# Analogie et moyenne généralisée

Miguel Couceiro, Yves Lepage

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Miguel Couceiro, Yves Lepage. Analogie et moyenne généralisée. Journées d'Intelligence Artificielle Fondamentale - Journées Francophones sur la Planification, la Décision et l'Apprentissage pour la conduite de systèmes - JIAF-JFPDA 2024, Jul 2024, La Rochelle (France), France. hal-04568339

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recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

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# Analogie et moyenne généralisée

Miguel Couceiro, Yves Lepage

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Miguel Couceiro, Yves Lepage. Analogie et moyenne généralisée. Journées d'Intelligence Artificielle Fondamentale - Journées Francophones sur la Planification, la Décision et l'Apprentissage pour la conduite de systèmes - JIAF-JFPDA 2024, Jul 2024, La Rochelle (France), France. hal-04568339

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# Analogie et moyenne généralisée

Yves Lepage<fnref n="1" /> Miguel Couceiro²,³

¹ IPS, université Waseda, Japon

² LORIA, université de Lorraine, France

³ INESC-ID, IST, Universidade de Lisboa, Portugal
yves.lepage@waseda.jp
miguel.couceiro@loria.fr

## Résumé

Nous étudions le lien entre analogie et moyennes, ou, plus exactement, moyennes généralisées. Les moyennes généralisées constituent une classe de fonctions d'agrégation définies en terme d'un seul paramètre, la puissance. En particulier, nous montrons que, quels que soient quatre nombres réels positifs, il est toujours possible de voir une analogie entre eux, grâce à une puissance bien choisie, qui est unique. Nous montrons aussi que toute analogie peut se réduire à une analogie arithmétique équivalente.

## Abstract

We study the relationship between analogy and means, or, more precisely, generalized means, which are aggregation functions defined in terms of a power parameter. In particular, we show that whatever four positive real numbers are, it is always possible to establish an analogy between them by choosing a suitable power. We show that for each analogy this power is unique. In addition, we show that any analogy can be reduced to an equivalent arithmetic analogy.

## 1 Introduction

En intelligence artificielle, les termes d'inférence analogique ou de raisonnement analogique sont souvent utilisés. Les travaux s'y rattachant s'intéressent à l'étude des rapports entre deux couples d'éléments A et B d'une part et C et D de l'autre. Il y a plusieurs exploitations possibles d'une telle compréhension. Typiquement on peut juger si le rapport de C à D est le même que celui qui existe entre A et B. On évaluera alors la qualité de la similarité de tels rapports et l'on pourra discuter de similarité d'attributs ou de similarité de relations [32]<fnref n="1" /> à la suite des travaux plus

récents de Gentner [15]. On peut aussi voir A et C comme des problèmes, B comme une solution au problème A, et l'on se demandera si la transposition du rapport de A à B sur C permet de produire un D et dans quelle mesure ce D est une solution du problème C. C'est l'approche en raisonnement à partir de cas [3, 4, 22].

Le principe sous-jacent est celui de l'inférence analogique qui a été intégré dans diverses tâches d'apprentissage automatique, notamment, en apprentissage de préférences et en recommandation [13, 14, 24] et, plus généralement, en classification [11]. En outre, l'extrapolation analogique (inférence) peut résoudre des tâches de raisonnement difficiles telles que les tests d'aptitude scolaire ou de réponse à des questions visuelles [31, 27, 5] et de vérification du sens d'une phrase cible [34]. Elle peut également prendre en charge l'augmentation des ensembles de données (extension analogique et extrapolation) [9]. Cela peut également être réalisé à un méta-niveau pour un apprentissage par transfert [8, 1] où l'idée est de profiter de ce qui a été appris sur un domaine source afin d'améliorer le processus d'apprentissage dans un domaine cible lié à un domaine source. Enfin, la création d'analogies peut fournir des explications utiles qui s'appuient sur l'exemple-contre-exemple parallèle [17] et guident la génération contrefactuelle [18].

Dans certains domaines particuliers comme la traduction automatique, ce type de raisonnement analogique a été utilisé [26] et le rapprochement avec le raisonnement à partir de cas y est bien reconnu [7]. En traitement automatique des langues toujours, mais cette fois-ci par exemple pour la tâche de production de mots, une telle approche a été proposée [25] : la minimisation de la complexité algorithme du programme décrivant le rapport de A à B, c'est-à-dire la transformation de A en B, suivie de l'application du programme de complexité minimale à C, permet la production de D, c'est-à-dire d'un mot nouveau, avec des performances

<footnote n="1">1. Types de similarités déjà présentes dans l'Encyclopédie où la « raison de la dénomination commune » soit « d'attribution » soit de « proportion » [6].</footnote>
# Analogie et moyenne généralisée

Yves Lepage<fnref n="1" /> Miguel Couceiro²,³

¹ IPS, université Waseda, Japon

² LORIA, université de Lorraine, France

³ INESC-ID, IST, Universidade de Lisboa, Portugal

yves.lepage@waseda.jp

miguel.couceiro@loria.fr

## Résumé

Nous étudions le lien entre analogie et moyennes, ou, plus exactement, moyennes généralisées. Les moyennes généralisées constituent une classe de fonctions d'agrégation définies en terme d'un seul paramètre, la puissance. En particulier, nous montrons que, quels que soient quatre nombres réels positifs, il est toujours possible de voir une analogie entre eux, grâce à une puissance bien choisie, qui est unique. Nous montrons aussi que toute analogie peut se réduire à une analogie arithmétique équivalente.

## Abstract

We study the relationship between analogy and means, or, more precisely, generalized means, which are aggregation functions defined in terms of a power parameter. In particular, we show that whatever four positive real numbers are, it is always possible to establish an analogy between them by choosing a suitable power. We show that for each analogy this power is unique. In addition, we show that any analogy can be reduced to an equivalent arithmetic analogy.

# 1 Introduction

En intelligence artificielle, les termes d'inférence analogique ou de raisonnement analogique sont souvent utilisés. Les travaux s'y rattachant s'intéressent à l'étude des rapports entre deux couples d'éléments A et B d'une part et C et D de l'autre. Il y a plusieurs exploitations possibles d'une telle compréhension. Typiquement on peut juger si le rapport de C à D est le même que celui qui existe entre A et B. On évaluera alors la qualité de la similarité de tels rapports et l'on pourra discuter de similarité d'attributs ou de similarité de relations [32]<fnref n="1" /> à la suite des travaux plus

récents de Gentner [15]. On peut aussi voir A et C comme des problèmes, B comme une solution au problème A, et l'on se demandera si la transposition du rapport de A à B sur C permet de produire un D et dans quelle mesure ce D est une solution du problème C. C'est l'approche en raisonnement à partir de cas [3, 4, 22].

Le principe sous-jacent est celui de l'inférence analogique qui a été intégré dans diverses tâches d'apprentissage automatique, notamment, en apprentissage de préférences et en recommandation [13, 14, 24] et, plus généralement, en classification [11]. En outre, l'extrapolation analogique (inférence) peut résoudre des tâches de raisonnement difficiles telles que les tests d'aptitude scolaire ou de réponse à des questions visuelles [31, 27, 5] et de vérification du sens d'une phrase cible [34]. Elle peut également prendre en charge l'augmentation des ensembles de données (extension analogique et extrapolation) [9]. Cela peut également être réalisé à un méta-niveau pour un apprentissage par transfert [8, 1] où l'idée est de profiter de ce qui a été appris sur un domaine source afin d'améliorer le processus d'apprentissage dans un domaine cible lié à un domaine source. Enfin, la création d'analogies peut fournir des explications utiles qui s'appuient sur l'exemple-contre-exemple parallèle [17] et guident la génération contrefactuelle [18].

Dans certains domaines particuliers comme la traduction automatique, ce type de raisonnement analogique a été utilisé [26] et le rapprochement avec le raisonnement à partir de cas y est bien reconnu [7]. En traitement automatique des langues toujours, mais cette fois-ci par exemple pour la tâche de production de mots, une telle approche a été proposée [25] : la minimisation de la complexité algorithme du programme décrivant le rapport de A à B, c'est-à-dire la transformation de A en B, suivie de l'application du programme de complexité minimale à C, permet la production de D, c'est-à-dire d'un mot nouveau, avec des performances

<footnote n="1">1. Types de similarités déjà présentes dans l'Encyclopédie où la « raison de la dénomination commune » est soit « d'attribution » soit de « proportion » [6].</footnote>
<table><caption>TABLEAU 1 – Quelques médiétés tirées de [23]. La conformité est ici l'égalité (=) et le rapport la division (:). On obtient les trois moyennes classiques, arithmétique, géométrique et harmonique, à partir d'analogies dont les trois premiers membres sont les mêmes. Seul le quatrième terme varie et prend successivement les valeurs a, b et c.</caption>
  <thead>
    <tr>
      <th>Analogie</th>
      <th>Moyenne</th>
      <th>Réécriture</th>
      <th>⇔</th>
      <th>Expr. de b</th>
      <th>⇔</th>
      <th>Formule de moyenne</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>(a - b) : (b - c) = a : a</td>
      <td>arithmétique</td>
      <td>(a - b) : (b - c) = 1</td>
      <td>⇔</td>
      <td>b = <sup>1</sup>&frasl;<sub>2</sub>(a + c)</td>
      <td>⇔</td>
      <td>b = <sup>1</sup>&frasl;<sub>2</sub>(a + c)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>(a - b) : (b - c) = a : b</td>
      <td>géométrique</td>
      <td>(ab - b<sup>2</sup>) : (ab - ac) = ab : ab</td>
      <td>⇔</td>
      <td>b<sup>2</sup> = ac</td>
      <td>⇔</td>
      <td>log b = <sup>1</sup>&frasl;<sub>2</sub>(log a + log c)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>(a - b) : (b - c) = a : c</td>
      <td>harmonique</td>
      <td>(ca - cb) : (ab - ac) = ac : ac</td>
      <td>⇔</td>
      <td>b = <sup>2ac</sup>&frasl;<sub>a + c</sub></td>
      <td>⇔</td>
      <td><sup>1</sup>&frasl;<sub>b</sub> = <sup>1</sup>&frasl;<sub>2</sub>(<sup>1</sup>&frasl;<sub>a</sub> + <sup>1</sup>&frasl;<sub>c</sub>)</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

4 Moyennes généralisées

L'étude des liens entre les différentes moyennes imaginables et l'analogie a donné lieu à des travaux par les Pythagoriciens et les mathématiciens du Moyen-Âge. Il faut citer en particulier les études sur les médiétés (gr. μεσσότης, lat. medietas ou mediocritas) (cf. [23]). Le tableau 1 illustre une manière, entre autres, d'extraire les trois moyennes arithmétique, géométrique et harmonique à partir d'analogies similaires, mais discrètes.

