# Stabilisation des perturbations additives dans les systèmes mécaniques non linéaires

Azzedine Bedjaoui, Belgacem Madi, Mounir Benadja

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Azzedine Bedjaoui, Belgacem Madi, Mounir Benadja. Stabilisation des perturbations additives dans les systèmes mécaniques non linéaires. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01507583

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Submitted on 13 Apr 2017

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# Stabilisation des perturbations additives dans les systèmes mécaniques non linéaires

Azzedine Bedjaoui – Belgacem Madi – Mounir Benadja

Faculté des Sciences et Sciences de L'Ingéniorat
Département de Mécanique, Université de Skikda
Route d'Elhadaeik, BP.26, 21000 SKIKDA
ALGERIE
b_madi2000@yahoo.fr

RÉSUMÉ. Dans ce papier, nous décrivons l'application de la théorie des variétés centrales pour la stabilisation des perturbations additives dans les systèmes mécaniques non linéaires. La stratégie consiste en une réduction du système mécanique original (complexe) en un système simple, de dimensions réduit, facile à étudier. Ce passage se fait avec conservation des propriétés intrinsèques et extrinsèques du système. Les résultats théoriques obtenus sont simulés numériquement.

ABSTRACT. In this paper, we describe the applications of the center manifolds theory for the stabilization of the additive disturbances in the nonlinear mechanical systems. The strategy consists of a reduction of the original mechanical system (complex) to a simple system, with reduced dimensions, easy to study. The theoretical results obtained are simulated numerically.

MOTS-CLÉS : variété centrale, système mécanique non linéaire, retour d'état, stabilisation, robustesse, validation numérique.

KEYWORDS: center manifold, nonlinear mechanical system, feedback, stabilization, robustness, numerical validation.
# 1. Introduction

En 1981, Carr (Carr, 1981) introduit la théorie des variétés invariantes et en particuliers centrales, dans un contexte plus général, qui permet d'analyser le comportement topologique d'une équation différentielle au voisinage d'une position d'équilibre. Les difficultés sont de deux sortes : complexité des calculs et d'analyse de la stabilité locale dans la variété centrale. Ces résultats ont été utilisé par Aeyels (Aeyels, 1985) pour étudier la stabilisation asymptotique locale des systèmes non linéaires au voisinage d'une position d'équilibre, puis généralisé par Tebbikh (Tebbikh, 1989) pour étudier le problème de stabilisation des systèmes polynomiaux homogènes et en particuliers quadratiques, et appliqués par Madi (Madi, 1999) pour le problème de stabilisation asymptotique de la vitesse angulaire d'un satellite rigide gouverné par des rétrofusées et validé numériquement dans (Madi et al., 2003).

Dans ce papier, nous avons appliqué la théorie des variétés centrales pour la stabilisation des perturbations additives dans les systèmes mécaniques non linéaires. Cette théorie permet de passer d'un système complexe (forte formulation) à un système simple (faible formulation), de dimensions réduites, faciles à étudier. Ce passage se fait avec conservation des caractéristiques intrinsèques et extrinsèques du système étudié. Cette stratégie permet de voir, à travers la simulation numérique, le comportement dynamique du système étudié.

# 2. Variétés centrales et stabilisation

Considérons le système non linéaire suivant :

$$ \dot{x}(t) = F(x(t)) + Bu(t), \quad [1] $$

et son linéarisé en (0,0) :

$$ \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) + f(x), \quad [2] $$

où $Ax(t)$ est la partie linéaire de $F(x(t),u(t))$.

En effectuant un changement de base permettant la diagonalisation de la partie linéaire du système [1], on arrive (après une notation adéquate) au système :

$$ \begin{aligned} \dot{x}_1(t) &= A_{11}x_1(t) + f_1(x_1, x_2, x_3) \\ \dot{x}_2(t) &= A_{22}x_2(t) + f_2(x_1, x_2, x_3) \\ \dot{x}_3(t) &= A_{33}x_3(t) + f_3(x_1, x_2, x_3) + Bu(t) \end{aligned} \quad [3] $$

avec $A_{11}$ a des valeurs propres à parties réelles nulles (cas critique), $A_{22}$ a des valeurs propres à parties réelles négatives et $(A_{33}, B)$ est une paire contrôlable. Les
fonctions $f_i(x_1, x_2, x_3), i = 1,2,3$ sont des termes d'ordres supérieur ou égal à 2.
Ces termes disparaissent à l'origine.

