# Simulation numérique basée sur le couplage MEF/MLS en élastoplasticité pour la mécanique du solide

Yosr Ghozzi, Carl Labergere, Pierre Villon

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Yosr Ghozzi, Carl Labergere, Pierre Villon. Simulation numérique basée sur le couplage MEF/MLS en élastoplasticité pour la mécanique du solide. 11e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2013, Giens, France. hal-01717091

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# Simulation numérique basée sur le couplage MEF/MLS en élastoplasticité pour la mécanique du solide

Yosr GHOZZI<fnref n="1" />, Carl LABERGERE<fnref n="2" />, Pierre VILLON<fnref n="3" />

**Résumé** — Cet article présente le développement d'une méthode sans maillage basée sur l'approximation des moindres carrés pondérés (MLS). Une construction particulière du support des fonctions poids participant à la construction des fonctions de forme MLS a été abordée pour améliorer les problèmes d'intégration numérique. Les fonctions de forme MLS ne vérifient pas, par défauts, la propriété de Kronecker. Par conséquent, Huerta et al [1] privilégie le couplage MEF/MLS entre la Méthode des Eléments Finis (MEF) et la méthode MLS. Dans cet article, les conditions aux limites de Dirichlet sont prises en compte dans les zones MEF. La méthode d'intégration nodale à gradient régularisé est développée pour répondre au problème d'intégration spatiale des fonctions de forme rationnelles générées par la méthode MLS. Enfin, une étude comparative entre les modèles MEF et MEF/MLS est présenté.

**Mots clés** — MLS, poids interpolant, intégration nodale, couplage MEF/MLS

## 1. Introduction

Les méthodes sans maillage ou dites « Meshless » ont été proposées pour faire face à certains problèmes numériques pour la résolution de systèmes mécaniques des solides tels que la gestion des grandes déformations la présence de fort gradient de contrainte ou de singularités et pour assumer la continuité des champs mécaniques. Cependant, ces méthodes ne sont pas faciles à mettre en place et les fonctions de forme sont générées par des processus d'itération [11]. Dans cet article, nous développons une approximation MLS pour un problème à 2 dimensions. L'influence de différentes fonctions poids sur la réponse du calcul numérique est étudiée, plus particulièrement les fonctions poids interpolants [2][7][12]. Un nouveau support lisse $C^1$ de la fonction poids est proposé pour entretenir les problèmes d'intégration numérique. D'un autre côté, une méthode d'intégration nodale à gradient régularisé [5] est développée pour faire face aux problèmes d'intégration de fonctions de forme rationnelles. Pour réaliser le couplage entre la Méthode des Eléments Finis MEF et la méthode MLS [10], nous maintenons une consistance polynomiale d'ordre 2. La forme variationnelle de Galerkin est utilisée pour résoudre l'équation d'équilibre et une méthode des multiplicateurs de Lagrange est abordée pour traiter les conditions aux limites [9][11]. Un essai de traction d'une éprouvette plate en 2D en élastoplasticité non linéaire dans le cadre des petites perturbations (hpp) est simulé avec le logiciel abaqus® et notre méthode numérique mixte MEF/MLS.

## 2. Approximation par moindre carré mobile (MLS)

Considérons une base polynomiale $p = (1, x, y, \underline{x^2}, \underline{x^2}, xy, \underline{y^2})$ d'ordre m, pour un problème à 2 dimensions, et un domaine $\Omega$, l'approximation de la distribution du vecteur déplacement $\underline{u} = (u_x, u_y)$ pour des nœuds MLS $\underline{x} = (x_i, y_i)$, i=1, 2, ..., n. L'approximant MLS $u^h$ de $u_x$ pour $\forall x, y \in \Omega$ s'écrit sous la forme :

<footnote n="1">1 ICD/LASMIS, STMR UMR-CNRS 6279, Université de Technologie de Troyes, yosr.ghozzi@utt.fr</footnote>

<footnote n="2">2 ICD/LASMIS, STMR UMR-CNRS 6279, Université de Technologie de Troyes, carl.labergere@utt.fr</footnote>

<footnote n="3">3 Roberval, UMR 6253, Université de Technologie de Compiègne, pierre.villon@utc.fr</footnote>
$$u_x^h(\underline{x}) = \underline{p}^T(\underline{x}).\underline{a}(\underline{x}) \quad (1)$$

