# Constructions de modèles dynamiques pour étudier l'évolution d'un atelier de veaux de boucherie, en avenir aléatoire

François Bonnieux

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Francois Bonnieux. Constructions de modèles dynamiques pour étudier l'évolution d'un atelier de veaux de boucherie, en avenir aléatoire. 1967, 63 p. hal-01600348

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INSTITUT NATIONAL DE LA RECHERCHE AGRONOMIQUE

Station d'Economie Rurale
65, rue de Saint Brieuc,

35 - RENNES

CONSTRUCTIONS DE MODELES DYNAMIQUES
POUR ETUDIER L'EVOLUTION
D'UN ATELIER DE VEAUX DE BOUCHERIE,
EN AVENIR ALEATOIRE

par
F. BONNIEUX

Agent Contractuel Scientifique
TABLE DES MATIERES

§ 1 - *Introduction*

1 - Position du problème

2 - Les différentes décisions possibles

3 - Critères de décision

4 - Utilisation des chaines de Markov en économie rurale

§ 2 - *Formalisation du problème*

1 - Approche théorique

2 - Application numérique

§ 3 - *Généralités sur la programmation dynamique*

1 - Exposé de la méthode

2 - Principe d'optimalité de Bellman

§ 4 - *Modèles à revenus final*

1 - Choix de la date de fin d'engraissement

2 - Choix du plan d'alimentation et changement de plan en cours d'engraissement

3 - Vente d'un veau en cours d'engraissement

§ 5 - *Modèles à revenus partiels*

1 - Décomposition du revenu final

2 - Modèles markoviens à revenus partiels

3 - Modèles markoviens à revenus partiels et décisions

4 - Vente d'un veau en cours d'engraissement - Problème de remplacement.

§ 6 - *Conclusion et bibliographie*
Annexe 1 - **Introduction à la théorie des chaines de Markov finies**

1 - Définitions et propriétés générales

2 - Notions sur la théorie des graphes

3 - Analyse spectrale des matrices stochastiques

4 - Comportement asymptotique

5 - Bibliographie

Annexe 2 - **Méthode du lissage exponentiel**

1 - Introduction

2 - Principes généraux

3 - Exemples de modèles

4 - Influence des différents paramètres dans le lissage exponentiel

5 - Bibliographie

•••
## § 1 - INTRODUCTION

### 1 - POSITION DU PROBLEME

Depuis quelques années la production intégrée de veaux de boucherie se développe dans l'Ouest de la France. Elle prend une importance croissante et a de très bonnes perspectives, aussi est-il devenu très important de l'étudier. Elle est pratiquée en particulier par la coopérative d'Elle et Vire et par la Sicavem. Nous avons obtenu des renseignements statistiques auprès de ces deux firmes ce qui nous permet d'entreprendre cette étude. Il ne s'agit pour l'instant que d'un début aussi ce qui suit est-il insuffisamment synthétisé.

Plaçons nous donc dans le cadre décrit par F. BASSOULLET (1) celui d'une firme qui intègre la production de veaux de boucherie. Nous considérons le système S des ateliers de production intégrés par la firme considérée. Les liaisons entre la firme et les ateliers sont à la fois d'ordre technique et d'ordre économique.

La firme approvisionne les éleveurs en lots de veaux d'une dizaine de jours, qu'elle se procure soit sur les marchés, soit dans les exploitations. Elle leur fournit les aliments ainsi que divers services (plan d'alimentation, assistance sanitaire, assistance technique). Enfin la firme se charge de la commercialisation des animaux, et du paiement des éleveurs. Les éleveurs sont donc astreints à une discipline certaine.

Aussi précis que soient les plans d'alimentation, les indications des conseillers ..., le matériel biologique n'étant pas homogène, le comportement futur d'un lot donné de veaux ne peut pas être déterminé avec certitude : il est aléatoire. D'autre part les fluctuations des prix ne sont pas connues d'avances, elles ne sont au mieux que prévisibles. Donc tout modèle, prétendant représenter l'évolution du système S au cours du temps doit être stochastique.

<footnote>(1) voir la bibliographie.</footnote>
Nous désignons par période d'élevage d'un lot de veaux, tout
son processus d'engraissement depuis son installation dans l'atelier
auquel il est affecté jusqu'à la date de son départ pour être commercia-
lisé. La longueur de la période est donc égale à la durée d'engraisse-
ment. Dans le temps, le fonctionnement d'un atelier - veaux se décrit
donc comme une succession de périodes convenablement espacées pour per-
mettre une désinfection des locaux.

Le rôle de la firme est donc d'organiser les entrées du système S, la succession des périodes d'élevage pour chaque atelier, les sorties du système S en poursuivant certains objectifs compte tenu des contraintes.

## 2 - LES DIFFERENTES DECISIONS POSSIBLES

Les décisions qui interviennent pendant la période d'élevage d'un lot de veaux sont de deux sortes : celles qui concernent le plan d'alimentation et celles qui concernent l'arrêt de l'engraissement.

### 2-1 Décisions concernant le plan d'alimentation

En général, la firme désire appliquer à tous les ateliers le même plan d'alimentation. Ceci serait bien sûr valable si tous les lots étaient identiques ; mais il n'en est pas ainsi. Aussi allons nous considérer quelques plans d'alimentations possibles, obtenus à partir de deux plans de référence. Par exemple donnons nous un plan d'alimentation court et un plan d'alimentation long ; en faisant varier quelque peu chaque plan on obtient tout un jeu de plans, ce qui permet de faire face à toutes les situations pratiques.

Soit un lot de veaux que l'on se propose d'élever ensemble, nous
choisissons un plan d'alimentation pour le lot après examen du lot, en
fonction de la durée d'engraissement souhaitée et du type de veaux que
l'on désire obtenir. A tout instant en examinant le lot on peut être
amené à changer de plan d'alimentation. Supposons par exemple que l'on
adopte au départ un plan à démarrage rapide (ce qui doit permettre d'ob-
tenir des veaux petits et lourds très appréciés sur le marché), si au bout
d'une quinzaine les veaux ont peu profité nous pouvons alors éventuellement préférer un plan plus long. Ainsi la période d'élevage d'un lot donné de veaux est marquée par une suite de décisions qui consistent dans le choix d'un plan d'alimentation.

Lorsque les veaux sont élevés en batterie (alimentation au seau et logement en cases individuelles) on peut envisager d'individueliser le choix du plan d'alimentation (ce qui ne serait pas très réalisé !) ce n'est pas possible dans le cas d'un élevage avec des nourrisseurs automatiques (alimentation en auto-service et logement collectif).

## 2-2 Décisions concernant l'arrêt de l'engraissement

Le choix de la date de vente du lot (ou d'une partie du lot dans le cas de grands lots) se fait suivant des critères donnés lorsque l'on a atteint les objectifs fixés. Dans un certain intervalle de temps, on doit choisir à chaque instant entre deux solutions : vendre ou ne pas vendre.

Lorsqu'un veau profite mal, on peut décider d'interrompre son engraissement afin de l'abattre au lieu de le conserver, ou encore d'en faire soit un veau d'élevage, soit un gros bovin.

Ainsi au cours de la période d'engraissement d'un lot, on est amené après examen des veaux à prendre une des décisions suivantes :

a) continuer l'engraissement en conservant le même plan d'alimentation

b) continuer l'engraissement en changeant de plan d'alimentation

c) vendre le lot

d) abattre certains veaux

e) faire de certains veaux des veaux d'élevage

f) faire de certains veaux des gros bovins.

Le fonctionnement du système S est donc caractérisé par une succession de décisions dont les effets sont immédiats et ont des
répercussions à plus long terme. Autrement dit, une suite de situations aléatoires est associée à chaque décision.

## 3 - CRITERES DE DECISION

De la qualité du critère adopté dépend le fonctionnement du modèle, c'est-à-dire son emploi. Ce choix est primordial mais varie suivant les situations considérées, il faut donc fixer le cadre dans lequel nous travaillons.

### 3-1 Hypothèses de travail

a) Nous nous plaçons en courte période. Dans chaque atelier la technique d'élevage est constante, il s'agit de la technique en batterie. Nous n'analyserons qu'ultérieurement le passage à un élevage avec des nourrisseurs automatiques et la croissance des ateliers. Cependant nous montrerons dans cette étude, en quoi le modèle sera différent.

b) Nous limitons notre univers économique à la firme ou plus exactement au système S. Nous n'étudions pas la formation des prix, nous les supposons donnés, ou prévus suivant les cas. Plus tard nous supposerons que les décisions de la firme se heurtent aux réactions de ses concurrents et nous étudierons ce nouveau problème en utilisant la théorie des jeux. La commercialisation des veaux étant facile cette hypothèse limitative paraît justifiée.

### 3-2 Niveau d'emploi des critères de décision

Il serait satisfaisant pour l'esprit d'étudier globalement le système S en lui appliquant le critère choisi. Malheureusement cette attitude est inadéquate à deux points de vue :

a) appliquer au système S un critère, donne une stratégie satisfaisante pour le système S, ce qui n'implique pas qu'elle le soit pour chaque atelier ; aussi certains éleveurs risquent d'être lésés. Ce défaut peut être corrigé en prévoyant une caisse de compensation.
b) surtout appliquer au système S un critère, contraint à introduire de très nombreuses variables. Le critère devient alors trop vaste (au sens où l'entend Lesourne page 29 (1)).

Pour ces deux raisons nous appliquons le critère choisi à chaque atelier, en vérifiant que les stratégies déterminées ne sont pas dangereuses pour le système S. Lorsqu'elles le sont, il faut les modifier. Cette démarche est assez simple, puisque la firme a autorité pour traiter des problèmes d'interdépendance des ateliers.

### 3-3 Critères possibles

Comme nous nous plaçons au niveau de l'atelier, il semble justifié de retenir comme critère la maximisation du revenu. Compte tenu des statistiques dont nous disposons le revenu à maximiser est une marge brute obtenue en faisant la différence entre recette et certaines dépenses. La recette est égale à la valeur des veaux commercialisés ; les dépenses comprennent la valeur d'achat des veaux, la valeur de l'aliment consommé, les frais vétérinaires et les frais de désinfection.

Si l'avenir était parfaitement connu il serait possible de caractériser chaque décision par le revenu actualisé qu'elle procure et de choisir celle pour laquelle le revenu actualisé est maximum. Mais dans le meilleur des cas, l'avenir n'est que prévisible aussi la valeur actuelle des revenus futurs engendrés par une décision est une variable aléatoire. Il n'est plus question de maximiser la valeur actuelle du revenu, puisqu'une telle expression devient dénuée de sens.

Il est possible d'envisager de maximiser l'espérance mathématique du revenu, ce qui revient à rendre maximum le revenu que l'on tirerait en moyenne dans une succession d'un grand nombre de périodes d'élevage. Raisonner en horizon infini est assez dangereux en courte période, sachant que chaque année quatre lots au plus se succèdent dans le même atelier. D'autre part, on peut être amené en maximisant l'espérance du revenu à adopter une stratégie qui nous ruine en chemin. Nous examinerons dans la suite l'application de ce critère, mais il importe de bien soulagner dès à présent les dangers qu'il présente.

