# Actionnement multiparamétrique de plaques bistables

Amancio Fernandes, Corrado Maurini, Stefano Vidoli

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Amancio Fernandes, Corrado Maurini, Stefano Vidoli. Actionnement multiparamétrique de plaques bistables. 9e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2009, Giens, France. hal-01408461

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>

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# Actionnement multiparamétrique de plaques bistables

A. Fernandes¹, C. Maurini¹, S. Vidoli²

¹ Institut Jean Le Rond d'Alembert, UMR 7190 (UPMC Univ Paris 06, CNRS)
F-75005 Paris, France
{amancio.fernandes, corrado.maurini}@upmc.fr

² Dip. di Ingegneria Strutturale e Geotecnica (Università di Roma La Sapienza)
via Eudossiana 18, 00184 Rome, Italie.
stefano.vidoli@uniroma1.it

**Résumé** — On se propose, à partir d'un modèle de plaques multicouches orthotropes sous l'hypothèse de courbure uniforme, d'étudier la conception d'un actionnement multiparamétrique efficace pour ces structures non linéaires. Ce modèle sera validé par des simulations numériques éléments finis.

**Mots clés** — Contrôle de forme, plaque composite, stabilité, piézoélectrique.

## 1 Introduction

Un grand changement de forme, et ce malgré l'application d'une force relativement modérée, peut être obtenu pour certaines structures bien adaptées en exploitant les non-linéarités géométriques ou les phénomènes d'instabilité. L'avantage des structures multistables est que par un faible actionnement on peut passer d'une configuration d'équilibre à une autre en engendrant de grands déplacements. L'étude de la multistabilité et des effets non linéaires géométriques dans les plaques composites ont donné lieu à un intérêt particulièrement croissant ces dernières années du fait des avancées significatives dans l'utilisation des matériaux intelligents (actionneurs piézoélectriques ou à mémoire de forme par exemple). Les applications industrielles sont très nombreuses allant des structures déployables pour l'aérospatiale aux micropompes. Plusieurs études numériques et expérimentales [1, 4, 5] se sont intéressées à la possibilité d'utiliser un actionneur piézoélectrique pour faire passer une plaque composite multicouche bistable d'une configuration d'équilibre à une autre. Par ailleurs, des travaux récents [3, 7] ont étudié l'influence de la géométrie et des propriétés matérielles sur la multistabilité des coques. On veut étudier la configuration d'équilibre de plaques multicouches orthotropes en fonction des effets induits par effet thermique ou électrique. Le but est donc de déterminer le nombre et la forme des configurations d'équilibre stable ainsi que d'étudier la conception d'un actionnement multiparamétrique efficace pour ces structures non linéaires.

## 2 Modélisation

A partir d'un modèle non-linéaire de plaques composites de von-Kármán, simplifié sous l'hypothèse de courbure uniforme dans l'espace [3, 6, 7], on peut écrire l'énergie potentielle totale adimensionnelle de la façon suivante :

$$U(K) = \frac{1}{2} D (K - H) \cdot (K - H) + \frac{1}{2} (\det K)^2, \quad (1)$$
avec $K = (K_x, K_y, 2K_{xy})^T$ et $H = (H_x, H_y, 2H_{xy})^T$ respectivement les représentations dans la notation de Voigt de la courbure et de la courbure dans la configuration relaxée (sans contrainte). L'hypothèse de courbure uniforme reste valable pour des plaques libres aux bords et dont les seuls types de chargement possibles $H$ modélisent les effets des déformations inélastiques (thermiques, plastiques ou piézoélectriques induits par des matériaux actifs).

La matrice de rigidité en flexion sans dimension $D = \tilde{D}/\tilde{D}_{11}$ où $\tilde{D} = \bar{D} - \bar{B}^T \bar{A}^{-1} \bar{B}$ s'écrit en fonction de $\bar{A}, \bar{B}$ et $\bar{D}$ respectivement les matrices standards $3 \times 3$ de la théorie des plaques de rigidité en extension, en couplage extension-flexion et en flexion. Pour des plaques orthotropes $D$ est de la forme :

$$D = \begin{bmatrix} 1 & v & 0 \\ v & \beta & 0 \\ 0 & 0 & \rho \left(1 - \frac{v^2}{\beta}\right) \end{bmatrix}, \qquad (2)$$

$$\text{avec } \beta = \tilde{D}_{22}/\tilde{D}_{11}, v = \tilde{D}_{12}/\tilde{D}_{11}, \rho = \tilde{D}_{33}\tilde{D}_{22}/(\tilde{D}_{11}\tilde{D}_{22} - \tilde{D}_{12}^2).$$

Dans l'équation (1) le premier terme est l'énergie élastique en flexion et le second l'énergie en extension réécrite en terme de courbure en utilisant les équations de compatibilité de la plaque de von-Kármán.

