# Chapitre V

## Un exercice proposé en DEUG
MIAS, deuxième année

### 1 Introduction

Par l'intermédiaire de M. Rogalski, nous avons appris que des étudiants de DEUG MIAS, deuxième année, de l'Université des Sciences et Technologies de Lille, ont eu à résoudre, lors d'une évaluation en mai 2004, un exercice faisant intervenir des concepts topologiques. Nous avons eu accès aux copies des étudiants. Nous nous sommes demandée dans quelle mesure l'analyse de ces copies nous permettrait de retrouver certains des résultats établis dans nos propres enquêtes ou bien d'observer d'autres faits. Cette partie intervient donc dans notre travail par un pur hasard.

### 2 Contexte, public visé

Il s'agit d'un échantillon beaucoup plus important que dans les enquêtes précédentes puisque nous avons analysé 172 copies. Cependant, nous n'avons pas de renseignements sur le public en tant que tel, c'est-à-dire que nous ne connaissons ni le niveau des étudiants, ni l'organisation de l'enseignement. Nous disposons toutefois d'un résumé reprenant la théorie enseignée et d'une fiche d'exercices mais nous ne savons pas si ces exercices ont été résolus durant l'année d'enseignement qui nous concerne.

### 3 Énoncé du problème

L'évaluation comportait trois exercices pour une durée de quatre heures. Nous regardons l'exercice 2 dont voici l'énoncé.

Soit $X$ un sous-ensemble *compact* et *convexe* de $\mathbb{R}^N$.

On considère une application $f: X \to \mathbb{R}^N$ vérifiant les hypothèses suivantes :
(i) On a $f(X) \subset X$,

(ii) Pour tous $x$ et $y$ de $X$, on a $\|f(x) - f(y)\| \le \|x - y\|$.

On se propose de montrer que $f$ possède au moins un point fixe dans $X$, c'est-à-dire au moins un point $a$ de $X$ vérifiant $f(a) = a$.

Soit $b$ un point quelconque choisi dans $X$. Pour tout entier $n \ge 1$, on définit une application $f_n : X \to \mathbb{R}^n$ en posant, pour tout $x$ dans $X$,

$$f_n(x) = \left(1 - \frac{1}{n}\right) f(x) + \frac{1}{n} f(b).$$

① Montrer que les applications $f$ et $f_n$ sont continues.

② Montrer que l'on a $f_n(X) \subset X$.

③ Dans cette question, on fixe $n$ et on définit une suite $(x_p)_{p \ge 0}$ de points de $X$ en posant $x_0 = b$ et $x_{p+1} = f_n(x_p)$ pour tout $p \ge 0$.

(a) Montrer que pour tout entier $p \ge 0$, on a

$$\|x_{p+1} - x_p\| \le \alpha^p \|x_1 - x_0\|, \text{ avec } \alpha = 1 - \frac{1}{n}.$$

(b) En déduire que l'on a, pour tous entiers $p \ge 0$ et $q \ge 0$,

$$\|x_{p+q} - x_p\| \le \frac{\alpha^p}{1-\alpha} \|x_1 - x_0\|.$$

(c) Montrer que la suite $(x_p)_{p \ge 0}$ converge dans $\mathbb{R}^N$.

La limite de $(x_p)_{p \ge 0}$ dépend du paramètre $n$ qui a été fixé au début de la question ; pour cette raison, on la note $a_n$ dans la suite de l'énoncé.

④ Montrer que quel que soit $n$, le point $a_n$ appartient à $X$ et vérifie $f_n(a_n) = a_n$.

⑤ En considérant une sous-suite convenable de $(a_n)_{n \ge 1}$, montrer que $f$ admet un point fixe.

# 4 Inventaire des connaissances en topologie des étudiants

Avant d'analyser l'exercice, nous nous sommes intéressée au « passé topologique» des étudiants, c'est-à-dire quels sont les concepts topologiques qui ont été abordés en première et en deuxième année. Pour cela, nous avons accès à un syllabus résumant la théorie abordée dans le cours de mathématiques générales. Il reprend essentiellement les définitions et les propriétés des objets étudiés. Rien n'est spécifié sur les résultats qui sont démontrés et sur ceux qui sont éventuellement
ment admis. Il n'y a pas non plus de renseignements sur les exercices se rapportant
à la théorie.

**4.1 Première année**

Les concepts sont abordés dans $\mathbb{R}$. Un ensemble ouvert est défini comme étant
une réunion (finie ou infinie) d'intervalle(s) ouverts, un ensemble fermé est défini
comme le complémentaire d'un ouvert. La notion de voisinage est aussi abordée.

Un ensemble $E \subseteq \mathbb{R}$ est compact si de toute suite de points de $E$, on peut extraire une sous-suite convergente. Dans $\mathbb{R}$, les compacts sont les ensembles fermés et bornés. On établit aussi qu'un ensemble $E$ est fermé si toute suite convergente de $E$ a sa limite dans $E$.

**4.2 Deuxième année**

On passe à $\mathbb{R}^N$. Un ensemble ouvert est une réunion (finie ou infinie) de boules ouvertes, un ensemble fermé est le complémentaire d'un ouvert. On établit qu'un ensemble $X$ est ouvert ssi $\forall x \in X, \exists r > 0, B(x, r) \subseteq X$. Par définition, l'adhérence de $X$ est l'ensemble des points adhérents à $X$ et l'intérieur de $X$ est l'ensemble des points intérieurs à $X$.

Les ensembles compacts sont définis par la propriété de Bolzano-Weierstrass.
On établit que, dans $\mathbb{R}^N$, les compacts sont les ensembles bornés et fermés.

On s'intéresse aussi aux fonctions pour montrer que l'image d'un compact
par une fonction continue est un compact et que toute fonction continue sur un
compact atteint ses bornes.

**5 Analyse a priori du problème**

① ☐ Continuité de la fonction $f$ :

L'étudiant peut utiliser la définition en $\varepsilon, \delta$. Grâce à l'hypothèse (ii),
$\delta = \varepsilon$ convient. Une autre façon de procéder est de remarquer que l'hy-
pothèse (ii) signifie que $f$ est lipschitzienne de constante 1. On conclut
en utilisant le fait que toute fonction lipschitzienne est continue.

☐ Continuité de la fonction $f_n$ :

L'étudiant peut ici aussi utiliser la définition en $\varepsilon, \delta$. On montre que
$\forall x,y \in X, \|f_n(x) - f_n(y)\| \le \|f(x) - f(y)\|$. Une autre méthode consiste
à remarquer que $f_n$ est une somme de fonctions continues.

Ce point fait donc intervenir la manipulation d'une définition ou l'utilisation
d'un résultat établi au cours.

② $f_n(X) \subset X$.

Un point quelconque de $f_n(X)$ est de la forme $f_n(x)$ avec $x \in X$. L'hypothèse (i) permet d'en déduire que $f(x)$ et $f(b)$ sont des éléments de $X$, et la
convexité de $X$ implique que le segment d'extrémités $f(x)$ et $f(b)$ est inclus à $X$, ce qui montre que $f_n(x)$ est un élément de $X$.

Cette question demande de maîtriser la définition de convexité.

③ □ (a) Il s'agit d'une preuve par récurrence.

