# Sur l'irrationalité des intégrales indéfinies

par

S. KACZMARZ et A. TUROWICZ (Lwów).

MM. S. MAZUR et S. ULAM ont posé le problème suivant:

$f_1(x), \dots, f_n(x)$ étant un ensemble de $n$ fonctions d'une variable réelle, continues dans un intervalle $\langle a, b \rangle$, et $(Z)$ l'ensemble des fonctions de la forme $R(f_1(x), \dots, f_n(x))$, où $R$ désigne une fonction rationnelle arbitraire de $n$ variables, existe-t-il dans l'ensemble $(Z)$ une fonction sommable dans $\langle a, b \rangle$, dont l'intégrale indéfinie n'appartient pas à $(Z)$ ?

Le théorème énoncé ci-dessous présente une solution positive d'un problème plus général, puisque la suite finie de fonctions $f_i(x)$ y est remplacée par une suite infinie.

Soit

$$ (1) \qquad f_1(x), f_2(x), \dots, f_n(x), \dots $$

une suite infinie de fonctions réelles d'une variable réelle que nous supposerons finies et sommables dans un intervalle $\langle a, b \rangle$, $(-\infty \le a < b \le \infty)$.

Nous envisagerons l'ensemble $(Z)$ des fonctions

$$ (2) \qquad g(x) = R(f_1(x), f_2(x), \dots, f_k(x)), $$

où $R(y_1, \dots, y_k)$ est une fonction rationnelle arbitraire (à coefficients réels) de $k$ variables, $k$ étant un entier positif quelconque; certaines variables peuvent ne pas figurer dans l'expression de $R$. Une fonction $g(x)$ de l'ensemble $(Z)$ est définie pour toutes les valeurs de $x$ de l'intervalle $\langle a, b \rangle$, qui n'annulent pas le dénominateur de la fonction $R$ correspondante.
Théorème. Dans chaque intervalle $\langle \alpha, \beta \rangle$, tel que

$$ (3) \qquad a < \alpha < \beta < b, $$

il existe une fonction $g_0(x)$ appartenant à l'ensemble $\mathbb{Z}$, telle que

1) $g_0(x)$ est finie et sommable dans $\langle \alpha, \beta \rangle$,

2) la fonction

$$ (4) \qquad F(x) = \int_{i}^{x} g_{0}(t) dt $$

n'appartient pas à l'ensemble $\mathbb{Z}$.

Remarque. Dans le cas où $a$ et $b$ ne sont pas à la fois infinis, on peut mettre $\alpha = a$, $\beta = b$.

Nous démontrerons d'abord deux lemmes.

**Lemme 1¹).** Soient

$$ r_1(x_1, \dots, x_k), r_2(x_1, \dots, x_k), \dots, r_{k+1}(x_1, \dots, x_k) $$

k + 1 fonctions rationnelles des k variables $x_1, \dots, x_k$. Il existe alors un polynôme $G(y_1, \dots, y_{k+1})$ des k + 1 variables $y_1, \dots, y_{k+1}$, non identiquement nul, tel que la fonction rationnelle des variables $x_1, \dots, x_k$

$$ G(r_1(x_1, \dots, x_k), r_2(x_1, \dots, x_k), \dots, r_{k+1}(x_1, \dots, x_k)) $$

s'annule identiquement.

**Démonstration.** Mettons les fonctions $r_i$ sous la forme

$$ r_i(x_1, \dots, x_k) = \frac{h_i(x_1, \dots, x_k)}{h_{k+2}(x_1, \dots, x_k)} \quad (i=1, 2, \dots, k+1), $$

où $h_i(x_1, \dots, x_k)$ ($i=1, 2, \dots, k+2$) sont des polynômes des variables $x_1, \dots, x_k$. Soit $m$ le plus grand des degrés des polynômes $h_i$. On peut supposer $m > 0$. Dans le cas $m = 0$ le lemme est évident.

Nous déterminerons un polynôme homogène non identiquement nul de $k + 2$ variables

$$ H(y_1, \dots, y_{k+2}) = \sum A_{j_1 j_2 \dots j_{k+2}} y_1^{j_1} y_2^{j_2} \dots y_{k+2}^{j_{k+2}} \quad (j_1 + j_2 + \dots + j_{k+2} = M) $$

du degré $M$, où $M$ est un entier positif satisfaisant à l'inégalité

$$ M > (2m)^k (k+1), $$

tel que le polynôme des variables $x_1, \dots, x_k$

$$ H(h_1(x_1, \dots, x_k), \dots, h_{k+2}(x_1, \dots, x_k)) $$

soit identiquement nul, c'est-à-dire

$$ \sum A_{j_1 j_2 \dots j_{k+2}} h_1^{j_1} h_2^{j_2} \dots h_{k+2}^{j_{k+2}} = 0. $$

