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BLAISE PASCAL

AHMED HAMYDY

L'existence et le comportement asymptotique des solutions d'ondes progressives pour une équation fortement non linéaire

Volume 15, n° 1 (2008), p. 29-41.

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Publication éditée par le laboratoire de mathématiques
de l'université Blaise-Pascal, UMR 6620 du CNRS
Clermont-Ferrand — France
# L'existence et le comportement asymptotique des solutions d'ondes progressives pour une équation fortement non linéaire

AHMED HAMYDY

## Résumé

Dans ce papier on étudie l'existence et le comportement asymptotique des solutions de type ondes progressives à propagations finies de l'équation $U_t = A(|U_x|^{p-2}U_x)_x + KU^q$. On prouve que ces solutions existent si et seulement si $q < 1$ et $c < 0$ ou bien $q \le p-1$ et $c > 0$. On donne aussi le comportement asymptotique de ces solutions.

## *The existence and the asymptotic behavior of traveling waves solutions for a strongly nonlinear equation*

### Abstract

In this paper we study the existence and the asymptotic behavior of traveling waves solutions for the equation $U_t = A(|U_x|^{p-2}U_x)_x + KU^q$. We prove that these solutions exist if and only if $q < 1$ and $c < 0$ or $q \le p-1$ and $c > 0$. We introduce also the asymptotic behavior of these solutions.

## 1. Introduction

Ce travail porte sur l'étude de l'équation de diffusion-absorption,

$$U_t = A \left( |U_x|^{p-2} U_x \right)_x + KU^q, \quad (1.1)$$

où $p > 2$, $A > 0$, $K \le 0$ et $q > 0$. Ce type d'équation est un modèle simple des équations qui interviennent en fluide non-Newtonien, en glaciologie...(Cf par exemple [4] et [9]).

On va s'intéresser à des solutions particulières de l'équation (1.1), à savoir,

<footnote>Mots-clés: Diffusion; Absorption; fortement non linéaire; Solution d'onde; Comportement asymptotique.</footnote>

<footnote>Classification math.: 35K55, 35K65.</footnote>
A. HAMYDY

les solutions d'ondes finies sur $D = \{(x,t) / -\infty < x < +\infty, t > 0\}$ sous la forme

$$ U(x,t) = \varphi(ct - x), \quad (1.2) $$

avec $\varphi$ est une fonction strictement positive non nulle et $c$ un réel. S'il existe un réel $\xi_0$ tel que $\varphi = 0$ sur $]-\infty, \xi_0]$ et $\varphi > 0$ sur $]\xi_0, +\infty[$, $\varphi$ est dite solution d'onde finie à vitesse $c$. D'autre part, si $\varphi$ est définie sur un intervalle $]-\infty, z[$ alors $\varphi$ est dite solution d'onde locale.

If faut signaler que le cas $p = 2$ a été réalisé par KPP [8], aussi si on remplace l'opérateur $(|U_x|^{p-2} U_x)_x$ par $(U^m)_{xx}$ on obtient une équation des milieux poreux qui a été largement étudiée par plusieurs auteurs (cf [1], [2], [3], [5], [7], [10] et [11]).

Lorsque $K = 0$ et $A > 0$, une solution d'onde finie existe si et seulement si $c > 0$ et elle est donnée explicitement par

$$ U(x,t) = \left(\frac{p-1}{p-2}\right)^{(p-1)/(p-2)} c^{1/(p-2)} (ct-x)^{(p-1)/(p-2)}. \quad (1.3) $$

Notre but ici est d'étudier le cas où $K > 0$ et $A > 0$ en appliquant une méthode du plan de phase utilisée pour le cas des milieux poreux dans plusieurs papiers notamment dans [1] et [7]. Par un changement d'échelle on peut prendre $A = 1$ et $K = 1$. En effet, posons

$$ v(x,t) = \alpha U(\beta x, \gamma t), \quad (1.4) $$

avec

$$ \alpha = \begin{cases} (-A/K)^{1/(p-2)} & \text{si } q = 1, \\ (-K)^{1/(q-1)} & \text{si } q \neq 1, \end{cases} \quad (1.5) $$

$$ \beta = \begin{cases} 1 & \text{si } q = 1, \\ A^{1/p} / (-K)^{(p-2)/(p(q-1))} & \text{si } q \neq 1, \end{cases} \quad (1.6) $$

et

$$ \gamma = \begin{cases} -1/K & \text{si } q = 1, \\ 1 & \text{si } q \neq 1. \end{cases} \quad (1.7) $$

