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# Un probleme d'environnement : modelisation de la dynamique oceanique du plateau continental

Dominique Begis, Michel Crépon, Claude Millot

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Dominique Begis, Michel Crépon, Claude Millot. Un probleme d'environnement: modelisation de la dynamique oceanique du plateau continental. [Rapport de recherche] IRIA-RR-236, IRIA. 1977, pp.29. hal-04716443

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UN PROBLÈME
D'ENVIRONNEMENT :
MODÉLISATION DE LA
DYNAMIQUE OCÉANIQUE
DU PLATEAU CONTINENTAL

Dominique BEGIS
Michel CREPON
Claude MILLOT

Rapport de Recherche N° 236

Mai 1977

294
UN PROBLEME D'ENVIRONNEMENT :
MODÉLISATION DE LA DYNAMIQUE OCÉANIQUE DU PLATEAU CONTINENTAL

Dominique Begis*, Michel Crepon**, Claude Millot**

Résumé :

Des mesures de courant et de température faites en été en Méditerranée occidentale Nord en haute
mer, à bord de la Bouée-Laboratoire, et près des côtes lors des opérations Port-la-Nouvelle 1974 -
1975, montrent l'importance des mouvements océaniques ayant une période voisine de la période
de Coriolis. Les observations suggèrent que l'on peut représenter la forte stratification régnant à
cette époque de l'année par un océan bi-couche. Près des côtes, on observe d'intenses upwellings
transitoires liés au vent. Un modèle analytique simple permet de préciser les échelles et l'importance
due au phénomène d'ajustement géostrophique. Dans la dernière partie, on présente un essai de mo-
délisation numérique de ces phénomènes, modélisation réalisée par un schéma aux éléments finis
qui tient compte à la fois de la forme des côtes et des variations topographiques du fond.

Abstract :

During the last decade a great number of current and temperature measurement have been made
in the North Mediterranean Sea, on board the French « Bouée-Laboratoires» BORHA I and BORHA II,
and near the shore, in the Gulf of Lions. These measurements always exhibit motions with Coriolis
period and suggest that in Summer we can represent the statification effect by a two layer ocean.
Near the shore transient upwellings are generated by the wind. Many features of these observations
can be described by a simple analytical model. In the last part, one presents a numerical model of
these phenomena, taking into account both shore and bottom topography using a finite element
scheme in space.

<footnote>* IRIA - LABORIA.</footnote>

<footnote>** Laboratoire d'Océanographie Physique du Muséum National d'Histoire Naturelle.</footnote>
# INTRODUCTION

Depuis 1963 un grand nombre d'observations de température et de courant ont été faites à partir des Bouées-Laboratoires, BORHA I jusqu'en 1970 puis BORHA II à partir de 1974, plates-formes océanographiques ancrées au large des côtes françaises en Méditerranée occidentale Nord (fig. 1.1).

Ce observations montrent clairement les faits suivants :

En été il existe une stratification prononcée de l'océan, caractérisée par la présence d'une thermocline accentuée entre 10 m (juin) et 50 m (novembre). On ob-

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 1.1</figcaption></figure>

Géométrie caractéristique de l'océan à deux couches avec surface libre et interface.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 1.2</figcaption></figure>
serve des oscillations d'une période voisine de la période de Coriolis sur les températures et sur les courants superficiels. Les courants sont dus au vent local, les oscillations de température sont engendrées par les variations spatiales du vent ou par l'effet conjugué du vent et des frontières. Ces mouvements sont décrits dans les articles suivants : J. GONELLA (1968) ; J. GONELLA (1971 A) ; J. GONELLA (1971 B) ; J. GONELLA, M. CREPON et F. MADELAIN (1969) ; M. CREPON, J. GONELLA, H. LACOMBE, G. STANISLAS (1972).

Durant l'été 1974 et l'été 1975 des missions océanographiques ont été effectuées au voisinage de Port-la-Nouvelle dans le Golfe du Lion. Ces missions avaient pour but d'étudier à échelle fine (de l'ordre de quelques kilomètres) la dynamique du plateau continental. Il ressort de l'analyse des données que les mouvements marins relativement rapides (période de l'ordre de un à cinq jours) sont dus essentiellement au vent. Ces mouvements sont fortement baroclines, c'est-à-dire qu'il existe des gradients très importants, selon la verticale, des courants horizontaux. Températures et courants présentent des oscillations de grande amplitude à une période voisine de la période de Coriolis. On observe aussi des mouvements océaniques lents (période d'une semaine ou plus), difficiles à analyser et à interpréter. En vue de prendre en compte l'ensemble des processus physiques pouvant intervenir dans un tel problème, nous avons développé un modèle numérique de dynamique océanique côtière.

Une question fondamentale apparaît aussitôt : quelles sont les échelles du problème ? Quelle doit être la taille de la grille spatiale ? Quel intervalle de temps devons-nous choisir dans la modélisation numérique si l'on veut obtenir une bonne représentation des phénomènes ? Les résultats des mesures à la mer et un modèle analytique simple peuvent nous donner une première estimation.

## Première Partie

### RESULTATS DES OBSERVATIONS FAITES A LA BOUEE-LABORATOIRE

Les observations de courant et de température ont été faites à bord de la Bouée-Laboratoire en utilisant des procédés divers.

