d'où $|h(z)|_{\partial \mathcal{B}_{a,b}} \le 1$ ; comme de plus

$$|h(z)|_{\partial \mathcal{B}_{a,b}} \le \frac{C}{\inf_{z \in \mathcal{B}_{a,b}} |g(z)|} = \frac{C}{\min(M(a), M(b))}$$

il résulte du théorème 6.10 que $|h(z)|_{\partial \mathcal{B}_{a,b}} \le 1$.

► On a donc démontré que $|f(z)| \le M(a)^{\frac{b-x}{b-a}} M(b)^{\frac{x-a}{b-a}} \quad \forall z \in \mathcal{B}_{a,b}$, d'où $M(x) \le M(a)^{\frac{b-x}{b-a}} M(b)^{\frac{x-a}{b-a}}$ ou encore $\mathrm{Log} M(x) \le \frac{b-x}{b-a} \mathrm{Log} M(a) + \frac{x-a}{b-a} \mathrm{Log} M(b)$.

Q.E.D.

**REMARQUE 6.12** Notons qu'il suffit que $f$ soit bornée sur $\partial \mathcal{B}_{a,b}$ et vérifie les hypothèses du théorème 6.10 pour que les hypothèses du théorème 6.11 soient vérifiées.

**COROLLAIRE 6.13 (Le théorème des trois cercles d'Hadamard)** Soit $f$ holomorphe dans la couronne $\mathcal{C}_{\alpha,\beta} = \{z \in \mathbb{C} | \alpha < |z| < \beta\}$, continue sur $\bar{\mathcal{C}}_{\alpha,\beta}$. La fonction $\mathrm{Log} N(r)$ où $N(r) = \sup_{\theta \in [0,2\pi]} |f(re^{i\theta})|$ est une fonction convexe de $\mathrm{Log} r$.

**DÉMONSTRATION.** Posons $z = x + iy = re^{i\theta}$ et considérons la fonction $F(z) = f(e^z)$, on a $e^z = e^x e^{iy}$ soit $r = e^x$ et $\theta = y \pmod{2k\pi}$ et par conséquent $\alpha < |e^z| = r < \beta$ si et seulement si $\mathrm{Log} \alpha < x < \mathrm{Log} \beta$. Dans cette bande $f$ est holomorphe et bornée ; en vertu du théorème 6.11, avec

$$v(x) = \sup_{y \in \mathbb{R}} |F(z)| = \sup_{\theta \in [0,2\pi]} |f(re^{i\theta})| = N(r),$$

on aura

$$v(\mathrm{Log} \alpha) = \sup_{y \in \mathbb{R}} |F(e^{\mathrm{Log} \alpha} e^{iy})| = \sup_{\theta \in [0,2\pi]} |f(\alpha e^{i\theta})| = N(\alpha)$$

d'où

$$N(r) \le \frac{\mathrm{Log} \beta - \mathrm{Log} r}{\mathrm{Log} \beta - \mathrm{Log} \alpha} N(\alpha) + \frac{\mathrm{Log} r - \mathrm{Log} \alpha}{\mathrm{Log} \beta - \mathrm{Log} \alpha} N(\beta).$$

Q.E.D.
# Chapitre 7

# Singularités des fonctions analytiques

Jusqu'ici c'est essentiellement par l'intermédiaire de l'hypothèse d'homologie à 0 des chemins que nous avons pu prendre en compte les régions dans lesquelles les fonctions considérées n'admettaient pas de prolongement analytique. Le chapitre qui suit est consacré à une étude détaillée des fonctions présentant des singularités ponctuelles. On notera cependant que la notion d'indice d'un point par rapport à un lacet correspond déjà à la prise en compte d'une fonction présentant une singularité ponctuelle du premier ordre.

## 7.1 Singularités isolées

Rappelons que $\dot{B}_r(a)$ note le disque pointé de centre $a$ et de rayon $r$, soit

$$ \dot{B}_r(a) = B_r(a) \setminus \{a\}. $$

LEMME 7.1 Si $f$ est holomorphe dans $\dot{B}_r(a)$ et si

$$ (z-a)f(z) \to 0 \quad \text{quand} \quad z \to a, $$

alors elle se prolonge en une fonction holomorphe dans $B_r(a)$. On dit que $f$ possède une singularité fictive en $a$.

Les hypothèses du lemme sont vérifiées en particulier quand $f$ est bornée dans $\dot{B}_r(a)$.

DÉMONSTRATION. Posons $h(z) = (z-a)^2 f(z)$, $z \neq a$ et $h(a) = 0$, la fonction $h$ est dérivable dans $B_r(a)$ et vérifie $h'(a) = 0$, d'où il résulte qu'elle se développe en série entière selon

$$ h(z) = \sum_{n \ge 0} c_n (z-a)^n = (z-a)^2 \sum_{m \in \mathbb{N}} c_{m+2} (z-a)^m. $$

C'est dire que $f$ admet $\sum_{m \in \mathbb{N}} c_{m+2} (z-a)^m$ pour prolongement analytique dans $B_r(a)$.

Q.E.D.

En conséquence si la singularité n'est pas fictive, c'est-à-dire si $f$ n'est pas holomorphe dans $B_r(a)$, alors elle n'est pas bornée en $a$ ; c'est là une importante différence avec le cas réel comme le montre la fonction $|x|$.

THÉORÈME 7.2 Soit $\Omega$ un ouvert, $a \in \Omega$ et $f$ holomorphe dans $\Omega \setminus \{a\}$, alors on se trouve dans l'un et un seul des trois cas suivants :
(i) $f$ possède une singularité fictive en $a$.

(ii) Il existe $m \ge 1$ et des $c_k$, $k = 1, \dots, m$ où $c_m \ne 0$, tels que

$$f(z) - \sum_{k=1}^{m} \frac{c_k}{(z-a)^k} \qquad (7.1)$$

possède une singularité fictive en $a$.

On dit alors que $f$ possède un pôle d'ordre $m$ en $a$, et on note

$$m = \pi(f; a).$$

REMARQUE 7.3 Dire que $(z-a)^m f(z)$ est bornée au voisinage de $a$, c'est précisément dire que $f$ possède en $a$ un pôle d'ordre inférieur ou égal à $m$ (ou pas de pôle du tout !)

(iii) Si $r > 0$ est assez petit pour que $B_r(a) \subset \Omega$, alors $f(\dot{B}_r(a))$ est dense dans $\mathbb{C}$.

On dit alors que $f$ possède en $a$ une singularité essentielle.

DÉMONSTRATION.

► Supposons que (iii) ne soit pas vérifié, alors $\exists r, w \in \mathbb{C}$ et $\delta$ tels que $B_\delta(w)$ ne rencontre pas $f(\dot{B}_r(a))$, soit $|f(z) - w| > \delta \quad \forall z \in \dot{B}_r(a)$. Posons

$$g(z) = 1/(f(z)-w), \quad z \in \dot{B}_r(a), \qquad (7.2)$$

on aura $|g(z)| < 1/\delta$, d'où il résulte d'après le lemme 7.1 que $g$ se prolonge analytiquement à $B_r(a)$ ; notons encore $g$ ce prolongement.

► Si $g(a) \ne 0$, alors $f$ est bornée au voisinage de $a$ d'après (7.2) et par conséquent se prolonge en une fonction holomorphe, soit (i).

► Si $g(a) = 0$, comme $g$ n'est pas identiquement nulle, selon la proposition 2.8 elle possède en $a$ un zéro isolé, disons d'ordre $m \ge 1$ :

$$g(z) = (z-a)^m h(z),$$

où la fonction holomorphe $h$ ne s'annule ni en $a$, ni dans $\dot{B}_r(a)$ en vertu de (7.2). La fonction $u(z) = 1/h(z)$ est donc holomorphe dans $B_r(a)$ et ne s'y annule pas. On aura par conséquent

$$u(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} b_n (z-a)^n, \text{ où } b_0 \ne 0,$$

d'où

$$f(z) - w = (z - a)^{-m} u(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} b_n (z - a)^{n-m},$$

soit (ii).

Q.E.D.
COROLLAIRE 7.4 Soit $\mathcal{A}$ appartenant à l'ouvert $\Omega$, $f$ holomorphe dans $\Omega \setminus \{a\}$ et

$$f(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} b_n (z-a)^n$$

son développement en série de Laurent au voisinage de $a$.

(i) $f$ admet une singularité fictive en $a$ si et seulement si $b_n = 0 \quad \forall n < 0$ : le développement de Laurent ne comporte que des termes d'ordre $n \ge 0$.

(ii) $f$ admet un pôle d'ordre $m$ en $a$ si et seulement si $b_n = 0 \quad \forall n < -m < 0$, et $b_{-m} \neq 0$ : le développement de Laurent ne comporte qu'un nombre fini $m$ de termes d'ordre négatif.

(iii) $f$ admet une singularité essentielle en $a$ si et seulement si $\forall n, \exists m < n$, tel que $b_m \neq 0$ : le développement de Laurent comporte un nombre infini de termes d'ordre $n < 0$.

Il pourrait sembler que le théorème 7.2 (iii) nous décrive une singularité essentielle comme quelque peu monstrueuse et donc rarissime, il n'en est rien comme en témoigne la fonction $e^{1/z}$, sujette à une singularité essentielle en 0, ainsi qu'il est facile de s'en assurer. Le théorème de Picard nous montre qu'en fait, au voisinage d'une singularité essentielle, la fonction $f$ prend une infinité de fois toutes les valeurs complexes, sauf peut-être une. La fonction $e^{1/z}$, qui ne s'annule pas, nous prouve la nécessité de cette restriction.

<figure><img src="image_98.png" /></figure>

### 7.1.1 Fonctions méromorphes

DÉFinition 7.5

(i) La fonction $f$ est dite méromorphe dans l'ouvert $\Omega$ si elle est holomorphe dans $\Omega \setminus \mathcal{P}$, où $\mathcal{P}$ est un sous-ensemble de $\Omega$ sans point d'accumulation, et si $f$ possède un pôle en chaque point de $\mathcal{P}$.

<figure><img src="image_99.png" /></figure>

(ii) Le coefficient $b_{-1}$ du développement en série de Laurent de $f$ au voisinage de $p \in \mathcal{P}$ est appelé résidu de $f$ en $p$ et noté $\text{Res}(f; p)$.

En vertu du théorème de Bolzano-Weierstraß, il est clair que pour toute boule $B(0, n)$, $\mathcal{P} \cap B(0, n)$ est un ensemble fini, et par conséquent que $\mathcal{P}$ est dénombrable.

Soient $f$ et $g$ analytiques dans l'ouvert $\Omega$. Posons $h(z) = f(z)/g(z)$, si $g$ n'est pas identiquement nulle, en vertu de la proposition 2.8 (ii), $h(z)$ est définie sauf peut-être en un ensemble de points isolés, soit $z_0$ l'un de ces points. Si $a_k$ et $b_{k'}$ sont respectivement les premiers coefficients non nuls des développements de $f$ et $g$ au voisinage de $z_0$, on aura

$$f(z) = (z - z_0)^k f_1(z) \text{ et } g(z) = (z - z_0)^{k'} g_1(z)$$

où $f_1$ et $f_2$ sont analytiques au voisinage de $z_0$ et ne s'annulent pas en $z_0$ ni, par continuité, au voisinage de $z_0$. Dans un tel voisinage, on aura

$$h(z) = (z - z_0)^{k-k'} h_1(z) \text{ avec } h_1(z) = \frac{f_1(z)}{g_1(z)}.$$

Selon les propositions 1.24 et 1.33 $h_1(z)$ est analytique au voisinage de $z_0$ et ne s'y annule pas. Deux cas se présentent alors

(i) si $k \ge k'$, $(z - z_0)^{k-k'} h_1(z)$ est analytique au voisinage de $z_0$ et y coïncide avec $h(z)$ en dehors de $z_0$, la singularité de $h$ en $z_0$ est alors fictive.

(ii) si $k < k'$, la fonction $h(z)$ est méromorphe et $z_0$ en constitue un pôle de multiplicité $k' - k$. On aura alors $\lim_{z \to z_0} |h(z)| = +\infty$.
## 7.2 Le théorème des résidus

La formule de Cauchy est relative à l'intégrale de fonctions de la forme $f(z)/(z-p)$, où $f$ est holomorphe, soit en fait de fonctions de la forme $g(z)$, holomorphes en dehors de $p$ où elles admettent un pôle simple. Le théorème des résidus en constitue une généralisation, valable pour les fonctions méromorphes.

Le théorème des résidus fournit un outil de calcul très puissant de certaines intégrales définies pour lesquelles on ne dispose pas de primitives; on trouvera dans l'appendice I un certain nombre d'exemples à cet égard. C'est également un outil théorique important, aux applications diverses, en particulier à la théorie spectrale.

**LEMME 7.6** Soient $\gamma$ un lacet dans l'ouvert $\Omega$ et

$$Q_p(z) = \sum_{k=1}^{m} b_{-k} (z-p)^{-k},$$

alors

$$\frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} Q_p(z) dz = b_{-1} n(\gamma; p).$$

**DÉMONSTRATION.** En effet $(z-p)^{-k}$ admet une primitive pour $k \neq 1$, et par conséquent selon **5.26**

$$\int_{\gamma} Q_p(z) dz = b_{-1} \int_{\gamma} \frac{dz}{z-p} = 2i\pi b_{-1} n(\gamma; p).$$

Q.E.D.

**THÉORÈME 7.7 (des résidus)** Soient $f$ une fonction méromorphe dans l'ouvert $\Omega$, et $\mathcal{P}$ l'ensemble de ses pôles, si $\gamma$ est un cycle homologue à 0 dans $\Omega$, qui ne rencontre pas $\mathcal{P}$, alors

<figure><img src="image_100.png" /></figure>

$$\frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} f(z) dz = \sum_{p \in \mathcal{P}} n(\gamma; p) \operatorname{Res}(f; p). \qquad (7.3)$$

**DÉMONSTRATION.**

► Commençons par remarquer que la somme du second membre de (7.3) est en fait finie; en effet $n(\gamma; w) = 0$ dans la composante connexe non bornée de $C \setminus \gamma$. Si on note alors $\mathcal{B} = \{p \in \mathcal{P} | n(\gamma; p) \neq 0\}$, on constate que $\mathcal{B}$, étant borné et ne possédant pas de point d'accumulation, est fini.

► Notons $Q_p(z)$ la partie singulière du développement en série de Laurent de $f$ au voisinage de $p$. Posons

$$g(z) = f(z) - \sum_{p \in \mathcal{B}} Q_p(z),$$

elle possède en chaque point de $\mathcal{B}$ une singularité fictive et se prolonge donc à $\Omega$ en une fonction holomorphe. On aura

$$\frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} f(z) dz = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} g(z) dz + \frac{1}{2i\pi} \sum_{p \in \mathcal{B}} \int_{\gamma} Q_p(z) dz = \sum_{p \in \mathcal{B}} n(\gamma; p) \operatorname{Res}(f; p),$$

d'après le théorème de Cauchy **5.5** et le lemme **7.6**.

Q.E.D.

<figure><img src="image_101.png" /></figure>
Rappelons qu'en vertu du théorème 5.21, les hypothèses du théorème 7.7 sont vérifiées en particulier si le lacet $\gamma$ est homotope à un point.

### REMARQUE 7.8
La formule des résidus (7.3) reste en fait valable si $f$ possède une singularité essentielle aux points de $\mathcal{B}$. En effet la partie singulière $Q_p(z)$ du développement en série de Laurent de $f$ au voisinage de $p$ est alors une série qui converge uniformément dans $\mathbb{C} \setminus \{p\}$, ce qui permet encore d'écrire

$$ \int_{\gamma} Q_p(z) dz = \int_{\gamma} \sum_{k \ge 1} b_{-k} (z-p)^{-k} dz = \sum_{k \ge 1} b_{-k} \int_{\gamma} (z-p)^{-k} dz = b_{-1} \int_{\gamma} \frac{dz}{z-p} = 2i\pi b_{-1} n(\gamma; p). $$

### 7.2.1 Calcul pratique des résidus

#### Cas d'un pôle simple

Si $p$ est un pôle simple, au voisinage de $p$ on a $f(z) = h(z) + b_{-1}/(z-p)$, où $b_{-1} \neq 0$ et $h(z)$ est holomorphe,

$$ \lim_{z \to p} (z-p) f(z) = b_{-1} = \operatorname{Res}(f; p). \qquad (7.4) $$

En particulier, si $f(z) = u(z)/v(z)$, où $u$ et $v$ sont holomorphes au voisinage de $p$, zéro simple de $v$, on aura

$$ \operatorname{Res} \left( \frac{u(z)}{v(z)}; p \right) = \lim_{z \to p} \frac{u(z)}{v(z)/ (z-p)} = u(p) / \lim_{z \to p} \frac{v(z) - v(p)}{z-p} = \frac{u(p)}{v'(p)}. \qquad (7.5) $$

#### Cas d'un pôle multiple

Si $p$ est un pôle d'ordre inférieur ou égal à $m$, on a $f(z) = h(z) + \sum_{k=1}^{m} b_{-k} / (z-p)^{-k}$ où $h(z)$ est holomorphe. Soit

$$ g(z) = (z-p)^m f(z) = (z-p)^m h(z) + \sum_{k=1}^{m} b_{-k} (z-p)^{m-k} $$

On constate que $b_{-1}$ est le coefficient d'ordre $m-1$ dans le développement de Taylor de $g$ au voisinage de $p$ et par conséquent

$$ \operatorname{Res}(f; p) = a_{m-1} = \frac{1}{(m-1)!} g^{(m-1)}(p) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to p} ((z-p)^m f(z))^{(m-1)}. \qquad (7.6) $$

### 7.2.2 Le résidu à l'infini

Selon la formule de changement de variable (4.11), on a

$$ \int_{\gamma} \underline{g} \circ \psi(z) \psi'(z) dz = \int_{\psi \circ \gamma} \underline{g}(\zeta) d\zeta, $$

soit $\underline{\gamma} = \psi \circ \gamma$, et $g(z) = \underline{g} \circ \psi(z) \psi'(z)$,

$$ \int_{\gamma} g(z) dz = \int_{\gamma} \underline{g}(\zeta) d\zeta, \qquad (7.7) $$

En particulier, si on choisit $\psi(z) = 1/z = \psi^{-1}(z)$, on aura

$$ g(z) = -\frac{1}{z^2} \underline{g}\left(\frac{1}{z}\right) \text{ ou encore } \underline{g}(\zeta) = -\frac{1}{\zeta^2} g\left(\frac{1}{\zeta}\right), $$
d'où l'on déduit que

$$ \int_{\gamma} g(z) dz = - \int_{\psi \circ \gamma} \frac{1}{\zeta^2} g\left(\frac{1}{\zeta}\right) d\zeta. \qquad (7.8) $$

Sous réserve de déterminer un domaine $\Omega'$ où $\gamma = \psi \circ \gamma$ soit homologue à 0 et $\zeta^{-2}g(\zeta^{-1})$ méromorphe, l'application de la formule des résidus au second membre de (7.8) constitue une méthode alternative pour le calcul de $\int_{\gamma} g(z) dz$.

## Indices

L'utilisation de la méthode des résidus repose tout d'abord sur la détermination d'un domaine dans lequel $\gamma$ soit homologue à 0, et donc sur un calcul d'indice. On aura

$$ n(\gamma; 0) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{1}{z} dz = -\frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{1}{\zeta^2} \zeta d\zeta = -\frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{1}{\zeta} d\zeta = -n(\gamma; 0), \qquad (7.9) $$

et pour $\alpha \neq 0$ et $\beta = 1/\alpha$,

$$ \begin{align*} n(\gamma; \alpha) &= \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{1}{z-\alpha} dz = -\frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{1}{\zeta^2 \frac{1}{\zeta} - \frac{1}{\beta}} d\zeta \\ &= \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{\beta}{\zeta(\zeta-\beta)} d\zeta \\ &= \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{1}{\zeta-\beta} d\zeta - \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{1}{\zeta} d\zeta \end{align*} $$

soit

$$ n(\gamma; \alpha) = n(\bar{\gamma}; \beta) - n(\gamma; 0) \text{ et de même } n(\bar{\gamma}; \beta) = n(\gamma; \alpha) - n(\gamma; 0) \qquad (7.10) $$

Il en résulte en particulier que si $\gamma$ est le bord orienté d'un compact $K \subset \mathbb{C}$ ne contenant pas l'origine, il en est de même de $\bar{\gamma}$, bord de $\psi(K)$ (voir la Figure 7.1). La situation est différente si $K$ contient l'origine, dans ces conditions en effet comme $n(\gamma; 0) = 1$, $n(\bar{\gamma}; \beta) = n(\gamma; \alpha) - 1$ et par conséquent $n(\gamma; 0) = -1$. Si $n(\gamma; \alpha) = 1$, $n(\bar{\gamma}; \beta) = 0$, les points de $\psi(K)$, qui n'est pas compact, ont donc pour indice $\emptyset$, tandis que les points extérieurs ont pour indice $-1$ (voir la Figure 7.2).

## Résidus

Notons maintenant que les pôles de $g$ se composent des images par $\psi$ des pôles non nuls de $g$, soit en fait des $\beta = 1/\alpha$, où $\alpha \in \mathcal{P} \setminus \{0\}$, ainsi qu'éventuellement de 0. Déterminons les résidus associés.

(i) Supposons que $\zeta \to g(\zeta)$ soit développable en série de Laurent à l'extérieur d'un certain disque de rayon $R$, (on dit encore que $g$ est développable en série de Laurent au voisinage de l'infini), soit

$$ g(\xi) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n \xi^n, \text{ ou encore au voisinage de 0, } g(1/z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_{-n} z^n, \qquad (7.11) $$

d'où

$$ \underline{g}(\zeta) = -\frac{1}{\zeta} \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n \zeta^{-n} = -\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n \zeta^{-n-2}, \qquad (7.12) $$
<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>FIGURE 7.1 – K ne contient pas l’origine</figcaption></figure>

qui constitue le développement de Laurent de $\underline{g}$ au voisinage de 0. Si de plus le développement de $\underline{g}$ ne contient qu'un nombre fini de coefficients $a_n > 0$, alors $z \to g(1/z)$ est méromorphe en 0 ; on dira que $\underline{g}$ est méromorphe à l'infini. On peut donc calculer le résidu de $\underline{g}$ en 0, également appelé résidu de $\underline{g}$ à l'infini :

$$ \mathrm{Res}_{(\underline{g}; 0)} = -a_{-1} = \mathrm{Res}_{(g; \infty)}. \qquad (7.13) $$

(ii) Soit maintenant un pôle non nul $\alpha$ de $\underline{g}$, et le développement suivant de $\underline{g}$ au voisinage de $\alpha$

$$ g(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} b_n (z - \alpha)^n = \frac{b_{-1}}{z - \alpha} + \sum_{n \neq -1} b_n (z - \alpha)^n = \frac{b_{-1}}{z - \alpha} + h(z). $$

La fonction $h$ est méromorphe, elle n'admet donc pas d'autre pôle que $\alpha$ dans un disque $B_r(\alpha)$ suffisamment petit. Comme de plus son résidu est nul en $\alpha$, son intégrale sur tout lacet dans $\dot{B}_r(\alpha)$ est nulle ; elle y admet par conséquent une primitive, soit $F$, en vertu de la proposition 5.26. On aura

$$ g(z) = \frac{b_{-1}}{z - \alpha} + F'(z) $$

et, avec $\varphi = \psi^{-1}$,

$$ \underline{g}(\zeta) = g \circ \varphi(\zeta) \varphi'(\zeta) = b_{-1} \frac{\varphi'(\zeta)}{\varphi(\zeta) - \alpha} + \varphi'(\zeta) F'(\varphi(\zeta)) = b_{-1} \frac{\varphi'(\zeta)}{\varphi(\zeta) - \varphi(\beta)} + (F \circ \varphi(\zeta))'. $$

Soit alors $\gamma$ un lacet dans $\psi(\dot{B}_r(a))$, on aura

$$ 0 = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} (F \circ \varphi(\zeta))' d\zeta = n(\gamma, \beta) \mathrm{Res}_{(\underline{F} \circ \varphi)'} ((F \circ \varphi)'; \beta), $$

et par conséquent

$$ \mathrm{Res}_{(\underline{g}; \psi(\alpha))} = b_{-1} \mathrm{Res}_{(\frac{\varphi'(\zeta)}{\varphi(\zeta) - \varphi(\beta)}; \beta)} = \mathrm{Res}_{(g; \alpha)} \frac{\varphi'(\beta)}{\varphi'(\beta)}, $$
<figure><img src="image_103.png" /><figcaption>FIGURE 7.2 – K contient l’origine</figcaption></figure>

en vertu de (7.5), puisque $\alpha$ est un pôle simple de $\varphi'(\zeta)/(\varphi(\zeta)-\alpha)$, soit

$$ \mathrm{Res} \left( \underline{g}; \psi(\alpha) \right) = \mathrm{Res} \left( g; \alpha \right), \qquad (7.14) $$

c'est-à-dire

$$ \mathrm{Res} \left( \underline{g}; 1/\alpha \right) = \mathrm{Res} \left( g; \alpha \right). \qquad (7.15) $$

Ainsi qu'on a déjà eu l'occasion d'y faire allusion, la notion adéquate n'est pas celle de fonction mais de forme différentielle : ce qui se conserve, ce n'est pas le résidu de la fonction $g(z)$, mais celui de la forme différentielle $g(z) dz$ ; nous aurons l'occasion d'y revenir ultérieurement.

## Le théorème des résidus

Supposons maintenant $g$ méromorphe dans $\Omega$, contenant toutes les composantes connexes de $\gamma^c$, hormis celle de 0, avec $n(\gamma; 0) \neq 0$ (voir la Figure 7.3). Le chemin $\gamma$ n'est alors pas homologue à 0, ce qui n'autorise pas le calcul de $\int_{\gamma} g(w) dw$ à l'aide du théorème des résidus. Cependant pour $z \notin \Omega$, c'est-à-dire pour $z$ appartenant à la composante connexe de 0, on a

$$ n(\gamma; 1/z) = -n(\gamma; 0) + n(\gamma; z) = 0, $$

en vertu de la proposition 5.2 qui nous assure de l'invariance de l'indice dans chaque composante connexe de $\gamma^c$ ; il en résulte que $\gamma$ est homologue à 0 dans $\psi(\Omega)$. Notons que $\Omega$ contient la composante à l'infini de $\gamma^c$ puisque l'indice des points de cette composante est nul, toujours selon 5.2 ; si nous supposons alors que $g$ est méromorphe à l'infini et si nous notons $\mathcal{B}$ l'ensemble des pôles de $g$ dans $\Omega$, nous pourrons écrire

$$ \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} g(z) dz = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \underline{g}(w) dw = \sum_{\beta \in \psi(\mathcal{B})} n(\gamma; \beta) \mathrm{Res} \left( \underline{g}; \beta \right) + n(\gamma; 0) \mathrm{Res} \left( \underline{g}; 0 \right), $$

soit

$$ \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} g(z) dz = \sum_{\alpha \in \mathcal{B}} (n(\gamma; \alpha) - n(\gamma; 0)) \mathrm{Res} (g; \alpha) - n(\gamma; 0) \mathrm{Res} (g; \infty). \qquad (7.16) $$
<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>FIGURE 7.3 – g n'est pas holomorphe au voisinage de 0</figcaption></figure>

Un cas particulier intéressant est celui où $\Omega = \mathbb{C}$, c'est-à-dire où g est méromorphe dans $\mathbb{C}$ tout entier, y compris à l'infini; la formule (7.16) représente alors une alternative à (7.3), qui peut se révéler tout-à-fait intéressante en raison du fait que $n(\gamma; \alpha) - n(\gamma; 0)$ s'annule pour tous les pôles de la composante connexe de 0 de $\gamma^c$.

Notons qu'on aura alors

$$ \sum_{\alpha \in \mathcal{P}} n(\gamma; \alpha) \operatorname{Res}(g; \alpha) = \sum_{\alpha \in \mathcal{P}} (-n(\gamma; 0) + n(\gamma; \alpha)) \operatorname{Res}(g; \alpha) - n(\gamma; 0) \operatorname{Res}(g; \infty), $$

où $\mathcal{P}$ note l'ensemble des pôles de $g$, soit

$$ n(\gamma; 0) \sum_{\alpha \in \mathcal{P}} \operatorname{Res}(g; \alpha) + n(\gamma; 0) \operatorname{Res}(g; \infty) = 0, $$

d'où, si l'on a pris soin de choisir $\gamma$ tel que $n(\gamma; 0) \neq 0$,

$$ \sum_{\alpha \in \mathcal{P}} \operatorname{Res}(g; \alpha) + \operatorname{Res}(g; \infty) = 0, \qquad (7.17) $$

c'est encore dire que la somme de tous les résidus, y compris le résidu à l'infini est nulle.
# Chapitre 8

## Le principe de l'argument

L'utilisation de la dérivée logarithmique, d'où l'expression 'Principe de l'argument', combinée avec le théorème des résidus conduit à une formule explicitant la relation entre les pôles et les zéros d'une fonction méromorphe.

**PROPOSITION 8.1 (Principe de l'argument)** Soit $f$ méromorphe dans l'ouvert connexe $\Omega$ et $g$ analytique dans $\Omega$. Nous noterons $\mathcal{P}$ l'ensemble des pôles de $f$, $\mathcal{R}$ celui de ses racines, et nous supposerons que le cycle $\gamma$ dans $\Omega$ est homologue à 0 et qu'il ne passe par aucun pôle ou racine de $f$. Alors

<figure><img src="image_105.png" /></figure>

$$ \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} g(z) \frac{f'(z)}{f(z)} dz = \sum_{q \in \mathcal{R}} n(\gamma; q) \zeta(f; q) g(q) - \sum_{p \in \mathcal{P}} n(\gamma; p) \pi(f; p) g(p), \quad (8.1) $$

où $\pi(f; p)$ est l'ordre du pôle de $f$ en $p$ et $\zeta(f; q)$ celui du zéro de $f$ en $q$.

### DÉMONSTRATION.

► Notons tout d'abord que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ sont disjoints car si $f$ s'annule en $q$, elle est bornée et donc holomorphe au voisinage de $q$.

► Considérons la dérivée logarithmique $f'(z)/f(z)$, elle est holomorphe au voisinage de tout point qui n'est ni un zéro ni un pôle de $f$. Si $q$ est un zéro d'ordre $\zeta(f; q) = r$ de $f$, on aura $f(z) = (z-q)^r h(z)$, où $h$ est analytique au voisinage de $q$ et $h(q) \neq 0$; il en résulte que

$$ f'(z) = (z - q)^r h'(z) + r (z - q)^{r-1} h(z), $$

d'où

$$ \frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{h'(z)}{h(z)} + \frac{r}{z-q}. $$

Comme $h'(z)/h(z)$ est holomorphe en $q$, il en résulte que

$$ \mathrm{Res} \left( \frac{f'(z)}{f(z)} \right) = \mathrm{Res} \left( g(z) \frac{r}{z-q}; q \right) = \lim_{z \to q} r g(z) = \zeta(f; q) g(q) $$

► Si $p$ est un pôle d'ordre $\pi(f; p) = s$ de $f$, on aura de même

$$ f(z) = (z - p)^{-s} h(z), $$

où $h$ est analytique au voisinage de $p$ et $h(p) \neq 0$, et par conséquent

$$ f'(z) = (z - p)^{-s} h'(z) - s(z - p)^{-s-1} h(z), $$

d'où

$$ \frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{h'(z)}{h(z)} - \frac{s}{z-p}, $$

et

$$ \mathrm{Res} \left( g(z) \frac{f'(z)}{f(z)}; p \right) = -\pi(f; p) g(p). $$
► En appliquant le théorème des résidus 7.7, on obtient le résultat annoncé.

Q.E.D.

## 8.1 Localisation des zéros

La résolution des équations dans le plan complexe est considérablement plus difficile que sur la droite réelle où la notion d'ordre joue un rôle essentiel. L'outil principal à cet égard est le théorème de Rouché qui permet de réaliser des comparaisons entre les racines de deux équations posées dans une même portion du plan complexe.

**THÉORÈME 8.2 (de Rouché)** Soient $f$ et $g$ méromorphes dans l'ouvert connexe $\Omega$, sans pôle ni racine sur le cycle $\gamma$ homologue à zéro. Si $R_f$ et $R_g$ notent respectivement l'ensemble des zéros de $f$ et $g$, ainsi que $P_f$ et $P_g$ l'ensemble de leurs pôles, et si

$$|f(z) + g(z)| < |f(z)| + |g(z)| \text{ sur } \gamma,$$

alors

$$\sum_{q \in \mathbb{R}_f} n(\gamma; q)\zeta(f; q) - \sum_{p \in \mathbb{P}_f} n(\gamma; p)\pi(f; p) = \sum_{q \in \mathbb{R}_g} n(\gamma; q)\zeta(g; q) - \sum_{p \in \mathbb{P}_g} n(\gamma; p)\pi(g; p). \quad (8.2)$$

Bien entendu l'hypothèse peut encore se lire

$$|f(z) - g(z)| < |f(z)| + |g(z)| \text{ sur } \gamma.$$

C'est une hypothèse au premier abord peu contraignante car l'inégalité large est acquise.

