Hypothèses de linéarité et d'homogénéisation admises, la machine synchrone à aimants dé-
posés en surface (MSAD), sans encoche au stator (induit dans l'entrefer) permet la mise en
œuvre d'une telle méthode avec un minimum de simplifications géométriques. Les publications
détaillant les solutions sont nombreuses. Les références suivantes peuvent être retenues : [31]
pour une résolution magnétostatique et [33] pour une résolution magnétodynamique fréquen-
tielle (la machine comportant notamment une frette conductrice de maintien des aimants).
Un calcul analytique peut néanmoins être mis en œuvre pour des machines à encoches. Dans
ce cas, le domaine de résolution nécessite la suppression des encoches, leurs effets étant re-
présentés par une densité linéique de courant portée par l'interface entrefer-stator (ce qui
se traduit par une condition de continuité non homogène entre les sous-domaines représen-
tant l'entrefer et le stator). Il peut être rappelé que cette simplification est effectuée lors du
calcul des fréquences de couple pulsatoire (sous-section III.1.1.2 et relation (III.7)). Pour le
calcul analytique du champ, cette méthode classique est là encore largement documentée :
[30, 38, 39] constituent des références suffisamment détaillées pour le lecteur souhaitant coder
la méthode.

Les méthodes semi-analytiques sont mises en oeuvre dès qu'il existe un sous-domaine sectoriel [40]. Les sous-domaines sectoriels peuvent représenter les encoches rotoriques d'une machine saillante [41], les aimants insérés sur un rotor [42], les barres d'une machine asynchrone à cage [43] ou les encoches statoriques [32, 44, 45, 42].

Quelle que soit la méthode (analytique ou semi-analytique), les solutions apparaissent sous forme de séries : le nombre de termes considérés est donc un paramètre de résolution non physique affectant la précision du résultat, c'est-à-dire un paramètre numérique. Néanmoins, plus l'ordre est grand, plus son influence est faible. Pratiquement, cette propriété permet de déterminer l'ordre maximal à considérer si la méthode est analytique (sous-domaines annulaires exclusivement). Par contre, si la méthode est semi-analytique, en raison du couplage entre les ordres, le choix des ordres maximaux à considérer par sous-domaines est plus délicat et doit être adapté à l'objectif du calcul [46, 40].

### III.2.3 Solutions analytiques utiles

Dans la sous-section III.2.1.2, il est précisé que, selon les caractéristiques physiques du milieu et de l'éventuelle présence d'un terme-source, l'EDP régissant le champ dans un sous-domaine peut être soit une équation de Laplace, soit une équation de Poisson, soit une équation de Helmholtz. Sur la base des méthodes de résolution analytique décrites dans la section III.2.2, les solutions aux équations de Laplace, de Poisson et de Helmholtz sont reportées dans les trois sous-sections suivantes. En particulier, les limites des méthodes en termes de représentation des termes sources et d'estimation des courants induits sont discutées.

#### III.2.3.1 Equation de Laplace

Décrit sous l'hypothèse magnétostatique, un sous-domaine ne comportant pas de termes-sources est régi par l'équation de Laplace (III.51). Pour un sous-domaine $D^{(i)}$, il s'agit donc d'exhiber la solution générale à l'EDP suivante :

$$ \frac{\partial^2 A^{(i)}}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial A^{(i)}}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial A^{(i)}}{\partial \theta^2} = 0 \qquad (III.63) $$
<figure><img src="image_1206.png" /></figure>

Bilan

d'activité

Contribution à
la

modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité

fonctionnelle

Perspectives

Quantifier l'impact de l'augmentation du nombre de phases sur le
couple moyen et les ondulations de couple

## Commande multi-machine (MM) d'une machine N-phasée (MTPA)

Utiliser les différentes séquences (synchronisées) pour maximiser le
rapport couple moyen sur courant efficace

<figure><img src="image_1207.png" /></figure>

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## Sous-domaine annulaire

Si le sous-domaine $\mathcal{D}^{(i)}$ est annulaire, la solution générale prend la forme suivante :

$$A^{(i)}(r, \theta) = a_0^{(i)} + b_0^{(i)} \ln r + \sum_{m=1}^{+\infty} \left[ \left( a_m^{(i)} r^m + b_m^{(i)} r^{-m} \right) \cos(m\theta) + \left( c_m^{(i)} r^m + d_m^{(i)} r^{-m} \right) \sin(m\theta) \right] \quad (\text{III.64})$$

Dans (III.64), les coefficients $a_m^{(i)}$, $b_m^{(i)}$, $c_m^{(i)}$ et $d_m^{(i)}$ correspondent aux coefficients noté $\alpha_{m,k}^{(i)}$ dans la sous-section III.2.2.2 et s'identifiant en exploitant les conditions de bord du sous-domaine. Comme précisé en sous-section III.2.2.2, si tous les sous-domaines sont annulaires, les solutions se développent toutes en séries de Fourier. Dans ce cas, l'introduction de coefficients complexes facilite le calcul (en réduisant la taille de la matrice topologique à inverser dans (III.61)) :

$$A^{(i)}(r, \theta) = a_0^{(i)} + b_0^{(i)} \ln r + \sum_{m=-\infty, m \neq 0}^{+\infty} \left( \overline{a_m^{(i)}} r^m + \overline{b_m^{(i)}} r^{-m} \right) e^{jm\theta} \quad (\text{III.65})$$

Dans (III.65), $\overline{a_m^{(i)}}$ et $\overline{b_m^{(i)}}$ désignent les constantes complexes.

## Sous-domaine sectoriel

Si le sous-domaine $\mathcal{D}^{(i)}$ est sectoriel d'intervalle angulaire $[\theta_i; \theta_i + \beta_i]$ avec conditions de Neumann homogènes imposées aux frontières radiales, la solution prend la forme générale suivante :

$$\frac{\partial A^{(i)}}{\partial \theta}(\theta_i) = \frac{\partial A^{(i)}}{\partial \theta}(\theta_i + \beta_i) = 0 \quad \Rightarrow \quad A^{(i)}(r, \theta) = a_0^{(i)} + b_0^{(i)} \ln r + \sum_{m=1}^{+\infty} \left( a_m^{(i)} r^{m \frac{\pi}{\beta_i}} + b_m^{(i)} r^{-m \frac{\pi}{\beta_i}} \right) \cos \left( m \frac{\pi}{\beta_i} (\theta - \theta_i) \right) \quad (\text{III.66})$$

### III.2.3.2 Equation de Poisson

Décrit sous l'hypothèse magnétostatique, un sous-domaine comportant des termes-sources est régi par une équation de Poisson (III.50). Pour un sous-domaine $\mathcal{D}^{(i)}$, si $s^{(i)}$ désigne le terme source, il s'agit donc d'exhiber la solution générale à l'EDP suivante :

$$\frac{\partial^2 A^{(i)}}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial A^{(i)}}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial A^{(i)}}{\partial \theta^2} = s^{(i)}(r, \theta) \quad (\text{III.67})$$

L'opérateur Laplacien-scalaire étant linéaire, la solution de l'équation de Poisson (III.67) est la somme d'une solution particulière de l'équation avec second membre (ou terme source) et d'une solution de l'équation sans second membre (c'est-à-dire d'une solution de l'équation de Laplace (III.63)). Les conditions sur les frontières du domaine (conditions de passage et conditions aux limites) assurent l'unicité de la solution.

## Termes source de type densité de courant

Les solutions particulières résultant de l'application d'une densité surfacique de courant (zone de conducteurs) peuvent être trouvées :
<figure><img src="image_1213.png" /></figure>

# Amélioration des performances

## Qualité du couple

Bilan

d'activité

Contribution à
la

modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité

fonctionnelle

Perspectives

Quantifier l'impact de l'augmentation du nombre de phases sur le
couple moyen et les ondulations de couple

## Commande multi-machine (MM) d'une machine N-phasée (MTPA)

Utiliser les différentes séquences (synchronisées) pour maximiser le
rapport couple moyen sur courant efficace

<table><thead><tr><td>Commande</td><td>Sinus</td><td>MM</td></tr></thead><tbody><tr><td>Couple moyen</td><td>Non optimal</td><td>Bénéfique</td></tr><tr><td>Ondulation</td><td>Bénéfique</td><td>Non optimal</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_1214.png" /></figure>

<figure><img src="image_1215.png" /></figure>

<figure><img src="image_1216.png" /></figure>

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<figure><img src="image_1219.png" /></figure>
* pour un bobinage sans encoche dans [31, 33] par exemple,

* pour un bobinage avec encoches ouvertes dans [44, 32],

* pour un bobinage avec encoches semi-ouvertes dans [45].

## Termes source de type magnétisation

Les solutions particulières résultant de la présence d'une magnétisation se formulent explicitement depuis une fonction de magnétisation représentant mathématiquement l'évolution des composantes radiales et tangentielles du vecteur magnétisation en tout point de l'aimant. Si l'aimant est en forme de tuile (de forme sectoriel), alors les fonctions de magnétisation radiale et tangentielle dépendent exclusivement de la position angulaire, c'est-à-dire qu'elles ne dépendent pas de la position radiale. Le dernier terme de (III.48) est alors nul. De plus, en cas d'aimantation radiale, l'avant-dernier terme est aussi nul. Pour une machine à aimants déposés de formes sectoriels (tuiles), les fonctions d'aimantation des différents aimants composant la couche d'aimants sont additionnées pour former la fonction d'aimantation globale. Cette fonction d'aimantation définit alors le terme-source dans un domaine annulaire et est intégrée dans (III.67) par décomposition en série de Fourier. De nombreuses publications reportent les solutions particulières et générales de l'équation de Poisson dans ce cas :

* pour des aimants à aimantation radiale : [38, 47]

* pour des aimants à aimantation parallèle : [30, 31, 44, 33]

Il est à noter que, si la perméabilité des aimants est supposée égale à celle de l'air, alors il n'est plus nécessaire de considérer les aimants jointifs. Ainsi des aimants d'épaisseurs (hauteurs radiales) différentes peuvent être représentés. Le cas des machines à aimants insérés en surface est traité dans [42] : les aimants sont en forme de tuile (et définissent donc un domaine sectoriel) et magnétisés radialement. Il convient ici de cerner les limites actuellement connues de la modélisation analytique des aimants. Selon les analyses rapportées dans [34], corroborées dans [48], il est actuellement admis qu'un aimant sectoriel de perméabilité $\mu_a$ bordé radialement par un milieu de perméabilité finie différente de $\mu_a$ ne peut être caractérisée analytiquement.

### III.2.3.3 Equation de Helmholtz

Dans le domaine de définition de la machine, il est supposé exister un sous-domaine ou une condition de bord présentant une grandeur à évolution sinusoïdale temporelle (densité de courant extérieur par exemple). Cette grandeur est susceptible d'induire des courants dans les autres sous-domaines conducteurs. La fréquence des courants induits dépend de la vitesse de rotation du sous-domaine conducteur et de la fréquence de la grandeur sinusoïdale. Par exemple, le courant d'induit (supposé au stator) peut constituer la grandeur à évolution sinusoïdale temporelle à l'origine des courants induits dans les pièces conductrices au rotor (culasse, frette, barres...) ou au stator (culasse).

#### Principe de résolution

Ce phénomène est ici mis en évidence en considérant un sous-domaine conducteur $D^{(i)}$ ne comportant pas de termes sources. Il est caractérisé par l'EDP suivante :

$$ \forall P \in D^{(i)} \quad \Delta A^{(i)}(P,t) - \mu_i \zeta_i \left( \frac{\partial A^{(i)}}{\partial t}(P,t) + \Omega \frac{\partial A^{(i)}}{\partial \theta}(P,t) \right) = 0 \quad (III.68) $$
<figure><img src="image_1220.png" /></figure>

Quantifier l'impact de l'augmentation du nombre de phases sur le
couple moyen et les ondulations de couple

## Commande multi-machine (MM) d'une machine N-phasée (MTPA)

Utiliser les différentes séquences (synchronisées) pour maximiser le
rapport couple moyen sur courant efficace

<table><thead><tr><td>Commande</td><td>Sinus</td><td>MM</td></tr></thead><tbody><tr><td>Couple moyen</td><td>Non optimal</td><td>Bénéfique</td></tr><tr><td>Ondulation</td><td>Bénéfique</td><td>Non optimal</td></tr></tbody></table>

* Augmentation des bénéfices avec le nombre de phases

<figure><img src="image_1221.png" /></figure>

<figure><img src="image_1222.png" /></figure>

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<figure><img src="image_1225.png" /></figure>

<figure><img src="image_1226.png" /></figure>
Si il existe un terme source à évolution sinusoïdale temporelle à la pulsation $\omega$, il induit dans le sous-domaine conducteur $\mathcal{D}^{(i)}$ des courants de même pulsation $\omega$. Afin de résoudre (III.68), le potentiel-vecteur complexe $\overline{A}^{(i)}$, dépendant exclusivement des variables d'espace, est introduit. Le champ réel $\overline{A}^{(i)}$ est alors simplement lié au potentiel-vecteur complexe par la relation suivante :

$$A^{(i)}(r, \theta, t) = \Re\{\overline{A^{(i)}}(r, \theta)e^{j\omega t}\} \qquad (\text{III.69})$$

Si, pour le domaine considéré, la vitesse de rotation des parties conductrices par rapport au repère de référence est nulle, selon (III.68) et (III.69), le potentiel-vecteur complexe $\overline{A}^{(i)}$ vérifie une équation de Helmholtz :

$$\frac{\partial^2 \overline{A}^{(i)}}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial \overline{A}^{(i)}}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 \overline{A}^{(i)}}{\partial \theta^2} - j\omega\mu_i \zeta_i \overline{A}^{(i)} = 0 \qquad (\text{III.70})$$

Les solutions de l'EDP (III.70) sont recherchées par séparation de variables. Il apparaît que la fonction dépendant du rayon $r$ répond à une équation de Bessel [43, 33]. Cette dernière équation est résolue en introduisant le nombre complexe $\overline{\alpha}_i$ :

$$\overline{\alpha}_i^2 = -j\omega\mu_i\zeta_i \qquad (\text{III.71})$$

Ce nombre traduit l'influence de la pénétration du champ dans le milieu conducteur en fonction de la fréquence et définit l'épaisseur de peau $\delta_i$ caractéristique du milieu pour la fréquence $\omega$ :

$$\delta_i = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu_i\zeta_i}} \qquad (\text{III.72})$$

### Sous-domaine annulaire

Si le sous-domaine $\mathcal{D}^{(i)}$ est annulaire (cas d'une frette conductrice sur un rotor de machines à aimants par exemple, [33]), la solution générale de (III.70) s'écrit :

$$\overline{A}^{(i)}(r, \theta) = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \left( \overline{a_m^{(i)}} J_m(\overline{\alpha}_i r) + \overline{b_m^{(i)}} Y_m(\overline{\alpha}_i r) \right) e^{jm\theta} \qquad (\text{III.73})$$

Dans (III.73), $J_m$ et $Y_m$ sont les fonctions de Bessel normales d'ordre $m$ de premier et de deuxième espèce respectivement. $\overline{a_m^{(i)}}$ et $\overline{b_m^{(i)}}$ sont les constantes à déterminer en fonction des conditions de bord du domaine.

### Sous-domaine sectoriel

Si le sous-domaine $\mathcal{D}^{(i)}$ est sectoriel d'intervalle angulaire $[\theta_i; \theta_i + \beta_i]$ avec conditions de Neumann homogènes imposées aux frontières radiales (peut représenter une barre sur une machine à induction [43]), la solution prend la forme générale suivante :

$$\frac{\partial \overline{A}^{(i)}}{\partial \theta}(\theta_i) = \frac{\partial \overline{A}^{(i)}}{\partial \theta}(\theta_i + \beta_i) = 0 \quad \Rightarrow \\ \overline{A}^{(i)}(r, \theta) = a_0^{(i)} J_0(\overline{\alpha}_i r) + \overline{b}_0^{(i)} Y_0(\overline{\alpha}_i r) \\ + \sum_{m=1}^{+\infty} \left( \overline{a}_m^{(i)} J_m(\overline{\pi}_{\beta_i} (\overline{\alpha}_i r)) + \overline{b}_m^{(i)} Y_m(\overline{\pi}_{\beta_i} (\overline{\alpha}_i r)) \right) \cos \left( m \frac{\pi}{\beta_i} (\theta - \theta_i) \right) \qquad (\text{III.74})$$
<figure><img src="image_1227.png" /></figure>

Quantifier l'impact de l'augmentation du nombre de phases sur le
couple moyen et les ondulations de couple

## Commande multi-machine (MM) d'une machine N-phasée (MTPA)

Utiliser les différentes séquences (synchronisées) pour maximiser le
rapport couple moyen sur courant efficace

<table><thead><tr><td>Commande</td><td>Sinus</td><td>MM</td></tr></thead><tbody><tr><td>Couple moyen</td><td>Non optimal</td><td>Bénéfique</td></tr><tr><td>Ondulation</td><td>Bénéfique</td><td>Non optimal</td></tr></tbody></table>

* Augmentation des bénéfices avec le nombre de phases

* Adaptation de la conception nécessaire

<figure><img src="image_1228.png" /></figure>

<figure><img src="image_1229.png" /></figure>

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<figure><img src="image_1233.png" /></figure>
## Sur l'estimation des pertes par courants induits dans les aimants

Il est ici intéressant de donner quelques éléments de réflexions relatifs aux pertes par courants induits dans les aimants, susceptibles de se développer dans les machines polyphasées à bobinage fractionnaire. Théoriquement, estimer ces courants induits nécessite de considérer l'aimant comme un sous-domaine conducteur portant un terme-source liée à sa magnétisation. Ce cas ne semble pas traité analytiquement de façon générale (le cas particulier d'une machine bipolaire à aimants déposés parallèlement magnétisés est traité dans [49] où il est montré que la magnétisation n'influence pas la distribution des courants induits, soit $\vec{\text{rot}} \vec{M} = \vec{0}$). En fait, pour des aimants déposés en surface, si l'épaisseur de peau liée à la variation temporelle du champ est suffisamment grande devant les dimensions de l'aimant (largeur angulaire et épaisseur radiale), l'influence des courants induits sur la distribution du champ peut être négligée [50]. Dans ce cas, le champ dans les aimants peut être préalablement calculé par formulation magnétostatique (où la conductivité de l'aimant est négligée) puis les courants induits sont ensuite estimés à l'aide de l'équation de Maxwell (III.39) et de la loi (III.42) [48]. Dans [51], le cas des pertes par courants induits dans les aimants insérés d'un rotor est traité. Pour ce faire, la magnétisation des aimants est négligée et l'aimant constitue alors un sous-domaine sectoriel où le potentiel-vecteur est de la forme (III.74). Finalement, les aimants sont assimilés à des barres de machines asynchrones à cage, cas traité dans [43].

## III.3 Utilisations originales des solutions analytiques

Dans cette partie, il est choisi de détailler trois applications directement issues des développements analytiques présentés, pensés pour pré-évaluer les performances de convertisseurs électromécaniques polyphasés particuliers. La première application concerne les machines synchrones à aimants déposés et visent à explorer l'adaptation de la forme d'aimants à la commande utilisant plusieurs harmoniques de courant. La formulation repose sur la résolution de l'équation de Laplace dans différents sous-domaines annulaires par discrétisation de la couche d'aimants. Dans le contexte d'un développement de machines particulières (multi-étoiles polyphasées à barrière de flux au stator par exemple), la seconde application vise à analyser l'impact de la segmentation du circuit magnétique sur la distribution du champ et en particulier sur le couple de détente : équations de Laplace et Poissons sont considérés avec l'apparition de sous-domaines sectoriels. Enfin, la dernière application vise à évaluer sommairement l'aptitude d'une machine asynchrone polyphasée à fonctionner sous différentes polarités : l'équation de Helmholtz est donc considérée.

### III.3.1 Modélisation des aimants par spires équivalentes

Ce code est initialement développé pour analyser les machines polyphasées à aimants déposés et l'impact de la forme des aimants sur les performances électromagnétiques (formes particulières et/ou imperfections géométriques liées aux tolérances de fabrication). Il est en effet mis en évidence dans la section précédente que les solutions analytiques continues n'existent que si les sous-domaines sont annulaires ou sectoriels. Par conséquent, seuls les aimants de forme sectoriel (en tuile) peuvent être analytiquement caractérisés avec les formulations rapportées dans la sous-section III.2.3.1. Des adaptations sont donc nécessaires pour traiter des formes particulières (forme trapézoïdal ou autre) et, au final, les optimiser.

En calcul par éléments finis, optimiser la géométrie est une tâche complexe (en termes de formalisation et de codage) et particulièrement exigeante sur le plan calculatoire (temps de
<figure><img src="image_1234.png" /></figure>

### Synthèse des résultats

Bilan

d'activité

Contribution à

la

modélisation

du bobinage

Amélioration des performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité

fonctionnelle

Perspectives

<figure><img src="image_1235.png" /></figure>

<figure><img src="image_1236.png" /></figure>

<figure><img src="image_1237.png" /></figure>

<figure><img src="image_1238.png" /></figure>

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<figure><img src="image_1240.png" /></figure>

<figure><img src="image_1241.png" /></figure>
calcul, sensibilité au maillage). Il s'agit là d'une première réserve à son utilisation *a priori*
pour un tel objectif. De plus, dans le contexte particulier des machines polyphasées à aimants
déposés en surface, le calcul numérique ne permet pas (ou du moins pas de façon évidente)
d'observer le champ inducteur lié à une séquence d'alimentation particulière, c'est-à-dire as-
socié à une machine fictive particulière. Par la formulation intrinsèque du champ en série de
Fourier de la variable d'espace (dans les sous-domaines annulaires), les méthodes analytiques
précédemment décrites le permettent. Le concepteur dispose alors d'une perspective originale
pour apprécier la régularité du champ des aimants pour chaque machine fictive.

Détaillée dans [52], la méthode analytique choisie repose sur une représentation ampé-
rienne des aimants, consistant à les remplacer par un ensemble de spires équivalentes placées
dans l'entrefer. Outre les hypothèses nécessaires à l'établissement des solutions analytiques (li-
néarité, simplification géométrique, magnétisation constante au sein d'un aimant), la méthode
néglige également l'influence des encoches. L'hypothèse du mur ferromagnétique (perméabilité
infinie) pour la culasse statorique et donc, par cohérence, la culasse rotorique est admise. Le
domaine de calcul est donc l'entrefer magnétique, de forme annulaire, et la perméabilité des
aimants est donc considérée égale à celle de l'air.

III.3.1.1 Méthode

Comme précisé, un aimant est représenté par un ensemble de spires équivalentes placées
dans l'entrefer, chaque spire portant un courant $I_c$ selon l'axe $z$. Par exemple, si la magnéti-
sation de l'aimant est radiale, le courant équivalent est fonction de la composante radiale du
champ rémanent $M_r$, de la hauteur d'aimant $h_m$, de la perméabilité de l'air (supposée être
celle de l'aimant) et du nombre de spires équivalentes $n_c$ choisi pour représenter l'aimant :

$$
I_c = \frac{1}{n_c} \frac{M_r h_m}{\mu_0} \qquad (III.75)
$$

Les expressions des courant équivalents dans le cas d'une aimantation parallèle sont dispo-
nibles dans [52].