Soit y un point d'évaluation différent des points MLS dans un schéma d'approximation centré.

$$\underline{p}^T(\underline{x}) \underline{a}(\underline{x}) = \underline{p}^T(\underline{y} - \underline{x}) \underline{\alpha}(\underline{x}) \quad (2)$$

L'approximant MLS $u_x^h(\underline{x})$ de $u_x \forall x, y \in \Omega$ s'écrit ainsi comme suit :

$$u_x^h(\underline{x}) = \underline{p}^T(\underline{0}) \underline{\alpha}(\underline{x}) \quad (3)$$

Le vecteur coefficient $\underline{\alpha}(\underline{x})$ est résolu en minimisant une norme pondérée discrète $L_2$ définie:

$$J(\underline{x}) = \sum_{i=1}^{n} w_i(\underline{x}_i - \underline{x}) [\underline{p}(\underline{x}_i - \underline{x})\underline{\alpha}(\underline{x}) - \hat{\underline{u}}_i]^2 = [\underline{P} \underline{\alpha}(\underline{x}) - \hat{\underline{u}}]^T \underline{W} [\underline{P} \underline{\alpha}(\underline{x}) - \hat{\underline{u}}] \quad (4)$$

Avec $w_i(\underline{x})$ la fonction poids associée au nœud i, n est le nombre de nœuds dans $\Omega_x$ pour chaque $w_i(\underline{x}) \ge 0$, $\hat{\underline{u}}_i$ sont les déplacements nodaux du point i selon la direction x. Les matrices $\underline{P}$ et $\underline{W}$ sont définies par :

$$\underline{P} = \begin{bmatrix} \underline{p}^T(\underline{x}_1 - \underline{x}) \\ \underline{p}^T(\underline{x}_2 - \underline{x}) \\ \vdots \\ \underline{p}^T(\underline{x}_n - \underline{x}) \end{bmatrix}_{n*m}, \quad \underline{W}(\underline{x}) = \begin{bmatrix} w_1(\underline{x}_1 - \underline{x}) & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & w_n(\underline{x}_i - \underline{x}) \end{bmatrix}, \quad \hat{\underline{u}}^T = [\hat{\underline{u}}_1, \hat{\underline{u}}_2, \dots, \hat{\underline{u}}_n]$$

La minimisation (Eq.4) ramène à la relation linéaire de $\underline{\alpha}(\underline{x})$

$$\underline{A}(\underline{x}).\underline{\alpha}(\underline{x}) = \underline{p}(\underline{0}) \quad (5.a)$$

$$\underline{A}(\underline{x}) = \underline{P}^T \underline{W} \underline{P} = \sum_{i=1}^{n} w_i(\underline{x}_i - \underline{x}) \underline{p}(\underline{x}_i - \underline{x}) \underline{p}^T(\underline{x}_i - \underline{x}) \quad (5.b)$$

L'approximation MLS est définie quand la matrice $\underline{A}(\underline{x})$ est non singulière et régulière si $n \ge m$ (m est le rang de $\underline{P}$). Toutefois, si le support est large sur un nombre de nœuds n assez importants, on perd le caractère d'interpolation locale. En résolvant le système linéaire 5.a et en remplaçant $\underline{\alpha}(\underline{x})$ dans l'équation 3, l'expression suivante de la fonction de forme est obtenue :

$$u_x^h(\underline{x}) = \sum_{i=1}^{n} \Phi_i^{\text{MLS}}(\underline{x}) \hat{u}_{xi} \quad \text{avec } \Phi_i^{\text{MLS}}(\underline{x}) = w_j(\underline{x}_i - \underline{x}) \underline{p}^T(\underline{x}_i - \underline{x}) \underline{\alpha}(\underline{x}) \quad (6)$$

Où $\Phi_i^{\text{MLS}}(\underline{x})$ est la fonction de forme de l'approximation MLS correspondant à un point nodal $\underline{x}_i$. Il est à noter que si $w_i(\underline{x}) \in C^k(\Omega)$ et $\underline{p}_j(\underline{x}) \in C^l(\Omega)$, $i=1,2,..., n$, $j=1, 2,..., m$; ainsi, $\Phi_i^{\text{MLS}}(\underline{x}) \in C^r(\Omega)$ avec $r=\min(k,l)$. Le travail ci-dessous est valable pour le déplacement nodal $\hat{u}_{yi}$ selon la direction y tel que $\underline{u}^T = \langle u_x, u_y \rangle$.

