II.1.4.1 Introduction des bases de Fortescue

Les espaces vectoriels $\mathcal{E}^N$ (associé au nombre de phases $N$) et $\mathcal{E}^Q$ (associé au nombre d'encoches $Q$) sont chacun munis de leurs bases de Fortescue respectivement notées $\mathbf{F}^N$ et $\mathbf{F}^Q$ et définies ci-après :

$$ \mathbf{F}^N = \left\{ \vec{f_0^N} \dots \vec{f_u^N} \dots \vec{f_{N-1}^N} \right\} \quad \text{avec} \quad \vec{f_u^N} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j \frac{2\pi}{N} nu} \vec{b_n^N} \quad (II.32) $$

$$ \mathbf{F}^Q = \left\{ \vec{f_0^Q} \dots \vec{f_v^Q} \dots \vec{f_{Q-1}^Q} \right\} \quad \text{avec} \quad \vec{f_v^Q} = \frac{1}{\sqrt{Q}} \sum_{q=0}^{Q-1} e^{j \frac{2\pi}{Q} qv} \vec{b_q^Q} \quad (II.33) $$

Les relations (II.32) et (II.33) précisent la projection des vecteurs de Fortescue dans la base naturelle. A la différence de la publication originale [11], les vecteurs de Fortescue ici définis présentent une norme euclidienne unitaire, ce qui permet de définir des bases de Fortescue orthonormales. Ainsi la matrice de passage de la base de Fortescue vers la base naturelle, dite matrice de Fortescue, est orhonormée et l'inversion équivaut à la tranposition. Pour les espaces vectoriels $\mathcal{E}^N$ et $\mathcal{E}^Q$, ces matrices de Fortescue se notent $[F_N]$ et $[F_Q]$ :

$$ [F_N] = \mathrm{mat}(\mathcal{I}, \mathbf{F}^N, \mathbf{B}^N) = [P_{\mathbf{B}^N \to \mathbf{F}^N}] = ([F_N]^T)^{-1} \quad (II.34) $$

$$ [F_Q] = \mathrm{mat}(\mathcal{I}, \mathbf{F}^Q, \mathbf{B}^Q) = [P_{\mathbf{B}^Q \to \mathbf{F}^Q}] = ([F_Q]^T)^{-1} \quad (II.35) $$

Il peut être remarqué dans la définition des vecteurs de Fortescue la relation de conjugaison entre les séquences $u$ et $N-u$ (ou $v$ et $Q-v$).

II.1.4.2 Signification des composantes de Fortescue

Pour le vecteur courant $\vec{i^N}$ exprimé dans la base de Fortescue, la composante d'ordre $u$ indique la part de courant décrivant une progression sinusoïdale de déphasage $u \times 2\pi/N$ entre deux phases consécutives. Cet aspect peut être illustré en considérant le cas le plus simple d'un vecteur courant polyphasé sinusoïdal avec déphasage de $u \times 2\pi/N$ entre les phases $n$ et $n-1$ :

$$ \vec{i^N}(\theta_e) = \sum_{n=0}^{N-1} I \sqrt{2} \cos \left( \theta_e + u n \frac{2\pi}{N} \right) \vec{b_n^N} \quad (II.36) $$

Dans (II.36), $\theta_e$ désigne l'angle électrique (ou l'instant) et $I$ le courant efficace. Dans la base de Fortescue $\mathbf{F}^N$, le vecteur courant (II.36) s'exprime comme suit :

$$ \vec{i^N}(\theta_e) = I \sqrt{\frac{N}{2}} \left( e^{j\theta_e} \vec{f_u^N} + e^{-j\theta_e} \vec{f_{N-u}^N} \right) \quad (II.37) $$

La progression selon la séquence $\vec{f_u^N}$ et la séquence conjuguée $\vec{f_{N-u}^N}$, suffisante pour décrire le vecteur, est ainsi extraite.

Par définition d'une base, les composantes de Fortescue décrivent le vecteur tout autant que les composantes naturelles. En particulier, les progressions non sinusoïdales peuvent être
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Signification de la séquence d'alimentation d'ordre $u, \vec{f}_{u}^{N}$

Courant polyphasé sinusoïdal, déphasage $u \times 2\pi/N$

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examinées par la décomposition sur les séquences de Fortescue, sans perte d'information.

Afin de percevoir la signification des composantes de Fortescue pour la distribution du bobinage, il faut imaginer une situation où tous les conducteurs d'encoches sont libres, c'est-à-dire non connectés entre eux. Les conducteurs d'encoches forment alors un bobinage Q-phasé et, par son intermédiaire, un vecteur courant quelconque $\vec{i^Q}$ peut être imposé. Ce vecteur peut être exhibé dans la base des séquences $\mathbf{F}^Q$. Par exemple, le courant d'encoches peut être la séquence $v$ :

$$ \vec{i^Q} = \vec{f_v^Q} \qquad (II.38) $$

La distribution, décrite par l'application linéaire $\mathcal{D}$, couple les encoches entre elles pour constituer les phases et modifie l'expression du courant d'encoches (II.38) sur les courants circulant effectivement dans les phases. Cet effet est intégralement restitué par le calcul de $\mathcal{D}(\vec{i^Q})$. Deux cas sont possibles :

1. soit la connexion annule l'expression de la séquence d'encoches (dans ce cas, la séquence d'encoches est dans le noyau de $\mathcal{D}$)

$$ \mathcal{D}(\vec{f_v^Q}) = \vec{0^N} \iff \vec{f_v^Q} \in \ker \mathcal{D} \qquad (II.39) $$

2. soit la connexion allume une séquence de phases donnée, par exemple $\vec{f_u^N}$ (le coefficient est alors noté $k_{u,v}$)

$$ \mathcal{D}(\vec{f_v^Q}) = k_{u,v} \vec{f_u^N} \qquad (II.40) $$

Le cas 1, formalisé par (II.39), signifie que la séquence d'encoches $\vec{f_v^Q}$ est éteinte par la connexion ou, réciproquement, ne peut être allumée par une quelconque alimentation des phases. Par exemple, les distribution de bobinage comportant autant de conducteurs aller que de conducteurs retour éteignent la séquence homopolaire d'encoches $\vec{f_0^Q}$.

La signification pratique du cas 2, formalisé par (II.40), peut être perçue par réciprocity : si le courant de phase comporte la séquence $u$, cela signifie que la séquence d'encoches $\vec{f_v^Q}$ est allumée. Plus généralement, alimenter le bobinage à la séquence $u$ correspond à l'allumage de tous les antécédents de $\vec{f_u^N}$, soit une ensemble de séquences d'encoches à déterminer selon les propriétés de la distribution $\mathcal{D}$.

### II.1.4.3 Distribution du bobinage dans les bases de Fortescue

L'objectif est donc d'analyser les propriétés de l'application linéaire $\mathcal{D}$ codant la distribution des conducteurs de phase dans les encoches dans les bases de Fortescue d'ordre $Q$ et d'ordre $N$ :

$$ [D_f] = \mathrm{mat}(\mathcal{D}, \mathbf{F}^Q, \mathbf{F}^N) = [F_N]^T [D] [F_Q] = (k_{u,v})_{(u,v)\in[0..N-1]\times[0..Q-1]} \qquad (II.41) $$
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Signification de la séquence d'alimentation d'ordre $u$, $\overrightarrow{f_u^N}$

Courant polyphasé sinusoïdal, déphasage $u \times 2\pi/N$

$$ \text{Base naturelle : } i_N^N(\theta_e) = \sum_{n=0}^{N-1} I\sqrt{2} \cos \left( \theta_e + un \frac{2\pi}{N} \right) b_n^N $$

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Pour le coefficient $k_{u,v}$, déjà introduit dans (II.40), les domaines d'appartenance des indices $u$ et $v$ sont étendus à l'ensemble des entiers relatifs (comme pour les coefficients $d_{n,q}$, cf. (II.7)) :

$$ \forall (u, v) \in \mathbb{Z}^2 \quad k_{u,v} = k_{\mathrm{mod}(u,N), \mathrm{mod}(v,Q)} \qquad (II.42) $$

Le terme $k_{u,v}$ de la matrice $[D_f]$ est exprimé en fonction des coefficients de distribution $d_{n,q}$ à partir de la relation (II.41) en utilisant les développements des matrices de passage (II.34) et (II.35) :

$$ k_{u,v} = \sqrt{\frac{1}{NQ}} \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{q=0}^{Q-1} d_{n,q} e^{-j \frac{2\pi}{N} nu} e^{j \frac{2\pi}{Q} qv} \qquad (II.43) $$

La circularité de la distribution est prise en compte avec (II.15). La relation (II.43) prend alors la forme suivante :

$$ k_{u,v} = \sqrt{\frac{1}{NQ}} \left( \sum_{q=0}^{Q-1} d_{0,q} e^{j \frac{2\pi}{Q} qv} \right) \left( \sum_{n=0}^{N-1} e^{-j \frac{2\pi}{N} nu} e^{j \frac{2\pi}{Q} ni_{c} v} \right) \qquad (II.44) $$

Dans (II.44), la première somme discrète, indexée sur les indices d'encoche $q$, s'identifie au conjugué du terme $v$ de la Transformée de Fourier Discrète (TFD) d'ordre $Q$, notée $\mathcal{F}_Q$, du vecteur de distribution de bobinage $\vec{d}_0$. Cela s'écrit comme suit :

$$ \mathcal{F}_Q \left\{ \vec{d}_0 \right\}_v = \sum_{q=0}^{Q-1} d_{0,q} e^{-j \frac{2\pi}{Q} qv} \qquad (II.45) $$

Dans (II.44), la seconde somme discrète, indexée par les indices de phase $n$, pilote l'annulation éventuelle de $k_{u,v}$ :

$$ k_{u,v} = \begin{cases} \sqrt{\frac{N}{Q}} \left[ \mathcal{F}_Q \left\{ \vec{d_0^Q} \right\}_v \right]^* & \text{si } v \in \left( \frac{Q}{Ni_c} (u + \mathbb{Z}N) \right) \cap \mathbb{Z} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \qquad (II.46) $$

La relation (II.46) respecte bien la propriété de cyclicité (II.42) : l'indiçage selon $u$ est N-périodique et l'indiçage selon $v$ est Q-périodique (par Q-périodicité de l'opérateur TFD).

L'examen de la relation (II.46) permet d'affirmer que :

* le motif de distribution d'une phase défini par le vecteur $\vec{d_0^Q}$ détermine les harmoniques spatiaux effectivement générés (indices $v$ des TFD non nulles),

* le nombre de phases distribue ces harmoniques sur les différentes séquences selon une règle arithmétique dépendant de la classe du bobinage.

Finalement, en notant $F_u$ l'ensemble des séquences d'encoche excitant la séquence de phase d'ordre $u$, selon (II.46), l'image de la séquence d'encoche d'ordre $v$ par la distribution peut être explicitée :

$$ \mathcal{D} \left( \vec{f}_v^Q \right) = \begin{cases} \sqrt{\frac{N}{Q}} \left[ \mathcal{F}_Q \left\{ \vec{d}_0^Q \right\}_v \right]^* \vec{f}_u^N & \text{si } v \in F_u \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \qquad (II.47) $$
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Signification de la séquence d'alimentation d'ordre $u$, $\vec{f}_u^N$

Courant polyphasé sinusoïdal, déphasage $u \times 2\pi/N$

Base naturelle : $\vec{i}^N(\theta_e) = \sum_{n=0}^{N-1} I\sqrt{2} \cos \left( \theta_e + un\frac{2\pi}{N} \right) \vec{b}_n^N$

Base des séquences : $\vec{i}^N(\theta_e) = I\sqrt{\frac{N}{2}} \left( e^{j\theta_e} \vec{f}_u^N + e^{-j\theta_e} \vec{f}_{N-u}^N \right)$

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Les antécédents de la séquence $\vec{f}_u^N$ correspondent à toutes les séquences d'encoches $\vec{f}_v^Q$ qui lui sont liées par la distribution. Cet ensemble est noté comme suit :

$$ \mathcal{D}^{-1} \left( \vec{f}_u^N \right) = \left\{ \vec{f}_v^Q, v \in F_u \right\} \qquad (II.48) $$

Les relations (II.47) et (II.48) portent nécessairement les propriétés fondamentales du bobinage caractérisées par les facteurs de bobinage et les harmoniques spatiaux générés. L'objectif des deux parties suivantes est de révéler ces deux critères.

## II.2 Facteurs de bobinage par Transformée de Fourier Discrète

Dans cette partie, l'objectif est de montrer que la pondération de l'image d'une séquence d'encoche, définie par (II.47), est directement liée au facteur de bobinage, ce qui revient également à montrer que les coefficients de la matrice $[D_f]$ (II.41) définissent les facteurs de bobinage. Plus pratiquement, ce résultat prouve que le facteur de bobinage se calcule par une simple Transformée de Fourier Discrète (TFD) du vecteur de distribution de bobinage. Compte tenu de la relative complexité des procédures usuelles de calcul du facteur de bobinage, cette contribution est postulée significative. Certains éléments rapportés dans cette partie sont issus de la publication [RI-18]. Cependant, dans celle-ci, le lien avec l'application linéaire $\mathcal{D}$ n'est pas explicitée. En d'autres termes, le principe de génération d'harmoniques spatiaux n'est pas développée dans [RI-18].

La première section s'attache à définir univoquement le facteur de bobinage et à montrer l'inexistence (ou la non publication) de procédure de calcul direct de cette grandeur (c'est-à-dire ne reposant pas sur un algorithme). La deuxième section définit formellement les fonctions continues de la variable d'espace représentant le bobinage (fonction de bobinage et densité linéique de conducteurs) nécessaires au calcul du facteur de bobinage. Sur la base de la définition consensuelle du facteur de bobinage, la dernière section démontre que, quelle que soit la distribution sur un nombre d'encoches régulièrement espacées, le facteur de bobinage est proportionnel à la TFD du vecteur de distribution (II.13), ce qui aboutit à une formulation compacte, générale et particulièrement simple à implémenter.

### II.2.1 Facteur de bobinage

Cette section définit le facteur de bobinage et discute les différentes méthodes de calcul publiées.

#### II.2.1.1 Définition

Selon [12], le facteur de bobinage est le rapport entre le flux capté par le bobinage réel sur le flux qui serait capté par un bobinage virtuel équivalent à pas polaire diamétral et à une encoche par pôle et par phase (IS concentré avec $s_{pp} = 1$) avec le même nombre de conducteurs que le bobinage réel. Le facteur de bobinage est souvent exprimé comme le produit de trois facteurs :

* le facteur de raccourcissement (pitch factor ou chording factor ou coil-span factor en
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Signification de la séquence d'alimentation d'ordre $u$, $\overrightarrow{f_u^N}$

Courant polyphasé sinusoïdal, déphasage $u \times 2\pi/N$

Base naturelle : $i^N(\theta_e) = \sum_{n=0}^{N-1} I\sqrt{2} \cos\left(\theta_e + un\frac{2\pi}{N}\right) \overrightarrow{b_n^N}$

Base des séquences : $i^N(\theta_e) = I\sqrt{\frac{N}{2}} \left( e^{j\theta_e} \overrightarrow{f_u^N} + e^{-j\theta_e} \overrightarrow{f_{N-u}^N} \right)$

Part de progression sinusoïdale spatiale du courant

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dénomination anglo-saxonne),

* le facteur de distribution (*breadth factor*, *spread factor* ou *zone factor* en dénomination anglo-saxonne),

* le facteur d'inclinaison.

Le facteur de raccourcissement est l'épanouissement moyen des bobines constituant le bobinage rapporté au pas polaire. Le facteur de distribution quantifie la réduction du flux due à la distribution des bobines sur un nombre fini d'encoches. Le facteur d'inclinaison mesure la réduction du flux résultant d'une éventuelle inclinaison du bobinage le long de la machine. Il peut être noté que ce paramètre n'est pas directement lié à la distribution du bobinage : théoriquement (c'est-à-dire en faisant abstraction des contraintes de fabrication), tous les distributions de bobinage peuvent être inclinées. Par conséquent, dans la suite, le facteur d'inclinaison n'est pas considéré (il reste évidemment possible de l'appliquer a posteriori). Il peut être considéré que le facteur de bobinage intrinsèque, celui résultant de l'arithmétique du bobinage, est le produit des facteurs de raccourcissement et de distribution, le facteur d'inclinaison pouvant être considéré comme une correction. Dans la suite, le facteur de bobinage considéré désigne ce facteur de bobinage intrinsèque (c'est-à-dire un facteur de bobinage avec un facteur d'inclinaison unitaire). Pour un bobinage à nombre entier d'encoches par pôle et par phase (bobinage IS), les facteurs de raccourcissement et de distribution peuvent pratiquement s'estimer en observant la distribution des conducteurs de phase dans les encoches. Par contre, pour les bobinages fractionnaires (FS-1 ou FS-2), l'estimation est sensiblement plus difficile.

### II.2.1.2 Méthodes usuelles de calcul

En 2019, un examen de la littérature permet de conclure à l'inexistence (ou à la non publication) d'une expression mathématique générale permettant le calcul du facteur de bobinage quelle que soit la classe. Par exemple, dans [5], différentes expressions analytiques variant selon le type de bobinage et le nombre de couches sont proposées. Cependant, les formulations proposées ne sont applicables qu'aux bobinages triphasés dans la mesure où elles s'appuient sur le contenu harmonique spatial généré par une distribution triphasée (et non pas polyphasée comme cela est étudié dans [13] par exemple). Dans [14], une méthode d'estimation générale est détaillée. Cependant, son utilisation nécessite un pré-traitement des propriétés de bobinage. Dans [15], une approche générale pour les distributions fractionnaires est fournie. Les expressions diffèrent selon différents paramètres comme le nombre de couches et le nombre de bobines par phase. En pratique, l'utilisation de cette méthode nécessite une classification préalable des distributions pour appliquer la bonne expression. Dans [16], le facteur de bobinage est relié à la Transformée de Fourier Rapide de la force magnétomotrice, ce qui revient à calculer la DSF de la fonction de bobinage. Cette méthode utilise donc un paramétrage sur une grandeur continue (l'angle mécanique) alors que la distribution est une grandeur discrète (le résultat est donc sujet au bruit numérique). Dans [10], le facteur de bobinage est calculé à l'aide d'une représentation générale de la distribution du bobinage : la méthode apparaît performante mais son implémentation est assez complexe. La méthode classique permettant le calcul des facteurs de bobinage repose sur la construction d'un diagramme vectoriel en tension où chaque encoche est représenté par un phaseur dans le plan complexe [17, 9, 3, 18]. Cette approche autorise l'estimation des facteurs de bobinage quelle que soit la classe. Cependant, les formulations ne s'appliquent pas directement sur la distribution observable : un
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## Signification de la séquence d'alimentation d'ordre $u, \vec{f_u^N}$

Courant polyphasé sinusoïdal, déphasage $u \times 2\pi/N$

Base naturelle : $\vec{i_N^N}(\theta_e) = \sum_{n=0}^{N-1} I\sqrt{2} \cos\left(\theta_e + un\frac{2\pi}{N}\right) \vec{b_n^N}$

Base des séquences : $\vec{i_N^N}(\theta_e) = I\sqrt{\frac{N}{2}} \left( e^{j\theta_e} \vec{f_u^N} + e^{-j\theta_e} \vec{f_{N-u}^N} \right)$

Part de progression sinusoïdale spatiale du courant

Composante de Fourier au sens spatial (non temporel)

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reclassement des encoches (basé sur la méthode SOS, [19]) et une analyse graphique doivent être préalablement effectués. Finalement, les méthodes publiées pour calculer le facteur de bobinage nécessitent un traitement préalable (parfois assez complexe) de la distribution. À cet égard, ces méthodes peuvent être qualifiées d'insuffisamment directes et concises.

## II.2.2 Caractérisation du bobinage par grandeurs spatiales continues

Cette section introduit les grandeurs spatiales continues décrivant la distribution du bobinage : fonctions de bobinage et densité de conducteurs. Ces fonctions sont adimensionnées pour établir le lien avec les coefficients de distribution de conducteur définis dans la sous-section II.1.2.1. Liées par une opération d'intégration ou de dérivation, ces deux fonctions contiennent la même information, ce que le lien simple entre leurs coefficients de Fourier formalisent. Dans la dernière sous-section, les coefficients de Fourier sont liés à la TFD du vecteur de distribution de bobinage.

### II.2.2.1 Fonctions de bobinage et de densité de conducteurs

La fonction de bobinage de la phase $n$ est notée $W_n(\theta)$ où $\theta$ désigne l'angle dans le repère de l'induit. La fonction de bobinage de la phase $n$ correspond à la force magnétomotrice générée par la phase $n$ seule alimentée par un courant constant de un ampère. L'unité de la fonction de bobinage est le conducteur.tour. La dérivée spatiale de la fonction de bobinage $W_n$ correspond à la densité linéique de conducteurs de la phase $D_n$ :

$$D_n(\theta) = \frac{1}{R} \frac{dW_n}{d\theta} \qquad (II.49)$$

Dans (II.49), $R$ est le rayon d'alésage de l'induit. L'unité de $D_n$ est mesuré en nombre de conducteurs par mètre.