(b) Il faut introduire les éléments intermédiaires entre $x_p$ et $x_{p+q}$. Ensuite, on applique l'inégalité triangulaire pour obtenir des différences entre deux termes consécutifs. On applique alors à chaque terme l'inégalité démontrée au point précédent. Après mise en évidence, la constante $\|x_1 - x_0\|$ est multipliée par une somme de termes consécutifs d'une série géométrique. Cette somme peut être majorée par $1/(1-\alpha)$ en utilisant le résultat $1 + \alpha + \alpha^2 + \dots + \alpha^n + \dots = 1/(1-\alpha)$ si $|\alpha| < 1$. Ce point nécessite une organisation des raisonnements, il faut utiliser ce qui a été fait précédemment et penser au résultat sur les séries géométriques pour majorer correctement.

(c) L'inégalité établie en (b) entre deux éléments $x_p$ et $x_{p+q}$ doit faire penser à la notion de suite de Cauchy. Grâce à la compléture de $\mathbb{R}^N$, montrer que $(x_p)$ converge revient à montrer que $(x_p)$ est de Cauchy. Comme $\alpha^p \to 0$ si $|\alpha| < 1$, on a que pour $\forall \varepsilon > 0, \exists n_1, \forall n \ge n_1, \alpha^p \le (1-\alpha)/\|x_1 - x_0\| \le \varepsilon$. En prenant $n_0 = n_1$, on a bien $\forall p, q \ge n_0, \|x_{p+q} - x_p\| \le \varepsilon$. On en déduit que $x_p \to a_n$ pour un certain $a_n \in \mathbb{R}^N$.

On demande ici qu'un certain nombre de connaissances soient disponibles. On ne parle pas dans l'énoncé de « suite de Cauchy ». C'est la majoration établie en 3(b) qui doit y faire penser. Il y a donc ici un saut de complexité.

④ On utilise le fait qu'un compact de $\mathbb{R}^N$ est fermé et borné et que dans un ensemble fermé, toutes les suites convergentes ont leur limite dans l'ensemble. La continuité de $f_n$ implique $f_n(x_p) \to f_n(a_n)$. Il faut ensuite remarquer que les suites $(x_p)_{p \ge 0}$ et $(f_n(x_p))_{p \ge 0}$ sont identiques à un décalage d'indices près. Par unicité de la limite, on en déduit que $f_n(a_n) = a_n$.

C'est l'utilisation de résultats du cours qui permet de résoudre ce point.

⑤ On teste encore les connaissances vis-à-vis de la compacité. La notion de sous-suite est à raccrocher à la propriété de Bolzano-Weierstrass. On peut extraire de la suite $(a_n)$ une sous-suite $(a_{n_k})$ qui converge vers $a \in X$. Il y a ici aussi un saut de complexité : il faut pouvoir imaginer que la sous-suite converge.
Du point précédent, on a $f_{n_k}(a_{n_k}) = a_{n_k}$ mais cette égalité n'implique pas de façon évidente que $f(a) = a$. On peut imaginer que cette erreur sera fréquemment commise.

Pour montrer que $f(a) = a$, on développe $f(a) - a$ en fonction des résultats établis tout au long de l'exercice.

On a : $f(a) - a = f(a) - f(a_{n_k}) + f(a_{n_k}) - f_{n_k}(a_{n_k}) + f_{n_k}(a_{n_k}) - a_{n_k} + a_{n_k} - a$.
Il faut ici développer de façon adéquate pour conclure. Ce point met aussi en jeu tous les résultats établis précédemment.
# 6 Résultats

## ►► Question 1

147 étudiants répondent à la question. Les résultats sont repris dans les tablages ci-dessous. Le premier tableau concerne la fonction $f$ et le second porte sur la fonction $f_n$.

<table><thead><tr><td>Continuité de f</td><td>Etudiants</td><td>Réponses correctes</td></tr></thead><tbody><tr><td>Définition en ε, δ</td><td>70</td><td>43</td></tr><tr><td>Fonction lipschitzienne</td><td>18</td><td>16</td></tr><tr><td>(X compact et f(X) ⊆ X) ⇒ f continue</td><td>23</td><td>0<sup>1</sup></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><td>Continuité de f<sub>n</sub></td><td>Etudiants</td><td>Réponses correctes</td></tr></thead><tbody><tr><td>Somme de fonctions continues</td><td>118</td><td>59</td></tr></tbody></table>

19 étudiants ne manipulent pas correctement la définition en $ε, δ$. Ils choisisissent la valeur du $ε$ et écrivent « on prend $ε = δ$ ». Dans l'utilisation du résultat sur la continuité des fonctions lipschitziennes, deux étudiants pensent que l'hyphothèse (ii) est exactement la définition d'une fonction lipschitzienne. Comme le montre le tableau, 23 étudiants pensent que l'inclusion et le fait que $X$ soit compact suffisent pour garantir la continuité de $f$. 11 étudiants pensent que toute fonction définie sur un ensemble compact ou convexe est forcément continue.

Pour la continuité de la fonction $f_n$, 54 étudiants considèrent les facteurs $1/n$ et $1 - 1/n$ comme des fonctions qui dépendent de la variable $n$. Il y a aussi une confusion entre les mots « somme » et « composée » de fonctions.

Certains étudiants se contentent de dire que $f_n$ est une somme de fonctions continues, nous ne savons donc pas comment ils justifieraient la continuité de chaque terme. Ces réponses ont été considérées comme correctes.

Nous trouvons les justifications suivantes :

* $1/n$ et $1 - 1/n$ sont des fonctions continues.

* $1/x, x \neq 0$ est une fonction continue. Donc $1/n$ aussi.

* $f$ est continue. Donc $f(b)$ aussi.

* $b$ est continue. Donc $f(b)$ aussi.

* $f$ est continue en tout point de $X$. Or, $b \in X$. Donc $f(b)$ aussi.

## ►► Question 2

Nous n'avons pas analysé cette question car nous ciblons, dans ce travail, les concepts abordés en première année dans notre enseignement et la convexité n'en fait pas partie.

<footnote n="1">¹« X compact et f(X) ⊆ X » n'implique en aucun cas la continuité de f.</footnote>
►► Question 3

108 étudiants répondent à la question.

☐ (a) Nous n'avons pas analysé ce point car les preuves par récurrence ne sont pas en lien avec les concepts qui nous intéressent.

☐ (b) Nous n'avons pas regardé ce point car il s'agit d'une question calculatoire. Nous sortons, ici encore, du cadre de notre travail.

☐ (c) La première méthode utilisée par les étudiants consiste à expliquer que l'inégalité de 3(b) implique que $(x_p)$ est de Cauchy. Nous trouvons cette méthode chez 48 étudiants dont 38 justifient l'implication. Les résultats sont repris dans le tableau suivant.

<table><thead><tr><td>Justification</td><td>Etudiants</td><td>Réponses correctes</td></tr></thead><tbody><tr><td>Définition en ε, δ</td><td>20</td><td>8</td></tr><tr><td>α<sup>p</sup> → 0 et convergence dominée</td><td>17</td><td>0<sup>2</sup></td></tr></tbody></table>

Pour le premier type de justification, nous trouvons beaucoup d'imprécisions qui font que la réponse ne peut être considérée comme correcte. En voici des exemples :

- On a $\|x_{p+q} - x_p\| \le \frac{\alpha^p}{1-\alpha} \|x_1 - x_0\| \le \varepsilon$, donc $(x_p)$ est de Cauchy.

- On prend $\varepsilon = \alpha^p / (1 - \alpha)$, donc $(x_p)$ est de Cauchy.

- Comme $\alpha^p \to 0$, on a $\|x_{p+q} - x_p\| \le \varepsilon$.

L'utilisation de la définition en $\varepsilon, n_0$ est imprécise et surtout l'existence d'un indice $n_0$ à partir duquel on a $\forall p \ge q \ge n_0$ et $\forall q \ge 0$, $\|x_{p+q} - x_p\| \le \varepsilon$ n'apparaît nulle part.

