# Ecoulement de Poiseuille bi-fluides plan ou axisymétrique à l'optimum

Ivan Fedioun

► To cite this version:

Ivan Fedioun. Ecoulement de Poiseuille bi-fluides plan ou axisymétrique à l'optimum: Une étude (quasi)analytique. Polytech Orléans. 2023. hal-04069764

HAL Id: hal-04069764

https://hal.science/hal-04069764

Submitted on 14 Apr 2023

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

Public Domain
# Ecoulement de Poiseuille bi-fluides plan ou axisymétrique à l'optimum

## Une étude (quasi)analytique

### Ivan Fedioun

Polytech Orléans, 8 rue Léonard de Vinci
45072 Orléans cedex 2, France

ivan.fedioun@univ-orleans.fr

avril 2023

## Table des matières

<table><tr><td>1 Contexte de l'étude</td><td>1</td></tr><tr><td>2 Ecoulement de Poiseuille classique : rappel</td><td>2</td></tr><tr><td>3 Ecoulement de Poiseuille bi-fluides axisymétrique</td><td>2</td></tr><tr><td>3.1 Solution générale</td><td>2</td></tr><tr><td>3.2 Recherche des débits optimums</td><td>4</td></tr><tr><td>3.3 Profils de vitesse</td><td>5</td></tr><tr><td>4 Ecoulement de Poiseuille bi-fluides plan</td><td>6</td></tr><tr><td>4.1 Solution générale</td><td>6</td></tr><tr><td>4.2 Recherche des débits optimums</td><td>7</td></tr><tr><td>4.3 Profils de vitesse</td><td>9</td></tr><tr><td>5 Conclusions et perspectives</td><td>10</td></tr></table>

## 1 Contexte de l'étude

Ce travail a été initié dans le cadre d'un projet d'élèves ingénieurs de 5ème année portant sur l'optimisation de la fonction d'aspiration d'un endoscope médical. Le fabriquant a constaté que le débit de fluide corporel aspiré présente un maximum lorsqu'une prise d'air est introduite dans le circuit. Cependant, si la prise d'air est trop importante, la performance du dispositif chute. Les écoulements diphasiques liquide-gaz sont fort complexes<fnref n="1" />, et il n'est pas question d'aborder ici le problème dans sa globalité. On propose une étude analytique simple basée sur le modèle de l'écoulement de Poiseuille bi-fluides axisymétrique ou plan, permettant d'expliquer en partie le phénomène observé.

<footnote n="1">1. Voir par exemple : Jean-Michel Fitremann, *Ecoulements diphasiques gaz-liquides*, Les techniques de l'Ingénieur Ref. A722 V1, 1983</footnote>
## 2 Ecoulement de Poiseuille classique : rappel

L'écoulement de Poiseuille plan ou axisymétrique est une des rares solutions analytiques des équations de Navier-Stokes, exercice incontournable pour tout étudiant en mécanique des fluides<fnref n="2" />. L'hypothèse d'écoulement permanent et parallèle d'un fluide incompressible ($ρ = \text{cste}$) amène à la résolution de

$$ \frac{dp}{dx} = \mu \Delta u = K < 0 \qquad (1) $$

$$ \Delta u = \begin{cases} \frac{d^2 u}{dy^2} & : \text{plan} \\ \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left( r \frac{du}{dr} \right) & : \text{axisymétrique} \end{cases} \qquad (2) $$

• Dans le cas axisymétrique ($0 \le r \le R$), la solution générale de (1) est

$$ u(r) = \frac{K}{\mu} \left[ \frac{r^2}{4} + A \ln r + B \right] \qquad (3) $$

La vitesse finie sur l'axe ($r = 0$) impose $A = 0$, et la condition d'adhérence $u(\pm R) = 0$ donne $B = -R^2/4$. La solution est donc

$$ u(r) = U \left[ 1 - \left( \frac{r}{R} \right)^2 \right] \qquad (4) $$

$$ U = -\frac{K R^2}{\mu 4} > 0 \qquad (5) $$

où $U = 2U_{\text{moy}}$ est la vitesse sur l'axe de la conduite. Le débit volumique est

$$ Q_{\text{axi}}^{\text{POIS}} = \pi R^2 U_{\text{moy}} = -2\pi \frac{K R^4}{\mu 16} \qquad (6) $$