<footnote>(1) voir la bibliographie</footnote>
Si notre horizon se limite à une période, nous maximisons
le revenu que l'on peut espérer (revenu attendu) de l'engraissement d'un
lot. Si ce critère est plus raisonnable que celui de l'espérance mathé-
matique, il n'en reste pas moins qu'un éleveur n'envisage pas en général
de s'arrêter au bout de trois mois. D'autre part étudier la succession
d'un nombre déterminé de périodes d'élevage, en maximisant le revenu
attendu pour toute cette durée est assez peu réaliste. En effet plus
les revenus égcomptés sont éloignés dans le temps plus les prévisions
qui ont permis de les établir sont incertaines, aussi faut-il les pénaliser par rapport aux revenus attendus dans un avenir proche. En l'absence de cette pénalisation nous aboutirions à des stratégies dont les premières décisions seraient très sensibles à des revenus incertains à long terme, aux dépens de revenus presques certains dans le court terme. Nous adapterons donc comme critère la maximisation du revenu sur une période en tenant compte du coût de remplacement du lot de veau (c'est-à-dire du prix d'achat du lot suivant). Pour calculer les revenus attendus nous utiliserons des prévisions de prix faites par la méthode du lissage exponentiel (1).

4 - UTILISATION DES CHAINES DE MARKOV EN ECONOMIE RURALE

La théorie des chaines de Markov homogènes est très utilisée (en particulier aux Etats-Unis) pour analyser des distributions, leur évolution dans le temps et faire ainsi des projections. Citons à ce propos quelques auteurs : Krenz, Bostwick, Clawson, Kanel ... (2).

Malheureusement on ne rencontre en pratique, que bien rarement
des chaines homogènes. Aussi avons nous utilisé des chaines non homogènes
ce qui donne à cette étude une certaine originalité. Nous utilisons donc
une base markovienne pour construire des modèles dynamiques en avenir

<footnote>(1) voir l'annexe 2</footnote>

<footnote>(2) voir la bibliographie.</footnote>
aléatoire. Ces modèles nous permettront d'étudier l'évolution d'un ate-
lier veaux et les différentes décisions pendant l'engraissement. Notre
principale source d'inspiration est le livre que Howard a tiré de sa
thèse (1), où il a construit des modèles dynamiques à décisions multi-
ples.

*

<footnote>(1) voir la bibliographie</footnote>
§ 2 - FORMALISATION DU PROBLEME

1 - APPROCHE THEORIQUE

Lorsqu'il s'agit de formaliser un problème en construisant
des modèles mathématiques, le but à atteindre est de trouver une des-
cription suffisamment réaliste qui permette toutefois l'utilisation des
techniques d'analyse et de calcul dont on dispose. Il y a donc deux ex-
cès à éviter : celui de fournir des solutions élaborées à des problèmes
simplifiés au point d'en perdre toute signification, celui de fournir
un modèle si compliqué qu'il ne soit pas possible de s'en servir. Un
bon modèle doit donc concilier le plus possible ces deux contraires.

Les modèles que nous avons construits sont aléatoires et peu-
vent être facilement traités sur ordinateur.

1-1 Cas d'un seul veau soumis à un seul plan d'alimentation

Soit un veau de boucherie w ∈ Ω (ensemble des veaux de bou-
cherie) soumis au plan d'alimentation P. Dans toute la suite, le temps
t est une variable à valeurs entières ; l'unité de temps est le jour.

A tout instant t le veau w est soit mort, soit vivant. S'il
est vivant, il est parfaitement défini par son poids et sa qualité mesu-
rée à partir d'un certain nombre de références. Désignons le poids par
α₁(t) et supposons que l'on mesure p-1 références α₂(t), α₃(t) ...αₚ(t).

Par exemple si l'on repère la conformation, l'état d'engraisse-
ment et la couleur, nous avons p - 1 = 3. Donc à tout instant t le veau w
s'il est vivant est défini par la donnée du vecteur ligne à p composantes :

$$
\alpha(t) = \left[ \alpha_1(t), \alpha_2(t), \dots, \alpha_p(t) \right] \in \mathbb{R}^p
$$
La valeur de $\alpha(t)$ nous renseigne sur le comportement du veau $\omega$. A deux valeurs différentes de $\alpha(t)$ correspondent deux comportements distincts. Cependant il n'est pas raisonnable en pratique de distinguer deux comportements extrêmement voisins, donc deux valeurs de $\alpha(t)$ très peu différentes. Aussi à tout instant $t$, considérons une partition de $\mathbb{R}^p$ en $n-1$ parties $\Delta_2(t), \Delta_3(t), \dots, \Delta_n(t)$ :

$$ \mathbb{R}^p = \bigcup_{i=2}^{n} \Delta_i(t) \quad \text{et} \quad \Delta_i(t) \cap \Delta_j(t) = \emptyset \quad \text{si } i \neq j $$

Tous les points de $\Delta_i(t)$ ($2 \le i \le n$) correspondent à des comportements voisins que nous ne distinguerons plus.

A l'instant $t$, si $\omega$ est mort nous dirons qu'il est dans l'état $E_1$, si $\omega$ est vivant et si $\alpha(t) \in \Delta_i(t)$ nous dirons qu'il est dans l'état $E_i$. Nous déterminerons $n$ états tels qu'à chaque instant le veau $\omega$ soit défini par la donnée de l'état dans lequel il se trouve. L'évolution du veau pendant son engraissement est décrite par la donnée des états successifs par lesquels il passe.

A tout veau $\omega \in \Omega$ et à tout instant $t$ on fait correspondre l'état du veau à l'instant $t$. Définissons la variable aléatoire entière :

$$ (\omega, t) \rightsquigarrow x(\omega, t) = i $$

si $\omega$ est dans l'état $E_i$ à l'instant $t$. On définit ainsi une application du produit de l'espace $\Omega$ et de l'espace des temps dans l'ensemble fini (1, 2, ..., n). L'évolution du veau $\omega$ se décrit donc comme un processus stochastique à valeurs entières, dont nous allons préciser la structure.

Dans la suite pour simplifier l'écriture, utilisons la notation $x(t)$ au lieu de $x(\omega, t)$. Désignons par $p_{ij}(s, t)$ la probabilité de transition de l'état $E_i$ à l'instant $s$ à l'état $E_j$ à l'instant $t$. Nous pouvons écrire :

$$ P_{ij}(s,t) = \text{Prob}(x(t) = j | x(s) = i) $$
Posons :

$$
P(s,t) = \begin{bmatrix} p_{11}(s,t) & p_{12}(s,t) & \dots & p_{1n}(s,t) \\ p_{21}(s,t) & p_{22}(s,t) & \dots & p_{2n}(s,t) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1}(s,t) & p_{n2}(s,t) & \dots & p_{nn}(s,t) \end{bmatrix} \\
= [p_{ij}(s,t)] \quad (1 \le i, j \le n)
$$

P (s,t) est la matrice des probabilités de transition de l'instant s
à l'instant t. P (s,t) est stochastique donc :

$$
(Vi)_{j=1}^{n} p_{ij}(s,t) = 1 \quad \text{et} \quad (Vi,j) p_{ij}(s,t) \ge 0
$$

D'autre part lorsqu'un veau est mort, il ne ressuscite pas
donc les transitions de E₁ à tout état E_j ≠ E₁ sont interdites ce qui
entraîne que :

$$
p_{11}(s,t) = 1 \text{ et } p_{1j}(s,t) = 0 \quad (V_j \neq 1)
$$

L'état E₁ est un état absorbant et on écrit :

$$
P(s,t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ p_{21}(s,t) & p_{22}(s,t) & \cdots & p_{2n}(s,t) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1}(s,t) & p_{n2}(s,t) & \cdots & p_{nn}(s,t) \end{bmatrix}
$$

Lorsque l'on considère la transition qui se produit de
l'instant t à l'instant t+1, on simplifie l'écriture en posant :

$$
(Vi,j) \quad p_{ij}(t,t+1) = p_{ij}(t)
$$

$P(t,t+1) = P(t)$
La loi aléatoire de l'évolution du veau après l'instant t, sachant le passé avant t, ne dépend en fait que de l'état du veau à l'instant t - cette évolution est donc markovienne. La probabilité conditionnelle pour que le veau soit dans l'état $E_j$ à l'instant t+1, sachant qu'il est dans l'état $E_i$ à l'instant t et connaissant de plus ses états aux instants 0, 1, ..., t-1, est égale à $p_{ij}(t)$. Ce qui s'écrit :

$$ 
\begin{aligned}
& \text{Prob} \{ x(t+1) = j \mid x(t)=i; \quad x(t-1) = i_1 \dots x(0) = i_t \} \\
& = \text{Prob} \{ x(t+1) = j \mid x(t) = i \} = p_{ij}(t)
\end{aligned}
$$

L'évolution du veau est donc décrite par une chaîne de Markov finie.

Mais $P(t)$ dépend du temps, en effet si $P(t)$ n'en dépendait pas celà signifierait entre autre qu'un veau a les mêmes chances de crever quelque soit son âge. Donc la chaîne n'est pas homogène. A tout plan P correspond une chaîne particulière.

**Exemple 1** - Considerons deux états (n = 2)

$E_1$ = est mort

$E_2$ = est vivant

le graphe associé

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

montre bien qu'il est impossible d'aller de $E_1$ en $E_2$.
La matrice de transition de l'instant t à l'instant t+1 s'écrit :

$$P(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ p(t) & 1-p(t) \end{bmatrix}$$

p(t) est la probabilité pour le veau de crever dans la transition qui a lieu de l'instant t à l'instant t+1, c'est-à-dire :

$$p(t) = \text{Prob} \left\{ x(t+1) = 1 \mid x(t) = 2 \right\}$$

Désignons par $Π(t)$ la distribution de probabilité de la variable aléatoire $x(t)$ :

$$\Pi(t) = \Pi^{1}(t) \dots \Pi^{i}(t) \dots \Pi^{n}(t)$$

$$\Pi^{i}(t) = \text{prob} \{x(t) = i\} \quad 1 \le i \le n$$

Connaissant la distribution initiale $Π(0)$, on détermine la distribution à tout instant ultérieur par :

$$\Pi(t) = \Pi(0) P(0,t)$$

et on calcule $P(0,t)$ en appliquant la formule de Chapman Kolmogorov :

$$P(0,t) = P(0) P(1) \dots P(t-1)$$

Si l'on connaît la distribution $Π(t)$ à l'instant t on détermine la distribution à tout instant ultérieur $t+h$ par la même méthode :

$$\Pi(t+h) = \Pi(t) P(t, t+h)$$

avec :

$$P(t, t+h) = P(t) P(t+1) \dots P(t+h-1)$$
Cette méthode nous permettra connaître les matrices de transition en une étape P(0), P(1) ... P(t), et l'état initial du veau de déterminer la distribution de probabilité de la variable x(t) à tout instant ultérieur, c'est-à-dire en quelque sorte son état probable.

**Exemple 2** - On considère 3 états $E_1, E_2, E_3$. Le graphe associé

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

A l'instant initial le veau est dans l'état $E_2$ donc $x(0) = 2$ avec la probabilité 1, ce qui donne :

$$ \Pi(0) = (0,1,0) $$

Nous avons déterminé P(0,34), connaissant les matrices P(0), P(1)... P(33) :

$$ P (0,84) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0,2 & 0,6 & 0,2 \\ 0,1 & 0,3 & 0,6 \end{bmatrix} $$

et
$$ \Pi(34) = (0,2 \quad 0,6 \quad 0,2) $$

ce qui nous indique les chances du veau de se trouver dans l'un des états $E_1, E_2, E_3$ au bout de 84 jours. Si à l'instant initial le veau est mort, au bout de 84 jours il l'est encore ; nous le vérifions aisément en calculant $\Pi(84)$ :

$$ \Pi(0) = (1 \ 0 \ 0) $$

et $\Pi(84) = (1 \ 0 \ 0)$
### 1-2 Cas d'un lot de veaux soumis au même plan d'alimentation

On considère un lot L de m veaux soumis au plan d'alimentation P.

$$L = \{ \omega^1, \omega^2, \dots, \omega^m \} \quad \omega^i \in \Omega, (1 \le i \le m)$$

Les veaux sont de même race et sont élevés en batterie.

A tout instant on repère l'état du lot L en comptant combien il y a de veaux dans chaque état.