Le problème est de construire un retour d'état $u = F(x_1, x_2, x_3)$ qui permet au système de revenir à zéro selon une trajectoire bien particulière appelée variété centrale.

Considérons l'espace propre $E^c$ correspondant aux valeurs propres de $A_{11}$ (où $(x_2 = x_3 = 0)$. Alors, d'après (Carr, 1981), il existe une variété centrale $W^c$ tangente à $E^c$ à l'origine représentée localement par le graphe :

$$ W^c = \{(x_1, h_1(x_1), h_2(x_1)), h_i(0) = Dh_i(0) = 0, i = 1,2\} \quad [4] $$

La projection du champs de vecteurs de $W^c$ dans $E^c$, donne :

$$ \dot{x}_1 = A_{11}x_1 + f_1(x_1, h_1(x_1), h_2(x_1)) \quad [5] $$

Puisque $h(x_1)$ est tangente à $(x_2 = x_3 = 0)$ et les équations en termes de $\dot{x}_2$ et $\dot{x}_3$ sont asymptotiquement stables, alors :

**Théorème 1.** Si l'origine de [5] est localement asymptotiquement stable, alors l'origine de [1] est aussi localement asymptotiquement stable.

### 3. Application au mouvement de rotation d'un corps rigide

Les équations décrivant le mouvement de rotation d'un solide s'expriment par :

$$ I\dot{\omega} = S(\omega)I\omega + Bu, \quad [6] $$

où :
$I = \text{diag}(I_1, I_2, I_3)$ est la matrice d'inertie,
$\omega = (\omega_1, \omega_2, \omega_3)^T \in \mathbb{R}^3$ est le vecteur vitesse angulaire,
$B = \{b_1, b_2, b_3\} \in \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3$ est une matrice constante,
$u = (u_1, u_2, u_3)^T$ est le vecteur commande,
$S(\omega)$ est la matrice antisymétrique.

Supposons que les actions des commandes sont alignées avec les deux derniers axes principaux d'inertie, c'est-à-dire que $b_1 = 0$, $b_2 = [0 \ 1 \ 0]^T$ et $b_3 = [0 \ 0 \ 1]^T$.

Alors, le système [10] s'écrit :

$$ \begin{aligned} \dot{\omega}_1 &= I_{23}\omega_2\omega_3 \\ \dot{\omega}_2 &= I_{31}\omega_3\omega_1 + u_2, \\ \dot{\omega}_3 &= I_{12}\omega_1\omega_2 + u_3 \end{aligned} \quad [7] $$

ou $u_2, u_3$ sont les retours d'états et $I_{23} = \frac{I_2 - I_3}{I_1}, I_{31} = \frac{I_3 - I_1}{I_2}, I_{12} = \frac{I_1 - I_2}{I_3}$.
**Proposition 1** (Madi, 1999). Le système [7] est localement asymptotiquement stabilisable par le retour d'état :

$$ 
\begin{aligned}
u_2 &= - I_{31} \omega_3 \omega_1 - \omega_2 + \alpha \omega_1^2 \\
u_3 &= - I_{12} \omega_1 \omega_2 - \omega_3 + \beta \omega_1^3
\end{aligned} 
\quad [8] $$

si et seulement si $I_{23}\alpha\beta < 0$.

Le système réduit équivalent sera :

$$ 
\begin{aligned}
\dot{\omega}_1 &= I_{23} \alpha \beta \omega_1^5 \\
\dot{\omega}_2 &= - \omega_2 + \alpha \omega_1^2 \\
\dot{\omega}_3 &= - \omega_3 + \beta \omega_1^3
\end{aligned} 
\quad [9] $$

dont la variété centrale correspondante est :

$$ W^c = \{\omega_1, \alpha\omega_1^2, \beta\omega_1^3\} \quad [10] $$

## 4. Simulation numérique

La simulation numérique va portée sur le système [9], bouclés par les retours d'états [8]. Les valeurs numériques sont choisies arbitrairement ($t_{initial}$, $t_{final}$, $x_0$). Les coefficients liés à la variété centrale $\alpha$ et $\beta$ sont choisies en fonction de la condition de convergence de la solution (i.e. conditions liées à la stabilisation du système étudié). Les grandeurs numériques de test sont celles utilisées par Zhao (Zhao, 1994) : $I_1 = 70,866\,kgm^2$, $I_2 = 67,891\,kgm^2$, $I_3 = 9,054\,kgm^2$, $t_{initial} = 1\,sec$ onde, $t_{initial} = 100\,sec$ onde.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

