# Sur les equations de chandrasekhar associees a des
operateurs non bornes

Michel Sorine

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Michel Sorine. Sur les equations de chandrasekhar associees a des operateurs non bornes. [Rapport de recherche] IRIA-RR-267, IRIA. 1977, pp.71. hal-04716431

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SUR LES ÉQUATIONS
DE CHANDRASEKHAR
ASSOCIÉES À DES
OPÉRATEURS NON BORNÉS

Michel SORINE

Rapport de Recherche N° 267

Novembre 1977
SUR LES ÉQUATIONS DE CHANDRASEKHAR
ASSOCIÉES A DES OPÉRATEURS NON BORNÉS

M. Sorine

Résumé :

Pour calculer le contrôle optimal en boucle fermée d'un système parabolique linéaire associé
à un critère quadratique, on peut résoudre, soit une équation de Riccati, soit un ensemble d'équa-
tions du type Chandrasekhar. On présente ici quelques résultats d'existence, d'unicité et de régu-
larité de la solution de ces équations. On traite le cas du contrôle et de l'observation distribués et
un exemple avec contrôle et observations frontières.

Abstract :

Chandrasekhar equations are an alternative to the Riccati equation in the resolution of the Linear
Quadratic Control Problem associated with a parabolic equation. We present here some results on
the existence, uniqueness and regularity of the solution of Chandrasekhar equations, in both cases
of distributed and boundary control and observation.
# O. INTRODUCTION

L'objet de ce travail est l'étude des équations de Chandrasekhar associées à des opérateurs non bornés.

Ces équations interviennent en Contrôle Optimal où leur résolution fournit directement le gain du feedback optimal. Les algorithmes correspondants de calcul du gain peuvent être beaucoup plus avantageux numériquement que la résolution de l'équation de Riccati.

On donne ici quelques résultats d'existence, d'unicité et de régularité de la solution des équations de Chandrasekhar, lorsque les opérateurs définissant le problème de Contrôle sont indépendants du temps.

La méthode suivie est celle de LIONS [1] pour l'étude de l'équation de Riccati : on étudie directement le système d'optimalité caractérisant le contrôle optimal, système que l'on découple, introduisant ainsi les opérateurs P (de Riccati), K et L (de Chandrasekhar). Ce n'est qu'après avoir obtenu suffisamment de propriétés de régularité de ces opérateurs, qu'on les caractérise comme solutions d'équations opérationnelles.

La méthode permet d'étudier des cas où les opérateurs de contrôle et d'observation sont non bornés. Ces cas sont parmi les plus fréquents en pratique et les plus intéressants numériquement, nous en donnons un exemple.

Nous nous sommes intéressés aux équations donnant P, K, L sur un intervalle de temps fini, le cas de l'intervalle de temps infini, lié à la stabilisabilité du système à commander et à l'équation de Riccati stationnaire sera étudié ultérieurement.
## SOMMAIRE

pages

1. Notations et hypothèses .................................................... 3

1.1. Le problème de contrôle et les opérateurs P,K,L ............ 3

1.2. Un exemple avec contrôle et observation frontières .... 6

2. Premières propriétés de P .................................................... 8

2.1. Etude du système couplé (1.9) .................................... 8

2.2. Quelques propriétés de P ........................................ 12

3. Contrôle et observation distribués : régularité de P et de A+D₁P 16

3.1. Régularité de la solution du système d'optimalité ...... 16

3.2. Régularité de P .................................................... 17

3.3. Propriétés de la dynamique optimale A+D₁P ................. 26

4. Contrôle et observation frontières : régularité de P et de A+D₁P 35

4.1. Régularité de la solution du système d'optimalité...... 35

4.2. Régularité de P .................................................... 36

4.3. Propriétés de la dynamique optimale de A+D₁P ................. 42

5. Factorisation de $\frac{dP}{dt}$ .................................................... 48

5.1. Contrôle et observation distribués ............................ 49

5.2. Contrôle et observation frontières ............................ 50

6. Equation de Riccati ............................................................ 51

6.1. Contrôle et observation distribués ............................ 54

6.2. Contrôle et observation frontières ............................ 55

7. Equations de Chandrasekhar .................................................... 57

7.1. Contrôle et observation distribués ............................ 57

7.2. Contrôle et observation frontières ............................ 61

Bibliographie .................................................................... 69
# 1. NOTATIONS ET HYPOTHESES

Après avoir posé le problème de contrôle dans un cadre général, nous donnons un exemple dans lequel les opérateurs de contrôle et d'observation sont non bornés. Cet exemple type sera repris tout au long de l'étude.

## 1.1. Le problème de contrôle et les opérateurs P,K,L.

Soient $V, H, E, F$ des espaces de Hilbert réels séparables tels que (on identifie $H$ à son dual) :

$$ (1.1) \qquad \begin{cases} V \subset H \equiv H' \subset V' \\ \text{Chaque espace étant dense dans le suivant avec injection continue.} \end{cases} $$

On note :

- $((\cdot, \cdot)), \|\cdot\| \text{ (resp. } (\cdot, \cdot), |\cdot|) \text{ le produit scalaire et la norme dans } V \text{ (resp. } H \text{ ) } ((\cdot, \cdot)) \text{ représentera aussi le produit de dualité } V \to V \text{).}$

- $((\cdot, \cdot))_{X', |\cdot|_{X'}}$, les mêmes quantités pour un espace de Hilbert $X'$. $X$ et $Y$ étant deux espaces de Hilbert, on désigne par $\mathcal{L}(X,Y)$, $\mathcal{L}_S(X,Y)$, $\mathcal{L}_W(X,Y)$, les espaces obtenus en munissant l'ensemble des applications linéaires continues de $X$ dans $Y$, respectivement des topologies de la convergence uniforme, forte, faible, des opérateurs $(\lim_{n}^{T} \mathcal{L}_{n} = T \text{ dans } \mathcal{L}_{W}(X,Y) \text{ signifie que } \forall x \in X, \forall y \in Y, \lim_{n} (\mathcal{L}_{n} x, y)_{Y} = (Tx, y)_{Y})$.

On donne :

$$ (1.2) \quad \left\{ \begin{array}{ll} A \in \mathcal{L}(V,V') & \text{tel que } \exists \alpha > 0, \exists \lambda \in \mathbb{R}, (A\phi,\phi) + \lambda |\phi|^2 \ge \alpha \|\phi\|^2, \forall \phi \in V. \\ B \in \mathcal{L}(E,V') \\ C \in \mathcal{L}(V,F) \\ N \in \mathcal{L}(E,E) & \text{tel que } N = N^* \text{ et } \exists v > 0, (Nv,v)_E \ge |v|^2 \quad \forall v \in E. \end{array} \right. $$
On pose :

$\Lambda_X$: isomorphisme canonique de l'espace de Hilbert X sur son dual X'.

$$
(1.3) \quad \left\{
\begin{array}{l}
D_1 = BN^{-1} \Lambda_E^{-1} B^* \\
D_2 = C^* \Lambda_F C
\end{array}
\right.
$$

On considère le problème de contrôle où l'état est la solution de :

$$
\begin{align*}
(1.4) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  \displaystyle \frac{d}{dt} y(v) + Ay(v) = Bv \quad \text{sur } ]0,T[, \quad T < +\infty, \\
  y(v) \bigg|_{t=0} = y_o \quad y(v) \in L^2(0,T;V), \\
  \text{où } v \in \mathcal{U} = L^2(0,T;E) \text{ et } y_o \in H.
\end{array}
\right.
\end{align*}
$$

le critère à minimiser est :

$$
(1.5) \quad J(v) = \int_0^T |Cy(v)|_F^2 dt + \int_0^T (Nv, v)_E dt,
$$

on cherche u tel que

$$
(1.6) \quad \begin{cases} u \in \mathcal{U} \\ J(u) \le J(v) \quad \forall v \in \mathcal{U}. \end{cases}
$$

On sait (LIONS [1]) que sous les hypothèses (1.1), (1.2) il existe u,
solution unique du problème (1.4), (1.5), (1.6), caractérisée par le sys-
tème :

$$
(1.7) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\qquad}l@{}}
\displaystyle \frac{d}{dt}y + Ay + D_1 p = 0 & \text{sur } ]0,T[ \\
\displaystyle -\frac{d}{dt}p + A^*p - D_2 y = 0 & \\
y(0) = y_o, \quad p(T) = 0 & y,p \in L^2(0,T;V)
\end{array}
\right.
$$

$$
(1.8) \quad u = -N^{-1} \Lambda_E^{-1} B^* p
$$

Sous les mêmes hypothèses on montre que, $\forall s \in [0,T[$, $\forall h \in H$, le système suivant ((1.7) écrit sur $]s,T[$ avec h comme condition initiale) a une solution unique $(y_s,p_s) \in W(s,T) \times W(s,T)$ :
$$
(1.9) \quad \begin{cases}
\frac{d}{dt}y_s + Ay_s + D_1 p_s = 0 \\
-\frac{d}{dt}p_s + A^* p_s - D_2 y_s = 0 \\
y_s(s) = h, \quad p_s(T) = 0.
\end{cases}
$$

et que l'application $h \to (y_s,p_s)$ est linéaire continue de $H$ dans $W(s,T) \times W(s,T)$.

Cela permet de définir les opérateurs suivants, linéaires continus de H
dans H :

$$
(1.10) \quad P(s) \text{ tel que } P(s)h = p_s(s)
$$

$$
(1.11) \quad G_p(t,s) \text{ tel que } G_p(t,s)h = y_s(t) \quad \text{pour } s \le t \le T,
$$
puis les opérateurs $K(s)$ et $L(s)$ respectivement de $H$ dans $E$ et de $H$ dans $F$,
en général non bornés, par :

$$
(1.12) \quad K(s) = N^{-1} A^{-1}_{E} B^{*} P(s)
$$

$$
(1.13) \quad L(s) = C G_p(T,s).
$$

On montre alors que la solution de (1.7) vérifie :

$$
(1.14) \quad p(t) = P(t)y(t) , \quad \forall t \in [0,T],
$$

si on a posé :

$$
(1.15) \quad P(T) = 0,
$$

de sorte que le contrôle optimal u s'écrit sous forme de feedback :

$$
(1.16) \quad u(t) = -K(t)y(t), \quad \forall t \in [0,T].
$$

On verra que sous certaines hypothèses P est solution d'une équation
de Riccati et (K,L) d'un système du type Chandrasekhar (CASTI-LJUNG [1]).

Nous allons déduire ici des définitions (1.10), ..., (1.13), quelques
propriétés de G_p, P, K, L.
**Remarque 1.1.** A l'opérateur $A$, on associe l'ensemble

$$
(1.17) \quad D(A) = \{\phi \mid \phi \in V, A\phi \in H\}
$$

et la restriction de $A$ à $D(A)$ encore notée $A$.

Lorsque des confusions seront à craindre on notera $\tilde{A}$ l'opérateur de $V$
dans $V'$ et $A$ sa restriction à $D(A)$.

$D(A)$ est muni de la structure d'espace de Hilbert associée à la norme

$$
|\phi|^2_{D(A)} = |\phi|^2 + |A\phi|.
$$

1.2. <ins>Un exemple avec contrôle et observation frontières.</ins>

Nous allons donner un exemple de la situation précédente. Les notations
sont les suivantes :

$$
(1.18) \quad \begin{cases} Q = \Omega \times ]0,T[, \Omega \text{ ouvert de } \mathbb{R}^n \\ \Sigma = \Gamma \times ]0,T[, \Gamma \text{ frontière de } \Omega. \end{cases}
$$

Soient $a_{ij}$ des fonctions sur $\Omega$ avec :

$$
(1.19) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
a_{ij} \in L^\infty(\Omega) & \\
\displaystyle\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x) \xi_i \xi_j \ge \alpha \sum_{i=1}^{n} \xi_2^1, & \alpha > 0, \forall \xi_i \in \mathbb{R}, \text{ p.p. dans } \Omega.
\end{array}
\right.
$$

on prend :

$$
(1.20) \quad V = H^1(\Omega), \quad H = L^2(\Omega).
$$

On définit la forme bilinéaire continue sur $H^1(\Omega)$ :

$$
(1.21) \quad a(\phi, \psi) = \int_{\Omega} \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial \phi}{\partial x_i} \frac{\partial \psi}{\partial x_j} dx, \quad \forall \phi, \psi \in H^1(\Omega).
$$

On prend :

$$
(1.22) \quad E = F = L^2(\Gamma).
$$

L'état $y(v)$ est la solution de :

$$
(1.23) \quad \begin{cases} \displaystyle \frac{d}{dt} [y(v), \phi] + a(y(v), \phi) = (v(t), \phi|_{\Gamma})_{L^2(\Gamma)}, \quad \forall \phi \in H^1(\Omega). \\ y(v)|_{t=0} = y_0 \quad \text{dans } \Omega. \end{cases}
$$
$$
\begin{align*}
où v &\in \mathcal{U} = L^2(0,T; L^2(\Gamma)) = L^2(\Sigma), \\
y_o &\in L^2(\Omega).
\end{align*}
$$

On associe au triplet {$H^1(\Omega), L^2(\Omega), a(\phi,\psi)$} l'opérateur A non borné
dans $L^2(\Omega)$ et à $a(\phi,\psi)$ l'opérateur $\tilde{A} \in \mathcal{L}\{H^1(\Omega), (H^1(\Omega))'\}$ (cf. remarque 1.1.
et LIONS [2]). (1.23) s'interprète alors ainsi (formellement) :

$$
\text{(1.24)} \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} y(v) + Ay(v) = 0, \quad \text{dans } Q \\[1ex]
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial v}(v) = v, \quad \text{sur } \Sigma \\[1ex]
\displaystyle y(v) \Big|_{t=0} = y_0, \quad \text{dans } \Omega,
\end{array}
\right.
$$

où :

$$
\[
\text{(1.25)} \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\displaystyle A\phi = - \sum_{i,j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \left( a_{ij}(x) \frac{\partial \phi}{\partial x_j} \right) \\[1.5ex]
\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial v_A} = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x_j} \cos(\vec{n}, x_i) \\[1.5ex]
\quad \cos(\vec{n}, x_i) = \text{ième cosinus directeur de } \vec{n} \text{ normale à } \Gamma \text{ extérieure à } \Omega.
\end{array}
\right.
\]
Le critère à minimiser est :
$$

Le critère à minimiser est :

$$
(1.26) \quad J(v) = \int_0^T \left| y(v) \right|_{\Gamma}^2 L^2(\Gamma) \, dt + \int_0^T (Nv, v) L^2(\Gamma) \, dt.
$$

C est ici l'opérateur trace, on a :

$$
(1.27) \quad C \in \mathcal{L}(H^r(\Omega), L^2(\Gamma)), \text{ pour } r > 1/2.
$$

B est défini par :

$$
(Bv, \phi) = \int_{\Gamma} v \cdot \phi |_{\Gamma} d\Gamma, \quad \forall v \in L^2(\Gamma), \forall \phi \in H^1(\Omega).
$$

et on a :

$$
(1.28) \quad B \in \mathcal{L}(L^2(\Gamma), (H^r(\Omega))') \text{ pour } r > 1/2.
$$

Les hypothèses 1.1. sont vérifiées, le système (1.9) s'écrit sous forme
variationnelle (en posant $a^*(\phi,\psi) = a(\psi,\phi)$) :
$$
\begin{equation} \tag{1.29}
\begin{cases}
\displaystyle \frac{d}{dt} (y, \phi) + a(y, \phi) + \left\{ N^{-1} p|_{\Gamma}, \phi|_{\Gamma} \right\}_{L^2(\Gamma)} = 0 \\
\displaystyle - \frac{d}{dt} (p, \psi) + a^*(p, \psi) - \left\{ y|_{\Gamma}, \psi|_{\Gamma} \right\}_{L^2(\Gamma)} = 0
\end{cases}
\quad \text{y(s) = h, p(T) = 0, } \forall \phi, \psi \in H^1(\Omega), \text{ pp sur } ]s,T[
\end{equation}
$$

ce qui s'interprète ainsi (formellement) :

$$
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  \displaystyle \frac{\partial y}{\partial t} + Ay = 0; \quad \frac{\partial y}{\partial \nu_A} + N^{-1} p|_{\Gamma} = 0 \\[2ex]
  \displaystyle - \frac{\partial p}{\partial t} + A^* p = 0; \quad \frac{\partial p}{\partial \nu_A^*} - y|_{\Gamma} = 0 \\[2ex]
  y(s) = h, \quad p(T) = 0
\end{array}
\right.
\tag{1.30}
\end{equation}
$$

2. PREMIERES PROPRIETES DE P

2.1. Etude du système couplé (1.9)

Nous utiliserons le résultat suivant (YEBRA [1]) :

THEOREME 2.1. : Sous les hypothèses (1.1), (1.2) le système

$$
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
y' + Ay + D_1 p = f \\
\\
- p' + A^* p - D_2 y = g \\
\\
y(0) = h, p(T) = k
\end{array}
\right.
\tag{2.1}
\end{equation}
$$

a une solution unique (y,p) dans W(O,T)×W(O,T), pour tout h ∈ H, k ∈ H,
f ∈ L²(O,T;V'), g ∈ L²(O,T;V'),de plus l'application :

(h,k,f,g) → (y,p) est linéaire continue de H×H×L²(O,T;V')×L²(O,T;V')
dans W(O,T)×W(O,T).

Reprenant la démonstration de ce théorème on va montrer l'inégalité
de l'énergie suivante :
**LEMME 2.1** : Sous les hypothèses (1.1), (1.2) la solution du système

(2.1) vérifie :

$$
\[
(2.2) \quad \left\{
\begin{aligned}
& |y(T)|^2 + \varepsilon |p(0)|^2 + \alpha \int_0^T \|y\|^2 dt + \alpha \varepsilon \int_0^T \|p\|^2 dt + 4\eta \int_0^T (D_2 y, y) dt - 4\lambda \int_0^T |y|^2 dt \\
& \quad + 2\eta\nu \int_0^T |N^{-1}\Lambda_E^{-1} B^* p|_E^2 dt - 4\lambda\varepsilon \int_0^T |p|^2 dt \le 2 \left(1 + \frac{2\eta^2}{\varepsilon}\right) |h|^2 + 2(1+2\eta^2) |k|^2 \\
& \quad + 2 \int_0^T |f-\eta g|^2_V dt + \frac{4}{\alpha\varepsilon} \int_0^T |\eta f + \varepsilon g|^2_V dt.
\end{aligned}
\right.
$$

pour tout $n, \varepsilon$ tels que : $\eta \ge \frac{4}{\alpha\nu} |B|_{\mathcal{L}(E,V')}^2$ ; $\varepsilon \le \frac{\alpha}{\eta\nu} |B|_{\mathcal{L}(E,V')}^2 \cdot |D_2|_{\mathcal{L}(V,V')}^{-2}$ .

**Démonstration** : Multiplions scalairement la première équation (2.1)

par $y+np$, la seconde par $\epsilon p-ny$ et ajoutons, il vient :

$$
(y', y+np) - (p', \epsilon p-ny) + Q(y,p) = (f,y+np) + (g, \epsilon p-ny)
$$

avec :

$$
Q(y,p) = (Ay+D_1 p,y+np) + (A^* p-D_2 y, \epsilon p-ny).
$$

$$
= (Ay,y) + \epsilon (A^* p,p) + \eta (D_2 y,y) + \eta (D_1 p,p) + (D_1 p,y) - \epsilon (D_2 y,p)
$$

d'où, avec (1.2), en notant $|B|$ (resp. $|D_2|$) la norme de $B$ (resp. $D_2$)

dans $\mathcal{L}(E,V')$ (resp. $\mathcal{L}'(V,V')$):

$$
Q(y,p) + \lambda |y|^2 + \epsilon \lambda |p|^2 \ge \alpha \|y\|^2 + \epsilon \alpha \|p\|^2 + \eta (D_2 y, y) + \eta \nu |N^{-1} \Lambda_E^{-1} B^* p|_E^2 \\
- |B| |N^{-1} \Lambda_E^{-1} B^* p|_E \|y\| - \epsilon |D_2| \|y\| \cdot \|p\|,
$$

mais comme :

$$
|B| |N^{-1} \Lambda_E^{-1} B^* p|_E \|y\| \le \frac{\eta \nu}{2} |N^{-1} \Lambda_E^{-1} B^* p|_E^2 + \frac{|B|^2}{2 \eta \nu} \|y\|^2 ,
$$

$$
\epsilon |D_2| \|y\| \|p\| \le \frac{|B|^2}{2\eta\nu} \|y\|^2 + \frac{\epsilon^2 |D_2|^2}{2|B|^2} - \eta\nu \|p\|^2,
$$

il vient :

$$
\begin{align*}
Q(y,p) + \lambda |y|^2 + \epsilon \lambda |p|^2 &\ge \left(\alpha - \frac{|B|^2}{\eta \nu}\right) \|y\|^2 + \epsilon \left(\alpha - \frac{\epsilon \eta \nu}{2} \frac{|D_2|^2}{|B|^2}\right) \|p\|^2 \\
&\quad + \eta (D_2 y, y) + \frac{\eta \nu}{2} |N^{-1} \Lambda_E^{-1} B^* p|_E^2,
\end{align*}
$$

$$
\text{prenons : } \eta \ge \frac{4|B|^2}{\alpha\nu}, \quad \varepsilon \le \frac{\alpha}{\eta\nu} \frac{|B|^2}{|D_2|^2},
$$

on a :
$$
Q(y,p) + \lambda |y|^2 + \epsilon \lambda |p|^2 \ge \frac{3}{4} \alpha \|y\|^2 + \frac{\alpha \epsilon}{2} \|p\|^2 + \eta (D_2 y, y) + \frac{\eta \nu}{2} |N^{-1} \Lambda_E^{-1} B^* p|_E^2
$$
avec $\epsilon > 0$ et $\eta > 0$,

d'où :

$$
\begin{align*}
& \frac{1}{2}|y(T)|^2 + \frac{\epsilon}{2}|p(0)|^2 + \eta(y(T),k) - \eta(p(0),h) + \frac{3\alpha}{4} \int_0^T \|y\|^2 dt + \frac{\alpha\epsilon}{2} \int_0^T \|p\|^2 dt \\
& \qquad + \eta \int_0^T (D_2 y, y) dt - \lambda \int_0^T |y|^2 dt + \frac{\eta\nu}{2} \int_0^T |N^{-1}\Lambda_E^{-1} B^* p|_E^2 dt - \lambda\epsilon \int_0^T |p|^2 dt \\
& \qquad \le \frac{1}{2}|h|^2 + \frac{1}{2}|k|^2 + \int_0^T (f-\eta g, y) dt + \int_0^T (\eta f + \epsilon g, p) dt
\end{align*}
$$

soit encore :

$$
\begin{align*}
& \frac{1}{4}|y(T)|^2 + \frac{\epsilon}{4}|p(0)|^2 + \frac{\alpha}{4} \int_0^T \|y\|^2 dt + \frac{\alpha\epsilon}{4} \int_0^T \|p\|^2 dt + \eta \int_0^T (D_2 y, y) dt - \lambda \int_0^T |y|^2 dt \\
& \qquad + \frac{\eta\nu}{2} \int_0^T |N^{-1}\Lambda_E^{-1} B^* p|_E^2 dt - \lambda\epsilon \int_0^T |p|^2 dt \\
& \qquad \le (\frac{1}{2} + \frac{\eta^2}{\epsilon^2}) |h|^2 + (\frac{1}{2} + \eta^2) |k|^2 \\
& \qquad + \frac{1}{2} \int_0^T |f - \eta g|_V^2 dt + \frac{1}{\alpha\epsilon} \int_0^T |\eta f + \epsilon g|_V^2 dt
\end{align*}
$$

d'où le résultat.

