## D. Bilan et scénarios possibles

L'expérimentation de cette séance a confirmé globalement les attentes que nous avions à son sujet. C'est une situation intéressante du fait des résultats inattendus, de la richesse des techniques et raisonnements intervenant dans la résolution, de l'articulation qu'elle met en jeu entre travail algébrique et graphique. C'est également une situation où l'apport de la TI92 est évident, tant dans l'exploration graphique que dans le travail algébrique. Elle permet d'ailleurs de faire le point sur l'instrumentation de la machine à ce moment là de l'année, globalement au niveau de la classe et est utilisée par l'enseignante pour faire fonctionner des commandes comme *Zeros*, *Intersection*, *Factor*(expression,x) qui sont moins souvent utilisées par les élèves que les commandes *Solve*, *Trace*, *Factor*.

Ce n'est pas non plus une situation facile et des médiations de l'enseignant y sont nécessaires. Il est donc important de chercher à construire des scénarios où cette nécessité de médiation soit prise en compte, avec le souci de laisser aux élèves le maximum d'autonomie dans la recherche. Ceci n'a rien d'évident et nous pouvons chercher à déterminer ce que nous apporte ici l'expérimentation menée.

L'introduction de la situation par une phase de conjecture, qui fait ici ressortir la conjecture erronée attendue (certains élèves pourraient cependant douter de sa véracité en pensant que lorsque la bille est très grosse, il suffit de peu d'eau pour la submerger car elle occupe une grande part du volume du cylindre), nous semble tout à fait intéressante par l'enjeu qu'elle va donner au travail mathématique.

Dans le texte, nous avons choisi d'introduire la fonction qui va servir à le résoudre, estimant que le travail laissé ainsi à la charge de l'élève était déjà suffisamment important. L'expérimentation tend à conforter ce choix. Il est évident que ce faisant, nous privilégions une approche du problème parmi d'autres possibles, par exemple celle qui consiste à introduire la fonction h(x) donnant la hauteur d'eau dans le cylindre en fonction du rayon de la bille, pour une bille immergée, puis à résoudre l'inéquation h(x) ≤ 2x qui traduit le fait que la bille est bien immergée.

Une fois le problème reformulé en termes de comparaison de V(x) et V(8), ce qui on l'a vu ne pas de soi, l'exploration graphique qui va conduire à la formulation des conjectures nous semble tout à fait à la portée des élèves, dans un travail autonome, même si ici elle est gérée collectivement.

La justification algébrique ensuite nous semble intéressante et indispensable : elle met en jeu le caractère outil de la factorisation dans l'étude du signe d'une expression polynomiale, elle met en jeu le lien racine d'un polynôme / factorisation, un des points forts du travail sur les polynômes en 1ereS qui permet ici, en prenant en compte le fait qu'une racine est connue, de se ramener à une équation du second degré que l'on sait résoudre. Vu les compétences des élèves, elle nous semble devoir être guidée par l'enseignant et prise en charge collectivement, pour ce premier exemple. La TI92 sera mise à contribution pour produire racines et factorisations, allégeant la charge technique du travail.

Le travail peut être repris, avec plus d'autonomie cette fois, dans le cas où $a = 3$.

Pour le cas général, si l'exploration graphique et la formulation de conjectures nous semblent tout à fait accessibles de façon autonome, la preuve algébrique devrait nécessiter pour beaucoup d'élèves, encore une fois, l'aide de l'enseignant qui pourra aussi faire ressortir la diversité des démarches possibles et leur économie respective.
Lors de l'expérimentation, pour cette situation, nous avons affaire à une recherche conjuguant très étroitement les phases collectives et les phases de travail autonome des élèves. D'autres gestions seraient sans doute possibles, en ménageant des plages suffisamment longues réservées au travail autonome des élèves. Dans cette situation d'autre part, les élèves travaillent, comme c'est habituel dans la classe, par binômes. Comme le souligne L.Trouche dans (Trouche, 1997), cette taille de groupe est bien adaptée aux échanges dans le travail avec la TI92, vue la visibilité limitée de l'écran. On peut penser cependant que des groupes un peu plus nombreux, face à une situation aussi complexe, pourraient être plus productifs que de simples binômes. L'expérimentation enfin semble montrer la nécessité dans le scénario d'au moins deux phases avec apport important de l'enseignant : une première phase où on fait le point sur les calculs à mener et on reformule le problème en termes de comparaison de V(x) et V(8), qui peut succéder à une phase d'appropriation du problème, et une seconde phase où se gère la première preuve algébrique.

Dans le cadre de l'expérimentation, la séance ne permet de traiter que les cas particuliers. Ceci ne nous semble pas gênant. La conclusion de cette séance peut justement viser à assurer la dévolution du problème de la généralisation à partir de la comparaison des deux cas particuliers (cette généralisation n'a pas nécessairement à être présente dans le texte distribué initialement aux élèves) et renvoyer les élèves à un travail de recherche hors classe avec production écrite. On pourrait d'ailleurs dans ce travail écrit demander à chaque élève de choisir une valeur particulière de a, distincte des deux valeurs déjà étudiées, avant de passer au cas général, pour renforcer l'appropriation individuelle du travail effectué en classe et le passage à l'écrit. Une synthèse collective serait alors organisée sur la base des productions écrites des élèves.
<figure><img src="image_62.png" /></figure>
# INGENIERIE 2

## Une première approche des limites

L'objectif de cette partie de l'ingénierie est de mener une première approche des limites, préparatoire à la notion de dérivée. On s'y limite volontairement de ce fait aux limites en 0, le thème des limites sera retravaillé ensuite, en liaison avec l'étude des branches infinies de courbes représentatives de fonctions et sera l'occasion de reprendre et adapter aux nouveaux cas considérés le travail effectué ici.

Nous souhaitons dans cette approche nous appuyer sur un langage des ordres de grandeur. Divers travaux menés (Deledicq, 1991), (Lutz et al., 1996) semblent montrer qu'il est accessible aux élèves et peut les aider à soutenir leur activité mathématique par un langage cohérent et opérationnel. Nous souhaitons ainsi introduire la notion de négligeabilité relative, à partir de la comparaison expérimentale de vitesses de convergence vers 0 et exploiter ensuite cette notion pour caractériser en analyse la tangente à une courbe en un point, parmi l'ensemble des droites qui tendent à se confondre avec la courbe lorsque l'on effectue des zooms.

Nous nous appuierons dans cette approche sur les conceptions dynamiques et statiques spontanées des élèves, en essayant de montrer la nécessité de leur dépassement mais sans chercher à contrecarrer systématiquement les conceptions monotones qui ne peuvent qu'être renforcées par les fonctions que rencontrent les élèves, à ce moment de l'année. Ce point sera repris lors de l'étude des fonctions trigonométriques en fin d'année.

Enfin, nous n'introduirons officiellement que relativement tard, dans cette approche, la commande algébrique de calcul de limites de l'application HOME. Une introduction trop précoce nous semble préjudiciable au travail que nous voulons mener, en enfermant prématurément la notion de limite dans un cadre formel. L'approche, en revanche, exploitera dès le départ, les dimensions numériques et graphiques du concept.

Le scénario est construit autour d'un ensemble de séances que nous allons présenter dans la suite. Dans cette partie du rapport, nous nous centrerons sur la phase d'introduction et, en particulier deux séances : la séance d'introduction proprement dite et la séance qui, à Chartres, a conclu cette phase d'introduction où n'était pas mobilisée la commande de calcul formel des limites de la machine. La partie de cette approche concernant la mise en place des règles de calcul algébrique sur les limites est regroupée avec la séance analogue concernant les dérivées (chapitre3). Nous joignons de plus en annexe le document distribué aux élèves, destiné à assurer la trace collective du travail effectué pendant les quatre premières séances.

### SITUATION 1 : l'introduction des limites

Il s'agit dans cette première séance, prévue pour une durée de deux heures, de problématiser la notion de limite, en s'appuyant sur des approches numériques et graphiques, de mettre en place des formulations associées à la situation de limite nulle en 0 pour une fonction et les raffiner progressivement, tout en constituant un premier ensemble de critères positifs et négatifs, pouvant servir de repères aux élèves.

Nous en décrivons ci-après le scénario tel que nous l'avons reconstruit en prenant en compte les résultats de la première expérimentation. Il comporte cinq phases.
### Phase 1 :

Cette phase est collective et vise à situer le travail mathématique qui va être effectué, en particulier en faisant émerger le sens que donnent les élèves au mot « limite » qui ne leur est bien sûr pas inconnu. Pour cela, on leur demande ce qu'évoque pour eux le mot limite, dans quels contextes ils l'ont déjà rencontré, utilisé, hors mathématiques et en mathématiques.

* On peut s'attendre à ce que ce soit plutôt les limites infinies qui soient ici évoquées, au moins sur le plan mathématique, associées à l'idée de grandes valeurs et de croissance, ainsi que les conceptions culturelles communes (limite comme borne, barrière, point inaccessible, fin d'un processus...), c'est ce que s'est effectivement produit lors de l'expérimentation.

* On introduit à cette occasion les distinctions entre nombres “très grands”, “très petits”, de taille “normale”, en précisant qu'elles portent sur les valeurs absolues des nombres et restent nécessairement un peu floues.

### Phase 2 :

Cette phase est une phase d'exploration numérique et graphique, elle aussi collective, menée avec le support de la calculatrice. Elle concerne une fonction usuelle simple. Dans l'expérimentation, nous avions prévu de travailler très banalement avec la fonction : $x \mapsto x^2$, fonction qui a d'ailleurs été citée par les élèves dans la première phase (comme associée à la rencontre de limites infinies en mathématiques, l'année précédente). La calculatrice rétroprojetable est manipulée par l'enseignant, les élèves reproduisent tout au partie des manipulations sur leur propre calculatrice. La fonction choisie est explorée au voisinage de 0, après que l'on ait précisé que c'est à des problèmes de “très petit” plutôt que de “très grand” que l'on va s'intéresser pendant cette séance.

* Que peut-on dire du comportement de $f(x)$ au voisinage de zéro ?

* Que se passe-t-il quand $x$ devient très petit, et par exemple que peut-on dire de $f(x)$ si :

$$ 
\begin{aligned}
-10^{-2} &\le x \le 10^{-2} \\ 
-10^{-5} &\le x \le 10^{-5} \\ 
-10^{-10} &\le x \le 10^{-10}
\end{aligned}
 $$

L'exploration s'effectue en utilisant TABLE, GRAPH avec Trace, voire GRAPH avec Zoom (ceci a été proposé par les élèves de Chartres mais les a déçus car, contrairement à leur attente, les zooms n'aplatissaient pas nécessairement la courbe sur l'axe des $x$, donc ne renforçaient pas la visibilité du phénomène). Il peut être intéressant de partager l'écran en deux sous-fenêtres l'une graphique, l'autre correspondant à l'application TABLE, pour pouvoir gérer simultanément les deux approches.

Il s'agit ici d'arriver à une première formulation, nécessairement proche des représentations spontanées, une formulation que l'on fera fonctionner dans la phase suivante.

La formulation qui a été proposée par les élèves de Chartres lors de l'expérimentation était la suivante : **“Quand $x$ devient très petit, $f(x)$ devient très petit”**

Elle est assez naturelle, si l'on prend en compte la situation fonctionnelle qui lui donne naissance et la force des conceptions dynamiques spontanées, renforcée ici par le travail d'exploration. On notera que les élèves se sont emparés sans difficulté du langage des ordres de grandeur qui avait été introduit préalablement par l'enseignante. A Caen, où ce langage
n'avait pas été introduit, les formulations ont été du type : « Quand x se rapproche de 0, f(x) se rapproche de 0 ».

### Phase 3 :

Il s'agit d'exploiter cette première formulation dans un travail autonome en binômes, à partir de la fiche graphique ci-après, associée à la consigne suivante : « Pour chacune des représentations graphiques proposées, dites si, à votre avis, elle correspond à une fonction qui satisfait la définition que vous avez donnée de la limite 0 en 0, en justifiant soigneusement votre réponse ».

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>Fonction f</figcaption></figure>

<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>Fonction g</figcaption></figure>

<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>Fonction h</figcaption></figure>

<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>Fonction n</figcaption></figure>

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>Fonction k</figcaption></figure>

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>Fonction l</figcaption></figure>

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>Fonction m</figcaption></figure>

Les exemples sont choisis pour mettre en place, en s'appuyant sur la définition provisoire donnée, un certain nombre de repères. On a aussi introduit la fonction nulle en faisant l'hypothèse que, pour les élèves, elle soulèvera débat, f(x) ne devenant pas très petit lorsque x l'est puisqu'il l'est déjà.

L'expérimentation menée montre que le travail ici proposé est tout à fait accessible aux élèves, en travail autonome et qu'il est productif. La mise en fonctionnement de la définition sur ces différents exemples a permis de faire ressortir, après un débat collectif, conformément aux attentes, un certain nombre de critères positifs et négatifs :

* Le problème de la limite en 0 ne se pose pas si f n'est pas définie au voisinage de 0.

* Il ne suffit pas que $f(0) = 0$ pour qu'il y ait une limite nulle en 0.

* Quand on cherche s'il y a une limite 0 en 0, on ne s'intéresse qu'à ce qui se passe pour x très petit. Pour d'autres valeurs f(x) peut être grand et même "très grand".

* Si une fonction est nulle sur un intervalle autour de 0, elle a forcément une limite nulle en 0.

Le cas de la fonction nulle, très discuté, conduira lors de l'expérimentation, les élèves à reformuler leur définition en :
“Quand x devient très petit, f(x) reste ou devient très petit”

Phase 4 :

Lors de cette phase, on introduit une nouvelle fonction destinée à mettre en évidence les limitations de la définition proposée. Cette fonction est choisie, pour que graphiquement et numériquement, dans une exploration comparable à celle menée précédemment, et sur la base de la définition adoptée, on soit amené à conjecturer que la limite en 0 est 0. On fait cependant l'hypothèse que certains élèves peuvent, lors de l'exploration s'apercevoir que les valeurs de la fonction ne descendent pas au-dessous d'un certain seuil non nul au voisinage de 0 ou au moins avoir un doute. Si ce n'est pas le cas, il est prévu que l'enseignante rende ce phénomène perceptible par un questionnement comparable à celui introduit pour : x $\mapsto$ x². La fonction choisie est la fonction f définie par :

$$f(x) = \frac{2x^3 + 1}{x + 1000}$$

La question posée est : « A votre avis, la fonction f a-t-elle une limite nulle en 0 ou non ? »

Nous donnons ci-dessous des représentations graphiques machine et tables de valeurs qui lui sont associées. les deux premières représentations sont obtenues dans la fenêtre standard et en ZoomFit pour l'intervalle [-10,10] de cette fenêtre, la troisième correspond à un ZoomFit sur l'intervalle [-1,1].

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

<figure><img src="image_71.png" /></figure>

<figure><img src="image_72.png" /></figure>

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

Lors de l'expérimentation menée, le doute apparaîtra chez certains élèves qui concluront que la limite n'est pas 0 mais 1/1000. Les justifications proposées seront reprises par l'enseignante qui en tirera les conséquences par rapport à la nécessité de remanier la définition proposée : « Il ne suffit pas que f(x) devienne très petit, il faut qu'il devienne aussi petit que l'on veut », conclusion qu'elle précisera ensuite en complétant la première définition par l'énoncé suivant :

“Pour tout nombre a positif, aussi petit que l'on veut, on est sûr que |f(x)|≤ a dès que x devient assez petit”
On cherchera ensuite collectivement, une valeur de $a$ qui permette de prouver que la fonction donnée ne satisfait pas cette condition.

### Phase 5 :

Dans cette cinquième et dernière phase, il s'agit de tester l'opérationalité du nouveau critère avec la première fonction rencontrée : $x \mapsto x^2$, puis de mettre en place sa visualisation graphique sous forme du critère des bandes et l'appliquer aux tracés étudiés dans la deuxième phase. L'enseignante souligne à cette occasion que ce critère graphique donne une indication, non une certitude dans le cas où l'on veut l'utiliser pour conclure que la limite est 0 (cf. phase 4).

## SITUATION 2 : les limites des fonctions de référence

La deuxième séance est consacrée aux limites des fonctions de référence de limite nulle en 0. Dans chaque cas, on articule exploration numérique et graphique, ainsi que l'utilisation de la définition. Comme toutes les fonctions envisagées dans cette séance ont pour limite 0 en 0, ce qui les distingue et est particulièrement visible dans l'approche numérique, c'est leur rapidité de convergence vers 0. On profite donc de cette séance pour classer les fonctions de référence suivant leur rapidité de convergence et pour introduire la notion de négligeabilité d'une fonction par rapport à une autre au voisinage de 0 pour traduire ces différences de vitesses.

## SITUATIONS 3 ET 4 : prolongements à d'autres cas possibles simples

Dans ces deux séances, on va aborder trois prolongements de la situation initiale :

* le cas d'une limite finie non nulle en 0. Ceci s'effectue avec les deux fonctions suivantes :

$$x \mapsto \cos(x) \text{ et } x \mapsto \frac{1}{1-x}$$

* le cas d'une limite infinie en 0 : $x \mapsto \frac{1}{x}$ et les inverses des fonctions de référence.

Dans chacun de ces deux premiers cas, il y a adaptation et formulation des nouvelles définitions, à partir de l'exploration numérique et graphique, par les élèves.

* le cas d'une limite finie pour une fonction non définie en 0 : $x \mapsto \frac{\sin(x)}{x}$.

Dans ce cas là, un programme spécifique s'appuyant sur le module géométrique de la TI92 a été construit et la preuve est étroitement gérée par l'enseignante.

Ces deux séances se terminent en complétant l'herbier des cas rencontrés par un exemple plus complexe de fonction sans limite en 0. L'exemple choisi est celui de la fonction $f$ définie,

$$\text{pour } x \text{ non nul, par : } f(x) = \frac{\sin(\frac{1}{x})}{x}.$$
# SITUATION 5 : réinvestissement

## A. Contexte et objectifs

Il s'agit dans cette séance de réinvestir le travail effectué jusqu'à présent dans une situation de recherche, en conjuguant une fois de plus les approches numériques, graphiques et algébriques. Cette séance est prévue pour fonctionner sur une durée de deux heures, dans un travail en binômes entrecoupé de phases collectives.

En ce qui concerne l'instrumentation de la TI92, elle sera aussi l'occasion d'introduire d'une part la notion de liste et le tableur.

## B. Le problème proposé

Le problème proposé, adapté d'un exercice proposé dans le manuel de l'èreS publié chez Hachette est celui de l'étude de l'évolution des racines d'une équation du second degré dépendant d'un paramètre lorsque le paramètre positif tend vers 0. Dans le cas où a est nul, cette équation se réduit de fait à une équation du premier degré admettant une racine unique : $\frac{1}{2}$.

Le travail proposé, guidé par la fiche donnée en annexe 2, propose d'abord une approche graphique du phénomène : 8 fonctions sont introduites correspondant à 8 valeurs successives de a, de plus en plus proches de 0. On demande aux élèves de les faire tracer, de donner les valeurs approchées des racines que permet l'approche graphique et de conclure en répondant à la question : « Que devient chaque racine quand a tend vers 0 ? ».

Cette partie exploratoire nécessite une bonne instrumentation graphique de la machine, pour pouvoir être menée dans un temps raisonnable. En effet, la fenêtre standard ne permet de visualiser correctement que les deux premiers cas. Il faut ensuite adapter les fenêtres à chaque nouvelle fonction considérée, en prenant en compte la croissance rapide de la plus grande racine. La détermination des valeurs approchées des racines, dans le mode graphique, peut se faire avec la commande *Trace* ou avec les commandes plus spécifiques : *Zeros* et *Intersection*.
La précision de l'approximation trouvée dépend bien sûr de l'amplitude de la fenêtre puisque l'écart entre deux valeurs calculées est donné par : $\frac{Xmax - Xmin}{296}$. De plus, un travail efficace suppose des sélections et désélections de fonctions.

Cette exploration graphique amène à conjecturer que lorsque a tend vers 0, la plus petite racine tend vers $\frac{1}{2}$ et la plus grande vers l'infini.

La deuxième partie consiste en une approche numérique : on fait calculer par la machine les racines de l'équation en fonction de a. La commande utilisée est *Zeros* car c'est celle qui donne les résultats sous forme de liste. Le tableur de la TI92 est ensuite utilisé pour obtenir rapidement des valeurs approchées des deux racines de l'équation. On met ainsi en évidence l'intérêt du tableur dans la gestion de ce type de problème par rapport à l'approche graphique.

Pour la dernière valeur de a proposée, on obtient un résultat non conforme à l'évolution conjecturée que l'on demande d'interpréter. Cette valeur a bien sûr été introduite pour poser le problème des limitations d'une telle approche numérique des limites avec la machine.

La troisième partie vise à prouver les conjectures qui ont été établies à partir des études précédentes. Vu l'expérience très limitée des élèves à ce moment de l'année dans le calcul des
limites, on fait l'hypothèse que cette preuve va nécessiter l'aide de l'enseignante. On commence par la limite en +∞ qui peut s'appuyer sur une algèbre des limites intuitive, dont on se satisfera. Pour la plus petite racine, l'expression algébrique obtenue conduit à une indétermination. Il est prévu que le problème soit explicitement posé, avant de proposer le détour consistant à passer par le produit des racines qui permet de lever l'indétermination.

Il nous semble intéressant même si ce n'est pas mentionné dans la fiche de faire ensuite le lien avec le cas a=0.

### C. Déroulement

Nous rendons compte ici synthétiquement du déroulement de l'expérimentation de cette séance à Chartres. La première partie va occuper environ 45 minutes, la seconde et la troisième environ 25 minutes.

Comme l'on pouvait s'y attendre, l'exploration graphique prendra du temps, et ce même si les élèves montrent dans leur grande majorité une aisance certaine dans le travail graphique avec la machine. Suivons par exemple le travail de Vincent observé pendant cette séance. Ne suivant pas exactement les consignes, sans doute par souci d'économie, il commence par définir la fonction f dans HOME puis entre la fonction correspondant à a=1 dans l'application Y= par : y1=f(x) | a=1. La TI92 semble accepter cette définition mais lui renvoie le message d'erreur : « Undefined variable » lorsqu'il demande le tracé dans GRAPH. Il aurait fallu en effet qu'il définisse f comme une fonction des deux variables x et a pour pouvoir procéder ainsi.

