale, maximum (traits pointillés) et moyenne (trait plein) (°C) en fonction de la décade.</td><td>12</td></tr><tr><td>3</td><td>Variabilité de la croissance moyenne journalière de l'herbe des prairies bretonnes simulée par le modèle STICS en fonction de la décade</td><td>13</td></tr><tr><td>4</td><td>Croissance journalière de l'herbe des prairies bretonnes issu du réseau Bretagne et mesurée sur la période 1997-2003 (source : Graux et al., 2017)</td><td>13</td></tr><tr><td>5</td><td>Variabilité de la croissance moyenne journalière de l'herbe des prairies bretonnes simulée par le modèle STICS en fonction de la décade sur l'année 2011</td><td>14</td></tr><tr><td>6</td><td>Initialisation des différentes séries brute, différenciée et cumulée, soit aux valeurs connues, soit à des valeurs constantes</td><td>18</td></tr><tr><td>7</td><td>Comparaison des MSE entre les différents modèles avec initialisation moyennes</td><td>21</td></tr><tr><td>8</td><td>Critical diagram de tous les modèles</td><td>22</td></tr><tr><td>9</td><td>Comparaison de la prédiction des différents classifieurs pour la méthode classique initialisé avec des valeurs connues par rapport à la croissance théorique</td><td>23</td></tr><tr><td>10</td><td>Représentation de la croissance médiane décadaires.</td><td>26</td></tr><tr><td>11</td><td>Variabilité de l'indice de Martonne en fonction de la décade [5pt] Lecture : La ligne rouge correspond à 35 mm/C° qui désigne la limite pour laquelle le climat est considéré comme très humide au delà de cette valeur d'apres la table 2</td><td>26</td></tr><tr><td>12</td><td>Comparaison du ratio des MSE entre l'initialisation avec valeurs connues et l'initialisation avec valeurs moyennes</td><td>27</td></tr><tr><td>13</td><td>Critical diagram des trois régresseurs</td><td>27</td></tr></table>
Liste des tableaux

<table><tr><td>1</td><td>Description des différentes variables du jeu de données croissance et climat decadaires</td><td>10</td></tr><tr><td>2</td><td>Interprétation de l'indice de Martonne</td><td>11</td></tr><tr><td>3</td><td>Découpage des saisons suivant la décade</td><td>11</td></tr><tr><td>4</td><td>Description des différentes variables du jeu de données valorisation annuelle</td><td>11</td></tr><tr><td>5</td><td>Comparaison de la MSE entre les différents modèles de prédiction de la croissance à partir d'une variable exogène</td><td>19</td></tr><tr><td>6</td><td>MSE des différents modèles, classées par ordre croissant</td><td>20</td></tr><tr><td>7</td><td>Lexique du nom des modèles dans le critical diagram</td><td>22</td></tr></table>
# 1 Remerciements

À mes collègues stagiaires, thésards et membre de l'équipe LACODAM. Merci pour votre bonne humeur, vos conseils et aux bons moments passé à la cafétéria. Un grand merci à mes maîtres de stage Anne-Isabelle et Thomas ainsi qu'à Simon pour leurs bienveillance, leurs conseils et leur enthousiasme dans la réalisation de ce stage. Mes salutations à l'équipe LACODAM ainsi qu'à l'équipe Syslait.
## 2 Résumé

L'objectif de ce stage est d'aider les éleveurs à mieux prévoir l'exploitation de leurs prairies en connaissant à l'avance la quantité d'herbe produites au cours de l'année. En effet, nous avons mis au point un modèle qui permet la prédiction de la croissance de l'herbe des prairies à chaque décade (période de dix jours) de l'année. Pour utiliser ce modèle, il suffit d'avoir de l'information sur le climat annuel comme par exemple la température, les précipitations ou le rayonnement. En général, il est relativement facile pour un éleveur d'avoir de telles informations sur le climat notamment grâce à des logiciels de simulation. Notre modèle est performant dans la prédiction et il suit assez bien la dynamique de la croissance décadaire de l'herbe des prairies.
## 3 Introduction

En 2019, les prairies s'étendaient sur 12,7 millions d'hectares en France soit a peu près 20% du territoire national. En Bretagne, les prairies occupent 673 000 hectares soit 25% du territoire régional. De ce fait, les prairies ont un rôle important, notamment dans les services écosystémiques qu'elles assurent tels que la production de fourrages, l'atténuation du changement climatique par le stockage de carbone, le maintien de la biodiversité etc.

Le service de production fourragère assuré par les prairies, et auquel nous nous intéressons ici, est inti-
mement lié à la façon dont l'herbe pousse et donc aux conditions spécifiques de l'année considérée.

La croissance de l'herbe des prairies dépend en effet de différents facteurs [5] :

- les ressources en eau et en nutriments du sol

- le climat local, en premier lieu le rayonnement utile à la photosynthèse, la température qui régit le fonctionnement des plantes et les pluies qui alimentent la végétation et contribuent à recharger la réserve en eau du sol

- la gestion appliquée par l'éleveur en terme d'exploitation de l'herbe (fauche, pâturage) et de fertilisation

- les types de prairie (composition floristique, âge) qui jouent notamment via leur réponses aux facteurs du milieu et de gestion, et par leur surface d'interception du rayonnement utile à la photosynthèse

Parmi ces facteurs l'action du climat moyen mais également des aléas climatiques de type sécheresse est déterminante [6].

Les prairies sont exploitées par les éleveurs pour nourrir leur troupeau. Elle peuvent être pâturées et/ou fauchées pour produire des fourrages conservés, de type foin ou ensilage d'herbe. L'ensemble de l'herbe pâturée ainsi que de l'herbe fauchée dans l'année correspond à ce que l'on appelle la valorisation annuelle de la prairie (exprimée en tonnes de matière sèche à l'hectare et à l'année).

L'information sur la valorisation annuelle des prairies françaises est plus facilement accessible que l'information sur la croissance de l'herbe au cours de l'année. Cette information sur la croissance de l'herbe est pourtant essentielle à certains modèles de simulation des troupeaux bovins simulant l'utilisation de cette ressource herbagère pour la production de fourrages conservés ou pour l'alimentation des animaux au pâturage.

Il serait donc utile de pouvoir proposer des modèles de prédiction de la croissance de l'herbe à partir de l'information, souvent connue, sur le climat passé et la valorisation annuelle de la prairie (en faisant l'hypothèse que ces deux informations clés suffisent à construire ces modèles). C'est l'objectif de ce stage qui répond à un besoin concret du projet européen GenTORE.
# 4 Environnement du stage

J'ai effectué mon stage pour le compte de l'INRAE mais dans les locaux de l'IRISA à Rennes.

L'INRAE (Institut National de Recherche pour l'Agriculture, l'Alimentation et l'Environnement), né au premier janvier 2020 de la fusion entre l'INRA (Institut National de la Recherche Agronomique) et l'IRSTEA (Institut National de Recherche en Sciences et Technologies pour l'Environnement et l'Agriculture), est un organisme français de recherche en agronomie. Cet organisme est un Établissement Public à caractère Scientifique et Technologique (EPST) et il se trouve sous la double tutelle du ministère chargé de la Recherche, de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, et du ministère chargé de l'Agriculture et de l'Alimentation. C'est le premier organisme de recherche spécialisé sur la vie, l'humain et la terre. L'INRAE mène des recherches dans le but de promouvoir une alimentation saine et de qualité, une agriculture durable, et un environnement préservé et valorisé. Il compte 18 centres de recherche à travers toute la France dont le centre Bretagne-Normandie au sein duquel j'ai effectué mon stage.