Mais la généralisation de la notion de moyenne, sans relation avec l'analogie, au-delà des seules moyennes arithmétique, géométrique ou harmonique, a été donnée en 1889 dans un article signé d'Hölder [16]. Le propos du présent article est de relier la notion mathématique d'analogie à cette généralisation de la notion de moyenne.

4.1 Définition

La moyenne généralisée de plusieurs nombres $x_1, \dots, x_N$ est la valeur

$$
m_p(x_1, \dots, x_N) = \lim_{r \to p} \sqrt[\frac{r}{N}] \sum_{i=1}^{N} x_i^r
$$

pour tout $p \in [-\infty, +\infty]$. En particulier, nous retrouvons :

— la moyenne arithmétique pour $p = 1$;

— la moyenne harmonique pour $p = -1$;

— la moyenne quadratique pour $p = 2$;

— la moyenne géométrique quand $p$ tend vers 0 car

$$
m_0(x_1, \dots, x_N) = \lim_{p \to 0} m_p(x_1, \dots, x_N) = \sqrt[\frac{N}{N-1}]{\prod_{i=1}^{N} x_i}
$$

Enfin, quand $p$ tend vers $+\infty$, c'est le maximum des nombres, $\max(x_1, \dots, x_N)$, et quand $p$ tend vers $-\infty$, c'est le minimum des nombres, $\min(x_1, \dots, x_N)$. Nous définissons $m_{+\infty}$ et $m_{-\infty}$ comme ces valeurs limites.

4.2 Spécialisation à deux nombres

La moyenne généralisée de deux nombres *a* et *d* est la valeur

$$
m_p(a, d) = \lim_{r \to p} \sqrt[r]{\frac{1}{2}(a^r + d^r)}
$$

pour tout $p \in [-\infty, +\infty]$. La figure 1 illustre la courbe obtenue pour les valeurs particulières $a=2$ et $d=5$.

Il est connu que la fonction moyenne généralisée est une fonction continue et strictement croissante. Il est tentant de croire qu'elle possèderait une symétrie centrale par rapport à l'un de ses points, c'est-à-dire par rapport à une certaine valeur de p. Mais attention, en général, il n'en est rien. La figure 1 illustre ce fait.

Avant de passer aux résultats, mentionnons que, dans la suite, nous ne détaillons pas toutes les démonstrations car elles adoptent toujours la même structure. Dans le cas général où p n'est ni 0, ni infini, la limite n'est pas nécessaire, la prise de la racine p-ième non plus, le facteur un demi peut être éliminé et les démonstrations peuvent alors exploiter directement la formule $a^p + d^p$ ou bien l'égalité $a^p + d^p = b^p + c^p$. Dans le cas p = 0, les formules de la moyenne géométrique sont utilisées : $a \times d$ ou $a \times d = b \times c$. Enfin dans les deux cas infinis, les formules avec les min et max sont utilisées.

5 Analogie par moyennes généralisées

5.1 Définition

Sur quatre nombres réels positifs, on définit l'analogie
pour la puissance p de la façon qui suit :

$$
\begin{align*}
a : b ::^p c : d &\stackrel{\text{déf.}}{\Longleftrightarrow} m_p(a, d) = m_p(b, c) \\
&\Longleftrightarrow \lim_{r \to p} \sqrt[r]{\frac{1}{2}(a^r + d^r)} = \lim_{r \to p} \sqrt[r]{\frac{1}{2}(b^r + c^r)}
\end{align*}
$$

On dira qu'il y a une analogie entre quatre nombre réels
positifs *a*, *b*, *c* et *d*, si et seulement il existe un *p* tel que la
moyenne généralisée en *p* des extrêmes *a* et *d* soit égale à
<table><caption>TABLEAU 1 – Quelques médiétés tirées de [23]. La conformité est ici l'égalité (=) et le rapport la division (:). On obtient les trois moyennes classiques, arithmétique, géométrique et harmonique, à partir d'analogies dont les trois premiers membres sont les mêmes. Seul le quatrième terme varie et prend successivement les valeurs a, b et c.</caption>
  <thead>
    <tr>
      <th>Analogie</th>
      <th>Moyenne</th>
      <th>Réécriture</th>
      <th>⇔</th>
      <th>Expr. de b</th>
      <th>⇔</th>
      <th>Formule de moyenne</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>(a - b) : (b - c) = a : a</td>
      <td>arithmétique</td>
      <td>(a - b) : (b - c) = 1</td>
      <td>⇔</td>
      <td>b = <sup>1</sup>&frasl;<sub>2</sub>(a + c)</td>
      <td>⇔</td>
      <td>b = <sup>1</sup>&frasl;<sub>2</sub>(a + c)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>(a - b) : (b - c) = a : b</td>
      <td>géométrique</td>
      <td>(ab - b<sup>2</sup>) : (ab - ac) = ab : ab</td>
      <td>⇔</td>
      <td>b<sup>2</sup> = ac</td>
      <td>⇔</td>
      <td>log b = <sup>1</sup>&frasl;<sub>2</sub>(log a + log c)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>(a - b) : (b - c) = a : c</td>
      <td>harmonique</td>
      <td>(ca - cb) : (ab - ac) = ac : ac</td>
      <td>⇔</td>
      <td>b = <sup>2ac</sup>&frasl;<sub>a + c</sub></td>
      <td>⇔</td>
      <td><sup>1</sup>&frasl;<sub>b</sub> = <sup>1</sup>&frasl;<sub>2</sub>(<sup>1</sup>&frasl;<sub>a</sub> + <sup>1</sup>&frasl;<sub>c</sub>)</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

4 Moyennes généralisées

L'étude des liens entre les différentes moyennes imaginables et l'analogie a donné lieu à des travaux par les Pythagoriciens et les mathématiciens du Moyen-Âge. Il faut citer en particulier les études sur les médiétés (gr. μεσσότης, lat. medietas ou mediocritas) (cf. [23]). Le tableau 1 illustre une manière, entre autres, d'extraire les trois moyennes arithmétique, géométrique et harmonique à partir d'analogies similaires, mais discrètes.

Mais la généralisation de la notion de moyenne, sans relation avec l'analogie, au-delà des seules moyennes arithmétique, géométrique ou harmonique, a été donnée en 1889 dans un article signé d'Hölder [16]. Le propos du présent article est de relier la notion mathématique d'analogie à cette généralisation de la notion de moyenne.

4.1 Définition

La moyenne généralisée de plusieurs nombres $x_1, \dots, x_N$ est la valeur

$$
m_p(x_1, \dots, x_N) = \lim_{r \to p} \sqrt[\frac{r}{N}] \sum_{i=1}^{N} x_i^r
$$

pour tout $p \in [-\infty, +\infty]$. En particulier, nous retrouvons :

— la moyenne arithmétique pour $p = 1$;

— la moyenne harmonique pour $p = -1$;

— la moyenne quadratique pour $p = 2$;

— la moyenne géométrique quand $p$ tend vers 0 car

$$
m_0(x_1, \dots, x_N) = \lim_{p \to 0} m_p(x_1, \dots, x_N) = \sqrt[\frac{N}{N-1}]{\prod_{i=1}^{N} x_i}
$$

Enfin, quand $p$ tend vers $+\infty$, c'est le maximum des nombres, $\max(x_1, \dots, x_N)$, et quand $p$ tend vers $-\infty$, c'est le minimum des nombres, $\min(x_1, \dots, x_N)$. Nous définissons $m_{+\infty}$ et $m_{-\infty}$ comme ces valeurs limites.

4.2 Spécialisation à deux nombres

La moyenne généralisée de deux nombres a et d est la valeur

$$
m_p(a, d) = \lim_{r \to p} \sqrt[r]{\frac{1}{2}(a^r + d^r)}
$$

pour tout $p \in [-\infty, +\infty]$. La figure 1 illustre la courbe obtenue pour les valeurs particulières $a = 2$ et $d = 5$.

Il est connu que la fonction moyenne généralisée est une fonction continue et strictement croissante. Il est tentant de croire qu'elle possèderait une symétrie centrale par rapport à l'un de ses points, c'est-à-dire par rapport à une certaine valeur de p. Mais attention, en général, il n'en est rien. La figure 1 illustre ce fait.

Avant de passer aux résultats, mentionnons que, dans la suite, nous ne détaillons pas toutes les démonstrations car elles adoptent toujours la même structure. Dans le cas général où p n'est ni 0, ni infini, la limite n'est pas nécessaire, la prise de la racine p-ième non plus, le facteur un demi peut être éliminé et les démonstrations peuvent alors exploiter directement la formule $a^p + d^p$ ou bien l'égalité $a^p + d^p = b^p + c^p$. Dans le cas p = 0, les formules de la moyenne géométrique sont utilisées : $a \times d$ ou $a \times d = b \times c$. Enfin dans les deux cas infinis, les formules avec les min et max sont utilisées.

5 Analogie par moyennes généralisées

5.1 Définition

Sur quatre nombres réels positifs, on définit l'analogie
pour la puissance p de la façon qui suit :

$$
\begin{align*}
a : b ::^p c : d &\stackrel{\text{déf.}}{\Longleftrightarrow} m_p(a, d) = m_p(b, c) \\
&\Longleftrightarrow \lim_{r \to p} \sqrt[r]{\frac{1}{2}(a^r + d^r)} = \lim_{r \to p} \sqrt[r]{\frac{1}{2}(b^r + c^r)}
\end{align*}
$$

On dira qu'il y a une analogie entre quatre nombre réels
positifs a, b, c et d, si et seulement il existe un p tel que la
moyenne généralisée en p des extrêmes a et d soit égale à
<figure><img src="image_2.png" /></figure>

FIGURE 1 – Valeurs des moyennes généralisées de *a* et *d* pour *a* = 2 et *d* = 5, avec *p* en abscisse. On y voit les valeurs des moyennes harmonique (2,86), géométrique ($\sqrt{2} \times 5 = \sqrt{10} \approx 3,16$), arithmétique (3,5) et quadratique (3,81). De même, les limites en $-\infty$ et $+\infty$ sont les minimum et maximum, c'est-à-dire respectivement 2 et 5. Noter que la courbe ne possède pas de symétrie centrale par rapport à l'un de ses points.

la moyenne généralisée en *p* des moyens *b* et *c*. La question est de savoir premièrement à quelle condition on peut trouver un *p* tel que l'analogie tienne et deuxièmement de déterminer ce *p*.

Mais il faut d'abord vérifier que la définition donnée ci-dessus correspond bien aux idées que l'on se fait ordinairement de l'analogie mathématique. Il faut examiner si l'on a la réflexivité et la symétrie 6 pour ::p et si les huit formes équivalentes de l'analogie existent bien ici.

