# Application I

## Calculs d'intégrales

L'un des succès les plus apparentes de l'introduction des fonctions de variable complexe réside dans la découverte de formules explicites pour certaines intégrales définies de variable réelle. On trouvera ci-dessous un certain nombre d'exemples à cet égard. De façon générale, trois types de difficulté se présentent : le calcul des résidus et la prise en compte des singularités sur le chemin d'intégration, la détermination du comportement à l'infini, le choix et le traitement des coupures.

### I.1 Intégrales de la forme $\int_{0}^{2\pi} R(\sin t, \cos t) dt$,

On note $R$ est une fonction rationnelle, $\gamma_1$ le cercle centré à l'origine de rayon 1 parcouru dans le sens direct; on suppose que $R$ n'y a pas de pôle. On aura

$$ 
\begin{aligned}
I &= \int_{0}^{2\pi} R\left(\frac{e^{it} - e^{-it}}{2i}, \frac{e^{it} + e^{-it}}{2}\right) dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{ie^{it}} R\left(\frac{e^{it} - e^{-it}}{2i}, \frac{e^{it} + e^{-it}}{2}\right) ie^{it} dt \\
&= \int_{\gamma_1} R\left(\frac{z - 1/z}{2i}, \frac{z + 1/z}{2}\right) \frac{dz}{iz} = \frac{1}{i} \int_{\gamma_1} f(z) dz,
\end{aligned}
$$

où

$$ f(z) = \frac{1}{z} R\left(\frac{z-1/z}{2i}, \frac{z+1/z}{2}\right). $$

Si on note $\mathcal{Q}$ l'ensemble des pôles de $f(z)$ de module inférieur à 1, comme $f$ n'a pas de pôle sur $\gamma_1$, selon le théorème des résidus,

$$ I = 2\pi \sum_{p \in \mathcal{Q}} \mathrm{Res}(f(z); p). $$

### Exemple 1

Un cas simple est le suivant :

$$ 
\begin{aligned}
I &= \int_{0}^{2\pi} \frac{dt}{a + \sin t} = 2i \int_{0}^{2\pi} \frac{dt}{2ia + (e^{it} - e^{-it})} \\
&= 2 \int_{0}^{2\pi} \frac{ie^{it} dt}{2iae^{it} + (e^{2it} - 1)} = 2 \int_{\gamma_1} \frac{dz}{2iaz + (z^2 - 1)}.
\end{aligned}
$$
Supposons (par exemple) que $a > 1$, les racines de $2iaz + (z^2 - 1)$ sont données par

$$p^{\pm} = -ia \pm i\sqrt{a^2-1},$$

dont seule $p^+$ appartient au disque unité car $a-1 < \sqrt{a^2-1} < a$. Calculons le résidu en ce point : d'après

<figure><img src="image_161.png" /></figure>

la formule (7.5),

$$\mathrm{Res} \left( \frac{1}{2iaz + (z^2 - 1)}; p^+ \right) = \frac{1}{2ia + 2p^+} = \frac{1}{2i\sqrt{a^2-1}},$$

d'où

$$I = 4i\pi \mathrm{Res} \left( \frac{1}{2iaz + (z^2 - 1)}; p^+ \right) = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}.$$

## 1.2 Intégrales de la forme $\int_{-\infty}^{+\infty} R(x) dx$

Soit $R$ une fonction rationnelle sans pôle réel, intégrable sur $\mathbb{R}$. On calcule

$$I = \int_{-\infty}^{+\infty} R(x) dx = \lim_{r \to \infty} \int_{-r}^{+r} R(x) dx.$$

On note $a$ le point $(r, 0)$ et $\sigma_a$ le segment qui relie $-a$ à $a$ parcouru dans le sens des réels croissants. On note également $\delta_r^+$ le demi-cercle de diamètre $\sigma_a$ situé dans le demi-plan des imaginaires positifs et parcouru dans le sens direct. On note enfin $\delta_r^-$ le demi-cercle analogue situé dans le demi-plan des imaginaires négatifs, parcouru dans le sens rétrograde. En notant $\mathcal{P}$ l'ensemble des pôles de $R$ et

$$\mathcal{Q}_r^{\pm} = \{p \in \mathcal{P} \mid |p| < r, \pm \Im p > 0\},$$

on aura

$$\int_{\sigma_a \cup \delta_r^{\pm}} R(z) dz = \pm 2i\pi \sum_{p \in \mathcal{Q}_r^{\pm}} \mathrm{Res} (R(z); p)$$

d'où

$$I = \lim_{r \to \infty} \left( \pm 2i\pi \sum_{p \in \mathcal{Q}_r^{\pm}} \mathrm{Res} (R(z); p) - \int_{\delta_r^{\pm}} R(z) dz \right).$$

On suppose alors qu'il est possible de choisir $\eta = \pm$ de telle sorte que

$$\lim_{r \to \infty} \int_{\delta_r^{\eta}} R(z) dz = 0,$$

dans ces conditions on aura

$$I = 2i\pi\eta \lim_{r \to \infty} \sum_{p \in \mathcal{Q}_r^{\eta}} \mathrm{Res} (R(z); p).$$
Le lemme suivant qui découle immédiatement du théorème de convergence dominée fournit en particulier des conditions suffisantes à cet effet :

LEMME I.1 Si les fonctions $F_r(\theta) : \theta \to r |f(re^{i\theta})|$ sont majorées uniformément par une fonction intégrable sur $]\theta_1, \theta_2[$ et si $F_r(\theta) \to 0$ quand $r \to \infty$ pour presque tout $\theta \in ]\theta_1, \theta_2[$, alors

$$ \lim_{r \to \infty} \int_{\gamma_r^{\theta_1, \theta_2}} f(z) dz = 0, $$

où $\gamma_r^{\theta_1, \theta_2}$ est l'arc de cercle de rayon $r$ dans le secteur limité par les angles $\theta_1$ et $\theta_2$.

Il existe bien entendu un lemme analogue pour $r \to 0$.

Exemple 2

Calculons

$$ J = \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^6} = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^6}. $$

Les pôles sont les $p_j = e^{i\pi(1+2j)/6}$, $j = 0, 5$, dont les trois premiers sont de partie imaginaire positive et on a

$$ \operatorname{Res} \left( \frac{1}{1+z^6}; p_j \right) = \frac{1}{6p_j^5} = \frac{1}{6} \frac{p_j}{p_j^6} = -\frac{p_j}{6}. $$

Choisissons alors $\delta_r^+$, on aura

$$ \int_{\delta_r^+} \frac{dz}{1+z^6} = \int_0^\pi \frac{ire^{it}}{1+r^6e^{6it}} dt \to 0 \text{ quand } r \to \infty, $$

d'où

$$ \begin{align*} J &= -\frac{i\pi}{6} \sum_{k=0,2} p_k = -\frac{i\pi}{6} \left( e^{i\pi/6} + e^{i\pi/2} + e^{5i\pi/6} \right) = -\frac{i\pi}{6} \left( e^{i\pi/6} + i - e^{-i\pi/6} \right) \\ &= \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \left( \frac{e^{i\pi/6} - e^{-i\pi/6}}{2i} \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}. \end{align*} $$

Notons qu'on aurait pu indifféremment choisir $\delta_r^-$.

<figure><img src="image_162.png" /><figcaption>FIGURE I.1 – Exemple 2</figcaption></figure>
Exemple 3

Considérons maintenant l'intégrale

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+1)^3} = 2i\pi \lim_{r \to \infty} \sum_{p \in \mathbb{Q}_r} \mathrm{Res} \left( \frac{1}{(z^2+1)^3}; p \right);
$$

Ici l'unique pôle de partie imaginaire positive est situé en z = i, mais c'est un pôle d'ordre 3, ce qui oblige
à effectuer un développement en série de Laurent au voisinage de 0 pour la variable w = z - i.

$$
\begin{align*}
\frac{1}{(z^2 + 1)^3} &= \frac{1}{((w+i)^2 + 1)^3} = \frac{1}{(w^2 + 2wi)^3} \\
&= \frac{1}{w^3 (w + 2i)^3} = -\frac{1}{8iw^3} \left(1 + \frac{w}{2i}\right)^{-3} = \frac{i}{8w^3} \left(1 - 3\frac{w}{2i} - 3\frac{w^2}{2} + o(w^2)\right),
\end{align*}
$$

d'où

$$
\mathrm{Res} \left( \frac{1}{(z^2 + 1)^3}; i \right) = -\frac{3i}{16} \quad \text{et finalement} \quad \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)^3} = \frac{3\pi}{8}.
$$

On peut également déterminer le résidu à l'aide de la formule (7.6) :

$$
\frac{1}{2} \left( \frac{(z-i)^3}{(z^2+i)^3} \right)^{(2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(z+i)^3} \right)^{(2)} = \frac{-3}{2} \left( \frac{1}{(z+i)^4} \right)' = \frac{12}{2} \left( \frac{1}{(z+i)^5} \right)
$$

d'où

$$
\mathrm{Res} \left( \frac{1}{(z^2 + 1)^3}; i \right) = \frac{12}{2} \left( \frac{1}{(2i)^5} \right) = \frac{6}{32} \left( \frac{1}{i} \right) = -\frac{3i}{16}
$$

I.3 Intégrales de la forme $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{ix} dx$

Le théorème de convergence dominée peut être insuffisant pour réaliser le passage à la limite relatif
à la portion de contour tendant vers l'infini. Un résultat particulièrement utile à cet égard est le suivant :

LEMME 1.2 (de Jordan) Si $f$ est holomorphe dans le demi-plan des complexes de partie imaginaire positive,
$\lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0$ et $a > 0$, alors

<figure><img src="image_163.png" /></figure>

$$
\lim_{r \to \infty} \int_{\gamma_r^+} f(z) e^{iaz} dz = 0, \text{ où } \gamma_r^+(t) = re^{it}, t = 0, \pi.
$$

DÉMONSTRATION. Remarquons tout d'abord que

$$
\left| \int_{\gamma_r^+} f(z) e^{iaz} dz \right| \le \int_{\gamma_r^+} |f(z)| |e^{iaz}| |dz| = \int_{\gamma_r^+} |f(z)| e^{-a \Im z} |dz|,
$$

soit

$$
\left| \int_{\gamma_r^+} f(z) e^{iaz} dz \right| \le 2 \sup_{t \in [0, \pi]} |f(re^{it})| \int_0^{\pi/2} e^{-ar \sin t} r dt,
$$

mais $\sin t$ est convexe sur $[0, \pi/2]$, et par conséquent $\sin t \ge 2t/\pi$, d'où

$$
\int_0^{\pi/2} e^{-ar \sin t} r dt \le \int_0^{\pi/2} e^{-2art/\pi} r dt = \frac{\pi}{2a} \int_0^{ra} e^{-u} du = \frac{\pi}{2a} (1 - e^{-ra}) \le \frac{\pi}{2a}. \quad (1.1)
$$

Q.E.D.
Exemple 4

$$
\begin{align*}
\int_0^\infty \frac{\cos x}{x^2+1} dx &= \frac{1}{2} \Re \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix}}{x^2+1} dx = \frac{1}{2} \Re \lim_{r \to \infty} \int_{-r}^{+r} \frac{e^{ix}}{x^2+1} dx \\
&= \Re \left( i \pi \operatorname{Res} \left( \frac{e^{iz}}{z^2+1}; i \right) \right).
\end{align*}
$$

Or

$$
\operatorname{Res} \left( \frac{e^{iz}}{z^2+1}; i \right) = \frac{1}{2ie}, \text{ d'où } \int_{0}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2+1} dx = \frac{\pi}{2e}.
$$

Exemple 5

Pour $0 < \lambda < 1$, calculons

$$
\int_0^\infty x^{\lambda-1} e^{ix} dx,
$$

et notons

$$
\begin{align*}
\gamma_1(t) &= t, \quad t \in [r, R], \text{ et } \gamma_2(t) = R e^{it}, \quad t \in [0, \pi/2] \\
\gamma_3(t) &= -it, \quad t \in [-R, -r] \text{ ainsi que } \gamma_4(t) = r e^{i(\pi/2-t)}, \quad t \in [0, \pi/2].
\end{align*}
$$

En choisissant la détermination principale du logarithme (voir la formule (8.9)), la fonction $z^{\lambda-1}e^{iz}$ possède une coupure le long de l'axe réel négatif, et comme elle n'a pas de pôle, on aura

$$
\int_{\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup \gamma_3 \cup \gamma_4} z^{\lambda-1} e^{iz} dz = 0,
$$

avec

$$
\begin{align*}
\int_{\gamma_1} z^{\lambda-1} e^{iz} dz &= \int_r^R t^{\lambda-1} e^{it} dt \\
\int_{\gamma_3} z^{\lambda-1} e^{iz} dz &= \int_{\gamma_3} e^{(\lambda-1)\operatorname{Log}z} e^{iz} dz = -i \int_{-R}^{-r} e^{(\lambda-1)(\operatorname{Log}|t|+i\pi/2)} e^t dt \\
&= -i \int_r^R e^{(\lambda-1)(\operatorname{Log}s+i\pi/2)} e^{-s} ds = -ie^{i(\lambda-1)\pi/2} \int_r^S s^{\lambda-1} e^{-s} ds \\
&= -e^{\lambda i \pi/2} \int_r^S s^{\lambda-1} e^{-s} ds,
\end{align*}
$$

Or quand $r \to 0$ et $R \to \infty$,

$$
\begin{align*}
\lim_{\gamma_1} \int z^{\lambda-1} e^{iz} dz &= \int_0^\infty t^{\lambda-1} e^{it} dt \\
\lim_{\gamma_3} \int z^{\lambda-1} e^{iz} dz &= -e^{\lambda i \pi / 2} \int_0^\infty s^{\lambda-1} e^{-s} ds \\
\lim_{\gamma_2} \int z^{\lambda-1} e^{iz} dz &= \lim_{\gamma_4} \int z^{\lambda-1} e^{iz} dz = 0,
\end{align*}
$$
d'où

$$ \int_{0}^{\infty} x^{\lambda-1} e^{ix} dx = e^{\lambda i \pi / 2} \int_{0}^{\infty} s^{\lambda-1} e^{-s} ds = e^{\lambda i \pi / 2} \Gamma(\lambda). $$

<figure><img src="image_164.png" /><figcaption>FIGURE I.2 – Exemple 5</figcaption></figure>

Exemple 6

$$ \begin{align*} \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx &= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{1}{4i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{x} dx \\ &= \frac{1}{4i} \lim_{r \to 0} \left( \int_{-\infty}^{-r} \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{x} dx + \int_{r}^{+\infty} \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{x} dx \right) \\ &= \frac{1}{4i} \lim_{r \to 0} \left( \int_{-\infty}^{-r} \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{x} dx + \int_{r}^{+\infty} \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{x} dx \right) \\ &= \frac{1}{2i} \lim_{r \to 0} \left( \int_{-\infty}^{-r} \frac{e^{ix}}{x} dx + \int_{r}^{+\infty} \frac{e^{ix}}{x} dx \right), \end{align*} $$

on pose

$$ \gamma_1(t) = t, \ t \in [r, R] \text{ et } \gamma_2(t) = R e^{it}, \ t \in [0, \pi] $$

$$ \gamma_3(t) = t, \ t \in [-R, -r] \text{ ainsi que } \gamma_4(t) = r e^{i(\pi-t)}, \ t \in [0, \pi], \text{ et} $$

$$ \gamma_5(t) = r e^{i(\pi-t)}, \ t \in [0, 2\pi], $$

et on aura

$$ \int_{\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup \gamma_3 \cup \gamma_4} \frac{e^{iz}}{z} dz = 0, $$

d'où, en vertu du lemme de Jordan I.2,

$$ \begin{align*} \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx &= \lim_{r \to 0, R \to \infty} \frac{1}{2i} \int_{\gamma_1 \cup \gamma_3} \frac{e^{iz}}{z} dz = -\frac{1}{2i} \lim_{R \to \infty} \int_{\gamma_2} \frac{e^{iz}}{z} dz - \frac{1}{2i} \lim_{r \to 0} \int_{\gamma_4} \frac{e^{iz}}{z} dz \\ &= -\frac{1}{2i} \lim_{r \to 0} \int_{\gamma_4} \frac{e^{iz}}{z} dz. \end{align*} $$

Par ailleurs, la fonction

$$ g(z) = \frac{e^{iz}}{z} - \frac{1}{z} = \sum_{n \ge 1} \frac{i^n z^{n-1}}{n!}, $$
est bornée (et même holomorphe) d'où

$$ \lim_{r \to 0} \int_{\gamma_4} \frac{e^{iz}}{z} dz = \lim_{r \to 0} \int_{\gamma_4} \frac{1}{z} dz, \text{ et comme } -2i\pi = \int_{\gamma_5} \frac{1}{z} dz = 2 \int_{\gamma_4} \frac{1}{z} dz, $$

en vertu de la formule du changement de variable (4.11), on aura

$$ \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}. $$

<figure><img src="image_165.png" /><figcaption>FIGURE I.3 – Exemple 6</figcaption></figure>

### Exemple 7

Soit à calculer

$$ I = -\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{tZ}}{t - \nu} dt, $$

avec $\Re \nu > 0$, $\Im \nu > 0$, $\Re Z < 0$, $\Im Z > 0$. On pose

$$ \gamma_1(t) = t, \quad t = 0, \text{ R et } \gamma_2(\tau) = R e^{i\tau}, \quad \tau = 0, \theta \text{ ainsi que } \gamma_3(t) = -te^{i\theta}, \quad t = -\text{R}, 0, $$

où

$$ 0 < \theta < \pi/2, \quad \operatorname{tg} \theta > \Im \nu / \Re \nu, \quad R > |\nu| $$

On aura

$$ \int_{\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup \gamma_3} \frac{e^{\zeta Z}}{\zeta - \nu} d\zeta = 2i\pi \operatorname{Res} \left( \frac{e^{\zeta Z}}{\zeta - \nu}; \nu \right) = 2i\pi e^{\nu Z} $$

ainsi que

$$ \int_{\gamma_1} \frac{e^{\zeta Z}}{\zeta - \nu} d\zeta = \int_0^R \frac{e^{tZ}}{t - \nu} d\zeta $$

$$ \int_{\gamma_2} \frac{e^{\zeta Z}}{\zeta - \nu} d\zeta = i \int_0^\theta \frac{\operatorname{Re} R e^{i\tau Z}}{R e^{i\tau} - \nu} e^{i\tau} d\tau \to 0 \quad \text{car } \Im Z > 0 $$

$$ \int_{\gamma_3} \frac{e^{\zeta Z}}{\zeta - \nu} d\zeta = -e^{i\theta} \int_{-R}^{0} \frac{e^{-te^{i\theta}Z}}{-te^{i\theta} - \nu} dt = -e^{i\theta} \int_{0}^{R} \frac{e^{se^{i\theta}Z}}{se^{i\theta} - \nu} sds, $$
et par conséquent

$$
\begin{align*}
I &= -\frac{1}{2\pi} \int_0^\infty \frac{e^{tZ}}{t-\nu} dt = -\frac{1}{2\pi} \lim_{R\to\infty} \int_{\gamma_1} \frac{e^{-tZ}}{\zeta-\nu} d\zeta \\
  &= \frac{1}{2\pi} \lim_{R\to\infty} \int_{\gamma_3} \frac{e^{\zeta Z}}{\zeta-\nu} d\zeta - i e^{\nu Z} \\
  &= -\frac{e^{i\theta}}{2\pi} \int_0^\infty \frac{e^{se^{i\theta}Z}}{se^{i\theta}-\nu} sds - i e^{\nu Z}.
\end{align*}
$$

<figure><img src="image_166.png" /><figcaption>FIGURE I.4 – Exemple 7</figcaption></figure>

I.4 La formule de Gauss $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

On pose $\alpha = \sqrt{\pi i}$ et $g(z) = e^{-z^2 / (1 + e^{-2\alpha z})}$, on aura

$$
g(z + \alpha) = \frac{e^{-(z+\alpha)^2}}{1 + e^{-2\alpha(z+\alpha)}} = \frac{e^{-(z+\alpha)^2}}{1 + e^{-2\alpha z}} = -\frac{e^{-z^2} e^{-2\alpha z}}{1 + e^{-2\alpha z}} = -e^{-2\alpha z} g(z),
$$

d'où

$$
g(z) - g(z + \alpha) = e^{-z^2}.
$$

La fonction g posséde des pôles simples aux points $a_k$ vérifiant $-2\alpha a_k = -i\pi(1+2k)$, soit $a_k = i\pi(1+2k)/2\alpha = \alpha(1+2k)/2$.

Posons alors $Z_1 = r, Z_2 = \alpha+r, Z_3 = \alpha-r$, et $Z_4 = -r$, et intégrons g sur le cycle $\gamma = \sigma_1 \vee \sigma_2 \vee \sigma_3 \vee \sigma_4$,
où

$$
\begin{align*}
\sigma_1(t) &= t, \quad t \in [-r, r] \\
\sigma_2(t) &= r + t\alpha, \quad t \in [0, 1] \\
\sigma_3(t) &= -t + \alpha, \quad t \in [-r, r] \\
\sigma_4(t) &= -r + (1-t)\alpha, \quad t \in [0, 1]
\end{align*}
$$

On aura

$$
\begin{align*}
\mathrm{Res}(g; a_0) &= \frac{e^{-a_0^2}}{-2\alpha e^{-2\alpha a_0}} = \frac{e^{-\alpha^2/4}}{-2\alpha e^{-\alpha^2}} = -\frac{e^{3i\pi/4}}{2\sqrt{\pi i}} \\
&= -\frac{(\sqrt{i})^3}{2\sqrt{\pi i}} = -\frac{i}{2\sqrt{\pi}}
\end{align*}
$$
<figure><img src="image_167.png" /><figcaption>FIGURE I.5 – La Formule de Gauss</figcaption></figure>

d'où

$$
\int_{\gamma} g(z) dz = 2i\pi \operatorname{Res}(g; a_0) = \sqrt{\pi}
$$

Par ailleurs

$$
\int_{\sigma_3} g(z) dz = - \int_{\sigma_1} g(z + \alpha) dz = - \int_{\sigma_1} g(z) dz + \int_{\sigma_1} e^{-z^2} dz
$$

et

$$
\lim_{r \to \infty} \int_{\sigma_2} g(z) dz = \lim_{r \to \infty} \int_{\sigma_4} g(z) dz = 0
$$

Il en résulte que

$$
\sqrt{\pi} = \int_{\sigma_1} e^{-z^2} dz = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx.
$$

I.5 Fonctions présentant des coupures

On veut calculer

$$
I = \int_{-a}^{a} \frac{1}{\sqrt{x+a}\sqrt{a-x}} dx
$$

Pour $|\theta| < \pi$, on pose $z = \rho e^{i\theta}$ et $\sqrt{z+a} = \sqrt{\rho^{-}e^{i\theta^{-}/2}}$ où $z = \rho^{-}e^{i\theta^{-}} - a$ et $\sqrt{z-a} = \sqrt{\rho^{+}e^{i\theta^{+}/2}}$ où $z = \rho^{+}e^{i\theta^{+}} + a$. Pour $-a < \Re z < a$, on aura donc (formule (8.10) et figures 8.8, 8.9 et 8.10)

$$
\lim_{\mathfrak{J}m\mathfrak{z}\to 0^+} f(z) = i\sqrt{x+a}\sqrt{a-x} \quad \text{et} \quad \lim_{\mathfrak{J}m\mathfrak{z}\to 0^-} f(z) = -i\sqrt{x+a}\sqrt{a-x}.
$$

Si on note alors $J_R$ l'intégrale de $g(z) = 1/f(z)$ sur le cercle de rayon $R > a$ parcouru dans le sens direct, en vertu du théorème de Cauchy on aura

$0 = J_R + 2iI$

Pour calculer $J_R$, on utilisera le résidu à l'infini, soit en fait le résidu en 0 de

$$
\underline{g}(z) = -\frac{1}{z^2} \frac{1}{\sqrt{1/z+a}\sqrt{1/z-a}}.
$$

Il est clair que $zg(z)$ est borné en 0, d'où

$$
\mathrm{Res}_{(g,0)} = \lim_{z \to 0} -\frac{1}{z} \frac{1}{\sqrt{1/z+a}\sqrt{1/z-a}}
$$
et comme $\lim_{z \to 0} \sqrt{\rho} \sqrt{1/z + a} = e^{-i\theta/2} = \lim_{z \to 0} \sqrt{\rho} \sqrt{1/z - a}$, il en résulte que

$$ \mathrm{Res}_{(g,0)} = -1. $$

Finalement on obtient donc

$$ 0 = -2i\pi + 2iI \quad \text{soit} \quad I = \pi. $$
# Application II

## La méthode du col

Le théorème de Cauchy est à l'origine d'une technique puissante pour obtenir des développements asymptotiques de certaines intégrales. Plus précisément on cherche un développement asymptotique lorsque $t \to +\infty$, de

$$ \int_{\gamma} g(z) e^{th(z)} dz, \qquad (II.1) $$

où $\Omega$ est un ouvert simplement connexe, $\gamma$ un chemin dont les extrémités sont fixées et l'image située dans $\Omega$, $g$ et $h$ sont des fonctions analytiques dans $\Omega$. L'idée essentielle consiste à choisir au mieux le chemin $\gamma$ dont en fait l'intégrale ne dépend pas. On commence par traiter le cas où $\gamma$ est un segment de l'axe réel, $g$ et $h$ étant à valeurs réelles.