Ce stage a été réalisé pour le compte de l'unité mixte de recherche PEGASE (pour Physiologie, Environnement, et Génétique pour l'Animal et les Systèmes d'Elevage) et plus précisément de l'équipe Syslait (pour Systèmes laitiers). L'objectif scientifique principal de cette équipe de recherche est de produire des connaissances et de développer des innovations et des outils d'aide à la décision pour augmenter l'efficience et la résilience des systèmes laitiers aux échelles de l'animal, du troupeau et du système tout en améliorant leur durabilité. Le défi pour l'équipe Syslait est donc de fournir de nouvelles approches et / ou des stratégies de gestion à court et long terme de ces systèmes et de proposer aux agriculteurs des solutions appropriées pour s'adapter aux changements (notamment climatiques) auxquels sont confrontées les exploitations laitières.

L'IRISA (Institut de Recherche en Informatique et Systèmes Aléatoires) a été créée en 1975. Il s'agit d'une unité mixte de recherche spécialisée en informatique, systèmes automatisés et signaux/imagerie robotique. Par ses travaux complets dans ces domaines, l'IRISA s'est imposé comme le premier laboratoire de recherche en Bretagne. 800 personnes, 40 équipes, 7 départements (Systèmes à grande échelle/Réseaux, télécommunications et services/Génie des langues et des logiciels/Signaux numériques et imagerie, robotique/Médias et communications/Gestion des données et des connaissances) se conjuguent pour offrir des services de pointe en sciences numériques au monde de la santé, de l'environnement, des transports, du multimédia, de l'industrie... En associant 8 établissements administratifs (CentraleSupélec, CNRS, ENS Rennes, IMT Atlantique, Inria, INSA Rennes, Université de Bretagne Sud (UBS), Université de Rennes 1), le laboratoire breton s'est positionné comme un centre de recherche d'excellence, au service des sciences, des télécommunications, des données et des communications en se concentrant sur des priorités scientifiques telles que les données bio-numériques, les systèmes de sécurité, les nouvelles architectures logicielles et la réalité virtuelle.

Ce stage a été réalisé dans les bureaux et avec l'aide de l'unité LACODAM (Large Scale Collaborative Data Mining) de l'IRISA. Cette unité de recherche a pour but, entre autre, de faciliter considérablement le processus visant à expliciter du sens à partir de grandes quantités de données, soit en dérivant de nouvelles connaissances, soit pour prendre de meilleures décisions. Actuellement, ce processus est en grande partie manuel et s'appuie sur la compréhension du domaine par l'analyste, sur les données disponibles et sur une pléthore d'outils informatiques complexes. L'équipe LACODAM vise une nouvelle génération d'approches de l'analyse des données où les différentes manières de découvrir la structure sous-jacente des données sont explorées de manière automatique, et où seules les structures les plus pertinentes sont présentées à l'analyste.

Mon sujet de stage se situant à l'interface des sciences agronomiques et des sciences des données, il est co-porté par l'INRAE et l'IRISA. J'ai donc eu deux maîtres de stage, Anne Isabelle Graux qui est chercheuse à l'INRAE et Thomas Guyet, enseignant-chercheur à l'IRISA.
# 5 Découverte des données et premières conclusions

Les questions auxquelles mon stage visent à répondre sont les suivantes :

Connaissant la valorisation annuelle de l'herbe et les conditions climatiques de l'année, comment peut-on reconstruire la courbe de croissance décadaire de l'herbe (voir figure 1) ? Quelle erreur de prédiction fait-on ?

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Exemple de courbe de croissance sur une année</figcaption></figure>

## 5.1 Description des données

L'UMR PEGASE de l'INRAE de Rennes a produit un jeu de données de simulation de taille conséquente sur la valorisation annuelle et la croissance journalière des prairies. Ces données ont été produites dans le cadre de l'étude « Les prairies françaises : Production, exportation d'azote et risques de lessivage » [4, 3]. Il s'agit de données simulées par le modèle STICS<fnref n="1" />, qui est un modèle mécaniste et déterministe [1]. L'information utilisée en entrée du modèle sur le climat, le sol et les pratiques de gestion de l'herbe est connue. En particulier, l'information climatique (8 variables au pas de temps journalier) a été fournie par le système SAFRAN de Météo France. Différents types de prairies ont été considérés, correspondants à des prairies permanentes ou semées qui diffèrent par leur composition (graminées pures, en mélange avec des légumineuses, ou légumineuses pures) et leur durée d'implantation. Les pratiques agricoles ont été résumées sous la forme de 30 modes d'exploitation définis par le type (fauche et/ou pâture) et le nombre d'exploitation de l'herbe dans l'année, ainsi que par la fertilisation azotée apportée à la prairie.

Les simulations ont été réalisées à l'échelle de la France à une haute résolution spatiale correspondant à des unités pédoclimatiques (UPC), issues du croisement de la résolution de l'information climatique (maille safran) et pédologique (unité cartographique de sol ou UCS), et pour lesquelles la surface de prairies est significative. Les sorties des simulations correspondent à des séries temporelles de 30 années (1984-2013) au pas de temps journalier.

A chaque UPC est associé un climat de 30 années (1984-2013), un à deux sols majoritaires, un à deux types de prairie majoritaires, et pour chacun des types de prairie, 1 à 18 modes d'exploitation. Au sein d'une même UPC, il peut donc y avoir plusieurs simulations (une dizaine en moyenne par UPC).

Dans le cadre de ce stage, nous nous sommes limités aux données de la région Bretagne. Nous avons sélectionné uniquement les variables utiles au stage à savoir la valorisation annuelle et la croissance journalière

<footnote n="1">1. STICS : https://www6.paca.inra.fr/stics/</footnote>
des prairies ainsi que les données climatiques. Dans tous les jeux de données utilisés, la croissance (cumulée ou non) et la valorisation de l'herbe des prairies correspondent à des valeurs exprimées depuis la surface du sol. Seules les prairies de graminées pures ont été considérées dans le jeu de données breton.

Les données journalières de croissance et de climat ont été agrégées (moyenne ou cumul) à la décade, c'est-à-dire sur une période de dix jours consécutifs, période pendant laquelle la croissance varie peu et s'avère suffisante pour les besoins du stage. Chaque série annuelle comporte ainsi 37 valeurs.

Deux jeux de données ont été créés : le premier regroupant l'information décadaire sur la croissance et le climat nommé **croissance et climat decadaires** et le second sur la valorisation annuelle intitulé **valorisation annuelle**. Le premier se compose de 17 665 243 observations (477 439 séries de 37 décades) de 15 variables (voir Table 1). Les variables *saison* et *cumul croissance* ont été rajoutés.