### II.2.2.2 Fonctions de bobinage et de densité de conducteurs adimensionnées

Il est utile d'introduire les fonctions de bobinage et densité de conducteurs adimensionnées respectivement notées $w_n$ et $d_n$ pour la phase $n$. Le nombre de conducteurs par encoche $n_{cd}$ et l'angle d'ouverture d'encoches $\epsilon$ doivent être connus pour évaluer ces deux fonctions :

$$w_n(\theta) = \frac{1}{n_{cd}} W_n(\theta) \qquad (II.50)$$

$$d_n(\theta) = \frac{R\epsilon}{n_{cd}} D_n(\theta) \qquad (II.51)$$

La propriété de dérivation (II.49) s'écrit alors :

$$d_n(\theta) = \epsilon \frac{dw_n}{d\theta} \qquad (II.52)$$
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### Signification de la séquence d'alimentation d'ordre $u$, $\vec{f}_u^N$

Courant polyphasé sinusoïdal, déphasage $u \times 2\pi/N$

Base naturelle : $\vec{i}^N(\theta_e) = \sum_{n=0}^{N-1} I\sqrt{2} \cos\left(\theta_e + un\frac{2\pi}{N}\right) \vec{b}_n^N$

Base des séquences : $\vec{i}^N(\theta_e) = I\sqrt{\frac{N}{2}} \left( e^{j\theta_e} \vec{f}_u^N + e^{-j\theta_e} \vec{f}_{N-u}^N \right)$

Part de progression sinusoïdale spatiale du courant

Composante de Fourier au sens spatial (non temporel)

Généralisation à la séquence d'encoché $\vec{f}_v^Q$
→ Changement de perspective

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<figure><img src="image_562.png" /></figure>

<figure><img src="image_563.png" /></figure>

<figure><img src="image_564.png" /></figure>

<figure><img src="image_565.png" /></figure>
II.2.2.3 Développement en séries de Fourier

Les fonctions de bobinage et de densité de conducteurs sont de période mécanique $2\pi$. Les développements en séries de Fourier (DSF) des fonctions adimensionnées sont précisées ci-après où $\widehat{(d_n)}_v$ et $\widehat{(w_n)}_v$ sont les coefficients complexes d'ordre $v$ pour les fonctions $d_n$ et $w_n$ respectivement :

$$w_n(\theta) = \sum_{v=-\infty}^{+\infty} \widehat{(w_n)}_v e^{jv\theta} \qquad (II.53)$$

$$d_n(\theta) = \sum_{v=-\infty}^{+\infty} \widehat{(d_n)}_v e^{jv\theta} \qquad (II.54)$$

La relation de dérivation (II.52) mène à l'égalité suivante pour les coefficients de la distribution et de la fonction de bobinage d'ordre $v$ :

$$\widehat{(d_n)}_v = jv\epsilon\widehat{(w_n)}_v \qquad (II.55)$$

II.2.2.4 Liens avec les coefficients de distribution de conducteurs

La fonction de densité de conducteurs adimensionnée de la phase $n$ $d_n$ peut s'exprimer en fonction des coefficients de distribution de conducteurs $d_{q,n}$ (définie dans la sous-section II.1.2.1). Si $\Pi_{\epsilon}$ est le signal porte de largeur $\epsilon$, centré en zéro et $2\pi$-périodique, il vient :

$$d_n(\theta) = \sum_{q=0}^{Q-1} d_{n,q} \Pi_{\epsilon} \left( \theta - q \frac{2\pi}{Q} \right) \qquad (II.56)$$

Le signal porte $\Pi_{\epsilon}$ peut être développé en série de Fourier :

$$\Pi_{\epsilon}(\theta) = \sum_{v=-\infty}^{+\infty} \frac{\epsilon}{2\pi} \text{sinc}\left(v\frac{\epsilon}{2}\right) e^{jv\theta} \qquad (II.57)$$

Considérant (II.56) et (II.57), le développement en série de Fourier de $d_n$ est obtenu :

$$d_n(\theta) = \sum_{v=-\infty}^{+\infty} \frac{\epsilon}{2\pi} \text{sinc}\left(v\frac{\epsilon}{2}\right) \left( \sum_{q=0}^{Q-1} d_{n,q} e^{-j\frac{2\pi}{Q}qv} \right) e^{jv\theta} \qquad (II.58)$$

L'expression (II.55) permet d'exprimer le développement en série de Fourier de $w_n$ depuis (II.58) :

$$w_n(\theta) = \sum_{v=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{j2\pi v} \text{sinc}\left(v\frac{\epsilon}{2}\right) \left( \sum_{q=0}^{Q-1} d_{n,q} e^{-j\frac{2\pi}{Q}qv} \right) e^{jv\theta} \qquad (II.59)$$

Dans (II.58) et (II.59), le terme entre parenthèses s'identifie à la composante d'ordre $v$ de la Transformée de Fourier Discrète (TFD) de la suite constituée par les $Q$ composantes du vecteur $\widehat{d_n}$. Déjà introduit dans la sous-section II.1.4.3 et la relation (II.45), l'opérateur TFD agit donc sur le vecteur de distribution de conducteurs de la phase $n$ et peut être noté comme
<figure><img src="image_566.png" /></figure>

# Contribution à la modélisation du bobinage

## Perception fréquentielle : concept de séquences

Bilan

d'activité

Contribution à

la

modélisation

du bobinage

Perception

naturelle du

bobinage

Perception

fréquentielle :

concept de séquences

Décomposition

multi-machine

Amélioration

des

performances

Perspectives

Généralisation à la séquence d'encoche $\underset{v}{\overrightarrow{f}}^Q$
→ **Changement de perspective**

<figure><img src="image_567.png" /></figure>
suit :

$$ \mathcal{F}_Q \left\{ \overrightarrow{d_n^Q} \right\}_v = \sum_{q=0}^{Q-1} d_{n,q} e^{-j \frac{2\pi}{Q} qv} \qquad (II.60) $$

Ainsi, les coefficients de Fourier de la distribution de conducteurs (II.58) et de la fonction de bobinage (II.59) peuvent s'exprimer avec les termes de la TFD de la distribution (II.60) :

$$ \widehat{(d_n)}_v = \frac{\epsilon}{2\pi} \sinc \left( v \frac{\epsilon}{2} \right) \mathcal{F}_Q \left\{ \overrightarrow{d_n^Q} \right\}_v \qquad (II.61) $$

$$ \widehat{(w_n)}_v = \frac{1}{j2\pi v} \sinc \left( v \frac{\epsilon}{2} \right) \mathcal{F}_Q \left\{ \overrightarrow{d_n^Q} \right\}_v \qquad (II.62) $$

Le vecteur de distribution de conducteurs est finalement composé des échantillons de la densité de conducteurs adimensionnée, régulièrement prélevée au centre des encoches. Néanmoins, la distribution de bobinage étant intrinsèquement discrète, c'est bien l'analyse de la grandeur discrète constituée par la suite ordonnée des coefficients de distribution qui doit permettre d'extraire l'information contenue dans le bobinage. Cela légitime et justifie l'utilisation de la TFD.

### II.2.3 Approche de calcul par TFD

Selon [12], le facteur de bobinage est le rapport entre le flux capté par le bobinage effectif sur le flux qui serait virtuellement capté par un bobinage diamétral concentré équivalent (IS avec bobine à épanouissement diamétral à une encoche par pôle et par phase) et comportant le même nombre de tours que le bobinage effectif. Cette définition est valable quel que soit l'harmonique spatial considéré. En particulier, le facteur de bobinage fondamental est défini pour l'harmonique spatial d'ordre $p$ où $p$ désigne le nombre de paires de pôles. Dans la suite, le bobinage concentré équivalent est désigné bobinage optimal et le flux capté est le flux optimal. La calcul du facteur de bobinage peut s'effectuer en trois étapes :

* estimation du flux capté par le bobinage optimal $\Lambda_{m,p}^+$,

* estimation du flux capté par le bobinage effectif $\Lambda_{m,p}$,

* calcul du rapport de ces deux grandeurs.

Le bobinage effectif est caractérisé par la fonction de bobinage $W_n(\theta)$ pour la phase $n$. Le bobinage étant supposé régulier (distribution identique régulièrement décalée d'une phase à l'autre), l'indice de phase $n$ est omis dans les développement ultérieurs. Formellement, les calculs sont effectués pour la phase 0 prise en référence. Fonction de bobinage de référence et vecteur de distribution de conducteurs de référence sont donc introduits :

$$ W(\theta) = W_0(\theta) \quad \text{et} \quad \overrightarrow{d^Q} = \overrightarrow{d_0^Q} \qquad (II.63) $$

Il est supposé que le flux capté par ce bobinage résulte du champ d'entrefer $B(\theta, \theta_m)$ où $\theta_m$ est la position mécanique (position angulaire du rotor si le bobinage considéré appartient au stator). Le flux élémentaire s'exprime alors comme suit :

$$ d\Lambda = W(\theta)B(\theta, \theta_m)L_zRd\theta \qquad (II.64) $$
<figure><img src="image_568.png" /></figure>

Expression de $\mathcal{D}$ dans les bases des séquences

$$[D_f] = \mathrm{mat}(\mathcal{D}, \mathbf{F}^{\mathcal{Q}}, \mathbf{F}^{\mathcal{N}}) = (k_{u,v})_{(u,v)\in[0..N-1]\times[0..Q-1]}$$

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle :
concept de
séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

<figure><img src="image_569.png" /></figure>

Généralisation à la séquence
d'encoché $\vec{f}_v^Q$
→ Changement de perspective

<figure><img src="image_570.png" /></figure>
L'intégration de (II.64) donne (où $L_z$ désigne la longueur axiale active et $R$ le rayon d'entrefer) :

$$ \Lambda(\theta_m) = L_z R \int_{\theta=0}^{2\pi} W(\theta) B(\theta, \theta_m) d\theta \qquad (II.65) $$

L'expression (II.65) peut être utilisée pour le calcul des flux effectifs et optimum. Dans la suite, pour améliorer la lisibilité des développements, les calculs sont menés pour l'harmonique d'espace égal au nombre de paires de pôles ($v = p$), les calculs pour un harmonique quelconque d'ordre $v$ étant absolument identique (mais peut-être moins naturels lors de la définition du bobinage optimal).

### II.2.3.1 Flux optimal

Si le nombre de paires de pôles ciblé est $p$, le bobinage maximisant le flux capté est caractérisé par une fonction de bobinage carrée de période spatiale $2\pi/p$ et d'amplitude $n_{cd}^+/2$ (où $n_{cd}^+$ est le nombre de conducteurs par encoche du bobinage virtuel optimal). Une telle fonction de bobinage est obtenue avec un bobinage diamétral à une encoche par pôle et par phase et des ouvertures d'encoche négligeables. Le flux capté peut être calculé en considérant que l'induction d'entrefer est sinusoïdale de période $2\pi/p$ et de valeur crête $B_p$ :

$$ B(\theta, \theta_m) = B_p \cos(p(\theta - \theta_m)) \qquad (II.66) $$

La relation (II.65) est maintenant considérée avec l'hypothèse de fonction de bobinage carrée et l'expression (II.66). Le flux résultant est noté $\Lambda^+$ :

$$ \Lambda_p^+(\theta_m) = L_z R 2p \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{p}} \frac{n_{cd}^+}{2} B_p \cos(p(\theta - \theta_m)) d\theta \qquad (II.67) $$

L'intégration de (II.67) donne :

$$ \Lambda_p^+(\theta_m) = 2RL_z n_{cd}^+ B_p \sin(p\theta_m) \qquad (II.68) $$

Le flux maximal $\Lambda_{m,p}^+$ peut être extrait de (II.71) :

$$ \Lambda_{m,p}^+ = 2RL_z n_{cd}^+ B_p \qquad (II.69) $$

Le bobinage optimal (IS diamétral avec $s_{pp} = 1$) doit comporter le même nombre de tours que le bobinage effectif (caractérisé par $p$ paires de pôles, $N$ phases, $Q$ encoches et $n_{cd}$ conducteurs par encoche). Le nombre de conducteurs par encoches du bobinage optimal $n_{cd}^+$ vérifie donc l'égalité suivante :

$$ 2pNn_{cd}^+ = Qn_{cd} \qquad (II.70) $$

La relation (II.70) permet de finaliser l'expression du flux optimal et de sa valeur crête :

$$ \Lambda_p^+(\theta_m) = \frac{Q}{pN} n_{cd} R L_z B_p \sin(p\theta_m) \qquad (II.71) $$

$$ \Lambda_{m,p}^+ = \frac{Q}{pN} n_{cd} R L_z B_p \qquad (II.72) $$
<figure><img src="image_571.png" /></figure>

Expression de $\mathcal{D}$ dans les bases des séquences

$$[D_f] = \mathrm{mat}(\mathcal{D}, \mathbf{F}^{\mathcal{Q}}, \mathbf{F}^{\mathcal{N}}) = (k_{u,v})_{(u,v)\in[0..N-1]\times[0..Q-1]}$$

Bilan

d'activité

Contribution à
la
modélisation

du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle :
concept de
séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

<figure><img src="image_572.png" /></figure>

Généralisation à la séquence
d'encoché $\vec{f}_{v}^{\mathcal{Q}}$
→ **Changement de perspective**

<figure><img src="image_573.png" /></figure>
II.2.3.2 Flux effectif

La relation (II.65) exprimant le flux dans le cas général est utilisée après développement préalable de la fonction de bobinage adimensionnée (cf. (II.50)) et de l'induction en séries de Fourier :

$$
\Lambda(\theta_m) = n_{cd}RL_z \int_{\theta=0}^{2\pi} \left( \sum_{v=-\infty}^{+\infty} \widehat{(w)}_v e^{jv\theta} \right) \left( \sum_{g=-\infty}^{+\infty} \widehat{(B)}_g e^{jg(\theta-\theta_m)} \right) d\theta \quad (II.73)
$$

(II.73) peut prendre la forme suivante :

$$
\Lambda(\theta_m) = n_{cd}RL_z \sum_{v=-\infty}^{+\infty} \sum_{g=-\infty}^{+\infty} \widehat{(w)}_v \widehat{(B)}_g e^{-jg\theta_m} \int_{\theta=0}^{2\pi} e^{j(v+g)\theta} d\theta \quad (II.74)
$$

L'intégrale dans (II.74) est nulle sauf si $g = -v$. Dans ce cas, le flux est :

$$
\Lambda(\theta_m) = 2\pi n_{cd} R L_z \sum_{v=-\infty}^{+\infty} \widehat{(w)}_v \widehat{(B)}_v e^{-jv\theta_m} \quad (II.75)
$$

La relation (II.75) est valable quelles que soient la fonction de bobinage et l'induction. Pour le calcul des coefficients de bobinage, le flux capté par le bobinage effectif<fnref n="1" /> est calculé en supposant une induction d'entrefer sinusoïdale (comme spécifié par (II.66)) :

$$
\Lambda_p(\theta_m) = 2\pi n_{cd} R L_z 2\Re\left(\widehat{(w)}_p \frac{B_p}{2} e^{-jp\theta_m}\right) \quad (II.76)
$$

Le module et l'argument du coefficient de Fourier complexe de la fonction de bobinage sont
introduits dans (II.76) :

$$
\Lambda_p(\theta_m) = 2\pi n_{cd} R L_z \left|\widehat{(w)}_p\right| B_p \cos \left( p\theta_m - \arg \left[ \widehat{(w)}_p \right] \right) \quad (II.77)
$$

Précédemment établie, la relation (II.62) précisant le module et l'argument du coefficient de Fourier complexe de la fonction de bobinage peut être précisée pour l'harmonique $v = p$ :

$$
\left|\widehat{(w)}_p\right| = \frac{1}{2\pi p} \sinc\left(p\frac{\epsilon}{2}\right) \left|\mathcal{F}_Q\left\{\vec{d^Q}\right\}_p\right| \quad (II.78)
$$

$$
\arg \left[ \widehat{(w)}_p \right] = \arg \left[ \mathcal{F}_Q \left\{ \vec{d^Q} \right\}_p \right] - \frac{\pi}{2} \qquad (II.79)
$$

Depuis (II.78) et (II.79), le flux (II.77) s'exprime :

$$
\Lambda_p(\theta_m) = \frac{n_{cd} R L_z}{p} \left| \mathcal{F}_Q \left\{ \vec{d^Q} \right\}_p \right| B_p \sin \left( p\theta_m - \arg \left[ \mathcal{F}_Q \left\{ \vec{d^Q} \right\}_p \right] \right) \quad (II.80)
$$

<footnote n="1">1. L'indice de phase étant omis dans cette section, $\Lambda_p$ désigne bien le flux embrassé à l'harmonique $p$ et non pas le flux capté par la phase $p$.</footnote>
<figure><img src="image_574.png" /></figure>

Expression de $\mathcal{D}$ dans les bases des séquences

$$[D_f] = \mathrm{mat}(\mathcal{D}, \mathbf{F}^{\mathcal{Q}}, \mathbf{F}^{\mathcal{N}}) = (k_{u,v})_{(u,v)\in[0..N-1]\times[0..Q-1]}$$

Bilan

d'activité

Contribution à
la
modélisation

du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle :
concept de
séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

<figure><img src="image_575.png" /></figure>

Généralisation à la séquence
d'encoché $\vec{f}_v^Q$
→ **Changement de perspective**

<figure><img src="image_576.png" /></figure>

<figure><img src="image_577.png" /></figure>

<figure><img src="image_578.png" /></figure>

<figure><img src="image_579.png" /></figure>

<figure><img src="image_580.png" /></figure>

<figure><img src="image_581.png" /></figure>
Si les ouvertures d'encoches sont négligées, le flux (II.80) prend la forme suivante :

$$ \Lambda_p(\theta_m) = \frac{n_{cd}RL_z}{p} \left| \mathcal{F}_Q \left\{ \vec{d^Q} \right\}_p \right| B_p \sin \left( p\theta_m - \arg \left[ \mathcal{F}_Q \left\{ \vec{d^Q} \right\}_p \right] \right) \quad (II.81) $$

Finalement, le flux effectif maximal $\Lambda_{p,m}$ est déduit de (II.81) :

$$ \Lambda_{p,m} = \frac{RL_z n_{cd} B_p}{p} \left| \mathcal{F}_Q \left\{ \vec{d^Q} \right\}_p \right| \quad (II.82) $$

### II.2.3.3 Identification du facteur de bobinage

Conformément à la définition du facteur de bobinage, le facteur de bobinage fondamental est le rapport entre le flux maximal capté effectivement par le bobinage (II.82) et le flux virtuellement capté par le bobinage optimal (II.72) :

$$ K_p = \frac{N}{Q} \left| \mathcal{F}_Q \left\{ \vec{d^Q} \right\}_p \right| \quad (II.83) $$

Comme précisé à la fin de l'introduction de la présente section II.2.3, pour le facteur de bobinage harmonique, les développement sont similaires à ceux menés pour l'harmonique particulier $p$ (cela signifie notamment que pour l'harmonique spatial $v$, le bobinage optimal génère $v$ paires de pôles). Ainsi le coefficient de bobinage d'ordre $v$ s'exprime :

$$ K_v = \frac{N}{Q} \left| \mathcal{F}_Q \left\{ \vec{d^Q} \right\}_v \right| \quad (II.84) $$

Les relations (II.83) et (II.84) établissent le lien très simple et général existant entre facteur de bobinage et TFD du vecteur de distribution de conducteurs. Ces formulations présentent la particularité d'être indexées sur le rang harmonique spatial $v$ (c'est-à-dire sans référence au nombre de paires de pôles $p$, désigné comme l'harmonique de travail). Strictement, le facteur de bobinage est un nombre signé : cette propriété est restaurée par la définition du facteur de bobinage complexe.

### II.2.3.4 Facteur de bobinage complexe

La définition du facteur de bobinage complexe nécessite de représenter les flux sinusoïdaux par un nombre complexe. Les flux optimal et effectif sont respectivement associés aux complexes $\underline{\Lambda}_p^+$ (défini selon (II.71)) et $\underline{\Lambda}_p$ (défini selon (II.81)) :

$$ \underline{\Lambda}_p^+ = \frac{Q}{pN} n_{cd} RL_z B_p e^{jp\theta_m} \quad (II.85) $$

$$ \underline{\Lambda}_p = \frac{1}{p} n_{cd} RL_z B_p \mathcal{F}_Q \left\{ \vec{d^Q} \right\}_p e^{jp\theta_m} \quad (II.86) $$
<figure><img src="image_582.png" /></figure>

Expression de $\mathcal{D}$ dans les bases des séquences

$$[D_f] = \mathrm{mat}(\mathcal{D}, \mathbf{F}^{\mathcal{Q}}, \mathbf{F}^{\mathcal{N}}) = (k_{u,v})_{(u,v)\in[0..N-1]\times[0..Q-1]}$$

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle :
concept de
séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

<figure><img src="image_583.png" /></figure>

Généralisation à la séquence
d'encoche $\vec{f_v^Q}$
→ Changement de perspective

$\vec{f_v^Q} \rightarrow$ courant d'encoches sinusoïdal,
dans un bobinage Q-phasé libre
(toutes connexions libres)

<figure><img src="image_584.png" /></figure>

<figure><img src="image_585.png" /></figure>

<figure><img src="image_586.png" /></figure>

<figure><img src="image_587.png" /></figure>

<figure><img src="image_588.png" /></figure>

<figure><img src="image_589.png" /></figure>
Le facteur de bobinage complexe d'ordre $p$ est alors le rapport des flux complexes effectif et optimaux :

$$ \underline{K_p} = \frac{\underline{\Lambda_p}}{\underline{\Lambda_p^+}} \qquad (II.87) $$

Considérant (II.85) et (II.86), le facteur de bobinage complexe d'ordre $v$ apparaît comme la TFD du vecteur de distribution des conducteurs :

$$ \underline{K_v} = \frac{N}{Q} \mathcal{F}_Q \left\{ \vec{d}^Q \right\}_v \qquad (II.88) $$

Considérant (II.88), la relation (II.47) spécifiant les propriétés de l'application linéaire de distribution $\mathcal{D}$ dans les bases de Fortescue est explicitement liée au facteur de bobinage complexe :

$$ \mathcal{D}(\vec{f}_v^Q) = \begin{cases} \sqrt{\frac{Q}{N}} \underline{K_v}^* \vec{f}_u^N & \text{si } v \in F_u \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \qquad (II.89) $$

Il est à noter que cette notion de facteur de bobinage complexe est introduite dans [20] mais avec l'utilisation de la transformation SOS. Il en résulte une procédure de calcul sensiblement moins directe visant à déterminer la bonne formule à utiliser pour évaluer le facteur de bobinage. Finalement, en terme de procédure de calcul du facteur de bobinage, c'est la référence [21] qui apparaît la plus proche de la méthode ici détaillée. Les facteurs de bobinage sont évalués à l'aide d'une représentation matricielle de la distribution, semblable à celle présentée ici excepté dans la façon de compter les conducteurs dans les encoches : le nombre de couches n'est pas restitué. De cette limitation résulte l'impossibilité d'appliquer une formule universelle quel que soit le type de bobinage (le facteur de raccourcissement doit être préalablement calculé pour les configurations multi-couches). De plus, le lien entre facteur de bobinage et TFD de la distribution n'est pas établi. Par contre, comme pour la présente méthode (II.88), les facteurs de bobinage sont indexés sur le rang spatial harmonique, sans référence au nombre effectif de paires de pôles.

En pratique, la relation (II.89) permet de visualiser la distribution des séquences d'encoche $v$ sur les différentes séquences d'alimentation $u$, c'est-à-dire de représenter graphiquement les coefficients de la matrice $[D_f]$ (II.41). Par exemple, la figure II.10 reporte cette opération pour les distributions de bobinage 5-phase FS-2 double-couche 20-8-5 (en figure II.10a) et FS-1 double-couche 25-22-5 (en figure II.10b) : dans les deux cas, les coefficients de (II.89) sont multipliés par $\sqrt{N/Q}$ pour mettre en évidence les facteurs de bobinage. En particulier, il peut être observé que la configuration dentaire 20-8-5 (étudiée dans les thèses d'Hussein Zahr [ThS-3] et d'Abdelhak Mekahlia [ThS-6]) possède une séquence fondamentale avec un coefficient de bobinage inférieur à celui de la séquence $u = 3$. Dans tous les cas, les symétries des séquences $u$ et $N-u$ peuvent être observées (les coefficients de bobinage respectifs sont conjugués).