Il entre alors les deux premières fonctions dans Y= de façon standard et les fait tracer :

<figure><img src="image_74.png" /></figure>

puis désélectionne y1 pour pouvoir visualiser les zéros de y2 seule. Ensuite il définit y3, désélectionne y2 et fait tracer, obtenant le tracé ci-après :

<figure><img src="image_75.png" /></figure>

Il passe alors dans Windows, choisit l'intervalle [-2, 22] pour y et obtient :
<figure><img src="image_76.png" /></figure>

Il passe alors à y4, fait tracer la courbe en ZoomStd puis en ZoomFit, obtenant ceci :

<figure><img src="image_77.png" /></figure>

Dix minutes se sont écoulées, l'enseignante fait un point collectif, à partir des deux premières fonctions, montrant comment lorsque l'on utilise Trace, on bascule d'une courbe à l'autre avec les flèches haut et bas de la souris. Pour mieux visualiser la racine inférieure, les élèves proposent de faire ZoomBox, l'enseignante explique que l'on peut faire aussi ZoomIn et ZoomOut, et donne les facteurs correspondants. Un élève propose ensuite d'utiliser la commande Zeros. L'enseignante la fait fonctionner puis demande comment utiliser la commande Intersection, avant de faire le point sur les différentes méthodes à leur disposition.

Pendant ce temps, Vincent avance, exploitant la commande Zeros avec y4 avec d'abord une inversion des bornes inf et sup de l'intervalle qui génère un message d'erreur.

<figure><img src="image_78.png" /></figure>

<figure><img src="image_79.png" /></figure>

Il passe ensuite à y5, la fait tracer et par deux ZoomOut successifs à partir de l'origine obtient un tracé adapté puis utilise la commande Zeros pour approcher les racines :

<figure><img src="image_80.png" /></figure>

<figure><img src="image_81.png" /></figure>
<figure><img src="image_82.png" /></figure>

<figure><img src="image_83.png" /></figure>

Au bout de 20 minutes, Vincent en est à y7. A ce moment, répondant à une question d'un élève, l'enseignante s'adresse à toute la classe pour savoir si la machine calcule exactement dans le module GRAPH. La réponse est clairement : « Non ». Elle est également obligée de revenir sur la commande d'intersection que des élèves ont du mal à utiliser. Vincent continue à travailler, adaptant ses fenêtres par le choix de valeurs, sans plus faire de zooms et utilisant systématiquement la commande Zeros. Il note soigneusement au fur et à mesure les valeurs approchées trouvées pour les racines.

Quand l'enseignante interrompt le travail individuel pour un bilan au bout de 30 minutes, il a pratiquement terminé.

Dans le bilan, mené avec la calculatrice rétroprojetable, l'enseignante s'intéresse d'abord à la racine inférieure dans un tracé en ZoomStd.

<figure><img src="image_84.png" /></figure>

La première constatation faite par les élèves est que les courbes ont toutes l'air de passer par le même point mais que ce n'est pas tout à fait vrai, puis que les courbes ressemblent de plus en plus à des droites. Ceci va conduire à tracer la droite d'équation $y=-2x+1$ proposée comme un élève comme très proche de y8 et qui effectivement ne s'en distingue pas graphiquement. Ensuite l'enseignante oriente les élèves vers des conjectures concernant la racine. Elle obtient sans difficulté que cette racine a l'air de tendre vers 1/2. Les différents constats sont écrits au tableau puis l'enseignante revient sur la proximité parabole/droite en demandant la différence entre les valeurs correspondantes de y pour une même valeur de x : $ax^2$ et en la faisant évaluer pour $x=1/2$ et différentes valeurs de a.

Pour la seconde racine ensuite, les élèves disent successivement qu'elle est positive et s'éloigne de 0, qu'elle est de plus en plus grande, puis qu'elle a l'air de tendre vers l'infini.

Pour démarrer l'approche numérique, l'enseignante fait nettoyer les variables, en précisant que F6 ne nettoie que les variables à une lettre. Elle demande aussi de mettre si ce n'est pas déjà fait les machines en mode exact. Vincent démarre tout de suite et ne rencontre pas de difficulté à suivre les instructions de la fiche.
<figure><img src="image_85.png" /></figure>

<figure><img src="image_86.png" /></figure>

Les élèves travaillent avec leur fiche et l'enseignante effectue parallèlement les manipulations sur la rétrojetable. Elle précise assez vite que ceux qui n'obtiennent pas les racines correctes ont vraisemblablement oublié le signe * entre a et x, la TI92 considérant alors ax comme une seule variable. Elle demande ensuite quelle est la plus petite racine et fait détailler le raisonnement. Un élève demande ce qui se passe quand a est supérieur à 1. Cette question est réglée par le calcul du déterminant et on précise que l'on se limite bien aux valeurs de a comprises entre 0 et 1. Dans la définition des fonctions p et g, un petit problème apparaît car, suivant les EPROM, c'est la plus petite ou la plus grande racine qui est le premier terme de la liste. Ce problème est rapidement réglé et l'enseignante passe au tableur en soulignant qu'il va permettre d'automatiser le calcul des valeurs de p et g pour différentes valeurs de a. Pendant la phase suivante, les élèves reproduisent sur leur machine ce que l'enseignante fait avec la rétroprojetable, en le commentant. Soulignons que Vincent avait déjà ouvert le tableur que visiblement il a déjà utilisé seul. Il commet d'abord une erreur en définissant c2 comme p(c2) mais rectifie rapidement, agrandit la taille des cellules quand il voit l'affichage, puis définit c3=g(c1).

<figure><img src="image_87.png" /></figure>

<figure><img src="image_88.png" /></figure>

L'enseignante dit aux élèves de nommer leur fichier (Vincent le fait), puis leur indique comment mettre les colonnes à la même largeur que sur la rétroprojetable. Elle passe ensuite à la définition des colonnes, en commençant par les titres et en expliquant la fonction des guillemets. Voyant cela, Vincent rajoute des titres à ses colonnes. L'enseignante explique ensuite comment remplir la colonne c1, comment aller sur c2 et la définir. Un élève s'étonne de voir apparaître un cadenas, l'enseignante explique. Assez vite, après un petit moment de flottement, les tableaux sont remplis et l'enseignante demande de passer en mode approché puisque ce sont les valeurs approchées qui les intéressent ici.
<figure><img src="image_89.png" /></figure>

Pour $10^{-14}$, la TI92 renvoie la valeur 0 pour la plus petite racine. Ceci suscite des questions. Un élève explique que c'est « parce que la machine n'est pas capable d'aller jusque là » mais il n'est pas capable de préciser davantage, l'enseignante fait remarquer que le numérateur et le dénominateur de la racine sont alors très petits puis exploite le doute suscité par ce zéro intempestif pour proposer de démontrer les conjectures faites.

La justification de la limite infinie visiblement ne pose pas de problème et l'enseignante fait détailler le raisonnement. Pour la petite racine, face au produit d'un nombre très petit par un nombre très grand, les réponses sont variées : une élève propose R tout entier, un autre dit que 1/2, c'est comme la moitié entre 0 et l'infini. L'enseignante va alors revenir aux fonctions de référence et étudier divers cas conduisant à des limites nulles, finies ou infinies, avant de conclure que l'on ne peut a priori rien dire et que l'on reviendra sur ces questions quand on retravaillera les limites plus tard. La preuve est ensuite gérée collectivement, sans difficulté particulière, une fois retrouvée l'expression du produit des racines.

L'enseignante leur demande ensuite de faire un travail analogue, de façon autonome lorsque a est négatif et tend vers 0, en regardant ce qui va changer. Vincent reproduit en l'adaptant le calcul de la limite de $g(a)$ puis utilise le tableur pour vérifier. Ensuite il adapte aussi la preuve pour la seconde racine. Au bout de cinq minutes environ, l'enseignante qui circulait dans la classe, fait formuler les conjectures, réadapter la preuve puis termine la séance en revenant sur ce qu'ils avaient dit au départ : que la courbe se rapprochait d'une droite et en faisant le lien avec l'expression de la fonction pour $a=0$ et la limite $1/2$.

## D. Bilan

L'expérimentation de la séance confirme globalement les prévisions qui avaient été initialement faites. Sans doute grâce aux interventions de l'enseignante, mais aussi parce que les élèves, à ce moment de l'année, commencent à disposer de stratégies assez efficaces pour gérer le fenêtrage, la première phase a pu se dérouler en un temps raisonnable. On peut voir cependant que la succession des actions de la commande *Intersection*, qui apparaît ici comme un raffinement de la commande *Trace*, n'est pas encore maîtrisée par beaucoup d'élèves. Cette phase aboutit sans difficulté particulière à la formulation des conjectures attendues. L'introduction du tableur, très soigneusement gérée ici collectivement, compte tenu des difficultés rencontrées la première année, ne pose pas elle non plus de problème particulier. Enfin la phase de démonstration, à laquelle la valeur aberrante trouvée apporte une motivation particulière, semble, telle qu'elle est conduite, avec l'aide de l'enseignante, accessible aux élèves.

C'est à l'issue de cette séance que, dans l'expérimentation, est introduite officiellement la commande formelle de calcul des limites et précisée sa syntaxe.
# Annexe 1 : Rappel des étapes du cours sur les limites

## LIMITES EN UN POINT

### I Fonctions ayant une limite nulle en zéro.

a) La fonction carré :

<figure><img src="image_90.png" /></figure>

<figure><img src="image_91.png" /></figure>

Après étude graphique et numérique avec la calculatrice on est arrivé à une première définition :

On dit que la fonction *f* a pour limite 0 en 0 si :

“quand *x* devient “très petit” *f(x)* devient “très petit”.”

b) On fait fonctionner cette première définition sur des fonctions données par leurs courbes représentatives :

<figure><img src="image_92.png" /></figure>

Premières remarques :

* Le problème de la limite en 0 ne se pose pas si f n'est pas définie au voisinage de 0 (fonction 1).

* Il ne suffit pas que $f(0) = 0$ pour qu'il y ait une limite nulle en 0 (fonction h).

* Quand on cherche s'il y a une limite 0 en 0, on ne s'intéresse qu'à ce qui se passe pour x "très petit". Pour d'autres valeurs $f(x)$ peut être grand, voire "très grand".
* Si une fonction est nulle sur un voisinage de 0, elle vérifie automatiquement le critère que l'on s'est donné (cas de la fonction nulle n en particulier).

* Les seules fonctions ayant une limite nulle en zéro sont $f, k$ et $n$. On constate qu'alors $f(0)=0$.

c) Cette première définition est mise en échec avec la fonction $f$ telle que

$$f(x) = \frac{2x^3 + 1}{x + 1000}$$

En effet, bien que $f(x)$ devienne “très petit”, on ne peut pas le rendre aussi petit que l’on veut, plus petit que $10^{-4}$ par exemple, et ceci pour $x$ aussi petit soit-il.

**Il ne suffit pas que $f(x)$ devienne “très petit”, il faut qu’il puisse devenir aussi petit que l’on veut.**

D'où la définition que nous allons retenir :

**On dit que la fonction $f$ a pour limite $0$ en $0$ si :**

“Pour tout nombre strictement positif $a$, aussi petit que l’on veut, on est sûr que $|f(x)| \le a$ dès que $x$ devient assez petit.”
et on note : $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$

d) La fonction carré vérifie-t-elle cette nouvelle définition ?

La fonction est définie en zéro et sur un intervalle contenant zéro, elle est paire, on connaît son sens de variation, on peut donc essayer de répondre à la question “$f(x)$ peut-il être aussi “proche” de zéro que l’on veut dès que $x$ est suffisamment “proche” de zéro ?

Dans quel intervalle doit-on choisir $x$ pour que $|f(x)| \le 10^{-6}$ ?

il suffit que $|x| \le 10^{-3}$

Plus généralement, comment choisir $x$ pour que $|f(x)| \le 10^{-n}$ ?

il suffit que $|x| \le 10^{-n/2}$

e) Le critère graphique correspondant :

Pour n'importe quelle bande à bords parallèles à l'axe des abscisses, aussi étroite que l'on veut, symétrique par rapport à l'axe des abscisses, on peut trouver un intervalle non vide, autour de 0 tel que : si $x$ est dans cet intervalle, alors la courbe représentative de $f$ est dans la bande.

<figure><img src="image_93.png" /></figure>

f) On cherche parmi les courbes représentatives du début, celles pour lesquelles ce critère semble fonctionner.

<figure><img src="image_94.png" /></figure>
<figure><img src="image_95.png" /></figure>

Les seules fonctions qui semblent vérifier ce critère sont celles du bas c'est à dire les fonctions f, k et n

Le critère graphique permet d'éliminer les fonctions du haut mais il n'est pas assez précis pour garantir que les autres conviennent. L'étude algébrique est indispensable pour avoir une certitude.

## II Fonctions de référence en zéro

Le travail sur la fonction carré a déjà été fait.

La fonction nulle est définie par $f(x) = 0$ pour tout x réel, donc :

$$ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 $$

Pour les autres fonctions de référence, on fait l'étude graphique, numérique ainsi que l'étude algébrique pour le cube et la racine carrée.

<figure><img src="image_96.png" /></figure>

La fonction identité définie par $f(x) = x$

La fonction définie par $f(x) = x^2$

<figure><img src="image_97.png" /></figure>

La fonction définie par $f(x) = x^3$

La fonction définie par $f(x) = x^4$

<figure><img src="image_98.png" /></figure>

La fonction définie par $f(x) = |x|$

La fonction définie par $f(x) = \sqrt{x}$
Plus généralement on admet :

**Les fonctions puissances** définie sur $\mathbb{IR}$ par : $f(x) = x^n$ avec $n \in \mathbb{Z}^*$

$$ \lim_{x \to 0} x^n = 0 \text{ avec } n \in \mathbb{Z}^* $$

La fonction racine carrée définie sur $[0;+\infty[$.

**limite à droite**

$$ \lim_{x \to 0} \sqrt{x} = 0 $$

La fonction valeur absolue définie sur $\mathbb{IR}$.

$$ \lim_{x \to 0} |x| = 0 $$

### III Fonctions ayant pour limite l en zéro.

#### a) La fonction cosinus

Avec la TI : On observe la courbe, on fait des zooms,
On observe des tables de valeurs :

<figure><img src="image_99.png" /></figure>

<figure><img src="image_100.png" /></figure>

Il semble cette fois que lorsque $x$ (en radians) tend vers 0, alors $\cos(x)$ tend vers 1. C'est à dire que $\cos(x) - 1$ tend vers 0.

On connaît le sens de variation de la fonction cosinus et sa parité.

On peut donc cherche, par exemple, s'il est possible de
choisir $x$ pour que $|\cos(x)-1| \le 10^{-3}$.

On trouve, en utilisant les propriétés de la fonction et la calculatrice, qu'il suffit que $|x| \le 0,0447$

<figure><img src="image_101.png" /></figure>

On généralise et on démontre donc que : $\lim_{x \to 0} \cos(x) = 1$

$$ \text{b) La fonction f telle que } f(x) = \frac{1}{1-x} $$

Après étude graphique et numérique, on calcule $f(x)-1$ et on démontre que l'on peut toujours trouver des $x$, proches de 0 tels que $|f(x)-1|$ soit plus petit que tout nombre réel strictement positif, aussi petit soit-il.

$$ \text{On écrit alors que } \lim_{x \to 0} \frac{1}{1-x} = 1 $$

#### c) Définition de f a pour limite l en 0.

On dit que la fonction f a pour limite l en 0 si :

"Pour tout nombre strictement positif a, aussi petit que l'on veut, on est sûr que $|f(x) - l| \le a$ dès que $|x|$ devient assez petit."
et on note : $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$

d) La fonction g telle que $g(x) = \frac{\sin(x)}{x}$, x exprimé en radians. Elle n'est pas définie en 0
d) La fonction g telle que $g(x) = \frac{\sin(x)}{x}$, x exprimé en radians. Elle n'est pas définie en 0

En utilisant des zooms successifs et des tables de valeurs :

<figure><img src="image_102.png" /></figure>

- La fonction g n'est pas définie en zéro, mais elle est définie sur $]-b;0[ \cup ]0;b[$, b étant un réel strictement positif quelconque.

- il semble que $g(x)$ est aussi proche que l'on veut de 1 sitôt que $x$ est assez proche de zéro en étant différent de zéro.

Avec la TI : illustration de l'interprétation en terme d'aires en utilisant le module géométrie.
On a construit sur le cercle trigonométrique, le point M correspondant à l'angle x.
L'aire du secteur circulaire OAM est comprise entre les aires des triangles OHM et OAT.
En déplaçant le point M, les aires des triangles et du secteur circulaire évoluent, on fait également afficher le rapport $\frac{\sin(x)}{x}$ égal à $g(x)$.

<figure><img src="image_103.png" /></figure>

En utilisant le théorème de Thalès, on calcule les aires des triangles et du secteur circulaire et on démontre l'encadrement :

$$ \cos(x) \le \frac{\sin(x)}{x} \le 1 $$

$$ \text{pour } -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $$
On connaît la limite de $\cos(x)$ quand $x$ tend vers 0, donc $\frac{\sin(x)}{x}$ qui est “ coincé ” entre 1 et une quantité qui est aussi proche que l’on veut de 1 est donc lui même aussi proche que l’on veut de 1 et on peut donc conclure que

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$

IV **Etude graphique et numérique de la fonction définie par** $f(x) = \frac{\sin(\frac{1}{x})}{x}$.

<figure><img src="image_104.png" /></figure>

<figure><img src="image_105.png" /></figure>

Cette fonction n'a pas de limite en 0.

V **Limite infinie en zéro.**

a) la fonction f telle que $f(x) = \frac{1}{x^2}$

Quand $x$ devient “ petit ”, $x^2$ devient “ encore plus petit ” et son inverse devient “ très grand ”.
Peut-on, par exemple, obtenir $f(x) > 10^{12}$ ?

Le sens de variation de la fonction carré et de la fonction inverse permettent de répondre :

Il suffit que $|x| < 10^{-6}$ pour que $f(x) > 10^{12}$

On peut sans difficulté généraliser :

$\frac{1}{x^2}$ peut devenir plus grand que n'importe quel nombre positif A, choisi aussi grand que

$$ \text{l'on veut, dès que } x \text{ est assez proche de 0. On traduit cela} \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty $$

b) la fonction f telle que $f(x) = \frac{1}{x}$

Cette fois, $f(x)$ devient toujours “ très grand ” en valeur absolue, mais avec le signe de $x$. Il est donc nécessaire de distinguer le cas $x$ positif du cas $x$ négatif.

$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty $$

et

$$ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty $$

c) On généralise aux inverses des fonctions de référence :

$$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^4} = +\infty $$

ainsi que pour les **exposants pairs**,

$$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{|x|} = +\infty $$

$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} = +\infty $$

et

$$ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^3} = -\infty $$

ainsi que pour les **exposants impairs**

$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x}} = +\infty $$
# Annexe 2 : Limites de racines d'une équation du second d°

On considère l'équation $ax^2 - 2x + 1 = 0$ dans laquelle a est un nombre réel.

On se propose d'étudier le comportement des racines de cette équation quand a devient « très petit ».

On se limitera dans cette étude au cas où a est positif

## 1. Approche graphique expérimentale.

Soit la famille de fonctions définies par $f(x) = ax^2 - 2x + 1$.

### Dans le module Y=

Définissez dans Y1 la fonction correspondant à a = 1. Comment lit-on graphiquement les racines de l'équation proposée ?

Définissez dans Y2, Y3, Y4,...Y8 les fonctions correspondant à a = 0,5, 0,1, 0,05, 0,01, 0,005, 0,001, 0,0001. Comment lit-on graphiquement les racines de l'équation proposée ?

Vous préciserez les fenêtrages que vous avez choisis et vous compléterez par lecture graphique le tableau suivant :

<table><thead><tr><td>a</td><td>f(x)=</td><td>plus petite racine de f(x)=0</td><td>plus grande racine de f(x)=0</td></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>Y1(x)=</td><td></td><td></td></tr><tr><td>0,5</td><td>Y2(x)=</td><td></td><td></td></tr><tr><td>0,1</td><td>Y3(x)=</td><td></td><td></td></tr><tr><td>0,05</td><td>Y4(x)=</td><td></td><td></td></tr><tr><td>0,01</td><td>Y5(x)=</td><td></td><td></td></tr><tr><td>0,005</td><td>Y6(x)=</td><td></td><td></td></tr><tr><td>0,001</td><td>Y7(x)=</td><td></td><td></td></tr><tr><td>0,0001</td><td>Y8(x)=</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Que devient chaque racine quand a tend vers 0 ?

## 2. Approche numérique.

On se propose de calculer les racines pour les diverses valeurs de a.

### Dans le module [♦][HOME] :

Résoudre l'équation $ax^2 - 2x + 1 = 0$ en utilisant la commande : zéros( ,x)
Vous obtenez une liste de deux éléments, les deux racines de l'équation $f(x)=0$.

Stockez cette liste dans la variable l

Quelle est la plus petite des racines ? (a est toujours positif)

Définissez la fonction p de la variable a qui contient la plus petite racine.

Define p(a)=l[1]

Définissez la fonction g de la variable a qui contient la plus grande racine.

Define g(a)=l[2]

Pour visualiser les valeurs des racines pour chaque valeur de a, on va utiliser le module
tableur de la TI. On l'obtient par : [APPS] [6]

• Dans la colonne c1 on met les valeurs de a.

• Dans la colonne c2 on met la plus petite racine par la commande : c2=p(c1)

• Dans la colonne c3 on met la plus petite racine par la commande : c3=g(c1)

<table>
   <thead>
    <tr>
     <td>
      a
     </td>
     <td>
      plus petite racine de f(x)=0
     </td>
     <td>
      plus grande racine de f(x)=0
     </td>
    </tr>
   </thead>
   <tbody>
    <tr>
     <td>
      1
     </td>
     <td>
     </td>
     <td>
     </td>
    </tr>
    <tr>
     <td>
      0,5
     </td>
     <td>
     </td>
     <td>
     </td>
    </tr>
    <tr>
     <td>
      0,1
     </td>
     <td>
     </td>
     <td>
     </td>
    </tr>
    <tr>
     <td>
      0,05
     </td>
     <td>
     </td>
     <td>
     </td>
    </tr>
    <tr>
     <td>
      0,01
     </td>
     <td>
     </td>
     <td>
     </td>
    </tr>
    <tr>
     <td>
      0,005
     </td>
     <td>
     </td>
     <td>
     </td>
    </tr>
    <tr>
     <td>
      0,001
     </td>
     <td>
     </td>
     <td>
     </td>
    </tr>
    <tr>
     <td>
      0,0001
     </td>
     <td>
     </td>
     <td>
     </td>
    </tr>
   </tbody>
  </table>

Que se passe-t-il lorsque l'on donne à a les valeurs 10⁻⁶, 10⁻⁸, 10⁻¹⁰, 10⁻¹², 10⁻¹⁴ ?