<table><caption>TABLE 1 – Description des différentes variables du jeu de données *croissance et climat decadaires*</caption><thead><tr><th>Variable</th><th>Définition</th><th>Unité</th></tr></thead><tbody><tr><td><i>ucs</i></td><td>numéro de l'unité cartographique de sol (ucs)</td><td>sans unité</td></tr><tr><td><i>safran</i></td><td>numéro de la maille safran qui correspond à la résolution climatique (maille carrée de 8x8 km)</td><td>sans unité</td></tr><tr><td><i>sol</i></td><td>numéro du sol</td><td>sans unité</td></tr><tr><td><i>gestion</i></td><td>numéro de la gestion de la prairie</td><td>sans unité</td></tr><tr><td><i>ian</i></td><td>année des observations</td><td>sans unité</td></tr><tr><td><i>decade</i></td><td>numéro de la décade (période de dix jours consécutifs)</td><td>sans unité</td></tr><tr><td><i>Tmin</i></td><td>moyenne des températures minimales journalières sur la décade</td><td>degré Celsius (°C)</td></tr><tr><td><i>Tmax</i></td><td>moyenne des températures maximales journalières sur la décade</td><td>degré Celsius (°C)</td></tr><tr><td><i>Tmoy</i></td><td>température moyenne (moyenne de Tmin et de Tmax)</td><td>degré Celsius (°C)</td></tr><tr><td><i>Rain</i></td><td>cumul des pluies sur la décade</td><td>mm</td></tr><tr><td><i>RG</i></td><td>cumul du rayonnement sur la décade</td><td>J/cm<sup>2</sup></td></tr><tr><td><i>im</i></td><td>indice de Martonne calculé à la décade et défini par :<br><i>I</i> = 37 × <div style="display: inline-block; vertical-align: middle; text-align: center;"><div style="border-bottom: 1px solid black; padding: 0 5px;">Rain</div><div style="padding: 0 5px;">Tmoy + 10</div></div></td><td>mm/C</td></tr><tr><td><i>croissance</i></td><td>croissance journalière nette moyenne sur la décade</td><td>kgMS/ha/jour, (MS signifiant matière sèche)</td></tr><tr><td><i>saison</i></td><td>saison de l'année</td><td>sans unité</td></tr><tr><td><i>cumul croissance</i></td><td>cumul de la croissance au cours de l'année</td><td>kgMS/ha</td></tr></tbody></table>

NB : On peut noter qu'en travaillant à la décade, la dernière décade représente moins de 10 jours. L'utilisation d'agrégation moyenne limite l'impact de la valeur sur cette dernière valeur de la série. Pour les valeurs cumulées sur la décade, il s'agit des croissances dont les valeurs en hiver sont faibles. De plus, cette dernière valeur n'a que peu d'impact sur les méthodes mises en œuvre par la suite. C'est donc une approximation mineure.

Le cumul de croissance est égal à la somme des croissances décadaires successives. Il est réinitialisé à chaque début d'année. Ainsi pour chaque première décade, les valeurs de la croissance cumulée et de la croissance sont identiques.

L'indice de Martonne [2] est un indice d'aridité et l'intérêt de disposer de cet indice est qu'il peut être intégrateur de l'information sur la température et les pluies. La table 2 donne les interprétations des valeurs de l'indice.
<table><caption>TABLE 2 – Interprétation de l'indice de Martonne</caption><thead><tr><td>im</td><td>Classe d'aridité</td></tr></thead><tbody><tr><td>> 35</td><td>très humide</td></tr><tr><td>[28; 35]</td><td>humide</td></tr><tr><td>[24; 28]</td><td>semi-humide</td></tr><tr><td>[20; 24]</td><td>méditerranéen</td></tr><tr><td>[10; 20]</td><td>semi-sec</td></tr><tr><td>[0; 10]</td><td>sec</td></tr></tbody></table>

La définition des saisons suivant la décade est la suivante :

<table><caption>TABLE 3 – Découpage des saisons suivant la décade</caption><thead><tr><td>decade</td><td>saison</td></tr></thead><tbody><tr><td>[1; 9]</td><td>Hiver</td></tr><tr><td>[10; 18]</td><td>Printemps</td></tr><tr><td>[19; 28]</td><td>Été</td></tr><tr><td>[29; 37]</td><td>Automne</td></tr></tbody></table>

Le deuxième jeu de données **valorisation_annuelle** se compose de 477 439 observations de 8 variables (voir Table 4)

<table><caption>TABLE 4 – Description des différentes variables du jeu de données **valorisation_annuelle**</caption><thead><tr><td>Variable</td><td>Définition</td><td>Unité</td></tr></thead><tbody><tr><td><i>ucs</i></td><td>numéro de l'unité cartographique de sol (ucs)</td><td>sans unité</td></tr><tr><td><i>safran</i></td><td>numéro de la maille safran qui correspond à la résolution climatique (maille carrée de 8x8 km)</td><td>sans unité</td></tr><tr><td><i>sol</i></td><td>numéro du sol</td><td>sans unité</td></tr><tr><td><i>gestion</i></td><td>numéro de la gestion de la prairie</td><td>sans unité</td></tr><tr><td><i>année</i></td><td>année des observations</td><td>sans unité</td></tr><tr><td><i>valorisation</i></td><td>valorisation annuelle</td><td>tMS/ha/an</td></tr><tr><td><i>RU</i></td><td>réserve utile du sol</td><td>mm</td></tr><tr><td><i>cumul_croissance</i></td><td>cumul de la croissance nette (c'est-à-dire la croissance brute à laquelle est retranchée la sénescence de l'herbe) sur l'année</td><td>tMS/ha/an</td></tr></tbody></table>

Nous avons supprimé les données correspondant aux années d'implantation (c'est-à-dire semis) de la prairie. En effet, au début de ces années, la végétation est absente et les valeurs de croissance sont nulles. Il en découle une valorisation annuelle faible voire nulle lors de ces années d'implantation de la prairie. La durée d'implantation d'une prairie étant fixe pendant une simulation, ces années d'installation reviennent régulièrement, tous les trois à cinq ans suivant la durée d'implantation de la prairie. Leur suppression a réduit le jeu de données **croissance et climat decadaires** d'approximativement 23%.

On cherche tout d'abord à voir si l'information climatique à elle seule peut suffire à prédire la croissance. Avant d'envisager de lui ajouter l'information liée à la valorisation annuelle de la prairie en essayant de la relier au cumul de croissance.
## 5.2 Analyse de la croissance et des données climatiques

Nous avons tout d'abord caractérisé le climat breton moyen sur la période disponible (1984-2013) en traçant l'allure des températures moyenne, minimale et maximale ainsi que le cumul des pluies sur la décade. Pour rappel, nous avons récupéré uniquement les données de simulation en Bretagne. C'est la raison pour laquelle nous nous limitons à l'étude du climat Breton.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Histogramme du cumul des précipitations (mm) et courbe des températures minimale, maximale (traits pointillés) et moyenne (trait plein) (°C) en fonction de la décade.</figcaption></figure>

On remarque qu'en Bretagne, le printemps, et dans une moindre mesure l'automne, bénéficient en moyenne de conditions favorables à la pousse de l'herbe en combinant des températures et des précipitations favorables à la croissance. En revanche, l'été se caractérise par une baisse des précipitations et une augmentation des températures, c'est d'ailleurs à cette période que les températures sont les plus élevées, et que l'hiver présente de faibles températures qui concourent à freiner voire stopper la croissance.

L'analyse de l'indice de Martonne décadaire montre également le caractère très humide du climat breton aux saisons automne-hiver, humide au printemps et semi-sec à sec en été : figure 11.

Nous avons également analysé graphiquement le comportement de la croissance journalière de l'herbe des prairies, en affichant la variabilité et la valeur médiane de la croissance journalière moyenne au sein de la décade sous la forme de boîtes à moustaches (figure 3 et 10). La variabilité correspond ici à la variabilité des valeurs de croissances journalières moyennes au sein d'une décade pour les différentes simulations bretonnes et issue des différents mailles safran, UCS, sols, années, types de prairie et modes de gestion.

L'allure générale de la croissance simulée par le modèle STICS est cohérente avec l'allure de la croissance mesurée sur le terrain dans le cadre des réseaux de suivi de la pousse de l'herbe en Bretagne. Les profils de croissance de ce réseau ont été élaborés à partir de 3397 données validées à l'échelle de l'exploitation sur la période de 1997 à 2003, et calculées comme la moyenne décadaire observée sur l'ensemble de l'exploitation suivie. Deux profils ont été définis au printemps selon la précocité climatique et 3 profils ont été définis en été associés surtout à la pluviométrie (figure 4).