Le principe consiste donc à discrétiser les aimants en un nombre fini de spires élémentaires.
Fondamentalement, le domaine de calcul est l'entrefer magnétique de forme annulaire. Pour
une spire élémentaire donnée, celui-ci est divisé en deux sous-domaines de forme annulaire,
soumis à une équation de Laplace, dans lequel le champ peut être explicitement calculé à
partir de la formulation générale (III.64). L'influence de la spire élémentaire, constituant le
terme source, est prise en compte par la condition de passage exprimant la conservation du
champ tangentiel (III.59).

Ainsi, selon [52], pour un entrefer annulaire défini entre les rayons $R_r$ et $R_s$, le potentiel-
vector en un point $P(r, \theta)$ dans l'entrefer du à une spire élémentaire centrée en $C(r_c, \theta_c)$
d'épanouissement angulaire $2\xi$ peut s'exprimer comme suit (où $I_c$ désigne le courant dans la
<figure><img src="image_1242.png" /></figure>

### Synthèse des résultats

* **Démarche conception multi-machine**

<table><thead><tr><th>Critère</th><th>MSAD</th><th>MASC</th></tr></thead><tbody><tr><td>Bobinage</td><td>$s_{pp}$ quelconque</td><td>$2s_{pp} \in \mathbb{N}$</td></tr><tr><td>Rotor</td><td>Adapter couche d'aimants (magnétisation [RI-2], forme [RI-7], segmentation [RI-17])</td><td>Adapter nombre de barres [RI-16]</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_1243.png" /></figure>

<figure><img src="image_1244.png" /></figure>

<figure><img src="image_1245.png" /></figure>

<figure><img src="image_1246.png" /></figure>

<figure><img src="image_1247.png" /></figure>

<figure><img src="image_1248.png" /></figure>
spire) :

$$
A(r, \theta) = \frac{\mu_0 I_c}{\pi} \sum_{h=1}^{+\infty} \frac{1}{h} \frac{\sin(h\xi) \sin(h(\theta + \theta_c))}{\left(\frac{R_s}{R_r}\right)^h - \left(\frac{R_r}{R_s}\right)^h} f_h(r)

\text{avec}
\left\{
\begin{array}{ll}
f_h(r) = \left(\frac{R_s}{r_c}\right)^h \frac{r_c^{2h} + R_r^{2h}}{R_s^{2h} - R_r^{2h}} \left[ \left(\frac{r}{R_s}\right)^h + \left(\frac{R_s}{r}\right)^h \right] & \text{si } r_c < r < R_s \\
f_h(r) = \left(\frac{R_r}{r_c}\right)^h \frac{r_c^{2h} + R_s^{2h}}{R_s^{2h} - R_r^{2h}} \left[ \left(\frac{r}{R_r}\right)^h + \left(\frac{R_r}{r}\right)^h \right] & \text{si } R_r < r < r_c
\end{array}
\right.
\quad (III.76)
$$

La figure III.4a illustre la distribution des lignes due à une spire élémentaire, calculée selon l'expression analytique (III.76). Strictement, le domaine de calcul peut être étendu aux culasses statoriques et rotoriques (sous-domaines analytiques annulaires) comme illustré par la figure III.4b (perméabilité du fer choisi à 1000μ₀) : bien que, comme attendu, l'impact sur la distribution des lignes de champ soit négligeable, l'analyse visuelle est facilitée, tout particulièrement en cas d'irrégularité du champ.

Finalement, le potentiel A se calcule en sommant les contributions de toutes les spires élémentaires. Il est d'ailleurs à noter que si l'aimant est en forme de tuile (limites exclusivement radiales ou tangentielles, c'est-à-dire de forme sectoriel), en cas de discrétisation en une infinité de spires équivalentes, alors la somme continue peut être analytiquement explicitée. Le résultat correspond alors aux expressions du potentiel-vecteur du à la couche d'aimant proposées dans [30, 31, 44, 33].

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE III.4 — Estimation analytique du champ induit par une spire élémentaire</figcaption></figure>

Le nombre de spires équivalentes est évidemment susceptible d'influencer le résultat. En pratique, pour les jeux de dimensions testés, une convergence très rapide de l'estimation en fonction du nombre de spires est observée [CI-12]. De plus, en cas d'optimisation [RI-7], le problème est formulé de sorte à creuser un aimant en forme de tuile (pratiquer des encoches de forme variable sur un aimant en tuile), le champ de ce dernier pouvant se calculer exactement
<figure><img src="image_1249.png" /></figure>

### Synthèse des résultats

* **Démarche conception multi-machine**

<table><thead><tr><th>Critère</th><th>MSAD</th><th>MASC</th></tr></thead><tbody><tr><td>Bobinage</td><td>s<sub>pp</sub> quelconque</td><td>2s<sub>pp</sub> ∈ N</td></tr><tr><td>Rotor</td><td>Adapter couche d'aimants (magnétisation [RI-2], forme [RI-7], segmentation [RI-17])</td><td>Adapter nombre de barres [RI-16]</td></tr></tbody></table>

* **Application de la stratégie de commande multi-machine**

<table><thead><tr><th>Critère</th><th>MSAD</th><th>MASC</th></tr></thead><tbody><tr><td>Orientation optimale des flux</td><td>Connue a priori</td><td>À rechercher</td></tr><tr><td>Gain en couple (/sinus) à charge partielle</td><td>Systématique</td><td>À étudier</td></tr></tbody></table>

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[53] Au final, les spires équivalentes occupent une surface d'entrefer extrêmement réduite, ce qui élimine pratiquement la sensibilité au nombre de spires (déjà faible en cas de grande couverture de la surface d'entrefer).

### III.3.1.2 Réalisation

Dans le but d'adapter la forme des aimants à des contraintes de conception propres aux machines polyphasées, cette méthode de calcul analytique du champ par spires équivalentes est mise en oeuvre pour des machines 5-phase :

* réduction des couples pulsatoires [CI-12, RI-7],

* extension de la caractéristique couple/vitesse [RI-10].

La méthode analytique permet une observation originale des lignes de champ en sélectionnant les harmoniques d'espace propres à une séquence (à une machine fictive) dans le calcul du potentiel. Ainsi, le concepteur peut juger de la régularité du champ propre aux machines fictives, en quelque sorte du champ propre aux aimants fictifs. Cet aspect est ici illustré.

La figure III.5 reprend les couches d'aimants (à aimantation radiale) étudiées dans [CI-12, RI-7] pour une machine 5-phase. Avec une commande à pertes joules minimales (Maximum Torque Per Ampere, MTPA) sur les deux machines fictives (fondamentale de polarité *p* et secondaire de polarité $3p$), l'objectif est de réduire les couples pulsatoires en limitant l'impact sur le couple moyen. La solution de base est une couche d'aimants classique occupant la totalité du pas polaire (appelés aimants en tuile sur les figures III.5a et III.5b) définissant le couple moyen de référence. Justifiée dans [CI-12], la forme trapézoïdale particulière résulte d'une interpolation d'une fonction périodique comprenant le fondamental et l'harmonique 3, ce dernier en opposition de phase avec le fondamental et d'amplitude égale au tiers du fondamental. Mise en évidence dans [RI-7], la solution dite optimisée est une solution d'un problème non linéaire à contraintes multiples visant à minimiser le rapport couple ondulatoire sur couple moyen. La figure III.5a montre, pour les trois options, le champ du aux aimants selon la méthode analytique ici décrite, en considérant tous les harmoniques spatiaux *v* dus aux aimants. Une telle cartographie peut évidemment être obtenue par calculs éléments finis (mais avec un temps de calcul significativement plus long). Par contre, la figure III.5b présente les lignes de champ propres à la machine fictive secondaire (h3), représentation pratiquement impossible à obtenir par calcul numérique. Par rapport à la couche d'aimants en tuile, ces courbes permettent d'apprécier la meilleure distribution du champ autour de $3p$ paires avec les aimants formés *a priori* et d'observer, en plus, une meilleure concentration des lignes avec la solution optimisée.

Un autre intérêt de cette méthode analytique réside dans la possibilité d'évaluer rapidement l'impact des incertitudes de fabrication sur les performances de la machine. Cet aspect est illustré en considérant l'exemple du prototype de MSAD 7-phase à bobinage concentré dentaire à une demi-encochepôle et par phase [CI-28, RI-17]. Selon le constructeur, les tolérances géométriques sont ±0.5deg pour les grandeurs tangentielles (position des aimants et longueurs), ±0.05mm pour les dimensions radiales (hauteurs d'aimants) et ±5% sur la magnétisation des aimants. Un tirage aléatoire des erreurs sur les dimensions de différents aimants permet de vérifier rapidement dans quelle mesure ces incertitudes peuvent affecter les performances de la machine. Les figures III.6a et III.6b reportent respectivement l'induction radiale d'entrefer et la force électromotrice élémentaire pour un jeu de dimension donné (les
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Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

Exemple d'une MSAD 7-phase à bobinage dentaire [ThS-3, RI-17]

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<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>**FIGURE III.5** — Estimation analytique pour différentes géométries de couches d'aimants radiaux</figcaption></figure>

tolérances tangentielles sont multipliés par cinq afin d'obtenir un meilleur rendu visuel, les tolérances réelles précédemment mentionnées n'impactant pratiquement pas les formes d'onde). La figure III.6a montre que les déséquilibres se manifestent par des harmoniques non multiples du nombre de paires de pôles dans le champ, susceptible de générer des vibrations. La figure III.6b illustre l'impact de ce déséquilibre sur la force électromotrice avec le développement d'harmoniques de rang pair (résultant du fait que les coefficients de bobinage d'ordre pair ne sont pas nuls pour une distribution concentrée à $s_{pp} = 0.5$).

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>**FIGURE III.6** — Prise en compte des tolérances géométriques dans la définition de la couche d'aimants (tolérance tangentielle multipliée par 5 pour une meilleure illustration)</figcaption></figure>
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Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse
Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

Exemple d'une MSAD 7-phase à bobinage dentaire [ThS-3, RI-17]

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Plus généralement, un plan d'expérience visant à déterminer les tolérances limites pour chaque paramètre peut être envisagé. Il faut cependant bien garder à l'esprit les hypothèses simplificatrices nécessaires à l'établissement de ces résultats et modérer les éventuelles conclusions en conséquence. Néanmoins, les résultats sont obtenus pratiquement instantanément, ce qui permet de détecter les paramètres d'influence. Il serait indispensable d'effectuer une telle étude si il s'agissait de fabriquer la couche d'aimants optimisés visible sur les figures III.5.

### III.3.1.3 Perspectives

Cette méthode de représentation des aimants par spires équivalentes se révèle particulièrement efficace pour optimiser les formes d'aimants (sous réserve que les hypothèses de linéarité, d'homogénéité des matériaux et de simplification géométrique soient acceptables). En termes de développement, la prise en compte des aimantations parallèles est un complément à réaliser, notamment sur la base des éléments fournis dans [52].

La méthode de calcul analytique par spires équivalentes suppose la suppression des encoches statoriques (implicitement considéré par la relation (III.76)). Or, d'après les éléments discutés dans la sous-section III.2.3.1, la prise en compte de leurs effets est possible. Cela se manifesterait par l'apparition de sous-domaines sectoriels où le champ vérifierait la solution générale (III.66). Ces cas sont d'ailleurs explicitement traités dans [32, 44, 41] pour des machines à aimants déposés de forme sectoriel (tuile). Un tel développement serait à effectuer. Il permettrait notamment une estimation du couple à vide (couple de détente). Néanmoins, comme en calcul numérique, il deviendra nécessaire d'effectuer les calculs pour différentes positions du rotor, ce qui va ralentir la procédure. De plus, une sensibilité au nombre de termes considérés dans les séries (comme formalisé par (III.62)) est susceptible d'apparaître, ce qui doit être étudié. En l'état, comme illustré dans [RI-7], pour des machines à encoches semi-fermées, à grand entrefer (rapport pas polaire sur entrefer grand) et à nombre relativement élevé d'encoches par pôles (cas des distribution de bobinage à $s_{pp}$ entier avec grand nombre de phases), il reste acceptable de négliger l'influence des encoches sur la distribution du champ en phase de pré-conception (ce qui est confirmé par les calculs numériques [RI-7]).

Enfin, une dernière perspective consiste à intégrer les tolérances géométriques de fabrication dans la phase de conception. L'une des pistes consisterait à subdiviser les aimants en sous-domaines annulaires analytiques de dimension définies en fonction de la précision de la découpe. Les optimisations conduiraient alors à des solutions *a priori* réalisables.

### III.3.2 Machines à aimants à stator fortement segmenté

Cette section reporte un calcul analytique magnétostatique visant à caractériser les performances d'une machine à aimants déposés particulière, dite segmentée ou modulaire : le stator est composé de plusieurs circuits magnétiques indépendants, séparés par des barrières de flux de forme sectorielle. Cette topologie est parfois imposée par des contraintes de fabrication ou des objectifs de fonctionnement en régime dégradé, mais généralement avec des largeurs de barrière faibles [54]. Les barrières de flux affectent la distribution du champ et modifie les performances de la machine [55].

La thèse d'Eulalie Fleurot est consacrée à l'étude de ces structures magnétiques particulières dans le cas d'un grand nombre de pôles et d'une très forte segmentation : typiquement, la largeur angulaire de la barrière correspond à plusieurs paires de pôles [CI-30, ThS-5]. Dans ce cas, la segmentation génère un couple de détente additionnel fort, généralement supérieur
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Exemple d'une MSAD 7-phase à bobinage dentaire [ThS-3, RI-17]

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Commandes
multi-séquence MTPA

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à celui du aux encoches statoriques.

Dans le but d'évaluer rapidement et aussi précisément que possible le couple de détente généré par une barrière, un modèle simplifié, dit mono-segment, autorisant un calcul analytique du champ, est développé. L'objectif est notamment d'estimer l'influence de la largeur du segment sur le couple de détente. Si la machine comporte plusieurs segments, sous hypothèse de linéarité, le couple de détente total peut être reconstitué par superposition comme cela est proposé dans [56] (pour le couple de détente d'une machine à aimants, calculé depuis l'estimation du couple de détente d'une machine équivalente à une seule encoches).

### III.3.2.1 Modèle

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>FIGURE III.7 — Domaine de calcul pour la machine à aimants à stator fortement segmenté</figcaption></figure>

Comme illustré par la figure III.7, le domaine de calcul est composé de trois sous-domaines :

* la zone d'aimants, sous-domaine annulaire indicé (1), comprise entre les rayons $R_0$ et $R_1$, de perméabilité $\mu_0$ et de conductivité nulle,

* l'entrefer, sous-domaine annulaire indicé (2), compris entre les rayons $R_1$ et $R_2$, de perméabilité $\mu_0$ et de conductivité nulle,

* la barrière de flux ou zone de séparation magnétique, sous-domaine sectoriel indicé (3), compris entre les rayons $R_2$ et $R_3$ et les angles $\theta_3$ et $\theta_3 + \beta_3$, de perméabilité $\mu_0$ et de conductivité nulle.

Le potentiel-vecteur dans le sous-domaine sectoriel (3) est solution d'une équation de Laplace et doit satisfaire des conditions de Neumann homogènes aux frontières radiales (ce qui suppose physiquement une culasse statorique de perméabilité infinie). De plus, afin de représenter la présence d'air au-delà de la limite du domaine $r = R_3$, une condition de Dirichlet homogène est imposée le long du segment de rayon $R_3$ d'épanouissement angulaire [$\theta_3, \theta_3 + \beta_3$]. Dans ce
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# Amélioration des performances

## Qualité du couple

Bilan

d'activité

Contribution à
la

modélisation

du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité

fonctionnelle

Perspectives

## Exemple d'une MSAD 7-phase à bobinage dentaire [ThS-3, RI-17]

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### Commandes
multi-séquence MTPA

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contexte, la solution générale (III.66) peut être mise sous la forme suivante :

$$A^{(3)}(r, \theta) = a_0^{(3)} + \sum_{k=1}^{+\infty} a_k^{(3)} \left(\frac{R_2}{r}\right)^k \frac{\left(\frac{r}{R_3}\right)^{2k\frac{\pi}{\beta_3}} - 1}{\left(\frac{R_2}{R_3}\right)^{2k\frac{\pi}{\beta_3}} - 1} \cos\left(k\frac{\pi}{\beta_3}(\theta - \theta_3)\right) \quad (III.77)$$

Le potentiel-vecteur dans le sous-domaine annulaire (2) représentant l'entrefer est solution d'une équation de Laplace. La solution générale (III.64) pouvant être mise sous la forme suivante :

$$A^{(2)}(r, \theta) = \sum_{m=1}^{+\infty} \left\{ \begin{aligned} & \left( a_m^{(2)} \frac{R_1}{m} \left( \frac{R_1}{r} \right)^m \frac{\left( \frac{r}{R_2} \right)^{2m}}{\left( \frac{R_1}{R_2} \right)^{2m} - 1} + b_m^{(2)} \frac{R_2}{m} \left( \frac{r}{R_2} \right)^m \frac{1 + \left( \frac{R_1}{r} \right)^{2m}}{1 - \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^{2m}} \right) \cos(m\theta) \\ & + \left( c_m^{(2)} \frac{R_1}{m} \left( \frac{R_1}{r} \right)^m \frac{\left( \frac{r}{R_2} \right)^{2m}}{\left( \frac{R_1}{R_2} \right)^{2m} - 1} + d_m^{(2)} \frac{R_2}{m} \left( \frac{r}{R_2} \right)^m \frac{1 + \left( \frac{R_1}{r} \right)^{2m}}{1 - \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^{2m}} \right) \sin(m\theta) \end{aligned} \right\} \quad (III.78)$$

Le potentiel-vecteur dans le sous-domaine annulaire (1) représentant la couche d'aimants est régi par une équation de Poisson où le terme de forçage est la magnétisation des aimants. Le matériau magnétique (fer) bordant virtuellement le domaine de définition (assimilée à la culasse rotorique) est supposé de perméabilité infinie. Par conséquent, une condition de Neumann homogène est imposée le long de la frontière circulaire de rayon $R_0$. La magnétisation des aimants étant supposée radiale, cette condition est homogène. Dans ce cas, pour une position $\theta_r$ du rotor, le potentiel-vecteur dans le sous-domaine annulaire (1) prend la forme suivante (où $s_m(r)$ est le terme source représentant la magnétisation radiale des aimants [32, 45]) :

$$A^{(1)}(r, \theta) = \sum_{m=1}^{+\infty} \left\{ \begin{aligned} & \left( a_m^{(1)} \left( \frac{r}{R_1} \right)^m \frac{1 + \left( \frac{R_0}{r} \right)^{2m}}{1 + \left( \frac{R_0}{R_1} \right)^{2m}} + s_m(r) \cos(m\theta_r) \right) \cos(m\theta) \\ & + \left( c_m^{(1)} \left( \frac{r}{R_1} \right)^m \frac{1 + \left( \frac{R_0}{r} \right)^{2m}}{1 + \left( \frac{R_0}{R_1} \right)^{2m}} + s_m(r) \sin(m\theta_r) \right) \sin(m\theta) \end{aligned} \right\} \quad (III.79)$$

Comme précisé dans la sous-section III.2.2.2, les coefficients $a_m^{(1)}$, $c_m^{(1)}$, $a_m^{(2)}$, $b_m^{(2)}$, $c_m^{(2)}$, $d_m^{(2)}$ et $a_k^{(3)}$ sont calculés en inversant un système linéaire du type (III.62). Pratiquement, si $N_m$ est le nombre de termes considérés dans les sous-domaines annulaires (1) et (2) et si $N_k$ est le nombre de termes considérés dans le sous-domaine sectoriel (3), la matrice topologique $[M]$ a pour dimension $6N_m + 1 + N_k$. Les équations (III.77), (III.78) et (III.79) (et également la fonction $s_m(r)$ non détaillée ici) sont écrites de sorte à limiter les problèmes numériques lors de l'inversion de cette matrice : toutes les élévations de puissance sont positives et s'appliquent à des nombres inférieurs à un (pour un rotor interne).
<figure><img src="image_1295.png" /></figure>

### Adaptation du nombre barres à la commande multi-séquence

MASC 5-phase à bobinage concentré polaire $s_{pp} = 1$

<figure><img src="image_1296.png" /></figure>

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

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### III.3.2.2 Exemple

Pour un rotor à $p = 5$ paires de pôles et une culasse statorique dont la séparation magnétique correspond à 1.4 pas polaires (c'est-à-dire $\beta_3 = 1.4\pi/p$), la figure III.8 présente, pour la même position du rotor ($\theta_r = 6°$ mécaniques) la distribution des lignes de champ selon deux méthodes :

* un calcul numérique par éléments finis réalisés avec le logiciel FEMM [29] avec des matériaux magnétiques linéaires, reporté en figure III.8a,

* le calcul analytique précédemment décrit, reporté en figure III.8b.

Les estimations sont très proches, tout particulièrement concernant les lignes de fuite dont l'influence est déterminante sur le couple de détente.

La figure III.9 reporte, pour la même position, les estimations numériques et analytiques des inductions radiales et tangentielles. La figure III.9a compare les résultats numériques et analytiques dans l'entrefer (en $r = (R_1 + R_2)/2$). La proximité est remarquable et, au-delà de l'aspect calculatoire, le risque de démagnétisation des aimants peut être évaluée (jugée faible ici, pour un Néodyme-Fer-Bore). La figure III.9b est focalisée sur l'interface $r = R_2$ sur la largeur de la séparation magnétique (entre $\theta_3$ et $\theta_3 + \beta_3$). Une très bonne concordance est observée entre les estimations numériques et analytiques (c'est l'expression depuis le potentiel-vecteur d'entrefer $A^{(2)}$ qui est calculée, mais l'équivalence avec le potentiel-vecteur $A^{(3)}$ dans la séparation magnétique a été vérifiée). La surestimation numérique aux points singuliers ($R_2, \theta_3$) et ($R_2, \theta_3 + \beta_3$) peut être notée.

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>**FIGURE III.8** — Comparaison de la distribution des lignes de champ numériques et analytiques</figcaption></figure>

Le couple est calculé par intégration du tenseur de Maxwell le long d'un contour circulaire placé dans l'entrefer (sous-domaine (2)). Tous les calculs réalisés montrent une excellente concordance entre les estimations numériques et analytiques. En particulier, ceci peut être constaté sur la figure III.10 qui présente les résultats numériques et analytiques pour une période de couple (égale au pas polaire $\pi/p$), pour deux largeurs de séparation magnétique différentes :

* en figure III.10a, le cas de la largeur de séparation magnétique $\beta_3 = 1.4\pi/p$ (concernant déjà les figures III.8 et III.9);
<figure><img src="image_1304.png" /></figure>

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse
Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

## Adaptation du nombre barres à la commande multi-séquence

### MASC 5-phase à bobinage concentré polaire $s_{pp} = 1, Q_r = 32$

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<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>**FIGURE III.9** — Comparaison des inductions numériques et analytiques</figcaption></figure>

• en figure III.10b, le cas d'une largeur de séparation magnétique un peu réduite $\beta_3 = 1.1\pi/p$.

