# Effet d'échelle sur la propagation des fissures dans le béton

Syed Yasir Alam, Ahmed Loukili, Panagiotis Kotronis, Frédéric Grondin

► To cite this version:

Syed Yasir Alam, Ahmed Loukili, Panagiotis Kotronis, Frédéric Grondin. Effet d'échelle sur la propagation des fissures dans le béton. 10e édition du Congrès International de Mécanique à Oujda, Maroc, Apr 2011, Oujda, Maroc. hal-01008119

HAL Id: hal-01008119

https://hal.science/hal-01008119v1

Submitted on 26 Jan 2026

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons CC BY 4.0 - Attribution - International License
# Effet d'échelle sur la propagation des fissures dans le béton

S.Y. ALAM, A. LOUKILI, P.KOTRONIS, F.GRONDIN

Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique (GeM) -
UMR CNRS 6183, Ecole Centrale de Nantes, BP 92101,
44321 Nantes cedex 3

## Introduction

Il est communément admis l'existence d'un effet d'échelle sur les résistances nominales des matériaux quasi-fragiles tels que les matériaux cimentaires. Cet effet doit être pris en compte dans le dimensionnement vis-à-vis du comportement ultime des structures en béton afin de limiter les dommages et les ouvertures de fissures. Celles-ci sont de plus en plus utilisées pour étudier le comportement du béton et caractériser la durabilité des structures. Différentes théories existent dans la littérature pour décrire l'effet d'échelle. Parmi celles-ci on trouve la théorie déterministe de Bazant où l'énergie de fissuration est considérée comme indépendante de la taille d'éprouvette où il est supposé qu'à charge maximale, la longueur de la fissure est proportionnelle à la taille de l'échantillon.

Dans le cadre de ce travail, on s'est attaché à étudier expérimentalement les relations entre la longueur de fissure et la taille des éprouvettes. L'effet d'échelle est caractérisé par des essais de flexion trois points sur des poutres de béton entaillées de tailles géométriquement similaires. La technique de Corrélation d'Images Numériques (DIC) est adoptée dans cette étude pour déterminer à la fois la longueur et l'ouverture de la fissure à différentes étapes de chargement. Cette méthode s'est révélée comme un outil robuste et de haute précision pour la mesure des paramètres caractérisant les fissures. Les résultats ont montré un effet de taille significative sur le processus de propagation des fissures. En outre, l'effet d'échelle diminue lorsque la taille des agrégats augmente.

## Matériel et Méthode

L'objectif des essais est de mettre en évidence expérimentalement l'effet d'échelle sur la propagation des fissures dans le béton. Le programme expérimental comprend des essais de rupture en flexion trois points suivant les recommandations de la RILEM (1990). Cette méthode permet d'identifier les paramètres de la rupture (Energie de fissuration $G_f$ et la longueur effective de la zone de microfissuration ($c_f$)) en Mode I. Les essais sont réalisés sur trois tailles d'éprouvettes, géométriquement similaires, avec la hauteur (D) et la longueur ($L=4D$) variables alors que la troisième dimension (l'épaisseur) de la poutre reste constante pour les trois tailles (Figure 1). Les dimensions des poutres sont choisies par rapport à la taille maximale du granulat utilisé ($D_g=20$ mm) dans la fabrication du béton. Le rapport D/D_g vaut 5, 10 et 20 pour les trois tailles, pour B la hauteur de l'éprouvette testée, le rapport B/D égal à 1, 2, et 4 respectivement. Les poutres

sont entaillées à mi-portée avec un rapport de 1/5 entre la longueur de l'entaille et la hauteur de la poutre. La largeur d'entaille reste constante pour toutes les poutres. L'entaille est faite à l'aide d'une plaque métallique d'épaisseur 2 mm mise en place dans la moule avant le coulage du béton et enlevée à l'âge de 24 heures.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1. Géométries des spécimens proposés</figcaption></figure>

Les propriétés mécaniques du béton à 28 jours dans cette campagne sont d'essais données dans le tableau 1. Tous les essais mécaniques sont effectués sur les éprouvettes à l'âge de 28 jours.