Durant l'été 1969, lors de l'expérience COFRASOV I, la Bouée-Laboratoire BORHA I était ancrée à une distance de 100 km environ de la côte au Sud de Toulon par des fonds de l'ordre de 2500 m (fig. 1-2). Six courantomètres PLESSEY et une chaîne de thermistance AANDERAA permettaient d'obtenir les paramètres océanographiques suivants : le courant (vitesse et direction) était mesuré à 5, 10, 15, 20, 30 et 60 mètres ; la température tous les 5 mètres depuis la surface jusqu'à 60 m.
La profondeur de la thermocline était d'environ 25 mètres. Dès que le vent se met
BOUÉE LABORATOIRE
(42°13'7 N 05°34'5 E)

"COFRASOV I"

JUILLET 1969

COMPOSANTES EW DE LA VITESSE ABSOLUE EN FONCTION DU TEMPS

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 1.3</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 1.4</figcaption></figure>
à souffler, on observe aussitôt un fort courant à 5, 10, 15 et 20 m. Les amplitudes et les phases des courants sont les mêmes à toutes les immersions, montrant en quelque sorte un comportement en dalle de la couche d'eau située au-dessus de la thermocline (couche de mélange). Cette dalle est le siège d'oscillations importantes (fig. 1-3) avec la période de Coriolis. Au-dessous de la thermocline le courant reste plus ou moins au repos. Ceci nous incite à modéliser le comportement dynamique de l'océan, en été en Méditerranée, par un océan à deux couches, avec une condition de glissement sans frottement au niveau de la thermocline, le couplage entre les deux fluides se faisant uniquement par pression.

Le courant dans la couche supérieure est fonction du vent local et l'on peut consanguire un modèle de prévision de courant océanique connaissant le vent local (voir BEGIS et CREPON, 1975).

La thermocline oscille avec la période de Coriolis ; on observe un délai temporel d'environ un jour entre le début du vent et le début des oscillations de la thermocline lors du coup de Mistral du 29 juillet 1975. Ceci laisse penser que ces oscillations sont liées à un processus de propagation. On peut démontrer (CREPON, 1961) que ces ondes peuvent être engendrées là où les variations spatiales du vent sont importantes et qu'elles se propagent à partir de là avec la vitesse des ondes internes longues. En fait, elles sont liées à un processus d'ajustement géostrophique.

Des mesures analogues ont été faites aussi à bord de BORHA II en 1975-1976 avec, en particulier, des courantomètres VACM. Les mesures sont en cours de traitement mais, d'ores et déjà, on retrouve les caractéristiques décrites ci-dessus.

## EXPERIENCE RELATIVE A L'ETUDE DE LA DYNAMIQUE DU PLATEAU CONTINENTAL.

Durant l'été 1974 et l'été 1975 le Laboratoire d'Océanographie Physique du Muséum National d'Histoire Naturelle a entrepris une étude de la dynamique du plateau continental au voisinage de Port-la-Nouvelle dans le Golfe du Lion. Durant ces expériences, un réseau de courantomètres, en 1974 (fig. 1-4), un réseau de courantomètres, de chaînes de thermistances et de marégraphes de grande profondeur, en 1975 (fig. 1-5) furent mouillés. La distance minimum de la côte était d'environ 1 km, la distance maximum 15 km. Durant ces deux périodes, la thermocline est en général assez bien définie. Les données correspondant à des appareils situés sur une ligne parallèle à la côte sont souvent très fortement corrélées, celles correspondant à des appareils situés sur une ligne perpendiculaire à la côte ne le sont pas.

Un des caractères les plus remarquables de cet ensemble de données est le fait
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 1.5.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 1.6.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 1.7.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>TEMPERATURE DE SURFACE EN FONCTION DU TEMPS AU POINT F
(JUILLET 1974)</figcaption></figure>

<caption>Figure 1.8.</caption>
<figure><img src="image_11.png" /></figure>

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 1.9.</figcaption></figure>

<caption>Figure 1.10.</caption>

<footnote>* cette carte a été obtenue par le Centre de Télédétection et d'Analyse des Milieux Naturels de l'Ecole des Mines</footnote>

<footnote>* cette carte a été obtenue par le Centre de Télédétection et d'Analyse des Milieux Naturels de l'Ecole des Mines</footnote>
que l'on observe près de la côte des courants qui ont une période proche de la période de Coriolis ; et des oscillations des isothermes qui ont un spectre relativement étalé au voisinage de cette période. Ces mouvements sont liés au vent et leur amplitude est fonction croissante de celui-ci. Les courants sont fortement baroclines ; il y a une différence de phase de 180° entre les mouvements de la couche située au-dessus de la thermocline par rapport aux mouvements de la couche inférieure (fig. 1-6 et fig. 1-7). Le courant de dérive est sur la droite du vent dans la couche supérieure, sur la gauche du vent dans la couche inférieure.

Quand le vent souffle du Nord-Ouest au Sud-Est (Tramontane), il y a apparition d'un "upwelling" transitoire (remontée d'eau froide) le long de la côte ; de fortes oscillations au voisinage de la période de Coriolis apparaissent sur les températures. Un vent Sud-Nord engendre un "upwelling" très intense caractérisé par une baisse des températures de surface de plusieurs degrés mais les oscillations de température sont masquées par l'intensité du phénomène. Un vent Nord-Sud engendre au contraire une accumulation d'eau chaude à la côte caractérisée par une plongée des isothermes (fig. 1-8).

De plus, durant l'été 1975, les données VHRR (Very High Resolution Radiometer) des satellites NOAA ont été décodées par l'équipe de GROS (Groupe de Recherche en Océanographie Spatiale). A partir de ces mesures, on peut avoir une idée de l'étendue spatiale de ces zones d'upwelling. Comme on peut le voir sur les figures 1-9 et 1-10, l'échelle typique de ces phénomènes (largeur de la françoise côtière) est d'environ 5 à 10 km, ce qui est l'ordre de grandeur du rayon interne de déformation. Il apparaît donc que le rayon interne de déformation définit une échelle horizontale typique de ces mouvements, l'échelle temporelle étant la période de Coriolis.

Les caractéristiques principales de ces mouvements peuvent être expliquées au moyen de modèles analytiques simples (CREPON, 1969, 1972).

## MODELE ANALYTIQUE

### 1. Formulation du problème.

Soit un océan formé de deux liquides superposés de densités différentes. Etant donné les ordres de grandeur des paramètres observés (oscillations verticales de quelques mètres, périodes voisines de la période de Coriolis), une analyse dimensionnelle montre que les équations peuvent être linéarisées dans l'hypothèse des ondes longues (pression hydrostatique).