Les figures III.10a et III.10b reportent également l'estimation analytique classique du couple de détente : elle consiste à moduler une estimation analytique du champ d'entrefer d'une machine équivalente sans encoche par une fonction de perméance supposant un trajet circulaire du champ dans les encoches [57, 47]. Cette méthode est adaptée aux faibles largeurs de séparation magnétique (c'est-à-dire pour des encoches classiques) et semble donner des résultats acceptables pour les très grandes largeurs de segment (c'est-à-dire couvrant plusieurs pas polaires, pour une machine fortement segmentée [CI-30]). La méthode de calcul par fonction de perméance se révèle particulièrement imprécise en raison d'une très mauvaise estimation des lignes de fuite. Ainsi, indépendamment des formes d'onde, la figure III.10a montre une sur-estimation et la figure III.10b une sous-estimation.

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>**FIGURE III.10** — Estimation du couple de détente</figcaption></figure>
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### Adaptation du nombre barres à la commande multi-séquence

MASC 5-phase à bobinage concentré polaire $s_{pp} = 1, Q_r = 32$

Fem, u=1 / Q, = 32

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La figure III.11 résume les résultats obtenus pour des largeurs de séparation magnétique $β_3$ variant de 0.05 à 1.95 fois le pas polaire $π/p$ pour deux largeurs d'aimants : 70% du pas polaire en figure III.11a et 100% en III.11b. La similitude des deux estimations du couple est mesurée par la corrélation entre les deux signaux (la valeur un indique donc deux signaux de forme identique) en traits pleins et les rapports de valeurs crête entre deux estimations sont reportées en traits pointillés. La référence est l'estimation numérique. A l'exception des toutes petites largeurs de séparation magnétique $β_3$ où le couple est faible, résultats numériques et analytiques par sous-domaines sont très proches. A l'inverse, ces courbes montrent l'impossibilité d'utiliser la méthode de la perméance, très imprécise, notamment en forme d'onde si le segment de largeur $β_3$ mesure entre 1 et 1.5 fois le pas polaire.

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>**FIGURE III.11** — Corrélation et valeurs maximales des couples de détente selon la méthode analytique et le calcul par perméance en référence aux estimations numériques</figcaption></figure>

### III.3.2.3 Perspectives

Sur le plan pratique, la réduction du temps de calcul est significative : le temps requis pour le calcul analytique est environ 25 fois inférieur à celui nécessaire pour le calcul numérique (FEMM avec tous les matériaux magnétiques linéaires). Concrètement (avec un PC Windows10 équipé d'un processeur Intel Core i7 8650U CPU 1.9GHz / 32Go de RAM), les 19 points calculés pour le couple de détente nécessite environ 37s en numérique contre environ 1.4s en analytique (avec $N_m = 75$ harmoniques, rangs 1 à 75, dans les sous-domaines annulaires et $N_k = 5$, rangs 0 à 5, soit 6 termes, dans le sous-domaine sectoriel). A ce titre, le potentiel de la méthode dans une optique d'optimisation est évident. Bien que cela reste à étayer rigoureusement, les logiciels de calcul scientifique utilisés pour coder les résolutions (Scilab, Matlab) n'ont ramené aucune alerte de mauvais conditionnement lors des nombreux tests effectués. Comme mentionné, les potentiel-vecteurs dans les différents sous-domaines (III.77), (III.78) et (III.79) sont exprimés de sorte justement à réduire le risque d'erreur numérique et à faciliter la convergence pour les ordres élevés. Dans une procédure d'optimisation, la sensibilité aux nombre de termes est un point à contrôler. Des éléments de réflexion sont donnés à la fin de la référence [40].

En termes de développement, la prise en compte d'aimantations tangentielles avec des
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### Adaptation du nombre barres à la commande multi-séquence

MASC 5-phase à bobinage concentré polaire $s_{pp} = 1, Q_r = 32$

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Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

<figure><img src="image_1325.png" /></figure>

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formes d'aimant particulières, sur la base de la décomposition en spires équivalentes détaillée dans la section III.3.1, est une poursuite naturelle. Un autre usage de la méthode analytique par sous-domaines consisterait à l'utiliser afin de construire des fonctions de perméance paramétrées sur la position du rotor en tenant compte de la largeur de l'ouverture du segment (ou de l'encoches) au stator et éventuellement de la largeur de l'aimant. Dans un contexte d'optimisation du circuit magnétique, il serait alors possible de prévoir à moindre coût numérique et avec une bonne précision l'évolution du couple de détente.

### III.3.3 Concept de machine à induction à anneau conducteur au rotor

L'objectif est de développer un outil d'analyse autorisant une pré-évaluation rapide de l'aptitude d'une machine polyphasée asynchrone à cage (MASC) à fonctionner sous différentes séquences d'alimentation, donc sous différentes polarités magnétiques. S'inscrivant dans le contexte de la thèse d'Abdelhak Mekahlia [ThS-6], ce travail exploratoire a fait l'objet d'un projet de fin d'étude d'élève-ingénieur [MaS-5].

Parmi les options possibles pour effectuer cet examen, utiliser une représentation de la machine en circuits électriques équivalents prenant en compte les différents harmoniques est une possibilité [58]. Cependant, cette approche nécessite l'estimation préalable de tous les termes résistifs et inductifs caractérisant les circuits électriques et magnétiques de la machine. De plus, elle ne respecte pas les contraintes de calcul posées pour ce chapitre, c'est-à-dire estimer les performances directement par les grandeurs locales. Le calcul numérique est évidemment l'alternative la plus précise, à tel point qu'il est fréquent de se baser sur ces résultats pour valider une orientation de conception. Cependant, la résolution numérique par éléments finis en magnétodynamique (*transient solver*) nécessite un temps de calcul significatif, peu compatible d'un objectif d'analyse exploratoire. C'est bien cette limite qui justifie le développement ici présentée et démarrée dans [MaS-5].

En termes de calcul analytique du champ, les machines asynchrones à cage peuvent être caractérisées avec la méthode des sous-domaines, qui consiste notamment à simplifier les barres rotoriques par des sous-domaines sectoriels où le champ vérifie (III.74) [43]. Cette approche est particulièrement intéressante mais l'arithmétique entre le nombre réduit d'encoches et le nombre de barres rotoriques ne permet généralement pas de réduire le domaine de calcul par symétrie. Par conséquent, il est souvent nécessaire de considérer un nombre de barres rotoriques important, donc un nombre de sous domaines analytiques important, avec les éventuels problèmes de sensibilité aux nombres de termes et à l'inversion de la matrice constatés dans la section précédente III.3.2. Il n'est pas affirmé ici qu'il s'agit d'un problème insurmontable mais cette sensibilité n'est pas comptable de l'objectif du développement.

La méthode ici retenue consiste à étudier une machine asynchrone très simplifiée où la cage est un anneau conducteur [59]. Dans une certaine mesure, cette structure s'apparente à celle d'une machine à rotor massif où ce dernier est parfois englobé par un anneau conducteur. Contrairement à une cage, en régime linéaire, l'anneau réplique les harmoniques spatiaux sans aucun effet de recouvrement spectral. Une telle propriété aboutit à une réduction du couple moyen, tout particulièrement en cas d'harmoniques spatiaux d'amplitude significative. De plus, l'anneau conducteur augmente l'entrefer magnétique de la machine, ce qui dégrade le couplage magnétique entre le rotor et le stator en référence à une cage. Finalement, bien que d'intérêt pratique faible, cette machine simplifiée peut être caractérisée simplement et rapidement et avec un nombre réduit de paramètres.
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### Adaptation du nombre barres à la commande multi-séquence

MASC 5-phase à bobinage concentré polaire $s_{pp} = 1, Q_r = 32 \rightarrow 31$

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### III.3.3.1 Principe de calcul

#### Hypothèses

Comme représenté sur la figure III.12, le domaine est composé de quatre sous-domaines an-nulaires :

* la culasse rotorique indicée (1), supposée non conductrice et de perméabilité magnétique finie,

* l'anneau conducteur rotorique indicée (2) de conductivité $\zeta$, siège de courants induits et de perméabilité magnétique $\mu_0$

* l'entrefer indicé (3), non conducteur et de perméabilité magnétique $\mu_0$

* la culasse statorique indicée (4), supposée non conductrice et de perméabilité magnétique finie (propriétés identiques à celles de la culasse rotorique).

Les sous-domaines (1), (3) et (4) sont régis par une équation de Laplace (III.63). Aux frontières du domaine du calcul (cercles de rayon $R_0$ pour la culasse rotorique et de rayon $R_4$ pour la culasse statorique), des conditions aux limites de Dirichlet homogènes imposant la nullité du potentiel-vecteur sont supposées (III.52). Le bobinage est représenté par une fonction de densité linéique de courant portée par la frontière entre les sous-domaines entrefer (3) et culasse statorique (4) : les conditions de continuité du flux (III.57) et d'Ampère (III.59) s'imposent le long de l'interface constituée par le cercle de rayon $R_3$. L'anneau conducteur, représenté par le sous-domaine (2), est donc le siège de courants induits par les harmoniques spatiaux générés par la densité linéique de courant, constituant le terme-source (ou de forçage). Pour un harmonique spatial donné, le principe de calcul du potentiel-vecteur précisé dans III.2.3.3 s'applique : le sous-domaine (2) est donc régi par une équation de Helmholtz.

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>**FIGURE III.12** — Domaine de calcul de la machine asynchrone à anneau conducteur (à l'harmonique d'espace $v$ dans le repère rotorique)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_1342.png" /></figure>

### Adaptation du nombre barres à la commande multi-séquence

<figure><img src="image_1343.png" /><figcaption>MASC 5-phase à bobinage concentré polaire $s_{pp} = 1$, $Q_r = 32 \rightarrow 31$</figcaption></figure>

* commande simplifiée

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Résolution

Formellement, si l'harmonique d'espace $v$ généré par la séquence d'alimentation $u$ à la pulsation électrique $\omega_u$ est considéré, en supposant nul l'angle de phase de l'onde à l'origine (en temps et en espace), l'onde de densité linéique peut s'écrire de la façon suivante dans le repère statorique (conformément aux notations introduites dans la sous-section (III.1.3.2) et à (III.29)) :

$$ \mathcal{K}(\theta_s, t) = \mathcal{K}_v \cos(v\theta_s - \omega_u t) \qquad (III.80) $$

L'onde de densité linéique peut être exprimée dans le repère rotorique :

$$ \mathcal{K}(\theta_r, t) = \mathcal{K}_v \cos(v\theta_r - (\omega_u - v\Omega_m)t) \qquad (III.81) $$

Dans le repère rotorique, l'onde de densité linéique de courant pulse à $\omega_u - v\Omega_m$. Cette pulsation est notée $\omega_{r,v}$ et reliée au glissement d'ordre $v$ noté $s_v$ :

$$ \omega_{r,v} = \omega_u - v\Omega_m = s_v\omega_u \qquad (III.82) $$

Conformément au principe de résolution décrit dans la sous-section III.2.3.3, la densité linéique complexe $\overline{\mathcal{K}}_v$, indépendante du temps, est introduite. La densité linéique réelle est alors égale à la partie réelle du nombre complexe défini ci-après :

$$ \mathcal{K}(\theta_r, t) = \Re\{\overline{\mathcal{K}}_v(\theta_r)e^{j\omega_{r,v}t}\} \qquad (III.83) $$

Considérant (II.132) établie dans la sous-section II.3.2.3, la densité linéique complexe $\overline{\mathcal{K}}_v$ peut s'exprimer en fonction de la densité linéique efficace de courant $A_u$, du coefficient de bobinage complexe d'ordre $v$ $\overline{\mathcal{K}}_v$ et de la largeur angulaire de la densité linéique de conducteurs $\epsilon_s$ :

$$ \overline{\mathcal{K}}_v = A_u \sqrt{2} \overline{\mathcal{K}}_v^* \sinc\left(v \frac{\epsilon_s}{2}\right) e^{-j v \theta_r} \qquad (III.84) $$

Selon la relation (III.73), le potentiel-vecteur est décomposé en série de Fourier. Si seul l'harmonique spatial d'ordre $v$ est considéré, alors le terme harmonique d'ordre $v$ est solution du problème. Le potentiel-vecteur dans l'anneau conducteur s'exprime alors comme suit :

$$ \overline{A_v^{(2)}}(r, \theta_r) = \left( \overline{a_v^{(2)}} J_v(r\sqrt{-j\omega_{r,v}\mu_0\zeta}) + \overline{b_v^{(2)}} Y_v(r\sqrt{-j\omega_{r,v}\mu_0\zeta}) \right) e^{jv\theta_r} \qquad (III.85) $$

Pour mémoire, les potentiels-vecteurs dans la culasse rotorique (sous-domaine (1)), l'entrefer (sous-domaine (3)) et la culasse rotorique (sous-domaine (4)) s'expriment selon (III.65) :

$$ \forall i \in \{1, 3, 4\} \quad \overline{A_v^{(i)}}(r, \theta_r) = \left( \overline{a_v^{(i)}} r^v + \overline{b_v^{(i)}} r^{-v} \right) e^{j v \theta_r} \qquad (III.86) $$

La prise en compte des conditions de continuité et des conditions aux limites aboutit à un système linéaire du type (III.61), ce qui permet le calcul des coefficients complexes $\overline{a_v^{(i)}}$ et $\overline{b_v^{(i)}}$ pour les quatre sous-domaines. Une séquence d'alimentation $u$ générant une série d'harmo- niques spatiaux $v \in F_u$ à la pulsation $\omega_u - v\Omega_m$, leurs contributions respectives sont prises en compte par superposition.
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# Amélioration des performances

## Qualité du couple

### Adaptation du nombre barres à la commande multi-séquence

MASC 5-phase à bobinage concentré polaire $s_{pp} = 1$, $Q_r = 32 \rightarrow 31$

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Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fabilité
fonctionnelle

Perspectives

* commande simplifiée

* couple pulsatoire réduit (pas de pulsation inter-séquence)

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## Calcul du couple

Le couple électromagnétique se calcule par intégration du tenseur de Maxwell le long d'un contour circulaire de rayon $R_e$ situé dans l'entrefer (sous-domaine (3)) :

$$ T = \frac{1}{2} \Re \left\{ \frac{L_z R_e^2}{\mu_0} \int_{\theta_r=0}^{2\pi} \overline{B_r} \overline{B_{\theta}}^* d\theta_r \right\} \qquad (III.87) $$

Développer (III.87) permet d'obtenir l'expression suivante pour le couple lié à l'harmonique d'espace d'ordre $v$ pulsant à $\omega_{r,v}$ :

$$ T_v = \frac{2\pi L_z}{\mu_0} v^2 \left[ \Re\left\{\overline{a_v^{(3)}}\right\} - \Im\left\{\overline{b_v^{(3)}}\right\} - \Im\left\{\overline{a_v^{(3)}}\right\} \Re\left\{\overline{b_v^{(3)}}\right\} \right] \qquad (III.88) $$

Si $v^+$ est le rang de l'harmonique spatial de référence (typiquement l'harmonique $p$ pour la séquence fondamentale $u = 1$), le glissement de référence $s_{v^+}$ est défini pour une fréquence d'alimentation donnée $f_s$ et une vitesse de rotation $\Omega_m$ :

$$ s_{v^+} = \frac{2\pi f_s - v^+ \Omega_m}{2\pi f_s} \qquad (III.89) $$

Il est plus exploitable de représenter l'évolution du couple lié à l'harmonique spatial de rang $v$ par rapport au glissement de référence $s_{v^+}$ plutôt que par rapport au glissement d'ordre $v$ noté $s_v$. La relation suivante, développée à partir de (III.89), est donc précisée :

$$ s_v = 1 - (1 - s_{v^+}) \frac{v}{v^+} \qquad (III.90) $$

La figure III.13 illustre le cas d'une machine triphasée équipée d'un bobinage concentré diamétral à 2 paires de pôles ($N = 3$, $s_{pp} = 1$ et $p = 2$). La figure III.13a montre les lignes de champ au premier harmonique d'espace ($v = p = 2$) au démarrage (glissement fondamental $s_p = 1$). La figure III.13b donne les évolutions des couples électromagnétiques pour les harmoniques spatiaux générés par la séquence fondamentale ($u = 1$) : l'effet freinant des harmoniques spatiaux ($v \in \{-5p, 7p, -11p, 13p\}$) sur le couple fondamental ($v = p$) apparaît clairement et montre bien l'impossibilité de mise en oeuvre d'un tel bobinage (notamment dans le cas d'une alimentation directe sur un réseau triphasé).

### III.3.3.2 Exploitation

Dans le cadre d'un bobinage à pas diamétral (c'est-à-dire constitué de bobines à épanouissement polaire), cette méthode de calcul analytique permet d'illustrer rapidement, en termes de production de couple à la séquence d'alimentation $u = 1$, la notion d'équivalence entre distribuer un bobinage diamétral triphasé et augmenter le nombre de phases du bobinage concentré diamétral. Pour les mêmes dimensions et la même densité linéique de courant, la figure III.14 présente les couples électromagnétiques obtenus avec deux configurations de bobinage distinctes :

* un bobinage triphasé diamétral distribué à 3 encoches par pôle et par phase en figure III.14a,

* un bobinage 9-phase diamétral concentré en figure III.14b.
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Bilan

d'activité

Contribution à
la

modélisation

du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

### Problématique

Utiliser les différentes séquences pour maximiser la plage de vitesse à Volt-Ampères onduleurs donnés

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<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>**FIGURE III.13** — Caractérisation d'une machine asynchrone triphasé à anneau conducteur avec bobinage concentré diamétral, (N, p, s<sub>pp</sub>) = (3, 2, 1)</figcaption></figure>

Ces deux bobinages nécessitent le même nombre d'encoches ($Q_s = 36$) et génèrent la même polarité ($p = 2$) sur la séquence fondamentale ($u = 1$). Pour la séquence fondamentale ($u = 1$), les figures reportent les couples totaux en trait continu (prenant en compte les harmoniques spatiaux de la liste $F_1$) et les couples au fondamental (à l'harmonique $v = p$) en trait pointillé. Il apparaît des couples maximum comparables pour les deux bobinages. Cependant, alors que le bobinage triphasé présente un coefficient de bobinage fondamental (0.96) inférieur à celui du bobinage 9-phase (1), le bobinage triphasé génère un couple maximal légèrement supérieur. Cela résulte du fait que le bobinage triphasé (distribué) atténue davantage les harmoniques spatiaux que le bobinage 9-phase (concentré polaire). Plus précisément, pour la configuration triphasée, les coefficients de bobinage d'ordre $\{5p, 13p\}$ et $\{7p, 11p\}$ valent respectivement 0.22 et 0.18 contre 1 quel que soit le coefficient de bobinage d'ordre $2pN$ pour la configuration 9-phase (et donc en particulier les ordres $17p$ et $19p$). Cependant, comme montré par la figure III.14b, la configuration 9-phase offre la possibilité d'utiliser la séquence $u = 3$ pour générer un couple : la valeur de crête de ce dernier est inférieure à celle de la séquence fondamentale mais le couple de démarrage est plus fort. L'intérêt pratique est certes limité mais cela permet de se convaincre de la nécessité de rechercher des topologies particulières de bobinage si l'objectif est d'effectuer de la commutation électronique de pôles dans une application de propulsion.

La figure III.15 reporte les résultats obtenus en considérant une machine équipée d'un bobinage dentaire à 60 phases (concept *Intelligent Stator Cage Asynchronous Drive*, ISCAD, présenté dans [60]). Ce concept exploite la propriété suivante mise en évidence dans la sous-section II.3.1.4 : pour un bobinage dentaire à *N* phases, l'harmonique principal de la séquence *u* est *pu* et le premier harmonique d'espace est *p*(*N* − *u*). Ainsi, si le nombre de phase *N* est grand, alors la réponse à la séquence *u* (c'est-à-dire le champ tournant généré à la séquence *u*) est pratiquement sinusoïdale, et ce d'autant plus que la séquence *u* est basse. Une machine équipée d'un tel bobinage est donc virtuellement en mesure de fonctionner sous différentes polarités au bénéfice de la caractéristique couple/vitesse. Cette propriété est effectivement confirmée dans le cas d'une machine asynchrone équipée d'un anneau conducteur au rotor. En particulier, il peut être observé que, pour une séquence *u* donnée, les harmoniques spatiaux
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Bilan

d'activité

Contribution à

la

modélisation

du bobinage

Amélioration

des

performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité

fonctionnelle

Perspectives

### Problématique

Utiliser les différentes séquences pour maximiser la plage de vitesse à Volt-Ampères onduleurs donnés

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<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>**FIGURE III.14** — Couples électromagnétiques en fonction de la vitesse pour deux bobines à 36 encoches et 2 paires de pôles</figcaption></figure>

ont un effet freinant très faible.

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>**FIGURE III.15** — Couple/vitesse sur différentes séquences pour une machine asynchrone à anneau conducteur avec bobinage concentré dentaire 60-phase (N, p, s<sub>pp</sub>) = (60, 1, 0.5)</figcaption></figure>
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### Problématique

Utiliser les différentes séquences pour maximiser la plage de vitesse à Volt-Ampères onduleurs donnés

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La figure III.16 illustre l'effet du changement de séquence d'alimentation sur la distribution du champ et au final le changement de polarité opéré : la figure III.16a présente les lignes de champ à la première séquence $u = 1$ (restreintes à l'harmonique spatial d'ordre $v = p = 1$) et la figure III.16b présente les lignes de champ à la première séquence $u = 2$ (restreintes à l'harmonique spatial d'ordre $v = 2p = 2$).