Le problème que nous devons résoudre est la détermination, connaissant l'état du lot à un instant donné, de son état à toute date ultérieure. Nous pourrions appliquer à chaque veau la méthode précédente. Elle nous permettrait d'individualiser chaque veau, mais ne serait pas opérationnelle. D'ailleurs nous ne désirons pas suivre chaque veau, mais faire un jugement sur l'ensemble du lot. Aussi préférons nous la méthode très maniable suivante.

Si l'on répère l'état du lot à l'instant t par le vecteur ligne à n composantes :

$$X(t) = [X^1(t), X^2(t), \dots, X^n(t)]$$

où $X^i(t)$ est égal au nombre de veaux qui sont dans l'état $E_i$ à l'instant t. On a :

$$(Vt)_{i=1}^{n} X^i(t) = m$$

$X(t)$ mesure en quelque sorte la distribution des veaux entre les différents états. On vérifie d'ailleurs que lorsque $m = 1$, $X(t) = \Pi(t)$.

A toute date ultérieure $t+h$, l'état probable du lot, c'est-à-dire la distribution $X(t+h)$ des veaux entre les différents états est donnée par :

$$X(t+h) = X(t) P(t,t+h)$$
on retrouve lorsque m = 1, la formule

$$ \Pi(t+h) = \Pi(t) \times P(t, t+h) $$

cette méthode est donc d'emploi facile et très réaliste comme nous allons le voir dans l'exemple suivant :

**Exemple 3** - On considère 3 états, comme dans l'exemple 2 et 30 veaux. On se donne l'état du lot formé par ces veaux au début de l'engraisse-ment, et on désire connaître l'état probable du lot au bout de 84 jours.

On a :

$$ X(0) = (0, 18, 12) $$

$$ P(0,84) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0,2 & 0,6 & 0,2 \\ 0,1 & 0,3 & 0,6 \end{bmatrix} $$

On calcule :

$$ X(84) = X(0) P(0,84) $$

$$ X(84) = (4,8 \quad 14,4 \quad 10,8) $$

on vérifie que la somme des composantes de X (84) est bien égale à 30. La donnée de X (84) dsignifie qu'au bout de 84 jours la composition pro-bable du lot sera la suivante :

- 4,8 veaux seront dans l'état E₁ donc morts

- 14,4 veaux seront dans l'état E₂

- 10,8 veaux seront dans l'état E₃

Ce qui décrit bien le lot. Si l'on préfère on peut à la rigueur arrondir ce qui donne :

- 5 veaux morts

- 14 veaux en E₂

- 11 veaux en E₃
Lorsque les veaux sont élevés en auto-service on ne peut plus considérer que chaque veau est soumis au même plan d'alimentation. Pour chaque veau, les matrices P(t) sont alors différentes et il est impossible de les déterminer. Puisqu'on ne connaît pas les rations individuelles. On ne peut pas appliquer la méthode précédente (1). On doit donc considérer globalement le lot de veaux, ce qui nous conduit à l'étude d'un processus de Markov à plusieurs dimensions.

## 2 - APPLICATION NUMÉRIQUE (2)

Ne disposant pas de données suffisamment précises sur l'évolution de la qualité en cours d'engraissement, nous nous sommes placés dans le cas simple où l'état d'un veau vivant est déterminé uniquement par son poids. D'autre part toujours du fait de la nature des données, nous considérons l'évolution du poids de quinze jours en quinze jours. Nous avons défini dix états comme l'indique le tableau suivant :

<footnote>(1) à la rigueur en utilisant des normes moyennes, on obtiendrait avec cette méthode une approximation, peut être bonne, ce que nous montre-ront les applications.</footnote>

<footnote>(2) dans toute l'application numérique nous ne considerons qu'un seul plan d'alimentation.</footnote>
<table><thead><tr><th>t<br>états</th><th>0</th><th>14</th><th>28</th><th>42</th><th>56</th><th>70</th><th>84</th></tr></thead><tbody><tr><th>E<sub>1</sub></th><td>veau mort</td><td>veau mort</td><td>veau mort</td><td>veau mort</td><td>veau mort</td><td>veau mort</td><td>veau mort</td></tr><tr><th>E<sub>2</sub></th><td>(0,43)</td><td>(0,40)</td><td>(0,50)</td><td>(0,70)</td><td>(0,90)</td><td>(0,100)</td><td>(0,110)</td></tr><tr><th>E<sub>3</sub></th><td>(43,46)</td><td>(40,44)</td><td>(50,54)</td><td>(70,74)</td><td>(90,94)</td><td>(100,105)</td><td>(110,115)</td></tr><tr><th>E<sub>4</sub></th><td>(46,49)</td><td>(44,48)</td><td>(54,58)</td><td>(74,78)</td><td>(94,98)</td><td>(105,110)</td><td>(115,120)</td></tr><tr><th>E<sub>5</sub></th><td>(49,52)</td><td>(48,52)</td><td>(58,62)</td><td>(78,82)</td><td>(98,102)</td><td>(110,115)</td><td>(120,125)</td></tr><tr><th>E<sub>6</sub></th><td>(52,55)</td><td>(52,56)</td><td>(62,66)</td><td>(82,86)</td><td>(102,106)</td><td>(115,120)</td><td>(125,130)</td></tr><tr><th>E<sub>7</sub></th><td>(55,58)</td><td>(56,60)</td><td>(66,70)</td><td>(86,90)</td><td>(106,110)</td><td>(120,125)</td><td>(130,135)</td></tr><tr><th>E<sub>8</sub></th><td>(58,61)</td><td>(60,64)</td><td>(70,74)</td><td>(90,94)</td><td>(110,114)</td><td>(125,130)</td><td>(135,140)</td></tr><tr><th>E<sub>9</sub></th><td>(61,64)</td><td>(64,68)</td><td>(74,78)</td><td>(94,98)</td><td>(114,118)</td><td>(130,135)</td><td>(140,145)</td></tr><tr><th>E<sub>10</sub></th><td>(64+∞)</td><td>(68+∞)</td><td>(78+∞)</td><td>(98+∞)</td><td>(118+∞)</td><td>(135+∞)</td><td>(145+∞)</td></tr></tbody></table>

Dans chaque case nous avons indiqué l'intervalle de variation du poids (exprimé en kg). Par exemple si un veau pèse 93 kg à l'instant $t = 56$ jours, il est dans l'état $E_3$.
Des données provenant de 1 732 veaux nous ont permis de calculer les matrices des probabilités de transition de quinze jours en quinze jours :

<table><tbody><tr><td rowspan="10">P (0,14)=</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0,1250</td><td>0,3750</td><td>0,5000</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,7647</td><td>0,2353</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0,0313</td><td>0</td><td>0,0313</td><td>0,4062</td><td>0,3750</td><td>0,1562</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0,0800</td><td>0</td><td>0</td><td>0,0400</td><td>0,5200</td><td>0,2800</td><td>0,0300</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,1579</td><td>0,6842</td><td>0,1053</td><td>0,0526</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,3333</td><td>0,6667</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,3333</td><td>0,3333</td><td>0,3334</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,5000</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,5000</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td rowspan="10">P(14,28)=</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0,2500</td><td>0,5000</td><td>0,2500</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0,0645</td><td>0,6452</td><td>0,2903</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,2187</td><td>0,5312</td><td>0,2501</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0,0357</td><td>0</td><td>0</td><td>0,0357</td><td>0,2858</td><td>0,5357</td><td>0,0714</td><td>0,0357</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,1111</td><td>0</td><td>0,7778</td><td>0,1111</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,5000</td><td>0,5000</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td rowspan="10">P (23,42)=</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0,3334</td><td>0,6666</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0,2000</td><td>0,4667</td><td>0,3333</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0,0277</td><td>0,2500</td><td>0,5555</td><td>0,1391</td><td>0,0277</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,4783</td><td>0,3913</td><td>0,1304</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,4444</td><td>0,4444</td><td>0,1112</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,50000</td><td>0</td><td>0</td><td>0,5000</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td rowspan="10">P (42,56)=</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0,2500</td><td>0,5000</td><td>0,2500</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0,1200</td><td>0,6400</td><td>0,2400</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,1190</td><td>0,5952</td><td>0,2381</td><td>0,0477</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,1666</td><td>0,4444</td><td>0,3890</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,2500</td><td>0,7500</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,5000</td><td>0,5000</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,5000</td><td>0,5000</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td rowspan="10">P (56,70)=</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0,3333</td><td>0</td><td>0,6667</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0,1429</td><td>0,2357</td><td>0,5714</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,0870</td><td>0,6087</td><td>0,3043</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0,0294</td><td>0,0294</td><td>0,1765</td><td>0,5588</td><td>0,2059</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,0555</td><td>0,1110</td><td>0,6670</td><td>0,1665</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,3636</td><td>0,3636</td><td>0,2728</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,2222</td><td>0,7778</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,5000</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,5000</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0,5000</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,5000</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0,1429</td><td>0</td><td>0,2857</td><td>0,4285</td><td>0,1429</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,3200</td><td>0,4800</td><td>0,2000</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,0690</td><td>0,0690</td><td>0,3448</td><td>0,1379</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,0435</td><td>0</td><td>0,1304</td><td>0,3913</td><td>0,4348</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,4444</td><td>0,3334</td><td>0</td><td>0,2222</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,1000</td><td>0,8000</td><td>0,1000</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr></tbody></table>

Ces estimations statistiques étant faites, soit un lot de 112 veaux connaissant son état au début de l'engraissement, nous avons déterminé son état probable de quinze jours en quinze jours. On a :

$$X(0) = \begin{bmatrix} 0 & 8 & 17 & 32 & 25 & 19 & 6 & 0 & 3 & 2 \end{bmatrix}$$
$$X(14) = X(0) \quad P(0,14)$$
$$X(28) = X(14) \quad P(14,28)$$
$$X(42) = X(28) \quad P(28,42)$$
$$X(56) = X(42) \quad P(42,56)$$
$$X(70) = X(56) \quad P(56,70)$$
$$X(84) = X(70) \quad P(70,84)$$

d'où :

$$X(14) = \begin{bmatrix} 3,0016 & 1,0000 & 4,0016 & 30,9983 & 32,0002 & 27,9980 & 9,0008 & 1,9993 \\ 1,0002 & 1,0000 & & & & & & & \end{bmatrix}$$

$$X(28) = \begin{bmatrix} 4,0011 & 1,0004 & 2,9997 & 29,9984 & 35,9995 & 23.0017 & 8,9993 & 1,9995 \\ 1,9996 & 1,9998 & & & & & & & \end{bmatrix}$$
# 1 - EXPOSE DE LA METHODE

On peut dire que la programmation dynamique s'occupe des processus de décisions à étapes. Exposons sa méthode dans le cas qui nous intéresse.

L'évolution dans le temps du lot L est régie par l'équation de récurrence stochastique :

$$ (1) \ X(t+1) = f[X(t), U(t), t] $$

où $X(t)$ est l'état à l'instant $t$ et $U(t)$ la décision prise à l'instant $t$. Soient $\bar{H}$ l'espace des états et $\mathcal{K}$ $[\bar{X}(t)]$ l'ensemble des décisions possibles à l'instant $t$ si $L$ est dans l'état $X(t)$. Une suite $\cup(0), \cup(1), \dots$ $\cup(t)$ de décisions est appelée une stratégie. Connaissant une stratégie et l'état initial de $L$, les états ultérieurs sont déterminés pour l'équation (1). La suite $X(0), X(1), \dots, X(t)$ des états obtenus est la trajectoire de $L$ associée à $\cup(0), \cup(1), \dots, \cup(t)$. Inversement toute suite $X(0), X(1), \dots, X(t)$ ... sera dite trajectoire possible si elle peut être réalisée par une stratégie au moins. Le nombre $T$ d'étapes considérée est appelée horizon.