### II.1 Variable réelle : la méthode de Laplace

#### II.1.1 Un premier exemple

Il s'agit de déterminer la partie principale quand $t \to +\infty$ de l'intégrale

$$ J(t) = \int_{0}^{b} x^{\nu} e^{-tcx^{\mu}} dx, \qquad (II.2) $$

où $\nu > -1$, $\mu > 0$, $c > 0$ et $b > 0$, éventuellement égal à $+\infty$. Il est clair que l'intégrand tend vers 0 quand $t \to +\infty$ en tout point $x \neq 0$, et que c'est au voisinage de $x = 0$ que cette convergence est la plus lente. L'idée consiste alors à dilater le voisinage de 0 en posant $u = \text{ctx}^{\mu}$, quitte à repousser à l'infini la borne supérieure de l'intégrale. On aura donc

$$ J(t) = \int_{0}^{b} x^{\nu} e^{-c\text{tx}^{\mu}} dx = \frac{(ct)^{-(1+\nu)/\mu}}{\mu} \int_{0}^{c\text{tb}^{\mu}} u^{-1+(1+\nu)/\mu} e^{-u} du, $$

$$ \text{car } x = (u/ct)^{1/\mu} \text{ et } du = \mu \text{ctx}^{\mu-1} dx. $$

Quand $t \to +\infty$, on a

$$ \int_{0}^{c\text{tb}^{\mu}} u^{-1+(1+\nu)/\mu} e^{-u} du \to \int_{0}^{+\infty} u^{-1+(1+\nu)/\mu} e^{-u} du = \Gamma\left(\frac{1+\nu}{\mu}\right) $$

et par conséquent

$$ J(t) \sim \frac{(ct)^{-(1+\nu)/\mu}}{\mu} \Gamma\left(\frac{1+\nu}{\mu}\right) \qquad (II.3) $$
II.1.2 Plus généralement

Considérons maintenant l'intégrale suivante :

$$
I(t) = \int_{0}^{b} g(x) e^{th(x)} dx, \qquad (II.4)
$$

avec, au voisinage de 0, $g(x) \sim Ax^\nu$ et $h(x) \sim -cx^\mu$. De façon naïve, si on remplace l'intégrand par un équivalent en 0, d'après le calcul qui précède, on obtient

$$
I(t) \sim \int_{0}^{b} Ax^{\nu} e^{-txx^{\mu}} dx \sim \frac{A}{\mu} (ct)^{-(1+\nu)/\mu} \Gamma\left(\frac{1+\nu}{\mu}\right),
$$

une réelle démonstration demande par contre quelques précautions. Pour fixer les idées supposons $A > 0$.

(i) Supposons *h décroissante* dans un voisinage de 0 dans $\mathbb{R}^+$ : $0 \le x \le \delta_0$, puis *inférieure à h(δ₀)* pour $x \ge \delta_0$ (voir la figure II.1)

<figure><img src="image_168.png" /><figcaption>FIGURE II.1 – La fonction h</figcaption></figure>

et posons

$$
\varphi(t) = \frac{A}{\mu} (ct)^{-(1+\nu)/\mu} \Gamma\left(\frac{1+\nu}{\mu}\right);
$$

nous allons montrer que $I(t) \sim \varphi(t)$.

(ii) Fixons à cet effet $\varepsilon$ tel que $2 > \varepsilon > 0$ et commençons par démontrer l'existence de $\delta \in ]0, \delta_0]$ tel que

$$
\left(1 - \frac{\varepsilon}{2}\right) \varphi(t) \le \int_{0}^{\delta} g(x) e^{th(x)} dx \le \left(1 + \frac{\varepsilon}{2}\right) \varphi(t) \quad (II.5)
$$

dès que $t$ est assez grand.

(iii) Pour chaque $\lambda$ dans $]0, 1[$, en vertu des hypothèses relatives à $g$ et $h$, il existe un nombre $\delta(\lambda)$ tel que

$$
\begin{align}
A(1-\lambda)x^{\nu} &\le g(x) \le A(1+\lambda)x^{\nu} \tag{II.6} \\
-c(1+\lambda)x^{\mu} &\le h(x) \le -c(1-\lambda)x^{\mu} \nonumber
\end{align}
$$

dès que $0 < x < \delta(\lambda)$. Comme la fonction $\lambda \to (1-\lambda)(1+\lambda)^{-(1+\nu)/\mu}$ est décroissante de 1 à 0 pour $0 < \lambda < 1$, et la fonction $\lambda \to (1+\lambda)(1-\lambda)^{-(1+\nu)/\mu}$ croissante de 1 à $+\infty$ pour $0 < \lambda < 1$, on peut choisir $\lambda$ assez petit pour que

$$
(1 - \lambda)(1 + \lambda)^{-(1+\nu)/\mu} \ge \sqrt{1 - \frac{\epsilon}{2}} \quad \text{et} \quad (1 + \lambda)(1 - \lambda)^{-(1+\nu)/\mu} \le \sqrt{1 + \frac{\epsilon}{2}}. \qquad (II.7)
$$
(iv) On fixe maintenant $\lambda$ et on pose $\delta = \min(\delta(\lambda), \delta_0)$, alors selon (II.6)

$$A(1-\lambda) \int_{0}^{\delta} x^{\nu} e^{-c(1+\lambda)tx^{\mu}} dx \le \int_{0}^{\delta} g(x) e^{th(x)} dx \le A(1+\lambda) \int_{0}^{\delta} x^{\nu} e^{-c(1-\lambda)tx^{\mu}} dx$$

D'après (II.3), on aura

$$A(1-\lambda) \int_{0}^{\delta} x^{\nu} e^{-c(1+\lambda)tx^{\mu}} dx \sim (1-\lambda)(1+\lambda)^{-(1+\nu)/\mu} \varphi(t)$$

$$A(1+\lambda) \int_{0}^{\delta} x^{\nu} e^{-c(1+\lambda)tx^{\mu}} dx \sim (1+\lambda)(1-\lambda)^{-(1+\nu)/\mu} \varphi(t)$$

et par conséquent pout $t$ assez grand, disons $t \ge t_1$,

$$A \int_{0}^{\delta} x^{\nu} e^{-c(1+\lambda)tx^{\mu}} dx \ge (1-\lambda)(1+\lambda)^{-(1+\nu)/\mu} \varphi(t) \ge \sqrt{1-\frac{\epsilon}{2}} \varphi(t)$$

$$A \int_{0}^{\delta} x^{\nu} e^{-c(1-\lambda)tx^{\mu}} dx \le (1+\lambda)(1-\lambda)^{-(1+\nu)/\mu} \varphi(t) \le \sqrt{1+\frac{\epsilon}{2}} \varphi(t)$$

or d'après (II.10),

$$(1-\lambda) \ge \sqrt{1-\frac{\epsilon}{2}} \text{ et } (1+\lambda) \le \sqrt{1+\frac{\epsilon}{2}}$$

et par conséquent

$$\begin{aligned} \left(1 - \frac{\epsilon}{2}\right) \varphi(t) &\le A(1-\lambda) \int_{0}^{\delta} x^{\nu} e^{-c(1+\lambda)tx^{\mu}} dx \\ &\le \int_{0}^{\delta} g(x) e^{th(x)} dx \le A(1+\lambda) \int_{0}^{\delta} x^{\nu} e^{-c(1+\lambda)tx^{\mu}} dx \le \left(1 + \frac{\epsilon}{2}\right) \varphi(t) \end{aligned}$$

soit

$$\int_{0}^{\delta} g(x) e^{th(x)} dx \sim \varphi(t) \qquad (II.8)$$

(v) On note $h(\delta) = -\theta < 0$, selon l'hypothèse relative à $h$, $h(x) \le -\theta$ pour $x \ge \delta$, d'où pour $t \ge 1$, $(t-1)(h(x)+\theta) \le 0$, soit encore

$$th(x) \le h(x) + (1-t)\theta \le 0$$

On aura donc

$$\begin{aligned} \left| \int_{\delta}^{b} g(x) e^{th(x)} dx \right| &\le \int_{\delta}^{b} |g(x)| e^{th(x)} dx && (II.9) \\ &\le \int_{\delta}^{b} |g(x)| e^{h(x)+(1-t)\theta} dx = e^{(1-t)\theta} \int_{\delta}^{b} |g(x)| e^{h(x)} dx, \end{aligned}$$

terme négligeable devant $\varphi(t)$ pour $t$ assez grand.

(vi) Il résulte donc de (II.8) et (II.9) que

$$I(t) = \int_{0}^{b} g(x) e^{th(x)} dx \sim \varphi(t) = \frac{A}{\mu} (ct)^{-(1+\nu)/\mu} \Gamma\left(\frac{1+\nu}{\mu}\right) \qquad (II.10)$$

dès que $g(x) \sim Ax^{\nu}$ et $h(x) \sim -cx^{\mu}$.
II.1.3 Cas particulier

Pour $\mu = 2$ et $\nu = 0$, si $h$ se développe en série entière au voisinage de 0,

$$
I(t) \sim \frac{A}{2}(ct)^{-1/2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{A}{2}(ct)^{-1/2} \sqrt{\pi} = \frac{A}{2}\sqrt{\frac{\pi}{-tc}} = \frac{A}{2}\sqrt{\frac{2\pi}{-th''(0)}} \quad (II.11)
$$

$$
car h''(0) = -2c.
$$

II.2 Variable complexe : la méthode du col

On cherche maintenant à déterminer la partie principale de

$$
\int_{\gamma} g(z) e^{th(z)} dz, \quad t \to +\infty. \qquad (II.12)
$$

De même que précédemment, c'est lorsque $\Re h(z)$ est maximum que l'intégrand contribue le plus si-
gnificativement au résultat. On va utiliser le théorème de Cauchy de façon à chercher un chemin $\gamma'$
particulièrement favorable susceptible de remplacer $\gamma$. Notons qu'en vertu du principe du maximum (re-
marque 6.4), $|\Re h(z)|$ ne peut présenter de maximum local dans $\Omega$, on doit donc bien comprendre qu'il
s'agit d'un maximum le long de $\gamma$ (ou de $\gamma'$).

II.2.1 Application de la méthode de Laplace

Dans un premier temps on supposera que $\gamma$ constitue un chemin adéquat, c'est-à-dire que $\Re h(z)$ est maximum en son origine. Par translation on peut toujours se ramener au cas où l'origine de $\gamma$ est le point $z=0 : \gamma(0) = 0$. Au voisinage de l'origine, $g$ et $h$ se développent en série entière, on notera $g(z) \sim Az^n$ et $h(z) \sim a + cz^m$ ou plus précisément $h(z) = a + cz^m + z^{m+1}\psi(z)$ où $\psi$ est analytique, $c = \rho e^{i\alpha} \neq 0$, $n$ est un entier positif et $m$ un entier $\ge 1$. Comme $a$ n'intervient dans le résultat que comme un facteur multiplicatif, nous le supposerons désormais nul, nous réservant de le rétablir dans la formule finale.

(i) Commençons par étudier $\Re cz^m$ au voisinage de l'origine. Avec $z = ue^{i\theta}$ on aura $cz^m = u\rho e^{i(\alpha+m\theta)}$ d'où il résulte que

$$
\Re cz^m \le 0 \text{ pour } \frac{\pi}{2} + 2k\pi \le \alpha + m\theta \le 3\frac{\pi}{2} + 2k\pi
$$

$$
\Re cz^m \ge 0 \text{ pour } -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \le \alpha + m\theta \le \frac{\pi}{2} + 2k\pi
$$

$k = 0, m - 1$, soit encore

$$
\Re cz^m \le 0 \text{ pour } -\frac{\pi}{2m} \le \frac{\alpha - (2k+1)\pi}{m} + \theta \le \frac{\pi}{2m}
$$

$$
\Re cz^m \ge 0 \text{ pour } -\frac{\pi}{2m} \le \frac{\alpha - 2k\pi}{m} + \theta \le \frac{\pi}{2m}
$$

On note

$$
S_k = \left\{ \theta \left| -\frac{\pi}{2m} \le \frac{\alpha - (2k+1)\pi}{m} + \theta \le \frac{\pi}{2m} \right. \right\} \qquad (II.13)
$$

$$
S'_{k} = \left\{ \theta \left| -\frac{\pi}{2m} \le \frac{\alpha - 2k\pi}{m} + \theta \le \frac{\pi}{2m} \right. \right\}.
$$
En $z = 0$ la fonction $cz^m$ s'annule et le long d'un chemin tracé dans l'un des $S_k$ y est maximale en module, tandis qu'elle minimale dans l'un des $S'_k$.

L'idée consiste à déformer le chemin au voisinage de l'origine de telle sorte qu'il emprunte la bissectrice $\delta_k$ de l'un des $S_k$, et par conséquent que l'origine se trouve être le maximum de $\Re cz^m$ le long de $\delta_k$ (voir la Figure II.2 où $m = 3$). Le choix de $k$ sera fixé en fonction de la direction dans laquelle $\gamma$ s'éloigne de l'origine. On posera

$$ \omega_k = \frac{(2k + 1)\pi - \alpha}{m}, \qquad (II.14) $$

c'est l'angle de la bissectrice du secteur $S_k$.

<figure><img src="image_169.png" /><figcaption>FIGURE II.2 – $\delta_k$ au voisinage de l'origine</figcaption></figure>

(ii) Commençons par étudier le voisinage de l'origine où l'on déformera le chemin $\gamma(s)$ selon le chemin rectiligne $\delta_k(s) = e^{i\omega_k s} = [0, q]$, où $\omega_k = ((2k + 1)\pi - \alpha)/m$. on aura

$$ \int_{\delta_k} g(z) e^{th(z)} dz = \int_0^{s_k} g(e^{i\omega_k s}) e^{th(e^{i\omega_k s})} e^{i\omega_k} ds = e^{i\omega_k} \int_0^{s_k} g(e^{i\omega_k s}) e^{th(e^{i\omega_k s})} ds, $$
avec

$$
\begin{align*}
h(e^{i\omega_k s}) &= \rho e^{i\alpha} (e^{i\omega_k s})^m + (e^{i\omega_k s})^{m+1} \psi(e^{i\omega_k s}) \\
&= \rho (e^{i(m\omega_k + \alpha)s^m}) + (e^{i\omega_k s})^{m+1} \psi(e^{i\omega_k s}) \\
&= -\rho s^m + (e^{i\omega_k s})^{m+1} \psi(e^{i\omega_k s}) \\
&= -\rho s^m F_k(s),
\end{align*}
$$

où

$$
F_k(z) = 1 - z e^{i(m+1)\omega_k} \frac{1}{\rho} \psi(e^{i\omega_k z})
$$

d'où

$$
\int_{\delta_k} g(z) e^{th(z)} dz = \int_{0}^{s_k} g(e^{i\omega_k s}) e^{-th(sF_k(s))^{1/m}} e^{i\omega_k} ds,
$$

(iii) Comme $\psi$ est analytique au voisinage de $z=0$ et que $F_k(0)=1$, la fonction $H_k(z) = zF_k(z)^{1/m}$ est analytique au voisinage de $z=0$. De plus

$$
H'_{k}(z) = F_{k}(z)^{1/m} + \frac{z}{m} F'_{k}(z)^{(1-m)/m}
$$

et par conséquent $H'_k(0) = 1$. En vertu du théorème d'inversion locale, il en résulte que $H_k$ est inversible au voisinage de 0 : c'est dire qu'il existe un disque centré à l'origine $\Delta_k$ tel que $H_k$ soit une bijection de $\Delta_k$ sur un voisinage ouvert $U_k$ de 0. Notons $G_k = H_k^{-1}$ et $\beta_k = H_k \circ \delta_k$ ; en vertu de la formule du changement de variable, on aura

$$
\int_{\delta_k} g(z) e^{th(z)} dz = \int_{\beta_k} g(e^{i\omega_k} G_k(\zeta)) e^{-th\zeta^m} e^{i\omega_k} G'_k(\zeta) d\zeta
$$

(iv) Soit maintenant $r_k$ tel que le disque $D_k$ de rayon $r_k$ centré à l'origine soit contenu dans $U_k$, on peut réduire le rayon $R_k$ du disque $\Delta_k$ de telle sorte que $H_k(\Delta_k)$ soit inclus dans $D_k$. Posons $H_k(s) = \tau_k(s)e^{i\theta_k(s)}$, on aura $H_k(0) = 0$, d'où $\tau_k(0) = 0$ et

$$
1 = H'_{k}(0) = \tau'_{k}(0) e^{i\theta_{k}(0)} + \tau_{k}(0) i\theta_{k}(0) \theta'_{k}(0)^{i\theta_{k}(0)} = \tau'_{k}(0) e^{i\theta_{k}(0)},
$$

ou encore $\tau'_k(0) = 1$ et $\theta_k(0) = 0$ ; quitte à diminuer $R_k$ on pourra donc faire l'hypothèse que pour
$0 \le s \le R_k$ on ait

$0 \le \operatorname{Arg} H_k(s) \le \pi/4m.$

Nous choisirons alors pour extrémité du chemin $\beta_k$ le point $\zeta_k = \beta_k(R_k)$, ce qui nous permet d'affirmer
que le chemin $\beta_k$ reste proche de l'axe réel.

(v) En vertu de nos hypothèses $\beta_k$ est tout entier inclus dans le secteur $0 \le \theta \le \pi/4m$ du disque de rayon $r_k$ (voir la Figure v). Notons $\sigma_k$ le segment joignant le point $r_k$ au point $\zeta_k$.

Selon le théorème de Cauchy

$$
\int_{\beta_k} g(e^{i\omega_k} G_k(\zeta)) e^{-th\zeta^m} e^{i\omega_k} G'_k(\zeta) d\zeta = \int_0^{r_k} g(e^{i\omega_k} G_k(s)) e^{-t\rho s^m} e^{i\omega_k} G'_k(s) ds \\
+ \int_{\sigma_k} g(e^{i\omega_k} G_k(\zeta)) e^{-th\zeta^m} e^{i\omega_k} G'_k(\zeta) d\zeta.
$$
<figure><img src="image_170.png" /></figure>

Sur $\sigma_k$ on aura

$$ \Re \zeta^m \ge \Re \zeta_k^m \ge \frac{\sqrt{2}}{2} |\zeta_k|^m $$

car $|\mathrm{Arg} \, \zeta_k^m| \le \pi/4$ d'où il résulte que

$$ \left| \int_{\sigma_k} g(e^{i\omega_k} G_k(\zeta)) e^{-t\rho\zeta^m} e^{i\omega_k} G'_k(\zeta) d\zeta \right| \le |\sigma_k| \sup_{|\zeta| \le r_k} \left| e^{i\omega_k} g(e^{i\omega_k} G_k(\zeta)) G'_k(\zeta) \right| e^{-t\rho \frac{\sqrt{2}}{2} |\zeta_k|^m}. \quad (II.15) $$

(vi) Il ne reste donc plus qu'à évaluer le terme suivant :

$$ \int_0^{r_k} g(e^{i\omega_k} G_k(s)) e^{-t\rho s^m} e^{i\omega_k} G'_k(s) ds, $$

or $G'_k(0) = 1/H'_k(0) = 1$ d'où $G_k(s) \sim s$ au voisinage de 0, et par conséquent $e^{i\omega_k} g(e^{i\omega_k} G_k(s)) G'_k(s) e^{-t\rho s^m} \sim e^{i\omega_k} Ae^{in\omega_k} s^n e^{-t\rho s^m} = Ae^{i(n+1)\omega_k} e^{-t\rho s^m} s^n$. En séparant parties réelles et imaginaires, on peut donc utiliser la méthode de Laplace, qui nous conduit au résultat suivant :

$$ \int_0^r g(e^{i\omega_k} G_k(s)) e^{-t\rho s^m} e^{i\omega_k} G'_k(s) ds \sim e^{i(n+1)\omega_k} \frac{A}{m} (\rho t)^{-(1+n)/m} \Gamma\left(\frac{1+n}{m}\right). $$

(vii) Il faut maintenant prendre en compte l'ensemble du chemin $\gamma$, ce qui déterminera le choix de $k$. On supposera que outre $\gamma(0) = 0$, le chemin $\gamma$ vérifie l'hypothèse suivante : $\exists k, s_k$ tels que $p = \gamma(s_k) \in S_k$, $|\gamma(s)| \le R_k$ pour $0 \le s \le s_k$ et $|\gamma(s_k)| = R_k$. On suppose également l'existence de $\mu > 0$ tel que $\gamma(s) \in N_\mu = \{z | \Re h(z) \le -\mu\}$ pour $s \ge s_k$, ainsi que l'arc de cercle de rayon $R_k$ joignant $p$ au point $q = R_k e^{i\omega_k}$ (voir la Figure II.2). Si $\gamma_e$ est la portion du chemin $\gamma$ extérieure au disque $\Delta_k$ de rayon $R_k$ et $\gamma_i$ la portion intérieure à $\Delta_k$, on aura

$$ \begin{aligned} \int_{\gamma} g(z) e^{th(z)} dz &= \int_{\gamma_e} g(z) e^{th(z)} dz + \int_{\gamma_i} g(z) e^{th(z)} dz \\ &= \int_{\gamma_e} g(z) e^{th(z)} dz + \int_{\delta_k} g(z) e^{th(z)} dz + \int_{\lambda_k} g(z) e^{th(z)} dz \end{aligned} $$

où

$$ \int_{\delta_k} g(z) e^{th(z)} dz = \int_0^{r_k} g(e^{i\omega_k} G_k(s)) e^{-t\rho s^m} e^{i\omega_k} G'_k(s) ds + \int_{\sigma_k} g(e^{i\omega_k} G_k(\zeta)) e^{-t\rho\zeta^m} e^{i\omega_k} G'_k(\zeta) d\zeta. $$
<figure><img src="image_171.png" /></figure>

On a déjà vu que

$$ \int_0^{r_k} g(e^{i\omega_k} G_k(s)) e^{-t\rho s^m} e^{i\omega_k} G'_k(s) ds \sim e^{i(n+1)\omega_k} \frac{A}{m} (\rho t)^{-(1+n)/m} \Gamma\left(\frac{1+n}{m}\right), \quad (II.16) $$

et que selon (II.15) $\int_{\sigma_k} g(e^{i\omega_k} G_k(\zeta)) e^{-t\rho\zeta^m} e^{i\omega_k} G'_k(\zeta) d\zeta$ est négligeable devant le second membre de (II.16).

