# Intégrales Invariantes pour l'étude des milieux fissures: Revue et Verrous actuels

Loïc Chrislin NGUEDJIO <fnref n="1" />,<fnref n="2" />, Rostand MOUTOU PITTI <fnref n="1" />,<fnref n="3" /> Benoit BLAYSAT <fnref n="1" />, Pierre Kisito TALLA <fnref n="2" />, Fréderic DUBOIS <fnref n="4" />, Naman RECHO <fnref n="1" />

<footnote n="1">¹Université Clermont Auvergne, Clermont Auvergne INP, CNRS, Institut Pascal, F-63000, Clermont-Ferrand, France</footnote>

<footnote n="2">²Unité de Recherche de Mécanique et de Modélisation des Systèmes des Physiques (UR2MSP) ; Département de Physiques, Faculté des Sciences, Université de Dschang, BP 67, Dschang, Cameroun</footnote>

<footnote n="3">³CENAREST, IRT, BP14070, Libreville, Gabon</footnote>

<footnote n="4">⁴University of Limoges, GC2D, UR 14477, 19300, Egletons, France</footnote>
1. Contexte

2. Revue de la littérature sur les intégrales invariantes

3. Verrous actuels et objectifs de la thèse

4. Conclusion
MECANIQUE DE LA RUPTURE

**Approche Locale**

$$ \sigma_{ij} = \frac{K}{\sqrt{2\pi r}} f_{ij}(\theta) + \sum \alpha_m \sqrt{r} g_{ij}^{(m)}(\theta) $$

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Singularité
au front de
fissure

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Difficulté
d'évaluation
de l'énergie
restituée

**Critère de fissuration**

$$ K = K_c $$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Propagation
de la fissure

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

$$ G < G_c $$

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Fissure non
propagée

**Approche Globale**

$$ G = \frac{W_{rest}}{da} = \frac{W_{ext} - W_e}{da} $$

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Calcul de G en
utilisant les
intégrales
invariantes

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Taux de
restitution
d'énergie G
**Intégrales J et Gθ**

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Pas de possibilité
de découplage de
mode mixte

$$
J^{3D} = \int_{S_{\text{out}}} [W \cdot n_k - \sigma_{ij} \cdot n_j \cdot u_{i,k}] \cdot dS
$$

$$
-\int_{S_{CF+}} [\sigma_{ij} \cdot n_j \cdot u_{i,k}] dS + \int_{V_{out}} [\sigma_{ij}(u_{i,j})_{,k} - W_k] dV
$$

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

$$
G\theta^{3D} = \int_{S_{\text{out}}} [W \cdot \theta_{k,k} - \sigma_{ij} \cdot u_{i,k} \cdot \theta_{k,k}] \cdot dV
$$

$$
-\int_{S_{CF+}} [\sigma_{ij} \cdot u_{i,k} \cdot \theta_k] dS + \int_{V_{out}} [\sigma_{ij}(u_{i,j})_{,k} - W_k] \theta_k \cdot dV
$$

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

<figure><img src="image_13.png" /></figure>
Intégrales M et Mθ

Champs réels

$$
\epsilon_{ij}^{u} = \frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i})
$$

$$
\sigma_{ij}^{u} = \lambda \delta_{ij} u_{k,k} + \mu (u_{i,j} + u_{j,i})
$$

Absence des effets
thermo hydriques

Découplage de
mode mixte

Champs virtuels

$$
\epsilon_{ij}^{v} = \frac{1}{2}(v_{i,j} + v_{j,i})
$$

$$
\sigma_{ij}^{v} = \lambda \delta_{ij} v_{k,k} + \mu (v_{i,j} + v_{j,i})
$$

$$
\mathbf{M}^{3D} = \frac{1}{2} \int_{S_{\text{out}}} \left[ \sigma_{ij,k}^{(v)} \cdot u_i - \sigma_{ij}^{(u)} v_{i,k} \right] \cdot n_j \, dS
$$

$$
-\frac{1}{2} \int_{S_{CF+}} \left[ \left( \sigma_{ij}^{(v)} u_{i,k} + \sigma_{ij}^{(u)} v_{i,k} \right) \cdot n_j \right] dS
$$

$$
+ \frac{1}{2} \int_{V_{\text{out}}} \left[ \left( \sigma_{ij}^{(v)} u_{i,k} \right)_{,j} + \left( \sigma_{ij}^{(u)} v_{i,k} \right)_{,j} - \sigma_{ij}^{(v)} \left( u_{i,j} \right)_{,k} - \right. \\
\left. \sigma_{ij}^{(u)} \left( v_{i,j} \right)_{,k} \right] dV
$$

$$
\mathbf{M} \boldsymbol{\theta}^{3\mathbf{D}} = -\frac{1}{2} \int_V [\sigma_{ij,k}^{(v)} \cdot u_i - \sigma_{ij}^{(u)} v_{i,k}] \cdot \theta_{k,j} \, dV
$$

$$
-\frac{1}{2} \int_{S_{CF+}} \left[ \left( \sigma_{ij}^{(v)} u_{i,k} + \sigma_{ij}^{(u)} v_{i,k} \right) \cdot n_j \right] \theta_k \cdot dS
$$

$$
+ \frac{1}{2} \int_V \left[ \left( \sigma_{ij}^{(v)} u_{i,k} \right)_{,j} + \left( \sigma_{ij}^{(u)} v_{i,k} \right)_{,j} - \sigma_{ij}^{(v)} (u_{i,j})_{,k} \right. \\
\left. - \sigma_{ij}^{(u)} (v_{i,j})_{,k} \right] \theta_k \cdot dV
$$
**Intégrales T et Aθ**