Pour étudier le système (1.9) on va se ramener à un intervalle de
temps fixe. Posons :

$$
t = s + \tau(T - s), \quad \tau \in [0,1], \quad 0 \le s < T
$$

$$
\beta_s(\tau) = y_s(s+\tau(T-s)),
$$

$$
\gamma_s(\tau) = p_s(s+\tau(T-s)),
$$

(1.9) devient :

$$
(2.3) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{d}{d\tau} \beta_s + (T-s) A \beta_s + (T-s) D_1 \gamma_s = 0 \\[2ex]
\displaystyle - \frac{d}{d\tau} \gamma_s + (T-s) A^* \gamma_s - (T-s) D_2 \beta_s = 0 \\[2ex]
\beta_s(0) = h, \quad \gamma_s(1) = 0,
\end{array}
\right.
$$

posons :

$$
X = W(0,1) \times W(0,1); \quad Y = H \times H \times L^2(0,1; V') \times L^2(0,1; V'),
$$
espaces de Hilbert munis des topologies produits et :

$$
\chi_s = (\beta_s, \gamma_s).
$$

On a alors le :

LEMME 2.2 : Sous les hypothèses (1.1), (1.2), on a :

$$
\forall h \in H, \ll s \to \chi_s \gg \in C^\infty([0,T[;X).
$$

Démonstration :

Soit $\mathcal{A}$ ($s) \in \mathcal{L}(X,Y)$ défini par :

$$
\mathcal{A}(s)(\beta,\gamma) = (\beta(0),\gamma(1), \beta'+(T-s)(A\beta+D_1\gamma), -\gamma'+(T-s)(A^*\gamma-D_2\beta)), \\
\forall (\beta,\gamma) \in X \quad (\begin{smallmatrix} \alpha \\ \beta \end{smallmatrix} = \frac{d}{dr})
$$

et soit $M \in \mathcal{L}(X,Y)$, défini par

$$
M(\beta, \gamma) = (0,0, A\beta + D_1\gamma, A^{*}\gamma - D_2\beta),
$$

on a :

$$
\mathcal{A}(s) = \mathcal{A}(0) - sM,
$$

d'où en particulier :

$$
\mathcal{A} \in C^\infty([\mathbb{R};\mathcal{L}(X;Y)]).
$$

D'autre part, d'après le théorème 2.1, $\mathcal{A}(s)$ est un isomorphisme de $X$
sur $Y$, pour $s < T$.

Soit $\gamma = (h,0,0,0)$, $\chi_s$ est alors la solution de :

$$
(2.4) \quad \mathcal{A}(s) \chi_s = \gamma.
$$

On peut appliquer le théorème des fonctions implicites :

$$
\ll s \to \chi_s \gg \in C^\infty([0,T[;X)
$$

La dérivée est donnée par :

$$
(2.5) \quad \frac{d}{ds} \chi_s = \mathcal{A}^{-1}(s) M \chi_s .
$$

Notons enfin que les systèmes (1.9), (2.3) s'interprètent comme
des systèmes d'optimalité, plus précisément on a (LIONS [1]) :
**LEMME 2.3** : Sous les hypothèses (1.1), (1.2) le système (1.9) est le système des équations d'Euler du problème suivant :

$$
(2.6) \quad \begin{cases} y'(v) + Ay(v) = Bv \\ y(v) \Big|_{t=s} = h \quad \text{sur } ]s,T[, \quad y(v) \in L^2(s,T;V), \end{cases}
$$

$$
(2.7) \quad J_s(v) = \int_s^T (D_2 y(v), y(v)) dt + \int_s^T (Nv, v)_E dt,
$$

$$
(2.8) \quad J_s(u_s) \le J_s(v) \quad \forall v \in L^2(s,T;E), \quad u_s \in L^2(S,T;E),
$$

et le système (2.3) celui du problème :

$$
(2.9) \quad \begin{cases} \beta'(w) + (T-s)\beta(w) = (T-s)Bw \\ \beta(w) \Big|_{t=0} = h \quad \text{sur } ]0,1[, \quad \beta \in L^2(0,1;V), \end{cases}
$$

$$
(2.10) \quad j_s(w) = (T-s) \int_0^1 (D_2 \beta(w), \beta(w)) d\tau + (T-s) \int_0^1 (Nw, w)_E d\tau,
$$

$$
(2.11) \quad j_s(w_s) \le j_s(w), \quad \forall w \in L^2(0,1;E), \quad w_s \in L^2(0,1;E).
$$

Ces problèmes ont une solution unique et on a :

$$
(2.12) \quad J_s(u_s) = j_s(w_s) = (P(s)h, h).
$$

2.2. Quelques propriétés de P

On va montrer le :

**THEOREME 2.2** : Sous les hypothèses (1.1), (1.2) on a :

$$
\text{i) } P(t) \ge 0, P^*(t) = P(t), \forall t \in [0,T].
$$

$$
P(t) \ge P(s) \text{ pour } 0 \le t \le s \le T.
$$

$$
\text{ii) } P \in C^\infty([0,T[; \mathcal{L}_s^m(H;H)), \frac{d^m P^*}{dt^m}(t) = \frac{d^m P}{dt^m}(t), t \in [0,T[, m \in \mathbb{N}
$$

$$
P \in \text{Lip}([0,T-\epsilon]; \ell(H;H)), \forall \epsilon \in ]0,T[.
$$

$$
\text{iii) } P \in C^\circ([0,T]; \ell_s^m(H;H)).
$$
$$
\text{iv) } 0 \ge \limsup_{s \to T} \left( \frac{P(T)-P(s)}{T-s} \right)_{h,h} \ge \liminf_{s \to T} \left( \frac{P(T)-P(s)}{T-s} \right)_{h,h} \ge -(D_2 h, h), \\
\forall h \in D(A).
$$

Démonstration :

i) Soit (y,p) (resp. (y,ρ̄)) la solution de (1.9) pour h ∈ H (resp. h̄ ∈ H),
il vient :

$$
\begin{align*}
0 &= \int_s^T (-p' + A^* p - D_2 y, \bar{y}) dt \\
&= (p(s), \bar{y}(s)) - \int_s^T (D_2 y, \bar{y}) dt + \int_s^T (p, \bar{y}' + A \bar{y}) dt,
\end{align*}
$$

d'où, avec (1.10) :

$$
(2.13) \quad (P(s)h, \bar{h}) = \int_s^T (D_2 y, \bar{y}) dt + \int_s^T (D_1 \bar{p}, p) dt.
$$

La positivité et la symétrie de P(s) en résulte, puisque D̄ᵢ = Dᵢ ≥ 0, i=1,2.

Les opérateurs A,B,C,N, étant indépendants du temps, on peut, dans le pro-
blème (2.6), (2.7), (2.8) (lemme 2.3), changer t en t-s et on a, avec des
notations évidentes :

$$
(P(s)h, h) = \inf_{v \in L^2(0,T-s;E)} J_S(v) \le J_S(u_c[0,T-s]) \le J_\sigma(U_\sigma) = (P(\sigma)h, h).
$$

pour $T \ge s \ge \sigma \ge 0$, d'où $i$).

ii) D'après (1.10), (βs, γs) étant la solution de (2.3), P(s)h = γs(0),
le point résulte alors du lemme 2.2 et du fait que l'application (βs, γs) → γs(0)
est linéaire continue de W(0,1)×W(0,1) dans H, dmP dt m (t) étant symétrique
d'après i).

On a en particulier $\forall \varepsilon \in ]0,T[, \forall h \in H$ :

$t \to \frac{dP}{dt}(t)h$ est continue de $[0,T-\varepsilon]$ dans H d'où :

$$
\left| \frac{dP}{dt}(t)h \right| \le M(h), \forall t \in [0, T-\epsilon], \text{ d'où, d'après le théorème de}
$$
Banach Steinhaus : $\sup_{t \in [0, T-\varepsilon]} \left| \frac{dP}{dt}(t) \right|_{\mathcal{L}(H,H)} \le C$.

Alors :

$$
\left| (P(t)-P(s))h \right| = \left| \int_s^t \frac{dP}{d\sigma}(\sigma)hd\sigma \right| \le c|h-s| |h|, \forall h \in H, \forall t, s \in [0,T-\varepsilon]
$$
d'où ii).

iii) Le fait nouveau par rapport à ii) est le comportement en T.

D'après le lemme 2.3 et, en changeant toujours t en t-s :

$(P(s)h,h) = J_s(u_s) \le J_s(0) = \int_0^{T-s} (D_2 y(0),y(0)) dt \text{ où } y(0) \text{ est solution}$

$dans W(0,T)$ de :

$$
(2.14) \quad \begin{cases} y'(0) + Ay(0) = 0 \\ y(0) \Big|_{t=0} = h, \end{cases}
$$

mais alors $s \to \int_0^{T-s} (D_2 y(0), y(0)) dt$ est absolument continue, d'où :

$0 \le (P(s)h,h) \le J_s(0) \to 0$ quand $s \to T$.

D'après i), $\exists P^{1/2}(s)$, donc $|P^{1/2}(s)h| \to 0$ quand $s \to T$, $\forall h \in H$,
d'où (théorème de Banach Steinhaus) : $|P^{1/2}(s)|_{L(H,H)} \le C$
et $|P(s)h| \le C|P^{1/2}(s)h| \to 0$ quand $s \to T$, $\forall h \in H$. Ayant posé $P(T) = 0$,
iii) est démontré.

iv) Prenons $h \in D(A)$ dans (2.14), $y(0)$ est alors solution forte, en
particulier : $y(0) \in C^\circ([0,T];V)$ d'où :

$$
t \to (D_2 y(0), y(0)) \text{ est continue et} \\
\lim_{s \to T} \frac{1}{T-s} \int_0^{T-s} (D_2 y(0), y(0)) dt = (D_2 h, h),
$$

d'où :

$$
\liminf_{s \to T} \left[ \frac{P(T) - P(s)}{T-s} h, h \right] \ge -(D_2 h, h), \quad \forall h \in D(A),
$$

le théorème est démontré.
Le résultat qui suit donne une indication sur la régularité de P
lorsque la solution de (1.9) est régulière. Nous aurons à l'utiliser dans
la suite.

**COROLLAIRE 2.1** : Soient $X_1$ et $Y_1$ deux espaces de Banach inclus (algébriquement et topologiquement) respectivement dans $X$ et $Y$ (notations du lemme 2.2) et de la forme (les facteurs étant des espaces de Banach) :

$$
X_1 = W_y \times W_p, \quad Y_1 = \mathcal{J}_y \times \mathcal{J}_p \times \mathcal{J}_y \times \mathcal{J}_p,
$$

où $\pi_y$ (resp. $\mathcal{J}_p$) est l'espace parcouru par $y(0)$ (resp. $p(0)$) quand $y$
(resp. $p$) parcourt $W_y$ (resp. $W_p$) et où $\mathcal{J}_y$ (resp. $\mathcal{J}_p$) est l'espace parcouru
par $y'$ et $A y+D_1 p$ (resp. $p'$ et $A^* p - D_2 y$) quand $(y,p)$ parcourt $X_1$.

Alors si :

$$
\mathcal{A}^{-1}(s)Y_1 \subset X_1, \quad \mathcal{A}(s)X_1 \subset Y_1, \quad \forall s \in [0,T],
$$

on a :

$$
P \in C^\infty([0,T[; \mathcal{L}_S(\mathcal{J}_Y, \mathcal{J}_P)] \cap Lip([0,T-\varepsilon]; \mathcal{L}(\mathcal{J}_Y, \mathcal{J}_P)) \quad \forall \varepsilon \in ]0,T[.
$$

Démonstration : Du théorème du graphe fermé on déduit :

$$
\mathcal{A}(s) \in \mathcal{L}(X_1, Y_1), \quad \mathcal{A}^{-1}(s) \in \mathcal{L}(Y_1, X_1), \text{ la démonstration du lemme 2.2.}
$$

s'adapte et on a :

$$
\ll s \to \chi s \gg \in C^\infty([0,T[;X_1),
$$

$p \to p(0)$ étant continue de $W_p$ dans $\mathcal{J}_p$, le reste de la démonstration est identique au point ii) du théorème 2.2.
■

**Remarque 2.1** : Avec les notations introduites en (1.10), (1.11) et d'après (1.14), (2.13) s'écrit :

$$
\begin{align*}
(P(s)h, \bar{h}) &= \int_s^T (D_2 G_p(t,s)h, G_p(t,s)\bar{h}) \, dt + \\
&\qquad \int_s^T (D_1 P(t) G_p(t,s)h, P(t) G_p(t,s)\bar{h}) \, dt, \quad \forall h, \bar{h} \in H,
\end{align*}
$$

qui est une équation intégrale vérifiée par P.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
### 3. CONTROLE ET OBSERVATION DISTRIBUES : REGULARITE DE P ET DE $A+D_1P$

Nous allons utiliser maintenant des propriétés de régularité de la solution du système couplé (1.9).

Lorsque les opérateurs $D_1$ et $D_2$, de couplage, sont bornés dans $H$, on peut utiliser des résultats du type existence de solutions $L^2$, (cf. LIONS-MANGENES [1]) ou existence de solutions fortes (ou stricte au sens de KATO [1]). Ce cas correspond à un contrôle et une observation distribués.

Lorsque l'un des deux opérateurs précédents n'est plus borné (ce qui correspond à un contrôle ou une observation frontière), on doit utiliser les résultats de régularité de la solution des problèmes aux limites non homogènes.

Nous distinguerons dorénavant ces deux situations, la deuxième étant illustrée par l'exemple du n°1.2.

Nous supposerons ici :

$$ (3.1) \qquad B \in \mathcal{L}(E;H), C \in \mathcal{L}(H;F) $$

et éventuellement :

$$ (3.2) \qquad V = [D(A),H]_{1/2} = [D(A^*),H]_{1/2}, $$

$$ (3.3) \qquad \ll \text{l'injection de } V \text{ dans } H \text{ est compacte} \gg. $$

#### 3.1. Régularité de la solution du système d'optimalité.

Réécrivons ce système :

$$ \begin{cases} y' + Ay + D_1p = 0 \\ -p' + A^*p - D_2y = 0 \\ y(0) = h, p(T) = 0. \end{cases} $$

On a vu que pour $h \in H$, il a une solution unique, $(y,p)$, dans $W(O,T) \times W(O,T)$. Ici on a de plus le :
**LEMME 3.1** : Sous les hypothèses (1.1), (1.2), (3.1), la solution du système d'optimalité vérifie :

$$ (3.4) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \forall h \in H, y \in C^0([0,T]; D(A)) \cap C^1([0,T]; H), \\ p \in L^2(0,T;D(A^*)), p' \in L^2(0,T;H), \end{array} \right. $$

$$ (3.5) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \forall h \in [D(A),H]^{1/2}, \text{ on a de plus : } y \in L^2(0,T;D(A)), y' \in L^2(0,T;H), \\ p \in C^0([0,T]; D(A^*)) \cap C^1([0,T]; H) \end{array} \right. $$

**Démonstration** : Pour $h \in H$, $y \in W[0,T]$, d'où, $D_2y \in L^2(0,T;H)$ et l'équation en p a une solution $L^2$ (LIONS-MANGENES [1]) : $p \in L^2(0,T;D(A^*))$, $p' \in L^2(0,T;H)$, mais alors $D_1p \in H^1(0,T;H)$ et en particulier, est Höldé-rienne d'ordre $1/2$ sur $[0,T]$ à valeur dans $H$. Sachant que $A+\lambda I$ génère un semi-groupe analytique, cette régularité du second membre de l'équation en y suffit pour prouver (3.4) (KATO [1], p. 491).

Pour $h \in [D(A),H]^{1/2}$, y est une solution $L^2$ et p une solution forte, d'où (3.5).

## 3.2. Régularité de P

On va déduire du lemme précédent les régularités correspondantes de P.

**LEMME 3.2** : Sous les hypothèses (1.1), (1.2), (3.1) on a : $\forall \varepsilon \in ]0,T[$, $P \in C^\infty([0,T[; \mathcal{L}_S(H,[D(A^*),H]^{1/2})) \cap \text{Lip}([0,T-\varepsilon], \mathcal{L}(H,[D(A^*),H]^{1/2}))$.

**Démonstration** : On utilise le Corollaire 2.1 avec :

$$ W_y = W(0,1), $$

$$ W_p = \{p \mid p \in L^2(0,1;D(A^*)), p' \in L^2(0,1;H)\}, $$

$$ J_y = H $$

$$ J_p = [D(A^*),H]^{1/2}, $$
(on sait, cf. LIONS-MAGENES [1], que $\pi_p$ est l'espace parcouru par $p(1)$ lorsque $p$ parcourt $W_p$).

$\mathfrak{F}_y = L^2(0,1;V')$,

$\mathfrak{F}_p = L^2(0,1;H).$

■

**Remarque 3.1** : Pour exploiter (3.5), on ne peut pas utiliser le même argument, car si on note : $W_p = C^1([0,1];H) \cap C^0([0,1];D(A))$,

$\mathfrak{F}_p = \ll \text{ensemble des fonctions Höldériennes de } [0,1] \to H \gg,$

$\pi_p = D(A^*)$ et $\mathcal{A}_p(s)$, l'application de $W(0,1)$ dans $H \times L^2(0,1;V')$ :

$\mathcal{A}_p(s)z = (z(1), -z' + (T-s)A^*z),$

on a bien $\mathcal{A}_p^{-1}(s) (\pi_p \times \mathfrak{F}_p) \subset W_p$, mais $\mathcal{A}_p(s)W_p \not\subset \pi_p \times \mathfrak{F}_p$.

Toutefois, on a le :

**LEMME 3.3** : Sous les hypothèses (1.1), (1.2), (3.1), on a :

$P \in C^0([0,T]; \mathcal{L}_S([H; [D(A^*), H]]_{1/2})) \cap C^0([0,T]; \mathcal{L}_S([D(A), H]]_{1/2}; D(A^*))).$

**Démonstration** : Soit $(y_s, p_s)$ la solution sur $[s,T]$ du système d'optimalité (1.9), pour $0 \le s \le T$, (on convient que pour $s = T$, $y_T(T) = h$, $p_T(T) = 0$) et soit $\tilde{p}_s$ tel que :

$$ \tilde{p}_s(t) = \begin{cases} p_s(t+s) & \text{pour } 0 \le t \le T-s \\ 0 & \text{pour } T-s \le t \le T \end{cases}. $$

Soit une suite $\sigma$, $\sigma \to s$ dans $[0,T]$. Montrons que :

$$ (3.6) \quad \forall h \in H, \tilde{p}_{\sigma} \to \tilde{p}_s \text{ dans } C^0([0,T];H) \text{ quand } \sigma \to s \text{ dans } [0,T], 0 \le s \le T. $$

On a $\sup_{t \in [0,T]} |\tilde{p}_s(t) - \tilde{p}_\sigma(t)| = \sup_{t \in [0,T-\sigma]} |\tilde{p}_s(t) - p_\sigma(\sigma+t)| + \sup_{t \in [T-\sigma,T]} |\tilde{p}_s(t)|,$
le dernier terme ayant 0 pour limite, grâce à la continuité de $\tilde{p}_s$ en $T-s$.
Mais, pour $0 \le s < T$, avec les notations du lemme 2.2, il vient :

$$ \sup_{t \in [0, T-\sigma]} |\tilde{p}_s(t) - p_\sigma(\sigma+t)| = \sup_{\tau \in [0, 1]} |\gamma_s(\tau_\sigma(\tau)) - \gamma_\sigma(\tau)|, \text{ avec } \tau_\sigma(\tau) = \tau \frac{T-\sigma}{T-s}, $$
alors comme (Lemme 2.2) $\sup_{\tau \in [0,1]} |\gamma_s(\tau) - \gamma_\sigma(\tau)| \to 0$, il suffit de vérifier
que $\sup_{\tau \in [0,1]} |\gamma_s(\tau) - \gamma_\sigma(\tau)| \to 0$, ce qui est vrai grâce à la convergence
uniforme en $\tau$ de $\tau_\sigma(\tau)$ vers $\tau$ et à la continuité uniforme de $\gamma_s$ sur $[0,1]$,
d'où (3.6), pour $0 \le s < T$.

Pour $s = T$, remarquons que :

$$
\begin{align*}
\frac{d}{dt}(p_{\sigma}, y_{\sigma}) &= (A^{*} p_{\sigma} - D_{2} y_{\sigma}, y_{\sigma}) + (p_{\sigma}, -Ay_{\sigma} - D_{1} p_{\sigma}) \\
&= -(D_{2} y_{\sigma}, y_{\sigma}) - (D_{1} p_{\sigma}, p_{\sigma}) \le 0,
\end{align*}
$$

d'où, en intégrant :

$$
[P(\sigma)h,h] \geq [P(t)y_{\sigma}(t),y_{\sigma}(t)] \geq 0, \quad \forall t \in [\sigma,T]
$$

et on a vu (théorème 2.2) que $\lim_{\sigma \to T} [P(\sigma)h,h] = 0$, d'où :

$$
\lim_{\sigma \to T} \sup_{t \in [\sigma, T]} |P^{1/2}(t)y_{\sigma}(t)|^2 = 0,
$$

et comme : $|P^{1/2}(t)|_{\mathcal{L}(H,H)} \le C$ (cf. démonstration du théorème 2.2),

on en déduit $\lim_{\sigma \to T} \sup_{t \in [\sigma, T]} |P(t)y_\sigma(t)| = 0$, d'où (3.6) puisque $p_\sigma(t) = P(t)y_\sigma(t)$.