Pour le second type de justification, la définition en $\varepsilon, n_0$ n'apparaît pas. Aucune justification n'est totalement rigoureuse et convaincante. Nous trouvons :

- $\|x_{p+q} - x_p\|$ est majorée par une suite qui converge vers 0. Donc $(x_p)$ est de Cauchy.

- Par convergence dominée, on a $\|x_{p+q} - x_p\| \to 0$. Donc $(x_p)$ est de Cauchy.

- Comme $\alpha^p \to 0$, $(x_p)$ est de Cauchy.

Une autre méthode consiste à écrire que l'inégalité établie en (b) implique que $(x_p)$ est majorée par une suite convergente. Par conséquent $(x_p)$ converge. Ici, il n'y a aucune allusion à la notion de suite de Cauchy. 32 étudiants utilisent

<footnote n="2">²Tel qu'il est écrit, l'argument « $\alpha^p \to 0$ et convergence dominée » est insuffisant pour justifier que la suite est de Cauchy.</footnote>
cette argumentation que nous ne considérons pas comme correcte. L'idée dé-
veloppée par ces étudiants est que comme $\alpha^p \to 0$, on a $\lim \|x_{p+q} - x_p\| = 0$.
Donc, $\lim_{x_{p+q}} = \lim_{x_p} = a_n$.

Enfin, la quasi-totalité des étudiants qui ont parlé de suite de Cauchy en dé-
duisent la convergence grâce à la compléture de $\mathbb{R}^N$.

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

**Question 4**

94 étudiants répondent à la question. Parmi les raisonnements corrects, nous
trouvons :

☐ Chez 17 étudiants : $X$ est compact, donc $X$ est fermé. La limite de la suite appartient à $X$.

☐ Chez 19 étudiants : $X$ est compact, donc la limite appartient $X$. Ici, nous ne trouvons pas le lien entre ensemble compact et ensemble fermé mais nous avons considéré cette justification comme correcte.

☐ Chez 7 étudiants : Utiliser la compacité pour extraire une sous-suite qui converge vers un point de X. La limite de la suite appartient donc à X.

☐ Chez 29 étudiants : Comme $x_p \to a_n$ et que $x_{p+1} = f_n(x_p) \to a_n$, on en conclut que $f_n(a_n) = a_n$ par la continuité de $f_n$ et par unicité de la limite.

Le raisonnement faux suivant est présent chez 31 étudiants : Comme on a
$f_n(X) \subset X$, on a directement $a_n \in X$ et $f_n(a_n) = a_n$.

12 étudiants écrivent $\lim \|x_{p+1} - x_p\| = 0$, c'est-à-dire, $\lim \|f_n(x_p) - x_p\| = 0$.
Donc $\|f_n(a_n) - a_n\| = 0$.

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

**Question 5**

36 étudiants répondent à la question. Aucune solution n’est correcte. Parmi
les justifications les plus fréquemment utilisées, nous avons :

☐ Chez 5 étudiants : Utiliser la compacité pour extraire la sous-suite. Le point fixe est alors la limite de cette sous-suite, sans autre précision.

☐ Chez 10 étudiants : Utiliser la compacité pour extraire la sous-suite. On a donc $a_{n_k} \to \rho$. De $f_{n_k}(a_{n_k}) = a_{n_k}$, on déduit $f(\rho) = \rho$.

☐ Chez 4 étudiants : L'égalité $f_n(a_n) = a_n$ implique directement $f(a) = a$.

☐ Chez 9 étudiants : La démarche consiste à choisir le point fixe. Par exemple, prendre $a = x_0$ ou $a = b$.

# 7 Interprétation des résultats

## 7.1 Synthèse des résultats

Un des aspects les plus frappants du dépouillement est que les étudiants ne maîtrisent pas la notion de convergence. Ils ne sont pas capables de l'utiliser
pour montrer qu'une suite est de Cauchy. Nous avons trouvé beaucoup d'impré-
cisions dans les copies. Par exemple, les étudiants se focalisent sur l'inégalité
$||x_{p+q} - x_p|| \le \varepsilon$ et ne s'intéressent pas aux indices pour lesquelles celle-ci est
vérifiée. L'existence d'un indice, noté $n_0$, à partir duquel l'inégalité est satisfaite
est absente.

Les résultats du cours sont eux aussi utilisés de façon imprécise. Nous pensons au théorème de la convergence dominée. Les étudiants justifient aussi en énonçant des résultats faux.

Le manque de détails induit une perte de sens jusqu'à un point où la réponse peut en devenir incorrecte. Nous retrouvons cette idée que les détails ne sont pas l'objectif premier des étudiants.

Le dépouillement montre aussi que les étudiants essaient coûte que coûte de se rattacher aux résultats du cours pour trouver la justification correcte. Il y a là un effet de contrat.

Les étudiants utilisent les théorèmes de façon automatique dans le seul souci
de justifier, mais cette profusion de résultats algorithmisés et parfois faux, finit par
nuire à la compréhension des bases, comme nous le voyons ici.

7.2 Lien avec nos enquêtes

Il y a des similitudes dans les copies des étudiants de Lille et celles de nos étu-
diants. Nous pensons tout d'abord au phénomène d'imprécision que nous avions
relevé dans nos deux enquêtes. Des difficultés sont aussi ici observées dans la ma-
nipulation de la définition de convergence. Nous les rapprochons des difficultés,
chez nos étudiants, à manipuler une écriture dans laquelle les données sont géné-
rales. Enfin, nous retrouvons dans tous les dépouillements une stratégie chez les
étudiants qui consiste à chercher parmi tous les résultats du cours celui qui permet
de résoudre l'exercice, quitte à en inventer un soi-même si on ne le retrouve pas
plutôt qu'adapter.
# Chapitre VI

## Bilan des résultats obtenus

### 1 Questions

Au départ de cette recherche se trouve un questionnement de l'enseignant qui essaie de comprendre pourquoi l'enseignement de la topologie en première année d'université pose des difficultés aux étudiants. Du point de vue du didacticien, nous nous sommes posée la question suivante :

Question 1 : quelles sont les spécificités des concepts topologiques et quelles difficultés ceux-ci peuvent-ils poser à ce niveau d'enseignement ?

Nous nous sommes appuyée sur le fait que ces concepts sont porteurs d'un formalisme nouveau pour les interpréter en termes de notions formalisatrices, unificatrices et généralisatrices (notions FUG). Une difficulté d'enseignement de telles notions est que le travail sur le nouveau formalisme est en rupture avec les connaissances antérieures. D'où la question de savoir à quelle conceptualisation peut mener ce travail ? Nous avons donc précisé notre questionnement pour étudier une seconde question :

Question 2 : que produit l'interprétation FUG des concepts topologiques dans l'analyse de leurs difficultés d'enseignement en termes de formalisation et de conceptualisation ?

Pour tenter de répondre à ces deux questions, notre travail a consisté en l'exploration des voies suivantes :

* un diagnostic de notre enseignement,

* l'élaboration de questionnaires proposés aux étudiants de deuxième et de troisième années dans notre institution.
## 2 Synthèse des résultats

En réponse à la question 1, nous avons dégagé des spécificités des concepts topologiques grâce à l'analyse de notre enseignement menée au chapitre II. Cette analyse a d'abord montré l'isolement des concepts au sein du cours. Ils sont introduits par leurs définitions, ils n'ont pas de liens avec les chapitres précédents et ils ne sont pas réinvestis par la suite. Comme les étudiants ne disposent pas de connaissances en topologie provenant de l'enseignement secondaire, il s'agit pour eux d'une discipline complètement nouvelle à maîtriser dans un temps très court. L'isolement des concepts au sein du cours est caractéristique des notions FUG.