## 5.2 Réflexivité, symétrie et transitivité de ::=p

Pour la réflexivité de ::=p, il est trivial de constater que, pour deux nombres positifs quelconques *a* et *b*, pour tout *p*, on a toujours

$$ a : b ::=^p a : b, \qquad (1) $$

c'est-à-dire,

$$ \lim_{r \to p} \sqrt{\frac{1}{2}(a^r + b^r)} = \lim_{r \to p} \sqrt{\frac{1}{2}(b^r + a^r)}. \qquad (2) $$

Nous visualisons par des grisés le fait que, si le premier *a* de (1) correspond au premier *a* de (2), en revanche, le premier *b* à gauche de la conformité en *p* dans (1) correspond au deuxième *b* à droite du signe égal dans l'équation (2).

La symétrie de ::=p s'énonce comme suit :

$$ a : b ::=^p c : d \Leftrightarrow c : d ::=^p a : b. $$

Elle est vérifiée car :

$$ \begin{align*} a : b ::=^p c : d &\Leftrightarrow m_p(a, d) = m_p(b, c) \\ &\Leftrightarrow m_p(b, c) = m_p(a, d) \\ &\Leftrightarrow m_p(c, b) = m_p(d, a) \\ &\Leftrightarrow c : d ::=^p a : b. \end{align*} $$

Répétons que la transitivité n'est pas nécessaire en général pour l'analogie. Il se trouve qu'elle existe pour ::=p. Ce qui s'énonce :

$$ \begin{cases} a : b ::= c : d \\ c : d ::= e : f \end{cases} \Rightarrow a : b ::= e : f. \qquad (3) $$

Pour le cas général où *p* est dans $\mathbb{R}^*$, c'est-à-dire différent de 0, on a :

$$ \begin{align*} \begin{cases} m_p(a, d) = m_p(b, c) \\ m_p(c, f) = m_p(d, e) \end{cases} &\Leftrightarrow \begin{cases} a^p - b^p = c^p - d^p \\ c^p - d^p = e^p - f^p \end{cases} \\ &\Rightarrow a^p - b^p = e^p - f^p \\ &\Rightarrow m_p(a, f) = m_p(b, e). \end{align*} $$

Dans le cas où *p* tend vers zéro on sait que

$$ m_0(a, d) = \sqrt{a \times d}. $$

On a donc facilement, à condition qu'aucun des termes ne soit nul :

$$ \begin{align*} \begin{cases} m_0(a, d) = m_0(b, c) \\ m_0(b, c) = m_0(e, f) \end{cases} &\Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{a/b} = \sqrt{c/d} \\ \sqrt{c/d} = \sqrt{e/f} \end{cases} \\ &\Rightarrow \sqrt{a/b} = \sqrt{e/f} \\ &\Leftrightarrow m_0(a, f) = m_0(b, e). \end{align*} $$

Dans le cas où *p* tend vers moins l'infini, on voudrait faire le raisonnement suivant qui bloque à l'endroit mentionné ci-dessous par l'absence d'implication.

$$ \begin{align*} \begin{cases} m_{-\infty}(a, d) = m_{-\infty}(b, c) \\ m_{-\infty}(c, f) = m_{-\infty}(d, e) \end{cases} &\Leftrightarrow \begin{cases} \min(a, d) = \min(b, c) \\ \min(c, f) = \min(d, e) \end{cases} \\ &\Rightarrow \min(a, f) = \min(b, e) \\ &\Leftrightarrow m_{-\infty}(a, f) = m_{-\infty}(b, e). \end{align*} $$

En général on n'a pas l'implication. Mais si l'on suppose que *a*, *b*, *c*, *d* sont rangés par ordre croissant et que *e* et *f* sont supérieurs ou égaux à *d*, alors on peut montrer la transitivité. Il en va de même pour plus l'infini pour lequel il faudrait simplement remplacer min par max et inverser le sens des inégalités.

<footnote n="6">6. La transitivité n'est pas requise d'habitude pour l'analogie en général. Une simple relation de ressemblance et non d'équivalence suffit. De là notre insistance à dire conformité pour ::= et non pas égalité ou identité.</footnote>
<figure><img src="image_2.png" /></figure>

FIGURE 1 – Valeurs des moyennes généralisées de *a* et *d* pour *a* = 2 et *d* = 5, avec *p* en abscisse. On y voit les valeurs des moyennes harmonique (2,86), géométrique ($\sqrt{2} \times 5 = \sqrt{10} \approx 3,16$), arithmétique (3,5) et quadratique (3,81). De même, les limites en $-\infty$ et $+\infty$ sont les minimum et maximum, c'est-à-dire respectivement 2 et 5. Noter que la courbe ne possède pas de symétrie centrale par rapport à l'un de ses points.

la moyenne généralisée en *p* des moyens *b* et *c*. La question est de savoir premièrement à quelle condition on peut trouver un *p* tel que l'analogie tienne et deuxièmement de déterminer ce *p*.

Mais il faut d'abord vérifier que la définition donnée ci-dessus correspond bien aux idées que l'on se fait ordinairement de l'analogie mathématique. Il faut examiner si l'on a la réflexivité et la symétrie 6 pour ::$p$ et si les huit formes équivalentes de l'analogie existent bien ici.

## 5.2 Réflexivité, symétrie et transitivité de ::$p$

Pour la réflexivité de ::$p$, il est trivial de constater que, pour deux nombres positifs quelconques *a* et *b*, pour tout *p*, on a toujours

$$ a : b ::^p a : b, \qquad (1) $$

c'est-à-dire,

$$ \lim_{r \to p} \sqrt{\frac{1}{2}(a^r + b^r)} = \lim_{r \to p} \sqrt{\frac{1}{2}(b^r + a^r)}. \qquad (2) $$

Nous visualisons par des grisés le fait que, si le premier *a* de (1) correspond au premier *a* de (2), en revanche, le premier *b* à gauche de la conformité en *p* dans (1) correspond au deuxième *b* à droite du signe égal dans l'équation (2).

La symétrie de ::$p$ s'énonce comme suit :

$$ a : b ::^p c : d \Leftrightarrow c : d ::^p a : b. $$

Elle est vérifiée car :

$$ \begin{align*} a : b ::^p c : d &\Leftrightarrow m_p(a, d) = m_p(b, c) \\ &\Leftrightarrow m_p(b, c) = m_p(a, d) \\ &\Leftrightarrow m_p(c, b) = m_p(d, a) \\ &\Leftrightarrow c : d ::^p a : b. \end{align*} $$

Répétons que la transitivité n'est pas nécessaire en général pour l'analogie. Il se trouve qu'elle existe pour ::$p$. Ce qui s'énonce :

$$ \begin{cases} a : b :: c : d \\ c : d :: e : f \end{cases} \Rightarrow a : b :: e : f. \qquad (3) $$

Pour le cas général où *p* est dans $\mathbb{R}^*$, c'est-à-dire différent de 0, on a :

$$ \begin{cases} m_p(a, d) = m_p(b, c) \\ m_p(c, f) = m_p(d, e) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^p - b^p = c^p - d^p \\ c^p - d^p = e^p - f^p \end{cases} \\ \Rightarrow \begin{aligned}[t] a^p - b^p &= e^p - f^p \\ m_p(a, f) &= m_p(b, e). \end{aligned} $$

Dans le cas où *p* tend vers zéro on sait que

$$ m_0(a, d) = \sqrt{a \times d}. $$

On a donc facilement, à condition qu'aucun des termes ne soit nul :

$$ \begin{cases} m_0(a, d) = m_0(b, c) \\ m_0(b, c) = m_0(e, f) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{a/b} = \sqrt{c/d} \\ \sqrt{c/d} = \sqrt{e/f} \end{cases} \\ \Rightarrow \begin{aligned}[t] \sqrt{a/b} &= \sqrt{e/f} \\ m_0(a, f) &= m_0(b, e). \end{aligned} $$

Dans le cas où *p* tend vers moins l'infini, on voudrait faire le raisonnement suivant qui bloque à l'endroit mentionné ci-dessous par l'absence d'implication.

$$ \begin{cases} m_{-\infty}(a, d) = m_{-\infty}(b, c) \\ m_{-\infty}(c, f) = m_{-\infty}(d, e) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \min(a, d) = \min(b, c) \\ \min(c, f) = \min(d, e) \end{cases} \\ \Rightarrow \begin{aligned}[t] \min(a, f) &= \min(b, e) \\ m_{-\infty}(a, f) &= m_{-\infty}(b, e). \end{aligned} $$

En général on n'a pas l'implication. Mais si l'on suppose que *a*, *b*, *c*, *d* sont rangés par ordre croissant et que *e* et *f* sont supérieurs ou égaux à *d*, alors on peut montrer la transitivité. Il en va de même pour plus l'infini pour lequel il faudrait simplement remplacer min par max et inverser le sens des inégalités.

<footnote n="6">6. La transitivité n'est pas requise d'habitude pour l'analogie en général. Une simple relation de ressemblance et non d'équivalence suffit. De là notre insistance à dire conformité pour :: et non pas égalité ou identité.</footnote>
## 5.3 Huit formes équivalentes de l'analogie

Les formalisations classiques de l'analogie en mathématique autorisent huit formes d'écritures équivalentes de la même analogie en jouant sur la position des termes dans l'analogie.

$$ 
\begin{array}{lclcl}
a & : & b & :: & c : d \\
a & : & c & :: & b : d \\
b & : & a & :: & d : c \\
b & : & d & :: & a : c
\end{array}
\qquad
\begin{array}{lclcl}
c & : & a & :: & d : b \\
c & : & d & :: & a : b \\
d & : & b & :: & c : a \\
d & : & c & :: & b : a
\end{array}
$$

L'article Proportion de l'Encyclopédie [30] mentionne les deux plus connues : invertendo, l'inversion des rapports $b : a :: d : c$ et permutando, la permutation des moyens $a : c :: b : d$, jugée intrinsèquement caractéristique de l'analogie par les Anciens (cf. [2]). L'équivalence entre la forme originale $a : b :: c : d$ et ces deux formes implique les cinq autres.<fnref n="7" />

Pour ce qui est de l'analogie par moyenne généralisée, l'inversion des rapports est donnée par la symétrie de l'égalité dans $m_p(b, c) = m_p(a, d)$. La commutativité de l'addition dans $(b^p + c^p)$, de la multiplication dans $b \times c$ et dans $\min(b, c)$ ou $\max(b, c)$ donne la permutation des moyens. Les huit formes équivalentes de l'analogie sont donc bien là pour l'analogie par moyenne généralisée.