**DÉMONSTRATION.** On a

$$\left| \frac{f(z)}{g(z)} + 1 \right| = \left| \frac{f(z) + g(z)}{g(z)} \right| < \frac{|f(z)| + |g(z)|}{|g(z)|} = \frac{|f(z)|}{|g(z)|} + 1$$

sur $\gamma$ ; d'où $h(z) = f(z)/g(z) \notin [0, +\infty[$ ; en effet si $t \in [0, +\infty[$, $|t+1| = ||t|+1| = |t|+1$. Il en résulte que quand $z$ décrit $\gamma$, $h(z)$ décrit un cycle dans $\mathbb{C} \setminus [0, +\infty[$. Choisissons alors la détermination principale du logarithme :

$$\mathrm{Log} z = \mathrm{Log}|z| + i \mathrm{Arg} z,$$

en mesurant les angles entre $0$ et $2\pi$ ; c'est une détermination continue dans $\mathbb{C} \setminus [0, +\infty[$, d'où par conséquent

$$\int_{\gamma} \frac{h'(z)}{h(z)} dz = \int_{\gamma} \frac{d}{dz} \mathrm{Log} h(z) dz = 0.$$

Mais par ailleurs

$$\frac{h'(z)}{h(z)} = \frac{f'(z)g(z) - g'(z)f(z)}{f(z)g(z)} = \frac{f'(z)}{f(z)} - \frac{g'(z)}{g(z)},$$

d'où

$$0 = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{f'(z)}{f(z)} dz - \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{g'(z)}{g(z)} dz,$$

et le résultat d'après la proposition 8.1.

Q.E.D.
<figure><img src="image_106.png" /></figure>

Dans le cas où $f$ et $g$ sont analytiques dans l'ouvert connexe $\Omega$, et $\gamma$ le bord orienté d'un compact $K$ dans $\Omega$, alors le théorème de Rouché **8.2** nous indique que $f$ et $g$ ont le même nombre de zéros dans $\mathring{K}$, pourvu qu'on les compte avec leur multiplicité.

# 8.2 Inversion des fonctions analytiques

Il faut prêter attention à la signification du vocable 'inversion' : il est ici relatif à l'inversion pour la composition des fonctions c'est-à-dire à l'existence et aux propriétés de la fonction réciproque d'une fonction holomorphe.

## 8.2.1 Le problème local

**PROPOSITION 8.3** Soient $g$ analytique dans l'ouvert connexe $\Omega$ contenant l'origine, et $r$ assez petit pour que $B_r = \{z \mid |z| \le r\} \subset \Omega$. On pose $M = \sup_{|z|=r} |g(z)|$, alors $\forall |w| < r/M$,

(i) l'équation

$$wg(z) = z \qquad (8.3)$$

Pour $w$ suffisamment petit, la fonction wadmet une solution et une seule : $z = h(w)$ dans $\mathring{B}_r$.

(ii) La fonction $h$ est analytique dans le disque $\{w \mid |w| < r/M\}$, et si $F$ est analytique dans $\mathring{B}_r$, on a

$$F \circ h(w) = F(0) + \sum_{n \ge 1} \frac{w^n}{n!} \left( \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} (F'(z)g^n(z)) \right) \Big|_{z=0}.$$

En particulier, $h$ admet le développement en série entière suivant, dit formule d'inversion de Lagrange :

$$h(w) = \sum_{n \ge 1} \frac{w^n}{n!} \left( \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} g^n(z) \right) \Big|_{z=0} \qquad (8.4)$$

On peut encore énoncer ce résultat de la façon suivante : pour $w$ suffisamment petit, la fonction $z \to wg(z)$ admet un point fixe et un seul, noté $h(w)$ dans $\mathring{B}_r$. DÉMONSTRATION.

▷ On commence par comparer les fonctions $z$ et $z - wg(z)$ : pour $|w| < r/M$ et $z \in B_r$, on a

$$|(wg(z) - z) + z| = |w| |g(z)| < \frac{r}{M} |g(z)| \le r,$$

d'où, pour $|z| = r$,

$$|(wg(z) - z) + z| < |wg(z) - z| + |z|,$$

ce qui implique d'après le théorème de Rouché **8.2**, que dans $\mathring{B}_r$ l'équation (8.3) possède une racine et une seule, de multiplicité 1, soit $z = h(w)$.

▷ Selon le principe de l'argument **8.1**

$$\frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma_r} \frac{(1 - wg'(z))F(z)}{z - wg(z)} dz = F \circ h(w).$$

De plus

$$\frac{1}{z - wg(z)} = \frac{1}{z} \frac{1}{1 - wg(z)/z} = \frac{1}{z} \sum_{k \in \mathbb{N}} \left( \frac{wg(z)}{z} \right)^k,$$
série normalement convergente sur $\gamma_r$, puisqu'alors $|wg(z)/z| = |g(z)||w|/r \le M|w|/r < 1$. Il en résulte que

$$F \circ h(w) = \frac{1}{2i\pi} \sum_{k \in \mathbb{N}} w^k \int_{\gamma_r} \frac{(1 - wg'(z)) g^k(z) F(z)}{z^{k+1}} dz$$

c'est dire que $F \circ h$ est analytique au voisinage de l'origine en tant que somme d'une série entière.

Selon la formule (5.3)

$$ 
\begin{aligned}
F \circ h(w) &= \sum_{k \in \mathbb{N}} \frac{w^k}{k!} \frac{d^k}{dz^k} \left( (1 - wg'(z)) g^k(z) F(z) \right) \Big|_{z=0} \\
&= F(z) \Big|_{z=0} + \sum_{k \ge 1} \frac{w^k}{k!} \frac{d^k}{dz^k} \left( g^k(z) F(z) \right) \Big|_{z=0} - \sum_{k \in \mathbb{N}} \frac{w^k}{k!} \frac{d^k}{dz^k} \left( wg'(z) g^k(z) F(z) \right) \Big|_{z=0}
\end{aligned}
$$

or pour $k \ge 1$

$$ 
\begin{aligned}
\frac{w^k}{k!} \frac{d^k}{dz^k} (g^k(z) F(z)) &= \frac{w^k}{k!} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} (kg^{k-1}(z)g'(z)F(z)) + \frac{w^k}{k!} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} (g^k(z)F'(z)) \\
&= \frac{w^k}{(k-1)!} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} (g^{k-1}(z)g'(z)F(z)) + \frac{w^k}{k!} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} (g^k(z)F'(z))
\end{aligned}
$$

d'où

$$ 
\begin{aligned}
F \circ h(w) &= F(0) + \sum_{k \ge 1} \frac{w^k}{(k-1)!} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} (g^{k-1}(z)g'(z)F(z)) \Big|_{z=0} \\
&\quad + \sum_{k \ge 1} \frac{w^k}{k!} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} (g^k(z)F'(z)) \Big|_{z=0} \\
&\quad - \sum_{\ell \ge 1} \frac{w^\ell}{(\ell-1)!} \frac{d^{\ell-1}}{dz^{\ell-1}} (g'(z)g^{\ell-1}(z)F(z)) \Big|_{z=0}
\end{aligned}
$$

et finalement

$$F \circ h(w) = F(0) + \sum_{k \ge 1} \frac{w^k}{k!} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} (g^k(z) F'(z)) \Big|_{z=0}$$

Q.E.D.

Notons que dans le cas d'une variable réelle l'équation (8.3) s'écrit $wg(x) = x$, et que si on choisit par exemple $w > 0$, l'existence d'une racine découle du fait que $r/w > M \ge g(r)$ et $-r/w < -M \le g(-r)$, d'où $wg(r) < r$ et $wg(-r) > -r$.

**COROLLAIRE 8.4 (Théorème d'inversion locale)** Si $f$ est analytique dans $B_r(a)$ et vérifie $f'(a) \neq 0$, alors $\heartsuit$ il existe un voisinage $V$ de $a$ et un voisinage $W$ de $f(a)$ tels que tels que $\forall w \in W$, l'équation

$$f(z) = w \tag{8.5}$$

ait une racine et une seule $z = h(w)$ dans $V$. La fonction $h$ est alors analytique dans $W$ et

$$h'(w) = \frac{1}{f'(h(w))}.$$

**DÉMONSTRATION.**
### ▶ La fonction

$$u(z) = \frac{f(z) - f(a)}{z - a}$$

admet en $z = a$ une singularité fictive selon le lemme **7.1**, et ne s'y annule pas puisque $f'(a) \neq 0$. En vertu du principe des zéros isolés **2.8**, elle est donc inversible (au sens du produit !) au voisinage de $a$, et son inverse $g$ y est analytique :

$$g(z) = \frac{z - a}{f(z) - f(a)} \quad \text{pour } z \neq a, \text{ et } g(a) = \frac{1}{f'(a)}.$$

### ▶ Montrons maintenant que les équations (8.5) et

$$g(z)(w - f(a)) = z - a \qquad (8.6)$$

ont, au voisinage de $a$, les mêmes racines.

### ▶ Supposons tout d'abord que $\zeta$ soit racine de (8.5). Alors

$$g(\zeta)(w - f(a)) = g(\zeta)(f(\zeta) - f(a)) = \zeta - a.$$

ce qui fait de $\zeta$ une racine de (8.6).

### ▶ Réciproquement, si $\xi$ vérifie $g(\xi)(w - f(a)) = \xi - a$, alors $w - f(a) = (\xi - a)/g(\xi) = f(\xi) - f(a)$, d'où $w = f(\xi)$.

### ▶ Si on pose $\lambda = z - a$, $v = w - f(a)$ et $h(\lambda) = g(\lambda + a) = g(z)$, l'équation (8.6) prend la forme

$$h(\lambda)v = \lambda \qquad (8.7)$$

et la conclusion découle de la proposition **8.3**.

Q.E.D.

### 8.2.2 Le problème global

**THÉORÈME 8.5 (Théorème d'inversion globale)** Soit $f$ holomorphe dans l'ouvert connexe $\Omega$.

(i) Si $f$ n'est pas constante, $f(\Omega)$ est ouvert dans $\mathbb{C}$. On dit alors que l'application $f$ est ouverte.

(ii) Si de plus $f$ est injective, on a $f'(z) \neq 0$ dans $\Omega$ et il existe une fonction et une seule $g$, analytique dans $f(\Omega)$ telle que $f \circ g(w) = w \quad \forall w \in \Omega$, c'est dire que $f$ est un isomorphisme $\Omega \to f(\Omega)$. De plus

$$g'(w) = \frac{1}{f'(g(w))} \qquad (8.8)$$

**DÉMONSTRATION.**

### ▶ Soit $a \in \Omega$, la fonction $f(z) - f(a)$ présente un zéro en $a$, d'où selon la proposition **2.8**, comme $f$ n'est pas constante, $f(z) - f(a) = (z - a)^k g(z)$, où $k \ge 1$, $g(z)$ est holomorphe et $g(a) \neq 0$. D'après la continuité de $g$, $\exists r > 0$ tel que $B_r(a) \subset \Omega$ et

$$\|g(z) - g(a)\| \le |g(z) - g(a)| \le |g(a)|/2, \quad \forall z \in B_r(a),$$

$$\text{d'où } |g(z)| \ge |g(a)|/2.$$

### ▶ Notons que l'équation $f(z) = w$ s'écrit aussi $(z - a)^k g(z) + f(a) - w = 0$, Si nous nous restreignons à des $w$ tels que $|w - f(a)| < r^k |g(a)|/2$, on a

$$|(z - a)^k g(z) + f(a) - w - (z - a)^k g(z)| = |f(a) - w| < r^k |g(a)|/2$$

$$\text{d'où pour } |z - a| = r,$$

$$|(z - a)^k g(z) + f(a) - w - (z - a)^k g(z)| < |(z - a)^k g(z)|.$$

Selon le théorème de Rouché **8.2**, $u(z) = (z - a)^k g(z) + f(a) - w$ et $v(z) = |(z - a)^k g(z)|^k$ admettent donc le même nombre de racines dans $B_r(a)$, soit en fait $k$ compte tenu de leur multiplicité. C'est dire qu'il existe un voisinage $W$ de $f(a)$ tel que $\forall w \in W$, l'équation $f(z) = w$ admet au moins une racine; c'est dire que $W \subset f(\Omega)$ et par conséquent que $f(\Omega)$ est ouvert.
► Supposons maintenant que $f'(a) = 0$, alors on aura $k \ge 2$, et comme $f$ n'est pas constante, en vertu du principe de zéros isolés **2.8**, il existe $r'$ tel que $f'(z) \ne 0$ pour $0 < |z-a| < r'$. Nous venons de voir que pour $w$ assez proche de $f(a)$, l'équation $f(z) = w$ possède $k$ racines dans $B_{r'}(a)$. Dès que $w \ne f(a)$ ces racines sont différentes de $a$ et $f'$ ne s'y annule pas ; elles sont donc de multiplicité 1 et par conséquent toutes distinctes (voir la Figure **8.1**). C'est là une contradiction avec l'hypothèse d'injectivité et par conséquent $f'(a) \ne 0$ ; il en résulte que $f'$ ne s'annule pas dans $\Omega$.

► Comme $f$ est injective, $\forall w \in f(\Omega)$, $\exists! z \in \Omega$ tel que $f(z) = w$. Posons $z = h(w)$, on aura $f(h(w)) = w$ et $f'(h(w)) \ne 0$ et il résulte alors du corollaire **8.4** que $h$ est analytique dans $f(\Omega)$ et vérifie $h'(w) = 1/f'(h(w))$.

Q.E.D.

<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>FIGURE 8.1 – Si $f'(a) = 0$</figcaption></figure>

Notons bien que *pour obtenir un théorème global nous avons dû faire l'hypothèse de l'injectivité de f*, dans le cas contraire des difficultés supplémentaires se présentent, ainsi d'ailleurs que nous avons pu l'entrevoir lors de l'étude de la fonction Logarithme. Notons également ce que ce résultat a de remarquable ; *de l'hypothèse d'injectivité de f on a déduit le fait que f' ne s'annule pas*, ce qui n'est pas possible de façon générale pour les applications entre espaces de Banach et pas même pour les fonctions $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

### 8.2.3 Coupures et déterminations

De nombreuses fonctions telles la racine ou le Logarithme sont définies comme les inverses de fonctions plus simples, que ce soit dans le domaine réel ou complexe. Le fait que ces fonctions ne soient définies dans le cas de la variable réelle que pour des valeurs positives de l'argument constitue la trace d'une difficulté plus importante dans le domaine complexe, qui se traduit par l'apparition de coupures et la nécessité de choisir entre plusieurs déterminations. Bien que d'aspect un peu technique, ce paragraphe est particulièrement important car l'apparition de coupures est bien souvent le prix à payer pour bénéficier des avantages découlant du passage à la variable complexe.

#### La fonction racine

<figure><img src="image_108.png" /></figure>

On cherche à déterminer une fonction $h$ telle que $(h(w))^2 = w$. Il est clair que pour $\Omega = \mathbb{C}$, on ne se trouve pas dans les conditions d'application du théorème précédent, puisque $(-z)^2 = z^2$. On peut malgré tout se poser la question de savoir si les conditions du théorème **8.5** sont nécessaires. Supposons donc que $h$ soit continue sur $\mathbb{C}$ et vérifie $(h(w))^2 = w$. Posons $\theta = \operatorname{Arg}(w)$ où $w \in \mathbb{T}$, le cercle unité ; on aura $w = e^{i\theta}$, et $|h(w)|^2 = |w| = 1$, d'où $h(e^{i\theta}) = e^{i\varphi(\theta)}$, où $\varphi$ est une fonction continue de $\theta$. De plus $e^{2i\varphi(\theta)} = (h(e^{i\theta}))^2 = e^{i\theta}$, d'où $\varphi(\theta) = k\pi + \theta/2$ et par conséquent $\varphi(-\pi) = k\pi - \pi/2$ et
$\varphi(\pi) = k\pi + \pi/2$, dont la différence est égale à $\pi$. Il n'est donc pas possible de trouver une détermination continue de la racine dans $\mathbb{C}$ tout entier.

Notons qu'il suffit de réduire $\Omega$ de telle sorte que $z$ et $-z$ ne puissent simultanément en faire partie pour permettre l'utilisation du théorème 8.5. En effet, si $w = re^{i\tau}$, $z = \rho e^{i\theta}$ et $w^2 = z^2$, alors $\rho = r$ et $e^{2i\theta} = e^{2i\tau}$, soit $e^{2i(\tau-\theta)} = 1$ ou encore $\tau - \theta = k\pi$, soit $w = \pm z$.

De nombreux choix sont alors possibles, notons par exemple $H^0$ le demi-plan ouvert $\{z \mid \Re z > 0\}$, et $f(z) = z^2$, on aura $f(H^0) = \mathbb{C} \setminus D^\pi$, où $D^\pi = \{z \mid \Re z \le 0 \text{ et } \Im z = 0\}$ est la demi-droite des réels négatifs ou nuls. On dit que $D^\pi$ réalise une *coupure* dans le plan complexe, l'extrémité de la coupure prend la dénomination de *point de branchement*. Il ne s'agit pas d'une singularité isolée de la racine complexe, et son étude échappe donc aux résultats qui précèdent.

Il reste à déterminer l'inverse $h^0 : \mathbb{C} \setminus D^\pi \to H^0$, de $f$. On aura $h^0(\rho e^{i\theta}) = re^{i\tau}$ avec $r = \sqrt{\rho}$, et $\tau = \theta/2$ si $-\pi < \theta < \pi$ ; plus généralement

* Si $(4k-1)\pi < \theta < (4k+1)\pi$ alors $\tau = \theta/2 + 2m\pi$

* Si $(4k-3)\pi < \theta < (4k-1)\pi$ alors $\tau = \theta/2 + (2m+1)\pi$

Le long de la coupure cette fonction est discontinue et a pour saut $\sqrt{\rho}(e^{i\pi/2} - e^{-i\pi/2}) = 2i\sqrt{\rho}$. (voir la Figure 8.2). Mais il se trouve que $\mathbb{C} \setminus D^\pi$ est également l'image par $f$ de $H^\pi = \{z \mid \Re z < 0\}$, et qu'il est

<figure><img src="image_109.png" /><figcaption>FIGURE 8.2 – Détermination principale de la racine</figcaption></figure>

donc possible de trouver un inverse $h^\pi : \mathbb{C} \setminus D^\pi \to H^\pi$ de $f$. On aura de même $h^\pi(\rho e^{i\theta}) = re^{i\tau}$ avec $r = \sqrt{\rho}$, et $\tau = \theta/2 + \pi$ si $-\pi < \theta < \pi$ ; et de façon plus générale

* Si $(4k-1)\pi < \theta < (4k+1)\pi$ alors $\tau = \theta/2 + (2m+1)\pi$

* Si $(4k-3)\pi < \theta < (4k-1)\pi$ alors $\tau = \theta/2 + 2m\pi$

On a donc trouvé deux déterminations de la racine, elles vérifient $h^\pi(w) = -h^0(w)$ et on les distingue généralement par les valeurs qu'elles prennent au point 1 : $h^0(1) = 1$ et $h^\pi(1) = -1$. (voir la figure 8.3).

Plus généralement on aurait pu considérer le demi-plan ouvert $H^\alpha = e^{i\alpha}H^0$ dont l'image par $f$ n'est autre que $e^{2i\alpha}(\mathbb{C} \setminus D^\pi) = \mathbb{C} \setminus D^{\pi+2\alpha}$, soit le plan complexe muni d'une coupure selon la demi droite
<figure><img src="image_110.png" /><figcaption>FIGURE 8.3 – Une seconde détermination de la racine</figcaption></figure>

d'angle $\pi + 2\alpha$ (voir la figure 8.4) Là encore, pour chaque valeur de $\alpha$, on trouve deux déterminations de la racine, soit $h^\alpha(\rho e^{i\theta}) = \sqrt{\rho} e^{i\tau}$ avec

$$ \tau = \theta/2 + 2m\pi \text{ si } (4k-1)\pi + 2\alpha < \theta < (4k+1)\pi + 2\alpha $$

$$ \tau = \theta/2 + (2m+1)\pi \text{ si } (4k-3)\pi + 2\alpha < \theta < (4k-1)\pi + 2\alpha, $$

$$ \text{et } h^{\pi+\alpha}(\rho e^{i\theta}) = \sqrt{\rho} e^{i\tau} \text{ où} $$

$$ \tau = \theta/2 + (2m+1)\pi \text{ si } (4k-1)\pi + 2\alpha < \theta < (4k+1)\pi + 2\alpha $$

$$ \tau = \theta/2 + 2m\pi \text{ si } (4k-3)\pi + 2\alpha < \theta < (4k-1)\pi + 2\alpha. $$

Pour $-\pi/2 < \alpha < \pi/2$, on aura $h^\alpha(1) = 1$ et $h^{\pi+\alpha}(1) = -1$. C'est dire que la détermination associée à $h^\alpha$ est la même que celle associée à $h^0$, et que celles respectivement associées à $h^{\pi+\alpha}$ et $h^\pi$ coïncident.

De façon générale, on montre que dans tout ensemble simplement connexe ne contenant pas l'origine, il existe deux déterminations continues de la racine. On sent bien que cette situation n'est pas parfaite-ment satisfaisante compte tenu de l'arbitraire sur le choix du domaine. C'est la théorie des surfaces de Riemann qui permet de donner une forme définitive à cette question. De façon imagée on peut se repré-senter la partie imaginaire de la racine complexe comme prenant en tout point deux valeurs opposées, hormis sur le demi axe réel positif ou elle s'annule.

<figure><img src="image_111.png" /></figure>
<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>FIGURE 8.4 – Déplacement de la coupure</figcaption></figure>

La coupure n'apparaît plus alors que comme une façon artificielle de rendre à la fonction racine son caractère univoque.

### La fonction logarithme

Les mêmes considérations peuvent être développées pour l'inverse de l'exponentielle, dont nous avons déjà démontré qu'il n'existait pas de détermination continue dans $C\setminus\{0\}$. Pour que $e^z = e^w$, il faut et il suffit que $z - w = 2ik\pi$, ce qui fait de l'exponentielle une fonction injective dans la bande $B^0 = -\pi < Imz < \pi$, dont l'image n'est autre que $C\setminus D^\pi$, et nous autorise à inverser la fonction exponentielle $B^0 \to C\setminus D^\pi$. La détermination du logarithme qui en découle n'est autre que la détermination principale puisqu'alors $\text{Log}(1) = 0$.

<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>FIGURE 8.5 – Coupure du Logarithme</figcaption></figure>

<figure><img src="image_114.png" /></figure>
<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>FIGURE 8.6 – Le logarithme</figcaption></figure>

Mais $\mathbb{C} \setminus D^\pi$ est également l'image de $B^k = (2k-1)\pi < \mathfrak{Im}z < (2k+1)\pi$, ce qui fournit une infinité d'autres déterminations du logarithme qui vérifient respectivement $\text{Log}(1) = 2ik\pi$ (voir la figure 8.5)

Bien entendu on n'est pas obligé de placer la coupure le long de $D^\pi$, il suffit pour lui faire opérer une rotation de faire subir une translation au système de bandes que nous venons de définir. De même que pour la racine, une représentation plus adéquate de la partie imaginaire du Logarithme complexe telle celle de la Figure 8.6 permet de mettre en évidence le fait que la coupure constitue un artifice dont la position est tout-à-fait arbitraire.

## La fonction puissance

On posera

$$z^{\lambda} = e^{\lambda \operatorname{Log} z}, \qquad (8.9)$$

où la détermination principale du logarithme sera à l'origine de la détermination principale de la fonction puissance (voir la figure 8.7) Les autres déterminations sont données par

$$e^{\lambda(\text{Log}z+2ik\pi)} = z^{\lambda}e^{2ik\lambda\pi}.$$

On voit alors que la situation dépend du fait que $\lambda$ soit ou non rationnel : si $\lambda = p/q$ où $p$ et $q$ sont premiers entre eux, alors $k/q$ prend $q$ valeurs distinctes (mod 1), $k \in \mathbb{N}$, ce qui fait que $e^{2ik\lambda\pi}$ prend $q$ valeurs distinctes et que la fonction puissance possède donc $q$ déterminations distinctes. Pour $p/q = 1/2$, on retrouve bien les résultats précédents relatifs à la racine.

## Le cas de plusieurs points de branchement

Prenons le cas particulier de la fonction $z \to \sqrt{z-a}\sqrt{z+a}$, où $a$ est réel positif, c'est le produit des fonctions réciproques $h_a$ de $f_a : z \to a+z^2$ et $h_{-a}$ de $f_{-a} : z \to -a+z^2$ (voir la figure 8.8) Choisissons $H^0$ comme domaine des fonctions $h_a$ et $h_{-a}$, ce qui fixe la détermination des racines, soit pour $|\theta| < \pi$,

$$h_a^0(a + \rho e^{i\theta}) = \sqrt{\rho} e^{i\theta/2} = h_{-a}^0(-a + \rho e^{i\theta}).$$

Considérons la fonction $h_a^0$ au voisinage du point $-b$
<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>FIGURE 8.7 – Coupure de la fonction puissance</figcaption></figure>

<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>FIGURE 8.8 – Produit de deux racines</figcaption></figure>

(i) Si $b$ est réel supérieur à $a$, on a

$$-b = a + (b + a)e^{\pm i\pi} = -a + (b - a)e^{\pm i\pi},$$

d'où

$$ \begin{aligned} h_a^0(-b + 0^{\pm i}) &= h_a^0(a + (b+a)e^{\pm i\pi}) = \pm i \sqrt{b+a}, \\ h_{-a}^0(-b + 0^{\pm i}) &= h_{-a}^0(-a + (b-a)e^{\pm i\pi}) = \pm i \sqrt{b-a}, \end{aligned} $$

et par conséquent

$$h_a^0(-b + 0^+ i) h_{-a}^0(-b + 0^- i) = -\sqrt{b+a} \sqrt{b-a} = -\sqrt{b^2-a^2} = h_a^0(-b + 0^- i) h_{-a}^0(-b + 0^+ i).$$

Ce qui fait de la fonction $\sqrt{z-a}\sqrt{z+a}$ une fonction continue sur la demi-droite réelle $]-\infty, -a]$ ; il en est de même sur $[a, +\infty[$. En vertu du principe de symétrie **5.10**, il s'agit donc d'une fonction holomorphe en dehors du segment réel $[-a, a]$.

(ii) Si $|b| < |a|$, on a toujours

$$h_a^0(-b + 0^{\pm i}) = h_a^0(a + (b+a)e^{\pm i\pi}) = \pm i \sqrt{b+a},$$
mais

$$h_{-a}^{0}(-b + 0^{\pm}i) = h_{-a}^{0}(-a + a - b) = \sqrt{a-b},$$

et par conséquent

$$h_a^0(-b + 0^+i) h_{-a}^0(-b + 0^+i) = i \sqrt{b+a} \sqrt{a-b} = i \sqrt{a^2-b^2} = -h_a^0(-b+0^-i) h_{-a}^0(-b+0^-i). \quad (8.10)$$

(voir les figures 8.9 et 8.10) On peut décider de prendre $H^{-\pi/2}$ comme domaine de $f_a$ ; la coupure est alors

<figure><img src="image_118.png" /><figcaption>FIGURE 8.9 – Déterminations hors coupure</figcaption></figure>

<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>FIGURE 8.10 – Déterminations sur la coupure</figcaption></figure>

disposée le long du demi axe des réels supérieurs à $a$, et il est facile de voir que $h_a^{-\pi/2}(a+w) = -h_a^0(a+w)$ pour $\mathfrak{Im}w > 0$ et $h_a^{-\pi/2}(a+w) = h_a^0(a+w)$ pour $\mathfrak{Im}w < 0$. Dans ces conditions, la fonction $\sqrt{z-a}\sqrt{z+a}$ est holomorphe en dehors de l'union des demi axes réels $]-\infty, a]$ et $[a, +\infty[$.
# Chapitre 9

# La transformation de Laplace

## 9.1 Transformée de Laplace des fonctions

L'étude de la transformation de Laplace est en fait celle des avantages que procure le fait d'appliquer la transformation de Fourier à une famille particulière de fonctions : celles de la forme $e^{-\xi^x}f$, où $\text{Supp } f \subset [0, +\infty]$ et $x \to e^{-\xi^x}f(x) \in L^1(\mathbb{R})$. Bien entendu, une simple translation permet d'y ramener le cas plus général des fonctions dont le support est limité dans la direction des abscisses négatives.

**LEMME 9.1** Soient $f$ vérifiant $\text{Supp } f \subset [0, +\infty]$ et $\xi \in \mathbb{R}$, tels que $e^{-\xi^x}f(x) \in L^1(\mathbb{R})$, alors $\forall \xi_1 > \xi$, $e^{-\xi_1^x}f(x) \in L^1(\mathbb{R})$.

**DÉMONSTRATION.** On aura en effet $|e^{-\xi_1^x}f(x)| \le |e^{-\xi^x}f(x)|$, d'où le résultat en vertu du théorème de convergence dominée.

Q.E.D.

En conséquence $\{\xi \in \mathbb{R} | e^{-\xi^x}f(x) \in L^1(\mathbb{R})\}$ est soit l'axe réel tout entier, soit une demi-droite, selon le cas ouverte ou fermée, contenant le point $+\infty$. Nous noterons $\xi_0$ l'origine de cette demi-droite et nous l'appellerons *abscisse de convergence* de la transformée de Laplace de $f$, ou plus simplement de $f$. On notera

<figure><img src="image_120.png" /></figure>

$$S_+^1(\mathbb{R}) = \{f \in L_{\text{loc}}^1(\mathbb{R}) \mid \text{Supp } f \subset [0, +\infty] \text{ et } \exists \xi \in \mathbb{R}, e^{-\xi^x}f(x) \in L^1(\mathbb{R})\}$$

**LEMME 9.2** Soit $f \in S_+^1(\mathbb{R})$, son *abscisse de convergence* est la même que celle de $xf(x)$, et par conséquent que celle de $x^m f(x)$, $\forall m \in \mathbb{N}$.

**DÉMONSTRATION.** En effet d'une part, pour $x > 1$, $|e^{-\xi^x}f(x)| < |e^{-\xi^x}xf(x)|$, d'où il résulte que l'abscisse de convergence de $f$ est inférieure à celle de $xf(x)$. Réciproquement soient $\xi > \xi_0$, abscisse de convergence de $f$, et $0 < \varepsilon < \xi - \xi_0$. Pour $x$ suffisamment grand, $|e^{-\xi^x}xf(x)| < |e^{-(\xi-\varepsilon)^x}f(x)|$, avec $\xi - \varepsilon > \xi_0$. On en déduit que l'abscisse de convergence de $xf(x)$ est inférieure à $\xi_0$.

Q.E.D.

Rappelons que si $g$ est intégrable, sa transformée de Fourier $\hat{g}$ est donnée par

$$\hat{g}(\eta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} g(x)e^{-i\eta x} dx.$$

**DÉFinition 9.3 (transformée de Laplace)** Soit $f \in S_+^1(\mathbb{R})$, d'abscisse de convergence $\xi_0$ et $p = \xi + i\eta$, $\xi > \xi_0$, on pose

$$\mathcal{L}(f)(p) = \sqrt{2\pi} e^{-\xi^x} f_{\eta} = \int_{0}^{\infty} e^{-px} f(x) dx. \quad (9.1)$$
$\mathcal{L}(f)$ est appelée *transformée de Laplace de f*, elle est définie dans une bande semi-infinie du plan complexe, située à droite de l'abscisse de convergence, dite *demi-plan de convergence* ; la transformée de Laplace est en fait une famille à 1 paramètre réel ($\xi$) de transformées de Fourier. Notons bien que *la variable de Fourier est la partie imaginaire de p*.

<figure><img src="image_121.png" /><figcaption>FIGURE 9.1 – Abscisse de convergence</figcaption></figure>

### 9.1.1 Analyticité

Il s'agit en fait de la propriété essentielle sur laquelle repose l'intérêt de la transformation de Laplace.

**LEMME 9.4** Soit $u_h(x) = (e^{-hx} - 1)/h + x$, alors pour $h$ assez petit $|u_h(x)| \le C|h|x^2$ et $|u'_h(x)| \le C|h||x|$.

**DÉMONSTRATION.**

Selon la formule de Taylor avec reste intégral

$$e^{-hx} = 1 + \sum_{k=1, p-1} \frac{1}{k!} (-hx)^k + (-hx)^p \int_0^1 \frac{(1-\zeta)^{p-1}}{(p-1)!} e^{-\zeta hx} d\zeta, \quad (9.2)$$

soit

$$u_h(x) = (e^{-hx} - 1)/h + x = hx^2 \int_0^1 (1-\zeta) e^{-\zeta hx} d\zeta \quad (9.3)$$

$$u'_{h}(x) = 1 - e^{-hx} = hx \int_{0}^{1} e^{-\zeta hx} d\zeta$$

et par conséquent

$$|u_h(x)| \le C|h|x^2 \text{ et } |u'_h(x)| \le C|h||x|. \quad (9.4)$$

Q.E.D.
<figure><img src="image_122.png" /></figure>

**THÉORÈME 9.5** La transformée de Laplace est une fonction analytique dans le demi-plan de convergence.

**DÉMONSTRATION.** On calcule le quotient différentiel

$$ \frac{\mathcal{L}(f)(p+h) - \mathcal{L}(f)(p)}{h} = \int_{0}^{\infty} e^{-px} \frac{e^{-hx} - 1}{h} f(x) dx = \int_{0}^{\infty} e^{-px} (u_h(x) - x) f(x) dx, $$

où $\xi = \Re p > \xi_0$. Selon le lemme 9.4,

$$ \left| \int_{0}^{\infty} e^{-px} u_h(x) f(x) dx \right| \le C |h| \int_{0}^{\infty} |e^{-\xi x} x^2 f(x)| dx. $$

D'après le lemme 9.2, on en déduit que $\mathcal{L}(f)$ est dérivable et que

$$ \mathcal{L}'(f)(p) = - \int_{0}^{\infty} e^{-px} x f(x) dx = - \mathcal{L}(xf)(p). \qquad (9.5) $$

Q.E.D.