Ensuite, nous avons relevé que chaque concept est défini de plusieurs façons (équivalentes) et avec un formalisme varié puisqu'il mélange différents registres d'écritures.

Le diagnostic établi au chapitre II met aussi en évidence que la finalité de notre enseignement est que les étudiants soient capables de manipuler le formalisme qui apparaît dans les définitions, ce qui se ramène à manipuler une écriture quantifiée. Nous avons pu préciser les difficultés liées à ce travail sur les définitions en relation avec l'interprétation FUG des concepts et ainsi fournir des éléments de réponse à la question 2.

Les exercices proposés aux étudiants sont des tâches simples et isolées puisqu'il s'agit essentiellement d'appliquer les définitions. Par contre, les activités mises en jeu pour résoudre ces tâches nécessitent des adaptations nombreuses et variées qui sont souvent implicitement cachées dans les définitions. Différentes étapes sont à envisager dans tous les exercices, des choix sont à effectuer (problèmes d'existence), des informations doivent être interprétées pour poursuivre l'exercice, ce qui fait apparaître d'autres quantificateurs que ceux déjà présents dans la définition (par exemple, pour prouver une inclusion d'ensembles). Des intermédiaires sont fréquemment introduits et il faut articuler différents arguments pour aboutir à ce qu'il faut prouver. De nombreuses initiatives sont donc laissées à la charge de l'étudiant. De plus, bien que les tâches soient proposées dans le cadre de la topologie, ce sont les cadres de la logique élémentaire et de la théorie des ensembles qui sont mobilisés dans les activités. Les connaissances utilisées dans les activités portent sur les inégalités, l'ordre dans $\mathbb{R}$, la convergence de suites, des résultats sur les passages à la limite, la continuité de fonctions. Les rares connaissances en topologie utilisées ne sont pas des connaissances avancées : propriété $\int E \subseteq E \subseteq \text{adh } E$, définitions d'intérieur et d'adhérence.

Une difficulté d'enseignement des concepts topologiques est donc liée au décalage entre les tâches proposées, simples et isolées, et les activités mises en jeu qui relèvent d'un niveau de connaissances disponibles. Une autre source de difficulté est que le degré de disponibilité des connaissances nécessaires pour résoudre les exercices n'est pas atteint car ce sont des connaissances de l'année en cours.

Nous pensons que ces résultats sont typiques des notions FUG. Le début de l'enseignement d'une FUG est un travail sur les définitions, donc une tâche a priori facile. Or, nous avons d'abord établi que ce travail engendre des activités
compliquées en ce sens qu'elles mobilisent des connaissances antérieures supposées disponibles alors qu'elles ne le sont pas. Ensuite, ce travail ne nécessite pas de connaissances en topologie. En conclusion, le travail sur le formalisme des définitions a une fonctionnalité manipulatoire qui ne permet pas de revenir au sens des concepts. Les étudiants ne peuvent compter que sur leur mémoire pour retenir les définitions puisqu'ils travaillent sur un formalisme qui ne représente rien pour eux. La dynamique entre le formel et le conceptuel n'est donc pas productive.

Le problème de la prise de sens des concepts topologiques se confirme dans le dépouillement de nos enquêtes, aux chapitres III et IV. Du point de vue des étudiants, les difficultés les plus fréquemment citées sont l'abstraction des objets étudiés et la quantité de définitions à maîtriser, ce qui rejoint les problèmes précédemment évoqués. Des erreurs sont déjà repérées dans la restitution des définitions : des quantificateurs sont mal placés ou absents, une définition d'ensemble fermé donnée par plus de la moitié des étudiants est en fait vérifiée par tous les ensembles.

Le formalisme est correctement manipulé si les écritures sont simples mais des problèmes surgissent lorsque les écritures sont plus complexes. Nous avons montré que ces erreurs sont liées au mélange, dans une même écriture, de quantificateurs, de la logique et de la théorie des ensembles. Nous avons aussi observé que certains étudiants parviennent à manipuler une écriture qui n'a pas de sens.

Comme la dynamique entre la formalisation et la conceptualisation fonctionne mal, les étudiants ne donnent pas de sens aux objets manipulés et nous observons de nombreuses imprécisions dans leurs écritures, bien présentes en deuxième année et qui s'accentuent en troisième année. Les méthodes et / ou les résultats ne sont pas utilisés rigoureusement, des justifications sont données sous la forme de théorèmes en acte. Nous pensons que ce phénomène a plusieurs explications. Tout d'abord, nous savons, de par notre expérience d'enseignant, que fournir des détails et des justifications rigoureuses ne sont pas les objectifs premiers des étudiants. D'autre part, la dégradation observée est, selon nous, liée aussi à l'enseignement de première année. Comme les concepts topologiques ne sont pas réinvestis, les bases ne sont jamais renforcées ; les connaissances acquises en première année ne font donc que se détériorer au fil du temps. De plus, nous agissons souvent, à tort, comme si les étudiants étaient capables de rédiger les détails, nous laissons les « choses simples » à leur charge. Nos enquêtes ont aussi montré que les étudiants sont incapables de rédiger la solution d'un exercice avec la rigueur mathématique exigée à ce niveau d'enseignement.

## 3 Lien avec d'autres travaux

Nous reprenons ici les travaux évoqués au chapitre I, section 5, pour étudier quels sont leurs éventuels liens avec les résultats obtenus dans ce travail.
### 3.1 L'algèbre linéaire (J. L. Dorier, 1997)

Nous avons pu repérer des similitudes entre les concepts de l'algèbre linéaire et les concepts topologiques. Tout d'abord, nous avons des notions FUG dans les deux disciplines. Ensuite, des résultats semblables ont pu être établi grâce aux enquêtes réalisées. Nous pensons aux questions posées dans les enquêtes sur les conceptions des étudiants et sur les difficultés qu'ils rencontrent. Que ce soit pour la topologie ou pour l'algèbre linéaire, les étudiants les décrivent comme une succession de contenus mathématiques où les concepts étudiés restent des objets. Des difficultés liées à l'abstraction et à la diversité des définitions sont aussi repérées. Dans les exercices, nous avons trouvé des problèmes liés à la manipulation du formalisme mais aussi à un manque de connaissances en logique élémentaire et en théorie des ensembles.

Nous pensons néanmoins qu'une différence entre l'algèbre linéaire et la topologie réside dans l'existence d'un saut de complexité important dans la manipulation des concepts topologiques. Le décalage observé dans ce travail entre les tâches et les activités n'apparaît pas dans les travaux sur l'algèbre linéaire. Les concepts topologiques et ceux de l'algèbre linéaire semblent être, sur ce point, des notions FUG de natures différentes.

### 3.2 Un usage fonctionnel des symboles (M. Berger, 2004)

Dans l'état actuel de notre étude, nous n'avons pas de lien avec ce travail. M. Berger s'intéresse davantage à l'aspect enseignement des concepts. Pour ap-profondir l'étude des concepts topologiques, nous pensons qu'une voie à explorer consisterait à étudier comment une notion FUG peut être enseignée.

### 3.3 Technique et sens (D. Butlen, M. Pezard, 1996)

Nous avons retenu de ces travaux que le problème du sens des notions est déjà présent au niveau de l'enseignement primaire. Il confirme l'importance de la dynamique entre le formel et le conceptuel.

## 4 Portée, limites

Nous sommes évidemment prudents quant aux résultats obtenus dans nos enquêtes en raison du nombre restreint d'étudiants qu'elles concernent. Une autre limitation de nos résultats peut s'expliquer par le fait que nous ne sommes pas maître de l'enseignement étudié ici.