L'allure générale de la croissance médiane de l'herbe simulée par STICS est également cohérente avec les conditions climatiques bretonnes moyennes présentées précédemment. Durant l'hiver, la croissance de l'herbe est faible et stationnaire aux alentours de 5-10 kg MS/ha/jour. Vers la fin de l'hiver (décade 8), la croissance augmente de façon continue pour atteindre un pic au milieu du printemps (décade 15) à environ 65-90 kg MS/ha/jour. La croissance décroit ensuite aussi vite qu'elle a augmenté durant le printemps, pour atteindre un minimum au milieu de l'été (décade 24) de 15-65 kg MS/ha/jour avant d'augmenter à nouveau
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Variabilité de la croissance moyenne journalière de l'herbe des prairies bretonnes simulée par le modèle STICS en fonction de la décade</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Croissance journalière de l'herbe des prairies bretonnes issu du réseau Bretagne et mesurée sur la période 1997-2003 (source : Graux et al., 2017)</figcaption></figure>

très légèrement jusqu'au passage de l'été à l'automne (décade 29). La croissance de l'herbe diminue ensuite en automne jusqu'à atteindre les valeurs hivernales.

On observe que la variabilité des valeurs de croissance journalière autour de la médiane est très dépendante de la saison (figure 3) : faible en automne et hiver, modérée au début du printemps et en revanche forte de la fin du printemps au début de l'automne, reflétant notamment l'effet de la variabilité climatique et en
particulier des sécheresses et gelées/canicules sur la croissance. Il existe en effet une grande diversité de courbes de croissance derrière ce graphique, issue en grande partie des conditions climatiques de l'année considérée. Si on regarde en particulier l'année 2011, on observe une forte chute de la croissance printanière et a contrario un fort regain de croissance en été, caractéristique des conditions climatiques de cette année particulière. C'est cette diversité de courbes que l'on souhaite pouvoir prédire.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 5 – Variabilité de la croissance moyenne journalière de l'herbe des prairies bretonnes simulée par le modèle STICS en fonction de la décade sur l'année 2011</figcaption></figure>

Avant de chercher à construire des modèles de prédiction de la croissance, nous avons recherché l'existence de corrélations entre la croissance et chacune des six variables climatiques exogènes (Tmin, Tmax, Tmoy, Rain, RG et im). Pour cela, nous avons effectué une régression linéaire simple entre la croissance et chacune de ces variables. L'intérêt étant de remarquer au préalable quelles sont les variables exogènes qui expliquent le mieux la croissance, ce qui nous sera utile par la suite pour la construction du modèle. Il s'avère que ce sont les trois températures (minimale, maximale et moyenne) qui sont les plus corrélées avec la croissance simulée par STICS, le rayonnement est également assez corrélé. En revanche, les précipitations et l'indice de Martonne sont largement moins corrélés à la croissance que les quatres précédentes variables.
# 6 Construction d'un modèle statistique

Cette section présente les méthodes statistiques mises en œuvre. La section 6.1 commence par présenter la formalisation du problème de désagrégation d'une série temporelle. On présente ensuite la préparation des données pour réaliser l'apprentissage des paramètres de $f_θ$. La section 6.3 présente les types de modèles qui sont utilisés. Dans cette section, on présentera d'une part les différentes méthodes de régression qui ont été employées, mais on présentera également des variantes du problème de désagrégation en utilisant des représentations alternatives d'une série temporelle (série différenciée ou cumulée). Finalement, la section 6.3.3 revient sur les choix des valeurs initiales de la série $\hat{x}$.

## 6.1 Formalisation et approche générale

Dans notre problème de désagrégation, un exemple est représenté sous la forme $\langle C, Y \rangle$ où $C \in \mathbb{R}$ est la valeur d'un cumul de croissance et $Y = y_1, \dots, y_n$ est une série temporelle multivariée de taille $n$ où $y_t \in \mathbb{R}^k$ pour tout $t \in [1, n]$. $Y$ représente les données climatiques qui sont connues sur toute l'année.

L'objectif de la désagrégation est de construire une série temporelle $\hat{X} = \hat{x}_1, \dots, \hat{x}_n$ de telle sorte que ces valeurs soient aussi proches que possible des données réelles $X$ et, en particulier, qu'on ait $\sum_{t=1}^n \hat{x}_t = C$. On cherche donc à minimiser l'erreur quadratique moyenne entre $X$ et $\hat{X}$.

L'approche proposée dans ce travail consiste à utiliser une technique de prévision de série temporelle pour reconstruire la série $\hat{X}$. Il s'agit donc d'estimer la valeur de $\hat{x}_t$ en fonction des valeurs précédentes de la série, mais également des valeurs des séries exogènes.

Si on considère un modèle auto-regressif d'ordre $p$ ($AR(p)$), la valeur $\hat{x}_t$ s'obtient en utilisant l'équation suivante :

$$ \hat{x}_t = c + \sum_{i=1}^{p} \varphi_i \hat{x}_{t-i} + \sum_{j=0}^{p} \psi_j y_{t-j} \quad (1) $$

où $\varphi_i \in \mathbb{R}$ et $\psi_j \in \mathbb{R}^k$ sont les paramètres du modèle. L'ordre du modèle, $p$, désigne le nombre de valeurs dans le passé qui sont pris en compte pour la prédiction.

On peut noter que dans l'équation 1, on tient compte des valeurs strictement avant $t$ pour prédire $\hat{x}_t$, mais les valeurs exogènes étant connues, on peut également prendre en compte les données de $Y$ à la date $t$.

Plus généralement, on souhaite estimer $\hat{x}_t$ en fonction de $\hat{x}_{t-1}, \dots, \hat{x}_{t-p}$, et on note $f_θ$ cette fonction d'estimation où $\theta$ représente les paramètres de cette fonction.

Notre problème de désagrégation est donc vu comme un problème d'apprentissage automatique pour lequel il s'agit d'estimer les paramètres de $f_θ$ à partir des données d'apprentissage. La reconstruction d'une série temporelle $\hat{X}$ se fait alors en appliquant de manière récursive la fonction de prédiction. Néanmoins, il sera nécessaire d'ajouter des hypothèses supplémentaires sur les valeurs initiales de la série temporelle pour appliquer une première fois la fonction de prédiction (voir section 6.3.3).

## 6.2 Prétraitement des données

Pour faciliter la construction des modèles, nous avons commencé par n'utiliser qu'une partie du jeu de données **croissance et climat decadaires** en ne gardant que les cinq dernières années, c'est-à-dire de 2009 à 2013. L'objectif est d'apprendre une fonction $f_θ$ unique qui ne tienne pas compte des informations sur le sol ni sur la gestion de la prairie. Ces informations ne sont pas disponibles en inférence, elles ne peuvent donc pas être utilisées.

Nous avons ainsi créé un nouveau jeu de données intitulé **croissance** constitué de 3 214 671 observations
(86 883 séries de 37 décades) soit 1/6 ème de l'ensemble des données. Cette taille de données réduit les temps de calcul et l'espace mémoire nécessaire et nous avons estimé qu'elle était suffisante pour obtenir de bons résultats.

Nous avons ensuite découpé la base **croissance** en deux, une base d'apprentissage pour construire les modèles et une base de validation pour les tester. Pour cela, nous avons choisi de découper le jeu de données selon la variable *safran*. La variable *safran* détermine le climat et donc les variables exogènes. La séparation sur cette variable vise à assurer que le modèle généralise bien sur de nouvelles conditions climatiques. Il existe 469 mailles *safran* différentes, on les découpe aléatoirement en deux : un échantillon d'apprentissage regroupant 70% des mailles *safran* soit 328 mailles *safran* différentes et un échantillon de validation regroupant 30% des mailles *safran* soit 141 mailles *safran* différentes. On obtient ainsi deux nouveaux jeux de données :

- *train_croissance* représentant la base d'apprentissage et composé de 2 233 616 observations,

- *validation_croissance* représentant la base de validation et composé de 981 055 observations.