Soit maintenant $\tilde{y}_s$ la solution de :

$$
\begin{cases}
\tilde{y}'_s + A^* \tilde{y}_s + D_1 \tilde{p}_s = 0 & \text{sur } ]0,T[ \\
\tilde{y}_s(0) = h.
\end{cases}
$$

Alors on a, grâce à (3.6) :

$$
(3.7) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\forall h \in H, \lim_{\sigma \to s} \tilde{y}_{\sigma} = \tilde{y}_{s} \text{ dans } W(0,T), \\
\forall h \in [D(A),H] \text{ 1/2, } \lim_{\sigma \to s} \tilde{y}_{\sigma} = \tilde{y}_{s} \text{ dans } W(0,T;D(A),H) \\
\qquad \text{pour } 0 \le s \le T,
\end{array}
\right.
$$

où :

$$
W(0,T;D(A),H) = \{y \mid y \in L^2(0,T;D(A)), y' \in L^2(0,T;H)\}.
$$
Soit $\bar{y}_s$ la translatée à droite, de s, de $\tilde{y}_s$ prolongée à gauche de s par symétrie :

$$ \bar{y}_s(t) = \begin{cases} \tilde{y}_s(s-t) & \text{pour } 0 \le t \le s \\ \tilde{y}_s(t-s) & \text{pour } s \le t \le T \end{cases} $$

on a $\bar{y}_s(t) = y_s(t)$ pour $s \le t \le T$, et d'après (3.7) et la continuité de la translation :

$$ (3.8) \quad \left\{ \begin{array}{l} \forall h \in H \ (\text{resp. } \forall h \in [D(A), H]_{1/2}), \ \lim_{\sigma \to s} \bar{y}_\sigma = \bar{y}_s \text{ dans } W(0,T) \\[1em] \quad (\text{resp. } W(0,T; D(A), H)) \text{ pour } 0 \le s \le T. \end{array} \right. $$

Soit maintenant $\bar{p}_s$ la solution de :

$$ \left\{ \begin{array}{l} - \bar{p}_s + A^* \bar{p}_s - D_2 \bar{y}_s = 0 \quad \text{sur } ]0,T[, \\ \\ \bar{p}_s(T) = 0, \end{array} \right. $$

en notant $W_p(0,T) = C^o([0,T]; D(A^*)) \cap C^1([0,T]; H)$, il vient avec (3.8) :

$\forall h \in H \ (\text{resp. } \forall h \in [D(A), H]_{1/2}), \lim_{\sigma \to s} \bar{p}_\sigma = \bar{p}_s \text{ dans } W(0,T; D(A^*), H)$, \\
$(\text{resp. } W_p(0,T)) \text{ pour } 0 \le s \le T.$

Comme $\bar{p}_s(t) = p_s(t)$ pour $s \le t \le T$, le lemme suit, sachant que
$W(0,T; D(A^*), H) \subset C^o([0,T]; [D(A^*), H]_{1/2})$ avec injection continue.

Le lemme suivant précise le comportement de la dérivée de P au voisinage de T :

**LEMME 3.4** : Sous les hypothèses (1.1), (1.2), (3.1), (3.2), on a :

$$ (3.9) \quad \left. \frac{d}{ds}(P(s)h) \right|_{s=T} = -D_2h, \quad \forall h \in H, $$

$$ (3.10) \quad \lim_{s \to T} \left( \left. \frac{d}{ds} (P(s)h), \bar{h} \right) = \left. \frac{d}{ds} (P(s)h), \bar{h} \right|_{s=T} , \quad \forall h, \bar{h} \in V. $$

**Démonstration** : Reprenons la démonstration du lemme précédent, si on prend $h \in H$, (3.7) devient :
$$
(3.11) \quad \forall h \in H, \lim_{\sigma \to T} \tilde{y}_{\sigma} = \tilde{y}_s \text{ dans } W(0,T), \text{ quand } \sigma \to s \text{ dans } [0,T]
$$
$$
\text{pour } 0 \le s \le T.
$$

En particulier, on déduit de cette propriété, pour s = T :

$$
(3.12) \quad \lim_{\sigma \to T} \sup_{t \in [\sigma, T]} |y_{\sigma}(t) - h| = 0, \forall h \in H.
$$

d'autre part comme on l'a vu (cf. 3.6) :

$$
(3.13) \quad \lim_{\sigma \to T} \sup_{t \in [\sigma, T]} |p_{\sigma}(t)| = 0, \quad \forall h \in H.
$$

Grâce à (2.13) on a $\forall h, \bar{h} \in H$ (avec les notations du théorème 2.2) :

$$
\left[ \frac{P(T)-P(\sigma)}{T-\sigma} h, \bar{h} \right] = - \frac{1}{T-\sigma} \int_{\sigma}^{T} (D_2 y_{\sigma}(t), \bar{y}_0(t)) dt - \frac{1}{T-\sigma} \int_{\sigma}^{T} (D_1 p_{\sigma}(t), p_{\sigma}(t)) dt,
$$

d'où, avec (3.12), (3.13) :

$$
(3.14) \quad \lim_{\sigma \to T} \left[ \frac{P(T)-P(\sigma)}{T-\sigma} h, \bar{h} \right] = - (D_2 h, \bar{h}) , \forall h, \bar{h} \in H.
$$

Pour $h \in [D(A), H]^{1/2}$, on a maintenant, à la place de (3.13) :

$$
(3.15) \quad \lim_{\sigma \to T} \sup_{t \in [\sigma, T]} |P_{\sigma}(t)|_{D(A^*)} = 0.
$$

Alors comme :

$$
\begin{align*}
p_{\sigma}(\sigma) &= - \int_{\sigma}^{T} A^{*} p_{\sigma}(t) dt + \int_{\sigma}^{T} D_{2} y_{\sigma}(t) dt \\
&= - A^{*} \int_{\sigma}^{T} p_{\sigma}(t) dt + D_{2} \int_{\sigma}^{T} y_{\sigma}(t) dt \\
&\stackrel{(A^* \text{ et } D_2 \text{ étant des opérateurs fermés})}{=} 0
\end{align*}
$$

il vient avec (3.12), (3.15) :

$$
(3.16) \quad \lim_{\sigma \to T} \frac{p(T)-p(\sigma)}{T-\sigma} h = \lim_{\sigma \to T} A^* \frac{1}{T-\sigma} \int_{\sigma}^{T} p_{\sigma}(t)dt - \lim_{\sigma \to T} D_2 \frac{1}{T-\sigma} \int_{\sigma}^{T} y_{\sigma}(t)dt \\
= -D_2 h, \quad \forall h \in [D(A), H]^{1/2}.
$$

De (3.14), (3.16) et de la densité de D(A) dans H, on déduit (3.9)
(conséquence facile du théorème de Banach-Steinhaus). Montrons (3.10).
Pour $0 \le s < T$ et $h \in H$, on a vu (Notations du lemme 2.2) que :

$$ \frac{d}{ds} \chi_s = \alpha^{-1}(s) M_s \text{ avec } \alpha(s) \chi_s = \gamma_s. $$

Notons :

$$ (\lambda_s, \mu_s) = \frac{d}{ds} \chi_s, $$

on a donc :

$$ (3.17) \quad \left\{ \begin{array}{l} \lambda_s' + (T-s)A\lambda_s + (T-s)D_1\mu_s = A\beta_s + D_1\gamma_s \\ -\mu_s' + (T-s)A^*\mu_s - (T-s)D_2\lambda_s = A^*\gamma_s - D_2\beta_s \\ \lambda_s(0), \mu_s(1) = 0 \quad \text{sur } ]0,1[ \end{array} \right. $$

et

$$ \frac{dP}{ds}(s)h = \lim_{\sigma \to s} \frac{\gamma_{\sigma}(0) - \gamma_{s}(0)}{\sigma - s} = \mu_{s}(0). $$

Revenant à l'intervalle $]s, T[$, (3.17) s'écrit :

$$ (3.18) \quad \left\{ \begin{array}{l} \phi_s' + A\phi_s + D_1\psi_s = -\frac{1}{T-s}y_s' \\ -\psi_s' + A^*\psi_s - D_2\phi_s = \frac{1}{T-s}p_s' \\ \phi_s(s) = 0, \psi_s(T) = 0 \quad \text{sur } ]s, T[ \end{array} \right. $$

et

$$ (3.19) \quad \frac{dP}{ds}(s)h = \psi_s(s), \quad \forall h \in H. $$

On a alors la relation suivante :

$$ (3.20) \quad \left(\frac{dP}{ds}(s)h, h\right) = \frac{1}{T-s} \int_s^T [(p'_s, y_s) - (p_s, y'_s)] dt, \quad \forall h \in H. $$

En effet multiplions scaleirement la première équation (3.18) par $p_s$,

la deuxième par $y_s$ et ajoutons :

$$ \begin{aligned} & (\phi'_s, p_s) + (A\phi_s, p_s) + (D_1\psi_s, p_s) - (\psi'_s, y_s) + (A^*\psi_s, y_s) - (D_2\phi_s, y_s) \\ & = \frac{1}{T-s} [(p'_s, y_s) - (p_s, y'_s)]. \end{aligned} $$

En intégrant de s à T, il vient :
$$
\int_s^T (-p_s^{\star} + A_s^* p_s - D_2 y_s, \phi_s) dt + (\psi_s(s), y_s(s)) + \int_s^T (y_s^{\prime} + A y_s + D_1 p_s, \psi_s) \\
= \frac{1}{T-s} \int_s^T [p_s^{\prime}, y_s] - (p_s, y_s^{\prime}) dt,
$$

d'où (3.20), en utilisant les équations (1.9).

On va passer à la limite dans (3.20) :

Pour $h \in [D(A), H]^{1/2}$, on a, d'après (3.8) et (3.15) :

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \lim_{s \to T} \sup_{t \in [s, T]} |y_s(t)-h| & [D(A),H]^{1/2} = 0 \\
\\
\displaystyle \lim_{s \to T} \sup_{t \in [s, T]} |p_s(t)|_{D(A^*)} = 0,
\end{array}
\right.
$$

d'où, avec (3.2) et sachant que :

$$
(p'_{s}, y_{s}) = (A^{*} p_{s}, y_{s}) - (D_{2} y_{s}, y_{s}),
$$

$$
(p_s, y_s') = -(Ay_s, p_s) - (D_1 p_s, p_s),
$$

on a :

$$
(3.21) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \lim_{s \to T} \sup_{t \in [s, T]} \left| (p_s'(t), y_s(t)) + (D_2 h, h) \right| & = 0 \\
\\
\displaystyle \lim_{s \to T} \sup_{t \in [s, T]} \left| (p_s(t), y_s'(t)) \right| & = 0,
\end{array}
\right.
$$

d'où, avec (3.20) :

$$
\lim_{s \to T} \left( \frac{dP}{ds}(s)h, h \right) = -(D_2 h, h), \quad \forall h \in V,
$$

d'où le lemme, par symétrie de P (donc de $\frac{dp}{ds}$), de $D_2$ et avec (3.9). ■

**Remarque 3.2** : On trouvera dans LIONS [3] des exemples où l'hypothèse (3.2) est vérifiée, nous en verrons un au paragraphe suivant. ■

On va donner maintenant d'autres propriétés de régularité, en trans-
posant et en interpolant les résultats précédents.

Enfin, par des arguments de compacité, on déduit des régularités
normiques de P. Ces résultats sont rassemblés dans le :
**THEOREME 3.1** : Sous les hypothèses (1.1), (1.2), (3.1), (3.2), (3.3),

on a :

$$
(3.22) \quad \text{i) } P \in C^\infty([0,T[; \mathcal{L}_S([H,V']_\theta; [V,H]_\theta)), 0 \le \theta \le 1.
$$

$$
(3.23) \quad P \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_S([V,D(A^*)']_\theta; [D(A^*),V']_\theta)), 0 \le \theta \le 1.
$$

$$
(3.24) \quad \text{ii) } P \in C^\infty([0,T[; \mathcal{L}([H,V']_{\theta_1}; [V,H]_{\theta_2}) , 0 \le \theta_1 < \theta_2 \le 1,
$$

en particulier :

$$
P \in C^{\infty}([0, T[; \mathcal{L}(H; [V, H]_{\theta})), 0 < \theta \le 1.
$$

$$
(3.25) \quad P \in C^\circ([0,T[; \mathcal{L}([V,D(A^*)']_{\theta_1}; [D(A^*),V']_{\theta_2})), 0 \le \theta_1 < \theta_2 \le 1,
$$

en particulier :

$$
P \in C^{\circ}([0, T[; \mathcal{L}(H; [V, H]_{\theta})), 0 < \theta \le 1.
$$

Démonstration :

i) Avec la symétrie de P et de $\frac{d^m P}{dt^m}$, on déduit facilement du Lemme 3.2 :

$P \in C^\infty([0, T[; \mathcal{L}_W([D(A^*), H]_{1/2}'))$

$$
P \in C^{\infty}([0, T[; \mathcal{L}_W([D(A^*), H]_{1/2}'))
$$

d'où, grâce au théorème de Banach-Steinhaus :

$$
(3.26) \quad \left| P(t_m) \right| \mathcal{L} \left( \left[ D(A^*), H \right]_{1/2} \right) \mathcal{H} \le c(t) \quad \text{pour toute suite } t_n \to t.
$$

Comme $P(t_m)h \to P(t)h$ dans $H, \forall h \in [D(A^*),H]_{1/2}$, quand $t_n \to t$ et que
$[D(A^*),H]_{1/2}$ est dense dans son dual, il vient avec (3.26) :

$$
P \in C^{\circ}([0, T[; \mathcal{L}_{S}([D(A^{*}), H]_{1/2}; H)]).
$$

De la même façon on montre (en transposant, donc) :

$$
(3.27) \quad P \in C^\infty([0, T[; \mathcal{L}_S([D(A^*), H]_{1/2}, H)]).
$$

Avec (3.2), ces résultats s'écrivent :

$$
P \in C^{\infty}([0, T[; \mathcal{L}_S(H; V)],
$$

$$
P \in C^{\infty}([0, T[; \mathcal{L}_S(V'; H)]),
$$
d'où (3.22), en utilisant les résultats sur l'interpolation d'une famille d'opérateurs (LIONS-MAGENES [1]).

De même, on déduit du Lemme 3.3 :

$$
(3.28) \quad P \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_S(D(A^*)', [D(A),H]_{1/2}'))
$$

et en interpolant :

$$
P \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_S(X_\theta; Y_\theta)), 0 \le \theta \le 1,
$$

avec :

$$
X_{\theta} = \left[ [D(A), H]_{1/2}, D(A^{*})' \right]_{\theta} = [V, D(A)'_{\theta}],
$$

$$
Y_{\theta} = [ [D(A^{*})', [D(A),H]]'_{1/2} ]_{\theta} = [D(A^{*}),V']_{\theta},
$$

(Ces calculs d'identification utilisent les propriétés de réitération et
dualité des espaces $[X,Y]_\theta$ (LIONS-MAGENES [1])). On retrouve ainsi l'appar-
tenance au premier espace du lemme 3.3, en effet :

$$
V = [D(A^{*}), [D(A^{*}), D(A^{*})']_{1/2}]_{1/2} = [D(A^{*}), D(A^{*})']_{1/4}, \text{d'où}
$$

$$
X_{\theta} = [D(A^{*}), D(A^{*})']_{1/4} + 3\theta/4 ; Y_{\theta} = [D(A^{*}), D(A^{*})']_{3\theta/4}
$$

$$
\text{pour } \theta = \frac{1}{3}, \text{ on a bien } X_{\theta} = H, Y_{\theta} = V.
$$

ii) On sait que la topologie de la convergence simple des opérateurs
coïncide avec la topologie de la convergence uniforme sur les compacts,
pour des opérateurs de $\mathcal{L}(X,Y)$, $X,Y$ espaces de Banach (Théorème de Banach
Steinhaus).

L'injection de V dans H étant compacte, celle de H dans V' l'est
aussi, de même que celle de [H,V']<sub>θ₁</sub> dans [H,V']<sub>θ₂</sub> et que celle de [V,D(A<sup>★</sup>)']<sub>θ₁</sub>
dans [V,D(A<sup>★</sup>)']<sub>θ₂</sub>, pour 0 ≤ θ₁ < θ₂ ≤ 1 (LIONS-MAGENES [1]).

Si on note $B_{\theta_1}$ la boule unité de $[H,V']_{\theta_1}$, qui est compacte dans $[H,V']_{\theta_2}$, $\theta_1 < \theta_2$, (3.22) entraîne :
$$
\limsup_{\sigma \to s} |P(s)h - P(\sigma)h|_{[H,V')} = 0 \quad \forall s \in [0,T]. \\
h \in B_{\theta_1}
$$

Soit :

$$
\lim_{\sigma \to s} P(\sigma) = P(s) \text{ dans } \mathcal{L}([H,V']_{\theta_1}; [H,V']_{\theta_2}), 0 < \theta_1 < \theta_2 \ll 1.
$$

On procède de même pour $\frac{P^{(m)}(s)-P^{(m)}(\sigma)}{s-\sigma}$, $P^{(m+1)}(s)$, $P^{(m)}(s)-P^{(m)}(\sigma)$, $m \in \mathbb{N}$,
(3.24), (3.25) suivent $\left\{ P^{(m)}(t) = \frac{d^m P}{dt^m}(t) \right\}$. $\blacksquare$

On déduit immédiatement de ce théorème et de la définition de K le :

COROLLAIRE 3.1 : Sous les hypothèses (1.1), (1.2), (3.1), (3.2), on a :

$$
(3.29) \quad K \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_S(V';E)) \cap C^\infty([0,T[; \mathcal{L}_S(V';E)],
$$

$$
(3.30) \quad K \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}([H,V']_\theta; E)) \cap C^\infty([0,T[; \mathcal{L}([H,V']_\theta; E)], 0 \le \theta < 1. \blacksquare
$$

Remarque 3.3 : Comme on l'a déjà fait on peut déduire de (3.22),
(3.29), des propriétés du type Lipschitz uniforme sur P et K.
■

3.3. **Propriétés de la dynamique optimale A+D<sub>1</sub>P(t).**

Si dans l'équation d'état du système d'optimalité (1.7), on utilise
la relation p = Py, on obtient (formellement) :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{d}{dt}y(t) + (A+D_1 P(t))y(t) = 0 \\
\\
y(0) = y_0.
\end{array}
\right.
$$

$A+D_1 P(t)$ apparaît comme la dynamique optimale (dynamique initiale + feedback optimal).

En fait on peut donner un sens à cette équation et sa solution est
évidemment l'état optimal:

Lemme 3.5 : Sous les hypothèses (1.1), (1.2), (3.1), l'équation :

$$
(3.31) \quad \begin{cases} \frac{d}{dt}(y, \phi) + a_p(t; y, \phi) = 0 \\ y(0) = y_0, \quad y_0 \in H, \quad \forall \phi \in V, \quad \text{p.p. sur } ]0,T[, \end{cases}
$$
où : (1)

$$
(3.32) \quad a_p(t;\phi,\psi) = (\tilde{A}\phi,\psi) + (D_1 P(t)\phi,\psi) , \quad \forall \phi, \psi \in V
$$
a une solution unique dans $W(0,T)$ coïncidant avec l'état optimal caractérisé par (1.7).

**Démonstration** : On a vu que $P \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_S(H,H))$, ce qui suffit pour montrer que :

$\phi, \psi \to a_p(t;\phi,\psi)$ est une forme bilinéaire continue sur $V \times V$, $\forall t \in ]0,T[$.

$\forall \phi, \psi \in V$, $t \to a_p(t;\phi,\psi)$ est continue sur $[0,T]$, $|a_p(t;\phi,\psi)| \le \text{Max}(|\tilde{A}|_{\mathcal{L}(V,V')}, C|D_1|_{\mathcal{L}(H,H)}) \|\phi\| \cdot \|\psi\|$, $\forall \phi, \psi \in V$, $a_p(t;\phi,\phi) + (\lambda+\tilde{c}|D_1|_{\mathcal{L}(H,H)})|\phi|^2 \ge \alpha \|\phi\|^2$, $\forall \phi \in V$,

où :

$$
c = \sup_{t \in [0, T]} |P(t)|_{\mathcal{L}(V, H)}, \quad \tilde{c} = \sup_{t \in [0, T]} |P(t)|_{\mathcal{L}(H, H)}.
$$

Alors on sait (LIONS [1]) que l'équation (3.31) a une solution unique dans W(0,T), pour y₀ ∈ H.

D'autre part, l'état optimal, solution de (1.7), vérifie :

$$
\begin{cases}
\frac{d}{dt}(y, \phi) + (\tilde{A}y, \phi) + (D_1 P, \phi) = 0 \\
y(0) = y_0, \quad \forall \phi \in V, \quad \text{p.p. sur } ]0,T[,
\end{cases}
$$
et $(D_1 p(t), \phi) = (D_1 P(t)y(t), \phi), \forall \phi \in V, \forall t \in [0,T].$

L'état optimal est aussi solution de (3.31), d'où le lemme.

**Remarque 3.3** : $A+D_1 P(t)$ est l'opérateur, non borné dans $H$, de domaine $D(A)$ associé à $\{V,H, a_p(t;\phi,\psi)\}$, pour $t$ fixé dans $[0,T]$. D'après le lemme précédent, $G_p(t,s)$, défini en (1.11) est l'opérateur d'évolution associé.

■

<footnote>(1) cf. Remarque 1.1 pour la relation entre $A$ et $\tilde{A}$.</footnote>
Nous allons donner maintenant des propriétés de $G_p(t,s)$ et de $L(t)$.

