vient immédiatement à l'esprit est le *clivage*, qui procède de la rupture des liaisons sous l'effet d'une contrainte normale. Mais la rupture des liaisons peut aussi se faire sous l'action d'une contrainte de *cisaillement* : on assiste alors au glissement d'un plan atomique sur un autre. Il est bien évident qu'un phénomène de condensation de lacunes peut également provoquer un endommagement du matériau. Le clivage est dit aussi *Mode d'endommagement I*, le cisaillement est noté selon les cas *Mode d'endommagement II* ou *III*.

## I.3 Etat de contraintes planes et état de déformations planes

Dans la pratique courante, on distingue deux états de contraintes différents.

Soit une fissure dans une plaque mince, soumise à des efforts parallèles dans son plan. Alors les seules composantes non nulles du tenseur de contraintes sont $\sigma_{xx}$, $\sigma_{yy}$ et la contrainte de cisaillement $\tau_{xy}$. On dira alors que l'on a un état de contraintes planes.

Soit maintenant une fissure dans une plaque épaisse, considérée dans la zone centrale de celle-ci. On démontre qu'alors $\sigma_{xx} = \sigma_{yy}$ et que $\sigma_{zz} = 2 \text{ v } \sigma_{xx} = 2 \text{ v } \sigma_{yy}$, avec v le coefficient de Poisson. On parle alors d'état de déformations planes.

## I.4 Rupture fragile et rupture ductile

On distingue en général deux types de rupture. Un matériau est dit *fragile* s'il n'est pas possible de le déformer de façon importante sans provoquer sa rupture ; après-celle-ci, les deux extrémités de la surface rompue peuvent être remises en contact l'une avec l'autre, la correspondance étant quasi-parfaite jusqu'à l'échelle atomique. A l'inverse, la rupture *ductile* résulte de la création de microcavités sous l'action de la contrainte mécanique de clivage, induites par glissement le plus souvent au niveau des inclusions. Le faciès de rupture ductile se caractérise sur les microfractographies par la présence de petites cupules ; elle survient d'ordinaire dans le domaine plastique, par exemple à la fin d'un essai de traction mené jusqu'à son terme en l'absence d'atmosphère corrosive.

# II. ECROUISSAGE ET PLASTICITE

Le comportement élastique des matériaux nous intéresse peu puisque le phénomène de fissuration sous contrainte intervient exclusivement dans le domaine plastique. Bien évidemment, dans la réalité, ce phénomène peut survenir sur un métal globalement sollicité dans le domaine élastique, mais dans lequel existent des zones déformées plastiquement. Il apparaît donc nécessaire d'étudier plus en détail la zone plastique, et en particulier le rôle que jouent les dislocations dans les processus de croissance et de propagation des fissures.

## II.1 Observations macroscopique

Le phénomène de plasticité est détecté sur la courbe de traction lorsque la contrainte cesse de croître linéairement avec l'allongement. Si on relâche le matériau alors qu'il se trouve dans cette zone, il se rétracte mais avec un allongement non nul ; la courbe allongement-contrainte pendant cette rétraction est une droite parallèle à celle enregistrée en élasticité (cf figure 1). Théoriquement, un matériau amené
dans le domaine élastique et ensuite déchargé conserve toutes ses propriétés mécaniques initiales; il n'en est pas de même pour un matériau soumis à une charge dans le domaine plastique. On dit alors que le métal a subi un écrouissage.

## II.2 Le concept de dislocation

### II.2.1 L'idée de départ

Si on déforme en traction un monocristal (éprouvette cylindrique ou plate) au-delà d'une contrainte donnée $\sigma_c$, on observe l'apparition sur sa surface d'une série de stries parallèles : ce sont des plans cristallographiques qui glissent le long d'une direction fixe du cristal.

Pour un essai de traction traditionnel sur éprouvette lisse, $\sigma_c$ est fonction de l'angle entre la direction de la contrainte et le plan de glissement, selon :

$$ \sigma_c = \frac{F_c}{S} \cos \Phi \cos \alpha $$

avec $F_c$ la force nécessaire pour amorcer le glissement, $\alpha$ l'angle entre la direction de la contrainte et la direction de glissement, et $\Phi$ l'angle entre la direction de la contrainte et la normale au plan de glissement.

Là encore l'écart entre $\sigma_{Cmesuré}$ et $\sigma_{Ccalculé}$ (la valeur théorique est de $10^3$ à $10^5$ plus grande) nécessite de postuler l'existence d'un défaut qui doit concentrer la déformation sur une région réduite du cristal (en fait, du plan) et progresser dans celui-ci, tel un faux-pli sur un tapis. Il doit stocker suffisamment d'énergie élastique pour que le glissement soit localement facile. L'idée de Taylor, vers 1930, a été qu'on peut créer un tel défaut en retirant dans un cristal parfait un demi-plan d'atomes et en laissant les atomes refermer le vide ainsi créé (figure). Inversement, on construit le même défaut en insérant un demi-plan d'atomes. On a donné à ce défaut le nom de dislocation.

### II.2.2 Définition

Considérons un cristal continu (figure 2a). Si nous supprimons une demi-rangée d'atomes et comblons le vide ainsi formé par resserrement des plans cristallographiques voisins, on crée un défaut du cristal qu'on appellera dislocation. La droite formée par les derniers atomes précédant la coupure sera appelée ligne de dislocation.

Essayons à présent de dessiner dans le plan de la figure 2a un quadrilatère entourant la dislocation, chaque côté épousant une rangée cristallographique, le premier et le troisième d'une part, le deuxième et le quatrième d'autre part passant par le même nombre d'atomes.
<figure><img src="image_236.png" /><figcaption>Figure 2a</figcaption></figure>

<figure><img src="image_237.png" /><figcaption>Figure 2b</figcaption></figure>

On voit qu'un tel tracé n'est pas possible : on arrive en A' et non pas au point A. Le vecteur reliant A et A' sera appelé **vecteur de Bürgers** et sera désigné dans la suite par la lettre **b**. Le vecteur de Bürgers représente la translation du réseau (figure 3). Si **b** est parallèle à la ligne de dislocation, on parlera de **dislocation vis** (car le circuit entourant la dislocation se trouve déformé de façon hélicoïdale) ; s'il lui est perpendiculaire, de **dislocation coin** (car la dislocation équivaut à l'insertion d'un coin dans le matériau) [figures 4a et 4b]. D'une manière générale, les dislocations rencontrées dans la nature résultent de la combinaison d'une dislocation coin avec une dislocation vis (figure 5). La densité de dislocations dans les cristaux varie entre $10^2 \text{ cm}^{-2}$ (monocristaux) et $10^{12} \text{ cm}^{-2}$ (polycristaux fortement écrouis).
QU'EST CE QU'UNE DISLOCATION ?

<figure><img src="image_238.png" /></figure>

<figure><img src="image_239.png" /></figure>

* Le Vecteur de Burgers est une translation du réseau

* L'énergie de la dislocation par unité de ligne est proportionnelle à $b^2$

<figure><img src="image_240.png" /><figcaption>Figure 3 : Dislocation et vecteur de Bürgers</figcaption></figure>
<figure><img src="image_241.png" /><figcaption>**Figure 4a :** Dislocation vis (d'après PINEAU, FRANÇOIS & ZAOUI)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_242.png" /><figcaption>**Figure 4b :** Dislocation coin (d'après PINEAU, FRANÇOIS & ZAOUI)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_243.png" /><figcaption>**Figure 5 :** Dislocation avec des portions coins (C), vis (A), et des portions mixtes (ibid)</figcaption></figure>
### II.2.3 Dislocations mobiles et dislocations de la forêt

Les dislocations dans un cristal non écroui forment un réseau tridimensionnel dit de FRANCK. Pour qu'une dislocation puisse se déplacer dans son plan de glissement, elle doit interagir avec d'autres dislocations qui se trouvent sur son chemin. Les dislocations qui sont parallèles au plan de glissement et donc peuvent glisser sont dites mobiles ; celles qui le percent et qui sont autant d'obstacles pour ces dernières seront dites dislocations de la forêt ou encore arbres de la forêt.

<figure><img src="image_244.png" /><figcaption>Figure 6 : Jonction attractive et jonction répulsive entre une dislocation $b_1$ qui glisse dans le plan figuré et des arbres $b_2$ qui le percent (d'après PINEAU, FRANÇOIS & ZAOUI)</figcaption></figure>

### II.2.4 Dislocations parfaites et imparfaites. Défauts d'empilement

Une dislocation parfaite est une dislocation dont le vecteur de Bürgers est un multiple des vecteurs du réseau. Dans le cas contraire, la dislocation introduit dans le réseau cristallin des défauts d'empilement : la dislocation est alors dite imparfaite. La figure 7 montre des dislocations imparfaites dite de Shockley. Entre elles se trouve un défaut d'empilement. Une dislocation de Shockley peut glisser (elle est donc dite glissile) ; par contre, la combinaison de deux de ces dislocations ne peut plus glisser puisque son vecteur de Bürgers n'est pas contenu dans les plans de glissement. Elle crée une barrière dite de Lomer-Cottrell qui s'oppose au glissement et peut donner lieu au phénomène d'écrouissage ; elle est donc dite dislocation sessile.

<figure><img src="image_245.png" /><figcaption>Figure 7 : Dislocations de Shockley (d'après PINEAU, FRANÇOIS & ZAOUI)</figcaption></figure>
## II.2.5 Effet des contraintes extérieures sur les dislocations

Soit une contrainte de cisaillement $\tau$ s'exerçant sur un cube cristallin (distance interatomique b) de côté L selon le plan d'une dislocation. Si la dislocation se déplace de $\delta x$, le déplacement du cube est égal à $b \frac{\delta x}{L}$ et le travail effectué est $W = \tau L^2 b \frac{\delta x}{L} = F \delta x$, F étant la force à laquelle est soumise la dislocation. Donc la force par unité de longueur $f = \frac{F}{L}$ à laquelle est soumise la dislocation s'écrit :
$$f = \tau b.$$

## II.3 Mécanismes physiques de la plasticité

Nous venons de voir que le passage du domaine élastique au domaine plastique modifie les propriétés mécaniques du matériau. On peut donc penser qu'il faudra imposer à celui-ci une contrainte importante pour qu'il puisse "rentrer" dans la zone de plasticité. Cette contrainte traduit l'énergie qu'il faut fournir aux dislocations pour franchir différents obstacles (joints de grains, précipités, inclusions, etc...)

### II.3.1 Déformation d'un monocristal

Si on exerce une contrainte axiale sur un monocristal (figure 8), on observera la déformation du cristal par glissements le long des plans cristallographiques les plus denses. Le zinc en particulier donne lieu à un glissement particulièrement simple appelé *glissement en faisceau*.

<figure><img src="image_246.png" /><figcaption>Figure 8 : Déformation d'un monocristal par glissements en faisceau</figcaption></figure>

SCHMID et BOAS ont montré que le glissement commence quand la cission résolue sur un plan cristallographique de glissement atteint une valeur critique. Ainsi, tant que la contrainte de cission appliquée est inférieure à cette valeur critique, sa suppression entraîne le retour en position d'énergie minimale : le comportement est élastique. Mais au-delà d'une certaine valeur de la cission, on passe par une valeur de col de l'énergie et le plan glisse d'une position interatomique pour
se retrouver en position d'énergie minimale (figure 9). Si on supprime la contrainte, le plan ne refranchira pas le col en sens inverse : le comportement est plastique. Néanmoins cette approche est plutôt simpliste, puisque les calculs de limite d'élasticité associés aboutissent à des valeurs supérieures de plusieurs ordres de grandeurs aux valeurs réelles. Pour se rapprocher de la réalité il faut tenir compte du mouvement des dislocations. Ainsi, la déformation plastique est non plus associée au basculement simultané de toutes les liaisons du plan de glissement, mais seulement à un glissement d'amplitude égale à la distance interatomique. L'énergie nécessaire pour déformer le cristal est celle qu'il faut fournir pour faire basculer les liaisons interatomiques d'une seule rangée ; elle est donc beaucoup plus faible que celle calculée précédemment. Toutefois, la densité initiale de dislocations dans un cristal ne peut pas induire de déformations aussi notables que celles observées. Il faut donc imaginer que les dislocations se multiplient sous l'effet d'une contrainte. C'est ce qui a été démontré en supposant que sous l'action d'une contrainte de cission les dislocations se courbent. Si, la contrainte aidant, l'arc devient instable, une nouvelle boucle se forme, et donc les dislocations se multiplient.