### 3. Fonction poids

Considérons la décomposition en sous domaines $\Omega = \sum_{i=1}^p \Omega_i^l$ basée sur une distribution de nœuds MLS. Chaque nœud affecte l'approximation de ses voisins ou de ses domaines d'influence (carré, circulaire, etc. (Fig.1)). Dans ce papier, un nouveau contour polygonal de la fonction poids est développé (Fig.1.c). En effet, des lignes de contour $[C_jC_{j+1}]$ sont construites sur les sous domaines $\Omega_i^l$ comme support de fonction poids en formant un polygone. Par la suite, un lissage des coins du polygone est effectué par des courbes de Bézier pour garantir au moins la continuité $C^l$ [14]. Le calcul des fonctions poids pour un point M est assuré par la fraction ponds associée au nœud i comme suit :
$$ w_i(\underline{x}_i - \underline{x}) = \begin{cases} w_p\left(\frac{\|\underline{x}_i - \underline{x}\|}{r_i}\right) & \text{circulaire} \\ w_p\left(\frac{|\underline{x}_i - \underline{x})\cdot\vec{x}|}{a_i}\right) w_p\left(\frac{|\underline{x}_i - \underline{x})\cdot\vec{y}|}{b_i}\right) & \text{rectangulaire} \\ w_p\left(\frac{\|\underline{x}_i - \underline{x}\|}{\|\underline{x}_c - \underline{x}\|}\right) & \text{polygonal} \end{cases} \quad (7) $$

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 1 : Définition de différentes formes de support d'une fonction poids. a) support circulaire, b) support rectangulaire, c) support polygonal</figcaption></figure>

La fonction poids $w_i(\underline{x})$ est strictement positive dans un sous domaine contenant $\underline{x}_i$ et nulle à l'extérieur pour constituer le domaine d'influence de $\underline{x}_i$. Dans ce travail, des fonctions poids cubiques spline [8] ont été adoptées tel que :

$$ w_p(s) = 1 - 6s^2 + 8s^3 - 3s^4 \quad (8) $$

Pour éviter la forte dépendance des fonctions de forme au domaine d'influence causée par méthode d'approximation MLS, une des fonctions de pondérations régularisées ont été proposées [2][3][7]. Ainsi, pour restaurer cette propriété d'interpolation, nous construisons des fonctions poids singulières répondant à la condition suivante:

$$ w_i^a(\underline{x}, \underline{x}_i) = w_i(\underline{x}, \underline{x}_i) / (1 - w_i(\underline{x}, \underline{x}_i)), \quad i=1, 2, \dots, n, \text{ avec } w_i^a(|\underline{x}_i - \underline{x}|) \to \infty \text{ if } \underline{x} \to \underline{x}_i \quad (9) $$

Pour respecter la condition d'interpolation MLS ($\phi_i^{MLS}(\underline{x}) \approx \underline{\delta}_{ij}$), l'expression des fonctions poids interpolants $w_i^b$ d'un nœud $\underline{x}_i$ à un point interpolant $\underline{x}$ est comme suit:

$$ w_i^b(\underline{x}, \underline{x}_i) = w_i^a(\underline{x}, \underline{x}_i) / \sum_{j=1}^{n} w_j^a(\underline{x}, \underline{x}_i), \quad i,j=1, 2, \dots, n, \text{ avec } w_i^b(|\underline{x}_i - \underline{x}|) \to 1 \text{ if } \underline{x} \to \underline{x}_i \quad (10) $$

## 5. Couplage MEF/MLS

Considérons un ensemble de nœuds $\underline{x}_i$ dans un domaine $\Omega = \Omega^{MEF} \cup \Omega^{MLS} \cup \Omega^{MEF/MLS} / \Omega \subset \mathbb{R}^n$ ; tel que $\Omega^{MEF/MLS}$ est la zone de transition entre les fonctions de forme MLS et MEF (Fig.2). La méthode MLS est basée sur une approximation où les fonctions de forme ne vérifient pas la propriété de Kronecker. Par conséquent, Huerta et al [1] proposent une combinaison entre MLS et éléments finis dans la zone de transition (Eq.11) en assurant une certaine condition de consistance (Eq.12) (Voir [1] [2][9][10][15]).