(viii) Considérons maintenant la portion de chemin $\gamma_e$ :

$$ \left| \int_{\gamma_e} g(z) e^{th(z)} dz \right| = \int_{s_k}^{s_{\max}} |g(\gamma(s))| |e^{th(\gamma(s))}| |\gamma'(s)| ds = \int_{s_k}^{s_{\max}} |g(\gamma(s))| e^{t \Re(h(\gamma(s)))} |\gamma'(s)| ds. $$

Comme $\gamma(s) \in N_\mu$ pour $s \ge s_k$, de même qu'en (II.9), on aura

$$ \begin{aligned} \int_{s_k}^{s_{\max}} |g(\gamma(s))| e^{t \Re(h(\gamma(s)))} |\gamma'(s)| ds &= \int_{s_k}^{s_{\max}} |g(\gamma(s))| e^{(t-1)\Re(h(\gamma(s)))} e^{\Re(h(\gamma(s)))} |\gamma'(s)| ds \\ &\le e^{-(t-1)\mu} \int_0^{s_{\max}} |g(\gamma(s))| e^{\Re(h(\gamma(s)))} |\gamma'(s)| ds, \end{aligned} $$

négligeable devant le second membre de (II.16). De même $\int_{\lambda_k} g(z) e^{th(z)} dz$ peut être négligée devant le second membre de (II.16).

(ix) Finalement, après avoir rétabli le coefficient $a$, nous avons montré que

$$ \int_{\gamma} g(z) e^{th(z)} dz \sim e^{at + i(n+1)\omega_k} \frac{A}{m} (\rho t)^{-(1+n)/m} \Gamma\left(\frac{1+n}{m}\right). \quad (II.17) $$

## II.2.2 Choix du chemin

Dans le cas général un nouveau chemin $\gamma'$ homotope à $\gamma$ d'origine $\zeta_1$ et d'extrémité $\zeta_2$, doit tout d'abord être déterminé.

(i) Le premier cas est celui où il existe $\gamma'$ tel qu'à l'une de ses extrémités ($\zeta_1$ ou $\zeta_2$), $\Re h(z)$ atteigne son maximum le long de $\gamma'$, on est alors ramené à l'étude précédente, sous réserve que les diverses hypothèses soient vérifiées

$$ \int_{\gamma} g(z) e^{th(z)} dz = \int_{\gamma'} g(z) e^{th(z)} dz. $$
Le cas le plus simple est celui où $g(\zeta_1) = A$ et au voisinage de $\zeta_1$, $h(z) \sim a + c(z - \zeta_1)$, soit $m = 1$ et $n = 0$, on aura alors $k = 0$ et $\omega_0 = \pi - \alpha$ d'où

$$ \int_{\gamma} g(z) e^{th(z)} dz \sim A(\rho t)^{-1} e^{at+i(\pi-\alpha)} $$

Si on suppose que $u_1 = \Re h(\zeta_1) > u_2 = \Re h(\zeta_2)$ et que l'ensemble des $z$ tels que $u_2 \le \Re h(z) \le u_1$ est connexe, il existe un chemin $\gamma'$ de $\zeta_1$ à $\zeta_2$ tel que le long de $\gamma'$, $\Re h(z)$ atteigne son maximum en $\zeta_1$.

(ii) Sinon, on peut chercher $z_0 = \gamma'(s)$, $0 < s < 1$ tel que $\Re h(z)$ soit maximal en $z_0$ le long de $\gamma'$. On découpera alors le chemin $\gamma'$ en deux portions, de $\zeta_1$ à $z_0$ d'une part et de $z_0$ à $\zeta_2$ d'autre part. Dans ces conditions il n'est pas possible de traiter le cas $m = 1$, car alors les deux portions du chemin se trouveraient nécessairement dans l'unique secteur $S_0$ autorisé, ce qui fait que les deux parties principales correspondantes seraient opposées et qu'aucun renseignement ne pourrait en être déduit. Pour $m \ge 2$ au voisinage de $z_0$, on aura $h(z) \sim a + c(z - z_0)^m$ d'où $h'(z) \sim c(z - z_0)^{m-1}$ et par conséquent $h'(z_0) = 0$. Il sera alors nécessaire que les deux portions du chemin $\gamma$ se trouvent dans deux secteurs $S_k$ différents de telle sorte que les parties principales correspondantes ne se compensent pas. Il en résulte en vertu des relations de Cauchy-Riemann que

$$ \frac{\partial h}{\partial x}(z_0) = 0 = \frac{\partial h}{\partial y}(z_0) $$

et par conséquent que la dérivée de $h$, et en particulier celle de $\Re h$, s'annule le long de toute courbe passant par $z_0$.

(iii) Dans le cas où $h''(z_0) = 2c = 2\rho e^{i\alpha} \neq 0$, on a $m = 2$ ; posons $z - z_0 = \tau e^{i\omega}$, alors

$$ \frac{\partial^2}{\partial \tau^2} h(\tau e^{i\omega}) = e^{2i\omega} h''(\tau e^{i\omega}) $$

et par conséquent en $z_0$ la dérivée seconde de $h$ dans la direction $e^{i\omega}$ est égale à $e^{2i\omega} h''(z_0) = 2ce^{2i\omega} = 2\rho e^{i(\alpha+2\omega)}$. Les directions dans lesquelles la dérivée seconde de $\Re h$ est minimale ne sont donc autres que $\omega_0 = (\pi - \alpha)/2$ et $\omega_1 = (3\pi - \alpha)/2$. Si on se réfère à la surface $x_3 = \Re h(x_1 + ix_2)$, (voir la Figure II.3) ces directions sont celles de la ligne de thalweg qui passe par le point $z_0$, tandis que les directions orthogonales sont celles de la ligne de crête dans les quelles $\Re h''$ est maximal. Le point $z_0$ constitue donc bien un col, d'où le nom de la méthode. Les directions dans lesquelles la dérivée seconde de $\Re h$ s'annule sont celles des lignes de niveau de $\Re h(z_0)$, elles séparent les $S_k$ des $S'_k$.

La méthode s'applique encore si $m > 2$, auquel cas $h''(z_0) = 0$. La surface $x_3 = \Re h(x_1 + ix_2)$ présentant alors plusieurs lignes de crête et de thalweg au voisinage de $z_0$.
<figure><img src="image_172.png" /><figcaption>FIGURE II.3 – Un point col</figcaption></figure>
# Application III

## La portance d'un profil d'aile

Il s'agit de déterminer la portance d'un profil d'aile d'avion soumis à un écoulement irrotationnel de fluide parfait incompressible, uniforme à l'infini.

### III.1 L'écoulement autour d'un profil

#### III.1.1 Le potentiel complexe

Selon les hypothèses relatives à l'écoulement, la vitesse $u(x, y)$ dans le domaine fluide vérifie les équations suivantes :

$$ \mathrm{div}u = 0 \text{ et } \mathrm{rot}u = 0. $$

Supposons pour commencer que le domaine de l'écoulement $\Omega$ soit simplement connexe, on sait alors (Girault Raviart th2.9 p.31) qu'il existe un potentiel des vitesses $\varphi$ tel que $u = \nabla\varphi$ ; et on aura

$$ \Delta\varphi = \mathrm{div}\nabla\varphi = 0. $$

Posons alors $z = x + iy = c(x, y)$. Selon le Théorème 13.3) $\varphi$ est la partie réelle d'une fonction holomorphe $f$ appelée potentiel complexe, soit en fait

$$ f \circ c = \varphi + i\psi. $$

Les relations de Cauchy-Riemann s'écrivent

$$ \frac{\partial \varphi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y} \text{ et } \frac{\partial \psi}{\partial x} = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} $$

d'où

$$ (\nabla\varphi | \nabla\psi) = \frac{\partial\varphi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial x} + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\frac{\partial\psi}{\partial y} = 0. $$

et

$$ f' \circ c = \frac{\partial \varphi}{\partial x} + i \frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{1}{i} \left( \frac{\partial \varphi}{\partial y} + i \frac{\partial \psi}{\partial y} \right). $$

En particulier, la condition de glissement le long du profil $(\nabla\varphi|n)|_\gamma = 0$ équivaut à

$$ (\nabla\psi|t)|_\gamma = 0 \text{ soit } \psi|_\gamma = Cte. $$

La fonction $\psi$ est appelée *fonction de courant*.
Il se trouve bien entendu que l'extérieur d'un profil ne constitue pas un ouvert simplement connexe, il est donc nécessaire d'introduire une coupure (voir la Figure III.1) de telle sorte que le domaine de l'écoulement constitue un ouvert simplement connexe, ce qui a pour effet d'introduire une indétermination dans la solution du problème.

<figure><img src="image_173.png" /><figcaption>FIGURE III.1 – Domaine non simplement connexe</figcaption></figure>

### III.1.2 La dérivée du potentiel complexe

En modifiant la position de la coupure (voir la Figure III.1) on induit une nouvelle fonction harmonique $g = \alpha + i\beta$ avec $u = \nabla\varphi = \nabla\alpha$. Les fonctions $\varphi$ et $\alpha$ diffèrent donc d'une constante en dehors des coupures, comme $\varphi$ est harmonique, elle est régulière à travers la coupure de $\alpha$, par conséquent $u$ est régulière dans tout l'extérieur du profil.

Considérons alors la dérivée $f'$ de $f$ : c'est une fonction régulière, et

$$ 
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial x}(f' \circ c) + i \frac{\partial}{\partial y}(f' \circ c) &= \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + i \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + i \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial x \partial y} \\
&= \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + i \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} \right) = 0.
\end{aligned}
$$

C'est donc en fait une fonction analytique à l'extérieur du profil.

### III.1.3 La circulation

Notons $\gamma$ le chemin dans $\mathbb{C}$ représentant le profil et $\mathscr{C} = \gamma \circ c$ le bord du profil, la circulation du vecteur vitesse le long de $\mathscr{C}$, traditionnellement notée $\Gamma$, est donnée par

$$ 
\begin{aligned}
\Gamma &= \int_{\mathscr{C}} (u|t) ds = \int_{0}^{1} (u|\gamma') \gamma' dt = \int_{0}^{1} (\nabla\varphi|\gamma') dt \\
&= \int_{0}^{1} \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x} \gamma'_{1} + \frac{\partial \varphi}{\partial y} \gamma'_{2} \right) dt = \int_{0}^{1} \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x} + i \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) (\gamma'_{1} + i\gamma'_{2}) dt,
\end{aligned}
$$
mais par ailleurs

$$
\begin{align*}
\int_{\gamma} f'(z) dz &= \int_{0}^{1} \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x} + i \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) (\gamma'_{1} + i\gamma'_{2}) dt = \int_{0}^{1} \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x} \gamma'_{1} - \frac{\partial \psi}{\partial x} \gamma'_{2} \right) dt + i \int_{0}^{1} \left( \frac{\partial \psi}{\partial x} \gamma'_{2} + \frac{\partial \varphi}{\partial x} \gamma'_{1} \right) dt \\
&= \int_{0}^{1} \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x} \gamma'_{1} + \frac{\partial \varphi}{\partial y} \gamma'_{2} \right) dt + i \int_{0}^{1} \left( \frac{\partial \psi}{\partial x} \gamma'_{2} + \frac{\partial \psi}{\partial y} \gamma'_{1} \right) dt,
\end{align*}
$$

soit

$$
\int_{\gamma} f'(z) dz = \int_{\mathcal{C}} (u|t) ds + i \int_{0}^{1} (\nabla \psi |_{\gamma'}) dt = \Gamma.
$$

III.1.4 Les formules de Blasius

Si $p$ note la pression $\vec{v}$ la normale extérieure au domaine fluide, on a

$$
\vec{F} = \int_{\mathcal{C}} p \vec{v} ds,
$$

et avec l'intégrale première de Bernoulli

$$
p = p_0 - \frac{\rho}{2} \|\nabla \varphi\|^2,
$$

comme, pour tout vecteur $\vec{e}$

$$
\int_{\vec{\gamma}} (\vec{v} | \vec{e}) ds = 0,
$$

on obtient

$$
\vec{F} = -\frac{\rho}{2} \int_{\vec{\gamma}} \|\nabla \varphi\|^2 \vec{v} ds.
$$

Posons maintenant

$$
F = F_1 + iF_2, \quad \nu = \nu_1 + i\nu_2, \quad \tau = \gamma' / |\gamma'|, \quad \nu = i\tau, \quad ds = |\gamma'| dt,
$$

on aura alors

$$
F = \int_{\gamma} p \nu ds = -i \frac{\rho}{2} \int_{0}^{1} |f' \circ \gamma|^2 \gamma' dt = -i \frac{\rho}{2} \int_{0}^{1} \overline{f' \circ \gamma} f' \circ \gamma \gamma' dt.
$$

Or

$$
f' \circ \gamma \gamma' = (f \circ \gamma)' = (\varphi \circ \gamma)' + i (\psi \circ \gamma)' = \overline{f'} \circ \gamma \gamma' + 2i (\psi \circ \gamma)',
$$

d'où

$$
F = -i \frac{\rho}{2} \int_{0}^{1} (\overline{f'} \circ \gamma)^2 \gamma' dt + \rho \int_{0}^{1} \overline{f'} \circ \gamma (\psi \circ \gamma)' dt.
$$

On en déduit que

$$
\bar{F} = i \frac{\rho}{2} \int_{\gamma} (f')^2 dz + \rho \int_{0}^{1} f' \circ \gamma (\psi \circ \gamma)' dt = i \frac{\rho}{2} \int_{\gamma} (f')^2 dz + \rho \int_{\mathcal{C}} f' \frac{d\psi}{ds} ds,
$$

et dans le cas où $\mathcal{C}$ est une ligne de courant

$$
\bar{F} = i \frac{\rho}{2} \int_{\gamma} (f')^2 dz.
$$
### III.1.5 Le paradoxe de d'Alembert

Supposons maintenant qu'au voisinage de l'infini, la vitesse soit de la forme $u \sim V_\infty \begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix} =$
$V_\infty \begin{pmatrix} \partial \varphi / \partial x \\ -\partial \psi / \partial x \end{pmatrix}$ alors $f'(z) \sim V_\infty e^{-i\alpha}$ et par conséquent le développement de $f'(z)$ en série de Laurent
à l'extérieur d'un disque contenant le profil est de la forme suivante :

$$f'(z) = V_{\infty} e^{-i\alpha} + a_{-1}z^{-1} + \sum_{n \le -2} a_{n}z^{n}.$$

Il en résulte que sur le bord $\delta$ de ce disque

$$\int_{\delta} f'(z) dz = 2i\pi a_{-1},$$

et comme $f'$ est holomorphe dans l'extérieur du profil

$$\Gamma = \int_{\gamma} f'(z) dz = \int_{\delta} f'(z) dz \implies a_{-1} = \frac{\Gamma}{2i\pi}.$$

Notons que si $z' = 1/z$, alors

$$-\frac{1}{(z')^2} f'(z') = -V_{\infty} e^{-i\alpha} \frac{1}{(z')^2} - a_{-1} \frac{1}{z'} + \sum_{n \ge 0} a_{-n-2} (z')^n$$

ce qui fait de $-a_{-1}$ le résidu à l'infini de $f'(z)$ ; on peut alors se référer à la formule (7.16) qui donne encore

$$\Gamma = \int_{\gamma} f'(z) dz = 2i\pi a_{-1} \implies a_{-1} = \frac{\Gamma}{2i\pi}.$$

On aura donc

$$(f'(z))^2 = V_{\infty}^2 e^{-2i\alpha} + V_{\infty} e^{-i\alpha} \frac{\Gamma}{i\pi} z^{-1} + \sum_{n \le -2} b_n z^n \\ = V_{\infty}^2 e^{-2i\alpha} - iV_{\infty} e^{-i\alpha} \frac{\Gamma}{\pi} z^{-1} + \sum_{n \le -2} b_n z^n,$$

d'où

$$-\frac{1}{(z')^2} (f'(z'))^2 = -\frac{1}{(z')^2} V_{\infty}^2 e^{-2i\alpha} + iV_{\infty} e^{-i\alpha} \frac{\Gamma}{\pi} \frac{1}{z'} + \sum_{n \ge 0} b_{-n-2} (z')^n,$$

et par conséquent

$$\bar{F} = -i \frac{\rho}{2} 2i\pi i V_{\infty} e^{-i\alpha} \frac{\Gamma}{\pi} = i\rho V_{\infty} \Gamma e^{-i\alpha}.$$

Il en résulte que

$$F = F_1 + iF_2 = -i\rho V_{\infty} \Gamma e^{i\alpha},$$

c'est-à-dire que la force exercée sur le profil est orthogonale à la direction de la vitesse à l'infini et proportionnelle à la circulation : en particulier il n'y a pas de traînée, et il n'y a de portance que si la circulation n'est pas nulle.
## III.2 L'écoulement autour d'un cercle

Un cas particulier où les calculs peuvent être menés explicitement est celui de l'écoulement autour d'un cercle. On vérifie aisément que la fonction

$$f(z) = V_{\infty}\left(z + \frac{r^2}{z}\right) - i\frac{\Gamma}{2\pi}\operatorname{Log}z$$

où r et Γ sont réels, est holomorphe à l'extérieur du cercle de rayon r centré à l'origine, hormis la coupure du logarithme. On aura alors

$$\varphi(z) = \Re\left(z + \frac{r^2\bar{z}}{|z|^2}\right) + \frac{\Gamma}{2\pi}\mathfrak{Im}\,\operatorname{Log}z = V_{\infty}\left(1 + \frac{r^2}{|z|^2}\right)\Re\,z + \frac{\Gamma}{2\pi}\operatorname{Arg}z$$

$$\psi(z) = \mathfrak{Im}\left(z + \frac{r^2 \bar{z}}{|z|^2}\right) - \frac{\Gamma}{2\pi} \Re \operatorname{Log}|z| = V_{\infty}\left(1 - \frac{r^2}{|z|^2}\right) \mathfrak{Im} z - \frac{\Gamma}{2\pi} \operatorname{Log}|z|,$$

ce qui permet de constater que la fonction de courant $\psi$ n'admet pas de coupure.

### III.2.1 Conditions aux limites

En $|z| = r$, la condition de glissement est vérifiée :

$$\psi(z) = -\frac{\Gamma}{2\pi}\operatorname{Log}r = Cte \implies \frac{\partial \varphi}{\partial n} = 0,$$

et à l'infini l'écoulement est uniforme, sa vitesse a pour norme $V_\infty$ et est dirigée selon l'axe des x :

$$f'(z) = V_{\infty} \implies \frac{\partial \varphi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y} = V_{\infty}.$$

### III.2.2 Points d'arrêt

De façon à mieux appréhender la topologie de l'écoulement, il est important de déterminer les points où s'annule la vitesse ; nous verrons par la suite que c'est également la position de ces points qui fixe la portance du profil.

On aura donc

$$\nabla \varphi = 0 \iff V_{\infty}\left(1 - \frac{r^2}{z^2}\right) - i\frac{\Gamma}{2\pi} \frac{1}{z} = f'(z) = 0$$

soit

$$V_{\infty}z^2 - i\frac{\Gamma}{2\pi}z - V_{\infty}r^2 = 0.$$

Le produit et la somme des racines sont donc respectivement donnés par

$$P = -r^2 \text{ et } S = i \frac{\Gamma}{4\pi V_{\infty}},$$

et les racines selon la formule

$$z^{\pm} = \frac{i \frac{\Gamma}{2\pi} \pm \sqrt{4V_{\infty}^2 r^2 - \frac{\Gamma^2}{4\pi^2}}}{2V_{\infty}}.$$
Deux cas se présentent :

$$4\pi V_{\infty} r > \Gamma \implies \text{deux solutions complexes } z^{-} = -\overline{z^{+}} \text{ conjugées } |z^{-}| = |z^{+}| = r,$$

soit deux points d'arrêt sur le cercle, et

$$4\pi V_{\infty} r < \Gamma \implies \text{deux solutions imaginaires pures } |z^{-}| < r < |z^{+}|,$$

soit un point d'arrêt et un seul dans le fluide, situation qui ne sera pas considérée ultérieurement car peu susceptible de représenter un écoulement réel.

La constante $\Gamma$ n'est autre que la circulation du vecteur vitesse le long du cercle :

$$\int_{\gamma} f'(z) dz = \int_{\gamma} \left[ V_{\infty} \left( 1 - \frac{r^2}{z^2} \right) - i \frac{\Gamma}{2\pi} \frac{1}{z} \right] dz = -i \frac{\Gamma}{2\pi} \int_{\gamma} \frac{dz}{z} = \Gamma.$$

Elle peut se déterminer en fonction de la position des points d'arrêt :

$$(2V_{\infty}z^{\pm} - i\frac{\Gamma}{2\pi})^2 = 4r^2V_{\infty}^2 - \frac{\Gamma^2}{4\pi^2},$$

soit

$$4V_{\infty} (z^{\pm})^2 - 2z^{\pm} i \frac{\Gamma}{\pi} = 4r^2 V_{\infty},$$

ou encore

$$2i\pi V_{\infty}z^{\pm} + \Gamma = 2i\pi \frac{r^2 V_{\infty}}{z^{\pm}}.$$

Finalement

$$\Gamma = 2i\pi r V_{\infty} \left( \frac{r}{z^{\pm}} - \frac{z^{\pm}}{r} \right).$$

### III.2.3 Plus généralement

Si le centre du cercle est situé au point d'affiche $a$ et la vitesse à l'infini de la forme $u \sim V_{\infty} \begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix}$, alors

$$f(z) = V_{\infty} \left( (z-a)e^{-i\alpha} + \frac{r^2}{(z-a)e^{-i\alpha}} \right) - i \frac{\Gamma}{2\pi} \log \frac{z-a}{r},$$

et les points d'arrêt vérifient

$$(z^{\pm} - a)e^{-i\alpha} = \frac{i \frac{\Gamma}{2\pi} \pm \sqrt{4r^2 V_{\infty}^2 - \frac{\Gamma^2}{4\pi^2}}}{2V_{\infty}}.$$

On aura alors

$$\Gamma = 2i\pi r V_{\infty} \left( \frac{r}{(z^{\pm} - a)e^{-i\alpha}} - \frac{(z^{\pm} - a)e^{-i\alpha}}{r} \right).$$

Avec $\alpha = \pi/6$, et $4\pi V_{\infty} r > \Gamma$, les isovaleurs de la fonction de courant se présentent de la façon suivante :

Dans le cas particulier où $a = i\beta$, $\beta \in \mathbb{R}$ et $r^2 = 1 + \beta^2$, et où le point d'affiche $z = 1$ est un point d'arrêt, alors
<figure><img src="image_174.png" /></figure>

<figure><img src="image_175.png" /><figcaption>FIGURE III.2 – Centre sur l’axe imaginaire</figcaption></figure>

$$
\begin{align*}
\Gamma &= 2i\pi V_{\infty} \left( \frac{1 + \beta^2}{(1 - i\beta)e^{-i\alpha}} - (1 - i\beta)e^{-i\alpha} \right) \\
&= 2i\pi V_{\infty} \left( (1 + i\beta)e^{i\alpha} - (1 - i\beta)e^{-i\alpha} \right) \\
&= -4\pi V_{\infty} \frac{(1 + i\beta)e^{i\alpha} - (1 - i\beta)e^{-i\alpha}}{2i},
\end{align*}
$$

soit encore avec $\sigma = \arg(1 + i\beta)$, $1 + i\beta = re^{i\sigma}$ (voir la Figure III.2) d'où

$$
\Gamma = -4\pi r V_{\infty} \frac{e^{i\sigma} e^{i\alpha} - e^{i-\sigma} e^{-i\alpha}}{2i} = -4\pi r V_{\infty} \sin(\alpha + \sigma).
$$
<figure><img src="image_176.png" /><figcaption>FIGURE III.3 – Image du cercle unité</figcaption></figure>

### III.3 Transformations conformes

La détermination de la portance nécessite donc celle de la circulation, qui ne peut se déduire du modèle de fluide parfait. C'est à la condition de Kutta-Joukovski que nous ferons appel, elle stipule qu'au bord de fuite la vitesse de l'écoulement est finie, et représente une trace du fait que l'écoulement réel est visqueux. Le calcul explicite n'est possible que pour des classes restreintes de profils, nous étudierons ceux qui résultent des transformations conformes de Joukovski et de Karmann-Trefftz.