On admet que le couplage entre le fluide supérieur (paramètres indicés par le
chiffre 1) et le fluide inférieur (paramètres indicés par le chiffre 2, voir fig. 1-1) est dû uniquement aux forces de pression. Ce modèle schématise bien l'océan réel lorsqu'il y a une thermocline accentuée, donc une forte discontinuité de densité à ce niveau ; on en trouve une justification dans l'analyse des mesures de courant faites à bord de la Bouée-Laboratoire par l'équipe du Laboratoire d'Océanographie Physique du Muséum et qui sont présentées par J. GONELLA, M. CREPON et F. MADELAIN (1969) et M. CREPON et D. CHOUCHAN (1974).

Les équations linéarisées du mouvement et de continuité s'écrivent alors dans le fluide supérieur :

$$ (1.1) \quad \left\{ \begin{array}{l} \left( \frac{\partial}{\partial t} + v_1 \right) \vec{u}_1 + f \vec{z} \times \vec{u}_1 = - \nabla \phi_1 + \frac{\vec{\tau}}{\rho_1 h_1} \\[1em] \frac{\partial}{\partial t} (\zeta_1 - \zeta_2) + \nabla h_1 \vec{u}_1 = 0 \end{array} \right. $$

avec $\phi_1 = g\zeta_1$

et, dans le fluide inférieur :

$$ (1.2) \quad \left\{ \begin{array}{l} \left( \frac{\partial}{\partial t} + v_2 \right) \vec{u}_2 + f \vec{z} \times \vec{u}_2 = - \nabla \phi_2 \\[1em] \frac{\partial}{\partial t} \zeta_2 + \nabla h_2 \vec{u}_2 = 0 \end{array} \right. $$

avec $\phi_2 = g \frac{\rho_1}{\rho_2} \zeta_1 + g \frac{\Delta\rho}{\rho_2} \zeta_2$

où $u_i(x,y,t)$ désigne la vitesse moyenne dans la couche i ;

$\zeta_i(x,y,t)$ la surélévation de la surface libre (indice 1) ou de l'interface (indice 2);

$f$ le paramètre de Coriolis supposé constant ;

$\vec{z}$ le vecteur unité selon la verticale ascendante ;

$h_i(x,y)$ l'épaisseur du milieu i ;

$\rho_i$ la densité du milieu i ;

$\vec{\tau}(x,y,t)$ l'action du vent (wind stress) - $\tau \approx 2 \cdot 10^{-3} |w| \vec{w}$ (w étant la vitesse du vent exprimée en m s⁻¹) ;

$\nabla$ l'opérateur horizontal ($\frac{\partial}{\partial x}$, $\frac{\partial}{\partial y}$) ;

$v_i$ un coefficient de dissipation d'énergie dans le milieu i.

L'équation (1.1) donne :

$$ (1.3) \quad \left[ \left( \frac{\partial}{\partial t} + v_1 \right)^2 + f^2 \right] \vec{u}_1 = \left( \frac{\vec{\tau}}{\rho_1 h_1} - \nabla \phi_1 \right) \left[ \left( \frac{\partial}{\partial t} + v_1 \right) + \vec{x} \cdot \vec{z} \right] $$
La vitesse moyenne dans la couche supérieure dépend à la fois du vent local $\vec{\tau}$ et de la variation spatiale de vent au moyen du facteur $\nabla\phi_i$. Si $\nabla\phi_i$ est petit par rapport à $\vec{\tau}$, la vitesse moyenne est fonction du vent local uniquement. Le problème se ramène donc à calculer $\phi_i$.

La résolution du système formé par les équations (1.1) et (1.2) est difficile. On peut la simplifier en se servant de transformations intégrales.

On suppose que les mouvements partent du repos, que $\vec{u}_i$, $\zeta_i$ et $\vec{\tau}$ sont nuls pour $t < 0$. On résout alors le système (1.1) et (1.2) au moyen de la transformée de Laplace sur le temps. Soit $\vec{U}_i$, $Z_i$, $\vec{\Phi}_i$, $\vec{\tau}$, les transformées de Laplace, respectivement de $\vec{u}_i$, $\zeta_i$, $\vec{\Phi}_i$, $\vec{\tau}$, telles que :

$$ \vec{U}_i(x,y,p) = \int_0^\infty e^{-pt} \vec{u}_i(x,y,t) dt $$

on obtient par combinaisons linéaires des transformées des équations (1.1) et (1.2), le système (1.3) qui, associé aux conditions aux limites, permet d'avoir $\vec{\Phi}_1$ et $\vec{\Phi}_2$ :

$$ (1.4) \quad \begin{cases} \Phi_1 - \Phi_2 - g \frac{\Delta \rho}{\rho} \left[ \frac{h_1}{p^2 k_1^2} \nabla^2 \Phi_1 - \frac{1}{\rho_1 p^2 k_1^2} (\vec{\nabla} \vec{T} + \frac{fz}{\rho+\nu_1} \nabla \times \vec{T}) \right] = 0 \\ \Phi_2 - \frac{\rho_1}{\rho_2} \Phi_1 - g \frac{\Delta \rho}{\rho} \frac{h_2}{p^2 k_2^2} \nabla^2 \Phi_2 = 0 \end{cases} $$

$$ \text{avec } k_i = [(p+\nu_i)^2+f^2] / [p(p+\nu_i)]. $$

Pour simplifier les calculs, on pose $\nu_1 = \nu_2 = \nu$.

L'inversion de la transformation de Laplace permet de connaître $\phi_1$ et $\phi_2$ et, à partir des systèmes (1.1) et (1.2), d'obtenir $\zeta_1$, $\zeta_2$, $\vec{u}_1$ et $\vec{u}_2$. On calcule dans ce qui suit un cas simple, de façon à comprendre le mécanisme physique du problème.