Comment interpréter ce dernier résultat ?

Démontrer que la grande racine g(a) a pour limite +∞ quand a tend vers 0 ?

En utilisant le produit des racines d'une équation du second degré, exprimer p(a) en fonction
de g(a).

En déduire la limite de p(a) quand a tend vers 0
I did not find any text in the image.
# INGENIERIE 3
Les dérivées

Nous avons essayé de définir tout d'abord un certain nombre de principes globaux, élaborés en nous appuyant sur les résultats des observations menées en 1995-96 ainsi que sur la littérature didactique importante dans ce domaine. Ces principes sont les suivants :

1. **Prendre en compte dans l'ingénierie le développement des dimensions « outil » et « objet » du concept de dérivée, les différents registres sémiotiques dans lesquels il s'exprime et se travaille.**

Nous voudrions sur ce point souligner que le concept de dérivée est, à travers la notion de fonction dérivée, avant tout un concept outil au niveau de la première S, au service de l'étude des fonctions, de la résolution de problèmes divers en particulier des problèmes d'étude de variation et d'optimisation. L'objet fonction dérivée et son traitement algébrique, par leur opérationalité en tant qu'outil, tendent ainsi à occulter l'objet dérivée dans son caractère local et à assurer une domination forte du registre symbolique algébrique sur les registres numériques et graphiques. Tout en prenant acte de cette prééminence de la dimension outil, pour éviter un enseignement par trop réducteur, il nous semble nécessaire, dans le projet d'ingénierie, de trouver l'occasion de faire vivre à plusieurs moments ce caractère local, sans sous-estimer le rôle que peuvent jouer dans la conceptualisation les registres autres qu'algébriques.

2. **Prendre en compte les divers points de vue s'attachant à la notion de dérivée : point de vue géométrique, point de vue cinématique, point de vue numérique lié à l'approximation, point de vue algébrique, notamment.**

Conformément à l'esprit des programmes, il nous semble important de faire rencontrer aux élèves ces différents points de vue dans l'ingénierie, même s'il ne s'agit là que d'une première approche.

3. **Prendre en compte la nécessité de la reconstruction du concept de tangente.**

Quand débute l'enseignement de l'analyse, la tangente n'est pas un objet inconnu des élèves. Il a d'abord été rencontré avec la tangente au cercle et s'est doté alors de propriétés liées à cette situation particulière : la tangente est perpendiculaire au rayon, elle coupe le cercle en un point et ne le traverse pas. La tangente a donc des relations globales avec le cercle et la notion de « communauté de direction » en est absente. C.Castela (Castela, 1995) a bien montré les effets pernicieux de l'enseignement usuel qui soit, ignore le passé des élèves, soit laisse croire que la tangente de l'analyse s'inscrit dans la pure continuité de la tangente au cercle, mais aussi la possibilité, à un coût raisonnable, de prendre en charge cette reconstruction.

4. **Prendre en compte les compétences algébriques limitées des élèves.**

Le travail en analyse s'appuie sur les compétences algébriques des élèves. Elles sont, nous le savons, encore très limitées quand débute l'enseignement des dérivées, en dépit des reprises de début d'année. Les observations rapportées au chapitre précédent montrent clairement que le fait de pouvoir déléguer des calculs à la machine ne permet de contourner ces difficultés. Il nous semble important de les prendre en compte en limitant la complexité algébrique des tâches lors des séances d'introduction des dérivées.

5. **En ce qui concerne l'instrumentation de la machine, il nous semble important d'utiliser les potentialités offertes tant en calcul formel, par l'application HOME qu'au niveau**
graphique.

Dans le module graphique, le menu F5 permet d'obtenir de façon approchée des maximums et minimums, des dérivées, des équations de tangentes. Il est ainsi possible de rendre les élèves sensibles au fait que, même si la machine est en mode exact, elle ne fonctionne en calcul exact que dans l'application HOME. Lorsqu'ils utilisent les fonctionnalités de calcul formel, il nous semble important de les sensibiliser au fait que reste à leur charge le contrôle du champ de validité des résultats obtenus, dans le cadre de fonctions faisant intervenir des quotients, racines carrées et valeurs absolues.

Il en découle un certain nombre de choix globaux, les principaux étant les suivants :

En ce qui concerne l'introduction des dérivées :

* En premier lieu, nous écartons une entrée "boite noire" souvent associée dans la littérature à l'utilisation le logiciels de calcul symbolique car il nous semble important et possible de jouer un jeu qui ne soit pas uniquement formel dans l'introduction de la dérivée, qui tend déjà trop facilement à se réduire, pour les élèves, à cette dimension. En revanche, nous ferons intervenir ce type de rapport à la machine, dans la situation de mise en place des règles de dérivation, c'est à dire de l'algèbre des dérivées (chapitre III). Dans cette situation, les productions de la machine, seront prises comme des données que l'élève aura à interpréter et modéliser pour conjecturer puis tester les règles conduisant à la dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient de fonctions dérivables, ainsi que leur champ de validité, avant d'en chercher des raisons.

* Nous écartons également, en dépit de son intérêt évident, une entrée cinématique par les vitesses. Le concept de vitesse instantanée en effet nous semble un concept qui n'est ni suffisamment préconstruit chez les élèves, ni suffisamment préparé par le travail en physique qui ne porte à ce niveau là que sur des vitesses moyennes sans faire de distinction claire entre "vitesse" et "vitesse moyenne", pour pouvoir servir de base solide à l'introduction des dérivées. L'analyse des observations de la première année a bien mis en évidence les difficultés induites par cette stratégie, confirmant sur ce plan les résultats de diverses recherches didactiques (cf. par exemple (Schneider, 1989)). En revanche, dans un second temps, lorsque les concepts de dérivée et de tangente sont suffisamment installés, les élèves peuvent passer de la notion de vitesse moyenne qu'ils connaissent, à celle de vitesse instantanée et ainsi de mettre en place le point de vue cinématique sur la dérivée. Ceci sera aussi l'occasion de revenir sur le sens local de la dérivée qui tend à disparaître derrière l'opérationalité de l'outil : fonction dérivée.

* Nous choisissons une entrée géométrique, en essayant d'intégrer assez rapidement deux points de vue complémentaires sur la dérivée :

a) le nombre dérivé comme limite des coefficients directeurs des sécantes pivotant autour d'un point,

b) le nombre dérivé comme coefficient directeur d'une droite avec laquelle la représentation graphique de la fonction tend à se confondre par zooms successifs, ce qui revient à voir le nombre dérivé comme coefficient de linéarité dans l'approximation affine de la fonction.

Dans une telle approche, qu'il s'agisse du point de vue a) ou b), il nous semble important de problématiser la définition et l'unicité de la tangente et de ne pas sombrer dans le travers de nombreux textes : "par zooms successifs, on a l'air de se stabiliser sur une droite de coefficient directeur n et, en gros, comme n est entier, c'est forcément n.". Ceci ne peut se
faire qu'en montrant que, parmi les droites passant par un point donné, c'est la seule fournissant une approximation au premier ordre.

La présence dans la TI92 du logiciel de géométrie Cabri-géomètre nous a incité à partir du point de vue a) bien que le point de vue b) puisse paraître a priori le plus facile à mettre en scène avec des calculatrices graphiques (Kuntz, 1997). En effet, ce logiciel va nous permettre de gérer très commodément l'interaction numérique / géométrique dans la phase d'exploration et de conjecture, en permettant d'avoir en permanence à l'affichage le coefficient directeur des sécantes considérées. Grâce à ce dispositif, nous pensons limiter les effets de l'obstacle géométrique en jeu dans ce type d'approche du nombre dérivé (Schneider, 1991). D'autre part, le coefficient directeur des sécantes conduit naturellement à l'expression du nombre dérivé comme limite du quotient des accroissements qui, on le sait, est plus facilement opérationalisable par les élèves du secondaire que l'expression en ligne de l'approximation à l'ordre 1. Le point de vue b) nous semble, quant à lui, conduire plus naturellement a priori soit à cette expression en ligne de l'approximation et au problème du contrôle du reste, soit à la notion de dérivée symétrique, dans la mesure où lorsque par zooms successifs on a rendu « droit » le graphe de la fonction au voisinage d'un point, ce point lui-même n'est plus visible, ni même souvent atteignable par des commandes comme *Trace*, vue la discrétisation des tracés ; la droite trouvée est alors plus naturellement et précisément caractérisée en prenant les coordonnées de points éloignés du tracé. Nous faisons donc l'hypothèse que le choix du point de vue a) facilitera la gestion du contrôle théorique de l'ordre d'approximation que nous souhaitons mettre en place.

* Enfin, dès cette introduction, nous commencerons à retravailler les conceptions de la notion de tangente pour montrer que l'on ne peut pas importer en bloc en analyse les conceptions issues de la tangente au cercle.

* L'expérience de l'année dernière nous a montré que la séance d'introduction, quels que soient les choix effectués, est difficile et que le fait de pouvoir déléguer certains calculs à la calculatrice ne change pas fondamentalement sa complexité. Il nous semble donc important :

- de veiller très soigneusement à garder une complexité raisonnable aux calculs à effectuer,

- d'être très attentif au nombre de variables et paramètres figurant dans les expressions et au jeu : valeurs particulières, valeurs littérales,

- de permettre aux calculs dans leur organisation de prendre sens dans un travail à la main avant d'être délégués à la machine, pour des situations un peu plus complexes, partiellement ou complètement.

* De plus, dans cette séance, le degré d'autonomie laissé à l'élève et l'équilibre travail élève/travail professeur n'est pas facile à gérer. Il faut donner le maximum d'autonomie à l'élève, ne pas le limiter à des tâches d'exécution. Il faut que son activité soit soigneusement problématisée, il faut s'assurer régulièrement que le fil global n'est pas perdu. Pour cela, l'intervention de l'enseignant est nécessaire sous de multiples facettes (dévolutions successives, aides, maintien de la cohérence globale, bilans et institutionnalisations locales) mais il ne faut pas que ce soit le seul acteur.

Au delà de cette introduction, nous essaierons de respecter les principes à la base de cette partie de l'ingénierie, en prenant en charge la rencontre avec les différents types de problèmes où, à ce niveau d'enseignement, la dérivée est susceptible d'apparaître comme outil, les
différents points de vue que l'on peut développer à son propos, en revenant à plusieurs reprises sur le sens local de la notion de nombre dérivé et en associant étroitement dans ces reprises le travail algébrique et graphique, conformément au schéma figurant sur la page suivante.

Le projet est ainsi construit autour de sept phases :

1. introduction de la notion de nombre dérivé

2. fonction dérivée et dérivées des fonctions de référence

3. dérivation formelle à la calculatrice et algébrisation du calcul des dérivées

4. dérivées et sens de variation

5. la dérivée au service de l'étude des fonctions et de la résolution de problèmes d'optimisation

6. approche cinématique de la notion de dérivée : la notion de vitesse instantanée

7. réinvestissement dans une situation de recherche : un problème de raccords.

Dans ce chapitre, nous nous centrons sur les phases 1 et 2. Pour chacune de ces phases, une situation est présentée. Les phase 3 à 7 sont développées dans le chapitre suivant. Des ingénieries sont présentées sur les phases 3, 6 et 7. Concernant la phase 5, une situation (la cuve) a été présentée au chapitre précédent, avec une observation, des propositions de reconstruction, et des éléments d'observation de la séance reconstruite. Le lecteur trouvera d'autre part en annexe, comme pour les limites, le texte distribué aux élèves à l'issue des premières séances.
<figure><img src="image_106.png" /></figure>

Schéma : L'organisation des rapports entre les dimensions outil et objet de la notion de dérivée et les différents points de vue dans le projet d'ingénierie
## SITUATION 1 : introduction de la notion de dérivée

Comme nous l'avons précisé plus haut, l'introduction de la notion de nombre dérivé s'effectue à partir d'une approche géométrique, en utilisant l'application de géométrie et un programme qui permet d'explorer le comportement des coefficients directeurs des sécantes (AM) à une courbe donnée lorsque M se rapproche de A sur la courbe. Le problème posé est celui de l'interprétation et de la modélisation de phénomènes numérico-graphiques produits sur la calculatrice.

La séance d'introduction est elle-même conçue en trois phases, au cours desquelles le même problème est abordé avec des fonctions et/ou des points différents, en augmentant progressivement l'autonomie de l'élève. Elle est prévue pour une durée de deux heures et a été préparée par un travail sur les équations de droites. Après avoir présenté le scénario, nous donnons des éléments sur le déroulement de sa réalisation à Chartres et dressons un bilan de cette première expérimentation.

### A. Scénario

#### Phase 1 :

On s'intéresse dans cette phase à la fonction $f(x) = x^2 - 2$ au voisinage du point A d'abscisse 1. La gestion est collective. En utilisant le fichier Cabri construit, l'enseignant déplace le point M sur la parabole et donc la sécante (AM). Les coordonnées de M et le coefficient directeur de la sécante s'affichent dans le coin haut - gauche de l'écran.

<figure><img src="image_107.png" /></figure>

<figure><img src="image_108.png" /></figure>

<figure><img src="image_109.png" /></figure>

<figure><img src="image_110.png" /></figure>

La question posée aux élèves est la suivante :

« Que se passe-t-il quand M se rapproche de A ? »

On notera que lorsque M et A sont confondus, le logiciel renvoie la valeur "undef" pour le coefficient directeur. On peut s'attendre à ce que les élèves, dans cette situation, identifient le mouvement géométrique de la sécante et conjecturent au vu de l'évolution des coefficients directeurs que la sécante tend vers la droite passant par A de coefficient directeur 2, vu le caractère attractif de cette valeur entière. On peut s'attendre éventuellement aussi à voir
apparaître dès cette phase le mot « tangente » et, si c'est le cas, on demandera à quelles caractéristiques la tangente est identifiée.

L'enseignant va alors utiliser l'application graphique pour problématiser ce "2" trop facilement obtenu. Dans l'application Y = ..., ont été rentrées préalablement la fonction ainsi que les droites passant par A de coefficients directeurs respectifs : 1,9 - 2 - 2,1. Pour faciliter l'interprétation, les équations de ces sécantes ne sont pas réduites mais laissées sous la forme $y_i = y_A + m(x - x_A)$. Au tracé, toutes les trois collent à la parabole. Cette constatation permettra à l'enseignant de poser la question de la légitimité du choix de la valeur 2 parmi les valeurs voisines.

<figure><img src="image_111.png" /></figure>

<figure><img src="image_112.png" /></figure>

Nous faisons l'hypothèse que, dans cette situation, les élèves, habitués à la manipulation graphique de la machine, vont proposer de faire des zooms, en pensant qu'ils permettront de faire apparaître la droite de coefficient directeur 2 comme celle collant le mieux à la courbe. Le phénomène graphique résistant bien à des zooms effectués autour du point A, le problème devrait rester entier, les zooms successifs permettant cependant une première articulation graphique des points de vue a) et b) cités plus haut. Nous faisons l'hypothèse que l'échec de l'exploration va aboutir à la problématisation souhaitée du choix de la valeur 2 et faire ressentir la nécessité de dépasser des critères purement perceptifs pour analyser et différencier les proximités droite / parabole. En revanche, il nous semble illusoire de penser que les élèves de ce niveau peuvent découvrir, en l'espace d'une séance, par eux-mêmes, une technique permettant de dépasser ces critères perceptifs. C'est pourquoi, dans le scénario, une fois la question bien posée, nous laissons cette partie à la charge de l'enseignant : c'est lui qui proposera d'étudier l'écart $P_hM_h$ pour M_h point de la courbe et P_h point de la tangente supposés de même abscisse : 1+h, puis de comparer avec les valeurs obtenues en prenant P_h cette fois sur l'une des deux autres droites.

<figure><img src="image_113.png" /></figure>

Il nous semble raisonnable ici de mettre en place collectivement le premier calcul à effectuer, vu la complexité formelle des expressions à manipuler : l'enseignant introduit donc l'accroissement h, les notations $M_h$ et $P_h$ et fait évaluer $\overline{P_hM_h} = f(1+h) - [f(1) + 2h]$.

Le calcul est piloté par les élèves, après précision collective du sens de $f(1+h)$.

Ce calcul n'est pas compliqué en lui-même et comporte une seule variable h. On arrive ainsi à : $h^2 + 2h - 1 + 1 - 2h = h^2$

On peut ensuite partager la classe en deux groupes, chacun ayant en charge d'adapter le calcul précédent à l'une des deux autres droites, ce qui permet une appropriation individuelle de la démarche collective. On arrive ainsi aux expressions :
<table><thead><tr><th>Coefficient directeur</th><th>P&#773;<sub>h</sub>M&#773;<sub>h</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1,9</td><td>h<sup>2</sup> - h/10</td></tr><tr><td>2</td><td>h<sup>2</sup></td></tr><tr><td>2,1</td><td>h<sup>2</sup> + h/10</td></tr></tbody></table>

qui tendent toutes trois vers 0 lorsque h tend vers 0, mais qui sont différentiables, compte-tenu du travail sur la négligeabilité mené dans l'initiation aux limites, par la vitesse à laquelle elles tendent vers 0. Nous faisons l'hypothèse que cette différenciation est ici tout à fait accessible et va conduire à la conclusion suivante :

« la différence tend plus vite vers 0 pour la droite de coefficient directeur 2, ou reformulé autrement :

$$ \lim_{h \to 0} \frac{\overline{P_h M_h}}{h} = 0 \text{ pour } m = 2 \text{ mais pas pour } 1,9 \text{ et } 2,1, $$

$\overline{P_h M_h}$ est négligeable devant h pour m = 2 »

La valeur 2 est à ce moment singularisée mais il reste à montrer qu'elle est la seule à posséder cette propriété là. Le calcul fait nécessairement cette fois intervenir un paramètre mais il s'agit de la reproduction d'un calcul déjà effectué à trois reprises avec des valeurs particulières. Il peut se faire collectivement, piloté par les élèves et toujours à la main.

$$ \overline{P_h M_h} = f(1+h) - [f(1) + m h] $$

$$ \overline{P_h M_h} = h^2 + h(2 - m) $$

$$ \frac{\overline{P_h M_h}}{h} = h + 2 - m \quad \text{donc} \quad \overline{P_h M_h} \text{ est négligeable devant } h \text{ pour } m = 2 \text{ et seulement pour } m = 2. $$

La valeur 2 est maintenant complètement caractérisée. L'enseignant peut alors récapituler l'ensemble de la démarche et institutionnaliser le résultat local obtenu, introduisant à cette occasion le terme de tangente, s'il n'est pas apparu spontanément.

Cette première phase se termine par le lien effectué avec la tangente "ancienne", en cherchant l'intersection de la droite avec la parabole. Là encore, l'exemple numérique est choisi pour que le calcul ne présente pas de difficulté puisque l'on aboutit à une identité remarquable :

$$ x^2 - 2 = 2(x - 1) - 1 $$

$$ x^2 - 2x + 1 = 0 $$

$$ (x - 1)^2 = 0 $$

La tangente apparaît donc comme la droite passant par A qui a une intersection double en ce point avec la courbe. Nous faisons l'hypothèse que, pour les élèves de la classe expérimentale
qui ont justement eu à travailler dans un devoir maison donné au premier trimestre sur les intersections de paraboles avec des droites, le problème de l'articulation avec ce qu'ils avaient à l'époque dénommé tangente à la parabole par analogie avec la tangente au cercle ne sera pas vécu comme un problème artificiel.

### Phase 2 :

Dans cette phase, il s'agit de reprendre intégralement la même démarche avec cette fois la fonction $f : x \mapsto f(x) = \frac{x^3 - 6x}{4}$ au point d'abscisse 2.

Pour cette adaptation à une nouvelle fonction, on va demander aux élèves de piloter collectivement la démarche, les différentes étapes du travail étant au fur et à mesure notées au tableau. L'exemple choisi a aussi pour fonction de faire rencontrer un cas où la tangente à une courbe recoupe cette courbe en un point autre que le point de tangence.

**La question posée est la suivante : on cherche à savoir si ce qu'on a trouvé avec la parabole est encore ici valable et si les mêmes méthodes marchent.**

* Le coefficient directeur de la tangente n'est cette fois plus entier (il vaut 1,5) et la tangente recoupe la courbe.

* Les calculs sont faits maintenant à la machine, par l'enseignant, piloté par les élèves. Soulignons que quand $M = A$ la machine renvoie cette fois comme coefficient directeur 1,0, ce qui peut être déroutant.

Il nous semble important d'écrire le début des calculs sous forme littérale au tableau :

$$ \overline{P_h M_h} = f(2+h) - [f(2) + 1.5 h] $$

avant de les entrer en machine et de noter également au tableau les résultats obtenus.

Dans ce cas, $\overline{\frac{P_h M_h}{h}} = \frac{h^2}{4} + \frac{3h}{2}$ et on retrouve bien la négligeabilité ; dans le cas d'une coefficient directeur m, s'y rajoute le terme : $m - \frac{3}{2}$, ce qui prouve bien l'unicité.

<figure><img src="image_114.png" /></figure>

<figure><img src="image_115.png" /></figure>

* Le lien avec le point de vue algébrique se fait également à la machine :- résolution machine de l'équation :
<figure><img src="image_116.png" /></figure>

<figure><img src="image_117.png" /></figure>

Si la recherche des points d'intersection par la commande *Solve* ne permet pas de distinguer les racines, l'utilisation de la commande *Factor*, elle, permet bien de différencier les deux racines trouvées.

Il est bien sûr prévu de pointer dans la synthèse sur ce nouveau cas le fait que, contrairement à ce que l'on avait constaté pour la parabole, les tangentes à cette cubique peuvent la recouper.

### Phase 3 :

De façon autonome, par binômes, les élèves ont dans cette phase à traiter eux-mêmes pour la même fonction le cas $x = 0$. Nous faisons l'hypothèse que l'ensemble de la démarche doit leur être alors accessible. Ce nouveau cas les confrontera de plus à une situation d'inflexion, permettant de mettre en débat la conviction sans doute forte pour eux que la tangente ne saurait en aucun cas recouper la courbe au point de contact.