#### III.3.1 La transformation de Joukowski

Elle est définie par

$$J(z) = \frac{1}{2} \left( z + \frac{1}{z} \right).$$

Posons $\xi = J(z)$, alors

$$z^2 - 2\xi z + 1 = 0,$$

d'où

$$z^{\pm} = \xi \pm \sqrt{\xi^2 - 1} \text{ et } z^{\mp}z^{\pm} = 1$$

et en particulier avec $z^+ = re^{i\theta}$, on a $z^- = e^{-i\theta}/r$.

► Si $\xi \in [-1, 1]$, $z = \xi \pm i\sqrt{1-\xi^2}$ d'où $|z|^2 = \xi^2 + 1 - \xi^2 = 1$. Réciproquement si $z = e^{i\theta}$, alors $J(z) = \cos\theta \in [-1, 1]$: $J$ est une bijection de chacun des demi-cercles unité $\mathcal{C}_0^+$ et $\mathcal{C}_0^-$, respectivement de parties imaginaires positives et négatives, sur le segment $[-1, 1]$. Les extrémités $-1$ et $+1$ du segment sont les images respectives des points $z = -1$ et $z = 1$ (voir la Figure III.3)

► Posons

$$S_1(z) = \frac{z-1}{z+1}, \quad S_3(\xi) = \frac{1+\xi}{1-\xi} \quad \text{et} \quad \Sigma_p(\zeta) = \zeta^p$$

L'image de $S_1$ est incluse dans $\mathbb{C} \setminus \{1\}$ et celle de $S_3$ dans $\mathbb{C} \setminus \{-1\}$. De plus $S_1 \circ S_3 = \text{Id}$ sur $\mathbb{C} \setminus \{1\}$ et $S_3 \circ S_1 = \text{Id}$ sur $\mathbb{C} \setminus \{-1\}$. Il en résulte que $S_1$ et $S_3$ sont bijectives respectivement $\mathbb{C} \setminus \{-1\} \to \mathbb{C} \setminus \{1\}$ et $\mathbb{C} \setminus \{1\} \to \mathbb{C} \setminus \{-1\}$.

On aura

$$J = S_3 \circ \Sigma_2 \circ S_1;$$
en effet

$$ \frac{1 + \left(\frac{z-1}{z+1}\right)^2}{1 - \left(\frac{z-1}{z+1}\right)^2} = \frac{(z+1)^2 + (z-1)^2}{(z+1)^2 - (z-1)^2} = \frac{2(z^2+1)}{4z} = J(z). $$

Notons que

$$ \begin{aligned} \Re S_1(z) &= \Re \frac{(z-1)(\bar{z}+1)}{|z+1|^2} = \frac{|z|^2-1}{|z+1|^2} \\ \Im S_1(z) &= \Im \frac{(z-1)(\bar{z}+1)}{|z+1|^2} = 2 \frac{\operatorname{Im} z}{|z+1|^2}. \end{aligned} $$

Il en résulte que si $|z| > 1$, $\Re S_1(z) > 0$, réciproquement, si $\xi$ appartient au demi-plan des complexes de partie réelle positive, alors

$$ |S_3(\xi)|^2 = \frac{1 + 2\Re \xi + |\xi|^2}{1 - 2\Re \xi + |\xi|^2} > 1; $$

par conséquent, $S_1$ est une bijection du demi-plan ouvert $H_0$ des complexes de partie réelle strictement positive sur l'extérieur du cercle unité $\mathcal{C}_0$.

La transformation $\Sigma_2$ est bijective de $H_0$ dans $C \setminus \{\mathbb{R}^{-}\}$ et comme $S_3$ est surjective : $C \setminus \{1\} \to C \setminus \{-1\}$, l'image de $J$ contient $C \setminus (\{-1\} \cup S_3(\mathbb{R}^{-}))$. Soit donc $\xi \in \mathbb{R}^{-}$, on aura $S_3(\xi) \in \mathbb{R}$, et

$$ |S_3(\xi)|^2 = \frac{1 + 2\xi + |\xi|^2}{1 - 2\xi + |\xi|^2} < 1, $$

ce qui prouve que l'image de $J$ contient l'extérieur du segment du segment $[-1, 1]$ ; c'est dire en fait que $J$ est une bijection de l'extérieur du cercle unité sur l'extérieur du segment $[-1, 1]$ (voir la Figure III.4)

<figure><img src="image_177.png" /><figcaption>FIGURE III.4 – Transformation conforme a l'extérieur du cercle unité</figcaption></figure>

▷ La transformation de Joukovski est conforme, en effet

$$ J'(z) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{z^2} \right), $$

mais aux points $z = \pm 1$, on a $J'(z) = 0$, la transformation n'est donc plus conforme : en effectuant un
développement à l'ordre supérieur on obtient

$$
\begin{align*}
J(z) &= \frac{1}{2} \left(z + \frac{1}{z}\right) = \frac{1}{2} \left( \left(h \mp 1\right) + \frac{1}{h \mp 1} \right) = \frac{1}{2} \left( \left(h \mp 1\right) \mp \sum_{n \in \mathbb{N}} (\pm 1)^n h^n \right) \\
&= \frac{1}{2} \left( \left(h \mp 1\right) \mp 1 - h \mp \sum_{n \ge 2} (\pm 1)^n h^n \right) = 1 \mp \frac{h^2}{2} \sum_{n \ge 2} (\pm 1)^n h^{n-2},
\end{align*}
$$

d'où il résulte qu'aux points $z = 1$ et $z = -1$, les angles sont multipliés par 2.

▷ On note $s(z) = 1/z$, et $\mathcal{D}_1$ le cercle de centre 1 passant par l'origine, d'équation $z = 1 + e^{i\theta}$, on aura

$$
\frac{2}{z} = \frac{2}{1 + e^{i\theta}} = 1 + \frac{1 - e^{i\theta}}{1 + e^{i\theta}} = 1 + \frac{(1 - e^{i\theta})(1 + e^{-i\theta})}{|1 + e^{i\theta}|^2} = 1 + \frac{e^{-i\theta} - e^{i\theta}}{|1 + e^{i\theta}|^2} = 1 - 2i \frac{\sin \theta}{|1 + e^{i\theta}|^2}.
$$

De plus $\sin\theta / |1 + e^{i\theta}|^2$ est une fonction continue de $\theta$ vérifiant

$$
\sin \theta / |1 + e^{i\theta}|^2 = 2 \sin \theta / (1 + \cos \theta) = -4 / (\theta - \pi) + O(\theta - \pi),
$$

d'où $\sin\theta/|1+e^{i\theta}|^2 \to \pm\infty$ quand $\theta \to \pm\pi$. Il en résulte que $s(\mathcal{D}_1)$ est la droite d'équation $z = 1/2 - it, t \in \mathbb{R}$. Si maintenant $\mathcal{D}_a$ est le cercle de centre $a$ passant par l'origine, on aura $\mathcal{D}_a = a\mathcal{D}_1$, en effet si $a = \rho e^{i\tau}$, $a(1+e^{i\theta}) = a + \rho e^{i(\tau+\theta)}$, et par conséquent $s(\mathcal{D}_a) = s(\mathcal{D}_1)/a$, soit la droite d'équation

$$
\frac{1}{2a} - \frac{i}{2a}t.
$$

▷ Soit $\mathcal{C}_\sigma$ le cercle centré en $i\sigma$ qui passe par les points $z=1$ et $z=-1$. On a

$$
S_1(z) = \frac{z-1}{z+1} = 1 - \frac{2}{z+1} = 1 - 2s(z+1).
$$

Comme $1 + \mathcal{C}_{\sigma} = \mathcal{D}_{a}$ où $a = 1 + i\sigma$, l'image par $S_{1}$ de $\mathcal{C}_{\sigma}$ est la droite d'équation

$$
1 - \frac{1}{a} + \frac{i}{a}t = 1 - \frac{1}{1 + i\sigma} + \frac{i}{1 + i\sigma}t = \frac{i(\sigma + t)}{1 + i\sigma}
$$

soit en fait la droite $it/(1+i\sigma)$. L'image de $\mathcal{C}_\sigma$ par $\Sigma_2 \circ S_1$ est donc la demi-droite d'équation

$$
- \frac{1}{(1 + i\sigma)^2} t, \quad t > 0.
$$

On a $S_3(0) = 1$ et $S_3(+\infty) = -1$, et comme l'image par $S_1$ de $\mathcal{C}_\tau$ est la droite d'équation $it/(1+i\tau)$, l'image par $S_3 = S_1^{-1}$ de la droite d'équation $-t/(1+i\sigma)^2$, c'est-à-dire l'image par $J$ de $\mathcal{C}_\sigma$, est un arc $\mathcal{C}_\tau^0$ du cercle $\mathcal{C}_\tau$ d'extrémités $z = -1$ et $z = +1$, où $\tau = (\sigma^2 - 1)/2\sigma$ (voir la Figure III.5).

▷ La transformation $J$ étant dérivable, il suffit qu'elle soit injective dans l'extérieur de $\mathcal{C}_\sigma$ pour y être conforme. Pour que $z$ soit extérieur à $\mathcal{C}_\sigma$ il faut et il suffit que $|z - i\sigma|^2 > 1 + \sigma^2$, et pour que $J(z) = J(z')$ il faut et il suffit que $zz' = 1$, on aura alors

$$
\begin{align*}
|z' - i\sigma|^2 &= |z'|^2 + \sigma^2 - 2\sigma \mathfrak{Im}z' \\
&= \frac{1 + 2\sigma \mathfrak{Im}z}{|z|^2} + \sigma^2 \\
&= \frac{1 + 2\sigma \mathfrak{Im}z + |z|^2 \sigma^2}{|z|^2}.
\end{align*}
$$
<figure><img src="image_178.png" /><figcaption>FIGURE III.5 – L’image de $\mathcal{C}_\sigma$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_179.png" /><figcaption>FIGURE III.6 – Transformation conforme à l'extérieur de $\mathcal{C}_\sigma$</figcaption></figure>

Or $|z|^2 + \sigma^2 - 2\sigma \operatorname{Im}z = |z - i\sigma|^2 > 1 + \sigma^2$, d'où $|z|^2 - 2\sigma \operatorname{Im}z > 1$ et par conséquent

$$|z' - i\sigma|^2 < \frac{|z|^2 + |z'|^2 \sigma^2}{|z|^2} = 1 + \sigma^2.$$

Il en résulte que $z'$ est intérieur à $\mathcal{C}_\sigma$ et l'injectivité de $J$ dans l'extérieur de $\mathcal{C}_\sigma$ (voir la Figure III.6)

► Notons $\mathcal{C}$ un cercle passant par le point $z = -1$ et contenant $\mathcal{C}_\sigma$, son image est contenue dans l'extérieur de $\mathcal{C}_\tau^0$, c'est une courbe fermée régulière sauf au point $w = -1$, image de $z = -1$, qu'on appelle bord de fuite. Elle y admet un point de rebroussement puisque le cercle $\mathcal{C}$ admet une unique tangente en $z = -1$. Comme $\mathcal{C}$ contient $\mathcal{C}_\sigma$, son image contient l'arc de cercle $\mathcal{C}_\tau^0$ (voir la Figure III.7)

### III.3.2 La transformation de Karmann-Trefftz

L'existence d'un point de rebroussement ne permet pas de considérer $J(\mathcal{C})$ comme un modèle de profil d'aile adéquat. On est donc amené à modifier la transformation de Joukovski pour la remplacer par la suivante :
<figure><img src="image_180.png" /><figcaption>FIGURE III.7 – Un profil de Joukovski</figcaption></figure>

$$K_p(z) = S_3 \circ \Sigma_p \circ S_1(z) \quad 1 < p < 2$$

où $\Sigma_p(z) = z^p$, $1 < p < 2$ (voir la Figure III.8). Le même raisonnement aboutit au fait que l'image d'un cercle passant par les points $-1$ et $1$ par $\Sigma_p \circ S_1$ est formée de deux demi-droites issues de l'origine, qui par $S_3$ donnent deux arcs de cercles d'extrémités $-1$ et $1$. qualitativement les résultats sont semblables à ceux découlant de la transformation de Joukowski, mais le le bord de fuite n'est plus un point de rebroussement l'angle y décroît de $\pi$ à $0$ quand $p$ croît de $1$ à $2$.

<figure><img src="image_181.png" /><figcaption>FIGURE III.8 – Un profil de Karmann-Trefftz</figcaption></figure>

### III.4 Ecoulement autour du profil

Si $f$ est le potentiel complexe de l'écoulement autour du cercle, alors $g = f \circ J^{-1}$ est analytique à l'extérieur du profil et représente donc un potentiel complexe, de plus si $\psi$ est constante le long du cercle, alors $\Im g$ également le long du profil $J(\gamma)$, qui constitue donc une ligne de courant.

#### III.4.1 La condition de Kutta-Joukovski

L'indétermination sur la circulation est levée en imposant que la vitesse soit finie au bord de fuite, c'est la condition de Kutta-Joukovski. Au voisinage de $z = -1$, $J'(z) \sim -(z+1)$, et par conséquent
$g'(J(z)) = f'(z)/J'(z)$ ne peut être bornée que si $f'(z)$ s'annule. Les points d'arrêt de l'écoulement autour du cercle (voir la Figure III.9) sont donnés par

$$ (z^{\pm} - i\sigma)e^{-i\alpha} = \frac{i \frac{\Gamma}{2\pi} \pm \sqrt{4r^2V_{\infty}^2 - \frac{\Gamma^2}{4\pi^2}}}{2V_{\infty}} $$

On imposera donc

<figure><img src="image_182.png" /><figcaption>FIGURE III.9 – Les points d'arrêt</figcaption></figure>

$$ (-1 - i\sigma)e^{-i\alpha} = \frac{i \frac{\Gamma}{2\pi} \pm \sqrt{4r^2V_{\infty}^2 - \frac{\Gamma^2}{4\pi^2}}}{2V_{\infty}}, $$

et comme on a choisi de prendre $4r^2V_{\infty}^2 - \Gamma^2/4\pi^2 > 0$, il en résulte que

$$ \Im((-1 - i\sigma)(\cos \alpha - i \sin \alpha)) = \frac{\Gamma}{4\pi V_{\infty}}, $$

soit

$$ \Gamma = 4\pi V_{\infty} (\sin \alpha - \sigma \cos \alpha). $$

### III.4.2 Les efforts sur le profil

Les formules de Blasius

$$ F = F_1 + iF_2 = -i\rho V_{\infty} \Gamma e^{i\alpha}, $$
nous prouvent alors que

$$F_1 = 4\pi\rho V_{\infty}^2 (\sin \alpha - \sigma \cos \alpha) \sin \alpha$$

$$F_2 = -4\pi\rho V_{\infty}^2 (\sin \alpha - \sigma \cos \alpha) \cos \alpha.$$
# Appendice A

## Trigonométrie

Rappelons que

$$ \cos z = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} \quad \text{et} \quad \sin z = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1}, \qquad (A.1) $$

et nous allons voir que les formules classiques pour une variable réelle s'étendent au cas complexe. Posons

$$ x = \operatorname{Re} z \text{ et } y = \operatorname{Im} z, $$

nous aurons

$$ e^z = e^{x+iy} = e^x e^{iy} = e^x (\cos y + i \sin y), $$

d'où

$$ \operatorname{Re} e^z = e^x \cos y \text{ et } \operatorname{Im} e^z = e^x \sin y, \qquad (A.2) $$

et

$$ |e^z| = e^x (\cos^2 y + \sin^2 y)^{1/2} = e^x \text{ d'où } |e^{iy}| = e^0 = 1. \qquad (A.3) $$

Soit $y \in \mathbb{R}$, on a

$$ \begin{aligned} (\cos y + i \sin y)(\cos y' + i \sin y') &= e^{iy} e^{iy'} = e^{i(y+y')} = \cos(y+y') + i \sin(y+y') \\ (\cos y + i \sin y)(\cos y' + i \sin y') &= \cos y \cos y' - \sin y \sin y' + i (\sin y \cos y' + \sin y' \cos y), \end{aligned} $$

d'où

$$ \begin{aligned} \cos (y + y') &= \cos y \cos y' - \sin y \sin y' \\ \sin (y + y') &= \sin y \cos y' + \sin y' \cos y. \end{aligned} $$

En vertu du principe du prolongement analytique 2.7 ces relations restent vérifiées lorsque $y \in \mathbb{R}$ est remplacé par $z \in \mathbb{C}$ et finalement lorsque $y'$ est remplacé par $z' \in \mathbb{C}$, soit

$$ \begin{aligned} \cos (z + z') &= \cos z \cos z' - \sin z \sin z' \\ \sin (z + z') &= \sin z \cos z' + \sin z' \cos z. \end{aligned} $$

Avec

$$ z = \frac{p+q}{2} \text{ et } z' = \frac{p-q}{2}, $$
on en déduit que

$$ 
\begin{aligned}
\cos p &= \cos \frac{p+q}{2} \cos \frac{p-q}{2} - \sin \frac{p+q}{2} \sin \frac{p-q}{2} \\
\cos q &= \cos \frac{p+q}{2} \cos \frac{p-q}{2} + \sin \frac{p+q}{2} \sin \frac{p-q}{2},
\end{aligned}
$$

et

$$ 
\begin{aligned}
\sin p &= \sin \frac{p+q}{2} \cos \frac{p-q}{2} + \sin \frac{p-q}{2} \cos \frac{p+q}{2} \\
\sin q &= \sin \frac{p+q}{2} \cos \frac{p-q}{2} - \sin \frac{p-q}{2} \cos \frac{p+q}{2},
\end{aligned}
$$

d'où

$$ 
\begin{aligned}
\cos p + \cos q &= 2 \cos \frac{p+q}{2} \cos \frac{p-q}{2} \\
\cos p - \cos q &= -2 \sin \frac{p+q}{2} \sin \frac{p-q}{2} \\
\sin p + \sin q &= 2 \sin \frac{p+q}{2} \cos \frac{p-q}{2} \\
\sin p - \sin q &= 2 \sin \frac{p-q}{2} \cos \frac{p+q}{2}.
\end{aligned}
$$
# Appendice B

## Substitution des séries entières

Commençons par le cas de deux polynômes ; posons

$$s_N(t) = \sum_{m \le N} a_m t^m \text{ et } t_N(z) = \sum_{n \le N} b_n z^n$$

et déterminons le polynôme $s_N \circ t_N(z)$. Notons à cet effet $D_N^m$ l'ensemble des $m$-uplets $(n_1, n_2, \dots, n_i, \dots, n_m)$ tels que $0 \le n_i \le N$, où $1 \le m \le N$. Les $D_N^m$ seront (par exemple !) rangés dans l'ordre lexicographique :

$$D_1^1 = (0), (1)$$

$$D_2^1 = (0), (1), (2),$$

$$D_2^2 = (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)$$

$$D_3^1 = (0), (1), (2), (3)$$

$$D_3^2 = (0, 0), \dots, (0, 3), (1, 0), \dots, (1, 3), (2, 0), \dots, (2, 3), (3, 0), \dots, (3, 3)$$

$$D_3^3 = (0, 0, 0), \dots, (0, 0, 3), (0, 1, 0), \dots, (0, 1, 3), \dots, (3, 3, 0), \dots, (3, 3, 3)$$

On aura tout d'abord pour $m \ge 1$

$$ \begin{aligned} (t_N(z))^m &= \left(\sum_{n \le N} b_n z^n\right)^m = \sum_{n_1 \le N, \dots, n_m \le N} b_{n_1} \cdots b_{n_m} z^{n_1 + \cdots + n_m} \quad (B.1) \\ &= \sum_{(n_i) \in D_N^m} b_{n_1} \cdots b_{n_m} z^{n_1 + \cdots + n_m} \end{aligned} $$

d'où, avec $h_N = s_N \circ t_N$

$$ \begin{aligned} h_N(z) &= a_0 + \sum_{1 \le m \le N} a_m \sum_{(n_i) \in D_N^m} b_{n_1} \cdots b_{n_m} z^{n_1 + \cdots + n_m} \\ &= a_0 + \sum_{0 \le p \le N^2} z^p \sum_{1 \le m \le N} a_m \sum_{\substack{(n_i) \in D_N^m \\ n_1 + \cdots + n_m = p}} b_{n_1} \cdots b_{n_m} \end{aligned} $$

soit

$$ h_N(z) = a_0 + \sum_{0 \le p \le N^2} c_p^N z^p \quad \text{où} \quad c_p^N = \sum_{1 \le m \le N} a_m \sum_{\substack{(n_i) \in D_N^m \\ n_1 + \cdots + n_m = p}} b_{n_1} \cdots b_{n_m} \quad (B.2) $$
Dans le cas où $N = 2$, par exemple, on obtient

$$
\begin{align*}
h_2(z) ={}& a_0 \\
& + z^0 (a_1 b_0 + a_2 b_0^2) \\
& + z (a_1 b_1 + a_2 (b_0 b_1 + b_1 b_0)) \\
& + z^2 (a_1 b_2 + a_2 (b_0 b_2 + b_2 b_0 + b_1^2)) \\
& + z^3 (a_2 (b_1 b_2 + b_2 b_1)) \\
& + z^4 a_2 b_2^2
\end{align*}
$$

Etudions maintenant le cas des séries : $s(z) = \sum_{m \in \mathbb{N}} a_m z^m$ et $t(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} b_n z^n$, l'observation de la
formule (B.1) nous invite à considérer la série

$$
a_0 + \sum_{p \in \mathbb{N}} c_p z^p \quad \text{où} \quad c_p = \sum_{m \in \mathbb{N}^*} a_m \sum_{\substack{(n_i) \in D^m \\ n_1 + \cdots + n_m = p}} b_{n_1} \cdots b_{n_m}, \qquad (B.3)
$$

et $D^m = \bigcup_{N \in \mathbb{N}^*} D_N^m$.