## 9.1.2 Propriétés élémentaires

Elles découlent essentiellement de celles de la transformation de Fourier mais peuvent se démontrer directement à partir de la formule (9.1).

### Dérivation

Si $f \in S_+^1(\mathbb{R})$, est continue sur $[0, \infty[$ et dérivable sur $]0, \infty[$ et si le prolongement $f'$ de cette dérivée par $0$ à $]-\infty, 0[$ appartient $S_+^1(\mathbb{R})$, alors

$$ \mathcal{L}(f')(p) = \int_{0}^{+\infty} e^{-px} f'(x) dx = p \int_{0}^{+\infty} e^{-px} f(x) dx + [e^{-px} f(x)]_{0}^{+\infty} = p \mathcal{L}(f)(p) - f(0). $$

Ce résultat resre valable sous des hypothèses plus larges :

**PROPOSITION 9.6** Si $f \in S_+^1(\mathbb{R})$ est continue sur $[0, \infty]$, et si sa dérivée au sens des distributions est de la forme $f' = g + f(0)\delta$ où $g \in S_+^1(\mathbb{R})$, alors

$$ \mathcal{L}(g)(p) = p\mathcal{L}(f)(p) - f(0). \qquad (9.6) $$

**DÉMONSTRATION.** On aura

$$ \mathcal{L}(g)(p) = \int_{0}^{+\infty} e^{-px} g(x) dx = p \int_{0}^{+\infty} e^{-px} \left( \int_{0}^{x} g(t) dt \right) dx $$

et d'après le lemme 9.7 ci-dessous

$$ \mathcal{L}(g)(p) = p \int_{0}^{+\infty} e^{-px} (f(x) - f(0)) dx = p(\mathcal{L}(f)(p) - f(0)\mathcal{L}(Y)(p)) $$

d'où le résultat en vertu de (9.11).

Q.E.D.
LEMME 9.7 Si $f$ est continue sur $[0, \infty]$, et si sa dérivée au sens des distributions est de la forme $f' = g + f(0)\delta$ où $g \in L_{\text{loc}}^1(\mathbb{R})$, on a

$$ \int_0^x g(t)dt = f(x) - f(0) \qquad (9.7) $$

DÉMONSTRATION. Posons

$$ h(x) = \int_{0}^{x} g(t)dt, $$

et notons $h'$ sa dérivée $h$ au sens des distributions. Pour $\varphi \in \mathcal{D}$,

$$ \begin{aligned} \langle h', \varphi \rangle &= -\langle h, \varphi' \rangle = -\int_{0}^{+\infty} \left( \int_{0}^{x} g(t)dt \right) \varphi'(x)dx \\ &= -\int_{0}^{+\infty} g(t) \left( \int_{t}^{+\infty} \varphi'(x)dx \right)dt = \int_{0}^{+\infty} g(t)\varphi(t)dt, \end{aligned} $$

d'où $h' = g = f' - f(0)\delta$. Il en résulte que, sur $]0, \infty[$, $h = f + C$ et comme de plus $h(0) = 0$, que $h(x) = f(x) - f(0)$.

Q.E.D.

## Translation

Si $s \in \mathbb{R}^+$, avec $p = \xi + i\eta$

$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathcal{L}(\tau_s f)(p) = \mathcal{F}\left(e^{-\xi x} \tau_s f(x)\right)_{\eta} = e^{-s\xi} \mathcal{F}\left(\tau_s(e^{-\xi x} f(x))\right)_{\eta} = e^{-s\xi} e^{-is\eta} \overline{e^{-\xi x} f(x)}_{\eta}, $$

et de même

$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathcal{L}(e^{i\beta x} f(x))(p) = \mathcal{F}(e^{i\beta x} e^{-\xi x} f(x))(p)_{\eta} = \tau_{\beta} \overline{e^{-\xi x} f(x)}_{\eta}, $$

ainsi que, pour $\alpha \in \mathbb{R}$, $\alpha < \xi - \xi_0$,

$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathcal{L}(e^{\alpha x} f(x))(p) = \mathcal{F}(e^{\alpha x} e^{-\xi x} f(x))(p)_{\eta} = \mathcal{F}(e^{(\alpha-\xi)x} f(x))(p)_{\eta} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathcal{L}(f)(p-\alpha), $$

soit

$$ \mathcal{L}(\tau_s f)(p) = e^{-ps} \mathcal{L}(f)(p) \text{ et } \mathcal{L}(e^{qx} f(x))(p) = \mathcal{L}(f)(p-q), \quad \text{Re}q < \text{Re}p - \xi_0. \qquad (9.8) $$

## Homothétie

Posons

$$ f_{\lambda}(x) = f(\lambda x), \text{ d'où } \widehat{f_{\lambda}} = \frac{1}{|\lambda|} \widehat{f_{1/\lambda}}. $$

Par conséquent, si $\lambda > 0$, avec $p = \xi + i\eta$

$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathcal{L}(f_{\lambda})(p) = \mathcal{F}\left(e^{-\xi x} f_{\lambda}\right)_{\eta} = \mathcal{F}\left(\left(e^{-\xi x / \lambda} f\right)_{\lambda}\right)_{\eta} = \frac{1}{\lambda} \mathcal{F}\left(e^{-\xi x / \lambda} f\right)\left(\frac{\eta}{\lambda}\right), $$

soit

$$ \mathcal{L}(f_{\lambda})(p) = \frac{1}{\lambda} \mathcal{L}(f)\left(\frac{p}{\lambda}\right). \qquad (9.9) $$
### 9.1.3 Quelques transformées de Laplace usuelles

On utilise fréquemment la notation suivante :

$$f \triangleq U(p) \text{ pour } U(p) = \mathcal{L}(f)(p). \qquad (9.10)$$

On dit alors que $f$ est l'original de $U$, expression qui sera pleinement justifiée par le théorème **9.26**, qui nous en garantit l'unicité de l'inverse. En appliquant les formules précédentes, et en notant $Y$ la fonction de Heaviside, on obtient

$$ 
\begin{array}{rcl@{\quad}rcl}
Y & \triangleq & \displaystyle\frac{1}{p} & Ye^{qx} & \triangleq & \displaystyle\frac{1}{(p-q)} \\
Ye^{i\omega x} & \triangleq & \displaystyle\frac{1}{(p-i\omega)} & Y \sin \omega x & \triangleq & \displaystyle\frac{\omega}{(p^2 + \omega^2)} \\
& & & Y \cos \omega x & \triangleq & \displaystyle\frac{n!}{p^{n+1}} \\
& & & & (p^2 + \omega^2) & \triangleq \displaystyle\frac{p}{(p^2 + \omega^2)}
\end{array}
\qquad (9.11) $$

Détaillons quelques-uns de ces calculs.

(i) Calcul de $\mathcal{L}(Y)$

$$ \mathcal{L}(Y) = \int_{0}^{\infty} e^{-px} dx = \left[ -\frac{1}{p} e^{-px} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{p}. $$

(ii) Calcul de $\mathcal{L}(Yx^n)$

$$ \frac{1}{p} \mathcal{L}(Yx^n)(p) = \frac{1}{n+1} \mathcal{L}(Yx^{n+1})(p) \text{ d'où } \frac{1}{p^{n+1}} \mathcal{L}(Y)(p) = \frac{1}{(n+1)!} \mathcal{L}(Yx^{n+1})(p), $$

et par conséquent

$$ \mathcal{L}(Yx^n)(p) = \frac{n!}{p^{n+1}}. $$

Bien entendu, il existe des tables de transformées de Laplace qui bien souvent permettent d'éviter de réaliser soi-même ces calculs.

### 9.1.4 Transformée de Laplace d'un produit de convolution

PROPOSITION **9.8** Si $f$ et $g$ appartiennent à $S_+^1(\mathbb{R})$, alors

$$ \mathcal{L}(f * g)(p) = \mathcal{L}(f)(p)\mathcal{L}(g)(p), \qquad (9.12) $$

$$ \text{où } \xi_0(f * g) \leq \max(\xi_0(f), \xi_0(g)). $$

DÉMONSTRATION. Si $f$ et $g$ appartiennent à $S_+^1(\mathbb{R})$, leurs supports sont convolutifs, et $f * g \in \mathcal{D}'_+(\mathbb{R})$. On aura

$$ \int e^{-\xi_y} f(y) e^{-\xi(x-y)} g(x-y) dy = e^{-\xi x} \int f(y) g(x-y) dy = e^{-\xi x} (f * g)_x $$

d'où si $p = \xi + i\eta$

$$ 
\begin{aligned}
\mathcal{L}(f * g)(p) &= \sqrt{2\pi}\mathcal{F}(e^{-\xi x} (f * g)_x)_\eta = \sqrt{2\pi}\mathcal{F}((e^{-\xi x} f * e^{-\xi x} g))_\eta \\
&= 2\pi\mathcal{F}(e^{-\xi x} f)_\eta \mathcal{F}(e^{-\xi x} g)_\eta
\end{aligned}
$$

soit

$$ \mathcal{L}(f * g)(p) = \mathcal{L}(f)(p)\mathcal{L}(g)(p). $$
9.1.5 Transformées de Laplace des fonctions à croissance lente

On s'intéresse ici au lien entre la régularité de la fonction $f$ et le comportement à l'infini de sa transformée de Laplace $\mathcal{L}(f)$. Rappelons la définition de la fonction Eulérienne de seconde espèce $\Gamma$ :

$$
\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt. \qquad (9.13)
$$

PROPOSITION 9.9

(i) Si $f$ est localement intégrable sur $\mathbb{R}^+$ et si $\exists M, n \text{ et } \rho \text{ tels que}$

$$
|f(t)| \leq M t^n, \forall t > \rho, \tag{9.14}
$$

alors

$$
\mathcal{L}(f)(p) \to 0 \text{ quand } \mathfrak{Re} p \to \infty.
$$

(ii) Si de plus $f$ est continue sur $[0, \infty[$ et si pour $t \le R$

$$
\left| f(t) - \sum_{n=0}^{N} c_n t^{n+\alpha} \right| \le M_N t^{N+1+\Re\alpha}, \quad \text{où } \Re\alpha > -1, \qquad (9.15)
$$

alors $\forall \varepsilon > 0, \forall \mathfrak{R}e p > \varepsilon$

$$
\left| \mathcal{L}(f)(p) - \sum_{n=0}^{N} c_n \Gamma(n+1+\alpha) p^{-n-1-\alpha} \right| \le K_N (\mathfrak{R}e p)^{-N-2-\mathfrak{R}e \alpha}. \quad (9.16)
$$

(iii) En particulier si $f$ admet au voisinage de 0 un développement asymptotique de la forme $\sum_{n=0}^{N} c_n t^n$,
alors $\mathcal{L}(f)(p)$ admet $\sum_{n=0}^{N} c_n \Gamma(n+1) p^{-n-1}$ pour développement asymptotique lorsque $\mathfrak{R}e p \to \infty$.

DÉMONSTRATION.

► Soit $\varepsilon > 0$, on pose $\xi = \mathfrak{R}e p$ que l'on choisit de telle sorte que $\xi > \varepsilon$. On aura $t^n < e^{\varepsilon t}$ dès que $t/\text{Log } t > n/\varepsilon$.
Il en résulte que pour $t$ suffisamment grand, disons $t > R$, on a $|f(t)| \le M e^{\varepsilon t}$, et par conséquent

$$
\left| \int_{R}^{\infty} f(t) e^{-pt} dt \right| \le M \int_{R}^{\infty} e^{(\varepsilon - \xi)t} dt = M \frac{e^{(\varepsilon - \xi)R}}{\xi - \varepsilon}. \qquad (9.17)
$$

► Par ailleurs

$$
\left| \int_{0}^{R} f(t) e^{-pt} dt \right| \le \int_{0}^{R} |f(t)| e^{-t\xi} dt,
$$

et comme $|f(t)|e^{-t\xi} \le |f(t)|$, en vertu du théorème de convergence dominée,

$$
\int_0^R f(t) e^{-pt} dt \to 0
$$

quand $\xi \to \infty$ ; il en résulte que $\mathcal{L}(f)(p) \to 0$.

► On écrira

$$
\begin{align*}
\int_0^\infty \left( f(t) - \sum_{n=0}^N c_n t^{n+\alpha} \right) e^{-pt} dt &= \mathcal{L}(f)(p) - \sum_{n=0}^N c_n \int_0^\infty t^{n+\alpha} e^{-pt} dt \\
&= \mathcal{L}(f)(p) - \sum_{n=0}^N \frac{c_n}{p^{n+1+\alpha}} \int_0^\infty \tau^{n+\alpha} e^{-\tau} d\tau \\
&= \mathcal{L}(f)(p) - \sum_{n=0}^N \frac{c_n}{p^{n+1+\alpha}} \Gamma(n+1+\alpha).
\end{align*}
$$
Compte tenu de l'estimation (9.17), négligeant les termes exponentiellement petits, il nous suffira de préciser le comportement de

$$ \int_{0}^{R} \left( f(t) - \sum_{n=0}^{N} c_{n} t^{n+\alpha} \right) e^{-pt} dt, $$

soit

$$ \begin{aligned} \left| \int_{0}^{R} \left( f(t) - \sum_{n=0}^{N} c_n t^{n+\alpha} \right) e^{-pt} dt \right| & \le M_N \int_{0}^{\infty} t^{N+1+\Re\alpha} e^{-t\xi} dt \\ & = \frac{M_N}{\xi} \int_{0}^{\infty} \left( \frac{\tau}{\xi} \right)^{N+1+\Re\alpha} e^{-\tau} d\tau \\ & = \frac{M_N}{\xi^{N+2+\Re\alpha}} \int_{0}^{\infty} \tau^{N+1+\Re\alpha} e^{-\tau} d\tau \\ & = \frac{M_N \Gamma(N+2+\Re\alpha)}{\xi^{N+2+\Re\alpha}}. \end{aligned} $$

Q.E.D.

### 9.1.6 Transformées de Laplace des fonctions analytiques de type exponentiel dans un secteur

**DÉFINITION 9.10** On dit que $f$ est analytique de type exponentiel dans le secteur ouvert $\Sigma$ si il existe $C, r > 0$ tels que

$$ \exists C, r > 0, \text{ tels que } |f(z)| \le C e^{r|z|}, \quad \forall z \in \Sigma, \qquad (9.18) $$

Pour $\theta \in [-\pi, \pi]$, on notera

$$ P_{\theta}^{r} = \{p \mid \Re(e^{pe^{i\theta}}) > r\} = \{p = \rho e^{i\varphi} \mid \rho \cos(\theta + \varphi) > r\}, \qquad (9.19) $$

il s'agit en fait du demi-plan ouvert ne contenant pas le disque $B_r$, limité par la droite perpendiculaire à $e^{-i\theta}$ qui passe par le point $re^{-i\theta}$. On aura $-\pi/2 - \theta < \varphi < \pi/2 - \theta \pmod{2\pi}$

<figure><img src="image_123.png" /><figcaption>FIGURE 9.2 – Fonction de type exponentiel</figcaption></figure>

**PROPOSITION 9.11** Soit $f$ analytique de type exponentiel dans le secteur ouvert $\Sigma$ et $e^{i\theta} \in \Sigma$
(i) la fonction

$$L_{\theta}(f)(p) = \int_{\text{Arg}z=\theta} f(z)e^{-pz}dz \qquad (9.20)$$

est analytique dans le demi-plan $P_{\theta}^r$.

(ii) la fonction $L_{\theta}(f)$ est la restriction à $P_{\theta}^r$ d'une fonction analytique $L(f)$ définie dans $\bigcup_{e^{i\theta} \in \Sigma} P_{\theta}^r$.

DÉMONSTRATION.

► On a tout d'abord

$$L_{\theta}(f)(p+h) - L_{\theta}(f)(p) = e^{i\theta} \int_{0}^{\infty} f(te^{i\theta})e^{-pte^{i\theta}}(e^{-hte^{i\theta}} - 1)dt$$

or d'après la formule (9.3) du lemme 9.4.

$$e^{-hte^{i\theta}} - 1 + hte^{i\theta} = h^2t^2e^{2i\theta} \int_{0}^{1} (1-\zeta)e^{-\zetahte^{i\theta}}d\zeta,$$

d'où

$$L_{\theta}(f)(p+h) - L_{\theta}(f)(p) = -he^{2i\theta} \int_{0}^{\infty} f(te^{i\theta})e^{-pte^{i\theta}}tdt + h^2e^{3i\theta} \int_{0}^{\infty} f(te^{i\theta})e^{-pte^{i\theta}}t^2 \int_{0}^{1} (1-\zeta)e^{-\zetahte^{i\theta}}d\zeta dt$$

pourvu du moins que $f(te^{i\theta})e^{-pte^{i\theta}}t$ soit intégrable. Mais en fait, comme par hypothèse $|f(te^{i\theta})| \le Ce^{rt}$ pour $t \ge 0$, on aura

$$\left| \int_{0}^{\infty} f(te^{i\theta})e^{-pte^{i\theta}}tdt \right| \le C \int_{0}^{\infty} |e^{t(r-pte^{i\theta})}|tdt \le C \int_{0}^{\infty} e^{t(r-\Repe{pe^{i\theta}})}tdt ;$$

l'analyticité de $L_{\theta}(f)$ en découle, pour $r - \Repe{pe^{i\theta}} < 0$, soit $p \in P_{\theta}^r$.

► Soient $R > \rho > 0$, ainsi que $\theta_1, \theta_2 \in \Sigma$. Dans un premier temps nous choisisirons $\Sigma$ d'amplitude strictement inférieure à $\pi$. On note $\gamma_{\rho}^R$ le contour fermé formé des segments radiaux $\gamma_{\theta_1}(t) = te^{i\theta_1}$, $t \in [\rho, R]$, et $\gamma_{\theta_2}(t) = (R + \rho - t)e^{i\theta_2}$, $t \in [r, R]$, ainsi que des arcs de cercle $\gamma_R(\theta) = Re^{i\theta}$, $\theta \in [\theta_1, \theta_2]$, et $\gamma_{\rho}(\theta) = \rho e^{i(\theta_1+\theta_2-\theta)}$, $\theta \in [\theta_1, \theta_2]$. On aura

$$0 = \int_{\gamma_{\rho}^R} f(z)e^{-pz}dz = \int_{\gamma_{\theta_1}} f(z)e^{-pz}dz + \int_{\gamma_R} f(z)e^{-pz}dz + \int_{\gamma_{\theta_2}} f(z)e^{-pz}dz + \int_{\gamma_{\rho}} f(z)e^{-pz}dz,$$

et

$$\int_{\gamma_{\rho}} f(z)e^{-pz}dz \to 0 \text{ quand } \rho \to 0$$

puisque $f$ est bornée au voisinage de 0.

► Par ailleurs

$$\left| \int_{\gamma_R} f(z)e^{-pz} dz \right| \le R \int_{\theta_1}^{\theta_2} \left| f(Re^{i\theta})e^{-pRe^{i\theta}} \right| d\theta \le CR \int_{\theta_1}^{\theta_2} e^{(r-\Repe{pe^{i\theta}})R} d\theta,$$

Soit alors $p = \tau e^{i\varphi} \in P_{\theta_1}^r \cap P_{\theta_2}^r$ ; pour $j = 1, 2$, on aura $\Repe{pe^{i\theta_j}} > r$, soit $\cos(\theta_j + \varphi) > r/\tau > 0$ et par conséquent $-\pi/2 < \theta_j + \varphi < \pi/2$. Comme la fonction cos est concave sur $]-\pi/2, \pi/2[$, on aura $\cos(\theta + \varphi) \ge \min(\cos(\theta_1 + \varphi), \cos(\theta_2 + \varphi))$. En conséquence $\exists \eta > 0$, tel que $\Repe{pe^{i\theta}} = \tau \cos(\theta + \varphi) \ge r + \eta, \forall \theta \in [\theta_1, \theta_2]$, d'où

$$\left| \int_{\gamma_R} f(z)e^{-pz} dz \right| \le CR \int_{\theta_1}^{\theta_2} e^{-\eta R} d\theta \to 0 \text{ quand } R \to \infty.$$
▷ Pour $p \in P_{\theta_1}^r \cap P_{\theta_2}^r$, on a donc

$$L_{\theta_1}(f)(p) - L_{\theta_2}(f)(p) = \lim_{\rho \to 0, \mathbb{R} \to \infty} \left( \int_{\gamma_{\theta_1}} f(z)e^{-pz} dz + \int_{\gamma_{\theta_2}} f(z)e^{-pz} dz \right) = 0; \quad (9.21)$$

c'est dire que $L_{\theta_1}(f)$ et $L_{\theta_2}(f)$ coïncident sur $P_{\theta_1}^r \cap P_{\theta_2}^r$ et donc sur $P_{\theta_1}^r \cup P_{\theta_2}^r$ en vertu du principe du prolongement analytique. Il en résulte que $L_{\theta}(f)$ est la restriction à $P_{\theta}^r$ d'une fonction analytique $L(f)$ définie dans $\bigcup_{\theta \in [\theta_1, \theta_2]} P_{\theta}^r$.

Le résultat annoncé en découle, quitte à réitérer l'opération de proche en proche si l'ouverture du secteur $\Sigma$ est supérieure à $\pi$.

Q.E.D.

<figure><img src="image_124.png" /><figcaption>FIGURE 9.3 – Domaine d'analyticité</figcaption></figure>

**COROLLAIRE 9.12** Si $f$ est analytique de type exponentiel dans un secteur ouvert $\Sigma$ contenant $\mathbb{R}^+$, sa transformée de Laplace $\mathcal{L}(f)(p) = L_0(f)(p)$ se prolonge analytiquement à $\bigcup_{e^{i\theta} \in \Sigma} P_\theta^r$.

### 9.1.7 Transformées de Laplace des fonctions entières de type exponentiel

**DÉFINITION 9.13** On dit que $f$ est entière de type exponentiel si il existe $C, r > 0$ tels que

$$\exists C, r > 0, \text{ tels que } |f(z)| \le C e^{r|z|}, \quad \forall z \in \mathbb{C}, \quad (9.22)$$

**COROLLAIRE 9.14** Si $f$ est entière de type exponentiel

(i) sa transformée de Laplace se prolonge analytiquement à tout l'extérieur du disque $\{z \in \mathbb{C} \mid |z| \le r\}$,

(ii) elle y a pour développement de Laurent

$$\mathcal{L}(f)(p) = \sum_{n \ge 0} f^{(n)}(0) p^{-n-1}. \quad (9.23)$$

**DÉMONSTRATION.**

▷ Le résultat de prolongement découle immédiatement du corollaire **9.12**.
▷ Avec $\varphi = \operatorname{Arg} p$, on aura en particulier, en vertu de la $\wedge$ proposition **9.11** (ii)

$$ \mathcal{L}(f)(p) = L_0(f)(p) = L_{-\varphi}(f)(p) = \int_{\operatorname{Arg} z = -\varphi} f(z)e^{-pz}dz = e^{-i\varphi} \int_0^{\infty} f(te^{-i\varphi})e^{-|p|t}dt, $$

d'où, pour $|p| > r$,

$$ |\mathcal{L}(f)(p)| \le \int_0^\infty |f(te^{-i\varphi})|e^{-|p|t}dt \le C \int_0^\infty e^{(r-|p|)t}dt = \frac{C}{|p|-r}. \quad (9.24) $$

Il en résulte que $\mathcal{L}(f)(p) \to 0$ quand $|p| \to \infty$, c'est encore dire que $g(p) = \mathcal{L}(f)(1/p)$ est bornée au voisinage de 0 et par conséquent d'après le théorème **7.2** qu'elle possède en 0 une singularité fictive; on dit que $\mathcal{L}(f)$ est holomorphe à l'infini.

▷ Notons

$$ f(z) = \sum_{n \ge 0} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} z^n $$

le développement en série entière de $f$ en 0. Soit alors

$$ g_N(z) = \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} z^n, $$

le reste de la série, on aura

$$ |g_N(z)| \le |z|^{N+1} \sum_{n=N+1}^{\infty} \left| \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \right| |z|^{n-N-1}, $$

et par conséquent $\forall A > 0, \forall N, \exists M_N$ tel que

$$ |g_N(z)| = \left| f(z) - \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} z^n \right| \le M_N |z|^{N+1}, \quad \forall |z| \le A. \quad (9.25) $$

▷ Selon (9.11) on aura

$$ \mathcal{L}(f)(p) = \mathcal{L}(g_N)(p) + \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(0)}{p^{n+1}}, $$

et

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(g_N)(p) &= \int_0^\infty g_N(t)e^{-pt}dt = e^{-i\varphi} \int_0^\infty g_N(te^{-i\varphi})e^{-|p|t}dt \\ &= e^{-i\varphi} \int_0^A g_N(te^{-i\varphi})e^{-|p|t}dt \\ &\quad + e^{-i\varphi} \int_A^\infty f(te^{-i\varphi})e^{-|p|t}dt - e^{-i\varphi} \sum_{n=0}^N \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \int_A^\infty (te^{-i\varphi})^n e^{-|p|t}dt. \end{aligned} $$

Estimons ces divers termes : d'après (9.25),

$$ \begin{aligned} \left| e^{-i\varphi} \int_0^A g_N(te^{-i\varphi})e^{-|p|t}dt \right| &\le M_N \int_0^A |(te^{-i\varphi})^{N+1}|e^{-|p|t}dt \\ &\le M_N \int_0^\infty t^{N+1}e^{-|p|t}dt = M_N \mathcal{L}(t^{N+1})(|p|) = M_N \frac{(N+1)!}{|p|^{N+2}} \end{aligned} $$

ainsi que, d'après (9.24)

$$ \left| e^{-i\varphi} \int_A^\infty f(te^{-i\varphi})e^{-|p|t}dt \right| \le C \int_A^\infty e^{(r-|p|)t}dt = \frac{C}{|p|-r}e^{(r-|p|)A}, $$
enfin pour A suffisamment grand, on aura $\forall n \le N, \forall t \ge A, t^n \le e^t$ et par conséquent selon (9.24)

$$ \int_A^\infty t^n e^{-|p|t} dt \le \frac{1}{|p|-1} e^{(1-|p|)A} $$

d'où

$$ \left| e^{-i\varphi} \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \int_{A}^{\infty} (te^{-i\varphi})^n e^{-|p|t} dt \right| \le e^{-|p|A} \frac{e^A}{|p|-1} \sum_{n=0}^{N} \frac{|f^{(n)}(0)|}{|p|^{n+1}} = K_N e^{-A|p|}. $$

Pour $|p|$ assez grand les termes exponentiellement décroissants sont négligeables, et on aura alors

$$ \left| \mathcal{L}(f)(p) - \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(0)}{p^{n+1}} \right| = \left| \mathcal{L}(g_N)(p) \right| \le \frac{M_N'}{|p|^{N+2}}. \qquad (9.26) $$

► Comme $\mathcal{L}(f)(p) \to 0$ quand $|p| \to \infty$, son développement en série de Laurent est de la forme

$$ \mathcal{L}(f)(p) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{b_n}{p^{n+1}}. $$

Supposons alors $\exists N$ tel que $b_n = f^{(n)}(0), \forall n < N$ et $b_N \neq f^{(N)}(0)$, on aura

$$ \mathcal{L}(f)(p) - \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(0)}{p^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{b_n}{p^{n+1}} - \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(0)}{p^{n+1}} = \frac{b_N - f^{(N)}(0)}{p^{N+1}} + \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{b_{n+1}}{p^{n+1}}, $$

ce qui contredit l'inégalité (9.26). Il en résulte que le développement de $\mathcal{L}(f)(p)$ en série de Laurent s'écrit

$$ \mathcal{L}(f)(p) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{p^{n+1}}. $$

Q.E.D.

**REMARQUE 9.15** Notons que sous les hypothèses du corollaire, en vertu des inégalités de Cauchy (4.16) appliquées à

$$ \mathcal{L}(f)(1/p) = \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)}(0) p^{n+1}, $$

dès que $R > r, \exists M$ tel que $\forall n$

$$ |f^{(n)}(0)| \le MR^{n+1}. \qquad (9.27) $$

En effet comme $S(p) = \mathcal{L}(f)(1/p)$, converge dans le disque de rayon $1/r$, on aura $|S^{(n)}(0)| \le MR^n n!$, or $S(p) = \sum_{n \in \mathbb{N}} S^{(n)}(0) p^n / n! = \sum_{n \in \mathbb{N}} f^{(n)}(0) p^{n+1}$, d'où $f^{(n)}(0) = S^{(n+1)}(0) / (n+1)!$ et le résultat annoncé.

## 9.2 Transformée de Laplace des distributions

De même que la transformation de Fourier peut être étendue aux distributions tempérées, ce qui permet d'une part de l'appliquer à des fonctions qui ne sont ni intégrables ni de carré intégrable, et d'autre part de démontrer un théorème d'inversion assorti d'une expression explicite de l'inverse, de même la transformation de Laplace peut être étendue aux distributions, ou du moins à une classe spécifique de celles-ci.

On note

$$ \mathcal{S}'_+(\mathbb{R}) = \{S \in \mathcal{D}'_+(\mathbb{R}) | \exists \xi \in \mathbb{R}, \text{ tel que } e^{-\xi x} S \in \mathcal{S}'(\mathbb{R})\}. \qquad (9.28) $$
<figure><img src="image_125.png" /></figure>

Rappelons que $\mathcal{D}'_+(\mathbb{R})$ note l'ensemble des distributions dont le support est inclus dans $\mathbb{R}^+$ et $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ l'ensemble des distributions tempérées. Notons bien qu'il n'y a pas de hiérarchie entre $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ et $\mathcal{S}'_+(\mathbb{R})$, en effet d'une part on accorde un comportement à l'infini plus rapidement croissant du côté des $x$ positifs aux distributions de $\mathcal{S}'_+(\mathbb{R})$, et d'autre part on exige de leur support qu'il ne s'étende pas du côté des $x$ négatifs.

**LEMME 9.16** Soient $S \in \mathcal{D}'_+(\mathbb{R})$ et $\xi \in \mathbb{R}$, tels que $e^{-\xi x}S \in \mathcal{S}'(\mathbb{R})$, alors $\forall \xi_1 > \xi$, $e^{-\xi_1 x}S \in \mathcal{S}'(\mathbb{R})$.

En conséquence et de même qu'à la suite du lemme **9.1**, $\{\xi \in \mathbb{R} | e^{-\xi x}S \in \mathcal{S}'(\mathbb{R})\}$ est soit l'axe réel tout entier, soit une demi-droite, selon le cas ouverte ou fermée, contenant le point $+\infty$. DÉMONSTRATION. Selon la topologie de $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$, $\exists \ell, C$ tels que $\forall \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$,

$$|\langle e^{-\xi x} S, \varphi \rangle| \le C \sup_{x \in \mathbb{R}} \sup_{j \le \ell, m \le \ell} |x|^j |\varphi^{(m)}(x)|,$$

d'où

$$|\langle e^{-\xi_1 x} S, \varphi \rangle| = |\langle e^{-\xi x} S, e^{(\xi-\xi_1)x} \varphi(x) \rangle| \le C \sup_{x \in \mathbb{R}} \sup_{j \le \ell, m \le \ell} |x|^j |(e^{(\xi-\xi_1)x} \varphi(x))^{(m)}|.$$

En vertu de la formule de Leibniz

$$(e^{(\xi-\xi_1)x} \varphi(x))^{(m)} = \sum_{n \le m} \binom{m}{n} (\xi - \xi_1)^{m-n} e^{(\xi-\xi_1)x} \varphi^{(n)}(x),$$

et comme $\text{Supp} S \subset \mathbb{R}^+$, il en résulte que

$$|\langle e^{-\xi_1 x} S, \varphi \rangle| \le C' \sup_{x \in \mathbb{R}} \sup_{j \le \ell, n \le \ell} |x|^j |\varphi^{(n)}(x)|;$$

c'est dire que $e^{-\xi_1 x} \in \mathcal{S}'(\mathbb{R})$.

Q.E.D.

**DÉFINITION 9.17 (transformée de Laplace)** Soit $S \in \mathcal{S}'_+(\mathbb{R})$, d'abscisse de convergence $\xi_0$ et $p = \xi + i\eta$, $\xi > \xi_0$, on pose

$$\mathcal{L}(S)(p) = \sqrt{2\pi} \widehat{e^{-\xi x} S}_{\eta}. \qquad (9.29)$$

$\mathcal{L}(S)$ est la *transformée de Laplace* de la distribution $S$, c'est une famille à 1 paramètre réel ($\xi$) de transformées de Fourier, qui a priori sont des distributions, de même que la transformée de Laplace d'une fonction, elle n'est définie que dans un demi-plan. La compatibilité entre la définition de la transformée de Laplace des fonctions donnée au paragraphe précédent, et celle ci-dessus relative aux distributions est assurée par celle entre transformée de Fourier des fonctions et des distributions.

On rappelle que pour $T \in \mathcal{S}'(\mathbb{R})$ et $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$

$$\langle \hat{T}_{\eta}, \varphi(\eta) \rangle = \langle T_x, \hat{\varphi}(x) \rangle = \left\langle T_x, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} \varphi(\eta) e^{-i\eta x} d\eta \right\rangle.$$

Nous allons voir que l'on peut donner de la transformée de Laplace des distributions une expression proche de celle couramment utilisée dans le cas des fonctions :

$$\mathcal{L}(f)(p) = \int_{0}^{\infty} e^{-px} f(x) dx,$$
**LEMME 9.18** Soient $\alpha \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\alpha(x) = 1$ pour $|x| \le 1$ et $\alpha(x) = 0$ pour $|x| \ge 2$ ; posons $\alpha_k(x) = \alpha(x/k)$. Si $T \in \mathcal{S}'(\mathbb{R})$ et $T_k = \alpha_k T$, alors $T_k \in \mathcal{E}'(\mathbb{R})$ (ensemble des distributions à support compact) et $T_k \to T$ dans $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$.