Le problème est alors de rechercher pour un état initial donné les stratégies qui maximisent un critère de la forme :

$$ v_o[\bar{X}(0), \cup(0)] + v_l[\bar{X}(1), \cup(1)] + \dots + v_{T-1}[\bar{X}(T-1), \cup(T-1)] \\ + [v_T X(t)] $$

où les $v_t[\bar{X}(t), \cup(t)]$ et $v_T[\bar{X}(t)]$ sont des revenus. Lorsque $v_T[\bar{X}(T)]$ est nul on dit que le critère est à revenus partiels, lorsqu'au contraire seul $v_T[\bar{X}(T)]$ subsiste on dit que le critère est à revenu final.
Avant d'introduire rigoureusement la méthode illustrons la
par un exemple :

**Exemple 4** - On considère un seul veau et trois états possibles $E_1$, $E_2$, $E_3$ (le premier état correspondant à un veau mort). L'horizon T vaut 90 jours, on étudie l'évolution du veau de 30 jours en 30 jours. On trace un graphe dont les sommets sont les états possibles du veau, les arcs représentant les transitions possibles. A chaque transition est attachée un revenu par- tiel, à chaque état final est attaché un revenu final. Il s'agit alors de chercher parmi tous les chemins menant de l'état initial à l'un des états final celui ou ceux qui maximisent le revenu total.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>
Considérons alors les différents états possibles au 60ième jour, et affectons leurs un revenu égal au revenu maximum que l'on peut en tirer au cours de l'évolution future. Conservons alors les trajectoires optimales du 60ième au 90ième jour :

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

On considère ensuite les états possibles au 30ième jour et on leur affecte un revenu égal au revenu maximum que l'on peut en tirer au cours de l'évolution future :

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

En se plaçant enfin au début du processus, on considère les transitions possibles du temps $t=0$ au temps $t=30$ et on leur affecte le revenu maximum que l'on peut en tirer au cours de l'évolution future :

<figure><img src="image_7.png" /></figure>
Ce procédé permet d'obtenir :

a) à chaque instant et en chaque état, la ou les transitions optimales permettant de retirer un revenu maximum de l'évolution future du veau.

b) pour chaque instant et chaque état le revenu maximum que l'on peut retirer de l'évolution future du veau

c) la ou les trajectoires optimales à partir de l'état initial

La trajectoire optimale est ici :

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

elle assure un revenu probable de 14.

On a ainsi trouvé la stratégie optimale.

Nous allons maintenant revenir à la formulation générale et énoncer un principe général dû à Bellman.

## 2 - PRINCIPE D'OPTIMALITE DE BELLMAN

La technique que nous avons employée dans l'exemple précédent est très générale. C'est le principe d'optimalité :

Une stratégie optimale est telle que, quels que soient l'état initial et la décision initiale, les décisions suivantes doivent constituer une stratégie optimale par rapport à l'état résultant de la première décision.

Dans le cas particulier de l'exemple 4 il est très facile de démontrer ce principe en utilisant un raisonnement par l'absurde. Nous ne le ferons pas, mais énonçons le principe sous une forme parfaitement rigoureuse.
Si une stratégie $\tilde{U}(0), \tilde{U}(1), \dots, \tilde{U}(T-1)$ est optimale, il en est de même de la stratégie $\tilde{U}(t), \dots, \tilde{U}(T-1)$ pour l'état initial $\tilde{X}^t(t)$ et le critère :

$$v_t[\tilde{X}(t), \cup(t)] + \dots + v_{T-1}[\tilde{X}(T-1), \cup(T-1)] + v_T[\tilde{X}(T)]$$

$$\text{Posons } v_{T-1}[\tilde{X}(T-1)] = \max_{\cup(T-1)} v_{T-1}[\tilde{X}(T-1), (T-1)] + v_T[\tilde{X}(T)]$$

et d'une façon générale :

$$v_t[\tilde{X}(t)] = \max_{\cup(t)} \left\{ v_t[\tilde{X}(t), (t)] + v_{t-1}[\tilde{X}(t+1)] \right\}$$

pour $t = 0, \dots, T-1$

Nous avons le théorème suivant, très utile dans la suite, que nous énonçons sans démonstration :

(1) on a :

$$v_t[\tilde{X}(t)] = \max_{\cup(t)} v_t[\tilde{X}(t), (t)] + \dots + v_{T-1}[\tilde{X}(T-1), (T-1)]$$

(2) Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une stratégie $\tilde{U}(0), \dots, \tilde{U}(T-1)$ soit maximale est que :

$$v_t[\tilde{X}(t)] = v_t[\tilde{X}(t), \cup(t)] + v_{t+1}[\tilde{X}(t+1)]$$

$$v_t = 0, \dots, T-1$$

(3) Si une stratégie $\tilde{U}(0), \dots, \tilde{U}(T-1)$ est maximale, la stratégie $\tilde{U}(0), \dots, \tilde{U}(T-1)$ est maximale (l'état initial étant inchangé) pour le critère

$$v_o[\tilde{X}(0), \cup(0)] + \dots + v_{T-1}[\tilde{X}(T-1), \cup(T-1)] + v_T[\tilde{X}(T)]$$

Inversement si $\tilde{U}(0), \dots, \tilde{U}(T-1)$ est maximale pour ce critère, elle peut se prolonger en une stratégie optimale par le critère initial.
Remarque : Dans le cas où le critère est à minimiser, on remplacera part-
tout max par min. C'est le cas où l'on cherche à minimiser le coût total
de production.
§ 4 - MODELES A REVENU FINAL /

1 - CHOIX DE LA DATE DE FIN D'ENGRAISSEMENT

Soit le lot L de m veaux pouvant passer par les n états $E_1, ..., E_n$. Les veaux sont engraissés pendant T jours de la date zéro à la date T. Nous désirons choisir T de façon à maximiser le revenu que l'on peut attendre après avoir commercialisé ces veaux.

Remarquons tout d'abord que T n'est pas absolument quelconque. Compte tenu de nos objectifs, quant à la nature des veaux, nous prenons :

$70 \text{ jours} \le T \le 120 \text{ jours}$

La recette rapporté par L, si on le vend à la date T dépend uniquement des prix prévus et de l'état $X(T)$. Les états $F_i$ sont d'autre part liés au plan d'alimentation, donc aux quantités d'aliments consommés. On peut donc adopter, en tenant compte du prix d'achat des veaux et des autres frais, un revenu moyen attendu à la date T pour chaque état. Soit $F^i(T)$ le revenu moyen attendu pour un veau situé dans l'état $E_i$ à la date T et vendu à cette date. On considère le vecteur colonne, à n composantes, des revenus moyens attendus à la date T :

$$F (T) = \begin{bmatrix} F^1 (T) \\ F^2 (T) \\ \vdots \\ F^n (T) \end{bmatrix}$$

Le revenu attendu de la commercialisation de L à la date T est alors égale à :

$$V_T [X (T)] = X(T) \times F(T)$$
ou en explicitant

$$V_T[X(T)] = [X^1(T), X^2(T), \dots, X^n(T)] \times \begin{bmatrix} F^1(T) \\ F^2(T) \\ \vdots \\ F^n(T) \end{bmatrix}$$

Plaçons nous au début de l'engraissement et supposons le plan d'alimentation donné. Nous calculons $V_T[X(T)]$ pour T variant de 70 jours à 120 jours et nous choisissons T de façon à maximiser le revenu attendu correspondant. Nous avons donc un critère à revenu final.

Mais en pratique si on vend le lot L à la date T, on est amené à le remplacer à la date T + $t_o$ ($t_o$ est la durée de désinfection). Cette durée est fixée et peut varier suivant les cas de 10 à 15 jours). Il faut donc que l'ensemble des deux opérations : vente du lot L à la date T et achat du lot suivant à la date T + $t_o$, s'effectue dans les meilleures conditions. Introduisons le prix d'achat du lot suivant à la date T + $t_o$ et désignons le par C (T+$t_o$). Le critère adopté est alors la maximisation de la quantité $V_T$ définie par :

$$V_T = V_T[X(T)] - C(T + t_o)$$

lorsque $t_o$ est fixé et que T varie de 70 à 120 jours. On choisit donc la date de vente correspondant à une valeur de T qui rend maximum $V_T$. On tient compte de cette façon du coût de remplacement du lot L.

Nous venons d'exposer cette méthode en nous plaçant au début de l'engraissement. Si on le désire on pourra décider du choix de T, en se plaçant à toute date ultérieure, plaçons nous au bout de 70 jours d'engraissement par exemple. On prend cette date comme nouvelle origine des temps on a :

0 jours ≤ T ≤ 50 jours

on connaît X (0) [état du lot au bout de 70 jours d'engraissement], les calculs sont alors les mêmes. Cette deuxième attitude est réaliste, car il n'est pas raisonnable en général de vendre les veaux avant 70 jours. Les
calculs sont alors plus précis car on connaît avec certitude l'état du lot au bout de 70 jours.

Nous avons donc déterminé la date de vente du lot L en tenant compte du coût de son remplacement. Il n'est pas possible pour la même méthode d'aller plus de l'avant, c'est-à-dire de tenir compte de l'évolution du lot suivant, de son remplacement ... puisque nous ne connaissons pas à l'avance sa composition. Malgré tout, lorsque nous possèderons de bonnes statistiques sur la composition du chéptel, nous pourrons prévoir en probabilité la composition des lots futurs. Nous pourrons alors introduire dans notre critère de décision plusieurs périodes d'élevage, en donnant bien sûr une importance prépondérante au futur proche.

## 2 - CHOIX DU PLAN D'ALIMENTATION ET CHANGEMENT DE PLAN EN COURS D'EN-GRAISSEMENT

Au début de l'engraissement, nous devons choisir le plan d'alimentation parmi k plans possibles $P_1, P_2, ..., P_k$. Pour faire ce choix nous les comparons en calculant : $V_T$ pour chaque plan et pour différentes valeurs de T. Nous obtenons pour le plan $P_i$ par exemple le vecteur :

$$V_{Pi} = (v_{70} \ v_{71} \ ... \ v_{120})$$

Nous pourrions convenir alors de choisir le plan qui donne à $V_T$ la valeur maximum. Ce critère est peu stable : les valeurs de $V_T$ sont calculées à partir de prévisions, aussi serions nous amenés à préférer un plan qui donne des résultats particulièrement élevés alors que pour les autres valeurs ses résultats sont médiocres. Donc le critère de choix doit tenir compte de toutes les composantes des vecteurs $V_{Pi}$. Choisissons le critère stable de la maximisation du carré de la norme enclidienne de $V_{Pi}$. Le plan $P_i$ adopté est donc, celui qui maximise :

$$V_{Pi}^2 = V_{70}^2 + V_{71}^2 + ... + V_{120}^2$$
Si au bout d'un certain temps le comportement du lot n'est pas celui qui est attendu, on peut être amené à changer de plan d'alimentation. Pour le faire, en prenant pour origine cette nouvelle date, on compare les différents plans possibles par la méthode précédente.

### 3 - VENTE D'UN VEAU EN COURS D'ENGRAISSEMENT

Il se peut qu'un veau isolé profite mal, pour décider ou non de le vendre, nous calculons le revenu (positif ou négatif) qu'il pourrait procurer aux instants ultérieurs pour différents plans d'alimentations. S'il s'avère que la situation ne doive pas se redresser, on décide de le vendre.

Pour décider de faire de certains veaux soit des veaux d'élevage soit des gros bovins, on calcule de la même façon le revenu qu'ils pourraient procurer pour différentes alternatives.