Enfin, les facteurs de bobinages complexes interviennent explicitement dans les coefficients de Fourier complexes de la distribution de conducteurs et de la fonction de bobinage. Ainsi, les coefficients de Fourier complexes de la distribution de conducteurs adimensionnée de phase 0 (prise en référence selon (II.63)) s'écrivent à partir de (II.61) et de l'expression du facteur de bobinage complexe (II.88) :

$$ \widehat{(d_0)_v} = \frac{\epsilon}{2\pi} \sinc\left(v\frac{\epsilon}{2}\right) \frac{Q}{N} \underline{K_v} \qquad (II.90) $$
<figure><img src="image_590.png" /></figure>

Expression de $\mathcal{D}$ dans les bases des séquences

$$[D_f] = \mathrm{mat}(\mathcal{D}, \mathbf{F}^{\mathcal{Q}}, \mathbf{F}^{\mathcal{N}}) = (k_{u,v})_{(u,v)\in[0..N-1]\times[0..Q-1]}$$

Bilan

d'activité

Contribution à
la
modélisation

du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle :
concept de
séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

<figure><img src="image_591.png" /></figure>

Généralisation à la séquence
d'encoche $\vec{f}_v^Q$
→ Changement de perspective

$\vec{f}_v^Q \rightarrow$ courant d'encoches sinusoidal, dans un bobinage Q-phasé libre (toutes connexions libres)

$\mathcal{D}(\vec{f}_v^Q) = k_{u,v} \vec{f}_u^N \rightarrow$ propriétés harmoniques spatiales

<figure><img src="image_592.png" /></figure>

<figure><img src="image_593.png" /></figure>

<figure><img src="image_594.png" /></figure>

<figure><img src="image_595.png" /></figure>

<figure><img src="image_596.png" /></figure>

<figure><img src="image_597.png" /></figure>
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE II.10 — Pondération des séquences d'encoche selon le facteur de bobinage et la séquence d'alimentation d'après (II.89)</figcaption></figure>

Les coefficients de Fourier complexes de la distribution de conducteurs de phase 0 se déduisent de (II.90) selon la mise à l'échelle (II.51) :

$$ \widehat{(D_0)}_v = \frac{n_{cd}}{2\pi R} \sinc\left(v\frac{\epsilon}{2}\right) \frac{Q}{N} \underline{K_v} \qquad (II.91) $$

De même, les coefficients de Fourier complexes de la fonction de bobinage adimensionnée de phase 0 s'écrivent à partir de (II.62) et de l'expression du facteur de bobinage complexe (II.88) :

$$ \widehat{(w_0)}_v = \frac{1}{j2\pi v} \sinc\left(v\frac{\epsilon}{2}\right) \frac{Q}{N} \underline{K_v} \qquad (II.92) $$

Les coefficients de Fourier complexes de la fonction de bobinage de phase 0 se déduisent de (II.92) selon la mise à l'échelle (II.50) :

$$ \widehat{(W_0)}_v = \frac{n_{cd}}{j2\pi v} \sinc\left(v\frac{\epsilon}{2}\right) \frac{Q}{N} \underline{K_v} \qquad (II.93) $$

### II.2.3.5 Implémentation algorithmique

L'implémentation de (II.88) est simple (étant admis que la majorité des langages de calcul scientifique intègre une instruction directe pour calculer la transformée de Fourier). Cependant, le facteur de bobinage complexe présente la spécificité (peut-être déroutante) d'être paramétré sur l'ordre mécanique alors que, classiquement, le facteur de bobinage est indexé sur l'ordre électrique. La correspondance entre le rang électrique h et le rang mécanique v est définie ci-après :

$$ v = \mod(ph, Q) \qquad (II.94) $$
<figure><img src="image_598.png" /></figure>

Expression finale de l'image de la séquence d'encoche d'ordre $v$

$$ \mathcal{D} \left( \vec{f_v^Q} \right) = \begin{cases} \sqrt{\frac{Q}{N}} \overleftarrow{f_v^N} & \text{si } v \in F_u \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$

<figure><img src="image_599.png" /></figure>

<figure><img src="image_600.png" /></figure>

<figure><img src="image_601.png" /></figure>

<figure><img src="image_602.png" /></figure>

<figure><img src="image_603.png" /></figure>

<figure><img src="image_604.png" /></figure>

<figure><img src="image_605.png" /></figure>

<figure><img src="image_606.png" /></figure>

<figure><img src="image_607.png" /></figure>

<figure><img src="image_608.png" /></figure>

<figure><img src="image_609.png" /></figure>

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<figure><img src="image_618.png" /></figure>

<figure><img src="image_619.png" /></figure>
Le facteur de bobinage indexé sur le rang électrique *h*, noté $K_h^e$ se calcule donc depuis le facteur de bobinage complexe considérant la relation suivante :

$$|K_h^e| = |K_{\text{mod}(ph,Q)}| \qquad (II.95)$$

Le calcul des facteurs de bobinage par la TFD de la distribution selon (II.84) puis la ré-indexation sur le rang électrique selon (II.95) est illustré par la figure II.11 pour les distributions 5-phase fractionnaires 20-6-5 (FS-1 double-couche, figure II.11a) et 25-22-5 (FS-2 double couche, figure II.11b).

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE II.11 — Facteurs de bobinage indexés sur le rang mécanique et sur le rang électrique selon (II.95)</figcaption></figure>

## II.3 Prédiction des harmoniques d'espace

Comme montré dans la sous-section II.1.1.3 (et illustré par la figure II.1 notamment), pour un bobinage entier (IS), quel que soit le nombre de phases, les harmoniques spatiaux générés sont assez simples à prédire dans la mesure où la période de bobinage est égale à deux pas polaires [22]. Par contre, la prédiction est plus difficile dans le cas de distributions fractionnaires (plus précisément pour les distributions fractionnaires telles que $y > 2$ dans (II.2), le cas $y = 2$ ne générant pas de sous-harmoniques d'espace comme spécifié par (II.5)). Pour les distributions triphasées, les expressions analytiques précisant le contenu harmonique spatial diffèrent selon la classe du bobinage et le nombre de couches [23, 5]. La référence [13] propose une méthode générale, applicable à tous bobinages symétriques (c'est-à-dire réguliers) à nombre de phases impair : cette approche présente la particularité de supposer que les rangs spatiaux sont égaux aux rangs temporels, ce qui est quelque peu déroutant (sans juger de l'efficacité de l'approche). En fait, bien que le sujet de la génération des harmoniques d'espace soit très ancien (sans doute contemporain de la mise au point des machines tournantes) et donc intensivement exploré (comme dans [24] par exemple), il ne semble pas exister de formulations claires et facilement implémentables pour prédire le contenu harmonique spatial de la FMM générée par l'alimentation d'un bobinage polyphasé.
<figure><img src="image_620.png" /></figure>

Expression finale de l'image de la séquence d'encoche d'ordre $v$

$$ \mathcal{D} \left( \vec{f_v^Q} \right) = \begin{cases} \sqrt{\frac{Q}{N}} \overleftarrow{K_v} \vec{f_u^N} & \text{si } v \in F_u \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$

* $F_u$ ensemble des harmoniques d'espace arithmétiquement générés par la séquence d'alimentation $u$

$$ F_u = pu + N \frac{Q}{Q^+} \mathbb{Z} \quad (Q^+ \text{ nombre d'encoches de base}) $$

<figure><img src="image_621.png" /></figure>

<figure><img src="image_622.png" /></figure>

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<figure><img src="image_624.png" /></figure>

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<figure><img src="image_626.png" /></figure>
L'objectif de cette partie est donc de développer une nouvelle approche de prédiction des harmoniques spatiaux générés par des bobinages polyphasés symétriques. L'expression finale est voulue aussi concise que possible, c'est-à-dire nécessitant un paramétrage minimal afin de faciliter l'implémentation. Afin de trouver une expression plus compacte des familles d'harmoniques d'espace $F_u$ que celle définie dans (II.47) et (II.46), le raisonnement exposé dans cette partie, partiellement reporté dans [CI-33], consiste à analyser directement les propriétés fréquentielles de l'onde de FMM, sans référence explicite à l'application linéaire $\mathcal{D}$. Fondamentalement, il est considéré que les harmoniques spatiaux dus à la distribution du bobinage dans les encoches résultent d'un phénomène de recouvrement spectral. De plus, la méthode proposée n'utilise pas explicitement les harmoniques électriques (ou temporels) mais la notion de séquence d'alimentation évoquée dans la sous-section II.1.4.2. Ce choix facilite la distinction entre les harmoniques d'espace et de temps et, par suite, la compréhension du mécanisme de génération des trains d'onde accrochés à une séquence. La première sous-section détaille le calcul des harmoniques spatiaux générés par une séquence d'alimentation par le principe de recouvrement spectral. La deuxième sous-section montre comment les ondes de densité linéique de courant et force magnétomotrice peuvent être spécifiées depuis les familles d'harmoniques spatiaux. La notion d'harmoniques de temps est notamment introduite. Enfin, la dernière sous-section remonte au concept de machines fictives développé pour analyser le comportement des machines polyphasées [1, 6].

## II.3.1 Calcul des familles d'harmoniques spatiaux

Cette section vise à calculer les familles d'harmoniques spatiaux générés par une séquence d'alimentation donnée. La première sous-section introduit, pour la séquence d'alimentation, la notion de séquences additionnelles. Ensuite, la propriété de recouvrement spectral appliqué à une onde dont les sources sont régulièrement espacées est examinée. Enfin, l'utilisation de cette propriété sur le bobinage régulier polyphasé permet de mettre en évidence la liste des harmoniques spatiaux générés par une séquence d'alimentation donnée.

### II.3.1.1 Alimentation à une séquence donnée

Désignant l'alimentation de la machine par un système polyphasé sinusoïdal avec un déphasage particulier entre deux phases consécutives (comme explicité dans la sous-section II.1.4.2), le concept de séquence est souvent utilisée dans les articles traitant de la conception et du contrôle des machines asynchrones polyphasées. Par exemple, dans [2], la méthode des séquences de composantes symétriques (sequence sets of the symmetrical component method) est utilisée pour analyser le comportement d'une machine asynchrone en présence d'harmoniques de courant. Dans [25], pour le contrôle, la machine asynchrone polyphasée est divisée en plusieurs plans (groupant les séquences $\overrightarrow{f_u^N}$ et $\overrightarrow{f_{N-u}^N}$) dont l'utilisation par injection harmonique de courant améliore le couple. Le concept de séquence est particulièrement adapté à l'étude de la commutation électronique de pôles possible sur les machines polyphasées [26], sujet des thèses d'Hussein Zahr [ThS-3] et d'Abdelhak Mekahlia [ThS-6]. De plus, cette approche est utile à la définition de stratégie de contrôle pour compenser des modes vibratoires sur des machines polyphasées [27].

Dans ce mémoire, le concept de séquence d'alimentation est initialement introduit dans la sous-section II.1.4.2 : alimenter un bobinage N-phasé (régulier) à la séquence u consiste à faire circuler dans les enroulements un courant polyphasé sinusoïdal avec un déphasage de
<figure><img src="image_627.png" /></figure>

Expression finale de l'image de la séquence d'encoche d'ordre $v$

$$ \mathcal{D} \left( \overrightarrow{f_v^Q} \right) = \begin{cases} \sqrt{\frac{Q}{N}} \overrightarrow{K_v f_u^N} & \text{si } v \in F_u \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$

* $F_u$ ensemble des harmoniques d'espace arithmétiquement générés par la séquence d'alimentation $u$

$$ F_u = pu + N \frac{Q}{Q^+} \mathbb{Z} (Q^+ \text{ nombre d'encoches de base}) $$

* $K_v$ coefficient de bobinage complexe, TFD du vecteur de distribution d'une phase $\overrightarrow{d_0^Q}$

$$ K_v = \frac{Q}{N} F_Q \left\{ \overrightarrow{d_0^Q} \right\}_v^* \rightarrow \text{utilisation très simple [RI-18]} $$

<figure><img src="image_628.png" /></figure>
$u2\pi/N$ entre deux phases consécutives. Pour un bobinage donné, par conception, les bornes de l'induit sont repérées de sorte que, si les enroulements portent des courants polyphasés sinusoïdaux temporels avec un déphasage angulaire de $2\pi/N$ entre deux phases repérées $n$ et $n-1$ sur le bornier, alors la force magnétomotrice résultante génère la polarité nominale de la machine notée $p$. Cela signifie qu'une alimentation polyphasée temporelle sinusoïdale en courant à la séquence $u=1$ est liée, par conception, à la polarité $p$. La séquence $u=1$ correspond alors à la séquence de base ou séquence fondamentale. Il est à noter que la séquence $u=N-1$ est aussi liée à la polarité $p$ mais avec une vitesse d'onde opposée. Ces résultats sont bien connus pour une machine triphasée ($N=3$).

Dans l'expression mathématique du courant polyphasé sinusoïdal de séquence $u$ (II.37), l'entier $u$ est équivalent aux entiers naturels $u + \mathbb{Z}N$. Par cette perspective, il peut être considéré que la séquence $u$ est liée à une infinité de séquences dites additionnelles d'ordre $u + \mathbb{Z}N$. Par exemple, pour $N=3$, la séquence fondamentale ($u=1$) est liée à l'ensemble des séquences additionnelles suivantes : $\{\dots, -5, -2, 4, 7, 10, \dots\}$. En d'autres termes, excepté dans le cas théorique d'un nombre de phases infini, il est impossible de générer une séquence sans sa série de séquences dites additionnelles.

### II.3.1.2 Propriété de recouvrement spectral

Pour un objectif de conception classique, alimenté par un courant polyphasé sinusoïdal, le bobinage idéal génère une onde de force magnétomotrice parfaitement sinusoïdale. Cependant, en raison de la distribution des conducteurs sur un nombre fini d'encoches $Q$ régulièrement réparties, l'onde de force magnétomotrice présente un effet de discrétisation formalisée par la relation suivante :

$$x(\theta) = \sin \theta \quad \mapsto \quad x_d(\theta) = \sum_{q=0}^{Q-1} \sin \left( q \frac{2\pi}{Q} \right) \Pi_{\frac{2\pi}{Q}} \left( \theta + q \frac{2\pi}{Q} \right) \quad (II.96)$$

Dans (II.96), $x(\theta)$ représente la force magnétomotrice sinusoïdale idéale pour une position donnée $\theta$ à un instant quelconque (non paramétré car inutile à la description du phénomène). $x_d(\theta)$ est la force magnétomotrice effective, résultant de la distribution finie des termes sources : $\Pi_{\frac{2\pi}{Q}}$ est le signal porte de largeur égale au pas d'encoches $2\pi/Q$. $x_d$ est une sinusoïde bloquée à l'ordre 0 de fréquence $Q$.

La figure II.12 illustre cet effet de discrétisation pour un nombre d'encoches égal à 6 (qui pourrait convenir pour un bobinage triphasé à $s_{pp} = 1$) et pour un nombre d'encoches égal à 15 (qui pourrait convenir pour un bobinage pentaphasé ou triphasé). L'augmentation du nombre d'encoches atténue l'effet de discrétisation.

La DSF du signal $x_d$ peut être explicitée :

$$x_d(\theta) = \sum_{h=-\infty}^{+\infty} \langle \widehat{x_d}_h \rangle e^{jh\theta} \quad \text{avec} \quad \langle \widehat{x_d}_h \rangle = \begin{cases} \text{sinc} \left( \frac{h\pi}{Q} \right) & \text{si } h \in 1 + \mathbb{Z}Q \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \quad (II.97)$$

(II.97) montre que le signal $x_d$ est composé d'harmoniques de rang particulier : $|1+kQ|$ avec $k$ entier naturel. Les relations (II.96) et (II.97) s'appliquent également à une onde de force
<figure><img src="image_629.png" /></figure>

Exemple de la distribution fractionnaire (N, p, Q) = (5, 3, 20)

$$
D\left(\vec{f_v^{20}}\right) = \begin{cases} 2K_v \vec{f_u^5} & \text{si } v \in F_u \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}
$$

$$
\overrightarrow{f_0^{20}} \quad \overrightarrow{f_1^{20}} \quad \overrightarrow{f_2^{20}} \quad \overrightarrow{f_3^{20}} \quad \overrightarrow{f_4^{20}} \quad \overrightarrow{f_5^{20}} \quad \overrightarrow{f_6^{20}} \quad \overrightarrow{f_7^{20}} \quad \overrightarrow{f_8^{20}} \quad \overrightarrow{f_9^{20}} \quad \overrightarrow{f_{10}^{20}} \quad \overrightarrow{f_{11}^{20}} \quad \overrightarrow{f_{12}^{20}} \quad \overrightarrow{f_{13}^{20}} \quad \overrightarrow{f_{14}^{20}} \quad \overrightarrow{f_{15}^{20}} \quad \overrightarrow{f_{16}^{20}} \quad \overrightarrow{f_{17}^{20}} \quad \overrightarrow{f_{18}^{20}} \quad \overrightarrow{f_{19}^{20}}
$$

$$
\overrightarrow{f_0^5} \quad \overrightarrow{f_1^5} \quad \overrightarrow{f_2^5} \quad \overrightarrow{f_3^5} \quad \overrightarrow{f_4^5}
$$

<figure><img src="image_630.png" /></figure>

<figure><img src="image_631.png" /></figure>

<figure><img src="image_632.png" /></figure>

<figure><img src="image_633.png" /></figure>

<figure><img src="image_634.png" /></figure>

<figure><img src="image_635.png" /></figure>

<figure><img src="image_636.png" /></figure>
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE II.12 — Effet de discrétisation de la FMM idéale par l'encochage</figcaption></figure>

magnétomotrice de fréquence $v$. Formellement, il vient :

$$x_v(\theta) = \sin(v\theta) \quad \mapsto \quad x_{v,d}(\theta) = \sum_{q=0}^{Q-1} \sin\left(vq\frac{2\pi}{Q}\right) \Pi_{\frac{2\pi}{Q}}\left(\theta + q\frac{2\pi}{Q}\right) \quad (II.98)$$

La DSF du signal $x_v$ met en évidence la composition particulière d'harmoniques :

$$x_{v,d}(\theta) = \sum_{h=-\infty}^{+\infty} \widehat{(x_{v,d})}_h e^{j h \theta} \quad \text{avec} \quad \widehat{(x_{v,d})}_h = \begin{cases} \sinh\left(\frac{vh\pi}{Q}\right) & \text{si } h \in v + \mathbb{Z}Q \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \quad (II.99)$$

Cette composition particulière est illustrée par la figure II.13 pour une une force magnétomotrice générée depuis un bobinage distribué sur $Q = 10$ encoches. La courbe II.13a montre la série d'harmoniques constituant l'onde fondamentale alors la courbe II.13b exhibe la série d'harmoniques pour l'onde d'ordre trois.

Selon la théorie de Shannon, pour un nombre d'encoches $Q$ donné, la fréquence de la sinusoïde pouvant être générée est limitée par $v_{max}$ :

$$v_{max} = \frac{Q - \text{mod}(Q, 2)}{2} \quad (II.100)$$

La relation (II.99) montre que l'ensemble des harmoniques générés par les sinusoïdes de fréquence $v$ avec $v$ compris entre 1 et $v_{max}$ définit une distribution sur l'ensemble des entiers relatifs. En d'autres termes, un harmonique de rang $h$ donné est généré par une et une seule sinusoïde de rang $v$ donné. Plus particulièrement, la relation (II.99) justifie notamment l'impossibilité pour un bobinage dentaire à $Q$ encoches et $Q$ phases de générer un harmonique d'espace de rang supérieur à $Q/2$.

Pour la suite, il est utile de formaliser cette propriété. Si $S_v^Q$ désigne le spectre de la
<figure><img src="image_637.png" /></figure>

Exemple de la distribution fractionnaire (N, p, Q) = (5, 3, 20)

$$ \{ \vec{f}_0^{20}, \vec{f}_2^{20}, \dots, \vec{f}_{18}^{20} \} \mapsto \vec{0}^N $$

$$ D(\vec{f}_v^{20}) = \begin{cases} 2K_v \vec{f}_u^5 & \text{si } v \in F_u \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$

$$ \vec{f}_1^{20} $$

$$ \vec{f}_3^{20} $$

$$ \vec{f}_5^{20} $$

$$ \vec{f}_7^{20} $$

$$ \vec{f}_9^{20} $$

$$ \vec{f}_{11}^{20} $$

$$ \vec{f}_{13}^{20} $$

$$ \vec{f}_{15}^{20} $$

$$ \vec{f}_{17}^{20} $$

$$ \vec{f}_{19}^{20} $$

$$ \vec{f}_0^5 $$

$$ \vec{f}_1^5 $$

$$ \vec{f}_2^5 $$

$$ \vec{f}_3^5 $$

$$ \vec{f}_4^5 $$

<figure><img src="image_638.png" /></figure>

<figure><img src="image_639.png" /></figure>

<figure><img src="image_640.png" /></figure>

<figure><img src="image_641.png" /></figure>

<figure><img src="image_642.png" /></figure>

<figure><img src="image_643.png" /></figure>
<figure><img src="image_26.png" /></figure>

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE II.13 — Harmoniques spatiaux générés par une distribution sur 10 encoches</figcaption></figure>

sinusoïde de fréquence $v$ discrétisée à une fréquence $Q$, selon (II.99), il vient :

$$h \in S_v^Q = \{v + \mathbb{Z}Q\} \Leftrightarrow h = \text{mod}(v, Q) \qquad (II.101)$$

La figure II.14 montre que la prise en compte de l'ouverture d'encoche dans le calcul de la force magnétomotrice ne modifie pas la composition harmonique : seule une atténuation de l'amplitude de l'harmonique avec le rang est observé.

### II.3.1.3 Harmoniques spatiaux générés par une séquence

Par définition, la séquence de base ($u = 1$) correspond à l'alimentation nominale en courant (c'est-à-dire à l'alimentation par des courants sinusoïdaux consécutivement déphasés de $2\pi/N$) et doit générer l'onde d'ordre $p$ (comme exposé dans la sous-section II.3.1.1). Cependant, en raison de la distribution des conducteurs sur un nombre fini d'encoches, un ensemble d'harmoniques spatiaux est généré par effet de recouvrement spectral (comme montré dans la sous-section II.3.1.2). Ce recouvrement spectral est nécessairement lié à la périodicité spatiale de la distribution de bobinage, c'est-à-dire au nombre d'encoches de base $Q^+$. Généralement, le nombre d'encoches de base $Q^+$ est égal au nombre d'encoches réduit $Q'$, ce qui signifie que la polarité réduite $p'$ est générée depuis $Q'$ encoches. Cependant, si le nombre d'encoches de base $Q^+$ est égal au double du nombre réduit d'encoches $Q'$ (dans le cas d'un bobinage FS-2 mono-couche), alors il faut considérer que l'harmonique $2p'$ est généré depuis $2Q'$ encoches, ce qui modifie l'effet du recouvrement spectral par rapport au cas général. Les deux cas doivent donc être distingués a priori. Dans la suite, pour simplifier l'analyse, le cas général $Q^+ = Q'$ est d'abord examiné. Ensuite, le cas particulier $Q^+ = 2Q'$ est caractérisé par analogie formelle avec le cas $Q^+ = Q'$. Au final, une conclusion générale sur l'ensemble des harmoniques spatiaux générés par une séquence donnée est formulée.

