# Modélisation électromécanique par la MED d'un roulement à billes pour la caractérisation de l'état de chargement

Charles Machado, Mohamed Guessasma, Emmanuel Bellenger, Hamza Haddad

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Charles Machado, Mohamed Guessasma, Emmanuel Bellenger, Hamza Haddad. Modélisation électromécanique par la MED d'un roulement à billes pour la caractérisation de l'état de chargement. 12e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2015, Giens, France. hal-01516451

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# Modélisation électromécanique par la MED d'un roulement à billes pour la caractérisation de l'état de chargement

C. Machado<fnref n="1" />, M. Guessasma<fnref n="1" />, E. Bellenger<fnref n="1" />, H. Haddad<fnref n="2" />

**Résumé** — Ce travail allie une approche par la Méthode des Eléments Discrets (MED) qui permet de modéliser entièrement le roulement avec une formulation électromécanique qui permet d'extraire une mesure électrique du roulement en fonctionnement. Des activités de recherche récentes au sein du LTI ont aidé à simuler et comprendre la réponse électrique d'un système discret. Le roulement est donc considéré comme une chaîne multi-contacts. Cette étude propose une méthode originale de mesure électrique sur les roulements pour détecter la présence de défauts. Alors que de nombreuses études ont été menées sur le contrôle de défauts de roulement en analysant les signaux vibratoires, l'utilisation d'une mesure électrique est une approche prometteuse encore non exploitée.

**Mots clés** — roulement, méthode des éléments discrets, mesure électrique.

## 1 Introduction

A l'heure actuelle, pour de faibles vitesses de rotation des roulements, les méthodes classiques d'analyse vibratoire atteignent leur limite. Dans ce cas, seules les mesures par ultrasons permettent d'extraire des informations. L'objectif est donc de développer une nouvelle méthode de surveillance électrique des roulements [3] qui permet de caractériser le chargement mécanique et de détecter d'éventuels défauts à faibles vitesses. Les applications visées concernent par exemple, les domaines de l'éolien ou des ponts roulants de manutention pour lesquels les vitesses mises en œuvre ne dépassent pas 100 tours/min. Dans ce cadre, une modélisation multi-physique du roulement par la MED est proposée. En effet, la MED est particulièrement adaptée à la modélisation dynamique de ce type de problème multi-contacts. De plus, dans le but d'améliorer la description électromécanique du roulement en fonctionnement, un milieu discret cohésif est mis en œuvre pour une déscription plus réaliste des bagues. Cette approche permet d'introduire l'influence du comportement mécanique de bagues déformables sur la répartition des efforts dans le roulement et sur sa signature électromécanique.

## 2 Modélisation générale

Un roulement réel à contact radial est pris comme référence. D'un point de vue numérique, ce roulement est composé de 13 éléments roulants contraints entre 2 bagues épaisses en acier. Une cage modélisée par 13 éléments glissants assure un écart constant entre les éléments roulants. Pour assurer le comportement cinématique des éléments roulants, un modèle de contact frottant est considéré aux points de contact. Les bagues peuvent aussi se déformer sous l'effet des sollicitations mécaniques grâce à un modèle discret cohésif. L'approche globale est résumée sur la figure 1.

### 2.1 Modèle de contact

L'approche de Cundall [4], basé sur des analogies avec des ressorts et amortisseurs dans les directions normale et tangentielle, permet de déterminer les forces aux points de contact (figure 1). D'après la théorie du contact Hertzien, la relation entre la force appliquée au contact et l'enfoncement $\delta_n$ n'est pas linéaire. Mindlin and Deresiewicz [7] proposent une expression pour déterminer la raideur normale $K_n$

<footnote n="1">¹ LTI, Université de Picardie Jules Verne, {charles.machado,mohamed.guessasma,emmanuel.bellenger}@u-picardie.fr</footnote>

<footnote n="2">² LAMFA, Université de Picardie Jules Verne, {hamza.haddad}@u-picardie.fr</footnote>
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Description des modèles</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Description du chargement</figcaption></figure>

et Tsuji [10] propose un modèle de raideur tangent $K_t$ :

$$K_n = \frac{4G\sqrt{R_{eq}}}{3(1-v)}\sqrt{\delta_n} \quad \text{et} \quad K_t = \frac{2(3R_{eq}G^2(1-v))^{1/3}}{2-v} |F_n|^{1/3} \quad (1)$$

