$$s_{pj}^2 = \frac{p_j - p_{cj}}{\delta_{pj}}^2 + \frac{(p_{sj} - p_{cj})(p_{ij} - p_{cj})}{(p_{sj} - p_j)(p_{ij} - p_j)}$$

et on considère que la fonction $s^2$ est infinie lorsque le paramètre est en dehors du domaine P défini par les bornes. Pour illustrer ces notions donnons un exemple : Les deux paramètres que nous avons à ajuster sont l'indice de réfraction n et l'indice d'absorption k ; on sait physiquement que 1 < n < 5 et 0 < k < 2 ; ce sont les bornes p_{sj} et p_{cj} du domaine M. On définit ensuite la fonction de coût globale :

$$s^2 = s_m^2 + j s_{pj}^2 \quad \text{si } (p_1, \dots, p_n) \in M$$

$$s^2 = \infty \quad \text{si } (p_1, \dots, p_n) \notin M$$

Si un ensemble des {$p_j$} est obtenu pour le minimum de $s^2$, un ajustement optimal a été réalisé pour représenter les résultats expérimentaux.

J. Nelder et R. Mead (195) ont mis en oeuvre, pour minimiser $s^2$, une méthode reposant sur l'utilisation d'un simplexe et d'une stratégie affiné. Elle permet de minimiser la fonction de coût $s^2$ à $2 \times 10^{-13}$ près en valeur relative.

Au minimum de la fonction de coût, le calcul fournit les paramètres de la fonction théorique, encore faut-il juger l'accord entre la fonction ainsi calculée et l'ensemble des points expérimentaux, il existe pour cela en statistique mathématique des méthodes permettant d'attribuer aux paramètres des intervalles de confiance pour juger de la qualité de l'accord.

Cette méthode permet, en effet, de résoudre les systèmes d'équations transcendantes surdimensionnés en donnant les estimations les plus probables $n_{2i}$ ou $k_{2i}$ des paramètres $n_2$ et $k_2$ qui rendent le mieux compte des données expérimentales. On montre que l'on peut associer à chaque estimation $n_{2i}$ ou $k_{2i}$ un intervalle de confiance $E(n_{2i})$ ou $E(k_{2i})$. Pour calculer cet intervalle
de confiance, nous sommes partis des hypothèses suivantes :

- L'erreur sur la réflectance R est égale à 1%.

- L'erreur sur l'épaisseur d est égale à 10%.

- Il n'y a pas de corrélation entre R et d.

- Les erreurs sur R et d sont gaussiennes.

On utilise pour calculer cet intervalle de confiance un test de type Student au seuil de 5%. Cette série de calculs donnant les indices de la couche ainsi que les critères statistiques a été écrite en langage FORTRAN IV.
C. Calcul théorique du rapport $P_W^{WO_3/P_W^W}$

On suppose que les films sont stoechiométriques (WO₃). En se basant sur cette hypothèse, nous allons calculer le rapport théorique des hauteur des plateaux $P_W^{WO_3/P_W^W}$.

Etant donné que, dans la molécule, on a au total quatre atomes parmi lesquels trois sont de l'oxygène et un du tungstène, on a

$$P_W^{WO_3/P_W^W} = (1/4) \epsilon_W^W / \epsilon_W^{WO_3} \quad (C.1)$$

où les pouvoirs d'arrêt $\epsilon_W^W$ et $\epsilon_W^{WO_3}$ caractérisent les pertes d'énergie des particules a dues à la présence du tungstène dans le support et dans l'oxyde respectivement. Ils sont définis comme :

$$\epsilon = K(dE/dX)_{E_0} + \frac{1}{\cos\theta} (dE/dX)_{KE_0} \quad (C.2)$$

avec :

K, le coefficient cinématique de la diffusion élastique donnée par la relation (2.2),

E, l'énergie cinématique des particules à la profondeur X,
$E_0$, l'énergie cinématique des particules a incidentes,
et $\theta$, l'angle de rétrodiffusion.

Pour les conditions de l'expérience,

$$E_0 = 2 \text{ MeV}, \quad \theta = 165^\circ, \quad M_1 = M_{4\text{He}^+} = 4, \quad M_2 = M_W = 183,85$$

$$\text{On trouve } K_W = 0,918 \text{ et } K_W E_0 = 1,836 \text{ KeV}$$

Les pouvoirs d'arrêt à 2 MeV et à 1,836 KeV calculés grâce à l'utilisation de tableaux spéciaux (99) donnent :

$$\epsilon_W^W = 205,97 \text{ eV}/(10^{15} \text{ atomes/cm}^2)$$

$$\epsilon_W^{WO_3} = 98,22 \text{ eV}/(10^{15} \text{ atomes/cm}^2)$$
Ce qui conduit à $P_W^{WO_3}/P_W^W = (1/4) \times (205,97/98,22)$

$$P_W^{WO_3}/P_W^W = 0,52$$
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