• Dans le cas plan ($-H \le y \le H$), la solution générale de (1) est

$$ u(y) = \frac{K}{\mu} \left[ \frac{y^2}{2} + Ay + B \right] \qquad (7) $$

La vitesse maximum sur l'axe ($y = 0$) impose $A = 0$, et la condition d'adhérence $u(\pm H) = 0$ donne $B = -H^2/2$. La solution est donc

$$ u(y) = U \left[ 1 - \left( \frac{y}{H} \right)^2 \right] \qquad (8) $$

$$ U = -\frac{K H^2}{\mu 2} > 0 \qquad (9) $$

où $U = \frac{3}{2}U_{\text{moy}}$ est la vitesse sur le plan de symétrie. Le débit volumique (par m) est

$$ Q_{\text{plan}}^{\text{POIS}} = 2HU_{\text{moy}} = -\frac{2K}{3\mu}H^3 \qquad (10) $$

## 3 Ecoulement de Poiseuille bi-fluides axisymétrique

### 3.1 Solution générale

On considère une configuration bi-fluides axisymétrique, le fluide 1 se trouvant au centre de la conduite, et le fluide 2 en configuration annulaire autour du fluide 1 (figure 1). Le fluide 1 n'est donc pas contraint par la condition d'adhérence à la paroi. Le rayon $0 \le R_{12} \le R$ sépare les deux fluides supposés non-miscibles.

Dans une section droite de la conduite, les deux fluides sont à la même pression. Le problème s'écrit :

$$ \frac{dp}{dx} = \frac{\mu_1}{r} \frac{d}{dr} \left( r \frac{du_1}{dr} \right) = \frac{\mu_2}{r} \frac{d}{dr} \left( r \frac{du_2}{dr} \right) = K < 0 \qquad (11) $$

<footnote n="2">2. Schlichting H. *Boundary-Layer Theory*, 6th Ed., Mc Graw Hill, 1968</footnote>
<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Configuration de l’écoulement de Poiseuille bi-fluides axisymétrique.</figcaption></figure>

et la solution générale est

$$u_{\alpha}(r) = \frac{K}{\mu_{\alpha}} \left[ \frac{r^2}{4} + A_{\alpha} \ln r + B_{\alpha} \right] \quad ; \quad \alpha = 1, 2 \qquad (12)$$

Les conditions aux limites sont :

$$r = 0 \quad : \quad \frac{du_1}{dr} = 0 \qquad (13)$$

$$r = R_{12} \quad : \quad u_1(R_{12}) = u_2(R_{12}) = U_{12} \qquad (14)$$

$$\mu_1 \frac{du_1}{dr} = \mu_2 \frac{du_2}{dr} \qquad (15)$$

$$r = \pm R \quad : \quad u_2(\pm R) = 0 \qquad (16)$$

On en déduit les constantes :

$$A_1 = A_2 = 0 \quad ; \quad B_1 = - \left( \frac{R^2 - R_{12}^2}{4\eta} \right) - \frac{R_{12}^2}{4} \quad ; \quad B_2 = - \frac{R^2}{4}$$

où

$$\eta = \frac{\mu_2}{\mu_1} > 0 \qquad (17)$$

est le 1er paramètre physique du problème. Si $\eta < 1$, le fluide le plus visqueux (le "liquide") se trouve à l'intérieur, côté 1, et inversement. Les profils de vitesse sont :

$$u_1(r) = -\frac{K}{\mu_1} \left( \frac{R_{12}^2 - r^2}{4} + \frac{R^2 - R_{12}^2}{4\eta} \right) \quad ; \quad 0 \le r \le R_{12} \qquad (18)$$

$$u_2(r) = -\frac{K}{\mu_2} \left( \frac{R^2 - r^2}{4} \right) \quad ; \quad R_{12} \le r \le R \qquad (19)$$