Nous venons de donner des méthodes simples pour décider du choix du plan d'alimentation, de son changement, de la date d'arrêt de l'engraissement, de la vente d'un veau isolé. Nous nous sommes attachés à maximiser le revenu en tenant compte du remplacement des veaux, nous allons maintenant affiner nos méthodes en conservant le même type de critères.
§ 5 - MODELES A REVENUS PARTIELS

1 - DECOMPOSITION DU REVENU FINAL

Nous allons affiner les modèles précédents après avoir montré
comment décomposer le revenu final en une somme de revenus partiels.

Nous considérons toujours le lot L, engraissé de l'instant zéro
à l'instant T suivant une stratégie quelconque. Si $V_T[X(T)]$ continue à désirer le revenu rapporté par la vente de L à l'instant T si L est dans l'état $X(T)$ à cet instant, on a :

$$
V_T[X(T)] = \sum_{i=1}^{m} \rho^i (0, T)
$$

où $\rho^i(0,T)$ est le revenu final rapporté par le veau $\omega^i$. Or :

$$
\rho^i (0,T) = a^i (T) - a^i (0) - b^i (0,T)
$$

où $a^i(T)$ est le prix de vente de ce veau, $a^i(0)$ son prix d'achat et où
$b^i(0,T)$ comprend la valeur des aliments consommés ainsi que les frais divers.
Décomposons $\rho^i(0,T)$ en une somme de $T$ termes :

$$
\rho^i (0, T) = \rho^i (0, T) + \rho^i (1, 2) + \dots + \rho^i (t, t+1) + \dots + \rho^i (T-1, T)
$$

$$
\sum_{t=0}^{T-1} \rho^i(t, t+1)
$$

$\rho^i(t,t+1)$ est le revenu partiel rapporté dans la transition qui s'est effec-
tuée de l'instant $t$ à l'instant $t+1$ :

$$
\rho^i (t, t+1) = a^i (t+1) - a^i (t) - b^i (t, t+1)
$$

avec $a^i(t) = \text{prix de vente auquel on aurait vendu le veau à l'instant } t$.
$b^i(t, t+1)$ = valeur des aliments consommés et des frais divers de l'instant $t$ à l'instant $t+1$.

En revenant au lot L, nous écrirons le revenu final sous la forme d'une somme de T revenus partiels :

$$ 
\begin{aligned}
V_T[X(T)] &= \sum_{i=1}^{m} \sum_{t=0}^{t-1} \rho^i(t, t+1) \\
&= \sum_{t=0}^{t-1} \begin{bmatrix} m \\ \sum_i \rho^i(t, t+1) \\ \sum_i \rho^i(t, t+1) \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix} m \\ \sum_i \rho^i(0, 1) \\ \sum_i \rho^i(0, 1) \end{bmatrix} + \dots + \begin{bmatrix} m \\ \sum_i \rho^i(t, t+1) \\ \sum_i \rho^i(t, t+1) \end{bmatrix} + \dots \\
&\quad + \begin{bmatrix} m \\ \sum_i \rho^i(T-1, T) \\ \sum_i \rho^i(T-1, T) \end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

$\sum_{i=1}^{m} \rho^i(t, t+1)$ est donc le revenu partiel rapporté par L dans la transition qui a lieu de l'instant $t$ à l'instant $t+1$.

## 2 - MODELES MARKOVIENS A REVENUS PARTIELS

### 2-1 Introduction théorique

Nous ne nous posons pour l'instant que le problème du choix de la date d'arrêt de l'engraissement.

On considère l'évolution d'un veau de l'instant zéro à l'instant $T$. Cette évolution est soumise comme nous l'avons vu à une chaîne de Markov non homogène de matrice de transition $P(t)$ de l'instant $t$ à l'instant $t+1$. A toute transition $E_i \to E_j$ se produisant entre l'instant $t$ et l'instant $t+1$ nous pouvons associer un revenu partiel $r_{ij}(t)$ comme nous venons de le montrer. Désignons par $v_i(t)$ le revenu moyen perçu à partir
de l'instant $t$ si le veau est dans l'état $E_i$ à l'instant $t$ et par $q_i(t)$
le revenu partiel moyen perçu dans la transition qui se produit entre les
instants et $t+1$ si le veau est dans l'état $E_i$ à l'instant $t$. On a :

$$q_i(t) = \sum_{j=1}^{n} r_{ij}(t) p_{ij}(t)$$

Par ailleurs toujours si le veau est dans l'état $E_i$ à l'instant $t$, le revenu moyen perçu à partir de l'instant $t+1$ est égal à :

$$\sum_{j=1}^{n} v_{j}(t+1) p_{ij}(t)$$

On obtient la relation de récurrence :

$$v_i(t) = \sum_{j=1}^{n} v_j(t+1) p_{ij}(t) + q_i(t)$$

qui s'écrit, en posant

$$v(t) = [v_1(t) \dots v_n(t)] \quad \text{et} \quad q(t) = [q_1(t) \dots q_n(t)]$$

sous la forme :

$$v(t) = v(t+1) P(t) + q(t)$$

Comme $v(T)$ est nulle, nous avons une relation de récurrence rétrograde.
Il est alors facile de calculer $v(t)$ pour $0 \le t \le T-1$.

Si on considère le lot $L$, pour chaque veau du lot on a la
même relation.
## 2-2 - Application

En pratique connaissant l'état $X(0)$ de $L$ au début de l'engraiss- sement on détermine $T$, en maximisant le revenu attendu au bout de $T$ jours donné par :

$$ 
\begin{aligned}
R (0,T) &= X'(0) v (0) \quad [X(0) désigne la transposée de X (0)] \\
&= X^1 (0) v_1 (0) + \dots + X^i (0) v_i (0) + \dots + X^n (0) v_n (0)
\end{aligned}
$$

On calcule donc $R (0,T)$ pour 70 jours $<$ $T$ $<$ 120 jours et on choisit la valeur qui maximise $R (0,T)$.

On peut être amené à considérer que l'état du lot au début de l'engraissement n'est pas significatif, au lieu de se placer à la date zéro on se place alors à un instant $t$ ultérieur. On calcule :

$$ R (t,T) = X' (t) v (t) $$

lorsque $T$ varie. On choisit de la même façon la valeur de $T$ qui maximise $R (t,T)$.

Cette méthode permet de programmer très simplement les périodes d'élevage.

## 2-3 Etude asymptotique (1)

On peut parfois admettre qu'à partir d'une certaine durée d'engraissement, l'évolution du veau est homogène dans le temps. Plaçons nous dans ce cas, et étudions le revenu lorsque la durée devient infinie.

Donc pour $t \ge 70$ jours, les matrices $P(t)$ sont alors indépen- dantes du temps notons les $P$. Il en est de même des matrices des revenus partiels $R(t) = [r_{ij}(t)]$ que l'on note $R$. Prenons pour nouvelle origine des temps l'instant 70 jours.

Considérons un veau, s'il est dans l'état $E_i$ à un instant quel- conque le revenu partiel moyen perçu dans la transition suivante est indé-

<footnote>(1) Il peut être utile de consulter l'annexe 1 -</footnote>
pendant du temps, et est égal à :

$$q_i = \sum_{j=1}^{n} r_{ij} p_{ij}$$

On pose :

$$q = [q_1 \dots q_n]$$

Désignons alors par $v_i(T)$ le revenu perçu au cours de T transitions successives si le veau part de l'état $E_i$. On a la relation de récurrence :

$$v_i(T) = \sum_{j=1}^{n} v_j(T-1) p_{ij} + q_i$$

C'est-à-dire en posant :

$$v(T) = [v_1(T) \dots, v_n(T)]$$

$$v(T) = v(T-1) P + q$$

avec $v(0) = 0$. On obtient cette fois une relation de récurrence directe.

$$v(T) = v(T-1) P + q$$

$$v(T-1) = v(T-2) P + q$$

....................

$$v(1) = v(0) P + q$$

$$v(0) = 0$$

s'ouï l'on déduit :

$$v(T) = q \left[ 1 + P + \dots + P^{T-1} \right]$$

$$\text{et } \frac{v(T)}{T} = q \times \frac{1 + P + \dots + P^{T-1}}{T}$$

Soit $\hat{n}_1$ le projecteur spectral associé à la valeur propre 1 de la matrice P. On a :

$$\lim_{T \to \infty} \frac{1 + P + \dots + P^{T-1}}{T} = \Pi_1$$
Posons : $g = [g_1 \cdots g_n] = q \prod_1^n$

Nous avons :

$$ \lim_{T \to \infty} \frac{v(T)}{T} = g $$

c'est-à-dire que pour les grandes valeurs de T :

$$ v(T) \sim Tg $$

cette relation nous permet donc de calculer le revenu attendu lorsque la durée d'engraissement est très grande. Soit le lot L, le revenu attendu au bout d'une longue durée est donnée par :

$$ R(0,T) = X'(0) v(T) \quad (1) $$

$$ = T X'(0) g $$

$$ = T \left[ X^1(0) g_1 + \dots + X^{n-1}(0) g_{n-1} + X^n(0) g_n \right] $$

Ceci nous donne des critères analogues à l'espérance mathématique. Il est d'autre part possible de décomposer $v(T)$ suivant la nature de la ma-trice $P$, ce que nous ne ferons pas (2).

## 3 - MODELES MARKOVIENS A REVENUS PARTIELS ET DECISIONS

Plaçons nous maintenant dans le cas général et soient $D_1, \dots, D_p$ les différentes décisions concernant le plan d'alimentation.

Considérons tout d'abord un veau $p_{ij}(t,k)$ désigne la probabilité pour que le veau étant dans l'état $E_i$ à l'instant $t$ soit dans l'état $E_j$ à l'instant $t+1$ sachant qu'on applique la décision $D_k$, $r_{ij}(t,k)$ est le revenu partiel correspondant.

<footnote>(1) l'origine est prise au 70ème jour, donc $X(0)$ est l'état de L à cette date</footnote>

<footnote>(2) voir le livre de Howard</footnote>
On pose :

$$
P(t,k) = [p_{ij}(t,k)] \text{ et } R(t,k) = [r_{ij}(t,k)] \quad (1 \le i, j \le n)
$$

Le revenu partiel moyen perçu dans la transition $E_i \rightarrow E_j$ de l'instant $t$ à
l'instant $t+1$, lorsqu'on applique la décision $D_k$ est :

$$
q_i(t,k) = \sum_{j=1}^{n} r_{ij}(t,k) p_{ij}(t,k)
$$

Si $v_i(t,T)$ désigne le maximum du revenu partiel perçu de l'instant $t$ à
l'instant $T$, si le veau est dans l'état $E_i$ à l'instant $t$, on a :

$$
(a) v_i(t,T) = \max_k \left[ \sum_{j=1}^{n} v_j(t+1,T) p_{ij}(t,k) + q_i(t,k) \right]
$$

ce qui permet de calculer $v_i(t,T)$ pour tout $t$ et tout $T$, sachant que
$v_i(T,T) = 0$.

Si on se place au début de l'engraissement, on calcule $v_i(0,T)$ pour 70 jours $\le T \le 120$ jours ; et on détermine la valeur de $k$ cor-
respondante, donc la décision à appliquer. Il est très possible de trouver
plusieurs solutions.

Lorsqu'on considère le lot L, la méthode précédente n'est pas
généralisable ex-abrupto. On pourrait individualiser chaque veau et déter-
miner autant de décisions grâce à la relation (a). Il serait alors bien
difficile d'en choisir une. Nous allons donc inanquer une méthode donnant
une décision globale pour le lot L.