$$
\begin{align*}
T^{3D} &= \frac{1}{2} \int_{S_{out}} \left[ \sigma_{ij,k}^{(v)} u_i - \sigma_{ij}^{(u)} v_{i,k} + w_{,k}^{(u)} v_i + w^{(u)} v_{i,k} + v_{i,j} \partial x_j w_{,k}^{(u)} \right] . n_j \, dS \\
&\quad - \frac{1}{2} \int_{S_{CF+}} \left[ \left( \sigma_{ij}^{(v)} u_{i,k} + (\sigma_{ij}^{(u)} - w_{ij}^{(u)}) v_{i,k} - v_{i,j} \partial x_j w_{,k}^{(u)} \right) . n_j \right] dS \\
&\quad + \frac{1}{2} \int_{V_{out}} \left[ \left( \sigma_{ij}^{(v)} u_{i,k} \right)_{,j} + \left( \sigma_{ij}^{(u)} - w_{ij}^{(u)} \right) \left( v_{i,k} - v_{i,j} \partial x_j w_{,k}^{(u)} \right)_{,j} \right. \\
&\qquad \left. - \left( v_{i,j} \partial x_j w_{,k}^{(u)} \right)_{,j} - \sigma_{ij}^{(v)} (u_{i,j})_{,k} - (\sigma_{ij}^{(u)} - w_{ij}^{(u)}) (v_{i,j})_{,k} + w_{,k}^{(u)} v_{i,j} - w_{,j}^{(u)} v_{i,k} - w_{,kj}^{(u)} v_i \right] dV
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
A\theta^{3D} ={}& -\frac{1}{2} \int_V \left[ \sigma_{ij,k}^{(v)} u_i - \sigma_{ij}^{(u)} v_{i,k} + w_{,k}^{(u)} v_i + w^{(u)} v_{i,k} + v_{i,j} \partial x_j w_{,k}^{(u)} \right] \theta_{k,j} \, dV \\
& -\frac{1}{2} \int_{S_{CF+}} \left[ \left( \sigma_{ij}^{(v)} u_{i,k} + (\sigma_{ij}^{(u)} - w_{ij}^{(u)}) v_{i,k} - v_{i,j} \partial x_j w_{,k}^{(u)} \right) . n_j \right] \theta_k \, dS \\
& + \frac{1}{2} \int_V \left[ \left( \sigma_{ij}^{(v)} u_{i,k} \right)_{,j} + \left( \sigma_{ij}^{(u)} - w_{ij}^{(u)} \right) v_{i,k} \right]_{,j} \\
& - \left( v_{i,j} \partial x_j w_{,k}^{(u)} \right)_{,j} - \sigma_{ij}^{(v)} (u_{i,j})_{,k} - (\sigma_{ij}^{(u)} - w_{ij}^{(u)}) (v_{i,j})_{,k} + w_{,k}^{(u)} v_{i,j} - w_{,j}^{(u)} v_{i,k} - w_{,kj}^{(u)} v_i \theta_k \, dV
\end{align*}
$$
# Test de faisabilité expérimentale

## Eprouvette MMCG

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

## Calcul de G Exp

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

<figure><img src="image_19.png" /></figure>
- Réécrire analytiquement les intégrales T et A en 3D

- Implémentation numérique des intégrales T et A en orthotropie

- Généralisation des intégrales invariantes M-théta et A 3D au comportement viscoélastique en utilisant les modèles rhéologiques fractionnaires

- Valider expérimentalement via la méthode LSA les méthodes analytiques et numériques
<figure><img src="image_20.png" /></figure>

Conclusion ET PERSPECTIVES

☐ Efficacité des intégrales invariantes en mécanique de la rupture avérée

☐ Evolution significative des techniques expérimentales

☐ Formulation analytique des integrals T et A

☐ Test des paramètres de diffusion Hydrique

☐ Prise en main du logiciel Castem

☐ Premières simulations éléments finis

☐ Application des modèles rhéologiques fractionnaires pour les effets viscoélastiques

☐ Prise en main des techniques LSA
Rayonnement scientifique et diffusion des travaux

Article de revue sur les intégrales invariantes: Global approaches in
wood fracture mechanics: A review of path-independent integrals
(en voie de soumission)

SEM Annual Conference 2025 (USA): Analytical generalization of
the T and A-theta integrals for the study of cracking in three-
dimensional orthotropic medium

ESMC 2025 (France): Decoupling of Mixed Crack Modes in a 3D
Orthotropic Viscoelastic Medium with the Influence of a
Moisture content Field
Merci pour votre aimable attention !!!

Les auteurs remercient le programme l'ANR et la Région
Auvergne Rhône Alpes à travers les projets WoodMob, DiamWood
et ClimBois pour le soutien accordé à ce travail
# Intégrales Invariantes pour l'étude des milieux fissures: Revue et Verrous actuels

Loïc Chrislin NGUEDJIO<fnref n="1" />,<fnref n="2" />, Rostand MOUTOU PITTI<fnref n="1" />,<fnref n="3" /> Benoit BLAYSAT<fnref n="1" />, Pierre Kisito TALLA<fnref n="2" />, Fréderic DUBOIS<fnref n="4" />, Naman RECHO<fnref n="1" />

<footnote n="1">¹Université Clermont Auvergne, Clermont Auvergne INP, CNRS, Institut Pascal, F-63000, Clermont-Ferrand, France</footnote>

<footnote n="2">²Unité de Recherche de Mécanique et de Modélisation des Systèmes des Physiques (UR2MSP) ; Département de Physiques, Faculté des Sciences, Université de Dschang, BP 67, Dschang, Cameroun</footnote>

<footnote n="3">³CENAREST, IRT, BP14070, Libreville, Gabon</footnote>

<footnote n="4">⁴University of Limoges, GC2D, UR 14477, 19300, Egletons, France</footnote>