<figure><img src="image_247.png" /><figcaption>Figure 9 : Contrainte théorique de glissement (d'après PINEAU, FRANÇOIS & ZAOUI)</figcaption></figure>

## II.3.2 Loi d'OROWAN

OROWAN, l'un des "pères" du concept de dislocation, a établi en 1934 les relations entre création et mouvement de dislocations et écoulement plastique macroscopique. Soit un cube de côté L soumis à une contrainte de cisaillement $\tau$. Si une dislocation dans le cube se déplace d'une longueur $\delta x$, alors le déplacement correspondant du cube est $b \frac{\delta x}{L}$ ; la déformation correspond alors à un glissement $\delta y = (\frac{\delta x}{L}) (\frac{b}{L}) = \frac{Lb}{L^3} = b \frac{\delta A}{V}$, $\delta A$ étant l'aire balayée par la dislocation et V le volume du cube. Si celui-ci contient N dislocations mobiles, se déplaçant d'une distance moyenne $L$, on a, en posant $\rho_m = \frac{NL}{V}$, longueur totale de dislocations par unité de volume (appelée par abus densité de dislocation) :

$$ \gamma = \frac{N b A}{V} = b \rho_m L $$

Alors la vitesse de glissement $\gamma'$, que l'on identifiera à la vitesse d'étirement $e'$, est :

$$ \gamma' = e' = \rho_m b v $$

$v$ étant la vitesse moyenne des dislocations $\frac{dL}{dt}$.

Cette dernière relation est connue sous le nom de loi d'Orowan.
Il faut tout de même remarquer que, comme le glissement reste confiné à seulement quelques lignes évoluant simultanément, la vitesse moyenne d'élongation peut différer de plusieurs ordres de grandeur de la quantité définie ci-dessus ¹.

### II.3.3 Franchissement des obstacles par les dislocations

#### a) Force de PEIERLS-NABARRO

Pour passer d'une rangée atomique à la suivante, il faut que la dislocation surmonte une barrière d'énergie (force de PEIERLS-NABARRO).

#### b) Interaction entre dislocations

D'autre part, dans un cristal non écroui, les dislocations interagissent les unes sur les autres et se placent en position d'énergie minimale dans des "vallées de potentiel". Pour se déplacer dans son plan de glissement, une dislocation doit franchir des "collines" résultant d'interactions avec les autres dislocations. Donc, plus les dislocations se multiplieront au cours de la déformation plastique, plus les interactions entre dislocations seront importantes et plus la contrainte critique d'écrouissage sera élevée.

#### c) interactions avec les joints de grains - effet de taille des grains

Un autre cas très important est l'interaction avec les joints de grains. Comme les grains présentent des orientations cristallographiques très diverses, le glissement des dislocations commence dans les grains qui sont dans les plans de glissement les plus favorablement orientés par rapport à la contrainte de cisaillement. Lorsque la contrainte critique définie en II.2.1 est atteinte, des dislocations viennent "cogner" contre les joints de grains, formant ainsi des empilements. Il arrive un moment où l'empilement est tel que les "sources" de dislocations sont empêchées de fonctionner sous l'effet d'une "force de retour". Pour continuer à déformer le polycristal, il faut alors que se déclenchent des glissements dans les grains moins favorablement orientés par rapport à la contrainte. Mais comme la concentration de contraintes est très grande aux joints de grains du fait des empilements, de nouvelles dislocations peuvent se créer de l'autre côté du joint. Ainsi la déformation pourra se propager. La limite d'élasticité, comme on l'a vu corrélée à l'énergie qu'il faut fournir pour déformer le matériau, dépend de la taille du grain : elle varie comme l'inverse de la racine carrée de la taille de grain (loi de Hall-Petch).

Considérons un empilement de n dislocations : si on déplace la jième dislocation de $\delta x$, les n-j se déplacent également de $dx$ avec une énergie $E = (n-j+1)(\tau-\tau_i) b \delta x$, $\tau$ étant la force imposée et $\tau_i$ l'énergie à surmonter par les dislocations pour qu'elles puissent se déplacer, $b$ le vecteur de Bürgers. L'expression de E ci-dessus permet de calculer la force qu'exerce la jième dislocation sur la suivante :

$$F = (n-j) (\tau-\tau_i) b$$

Si on note M la grandeur $\frac{\mu}{2\pi(1-\nu)}$ pour une dislocation coin et $\frac{\mu}{2\pi}$ pour une dislocation vis, on peut écrire (relation d'équilibre entre la force exercée par la première dislocation sur la seconde et celle que subit cette dernière du fait des n-2 autres) :

$$\frac{Mb^2}{x_2-x_1} = (n-1) (\tau-\tau_i) b$$

$x_j-x_k$ étant la distance entre les jième et kième dislocations.
On admettra dans la suite que, comme b est une distance très petite devant la taille du grain, la jième et la (j+1)ème dislocations se comportent comme une dislocation de vecteur de Bürgers (j+1) b. On peut donc écrire :

$$x_{j+1}-x_j = \frac{jMb}{(n-j)(\tau-\tau_i)}$$

La condition de cessation de fonctionnement des "sources" de dislocations s'écrit analytiquement, en désignant par L la distance entre la source et le joint de grain, d'ailleurs de l'ordre de grandeur de la taille du grain :

$$L-x_n = \frac{nMb}{[(n+1)-n][\tau-\tau_i]}$$

L'expérience montre que la distance entre la source et la dernière dislocation est de l'ordre de $\frac{L}{2}$.

$$\text{Il vient alors :} \qquad \tau - \tau_i = \frac{2 n M b}{L}$$

Soit $\tau_{ad}$ la contrainte nécessaire à l'activation des dislocations. Si $R_e$ est la limite élastique du matériau, on aura :

$$\tau_{ad} = n (R_e - \tau_i)$$

$$\text{On pourra donc écrire :} \qquad (R_e - \tau_i)^2 = \frac{2 n M b}{L} + \frac{\tau_{ad}}{n}$$

$$\text{ce qui conduit à :} \qquad R_e = \tau_i + \sqrt{\frac{2 M b \tau_{ad}}{L}}$$

Puisque, comme nous l'avons dit plus haut, L est approximativement égal à la taille des grains, on voit que la limite élastique du matériau varie comme $L^{-1/2}$.

### d) interactions avec les atomes étrangers

Les atomes en solution solide peuvent interagir avec les dislocations par effet de taille, par effet de module ou par effet chimique. En ce qui concerne l'effet de taille, le carbone et l'azote, qui sont petits, forment dans le fer $\alpha$ une solution solide d'insertion. La distorsion introduite par les atomes de carbone donne naissance à une énergie d'interaction avec les dislocations d'une valeur de quelques électron-volts. L'effet de module, quant à lui, provient de la différence de module d'élasticité entre la matrice et le soluté. Toutefois, cet effet est négligeable par rapport à l'effet de taille. Comme le déplacement des dislocations dans la solution solide nécessite le franchissement de nouvelles barrières d'énergie, plus la concentration de soluté sera grande, plus la limite d'élasticité sera élevée.

Quant à l'effet chimique (ou effet Suzuki), il est dû à la dissolution dans un métal cubique à faces centrées d'un soluté qui stabilise la phase hexagonale compacte, ce qui abaisse l'énergie de défauts d'empilement ; il en résulte une augmentation de la limite d'élasticité.

### e) interaction avec les précipités (ou les inclusions)

Les précipités comme les inclusions sont un des constituants classiques des aciers. Il est bien connu que des précipités de $Cr_{23}C_6$ se forment aux joints de grains dans les aciers au chrome. Les aciers ordinaires au carbone manganèse sont souvent très chargés en inclusions de sulfure de manganèse MnS, ovaloïdes allongés dans la direction du laminage.

Lorsqu'on impose une contrainte au matériau, les dislocations peuvent traverser les précipités en les cisaillant. Mais le précipité oppose à ce passage une force de résistance (effet de frottement, de volume,
de module, marche, trou...) Alors la dislocation peut éviter le précipité en le contournant, si cela lui est plus facile energétiquement (mécanisme d'OROWAN).

Des phénomènes analogues (traversée ou contournement) ont lieu dans les aciers ferrito-perlitiques, dans lesquels se forment des plaquettes indéformables (car la cémentite est covalente). La déformation de la perlite introduit des dislocations d'accommodation géométrique.

## II.4 Le glissement

La formation de structures particulières lors du glissement (lignes, bandes, etc...) provient du fait que la déformation plastique se produit loin de l'équilibre thermodynamique, selon des lois non-linéaires incluant des interactions à longues distances ². Ces structures consistent souvent en arrangements périodiques sur la surface du métal de traces de glissement créées par les dislocations au cours de petits intervalles d'allongement (voir en particulier le § II.5). La forme de ces endommagements peut évoluer selon la contrainte ou le type de déformation (en particulier la vitesse d'étirement).

La formation des lignes de glissement dépend bien entendu de la distribution au sein du métal des lignes de glissement, du nombre de dislocations mobiles émises par les sources, de la vitesse de nucléation de ces dernières, de leur vitesse de propagation à travers le cristal. Les *lignes de glissement*, qui sont les plus petites structures de déformation plastique visibles à la surface du métal, sont crées par une trentaine de dislocations émises par des sources simples ; les *bandes de glissement* sont des lignes de glissement faiblement espacées, provenant probablement du déclenchement de nouvelles sources de dislocations lors d'un glissement transversal ; les *paquets de bandes* (*bundles* dans la littérature anglo-saxonne), agglomérats (*clusters*) de bandes de glissement séparées par un intervalle bien défini.

La propagation de ce phénomène semble se faire de ligne à ligne, de bande à bande, de paquet à paquet.

## II.5 Les instabilités

Lorsque on enregistre l'effort exercé sur l'éprouvette en fonction de l'allongement imprimé à celle-ci, on pourrait s'attendre à observer une fonction monotone croissante $\sigma (\varepsilon)$. Pourtant il arrive très souvent que, pour une éprouvette soumise à un taux de déformation imposé constant, la contrainte fluctue ; on dit alors qu'il y a *instabilité*.

### II.5.1 Un exemple d'instabilité : le crochet de traction - les bandes de LÜDERS

Le crochet de traction sur la courbe allongement - contrainte est un phénomène bien connu du fer et des aciers doux, entre autres. Il survient lorsque les dislocations sont fortement ancrées et qu'il faut une énergie considérable pour les arracher. En fait il est plus facile au métal de créer d'autres dislocations dans des zones de concentration de contraintes (par exemple dans le cas d'un essai de traction classique aux congés de raccordement des têtes des éprouvettes) que d'activer celles présentes initialement. Les nouvelles dislocations formées peuvent plus facilement glisser, former des empilements, se propager, donnant lieu à une avalanche qui de grain en grain traverse l'éprouvette, formant sur celle-ci (le
phénomène apparaît plus clairement sur éprouvette plate) une ou plusieurs bandes (s'il y a plusieurs fronts), qui sont en fait constituées de un ou plusieurs "paquets" de bandes de glissement actives¹. Le plateau correspond à l'envahissement progressif de tout le corps de l'éprouvette par ces bandes jusqu'à l'homogénéisation de la densité de dislocations. Ce phénomène a été observé par PIOBERT en 1842 et LÜDERS en 1860, qui lui ont laissé leurs noms.

Les bandes de Lüders se composent d'au moins deux fronts. Le front de propagation et la direction de la contrainte forment un angle d'environ 45 à 50°, selon les valeurs rapportées dans la littérature. Cela semble indiquer que le mécanisme primaire de déformation est un cisaillement.