## 2. Vent constant dans l'espace soufflant sur un océan semi-infini.

Soit un océan s'étendant sur le demi-plan $x \ge 0$ et borné par un mur vertical d'équation $x=0$.

On suppose que la tension du vent sur le demi-plan est de la forme :

$$ \vec{\tau} = (\tau_x \vec{x} + \tau_y \vec{y}) Y(x) Y(t) $$

où $Y(x)$ est la fonction unité d'Heaviside ;

$\tau_x$ et $\tau_y$, composantes de la tension du vent respectivement sur $\vec{x}$ et $\vec{y}$, sont des constantes indépendantes de x, y et t.
$$
\text{On a :} \quad (1.5) \quad \begin{cases} \operatorname{div} \vec{\tau} = \nabla \cdot \vec{\tau} = \tau_x \delta(x) \\ \operatorname{curl} \vec{\tau} = \nabla \times \vec{\tau} = \tau_y \delta(x) \end{cases}
$$

De la première équation du système (1.4), on remarque que l’on peut partager les solutions du problème en deux classes : la classe A, qui concerne les vents dont la tension est purement divergente et dont le rotationnel est nul (cas d’un vent perpendiculaire au rivage, par exemple d’après (1.5)) et la classe B, qui concerne les vents dont la tension est purement rotationnelle et dont la divergence est nulle (cas d’un vent parallèle au rivage, par exemple d’après (1.5)). Si la durée de la perturbation météorologique est supérieure à la période de Coriolis, une analyse dimensionnelle faite sur l’équation (1.4) montre que la réponse dépend principalement du rotationnel du vent.

On doit donc s'attendre, en tenant compte de (1.5) à ce que les effets d'une
côte soient beaucoup plus importants pour un vent soufflant parallèlement au ri-
vage que pour un vent soufflant perpendiculairement au rivage.

La résolution du système (1.4), associée aux conditions aux limites [vitesse perpendiculaire à la côte, (d'équation x=0), nulle, u(0,t) = 0], donne :

$$
(1.6) \quad \begin{cases}
\zeta_1 = \frac{1}{\rho_1 c_1 f} \left[ \zeta(x/c_1, t) + \frac{h_2}{h_1} \frac{c_2}{c_1} \zeta\left(\frac{x}{c_2}, t\right) \right] * \left[ \tau_{x+} * \tau_y e^{-v_t} Y(\text{ft}) \right] \\
\zeta_2 = \frac{1}{\rho_1 c_1 f} \left[ \frac{h_2}{h_1+h_2} \zeta(x/c_1, t) - \sqrt{\frac{h_2}{h_1 \Delta\rho/\rho}} \zeta(x/c_2, t) \right] * \left[ \tau_{x+} * \tau_y e^{-v_t} Y(\text{ft}) \right]
\end{cases}
$$

où $\zeta(x/c_i, t) \equiv c \frac{1}{pk} e^{-pkx/c_i}$

Si l'on néglige le coefficient d'amortissement (v=0), on obtient :

$$
(1.7) \quad \zeta(x/c_i, t) = J_o f \sqrt{t^2 - \frac{x^2}{c_i^2}} Y(t - \frac{x}{c_i})
$$

où le symbole $*$ représente le produit de convolution ;

$J_n$ est la fonction de BESSEL de première espèce d'ordre n ;

$\zeta(x/c_i, t)$ est une surélévation élémentaire engendrée à la côte, dont le front se propage à la célérité $c_i$, $c_i$ étant la célérité des ondes longues barotropes, $c_2$ la célérité des ondes longues baroclines :

$$
c_1 \approx \sqrt{g(h_1 + h_2)} \qquad c_2 \approx \sqrt{g \frac{(h_1 h_2)}{h_1 + h_2} \frac{\Delta \rho}{\rho}}
$$
On a tracé sur les figures 1-11 et 1-12 la fonction (1.7) qui représente la suré- lèvation élémentaire de la surface libre ou de l'interface pour un vent perpendi- culaire à la côte et fonction unité du temps. Sur la figure 1-11 on a tracé les surélévations en fonction du temps à différentes distances de la côte ; sur la figure 1-12 on a représenté les surélévations à différents instants en fonction de la distance à la côte. Les surélévations présentent des oscillations dont la période, légèrement inférieure à la période de Coriolis (2π/f) au démarrage, tend vers cette période lorsque le temps croît.

Le terme de (1.6) qui est le plus important est le second terme de ζ₂, qui représente le mode barocline de la surélévation de l'interface puisqu'il est multiplié par le facteur $\sqrt{\frac{h_2}{h_1 \Delta\rho/\rho}}$, nombre qui peut être très élevé.

Exemples :

- au voisinage de la côte, en été, on a sensiblement :

$$h_1 = h_2 = 10 \text{ m} \qquad \Delta\rho/\rho = 10^{-3}$$

ce qui implique :

$$c_1 = 10 \text{ m s}^{-1} \\ c_2 = 0.25 \text{ m s}^{-1}$$

$$\sqrt{\frac{h_2}{h_1 \Delta\rho/\rho}} = 33.$$

- A la Bouée-Laboratoire nous avons :

$$h_1 = 25 \text{ m} \qquad h_2 = 2500 \text{ m} \qquad \Delta\rho/\rho = 10^{-3}$$

ce qui implique :

$$c_1 = 165 \text{ m s}^{-1} \\ c_2 = 0.5 \text{ m s}^{-1} \\ \sqrt{\frac{h_2}{h_1 \Delta\rho/\rho}} = 333.$$

on a là un processus de formation et de propagation des ondes internes à partir de la côte qui décrit de façon relativement satisfaisante les ondes internes de période voisine de la période de Coriolis que l'on observe lors des opérations Port-la-Nouvelle, ou celles que l'on observe à la Bouée-Laboratoire lors de l'opération COFRASOV par exemple.

