# Distribution Z-Poisson

Andrzej Goralski

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Andrzej Goralski. Distribution Z-Poisson. Annales de l'ISUP, 1977, XXII (1-2), pp.45-53. hal-04080778

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DISTRIBUTION Z-POISSON

Andrzej GORALSKI

(Conférence à l'Institut de Statistique des Universités de Paris, 27 Mai 1974)

1. PROBLEME

J'ai considéré le modèle d'épreuves consécutives, sous l'hypothèse suivante :

si j-ième événement est arrivé dans la r-ième épreuve (r=1,2, ... ) la possibilité que le même évènement arrivera dans s-ième épreuve ( s = r+1, r+2,...,n ) est :

$$
P_{j,s} = z P_{j,1} \qquad j = 1, 2, \dots, m,
$$

où 0 ≤ z est le paramètre du modèle .

Quelle est la probabilité P(n,k,p,z) que sur un nombre n
d'épreuves, pendant lesquelles la probabilité de l'apparition
d'un évenement E est : p = p_E,t ( t = 1,2,..., n ), E arrive
k fois ?

2. THEOREME

$$
P(n,k,p,z) = \begin{cases}
1 - \frac{1-e^{-\lambda z}}{z}, & k=0 \\
z^{k-1} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda z}, & k \ge 1 \\
n \to \infty \\
\lambda z < C \\
\lambda = n p_{E,1} \\
P_{E,1} = 1/m & 1
\end{cases}
$$
### 3. DEMONSTRATION

#### 3.1. Soit $k = 0$

Considérons l'événement $j = a$.

Désignons par $b$ l'événement qui est apparu dans la première épreuve.

$$ \text{On a :} \qquad P_{a,1} = \frac{1}{m}, $$

$$ P_{b,2} = \frac{z}{m}, $$

$$ P_{a,2} = \frac{m-z}{m(m-1)} \cdot $$

Dans la deuxième épreuve on a :

$$ \bullet \text{ ou } E = b \qquad \text{et } P_{a,3} = \frac{m-z}{m(m-1)}, $$

$$ \bullet \text{ ou } E = x \qquad \text{et } P_{a,3} = \frac{m-2z}{m(m-2)} \cdot \\ x \neq a \\ x \neq b $$

La valeur espérée de $P_{a,3}$ est donc :

$$ P_{a,3} = \frac{m-2z}{m(m-2)} \left( 1 - \frac{z(1-z)}{m(m-1)(m-2z)} + \dots \right) $$

Si nous considérons de la même façon la $(r-1)$-ième épreuve nous trouverons :

$$ P_{a,r} = \frac{m-(r-1)z}{m(m-r+1)} \left( 1 - \frac{z(1-z)}{m(m-r+2)(m-(r-1)z)} + \dots \right) . $$

Mais :

$$ \lim ( 1 - \dots ) = 1, $$

$$ m \to \infty $$

$$ n \to \infty $$

$$ z < C $$
donc finalement on a :

$$P_{a,r} = \frac{m - (r-1)z}{m(m-r+1)}$$

Ensuite :

$$ 
\begin{aligned}
P(n,0,p,z) &= \prod_{r=1}^{n} (1 - p_{a,r}) \\
&= \prod_{r=1}^{n} \frac{1 - \frac{rm - (r-1)z}{m m}}{1 - \frac{r-1}{m}}
\end{aligned}
$$

et :

$$ 
\lim_{n \to \infty} \ln P(n,0,p,z) = \ln\left(1 - \frac{1 - e^{-nz/m}}{z}\right) . 
$$

### 3.2. Soit $k=1$

Considérons l'événement $j = a$.