$v$ vérifie l'équation suivante

$$ v_t = (|v_x|^{p-2} v_x)_x - v^q. \quad (1.8) $$

Pour chaque $c \in \mathbb{R}^*$, on note $A_c$ la solution de l'équation algébrique $X^{-1/(p-1)} - X + c = 0$; puis on définit les constantes suivantes :

$$ n(p, q) = (q + 1)(p - 1)/p, \quad (1.9) $$
SOLUTIONS D'ONDES FINIES

$$
M_0 = \begin{cases} c & \text{si } n(p,q) > 1, \\ A_c & \text{si } n(p,q) = 1, \\ n(p,q)^{(1-p)/p} & \text{si } n(p,q) < 1, \end{cases} \qquad (1.10)
$$

et

$$
M_{\infty} = \begin{cases} c & \text{si } n(p,q) < 1, \\ A_c & \text{si } n(p,q) = 1, \\ n(p,q)^{(1-p)/p} & \text{si } n(p,q) > 1. \end{cases} \qquad (1.11)
$$

On a les résultats suivants :

**Théorème 1.1.** Soit $c \in \mathbb{R}^*$. L'équation (1.8) admet une solution d'onde finie si et seulement si l'une des conditions suivantes est satisfaite :

$$
(1) c < 0 \text{ et } q < 1.
$$

$$
(2) c > 0 \text{ et } q \leq p - 1.
$$

**Théorème 1.2.** *Soit $\varphi$ une solution d'onde finie à vitesse $c$ de l'équation (1.8). Alors $\xi^{-\alpha}\varphi(\xi)$ converge, lorsque $\xi$ tend vers 0, vers $K = \alpha^{-\alpha}M^{\alpha/(p-1)}$, où :*

$$
(1) \text{ Pour } c > 0 \text{ ou } (n(p,q) - 1)c < 0, \alpha = \frac{p-1}{p - \inf\{n(p,q), 1\} - 1} \text{ et} \\
M = M_0.
$$

$$
(2) \text{ Pour } c < 0 \text{ et } n(p,q) < 1, \alpha = 1/(1-q) \text{ et } M = (-c)^{1-p}.
$$

**Théorème 1.3.** *Soit $\varphi$ une solution d'onde finie à vitesse $c$ de l'équation (1.8).*

$$
(1) \text{ Pour } c > 0 \text{ ou } (n(p,q) - 1)c < 0, \text{ on a :}
$$

(a) $n(p,q) = p-1$, alors $\xi^{-1}\text{Log}(\varphi(\xi))$ converge vers la constante $M_{\infty}^{1/(p-1)}$, lorsque $\xi$ tend vers $\infty$.

(b) $n(p,q) < p-1$, alors $\xi^{-\alpha}\varphi(\xi)$ converge vers la constante $\alpha^{-\alpha}M_{\infty}^{\alpha/(p-1)}$, lorsque $\xi$ tend vers $\infty$, avec

$$
\alpha = \frac{p-1}{p - \sup \{n(p,q), 1\} - 1}.
$$

$$
(2) \text{ Pour } c < 0 \text{ et } n(p,q) < 1, \xi^{-\alpha} \varphi(\xi) \text{ converge, lorsque } \xi \text{ tend vers} \\
\infty, \text{ vers } (-c/(1-q))^{-1/(1-q)}.
$$
## 2. Résultats préliminaires et preuve des théorèmes 1.1, 1.2 et 1.3.