### Phase 4 :

La phase 4 qui conclut cette séance est celle où s'effectue la définition de la dérivabilité de $f$ au point d'abscisse $a$, en mettant bien en évidence l'équivalence, pour un $m$ quelconque, des deux formulations :

$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - (f(a) + m h)}{h} = 0 \text{ et } \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = m $$

qui permet, dans la pratique, en recherchant directement la limite du quotient, de simplifier le travail de conjecture et de preuve qui a été effectué sur les trois premiers exemples traités.

## B. Déroulement

Ce scénario d'introduction a été expérimenté à Chartres, le 31 janvier, sur deux heures : une séance collective d'une heure, suivie de deux heures de travail en demi-groupes.

Comme prévu, confrontés à l'interprétation du phénomène visuel montré à la calculatrice, les élèves conjecturent que lorsque le point M se rapproche de A, le coefficient directeur dont la valeur est affichée se rapproche de 2 et en concluent sans le moindre doute que la limite est 2. Aucun ne parle cependant de tangente. Il semble bien ici que l'affichage dynamique de la valeur du coefficient directeur en haut de l'écran attire suffisamment l'attention des élèves pour constituer une situation où les cadres numériques et géométriques jouent de façon équilibrée et interactive, dans le processus de limite.

L'enseignante fait formuler l'équation de cette droite et la laisse volontairement sous la forme : $y = 2(x-1)+f(1)$ pour favoriser l'interprétation des équations introduites dans l'éditeur de fonctions $Y=$. Tout cette phase, gérée collectivement comme prévu, ne pose pas de difficulté. Les élèves semblent surpris ensuite par la proximité des trois droites tracées et surtout le fait que les zooms effectués ne permettent pas de singulariser clairement la droite de
coefficient directeur 2. Et, comme nous l'avions anticipé, ils n'ont pas a priori d'idée sur la manière de comparer la proximité respective des trois droites tracées et de la courbe. C'est l'enseignante qui propose donc d'étudier la valeur de $\overline{P_h M_h}$ et introduit les notations, comme prévu. L'expression de la valeur algébrique de $\overline{P_h M_h}$ dans le cas de la droite de coefficient directeur 2 est produite collectivement, sous la dictée d'un élève, après une très courte phase de travail individuel. Le calcul et les différentes substitutions sont soigneusement explicités et détaillés. L'enseignante demande ce que devient cette expression lorsque h tend vers 0. Les réponses produites sont diverses : « elle devient nulle », « elle est nulle », « elle tend vers 0 ». L'enseignante les reprend et fait reformuler et écrire dans le langage usuel des limites, en soulignant que la fonction de h considérée ici est une fonction de référence. La classe se partage ensuite en deux groupes pour traiter, à la main toujours, les deux autres cas. Ce calcul soigneusement préparé : l'enseignante a fait préciser où allait se situer le changement dans l'expression formelle, est rapidement exécuté par la grande majorité des élèves. Ils semblent déçus de constater que toutes les expressions ont la même limite 0, ce qui était pourtant prévisible, pensant sans doute que la suggestion de l'enseignante devait mener directement au résultat. Les résultats sont écrits au tableau dans un tableau à double entrée, l'enseignante faisant soigneusement justifier les calculs de limites, ce qui visiblement ne pose pas de problème à l'élève interrogé :

> « Si h tend vers 0, $h^2$ a pour limite 0 et h aussi, donc $h/10$ aussi donc la limite de $h^2+h/10$ est 0 »

Les trois limites nulles étant établies, l'enseignante demande ce que l'on pourrait faire, quelle question on pourrait se poser. Elle obtient cette fois immédiatement une réponse : « On pourrait chercher laquelle va le plus vite ». L'enseignante reformule aussitôt cette suggestion en termes de négligeabilité, faisant appel à la mémoire de la classe. Peut-être aurait-on pu laisser ici davantage l'initiative aux élèves, un bon nombre se souvenant visiblement de la notion et plusieurs se proposant pour rappeler sa définition. Une colonne est rajoutée au tableau initial pour noter les limites des quotients $\overline{P_h M_h}/h$ et les limites sont trouvées et justifiées sans aucune difficulté. L'enseignante demande aux élèves de conclure, fait noter cette conclusion sur le cahier à la suite du tableau, avant de relancer le problème, comme prévu, en posant la question : « La droite de coefficient directeur 2 est-elle la seule à posséder cette propriété ? »

Un élève propose aussitôt de refaire le calcul pour x, précisant ensuite sur demande qu'il s'agit du coefficient directeur. L'enseignante suggère d'utiliser la lettre m pour éviter les confusions (les élèves visiblement préféreraient la lettre a) et les laisse faire le calcul. Visiblement, pour la plupart des élèves, la structure de l'expression est maintenant bien comprise et les adaptations sont faites rapidement. Un élève demande cependant si $f(1+h)$ est bien égal à $h^2+2h-1$ et l'enseignante redétaille collectivement la substitution. On arrive ainsi pour le quotient à l'expression $h+2-m$ et les élèves concluent rapidement que 2 est bien la seule valeur possible. L'enseignante fait récapituler le raisonnement et noter le résultat obtenu, avant de conclure : « Donc cette droite joue un rôle bien particulier par rapport à la parabole au point d'abscisse 1. »

Un élève demande : « C'est ça la dérivée ? ». L'enseignante lui demande de préciser et l'on entend, de ci de là fuser le mot « tangente ». Elle en profite aussitôt pour leur demander à quelle occasion ils ont déjà entendu parler de tangente. Les élèves parlent de la tangente au cercle qui est perpendiculaire au rayon, de la tangente en trigonométrie. Faisant appel à la mémoire de la classe, elle leur demande s'ils ne se souviennent pas d'un travail effectué cette
année. Des élèves se souviennent alors d'un devoir à la maison sur des positions relatives de fonctions « où les courbes se touchaient en un point ». L'enseignante fait le lien avec la situation présente en revenant à la visualisation géométrique et fait rappeler la stratégie suivie dans le problème : écriture du système associé à la recherche de l'intersection, recherche des solutions par substitution et obtention d'une racine double dans le cas de la tangente correspondant à deux points d'intersection confondus. Les élèves prennent ensuite en charge le calcul dans le cas de la parabole P et de D2. Cela va très vite.

L'enseignante récapitule alors l'ensemble du travail effectué, annonce que ce coefficient directeur de la tangente va jouer un rôle très particulier et que, dans la séance qui suit; en demi-groupes, ils vont refaire la même chose avec d'autres fonctions.

Pour la séance qui suit, en demi-groupes, nous suivrons plus précisément deux élèves : Arnauld et Marianne, dont les calculatrices étaient reliées à des ordinateurs portables et l'écran à une tablette rétroprojetable, suivant le dispositif classique dans l'expérimentation.

L'enseignante lance la séance en rappelant le point où ils sont arrivés puis en annonçant qu'on va faire un travail analogue avec la fonction $f$ définie par : $x \mapsto f(x) = \frac{x^3 - 6x}{4}$ au voisinage du point A d'abscisse 2. Elle fait évaluer $f(2)$ et écrit au tableau les coordonnées de A sous la forme $A (2 f(2))$ suivies de $f(2) = -1$.

Elle passe ensuite, comme prévu, dans l'application géométrie et déplace M sur la courbe en le rapprochant de A. Le coefficient directeur se rapproche de la valeur 1,5 mais cette fois quand les deux points semblent confondus, la valeur bizarrement devient 1. Ceci perturbe certains élèves qui pensent que c'est la droite de coefficient directeur 1 qui sera donc la plus proche de la courbe au voisinage de A. L'enseignante fait afficher une droite de coefficient directeur 1 en bougeant le point M et la conjecture est invalidée. Elle passe ensuite à l'éditeur d'équations Y= dans lequel elle a préalablement rentré outre la fonction f, les équations des droites de coefficient directeur 1.5, 1.45 et 1.55. Cette fois les élèves ne sont pas étonnés du résultat : « c'est comme la première fois », et plusieurs suggèrent de faire les limites comme pour la fonction précédente. L'enseignante fait produire collectivement les coordonnées de $M_h(2+h,f(2+h))$ et $P_h(2+h, 1.5h+f(2))$, puis leur demande de prendre chacun leur machine et de définir la fonction f dans le module HOME.

Elle conseille aux élèves de libérer les variables avant de commencer le travail. Arnaud va dans VAR-LINK pour vérifier. Marianne aide son voisin Nicolas qui a libéré les variables par F1-6 mais après avoir défini f et qui ne comprend pas ce qui lui arrive.

L'enseignante se fait ensuite dicter les calculs à faire à la machine par les élèves, chacun les faisant parallèlement sur sa proche machine.

Arnauld et Marianne ne rencontrent pas de difficultés. Nous reproduisons ci-après les premiers écrans d'Arnaud. Ceux de Marianne sont quasiment identiques, mais sans l'erreur de parenthèse présente dans la première entrée d'Arnaud et immédiatement rectifiée.
<figure><img src="image_118.png" /></figure>

<figure><img src="image_119.png" /></figure>

L'enseignante note dans un tableau comme précédemment les différentes expressions trouvées et demande les limites lorsque h tend vers 0. Cela ne pose pas de difficulté et les formulations des élèves sont claires quand il s'agit de justifier. L'enseignante leur propose d'utiliser ensuite la commande *limit* pour obtenir ces mêmes résultats, pour vérifier qu'ils connaissent bien la syntaxe.

Arnaud le fait :

<figure><img src="image_120.png" /></figure>

<figure><img src="image_121.png" /></figure>

et change ensuite le MODE AUTO en EXACT. L'enseignante demande ensuite que faire. Nicolas explique qu'il faut regarder si c'est négligeable par rapport à h. Les élèves le font individuellement. Arnaud et Marianne, comme beaucoup d'élèves, font tous les calculs à la machine, comme en témoignent les écrans suivants :

<figure><img src="image_122.png" /></figure>

<figure><img src="image_123.png" /></figure>

<figure><img src="image_124.png" /></figure>

L'enseignante se fait ensuite dicter les résultats obtenus, en soulignant qu'ils pouvaient être obtenus facilement à la main comme les précédents et en faisant remarquer que la machine
réduit automatiquement les expressions au même dénominateur et, dans certains cas, les factorise.

Les élèves concluent ensuite sans difficulté et certains suggèrent ensuite de remplacer m par 1.5 pour voir si c'est bien la seule droite, comme dans le cas précédent. L'enseignante le fait en allant rechercher l'expression de $\overline{P_h M_h}$ dans les premiers écrans et en substituant m à la valeur 1.55. Marianne le fait sur sa propre machine en retapant l'expression.

<figure><img src="image_125.png" /></figure>

La suite du raisonnement est faite collectivement, sans recourir cette fois à la machine et sans difficulté. Les élèves concluent et notent.

L'enseignante revient ensuite dans Y=, désélectionne les deux droites auxiliaires et leur demande d'étudier plus globalement les positions de la droite et de la courbe.

Arnaud fait tracer les deux courbes en ZoomDec, puis, il change de fenêtre, choisissant [-10,10]x[-20,20] :

<figure><img src="image_126.png" /></figure>

Marianne, elle, choisit d'abord cette fenêtre puis passe à [-100,100]x[-100,100] :

<figure><img src="image_127.png" /></figure>

puis réduit sa fenêtre :
<figure><img src="image_128.png" /></figure>

Très vite, l'enseignante de son côté, passe dans la fenêtre standard puis agrandit jusqu'à avoir tous les points d'intersection de la courbe et de la tangente visibles et demande aux élèves d'interpréter les tracés. Les élèves disent d'abord massivement que la droite est tangente à la courbe, ensuite les formulations divergent : « elle n'est plus tangente », « autour de A, elle est tangente », « elle coupe deux fois ».

Arnaud avec la commande Intersection cherche à déterminer les coordonnées du second point d'intersection.

<figure><img src="image_129.png" /></figure>

Marianne suit la phase collective. Des élèves disent que la courbe recoupe en -4 et l'enseignante demande comment le vérifier formellement. Les élèves proposent d'utiliser les commandes Trace, Zoom, Intersection, Zeros. L'enseignante insiste sur la vérification formelle demandée, se fait dicter le système qu'elle écrit au tableau, puis demande comment résoudre dans HOME avec la machine. Un élève propose de faire la différence des deux expressions de y et de résoudre en x. L'enseignante entre cette différence puis se fait dicter la suite des manipulations à effectuer, arrivant ainsi aux deux racines 2 et -4.

Arnaud, de son côté a utilisé d'abord la commande Zeros, puis ensuite la commande Solve.

<figure><img src="image_130.png" /></figure>

<figure><img src="image_131.png" /></figure>

Marianne et Nicolas réagissent au fait qu'il n'y ait que deux racines alors que le polynôme est de degré 3 et disent qu'il doit y avoir une racine double et que ce doit être 2. L'enseignante
demande comment vérifier et Nicolas propose de factoriser. L'enseignante le fait, Arnaud et Marianne aussi sur leur propre calculatrice et l'expression obtenue satisfait tout le monde.

L'enseignante commente cette situation, en soulignant la différence avec la parabole et en insistant sur le fait que la propriété de tangence est une propriété locale : une droite est tangente en un point.

Elle leur demande ensuite d'étudier seuls, comme prévu, le cas x=0 pour cette même fonction, mais comme il reste moins de 10mn, elle va reprendre la main très vite.

Arnaud calcule f(0) puis va dans GRAPH.

L'enseignante demande quel intervalle choisir. Un élève propose [-1,1] et elle fait un ZoomFit, obtenant l'écran suivant :

<figure><img src="image_132.png" /></figure>

Un élève fait remarquer que la fonction est comme impaire. L'enseignante lui demande de préciser et fait démontrer par un raisonnement sur les exposants que la fonction est réellement impaire.

Elle leur demande ensuite comment ils vont faire pour savoir s'il y a une droite pour laquelle, lorsque h tend vers 0. Un élève propose tout de suite la droite de coefficient directeur -1.5. Il l'a trouvée en utilisant la commande *Derivative* du menu F5. L'enseignante leur montre alors qu'il existe aussi une commande *Tangente*.

Arnaud, pendant ce temps, a fonctionné avec d'abord un ZoomBox puis un ZoomFit, obtenant les écrans suivants :

<figure><img src="image_133.png" /></figure>

<figure><img src="image_134.png" /></figure>

Il change ensuite de fenêtre [-1,1]x[-1.25,1.25] et, entendant l'enseignante, décide d'utiliser la commande *Tangente* :
<figure><img src="image_135.png" /></figure>

<figure><img src="image_136.png" /></figure>

<figure><img src="image_137.png" /></figure>

<figure><img src="image_138.png" /></figure>

Marianne de son côté était aussi dans une phase de tracé, changeant plusieurs fois d'intervalle avant de faire un *ZoomFit* sur [-1,1].

L'enseignante fait remarquer que la commande *Tangente* donne une valeur différente de -1.5 et en profite pour faire repréciser aux élèves que l'application graphique ne fonctionne pas en calcul exact. Elle demande ensuite aux élèves comment savoir alors si -1.5 convient bien ou non. Les élèves suggèrent de calculer les limites avec -1.5. L'enseignante accélère le processus en proposant de faire directement avec m cette fois-ci. C'est Marianne qui dicte les coordonnées de $P_h$, $M_h$ et l'expression de $\overline{P_h M_h}$ : $f(h)-mh$. Les élèves terminent ensuite à la machine (la sonnerie vient de retentir). L'enseignante se fait donner les résultats par Marianne (cf. l'écran de Marianne ci-après) et conclut rapidement en disant qu'à la séance suivante, on définira le nombre dérivé en s'appuyant sur ce qui a été fait.

<figure><img src="image_139.png" /></figure>

Dans le deuxième demi-groupe, l'enseignante rencontre lors de l'exploration un petit problème technique : elle n'arrive plus à séparer les points M et A, ayant lâché la souris alors que les deux points étaient très près l'un de l'autre. Ne parvenant pas à le régler rapidement, elle passe à l'éditeur d'équations. La séance se déroule ensuite approximativement comme pour le premier groupe pour le premier cas traité, mais avance un peu plus vite. Amandine, l'une des élèves observées, bien que d'un niveau très moyen, participe très activement. C'est elle qui reformule par exemple la stratégie utilisée à la séance précédente, pour particulariser la droite de coefficient directeur 2 parmi les droites passant par A. Elle aura cependant un problème en calculant à la machine la limite en 0 pour l'expression dépendant de m car elle
oubliera le signe de multiplication entre m et h. L'enseignante en profite pour reprendre ceci collectivement et expliquer pourquoi, alors que les expressions ont l'air identiques à l'écran, l'une a pour limite -mh et l'autre 0.

Dans le second cas, après affichage de la courbe, un élève déclare qu'il ne peut pas y avoir de tangente (et il montre de la main l'inflexion). Les autres ne sont pas d'accord. L'enseignante propose alors de recourir à la commande *Tangente* du menu F5. Les élèves constatent que la machine donne l'équation d'une tangente (y=-1.5x+0.), la trace et que cette tangente coupe la courbe en 0.

Plusieurs trouvent cela bizarre : « elle a l'air tangente, mais elle traverse ». Un certain doute s'installe. L'enseignante demande de compter les points d'intersection. La plupart répondent qu'il n'y en a qu'un mais un élève suggère qu'il pourrait compter pour 3. L'enseignante demande comment vérifier et le même élève propose de faire comme précédemment avec un point P et un point M. Ceci réoriente le travail sur la stratégie classique et ils arrivent en fin de séance à la conclusion que $\overline{P_hM_h}$ est négligeable devant h si et seulement si m = -3/2.

L'enseignante conclut que cette droite va être la tangente à la courbe à l'origine, même si elle la coupe et que le nombre m sera le nombre dérivé de la fonction en 0. Elle introduit aussi à cette occasion la commande *Derivative* du menu F5 qui avait été utilisée spontanément par un élève de l'autre groupe et de ce fait présentée ensuite à tous. Elle leur demande de chercher pour la séance suivante le nombre de points d'intersection entre la tangente à l'origine et la courbe.

## C. Bilan

L'expérimentation de cette séance d'introduction des dérivées nous semble positive. Si l'on compare en particulier aux expérimentations effectuées la première année, on voit bien que les choix effectués permettent une introduction beaucoup plus satisfaisante. La problématique choisie d'interprétation d'un phénomène produit sur l'écran de la calculatrice, mais avec la volonté de ne pas céder à la facilité, semble accessible à ces élèves qui sont pourtant d'un niveau très moyen. L'idée de s'intéresser aux vitesses de convergence vers 0 est spontanément formulée et la notion de négligeabilité relative réinvestie de façon pertinente dans le fonctionnement collectif de la séance. L'attention portée aux variables permettant de gérer la complexité formelle des calculs, le jeu construit entre le collectif et l'individuel sur ce plan, semblent avoir permis de situer le calcul symbolique là encore dans une zone accessible à la très grande majorité des élèves. Le fait de reproduire, à diverses reprises, au cours de la séance, des calculs similaires mais nécessitant chaque fois des adaptations, prenant en compte le sens des expressions et l'objectif des calculs a sans aucun doute joué un rôle décisif. L'interaction du travail à la main et du travail à la machine semble elle aussi avoir rempli le rôle qui lui était assigné. Il est clair que la première séance essentiellement collective ne permet pas de savoir avec précision l'engagement de chacun dans la séance. Ce qui y est plutôt testé, c'est la viabilité d'un jeu collectif, avec des prises d'information ponctuelles via les élèves sollicités à tel ou tel moment de la séance. Les deux séances menées ensuite en demi-groupe où nous avons suivi de plus près, quatre élèves de niveaux différents tend cependant à confirmer l'impression de viabilité de cette introduction donnée par la séance collective. On y voit cependant aussi que le scénario prévu est trop long pour la durée prévue, surtout si l'on ne veut pas trop réduire l'autonomie des élèves : dans les deux groupes, la phase 4 ne sera pas abordée et la phase trois un peu trop rapidement gérée. De plus, le scénario de la troisième phase où les élèves doivent réinvestir individuellement les stratégies
mises au point dans le cas de la tangente en 0 est loin d'être optimal. Les élèves travaillant
individuellement ne disposent pas en effet du moyen de conjecture qui était fourni par le
programme réalisé dans l'application géométrie. Deux stratégies nous semblaient a priori
disponibles pour surmonter ce handicap : par des zooms ou le choix d'une fenêtre convenable,
arriver à un graphe quasiment linéaire et l'exploiter pour faire une conjecture, mener
directement un calcul avec le paramètre m. Nous pensions que la première était
raisonnablement accessible même si elle ne situait pas dans une continuité directe avec ce qui
précédait et que la seconde apparaîtrait peut-être mais de façon très ponctuelle. Comme le
montre l'expérimentation, ces prévisions ne se réaliseront dans aucun des deux groupes, dans
le premier, parce que des élèves vont exploiter des commandes spécifiques non encore
introduites du menu F5, dans le second parce que va s'engager un débat sur l'existence ou non
de la tangente dans ce cas d'inflexion. Il est clair que, au vu de l'expérimentation, nous ne
pouvons savoir ce qui aurait pu se produire si les élèves avaient disposé réellement de temps
pour résoudre ce problème, mais, compte-tenu des observations, il nous semble plus
raisonnable, pour rester dans le fil de la séance, de laisser l'exploration se dérouler pour ce
troisième cas, comme pour les deux premiers, de laisser s'il se présente émerger le débat sur
l'existence ou non de la tangente, sans le trancher prématurément, et de renvoyer en travail
autonome comme prévu, la preuve du fait que la droite de coefficient directeur -1.5 vérifie
bonne la propriété de proximité énoncée et est la seule dans ce cas, ce qui légitimera la décision
prise ensuite de lui donner le nom de tangente, même s'il s'agit d'un objet non conforme à
l'intuition géométrique que l'on a d'une tangente.

Si le temps de la séance ne permet pas raisonnablement d'accorder un temps suffisant à cette
phase 3, il nous semble préférable de poser le problème et de le donner à chercher hors classe,
pour la séance suivante, les productions de groupes étant admises.

SITUATION 2 : dérivées et fonctions de référence

A. Scénario

Après la séance d'introduction, le scénario prévoit de gérer sur deux séances, les fonctions
suivantes :

$$
x \mapsto 2x+3 \quad x \mapsto \frac{1}{x} \quad x \mapsto \sqrt{x} \quad x \mapsto |x| \quad x \mapsto |x^2-4x+3| \quad x \mapsto x \sin(\frac{1}{x})
$$

en faisant calculer directement les limites en divers points avec l'aide de la machine, dans un
scénario qui alterne le travail algébrique et graphique, en fonction des spécificités des
fonctions considérées. Ces séances doivent aussi permettre de repérer quelques cas de non-
dérivabilité qui seront rassemblés dans le « récit » distribué ensuite aux élèves. C'est à l'issue
de ces séances qu'il est prévu d'introduire la commande de dérivation formelle de la machine.