Chaque observation du jeu de données est composée de $k = 6$ variables exogènes (les températures minimales, maximales et moyennes, le rayonnement, les précipitations et l'indice de Martonne), ainsi que de la variable de croissance qu'on cherche à reconstruire ($\hat{x}$).

Pour l'apprentissage de $f_θ$, nous avons besoin de construire un second jeu de données composé non-seulement des données à la décade $t$, mais également de celles aux décades précédentes. Ce jeu de données comporte ainsi $(p+1) \times (k+1)$ variables numériques dont une variable à expliquer et $(p+1) \times (k+1) - 1$ variables explicatives.

## 6.3 Choix des modèles

Dans cette section, on présente les types de modèle qui ont été investigués. On présente les 3 types de classificateurs définis pour $f_θ$, puis les deux variantes de l'approche basées sur l'utilisation de séries différenciées ou cumulées.

### 6.3.1 Description des classificateurs

Pour la construction du modèle nous avons utilisé trois classificateurs différents : la régression linéaire simple, les SVM et les forêts aléatoires.

La régression linéaire simple ou modèle linéaire est le régresseur basique par excellence, c'est le premier que nous avons testé et le plus intuitif. Ce modèle cherche à établir une relation linéaire entre la variable à expliquer et les variables explicatives. L'estimation des paramètres du modèle consiste à déterminer la droite qui s'ajuste le mieux aux données, c'est-à-dire la droite qui est la plus proche des points. On utilise pour cela le critère des moindres carrés. Ce critère est défini comme suit, on cherche la droite pour laquelle la somme des carrés des écarts verticaux des points à la droite est minimale. On mesure ensuite la qualité du modèle en regardant le coefficient de corrélation ($R^2$). Plus ce coefficient est proche de 1, meilleur est le modèle. En pratique, on utilise la fonction $lm$ du logiciel R.

Les SVM ou machines à vecteurs de support (Support Vector Machine en anglais) sont un ensemble de techniques d'apprentissage supervisé destinées à résoudre des problèmes de discrimination et de régression. Les SVM ont pour but de séparer les données en classes à l'aide d'une frontière aussi « simple » que possible, de telle façon que la distance entre les différents groupes de données et la frontière qui les sépare soit maximale. Cette distance est aussi appelée « marge » et les SVMs sont ainsi qualifiés de « séparateurs à vaste marge », les « vecteurs de support » étant les données les plus proches de la frontière. Cette notion de frontière suppose que les données soient linéairement séparables, ce qui est rarement le cas. Pour y pallier, les SVM reposent souvent sur l'utilisation de « noyaux ». Ces fonctions mathématiques permettent de séparer les données en les projetant dans un feature space (un espace vectoriel de plus grande dimension). La technique de maximisation de marge permet, quant à elle, de garantir une meilleure robustesse face au bruit et donc un modèle plus généralisable. En pratique, on utilise la fonction SVM du package e1071 du logiciel R, en spécifiant "esp-
regression" pour le *type* et "radial basis" pour le *noyau*, les hyperparamètres tels que le *gamma* et le *cost* sont optimisés par la fonction.

Le *random forest* ou forêt aléatoire est un algorithme de classification qui réduit la variance des prévisions d'un arbre de décision seul, améliorant ainsi leurs performances. Dans sa formule la plus classique, il effectue un apprentissage en parallèle sur de multiples arbres de décision construits aléatoirement et entraînés sur des sous-ensembles de données différents. Le nombre idéal d'arbres est un paramètre important : il est très variable et dépend du problème. Concrètement, chaque arbre de la forêt aléatoire est entraîné sur un sous ensemble aléatoire de données selon le principe du *bagging* (contraction de *Bootstrap Aggregation*, est une technique utilisée pour améliorer la classification notamment celle des arbres de décision en réduisant la variance), avec un sous ensemble aléatoire d'attributs selon le principe des « projections aléatoires ». Les prédictions sont ensuite moyennées lorsque les données sont quantitatives ou utilisés pour un vote pour des données qualitatives, dans le cas des arbres de classification. L'algorithme des forêts aléatoires est connu pour être un des classificateurs les plus efficaces « *out-of-the-box* » (c'est-à-dire nécessitant peu de prétraitement des données). En pratique, on utilise la fonction *randomForest* du package *randomForest* du logiciel R, en spécifiant le nombre d'arbres (*ntree*) à 100.

### 6.3.2 Description des méthodes

Pour chacun des trois classificateurs, nous avons utilisé trois différentes méthodes de construction de modèles : les méthodes "classique", "différenciée" et "cumulée".

La méthode dite "classique" est celle évoquée précédemment. Elle consiste à prédire la valeur de la croissance à partir des variables exogènes et les valeurs de croissance des décades précédentes (c'est-à-dire la série brute).

La méthode dite "différenciée" consiste à travailler sur la série temporelle différenciée (les séries exogènes étant inchangées). Pour l'apprentissage, il faut donc compléter la préparation du jeu de données par le calcul de la série différenciée. Pour cela, il suffit de soustraire la valeur de la croissance de la décade $d-1$ à la valeur de la croissance de la décade $d$. Le problème d'apprentissage consiste alors à être en mesure de reconstruire fidèlement la dérivée de la croissance, plutôt que la croissance elle-même. Les mêmes modèles de prédiction sont utilisés (régression linéaire, SVM et forêts aléatoires). Pour la reconstruction d'une série, il faut d'abord prédire la valeur de la série différenciée puis intégrer la série (cumul avec la valeur précédente) pour reconstruire la courbe de croissance. L'intérêt de cette approche est de laisser libre le choix de l'initialisation de la croissance lors de l'étape d'intégration. Un ajustement pourrait alors être fait en utilisation l'information du cumul $C$ à obtenir. Les premiers résultats faisant apparaître des valeurs de croissance négative, nous avons opté pour une valeur d'initialisation moyenne ou d'initialisation à zéro (cf. section suivante).

La méthode dite "cumulée" fait le cheminement inverse de la méthode différenciée. On commence par construire une série avec la croissance cumulée (les séries exogènes étant inchangées). Notre problème de prédiction cherche ainsi à reconstruire fidèlement cette croissance cumulée et les mêmes modèles de prédiction sont utilisés (régression linéaire, SVM et forêts aléatoires). Lors de la phase de reconstruction, la fonction de prédiction apprise reconstruit la série cumulée qui est ensuite dérivée pour obtenir la série de la croissance. L'intérêt de la méthode "cumulée" est potentiellement de rendre le problème d'apprentissage plus simple puisque la fonction à prédire est croissante.

### 6.3.3 Ordre des modèles et initialisation

Il faut maintenant fixer l'ordre $p$ de la fonction de prévision, c'est-à-dire le nombre de décades passées à prendre en compte pour prédire la valeur suivante. Il faut choisir ce nombre de telle sorte qu'il soit suffisamment grand pour donner une bonne prédiction et en même temps relativement faible, car si on apprend sur $p$ décades cela signifie qu'on ne peut pas prédire la croissance des $p$ premières décades de l'année. Il faut donc optimiser ce nombre pour qu'il remplisse ces deux conditions. Nous avons défini à dire d'expert ce nombre à $p = 3$ décades, ce qui correspond approximativement à un mois (30 jours). Ce chiffre semble être un
bon compromis entre avoir suffisamment d'informations antérieures pour un bon apprentissage et de limiter l'absence de prédiction du début d'année. En fixant ce nombre à 3, on ne prédit donc pas la croissance du mois de janvier, mois pendant lequel la croissance est faible et peu variable (figure 3).