Nous avons donc à resoudre un système d'équations linéaires. Le nombre des inconnues $A_{j_1 j_2 \dots j_{k+2}}$ est $\binom{M+k+1}{k+1}$. Le degré (en $x_i, \dots, x_k$) de l'expression $h_1^{j_1} h_2^{j_2} \dots h_{k+2}^{j_{k+2}}$ ne surpasse pas $m_{j_1} + m_{j_2} + \dots + m_{j_{k+2}} = mM$, donc le nombre des équations ne surpasse pas $\binom{Mm+k}{k}$.

Mais

$$ \binom{M+k+1}{k+1} = \frac{(M+k+1)(M+k)\dots(M+1)}{(k+1)!} > \frac{M^{k+1}}{(k+1)!} > \frac{M^k(2m)^k}{k!}, $$

$$ \binom{Mm+k}{k} = \frac{(Mm+k)(Mm+k-1)\dots(Mm+1)}{k!} < \frac{(Mm+Mm)^k}{k!} = \frac{M^k(2m)^k}{k!}. $$

Le nombre des inconnues étant plus grand que celui des équations, il existe un système de valeurs non toutes nulles des $A_{j_1 j_2 \dots j_{k+2}}$. L'existence du polynôme $H(y_1, \dots, y_{k+2})$ est ainsi établie. En posant $G(y_1, \dots, y_{k+1}) = H(y_1, \dots, y_{k+1}, 1)$ on obtient un polynôme jouissant de la propriété indiquée dans l'énoncé du lemme.

**Lemme II.** Supposons que l'identité

$$ F(x) = Q(\log|x - c_1|, \log|x - c_2|, \dots, \log|x - c_n|) = 0 $$

<footnote n="1">¹) Ce lemme est presque évident, mais comme il ne se trouve pas dans les traités d'algèbre, nous en donnons une démonstration.</footnote>
soit vraie pour $\alpha \le x \le \beta$ ($\alpha < \beta$), $Q(y_1, \dots, y_n)$ étant un polynôme de n variables et $c_1, c_2, \dots, c_n$ étant des nombres extérieurs à l'intervalle $\langle \alpha, \beta \rangle$.

Dans ces conditions le polynôme $Q(y_1, \dots, y_n)$ est identiquement nul.

**Démonstration.** Développons le polynôme $Q$ suivant les puissances de $\log|x-c_1|$. On a

$$a_0 \log^p |x - c_1| + a_1 \log^{p-1} |x - c_1| + \dots + a_p = 0 \quad (p \ge 1),$$

où les $a_i$ ($i=0, 1, \dots, p$) sont des polynômes en

$$\log|x - c_2|, \dots, \log|x - c_n|.$$

Nous allons démontrer que

$$(5) \qquad \begin{array}{l} a_i(\log|x-c_2|, \log|x-c_3|, \dots, \log|x-c_n|) = 0 \\ \qquad \qquad \text{pour } \alpha \le x \le \beta, \quad i=0, 1, \dots, p. \end{array}$$

Admettons en effet que pour une valeur $x_0$ ($\alpha < x_0 < \beta$) on ait

$$|b_0| + |b_1| + \dots + |b_p| \ne 0,$$

où

$$b_i = a_i (\log |x_0 - c_2|, \dots, \log |x_0 - c_n|) \quad (i=0, 1, \dots, n).$$

Alors $\log|x_0 - c_1|$ serait une racine de l'équation

$$(6) \qquad b_r z^{p-r} + b_{r+1} z^{p-r-1} + \dots + b_p = 0 \quad \text{où } 0 \le r \le p-1, b_r \ne 0.$$

Remarquons d'abord que les nombres $c_i$ se trouvant à l'extérieur de l'intervalle $\langle \alpha, \beta \rangle$, on peut remplacer l'expression $\log|x-c_i|$ soit par $\log(x-c_i)$, soit par $\log(c_i-x)$. Pour fixer les idées nous supposerons que l'on a $x-c_i > 0$ dans l'intervalle $\langle \alpha, \beta \rangle$. Les fonctions $\log(x-c_i)$, considérées comme fonctions d'une variable complexe, sont holomorphes à l'intérieur d'un cercle $|x-x_0| \le R$, où $R$ est un nombre positif suffisamment petit; par conséquent, l'identité

$$(7) \qquad Q(\log(x-c_1), \dots, \log(x-c_n)) = 0$$

est valide à l'intérieur de ce cercle, puisqu'elle est valide sur la partie du segment de l'axe réel $\langle \alpha, \beta \rangle$ intérieure au cercle $|x-x_0| \le R$.