# 6 Réductions des analogies par moyennes généralisées

Nous allons maintenant montrer que la définition donnée en 5.1 non seulement unifie les notions classiques d'analogie arithmétique et géométrique, mais encore entraîne des équivalences entre une infinité d'analogies en puissance $p$. Autrement dit, il existe une forme canonique à laquelle on peut réduire toute analogie en puissance $p$ (sauf pour $p = -\infty$ et $p = +\infty$). On peut faire le choix, par exemple, de réduire à l'analogie arithmétique.

## 6.1 Prise des inverses des termes

On remarque facilement que, pour une analogie en puissance $p$ donnée, l'analogie en la puissance opposée est valable sur les inverses des termes.

$$ a : b ::^p c : d \Leftrightarrow \frac{1}{a} : \frac{1}{b} ::^{-p} \frac{1}{c} : \frac{1}{d} $$

## 6.2 Cas général de la multiplication par un nombre positif

Il est facile d'observer que, pour quatre nombre réels positifs quelconques, l'analogie en $p$ entre ces nombres peut être

transformée en une autre analogie de même puissance $p$, entre ces mêmes nombres multipliés par un nombre positif quelconque. C'est-à-dire :

$$ \forall \lambda \in \mathbb{R}^{+} \setminus \{0\}, \quad a : b ::^p c : d \Leftrightarrow \lambda a : \lambda b ::^p \lambda c : \lambda d. $$

Il est en effet facile de montrer que, d'abord dans le cas où $p$ est différent de 0 :

$$ a : b ::^p c : d $$

$$ 
\begin{align*}
\Leftrightarrow \sqrt[p]{\frac{1}{2}(a^p + d^p)} &= \sqrt[p]{\frac{1}{2}(b^p + c^p)} \\
\Leftrightarrow \lambda \times \sqrt[p]{\frac{1}{2}(a^p + d^p)} &= \lambda \times \sqrt[p]{\frac{1}{2}(b^p + c^p)} \\
\Leftrightarrow \sqrt[p]{\frac{1}{2}((\lambda a)^p + (\lambda d)^p)} &= \sqrt[p]{\frac{1}{2}((\lambda b)^p + (\lambda c)^p)} \\
\Leftrightarrow \lambda a : \lambda b ::^p \lambda c : \lambda d.
\end{align*}
$$

Dans le cas où $p$ est égal à 0, il est aussi facile de montrer que :

$$ 
\begin{align*}
a : b ::^0 c : d \Leftrightarrow & \sqrt{ad} = \sqrt{bc} \\
& \Leftrightarrow \lambda \times \sqrt{ad} = \lambda \times \sqrt{bc} \\
& \Leftrightarrow \sqrt{\lambda^2 ad} = \sqrt{\lambda^2 bc} \\
& \Leftrightarrow \sqrt{(\lambda a)(\lambda d)} = \sqrt{(\lambda b)(\lambda c)} \\
& \Leftrightarrow \lambda a : \lambda b ::^0 \lambda c : \lambda d.
\end{align*}
$$

Dans le cas où $p$ tend vers $-\infty$, on a :

$$ 
\begin{align*}
a : b ::^{-\infty} c : d \Leftrightarrow & \min(a, d) = \min(b, c) \\
& \Leftrightarrow \min(\lambda a, \lambda d) = \min(\lambda b, \lambda c) \\
& \Leftrightarrow \lambda a : \lambda b ::^{-\infty} \lambda c : \lambda d.
\end{align*}
$$

Et de même pour $p$ tendant vers $+\infty$, en remplaçant min par max.

## 6.3 Cas particulier de la division par $d$

Puisque $a, b, c$ et $d$ sont des réels positifs, à condition qu'ils ne soient pas nuls, leurs inverses aussi. On déduit donc de la propriété précédente que l'on peut multiplier par l'inverse de l'un des termes s'il est non nul. Ce terme divisé par lui-même devient 1. Conséquemment, toute analogie en puissance $p$ peut se réduire, en divisant tous les termes par l'un d'entre eux, à une analogie de même puissance où l'un des termes est 1.

Par utilisation des huit formes équivalentes de l'analogie (voir 5.3), il est toujours possible de placer le plus grand terme en dernière position en tant que $d$. Dans ce cas, en divisant par $d$, on obtient une analogie de même puissance où le dernier terme est 1, et où tous les autres termes sont inférieurs à 1. Tous les termes sont donc dans $[0; 1]$. On a donc l'équivalence suivante, dans le cas où $d$ est supérieur ou égal aux autres termes :

$$ a : b ::^p c : d \Leftrightarrow \frac{a}{d} : \frac{b}{d} ::^p \frac{c}{d} : 1. $$

<footnote n="7">7. Nous ne nous servirons pas de ce résultat dans la suite de cet article, mais rappelons que les huit formes équivalentes de l'analogie établissent une correspondance avec le groupe des transformations des coins du carré, c'est-à-dire le groupe diédral, noté $D_8$.</footnote>
## 5.3 Huit formes équivalentes de l'analogie

Les formalisations classiques de l'analogie en mathématique autorisent huit formes d'écritures équivalentes de la même analogie en jouant sur la position des termes dans l'analogie.

$$ 
\begin{array}{lclcl}
a & : & b & :: & c : d \\
a & : & c & :: & b : d \\
b & : & a & :: & d : c \\
b & : & d & :: & a : c
\end{array}
\qquad
\begin{array}{lclcl}
c & : & a & :: & d : b \\
c & : & d & :: & a : b \\
d & : & b & :: & c : a \\
d & : & c & :: & b : a
\end{array}
$$

L'article Proportion de l'Encyclopédie [30] mentionne les deux plus connues : invertendo, l'inversion des rapports $b : a :: d : c$ et permutando, la permutation des moyens $a : c :: b : d$, jugée intrinsèquement caractéristique de l'analogie par les Anciens (cf. [2]). L'équivalence entre la forme originale $a : b :: c : d$ et ces deux formes implique les cinq autres.<fnref n="7" />

Pour ce qui est de l'analogie par moyenne généralisée, l'inversion des rapports est donnée par la symétrie de l'égalité dans $m_p(b, c) = m_p(a, d)$. La commutativité de l'addition dans $(b^p + c^p)$, de la multiplication dans $b \times c$ et dans $\min(b, c)$ ou $\max(b, c)$ donne la permutation des moyens. Les huit formes équivalentes de l'analogie sont donc bien là pour l'analogie par moyenne généralisée.

# 6 Réductions des analogies par moyennes généralisées

Nous allons maintenant montrer que la définition donnée en 5.1 non seulement unifie les notions classiques d'analogie arithmétique et géométrique, mais encore entraîne des équivalences entre une infinité d'analogies en puissance $p$. Autrement dit, il existe une forme canonique à laquelle on peut réduire toute analogie en puissance $p$ (sauf pour $p = -\infty$ et $p = +\infty$). On peut faire le choix, par exemple, de réduire à l'analogie arithmétique.

## 6.1 Prise des inverses des termes

On remarque facilement que, pour une analogie en puissance $p$ donnée, l'analogie en la puissance opposée est valable sur les inverses des termes.

$$ a : b ::^p c : d \Leftrightarrow \frac{1}{a} : \frac{1}{b} ::^{-p} \frac{1}{c} : \frac{1}{d} $$

## 6.2 Cas général de la multiplication par un nombre positif

Il est facile d'observer que, pour quatre nombre réels positifs quelconques, l'analogie en $p$ entre ces nombres peut être

transformée en une autre analogie de même puissance $p$, entre ces mêmes nombres multipliés par un nombre positif quelconque. C'est-à-dire :

$$ \forall \lambda \in \mathbb{R}^{+} \setminus \{0\}, \quad a : b ::^p c : d \Leftrightarrow \lambda a : \lambda b ::^p \lambda c : \lambda d. $$

Il est en effet facile de montrer que, d'abord dans le cas où $p$ est différent de 0 :

$$ a : b ::^p c : d $$

$$ 
\begin{align*}
\Leftrightarrow \sqrt[p]{\frac{1}{2}(a^p + d^p)} &= \sqrt[p]{\frac{1}{2}(b^p + c^p)} \\
\Leftrightarrow \lambda \times \sqrt[p]{\frac{1}{2}(a^p + d^p)} &= \lambda \times \sqrt[p]{\frac{1}{2}(b^p + c^p)} \\
\Leftrightarrow \sqrt[p]{\frac{1}{2}((\lambda a)^p + (\lambda d)^p)} &= \sqrt[p]{\frac{1}{2}((\lambda b)^p + (\lambda c)^p)} \\
\Leftrightarrow \lambda a : \lambda b ::^p \lambda c : \lambda d.
\end{align*}
$$

Dans le cas où $p$ est égal à 0, il est aussi facile de montrer que :

$$ 
\begin{align*}
a : b ::^0 c : d \Leftrightarrow \sqrt{ad} &= \sqrt{bc} \\
\Leftrightarrow \lambda \times \sqrt{ad} &= \lambda \times \sqrt{bc} \\
\Leftrightarrow \sqrt{\lambda^2 ad} &= \sqrt{\lambda^2 bc} \\
\Leftrightarrow \sqrt{(\lambda a)(\lambda d)} &= \sqrt{(\lambda b)(\lambda c)} \\
\Leftrightarrow \lambda a : \lambda b ::^0 \lambda c : \lambda d.
\end{align*}
$$

Dans le cas où $p$ tend vers $-\infty$, on a :

$$ 
\begin{align*}
a : b ::^{-\infty} c : d \Leftrightarrow \min(a, d) &= \min(b, c) \\
\Leftrightarrow \min(\lambda a, \lambda d) &= \min(\lambda b, \lambda c) \\
\Leftrightarrow \lambda a : \lambda b ::^{-\infty} \lambda c : \lambda d.
\end{align*}
$$

Et de même pour $p$ tendant vers $+\infty$, en remplaçant min par max.

## 6.3 Cas particulier de la division par $d$

Puisque $a, b, c$ et $d$ sont des réels positifs, à condition qu'ils ne soient pas nuls, leurs inverses aussi. On déduit donc de la propriété précédente que l'on peut multiplier par l'inverse de l'un des termes s'il est non nul. Ce terme divisé par lui-même devient 1. Conséquemment, toute analogie en puissance $p$ peut se réduire, en divisant tous les termes par l'un d'entre eux, à une analogie de même puissance où l'un des termes est 1.