Commençons par un lemme de caractère général :

**LEMME 3.6** : Soit $A(t)$, $t \in [0,T]$ une famille d'opérateurs de $\mathcal{L}(V,V')$ [1'hypothèse (1.1) étant vérifiée], ayant les propriétés :

$$ (3.33) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \forall \phi, \psi \in V, \quad t \to (A(t)\phi, \psi) \text{ est mesurable sur } ]0,T[ \text{ et} \\ |A(t)|_{\mathcal{L}(V,V')} \le c. \end{array} \right. $$

$$ (3.34) \qquad \exists \lambda \in \mathbb{R}, \alpha > 0, \forall \phi \in V, (A(t)\phi, \phi) + \lambda |\phi|^2 \ge \alpha |\phi|^2, \forall t \in [0,T] $$

Soit $y(\cdot, s)$ la solution dans $W(s,T)$ de l'équation :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{d}{dt}y(t,s) + A(t)y(t,s) = 0 \\ y(s,s) = h, \quad h \in H \text{ sur } ]s,T[ \end{array} \right. $$

et $G(t,s)$ défini par : $G(t,s)h = y(t,s)$, $0 \le s \le t \le T$, on a :

$$ (3.35) \qquad G(t, \cdot) \in C^\circ([0,t]; \mathcal{L}_s(H,H)). $$

**Démonstration** : On se ramène à un intervalle fixe, $[0,T]$, en posant :

$$ A_s(t) = \begin{cases} A(t+s) & \text{pour } 0 \le t \le T-s \\ A(T) & \text{pour } T-s \le t \le T \end{cases}, \text{ pour } 0 \le s \le T. $$

$A_s(t)$ a les propriétés (3.33), (3.34).

Soit $y_s$ la solution dans $W(0,T)$ de

$$ (3.36) \qquad \left\{ \begin{array}{l} y_s' + As(t)y_s = 0 \quad \text{sur } ]0,T[ \\ y_s(0) = h, \quad h \in H, \end{array} \right. $$

on a :

$$ y_s(t) = y(s+t) \text{ sur } [0,T-s], \forall s \in [0,T]. $$

$$ \text{Soit } s_n \to s \text{ dans } [0,T]. $$

Montrons d'abord que :

$$ (3.37) \qquad y_s \xrightarrow{n} y_s \text{ dans } W(0,T) \text{ faible.} $$
On vérifie facilement, grâce à (3.36), que $y_s \in \text{borné de W}(0,T)$.

On peut alors extraire une sous suite $s_\mu$, telle que :

$y_s \xrightarrow{\sim} y$ dans W(0,T) faible.

Pour $\psi$ fixé dans V, on a :

$$ (A_s(t)y_s(t), \psi) = (y_s(t), A_s^*(t)\psi) $$

et

$A_s^*(t)\psi \rightarrow A_s^*(t)\psi$ dans $L^2(0,T;V')$,

donc, $\ll t \rightarrow (y_s(t), A_s^*(t)\psi) \gg$ converge, par exemple, dans $\mathcal{B}'(0, T]$,

vers $\ll t \rightarrow (\tilde{y}(t), A_s^*(t)\psi) \gg$ et on déduit alors de (3.36) :

$$ \begin{cases} \tilde{y}' + A_s(t)\tilde{y} = 0 \\ \tilde{y}(0) = h, \end{cases} $$

d'où $\tilde{y} = y_s$, ce qui prouve (3.37).

Montrons maintenant :

$$ (3.38) \qquad y_s \rightarrow y_s \text{ dans } W(0,T) \text{ fort.} $$

$$ \text{Soit } X_n = \int_0^T (A_s(t)(y_s - y_s), y_s - y_s) dt + \frac{1}{2}|y_s(T) - y_s(T)|^2, $$

avec (3.36) écrite pour $s$ et $s_n$, on obtient :

$$ X_n = \int_0^T ((A_s - A_s_n)y_s, y_s - y_s) dt \rightarrow 0 \text{ d'après (3.37)}, $$

d'où avec (3.34) :

$$ X_n + \lambda \int_0^T |y_s - y_s|^2 dt \ge \alpha \int_0^T \|y_s - y_s\|^2 dt + \frac{1}{2} |y_s(T) - y_s(T)|^2 $$

Grâce au lemme de Gronwall on déduit alors :

$$ \int_0^T |y_s - y_s|^2 dt \rightarrow 0, \text{ d'où } \int_0^T \|y_s - y_s\|^2 dt \rightarrow 0 \text{ et (3.38) suit en} $$

utilisant (3.36). De (3.38) il résulte :

$$ y_s(t-s_n) = G(t,s_n)h \rightarrow y_s(t-s) = G(t,s)h \text{ dans } H. $$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
**THEOREME 3.2** : Sous les hypothèses (1.1), (1.2), (3.1), on a :

$$
(3.39) \quad \begin{cases} G_p(t, \cdot) \in C^\circ([0,t]; \mathcal{L}_s(H;H)) \cap C^1([0,t]; \mathcal{L}_s(D(A);H)), \quad 0 \le t \le T. \\ G_p(T, \cdot) \in C^\infty([0,T]; \mathcal{L}_s(H;H)). \end{cases}
$$

$$
(3.40) \quad G_p(\cdot, s) \in C^1([s, T]; \mathcal{L}_s(H;H)) \cap C^\circ([s, T]; \mathcal{L}_s(H;D(A)), 0 \le s < T.
$$

$$
(3.41) \quad \begin{cases} \frac{\partial}{\partial t} G_p(t,s) + (A+D_1 P(t)) G_p(t,s) = 0 \\ G_p(s,s) = I, \text{ égalité dans } \mathcal{L}(H,H), \quad 0 \le s < t \le T. \end{cases}
$$

$$
(3.42) \quad \begin{cases} - \frac{\partial}{\partial s} G_p(t,s) h + G_p(t,s) (A + D_1 P(s)) h = 0 \\ G_p(t,t) = I, \quad \forall h \in D(A), \quad 0 \le s \le t \le T. \end{cases}
$$

**Démonstration** : Dans (3.39), ≪ $G_p(t, \cdot) \in C^\circ([0,t]; \mathcal{L}_s(H;H)) \gg$ résulte du lemme 3.6. Avec les notations du lemme 3.4, montrons que pour $t < T$, $\frac{1}{s-\sigma} [G_p(t,s) - G_p(t,\sigma)] h = \frac{y_s(t)-y_\sigma(t)}{s-\sigma}$, a une limite dans H, quand $\sigma \to s$ dans $[0,t]$, pour $h \in D(A)$.

$$
\frac{y_s(t)-y_\sigma(t)}{s-\sigma} = \frac{\beta_s(\tau_s)-\beta_\sigma(\tau_s)}{s-\sigma} \quad \left( \text{avec } \tau_s = \frac{t-s}{T-s}, \tau_\sigma = \frac{t-\sigma}{T-\sigma} \right) = \\
= \frac{\beta_s(\tau_s)-\beta_\sigma(\tau_s)}{s-\sigma} - \frac{T-t}{(T-s)(T-\sigma)} \frac{\beta_\sigma(\tau_s)-\beta_\sigma(\tau_s)}{\tau_s-\tau_\sigma},
$$

$$
\text{or, } \lim_{\sigma \to s} \frac{\beta_s(\tau_s) - \beta_\sigma(\tau_s)}{s-\sigma} = \lambda_s(\tau_s) \text{ dans } H, \quad \forall h \in H \text{ (d'après 3.17))}
$$

$$
\text{et } \lim_{\sigma \to s} \frac{T-t}{(T-s)(T-\sigma)} \frac{\beta_{\sigma}(\tau_s) - \beta_{\sigma}(\tau_s)}{\tau_s - \tau_{\sigma}} = \frac{T-t}{(T-s)^2} \frac{d}{d\tau} \beta_s \bigg|_{\tau=\tau_s} \text{ dans } H, \text{ car}
$$

$$
\beta_s \in C^1(0,1; H) \text{ pour } h \in D(A).
$$

donc :

$$
\lim_{\sigma \to s} \frac{y_s(t) - y_\sigma(t)}{s-\sigma} = \lambda_s(\tau_s) - \frac{T-t}{(T-s)^2} \frac{d}{d\tau} \beta_s \bigg|_{\tau=\tau_s} \quad \text{dans } H, \quad \forall h \in D(A).
$$

De plus cette limite est continue en s, comme on le vérifie aisément.
Pour $0 \le s < t = T$, on a $y_s(T) = \beta_s(1)$ et comme $\ll s \to \beta_s \gg \in C^\infty([0,T[;W(0,1))$,
il vient : $G_p(T,\cdot) \in C^\infty([0,T[; \mathcal{L}_s(H;H))$.

Il reste à examiner le cas $s = t = T$ (on a alors convenu que $y_s(t) = h$),
on a :

$$
\frac{y_{\sigma}(T)-y_{T}(T)}{\sigma-T} \quad \frac{y_{\sigma}(T)-y_{\sigma}(\sigma)}{\sigma-T} \quad \frac{1}{T-\sigma} \int_{\sigma}^{T}(A y_{\sigma}+D_{1} p_{\sigma}) d t,
$$

mais pour $h \in D(A)$, on montre, comme au lemme 3.3 que :

$$
\tilde{y}_{\sigma} \rightarrow \tilde{y}_{T} \text{ dans } C^{\circ}([0,T];D(A)), \text{ soit :}
$$

$$
(3.43) \quad \lim_{\sigma \to T} \sup_{t \in [\sigma, T]} |y_{\sigma}(t) - h|_{D(A)} = 0,
$$

il vient avec (3.15) :

$$
(3.44) \quad \lim_{\sigma \to T} \frac{y_{\sigma}(T) - y_{T}(T)}{\sigma - T} = Ah, \text{ dans } H, \quad \forall h \in D(A).
$$

D'autre part :

$$
\begin{align*}
\frac{d}{ds} y_s(T) = \phi_s(T) &= - \frac{1}{T-s} \int_s^T y'_s dt - \int_s^T (A \phi_s + D_1 \psi_s) dt = \\
&= \frac{y_s(T) - y_T(T)}{s-T} - \int_s^T (A \phi_s + D_1 \psi_s) dt,
\end{align*}
$$

d'où, avec (3.44) et (3.21) :

$$
\lim_{s \to T} \frac{d}{ds} y_s(T) = Ah, \forall h \in D(A), (3.39) \text{ est démontré.}
$$

(3.40) se déduit du lemme 3.1 .

Pour prouver (3.41), (3.42) on va utiliser un résultat de KATO [2]
(Théorèmes 1 et 3).

On a vu (lemme 3.2, par exemple) que :

$$
\forall \varepsilon \in ]0,T[, \quad |P(t)-P(s)|_{L(H,H)} \le M(\varepsilon) |t-s| \quad s,t \in [0,T-\varepsilon],
$$

d'où :

$$
|a_p(t;\phi,\phi) - a_p(s;\phi,\phi)| = |(D_1(P(t)-P(s)))\phi,\phi| \le c|t-s| \|\phi\|^2,
$$
Comme il est équivalent de vérifier ces propriétés avec $e^{-\lambda s} G_p(t,s)$ et $A+D_1 P(s) + \lambda I$ au lieu de $G_p(t,s)$ et $A+D_1 P(s)$, on peut supposer que $a_p(t;\phi,\phi) \ge \alpha \|\phi\|^2$, $\forall \phi \in V$, $\forall t \in [0,T]$.

On a alors : $\forall \varepsilon > 0, \exists M_\varepsilon,$

$$ (3.45) \qquad \left| a_p(t;\phi,\phi) - a_p(s;\phi,\phi) \right| \le M_\varepsilon |t-s| \sup_{\phi \in V} |a_p(t;\phi,\phi)|, \forall \phi \in V, t,s \in [0,T-\varepsilon]. $$

On peut appliquer les résultats cités de KATO, en particulier, (3.41) et (3.42) écrites pour $0 \le s < t < T$, sont démontrées.

Grâce à (3.40), (3.41) est encore vraie pour $0 \le s < t \le T$. D'après le lemme 2.2, $G_p(\cdot, s)h, \frac{\partial}{\partial s}G_p(\cdot, s)h \in W(s, T)$, $\forall h \in H, s < T$, (3.42) est alors vraie pour $0 \le s < t \le T$ et pour $0 \le s \le t \le T$ en utilisant (3.39). ■

On déduit de ce théorème et de la définition de $L$, (3.13), le résultat suivant :

**COROLLAIRE 3.2** : Sous les hypothèses (1.1), (1.2), (3.1), on a :

$$ (3.46) \qquad \begin{array}{l} L \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_S(H;F)) \cap C^1([0,T]; \mathcal{L}_S(D(A);F)) \cap C^\infty([0,T[; \mathcal{L}_S(H;F)) \\ \text{et} \end{array} $$

$$ (3.47) \qquad \left\{ \begin{array}{l} - \frac{dL}{dt}(t)h + L(t) (A+D_1 P(t))h = 0 \\ L(T) = C, \quad \forall h \in D(A), \quad \forall t \in [0,T]. \end{array} \right. $$

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

On va voir maintenant que $G_p^*(t,s)$ a des propriétés analogues à celles de $G_p(t,s)$. On déduira de là par transposition de nouvelles régularités pour $G_p$ et $L$, ainsi qu'une autre formulation de l'équation (3.47).

Commençons par le lemme suivant de caractère général :

**LEMME 3.7** : Soit $A(t)$ la famille d'opérateurs du Lemme 3.6 et $G(t,s)$, $0 \le s \le t \le T$, l'opérateur de Green associé.

La solution, dans $W(0,t)$, de l'équation :

$$ \left\{ \begin{array}{l} - \frac{d}{ds}P(s,t) + A^*(s)P(s,t) = 0 \\ P(t,t) = k, \quad k \in H \text{ sur } ]0,t[, \end{array} \right. $$
vérifie :

$$p(s,t) = G^*(t,s)k, \quad \forall k \in H, \ 0 \le s \le t \le T.$$

**Démonstration** : En combinant les équations en y (du lemme 3.6) et p, il vient facilement :

$$\frac{d}{d\sigma}(y(\sigma,s),p(\sigma,t)) = 0 \quad \text{pp sur } ]s,t[,$$ d'où en intégrant :

$$(p(s,t),h) = (G(t,s)h,k) = (G^*(t,s)k,h), \forall h,k \in H,$$ d'où le lemme. ■

**THEOREME 3.2 bis** : Sous les hypothèses (1.1), (1.2), (3.1), on a :

$$(3.46) \quad \text{i)} \quad G_p^*(t, \cdot) \in C^\circ([0, t]; \mathcal{L}_s(H;H)) \cap C^1([0, t]; \mathcal{L}_s(H;H)) \\ \qquad \cap C^\circ([0, t]; \mathcal{L}_s(H;D(A^*))), \text{ pour } 0 \le t \le T.$$

$$(3.47) \quad \left\{ \begin{array}{l} -\frac{\partial}{\partial s} G_p^*(t,s) + (A+D_1 P(s))^* G_p^*(t,s) = 0 \\ G_p^*(t,t) = I, \text{ égalité dans } \mathcal{L}(H,H), \quad 0 \le s < t < T \end{array} \right.$$

$$(3.48) \quad \text{ii)} \quad G_p(t, \cdot) \in C^1([0, t]; \mathcal{L}_s(H;H)) \cap C^\circ([0, t]; \mathcal{L}_s(D(A^*);H)), \ 0 \le t \le T.$$

$$(3.49) \quad \left\{ \begin{array}{l} -\frac{\partial}{\partial s} G_p(t,s) + G_p(t,s) (\tilde{A}+D_1 P(s)) = 0 \\ G_p(t,t) = I, \text{ égalité dans } \mathcal{L}(V,H), \quad 0 \le s < t < T. \end{array} \right.$$

**Démonstration** :

i) D'après le lemme 3.7, $G_p^*(t,s)$ est l'opérateur de Green associé à la famille d'opérateurs $(\tilde{A}+D_1 P(s))^*$, qui a la même régularité, en temps, que $\tilde{A}+D_1 P(s)$.

$$G_p^*(t, \cdot) \in C^\circ([0, t]; \mathcal{L}_s(H;H)), \quad 0 \le t \le T \text{ est alors l'analogue de}$$

$$G_p(\cdot, s) \in C^\circ([s, T]; \mathcal{L}_s(H;H)), \quad s \le t \le T.$$

$G_p^*(t, \cdot) \in C^1([0, t]; \mathcal{L}_s(H;H)) \text{ et (3.47) sont les analogues de (3.40) et (3.41) (cf. théorème 3.2) obtenus en appliquant le résultat de KATO sur } [0, T-\epsilon], \epsilon > 0. \text{ D'après le même résultat on a } G_p^*(t,s)H \subset D((A+D_1P(s))^*) = D(A^*)$$
pour $s < t$, d'où (théorème du graphe fermé) : $G_p^*(t,s) \in \mathcal{L}(H;D(A^*))$ et
en utilisant (3.47) :

$$
\begin{align*}
|G_p^*(t,s)h - G_p(t,\sigma)h|^2_{D(A^*)} &= |G_p^*(t,s)h - G_p^*(t,\sigma)h|^2 + |A^*(G_p^*(t,s) - G_p^*(t,\sigma))h|^2 \\
&= |G_p^*(t,s)h - G_p^*(t,\sigma)h|^2 + \left| \frac{\partial}{\partial s} G_p^*(t,s) - \frac{\partial}{\partial \sigma} G_p^*(t,\sigma) - D_1(P(s)-P(\sigma)) \right|^2,
\end{align*}
$$

qui a pour limite 0, quand $\sigma \to s$ dans $[0,t[$, $\forall h \in H$, d'après ce que
l'on a montré de (3.46) et la continuité de P, sachant que $D_1 \in \mathcal{L}(H,H)$.

ii) En transposant dans (3.46) on obtient en particulier :

$G_p(t, \cdot) \in C^1([0, t[; \mathcal{L} w(H;H)] \cap C^0([0, T[; \mathcal{L} w(D(A^*)'; H]))$,
avec (3.39) et la densité de $D(A)$ dans $H$ et de $H$ dans $D(A^*)'$, (3.48) est
$démontrée pour $0 \le t < T$ et pour $0 \le t \le T$, sachant que $G_p(T,s) = G_p(T,t)G_p(t,s)$.

Ecrivons maintenant l'équation duale de (3.47) :

Comme $G_p^*(t,s) \in \mathcal{L}(H,H)$ et $D((A+D_1P(s))^*)$ est dense dans $H$ et
$(A+D_1P(s))^*G_p^*(t,s) \in \mathcal{L}(H;H)$, on a : (YOSIDA [1])

$((A+D_1P(s))^*G_p^*(t,s))^*$ est une extension de $G_p(t,s)(A+D_1P(s))$
à H, comme d'après (3.48) : $G_p(t,s)(\tilde{A}+D_1P(s)) \in \mathcal{L}(V,H)$, on a (3.49),
écrite pour $0 \le s < t < T$, en restreignant à V.

Si on multiplie (3.49) par $G_p(T,t)$, sachant que

$\frac{\partial}{\partial s} G_p(T,s) = G_p(T,t) \frac{\partial}{\partial s} G_p(t,s) \text{ pour } s \le t < T, (3.49) \text{ est vraie pour } 0 \le s < t \le T.$
$\blacksquare$

On déduit alors le :

COROLLAIRE 3.2 bis : Sous les hypothèses (1.1), (1.2), (3.1), on a :
(3.50) $L \in C^\circ([0,T[; \mathcal{L}_S(D(A^*)';F)] \cap C^\infty([0,T[; \mathcal{L}_S(H;F))$

$$
(3.51) \quad \left\{
\begin{array}{l}
- \frac{dL}{dt}(t) + L(t)(\tilde{A}+D_1P(t)) = 0 \\
L(T) = C, \quad \text{égalité dans } \mathcal{L}(V;F), \quad \forall t \in [0,T[.
\end{array}
\right.
$$
Si de plus (3.2), (3.3) ont lieu, on a en particulier : (1)

$$
(3.52) \quad L \in C^\circ([0,T[; \mathcal{L}(V';F)] \cap C^\infty([0,T[; \mathcal{L}(V;F)]).
$$

4. CONTROLE ET OBSERVATION FRONTIERES : REGULARITE DE P ET DE A+D₁P.

Nous étudions maintenant l'exemple du N°1.2.

Nous supposerons que :

$$
(4.1) \quad \left\{
\begin{array}{l}
a_{ij} \in C^2(\bar{\Omega}), \Gamma \text{ deux fois continûment différentiable,} \\
N = v \text{ (identité)}
\end{array}
\right.
$$

et éventuellement que :

$$
(4.2) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\text{La frontière } \Gamma \text{ de } \Omega \text{ est une variété indéfiniment différentiable} \\
\text{de dimension } (n-1), } \Omega \text{ étant localement d'un seul côté de } \Gamma. \text{ De} \\
\text{plus } \Omega \text{ est borné.}
\end{array}
\right.
$$

4.1. **Régularité de la solution du système d'optimalité.**

Rappelons ce système :

$$
(4.3) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial t} + Ay = 0; \quad \frac{\partial y}{\partial v_A} + N^{-1} p|_{\Gamma} = 0, \\[2ex]
\displaystyle - \frac{\partial p}{\partial t} + A^* p = 0 \quad ; \quad \frac{\partial p}{\partial v_A^*} - y|_{\Gamma} = 0, \\[2ex]
y(0) = h, \quad p(T) = 0.
\end{array}
\right.
$$

On a :

LEMME 4.1 : Sous les hypothèses du N°1.2 et (4.1), la solution de (4.3)
vérifie

$$
(4.4) \quad \text{pour } h \in L^2(\Omega) \text{ on a : } y \in W(0,T), p \in H^{2,1}(Q).
$$

<footnote>(1) On vérifie facilement que l'injection de D(A) dans V est compacte lorsque (3.2), (3.3) ont lieu, car elle s'écrit alors (\tilde{A}+\lambda I)^{-1} \circ i^* \circ (A+\lambda I), où i, injection de V dans H, est compacte.</footnote>
$$
(4.5) \quad \text{Si on note } Q_s = \Omega \times [0, T] \text{ pour } 0 \le s < T, \text{ on a de plus } (1) : \\
\qquad y \in H^3, \frac{3}{2}(Q_\epsilon), \forall \epsilon > 0.
$$

**Démonstration** : On a vu que pour $h \in L^2(\Omega) = H$, $y \in W(0,T)$, alors,
en particulier : $y|_{\Sigma} \in H^{1/2,1/4}(\Sigma)$ et (LIONS-MAGENES [1]) :
$$p \in H^2, 1)(Q), \quad p|_{\Sigma} \in H^{3/2,3/4}(\Sigma).$$

Posons maintenant $\tilde{y}(t) = ty(t)$, il vient :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial \tilde{y}}{\partial t} + A \tilde{y} = y \\[1em]
\displaystyle \frac{\partial \tilde{y}}{\partial v_A} = -t N^{-1} P|_{\Gamma} \\[1em]
\displaystyle \tilde{y}(0) = 0,
\end{array}
\right.
$$

où $y \in H^{1,1/2}(Q)$, $t N^{-1} p|_{\Sigma} \in H^{3/2,3/4}(\Sigma)$ et s'annule pour $t=0$ d'où
$\tilde{y} \in H^{3,3/2}(Q)$ et comme $y = \frac{1}{t} \tilde{y}$, (4.5) suit par restriction de y à
$[\epsilon,T]$, $\forall \epsilon \in ]0,T[$.