Les débits volumiques de fluide 1 et de fluide 2, fonctions de $R_{12}$, s'obtiennent par :

$$Q_1(R_{12}) = 2\pi \int_{0}^{R_{12}} u_1(r) r dr \quad ; \quad Q_2(R_{12}) = 2\pi \int_{R_{12}}^{R} u_2(r) r dr \qquad (20)$$

$$Q_1(R_{12}) = -2\pi \frac{K}{\mu_1} \left[ \frac{R_{12}^4}{16} + \frac{R_{12}^2}{8\eta} (R^2 - R_{12}^2) \right] \qquad (21)$$
$$Q_2(R_{12}) = -2\pi \frac{K}{\mu_2} \left[ \frac{R^4 + R_{12}^4}{16} - \frac{R^2 R_{12}^2}{8} \right] \qquad (22)$$

Dans le cas $\eta = 1$, on vérifie bien que $Q_1 + Q_2 = Q_{\text{axi}}^{\text{POIS}}$ où $Q_{\text{axi}}^{\text{POIS}}$ est le débit (6) du Poiseuille axisymétrique classique, et si $R_{12} = R$ (resp. $R_{12} = 0$), $Q_1 = Q_{1 \text{axi}}^{\text{POIS}}$ (resp. $Q_2 = Q_{2 \text{axi}}^{\text{POIS}}$).

## 3.2 Recherche des débits optimums

Le problème consiste, pour une valeur de $\eta$ donnée, à déterminer le rayon $R_{12}$ -s'il existe- qui maximise le débit du fluide le plus visqueux, i.e. le débit $Q_1$ si $\eta < 1$ ou le débit $Q_2$ si $\eta > 1$. Le débit $Q_2$ (22) ne dépendant pas de $\eta$, la recherche d'optimum n'a de sens que pour $\eta \le 1$, i.e. pour $Q_1$. C'est hélas le cas $\eta \gg 1$ qui est physiquement le plus pro- bable : un film liquide sur les parois drainé par le gaz plus rapide et moins visqueux au centre.

$$\text{On pose :} \qquad r = R \bar{r} \qquad ; \quad 0 \le \bar{r} \le 1 \qquad (23)$$

$$R_{12} = R \rho \qquad ; \quad 0 \le \rho \le 1 \qquad (24)$$

$$Q_{\alpha}(R_{12}) = Q_{\alpha}^{\text{POIS}} \bar{Q}_{\alpha}(\rho) \quad ; \quad \alpha = 1, 2 \qquad (25)$$

$$u_{\alpha}(r) = U_{1} \bar{u}_{\alpha}(\bar{r}) \qquad (26)$$

La vitesse de référence doit être la même pour les deux écoulements. On choisit la vitesse maximale $U_1$ (5) de l'écoulement interne le plus visqueux. Les débits sont normalisés par ceux des Poiseuille respectifs (6). Il vient :

$$\bar{u}_1(\bar{r}) = \rho^2 - \bar{r}^2 + \frac{1}{\eta}(1 - \rho^2) \quad ; \quad 0 \le \bar{r} \le \rho < 1 \qquad (27)$$

$$\bar{u}_2(\bar{r}) = (1 - \bar{r}^2)/\eta \qquad ; \quad 0 < \rho \le \bar{r} \le 1 \qquad (28)$$

$$\bar{Q}_1(\rho) = \frac{2}{\eta}\rho^2(1 - \rho^2) + \rho^4 \qquad (29)$$

$$\bar{Q}_2(\rho) = 1 - 2\rho^2 + \rho^4 \qquad (30)$$

On voit ainsi que le second paramètre physique, ou plutôt géométrique, dont le problème dépend est

$$\rho = \frac{R_{12}}{R} \qquad (31)$$

dont on déduit directement les fractions volumiques des deux fluides :

$$X_1 = \rho^2 \quad ; \quad X_2 = 1 - \rho^2 \qquad (32)$$

Les débits normalisés $\bar{Q}_1(\rho)$ et $\bar{Q}_2(\rho)$ sont tracés sur la figure 2. Le débit $\bar{Q}_1(\rho)$ présente bien un maximum qui se déplace de $\rho = 1$ vers $\rho \approx 0.7$ quand $\eta$ décroît. Cette constatation va dans le sens des obvervations expérimentales décrites en introduction.