Une première interprétation de ce phénomène³ a été donnée en considérant la condition imposée par la machine de traction (loi d'Orowan), qui lie la vitesse d'allongement et le flux de dislocations :

$$ \frac{de}{dt} = \rho b v \quad (1) $$

ρ étant la densité de dislocations mobiles et b le vecteur de Bürgers. On a par ailleurs la proportionnalité

$$ v \propto \sigma^n $$

Si la densité initiale ρ est faible, il faut atteindre des contraintes élevées pour que v vérifie l'égalité (1). La déformation introduisant de nouvelles dislocations, la densité ρ peut devenir très élevée, d'où il s'ensuit que, pour que soit respectée la condition $\frac{de}{dt} = cte$ imposée par la machine de traction, v doit diminuer, d'où σ doit diminuer, ce qui explique le crochet et le palier. Si la limite d'élasticité $R_e$ dépend de la taille des grains, il en est de même pour la longueur du palier de traction, l'augmentation de $R_e$ s'accompagnant d'une plus grande déformation à l'échelle de la bande de Lüders. On montrera dans la suite qu'on peut calculer grossièrement la longueur de ce palier. Il se peut d'autre part¹ que ce phénomène s'arrête après un écrouissage suscité par un accroissement important de la densité de dislocations, provoquant l'activation locale de glissements secondaires.

Il faut noter que si l'éprouvette de fer ou d'acier doux a subi un écrouissage préalable (avec donc augmentation de la densité de dislocations), le crochet n'apparaît pas lors de l'essai de traction : la force croît alors continûment jusqu'à la striction (cas par exemple d'un acier inoxydable austénitique).

Il existe une relation entre les limites d'élasticité inférieure et supérieure, mais elle est impossible à expliciter quantitativement : la chute de charge au crochet dépend de paramètres aussi divers que les dimensions de l'éprouvette, la rigidité de la machine de traction ou encore la concentration de contraintes au congé nécessaire pour déclencher le phénomène de bandes, qui apparaît au niveau du pic. La propagation des bandes est d'abord longitudinale (crochet), puis transversale (palier). Pendant le crochet, la largeur de la partie calibrée de l'éprouvette (qui est pour sa plus grande part toujours dans le domaine élastique) est traversée par une bande née au niveau du congé de raccordement (ce phénomène est très net sur une éprouvette plate). Le temps nécessaire à cette traversée dépend bien évidemment de la largeur ou du diamètre de l'éprouvette, mais aussi de la rigidité de la machine ; plus celle-ci sera molle, avec un coefficient de rigidité élevé, plus la vitesse de déformation sera grande, donc plus la limite inférieure d'élasticité (LEI) sera élevée.
Ce phénomène, puisqu'il provoque le glissement de plans cristallins les uns sur les autres, sera prépondérant pour la suite de notre étude : nous allons donc nous y attarder en détail. D'autre part la taille des grains détermine également la longueur du palier de Lüders : en effet, plus le grain sera gros, plus la limite d'élasticité sera faible, et plus le palier sera court.

<figure><img src="image_248.png" /><figcaption>Figure 10 : Crochet de traction</figcaption></figure>

## II.5.2 Rôle des dislocations dans les bandes de Lüders

Une première approche phénoménologique du phénomène prenant en compte la densité de dislocations a été mentionnée ci-dessus. On présentera au paragraphe suivant un autre modèle basé sur de récents développements de la théorie de l'instabilité. Nous donnerons ici quelques observations et résultats expérimentaux relevés dans la littérature⁴ que l'on tentera d'étendre par la suite aux phénomènes régissant la fissuration sous contrainte intergranulaire du fer α.

Au niveau de la limite d'élasticité supérieure (LES), le métal a déjà subi une déformation plastique d'environ $3.10^{-5}$ dans le cas d'un acier au carbone. Ainsi cette limite ne peut pas être considérée comme la vraie limite élastique du matériau $σ_e$, qui lui est légèrement inférieure. En fait, à partir de $σ_e$ se produit un micro-écoulement plastique homogène - avec formation en quantité non négligeable de dislocations mobiles -, qui s'accroît jusqu'à la LES : alors s'initie une distribution non-homogène de zones diversement écrouies avec nucléation d'une bande de Lüders (la densité de dislocations actives serait en ce point de $10^5$ à $10^6$ cm$^{-2}$). Alors se produit la chute de la contrainte, non de manière discontinue mais avec une valeur négative de la pente ($\frac{d\sigma}{d\epsilon}$). Dès lors la multiplication des dislocations mobiles est extrêmement rapide. La chute de la contrainte montre que l'activation des sources nécessite une sollicitation mécanique plus importante que la propagation des dislocations dans la matrice. On a pu montrer que les sources qui sont activées en tout premier lieu sont celles situées dans les joints de grains. L'émergence de bandes de glissement se fera donc préférentiellement aux joints.
La vitesse de propagation du front de bande dépend plus des contraintes locales que de la contrainte macroscopique enregistrée à longue distance. Toutefois, il faut considérer que cette vitesse dépend étroitement de la densité de dislocations mobiles : certains auteurs ont néanmoins supposé que seule une fraction constante de la densité totale de dislocations était mobile⁵.

### II.5.3 Une nouvelle approche phénoménologique de l'instabilité : la théorie de KUBIN et ESTRIN (1986)⁶

Les dislocations sont ici supposées uniformément distribuées dans l'espace. Leur densité évolue au cours du temps par création, annihilation ou piégeage. On distinguera les dislocations mobiles, de densité $ρ_m$, des dislocations de la forêt, de densité $ρ_f$. Un calcul simple de la vitesse d'annihilation entre dislocations mobiles considère deux populations de densité $\frac{\rho_m}{2}$ se déplaçant l'une vers l'autre à la vitesse 2v. L'annihilation se produit lorsque deux dislocations de signes opposés se déplacent en sens inverses sur deux plans de glissement séparés par une distance inter-réticulaire inférieure à une valeur seuil y. Le volume dans lequel l'annihilation se produit pendant le temps dt est :

$$dV = 2 \rho_m v y dt$$

Alors la vitesse d'annihilation s'écrit :

$$\frac{d\rho_m}{dt} = - \rho_m \frac{dV}{dt} = - 2 \rho_m^2 v y$$

Si nous introduisons la loi d'OROWAN dans l'expression précédente, il vient :

$$\frac{d\rho_m}{dt} = \frac{d\rho_m}{d\epsilon} \frac{d\epsilon}{dt} = \frac{d\rho_m}{d\epsilon} \quad \rho_m \text{ b v} = - 2 \rho_m^2 v y$$

soit donc :
$$\frac{d\rho_m}{d\epsilon} = - 2 \rho_m \left(\frac{y}{b}\right)$$

Les autres types d'interactions sont traitées de la même manière, ce qui permet d'aboutir à un système de deux équations à deux inconnues :

$$\frac{d\rho_m}{d\epsilon} = \frac{C_1}{b^2} - C_2 \rho_m - \frac{C_3}{b} \rho_f^2$$

et

$$\frac{d\rho_m}{d\epsilon} = C_2 \rho_m + \frac{C_3}{b} \rho_f^2 - C_4 \rho_f$$

Le terme $\frac{C_1}{b^2}$ correspond à la multiplication des dislocations mobiles, $- C_2 \rho_m$ à l'annihilation mutuelle ainsi qu'au piégeage de deux dislocations mobiles, $- \frac{C_3}{b} \rho_f^2$ au piégeage de celles-ci par les arbres de la forêt. Si la densité initiale de dislocations mobiles (resp. de la forêt) est $10^6 \text{ cm}^{-2}$ (resp. $10^7 \text{ cm}^{-2}$), celle-ci peut évoluer jusqu'à une valeur de saturation de l'ordre de $5.10^9 \text{ cm}^{-2}$ (resp. $10^{11} \text{ cm}^{-2}$), atteinte pour un allongement d'environ 30% dans le cas des dislocations de la forêt.

En partant d'une expression différentielle de la forme :

$$d\sigma = \left(\frac{d\sigma}{d\epsilon}\right)_{\epsilon'} d\epsilon + \left(\frac{d\sigma}{d\ln\epsilon'}\right)_{\epsilon} d\ln\epsilon'$$
et en posant $h = (\frac{d\sigma}{d\varepsilon})_{\varepsilon'}$ (taux d'écrouissage) et $S = (\frac{d\sigma}{d\ln \varepsilon})_{\varepsilon}$ (sensibilité à la vitesse de traction), les auteurs, prenant en compte la dépendance thermique du mouvement des dislocations, écrivent la loi d'Orowan sous la forme d'une loi d'Arrhénius :

$$ \varepsilon = K \mathfrak{b} \rho_m \sqrt{\rho_f} \nu \exp\left[\frac{\sigma - \alpha \mu \rho_m \sqrt{\varepsilon}}{S}\right] $$

avec K une constante, et ν une fréquence événementielle. On définira $\Omega(e) = \mathfrak{b} \rho_m \sqrt{\rho_f}$ comme l' allongement élémentaire obtenu lorsque les dislocations réussissent à surmonter une certaine barrière énergétique d'activation.

En vue d'examiner la stabilité d'une déformation imposée à l'éprouvette (c'est-à-dire de déterminer si un incrément de longueur va bien donner lieu à un incrément de la contrainte exercée sur le système), on introduit une petite fluctuation de l'élongation $\delta\varepsilon$. En exprimant la fluctuation sous une forme du type :

$$ \delta\varepsilon = \delta\varepsilon_0 \exp(\lambda t) $$

et en supposant l'incompressibilité de l'éprouvette tout comme la constance de la charge sur son axe, on obtient la relation : $\delta\sigma = \pm \sigma \delta\varepsilon$.

Or $d\sigma = h d\varepsilon + S d\ln \varepsilon' = h de + S \frac{d\varepsilon'}{\varepsilon'}$ ; il vient alors $h \delta\varepsilon + S \frac{\lambda \delta\varepsilon}{\varepsilon'} = \pm \sigma \delta\varepsilon$.

Donc $h + \frac{\lambda S}{\varepsilon'} = \pm \sigma$ , soit :

$$ \lambda = \frac{\varepsilon' (-h \pm \sigma)}{S} $$

En traction, $\lambda = \frac{\varepsilon' (-h + \sigma)}{S}$. Le système est stable si $\lambda < 0$, instable dans le cas contraire.

Aux faibles élongations, $\sigma$ est en général faible devant $h$, et le critère d'instabilité devient $-\frac{h}{S} > 0$.

Pour des allongements plus importants, l'instabilité apparaît lorsque $h-\sigma < 0$, avec $h > 0$ et $S > 0$ : c'est le phénomène de striction.

On distingue quatre types d'instabilités, dénommées M, h, S, T ; chacune correspond à un cas particulier du critère :

$$ \frac{\varepsilon' (-h \pm \sigma)}{S} < 0 $$

### a) Instabilité de type h

Elle correspond au cas où $h > 0$ et $S > 0$, c'est-à-dire lorsque la contrainte est "plus forte" que l'écrouissage. On donnera dans ce paragraphe un exemple d'instabilité de type h associé à la création rapide de dislocations mobiles.