Les essais de flexion trois points sont réalisés avec une presse Instron de capacité 25kN (course de ± 125 mm). Le montage retenu pour mesurer l'ouverture de l'entaille consiste en un capteur d'une course de ± 4mm. Le montage de ce capteur sur l'éprouvette consiste à attacher ses deux lames de part et d'autre de l'entaille à une paire de plaques métalliques collées garantissant une parfaite stabilité du capteur d'ouverture d'entaille. Tous les essais de flexion trois points sont pilotés avec une vitesse d'ouverture d'entaille constante de 0,05 µm/s.

## Corrélation d'images

La corrélation d'images numériques est une méthode optique pour mesurer le champ de déplacement sur la surface de l'échantillon qui s'est produit entre deux instants pour lesquels on a acquis une image. Cette technique est déjà appliquée sur béton (Shah 1997, Lawler et al. 2001, Corr et al. 2007). Elle est basée sur la comparaison de deux images aux niveaux de gris aléatoires enregistrées avant et après déformation. La première image est dite de référence et la deuxième déformée. La corrélation permet de rechercher dans l'image déformée l'endroit où on atteint le maximum de vraisemblance avec l'imagette considérée dans l'image de référence. Imagette (ou subimage) est le segment d'image supposé contant au niveau local lorsqu'il se déplace dans le plan d'image. Le champ de déplacement est déterminé à travers le mouvement de l'imagette dans une zone définie comme zone de corrélation. Cette zone de 29x29 pixels est régulièrement espacée dans l'image de
référence en forme de grille. Chaque imagette dans l'image de référence est corrélée à l'image déformée par le calcul du coefficient de corrélation dans la zone de corrélation autour de l'imagette. Le coefficient de corrélation est une expression mathématique de similarité de deux variables. Le critère de corrélation utilisé est NSSD: Normalized Sum of Squared Differences (insensible à la variation de la lumière). Dans notre cas les variables sont les niveaux de gris de l'imagette dans l'image de référence et l'image déformée. La résolution du système dépend directement de la distribution des niveaux de gris qui est liée à la texture du matériau. Afin d'obtenir un motif aléatoire avec un degré de similitude élevé, un mouchetis de peinture noire sur blanc est projeté sur la surface de l'éprouvette. Les images sur les deux surfaces de l'éprouvette sont capturées par deux appareils photo numériques CCD (Charged Couple Device) qui donnent 256 niveaux d'intensité de gris. Un objectif macro de 75 mm est utilisé pour observer l'échantillon et fournir un champ visuel plat.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2. Dispositif expérimental du système de corrélation d'images 2D</figcaption></figure>

Toutes les images utilisées dans le processus de corrélation de notre campagne expérimentale sont enregistrées en format bitmap avec une taille d'image 1392x1040 pixels. Un algorithme est développé sous Labview pour enregistrer les images en même temps avec les deux appareils photos numériques. La vitesse d'acquisition est réglée à une image toutes les 10 secondes. Le traitement et l'analyse des images par la corrélation sont réalisés à l'aide du logiciel commercial Vic-2D développé par Correlation Sysytems. L'analyse des champs cinématiques est effectuée sur une zone d'étude de 50x30 mm (1392 x 1040 pixels), discrétisée avec des fenêtres de corrélation de 29x29 pixels (avec un agrandissement ≈ 36 µm/pixel). L'agrandissement optique est calculé en mesurant précisément la taille de la fenêtre de la caméra sur la surface de l'éprouvette. Le dispositif expérimental du système de corrélation d'images est présenté dans la Figure 2.

## Résultats et Discussions

La vitesse (0,05 µm/s) de pilotage des essais de flexion trois points, contrôlés par ouverture d'entaille, est choisie pour avoir la charge maximale entre 5 et 10 minutes (RILEM 1990). Pour chaque taille, la dispersion sur les trois échantillons est examinée. Les résultats des mesures de la force par rapport à l'ouverture d'entaille pour chacune des trois poutres (en prenant la moyenne de trois essais) montrent que l'ouverture d'entaille correspondant à la charge maximale est plus grande quand la taille devient

plus importante. On peut remarquer qu'il existe un effet d'échelle sur l'ouverture critique d'entaille à la charge maximale qui n'est pas linéaire.