On considère l'équation (1.6) avec $p > 2$ et $q > 0$. On va chercher les solutions sous la forme $v(x, t) = \varphi(ct - x)$, $c \in \mathbb{R}^*$, ce qui est équivalent à la résolution de l'équation,

$$c\varphi' = (|\varphi'|^{p-2}\varphi')' - \varphi^q. \quad (2.1)$$

Si $\varphi$ est une solution d'onde finie telle que $\varphi = 0$ sur $]-\infty, z_0[$, par translation $z \to z - z_0$, on peut supposer $\varphi(0) = 0$. En intégrant (2.1) on obtient $\varphi'(0) = 0$. Par conséquent, la recherche des solutions d'ondes finies se restreint à l'étude du problème : Trouver un réel $c$ et une fonction $\varphi$ tels que

$$\left\{ \begin{array}{l} c\varphi' = (|\varphi'|^{p-2}\varphi')' - \varphi^q \\ \varphi(0) = \varphi'(0) = 0. \end{array} \right. \quad (2.2)$$

Dans un premier lieu, on va prouver un résultat de monotonie qui nous sera utile par la suite.

**Lemme 2.1.** Soit $\varphi$ une solution d'onde finie locale à vitesse $c$ de l'équation (1.8), définie sur un intervalle maximal d'existence $I$. Alors $\varphi$ est strictement croissante sur $I \cap ]0, +\infty[$.

*Démonstration.* La démonstration va se faire par contradiction, elle dépend forcément du signe de $c$. Pour cela, on distingue deux cas. *Cas 1.* $c > 0$. Soit $E$ la fonction d'énergie définie par

$$E(\xi) = \frac{p-1}{p} |\varphi'|^p (\xi) - \frac{1}{q+1} \varphi^{q+1}(\xi), \quad \forall \xi \in I. \quad (2.3)$$

Alors elle vérifie

$$E'(\xi) = c(\varphi')^2(\xi), \quad \forall \xi \in I, \quad (2.4)$$

il en résulte que $E$ est croissante.

Supposons maintenant que $\varphi$ n'est pas strictement croissante et soit $\xi_1 > 0$ le premier zéro de $\varphi'$. Alors

$$E(\xi_1) = -\frac{1}{q+1} \varphi^{q+1}(\xi_1) \geq E(0) = 0; \quad (2.5)$$

ce qui est absurde. Par conséquent, $\varphi'(\xi) > 0$ pour tout $\xi \in I \cap ]0, +\infty[$. *Cas 2.* $c < 0$. Par définition d'une solution d'onde finie il existe $\xi_0 > 0$ tel que $\varphi$ est strictement croissante sur $[0, \xi_0]$. Supposons que $\xi_0$ est un
maximum local, c'est à dire $\varphi'(\xi_0) = 0$ et $\left(|\varphi'|^{p-2} \varphi'\right)'(\xi_0) < 0$. Mais d'après l'équation (2.1), on a $\left(|\varphi'|^{p-2} \varphi'\right)'(\xi_0) \ge 0$, ce qui est absurde. On en déduit que $\varphi$ est strictement croissante. $\square$

Avant d'énoncer le résultat d'existence locale pour le problème aux valeurs initiales (2.2), on va étudier le problème où la condition initiale est remplacée par un comportement au voisinage de $-\infty$. Plus précisément on a la proposition suivante

**Proposition 2.2.** Soit $c \in \mathbb{R}$. Il existe $\beta \in \mathbb{R}$ et une fonction $\varphi$ solution de l'équation 2.1, définie sur un intervalle maximal $]-\infty, \beta[$, vérifiant

$$ \lim_{\xi \to -\infty} \varphi(\xi) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{\xi \to \beta^{-}} \varphi(\xi) = +\infty. $$

Avant de prouver la proposition 2.2, on transforme l'équation (2.1) à un système du premier ordre, en introduisant le changement de variable suivant,

$$ X = \varphi \quad \text{et} \quad Y = (\varphi')^{p-1}; \qquad (2.6) $$

c'est à dire qu'on cherche des solutions croissantes, ceci est plausible grâce au lemme 2.1. Ce qui entraîne que l'équation (2.1) est équivalente au système

$$ (S) \quad \left\{ \begin{array}{l} X' = Y^{1/(p-1)}, \\ Y' = X^q + cY^{-1/(p-1)}. \end{array} \right. \qquad (2.7) $$