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>**FIGURE III.16** — Carte de champ (analytique) pour une machine asynchrone à anneau conducteur avec bobinage concentré dentaire 60-phase, ($N, p, s_{pp}$) = (60, 1, 0.5)</figcaption></figure>

### III.3.3.3 Perspectives

Le codage de cette résolution analytique se révèle particulièrement instructif : il permet de caractériser rapidement, avec peu d'a priori, le comportement d'une machine asynchrone sous diverses séquences d'alimentation. Au delà de l'illustration de propriétés bien connues comme la nécessité de distribuer le bobinage pour limiter l'influence des harmoniques spatiaux, ce code analytique permet de se convaincre de la possibilité de développer des machines asynchrones à grand nombre de phases, a priori capables de fonctionner sous diverses polarités avec un couple de qualité. Il convient cependant de rappeler que les résultats présentés reposent sur une hypothèse de linéarité (consistant à sommer les réponses à un harmonique spatial pulsant à une fréquence donnée). En termes de développement, selon [61], une perméabilité complexe restituant la saturation et les pertes par hysteresis pourrait être introduite : une telle hypothèse appliquée à la culasse statorique est assez peu compatible de l'hypothèse du mur ferrromagnétique admise pour représenter le bobinage. Par contre, pour la culasse rotorique, elle permettrait peut-être de mesurer certaines limites. Cela étant, l'hypothèse de superposition (calcul indépendant des contributions de chaque harmonique spatial) serait toujours nécessaire.
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## Problématique

Utiliser les différentes séquences pour maximiser la plage de vitesse à Volt-Ampères onduleurs donnés

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## Problématique

Utiliser les différentes séquences pour maximiser la plage de vitesse à Volt-Ampères onduleurs donnés

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**Point de base** : vitesse maximale de maintien du couple maximal

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Chapitre IV
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## Problématique

Utiliser les différentes séquences pour maximiser la plage de vitesse à Volt-Ampères onduleurs donnés

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**Point de base :** vitesse maximale de maintien du couple maximal

**Alimentation multi-séquence / Alimentation mono-séquence**

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### Alimentation multi-séquence

Bilan

d'activité

Contribution à

la

modélisation

du bobinage

Amélioration des performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité

fonctionnelle

Perspectives

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# IV Amélioration des performances par augmentation du nombre de phases

## Sommaire

<table><tbody><tr><td><strong>IV.1 Qualité du couple</strong></td><td><strong>128</strong></td></tr><tr><td>IV.1.1 Machine Synchrone à Aimants Déposés</td><td>128</td></tr><tr><td>IV.1.2 Machine Asynchrone à cage</td><td>134</td></tr><tr><td>IV.1.3 Bilan</td><td>149</td></tr><tr><td><strong>IV.2 Extension de la plage de vitesse</strong></td><td><strong>151</strong></td></tr><tr><td>IV.2.1 Détermination de la puissance du convertisseur</td><td>152</td></tr><tr><td>IV.2.2 Analyse du potentiel lié à l'utilisation des différentes séquences</td><td>159</td></tr><tr><td>IV.2.3 Commutation électronique de pôles</td><td>165</td></tr><tr><td>IV.2.4 Opportunités liées aux couplages électriques des enroulements</td><td>174</td></tr><tr><td>IV.2.5 Bilan</td><td>180</td></tr><tr><td><strong>IV.3 Amélioration de la fiabilité fonctionnelle</strong></td><td><strong>181</strong></td></tr><tr><td>IV.3.1 Fonctionnement en régime de défaut de phases ouvertes</td><td>182</td></tr><tr><td>IV.3.2 Quantification de la fiabilité du convertisseur électromécanique polyphasé</td><td>188</td></tr><tr><td>IV.3.3 Bilan</td><td>196</td></tr></tbody></table>

Pour une machine tournante, quelle que soit la structure d'alimentation, les performances transitoires maximales atteignables en termes de couple et vitesse sont intrinsèquement majorées par la capacité du circuit magnétique à canaliser le flux, tant que les courants circulants dans les conducteurs et les courants induits n'altèrent pas l'intégrité de la machine (fonte d'isolants, démagnétisation irréversible des aimants si machine à aimants...). Les performances nominales de la machine sont situées sous cette limite et sont thermiquement stabilisées par le système de refroidissement. En cas d'alimentation par onduleur de tension, les calibres en tension et courant des interrupteurs sont normalement déterminés en considérant le régime
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Bilan

d'activité

Contribution à

la

modélisation

du bobinage

Amélioration

des

performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité

fonctionnelle

Perspectives

## Alimentation multi-séquence

Pour chaque vitesse, recherche des sollicitations sinusoïdales optimales des séquences ($\zeta$)

$$ \zeta^{opt} $$

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nominal. Les calibres se libellant en valeurs crêtes et les performances nominales (liées à la thermique) en valeurs efficaces, il existe bien souvent une marge entre les performances nominales et les performances extrémales autorisées par l'onduleur, à la fois en régime établi et en régime transitoire.

L'exploitation de cette marge peut conduire à une extension de la caractéristique couple-vitesse. A basse vitesse, le couple peut être accru en ciblant une onde de courant dont la valeur crête égale le calibre des interrupteurs. Les pertes joules peuvent alors excéder les pertes joules nominales : il convient dans ce cas de limiter ce régime de sur-couple sur une durée telle que la limite d'échauffement ne soit pas dépassée. A haute vitesse, le couple peut être accru en ciblant une onde de tension dont la valeur crête égale la tension du bus continu (modulation linéaire), voire la dépasse (modulation non linéaire). De même qu'à basse vitesse, le couple recherché doit correspondre à une onde compatible du calibre des interrupteurs pour un fonctionnement transitoire et des pertes que la réfrigération peut évacuer pour un fonctionnement permanent.

La nécessité de monter en vitesse (c'est-à-dire utiliser la machine à une vitesse au-delà de laquelle le couple maximal ne peut plus être atteint) est typique des applications de propulsion. Pour ces applications, pour une puissance motrice installée, l'objectif est de disposer du couple maximal pour les phases de démarrage puis de la puissance nominale sur une plage de vitesse aussi étendue que possible (ceci maximisant la capacité d'accélération quelle que soit la vitesse initiale). Ce contexte plutôt classique concerne les travaux de thèse d'Hussein Zahr [ThS-3] et d'Abdelhak Mekahlia [ThS-6]. La problématique de l'adaptation de la caractéristique couple-vitesse trouve une application originale pour les génératrices hydroliennes et est examinée dans les thèses de Zhibin Zhou [ThS-1] et Sofiane Djebarri [ThS-2].

Tant en régime nominal qu'en régimes dégradés, la machine polyphasée doit être contrôlée en respectant les limites imposées par l'alimentation. Dans le cas contraire, les semi-conducteurs, pratiquement inaptes à la surcharge, se mettent en sécurité et cessent de fonctionner. Pour la machine polyphasée, le fonctionnement effectif en régime dégradé repose donc sur une reconfiguration adéquate de la commande en courant. Cette reconfiguration modifie nécessairement les sollicitations de la charge mécanique (qualité du couple), de la source continue (qualité du courant) et de l'ensemble convertisseur-machine : des fatigues supplémentaires apparaissent qu'il est nécessaire de quantifier pour évaluer la fiabilité d'ensemble. Cette problématique est abordée dans la thèse de Christohe Olmi [ThS-4] qui cherche à évaluer l'éventuel gain en fiabilité si le nombre de phases est augmenté.

Ce chapitre vise donc à examiner les avantages supposés de la machine polyphasée alimentée par onduleur de tension en termes de qualité du couple, d'extension de la caractéristique couple/vitesse et de fiabilité. Les analyses conduites et les démarches de conception et de contrôles déduites s'appuient très fortement sur la modélisation du bobinage détaillée au chapitre II et les caractérisations analytiques présentées au chapitre III. Deux types de machines<fnref n="1" /> sont principalement étudiées : les machines synchrones à aimants déposés (MSAD) et les machines asynchrones à cage (MASC) autorisant chacune l'application du concept multi-machine, c'est-à-dire le principe d'indépendance magnétique des séquences d'alimentation alors représentées par les machines fictives cf. II.3.3).

La première partie se concentre sur l'amélioration de la qualité du couple, indépendamment de la limite en tension. Pour un régime de fonctionnement alors typé basse vitesse, il s'agit d'estimer aussi quantitativement que possible l'impact du nombre de phases sur les ondulations de couple et le couple moyen. Dans la seconde partie, la problématique de la montée en vitesse est examinée, ce qui signifie que toutes les contraintes d'alimentation (en courant et en tension)

<footnote n="1">1. Il est supposé que l'induit est le stator et l'inducteur est le rotor.</footnote>
<figure><img src="image_1424.png" /></figure>

## Alimentation multi-séquence

Pour chaque vitesse, recherche des sollicitations sinusoïdales optimales des séquences ($\zeta$) pour maximiser le couple ($T$)

$$ \zeta^{opt} = \operatorname{argmin} (-T(\zeta)) $$

<figure><img src="image_1425.png" /></figure>

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sont prises en compte. Il s'agit essentiellement de montrer comment la bonne sollicitation des séquences d'alimentation permet de mieux utiliser l'onduleur, en particulier pour étendre la plage de vitesse. Enfin, la dernière partie vise à évaluer l'impact sur la fiabilité fonctionnelle d'une augmentation du nombre de phases : la tolérance aux régimes établis de défaut de phases ouvertes est explicitée et une méthode d'évaluation de la fiabilité ayant vocation à intégrer l'impact de la reconfiguration est présentée.
<figure><img src="image_1431.png" /></figure>

## Alimentation multi-séquence

Pour chaque vitesse, recherche des sollicitations sinusoïdales optimales des séquences ($\zeta$) pour maximiser le couple ($T$) en respectant des contraintes sur les tensions ($c_v$) et courants ($c_i$) d'enroulement :

$$ \zeta^{opt} = \operatorname{argmin} (-T(\zeta)) \quad \text{avec} \quad \begin{cases} \zeta_{min} \le \zeta \le \zeta_{max} \\ c_v(\zeta) \le 0 \\ c_i(\zeta) \le 0 \end{cases} $$

<figure><img src="image_1432.png" /></figure>

<figure><img src="image_1433.png" /></figure>

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IV.1 Qualité du couple

En régime établi, la qualité du couple peut être mesurée par le rapport entre l'ondulation crête à creux et la valeur moyenne, grandeur appelée *Torque Ripple Level* (TRL) [62]. Pour un système propulsif (naval ou automobile), la qualité du couple est un critère particulièrement important à basse vitesse : d'une part, un TRL faible est requis pour tenir une vitesse de rotation faible ; d'autre part, un couple élevé doit pouvoir être développé pour les phases d'accélération. Ainsi, dans cette partie, la seule contrainte d'alimentation éventuellement considérée concerne le courant : travailler à valeur efficace spécifiée ou travailler à valeur de crête limitée. En d'autres termes, les contraintes résultant de la tension limite applicable par l'onduleur ne sont pas prises en compte : elles le seront dans la partie IV.2 qui traite de l'extension de la plage de vitesse. Par conséquent, la présente partie se concentre sur l'évaluation des gains en couple autorisés par les stratégies MTPA appliquées à des machines polyphasées. Deux types de machines supposées vérifier l'hypothèse d'entrefer lisse (nécessaire à l'application de la décomposition multimachine) sont successivement considérées : machines synchrones à aimants déposés (MSAD) et machines asynchrones à cage (MASC). A l'issue, un bilan ouvrant vers les perspectives est proposé.

IV.1.1 Machine Synchrone à Aimants Déposés

La première étape consiste à calculer le couple pour mettre en évidence les paramètres en influençant la valeur moyenne. Le gain repose sur l'utilisation simultanée de plusieurs séquences d'alimentation, soit en pratique l'injection de plusieurs harmoniques de courant.

IV.1.1.1 Calcul du couple depuis les grandeurs de phase

Pour une machine à aimants déposés, le couple électromagnétique est la somme des produits phase à phase de la force électromotrice élémentaire $\varepsilon_n$ (tension à vide à une vitesse de 1rad/s) par le courant de phase $i_n$. Si $\theta_e$ désigne l'angle électrique, cela se formule comme suit pour une machine à N phases :

$$T(\theta_e) = \sum_{n=0}^{N-1} \varepsilon_n(\theta_e) i_n(\theta_e) \qquad (IV.1)$$

La force électromotrice élémentaire de phase n peut être développée en série de Fourier. Si $E_h$ désigne la valeur efficace de l'harmonique d'ordre h, le développement peut s'exprimer comme suit :

$$\varepsilon_n(\theta_e) = \sum_{h=1}^{+\infty} E_h \sqrt{2} \sin \left( h\theta_e - hn\frac{2\pi}{N} \right) \qquad (IV.2)$$

De même, le courant de phase peut être développée en série de Fourier. Si $I_g$ et $\theta_g$ correspondent à la valeur efficace et à l'angle respectivement pour l'harmonique d'ordre g, le courant de phase n peut se formuler de la façon suivante :

$$i_n(\theta_e) = \sum_{g=1}^{+\infty} I_g \sqrt{2} \sin \left( g\theta_e - gn\frac{2\pi}{N} - \theta_g \right) \qquad (IV.3)$$
<figure><img src="image_1438.png" /></figure>

## Alimentation multi-séquence

Pour chaque vitesse, recherche des sollicitations sinusoïdales optimales des séquences ($\zeta$) pour maximiser le couple ($T$) en respectant des contraintes sur les tensions ($c_v$) et courants ($c_i$) d'enroulement :

$$ \zeta^{opt} = \operatorname{argmin} (-T(\zeta)) \quad \text{avec} \quad \begin{cases} \zeta_{min} \le \zeta \le \zeta_{max} \\ c_v(\zeta) \le 0 \\ c_i(\zeta) \le 0 \end{cases} $$

**Exemple :** Formulation pour une machine 7-phase, sur séquences 1 et 3, à la vitesse $\Omega$ ($V_b$ et $I_b$ tension et courant de base)

<figure><img src="image_1439.png" /></figure>

<figure><img src="image_1440.png" /></figure>

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<figure><img src="image_1444.png" /></figure>
L'injection de (IV.2) et (IV.3) dans (IV.1) permet d'obtenir l'expression suivante pour le
couple électromagnétique :

$$
\begin{equation}
\begin{split}
T(\theta_e) = N \sum_{h+g=cN} & -E_h I_g \cos((h+g)\theta_e - \theta_g) \\
& + N \sum_{h-g=cN} E_h I_g \cos((h-g)\theta_e + \theta_g)
\end{split}
\tag{IV.4}
\end{equation}
$$

La relation (IV.4) confirme que le couple pulse à N fois la fréquence d'alimentation, confor-
mément à la relation (III.23) établie dans la partie III.1 traitant du calcul du couple par
interaction d'ondes. Si l'hypothèse de rotor parfaitement anti-symétrique est admise, alors la
force électromotrice ne contient que des harmoniques électriques d'ordre impair (soit $h \in 2\mathbb{Z}+1$
dans (IV.2)). Dans ce cas, si le nombre de phases N est supposé impair, le couple électroma-
gnétique (IV.4) se simplifie :

$$
\begin{equation}
\begin{split}
T(\theta_e) = N \sum_{h+g=c2N} & -E_h I_g \cos((h+g)\theta_e - \theta_g) \\
& + N \sum_{h-g=c2N} E_h I_g \cos((h-g)\theta_e + \theta_g)
\end{split}
\tag{IV.5}
\end{equation}
$$

Les pulsations à 2N fois la fréquence d'alimentation sont bien retrouvées, résultat là encore
conforme à ceux mis en évidence dans la partie III.1.

IV.1.1.2 Commande multi-machine

Pour une MSAD polyphasée, le contrôle multi-machine sinusoïdal consiste à imposer un courant sinusoïdal à chaque machine fictive (cf. sous-section II.3.3.2). Dans le cas considéré d'une machine à nombre de phases N impair, la contribution de la machine homopolaire est ici supposée annulée (soit par couplage, soit par contrôle) dans la mesure où elle générerait nécessairement des couples pulsatoires. Finalement, pour une machine à nombre impair de phases N, le courant de ligne ciblé s'exprime :

$$
i_n(\theta_e) = \sum_{k \in \{1, 3, \dots, N-2\}} I_k \sqrt{2} \sin \left( k\theta_e + kn \frac{2\pi}{N} - \theta_k \right) \quad (\text{IV.6})
$$

Dans (IV.6), *k* peut être considérée comme l'indice de machine fictive (qui correspond aussi à la séquence d'alimentation, cf. sous-section II.3.3.2) : le courant harmonique d'ordre *k* correspond au courant de la machine fictive diphasée d'ordre *k* (défini sur le plan propre *ε*<sub>*k*</sub>). Si le courant spécifié par (IV.6) est obtenu, le couple électromagnétique de la machine fictive d'ordre *k* s'exprime depuis (IV.5) :

$$
\begin{equation}
\begin{split}
T_k(\theta_e) = NE_k I_k \cos \theta_k & \\
& + N \sum_{c=1}^{+\infty} -E_{c2N-k} I_k \cos (c2N\theta_e - \theta_k) \\
& + N \sum_{c=1}^{+\infty} E_{c2N+k} I_k \cos (c2N\theta_e + \theta_k)
\end{split}
\tag{IV.7}
\end{equation}
$$
<figure><img src="image_1445.png" /></figure>

## Alimentation multi-séquence

Pour chaque vitesse, recherche des sollicitations sinusoïdales optimales des séquences ($\zeta$) pour maximiser le couple ($T$) en respectant des contraintes sur les tensions ($c_v$) et courants ($c_i$) d'enroulement :

$$ \zeta^{\text{opt}} = \operatorname{argmin} (-T(\zeta)) \quad \text{avec} \quad \begin{cases} \zeta_{\min} \le \zeta \le \zeta_{\max} \\ c_v(\zeta) \le 0 \\ c_i(\zeta) \le 0 \end{cases} $$

**Exemple :** Formulation pour une machine 7-phase, sur séquences 1 et 3, à la vitesse $\Omega$ ($V_b$ et $I_b$ tension et courant de base)

$$ \bullet \quad \zeta = (I_1 \quad \theta_1 \quad I_3 \quad \theta_3) $$

<figure><img src="image_1446.png" /></figure>
La relation (IV.7) met en évidence le couple moyen pour la machine fictive d'ordre $k$ :

$$ \langle T_k \rangle = N E_k I_k \cos \theta_k \qquad (IV.8) $$

Annuler l'angle $\theta_k$ permet de maximiser le couple moyen fictif. Cette configuration correspond à une commande multimachine MTPA dite sinusoïdale. En pratique, elle consiste à générer la consigne de courant en ne considérant que le fondamental de la force électromotrice fictive [RI-7, RI-17]. Il peut être rappelé qu'une véritable commande MTPA consiste à générer un courant colinéaire à la force électromotrice (c'est-à-dire de même forme d'onde, en considérant tous les harmoniques de force électromotrice) [7]. Cette stratégie est plus exigeante en termes de connaissance de la machine et d'exécution en temps réel [CI-36]. Cette commande est plus précisément discuté dans la sous-section IV.3.1.2 du présent chapitre.

Sous hypothèse de commande MTPA sinusoïdale, si les machines fictives présentent une force électromotrice sinusoïdale, alors le couple électromagnétique est constant (pulsation nulle) en alimentation multimachine [CI-21]. Pour un grand nombre de phases, cette propriété est naturellement obtenue pour les machine fictives d'ordre $k$ bas (sensible aux harmoniques basse fréquence, typiquement le fondamental et le rang trois), le couplage magnétique se dégradant avec l'augmentation du rang harmonique. Concrètement, pour une machine à $N = 7$ phases, les harmoniques 13 et 11 de la force électromotrice sont naturellement faibles en référence aux harmoniques 1 et 3 (correspondant respectivement aux fondamentaux pour les machines fictives d'ordre 1 et 3). Ainsi, même si la force électromotrice présente un taux de distorsion important, un contrôle sinusoïdal des machines fictives permet d'obtenir un couple peu ondulé [RI-17]. Cette réduction naturelle des pulsations de couple avec le nombre de phases est illustrée par la figure IV.1 qui reporte les estimations de couple électromagnétique selon (IV.7) si le force électromotrice est de forme carrée et si seule la machine fictive fondamentale (celle d'ordre $k = 1$) fournit le couple avec courant et fem en phase (soit $\theta_1 = 0$, ce qui correspond à la commande à couple maximal par ampère, dite *Maximum Torque Per Ampere MTPA*). La figure IV.1 fait bien apparaître les pulsations de couple en deux fois le nombre de phases.

Pour la machine fictive d'ordre $k$, sous hypothèse de fonctionnement à couple maximal par ampère (soit $\theta_k = 0$), le premier harmonique de couple pulsatoire (identifié par $c = 1$ dans la relation (IV.7)) dépend des harmoniques $2N + k$ et $2N - k$ de la force électromotrice. Si seul le premier harmonique de couple pulsatoire est considéré, alors le taux d'ondulation de couple électromagnétique $\tau_k$ (défini comme le couple maximal moins le couple minimal divisé par le couple moyen, *Torque Ripple Level*) ne dépend que des harmoniques de force électromotrice :

$$ \tau_k = \frac{2 |E_{2N+k} - E_{2N-k}|}{E_k} \qquad (IV.9) $$

Les amplitudes des couples pulsatoires apparaissent d'ailleurs sur la figure IV.1 : par exemple, le premier harmonique de couple pulsatoire pour la machine triphasée est égal $1/5 - 1/7$, soit 0.057. Avec l'hypothèse d'une force électromotrice carrée, l'ondulation de couple (IV.9) pour la machine fictive d'ordre $k$ s'exprime :

$$ E_k = \frac{E_1}{k} \quad \Rightarrow \quad \tau_k = \frac{(2k)^2}{(2N)^2 - k^2} \qquad (IV.10) $$

La relation (IV.10) permet de quantifier la réduction naturelle des ondulations de couple
<figure><img src="image_1447.png" /></figure>

## Alimentation multi-séquence

Pour chaque vitesse, recherche des sollicitations sinusoïdales optimales des séquences ($\zeta$) pour maximiser le couple ($T$) en respectant des contraintes sur les tensions ($c_v$) et courants ($c_i$) d'enroulement :

$$ \zeta^{\text{opt}} = \operatorname{argmin} (-T(\zeta)) \quad \text{avec} \quad \begin{cases} \zeta_{\min} \le \zeta \le \zeta_{\max} \\ c_v(\zeta) \le 0 \\ c_i(\zeta) \le 0 \end{cases} $$

**Exemple :** Formulation pour une machine 7-phase, sur séquences 1 et 3, à la vitesse $\Omega$ ($V_b$ et $I_b$ tension et courant de base)

* $\zeta = (I_1 \ \theta_1 \ I_3 \ \theta_3)$

* $c_v(\zeta) = \max\{v_{w,0}(\theta_e, \zeta, \Omega), \theta_e \in [0, 2\pi]\} - V_b\sqrt{2}$

<figure><img src="image_1448.png" /></figure>

<figure><img src="image_1449.png" /></figure>

<figure><img src="image_1450.png" /></figure>

<figure><img src="image_1451.png" /></figure>

<figure><img src="image_1452.png" /></figure>

<figure><img src="image_1453.png" /></figure>

<figure><img src="image_1454.png" /></figure>
<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>FIGURE IV.1 — Ondulations de couple pour des machines à aimants à fem carrée à 3, 5 et 7 phases avec courant parfaitement sinusoïdal</figcaption></figure>

lorsque le nombre de phases augmente. Ainsi, en alimentation sinusoïdale (soit $k = 1$ dans (IV.10)), la figure IV.2a montre la diminution de l'ondulation avec le nombre de phases. De plus, elle confirme que l'ondulation de couple peut être assimilée au premier harmonique de couple pulsatoire.