A partir des propriétés des transformées de Laplace (W. SUTTON, 1934), on calcule facilement le développement asymptotique de $\zeta(x/c_i, t)$ pour t grand. On obtient, si $v=0$ :
## SURELEVATION EN FONCTION DU TEMPS

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 1.11.</figcaption></figure>

## SURELEVATION EN FONCTION DE LA DISTANCE

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 1.12.</figcaption></figure>
UPWELLING

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 1.13.</figcaption></figure>
$$ (1.8) \qquad \zeta(x/c_i, t) = e^{-xf/c_i} + O\left(\frac{\sin(\pi t/4)}{(ft)^{1/2}}\right) $$

Les vents perpendiculaires au rivage créent des surélévations qui restent bornées lorsque t croît. La période des oscillations tend vers $2\pi/f$ lorsque t croît, tandis que leur amplitude décroît comme $(ft)^{-1/2}$.

De même, on obtient si $v=0$ :

$$ (1.9) \qquad \zeta(x/c_i, t) \propto Y(\cos(\pi t/4)) = e^{-xf/c_i}(\cos(\pi t/4) + O(\cos^2(\pi t/4))) $$

Les vents parallèles au rivage créent des surélévations à la surface libre et à l'interface, qui croissent comme $e^{-xf/c_i}(ft)$. La vitesse de croissance est maximum au rivage. D'après (1.6), l'amplitude des surélévations à l'interface étant de beaucoup supérieure à l'amplitude des surélévations de la surface libre, le liquide inférieur peut très rapidement atteindre la surface libre. On a là un processus d'upwelling qui est schématisé sur la figure 1-13. On peut expliquer ainsi l'upwelling mis en évidence en juillet 1973 par GONELLA et al. (1974) sur la côte provençale par fort vent de Mistral et ceux mis en évidence lors des opérations Port-la-Nouvelle (fig. 1-8). La direction du vent de N-W par rapport aux côtes du Golfe du Lion permet, d'après ce modèle, d'inspecter les cartes des températures de surface (fig. 1-9 et 1-10) (MILLOT (1977)).

Sur les figures 1-11 et 1-12 et sur les expressions (1.6), (1.7), (1.8) et (1.9), on voit le rôle important joué par le rayon de déformation selon ROSSBY, $c_i/f$, comme échelle spatiale horizontale.

### 3. Etude des vitesses moyennes.

On a, dans le fluide supérieur :

$$ (1.10) \qquad \vec{u}_1(x,t) = \vec{u}_L(t)Y(t) + \frac{h_1}{h_1+h_2} \vec{u}(x/c_1,t) Y(t-x/c_1) + \frac{h_2}{h_1+h_2} \vec{u}(x/c_2,t) Y(t-x/c_2) $$

et dans le fluide inférieur :

$$ (1.11) \qquad \vec{u}_2(x,t) = \frac{h_1}{h_1+h_2} [\vec{u}(x/c_1,t)Y(t-x/c_1) - \vec{u}(x/c_2,t)Y(t-x/c_2)] $$

où $\vec{u}_L(t)Y(t)$ représente la vitesse moyenne due au vent local ;

$\vec{u}(x/c_i, t)Y(t-x/c_i)$ représente une vitesse moyenne due à la présence de la côte, d'équation $x=0$. Cette vitesse est associée à la surélévation élémentaire $\zeta(x/c_i, t)$ ; elle est engendrée à la côte et son front se propage avec les célérités $c_1$ ou $c_2$ ci-dessus définies.
Dans le cas où le frottement est égal à 0, on a :

$$ (1.12) \quad \vec{u}_L(t)Y(t) = \frac{1}{\rho f h_1} \sin(\text{ft}) (\vec{x}_T \cdot \vec{Y}(t) + \vec{y}_T \cdot \vec{Y}(t)) (1 + x_{(\text{ft})} \vec{z} \cdot \vec{Y}(t)) $$

où $\vec{z}$ désigne le vecteur unitaire sur l'axe vertical ; et dans le cas où la côte est l'axe $\vec{oy}$ ($x=0$), on a :

$$ (1.13) \quad \left\{ \begin{aligned} \vec{u}(x/c_i, t) &= \frac{1}{\rho f h_1} \left[ \cos f(t-x/c_i) - \frac{x f}{c_i} J_1 f \sqrt{t^2 - x^2/c_i^2} \right] \cos f(t) \\ & \quad \cdot \left[ Y(t-x/c_i) \right] \left[ \left( \vec{x}_T \cdot \vec{Y}(t) + \vec{y}_T \cdot \vec{Y}(t) \right) \right] \left[ 1 + x_{(\text{ft})} \vec{z} \cdot \vec{Y}(t) \right] \end{aligned} \right. $$

Il apparaît immédiatement que le mouvement est fortement barocline :

Il est clair qu'il y a un déphasage de 180° entre la vitesse élémentaire de la forme $\vec{u}(x/c_2,t)$ se propageant à la vitesse $c_2$, intervenant dans l'expression du courant dans le milieu supérieur et le terme analogue intervenant dans l'expression du courant dans le milieu inférieur (équations 1.10 et 1.11) ;

Près de la côte et si $h_1=h_2$, il y a aussi une différence de phase de 180° entre le terme $\vec{u}_L(t)Y(t) + \frac{h_1}{h_1+h_2} \vec{u}(x/c_1,t)Y(t-x/c_1)$ intervenant dans l'expression du courant dans le milieu supérieur (équation 1.10) et le terme $\frac{h_1}{h_1+h_2} \vec{u}(x/c_1,t)Y(t-x/c_1)$ intervenant dans l'expression du courant dans le milieu inférieur (éq. 1.11).

Ceci se démontre facilement dans le cas où le vent est perpendiculaire à la côte.

En effet, à la côte, nous avons $\vec{u}_1(0,t) = 0$.