* Pour la première fonction, on prévoit de demander aux élèves d'anticiper le résultat en posant la question de savoir quelle est la tangente à une droite en l'un de ses points (question qui, on le sait, n'est pas triviale pour les élèves qui ont du mal à se départir de l'idée que tangente et courbe se touchent en un point mais sont bien distinctes au voisinage de ce point) avant de vérifier que la démarche algébrique mise en place la fois précédente conduit bien au même résultat. On généralisera ensuite au cas d'une droite quelconque.

* Pour la seconde fonction, on prévoit de demander un calcul à la main qui sera suivi d'une vérification à la machine.
* Pour la troisième fonction, on prévoit de débuter cette fois par un calcul à la machine. On cherchera ensuite collectivement comment retrouver le résultat $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ fourni par la machine et la méthode de produit par la quantité conjuguée sera identifiée.

Cet exemple devrait également servir à poser le problème du domaine de validité de la formule obtenue et à relier la non dérivabilité en 0 de cette fonction à l'existence d'une tangente verticale.

* Pour la quatrième fonction, il est prévu de demander aux élèves de formuler une conjecture à partir du tracé de la courbe représentative de la fonction. On utilisera ensuite le calcul machine pour tester les conjectures. Précisons que la TI92, dans ce cas, renvoie sign(a) pour $\lim_{h \to 0} \frac{|a+h|-|a|}{h}$; c'est une fonction que les élèves ne connaissent pas encore et il leur faudra interpréter cette production.

* Pour $x \mapsto x \sin(\frac{1}{x})$ enfin, il est prévu de faire une exploration à la calculatrice par zooms successifs. Il n'est pas question de mener une étude précise de cette situation mais simplement de l'utiliser pour enrichir l'herbier des images associées aux cas de non dérivabilité et montrer qu'il existe des cas plus compliqués que ceux qu'ils seront amenés à rencontrer pendant cette première année de contact avec les dérivées.

L'ensemble se terminera par une synthèse sur les différents cas rencontrés de non-dérivabilité, on introduira aussi à cette occasion la commande de dérivation formelle de la calculatrice et on la fera fonctionner sur les exemples déjà traités.

## B. Déroulement

Cette partie du scénario sera gérée en deux séances de deux heures, 35mn de la première heure étant consacrée à la phase 4 de l'introduction non abordée pendant la séance précédente.

### Séance 1 :

L'enseignante fait rappeler ce qui a été fait à la séance précédente et le fait adapter au cas général d'une fonction f étudiée au voisinage de a. Une figure est tracée au tableau (cf. résumé de cours en annexe). Ni le rappel, ni l'adaptation ne posent de problème, l'enseignante ayant cependant à reprendre des formulations un peu floues. On arrive ainsi à la formulation : on cherche s'il existe m tel que $\overline{P_h M_h}$ soit négligeable devant h et à l'expression associée :

$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - (f(a) + m h)}{h} = 0 $$

L'enseignante propose alors de transformer cette expression. Un élève propose de simplifier par h. En fait, il est prêt à simplifier par h y compris dans f(a+h). L'enseignante lui fait réexpliquer le sens de la notation f(a+h), puis reprend cette idée de simplification pour arriver à :

$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} - m = 0 $$

Elle demande ensuite si l'on peut encore écrire autrement cette limite, en les invitant à se remémorer ce qu'ils avaient fait quand ils avaient défini qu'une fonction avait pour limite 1 à partir des limites 0. Amandine trouve très vite et propose :
$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = m $$

L'enseignante numérote les trois formes, fait rappeler ce qui était en jeu dans le travail du vendredi précédent et demande quelle est dans ce cas l'expression la plus commode. Les élèves n'hésitent pas, c'est la 3 car on n'a pas besoin de connaître m.

L'enseignante dicte ensuite la définition du nombre dérivé en a puis fait écrire l'équation de la tangente et relier nombre dérivé et coefficient directeur de la tangente.

Au bout de 25mn, elle passe à l'approximation affine et là va rencontrer des difficultés sérieuses. Visiblement les élèves n'arrivent pas à donner sens à la fonction $\phi$ introduite (cf. résumé de cours), pas plus qu'ils n'arrivent à suivre l'enseignante quand elle essaie de faire dire que $h'(h)$ est négligeable par rapport à h pour justifier le choix de $f(a)+mh$ comme approximation affine. Le contraste est saisissant si on compare à tout ce qui précède, montrant clairement qu'il y a là pour les élèves, même si toute l'argumentation précédente était basée sur un questionnement de proximité, deux mondes différents qu'ils ne peuvent relier par une simple transformation d'écritures.

Au bout de 35mn, l'enseignante passe à des fonctions particulières, reprenant d'abord la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2$ et posant la question de sa dérivabilité en a. Les élèves se mettent au travail rapidement et visiblement gèrent bien le calcul qui est à faire à la main, arrivant pour le quotient à l'expression $2a+h$. Le passage à la limite crée un flottement chez certains élèves du fait de la présence des deux lettres a et h, facilement géré en proposant deux valeurs particulières pour a. On arrive ainsi à la conclusion que la fonction est dérivable pour tout a, de nombre dérivé $2a$ et l'enseignante fait vérifier que c'est bien compatible avec le résultat obtenu en 1, à la séance précédente. Elle demande l'équation de la tangente au point d'abscisse 3, fait tracer la courbe et la tangente sur la TI92 rétroprojetable :

<figure><img src="image_140.png" /></figure>

Elle essaie ensuite de revenir à la question de l'approximation affine, en demandant une approximation affine de $(3+h)^2$ en précisant qu'il s'agit donc d'une approximation affine de $f(3+h)$. Les élèves regardent leurs notes, l'enseignante circule puis aide collectivement les élèves à produire l'approximation et à l'interpréter :

M : Alors $f(a+h)$ a pour approximation affine $f(a)$ plus ?

E : mh

M : mh, que vaut m ici ? ...

E' : 2a
M. écrit au tableau :

f(a+h) a pour approximation affine f(a)+2ah

(a+h)² // // // a²+2ah

M: ça vous fait penser à quelque chose?

E: Le début de l'identité remarquable.

M: Oui et qu'est-ce qui manque?

E: h²

M: Il manque h², oui et......

E' : C'est le carré de h

E'' : C'est négligeable

M: Et le h² est négligeable devant h, ce qui manque c'est le $\overline{P_h M_h}$, et c'est le h², d'accord ? Eh bien on va continuer tout à l'heure avec d'autres fonctions.

C'est la pause.

Après la pause, l'enseignante propose la fonction f définie par $f(x)=-3x+5$ et, comme prévu, demande si elle admet un nombre dérivé en tout point, après l'avoir faite tracer sur la machine rétroprojetable. Les réponses fusent :

« Elle est dérivable en tout point », « La tangente, elle est confondue avec la droite », « La dérivée vaut toujours pareil »

L'enseignante demande des précisions. Un élève répond que m vaut toujours -3. L'enseignante demande si l'on pourrait vérifier par le calcul. Loic dit le calcul à effectuer et l'enseignante leur demande de le faire individuellement. Cela ne pose pas de problème. L'enseignante vient de conclure quand l'un des élèves Pierre demande : « mais la limite de la fonction du départ, c'est pas 5 ? ». L'enseignante fait préciser à Pierre en quel point il prend la limite, puis explique que ce n'est pas la limite de la fonction en 0 qu'ils calculent mais la limite du quotient quand h tend vers 0. Pierre réfléchit puis explique qu'il était gêné parce qu'il confondait la limite de f(x) quand x tend vers 0 et la limite de f(a+h) quand h tend vers 0 parce qu'on avait posé x=a+h. L'enseignante explique pour tous que chercher la limite de f(a+h) quand h tend vers 0 c'est la même chose que chercher la limite de f(x) quand x tend vers a et non pas la limite de f(x) quand x tend vers 0.

Elle leur demande ensuite de prendre leurs machines pour étudier si la fonction f définie par $f(x)=1/x$ pour x différent de 0 est dérivable en a pour tout a différent de 0.

Marianne et Vincent sont les élèves dont les machines sont reliées aux ordinateurs pour cette séance. Ils définissent la fonction dans HOME puis font les calculs. Marianne oublie, pour la limite, d'indiquer la variable et reçoit un message d'erreur qu'elle interprète immédiatement et obtient très vite la limite. Vincent de son côté utilise la commande *ComDenom* avant de prendre la limite :
<figure><img src="image_141.png" /></figure>

Voyant que les élèves ne rencontrent pas de difficultés, l'enseignante se fait dicter les calculs à faire à la machine. Elle demande ensuite aux élèves s'ils sauraient les faire à la main. La réponse est massivement « Oui ». Elle fait conclure et noter le résultat. Un élève Emmanuel l'interrompt car il n'arrive pas à obtenir le résultat. En fait, il a libéré la variable f après avoir défini la fonction. L'enseignante repère immédiatement l'erreur et la lui indique. Elle fait ensuite préciser le signe de la dérivée puis se fait dicter le détail des calculs qu'elle écrit au tableau.

$$ 
\begin{gather*}
\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}}{h} = \frac{a - (a+h)}{a(a+h)h} = \frac{-h}{a(a+h)h} \\
\lim_{h \to 0} \frac{-1}{a(a+h)} = \frac{-1}{a^2}
\end{gather*}
$$

Elle demande ensuite l'équation de la tangente au point d'abscisse -2 et fait rappeler la forme générale : m(x-a)+f(a) avant de laisser les élèves faire individuellement le calcul. Vincent fait une erreur de calcul, écrivant :

$$ y=m(x-a)+f(a)=\frac{-1}{4}(x+2)+\frac{1}{2}=\frac{-1}{4}x $$

L'enseignante assez vite fait, de son côté, les calculs à la machine puis entre dans l'éditeur d'équation y=1/x et y=-x/4-1 pour vérifier graphiquement la tangence. Les élèves reproduisent que leur écran (cf. l'écran de Marianne reproduit ci-après) :

<figure><img src="image_142.png" /></figure>

L'enseignante introduit ensuite une nouvelle fonction définie par $f(x) = |-3x+5|$

Marianne la définit puis demande directement la limite du quotient différentiel en une seule opération. Très étonnée par le résultat, en reprend le calcul en détaillant les étapes, aboutissant au même résultat :
<figure><img src="image_143.png" /></figure>

<figure><img src="image_144.png" /></figure>

Vincent, de son côté cherche la fonction valeur absolue, puis ne la trouvant pas tape directement *abs*. Il calcule ensuite le taux d'accroissement.

<figure><img src="image_145.png" /></figure>

<figure><img src="image_146.png" /></figure>

Environ la moitié des élèves a démarré comme Vincent et Marianne, tandis que l'autre a démarré en faisant tracer la fonction. Ceux qui ont obtenu l'expression formelle ne savent visiblement pas quoi en faire. L'enseignante intervient alors et après avoir fait remarquer qu'il y a deux stratégies, montre ce que l'on obtient avec chacune d'elles et souligné le problème posé par la fonction *sign*, elle oriente les élèves vers l'exploitation du graphique.

<figure><img src="image_147.png" /></figure>

Elle veut faire produire aux élèves collectivement l'équation des deux demi-droites et ceci ne va pas aller sans mal. Les élèves disent que les coefficients directeurs sont 3 et -3 mais visiblement n'arrivent pas à exploiter rapidement l'expression donnée pour trouver ces équations. Pour le point d'intersection avec l'axe Ox, on entend successivement : 5, puis 3/5 et enfin 5/3. Pour l'équation, un propose y=-5/3x que l'enseignante fait tracer puis un autre y=-3x+5/3. L'enseignante fait de nouveau tracer. Finalement, au troisième essai, on arrive à -3x+5. Pour la branche de droite, les avis sont partagés entre y=3x-5 et y=3x+5 et les élèves proposent d'essayer pour choisir. L'enseignante déclare qu'ils exagèrent et les oblige à revenir à la définition de la valeur absolue. Cela ne va pas de soi. Enfin, les deux expressions sont disponibles et l'enseignante passe à la question de la dérivabilité. D'emblée un élève (Emmanuel) dit qu'elle n'est pas dérivable là où f(x)=0 mais il ne sait pas dire pourquoi, les autres non plus. L'enseignante laisse momentanément le problème ouvert et passe aux autres
points. Là, pas de problème, les élèves sont convaincus que c'est dérivable et que la dérivée vaut -3 sur la demi-droite de gauche et 3 sur la demi-droite de droite. Ils expliquent sans difficulté pourquoi : « C'est un point d'une droite, la tangente est confondue avec la droite ».

L'enseignante revient ensuite au module formel pour gérer le cas laissé en suspens. Elle fait afficher -3sign(-3a+5) en spécifiant a<5/3, mais ceci ne change rien. Vincent le reproduit sur sa machine, tandis que Marianne fait la spécification au niveau de la limite, obtenant le même résultat.

<figure><img src="image_148.png" /></figure>

<figure><img src="image_149.png" /></figure>

L'enseignante constate que l'on n'est pas plus avancé et leur demande s'ils ont une idée de ce que peut signifier l'expression sign(-3a+5). Un élève dit que cela varie avec le signe, Vincent que ça vaut 1 ou -1, puis précise à la demande de l'enseignante : « 1 quand le signe est positif et -1 quand le signe est négatif ». C'est testé à la machine avec 2 et -2 :

<figure><img src="image_150.png" /></figure>

L'enseignante interprète alors la limite donnée par la machine, montrant que l'on retrouve bien les deux valeurs 3 et -3 qu'ils ont conjecturées.

Elle demande ensuite si, à leur avis, il y a une tangente, des tangentes au point d'abscisse 5/3. Des élèves proposent l'axe des abscisses mais tous ne sont pas d'accord car l'axe des abscisses ne colle pas à la courbe. L'enseignante tranche en reprenant cette idée et en rappelant la séance précédente.

Un autre élève dit qu'il y en a deux. L'enseignante reprend cette idée, fait un dessin et introduit la notion de demi-tangente, tout en insistant sur le fait que ces deux demi-tangentes ne sont pas confondues. Un élève demande s'il y a une limite alors. L'enseignante affecte la valeur 5/3 à « a » puis cherche la limite à la machine, obtenant la réponse : undef, mais montre que si l'on demande la limite à droite ou à gauche, on obtient un résultat. Tous les élèves reproduisent ceci sur leur machine.
<figure><img src="image_151.png" /></figure>

<figure><img src="image_152.png" /></figure>

Elle conclut ensuite : « on dira qu'on a une fonction qui est dérivable à gauche, que le nombre dérivé à gauche va être : -3 (valeur donnée par les élèves), qu'elle est dérivable à droite; le nombre dérivé à droite ça va être : 3 (idem). Mais comme ces deux nombres ne sont pas égaux, on dit que la fonction n'est pas dérivable en 5/3. Et ça se traduit comment ? Eh bien ça se traduit par une demi-tangente de coefficient directeur -3 et une demi-tangente de coefficient directeur +3 ».

La séance se termine là, les élèves ayant à étudier pour la séance suivante la dérivabilité de la fonction f telle que $f(x)=|x^2-5x+4|$.

## Séance 2 :

La séance débute par l'étude collective de la dérivabilité de la fonction introduite à la fin de la séance précédente. Nous suivrons ici plus particulièrement le travail d'Arnaud relié à l'ordinateur.

Visiblement les élèves n'ont pas réussi à résoudre complètement l'exercice. Ils ont le plus souvent fait tracer la courbe, calculé avec la machine le quotient différentiel dans le cas général, cherché sa limite mais été rebutés par la complexité du résultat :

<figure><img src="image_153.png" /></figure>

<figure><img src="image_154.png" /></figure>

35mn vont être consacrées à cette fonction particulière. L'enseignante suit au départ les propositions des élèves. Elle fait donc tracer la courbe représentative de f, d'abord dans la fenêtre standard puis dans la fenêtre [-10,10]x[-1,10]. Un élève Pierre propose de décomposer la courbe en deux équations, d'autres disent qu'il y a trois morceaux. Pierre, sollicité par l'enseignante, explique le paradoxe apparent en disant que deux morceaux ont la même équation, et que les équations changent à cause de la valeur absolue. Ceci étant précisé, collectivement, les deux équations sont trouvées et leurs intervalles de validité exprimés en fonction des racines de l'équation : 1 et 4, sans difficulté.

L'enseignante propose alors de visualiser graphiquement le changement de signe sur l'intervalle [1,4]. Pour cela elle entre x²-5x+4 dans Y= et la fait tracer. Les élèves constatent que les deux courbes coïncident en dehors de l'intervalle et sont symétriques sur [1,4].

Elle pose ensuite la question de l'existence de tangentes. Visiblement, pour les élèves, l'existence de tangentes en dehors des deux points d'abscisse 1 et 4 va de soi. L'enseignante
le justifie en s'appuyant sur les relations de coïncidence et de symétrie avec la parabole tracée
qui, on le sait, a une tangente en tout point. Plusieurs élèves disent qu'en revanche la fonction
n'est pas dérivable en 1 et 4. L'enseignante commence à réduire l'étude au cas x=1, en faisant
remarquer que la courbe admet un axe de symétrie.

Arnaud a pendant ce temps, rentré les différentes fonctions sur la calculatrice :

<figure><img src="image_155.png" /></figure>

<figure><img src="image_156.png" /></figure>

L'enseignante leur demande comment ils ont fait ensuite. Plusieurs élèves disent qu'ils ont calculé la limite à la calculatrice et que ça faisait un truc immense. Elle leur propose de chercher juste en 1. Elle suit leurs instructions et Arnaud reproduit pas à pas ce qu'elle fait à la rétroprojetable, arrivant comme elle à la réponse : *undef*.

<figure><img src="image_157.png" /></figure>

Les élèves ne sont visiblement pas étonnés par le résultat et Arnaud dit tout bas : « c'était prévisible ». L'enseignante leur propose alors de revenir au graphique et de regarder ce qui se passe pour les tangentes au point d'abscisse 1. Arnaud va dans GRAPH et, utilisant deux fois la commande *F5-Tangent* pour les deux paraboles obtient le résultat suivant :

<figure><img src="image_158.png" /></figure>

<figure><img src="image_159.png" /></figure>

L'enseignante fait, elle retracer les deux paraboles symétriques par rapport à Ox, puis demande aux élèves si elles ont des tangentes au point d'abscisse 1, puis ce qui se passe si l'on s'intéresse à la courbe représentative de la fonction f, c'est à dire si l'on cache la partie correspondant aux y négatifs. Un élève répond qu'il ne reste que des demi-droites. L'enseignante, pour le vérifier, fait tracer la tangente à la première parabole au point d'abscisse 1, obtenant l'équation y=3x-3, puis pour l'autre parabole, obtenant y=3x-3, puis fait le lien entre demi-tangentes et rapprochement du point d'abscisse 1 sous les conditions :
x<1 et x>1. Elle repasse ensuite au module formel et leur demande ce qu'elle doit faire pour ne plus obtenir undef. Quelqu'un suggère de prendre les limites à gauche et à droite. Elle fait prévoir les réponses avant d'entrer les commandes et obtient sans difficulté les réponses attendues. Arnaud avait en fait anticipé cette dernière partie et déjà obtenu :

<figure><img src="image_160.png" /></figure>

L'enseignante fait ensuite expliquer pourquoi il est logique que les deux nombres trouvés soient opposés, puis demande aux élèves de détailler les calculs à la main, en séparant les deux cas possibles. Il n'y a pas un grand enthousiasme. Arnaud consulte son cahier puis écrit :

Cinq minutes plus tard, l'enseignante se fait dicter les calculs pour la limite à gauche et conclure. Elle demande ensuite s'il faut refaire les calculs pour la limite à droite. Un élève répond tout de suite que non, car f change juste de signe et qu'on va obtenir donc comme limite 3.

L'enseignante récapitule alors l'ensemble et fait noter :

« La fonction f est dérivable à gauche en 1, et son nombre dérivé à gauche est -3

De même la fonction f est dérivable à droite en 1, et le nombre dérivé à droite est 3.

La courbe de f admet donc au point d'abscisse 1 deux demi-tangentes, l'une de coefficient directeur -3, l'autre de coefficient directeur +3. La fonction f n'est pas dérivable au point d'abscisse 1 car le nombre dérivé à droite et le nombre dérivé à gauche sont .... ». Un élève continue : « opposés ». L'enseignante insiste sur le fait que c'est parce qu'ils sont différents et non parce qu'ils sont opposés que la fonction n'est pas dérivable.

Après avoir rappelé que pour le point d'abscisse 4, la fonction n'est pas non plus dérivable, en raison de la symétrie, elle passe ensuite à la preuve formelle dans le cas général. Les élèves, une fois de plus, dictent les manipulations à faire sur la TI92 rétroprojetable et très vite, la classe arrive à l'expression (2a-5)sign(a²-5a+4) qu'un certain nombre d'élèves avait déjà obtenue. Cette expression n'est toujours pas parlante et l'enseignante va devoir les aider à en faire l'analyse en faisant rappeler les valeurs prises par la fonction sign, pour trouver les valeurs 2a-5 et -2a+5 du nombre dérivé suivant la valeur de a par rapport à 1 et 4.

Finalement, tout est récapitulé au tableau :

<table><thead><tr><th></th><th>nombre dérivé en a</th></tr></thead><tbody><tr><td>Si a&lt;1</td><td>2a-5</td></tr><tr><td>1&lt;a&lt;4</td><td>-(2a-5)</td></tr><tr><td>a&gt;4</td><td>2a-5</td></tr><tr><td>en a=1</td><td>nbre dérivé à gauche : -3<br>nbre dérivé à droite : +3</td></tr></tbody></table>
L'enseignante fait en même temps contrôler graphiquement les valeurs données par symétrie pour x=4 et termine cette étude par un petit commentaire général sur les fonctions où interviennent les valeurs absolues.