**Cas $Q^+ = Q'$**

Les bobinages IS, FS-1 mono-couche, FS-1 double-couche et FS-2 double couche vérifient la propriété $Q^+ = Q'$. Ainsi, si la séquence $u$ est considérée, l'harmonique spatial d'ordre $p'u$
<figure><img src="image_644.png" /></figure>

# Contribution à la modélisation du bobinage

Perception fréquentielle : concept de séquences

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle :
concept de
 séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

Exemple de la distribution fractionnaire (N, p, Q) = (5, 3, 20)

$$
D\left(\overrightarrow{f_v^{20}}\right) = \begin{cases} 2K_v \overrightarrow{f_u^5} & \text{si } v \in F_u \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}
\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{f_0^{20}}, \overrightarrow{f_2^{20}}, \dots, \overrightarrow{f_{18}^{20}} \\ \overrightarrow{f_5^{20}}, \overrightarrow{f_{15}^{20}} \end{array} \right\} \mapsto \overrightarrow{0^N}
$$

<figure><img src="image_645.png" /></figure>

<figure><img src="image_646.png" /></figure>
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE II.14 — Décomposition harmonique d'un signal de FMM sans ou avec l'ouverture d'encoche ($Q = 10$ et $v = 1$)</figcaption></figure>

est généré depuis $Q'$ encoches. Ainsi, selon la propriété de recouvrement spectral (II.101), la séquence $u$ génère l'ensemble des harmoniques de rang $v$ vérifiant la relation suivante :

$$v = G \mod(p'u, Q') \qquad (II.102)$$

Comme précisé dans la sous-section II.3.1.1, la séquence $u$ est liée à une infinité de séquences additionnelles $u + \mathbb{Z}N$. L'ensemble de base $F_{b,u}$ est alors introduit : $F_{b,u}$ liste les rangs des harmoniques spatiaux générés par la séquence $u$ mais de rangs compris entre 0 and $GQ' - 1$ :

$$F_{b,u} = \{ G \mod(p'(u + kN), Q'), k \in \left[0..\frac{Q'}{N} - 1\right] \} \qquad (II.103)$$

L'ensemble $F_{b,u}$ contient exactement $Q'/N$ éléments. L'ensemble complet des rangs spatiaux générés par la séquence $u$, noté $F_u$, est obtenu en complétant l'ensemble de base $F_{b,u}$ par périodicité sur le nombre d'encoches $Q$ :

$$F_u = F_{b,u} + \mathbb{Z}Q \qquad (II.104)$$

L'ensemble des listes de rang spatiaux $F_u$ pour $u \in [0..N - 1]$ est une distribution de l'ensemble des entiers relatifs $G\mathbb{Z}$, ce qui signifie que :

* seuls les rangs multiples de $G$ sont générés,

* un rang donné $v$ est généré par une seule séquence $u$.
<figure><img src="image_647.png" /></figure>

# Contribution à la modélisation du bobinage

Perception fréquentielle : concept de séquences

Exemple de la distribution fractionnaire $(N, p, Q) = (5, 3, 20)$

$$ D(\vec{f}_v^2) = \begin{cases} \{\overrightarrow{f_0^2}, \overrightarrow{f_2^2}, \dots, \overrightarrow{f_{18}^2}\} \mapsto \overrightarrow{0^N} \\ \{\overrightarrow{f_5^2}, \overrightarrow{f_{15}^2}\} \mapsto \overrightarrow{f_0^5} \\ \{\overrightarrow{f_3^2}, \overrightarrow{f_{13}^2}\} \mapsto \overrightarrow{f_1^N}, \{\overrightarrow{f_7^2}, \overrightarrow{f_{17}^2}\} \mapsto \overrightarrow{f_4^5} \\ 0 \qquad \text{si } v \in F_u \\ \text{sinon} \end{cases} $$

Bilan

d'activité

Contribution à
la
modélisation

du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle
concept de
 séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

<figure><img src="image_648.png" /></figure>

<figure><img src="image_649.png" /></figure>

<figure><img src="image_650.png" /></figure>

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<figure><img src="image_652.png" /></figure>

<figure><img src="image_653.png" /></figure>

<figure><img src="image_654.png" /></figure>
Les rangs des harmoniques spatiaux sont signés de sorte à restituer le sens de rotation. L'antisymétrie existantes entre les séquence $u$ et $N-u$ est à noter :

$$F_u = -F_{N-u} \qquad (II.105)$$

Si le bobinage est alimenté avec la séquence $u$, l'harmonique d'espace d'ordre $up$ est généré. Ce rang $up$ est alors considéré comme rang de référence pour la séquence $u$. Le premier harmonique d'espace pour la séquence $u$, noté $p_u$, est ainsi introduit :

$$p_u = G \mod(p'u, Q') \qquad (II.106)$$

Le premier harmonique d'espace $p_u$ est à considérer comme l'harmonique de travail pour la séquence $u$, c'est-à-dire l'harmonique d'espace susceptible de générer un couple. Par exemple, pour la séquence fondamentale $u = 1$, la relation (II.106) donne $p_1 = p$. Il peut être noté que cette notion de premier harmonique d'espace pour la séquence $u$ correspond à la notion de nombre primaire de paires de pôles (primary generated pole pairs) pour une séquence donnée introduite dans [28]. Cependant, la définition ici proposée (II.106) diffère pour les séquence $u$ paires : la référence [28] traitant de distributions de bobinage IS anti-périodiques à nombre de phases $N$ impair, l'harmonique spatial $p'u$ est d'amplitude nul si $u$ est pair (le coefficient de bobinage associé étant alors nul) et les auteurs associent alors aux séquences pairs le nombre primaire de paires de poles $p'(N-u)$. Les relations (II.103) et (II.104) permettent de montrer la propriété suivante :

$$(v, w) \in F_u^2 \implies v - w \in \mathbb{Z}GN \qquad (II.107)$$

Si la propriété (II.107) est utilisée en considérant le premier harmonique d'espace $p_u$ et un rang harmonique $v$ quelconque, une nouvelle expression pour la liste de rang spatiaux $F_u$ est mise en évidence :

$$F_u = p_u + \mathbb{Z}GN \qquad (II.108)$$

### Cas $Q^+ = 2Q'$

Le bobinage FS-2 mono-couche vérifie cette propriété particulière $Q^+ = 2Q'$. Dans ce cas, $G$ est nécessairement pair, ce qui implique donc que $G/2$ est un entier. Comme l'harmonique d'ordre $2p'$ est généré depuis $2Q'$ encoches, tous les développements et résultats établis dans le cas $Q' = Q^+$ peuvent être repris si l'analogie formelle suivante est effectuée pour les relations (II.102), (II.103), (II.106), (II.107) et (II.108) :

$$(G, p', Q') \mapsto (G/2, 2p', 2Q') \qquad (II.109)$$

Finalement, la différence principale concerne l'ensemble de base pour la séquence $u$, $F_{b,u}$, constitué comme suit :

$$F_{b,u} = \left\{ \frac{G}{2} \mod(2p'(u + kN), 2Q'), k \in \left[0, \frac{2Q'}{N} - 1\right] \right\} \qquad (II.110)$$

Considérant (II.110), la propriété (II.104) implique que, pour le cas $Q^+ = 2Q'$, les harmoniques spatiaux multiples de $G/2$ sont générés. En d'autres termes, par rapport au cas $Q^+ = Q'$, deux fois plus d'harmoniques spatiaux sont générés.
<figure><img src="image_655.png" /></figure>

# Contribution à la modélisation du bobinage

## Perception fréquentielle : concept de séquences

Bilan

d'activité

Contribution à
la

modélisation
du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle
concept de
 séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

Exemple de la distribution fractionnaire (N, p, Q) = (5, 3, 20)

$$
D(\vec{f}_v) = \begin{cases} \frac{2K_v \vec{f}_u}{0} & \text{si } v \in F_u \\ \frac{\vec{f}_0^{20}, \vec{f}_2^{20}, \dots, \vec{f}_{18}^{20}}{0} & \text{sinon} \end{cases} \mapsto \vec{0}^N
$$

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II.3.1.4 Bilan

Si les relations (II.106) et (II.108) sont considérés dans les deux cas, l'ensemble complet des rangs spatiaux générés par la séquence $u$, $F_u$, peut s'exprimer de la façon suivante :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} F_u = G [\mod(p'u, Q') + \mathbb{Z}N] & \text{si } Q' = Q^+ \\ F_u = \frac{G}{2} [\mod(2p'u, 2Q') + \mathbb{Z}N] & \text{si } 2Q' = Q^+ \end{array} \right. \qquad (II.111) $$

Considérant (II.4) et (II.111), une formulation compacte (et facilement implémentable) peut être trouvée :

$$ F_u = \mod(pu, Q) + N \frac{Q}{Q^+} \mathbb{Z} \qquad (II.112) $$

Enfin, une dernière expression ne faisant plus implicitement référence au premier d'harmonique d'espace $p_u = \mod(pu, Q)$ pour la séquence $u$ peut être établie. Il suffit d'exploiter le fait que, quel que soit le type bobinage, le nombre d'encoches $Q$ est nécessairement divisible par $NQ/Q^+$. Donc la relation (II.112) spécifiant la liste des harmoniques spatiaux générés par la séquence $u$ peut s'écrire :

$$ F_u = pu + N \frac{Q}{Q^+} \mathbb{Z} \qquad (II.113) $$

L'ensemble $F_u$ défini par la relation (II.113) est bien le même que celui défini par les relations (II.46) et (II.47) établies lors de l'analyse de l'application linéaire de distribution de bobinage $\mathcal{D}$. L'expression (II.113), plus directe, résulte d'une meilleure prise en compte a priori des propriétés arithmétiques de la distribution du bobinage.

La relation (II.113) peut être appliquée aux bobinages à nombre d'encoches par paire de pôles et par phase entier ($2s_{pp} \in \mathbb{N}$). Pour ces bobinages, le nombre d'encoches de base $Q^+$ est égal au nombre réduit d'encoches $Q'$. L'utilisation de (II.5) permet de préciser la liste de harmoniques spatiaux générés par la séquence d'alimentation $u$ :

$$ 2s_{pp} \in \mathbb{N} \implies F_u = p(u + N\mathbb{Z}) \qquad (II.114) $$

La relation (II.114) confirme et formalise la propriété de non génération de sous-harmoniques spatiaux déjà établis dans la sous-section II.1.1.3 : pour la séquence $u$, si le facteur de bobinage d'ordre $pu$ est non nul, le fondamental d'espace est $pu$ et le premier harmonique d'espace est $p(N - u)$. Il est ainsi illustré qu'augmenter le nombre de phases $N$ permet de rendre les ondes de basse séquence plus sinusoïdales.

## II.3.2 Analyse de ondes de densité linéique de courant et de FMM

Dans cette section, il est montré comment le concept de familles d'harmoniques d'espace permet de prédire les caractéristiques des ondes de densité de courant ou de force magnétomotrice (FMM) générées par une séquence d'alimentation donnée. Tout d'abord, la densité linéique est calculée pour un courant de séquence donnée, ce qui permet de définir le concept de bobinage virtuel, restriction du bobinage aux harmoniques d'espace de la séquence considérée. Les ondes de densité linéique de courant et de force magnétomotrice sont ensuite évaluées dans l'hypothèse d'une alimentation en courant polyphasée sinusoïdale. Le principe d'excitation sinusoïdale temporelle multiple et sa manifestation ondulatoire sont ensuite décrits. Enfin, la notion classique d'harmoniques électriques ou de temps est remise en perspective
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Exemple de la distribution fractionnaire $(N, p, Q) = (5, 3, 20)$

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par rapport à la séquence d'alimentation et à la génération des trains d'onde.

II.3.2.1 Densité linéique de courant sur séquence u

Par définition, la densité linéique de courant est obtenue en sommant sur l'ensemble des phases les produits de densité linéique de conducteurs $D_n(\theta)$ par les courants de phase :

$$ \mathcal{K}(\theta, \theta_e) = \sum_{n=0}^{N-1} D_n(\theta) i_n(\theta_e) \qquad (II.115) $$

Le courant est supposé de séquence $u$. En notant $I_u$ la valeur efficace du courant, le courant de phase $n$ s'exprime :

$$ i_n(\theta_e) = I_u \sqrt{2} \cos \left( \theta_e + u n \frac{2\pi}{N} \right) = \frac{I_u}{\sqrt{2}} \left( e^{j(\theta_e + u n \frac{2\pi}{N})} + e^{-j(\theta_e + u n \frac{2\pi}{N})} \right) \qquad (II.116) $$

La densité de conducteurs de la phase $n$ s'exprime considérant sa décomposition en série de Fourier précisée par (II.61) et (II.51) pour l'adaptation d'unité :

$$ D_n(\theta) = \frac{n_{cd}}{2\pi R} \sum_{v=-\infty}^{+\infty} \text{sinc}\left(v\frac{\epsilon}{2}\right) \mathcal{F}_Q\left\{\overrightarrow{d_n}\right\}_v e^{jv\theta} \qquad (II.117) $$

Les relations (II.116) et (II.117) sont utilisées pour calculer la densité linéique de courant définie par (II.115) pour la séquence d'alimentation $u$ :

$$ \mathcal{K}(\theta, \theta_e) = \frac{n_{cd} I_u}{2\pi R \sqrt{2}} \sum_{v=-\infty}^{+\infty} \left( \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{q=0}^{Q-1} d_{n,q} e^{-j \frac{2\pi}{Q} vq} e^{j \frac{2\pi}{N} un} \right) \text{sinc}\left(v\frac{\epsilon}{2}\right) e^{j(v\theta + \theta_e)} \\ + \frac{n_{cd} I_u}{2\pi R \sqrt{2}} \sum_{v=-\infty}^{+\infty} \left( \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{q=0}^{Q-1} d_{n,q} e^{-j \frac{2\pi}{Q} vq} e^{-j \frac{2\pi}{N} un} \right) \text{sinc}\left(v\frac{\epsilon}{2}\right) e^{j(v\theta - \theta_e)} \qquad (II.118) $$

Dans (II.118), les termes entre parenthèses s'identifient aux coefficients $k_{u,v}$ définis par (II.44). Il vient alors :

$$ \mathcal{K}(\theta, \theta_e) = \frac{n_{cd} I_u}{2\pi R \sqrt{2}} \sum_{v=-\infty}^{+\infty} \sqrt{NQ} k_{u,v}^* \text{sinc}\left(v\frac{\epsilon}{2}\right) e^{j(v\theta + \theta_e)} \\ + \frac{n_{cd} I_u}{2\pi R \sqrt{2}} \sum_{v=-\infty}^{+\infty} \sqrt{NQ} k_{u,-v} \text{sinc}\left(v\frac{\epsilon}{2}\right) e^{j(v\theta - \theta_e)} \qquad (II.119) $$

Finalement, la densité linéique de courant (II.119) prend la forme suivante :

$$ \mathcal{K}(\theta, \theta_e) = \frac{n_{cd} I_u \sqrt{2}}{2\pi R} \sqrt{NQ} \sum_{v=-\infty}^{+\infty} |k_{u,v}| \text{sinc}\left(v\frac{\epsilon}{2}\right) \cos(v\theta + \theta_e - \arg[k_{u,v}]) \qquad (II.120) $$
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Exemple de la distribution fractionnaire (N, p, Q) = (5, 3, 20)

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Cette expression (II.120) montre que les harmoniques d'espace générés par l'alimentation à la séquence $u$ sont déterminés par les coefficients $k_{u,v}$. Pour l'application linéaire de distribution $\mathcal{D}$, ceci formalise le lien entre les séquences d'encoches $\overrightarrow{f_v^Q}$ et les harmoniques d'espace de la densité de conducteurs, pilotés par la séquence d'alimentation $\overrightarrow{f_u^N}$.

### II.3.2.2 Concept de bobinage virtuel

La relation (II.120) exhibe la densité linéique de courant résultant de l'alimentation du bobinage à la séquence $u$. Le contenu harmonique spatial est déterminé par les valeurs de $k_{u,v}$. La relation (II.89) permet de préciser la valeur du coefficient $k_{u,v}$ en fonction du facteur de bobinage complexe :

$$k_{u,v} = \begin{cases} \sqrt{\frac{Q}{N}} \frac{K_v^*}{K_v} & \text{si } v \in F_u \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \qquad (II.121)$$

Si (II.121) est injecté dans (II.120), la densité linéique de courant pour la séquence $u$ s'exprime en fonction des facteurs de bobinage $\underline{K_v}$ :

$$\mathcal{K}(\theta, \theta_e) = \frac{Qn_{cd}I_u}{2\pi R} \sqrt{2} \sum_{v \in F_u} |\underline{K_v}| \text{sinc}\left(v\frac{\epsilon}{2}\right) \cos\left(v\theta + \theta_e + \arg \underline{K_v}\right) \qquad (II.122)$$

En résultat fondamental, la relation (II.122) signifie qu'à la séquence d'alimentation $u$, seuls les harmoniques d'espace de $F_u$ répondent : le bobinage se comporte donc comme un bobinage virtuel équivalent, restriction du bobinage réel aux harmoniques spatiaux de $F_u$. La densité de conducteurs de ce bobinage virtuel de séquence $u$, notée $D_{/F_u}$, se détermine en supposant le courant de séquence constant égal à un ampère crête (soit $I_u\sqrt{2} = 1/\sqrt{2N}$ et $\theta_e = 0$ dans (II.122)) :

$$D_{/F_u}(\theta) = \frac{Qn_{cd}}{2\pi R} \sum_{v \in F_u} \frac{1}{\sqrt{2N}} |\underline{K_v}| \text{sinc}\left(v\frac{\epsilon}{2}\right) \cos\left(v\theta + \arg \underline{K_v}\right) \qquad (II.123)$$

Un expression plus compacte de (II.123) reprenant l'expression du coefficient de Fourier complexe $(\widehat{D_0})_v$ dans (II.91) peut être exhibée :

$$D_{/F_u}(\theta) = \sum_{v \in F_u} \sqrt{\frac{N}{2}} |\widehat{(D_0)}_v| \cos \left( v\theta + \arg \left[ \widehat{(D_0)}_v \right] \right) \qquad (II.124)$$

De façon semblable à la densité linéique de courant, la force magnémotrice (FMM) est la somme des produits des fonctions de bobinage de phase par les courants de phase :

$$\mathcal{F}(\theta, \theta_e) = \sum_{n=0}^{N-1} W_n(\theta) i_n(\theta_e) \qquad (II.125)$$

La fonction de bobinage étant liée à la fonction de distribution de conducteurs par une relation de dérivation, la force magnétomotrice induite par la séquence $u$ peut se calculer en intégrant
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Exemple de la distribution fractionnaire (N, p, Q) = (5, 3, 20)

FMM à u = 1

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le densité de conducteurs (II.122) :

$$ \mathcal{F}(\theta, \theta_e) = \frac{Qn_{cd}I_u}{2\pi} \sqrt{2} \sum_{v \in F_u} \left| \frac{K_v}{v} \right| \sinc \left( v\frac{\epsilon}{2} \right) \cos \left( v\theta + \theta_e + \arg \frac{K_v}{v} - \frac{\pi}{2} \right) \quad (II.126) $$

De même que pour la distribution, il est utile d'identifier dans (II.126) la fonction de bobinage virtuel $W_{/F_u}$ correspondant à la réponse spatiale du bobinage à la séquence $u$ (pour un ampère crête et $\theta_e = 0$) :

$$ W_{/F_u}(\theta) = \sum_{v \in F_u} \sqrt{\frac{N}{2}} \left| \widehat{(W_0)_v} \right| \cos \left( v\theta + \arg \left[ \widehat{(W_0)_v} \right] \right) \quad (II.127) $$

Le bobinage virtuel représente donc la réaction du bobinage à la séquence d'alimentation $u$. A un instant donné (pour un angle électrique donné), quelles que soient les valeurs des courants de phase, le vecteur courant de phase se décompose dans la base de Fortescue (ou base des séquences). Par conséquent, à tout instant, quelle que soit l'alimentation, le bobinage réel peut être représenté par la superposition de ses bobinages virtuels, le bobinage virtuel de séquence $u$ en étant la restriction aux harmoniques spatiaux de $F_u$.

### II.3.2.3 Alimentation sinusoïdale temporelle en courant

L'évolution du courant de phase avec le temps est désormais considérée. Le courant est supposé polyphasé sinusoïdal avec le temps avec un déphasage de $u2\pi/N$ entre deux phases consécutives. Dans ce cas, l'angle électrique $\theta_e$ évolue linéairement avec le temps. En notant $\omega_u$ la pulsation électrique et $\varphi_u$ le retard du courant par rapport à l'origine des temps, la pulsation électrique peut s'exprimer comme suit :

$$ \theta_e = -\omega_u t + \varphi_u \quad (II.128) $$

Cette alimentation sinusoïdale en temps revient à solliciter la séquence $u$ avec une amplitude constante et un angle évoluant linéairement avec le temps.

La relation (II.122) permet d'exprimer l'onde de densité linéique de courant :

$$ \mathcal{K}(\theta, t) = \frac{Qn_{cd}I_u}{2\pi R} \sqrt{2} \sum_{v \in F_u} \left| \frac{K_v}{v} \right| \sinc \left( v\frac{\epsilon}{2} \right) \cos \left( v\theta - \omega_u t + \varphi_u + \arg \frac{K_v}{v} \right) \quad (II.129) $$

De même, l'onde de FMM peut s'exprimer depuis (II.126) :

$$ \mathcal{F}(\theta, t) = \frac{Qn_{cd}I_u}{2\pi} \sqrt{2} \sum_{v \in F_u} \left| \frac{K_v}{v} \right| \sinc \left( v\frac{\epsilon}{2} \right) \cos \left( v\theta - \omega_u t + \varphi_u + \arg \frac{K_v}{v} - \frac{\pi}{2} \right) \quad (II.130) $$

Dans (II.129), le coefficient de charge linéique classique, généralement considéré pour estimer sommairement le comportement thermique de la machine, peut être identifié. Ce coefficient, notée $A_u$, est lié à la séquence d'alimentation $u$, caractérisée par le courant sinusoïdal de valeur efficace $I_u$ :

$$ A_u = \frac{Qn_{cd}I_u}{2\pi R} \quad (II.131) $$
<figure><img src="image_873.png" /></figure>

Exemple de la distribution fractionnaire (N, p, Q) = (5, 3, 20)

FMM à $u = 1$

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Ainsi, l'onde de densité de courant en excitation sinusoïdale de séquence $u$ (II.129) peut être formulée comme suit :

$$ \mathcal{K}(\theta, t) = A_u \sqrt{2} \sum_{v \in F_u} |K_v| \sinc\left(v \frac{\epsilon}{2}\right) \cos\left(v\theta - \omega_u t + \varphi_u + \arg K_v\right) \quad (II.132) $$

La relation (II.132) suggère les commentaires suivants :

* le sens de propagation de l'onde d'ordre $v$ est déterminé par le signe de $v$,

* l'annulation éventuelle de l'harmonique spatial d'ordre $v$ est totalement conditionnée par les propriétés géométriques de la distribution de bobinage décrite par le coefficient de bobinage complexe $K_v$.

Ce dernier point signifie que $F_u$ liste les rangs harmoniques susceptibles d'être générés par la séquence $u$ (ce qui définit le bobinage virtuel de séquence $u$). Les particularités géométriques de la distribution de bobinage (comme l'anti-périodicité par exemple) annule certains facteurs de bobinage, ce qui éteint l'onde associée. L'exemple d'un bobinage entier (IS) de polarité nominale $p$ permet de cerner cet effet. Dans ce cas, comme $G = p$, seuls les harmoniques d'espace multiples de $p$ sont générés (pas de sous-harmoniques d'espace). Si la distribution est du type diamétral (c'est-à-dire composée de bobines à épanouissement polaire), alors la distribution est anti-symétrique, ce qui justifie l'annulation des harmoniques d'espace d'ordre $2p\mathbb{Z}$. A contrario, si les bobines sont à pas réduit, alors tous les harmoniques d'ordre $p\mathbb{Z}$ sont a priori générés.

L'hypothèse classique dite du premier harmonique d'espace consiste à considérer la relation (II.132) pour la séquence fondamentale $u = 1$ avec la famille d'harmoniques spatiaux $F_1$ réduite au seul harmonique spatial d'ordre $p$ :

$$ \mathcal{K}(\theta, t) \approx A_1 \sqrt{2} \left|K_p\right| \sinc\left(p \frac{\epsilon}{2}\right) \cos\left(p\theta - \omega_1 t + \varphi_1 + \arg K_p\right) \quad (II.133) $$

Enfin, l'expression (II.132) est générale et couvre donc le cas d'une alimentation par la séquence homopolaire. La liste $F_0$ étant symétrique, le train d'ondes se décompose alors en paires d'ondes identiques mais de vitesses opposées, ce qui supprime le caractère progressif de l'onde globale.