Il faut noter que $(0, 0)$ est une solution ; mais on va montrer que $(S)$ admet au moins une solution non triviale définie sur un intervalle maximal d'existence $]-\infty, \beta[$ et vérifiant $\lim_{\xi \to -\infty} (X(\xi), Y(\xi)) = 0$. Pour cela on considère le problème de Cauchy associé au vecteur champ,

$$ (Q) \quad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{dY}{dX} = c + X^q Y^{-1/(p-1)}, \\ Y(0) = 0. \end{array} \right. \qquad (2.8) $$

**Lemme 2.3.** Pour chaque $c \in \mathbb{R}^*$, le problème (Q) admet une solution unique et globale.

On note que le théorème Cauchy-Lipschitz [6] ne s'applique pas directement car la fonction

$$ (X, Y) \to c + X^q Y^{-1/(p-1)} \qquad (2.9) $$
A. HAMYDY

n'est pas localement lipshitzienne sur $\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+$. Pour prouver le lemme 2.3 on va utiliser une méthode d'approximation en résolvant le problème suivant

$$ (Q_{\varepsilon}) \quad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{dY}{dX} = c + X^q Y^{-1/(p-1)} = F(X, Y); \\ Y(0) = \varepsilon, \end{array} \right. \qquad (2.10) $$

où $\varepsilon \in \mathbb{R}_*^+$.

**Lemme 2.4.** *Pour chaque $\varepsilon > 0$, le problème $(Q_\varepsilon)$ admet une solution unique et globale.*

*Démonstration.* La fonction $F(X, Y)$ est localement lipchitzienne sur $\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}_*^+$, d'où d'après la théorie des équations différentielles ordinaires [6], il existe une solution locale du problème $(Q_\varepsilon)$ notée $Y_\varepsilon$. Or si $c > 0$, la fonction $X \to Y_\varepsilon(X)$ est strictement croissante, ainsi (2.9) implique

$$ \frac{dY}{dX} \le c + X^q \varepsilon^{-1/(p-1)}. \qquad (2.11) $$

On en déduit alors que la solution est bornée sur tout borné et par suite elle est globale. D'autre part, si $c < 0$, on introduit la courbe (C) solution de l'équation $F(X, Y) = 0$, pour $Y > 0$. La courbe (C) divise le plan de phase $(X, Y)$ en deux régions (cf figure1),

$$ R_1 = \{(X, Y), F(X, Y) < 0\} \qquad (2.12) $$

et

$$ R_2 = \{(X, Y), F(X, Y) > 0\} \qquad (2.13) $$

Comme $Y_\varepsilon(0) = \varepsilon$, alors nécessairement la fonction $X \to Y_\varepsilon(X)$ est décroissante et elle deviendra croissante dès qu'elle touche la courbe (C); par conséquent, il existe $X_0 > 0$ tel que

$$ m_{\varepsilon} = \min Y_{\varepsilon} = \left( \frac{-X_0^q}{c} \right)^{p-1} > 0, \qquad (2.14) $$

il s'en suit que

$$ \frac{dY}{dX} \le c + X^q m_{\varepsilon}^{-1/(p-1)}; \qquad (2.15) $$

d'où $Y_\varepsilon$ est globale.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1. Plan de phase (X, Y)</figcaption></figure>

Maintenant on est en mesure de donner la preuve du lemme 2.3.

*Démonstration du lemme 2.3.* La preuve est divisée en deux étape.

*Etape 1.* Unicité. On procède par l'absurde. On suppose qu'il existe deux solutions Y et Z du problème (Q) telles que $Y \neq Z$. Alors

$$R = \max \{r > 0, Z(X) = Y(X) \text{ pour tout } 0 \le X < r\} \quad (2.16)$$

est bien défini. Soit $X_0 > R$ tel que $Z(X_0) < Y(X_0)$. On pose

$$h(X) = (Y - Z)(X), \quad (2.17)$$

alors $h(R) = 0$ et il existe $\theta \in ]R, X_0[$ tel que

$$0 \le h(X_0) - h(R) = \theta^q [Y(\theta)^{-1/(p-1)} - Z(\theta)^{-1/(p-1)}] < 0. \quad (2.18)$$

Ce qui est absurde.