Il faut trouver :

$$P(n,1,p,z) = \sum_{r=1}^{n} P_{r}(1),$$

où $P_r(1)$ est la probabilité que l'événement a apparaît exactement dans la r-ième épreuve.

$$ \text{On a : } P_1(1) = \frac{1}{m} \left(\frac{m-z}{m}\right)^{n-1} $$

$$ P_2(1) = P_1(1), $$

$$ P_3(1) = P(1) \left(1 + \frac{z(1-z)}{m(m-2)}\right), $$

$$ P_r(1) = P_1(1) \left(1 + \frac{(r-1)(r-2)z(1-z)}{m(2m-(r+1)(r-2))}\right) + \dots $$
Mais:

$$ 
\begin{array}{l}
\lim (1 + \dots) = 1, \\
m \to \infty \\
n \to \infty \\
z < C
\end{array}
$$

donc on a :

$$ P_r(1) = \frac{1}{m} \left(\frac{m-z}{m}\right)^{n-1} $$

et :

$$ 
\begin{array}{l}
\lim P(n,1,p,z) = \frac{n}{m} e^{-nz/m} \\
n \to \infty \\
\lambda z < C
\end{array}
$$

### 3.3. Soit $k \ge 2$

Si nous avons considéré parallèlement aux considérations faites dans le cas où $k = 1$, nous pourrons déduire que :

$$ P(n,k,p,z) = \left(\frac{n}{k}\right) z^{k-1} m^{-k} \left(\frac{m-z}{m}\right)^{n-k} $$

et :

$$ 
\begin{array}{l}
\lim P(n,k,p,z) = z^{k-1} \left(\frac{n}{m}\right)^k \frac{1}{k!} e^{-nz/m} \\
n \to \infty \\
\lambda z < C
\end{array}
$$

## 4. DISTRIBUTION Z-POISSON

Nous disons qu'une variable aléatoire $X$ a la distribution

z-Poisson si :

$$ P(X=k) = \begin{cases} 1 - \frac{1 - e^{-\lambda} z}{z} & k = 0, \\ z^{k-1} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} z & k \ge 1. \end{cases} $$
Valeur espérée X :

$$E(X) = \sum_{k=0}^{\infty} k P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} z}{z} \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{(\lambda z)^k}{k!} = \lambda,$$

variance X :

$$D^2(X) = E(X^2) - E^2(X) = E(X(X-1)) - E(X) (E(X)-1) = \frac{e^{-\lambda} z}{z} \sum_{k=1}^{\infty} k(k-1) \frac{(\lambda z)^k}{k!} - \lambda(\lambda-1) = \lambda(1-\lambda(1-z)).$$

## 5. APPROXIMATION DE LA DISTRIBUTION DE POLYA PAR LA DISTRIBUTION Z-POISSON

Nous savons que la distribution de Polya pour une variable aléatoire X est :

$$P(X=k) = P(n,k,p,a) = \left( \binom{n}{k} \right) \prod_{i=0}^{k-1} (p+ia) \prod_{j=0}^{n-k-1} (1-pja) \prod_{r=0}^{n-1} (1+ra)^{-1},$$

où P(n,k,p,a) est la probabilité que sur un nombre n d'épreuves l'événement considéré E arrivera k fois; p est la probabilité que E arrivera dans la première épreuve, et a est un paramètre.

Si p est petite on peut faire une approximation de la distribution de Polya par la distribution z-Poisson, avec :

$$z = 1 + \frac{a}{1+a} \frac{1-p}{p}.$$

Donc on a :

$$P(n,k,p,a) \approx P(n,k,p,z). \quad p \ll 1$$
Si nous posons, par exemple, $n=10$, $p=0,02$ et $a=-0,01$ nous aurons : $z = 0,505$

et:

<table><tr><td>k =</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>P(n,k,p,a) =</td><td>0,809</td><td>0,182</td><td>0,009</td><td>0,000</td></tr><tr><td>P(n,k,p,z) =</td><td>0,810</td><td>0,181</td><td>0,009</td><td>0,000</td></tr></table>

# 6. TROIS EXEMPLES D'APPLICATIONS DE LA DISTRIBUTION Z-POISSON

## 6.1. Distribution des accidents de travail

Considérons la répartition des nombres des accidents qui sont arrivés aux travailleurs d'une certaine usine pendant un délai de 13 mois (B.Biegelsein-Zelazowski: Zarys psychologii pracy, PWN, 1967, p.180) :

<table><tr><td>accidents (k)</td><td>=</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td></tr><tr><td>travailleurs(n(k))</td><td>=</td><td>428</td><td>132</td><td>62</td><td>21</td><td>5</td></tr></table>

Posons l'hypothèse suivante : la répartition des accidents de travail s'effectue selon la distribution z-Poisson.
Nous aurons ici :

$$ \lambda = 0,526 \qquad z=1,79 $$

et des nombres espérés dans l'hypothèse :

$$ \begin{array}{l} k = 0 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad \ge 4 \\ \hat{n}(k) = 427,0 \quad 133,4 \quad 62,6 \quad 19,6 \quad 5,4 \end{array} $$

Le test du $\chi^2$ donne ici : $\chi^2 = 0,15$ pour $\u = 2$.