### II.3.2.4 Excitation sinusoïdale multiple d'une unique séquence

Sous hypothèse d'alimentation sinusoïdale en temps, la séquence $u$ génère un train d'harmoniques spatiaux dont les vitesses sont imposées par la pulsation $w_u$. En cas d'excitations sinusoïdales temporelles multiples de la séquence $u$, l'harmonique spatial d'ordre $v$ est généré autant de fois que la séquence $u$ est allumée à des pulsations différentes. Cette propriété peut être illustrée en considérant le cas de la séquence $u$ allumée à la pulsation $\omega_u$ et à la pulsation $\omega'_u$. Dans ce cas, le courant de phase $n$ s'exprime :

$$ i_n(t) = I_u \sqrt{2} \cos \left( \omega_u t - \varphi_u + un \frac{2\pi}{N} \right) + I'_u \sqrt{2} \cos \left( \omega'_u t - \varphi'_u + un \frac{2\pi}{N} \right) \quad (II.134) $$
<figure><img src="image_884.png" /></figure>

Exemple de la distribution fractionnaire (N, p, Q) = (5, 3, 20)

FMM à $u = 1$

<figure><img src="image_885.png" /></figure>

<figure><img src="image_886.png" /></figure>

$$F_1 = \{\dots - 17, -12, -7, -2, 3, 8, 13, 18\dots\}$$

Bilan

d'activité

Contribution à
la
modélisation

du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle :
concept de
 séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

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En supposant un comportement linéaire du système, la relation (II.129) s'applique pour les deux pulsations $\omega_u$ et $\omega'_u$.

$$ \mathcal{K}(\theta, t) = \frac{Qn_{cd}I_u}{2\pi R} \sqrt{2} \sum_{v \in F_u} |\underline{K_v}| \text{sinc} \left( v\frac{\epsilon}{2} \right) \cos \left( v\theta - \omega_u t + \varphi_u + \arg \left[ \underline{K_v} \right] \right) \\ + \frac{Qn_{cd}I'_u}{2\pi R} \sqrt{2} \sum_{v \in F_u} |\underline{K_v}| \text{sinc} \left( v\frac{\epsilon}{2} \right) \cos \left( v\theta - \omega'_u t + \varphi'_u + \arg \left[ \underline{K_v} \right] \right) \qquad (II.135) $$

Une densité linéique agrégeant les courants $I_u$ et $I'_u$ peut être définie :

$$ A'_{u} = \frac{Qn_{cd}\sqrt{I_{u}^{2} + I'_{u}^{2}}}{2\pi R} \qquad (II.136) $$

Cette densité linéique peut être considérée comme une densité linéique efficace si le produit scalaire supportant le calcul de la valeur efficace est basé sur une période « multiple » de $2\pi/\omega_u$ et $2\pi/\omega'_u$, en pratique si l'intégration est effectuée sur un intervalle de temps suffisamment long. L'onde de densité de courant (II.135) peut se formuler en introduisant la densité linéique $A'_u$ :

$$ \mathcal{K}(\theta, t) = A'_{u} \sqrt{2} \left[ \frac{I_u}{\sqrt{I_u^2 + I'^2}} \sum_{v \in F_u} |\underline{K_v}| \text{sinc} \left( v\frac{\epsilon}{2} \right) \cos \left( v\theta - \omega_u t + \varphi_u + \arg \left[ \underline{K_v} \right] \right) \right. \\ \left. + \frac{I'_u}{\sqrt{I_u^2 + I'^2}} \sum_{v \in F_u} |\underline{K_v}| \text{sinc} \left( v\frac{\epsilon}{2} \right) \cos \left( v\theta - \omega'_u t + \varphi'_u + \arg \left[ \underline{K_v} \right] \right) \right] \qquad (II.137) $$

A priori, il n'existe aucun lien entre les pulsations $\omega_u$ et $\omega'_u$.

### II.3.2.5 Notions d'harmoniques électriques ou de temps

Il est supposé que le courant polyphasé est la somme de plusieurs courants polyphasés sinusoïdaux de pulsations ou fréquences dites synchronisées. Cela signifie qu'une fréquence donnée est dans un rapport entier (multiple) $h$ de la fréquence la plus basse, cette dernière définissant alors le fondamental ($h = 1$). Le courant de phase $n$ peut alors s'exprimer de la façon suivante :

$$ i_n(t) = \sum_{h=0}^{+\infty} I_h \sqrt{2} \cos \left( h\omega_e t + \delta_h + hn \frac{2\pi}{N} \right) \qquad (II.138) $$

Le courant de phase apparaît alors comme une décomposition en série de Fourier de la variable temporelle : la relation (II.138) montre que l'harmonique de temps d'ordre $h$ correspond à la séquence $\text{mod}(h, N)$. Par conséquent, l'harmonique de temps d'ordre $h$ génère les harmoniques spatiaux listés par $F_{\text{mod}(h,N)}$. Ainsi les harmoniques de temps $h$ et $h + \mathbb{Z}N$ génèrent le même train d'ondes (angles d'onde identiques) mais à vitesses différentes.

Il faut noter que, pour le convertisseur d'alimentation (onduleur polyphasé de tension), rien n'impose la synchronisation des harmoniques électriques, c'est-à-dire la génération d'harmoniques basse fréquence d'ordre entier (ou autrement dit, de générer un courant fondamental de fréquence $f$ et des harmoniques de fréquence multiple de $f$).
<figure><img src="image_893.png" /></figure>

# Contribution à la modélisation du bobinage

Perception fréquentielle : concept de séquences

Bilan

d'activité

Contribution à
la
modélisation

du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle :
concept de
séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

Exemple de la distribution fractionnaire (N, p, Q) = (5, 3, 20)

FMM à $u = 1$

<figure><img src="image_894.png" /></figure>

<figure><img src="image_895.png" /></figure>

FMM à $u = 3$

$$F_1 = \{\dots - 17, -12, -7, -2, 3, 8, 13, 18\dots\}$$

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Par exemple, la désynchronisation des séquences peut être mise en œuvre dans le but de compenser des harmoniques d'onde de pression magnétique radiale. Cela n'est possible que si plusieurs séquences d'alimentation sont disponibles, c'est-à-dire si la machine est polyphasée. Dans [27], ce principe est appliqué à une machine 11-phase à bobinage dentaire concentré (à 5 paires de pôles sur la séquence principale). La séquence fondamentale ($u = 1$) génère les harmoniques spatiaux 5 et -6 interagissant pour générer le mode de vibration 1. La sollicitation de la séquence $u = 3$ par injection d'un courant harmonique d'ordre 3 génère l'harmonique spatiale -4 qui interagit à son tour avec l'harmonique 5 induit par la séquence fondamentale, ce qui génère le mode de vibration 1. Ainsi, si fréquence, amplitude et déphasage du courant harmonique d'ordre 3 sont correctement calculés, alors le mode un de vibration peut être atténué.

La désynchronisation est également utilisée pour piloter indépendamment en vitesse variable plusieurs machines polyphasées alimentées par un seul onduleur polyphasé [22]. Pratiquement, les machines polyphasées sont électriquement couplées de sorte que leurs séquences fondamentales correspondent à une séquence d'alimentation particulière de l'onduleur. Selon ce principe (dit de swapping), deux machines pentaphasées peuvent être alimentées avec le même onduleur : le système polyphasé $\{a, b, c, d, e\}$ de l'onduleur alimentant une machine et le système polyphasé $\{a, c, e, b, d\}$ alimentant l'autre machine.

### II.3.3 Concept de machines fictives

Le concept de machines fictives est littéralement introduit dans [1] : la machine fictive apparaît définie comme un sous-espace propre de l'application linéaire décrivant le couplage magnétique des phases de l'induit. Cette approche pré-suppose un comportement magnétique linéaire pour la machine polyphasée (saturation négligée) et une distribution du champ magnétique d'induit indépendante de la position de l'inducteur. Ce dernier point est vérifié si la machine présente un entrefer magnétique lisse (ce qui est généralement supposé pour les machines à aimants déposés et les machines asynchrones). La machine polyphasée se comporte alors comme la somme de ses machines fictives magnétiquement découpées et mécaniquement couplées. Cette sous-section a pour objectif de remonter au concept de machines fictives à partir de la notion de bobinages virtuels et de groupes d'harmoniques spatiaux.

#### II.3.3.1 Couplage magnétique inter-séquence

Alimenté à la séquence $u$, le bobinage génère la série d'harmoniques spatiaux listés par $F_u$. Le bobinage s'exprime par son bobinage virtuel de séquence $u$. Plus précisément, les harmoniques générés sont plutôt des harmoniques d'excitation magnétique dont la manifestation sous forme d'harmoniques spatiaux, c'est-à-dire d'harmoniques d'induction ou de champ magnétique, dépend du circuit magnétique de la machine. Le concept de machines fictives repose sur l'indépendance des séquences d'alimentation. En d'autres termes, si le bobinage d'induit est parcouru par des courants de séquence $u$, alors le champ magnétique généré ne contient que les harmoniques spatiaux de $F_u$. Il est alors intéressant de rechercher les conditions sur le circuit magnétique assurant l'indépendance de deux séquences $u$ et $u'$. Pour ce faire, il faut rechercher les conditions d'annulation du flux capté par la séquence $u'$ lorsque le bobinage est alimenté par un courant de séquence $u$. Ce flux de séquence $u'$, noté $\Lambda_{F_u'}$, est le flux vu par
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Exemple de la distribution fractionnaire (N, p, Q) = (5, 3, 20)

FMM à $u = 1$

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FMM à $u = 3$

<figure><img src="image_905.png" /></figure>

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$$F_1 = \{\dots - 17, -12, -7, -2, 3, 8, 13, 18\dots\}$$

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le bobinage virtuel $F_{u'}$ :

$$ \Lambda_{/F_{u'}}(\theta_m) = \int_{\theta=0}^{2\pi} W_{/F_{u'}}(\theta) B(\theta, \theta_m) R L_z d\theta \quad (II.139) $$

L'induction $B(\theta, \theta_m)$ résulte de la force magnétomotrice induite par la séquence $u$, notée $\mathcal{F}_{/F_u}(\theta)$ qui peut être considérée modulée par une fonction de perménance notée $\mathcal{P}(\theta, \theta_m)$ :

$$ B(\theta, \theta_m) = \mathcal{P}(\theta, \theta_m) \mathcal{F}_{/F_u}(\theta) \quad (II.140) $$

Compte tenu de (II.126) et (II.127), la FMM de séquence $u$ est simplement le produit de la fonction de bobinage virtuel de séquence $u'$ par le courant crête d'alimentation de la séquence $u$ :

$$ \mathcal{F}_{/F_u}(\theta) = \mathcal{W}_{/F_u}(\theta) I_u \sqrt{2} \quad (II.141) $$

Finalement, considérant (II.140) et (II.141), le flux capté par le bobinage virtuel de séquence $u'$ s'exprime :

$$ \Lambda_{/F_{u'}}(\theta_m) = RLI_u \sqrt{2} \int_{\theta=0}^{2\pi} W_{/F_{u'}}(\theta) \mathcal{P}(\theta, \theta_m) W_{/F_u}(\theta) d\theta \quad (II.142) $$

Les groupes d'harmoniques $F_u$ et $F_{u'}$ ne comportant aucun élément en commun, les séquences $u$ et $u'$ sont effectivement indépendantes si la perméance ne module pas un harmonique de $F_u$ pour générer un harmonique de $F_{u'}$. Une condition suffisante pour satisfaire cette propriété est que la perméance soit constante, indépendante de l'espace, comme dans une machine à entrefer magnétique lisse. Dans ce cas, le flux de séquence $u'$ du au rotor inducteur ne dépend que des harmoniques de rang $F_{u'}$ envoyés par le rotor. Aucune interaction entre deux groupes d'harmoniques distincts $F_u$ et $F_{u'}$ tant par le stator que par le rotor ne peut se développer si la perméance d'entrefer est constante.

### II.3.3.2 Décomposition en machines fictives

La propriété d'indépendance des flux inter-séquence peut s'exprimer en introduisant l'application linéaire $M_{ss}$, endomorphisme de l'espace vectoriel $\mathcal{E}^N$ décrivant le couplage magnétique entre les phases. Exprimée dans la base de Fortescue (ou base des séquences d'alimentation), cette application définit donc une matrice diagonale :

$$ [\Delta_{ss}] = \mathrm{mat}(M_{ss}, \mathbf{F}^N, \mathbf{F}^N) = \mathrm{diag}(L_{cs,0}, \dots, L_{cs,u}, \dots, L_{cs,N-1}) \quad (II.143) $$

La relation (II.143) définit les auto-inductances de séquence $L_{cs,u}$, correspondant aux induc-tances cycliques. Par anti-symétrie des groupes d'harmoniques d'espace (II.105), les induc-tances cycliques $L_{cs,u}$ et $L_{cs,N-u}$ sont égales. Formellement,

$$ F_u = -F_{N-u} \quad \Rightarrow \quad L_{cs,u} = L_{cs,N-u} \quad (II.144) $$

Il est d'ailleurs possible, en considérant l'expression du flux (II.142) et en notant $\mathcal{P}_m$ la perméance d'entrefer supposée constante, d'exprimer l'inductance cyclique $L_{cs,u}$ si celle-ci est
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Exemple de la distribution fractionnaire $(N, p, Q) = (5, 3, 20)$

FMM à $u = 1$

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FMM à $u = 3$

<figure><img src="image_916.png" /></figure>

$$F_1 =$$

{... - 17, - 12, - 7, - 2, 3, 8, 13, 18...}

$$F_3 =$$

... - 16, - 11, - 6, - 1, 4, 9, 14, 19...}

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restreinte au couplage d'entrefer :

$$L_{cs,u} = \frac{N}{2} \mathcal{P}_m \frac{RL_z}{2\pi} \left(\frac{Qn_{cd}}{N}\right)^2 \sum_{v \in F_u} \left|\frac{K_v}{v}\right|^2 \left|\text{sinc}\left(v\frac{\epsilon}{2}\right)\right|^2 \quad (II.145)$$

Finalement, selon la propriété (II.144), l'application linéaire $M_{ss}$ est caractérisée par $N_f$ espaces propres notées $\mathcal{E}_k$ avec $k$ entier compris entre 0 et $N_f - 1$. Plus précisément,

$$N_f = \frac{N + \text{mod}(N, 2)}{2} \qquad (II.146)$$

$$\left\{
\begin{array}{ll}
\mathcal{E}_0 = \mathcal{E}(L_{cs,0}) = \text{vect} \left\langle \overrightarrow{f_0^N} \right\rangle & \\
\mathcal{E}_k = \mathcal{E}(L_{cs,k}) = \text{vect} \left\langle \overrightarrow{f_k^N}, \overrightarrow{f_{N-k}^N} \right\rangle & \text{pour } k \in \left[1 \dots \frac{N-2 + \text{mod}(N, 2)}{2}\right] \\
\mathcal{E}_{N/2} = \mathcal{E}(L_{cs,N/2}) = \text{vect} \left\langle \overrightarrow{f_{N/2}^N} \right\rangle & \text{si } \text{mod}(N, 2) = 0
\end{array}
\right. \qquad (II.147)$$

Ainsi, considérant (II.146) et (II.147) dans le cas où le nombre de phases $N$ est impair, la machine à $N$ phases se comporte comme la somme de $(N + 1)/2$ machines fictives magnétiquement découplées et mécaniquement couplées :

* 1 machine fictive monophasée construite sur la droite propre $\mathcal{E}_0$ de l'inductance cyclique $L_{cs,0}$ groupant les harmoniques spatiaux de rangs absolus listés par $|F_0|$,

* $(N-1)/2$ machines fictives diphasées construites sur les plans propres $\mathcal{E}_k$ de l'inductance cyclique $L_{cs,k} = L_{cs,N-k}$ groupant les harmoniques spatiaux de rangs absolus listés par $|F_k|$.

Par propriété de séparation des harmoniques d'espace (découplage magnétique des séquences d'alimentation), la puissance (respectivement le couple électromagnétique) de la machine $N$-phasée est la somme des puissances (respectivement des couples électromagnétiques) de chaque machine fictive.

Le plan propre supportant la machine fictive diphasée d'ordre $u$ peut être représenté avec des vecteurs orthonormaux à composantes réelles appelés vecteurs de Concordia. Il peuvent s'exprimer à partir des vecteurs de Fortescue :

$$\mathcal{E}_k = \text{vect} \left\langle \overrightarrow{\alpha_k^N}, \overrightarrow{\beta_k^N} \right\rangle = \text{vect} \left\langle \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \overrightarrow{f_k^N} + \overrightarrow{f_{N-k}^N} \right), -\frac{j}{\sqrt{2}} \left( \overrightarrow{f_k^N} - \overrightarrow{f_{N-k}^N} \right) \right\rangle \quad (II.148)$$

La machine fictive (monophasée) d'ordre 0 correspond à la séquence homopolaire $u = 0$. La machine fictive diphasée d'ordre 1 correspond à la séquence fondamentale $u = 1$ qui, par définition, génère la polarité nominale $p$ (soit $p \in F_1$) : la machine fictive d'ordre 1 est donc appelée machine fictive principale. La figure II.15 illustre cette décomposition en machines fictives pour une machine 7-phase : les quatre machines fictives apparaissent (une machine hompolaire, la machine principale et deux machines secondaires). En cas de couplage étoile, la machine homopolaire est éteinte.

Dans la suite, lorsque les conditions de découplage magnétiques entre les séquences sont supposées (linéarité et perméance constante), la séquence $u$ pourra désigner la machine fic-
<figure><img src="image_923.png" /></figure>

# Contribution à la modélisation du bobinage

## Perception fréquentielle : concept de séquences

Bilan

d'activité

Contribution à
la
modélisation

du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle :
concept de
 séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

## Cas d'une alimentation déséquilibrée (régime de défaut)

En linéaire, il n'existe pas d'autres harmoniques spatiaux que ceux
listés par F<sub>u</sub>, u ∈ [0..N - 1]

<figure><img src="image_924.png" /></figure>

<figure><img src="image_925.png" /></figure>

<figure><img src="image_926.png" /></figure>

<figure><img src="image_927.png" /></figure>

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<figure><img src="image_929.png" /></figure>

<figure><img src="image_930.png" /></figure>

<figure><img src="image_931.png" /></figure>

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<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>**FIGURE II.15** — Décomposition multi-machine appliquée à une machine 7-phase</figcaption></figure>

tive d'ordre $u$. Pour les machines synchrones à aimants déposés (MSAD) et les machines
asynchrones à cage (MASC), l'hypothèse d'entrefer magnétique lisse permet d'appliquer la
décomposition multi-machine.

II.3.3.3 Limites de l'hypothèse d'indépendance magnétique des séquences

Ouvrant le concept de décomposition en machines fictives, l'hypothèse d'indépendance magnétique des séquences est théoriquement invalidée en cas de saturation magnétique. Dans ce cas, la séparation des harmoniques spatiaux ne peut plus être postulée.

La figure II.16 illustre ce point pour une machine équipée du bobinage 5-phase double-
couche FS-1 20-6-5, reprenant le circuit magnétique exhibé dans [RI-3]. Pour les deux sé-
quences d'alimentation $u = 1$ (fondamentale, de polarité nominale $p = 3$) et $u = 3$, les ondes
d'inductions au milieu de l'entrefer magnétique sont calculées par éléments finis ($FEMM$, [29])
avec matériaux linéaires et matériaux représentant la saturation (coude de saturation à 1.4 T).
Le courant d'induit efficace est placé à deux fois la valeur nominale pour forcer la saturation.
Les figures II.16a et II.16b reportent, pour un instant donné, les inductions radiales d'entrefer
exclusivement dues à l'induit pour les séquences $u = 1$ et $u = 3$. Quelle que soit la séquence,
les prédictions des harmoniques d'espace selon (II.113) sont confirmées. Cependant, au-delà
de la baisse du champ liée à la saturation, comme il peut être observé sur la figure II.16b, si
l'alimentation à la séquence $u = 3$ conduit à une saturation magnétique, l'onde d'ordre $v = 3$
(théoriquement exclusivement généré par la séquence fondamentale) se développe. Certes,
pour cette machine, le phénomène n'est pas très marqué mais il peut être imaginé que, se-
<figure><img src="image_933.png" /></figure>

# Contribution à la modélisation du bobinage

Perception fréquentielle : concept de séquences

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle :
concept de
séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

## Cas d'une alimentation déséquilibrée (régime de défaut)

En linéaire, il n'existe pas d'autres harmoniques spatiaux que ceux
listés par $F_u$, $u \in [0..N - 1]$

Distribution fractionnaire

$$ (N, p, Q) = (5, 3, 20) $$

<figure><img src="image_934.png" /></figure>

<figure><img src="image_935.png" /></figure>

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(a) Sur séquence $u = 1, F_3 = \{\dots -22, -17, -12, -7, -2, 3, 8, 13, 18, 23, 28\dots\}$ selon (II.113)

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(b) Sur séquence $u = 3, F_3 = \{\dots -16, -11, -6, -1, 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34\dots\}$ selon (II.113)

**FIGURE II.16** — Induction d'entrefer à très fort courant d'induit pour une machine équipée du bobinage 5-phase FS-1 20-6-5 selon calcul EF en linéaire et avec saturation
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# Contribution à la modélisation du bobinage

## Perception fréquentielle : concept de séquences

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle :
concept de
séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

## Cas d'une alimentation déséquilibrée (régime de défaut)

En linéaire, il n'existe pas d'autres harmoniques spatiaux que ceux
listés par $F_u$, $u \in [0..N - 1]$

Distribution fractionnaire

$$ (N, p, Q) = (5, 3, 20) $$

**Défaut :** une phase ouverte
→ Commande reconfigurée
(maintenir constant le
courant de séquence $u = 1$)

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lon la géométrie du cuit magnétique selon le type de matériaux selon la distribution de
bobinage selon la commande (en alimentation multi-séquence en particulier), ce couplage
inter-séquence soit plus fort et remette en question les conclusions de la conception prélimi-
naire. Un axe d'investigation se dessine alors : rechercher à définir les circuits magnétiques
facilitant l'hypothèse d'indépendance des séquences, éventuellement en régime de saturation
magnétique. Cette analyse est à mener sur la base de la relation (II.142) : il s'agirait de dé-
termine mathématiquement des propriétés nécessaires pour la fonction de perméance et de
chercher à les traduire géométriquement. Une telle exploration ne peut être menée que par
une démarche d'analyse mixant calculs analytiques et numériques.
<figure><img src="image_959.png" /></figure>

# Contribution à la modélisation du bobinage

## Perception fréquentielle : concept de séquences

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle :
concept de
séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

## Cas d'une alimentation déséquilibrée (régime de défaut)

En linéaire, il n'existe pas d'autres harmoniques spatiaux que ceux
listés par $F_u$, $u \in [0..N - 1]$

Distribution fractionnaire

$$ (N, p, Q) = (5, 3, 20) $$

**Défaut :** une phase ouverte
→ Commande reconfigurée
(maintenir constant le
courant de séquence $u = 1$)

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# Chapitre III
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Bilan

d'activité

Contribution à

la

modélisation

du bobinage

Perception

naturelle du

bobinage

Perception

fréquentielle

concept de séquences

Décomposition

multi-machine

Amélioration

des

performances

Perspectives

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## Séquence et bobinage virtuel

Bilan

d'activité

Contribution à
la

modélisation
du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle
concept de
séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

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# Exploitation analytique des équations du champ

## Sommaire

<table><tr><td>III.1 Prédiction des pulsations du couple électromagnétique</td><td>81</td></tr><tr><td>III.1.1 Principe d'estimation</td><td>81</td></tr><tr><td>III.1.2 Application aux machines synchrones à aimants déposés</td><td>84</td></tr><tr><td>III.1.3 Application aux machines asynchrones à cage</td><td>86</td></tr><tr><td>III.2 Calcul analytique du champ</td><td>89</td></tr><tr><td>III.2.1 Equations du champ en milieu isotrope linéaire</td><td>92</td></tr><tr><td>III.2.2 Principe de résolution analytique</td><td>97</td></tr><tr><td>III.2.3 Solutions analytiques utiles</td><td>100</td></tr><tr><td>III.3 Utilisations originales des solutions analytiques</td><td>104</td></tr><tr><td>III.3.1 Modélisation des aimants par spires équivalentes</td><td>104</td></tr><tr><td>III.3.2 Machines à aimants à stator fortement segmenté</td><td>109</td></tr><tr><td>III.3.3 Concept de machine à induction à anneau conducteur au rotor</td><td>115</td></tr></table>

Les méthodes de calcul analytique du champ peuvent être considérées comme des outils d'analyse et d'aide à l'optimisation. D'une part, l'utilisateur a normalement une meilleure maîtrise des hypothèses de calcul et du paramétrage, ce qui facilite l'interprétation des phénomènes. D'autre part, le temps de résolution est généralement bien plus court que celui requis par une résolution reposant sur une discrétisation de l'espace (éléments finis notamment), ce qui facilite le calcul intensif inhérent aux procédures d'optimisation. Concernant les convertisseurs électromécaniques polyphasés, un autre critère motivant le développement de méthodes de calcul analytique est à considérer : les solutions analytiques apparaissant souvent développées en série dont les termes correspondent aux harmoniques spatiaux. Une meilleure lecture du comportement des séquences d'alimentation peut être espérée. Ainsi des phénomènes pratiquement impossibles à visualiser en calculs par éléments finis peuvent être observés. Par exemple, tracer les lignes de champ propres à une machine fictive permet une meilleure compréhension de son fonctionnement et ainsi orienter la conception en conséquence.