Désignons par $Q(t,k)$, le revenu partiel moyen perçu dans la transition $X(t) \rightarrow X(t+1)$ de l'instant $t$ à l'instant $t+1$ si on applique la décision $D_k$ à l'instant $t$.

$$
X^j(t+1) = \sum_{i=1}^{n} X^i(t) p_{ij}(t,k)
$$
- 41 -

$$Q (t,k) = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} r_{ij} (t,k) X_{ij}^{i} (t) p_{ij} (t,k)$$

$$= \sum_{i=1}^{n} X_{ij}^{i}(t) \sum_{j=1}^{n} r_{ij}(t,k) p_{ij}(t,k)$$

$$= \sum_{i=1}^{n} X_{ij}^{i}(t) q_{ij}(t,k)$$

$$Q(t,k) = X'(t) q(t,k)$$

$$\text{en posant } q(t,k) = [q_1(t,k) \dots q_n(t,k)]$$

Si $R(t,T)$ désigne le maximum du revenu partiel perçu de l'instante $t$ à l'instant $T$, On détermine $D_k$ par :

$$R(t,T) = \max_{k} \left[ \sum_{j=1}^{n} v_{j}(t+1,T) X_{ij}^{j}(t+1) + Q(t,k) \right]$$

A chaque instant on obtient donc une décision commune à tous les veaux.

## 4 - VENTE D'UN VEAU EN COURS D'ENGRAISSEMENT - PROBLEME DE REMPLACEMENT

La vente d'un veau qui profite mal en cours d'engraissement se décide comme dans le cas des modèles à revenu final. C'est dire en examinant les revenus qu'il pourrait procurer en le conservant. On agit de même pour décider de faire de certains veaux des gros bovins ou des veaux d'élevage.

Le problème de remplacement se traite lui aussi comme dans le cas des modèles à revenu final en introduisant le prix d'achat du lot suivant et en maximisant non plus simplement le revenu attendu, mais la différence entre celui-ci et le prix d'achat du lot remplaçant.
## § 6 - CONCLUSION ET BIBLIOGRAPHIE /

Nous avons construit des modèles dynamiques originaux, d'emploi facile puisqu'ils ne font appel qu'à des calculs itératifs. Ces modèles sont basés sur une hypothèse fondamentale : l'évolution d'un veau soumis à un plan d'alimentation déterminé, est régie par une chaîne de Markov non-homogène. Cette hypothèse simplificatrice s'est avérée parfaitement adéquate puisqu'elle nous conduit à des résultats très précis et rigoureux, comme nous l'a montré l'application numérique du deuxième paragraphe. Ce qui nous montre du même coup qu'à un moment quelconque de l'élevage d'un lot de veaux, connaissant son état et le plan d'alimentation auquel il est soumis, il est possible de prévoir avec une très bonne précision son état à tout instant ultérieur. Ces modèles à la fois simples et réalistes permettent donc une programmation convenable des entrees et des sorties du système S.

Dans une étude ultérieure nous donnerons de nouvelles applications numériques pour de nombreux plans d'alimentation. Pour le faire il nous sera nécessaire de collecter de nouvelles statistiques. Simultanément nous affinerons nos modèles à partir de recherches purement mathématiques déjà entreprises. Tous ces travaux nécessiteront un gros travail sur ordinateur.

A mesure que nous disposerons de résultats sur l'élevage des veaux en auto-service, nous élaborerons des modèles s'appliquant à ce type d'élevage. Des statistiques sur la composition du cheptel nous permettront alors d'utiliser des critères prenant en compte la succession d'un grand nombre de périodes d'élevage. En nous orientant de plus en plus vers des études de simulation nous étudierons la croissance des ateliers et la conccurrence entre les firmes à l'aide de la théorie des jeux.

Nos recherches se développeront donc sur trois plans :

a) Collecte et exploitation de statistiques

b) recherches mathématiques pour améliorer les modèles déjà construits.
Démonstrations de théorèmes - Constructions de nouveaux modèles.

c) applications numériques - Contrôle de la qualité des modèles.

Dans chaque direction elles nécessitent de nombreux calculs
sur ordinateur.

Cette première étude ne constitue donc qu'une introduction à
des travaux ultérieurs.

La bibliographie donne des références méthodologiques et quel-
ques références sur l'utilisation des chaînes de Markov en économie rurale.

(1) F. Bassoullet "Contribution à l'étude de la production intégrée de veaux de boucherie" (Publication INRA)

(2) Richard E. Bellman "Dynamic programming" Princeton University Press- 1957

(3) R.E. Bellman et S.E. Dreyfus "La programmation dynamique et ses applications" Dunod 1965

(4) Don Bostwick "Yield probabilities as a Markov process" - Agr. Econ. Res. 14 (2) - avril 1962 p.49-56.

(5) Churchman - Achoff - Arnoff "Introduction to operations research" Wiley 1957

(6) Marion Clawson "Aging farmers and agricultural policy" jour farm Econ 45 (1) 1963 p.13-30.

(7) Ronald A. Howard "Dynamic programming and Markov processes" MIT Press 1960

(8) Don Kanel "Farm adjustements by age groups, North Central states 1950-1959" Jour farm ecom 45 (1) 1963 p.47-60.

(9) Ronald D. Krenz "Projection du nombre d'exploitations à l'aide de chaînes de Markov" - Economie Rurale 64 (2) 1965 p.99-106.

(10) J. Lesourne "Technique économique et gestion industrielle" DUNOD 1960

(11) E. Malinvaud "Méthodes statistiques de l'économétrie" Dunod 1964

(12) R. PALLU de la BARRIERE " Cours d'automatique théorique" Dunod 1966

(13) Pontryagin - Bolstyanskii - Gamkrelidze - Mischenko - "The mathematical theory of optimal processes" Interscience New York 1962.

(14) P. Rosenstiehl, A. Ghouila - Houri, "Les choix économiques décisions séquentielles et simulation" Dunod 1960

(15) G. Van de Voorde "La production de veaux blancs" (publication de la commission pour l'étude de l'alimentation du bétail - Ministère belge de l'agriculture).
# ANNEXE I - INTRODUCTION A LA THEORIE DES CHAINES DE MARKOV FINIES

Nous donnons dans cette annexe quelques éléments sur les chaînes de Markov. Les propriétés sont enoncées sans démonstration.

## 1 - DEFINITIONS ET PROPRIÉTÉS GENERALES

### 1-1 Définition des chaînes de Markov

Il s'agit de représenter par un modèle mathématique l'état d'un système dépendant du temps et du hasard. Nous supposons que le temps est à valeurs entières et nous introduisons l'ensemble fini $E$, appelé espace des états.

Nous définissons les variables aléatoires $X_t$, $t \in \mathbb{N}$ par la relation :

$$X_t = i$$

si le système est dans l'état $E_i$ à l'instant $t$. Nous appelons chaîne de Markov finie la famille des variables aléatoires $X_t$, qui vérifient la propriété de Markov :

**Propriété de Markov :**

Pour toute suite d'instants :

$$t_1 < t_2 < \dots < t_n < t$$

on a

$$P \left[ X_t = i \mid X_{t_1} = j_1 \dots X_{t_n} = j_n \right] = P \left[ X_t = i \mid X_{t_n} = j_n \right]$$

Ainsi la connaissance de l'état du système à l'instant $t_n$ détermine à elle seule la loi aléatoire de ce système après l'instant $t_n$.
### 1-2 Matrices de transition

Soient deux instant s et t, s < t

Posons : $p_{ij}^{(s,t)} = P \begin{bmatrix} x_t = j & | & x_s = i \end{bmatrix}$

L'application $(i,j) \mapsto p_{ij}^{(s,t)}$ (s,t) ainsi définie permet d'associer à notre chaîne de Markov, pour deux instants s et t, une matrice finie, dont le terme de la ième ligne et de la jième colonne est précisément $p_{ij}^{(s,t)}$ :

$$P(s,t) = \begin{bmatrix} p_{ij}^{(s,t)} \end{bmatrix}$$

c'est la matrice de transition entre les instants s et t. On remarque que:

$$p_{ij}^{(s,t)} \geq 0$$

$$\sum_j p_{ij}^{(s,t)} = 1$$

On dit que la matrice P (s,t) est stochastique.

### 1-3 Formule de Chapman - Kolmogorov

On démontre que :

$$P(r,t) = P(r,s) \times P(s,t)$$

### 1-4 Propriété importante

Si $\Pi(t)$ désigne la distribution de probabilité de $X_t$ on a :

$$\Pi(t) = \Pi(s) \times P(s,t)$$

### 1-5 Chaines homogènes

une chaîne de Markov est dite homogène si :

$$P(s+h, t+h) = P(s, t) \quad s < t$$

$$\text{d'où } P(s,t) = P(o,t - s)$$
Si nous posons :

$$P = P(0,1)$$

nous avons :

$$P(0,t) = P^t$$

## 2 - NOTIONS SUR LA THEORIE DES GRAPHERES

On appelle graphe orienté ou simplement graphe sur un ensemble X toute application $\Gamma$ de X dans l'ensemble des parties de X.

Les éléments de X sont appelés les sommets du graphe. On appelle arc du graphe tout couple $(x,y)$ de sommets tels que $y \in \Gamma(x)$; $x$ est appelé l'origine et $y$ l'extrémité de l'arc $(x,y)$. Si X est fini on représente ses éléments par des points d'un plan et $\Gamma$ est alors représenté par l'ensemble de ces arcs :

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

On appelle chemin toute suite $x_0, x_1, \dots, x_k$ de sommets tels que $x_{i+1} \in \Gamma(x_i)$. Le nombre $k> 0$ est appelé la longueur du chemin. Un chemin de longueur non-nul peut être défini par la suite des arcs : $(x_0, x_1), (x_1, x_2), \dots, (x_{k-1}, x_k)$. Le sommet $x_0$ est dit origine du chemin et le sommet $x_k$ est dit son extrémité. Le chemin est dit élémentaire si $x_i \neq x_j$ pour $i \neq j$.

On appelle circuit tout chemin dont l'origine est confondue avec l'extrémité. Tout chemin de longueur nulle est un circuit. On appelle boucle un circuit de longueur 1.
A partir du graphe Γ, on peut définir les graphes Γ<sup>k</sup> (k > 0) suivants :

y ∈ Γ<sup>k</sup>(x), s'il existe un chemin de longueur k du graphe Γ admettant x pour origine et y pour extrémité.

On définit de plus un graphe $\hat{\Gamma}$ de la façon suivante :

y ∈ $\hat{\Gamma}$ (x), s'il existe un chemin de longueur quelconque du
graphe Γ admettant x pour origine et y pour extrémité. On a :

$$
\hat{\Gamma}(x) = \bigcup_{k=0}^{k} \Gamma(x)
$$

Si y ∈ $\hat{\Gamma}(x)$ on dit que x conduit à y .

On dit qu'un graphe Γ est fortement connexe si :

$$
\forall x \in X \quad \hat{\Gamma}(x) = X
$$

A tout graphe on associe la relation d'équivalence canonique :

$$
x \sim y \iff y \in \hat{\Gamma}(x) \text{ et } x \in \hat{\Gamma}(y)
$$

Les classes d'équivalence sont appelées les classes du graphe. Une classe c₁ conduit à la classe c₂ si pour tout x₂ ∈ c₂ il existe x₁ ∈ c₁, tel que x₁ conduise à x₂ .

Une partie $A \subset X$ est appelée un ensemble clos si :

$$
x \in A \rightarrow \hat{\Gamma}(x) \subset A
$$

c'est-à-dire s'il n'existe aucun arc ayant son origine dans A et son extrémité dans C A .

Lorsqu'une classe est un ensemble clos, on dit qu'elle est une classe finale. S'il n'existe qu'un nombre fini de classes, il existe au moins une classe finale. Une classe non finale est dite transitoire.
Graphe associé à une matrice stochastique

Soit P une matrice stochastique à n² éléments. Nous lui associons le graphe dont l'ensemble des sommets est {1, 2 ... n} et qui est défini par :

$$j \in \Gamma (i) \Leftrightarrow p_{ij} > 0$$

On remarque que la matrice P<sup>k</sup> est associé au graphe Γ<sup>k</sup>.