Pour trouver le débit optimum, on écrit $\frac{d\bar{Q}_1}{d\rho} = 0$, ce qui conduit à :

$$\rho = 0 \quad ; \qquad \bar{Q}_1 = 0 \quad \text{minimum trivial}$$

$$1 - (2 - \eta)\rho^2 = 0 \quad ; \qquad \rho_{\text{OPT}} = \frac{1}{\sqrt{2 - \eta}} \qquad \bar{Q}_1 \text{ maximum recherché} \qquad (33)$$
avec pour limite $1/\sqrt{2} \approx 0.707...$ lorsque $\eta \to 0$. On en déduit les débits à l'optimum

$$ \overline{Q}_1^{\text{OPT}} = \frac{1}{\eta(2-\eta)} \quad ; \quad \overline{Q}_2 = \left( \frac{1-\eta}{2-\eta} \right)^2 \qquad (34) $$

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Débits normalisés $\overline{Q}_1(\rho)$ (29) et $\overline{Q}_2(\rho)$ (30).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Rayon optimum normalisé (33), débits (34) et fractions volumiques.</figcaption></figure>

On constate qu'un rapport de viscosité de 4 ($\eta \le 0.25$) permet de plus que doubler le débit du fluide le plus visqueux intérieur. L'ensemble de ces résultats est analytique.

### 3.3 Profils de vitesse

Les profils de vitesse sont représentés sur la figure 4. On observe que la vitesse du "liquide" atteint des valeurs bien supérieures à celle du Poiseuille classique, par effet d'entraînement de l'écoulement annulaire de gaz. La vitesse maximum sur l'axe est

$$ \bar{u}_1(0) = \frac{1}{\eta(2-\eta)} = \bar{Q}_1^{\text{OPT}} $$

et peut théoriquement être infinie dans la limite $\eta \to 0$.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Profils de vitesse maximisant le débit $Q_1$ ($\eta < 1$).</figcaption></figure>
# 4 Ecoulement de Poiseuille bi-fluides plan

## 4.1 Solution générale

On considère maintenant une configuration bi-fluides plane, le fluide 1 se trouvant en bas du canal et le fluide 2 en haut (figure 5), la hauteur $-H \le H_{12} \le +H$ séparant les deux fluides supposés non-miscibles. A la différence du cas axisymétrique, les deux fluides sont contraints par la condition d'adhérence aux parois. Il y a donc une symétrie haut ↔ bas pour les rapports $\eta \leftrightarrow (1/\eta)$. Si $\eta < 1$, le fluide le plus visqueux se trouve en bas et inversement.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 5 – Configuration de l'écoulement de Poiseuille bi-fluides plan.</figcaption></figure>

Le problème s'écrit :

$$ \frac{dp}{dx} = \mu_1 \frac{d^2 u_1}{dy^2} = \mu_2 \frac{d^2 u_2}{dy^2} = K < 0 \qquad (35) $$

et la solution générale est

$$ u_{\alpha}(y) = \frac{K}{\mu_{\alpha}} \left[ \frac{y^2}{2} + A_{\alpha}y + B_{\alpha} \right] \quad ; \quad \alpha = 1, 2 \qquad (36) $$

Les conditions aux limites sont :

$$ y = -H \quad : \quad u_1(-H) = 0 \qquad (37) $$

$$ y = H_{12} \quad : \quad u_1(H_{12}) = u_2(H_{12}) = U_{12} \qquad (38) $$

$$ \mu_1 \frac{du_1}{dy} = \mu_2 \frac{du_2}{dy} \qquad (39) $$

$$ y = +H \quad : \quad u_2(+H) = 0 \qquad (40) $$

On en déduit les constantes :

$$ A_1 = A_2 = \frac{A}{2} = \frac{(\eta - 1)(H^2 - H_{12}^2)}{2[(\eta + 1)H + (\eta - 1)H_{12}]} \qquad (41) $$

$$ B_1 = \frac{H}{2}(A - H) \quad ; \quad B_2 = -\frac{H}{2}(A + H) $$
Les profils de vitesse sont :

$$u_1(y) = -\frac{K}{\mu_1} \left[ \frac{H^2 - y^2}{2} - \frac{A}{2}(H+y) \right] \quad ; \quad -H \le y \le H_{12} \qquad (42)$$

$$u_2(y) = -\frac{K}{\mu_2} \left[ \frac{H^2 - y^2}{2} + \frac{A}{2}(H-y) \right] \quad ; \quad H_{12} \le y \le H \qquad (43)$$