Dans ce chapitre, les performances du convertisseur électromécanique sont donc calculées
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## Séquence et bobinage virtuel

Séquence d'alimentation $u$ ⇔ Harmoniques spatiaux de $F_u$

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depuis les grandeurs locales (comme l'induction magnétique) et non globalisées comme cela est fait avec les approches dites en circuit (où l'induction magnétique est intégrée pour constituer le flux de phase). Cela justifie notamment l'utilisation du tenseur de Maxwell pour calculer les efforts. De plus, les machines considérées sont à flux radial avec un rapport longueur active sur diamètre d'entrefer suffisamment grand pour qu'une caractérisation en deux dimensions (en coordonnées cylindriques) soit possible. Dans ce chapitre, il est choisi d'analyser exclusivement les méthodes de résolution dites par séparation de variables, ce qui exclut en particulier les méthodes basées sur les images magnétiques pouvant se révéler particulièrement adaptées à la prise en compte des effets tri-dimensionnels sur les machines à flux axial [CI-25]. Concernant les machines à flux axial, il est d'ailleurs à noter que les solutions analytiques en coordonnées cylindriques ici présentées peuvent s'appliquer si le rapport rayon moyen sur pas polaire est suffisamment grand. Dans ce cas, le champ peut être exprimé selon la composante angulaire et la composante axiale : cette hypothèse est utilisée dans la thèse de Sofiane Djebarri [ThS-2]. Plus généralement, dans ce chapitre, les effets de bord ne sont pas considérés (hypothèse 2D) et les matériaux magnétiques sont supposés isotropes et linéaires.

Dans ce contexte, il est d'abord montré que la notion de séquences d'alimentation et de groupes d'harmoniques d'espace autorise la prédiction des pulsations de couple électromagnétique pour les machines à saillance négligeable, pouvant donc être décrite par la décomposition en machines fictives. La première partie analyse donc la génération des pulsations de couple électromagnétique pour les machines synchrones à aimants déposés (MSAD) et les machines asynchrones à cage (MASC). La seconde partie reporte les méthodes de calcul analytique du champ en coordonnées cylindriques pour les machines à flux radial. Ces méthodes étant très bien documentées (comme dans [30, 31, 32, 33, 34] par exemple), cette partie n'apporte foncièrement rien de nouveau sur le sujet. Cependant, elle permet de cerner clairement les avantages et limites de ces approches, ce qui finalement permet de définir des perspectives d'utilisation et de développement vraisemblables pour les machines tournantes polyphasées. Constituant une contribution, la troisième partie présente des développements analytiques visant à préévaluer les performances de convertisseurs électromécaniques polyphasés particuliers. Les solutions analytiques sont donc utilisées avec une certaine originalité dans un contexte de conception optimale et d'analyse de fonctionnement.
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## Séquence et bobinage virtuel

Séquence d'alimentation $u \Leftrightarrow$ Harmoniques spatiaux de $F_u$
$\Leftrightarrow$ Bobinage restreint aux harmoniques spatiaux de $F_u$

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle
concept de
séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

<figure><img src="image_986.png" /></figure>
## III.1 Prédiction des pulsations du couple électromagnétique

Cette section vise à exploiter le concept de groupes d'harmoniques spatiaux pour prédire le contenu fréquentiel du couple pulsatoire si l'entrefer magnétique est supposé constant et si la saturation magnétique est négligée. Détaillé dans la première sous-section, le principe d'estimation repose classiquement sur l'utilisation du tenseur de Maxwell. Une formule analytique générale est établie et la deuxième sous-section traite le cas de la machine synchrone à aimants déposés (MSAD). L'objectif est alors de montrer que l'approche par séquence d'alimentation permet de retrouver les résultats connus concernant les pulsations de couple électromagnétique des MSAD, ces résultats pouvant être plus simplement mis en évidence par une approche circuit [THD]. Tel n'est pas le cas de la machine asynchrone à cage (MASC) traitée dans la dernière sous-section. Le calcul des fréquences de pulsation de couple, dépendant du point mécanique de fonctionnement, est nettement moins documenté et a fait l'objet d'études pousées lors de la thèse d'Abdelhak Mekahlia [ThS-6]. Le concept de séquences d'alimentation et de groupes d'harmoniques spatiaux permet d'aborder le problème de façon originale pour une machine polyphasée.

### III.1.1 Principe d'estimation

Cette section établit les conditions classiques d'obtention d'un couple d'interaction entre les champs induits et inducteurs.

#### III.1.1.1 Pressions magnétiques

Les efforts sont directement estimés depuis la distribution du champ magnétique dans la machine, et en particulier, dans l'entrefer de perméabilité constante $\mu_0$. Classiquement, le tenseur de Maxwell est utilisé : dans le cas général, pour un repère cartésien $\{\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\}$ pour un élément de surface de normale $x$, il précise les pressions d'origine magnétique s'exerçant selon $x$, $y$ et $z$. Intégrer le champ de pression le long d'une surface permet d'évaluer les efforts s'exerçant sur la partie située à l'intérieur de la surface d'intégration (ou l'extérieur par principe d'action-réaction).

Sous hypothèse bi-dimensionnelle, dans le repère cylindrique $\{\vec{e}_r, \vec{e}_\theta\}$ l'induction en un point donné est entièrement caractérisée par les composantes radiale $B_r$ et tangentielle $B_\theta$. Dans ce cas, les pressions magnétiques radiale $\sigma_{m,r}$ et tangentielle $\sigma_{m,\theta}$ (s'exerçant sur un élément de surface de normale $\vec{e}_r$) s'expriment en fonction des composantes radiale $B_r$ et tangentielle $B_\theta$ de l'induction :

$$ \sigma_{m,r} = \frac{1}{2\mu_0} (B_r^2 - B_\theta^2) \qquad (III.1) $$

$$ \sigma_{m,\theta} = \frac{1}{\mu_0} B_r B_\theta \qquad (III.2) $$

Intégrer (III.1) et (III.2) le long d'un contour cylindrique de rayon $r$, inscrit dans l'entrefer, permet d'estimer les forces radiales et tangentielles s'exerçant sur la partie interne au contour (c'est-à-dire le rotor pour une machine à rotor interne). En particulier, le couple résulte de la force magnétique tangentielle et se calcule à partir de la relation (III.2) (où $L_z$ est la longueur
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## Séquence et bobinage virtuel

Séquence d'alimentation $u \Leftrightarrow$ Harmoniques spatiaux de $F_u$

$\Leftrightarrow$ Bobinage restreint aux harmoniques spatiaux de $F_u$

$\Leftrightarrow$ Bobinage virtuel de séquence $u$ (fonction de bobinage $W/F_u$)

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active selon $z$) :

$$T = r \int_{\theta=0}^{2\pi} \frac{1}{\mu_0} B_r(r, \theta) B_{\theta}(r, \theta) r L_z d\theta \qquad (III.3)$$

La relation (III.3) permet le calcul du couple résultant de l'interaction d'un stator portant le bobinage (induit) avec le rotor. Dans ce cas, l'induction d'entrefer peut être considérée comme la somme d'une induction due au stator notée $B/S$ et d'une induction due au rotor notée $B/R$ :

$$\vec{B}(r, \theta, t) = \vec{B}_{/S}(r, \theta, t) + \vec{B}_{/R}(r, \theta, t) \qquad (III.4)$$

En fonction de leurs propriétés spatiales, ces deux ondes d'induction vont interagir pour produire notamment un effort tangentiel à l'origine du couple, conformément à (III.3). Ce phénomène est analysé dans la section suivante.

### III.1.1.2 Analyse des interactions d'harmoniques spatiaux

Il est choisi de calculer le couple depuis (III.3) en considérant un contour de rayon égal au rayon statorique $R$ (plus exactement un rayon infiniment proche de $R$ de sorte à rester dans l'entrefer). Il est alors nécessaire d'exprimer les inductions dues au stator (induit) et au rotor (inducteur) pour ce rayon $R$. Les hypothèses suivantes sont réalisées :

* le stator est supposé de perméabilité infinie,

* les encoches statoriques comportant les conducteur sont représentées par des encoches surfaciques équivalentes (ce qui revient à négliger la variation de perméance statorique sur la distribution du champ).

Selon (III.2), la pression magnétique tangentielle en un point du contour de rayon $R$ peut s'exprimer dans le repère statorique (où les angles sont notés $\theta_s$) à un instant donné $t$ de la façon suivante :

$$\sigma_{m,\theta}(R, \theta_s, t) = \frac{(B_{\theta/S}(R, \theta_s, t) + B_{\theta/R}(R, \theta_s, t))(B_{r/S}(R, \theta_s, t) + B_{r/R}(R, \theta_s, t))}{\mu_0} \qquad (III.5)$$

Les hypothèses permettent d'affirmer que la composante tangentielle de l'induction due au rotor (en $r = R$) est nulle. C'est-à-dire :

$$B_{\theta/R}(R, \theta_s, t) = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{B}_{/R}(R, \theta_s, t) = B_{r/R}(R, \theta_s, t) \vec{e}_r = B_{/R}(\theta_s, t) \vec{e}_r \qquad (III.6)$$

Ces hypothèses permettent également de calculer l'induction tangentielle due au stator. Calculer la circulation du champ $\vec{H}$ le long du rayon $R$ permet de montrer que la composante tangentielle du champ $H_{\theta}$ est égale à la densité linéique de courant [35] :

$$H_{\theta}(R, \theta_s, t) = \mathcal{K}(\theta_s, t) \qquad (III.7)$$

De (III.7), il résulte que la composante tangentielle de l'induction due au stator progresse selon la densité linéique de courant :

$$B_{\theta/S}(R, \theta_s, t) = \mu_0 \mathcal{K}(\theta_s, t) \qquad (III.8)$$
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Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle
concept de
séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

## Séquence et bobinage virtuel

Séquence d'alimentation $u$ ⇔ Harmoniques spatiaux de $F_u$
⇔ Bobinage restreint aux harmoniques spatiaux de $F_u$
⇔ Bobinage virtuel de séquence $u$ (fonction de bobinage $W/F_u$)

Exemple de la distribution fractionnaire $(N, p, Q) = (5, 3, 20)$

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Considérant la nullité de l'induction tangentielle due au rotor (III.6) et l'expression de l'induction tangentielle due au stator (III.8), la pression magnétique tangentielle (III.5) se simplifie et le couple s'exprime depuis (III.3) pour prendre l'expression suivante :

$$T = L_z R^2 \int_{\theta_s=0}^{2\pi} \mathcal{K}(\theta_s, t) [B_{r/S}(R, \theta_s, t) + B_{r/R}(R, \theta_s, t)] d\theta_s \quad (III.9)$$

Si la perméance est constante de valeur notée $\mathcal{P}$, alors la composante radiale de l'induction progresse selon la FMM notée $\mathcal{F}$ :

$$B_{r/S}(R, \theta_s, t) = \mathcal{P}\mathcal{F}(\theta_s, t) \quad (III.10)$$

La densité linéique étant la dérivée spatiale de la FMM, de (III.10) et (III.9) résulte la non contribution de la composante radiale de l'induction due au stator au couple<fnref n="1" /> (ce qui illustre le fait que le bobinage n'exerce pas d'effort de déplacement angulaire par lui-même). Finalement, le couple (III.9) s'exprime comme suit (où la dépendance du champ au rayon $R$ est masquée et où la composante radiale de l'induction due au rotor est notée $B_{/R}$ comme précisé par (III.6)) :

$$T = L_z R^2 \int_{\theta_s=0}^{2\pi} \mathcal{K}(\theta_s, t) B_{/R}(\theta_s, t) d\theta_s \quad (III.11)$$

### III.1.1.3 Règles d'interaction

Les conditions d'obtention d'un couple dépendent des propriétés spatiales des ondes de densité linéique de courant et d'induction. Pour déterminer les critères d'interaction, ces deux ondes sont supposées progressives sinusoïdales. Si $\mathcal{K}_v$ et $\delta_{\mathcal{K},v}$ désignent l'amplitude crête de la densité linéique de courant d'ordre $v$ et l'angle associé respectivement et si $B_{v'}$ et $\delta_{B,v'}$ désignent l'amplitude crête de l'induction d'ordre $v'$ et l'angle associé respectivement, il vient :

$$\mathcal{K}(\theta_s, t) = \mathcal{K}_v \cos (v\theta_s - \omega t + \delta_{\mathcal{K},v}) \quad (III.12)$$

$$B_{/R}(\theta_s, t) = B_{v'} \cos (v'\theta_s - \omega't + \delta_{B,v'}) \quad (III.13)$$

Considérant (III.12) et (III.13), si $v$ et $v'$ sont de même signe<fnref n="2" />, le couple selon (III.11) s'exprime :

$$T = \begin{cases} 0 & \text{si } v \neq v' \\ L_z R^2 \pi \mathcal{K}_v B_{v'} \cos ((\omega - \omega')t + \delta_{\mathcal{K},v} - \delta_{B,v'}) & \text{si } v = v' \end{cases} \quad (III.14)$$

La relation (III.14) signifie que seules deux ondes de même ordre spatial $v = v'$ interagissent en produisant :

* soit un couple moyen si leurs vitesses sont égales ($\omega = \omega'$),

* soit un couple pulsatoire à $\omega - \omega'$ si leurs vitesses diffèrent ($\omega \neq \omega'$).

Il s'agit d'une propriété bien connue pour réaliser un convertisseur électromécanique. Par exemple, pour une machine à $p$ paires de pôles parcourue par un courant de pulsation $\omega_s$ au

<footnote n="1">1. Si la saillance est choisie variable, de cette interaction apparaissent les couples dits de saillance.</footnote>

<footnote n="2">2. Cela signifie qu'en pratique, pour utiliser la relation (III.14), il faut que les rangs $v$ et $v'$ dans (III.12) et (III.13) soient de même signe, les sens de rotation étant portés par les pulsations $\omega$ et $\omega'$. La relation (III.14) est donc bien générale et peut s'accommoder de rangs spatiaux signés.</footnote>
<figure><img src="image_996.png" /></figure>

## Séquence et bobinage virtuel

Séquence d'alimentation $u \Leftrightarrow$ Harmoniques spatiaux de $F_u$
$\Leftrightarrow$ Bobinage restreint aux harmoniques spatiaux de $F_u$
$\Leftrightarrow$ Bobinage virtuel de séquence $u$ (fonction de bobinage $W/F_u$)

Exemple de la distribution fractionnaire (N, p, Q) = (5, 3, 20)

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stator, les deux conditions suivantes doivent être vérifiées pour qu'un couple à valeur moyenne non nulle puisse se développer :

* les ondes doivent être cohérentes (égalité des polarités de l'induit et l'inducteur, soit $v = v' = p$),

* les ondes doivent être synchrones (égalité des vitesses, soit $\omega = \omega' = \omega_s$).

L'objectif va être de montrer comment les familles d'harmoniques spatiaux permettent de prévoir les fréquences des couples pulsatoires susceptibles d'apparaître dans une machine polyphasée. Les couples pulsatoires désignent les ondulations de couple électromagnétique, c'est-à-dire les ondulations ne relevant pas des variations de saillance. Sur ce point, il est important de préciser que la prise en compte de la saillance statorique (où se situe le bobinage d'induit<fnref n="3" />) dans le calcul des ondes de densités de courant ou de FMM ne modifiera pas la composition spatiale harmonique des ondes. En effet, selon (II.104), si l'harmonique d'espace $v$ appartient à $F_u$, alors les harmoniques d'espace $v+\mathbb{Z}Q$ sont également dans $F_u$. Tenir compte de la perméance revient à moduler les ondes par un signal de fréquence fondamental d'ordre $Q$, ce qui, compte tenu de la propriété (II.104), ne modifiera pas la composition harmonique.

### III.1.2 Application aux machines synchrones à aimants déposés

Cette section montre comment la propriété générale (III.14) permet de prédire les pulsations de couple électromagnétique pour une MSAD. La méthode impose de considérer les interactions d'harmoniques d'espace alors qu'il serait beaucoup plus simple et direct d'utiliser un modèle circuit (le couple électromagnétique peut alors s'exprimer par produit des fem et des courants induits, soit par interaction d'harmoniques électriques 4). Le développement concernant les MSAD, reporté dans les sous-sections suivantes, vise en fait à valider l'approche avant de l'utiliser sur les MASC.

#### III.1.2.1 Harmoniques présents

Pour une machine synchrones à $p$ paires de pôles (parfaitement distribuées), l'induction due au rotor est composée des harmoniques d'espace de rang multiple de $p$. Dans le repère rotorique, l'onde peut s'exprimer de la façon suivante :

$$B_R(\theta_r, t) = \sum_{v'=1}^{+\infty} B_{pv'} \cos(pv'\theta_r) \quad (III.15)$$

Dans (III.15), la variation temporelle est masquée par le caractère temporellement constant des courants rotoriques inducteurs dans une machine synchrone (ou plus exactement de leurs équivalents pour une machine à aimants). Pour analyser la génération du couple, l'onde d'induction rotorique est écrite dans le repère statorique. Le passage du repère rotorique au repère statorique fait intervenir la position mécanique $\theta_m$ :

$$\theta_r = \theta_s - \theta_m \quad (III.16)$$

<footnote n="3">3. La prise en compte de la saillance plus largement, c'est-à-dire représentant les variations de l'entrefer magnétique en fonction de la position, aboutit à un effet de modulation modifiant le contenu harmonique spatial.</footnote>

<footnote n="4">4. Cette approche est utilisée dans le chapitre IV, sous-section IV.1.1.1.</footnote>
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## Séquence et bobinage virtuel

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Exemple de la distribution fractionnaire (N, p, Q) = (5, 3, 20)

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La position mécanique peut être liée à la vitesse de rotation $\Omega_m$ :

$$ \theta_m = \Omega_m t + \theta_{m,0} \qquad (III.17) $$

Selon (III.16), (III.17) et (III.15), l'induction rotorique dans le repère statorique est :

$$ B_R(\theta_s, t) = \sum_{v'=1}^{+\infty} B_{pv'} \cos(pv'\theta_s - pv'\Omega_m t - pv'\theta_{m,0}) \qquad (III.18) $$

La relation (III.18) montre que, dans le repère statorique, tous les harmoniques spatiaux de l'onde d'induction rotor $B_R$ tournent à la vitesse mécanique $\Omega_m$.

### III.1.2.2 Interactions

Si le stator est alimenté avec la séquence $u$, alors le champ stator est composé d'ondes d'ordre $v$ appartenant à $F_u$. Le couple électromagnétique résulte nécessairement d'interactions d'ondes stator et rotor de même angle d'onde, c'est-à-dire de même ordre en valeur absolue. Ainsi, les harmoniques d'espace stator et rotor interagissant ont un ordre $v$ vérifiant la relation suivante :

$$ v \in |F_u| \cap p\mathbb{N} \qquad (III.19) $$

La relation (III.19) signifie que les harmoniques communs sont les harmoniques de $|F_u|$ multiples de $p$. Par exemple, considérant l'expression (II.113) précisant les éléments de $F_u$, l'harmonique $pu$ est un harmonique commun.

Pour mémoire, pour une interaction d'ordre commun $v$ donné, le couple est pulsatoire si les vitesses d'onde diffèrent, constant si les vitesses d'onde sont égales. Tous les harmoniques d'espace du rotor tournant à $\Omega_m$, il reste maintenant à fixer la vitesse du champ statorique, c'est-à-dire à déterminer la pulsation d'alimentation du stator. Si $\omega_u$ désigne la pulsation d'alimentation du stator, la vitesse de rotation de l'harmonique de champ statorique d'ordre $pu$ est $\omega_u/(pu)$. Pour qu'un couple électromagnétique soit généré de l'interaction des harmoniques spatiaux d'ordre $pu$ du stator et du rotor, il est nécessaire que leurs vitesses soient égales (condition de synchronisme) :

$$ \omega_u = pu\Omega_m \qquad (III.20) $$

Dans ce cas, l'harmonique commun $pu$ est l'harmonique de travail. Fixer la vitesse de rotation $\Omega_m$ relativement à l'harmonique de travail revient à fixer la vitesse de tous les harmoniques spatiaux de l'onde $B_R$ (puisqu'ils tournent tous à la vitesse $\Omega_m$ d'après (III.18)).

Pour un harmonique spatial $v$ commun (vérifiant (III.19)), la pulsation de couple électromagnétique résulte de la différence entre la vitesse de l'onde d'ordre $v$ du rotor (égale à $\Omega_m$) et la vitesse de l'onde d'ordre $v$ du stator (égale à $\omega_u/v$). Soit :

$$ \omega'_{v} - \omega_{v} = v \left( \frac{\omega'_{v}}{v} - \frac{\omega_{v}}{v} \right) = v \left( \Omega_{m} - \frac{\omega_{u}}{v} \right) = v\Omega_{m} - \omega_{u} \qquad (III.21) $$

Compte tenu de la condition de synchronisme (III.20), la relation (III.21) peut s'exprimer comme suit :

$$ \omega'_{v} - \omega_{v} = (v - pu)\Omega_{m} \qquad (III.22) $$
<figure><img src="image_1024.png" /></figure>

## Critère d'indépendance des séquences d'alimentation

Inducteur éteint, deux séquences distinctes $u$ et $u'$ sont
magnétiquement indépendantes $\Longleftrightarrow M_{F_u-F_{u'}} = 0$

<figure><img src="image_1025.png" /></figure>

<figure><img src="image_1026.png" /></figure>

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Les harmoniques spatiaux d'ordre $v$ et $pu$ appartiennent à la famille $F_u$. Selon la relation (II.113) spécifiant la composition de $F_u$, la différence entre deux harmoniques des $F_u$ est multiple du nombre de phases $N$. Par conséquent, $v - pu$ est multiple du nombre de phases $N$. De plus, conformément à (III.19), l'harmonique commun $v$ est nécessairement multiple du nombre de paires de pôles $p$. Il en résulte que $v - pu$ est aussi du nombre de paires de pôles $p$. Finalement, la relation (III.22) se ré-écrit :

$$ \omega'_{v} - \omega_{v} \in Np\Omega_{m}\mathbb{Z} \qquad (III.23) $$

La relation (III.23) signifie que, si $v$ est un harmonique commun, l'harmonique spatial statorique d'ordre $v$ et l'harmonique spatial rotorique d'ordre $v$ interagissent en produisant un couple pulsatoire en $Np\Omega_m$.