L'initialisation se résume à associer aux trois premières décades de chaque série des valeurs de croissance afin de permettre la prédiction de celle-ci pour le reste de l'année. Deux initialisations différentes du modèle sont possibles utilisant soit les valeurs de la série, soit une valeur constante qui pourrait être utilisée par défaut (afin d'éviter d'être dépendant de cette information dont l'utilisateur n'est pas censé disposer). Dans le cas des valeurs de croissance, on a choisi de fixer cette constante à 9 kg MS/ha/jour, valeur qui correspond à la moyenne de la croissance connue sur chacune des trois premières décades et pour l'ensemble des séries disponibles. Notons que la variabilité intra et inter décades des valeurs de croissance sur les 3 premières décades est faible (et donc potentiellement négligeable).

En ce qui concerne les méthodes cumulée et différenciée, il y a quelques initialisations supplémentaires à réaliser car on effectue la prédiction sur, respectivement la croissance cumulée et la dérivée de la croissance. En effet, pour l'initialisation avec valeurs connues de la méthode cumulée on associe la prédiction de la croissance cumulée de chacune des trois premières décades à la croissance cumulée de celles-ci. Sinon pour l'initialisation à une valeur constante, on initialise la prédiction de la croissance cumulée de chacune des trois premières décades à respectivement 9, 18 et 27 kg MS/ha/jour, ce qui représente le cumul de croissance de trois décades dont la croissance est égale à 9 kg MS/ha/jour.

De la même manière, pour la méthode différenciée on commence par initialiser la dérivée de la croissance de chaque première décade à 0 kg MS/ha/jour car la variation est constante. Ensuite pour l'initialisation avec valeurs connues, on associe la prédiction de la dérivée de la croissance de chacune des trois premières décades à la dérivée de la croissance de celles-ci. Sinon pour l'initialisation avec valeurs moyennes, on initialise la prédiction de la dérivée de la croissance de chacune des trois premières décades à 0 kg MS/ha/jour car la prédiction de la croissance est constante sur ces trois décades (constante égale à 9 kg MS/ha/jour).

Lors de la reconstruction des modèles pour les méthodes différenciée et cumulée, on ré-initialise les valeurs de la prédiction de la croissance des trois premières décades de la même manière que pour la méthode classique, c'est-à-dire soit avec les valeurs déjà connues soit en initialisant à 9 kg MS/ha/jour.

Voici un tableau récapitulatif des différentes initialisations pour chacune des méthodes :

<table><caption>FIGURE 6 – Initialisation des différentes séries brute, différenciée et cumulée, soit aux valeurs connues, soit à des valeurs constantes</caption><thead><tr><th rowspan="2">Initialisation</th><th colspan="3">Nature de la série de croissance</th></tr><tr><th>brute (classique)</th><th>différenciée (diff)</th><th>cumulée (cumul)</th></tr></thead><tbody><tr><td>init-connue : valeurs connues (spécifique de la série considérée)</td><td>croissance des décades 1, 2 et 3</td><td>0,0,0</td><td>cumul de croissance des décades 1, 2 et 3</td></tr><tr><td>init-9: valeurs constantes (quelle que soit la série)</td><td>moyenne de la croissance des décades 1, 2 et 3 : 9 kg MS/ha/jour</td><td>0,0,0</td><td>cumul de croissance des décades 1, 2 et 3 : 9, 18 et 27 kg MS/ha</td></tr></tbody></table>

# 7 Expérimentations et résultats

En combinant les différents types de régression, méthodes et initialisations on obtient dix-huit modèles différents de prédiction de la croissance :

- trois variantes de série temporelle à reconstruire : classique, différenciée et cumulée;

- trois modèles de régression : régression linéaire, SVM et forêts aléatoires;
— deux initialisations : initialisation connue ou moyenne (à 9).

Chacun de ses dix-huit modèles a été appris sur la base d'apprentissage *train_croissance*, puis ont été évalués sur les données de test (*validation_croissance*). Pour la première expérimentation on a utilisé une seule des variables exogènes, en fine les six variables ont toutes été utilisées.

L'ensemble des prétraitements et analyses ont été implémentés dans R. Devant la quantité de données, des méthodes de techniques avancées de programmation ont été mises en œuvre (vectorisation des traitements) afin de réduire les temps de calcul. Néanmoins, pour l'apprentissage des forêts aléatoires et des SVM, nous avons dû sous échantillonner aléatoirement le jeu d'apprentissage (utilisation de seulement 10% à 15% du jeu total).

Pour estimer la précision de la reconstruction d'une série temporelle, nous avons calculé la MSE. La MSE (Mean Square Error) est la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs prédites et les valeurs théoriques. Dans le cadre de notre sujet, on cherche à déterminer le modèle qui a la MSE la plus petite. Ce sera donc notre principale mesure d'erreur.

Dans nos expérimentations, nous nous sommes intéressés aux questions suivantes :

— quelles sont les variables exogènes qui sont les plus influentes sur la précision de la reconstruction ?

— laquelle des 18 méthodes proposées permet d'obtenir la meilleure précision de reconstruction, et plus précisément :

— quelle combinaison régresseur/méthode est la meilleure ?

— le choix de l'initialisation moyenne fait-il chuter la précision des modèles ?

— la reconstruction d'une série permet-elle de reproduire la dynamique de la croissance simulée par STICS avec une erreur acceptable ?

## 7.1 Analyse des variables

On a commencé par effectuer une régression linéaire simple de la croissance à la décade *d* en fonction de la croissance aux dédecades *d* − 1, *d* − 2, *d* − 3, c'est-à-dire sans variables exogènes, on obtient alors une MSE égale à 764.6.

On a ensuite observer laquelle des six variables exogènes était la plus influente dans la prédiction de la croissance. Pour cela, on a réalisé pour chacune des six variables exogènes, à savoir les températures minimales, maximales et moyennes, le rayonnement, les précipitations et l'indice de Martonne, une régression linéaire simple de la croissance à la décade *d* en fonction de la croissance aux dédecades *d* − 1, *d* − 2, *d* − 3 et de la variable climatique considérée aux dédecades *d*, *d* − 1, *d* − 2, *d* − 3.

<table><caption>TABLE 5 – Comparaison de la MSE entre les différents modèles de prédiction de la croissance à partir d'une variable exogène</caption><thead><tr><td>Variable</td><td>MSE</td></tr></thead><tbody><tr><td>temperature_min</td><td>474.5</td></tr><tr><td>temperature_moy</td><td>479.7</td></tr><tr><td>temperature_max</td><td>508.0</td></tr><tr><td>rayonnement</td><td>579.0</td></tr><tr><td>indice_martonne</td><td>749.3</td></tr><tr><td>pluie</td><td>760.3</td></tr></tbody></table>

On remarque ainsi que ce sont les variables de températures et dans une moindre mesure le rayonnement qui obtiennent les valeurs de MSE les plus faibles. Ce sont donc ces variables qui favorisent davantage une bonne prédiction de la croissance. En revanche, la pluie et l'indice de Martonne ont des MSE plus élevés. Les coefficients de corrélation sont bons avec des valeurs supérieures à 0.70.
On en conclut que l'utilisation des variables climatiques est bénéfique dans la prédiction de la croissance. Pour l'instant, c'est le modèle avec la température minimale qui donne la MSE la plus petite avec une valeur égale à 474.5.