On passe ensuite à la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{x}$, comme prévu. Les élèves peuvent utiliser la machine, précise-t-elle, et ensuite on essaiera de retrouver le même résultat à la main. Arnaud définit la fonction dans HOME, demande un calcul de limite mais obtient *undef* car il a fait une erreur de signe dans l'entrée. Il fait alors tracer la fonction, regarde attentivement le graphe, repasse en HOME, repère son erreur et obtient la valeur du nombre dérivé en a :

<figure><img src="image_161.png" /></figure>

<figure><img src="image_162.png" /></figure>

Visiblement, les élèves ne rencontrent pas ici de problème et assez vite, l'enseignante fait un bilan collectif. Elle fait tracer la courbe représentative dans la fenêtre [-1,10)x[-1,4], les élèves disent que c'est dérivable en a si a est positif ; l'enseignante fait alors tracer la tangente au point d'abscisse 3 en insistant sur le fait que l'expression donnée est une expression approchée, avant de poser la question de savoir si elle peut faire tracer comme cela des tangentes partout. Un élève dit qu'il y a un problème en 0. L'enseignante demande alors la tangente en 0 obtenant l'écran suivant :

<figure><img src="image_163.png" /></figure>

L'enseignante propose de zoomer autour de l'origine pour voir un peu mieux ce qui s'y passe. Elle prend en fait la fenêtre [-1,1.5)x[-1,1.2] et obtient ceci :

<figure><img src="image_164.png" /></figure>
A sa place, Arnaud, lui, utilise les commandes Zoombox et ZoomIn pour ajuster son tracé.

Plusieurs élèves disent qu'on dirait quand même qu'il y a une tangente l'axe des ordonnées. L'enseignante demande si cet axe des ordonnées a un coefficient directeur, puis en faisant rappeler l'expression du coefficient directeur comme quotient b/a, obtient sans difficulté le fait que lorsque a tend vers 0, ce coefficient directeur tend vers plus ou moins l'infini suivant le signe de a.

Elle fait ensuite le rapprochement avec la parabole d'équation $y=x^2$, en demandant la nature de la courbe tracée. Plus répondent que c'est une portion, une moitié de parabole. Elle introduit alors la parabole mentionnée ci-dessus, fait préciser sa tangente à l'origine, puis demande comment géométriquement, on passe de la courbe représentative de la fonction racine carrée à cette parabole, en précisant que l'on a changé x en y et y en x. Un élève propose d'abord une rotation, proposition qu'elle écarte en disant qu'une rotation qui transforme x en y, transforme y en -x, et très vite la symétrie orthogonale par rapport à la première bissectrice sort. L'enseignante la visualise à la machine, en passant en ZoomSqr, pour avoir un repère orthonormé, en traçant la parabole et la première bissectrice :

<figure><img src="image_165.png" /></figure>

Elle exploite ensuite cette symétrie pour justifier la conjecture faite d'existence d'une tangente verticale à la parabole symétrique à l'origine, donc d'une demi-tangente verticale à la courbe représentative de la fonction racine carrée qui, elle, n'est définie que pour x positif.

Elle passe ensuite au module de calcul formel, leur demandant ce qu'ils ont trouvé comme expression du nombre dérivé en a, et en leur faisant préciser le domaine de validité de cette expression, non indiqué par la machine. Ceci ne pose pas de problème.

Le calcul à la main est fait ensuite collectivement. Elle fait mettre en évidence l'indétermination puis présente la technique de multiplication par la quantité conjuguée, qu'ils ont déjà utilisée à d'autres occasions, comme une technique qui permet de lever l'indétermination dans ce type d'expression. Ensuite, l'ensemble des résultats obtenus est récapitulé et noté. Et l'enseignante fait bien remarquer que dans ce cas, il n'y a pas dérivabilité mais il y a cependant une demi-tangente verticale.

C'est la pause.

Après la pause, est introduite la dernière fonction qu'il était prévu d'étudier dans ce scénario,

$$ \text{la fonction définie par : } \begin{cases} f(x) = x \sin\left(\frac{1}{x}\right) & x \neq 0 \\ f(0) = 0 \end{cases} $$

L'enseignante explicite la syntaxe de définition par cas qu'ils rencontrent pour la première fois. Arnaud qui avait tout de suite entré la fonction sans distinguer les deux cas et vérifié que
la valeur en 0 donnée était bien 0, n'intervient pas et rectifie sa définition puis fait tracer dans la fenêtre standard :

<figure><img src="image_166.png" /></figure>

<figure><img src="image_167.png" /></figure>

Il se place ensuite dans la fenêtre [-1,1]x[-1,1], avant de faire des ZoomIn autour de 0 avec xres=1 au lieu de 2, comme le conseille l'enseignante.

<figure><img src="image_168.png" /></figure>

<figure><img src="image_169.png" /></figure>

<figure><img src="image_170.png" /></figure>

<figure><img src="image_171.png" /></figure>

Les élèves en fait sont frappés par les oscillations mais tout autant par la symétrie de la courbe. L'enseignante fait prouver la parité, puis elle fait remarquer qu'au fil des zooms successifs dans ce cas, on ne voit pas la courbe autour de 0 devenir de plus en plus droite comme dans les cas où il existait une tangente. Elle fait examiner ce qui se passe pour le sinus et l'expression globale lorsque x tend vers 0, puis conclut qu'effectivement cette fonction n'est pas dérivable en 0.

Elle repasse en HOME, leur montre que la TI92 donne bien 0 comme limite en 0 et conclut cette phase par : « Donc j'ai une fonction qui est définie en 0, qui a une limite en 0 qui est égale à f(0), mais qui n'est pas dérivable en 0. Donc toutes les fonctions ne sont pas dérivables partout. Il y a des fonctions qui ne sont pas dérivables en certains points, et puis vous verrez après quand vous serez en fac qu'il y a des fonctions qui ne sont dérivables nulle part. Mais nous celles qu'on va étudier cette année ce sera exceptionnel qu'elles soient pas dérivables. Les fonctions pas dérivables qu'on va rencontrer, ce sera des fonctions qui seront pas dérivables en des points particuliers, c'est-à-dire dans l'exemple de celles qu'on vues $|-3x+5|$ au point d'abscisse $5/3$; $\sqrt{x}$ au point d'abscisse 0; $|x^2-5x+4|$ aux points d'abscisses 1 et 4,
d'accord ? Donc on a vu des fonctions qui étaient dérivables partout, des fonctions qui étaient dérivables presque partout sauf en certains points. »

Les dernières 20mn de la séance vont être consacrées à l'introduction de la notion de fonction dérivée et à l'introduction de la commande de dérivation formelle de la calculatrice. Après introduction de la notion de fonction dérivée, les résultats déjà obtenus sont tous reformulés dans le nouveau langage (cf. résumé de cours). Ceci prend une dizaine de minutes. Puis l'enseignante revient à la calculatrice, introduit la commande de dérivation formelle et fait remarquer aux élèves la notation adoptée par la machine, différente de celle qu'elle a introduite. Elle précise qu'il s'agit d'une notation différentielle, souvent utilisée en mécanique et en physique et profite de l'occasion pour leur dire qu'en physique, on utilise aussi des notations avec des points, lorsque la variable est le temps et que l'on travaille avec des vitesses et des accélérations. Quelques uns disent avoir déjà vu ces notations.

Ensuite, elle leur demande de faire fonctionner la commande formelle sur les exemples déjà étudiés et de vérifier qu'ils retrouvent bien les résultats déjà établis. Arnaud, à son habitude, a déjà commencé à le faire et a obtenu les deux écrans suivants :

<figure><img src="image_172.png" /></figure>

<figure><img src="image_173.png" /></figure>

L'enseignante, après avoir circulé dans la classe, précise que s'ils n'ont pas défini la fonction
ils peuvent demander la dérivée par exemple, en tapant : *d(√x,x)* pour la fonction racine, mais
qu'ils doivent bien faire attention que, ce que leur renvoie la machine, dans tous les cas, c'est
le nombre dérivé en x, c'est l'image de x par la fonction dérivée. S'ils veulent travailler avec
la fonction dérivée, ils doivent la définir comme fonction.

Elle demande ensuite : « à la main, si vous dérivez la fonction qui à x associe ax+b, qu'est-ce que vous allez obtenir ? ». Les élèves hésitent. Quelques « a » timides sortent mais le doute semble planer. L'enseignante repose la question et leur demande de laisser de côté la calculatrice pour l'instant. Un élève propose la fonction x→x, visiblement il n'y a pas accord, puis un autre dit : y=a et l'enseignante reformule de façon fonctionnelle, puis leur demande de vérifier à la calculatrice (Arnaud avait déjà fait le calcul dès qu'elle avait posé la question initiale). Elle demande ensuite, toujours sans machine, de prévoir quelle est la dérivée d'une fonction constante. Là encore il y a des flottements et l'enseignante fait détailler le raisonnement en passant par la tangente cette fois. Chacun vérifie sur sa machine et ensuite l'enseignante fait faire le calcul à la main. la séance se termine là.

C. Bilan

La première séance est composée de deux phases : la première correspondant à la définition du nombre dérivé, la seconde à l'exploitation de cette définition pour étudier la dérivabilité et déterminer le nombre dérivé quand il existe de fonctions choisies pour confronter les élèves à un certain nombre de situations typiques.
Le déroulement de la première phase montre un fonctionnement correspondant à celui prévu dans l'analyse a priori, sauf en ce qui concerne le passage à l'approximation affine, pourtant implicitement en jeu dans tout ce qui précède. L'introduction de la fonction $\varphi$ semble inscrire ce passage dans un jeu formel qui perd tout sens pour les élèves. La dimension purement formelle du passage, constatée ici, aurait pu être sans doute atténuée par le recours à la visualisation graphique de la dérivabilité en un point, en termes de linéarisation locale par zooms successifs c'est à dire suivant le point de vue b) mentionné dans l'introduction de cette partie. Ce point de vue b) ne donne pas d'information directe sur l'ordre de la différence entre $f(a+h)$ et $f(a)+f'(a)h$ comme nous l'avons déjà souligné mais nous semble plus proche d'une visualisation de l'expression en ligne que le point de vue a). Les difficultés rencontrées nous incitent cependant à faire l'hypothèse que le recours à cette visualisation ne suffirait pas à lui seul à résoudre de façon satisfaisante le problème qui se pose et qu'il est nécessaire de construire une problématisation spécifique de cette dimension d'approximation, à un autre moment du processus d'ingénierie, en reportant à ce moment là l'articulation des deux formulations de la dérivabilité en un point présentées ici comme des définitions équivalentes. Cette problématisation pourrait s'effectuer, nous semble-t-il, dans un contexte d'approximation de variation de grandeurs géométriques, aires et volumes, associées à un solide, en fonction d'incertitudes sur les dimensions, exploiter d'abord le tableur de la TI92 pour l'exploration numérique des variations, un tracé des nuages de points associés en passant dans le module statistique et l'utilisation de régressions linéaires pour rendre compte des quasi-alignements constatés, puis une mise en rapport de cette linéarisation statistique et de l'approximation fournie par la tangente, en exploitant cette fois les applications graphiques et de calcul formel. Une telle situation sera expérimentée en 1997-98.

Le déroulement de la deuxième phase de cette première séance est globalement conforme aux prévisions. Le jeu construit entre prévisions et vérifications, travail papier/crayon et travail machine, dans le cadre graphique ou formel, semble fonctionner correctement pour la grande majorité des élèves. On notera cependant la perturbation créée par le choix de la fonction $f$ définie par $f(x)=|-3x+5|$ au lieu de la fonction de référence valeur absolue. On retrouve ici les difficultés bien connues des élèves avec la gestion des valeurs absolues. Les élèves rencontrent aussi à cette occasion la première situation de non dérivabilité avec existence de demi-dérivées à droite et à gauche. Leurs réactions, dans cette situation, semblent montrer, au moins chez certains, le repérage rapide d'une configuration graphique qui pose problème mais de façon très floue. L'association fonction dérivable en un point / fonction dont le graphe est localement presque affine, ne semble pas opérationnelle pour statuer dans ce cas. On peut penser que la difficulté est ici renforcée par le fait que le graphe est affine par morceaux. La mise en place de la notion de dérivée a exploité cette caractéristique mais surtout dans une perspective de questionnement de représentations graphiques. On n'a à aucun moment institutionnalisé cette image graphique de la dérivabilité en tant que telle. Même si l'on réserve à une phase ultérieure l'introduction de l'approximation affine, il nous semble nécessaire a posteriori d'être plus attentif dès la première phase à la mise en place de cette visualisation de la dérivabilité et de l'exploiter ensuite systématiquement à l'occasion de la gestion des exemples dans la deuxième phase, pour installer un contrôle graphique par zoom de la dérivabilité en un point.<fnref n="6" />

<footnote n="6">⁶ Nous savons bien que ce contrôle n'est pas parfaitement fiable (cf. les exemples fournis par A.Deledicq et M.Diener dans (Deledicq & Diener, 1989) mais, dans ce premier contact avec les dérivées, il nous semble tout à</footnote>
Soulignons que les entretiens réguliers menés avec six élèves en 1996-97 montreront que très peu d'élèves construiront spontanément ce type de contrôle graphique de la dérivée. Comptementu des fonctions rencontrées et travaillées, c'est plutôt la liaison continuité-dérivabilité, avec l'exception des demi-tangentes verticales associées à la fonction racine carrée qui s'installera.

A la fin de la séance, l'enseignante décide de donner à étudier hors classe, pour la séance suivante, une autre fonction avec des valeurs absolues, du second degré cette fois. Comme le montre la reprise dans la seconde séance, l'étude menée pour $|-3x+5|$ dans la première séance n'a pas suffisamment armé les élèves pour faire face à l'augmentation de complexité, même avec l'aide de la calculatrice. Ceci était a priori prévisible, si l'on envisage le détail des calculs et de l'argumentation à développer pour résoudre de façon satisfaisante le problème posé. En revanche, le repérage des points de non-dérivabilité ne semble plus ici poser problème, la situation étant de ce point de vue visiblement rapprochée de la situation précédente. En fait, l'enseignante ne se contente pas dans cette situation d'effectuer le travail mathématique nécessaire à la résolution. La situation est travaillée également dans le cadre géométrique, en faisant appel aux deux paraboles naturellement associées à la fonction $f$ et à des arguments de symétrie, la propriété de tangence étant implicitement considérée comme une propriété conservée par symétrie. Cette volonté d'associer le cadre géométrique au travail d'analyse se retrouve d'ailleurs lors de l'étude de la fonction racine carrée puisque c'est via le cadre géométrique que s'effectue la première preuve de la conjecture sur la tangente. Ces interactions avec le cadre géométrique sont ici à la charge de l'enseignante, sans faire l'objet d'une dévolution particulière en direction des élèves. En revanche, on notera que ces derniers participent sans difficultés au jeu collectif qui s'établit ainsi. Le jeu entre travail papier crayon et travail machine nous semble, lui, moins convaincant que dans la première séance, notamment pour l'exemple de la fonction valeur absolue. Il apparaît après les 30mn de travail sur cet exemple, comme une excroissance un peu gratuite et on le sent d'ailleurs à l'atmosphère de la classe. Pour la fonction racine carrée, le cas est différent, le travail a été plus court et la technique utilisée, invisible dans la production de la machine, a d'autre part valeur de méthode.

La dernière fonction introduite est gérée assez rapidement comme prévu dans le scénario : il ne s'agit pas ici d'en faire une étude « sérieuse », il s'agit simplement d'introduire l'idée que les exemples rencontrés ou qui seront rencontrés au cours de cette première année de travail avec les dérivées ne sont pas les seuls exemples possibles de non-dérivabilité, que des situations beaucoup plus complexes peuvent se produire.

L'introduction de la fonction dérivée, comme l'on pouvait raisonnablement s'y attendre se fait sans poser de problème particulier. On notera cependant le flottement qui se produit lorsque les élèves ont à effectuer des prévisions sur les fonctions affines. Pour de telles fonctions, on peut penser que l'image de la tangente superposée avec le tracé de la représentation graphique en tout point peut induire l'idée que la fonction et sa dérivée coïncident aussi et contribuer au flottement constaté.

En résumé, on voit là une partie du scénario qui semble opérationnelle, même si elle est encore susceptible d'améliorations. Le temps qui lui est consacré ici peut-être aisément réduit, si l'on rencontre des contraintes plus strictes. Il suffit pour cela, par exemple, de se limiter comme le prévoyait le scénario initial à la fonction de référence valeur absolue au lieu de

<footnote>fait inutile de soulever ce type de problèmes et plus important d'ancrer une image graphique robuste et opérationnelle de la dérivabilité en un point.</footnote>
s'engager dans l'étude de fonctions plus complexes. Il est clair que si l'on se limite à cette dernière, l'identification des équations des demi-droites qui constituent le tracé, ne posera pas les mêmes difficultés. En revanche, le problème d'interprétation de la fonction *sign* demeure. Le recours au cadre géométrique n'avait pas été prévu dans le scénario mais la perspective ainsi introduite nous semble tout à fait intéressante et viable a posteriori.

Le lecteur trouvera en annexe le résumé de cours distribué aux élèves à l'issue de la première expérimentation de ce scénario.
# Annexe 3 : Résumé de cours sur les dérivées

## DERIVEES

### I Étude locale de deux fonctions.

a) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 2$.

On se propose de faire une étude locale de $f$ au voisinage du point A d'abscisse 1 et en particulier d'essayer d'approcher la courbe représentative de $f$ par une droite. Pour cela, on considère une sécante (AM) à la courbe et on regarde ce qui se passe quand M " tend " vers A.

<figure><img src="image_174.png" /></figure>

<figure><img src="image_175.png" /></figure>

<figure><img src="image_176.png" /></figure>

<figure><img src="image_177.png" /></figure>

Quand M est en A la sécante n'existe plus ("undef" pour son coefficient directeur), mais cette droite a-t-elle une position limite quand M tend vers A, et quel est alors le coefficient directeur de cette droite " limite " ?

L'étude graphique à partir du module géométrie de la TI, nous amène à penser que la droite qui nous intéresse à un coefficient directeur voisin de 2. On va donc utiliser le module graphique de la machine, en traçant :

- la courbe représentative de la fonction,

- trois droites passant par A, celles de coefficients directeurs 1,9 ; 2 et 2,1.

<figure><img src="image_178.png" /></figure>

<figure><img src="image_179.png" /></figure>
Des zooms successifs centrés en A ne nous permettent pas de choisir la droite " la plus proche de la courbe ". Il apparaît donc nécessaire de définir un critère pour pouvoir choisir la droite.

Pour cela, $M_h$ étant le point de la courbe d'abscisse $1+h$, $P_h$ point de la sécante d'abscisse $1+h$ ($h \neq 0$), on va calculer $\overline{P_h M_h}$ et étudier pour chacune des droites la limite de $\overline{P_h M_h}$ quand $h$ tend vers 0.

<table><thead><tr><td>Coefficient directeur</td><td>P&#773;<sub>h</sub>M&#773;<sub>h</sub></td></tr></thead><tbody><tr><td>1,9</td><td>h<sup>2</sup> - h/10</td></tr><tr><td>2</td><td>h<sup>2</sup></td></tr><tr><td>2,1</td><td>h<sup>2</sup> + h/10</td></tr></tbody></table>

Dans les trois cas la limite en 0 de $\overline{P_h M_h}$ est 0.

On va donc chercher s'il y en a une qui " tend plus vite vers 0 " que les autres.

Pour cela, on cherche la limite du rapport $\frac{\overline{P_h M_h}}{h}$ en 0.

Parmi les trois droites étudiées, seule celle de coefficient directeur 2 fournit une limite nulle.

Est-ce la seule ? Peut-on trouver une autre droite de coefficient directeur m pour laquelle

$$ \lim_{h \to 0} \frac{\overline{P_h M_h}}{h} = 0 ? $$

On fait les calculs à la main, puis avec la machine :

<figure><img src="image_180.png" /></figure>

<figure><img src="image_181.png" /></figure>

et on trouve que :

$$ \lim_{h \to 0} \frac{\overline{P_h M_h}}{h} = 0 \text{ si et seulement si } m = 2 $$

On va donc retenir que, au voisinage de $x = 1$ :

Les droites passant par A et de coefficients directeurs 1,9 ; 2 ; 2,1 et peut-être d'autres sont " proches " de la courbe représentative de f,
La seule droite passant par A pour laquelle $\overline{\frac{P_h M_h}{h}}$ est négligeable devant h, c'est à dire $\lim_{h \to 0} \overline{\frac{P_h M_h}{h}} = 0$ est celle de coefficient directeur 2.

Cette droite particulière, est appelée **tangente** en A à la courbe représentative de f.

Ce nom de tangente fait penser à la tangente à un cercle. On connaît ses propriétés. Il semble normal de chercher dans le cas que l'on vient de rencontrer quels sont les points d'intersection de cette "tangente" avec la courbe représentative de f.

Pour cela, de façon classique, on résout le système formé par $x^2 - 2 = 2(x - 1) - 1$ et l'équation de la courbe et celle de la droite.

$$x^2 - 2x + 1 = 0$$

On trouve que la tangente "coupe" la courbe en deux points $(x-1)^2 = 0$ confondus.

$$b) \text{ Etude de la fonction définie sur } \mathbb{R} \text{ par } f(x) = \frac{x^3 - 6x}{4} \text{ au voisinage de 2}$$

On procède comme pour la première fonction.

<figure><img src="image_182.png" /></figure>

Il semble cette fois que ce soient les droites dont le coefficient directeur est proche de 1,5 qui soient susceptible de convenir.

L'étude avec le module graphique et numérique ne permet pas davantage de trancher,

<figure><img src="image_183.png" /></figure>

On fait de nouveau les calculs de $\overline{\frac{P_h M_h}{h}}$, cette fois avec la machine,
<figure><img src="image_184.png" /></figure>

<figure><img src="image_185.png" /></figure>

La **seule droite** pour laquelle $\overline{P_h M_h}$ est **négligeable devant h**, c'est à dire $\lim_{h \to 0} \overline{P_h M_h} = 0$ est celle de coefficient directeur $\frac{3}{2}$. C'est par définition la tangente en A à la courbe.

Quelles sont les intersections de cette tangente avec la courbe ?

<figure><img src="image_186.png" /></figure>

<figure><img src="image_187.png" /></figure>

Comme précédemment la tangente " coupe " la courbe en deux points confondus en A mais elle recoupe la courbe en un autre point d'abscisse -4

c) Etude de cette même fonction au voisinage de 0.

Cette fois, la courbe "traverse" sa tangente au point d'abscisse 0.