### 3 - ANALYSE SPECTRALE DES MATRICES STOCHASTIQUES

**Proposition :** a) les valeurs propres d'une matrice stochastique sont de module inférieur ou égal à un.

b) Toute matrice stochastique admet la valeur propre un.

**Définition :** On appelle période d'une classe final le P G C D de la longueur des circuits.

Les principaux résultats peuvent se résumer à l'aide du tableau suivant :

<table><thead><tr><th>Type de la matrice</th><th>Définition</th><th>propriétés spectrales</th></tr></thead><tbody><tr><td>Primitive</td><td>Toutes les classes finales sont de période 1</td><td>l est la seule valeur propre de module 1</td></tr><tr><td>ergodique</td><td>une seule classe finale</td><td>l est valeur propre simple</td></tr><tr><td>régulière (primitive + ergodique)</td><td>une seule classe finale de période 1</td><td>l est la seule valeur propre de module 1 et est valeur propre simple</td></tr><tr><td>irréductible</td><td>une seule classe</td><td>l est valeur propre simple et tous les vecteurs propres associés ont toutes leurs composantes non nulles</td></tr></tbody></table>
## 4 - COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE

*Proposition:* une condition nécessaire et suffisante pour que $P^t$ ait une limite est que P soit primitive.

*Proposition:* une condition nécessaire et suffisante pour que $\Pi(t)$ ait une limite indépendante de $\Pi(0)$ est que P soit régulière.

*Proposition:* Si l'on pose $\Pi(t) = \Pi(0) P^t$ on a :

$$ \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \left[ \Pi(0) + \dots + \Pi(t-1) \right] = \Pi_1 \times \Pi(0) $$

où $\Pi_1$ est le projecteur spectral associé à la valeur propre 1. Autrement dit $\Pi(0), \dots \Pi(t)...$ a une limite au sens de Fejer.

*Proposition:* $\Pi_1 \Pi(0)$ est indépendante de $\Pi(0)$ si et seulement si P est ergodique.

*Proposition:* Si P est irréductible, $\Pi_1 \Pi(0)$ est indépendante de $\Pi(0)$ et à toute ses composantes non nulles.

## 5 - BIBLIOGRAPHIE

(1) Bailey - "The elements of stochastic processes" John Wiley

(2) Bartlett - "An introduction to stochastic processes"- Cambridge University press

(3) Kai Lai Chung - Markov chains with stationary transition probabilities (Berlin : Springer)

(4) Doob - Stochastic processes John Wiley

(5) Feller - An introduction to probability theory and its applications John Wiley

(6) Gordon - Theorie des chaines de Markov finies et ses applications (Dunod)

(7) Kemeny - Snell - "Finite Markov Chains" D. Van Nostrand
(3) Métivier - Cours de D.E.A. - 1964-65, 1965-66, 1966-67 fac.Science Rennes

(9) Neveu - Bases mathématiques du calcul des probabilités - Masson

(10) Pallu de la Barrière - Cours d'automatique théorique - Dunod

(11) Prabhu - Stochastic processes - The Macmillan Company New York

(12) Takacs - Processus stochastiques - Monographie Dunod
# ANNEXE 2 - METHODE DU LISSAGE EXPONENTIEL

Nous donnons dans cette annexe un bref aperçu de cette méthode.

## 1 - INTRODUCTION

Dans toute entreprise, l'élaboration de prévisions répétées à intervalles réguliers joue un rôle essentiel. De telles prévisions dépendent, dans une proportion plus ou moins grande, de l'extrapolation dans le futur des valeurs constatées dans le passé, c'est-à-dire que la base de la prévision sera toujours l'analyse chronologique, les résultats de cette analyse étant éventuellement modifiés par d'autres considérations, et ceci d'autant plus que la prévision s'effectue à plus long terme.

L'analyse chronologique d'un phénomène ne peut s'effectuer que par référence à un modèle préalablement choisi. On doit considérer que la valeur de l'information est une variable aléatoire, précisée en particulier par sa moyenne sur des périodes déterminées.

Une fois choisi un modèle, les prévisions doivent se déduire des caractéristiques de ce dernier par un simple calcul. Les caractéristiques doivent être recalculées en permanence, car chaque période apporte une nouvelle information dont il faut tenir compte. Cependant, il ne doit pas être nécessaire pour cela de procéder chaque fois à une analyse chronologique complète. La lourdeur d'un tel procédé le rendrait inintéressant, et il est infiniment préférable d'utiliser un calcul itératif pour lequel les éléments de prévision à l'instant t + 1 se déduisent uniquement.

- des éléments de prévision à l'instant t.

- de la nouvelle information parvenue entre l'instant t et l'instant t+1.

La méthode du lissage exponentiel répond parfaitement à ces nécessités. Facile à utiliser sur ordinateur, elle est d'une grande efficacité. Cette méthode nous servira à faire des prévisions de prix très utile pour nos modèles.
## 2 - PRINCIPES GENERAUX

### 2-1 Hypothèse fondamentale

On considère un phénomène et on désigne par $x_t$ la valeur de l'information dont on dispose à l'instant t et par $\tilde{x}_{t,\theta}$ la valeur de la prévision faite à l'instant t pour l'instant $t + \theta$ ($\theta$ étant de signe quelconque).

On calcule $\tilde{x}_{t,\theta}$ par la formule :

$$ (1) \quad \tilde{x}_{t,\theta} = \sum_{p=1}^{k} a_{tp}^{t} f_{p}(\theta) $$

Les fonctions $f_p$ sont déterminées une fois pour toutes par le choix du modèle de prévision. Au contraire, les coefficients $a_{tp}^t$ sont recalculés en permanence en tenant compte des nouvelles réalisations du phénomène et en ajustant au mieux sur le passé connu les prévisions calculées par la formule (1).

### 2-2 Calcul des coefficients $a_p^t$

On calcule les coefficients $a_p^t$ en rendant minimum la somme pondérée des carrés des écarts entre réalisations et prévisions sur le passé. On est donc amené à déterminer les $a_p^t$ qui minimisent :

$$ Q = \sum_{j=0}^{T-1} \beta^j (\tilde{x}_{t,-j} - x_{t-j})^2 = \sum_{j=0}^{T-1} \beta^j \left\{ \sum_{p=1}^{k} a_{tp}^t f_p(-j) - x_{t-j} \right\}^2 $$

où T est le nombre de valeurs de l'information connues à l'instant t. $\beta$ est une constante caractéristique du phénomène et du modèle de lissage choisi inférieure à un. $\beta$ est d'autant plus petite que le passé s'efface plus rapidement, c'est-à-dire que les réalisations conservent pendant moins longtemps leur valeur d'information pour l'avenir. Ainsi, dans Q les coefficients de pondération décroissent en progression géométrique en remontant dans le passé pour donner plus d'importance au passé proche qu'au passé plus lointain.
Le minimum de Q est atteint lorsque :

$$ \frac{\partial Q}{\partial a_i^t} = 0 \qquad 1 < i < k $$

c'est-à-dire :

$$ (2) \quad \sum_{j=0}^{T-1} \beta_j^t f_i^{(-j)} \sum_{p=1}^{k} a_p^t f_p^{(-j)} = 0 \quad 1 < i < k $$

Lorsque $T \to \infty$ on a toujours k équations linéaires à k inconnues, supposons alors que le système de solutions existe pour tout T et converge.

Dans la ième équation, le coefficient de $a_p^t$ est égal à :

$$ \sum_{j=0}^{\infty} \beta_j^t f_i^{(-j)} f_p^{(-j)} $$

il est indépendant de t ; donc les coefficients $a_i^t$ sont des fonctions linéaires des réalisations $x_{t-j}$ dont les coefficients sont indépendants de t. On écrit :

$$ (3) \quad a_i^t = \sum_{j=0}^{\infty} w_j^i x_{t-j} $$

Lorsque T est grand, on applique les mêmes formules ; s'il est faible, il faudra étudier des procédures transitoires.

Bien que le calcul effectif soit laborieux, il est facile de voir que $a_i^t$ ne dépend que des $a_p^{t-1}$ ($1 < p < k$), de $x_t$ et $x_{t-1,1}$. Donc en pratique, pour faire un calcul sur ordinateur, on utilisera un calcul itératif qui évite ainsi de garder en mémoire toute l'historique du phénomène.

Nous ne traitons pas le problème du démarrage des prévisions.
### 3 - EXEMPLES DE MODELES

#### 3-1 Modèle "constant"

Ce modèle correspond à l'équation :

$$ \overline{x}_{t,\theta} = a_t $$

à chaque instant t les prévisions pour chacune des périodes ultérieures sont identiques entre elles. La fonction d'ajustement est une constante que l'on modifie avec t.

On écrit l'équation (2) :

$$ a_t \sum_{j=0}^{\infty} \beta^j = \sum_{j=0}^{\infty} \beta^j x_{t-j} $$

ce qui donne à l'instant t-1 :

$$ a_{t-1} \sum_{j=0}^{\infty} \beta^j = \sum_{j=0}^{\infty} \beta^j x_{t-j-1} $$

d'où en comparant ces deux équations :

$$ a_t \sum_{j=0}^{\infty} \beta^j = x_t + \beta a_{t-1} \qquad \sum_{j=0}^{\infty} \beta^j = \beta $$

$$ \frac{a_t}{1-\beta} = x_t + a_{t-1} \frac{\beta}{1-\beta} $$

$$ a_t = \beta a_{t-1} + (1-\beta) x_t $$

ou $a_t = (1-\alpha) a_{t-1} + \alpha x_t$ avec $\alpha=1-\beta$
## Age moyen de l'information

Affectons à chaque information $x_{t-j}$ un âge $j$ à la date $t$ à laquelle s'élaborent les prévisions. On a :

$$a_t = \beta a_{t-1} + (1-\beta) x_t$$

$$a_{t-1} = \beta a_{t-2} + (1-\beta) x_{t-1}$$

$$a_{t-j} = \beta a_{t-j-1} + (1-\beta) x_{t-j}$$

d'où :

$$a_t = (1-\beta) \left( x_t + \beta x_{t-1} + \dots + \beta^j x_{t-j} + \dots \right)$$

Ce qui signifie que l'information d'âge $j$ intervient dans $a_t$ avec le poids $(1-\beta) \beta^j$. On définit alors l'âge moyen de l'information par :

$$\frac{\displaystyle\sum_{j=0}^{\infty} j (1-\beta) \beta^j}{\displaystyle\sum_{j=0}^{\infty} (1-\beta) \beta^j} = \frac{\beta}{1-\beta}$$

On remarque que si $\beta = 0,9$ cet âge moyen vaut 9 périodes alors que dans une méthode des moyennes mobiles sur 12 périodes en trouve 5,5. Calculons le nombre $N$ de périodes correspondant à la moitié de l'information totale contenue dans $a_t$ ; $N$ est solution de :

$$(1-\beta)^{\frac{N-1}{\sum_{j=0}^{N} \beta^j}} = \frac{1}{2}$$

$$1-\beta^{\frac{N}{2}} = \frac{1}{2}$$

$$N = \frac{\log 2}{\log 1/\beta} \quad 6 < N < 7 \quad \text{pour } \beta = 0,9$$
Pour une méthode des moyennes mobiles sur 12 périodes on
trouve $N = 6$.

### 3-2 Modèle linéaire

Ce modèle correspond à l'équation :

$$ \hat{x}_{t,0} = a_1^t + a_2^t \theta $$

Les prévisions faites à un instant donné croissent régulièrement quand on passe d'une période à la suivante.

Calculons $a_1^t$ et $a_2^t$ en fonction de $a_1^{t-1}$, $a_2^{t-1}$ et de $x_t$.