## 7.2 Comparaison des dix-huit modèles

Avant de regarder les résultats des dix-huit modèles, nous nous sommes intéressés au modèle naïf c'est-à-dire le modèle médian. En effet pour ce modèle nous avons pris pour chacune des trente-sept décades, la valeur médiane de la croissance décadaire à partir du jeu de données croissance et climat decadaires. En évaluant ce modèle médian sur les données de test on obtient une MSE de 443 ce qui est plus faible que la MSE obtenue à l'aide du modèle avec la température minimale. Ainsi le modèle médian est meilleur que les modèles de régression linéaire avec une seule variable exogène. Nous allons maintenant voir si il est préférable aux dix-huit modèles de prédiction.

On calcule pour chacun des modèles la MSE sur l'ensemble des données de test. Voici le tableau qu'on obtient lorsqu'on classe les dix-huit modèles par ordre de MSE croissant :

<table><caption>TABLE 6 – MSE des différents modèles, classées par ordre croissant</caption><thead><tr><td>Classifieur</td><td>Méthode</td><td>Initialisation</td><td>MSE</td></tr></thead><tbody><tr><td>random-forest</td><td>classique</td><td>init-connu</td><td>196.2</td></tr><tr><td>svm</td><td>classique</td><td>init-connu</td><td>201.0</td></tr><tr><td>random-forest</td><td>cumul</td><td>init-connu</td><td>202.9</td></tr><tr><td>random-forest</td><td>classique</td><td>init-9</td><td>208.8</td></tr><tr><td>random-forest</td><td>cumul</td><td>init-9</td><td>232.7</td></tr><tr><td>svm</td><td>classique</td><td>init-9</td><td>243.1</td></tr><tr><td>svm</td><td>diff</td><td>init-connu</td><td>343.4</td></tr><tr><td>regression-lineaire</td><td>cumul</td><td>init-connu</td><td>352.4</td></tr><tr><td>regression-lineaire</td><td>cumul</td><td>init-9</td><td>359.2</td></tr><tr><td>regression-lineaire</td><td>classique</td><td>init-connu</td><td>359.4</td></tr><tr><td>regression-lineaire</td><td>classique</td><td>init-9</td><td>368.0</td></tr><tr><td>svm</td><td>diff</td><td>init-9</td><td>395.7</td></tr><tr><td>regression-lineaire</td><td>diff</td><td>init-connu</td><td>500.7</td></tr><tr><td>svm</td><td>cumul</td><td>init-connu</td><td>523.0</td></tr><tr><td>svm</td><td>cumul</td><td>init-9</td><td>526.2</td></tr><tr><td>regression-lineaire</td><td>diff</td><td>init-9</td><td>547.1</td></tr><tr><td>random-forest</td><td>diff</td><td>init-9</td><td>573.3</td></tr><tr><td>random-forest</td><td>diff</td><td>init-connu</td><td>615.9</td></tr></tbody></table>

On remarque tout d'abord que douze des dix-huit modèles ont des MSE inférieures au modèle médian, ce qui est plutôt un résultat rassurant. La MSE la plus faible est égale à 196.2 et est obtenue avec le modèle random forest version classique avec initialisation connue. Toutefois, les quatres premiers modèles ont des MSE relativement proches (entre 196 et 209). On observe que les modèles avec le classifieur random forest regroupent quatre des cinq MSE les plus faibles. Les modèles avec la méthode classique et dans une moindre mesure ceux avec la méthode cumul donnent les MSE les plus faibles. On remarque également que les trois plus petites MSE sont obtenues avec une initialisation connue et que globalement la méthode différenciée donne des MSE relativement élevées.

Dorénavant, on calcule la MSE série par série c'est-à-dire qu'on dispose d'une MSE par série. On obtient alors pour chacun des dix-huit modèles 26 515 MSE. On analyse ensuite la variabilité des MSE pour les différents modèles.

On commence par étudier l'influence des initialisations dans les résultats de MSE. Pour cela, on a construit
un ratio définit par le rapport entre la MSE obtenue avec l'initialisation avec valeurs connues et la MSE obtenue avec l'initialisation avec valeurs moyennes : $ratio = \frac{MSE\_init-connu}{MSE\_init-9}$

On étudie alors le ratio des différentes combinaisons classifieur/méthode.

- ratio < 1 signifie que la MSE_init-connu est plus petite que la MSE_init-9 donc que le modèle avec initialisation connue est meilleur

- ratio > 1 signifie que la MSE_init-connu est plus grande que la MSE_init-9 donc que le modèle avec initialisation moyenne est meilleur

- ratio = 1 signifie que les deux MSE sont identiques et donc que les deux modèles sont identiques

Sur la figure 12, on remarque que pour la régression linéaire avec les méthodes classique et cumul il n'y a que très peu de différence entre les deux initialisations. En effet les ratios sont légèrement inférieurs à 1 avec quasiment aucune variabilité, donc les modèles avec initialisation connue ont une MSE légèrement plus faible. On observe également que les ratios des random forest version classique et cumulée, des svm version classique et différencié ainsi que de la régression linéaire version différenciée ont tous beaucoup de variabilité mais sont largement inférieurs à 1. On en déduit que pour ces modèles, l'initialisation avec valeurs connues donne des MSE nettement plus faibles. En revanche, les ratios des modèles svm version cumulée et des random forest version différenciée sont très proches de 1, avec respectivement très peu de variabilité pour le premier et beaucoup plus pour le deuxième. Les boxplots nous indiquent qu'il y a en grande partie autant de ratios supérieurs qu'inférieurs à 1 pour ces deux modèles. Par conséquent, les MSE obtenues avec les deux initialisations sont principalement identiques pour ces deux modèles. Néanmoins on constate que globalement l'initialisation avec valeurs connues obtient des MSE plus faibles et donc que cette initialisation fournit des meilleurs résultats.

Désormais on fixe l'initialisation (avec valeurs moyennes) et on compare les MSE des différentes combinaisons classifieur/méthode.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 7 – Comparaison des MSE entre les différents modèles avec initialisation moyennes</figcaption></figure>
Sur la figure 7, on observe que la répartition des MSE pour les modèles random forest version classique et cumulée ainsi que pour les svm version classique sont globalement identiques et ces modèles fournissent les MSE les plus faibles. En général, la méthode classique offre les MSE les plus faibles et est donc la méthode à privilégier. De la même manière, les random forest sont le classifieur qui donne les MSE les plus faibles pour chacune des trois méthodes, c'est donc le régresseur le plus fiable.

A présent, pour chacune des 26 515 séries on range les dix-huit modèles par ordre de MSE croissant. Le but étant d'obtenir le rang moyen de chaque modèle afin de les classer du meilleur au plus mauvais. Pour cela on effectue un critical diagram.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 8 – Critical diagram de tous les modèles</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 7 – Lexique du nom des modèles dans le critical diagram</caption><tr><td>Abréviations</td><td>clas</td><td>cum</td><td>dif</td><td>rf</td><td>svm</td><td>lm</td><td>ic</td><td>i9</td></tr><tr><td>Signification</td><td>classique</td><td>cumulée</td><td>différenciée</td><td>random forest</td><td>svm</td><td>régression linéaire</td><td>initialisation connue</td><td>initialisation moyenne</td></tr></table>

Sur le critical diagram (figure 8) on observe le rang moyen de chacun des dix-huit modèles. Les modèles sont donc rangés du meilleur (à gauche) au plus mauvais (à droite). On observe ainsi que le modèle *clas rf ic* c'est-à-dire le modèle classique du random forest avec initialisation connue (d'après la table 7) est classé en moyenne en quatrième position et est considéré comme le meilleur. Lorsque deux modèles sont reliés à l'aide d'un trait comme les modèles *cum rf ic* et *clas rf i9*, cela signifie que les deux modèles ne sont pas différentiables, ils sont considérés comme identiques. L'échelle de différentiabilité est représentée en haut à gauche de la figure 8 sous le CD. De ce fait on remarque que les deux premiers modèles sont largement meilleurs que les autres. On retrouve également comme sur la table 6 le même top 6 des meilleurs modèles mais avec une certaine nuance car les modèles classés n°3 et 4 sont considérés comme identiques de même que les n°5 et 6. On remarque aussi que l'écart avec les autres modèles est conséquent.