**DÉMONSTRATION.** Pour $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$, on pose $\varphi_k = \alpha_k \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, et en vertu de la formule de Leibniz

$$ \sup_{x \in \mathbb{R}} \sup_{j \le l, m \le l} |x|^j |\partial^m (\varphi - \varphi_k)| \le C \sup_{x \ge k} \sup_{j \le l, m \le l} |x|^j |\partial^m \varphi(x)|, $$

qui tend vers 0 quand $k \to \infty$, puisque $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$. C'est dire que $\varphi_k \to \varphi$ dans $\mathcal{S}(\mathbb{R})$, et par conséquent

$$ |\langle T - T_k, \varphi \rangle| = |\langle T, \varphi - \varphi_k \rangle| \to 0, $$

soit $T_k \to T$ dans $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$.

Q.E.D.

**THÉORÈME 9.19** Soit $S \in \mathcal{S}'_+(\mathbb{R})$, $\forall p = \xi + i\eta$ où $\xi > \xi_1 > \xi_0$, on a

$$ \mathcal{L}(S)(p) = \langle e^{-\xi_1 x} S, e^{(\xi_1 - p)x} \rangle. \qquad (9.30) $$

<figure><img src="image_126.png" /></figure>

**DÉMONSTRATION.** Soit $\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, d'après le lemme 9.18 il existe une suite $S_k$ de distributions à support compact tendant vers $S$ dans $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$, soit

$$ \langle \widehat{e^{-\xi x} S}, \psi_{\eta} \rangle = \langle e^{-\xi x} S, \widehat{\psi}_{x} \rangle = \lim_{k \to \infty} \langle e^{-\xi x} S_k, \widehat{\psi}_{x} \rangle. $$

Mais comme $e^{-\xi^x} S_k$ et $\psi$ sont à support compact

$$ \begin{aligned} \langle e^{-\xi^x} S_k, \widehat{\psi}_x \rangle &= \langle e^{-\xi^x} S_k, \langle \psi(\eta), e^{-i\eta x} \rangle \rangle \\ &= \langle e^{-\xi^x} S_k \otimes \psi_\eta, e^{-i\eta x} \rangle = \langle \psi_\eta, \langle e^{-\xi^x} S_k, e^{-i\eta x} \rangle \rangle, \end{aligned} $$

d'où

$$ \begin{aligned} \langle e^{-\xi^x} S_k, \widehat{\psi}_x \rangle &= \langle \psi_\eta, \langle e^{-\xi_1^x} S_k, e^{\xi_1^x} e^{-\xi^x} e^{-i\eta x} \rangle \rangle \\ &= \langle \psi_\eta, \langle e^{-\xi_1^x} S_k, e^{(\xi_1 - p)x} \rangle \rangle, \end{aligned} $$

puisque $S_k$ est à support compact. Mais comme de plus $\xi_1 < \xi$, alors $e^{(\xi_1 - p)x} = e^{(\xi_1 - \xi)x} e^{-i\eta x} \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$, et $\langle e^{-\xi_1^x} S_k, e^{(\xi_1 - p)x} \rangle \to \langle e^{-\xi_1^x} S, e^{(\xi_1 - p)x} \rangle$, d'où

$$ \langle \widehat{e^{-\xi^x} S}, \psi_{\eta} \rangle = \lim_{k \to \infty} \langle \psi_{\eta}, \langle e^{-\xi_1^x} S_k, e^{(\xi_1 - p)x} \rangle \rangle. $$

Pour $k$ assez grand $\text{Supp}(S - S_k) \subset [k, \infty[$, et par conséquent

$$ |\langle e^{-\xi_1^x} (S - S_k), e^{(\xi_1 - p)x} \rangle| \le C \sup_{x \ge k} \sup_{j \le l, |\beta| \le l} |x|^j |\partial^\beta e^{(\xi_1 - p)x}|, $$

d'où, selon le théorème de convergence dominée $\int \psi(\eta) \langle e^{-\xi_1^x} (S - S_k), e^{(\xi_1 - p)x} \rangle d\eta \to 0$, et par conséquent

$$ \langle \widehat{e^{-\xi^x} S}, \psi_{\eta} \rangle = \lim_{k \to \infty} \int \psi(\eta) \langle e^{-\xi_1^x} S_k, e^{(\xi_1 - p)x} \rangle d\eta = \int \psi(\eta) \langle e^{-\xi_1^x} S, e^{(\xi_1 - p)x} \rangle d\eta. $$

On aura donc

$$ \mathcal{L}(S)(p) = \widehat{e^{-\xi^x} S}(\eta) = \langle e^{-\xi_1^x} S, e^{(\xi_1 - p)x} \rangle. $$

Q.É.D.
On voit déjà que, pour $\mathfrak{Re} p > \xi_0$, la transformée de Laplace est une fonction de $p$, et non pas seulement une famille à un paramètre de distributions tempérées ; c'est en fait c'est une fonction holomorphe. Prenons également conscience du progrès considérable que représente la formule (9.30) qui permet de calculer la valeur de la fonction $\mathcal{L}(S)$ en tout point $p$ tel que $\mathfrak{Re} p > \xi_0$, par rapport à la définition (9.29).

On note fréquemment

$$ \mathcal{L}(S)(p) = \langle S, e^{-px} \rangle, \qquad (9.31) $$

mais ce n'est en général qu'une notation, dont la signification réelle est à chercher dans la formule (9.30). La formule (9.31) est pleinement justifiée si $S \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}) \cap \mathcal{D}'_+(\mathbb{R})$ et $\mathfrak{Re} p > 0$, car alors le facteur de convergence $e^{-\xi_1 x}$ peut être éliminé dans la formule (9.30).

## 9.2.1 Analyticité

**LEMME 9.20** Si $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$, Supp $\varphi \subset [a, +\infty[$ et $u_h(x) = (e^{-hx} - 1)/h + x$, alors $u_h\varphi \to 0$ dans $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ quand $h \to 0$.

**DÉMONSTRATION.**

Notons tout d'abord que

$$ u'_{h}(x) = 1 - e^{-hx} \text{ et } u_{h}^{(p)}(x) = (-1)^{p} h^{p-1} e^{-hx}, \forall p > 1, $$

La preuve découle alors des inégalités (9.4) et de la formule de Leibniz.

Q.E.D.

**THÉORÈME 9.21** La transformée de Laplace est une fonction analytique dans le demi-plan de convergence.

<figure><img src="image_127.png" /></figure>

**DÉMONSTRATION.** On calcule le quotient différentiel

$$ \frac{\mathcal{L}(S)(p+h) - \mathcal{L}(S)(p)}{h} = \left\langle e^{-\xi_1 x} S, e^{(\xi_1 - p)x} \frac{e^{-hx} - 1}{h} \right\rangle = \left\langle e^{-\xi_1 x} S, e^{(\xi_1 - p)x} (u_h - x) \right\rangle, $$

où $\mathfrak{Re} p > \xi_1 > \xi_0$. D'après le lemme **9.20**, on aura $e^{(\xi_1 - p)x} u_h(x) \to 0$ quand $h \to 0$, dans $\mathcal{S}(\mathbb{R})$. Il en résulte que $\mathcal{L}(S)(p)$ est dérivable avec

$$ \mathcal{L}'(S)(p) = -\langle e^{-\xi_1 x} S, x e^{(\xi_1 - p)x} \rangle = -\mathcal{L}(xS)(p) \qquad (9.32) $$

Q.E.D.

**PROPOSITION 9.22** Si $S \in \mathcal{S}'_+(\mathbb{R})$, avec $\xi_0$ pour abscisse de convergence et si $e^{-\xi_0 x} S \in \mathcal{S}'(\mathbb{R})$, alors $\widehat{e^{-\xi_0 x} S} \to \widehat{e^{-\xi_0 x} S}$ dans $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ quand $\xi \to \xi_0$, $\xi > \xi_0$.

**DÉMONSTRATION.** Posons $\xi = \xi_0 + \varepsilon$, $\varepsilon > 0$, alors pour $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$,

$$ \langle \widehat{e^{-\xi x} S}, \varphi \rangle - \langle \widehat{e^{-\xi_0 x} S}, \varphi \rangle = \langle (e^{-\varepsilon x} - 1) e^{-\xi_0 x} S, \widehat{\varphi}(x) \rangle = - \langle e^{-\xi_0 x} S, u'_\varepsilon(x) \widehat{\varphi}(x) \rangle. $$

Du lemme **9.20** il résulte que $u'_\varepsilon(x) \widehat{\varphi}(x) \to 0$ dans $\mathcal{S}(\mathbb{R})$, et par conséquent que $\widehat{e^{-\xi x} S} - \widehat{e^{-\xi_0 x} S} \to 0$ dans $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$. Q.E.D.
<figure><img src="image_128.png" /></figure>

COROLLAIRE **9.23** En particulier si $S \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}) \cap \mathcal{D}'_+(\mathbb{R})$, on a

$$ \hat{S}_{\eta} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \lim_{\xi \to 0} \mathcal{L}(S)(p), \text{ la limite s'entendant au sens de } \mathcal{S}'(\mathbb{R}), \qquad (9.33) $$

ce qui peut constituer un excellent moyen de calculer $\hat{S}$.

Il faut prendre garde au fait que, bien que limite d'une suite de fonctions très régulières, $\mathcal{L}(S)(p_0)$ où $p_0 = \xi_0 + \eta$, peut très bien n'être même pas une fonction (voir par exemple la formule (9.40)). Ce qu'on espère en fait malgré tout c'est que la fonction $\mathcal{L}(S)(p)$ soit susceptible d'un prolongement méromorphe au-delà du demi-plan de convergence.

## 9.2.2 Propriétés élémentaires

Elles découlent essentiellement de celles de la transformation de Fourier des distributions.

### Dérivation

On a

$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathcal{L}(S')(p) = \widehat{e^{-\xi x} S'}(\eta) = \widehat{\xi e^{-\xi x} S}(\eta) + \widehat{(e^{-\xi x} S)'}(\eta) \\ = \widehat{\xi e^{-\xi x} S}(\eta) + i\eta \widehat{e^{-\xi x} S}(\eta) = \frac{p}{\sqrt{2\pi}} \mathcal{L}(S)(p), $$

soit

$$ \mathcal{L}(S')(p) = p\mathcal{L}(S)(p) \text{ et } \mathcal{L}'(S)(p) = -\mathcal{L}(xS)(p), \qquad (9.34) $$

selon la formule (9.32). Notons qu'il s'agit bien ici de la dérivation au sens des distributions et que par conséquent, si $S$ est la restriction à $\mathbb{R}^+$ d'une fonction qui ne s'annule pas à l'origine, sa dérivée comporte une masse de Dirac (voir la formule(9.6)).

<figure><img src="image_129.png" /></figure>

### Translation

Si $s \in \mathbb{R}^+$,

$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathcal{L}(\tau_s S)(p) = \mathcal{F}(e^{-\xi x} \tau_s S)(\eta) = e^{-s\xi} \mathcal{F}(\tau_s(e^{-\xi x}S))(\eta) = e^{-s\xi} e^{-is\eta} \widehat{e^{-\xi x}S}(\eta), $$

et de même

$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathcal{L}(e^{i\beta x} S)(p) = \mathcal{F}(e^{i\beta x} e^{-\xi x} S)(\eta) = \tau_{\beta} \widehat{e^{-\xi x} S}(\eta), $$

ainsi que, pour $\alpha \in \mathbb{R}$, $\alpha < \xi - \xi_0$,

$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathcal{L}(e^{\alpha x} S)(p) = \mathcal{F}(e^{\alpha x} e^{-\xi x} S)(\eta) = \mathcal{F}(e^{(\alpha-\xi)x} S)(\eta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathcal{L}(S)(p-\alpha), $$

soit

$$ \mathcal{L}(\tau_s S)(p) = e^{-ps} \mathcal{L}(S)(p) \text{ et } \mathcal{L}(e^{qx} S)(p) = \mathcal{L}(S)(p-q), \quad \text{Re } q < \text{Re } p - \xi_0. \qquad (9.35) $$
Homothétie

Posons

$$
\varphi_{\lambda}(x) = \varphi(\lambda x) \text{ et } \langle T_{\lambda}, \varphi \rangle = \frac{1}{|\lambda|} \langle T, \varphi_{1/\lambda} \rangle,
$$

on a

$$
\langle \hat{T}_{\lambda}, \varphi \rangle = \langle T_{\lambda}, \hat{\varphi} \rangle = \frac{1}{|\lambda|} \langle T, \hat{\varphi}_{1/\lambda} \rangle = \langle T, \widehat{\varphi_{\lambda}} \rangle = \langle \hat{T}, \varphi_{\lambda} \rangle = \frac{1}{|\lambda|} \langle \hat{T}_{1/\lambda}, \varphi \rangle,
$$

d'où |λ| ̂Tλ = ̂T1/λ. Par conséquent, si λ > 0,

$$
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathcal{L}(T_{\lambda})(p) = \mathcal{F}(e^{-\xi x} T_{\lambda})(\eta) = \mathcal{F}((e^{-\xi x/\lambda} T)_{\lambda})(\eta) = \frac{1}{\lambda} \mathcal{F}(e^{-\xi x/\lambda} T)\left(\frac{\eta}{\lambda}\right),
$$

soit

$$
\mathcal{L}(T_\lambda)(p) = \frac{1}{\lambda} \mathcal{L}(T)\left(\frac{p}{\lambda}\right). \qquad (9.36)
$$

9.2.3 Quelques transformées de Laplace de distributions

$$
\delta^{(m)} \sqsubseteq p^m \quad \text{Pf} \frac{Y(x)}{x} \sqsubseteq \gamma - \text{Log} p \qquad (9.37)
$$

Détaillons ces calculs.

$$
(i) \text{ Calcul de } \mathcal{L} \left( \delta^{(m)} \right)
$$

$$
\mathcal{L}(\delta^{(m)}) = \mathcal{L}(Y^{(m+1)}) = p^{m+1}\mathcal{L}(Y) = p^m
$$

$$
(ii) \text{ Calcul de } \mathcal{L} \left( \text{Pf} \frac{Y(x)}{x} \right)
$$

Rappelons que

$$
\begin{align*}
\left\langle \mathrm{Pf} \frac{Y(x)}{x}, \varphi(x) \right\rangle &= \int_0^a \frac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x} + \varphi(0) \, \mathrm{Log} \, a, \text{ où } \mathrm{Supp} \, \varphi \subset ]-a, a[ \\
&= \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^a \frac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x} dx + \varphi(0) \, \mathrm{Log} \, a \\
&= \lim_{\epsilon \to 0} \left( \int_{\epsilon}^a \frac{\varphi(x)}{x} dx - \varphi(0) \int_{\epsilon}^a \frac{dx}{x} \right) + \varphi(0) \, \mathrm{Log} \, a \\
&= \lim_{\epsilon \to 0} \left( \int_{\epsilon}^{\infty} \frac{\varphi(x)}{x} dx + \varphi(0) \, \mathrm{Log} \, \epsilon \right).
\end{align*}
$$

On aura donc

$$
\begin{align*}
\left\langle (Y(x) \operatorname{Log} x)' , \varphi \right\rangle &= -\left\langle Y(x) \operatorname{Log} x , \varphi' \right\rangle = -\int_0^\infty \operatorname{Log} x \varphi'(x) dx \\
&= -\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^\infty \operatorname{Log} x \varphi'(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} \left( \int_\epsilon^\infty \frac{\varphi(x)}{x} dx - [\operatorname{Log} x \varphi(x)]_{\epsilon}^\infty \right) \\
&= \lim_{\epsilon \to 0} \left( \int_\epsilon^\infty \frac{\varphi(x)}{x} dx + \operatorname{Log} \epsilon \varphi(0) + \operatorname{Log} \epsilon (\varphi(\epsilon) - \varphi(0)) \right) \\
&= \left\langle \mathrm{Pf} \frac{Y(x)}{x} , \varphi \right\rangle,
\end{align*}
$$
et par conséquent

$$ \mathcal{L}\left(Pf\left(\frac{Y(x)}{x}\right)\right)(p) = p\mathcal{L}(Y(x)\log x)(p) = p\langle Y(x)\log x, e^{-px} \rangle = p\int_{0}^{\infty} e^{-px}\log xdx. $$

La fonction $e^{-px}\log z$ étant holomorphe en dehors de la coupure $]-\infty, 0]$ sur l'axe réel négatif, et très décroissante quand $|z| \to \infty$, selon le lemme **I.1** on peut remplacer le chemin $[0, \infty[$ par $\Gamma(t) = t/p$, $t = 0, \infty$, (voir la figure 9.4) et on aura

$$ \int_{0}^{\infty} e^{-px} \log x dx = \frac{1}{p} \int_{0}^{\infty} e^{-t} \log(t/p) dt = \frac{1}{p} \int_{0}^{\infty} e^{-t} \log t dt - \frac{\log p}{p} \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt \\ = \frac{1}{p} (\gamma - \log p), $$

où $\gamma$ note la constante d'Euler :

$$ \gamma = \int_{0}^{\infty} e^{-t} \log t dt. $$

Il en résulte que

$$ \mathcal{L}\left(Pf\left(\frac{Y(x)}{x}\right)\right)(p) = \gamma - \log p. $$

On voit à quel point l'analyticité joue dans ce calcul un rôle essentiel.

### **9.2.4 Application au calcul de transformées de Fourier**

En application du corollaire **9.23**,

$$ \begin{align} \widehat{Pf\left(\frac{Y(x)}{x}\right)}(\eta) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \lim_{\xi \to 0} (\gamma - \log(\xi + i\eta)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\gamma - \lim_{\xi \to 0} \log(\xi + i\eta)\right) \tag{9.38} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (\gamma - \log(i\eta)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\gamma - \log\left(|\eta|e^{i\pi/2 \operatorname{sgn} \eta}\right)\right) \nonumber \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (\gamma - \log|\eta| - \log e^{i\pi/2 \operatorname{sgn} \eta}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\gamma - \log|\eta| - i \frac{\pi}{2} \operatorname{sgn} \eta\right). \nonumber \end{align} $$

<figure><img src="image_130.png" /><figcaption>FIGURE 9.4 – Partie finie</figcaption></figure>
Mais également

$$
\begin{align}
\widehat{\mathrm{Pf}} \frac{Y(-x)}{-x}(\eta) &= \widehat{\mathrm{Pf}} \frac{Y(x)}{x}(-\eta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( \gamma - \mathrm{Log} |\eta| + i \frac{\pi}{2} \operatorname{sgn} \eta \right) \nonumber \\
\text{or} \nonumber \\
\mathrm{vp} \frac{1}{x} &= \mathrm{Pf} \frac{Y(x)}{x} + \mathrm{Pf} \frac{Y(-x)}{x} \nonumber \\
\text{d'où} \nonumber \\
\widehat{\mathrm{vp}} \frac{1}{x}(\eta) &= -i \sqrt{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sgn} \eta. \tag{9.39}
\end{align}
$$

De même

$$
\begin{align}
\hat{Y}_{\eta} &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \lim_{\xi \to 0} \frac{1}{\xi + i\eta} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{i} \lim_{\eta \to 0} \frac{1}{\eta - i\xi} \tag{9.40} \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{i} \left( \mathrm{vp} \frac{1}{\eta} + i\pi\delta \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( \pi\delta - i\mathrm{vp} \frac{1}{\eta} \right). \nonumber
\end{align}
$$

9.2.5 Transformée de Laplace d'un produit de convolution

PROPOSITION 9.24 Si T et S appartiennent à ℘'(ℝ), alors

<figure><img src="image_131.png" /></figure>

$$
\mathcal{L}(T*S)(p) = \mathcal{L}(T)(p)\mathcal{L}(S)(p), \quad (9.41)
$$

$$
où \xi_0(T*S) \leq \max(\xi_0(T), \xi_0(S)).
$$

DÉMONSTRATION.

► Si T et S appartiennent à ℘'(ℝ), leurs supports sont convolutifs, et S*T ∈ ℘'(ℝ). De plus pour ϕ ∈ ℳ(ℝ), on aura

$$
\begin{align*}
\langle e^{-\xi^x} T * e^{-\xi^x} S, \varphi \rangle &= \langle e^{-\xi^x} T_x \otimes e^{-\xi^y} S_y, \varphi(x+y) \rangle \\
&= \langle e^{-\xi^{(x+y)}} T_x \otimes S_y, \varphi(x+y) \rangle \\
&= \langle T_x \otimes S_y, e^{-\xi^{(x+y)}} \varphi(x+y) \rangle \\
&= \langle (T*S)_s, e^{-\xi^s} \varphi(s) \rangle = \langle e^{-\xi^s} (T*S)_s, \varphi(s) \rangle,
\end{align*}
$$

$$
\text{d'où } (e^{-\xi^x} T * e^{-\xi^x} S)_s = e^{-\xi^s} (T * S)_s.
$$

► Le lemme 9.18 nous permet alors de remplacer respectivement T et S par T_k et S_k à supports compacts tels que e^{-ξ₁s}T_k et e^{-ξ₁s}S_k convergent respectivement vers e^{-ξ₁s}T et e^{-ξ₁s}S dans ℘'(ℝ). On aura alors

$$
\begin{align*}
\mathcal{L}(T_k * S_k)(p) &= \langle e^{-\xi_1 s} (T_k * S_k), e^{\xi_1 s} e^{-ps} \rangle \\
&= \langle (e^{-\xi_1 x} T_k * e^{-\xi_1 x} S_k)_s, e^{(\xi_1 - p)s} \rangle \\
&= \langle e^{-\xi_1 x} T_k, \langle e^{-\xi_1 y} S_k, e^{(\xi_1 - p)(x+y)} \rangle \rangle \\
&= \langle e^{-\xi_1 x} T_k, e^{(\xi_1 - p)x} \langle e^{-\xi_1 y} S_k, e^{(\xi_1 - p)y} \rangle \rangle \\
&= \langle e^{-\xi_1 x} T_k, e^{(\xi_1 - p)x} \rangle \langle e^{-\xi_1 y} S_k, e^{(\xi_1 - p)y} \rangle.
\end{align*}
$$

► Il se trouve maintenant qu’en vertu du théorème de Banach-Steinhaus, le produit de convolution est séquen-
tiellement continu D'_+ (ℝ) × D'_+ (ℝ) → D'_+ (ℝ), et par conséquent

$$
\begin{align}
\langle e^{-\xi_1 s} (T * S), e^{\xi_1 s} e^{-ps} \rangle &= \lim_{k \to \infty} \langle e^{-\xi_1 s} (T_k * S_k), e^{\xi_1 s} e^{-ps} \rangle \tag{9.42} \\
&= \lim_{k \to \infty} \langle e^{-\xi_1 x} T_k, e^{(\xi_1 - p)x} \rangle \lim_{k \to \infty} \langle e^{-\xi_1 y} S_k, e^{(\xi_1 - p)y} \rangle \nonumber \\
&= \langle e^{-\xi_1 x} T, e^{(\xi_1 - p)x} \rangle \langle e^{-\xi_1 y} S, e^{(\xi_1 - p)y} \rangle = \mathcal{L}(T)(p)\mathcal{L}(S)(p), \nonumber
\end{align}
$$
Selon le théorème **9.26** ci-dessous, $\mathcal{L}(T)$ et $\mathcal{L}(S)$ appartiennent à $\mathcal{H}_+$, ainsi par conséquent que leur produit ; c'est donc la transformée de Laplace d'une distribution de $\mathcal{S}'_+(\mathbb{R})$, et comme cette dernière est unique, la formule (9.42) nous apporte la preuve que $e^{-\xi_1 s} (T*S) \in \mathcal{S}'_+$ et que $\mathcal{L}(T*S)(p) = \mathcal{L}(T)(p)\mathcal{L}(S)(p)$.

Q.E.D.

**9.3 Inversion de la transformation de Laplace**

On considère l'ensemble $\mathcal{H}_+$ des fonctions $U(p)$ qui pour un certain $r \in \mathbb{R}$ sont analytiques dans $P_0^r = \{p | \mathfrak{Re} p > r\}$ et à croissance au plus polynômiale.

$$ \mathcal{H}_+ = \{ U \text{ à croissance lente } | \exists r, U(p) \text{ analytique pour } \mathfrak{Re} p > r \}. $$

On admettra le lemme (non trivial) suivant :

**LEMME 9.25** Si $T \in \mathcal{S}'(\mathbb{R})$, $\exists f$ continue, à croissance lente, et $m \in \mathbb{N}$ tels que $T = f^{(m)}$.

Si de plus $T \in \mathcal{D}'_+(\mathbb{R})$, on peut choisir $f$ de telle sorte que $\text{Supp } f \subset \mathbb{R}^+$. En effet comme $\text{Supp } f^{(m)} \subset \mathbb{R}^+$, $f$ coïncide sur $\mathbb{R}^-$ avec une fonction dont les dérivées sont nulles à partir de l'ordre $m$, soit en fait un polynôme $Q$ de degré $m-1$ au plus. Posons alors $g = f - Q$, on aura $\text{Supp } g \subset \mathbb{R}^+$ et $g^{(m)} = f^{(m)} - Q^{(m)} = f^{(m)} = T$.

**THÉORÈME 9.26** La transformation de Laplace est une bijection $\mathcal{S}'_+(\mathbb{R}) \to \mathcal{H}_+$.

**DÉMONSTRATION.**

► Si $S \in \mathcal{S}'_+(\mathbb{R})$, en vertu du lemme **9.25**, on pourra écrire $e^{-\xi\eta}S_{\eta} = g^{(m)}$, où $\text{Supp } g \subset \mathbb{R}^+$ et par conséquent, d'après les formules (9.34) et (9.35),

$$ \mathcal{L}(S)(p) = \mathcal{L}(e^{-\xi\eta}S_{\eta})(p-\xi) = \mathcal{L}(g^{(m)})(p-\xi) = p^m \mathcal{L}(g)(p-\xi). $$

Comme selon la proposition (9.9), $\mathcal{L}(g)(q) \to 0$ quand $\mathfrak{Re}q \to \infty$, on aura $|\mathcal{L}(g)(p-\xi)| \le 1$ pour $\mathfrak{Re}p$ suffisamment grand, et par conséquent $|\mathcal{L}(S)(p)| \le |p|^m$.

► Réciproquement, étant donné une fonction $U(p) \in \mathcal{H}_+$ ; pour $\zeta = \mathfrak{Re}p > r$ fixé, c'est vis-à-vis de $\tau = \text{Im}p$ une distribution tempérée, qui admet donc une transformée de Fourier inverse tempérée $T_{\zeta}$. On peut être plus précis en remarquant que si pour $m$ suffisamment grand on pose $V(p) = U(p)/p^m$, on aura $|V(p)| \le M/|p|^2$, fonction intégrable vis-à-vis de $\tau$. Avec $V_{\zeta}(\tau) = V(\zeta + i\tau)$, on écrira donc

$$ \mathcal{F}^{-1}(V_{\zeta})(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} V(\zeta + i\tau) e^{ix\tau} d\tau. $$

Posons alors $v_{\zeta}(x) = e^{\zeta x} \mathcal{F}^{-1}(V_{\zeta})(x)$, on aura

$$ v_{\zeta}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} V(\zeta + i\tau) e^{(\zeta + i\tau)x} d\tau = \frac{1}{i\sqrt{2\pi}} \int_{\zeta - i\infty}^{\zeta + i\infty} V(q) e^{q^x} dq. \quad (9.43) $$

► En fait la fonction $v_{\zeta}(x)$ est indépendante de $\zeta$, ce qui dans la suite nous permettra de la noter $v$. Soit en effet $\zeta' > \zeta$ et $\gamma(t)$ le chemin rectangulaire formé des segments suivants (voir la Figure 9.5)

$$ \gamma_1(t) = \zeta' + it, \ t \in [-A, +A] $$

$$ \gamma_2(t) = (\zeta' + \zeta - t) + iA, \ t \in [\zeta, \zeta'] $$

$$ \gamma_0(t) = \zeta - it, \ t \in [-A, +A] $$

$$ \gamma_3(t) = t - iA, \ t \in [\zeta, \zeta'], $$
<figure><img src="image_132.png" /><figcaption>FIGURE 9.5 – Indépendance de ζ</figcaption></figure>

On aura

$$0 = \int_{\gamma} V(p) e^{px} dp = - \int_{\zeta-iA}^{\zeta+iA} V(q) e^{qx} dq + \int_{\zeta'-iA}^{\zeta'+iA} V(q) e^{qx} dq + \int_{\gamma_2} V(p) e^{px} dp + \int_{\gamma_3} V(p) e^{px} dp,$$

mais

$$|V(p) e^{px}| \le |V(p)| e^{x \Re e p} \le \frac{M}{|p|^2} e^{x \Re e p},$$

d'où

$$\left| \int_{\gamma_2} V(p) e^{px} dp \right| \le M \int_{\zeta}^{\zeta'} \frac{e^{tx}}{t^2 + A^2} dt.$$

Il en résulte que $\int_{\gamma_2} V(p) e^{px} dp \to 0$ quand $A \to \infty$, ainsi de même que $\int_{\gamma_3} V(p) e^{px} dp$, et par conséquent

$$v_{\zeta}(x) = \frac{1}{i\sqrt{2\pi}} \int_{\zeta'-i\infty}^{\zeta'+i\infty} V(p) e^{px} dp = v_{\zeta'}(x) = v(x). \quad (9.44)$$

▷ On a donc démontré que, pour $p = \xi + i\eta$, $U(p) = p^m V(p) = p^m e^{-\xi x} v(x)(\eta)$. Montrons que $v \in \mathcal{D}'_+(\mathbb{R})$ : nous avons vu que

$$v(x) = \frac{1}{i\sqrt{2\pi}} \int_{\zeta'-i\infty}^{\zeta+i\infty} V(p) e^{px} dp,$$

d'où

$$|v(x)| \le M \frac{e^{\zeta'x}}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dt}{|\zeta'|^2 + t^2} = M \frac{e^{\zeta'x}}{\sqrt{2\pi}} \frac{\pi}{|\zeta'|} = M \sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{e^{\zeta'x}}{|\zeta'|}.$$

Si maintenant, pour $x < 0$ on fait tendre $\zeta'$ vers l'infini, on constate que $v(x) = 0$.

▷ On aura par conséquent

$$U(p) = p^m e^{-\xi x} v(x)(\eta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} p^m \mathcal{L}(v)(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathcal{L}(v^{(m)})(p), \quad (9.45)$$

C'est dire que $U$ est la transformée de Laplace de la distribution $S = v^{(m)}/\sqrt{2\pi}$. On peut également écrire $U(\xi + i\eta) = \sqrt{2\pi} e^{-\xi x} S_{\eta}$, ce qui prouve l'unicité de $S$.

Q.E.D.
Notons que les formules (9.45) et (9.43) fournissent une expression explicite de la transformée de Laplace inverse :

$$ U(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} p^m \mathcal{L}(v)(p) = \frac{p^m}{2i\pi} \mathcal{L}\left(\int_{\zeta-i\infty}^{\zeta+i\infty} \frac{U(q)}{q^m} e^{qx} dq\right)(p), \quad (9.46) $$

en particulier, si $U(\zeta + i\tau)$ est intégrable vis-à-vis de $\tau$, on aura

$$ U(p) = \frac{1}{2i\pi} \mathcal{L} \left( \int_{\zeta-i\infty}^{\zeta+i\infty} U(q) e^{qx} dq \right) (p) \\ \frac{Y(x)}{2i\pi} \int_{\zeta-i\infty}^{\zeta+i\infty} U(q) e^{qx} dq \supset U. \quad (9.47) $$

ce qui peut s'écrire

### 9.3.1 Calcul pratique

La formule (9.47), ne présente pas d'avantage manifeste par rapport à une transformée de Fourier, la supériorité de la transformation de Laplace se manifestera si cette intégrale est susceptible d'être calculée à l'aide du théorème des résidus.

**PROPOSITION 9.27** Si $U$ est méromorphe dans $\mathbb{C}$ et s'il existe une suite $R_n$ telle que $M_n = \sup_{|q|=R_n} |U(q)| \to 0$ quand $R_n \to \infty$, alors

$$ Y(x) \sum_{d \in D} \mathrm{Res} (U(q) e^{qx}; d) \supset U(p). \quad (9.48) $$

**DÉMONSTRATION.**

▶ Posons $A_n = \sqrt{R_n^2 - \xi^2}$, $R_n > |\xi|$ et $\alpha_n = \arctan(A_n/\xi)$, considérons le chemin $\gamma_n$ (dit contour de Bromwich), (voir la Figure 9.6) union de

$$ \lambda_n(t) = \xi + it, \quad t \in [-A_n, A_n] \\ \sigma_n(t) = R_n e^{it}, \quad \theta \in [\alpha_n, 2\pi - \alpha_n], $$

et notons $\Delta_n$ le domaine borné qu'il entoure. On aura d'une part

$$ \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma_n} U(q) e^{qx} dq = \sum_{d \in D \cap \Delta_n} \mathrm{Res} (U(q) e^{qx}; d), $$

et d'autre part $\int_{\sigma_n} U(q) e^{qx} dp \to 0$ quand $n \to \infty$ ; en effet

$$ \left| \int_{\sigma_n} U(q) e^{qx} dq \right| \le M_n R_n \int_{[\alpha_n, \pi/2] \cup [\pi/2, 3\pi/2] \cup [3\pi/2, 2\pi - \alpha_n]} e^{R_n x \cos \theta} d\theta $$

▶ En ce qui concerne le premier terme, comme il ne fait intervenir que les $x > 0$, on aura

$$ R_n \int_{\alpha_n}^{\pi/2} e^{R_n x \cos \theta} d\theta \le R_n \int_{\alpha_n}^{\pi/2} e^{R_n x (\pi/2 - \theta)} d\theta = \frac{1}{x} (e^{R_n x (\pi/2 - \alpha_n)} - 1), $$

et comme $\pi/2 - \alpha_n = \arctan(\xi/A_n) \le \xi/A_n$, on obtient

$$ R_n \int_{\alpha_n}^{\pi/2} e^{R_n x \cos \theta} d\theta \le \frac{1}{x} \left( e^{\xi x \sqrt{1+(\xi/A_n)^2}} - 1 \right), $$

qui reste bornée quand $n \to \infty$. Il en est de même pour le troisième terme
▷ Enfin, on a

$$R_n \int_{\pi/2}^{3\pi/2} e^{R_n x \cos \theta} d\theta = R_n \int_0^{\pi} e^{-R_n x \sin \tau} d\tau,$$

qui est borné d'après le lemme de Jordan I.2, formule (I.1).