## 3 Equilibres et stabilités

Les équilibres stables sont obtenus comme minima de $U(K)$. Par la suite, on se place dans le cas où $H_{xy} = 0$ (pas de courbure inélastique en torsion). En résolvant des équations polynomiales non linéaires, on est capable de déterminer tous les minima de $U(K)$ à $H_x$ et $H_y$ donnés. Leur stabilité est ensuite déterminée avec l'étude de la dérivée seconde de l'énergie.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 – Diagramme de stabilité dans le plan $H_x - H_y$ (a) et dans le plan $K_x - K_y$ (b).</figcaption></figure>

La Figure 1(a) représente le nombre de configurations d'équilibre stable (blanc pour 1 et gris pour 2) en fonction de $H_x$ et $H_y$ pour une plaque composite formée par deux couches identiques orientées à [0°/90°] avec les propriétés matérielles du Tableau 1. Cette configuration étudiée expérimentalement par [5] correspond à $\beta = 1, v = 0.0417, \rho = 0.0402$. Dans la Figure 1(b), on divise
<table><caption>Tableau 1 – Données du matériau AS4/3502 orienté à 0°.</caption><thead><tr><th></th><th>E<sub>1</sub> (GPa)</th><th>E<sub>2</sub> (GPa)</th><th>G<sub>12</sub> (GPa)</th><th>v<sub>12</sub></th><th>α<sub>1</sub> (10<sup>-6</sup>/°C)</th><th>α<sub>2</sub> (10<sup>-6</sup>/°C)</th></tr></thead><tbody><tr><td>AS4/3502 (0°)</td><td>135.</td><td>9.5</td><td>5.</td><td>0.3</td><td>0.02</td><td>30.</td></tr></tbody></table>

l'espace des configurations $K_x - K_y$ en régions où l'équilibre stable est possible (en gris) ou non (en blanc). On remarque que la division de l'espace est indépendante de $H$ étant donné que $H$ n'intervient pas dans la dérivée seconde de $U(K)$ par rapport à $K$.

Les Figures 2(a) et 2(b) sont respectivement les diagrammes de bifurcation lorsque $H$ varie le long du segment OS ($H_x = -H_y$) et le long du segment OT ($H_x = H_y$) de la Figure 1(a). En Figure 2(a), pour $K_{xy} = 0$, la courbe noire correspond à $K_x$ alors que la grise correspond à $K_y$. En Figure 2(b), $K_x = K_y$ est représentée en noir alors que la composante $K_{xy}$ apparaît en gris.

On observe deux comportements différents en fonction du signe de la courbure de Gauss $H_x H_y$ des déformations inélastiques :

- pour $H_x H_y < 0$ les configurations sans torsion ($K_{xy} = 0$) sont toujours stables ; le passage entre la zone monostable (blanc) et la zone bistable (grise) se réalise par une bifurcation dans le plan $K_x - K_y$ à $K_{xy} = 0$.

- pour $H_x H_y > 0$ le passage entre la zone monostable et la zone bistable peut avoir lieu pour une bifurcation en torsion. C'est le phénomène observé pour notre cas (voir Figure 2(b))

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2 – Diagrammes de bifurcation pour une variation de $H$ : (a) le long de OS et (b) le long de OT de la Figure 1(a).</figcaption></figure>

## 4 Actionnement multiparamétrique

On regarde plus en détail la zone entourant le point critique $P$ de la Figure 1(a). On suppose que la plaque est soumise à des courbures inélastiques correspondant au point A de la Figure 3(a) qui peuvent être engendrées par des effets thermiques ou des déformations plastiques. La plaque possède alors deux configurations d'équilibre stable $A_1$ et $A_2$ représentées en Figure 3(b). On suppose par la suite que la configuration initiale est $K = A_1$.

Certains auteurs ont étudié l'utilisation de courbures induites par des actionneurs piézoélectriques pour contrôler le passage entre les configurations $A_1$ et $A_2$. Par l'intermédiaire d'un seul paramètre d'actionnement ($H_x, H_y$ ou une combinaison linéaire des deux), on peut engendrer la perte de stabilité de la position d'équilibre de $A_1$. Le passage à la position d'équilibre $A_2$ se fait alors par un phénomène de claquage (cas de l'actionnement AEA).
On montre ici qu'avec deux paramètres d'actionnement on peut réaliser une transition quasistatique entre les deux configurations d'équilibre stable $A_1$ et $A_2$ sans phénomène d'instabilité. On l'obtient par exemple avec le parcours ACDEA en Figure 3(a). La configuration actuelle passe alors par les équilibres stables $A_1, B_1, C_1, D_1, E_2, F_2$ et finalement $A_2$ de la Figure 3(b).

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3 – Diagrammes de phase et chemin stable de passage $H \to K$.</figcaption></figure>

Les formes correspondant aux configurations d'équilibre de la plaque sont schématisées en Figure 4. On aurait pu prendre la configuration $K = A_2$ comme point de départ, inverser le chemin précédent pour $H$ et atteindre de manière réversible la configuration $A_1$ par une transition stable.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4 – Configurations d'équilibre de la plaque pour le passage quasistatique entre les 2 configurations stables en A.</figcaption></figure>

# 5 Validation éléments finis

Pour finir des simulations numériques éléments finis, sans hypothèse de courbure uniforme, seront présentées afin de valider les résultats obtenus avec les modèles simplifiés et démontrer la faisabilité technologique de l'approche proposée.