D'après Cundall et Strack, le rapport $K_t/K_n$ se situe dans l'intervalle $[2/3,1]$ pour conserver un contact Hertzien. G désigne le module de cisaillement des matériaux en contact $(\frac{E}{2(1+v)})$, avec E le module de Young et v le coefficient de Poisson des éléments roulants. $R_{eq}$ est le rayon équivalent au contact. Le choix de l'amortissement se fait en fonction des conditions mécaniques et cinématiques. Pour des chargements standards ($F_r < 16000N$) et à basse vitesse ($\omega < 100$ tours/min), l'épaisseur de lubrifiant au contact est très faible (quelques nanomètres), donc l'amortissement hystérétique $C_{hyst}$ [8] est le principal mode de dissipation, avec le frottement.

$$C_{n,t} = C_{hyst} = \frac{3K_{n,t}\alpha_e\delta_n^{3/2}}{2} \quad (2)$$

Où $\alpha_e$ désigne un coefficient de restitution lié au matériau. Le coefficient de frottement $\mu$ introduit un mécanisme de dissipation par frottement et la Loi de Coulomb détermine le statut du contact.

## 2.2 Modèle cohésif

Les bagues du roulement sont fortement sollicitées et peuvent se déformer. Ces déformations modifient la répartition des efforts dans le roulement et viennent perturber la signature électrique. La modélisation des bagues par éléments discrets permet aussi de décrire le comportement du milieu continu effectif en utilisant un modèle de poutres cohésives [1]. Les interactions entre particules sont gouvernées par des poutres de longueur $L_\mu$, de module de Young $E_\mu$ et de moment d'inertie $I_\mu$ (figure 1). Il faut en premier lieu retrouver les constantes mécaniques de l'acier de roulement (Module de Young et coefficient de Poisson) à partir des paramètres microscopiques du modèle cohésif.

## 2.3 Modèle électrique

Le transfert électrique dépend des grandeurs mécaniques intrinsèques et des propriétés électriques des matériaux en contact [2]. La réponse électrique du système est liée aux surfaces de contact bille/piste. Ces surfaces elliptiques sont calculées par la théorie de Hertz adaptée aux roulements [5]. Un élément roulant en contact simultanément avec la bague intérieure et la bague extérieure forme une résistance locale (figure 1). Le modèle électrique entre ces deux contacts s'écrit :

$$R_{ij}^k = \frac{1}{C_{ij}^k} = \frac{2V_b}{\gamma S_i S_j (1 - \cos\theta)} \quad (3)$$

où $R_{ij}^k$ désignent la résistance électrique locale, formée par les contact i et j, correspondant à l'élément roulant k de volume $V_b$. $\gamma$ est la conductivité électrique du matériau, $\theta$ est l'angle formé entre les points
de contact i, j et l'élément roulant (dans notre cas $\theta = \pi$). $S_i$ et $S_j$ sont les surfaces de contact.
Le contact est supposé parfait, la couche d'oxyde et l'effet du lubrifiant sont négligés. Ces hypothèses sont renforcées à basse vitesse pour des chargements importants. A un instant t donné, la résistance électrique équivalente du roulement à bille est donnée par l'assemblage en parallèle des éléments roulants impliqués dans le transfert électrique. L'état de chargement du roulement est capté dans la mesure électrique. Des défauts de montage ou des défauts géométriques peuvent influencer cette réponse.

## 3 Mise en charge du roulement :

Le montage d'un roulement dans une machine tournante se fait avec ajustement du jeu ou de la précharge, en plus du chargement radial $F_r$ pour maximiser la durée de vie du roulement. Les équipe-mentiers donnent la capacité dynamique de base $C_r = 36000$ N pour ce roulement. En général, il faut se limiter à une charge radiale $F_r = \frac{C_r}{2}$ pour ne pas dépasser la pression critique de 4.2 GPa par contact. Les conditions de chargement mécanique sont proposées ci-dessous et synthétisées sur la figure 2 :

* La bague intérieure tourne à la vitesse $\omega$

* La bague intérieure applique un chargement radial $F_r$ sur les éléments roulants

* La bague extérieure est montée avec jeu ($\Delta_r > 0$) ou précharge ($\Delta_r < 0$). Le rayon de la bague peut varier.