D'autre part, il est clair que $\vec{u}(0/c_1,t) = \vec{u}(0/c_2,t)$. Ces deux conditions entraînent que $\vec{u}_L(t)Y(t) = - \vec{u}(0/c_1,t)$.

On en déduit que si $h_1=h_2$ et si l'on n'est pas trop loin de la côte par rapport au rayon de déformation barotrope $c_1/f$, on a :

$$ \vec{u}_L(t)Y(t) + \frac{h_1}{h_1+h_2} \vec{u}(x/c_2,t)Y(t-x/c_1) = - \frac{h_1}{h_1+h_2} \vec{u}(x/c_1,t)Y(t-x/c_1) $$

Les mouvements près de la côte sont fortement barocliniques. Ceci s'accorde bien avec les observations des expériences Port-la-Nouvelle.

Dans le cas où $h_1 \ll h_2$, on montre (CREPON et BEGIS, 1975) que le courant loin des côtes par rapport au rayon baroclinique de déformation $c_2/f$ est lié principalement au vent local. Ceci est dû au fait que les ondes longues sont dispersives en milieu tournant ; l'énergie associée au terme $\vec{u}(x/c_1,t)Y(t-x/c_1)$ tend donc à s'établir dans l'espace, au fur et à mesure que l'on s'éloigne de la côte, et par conséquent son amplitude instantanée diminue.
L'étude des surélévations et des courants montre l'importance des ondes longues de gravité pour les mouvements océaniques rapides (de l'ordre de quelques jours). La forme particulière des solutions (eq. 1.7 ou éq. 1.13) est due au fait que les ondes longues de gravité sont dispersives en milieu tournant. Les solutions asymptotiques sont des solutions qui sont en équilibre géostrophique. En réalité, on a résolu un problème d'ajustement géostrophique évolutif analogue à celui de J. CAHN (1945).

# Deuxième Partie

## Modèle Numérique

En réalité les variations spatiales du vent sont importantes. Le nombre de Rossby $U/fL$ est de l'ordre de $2.5$ ($U=.5$ m/s., $L = 2.10^3$ m., $f = 10^{-4} s^{-1}$). Le problème ne peut donc plus être considéré comme linéaire. La forme de la côte ainsi que la topographie du fond peuvent modifier considérablement les caractéristiques du mouvement en donnant naissance à des ondes planétaires. Tous ces phénomènes sont couplés et le problème ne peut être résolu que par des méthodes numériques.

### 2.1. Le modèle à 2 couches.

Nous décrivons ici un modèle théorique d'upwelling qui est résolu par une méthode d'éléments finis. Nous nous intéressons à la description physique près des côtes de la circulation des courants et du déplacement de l'interface occasionnée par un vent soufflant sur un océan stratifié en rotation. Nous nous limitons à l'étude d'un océan à 2 couches dont la dynamique semble bien refléter la réalité (voir lère partie).

Le système de coordonnées est un système de coordonnées cartésien où l'axe des x est orienté vers l'Est, l'axe des y vers le nord et l'axe des z vers le haut. Dans ces études, nous négligeons les effets thermodynamiques i.e. l'échange de chaleur latente et sensible avec l'atmosphère est exclu ainsi que les effets de la radiation solaire et infra-rouge.

Les équations gouvernant le phénomène sont :
$$
\begin{equation} \tag{2.1}
\begin{aligned}
& \left\{
\begin{aligned}
& \frac{\partial u_1}{\partial t} + u_1 \frac{\partial u_1}{\partial x} + v_1 \frac{\partial u_1}{\partial y} - f v_1 + g \frac{\partial}{\partial x} (h_1 + h_2 + D) - v \Delta u_1 + \frac{CF_1}{h_1} (u_1^2 + v_1^2)^{1/2} u_1 = \frac{C}{\rho_1 h_1} |w| w_x \\
& \qquad + u_1 \frac{\partial v_1}{\partial x} + v_1 \frac{\partial v_1}{\partial y} + f u_1 + g \frac{\partial}{\partial y} (h_1 + h_2 + D) - v \Delta v_1 + \frac{CF_1}{h_1} (u_1^2 + v_1^2)^{1/2} v_1 = \frac{C}{\rho_1 h_1} |w| w_y \\
& \qquad + \frac{\partial h_1}{\partial t} + \text{Div}(h_1 u_1) = 0 ;
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}
\end{equation}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \left\{
\begin{aligned}
& \frac{\partial u_2}{\partial t} + u_2 \frac{\partial u_2}{\partial x} + v_2 \frac{\partial u_2}{\partial y} - f v_2 + g \frac{\partial}{\partial x} (h_2 + D + (1-\epsilon)h_1) - v \Delta u_2 + \frac{CF_2}{h_2} (u_2^2 + v_2^2)^{1/2} u_2 = 0 \\
& \qquad + u_2 \frac{\partial v_2}{\partial x} + v_2 \frac{\partial v_2}{\partial y} + f u_2 + g \frac{\partial}{\partial y} (h_2 + D + (1-\epsilon)h_1) - v \Delta v_2 + \frac{CF_2}{h_2} (u_2^2 + v_2^2)^{1/2} v_2 = 0 \\
& \qquad + \frac{\partial h_2}{\partial t} + \text{Div}(h_2 u_2) = 0
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}
\end{equation}
$$

où (les constantes du modèle sont données dans le système MKSA)

$f$ (paramètre de Coriolis) = $10^{-4}$

$g$ (paramètre de gravitation) = 9.8

$v$ (coefficient de turbulence et de dissipation) = 100

$C=\rho_{\text{air}} C_{10}$ (coefficient de frottement du vent) = 1.61 $10^{-3}$

$CF_1$ (coefficient de frottement de la couche superficielle) = $10^{-5}$

$CF_2$ (coefficient de frottement de la couche profonde) = $10^{-3}$

$\rho_1$ (densité de la couche supérieure) = $10^3$

$w$ (vecteur vent) $|w| = 15$

$\epsilon = \Delta\rho/\rho = 2.10^{-3}$

$D(x,y)$ (équation du fond) = 0 ou variable

$H_1(x,y)$ (épaisseur initiale de la couche superficielle au large) = 50.