4.2. Régularité de P

Comme au paragraphe précédent on a :

LEMME 4.2. : Sous les hypothèses du N°1.2 et (4.1) :

$$
P \in C^\infty([0,T[; \ell_s(L^2(\Omega);H^1(\Omega))),
$$

$$
P \in \text{Lip}([0, T - \epsilon] ; \ell(L^2(\Omega); H^1(\Omega))), \forall \epsilon \in ]0, T[ .
$$

**Démonstration** : Le système d'optimalité (1.30), sur $]s,T[$, ramené
à $]0,1[$ s'écrit ici :

<footnote>(1) Par abus de notation on note encore y la restriction de y à $[\epsilon,T]$.</footnote>
$$
(4.6) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial \beta_s}{\partial \tau} + (T-s) A \beta_s = 0, \quad \frac{\partial \beta_s}{\partial \nu_A} + N^{-1} \gamma_s |_{\Gamma} = 0, \\[1.5ex]
\displaystyle - \frac{\partial \gamma_s}{\partial \tau} + (T-s) A^* \gamma_s = 0, \quad \frac{\partial \gamma_s}{\partial \nu_A^*} - \beta_s |_{\Gamma} = 0, \\[1.5ex]
\beta_s(0) = h, \quad \gamma_s(1) = 0.
\end{array}
\right.
$$

Notons :

$$
\bar{Q} = \Omega \times ]0,1[, \quad \bar{\Sigma} = \Gamma \times ]0,1[.
$$

Alors d'après le lemme 4.1, on peut appliquer le Corollaire 2.1 avec :

$$
\begin{align*}
X_1 &= W(0,1) \times H^{2,1}(\bar{Q}), \\
Y_1 &= L^2(\Omega) \times H^1(\Omega) \times L^2(0,1; H^1(\Omega)) \times \mathfrak{F}_p,
\end{align*}
$$

où :

$$
\mathfrak{F}_p = \{ \tilde{f} | \tilde{f} \in L^2(0,1; H^1(\Omega')), \exists f \in L^2(\bar{Q}), g \in H^{1/2, 1/4}(\bar{\Sigma}), \\
\int_0^1 (\tilde{f}, v) d\tau = \int_{\bar{Q}} f v \, dxd\tau + \int_{\bar{\Sigma}} g v|_{\Gamma} \, d\Gamma d\tau, \forall v \in H^1(\Omega) \},
$$

$\mathfrak{F}_p$ étant muni de la topologie produit de $L^2(\bar{Q}) \times H^{1/2, 1/4}(\bar{\Sigma})$.

On a, avec la formule de Green :

$$
v \rightarrow \int_{0}^{1} a^{*}(p, v) d\tau = \int_{\bar{Q}} A^{*} p v \, dxd\tau + \int_{\bar{\Sigma}} \frac{\partial p}{\partial \nu_{A}^{*}} v |_{\bar{\Sigma}} \, d\Gamma d\tau
$$

est une forme linéaire continue sur $L^2(0,1; H^1(\Omega))$, pour $p \in H^{2,1}(\bar{Q})$

(car alors, $A^*p \in L^2(\bar{Q})$, $\frac{\partial p}{\partial \nu_A^*} \in H^{1/2, 1/4}(\bar{\Sigma})$), c'est un élément de $\mathfrak{F}_p$.

De l'application de ce corollaire, on déduit :

$$
(4.7) \quad s \to (\beta_s, \gamma_s) \in C^\infty([0,T[; W(0,1) \times H^{2,1}(\bar{Q}))
$$

et les propriétés cherchées de P.

Précisons le comportement de P en T :

LEMME 4.3 : Sous les mêmes hypothèses, on a :

$$
(4.8) \quad P \in C^\circ([0,T]; \ell_S(L^2(\Omega); H^1(\Omega))) \cap C^\circ([0,T]; \ell_S(H^{1/2}(\Omega); H^{3/2}(\Omega))),
$$
Si de plus (4.2) a lieu :

$$
(4.9) \quad \frac{d}{ds} (P(s)h) |_{s=T} = - D_2 h, \quad \forall h \in H^r(\Omega), r > \frac{1}{2} \quad (\text{égalité dans } H^r(\Omega)') ,
$$

$$
(4.10) \quad \lim_{s \to T} \left( \frac{d}{ds} (P(s)h), \bar{h} \right) = \left( \left. \frac{d}{ds} (P(s)h) \right|_{s=T}, \bar{h} \right), \quad \forall h, \bar{h} \in H^1(\Omega).
$$

Démonstration : On reprend le système sur ]s,T[ sous la forme (1.9).

On a :

$$
\begin{gather*}
\int_s^T |D_1 p_s|^2_V dt \le c \int_s^T |N^{-1} \Lambda_E^{-1} B^* p_s|^2_E dt \le \frac{c}{\nu} J_S(u_s) = \frac{c}{\nu} (P(s)h, h) \\
\rightarrow 0 \quad \text{quand } s \rightarrow T, \quad \forall h \in L^2(\Omega) \text{ (d'après le théorème 2.2).}
\end{gather*}
$$

De l'inégalité de l'énergie de l'équation d'état (1.9), on déduit
alors :

$$
(4.11) \quad |y_s|_{W(s,T)} \to 0 \quad \text{quand } s \to T, \quad \forall h \in L^2(\Omega).
$$

Soit maintenant $\bar{y}_s$ définie par :

$$
\bar{y}_s(t) = \begin{cases} y_T(T-s+t) & \text{pour } 0 \le t \le s \\ y_s(t) & \text{pour } s \le t \le T, \end{cases}
$$

où $y_T(t)$ est la solution dans $W(0,T)$ de :

$$
\begin{cases}
- y'_{T} + A y_{T} = 0 & \text{sur } ]0, T[ \\
y_{T}(T) = h.
\end{cases}
$$

Avec (4.11), on a :

$$
\bar{y}_s \to y_T \text{ dans } W(0,T), \forall h \in L^2(\Omega) \text{ quand } s \to T
$$

et $\bar{p}_s$ défini comme la solution de :

$$
(4.12) \quad \begin{cases} - \bar{p}'_s + A^* \bar{p}_s - D_2 \bar{y}_s = 0 \\ \bar{p}_s(T) = 0, \end{cases}
$$

vérifie :

$$
\bar{p}_s \to p_T \text{ dans } H^{2,1}(Q), \quad \forall h \in L^2(\Omega) \text{ quand } s \to T,
$$
où $p_T$ est obtenu en résolvant (4.12) avec $y_T$ au lieu de $\bar{y}_s$.

En particulier :

$$ (4.13) \qquad \left| p_s \right|_{H^2,1(Q_s)} \to 0 \quad \text{quand } s \to T, \quad \forall h \in L^2(\Omega). $$

et

$P(s)h = \bar{p}_s(s) \to p_T(T) = 0$ dans $H^1(\Omega)$, $\forall h \in L^2(\Omega)$ quand $s \to T$, d'où l'appartenance au premier espace de (4.8).

Montrons (4.9). Soit $\tilde{p}_s$ défini par :

$$ \tilde{p}_s(t) = \begin{cases} p_s(t+s) & \text{pour } 0 \le t \le T-s \\ 0 & \text{pour } T-s \le t \le T, \end{cases} $$

avec (4.13), il vient :

$$ (4.14) \qquad \tilde{p}_s \to 0 \text{ dans } H^{2,1}(Q) \text{ quand } s \to T, \quad \forall h \in L^2(\Omega), $$

et soit $\tilde{y}_s$ la solution de :

$$ (4.15) \qquad \begin{cases} \tilde{y}'_s + Ay_s + D_l \tilde{p}_s = 0 \\ \tilde{y}_s(0) = h \end{cases} $$

Alors pour $h \in H^{1/2+\epsilon}(\Omega)$, $0 \le \epsilon \le 1$, on a avenc (4.14) :

$$ (4.16) \qquad \tilde{y}_s \to \tilde{y}_T \text{ dans } H^{3/2+\epsilon, 3/4+\epsilon/2}(Q), \text{ quand } s \to T, $$

où $y_T$ est la solution de (4.15) quand on remplace $p_s$ par 0.

On renforce alors (4.14) de la façon suivante :

Pour $h \in H^{1/2+\epsilon}(\Omega)$, $\bar{y}_s$ est maintenant un prolongement dans $H^{3/2+\epsilon, 3/4+\epsilon/2}(Q)$ de $y_s$ et on vérifie (grâce à (4.16)) et à la continuité de la translation dans les $H^{r,s}$, s entier, puis interpolation, pour $s \text{ réel} \ge 0$) que :

$$ \bar{y}_s \to y_T \text{ dans } H^{3/2+\epsilon, 3/4+\epsilon/2}(Q), \forall h \in H^{1/2+\epsilon}(\Omega), 0 \le \epsilon \le 1, $$

d'où (la régularité est limitée par les conditions de compatibilité) :

$$ (4.17) \qquad \left| p_s \right|_{H^{5/2,5/4}(Q_s)} \to 0 \quad \text{quand } s \to T, \quad \forall h \in H^{1/2+\epsilon}, 0 \le \epsilon \le 1. $$
De (4.16), (4.17) on déduit en particulier (4.8) et :

$$
(4.18) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \sup_{t \in [s, T]} |y_s(t)-h|_{H^{1/2+\epsilon}(\Omega)} \to 0, \\[2ex]
\displaystyle \sup_{t \in [s, T]} |p_s(t)|_{H^{3/2}(\Omega)} \to 0, \quad \text{quand } s \to T, \ \forall h \in H^{1/2+\epsilon}(\Omega).
\end{array}
\right.
$$

On va maintenant passer à la limite dans l'expression :

$$
(4.19) \quad \frac{P(T)-P(s)}{T-s} h = \frac{1}{T-s} \int_s^{T-s} A \star_p s(t) dt - \frac{1}{T-s} \int_s^T D_2 y_s(t) dt
$$
où $A^\star$ est l'opérateur de $H^1(\Omega)$ dans $H^1(\Omega')$, associé à $a(\phi, \psi)$ (cf. Remarque 1.1).

D'après (1.27), on a ici :

$$
(4.20) \quad D_2 \in \mathcal{L}(H^r(\Omega), H^r(\Omega)') , \quad \forall r > 1/2,
$$

d'où avec (4.18) :

$$
(4.21) \quad \lim_{s \to T} \frac{1}{T-s} \int_s^T D_2 y_s(t) dt = D_2 h \quad \text{dans } H^r(\Omega)' \quad \forall h \in H^r(\Omega), r > 1/2.
$$

D'autre part, $\tilde{A}^*$ est un opérateur linéaire continu de
$H^1(\Omega)$ sur $H^1(\Omega)'$ et de $D(\tilde{A}^*)$ sur $L^2(\Omega)$, où

$$
D(A^*) = \{u \mid u \in H^2(\Omega), \frac{\partial u}{\partial \nu_{A^*}} = 0 \text{ sur } \Gamma\} \text{ (expression du domaine qui a un sens grâce à (4.2))}.
$$

Par interpolation $\tilde{A}^*$ est un opérateur linéaire continu de $[D(A^*), H^1(\Omega)]_\theta$
dans $[L^2(\Omega), H^1(\Omega)']_\theta$, $0 < \theta < 1$.

Identifions ces espaces :

$$
[L^2(\Omega), H^1(\Omega)']_{\theta} = [H^1(\Omega), L^2(\Omega)]_{1-\theta} = H^{\theta}(\Omega)'
$$

Enfin, d'après un résultat de LIONS [3] on a ici :

$$
H^1(\Omega) = [D(A^*), L^2(\Omega)]_{1/2},
$$

d'où :

$$
[D(A^*), H^1(\Omega)]_\theta = [D(A^*), L^2(\Omega)]_{\theta/2}
$$
Et d'après LIONS-MAGENES [1] (Volume 2, chap. IV, identité 14.32) :

$$ [D(A^*), L^2(\Omega)]_{\theta/2} = H^{2(1-\theta/2)}(\Omega) \text{ pour } \frac{\theta}{2} > \frac{1}{4}. $$

Il vient donc :

$$ (4.22) \quad \tilde{A} \text{ est linéaire continu de } H^{2-r}(\Omega) \text{ dans } H^r(\Omega)' \text{ pour } \frac{1}{2} < r < 1. $$

De (4.18) on tire alors :

$$ (4.23) \quad \lim_{s \to T} \frac{1}{T-s} \int_{s}^{T} \tilde{A}^* p_s(t) dt = 0 \text{ dans } H^r(\Omega)' \text{, } \forall h \in H^r(\Omega), r > \frac{1}{2}. $$

(4.9) résulte de (4.21), (4.23).

Montrons (4.10).

On procède comme au lemme 3.4, on va passer à la limite dans (3.20)

qui est vraie sous les seules hypothèses (1.1) et (1.2).

De (4.16), (4.17), on tire, pour $\epsilon = \frac{1}{2}$ :

$$ (4.24) \quad \left\{ \begin{array}{ll} \lim_{s \to T} \sup_{t \in [s, T]} \|y_s(t)-h\| = 0, & \lim_{s \to T} \sup_{t \in [s, T]} \|p_s(t)\| = 0 & \forall h \in H^1(\Omega), \\ \\ \lim_{s \to T} \sup_{t \in [s, T]} \|p_s(t)\| = 0 & \lim_{s \to T} \sup_{t \in [s, T]} \|y_s(t)-h\| = 0, & \forall h \in H^1(\Omega), \end{array} \right. $$

ce qui permet d'écrire l'analogue de (3.21), sachant que :

$$ (p'_s, y_s) = a^*(p_s, y_s) - (y_s|_\Gamma, p_s|_\Gamma), $$

$$ (p_s, y'_s) = a(y_s, p_s) - \frac{1}{v} (P_s|_{\Gamma}, y_s|_{\Gamma}). $$

On conclut comme au lemme 3.4.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Le théorème 3.1 devient :

**THEOREME 4.1:** Sous les hypothèses du N°1.2 et (4.1), (4.2), on a :

$$ (4.25) \quad \begin{array}{l} \text{i) } P \in C^\infty([0,T[; \ell_S(H^{1-r}(\Omega)';H^r(\Omega)]) \cap C^\circ([0,T[; \ell_S(H^{1/2-2r}(\Omega);H^{3/2-2r}(\Omega)]) \\ \text{pour } 0 \le r \le 1, \text{ avec :} \\ \mathcal{H}^\theta(\Omega) = \begin{cases} H^\theta(\Omega) & \text{si } \theta \ge 0 \\ H^{-\theta}(\Omega)' & \text{si } \theta \le 0 \end{cases} \end{array} $$
$$
(4.26) \quad \text{ii) } P \in C^\infty([0,T[; \mathcal{L}(H^{r_1}(\Omega)'; H^{r_2}(\Omega))] \cap C^\circ([0,T]; \mathcal{L}(H^{s_1}(\Omega); H^{s_2}(\Omega)))
$$
$$
\text{pour } 0 \le r_1 < 1-r_2 \le 1; -\frac{3}{2} \le s_2-1 < s_1 \le \frac{1}{2}.
$$

Démonstration : On procède comme au théorème 3.1 en transposant et en
interpolant les résultats des lemmes 4.2 et 4.3, sachant que (4.2) ayant
lieu, on a (LIONS-MAGENES [1]) :

$$
[H^1(\Omega), L^2(\Omega)]_r = H^{1-r}(\Omega) : [H^{s_1}(\Omega), H^{s_2}(\Omega)']_r = \mathcal{H}^{(1-r)s_1 - rs_2}(\Omega)
$$
$$
\text{pour } s_1 \ge 0, s_2 \ge 0, 0 \le r \le 1,
$$

et : l'injection de $H^{r_1}(\Omega)$ dans $H^{r_2}(\Omega)$ est compacte pour $r_1 > r_2$. ■

COROLLAIRE 4.1 : Sous les mêmes hypothèses, on a :

$$
(4.27) \quad K \in C^\infty([0,T[; \mathcal{L}_S(H^r(\Omega)'; H^{1/2-r}(\Gamma))] \cap C^\circ([0,T[; \mathcal{L}_S(H^S(\Omega); H^{S+1/2}(\Gamma))].
$$
$$
\text{pour } 0 \le r < \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} < s \le \frac{1}{2}.
$$

Démonstration : On utilise (1.12), sachant qu'ici :

$$
N^{-1} \Lambda_{L^2(r)}^{-1} B^* = \frac{1}{\nu} (\text{opérateur trace}) \in \mathcal{L}(H^r(\Omega); H^{r-1/2}(\Gamma)) \text{ pour } r \ge \frac{1}{2}. \blacksquare
$$

4.3. **Propriétés de la dynamique optimale A+D₁P(t)**

LEMME 4.4. : Sous les hypothèses du N°1.2 et (4.1), (4.2), l'équation :

$$
(4.28) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{d}{dt}(y, \phi) + a_p(t; y, \phi) = 0 \\
y(0) = y_0, \quad y_0 \in L^2(\Omega), \quad \forall \phi \in H^1(\Omega) \quad \text{pp sur } ]0, T[.
\end{array}
\right.
$$

où :

$a_p(t;\phi,\psi) = a(\phi,\psi) + [N^{-1}(P(t)\phi)|_{\Gamma,\psi|_{\Gamma})]_{L^2(\Gamma)} \quad \forall \phi,\psi \in H^1(\Omega), t \in [0,T]$

Démonstration : (y,p) étant la solution de (1.7), on a, d'après (4.8) :
$p(t) = P(t)y(t) \in H^1(\Omega), \forall t \in [0,T]$.
L'état optimal est donc solution de l'équation (4.28), il suffit
de montrer l'unicité de la solution de cette équation.

Le seul point non évident est de vérifier que $a_p(t,\phi,\psi)$ est
V-H coercive (alors l'équation (4.28) sera bien posée).

On a d'après (4.8) :

$$
|(N^{-1}(P(t)\phi)|_{\Gamma, \phi|_{\Gamma}}|_{L^2(\Gamma)}| \le c |\phi|_{H^r(\Omega)}^2 \quad \text{pour } r > \frac{1}{2},
$$

mais on a les inclusions suivantes, avec injections compactes :

$$
H^1(\Omega) \subset H^r(\Omega) \subset L^2(\Omega) \quad \text{pour } \frac{1}{2} < r < 1,
$$

d'où (LIONS-MAGENES [1]) :

$$
\forall \eta > 0, \exists C_{\eta}, |\phi|_{H^r(\Omega)} \le \eta ||\phi|| + C |\phi|, \forall \phi \cdot \in H^1(\Omega),
$$

de sorte que, a(φ,ψ) étant V-H coercive :

$$
a_p(t;\phi,\phi) + \lambda |\phi|^2 \ge \alpha ||\phi||^2 - C(\eta^2 ||\phi||^2 + C_{\eta}^2 |\phi|^2), \forall \phi \in H^1(\Omega).
$$

Pour η suffisamment petit on voit que a_p est aussi V-H coercive, d'où
le lemme.
■

THEOREME 4.2 : Sous les mêmes hypothèses, on a :

$$
(4.29) \quad G_p(\cdot, s) \in C^0([0, T]; \ell_s(L^2(\Omega); H^2(\Omega))) \cap C^1([0, T]; \ell_s(L^2(\Omega); L^2(\Omega))), 0 \le s < T.
$$

$$
(4.30) \quad \begin{cases} G_p(t, \cdot) \in C^0([0, t]; \ell_s(L^2(\Omega); H^2(\Omega))) \cap C^1([0, t]; \ell_s(L^2(\Omega); L^2(\Omega))) \\ G_p(t, \cdot) \in C^0([0, t]; \ell_s(H^r(\Omega); H^r(\Omega))), 0 \le r \le \frac{3}{2}, 0 < t \le T. \end{cases}
$$

$$
(4.31) \quad G_p(T, \cdot) \in C^\infty([0, T]; \ell_s(L^2(\Omega); H^2(\Omega))).
$$

$$
(4.32) \quad \begin{cases} \frac{\partial}{\partial t} G_p(t,s) + (\tilde{A}+D_1 P(t)) G_p(t,s) = 0 \\ G_p(s,s) = I, \text{ égalité dans } \ell(L^2(\Omega), L^2(\Omega)), 0 \le s < t < T. \end{cases}
$$

$$
(4.33) \quad \begin{cases} - \frac{\partial}{\partial s} G_p(t,s) h + G_p(t,s) (\tilde{A} + D_1 P(s)) h = 0, \\ G_p(t,t) = I, \quad \forall h \in D(A+D_1 P(s)), \quad 0 \le s < t \le T, \end{cases}
$$
où :

$$
(4.34) \quad D(A+D_1 P(s)) = \{h \mid h \in H^1(\Omega), (\tilde{A}+D_1 P(s))h \in L^2(\Omega)\}.
$$

Démonstration : L'appartenance de G_p(·,s) au premier espace dans
(4.29) est une conséquence du lemme 4.1 (propriété 4.5).

L'appartenance au second espace dans (4.29), ainsi que (4.32) et (4.33)
écrite pour 0 ≤ s < t < T, sont des conséquences directes de l'application
du résultat de KATO déjà utilisé au théorème 3.2, application possible
grâce au lemme 4.2.