Par utilisation des huit formes équivalentes de l'analogie (voir 5.3), il est toujours possible de placer le plus grand terme en dernière position en tant que $d$. Dans ce cas, en divisant par $d$, on obtient une analogie de même puissance où le dernier terme est 1, et où tous les autres termes sont inférieurs à 1. Tous les termes sont donc dans $[0; 1]$. On a donc l'équivalence suivante, dans le cas où $d$ est supérieur ou égal aux autres termes :

$$ a : b ::^p c : d \Leftrightarrow \frac{a}{d} : \frac{b}{d} ::^p \frac{c}{d} : 1. $$

<footnote n="7">7. Nous ne nous servirons pas de ce résultat dans la suite de cet article, mais rappelons que les huit formes équivalentes de l'analogie établissent une correspondance avec le groupe des transformations des coins du carré, c'est-à-dire le groupe diédral, noté $D_8$.</footnote>
## 6.4 Réduction à l'analogie arithmétique

Toute analogie en puissance *p*, avec *p* différent de $-\infty$ ou $+\infty$, peut être transposée en analogie arithmétique, c'est-à-dire en puissance 1. La dernière colonne du Tableau 1 suggesturait déjà ce résultat en exprimant les moyennes géométrique et harmonique au moyen de la moyenne arithmétique par prise du logarithme ou de l'inverse.

Dans le cas général où $p \neq 0$, en prenant la puissance $p$ des termes d'une analogie, on obtient le résultat voulu. L'équivalence suivante énonce ce fait :

$$a : b ::^p c : d \Leftrightarrow a^p : b^p ::^1 c^p : d^p. \quad (4)$$

Cela est prouvé facilement comme suit :

$$ 
\begin{aligned}
a : b ::^p c : d &\Leftrightarrow \frac{1}{2}(a^p + d^p) = \frac{1}{2}(b^p + c^p) \\
&\Leftrightarrow a^p : b^p ::^1 c^p : d^p.
\end{aligned}
$$

Une autre manière de faire est d'écrire simplement les équivalences suivantes, en ayant en tête que l'analogie en puissance 1 est l'analogie arithmétique dans laquelle le rapport est la soustraction et la conformité l'égalité :

$$ 
\begin{aligned}
a : b ::^p c : d &\Leftrightarrow a^p - b^p = c^p - d^p \\
&\Leftrightarrow a^p : b^p ::^1 c^p : d^p.
\end{aligned}
$$

Dans le cas où $p = 0$, la transformation à appliquer pour passer de l'analogie géométrique à l'analogie arithmétique est la prise du logarithme, c'est-à-dire :

$$ 
\begin{aligned}
a : b ::^0 c : d &\Leftrightarrow \sqrt{a \times d} = \sqrt{b \times c} \\
&\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\ln a + \ln d) = \frac{1}{2}(\ln b + \ln c) \\
&\Leftrightarrow \ln a : \ln b ::^1 \ln c : \ln p.
\end{aligned}
$$

La propriété n'est pas valable dans les cas de $-\infty$ et $+\infty$. Il n'y a pas de transformation permettant de passer à une analogie arithmétique à partir de la simple égalité des min ou des max des extrêmes et des moyens.

## 6.5 Réduction à une forme canonique

En combinant les deux réductions précédentes, pour un quadruplet $(a, b, c, d)$ de nombres positifs non-nuls rangés par ordre croissant, s'il existe une analogie de puissance $p \neq 0$ entre ces nombres, alors on peut réduire cette analogie à la forme canonique suivante :

$$a : b ::^p c : d \Leftrightarrow \left(\frac{a}{d}\right)^p : \left(\frac{b}{d}\right)^p ::^1 \left(\frac{c}{d}\right)^p : 1$$

dans laquelle les termes sont rangés comme suit si $p$ est positif :

$$\left(\frac{a}{d}\right)^p \leq \left(\frac{b}{d}\right)^p \leq \left(\frac{c}{d}\right)^p \leq 1,$$

mais comme suit si $p$ est négatif :

$$\left(\frac{a}{d}\right)^p \geq \left(\frac{b}{d}\right)^p \geq \left(\frac{c}{d}\right)^p \geq 1.$$

# 7 Existence et unicité de $p$ pour un quadruplet quelconque

Nous nous interrogeons à présent sur l'existence d'analogies en $p$ pour un quadruplet donné $(a, b, c, d)$ de nombres réels. Nous supposons ces nombres positifs et non nuls c'est-à-dire dans $\mathbb{R}^+ \setminus \{0\}$. En plus, et cela est important, nous les supposons rangés dans l'ordre $a < b < c < d$, avec inégalité stricte. Nous allons montrer qu'il existe alors un unique $p$ pour lequel il existe une analogie entre $a, b, c$ et $d$, c'est-à-dire,

$$a < b < c < d \Rightarrow \exists! p \in \mathbb{R} : m_p(a, d) = m_p(b, c)$$

autrement dit,

$$\exists! p \in \mathbb{R} : \lim_{r \to p} \sqrt[\underline{r}]{\frac{1}{2}(a^r + d^r)} = \lim_{r \to p} \sqrt[\underline{r}]{\frac{1}{2}(b^r + c^r)}. \quad (5)$$

Comme, étant donnés quatre nombre réels différents deux à deux, on peut toujours les ordonner, la proposition précédente s'interprète de la façon suivante :

Quels que soient quatre nombres réels positifs non nuls, différents deux à deux, on peut toujours voir une analogie entre eux et cette analogie est unique.

On peut paraphraser :

Il y a toujours un angle, et il est unique, sous lequel on peut voir une analogie entre quatre nombres quelconques (positifs, non nuls, différents deux à deux) à condition de les ordonner par ordre croissant.

## 7.1 Existence de $p$

Pour prouver les propositions énoncées ci-dessus, on considère la fonction en $p$ suivante :

$$\delta(p) = \lim_{r \to p} \sqrt[\underline{r}]{\frac{1}{2}(a^r + d^r)} - \lim_{r \to p} \sqrt[\underline{r}]{\frac{1}{2}(b^r + c^r)}.$$

Cette fonction est simplement la différence entre la partie gauche et la partie droite de l'équation (5).

On établit d'abord que $\delta$ est continue. La fonction $\delta$ étant la différence de deux fonctions $m_p(a, d)$ et $m_p(b, c)$ toutes deux continues sur $\mathbb{R}$, est continue sur $\mathbb{R}$. En 0, la limite est $\sqrt{ad} - \sqrt{bc}$.

Examinons maintenant les valeurs extrêmes de $\delta$. Considérons le cas où $p$ tend vers $-\infty$. Rappelons que l'on a
## 6.4 Réduction à l'analogie arithmétique

Toute analogie en puissance $p$, avec $p$ différent de $-\infty$ ou $+\infty$, peut être transposée en analogie arithmétique, c'est-à-dire en puissance 1. La dernière colonne du Tableau 1 suggest déjà ce résultat en exprimant les moyennes géométrique et harmonique au moyen de la moyenne arithmétique par prise du logarithme ou de l'inverse.

Dans le cas général où $p \neq 0$, en prenant la puissance $p$ des termes d'une analogie, on obtient le résultat voulu. L'équivalence suivante énonce ce fait :

$$a : b ::^p c : d \Leftrightarrow a^p : b^p ::^1 c^p : d^p. \quad (4)$$

Cela est prouvé facilement comme suit :

$$ 
\begin{aligned}
a : b ::^p c : d &\Leftrightarrow \frac{1}{2}(a^p + d^p) = \frac{1}{2}(b^p + c^p) \\
&\Leftrightarrow a^p : b^p ::^1 c^p : d^p.
\end{aligned}
$$

Une autre manière de faire est d'écrire simplement les équivalences suivantes, en ayant en tête que l'analogie en puissance 1 est l'analogie arithmétique dans laquelle le rapport est la soustraction et la conformité l'égalité :

$$ 
\begin{aligned}
a : b ::^p c : d &\Leftrightarrow a^p - b^p = c^p - d^p \\
&\Leftrightarrow a^p : b^p ::^1 c^p : d^p.
\end{aligned}
$$

Dans le cas où $p = 0$, la transformation à appliquer pour passer de l'analogie géométrique à l'analogie arithmétique est la prise du logarithme, c'est-à-dire :

$$ 
\begin{aligned}
a : b ::^0 c : d &\Leftrightarrow \sqrt{a \times d} = \sqrt{b \times c} \\
&\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\ln a + \ln d) = \frac{1}{2}(\ln b + \ln c) \\
&\Leftrightarrow \ln a : \ln b ::^1 \ln c : \ln p.
\end{aligned}
$$

La propriété n'est pas valable dans les cas de $-\infty$ et $+\infty$. Il n'y a pas de transformation permettant de passer à une analogie arithmétique à partir de la simple égalité des min ou des max des extrêmes et des moyens.

## 6.5 Réduction à une forme canonique

En combinant les deux réductions précédentes, pour un quadruplet $(a, b, c, d)$ de nombres positifs non-nuls rangés par ordre croissant, s'il existe une analogie de puissance $p \neq 0$ entre ces nombres, alors on peut réduire cette analogie à la forme canonique suivante :

$$a : b ::^p c : d \Leftrightarrow \left(\frac{a}{d}\right)^p : \left(\frac{b}{d}\right)^p ::^1 \left(\frac{c}{d}\right)^p : 1$$

dans laquelle les termes sont rangés comme suit si $p$ est positif :

$$\left(\frac{a}{d}\right)^p \leq \left(\frac{b}{d}\right)^p \leq \left(\frac{c}{d}\right)^p \leq 1,$$

mais comme suit si $p$ est négatif :

$$\left(\frac{a}{d}\right)^p \geq \left(\frac{b}{d}\right)^p \geq \left(\frac{c}{d}\right)^p \geq 1.$$

## 7 Existence et unicité de $p$ pour un quadruplet quelconque

Nous nous interrogeons à présent sur l'existence d'analogies en $p$ pour un quadruplet donné $(a, b, c, d)$ de nombres réels. Nous supposons ces nombres positifs et non nuls c'est-à-dire dans $\mathbb{R}^+ \setminus \{0\}$. En plus, et cela est important, nous les supposons rangés dans l'ordre $a < b < c < d$, avec inégalité stricte. Nous allons montrer qu'il existe alors un unique $p$ pour lequel il existe une analogie entre $a, b, c$ et $d$, c'est-à-dire,

$$a < b < c < d \Rightarrow \exists! p \in \mathbb{R} : m_p(a, d) = m_p(b, c)$$

autrement dit,

$$\exists! p \in \mathbb{R} : \lim_{r \to p} \sqrt[r]{\frac{1}{2}(a^r + d^r)} = \lim_{r \to p} \sqrt[r]{\frac{1}{2}(b^r + c^r)}. \quad (5)$$

Comme, étant donnés quatre nombre réels différents deux à deux, on peut toujours les ordonner, la proposition précédente s'interprète de la façon suivante :

Quels que soient quatre nombres réels positifs non nuls, différents deux à deux, on peut toujours voir une analogie entre eux et cette analogie est unique.