$H_2(x,y)$ (épaisseur initiale de la couche profonde au large) = 2500.

$u_i(t,x,y) = (u_i, v_i)$ = vitesse moyenne dans le couche i

$h_i(t,x,y)$ est l'épaisseur de la couche i

La géométrie est indiquée à la Fig. 2-1. L'indice 1 correspond à la couche superficielle et l'indice 2 à la couche profonde. Le couplage entre les 2 fluides est dû uniquement aux forces de pression. Ces équations sont analogues à celles de J.O. BRIEN et H. HURLBURT (1972).
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 2-1</figcaption></figure>

### Conditions aux limites.

Le problème est fini selon x ce qui permet d'éviter les difficultés dues aux conditions de radiation. Sur les côtes (côte Ouest et côte Est), nous avons des conditions de glissement ($\vec{u}_i \cdot \vec{n} = 0$) ou des conditions d'adhérence ($\vec{u}_i = 0$), ce qui permet de modéliser ou non la couche limite. Le problème n'est pas borné dans la direction y. Nous avons choisi des conditions périodiques pour les vitesses et les hauteurs en y = ±a.

## 2.2. Approximation du système non linéaire (2-1)

### 2.2.1. Discrétisation en temps.

A cause de la non linéarité du système et du type hyperbolique des équations, la première idée est d'utiliser un schéma explicite : soit le schéma de Lax-Wendroff, soit le schéma de Leap-Frog. Pour ce dernier, nous obtenons :

$$ (2.2) \quad \left\{ \begin{aligned} \vec{u}_i^{n+1} &= \vec{u}_i^{n-1} - 2\Delta t \{\vec{u}_i^n \cdot \nabla \vec{u}_i^n - v \Delta \vec{u}_i^n + f k \times \vec{u}_i^n + \frac{CF_i}{h_i^n} |\vec{u}_i^n| \vec{u}_i^n + g \operatorname{grad} (\alpha_i h_1^n + h_2^n + D) + \\ & \qquad + \frac{C}{\rho_l h_l^n} |\vec{w}| \vec{w} \delta_{il} \} \\ h_i^{n+1} &= h_i^n - 2\Delta t \operatorname{Div}(h_i^n \vec{u}_i^n) = 0. \end{aligned} \right. $$
où $\Delta t$ est le pas de temps

$\vec{u}_i$ est la vitesse du courant dans la couche i au temps n t

$\vec{k}$ est le vecteur unitaire dans la direction z

$\alpha_1 = 1$ et $\alpha_2 = 1 - \epsilon$

$\vec{\delta}_{il}$ est le symbole de Kroneker.

Les conditions initiales $\vec{u}_i^0, \vec{h}_i^0$ sont au repos (i.e. $\vec{u}_i^0 = 0$ et $\vec{h}_i^0 = H_i$).

Il est évident que ce schéma est stable si nous choisissons un maillage de discrétisation assez grossier, et un petit pas de temps. Par exemple, avec une maille de discrétisation de 5 kilomètres près de la côte, nous devons prendre un pas de temps de l'ordre de la minute. Si nous désirons étudier avec précision le phénomène près de la côte, ce schéma est mauvais car nous devons choisir un pas de temps excessivement petit ; ce qui n'est guère réaliste pour intégrer le système sur une période de plusieurs jours. Pour pallier à ce problème de stabilité, nous devons utiliser un schéma implicite ou semi-implicite. Cette dernière étude est en cours.

### 2.2.2. Discrétisation en espace.

Dans le cas d'un modèle réel de géographie compliquée, deux approches sont possibles : soit nous faisons une transformation conforme du domaine, soit nous utilisons la méthode des éléments finis. La première méthode permet peut être une meilleure discrétisation près des côtes mais l'opérateur devient très compliqué. Pour notre modèle, nous utilisons la méthode des éléments finis conformes. Le domaine est décomposé en triangles. Nous approximons les vitesses $\vec{u}_i$ et les hauteur $h_i$ par des fonctions linéaires sur chaque triangle. Afin de garder le type explicite des équations, nous utilisons une formule d'intégration numérique.

Les surélévations et les variations spatiales des vitesses sont maximum près des côtes (eq. 1.8, 1.9, 1.13), le maillage doit donc être petit, de l'ordre du rayon interne de déformation barocline, qui vaut dans les conditions mentionnées ci-dessus, environ 10 km. Au large, les variations spatiales des surélévations et des vitesses sont beaucoup moins importantes et les mailles peuvent être beaucoup moins importantes et les mailles peuvent être beaucoup plus grandes.

### 2.2.3. Résultats numériques.

Nous avons d'abord traité un problème académique afin de tester la validité de notre schéma. Nous avons pu comparer les résultats avec ceux obtenus analytiquement, dans la lère partie, dans des cas simples.
Nous donnons les résultats numériques de 2 problèmes :

i) Le domaine est régulier

Nous avons considéré un océan de profondeur constante ($D(x,y) = 0$) avec un vent perpendiculaire ou parallèle aux côtes. Les résultats obtenus sont en bon accord avec ceux obtenus par voie analytique (cf. CREPON). On a vu (1ère partie) que si on est loin des côtes par rapport au rayon interne de déformation barocline, le courant dans la couche de surface est de la forme ($K \sin \text{ft}$, $K(\cos \text{ft}-1)$) où
$$K = \frac{C_{10}W^2}{\rho_l h_l f} \quad \text{(avec les constantes choisies, nous avons } K = .072\text{) et une période égale à } 2\pi/f \approx 17^{\circ}27\text{).}$$

C'est ce que nous obtenons par le calcul. Par exemple, au centre du bassin où nous sommes très loin des côtes par rapport au rayon interne de déformation barocline, $u_l$ s'annule pour $t = 139^\circ 38 \ (\approx 16 \pi/f)$ et vaut .0716 pour $t = 143h 59 \ (\approx 33n/2f)$. On voit qu'il y a même après 8 périodes d'intégration un bon accord en phase et en amplitude.