### III.1.2.3 Bilan

Il s'agit là d'une conclusion bien connue : les harmoniques du couple pulsatoire d'une machine synchrone à $N$ phases et $p$ paires de pôles tournant à la vitesse mécanique $\Omega_m$ sont multiples de la pulsation $Np\Omega_m$. Il faut préciser que, généralement, le rotor est supposé parfaitement anti-symétrique entre les pôles Nord et Sud. Dans ce cas, le rotor génère exclusivement des harmoniques d'ordre $p(2N+1)$. La relation (III.19) déterminant les ordres d'harmoniques rotor et stator interagissant peut être particularisée :

$$ v \in |F_u| \cap p\{2N + 1\} \qquad (III.24) $$

Les fréquences de couple pulsatoire (conditionnées par la relation (III.22)) sont alors impactés :

* si le nombre de phases $N$ est impair, alors la fréquence fondamentale de couple pulsatoire est doublée, ce qui signifie que les pulsation harmoniques sont multiples de $2Np\Omega_m$,

* si le nombre de phases $N$ est pair, alors la fréquence fondamentale de couple pulsatoire est inchangée (reste égale à $Np\Omega_m$) mais les séquences $u$ paires ne présentent aucun harmonique spatial commun avec le rotor (formellement, la relation (III.24) décrit un ensemble vide si $N$ est pair et si la séquence $u$ est paire).

Par exemple, pour $p$ paires de pôles et une vitesse de rotation $\Omega_m$, alimentées à la séquence fondamentale $u = 1$, pour des bobinages symétriques, une machine 5-phase pulse à $10p\Omega_m$ alors qu'une machine 6-phase pulse à $6p\Omega_m$.

### III.1.3 Application aux machines asynchrones à cage

Comme indiqué en introduction de la présente partie, le calcul des pulsations de couple pour les MASC est nettement moins documenté. La prédiction des couples pulsatoires des MASC nécessite de considérer l'ensemble des harmoniques spatiaux générés par la séquence d'alimentation et d'évaluer la manière dont le rotor va renvoyer ces harmoniques. Les pulsations de couple résultent donc des interactions entre les harmoniques spatiaux du stator et leurs images (atténuées, déphasées) par la cage rotorique.
<figure><img src="image_1031.png" /></figure>

## Critère d'indépendance des séquences d'alimentation

Inducteur éteint, deux séquences distinctes $u$ et $u'$ sont
magnétiquement indépendantes $\Leftrightarrow M_{F_u-F_{u'}} = 0$

* Flux capté par $u'$, si $u$ est allumée, $\lambda_{F_{u'}-F_u}(\theta_m) = 0 \Leftrightarrow$

<figure><img src="image_1032.png" /></figure>

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### III.1.3.1 Harmoniques présents

Concernant la circulation du courant dans les barres, la cage rotorique se comporte comme un bobinage dentaire à $Q_r$ phases et une paire de pôles : $Q_r$ séquences d'alimentation caractérisent ce bobinage à une demi-encoche par pôle et par phase. Selon (II.113), la séquence rotorique $u$ génère le groupe d'harmoniques spatiaux $F_u^R$ :

$$F_u^R = u + \mathbb{Z}Q_r \qquad (III.25)$$

La relation (III.25) signifie que la séquence $u = 1$ (correspondant à une circulation de courants déphasés de $2\pi/Q_r$ pour deux barres adjacentes) génère l'onde de rang 1, c'est-à-dire d'angle d'onde égal au tour complet de la machine. La cage rotorique recopie les polarités des ondes statoriques avec un effet de recouvrement dépendant du nombre de barres $Q_r$.

Ce principe est examiné en supposant la configuration suivante :

* le bobinage statorique est alimentée à la séquence $u$ de pulsation $\omega_u$, ce qui génère le train d'harmoniques spatiaux de rangs listés par $F_u$ à la pulsation $\omega_u$,

* le rotor tourne à la vitesse $\Omega_m$.

Si $v$ est un harmonique spatial induit par le stator (soit $v \in F_u$), alors cet harmonique spatial allume la séquence rotorique $\text{mod}(v, Q_r)$ à la pulsation $\omega_u - v\Omega_m$. Ces courant rotoriques induits (tous de pulsation $\omega_u - v\Omega_m$) génèrent à leurs tours un train d'harmoniques spatiaux d'ordres $F_{\text{mod}(v,Q_r)}^R$ d'après (III.25). Cet ensemble est renoté $F_v^R$ pour mettre en évidence l'harmonique stator générateur $v$, déterminant la pulsation unique du train d'ondes (égale à $\omega_u - v\Omega_m$) :

$$F_v^R = \text{mod}(v, Q_r) + \mathbb{Z}Q_r \qquad (III.26)$$

### III.1.3.2 Interactions

Le couple électromagnétique résulte de l'interaction d'ondes statorique et rotorique de même angle d'onde. Ainsi, l'harmonique spatial statorique d'ordre $v_s$ interagit avec l'harmonique spatial rotorique d'ordre $v_r$ si et seulement si leurs angles d'onde sont égaux (soit $|v_s| = |v_r|$). Les cas $v_s = v_r$ et $v_s = -v_r$ sont donc à distinguer. Dans le cas $v_s = v_r$, l'harmonique commun, noté $v'$, appartient à $F_u$ et à $F_v^R$. Dans le cas $v_s = -v_r$, l'harmonique commun $v'$ appartient à $F_u$ et à $-F_v^R$. Dans ce cas, compte tenu de la propriété (II.105), de façon équivalente, l'harmonique commun $v'$ appartient à $F_u$ et à $F_{(Q_r-v)}^R$. Finalement, les deux cas sont formalisés par les propriétés suivantes :

$$v' = v_s = v_r \Leftrightarrow v' \in F_u \cap F_v^R \qquad (III.27)$$

$$v' = v_s = -v_r \Leftrightarrow v' \in F_u \cap F_{(Q_r-v)}^R \qquad (III.28)$$

Pour un harmonique commun $v'$, la fréquence du couple pulsatoire peut être calculée en fonction du rang $v'$, du rang de l'harmonique statorique générateur $v$, de la pulsation d'alimentation $\omega_u$ et de la vitesse mécanique du rotor $\Omega_m$. Conformément à la relation (III.14), cette pulsation est la différence entre la pulsation de l'onde de densité linéique de courant et la pulsation de l'onde d'induction rotorique (exprimée dans le repère statorique). L'harmonique commun $v'$ appartient à $F_u$ généré à la pulsation $\omega_u$. Par conséquent, l'onde de densité
<figure><img src="image_1038.png" /></figure>

## Critère d'indépendance des séquences d'alimentation

Inducteur éteint, deux séquences distinctes $u$ et $u'$ sont
magnétiquement indépendantes $\Leftrightarrow M_{F_u-F_{u'}} = 0$

* Flux capté par $u'$, si $u$ est allumée, $\lambda_{F_{u'}-F_u}(\theta_m) = 0 \Leftrightarrow$

1. la perméance ne dépend pas du courant (linéarité)

<figure><img src="image_1039.png" /></figure>

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linéique d'ordre $v'$ s'exprime de la façon suivante :

$$ \mathcal{K}(\theta_s, t) = \mathcal{K}_{v'} \cos (v'\theta_s - \omega_u t + \delta_{S,v'}) \quad (III.29) $$

Les harmoniques rotoriques sont supposés induits par l'harmonique statorique dit générateur d'ordre $v$. Par conséquent, dans le repère rotorique, les ondes rotoriques induites pulsent toutes à $\omega_u - v\Omega_m$ (quel que soit le rang induit $v_r$). Pour l'harmonique commun $v'$, l'onde d'induction rotorique s'exprime dans le repère rotorique en distinguant les cas $v' = v_s = v_r$ (III.27) et $v' = v_s = -v_r$ (III.28) :

$$ v' = v_s = v_r \Rightarrow B_{/R}(\theta_r, t) = B_{v'} \cos (v'\theta_r - (\omega_u - v\Omega_m)t + \delta_{R,v'}) \quad (III.30) $$

$$ v' = v_s = -v_r \Rightarrow B_{/R}(\theta_r, t) = B_{v'} \cos (-v'\theta_r - (\omega_u - v\Omega_m)t + \delta_{R,-v'}) \quad (III.31) $$

La relation (III.31) est mise en forme pour étudier l'interaction avec (III.29) selon la propriété (III.14) (valable pour des rangs spatiaux de même signe) :

$$ v' = v_s = -v_r \Rightarrow B_{/R}(\theta_r, t) = B_{v'} \cos (v'\theta_r + (\omega_u - v\Omega_m)t - \delta_{R,-v'}) \quad (III.32) $$

L'utilisation des relations (III.16) et (III.17) permet d'exprimer l'onde d'induction rotorique dans le repère statorique. (III.30) et (III.32) donnent respectivement :

$$ v' = v_s = v_r \Rightarrow B_{/R}(\theta_s, t) = B_{v'} \cos (v'\theta_s - (\omega_u - (v-v')\Omega_m)t + \delta_{R,v'} - v'\theta_{m,0}) \quad (III.33) $$

$$ v' = v_s = -v_r \Rightarrow B_{/R}(\theta_s, t) = B_{v'} \cos (v'\theta_s + (\omega_u - (v+v')\Omega_m)t + \delta_{R,-v'} - v'\theta_{m,0}) \quad (III.34) $$

La pulsation de l'onde d'induction rotorique dans le repère statorique peut désormais être identifiée :

* selon (III.33), si $v' = v_s = v_r$, la pulsation est $\omega_u - (v - v')\Omega_m$,

* selon (III.34), si $v' = v_s = -v_r$, la pulsation est $-\omega_u + (v + v')\Omega_m$.

La pulsation de l'onde de densité linéique d'ordre $v'$ étant $\omega_u$, la pulsation du couple d'interaction peut être déduite :

$$ v_s = v_r = v' \in F_u \cap F_{/v}^R \quad \Rightarrow \quad \Delta\omega = (v - v')\Omega_m \quad (III.35) $$

$$ v_s = -v_r = v' \in F_u \cap F_{/Q_r-v}^R \quad \Rightarrow \quad \Delta\omega = 2\omega_u - (v + v')\Omega_m \quad (III.36) $$

Pour l'interaction $(v, v')$ dans (III.36), la pulsation $\omega_u$ annulant $\Delta\omega$ définit la vitesse d'apparition du couple parasite dit synchrone.

### III.1.3.3 Bilan

Les relations (III.35) et (III.36) permettent de déterminer la pulsation de couple pour l'harmonique spatial commun au stator et au rotor $v'$ dans le cas où, pour le rotor, $v'$ est induit
<figure><img src="image_1045.png" /></figure>

## Critère d'indépendance des séquences d'alimentation

Inducteur éteint, deux séquences distinctes $u$ et $u'$ sont
magnétiquement indépendantes $\Leftrightarrow M_{F_u-F_{u'}} = 0$

* Flux capté par $u'$, si $u$ est allumée, $\lambda_{F_{u'}-F_u}(\theta_m) = 0 \Leftrightarrow$

1. la perméance ne dépend pas du courant (linéarité)

2. la perméance ne module pas un harmonique de $F_u$ vers $F_{u'}$

<figure><img src="image_1046.png" /></figure>

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par l'harmonique statorique $v$. Il est à noter que, si le nombre de barres $Q_r$ est infiniment grand, alors l'ensemble $F_v^R$ des harmoniques rotoriques induits par l'harmonique spatial $v$, défini par (III.26), est restreint à $v$. Le seul harmonique commun est donc $v$ et le couple est théoriquement constant (considérer $v = v'$ dans (III.35)).

A titre d'exemple, les prédictions (III.35) et (III.36) sont appliquée à une machine à induction pentaphasée équipée d'un bobinage dentaire (configuration 20-8-5 dans le tableau II.1). Cette configuration est évaluée lors des travaux de thèse d'Abdelhak Mekahlia [RI-16]. Pour un nombre de barres $Q_r = 64$, la figure III.1a reporte les fréquences de couple pulsatoire selon (III.35) et (III.36) dans le cas de l'alimentation à la séquence fondamentale $u = 1$. L'axe des abscisses indique les harmoniques spatiaux statoriques $v_s \in F_1$. La liste des harmoniques générés est précisée ci-après, en application de (II.113) :

$$F_1 = 4 + 20Z = \{\dots, -56, -36, -16, 4, 24, 44, 64, \dots\}$$

Sur la figure la figure III.1a, l'axe des ordonnées indique les harmoniques spatiaux rotoriques $v_r$ modulo le nombre de barres $Q_r$, ce qui revient à préciser les séquences rotoriques. Pour améliorer la lisibilité, seules les séquences rotoriques susceptibles d'être allumées par les harmoniques spatiaux statoriques $v_s \in F_1$ sont reportées. La légende précise, pour chaque harmonique statorique générateur $v$ considéré, l'origine des interactions prédites (relation (III.35) ou (III.36)) et la fréquence du couple pulsatoire. Les calculs numériques par éléments finis (ANSYS MAXWELL sous hypothèse de matériaux linéaires) confirment ces résultats comme le montre la figure III.1b [RI-16] (mais le temps de calcul est relativement long).

De même, la figure III.2a reporte les fréquences de couple pulsatoire selon (III.35) et (III.36) dans le cas de l'alimentation à la séquence fondamentale $u = 3$. Cette fois, l'axe des abscisses indique les harmoniques spatiaux statorique $v_s \in F_3$ dont la liste est précisée ci-après (selon (II.113)) :

$$F_3 = 12 + 20Z = \{\dots, -48, -28, -8, 12, 32, 52, \dots\}$$

De même, les fréquences prédites sont effectivement retrouvées par calcul éléments finis [RI-16] comme montré par la figure III.2b.

## III.2 Calcul analytique du champ

Pour une équations aux dérivées partielles (EDP), une solution numérique est obtenue par intégration itérative numérique, ce qui implique une discrétisation de l'espace (différences finies ou éléments finis) et du temps. Le résultat ne peut donc être explicité et se révèle a priori sensible aux paramètres numériques d'intégration (maillage, pas de temps) et à la procédure d'intégration utilisée. En pratique, le domaine est divisé (maillé) en un grand nombre de domaines élémentaires (ou éléments finis). Le champ aux extrémités (nœuds) d'une maille est alors calculé par linéarisation de l'équation aux dérivées partielles en respectant les conditions de continuité et les conditions aux limites sur l'ensemble du domaine. Le champ en tout point situé à l'intérieur de la maille est généralement estimé par une loi d'interpolation depuis les valeurs calculées aux extrémités (nœuds) de la maille. Ainsi, en tout point du domaine, le champ peut être calculé.

Par opposition à la solution numérique, une solution analytique est une solution mathématiquement explicite, pouvant s'écrire à l'aide d'opérateurs et de fonctions mathématiques qualifiés d'élémentaires (fonctions logarithme, exponentielle, trigonométriques...). L'objectif
<figure><img src="image_1052.png" /></figure>

## Critère d'indépendance des séquences d'alimentation

Inducteur éteint, deux séquences distinctes $u$ et $u'$ sont magnétiquement indépendantes $\Leftrightarrow M_{F_u-F_{u'}} = 0$

* Flux capté par $u'$, si $u$ est allumée, $\lambda_{F_{u'}-F_u}(\theta_m) = 0 \Leftrightarrow$

1. la perméance ne dépend pas du courant (linéarité)

2. la perméance ne module pas un harmonique de $F_u$ vers $F_{u'}$

→ vérifiée si entrefer lisse (séquences d'alimentation indépendantes)

<figure><img src="image_1053.png" /></figure>
<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>(a) Prédiction analytique des fréquences (selon (III.35) et (III.36))</figcaption></figure>

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>(b) Calcul éléments finis ANSYS MAXWELL</figcaption></figure>

**FIGURE III.1** — Fréquences des couples pulsatoires pour une machine à induction à bobinage dentaire 20-8-5 (N, p, Qs) = (5, 4, 20) et Qr = 64 barres au rotor à la séquence fondamentale u = 1 à wu = 2π × 50rad/s et Ωm = 0.992ωu/4 = 744tr/min
<figure><img src="image_1054.png" /></figure>

# Contribution à la modélisation du bobinage

Décomposition multi-machine

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle
concept de
 séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

## Critère d'indépendance des séquences d'alimentation

Inducteur éteint, deux séquences distinctes $u$ et $u'$ sont
magnétiquement indépendantes $\Leftrightarrow M_{F_u-F_{u'}} = 0$

* Flux capté par $u'$, si $u$ est allumée, $\lambda_{F_{u'}-F_u}(\theta_m) = 0 \Leftrightarrow$

1. la perméance ne dépend pas du courant (linéarité)

2. la perméance ne module pas un harmonique de $F_u$ vers $F_{u'}$
→ vérifiée si entrefer lisse (séquences d'alimentation indépendantes)

## Cas d'indépendance des séquences (décomposition multi-machine)

Application de couplage magnétique inter-phase $M_{ss}$ a pour base propre la
base des séquences d'alimentation :

$$[\Delta_{ss}] = \mathrm{mat} (M_{ss}, \mathbf{F}^N, \mathbf{F}^N) = \mathrm{diag} (L_{cs,0}, \dots, L_{cs,u}, \dots, L_{cs,N-1})$$

$$|F_u| = |F_{N-u}| \quad \Longrightarrow \quad L_{cs,u} = L_{cs,N-u}$$

<figure><img src="image_1055.png" /></figure>

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(b) Calcul éléments finis ANSYS MAXWELL

<caption>**FIGURE III.2** — Fréquences des couples pulsatoires pour une machine à induction à bobinage dentaire 20-8-5 (N, p, Qs) = (5, 4, 20) et Qr = 64 barres au rotor à la séquence fondamentale u = 3 à wu = 2π × 150rad/s et Ωm = 0.9875ωu/12 = 740.6tr/min</caption>
<figure><img src="image_1061.png" /></figure>

## Si séquences indépendantes

<figure><img src="image_1062.png" /></figure>

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle
concept de
séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

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est donc de trouver les conditions permettant une résolution analytique des équations de Maxwell en tout point de la machine, l'ensemble des points définissant le domaine de résolution. Pour la machine électrique, le domaine correspond généralement au circuit magnétique (circuit magnétique statorique, circuit magnétique rotorique, conducteurs, entrefer, aimants éventuellement...). Le problème est considéré résolu si le champ peut être estimé en tout point du domaine.

Contrairement aux méthodes numériques, les méthodes analytiques nécessitent des hypothèses simplificatrices consistant à linéariser le comportement magnétique des matériaux d'une part et à simplifier la géométrie d'autre part. L'hypothèse de linéarisation est considérée dans la première section. La subdivision du domaine en sous-domaines est notamment introduite ainsi que les conditions de bord singularisant la solution. Dans la deuxième section, les simplifications géométriques nécessaires à l'établissement de solutions analytiques connues sont explicitées. Il est montré qu'en coordonnées cylindriques, des solutions analytiques peuvent être exhibées dans un sous-domaine si les frontières de ce sous-domaine sont radiales ou tangentielles. La notion de sous-domaines analytiques de forme annulaire ou secto-riel est ainsi introduite et le principe de calcul des solutions précisé. Enfin, la dernière section reporte un ensemble de solutions analytiques utiles à la description des machines synchrones et asynchrones.

### III.2.1 Equations du champ en milieu isotrope linéaire

Dans un milieu isotrope linéaire, le champ est régi par une équation aux dérivées partielles présentée dans la première sous-section. La machine étant constituée de plusieurs milieux de propriétés différentes, la seconde sous-section introduit la notion de domaine de définition et de sous-domaines. Chaque sous-domaine est caractérisé par une EDP particulière dont la solution est rendue unique par les conditions de bord détaillées en troisième sous-section.

#### III.2.1.1 Mise en équation

Si l'approximation des états quasi-stationnaires est admise (les charges et les courants de déplacement ne sont pas pris en compte), alors les équations de Maxwell s'écrivent comme suit (où $\vec{H}$, $\vec{j}$, $\vec{B}$ et $\vec{E}$ désignent le champ magnétique, la densité de courant, l'induction magnétique et le champ électrique respectivement) :

$$ \text{rot } \vec{H} = \vec{j} \qquad (\text{III.37}) $$

$$ \text{div } \vec{B} = 0 \qquad (\text{III.38}) $$

$$ \text{rot } \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \qquad (\text{III.39}) $$

$$ \text{div } \vec{j} = 0 \qquad (\text{III.40}) $$

Les milieux considérés sont supposés linéaires et isotropes. Dans ce cas, si $\mu$ désigne la perméabilité magnétique du milieu, l'induction magnétique $\vec{B}$ et l'éventuelle induction magnétique rémanente $\vec{M}$ (cas des aimants permanents) sont liées :

$$ \vec{B} = \mu \vec{H} + \vec{M} \qquad (\text{III.41}) $$
<figure><img src="image_1069.png" /></figure>

## Si séquences indépendantes

<figure><img src="image_1070.png" /></figure>

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle
concept de
 séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

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De même, si $\zeta$ désigne la conductivité du milieu, la densité de courant $\vec{j}$ et l'éventuelle densité de courant extérieure (imposée) $\vec{j}_{ext}$ sont liées :

$$ \vec{j} = \zeta \vec{E} + \vec{j}_{ext} \qquad (III.42) $$

Le champ est calculé depuis le potentiel-vecteur magnétique $\vec{A}$ exploitant la divergence nulle de l'induction magnétique spécifiée par (III.38) :

$$ \vec{B} = \text{rot} \vec{A} \qquad (III.43) $$

La machine est décrite dans un repère cylindrique $\{\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_z\}$. La longueur axiale est supposée suffisamment grande pour que le champ puisse être considéré indépendant de la position selon $z$ (hypothèse 2D revenant à négliger les effets de bord). Dans ce cas, l'induction $\vec{B}$ en un point donné dépend exclusivement de $r$ et $\theta$ et le potentiel-vecteur $\vec{A}$ est orienté selon $\vec{e}_z$ :

$$ \vec{A} = A(r, \theta) \vec{e}_z \qquad (III.44) $$

Selon les équations de Maxwell (III.37), (III.38), (III.39), (III.40) et les équation des milieux (III.41), (III.42), en un point appartenant à un milieu de perméabilité $\mu$ et de conductivité $\zeta$, caractérisé par une magnétisation $\vec{M}$ et une vitesse de rotation $\Omega$ des pièces conductrices par rapport au repère de référence, le potentiel-vecteur est régi par l'équation suivante (où $\vec{j}_{ext}$ est la densité de surfacique de courant imposé au milieu orienté selon $\vec{e}_z$ :

$$ \text{rot} (\text{rot} \vec{A}) = \mu \vec{j}_{ext} - \mu \zeta \left( \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} - r \Omega \vec{e}_{\theta} \times \text{rot} \vec{A} \right) + \text{rot} \vec{M} \qquad (III.45) $$

Selon (III.44), la divergence du potentiel-vecteur $\vec{A}$ est nulle. Par conséquent, (III.45) peut se écrire avec l'opérateur laplacien vectoriel $\vec{\Delta}$ :

$$ \vec{\Delta} \vec{A} = -\mu \vec{j}_{ext} + \mu \zeta \left( \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} - r \Omega \vec{e}_{\theta} \times \text{rot} \vec{A} \right) - \text{rot} \vec{M} \qquad (III.46) $$

Projetée sur l'axe $z$ (seule composante non nulle du potentiel-vecteur $\vec{A}$), la relation (III.46) devient :

$$ \frac{\partial^2 A}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial A}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial A}{\partial \theta^2} = -\mu j_{ext} + \mu \zeta \left( \frac{\partial A}{\partial t} + \Omega \frac{\partial A}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r} \frac{\partial M_r}{\partial \theta} - \frac{M_\theta}{r} - \frac{\partial M_\theta}{\partial r} \qquad (III.47) $$

Dans (III.47), le terme de gauche correspond au Laplacien scalaire (noté $\Delta$) de la composante $z$ du potentiel-vecteur $\vec{A}$ (noté $A$ selon (III.44)). Ainsi, (III.47) peut prendre une forme plus compacte :

$$ \Delta A - \mu \zeta \left( \frac{\partial A}{\partial t} + \Omega \frac{\partial A}{\partial \theta} \right) = -\mu j_{ext} + \frac{1}{r} \frac{\partial M_r}{\partial \theta} - \frac{M_\theta}{r} - \frac{\partial M_\theta}{\partial r} \qquad (III.48) $$

Dans (III.48), le terme de droite correspond aux termes sources, c'est-à-dire aux termes représentant les densités courants externes éventuelles et la magnétisation éventuelle au point considéré. Cette fonction source est notée $s(r, \theta, t)$.
### III.2.1.2 Sous-domaines et domaine de définition

L'équation aux dérivées partielles (EDP) (III.48) doit donc être satisfaite en tous points appartenant à une surface ou région de perméabilité et de conductivité constantes sur laquelle s'applique une fonction source $s(r, \theta, t)$ (définie en tous points de la région). Cette surface constitue un sous-domaine, noté $\mathcal{D}^{(i)}$ (où $(i)$ est l'indice du sous-domaine). Le domaine de résolution, noté $\mathcal{D}$, est la réunion de l'ensemble des sous-domaines.