## 5 Perspectives de recherche

L'étude des concepts topologiques ouvre la porte à d'autres directions de recherche que nous présentons ici.
## 5.1 Les définitions

Nos enquêtes ont révélé des problèmes dans la restitution et la manipulation des définitions. Une voie à explorer pour préciser davantage ces difficultés serait de s'intéresser à la question de la perception générale d'une définition chez les étudiants.

Dans sa thèse, C. Ouvrier-Buffet<fnref n="1" /> étudie les questions suivantes :

* Qu'est-ce-qu'une définition en mathématiques ?

* Quels sont les processus de construction d'une définition ?

A ce stade de notre travail, nous n'avons pas d'éléments concrets nous permettant de relier nos résultats avec ceux obtenus dans cette thèse.

## 5.2 Le symbolisme

Les définitions des concepts topologiques font intervenir différents registres d'écritures. Une autre perspective de recherche consiste à étudier davantage le rapport au symbolisme chez les étudiants.

Cette même question est étudiée dans la thèse de C. Bardini<fnref n="2" /> dans le cas de la factorisation chez des élèves en fin de troisième année. La factorisation est essentiellement constituée de manipulations formelles. Elle est souvent associée, chez les élèves, à une tâche qui a peu de signification pour eux. Les règles utilisées pour transformer une écriture algébrique sont dépourvues de sens pour un grand nombre d'élèves. D'où la question de savoir comment les élèves perçoivent les expressions algébriques qu'ils manipulent et leurs éléments constitutifs. Une question semblable peut se poser à propos des concepts topologiques. C'est grâce à une analyse épistémologique du rapport au symbolisme algébrique que C. Bardini précise les difficultés rencontrées par des élèves de quatrième et de seconde à qui des tâches ont été proposées.

## 5.3 Des questions de gestion

Un autre axe de recherche s'intéresse au rôle de l'enseignant et au travail qu'il peut réaliser au sein de la classe. A. Robert et M. Rogalski (2002) étudient la question des activités des élèves en fonction des énoncés et de la gestion de la classe.

Lorsque l'enseignant propose des exercices en classe, sa fonction est double : il y a d'abord une phase de préparation, c'est l'enseignant qui choisit les énoncés. Vient ensuite une phase d'accompagnement des étudiants qui dépend des formes de travail adoptées en classe. A. Robert et M. Rogalski ont pu constater que les

<footnote n="1">¹OUVRIER-BUFFET C. (2003), Construction de définitions / construction de concept : vers une situation fondamentale pour la construction de définitions en mathématiques, thèse de doctorat, Université Joseph Fourier-Grenoble 1.</footnote>

<footnote n="2">²BARDINI C. (2003), Le rapport au symbolisme algébrique : une approche didactique et épistémologique, thèse de doctorat, Université Paris 7.</footnote>
accompagnements pendant les séances modifient souvent les tâches des élèves. Dans notre travail, nous avons soulevé les difficultés liées aux tâches proposées aux étudiants et aux activités engendrées. D'où l'intérêt d'étudier comment l'enseignant peut gérer ces activités en travaux dirigés.

## 5.4 Pistes d'activités

Pour amener les étudiants à donner du sens aux concepts enseignés, nous proposons un début d'activité que nous comptons développer. Nous faisons l'hydrothèse que la communication entre pairs est susceptible d'améliorer la compréhension des concepts. Un jeu de communication serait donc envisagé où deux étudiants « truquent » une définition, par exemple en permutant deux quantificateurs ou bien en transformant un quantificateur existentiel en un quantificateur universel, pour ensuite proposer cette « fausse » définition à deux autres étudiants. Il s'agit alors, grâce à une discussion dans le groupe, de fournir une argumentation convaincante visant à expliquer pourquoi la définition n'est pas correcte.

Par exemple, un groupe pourrait proposer la définition suivante :

Un ensemble $E$ est ouvert ssi $\exists r > 0, \forall x \in E, B(x, r) \subseteq E$.

L'autre groupe aurait alors à expliquer pourquoi cette définition n'est pas correcte<fnref n="3" />. Bien entendu, un argument tel que « on a permuté les quantificateurs » ne serait pas admis.

Nous pensons que ce type de situation peut aider à restituer au formalisme son rôle associate de sens.

Une autre idée serait de proposer aux étudiants des exercices où les concepts topologiques servent d'outils dans la solution. Cependant, le caractère FUG des notions nous permet de penser que de telles activités ne seront pas simples à concevoir.

## 5.5 Une comparaison des enseignements

Une dernière perspective de recherche s'appuie sur une comparaison des enseignements de topologie dans différentes universités belges et si possible, dans d'autres pays.

<footnote n="3">³Par exemple, $]0,1[$ ne vérifie pas la propriété « $\exists r > 0, \forall x \in E, B(x, r) \subseteq E$ »</footnote>
# Annexe A

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

## Organisation de l'enseignement

L'enseignement universitaire belge propose un cycle de quatre années d'études réparties en deux années de candidatures et deux années de licences. Elles mènent à un diplôme de licencié.

Nous présentons ici l'organisation de l'enseignement de première année dans notre institution pour les sections qui nous concernent dans ce travail.

L'année académique démarre à la mi-septembre et se termine à la fin du mois de juin. Des évaluations sont organisées en janvier et en juin. Une session de rattrapage a lieu en août.

La plupart des cours sont scindés en des séances théoriques, données par un professeur, et des séances d'exercices ou des laboratoires, données par un assistant<fnref n="1" />.

Tout au long de la première année, les étudiants des sections mathématique, physique et informatique sont groupés pour les cours suivants : analyse mathématique, algèbre linéaire, physique générale et informatique. Ensuite, selon les sections, les étudiants ont des cours spécifiques. L'analyse est le cours de mathématiques le plus volumineux dans chaque section.

<footnote n="1">¹Poste occupé par tout étudiant qui réalise une thèse.</footnote>
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# Annexe B

## Tables des matières des cours d'analyse, première et deuxième années

### 1 Première année

Les notes de cours sont disponibles à l'adresse :
http://math.umh.ac.be/an/analyseI.php

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

#### ►► Limite et continuité

□ Convergence des suites de nombres réels

- Définition et propriétés

- Limites d'inégalités

- Sous-suites

□ Limites au sens large

□ Suites de Cauchy

□ Supremum, infimum

□ Suites monotones

□ Propriété des intervalles emboîtés

□ Normes

□ Convergence des suites vectorielles

□ Limites de fonctions et continuité

- Limites

- Continuité

- Théorème des valeurs intermédiaires

□ Notions de topologie

- Intérieur, adhérence, ouvert, fermé

- Union et intersection
►► **Compacité**

☐ Définition

☐ Définitions équivalentes

☐ Théorème des bornes atteintes

►► **Dérivée des fonctions d'une variable**

☐ Définitions et interprétations

☐ Propriétés

☐ Théorèmes de Rolle et de la moyenne

☐ Règle de L'Hospital

☐ Dérivées d'ordre supérieur

►► **Développement de Taylor**

☐ Définitions

☐ Formule du reste

☐ Introduction aux séries

►► **Equations différentielles ordinaires linéaires**

☐ Définitions

☐ Méthode des variables séparées

☐ EDO linéaires à coefficients constants

☐ Cas simples

☐ Equation homogène

☐ Solution particulière de $p(\partial)u = f(x)$

- $\mu$ n'est pas racine du polynôme caractéristique

- $\mu$ est racine du polynôme caractéristique

►► **Différentielle totale**

☐ Définitions et interprétations

☐ Règles de calculs
## 2 Deuxième année

- Rappels sur la topologie de $\mathbb{R}^N$

- Espaces métriques

- Espaces topologiques

- Limites de fonctions et continuité

- Compacité
<figure><img src="image_27.png" /></figure>
# Annexe C

## Axes d'analyse des contenus

Les analyses de tâches proprement dites : axe 3 (analyses a priori, côté élèves, côté enseignant)

Cette description est essentiellement mathématique, elle ne préjuge pas des activités des élèves en terme de mise en fonctionnement d'un savoir donné.