La commande MTPA multimachine sinusoïdale consiste à répartir le courant efficace sur les différentes machines fictives de sorte à maximiser le couple moyen. Pour un courant efficace de phase $I_{rms}$, le courant efficace pour la machine fictive d'ordre $k$ est calculée en fonction de l'amplitude de l'harmonique d'ordre $k$ de force électromotrice relativement à l'énergie de tous les harmoniques contribuant au couple :

$$ \forall k \in \{1, 3, \dots, N-2\} \quad I_k = I_{rms} \frac{E_k}{\sqrt{E_1^2 + E_3^2 + \dots + E_{N-2}^2}} \quad (IV.11) $$

Le couple moyen résultant, noté $T_{MMS}(N)$ (MMS pour Multi-Machine en commande Sinusoïdal), est alors la somme des couples moyens de chaque machine fictive. Selon (IV.11) et (IV.8), il vient :

$$ T_{MMS}(N) = \langle T_1 \rangle + \langle T_3 \rangle + \dots + \langle T_{N-2} \rangle = N I_{rms} \sqrt{\sum_{k \in \{1, 3, \dots, N-2\}} E_k^2} \quad (IV.12) $$
<figure><img src="image_1455.png" /></figure>

## Alimentation multi-séquence

Pour chaque vitesse, recherche des sollicitations sinusoïdales optimales des séquences ($\zeta$) pour maximiser le couple ($T$) en respectant des contraintes sur les tensions ($c_v$) et courants ($c_i$) d'enroulement :

$$ \zeta^{\text{opt}} = \operatorname{argmin} (-T(\zeta)) \quad \text{avec} \quad \begin{cases} \zeta_{\min} \le \zeta \le \zeta_{\max} \\ c_v(\zeta) \le 0 \\ c_i(\zeta) \le 0 \end{cases} $$

**Exemple :** Formulation pour une machine 7-phase, sur séquences 1 et 3, à la vitesse $\Omega$ ($V_b$ et $I_b$ tension et courant de base)

* $\zeta = (I_1 \ \theta_1 \ I_3 \ \theta_3)$

* $c_v(\zeta) = \max\{v_{w,0}(\theta_e, \zeta, \Omega), \theta_e \in [0, 2\pi]\} - V_b\sqrt{2}$

* $c_i(\zeta) = \zeta(1)^2 + \zeta(3)^2 - I_b^2$

<figure><img src="image_1456.png" /></figure>

<figure><img src="image_1457.png" /></figure>

<figure><img src="image_1458.png" /></figure>

<figure><img src="image_1459.png" /></figure>

<figure><img src="image_1460.png" /></figure>

<figure><img src="image_1461.png" /></figure>
<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>(a) Ondulation de couple en commande sinusoïdale (b) Gain en couple et taux d'ondulation à courant efficace constant, en commande multimachine</figcaption></figure>

**FIGURE IV.2** — Impact du nombre de phases sur la qualité du couple d'une machine à
aimants déposés à fem carrée

Si la fem est supposée carré, alors la relation (IV.12) se particularise comme suit :

$$
E_k = \frac{E_1}{k} \quad \Rightarrow \quad T_{\text{MMS}}(N) = NI_{\text{rms}}E_1 \sqrt{1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \dots + \left(\frac{1}{N-2}\right)^2} \quad (\text{IV.13})
$$

Le figure IV.2b illustre le gain en couple selon la relation (IV.13). Le taux d'ondulation en com-
mande multimachine MTPA sinusoïdal (prenant en compte tous les harmoniques électriques
de courant et de fem) est également reporté. En référence à la solution triphasée (N = 3), une
augmentation du couple moyen et une réduction du taux d'ondulation viennent avec l'aug-
mentation du nombre de phases. Ainsi, si deux machines triphasée et pentaphasée, présentant
toutes deux des fems carrées, développent le même couple en commande sinus (c'est-à-dire
développent le même couple moyen ⟨T₁⟩), alors, à valeur de courant efficace constante, la
commande multimachine MTPA sinusoïdale appliquée à la machine pentaphasée (injection
d'harmonique 3 de courant pour générer un couple moyen permanent ⟨T₃⟩) permet d'accroître
le couple moyen d'environ 5% et de réduire les pulsations de couple d'environ 5%. Un grand
nombre de phases permettrait un gain en couple de 11% et une annulation des pulsations.
Le gain en couple de 11% peut se calculer analytiquement en étudiant la série définie par
(IV.13) :

$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{2n-1} \right)^2 = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \approx 1.11 \qquad (\text{IV.14})
$$

Il s'agit évidemment de résultats théoriques. Au-delà des modérations évidentes liées à l'hy-
pothèse de fem parfaitement carrées et de courants multi-harmoniques parfaitement régulées,
il peut être utile de rappeler que, indépendamment du nombre de phases, générer à tout ins-
tant un courant parfaitement cohérent avec la force électromotrice permet d'obtenir un couple
maximal et constant [7]. A fortiori, une fem carrée peut être obtenue indépendamment du
nombre de phases. Par conséquent, il est théoriquement incorrect d'affirmer qu'une machine
polyphasée permet d'améliorer la compacité par rapport à une machine triphasée (même si
un couplage étoile interdirait l'exploitation de l'harmonique trois). Par contre, en pratique,
<figure><img src="image_1462.png" /></figure>

## Résultats pour la MSAD 7-phase bi-harmonique à bobinage dentaire

### Caractéristique couple/vitesse

<figure><img src="image_1463.png" /></figure>

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

<figure><img src="image_1464.png" /></figure>

<figure><img src="image_1465.png" /></figure>

<figure><img src="image_1466.png" /></figure>

<figure><img src="image_1467.png" /></figure>

<figure><img src="image_1468.png" /></figure>

<figure><img src="image_1469.png" /></figure>
cette affirmation est vraie : l'augmentation du nombre de phases facilite l'exploitation des harmoniques électriques de rang élevé en termes de commande.

IV.1.1.3 Conception favorisant la qualité du couple

Pour une machine à aimants, la conception multimachine consiste à spécifier le contenu spectral de la force électromotrice pour bénéficier de l'injection d'harmoniques de courant [63]. Cette conception multimachine est donc implicitement liée à la commande multimachine, visant à contrôler le courant de chaque machine fictive. Les deux principaux paramètres de conception sont la distribution de bobinage et la couche d'aimants.

Bobinage

Les bobinages fractionnaire permettent de réduire le couple de détente sans incliner le cir-
cuit magnétique (statorique ou rotorique) dans la direction axiale. Cependant, les sous-
harmoniques spatiaux qu'ils induisent génèrent des effets qui ne peuvent être négligés a priori
(vibrations statoriques, pertes rotoriques). Cependant, au delà de la conception, les bobinages
fractionnaires peuvent faciliter la régulation en courant en réduisant la dispersion entre les
constantes de temps électriques des différentes machines fictives [CI-21] : cette propriété facili-
tant l'implémentation expérimentale du contrôleur est notamment obtenue avec les bobinages
concentrés dentaires [64, CI-22, CI-23, CI-24].

Couche d'aimants

Concernant la couche d'aimants, il s'agit de l'adapter à la commande multi-machine dans le
but d'augmenter le couple moyen et de réduire les pulsations. Les degrés de liberté sont :

* le nombre d'aimants par pôle (technique de segmentation) [65, 66],

* la magnétisation des aimants (radial ou parallèle), ce qui aboutit à des structures s'ap-
parentant à des anneaux de Halbach [67, 68, 69],

• la forme des aimants [70, 71].

L'orientation de la magnétisation des aimants est évaluée dans [RI-1, RI-2], notamment pour
une machine 5-phase à bobinage fractionnaire (mono-couche FS-1) dans [RI-2]. La recherche
de formes d'aimant particulières, rendue possible par le développement d'un code de calcul
analytique du champ présenté dans la section III.3.1, est présentée dans [CI-12, RI-7]. Dans
[RI-7], un résultat intéressant est mis en évidence : malgré la baisse du volume d'aimants
résultant de l'optimisation, le couple moyen est augmenté et les ondulations pratiquement
annulées. L'optimisation aurait agi de sorte à supprimer le volume d'aimants inutiles. En
2020, la validation expérimentale du concept reste à effectuer.

La segmentation de la couche d'aimants en plusieurs aimants trapezoïdaux présente l'avan-
tage d'aboutir à des solutions beaucoup plus simples à réaliser. Cette approche est explorée
dans le cadre de la thèse d'Hussein Zahr [ThS-3]. Dans le cas d'un bobinage fractionnaire
dentaire (spp = 0.5, facilitant également la fabrication), cette technique de segmentation est
évaluée pour une configuration 5-phase dans [CI-17, CI-24, CI-22] et pour une configuration
7-phase dans [CI-28, RI-17]. Cette dernière configuration a notamment abouti à un démon-
strateur expérimental, confirmant la possibilité d'obtenir un couple lisse malgré une tension à
vide fortement déformée (les tensions de phase sont déformées mais les tensions fictives sont
sinusoïdales).
<figure><img src="image_1470.png" /></figure>

# Amélioration des performances

## Plage de vitesse

Bilan

d'activité

Contribution à

la

modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité

fonctionnelle

Perspectives

## Résultats pour la MSAD 7-phase bi-harmonique à bobinage dentaire

### Trajectoires en courants

<figure><img src="image_1471.png" /><figcaption>Commande h1h3</figcaption></figure>

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IV.1.2 Machine Asynchrone à cage

La prédiction de la qualité du couple des machines asynchrones à cage est une probléma-
tique assez ancienne. La première analyse théorique est publiée dans [72]. Par introduction
d'une fonction de perméance incluant les effets des encoches statoriques et rotoriques, les
règles de choix du nombre d'encoches statoriques et du nombre de barres rotoriques sont éta-
blies pour éviter le développement de couple asynchrones, de couples synchrones et de couples
de denture susceptibles d'interdire le démarrage de la machine, de bloquer la machine à une
vitesse particulière ou de générer des vibrations inacceptables. Ces règles de choix sont re-
prises et publiées dans de nombreux ouvrages traitant de la conception des MASC [73, 74]. En
fait, ces règles de conception dites classiques concernent des machines triphasées en connexion
électrique directe sur le réseau. Lorsque la machine est alimentée par un onduleur de tension,
certaines contraintes (comme celles liées au démarrage par exemple) peuvent être levées et
de nouvelles combinaisons de bobinage statorique et de nombre de barres rotoriques peuvent
s'envisager. Pour une machine polyphasée alimentée par onduleur de tension, les degrés de
liberté sont encore plus nombreux. Une extrapolation des lois classiques concernant les ma-
chines triphasées peut être effectuée [25, 75]. De façon remarquable, quel que soit le nombre de
phases de la MASC, la problématique de l'estimation des pulsations de couple, en fréquence
et en amplitude, pour un point de fonctionnement donné est peu documentée. Un modèle
circuit de prédiction des couples pulsatoires est détaillée dans [76] et des éléments concernant
les machines polyphasées sont rapportés dans [77].

La première sous-partie détaille un modèle circuit de la MASC afin d'estimer le couple électromagnétique quels que soient la distribution de bobinage et le nombre de barres rotoriques. Dans les bases naturelles, une évolution temporelle des grandeurs est obtenue alors que, dans les bases de Fortescue, un paramétrage fréquentiel des grandeurs apparaît, menant à une expression littérale directe des pulsations de couple (sans recourir à un solveur) si les règles d'interaction entre les harmoniques spatiaux statoriques et rotoriques sont connues. L'impact du nombre de barres sur les pulsations de couple est alors étudié en alimentation mono-séquence puis en alimentation multi-séquence (par injection d'harmoniques de temps) dans les deuxième et troisième sous-parties respectivement. A l'issue de ces analyses, peut être introduit l'approche aux premiers harmoniques d'espace pour une MASC polyphasée. Enfin, la dernière sous-partie analyse le gain potentiel en termes de rapport couple moyen sur courant (efficace ou crête) apporté par la commande multi-machine appliquée à une MASC polyphasée.

IV.1.2.1 Calculs du couple par grandeurs de phase

Calculs dans les bases naturelles

Pour représenter les grandeurs statoriques et rotoriques, deux espaces vectoriels de dimension
N et Q<sub>r</sub> respectivement notés ε<sub>s</sub><sup>N</sup> et ε<sub>r</sub><sup>Q<sub>r</sub></sup> sont introduits. Ils sont associés aux bases naturelles
respectives **B**<sub>s</sub><sup>N</sup> et **B**<sub>r</sub><sup>Q<sub>r</sub></sup>, supposées orthonormées et munies du produit scalaire canonique :

$$
\mathbf{B}_s^N = \left\{ \overrightarrow{b_{s,0}^N} \dots \overrightarrow{b_{s,n}^N} \dots \overrightarrow{b_{s,N-1}^N} \right\} \qquad (\text{IV.15})
$$

$$
\mathbf{B}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{Q}_{\mathrm{r}}} = \left\{ \overrightarrow{b_{r,0}^{\mathrm{Q}_{\mathrm{r}}}} \dots \overrightarrow{b_{s,k}^{\mathrm{Q}_{\mathrm{r}}}} \dots \overrightarrow{b_{r,Q_{\mathrm{r}}-1}^{\mathrm{Q}_{\mathrm{r}}}} \right\} \quad (\text{IV.16})
$$
<figure><img src="image_1490.png" /></figure>

# Amélioration des performances

## Plage de vitesse

Bilan

d'activité

Contribution à

la

modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

## Résultats pour la MSAD 7-phase bi-harmonique à bobinage dentaire

### Trajectoires en courants

### Caractéristique couple/vitesse

Commande h1h3

<figure><img src="image_1491.png" /></figure>

Commande h1h3

<figure><img src="image_1492.png" /></figure>

* à basse vitesse, polarité haute $3p (u = 3)$ majoritaire

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Le couple électromagnétique résulte de l'interaction du courant statorique $\overrightarrow{i_s}$ et la dérivée par rapport à la position mécanique rotorique $\theta_m$ du flux statorique induit par le courant rotorique $\overrightarrow{\Lambda_{sr}}$ (c'est-à-dire de la force électromotrice induite par le rotor sur les enroulement statoriques). Formellement, le couple est le produit scalaire de ces deux vecteurs :

$$T = \left\langle \overrightarrow{i_s}, \frac{d\overrightarrow{\Lambda_{sr}}}{d\theta_m} \right\rangle_{\mathbf{B}_s^N} \qquad (IV.17)$$

Si le courant statorique est imposé (ou connu), le calcul du couple nécessite l'estimation du flux statorique du au rotor $\overrightarrow{\Lambda_{sr}}$. Ce flux résulte des courants rotoriques induits $\overrightarrow{i_r Q_r}$. En notant $\overrightarrow{v_{R_r Q_r}}$ la chute de tension résistive et $\overrightarrow{\Lambda_r Q_r}$ le flux rotorique, la mise en court-circuit par les anneaux conducteurs des $Q_r$ boucles rotoriques impliquent la relation suivante :

$$\overrightarrow{0Q_r} = \overrightarrow{v_{R_r}Q_r} + \frac{d\overrightarrow{\Lambda_r Q_r}}{dt} \qquad (IV.18)$$

Le flux rotorique se décompose en un flux propre (ou auto-flux) lié aux courants rotoriques $\overrightarrow{\Lambda_{rr} Q_r}$ et un flux de mutualisation avec le stator $\overrightarrow{\Lambda_{rs} Q_r}$ :

$$\overrightarrow{\Lambda_r Q_r} = \overrightarrow{\Lambda_{rr} Q_r} + \overrightarrow{\Lambda_{rs} Q_r} \qquad (IV.19)$$

Si le couplage magnétique entre les circuits statorique et rotorique est connu, alors, considérant (IV.18) et (IV.19), le courant rotorique induit $\overrightarrow{i_r Q_r}$ peut être calculé et le couple selon (IV.17) estimé.

La tension résistive rotorique $\overrightarrow{v_{R_r Q_r}}$ est lié au courant rotorique $\overrightarrow{i_r Q_r}$ par la fonction $\mathcal{R}_r$, représentant les résistances de barre et d'anneaux pour le circuit rotorique. Le flux rotorique propre $\overrightarrow{\Lambda_{rr} Q_r}$ est liée au courant rotorique $\overrightarrow{i_r Q_r}$ par la fonction $\mathcal{M}_{rr}$, représentant le couplage magnétique entre les différentes boucles rotoriques. Le flux rotorique induit $\overrightarrow{\Lambda_{rs} Q_r}$ est lié au courant statorique $\overrightarrow{i_s N}$ par la fonction $\mathcal{M}_{rs}(., \theta_m)$ décrivant le couplage magnétique entre les enroulement statoriques et les boucles rotoriques pour une position mécanique du rotor donnée. Sous hypothèse de comportement linéaire des matériaux magnétiques, ces fonctions sont linéaires et peuvent être décrites matriciellement :

$$[R_r] = \mathrm{mat}(\mathcal{R}_r, \mathbf{B}_r^{\mathrm{Qr}}, \mathbf{B}_r^{\mathrm{Qr}}) \qquad (IV.20)$$

$$[M_{rr}] = \mathrm{mat}(\mathcal{M}_{rr}, \mathbf{B}_r^N, \mathbf{B}_r^{\mathrm{Qr}}) \qquad (IV.21)$$

$$[M_{rs}(\theta_m)] = \mathrm{mat}(\mathcal{M}_{rs}(., \theta_m), \mathbf{B}_s^N, \mathbf{B}_r^{\mathrm{Qr}}) \qquad (IV.22)$$

Le flux statorique induit par le courant rotorique $\overrightarrow{i_r Q_r}$ est décrit par une fonction $\mathcal{M}_{sr}(., \theta_m)$ qui, dans le cas linéaire, correspond à la transposition de matrice $[M_{rs}(\theta_m)]$ décrivant le flux magnétique rotorique induit par le stator :

$$[M_{sr}(\theta_m)] = \mathrm{mat}(\mathcal{M}_{sr}(., \theta_m), \mathbf{B}_r^{\mathrm{Qr}}, \mathbf{B}_s^N) = [M_{rs}(\theta_m)]^T \qquad (IV.23)$$
<figure><img src="image_1521.png" /></figure>

# Amélioration des performances

## Plage de vitesse

Bilan

d'activité

Contribution à
la

modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

## Résultats pour la MSAD 7-phase bi-harmonique à bobinage dentaire

### Trajectoires en courants

### Caractéristique couple/vitesse

Commande h1h3

<figure><img src="image_1522.png" /></figure>

Commande h1h3

<figure><img src="image_1523.png" /></figure>

* à basse vitesse, polarité haute $3p (u = 3)$ majoritaire

* à haute vitesse, polarité basse $p (u = 1)$ majoritaire

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Il peut être noté que, si le bobinage statorique comporte un nombre d'encoches par phase et par paire de pôles entier ($2s_{pp} \in \mathbb{N}$), alors la mutuelle inductance entre la phase n et la boucle rotorique k (soit la composante $(n, k)$ de la matrice $[M_{sr}(\theta_m)]$) peut s'exprimer de la façon suivante<fnref n="2" /> :

$$m_{sr,n,k}(\theta_m) = \sum_{h=1}^{+\infty} \left| \underline{m_{sr,ph}} \right| \cos \left( h \left( p\theta_m - n\frac{2\pi}{N} + pk\frac{2\pi}{Q_r} \right) + \arg \left\{ \underline{m_{sr,ph}} \right\} \right) \quad (IV.24)$$

Dans (IV.24), $m_{sr,v}$ désigne la mutuelle inductance complexe entre la phase statorique 0 et la boucle rotorique 0 pour l'harmonique spatial d'ordre v. Ce nombre est directement calculé à l'aide des coefficients de bobinage complexe des enroulement statoriques et rotoriques. Sous hypothèse de champ d'entrefer radial (pas de fuite), en négligeant les ouvertures d'encoches, l'inductance $\underline{m_{sr,v}}$ s'exprime de la façon suivante ($C_{m,sr}$ est un coefficient dépendant notamment de la perméance d'entrefer et des nombres de conducteurs des enroulements) :

$$\underline{m_{sr,v}} = jC_{m,sr} \frac{K_v \sin\left(v \frac{\pi}{Q_r}\right)}{v^2} \quad (IV.25)$$

L'expression (IV.24) peut être retrouvée dans [36] (même si le concept de facteur de bobinage complexe n'est pas utilisé).

Par réciprocity des flux et symétrie des circuits, les applications linéaires $\mathcal{R}_r$ et $\mathcal{M}_{rr}$ sont inversibles. Finalement, l'état magnétique de la machine (du circuit rotorique) est calculé en intégrant l'équation différentielle ordinaire suivante, agrégeant (IV.18) et (IV.19) avec les hypothèses de linéarité (IV.20), (IV.21) et (IV.23) :

$$\frac{d}{dt} \left[ \overrightarrow{\Lambda_r Q_r} \right]_{\mathbf{B}_r^{\mathbf{Q}_r}} = - [R_r] [M_{rr}]^{-1} \left( \left[ \overrightarrow{\Lambda_r Q_r} \right]_{\mathbf{B}_r^{\mathbf{Q}_r}} - [M_{rs}(\theta_m)] \left[ \overrightarrow{i_s N} \right]_{\mathbf{B}_s^{\mathbf{N}}} \right) \quad (IV.26)$$

Une fois le système (IV.26) résolu, le courant rotorique peut être calculé depuis (IV.19) :

$$\left[ \overrightarrow{i_r Q_r} \right]_{\mathbf{B}_r^{\mathbf{Q}_r}} = [M_{rr}]^{-1} \left( \left[ \overrightarrow{\Lambda_r Q_r} \right]_{\mathbf{B}_r^{\mathbf{Q}_r}} - [M_{rs}(\theta_m)] \left[ \overrightarrow{i_s N} \right]_{\mathbf{B}_s^{\mathbf{N}}} \right) \quad (IV.27)$$

La dérivée par rapport à l'angle mécanique de la fonction de couplage magnétique entre le stator et le rotor $\mathcal{M}_{rs}(., \theta_m)$ définit les matrices $[M'_{rs}(\theta_m)]$ (et $[M'_{sr}(\theta_m)]$) :

$$[M'_{rs}(\theta_m)] = \mathrm{mat} \left( \frac{d\mathcal{M}_{rs}}{d\theta_m}, \mathbf{B}_s^{\mathbf{N}}, \mathbf{B}_r^{\mathbf{Q}_r} \right) = [M'_{sr}(\theta_m)]^T \quad (IV.28)$$

Ainsi le produit scalaire définissant le couple électromagnétique (IV.17) peut s'exprimer avec les grandeurs matricielles, soit :

$$T = \left[ \overrightarrow{i_s N} \right]_{\mathbf{B}_s^{\mathbf{N}}}^T [M'_{sr}(\theta_m)] \left[ \overrightarrow{i_r Q_r} \right]_{\mathbf{B}_r^{\mathbf{Q}_r}} \quad (IV.29)$$

<footnote n="2">2. Dans ce cas, il n'existe pas de sous-harmoniques spatiaux et l'indice de circularité du bobinage est $Q_s/(pN)$, ce qui simplifie l'expression de la mutuelle $m_{sr,n,k}$.</footnote>
<figure><img src="image_1530.png" /></figure>

### Alimentation mono-séquence : commutation de pôles

Bilan

d'activité

Contribution à

la

modélisation

du bobinage

Amélioration

des

performances

Qualité du couple

### Plage de vitesse

Fiabilité

fonctionnelle

### Perspectives

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La résolution de (IV.26) et les post-traitements (IV.27) et (IV.29) permettent l'estimation du couple électromagnétique en fonction du temps. Cette procédure est illustrée par la figure IV.3b reportant le calcul du couple par intégration numérique du système (IV.26) pour une machine asynchrone à cage 5-phase à bobinage diamétral ($s_{pp} = 1$ et $p = 2$) et un nombre de barres $Q_r = 32$ (comme montré par la figure IV.3a schématisant le circuit magnétique). En termes d'intégration numérique, les deux limitations suivantes sont à noter :

* l'observation des grandeurs rotoriques nécessaires à l'estimation des ondulations de couple nécessite des pas de calcul court,

* le transitoire numérique lié à l'extinction de la condition initiale occupe plusieurs périodes électriques statoriques (en pratique, au moins 25% du temps de simulation est consacré à l'élimination de ce transitoire).