*Etape 2.* Existence. Comme la suite $(Y_\varepsilon)_{\varepsilon>0}$ est croissante positive, alors elle converge vers une fonction Y quand $\varepsilon$ tend vers 0. On affirme que cette fonction Y est strictement positive. En effet, on se donne $\varepsilon > 0$, et on considère le problème de Cauchy suivant

$$(L_\varepsilon) \quad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{du}{dt} = \frac{t^{1/(p-1)}}{u^q(t) + ct^{1/(p-1)}} = g(t, u), \\[1em] u(0) = \varepsilon. \end{array} \right. \quad (2.19)$$
A. HAMYDY

Il est clair que la fonction $g$ est localement lipschitzienne par rapport à $u$ sur $\mathbb{R}_*^+ \times \mathbb{R}_*^+$. Par suite le problème $(L_\varepsilon)$ admet une solution unique locale $u_\varepsilon$. De plus si $c > 0$, on a

$$0 \le \frac{du_\varepsilon}{dt} \le \frac{1}{c}, \qquad (2.20)$$

ce qui implique que $u_\varepsilon$ est globale. Tandis que si $c < 0$, on introduit la courbe $(C')$ qui est symétrique à la courbe définie par $F(t, u) = 0$ (où $F(t,u)$ est défini dans (2.9) par rapport à l'axe $t = u$.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2. Plan de phase $(t, u)$</figcaption></figure>

On constate que cette courbe répartie le plan de phase en deux parties. L'une d'entre elles contient $(0, u_\varepsilon(0))$ où il faut noter que $\frac{du_\varepsilon}{dt} > 0$ et tend vers l'infini lorsque $F(t, u_\varepsilon(t))$ tend vers 0; par conséquent $(t, u_\varepsilon(t))$ s'éloigne de la courbe $(C')$, et on montre aussi facilement $u_\varepsilon(t)$ ne peut pas exploser en temps fini; ce qui implique $u_\varepsilon$ est globale. D'autre part, puisque $u_\varepsilon$ est croissante alors $\lim_{t \to +\infty} u_\varepsilon(t) = l$ existe dans $[0, +\infty]$. Si $l < +\infty$ alors la limite $\lim_{t \to +\infty} \frac{d}{dt}(u_\varepsilon(t)) = 0$. Par contre, grâce à l'équation (2.19) on aura $\lim_{t \to +\infty} \frac{d}{dt}(u_\varepsilon(t)) = \frac{1}{l+c} > 0$. Ce qui est impossible, ainsi
$\lim_{t \to +\infty} u_{\varepsilon}(t) = +\infty$. En conséquence, $u_{\varepsilon}$ est une bijection définie de $[0, +\infty[$ à valeur dans $[\varepsilon, +\infty[$. Soit $Z_{\varepsilon}$ sa fonction réciproque. Par un simple calcul on montre que $Z_{\varepsilon}$ vérifie le problème de Cauchy,

$$ egin{cases} \frac{dY}{dX} = c + X^q Y^{1/(p-1)}; \\ Y(\varepsilon) = 0. \end{cases} \qquad (2.21) $$

Ainsi, $Z_{\varepsilon}$ et $Y_{\varepsilon}$ vérifient la même équation (2.9) sur $[\varepsilon, +\infty[$ et comme $Y_{\varepsilon}(\varepsilon) > Z_{\varepsilon}(\varepsilon) = 0$, alors nécessairement $Y_{\varepsilon}(X) > Z_{\varepsilon}(X)$ pour tout $X \in [\varepsilon, +\infty[$.