Troisième axe : l'analyse des tâches (a priori)

☐ Y a-t-il des étapes ? Les questions (éventuelles) sont-elles liées ou indépendantes ?

☐ Ouvertures de l'énoncé

- La question est-elle ouverte ?

- Une méthode (resp. un cadre, un registre) est-elle indiquée ? Quelles méthodes (resp. cadre, registre) peuvent, doivent être utilisées ? Y en a-t-il de meilleurs que d'autres ?

☐ Y a-t-il une modélisation à effectuer, y a-t-il un simple habillage ?

☐ Quel est le degré de décontextualisation de la tâche (exercice particulier, générique, mise en fonctionnement outil ou objet) ?

☐ Démonstrations

- Quels types de raisonnement sont en jeu (application directe, logique élémentaire, raisonnement par l'absurde ou contraposée, raisonnement par récurrence, contre-exemple, condition nécessaire et/ou suffisante, raisonnement par analyse-synthèse) ?

- Quel est le rôle spécifique du formalisme dans la démonstration ?

☐ Sur quoi porte l'énoncé (résultat, méthode, démarche) ?

☐ Quelle est la production demandée (graphique, formule, résultat numérique, vrai/faux, démonstration) ?

☐ Quels moyens de contrôle ont les élèves ?

☐ Y a-t-il des éléments implicites dans l'énoncé, notamment au niveau de problèmes d'existence ou d'unicité ou sur ce qui est à justifier ou de quantificateurs cachés ?
Quatrième axe : les activités élèves attendues (analyse a priori)

☐ Quel le niveau de fonctionnement visé (technique, mobilisable, disponible) ?

☐ Les calculatrices sont-elles utilisables ?

☐ Pour entrer dans la tâche :
  - Y a-t-il lieu de reconnaître (un type de problème, un type de justification, un type d'informations), de conjecturer (avec un dessin, un calcul,...), de modéliser, de faire des mises en relation, d'interpréter, de changer de cadres ou de registres, de points de vue —mathématiques ou autres ?

- Faut-il choisir une méthode, un outil ?

☐ Pour résoudre la tâche :
  - Quels théorèmes ou raisonnements appliquer ?
  - Y a-t-il lieu d'introduire des étapes ?
  - Y a-t-il à développer plusieurs arguments à la fois, à répéter un argument, à gérer plusieurs variables à la fois ?
  Y a-t-il lieu pour utiliser le(s) théorème(s) (définition, propriété,...) de :

- appliquer (contextualiser)

- réappliquer deux ou plusieurs fois à la suite

- reconnaître ou identifier, et appliquer

- changer de point de vue

- adapter et appliquer : il y a une modification à faire

- transformer

- sélectionner, perdre de l'information

- introduire quelque chose (un intermédiaire, objet —un point — ou nom, ou formalisme, ou notation)

- interpréter, mettre en relation, articuler deux ou plusieurs informations, faire une analogie

- généraliser (décontextualiser), transférer...

☐ Pour rédiger : quelle production est prévue ?
  - Y a-t-il des écritures quantifiées à utiliser ?

☐ Y a-t-il lieu de se contrôler ? Comment ?

Cela amène à déterminer plus globalement

☐ s'il y des initiatives à prendre (autrement dit s'il y a des connaissances disponibles supposées),

☐ le degré de « complication » (indice de complexité),

☐ le degré de nouveauté, la possibilité de généralisation...

☐ les risques de décalage entre activités attendues et tâches prescrites
# Annexe D

## La topologie de $\mathbb{R}^N$ : notes d'un étudiant

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

a) y est la enveloppe et la consistance de aient
Si une suite est une sequence, on a bien à ajouter à cette enveloppe ?
- est-elle convergente ?

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

c) est-elle la boundary d'une enveloppe quelconque ?

(on : flouement, c'est une boundary)

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

on peut ajouter la boundary en considérant dans l'environnement

Tout à l'intérieur des ensembles qui ne contiennent pas la boundary

Est-elle un boundary ?

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

$$2) \forall (x, y) : x^2 + y^2 < 1 \Rightarrow B_{1/2} (0, 1)$$

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

boundary qui est la envelope supérieure de $B_{1/2} (0, 1)$ et est une boundary

$$ (\text{environnement})_{1/2} \subset B_{1/2} (0, 1) $$

$$ \text{ boundary } (\text{environnement}) \rightarrow \text{ boundary} $$

$$ (\text{ boundary } (\text{environnement}) = (\text{ boundary } \text{ (environnement)})) $$
<figure><img src="image_33.png" /></figure>

Soit $A \subset \mathbb{R}^k$

A est une inclusion

Peuvent $\ell(A) = \ell(A) \cap E$ avoir des bornes

Peuvent être des includeds

Donc $\ell(E) = \emptyset$

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

Inclusion. Prends-t-il une inclusion de l'espèce en handes

Rappel : $\text{Sol } A \subset \mathbb{R}^N \text{ est un sys. borné}$

$\text{sol } A \subset \mathbb{R}^N \text{ est } \text{sol } E \text{ : } V \supset E \text{, } B \supset E \text{, } (x^*, a) \in A \text{ et } (x^*, a) \in E \text{ ; } \exists a \in E \text{ tel que}$

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

Chaque point de $P$ est un point de contact de $P$ avec $E$ interne à $P$.

Remarque

1) $\text{Inclusion}$ et $\text{Racord}$ ne disent que de la même manière : il n'y a que de l'espèce avec la même inclusion de $P$.

2) On peut utiliser $B_1 \cap (x^*, a) \subset B_2 \cap (x^*, a)$ pour $B_1 \cap E = E$

la inclusion est une inclusion

Peuvent :

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

(3)

A = {x ∈ R | x^2 + 1 = 0}

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

A = {x ∈ R | x^2 + 1 = 0}

Un intervalle deранition est un intervalle de variation de $A$.

A

La boundary de $A$ est la boundary de $A \cap E$.