De ces deux limitations résulte une difficulté à estimer correctement les ondulations de couple (d'autant qu'il a été mis en évidence qu'il s'agissait de phénomènes plutôt hautes fréquences relativement à la fréquence électrique statorique imposée). Pour contourner cette difficulté, l'idée consiste à effectuer un calcul fréquentiel directement dans les bases de Fortescue. Les fréquences électriques des modes sont préalablement calculées (selon l'analyse effectuée dans la section III.1.3) et imposées, ce qui supprime le recours à un solveur numérique et donne des résultats instantanés. Cette problématique est abordée dans le thèse d'Abdelhak Mekahlia [RI-16, ThS-6].

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>FIGURE IV.3 — Simulation d'une MASC 5-phase et $p = 2$ paires de pôles à bobinage entier concentré diamétral $s_{pp} = 1$ et $Q_r = 32$ barres</figcaption></figure>

## Calcul par approche fréquentielle dans les bases de Fortescue

Les bases de Fortescue liées au stator et au rotor sont introduites :

$$ \mathbf{F}_{s}^{\mathrm{N}}=\left\{\overrightarrow{f_{s, 0}} \cdots \overrightarrow{f_{s, n}} \cdots \overrightarrow{f_{s, N-1}} \right\} \qquad (\mathrm{IV}.30) $$
<figure><img src="image_1538.png" /></figure>

Bilan

d'activité

Contribution à

la

modélisation

du bobinage

Amélioration

des

performances

Qualité du couple

### Plage de vitesse

Fiabilité

fonctionnelle

### Perspectives

## Alimentation mono-séquence : commutation de pôles

Changer la polarité de l'induit en excitant une séquence donnée

<figure><img src="image_1539.png" /></figure>

<figure><img src="image_1540.png" /></figure>

<figure><img src="image_1541.png" /></figure>

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$$ \mathbf{F}_{\mathbf{r}}^{\mathbf{Q}_{\mathbf{r}}} = \left\{ \overrightarrow{f_{r,0}^{Q_{\mathbf{r}}}} \dots \overrightarrow{f_{r,k}^{Q_{\mathbf{r}}}} \dots \overrightarrow{f_{r,Q_{\mathbf{r}}-1}^{Q_{\mathbf{r}}}} \right\} \qquad (IV.31) $$

Les applications linéaires $\mathcal{R}_r$ et $\mathcal{M}_{rr}$ étant symétriques et circulantes, la base de Fortescue $\mathbf{F}_{\mathbf{r}}^{\mathbf{Q}_{\mathbf{r}}}$ est une base propre pour ces deux applications. Par conséquent, elles sont représentées par des matrices diagonales dans cette base :

$$ \mathrm{mat}(\mathcal{R}_r, \mathbf{F}_{\mathbf{r}}^{\mathbf{Q}_{\mathbf{r}}}, \mathbf{F}_{\mathbf{r}}^{\mathbf{Q}_{\mathbf{r}}}) = \mathrm{diag}(R_{cr,0}, \dots, R_{cr,v}, \dots, R_{cr,Q_{\mathbf{r}}-1}) \quad (IV.32) $$

$$ \mathrm{mat}(\mathcal{M}_{rr}, \mathbf{F}_{\mathbf{r}}^{\mathbf{N}}, \mathbf{F}_{\mathbf{r}}^{\mathbf{Q}_{\mathbf{r}}}) = \mathrm{diag}(L_{cr,0}, \dots, L_{cr,v}, \dots, L_{cr,Q_{\mathbf{r}}-1}) \quad (IV.33) $$

Les termes $R_{cr,v}$ et $L_{cr,v}$ sont les résistances cycliques rotoriques et inductances cycliques rotoriques pour le mode $v$ : elles déterminent la réponse du circuit rotorique à l'harmonique spatial d'ordre $v$.

La fonction de couplage magnétique entre le stator et le rotor $\mathcal{M}_{sr}$ est également exprimée dans les bases de Fortescue :

$$ [\Delta_{sr}(\theta_m)] = \mathrm{mat}(\mathcal{M}_{sr}(., \theta_m), \mathbf{F}_{\mathbf{r}}^{\mathbf{Q}_{\mathbf{r}}}, \mathbf{F}_{\mathbf{s}}^{\mathbf{N}}) = [\Delta_{rs}(\theta_m)]^T \quad (IV.34) $$

Considérant la relation (IV.24), le calcul des coefficients de la matrice $[\Delta_{sr}(\theta_m)]$ permet de spécifier le couplage entre les séquences statoriques et les séquences ou modes rotoriques, ce qui revient à caractériser arithmétiquement le mécanisme d'interaction entre les harmoniques spatiaux statoriques et les harmoniques spatiaux rotoriques. Ce calcul est mené dans le cas général dans [36], le cas d'un unique harmonique spatial étant traité dans [78]. Un exemple pour une machine 5-phase est donné dans [79].

Le courant statorique est supposé sinusoidal de séquence $u$ à la pulsation $\omega_u$. Il s'exprime alors dans la base naturelle selon la relation suivante :

$$ \overrightarrow{i_s^N} = \sum_{n=0}^{N-1} I_s \sqrt{2} \cos \left( \omega_u t + u n \frac{2\pi}{N} \right) \overrightarrow{b_{s,n}} \quad (IV.35) $$

En conséquence, seules les composantes $u$ et $N-u$ du vecteur courant statorique dans la base de Fortescue sont non nulles :

$$ \overrightarrow{i_s^N} = \sqrt{\frac{N}{2}} I_s e^{j\omega_u t} \overrightarrow{f_{s,u}^N} + \sqrt{\frac{N}{2}} I_s e^{-j\omega_u t} \overrightarrow{f_{s,N-u}^N} \quad (IV.36) $$

Cette séquence $u$ est supposée générer l'harmonique spatial d'ordre $v$. Dans ce cas, le mode rotorique d'ordre $\mathrm{mod}(v, Q_r)$ est allumé à la fréquence $\omega_{r,v} = \omega_u - v\Omega_m$. Cette fréquence est donc imposée à la boucle rotorique $\mathrm{mod}(v, Q_r)$, caractérisée par l'inductance cyclique $L_{cr,\mathrm{mod}(v,Q_r)}$ et la résistance cyclique $R_{cr,\mathrm{mod}(v,Q_r)}$, excitée par la force électromotrice spécifiée par le calcul des composantes de (IV.34). Le mécanisme de génération du courant rotorique est illustré par la figure IV.4. La composante $\mathrm{mod}(v, Q_r)$ de Fortescue du courant rotorique induit $\overrightarrow{i_r^{Q_r}}$ peut alors être explicitée :

$$ \left\langle \overrightarrow{i_r^{Q_r}}, \overrightarrow{f_{\mathrm{mod}(v,Q_r)}^{Q_r}} \right\rangle_{\mathbf{F}^{\mathbf{Q}_{\mathbf{r}}}} = - \frac{j \omega_{r,v} \sqrt{N Q_r}}{2} \frac{m_{sr,v}^*}{R_{cr,\mathrm{mod}(v,Q_r)} + j \omega_{r,v} L_{cr,\mathrm{mod}(v,Q_r)}} \sqrt{\frac{N}{2}} I_s e^{j(\omega_{r,v} t - v \theta_{m,0})} \quad (IV.37) $$
<figure><img src="image_1546.png" /></figure>

Bilan

d'activité

Contribution à

la

modélisation

du bobinage

Amélioration

des

performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité

fonctionnelle

Perspectives

## Alimentation mono-séquence : commutation de pôles

Changer la polarité de l'induit en excitant une séquence donnée

* Maintenir la puissance à haute vitesse avec les polarités basses

<figure><img src="image_1547.png" /></figure>

<figure><img src="image_1548.png" /></figure>

<figure><img src="image_1549.png" /></figure>

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<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>FIGURE IV.4 — Illustration de l'allumage de la boucle rotorique mod(v, Qr) par l'harmo-nique d'espace statorique d'ordre v généré par la séquence u pulsant à ωu</figcaption></figure>

Dans (IV.37), θm,0 désigne la position mécanique initiale du rotor. Pour alléger les développements, le complexe I<sub>r,v</sub> est défini selon la relation suivante :

$$
\left\langle \overrightarrow{i_r^{Q_r}}, \overrightarrow{f_{\text{mod}(v,Q_r)^{Q_r}}} \right\rangle_{\mathbf{F}^{Q_r}} = \underline{I_{r,v}} e^{j(\omega_{r,v}t - v\theta_{m,0})} \quad (\text{IV.38})
$$

Le couple est calculé en considérant la relation (IV.29), projetée dans les bases (orthonormales)
de Fortescue :

$$
T = \left[ \overrightarrow{i_s^N} \right]_{\mathbf{F}_s^N}^T \left[ \Delta'_{sr}(\theta_m) \right] \left[ \overrightarrow{i_r^{Q_r}} \right]_{\mathbf{F}_r^{Q_r}} \quad (\text{IV.39})
$$

L'harmonique spatial d'ordre v' interagit avec les courants rotoriques projetés sur le vec-
teur $\overrightarrow{f_{\text{mod}(v',Q_r)^{Q_r}}}$. Si le courant rotorique harmonique considéré est induit par l'harmonique
d'espace v, un couple électromagnétique noté $T_{v',v}$ se développe. Compte tenu de (IV.38)
et (IV.39), après développements de (IV.34) et injection des relations (III.30) et (III.31), le
couple $T_{v',v}$ peut s'exprimer comme suit :

$$
T_{v',v} = \begin{cases} 2\Re\left\{ \sqrt{\frac{N}{2}} I_s e^{j\omega_u t} \left[ jv' \frac{\sqrt{NQ_r}}{2} \underline{m}_{sr,v'} e^{jv'\theta_m} \underline{I}_{r,v} e^{j(\omega_{r,v}t - v\theta_{m,0})} \right]^* \right\} & \text{si } v' \in F_u \cap F_v^R \\ 2\Re\left\{ \sqrt{\frac{N}{2}} I_s e^{j\omega_u t} \left[ jv' \frac{\sqrt{NQ_r}}{2} \underline{m}_{sr,v'} e^{jv'\theta_m} \underline{I}_{r,v} e^{j(\omega_{r,v}t - v\theta_{m,0})} \right]^* \right\} & \text{si } v' \in F_u \cap F_{v/Q_r-v}^R \end{cases} \tag{IV.40}
$$

La relation (IV.40) exprime le couple électromagnétique pour l'harmonique spatial commun v'
si, pour le rotor, celui-ci est induit par l'harmonique spatial statorique d'ordre v. Les résultats
sont résumés avec l'introduction du couple complexe T<sub>v',v</sub> reformulant (IV.40) :

$$
T_{v',v} = 2\Re\{T_{v',v}\} \tag{IV.41}
$$

D'après (IV.37), ce couple s'exprime en fonction des paramètres du modèle circuit de la
machine et du point de fonctionnement (spécifié par la pulsation statorique ωu et la vitesse
<figure><img src="image_1554.png" /></figure>

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

## Alimentation mono-séquence : commutation de pôles

Changer la polarité de l'induit en excitant une séquence donnée

* Maintenir la puissance à haute vitesse avec les polarités basses

* Amplifier le couple à basse vitesse avec les polarités hautes

<figure><img src="image_1555.png" /></figure>
mécanique $\Omega_m$) :

$$ \frac{T_{v',v}}{2} = \begin{cases} \frac{N N Q_r}{2 4} I_s^2 \frac{v' m_{sr,v'} * m_{sr,v} \omega_{r,v}}{R_{cr,\mathrm{mod}(v,Q_r)} - j \omega_{r,v} L_{cr,\mathrm{mod}(v,Q_r)}} e^{j \phi_{v',v}(t)} & \text{si } v' \in F_u \cap F_v^R \\ \frac{N N Q_r}{2 4} I_s^2 \frac{-v' m_{sr,v'} * m_{sr,v} * \omega_{r,v}}{R_{cr,\mathrm{mod}(v,Q_r)} + j \omega_{r,v} L_{cr,\mathrm{mod}(v,Q_r)}} e^{j \phi_{v',v}(t)} & \text{si } v' \in F_u \cap F_{Q_r-v}^R \end{cases} \quad (IV.42) $$

La quantité $\phi_{v',v}$ indique la pulsation du couple :

$$ \phi_{v',v}(t) = \begin{cases} -(v' - v)\Omega_m t - (v' - v)\theta_{m,0} & \text{si } v' \in F_u \cap F_v^R \\ (2\omega_u - (v' + v)\Omega_m) t - (v' + v)\theta_{m,0} & \text{si } v' \in F_u \cap F_{Q_r-v}^R \end{cases} \quad (IV.43) $$

Ces résultats permettent de calculer instantanément le couple d'une machine à induction à N phases et $Q_r$ barres en valeur moyenne et en pulsations (sous réserve d'un bobinage à nombre entier d'encoches par paire de pôles et par phases, soit $2s_{pp} \in \mathbb{N}$).

La figure IV.5 reporte les estimations du couple en fonction du glissement pour les séquences $u = 1$ et $u = 3$ pour la machine 5-phase à bobinage concentré diamétral ($p = 2$ et $Q_s = 20$) et $Q_r = 32$ barres. En particulier, l'effet des harmoniques spatiaux, surtout sensibles aux glissements de référence proche de 1 (soit $s_1 = 1$ sur la figure IV.5a et soit $s_3 = 1$ sur la figure IV.5b) est restitué.

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>**FIGURE IV.5** — Caractéristique couple (moyen) selon le glissement pour la MASC 5-phase à bobinage concentré diamétral ((IV.42) avec $v = v'$), fréquence statorique de 50Hz et courant statorique efficace nominal</figcaption></figure>

Plus intéressante est la possibilité d'estimer les couples pulsatoires. Pour la machine 5-phase à bobinage concentré diamétral ($p = 2$ et $Q_s = 20$) et $Q_r = 32$ barres, la figure IV.6 présente, pour les deux séquences $u = 1$ (cf. figure IV.6a) et $u = 3$ (cf. figure IV.6b), les estimations de couples en régime établi pour une alimentation au courant efficace sinusoïdal à la pulsation d'alimentation $\omega_u = 2\pi \times 50\text{rad/s}$. Les figures IV.6a et IV.6b reportent les estimations issues de l'intégration numérique du système d'état exprimé dans la base naturelle (IV.26) et celles issues du calcul fréquentiel analytique direct dans les bases de Fortescue. Les
<figure><img src="image_1556.png" /></figure>

Bilan
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Contribution à
la
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du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

## Alimentation mono-séquence : commutation de pôles

Changer la polarité de l'induit en excitant une séquence donnée

* Maintenir la puissance à haute vitesse avec les polarités basses

* Amplifier le couple à basse vitesse avec les polarités hautes

## Fonctionnalité propre au polyphasé

<figure><img src="image_1557.png" /></figure>

<figure><img src="image_1558.png" /></figure>

<figure><img src="image_1559.png" /></figure>

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résultats concordent, ce qui valide le calcul fréquentiel (instantané alors que le calcul par intégration nécessite quelques secondes et peut se montrer imprécis en cas d'existence de composantes pulsatoires de haute fréquence).

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>**FIGURE IV.6** — Couples en régime établi pour MASC 5-phase à bobinage concentré diamétral selon intégration numérique dans la base naturelle (cf. (IV.26)) et selon calcul fréquentiel analytique direct dans les bases de Fortescue (cf. (IV.42) et (IV.43))</figcaption></figure>

### IV.1.2.2 Impact du nombre de barres sur les pulsations

Ces développements analytiques permettent d'étudier l'adaptation du nombre de barres à une utilisation de la machine polyphasée à une séquence donnée, c'est-à-dire à une polarité donnée. Cette polarité donnée n'est pas nécessairement la polarité fondamentale. C'est en ce sens que la machine polyphasée se distingue ici de la machine triphasée qui ne dispose que de la séquence fondamentale (hors séquence homoplaire). Par conséquent, les règles de choix du nombre de barres établies pour des machines triphasées à bobinage entier ($s_{pp} \in \mathbb{N}$) [73, 80] ne peuvent être utilisées directement.

#### Hypothèses

Pour une machine polyphasée présentant plusieurs séquences de fonctionnement possibles, le nombre de barres doit être choisi selon les séquences effectivement utilisées. Si seule la séquence fondamentale est utilisée, les règles classiques de choix mises en évidence pour les machines triphasées peuvent être extrapolées comme proposé dans [25, 75]. Par contre, si d'autres séquences sont utilisées, l'analyse doit être revue. Par exemple, les travaux d'Abdelhak Mekahlia mettent en évidence qu'un choix correct du nombre de barres au regard des règles valables pour les machines triphasées conduit à des ondulations de couple significatives [CI-26] et à un couplage des séquences statoriques par le rotor [RI-16]. L'objectif du présent paragraphe est d'analyser ces phénomènes sur la base des développements analytiques détaillés dans la sous-section précédente IV.1.2.1, avec l'hypothèse de fonctionnement suivante :

* la séquence *u* est excitée à la seule pulsation $\omega_u$ (pas d'harmoniques de temps, c'est-à-dire circulation d'un courant sinusoïdal),
<figure><img src="image_1563.png" /></figure>

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple
Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

## Alimentation mono-séquence : commutation de pôles

Changer la polarité de l'induit en excitant une séquence donnée

* Maintenir la puissance à haute vitesse avec les polarités basses

* Amplifier le couple à basse vitesse avec les polarités hautes

## Fonctionnalité propre au polyphasé

**Bénéfices recherchés** : meilleure exploitation des Volt-Ampères onduleur sur la plage de vitesse (alternative au défluxage)

<figure><img src="image_1564.png" /></figure>

<figure><img src="image_1565.png" /></figure>

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<figure><img src="image_1569.png" /></figure>
* la machine est alimentée à une seule séquence (pas d'utilisation simultanée de plusieurs séquences).

Cependant, concernant l'utilisation simultanée de séquence, les analyses conduites vont permettre de déduire des choix de nombres de barres adaptés.

## Analyse par la force électromotrice (tension stator due au rotor)

Généralement, pour produire un couple lisse avec une séquence donnée, il faut faire en sorte que :

1. la force électromotrice renvoyée par le rotor soit aussi sinusoïdale que possible,

2. la force électromotrice renvoyée par le rotor ne contienne que des composantes appartenant à la séquence d'alimentation.

La critère 1 garantit un couple constant si le courant de la séquence utilisée est parfaitement sinusoïdal. Le critère 2 exprime un objectif de découplage magnétique des séquences, facilitant l'obtention d'un courant sinusoïdal pour la séquence utilisée : le régulateur de courant n'a pas à compenser de tension parasite. Plus concrètement, selon le concept de machine fictive, cela signifie qu'il suffit d'appliquer une tension sinusoïdale pour la machine fictive utilisée (la séquence utilisée) en laissant en boucles ouvertes les autres machines fictives (théoriquement, seul le plan de Park produisant le couple est à considérer dans le schéma de contrôle). Si le critère 2 n'est pas satisfait, il faut compenser les tensions induites par la machine fictive utile (produisant le couple) sur les autres machines fictives. Dans une certaine mesure, ceci s'apparente au contrôle sinusoïdal en courant d'une machine polyphasée à aimants présentant une force électromotrice non sinusoïdale, mais avec une estimation de la perturbation plus difficile dans le cadre de la machine asynchrone à cage.

## Exemple d'une MASC 5-phase à bobinage diamétral

Pour la machine 5-phase à bobinage diamétral concentré (présenté en figure IV.3a), la figure IV.7 illustre l'influence du nombre de barres rotoriques sur le couplage des séquences d'alimentation. Sur la base du modèle de caractérisation circuit décrit dans la sous-section précédente, elle reporte les forces électromotrices renvoyées par le rotor au stator dans le cas de l'alimentation sur la séquence fondamentale $u = 1$ (figure IV.7a) et la séquence $u = 3$ (figure IV.7b). Ces forces électromotrices sont projetées dans la base orthonormale de Concordia d'ordre $N = 5$ : les composantes notées $\alpha_1$ et $\beta_1$ correspondent à la séquence fondamentale $u = 1$ (ou machine fictive principale) alors que les composantes notées $\alpha_2$ et $\beta_2$ correspondent à la séquence $u = 3$ (ou machine fictive secondaire). Le choix d'un nombre de barres $Q_r = 32$, conforme aux règles résumées dans [73, 80], montre que, stator alimenté avec une seule séquence ($u = 1$ ou $u = 3$), le rotor renvoie des composantes appartenant à la fois à la séquence fondamentale (composantes $\alpha_1$ et $\beta_1$) et à la séquence $u = 3$ (composantes $\alpha_2$ et $\beta_2$). Il en résulte une régulation en courant plus complexe, tout particulièrement dans le cas d'une alimentation sur la séquence $u = 3$ où le régulateur de courant devra compenser la force électromotrice de la séquence fondamentale (non excitée, et pourtant d'amplitude significative comme le montre bien la figure IV.7a). La réduction du nombre de barres $Q_r$ de 32 à 31 permet un meilleur découplage des séquences : comme montré par les figures IV.7c et IV.7d, le rotor ne renvoie une force électromotrice que sur la séquence d'alimentation du stator, ce qui facilite la régulation en courant. Il est à noter qu'un tel problème est analysé et contrôlé par calcul numérique dans [RI-16] pour une machine 5-phase à bobinage dentaire et 64 barres (configuration notamment
<figure><img src="image_1570.png" /></figure>

Bilan
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Contribution à
la
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du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiable
fonctionnelle

Perspectives

### Alimentation mono-séquence : commutation de pôles

Changer la polarité de l'induit en excitant une séquence donnée

* Maintenir la puissance à haute vitesse avec les polarités basses

* Amplifier le couple à basse vitesse avec les polarités hautes

### Fonctionnalité propre au polyphasé

**Bénéfices recherchés :** meilleure exploitation des Volt-Ampères onduleur sur la plage de vitesse (alternative au défluxage)

### Enjeux de la commutation électronique de pôles

<figure><img src="image_1571.png" /></figure>
évaluée en section III.1.3 du présent mémoire, cf. figures III.1 et III.2) : le passage à 65 barres
découple parfaitement les séquences et il en résulte un couple très peu oscillant sur l'une ou
l'autre des séquences d'alimentation.

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>**FIGURE IV.7** — Force électromotrice pour la MASC 5-phase sur séquences $u = 1$ (à $s_1 = 0.01$) et $u = 3$ (à $s_3 = 0.03$) pour une fréquence statorique de 50Hz, avec nombre de barres $Q_r = 32$ ou $Q_r = 31$</figcaption></figure>

Pulsation de couple inter-séquence

L'idée est donc de choisir un nombre de barres assurant un découplage magnétique entre les séquences au bénéfice de la qualité du couple et de la simplification du contrôle en courant. Le découplage magnétique entre les séquences est à rechercher dans l'hypothèse d'une alimentation avec plusieurs séquences. En effet, si la machine est alimentée par deux séquences magnétiquement couplées par le rotor, alors des pulsations de couple inter-séquence vont se développer.