## II Définition de la dérivabilité en un point a.

Soit f une fonction, définie en a et sur un intervalle ouvert contenant a

<figure><img src="image_188.png" /></figure>

On trace la droite (D_m) de coefficient directeur m passant par le point A d'abscisse a de la courbe représentative de la fonction f,

On trace la droite (AM_h) pour M_h point de la courbe d'abscisse a+h,

Soit P_h le point de (D_m)d'abscisse a+h,

Si $\overline{P_h M_h}$ est négligeable devant h, on dit alors :

- que la droite de coefficient directeur m est tangente à la courbe (C) en A

- que la fonction f est dérivable en a et que son nombre dérivé en a est m.
dire que $\overline{P_h M_h}$ est négligeable devant h signifie que $\lim_{h \to 0} \frac{\overline{P_h M_h}}{h} = 0$

$$ \overline{P_h M_h} = f(a+h) - (f(a) + m h) $$

Les 3 expressions suivantes sont équivalentes

$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - (f(a) + m h)}{h} = 0 $$

$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} - m = 0 $$

$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = m $$

## Définition 1

Soit f une fonction, définie en a et sur un intervalle ouvert contenant a

Si le quotient $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ a une limite finie $m$ lorsque h tend vers 0, alors on dit que la fonction f est dérivable en a ; $m$ est appelé nombre dérivé de f en a.

* S'il existe, le nombre dérivé $m$ est le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe

* Le coefficient directeur de la tangente en A est la limite quand h tend vers 0 du coefficient directeur de la sécante (AM$_h$) : en effet $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ est le coefficient directeur de la sécante (AM$_h$)

* La tangente en A d'abscisse a à la courbe représentative de la fonction est la droite d'équation $y = m(x - a) + f(a)$

* La tangente est un phénomène local. La tangente en A et la courbe ont en commun **au minimum** le point A compté 2 fois, - Il peut y avoir d'autres points communs, la courbe peut traverser sa tangente en A, et dans ce cas A est compté un nombre impair de fois, minimum 3.

Fonction racine carrée

<figure><img src="image_189.png" /></figure>

La tangente au point d'abscisse 1 ne recoupe pas la courbe.

$$ f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x $$

<figure><img src="image_190.png" /></figure>

La tangente au point d'abscisse -2.1 recoupe la courbe au point d'abscisse -2.

$$ f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x $$

<figure><img src="image_191.png" /></figure>

La tangente au point d'abscisse 0 traverse la courbe en ce point.
## Approximation affine.

Si on pose $\frac{P_h M_h}{h} = \varphi(h)$, on obtient $f(a+h) = f(a) + m h + h \varphi(h)$

* $f(a)+ m h$ est une approximation affine de $f(a+h)$ au voisinage de $a$. C'est celle pour laquelle la différence avec la valeur de la fonction est négligeable devant $h$.

## Définition 2

Soit $f$ une fonction, définie en $a$ et sur un intervalle ouvert contenant $a$
S'il existe un nombre réel $m$ et une fonction $\varphi$ tels que :

$f(a+h) = f(a) + m h + h \varphi(h)$ avec $\lim_{h \to 0} \varphi(h) = 0$, alors $f$ est dérivable en $a$ et son nombre dérivé est $m$.

## III Quelques exemples de recherche de nombre dérivé en $a$.

<table><thead><tr><th>La fonction.</th><th>Son nombre dérivé en a.</th></tr></thead><tbody><tr><td>$f(x) = x^2$</td><td>2a</td></tr><tr><td>$f(x) = -3x + 5$</td><td>-3<br>La tangente est confondue avec la droite.</td></tr><tr><td>$f(x) = \frac{1}{x}$</td><td>pour $a \neq 0$<br>$-\frac{1}{a^2}$</td></tr><tr><td>$f(x) = \sqrt{x}$</td><td>pour $a > 0$<br>$\frac{1}{2\sqrt{a}}$</td></tr><tr><td>$f(x) = |-3x + 5|$</td><td>Pour $a < \frac{5}{3}$<br>-3<br>Pour $a > \frac{5}{3}$<br>+3<br>Pas dérivable en $\frac{5}{3}$</td></tr></tbody></table>

## IV Dérivabilité à gauche et dérivabilité à droite

* Soit $f$ une fonction, définie en $a$ et sur un intervalle $[a ; b]$, avec $b$ différent de $a$.

Si le quotient $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ a une limite finie $m$ lorsque $h$ tend vers 0 en étant positif, alors on dit que la fonction $f$ est dérivable à droite en $a$ ; $m$ est appelé nombre dérivé à droite de $f$ en $a$.

* Soit $f$ une fonction, définie en $a$ et sur un intervalle $[b ; a]$, avec $b$ différent de $a$.

Si le quotient $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ a une limite finie $m$ lorsque $h$ tend vers 0 en étant négatif, alors on dit que la fonction $f$ est dérivable à gauche en $a$ ; $m$ est appelé nombre dérivé à gauche de $f$ en $a$.
V_Cas de non dérivabilité en a.

• f pas définie en a

* f dérivable à gauche en a et à droite en a mais nombres
dérivés à gauche et à droite différents.

$$
f(x) = |x^2 - 5x + 4|
\text{pour } a = 1
$$

Deux demi-tangentes.

<figure><img src="image_192.png" /></figure>

* le rapport $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ a une **limite infinie** quand h tend vers 0 (resp. une **limite infinie** à droite ou à gauche)

Une tangente parallèle à l'axe des ordonnées (resp. une
demi-tangente parallèle à l'axe des ordonnées.

$$
f(x) = \sqrt{x}
\text{pour } a=0
$$

Une demi- tangente parallèle à l'axe des ordonnées.

<figure><img src="image_193.png" /></figure>

* le rapport $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ n'a pas de **limite** quand h tend vers 0

$$
f(x) = x \sin\left(\frac{1}{x}\right) \text{ si } x \neq 0 \text{ et } f(0) = 0
\text{pour } a = 0
$$

Pas de tangente en A.

<figure><img src="image_194.png" /></figure>
# Chapitre 3
## Ingénierie : propriétés et applications des limites et dérivées

A la suite de l'introduction des limites et des dérivées présentée au chapitre précédent, l'algèbre des limites et des dérivées va se mettre en place, en faisant cette fois fonctionner la commande de dérivation formelle en boîte noire. Nous présentons deux séances de l'ingénierie correspondante dans le premier paragraphe de ce chapitre (ingénierie 4). Elles visent à faire travailler les élèves sur les principes et règles du calcul symbolique des limites et des dérivées, et préparent l'utilisation de ces notions pour les études de fonctions.

La phase suivante de l'ingénierie aborde la question du lien entre signe de la dérivée et sens de variation de la fonction. Elle ne fait pas l'objet d'une présentation de situations dans ce rapport. Nous donnons ici quelques indications sur son déroulement. Il est prévu de partir des fonctions affines et du lien connu pour ces fonctions entre sens de variation et signe du coefficient directeur, puis de passer aux fonctions du second degré mises sous forme canonique, pour lesquelles le sens de variation a également été déjà déterminé avec des moyens purement algébriques. Les conjectures issues de ces deux cas particuliers sont ensuite mises à l'épreuve sur des fonctions plus complexes pour lesquelles sont données des reproductions de tracés machine de la fonction et de la dérivée. Le théorème liant sens de variation et signe de la dérivée est ensuite admis comme le prévoient les programmes. Pour lui donner sens, on revient à la visualisation de la dérivabilité en un point introduite initialement, qui permet de voir dans le cas général une généralisation du cas affine. Ce travail se poursuit par une tâche d'association entre graphes de fonctions et graphes de dérivées, les choix étant effectués pour prendre en compte les différentes valeurs possibles des variables en jeu dans l'association et présenter des associations erronées mais tentantes. Il se termine enfin par une tâche de production de tracé de fonction dérivée pour une fonction donnée par sa représentation graphique.

Puis, l'interprétation cinématique de la notion de dérivée est abordée. Deux situations sur ce thème sont présentées dans le second paragraphe de ce chapitre (ingénierie 5). L'interprétation cinématique se fait bien après l'introduction de la notion de dérivée, et postérieurement au calcul symbolique des fonctions dérivées. C'est l'occasion de remettre en scène le caractère local de la dérivée en un point, dont on pense qu'il s'est effacé derrière le caractère global de la fonction dérivée. La notion de vitesse permet aussi de faire le lien entre le coefficient directeur de la tangente et le nombre dérivé, et donc de préparer l'étude du sens de variations.

La dimension « outil » de la notion de dérivée se développe ensuite avec l'étude de situations fonctionnelles diverses : un problème d'optimisation, le problème de la cuve (exposé dans le chapitre I) et un problème de recherche de fonctions sous contraintes, le problème du raccord de tuyaux, que nous exposons dans le troisième paragraphe (ingénierie 6) de ce chapitre.
I did not find any text in the image.

This image does not contain any text.

I did not find any text in the image.
# INGENIERIE 4.
## Propriétés algébriques des limites et dérivées

Nous commençons par présenter les notions. Puis nous examinons comment l'introduction d'un instrument de calcul symbolique s'insère dans l'apprentissage. Pour chacune des séances, nous exposons les choix qui ont présidé à la mise en place, une observation et un bilan. Les observations ont été ici réalisées dans la classe de Caen (Classe B).

### A. Les notions

#### Limites

Comme nous l'avons vu au chapitre précédent, les concepts d'analyse combinent de nombreux aspects dans une même symbolique. Parmi ces aspects, on retrouve dans les différents concepts deux aspects généraux : le même symbole représente à la fois le résultat d'un processus et un objet sur lequel des calculs sont possibles.

Ainsi (Monaghan, 1994), $\lim_{x \to a} f(x)$ peut être conçu comme « un processus dynamique d'approche d'une valeur donnée », et aussi comme une expression algébrique dépendant de $a$. Le processus d'approche donne un sens à la notion, mais il faut le dépasser pour traiter les entités de l'analyse comme des quantités algébriques. Cette nécessité est visible par exemple dans la situations 5 de l'ingénierie sur les limites du chapitre précédent.

Dans l'ingénierie du chapitre précédent, différentes situations numériques, graphiques et algébriques ont été présentées, permettant d'introduire la notion de limite. Il s'agit maintenant de traiter les limites comme des entités algébriques. Dans les programmes actuels de la classe de Première scientifique, l'introduction de la notion de limite est l'objet de la rubrique « le langage des limites ». L'algébrisation des limites est traitée dans la rubrique « Enoncés usuels sur les limites » et comprend des énoncés sur les opérations algébriques et sur la comparaison des fonctions. Il est précisé que ces énoncés sont admis (sans démonstration) et que « toute règle relative à des cas d'indétermination est hors programme ».

Dans la pratique, les élèves auront à calculer les limites de fonctions dans les études de variations. Pour cela, ils disposent du répertoire de fonctions de références dont les limites sont connues à partir de l'étude menée dans la rubrique « le langage des limites ». Les propriétés de conservation des opérations algébriques sont appliquées de façon naturelle quand elles ne conduisent pas à un cas d'indétermination.

Par exemple, il est clair que, puisque $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^4}\right) = \infty$ et $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^2}\right) = \infty$, alors :

$$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^4} + \frac{1}{x^2} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^4} \right) + \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} \right) = \infty $$

Par contre, $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^4} - \frac{1}{x^2}\right)$ suppose un raisonnement passant par une factorisation :
$$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^4} - \frac{1}{x^2} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^4} (1 - x^2) \right) = \infty, \text{ car } \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^4} \right) = \infty \text{ et } \lim_{x \to 0} (1 - x^2) = 1 \text{ ou la mise en œuvre de la « croissance comparée » : } \frac{1}{x^4} \text{ « tend plus vite » vers l'infini que } \frac{1}{x^2}. $$

## Dérivation

Les différents points de vue liés à la dérivation ont été présentés au chapitre précédent. Il s'agit ici de développer le point de vue algébrique par lequel la dérivation prend l'aspect d'une opération sur un ensemble des fonctions. Les dérivées des fonctions de référence sont connues à partir du calcul de nombres dérivés sous forme algébrique. On a ainsi un « tableau des dérivées » qui sert de référence. Les dérivées des autres fonctions, polynômes, fractions rationnelles, trigonométriques sont obtenues à l'aide de règles symboliques de transformation. Ces règles concernent en premier lieu les sommes, produits et quotients de fonctions, et, en second lieu, la composition des fonctions.

Le programme actuel limite les applications de ces règles à « des exemples ne présentant aucune complication technique » et précise que la composition des fonctions est abordée seulement dans le cas de la dérivée de $x \to f(ax + b)$.

Les séances d'introduction du nombre dérivé et de calcul des dérivées des fonctions de référence ont été exposées au chapitre précédent. Dans ce chapitre, nous allons exposer une séance consacrée au calcul symbolique des dérivées.

# B. L'intervention d'un instrument de calcul symbolique

## Pertinence des techniques

Le calcul des limites et des dérivées est un domaine d'application du calcul symbolique. Utilisant des règles, les logiciels et calculatrices peuvent donner les limites et dérivées des fonctions usuellement étudiées dans les classes du secondaire. La question de la pertinence des pratiques « papier/crayon » dans ce domaine peut donc se poser. Comme dans d'autres cas où cette question se pose, elle n'est pas véritablement tranchée : au baccalauréat, la TI92 est actuellement autorisée, mais on exigera de l'élève qu'il restitue les étapes d'un calcul de dérivée « comme s'il l'avait fait à la main ». Nous pensons pour notre part que les techniques (au sens de Chevallard, 1991) mises en œuvre par les élèves pour le calcul « papier/crayon » des limites et dérivées sont des connaissances utiles pour accéder aux théories (Lagrange, 1997). En ce sens, il est aussi important qu'ils apprennent à « se faire aider » de la TI92 pour les parties les plus calculatoires, pour vérifier tout en gardant la maîtrise de leur calcul.

Par ailleurs, nous avons montré au chapitre précédent l'importance de ne pas considérer d'emblée les notions de limite et de dérivée à partir des résultats donnés par un système de calcul symbolique comme le module HOME de la TI92, si l'on veut donner un sens autre que formel aux concepts. Après les phases d'introduction, il devient certes légitime d'utiliser cet artefact pour obtenir des valeurs de limites et de dérivées, dans la mesure où les élèves peuvent donner un sens à ces valeurs. Mais, ici aussi, des précautions doivent être prises. En effet, si l'on ne fait pas interagir les différents aspects du concept, il risque de prendre sa signification seulement dans le contexte le plus accessible, c'est-à-dire celui où l'élève utilise le calculateur symbolique pour obtenir les réponses. Monaghan (1994) montre par exemple que des élèves utilisateurs de DERIVE voient le concept de limite seulement comme résultat
donné par ce logiciel, et éliminent l'aspect infinitésimal du concept. De la même manière,
dans l'expérimentation qui fait l'objet de ce rapport, nous avons rencontré dans les entretiens
(partie III) des élèves ne sachant plus donner des limites comme $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x}\right)$ sans utiliser leur
TI92.

L'objectif des séances présentées dans l'ingénierie est donc que les élèves utilisent la TI92 comme calculateur symbolique, tout en ayant une réflexion sur les règles formelles qui permettent de développer des techniques de calcul sans TI92, et en restant suffisamment proche de la signification mathématique des concepts, pour que la réflexion ne soit pas seulement de nature formelle.

Types de tâches

Les tâches qui paraissent appropriées à cet objectif consistent soit à généraliser à partir d'exemples de calculs exécutés par la TI92, soit à comparer une anticipation de l'élève au résultat donné par la TI92. Dans les deux types de tâches, les exemples peuvent être des fonctions explicites (par exemple $x \to x^2 - 3$) ou des fonctions abstraites (par exemple $x \to f(ax)$), ou une combinaison des deux (par exemple $x \to \frac{f(x)}{x^2 - 3}$). Ils peuvent être fournis par le professeur ou construits par les élèves.

Le premier type de tâche (observation, généralisation) peut conduire à l'explicitation de règles dégagées sur des exemples et/ou à leur mise en œuvre sur d'autres exemples. La réflexion sur les concepts en jeu intervient pour fonder la généralisation. Dans le second type de tâche (anticipation, comparaison) on suppose que des « règles en acte » sont construites spontanément par les élèves et que la comparaison aux résultats de la TI92 permettra de les adapter. La réflexion intervient notamment lorsque des divergences sont constatées entre l'anticipation et le résultat de la TI92.

Pozzi (1994) a étudié le travail d'élèves confrontés au premier type de tâche. Il s'agissait de découvrir les règles de dérivation des produits et des quotients. Il montre les difficultés rencontrées par les élèves quand ils essaient de raisonner sur un plan seulement « syntaxique ».

Par exemple, calculant à l'aide de DERIVE la dérivée du produit $x \to \cos(x)(7x^3 + 2x)$, les élèves obtiennent l'expression $(21x^2 + 2)\cos(x) - x(7x^2 + 2)\sin x$ et restent bloqués parce qu'ils ont repéré dans cette expression une partie centrale $\cos(x) - x(7x^2 + 2)$ qu'ils trouvent très proche de la fonction initiale. Leur manque de connaissances algébriques, en particulier leur inattention vis à vis du parenthésage, est un handicap pour franchir cet obstacle. L'auteur montre que les élèves peuvent accéder à un niveau « sémantique », dans la recherche d'une règle de dérivation des quotients. La forme donnée par DERIVE aux dérivations, où les traits de fraction isolent les sous-expressions, l'incitation du professeur à utiliser des exemples incluants des fonctions abstraites, leur permettent une meilleure réflexion sur la forme des dérivations obtenues.

L'étude de Pozzi montre que tous les exemples et tous les résultats de DERIVE ne sont pas équivalents quant à la réflexion qu'ils produisent chez les élèves. Il montre aussi que dans le
cas de la dérivation, la réflexion est de nature algébrique. Le situations qui ont donné son sens
à la notion de dérivée sont difficilement présentes.

Contraintes de l'environnement technologique

Certaines contraintes conditionnent les exemples que les élèves peuvent expérimenter. Par exemple, la TI92 ne simplifie pas les limites de fonctions abstraites. Le travail sur les limites devra donc se faire sur des fonctions explicites

<figure><img src="image_195.png" /></figure>

La TI92 dérive les sommes, produits et quotients de fonctions abstraites :

<figure><img src="image_196.png" /></figure>

On s'aperçoit cependant sur le cas du quotient et de l'exponentiation que les formes obtenues peuvent être différentes des formes habituelles.

<figure><img src="image_197.png" /></figure>

La TI92 ne dérive pas les fonctions composées abstraites du programme $x \to f(x+k)$ et $x \to f(k \cdot x)$

<figure><img src="image_198.png" /></figure>

Plus que d'absence de capacité de calcul, il s'agit semble-t-il, de contraintes d'expression de la notation $\frac{\partial}{\partial x}$ adoptée pour la dérivation. En effet, si la composée d'une fonction $f$ et de la fonction $x \to k \cdot x$ s'exprime comme la fonction $x \to f(k \cdot x)$, il n'y a pas de moyen d'exprimer la composée de la fonction dérivée de $f$ et de la fonction $x \to k \cdot x$.

Sur le plan du travail des élèves, ce phénomène est dangereux : il est apparu dans une séance de la première année d'expérimentation que les élèves ne parvenaient pas à interpréter les résultats de la TI92 comme le retour de la fonction de départ. Ils interprétaient ce résultat par transcription de la notation $\frac{\partial}{\partial x}$ dans la notation « prime ». Cette transcription fonctionnait dans presque tous les cas qui leur étaient présentés, y compris le cas "composé" $f(k+x)$. Elle était fausse seulement dans le cas $f(kx)$. Nous avions noté qu'il y avait tous les éléments d'une "misconception", qui pouvait avoir des conséquences jusque dans l'application pratique de la règle de dérivation de $f(kx)$. Des incompréhensions profondes demeuraient de plus sur la nature de la différence de notation de la dérivée sur la TI92 et en papier/crayon.
### C. SITUATION 1: Le passage à la limite dans les opérations algébriques

L'objectif dans le cas des limites est que les élèves reconnaissent d'une part les propriétés "naturelles" de conservation des opérations et d'autre part les cas d'indétermination où ces propriétés ne peuvent s'appliquer.

Le type de tâches est le premier cité ci-dessus : observation d'exemples, puis généralisation. Le but est que l'élève conçoive les cas d'indétermination comme limitation des généralisations, et qu'il puisse faire référence à des exemples pour que les cas simples d'indétermination et leur traitement soient disponibles. La justification mathématique n'est pas oubliée : l'élève est invité à trouver les raisons tenant aux propriétés des fonctions qui peuvent justifier la propriété de façon générale, ou le traitement du cas d'indétermination.

La capacité de la TI92 à donner les limites de fonctions explicites est mise à contribution pour l'obtention des exemples. Souhaitant que les élèves étudient de nombreux exemples, nous faisons le choix d'utiliser l'éditeur de données (DATA EDITOR) de la calculatrice pour automatiser les calculs et préparer la présentation des résultats.

Dans une expérimentation menée la première année la possibilité avait été donnée aux élèves de faire varier le point auquel les limites sont calculées. Cela permettait de multiplier les exemples, mais, malgré l'utilisation de l'éditeur de données, cela donnait une trop grande complexité. D'une part, le pilotage de la TI92 devenait difficile, d'autre part, les connaissances sur les fonctions de référence devenaient vraiment instables quand on variait le point où est prise la limite. C'est pourquoi nous choisissons d'étudier seulement des limites en zéro, et nous évitons de proposer des exemples où les limites par valeur supérieure et par valeur inférieure ont distinctes.

### Les choix pour la séance de travaux dirigés

Sur un plan technique, nous compensons une difficulté relative à la machine apparue dans la première expérimentation : l'éditeur se bloquait lorsque l'élève tentait de rajouter des fonctions dans l'éditeur. Pour éviter cela, nous faisons remplir dans une phase préliminaire les deux colonnes de données de zéros en nombre suffisant. Ainsi, il n'y aura plus ajout de fonctions nouvelles, mais remplacement, ce qui ne bloque pas l'éditeur. La méthode est donnée dans le « Point technique préparation de la machine » en première page du polycopié élève (annexe 1).

Nous faisons aussi le choix de conduire les élèves progressivement vers la production et l'exploitation de leurs propres exemples. En effet, l'expérimentation DERIVE nous a montré que le passage à un fonctionnement mathématique dans les phases de recherche suppose que l'élève soit à même de mener une expérimentation autonome. C'est pourquoi nous prévoyons trois phases où la dévolution à l'élève de la production d'exemples et de l'utilisation de l'éditeur de données, ainsi que le passage à la réflexion mathématique se font progressivement.