Du système d'équations différentielles ci-dessus on déduit :

$$ h = \alpha \mu \mathfrak{b} \left[ \frac{\partial \sqrt{\rho_f(\varepsilon)}}{\partial \varepsilon} \right]_{\varepsilon'} - S \left[ \frac{\partial \ln \Omega}{\partial \varepsilon} \right]_{\varepsilon'} $$

En introduisant dans cette expression les valeurs de $\rho_m$ et $\rho_f$ calculées en fonction de $\varepsilon$ à l'aide des équations précédentes, les auteurs aboutissent à une loi de variation de $h$ avec $\varepsilon$ donnée sur la figure 11.
<figure><img src="image_249.png" /><figcaption>Figure 11 : Variation de h avec ε (d'après 6)</figcaption></figure>

On constate que l'écoulement plastique uniforme est instable en traction pour des élongations trop faibles d'une part, trop grandes d'autre part. L'instabilité à faible élongation (par exemple au crochet de Lüders) vient du fait qu'à l'initiation de l'écoulement plastique la contribution des dislocations mobiles à l'écrouissage (l'incrément d'élongation élémentaire défini ci-dessus) l'emporte sur celle des dislocations de la forêt. Il en résulte un adoucissement ; l'écoulement part de manière non-uniforme ce qui permet d'expliquer l'observation de lignes et de bandes de glissement à la surface du cristal déformé. Lorsque $\epsilon = \epsilon_1$ le coefficient de croissance $\lambda$ devient nul ; $\epsilon_1$ (de l'ordre de 1 à 10%) représente l'allongement occasionné durant l'étape initiale de développement d'une ligne de glissement. Au-delà de cette valeur, le glissement s'étend sur toute la partie calibrée de l'éprouvette, de façon ordonnée ou désordonnée ; au cours de cette étape de propagation (plateau de Lüders sur la courbe $\sigma=f(\epsilon)$), de nouvelles lignes ou bandes de glissement sont crées, alors que l'étirement local décroît notablement. Plus on s'approche de la fin du plateau, plus la déformation plastique a tendance à s'uniformiser. Il est important de noter ici que ces auteurs pensent que les bandes de Lüders se propagent depuis les congés jusque sur l'ensemble de l'éprouvette avec une vitesse bien définie, bien que ce point demeure encore à élucider complètement.

b) Instabilité de type S

Elle correspond au cas où $h > \sigma$ et $S > 0$. Contrairement au cas précédent, où $\lambda$ passe par 0 lors de la transition vers l'instabilité, ici $\lambda$ change de signe en passant par l'infini.

Soit une dislocation mobile, se déplaçant dans son plan de glissement. Supposons qu'elle soit temporairement arrêtée par un arbre de la forêt. Il faut à notre dislocation un certain temps pour surmonter la barrière d'énergie nécessaire au franchissement de l'obstacle. Pendant cet intervalle, des atomes de soluté diffusent vers notre dislocation bloquée, suite à des interactions attractives entre deux types de défauts.

Si le temps nécessaire à la dislocation pour aller d'un obstacle à un autre est faible devant son temps "d'attente" T, alors sa vitesse est proportionnelle à $\frac{d}{T}$, $d = \sqrt{\rho_f}$ étant la distance séparant deux
obstacles. En substituant dans la loi d'Orowan il vient : $\varepsilon' = \frac{b \rho_m \sqrt{\rho_f}}{T} = \frac{\Omega}{T}$, avec $\Omega$ un incrément d'allongement élémentaire obtenu lorsque toutes les dislocations mobiles surmontent la barrière d'activation nécessaire au franchissement de l'obstacle. Ce phénomène est appelé *Vieillissement par Allongement Dynamique* (*Dynamic Strain Ageing* pour les anglo-saxons), en abrégé DSA.

La forêt rendant le déplacement des dislocations extrêmement difficile, la valeur de $S = \left(\frac{d\sigma}{d\ln \varepsilon'}\right)_{\varepsilon'}$ peut donc décroître jusqu'à devenir négative en présence d'atomes de soluté. Ces atomes contribuent à la contrainte selon :

$$ \sigma_{\text{atomes soluté}} = \sigma^0 \left(1 - \exp\left[-\left(\frac{T}{\tau}\right)^{2/3}\right]\right) $$

$\tau$ étant une constante de temps associée à la diffusion.

Deux mécanismes antagonistes gouvernent alors les mouvements de dislocations : le processus normal d'activation tend à réduire la contrainte d'écoulement tandis que le vieillessement par les atomes de soluté rend le franchissement des obstacles plus malaisé en augmentant le temps d'attente $T$.

On peut en somme toujours appliquer la relation : $d\sigma = h d\varepsilon + S d\ln \varepsilon'$, mais avec cette fois un coefficient de sensibilité

$$ S = \left(\frac{d\sigma}{d\ln \varepsilon'}\right)_{\varepsilon'} - \frac{d\sigma_{\text{atomes soluté}}}{d\ln T} = \left(\frac{d\sigma}{d\ln \varepsilon'}\right)_{\varepsilon'} - \frac{d\sigma_{\text{atomes soluté}}}{d\ln \left[\frac{\Omega(\varepsilon)}{\varepsilon'}\right]} $$

obtenu en remplaçant $\varepsilon'$ par $\frac{\Omega}{T}$.

### II.5.4 Application de la théorie de KUBIN & ESTRIN : l'effet PORTEVIN-LE CHATELIER

L'effet Portevin-Le Châtelier (PLC) s'observe non seulement sur des alliages, mais aussi sur des métaux industriels chargés en impuretés (comme nous l'avons observé dans le cadre de cette étude pour le fer ARMCO). Les dislocations glissent alors jusqu'à un obstacle devant lequel elles se bloquent. Il faut alors augmenter la contrainte pour qu'elles repartent, donnant ainsi lieu à de petits crochets sur la courbe de traction.

En fait l'effet PLC survient dès qu'un paquet de bandes de glissement s'active même par intermittences; alors d'autres bandes se créent rapidement à sa périphérie. Si le temps d'attente $T$ défini ci-dessus est supérieur à une certaine valeur critique, le glissement est brutalement arrêté. Il ne peut reprendre qu'après un incrément de contrainte élastique capable de libérer les dislocations bloquées. Ce phénomène s'observe dans des plages de température et de vitesse de traction bien précises, ainsi que le montre l'approche précédente (l'effet PLC ne peut survenir que si $S \le 0$ ; or $S$ est une fonction de $e'$).

Des expressions : $\sigma_{\text{at. soluté}} = \sigma^0 (1 - \exp\left[-\left(\frac{T}{\tau}\right)^{2/3}\right])$ et $\left(\frac{d\sigma}{d\ln \varepsilon'}\right)_e - \frac{d\sigma_{\text{atomes soluté}}}{d\ln \left[\frac{\Omega(\varepsilon)}{\varepsilon'}\right]} = 0$ on déduit l'équation :
$$ \frac{T}{\tau} \exp(-\frac{T}{\tau}) = \frac{3}{2} \left(\frac{d\sigma}{d\ln\epsilon'}\right)_{\epsilon} \frac{1}{\sigma^0} $$

que l'on écrira sous la forme

$$ X \exp(-X) = \alpha. $$

Cette équation admet deux solutions $X_1$ et $X_2$ si $\alpha < \frac{1}{\exp(1)}$, une seule si $\alpha = \frac{1}{\exp(1)}$, aucune dans les autres cas. S sera donc négatif dans l'intervalle $[X_1, X_2]$. X étant relié à $\epsilon'$ par l'expression :

$$ X = \left(\frac{\Omega}{\epsilon' \tau}\right)^{2/3} $$

on voit immédiatement que l'effet PLC n'intervient que dans un domaine de vitesses d'élongation bien déterminé, et seulement dans certains cas particuliers.

<figure><img src="image_250.png" /><figcaption>Figure 12 : Relation entre la vitesse de traction et la fraction de la contrainte qui en dépend (d'après 7)</figcaption></figure>

## II.6 Résorption de l'écrouissage : restauration par recristallisation

Il est parfois nécessaire de supprimer l'écrouissage du matériau, par exemple lorsqu'il est devenu trop dur pour être mis en forme ou pour des essais de laboratoire comme les nôtres qui nécessitent des échantillons non écrouis. On pratique alors un *recuit de recristallisation*, qui dans un premier temps élimine les dipôles de dislocations de signes opposés. Il se forme ensuite des parois de dislocations qui divisent les joints en sous-grains (polygonisation). Certains de ces sous-grains énergétiquement favorisés peuvent alors croître aux dépens des autres, donnant ainsi naissance à un nouveau grain dont la densité de dislocations sera faible. Plus la température de recristallisation sera élevée, plus les nouveaux grains seront gros.
# III. MECANIQUE DE LA RUPTURE

## III.1 Elasticité linéaire

### III.1.1 Contrainte théorique de clivage

L'ouverture d'une fissure dans un matériau suppose la rupture à l'emplacement considéré des liaisons qui assurent la cohésion du matériau. Si on suppose que l'énergie de cohésion entre deux atomes est liée à la distance a les séparant par l'expression :

$$ \sigma = \sigma_{\max} \sin \frac{2\pi}{\lambda} (a-a_0) $$

avec $a_0$ la distance interatomique d'équilibre.

On voit que cette courbe représente une portion de sinusoïde.

Comme $a-a_0 \ll 1$ on a $\sin (a-a_0) \approx a-a_0$

et, comme on est dans le domaine élastique : $\frac{\sigma}{E} = \frac{a-a_0}{a_0}$ (loi de Hooke)

$$ \text{d'où :} \qquad \frac{E}{a_0} = \sigma_{\max} \frac{2\pi}{\lambda} $$

L'énergie spécifique théoriquement nécessaire pour séparer les surfaces définies par les deux plans cristallographiques est $2\gamma_s$;

elle peut être approximée par l'aire A (cf figure) :

$$ 2\gamma_s = \int_{a_0}^{a_0+\lambda} \sigma_{\max} \sin \frac{2\pi}{\lambda} (a-a_0) da = \sigma_{\max} \frac{\lambda}{\pi} $$

$$ \text{d'où l'on tire la contrainte théorique de clivage :} \qquad \sigma_{\max} = \sqrt{\frac{E\gamma_s}{a_0}} $$

Or c'est une contrainte environ 100 fois supérieure à celle que nous venons de calculer qu'il faut appliquer pour écarter les deux plans considérés. Aussi a t-on imaginé la présence de défauts géométriques au sein du matériau.

### III.1.2 Energie de déformation liée à une fissure

Ecrivons le premier principe de la thermodynamique :

$$ dU + dE + d(A_0 + 2A) \gamma_s + dW_c = 0 $$

avec E l'énergie élastique emmagasinée

$(A_0 + 2A) \gamma_s$ l'énergie de surface ($A_0$ étant la surface externe et A celle de la fissure)

$W_c$ l'énergie cinétique

U l'énergie interne

Supposons que la surface externe ne change pas. Posons $G = -\frac{d(U+E)}{dA}$. Alors il vient :

$$ G = 2\gamma_s + \frac{dW_c}{dA} $$
Si la fissure n'est pas en train d'évoluer, $dW_c = 0$ soit $G = 2\gamma_s$.

$2\gamma_s$ est donc un seuil d'énergie surfacique critique au-delà duquel la fissure va pouvoir se propager. En deçà de $2\gamma_s$, la fissure devrait se refermer, ce qui ne se produit pas en raison de l'oxydation du métal frais à la surface de la fissure.

Soit $F$ la force s'exerçant sur le métal. Supposons que le point d'application de $F$ se déplace de $\delta$ au cours de la propagation de la fissure.

La thermodynamique donne : $U = - F \cdot \delta$ et $E = \frac{1}{2} F \cdot \delta$

$$ \text{Donc :} \qquad G = \frac{1}{2} \left( F \frac{d\delta}{dA} + \delta \frac{dF}{dA} \right) $$

La grandeur $G$ est appelée *taux de libération d'énergie*.

On montre qu'en contrainte plane : $G = \frac{K_I^2}{E}$, et qu'en déformation plane $G = (1-\nu^2) \frac{K_I^2}{E}$, avec

$K_I$ le facteur d'intensité de contraintes décrivant l'ensemble de la singularité spatiale du champ de contraintes, calculable à partir de la forme de la fissure et de la géométrie du système.

CHEREPANOV et RICE ont introduit une intégrale de contour (ou intégrale d'Eshelby) définie par :

$$ J = \int_{\Gamma} (W \, dx^2 - \tau_i \frac{\delta u}{\delta x} \, ds) $$

avec $W$ la densité d'énergie élastique, $\tau$ la contrainte et $u$ le déplacement sur le contour $G$ qui entoure la fissure. Si la fissure se propage sans déviation (ce qui est rarement le cas en corrosion sous contrainte), l'intégrale $J$ est identique à $G$.