$$ (a) : \alpha = -1, \beta = +1 $$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

$$ (b) : \alpha = +1, \beta = -1 $$

<caption>**Figure 1.** Comportement de la vitesse angulaire en fonction du temps</caption>
Les graphes de la figure 1 montre le comportement de la vitesse angulaire en fonction du temps. Ces graphes représentent les trajectoires solutions du système [9] bouclé par le retour d'état [8]. L'analyse graphique montre que toute les trajectoires convergent d'une manière asymptotique vers la position d'équilibre nulle en partant d'une valeur initiale quelconque. Ce qui montre que le système bouclé est asymptotiquement stable.

Les graphes de la figure 2 montrent les comportements spatiaux de la vitesse angulaire et de la variété centrale. Ces représentations graphiques montrent que la vitesse angulaire rejoigne la variété centrale sur laquelle la dynamique est attractive par l'origine. Cette variété illustre le comportement local de la solution du système au voisinage de la position d'équilibre.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 2.** Comportements spatiaux de la vitesse angulaire et de la variété centrale</figcaption></figure>

Le comportement des retours d'états en fonction du temps est illustrés par la figure 3. Ces derniers servent à ramener le système sur la variété centrale après quoi ils reviennent à la position d'équilibre avec la vitesse angulaire.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 3.** Comportements des retours d'états en fonction du temps</figcaption></figure>
**5. Conclusions**

La stratégie de l'application de la théorie des variétés centrales pour les systèmes mécaniques non linéaires permet de passer d'une forte formulation (système original) à une faible formulation (système réduit équivalent) facile à simuler numériquement. Ce passage se fait avec conservation des caractéristiques (intrinsèques et extrinsèques) du système étudié. La validation numérique des résultats théoriques obtenus montre que ces derniers répondent aux exigences du problème de stabilisation des perturbations additives des systèmes mécaniques non linéaires par le biais de la convergence de la solution vers la position d'équilibre nulle. Nous avons montré qu'on peut, à l'aide des commandes robuste, stabiliser asymptotiquement les perturbations additives dans les systèmes mécaniques non linéaires.

**6. Bibliographie**

Zubov V., *Methods of A. M. Lyapunov and their application*, Noordhoff, Amsterdam, 1964.

Arnold V. I., *Equations différentielles ordinaires*, Editions Mir, 1974.

Arnold V. I., *Les méthodes mathématiques de la mécanique classique*, Editions Mir, 1976.

Carr J., *Applications of centre manifold theory*, Applied Mathematical Sciences, 35, Springer-Verlag, 1981.

Aeyels D., « Stabilization of a class of nonlinear systems by smooth feedback control », *Systems and control letters*, vol. 5, 1985, p. 289-294.

Aeyels D., « Stabilization by smooth feedback of the angular velocity of a rigid body », *Systems and control letters*, vol. 5, 1985, p. 59-63.

Zhao R., Posbergh T. A., « Feedback stabilization of uniform rigid body rotation », *Systems and control letters*, Vol. 22, 1994, p. 39-45.

Madi B., Tebbikh H., Bedjaoui A., « Stabilisation par retour d'état de la vitesse angulaire d'un satellite rigide gouverné par des rétrofusées : une validation numérique », *Premier Séminaire National sur les Systèmes Electromécaniques*, Annaba, 12-13 octobre 2003, Algérie.

Madi B., Tebbikh H., « Synthèse d'une loi de commande pour la stabilisation des systèmes non linéaires : Résultats et discussions, 4ème Colloque National d'Analyse Mathématique Appliqué, Jijel, 21-23 novembre 2004, Algérie.

Bonnard B., Contribution à la théorie des systèmes non linaires, Thèse de doctorat, Université de Grenoble, 1983.

Tebbikh H., Structure et commande des systèmes polynomiaux homogènes, Thèse de doctorat, Université de Grenoble, 1989.

Madi B., Contrôle d'attitude d'un satellite rigide gouverné par des rétrofusées, Thèse de Magister, C. U. de Guelma, 1999.