Traçons maintenant dans le plan de la variable complexe $x$ une courbe simple fermée $K$ passant par $x = x_0$, de telle manière que le point $x = c_1$ se trouve à l'intérieur, et les points $x = c_i$ ($i=2, 3, \dots, n$) à l'extérieur du domaine limité par $K$. On peut prolonger analytiquement les fonctions $\log(x-c_i)$ et la relation (7) sera valide pour tous les points de $K$.

Si nous décrivons $m$ fois la courbe $K$ dans le sens positif, nous reviendrons avec les valeurs initiales pour $\log(x-c_i)$ ($i=2, 3, \dots, n$), tandis que la valeur de $\log(x-c_i)$ augmentera de $2m\pi i$. Ainsi l'équation (6) aurait une infinité de racines de la forme $\log|x_0-c_1| + 2m\pi i$, ce qui est absurde. On voit donc que les identités (5) sont vraies.

Il découle du raisonnement exposé que $1°$ dans le cas $n=1$, le lemme est vrai, puisque les polynômes $a_i$ sont alors des constantes, $2°$ si le lemme est vrai pour $n=q$, il est vrai pour $n=q+1$.

**Démonstration du théorème.** Supposons que le théorème énoncé soit faux. Comme il y a des fonctions de $(Z)$ finies et sommables dans tout intervalle contenu dans $\langle \alpha, \beta \rangle$ (par exemple les fonctions $f_n(x)$), il existerait un intervalle $\langle \alpha, \beta \rangle$ satisfaisant à la condition (3), tel que pour chaque fonction $\varphi(x)$ de $(Z)$, finie et sommable dans $\langle \alpha, \beta \rangle$, l'intégrale indéfinie

$$\int_{i}^{x} \varphi(t) dt$$

appartiendrait à l'ensemble $(Z)$.

Or, la fonction

$$\psi(x) = 1$$

appartient à $(Z)$, donc

$$(8) \qquad x - \alpha = \int_{i}^{x} dt = P(f_{1}(x), \dots, f_{k}(x)),$$

où $P$ est une fonction rationnelle et $k$ un entier positif convainquablement choisi.

Par conséquent, $c$ étant un nombre pris arbitrairement à l'extérieur de l'intervalle $\langle \alpha, \beta \rangle$, la fonction
$$h(x) = \frac{1}{x-c}$$

appartient à l'ensemble (Z) et est finie et sommable dans l'inter-
valle $\langle \alpha, \beta \rangle$, donc

$$\int_{c}^{x} \frac{dt}{t-c} = \log|x-c| - \log|\alpha-c| = R_{c}(f_{1}(x), \dots, f_{p}(x))$$

dans l'intervalle $\langle \alpha, \beta \rangle$, où non seulement la fonction rationnelle $R_c$, mais aussi le nombre entier positif $p$ dépend de la constante $c$. Soit (C) un ensemble non-dénombrable des nombres réels $c$ choisis à l'extérieur de $\langle \alpha, \beta \rangle$. On a pour chaque élément $c$ de cet ensemble

$$\log|x-c| = V_c(f_1(x), \dots, f_{p_c}(x)) \quad (\alpha \le x \le \beta),$$

$V_c(y_1, \dots, y_{p_c})$ étant une fonction rationnelle.

Désignons par $(C_i)$ ($i=1,2,\dots$) le sous-ensemble de (C) composé de tous les nombres $c$ tels que $p_c < i$. Il existe un entier positif $j$ tel que $(C_j)$ est un ensemble infini; dans le cas contraire (C) serait dénombrable.

Soient $c_1, c_2, \dots, c_{j+1}$ $j+1$ éléments de l'ensemble $(C_j)$. On peut écrire

$$\log|x - c_k| = W_k(f_1(x), \dots, f_j(x)) \quad (\alpha \le x \le \beta, k = 1, 2, \dots, j+1),$$

où les $W_k(y_1, \dots, y_j)$ sont des fonctions rationnelles de $j$ variables. En vertu du lemme I il existe un polynôme $Q(z_1, \dots, z_{j+1})$ de $j+1$ variables, du degré supérieur à 0, tel que

$$Q(W_1(f_1(x), \dots, f_j(x)), \dots, W_{j+1}(f_1(x), \dots, f_j(x))) = 0;$$

nous avons donc

$$Q(\log|x - c_1|, \dots, \log|x - c_{j+1}|) = 0.$$

Cette identité étant impossible en vertu du lemme II, le théorème énoncé est démontré.

(Reçu par la Rédaction le 1, 7. 1938).