Les débits volumiques de fluide 1 et de fluide 2, fonctions de $H_{12}$, s'obtiennent par :

$$Q_1(H_{12}) = \int_{-H}^{H_{12}} u_1(y)dy \quad ; \quad Q_2(H_{12}) = \int_{H_{12}}^{H} u_2(y)dy \qquad (44)$$

$$Q_1(H_{12}) = -\frac{K}{\mu_1} \left[ \frac{H^2(H+H_{12})}{2} - \frac{H^3+H_{12}^3}{6} - \frac{A}{2} \left( H(H+H_{12}) - \frac{H^2-H_{12}^2}{2} \right) \right] \qquad (45)$$

$$Q_2(H_{12}) = -\frac{K}{\mu_2} \left[ \frac{H^2(H+H_{12})}{2} - \frac{H^3-H_{12}^3}{6} + \frac{A}{2} \left( H(H-H_{12}) - \frac{H^2-H_{12}^2}{2} \right) \right] \qquad (46)$$

## 4.2 Recherche des débits optimums

On cherche à nouveau, pour une valeur $0 < \eta \le 1$ donnée, à déterminer la hauteur $H_{12}$ qui maximise le débit $Q_1$ du fluide le plus visqueux (le problème est symétrique).

$$\text{On pose :} \qquad y = H \bar{y} \qquad ; \quad -1 \le \bar{y} \le 1 \qquad (47)$$

$$H_{12} = H \rho \qquad ; \quad -1 \le \rho \le 1 \qquad (48)$$

$$Q_{\alpha}(H_{12}) = Q_{\alpha}^{\text{POIS}} \bar{Q}_{\alpha}(\rho) \quad ; \quad \alpha = 1, 2 \qquad (49)$$

$$u_{\alpha}(y) = U_{1} \bar{u}_{\alpha}(y) \qquad (50)$$

La vitesse de référence est la vitesse maximale $U_1$ (9) de l'écoulement le plus visqueux. Les débits sont normalisés par ceux des Poiseuille respectifs (10). Il vient :

$$\bar{u}_1(\bar{y}) = 1 - \bar{y}^2 - \bar{A}(1 + \bar{y}) \quad ; \quad -1 \le \bar{y} \le \rho < 1 \qquad (51)$$

$$\bar{u}_2(\bar{r}) = [1 - \bar{r}^2 + \bar{A}(1 - \bar{r})] / \eta \quad ; \quad -1 < \eta \le \bar{r} \le 1 \qquad (52)$$

$$\bar{Q}_1(\rho) = \frac{3}{4} \left[ 1 + \rho - \frac{1}{3}(1 + \rho^3) - \frac{\bar{A}}{2}(1 + \rho)^2 \right] \qquad (53)$$

$$\bar{Q}_2(\rho) = \frac{3}{4} \left[ 1 - \rho - \frac{1}{3}(1 - \rho^3) + \frac{\bar{A}}{2}(1 - \rho)^2 \right] \qquad (54)$$

avec

$$\bar{A}(\rho) = \frac{(\eta - 1)(1 - \rho^2)}{\eta + 1 + (\eta - 1)\rho} \qquad (55)$$

Les fractions volumiques des deux fluides sont :

$$X_1 = \frac{1}{2}(1 + \rho) \quad ; \quad X_2 = \frac{1}{2}(1 - \rho) \qquad (56)$$

La fonction $\bar{A}(\rho)$ avec comme paramètre $\eta$, dont diffère les solutions par rapport au Poiseuille classique, est représentée sur la figure 6. Sa limite lorsque $\eta \to 0$ est $\bar{A}_{\eta \to 0}(\rho) =$
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 6 – Fonction $\bar{A}$, eq.(55).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 7 – Débits $\bar{Q}_1(\rho)$ et $\bar{Q}_2(\rho)$.</figcaption></figure>