On étend (4.33) aux s,t tels que 0 ≤ s < t ≤ T, par exemple en se
ramenant à 0 ≤ s < τ < t = T, sachant que G<sub>p</sub>(T,s) = G<sub>p</sub>(T,τ)G<sub>p</sub>(τ,s). Mon-
trons (4.30) et (4.31).

(y_s, p_s) étant la solution de (1.9) et (β_s, γ_s) celle de (4.6), utilisons le changement de fonction du lemme 4.1, posons :

$$
\begin{cases}
\tilde{y}_s(t) = (t-s)y_s(t) \\
\tilde{p}_s(t) = (t-s)p_s(t),
\end{cases}
$$

puis ramenons, comme au lemme 2.2, à l'intervalle de temps ]0,1[, posons :

$$
\begin{cases}
\tilde{\beta}_s(\tau) = \tilde{y}_s(s+\tau(T-s)) \\
\tilde{\gamma}_s(\tau) = \tilde{p}_s(s+\tau(T-s)),
\end{cases}
\tilde{\chi}_s = (\tilde{\beta}_s, \tilde{\gamma}_s),
$$

on a :

$$
(4.35) \qquad \tilde{\chi}_s = (T-s)\tau \chi_s
$$

et

$$
(4.36) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  \displaystyle - \frac{\partial}{\partial \tau} \tilde{\beta}_s + (T-s) A \tilde{\beta}_s = (T-s) \beta_s ; \quad \frac{\partial \tilde{\beta}_s}{\partial \nu_A} + N^{-1} \tilde{\gamma}_s |_{\Gamma} = 0, \\[2ex]
  \displaystyle - \frac{\partial}{\partial \tau} \tilde{\gamma}_s + (T-s) A^* \tilde{\gamma}_s = -(T-s) \gamma_s ; \quad \frac{\partial \tilde{\gamma}_s}{\partial \nu_A^*} - \tilde{\beta}_s |_{\Gamma} = 0, \\[2ex]
  \displaystyle \qquad \tilde{\beta}_s(0) = 0, \quad \tilde{\gamma}_s(1) = 0,
\end{array}
\right.
$$
où $(T-s)\beta_s$, $(T-s)\gamma_s \in H^{1,1/2}(\bar{Q})$ et où les relations de compatibilité $(N^{-1}\tilde{\gamma}_s|_{\Gamma})(0) = \tilde{\beta}_s(0) = 0$ sont vérifiées. On a en particulier :
$$ \tilde{\beta}_s \in H^{3,3/2}(\bar{Q}), \quad \tilde{\gamma}_s \in H^{2,1}(\bar{Q}). $$

Si on prend alors (les notations sont celles du Lemme 2.2 et du Corollaire 2.1) :

$$ X_l = {}_0H^{3,3/2}(\bar{Q}) \times H^{2,1}(\bar{Q}), $$

$$ \text{où : } {}_0H^{3,3/2}(\bar{Q}) = \{u|u \in H^{3,3/2}(\bar{Q}), u(x,0) = 0\}, $$

$$ Y_l = \{0\} \times H^1(\Omega) \times \mathfrak{F}_y \times \mathfrak{F}_p, $$

où $\mathfrak{F}_p$ est le même qu'au Lemme 4.2 et où $\mathfrak{F}_y$ est donné par :

$$ \begin{gather*} \mathfrak{F}_y = \{\tilde{f}|\tilde{f} \in L^2(0,1; H^1(\Omega'))\}, \quad \exists f \in H^{1,1/2}(\bar{Q}), g \in {}_0H^{3/2,3/4}(\Sigma), \\ \int_0^1 (f,v) d\tau = \int_{\bar{Q}} f v \, dx d\tau + \int_{\Sigma} gv|_{\Sigma} d\Gamma d\tau, \quad \forall v \in H^1(\Omega) \} \end{gather*} $$

et est muni de la topologie produit de $H^{1,1/2}(\bar{Q}) \times {}_0H^{3/2,3/4}(\Sigma)$.

Les éléments de $Y_l$ vérifient alors trivialment les relations de compatibilité et $\mathcal{A}(s)$ est un isomorphisme de $X_l$ sur $Y_l$.

Si on note :

$$ \psi_s = (T-s)(0,0,\beta_s, -\gamma_s), $$

(4.36) s'écrit :

$$ (4.37) \qquad \mathcal{A}(s)\chi_s = \psi_s $$

et d'après le lemme 4.2 :

$$ (4.38) \qquad \ll_s \to \psi_s \gg \in C^\infty([0,T]; Y_l), $$

d'où, avec (4.37) :

$$ (4.39) \qquad \ll_s \to \tilde{\chi}_s \gg \in C^\infty([0,T[;X_l]). $$

Or on a, avec (4.35) :

$$ (y_s(t), p_s(t)) = \frac{1}{t-s} \tilde{\chi}_s \left( \frac{t-s}{T-s} \right), \quad \text{pour } 0 \le s < t \le T, $$
d'où en posant : $\tau_s = \frac{t-s}{T-s}$, $t_σ = s+\tau_σ(T-s)$,

$$
\begin{align*}
y_s(t) - y_\sigma(t) &= \frac{1}{t-s} \tilde{\beta}_s(\tau_s) - \frac{1}{t-\sigma} \tilde{\beta}_\sigma(\tau_\sigma) \\
&= \frac{1}{t-s} (\tilde{\beta}_s(\tau_s) - \tilde{\beta}_s(\tau_\sigma)) + \frac{1}{t-s} (\tilde{\beta}_s(\tau_\sigma) - \tilde{\beta}_\sigma(\tau_\sigma)) + \frac{s-\sigma}{(t-s)(t-\sigma)} \tilde{\beta}_\sigma(\tau_\sigma) \\
&= y_s(t) - y_s(\tau_\sigma) + \frac{1}{t-s} (\tilde{\beta}_s(\tau_\sigma) - \tilde{\beta}_\sigma(\tau_\sigma)) + \frac{s-\sigma}{(t-s)(t-\sigma)} \tilde{\beta}_\sigma(\tau_\sigma).
\end{align*}
$$

Avec (4.39) et la première partie de (4.29), on a :

$$
y_s(t) - y_\sigma(t) \to 0 \text{ dans } H^2(\Omega), \text{ quand } \sigma \to s \text{ dans } [0,t[.
$$

Avec (4.39) et la deuxième partie de (4.29), on a :

$$
\frac{y_s(t) - y_\sigma(t)}{s-\sigma} \rightarrow - \frac{T-t}{T-s} \frac{d}{dt} y_s(t) + \frac{1}{t-s} \frac{d}{ds} \tilde{\beta}_s(\tau_s) + \frac{1}{(t-s)^2} \tilde{\beta}_s^2(\tau_s)
$$

dans $L^2(\Omega)$ quand $\sigma \to s$ dans $[0,t[$.

La dernière partie de (4.30) se montre, pour $0 \le t < T$, à l'aide du Corollaire 2.1, en adaptant la démonstration du Lemme 4.2, pour $t = T$,
elle résulte de (4.16).

D'autre part, on a $y_s(T) = \frac{1}{T-s} \tilde{\beta}_s(1)$, d'où (4.31) avec (4.39).

COROLL'AIRE 4.2 : Sous les mêmes hypothèses :

$$
(4.40) \quad \left\{
\begin{array}{l}
L \in C^{\infty}([0,T[; \ell_s(L^2(\Omega); H^{3/2}(\Gamma))) \cap C^o([0,T]; \ell_s(H^r(\Omega); H^{r-1/2}(\Gamma))) \\
\qquad \text{pour } 1/2 < r \le 3/2.
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.41) \quad \begin{cases} - \frac{dL}{dt}(t)h + L(t)(\tilde{A}+D_1P(t))h = 0 \\ L(T) = C, \quad \forall h \in D(A+D_1P(t)), \quad \forall t \in [0,T[. \end{cases}
$$

Comme au numéro précédent, on complète ces résultats en étudiant
la régularité de $G_p^*(t,s)$.

THEOREME 4.2 bis : Sous les mêmes hypothèses :

$$
(4.42) \quad \text{i) } G_p^*(t, \cdot) \in C^\circ([0,t]; \ell_s(H^1(\Omega); H^1(\Omega))) \quad 0 \le t \le T,
$$

$$
(4.43) \quad G_p^*(t, \cdot) \in C^\circ([0, t[; \ell_s(L^2(\Omega); D(A^*))] \quad 0 < t \le T.
$$
$$
(4.44) \quad \left\{
\begin{array}{l}
- \frac{\partial}{\partial s} G_p^*(t,s) + (\tilde{A} + D_1 P(s))^* G_p^*(t,s) = 0 \\
G_p^*(t,t) = I, \text{ égalité dans } \mathcal{L}(L^2(\Omega); L^2(\Omega)), 0 \le s < t < T.
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.45) \quad \text{ii) } G_p(t, \cdot) \in C^\circ([0, t]; \mathcal{L}_S(H^1(\Omega)'; H^1(\Omega)')) \cap C^\circ([0, t[; \mathcal{L}_S(D(A^*)'; H^2(\Omega))), \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0 < t \le T
$$

$$
(4.46) \quad \begin{cases} - \frac{\partial}{\partial s} G_p(t,s) + G_p(t,s) (\tilde{A} + D_1 P(s)) = 0 \\ G_p(t,t) = I, \text{ égalité dans } \mathcal{L}(H^1(\Omega); L^2(\Omega)), \ 0 \le s < t \le T, \end{cases}
$$

$$
(4.47) \quad \text{Cette équation étant une égalité dans } \mathcal{L}(H^1(\Omega); H^2(\Omega)) \text{ pour } 0 \le s < t = T.
$$

Démonstration :

i) $G^*(t,s)$ est l'opérateur de Green associé à la famille d'opérateurs $\tilde{A}^* + P(s)D_1$ et d'après (1.28) et le théorème 4.1,

$$
\mathrm{PD}_1 \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_S(H^r(\Omega); \mathcal{H}^{1-r}(\Omega))) \text{ pour } r > 1/2.
$$

On déduit de là :

$$
(4.48) \quad D((A+D_1 P(s))^*) = D(A^*)
$$

et, p étant la solution dans W(0,t) de :

$$
\begin{cases}
- \frac{d}{ds} p + (A+D_1 P(s))^* p = 0 \\
p(t) = h, \quad h \in L^2(\Omega), \text{ sur } ]0,t[, \quad 0 < t \le T,
\end{cases}
$$

$$
\text{on a : } \mathrm{PD}_1 p \in L^2(0,t; L^2(\Omega)),
$$

d'où, pour $h \in H^1(\Omega)$, cette équation a une solution $L^2$, en particulier
$p \in C^\circ([0,t]; H^1(\Omega))$, $\forall h \in H^1(\Omega)$, d'où (4.42).

Le résultat de KATO étant toujours applicable, (4.43) et (4.44) suivent
grâce à (4.48).

ii) (4.45) résulte de (4.42), (4.43) et de (4.30).

$$
(G_p(t,s) \in \mathcal{L}(D(A^*)'; H^2(\Omega))) \text{ pour } 0 \le s < t, \text{ car pour } \tau \in ]s,t[,
$$

$$
G_p(t,s) = G_p(t,\tau)G_p(\tau,s) \text{ où } G_p(\tau,s) \in \mathcal{L}(D(A^*)', L^2(\Omega))
$$

$$
G_p(t, \tau) \in \mathcal{L}(L^2(\Omega); H^2(\Omega)).
$$
(4.46), écrite pour $0 \le s < t < T$, résulte de (4.44) et de (4.45),
puisque maintenant :

$((\tilde{A}+D_1P(s))^*G_p^*(t,s))^* \supset G_p(t,s) (\tilde{A}+D_1P(s)) \in \mathcal{L}(H^1(\Omega);H^2(\Omega))$
et que, d'après (4.30), $\frac{\partial}{\partial s}G_p(t,s) \in \mathcal{L}(L^2(\Omega);L^2(\Omega))$, pour $0 < s < t < T$.

On peut l'étendre alors aux s,t tels que : $0 \le s < t \le T$, comme au
Théorème 3.2 bis. Avec (4.31), (4.47) suit.

COROLL'AIRE 4.2bis : Sous les mêmes hypothèses :

$$
(4.49) \quad L \in C^\circ([0,T[; \mathcal{L}_S(D(A^*)'; H^{3/2}(\Gamma))],
\text{en particulier :}
$$

$$
(4.50) \quad L \in C^\circ([0,T[; \mathcal{L}(H^1(\Omega)'; H^{3/2}(\Gamma))] \cap C^\infty([0,T[; \mathcal{L}(H^1(\Omega); H^{3/2}(\Gamma))]
\text{et}
$$

$$
(4.51) \quad \left\{
\begin{array}{l}
- \frac{d}{dt} L(t) + L(t) (\tilde{A} + D_1 P(t)) = 0 \\
L(T) = C, \text{ égalité dans } \mathcal{L}(H^1(\Omega); H^{3/2}(\Gamma)), \quad \forall t \in [0, T[.
\end{array}
\right.
$$

5. FACTORISATION DE $\frac{dP}{dt}$

Soit $(y(t,s),p(t,s))$, $0 \le s \le t \le T$ la solution dans $W(s,T) \times W(s,T)$,
sous les hypothèses (1.1), (1.2), du système :

$$
(5.1) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{d}{dt} y(t,s) + Ay(t,s) + D_1 p(t,s) = 0 \\[1em]
\displaystyle - \frac{d}{dt} p(t,s) + A^* p(t,s) - D_2 y(t,s) = 0 \\[1em]
y(s,s) = h, \quad p(T,s) = 0, \quad h \in H.
\end{array}
\right.
$$

On a montré, au cours de la démonstration du Lemme 3.4, (on n'a
alors utilisé que les hypothèses (1.1), (1.2), cf. (3.20)) que :

$$
(5.2) \quad \frac{d}{ds}(P(s)h,h) = \frac{1}{T-s} \int_s^T \left[ \left( \frac{d}{dt}P(t,s),y(t,s) \right) - \left( p(t,s), \frac{d}{dt}y(t,s) \right) \right] dt.
$$
Cette expression va amener, dans chacun des deux cas traités jus-
qu'ici, à la factorisation cherchée.

5.1. Contrôle et observation distribués.

Le résultat dans ce cas est donné par la :

PROPOSITION 5.1 : Sous les hypothèses (1.1), (1.2), (3.1), (3.2), on a :

$$
(5.3) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{dP}{dt}(t) = -L^*(t)\Lambda_F L(t) \\
\text{égalité dans } \mathcal{L}(H,H), \quad \forall t \in [0,T],
\end{array}
\right.
$$

$$
(5.4) \quad P \in C^1([0,T]; \mathcal{L}_S(H;H)),
$$

où L est défini par (1.13).

Démonstration : On a :

$$
\frac{d}{dt} p(t,s) = \frac{d}{dt} (P(t)y(t,s))
$$

et d'après les théorèmes 3.1 et 3.2,

$$
P \in C^1([0,T[; \mathcal{L}_S(H,H)) \text{ et } y(\cdot, \cdot) \in C^1([s,T[;H), \quad \forall h \in H,
$$

d'où :

$$
\frac{d}{dt} p(t,s) = \left( \frac{d}{dt} P(t) \right) y(t,s) + P(t) \frac{d}{dt} y(t,s), \quad \forall h \in H, 0 \le s < t < T
$$

(5.2) devient alors :

$$
(5.5) \quad \left( \frac{d}{ds} P(s)h,h \right) = \frac{1}{T-s} \int_s^T \left( \frac{dP}{dt}(t)y(t,s),y(t,s) \right) dt, \quad \forall h \in H, 0 \le s < T.
$$

Soit $\sigma \in [s,T[$ et $(y(\cdot,\sigma),p(\cdot,\sigma))$ la solution du système (5.1) écrit sur $]s,T[$, avec comme condition initiale $y(\sigma,s)$. On vérifie facilement que $(y(\cdot,\sigma),p(\cdot,\sigma))$ est alors la restriction à $[\sigma,T[$ de $(y(\cdot,s),p(\cdot,s))$ et qu'on a une formule analogue à (5.5) :

$$
(5.6) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \left( \frac{dP}{d\sigma}(\sigma)y(\sigma,s), y(\sigma,s) \right) = \frac{1}{T-\sigma} \int_{\sigma}^{T} \left( \frac{dP}{dt}(t)y(t,s), y(t,s) \right) dt \\
\quad \forall h \in H, \ 0 \le s \le \sigma < T.
\end{array}
\right.
$$
Posons :

$$
f_s(t) = \left( \frac{dP}{dt}(t)y(t,s), y(t,s) \right), \quad 0 \le s \le t \le T,
$$

(5.6) s'écrit :

$$
(5.7) \quad f_s(\sigma) = \frac{1}{T-\sigma} \int_{\sigma}^{T} f_s(t)dt \quad \forall h \in H, s \le \sigma < T.
$$

D'autre part pour h ∈ V, on a y(·,s) ∈ C°([s,T];V) et d'après le
lemme 3.4 (propriété (3.10)) et le théorème 3.1 :

$$
(5.8) \quad f_s \in C^\circ([s,T]) \quad \forall h \in V.
$$

On déduit alors de (5.7) :

$$
f_s(\sigma) = C^{te}_{\sigma} \text{ sur } [s,T], \text{ en particulier :}
$$

$$
\[
\begin{gathered}
f_s(s) = \left(\frac{dP}{ds}(s)h,h\right) = f_s(T) = \left(\frac{dP}{dt}(T)y(T,s),y(T,s)\right) \\
= (\text{lemme 3.4}) - \left(D_2y(T,s),y(T,s)\right) = - \left(L^*(s)\Lambda_F L(s)h,h\right), \quad \forall h \in V
\end{gathered}
\]
$$

Par symétrie des opérateurs bornés dans H, $D_2$ et $L^*(s)\Lambda_F L(s)$,
$0 \le s \le T$, et par densité de V dans H on déduit alors (5.3).

(5.3) s'écrit encore :

$$
\frac{dP}{dt}(t) = -G_p^*(T,t)D_2G_p(T,t),
$$

(5.4) résulte alors du lemme 3.4, des théorèmes 3.1, 3.2 et 3.2 bis.

5.2. Contrôle et observation frontières

On reprend l'exemple du n°1.2, on a alors la :

PROPOSITION 5.2 : Sous les hypothèses du n°1.2 et (4.1), (4.2), on a :

$$
(5.9) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{dP}{dt}(t) = -L^{*}(t) \Lambda_{L^2(\Gamma)} L(t) \\
\text{égalité dans } \mathcal{L}(H^{r}(\Omega); H^{r}(\Omega)') , \quad \forall t \in [0,T], r > 1/2,
\end{array}
\right.
$$

$$
(5.10) \quad P \in C^1([0,T]; \mathcal{L}(H^r(\Omega); H^r(\Omega)')) , r > 1/2,
$$

où L est défini par (1.13).
**Démonstration** : On reprend la démonstration de la proposition pré-
cédente. On a encore (5.8) grâce au lemme 4.3 et (5.9) s'obtient par les
mêmes arguements que (5.3).

Des théorèmes 4.2 et 4.2 bis (propriétés (4.30) et (4.42)), on
déduit que $G_p^*(T, \cdot) \in C^o([0,T]; \mathcal{L}_s(H^r(\Omega)';H^r(\Omega)'))$ et
$G_p(T, \cdot) \in C^o([0,T]; \mathcal{L}_s(H^r(\Omega);H^r(\Omega)))$ pour $1/2 < r \le 3/2$, d'où (5.10)
par compacité.

**Remarque 5.1** : En utilisant les Corollaires 3.2 bis et 4.2 bis on voit que pour $t \in [0,T[$, $\frac{dP}{dt}(t) \in \mathcal{L}(D(A^*);D(A^*))$, dans les deux cas traités.

**Remarque 5.2** : Le système en P et L constitué des équations (3.51) et (5.31) (resp. (4.51) et (5.9)) est appelé système des équations de Chandrasekhar (cf. CHANDRASEKHAR [1], CASTI-LJUNG [1], KAILATH [1], pour la situation en dimension finie). Nous étudierons plus loin l'unicité de sa solution.

## 6. EQUATION DE RICCATI

On sait que P vérifie une équation du type Riccati (cf. LIONS [1]),
nous allons préciser, pour les deux cas traités jusqu'ici, le sens que
l'on peut donner à cette équation.

Pour montrer l'unicité, nous aurons besoin du lemme suivant :

**LEMME 6.1** : Sous l'hypothèse (1.1), soit $A(t)$ une famille d'opérateurs de $\mathcal{L}(V;V')$ ayant les propriétés (3.33) et (3.34) du lemme 3.6 et telle que :

$$
(6.1) \quad A \in C^1([0,T[; \mathcal{L}_s(V;V'))).
$$
Soit F tel que :

$$
(6.2) \quad F \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_W(V;V')); F(t) = F^\star t, F(t) \ge 0, \forall t \in [0,T].
$$

Si Q, tel que :

$$
(6.3) \quad Q(t) = Q^*(t), \forall t \in [0,T],
$$

$$
(6.4) \quad Q \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_W(H;H)) \cap C^1([0,T[; \mathcal{L}_S(V;H))
$$

vérifie :

$$
(6.5) \quad \left\{
\begin{array}{l}
-\left(\frac{dQ}{dt}(t)\phi, \psi\right) + \left[A(t)\phi, Q(t)\psi\right] + \left[A(t)\psi, Q(t)\phi\right] = \left[F(t)\phi, \psi\right] \\
Q(T) = 0, \quad \forall t \in [0, T[, \quad \forall \phi, \psi \in D(A(t)),
\end{array}
\right.
$$

alors :

$$
(6.6) \quad Q(t) \ge 0, \forall t \in [0,T].
$$

Si de plus :

$$
(6.7) \quad \left\{
\begin{array}{l}
A(t) = A+D(t), \text{où } D(t) \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_W(V;H)) \cap C^1([0,T[; \mathcal{L}_S(V;H)) \\
\text{et A est donné comme en (1.2),}
\end{array}
\right.
$$

le résultat est vrai en remplaçant (6.4) par :

$$
(6.4) \text{ bis } Q \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_W([D(A),H]_{1/2};H) \cap C^1([0,T[; \mathcal{L}_S(V;H)) ; \\
\qquad Q(t) \in \mathcal{L}(H;H), \forall t \in [0,T].
$$

**Démonstration** : Remarquons qu'il est équivalent de montrer que
$e^{-\lambda t} Q(t) \ge 0$, $\lambda \in \mathbb{R}$. On peut donc supposer $\lambda = 0$ dans (3.34).