▷ Il en résulte que

$$\begin{align*}
\frac{1}{2i\pi} \int_{\xi-i\infty}^{\xi+i\infty} U(q)e^{qx} dq &= \frac{1}{2i\pi} \lim_{n\to\infty} \int_{\lambda_n} U(q)e^{qx} dq \\
&= \frac{1}{2i\pi} \lim_{n\to\infty} \int_{\gamma_n} U(q)e^{qx} dq = \sum_{d\in D} \mathrm{Res}(U(q)e^{qx}; d)
\end{align*}$$

Q.E.D.

<figure><img src="image_133.png" /><figcaption>FIGURE 9.6 – Contour de Bromwich</figcaption></figure>

On peut traiter des cas plus généraux, en particulier présentant des coupures, dont par exemple le calcul de l'original de $p^ν$ pour $ν$ complexe. On utilise alors un contour de Hankel (voir la Figure 9.7) comprenant un demi cercle de rayon $ε$ centré sur l'origine dans le plan des parties réelles positives et des deux bords de la coupure que nous choisissons le long de l'axe réel négatif.

Prenons $-1 < \Re \nu < 0$ ; dans ces conditions la formule (9.47) s'applique, et comme à la proposition 9.27, l'intégrale le long de la droite $\xi + it, t \in [-\infty, +\infty]$ est égale à celle le long du contour de Hankel, et l'intégrale le long du demi-cercle s'annule quand $\xi \to 0$. On aura donc

$$\begin{align*}
\mathcal{L}^{-1}(p^\nu)(x) &= \frac{1}{2i\pi} \int_{\xi-i\infty}^{\xi+i\infty} p^\nu e^{px} dp = \frac{1}{2i\pi} \int_{\xi-i\infty}^{\xi+i\infty} e^{\nu \mathrm{Log} p} e^{px} dp \\
&= \frac{1}{2i\pi} \int_{-\infty}^{0} e^{\nu(\mathrm{Log}|t|-i\pi)} e^{tx} dt - \frac{1}{2i\pi} \int_{-\infty}^{0} e^{\nu(\mathrm{Log}|t|+i\pi)} e^{tx} dt \\
&= \frac{1}{2i\pi} \int_{-\infty}^{0} e^{-i\nu\pi} e^{\nu\mathrm{Log}|t|} e^{tx} dt - \frac{1}{2i\pi} \int_{-\infty}^{0} e^{i\nu\pi} e^{\nu\mathrm{Log}|t|} e^{tx} dt \\
&= -\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{0} \frac{e^{i\nu\pi} - e^{-i\nu\pi}}{2i} e^{\nu\mathrm{Log}|t|} e^{tx} dt = -\frac{\sin \nu\pi}{\pi} \int_{-\infty}^{0} |t|^\nu e^{tx} dt \\
&= -\frac{\sin \nu\pi}{\pi} \int_{0}^{\infty} s^\nu e^{-sx} ds = -\frac{\sin \nu\pi}{\pi x^{\nu+1}} \int_{0}^{\infty} \tau^\nu e^{-\tau} d\tau = \frac{\sin(-\nu\pi)}{\pi x^{\nu+1}} \Gamma(\nu+1)
\end{align*}$$
soit

$$Y(x) \frac{x^{-\nu-1}}{\Gamma(-\nu)} \supset p^{\nu}, \qquad (9.49)$$

puisque

$$\frac{\pi}{\sin(-\nu\pi)} = \Gamma(-\nu)\Gamma(\nu+1). \qquad (9.50)$$

Les formules relatives aux autres $\nu$ non entiers s'obtiennent alors par dérivation.

Posons $\mu = -\nu$, la formule (9.49) s'écrit

$$Y(x) \frac{x^{\mu-1}}{\Gamma(\mu)} \supset \frac{1}{p^{\mu}} \qquad (9.51)$$

et reste valable pour les $\mu$ tels que $\Re\mu > 0$, par dérivation de la transformée de Laplace et compte tenu du fait que $\Gamma(\mu + 1) = \mu\Gamma(\mu)$.

Les formules relatives aux $\nu$ de partie réelle positive s'obtiennent de façon similaire à partir de (9.49), par dérivation de l'original et font intervenir les dérivées des $x^{-\nu-1}$, soit en fait des parties finies et des masses de Dirac à l'origine pour $\Re\nu \ge 1$. Si on se contente d'en observer la trace sur $]0, -\infty[$, on constate que pour $\nu$ non entier, de partie réelle positive, la formule (9.49) reste valable.

<figure><img src="image_134.png" /><figcaption>FIGURE 9.7 – En présence d'une coupure</figcaption></figure>

### 9.3.2 Développements asymptotiques

Quitte à être moins exigeant, et à se limiter à un développement asymptotique de l'original, on peut se contenter d'hypothèses moins restrictives relatives à $U$.

**PROPOSITION 9.28** Si $U$ est méromorphe dans le demi-plan $\{p | \Re e p > \xi_0\}$, avec un nombre fini de pôles $q_i$, $i = 1, n$, et y vérifie $|U(p)| \le M/|p|^2$ pour $|p|$ suffisamment grand, alors $U$ est la transformée de Laplace d'une fonction $u(x)$ admettant pour $x \to \infty$ le développement asymptotique suivant :

$$u(x) = \sum_{i=1}^{n} \operatorname{Res}(U(p)e^{px}; q_i) + v(x), \qquad (9.52)$$

où $v(x)$ est négligeable devant $e^{q_n x}$ si les pôles sont rangés dans l'ordre des parties réelles décroissantes.
DÉMONSTRATION. Pour $\xi' > \Re c_1$ on aura

$$u(x) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\xi'-i\infty}^{\xi'+i\infty} U(p) e^{px} dp.$$

Si on choisit $\xi_0 < \xi < \Re c_n < \xi'$, à l'aide du contour rectangulaire $\gamma(t)$ formé des quatre segments

$$\begin{align*}
\gamma_1(t) &= \xi + it, & t \in [-A, +A] \\
\gamma_2(t) &= (\xi' + \xi - t) + iA, & t \in [\xi', \xi] \\
\gamma_0(t) &= \xi' - it, & t \in [-A, +A] \\
\gamma_3(t) &= t - iA, & t \in [\xi', \xi]
\end{align*}$$

comme lors de la démonstration du théorème 9.26 (voir la Figure 9.5), on obtient

$$\frac{1}{2i\pi} \int_{\xi-i\infty}^{\xi+i\infty} U(p) e^{px} dp = u(x) - \sum_{i=1}^{n} \operatorname{Res} (U(p) e^{px}; q_i),$$

soit

$$u(x) = \sum_{i=1}^{n} \operatorname{Res} (U(p) e^{px}; q_i) + \frac{e^{\xi x}}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} U(\xi + i\eta) e^{i\eta x} d\eta.$$

Q.E.D.

### 9.3.3 Equations de convolution

Le principe consiste à utiliser la formule (9.41) de telle sorte que l'équation $f * u = g$ soit transformée en une équation algébrique, soit $\mathcal{L}(f)\mathcal{L}(u) = \mathcal{L}(g)$. Etudions par exemple l'équation d'Abel

$$g(x) = \int_{0}^{x} \frac{u(t)}{(x-t)^{\nu}} dt = (Y(s)s^{-\nu} * Y(s)u(s))(x), \Re c \nu < 1. \quad (9.53)$$

On aura

$$\mathcal{L}(Yg) = \Gamma(1-\nu)\mathcal{L}\left(Y(s)\frac{s^{-\nu}}{\Gamma(1-\nu)}\right)\mathcal{L}(Y(s)u(s)),$$

soit d'après (9.49), $\mathcal{L}(Yg)(p) = \Gamma(1-\nu)p^{\nu-1}\mathcal{L}(Y(s)u(s))$, et par conséquent

$$\begin{align*}
\mathcal{L}(Y(s)u(s)) &= \frac{\mathcal{L}(Yg)(p)}{\Gamma(1-\nu)} \frac{1}{p^{\nu-1}} = \frac{1}{p^{\nu}} p \frac{\mathcal{L}(Yg)(p)}{\Gamma(1-\nu)} \\
&= \frac{1}{p^{\nu}} \frac{\mathcal{L}((Yg)')}{\Gamma(1-\nu)} = \frac{1}{p^{\nu}} \frac{1}{\Gamma(1-\nu)} \mathcal{L}(g(0)\delta + Y[g']) \\
&= \frac{1}{\Gamma(1-\nu)} \frac{1}{p^{\nu}} (g(0) + \mathcal{L}[Yg']) = \frac{g(0) + \mathcal{L}[Yg']}{\Gamma(1-\nu)} \mathcal{L}\left(Y(s)\frac{s^{\nu-1}}{\Gamma(\nu)}\right) \\
&= \frac{g(0) + \mathcal{L}[Yg']}{\Gamma(\nu)\Gamma(1-\nu)} \mathcal{L}(Y(s)s^{\nu-1}) = \frac{\sin \nu\pi}{\pi} (g(0) + \mathcal{L}[Yg']) \mathcal{L}(Y(s)s^{\nu-1}),
\end{align*}$$

puisque $\Gamma(\nu)\Gamma(1-\nu) = \pi/\sin \nu\pi$, d'où

$$Y(s)u(s) = \frac{\sin \nu\pi}{\pi} (g(0)Y(s)s^{\nu-1} + [Yg'] * (Y(s)s^{\nu-1})),$$

et finalement

$$u(s) = \frac{\sin \nu\pi}{\pi} \left( g(0)s^{\nu-1} + \int_{0}^{s} g'(t)(s-t)^{\nu-1} dt \right), \quad s > 0 \quad (9.54)$$
9.3.4 Equations différentielles

On cherche $T$ solution de

$$
\sum_{j=0}^{n} a_j T^{(j)} = S, \tag{9.55}
$$

où il s'agit de dérivées au sens des distributions. On aura alors

$$
\mathcal{L}(YS) = \left( \sum_{j=0}^{n} a_j p^j \right) \mathcal{L}(YT) \text{ d'où } \mathcal{L}(YT) = \frac{\mathcal{L}(YS)}{\sum_{j=0}^{n} a_j p^j}.
$$

Cette formule peut servir à calculer la solution élémentaire : si $S = \delta$, par décomposition en éléments simples,

$$
\mathcal{L}(YT) = \frac{1}{\sum_{j=0}^{n} a_j p^j} = \sum_k \frac{A_k}{(p - \alpha_k)^{\beta_k}} = \sum_k A_k \mathcal{L} \left( Y(x) e^{\alpha_k x} \frac{x^{\beta_k - 1}}{(\beta_k - 1)!} \right) \quad (9.56)
$$

d'où

$$
T = Y(x) \sum_{k} A_k e^{\alpha_k x} \frac{x^{\beta_k - 1}}{(\beta_k - 1)!}. \quad (9.57)
$$

On cherche maintenant à résoudre une équation différentielle aux valeurs initiales, soit à trouver $f$, $j$ fois dérivable telle que

$$
\sum_{j=0}^{n} a_j f^{(j)}(x) = s(x), \quad x \ge 0 \tag{9.58}
$$

$$
f^{(j)}(0) = f_j, \quad j = 0, n-1.
$$

Comme les formules relatives à la transformation de Laplace portent sur les dérivées au sens des distribu-
tions, on est conduit à poser $T = T_{Y(x)}f(x)$, d'où

$$
T^{(j)} = \sum_{\ell=0}^{j-1} \delta^{(\ell)} f^{(j-1-\ell)}(0) + f^{(j)},
$$

et par conséquent

$$
s = \sum_{j=0}^{n-1} a_j \left( T^{(j)} - \sum_{\ell=0}^{j-1} \delta^{(\ell)} f^{(j-1-\ell)}(0) \right),
$$

ou encore

$$
\sum_{j=0}^{n-1} a_j T^{(j)} = \sum_{j=0}^{n} a_j \sum_{\ell=0}^{j-1} \delta^{(\ell)} f^{(j-1-\ell)}(0) + s,
$$

soit

$$
\mathcal{L}(T) = \frac{\sum_{j=0}^{n-1} a_j \sum_{\ell=0}^{j-1} p^{\ell} f^{(j-1-\ell)}(0)}{\sum_{j=0}^{n} a_j p^j} + \frac{\mathcal{L}(Ys)}{\sum_{j=0}^{n} a_j p^j}. \quad (9.59)
$$

Il ne reste plus qu’à opérer une décomposition en élément simple de ces fractions rationnelles selon le
modèle de l’équation (9.56) pour en déduire $T$. Le premier terme correspond à la solution de l’équation
sans second membre, et le second à une solution particulière de l’équation avec second membre, en fait
celle correspondant à des données initiales nulles. Cette façon d’opérer est beaucoup plus efficace que celle
consistant à utiliser la méthode de variation de la constante.
### 9.3.5 Equations aux dérivées partielles

On peut par exemple également de cette façon résoudre l'équation de la chaleur

$$ \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0, \quad x, t > 0 \qquad (9.60) $$

$u(x, 0) = 0, \quad x > 0$ donnée initiale

$u(0, t) = \theta, \quad u(\infty, t) = 0, \quad t > 0$ conditions aux limites

Comme $u$ s'annule en $t = 0$, $\partial u / \partial t$ ne se distingue pas de la dérivée au sens des distributions, et en opérant une transformation de Laplace en la variable $t$, on aura comme précédemment,

$$ p\mathcal{L}(u_x)(p) = \frac{\partial^2 \mathcal{L}(u_x)(p)}{\partial x^2}, $$

et par conséquent $\mathcal{L}(u_x)(p) = \lambda(p)e^{\sqrt{p}x} + \mu(p)e^{-\sqrt{p}x}$. Si on se limite à chercher $u_x \in \mathcal{S}'_+(\mathbb{R})$, on devra avoir $\mathcal{L}(u_x) \in \mathcal{H}_+$ d'où $\lambda(p) = 0$, la condition aux limites imposant

$$ \mu(p) = \mathcal{L}(u_0)(p) = \theta\mathcal{L}(Y)(p) = \frac{\theta}{p}. $$

Il en résulte que

$$ \mathcal{L}(u_x)(p) = \frac{\theta}{p}e^{-\sqrt{p}x}. $$

Or selon les bonnes tables de transformées de Laplace

$$ \operatorname{erfc}\left(\frac{a}{2\sqrt{t}}\right) \doteq \frac{e^{-a\sqrt{p}}}{p}, \quad \text{où} \quad \operatorname{erfc}(\tau) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{\tau}^{\infty} e^{-t^2} dt, \qquad (9.61) $$

d'où finalement

$$ u(x, t) = u_x(t) = \theta \operatorname{erfc}\left(\frac{x}{2\sqrt{t}}\right), \quad x > 0. \qquad (9.62) $$
# Chapitre 10

# Espaces de fonctions holomorphes

Jusqu'ici, les seules notions de convergence que nous ayons utilisées de façon systématique sont celles relatives aux séries entières. Le chapitre qui suit vise à définir et étudier une topologie adaptée à l'espace des fonctions holomorphes dans un ouvert quelconque $\Omega$ du plan complexe, ce sera là un outil essentiel pour la démonstration de nombreux théorèmes d'existence.

## 10.1 Topologie

**LEMME 10.1** Si $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{C}$, il existe une suite de compacts $K_n \subset \Omega$, dite exhaustive, telle que
$$ \Omega = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} K_n. $$

**DÉMONSTRATION.** Considérons l'ensemble des disques fermés contenus dans $\Omega$, dont les coordonnées du centre et le rayon sont rationnels ; c'est un ensemble dénombrable que l'on peut ranger selon une suite $D_n$. La suite des $K_n = \bigcup_{k=1,n} D_k$, est croissante et constituée de compacts et les $\mathring{D}_n$ forment un recouvrement ouvert de $D$. Il en résulte que tout compact $K$ de $\Omega$ est contenu dans une union finie de $D_k$ et donc dans un certain $K_n$ ; en particulier tout point $\{z\}$ de $\Omega$.

Q.E.D.

Nous munirons $\mathcal{C}^0(\Omega)$ de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts, c'est-à-dire celle qui est engendrée par la famille dénombrable de semi-normes

$$ p_n(f) = \sup_{z \in K_n} |f(z)|. $$

Nous savons qu'il s'agit là d'une topologie métrisable, qui fait de $\mathcal{C}^0(\Omega)$ un espace complet, soit en fait un espace de Fréchet. Notons $\mathcal{H}(\Omega)$ l'ensemble des fonctions holomorphes dans $\Omega$.

**PROPOSITION 10.2 (Weierstraß)** $\mathcal{H}(\Omega)$ est un sous-espace fermé de $\mathcal{C}^0(\Omega)$.

C'est dire que $\mathcal{H}(\Omega)$ muni de la famille de semi-normes $p_n$ est également un espace de Fréchet.

**DÉMONSTRATION.** Soit $f_n$ une suite convergente de fonctions de $\mathcal{H}(\Omega)$, soit vers $f \in \mathcal{C}^0(\Omega)$. En vertu du théorème de Cauchy 5.5, si $T$ est un triangle inclus dans $\Omega$, on aura

$$ \int_{\partial T} f_n(z) dz = 0 \quad \text{d'où} \quad \int_{\partial T} f(z) dz = 0, $$

et par conséquent, d'après le théorème de Morera 5.6, $f$ est holomorphe dans $\Omega$.

Q.E.D.
<figure><img src="image_135.png" /></figure>

**PROPOSITION 10.3** La dérivation est une application continue sur $\mathcal{H}(\Omega)$.

**DÉMONSTRATION.** Soit en effet $D$ un disque compact inclus dans $\Omega$, de rayon $r$. On notera $D_0$, de bord $\gamma_0$, un disque de même centre et de rayon $r_0 > r$, également inclus dans $\Omega$. Si $f_n \to f$ dans $\mathcal{C}^0(\Omega)$, d'après la formule (5.3), on aura

$$f'_{n}(a) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma_0} \frac{f_n(z)}{(z-a)^2} dz \text{ et } f'(a) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma_0} \frac{f(z)}{(z-a)^2} dz, \forall a \in D,$$

d'où il résulte que $f'_n \to f$ uniformément sur $D$, et par conséquent sur tout compact $K$.

Q.E.D.

**PROPOSITION 10.4** Si $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{C}$, si la suite de fonctions holomorphes $f_n$ converge vers $f$ et si $f$ possède un zéro d'ordre $m$ en $a \in \Omega$, alors

(i) Dans tout voisinage de $a$ suffisamment petit, à partir d'un certain rang $N$ (dépendant du voisinage) les $f_n$ possèdent $m$ zéros comptés avec leur multiplicité.

(ii) Si $n > N$ et si $f_n$ s'annule en $a$, alors $f_n$ possède un zéro d'ordre $m$ en $a$.

**DÉMONSTRATION.**

► La fonction $f$ est holomorphe et ses éventuels zéros sont isolés en vertu de la proposition **2.8**. Selon la proposition **8.1**, si $\gamma$ est un cercle suffisamment petit centré en $a$,

$$\zeta(f;a) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{f'(z)}{f(z)} dz = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{f'_{n}(z)}{f_{n}(z)} dz = \lim_{n \to \infty} \sum_{q \in \mathbb{R}_n} \zeta(f_n; q),$$

où $\zeta(f;a)$ est l'ordre du zéro de $f$ en $a$ et $\mathbb{R}_n$ est l'ensemble des zéros de $f_n$ dans le disque limité par $\gamma$.

► Comme les zéros de $f_n$ sont également isolés, quitte à réduire le rayon de $\gamma$, on aura $\mathbb{R}_n = \{a\}$ et $\zeta(f;a) = \lim_{n \to \infty} \zeta(f_n;a)$, d'où $\zeta(f_n;a) = \zeta(f;a)$ pour $n > N$.

Q.E.D.

<figure><img src="image_136.png" /></figure>

**COROLLAIRE 10.5** Si $\Omega$ est un ouvert connexe de $\mathbb{C}$, si la suite de fonctions holomorphes $f_n$ converge vers $f$, et s'il n'existe pas de rang $N$ au-delà duquel les $f_n$ s'annulent dans $\Omega$, alors $f$ ne s'y annule pas non plus.

**COROLLAIRE 10.6** Si $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{C}$ et si la suite $f_n$ de fonctions holomorphes injectives converge vers $f$ non constante dans $H(\Omega)$, alors $f$ est injective.

**DÉMONSTRATION.** Supposons que $f(a) = f(b) = \lambda$, où $a \neq b$. La fonction $f(z) - \lambda$ s'annule en $a$ et $b$ ; en vertu du corollaire **10.5** au delà d'un certain rang la fonction $f_n(z) - \lambda$ s'annule au voisinage de $a$ et au voisinage de $b$, ce qui constitue une contradiction.

Q.E.D.

**COROLLAIRE 10.7** Si $\Omega$ est un ouvert, si $f$ possède un zéro d'ordre $m$ en $a \in \Omega$, et si $\theta_n \to 0$, $\theta_n \neq 0$, alors à partir d'un certain rang, la fonction $f_n = f - \theta_n$ possède $m$ zéros simples au voisinage de $a$.

**DÉMONSTRATION.** Comme $f'$ s'annule en $a$, dans un voisinage $V$ assez petit de $a$ en vertu du principe des zéros isolés, $f'$ ne s'annule qu'en $a$ ; or $f'_n = f'$ et par conséquent les zéros de $f_n$ dans $V \setminus \{a\}$ sont simples. Mais $f_n$ ne s'annule pas en $a$ ; il en résulte que les zéros de $f_n$ sont simples dans $V$ et au nombre de $m$ d'après la proposition **10.4**.

Q.E.D.
On dit qu'un sous-ensemble $S$ de $\mathcal{H}(\Omega)$ est borné, s'il est absorbé par tout voisinage de 0, c'est-à-dire s'il est contenu dans l'un des homothétiques de tout voisinage de 0. Bien entendu, on sait que dans un espace topologique séparé, les compacts sont fermés et bornés, ici la réciproque est vraie, c'est le théorème de Montel. Rappelons que $H \subset \mathcal{C}^0(\Omega; F)$ est équicontinu sur $\Omega$ si

$$ \forall z \in \Omega, \forall \varepsilon > 0, \exists \eta_z > 0 \text{ tel que } (|t-z| < \eta_z) \implies (|f(t)-f(z)| < \varepsilon, \forall f \in H), $$

ainsi que le théorème d'Ascoli :

**THÉORÈME 10.8 (Ascoli)** Soit $H \subset \mathcal{C}^0(\Omega; \mathbb{C})$, équicontinu; si $\forall z \in \Omega$,

$$ H(z) = \{f(z) | f \in H\} $$

est relativement compact dans $\mathbb{C}$, alors $H$ est relativement compact dans $\mathcal{C}^0(\Omega; \mathbb{C})$.

**THÉORÈME 10.9 (Montel)** Dans $\mathcal{H}(\Omega)$ les bornés sont relativement compacts.

**DÉMONSTRATION.** Soit donc $H \subset \mathcal{H}(\Omega)$ borné, alors $\forall n, \sup_{f \in H} p_n(f) < \infty$. Il en résulte en particulier que $H(z)$ est borné et donc relativement compact dans $\mathbb{C}$. Pour appliquer le théorème d'Ascoli il suffit donc de montrer que $H$ est équicontinu. Soit $a \in \Omega$, notons $D_\rho$ le cercle de centre $a$ et de rayon $\rho$ et choisissons $r$ de telle sorte que $D_{2r}$ soit inclus dans $\Omega$. Pour $z \in D_r$, et $\gamma = \partial D_{2r}$, on aura

<figure><img src="image_137.png" /></figure>

$$ f(z) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{f(u)}{u-z} du, $$

d'où

$$ f(z) - f(a) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} f(u) \left( \frac{1}{u-z} - \frac{1}{u-a} \right) du = \frac{z-a}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{f(u)}{(u-z)(u-a)} du, $$

et par conséquent

$$ |f(z) - f(a)| \le \frac{|z-a|}{4\pi r} \int_{\gamma} \frac{|f(u)|}{|u-z|} d|u| \le \frac{|z-a|}{2r} M, \text{ où } M = \sup_{u \in \gamma} |f(u)|. $$

Q.E.D.

### 10.1.1 Propagation de la convergence

En vertu du lemme d'Abel, nous savons déjà que si une série entière $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z_n$ converge en un point $s \neq 0$, alors elle converge normalement dans tout disque de rayon inférieur à $|s|$, soit en fait selon la topologie de $\mathcal{C}^0(D; \mathbb{C})$, où $D$ est le disque de convergence. Le théorème qui suit en constitue une généralisation valable dans des cas beaucoup plus généraux, on notera sa similitude avec le théorème des zéros isolés.

**THÉORÈME 10.10 (Vitali)** Soit $\Omega$ un ouvert connexe de $\mathbb{C}$, $z_p \in \Omega$ une suite qui converge vers $z \in \Omega$, si $f_n$ est une suite de fonctions holomorphes formant un ensemble borné dans $\mathcal{H}(\Omega)$ et si $\forall p, f_n(z_p)$ converge, alors $f_n$ converge dans $\mathcal{H}(\Omega)$.

<figure><img src="image_138.png" /></figure>

**DÉMONSTRATION.** La suite des $f_n$ étant bornée est relativement compacte d'après le théorème de Montel 10.9, elle possède donc une sous-suite $f_{n'}$ convergente, soit vers $g$. On aura

$$ g(z_p) = \lim_{n \to \infty} f_{n'}(z_p), $$

d'où l'unicité de $g$ en vertu du principe des zéros isolés 2.8. Supposons alors que la suite $f_n$ ne converge pas vers $g$, il existe alors une distance $\varepsilon$ et une sous-suite $f_{n''}$ telles que $d(g, f_{n''}) > \varepsilon$, mais comme on peut extraire de $f_{n''}$ une sous-suite convergente, celle-ci convergera nécessairement vers $g$, ce qui constitue une contradiction.

Q.É.D.
### 10.1.2 Séries de fonctions méromorphes

**DÉFINITION 10.11** On dira que la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} f_n$ où les $f_n$ sont des fonctions méromorphes dans $D \subset \mathbb{C}$, est uniformément convergente dans D, s'il existe $I \subset \mathbb{N}$ fini tel que

(i) Pour $n \notin I$, $f_n$ n'a pas de pôle dans D

(ii) La série $\sum_{n \notin I} f_n$ converge uniformément dans D

**THÉORÈME 10.12** Soient $\Omega$ ouvert de $\mathbb{C}$ et $\sum_{n \in \mathbb{N}} f_n$ une série de fonctions méromorphes convergeant dans $\mathscr{C}^0(\Omega)$, c'est-à-dire convergeant uniformément sur tout compact inclus dans $\Omega$.

(i) Sa somme $f$ est une fonction méromorphe sur $\Omega$.

(ii) La série $\sum_{n \in \mathbb{N}} f'_n$ converge vers $f'$.

**DÉMONSTRATION.**

► Sur tout ouvert $U \subset \Omega$ relativement compact, $\sum_{n \in \mathbb{N}} f_n$ est la somme d'une fonction méromorphe $\sum_{n \in I} f_n$ et d'une série de fonctions holomorphes $\sum_{n \notin I} f_n$ convergeant dans $\mathscr{C}^0(U)$, c'est donc une fonction méromorphe dans $U$ en vertu de la proposition **10.2**. Il en résulte que l'ensemble des points singuliers de $f$ dans $\Omega$ n'a pas de point d'accumulation, et par conséquent que $f$ est méromorphe dans $\Omega$.

► De même $\sum_{n \in \mathbb{N}} f'_n$ est une fonction méromorphe dans $\Omega$, dont la somme n'est autre que $f'$, en vertu de la proposition **10.3**.

Q.E.D.

#### Un exemple

Considérons la série de fonctions méromorphes de terme général

$$f(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} (z - n)^{-2},$$

elle converge dans $\mathscr{C}^0(\mathbb{C})$, en effet d'une part $f_n$ n'admet qu'un nombre fini de pôles dans chaque disque compact. D'autre part $|z - n|^{-2} \le |\mathfrak{Re}z - n|^{-2}$, et par conséquent, dans chaque ouvert $-\gamma < \mathfrak{Re}z < \gamma$, pour $|n| > \gamma$, on a $|z - n|^{-2} \le |\gamma - n|^{-2}$, d'où la convergence normale de la série $\sum_{|n| > \beta} (z - n)^{-2}$. Il en résulte que la série de fonctions méromorphes $\sum_{n \in \mathbb{Z}} (z - n)^{-2}$ converge dans $\mathscr{C}^0(\mathbb{C})$, sa somme $f$ est donc une fonction méromorphe d'après le théorème **10.12**.

D'autre part $f$ est périodique de période réelle $1 : f(z+1) = f(z)$, il nous suffira donc de l'étudier sur la bande $\mathscr{B} = -\beta < \mathfrak{Re}z < \beta$ avec $\beta = 2/3$ (par exemple !). Quand $\mathfrak{Im}z \to \infty$, $f(z) \to 0$, uniformément vis-à-vis de $\mathfrak{Re}z$. Soit en effet $\varepsilon > 0$, $\exists N$ tel que $\sum_{|n| > N} |\beta - n|^{-2} < \varepsilon/2$, d'où $\left| \sum_{|n| > N} (z - n)^{-2} \right| < \varepsilon/2$ $\forall z \in \mathscr{B}$. Par ailleurs

$$\left| \sum_{|n| \le N} (z - n)^{-2} \right| \le \sum_{|n| > N} |\mathfrak{Im}z|^{-2} = \frac{2N + 1}{|\mathfrak{Im}z|^2} < \varepsilon/2$$

pour $|\mathfrak{Im}z|$ suffisamment grand.

Les pôles de $f$ sont les entiers rationnels en effet $f(z) = z^{-2} + \sum_{|n| \ge 1} (z - n)^{-2}$, ce qui fait de 0 un pôle d'ordre 2 de $f$, et le seul, dans la bande $-\beta < \mathfrak{Re}z < \beta$.
Posons maintenant $g(z) = \pi^2/\sin^2(\pi z)$. C'est également une fonction périodique de période 1 dont les pôles sont les entiers rationnels, elle est de plus exponentiellement décroissante vis-à-vis de $Imz$. Au voisinage de l'origine on a

$$ 
\begin{aligned}
\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} &= \pi^2 \left( \frac{1}{\pi z - \pi^3 z^3/6 + O(z)^5} \right)^2 = \frac{1}{z^2} \left( \frac{1}{1 - \pi^2 z^2/6 + O(z)^4} \right)^2 \quad (10.1) \\
&= \frac{1}{z^2} \left( 1 + \pi^2 z^2/6 + O(z)^4 \right)^2 = \frac{1}{z^2} + \frac{\pi^2}{3} + O(z)^2,
\end{aligned}
$$

et par conséquent $f-g$ est une fonction méromorphe et bornée, c'est donc une fonction entière d'après le lemme 7.1. Selon le théorème de Liouville 4.13, $f$ et $g$ diffèrent donc d'une constante, qui se trouve être nulle puisqu'elles tendent toutes deux vers 0 quand $|Imz| \to \infty$. Nous avons donc finalement montré que

$$ f(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} (z-n)^{-2} = \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)}. \quad (10.2) $$

Posons alors $k(z) = f(z) - 1/z^2$, il en résulte en particulier que

$$ k(0) = 2 \sum_{n \ge 1} n^{-2} = \lim_{z \to 0} \left( \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} - \frac{1}{z^2} \right) = \frac{\pi^2}{3}, $$

d'après (10.1). On obtient finalement la formule miraculeuse due à Euler

$$ \frac{\pi^2}{6} = \sum_{n \ge 1} n^{-2}. \quad (10.3) $$

### 10.1.3 Produits infinis de fonctions holomorphes

**THÉORÈME 10.13** Si $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{C}$, et si la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} |u_n(z)|$ converge dans $\mathcal{H}(\Omega)$, c'est-à-dire uniformément sur tout compact de $\Omega$, alors

(i) le produit infini

$$ f(z) = \prod_{n \in \mathbb{N}} f_n(z) \text{ où } f_n = 1 + u_n $$

converge dans $\mathcal{H}(\Omega)$

(ii) la fonction $f$ est holomorphe dans $\Omega$

(iii) L'ensemble des zéros de $f$ est l'union des ensembles respectifs des zéros des $f_n$, les ordres de multiplicité s'additionnant.

(iv) La série $\sum_{n \in \mathbb{N}} f'_n/f_n$ converge dans $\mathcal{H}(\Omega)$ et sa somme est égale à la dérivée logarithmique $f'/f$.

**DÉMONSTRATION.**

► Soit $K$ un compact de $\Omega$, par hypothèse $\sum_{n \in \mathbb{N}} |u_n(z)|$ converge uniformément sur $K$, soit vers $g(z)$, et par conséquent $|u_{k+1}(z)| \le g(z) - \sum_{n \le k} |u_n(z)|$ tend uniformément vers 0 sur $K$. On en déduit qu'il existe $N$ tel que $|u_n(z)| \le 1/2, \forall n > N, \forall z \in K$.