Dans chaque sous-domaine, l'EDP (III.48) est particularisée, en notant $\mu_i$, $\zeta_i$ et $s^{(i)}$, la perméabilité, la conductivité et la fonction source pour le sous-domaine considéré :

$$ \forall P \in \mathcal{D}^{(i)} \quad \Delta A^{(i)}(P,t) - \mu_i \zeta_i \left( \frac{\partial A^{(i)}}{\partial t}(P,t) + \Omega \frac{\partial A^{(i)}}{\partial \theta}(P,t) \right) = s^{(i)}(P,t) \quad (III.49) $$

Si les variations temporelles sont négligées (hypothèse magnétostatique), alors l'EDP (III.49) est une équation de Poisson :

$$ \forall P \in \mathcal{D}^{(i)} \quad \Delta A^{(i)}(P) = s^{(i)}(P) \quad (III.50) $$

Si, de plus, le sous-domaine ne contient pas de terme sources, alors l'EDP (III.50) devient une équation de Laplace :

$$ \forall P \in \mathcal{D}^{(i)} \quad \Delta A^{(i)}(P) = 0 \quad (III.51) $$

Dans le cas d'un milieu conducteur ($\zeta_i \neq 0$), si la variation temporelle est supposée sinusoïdale, les courants induits dans le sous-domaine peuvent être décrits à l'aide d'une équation de Helmholtz.

Le sous-domaine est une surface limitée par des frontières sur lesquelles s'appliquent les conditions de bord. L'ensemble des conditions de bord assurent l'unicité de la solution dans chaque sous-domaine et, au final, l'unicité de la solution sur l'ensemble du domaine $\mathcal{D}$.

### III.2.1.3 Conditions de bord

Pour une frontière donnée de sous-domaine, la condition de bord peut être :

* soit une condition aux limites si la frontière borne le domaine de résolution,

* soit une condition de continuité si la frontière sépare deux sous-domaines (et est donc commune à deux sous-domaines).

Dans ce deuxième cas, il s'agit de raccorder les solutions de deux sous-domaines entre elles. Formellement, un sous-domaine $\mathcal{D}^{(i)}$ définit un certain nombre de frontières qu'il est nécessaire de distinguer. Ainsi la frontière indexée $(j)$ du sous-domaine $\mathcal{D}^{(i)}$ est notée $\partial^j \mathcal{D}^{(i)}$. La figure III.3 donne l'exemple d'un sous-domaine $\mathcal{D}^{(1)}$ admettant quatre conditions de bord : une condition aux limites $(\partial^1 \mathcal{D}^{(1)}$, en trait fort bleu) et trois conditions de continuité $(\partial^2 \mathcal{D}^{(1)}, \partial^3 \mathcal{D}^{(1)}$ et $\partial^4 \mathcal{D}^{(1)}$ en trait fin rouge).

#### Conditions aux limites

Dans ce cas, pour le sous-domaine $\mathcal{D}^{(i)}$, la frontière $\partial^j \mathcal{D}^{(i)}$ peut définir une condition aux limites de Dirichlet (ou du premier ordre) ou de Neumann (ou du deuxième ordre). La condition aux
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### Si séquences indépendantes

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Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle
concept de
 séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

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<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIGURE III.3 — Conditions de bord pour le sous-domaine $\mathcal{D}^{(1)}$</figcaption></figure>

limites mixte de Robin (ou du troisième ordre) n'est pas introduite car non utilisée dans la suite (bien qu'elle puisse intervenir dans des problèmes de calcul analytique du champ en magnétodynamique [34]).

La condition aux limites de Dirichlet consiste à imposer la valeur du potentiel le long de la frontière. Si $f_d$ désigne le potentiel imposé, la condition aux limites de Dirichlet peut se formuler comme suit :

$$ \forall P \in \partial^j \mathcal{D}^{(i)} \quad A^{(i)}(P) = f_d(P) \qquad (III.52) $$

La condition aux limites Neumann consiste à imposer la dérivée du potentiel le long de la frontière. Si $f_n$ désigne cette dérivée, la condition aux limites de Neumann peut se formuler comme suit (où $\partial n$ désigne la différenciation selon le vecteur normal à la frontière au point P) :

$$ \forall P \in \partial^j \mathcal{D}^{(i)} \quad \frac{\partial A^{(i)}}{\partial n}(P) = f_n(P) \qquad (III.53) $$

Si les potentiels imposés sont constants (indépendants de l'espace et du temps), les conditions aux limites sont qualifiées d'homogènes.

Il existe des conditions aux limites particulières visant à réduire le domaine de calcul en exploitant les périodicités spatiales du problème : il s'agit des conditions aux limites de périodicité et d'anti-périodicité applicables selon les symétries de construction de la machine considérée. Ces conditions de périodicité et d'anti-périodicité apparaient nécessairement deux frontières distinctes $\partial^j \mathcal{D}^{(i)}$ et $\partial^{j'} \mathcal{D}^{(i)}$ du domaine $\mathcal{D}^{(i)}$. La condition de périodicité peut alors
s'écrire :

$$A^{(i)}(\partial^j \mathcal{D}^{(i)}) = A^{(i)}(\partial^{j'} \mathcal{D}^{(i)}) \qquad (III.54)$$

La condition d'anti-périodicité est exprimée de façon semblable :

$$A^{(i)}(\partial^j \mathcal{D}^{(i)}) = -A^{(i)}(\partial^{j'} \mathcal{D}^{(i)}) \qquad (III.55)$$

Pour une machine à aimant à $p$ paires de pôles, l'amplitude angulaire (selon $\theta$) du domaine peut être réduite à la valeur de l'angle d'onde fondamentale de la force magnétomotrice, soit généralement $2\pi/G$ (exceptionnellement $2 \times 2\pi/G$ pour une distribution FS-2 monocouche). Des conditions aux limites de périodicité doivent alors être imposées aux frontières radiales du domaine. Dans le cas (fréquent) d'une machine à aimants présentant un bobinage entier à distribution anti-symétrique (bobinage polaire diamétral distribué), la variation angulaire peut être réduite à $\pi/p$ en imposant des conditions d'anti-périodicité sur les frontières radiales.

Pour une machine à induction à cage à $Q_r$ barres équipée d'un bobinage à $p$ paires de pôles (et ne générant pas de sous-harmoniques spatiaux, soit telle que $2s_{pp}$ soit entier), l'amplitude angulaire du domaine peut être réduite à $2\pi/\text{gcd}(p, Q_r)$ [36]. Des conditions de périodicité doivent être imposées sur les frontières radiales.

## Conditions de continuité

Les conditions de continuité sont portées par les frontières séparant deux sous-domaines. En pratique, ces frontières constituent des interfaces pouvant matérialiser un changement de milieu ou un chargement électrique (par une densité linéique de courant). Deux conditions de continuité sont à vérifier le long de la frontière :

* la condition de continuité du flux magnétique,

* la condition de continuité d'Ampère.

Pour deux sous-domaines $\mathcal{D}^{(i)}$ et $\mathcal{D}^{(i')}$, la frontière commune est notée $\partial\mathcal{D}_{(i),(i')}^*$.

En raison de la propriété de conservation du flux, à la traversée de l'interface, la composante normale de l'induction à l'interface est continue. Formellement, pour deux sous-domaines indicés $(i)$ et $(i')$, séparés par une interface $\partial\mathcal{D}_{(i),(i')}$ de normale $\vec{n}$ au point $P$, cette condition s'écrit :

$$\forall P \in \partial \mathcal{D}_{(i),(i')} \quad \vec{n} \cdot (\overrightarrow{B^{(i')}}(P) - \overrightarrow{B^{(i)}}(P)) = 0 \qquad (III.56)$$

Si l'interface entre deux sous-domaines indicés $(i)$ et $(i+1)$ est un arc de cercle de rayon $R_i$ s'étendant des angles $\theta_i$ à $\theta_i + \beta_i$, alors la relation (III.56) peut se ré-écrire comme suit :

$$\forall \theta \in [\theta_i; \theta_i + \beta_i] \quad \frac{\partial A^{(i+1)}}{\partial \theta}(R_i, \theta) - \frac{\partial A^{(i)}}{\partial \theta}(R_i, \theta) = 0 \qquad (III.57)$$

La condition de continuité d'Ampère exprime la conservation de la composante tangentielle du champ au passage de l'interface chargée par une densité linéique de courant. Formellement, pour deux sous-domaines indicés $(i)$ et $(i')$, séparés par la frontière $\partial\mathcal{D}_{(i),(i')}$ de normale $\vec{n}$ au point $P$, chargée par une densité linéique de courant notée $\vec{K}_i$ (selon $\vec{e}_z$), cette condition s'écrit :

$$\forall P \in \partial \mathcal{D}_{(i),(i')} \quad \vec{n} \times (\overrightarrow{H^{(i')}}(P) - \overrightarrow{H^{(i)}}(P)) = \vec{K}_i(P) \qquad (III.58)$$
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# Contribution à la modélisation du bobinage

## Décomposition multi-machine

### Si séquences indépendantes

### Machine fictive homopolaire

$$|v| \in |F_0|$$

$$L_{cs,0} \xrightarrow{\beta_1^N} \overrightarrow{h_0^N}$$

### Machine fictive principale

$$|v| \in |F_1| \text{ et } p \in F_1$$

$$L_{cs,1} \rightleftharpoons \overleftarrow{\alpha_1^N}$$

(...)

### Machine fictive d'ordre u

$$|v| \in |F_u|$$

$$L_{cs,u} \xrightarrow{\beta_u^N} \overrightarrow{\alpha_u^N}$$

(...)

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Perception
naturelle du
bobinage

Perception
fréquentielle
concept de
 séquences

Décomposition
multi-machine

Amélioration
des
performances

Perspectives

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Si l'interface entre les sous-domaines indicés (i) et (i + 1), de perméabilité respectives $\mu_i$ et $\mu_{i+1}$, est un arc de cercle de rayon $R_i$ s'étendant des angles $\theta_i$ à $\theta_i + \beta_i$, alors la relation (III.58) peut se ré-écrire comme suit :

$$ \forall \theta \in [\theta_i; \theta_i + \beta_i] \quad -\frac{1}{\mu_{i+1}} \frac{\partial A^{(i+1)}}{\partial r}(R_i, \theta) + \frac{1}{\mu_i} \frac{\partial A^{(i)}}{\partial r}(R_i, \theta) = \mathcal{K}_i(\theta) \quad (III.59) $$

### III.2.2 Principe de résolution analytique

Cette section examine les conditions nécessaires à l'établissement d'une solution analytique à l'EDP (III.48) en coordonnées cylindriques. Il apparaît que des simplifications géométriques particulières sont nécessaires, ce qui suggère d'introduire la notion de sous-domaine analytique. La deuxième sous-section analyse la problématique de raccordements des solutions des différents sous-domaines analytiques constituant le domaine de définition représentant la machine. La dernière sous-section établit un bilan et propose une sélection de cas d'applications issus de la littérature.

#### III.2.2.1 Notion de sous-domaine analytique

Fondamentalement, le principe de résolution analytique consiste à décomposer le domaine en sous-domaines pour lesquels existe une solution analytique à (III.50). Dans la suite, un tel sous-domaine est qualifié d'analytique (« sous-domaine analytique »). Il est d'ailleurs utile de rappeler que, si (III.50) est valable sur une surface donnée, c'est que le caractère linéaire, homogène et isotrope des matériaux est déjà supposé.

Un sous-domaine peut correspondre à une région physique (ou zone constitutive) de la machine mais pas nécessairement. Par exemple, l'entrefer et la culasse rotorique, caractérisées par des propriétés magnétiques différentes (perméabilité, conductivité) peuvent constituer deux sous-domaines pour lesquels une solution analytique existe. Cependant, cette distinction basée sur les propriétés physiques n'est pas une règle. Ainsi, pour une machine à encoches semi-ouvertes, la zone d'ouverture d'encoches et l'entrefer présentent une conductivité (nulle) et une perméabilité (air) égales et sont régies par la même EDP. Les solutions analytiques pour ces deux zones étant différentes, elles constituent deux sous-domaines distincts (alors qu'elles possèdent les mêmes propriétés magnétiques et répondent à la même équation différentielle).

En fait, il semble que les solutions analytiques n'existent que pour des géométries particulières (formes de la surface) de sous-domaine. Pour diviser le domaine en sous-domaines analytiques, des simplifications géométriques sont donc nécessaires. Pour une machine électrique tournante, sous hypothèses de linéarité, en coordonnées cylindriques, des solutions analytiques peuvent être exhibées dans un sous-domaine si les frontières de ce sous-domaine sont radiales ou tangentialles. Concrètement, les surfaces définies par les sous-domaines doivent être annulaires (en forme de couronnes) ou sectoriels (en forme de tuiles).

Plus précisément, pour les sous-domaines sectoriels, il est admis que les solutions analytiques ne peuvent exister que si les conditions de bord radiales définissent des conditions aux limites. Corollairement, deux sous-domaines sectoriels partageant une frontière radiale ne peuvent être analytiques. Ainsi, un sous-domaine analytique sectoriel est radialement bordé par des zones où le champ ne peut être évalué : en pratique, pour une machine électrique, un sous-domaine sectoriel est radialement bordé de part et d'autre par un milieu de perméabilité infinie (représentant la tôle ferromagnétique), ce qui aboutit à des conditions aux limites ra-
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Si séquences indépendantes

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Machine fictive homopolaire

$|v| \in |F_0|$

$L_{cs,0}$

$\beta_1^N$

Machine fictive principale

$|v| \in |F_1|$ et $p \in F_1$

$L_{cs,1}$

Machine fictive d'ordre u

$\beta_u^N$

$|v| \in |F_u|$

$L_{cs,u}$

Invariance du circuit ma-
gnétique à la position de
l'inducteur, vue des séquences

(...)

(...)

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diales généralement homogènes (ou du moins abordables analytiquement). Par conséquent, si il existe un sous-domaine sectoriel analytique, toutes les tôles ferromagnétiques sont supposés de perméabilité infinie<fnref n="5" />.

### III.2.2.2 Solutions et raccordements

La solution est qualifiée d'analytique si la résolution consiste à raccorder des solutions analytiques explicites dans différents sous-domaines. Dans un sous-domaine donné, la solution analytique est mise en évidence par séparation de variables. La linéarité de l'opérateur laplacien-scalaire autorise un calcul par superposition. Généralement, pour le sous-domaine $D^{(i)}$, la solution apparaît développée en série pouvant s'écrire de la façon suivante (où $m$ désigne l'ordre) :

$$A^{(i)}(r, \theta) = \sum_{m=0}^{+\infty} A_m^{(i)}(r, \theta) \qquad (III.60)$$

Chaque ordre $m$ de la série est caractérisé par $K$ coefficients (notés $\alpha_{m,1}^{(i)}$, $\alpha_{m,2}^{(i)}$, ..., $\alpha_{m,K}^{(i)}$) avec $K$ typiquement égal à 2 ou 4. Les valeurs de ces coefficients sont calculés en tenant compte des conditions aux bords du sous-domaine. Résoudre le problème sur le domaine complet consiste donc à calculer tous les termes des séries pour tous les sous-domaines. Cette opération de raccordement de solutions vise à respecter les conditions de bord des sous-domaines.

#### Existence de sous-domaines analytiques annulaires exclusivement

Un sous-domaine analytique annulaire présente des solutions sous forme de séries de Fourier de la variable $\theta$. Si tous les sous-domaines sont annulaires, les conditions de bord peuvent alors s'écrire ordre par ordre et leur regroupement, pour l'ordre $m$, fait apparaître un système linéaire noté comme suit :

$$[M_m] [\kappa_m] = [s_m] \qquad (III.61)$$

Dans (III.61), $[\kappa_m]$ est un vecteur composé des coefficients harmoniques d'ordre $m$ pour tous les sous-domaines ($\alpha_{m,k}^{(i)}$), $[s_m]$ est un vecteur composé des coefficients de Fourier d'ordre $m$ des termes sources (aimantation, densités de courant) et $[M_m]$ est une matrice dont les coefficients dépendent de la géométrie des sous-domaines et de l'ordre $m$: elle peut être appelée matrice topologique d'ordre $m$ [37]. Ainsi, les coefficients d'ordre $m$ des différents domaines ne dépendent que des coefficient d'ordre $m$: il n'existe pas de couplage entre deux ordres différents. Le problème peut donc être résolu ordre par ordre. Le nombre de sous-domaines étant relativement faible, la matrice peut généralement être littéralement inversé de sorte à exhiber des expressions analytiques pour chacun des coefficients de Fourier. A défaut, une méthode d'inversion numérique doit être mise en oeuvre. C'est à éviter dans la mesure où la matrice $[M_m]$ est mal conditionnée, et ce d'autant que l'ordre $m$ est élevé.

Si le circuit magnétique simplifié ne présente pas de saillance, alors un calcul indépendant des contributions des termes sources liés à l'induit et liés à l'inducteur en magnétostatique est possible. En termes d'implémentation logicielle, le résultat est pratiquement instantané et les solutions peuvent être numériquement stabilisés par une mise en forme adaptée des expressions mathématiques.

<footnote n="5">5. Rigoureusement, seul le circuit magnétique (induit ou inducteur) comportant des sous-domaines sectoriels devrait être considéré avec des tôles de perméabilité infinie.</footnote>
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# Sommaire

1 Bilan d'activité

2 Contribution à la modélisation du bobinage

3 Amélioration des performances
- Qualité du couple

- Plage de vitesse

- Fiabilité fonctionnelle

4 Perspectives

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

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fonctionnelle

Perspectives

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## Présence de sous-domaines analytiques sectoriels

Si le sous-domaine analytique est sectoriel de largeur angulaire $\beta$, les solutions sont $\beta$-périodiques selon l'angle $\theta$. Elles apparaissent sous forme décomposée (ou projetées) dans une base orthonormale de fonctions $\beta$-périodiques. Il est à noter que cette propriété est vérifiée pour le sous-domaine annulaire si celui-ci est considéré comme un sous-domaine sectoriel de largeur angulaire $2\pi$.

Si il existe des sous-domaines analytiques sectoriels, la prise en compte des conditions de raccord entre les sous-domaines aboutit également à un système linéaire. Le problème peut alors être formalisé avec l'équation suivante :

$$ [M] [\kappa] = [s] \qquad (III.62) $$

Dans (III.62), $[\kappa]$ est un vecteur composé des coefficients harmoniques pour tous les sous-domaines $(\alpha_{v,k}^{(i)})$, $[s]$ est un vecteur composé des termes sources (aimantation, densités de courant) et $[M]$ est la matrice topologique (dont les coefficients dépendent de la géométrie des sous-domaines). Contrairement aux cas où tous les sous-domaines analytiques sont annulaires, formalisé par (III.61), il existe un couplage entre les ordres. Concrètement, les coefficients d'ordre $m$ caractérisant le terme $A_m^{(i)}$ du sous-domaine analytique $\mathcal{D}^{(i)}$ ne dépendent pas seulement des termes d'ordre $m$ des solutions des autres sous-domaines. En pratique, le calcul des coefficients d'ordre $m$ apparaît sensible au nombre d'ordres considérés dans les développements en série des potentiels. De plus, chercher à inverser littéralement la matrice topologique $[M]$ (mal conditionnée) est peu pertinent dans la mesure où celle-ci est théoriquement de dimension infiniment grande si tous les ordres sont considérés, c'est-à-dire si tous les coefficients d'ordre $m$ sont calculés exactement. En d'autres termes, une méthode numérique doit donc être appliquée pour résoudre le système linéaire (III.62). La matrice topologique étant de dimension d'autant plus grande que le nombre de termes des développements en série est grand, la problématique tend à se rapprocher de celle du calcul numérique par éléments finis.

### III.2.2.3 Bilan

Au final, la méthode est qualifiée d'analytique si la résolution consiste à raccorder les solutions analytiques des différents sous-domaines. Cependant, si il existe un sous-domaine de forme sectorielle, alors le traitement des conditions de bord nécessite de recourir à une méthode numérique pour inverser la matrice topologique et estimer les coefficients des termes des séries composant les solutions. Dans ce cas, la méthode est plutôt qualifiée de semi-analytique [37]. Le tableau III.1 met en évidence la distinction entre l'approche analytique (où le découplage d'ordre rend envisageable un calcul littéral exact des solutions par inversion explicite de la matrice topologique d'ordre $m$) et l'approche semi-analytique.

<table><caption>TABLE III.1 — Bilan des méthodes analytiques</caption><thead><tr><td>Méthode</td><td>Sous-domaines</td><td>Interactions ordre</td></tr></thead><tbody><tr><td>Analytique</td><td>Annulaires exclusivement</td><td>NON (cf. (III.61))</td></tr><tr><td>Semi-analytique</td><td>Annulaires et sectoriels</td><td>OUI (cf. (III.62))</td></tr></tbody></table>

Pour la méthode analytique, le traitement des raccords entre les sous-domaines annulaires ne nécessitent pas de méthodes numériques pour inverser la matrice topologique d'ordre $m$.
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Quantifier l'impact de l'augmentation du nombre de phases sur le
couple moyen et les ondulations de couple

Bilan

d'activité

Contribution à

la

modélisation

du bobinage

Amélioration

des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité

fonctionnelle

Perspectives

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