PROPOSITION B.1 Soit $s(z) = \sum_{m \in \mathbb{N}} a_m z^m$ une série entière de rayon de convergence $\rho(s)$ et $t(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} b_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $\rho(t)$. On pose $T(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} |b_n| z^n$ et on suppose qu'il existe $r$ tel que $0 < r < \rho(t)$ et $T(|z|) < \rho(s)$, $\forall |z| < r$. Alors pour $|z| < r$ on a $|t(z)| < \rho(s)$, et $s \circ t(z)$ est la somme de la série $a_0 + \sum_{p \in \mathbb{N}} c_p z^p$, où $c_p$ est la somme de la série absolument convergente

$$
c_p = \sum_{m \in \mathbb{N}^*} a_m \sum_{\substack{(n_i) \in D^m \\ n_1 + \cdots + n_m = p}} b_{n_1} \cdots b_{n_m}.
$$

DÉMONSTRATION. Nous supposerons désormais que $z$ est fixé et vérifie $|z| < r$.

▷ Posons tout d'abord

$$
S(z) = \sum_{m \in \mathbb{N}} |a_m| z^m
$$

puis

$$
\begin{align*}
H_N(z) &= |a_0| + \sum_{1 \le m \le N} \sum_{(n_i) \in D_N^m} |a_m| |b_{n_1}| \cdots |b_{n_m}| |z|^{n_1 + \cdots + n_m} \\
&= |a_0| + \sum_{1 \le m \le N} |a_m| \sum_{(n_i) \in D_N^m} |b_{n_1}| \cdots |b_{n_m}| |z|^{n_1 + \cdots + n_m}.
\end{align*}
$$

La suite $H_N(|z|)$ est croissante, et on a

$$
\begin{align}
H_N(|z|) &= S_N \circ T_N(|z|) = \sum_{m \le N} |a_m| \left( \sum_{n \le N} |b_n| |z|^n \right)^m \tag{B.4} \\
&\le \sum_{m \le N} |a_m| (T(|z|))^m \le \sum_{m \in \mathbb{N}} |a_m| (T(|z|))^m = C. \nonumber
\end{align}
$$

ce qui prouve que la suite $H_N(|z|)$ converge, c'est-à-dire que la série

$$
h(z) = a_0 + \sum_{m \in \mathbb{N}^*} \sum_{(n_i) \in D^m} a_m b_{n_1} \cdots b_{n_m} z^{n_1 + \cdots + n_m} = a_0 + \sum_{m \in \mathbb{N}^*} a_m \sum_{(n_i) \in D^m} b_{n_1} \cdots b_{n_m} z^{n_1 + \cdots + n_m}
$$

est absolument convergente.
► Montrons maintenant que $s \circ t(z) = h(z)$. On aura

$$h(z) - s \circ t(z) = (h(z) - h_N(z)) + (s_N(t_N(z)) - s(t_N(z))) + (s(t_N(z)) - s(t(z)))$$

Soit $\varepsilon > 0$, on sait déjà que, pour $N$ assez grand, $|h(z) - h_N(z)| < \varepsilon/3$. Mais de plus, comme $|t(z)| \le T(|z|) < \rho(s)$, on peut choisir $\theta$ tel que $|t(z)| < \theta < \rho(s)$, et pour $N$ assez grand, on aura $|t_N(z)| < \theta$, puisque $t_N(z) \to t(z)$. Comme $s_N$ converge uniformément vers $s$ dans le disque de rayon $\theta$, quitte à augmenter $N$, on aura $|s_N(t_N(z)) - s(t_N(z))| < \varepsilon/3$, et par continuité de $s$ dans son disque de convergence, toujours quitte à augmenter $N$, $|s(t_N(z)) - s(t(z))| \le \varepsilon/3$. Il en résulte que $h(z) = s \circ t(z)$.

► Il s'agit maintenant de montrer que $h(z) = a_0 + \sum_{p \in \mathbb{N}^*} c_p z^p$. Montrons tout d'abord que les séries $c_p$ = $\sum_{m \in \mathbb{N}^*} a_m \sum_{n_1+\cdots+n_m=p} b_{n_1} \cdots b_{n_m}$ convergent absolument. Considérons la série

$$z^p c_p = z^p \sum_{m \in \mathbb{N}^*} a_m \sum_{\substack{(n_i) \in D^m \\ n_1 + \cdots + n_m = p}} b_{n_1} \cdots b_{n_m},$$

c'est une série partielle de $h(z)$, qui converge donc absolument pour $|z| < r$ ; il en est donc de même de $c_p$. Bien plus, $\sum_{p \le N} c_p z^p$ est encore une série partielle de $h(z)$ et par conséquent, selon (B.4) on aura

$$\sum_{p \le N} |c_p| |z|^p \le C,$$

ce qui prouve que la série $\sum_{p \in \mathbb{N}} c_p z^p$ converge absolument.

► Notons enfin que si $(n_i) \in D_N^m$, on a $n_1 + \cdots + n_m \le mN$, d'où il résulte que les termes qui composent $h_N(z)$ figurent dans la somme partielle $a_0 + \sum_{p \le N^2} c_p z^p$. et par conséquent, pour $q \ge N^2$,

$$\left| a_0 + \sum_{p \le q} c_p z^p - h_N(z) \right| \le |a_0| + \sum_{p \le q} |c_p| |z|^p - H_N(|z|) \le H(|z|) - H_N(|z|).$$

Fixons alors $\varepsilon > 0$, pour $N$ assez grand, on aura

$$H(|z|) - H_N(|z|) < \varepsilon/2 \text{ ainsi que } |h(z) - h_N(z)| \le \varepsilon/2.$$

Il en résulte que

$$\left| a_0 + \sum_{p \le q} c_p z^p - h(z) \right| \le \left| a_0 + \sum_{p \le q} c_p z^p - h_N(z) \right| + |h(z) - h_N(z)| \le \varepsilon.$$

Q.E.D.
# Appendice C

## Calcul pratique de l'indice

Au prix d'une éventuelle translation, on se limitera au cas de la détermination de l'indice de l'origine par rapport au lacet $\lambda = \gamma - a$, puisque

$$n(\gamma; a) = \frac{1}{2i\pi} \int_{\gamma} \frac{1}{z-a} dz = \frac{1}{2i\pi} \int_{\lambda} \frac{1}{\zeta} d\zeta = n(\lambda; 0).$$

Fixons $\theta$ et supposons que la droite $\delta: s \to se^{i\theta}$ ne rencontre $\lambda$ qu'en un nombre fini $N-1$ de points. Opérons une rotation et posons $\lambda(t)e^{-i\theta} = u(t)+iv(t)$, où $u$ et $v$ sont réels. Une intersection $m_i$ correspondra à un couple de paramètres réels $t_i$ et $s_i$ tels que $m_i = \lambda(t_i) = s_i e^{i\theta}$, soit $u(t_i) = s_i$ et $v(t_i) = 0$. On choisira d'ordonner les $t_i$ selon $t_1 < t_2 < \dots < t_N$ avec $\lambda(t_1) = \lambda(t_N)$. On peut paramétrer $\lambda$ dans l'intervalle $[t_1, t_N]$ et comme $\gamma$ est fermé, prolonger ce paramétrage par périodicité à $\mathbb{R}$ tout entier. On répartira alors les points $m_i$ en quatre catégories

$$\diamond C_1 = \{m_i | u(t_i) > 0 \text{ et } v(t) \text{ croissant au voisinage de } t_i\}$$

$$\diamond C_2 = \{m_i | u(t_i) > 0 \text{ et } v(t) \text{ décroissant au voisinage de } t_i\}$$

$$\diamond C_3 = \{m_i | u(t_i) < 0 \text{ et } v(t) \text{ croissant au voisinage de } t_i\}$$

$$\diamond C_4 = \{m_i | u(t_i) < 0 \text{ et } v(t) \text{ décroissant au voisinage de } t_i\}$$

Notons que $m_1$ et $m_N$ appartiennent au même ensemble $C_k$ en raison de la périodicité, et que $N$ est impair car les signes de $v(t_1-\epsilon)$ et de $v(t_N+\epsilon)$ sont opposés alors que $v$ a changé $N$ fois de signe. Notons également que si $m_i \in C_k$, alors $m_{i+1} \in C_{k-1} \cup C_{k+1} \pmod 4$.

On aura

$$n(\lambda; 0) = \frac{1}{2i\pi} \sum_{i=1}^{N-1} \int_{t_i}^{t_{i+1}} \frac{1}{z} dz.$$

Posons alors

$$\delta_i = 1 \text{ si } m_i \in C_1 \cup C_4 \text{ et } \delta_i = -1 \text{ si } m_i \in C_2 \cup C_3; \qquad (C.1)$$

pour $t \in [t_i, t_{i+1}]$, on aura $u(t)+iv(t) = \rho(t)e^{i\tau(t)}$, où $\tau(t_i) = 0$ pour $t_i \in C_1 \cup C_2$ et $\tau(t_i) = \pi$ pour $t_i \in C_3 \cup C_4$ ; il en résulte que

$$\frac{1}{2i\pi} \int_{t_i}^{t_{i+1}} \frac{\lambda'(t)}{\lambda(t)} dt = \frac{1}{2i\pi} \int_{t_i}^{t_{i+1}} \frac{u'(t)+iv'(t)}{u(t)+iv(t)} dt = \frac{1}{2i\pi} \int_{t_i}^{t_{i+1}} \frac{\rho'(t)}{\rho(t)} dt + \frac{1}{2\pi} \int_{t_i}^{t_{i+1}} \tau'(t) dt,$$
d'où

$$ \Re \left( \frac{1}{2i\pi} \int_{t_i}^{t_{i+1}} \frac{\lambda'(t)}{\lambda(t)} dt \right) = \frac{1}{2\pi} (\tau(t_{i+1}) - \tau(t_i)). $$

Selon le tableau suivant

<table><thead><tr><th>τ</th><th>δ</th><th>t<sub>i</sub></th><th>t<sub>i+1</sub></th><th>δ</th><th>τ</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>1</td><td>C<sub>1</sub></td><td>C<sub>4</sub></td><td>1</td><td>π</td></tr><tr><td>0</td><td>1</td><td>C<sub>1</sub></td><td>C<sub>2</sub></td><td>-1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>-1</td><td>C<sub>2</sub></td><td>C<sub>1</sub></td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>0</td><td>-1</td><td>C<sub>2</sub></td><td>C<sub>3</sub></td><td>-1</td><td>-π</td></tr><tr><td>π</td><td>-1</td><td>C<sub>3</sub></td><td>C<sub>2</sub></td><td>-1</td><td>0</td></tr><tr><td>π</td><td>-1</td><td>C<sub>3</sub></td><td>C<sub>4</sub></td><td>1</td><td>π</td></tr><tr><td>π</td><td>1</td><td>C<sub>4</sub></td><td>C<sub>3</sub></td><td>-1</td><td>π</td></tr><tr><td>-π</td><td>1</td><td>C<sub>4</sub></td><td>C<sub>1</sub></td><td>1</td><td>0</td></tr></tbody></table>

on a

$$ \tau(t_{i+1}) - \tau(t_i) = \frac{\pi}{2} (\delta_i + \delta_{i+1}). $$

Il en résulte que

$$ n(\lambda; 0) = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{N-1} (\delta_i + \delta_{i+1}) = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{N-1} \delta_i + \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{N-1} \delta_{i+1} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N-1} \delta_i, \quad (C.2) $$

puisque $\delta_N = \delta_1$.

La méthode pratique est donc la suivante : si on veut déterminer l'indice du point *a* par rapport au lacet *γ*, on trace une droite *Δ* passant par *a*, on repère les intersections $m_i$ de *Δ* avec *γ*, à chacune desquelles on associe le nombre $\delta_i = +1$ si, vu de *a*, $\gamma$ est parcourue dans le sens direct au voisinage de $m_i$, et le nombre $\delta_i = -1$ si $\gamma$ est parcourue dans le sens rétrograde. L'indice est alors la demi-somme de tous ces nombres.

<figure><img src="image_183.png" /></figure>

Dans le cas particulier où $C_1 \cup C_2$ ne contient qu'un seul élément, soit par exemple $m_1 \in C_1$, on aura $m_i \in C_4$ si $i$ est pair et $m_i \in C_3$ si $i$ est impair. Comme $N$ est impair, on aura $\sum_{i=2}^{N-2} \delta_i = 0$ et $m_{N-1} \in C_4$, d'où

$$ n(\lambda; 0) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N-1} \delta_i = 1. \quad (C.3) $$

<figure><img src="image_184.png" /><figcaption>FIGURE C.1 – Calculs d'indices : bord orienté d'un compact</figcaption></figure>
<figure><img src="image_185.png" /><figcaption>FIGURE C.2 – Calculs d'indices : premier cas</figcaption></figure>

<figure><img src="image_186.png" /><figcaption>FIGURE C.3 – Calculs d'indices : second cas</figcaption></figure>
# Appendice D

## Connexité

### DÉFINITION D.1

(i) Un espace E est connexe si aucune de ses parties autre que $Ø$ ou $E$ n'est à la fois ouverte et fermée. C'est également dire qu'un espace connexe n'admet pas de partition formée de deux ouverts ou, de façon équivalente, de deux fermés non vides.

<figure><img src="image_187.png" /></figure>

(ii) Deux points d'un espace E sont connectés s'il existe une partie connexe de E qui les contienne.

Notons bien ici qu'il s'agit d'un espace connexe. Si on veut parler de la connexité de $\Omega \subset E$, il faut considérer $\Omega$ comme un espace topologique muni de la topologie induite par celle de $E$, soit celle dont les ouverts sont les restrictions à $\Omega$ des ouverts de $E$. En particulier, un ensemble peut être ouvert dans $\Omega$ sans l'être dans $E$ ; cependant, si $\Omega$ est un ouvert de $E$, alors un ouvert de $\Omega$ est ouvert dans $E$, et de même si $\Omega$ est un fermé de $E$, alors un fermé de $\Omega$ est fermé dans $E$.

<figure><img src="image_188.png" /></figure>

**PROPOSITION D.2** Si $A$ est ouvert et fermé dans $\Omega$, si $\omega$ est connexe et si $A \cap \omega \neq \emptyset$, alors $\omega \subset A$.

**DÉMONSTRATION.** On a en effet $\omega = (\omega \cap A) \cup (\omega \cap A^c)$, qui constituent l'union disjointe de deux ouverts de la topologie induite sur $\omega$. Il en résulte que $\omega = \omega \cap A$.

Q.E.D.

### PROPOSITION D.3

(i) L'image continue d'un espace connexe $E$ est connexe.

(ii) L'adhérence dans $E$ d'une partie connexe $A$ d'un espace $E$ est connexe.

**DÉMONSTRATION.**

► Supposons en effet que $f(E)$ ne soit pas connexe, alors on aurait $f(E) = A \cup B$, où $A$ et $B$ sont ouverts disjoints et non vides. et on aurait $E = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$, où $f^{-1}(A)$ et $f^{-1}(B)$ sont ouverts disjoints et non vides, ce qui constitue une contradiction.

► Supposons que $\bar{A} = C \cup D$, où $C$ et $D$ sont des parties disjointes non vides, fermées relativement à $\bar{A}$. Elles sont donc fermées relativement à $E$, ce qui prouve que $A = (A \cap C) \cup (A \cap D)$, où $A \cap C$ et $A \cap D$ sont disjointes et fermées relativement à $A$. Comme $A$ est connexe, il en résulte que l'une des deux, soit par exemple $A \cap D$ est vide ; on aura donc $A \subset C$, et comme $C$ est fermée, en fait $\bar{A} \subset C$, ce qui constitue une contradiction.

Q.E.D.
**PROPOSITION D.4** *L'union A d'une famille de parties connexes $A_i$, $i \in I$ ayant deux à deux une intersection non vide est connexe.*

**DÉMONSTRATION.** Supposons le contraire, alors $A = C \cup D$, où C et D sont des ouverts disjoints non vides. les $A_i \cap C$ et $A_i \cap D$ ont pour union $A_i$, sont disjoint et ouverts relativement à $A_i$, d'où il résulte que l'un d'entre eux est vide et l'autre égal à $A_i$. C'est dire que chaque $A_i$ est tout entière contenue dans l'un de C ou D, et comme deux quelconques des $A_i$ ont une intersection non vide, c'est que tous les $A_i$ sont inclus dans le même C ou D. Il en résulte qu'il en est de même de A, ce qui constitue une contradiction.

Q.E.D.

**PROPOSITION D.5** *La relation de connexion est une relation d'équivalence.*

**DÉMONSTRATION.** Montrons la transitivité : supposons à cet effet que d'une part $x$ et $y$ et d'autre part $y$ et $z$ soient connectés. Il existe donc $A$ et $B$ connexes contenant respectivement $x$ et $y$ et $y$ et $z$. En vertu de la proposition D.4, comme $A \cap B$ n'est pas vide, $A \cup B$ est connexe, d'où il résulte que $x$ et $z$ sont connectés.

Q.E.D.

Une classe d'équivalence pour cette relation s'appelle une composante connexe ; les composantes connexes sont disjointes et l'espace entier est la réunion de ses composantes connexes.

**PROPOSITION D.6**

(i) La composante connexe $E_x$ d'un point $x$ dans $E$ est la plus grande partie connexe de $E$ le contenant.

(ii) Une composante connexe de $E$ est fermée dans $E$.

**DÉMONSTRATION.**

► Si $A$ est connexe et contient $x$, alors tous les points de $A$ sont connectés à $x$, d'où il résulte que $A \subset E_x$. C'est dire que $E_x$ contient l'union des parties connexes contenant $x$. Réciproquement si $y \in E_x$, il est connecté à $x$ et donc contenu dans une partie connexe $B$ contenant $x$. Il en résulte que $E_x$ est égal à l'union des parties connexes contenant $x$. Comme ces parties contiennent toutes $x$, il résulte de la proposition D.4 que $E_x$ est connexe et le résultat annoncé.

► D'après la proposition D.3, $\overline{E_x}$ est connexe, et par conséquent $E_x = \overline{E_x}$.

Q.E.D.

<figure><img src="image_189.png" /></figure>

Notons que si $B$ est une partie de $A$ et $C$ une composante connexe de $B$, $C$ n'est pas nécessairement fermée dans $E$, ainsi qu'on le constate avec par exemple $E = \mathbb{R}$ et $B = ]0, 1[ \cup ]2, 3[$.

La notion de connexité est un outil théorique, d'utilisation commode dans les démonstrations, mais guère d'un point de vue pratique pour décider de la connexité de tel ou tel ensemble concret.

<figure><img src="image_190.png" /></figure>

**DÉFINITION D.7** *Un espace E est connexe par arcs si deux quelconques de ses points, soient a et b, peuvent être joints par un arc, c'est-à-dire s'il existe une application continue $\gamma$ ; $[0, 1] \to E$ telle que $\gamma(0) = a$ et $\gamma(1) = b$.*

Cette notion est plus concrète, et il est souvent (mais pas toujours) assez facile de montrer qu'un ensemble explicitement défini est ou non connexe.

**PROPOSITION D.8** *Un espace E connexe par arcs est connexe.*

**DÉMONSTRATION.** Supposons que $E$ ne soit pas connexe, alors $E = A \cup B$ où $A$ et $B$ sont des ouverts (ainsi d'ailleurs que des fermés) disjoints non vides. Soient $a$ et $b$ appartenant respectivement à $A$ et $B$, par hypothèse, ils peuvent être joints par un chemin continu, soit $\gamma$. En vertu de la proposition D.3, le chemin $\gamma$ est connexe, et il est clair que $\gamma \cap A$ et $\gamma \cap B$ en constituent une partition. Comme $A$ et $B$ sont ouverts pour la topologie de $E$, $\gamma \cap A$ et $\gamma \cap B$ le sont pour la topologie induite de $\gamma$, ce qui constitue une contradiction, puisqu'aucun des deux n'est vide.

Q.E.D.
<figure><img src="image_191.png" /><figcaption>FIGURE D.1 – L'ensemble A</figcaption></figure>

<figure><img src="image_192.png" /></figure>

La réciproque est généralement fausse, ainsi qu'on le constate sur l'exemple suivant.

► Notons $A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0.2 \ge x > 0 \text{ et } y = \sin 1/x \}$ et $B = A \cup C$ où $C = \{0\} \times [-1, 1]$. L'ensemble A est connexe en tant que image continue du segment $[0, 0.2]$. Soit $(x_n, y_n)$ une suite dans A, qui converge vers $(x, y)$. Nécessairement $y \in [-1, 1]$ qui est fermé et si $x \ne 0$, alors $y = \sin 1/x$ ; c'est dire que $\bar{A} \subset B$. Réciproquement $\bar{B} \subset \bar{A} \cup \bar{C} = \bar{A} \cup C \subset B \cup C = B$ ; il en résulte que B est connexe en tant que adhérence de A dans $\mathbb{R}^2$.

► Notons par ailleurs $\gamma(t) = (\gamma_1(t), \gamma_2(t))$ un chemin continu dans B d'origine (0,1) et d'extrémité $(x,y)$ avec $x > 0$ et posons $\tau = \sup\{t \in [0,1] | \gamma_1(t) = 0\}$ ; par continuité, cette borne est atteinte dans $[0,1]$ et on aura $\gamma(\tau) = (0,\gamma_2(\tau))$. Choisissons $\eta \in [-1,1]$ et considérons une suite décroissante $\tau_n$ tendant vers $\tau$ ;. Pour $n'(n)$ assez grand, on aura $0 < x_{n'} = (\arcsin\eta + n'\pi)^{-1} < \gamma_1(\tau_n)$, et par conséquent comme $\gamma_1$ est continue sur $[\tau, \tau_n]$, $\exists t_n \in [\tau, \tau_n]$ tel que $\gamma_1(t_n) = x_{n'}$. Notons alors que $\gamma_2(t_n) = \eta$ ce qui est incompatible avec la continuité de $\gamma_2$ puisque $t_n \to \tau$ et que $\eta$ peut être choisie arbitrairement ; B n'est par conséquent pas connexe par arcs.

DÉFINITION D.9

(i) Un espace E est localement connexe si tout point de E possède un système fondamental de voisinages connexes, c'est-à-dire si tout voisinage d'un point contient un voisinage connexe de ce point.

(ii) Un espace E est localement connexe par arcs si tout point de E possède un système fondamental de voisinages connexes par arcs.

PROPOSITION D.10 Dans un espace localement connexe, toute composante connexe est à la fois ouverte et fermée.

DÉMONSTRATION. Soit $E_x$ la composante connexe de $x$ et $y \in E_x$. Soit $V$ un voisinage connexe de $y$, comme tous ses points sont connectés à $y$, ils le sont également à $x$, et par conséquent $V \subset E_x$, ce qui montre que $E_x$ est ouvert. Selon la proposition D.6, $E_x$ est également fermée.

Q.E.D.

PROPOSITION D.11 Soit E un espace localement connexe par arcs, s'il est connexe, alors il est connexe par arcs, sinon chacune de ses composantes connexes est ouverte, fermée et connexe par arcs.

DÉMONSTRATION.
► Soit $x \in E$ et $\tilde{E}_x$ l'ensemble des points qui peuvent être joints à $x$ par un chemin continu. Soit $y \in \tilde{E}_x$ et $\tilde{V}$ un voisinage de $y$ dont tous les points puissent lui être joints par un chemin continu. Il est clair que si $z \in \tilde{V}$, il peut être joint à $x$, et par conséquent $\tilde{V} \subset \tilde{E}_x$, ce qui montre que $\tilde{E}_x$ est ouvert.

► Montrons que $\tilde{E}_x$ est fermé, et considérons à cet effet son complémentaire $\tilde{F}_x$. Soit $y \in \tilde{F}_x$ et $\tilde{W}$ un voisinage de $y$ dont tous les points puissent lui être joints par un chemin. Aucun point $z$ de $\tilde{W}$ ne peut appartenir à $\tilde{E}_x$, car sinon on pourrait joindre $x$ à $y$ par l'intermédiaire de $z$. Il en résulte que $\tilde{F}_x$ est ouvert et par conséquent $\tilde{E}_x$ fermé.