La figure IV.8 illustre cet effet pour la MASC 5-phase avec le nombre de barres $Q_r = 32$
couplant les séquences d'alimentation (comme montré par les figure IV.7a et IV.7b). Pour la
figure IV.8, pour un glissement de 1%, le courant statorique est composé d'un fondamental
<figure><img src="image_1572.png" /></figure>

Bilan
d'activité

Contribution à
la
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du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

## Alimentation mono-séquence : commutation de pôles

Changer la polarité de l'induit en excitant une séquence donnée

* Maintenir la puissance à haute vitesse avec les polarités basses

* Amplifier le couple à basse vitesse avec les polarités hautes

## Fonctionnalité propre au polyphasé

## Bénéfices recherchés : meilleure exploitation des Volt-Ampères onduleur sur la plage de vitesse (alternative au défluxage)

## Enjeux de la commutation électronique de pôles

* conception : adaptation polarité inducteur (MASC a priori)

<figure><img src="image_1573.png" /></figure>

<figure><img src="image_1574.png" /></figure>

<figure><img src="image_1575.png" /></figure>

<figure><img src="image_1576.png" /></figure>

<figure><img src="image_1577.png" /></figure>

<figure><img src="image_1578.png" /></figure>
<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>**FIGURE IV.8** — Couple électromagnétique pour la MASC 5-phase avec $Q_r$ = 32 en alimentation multi-séquence (harmoniques 1 et 3 de courant) selon (IV.26), (IV.27) et (IV.29)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_1579.png" /></figure>

Bilan
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Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple
Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

## Alimentation mono-séquence : commutation de pôles

Changer la polarité de l'induit en excitant une séquence donnée

* Maintenir la puissance à haute vitesse avec les polarités basses

* Amplifier le couple à basse vitesse avec les polarités hautes

## Fonctionnalité propre au polyphasé

### Bénéfices recherchés : meilleure exploitation des Volt-Ampères onduleur sur la plage de vitesse (alternative au défluxage)

## Enjeux de la commutation électronique de pôles

* conception : adaptation polarité inducteur (MASC a priori)

* contrôle : gestion matérielle et logicielle grand nombre de phases

<figure><img src="image_1580.png" /></figure>

<figure><img src="image_1581.png" /></figure>

<figure><img src="image_1582.png" /></figure>

<figure><img src="image_1583.png" /></figure>

<figure><img src="image_1584.png" /></figure>

<figure><img src="image_1585.png" /></figure>
(pour la séquence $u = 1$) et un harmonique trois (pour la séquence $u = 3$) d'amplitude égale au tiers du fondamental. Pour cette configuration, la figure IV.8a reporte l'estimation analytique du couple électromagnétique selon (IV.26), (IV.27) et (IV.29), sous hypothèse de linéarité (c'est-à-dire que le couple est calculé pour le courant fondamental, puis pour le courant harmonique d'ordre 3 et la figure IV.8a présente la somme de ces deux couples). La figure IV.8b reporte l'estimation du couple en considérant simultanément les deux séquences (le courant harmonique est directement considéré dans (IV.26)) : des pulsations de couple inter-séquence, conséquence du couplage induit par la cage rotorique, sont ainsi mises en évidence.

### Bilan

Finalement, même sous hypothèse de linéarité des matériaux magnétiques, le couple résul-
tant d'une alimentation multi-séquence n'est pas la somme des couples résultants de chaque
séquence (en termes de pulsations). Il s'agit d'une différence de comportement fondamentale
avec une machine synchrone à aimants où le flux inducteur ne dépend pas de l'alimentation.
Cependant, si le nombre de barres est correctement choisi, le rotor ne couple pas les séquences
entre elles et, dans ce cas, le principe de superposition peut être admis.

### IV.1.2.3 Impact des harmoniques de temps

Si la séquence $u$ est excitée avec deux harmoniques temporelles $\omega_u$ et $h\omega_u$, alors le couple résulte de quatre interactions<fnref n="3" /> :

* les harmoniques communs statoriques et rotoriques $v'$ tels que $v' \in F_u$ pulsant à $\omega_u$ et $v' \in F_{/v}^R \cup F_{/Q_r-v}^R$ où l'harmonique statorique inducteur $v$ pulse à $\omega_u$,

* les harmoniques communs statoriques et rotoriques $v'$ tels que $v' \in F_u$ pulsant à $h\omega_u$ et $v' \in F_{/v}^R \cup F_{/Q_r-v}^R$ où l'harmonique statorique inducteur $v$ pulse à $h\omega_u$,

* les harmoniques communs statoriques et rotoriques $v'$ tels que $v' \in F_u$ pulsant à $h\omega_u$ et $v' \in F_{/v}^R \cup F_{/Q_r-v}^R$ où l'harmonique statorique inducteur $v$ pulse à $\omega_u$,

* les harmoniques communs statoriques et rotoriques $v'$ tels que $v' \in F_u$ pulsant à $\omega_u$ et $v' \in F_{/v}^R \cup F_{/Q_r-v}^R$ où l'harmonique statorique inducteur $v$ pulse à $h\omega_u$.

Ce mécanisme peut être analysé avec les hypothèses simplificatrices suivantes :

* la famille $F_u$ est restreinte à un seul harmonique spatial $p_u$ (hypothèse du premier harmonique d'espace),

* le courant comporte le fondamental de pulsation $u\omega$ et l'harmonique de rang $N-u$, générant la famille $F_{N-u}$ à la pulsation $(N-u)\omega$, soit de façon équivalente, générant la famille $F_u$ à la pulsation $-(N-u)\omega$.

Dans ce cas, le seul harmonique commun est $p_u$ et il engendre un couple moyen et un couple pulsatoire à $N\omega$. Ces résultats sont conformes aux analyses effectuées dans [77, 81]. Par

<footnote n="3">3. Les deux premières interactions sont couvertes par les relations (III.35) et (III.36) établies dans la section (III.1.3). Les deux dernières interactions nécessitent une adaptation.</footnote>
<figure><img src="image_1586.png" /></figure>

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la
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du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

### Illustration de la commutation de pôles

Bobinage dentaire $s_{pp} = 0.5$ avec trois polarités ciblées $\Rightarrow N \ge 7$

$$N = 7$$

<figure><img src="image_1587.png" /></figure>

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<figure><img src="image_1590.png" /></figure>

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<figure><img src="image_1593.png" /></figure>
exemple, pour la machine 5-phase à bobinage diamétral ici considéré, si la séquence fondamentale est alimentée aux fréquences $f_s$ et $9f_s$ alors un couple pulsatoire en $10f_s$ est générée. Augmenter le nombre de phases sur une machine à bobinage entier diamétral (soit $s_{pp} \in \mathbb{N}$ et bobines à épanouissement polaire) réduit la sensibilité de la machine aux harmoniques de temps, au bénéfice de la qualité du couple (diminution des pulsations). Par exemple, si la machine est conçue telle que seule la séquence fondamentale génère un harmonique spatial (d'ordre égal au nombre de paires de pôles $p$ dans ce cas), un harmonique de courant d'ordre 5 générerait un couple pulsatoire en $6\omega$ si la machine est triphasé et aucun couple pulsatoire si la machine est heptaphasée ($N = 7$) par exemple. De manière générale, sous cette hypothèse de conception, une machine à $N$ phases produit un couple lisse (constant) si le courant ne contient pas d'harmoniques de temps de rang supérieur à $N$. Et, si un harmonique de temps de rang supérieur à $N$ est présent, il possède généralement une amplitude d'autant plus faible que $N$ est grand, ce qui réduit l'impact sur le couple.

### IV.1.2.4 Approche aux premiers harmoniques d'espace

Pour une machine triphasée, l'hypothèse du premier harmonique d'espace consiste à poser l'onde de champ générée par le stator progressive et sinusoïdale (de fréquence spatiale égale au nombre de paires de pôles $p$). Pour une machine polyphasée, tout particulièrement lorsqu'il s'agit de développer des modèles pour la commande [82, 22], il est généralement supposé que chaque plan propre (c'est-à-dire chaque machine fictive diphasée) présente une force électromotrice sinusoïdale (éventuellement nulle, [22]). Cela signifie que, pour une séquence $u$ donnée, la famille $F_u$ est considérée restreinte à l'harmonique principal (ou de travail) $p_u$. L'hypothèse du premier harmonique d'espace est donc admise pour chaque machine fictive composant la machine asynchrone polyphasée. Cette hypothèse est ici appelée approche aux premiers harmoniques d'espace.

Au regard de la conception de la machine (choix du bobinage et du nombre de barres notamment), cette hypothèse du premier harmonique d'espace est tout à fait acceptable pour les machines asynchrones triphasées où, généralement, le bobinage statorique est conçu de sorte à ne générer qu'un seul harmonique significatif (par exemple, choix d'un bobinage distribué avec nombre d'encoches par pôles et par phases entier supérieur à deux). Si cette option de conception est reprise pour une machine polyphasée (bobinage polyphasé distribué diamétral avec $s_{pp}$ entier au moins supérieur à 2), alors seule la séquence fondamentale génère une onde d'amplitude suffisante et les autres séquences ne peuvent pas produire de couples additionnels (néanmoins, leur utilisation peut permettre de modifier l'état magnétique de la machine et ainsi autoriser une meilleure exploitation du fondamental). Dans le cas d'un bobinage polyphasé générant des harmoniques spatiaux (cas d'un bobinage concentré polaire, $s_{pp} = 1$ par exemple), les séquences non fondamentales peuvent *a priori* contribuer au couple (sous réserve d'une magnétisation suffisante). Considérant l'analyse effectuée précédemment relative à l'impact du nombre de barres sur le couple (cf. sous-section IV.1.2.2), il faut préciser que si le nombre de barres rotoriques est correctement choisi, l'hypothèse du premier harmonique d'espace peut être admise pour les différentes séquences, et les pulsations de couple sont faibles.

### IV.1.2.5 Commande multi-machine

Comme pour une machine à aimants, l'objectif est de déterminer une alimentation en courant maximisant le rapport couple moyen sur courant efficace ou éventuellement le rapport
<figure><img src="image_1594.png" /></figure>

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Plage de vitesse

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### Illustration de la commutation de pôles

Bobinage dentaire $s_{pp} = 0.5$ avec trois polarités ciblées $\Rightarrow N \ge 7$

$N = 7$

<figure><img src="image_1595.png" /></figure>

$u = 1$

<figure><img src="image_1596.png" /></figure>

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<figure><img src="image_1602.png" /></figure>
couple moyen sur courant de crête.

## Spécificités de la commande MTPA pour une MASC polyphasée

La commande multi-machine est examinée dans le cas d'un nombre de phases N impair. Il est de plus supposé que le bobinage polyphasé est entier (soit $s_{pp} \in \mathbb{N}$) et de distribution anti-périodique : ceci implique que les séquences d'indice u pair présente un premier harmonique d'espace $p_u$ d'amplitude nul (car associé à un coefficient de bobinage nul en raison de l'antipériodicité de la distribution). Enfin, la machine est couplée en étoile : la séquence homopolaire $u = 0$ n'est donc pas utilisée. Finalement, considérant l'ensemble de ces hypothèses, la commande consiste à alimenter sinusoïdalement $(N-1)/2$ machines fictives (ou $(N-1)/2$ plans propres), c'est-à-dire à contrôler un courant de phase comportant les harmoniques temporelles de rang impair compris entre 1 et $N-2$. Cela signifie que les séquences sont synchronisées. Concrètement, la pulsation d'alimentation de la séquence $u$ est liée à la pulsation de référence statorique $\omega_s$, correpondant à la pulsation de la séquence fondamentale :

$$ \omega_u = u\omega_s \qquad (IV.44) $$

Dans ce cas, l'harmonique principal de la séquence $u$ étant $p_u = up$, les glissements des séquences 4 sont égaux :

$$ s_u = \frac{\frac{\omega_u}{up} - \Omega_m}{\frac{\omega_u}{up}} = \frac{\frac{\omega_s}{p} - \Omega_m}{\frac{\omega_s}{p}} = s_1 \qquad (IV.45) $$

En termes de production de couple, la pulsation rotorique maximisant le couple dépendant du mode rotorique utilisé, les couples maximaux des séquences sont obtenus pour des glissements différents (comme cela peut être constaté sur la figure IV.5 où $s_{1,max} \approx 0.01$ et $s_{3,max} \approx 0.03$). Ainsi, contrairement à une machine à aimants, il n'est pas possible de trouver une orientation des flux maximisant la production de couple pour toutes les séquences à la fois (comme le fait la commande MTPA d'une MSAD, explicitée par (IV.11)). Cette différence fondamentale rend plus difficile la formulation analytique de stratégies de commande optimale : une approche numérique (visant à résoudre un problème d'optimisation) est généralement nécessaire.

En cas de commande multi-harmonique, la problématique est donc de déterminer une distribution du courant sur les différentes séquences (ou différents plans ou différentes machines fictives) de sorte à augmenter le couple moyen par rapport à la commande sinusoïdale sous un certain nombre de contraintes dont une au moins contrôle l'état magnétique de la machine. L'idée essentielle consiste à utiliser au mieux le circuit magnétique. Pratiquement, les courants peuvent être imposés par un contrôle à flux rotorique orienté [22] ou au travers un contrôle direct du couple [83]. Pour des machines 5-phase à bobinage diamétral concentré, le taux d'injection d'harmonique trois (en courant) pratiqué est de l'ordre de 15% [84, 82].

## Evaluation du gain en couple

La référence [85] traite le cas d'une machine 11-phase à bobinage concentré à pas polaire (ou bobinage diamétral $s_{pp} = 1$), expérimentalement testée. Selon [75], le nombre de barres choisi

<footnote n="4">4. Dans ce chapitre, $s_u$ désigne le glissement de séquence $u$, c'est-à-dire le glissement associé à l'harmonique d'espace principal $p_u$ de la séquence $u$. Strictement, relativement aux éléments introduits dans le chapitre III, sous-section III.3.3.1, cette notation $s_u$ de glissement de séquence $u$ est impropre relativement à la notation $s_v$ de glissement de l'harmonique d'espace $v$ selon (III.82). Plutôt que d'introduire une nouvelle notation du glissement pour distinguer les deux référencements, il est choisi de maintenir la définition (IV.45) pour la présente sous-section IV.1.2.5.</footnote>
<figure><img src="image_1603.png" /></figure>

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fonctionnelle

Perspectives

### Illustration de la commutation de pôles

Bobinage dentaire $s_{pp} = 0.5$ avec trois polarités ciblées $\Rightarrow N \ge 7$

$$N = 7$$

<figure><img src="image_1604.png" /></figure>

$$u = 2$$

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est 30. Les séquences $u = 1, u = 3, u = 5, u = 7$ et $u = 9$ sont utilisés, ce qui suppose l'injection d'un courant de phase comprenant les harmoniques 1, 3, 5, 7 et 9. Les amplitudes et les phases de chaque harmonique sont calculées par résolution d'un problème d'optimisation : l'objectif est de maximiser l'induction fondamentale avec la contrainte qu'en aucun point l'induction ne dépasse une valeur limite correspondant à la saturation. Il est à noter que ce problème est formulé sur un modèle circuit de la machine avec hypothèse du premier harmonique d'espace pour chaque séquence (les paramètres sont identifiés expérimentalement). A courant efficace fondamental donné (c'est-à-dire pour l'utilisation nominale de la séquence fondamentale $u = 1$, définissant le couple nominal de référence), il est montré que le couple peut être augmenté de 37.5% si l'injection optimale des courants harmoniques d'ordre 3, 5, 7 et 9 est pratiqué. Dans ce cas, le courant efficace global augmente de 25%. Il est donc postulé à un gain de 10% dans le rapport couple moyen par Ampère efficace. L'onde de tension résultante s'apparente à un signal carré : pour la machine considérée, il est alors montré que la commande pleine onde ne permet pas une augmentation aussi forte (mais elle permettrait sans doute de réduire significativement les pertes au niveau du convertisseur). Par rapport à ces stratégies d'injection d'harmoniques pour accroître le ratio couple sur Ampère efficace, la référence [86] donne un éclairage intéressant concernant les machines 5-phase : même si l'injection d'harmonique trois est calculée pour éviter la saturation dans les dents, elle impacte généralement négativement le niveau de saturation dans la culasse. Les auteurs montrent qu'un bobinage 9-phase concentré diamétral ($s_{pp} = 1$) permet d'éviter cet effet et autorise une meilleure exploitation du circuit magnétique. A ce titre, les références [85] et [86] concordent : un nombre de phases au moins égal à 7 semble nécessaire pour espérer maîtriser le niveau de saturation dans les dents et culasse statorique.

## Exemple sur une MASC 7-phase

La référence [87] traite d'ailleurs le cas d'une machine à induction à 7 phases et montre des gains en rapport couple sur Ampère efficace expérimentalement conformes aux prédictions analytiques (c'est-à-dire conformes au modèle utilisé pour formuler et résoudre le problème d'optimisation).

La figure IV.9 reporte les résultats du problème d'optimisation décrit dans cet article : pour une machine 7-phase à bobinage concentré diamétral, trouver la répartition de courant entre le fondamental (machine fictive principale ou séquence fondamentale $u = 1$) et l'harmonique trois (machine fictive secondaire, séquence $u = 3$) maximisant le couple tout en limitant le courant efficace de phase et la saturation magnétique (estimée à partir des courants d'axe direct). La figure IV.9a montre l'évolution du couple optimal (somme des couples moyens de séquence 1, $T_1$, et de séquence 3, $T_3$) et du couple en commande sinusoïdal classique (couple moyen noté $T_{\text{sinus}}$) en fonction du courant efficace de phase. Elle permet les deux principaux enseignements suivants :

* à courant faible, utiliser l'harmonique trois est sans intérêt (la magnétisation est trop coûteuse)

* à partir d'un certain courant (défini par le courant de magnétisation nominal), utiliser l'harmonique trois accroît le couple.

La figure IV.9b donne l'évolution du rapport du couple optimal sur le couple en alimentation sinusoïdale en fonction du courant efficace. Pour le courant efficace nominal, le gain est d'environ 5% (ce qui est à rapprocher du gain obtenu pour une machine polyphasée à aimants à fem carrée si l'harmonique trois est injectée, cf. figure IV.2b). En surcharge thermique (au-dessus
<figure><img src="image_1612.png" /></figure>

Bilan

d'activité

Contribution à

la

modélisation

du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité

fonctionnelle

Perspectives

### Illustration de la commutation de pôles

Bobinage dentaire $s_{pp} = 0.5$ avec trois polarités ciblées $\Rightarrow N \ge 7$

$$N = 7$$

<figure><img src="image_1613.png" /></figure>

$$u = 3$$

<figure><img src="image_1614.png" /></figure>

<figure><img src="image_1615.png" /></figure>

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du courant efficace nominal), le gain est plus élevé : le maximum atteignable dépend alors du courant crête que les interrupteurs statiques peuvent faire circuler et la durée du transitoire dépend des caractéristiques thermiques dynamiques du circuit.

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

**FIGURE IV.9** — Illustration du gain en couple sur courant efficace en cas d'injection optimale d'harmonique trois sur une machine 7-phase à bobinage concentré diamétral [87]

## IV.1.3 Bilan

### IV.1.3.1 Synthèse

Cette partie permet de quantifier l'intérêt de l'augmentation du nombre de phases sur la qualité du couple électromagnétique : les ondulations sont naturellement réduites en commande sinusoïdale (ou mono-séquence) et l'injection d'harmoniques de courant (commande multi-machine) permet d'accroître le couple moyen tout en préservant un taux d'ondulation faible si la conception de la machine est adaptée. Plus généralement, pour accroître le couple à courant efficace donné, il faut augmenter le chargement magnétique, c'est-à-dire augmenter le volume de circuit magnétique travaillant en limite de saturation au même instant. Développer un champ d'entrefer de forme carrée peut être considéré comme la concrétisation de cet objectif. Dans ce cas, une machine équipée d'un bobinage concentré diamétral ($s_{pp} = 1$) alimentée par des courants polyphasés en créneau et d'un rotor présentant une force électromotrice de forme carrée est une solution.

En pratique, le courant doit contenir plusieurs harmoniques parfaitement contrôlés : cette injection contrôlée d'harmoniques est moins difficile à réaliser en polyphasé qu'en triphasé en raison du découplage magnétique entre les séquences statoriques (représentées par les machines fictives). Selon les éléments ici présentés et déjà disponibles dans la littérature, il peut être considéré que, par rapport à une machine triphasée alimentée en courant sinusoïdal, une machine polyphasée alimentée sinusoïdalement sur chacune de ses séquences (commande multimachine sinusoïdale) permet d'accroître le rapport couple moyen sur courant efficace jusque 10% environ et davantage en terme de rapport couple moyen sur courant de crête.

Pour les MSAD et MASC ici analysées (admettant l'hypothèse d'entrefer lisse et donc le principe de décomposition multimachine), il est établi que les pulsations de couple électrom-
<figure><img src="image_1621.png" /></figure>

# Amélioration des performances

## Plage de vitesse

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

## Illustration de la commutation de pôles

Bobinage dentaire $s_{pp} = 0.5$ avec trois polarités ciblées $\Rightarrow N \ge 7$

$$N = 17$$

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gnétique sont naturellement réduites par l'augmentation du nombre de phases : une conception adaptée du rotor peut permettre d'obtenir des ondulations négligeables (couche d'aimants particulières pour la MSAD, choix d'un nombre de barres rotoriques adapté aux harmoniques spatiaux de travail). Cependant, deux différences essentielles sont mises en avant :

* sur une MASC, un choix inapproprié du nombre de barres rotoriques peut créer un couplage magnétique entre différents plans statoriques, ce qui ne permet pas de considérer le couple en commande multimachine comme la somme des couple issus de chaque séquence ;

* sur une MASC à bobinage diamétral, à faible courant, l'injection d'harmoniques de courant (soit la commande multimachine) produit un couple plus faible que la commande sinusоïdale (la magnétisation mobilise trop de courant).

Finalement, le bénéfice lié à l'augmentation du nombre de phases est à vérifier plus précisément, en particulier par rapport à l'hypothèse de linéarité des matériaux magnétiques.

## IV.1.3.2 Perspectives

Les perspectives visent à vérifier si les gains postulés par l'augmentation du nombre de phases en termes de qualité du couple peuvent être pratiquement tenus. La première réserve concerne évidemment la saturation magnétique puisque les performances sont calculées sous hypothèse linéaire avec, lorsque nécessaire, des modèles de saturation simples. La seconde réserve concerne l'alimentation par le convertisseur et le bruit de commutation qui en résulte. Des phénomènes parasites vont se développer et pourraient supprimer les gains escomptés. Enfin, la troisième réserve résulte des éventuelles limites du contrôle.