–(1 + ρ), pour –1 ≤ ρ < 1 et $\bar{A}_{η→0}(1) = 0$. Les débits normalisés $\bar{Q}_1(\rho)$ et $\bar{Q}_2(\rho)$ sont tracés sur la figure 7. Le débit $\bar{Q}_1(\rho)$ présente un maximum qui se déplace quand η décroît, mais de façon non-monotone contrairement au cas axisymétrique (figures 2 et 3).

Le débit 1 optimum s'obtient par $\frac{d\bar{Q}_1}{d\rho} = 0$, ce qui conduit à :

$$ 
\begin{array}{ll}
\rho = -1 & \text{; } \bar{Q}_1 = 0 \text{ minimum trivial} \\
1 - \rho - \bar{A} - \frac{\bar{A}'}{2}(1 + \rho) = 0 = f_1(\rho) & \text{; } \bar{Q}_1 \text{ maximum recherché} \qquad (57)
\end{array}
$$

où $\bar{A}'(\rho)$ est la dérivée de (55) par rapport à $\rho$. Pour le débit 2, on obtient symétriquement :

$$ 
\begin{array}{ll}
\rho = +1 & \text{; } \bar{Q}_2 = 0 \text{ minimum trivial} \\
1 + \rho + \bar{A} - \frac{\bar{A}'}{2}(1 - \rho) = 0 = f_2(\rho) & \text{; } \bar{Q}_2 \text{ maximum recherché} \qquad (58)
\end{array}
$$

La fonction d'optimisation $f_1(\rho)$ est représentée figure 8 pour différentes valeurs de η. Ses racines $\rho_1^{OPT}(\eta)$ ne sont pas analytiques. On les obtient par la méthode de Newton-Raphson (convergence absolue à $10^{-12}$). Elles sont représentées figure 9 et leurs valeurs numériques sont données dans la table 2 en annexe.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 8 – Fonction d'optimisation (57).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 9 – Hauteur optimale normalisée, débits et fractions volumiques.</figcaption></figure>
On remarque figure 9 qu'au point particulier où $\rho_1^{\text{OPT}}$ est minimum, le débit optimum est $\overline{Q}_1^{\text{OPT}} \approx \sqrt{2}$ et $\rho_1^{\text{OPT}} \approx \sqrt{2}/2$. Si on accepte ces valeurs, on peut en déduire après quelques calculs le rapport de viscosité et le débit $\overline{Q}_2$ théoriques correspondants :

$$ \eta = \frac{1}{5} \left( \frac{47 - 24\sqrt{2}}{3 + 4\sqrt{2}} \right) \approx 0.30170023 \quad ; \quad \overline{Q}_2 = \frac{3}{2} \left( \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} \right) \approx 0.04415588 $$

Pour cette valeur théorique de $\eta$, la méthode de Newton-Raphson produit $\rho_1^{\text{OPT}} = 0.70721664 \cdots \approx \sqrt{2}/2$ à $1.1 \times 10^{-4}$ (-0.015%), $\overline{Q}_1^{\text{OPT}} \approx \sqrt{2}$ à $3.8 \times 10^{-8}$ (-0.0000027%), et $\overline{Q}_2 = 0.044128 \cdots$, valeur également très proche de celle théorique. Il n'a pas été possible d'aller plus loin analytiquement ni numériquement, mais ce point particulier rappelle la limite asymptotique $\sqrt{2}/2$ du rayon (33) du cas axisymétrique.

On rassemble dans le tableau 1 les comportements asymptotiques des différentes grandes étudiées pour les valeurs limites de $\eta$.