► Notons $E_x$ la composante connexe de $x$, comme $\tilde{E}_x$ est connexe puisque connexe par arcs, on aura $\tilde{E}_x \subset E_x$, et comme $E_x$ est connexe et $\tilde{E}_x$ à la fois ouvert, fermé et non vide, on aura $\tilde{E}_x = E_x$. Ce qui montre que $E_x$ est ouvert, fermé et connexe par arcs.

► Si de plus $E$ est connexe, comme $\tilde{E}_x$ est ouvert, fermé et non vide, on aura $E = \tilde{E}_x$, ce qui prouve que $E$ est connexe par arcs.

Q.E.D.

On peut maintenant noter qu'un ouvert $\Omega$ d'un espace métrique (par exemple $\mathbb{C}$) est localement connexe par arcs, en effet tout point de $\Omega$ est contenu dans une boule incluse dans $\Omega$, et une boule est connexe par arcs.

**COROLLAIRE D.12** Si $\Omega$ est un ouvert dans un espace métrique $E$, alors les composantes connexes de $\Omega$ sont ouvertes dans cet espace.

**DÉMONSTRATION.** Selon la proposition **D.11**, les composantes connexes de $\Omega$ sont ouvertes dans $\Omega$, et donc dans $E$, puisque $\Omega$ est un ouvert de $E$.

Q.E.D.

<figure><img src="image_193.png" /></figure>

En ce qui nous concerne nous n'aurons donc pas à faire de différence entre connexité et connexité par arcs lorsqu'il s'agit d'ouverts de $\mathbb{C}$.
# Appendice E

## La transformation de Fourier des distributions

Dans ce chapitre nous utilisons la définition suivante de la transformée de Fourier d'une fonction intégrable :

$$ \mathcal{F}\varphi(\xi) = \hat{\varphi}(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) e^{-ix\xi} dx, $$

celle des distributions s'en déduira par transposition selon la formule suivante :

$$ \langle \hat{T}, \varphi \rangle = \langle T, \hat{\varphi} \rangle. $$

On vérifie aisément qu'une telle formule est exacte dans le cas où $T$ est associée à une fonction intégrable. Cependant $\varphi$ et $\hat{\varphi}$ ne peuvent pas conjointement être à support compact ce qui ne permet pas de définir la transformée de Fourier de n'importe quelle distribution. Ceci conduit à la définition d'un espace de fonctions test $\mathcal{S}$ contenant $\mathcal{D}$ qui soit stable par la transformation de Fourier, c'est-à-dire tel que

$$ \mathcal{F}(\mathcal{S}) \subset \mathcal{S}. $$

### E.1 Transformation de Fourier des fonctions à décroissance rapide

#### E.1.1 L'espace $\mathcal{S}$

**DÉFINITION E.1** On note $\mathcal{S}$ l'espace vectoriel des fonctions $\varphi \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})$ telles que

$$ |x|^j \varphi^{(m)}(x) \to 0 \quad \text{quand} \quad |x| \to +\infty \qquad (\text{E.1}) $$

pour tout $j \in \mathbb{N}$ et tout $m \in \mathbb{N}$.

On munit $\mathcal{S}$ de la topologie définie par la famille de semi-normes :

$$ p_{j,m}(\varphi) = \sup_{x \in \mathbb{R}} |x|^j |\varphi^{(m)}(x)| $$

pour $j \in \mathbb{N}$ et $m \in \mathbb{N}$. Cette famille de semi-normes étant dénombrable, l'espace $\mathcal{S}$ est métrisable. De plus, on vérifie les propriétés suivantes :

**PROPOSITION E.2**
(i) L'espace $\mathcal{S}$ est complet.

(ii) L'injection de $\mathcal{D}$ dans $\mathcal{S}$ est continue.

(iii) L'espace $\mathcal{D}$ est dense dans $\mathcal{S}$.

(iv) La dérivation est une application continue de $\mathcal{S}$ dans lui-même.

(v) Si $q$ est un polynôme, l'application $\varphi \to q\varphi$ est une application continue de $\mathcal{S}$ dans lui-même.

## E.1.2 Transformation de Fourier sur $\mathcal{S}$

**THÉORÈME E.3** La transformation de Fourier est une application linéaire continue de $\mathcal{S}$ dans lui-même.

**DÉMONSTRATION.**

► Si $\varphi \in \mathcal{S}$, alors $x^j\varphi^{(m)}(x)$ est intégrable pour tout $j \in \mathbb{N}$ et tout $m \in \mathbb{N}$. Pour s'en convaincre, on peut remarquer par exemple que la fonction $|x|^{j+n+1}\partial^a\varphi(x)$ est régulière et tend vers 0 à l'infini. Elle est donc bornée sur $\mathbb{R}$ et ceci prouve que $x^j\varphi^{(m)} \in L^1(\mathbb{R})$. Ceci prouve que $\hat{\varphi}$ est une fonction de classe $C^\infty$ qui tend vers 0 à l'infini, ainsi que toutes ses dérivées, plus vite que toute puissance de $1/\xi$. Autrement dit, $\hat{\varphi} \in \mathcal{S}$.

► L'application $\mathcal{F}$ est continue de $\mathcal{S}$ dans $\mathcal{S}$; comme elle est linéaire, il suffit de montrer que si $\varphi_k$ est une suite tendant vers 0 dans $\mathcal{S}$, alors il en est de même pour $\hat{\varphi}_k$. Comme $\xi^n\hat{\varphi}_k^{(m)} = \mathcal{F}((x^m\varphi_k)^{(n)})$, on aura

$$ \sup_{\xi \in \mathbb{R}} |\xi^n \hat{\varphi}_k^{(m)}| \le \|(x^m \varphi_k)^{(n)}\|_{L^1}, $$

et le résultat en découle aisément.

Q.E.D.

# E.2 Transformation de Fourier des distributions tempérées

## E.2.1 L'espace $\mathcal{S}'$

**DÉFINITION E.4** On appelle espace des distributions tempérées et on note $\mathcal{S}'$ l'espace vectoriel des formes linéaires continues sur $\mathcal{S}$.

Par définition, si $T$ est une distribution tempérée, il existe $k \in \mathbb{N}$ et une constante $C$ tels que :

$$ \forall \varphi \in \mathcal{S}, \quad |\langle T, \varphi \rangle| \le C \sup_{0 \le j \le k, 0 \le m \le k} p_{j,m}(\varphi). \qquad (E.2) $$

La topologie de $\mathcal{S}'$ coïncide pour les suites avec celle du dual faible de $\mathcal{S}$ : une suite $T_k$ de $\mathcal{S}'$ converge vers $T$ dans $\mathcal{S}'$ si et seulement si on a :

$$ \langle T_k, \varphi \rangle \to \langle T, \varphi \rangle \quad \forall \varphi \in \mathcal{S}. $$

De la proposition E.2, on déduit le

**THÉORÈME E.5** Soit $T \in \mathcal{D}'$. Supposons qu'il existe $k \in \mathbb{N}$ et une constante $C$ tels que :

$$ \forall \varphi \in \mathcal{D}, \quad |\langle T, \varphi \rangle| \le C \sup_{0 \le j \le k, 0 \le m \le k} p_{j,m}(\varphi), \qquad (E.3) $$

alors $T$ se prolonge d'une manière unique en une distribution tempérée.

**DÉMONSTRATION.** Soit $\varphi \in \mathcal{S}$, d'après la proposition E.2, il existe une suite $\varphi_k \in \mathcal{D}$ qui converge vers $\varphi$ dans $\mathcal{S}$. D'après la majoration (E.3), il en résulte que $\langle T, \varphi_k \rangle$ est une suite de Cauchy dans $\mathbb{R}$. On vérifie aisément que sa limite ne dépend que de $\varphi$ (et non de la suite $\varphi_k$), on la note donc $\langle T, \varphi \rangle$. Il est facile de voir que $T$ ainsi définie vérifie (E.2), c'est donc une distribution tempérée.

Q.E.D.
Ceci montre que l'on peut identifier $\mathcal{S}'$ à un sous-espace (strict) de $\mathcal{D}'$.

**Quelques exemples et contre-exemples :**

(i) Les distributions à support compact sont des distributions tempérées.

(ii) Les fonctions intégrables définissent des distributions tempérées.

(iii) De même, si $f \in L^1(\mathbb{R})$, la fonction $x^m f(x)$ définit une distribution tempérée, en particulier, une fonction polynômiale définit une distribution tempérée.

(iv) La fonction $f(x) = e^x$ ne définit pas une distribution tempérée.

A nouveau, on a le

**LEMME E.6**

(i) La dérivation est une application continue de $\mathcal{S}'$ dans lui-même.

(ii) Si $q$ est un polynôme, l'application $\varphi \to q\varphi$ est une application continue de $\mathcal{S}'$ dans lui-même.

**E.2.2 La transformation de Fourier sur $\mathcal{S}'$**

**LEMME E.7**

(i) Soit $T \in \mathcal{S}'$, l'application

$$ \varphi \to \langle T, \hat{\varphi} \rangle $$

définit une distribution tempérée que l'on note $\hat{T}$ ou $\mathcal{F}(T)$ et que l'on appelle la transformée de Fourier de $T$. On a donc par définition :

$$ \langle T, \hat{\varphi} \rangle = \langle \hat{T}, \varphi \rangle \quad \forall \varphi \in \mathcal{S}. $$

(ii) La transformation de Fourier est une application continue de $\mathcal{S}'$ dans lui-même.

**DÉMONSTRATION.** Il suffit de vérifier que l'application $\varphi \to \langle T, \hat{\varphi} \rangle$ est continue de $\mathcal{S}$ dans $\mathbb{R}$. Soit donc $\varphi_k$ une suite de $\mathcal{S}$ convergeant vers $\varphi$ dans $\mathcal{S}$. Alors, d'après le théorème E.3, la suite $\hat{\varphi}_k$ converge vers $\hat{\varphi}$ dans $\mathcal{S}$. Comme $T$ est une forme linéaire continue sur $\mathcal{S}$, on a finalement

$$ \langle T, \hat{\varphi}_k \rangle \to \langle T, \hat{\varphi} \rangle. $$

La continuité de $\mathcal{F}$ de $\mathcal{S}'$ dans lui-même est immédiate

Q.E.D.

Etudions quelques exemples :

(i) La masse de Dirac est une distribution tempérée. On a

$$ \langle \hat{\delta}, \varphi \rangle = \langle \delta, \hat{\varphi} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) dx, \quad \forall \varphi \in \mathcal{S}, $$

c'est-à-dire

$$ \mathcal{F}(\delta) = \hat{\delta} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}. \qquad (E.4) $$

(ii) De même

$$ \langle \mathcal{F}(\delta^{(m)}), \varphi \rangle = (-1)^m \langle \delta, \hat{\varphi}^{(m)} \rangle = \langle \delta, \mathcal{F}((ix)^m \varphi) \rangle \quad \forall \varphi \in \mathcal{S}, $$

d'où

$$ \mathcal{F}(\delta^{(m)}) = \frac{(ix)^m}{\sqrt{2\pi}}. \qquad (E.5) $$
La transformée de Fourier d'une distribution à support compact associée à une fonction :

**THÉORÈME E.8** Si $T$ est une distribution à support compact, alors $\hat{T}$ est la fonction de $\xi$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ donnée par :

$$ \hat{T}(\xi) = \langle T, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-ix\xi} \rangle_x, \forall \xi \in \mathbb{R}. $$

De plus, pour tout $m \in \mathbb{N}$, il existe un entier $\ell \in \mathbb{N}$ et une constante réelle $C$ tels que

$$ |\hat{T}^{(m)}(\xi)| \le C (1 + |\xi|^\ell) \quad \forall \xi \in \mathbb{R}. $$

On dit que $\hat{T}$ est une fonction à croissance lente.

**DÉMONSTRATION.**

▶ Notons tout d'abord que, comme $T$ est à support compact et $e^{-ix\xi}$ est une fonction $\mathcal{C}^\infty$ de $x$, le produit de dualité a bien un sens.

▶ On peut ensuite vérifier, en utilisant une version étendue du théorème de Fubini, que

$$ \langle T, \hat{\varphi} \rangle_x = \langle T, \langle \varphi, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-ix\xi} \rangle_\xi \rangle_x = \langle \langle T, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-ix\xi} \rangle_x, \varphi \rangle_\xi $$

pour tout $\varphi \in \mathcal{S}$.

▶ Le théorème de dérivation sous le crochet permet finalement de montrer que

$$ \hat{T}^{(m)}(\xi) = \langle T, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (-ix)^m e^{-ix\xi} \rangle_x, \quad \forall \xi \in \mathbb{R}. $$

Si $K$ est un compact contenant le support de $T$ et si $k$ désigne l'ordre de $T$, on en déduit qu'il existe une constante $C$ telle que :

$$ |\hat{T}^{(m)}(\xi)| \le C \sup_{x \in K, 0 \le n \le k} |((-ix)^m e^{-ix\xi})^{(n)}|, $$

d'où la dernière majoration.

Q.E.D.

### E.2.3 Propriétés élémentaires

On peut généraliser aux distributions tempérées les formules classiques relatives à la transformation de Fourier des fonctions :

**LEMME E.9** Soit $T \in \mathcal{S}'$. Alors

$$ \mathcal{F}(T^{(m)}) = (i\xi)^m \mathcal{F}(T) \qquad (E.6) $$

et

$$ \mathcal{F}^{(m)}(T) = \mathcal{F}((-ix)^m T). \qquad (E.7) $$

**DÉMONSTRATION.**

▶ Démontrons la première identité. Pour tout $\varphi \in \mathcal{S}$ on a par définition de la transformée de Fourier et de la dérivation des distributions :

$$ \begin{aligned} \langle \mathcal{F}(T^{(m)}), \varphi \rangle_{\xi} &= \langle T, (-1)^m (\mathcal{F}\varphi)^{(m)} \rangle_{x} \\ &= \langle T, \mathcal{F}((i\xi)^m \varphi) \rangle_{x} = ((i\xi)^m \mathcal{F}(T), \varphi)_{\xi}. \end{aligned} $$

▶ De même, on a pour tout $\varphi \in \mathcal{S}$ :

$$ \begin{aligned} \langle \mathcal{F}^{(m)}(T), \varphi \rangle_{\xi} &= \langle T, (-1)^m \mathcal{F}(\varphi^{(m)}) \rangle_{x} \\ &= \langle T, (-ix)^m \mathcal{F}(\varphi) \rangle_{x} = \langle \mathcal{F}((-ix)^m T), \varphi \rangle_{\xi}. \end{aligned} $$

Q.E.D.
De même

LEMME E.10 Soit $T \in \mathcal{S}'$ et $a \in \mathbb{R}$, alors on a :

$$ \mathcal{F}(\tau_a T) = e^{-ia\xi} \mathcal{F}T \text{ et } \mathcal{F}(e^{iax}T) = \tau_a \mathcal{F}T, \qquad (E.8) $$

où l'on rappelle que

$$ \langle \tau_a T, \varphi \rangle = \langle T, \tau_{-a} \varphi \rangle. $$

En particulier, on déduit des lemmes précédents les formules suivantes :

$$ \mathcal{F}(\delta^{(m)}) = \frac{(i\xi)^m}{\sqrt{2\pi}} \text{ et } (\delta_a) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-ia\xi}. $$

### E.2.4 Les formules de réciprocaté et de Plancherel

La transformation de Fourier est un isomorphisme de $\mathcal{S}$ et de $\mathcal{S}'$

LEMME E.11

$$ \mathcal{F}(1) = \sqrt{2\pi}\delta \qquad (E.9) $$

DÉMONSTRATION. Posons $\hat{T}_{\xi} = \mathcal{F}(1)$. Alors, d'après l'identité (E.6), on a :

$$ \xi \hat{T} = 0 \qquad (E.10) $$

il en résulte que $\hat{T}$ est nécessairement de la forme :

$$ \hat{T} = C\delta. $$

Pour déterminer la valeur de la constante $C$, on utilise la fonction test particulière $\varphi(x) = e^{-x^2/2}$. On trouve ainsi

$$ \langle \hat{T}, \varphi \rangle_{\xi} = \langle 1, \mathcal{F}(\varphi) \rangle_{x} = \langle 1, \varphi \rangle_{x} = \sqrt{2\pi}. $$

Q.E.D.

THÉORÈME E.12

$$ \forall \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}) \qquad \overline{\mathcal{F}}(\mathcal{F}\varphi) = \varphi. \qquad (E.11) $$

DÉMONSTRATION. Soit $\varphi \in \mathcal{S}$ et $a \in \mathbb{R}$. On a :

$$ \overline{\mathcal{F}}(\mathcal{F}\varphi)(a) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} \mathcal{F}\varphi(\xi)e^{ia\xi}d\xi. $$

Or

$$ \mathcal{F}\varphi(\xi)e^{ia\xi} = \mathcal{F}(\tau_{-a}\varphi)(\xi). $$

Par conséquent :

$$ \overline{\mathcal{F}}(\mathcal{F}\varphi)(a) = \langle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \mathcal{F}(\tau_{-a}\varphi) \rangle = \langle \mathcal{F}(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}), \tau_{-a}\varphi \rangle = \langle \delta, \tau_{-a}\varphi \rangle = \varphi(a). $$

Q.E.D.
C'est dire que la transformation de Fourier est une bijection de $\mathcal{S}$ dans lui-même dont l'inverse est la transformation de Fourier conjuguée $\overline{\mathcal{F}}$ définie par :

$$ \forall \varphi \in \mathcal{S} \quad \overline{\mathcal{F}}(\varphi)(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} \varphi(x)e^{ix\xi}dx = \mathcal{F}(\varphi)(-\xi). \qquad (E.12) $$

On en déduit immédiatement que la transformation de Fourier est également une bijection de $\mathcal{S}'$ dans lui-même :

### THÉORÈME E.13

$$ \forall T \in \mathcal{S}' \quad \overline{\mathcal{F}}(\mathcal{F}T) = T. \qquad (E.13) $$

DÉMONSTRATION. Pour tout $\varphi \in \mathcal{S}$, on a :

$$ \langle \overline{\mathcal{F}}(\mathcal{F}T), \varphi \rangle = \langle T, \mathcal{F}(\overline{\mathcal{F}}\varphi) \rangle = \langle T, \varphi \rangle. $$

Q.E.D.

En découlent les formules de Parseval et de Plancherel :

### THÉORÈME E.14 Pour toutes fonctions $\varphi$ et $\psi$ dans $\mathcal{S}$ on a :

(i) **Identité de Parseval :**

$$ \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) \overline{\psi(x)} dx = \langle \varphi, \overline{\psi} \rangle = \langle \mathcal{F}(\psi), \overline{\mathcal{F}(\psi)} \rangle = \int_{\mathbb{R}} \hat{\varphi}(\xi) \overline{\hat{\psi}(\xi)} d\xi \qquad (E.14) $$

(ii) **Identité de Plancherel :**

$$ \int_{\mathbb{R}} |\varphi(x)|^2 dx = \int_{\mathbb{R}} |\hat{\varphi}(\xi)|^2 d\xi \qquad (E.15) $$

DÉMONSTRATION. On déduit tout d'abord l'identité (E.14) de la formule de réciprocity. En effet

$$ \langle \varphi, \overline{\psi} \rangle = \langle \varphi, \mathcal{F}(\overline{\mathcal{F}\psi}) \rangle = \langle \mathcal{F}\varphi, \overline{\mathcal{F}\psi} \rangle, $$

puis (E.15) en prenant $\varphi = \psi$ dans (E.14).

Q.E.D.

## E.2.5 Transformation de Fourier et convolution

On sait que, dans le cas des fonctions intégrables, la transformée de Fourier du produit de convolution est égale (au facteur $\sqrt{2\pi}$ près) au produit des transformées de Fourier. Dans le cas où $T$ et $U$ sont deux distributions tempérées cette relation reste valable sous diverses conditions mais il ne suffit pas que les supports de $T$ et $U$ soient convolutifs ou que le produit $\mathcal{F}(T)\mathcal{F}(U)$ ait un sens.

### THÉORÈME E.15 Si $T$ et $U$ sont des distributions à support compact, alors

$$ \mathcal{F}(T * U) = \sqrt{2\pi} \mathcal{F}(T) \mathcal{F}(U) \qquad (E.16) $$
DÉMONSTRATION. D'après le théorème E.8, les transformées de Fourier de T, de U et de $T * U$ sont des fonctions de classe $C^\infty$. En particulier, le produit $\mathcal{F}(T)\mathcal{F}(U)$ a bien un sens. Toujours d'après le théorème E.8, on a :

$$ \mathcal{F}(T * U)(\xi) = \langle T * U, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-ix\xi} \rangle_x, \forall \xi \in \mathbb{R}. $$

Par définition de la convolution, ceci s'écrit aussi :

$$ \mathcal{F}(T * U)(\xi) = \langle T, \langle U, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-i(x+y)\xi} \rangle_x \rangle_y = \langle T, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-iy\xi} \rangle_y \langle U, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-ix\xi} \rangle_x, $$

d'où le résultat.

Q.E.D.

Ce théorème admet l'extension suivante :

THÉORÈME E.16 Si $T \in \mathcal{S}'$ et $U$ est une distribution à support compact, alors l'identité (E.16) est vérifiée.

DÉMONSTRATION. A nouveau, le produit de convolution a bien un sens dans ce cas et comme $\mathcal{F}(U)$ est une fonction de classe $C^\infty$, le produit $\mathcal{F}(T)\mathcal{F}(U)$ définit une distribution. Pour $\varphi \in \mathcal{S}$, on cherche à définir $\langle \mathcal{F}(T * U), \varphi \rangle_\xi$ de la manière suivante :

$$ \langle \mathcal{F}(T * U), \varphi \rangle_{\xi} = \langle T * U, \mathcal{F}\varphi \rangle_{x} = \langle T_x, \langle U_y, \mathcal{F}\varphi(x+y) \rangle_y \rangle_x. \quad (E.17) $$

Or à x fixé on a

$$ \langle U_y, \mathcal{F}\varphi(x+y) \rangle_y = \langle U_y, \mathcal{F}(e^{-ix\xi}\varphi(\xi))(y) \rangle_y = \langle \mathcal{F}(U), e^{-ix\xi}\varphi(\xi) \rangle_\xi. $$

Mais comme $\mathcal{F}(U)$ est une fonction de classe $C^\infty$, ceci s'écrit encore :

$$ \langle U_y, \mathcal{F}\varphi(x+y) \rangle_y = \sqrt{2\pi} \mathcal{F}(\mathcal{F}(U)\varphi)(x). $$

En revenant à (E.17), on obtient alors :

$$ \begin{aligned} \langle \mathcal{F}(T * U), \varphi \rangle_{\xi} &= \sqrt{2\pi} \langle T, \mathcal{F}(\mathcal{F}(U)\varphi) \rangle_{x} \\ &= \sqrt{2\pi} \langle \mathcal{F}(T), \mathcal{F}(U)\varphi \rangle_{\xi} = \sqrt{2\pi} \langle \mathcal{F}(T)\mathcal{F}(U), \varphi \rangle_{\xi}. \end{aligned} $$

Q.E.D.