$$ \forall \underline{x} \in \Omega^{MEF/MLS} \qquad u_x^h(\underline{x}) = \sum_{j \in \Omega^{MEF/MLS}_i} N_j^e(\underline{x}) \hat{u}_{xj}^{MEF} + \sum_{i \in \Omega^{MLS}_i} \Phi_i^{MLS}(\underline{x}) \hat{u}_{xi}^{MLS} \quad (11) $$

$\forall \underline{x} \in \Omega^{MEF/MLS}$, $N_j^e(\underline{x})$ et $\phi_i^{MLS}(\underline{x})$ sont les fonctions de forme EF et MLS respectivement, $\hat{u}_{xi}$ et $\hat{u}_{xj}$ sont les valeurs nodales. Dans le cas d'un schéma centré, la condition de consistance s'exprime de la façon suivante :

$$ \underline{p}(\underline{0}) = \sum_{j \in \Omega^{MEF/MLS}} N_j^e(\underline{x}) \underline{p}(\underline{x}_j - \underline{x}) + \sum_{i \in \Omega^{MLS}} \phi_i^{MLS}(\underline{x}) \underline{p}(\underline{x}_i - \underline{x}) \quad (12) $$

Ce couplage modifie l'écriture du système équation 5.a :

$$ \underline{A}(\underline{x}) \underline{\alpha}(\underline{x}) = \underline{p}(\underline{0}) - \sum_{j \in \Omega^{MEF/MLS}} N_j^e(\underline{x}) \underline{p}(\underline{x}_j - \underline{x}) \quad (13) $$

Les conditions aux limites de Dirichlet sont prises en compte à l'interface des EF [9][13]. Nous proposons de tracer l'évolution des fonctions de forme $N_j^e$ et $\phi_i^{MLS}$ dans le cas de la discrétisation
d'une plaque carrée sur des lignes de tracé selon x et y tels que $x \in [0 \ 3]$ et $y \in [3 \ 6]$ (Fig.3). La ligne de tracé « a » (Fig.2), montre la génération des fonctions de forme MLS pour $1 \le y \le 5mm$ ; l'apparition d'une combinaison de fonctions de forme $N_j^e$ et $\phi_i^{MLS}$ au fur et à mesure que l'on s'approche de $0 \le y < 1mm$ et $5 \le y < 6mm$ ; ainsi que la contribution de tous les nœuds EF et MLS pour un domaine d'influence donné. L'aspect des fonctions de forme MLS dépend de plusieurs paramètres comme l'ordre de consistance de la base polynomiale $p^T(\underline{x})$, du choix des fonctions poids $w(\underline{x}_i - \underline{x})$ et dans la manière de positionner les nœuds MLS dans la zone $\Omega^{MLS}$ (Fig.2). Lorsque $x=6mm$ (et $x=0mm$ par symétrie), les fonctions de forme $\phi_i^{MLS}$ s'annulent. Cette condition $\phi_i^{MLS}(6,y)=0$ est vérifiée pour toute consistance égale entre les domaines $\Omega^{MEF}$ et $\Omega^{MLS}$. Les lignes de tracé de « b » $y=5,5mm$ selon $x \in [0 \ 3]$ (Fig.3.b) et « c » $x=0,5$ selon $y \in [3 \ 6]$ (Fig.3.c) représentent les fonctions de forme sur la zone de transition $\Omega^{MEF/MLS}$. Le tracé « d », qui figure sur la limite de la zone $\Omega^{MEF/MLS}$ et $\Omega^{MLS}$ ($y=5mm$) symbolise la disparition des fonctions de forme $N_j^e$ (Fig.3.d) ; et ceci au fur et à mesure que l'on s'éloigne du tracé « b » vers la zone MLS.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig.2 : Traçage des fonctions de forme pour un rayon d'influence $r_i=2mm$, sur la ligne « a » $y=2.5mm$ selon x</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig.3 : Traçage des fonctions de forme en 2D sur la ligne : (b) $y=5.5mm$ selon x (c) $x=0.5mm$ selon y (d) $y=5$ selon x (e) $x=1$ selon y</figcaption></figure>
## 6. Intégration Nodale