Maintenant, on se donne un point $X_0 > 0$ et utilisons le fait que la suite $(Z_{\varepsilon}(X))_{\varepsilon}$ est décroissante pour déduire

$$ \lim_{\varepsilon \to 0} Y_{\varepsilon}(X_0) = Y(X_0) \ge \lim_{\varepsilon \to 0} Z_{\varepsilon}(X_0) \ge Z_{X_0/2}(X_0) > 0. \qquad (2.22) $$

Ce qui permet de conclure que $Y$ est strictement positive sur $]0, +\infty[$. Pour finir on va montrer que $Y$ est exactement la solution du problème (Q). Puisque $Y_{\varepsilon}$ est solution du problème $(Q_{\varepsilon})$ alors c'est une solution intégrale, et donc pour toute fonction $\Phi \in D([0, \infty])$ on a

$$ \int_{0}^{+\infty} \Phi(X)[C + X^q Y_{\varepsilon}^{-1/(p-1)}]dX + \int_{0}^{+\infty} \Phi'(X)Y_{\varepsilon}(X) = 0. \qquad (2.23) $$

Exploitant la décroissance de la suite $(Y_{\varepsilon})_{\varepsilon}$, et passons à la limite sur $\varepsilon$ dans la forme intégrale précédente, pour aboutir à

$$ \frac{dY}{dX} = c + X^q Y^{-1/(p-1)}, \quad \text{dans } D']0, +\infty[. \qquad (2.24) $$

Ensuite, on a $0 < Y(X) < Y_{1/2}(X)$ (où $Y_{1/2}$ solution de $Q_{1/2}$) et comme $Y_{1/2}$ est continue alors d'après (2.24) on obtient $Y \in W^{1,n}([a, b])$, $\forall n \in \mathbb{N}$, sur tout intervalle $]a, b[ \subset ]0, +\infty[$. Par conséquent (2.24) est satisfaite au sens fort. En fin, on a $Y_{\varepsilon}(0) = \varepsilon \to Y(0) = 0$. $\square$

Maintenant nous allons démontrer la proposition 2.2.

*Preuve de la proposition 2.2.* On se donne $A > 0$ et on considère le problème de Cauchy suivant

$$ egin{cases} \frac{d}{d\xi} (\varphi(\xi)) = Y^{1/(p-1)}(\varphi(\xi)); \\ \varphi(0) = A, \end{cases} \qquad (2.25) $$
A. HAMYDY

où Y est la solution du problème (Q).

Notons que comme la fonction Y est régulière et strictement positive, d'après la théorie des E.D.O le problème (2.25) admet une solution unique définie sur un intervalle maximal $]α, β[$. Puisque $\varphi$ est croissante alors $\lim_{\xi \to \alpha^{-}} \varphi(\xi) = l$ existe et positive par suite $α = -\infty$. Car dans le cas contraire (i.e. $-α < \infty$) on peut prolonger $\varphi$ sur $]-\infty, α[$ par 0 dans le cas où $l = 0$, et par la restriction de la fonction solution du problème de Cauchy défini par

$$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{d}{d\xi} (\varphi(\xi)) = Y^{1/(p-1)}(\varphi(\xi)) \\[1em] \varphi(0) = l, \end{array} \right. \qquad (2.26) $$

dans le cas où $l > 0$; ce qui contredit le fait que $\varphi$ est une solution maximal. On a affirme que $\lim_{\xi \to -\infty} \varphi(\xi) = 0$ et $\lim_{\xi \to \beta^{-}} \varphi(\xi) = +\infty$. En effet, puisque $\varphi$ est croissante minorée par la valeur 0 alors forcément $\lim_{\xi \to -\infty} \varphi(\xi) = 0$. Sinon, d'après (2.26) la fonction $\varphi$ doit traverser l'axe des abscisses. D'autre côté, si $\lim_{\xi \to \beta^{-}} \varphi(\xi) = L < +\infty$, nécessairement $β = +\infty$ et $\varphi(\xi) < L$, pour tout $ξ \in \mathbb{R}$. Mais, comme $\lim_{\xi \to \beta^{-}} \frac{d}{d\xi} (\varphi(\xi)) > 0$ et $\varphi$ croissante alors elle va traverser l'axe $y = L$, ce qui est absurde. D'où $\lim_{\xi \to \beta^{-}} \varphi(\xi) = +\infty$.

Pour finir un calcul simple montre que la solution $\varphi$ du problème (2.25) vérifie bien l'équation (2.1). □

Parmi les solutions du problème (2.25), on va chercher celles qui s'ananulent en un point et qui vérifie $β = \infty$. Pour cela, on aura besoin du comportement asymptotique de la solution Y du problème (2.8).