### Prise en compte de la saturation magnétique

Dans cette partie, l'amélioration de la qualité du couple est mise en évidence en supposant des matériaux magnétiques linéaires. Cependant, comme cela a été souligné dans la sous-section IV.1.2.5, l'injection d'harmoniques affecte la saturation magnétique dans les dents et les culasses [88, 86]. En pratique, en MTPA, la linéarité est une hypothèse d'autant plus discutable que la recherche du couple maximal revient généralement à injecter le courant maximal (dans une limite soit liée à la thermique, soit liée à l'électronique de puissance) et à placer le circuit magnétique en limite de canalisation. En cas de saturation magnétique, sur une machine polyphasée, le découplage magnétique entre les différentes machines fictives (ou plans propres) peut être perdu [89]. Il est nécessaire de mesurer cet effet pour orienter la conception et développer un modèle de commande suffisamment robuste. Dans ce contexte, l'impact de la saturation magnétique sur les inductances mutuelles est étudiée dans la thèse d'Hussein Zahr pour une MSAP 5-phase saillante bi-harmonique [ThS-3]. Une étude comparable est reportée dans [90] pour une MASC 7-phase. Dans les deux cas, assez naturellement en phase de conception, les performances sont caractérisées par calcul éléments finis. Il convient de rappeler que les résultats par éléments finis ne sont correctes que si les hypothèses de comportement et de géométrie du modèle numérique sont correctes.

### Prise en compte de la modulation de largeur d'impulsions (MLI)

Quel que soit le nombre de phases, les composantes temporelles haute fréquence de la MLI se manifestent par les effets parasites suivants :

* une augmentation des courants induits dans les culasses statoriques et rotoriques,
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### Illustration de la commutation de pôles

Bobinage dentaire $s_{pp} = 0.5$ avec trois polarités ciblées $\Rightarrow N \ge 7$

$$N = 17$$

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$$u = 1$$

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* une redistribution des courants dans les conducteurs (par effet de peau) en modifiant la résistivité,

* la superposition de plusieurs ondes de force magnétomotrice circulant à des vitesses différentes.

Au final, les pertes fer et ohmiques augmentent au préjudice du rendement. Des phénomènes vibratoires inattendus peuvent se développer. Pour une machine polyphasée, le spectre spatial harmonique de la FMM est enrichi dans la mesure où des séquences statoriques indésirés sont allumées. En d'autres termes, pour une machine triphasée couplée en étoile alimentée en sinus, en raison de la MLI, plusieurs trains d'onde identiques circulent à des vitesses différentes alors que, pour une machine polyphasée (c'est-à-dire N impair supérieur à 5) couplée en étoile alimentée en sinus, il apparaît de nouveau trains d'ondes (nouveaux harmoniques d'espace). Ces phénomènes complexes, dont la caractérisation par éléments finis nécessitent un couplage circuit et un temps de calcul significatif, restent à explorer. A ce titre, il peut être noté que certains d'entre eux (interactions supplémentaires d'harmonique d'espace) peuvent être sommairement préévalués avec les modèles ici décrits. Il s'agit notamment d'étendre les règles de prédiction des couples pulsatoires au cas d'une alimentation multi-séquence avec couplage magnétique des séquences par le rotor.

## Prise en compte des limites de la commande

Les limites de la commande en termes d'implémentation et de stabilité sont à considérer. Concrètement, par rapport à un convertisseur triphasé, le contrôleur d'un convertisseur polyphasé doit traiter un flux d'information plus grand en un temps équivalent (voire raccourci si la fréquence de commutation est calculée sur des harmoniques de temps élevés [THD]). La charge calculatoire est donc augmentée et ce point est à considérer. Par exemple, pour une machine 7-phase, la référence [91] montre que certaines stratégies de MLI vectorielle sont plus favorables à l'exécution en temps réel que d'autres. Les problématiques de stabilité statique et transitoires concernent plus particulièrement les MASC polyphasés [92, 82, 93] : il semble que les incertitudes sur la structure et les paramètres du modèle de commande sont d'autant plus sensibles que le nombre de phases augmente.

# IV.2 Extension de la plage de vitesse

Contrairement à la première partie se concentrant exclusivement sur la qualité du couple, cette partie considère les contraintes d'alimentation en tension : l'objectif est de montrer comment l'augmentation du nombre de phases permet d'étendre la plage de vitesse à puissance d'alimentation donnée. Cette évaluation est menée pour des topologies d'ondeleur à deux interrupteurs par bras (ce qui signifie que les associations série ou parallèle de plusieurs interrupteurs ne sont pas considérées). Ainsi, l'interrupteur statique doit supporter la tension continue. Pour une machine polyphasée alimentée par onduleur de tension, la plage de vitesse est liée aux limites en tension et courants imposées par les interrupteurs statiques. La juste détermination de la puissance en volt-ampère du convertisseur associée à une machine polyphasée doit tenir compte du caractère généralement non sinusoïdal des tensions et courant d'enroulement de la machine. Cet aspect est examiné dans la première section. La deuxième section montre comment l'utilisation simultanée de plusieurs séquences (ou plusieurs harmoniques de courant) sur une machine polyphasée permet d'accroître la plage de vitesse. La
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### Illustration de la commutation de pôles

Bobinage dentaire $s_{pp} = 0.5$ avec trois polarités ciblées $\Rightarrow N \ge 7$

$N = 17$

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$u = 2$

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troisième section introduit une spécificité de fonctionnement propre aux machines polyphasées (nombre de phase supérieur ou égal à cinq pour mémoire) : la commutation électronique de pôles, consistant à utiliser séparément différentes séquences d'alimentations, pour étendre la plage de vitesse à volt-ampère de convertisseur donné. Enfin, la dernière section montre les possibilités offertes par l'augmentation des couplages électriques avec le nombre de phases.

## IV.2.1 Détermination de la puissance du convertisseur

Si les ondes de tension et courant appliquées à la machine sont sinusoïdales, la connaissance de la puissance électrique (active) et du facteur de puissance suffit à spécifier les calibres en tension et courant des interrupteurs de puissance. Par contre, si les ondes contiennent des harmoniques, cette approche de dimensionnement n'est pas correcte strictement. Par exemple, pour une machine triphasée couplée en étoile, une alimentation par tension sinusoïdale comportant un harmonique trois permet de réduire la tension crête appliquée. Par conséquent, le calibre en tension (ou la tension continue de bus) pourrait être réduit (en pratique, cette stratégie d'injection de troisième harmonique est utilisée pour monter en vitesse en conservant une régime de modulation linéaire). Pour les machines polyphasées, une conception et une alimentation basées sur l'utilisation séquentielle ou simultanée de plusieurs harmoniques électriques sont bien souvent recherchées. Dans ce contexte, il convient de préciser la procédure de détermination des calibres des interrupteurs de puissance. La première sous-section introduit et examine la valeur du facteur de crête des tensions et courants d'enroulement. La deuxième sous-section reprend les définitions des puissances pour une machine polyphasée et introduit notamment la puissance de coin. La troisième sous-section établit le lien entre la puissance de coin de la machine et le calibrage de l'onduleur de tension. Un bilan est finalement établi, justifiant l'aptitude de la machine polyphasée à mieux utiliser la puissance de l'onduleur.

### IV.2.1.1 Facteur de crête d'un signal alternatif

#### Définition

En régime établi, un signal alternatif définit un facteur de crête correspondant au rapport entre la valeur crête du signal et la valeur efficace. Les standards régissant la qualité de l'énergie sur les réseaux peuvent limiter cette valeur, en particulier pour les charges non linéaires [94]. La définition formelle de cette grandeur impose l'introduction du produit scalaire de deux signaux alternatifs. Si $x$ et $y$ sont deux signaux alternatifs de fréquence $f$, le produit scalaire se définit comme suit<fnref n="5" /> :

$$ \langle x, y \rangle = f \int_{t=0}^{1/f} x(t)y(t)dt \qquad (IV.46) $$

La norme euclidienne d'un signal $x$ dérive du produit scalaire et correspond à la valeur efficace, notée $X_{rms}$ :

$$ \|x\|_2 = \sqrt{\langle x, x \rangle} = X_{rms} \qquad (IV.47) $$

La norme infini est également introduite. Elle permet de déterminer la valeur crête d'un signal $x$, notée $X_{max}$ :

$$ \|x\|_{\infty} = \max \{|x(t)|, t \in [0, 1/f]\} = X_{max} \qquad (IV.48) $$

<footnote n="5">5. Dans ce mémoire, $\langle x, y \rangle$ désigne le produit scalaire de fonctions périodiques temporelles $x(t)$ et $y(t)$ alors que $\langle \overrightarrow{x^N}, \overrightarrow{y^N} \rangle_{\mathbf{B}^N}$ correspond au produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{x^N}$ et $\overrightarrow{y^N}$ dans la base $\mathbf{B}^N$.</footnote>
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### Illustration de la commutation de pôles

Bobinage dentaire $s_{pp} = 0.5$ avec trois polarités ciblées $\Rightarrow N \ge 7$

$$N = 17$$

$$u = 3$$

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Le facteur de crête du signal $x$, notée $F_c(x)$, apparaît alors comme le rapport de la norme infinie sur la norme euclidienne :

$$F_c(x) = \frac{\|x\|_{\infty}}{\|x\|_2} = \frac{X_{max}}{X_{rms}} \qquad (IV.49)$$

Quelque soit le signal, le facteur de crête est supérieur ou égal à un. Par exemple, le facteur de crête d'un signal sinusoidal est $\sqrt{2}$ alors que celui d'un signal carré est 1, constituant le cas limite.

### Exemple illustrant la signification du facteur de crête

Considérer un signal composé du fondamental et d'un harmonique d'ordre trois permet de montrer l'influence du facteur de crête sur la détermination des calibres des interrupteurs de puissance. Le signal $x_{13}$, caractérisé par un harmonique trois d'amplitude $k_3$ (positive ou négative, mais de phase constante), est donc introduit :

$$x_{13}(\theta) = \sin \theta + k_3 \sin (3\theta) \qquad (IV.50)$$

La valeur efficace de ce signal est calculée selon (IV.47) :

$$X_{13,rms} = \sqrt{\frac{1 + k_3^2}{2}} \qquad (IV.51)$$

Une expression analytique de la valeur de crête est disponible dans [71] :

$$X_{13,max} = \begin{cases} 8k_3 \left( \frac{1 + 3k_3}{12k_3} \right)^{\frac{3}{2}} & \text{si } k_3 > \frac{1}{9} \\ 1 - k_3 & \text{si } k_3 \le \frac{1}{9} \end{cases} \qquad (IV.52)$$

Les relations (IV.51) et (IV.52) permettent le calcul du facteur de crête (défini par (IV.49)) en fonction du taux d'harmonique 3 (signé, car l'amplitude peut être positive ou négative). La figure IV.10a reporte l'évolution du facteur de crête. D'après (IV.51), deux signaux présentant le même taux d'harmonique 3 (même valeur absolue pour $k_3$) ont la même valeur efficace (c'est-à dire la même énergie). La figure IV.10a met ainsi en évidence les points A et B : les signaux correspondants présentant le même taux d'harmonique trois (0.16) mais en opposition de phase. Les signaux correspondants ont donc la même valeur efficace mais leur valeurs de crête diffèrent, ce qui est illustré par la figure IV.10b reportant l'allure de ces deux signaux d'énergie identique. Concrètement, si $x_{13}$ correspond au courant circulant dans un enroulement de la machine, considérer la valeur efficace du signal pour évaluer les calibres des interrupteurs conduirait à une estimation erronée, en particulier trop basse dans le cas B.

### IV.2.1.2 Définition des puissances pour une machine polyphasée

Pour une machine polyphasée à N phases, l'enroulement n est sous tension alternative $v_{w,n}$ et transite un courant $i_{w,n}$ (l'indice w est choisi pour winding). Les courants et tensions définissent un système polyphasé : la tension $v_{w,n}$ (respectivement, le courant $i_{w,n}$) s'obtient par déphasage de la tension de l'enroulement 0 notée $v_w$ (respectivement, par déphasage du courant de l'enroulement 0 noté $i_w$). Les facteurs de crête en tension et courant sont alors
<figure><img src="image_1665.png" /></figure>

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

### Cas théorique d'une machine 60-phase

### Fuites stator négligées / Dispersion rotor-stator constante

<figure><img src="image_1666.png" /><figcaption>Puissance, couple (analytique)</figcaption></figure>

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<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>FIGURE IV.10 — Analyse du facteur de crête du signal bi-harmonique $x_{13}$, cf. (IV.50)</figcaption></figure>

définis conformément à la relation (IV.49) :

$$F_c(v_w) = \frac{V_{w,max}}{V_{w,rms}} \qquad (IV.53)$$

$$F_c(i_w) = \frac{I_{w,max}}{I_{w,rms}} \qquad (IV.54)$$

## Puissance active

La puissance active d'un enroulement correspond au produit scalaire de la tension aux bornes de l'enroulement avec le courant circulant dans l'enroulement. Sous hypothèse de régime polyphasé (courants et tensions régulièrement déphasés), la puissance active totale de la machine polyphasée s'exprime comme suit :

$$P = N \langle v_w, i_w \rangle \qquad (IV.55)$$

## Puissance apparente et facteur de puissance

La puissance apparente correspond à la puissance maximale d'interaction entre les tensions et les courants. Formellement, il vient :

$$S = N \sqrt{\langle v_w, v_w \rangle \langle i_w, i_w \rangle} \qquad (IV.56)$$

Une forme plus habituelle de la puissance apparente est obtenue si les valeurs efficaces des tension et courant sont utilisées, conformément à (IV.47) :

$$S = N V_{w,rms} I_{w,rms} \qquad (IV.57)$$
<figure><img src="image_1698.png" /></figure>

# Amélioration des performances

## Plage de vitesse

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

## Cas théorique d'une machine 60-phase

### Fuites stator négligées / Dispersion rotor-stator constante

<figure><img src="image_1699.png" /><figcaption>Puissance, couple (analytique)</figcaption></figure>

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Le facteur de puissance est le rapport de la puissance active sur la puissance apparente :

$$f_p = \frac{P}{S} = \frac{\langle v_w, i_w \rangle}{V_{w,rms} I_{w,rms}} \qquad (IV.58)$$

## Puissance de coin de la machine

Exprimée en volt-ampère (VA), la puissance de coin de la machine, notée $S_{c,m}$, est définie en considérant les tension et courant crête d'enroulement pour un point de fonctionnement donné :

$$S_{c,m} = N V_{w,max} I_{w,max} \qquad (IV.59)$$

Si les facteurs de crête (IV.53) et (IV.54) sont injectés dans (IV.59), la puissance de coin s'exprime en fonction de la puissance apparente (IV.57) :

$$S_{c,m} = F_c(v_w) F_c(i_w) S \qquad (IV.60)$$

Fondamentalement, la puissance apparente dépend des valeurs efficaces alors que la puissance de coin dépend des valeurs de crête.

## Taux d'exploitation de puissance de coin

Compte tenu de (IV.58), la puissance de coin (IV.60) peut être reliée à la puissance électrique de la machine par l'intermédiaire du facteur de puissance :

$$S_{c,m} = \frac{F_c(v_w) F_c(i_w)}{f_p} P \qquad (IV.61)$$

Le taux d'exploitation de puissance de coin est alors défini comme le rapport entre la puissance utile de la machine et la puissance de coin de la machine. Si $\eta$ désigne le rendement de la machine en fonctionnement en moteur, compte tenu de (IV.61), le taux d'exploitation de puissance de coin, noté $\tau_c$, s'écrit :

$$\tau_c = \frac{\eta f_p}{F_c(v_w) F_c(i_w)} \qquad (IV.62)$$

Le taux d'exploitation de puissance de coin compris entre 0 et 1. Par exemple, pour un point de fonctionnement donné, une valeur de 0.4 signifie que 40% de la puissance de coin de la machine $S_{c,m}$ correspond à la puissance utile, c'est-à-dire au service.

### IV.2.1.3 Taux d'utilisation de la puissance de l'onduleur

En pratique, au point de fonctionnement nominal, la puissance de coin est liée aux tension et courant crête d'enroulement nominaux, ces derniers minorant les calibres en tension et courant des interrupteurs statiques.

## Puissance de crête maximale transmissible par l'onduleur

Le courant d'enroulement maximal $I_{w,max,cvs}$ et la tension d'enroulement maximale $V_{w,max,cvs}$ que l'onduleur peut imposer à la machine polyphasée définissent la puissance de crête maximale :
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Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

### Cas théorique d'une machine 60-phase

### Fuites stator négligées / Dispersion rotor-stator constante

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male transmissible par l'onduleur :

$$
S_{c,cvs,max} = N I_{w,max,cvs} V_{w,max,cvs} \tag{IV.63}
$$

Ainsi, la puissance de coin nominale de la machine $S_{c,m,r}$ détermine la puissance de dimensionnement du convertisseur :

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
I_{w,max,r} \le I_{w,cvs,max} \\
V_{w,max,r} \le V_{w,cvs,max}
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
S_{c,m,r} \le S_{c,cvs,max} \tag{IV.64}
\end{equation}
$$

Taux d'utilisation de l'onduleur

Le taux d'exploitation de puissance de coin $\tau_c$ (IV.62) ne dépend pas du convertisseur d'alimentation. Afin de restituer les limites induites par l'onduleur, le taux d'utilisation de l'onduleur, noté $\tau_{cvs}$, est introduit : il est défini comme le rapport entre la puissance utile de la machine et la puissance de crête maximale transmissible par l'onduleur $S_{c,cvs,max}$ (définie selon (IV.63)) :

$$
\tau_{cvs} = \eta f_p \frac{S}{S_{c,cvs,max}} = \eta f_p \frac{V_{w,rms}}{V_{w,cvs,max}} \frac{I_{w,rms}}{I_{w,cvs,max}} \quad (IV.65)
$$

Le taux d'utilisation de l'onduleur $\tau_{cvs}$ peut s'exprimer en fonction du taux d'exploitation de puissance de coin $\tau_c$. En injectant les facteurs de crête en tension et en courant dans (IV.65), il vient :

$$
\tau_{cvs} = \frac{\eta f_p}{F_c(v_w) F_c(i_w)} \frac{V_{w,max}}{V_{w,cvs,max}} \frac{I_{w,max}}{I_{w,cvs,max}} = \tau_c \frac{V_{w,max}}{V_{w,cvs,max}} \frac{I_{w,max}}{I_{w,cvs,max}} \quad (IV.66)
$$

Au point de fonctionnement nominal, le taux nominal d'utilisation de l'onduleur $\tau_{cvs,r}$ est inférieur ou égal au taux nominal d'exploitation de puissance de coin $\tau_{c,r}$ :

$$
\tau_{cvs,r} = \tau_{c,r} \frac{V_{w,max,r}}{V_{w,cvs,max}} \frac{I_{w,max,r}}{I_{w,cvs,max}} \quad (IV.67)
$$

Le taux d'utilisation nominal de l'onduleur $\tau_{cvs,r}$ est maximisé si les interrupteurs statiques sont tout juste calibrés pour le point de fonctionnement nominal :

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
I_{w,max,r} = I_{w,cvs,max} \\
V_{w,max,r} = V_{w,cvs,max}
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\tau_{cvs,r} = \tau_{c,r} = \frac{\eta_r f_{p,r}}{F_c(v_{w,r}) F_c(i_{w,r})} \tag{IV.68}
\end{equation}
$$

La relation (IV.68) formalise l'impact de la conception de la machine et de la stratégie no-
minale de contrôle sur le dimensionnement du convertisseur d'alimentation. La notion de
taux d'utilisation de l'onduleur (inverter utilisation ratio) est introduite dans [95] pour des
ensembles convertisseurs-machines triphasés : le taux d'utilisation de l'onduleur y est défini
comme le produit du rendement par le facteur de puissance. Contrairement à la définition
proposée ici (IV.66), les facteurs de crête n'interviennent pas en raison des hypothèses sui-
vantes :

* la machine triphasée est conçue pour avoir une fermette parfaitement sinusoïdale,

* l'onduleur est supposé imposer un courant parfaitement sinusoïdal,
* les interrupteurs sont calibrés pour passer exactement le point de fonctionnement nominal.

## Cas des ondes sinus et des ondes carrées

Selon (IV.60), une machine polyphasée présentant des tensions et des courants d'enroulement parfaitement sinusoïdaux a une puissance de coin égale à deux fois sa puissance apparente :

$$F_c(v_w) = F_c(i_w) = \sqrt{2} \implies S_{c,m} = 2S = \frac{2}{f_p} P \quad (IV.69)$$

Si $\eta$ est le rendement électromécanique de la machine, selon (IV.62), le taux d'exploitation de puissance de coin s'exprime comme suit :

$$F_c(v_w) = F_c(i_w) = \sqrt{2} \implies \tau_c = \frac{\eta f_p}{2} \quad (IV.70)$$

Dans ce cas, la seule connaissance du rendement et du facteur de puissance lie le service (la puissance utile) à la puissance de coin (définissant au régime nominal la puissance maximale transmissible par l'onduleur selon (IV.67), c'est-à-dire l'investissement en électronique de puissance). Il faut noter que ces relations (IV.69) ou (IV.70) sont souvent utilisées pour évaluer le besoin en puissance de conversion, mais sans vérification préalable des facteurs de crête. Les limites de cette approche sont ici mises en évidence. En effet, puisque spécifiques aux signaux de courant et tension sinusoïdaux, les expressions de $S_{c,m}$ et $\tau_c$ dans (IV.69) et (IV.70) masquent l'influence des facteurs de crête (dont la valeur pour un signal alternatif quelconque est différente de $\sqrt{2}$). Cet effet est révélé si une machine polyphasée présentant des tensions et des courants d'enroulement parfaitement carrés est considérée. Dans ce cas, les facteurs de crête en tension et courant sont égaux à un. Il en résulte une puissance de coin égale à la puissance apparente :

$$F_c(v_w) = F_c(i_w) = 1 \implies S_{c,m} = S = \frac{P}{f_p} \quad (IV.71)$$

De (IV.71) résulte le taux d'exploitation de puissance de coin suivant :

$$F_c(v_w) = F_c(i_w) = 1 \implies \tau_c = \eta f_p \quad (IV.72)$$

Pour ce type de machine, l'usage inapproprié des relations (IV.69) ou (IV.70) (supposant des tensions et courants d'enroulement sinusoïdaux) aurait donc conduit à sur-évaluer d'un facteur deux la puissance de coin, c'est-à-dire la puissance maximale transmissible par l'onduleur. D'ailleurs, pour une telle machine, comme montré par (IV.70), il peut être noté que, si la tension et le courant sont en phase ($f_p = 1$), si les pertes sont négligées ($\eta = 1$) et si les interrupteurs sont calibrés au plus juste (selon (IV.68)), alors le taux d'utilisation de l'onduleur est égal à un, ce qui définit ainsi une situation idéale en terme de rapport service sur investissement.

## Exemple d'une MSAD 7-phase

Cette problématique est concrètement illustrée pour l'alimentation de la machine à aimants déposés (MSAD) heptaphasé développé à l'IRENAV dans le cadre de la thèse d'Hussein Zahr. Cette machine est équipée d'un bobinage fractionnaire dentaire ($s_{pp} = 0.5$) se manifestant
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# Amélioration des performances

## Plage de vitesse

Bilan
d'activité

Contribution à
la
modélisation
du bobinage

Amélioration
des
performances

Qualité du couple

Plage de vitesse

Fiabilité
fonctionnelle

Perspectives

## Cas théorique d'une machine 60-phase

### Fuites stator négligées / Dispersion rotor-stator constante

<figure><img src="image_1753.png" /><figcaption>Puissance, couple (analytique)</figcaption></figure>

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