Une méthode d'intégration nodale à gradient régularisé est développée pour répondre au problème d'intégration spatiale des fonctions de forme rationnelles générées par la méthode MLS. Cette méthode utilise uniquement les nœuds MLS comme points d'intégration. Par conséquent, le domaine $\Omega^{MLS}$ est généré par des cellules de Voronoï. Chaque cellule définit alors un domaine d'intégration nodale $\Omega_L$ de frontière $\Gamma_L$ associés au nœud MLS « L » de coordonnée $\underline{x}_L$ (Fig.4). La méthode d'intégration de Gauss-Legendre est réservée pour les zones $\Omega^{MEF}$ pour sa simplicité et sa robustesse. Pour que le schéma d'intégration soit stable, une technique de lissage des déformations est proposée par Chen et al. [5]. Ainsi, le tenseur de déformation modifiée en un nœud « L » est comme suit:

$$ \tilde{\varepsilon}_{ij}^{h}(\underline{x}_{L}) = \frac{1}{2A_{L}} \int_{\Omega_{L}} (\frac{\partial u_{i}^{h}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}^{h}}{\partial x_{i}}) d\Omega = \frac{1}{2A_{L}} \int_{\Gamma_{L}} (u_{i}^{h} n_{j} + u_{j}^{h} n_{i}) d\Gamma \quad (14) $$

Avec $A_L = \int_{\Omega_L} d\Omega$ aire du domaine $\Omega_L$ et $\Gamma_L$ le contour du domaine du noeul « L ». Nous considérons l'équation (15) tels que $\tilde{\varepsilon}^{hT}(\underline{x}_L) = [\tilde{\varepsilon}_{11}^h, \tilde{\varepsilon}_{22}^h, 2\tilde{\varepsilon}_{12}^h]$, $\underline{\hat{u}}_I^T = [\hat{u}_{1I}, \hat{u}_{2I}]$, $G_L$ représente le groupe de nœuds « I » tel que $\underline{x}_L \in \text{supp}(\phi_I)$ (Fig.4).

$$ \underline{\tilde{\varepsilon}}^{h}(\underline{x}_{L}) = \sum_{I \in G_{L}} \tilde{B}_{I}(\underline{x}_{L}) \underline{\hat{u}}_{I} \quad (15) $$

$$ \tilde{B}_{I}(\underline{x}_{L}) = \begin{bmatrix} \tilde{b}_{I1}(\underline{x}_{L}) & 0 \\ 0 & \tilde{b}_{I2}(\underline{x}_{L}) \\ \tilde{b}_{I2}(\underline{x}_{L}) & \tilde{b}_{I1}(\underline{x}_{L}) \end{bmatrix}, \quad \text{Tel que } \tilde{b}_{Ii}(\underline{x}_{L}) = \frac{1}{A_{L}} \int_{\Gamma_{L}} \phi_{I}(\underline{x}) n_{i}(\underline{x}) d\Gamma \quad (16) $$

Pour calculer une évaluation nodale des composants $\tilde{b}_{Ii}(\underline{x}_L)$ dans $\tilde{B}_I(\underline{x}_L)$, en utilisant l'expression ci-dessus, une intégration des bords du domaine $\Gamma_L$ du nœud « L » est requise $\Gamma_L = \bigcup_{M=1}^{N_S} \Gamma_L^M$ ; tels que $\Gamma_L^M$ est la décomposition en segments du domaine $\Gamma_L$, $N_S$ le nombre total des segments du domaine, $M$ le nombre des points du domaine tels que $M=N_S+1$. Une intégration de Simpson à 5 nœuds est utilisée pour chaque segment représenté par le bord $\Gamma_L^M$ de chaque nœud représentatif « L ».

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 4: Construction des cellules de Voronoi sur $\Omega^{MLS}$ et Relation entre supp($\phi_I$) et le domaine $\Omega_L$</figcaption></figure>

Le vecteur force interne qui traduit équilibre mécanique du système est obtenu à partir de la relation suivante :

$$ \underline{F}^{\text{int}} = \underline{F}_{\text{MEF}}^{\text{int}} + \underline{F}_{\text{MEF/MLS}}^{\text{int}} + \underline{F}_{\text{MLS}}^{\text{int}} = \underline{F}_{\text{MEF}}^{\text{int}} + \sum_{L \in \Omega^{\text{MLS}}} \underline{B}^{T}(\underline{x}_{L}) \underline{\sigma}(\underline{\varepsilon}(\underline{x}_{L})) A_{L} \quad (17) $$