Mais $A$ est une inclusion fine

$$
\text{bound } A = \text{bd } A = \text{bd} A \setminus \text{bd} (A)
$$

Exemple : $A = \text{Fini}$

$$
\text{examen } A = \text{examen } A \text{ est le bound de } A
$$

$$
\text{examen } A = \exists (x^*, a) \in A, \text{ on ait } a \neq x^*
$$

$$
\text{bound } A = \{ x^* : x^* \in \text{ un sys d'espèce avec le bound } A \}
$$

$$
\text{bound } A = \exists (x^*, a) \in A, \text{ on ait } a \neq x^*
$$

$$
= \{x^* : y(x^*, a) \in E \setminus \{x^*\} = \text{bound } y \text{ est un bound}
$$

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

autres limites pour $x^*$ et $a$

$$
\text{DEF : } \text{Sol } A \subset \mathbb{R}^N
$$

On a : $\text{sol } A \subset \mathbb{R}^N$

Exemple : $\text{sol } E \subset \mathbb{R}^N$

Prop : $\text{Sol } A \subset \mathbb{R}^N$

Dim (4) : $\text{Sol } A \subset E$

A est une inclusion

A est une inclusion fine (en $x^*$) $\in E$

ok
<figure><img src="image_39.png" /></figure>

Sout. a) $\mathbb{R}^N$

sout. $\mathbb{R}^N \subset \mathbb{R}^N$

$\mathbb{R}^N \subset \mathbb{R}^N$

Sout. c)

Parmi $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$ on ait $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

$\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

En plancteur, $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

c'est, $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

Parallèle, $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

(3)

2) Sout. a) $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

En plancteur, quelque point $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$ on ait $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

$\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

Décrite $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$ $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

Conforme $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

(3)

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

De monter directement c'est difficile, donc
en se déduire le fait que $\mathbb{R}^N$ est un espace vectoriel

Sout. b) $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

Sout. c) $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

$\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \subset \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

c'est $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

c'est $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

Parmi $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$ on ait

$\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

$\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \subset \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

Conformément $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

Parfait $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

Décrite $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

Sout. a) $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

Sout. b) $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

Sout. c) $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

Parmi $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$ on ait

c'est $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

Parmi $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$ on ait

c'est $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

Parmi $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$ on ait

c'est $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

Décrite $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

• (ad. - $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$)

Anormale $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

Décrite $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

$\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

$\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

$\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

$\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

$\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$

$\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$
<figure><img src="image_45.png" /></figure>

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

Ex: Sout en $\mathbb{R}$ continue
ch $\epsilon > 0$

dans $\mathbb{R}^2$: $f(x) = x_1^2 + x_2^2 \leq 1$

$$ \text{min}_{x_1 \geq 0, x_2 \geq 0} \frac{|x_1 - x_2|^2}{1 + x_1^2 + x_2^2} $$

$$ x_* = \underset{A \in \mathcal{A}}{\operatorname{max}} |f(x_0)| = \{f(x_0)\} $$

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

Ex: $x_0 \in \mathcal{A}$ et $\mathcal{A} \in \mathcal{A}$

Ex: $\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^N$

Ex: $\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^N$ : points de maximum

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

Ex: $\mathbb{R}^N$

Ex: $\mathbb{R}^N$ est un volume de $\mathbb{R}^N \subset \mathbb{R}^N$

Ex: $\mathbb{R}^N \subset \mathbb{R}^N$

Ex: $V$ voisin de $x_0 \in \mathbb{R}^N \subset \mathbb{R}^N$ et $\partial V \neq \emptyset$

Ex: $A$ est un point de maximum de $f$

Ex: $(x_0, x_0 \in \mathbb{R}^N, x_0 \in \mathcal{A})$

$f(x) \to x_0 \text{ en } \forall V \text{ voisin de } x_0 \text{ avec } \partial V \neq \emptyset$

Ex: $f(x) = x_0 + x_0 \cdot x_0 \in \mathbb{R}^N$

$$ (\Rightarrow) \quad A \text{ est un point de } x_0 = \beta \text{ et } \beta \in \mathcal{A} $$

Ex: $f$ est un point de $\beta$

Ex: $f(x) = x_0 + \beta x_0 \in \mathcal{A}$

Ex: $\beta \in \mathcal{A} - \text{odr}\beta A$

Ex: $\beta \in \mathcal{A} - \text{odr}\beta A$

Ex: $\beta \in \text{int} \, \mathcal{A} = \beta \text{ adr}\beta A$

Ex: $\text{int} \, \mathcal{A} = \beta \text{ adr}\beta A$

Ex: $\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^N$

Ex: $\text{int} \, \mathcal{A} = \beta \text{ adr}\beta A$

Ex: $\text{int} \, \mathcal{A} = \beta \text{ adr}\beta A$

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

Ex: $\text{int} \, \mathcal{A} = \beta \text{ adr}\beta A$

$$ \text{min}_{x_1 \geq 0, x_2 \geq 0} \frac{|x_1 - x_2|^2}{1 + x_1^2 + x_2^2} \leq \beta \text{ adr}\beta A $$

Ex: $\text{int} \, \mathcal{A} = \mathbb{R}^N$

$$ \text{min}_{x_1 \in \mathbb{R}^N} \frac{|x_1 - x_0|^2}{1 + x_1^2 + x_0^2} \leq \beta \text{ adr}\beta A \quad (\Rightarrow \beta \in \mathbb{R}) $$

$$ \text{max}_{x_1 \in \mathbb{R}^N} \frac{|x_1 - x_0|^2}{1 + x_1^2 + x_0^2} \leq \beta \text{ adr}\beta A \quad (\Rightarrow \beta \in \mathbb{R}) $$

$$ \text{max}_{x_1 \in \mathbb{R}^N} \frac{|x_1 - x_0|^2}{1 + x_1^2 + x_0^2} \leq \beta \text{ adr}\beta A \quad (\Rightarrow \beta \in \mathbb{R}) $$

$$ \text{max}_{x_1 \in \mathbb{R}^N} \frac{|x_1 - x_0|^2}{1 + x_1^2 + x_0^2} \leq \beta \text{ adr}\beta A \quad (\Rightarrow \beta \in \mathbb{R}) $$

$$ \text{max}_{x_1 \in \mathbb{R}^N} \frac{|x_1 - x_0|^2}{1 + x_1^2 + x_0^2} \leq \beta \text{ adr}\beta A $$

COR: $A \in \mathbb{R}^N$

Ex: $\beta \text{ adr}\beta A \text{ ouvert}$

Ex: $A \text{ est un point de } A = \beta \text{ adr}\beta A$

$$ (\Rightarrow) \quad A = \beta \text{ et } \beta \in \mathcal{A} $$

$$ (\Leftarrow) \quad A = \beta \text{ et } \beta \in \mathcal{A} $$

Ex: $\beta \text{ adr}\beta A \text{ ouvert}$

$$ \text{Ex: } \beta \in \mathbb{R} \text{ et } \beta \in \mathbb{R} \text{ continue} $$

Exemple: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue

$\{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 0 \} \text{ ouvert}$

$\beta \in \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 1 \} \text{ ouvert}$

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

<figure><img src="image_51.png" /></figure>
<figure><img src="image_52.png" /></figure>

1. $\Phi : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^N$ est une application de façon à $\gamma$-enfants d'ici, et d'autres équivalents à la même ?

D'après

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

Repr. $\sinh A \in \mathbb{R}^N$

(1) $\sinh (\lambda t A) = \lambda \sinh A$

(2) $\operatorname{ad} R^N \circ \operatorname{ad} R^N = \operatorname{ad} R^A$

Cor.