La contrainte σ sur la fibre inférieure de la poutre à mi-portée est calculée à partir de la force et obtenue par la formule suivante :

$$ \sigma = \frac{My}{I} \qquad [1] $$

Où M représente le moment maximal (M=F.l/4) ; y la demie hauteur de la section dans laquelle est calculé la contrainte et I le moment d'inertie de la section.

La courbe Force-Ouverture d'entaille montre que dans la partie pré-pic de la courbe, l'évolution de l'ouverture de la fissure en fonction de la charge est linéaire pour les trois tailles de poutres. On remarque aussi que la pente de l'évolution est la même pour les trois tailles. On a noté que la valeur de l'ouverture d'entaille correspondant à la contrainte maximale est faible pour le petit échantillon et elle devient plus grande quand la taille de la structure devient plus importante.

Afin de mieux analyser l'effet d'échelle, nous illustrons les résultats obtenus à travers la courbe logarithmique d'effet d'échelle entre la contrainte nominale à la charge maximale σN et la taille de la poutre D (Figure 3). B et D° sont les paramètres expérimentaux déterminés à partir de la force maximale pour chaque taille. Nous remarquons que les poutres de grandes tailles ont un comportement qui se rapproche de la rupture élastique linaire (comportement fragile), tandis que celles de petites tailles ont un comportement proche de la résistance des matériaux (comportement ductile). Le résultat suit bien la loi d'effet d'échelle de Bazant (Bazant 1983) :

$$ \sigma_N = \frac{Bf_t}{\sqrt{1 + \frac{D}{D_0}}} \qquad [2] $$

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3. Diagramme normalisé de la loi d'effet d'échelle en fonction de la taille de poutre.</figcaption></figure>

Nous avons calculé l'ouverture de fissure à partir du champ de déplacement déterminé par la corrélation d'images. Il s'agit de calculer le saut de déplacement entre les deux cotés de la fissure. Le saut est plus important au niveau de l'entaille et il diminue lorsque la fissure se referme. Nous avons comparé ce résultat avec la mesure de capteur l'ouverture d'entaille et nous avons trouvé une bonne corrélation entre les deux mesures pour les trois tailles d'éprouvette. Pour la détermination de l'ouverture
d'entaille, le saut de déplacement est calculée entre les ponts à 5mm de chaque coté de l'entaille.

Les profils d'ouverture de fissure pour les trois tailles de poutres, obtenus à partir de l'analyse de corrélation d'images aux différents états de chargement, sont étudiés. La fissure initie toujours du plus faible endroit dans le matériau. Lorsque les poutres sont entaillées, la fissure commence à partir de l'entaille. L'évolution de la vitesse d'ouverture de fissure au bout de l'entaille pour les trois poutres est analysée. Pour la taille D1, une augmentation de la vitesse de l'ouverture de fissure est observée à environ 50% de la charge pic ($F_{max}$) dans la partie pré-pic. Après ce point, une augmentation continue de la vitesse d'ouverture de la fissure est observée jusqu'à 95% $F_{max}$ dans le régime post-pic. Cela montre que pour la taille D1, la fissure s'initie à 50% dans le régime pré-pic, puis continue à se développer progressivement. Pour l'échantillon D3, l'augmentation de la vitesse d'ouverture est observée juste avant la charge pic. Une observation similaire est faite pour l'échantillon D2. Ainsi, un effet taille apparente est présent sur l'initiation de la fissure.