Pour $s \in [0, T[$, $h \in H$, soit $y$ la solution dans $W(s,T)$ de

$$
(6.8) \quad \begin{cases} y' + A(t)y = 0 & \text{sur } ]s,T[, \\ y(s) = h. & \end{cases}
$$

(6.1) permet d'utiliser le résultat de KATO utilisé au théorème 3.2 et

il vient :

$$
(6.9) \quad y \in C^1([s,T[;H), y(t) \in D(A(t)), \forall t \in [s,T[,
$$
En prenant $\phi = \psi = y(t)$, $t \in ]s,T[$, dans (6.5), sachant que grâce à (6.9) et (6.4) :

$$ (6.10) \quad \begin{aligned} \{A(t)y(t), Q(t)y(t)\} = - \{y'(t), Q(t)y(t)\}, \quad \forall t \in ]s,T[, \quad \text{on a :} \\ - \left(\frac{dQ}{dt}(t)y(t),y(t)\right) - 2 \{Q(t)y(t),y'(t)\} = \{F(t)y(t),y(t)\}, \quad \forall t \in ]s,T[. \end{aligned} $$

D'autre part, en utilisant la coercivité de $A(t)$ :

$$ \begin{aligned} \alpha \|y(t)-y(\tau)\|^2 &\le (A(t)[y(t)-y(\tau)], y(t)-y(\tau)) \\ &\le |A(t)[y(t)-y(\tau)]|_{V'} \|y(t)-y(\tau)\| \\ &\le |-y'(t)+y'(\tau)+(A(\tau)-A(t))y(\tau)|_{V'} \|y(t)-y(\tau)\|, \quad \forall t, \tau \in ]s,T[, \end{aligned} $$

d'où :

$$ \| y(t)-y(\tau) \| \le \frac{c}{\alpha} ( |y'(\tau)-y'(t)| + | (A(\tau)-A(t))y(\tau) |_{V'} ), \quad \forall t, \tau \in ]s,T[ \text{ et avec (6.1), (6.9), il vient :} $$

$$ (6.11) \quad y \in C^\circ([s,T];V). $$

On vérifie facilement que (6.3), (6.4), (6.9), (6.11), permettent d'écrire (6.10) sous la forme :

$$ - \frac{d}{dt} (Q(t)y(t), y(t)) = (F(t)y(t), y(t)), \quad \forall t \in ]s,T[, \\ \text{d'où : } \Lambda \forall \epsilon \in ]0,T-s[, $$

$$ (6.12) \quad (Q(s+\epsilon)y(s+\epsilon), y(s+\epsilon)) = (Q(T-\epsilon)y(T-\epsilon), y(T-\epsilon)) + \int_{s+\epsilon}^{T-\epsilon} (F(t)y(t), y(t))dt. $$

Comme $y \in C^\circ([s,T];H)$, il vient avec (6.4) :

$$ (Q(s)h,h) = \int_s^T (F(t)y(t),y(t))dt \ge 0, \quad \forall h \in H, \quad \forall s \in [0,T], \\ \text{d'où (6.6).} $$

Si (6.7) a lieu, comme $y \in L^2(s,T;V)$, $Dy \in L^2(s,T;H)$, et pour $h \in [D(A),H]_{1/2}$, y est une solution $L^2$, en particulier $y \in C^\circ([s,T];[D(A),H]_{1/2})$, il suffit alors d'avoir $Q \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_W^\infty(D(A);H]_{1/2};H))$ pour passer à la limite dans (6.12).

$\bar{y}$ étant la solution de (6.8) pour $\bar{y}(s) = \bar{h}, \bar{h} \in H$,

$h, \bar{h} \to \int_s^T (F(t)y(t), \bar{y}(t))dt$ est une forme bilinéaire continue sur $H$, d'où, avec (6.2) :
il existe $G(s) \in L(H;H)$, $G(s) = G(s)^*$, $G(s) \ge 0$ et

$$ (Q(s)h,h) = (G(s)h,h) \quad \forall h \in [D(A),H]_{1/2}, \forall s \in ]0,T[. $$

(6.6) suit par symétrie et densité de $[D(A);H]_{1/2}$ dans H.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

## 6.1 Contrôle et observation distribués.

Nous avons le résultat suivant :

**THEOREME 6.1** : Sous les hypothèses (1.1), (1.2), (3.1), (3.2), P défini par (1.10) est solution de l'équation de Riccati :

$$ (6.13) \quad \begin{cases} -\frac{dP}{dt} + PA + A^*P + PD_1P = D_2 \\ P(T) = 0, \text{ égalité dans } C^°([0,T]; L_S(V;H)). \end{cases} $$

De plus P est l'unique solution, telle que :

$$ (6.14) \quad \begin{cases} P(t) \in L(H;H), P(t) = P^*(t) \quad \forall t \in [0,T], \\ P \in C^°([0,T]; L_S(V;H)) \cap C^1([0,T[; L_S(V;H)), \end{cases} $$

de la forme affaiblie suivante de (6.13) :

$$ (6.15) \quad \begin{cases} -\frac{d}{dt}(P(t)\phi,\psi) + (A\phi,P(t)\psi) + (A\psi,P(t)\phi) + (D_1P(t)\phi,P(t)\psi) = (D_2\phi,\psi) \\ P(T) = 0, \quad \forall t \in [0,T[, \quad \forall \phi, \psi \in D(A). \end{cases} $$

**Démonstration** : Pour $h \in V$, la solution $(y,p)$ de (5.1) vérifie :

$$ y,p \in C^°([s,T];V) \cap C^1([s,T];H) $$

et on a vu qu'alors :

$$ \frac{dP}{dt}(t)y(t) = p'(t) - P(t)y'(t) = A^*p(t) - D_2y(t) + P(t)(Ay(t) + D_1p(t)) \\ \forall t \in ]s,T[, $$

d'où, par continuité (avec le théorème 3.1), sachant que $p(s) = P(s)h$,

$$ -\frac{dP}{ds}(s)h + A^*P(s)h + P(s)Ah + P(s)D_1P(s)h = D_2h \\ \forall h \in V, \quad \forall s \in [0,T[, $$
d'où (6.13) avec les théorèmes 3.1, 3.2 et le Lemme 3.4 pour la valeur
t = T. Il est évident que P est solution de la forme scalaire (6.15) de
l'équation de Riccati.

Soient donc $P_1$ et $P_2$ deux solutions de (6.15) vérifiant (6.14).

Posons $Q = P_1 - P_2$.

On a :

$$
\begin{align*}
& - \frac{d}{dt} (Q(t)\phi, \psi) + (A\phi, Q(t)\psi) + (A\psi, Q(t)\phi) + (D_1 P_1(t)\phi, P_1(t)\psi) \\
& \qquad - (D_1 P_2(t)\phi, P_2(t)\psi) = 0,
\end{align*}
$$

d'où, en notant :

$$
A_i(t) = A + D_i P_i(t), \quad i = 1, 2, \text{ il vient :}
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
- \frac{d}{dt} (Q(t)\phi, \psi) + (A_1(t)\phi, Q(t)\psi) + (A_1(t)\psi, Q(t)\phi) = (D_1 Q(t)\psi, Q(t)\phi) \\
\quad \forall \phi, \psi \in D(A), \quad \forall t \in [0,T].
\end{array}
\right.
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
- \frac{d}{dt} (Q(t)\phi, \psi) + (A_2(t)\phi, Q(t)\psi) + (A_2(t)\psi, Q(t)\phi) = - (D_1 Q(t)\psi, Q(t)\phi) \\
\quad \forall \phi, \psi \in D(A), \quad \forall t \in [0,T].
\end{array}
\right.
$$

Si on note $F(t) = Q(t)D_1Q(t)$, on vérifie qu'on peut appliquer le
Lemme 6.1, (6.7) ayant lieu. On a successivement $Q(t) \ge 0$ et $Q(t) \le 0$,
d'où le résultat.

6.2. **Contrôle et observation frontières.**

On a un résultat analogue :

**THEOREME 6.2** : Sous les hypothèses du n° 1.2 et (4.1), (4.2), P défini
par (1.10) est solution de l'équation de Riccati :

$$
(6.16) \quad \left\{
\begin{array}{l}
- \frac{dP}{dt} + PA + A^*P + PD_1P = D_2 \\
P(T) = 0, \text{ égalité dans } C^\circ([0,T]; \mathcal{L}(H^1(\Omega); H^r(\Omega)')),
\quad r > 1/2.
\end{array}
\right.
$$
$$
(6.17) \quad \begin{cases} P(t) = P^*(t), & t \in [0,T], P \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_w^{H^1(\Omega);H^r(\Omega)}), \\ P \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_w^{L^2(\Omega);L^2(\Omega)}) \cap C^1([0,T[; \mathcal{L}_w^{H^1(\Omega);H^r(\Omega)}), \end{cases}
$$
de la forme affaiblie suivante de (6.16) :
$$
(6.18) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  - \frac{d}{dt} (P(t)\phi, \psi) + (A\phi, P(t)\psi) + (A\psi, P(t)\phi) + \frac{1}{\nu} \left( \left\langle (P(t)\phi) \right\rangle_{\Gamma}, \left\langle (P(t)\psi) \right\rangle_{\Gamma} \right)_{L^2(\Gamma)} = \\
  \qquad = \left\langle \phi \right\rangle_{\Gamma}, \left\langle \psi \right\rangle_{\Gamma} \quad \text{in} \ L^2(\Gamma) \\[1em]
  P(T) = 0, \forall \phi, \psi \in H^2(\Omega), \forall t \in [0,T[.
\end{array}
\right.
$$

**Démonstration** : Les régularités montrées aux théorèmes 4.1 et 4.2 permettent de justifier le calcul fait pour montrer (6.13).

En particulier $P \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_s^{H^{1/2}(\Omega);H^{3/2}(\Omega)})$ et on a vu
(Lemme 4.3) que $A^* \in \mathcal{L}(H^{3/2}(\Omega); H^r(\Omega'))$, $r > 1/2$, d'où :

$A^* P \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}(H^r(\Omega); H^r(\Omega'))$, $r > 1/2$,
de même :

$$
\mathrm{PA} \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}(H^1(\Omega); H^r(\Omega'))), \quad r > 0,
$$

$$
\mathrm{PD}_1 P \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}(L^2(\Omega); L^2(\Omega))),
$$

$$
P \in C^1([0,T]; \mathcal{L}(H^r(\Omega), H^r(\Omega'))), \ r > \frac{1}{2}
$$

et (6.16) suit.

Enfin il est clair que P a les propriétés (6.17) et vérifie (6.18).

On va adapter le raisonnement du théorème 6.1 pour montrer l'uni-
cité. Remarquons que par un argument de compacité on peut écrire dans
(6.17) : ∃r > 1/2, P ∈ C°([0,T]; ℓs(H¹(Ω);Hr(Ω))) ∩ C¹([0,T[; ls(H¹(Ω);Hr(Ω)))
(changer r en r - 1/2 (r-1/2)) d'où :

Si P vérifie (6.17), $A+D_1P(t)$ a les propriétés (3.33), (3.34) et (6.1)
utilisées au Lemme 6.1, de même :

$$
\mathrm{PD}_1 P \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_w^{H^1(\Omega);H^1(\Omega)'}) \text{ et on pourra utiliser ce lemme si} \\
\text{on montre que :}
$$
$$
(6.19) \quad D(A+D_1 P(t)) \subset H^2(\Omega) \quad \forall t \in [0,T].
$$

Soit $a(t;\phi,\psi)$ la forme bilinéaire continue sur $H^1(\Omega)$ associée à
$A+D_1P(t)$ :

$$
a(t;\phi,\psi) = a(\phi,\psi) + \left( \left\langle (P(t)\phi)_{|\Gamma}, \psi \mid_{\Gamma} \right\rangle_{L^2(\Gamma)}, \forall \phi, \psi \in H^1(\Omega), \forall t \in [0,T] \right).
$$

Pour $\phi \in D(A+D_1 P(t))$ on doit avoir en particulier :

$\ll \psi \to a(t;\phi,\psi) \gg$ est continue sur $\mathcal{B}(\Omega)$ pour la topologie de $L^2(\Omega)$. Comme $\forall \psi \in \mathcal{B}(\Omega)$, $\forall \phi \in H^1(\Omega)$, $a(t;\phi,\psi) = a(\phi,\psi)$ il vient : $\forall \phi \in D(A+D_1P(t))$, $\ll \psi \to a(\phi,\psi) \gg$ est continue sur $\mathcal{B}(\Omega)$ pour la topologie de $L^2(\Omega)$, d'où :

$\sum_{i,j} \frac{\partial}{\partial x_i} (a_{ij} \frac{\partial}{\partial x_j} \phi) \in L^2(\Omega)$ et (6.19) suit grâce à la régularité des $a_{ij}$ et de $\Omega$, d'où le théorème. ■

7. EQUATIONS DE CHANDRASEKHAR

Nous allons donner maintenant des systèmes d'équations, du type
Chandrasekhar, qui caractérisent P et L ou K et L.

Nous énonçons les résultats dans les deux situations traitées précé-
demment.

7.1. Contrôle et observation distribués

Commençons par étudier le système en P et L :

THEOREME 7.1 : Sous les hypothèses (1.1), (1.2), (3.1), (3.2) P et L
définis par (1.10) et (1.13) vérifient :

$$
\text{(7.1)} \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{dP}{dt} = - L^* \Lambda_F L \\[1em]
\displaystyle - \frac{dL}{dt} + L(A+D_1P) = 0 \\[1em]
\displaystyle P(T) = 0, L(T) = C,
\end{array}
\right.
$$
égalités dans $C^°([0,T]; \mathcal{L}_s(H;H))$ et $C^°([0,T[; \mathcal{L}_s(V;F))$ respectivement.
(P,L) est l'unique solution telle que :

$$
(7.2) \quad P \in C^1([0,T]; \mathcal{L}_w(H;H)) \cap C^1([0,T[; \mathcal{L}_s(V;H))
$$

$$
(7.3) \quad L \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_s(H;F)) \cap C^1([0,T[; \mathcal{L}_w D(A);F)),
$$

de la forme affaiblie suivante de (7.1) :

$$
(7.4) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  \displaystyle \frac{d}{dt} (P(t)\phi, \psi) = - (L(t)\phi, L(t)\psi)_F, \quad \forall \phi, \psi \in H, \\[2ex]
  \displaystyle - \frac{d}{dt} (L(t)\phi, z)_F + (L(t)(A+D_1 P(t))\phi, z)_F, \quad \forall \phi \in D(A), \forall z \in F, \\[2ex]
  P(T) = 0, \quad L(T) = C, \quad \forall t \in [0,T[.
\end{array}
\right.
$$

Démonstration : (7.1) est une conséquence des Corollaires 3.2, 3.2bis et de la proposition 5.1.

(P,L) vérifie (7.2), (7.3), (7.4) et pour (P,L) vérifiant (7.2), (7.3)
les équations (7.4) ont un sens. Montrons qu'elles ont une solution unique.

Soit donc (P,L) une solution de (7.4), (7.2) et (7.3) ayant lieu.

On a, en multipliant la deuxième équation par L(t) ψ ∈ F pour ψ ∈ D(A) :
- (dL/dt)(t)φ, L(t)ψ)ₘ + (L(t)(A+D₁P(t))φ, L(t)ψ)ₘ = 0.

En ajoutant à cette équation celle obtenue en permutant φ et ψ, il vient
avec (7.2) :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
- \frac{d}{dt} (L(t)\phi, L(t)\psi)_F + (L(t)(A+D_1 P(t))\phi, L(t)\psi)_F + (L(t)(A+D_1 P(t))\psi, L(t)\phi)_F = 0 \\
\quad \forall \phi, \psi \in D(A), \quad \forall t \in [0,T[,
\end{array}
\right.
$$

d'où, avec la première relation (7.4) :

$$
\frac{d^2}{dt^2}(P(t)\phi, \psi) - \left\{ (A+D_1 P(t))\phi, \frac{dP}{dt}(t)\psi \right\} - \left\{ (A+D_1 P(t))\psi, \frac{dP}{dt}(t)\phi \right\} = 0,
$$

qui s'écrit encore, en remarquant que d'après (7.4) : P(t) = P*(t), ∀t ∈ [0,T],

$$
\left\{
\begin{array}{l}
- \frac{d^2}{dt^2} (P(t)\phi, \psi) + (A\phi, \frac{dP}{dt}(t)\psi) + (A\psi, \frac{dP}{dt}(t)\phi) + \frac{d}{dt} (D_1 P(t)\phi, P(t)\psi) = 0 \\
\forall \phi, \psi \in D(A), \quad \forall t \in [0, T[.
\end{array}
\right.
$$
En intégrant, chacun des termes $\frac{d}{dt}(P(t)\phi, \psi)$, $(A\phi, P(t)\psi)$, $(D_1 P(t)\phi, P(t)\psi)$, étant continu sur $[0,T]$ et comme (par passage à la limite dans la première relation (7.4)):

$$ \left\{ \begin{array}{l} \left(\frac{dP}{dt}(t)\phi, \psi\right)_{t=T} = -(C\phi, C\psi)_F, \text{ il vient :} \\[1em] \begin{cases} -\frac{d}{dt}(P(t)\phi, \psi) + (A\phi, P(t)\psi) + (A\psi, P(t)\phi) + (D_1 P(t)\phi, P(t)\psi) = (D_2\phi, \psi) \\ \forall \phi, \psi \in D(A), \quad \forall t \in [0,T[. \end{cases} \end{array} \right. $$

Alors, d'après le théorème 6.1, P est l'opérateur de Riccati défini par (1.10).

Soit maintenant pour $h \in D(A)$, la solution (forte) de l'équation :

$$ \begin{cases} y' + (A+D_1P)y = 0 \quad \text{sur } [s,T], \\ y(s) = h, \end{cases} $$

on a $y \in C^0([s,T]; D(A)) \cap C^1([s,T]; H)$, d'où, en faisant $\phi = y(t)$ dans la deuxième équation (7.4) :

$$ -\left(\frac{dL}{dt}(t)y(t) + L(t)y'(t), \eta\right) = 0 \text{ et avec la régularité de L et y,} $$
cela s'écrit encore :

$$ \frac{d}{dt}\left[(L(t)y(t), \eta)\right]_F = 0 \quad \forall \eta \in F, $$

d'où :

$$ (L(s), \eta)_F = (Cy(T), \eta)_F, \quad \forall h \in D(A), \forall \eta \in F, \forall s \in [0, T[. $$

Par densité de $D(A)$ dans $H$, on déduit de là que $L$ est l'opérateur défini en (1.13), d'où le théorème.

Les opérateurs $K$ et $L$ vérifient un système du même type :

**THEOREME 7.2** : Sous les mêmes hypothèses $K$ et $L$ définis par (1.12), (1.13), vérifient :
$$
(7.5) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{dK}{dt} = - N^{-1}_{\Lambda_E^{-1}} B^* L^* \Lambda_F L \\[1em]
\displaystyle - \frac{dL}{dt} + L(A+BK) = 0 \\[1em]
K(T) = 0, \quad L(T) = C,
\end{array}
\right.
$$

égalités dans C°([0,T]; ℓ_s(H;E)) et C°([0,T[; ℓ_s(V;F)) respectivement.
(K,L) est l'unique solution telle que :

$$
(7.6) \quad K \in C^\circ([0,T]; \ell_w^-(V;E)) \cap C^1([0,T[; \ell_s^-(V;E)),
$$

$$
(7.7) \quad L \in C^\circ([0,T]; \ell_s^-(H;F)) \cap C^1([0,T[; \ell_w^-(D(A);F)),
$$

de la forme affaiblie suivante de (7.5) :

$$
(7.8) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\displaystyle \frac{dK}{dt}(t)\phi = -N^{-1}_{\Lambda_E^{-1}} B^* L^* (t) \Lambda_F L(t)\phi, \forall \phi \in V, \\[2ex]
\displaystyle - \frac{d}{dt} (L(t)\psi, z)_F + (L(t)(A+BK(t))\psi, z)_F = 0, \forall \psi \in D(A), \forall z \in F, \\[2ex]
K(T) = 0, \quad L(T) = C, \quad \forall t \in [0,T[.
\end{array}
\right.
$$

Démonstration : (7.5) résulte immédiatement de (7.1) et de la défi-
nition de K. Montrons l'unicité.

Soit (K,L) une solution de (7.8) vérifiant (7.6), (7.7), on a en
particulier : L̂*Λ̂_F L ∈ C°([0,T]; ℓ̂_w(H;H)), ce qui permet de définir P par :

$$
\frac{d}{dt}(P(t)\phi, \psi) = -(L(t)\phi, L(t)\psi)_F, \quad \forall t \in [0,T], \forall \phi, \psi \in H, P(T) = 0, \\
\text{on a } P \in C^1([0,T]; \mathcal{L}_w(H;H))
$$

Et d'après la première équation (7.8), l'opérateur $N^{-1}_{\Lambda_E^{-1}} B^*$ étant
fermé, il vient, avec la régularité de K :

$$
K(t) = N^{-1}_{\Lambda_E^{-1}} B^* P(t),
$$

d'où en particulier

$$
\mathrm{BK} = D_1 P \in C^1([0,T[; \mathcal{L}_S^-(V;H)),
$$

ce qui suffit pour appliquer le résultat précédent où le caractère fort
de la dérivée de P ne servait que pour avoir $A+D_1P \in C^1([0,T[; \mathcal{L}_S^-(V,V'))$.