### III.1.3 Modèle de Griffith

GRIFFITH a postulé l'existence, dans les solides, de microfissures qui sont à l'origine de la rupture. Ainsi, il a pu justifier le paradoxe ci-dessus. Considérons par exemple une plaque percée d'un trou elliptique de longueur $2l$, de rayon maximal $\rho$ (figure 13)

Un calcul simple montre que, si on exerce une sollicitation $\sigma$ en bout de plaque, la contrainte est amplifiée à l'extrêmité du grand axe, atteignant une valeur $\sigma_0$ :

$$ \sigma_0 = 2 \sigma \sqrt{\frac{l}{\rho}} $$

Pour qu'on ait rupture, il faut que $\sigma_0 = \sigma_{max}$ ; aussi la force $\sigma$ à appliquer sera :

$$ \sigma = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{E \gamma_s \rho}{a_0 l}} $$

On voit donc que plus les fissures seront fines ($\rho$ petit), moins le matériau sera résistant à la rupture. Il faut d'autre part tenir compte de l'énergie nécessaire pour créer de nouvelles surfaces lors de la propagation de la fissure (égale à $4\gamma_s l$), et d'un terme élastique nécessaire pour empêcher les lèvres de la fissure de se relâcher que l'auteur calcule comme : $-\frac{\pi\sigma_s^2 l^2}{E}$
En prenant l'énergie comme stationnaire :
$$ \frac{dE}{dl} = \frac{d}{dl} \left( 4\gamma_s l - \frac{\pi\sigma_s^2 l^2}{E} \right) = 0 $$

on obtient le critère de Griffith :

$$ \sigma_G = \sqrt{\frac{\gamma_s E}{l}} $$

En résumé, une fissure ne peut se propager que si la variation d'énergie élastique dans le matériau est supérieure à la variation d'énergie de surface engendrée par la création d'une surface fraîche.

La contrainte de Griffith $\sigma_G$ est la valeur nécessaire pour propager une fissure elliptique de grand axe 2l. Elle est donc une mesure de la résistance à la rupture du matériau.

<figure><img src="image_251.png" /><figcaption>Figure 13 : Plaque percée d'un trou elliptique</figcaption></figure>

### III.1.4 Zone endommagée en tête de fissure

Si on représente l'allure de la contrainte en fonction de la distance à l'intérieur de la fissure, on constate que, suite à un processus d'endommagement, $\sigma$ passe par un maximum puis décroît pour finalement s'annuler à l'extrêmité de la fissure (figure 14).

On montre que dans la zone endommagée on peut faire l'approximation :

$$ \frac{\sigma}{\sigma_R} = \left(\frac{r}{r_d}\right)^{\alpha} $$

Alors la dimension de la zone endommagée est égale à :

$$ r_d = \frac{\alpha + 1}{\pi} \left( \frac{K_I}{\sigma_R} \right)^2 $$

Toutefois dans la pratique il existe toujours une zone plastique de dimensions plus ou moins large au voisinage du fond de fissure. Il faut donc en tenir compte.
<figure><img src="image_252.png" /><figcaption>Figure 14 : Contrainte dans la zone endommagée en tête de fissure</figcaption></figure>

### III.2. En élastoplasticité

La formule de Griffith vue au § II.1.3 donne également un ordre de grandeur de la taille des microfissures qui devraient préexister dans le matériau pour donner lieu à propagation et rupture. Mais là encore, la réalité n'est pas en accord avec la théorie. En effet, il faudrait par exemple que des fissures millimétriques soient présentes dans certains métaux pour que ceux-ci soient susceptibles d'être endommagés. Ainsi, la distorsion avec la théorie s'explique dans le cas des fontes par le fait que ces dernières contiennent des précipités lenticulaires de graphite. Les cavités qui les contiennent jouent alors le rôle de ces fissures millimétriques hypothétiques. Mais cette théorie est loin d'être partout applicable. Il a fallu enrichir cette approche en tenant compte comme dans ce qui précède des dislocations du réseau.

#### III.2.1 Modèle de DUGDALE

S'il n'est pas concevable qu'un métal contienne initialement des fissures millimétriques, il est en revanche tout à fait possible à celui-ci de relâcher les contraintes existant en tête d'empilement de dislocations en créant une microfissure qui se propagera si l'empilement continue à être approvisionné (figure 15).

<figure><img src="image_253.png" /><figcaption>Figure 15 : Modèle de Dugdale (zone plastique confinée en tête de fissure)</figcaption></figure>

DUGDALE, BARRENBLAT, BILBY et COTTRELL considèrent la fissure comme une fissure élastique englobant la zone plastique la prolongeant, de longueur R (figure II.) et la supposent soumise à des contraintes de fermeture égales à la limite élastique $R_e$. On notera $\delta$, ou CTOD (Crack tip opening displacement) l'ouverture de la fissure. La théorie de DUGDALE aboutit à l'expression :

$$ \delta = \frac{K_I^2}{E R_e} $$
### III.2.2 Application de l'intégrale J à la propagation de la fissure

On a vu que, d'une part, il fallait que le taux de libération d'énergie G soit supérieur à $2\gamma_s$ pour que la fissure se propage et que, d'autre part, G était égal à l'intégrale de RICE et CHEREPANOV dans le cas d'une fissure se déplaçant sans déviation. D'une manière plus générale, la fissure ne peut se propager que si la valeur de J devient supérieure à une certaine valeur seuil notée $J_R$. Si on a égalité entre J et $J_R$ la croissance est dite stable ; dans le cas contraire, instable. En effet, dans ce dernier cas, la quantité J - $J_R$ se transforme en énergie cinétique.

La stabilité ou l'instabilité de la propagation de la fissure dépend de la raideur de la machine de traction. Si elle est faible, le déplacement de la traverse qui s'ajoute à celui provoqué par la variation de raideur de l'éprouvette favorise l'instabilité.

### III.2.3 Rupture

Soit un matériau sur lequel on applique une contrainte de traction $\sigma$.

- si le matériau contient des microfissures (par exemple le verre), alors celles-ci pourront se propager et conduire à une rupture fragile.

- dans le cas contraire, la contrainte $\sigma$ peut les initier.

#### 1°) Cas des aciers inoxydables austénitiques

Le glissement est facile ; la limite d'élasticité faible. Lorsque celle-ci est dépassée, le métal se déforme facilement, ce qui fait que nulle part n'est atteinte la contrainte $\sigma_G$. La rupture observée doit peu au clivage, elle n'est pas de type fragile. C'est également le cas du cuivre, de l'aluminium et d'autres métaux c.f.c.

#### 2°) Cas des matériaux durs (fer c.c., minéraux, diamant...)

Le glissement est peu aisé. Les sources de dislocations sont difficiles à activer. Le matériau a une limite d'élasticité élevée. Les contraintes appliquées sont susceptibles d'être amplifiées par les empilements : une microfissure peut alors germer : une rupture fragile risque d'intervenir rapidement.
# IV. L'ESSAI DE TRACTION SUR EProuvette LISSE ⁸

## IV.1. Courbe rationnelle de traction. Effet de taille de grains

Pratiquer un essai de traction consiste à tracer la courbe effort - déformation à vitesse d'élongation de l'éprouvette constante. La force doit ensuite être divisée par la section de l'éprouvette pour obtenir la contrainte appliquée à celle-ci. La section, qui varie évidemment au cours de l'essai, peut être mesurée à chaque instant au moyen d'un capteur placé autour de l'éprouvette, ou alors, lorsque c'est impossible, comme lors d'essais de corrosion, estimée en considérant que le volume de la partie calibrée reste constant ; on a alors :

$$S = S_0 \frac{l_0}{l_0 + \Delta l}$$

Cette approximation n'est évidemment valable que tant que le diamètre de la partie calibrée est identique sur toute sa longueur : elle n'est plus légitime dès lors que se produit la striction. De plus l'effet de concentration de contrainte rend encore plus difficile le calcul de la contrainte vraie. BRIDGMANN a proposé pour la formule suivante pour calculer la contrainte vraie dans la zone de striction :

$$\sigma_{\text{vraie}} = \frac{F}{S} \left(1 + \frac{2R}{a}\right) \ln \left(1 + \frac{a}{2R}\right)$$

avec R le rayon de la zone de striction et a le rayon de la section minimale. Mais un tel calcul suppose la connaissance de la surface instantanée S. Il conduit à une portion de courbe linéaire.

D'autre part, on a été amené à remplacer l'allongement $\Delta l$ par la déformation rationnelle définie par :

$$\epsilon = \ln \frac{l}{l_0}$$

Si à un instant donné la partie calibrée de l'éprouvette, de longueur l s'allonge de $dl$, l'allongement relatif instantané sera égal à $\frac{dl}{l}$; donc la somme des allongements relatifs depuis le début de l'essai sera :

$$\epsilon = \int_{l_0}^{l} \frac{dl}{l} = \ln \frac{l}{l_0}$$

Mais il faut remarquer que, pour les faibles allongements usuels, $\epsilon$ ne diffère que très peu de $e = \frac{\Delta l}{l_0}$ (puisque $\ln x \approx 1 + x$ si $x \ll 1$).

La courbe obtenue en portant $\sigma$ en fonction de $\epsilon$ s'appelle courbe rationnelle de traction.

La portion parabolique de cette courbe rationnelle peut être décrite par l'expression :

$$\sigma = \sigma_0 + k \epsilon^n$$

$n$ est appelé coefficient d'écrouissage ; il est égal à la déformation rationnelle au maximum de la courbe. En effet, en ce point $dF = \sigma S = 0$. Donc :

$$\frac{d\sigma}{\sigma} + \frac{dS}{S} = \frac{d\sigma}{\sigma} + \frac{dl}{l} = 0$$
Il vient donc que $\frac{d\sigma}{\sigma} = d\varepsilon$ ; soit donc que $\frac{d\sigma}{\varepsilon} = \sigma = k \varepsilon^n = \frac{d(k \varepsilon^n)}{\varepsilon} = n k \varepsilon^{n-1}$

On obtient l'égalité $\varepsilon^n = n \varepsilon^{n-1}$, soit donc $n = \varepsilon$.

A charge maximale, on a : $\sigma_{max} = k n^n$

Dans le cas qui nous occupe ici, celui des aciers doux, on observe que $\sigma_0 = 0$.

L'approximation parabolique permet de voir l'influence de la taille de grains sur la longueur du palier de traction (c'est le cas notamment du fer et des aciers doux). Considérons la figure 16.

Puisque la portion plastique de la courbe est une parabole d'équation $\sigma = k \varepsilon^n$, la fin du palier a pour abscisse $e_p = \sqrt[n]{\frac{R_e}{k}}$ ; comme la pente est très élevée dans le domaine élastique, on peut considérer que la longueur du palier $l_p = e_p$ - une constante pratiquement indépendante de la valeur de la limite inférieure d'élasticité (LEI).

Comme on l'a vu en II.2.1.c, la limite élastique vérifie l'égalité : $R_e = \tau_i + \sqrt{\frac{2 M b \tau_{ad}}{L}}$, ce qu'on écrira pour simplifier $R_e = \tau_i + \sqrt{\frac{K}{L}}$, on aura :

$$e_p = \sqrt[n]{\frac{\tau_i + \sqrt{\frac{K}{L}}}{k}}$$

Il est permis de considérer que le palier est de longueur nulle si $R_e = \tau_i$. Dans ce cas $e_p = \frac{\tau_i}{E}$. En égalisant ces deux expressions, on trouve dans le cas général :

$$l_p \approx e_p = \frac{\tau_i}{E} \sqrt[n]{1 + \frac{K}{\tau_i \sqrt{L}}}$$

On voit que la taille du grain L a une influence directe sur la longueur du palier : plus le grain est gros, plus le palier est court.