A la figure 2-2 (resp 2-3) on donne pour un vent perpendiculaire (resp. parallèle) aux côtes, l'évolution de la forme de l'interface en plusieurs points situés à des distances différentes de la côte. Cette représentation coïncide avec celles trouvées analytiquement (fig. 1-11, 1-12). On a représenté sur la figure 2-4 le courant dans la couche de surface au bout de 9 heures d'intégration.

ii) Le domaine n'est pas régulier.

Nous avons aussi étudié les courants et la forme des interfaces lorsqu'un vent souffle sur un cap ou une baie. Des essais numériques ont été réalisés avec des vents soufflant dans des directions différentes. Nous ne présentons ici que les résultats obtenus pour un vent parallèle aux côtes, cas qui est le plus intéressant. Nous pouvons comparer les résultats obtenus selon différentes topographies du fond et différentes conditions aux limites (fig. 2-5, 2-6, 2-7, 2-8). Chacune de ces figures représente au même instant le courant dans la couche de surface.
La figure 2-5 (resp. 2-6) correspond à un fond constant ($D(x,y) = 0$) et à une condition d'adhérence aux côtes : $\vec{u}|_\Gamma = 0$ (resp. à une condition de glissement $\vec{u} \cdot \vec{x} = 0$).

Dans le cas des figures 2-7 et 2-8, nous avons une condition de glissement à la côte et la profondeur de l'océan est variable. On remarque dans les deux cas qu'il y a un courant très intense (jet stream) près de la côte, courant dont la largeur est de l'ordre de grandeur du rayon interne de déformation barocline (10 kms). Il y a qualitativement peu de différence entre le schéma avec une condition de
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure 2.2</figcaption></figure>

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 2.3</figcaption></figure>

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure 2.4</figcaption></figure>
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure 2.5</figcaption></figure>

T= 9 HEURES

VALEUR MAXIMUM DU COURANT: 0.152E+0 DANS LA COUCHE 1

VENT PARALLELELE CAP

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure 2.6</figcaption></figure>

T= 9 HEURES

VALEUR MAXIMUM DU COURANT: 0.236E+0 DANS LA COUCHE 1

VENT PARALLELELE CAP V LIBRE

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Figure 2.7</figcaption></figure>

T= 9 HEURES

VALEUR MAXIMUM DU COURANT: 0.293E+0 DANS LA COUCHE 1

VENT PARALLELELE V LIBRE GF 160

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Figure 2.8</figcaption></figure>

T= 9 HEURES

VALEUR MAXIMUM DU COURANT: 0.252E+0 DANS LA COUCHE 1
<figure><img src="image_24.png" /></figure>

T= 6 HEURES VALEUR MAXIMUM DU COURANT= 0.132E+0 DANS LA COUCHE 1 VENT PARALLELE U LIBRE GDF140

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Figure 2.10</figcaption></figure>

T= 12 HEURES VALEUR MAXIMUM DU COURANT= 0.332E+0 DANS LA COUCHE 1 VENT PARALLELE U LIBRE GDF140

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

T= 12 HEURES VALEUR MAXIMUM DU COURANT= 0.311E+0 DANS LA COUCHE 1 VENT PARALLELE U LIBRE

<caption>Figure 2.11</caption>
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Figure 2.12</figcaption></figure>

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Figure 2.13</figcaption></figure>

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Figure 2.14</figcaption></figure>

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Figure 2.15</figcaption></figure>
<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>Figure 2.16</figcaption></figure>

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>Figure 2.17</figcaption></figure>

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>Figure 2.18</figcaption></figure>
glissement à la côte et celui avec une condition d'adhérence.

A la figure 2-7, la profondeur est égale à 150 mètres jusqu'à 80 km. de la côte avec cap et décroît linéairement jusqu'à 2500 mètres à 180 km. Par contre, à la figure 2-8, la topographie du fond est identique sur le bord Ouest et sur le bord Est : la profondeur est égale à 150 mètres jusqu'à 50 km. des côtes et en suite décroît linéairement pour atteindre la valeur 2.500 m à 140 km. des côtes.

Les figures 2-9 et 2-10 représentent le courant dans les mêmes conditions qu'à la figure 2.8, mais pour des pas d'intégration différents. La figure 2-11 donne pour le même pas d'intégration qu'à la figure 2-10, la représentation du courant dans le cas où le fond est constant. Les figures 2-12, 2-13, 2-14 correspondent aux figures 2-6, 2-9, 2-8 pour le courant dans la couche profonde (la normalisation du vecteur vitesse n'est pas la même entre les figures 2-12, 2-13 et la figure 2-14).

A la figure 2-15, on représente les équivaleurs de l'interface entre les 2 couches et aux figures 2-16, 2-17, 2-18 on représente la coupe de l'interface selon plusieurs topographies du fond : fond constant (2-16), fond variable près de la côte du cap (2-17), fond variable près des 2 côtes (2-18).

## CONCLUSION :

Une méthode d'intégration en temps explicite donne des résultats satisfaisants sur une courte période (5 jours). Dans le cas d'un intégration sur une très longue période et une étude détaillée près des côtes, il faut utiliser une méthode d'intégration semi-implicite. La méthode des éléments finis est bien adaptée à ce type de problème. Elle permet de bien approcher la géographie des côtes et de bien suivre le phénomène dans les zônes critiques. Cette méthode de résolution convient parfaitement à la résolution pratique d'écoulements océaniques. On pense dans un proche avenir pouvoir passer à la modélisation d'un cas concret. D'autre part cette méthode peut facilement être étendue à des problèmes analogues comme celui du calcul des marées.

## REFERENCES

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