<table><caption>TABLE 1 – Comportements aux limites des solutions.</caption><thead><tr><th>η</th><th>0 (-1 ≤ ρ &lt; 1)</th><th>1</th><th>+∞ (-1 &lt; ρ ≤ 1)</th></tr></thead><tbody><tr><td>A</td><td>-(1 + ρ)</td><td>0</td><td>1 - ρ</td></tr><tr><td>A'</td><td>-1</td><td>0</td><td>-1</td></tr><tr><td>f<sub>1</sub>(ρ)</td><td>2 + (1 + ρ)/2</td><td>1 - ρ</td><td>(1 + ρ)/2</td></tr><tr><td>f<sub>2</sub>(ρ)</td><td>(1 - ρ)/2</td><td>1 + ρ</td><td>2 + (1 - ρ)/2</td></tr><tr><td>ρ<sub>1</sub><sup>OPT</sup></td><td>1</td><td>1</td><td>—</td></tr><tr><td>Q&#773;<sub>1</sub><sup>OPT</sup></td><td>4</td><td>1</td><td>—</td></tr></tbody></table>

## 4.3 Profils de vitesse

Les profils de vitesse sont représentés sur la figure 10. Comme dans le cas axisymétrique, on observe que le "liquide", entraîné par le gaz moins visqueux, atteint bien des vitesses supérieures à celles du Poiseuille classique. La vitesse maximale est obtenue pour $\eta \to 0$ :

$$ \bar{u}_{1,\eta \to 0}(\bar{y}) = (1 + \bar{y})(3 - \bar{y}) \quad \text{avec} \quad \bar{u}_{1,\eta \to 0}(1) = 4 = \bar{Q}_{1,\eta \to 0}^{\text{OPT}} $$

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE 10 – Profils de vitesse maximisant le débit $Q_1$ ($\eta < 1$).</figcaption></figure>
# 5 Conclusions et perspectives

Cette étude analytique est bien sûr très schématique et ne prétend pas représenter toute la compléxité des écoulements diphasiques en conduite. Cependant, elle a permis d'identifier un mécanisme pouvant expliquer les observations expérimentales. Pour la compléter, on pourrait introduire les forces de tension superficielle à l'interface liquide-gaz.

Il est dommage que le cas axisymétrique ne présente d'optimum que pour $\eta < 1$ (liquide au centre, gaz autour). L'optimisation du cas $\eta > 1$ (gaz au centre, liquide adhérant aux parois) aurait été plus intéressante du point de vue applicatif. Néanmoins, le débit du liquide central peut être théoriquement infini dans la limite $\eta \to 0$.

Le cas plan n'est plus entièrement analytique. Le débit maximum atteignable est 4 fois celui du Poiseuille classique dans la limite $\eta \to 0$. Le point $\rho_1^{\text{OPT}} = \sqrt{2}/2, \bar{Q}_1^{\text{OPT}} = \sqrt{2}$ est interpellant, mais n'est pas un optimum exact.

Le régime d'écoulement diphaphique de type "slug", où de longues poches de gaz se trouvent entraînées au centre de la conduite, puis se referment pour se former à nouveau, pourrait être modélisé par une alternance $\eta > 1 \leftrightarrow \eta < 1$ pilotée par un facteur d'intermittence à construire plus ou moins empiriquement, dans le but de reproduire l'optimum expérimental. La question se pose bien sûr de la façon de réaliser cet optimum pour un rapport de viscosité $\eta$ donné, c'est à dire comment réaliser concrètement la prise d'air dans la conduite (pariétale, axiale...) et comment calibrer son débit, si ce n'est par le ressenti du praticien.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 11 – Simulation VOF ANSYS/Fluent® d'un écoulement plan de type "slug" (Delavault / Maberi-Grodet, 2023)</figcaption></figure>
# Annexe