<figure><img src="image_7.png" /></figure>
## 7.2. Contrôle et observation frontières

Le résultat concernant le système en P et L s'énonce ainsi :

**THEOREME 7.3** : Sous les hypothèses du n°1.2 et (4.1), (4.2), P et L définis par (1.10) et (1.13) vérifient :

$$ (7.9) \quad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{dP}{dt} = - L^* \Lambda_{L^2(\Gamma)} L \\ - \frac{dL}{dt} + L(A+D_1P) = 0 \\ P(T) = 0, \quad L(T) = C, \end{array} \right. \qquad \begin{array}{l} \text{égalités dans } C^°([0,T]; \mathcal{L}(H^r(\Omega);H^r(\Omega)')) \text{ et } C^°([0,T[; \mathcal{L}(H^1(\Omega);H^{3/2}(\Gamma))]) \\ \text{respectivement, } \forall r > 1/2. \end{array} $$

(P,L) est l'unique solution telle que pour un $r > 1/2$ :

$$ (7.10) \quad \left\{ \begin{array}{l} P \in C^°([0,T]; \mathcal{L}_w(L^2(\Omega);L^2(\Omega))) \cap C^°([0,T]; \mathcal{L}_w(H^1(\Omega);H^r(\Omega))), \\ P \in C^1([0,T[; \mathcal{L}_w(H^1(\Omega); H^1(\Omega))) \cap C^1([0,T]; \mathcal{L}_w(H^2(\Omega); H^2(\Omega)'))), \end{array} \right. $$

$$ (7.11) \quad \left\{ \begin{array}{l} L \in C^°([0,T]; \mathcal{L}_w(H^1(\Omega); L^2(\Gamma))) \cap C^°([0,T[; \mathcal{L}_w(L^2(\Omega); L^2(\Gamma))), \\ L \in C^1([0,T[; \mathcal{L}_w(H^1(\Omega); L^2(\Gamma))) \cap C^°([0,T[; \mathcal{L}_s(H^2(\Omega); L^2(\Gamma))), \end{array} \right. $$

de la forme affaiblie suivante de (7.9) :

$$ (7.12) \quad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{d}{dt} [P(t)\phi, \psi] = -(L(t)\phi, L(t)\psi)_{L^2(\Gamma)}, \forall \phi, \psi \in L^2(\Omega), \\ \displaystyle - \frac{d}{d\tau} [L(\tau)\phi, z]_{L^2(\Gamma)}|_{\tau=t} + (L(t)(A+D_1P(t))\phi, z)_{L^2(\Gamma)} = 0, \forall \phi \in D(A+D_1P(t)), \\ \forall z \in L^2(\Gamma) \\ P(T) = 0, \quad L(T) = C, \quad \forall t \in [0,T[. \end{array} \right. $$

**Démonstration** : (7.9) est une conséquence du Corollaire 4.2 bis et de la proposition 5.2.

Pour l'unicité on va adapter la démonstration du théorème 7.1.

Soit donc (P,L) vérifiant (7.10), (7.11) et (7.12).
Pour P vérifiant (7.10), on a vu que $D(A+D_1P(t)) \subset H^2(\Omega)$, $\forall t \in [0,T[$.

On a alors, avec (7.11) :

$$
\begin{gather*}
\frac{d}{d\tau} (L(\tau)\phi, L(\tau)\psi)_{L^2(\Gamma)} |_{\tau=t} = \frac{d}{d\tau} (L(\tau)\phi, L(t)\psi)_{L^2(\Gamma)} |_{\tau=t} + \frac{d}{d\tau} (L(t)\phi, L(\tau)\psi)_{L^2(\Gamma)} |_{\tau=t} \\
\forall \phi, \psi \in D(A+D_1 P(t)), \quad \forall t \in [0,T[,
\end{gather*}
$$

d'où :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
- \frac{d}{d\tau} (L(\tau)\phi, L(\tau)\psi)_{L^2(\Gamma)}|_{\tau=t} + (L(t)(A+D_1P(t))\phi, L(t)\psi)_{L^2(\Gamma)} + \\
\qquad + (L(t)(A+D_1P(t))\psi, L(t)\phi)_{L^2(\Gamma)} = 0 \\[1em]
\forall \phi, \psi \in D(A+D_1P(t)), \quad \forall t \in [0,T[,
\end{array}
\right.
$$

que l'on peut encore écrire avec la première relation (7.12) :

$$
(7.13) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
- \frac{d}{d\tau} \left( L(\tau)\phi, L(\tau)\psi \right)_{L^2(\Gamma)} \Big|_{\tau=t} - a(t;\phi, \frac{d}{d\tau} (P(\tau)\psi) \Big|_{\tau=t}) - a(t;\psi, \frac{d}{d\tau} (P(\tau)\phi) \Big|_{\tau=t}) = \\
\quad \forall \phi, \psi \in D(A+D_1 P(t)), \quad \forall t \in [0,T[,
\end{array}
\right.
$$

$$
où a(t;\phi,\psi) = a(\phi,\psi) + \frac{1}{v} \left( (P(t)\phi) \Big|_{\Gamma}, \psi \Big|_{\Gamma} \right)_{L^2(\Gamma)}, \quad \forall \phi, \psi \in H^1(\Omega), \forall t \in [0,T[
$$

Mais on a, grâce à la régularité de P :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\forall \phi, \psi \in H^1(\Omega), \quad \forall t \in [0, T[, \\
\\
a(\phi, \frac{d}{dt}(P(t)\psi)) = \frac{d}{dt}a(\phi, P(t)\psi), \\
\\
\frac{d}{dt}((P(t)\phi)|_{\Gamma}, (P(t)\psi)|_{\Gamma})_{L^2(\Gamma)} = \left(\frac{d}{dt}(P(t)\phi)|_{\Gamma}, (P(t)\psi)|_{\Gamma}\right)_{L^2(\Gamma)} + \\
\qquad + ((P(t)\phi)|_{\Gamma}, \frac{d}{dt}(P(t)\psi)|_{\Gamma})_{L^2(\Gamma)}.
\end{array}
\right.
$$

Chacune de ces deux expressions ainsi que $\frac{d}{dt}(L(t)\phi, L(t)\psi)_{L^2(\Gamma)}$ étant,
à t fixé, une forme bilinéaire continue sur $H^1(\Omega)$.

Comme $D(A+D_1P(t))$ est dense dans $H^1(\Omega)$, (7.13) devient :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
- \frac{d^2}{dt^2} (P(t)\phi, \psi) + \frac{d}{dt} a(\phi, P(t)\psi) + \frac{d}{dt} a(\psi, P(t)\phi) + \frac{1}{v} \frac{d}{dt} ((P(t)\phi)|_{\Gamma}, \\
\qquad (P(t)\psi)|_{\Gamma})_{L^2(\Gamma)} = 0. \\[1em]
\forall \phi, \psi \in H^1(\Omega), \quad \forall t \in [0, T[
\end{array}
\right.
$$
et
$$ \frac{d}{dt} (P(t)\phi, \psi), (A\phi, P(t)\psi), \left( (P(t)\phi)|_{\Gamma}, (P(t)\psi)|_{\Gamma} \right)_{L^2(\Gamma)} $$ sont continus
sur $[0,T] \ \forall \phi, \psi \in H^2(\Omega) \ (\text{sachant que } A \in \mathcal{L}(H^2(\Omega); H^r(\Omega))', \forall r > 1/2)$.
Alors en intégrant on voit que P vérifie (6.18) et comme, d'après la première équation (7.12), $P^*(t) = P(t)$, $\forall t \in [0,T]$, l'unicité de P suit.

Montrons que L est alors l'opérateur défini en (1.13) :

Pour $s \in [0,T]$ et $h \in D(A+D_1P(s))$, soit $y$ la solution dans $W(s,T)$ de
l'équation :

$$ egin{cases} y' + (A+D_1P)y = 0 \\ y(s) = h, \end{cases} $$

on a vu que $y \in C^°([s,T]; H^1(\Omega)) \cap C^1([s,T[; L^2(\Omega))$, $y(t) \in D(A+D_1P(t))$

$\forall t \in [s, T[$,

d'où, $\forall z \in L^2(\Gamma)$ :

$$ - \frac{d}{d\tau} (L(\tau)y(t),z)_{L^2(\Gamma)}|_{\tau=t} - (L(t)y'(t),z)_{L^2(\Gamma)} = 0, $$

qui peut s'écrire avec la régularité de L :

$$ \frac{d}{dt} (L(t)y(t),z)_{L^2(\Gamma)} = 0 \text{ sur } [s,T[, $$

d'où :

$$ (L(s+\epsilon)y(s+\epsilon),z)_{L^2(\Gamma)} = (L(T-\epsilon)y(T-\epsilon),z)_{L^2(\Gamma)} \quad \forall \epsilon \in ]0,T-s[$$

et par continuité :

$$ (L(s)h,z)_{L^2(\Gamma)} = (y(T)|_{\Gamma},z)_{L^2(\Gamma)}, \quad \forall z \in L^2(\Gamma). $$

Le résultat suit par densité de $D(A+D_1P(s))$ dans $L^2(\Omega)$.

K et L vérifient encore un système du même type :

**THEOREME 7.4** : Sous les mêmes hypothèses, K et L définis par (1.12) et (1.13) vérifient :
$$
(7.14) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{dK}{dt} = - N^{-1} \Lambda_{L^2(\Gamma)}^{-1} B^* L^* \Lambda_{L^2(\Gamma)} L \\[1em]
\displaystyle - \frac{dL}{dt} + L(A+BK) = 0 \\[1em]
K(T) = 0, \quad L(T) = C,
\end{array}
\right.
$$

égalités dans $C^°([0,T[; \ell(H^1(\Omega)'; H^{3/2}(\Gamma)])$ et $C^°([0,T[; \ell(H^1(\Omega);H^{3/2}(\Gamma))],$
respectivement.

$(K,L)$ est l'unique solution de la forme affaiblie suivante de (7.14) ;

$$
(7.15) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
\displaystyle \frac{d}{dt} \langle K(t)\phi, u \rangle_{L^2(\Gamma)} & = - \langle L(t)\phi, L(t)BN^{-1}u \rangle_{L^2(\Gamma)}, \quad \forall \phi \in H^1(\Omega), \quad \forall u \in L^2(\Gamma), \\
\displaystyle - \frac{d}{d\tau} \langle L(\tau)\phi, z \rangle_{L^2(\Gamma)|_{\tau=t}} & + \langle L(t)(A+BK(t))\phi, z \rangle_{L^2(\Gamma)} = 0, \quad \forall \phi \in D(A+BK(t)), \\
K(T) = 0, \quad L(T) = C, \quad \forall t \in [0,T[, &
\end{array}
\right.
\quad \forall z \in L^2(\Gamma),
$$

parmi les couples tels que :

$$
(7.16) \quad K \in C^°([0,T]; \ell_w^{H^1}(\Omega); L^2(\Gamma)) \cap C^1([0,T[; \ell_w^{H^1}(\Omega); L^2(\Gamma)]),
$$

$$
(7.17) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
\multicolumn{2}{@{}l@{}}{L \in C^°([0,T[; \ell_w^{H^1}(\Omega);L^2(\Gamma))] \cap C^1([0,T[; \ell_w^{H^1}(\Omega);L^2(\Gamma)]),} \\
\multicolumn{2}{@{}l@{}}{L \in C^°([0,T[; \ell_s^{H^1}(\Omega)';L^2(\Gamma)]),} \\
\multicolumn{2}{@{}l@{}}{\lim_{s \to T} \int_{t}^{s} \langle L(\sigma)\phi, L(\sigma)\psi \rangle_{L^2(\Gamma)} d\sigma \text{ existe, } \forall \phi \in H^1(\Omega)', \forall \psi \in L^2(\Omega), \forall t \in [0,T].}
\end{array}
\right.
$$

Démonstration : On a vu au théorème 4.2 bis que :

$$
G_p(T, \cdot) \in C^°([0, T[; \ell_s^{D(A^*)'}; H^2(\Omega)]),
$$

$$
d'\text{où : } G_p^*(T, \cdot) \in C^°([0, T[; \ell_w^{H^2(\Omega)'}; D(A^*)])
$$

et avec (4.43) (Théorème 4.2 bis) écrite pour $t = T$, il vient (par densité de $L^2(\Omega)$ dans $H^2(\Omega)$) :

$$
G_p^*(T, \cdot) \in C^°([0, T[; \ell_s^{H^2(\Omega)'}; D(A^*)]).
$$

Comme $C^* \Lambda_{L^2(\Gamma)} \in \ell(L^2(\Gamma); H^1(\Omega))'$, il vient, avec un argument de compa-
cité déjà utilisé :

$$
L^* \Lambda_{L^2(\Gamma)} = G_p^*(T, \cdot) C^* \Lambda_{L^2(\Gamma)} \in C^°([0, T[; \ell(L^2(\Gamma); D(A^*))].
$$
D'autre part, avec le Corollaire 4.2 bis, on a :

$$
(7.18) \quad \begin{array}{@{}l@{}}
L^* \Lambda_{L^2(\Gamma)} L \in C^\circ([0,T[; \mathcal{L}_S(D(A^*)';D(A^*)])) \\
\text{et d'après le théorème 4.1 :}
\end{array}
$$

$$
(7.19) \quad \frac{dP}{dt} \in C^\circ([0,T[; \mathcal{L}_S(H^1(\Omega)';L^2(\Omega))].
$$

Alors, en utilisant la proposition 5.2, (H<sup>r</sup>(Ω) étant dense dans H<sup>1</sup>(Ω)',
r ≥ 0) il vient, avec (7.18), (7.19) :

$$
(7.20) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\displaystyle \frac{dP}{dt} = - L^* \Lambda_{L^2(\Gamma)} L \\
\text{égalité dans } C^\circ([0,T[; \mathcal{L}(H^1(\Omega)'; D(A^*))].
\end{array}
\right.
$$

Comme $N^{-1}\Lambda_{L^2(\Gamma)}B^* = \frac{1}{\nu}(\text{opérateur trace})$ et sachant que $D(A^*) \subset H^2(\Omega)$
avec injection continue $^{(1)}$, on a :

$$
(7.21) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\displaystyle \frac{dK}{dt} = - N^{-1} \Lambda_{L^2(\Gamma)}^{-1} B^* L^* \Lambda_{L^2(\Gamma)} L, \\
\text{égalité dans } C^\circ([0,T[; \mathcal{L}(H^1(\Omega)'; H^{3/2}(\Gamma))], \\
\text{d'où (7.14) (la deuxième équation (7.14) résultant de (7.9))}.
\end{array}
\right.
$$

Montrons l'unicité.

(K,L) défini par (1.12), (1.13), vérifie (7.15) et (7.16), (7.17)

sera vérifié si on montre que :

$$
(7.22) \quad \lim_{s \to T} \int_t^S (L(\sigma)\phi, L(\sigma)\psi)_{L^2(\Gamma)} d\sigma \text{ existe, } \forall \phi \in H^1(\Omega)', \forall \psi \in L^2(\Omega), \forall t \in [0, T[, \\
\text{D'après (7.20) et le théorème 4.1 :}
$$

$$
\begin{gather*}
P(t)\phi = \int_t^S L^*(\sigma) \Lambda_{L^2(\Gamma)} L(\sigma) \phi \, d\sigma + P(s)\phi, \\
\forall \phi \in \mathcal{H}^{1/2-2r}(\Omega), \forall t,s \in [0,T[, \quad 0 \le r \le 3/4
\end{gather*}
$$

$$
\text{et} \quad \lim_{s \to T} P(s) \phi = 0 \text{ dans } \mathcal{H}^{3/2-2r}(\Omega), \quad \forall \phi \in \mathcal{H}^{1/2-2r}(\Omega),
$$

(1) On sait que l'injection de D(A*) (resp. H²(Ω)) dans L²(Ω) est continue et que D(A*) ⊂ H²(Ω), on vérifie alors, à l'aide du théorème du graphe fermé que l'injection de D(A*) dans H²(Ω) est aussi continue.
d'où en particulier :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\lim_{s \to T} \left\{ \int_s^t L^*(\sigma) \Lambda_{L^2(\Gamma)} L(\sigma) \phi d\sigma, \psi \right\} = (P(t)\phi, \psi), \\
\forall \phi \in \mathcal{H}^{1/2-2r}(\Omega), \forall \psi \in \mathcal{H}^{2r-3/2}(\Omega), \forall t \in [0, T[, 0 \le r \le 3/4.
\end{array}
\right.
$$

Comme $\left[ \int_s^t L^*(\sigma) \Lambda_{L^2(\Gamma)} L(\sigma) \phi d\sigma, \psi \right] = \int_s^t (L(\sigma)\phi, L(\sigma)\psi)_{L^2(\Gamma)} d\sigma$ (1'application $(\cdot, \psi)$ étant fermée), (7.22) suit en prenant $r = 3/4$.

Soit maintenant (K,L) vérifiant (7.15), (7.16), (7.17). On va cons-
truire P ayant les propriétés (7.10), (7.12) du théorème précédent. Par
un argument de compacité on déduit de (7.17) que :

$L \in C^°([0,T[; \mathcal{L}(H^r(\Omega)'; L^2(\Gamma))$, $\forall r \in [0,1[$,
de sorte que, $L^* \Lambda_{L^2(\Gamma)} L$ étant symétrique :

$$
(7.23) \quad \left\{
\begin{array}{l}
L^* \Lambda_{L^2(\Gamma)} L \in C^\circ([0,T[; \mathcal{L}_S(H^1(\Omega)'; H^r(\Omega)]) \cap C^\circ([0,T[; \mathcal{L}_S(H^r(\Omega)'; H^1(\Omega))), \\
\quad \forall r \in [0,1[
\end{array}
\right.
$$

et on peut définir :

$$
P_s(t)\phi = \int_t^s L^*(\sigma) \Lambda_{L^2(\Gamma)} L(\sigma) \phi \, d\sigma, \quad \forall \phi \in H^1(\Omega)', \quad \forall s, t \in [0, T[.
$$

on a (Hille-Phillips [1]):

$$
P_s(t) \in \mathcal{L}(H^1(\Omega)'; H^r(\Omega)) \cap \mathcal{L}(H^r(\Omega)'; H^1(\Omega)), \quad \forall s, t \in [0, T[, \forall r \in [0, 1[.
$$

D'autre part, d'après (7.17) :

$$
(P_s(t)\phi, \psi) = \int_t^s (L(\sigma)\phi, L(\sigma)\psi)_{L^2(\Gamma)} d\sigma
$$

a une limite, $\forall \phi \in H^1(\Omega')$, $\forall \psi \in L^2(\Omega)$ (resp. $\forall \phi \in L^2(\Omega)$, $\forall \psi \in H^1(\Omega)$'),

quand $s \to T$, d'où (avec un argument de compacité) :

$P_s(t)\phi$ converge dans $H^r(\Omega)'$ fort, $\forall r > 0$ (resp. dans $H^r(\Omega)$ fort, $\forall r \in [0,1[$,
$\forall \phi \in H^1(\Omega)'$ (resp. $\forall \phi \in L^2(\Omega)$).

Notant $P(t)\phi$ (resp. $\tilde{P}(t)\phi$) cette limite, on a :

$$
(7.24) \quad P(t) \in \mathcal{L}(H^1(\Omega)'; H^r(\Omega)') , \quad \forall r > 0 ; \quad \tilde{P}(t) \in \mathcal{L}(L^2(\Omega) ; H^r(\Omega)) , \quad \forall r \in [0,1[
$$
et comme :

(7.25) 	$\{P(t)\phi, \psi\} = (\tilde{P}(t)\phi, \psi) = \lim_{s \to T} \int_t^s (L(\sigma)\phi, L(\sigma)\psi)_{L^2(\Gamma)} d\sigma, \forall \phi, \psi \in L^2(\Omega)$,
on voit que $\tilde{P}(t)$ est une extension de $P(t)$, que l'on notera encore $P(t)$.
De (7.25) on déduit : $P(t) = P^*(t)$, d'où :

(7.26) 	$P(t) \in \mathcal{L}(L^2(\Omega); H^r(\Omega)) \cap \mathcal{L}(H^{1-r}(\Omega); H^1(\Omega))$, $\forall r \in [0,1[$, $\forall t \in [0,T[$$
De la définition de P on déduit :

(7.27) 	$P(t)\phi = \int_t^s L^*(\sigma)\Lambda_{L^2(\Gamma)}L(\sigma)\phi d\sigma + P(s)\phi, \forall \phi \in H^1(\Omega)'$, $\forall s,t \in [0,T[$$
et avec (7.23) il vient :

(7.28) 	$\begin{cases} P \in C^1([0,T[; \mathcal{L}_S(H^r(\Omega)';H^1(\Omega))) & \forall r \in [0,1[, \\ \frac{dP}{dt} = -L^*\Lambda_{L^2(\Gamma)}L & \text{dans } C^\circ([0,T[; \mathcal{L}_S(H^r(\Omega)';H^1(\Omega))). \end{cases}$

Enfin $\{P_s(t)\phi\}_s$ est une suite de Cauchy dans $H^r(\Omega)$, $\forall r \in [0,1[$, $\forall \phi \in L^2(\Omega)$, $\forall t \in [0,T[$, quand $s \to T$.

D'où, sachant que $P_s(t)\phi - P_\sigma(t)\phi = \int_s^\sigma L^*(\lambda)\Lambda_{L^2(\Gamma)}L(\lambda)\phi d\lambda$, il vient :

$$\lim_{s \to T} \left| \int_{s}^{\sigma} L^{*}(\lambda) \Lambda_{L^{2}(\Gamma)} L(\lambda) \phi \, d\lambda \right|_{H^{r}(\Omega)} = \lim_{s \to T} \left| P(s) \phi \right|_{H^{r}(\Omega)} = 0.$$

En posant $P(T) = 0$, on a donc :

(7.29) 	$P \in C^\circ([0,T]; \mathcal{L}_S(L^2(\Omega);H^r(\Omega)))$, $\forall r \in [0,1[$.

De (7.28), (7.29) et de la première équation (7.15) on tire :

$K(t)\phi = N^{-1}_{E} \Lambda^{-1}_{E} B^{*} P(t)\phi$, $\forall \phi \in H^1(\Omega)$, $\forall t \in [0,T]$ et (P,L) vérifie
donc (7.12).

De (7.17), (7.25) on déduit :

(7.30) 	$P \in C^1([0,T[; \mathcal{L}_W(H^1(\Omega);H^1(\Omega)'))$
et (7.28), (7.29), (7.30) entraînent (7.10), (7.17) entraînant (7.11),
l'unicité résulte alors du théorème 7.3.

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**Remarque 7.1** : On peut obtenir des résultats analogues à ceux du théorème 7.4 pour d'autres exemples avec contrôle ou observation frontières, l'opérateur A étant d'ordre 2m, etc...

**Remarque 7.2** : Les cas "frontières" sont les plus fréquents en pratique et ceux qui conduisent aux algorithmes de calcul de K, issus de la forme (7.14), les plus performants, voir sur ce sujet D. LEROY, M. SORINE [1].

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