La longueur de la fissure peut être estimée à partir des profils de l'ouverture des fissures. Dans la Figure 4 la longueur de fissure relative ($L_{crack}/D$) à des intervalles de chargement différentes pour chaque taille de l'échantillon est tracée. Il peut être vu que la formation de la fissure commence avant que la charge maximale est atteinte. Pour la plus petite, D1, la fissure s'initie à un chargement inférieur dans le régime de pré-pic par rapport à la D3 plus spécimen. La croissance des fissures dans l'échantillon D1 peut être divisée en trois étapes. La première étape est de l'initiation de la fissure jusqu'à 95% $F_{max}$ dans le régime post pic. A ce stade, la croissance des fissures est uniforme. Dans la deuxième étape soit compris entre 95% à 80% $F_{max}$ dans le régime post pic, la croissance de fissure est relativement abrupte et la longueur de fissure est presque doublé. Dans la dernière étape, la propagation des fissures est relativement lente.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4. Comparaison de mesure de capteur et corrélation moyenne.</figcaption></figure>

La propagation de fissure dans le spécimen D3 est relativement uniforme. Nous pouvons observer que l'initiation de la fissure est retardée et que la fissure se développe de la même manière dans les phases de chargements ultérieurs. Nous pouvons également voir que la longueur de la fissure par rapport à l'échantillon pour D1 est plus grande par rapport à celle de D2 et D3. Cela montre un effet de taille significative sur la longueur de la fissure. Juste avant la rupture de l'éprouvette, la longueur de fissure relative est presque la même pour tous les échantillons.

Selon la loi Bazant d'effet d'échelle (Bazant 1983), la longueur de fissure à la charge au pic, dans des échantillons de béton de différentes tailles, est proportionnelle à la hauteur de l'échantillon (et égal à l'entaille). Ce n'est pas trouvé ici, comme les longueurs des fissures à la charge de pointe ne sont pas proportionnelles à leurs tailles respectives spécimen.

## Conclusion

Cette étude a été amenée dans le cadre des deux projets nationaux dont le but d'estimer l'état d'endommagement dans le béton. Le processus de rupture a été identifié par le suivi de l'ouverture des fissures. Dans la phase élastique, l'ouverture des fissures étaient très petites. Les ouvertures de fissure ont commencé à augmenter rapidement au bout d'environ 60% de la charge de pointe dans le régime de pré-pic. Dans la phase post-pic, deux étapes ont été identifiées. Dans la première phase post-pic, l'ouverture des fissures ont augmenté avec une diminution considérable de la capacité de chargement. Dans la partie arrière du régime post-pic, l'ouverture des fissures dans la partie inférieure de la fissure considérablement augmenté, avec une diminution relativement graduelle de la capacité de chargement.

La Longueur de la fissure a également été estimée à partir des profils ouverture de la fissure. Il comprenait la longueur de la macrofissure et une partie de la zone de microfissuration dans lequel des ouvertures ne sont pas négligeables. On a supposé que cette longueur de la fissure joue un rôle important dans la diminution de la résistance. On a trouvé que la longueur dans la phase pré-pic a été identique pour toutes les tailles et ne varient pas proportionnellement à la taille de l'échantillon. Ainsi, pour une petite taille (avec grande $\sigma_N$), la longueur des fissures relative plus importante a été observée. Dans la phase post-pic, deux étapes de propagation des fissures ont été observées. Au cours de post-pic au début, la longueur de la fissure rapidement augmenté jusqu'à 50% de la charge de pointe. Cependant, dans la partie finale de la phase post-pic, ouverture des fissures est devenu plus important que la propagation longueur de la fissure.

## Références

Z. P. Bazant. Size effect in blunt fracture: Concrete, rock, metal. Journal of Engineering Mechanics (ASCE), 110(4):518–535, 1984

Recommendation RILEM. Size-effect method for determining fracture energy and process zone size of concrete. Materials and Structures, 23:461–465, 1990.

S. P. Shah. Measurement of deformations on concrete subjected to compression using image correlation. Experimental Mechanics, 37:307–313, 1997.

D. Corr, M. Accardi, L. Graham-Brady, and S. P. Shah. Digital image correlation analysis of interfacial debonding properties and fracture behavior in concrete. Engineering Fracture Mechanics, 74(1-2):109–121, 2007.

J. S. Lawler, D. T. Keane, and S. P. Shah. Measuring three-dimensional damage in concrete under compression. ACI Materials Journal, 98(6):465–475, 2001.