## 7. Comparaison des modèles EF et MEF/MLS

Nous avons choisi comme exemple la modélisation d'un essai de traction d'une éprouvette plate en 2D déformation plane dont les dimensions sont données Fig.5.a. Le comportement du matériau est régit par un modèle élastoplastique à écrouissage nul:
$$f(\underline{\sigma}) = \sqrt{\frac{3}{2}\underline{\sigma}^{dev} : \underline{\sigma}^{dev}} - \sigma_s \le 0 \quad (18)$$

Où $\underline{\sigma}$ est le tenseur des contraintes de Cauchy, $\underline{\sigma}^{dev}$ la partie déviatorique du tenseur des contrainte et $\sigma_s$ une valeur en contrainte seuil. Les paramètres matériaux retenus pour cet exemple sont : module d'Young E=210 GPa, coefficient de Poisson $\nu=0.3$ et $\sigma_s=500$ MPa.

Des conditions aux limites en déplacement sont imposées à chaque extrémité de l'éprouvette et indiquées Fig.5.b.

Le logiciel abaqus a été utilisé dans un premier temps pour simuler la déformation plastique de l'éprouvette, l'éprouvette est maillée avec des éléments plans CPE4R de taille 1.5x1.5 mm² et un schéma de résolution implicite est employé pour la résolution des équations d'équilibre (voir Fig.5.b).

Nous avons ensuite modélisé, Fig.5.c, le même essai avec notre méthode numérique mixte MEF/MLS. Les têtes de l'éprouvette sont maillés avec des éléments 2D « assumed strain » dont les références sont données dans l'article suivant [6]. La partie utile de l'éprouvette est discrétisé avec des nœuds MLS et la transition MEF/MLS ainsi que les frontières sont discrétisés avec des éléments de transition MEF/MLS. Nous avons opté sur des fonctions poids circulaires avec un rayon d'influence $r_i= 2.5mm$.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig.5 : a) dimension de l'éprouvette plate, b) maillage initial d'élément CPE4R + conditions aux limites, c) Répartition des différents domaines $\Omega^{MEF}$, $\Omega^{MEF/MLS}$, $\Omega^{MLS}$ et position initial des nœuds MLS.</figcaption></figure>

La figure 6 montre un certain nombre de composantes physiques (déplacement, contraintes, ...) et leurs répartitions dans l'éprouvette déformée après un déplacement maximum de 0.3mm. Lorsque nous comparons les solutions abaqus à notre méthode numérique MEF/MLS, nous pouvons déjà établir quelques remarques :

* Le champ de déplacement suivant $x$ et $y$ est bien reproduit par les deux approches. Un bémol non flagrant apparaît avec la méthode MEF/MLS. Des oscillations de faibles amplitudes apparaissent dans les composantes $y$. Nous suspectons que ces oscillations sont générées par le choix de l'intégration nodale et l'apparition de mode à énergie nulle.

* Le champ de contrainte de von Mises et les différentes composantes du tenseur des contraintes sont qualitativement semblables pour les deux approches. Nous observons des différences de valeur mais dans l'ordre de l'acceptable.

* La localisation de l'écoulement plastique au centre de l'éprouvette est bien modélisée par les deux approches. La méthode MEF/MLS semble mieux capter les zones de localisations mais ceci est peut être occasionné par une position adéquate des nœuds MLS.
<table><caption>Fig.6 : Comparaison des résultats numériques entre le logiciel abaqus® et la méthode numérique basée sur le couplage MEF/MLS</caption><thead><tr><th></th><th>ABAQUS®</th><th>MEF/MLS</th></tr></thead><tbody><tr><td>Contrainte σ<sub>x</sub> (MPa)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Contrainte σ<sub>y</sub> (MPa)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Contrainte σ<sub>z</sub> (MPa)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Norme de von Mises<br>(MPa)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Déformation plastique<br>équivalente</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Déplacement U<sub>x</sub> (mm)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Déplacement U<sub>y</sub> (mm)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Déplacement U<sub>z</sub> (mm)</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
# 7. Conclusion

Dans l'ensemble, nous avons une première validation de notre approche numérique mixte MEF/MLS. Les premiers résultats sont encourageants mais ils subsistent encore des problèmes ouverts : La gestion de l'apparition de mode à énergie nulle, une sensibilité de la méthode d'intégration nodale dans la manière de construire les cellules de Voronoï, une sensibilité sur le choix du rayon des fonctions poids.

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