<figure><img src="image_254.png" /><figcaption>Figure 16 : Courbe de traction et approximation parabolique pour un métal à palier</figcaption></figure>
## IV.2 Influence de la vitesse d'elongation

La courbe de traction est dépendante de la vitesse de traction : plus celle-ci sera faible, plus l'allongement avant rupture sera faible. Mais la vitesse influe aussi sur la limite d'élasticité, ainsi que le schématise la courbe reportée sur la figure 17.

On s'aperçoit que la limite d'élasticité varie linéairement avec le logarithme de la vitesse d'élongation. Dans le domaine des faibles vitesses de traction ($< 10^{-4} s^{-1}$) qui nous intéressera pour cette étude les variations de $R_e$ avec $\frac{dl}{dt}$ sont insignifiantes.

<figure><img src="image_255.png" /><figcaption>Figure 17: Influence de la vitesse de traction sur la limite élastique</figcaption></figure>
REFERENCES

1 - H. NEUHÄUSER, *Dislocation Patterns and Plastic Instabilities*, in *Patterns, Defects and Materials Instabilities*, Editeurs D. WALGRAEF & N.M. GHONIEM, Kluwer Academic Publishers (1990), pp. 241-276

2 - M. BOCEK, *Physica Scripta*, Vol.29 (1990), pp. 241-276

3 - J. BENARD, A. MICHEL, J. PHILIBERT, J. TALBOT, *Métallurgie Générale*, 2ème Edition, Masson (1991)

4 - D.W. MOON, *Mater. Sci. Eng.*, N°8 (1971), pp. 235-243

5 - G.T. HAHN, *Acta Met.*, N°10 (1962) p. 77

6 - L.P. KUBIN, Y. ESTRIN, G. CANOVA, *Dislocation Patterns and Plastic Instabilities*, in*Patterns, Defects and Materials Instabilities*, Editeurs D. WALGRAEF & N.M. GHONIEM, Kluwer Academic Publishers (1990), pp. 277-301

7 - P. PENNING, *Acta. Met.*, Vol.20 (1990), p. 1169

8 - M. GRUMBACH, *L'Essai de Traction*, Collection IRSID OTUA, *Propriétés d'emploi des aciers*

En ce qui concerne les notions générales de mécanique de l'endommagement, le lecteur pourra se reporter aux deux premiers tomes de l'ouvrage de

D. FRANÇOIS, A. PINEAU, A. ZAOUI, *Comportement Mécanique des Matériaux*, Hermès (1991 & 1993)

qui décrit l'ensemble des connaissances brièvement exposées dans ce chapitre, et auquel on a très largement fait appel ici sans toutefois le référencier à chaque fois, ce qui aurait été fastidieux.
ANNEXE II

DIAGRAMME POTENTIEL - pH DU FER
EN SOLUTION CARBONATEE A 80°C
(Teneur totale en carbone : 1,5 mol.l⁻¹)

On a utilisé pour l'établissement de ces diagrammes les données thermodynamiques de la littérature¹ (enthalpies libres standard de formation, entropies à 25°C, capacités calorifiques des corps non dissous). On a calculé les enthalpies libres de formation à 80°C ci-dessous selon la méthode de la référence².

Les diagrammes obtenus sont reportés sur les figures 1 et 2. On donne pour mémoire les mêmes diagrammes à 25°C tracés à l'aide des mêmes sources de données sur les figures 3 et 4.

<table><thead><tr><th>Espèce</th><th>ΔG° (kJ.mol-1)</th></tr></thead><tbody><tr><td>H<sup>+</sup></td><td>0</td></tr><tr><td>OH<sup>-</sup></td><td>- 143,15</td></tr><tr><td>H<sub>2</sub>CO<sub>3</sub></td><td>- 609,43</td></tr><tr><td>HCO<sub>3</sub><sup>-</sup></td><td>- 567,04</td></tr><tr><td>CO<sub>3</sub><sup>2-</sup></td><td>- 498,23</td></tr><tr><td>Fe<sup>2+</sup></td><td>- 77,14</td></tr><tr><td>Fe<sup>3+</sup></td><td>3,36</td></tr><tr><td>H<sub>2</sub>O(l)</td><td>- 228,36</td></tr><tr><td>H<sub>2</sub></td><td>0</td></tr><tr><td>O<sub>2</sub></td><td>0</td></tr><tr><td>Fe</td><td>0</td></tr><tr><td>Fe<sub>3</sub>O<sub>4</sub></td><td>- 996,5</td></tr><tr><td>Fe(OH)<sub>2</sub></td><td>- 471,13</td></tr><tr><td>Fe(OH)<sub>3</sub></td><td>- 674,47</td></tr><tr><td>Fe<sub>2</sub>O<sub>3</sub></td><td>- 725,2</td></tr><tr><td>FeCO<sub>3</sub></td><td>- 653,14</td></tr></tbody></table>

1) On ne considère comme espèces solides que Fe, FeCO₃, Fe₃O₄ et Fe₂O₃

On considérera les équilibres de dissociation suivants :

$$H^+ + OH^- \rightleftharpoons H_2O \qquad pK_w(80^{\circ}\text{C}) = 12,62$$

$$H_2CO_3 \rightleftharpoons HCO_3^- + H^+ \qquad pK_1 = 6,3 \quad (I)$$

$$HCO_3^- \rightleftharpoons CO_3^{2-} + H^+ \qquad pK_2 = 10,2 \quad (II)$$

$$FeCO_3 \rightleftharpoons Fe^{2+} + CO_3^{2-} \qquad pK = 11,5 \quad (III)$$

$$2 Fe^{3+} + 3 H_2O \rightleftharpoons Fe_2O_3 + 6 H^+ \qquad [H^+]^6 [Fe^{3+}]^{-2} = 10^{6,93} \quad (IV)$$
On considérera les équilibres électrochimiques suivants :

$$H_2O + e^- \rightleftharpoons \frac{1}{2} H_2 + OH^- \quad (I) \qquad E^\circ_1 = 0 \text{ mV/ENH} = -200 \text{ mV/ECS}$$

$$O_2 + 4 H^+ + 4 e^- \rightleftharpoons 2 H_2O \quad (II) \qquad E^\circ_{II} = +1183 \text{ mV/ENH} = +983 \text{ mV/ECS}$$

$$Fe^{2+} \rightleftharpoons Fe^{3+} + e^- \quad (1) \qquad E^\circ_1 = +834 \text{ mV/ENH} = +634 \text{ mV/ECS}$$

$$2 Fe^{2+} + 3 H_2O \rightleftharpoons Fe_2O_3 + 6 H^+ + 2 e^- \quad (2) \qquad E^\circ_2 = +591 \text{ mV/ENH} = +391 \text{ mV/ECS}$$

$$2 FeCO_3 + 3 H_2O \rightleftharpoons Fe_2O_3 + 2 H_2CO_3 + 2 H^+ + 2 e^- \quad (3) \qquad E^\circ_3 = +245 \text{ mV/ENH} = +45 \text{ mV/ECS}$$

$$2 FeCO_3 + 3 H_2O \rightleftharpoons Fe_2O_3 + 2 HCO_3^- + 4 H^+ + 2 e^- \quad (4) \qquad E^\circ_4 = +684 \text{ mV/ENH} = +484 \text{ mV/ECS}$$

$$2 FeCO_3 + 3 H_2O \rightleftharpoons Fe_2O_3 + 2 CO_3^{2-} + 6 H^+ + 2 e^- \quad (5) \qquad E^\circ_5 = +1397 \text{ mV/ENH} = +1197 \text{ mV/ECS}$$

$$3 FeCO_3 + 4 H_2O \rightleftharpoons Fe_3O_4 + 3 HCO_3^- + 5 H^+ + 2 e^- \quad (6) \qquad E^\circ_6 = +908 \text{ mV/ENH} = +708 \text{ mV/ECS}$$

$$2 Fe_3O_4 + H_2O \rightleftharpoons 3 Fe_2O_3 + 2 H^+ + 2 e^- \quad (7) \qquad E^\circ_7 = +237 \text{ mV / ENH} = +37 \text{ mV/ECS}$$

$$3 Fe + 4 H_2O \rightleftharpoons Fe_3O_4 + 8 H^+ + 8 e^- \quad (8) \qquad E^\circ_8 = -108 \text{ mV/ENH} = -308 \text{ mV/ECS}$$

$$Fe \rightleftharpoons Fe^{2+} + 2 e^- \quad (9) \qquad E^\circ_9 = -400 \text{ mV/ENH} = -600 \text{ mV/ECS}$$

$$Fe + H_2CO_3 \rightleftharpoons FeCO_3 + 2 H^+ + 2 e^- \quad (10) \qquad E^\circ_{10} = -226 \text{ mV/ENH} = -426 \text{ mV/ECS}$$

$$Fe + HCO_3^- \rightleftharpoons FeCO_3 + H^+ + 2 e^- \quad (11) \qquad E^\circ_{11} = -446 \text{ mV/ENH} = -646 \text{ mV/ECS}$$

$$Fe + CO_3^{2-} \rightleftharpoons FeCO_3 + 2 e^- \quad (12) \qquad E^\circ_{12} = -802 \text{ mV/ENH} = -1002 \text{ mV/ECS}$$

Dans la suite des calculs, on a pris comme hypothèse que les activités des ions $Fe^{2+}$ et $Fe^{3+}$ étaient toutes deux égales à $10^{-6} \text{ mol.l}^{-1}$ ; de plus on a confondu activités et concentrations des espèces $HCO_3^-$ et $CO_3^{2-}$ qui est manifestement abusif puisque par exemple la force ionique d'une solution normale en $NaHCO_3$ et $Na_2CO_3$ est égale à $2,5 \text{ mol.l}^{-1}$.

On obtient alors les relations suivantes (en Volts / ECS) :

$$E_1 = 0,634$$

$$E_2 = 0,812 - 0,21 \text{ pH}$$

$$E_3 = 0,057 + 0,070 \log \left( h + K_1 + \frac{K_1K_2}{h} \right) \text{ avec } h = 10^{-\text{pH}}$$

$$E_4 = 0,496 + 0,070 \log \left( 1 + \frac{h}{K_1} + \frac{K_2}{h} \right)^{-1} \cdot h^2$$

$$E_5 = 1,209 + 0,035 \log \left( 1 + \frac{h}{K_2} + \frac{h}{K_1K_2} \right)^{-2} \cdot h^6$$

$$E_6 = 0,727 + 0,035 \log \left( 1 + \frac{h}{K_1} + \frac{K_2}{h} \right)^{-3} \cdot h^5$$

$$E_7 = -0,037 - 0,070 \text{ pH}$$

$$E_8 = -0,308 - 0,070 \text{ pH}$$

$$E_9 = -0,810$$

$$E_{10} = -0,432 + 0,035 \log \left( h^2 + K_1 \cdot h + K_1K_2 \right)$$

$$E_{11} = -0,652 + 0,035 \log \left( \frac{h^2}{K_1} + h + K_2 \right)$$

$$E_{12} = -1,009 + 0,035 \log \left( 1 + \frac{h}{K_2} + \frac{h^2}{K_1K_2} \right)$$

De (IV) on déduit la limite des domaines de $Fe^{3+}$ et $Fe_2O_3$ : pH = 0,84

De (I), (II) et (III) on déduit la limite des domaines de $Fe^{2+}$ et $FeCO_3$ : pH = 5,4
<figure><img src="image_256.png" /><figcaption>**Figure 1 :** Diagramme potentiel-pH à 80°C en ne considérant comme corps solides que Fe, FeCO₃, Fe₃O₄ et Fe₂O₃</figcaption></figure>
2) On ne considère comme espèces solides que Fe, $FeCO_3$, $Fe(OH)_2$ et $Fe(OH)_3$

On remplace l'équilibre de dissociation (IV) par :

$$Fe^{3+} + 3OH^{-} \rightleftharpoons Fe(OH)_3 \quad [Fe^{3+}] [OH^{-}]^3 = 10^{6,93} \quad (IV')$$