On peut paraphraser :

Il y a toujours un angle, et il est unique, sous lequel on peut voir une analogie entre quatre nombres quelconques (positifs, non nuls, différents deux à deux) à condition de les ordonner par ordre croissant.

### 7.1 Existence de $p$

Pour prouver les propositions énoncées ci-dessus, on considère la fonction en $p$ suivante :

$$\delta(p) = \lim_{r \to p} \sqrt[r]{\frac{1}{2}(a^r + d^r)} - \lim_{r \to p} \sqrt[r]{\frac{1}{2}(b^r + c^r)}.$$

Cette fonction est simplement la différence entre la partie gauche et la partie droite de l'équation (5).

On établit d'abord que $\delta$ est continue. La fonction $\delta$ étant la différence de deux fonctions $m_p(a, d)$ et $m_p(b, c)$ toutes deux continues sur $\mathbb{R}$, est continue sur $\mathbb{R}$. En 0, la limite est $\sqrt{ad} - \sqrt{bc}$.

Examinons maintenant les valeurs extrêmes de $\delta$. Considérons le cas où $p$ tend vers $-\infty$. Rappelons que l'on a
supposé *a*, *b*, *c* et *d* ordonnés strictement de façon crois-
sante. La fonction $\delta$ tend donc vers la valeur $\min(a, d) -
\min(b, c) = a - b$. Maintenant, *a* étant inférieur à *b*, la
valeur limite en $-\infty$ est négative :

$$
\lim_{p \to -\infty} \delta(p) = a - b < 0.
$$

Pour le cas où *p* tend vers +∞, on a le même raisonnement
en remplaçant min par max : max(*a*, *d*) − max(*b*, *c*) = *d* − *c*.
La valeur obtenue, *d* − *c* est positive parce que *c* < *d* :

$$
\lim_{p \to +\infty} \delta(p) = d - c > 0.
$$

Le fait que $\delta$ soit continue et comprise entre deux valeurs l'une négative à gauche, l'autre positive à droite, implique par le théorème des valeurs intermédiaires de Cauchy que $\delta$ s'annule, autrement dit qu'il existe au moins une valeur de $p$ définissant une analogie entre les quatre termes $a, b, c$ et $d$.

7.2 Unicité de p

On montre d'abord que s'il y a deux analogies, alors il
y en a en réalité trois. Soient donc *p* et *q* les abscisses
de deux points d'intersection des courbes des moyennes
généralisées de *a*, *d* et de *b*, *c*. Comme *a* et *d* encadrent *b* et
*c*, la courbe pour *b*, *c* passe en *p* sous celle de *a*, *d* en venant
de $-\infty$ et au dessus en *q* en venant de $+\infty$. Elle est donc à
la fois en dessous et au dessus entre les deux valeurs *p* et
*q*. Il existe donc une valeur *r* entre *p* et *q* correspondant à
un troisième point d'intersection. Soit *r* est négatif et l'on a
deux valeurs négatives *p* et *r* ; soit *r* est positif et l'on a deux
valeurs positives *r* et *q*. Ci-dessous on montre que chacun
de ces deux cas mène à une contradiction.

Supposons qu'il existe deux valeurs $0 < r < q$ telles que
l'on ait l'analogie. On se restreint au cas $0 < a < b < c < 1$
en divisant par $d$ grâce au résultat vu en 6.3.

$$
a : b ::^r c : 1 \Leftrightarrow b^r + c^r - 1 = a^r
$$

$$
\begin{align*}
a : b ::^q c : 1 &\Leftrightarrow b^q + c^q - 1 = a^q \\
&\Leftrightarrow b^q + c^q - 1 = a^r \times a^{q-r} \\
&\Leftrightarrow b^q + c^q - 1 = (b^r + c^r - 1) \times a^{q-r} \\
&\Leftrightarrow \underbrace{\frac{1 - (b^q + c^q)}{1 - (b^r + c^r)}}_{> 1} = \underbrace{a^{q-r}}_{< 1}
\end{align*}
$$

La dernière ligne se justifie de la manière suivante. D'une
part $b^q + c^q < b^r + c^r$ car $0 < b < c < 1$ et $0 < r < q$, d'où
le rapport supérieur à 1. D'autre part $a^{q-r} < 1$ car $a < 1$ et
$q - r > 0$. Cette ligne énonce une contradiction : il ne peut
donc exister deux analogies pour le même quadruplet.

Pour deux valeurs négatives $p < r < 0$, la même démon-
stration vaut en utilisant l'analogie équivalente vue en 6.1
$1/a : 1/b ::^{-p} 1/c : 1/d$.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – En plein, valeurs des moyennes généralisées de *a* et *d* pour *a* = 2 et *d* = 5, avec *p* en abscisse. En pointillé, même chose avec deux nombres *b* = 3,5 et *c* = 4,5. La valeur de *p* telle que l'on ait l'analogie *a* : *b* ::$^p$ *c* : *d* est donnée par l'intersection des courbes pleine et pointillée. En l'occurrence *p* ≈ 3,06.</figcaption></figure>

Pour être complet, comme cas particulier, se demander si
$p = 0$ revient seulement à vérifier l'unicité du cas $bc = ad$.

La figure 2 visualise l'unicité de *p* pour des valeurs par-
ticulières de *a*, *b*, *c* et *d*.

7.3 Calcul de p en pratique

En pratique, le calcul de *p* pour un quadruplet de nombres
positifs peut s'implémenter par recherche dichotomique et
*p* peut être calculé avec une précision fixée à l'avance qui
servira de critère d'arrêt. On lancera bien sûr cette recherche
dichotomique après s'être assuré que le quadruplet ne cor-
respond pas à un cas particulier de *p* nul ou infini.

8 Remarques

8.1 Résolution d'analogie

Soient *a*, *b* et *c* des nombres réels positifs non-nuls rangés
par ordre croissant et *p* un nombre réel quelconque, il est
trivial qu'il existe une solution unique à l'équation suivante
dans le cas où *p* ≠ 0 :

$$
a^p + x^p = b^p + c^p,
$$

ou à l'équation suivante correspondant au cas où $p = 0$ :

$$
\sqrt{a \times x} = \sqrt{b \times c}.
$$

Autrement dit, il existe une solution unique à l'équation
analogique

$a : b ::^p c : x.$
supposé *a*, *b*, *c* et *d* ordonnés strictement de façon crois-
sante. La fonction $\delta$ tend donc vers la valeur $\min(a, d) -
\min(b, c) = a - b$. Maintenant, *a* étant inférieur à *b*, la
valeur limite en $-\infty$ est négative :

$$
\lim_{p \to -\infty} \delta(p) = a - b < 0.
$$

Pour le cas où *p* tend vers +∞, on a le même raisonnement
en remplaçant min par max : max(*a*, *d*) − max(*b*, *c*) = *d* − *c*.
La valeur obtenue, *d* − *c* est positive parce que *c* < *d* :

$$
\lim_{p \to +\infty} \delta(p) = d - c > 0.
$$

Le fait que $\delta$ soit continue et comprise entre deux valeurs l'une négative à gauche, l'autre positive à droite, implique par le théorème des valeurs intermédiaires de Cauchy que $\delta$ s'annule, autrement dit qu'il existe au moins une valeur de $p$ définissant une analogie entre les quatre termes $a, b, c$ et $d$.

7.2 Unicité de p

On montre d'abord que s'il y a deux analogies, alors il
y en a en réalité trois. Soient donc *p* et *q* les abscisses
de deux points d'intersection des courbes des moyennes
généralisées de *a*, *d* et de *b*, *c*. Comme *a* et *d* encadrent *b* et
*c*, la courbe pour *b*, *c* passe en *p* sous celle de *a*, *d* en venant
de $-\infty$ et au dessus en *q* en venant de $+\infty$. Elle est donc à
la fois en dessous et au dessus entre les deux valeurs *p* et
*q*. Il existe donc une valeur *r* entre *p* et *q* correspondant à
un troisième point d'intersection. Soit *r* est négatif et l'on a
deux valeurs négatives *p* et *r* ; soit *r* est positif et l'on a deux
valeurs positives *r* et *q*. Ci-dessous on montre que chacun
de ces deux cas mène à une contradiction.

Supposons qu'il existe deux valeurs $0 < r < q$ telles que
l'on ait l'analogie. On se restreint au cas $0 < a < b < c < 1$
en divisant par $d$ grâce au résultat vu en 6.3.

$$
a : b ::^r c : 1 \Leftrightarrow b^r + c^r - 1 = a^r
$$

$$
\begin{align*}
a : b ::^q c : 1 &\Leftrightarrow b^q + c^q - 1 = a^q \\
&\Leftrightarrow b^q + c^q - 1 = a^r \times a^{q-r} \\
&\Leftrightarrow b^q + c^q - 1 = (b^r + c^r - 1) \times a^{q-r} \\
&\Leftrightarrow \underbrace{\frac{1 - (b^q + c^q)}{1 - (b^r + c^r)}}_{> 1} = \underbrace{a^{q-r}}_{< 1}
\end{align*}
$$

La dernière ligne se justifie de la manière suivante. D'une
part $b^q + c^q < b^r + c^r$ car $0 < b < c < 1$ et $0 < r < q$, d'où
le rapport supérieur à 1. D'autre part $a^{q-r} < 1$ car $a < 1$ et
$q - r > 0$. Cette ligne énonce une contradiction : il ne peut
donc exister deux analogies pour le même quadruplet.

Pour deux valeurs négatives $p < r < 0$, la même démon-
stration vaut en utilisant l'analogie équivalente vue en 6.1
$1/a : 1/b ::^{-p} 1/c : 1/d$.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – En plein, valeurs des moyennes généralisées de *a* et *d* pour *a* = 2 et *d* = 5, avec *p* en abscisse. En pointillé, même chose avec deux nombres *b* = 3,5 et *c* = 4,5. La valeur de *p* telle que l'on ait l'analogie *a* : *b* ::$^p$ *c* : *d* est donnée par l'intersection des courbes pleine et pointillée. En l'occurrence *p* ≈ 3,06.</figcaption></figure>

Pour être complet, comme cas particulier, se demander si
$p = 0$ revient seulement à vérifier l'unicité du cas $bc = ad$.

La figure 2 visualise l'unicité de *p* pour des valeurs par-
ticulières de *a*, *b*, *c* et *d*.

7.3 Calcul de p en pratique

En pratique, le calcul de *p* pour un quadruplet de nombres
positifs peut s'implémenter par recherche dichotomique et
*p* peut être calculé avec une précision fixée à l'avance qui
servira de critère d'arrêt. On lancera bien sûr cette recherche
dichotomique après s'être assuré que le quadruplet ne cor-
respond pas à un cas particulier de *p* nul ou infini.