► La fonction $\log(1+t)/t$ possédant une détermination holomorphe dans le disque de centre 1 et de rayon 1, elle est bornée dans le disque de centre 1 et de rayon $1/2$ et on posera $M = \sup_{|t| \le 1/2} |\log(1+t)/t|$. Il en résulte que pour $n > N$, $|\log f_n(z)| \le M|u_n(z)|$ et par conséquent que la série $\sum_{k \ge N+1} \log f_k(z)$ converge uniformément sur $K$.
▷ Pour $n \ge N$, posons alors

$$p_n(z) = \prod_{k \le n} f_k(z) = p_N(z) \prod_{N+1 \le k \le n} f_k(z) = p_N(z) \exp \left( \sum_{N+1 \le k \le n} \log f_k(z) \right),$$

qui converge lorsque $n \to \infty$ uniformément vers $f(z) = p_N(z) \exp(\sum_{k \ge N+1} \log f_k(z))$ sur $K$. Selon le théorème **10.2**, la fonction $f$ est alors holomorphe dans $\Omega$.

▷ Comme la suite $f_n - 1$ converge uniformément vers 0, à partir d'un certain rang soit $n$, $f_n$ ne s'annule pas, d'où la conclusion relative aux zéros de $f$.

▷ Sur tout compact $K$ de $\Omega$, nous avons donc

$$\frac{f(z)}{p_N(z)} = \exp\left(\sum_{k \ge N+1} \log f_k(z)\right),$$

et par conséquent, d'après le théorème **10.12**,

$$\frac{f'(z)p_N(z) - f(z)p'_N(z)}{p_N^2(z)} = \exp\left(\sum_{k \ge N+1} \log f_k(z)\right) \sum_{k \ge N+1} \frac{f'_k(z)}{f_k(z)},$$

d'où

$$\frac{f(z)}{p_N(z)} \left( \frac{f'(z)}{f(z)} - \frac{p'_N(z)}{p_N(z)} \right) = \frac{f(z)}{p_N(z)} \sum_{k \ge N+1} \frac{f'_k(z)}{f_k(z)},$$

soit

$$\frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{p'_{N}(z)}{p_{N}(z)} + \sum_{k \ge N+1} \frac{f'_{k}(z)}{f_{k}(z)} = \sum_{k \ge 0} \frac{f'_{k}(z)}{f_{k}(z)}.$$

Q.E.D.

## Exemple

Considérons le produit infini $f(z) = z \prod_{n>0} (1-z^2/n^2)$, d'après le théorème **10.13**, il converge uniformément sur tout compact, car il en est de même de la série $\sum_{n>0} z^2/n^2$. D'après le théorème **10.13**, il en résulte que $f(z)$ est holomorphe, que ses zéros sont les entiers rationnels, qu'ils sont simples, et que

$$\frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{1}{z} - \sum_{n>0} \frac{2z}{n^2 - z^2} = F(z).$$

On aura

$$\begin{aligned} F(z) &= \frac{1}{z} + \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \frac{1}{n} + \sum_{n > 0} \left( \frac{1}{z-n} + \frac{1}{z+n} \right) = \frac{1}{z} + \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \left( \frac{1}{z-n} + \frac{1}{n} \right) \\ &= \frac{1}{z} + \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \frac{z}{n(z-n)}. \end{aligned}$$

La série

$$\sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \frac{z}{n(z-n)}$$
convergeant normalement sur tout compact, il résulte du théorème **10.12** que $F$ est une fonction méromorphe; de plus

$$ 
\begin{aligned}
F'(z) &= -\frac{1}{z^2} + \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \frac{n(z-n) - nz}{n^2(z-n)^2} = -\frac{1}{z^2} - \sum_{n \in \mathbb{Z}, n \neq 0} \frac{1}{(z-n)^2} \\
&= -\sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(z-n)^2} = -\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)},
\end{aligned}
$$

d'après (10.2). On aura donc $F'(z) = (\pi / \operatorname{tg} \pi z)'$, et par conséquent

$$ \frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{\pi}{\operatorname{tg} \pi z} = \pi \frac{\cos \pi z}{\sin \pi z}, $$

puisque $F$ et $\pi / \operatorname{tg} \pi z$ sont impaires. Il en résulte que

$$ \frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{(\sin \pi z)'}{\sin \pi z}, $$

d'où $\operatorname{Log} f = \operatorname{Log} \sin \pi z + C$, soit $f(z) = c \sin \pi z$. Mais quand $z \to 0$, $\sin \pi z / z \to \pi$ et $f(z) / z = \prod_{n>0} (1 - z^2/n^2) \to 1$, d'où $c = 1 / \pi$, soit

$$ \prod_{n>0} (1 - z^2/n^2) = \frac{f(z)}{z} = \frac{\sin \pi z}{\pi z}. \qquad (10.4) $$

### Approximation par des fractions rationnelles

Nous verrons ultérieurement un théorème général d'approximation des fonctions holomorphes par des fractions rationnelles, qui a pour défaut de ne pas être constructif. Dans certains cas il est possible, selon une méthode due à Cauchy d'obtenir des décompositions explicites et par là même des formules tout aussi miraculeuses que (10.3) ou (10.4).

Soit donc $f$ une fonction méromorphe dans $\mathbb{C}$, n'ayant pas 0 comme pôle. Nous noterons $\alpha_n$, $n \ge 1$ la suite de ses pôles, rangés par ordre de module croissant, et nous aurons au voisinage de $\alpha_n$ le développement de Laurent suivant :

$$ f(u) = \sum_{Q \ge q > 0} \frac{r_q}{(u - \alpha_n)^q} + \sum_{p=0}^{\infty} d_p (u - \alpha_n)^p = R_n(u) + D_n(u). $$

Pour $k \ge 1$ donné nous noterons $H_n(u)$ la somme des termes de degré $k-1$ au plus dans le développement de $R_n$ au voisinage de l'origine. Soient maintenant $\rho > 0$ tel que $\rho \neq |\alpha_\ell|$, $\forall \ell$ et $z$ tel que $|z| < \rho$, à l'aide de la méthode des résidus on obtient le résultat suivant :

### LEMME 10.14

$$ f(z) = \sum_{p=0}^{k-1} \frac{f^{(p)}(0)}{p!} z^p + \sum_{\{n \mid |\alpha_n| < \rho\}} (R_n(z) - H_n(z)) + \int_{\gamma_{\rho}} \frac{z^k}{u^k u-z} du. \qquad (10.5) $$

où $\gamma_{\rho}$ note le ercle de rayon $\rho$ parcouru dans le sens direct et centré à l'origine.

DÉMONSTRATION. Les pôles de l'intégrand sont respectivement $u = z$, $u = 0$ et $u = \alpha_n$, pour $|\alpha_n| < \rho$.
(i) Commençons par remarquer que, selon (7.5) on a

$$
\mathrm{Res} \left( \frac{z^k}{u^k} \frac{f(u)}{u-z} ; z \right) = f(z).
$$

(ii) Par ailleurs, au voisinage de l'origine

$$
\frac{z^k}{u^k} \frac{f(u)}{u-z} = - \frac{z^{k-1}}{u^k} \left( \sum_{\ell \ge 0} u^\ell \right) \left( \sum_{p \ge 0} \frac{f^{(p)}(0)}{p!} u^p \right),
$$

dont le terme en $u^{-1}$ est égal à

$$
-\sum_{p=0}^{k-1} \frac{f^{(p)}(0)}{p!} \frac{z^{k-1}}{z^{k-p-1}} = -\sum_{p=0}^{k-1} \frac{f^{(p)}(0)}{p!} z^p = \mathrm{Res} \left( \frac{z^k}{u^k} \frac{f(u)}{u-z} ; 0 \right).
$$

(iii) Enfin, on peut remarquer qu'au voisinage de $\alpha_n$, à une fonction holomorphe près, on a

$$
\frac{z^k}{u^k} \frac{f(u)}{u-z} = \frac{z^k}{u^k} \frac{R_n(u)}{u-z} = g(u),
$$

ce qui montre que leurs résidus sont égaux. Comme g est une fraction rationnelle, elle est méromorphe sur la sphère de Riemann et nous savons que la somme de ses résidus y est nulle. Comme g possède à l'infini un zéro d'ordre 2 au minimum, le résidu à l'infini est nul, d'où

$$
\begin{align*}
\operatorname{Res} \left( \frac{z^k}{u^k} \frac{f(u)}{u-z} ; \alpha_n \right) &= \operatorname{Res} (g(u); \alpha_n) = -\operatorname{Res} (g(u); z) - \operatorname{Res} (g(u); 0) \\
&= -R_n(z) + \sum_{p=0}^{k-1} \frac{R_n^{(p)}(0)}{p!} z^p = H_n(z) - R_n(z),
\end{align*}
$$

d'où le résultat annoncé.

Q.E.D.

Si on suppose alors $k$ assez grand pour qu'il existe une suite $\rho_s$ croissante qui tend vers l'infini telle que

$$
\epsilon_s = \sup_{\{u \mid |u| = \rho_s\}} |f(u)u^{-k}| \to 0,
$$

alors, comme

$$
\left| \int_{\gamma_s} \frac{z^k}{u^k} \frac{f(u)}{u-z} du \right| \le \epsilon_s |z|^k \int_{\gamma_s} \frac{du}{|u-z|} \le \frac{\epsilon_s |z|^k}{\rho_s - |z|} \int_{\gamma_s} du = 2\pi \epsilon_s |z|^k \frac{\rho_s}{\rho_s - |z|},
$$

selon la formule (10.5) on aura

$$
f(z) = \sum_{p=0}^{k-1} \frac{f^{(p)}(0)}{p!} z^p + \lim_{s \to \infty} \sum_{\{n \mid |\alpha_n| < \rho_s\}} (R_n(z) - H_n(z)). \quad (10.6)
$$

Considérons par exemple la fonction

$$
f(z) = \cot g z - \frac{1}{z},
$$
à laquelle nous appliquerons la formule (10.6) en remplaçant les cercles $\gamma_s$ par des carrés centrés à l'origine, de côtés parallèles aux axes et les recoupant respectivement en $(s + 1/2)\pi, -(s + 1/2)\pi, i(s + 1/2)\pi$, et $-i(s + 1/2)\pi, s \in \mathbb{N}$. Sur l'un de ces bords, par exemple

$$ \delta = \{u = (s + 1/2)\pi + it \mid t \in [--(s + 1/2)\pi, (s + 1/2)\pi]\}, $$

on aura

$$ |\cot g u| = \left| \frac{\zeta + 1}{\zeta - 1} \right|, \text{où } \zeta = e^{2iu} = e^{2i(s+1/2)\pi} e^{-2t} = -e^{-2t}, $$

soit

$$ |\cot g u| = \left| \frac{e^{-2t} - 1}{e^{-2t} + 1} \right| \le 1; $$

il nous suffira donc de prendre $k=1$. Notons maintenant que les pôles de $\cot g u$ sont les zéros de $\sin u$, et que ceux de $f$ sont donc de la forme $u = n\pi$, avec $n \neq 0$, soit

$$ \operatorname{Res}_{(f(u); n\pi)} = \frac{\cos n\pi}{\cos n\pi} = 1 $$

et par conséquent

$$ R_n(z) = \frac{1}{z - n\pi} \text{ et } H_n(z) = -\frac{1}{n\pi}. $$

On obtient donc

$$ \begin{aligned} \cot g z &= \frac{1}{z} + \sum_{\substack{n=-\infty, +\infty \\ n \neq 0}} \left( \frac{1}{z - n\pi} + \frac{1}{n\pi} \right) = \frac{1}{z} + \sum_{n \ge 1} \frac{1}{z - n\pi} + \frac{1}{z + n\pi} \\ &= \frac{1}{z} + \sum_{n \ge 1} \frac{2z}{z^2 - n^2 \pi^2}. \end{aligned} $$

Remarquons maintenant que

$$ \frac{2z}{z^2 - n^2 \pi^2} = \left(1 - \frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right)' / \left(1 - \frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right) \text{ et } \cot g z = (\sin z)' / \sin z, $$

et posons

$$ h(z) = z \prod_{n \ge 1} \left( 1 - \frac{z^2}{n^2 \pi^2} \right). $$

on aura

$$ \frac{h'(z)}{h(z)} = \frac{1}{z} + \frac{\left(\prod_{n \ge 1} \left(1 - \frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right)\right)'}{\prod_{n \ge 1} \left(1 - \frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right)} = \frac{1}{z} + \sum_{n \ge 1} \frac{\left(1 - \frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right)'}{\left(1 - \frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right)} = \cot g z = \frac{(\sin z)'}{\sin z} $$

omme $h(z)$ et $\sin z$ ont la même dérivée logarithmique elles sont proportionnelles, et en fait égales car $\sin z/z$ et $h(z)/z$ tendent vers 1 quand $z \to 0$; on obtient donc finalement

$$ \sin z = z \prod_{n \ge 1} \left( 1 - \frac{z^2}{n^2 \pi^2} \right). $$

Rien de nouveau certes, mais contrairement à l'exemple précédent il ne s'agit pas d'une simple vérification mais d'une méthode constructive permettant de découvrir beaucoup d'autres formules de même nature.
La fonction $\Gamma$

On pose

$$g_n(z) = zn^{-z} \prod_{n \ge k > 0} \left(1 + \frac{z}{k}\right) = \frac{zn^{-z}}{n!} \prod_{n \ge k > 0} (k+z).$$

Pour $n \ge 2$, on aura

$$ 
\begin{aligned}
f_n(z) &= \frac{g_n(z)}{g_{n-1}(z)} = \frac{\frac{zn^{-z}}{n!} \prod_{n \ge k > 0} (k+z)}{\frac{z(n-1)^{-z}}{(n-1)!} \prod_{n-1 \ge k > 0} (k+z)} \\
&= \frac{n^{-z}}{(n-1)^{-z}} \frac{n+z}{n} = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{z} \left(1 + \frac{z}{n}\right).
\end{aligned}
$$

Pour $|z| < n$,

$$\mathrm{Log} f_n(z) = z \mathrm{Log} \left(1 - \frac{1}{n}\right) + \mathrm{Log} \left(1 + \frac{z}{n}\right) \sim z \left(-\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2}\right) + \left(\frac{z}{n} + \frac{z^2}{2n^2}\right),$$

d'où,

$$|\mathrm{Log} f_n(z)| \sim \frac{\max(|z|, |z|^2)}{n^2},$$

et la convergence normale de la série $\sum_{n>|z|} \mathrm{Log} f_n(z)$ sur tout compact dans la boule $\hat{B}(0, |z|)$. C'est dire que $g_1(z) \prod_{n \ge 2} f_n(z)$ converge normalement sur tout compact, et par conséquent d'après le théorème **10.13** que sa limite $g$ est une fonction holomorphe dont les zéros, de multiplicité 1, sont les entiers négatifs. On pose

$$\Gamma(z) = \frac{1}{g(z)}.$$

Notons que

$$ 
\begin{aligned}
\frac{g(z)}{g(z+1)} &= \lim_{n \to \infty} \frac{g_n(z)}{g_n(z+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{zn^{-z}}{n!} \prod_{n \ge k > 0} (k+z)}{\frac{(z+1)n^{-(z+1)}}{n!} \prod_{n \ge k > 0} (k+z+1)} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{z(1+z)}{(z+1)n^{-1}(n+z+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{nz}{(n+z+1)} = z,
\end{aligned}
$$

et que

$$g(1) = \lim_{n \to \infty} g_n(1) = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{-1}(n+1)!}{n!} = 1.$$

On pourra donc écrire

$$\Gamma(1) = 1, \Gamma(z+1) = z\Gamma(z).$$
Enfin,

$$
\begin{align*}
g_n(z)g_n(1-z) &= zn^{-z} \frac{(1-z)n^{z-1}}{n!} \prod_{n \ge k > 0} \left(1 + \frac{z}{k}\right) \prod_{n \ge k > 0} (k+1-z) \\
&= z \frac{n^{-1}}{n!} \prod_{n \ge k > 0} \left(1 + \frac{z}{k}\right) \prod_{n \ge k \ge 0} (k+1-z) \\
&= z \frac{n^{-1}}{n!} (n+1-z) \prod_{n \ge k > 0} \left(1 + \frac{z}{k}\right) \prod_{n-1 \ge k \ge 0} (k+1-z) \\
&= z \frac{n^{-1}}{n!} (n+1-z) \prod_{n \ge k > 0} \left(1 + \frac{z}{k}\right) \prod_{n \ge k > 0} (k-z) \\
&= z \frac{n^{-1}}{n!} (n+1-z) \prod_{n \ge k > 0} \left(1 + \frac{z}{k}\right) \prod_{n \ge k > 0} k \prod_{n \ge k > 0} \left(1 - \frac{z}{k}\right) \\
&= zn^{-1} (n+1-z) \prod_{n \ge k > 0} \left(1 - \frac{z^2}{k^2}\right),
\end{align*}
$$

d'où

$$
g(z)g(1-z) = \lim_{n \to \infty} g_n(z)g_n(1-z) = z \frac{\sin \pi z}{\pi z} = \frac{\sin \pi z}{\pi},
$$

d'après (10.4), ce que l'on écrit

$$
\Gamma(z)\Gamma(z+1) = \frac{\pi}{\sin \pi z}. \tag{10.7}
$$

## 10.2 Approximation des fonctions holomorphes

On pourrait être tenté d'appliquer le théorème de Stone-Weierstraß, qui s'énonce ainsi

**THÉORÈME 10.15 (Stone)** Si $K$ est compact, une sous-algèbre auto-adjointe unitaire de $\mathcal{C}^0(K)$ qui sépare les points, est dense dans $\mathcal{C}^0(K)$.

Rappelons qu'une algèbre $\mathcal{A}$ est un espace vectoriel muni d'une structure d'anneau compatible, qu'elle est dite unitaire si elle contient l'élément neutre **1** de la multiplication et auto-adjointe si $h \in \mathcal{A} \implies \bar{h} \in \mathcal{A}$. Bien entendu, on a $\mathcal{C}^0(K) \supset \mathcal{H}(K)$, mais la condition relative au caractère auto-adjoint de $\mathcal{A}$ nous retient d'appliquer le théorème de Stone avec pour $\mathcal{A}$ l'ensemble des polynômes. Nous savons cependant qu'une fonction holomorphe dans un disque $D$ peut y être développée en série entière, dont la convergence uniforme sur tout compact est acquise, d'où la densité de l'ensemble des polynômes dans $\mathcal{H}(D)$. Par contre, c'est en série de Laurent qu'une fonction holomorphe dans une couronne peut être développée, c'est donc la limite d'une suite de fractions rationnelles (au nombre desquelles les polynômes) dont les pôles sont situés au centre de la couronne. Nous allons voir ci-dessous que la densité de l'espace des polynômes dans $\mathcal{H}(\Omega)$ dépend en fait de la géométrie de $\Omega$, le théorème général étant le suivant :

**THÉORÈME 10.16 (de Runge : Grabiner)** Soient $K$ compact dans $\mathbb{C}$, et $\Omega$ un ouvert contenant $K$. Si $E \subset \bar{\mathbb{C}}\setminus K$ (voir le chapitre 11) rencontre toutes les composantes connexes de $\bar{\mathbb{C}}\setminus K$, alors une fonction analytique dans $\Omega$ peut être approchée uniformément sur $K$ par une suite de fractions rationnelles dont les seuls pôles appartiennent à $E$.

Notons qu'une fraction rationnelle dont le pôle est à l'infini est en fait un polynôme. DÉMONSTRATION. Notons $R(K, E)$ l'adhérence dans $\mathcal{C}^0(K)$ de l'ensemble des fractions rationnelles dont les pôles appartiennent à $E$. En vertu du théorème de Hahn-Banach, il nous suffira de montrer que toute mesure de Radon sur $K$ qui s'annule sur $R(K, E)$, s'annule également sur l'ensemble des fonctions analytiques dans $\Omega$.

<figure><img src="image_139.png" /></figure>

<figure><img src="image_140.png" /></figure>
► Supposons donc que $\mu$ est une mesure sur $K$ nulle sur $R(K, E)$, et que $g$ est analytique au voisinage de $K$. Si $\mathscr{C}$ est un cycle dans $\Omega \setminus K$ pour lequel tout point de $K$ est d'indice 1 (voir le lemme **10.18** ci-dessous), pour $z \in K$, on aura

$$g(z) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\mathscr{C}} \frac{g(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta.$$

Par conséquent, comme d'après le lemme **10.17** ci-dessous, $h(\zeta) = \int_K |z - \zeta|^{-1} d|\mu|(z)$ est intégrable; d'après le théorème de Fubini, avec

$$f(\zeta) = \int_K (z - \zeta)^{-1} d\mu(z)$$

on aura

$$\int_K g(z) d\mu(z) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\mathscr{C}} g(\zeta) d\zeta \int_K \frac{d\mu(z)}{z-\zeta} = \frac{1}{2i\pi} \int_{\mathscr{C}} g(\zeta) f(\zeta) d\zeta. \quad (10.8)$$

► Dans chaque composante connexe bornée $U$ de $\Omega \setminus K$, il existe $\zeta_U \in E$ et on aura

$$f^{(n)}(\zeta_U) = n! \int_K \frac{d\mu(z)}{(z - \zeta_U)^{n+1}}$$

comme la mesure $\mu$ s'annule sur les fractions rationnelles dont les pôles appartiennent à $E$, $f^{(n)}(\zeta_U) = 0 \quad \forall n$. Comme $U$ est inclus dans le complémentaire de $K$, $f$ est analytique sur $U$. Il en résulte d'après le théorème **2.4** que $f$ est nulle dans un voisinage de $\zeta_U$, et par conséquent que $f$ est nulle sur $U$.

► Au voisinage de l'infini, le développement de l'intégrand en série de Neumann nous montre que

$$f(\zeta) = -\frac{1}{\zeta} \int_K \frac{d\mu(z)}{1-z/\zeta} = -\frac{1}{\zeta} \sum_{n \in \mathbb{N}} \int_K \left(\frac{z}{\zeta}\right)^n d\mu(z) = -\sum_{n \in \mathbb{N}} \zeta^{-n-1} \int_K z^n d\mu(z), \quad (10.9)$$

Il en résulte que $f(\zeta) \to 0$ lorsque $\zeta \to \infty$ et que $f$ est holomorphe au voisinage du point à l'infini. On peut alors prendre pour $\zeta_U$ le point à l'infini, d'où $\int_K z^n d\mu(z) = 0$, ce qui prouve que $f$ est nulle au voisinage de l'infini et par conséquent dans sa composante connexe.

► Nous avons donc démontré que $f(\zeta) = 0 \quad \forall \zeta \in \mathscr{C}$ et donc en vertu de la formule (10.8) que $\int_K g(z) d\mu(z) = 0$ pour toute fonction $g$ holomorphe dans $\Omega$.

Q.E.D.

**LEMME 10.17** Si $\mu$ est une mesure sur $K$, si $\lambda$ est la mesure surfacique et $z \in K$, alors la fonction

$$h(\zeta) = \int_K \frac{d|\mu|(z)}{|z - \zeta|} \quad (10.10)$$

est intégrable relativement à $\lambda$ sur tout disque $B_R(0)$,

**DÉMONSTRATION.**

► On appliquera à cet effet le théorème de Fubini. Pour $\rho$ assez grand, on aura

$$\int_{B_R(0)} \frac{d\lambda(\zeta)}{|z - \zeta|} \le \int_{B_\rho(z)} \frac{d\lambda(\zeta)}{|z - \zeta|} = \int_0^{2\pi} \int_0^\rho dr d\theta = 2\pi\rho.$$

Il en résulte que

$$\int_K d|\mu|(z) \int_{B_R(0)} \frac{d\lambda(\zeta)}{|z - \zeta|} \le 2\pi\rho \|\mu\|,$$

et l'intégrabilité de $f$ d'après les théorèmes de Tonelli et Fubini.

Q.E.D.
**LEMME 10.18** Si K est un compact de $\mathbb{C}$ inclus dans l'ouvert $\Omega$, alors il existe un cycle $\Gamma$ formé d'un nombre fini de segments de droite, inclus dans $\Omega \setminus K$ tel que, $\forall z \in K$, pour toute fonction $f$ holomorphe dans $\Omega$,

$$f(z) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\Gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta.$$

**DÉMONSTRATION.**

► Posons $\delta = d(K, \mathbb{C} \setminus \Omega)/2$, et considérons une grille de maille $\delta$, par compacité de K, ce dernier ne coupe qu'un nombre fini $Q_\ell$, $\ell = 1, L$ des carrés qui la composent. Compte tenu du choix de $\delta$, on aura

$$K \subset Q = \bigcup_{\ell=1,L} Q_\ell \subset \Omega,$$

(voir la Figure 10.1.)

<figure><img src="image_141.png" /><figcaption>FIGURE 10.1 – $K \subset Q \subset \Omega$</figcaption></figure>

► Notons $\gamma_n$, $n = 1, N$ les segments formant le bord de $Q$, aucun des $\gamma_n$ ne coupe $K$, car si tel était le cas, deux carrés de la grille partageraient $\gamma_n$, ce qui contredit le fait que $\gamma_n \in \partial Q$.

► Soit maintenant $z \in \tilde{Q}_k^\circ$, on aura

$$\frac{1}{2i\pi} \int_{\partial Q_k} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta = \frac{1}{2i\pi} \sum_{\ell=1,L} \int_{\partial Q_\ell} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta = \frac{1}{2i\pi} \int_{\partial Q} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta,$$

d'où, pour un point $z$ quelconque de $K$, et par continuité

$$\frac{1}{2i\pi} \int_{\partial Q} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta = f(z).$$

Q.E.D.

**COROLLAIRE 10.19** Si K est compact et $\mathbb{C} \setminus K$ connexe, alors toute fonction holomorphe au voisinage de K peut être uniformément approchée sur K par une suite de polynômes.

<figure><img src="image_142.png" /></figure>

C'est en particulier dans le cadre de ce corollaire que s'inscrit la remarque que nous faisions ci-dessus relativement à la possibilité d'approcher par des polynômes une fonction analytique définie dans un disque et par des fractions rationnelles une fonction analytique définie à l'extérieur d'un disque.
# Chapitre 11

## La sphère de Riemann

De même qu'on définit la droite achevée $\bar{\mathbb{R}}$ de façon à traiter commodément des suites tendant vers l'infini, il est souvent recommandé de faire intervenir le compactifié d'Alexandroff de $\mathbb{C}$, qui prend dans ce contexte le nom de droite projective complexe ou plus fréquemment de sphère de Riemann.

### 11.1 Compactification

On rajoute à $\mathbb{C}$ un point supplémentaire noté $\infty$, dont la signification concrète n'a pour l'instant pas d'importance, elle découlera en fait de la topologie dont nous munirons $\bar{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$. Dans $\bar{\mathbb{C}}$ les voisinages d'un point $z \in \mathbb{C}$ sont les ensembles contenant un disque ouvert de $\mathbb{C}$ centré en $z$, tandis que les voisinages de $\infty$ sont les ensembles contenant le complémentaire d'un disque fermé de $\mathbb{C}$ centré à l'origine. La topologie induite par celle de $\bar{\mathbb{C}}$ sur $\mathbb{C}$ est la topologie usuelle de $\mathbb{C}$. Considérons maintenant un recouvrement ouvert $U_i$, $i \in I$ de $\bar{\mathbb{C}}$, l'un d'entre eux au moins, soit $U_0$ contient le point $\infty$, et donc l'extérieur d'un compact $K$. Il suffit donc d'un nombre fini $n$ de $\mathbb{C} \cap U_i$ pour recouvrir $K$, soit $\mathbb{C} \cap U_i$, $i = 1, n$, et par conséquent, les $U_i$, $i = 0, n$ forment un recouvrement de $\bar{\mathbb{C}}$. C'est dire que $\bar{\mathbb{C}}$ est compact, c'est le compactifié d'Alexandroff de $\mathbb{C}$.

Cette construction admet des réalisations plus géométriques, qui ont l'avantage de se présenter naturellement sous la forme de variétés analytiques.

### 11.2 La droite projective complexe

On note $P^1(\mathbb{C})$, le quotient de $\mathbb{C}^2 \setminus \{(0,0)\}$ par la relation d'équivalence $(z_1, z_2) \sim (z'_1, z'_2) = \lambda(z_1, z_2)$, où $\lambda \in \mathbb{C}$ est différent de 0. On note $\pi$ la projection canonique $\mathbb{C}^2 \setminus (0,0) \to P^1(\mathbb{C})$. $P^1(\mathbb{C})$ est une variété analytique qui peut être décrite par les deux cartes suivantes :

$$ \zeta : (z_1, z_2)^{\circ} \to z_1/z_2, \text{ si } z_2 \neq 0 $$

$$ \zeta : (z_1, z_2)^{\circ} \to z_2/z_1, \text{ si } z_1 \neq 0 $$

il est facile de voir que $z_1/z_2$ et $z_2/z_1$ ne dépendent pas du représentant choisi dans $(z_1, z_2)^{\circ}$. De plus les fonctions $\zeta$ et $\zeta$ sont injectives car si $z_1/z_2 = t_1/t_2$, alors $(z_1, z_2) = \lambda(t_1, t_2)$, où $\lambda = z_2/t_2$. Enfin l'application de changement de carte

$$ \psi = \zeta \circ \zeta^{-1} $$
est holomorphe car $\zeta^{-1}(z) = (z, 1)$, d'où si $z \neq 0$, $\zeta \circ \zeta^{-1}(z) = \zeta(z, 1) = 1/z$. On peut alors munir $P^1(\mathbb{C})$ de la topologie finale engendrée par $\pi$, qui n'est autre que celle engendrée par les cartes $\zeta$ et $\zeta'$, soit en fait la moins forte qui les rende continues. On constate alors que les domaines respectifs $U$ et $\bar{U}$ des cartes $\zeta$ et $\zeta'$ sont des ouverts de $P^1(\mathbb{C})$ homéomorphes à $\mathbb{C}$, qui recouvrent complètement $P^1(\mathbb{C})$ à l'exception de $(z_1, 0)$ pour $U$ qu'on notera (par exemple) $\infty$, et de $(0, z_2)$ pour $\bar{U}$. Il en résulte que $U \cap \bar{U}$ est homéomorphe à $\mathbb{C} \setminus \{0\}$ et que $P^1(\mathbb{C})$ peut être identifié à $\bar{\mathbb{C}} = \zeta(U) \cup \{(z_1, 0)\}$.

## 11.3 Projection stéréographique

Il existe une autre façon classique, plus imagée, de représenter la droite projective complexe, elle repose sur la description de la sphère $S^2 = \{(s_1, s_2, s_3) \mid \sum_{i=1,3} s_i^2 = 1\}$ à l'aide des deux cartes suivantes :

$$ \eta : (s_1, s_2, s_3) \to \frac{s_1 + is_2}{1 - s_3}, \text{ si } s_3 < 1 $$

$$ \underline{\eta} : (s_1, s_2, s_3) \to \frac{s_1 - is_2}{1 + s_3}, \text{ si } s_3 > -1 $$

La fonction $\eta$ est la projection stéréographique relative au pôle nord (0, 0, 1) (voir la Figure 11.1), et $\eta$ découle par symétrie de celle relative au pôle sud (0, 0, -1), de telle sorte que l'atlas qu'elles forment soit analytique. Pour $z = x + iy \in \mathbb{C}$, on aura en effet

$$ \eta^{-1}(z) = \begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \\ s_3 \end{pmatrix} = \frac{2}{1 + |z|^2} \begin{pmatrix} x \\ y \\ |z|^2 - 1 \end{pmatrix} $$

d'où

$$ \psi(z) = \underline{\eta} \circ \eta^{-1}(z) = \frac{s_1 - is_2}{1 + s_3} = \frac{2}{1 + |z|^2} \frac{x - iy}{|z|^2 / (1 + |z|^2)} = \frac{x - iy}{|z|^2} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = z^{-1}. $$

Il n'est pas difficile d'expliciter l'homéomorphisme qui fait passer de $P^1(\mathbb{C})$ à $S^2$, on aura en effet

<figure><img src="image_143.png" /><figcaption>FIGURE 11.1 – La projection stéréographique</figcaption></figure>

$$ (s_1 + is_2) = \frac{2z_1\bar{z}_2}{|z_1|^2 + |z_2|^2} $$

$$ s_3^2 = 1 - \frac{4|z_1|^2|z_2|^2}{(|z_1|^2 + |z_2|^2)^2} = \frac{(|z_1|^2 - |z_2|^2)^2}{(|z_1|^2 + |z_2|^2)^2} \text{ soit } s_3 = \frac{|z_1|^2 - |z_2|^2}{|z_1|^2 + |z_2|^2}, $$
ce qui met en correspondance le point $\infty$ avec le pôle nord.

Ces représentations sont donc équivalentes et en général on n'éprouve pas le besoin de préciser davantage de laquelle il s'agit. Désormais, nous parlerons de la sphère de Riemann, que nous noterons $P^1(\mathbb{C})$, et nous noterons $\infty$ l'image réciproque de 0 par $\underline{\eta}^{-1}$ ou $\underline{\zeta}^{-1}$.

## 11.4 Fonctions holomorphes

On dira qu'une fonction $f : P^1(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}$ est holomorphe sur la sphère de Riemann si $g = f \circ \zeta^{-1}$ et $\underline{g} = f \circ \underline{\zeta}^{-1}$ sont holomorphes sur $\mathbb{C}$, ou de façon équivalente $f \circ \eta^{-1}$ et $f \circ \underline{\eta}^{-1}$. Comme $g = f \circ \zeta^{-1} = \underline{g} \circ \underline{\zeta} \circ \underline{\zeta}^{-1}$, on aura en fait $g(z) = \underline{g}(1/z)$. De façon un peu raccourcie, on dit alors qu'une fonction est holomorphe sur la sphère de Riemann si elle est holomorphe dans $\mathbb{C}$, ainsi que la fonction qui s'en déduit par le changement de variable $z = 1/z'$.