D'autre part l'équilibre électrochimique (6) devient l'équilibre de dissociation (V') :

$$FeCO_3 + 2OH^{-} \rightleftharpoons Fe(OH)_2 + CO_3^{2-} \quad [CO_3^{2-}] [OH^{-}]^{-2} = 10^{4,43} \quad (V')$$

On remplace les équilibres électrochimiques :

(2) par (2') :

$$Fe^{2+} + 3OH^{-} \rightleftharpoons Fe(OH)_3 + e^{-} \quad (2') \quad E^{\circ}_{2} = -1740 \text{ mV/ENH} = -1940 \text{ mV/ECS}$$

(3) par (3') :

$$FeCO_3 + 3H_2O \rightleftharpoons Fe(OH)_3 + H_2CO_3 + H^+ + e^{-} \quad (3') \quad E^{\circ}_{3} = +563 \text{ mV/ENH} = +363 \text{ mV/ECS}$$

(4) par (4') :

$$FeCO_3 + 3H_2O \rightleftharpoons Fe(OH)_3 + HCO_3^- + 2H^+ + e^{-} \quad (4') \quad E^{\circ}_{4} = +1002 \text{ mV/ENH} = +802 \text{ mV/ECS}$$

(5) par (5') :

$$FeCO_3 + 3H_2O \rightleftharpoons Fe(OH)_3 + CO_3^{2-} + 3H^+ + e^{-} \quad (5') \quad E^{\circ}_{5} = +1715 \text{ mV/ENH} = +1515 \text{ mV/ECS}$$

(7) par (7') :

$$Fe(OH)_2 + OH^{-} \rightleftharpoons Fe(OH)_3 + e^{-} \quad (7') \quad E^{\circ}_{7} = -624 \text{ mV / ENH} = -824 \text{ mV/ECS}$$

(8) par (8') :

$$Fe + 2OH^{-} \rightleftharpoons Fe(OH)_2 + 2e^{-} \quad (8') \quad E^{\circ}_{8} = -958 \text{ mV/ENH} = -1158 \text{ mV/ECS}$$

On obtient alors les relations suivantes (en Volts / ECS) :

$$E'_{2} = 1,130 - 0,210 \text{ pH}$$

$$E'_{3} = 0,375 + 0,070 \log \left(1 + \frac{K_{1}}{h} + \frac{K_{1}K_{2}}{h^{2}}\right)^{-1} \cdot h$$

$$E'_{4} = 0,814 + 0,070 \log \left(1 + \frac{h}{K_{1}} + \frac{K_{2}}{h}\right)^{-1} \cdot h^{2}$$

$$E'_{5} = 1,527 + 0,070 \log \left(1 + \frac{h}{K_{1}} + \frac{h^{2}}{K_{1}K_{2}}\right)^{-1} \cdot h^{3}$$

$$E'_{7} = 0,059 - 0,070 \text{ pH}$$

$$E'_{8} = -0,275 - 0,070 \text{ pH}$$

De (IV') on déduit la limite des domaines de $Fe^{3+}$ et $Fe(OH)_3$ : pH = 2,36

De (I), (II) et (III) on déduit la limite des domaines de $Fe^{2+}$ et $FeCO_3$ : pH = 5,4

De (V') on déduit la limite des domaines de $FeCO_3$ et $Fe(OH)_2$ : pH = 10,49
<figure><img src="image_257.png" /><figcaption>Figure 2 : Diagramme potentiel-pH à 80°C en considérant comme corps solides que Fe, $FeCO_3$, $Fe(OH)_2$ et $Fe(OH)_3$</figcaption></figure>
<figure><img src="image_258.png" /><figcaption>Figure 3 : Diagramme potentiel-pH à 25°C en considérant comme corps solides que Fe, FeCO₃, Fe₃O₄ et Fe₂O₃</figcaption></figure>
<figure><img src="image_259.png" /><figcaption>Figure 4 : Diagramme potentiel-pH à 25°C en considérant comme corps solides que Fe, FeCO₃, Fe(OH)₂ et Fe(OH)₃</figcaption></figure>
REFERENCES

1 - D.D. WAGMAN & al., *Selected Values of Chemical Thermodynamic Properties*, National Bureau of Standards, Technical Note 270-3 (1968) & 270-4 (1969), Washington D.C.

2 - R.N. PARKINS, C.S. O'DELL, R.R. FESSLER, *Corros. Sci.*, Vol. 24, N° 4 (1984) pp. 343-374
# DETERMINATION DU PROFIL DE POTENTIEL
A L'INTERIEUR D'UNE FISSURE

## GENERALITES

Le profil longitudinal des fissures intergranulaires observées ici permet en première approximation de les assimiler à des cavités d'épaisseur e faible devant leur profondeur L. A l'intérieur les distributions de courant et de potentiel peuvent être décrites en fonction d'une seule variable x selon la direction L.

<figure><img src="image_260.png" /><figcaption>Figure 1</figcaption></figure>

Avec les directions de la figure positives par convention, le potentiel obéit à la loi d'Ohm :

$$dE = R_s I(x) dx \quad (1)$$

avec $R_s$ la résistance par unité de longueur x pour une fente de 1 cm de largeur.

Le courant obéit à la loi de conservation de Kirchoff :

$$dI = - J dx \quad (2)$$

avec J la densité de courant sur les faces latérales de la fente (courant par unité de profondeur x), qui dépend du potentiel local (solution/électrode) selon la courbe de polarisation du système $J = f(E)$.

L'élimination de I entre (1) et (2) conduit à :

$$\frac{d^2 E}{dx^2} = - R_s f(E) \quad (3)$$

Cette dernière équation, contrairement au cas de De Levie est non linéaire et n'admet pas de solution analytique. Les conditions aux limites du problème sont :

(4) potentiel $E(0)$ imposé dans la solution à la bouche de la fissure

(5) courant $I(L) = 0$ en fond de fissure

$$I(L) = \frac{dE}{dx} (L) \frac{1}{R_s}$$
La solution numérique classique à une ou plusieurs dimensions consiste à discrétiser l'équation sur un maillage de l'espace (équation aux différences finies). Toutefois le caractère unidimensionnel du cas de figure permet d'utiliser la méthode de Runge & Kutta, adaptée aux problèmes à conditions initiales (valeur de la fonction et de sa dérivée données en un même point, généralement $x = 0$). L'existence de la condition (5) en $x = L$ interdit de fixer arbitrairement $E(0)$ et $\frac{dE}{dx}(0)$. L'expédient consiste à démarrer l'algorithme en $x = L$ avec $\frac{dE}{dx}(L) = 0$ et $E(L)$ choisi arbitrairement. On vérifie que le calcul partant des valeurs finales en $x = 0$ restitue le même profil.

## INGREDIENTS

Le calcul ci-après s'applique aux résultats expérimentaux obtenus à 60°C (figure 25 du Chapitre VI). La résistivité de l'électrolyte est $\rho = 7.4 \ \Omega \ cm$, l'ouverture moyenne des fissures est voisine de $e = 10 \ \mu m$. La courbe $J = f(E)$ expérimentale a été approchée analytiquement par la fonction donnée avec son graphe sur la figure 2. La densité de courant introduite dans l'intégration a été multipliée par 2 pour tenir compte des deux faces de la fissure.

La résistance d'électrolyte $R_s$ pour 1 cm de profondeur et 1 cm de largeur est :

$$R_s = \frac{7.4 \ \Omega \ cm \times 1 \ cm}{0.001 \ cm^2} = 7400 \ \Omega \ cm^{-1}$$

Le système différentiel

$$\frac{dE}{dx} = R_s I(x)$$

$$\frac{dI}{dx} = -2 \ J$$

a été intégré à l'aide du logiciel *Math Calcules* (Université de Bretagne Occidentale) sur Macintosh LC. Quatre potentiels ont été choisis de part et d'autre du pic. On constate que, en accord avec les prévisions qualitatives, le profil est d'autant plus marqué que $J$ est grand (comparaison -0.7 V et -0.6 V) ou que la pente est abrupte sur $J(E)$ (comparaison -0.4 V et -0.8 V). Dans tous les cas le profil reste proche de la forme parabolique obtenue pour (3) avec $f(E) = Cte$ soit $E = Cte$ ce qui correspond bien à la très faible exploration de potentiel entre le fond et l'entrée de la fissure. Ce résultat exclut de manière catégorique toute possibilité de dissolution anodique significative en fond de fissure par effet de répartition de potentiel.
$$J = (0.7/(50*((E+0.7)^2)+0.15)+0.5)*\text{th}(8*(E+0.85))$$

<figure><img src="image_261.png" /><figcaption>Figure 2 : Courbe de polarisation simulée à 60°C</figcaption></figure>

<figure><img src="image_262.png" /></figure>
<figure><img src="image_263.png" /><figcaption>Figure 3 : Profil de potentiel à l'intérieur d'une fissure, pour différentes valeurs du potentiel imposé</figcaption></figure>
CALCUL D'UNE FONCTION DE TRANSFERT
MECANIQUE - ELECTROCHIMIE
PENDANT LA PROPAGATION DES BANDES DE LÜDERS

Nous proposons ici un calcul de fonction de transfert mécanique-électrochimie sur la base du modèle développé au § VII.2.2.

Imposons une modulation sinusoïdale à la vitesse de traction de l'éprouvette : $\varepsilon' = \varepsilon'_{0} + \Delta\varepsilon' \text{ ej}\omega t$.
On peut écrire les variations de $\Theta'$ sous la forme :

$$ \Theta' = \Theta'_{0} + \Delta\Theta' $$

$$ \Theta' = K \varepsilon' $$

$$ \Delta\Theta' = K \Delta\varepsilon' \text{ej}\omega t. $$

Réécrivons l'expression du courant (cf §VII.2.2.2) :

$$ J(t) = J_0 \sqrt{1+\varepsilon'(t-t_T)} f(t-t_0) + \int_{t_c}^{t} J_0 \left[ \frac{\varepsilon'[1-\Theta(\tau)]}{2\sqrt{1+\varepsilon'(\tau-t_T)}} - \sqrt{1+\varepsilon'(\tau-t_T)\Theta'(\tau)} \right] F(t-\tau) \, d\tau $$

en admettant que la quantité absolue de surface recouverte par le film initial ne change pas (§ VII.2.7).

$$ \text{Par ailleurs } 1 - \Theta(\tau) = - \int_{t_c}^{\tau} \Theta'(\lambda) d\lambda $$

$$ \text{soit, en substituant } \Theta' \text{ par son expression : } \Theta' = \Theta'_{0} + \Delta\Theta' = \Theta'_{0} + K \Delta\varepsilon' \text{ej}\omega t $$

$$ \text{on trouve : } 1 - \Theta(\tau) = -\int \Theta'_{0} d\lambda - \int K \Delta\varepsilon' \text{ej}\omega\lambda \, d\lambda = -\Theta'_{0} (t-t_c) - \frac{K}{j\omega} \Delta\varepsilon' (\text{ej}\omega t - \text{ej}\omega t_c). $$

Le terme constant en $\text{ej}\omega t_c$ de l'intégration précédente peut être éliminé puisqu'on considère un régime périodique établi.