Enfin, sur la figure 13 on observe le critical diagram des trois régresseurs. Le rang moyen de chacun des régresseurs est représenté et on remarque que ce sont les random forest qui sont considérés comme les meilleurs. De plus on note que cette fois-ci l'échelle de différentiabilité est minuscule.
## 7.3 Évaluation qualitative des reconstructions

On peut également observer graphiquement les prédictions et les comparer avec la croissance sur une seule et même série. Par exemple, on peut comparer les classificateurs régression linéaire, svm et random forest sur la méthode classique initialisée avec des valeurs connues.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE 9 – Comparaison de la prédiction des différents classificateurs pour la méthode classique initialisée avec des valeurs connues par rapport à la croissance théorique</figcaption></figure>

Sur la figure 9 on peut observer que la prédiction du random forest (courbe rouge) et la prédiction du svm (courbe orange) épousent globalement bien la forme de la croissance théorique, notamment lors des maximums et minimums locaux. En revanche, la prédiction de la régression linéaire ne permet pas d'atteindre correctement ces pics.
# 8 Conclusion

Il s'agissait de reconstruire la courbe de croissance décadaire de l'herbe connaissant les conditions climatiques de l'année et de la valorisation annuelle de l'herbe. Cependant, l'information concernant la valorisation annuelle ne fut pas exploitée en raison de l'absence de corrélation entre cette dernière et la croissance cumulée. De plus, les résultats obtenues en tenant compte seulement des données climatiques étaient suffisamment bons pour ne pas complexifier le modèle en rajoutant l'utilisation de la valorisation annuelle. De ce fait le titre du stage n'est plus vraiment correct, il pourrait être modifier de la manière suivante : "Prédiction de la croissance intra-annuelle des prairies par apprentissage".

On a déterminé dans la partie 7.2 que le meilleur modèle au sens de la MSE était le modèle ayant pour classifieur les forêts aléatoires pourvu de la méthode classique et une initialisation avec valeurs connues. Ce modèle bénéficiant d'une MSE moyenne égale à 196.2 c'est-à-dire une RMSE moyenne égale à 14, cela signifie qu'à chaque décade il y a en moyenne une erreur de prédiction de la croissance des prairies égale à 14 kg MS/ha/jour. Néanmoins, ce chiffre est à relativiser car comme on peut le voir sur l'exemple de reconstruction d'une croissance annuelle à l'aide de ce modèle sur la figure 9, la courbe de la prédiction (courbe rouge) suit globalement le mouvement de la courbe de croissance théorique (courbe noire). En effet, on s'aperçoit que ce n'est que lorsque la croissance théorique augmente ou diminue fortement que la prédiction observe un léger décalage qui entraîne des termes d'erreurs importants. On remarque aussi que durant le printemps et l'été la croissance observe des valeurs de croissance élevées (au delà des 100 kg MS/ha/jour) et donc l'erreur avec la prédiction peut rapidement être conséquente. Néanmoins, l'erreur observée le reste de l'année est minime comme on peut l'observer sur la figure 9.

Cependant, en pratique ce modèle n'est pas exploitable par un utilisateur car il ne dispose pas des valeurs de croissance des trois premières décades. Il doit donc utiliser un modèle avec une initialisation moyenne. On a observé dans la partie 7.2 que le meilleur modèle doté d'une initialisation avec valeurs moyennes était également le random forest version classique. Il possède également de bons résultats de prédiction et a une MSE moyenne sensiblement proche de son homologue avec initialisation connue (208.8 contre 196.2). Les deux modèles ont une allure de reconstruction de la croissance annuelle très similaire. En effet, bien que les trois valeurs initiales soient différentes, les deux courbes se rejoignent assez rapidement pour n'en former qu'une seule. Preuve que l'initialisation moyenne est une alternative efficace en terme de résultats à l'initialisation connue et bien plus facile d'utilisation en pratique.

Il reste toutefois quelques pistes d'améliorations à exploiter. En effet, comme cité dans la partie 7 le temps d'apprentissage des random forest et des SVM ne nous a pas permis d'apprendre sur l'ensemble du jeu d'apprentissage. L'utilisation de machines plus puissantes ou du temps supplémentaire nous aurait permis d'apprendre sur l'ensemble de la base d'apprentissage et ainsi améliorer la qualité des modèles résultants. Une piste à creuser serait d'étudier quel est le modèle qui fournit la MSE la plus petite parmi les dix-huit modèles suivant les caractéristiques des données climatiques. Ainsi, en analysant les données climatiques on pourrait savoir lequel des modèles est le plus approprié et le plus susceptible à donner des meilleurs résultats de prédictions. Néanmoins, cette hypothèse peut en pratique être difficile à mettre en place et les résultats ne sont pas garantis.
Références

[1] Nadine Brisson, Christian Gary, Eric Justes, Romain Roche, Bruno Mary, Dominique Ripoche, Daniel Zimmer, Jorge Sierra, Patrick Bertuzzi, Philippe Burger, et al. An overview of the crop model stics. *European Journal of agronomy*, 18(3-4):309-332, 2003.

[2] Emmanuelle de Martonne. Aréisme et indice d'aridité. *Comptesrendus de L'Academie des Sciences*, 182 :1395-1398, 1926.

[3] A-I Graux, Rémi Resmond, Eric Casellas, Luc Delaby, Philippe Faverdin, Christine Le Bas, Dominique Ripoche, Francoise Ruget, Olivier Therond, Francoise Vertès, et al. High-resolution assessment of french grassland dry matter and nitrogen yields. *European Journal of Agronomy*, 112:125952, 2020.

[4] Anne-Isabelle Graux, Luc Delaby, Jean-Louis Peyraud, Eric Casellas, Philippe Faverdin, Christine Le Bas, Anne Meillet, Thomas Poméon, Helene Raynal, Rémi Resmond, Dominique Ripoche, Francoise Ruget, Olivier Therond, and Francoise Vertès. Les prairies françaises : production, exportation d'azote et risques de lessivage. Technical report, Ministère de l'Alimentation, l'Agriculture et de la Forêt, 2017.

[5] G Lemaire. Physiologie de la croissance de l'herbe : applications au pâturage. *Fourrages*, 112(325-344):69-78, 2007.

[6] Gilles Lemaire and André Pflimlin. Les sécheresses passées et à venir : quels impacts et quelles adaptations pour les systèmes fourragers ? *Fourrages*, (190):163-180, 2007.
9 Annexe

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 10 – Représentation de la croissance médiane décadaires.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE 11 – Variabilité de l'indice de Martonne en fonction de la décade</figcaption></figure>

Lecture : La ligne rouge correspond à 35 mm/C° qui désigne la limite pour laquelle le climat est considéré comme très humide au-delà de cette valeur d'après la table 2
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE 12 – Comparaison du ratio des *MSE* entre l’initialisation avec valeurs connues et l’initialisation avec valeurs moyennes</figcaption></figure>

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 13 – Critical diagram des trois régresseurs</figcaption></figure>