8 Remarques

8.1 Résolution d'analogie

Soient *a*, *b* et *c* des nombres réels positifs non-nuls rangés
par ordre croissant et *p* un nombre réel quelconque, il est
trivial qu'il existe une solution unique à l'équation suivante
dans le cas où *p* ≠ 0 :

$$
a^p + x^p = b^p + c^p,
$$

ou à l'équation suivante correspondant au cas où $p = 0$ :

$$
\sqrt{a \times x} = \sqrt{b \times c}.
$$

Autrement dit, il existe une solution unique à l'équation
analogique

$a : b ::^p c : x.$
Dans le cas $p = -\infty$ ou $+\infty$, il faut détailler les cas. Dans certains cas, la solution est unique car devant être égale au min ou au max, dans d'autres cas tout nombre supérieur au min ou inférieur au max faisant l'affaire, la solution ne sera pas unique.

Il est clair que la même chose peut être dite pour les cas où l'inconnue n'est pas $d$ mais $a$ ou $b$ ou $c$.

## 8.2 Condition à l'existence de $p$

D'après les huit formes équivalentes de l'analogie, les deux extrêmes sont interchangeables. De même pour les deux moyens. En plus, les moyens et les extrêmes jouent aussi le même rôle par inversion des rapports.

La démonstration de l'existence de $p$ pour le cas où les quatre nombres donnés (différents deux à deux, soulignons) sont ordonnés repose sur la possibilité que les courbes des moyennes généralisées des extrêmes et des moyens s'intersectent. Autrement dit, $p$ existe si et seulement si les extrêmes encadrent les moyens, ou inversement les moyens encadrent les extrêmes.

## 8.3 Réordonnancement de quatre termes quelconques

Dans les développements donnés dans la sous-section 7.2, nous avons supposé les quatre nombres rangés par ordre croissant. (En fait, comme vu juste au-dessus, nous pouvons nous contenter que les extrêmes encadrent les moyens ou bien l'inverse.) Tout quadruplet n'étant pas forcément ordonné, il faut s'interroger sur les différentes possibilités. Un raisonnement de combinatoire élémentaire (24 possibilités), combiné aux huit formes équivalentes de l'analogie (24 / 8 = 3), montre qu'il n'y a en fait que trois réordonnancements pertinents du point de vue de l'analogie (voir, par exemple [20, p. 119]) :

$a : b :: c : d$ ou $a : c :: d : b$ ou $a : d :: b : c$.

Ce qui a été dit dans la section 7, à savoir que l'on peut toujours voir une analogie entre quatre nombres, est donc vrai pour un quadruplet quelconque non nécessairement ordonné, à condition de précise quel réordonnancement y est appliqué.

Notons que le cas $a = b = c = d$ est très particulier, car il n'oblige à aucun réordonnancement. Dans ce cas, les 24 différentes écritures sont toutes possibles et équivalentes. Nous poursuivons le traitement de tels cas ci-dessous.

## 8.4 Cas d'égalité

Avec la remarque ci-dessus, nous venons de rencontrer un cas d'égalité. Nous les étudions maintenant.

**Cas d'égalité $b = c$ seulement.** Supposons les termes de l'analogie rangés dans l'ordre $a, b, c, d$. Il est possible

que $b$ soit égal à $c$. C'est l'analogie continue. Dans ce cas, il est clair que, si $a \neq d$ (et $a$ et $d$ tous deux différents de $b$), $p$ est unique et est donné par l'intersection de la droite horizontale $y = b = c$ avec la courbe des moyennes généralisées de $a$ et $d$, puisque c'est une fonction continue et strictement croissante.

**Cas d'égalité $a = b$ et $c = d$.** Dans ce cas, les deux courbes de moyennes généralisées pour $a$ et $d$ et pour $b$ et $c$ se superposent. La puissance pour l'analogie n'est pas unique puisque tout $p$ de $\mathbb{R}$ permet d'écrire l'égalité de la moyenne quelle qu'elle soit. Les valeurs $-\infty$ et $+\infty$ sont, elles aussi, possibles. Il n'y a donc pas unicité de $p$ dans ce cas.

**Cas d'égalité $a = d$.** Les termes $a$ et $d$ étant les extrêmes, c'est-à-dire les max et les min des termes de l'analogie on a alors nécessairement $a = b = c = d$. Dans ce cas, l'analogie en $p$ est vraie pour tout $p$ dans $]-\infty; +\infty[$ et même pour $p = -\infty$ ou $+\infty$. Il n'y a donc pas unicité de $p$ dans ce cas.

Dans la section 6, nous avions divisé par $d$, ce qui suppose qu'il soit différent de 0. Si $d$ tend vers 0 et qu'il est le maximum des quatre nombres positifs $a, b, c$ et $d$, on aura forcément à la limite $a = b = c = d = 0$. Comme vu ci-dessus, l'analogie sera alors vraie pour toute valeur de $p$, et même pour $p = 0$ en définissant de manière adéquate, par limite, la valeur que l'on attribue à $0^0$. Par souci de continuité, on posera à la limite que $0^0 = 0$.

## 8.5 Cas particulier des booléens

L'analogie entre booléens a été présentée et étudiée dans plusieurs travaux, comme par exemple [28, 10]. Nous établissons ici le lien avec l'analogie en puissance $p$.

Pour établir le lien entre booléens et nombres réels, nous notons évidemment les valeurs faux et vrai par 0 et 1. Il y a fondamentalement trois analogies possibles entre booléens :

$0 : 0 :: 0 : 0$ ou $0 : 0 :: 1 : 1$ ou $1 : 1 :: 1 : 1$

La deuxième analogie peut en particulier être réécrite de façon équivalente en $0 : 1 :: 0 : 1$, ou en $1 : 1 :: 0 : 0$, ou encore en $1 : 0 :: 1 : 0$ grâce aux formes équivalentes.

Les trois analogies fondamentales ci-dessus correspondent au cas $a = b = c = d$ pour la première et la troisième et au cas $a = b$ et $c = d$ pour la deuxième. Il est donc intéressant de noter que dans tous ces cas, de par ce qui a été vu plus haut pour les cas d'égalité, il n'y a pas unicité de $p$, et toutes les valeurs, y compris les valeurs infinies sont valables.

Mais il est aussi possible d'envisager l'analogie

$0 : 1 :: 1 : 0$

qui est équivalente à $1 : 0 :: 0 : 1$ par inversion des rapports (cf. [19] pour une occurrence en pratique de ce cas).
Dans le cas $p = -\infty$ ou $+\infty$, il faut détailler les cas. Dans certains cas, la solution est unique car devant être égale au min ou au max, dans d'autres cas tout nombre supérieur au min ou inférieur au max faisant l'affaire, la solution ne sera pas unique.

Il est clair que la même chose peut être dite pour les cas où l'inconnue n'est pas $d$ mais $a$ ou $b$ ou $c$.

## 8.2 Condition à l'existence de $p$

D'après les huit formes équivalentes de l'analogie, les deux extrêmes sont interchangeables. De même pour les deux moyens. En plus, les moyens et les extrêmes jouent aussi le même rôle par inversion des rapports.

La démonstration de l'existence de $p$ pour le cas où les quatre nombres donnés (différents deux à deux, soulignons) sont ordonnés repose sur la possibilité que les courbes des moyennes généralisées des extrêmes et des moyens s'intersectent. Autrement dit, $p$ existe si et seulement si les extrêmes encadrent les moyens, ou inversement les moyens encadrent les extrêmes.

## 8.3 Réordonnancement de quatre termes quelconques

Dans les développements donnés dans la sous-section 7.2, nous avons supposé les quatre nombres rangés par ordre croissant. (En fait, comme vu juste au-dessus, nous pouvons nous contenter que les extrêmes encadrent les moyens ou bien l'inverse.) Tout quadruplet n'étant pas forcément ordonné, il faut s'interroger sur les différentes possibilités. Un raisonnement de combinatoire élémentaire (24 possibilités), combiné aux huit formes équivalentes de l'analogie (24 / 8 = 3), montre qu'il n'y a en fait que trois réordonnancements pertinents du point de vue de l'analogie (voir, par exemple [20, p. 119]) :

$a : b :: c : d$ ou $a : c :: d : b$ ou $a : d :: b : c$.

Ce qui a été dit dans la section 7, à savoir que l'on peut toujours voir une analogie entre quatre nombres, est donc vrai pour un quadruplet quelconque non nécessairement ordonné, à condition de précise quel réordonnancement y est appliqué.

Notons que le cas $a = b = c = d$ est très particulier, car il n'oblige à aucun réordonnancement. Dans ce cas, les 24 différentes écritures sont toutes possibles et équivalentes. Nous poursuivons le traitement de tels cas ci-dessous.

## 8.4 Cas d'égalité

Avec la remarque ci-dessus, nous venons de rencontrer un cas d'égalité. Nous les étudions maintenant.

**Cas d'égalité $b = c$ seulement.** Supposons les termes de l'analogie rangés dans l'ordre $a, b, c, d$. Il est possible

que $b$ soit égal à $c$. C'est l'analogie continue. Dans ce cas, il est clair que, si $a \neq d$ (et $a$ et $d$ tous deux différents de $b$), $p$ est unique et est donné par l'intersection de la droite horizontale $y = b = c$ avec la courbe des moyennes généralisées de $a$ et $d$, puisque c'est une fonction continue et strictement croissante.

**Cas d'égalité $a = b$ et $c = d$.** Dans ce cas, les deux courbes de moyennes généralisées pour $a$ et $d$ et pour $b$ et $c$ se superposent. La puissance pour l'analogie n'est pas unique puisque tout $p$ de $\mathbb{R}$ permet d'écrire l'égalité de la moyenne quelle qu'elle soit. Les valeurs $-\infty$ et $+\infty$ sont, elles aussi, possibles. Il n'y a donc pas unicité de $p$ dans ce cas.

**Cas d'égalité $a = d$.** Les termes $a$ et $d$ étant les extrêmes, c'est-à-dire les max et les min des termes de l'analogie on a alors nécessairement $a = b = c = d$. Dans ce cas, l'analogie en $p$ est vraie pour tout $p$ dans $]-\infty; +\infty[$ et même pour $p = -\infty$ ou $+\infty$. Il n'y a donc pas unicité de $p$ dans ce cas.

Dans la section 6, nous avions divisé par $d$, ce qui suppose qu'il soit différent de 0. Si $d$ tend vers 0 et qu'il est le maximum des quatre nombres positifs $a, b, c$ et $d$, on aura forcément à la limite $a = b = c = d = 0$. Comme vu ci-dessus, l'analogie sera alors vraie pour toute valeur de $p$, et même pour $p = 0$ en définissant de manière adéquate, par limite, la valeur que l'on attribue à $0^0$. Par souci de continuité, on posera à la limite que $0^0 = 0$.