En négligeant le premier terme (hors intégrale) dans l'expression de $J(t)$ il vient [cf VII.2.2, VII.2.7 et VII.2.9] :

$$ \begin{aligned} J(t) &= J_0 \int_{t_c}^{t} \left[ \frac{\varepsilon'}{2} \left( \Theta'_{0} (t_c - \tau) - \frac{K}{j\omega} \Delta\varepsilon' \text{ej}\omega\tau \right) - \Theta' \right] F(t-\tau) \, d\tau \\ &= J_0 \int_{t_c}^{t} \frac{\varepsilon'_{0} + \Delta\varepsilon' \text{ej}\omega\tau}{2} K \varepsilon'_{0} (t_c - \tau) F(t-\tau) \, d\tau \end{aligned} $$

$$ -J_0 \int_{t_c}^{t} \left[ K \varepsilon'_{0} + K \Delta\varepsilon' \text{ej}\omega\tau + \frac{K\varepsilon'_{0}}{2j\omega} \Delta\varepsilon' \text{ej}\omega\tau + \frac{K\Delta\varepsilon'^{2}}{2j\omega} e^{2j\omega\tau} \right] F(t-\tau) \, d\tau $$
En négligeant le terme en $\Delta\varepsilon'^2$ il vient :

$$
\begin{align*}
J(t) &= J_0 \int_{t_c}^{t} \left[ \left( \frac{K \varepsilon' o^2}{2} + \frac{K \varepsilon' o}{2} \Delta \varepsilon' e j \omega \tau \right) (t_c - \tau) - K \left( (\varepsilon' o + \Delta \varepsilon' e j \omega \tau) + \frac{\varepsilon' o}{2j\omega} \Delta \varepsilon' e j \omega \tau \right) \right] F(t-\tau) \, d\tau \\
&= J_0 \int_{t_c}^{t} \left[ \left( \frac{K \varepsilon' o^2}{2} + \frac{K \varepsilon' o}{2} \Delta \varepsilon' e j \omega \tau \right) (t_c - \tau) - K \left( \varepsilon' o + \Delta \varepsilon' e j \omega \tau + \frac{\varepsilon' o}{2j\omega} \Delta \varepsilon' e j \omega \tau \right) \right] F(t-\tau) \, d\tau
\end{align*}
$$

La réponse en l'absence de modulation est : $J_s = J_0 \int_{t_c}^{t} \left( \frac{K \varepsilon' o^2}{2} (t_c - \tau) - K \varepsilon' o \right) F(t - \tau) \, d\tau$.

En retranchant ce terme $J_s$ il reste :

$$
\begin{align*}
J(t) - J_s &= K J_0 \int_{t_c}^{t} \left( \frac{\varepsilon' o \Delta \varepsilon' e j \omega \tau}{2} (t_c - \tau) - \Delta \varepsilon' e j \omega \tau - \frac{\varepsilon' o}{2j\omega} \Delta \varepsilon' e j \omega \tau \right) F(t-\tau) \, d\tau \\
&= K J_0 \int_{t_c}^{t} \left( \frac{\varepsilon' o \Delta \varepsilon' e j \omega \tau}{2} (t_c - \tau) - \Delta \varepsilon' e j \omega \tau - \frac{\varepsilon' o}{2j\omega} \Delta \varepsilon' e j \omega \tau \right) F(t-\tau) \, d\tau \\
&= K J_0 \Delta \varepsilon' \int_{t_c}^{t} \left( \frac{\varepsilon' o}{2} (t_c - \tau) - 1 - \frac{\varepsilon' o}{2j\omega} \right) e^{j\omega\tau} F(t-\tau) \, d\tau
\end{align*}
$$

Admettons pour $F(t)$ une loi en $\exp[-\frac{t}{T}]$ :

$$
J(t) - J_s = K J_0 \Delta\varepsilon' \exp(-\frac{t}{T}) \left\{ \int_{t_c}^{t} -\frac{\varepsilon' o \tau}{2} \exp(j\omega\tau + \frac{\tau}{T}) \, d\tau \right. \\
\left. + \int_{t_c}^{t} \left(\frac{\varepsilon' o t_c}{2} - 1 - \frac{\varepsilon' o}{2j\omega}\right) \exp(j\omega\tau + \frac{\tau}{T}) \, d\tau \right\}
$$

Or :

$$
\int_{t_c}^{t} \tau \exp(j\omega\tau + \frac{\tau}{T}) d\tau = \frac{t \exp(j\omega + \frac{1}{T})t - t_c \exp(j\omega + \frac{1}{T})t_c}{j\omega + \frac{1}{T}} - \frac{\exp(j\omega + \frac{1}{T})t - \exp(j\omega + \frac{1}{T})t_c}{(j\omega + \frac{1}{T})^2}
$$

et :

$$
\int_{t_c}^{t} \left( \frac{\varepsilon'_{o} t_{c}}{2} - 1 - \frac{\varepsilon'_{o}}{2j\omega} \right) \exp\left(j\omega\tau + \frac{\tau}{T}\right) d\tau = \frac{\frac{\varepsilon'_{o} t_{c}}{2} - 1 - \frac{\varepsilon'_{o}}{2j\omega}}{j\omega + \frac{1}{T}} \left( \exp\left(j\omega\tau + \frac{1}{T}\right)t - \exp\left(j\omega\tau + \frac{1}{T}\right)t_c \right)
$$
En fixant $t_c = 0$ (origine des temps) :

$$J(t) - J_s = K J_0 \Delta\varepsilon' \left\{ -\frac{(1+\frac{\varepsilon'_0}{2j\omega})}{(j\omega+\frac{1}{T})} - \frac{\varepsilon'_0}{2} \left[ \frac{t}{j\omega+\frac{1}{T}} - \frac{1}{(j\omega+\frac{1}{T})^2} \right] \right\} e^{j\omega t} - K J_0 \Delta\varepsilon' \frac{\varepsilon'_0 e^{-t/T}}{2(j\omega+\frac{1}{T})^2}$$

La fonction de transfert obtenue est finalement, en négligeant le dernier terme de l'expression précédente (qui représente le régime transitoire amorti) :

$$\frac{\Delta J}{\Delta \varepsilon'} = K J_0 \left[ \frac{1 + \frac{\varepsilon'_0 t}{2}}{2(j\omega + \frac{1}{T})} - \frac{1 + \frac{\varepsilon'_0}{2j\omega} + \frac{\varepsilon'_0 t}{2}}{(j\omega + \frac{1}{T})} \right]$$

Examinons les limites HF et BF de cette fonction.

$$\cdot \text{ si } \omega \to \infty \text{ alors } \frac{\Delta J}{\Delta \varepsilon'} \approx -K J_0 \left[ \frac{1 + \frac{\varepsilon'_0 t}{2}}{2(j\omega + \frac{1}{T})} \right]$$

On reconnaît ici une expression formellement analogue à celle de l'impédance d'un circuit RC parallèle de constante de temps T, dont l'élément "résistif" serait égal à $-K J_0 T (1+\frac{\varepsilon'_0 t}{2})$ et l'élément "capacitif" à $-\frac{1}{K J_0 (1+\frac{\varepsilon'_0 t}{2})}$. On remarque que ces éléments dépendent du temps.

La fonction de transfert n'est donc pas stationnaire mais correspond à un système de taille croissant linéairement avec le temps sous l'effet de la vitesse d'allongement $\varepsilon'_0$. La limite HF de la fonction de transfert est donc un demi-cercle centré sur l'axe des réels et de fréquence au sommet $\frac{1}{2\pi T}$. Si $\varepsilon'_0 t$ est faible devant 1, alors la taille de cette boucle ainsi que le paramétrage en fréquence sont indépendants du temps et de $\varepsilon'_0$.

$$\cdot \text{ si } \omega \to 0 \text{ alors } \frac{\Delta J}{\Delta \varepsilon'} \approx K J_0 \left[ \frac{\varepsilon'_0 T^2}{2} - T \left( 1 + \frac{\varepsilon'_0}{2j\omega} + \frac{\varepsilon'_0 t}{2} \right) \right] \\ = K J_0 \left[ \left\{ \frac{\varepsilon'_0 T^2}{2} - T \left( 1 + \frac{\varepsilon'_0 t}{2} \right) \right\} - \frac{\varepsilon'_0 T}{2j\omega} \right]$$

Donc la limite BF est une droite parallèle à l'axe des imaginaires (analogue en électricité au cas d'un circuit composé d'une résistance $K J_0 \left\{ \frac{\varepsilon'_0 T^2}{2} - T \left( 1 + \frac{\varepsilon'_0 t}{2} \right) \right\}$ placée en série avec une capacité de valeur $-\frac{2}{K J_0 \varepsilon'_0 T}$.

Dans le cas de figure où $\varepsilon'_0$ est choisi suffisamment faible pour que $\varepsilon'_0 T^2$ soit négligeable devant T, la fonction de transfert est représentable par l'analogue électrique de la figure 1.
La boucle HF est alors vrai demi-cercle de diamètre $K J_0 T (1+\frac{\epsilon'_0 t}{2})$.

<figure><img src="image_264.png" /><figcaption>**Figure 1 :** Analogue électrique pour la fonction de transfert électro-mécanique calculée ci-dessus, dans le cas particulier où $\epsilon'_0 T^2$ est négligeable devant T, avec :</figcaption></figure>

$$R_{HF} = - K J_0 T \left(1 + \frac{\epsilon'_0 t}{2}\right); \quad C_{HF} = - \frac{1}{K J_0 \left(1 + \frac{\epsilon'_0 t}{2}\right)}; \quad C_{BF} = - \frac{2}{K J_0 \epsilon'_0 T}$$

La figure 2 représente les diagrammes simulés obtenus à partir de l'expression encadrée ci-dessus, avec les paramètres suivants :

$$T = 320 \text{ s} \qquad t = 0 \qquad \epsilon'_0 = 10^{-6} \text{ et } 10^{-5} \text{ s}^{-1}.$$

La fonction en fait représentée est $\frac{1}{K J_0} \frac{\Delta J}{\Delta \epsilon'}$.

<figure><img src="image_265.png" /><figcaption>**Figure 2 :** Simulations du diagramme représentatif de la fonction de transfert mécanique - électrochimie</figcaption></figure>
La figure 2 montre que la boucle HF est bien indépendante de $\epsilon'_0$ (dans ce cas de figure où t est nul, que l'on peut en pratique étendre à celui où $\epsilon'_0$ t est faible devant l'unité). Par contre le paramétrage de la branche BF est modifié lorsqu'on fait varier $\epsilon'_0$.

Les fréquences pour lesquelles la phase vaut 45° sont données par (au facteur $2\pi$ près) :

et.

$$ \omega = \frac{1}{R_{HF} C_{HF}} = \frac{1}{T} \quad (\text{arc HF}) $$

$$ \omega = \frac{1}{R_{HF} C_{BF}} = \frac{\epsilon'_{0}}{2} \quad (\text{branche BF}) $$

ainsi que le schématise la figure 3.

Il semble donc que l'on puisse dire que l'arc HF correspond à la cinétique de repassivation (de constante T) et la branche BF à la modulation de la création de surface fraîche par la déformation.

<figure><img src="image_266.png" /><figcaption>Figure 3 : Fréquences caractéristiques de la fonction de transfert</figcaption></figure>

**Remarque :** les figures 2 et 3 supposent en fait implicitement (de part les paramètres expérimentaux introduits) que $T \ll \epsilon'_0^{-1}$ (puisque dans l'exemple choisi $T = 320$ s et $\epsilon'_0^{-1} = 10^5$ ou $10^6$ s). Ces deux figures, dans lesquelles les parties HF et BF du diagramme sont parfaitement séparées ne sont en fait représentatives que de ce cas particulier.

Considérons à présent le cas où $T \gg \epsilon'_0^{-1}$.

L'expression analytique de la fonction de transfert est :

$$ \frac{\Delta J}{\Delta \epsilon'} = R_{HF} \left( \frac{1}{1 + j R_{HF} C_{HF} \omega} + \frac{1}{j R_{HF} C_{BF} \omega} \right) $$

* si $\omega \to \infty$ alors comme par hypothèse $R_{HF} C_{HF} = T \gg R_{HF} C_{BF} = \frac{2}{\epsilon'_0}$ on a : $\frac{\Delta J}{\Delta \epsilon'} \approx \frac{1}{j C_{BF} \omega}$
La limite HF est donc une branche capacitive d'abscisse 0.

* si $\omega \to 0$ alors $\frac{\Delta J}{\Delta \epsilon'} = R_{HF} + \frac{1}{j C_{BF} \omega}$

La limite BF sera la même branche capacitive translatée de $R_{HF}$ sur l'axe des réels.
L'allure du diagramme résultant est donnée sur la figure 4.

<figure><img src="image_267.png" /><figcaption>Figure 4 : Allure du diagramme représentatif de la fonction de transfert dans le cas particulier où $T \gg \epsilon_0^{-1}$</figcaption></figure>