<table><caption>TABLE 2 – Racines numériques de (57), et solutions optimales correspondantes. En gras, valeurs numériques du point remarquable, très proches de $\rho_1^{\text{OPT}} = \sqrt{2}/2$, $\bar{Q}_1^{\text{OPT}} = \sqrt{2}$.</caption><thead><tr><th>η</th><th>ρ<sub>1</sub><sup>OPT</sup></th><th>Q&#773;<sub>1</sub><sup>OPT</sup></th><th>Q&#773;<sub>2</sub><sup>OPT</sup></th><th>X<sub>1</sub></th><th>X<sub>2</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>1</td><td>4</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0.0001</td><td>0.988607239</td><td>3.898045090</td><td>0.000001856</td><td>0.99430362</td><td>0.00569638</td></tr><tr><td>0.0005</td><td>0.974943430</td><td>3.777271089</td><td>0.000019820</td><td>0.987471714</td><td>0.012528286</td></tr><tr><td>0.001</td><td>0.988607239</td><td>3.898045090</td><td>0.000054198</td><td>0.994303619</td><td>0.005696380</td></tr><tr><td>0.005</td><td>0.925693963</td><td>3.354808198</td><td>0.000526320</td><td>0.962846981</td><td>0.037153019</td></tr><tr><td>0.01</td><td>0.898894644</td><td>3.132626433</td><td>0.001341430</td><td>0.949447322</td><td>0.050552678</td></tr><tr><td>0.02</td><td>0.864583746</td><td>2.854801700</td><td>0.003280031</td><td>0.932291873</td><td>0.067708127</td></tr><tr><td>0.05</td><td>0.807820625</td><td>2.405606500</td><td>0.009748029</td><td>0.903910312</td><td>0.096089688</td></tr><tr><td>0.1</td><td>0.759984915</td><td>2.021779694</td><td>0.020006793</td><td>0.879992457</td><td>0.120007543</td></tr><tr><td>0.2</td><td>0.718661678</td><td>1.631679570</td><td>0.035428058</td><td>0.859330839</td><td>0.140669161</td></tr><tr><td>0.25</td><td>0.710431818</td><td>1.511426731</td><td>0.040530850</td><td>0.855215909</td><td>0.144784091</td></tr><tr><td>0.3</td><td>0.707250263</td><td>1.417070415</td><td>0.044035615</td><td>0.853625132</td><td>0.146374868</td></tr><tr><td><b>0.30170023</b></td><td><b>0.707216642</b></td><td><b>1.414213601</b></td><td><b>0.044128111</b></td><td><b>0.853608321</b></td><td><b>0.146391679</b></td></tr><tr><td>0.35</td><td>0.708055811</td><td>1.340840836</td><td>0.046059677</td><td>0.854027905</td><td>0.145972095</td></tr><tr><td>0.4</td><td>0.712221090</td><td>1.278007399</td><td>0.046714672</td><td>0.856110545</td><td>0.143889455</td></tr><tr><td>0.45</td><td>0.719368769</td><td>1.225491404</td><td>0.046106818</td><td>0.859684385</td><td>0.140315615</td></tr><tr><td>0.5</td><td>0.729281773</td><td>1.181191183</td><td>0.044340018</td><td>0.864640887</td><td>0.135359113</td></tr><tr><td>0.55</td><td>0.741856425</td><td>1.143621618</td><td>0.041520381</td><td>0.870928213</td><td>0.129071787</td></tr><tr><td>0.6</td><td>0.757077754</td><td>1.111707824</td><td>0.037761984</td><td>0.878538877</td><td>0.121461123</td></tr><tr><td>0.65</td><td>0.775007768</td><td>1.084660856</td><td>0.033194269</td><td>0.887503884</td><td>0.112496116</td></tr><tr><td>0.7</td><td>0.795782520</td><td>1.061900134</td><td>0.027971887</td><td>0.897891260</td><td>0.102108740</td></tr><tr><td>0.75</td><td>0.819616365</td><td>1.043004186</td><td>0.022288332</td><td>0.909808182</td><td>0.090191818</td></tr><tr><td>0.8</td><td>0.846813471</td><td>1.027679729</td><td>0.016395568</td><td>0.923406736</td><td>0.076593264</td></tr><tr><td>0.85</td><td>0.877788146</td><td>1.015743714</td><td>0.010633270</td><td>0.938894073</td><td>0.061105927</td></tr><tr><td>0.9</td><td>0.913097411</td><td>1.007115719</td><td>0.005473940</td><td>0.956548705</td><td>0.043451295</td></tr><tr><td>0.95</td><td>0.953492312</td><td>1.001820172</td><td>0.001595138</td><td>0.976746156</td><td>0.023253844</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr></tbody></table>