On se propose de simuler avec des éléments finis l'effet d'un actionnement à deux paramètres induit par deux couches piézoélectriques collées sur une plaque élastique orthotrope [0°/90°]. On va pour cela considérer une plaque carrée de longueur $L$ dont l'empilement des couches est décrit en Figure 5. Les couches centrales 1 élastiques (Tableau 1) sont assemblées à une température de 225°C puis refroidies à 25°C ($\Delta T_0 = -200°C$). On suppose que les couches piézoélectriques 2 (Tableau 2) sont collées à température ambiante de 25°C suivant la procédure expérimentale décrite
dans [1]. Dans le modèle éléments finis l'effet piézoélectrique est modélisé avec des coefficients d'expansion thermique équivalents $β_1$ et $β_2$.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5 – Plaque composite ($L = 25cm$, $h_1 = 0.00036m$ et $h_2 = 0.0003m$).</figcaption></figure>

Les simulations éléments finis sont effectuées avec le code ABAQUS. Pour pouvoir contrôler de façon indépendante les variations de température des couches centrales et l'effet piézoélectrique des couches 2 (simulé par des $ΔT$ équivalents), la plaque est modélisée par collage de trois parties : une couche centrale orthotrope, une couche piézoélectrique supérieure orientée à 0° et une couche piézoélectrique inférieure orientée à 90°. Pour mailler la plaque on utilise 768 éléments $S8R$ coques quadratiques à intégration réduite. Afin d'empêcher les déplacements rigides de la plaque le noeud central est bloqué. De plus on introduit dans le système une imperfection en modifiant très légèrement le coefficient d'expansion thermique $α_1$ de la couche 1 (0°).

<table><caption>Tableau 2 – Données matérielles pour les couches piézoélectriques.</caption><thead><tr><th></th><th>E<sub>1</sub> (GPa)</th><th>E<sub>2</sub> (GPa)</th><th>G<sub>12</sub> (GPa)</th><th>ν<sub>12</sub></th><th>β<sub>1</sub> (10<sup>-6</sup>/V)</th><th>β<sub>2</sub> (10<sup>-6</sup>/V)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Couche Piézo (0°)</td><td>30.34</td><td>15.86</td><td>5.52</td><td>0.31</td><td>0.75</td><td>0.</td></tr></tbody></table>

On réalise une simulation quasistatique éléments finis qui reproduit le parcours d'actionnement ABCDEA de la Figure 3(a). On utilise un algorithme incrémental du type Full Newton (sans contrôle de stabilité), prenant en compte les non-linéarités géométriques. La simulation se compose de plusieurs étapes correspondant à l'application de différentes courbures inélastiques de la Figure 3(a) :

* OA : refroidissement de la plaque avec application de $ΔT_0$ dans les couches centrales

* AC : application de $ΔV = -580V$ sur la couche piézoélectrique supérieure

* CD : application de $ΔV = -580V$ sur la couche piézoélectrique inférieure

* DE : application de $ΔV = 580V$ sur la couche piézoélectrique supérieure

* EA : application de $ΔV = 580V$ sur la couche piézoélectrique inférieure

La Figure 6 compare les courbures moyennes de la plaque calculées le long du parcours d'actionnement avec la simulation éléments finis à celles fournies par le modèle analytique avec l'hypothèse de courbure uniforme. On peut constater une très bonne concordance des résultats. De surcroît, l'obtention de la convergence de la méthode de Newton à chaque étape du parcours d'actionnement prouve la stabilité des différentes positions d'équilibre sans l'hypothèse de courbure uniforme.
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 6 – Comparaison des courbures moyennes $K_x$ (en gris) et $K_y$ (en noir) le long du parcours OACDEA</figcaption></figure>

Références

[1] C.R. Bowen et al., Morphing and shape control using unsymmetrical composites. *Journal of Intelligent Material Systems and Structures*, **18**, 88-98, 2007.

[2] A. Fernandes, C. Maurini, S. Vidoli. Multiparameter actuation for shape control of bistable composite plates. *En préparation*.

[3] E.H. Mansfield. Bending, buckling and curling of a heated thin plate. *Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci.*, **268**(1334), 316–327, 1962.

[4] P. Portela, P. Camanho, P. Weaver, I. Bond. Analysis of morphing, multi stable structures actuated by piezoelectric patches. *Computers & Structures*, **86**(3-5), 347–356, 2008.

[5] M.R. Schultz. Use of piezoelectric actuators to effect snap-through behavior of unsymmetric composite laminates. *PhD thesis*, Virginia Polytechnic Institute, Blacksburg, 2003.

[6] K.A. Seffen. Morphing bistable orthotropic elliptical shallow shells. *Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci.*, **463**(2077), 67–83, 2007.

[7] S. Vidoli, C. Maurini. Tristability of thin orthotropic shells with uniform initial curvature. *Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci.*, **464**(2099), 2949–2966, 2008.