**Proposition 2.5.** Soient $c \neq 0$, $p > 2$ et $q > 0$. Alors la solution Y se comporte comme suit :

(1) Au voisinage de 0, $Y(X) \approx M_0 X^{\inf\{n(p,q),1\}}$ si $c > 0$ ou $(n(p,q) - 1)c \ge 0$ et $Y(X) \approx (-c)^{1-p} X^{q(p-1)}$ si $c < 0$ et $n(p,q) > 1$.

(2) Au voisinage de $\infty$, $Y(X) \approx M_\infty X^{\sup\{n(p,q),1\}}$ si $c > 0$ ou $(n(p,q) - 1)c \le 0$ et $Y(X) \approx (-c)^{1-p} X^{q(p-1)}$ si $c < 0$ et $n(p,q) < 1$.

*Démonstration.* On considère la fonction $H(X) = MX^θ$, où $M > 0$ et $θ$ sont des paramètres à déterminer. Il est aisé de voir que $H$ est une
sur-solution de (Q) (resp. sous-solution) si et seulement si

$$ \theta M \geq cX^{1-\theta} + M^{-1/(p-1)} X^{p(n(p,q)-\theta)/(p-1)}, \quad (2.27) $$

respectivement

$$ \theta M \leq cX^{1-\theta} + M^{\frac{1}{p-1}} X^{\frac{p(n(p,q)-\theta)}{(p-1)}}, \quad (2.28) $$

On commence par le comportement au voisinage de 0, on distingue deux cas :

1er cas. $c > 0$ ou $(n(p,q)-1)c \geq 0$. Pour que $H$ vérifie (2.27) (resp. (2.28)) au voisinage de 0 il faut que $\inf\{n(p,q), 1\} \geq \theta$ (resp. $\inf\{n(p,q), 1\} \leq \theta$). Soit $\theta = \inf\{n(p,q), 1\}$. Alors $H$ est une sur-solution de (Q) (resp. sous-solution) pour tout $M > M_0$ (resp. $M < M_0$). Par suite $Y(X) \approx M_0 X^{\inf\{n(p,q), 1\}}$.

2ème cas. $c < 0$ et $n(p,q) > 1$. On prend dans ce cas $\theta = q(p-1)$ donc (2.27) (resp. (2.28)) devient

$$ \theta M \geq \left[ c + M^{-1/(p-1)} \right] X^{1-q(p-1)}, \quad (2.29) $$

respectivement

$$ \theta M \leq \left[ c + M^{-1/(p-1)} \right] X^{1-q(p-1)}, \quad (2.30) $$

Comme $n(p,q) > 1$, alors $1-q(p-1) < 0$ ce qui donne (2.29) (resp. (2.30)) est vérifié pour tout $M \geq (-c)^{1-p}$ (resp. $M < (-c)^{1-p}$), par suite $Y(X) \approx (-c)^{1-p} X^{q(p-1)}$.

On passe maintenant au comportement au voisinage de l'infini cette fois-ci on distingue deux cas :

1er cas. $c > 0$ ou $(n(p,q)-1)c < 0$. On prend $\theta = \sup\{n(p,q), 1\}$ alors $H$ sur-solution (resp. sous-solution) pour tout $M > M_\infty$ (resp. $M < M_\infty$), ce qui donne $Y(X) \approx M_\infty X^{\sup\{n(p,q), 1\}}$.

2ème cas. $c < 0$ et $n(p,q) < 1$. On prend $\theta = q(p-1)$ alors (2.27) (resp. (2.28)) devient (2.29) (resp. (2.30)) comme $1-q(p-1) > 0$ (car $n(p,q) < 1$) alors on déduit que $Y(X) \approx (-c)^{1-p} X^{q(p-1)}$. $\square$

Maintenant on est on mesure de donner la preuve des théorèmes 1.1, 1.2 et 1.3.