## 8.5 Cas particulier des booléens

L'analogie entre booléens a été présentée et étudiée dans plusieurs travaux, comme par exemple [28, 10]. Nous établissons ici le lien avec l'analogie en puissance $p$.

Pour établir le lien entre booléens et nombres réels, nous notons évidemment les valeurs faux et vrai par 0 et 1. Il y a fondamentalement trois analogies possibles entre booléens :

$0 : 0 :: 0 : 0$ ou $0 : 0 :: 1 : 1$ ou $1 : 1 :: 1 : 1$

La deuxième analogie peut en particulier être réécrite de façon équivalente en $0 : 1 :: 0 : 1$, ou en $1 : 1 :: 0 : 0$, ou encore en $1 : 0 :: 1 : 0$ grâce aux formes équivalentes.

Les trois analogies fondamentales ci-dessus correspondent au cas $a = b = c = d$ pour la première et la troisième et au cas $a = b$ et $c = d$ pour la deuxième. Il est donc intéressant de noter que dans tous ces cas, de par ce qui a été vu plus haut pour les cas d'égalité, il n'y a pas unicité de $p$, et toutes les valeurs, y compris les valeurs infinies sont valables.

Mais il est aussi possible d'envisager l'analogie

$0 : 1 :: 1 : 0$

qui est équivalente à $1 : 0 :: 0 : 1$ par inversion des rapports (cf. [19] pour une occurrence en pratique de ce cas).
Ces deux formes équivalentes de la même analogie s'ex-
pliquent en considérant que le rapport est la négation lo-
gique. L'égalité des rapports fait alors leur validité.

Or cette analogie ne constitue pas un prolongement du
modèle qui étend les formules d'analogie entre ensembles
aux booléens [21] ou encore ne permet pas une justification
fondée sur la minimalité de complexité algorithmique [29].
Cette analogie n'entre pas non plus dans le modèle d'analo-
gie en puissance p pour la simple raison que les termes ne
sont pas rangés dans un ordre croissant quelles que soient
les formes équivalentes considérées.

9 Conclusion et perspectives

Nous avons étudié le lien entre analogie et moyennes,
ou plus exactement, moyennes généralisées, et nous nous
sommes servis de cette notion comme levier pour généra-
liser et définir les analogies en puissance p. Les analogies
classiques, arithmétique et géométrique, ne sont évidem-
ment que les cas particuliers en p = 0 et en p = 1 d'analo-
gies en puissance p.

En particulier, nous avons montré que, quels que soient
quatre nombres réels positifs, il est toujours possible de
voir une analogie entre eux, grâce à un réordonnancement
et à une puissance bien choisie unique si les nombres sont
différents deux à deux. On peut paraphraser et dire qu'il y
a généralement une unique perspective – un réordonnan-
cement et une puissance – sous laquelle on peut voir une
analogie entre quatre nombres positifs quelconques.

Pour un problème particulier à traiter, la question se po-
sera de savoir quels sens prennent le réordonnancement
nécessaire pour trier les nombres et la valeur numérique
de la puissance. Il ne semble pas *a priori* que la valeur de
la puissance exprime une force quelconque de l'analogie,
mais son interprétation devra sans doute se faire en fonction
des données du problème traité.

Nous avons aussi montré que toute analogie peut se ré-
duire (par bijection) à une forme canonique, ce qui donne
lieu à une infinité d'analogies équivalentes. En particulier,
cela montre que toutes les analogies, y compris les analogies
classiques, peuvent être traitées au moyen d'une analogie
arithmétique équivalente.

Ce travail ouvre de nouvelles pistes. Tout d'abord nous
nous sommes restreints au cas de valeurs positives, et il
est naturel de s'interroger sur l'extension à tout les réels
pour ouvrir la voie au traitement de représentations com-
prenant des valeurs négatives. On peut même envisager une
extension aux nombres complexes.

Un autre piste, déjà mentionnée ci-dessus, concerne la sé-
mantique du paramètre *p* qui, d'une certaine façon, résume
l'information implicite dans *a*, *b*, *c* et *d* à leur analogie en
*p*, soit *a* : *b* ::$^p$ *c* : *d*. On peut donc s'interroger sur
la possibilité de fusionner l'information contenue dans un
quadruplet de nombres par la seule donnée de la puissance
de leur analogie.

Remerciements

Les travaux présentés dans cet article sont le fruit d'une
collaboration rendue possible par le séjour en sabbatique
du premier auteur auprès de l'organisme du second auteur.
Les auteurs adressent leurs remerciements à la section pour
la promotion de la recherche de l'université Waseda et à la
chaire internationale du LORIA pour leurs financements.

Les travaux présentés dans cet article ont aussi bénéficié
d’une subvention de recherche de la Société japonaise pour
la promotion de la science, de type Kiban C, n° 21K12038,
intitulée « Algorithmes théoriquement fondés pour l’extrac-
tion automatique de jeux de tests d’analogie en traitement
automatique des langues ».

Aussi, ces travaux de recherche ont été partiellement sou-
tenues par le projet ANR *Analogies : from theory to tools
and applications* (AT2TA), ANR-22-CE23-0023.

Références

[1] Alsaidi, Safa, Amandine Decker, Puthineath Lay, Esteban Marquer, Pierre Alexandre Murena et Miguel Couceiro: *On the transferability of neural models of morphological analogies*. Dans Workshop on Advances in Interpretable Machine Learning and Artificial Intelligence (AIMLAI 2021), tome 1 de PKDD/ECML Workshops, pages 76-89, Bilbao/Virtual, Spain, 2021. https://inria.hal.science/hal-03313591.

[2] Aristote: *Éthique à Nicomaque*. Librairie philoso-
phique J. Vrin, Paris, [1er tirage 1990] édition, 1997.
Trad. J. Tricot.

[3] Badra, Fadi et Marie-Jeanne Lesot: *CoAT-APC: When
analogical proportion-based classification meets
case-based reasoning*. Dans Reuss, Pascal et Jakob
Michael Schönborn (rédacteurs): Workshop Proceedings of the 30th International Conference on Case-Based Reasoning (ICCBR 2022), tome 3389 de CEUR Workshop Proceedings, pages 43-56, Nancy, France,
September 12-15 2022.

[4] Badra, Fadi, Marie Jeanne Lesot, Esteban Marquer et Miguel Couceiro: *Some perspectives on similarity learning for case-based reasoning and analogical transfer*. Dans Workshop on the Interactions between Analogical Reasoning and Machine Learning (IARML@IJCAI’2023), tome 3492, pages 16–29, Macao, China, 2023. CEUR-WS.org. https://inria.hal.science/hal-04208969.

[5] Bitton, Yonatan, Ron Yosef, Eliyahu Strugo, Dafna Shahaf, Roy Schwartz et Gabriel Stanovsky: VASR: visual analogies of situation recognition. Dans Williams, Brian, Yiling Chen et Jennifer Neville (rédacteurs): (AAAI 2023) and (IAAI 2023) and (EAAI
Ces deux formes équivalentes de la même analogie s'ex-
pliquent en considérant que le rapport est la négation lo-
gique. L'égalité des rapports fait alors leur validité.

Or cette analogie ne constitue pas un prolongement du
modèle qui étend les formules d'analogie entre ensembles
aux booléens [21] ou encore ne permet pas une justification
fondée sur la minimalité de complexité algorithmique [29].
Cette analogie n'entre pas non plus dans le modèle d'analo-
gie en puissance p pour la simple raison que les termes ne
sont pas rangés dans un ordre croissant quelles que soient
les formes équivalentes considérées.

9 Conclusion et perspectives

Nous avons étudié le lien entre analogie et moyennes,
ou plus exactement, moyennes généralisées, et nous nous
sommes servis de cette notion comme levier pour généra-
liser et définir les analogies en puissance p. Les analogies
classiques, arithmétique et géométrique, ne sont évidem-
ment que les cas particuliers en p = 0 et en p = 1 d'analo-
gies en puissance p.

En particulier, nous avons montré que, quels que soient
quatre nombres réels positifs, il est toujours possible de
voir une analogie entre eux, grâce à un réordonnancement
et à une puissance bien choisie unique si les nombres sont
différents deux à deux. On peut paraphraser et dire qu'il y
a généralement une unique perspective – un réordonnan-
cement et une puissance – sous laquelle on peut voir une
analogie entre quatre nombres positifs quelconques.

Pour un problème particulier à traiter, la question se po-
sera de savoir quels sens prennent le réordonnancement
nécessaire pour trier les nombres et la valeur numérique
de la puissance. Il ne semble pas *a priori* que la valeur de
la puissance exprime une force quelconque de l'analogie,
mais son interprétation devra sans doute se faire en fonction
des données du problème traité.

Nous avons aussi montré que toute analogie peut se ré-
duire (par bijection) à une forme canonique, ce qui donne
lieu à une infinité d'analogies équivalentes. En particulier,
cela montre que toutes les analogies, y compris les analogies
classiques, peuvent être traitées au moyen d'une analogie
arithmétique équivalente.

Ce travail ouvre de nouvelles pistes. Tout d'abord nous
nous sommes restreints au cas de valeurs positives, et il
est naturel de s'interroger sur l'extension à tout les réels
pour ouvrir la voie au traitement de représentations com-
prenant des valeurs négatives. On peut même envisager une
extension aux nombres complexes.

Un autre piste, déjà mentionnée ci-dessus, concerne la sé-
mantique du paramètre *p* qui, d'une certaine façon, résume
l'information implicite dans *a*, *b*, *c* et *d* à leur analogie en
*p*, soit *a* : *b* ::$^p$ *c* : *d*. On peut donc s'interroger sur
la possibilité de fusionner l'information contenue dans un
quadruplet de nombres par la seule donnée de la puissance
de leur analogie.

Remerciements

Les travaux présentés dans cet article sont le fruit d'une
collaboration rendue possible par le séjour en sabbatique
du premier auteur auprès de l'organisme du second auteur.
Les auteurs adressent leurs remerciements à la section pour
la promotion de la recherche de l'université Waseda et à la
chaire internationale du LORIA pour leurs financements.

Les travaux présentés dans cet article ont aussi bénéficié
d’une subvention de recherche de la Société japonaise pour
la promotion de la science, de type Kiban C, n° 21K12038,
intitulée « Algorithmes théoriquement fondés pour l’extrac-
tion automatique de jeux de tests d’analogie en traitement
automatique des langues ».

Aussi, ces travaux de recherche ont été partiellement sou-
tenues par le projet ANR *Analogies : from theory to tools
and applications* (AT2TA), ANR-22-CE23-0023.

Références

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