REMARQUE E.17 Si Y désigne la fonction de Heaviside, on a

$$ \hat{Y} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( \pi\delta - i\text{vp}\frac{1}{\xi} \right). $$

En effet, d'après (E.6)

$$ \mathcal{F}\left(\frac{dY}{dx}\right) = i\xi\mathcal{F}(Y), $$

or

$$ \frac{dY}{dx} = \delta $$

donc $\mathcal{F}(Y)$ doit vérifier

$$ i\xi\mathcal{F}(Y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}. $$

Il existe donc une constante C telle que

$$ \mathcal{F}(Y) = -i \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (\text{vp}(1/\xi) + C\delta); $$
on peut alors déterminer la valeur de la constante C en remarquant que

$$ \langle \mathcal{F}(Y), e^{-\xi^2/2} \rangle = -i \frac{1}{\sqrt{2\pi}} C = \int_0^{+\infty} e^{-\xi^2/2} d\xi, $$

d'où $C = i\pi$. On a donc finalement

$$ \mathcal{F}(Y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (\pi\delta - i\text{vp}(1/\xi)). $$
# Appendice F

## Le rayon de Bohr

Le lemme d'Abel (Théorème 1.19) nous enseigne que dans le cas des séries entières, les deux notions de convergence et de convergence absolue sont équivalentes, hormis sur le bord du disque de convergence. Il est donc naturel de tenter une comparaison entre le module d'une série entière et celui de la série des modules dans le disque de convergence, et tout particulièrement au voisinage de son bord.

On notera $\mathscr{E}$ l'espace des fonctions développables en série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à 1.

**LEMME F.1** Soit $h(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ appartenant à $\mathscr{E}$, et $\tau \in ]0, 1[$, alors si $r \in ]0, 1[$,

$$ \sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| \tau^n r^n = |a_0| + \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \mathfrak{Re} (h(re^{i\theta})) \sum_{n \ge 1} \tau^n \cos(n\theta + \varphi_n) d\theta. $$

**DÉMONSTRATION.** Posons $H_r(\theta) = h(re^{i\theta})$ ; les coefficients de Fourier respectifs $\alpha_n$ et $\beta_n$ de $H_r$ et $\bar{H}_r$ ont pour expression

$$ \alpha_n = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\pi}^{+\pi} h(re^{i\theta}) e^{-in\theta} d\theta \text{ et } \alpha_n = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\pi}^{+\pi} \bar{h}(re^{i\theta}) e^{-in\theta} d\theta, $$

soit

$$ \begin{aligned} \alpha_n &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{k \in \mathbb{N}} a_k r^k \int_{-\pi}^{+\pi} e^{ik\theta} e^{-in\theta} d\theta = \begin{cases} \sqrt{2\pi} a_n r^n \sin n \ge 0 & 0 \sin n < 0 \\ 0 & \sin n > 0 \end{cases} \\ \beta_n &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{k \in \mathbb{N}} \bar{a}_k r^k \int_{-\pi}^{+\pi} e^{-ik\theta} e^{-in\theta} d\theta = \begin{cases} 0 & \sin n > 0 \\ \sqrt{2\pi} \bar{a}_{-n} r^{-n} \sin n \le 0 & \sin n < 0 \end{cases} \end{aligned} $$

On en déduit que

$$ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \mathfrak{Re} (h(re^{i\theta})) e^{-in\theta} d\theta = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} (h(re^{i\theta}) + \bar{h}(re^{i\theta})) e^{-in\theta} d\theta = \begin{cases} a_n r^n \sin n > 0 & 2 \mathfrak{Re}(a_0) \sin n = 0 \\ \bar{a}_{-n} r^{-n} \sin n < 0 & \sin n > 0 \end{cases} \quad (\text{F.1}) $$

Posons alors $a_n = |a_n| e^{i\varphi_n}$, on aura

$$ |a_n| \tau^n r^n = a_n e^{-i\varphi_n} \tau^n r^n = \frac{\tau^n}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \mathfrak{Re} (h(re^{i\theta})) e^{-i(n\theta + \varphi_n)} d\theta \text{ pour } n > 0, $$
d'où

$$
\begin{align*}
\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| \tau^n r^n &= |a_0| + \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \mathfrak{Re} (h(re^{i\theta})) \sum_{n \ge 1} \tau^n e^{-i(n\theta + \varphi_n)} d\theta \\
&= |a_0| + \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \mathfrak{Re} (h(re^{i\theta})) \sum_{n \ge 1} \tau^n (\cos(n\theta + \varphi_n) - i \sin(n\theta + \varphi_n)) d\theta \\
&= |a_0| + \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \mathfrak{Re} (h(re^{i\theta})) \sum_{n \ge 1} \tau^n \cos(n\theta + \varphi_n) d\theta.
\end{align*}
$$

Q.E.D.

LEMME F.2 Si $h \in \mathcal{E}$ et si de plus $a_0$ est réel positif, alors

$$
\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| \tau^n r^n \leq \max_{-\pi \leq \theta \leq \pi} |\mathfrak{Re}(h(re^{i\theta}))|, \forall \tau \in ]0, 1/3[.
$$

DÉMONSTRATION. D'après la formule (F.1), on aura

$$
|a_0| = \mathfrak{Re}(a_0) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \mathfrak{Re}(h(re^{i\theta})) d\theta,
$$

d'où

$$
\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| \tau^n r^n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \mathfrak{Re} (h(re^{i\theta})) \left( \frac{1}{2} + \sum_{n \ge 1} \tau^n \cos(n\theta + \varphi_n) \right) d\theta
$$

Dans le cas où $\tau \in ]0, 1/3[$, on a

$$
\frac{1}{2} + \sum_{n \ge 1} \tau^n \cos(n\theta + \varphi_n) \ge \frac{1}{2} - \sum_{n \ge 1} \tau^n = \frac{1}{2} - \frac{\tau}{1-\tau} = \frac{1-3\tau}{2(1-\tau)} \ge 0,
$$

et par conséquent

$$
\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| \tau^n r^n \le \frac{1}{\pi} \max_{-\pi \le \theta \le \pi} |\mathfrak{Re}(h(re^{i\theta}))| \left( \pi + \sum_{n \ge 1} \tau^n \int_{-\pi}^{+\pi} \cos(n\theta + \varphi_n) d\theta \right).
$$

Mais

$$
\int_{-\pi}^{+\pi} \cos(n\theta + \varphi_n) d\theta = \mathfrak{Re} \int_{-\pi}^{+\pi} e^{i(n\theta + \varphi_n)} d\theta = \mathfrak{Re} e^{i\varphi_n} \int_{-\pi}^{+\pi} e^{in\theta} d\theta = 0,
$$

d'où

$$
\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| \tau^n r^n \le \max_{-\pi \le \theta \le \pi} |\mathfrak{Re}(h(re^{i\theta}))|, \forall \tau \in ]0, 1/3[.
$$

Q.E.D.

PROPOSITION F.3 Si $h \in \mathcal{E}$ et vérifie $|h(z)| \le 1 \forall |z| < 1$, alors

$$
\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| |z|^n \le 1, \forall |z| < 1/3.
$$
La valeur $\tau = 1/3$ est le rayon de Bohr.

DÉMONSTRATION. Notons que $|h(z)| = |g(z)|$ où $g(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} b_n z^n$ avec $b_n = a_n e^{-i\varphi_0}$. On en déduit que si $|h(z)| \le 1 \forall |z| < 1$, alors $|\Re(e^{(g(re^{i\theta})}))| \le 1, \forall r < 1$, et par conséquent

$$1 \geq \max_{-\pi \leq \theta \leq \pi} |\Re(e^{(g(re^{i\theta}))}|.$$

Comme $b_0$ est réel positif, le lemme F.2 montre que

$$\sum_{n \in \mathbb{N}} |b_n| \tau^n r^n \le 1, \forall \tau \in ]0, 1/3[, \forall r < 1$$

$$\text{et par conséquent } \sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| |z|^n = \sum_{n \in \mathbb{N}} |b_n| |z|^n \le 1, \forall r < 1/3.$$

Q.E.D.

On peut se demander s'il est possible d'améliorer la borne $\tau = 1/3$ ; le résultat qui suit montre qu'il n'en est rien.

LEMME F.4 Pour $0 \le \lambda < 1$, la fonction $f_\lambda(z) = (z - \lambda) / (1 - \lambda z)$ est développable en série entière de rayon de convergence $1/\lambda$ et vérifie $|f_\lambda(z)| \le 1, \forall |z| \le 1$.

DÉMONSTRATION. En effet d'une part $(1 - \lambda z)^{-1}$ a pour rayon de convergence $\rho$ tel que $\lambda\rho = 1$. Par ailleurs $|f_\lambda(z)|^2 = |z - \lambda|^2 / |1 - \lambda z|^2$, et pour $|z| \le 1$

$$\begin{aligned} |1 - \lambda z|^2 - |z - \lambda|^2 &= (1 - \lambda z)(1 - \lambda \bar{z}) - (z - \lambda)(\bar{z} - \lambda) \\ &= 1 - \lambda^2 + (\lambda^2 - 1)|z|^2 = (1 - \lambda^2)(1 - |z|^2) \ge 0, \end{aligned}$$

$$\text{et par conséquent } |f_{\lambda}(z)| \le 1.$$

Q.E.D.

LEMME F.5 Si les $a_n(\lambda)$ notent les coefficients du développement de $f_\lambda$ en série entière, $\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n(\lambda)| |z|^n \le 1$ si et seulement si $|z| \le 1/3$.

DÉMONSTRATION. On aura

$$f_{\lambda}(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n(\lambda) z^n = (z - \lambda) \sum_{n \in \mathbb{N}} \lambda^n z^n$$

d'où $a_0(\lambda) = -\lambda$ et pour $n \ge 1$, $a_n(\lambda) = \lambda^{n-1} - \lambda^{n+1} \ge 0$. On aura donc

$$\begin{aligned} \sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n(\lambda)| |z|^n &= \lambda + \sum_{n \ge 1} (\lambda^{n-1} - \lambda^{n+1}) |z|^n = \lambda + \sum_{n \ge 1} \lambda^{n-1} |z|^n - \sum_{n \ge 1} \lambda^{n+1} |z|^n \\ &= \lambda + \left(\frac{1}{\lambda} - \lambda\right) \sum_{n \ge 1} \lambda^n |z|^n = \lambda + \left(\frac{1}{\lambda} - \lambda\right) \lambda |z| \sum_{n \in \mathbb{N}} \lambda^n |z|^n \\ &= \lambda + \frac{(1 - \lambda^2) |z|}{1 - \lambda |z|} = \lambda + (1 - \lambda) \frac{(1 + \lambda) |z|}{1 - \lambda |z|}. \end{aligned}$$

Comme la fonction $x \to \lambda + (1 - \lambda)x$ est croissante, il en résulte que $\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n(\lambda)| |z|^n \le 1$ si et seulement si

$$\frac{(1 + \lambda) |z|}{1 - \lambda |z|} \le 1$$

soit $(1 + 2\lambda)|z| \le 1$ ou encore $|z| \le 1/(1 + 2\lambda)$. Dans le cas où $|z| > 1/3$, on a $(1 - |z|)/2|z| < 1$ et dès que $1 > \lambda > (1 - |z|)/2|z|$, alors $\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n(\lambda)| |z|^n > 1$.

Q.E.D.
Au delà de $|z| = 1/3$, $\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| |z|^n$ n'est plus en général majoré par 1, mais on peut malgré tout en chercher un majorant. Une estimation fine des coefficients de la série entière sera nécessaire, on définit à cet effet une norme sur $\mathcal{E}$, à partir du produit scalaire suivant :

$$((h|g)) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} h(re^{i\theta}) \bar{g}(re^{i\theta}) d\theta.$$

Si $h = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n$ et $g = \sum_{m \in \mathbb{N}} b_m z^m$, on aura

$$((h|g)) = \frac{1}{2\pi} \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n r^n \sum_{m \in \mathbb{N}} \bar{b}_m r^m \int_{-\pi}^{+\pi} e^{in\theta} e^{-im\theta} d\theta = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n \bar{b}_n r^{2n};$$

on pose alors

$$|||h||| = ((h|h))^{1/2} = \left( \sup_{0 \le r < 1} \sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n|^2 r^{2n} \right)^{1/2}.$$

**LEMME F.6** Si $|h(z)| \le 1$, $\forall |z| < 1$, on a $|||h||| \le 1$.

**DÉMONSTRATION.** En effet

$$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} |h(re^{i\theta})|^2 d\theta = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} h(re^{i\theta}) \bar{h}(re^{i\theta}) d\theta = \sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n|^2 r^{2n},$$

d'où

$$\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n|^2 r^{2n} \le \sup_{-\pi \le \theta < \pi} |h(re^{i\theta})|^2 \le 1, \forall r < 1,$$

et par conséquent $|||h||| \le 1$.

Q.E.D.

Le sous-espace de $\mathcal{E}$ des fonctions de la forme $\psi(z) = \alpha + \beta z^n$, où $\alpha$ et $\beta \in \mathbb{C}$ sera noté $\mathcal{Y}_n$. On note également $P_n$ l'application qui à $h \in \mathcal{E}$ fait correspondre $h_n \in \mathcal{Y}_n$ définie par $h_n(z) = a_0 + a_n z^n$, et pour $h \in \mathcal{E}$, $A_h$ l'application $\psi \to h\psi$ de $\mathcal{Y}_n$ dans $\mathcal{E}$.

**LEMME F.7** $\forall \psi \in \mathcal{Y}_n$ et $\forall h \in \mathcal{E}$, telle que $|h(z)| \le 1$, $\forall |z| < 1$, on a $|||P_n \circ A_h \psi||| \le |||\psi|||$.

**DÉMONSTRATION.** En effet

$$\begin{align*} |||A_h \psi|||^2 &= \frac{1}{2\pi} \sup_{0 \le r < 1} \int_{-\pi}^{+\pi} |h(re^{i\theta}) \psi(re^{i\theta})|^2 d\theta \\ &\le \sup_{|z|<1} |h(z)|^2 \sup_{0 \le r < 1} \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} |\psi(re^{i\theta})|^2 d\theta \le |||\psi|||^2, \end{align*}$$

et par ailleurs, si $g = \sum_{m \in \mathbb{N}} b_m z^m$, $|||P_n g|||^2 = |b_0|^2 + |b_n|^2 \le |||g|||^2$, d'où $|||P_n \circ A_h \psi||| \le |||\psi|||$.

Q.E.D.
Soit maintenant $S$ la bijection $\gamma_n \to \mathbb{C}^2$ donnée par

$$S(\psi(z)) = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}, \text{où } \psi(z) = \alpha + \beta z^n.$$

LEMME **F.8** Si $\mathbb{D}$ est la matrice de l'application $S \circ P_n \circ A_h \circ S^{-1}$, la matrice $\mathbb{A} = I - \mathbb{D}^*\mathbb{D}$ est positive.

DÉMONSTRATION. $P_n \circ A_h(\psi)(z) = a_0\alpha + (a_n\alpha + a_0\beta)z^n$ d'où

$$S \circ P_n \circ A_h \circ S^{-1} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_0 \alpha \\ a_n \alpha + a_0 \beta \end{pmatrix} = \mathbb{D} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \text{où } \mathbb{D} = \begin{pmatrix} a_0 & 0 \\ a_n & a_0 \end{pmatrix}.$$

De plus on a vu que $||P_n \circ A_h \psi||^2 \le |||\psi|||^2$, soit

$$|a_0\alpha|^2 + |a_n\alpha + a_0\beta|^2 \le |\alpha|^2 + |\beta|^2$$

c'est encore dire que, pour le produit scalaire défini par $(\Psi|\Theta) = \alpha\bar{\gamma} + \beta\bar{\delta}$, où $\Psi = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$ et $\Theta = \begin{pmatrix} \gamma \\ \delta \end{pmatrix}$, $(\mathbb{D}\Psi|\mathbb{D}\Psi) \le (\Psi|\Psi)$ et par conséquent que $\mathbb{A}$ est positive.

Q.E.D.

LEMME **F.9** Si $h \in \mathcal{E}$, avec $|h(z)| \le 1$, $\forall |z| < 1$, $\forall n$ on a $|a_n| \le 1 - |a_0|^2$.

DÉMONSTRATION. Comme $\mathbb{A}$ est définie positive, ses valeurs propres sont positives ou nulles et leur produit, égal au déterminant, est donné par

$$\begin{aligned} \det \mathbb{A} &= \det \begin{pmatrix} 1 - (|a_0|^2 + |a_n|^2) & a_0 \overline{a_n} \\ \overline{a_0} a_n & 1 - |a_0|^2 \end{pmatrix} \\ &= (1 - (|a_0|^2 + |a_n|^2))(1 - |a_0|^2) - |a_0|^2 |a_n|^2 \\ &= 1 + |a_0|^2 (|a_0|^2 + |a_n|^2) - |a_0|^2 (1 - |a_0|^2 - |a_n|^2) - |a_0|^2 |a_n|^2 \\ &= 1 + |a_0|^4 - 2|a_0|^2 - |a_n|^2 = (1 - |a_0|^2)^2 - |a_n|^2. \end{aligned}$$

d'où il résulte que $|a_n|^2 \le (1 - |a_0|^2)^2$. Mais pour $\Psi = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, on a $(\mathbb{D}\Psi|\mathbb{D}\Psi) = |a_0|^2$ et $(\Psi|\Psi) = 1$, d'où $|a_0|^2 \le 1$ et par conséquent $|a_n| \le 1 - |a_0|^2$.

Q.E.D.

On pose

$$\varphi_r(t) = t + (1 - t^2) \frac{r}{1 - r} \\ M(r) = \sup_{0 \le t \le 1} \varphi_r(t) \text{ et } m(r) = \min(M(r), (1 - r^2)^{-1/2})$$

PROPOSITION **F.10** Si $h = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n \in \mathcal{E}$, avec $|h(z)| \le 1$, $\forall |z| < 1$, on a

$$\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| |z|^n \le m(|z|), \forall |z| < 1.$$

DÉMONSTRATION. On aura tout d'abord

$$\begin{aligned} \sum_n |a_n| |z|^n &\le |a_0| + (1 - |a_0|^2) \sum_{n \ge 1} |z|^n = |a_0| + (1 - |a_0|^2) \frac{|z|}{1 - |z|} \\ &= |h(0)| + (1 - |h(0)|^2) \frac{|z|}{1 - |z|} \le \sup_{0 \le t \le 1} \left( t + (1 - t^2) \frac{|z|}{1 - |z|} \right) = M(|z|). \end{aligned}$$
Mais comme

$$ \frac{d}{dt} \varphi_r(t) = 1 - 2t \frac{r}{1-r}, $$

la fonction $\varphi_r$ atteint son maximum en $t_0 = (1-r)/2r$. Si $r \le 1/3$ on a $t_0 \ge 1$, d'où $M(r) = \varphi_r(1) = 1$. Si $1/3 \le r < 1$,

$$ \begin{aligned} M(r) &= t_0 + (1-t_0^2) \frac{r}{1-r} = \frac{1-r}{2r} + \left(1-\frac{(1-r)^2}{4r^2}\right) \frac{r}{1-r} \\ &= \frac{1-r}{2r} + \frac{r}{1-r} - \frac{(1-r)}{4r} = \frac{r}{1-r} + \frac{(1-r)}{4r} = \frac{4r^2+(1-r)^2}{4r(1-r)}. \end{aligned} $$

Mais par ailleurs, avec $\epsilon \in ]0, 1[$

$$ \begin{aligned} \sum_n |a_n||z|^n &= \sum_n |a_n||1-\epsilon| \left|\frac{z}{1-\epsilon}\right|^n \\ &\le \left(\sum_n |a_n|^n|1-\epsilon|^n\right)^{1/2} \left(\sum_n \left|\frac{z}{1-\epsilon}\right|^{2n}\right)^{1/2} \\ &= \left(\sum_n |a_n|^n|1-\epsilon|^n\right)^{1/2} \left(\frac{1}{1-|z|^2/(1-\epsilon)^2}\right)^{1/2} \\ &\le |||h||| \left(\frac{1}{1-|z|^2/(1-\epsilon)^2}\right)^{1/2} \le \left(1-\frac{|z|^2}{(1-\epsilon)^2}\right)^{-1/2} \end{aligned} $$

$$ \text{d'où } \sum_n |a_n||z|^n \le (1-|z|^2)^{-1/2}. $$

Q.E.D.
# Appendice G

## Les homographies

Soient $a, b, c$ et $d$ non tous nuls et l'application

$$w(z) = \frac{az + b}{cz + d},$$

appelée homographie; on peut également écrire

$$w(z) = R \circ M \begin{pmatrix} z \\ 1 \end{pmatrix}, \text{ où } M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \text{ et } R \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \frac{\alpha}{\beta} : \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}.$$

Cette application n'est pas constante si et seulement sa matrice $M$ est de rang 2, ou encore si l'espace affine des éléments de la forme $M \begin{pmatrix} z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} az + b \\ cz + d \end{pmatrix}$ est de dimension 2, soit $ad - bc = \det M \neq 0$, ce qui est encore dire que

$$w'(z) = \frac{a(cz + d) - c(az + b)}{(cz + d)^2} = \frac{ad - cb}{(cz + d)^2} \neq 0.$$

**DÉFINITION G.1** On appelle transformation de Möbius une transformation homographique

$$w(z) = \frac{az + b}{cz + d},$$

vérifiant $ad - bc \neq 0$.

Bien entendu, on peut multiplier tous les coefficients par un même nombre $\lambda$ sans modifier la transformation. Remarquons cependant que si les coefficients $a, b, c$ et $d$ sont réels, ainsi que $\lambda$, alors $(\lambda a)(\lambda d) - (\lambda b)(\lambda c) = \lambda^2 (ad - bc)$, ce qui rend le signe de $ad - bc$ invariant.

### G.1 Les transformations de Möbius

**PROPOSITION G.2**

(i) Les transformations de Möbius sont bijectives $P^1(\mathbb{C}) \to P^1(\mathbb{C})$ et forment un groupe, soit $H$.

(ii) Les transformations à coefficients réels telles que $\det M > 0$ forment un groupe noté $T$, sous-groupe de $H$, qui laisse invariants la droite réelle et le demi-plan $P$ des complexes de partie imaginaire positive.

**DÉMONSTRATION.** Prolongeons $w$ en une application $\tau : P^1(\mathbb{C}) \to P^1(\mathbb{C})$ en posant tout d'abord

$$\zeta \circ \tau \circ \zeta^{-1}(z) = w(z), \quad z \neq -\frac{d}{c} \quad \text{si } c \neq 0$$
soit

$$
\tau(\omega) = \zeta^{-1} \circ w \circ \zeta(\omega), \omega \neq \infty, \text{ et } \zeta(\omega) \neq -\frac{d}{c} \text{ si } c \neq 0
$$

puis par continuité

$$
\begin{align*}
\tau(\infty) &= \zeta^{-1} \circ w \circ \zeta \circ \zeta^{-1} \circ \zeta(\infty) = \zeta^{-1} \circ w \circ \zeta(0) = \zeta^{-1} \left(\frac{a}{c}\right) \text{ si } c \neq 0 \\
\tau(\infty) &= \zeta^{-1} \circ \zeta \circ \zeta^{-1} \circ w \circ \zeta(0) = \zeta^{-1}(0) = \infty \text{ si } c = 0
\end{align*}
$$

ainsi que

$$
\tau \circ \zeta^{-1} \left(-\frac{d}{c}\right) = \zeta^{-1} \circ w \left(-\frac{d}{c}\right) = \zeta^{-1} \circ \zeta \circ \zeta^{-1} \circ w \left(-\frac{d}{c}\right) = \zeta^{-1}(0) = \infty \text{ si } c \neq 0.
$$

Nous noterons $M'$ la matrice associée à la transformation

$$
w'(z) = \frac{a'z + b'}{c'z + d'},
$$

▷ On aura

$$
w' \circ w(z) = R \circ M' \left( \begin{pmatrix} z \\ 1 \end{pmatrix} \right) = R \circ M' \circ M \left( \begin{pmatrix} z \\ 1 \end{pmatrix} \right),
$$

c'est dire que la matrice associée à $w' \circ w$ n'est autre que $M' \circ M$.