On peut dire aussi que ce n'est pas une bonne usine -z est égale à 1,79.
## 6.2. Comparaison des stratégies

Les données analysées ici proviennent de l'étude effectuée en 1968 dans l'Institut de Psychologie de l'Université de Varsovie (M. Materska : Tresc przygotowania teoretycznego a struktura czynnosci pratycznych, Wroclaw, 1972, Ossolineum).

Voici le tableau expérimental :

On a deux groupes (W, M) très semblables à ce point de vue de facteurs tels que : âge, sexe, niveau d'intelligence, motivations, etc., et très distinctifs au point de vue du facteur principal qui peut être dénommé "stratégie pour poser les questions". Dans chacun des groupes on a trente personnes. Chaque personne peut poser n fois (n ≤ 41) chacune des m questions (m=133).

Etant donné les répartitions de questions :

<table><thead><tr><th></th><th colspan="4">groupe W</th><th colspan="4">groupe M</th></tr></thead><tbody><tr><th>k =</th><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr><tr><th>n(k) =</th><td>3123</td><td>785</td><td>77</td><td>5</td><td>3045</td><td>905</td><td>40</td><td>-</td></tr></tbody></table>

comparer les stratégies.

Si on suppose que les répartitions suivent la distribution z-Poisson on a :

<table><thead><tr><th></th><th>groupe W</th><th>groupe M</th></tr></thead><tbody><tr><th>λ =</th><td>0,239</td><td>0,247</td></tr><tr><th>z =</th><td>0,81</td><td>0,33</td></tr></tbody></table>

Il est évident que les valeurs moyennes sont proches, c'est-à-dire : non distinctives. Mais voilà ce sont les valeurs du paramètre z qui font la taxinomie!
### 6.3. Un exemple historique

J'ai examiné récemment (A.Goralski : Semi-deterministyczny model zmiennosci resu i jego aplikacja histoeyczna, Procc.Hist. Int.Coll., Varsovie, Novembre 1973) les répartitions de nombres de changements territoriaux de mon pays dans les successeurs "portions" du temps, égales à cinq années, et j'ai obtenu le tableau suivant :

<table><thead><tr><th>k =</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>période</th></tr></thead><tbody><tr><th>n(k) =</th><td>48</td><td>16</td><td>3</td><td>1</td><td>961-1300</td></tr><tr><th></th><td>35</td><td>13</td><td>4</td><td>1</td><td>1301-1565</td></tr><tr><th></th><td>32</td><td>9</td><td>5</td><td>-</td><td>1566-1795</td></tr></tbody></table>

Faisant les calculs nécessaires on voit que :

<table><thead><tr><th>période</th><th>λ</th><th>z</th></tr></thead><tbody><tr><td>961 - 1300</td><td>0,368</td><td>1,30</td></tr><tr><td>1301 - 1565</td><td>0,453</td><td>1,31</td></tr><tr><td>1566 - 1795</td><td>0,413</td><td>1,29</td></tr></tbody></table>

Alors on constate que la densité de changements est variable et que la valeur z reste constante, ce qui est d'ailleurs étonnant.
BIBLIOGRAPHIE

(1) A.GORALSKI : O pewnym schemacie losowania zwrotnego,
Zeszyty Naukowe PW, Matematyka 14, Warszawa, 1968.

(2) S.D.POISSON : Recherches sur la probabilité des jugements,
Bachelier, Paris, 1837.

(3) G.POLYA : Sur quelques points de la théorie des probabi-
lités, Ann. Inst.H.Poincaré, 1, Paris, 1931.

Reçu en Juin 1974

02-643 WARSZAWA

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Pologne