$\sinh A \in \mathbb{R}^N$

$\operatorname{ad} R^A \in \mathbb{R}^N$

$\operatorname{ad} R^A \notin \mathbb{R}^N$

D'après : (6) dé composition de (1)

$\operatorname{ad} (\operatorname{ad} R^A) = \operatorname{ad} (R^A \cdot \operatorname{ad} R^A)$

$= R^A \cdot \operatorname{ad} R^A \circ \operatorname{ad} R^A$

$= R^A \circ \operatorname{ad} (\operatorname{ad} R^A)$

$R^A \circ \operatorname{ad} R^A$

$= \operatorname{ad} R^A$

$\cdot \operatorname{ad} (\operatorname{ad} R^A) \subseteq \operatorname{ad} R^A$

$\operatorname{ad} R^A \in \mathbb{R}^N$

$\text{Tr} \operatorname{ad} R^A \leqno{\text{en dehors } A \leqno{\text{en dehors } A}}$

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

$\text{Par } \alpha \in \text{ind } A, \alpha \neq 0 \text{ et } \text{P} \in \text{avis } \text{un } \beta \in \text{B}(\alpha, \beta) \in \mathbb{A}$

$\text{Par } \alpha \in \text{ind } A, \alpha \neq 0 \text{ et } \text{P} \in \text{avis } \text{un } \beta \in \text{B}(\alpha, \beta) \in \mathbb{A}$

$\text{lad } \beta \geq 0 \text{ (B(} \alpha, \beta) \in \mathbb{A}$

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

$\text{lad } \alpha := \text{P} - \text{P} \alpha - \beta \alpha^2$

$\text{Parque } \gamma \in \mathbb{B}(\alpha, \beta), \text{ on a } \text{P} \alpha \cdot \gamma \neq \text{P}$

$\text{d'ou } \alpha \geq 0 \text{ . On va faire}$

$\text{B}(\gamma, \alpha) \in \mathbb{B}(\alpha, \beta) \subseteq \mathbb{A}$

$\text{Sout } \beta \in \mathbb{B}(\beta, \alpha), \text{ on va montrer } \beta \in \mathbb{B}(\alpha, \beta)$

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

$\| \beta - \alpha \| = \| \beta - \gamma - \alpha \|$

$\| \gamma - \alpha \| \le \| \gamma \| + \| \alpha \| \le \| \beta - \alpha \|$

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

$\| \alpha - \beta - \alpha \| = \| \beta - \gamma - \alpha \| + \| \gamma - \alpha \| = \| \beta - \gamma \| = \beta$
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# Annexe E

## Questionnaire sur les concepts de l'algèbre linéaire

NOM et PRENOM:

Etablissement fréquenté l'an dernier (1986-1987):

Eventuellement groupe de TD du 1er et du 2ème semestre:

### QUELQUES QUESTIONS A PROPOS D'ALGEBRE LINEAIRE :

1. Vrai ou faux (justifier votre réponse) : v et u étant deux applications linéaires d'un espace vectoriel dans lui-même :

$$v \circ u = 0 \Leftrightarrow \mathrm{Im}(u) = \mathrm{Ker}(v).$$

2. Quels exemples d'espaces vectoriels connaissez-vous ?

3. Soient $A, B, C$ trois points du plan dont les coordonnées dans un repère sont respectivement $(a_1, b_1)$, $(a_2, b_2)$, $(a_3, b_3)$, trouver les coordonnées des points $M, N, P$ s'ils existent, tels que $A, B$ soit le milieu du segment [MN], $A$, celui de [NP], $A$, celui de [PM]. On notera $(x_1, y_1)$ les coordonnées de $M, (x_2, y_2)$ celles de $N, (x_3, y_3)$ celles de $P, (x_4, y_4)$.

4. Trouver les solutions lorsqu'elles existent du système réel suivant :

$$\begin{cases} X_1 + X_2 = a_1 \\ X_2 + X_3 = a_2 \\ X_3 + X_4 = a_3 \\ X_4 + X_1 = a_4 \end{cases}$$

5. On considère l'espace vectoriel $E$ formé des polynômes à coefficients réels de degré au plus deux. Soit $f$ l'application linéaire de $E$ dans $E$ qui au polynôme $P$ associe le polynôme $Q = f(P)$ défini par $Q(X) = (2X+1)P(X) - (X^2-1)P'(X)$ où $P'$ désigne le polynôme dérivé de $P$. Ecrire la matrice de $f$ dans la base $(1, X, X^2)$.

6. Si on vous demande d'expliquer en quoi consiste l'algèbre linéaire à un étudiant entrant en DEUG<fnref n="1" />, que lui dites-vous ?

7. Quelles sont pour vous les difficultés de ce domaine des mathématiques?

<footnote n="1">1. Le DEUG (Diplôme d'Etudes Universitaires Générales) désigne l'enseignement dans les deux premières années à l'université en France.</footnote>
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Bibliographie

BERGER M. (2004) *The Functional Use of a Mathematical Sign*, *Educational Studies in Mathematics*, **55**, 81-102.

BUTLEN D. ET PEZARD M. (1996) Rapports entre habileté calculatoire et « prise de sens » dans la résolution de problèmes numériques, étude d'un exemple : impact d'une pratique régulière de calcul mental sur les procédures et performances des élèves de l'école élémentaire, *Cahier de didactique des mathématiques* n° 27, Irem Paris 7.

DORIER J.L. (1997) Ed., L'enseignement de l'algèbre linéaire en question, *La pensée sauvage*, Grenoble.

DOUADY R. (1986) Jeux de cadres et dialectique outil/objet, *Recherches en didactique des mathématiques* **7**(2), 5-32.

ROBERT A. (1998) Outils d'analyse des contenus mathématiques à enseigner au lycée et à l'université, *Recherches en didactique des mathématiques* **18**(2), 139-190.

ROBERT A. ET ROGALSKI M. (2002) Comment peuvent varier les activités des élèves sur des exercices ? Le double travail de l'enseignant sur les énoncés et sur la gestion de la classe, *Petit x* n° 60, 6-25.

ROBERT A. (2005) Deux exemples d'activités en formation des enseignants de mathématiques du second degré, *Petit x* n° 67, 63-76.
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IREM Université Paris 7
Case 7018
2 place Jussieu
75251 Paris cedex 05
**TITRE :**

Analyse d'un enseignement de topologie en première année d'Université

**AUTEUR :**

Bridoux Stéphanie

**RESUME :**

Dans ce travail, nous présentons une recherche menée en 2003-2004 dans le cadre d'un cours d'analyse mathématique donné à l'Université de Mons-Hainaut, en Belgique. Cette recherche porte sur l'enseignement de la topologie de $R^N$ en première année d'université.

Dans la première partie du travail, nous nous sommes intéressée aux spécificités des notions topologiques. Pour les étudier, nous nous sommes appuyée sur le fait que ces notions sont formalisatrices, unificatrices et généralisatrices. Un diagnostic de l'enseignement décrit ci-dessus a montré que les exercices proposés aux étudiants consistent à manipuler le formalisme contenu dans les définitions de ces notions. Nous avons montré l'existence d'un décalage entre les tâches proposées, simples et isolées, et les activités engendrées qui relèvent d'un niveau de connaissances disponibles. De plus, ces connaissances ne sont pas de nature topologique. Ces exercices ne se présentent donc pas, a priori, comme une aide à la conceptualisation des notions topologiques.

Dans la seconde partie du travail, nous avons analysé les effets de l'enseignement étudié ici en élaborant des questionnaires que nous avons proposé aux étudiants de deuxième et de troisième années à l'Université de Mons-Hainaut. Le dépouillement des questionnaires montre que les connaissances de première année sont peu disponibles. Les difficultés repérées dans la manipulation du formalisme sont liées à la non disponibilité des connaissances des étudiants en logique élémentaire et en théorie des ensembles. Les étudiants perçoivent aussi la topologie comme une suite de contenus très abstraits.

Au terme de la première année universitaire, la dynamique entre le formel et le conceptuel n'apparaît donc pas comme étant productive chez la plupart des étudiants.

**MOTS CLES :**

Ensemble ouvert, ensemble fermé, intérieur, adhérence, tâche, activité, niveau de mise en fonctionnement d'une connaissance, formalisation, conceptualisation, symbolisme, notion formalisatrice, unificatrice et généralisatrice.

**Editeur :** IREM
**Université** PARIS 7-Denis Diderot
**Directeur responsable de la publication** : R.CORI
**Case** 7018 - 2 Place Jussieu
**75251** PARIS Cedex 05
**Dépôt légal** : 2005
**ISBN** : 2-86612-271-2