▷ Déterminons l'inverse w'' de w :

$$
z = w'' \circ w(z) = R \circ M'' \circ M \left( \begin{pmatrix} z \\ 1 \end{pmatrix} \right),
$$

soit

$$
M'' \circ M \begin{pmatrix} z \\ 1 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} z \\ 1 \end{pmatrix},
$$

c'est-à-dire $M'' = \alpha M^{-1}$, ou encore

$$
w''(z) = R \circ M^{-1} = R \circ \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = -\frac{dz - b}{cz - a}.
$$

Les prolongements de $w$ et $w''$ sont encore inverses l'un de l'autre, en effet on aura tout d'abord

$$
\tau \circ \tau''(\omega) = \zeta^{-1} \circ w \circ \zeta \circ \zeta^{-1} \circ w'' \circ \zeta(\omega) = \zeta^{-1} \circ w \circ w'' \circ \zeta(\omega) = \omega
$$

ainsi que

$$
\begin{align*}
\tau \circ \tau''(\infty) &= \tau \circ \zeta^{-1}\left(-\frac{d}{c}\right) = \infty \\
\tau \circ \tau'' \circ \zeta^{-1}\left(\frac{a}{c}\right) &= \tau(\infty) = \zeta^{-1}\left(\frac{a}{c}\right).
\end{align*}
$$

Il en résulte que les transformations de Möbius sont bijectives.

▷ Contentons nous de démontrer l'invariance du demi-plan des complexes de partie réelle positive :

$$
\begin{align*}
\mathfrak{Im} \frac{az + b}{cz + d} &= \frac{\mathfrak{Im}((az + b)(c\bar{z} + d))}{|cz + d|^2} = \frac{1}{|cz + d|^2} \mathfrak{Im}(adz + bc\bar{z}) \\
&= \frac{1}{|cz + d|^2} (ad - bc) \mathfrak{Im}z
\end{align*}
$$

Q.E.D.
De façon générale, on appelle inversion de pôle $\alpha$ et de puissance $R^2$ une transformation de la forme

$$f(z) = \alpha + \frac{R^2}{\bar{z} - \bar{\alpha}}.$$

La transformation

$$g(z) = \overline{f(z)} = \bar{\alpha} + \frac{R^2}{z - \alpha}$$

est alors appelée inversion-symétrie. Les inversions-symétries sont des transformations de Möbius particulières.

**PROPOSITION G.3** Une transformation de Möbius se décompose en produit de translations, de similitudes et d'inversions-symétries.

**DÉMONSTRATION.**

* Si $c = 0$, on aura $w = t \circ h$ où $h(z) = (a/d)z$ est une similitude et $t(z') = z' + b/d$ est une translation.

* Si $c \neq 0$, on aura

$$w = \frac{a}{c} + \frac{(bc - ad)/c^2}{z + d/c}, \qquad (G.1)$$

d'où $w = t_2 \circ h \circ s \circ t_1$, avec

$$t_1(z) = z + d/c, \quad s(z') = 1/z', \quad h(z'') = -\frac{ad - bc}{c^2}z'', \quad t_2(z''') = z'''' + a/c.$$

La transformation $s$ étant elle-même composée d'une inversion de pôle 0 et de puissance 1 : $z \to 1/\bar{z}$ et d'une symétrie par rapport à l'axe réel.

Q.E.D.

**DÉFINITION G.4** Soient $z_1, z_2, z_3$ et $z_4 \in \mathbb{C}$, on appelle birapport des $z_i$ la quantité

$$b(z_1, z_2, z_3, z_4) = \frac{z_1 - z_3}{z_1 - z_4} / \frac{z_2 - z_3}{z_2 - z_4}.$$

**THÉORÈME G.5**

(i) Les transformations de Möbius conservent le birapport.

(ii) Les transformations de Möbius transforment l'ensemble formé des cercles et des droites en lui-même.

(iii) L'image d'un cercle ou d'une droite est une droite si et seulement si le cercle ou la droite passe par l'origine.

**DÉMONSTRATION.**

* Les translations et les similitudes conservant évidemment le birapport, il suffira donc de montrer que la transformation $s(z) = 1/z$ le conserve. On aura en effet

$$ \begin{align*} b(s(z_1), s(z_2), s(z_3), s(z_4)) &= \frac{1/z_1 - 1/z_3}{1/z_1 - 1/z_4} \left( \frac{1/z_2 - 1/z_3}{1/z_2 - 1/z_4} \right)^{-1} \\ &= \frac{z_1 z_3}{z_1 z_4} \frac{1/z_1 - 1/z_3}{1/z_1 - 1/z_4} \left( \frac{z_2 z_3}{z_2 z_4} \frac{1/z_2 - 1/z_3}{1/z_2 - 1/z_4} \right)^{-1} \\ &= \frac{z_3 - z_1}{z_4 - z_1} \left( \frac{z_3 - z_2}{z_4 - z_2} \right)^{-1} = b(z_1, z_2, z_3, z_4). \end{align*} $$
► Notons maintenant que d'après le théorème de l'arc capable, pour que les 4 points $z_i$ appartiennent à un même cercle, il faut et il suffit que

$$ \arg \frac{z_1 - z_3}{z_1 - z_4} = \arg \frac{z_2 - z_3}{z_2 - z_4}, \quad (\text{mod } \pi), $$

soit en fait $b(z_1, z_2, z_3, z_4) \in \mathbb{R}$, ce cercle étant en fait une droite si $(z_1 - z_3) / (z_1 - z_4)$ et $(z_2 - z_3) / (z_2 - z_4)$ sont tous deux réels. Il en résulte que les points $s(z_i)$ sont cocycliques ou colinéaires dès que les $z_i$ le sont, et comme les transformations de Möbius sont inversibles, qu'elles transforment les cercles ou droites en cercles ou droites.

► Si $z_2, z_3$ et $z_4$ sont des points du cercle, son équation est donnée par $b(z, z_2, z_3, z_4) \in \mathbb{R}$, soit

$$ \exists \lambda \in \mathbb{R} \text{ tel que } \frac{z - z_3}{z - z_4} = \lambda \frac{z_2 - z_3}{z_2 - z_4}, $$

qui sera une droite si et seulement si $(z_2 - z_3) / (z_2 - z_4)$ est réel, c'est-à-dire $z = \infty$ est solution de l'équation. Il en résulte que l'image d'un cercle ou d'une droite par une transformation de Möbius est une droite si et seulement si le cercle ou la droite passe par l'origine.

Q.E.D.

### G.1.1 L'inversion symétrie

On peut être plus précis et déterminer explicitement l'image d'un cercle ou d'une droite par $s$.

#### Image d'un cercle

**PROPOSITION G.6**

(i) L'image par $s$ du cercle de centre $a$ et de rayon $\rho \neq |a|$ est le cercle de centre $1 / (a(1 - \rho^2))$ et de rayon $\rho / |a(1 - \rho^2)|$

(ii) L'image par $s$ du cercle de centre $a$ et de rayon $|a|$ est la droite d'équation

$$ z = 1/2a + it/a, \quad t \in \mathbb{R}. $$

**DÉMONSTRATION.**

► On peut déjà noter que

$$ s(\alpha z) = s(z) / \alpha, $$

d'où il résulte qu'il suffit de considérer un cercle $C$ centré au point 1.

► Comme $s(1 + \rho e^{i\theta}) = \overline{s(1 + \rho e^{i\theta})}$, $s(C)$ est centré sur l'axe réel. On aura alors

$$ s(1 + \rho e^{i\theta}) = b + \mu e^{i\tau}, $$

où $b \in \mathbb{R}$, soit en particulier $s(1 + \rho) = b + \mu e^{i\tau_0}$ et $s(1 - \rho) = b + \mu e^{i\tau_\pi}$, d'où par conséquent

$$ \mu = \left| \frac{1}{1+\rho} - b \right| = \left| \frac{1}{1-\rho} - b \right|, $$

et $\rho$ n'étant pas nul

$$ \frac{1}{1+\rho} - b = -\frac{1}{1-\rho} + b. $$

On aura donc

$$ b = \frac{1}{1 - \rho^2} \text{ et } \mu = \frac{\rho}{|1 - \rho^2|} = \frac{\rho \operatorname{sgn}(1 - \rho)}{1 - \rho^2}, $$

d'où le résultat annoncé.
▷ On peut également déterminer $\tau$ en fonction de $\theta$ : on aura

$$ \frac{1}{1 + \rho e^{i\theta}} = \frac{1}{1 - \rho^2} (1 + \rho \operatorname{sgn}(1 - \rho) e^{i\tau}), $$

d'où

$$ \begin{aligned} e^{i\tau} &= \frac{1}{\mu} \left( \frac{1}{z} - b \right) = \frac{(1 - \rho^2) \operatorname{sgn}(1 - \rho)}{\rho} \left( \frac{1}{z} - \frac{1}{1 - \rho^2} \right) \\ &= \frac{\operatorname{sgn}(1 - \rho)}{\rho} \left( \frac{1 - \rho^2}{1 + \rho e^{i\theta}} - 1 \right) = -\operatorname{sgn}(1 - \rho) \left( \frac{\rho + e^{i\theta}}{1 + \rho e^{i\theta}} \right). \end{aligned} $$

▷ Si le cercle passe par l'origine, on a $\rho = 1$, d'où $b = \mu = \infty$. On posera alors plutôt

$$ s(1 + \rho e^{i\theta}) = b + it, $$

d'où

$$ \frac{1}{2} = b + it_0, $$

soit $b = 1/2$ et $t_0 = 0$. On aura alors

$$ t = -i \left( \frac{1}{z} - b \right) = -i \left( \frac{1}{z} - \frac{1}{2} \right) = \frac{-i}{2z} (2 - z) = -i \frac{(1 - \rho e^{i\theta})}{2(1 + \rho e^{i\theta})}. $$

De façon générale, l'image par $s$ du cercle de centre $a$ et de rayon $|a|$ sera donc la droite d'équation $z = 1/2a + it/a$

Q.E.D.

## Image d'une droite

### PROPOSITION G.7

(i) L'image par $s$ de la droite d'équation $z = \alpha + \beta t, \alpha \neq 0$, est le cercle de centre $1/(2(\alpha - \Re(\alpha/\beta)))$ et de rayon $1/(2|\alpha - \Re(\alpha/\beta)|)$.

(ii) L'image par $s$ de la droite $z = \beta t$ est la droite d'équation $z = \tau/\beta$.

### DÉMONSTRATION.

▷ Comme $s$ est sa propre inverse, on en déduit que l'image de la droite d'équation $z = 1 + 2it$ est le cercle de centre $1/2$ et de rayon $1/2$, et de façon plus générale une droite d'équation $z = \alpha + \beta t$ a également pour représentation

$$ z = \alpha' + \beta' t' = \alpha - \Re\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) - 2\beta \operatorname{Im}\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) t', $$

et elle a donc pour image le cercle de centre $1/(2(\alpha - \Re(\alpha/\beta)))$ et de rayon $1/(2|\alpha - \Re(\alpha/\beta)|)$.

▷ Dans le cas où la droite passe par l'origine on aura $s(\beta t) = 1/\beta t$, ce qui montre que l'image de la droite d'équation $z = \beta t$ est la droite d'équation $z = \tau/\beta$.

Q.E.D.
### G.1.2 La transformation de Cayley

**DÉFINITION G.8 La transformation homographique**

$$C(z) = \frac{z-i}{z+i} = 1 - \frac{2i}{z+i}$$

est appelée transformation de Cayley.

La transformation de Cayley a pour inverse

$$\zeta = -i \frac{z+1}{z-1} = -i \left( 1 + \frac{2}{z-1} \right) = -i - \frac{2i}{z-1}, \qquad (G.2)$$

elle se décompose sous la forme

$$C(z) = t_2 \circ h \circ s \circ t_1,$$

avec

$$t_1(z) = z + i, \quad s(z') = 1/z', \quad h(z'') = -2iz'', \quad t_2(z''') = z'''+1.$$

**PROPOSITION G.9 La transformation de Cayley transforme la droite réelle $\mathbb{R}$ en le cercle unité, c'est un isomorphisme du demi-plan supérieur $P^+$ sur le disque unité qui se prolonge continûment dans $P^1(\mathbb{C})$ en une bijection $\bar{P}^+ \to \bar{D}$**

**DÉMONSTRATION.** En effet $t_1(R)$ est la droite $R_1$ d'équation $z = i + t$, $s(R_1)$ est le cercle $R_3$ de centre $-i/2$ et de rayon $1/2$, $h(R_3)$ est le cercle $R_4$ de centre $-1$ et de rayon $1$, et $t_2(R_4)$ le cercle unité. De même si $R^\epsilon$ est la droite $z = i\epsilon + t$, $\epsilon \ge 0$, $C(R^\epsilon)$ est le cercle de centre $\epsilon/(1+\epsilon)$ et de rayon $1/(1+\epsilon)$, ce qui montre que l'image du demi-plan supérieur est le disque unité.

Q.E.D.
# Appendice H

## La transformation de Schwarz-Christoffel

Il s'agit de déterminer de façon aussi explicite que possible une transformation conforme du disque unité D sur un polygone T. On choisira en fait d'utiliser la transformation de Möbius pour se ramener à une transformation du demi-plan des complexes de partie réelle positive sur T.

Soient $A_i$, $i = 1, n$, $A_{n+1} = A_1$, les sommets du polygone. On sait qu'il existe un isomorphisme $f : P^+ \to T$, qui se prolonge d'ailleurs continûment $\overline{P^+} \to \overline{T}$ pour la topologie de $P^1(C)$, en vertu du théorème **12.16**. Nous noterons $a_i = f^{-1}(A_i)$, que nous supposerons rangés dans l'ordre croissant, $C_i = [A_i, A_{i+1}]$, $i = 1, n$ les côtés du polygone T, et $c_i = [a_i, a_{i+1}]$, $i = 1, n-1$, $c_n = \overline{\mathbb{R}} \setminus [a_1, a_n]$.

Posons $\tau_i = A_{i+1} - A_i$, la fonction

$$g_i(z) = \frac{\overline{\tau_i}}{|\tau_i|} (f(z) - A_i)$$

prend des valeurs réelles sur $c_i$, car $f(z) - A_i = \lambda \tau_i$, $\lambda \in \mathbb{R}$ ; elle est donc susceptible du théorème de prolongement pâr symétrie **5.10**, et se prolonge à $P^-$ selon

$$g_i(z) = \overline{g_i(\bar{z})} = \frac{\tau_i}{|\tau_i|} (\overline{f(\bar{z})} - \overline{A_i}), \quad z \in P^-,$$

ce qui permet de prolonger

$$f(z) = A_i + \frac{|\tau_i|}{\overline{\tau_i}} g_i(z)$$

par

$$f_i(z) = A_i + \frac{|\tau_i|}{\overline{\tau_i}} g_i(z) = A_i + \frac{|\tau_i|}{\overline{\tau_i}} \frac{\tau_i}{|\tau_i|} (\overline{f(\bar{z})} - \overline{A_i}) = A_i + \frac{\tau_i}{\overline{\tau_i}} (\overline{f(\bar{z})} - \overline{A_i}), \quad z \in P^-,$$

ce qu'on peut encore écrire

$$f_i(z) = s_i \circ f(\bar{z}), \quad z \in P^-,$$

où

$$s_i(\zeta) = A_i + \frac{\tau_i}{\overline{\tau_i}} (\zeta - \overline{A_i})$$

n'est rien d'autre que la symétrie par rapport au segment $C_i$. On voit en particulier que $s_i^2(\zeta) = \zeta$. L'ensemble de la fonction $f$ et de son prolongement $f_i$ est holomorphe dans $P^+ \cup \overline{c_i} \cup P^-$. Comme de plus la fonction $f$ est un isomorphisme, elle est injective, sa dérivée ne s'annule donc pas dans $P^+$, d'où il résulte que celle de $f_i$ ne s'annule donc pas non plus dans $P^-$. Enfin les angles étant conservés en tout point $x$ de $\overline{c_i}$, la dérivée de $f$ ne s'y annule pas non plus.
Comparons maintenant les divers prolongements que nous venons de réaliser, ils vérifient dans $P^-$

$$f_j(z) = s_j \circ f(\bar{z}) = s_j \circ (s_i)^{-1} \circ f_i(z) = s_j \circ s_i \circ f_i(z),$$

et se déduisent donc les uns des autres par des compositions de symétries qui ne sont autres que des translations ou des rotations selon que ces côtés $C_i$ et $C_j$ sont ou non parallèles. On pourra donc écrire $f_j = a_{ij}f_i + b_{ij}$ et par conséquent $f'_j = a_{ij}f'_i$ et $f''_j = a_{ij}f''_i$ d'où

$$\frac{f_j''}{f_j'} = \frac{f_i''}{f_i'} \qquad (H.1)$$

Posons alors $h = f''/f'$ dans $P^+$, selon la formule (H.1), puisque $f_i$ prolonge $f$, et que sa dérivée ne peut s'annuler en dehors des $a_i$, la fonction $h$ se prolonge à $P^-$ en une fonction méromorphe dont les seuls pôles sont les $a_i$.

Considérons maintenant le prolongement à travers $c_n$, comme $f$ est bornée, son prolongement l'est également, et au voisinage de l'infini on pourra écrire

$$f_n(z) = \sum_{k \in \mathbb{N}} b_k z^{-k}, \text{ d'où } f'_n(z) = \sum_{k \in \mathbb{N}} -kb_k z^{-k-1}, \text{ et } f''_n(z) = \sum_{k \in \mathbb{N}} k(k+1) b_k z^{-k-2},$$

et par conséquent $h(z) \to 0$ quand $z \to \infty$.

Considérons enfin un sommet particulier $A_i$ de $T$, et notons $V$ la nappe du cône de sommet $A_i$ limitée par les côtés $C_i$ et $C_{i+1}$. Les vecteurs $A_{i-1} - A_i$ et $A_{i+1} - A_i$ auront pour arguments respectifs $\beta_i$ et $\gamma_i$ et on posera $\alpha_i = \pi/(\gamma_i - \beta_i)$ ; un choix judicieux des angles permettra d'avoir $\alpha_i > 1/2$ ; $(\gamma_i - \beta_i)$ est la mesure de l'angle intérieur au sommet $A_i$, comptée entre 0 et $2\pi$. Considérons la fonction $\varphi(w) = (w - A_i)^{\alpha_i}$, pour un choix judicieux (encore !) de la coupure elle applique localement $\bar{V}$ sur un demi-plan et si on pose alors $g(z) = \varphi \circ f(z)$, on peut prolonger $g$ par symétrie vis-à-vis de la frontière de ce demi-plan, ce qui fait de $g$ une fonction analytique et injective au voisinage de $a_i$.

Au voisinage de $a_i$ on aura donc

$$f(z) = g(z)^{1/\alpha_i},$$

d'où, avec $1 - \mu_i = 1/\alpha_i$, $-1 < \mu_i < 1$, et

$$f'(z) = (1 - \mu_i) g(z)^{-\mu_i} g'(z),$$

et

$$f''(z) = -\mu_i (1 - \mu_i) g(z)^{-1-\mu_i} (g'(z))^2 + (1 - \mu_i) g(z)^{-\mu_i} g''(z),$$

et par conséquent

$$\begin{align*} h(z) &= \frac{f''(z)}{f'(z)} = \frac{-\mu_i (1 - \mu_i) g(z)^{-1-\mu_i} (g'(z))^2}{(1 - \mu_i) g(z)^{-\mu_i} g'(z)} + \frac{(1 - \mu_i) g(z)^{-\mu_i} g''(z)}{(1 - \mu_i) g(z)^{-\mu_i} g'(z)} \\ &= -\mu_i \frac{g'(z)}{g(z)} + \frac{g''(z)}{g'(z)}. \end{align*}$$

Cette formule se prolonge dans un disque pointé de centre $a_i$ et comme $g'(a_i) \neq 0$, puisque $g$ est injective au voisinage de 0, on aura selon la formule (7.5)

$$\mathrm{Res}(h; a_i) = -\mu_i \frac{g'(z)}{g'(z)} = -\mu_i.$$
La fonction g ayant un zéro d'ordre 1 en $a_i$, il en résulte que

$$h(z) + \sum_{i=1,n} \frac{\mu_i}{z - a_i}$$

est une fonction entière, et comme elle est nulle à l'infini, elle s'annule identiquement. On a ainsi démontré que

$$\frac{f''(z)}{f'(z)} = - \sum_{i=1,n} \frac{\mu_i}{z - a_i}.$$

On aura donc, à une constante multiplicative près

$$f'(z) = \prod_{i=1,n} (z - a_i)^{-\mu_i},$$

et par conséquent

$$f(z) = \xi \int_{\gamma(z_0, z)} \prod_{i=1,n} (z - a_i)^{-\mu_i} dz, \qquad (H.2)$$

où $\gamma(z_0, z)$ est un chemin joignant un point $z_0$ arbitraire à $z$. Il s'agit là de la formule de Schwarz-Christoffel.

On peut montrer que cette formule reste valable dans le cas où un sommet $A_i$ est le point à l'infini, à condition d'y calculer l'angle comme découlant de la relation $\sum_{i=1,n} \mu_i = 2$, valable lorsque tous les sommets sont à distance finie.

Il reste le problème de déterminer la position des $a_i$, et les valeurs respectives de $\xi$ et de $z_0$. Ces deux derniers paramètres ont une action globale et correspondent à une similitude relative à l'ensemble du polygone ; plus difficile est le choix des $a_i$. Selon le théorème **12.7** nous savons que le groupe des automorphismes de $P^+$ dépend de trois paramètres, il est donc loisible de choisir de façon arbitraire la position de trois des points $a_i$, il n'y a par contre pas de méthode générale pour choisir les autres, hormis les cas présentant suffisamment de symétries, et on est contraint d'utiliser une méthode numérique pour déterminer la valeur des paramètres restants.
# Appendice I

# Quelques lectures profitables

## Les fondements

H. Cartan *Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes* Hermann
(1961)

M. Audin *Analyse complexe* http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/analysecomp.pdf

E.C. Titchmarsh *The theory of functions* Oxford University Press (1932)

M. Houzel *Analyse complexe et calcul fonctionnel des opérateurs* Polycopié Ecole Polytechnique (1984)

G. Schiffmann *Analyse complexe* Polycopié Ecole Polytechnique

## Des chapitres de traités plus généraux

G. Valiron *Théorie des fonctions* Masson (1955)

W. Rudin *Real and complex analysis* Mc Graw Hill (1966)

R. Godement *Analyse mathématique III* Springer (2002)

## Pour aller un peu plus loin

L.V. Ahlfors *Complex analysis* Mc Graw Hill (1966)

J. B. Conway *Functions of one complex variable I* Springer (1973)

E. Amar & E. Matheron *Analyse complexe* Cassini (2004)

C.A. Berenstein & R. Gay *Complex variables* Springer (1991)

P. Dolbeault *Analyse complexe* Masson (1990)

## Pour aller encore un peu plus loin

P. Henrici *Applied and computational complex analysis I et II* Wiley (1974-1977)

G.A. Jones & D. Singerman *Complex functions* Cambridge University Press (1987)

R. Remmert *Classical topics in complex function theory* Springer (1998)

J. B. Conway *Functions of one complex variable II* Springer (1973)