*Démonstration.* Soit $\varphi$ une solution du problème (2.25) dont l'intervalle maximal d'existence est $]-\infty, \beta[$. Alors tant que $\varphi(\xi) \neq 0$ (et par suite
$Y(\varphi(\xi)) \neq 0)$ on a

$$Y^{-1/(p-1)}(\varphi(\xi))\varphi'(\xi) = 1. \qquad (2.31)$$

En intégrant (2.31) sur $(\xi, \xi_1) \subset ]-\infty, \beta[$ on obtient

$$\xi_1 - \xi = \int_{\varphi(\xi)}^{\varphi(\xi_1)} Y^{-1/(p-1)}(s)ds, \qquad (2.32)$$

pour tout $\xi \in ]-\infty, \beta[$, tel que $\varphi(\xi) > 0$. Ainsi si $\varphi$ ne s'annule jamais sur $]-\infty, \beta[$ on peut faire tendre $\xi$ vers $-\infty$ dans la formule (2.32) on obtient
$$\int_0^{\varphi(\xi_2)} Y^{-1/(p-1)}(s)ds = \infty$$. Donc $\varphi$ s'annule en un point si et seulement si

$$\int_0 Y^{-1/(p-1)}(s)ds < \infty. \qquad (2.33)$$

D'autre part, on fait tendre $\xi_1$ vers $\beta$ dans la formule (2.32) on obtient que $\beta = \infty$ si et seulement si

$$\int^{+\infty} Y^{-1/(p-1)}(s)ds = \infty. \qquad (2.34)$$

Faisons appel maintenant au comportement asymptotique de $Y$ (solution du problème (Q)), le théorème 1.1 découle immédiatement.

On combine à nouveau les résultats du comportement asymptotique de la solution $Y$ et la relation (2.31), on obtient les résultats concernant le comportement asymptotique (théorèmes 1.2 et 1.3). $\square$

## Remerciements

L'auteur voudrait remercier le rapporteur de son lecture soigneuse du manuscrit original et de faire les suggestions qui ont amélioré la présentation de ce travail.

## Références

[1] D. ARCOYA, J. DIAZ et L. TELLO – « S-shaped bifurcation branch in quasilinear multivalued model arising in climatology », J. Diff Equ. 150 (1998), p. 215–225.

[2] A. DE PABLO et A. SANCHEZ – « Global travelling waves in reaction-convection-diffusion equations », J.Diff. Eq 165 (2000), p. 377–413.

[3] A. DE PABLO et J. VAZQUEZ – « Travelling waves and finite propagation in reaction-diffusion equation », J.Diff. Eq 93 (1991), p. 19–61.
SOLUTIONS D'ONDES FINIES

[4] A. C. FOWLER – *Matemathical models in the applied sciences*, Cambridge texts Applied Mathematics, Cambridge University press, 1997.

[5] K. HADELER – *Travelling front and free boundary value problems, numerical treatment of free boundary problems*, Birkhäuser verlag, 1981.

[6] H.AMANN – *Ordinary differential equations*, Walter de Gruyter, 1996.

[7] M. HERRERO et J. VAZQUEZ – « Thermal waves in absorption media », *J.Diff.Eq* **74** (1988), p. 218–233.

[8] A. KOLMOGOROV, I. PETROVSKY et N. PISKUNOV – « Etude de l'équation de la diffusion avec croissance de la quantité de matière et son application à un problème biologique », *Bull. Univ. Moskov, ser. Internat.Sec A 1,6* (1937), p. 1–25.

[9] S. LEE et W. AMES – « Similarity solution for non-newtonian fluids », *A.T.CH.E. Journal* **12** (1966), no. 4, p. 700–708.

[10] F. SANCHEZ-GARDUNO – « Travelling wave phenomena in some degenerate reaction-diffusion equations », *J.Dif. Eq.* **177** (1995), p. 281–319.

[11] A. SÀNCHEZ-VALDÉS et H.-B. B. – « New travelling wave solutions for the Fisher equation with general exponents », *Applied Mathematics Letters* **18** (2005), p. 1281–1285.

AHMED HAMYDY

Université Abdelmalek Essaadi

Faculté des Sciences Departement

de Mathématiques et informatique

B. P. 2121 Tetouan

Maroc

hamydy@caramail.com