De même, une fonction $f$ est méromorphe sur $P^1(\mathbb{C})$ si $g$ et $\underline{g}$ le sont. Soit alors $A$ l'ensemble des pôles de $f$, il ne peut posséder de point d'accumulation, et il est par conséquent fini, puisque $P^1(\mathbb{C})$ est compact. Sous cette forme, il est bien clair que les fonctions méromorphes (respectivement holomorphes) sur $P^1(\mathbb{C})$ constituent une classe particulière des fonctions analogues dans $\mathbb{C}$. L'introduction de la carte $\zeta'$ nous a permis de préciser quels comportements à l'infini nous autorisions pour $g$. Il s'agit en fait d'une fraction rationnelle, puisque ses pôles étant en nombre et de multiplicités finies, il existe un polynôme $Q$ tel que $h = Qg$ soit bornée à distance finie, et par conséquent holomorphe, d'après le lemme **7.1**. Mais $h$ reste méromorphe dans $P^1(\mathbb{C})$, et par conséquent son développement de Laurent à l'infini, soit celui de $\underline{h}$ en 0, ne comporte qu'un nombre fini de termes d'indice négatif, il en résulte que pour un certain $n$, $(z')^n \underline{h}(z')$ est bornée en 0, soit $h(z)/z^n$ à l'infini. D'après le théorème de Liouville **4.13**, il en résulte que $h$ est un polynôme, et par conséquent $g$ une fraction rationnelle.

On peut également parler de fonctions holomorphes $P^1(\mathbb{C}) \to P^1(\mathbb{C})$ : on dira que $f$ est holomorphe $P^1(\mathbb{C}) \to P^1(\mathbb{C})$ si $\zeta \circ g, \underline{\zeta} \circ g, \zeta \circ \underline{g}$ et $\underline{\zeta} \circ \underline{g}$ sont holomorphes $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$. C'est dire en fait que $\zeta \circ g(z)$ et $\zeta \circ \underline{g}(z)$ sont holomorphes, ainsi que $1/(\zeta \circ g(z))$ et $1/(\underline{\zeta} \circ \underline{g}(z))$ respectivement en dehors de $\zeta \circ g(z) = 0$ et $\underline{\zeta} \circ \underline{g}(z) = 0$.

## 11.5 Le théorème des résidus

Il importe tout d'abord de rappeler que ce que l'on intègre sur une variété ce ne sont pas des fonctions mais des formes différentielles. Soit $\omega(x; h)$ une forme différentielle de degré 1 sur $P^1(\mathbb{C})$, c'est en chaque point $x \in P^1(\mathbb{C})$, une forme linéaire $h \to \omega(x; h)$ sur $T'_x$, espace tangent à $P^1(\mathbb{C})$ en $x$. Cet espace tangent est de dimension complexe 1, chaque carte permet d'en construire une base, ici un élément, soit respectivement $d\zeta$ et $d\underline{\zeta}$, qui sont reliés par la relation $d\underline{\zeta} = \psi' d\zeta$, où $\psi = \underline{\zeta} \circ \zeta^{-1}$. Une forme différentielle admet donc une représentation relativement à chaque carte aux points de laquelle elle est définie, soit

$$ \omega = g \circ \zeta(x) d\zeta = \underline{g} \circ \underline{\zeta}(x) d\underline{\zeta}. $$

Soit alors $\delta$ un chemin dans $P^1(\mathbb{C})$, posons $\gamma = \zeta \circ \delta$ et $\underline{\gamma} = \underline{\zeta} \circ \underline{\delta}$, par définition, on aura

$$ \int_{\delta} \omega = \int_{\gamma} g(z) dz = \int_{\underline{\gamma}} \underline{g}(z') dz'. \qquad (11.1) $$

<figure><img src="image_144.png" /></figure>
Il nous faut bien entendu vérifier la seconde égalité, on aura en effet

$$g \circ \zeta(x) d\zeta = \underline{g} \circ \underline{\zeta}(x) \psi' d\zeta = \underline{g} \circ \psi \circ \underline{\zeta}(x) \psi' d\zeta,$$

soit encore

$$g(z) = \underline{g} \circ \psi(z) \psi'(z),$$

d'où, selon (7.7),

$$\int_{\gamma} g(z) dz = \int_{\gamma} \underline{g}(z') dz'$$

Dans le cas où le chemin $\delta$ n'est pas tout entier situé dans le domaine d'une carte, on définit $\int_{\delta} \omega$ à l'aide d'une partition de l'unité.

Dans ce cadre, il est possible de définir le résidu d'une forme différentielle méromorphe en un point $x_k$ où elle admet un pôle : si $x_k$ appartient au domaine de l'une des cartes, soit par exemple $\zeta$, ce sera le résidu de $g$ en $\zeta(x_k)$. Encore faut-il vérifier que cette définition ne conduit pas à une incompatibilité dans le cas où $x_k$ appartient simultanément aux domaines des cartes $\zeta$ et $\zeta'$, c'est-à-dire

$$\mathrm{Res}(g; \zeta(x_k)) = \mathrm{Res}(\underline{g}; \zeta(x_k)) = \mathrm{Res}(\omega; x_k), \qquad (11.2)$$

ce qui n'est en fait rien d'autre que la formule (7.14).

Notons par ailleurs que les formules (7.10) et (7.9) nous permettent d'écrire

$$n(\gamma; \zeta(x)) = n(\underline{\gamma}; \zeta(x)) - n(\underline{\gamma}; 0) \text{ ou encore } n(\underline{\gamma}; \zeta(x)) = n(\gamma; \zeta(x)) - n(\gamma; 0),$$

il est donc clair que l'indice d'un point par rapport à un lacet ne constitue pas une quantité intrinsèque sur la sphère de Riemann. Cependant si on considère un domaine $\Omega \subset P^1(\mathbb{C})$, ne contenant ni l'origine ni le point à l'infini, et un chemin $\delta$ dans $\Omega$ tel que $\gamma = \eta \circ \delta$ soit homologue à 0 dans $\eta(\Omega)$, alors

$$n(\gamma; \eta(x)) = n(\underline{\gamma}; \eta(x)) = n(\delta; x),$$

ce qui montre d'ailleurs que $\gamma$ est également homologue à 0 dans $\underline{\eta}(\Omega)$ (voir la Figure 11.2 où $\gamma$ et $\underline{\gamma}$ sont en outre tous deux le bord orienté d'un compact) Si les $x_k$ sont les pôles de $\omega$ dans $\Omega$, on aura alors

$$\begin{align*} \frac{1}{2i\pi} \int_{\delta} \omega &= \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} g(z) dz = \sum_{k=1}^{n} n(\gamma; \eta(x_k)) \mathrm{Res}(g; \eta(x_k)) \\ &= \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \underline{g}(z') dz' = \sum_{k=1}^{n} n(\underline{\gamma}; \eta(x_k)) \mathrm{Res}(\underline{g}; \eta(x_k)), \end{align*}$$

soit

$$\frac{1}{2i\pi} \int_{\delta} \omega = \sum_{k=1}^{n} n(\delta; x_k) \mathrm{Res}(\omega; x_k). \qquad (11.3)$$

Considérons maintenant le cas où $\omega$ est méromorphe dans l'ouvert $\Omega \subset P^1(\mathbb{C})$ et $\delta$ est le bord d'un compact $K \subset \Omega$. Si $\Omega$ ne contient pas le point à l'infini, nous orienterons $\delta$ de telle sorte que $\gamma$ soit le bord orienté du compact $\eta(K)$, on aura alors

$$n(\gamma; \eta(x)) = 1, \forall x \in \mathbb{K} \text{ et } n(\gamma; \eta(y)) = 0, \forall y \in K^c,$$
<figure><img src="image_145.png" /><figcaption>FIGURE 11.2 – Ω ne contient ni l'origine ni le point à l'infini</figcaption></figure>

(voir la Figure 11.3) et

$$ \frac{1}{2i\pi} \int_{\delta} \omega = \sum_{k=1}^{n} \mathrm{Res}_{(\omega; x_k)} (\omega; x_k), \quad x_k \in K. \qquad (11.4) $$

Comme $n(\gamma; 0) = 1$, il en résulte que

$$ n(\gamma; \underline{\eta}(x)) = 0, \forall x \in \mathring{K} \text{ et } n(\gamma; \underline{\eta}(y)) = -1, \forall y \in K^c, $$

De même si $\Omega$ contient le point à l'infini et pas l'origine, nous orienterons $\delta$ de telle sorte que $\gamma$ soit le bord orienté de $\underline{\eta}(K)$. On aura alors $n(\gamma; \underline{\eta}(y_l)) = 1$, où les $y_l$, $l = 1, p$ sont les pôles de $\omega$ situés dans $K$, d'où

$$ \frac{1}{2i\pi} \int_{\delta} \omega = \sum_{l=1}^{p} \mathrm{Res}_{(\omega; y_l)} (\omega; y_l), \quad y_l \in K. \qquad (11.5) $$

(Voir la Figure 11.4)

Dans le cas où $\omega$ est méromorphe sur $P^1(\mathbb{C})$ tout entier, si $K$ contient l'origine et pas le point à l'infini, alors $(\mathring{K})^c$ contient le point à l'infini et pas l'origine. Si $\delta$ est orienté (par exemple) de telle sorte que $\gamma$ soit le bord orienté du compact $\eta(K)$, alors

$$ n(\gamma; \underline{\eta}(x)) = 1, \forall x \in \mathring{K} \text{ et } n(\gamma; \underline{\eta}(y)) = 0, \forall y \in K^c. $$

Comme $n(\gamma; 0) = 1$, il en résulte que

$$ n(\gamma; \underline{\eta}(x)) = 0, \forall x \in \mathring{K} \text{ et } n(\gamma; \underline{\eta}(y)) = -1, \forall y \in K^c, $$
<figure><img src="image_146.png" /><figcaption>FIGURE 11.3 – K contient l'origine et pas le point à l'infini</figcaption></figure>

d'où

$$ \frac{1}{2i\pi} \int_{\delta} \omega = \sum_{k=1}^{n} \mathrm{Res}(\omega; x_k) = -\sum_{\ell=1}^{p} \mathrm{Res}(\omega; y_\ell), $$

où les $x_k, k = 1, n$ sont les pôles de $\omega$ situés dans $\mathring{K}$, et les $y_\ell, \ell = 1, p$ ceux situés dans $K^c$, (voir la Figure 11.5) Il en résulte en particulier que la somme des résidus de $\omega$ sur la sphère de Riemann est nulle, ce qui n'est rien d'autre que la formule (7.17). Plus généralement, une fonction $f$ est méromorphe $\Omega \subset P^1(\mathbb{C}) \to P^1(\mathbb{C})$ si $F = h^{-1} \circ f \circ k$ est méromorphe $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$, où $h$ et $k$ sont deux cartes de domaines respectifs $U$ et $f(U)$.
<figure><img src="image_147.png" /><figcaption>FIGURE 11.4 – K contient le point à l’infini et pas l’origine</figcaption></figure>

<figure><img src="image_148.png" /><figcaption>FIGURE 11.5 – Forme différentielle méromorphe sur $P^1(C)$</figcaption></figure>
# Chapitre 12

## Transformations conformes

Etant donnés deux ouverts $\Omega$ et $\Theta$ de $P^1(\mathbb{C})$, on va chercher à savoir s'il existe un isomorphisme $f$ de $\Omega$ sur $\Theta$, c'est-à-dire une application holomorphe, inversible et d'inverse holomorphe : $\Omega \to \Theta$. Si c'est le cas, on dira que $\Omega$ est conformément équivalent à $\Theta$. Commençons par étudier les applications holomorphes.

### 12.1 Applications holomorphes

Soit $f$ holomorphe telle que $f'(z_0) = c \neq 0$. Posons $t_0 = f(z_0)$, si $\gamma_1$ et $\gamma_2$ sont deux chemins différentiables tels que $\gamma_1(0) = z_0$ et $\gamma_2(0) = z_0$ et si $\delta_i = f \circ \gamma_i$, alors

$$ \operatorname{Log} \frac{\delta'_2}{\delta'_1} = \operatorname{Log} \frac{(f \circ \gamma_2)'}{(f \circ \gamma_1)'} = \operatorname{Log} \frac{c\gamma'_2}{c\gamma'_1} = \operatorname{Log} \frac{\gamma'_2}{\gamma'_1} $$

C'est encore dire que l'angle formé par les vecteurs $\delta'_1$ et $\delta'_2$ en $t_0$ est le même que celui formé par $\gamma'_1$ et $\gamma'_2$, ce qui est à l'origine de l'expression transformation conforme de $U$ dans $V$ pour qualifier les isomorphismes de $U$ sur $V$.

Réciproquement, si $T$ est une application $\mathbb{R}$-linéaire $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ qui conserve les angles, alors elle est de la forme $T(z) = cz$. Posons en effet $T(1) = re^{i\theta}$ et $S(z) = r^{-1}e^{-i\theta}z$, la transformation $S \circ T$ conservera également les angles, et de plus $S \circ T(1) = 1$; il en résulte que $S \circ T(i) = \alpha i$, où $\alpha$ est réel, et comme par linéarité $S \circ T(1+i) = 1+\alpha i$, on aura également $(1+\alpha i) = \beta(1+i)$ où $\beta$ est réel. Il en résulte que $\beta = \alpha = 1$, d'où $T = S^{-1}$, soit $T(z) = re^{i\theta}z$.

Supposons maintenant que $f'(z_0) = 0$, $f$ n'étant pas identiquement nulle au voisinage de $z_0$. Locale-ment $f$ est développable en série entière selon

$$ f(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n (z - z_0)^n, \text{ avec } a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}, $$

d'où $a_1 = 0$, et il existe $p$ tel que $a_k = 0$, $k < p$, $a_p \neq 0$. On pourra alors écrire

$$ f(z) - f(z_0) = (z - z_0)^p \sum_{n \ge p} a_n (z - z_0)^{n-p}, \text{ où } p \ge 2. $$

Posons $\zeta = z - z_0$, $f(z) - f(z_0) = h(\zeta)$, et $g(\zeta) = h(\zeta) / (\zeta^p a_p) = 1 + \sum_{n \ge p+1} b_n \zeta^{n-p}$, où $b_n = a_n / a_p$. On peut trouver $c$ tel que $a_p = c^p$, et par conséquent

$$ h(\zeta) = c^p \zeta^p g(\zeta), $$
où $g(0) = 1$ et $g$ est holomorphe au voisinage de 0. Au voisinage de $\zeta = 0$, en vertu du corollaire **5.27**, $1/g(\zeta)$ admet une primitive : $\mathrm{Log} g(\zeta)$, et on pourra donc écrire $h(\zeta) = (\nu(\zeta))^p$, où $\nu(\zeta) = c \zeta e^{1/p \mathrm{Log} g(\zeta)}$ est holomorphe. On aura de plus $\nu(0) = 0$ et

$$v'(\zeta) = c e^{1/p \mathrm{Log} g(\zeta)} + c \zeta e^{1/p \mathrm{Log} g(\zeta)} \frac{g'(\zeta)}{g(\zeta)},$$

d'où $v'(0) = c$. Il en résulte que $h = w \circ v$, où $w(z) = z^p$, et $v$ conserve les angles.

Considérons maintenant la transformation $w$, avec $\delta_i = w \circ \gamma_i$, en $t = 0$ on aura

$$\mathrm{Log} \frac{\delta_2'}{\delta_1'} = \mathrm{Log} \frac{(w \circ \gamma_2)'}{(w \circ \gamma_1)'} = \mathrm{Log} \frac{\gamma_2'}{\gamma_1'} \left( \frac{\gamma_2}{\gamma_1} \right)^{p-1} = \mathrm{Log} \left( \frac{\gamma_2'}{\gamma_1'} \right)^p,$$

puisque

$$\frac{\gamma_2}{\gamma_1}(t) = \frac{t\gamma_2' + O(t^2)}{t\gamma_1' + O(t^2)} = \frac{\gamma_2'}{\gamma_1'}(0) + O(t),$$

ce qui montre que les angles sont multipliés par $p$ dans la transformation $w$ et par conséquent dans la transformation $h$, ou de façon équivalente par $f$.

## 12.2 Groupes d'automorphismes

### DÉFINITION 12.1

(i) On dit qu'un groupe $G$ d'automorphismes $X \to X$ est transitif, si $\forall (x, y) \in X^2$, $\exists g \in G$ tel que $y = g(x)$

(ii) On appelle sous-groupe d'isotropie de $x_0 \in X$, dans $G$, le sous-groupe des éléments de $G$ qui conservent $x_0$, soit $\{f \in G | f(x_0) = x_0\}$

**PROPOSITION 12.2** Soit $\Gamma(X)$, le groupe des automorphismes de $X$ et $G$ un sous-groupe transitif de $\Gamma(X)$. Si $\exists z_0 \in X$ tel que le sous-groupe d'isotropie de $z_0$ dans $\Gamma(X)$ soit contenu dans $G$, alors $G = \Gamma(X)$.

**DÉMONSTRATION.** Soit en effet $s \in \Gamma(X)$, comme $G$ est transitif, il existe $t \in G$ tel que $t(z_0) = s(z_0)$, d'où $t^{-1} \circ s$ fait partie du groupe d'isotropie de $z_0$, et par conséquent de $G$. Il en résulte que $s = t \circ t^{-1} \circ s \in G$.

Q.E.D.

### 12.2.1 Automorphismes de $\mathbb{C}$

**THÉORÈME 12.3** Le groupe $\Gamma(\mathbb{C})$ des automorphismes de $\mathbb{C}$ est de la forme suivante :

$$\Gamma(\mathbb{C}) = \{f(z) = az + b \mid a \neq 0\}.$$

**DÉMONSTRATION.**

* Il est tout d'abord clair que les automorphismes de $\mathbb{C}$ forment un groupe.

* Soit $f$ un isomorphisme de $\mathbb{C}$ dans lui-même, c'est une fonction holomorphe, et par conséquent la fonction $g(z) = f(1/z)$ n'admet d'éventuelle singularité qu'en 0. Il s'agit donc d'une singularité isolée, qui ne peut être qu'un point singulier essentiel ou un pôle, en vertu du théorème **7.2**.

* Supposons qu'il s'agisse d'un point singulier essentiel, alors selon le théorème **7.2** l'image par $g$ du disque ouvert $\{z \mid |z| < 1\}$ est dense dans $\mathbb{C}$ et rencontre par conséquent l'ouvert image par $f$ de ce même disque ouvert. C'est dire qu'il existe $z$ tel que $f(z) = g(z) = f(1/z)$, ce qui est incompatible avec l'injectivité de $f$.
▶ Nous avons donc montré que $0$ est un pôle de $g$, et par conséquent, selon le corollaire **7.4** que le développement de Laurent de $g$ au voisinage de $0$ ne comporte qu'un nombre fini de termes d'indice négatif, soit en fait que le développement en série entière de $f$ ne comporte qu'un nombre fini de termes; c'est dire que $f$ est un polynôme. Selon le corollaire **4.15** du théorème de d'Alembert, on aura $f(z) = c \prod_{i=1}^{m} (z - \alpha_i)^{k_i}$, où $k = \sum_{i=1,m} k_i$ est le degré du polynôme et $\alpha_i$ ses racines, de multiplicités respectives $k_i$. Comme $f$ est supposée injective, elle ne peut avoir qu'une racine $\alpha$, de multiplicité $k$, soit $f(z) = c (z - \alpha)^k$, mais alors l'équation $f(z) = c$ possède $k$ racines : $\beta_k = \alpha + e^{2i\pi n/k}$. Pour que $f$ soit injective, il est donc nécessaire (et suffisant) que $f$ soit de degré 1, soit

$$f(z) = az + b, \quad a \neq 0.$$

Q.E.D.

### 12.2.2 Automorphismes de $P^1(\mathbb{C})$

On démontre à l'annexe **G**, proposition **G.2** que les transformations de Möbius

$$w(z) = \frac{az + b}{cz + d}, \quad ad - bc \neq 0,$$

ou du moins leurs prolongements $\tau$ à la sphère de Riemann (voir le chapitre **11**), définis par

$$\zeta \circ \tau \circ \zeta^{-1}(z) = w(z), \quad z \neq -\frac{d}{c} \quad \text{si } c \neq 0$$

et prolongés selon

$$\tau(\infty) = \zeta^{-1} \circ w \circ \zeta \circ \zeta^{-1} \circ \zeta(\infty) = \zeta^{-1} \circ w \circ \zeta(0) = \zeta^{-1}\left(\frac{a}{c}\right) \quad \text{si } c \neq 0$$

$$\tau(\infty) = \zeta^{-1} \circ \zeta \circ \zeta^{-1} \circ w \circ \zeta(0) = \zeta^{-1}(0) = \infty \quad \text{si } c = 0$$

ainsi que

$$\tau \circ \zeta^{-1} \left(-\frac{d}{c}\right) = \zeta^{-1} \circ w \left(-\frac{d}{c}\right) = \zeta^{-1} \circ \zeta \circ \zeta^{-1} \circ w \left(-\frac{d}{c}\right) = \zeta^{-1}(0) = \infty \quad \text{si } c \neq 0.$$

sont des bijections de $P^1(\mathbb{C})$.

Montrons maintenant que les prolongements des transformations de Möbius sont des automorphismes de $P^1(\mathbb{C})$. Dans les cartes $\zeta$ et $\zeta'$, on aura

$$\zeta \circ \tau \circ \zeta^{-1}(z) = \frac{1}{w(z)}, \quad z \neq -\frac{b}{a} \quad \text{si } a \neq 0$$

$$\zeta \circ \tau \circ \zeta^{-1}(z) = w\left(\frac{1}{z}\right), \quad z \neq 0, \quad z \neq -\frac{c}{d} \quad \text{si } d \neq 0, \text{ et } \zeta \circ \tau \circ \zeta^{-1}(0) = \frac{a}{c} \quad \text{si } c \neq 0$$

$$\zeta \circ \tau \circ \zeta^{-1}(z) = 1/w\left(\frac{1}{z}\right), \quad z \neq 0, \quad z \neq -\frac{a}{b} \quad \text{si } b \neq 0, \text{ et } \zeta \circ \tau \circ \zeta^{-1}(0) = \frac{c}{a} \quad \text{si } a \neq 0$$

(voir la Figure 12.1) Au voisinage de $z = -d/c$,

$$\zeta \circ \tau \circ \zeta^{-1}(z) = 1/w(z) = \frac{cz+d}{az+b} \quad \text{et} \quad \zeta \circ \tau \circ \zeta^{-1}\left(-\frac{d}{c}\right) = 0$$

ainsi que

$$\frac{1}{z+d/c} \frac{1}{w(z)} = \frac{1}{z+d/c} \frac{cz+d}{az+b} = \frac{c}{az+b} \rightarrow -\frac{c^2}{ad-bc},$$
<figure><img src="image_149.png" /><figcaption>FIGURE 12.1 – Prolongement de la transformation de Mœbius</figcaption></figure>

ce qui prouve que $\zeta \circ \tau \circ \zeta^{-1}$ est holomorphe. De même, au voisinage de 0, si $c \neq 0$

$$ \zeta \circ \tau \circ \bar{\zeta}^{-1}(z) = w(1/z) = \frac{a/z + b}{c/z + d} $$

d'où

$$ \frac{1}{z}w(1/z) = \frac{1}{z}\frac{a/z + b}{c/z + d} = \frac{a/z + b}{c + dz} \rightarrow \frac{b}{c}, $$

ce qui montre que $\zeta \circ \tau \circ \bar{\zeta}^{-1}$ est holomorphe. Ces fonctions sont donc des automorphismes de $\mathbb{C}$ en vertu du théorème d'inversion globale **8.5**, d'où il résulte que $\tau$ est un automorphisme de $P^1(\mathbb{C})$.

<figure><img src="image_150.png" /></figure>

Désormais et sauf nécessité absolue, nous confondrons $w$ et son prolongement $\tau$ à la sphère de Riemann.

**THÉORÈME 12.4** *Le groupe $\Gamma(P^1(\mathbb{C}))$ des automorphismes de $P^1(\mathbb{C})$ est de la forme suivante :*

$$ \Gamma(P^1(\mathbb{C})) = \left\{ w(z) = \frac{az + b}{cz + d} \mid ad - bc \neq 0 \right\} = H $$

**DÉMONSTRATION.** Notons $G$ le sous-groupe de $H$ des transformations vérifiant $c = 0, d \neq 0$. Comme $ad - bc \neq 0$ on aura $a \neq 0$, et par conséquent selon **12.3**, $G$ est le groupe des automorphismes de $\mathbb{C}$, c'est-à-dire le sous-groupe des automorphismes de $P^1(\mathbb{C})$ laissant invariant le point à l'infini ; c'est dire que $G \subset H$ est le sous-groupe d'isotropie de l'infini. De plus il est facile de vérifier que $H$ est transitif dans $P^1(\mathbb{C})$, d'où la conclusion d'après la proposition **12.2**.

Q.E.D.

### **12.2.3 Automorphismes du demi-plan supérieur**

On note $P$ le demi-plan supérieur et $D$ le disque unité.

**PROPOSITION 12.5**

(i) Le sous-groupe $T$ des homographies à coefficients réels vérifiant $ad - bc > 0$ est transitif dans $P$

(ii) Le sous-groupe d'isotropie de $i$ dans $\Gamma(P)$ est inclus dans $T$.

**DÉMONSTRATION.**
► Tout d'abord si $z = \alpha + i\beta$, $\beta > 0$, alors on peut trouver $w_z \in T$ tel que $w_z(i) = z$, soit d'après (G.1), en choisissant de prendre $ad - bc = 1$,

$$ \alpha + i\beta = \frac{a}{c} - \frac{1}{c^2} \frac{1}{i+d/c} = \frac{a}{c} - \frac{1}{c^2} \frac{-i+d/c}{1+d^2/c^2} = \frac{a}{c} - \frac{-i+d/c}{c^2+d^2}, $$

d'où

$$ \alpha = \frac{a}{c} - \frac{d/c}{c^2 + d^2} \quad \text{et} \quad \beta = \frac{1}{c^2 + d^2}, $$

c'est-à-dire

$$ \alpha = \frac{1}{c}(a - d\beta). $$

On prendra par exemple $c = \beta^{-1/2}$, $d = 0$, $a = c\alpha$ et $b = -1/c$.

► Dans un second temps, on construit un élément $v$ de $T$ tel que $v(z_1) = z_2$ où $z_1, z_2 \in P$ en composant $w_{z_2}$ et $(w_{z_1})^{-1}$.

► Selon la proposition G.9, la transformation de Cayley $C$ est une bijection $P \to D$, et par conséquent elle réalise une bijection $\Gamma(P) \to \Gamma(D)$ selon la formule

$$ \delta \circ C = C \circ \pi, \qquad (12.1) $$

où $\pi \in \Gamma(P)$ et $\delta \in \Gamma(D)$. Comme de plus elle transforme $i$ en 0, elle transforme le groupe d'isotropie de 0 dans $\Gamma(D)$ en celui de $i$ dans $\Gamma(P)$. En vertu du lemme 12.6 ci-dessous et de la formule (G.2), c'est dire que

$$ \begin{align*} \pi &= i \frac{1 + e^{i\theta} (z-i)(z+i)^{-1}}{1 - e^{i\theta} (z-i)(z+i)^{-1}} = i \frac{e^{i\theta} (z-i) + (z+i)}{(z+i) - e^{i\theta} (z-i)} = i \frac{(1+e^{i\theta})z + i(1-e^{i\theta})}{(1-e^{i\theta})z + i(1+e^{i\theta})} \\ &= i \frac{i(1-e^{i\theta})(1+e^{i\theta})^{-1} + z}{z(1-e^{i\theta})(1+e^{i\theta})^{-1} + i} = \frac{i(1-e^{i\theta})(1+e^{i\theta})^{-1} + z}{iz(1-e^{i\theta})(1+e^{i\theta})^{-1} - 1} \\ &= \frac{z + i(e^{-i\theta} - e^{i\theta})}{-1 + iz(e^{-i\theta} - e^{i\theta})} \cdot \frac{2(1+\cos\theta)}{2(1+\cos\theta)} \\ &= \frac{z - \sin\theta}{-1 - z \sin\theta} \cdot \frac{z - \tan\theta/2}{z \tan\theta/2 + 1} \end{align*} $$

qui appartient à $T$.

Q.E.D.

**LEMME 12.6** Le sous-groupe d'isotropie de 0 dans $\Gamma(D)$ est formé des rotations $z \to e^{i\theta}z$.

**DÉMONSTRATION.** D'après le lemme de Schwarz 6.6, si $f$ est un automorphisme de $D$ laissant 0 fixe, on aura $|f(z)| < 1$ et $f(0) = 0$, d'où $|f(z)| \le |z|$, et de même pour $f^{-1}(z)$. Il en résulte que $|f(z)| = |z|$, et toujours d'après le lemme de Schwarz que $f(z) = e^{i\theta}z$.

Q.E.D.

En vertu de la proposition 12.2, il résulte de la proposition 12.5 que

**THÉORÈME 12.7** Le groupe $\Gamma(P)$ des automorphismes du demi-plan supérieur $P$ est de la forme suivante :

$$ \Gamma(P) = T = \left\{ f(z) = \frac{az + b}{cz + d} \mid ad - bc > 0 \text{ et } a, b, c, d \text{ réels} \right\} $$
### 12.2.4 Automorphismes du disque unité D.

Grâce à la transformation de Cayley, de la formule (12.1) on peut déduire $\Gamma(D)$ de $\Gamma(P)$ : si $\delta \in \Gamma(D)$, on a

$$ 
\begin{aligned}
\delta &= \frac{-i + (b + a i (z + 1)(1-z)^{-1}) / (d + c i (z + 1)(1-z)^{-1})}{i + (b + a i (z + 1)(1-z)^{-1}) / (d + c i (z + 1)(1-z)^{-1})} \\
&= \frac{(b + a i (z + 1)(1-z)^{-1}) - i (d + c i (z + 1)(1-z)^{-1})}{(b + a i (z + 1)(1-z)^{-1}) + i (d + c i (z + 1)(1-z)^{-1})},
\end{aligned}
$$

d'où

$$ 
\begin{aligned}
\delta &= \frac{(a i (z + 1) + b (1-z)) - i (c i (z + 1) + d (1-z))}{(a i (z + 1) + b (1-z)) + i (c i (z + 1) + d (1-z))} \\
&= \frac{a i (z + 1) + b (1-z) + c (z + 1) - i d (1-z)}{a i (z + 1) + b (1-z) - c (z + 1) + i d (1-z)} \\
&= \frac{z ((a+d)i + (c-b)) + ((a-d)i + (c+b))}{z ((a-d)i - (c+b)) + ((a+d)i - (c-b))}
\end{aligned}
$$

c'est-à-dire

$$ 
\begin{aligned}
\delta &= \frac{((a+d)i + (c-b)) z + ((a-d)i + (c+b)) / ((a+d)i + (c-b))}{((a+d)i - (c-b)) 1 + z ((a-d)i - (c+b)) / ((a+d)i - (c-b))} \\
&= e^{i\theta} \frac{z + z_0}{1 + z_0 z},
\end{aligned}
$$

où on rappelle que $a, b, c$, et $d$ sont réels et où on a posé

$$ e^{i\theta} = \frac{((a+d)i + (c-b))}{((a+d)i - (c-b))} \text{ et } z_0 = \frac{((a-d)i + (c+b))}{((a+d)i + (c-b))}, $$

d'où

$$ |z_0|^2 = \frac{(a-d)^2 + (c+b)^2}{(a+d)^2 + (c-b)^2} = \frac{(a+d)^2 + (c+b)^2 - 4ad}{(a+d)^2 + (c+b)^2 - 4cb}, $$

et par conséquent $|z_0|^2 < 1$, car $-ad < -bc$.

**THÉORÈME 12.8** Le groupe $\Gamma(D)$ des automorphismes du disque unité $D$ est de la forme suivante :

$$ \Gamma(D) = \left\{ f(z) = e^{i\theta} \frac{z + z_0}{1 + z_0 z} \mid |z_0| < 1 \text{ et } \theta \text{ réel} \right\} $$

## 12.3 Représentation d'un ouvert simplement connexe

<figure><img src="image_151.png" /></figure>

**THÉORÈME 12.9** Soit $U$ un ouvert simplement connexe non vide de $P^1(\mathbb{C})$, $F$ son complémentaire dans $P^1(\mathbb{C})$, $D$ le disque unité ouvert.

(i) $P^1(\mathbb{C})$, $\mathbb{C}$ et $D$ ne sont pas conformément équivalents

(ii) Si $F$ contient un point et un seul, alors $U$ est conformément équivalent à $\mathbb{C}$

(iii) Si $F$ contient au moins deux points, alors $U$ est conformément équivalent au disque unité $D$.
A une équivalence conforme près, il n'y a donc que trois ouverts $P^1(\mathbb{C})$, $\mathbb{C}$ et $D$, ceux dont nous venons justement de déterminer le groupe des automorphismes.

DÉMONSTRATION.

► Il est clair tout d'abord que $P^1(\mathbb{C})$ n'est conformément équivalent ni à $\mathbb{C}$ ni à $D$, qui ne sont compacts ni l'un ni l'autre. De plus si $f$ est holomorphe $\mathbb{C} \to D$, alors elle est bornée, et par conséquent constante d'après le théorème de Liouville **4.13**, et elle n'est donc pas surjective.