Ces considérations constituent les principaux paramètres d'entrée dans le code par éléments discrets MULTICOR. Un nombre sans dimension, le paramètre de charge $\epsilon$ que l'on retrouve dans la théorie de Harris [6], est introduit pour comprendre la répartition du chargement mécanique :

$$ \epsilon = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{\Delta_r}{\delta_r} \right) \qquad (4) $$

$\delta_r$ est l'enfoncement maximum de la bague intérieure dans l'élément roulant. Cette grandeur est donc liée à la rigidité de l'acier de roulement et dépend du choix du modèle de contact. Le paramètre renseigne donc sur le nombre d'éléments roulants supportant le chargement.

## 4 Simulation électromécanique

La réponse électromécanique du roulement en fonctionnement est sensible aux conditions de chargement mécanique et au choix du modèle de contact.

### 4.1 Bagues rigides

Différentes sensibilités électriques sont étudiées, comme l'effet d'un défaut géométrique, l'effet d'un chargement perturbé ou l'effet de la charge radial. Parmi ces études, l'effet du paramètre de charge $\epsilon$ sur la mesure électrique est proposé à la figure 3 pour un chargement radial $F_r = 5820$ N. La figure 4 donne les différentes répartitions du chargement en fonction du paramètre de charge $\epsilon$, à $F_r = 5820$ N. Le fait

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Description du chargement</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Répartition du chargement à $F_r=5820$ N</figcaption></figure>
de resserrer la bague extérieure de roulement (ε croissant), redistribue le chargement mécanique, plus d'éléments roulants sont donc investis dans le transfert du courant ce qui diminue la résistance totale.

## 4.2 Bagues déformables

Dans le but d'améliorer la description électromécanique du roulement en fonctionnement un modèle discret cohésif est considéré pour décrire les bagues. Ainsi, la prise en compte du comportement mécanique des bagues déformables affectera la réponse électrique. Avant d'envisager ces mesures et de les comparer avec les résultats proposés à la figure 3, la calibration des propriétés mécaniques (E = 210 GPa, v = 0.25) des bagues faites d'éléments discrets cohésifs est un prérequis. La figure 5 compare le champ

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 5 – Champ des contraintes avec (a) Modèle discret cohésif et (b) Modèle éléments finis</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 6 – Exemple de chargement</figcaption></figure>

des contraintes [9] du modèle cohésif ($E_μ$ = 500 GPa, $r_μ$ = 0.5) avec un modèle éléments finis, pour une même déformation appliquée sur une bague de roulement. La figure 6 donne la répartition statique du chargement au sein du roulement préchargé (ε > 0.5) avec les bagues déformables. La prochaine étape consiste à extraire une mesure électrique de ce nouvel état.

**Remerciements** : Cette étude fait partie du projet SIGNATELEC (2012-2015). Merci à la région de Picardie pour son soutien financier.

## Références

[1] André D., Iordanoff I., Charles J.L., Néauport J., Discrete element method to simulate continuous material by using the cohesive beam model, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol 213-216, 113-125, 2012.

[2] Bourbatache K., Guessasma M., Bellenger E., Bourny V. and Tekaya A., Discrete modeling of electrical transfer in multi-contact systems, Granular Matter, Vol 14(1), 1-10, 2012.

[3] Bourbatache K., Guessasma M., Bellenger E., Bourny V., Fortin J., DEM ball bearing model and defect diagnosis by electrical measurement, Mechanical Systems and Signal Processing, Vol 41(1-2), 98-12, 2013.

[4] Cundall PA, Strack ODL. A discrete numerical model for granular assemblies, Geotechnique, vol 29(1), 47-65, 1979.

[5] Hamrock B.J., Anderson W.J., Rolling-Element Bearings, NASA, RP-1105/REV1, 1983.

[6] Harris T., Rolling Bearing Analysis, Wiley and Sons, 2001.

[7] Mindlin R.D., Deresiewicz H., Elastic Spheres in Contact under Varying Oblique Force, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol 20, 327-344, 1953.

[8] Hunt K.H, Crossley F. R. E., Coefficient of restitution interpreted as damping in vibroimpact. Journal of Applied Mechanics, Vol 42(2), 440-445, 1975.

[9] Nicot F., Hadda N., Guessasma M., Fortin J., Millet O., On the definition of the stress tensor in granular media, International Journal of Solids and Structures, Vol 50(14-15), 2508-2517, 2013.

[10] Tsuji Y., Tanaka T., and Ishida T., Lagrangian numerical simulation of plug flow of cohesionless particles in a horizontal pipe, Powder Technology, Vol 71, 239-250, 1992.