Les équations (1) et (2) s'écrivent :

$$ \hat{x}_{t,-j} = a_1^t - a_2^t j $$

$$ (4) \left\{ \begin{array}{ll} \overset{\infty}{\Sigma}_{j=0} \beta^j & a_1^t - a_2^t j - x_{t-j} = 0 \\ \overset{\infty}{\Sigma}_{j=0} j \beta^j & (a_1^t - a_2^t j - x_{t-j}) = 0 \end{array} \right. $$

On écrit le système (4) sous la forme (4') en remarquant que

$$ j^{\infty} = 0 \qquad \beta^j = \frac{1}{1-\beta} $$

$$ j^{\infty} = 0 \qquad j \beta^j = \beta \frac{\partial}{\partial \beta} \overset{\infty}{\Sigma}_{j=0} \beta^j = \beta \frac{\partial}{\partial \beta} \frac{1}{(1-\beta)} = \frac{\beta}{(1-\beta)^2} $$

$$ j^{\infty} = 0 \qquad j^2 \beta^j = \beta \frac{\partial}{\partial \beta} \overset{\infty}{\Sigma}_{j=0} j \beta^j = \beta \frac{\partial}{\partial \beta} \frac{(\beta)}{(1-\beta)^2} = \beta \frac{(1+\beta)}{(1-\beta)^3} $$

et en posant :

$$ S_t = (1 - \beta) \overset{\infty}{\Sigma}_{j=0} \beta^j x_{t-j} $$

$$ (4') \left\{ \begin{array}{ll} a_1^t + S_t + a_2^t \frac{\beta}{1-\beta} & \\ \beta (1-\beta) a_1^t - \beta(1+\beta) a_2^t = (1-\beta)^3 & \overset{\infty}{\Sigma}_{j=0} j \beta^j x_{t-j} \end{array} \right. $$
on remplace $a_1^t$ par sa valeur dans la deuxième équation :

$$ (5) \quad \beta(1-\beta) S_t - \beta a_2^t = (1-\beta)^3 \sum_{j=0}^{\infty} j \beta^j x_{t-j} $$

et pour l' instant $t=1$ on a :

$$ (5') \quad \beta(1-\beta) S_{t-1} - \beta a_2^{t-1} = (1-\beta)^3 \sum_{j=1}^{\infty} j \beta^j x_{t-j-1} $$

on remarque alors que :

$$ \sum_{j=0}^{\infty} j \beta^j x_{t-j} = \sum_{j=1}^{\infty} j \beta^j x_{t-j} = \sum_{j=0}^{\infty} (j+1) \beta^j x_{t-j-1} $$

$$ \sum_{j=0}^{\infty} j \beta^{j+1} x_{t-j-1} = \beta \sum_{j=0}^{\infty} j \beta^j x_{t-j-1} = \beta \sum_{j=1}^{\infty} j \beta^j x_{t-j-1} $$

$$ \sum_{j=0}^{\infty} \beta^{j+1} x_{t-j-1} = \sum_{j=0}^{\infty} \beta^j x_{t-j-1} - x_t = \frac{S_t}{1-\beta} - x_t $$

Ces trois lignes donnent la relation :

$$ (6) \quad \sum_{j=0}^{\infty} j \beta^j x_{t-j} = \sum_{j=1}^{\infty} j \beta^j x_{t-j-1} + \frac{S_t}{1-\beta} - x_t $$

On combine enfin les équations (5) et (5') en tenant compte de la relation (6)

$$ \beta(1-\beta) S_t - \beta a_2^t = \beta^2 (1-\beta) S_{t-1} - \beta^2 a_2^{t-1} + (1-\beta)^2 S_t - (1-\beta)^3 x_t $$

$$ \text{or } S_t - \beta S_{t-1} = (1-\beta) x_t $$

donc

$$ a_2^t = \beta a_2^{t-1} + (1-\beta) (S_t - S_{t-1}) $$
en conclusion la prévision s'écrit en posant $\beta = 1 - \alpha$ :

$$ \bar{x}_{t,0} = S_t + \left( \frac{1-\alpha}{\alpha} + \theta \right) a_2^t $$

$$ \text{avec } S_t = (1 - \alpha) S_{t-1} + \alpha x_t $$

$$ a_2^t = (1 - \alpha) a_2^{t-1} + \alpha(S_t - S_{t-1}) $$

Sous cette forme à partir de valeurs initiales $S_0$ et $a_2^0$ le calcul de prévisions se fait très simplement de proche en proche. On interprète $S_t$ comme une moyenne pondérée des réalisations $x_t$ et $a_2^t$ comme une moyenne de l'élément de tendance représenté par la différence $S_t - S_{t-1}$.

On note que tout se passe comme si $S_t$ correspondait à la date $t - \frac{1-\alpha}{\alpha}$, puisqu'il faut lui ajouter $\frac{1-\alpha}{\alpha} a_2^t$ pour retrouver la prévision $\bar{x}_{t,0}$.

Quant $a_2^t$ est nul on retrouve rapidement les résultats du modèle constant.

# 4 - INFLUENCE DES DIFFERENTS PARAMETRES DANS LE LISSAGE EXPONENTIEL

## 4-1 Influence du coefficient de lissage $\alpha = 1 - \beta$

Cette influence se fait sentir chaque fois qu'il y a :

- *perturbation*, c'est-à-dire écart accidentel d'une réalisation par rapport à la prévision correspondante.
- changement de loi, c'est-à-dire écart systématique à partir d'un certain moment entre réalisations et prévisions.

Nous examinerons cette influence dans ces deux cas pour le modèle constant, les résultats restant qualitativement valables quelque soit le modèle.

## Influence d'une perturbation

Supposons que jusqu'à l'instant $t_o$, la valeur de l'information soit restée constante de sorte que l'on ait $\widehat{x}_{t_o, -j} = x_{t_o-j} \quad j>0$.

Par contre à l'instant $t_o + 1$ on a $x_{t_o+1} = x_{t_o} + 1$, ensuite l'information reprend la valeur $x_{t_o}$.

Déterminons $\widehat{x}_{t_o+\theta, 1}$ pour tout $\theta$ :

$$ 
\begin{aligned}
\theta = 1, \widehat{x}_{t_o+1,1} &= a_{t_o+1} = (1-\alpha) a_{t_o} + \alpha x_{t_o+1} = (1-\alpha) x_{t_o} + \alpha (x_{t_o} + 1) \\
&= x_{t_o} + \alpha.
\end{aligned}
$$

$$ 
\begin{aligned}
\theta = 2, \widehat{x}_{t_o+2,1} &= a_{t_o+2} = (1-\alpha) a_{t_o+1} + \alpha x_{t_o+2} = (1-\alpha)x_{t_o} + \alpha (1-\alpha) + \alpha x_{t_o} \\
&= x_{t_o} + \alpha(1-\alpha)
\end{aligned}
$$

en général pour $\theta \ge 2$ on a :

$$ \widehat{x}_{t_o+\theta, 1} = x_{t_o} + \alpha(1-\alpha)^\theta = 1 $$
Dans les prévisions à partir de l'instant $t_0 + 2$, la perturbation est donc égale à :

$$ (1 - \alpha)^{\theta-1} $$

Comme $(1-\alpha) < 1$, la perturbation $\alpha(1-\alpha)^{\theta-1}$ décroît très rapidement quand augmente. Comparons avec la perturbation obtenue dans la méthode des moyennes mobiles sur 12 périodes ; pendant les 12 premières périodes, la perturbation est constante et égale à $\frac{1}{12}$, ensuite elle est nulle :

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

1 lissage exponentiel
modèle constant $\alpha = 0,30$

2 lissage exponentiel
modèle constant $\alpha = 0,10$

3 moyennes mobiles sur
12 périodes

Influence d'une perturbation produite à l'instant 0 sur les prévisions faites à l'instant $\theta-1$.

On remarquera par ailleurs que, pour une valeur donnée de $\theta$ pas trop grande, l'influence d'une perturbation est d'autant plus faible que $\alpha$ est plus faible :

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Influence d'une perturbation produite à l'instant 0 sur la prévision faite à l'instant 1,2, 3 en fonction du coefficient de lissage.
En définitive, nous voyons que pour une fonction de lissage
donnée, un coefficient <u>α faible</u> permet d'obtenir une faible sensibilité
aux erreurs donc une bonne stabilité.

Influence d'un changement de loi

Supposons que les réalisations égales à $x_{t_o}$ jusqu'à l'instant $t_o$ soient égales à $x_{t_o + 1}$,

$$
\text{à partir de } t_o + 1. \text{ On calcule } \widehat{x_{t_o + \theta, 1}} \\
\theta = 1 \qquad \widehat{x_{t_o + 1, 1}} = x_{t_o + \alpha}
$$

$$
\theta = 2 \quad \widehat{x_{t_o + \theta, 1}} = (x_{t_o + 1}) - (1 - \alpha)^{\theta}
$$

Donc pour une valeur donnée de θ, la prévision se rapproche
de la nouvelle valeur des ventes x<sub>t_o + 1</sub> d'autant plus vite que α est plus
grand.

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Influence d'un change-
ment brutal à l'époque
o sur la prévision
faite à l'instant 1,
2, 3 en fonction du
coefficient de lissage.

Si α faible donne une bonne stabilité au modèle, cela ne permet pas de réagir assez rapidement aux changements de loi. Il y a donc un compromis à trouver, et la valeur optimale de α sera celle qui minimise les écarts prévisions réalisations.

Souvent, pour simplifier, on minimisera non pas la somme des
carrés des écarts mais la somme des écarts absolus.
## 4-2 Influence de la fonction d'ajustement

Le choix de la fonction d'ajustement correspond en somme au choix du modèle. Un tel choix ne peut pas se déduire de la seule historique connue. En effet, une tendance ou des variations saisonnières qui apparaient sur un historique assez court, ne pourraient être en réalité qu'aléatoires. Aussi, n'est-ce que l'insuffisance de l'historique qui permet de considérer comme significatifs des éléments qui ne sont pas nécessairement stables sur une période assez longue.

Ceci est très important, car on ne doit adopter un modèle complexe que si cette complexité reflète effectivement un caractère permanent du phénomène considéré. Sinon le modèle conduit à l'ajustement sur les accidents de l'historique et à reconduire ces accidents dans les prévisions. Il faut noter que le choix du coefficient de lissage et celui de la fonction réagissent l'un sur l'autre.

Un dernier élément est susceptible d'influer sur le choix du modèle : c'est l'étendue de la prévision. Pour une prévision à moyen terme, il peut être préférable de choisir un modèle constant en considérant une tendance constatée comme insuffisamment significative.

En conclusion, le choix du modèle d'opère en fonction :

1) de la structure de l'information : loi avec ou sans tendance, avec ou sans variations saisonnières.

2) de la stabilité de cette information du double point de vue des perturbations et des changements de loi.

3) de l'étendue des prévisions.

Le critère de choix sera autant que possible celui qui conduit au minimum des écarts entre prévisions et réalisations.
5 - BIBLIOGRAPHIE

On trouvera un exposé complet de la méthode du lissage exponentiel dans le livre de Robert G. Brown, qui l'a mise au point :

Robert G. Brown " Smoothing, forecasting and prediction of discrete time series" Prentice Hall

Une bonne application se trouve dans l'article :

J. Godfroid " Une méthode de prévision permanente : le lissage exponentiel " Revue belge de stat et de recherche opérationnelle 1966 - n°2, p.17-36.

On pourra consulter aussi :

Robert G. Brown " Statistical forecasting for inventory control" MacGraw Hill 1959

Robert G. Brown et Richard F. Meyer " The fundamental theorem of exponential smoothing" operations research vol 9 n°5 sept- oct. 1961.