► Supposons maintenant que $F$ est réduit à un point nous poserons

$$f_0(u) = \frac{\alpha\zeta(u) + \beta}{\zeta(u) - \zeta(u_0)} \text{ avec } \beta \neq -\alpha\zeta(u_0), \text{ si } F = \{u_0\}, u_0 \neq \infty.$$

et

$$f_0(u) = \alpha + \frac{\beta}{\zeta(u)} \text{ avec } \beta \neq 0, \text{ si } F = \{\infty\}$$

En vertu du théorème **12.4**, ce sont des automorphismes de $P^1(\mathbb{C})$ et par conséquent des isomorphismes de $P^1(\mathbb{C}) \setminus \{u_0\}$ sur $\mathbb{C}$.

► Dans le cas où deux points $u_0$ et $u_1$ appartiennent à $F$, l'un au moins, soit $u_0$ est différent de $\infty$, et comme $f_0(u_1) \in \mathbb{C}$, que $u_1$ soit ou non infini, l'application $f_0$ applique $U$ sur $\mathbb{C} \setminus \{f_0(u_1)\}$, et par conséquent $U$ dans $\mathbb{C}$. Notons $\mathcal{O}$ l'image de $U$ par $f_0$, elle est simplement connexe puisque $f_0$ est continue sur $U$. Le théorème **12.14** ci-dessous nous prouve alors que $\mathcal{O}$ est conformément équivalent à $D$, il en est donc de même de $U$, puisque $f_0$ est un isomorphisme de $U$ sur $\mathcal{O}$.

Q.É.D.

Il ne faut pas cependant s'imaginer que dans le cas (iii) il soit facile de déterminer une telle transformation conforme, ce n'est possible explicitement que dans certains cas très particuliers, mais éventuellement importants. On trouvera un exemple en ce sens en annexe **H**.

**PROPOSITION 12.10** Pour tout ouvert simplement connexe $\Omega \subset \mathbb{C}$, distinct de $\mathbb{C}$, il existe un ouvert $\mathcal{O} \subset \mathbb{C}$, relativement compact et un isomorphisme $\Omega \to \mathcal{O}$.

DÉMONSTRATION.

► En vertu du corollaire **5.27**, si $a \notin \Omega$, la fonction $1/(z-a)$, admet une primitive sur $\Omega$, c'est dire que $\text{Log}(z-a)$ admet une détermination holomorphe dans $\Omega$, soit $g(z)$. La fonction $g$ est injective, car si $g(z) = g(z')$, alors $e^{g(z)} = e^{g(z')}$, soit $z - a = z' - a$.

► Soit $z_0 \in \Omega$, la fonction $g$ étant holomorphe, c'est au voisinage de $z_0$ une application ouverte d'après le théorème **8.5**, et par conséquent $g(\Omega)$ contient un disque $B_r = \{z \mid \lVert z - g(z_0) \rVert < r\}$. Considérons le disque transléré $B_{r+2i\pi}$, il ne contient aucun point de $g(\Omega)$, car dans le cas contraire, on aurait $g(z) = g(z')+2i\pi$, et par conséquent $e^{g(z)} = e^{g(z')}e^{2i\pi}$, soit $e^{g(z)} = e^{g(z')}$, d'où $z = z'$, ce qui constitue une contradiction.

► Il en résulte que $\forall z \in \Omega, |g(z) - (g(z_0) + 2i\pi)| \geq r > 0$, et par conséquent que la fonction

$$h(z) = \frac{1}{g(z) - (g(z_0) + 2i\pi)}$$

est holomorphe injective et bornée dans $\Omega$. D'après le théorème **8.5**, c'est donc un isomorphisme $\Omega \to h(\Omega) = \mathcal{O}$, où $h(\Omega)$ est inclus dans le disque de rayon $1/r$.

Q.E.D.
REMARQUE **12.11** Dans l'énoncé de cette proposition, l'hypothèse de simple connexité de $\Omega$ peut être remplacée par celle selon laquelle toutes les fonctions analytiques dans $\Omega$ y admettent une primitive, où même simplement que $\text{Log}(z-a)$ admet une détermination holomorphe dans $\Omega$.

LEMME **12.12** Soit $\mathcal{O} \subset D$, disque unité, un ouvert simplement connexe de $\mathbb{C}$, contenant l'origine,

$$ \mathcal{A} = \{g \in \mathcal{H}(\mathcal{O}) | g \text{ injective, } g(0) = 0, |g(z)| < 1, \forall z \in \mathcal{O}\}, $$

et $f \in \mathcal{A}$. Les propriétés suivantes sont équivalentes

(i) $f(\mathcal{O}) = D$

(ii)

$$ |f'(0)| \geq |g'(0)|, \forall g \in \mathcal{A} \qquad (12.2) $$

DÉMONSTRATION.

► Soit $g \in \mathcal{A}$, d'après le théorème **8.5**, c'est un isomorphisme $\mathcal{O} \to g(\mathcal{O})$. Soit également $f$ un isomorphisme de $\mathcal{O}$ sur le disque unité $D$, tel que $f(0) = 0$, posons alors $h = g \circ f^{-1}$, c'est un isomorphisme de $D$ sur $g(\mathcal{O})$ tel que $h(0) = 0$ et $|h(z)| \le 1$. D'après le lemme de Schwartz **6.6**, on a $|h(z)| \le |z|$ et par conséquent $|h'(0)| = \lim_{z \to 0} |h(z)| |z|^{-1} \le 1$ d'où $|g'(0)| = |f'(0)| |h'(0)| \le |f'(0)|$.

► Réciproquement, raisonnons par l'absurde et supposons que (ii) soit vérifié mais que (i) ne le soit pas, c'est-à-dire qu'il existe $a \in D \setminus f(\mathcal{O})$. La fonction $f$ est un isomorphisme $\mathcal{O} \to f(\mathcal{O}) \subset D$, et comme $|a| < 1$, d'après le théorème **12.8**, la fonction $u(z) = (f(z) - a)/(1 - \bar{a}f(z))$ est également un isomorphisme $\mathcal{O} \to u(\mathcal{O}) \subset D \setminus \{0\}$. Comme $u$ est continue, $u(\mathcal{O})$ est simplement connexe et comme il ne contient pas l'origine, en vertu du corollaire **5.27** le Logarithme y admet une détermination continue et la fonction

$$ F(z) = \log \frac{f(z) - a}{1 - \bar{a}f(z)}, $$

est holomorphe dans $\mathcal{O}$; de plus elle est injective, et comme $|u(z)| < 1$, on aura $\Re e F(z) < 0$.

► Posons alors

$$ g(z) = \frac{F(z) - F(0)}{F(z) + \overline{F(0)}}; $$

on aura $\Re e(F(z) + \overline{F(0)}) < 0$, et par conséquent $g$ est holomorphe, de plus $g(0) = 0$ et $g$ est injective, en effet si $g(z) = g(z')$, alors

$$ (F(z) - F(0))(F(z') + \overline{F(0)}) = (F(z') - F(0))(F(z) + \overline{F(0)}), $$

$$ \text{d'où } F(z)\overline{F(0)} - F(0)F(z') = F(z')\overline{F(0)} - F(0)F(z), \text{ soit } (F(z) - F(z'))(\overline{F(0)} + F(0)) = 0. $$

► Enfin, on a $|g(z)| < 1$, en effet, si $F(z) = \alpha + i\beta$ et $F(0) = \gamma + i\delta$,

$$ |F(z) - F(0)|^2 = |\alpha + i\beta - \gamma - i\delta|^2 = |\alpha - \gamma|^2 + |\beta - \delta|^2 $$

$$ |F(z) + \overline{F(0)}|^2 = |\alpha + i\beta + \gamma - i\delta|^2 = |\alpha + \gamma|^2 + |\beta - \delta|^2 $$

or $|\alpha - \gamma| \le |\alpha| + |\gamma| = |\alpha + \gamma|$, puisque $\alpha$ et $\gamma$ sont de même signe, l'égalité étant exclue puisque $\alpha$ et $\beta$ ne sont pas nuls. Il en résulte que $|F(z) - \overline{F(0)}|^2 > |F(z) - F(0)|^2$, soit $|g(z)| < 1$.

► On a donc prouvé que $g \in \mathcal{A}$. Montrons enfin que $|g'(0)| > |f'(0)|$, ce qui constituera une contradiction. On aura

$$ F'(z) = \frac{f'(z)(1 - \bar{a}f(z)) + \bar{a}f'(z)(f(z) - a)}{(1 - \bar{a}f(z))^2} \frac{1 - \bar{a}f(z)}{f(z) - a} $$

$$ F'(0) = - \frac{f'(0) - |a|^2 f'(0)}{a} = f'(0) \frac{|a|^2 - 1}{a} $$
et

$$
\begin{align*}
g'(z) &= \frac{F'(z)(F(z) + \overline{F(0)}) - F'(z)(F(z) - F(0))}{(F(z) + \overline{F(0)})^2} \\
g'(0) &= \frac{F'(0)}{F(0) + \overline{F(0)}} = f'(0) \frac{|a|^2 - 1}{a} \frac{1}{\text{Log} -a + \overline{\text{Log}} -a} \\
&= f'(0) \frac{|a|^2 - 1}{a} \frac{1}{2 \text{Log}|a|} = f'(0) \frac{1 - |a|^2}{2a \text{Log} \frac{1}{|a|}}
\end{align*}
$$

d'où

$$
\frac{|g'(0)|}{|f'(0)|} = \frac{1 - |a|^2}{2|a| \log \frac{1}{|a|}} > 1,
$$

car si

$$
u(t) = \frac{1 - t^2}{t} - 2 \log \frac{1}{t}
$$

alors

$$
u'(t) = -\frac{t^2 - 1}{t^2} + \frac{2}{t} = -1 + \frac{2}{t} - \frac{1}{t^2} = -\frac{1}{t^2}(t^2 - 2t + 1) = -\frac{1}{t^2}(t-1)^2 < 0
$$

ce qui prouve que $u$ est décroissante, or $u(1) = 0$, d'où $u(t) > 0$ pour $0 < t < 1$.

Q.E.D.

REMARQUE **12.13** De même qu’à la remarque **12.11** on peut remplacer l’hypothèse selon laquelle $\mathcal{O}$ est simplement connexe par celle selon laquelle toute fonction analytique sur $\mathcal{O}$ y admet une primitive. Il est simplement nécessaire d’en déduire que si $u$ est un isomorphisme de $\mathcal{O}$ sur son image, alors toute fonction analytique sur $u(\mathcal{O})$ y admet également une primitive. Posons $v = u^{-1}$, et considérons la fonction $\varphi$ analytique sur $u(\mathcal{O})$. La fonction $\psi = f \circ u$ est analytique sur $\mathcal{O}$, ainsi que $h = \psi u'$ ; la fonction $h$ admet donc une primitive, soit $H$. Considérons maintenant la fonction $H \circ v$, elle vérifie

$$
(H \circ v)' = (H' \circ v) v' = (\psi u') \circ v v' = \psi \circ v u' \circ v v' = \psi \circ v (u \circ v)' = f,
$$

c'est donc une primitive de f.

THÉORÈME **12.14** Tout ouvert simplement connexe $\mathcal{O}$, distinct de $C$, est isomorphe au disque unité D.

DÉMONSTRATION.

<figure><img src="image_152.png" /></figure>

▷ Selon la proposition **12.10**, nous savons déjà que $\Omega$ est isomorphe à un ouvert relativement compact $\mathcal{O}$.
D'après le lemme **12.12**, quitte à opérer si nécessaire une translation, il nous suffira de prouver qu'il existe $f \in \mathcal{A}$
telle que $|f'(0)| \ge |g'(0)| \quad \forall g \in \mathcal{A}$. Considérons l'ensemble

$$
\mathcal{B} = \{ f \in \mathcal{A} \mid |f'(0)| \geq 1 \}
$$

▷ Il n'est pas vide car comme $\mathcal{O} \subset D$, la fonction $\zeta : z \to z$ appartient à $\mathcal{B}$.

▷ Il est borné dans $\mathcal{H}(\mathcal{O})$ car $\forall K \subset \mathcal{O}$, $\sup_{z \in K} |f(z)| \le 1$, $\forall f \in \mathcal{A} \supset \mathcal{B}$

▷ Il est fermé dans $\mathcal{H}(\mathcal{O})$ car tout d'abord, si $f_n \to f$ alors $f(0) = \lim f_n(0) = 0$. De plus, d'après la proposition **10.3**, on aura $f'_n \to f'$, d'où $|f'(0)| = \lim_{n \to \infty} |f'_n(0)| \ge 1$. En vertu du corollaire **10.6**, la fonction $f$ est également injective, en effet les $f_n$ sont injectives et $f$ n'est pas constante puisque $f'(0) \ne 0$. Enfin comme $|f_n(z)| < 1$ sur $\mathcal{O}$, on aura $|f(z)| \le 1$, mais en vertu du principe du maximum **6.3**, on ne peut avoir $|f(z)| = 1$ pour un point $z$ de $\mathcal{O}$, puisque $f$ n'est pas constante, et on aura donc $|f(z)| < 1$.

▷ Du théorème de Montel **10.9**, il résulte alors que $\mathcal{B}$ est compact, et comme l'application $g \to |g'(0)|$ :
$\mathcal{B} \subset \mathcal{H}(\mathcal{O}) \to \mathbb{R}$ est continue, elle atteint sa borne supérieure, ce qui termine la démonstration du théorème.

Q.E.D.
REMARQUE **12.15** Ce que nous pouvons déduire des remarques 12.11 et 12.13, c'est que le théorème s'applique si l'hypothèse de simple connexité de $\mathcal{O}$ est remplacée par celle selon laquelle toute fonction analytique sur $\mathcal{O}$ admet une primitive ; c'est bien sûr une conséquence de la simple connexité en vertu du corollaire **5.27**, mais c'est en réalité équivalent, ainsi que nous allons le voir au paragraphe **12.4**.

### 12.3.1 Prolongement au bord

Un aspect essentiel a été jusqu'ici négligé : si $f$ est une transformation conforme du disque unité $D$ sur l'ouvert $\Omega$, est-il possible de la prolonger en une application continue $\tilde{D} \to \tilde{\Omega}$ ? C'est là une question difficile dont la réponse dépend cruciallement de la géométrie de $\partial\Omega$.

<figure><img src="image_153.png" /></figure>

THÉORÈME **12.16 (Carathéodory)** Pour que les transformations conformes du disque unité $D$ sur l'ouvert $\tilde{\Omega}$ borné se prolongent en des homéomorphismes $\tilde{D} \to \tilde{\Omega}$, il faut et il suffit que $\partial\tilde{\Omega}$ soit localement connexe, c'est-à-dire que l'intersection de $\partial\tilde{\Omega}$ avec tout disque de rayon suffisamment petit, soit connexe.

## 12.4 Retour sur la simple connexité

PROPOSITION **12.17** Soit $\mathcal{O}$ ouvert simplement connexe, alors $P^1(\mathbb{C}) \setminus \mathcal{O}$ est connexe.

DÉMONSTRATION. Supposons que $P^1(\mathbb{C}) \setminus \mathcal{O}$ ne soit pas connexe, c'est un fermé de $P^1(\mathbb{C})$ et par conséquent l'union de deux fermés disjoints non vides $A$ et $B$ de $P^1(\mathbb{C})$. L'un d'entre eux, soit par exemple $A$, contient le point à l'infini de $P^1(\mathbb{C})$, $B$ est alors fermé et borné et donc compact dans $\mathbb{C}$. Comme $\mathcal{O} \cup B = P^1(\mathbb{C}) \setminus A$, $\mathcal{O} \cup B$ est un ouvert de $\mathbb{C}$ contenant $B$. Selon le lemme **10.18**, il existe un nombre fini $M$ de polygones $Q_m$ tels que $B \subset \cup_{m=1,M} Q_m \subset \mathcal{O} \cup B$ et

$$ \frac{1}{2i\pi} \sum_{m=1,M} n(\partial Q_m; z) = \frac{1}{2i\pi} \sum_{m=1,M} \int_{\partial Q_m} \frac{1}{\zeta - z} d\zeta = 1 \quad \forall z \in \mathcal{O}. $$

Il en résulte que pour un $m$ au moins $n(\partial Q_m; z) \neq 0$, ce qui implique que $\mathcal{O}$ n'est pas simplement connexe. On a donc montré que si $\mathcal{O}$ est simplement connexe, alors $P^1(\mathbb{C}) \setminus \mathcal{O}$ est connexe.

Q.E.D.

PROPOSITION **12.18** Si $P^1(\mathbb{C}) \setminus \mathcal{O}$ est connexe, alors toute fonction analytique dans $K$ admet une primitive.

DÉMONSTRATION. Selon le corollaire **10.19** une fonction analytique $f$ dans $P^1(\mathbb{C}) \setminus \mathcal{O}$ est limite uniforme d'une suite $p_n$ de polynômes. Soit alors un lacet $\gamma$ dans $K$, comme $p_n$ est analytique dans $\mathbb{C}$, selon le théorème de Cauchy **5.4** $\int_{\gamma} p_n(\zeta) d\zeta = 0 \quad \forall \zeta \in \mathbb{C}$ et par conséquent $\int_{\gamma} f(\zeta) d\zeta = 0 \quad \forall \zeta \in \mathcal{O}$. Il en résulte d'après la proposition 5.26 que $f$ admet une primitive dans $\mathcal{O}$.

Q.E.D.

PROPOSITION **12.19** Si toute fonction analytique dans $\mathcal{O}$ admet une primitive, alors $\mathcal{O}$ est homéomorphe au disque unité $D$.

DÉMONSTRATION. Dans le cas où $\mathcal{O} = \mathbb{C}$, la fonction $z(1 + |z|)^{-1}$ constitue un tel homéomorphisme, et dans le cas où $\mathcal{O} \neq \mathbb{C}$, selon la remarque **12.15**, $\mathcal{O}$ est isomorphe à $D$.

Q.E.D.
**PROPOSITION 12.20** Si $\mathcal{O}$ est homéomorphe au disque unité, alors il est simplement connexe.

DÉMONSTRATION. Soit $\gamma$ un lacet dans $\mathcal{O}$, et $u$ un homéomorphisme : $\mathcal{O} \to D$, considérons le lacet $\sigma = u \circ \gamma$ dans $D$, il est homotope à un point soit $\lambda$ car $D$ est simplement connexe. Il existe donc une application continue $\Lambda : [0,1]^2 \to D$ telle que $\Lambda(s, 0) = \sigma(s)$ et $\Lambda(s, 1) = \lambda$ pour $s \in [0,1]$ ainsi que $\Lambda(0, t) = \Lambda(1, t) \quad \forall t \in [0,1]$. Posons alors $\Sigma = u^{-1} \circ \Lambda$, on aura $\Sigma(s, 0) = u^{-1} \circ \sigma(s) = \gamma(s)$ et $\Sigma(s, 1) = u^{-1}(\lambda)$ pour $s \in [0,1]$ ainsi que $\Sigma(0, t) = u^{-1} \circ \Lambda(0, t) = u^{-1} \circ \Lambda(1, t) = \Sigma(1, t) \quad \forall t \in [0,1]$. Il en résulte que $\gamma$ est homotope à $u^{-1}(\lambda)$.

Q.E.D.

Nous avons donc démontré le

THÉORÈME 12.21 (i) Si $\mathcal{O}$ est connexe et si toute fonction analytique dans $\mathcal{O}$ admet une primitive, alors $\mathcal{O}$ est simplement connexe.

<figure><img src="image_154.png" /></figure>

(ii) Si $\mathcal{O}$ est connexe alors il est simplement connexe si et seulement si $P^1(\mathbb{C}) \setminus \mathcal{O}$ est connexe.
# Chapitre 13

## Les fonctions harmoniques

**DÉFINITION 13.1** On dit que la fonction $u : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ est harmonique dans $\Omega$ si $\Delta u = 0$ dans $\Omega$.

**PROPOSITION 13.2** La partie réelle et la partie imaginaire d'une fonction holomorphe sont harmoniques.

**DÉMONSTRATION.** Soit $f = P + iQ$, holomorphe dans $\Omega$, on aura $\partial \tilde{f} / \partial \tilde{z} = 0$, et par conséquent d'après (4.7)

<figure><img src="image_155.png" /></figure>

$$ \Delta \tilde{P} + i \Delta \tilde{Q} = \Delta \tilde{f} = 4 \frac{\partial^2 \tilde{f}}{\partial z \partial \tilde{z}} = 0, $$

d'où il résulte que $\Delta \tilde{P} = \Delta \tilde{Q} = 0$.

Q.E.D.

**THÉORÈME 13.3** Si une fonction $\tilde{u}$ est harmonique dans un ouvert simplement connexe $\Omega$, alors c'est la partie réelle d'une fonction holomorphe.

<figure><img src="image_156.png" /></figure>

**DÉMONSTRATION.** Considérons la fonction $\partial \tilde{u} / \partial z$, elle vérifie

$$ \frac{\partial}{\partial \tilde{z}} \frac{\partial \tilde{u}}{\partial z} = \frac{1}{4} \Delta \tilde{u} = 0, $$

et par conséquent, $\partial \tilde{u} / \partial z$ est holomorphe dans $\Omega$ ; d'après le corollaire 5.27, elle y admet donc une primitive, soit $f$, holomorphe. On aura $f = P + iQ$ et

$$ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right) \tilde{u} = \frac{\partial \tilde{u}}{\partial z} = f' = \frac{\partial \tilde{P}}{\partial x} + i \frac{\partial \tilde{Q}}{\partial x} $$

Il en résulte que

$$ \frac{\partial \tilde{u}}{\partial x} = 2 \frac{\partial \tilde{P}}{\partial x} \text{ et } \frac{\partial \tilde{u}}{\partial y} = -2 \frac{\partial \tilde{Q}}{\partial x} = 2 \frac{\partial \tilde{P}}{\partial y}, $$

et par conséquent, qu'à une constante additive réelle près $\tilde{u} = 2 \Re f$.

Q.E.D.

Dans le cas d'un ouvert non simplement connexe, la situation est plus complexe.

**LEMME 13.4** Si la fonction $u$ est harmonique dans l'ouvert $\Omega$, elle vérifie la propriété de moyenne.

<figure><img src="image_157.png" /></figure>

**DÉMONSTRATION.** Soient $a \in \Omega$, et $r > 0$ tels que $B_r(a) \subset \Omega$. D'après le théorème 13.3, il existe $f$ holomorphe dans $B_r(a)$, dont $u$ soit la partie réelle ; en vertu du lemme 6.2, $f$ vérifie la propriété de moyenne dans $B_r(a)$, et par conséquent sa partie réelle $u$. Il en résulte que $u$ vérifie la propriété de moyenne dans $\Omega$.

Q.E.D.
13.1 Fonctions harmoniques dans un disque

Soit $u$ harmonique dans le disque $B_\rho$, nous venons de voir au théorème **13.3** que

$$
u = \Re e g = \Re e \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n = \frac{1}{2} \sum_{n \in \mathbb{N}} (a_n z^n + \overline{a_n} \bar{z}^n),
$$

où on peut bien entendu supposer $a_0$ réel. Pour $r < \rho$, on aura

$$
\begin{align*}
u(re^{i\theta}) &= \frac{1}{2} \sum_{n \in \mathbb{N}} r^n (a_n e^{in\theta} + \overline{a_n} e^{-in\theta}) \\
&= \frac{1}{2} \sum_{n \ge 1} r^n a_n e^{in\theta} + \frac{1}{2} \sum_{n \in \mathbb{N}} (a_0 + \overline{a_0}) + \frac{1}{2} \sum_{n \le -1} r^{-n} \overline{a}_{-n} e^{in\theta} \\
&= \sum_{n \in \mathbb{Z}} b_n(r) e^{in\theta}
\end{align*}
$$

avec

$$
\begin{align*}
b_0(r) &= a_0 \\
b_n(r) &= \frac{r^n a_n}{2}, \quad n \ge 1 \\
b_n(r) &= \frac{r^{-n} \overline{a_n}}{2}, \quad n \le -1
\end{align*}
$$

Mais par ailleurs

$$
u(re^{i\theta}) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} b_n(r)e^{in\theta}, \text{ où } b_n(r) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(re^{i\tau})e^{-in\tau} d\tau
$$

d'où

$$
\begin{align*}
a_0 &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(re^{i\tau}) e^{-in\tau} d\tau \\
a_n &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} u(re^{i\tau}) r^{-n} e^{-in\tau} d\tau = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} u(re^{i\tau}) (re^{i\tau})^{-n} d\tau
\end{align*}
$$

et par conséquent, pour $|z| < r$,

$$
\begin{align*}
g(z) &= a_0 + \sum_{n \ge 1} a_n z^n \\
&= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(re^{i\tau}) e^{-in\tau} d\tau + \frac{1}{\pi} \sum_{n \ge 1} z^n \int_0^{2\pi} u(re^{i\tau}) (re^{i\tau})^{-n} d\tau \\
&= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(re^{i\tau}) \left( 1 + 2 \sum_{n \ge 1} \left( \frac{z}{re^{i\tau}} \right)^n \right) d\tau,
\end{align*}
$$

On aura

$$
1 + 2 \sum_{n \ge 1} \left( \frac{z}{r e^{i \tau}} \right)^n = 1 + 2 \frac{z}{1-z/(r e^{i \tau})} = 1 + \frac{2z}{r e^{i \tau} - z} = \frac{r e^{i \tau} + z}{r e^{i \tau} - z},
$$

d'où

$$
f(z) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} u(re^{i\tau}) \frac{re^{i\tau} + z}{re^{i\tau} - z} d\tau,
$$
et

$$
\begin{align*}
u(z) &= \frac{1}{2\pi} \Re \int_0^{2\pi} u(re^{i\tau}) \frac{(re^{i\tau} + z)(re^{-i\tau} - \bar{z})}{|re^{i\tau} - z|^2} d\tau \\
&= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(re^{i\tau}) \frac{r^2 - |z|^2}{|re^{i\tau} - z|^2} d\tau.
\end{align*}
$$

On note

$$
P_r(\tau; z) = \Re \frac{re^{i\tau} + z}{re^{i\tau} - z} = \frac{r^2 - |z|^2}{|re^{i\tau} - z|^2}, \quad (13.1)
$$

$P_r$ est appelé *noyau de Poisson*. Nous avons donc démontré le

THÉORÈME 13.5 Si $u$ est harmonique dans le disque de rayon $\rho > r, \forall |z| < r, \text{ on a}$

<figure><img src="image_158.png" /></figure>

$$
u(z) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} u(re^{i\tau}) P_{r}(\tau; z) d\tau. \qquad (13.2)
$$

Notons que si on prend pour $u$ la fonction constante égale à 1, qui est bien harmonique, on obtient

$$
\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{r^2 - |z|^2}{|re^{i\tau} - z|^2} d\tau = 1 \quad (13.3)
$$

13.2 Problème de Dirichlet

Au paragraphe précédent, nous avons montré qu'une fonction harmonique dans un disque admettait
une représentation à l'aide du noyau de Poisson, on peut se demander si, réciproquement il est possible
de déterminer une fonction harmonique prenant des valeurs données sur le bord d'un disque.

LEMME **13.6** Si une fonction $u$ continue sur $\bar{B}_r$ vérifie la propriété de moyenne et s'annule sur son bord $C_r$, elle est nulle dans $\bar{B}_r$.

DÉMONSTRATION. Comme $u$ vérifie la propriété de moyenne, elle est sujette au principe du maximum, d'après le lemme 6.2; de plus $u$ étant continue, $|u|$ l'est également sur le disque compact, et par conséquent y atteint son maximum, soit $M$. Si $M \neq 0$, c'est qu'il n'est pas atteint sur $C_r$, et par conséquent que $|u|$ est constante, c'est-à-dire en fait nulle.

Q.E.D.

THÉORÈME 13.7 Etant donnée une fonction g continue définie sur le cercle $C_r$ de rayon $r$ centré à l'origine, il existe une et une seule fonction harmonique $u$ dans le disque $B_r$, continue sur $\bar{B}_r$, dont la trace sur $C_r$ soit $g$.

<figure><img src="image_159.png" /></figure>

DÉMONSTRATION.

► Commençons par démontrer l'unicité, et supposons à cet effet que $u$ est harmonique dans $B_r$ et nulle sur $C_r$. Selon le lemme **13.4**, $u$ vérifie la propriété de moyenne, et par conséquent est identiquement nulle d'après le lemme **6.2**.

► Soit donc $g(\theta)$ donnée continue sur $C_r$, si c'est la trace d'une fonction harmonique $u(z)$ définie dans le disque, alors nécessairement, on aura

$$
u(z) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} g(\tau) P_{r}(\tau; z) d\tau. \quad (13.4)
$$

Le problème n'est cependant pas résolu, car il faut montrer qu'effectivement, $u$ est bien harmonique et que $u(re^{i\theta}) = f(\theta)$.
▷ On sait tout d'abord que, selon (13.1)

$$P_r(\tau; z) = \Re \frac{re^{i\tau} + z}{re^{i\tau} - z}$$

et que par conséquent $u(z)$ est la partie réelle de

$$f(z) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} g(\tau) \frac{re^{i\tau} + z}{re^{i\tau} - z} d\tau.$$

A l'évidence, $f$ est holomorphe, et par conséquent, en vertu de la proposition **13.2**, $u$ est harmonique.

▷ On aura alors, en vertu de la formule (13.3),

$$\begin{aligned} u(z) - g(\tau_0) &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} (g(\tau) - g(\tau_0)) P_r(\tau; z) d\tau \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{|\tau - \tau_0| \le \eta} (g(\tau) - g(\tau_0)) P_r(\tau; z) d\tau + \frac{1}{2\pi} \int_{|\tau - \tau_0| > \eta} (g(\tau) - g(\tau_0)) P_r(\tau; z) d\tau \end{aligned}$$

Soit alors $\varepsilon > 0$, on aura d'une part

$$\frac{1}{2\pi} \left| \int_{|\tau - \tau_0| \le \eta} (g(\tau) - g(\tau_0)) P_r(\tau; z) d\tau \right| \le \sup_{|\tau - \tau_0| \le \eta} |g(\tau) - g(\tau_0)| \frac{1}{2\pi} \int_{|\tau - \tau_0| \le \eta} P_r(\tau; z) d\tau \\ \le \sup_{|\tau - \tau_0| \le \eta} |g(\tau) - g(\tau_0)|,$$

et comme $g$ est continue, pour $\eta$ suffisamment petit, on aura

$$\sup_{|\tau - \tau_0| \le \eta} |g(\tau) - g(\tau_0)| \le \frac{\varepsilon}{2}.$$

Mais d'autre part, $\eta$ ayant été fixé, on aura

$$\frac{1}{2\pi} \left| \int_{|\tau - \tau_0| > \eta} (g(\tau) - g(\tau_0)) P_r(\tau; z) d\tau \right| \le 2 \sup_{0 \le \tau \le 2\pi} |g(\tau)| \frac{1}{2\pi} \left| \int_{|\tau - \tau_0| > \eta} P_r(\tau; z) d\tau \right|,$$

qui tend vers 0 quand $z \to re^{i\tau_0}$, selon le lemme **13.8** ci-dessous. Il en résulte que $u(re^{i\tau_0}) = f(\tau_0)$.

Q.E.D.

**LEMME 13.8 On a**

$$\lim_{z \to re^{i\tau_0}} \frac{1}{2\pi} \int_{|\tau - \tau_0| > \eta} P_r(\tau; z) d\tau.$$

**DÉMONSTRATION.** Avec $z = \rho e^{i\alpha}$, $\rho < r$ et $|\alpha - \tau_0| \le \eta/2$, on aura $|\alpha - \tau| \ge \eta/2$ dés que vérifie $|\tau - \tau_0| > \eta$. Il en résulte qu'alors

$$|re^{i\tau} - z| = |re^{i(\tau - \alpha)} - \rho| = |r \cos(\tau - \alpha) - \rho + i \sin(\tau - \alpha)| \ge r \sin|\alpha - \tau|,$$

d'où

$$P_r(\tau; z) \le \frac{r^2 - |z|^2}{r^2 \sin^2 \eta/2},$$

et

$$\frac{1}{2\pi} \int_{|\tau - \tau_0| > \eta} P_r(\tau; z) d\tau \le \frac{r^2 - \rho^2}{r^2 \sin^2 \eta/2},$$

qui tend vers 0 quand $\rho \to r$.

Q.E.D.
Soit alors $\Omega$ un ouvert simplement connexe, dont la frontière est localement connexe, alors d'après le théorème 12.14, nous savons qu'il existe une transformation conforme $f : D \to \Omega$, où $D$ est le disque unité ouvert, et selon le théorème 12.16, qu'elle se prolonge en une application continue : $\bar{D} \to \bar{\Omega}$. Comme $f$ est bijective : $D \to \Omega$, il en résulte que $f(\partial D) = \partial \Omega$.

Donnons nous $g$ continue sur $\partial \Omega$, et cherchons $v$ harmonique dans $\Omega$, continue sur $\bar{\Omega}$, telle que $v|_{\partial \Omega} = g$. Selon le théorème 13.7, à l'aide du noyau de Poisson nous savons tout d'abord déterminer $u$ harmonique dans $D$ vérifiant $u|_{\partial D} = g \circ f|_{\partial D}$, il suffit alors de poser $v(\zeta) = u \circ f^{-1}(\zeta)$. Plus précisément, selon la formule (13.4), on aura

$$v(\zeta) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} g \circ f (e^{i\tau}) P_{1}(\tau; f^{-1}(\zeta)) d\tau. \qquad (13.5)$$

Sous réserve d'avoir déterminé la transformation conforme $f$ on a donc trouvé une formule qui fournit la solution explicite du problème de Dirichlet dans un ouvert simplement connexe.

<figure><img src="image_160.png" /></figure>