#### • Première phase (dirigée) : limites de sommes.

Dans cette phase, le professeur dirige les élèves pour l'entrée de fonctions dans l'éditeur de données (Cf annexe 1 ci-dessous). Les fonctions sont données par le professeur. Les élèves ont à remplir un tableau de propriétés préparant une synthèse collective.
Puis ils ont à construire un nouveau tableau d'exemples illustrant chacun des cas. Ce travail est préparé dans les deux premiers tableaux de la page 2 du polycopié (annexe 2).

## Seconde phase (recherche autonome) : limites de produits.

Cette fois, les élèves ont à trouver eux-mêmes les différents cas et les exemples associés.

La synthèse portera sur l'exhaustivité des cas. Ce travail est préparé dans les troisième et quatrième tableaux de la page 2 du polycopié.

## Troisième phase (raisonnement puis vérifications) : limites de quotients

Les élèves auront à anticiper les cas et les propriétés à partir des cas et propriétés vus pour le produit, en transformant le quotient en produit. Ils devront ensuite produire des exemples pour ces différents cas, et, si besoin, les valider à l'aide de la TI92. Ce travail est préparé dans les deux derniers tableaux de la page 2 du polycopié.

## Déroulement

La séance de travail dirigé a été la cinquième séance sur les limites. Elle suit une séance où le calcul des limites avec la TI92 a été introduit pour le calcul d'une limite non accessible aux élèves.

## Première phase (dirigée) : limites de sommes.

### 8h15 Préparation du tableau dans l'éditeur de données

En début de séance le professeur commence par un rappel du sens de variation d'une somme de fonctions, puis il pose le problème de la limite d'une somme de fonctions, puis du produit et du quotient.

Il présente le travail, rappelle que la machine "sait faire les limites" et indique qu'on va utiliser de « DATA EDITOR » qu'il présente comme un "mini-tableur". Il présente la manipulation qui permet de l'éviter. Le problème technique qui se pose dans ce module (polycopié élève page 1).

Il indique comment passer dans le module "éditeur de données", (DATA EDITOR), donnant un nom au tableau ainsi créé. Il guide les élèves pour remplir les colonnes de zéros à l'aide de la liste définie précédemment.

### 8h30

Il indique comment remplir la ligne de titre, le "décor".

Il vérifie auprès des élèves que le format des colonnes permet de voir les cinq colonnes (f, g, lim f, lim g, lim f+g). Il indique qu'on doit obtenir le même tableau que dans le polycopié, et rappelle la commande "diamant f" pour le format des colonnes.

A 8h 40, la préparation du tableau est terminée. Il y a quelques difficultés techniques d'entrée des formules. Certains élèves ont des erreurs "Dimension mismatch", comme si on n'avait pas fait le remplissage par des zéros. Bizarrement, certaines colonnes sont de longueur 20, et d'autres de longueur 19. Le professeur corrige sur les calculatrices en rajoutant des zéros. Les élèves s'attachent à obtenir le même écran que celui, rétroprojeté, du professeur.

Le professeur écrit les fonctions au tableau (Voir annexe 1 ci-dessous).
Les élèves vont vite et à 8h 50, les fonctions sont entrées.

<figure><img src="image_199.png" /></figure>

## 8h52. Réflexion sur le tableau obtenu

Les élèves recopient le tableau de leur calculatrice vers la page 1 de leur polycopie. Le professeur demande d'abandonner cette recopie, de passer à la feuille suivante du polycopie et annonce qu'on "va réfléchir".

Il demande de remplir le tableau du haut de la page 2. "Est-ce que à la lumière de ces exemples (obtenus sur la calculatrice), on est capable d'obtenir un certain nombre de règles ?". Il amorce le remplissage du tableau en collectif. Il obtient des élèves la règle $L + L'$ et l'exemple correspondant. Case à case, il demande les exemples du tableau. Mais pour $+ \infty + L$, il n'y a pas d'exemples, et une élève en fabrique un à partir de $- \infty + L$.

Sur la dernière case $(+ \infty, - \infty)$, le débat s'engage spontanément. "Après c'est $+ \infty$", dit une élève. "Ben, non, pas forcément, répondent deux garçons, il y a $- \infty$ ou $+ \infty$" "Ou même 1", dit un autre.

Le professeur demande "Dernier cas, qui propose une réponse ?". Il répond lui même : "Les trois dernières cases sont contradictoires" et fait repréciser les trois réponse trouvées. Il fait remarquer que la machine n'a pas donné "undef", mais qu'on ne peut avoir de règle, et fait porter un point d'interrogation dans le tableau. Il précise "qu'il faudra bien apprendre comment conclure", mais que c'est "une autre étape".

## 9h05 Production d'exemples sur la somme

Le professeur demande de remplir le second tableau (de la page 2 du polycopie) en "tableau d'exemples". Il précise "pas nécessairement en reprenant les fonctions (entrées dans la calculatrice)".

Il donne 5 minutes.

L'exploitation des traces recueillies (annexe 3) montre que, sur 23 élèves, 4 n'écrivent pas d'exemples, 6 élèves recopient les exemples entrés dans la phase précédente et que 13 élèves créent de nouvelles fonctions, parfois en modifiant les fonctions données ("à la place du 1, tu mets un 2..., à la place de $x^2$, tu mets $x^4$..." dit un élève à son voisin), ou en reprenant des fonctions des séances précédentes. Ils vont à des vitesses très différentes.

Le professeur demande de s'occuper surtout de la dernière colonne $(+ \infty, - \infty)$.

A 9h10, il passe à la synthèse. Il demande des exemples pour $+ \infty, - \infty$, donnant respectivement $\infty, 0, + \infty$.

On obtient le tableau suivant :
<table><tr><td>f</td><td>$\frac{1}{x^2}$</td><td>$\frac{1}{x^2} + 1$</td><td>$\frac{1}{x^2}$</td></tr><tr><td>g</td><td>$\frac{-1}{x^4}$</td><td>$-\frac{1}{x^2} - 1$</td><td>$\frac{x^2 - 1}{x^2}$</td></tr><tr><td></td><td>$-\infty$</td><td>0</td><td>1</td></tr></table>

Les exemples sont données par des filles qui ont fait la tâche très sérieusement (Gloria, le plus souvent).

Le professeur conclue "qu'on peut trouver n'importe quoi". Il demande si on peut trouver 10. Une des filles répond qu'elle peut trouver pour -2 et donne un exemple. Le professeur conclue qu'il n'y a pas de règle, et passe à l'étape suivante.

## Seconde phase : limites de produits.

9h18. Le professeur présente le travail des troisième et quatrième tableaux du polycopié. Il indique qu'on peut ou non se servir de la machine. Il indique de remplacer la somme par le produit dans le "DATA EDITOR" ("décor" et formules).

9h 22. Les élèves travaillent dans un grand silence. Suite à une question d'une élève, le professeur précise qu'il faut s'assurer qu'on a tous les cas, mais que "c'est plus difficile que tout à l'heure".

## Production des élèves

On trouvera ci-dessous en annexe 3 une synthèse des exemples produits par les élèves au cours de cette phase de recherche. Au vu de cette synthèse, on constate que quinze élèves sur vingt trois se sont effectivement investis dans la tâche. La majorité d'entre eux se sert surtout des exemples déjà entrés dans l'éditeur de données pour la somme. Ainsi, il traitent le cas des limites finies, puis un cas de limites infinies ($-\infty \times \infty$).

Dans les cas où une limite est finie et l'autre infinie, ils sont seulement cinq à distinguer selon le signe de la limite finie. Ces 5 élèves sont amenés à produire des exemples non déjà introduits pour la somme. Une seule élève traite tous les cas.

Dans les cas où une limite est infinie et l'autre nulle, seulement deux élèves proposent plusieurs exemples donnant des résultats différents et mettent ainsi en évidence l'indétermination. Sept autres élèves produisent des exemples isolés, en général inspirés des exemples introduits pour la somme.

## 9h 30. Synthèse

Tous les élèves ne sont pas arrivés au bout du tableau. La synthèse est plus animée que d'habitude, les élèves répondent aux questions posées par le professeur.

Pour le cas $\infty \times \infty$, l'exemple donné est $f(x)=\frac{1}{x^2}$ et $g(x)=\frac{1}{x^4}$. Le professeur demande la valeur de ce produit. La réponse est longue à venir. Le professeur essaie en fait de montrer qu'on peut raisonner sans la machine et peu d'élèves comprennent cette démarche.

A partir de ce cas, le professeur fait raisonner sur $+\infty \times -\infty$.
Pour le cas - $\infty$ x 0, les élèves donnent l'exemple $f(x)=\frac{x-1}{x^2}$ et $g(x)=\frac{(x-4)}{\frac{1}{x^4}}$. Ils sont nombreux à conclure à la règle - $\infty$ x 0= 0.

Un élève propose - $\infty$ x 0= -4 et l'appuie par l'exemple $f(x)=\frac{1}{x^4}$, $g(x)=\frac{(x-4)}{\frac{1}{x^4}}$. Le professeur fait calculer le produit, puis la limite de ce produit par raisonnement.
On conclue à - $\infty$ x 0= ?

Il y a ensuite une discussion sur le produit $L x + \infty$. Beaucoup d'élèves ont conclu à + $\infty$ sans distinguer selon le signe de L. Le professeur annonce que ca dépend de L. Il fait référence à ce qui précède pour L=0, puis fait distinguer L>0 et L<0. Des élèves proposent d'en déduire les règles pour L x - $\infty$.

Le professeur demande ensuite si tous les cas ont été envisagés. Il reprend les cas précédents en systématisant.

## Troisième phase : limites de quotients

A 9h40 Le professeur annonce le travail sur le quotient. Il demande de réfléchir "sans la machine", à partir des règles trouvées pour le produit. Les élèves protestent, puis se mettent au travail. En fait cette phase de recherche tourne vite court, le professeur voulant passer à la synthèse pour des contraintes de temps.

A 9h44 il demande les réponses pour $L (>0)/ +\infty$. Certains élèves annoncent + $\infty$, d'autres -$\infty$, et un autre "proche de zéro". On a la même diversité de réponse pour $L (>0)/ -\infty$, et les mêmes quotients avec $L<0$. + $\infty$/ + $\infty$ donnerait 1 ou "proche de 1" ou même 0, et de même + $\infty$/ - $\infty$ donnerait -1. Les élèves annoncent une indétermination pour 0/ + $\infty$.

A 9h52, devant cette confusion, le professeur fait reprendre des exemples, et, avec une partie de la classe, obtient les règles, et les cas d'indétermination. Certains élèves ne suivent plus, mais les autres proposent des exemples de façon active.

Le professeur tente de faire le lien avec le produit ($f/g= f x 1/g$), mais il n'y a pas beaucoup d'écho. Il faudrait pour cela que les élèves aient conscience de la limite de 1/g, en fonction de la limite de g. Le professeur essaie de leur faire voir ces propriétés "Si vous avez trouvé quelque chose de grand, son inverse va être... petit", mais sans beaucoup de succès.

## Phase de conclusion

10 h Le professeur termine en annonçant que les tableaux obtenus sont "à savoir par cœur", c'est-à-dire "à savoir retrouver". Il souligne qu'on peut toujours conclure "sauf dans quatre mauvais cas" qu'il désigne comme "indéterminés". Il énonce les trois cas rencontrés et note que le cas 0/0 n'a pas été envisagé dans l'étude du quotient.

## Bilan et améliorations possibles

Les choix faits pour cette séance de travail dirigé ont permis aux élèves d'entrer effectivement dans le travail de production d'exemples et de réflexion sur ces exemples.
Nous avons fait le choix dans cette séance d'un seul point, fini, et nous avons pris la valeur la plus simple, zéro. En comparant avec la séance organisée l'année précédente, le choix d'un seul point a été déterminant pour la dévolution aux élèves de la production d'exemples.

Les difficultés techniques liées au fonctionnement de l'éditeur de données se sont posées de façon fugitive, mais ont été bien résolues dans cette séance.

La phase dirigée pour l'addition a bien permis aux élèves de s'approprier l'éditeur de données, la notion d'exemple et de règles algébriques. Dans la phase sur la multiplication, on a pu constater que 8 élèves ne travaillent pas ou ne laissent pas de trace. Ce comportement a été observé dans d'autres circonstances et ne semble pas lié aux caractéristiques de l'activité. Les autres adhèrent bien à la tâche de production autonome d'exemples. Cependant peu d'élèves développent leur activité vers la production d'exemples nouveaux. Ceux qui le font sont guidés par la volonté d'explorer tous les cas. Ce sont les plus actifs dans la synthèse qui met en évidence les règles et le cas d'indétermination.

Le travail sur le quotient n'a pas produit les effets escomptés. En fait les élèves ne peuvent pas trouver les règles sur le quotient à partir des règles sur le produit dans les conditions de cette séance. En effet, il y a une rupture par rapport à la tâche antérieure (produire des exemples et réfléchir sur ces exemples) impossible à négocier dans le peu de temps restant. Par ailleurs, nous avions supposées disponibles les propriétés de la limite de l'inverse d'un fonction, ainsi que la conception du quotient comme produit du numérateur par l'inverse du dénominateur.

On aurait pu prévoir de traiter le quotient comme le produit en demandant aux élèves de produire des exemples. Cela aurait comme intérêt de consolider la méthode vue avec le produit.

Si l'on souhaite, comme c'était notre intention, faire travailler sur le quotient à partir des résultats sur le produit, il faudrait davantage de temps, et sans doute aussi que les élèves aient mieux assimilé ces résultats, ainsi que l'équivalence quotient, produit par l'inverse.

## D. SITUATION 2 : Règles de calcul des dérivées.

### Les choix pour la séance de travaux dirigés

Dans une séance expérimentée en 1995-96, nous avions demandé aux élèves d'établir des règles à partir de la dérivation, par la TI92 d'expressions abstraites (par exemple $f(x)+g(x)$), en "transcrivant" l'expression simplifiée lue sur la TI92 de la notation $\frac{\partial}{\partial x}$ à la notation "prime". Il s'agissait donc d'un travail d'observation et de transcription. Dans l'analyse, nous observions que le travail mathématique n'atteignaient pas son objectif :

* les élèves n'exerçaient pas leur esprit critique sur les règles obtenues par transcription (par exemple, la règle de dérivation du produit ne provoquait pas l'étonnement attendu par le professeur, bien qu'elle soit surprenante par comparaison avec la règle sur les limites).

* ils n'apercevaient pas le phénomène d'identité entre l'entrée et le résultat donné par la TI92, phénomène qui se produit pour des formes composées générales telles que $x \to f(x+k)$ et $x \to f(kx)$.
* ils transcrivaient l'expression rendue par la TI92 de la notation $\frac{\partial}{\partial x}$ à la notation "prime" y compris dans le cas des formes composées générales que la TI92 ne simplifie pas. Cette transcription donnait la règle pour les formes générales somme, produit, quotient et pour la forme $f(x+k)$ que la TI92 ne simplifie pas. Elle acquérait ainsi une légitimité, alors qu'elle est illégitime dans ce dernier cas. Dans le cas de $f(kx)$, la transcription donnait $f'(kx)$ ce qui correspond à l'oubli classique du coefficient $k$ dans la dérivation de cette forme. Pour compenser cela, le professeur avait traité deux cas de composition sur des fonctions explicites dans la synthèse. Mais nous avions observé que pour les élèves, les raisons pour lesquelles la transcription ne fonctionne pas restaient très floues. Il y avait donc tous les éléments d'une "mis-conception".

Si l'on compare avec la séance sur les propriétés algébriques des limites décrite ci-dessus, le travail sur les règles de dérivation induit une réflexion de nature plus algébrique que différentielle. Les élèves ont en effet peu de moyens de relier ces règles à la définition de la dérivation. C'est pourquoi, une simple observation de la dérivation par la TI92 ne produit pas véritablement de réflexion. Nous avons donc choisi ici une tâche de type anticipation-comparaison, où les élèves ont à émettre des conjectures sur un certain nombre de dérivées, puis à comparer avec la dérivation par la TI92. Comme nous l'avons dit en introduction, on suppose que des « règles en acte » sont construites spontanément par les élèves et que en cas de divergence, avec les résultats de la TI92 une réflexion interviendra sur ces règles.

Plus précisément, nous avons prévu :

1. de demander aux élèves une prévision (une anticipation) du résultat que pourrait donner la calculatrice, de façon à ce que les règles de dérivation qui ne vérifient pas la conservation des opérations algébriques (dérivation du produit, de l'inverse et du quotient, dérivation de $x \to f(kx)$) provoquent effectivement l'étonnement des élèves. Nous estimons que la confrontation anticipation/ résultat TI92 et l'étonnement que cette confrontation peut provoquer, permettra de faire apparaître nettement les cas de non-conservation.

2. de travailler d'abord sur des exemples de fonction, d'une part pour préparer le travail sur les formes générales dont la TI92 donne la dérivation, et d'autre part pour la production effective de règles pour les formes générales dont la TI92 ne donne pas la dérivation. On demande seulement ensuite une anticipation des dérivations des fonctions abstraites que la TI92 transforme. Il s'agit donc d'une démarche plus inductive que celle adoptée l'année précédente. Elle se rapproche de la démarche adoptée pour les propriétés algébriques des limites, mais, ici, on ne demande pas aux élèves de produire des exemples. En effet cette production d'exemples visait à faire intégrer par les élèves la notion de forme indéterminée et est moins pertinente pour induire des règles.

Le travail des élèves est prévu de la façon suivante :

1. Le travail se fait en deux phases, séparées par une synthèse. Dans la première, (polycopié élève ci-dessous annexe 4 pages 1 et 2) il s'agit d'établir les règles de calcul sur les dérivées en s'aidant de la calculatrice. Dans la seconde phase (polycopié élève page 3) des exercices d'application de ces règles sont proposés aux élèves.

2. Dans la première phase, la TI92 sert à produire des dérivées, que ce soit sur des exemples explicites ou sur des fonctions abstraites. Contrairement aux limites, les élèves ont peu de moyen d'anticiper ou de contrôler ces productions. On s'attend cependant à ce que les
élèves veuillent appliquer la conservation des opérations algébriques qui fonctionne pour les limites en dehors des cas d'indétermination. Cette conservation fonctionne pour la dérivation de la somme et du produit par une constante, mais sera mise en défaut, par exemple pour le produit et le quotient.

3. Dans la seconde phase, la TI92 est utilisée comme outil de vérification, avec les problèmes classiques posés par cette utilisation, particulièrement, le fait que l'élève peut très bien avoir trouvé un résultat correct mais sous une forme différente de la TI92.

Concrètement, la première phase débute par un rappel des dérivations de fonctions de référence obtenues par passage à la limite au cours de la séance précédente (polycopié élève annexe 4, première demi-page). Le sinus fait partie de ces fonctions car les fonctions polynômes ne permettent pas d'induire les règles sur des formes générales. Au contraire, de la dérivation de $x \to \sin(3x)$ en $x \to 3 \cos(3x)$, les élèves peuvent facilement induire la dérivation de $x \to f(kx)$, par exemple.

Les élèves vérifient ensuite ces dérivations avec la TI92, ce qui est l'occasion de prendre connaissance de la fonctionnalité de dérivation et de la notation adoptée pour l'affichage.

Ensuite (seconde demi-page), les élèves ont à remplir un tableau de dérivées "en faisant travailleur (leur) imagination". C'est la phase d'anticipation. Elle porte d'abord sur des exemples de formes explicites, puis sur les formes générales ne faisant pas intervenir de paramètre (somme, produit, quotient) pour lesquelles la transcription de la notation $\frac{\partial}{\partial x}$ à la notation "prime" est légitime.

Ensuite (seconde page), on demande aux élèves de remplir le même tableau avec les résultats donnés par la TI92, pour permettre la comparaison, puis d'établir des règles générales. Une synthèse collective valide ces règles.

En seconde phase (troisième page), un ensemble de fonctions est donné. L'élève doit calculer la fonction dérivée, vérifier avec la TI92. Il doit ensuite préciser l'intervalle dans lequel la dérivation est valide, de façon qu'il garde conscience de la nature fonctionnelle des expressions. On lui demande aussi d'indiquer les règles utilisées.

# Déroulement

## Première phase

### Rappel des dérivations obtenues par calcul de limites

8h15 Le professeur présente le travail. Il rappelle que la semaine dernière des dérivées ont été calculées "à la main". Il indique qu'on va essayer d'aller plus vite : "La machine va nous donner des résultats de façon automatique, mais nous on va essayer d'abord de jouer le jeu inverse, de voir si on est capable de prévoir les résultats, de regarder un peu après si ça concorde avec ce que donne la machine, puis comparer et de comprendre.."

Le tableau de la page 1 du polycopié est rempli en collectif. Le professeur demande de travailler de mémoire, mais certains ont déjà pris leur TI92.

Le professeur indique ensuite d'utiliser la TI92 pour retrouver ces résultats. Il explique la notation TI92 en faisant le rapport avec le coefficient d'accroissement. Lorsqu'il s'agit de la dérivée du sinus, certains élèves n'ont pas le même résultat que le professeur. Le problème
vient de ce que certaines calculatrices sont en mode degré et/ou approché (Cf ci-dessous). Le professeur profite de l'occasion pour rappeler que la dérivée de *sinus* est *cosinus* seulement si *x* est exprimé en radians.

### 8h23. Recherche des dérivées des fonctions demandées dans la polycopié.

Ecrans enregistrés sur la calculatrice de Francis. La calculatrice est en mode degré

<figure><img src="image_200.png" /></figure>

Nouveau calcul avec mode radian, puis l'élève commence à chercher la dérivée de $x^4$ demandée en anticipation.

<figure><img src="image_201.png" /></figure>

## Travail de prévision

8h25 Le professeur demande de poser la calculatrice pour la deuxième activité. "La calculatrice sait calculer des dérivées, peut-être en calculant des limites. On va essayer de voir s'il y a des règles. Vous allez réfléchir et essayer de prévoir les résultats qu'on pense obtenir sur ces diverses fonctions. Il faudra aussi que vous donniez des justifications : j'ai l'impression que c'est le bon résultat parce que...". Il donne quelques minutes pour ce travail, et répète de ne pas utiliser la machine.
<table><caption>Tableau des prévisions données par les élèves</caption><thead><tr><td>Fonctions</td><td>Commentaire</td></tr></thead><tbody><tr><td>x→ x<sup>4</sup></td><td>Dérivée correcte pour la plupart des élèves, trouvée à partir des exemples précédents (x<sup>2</sup> et x<sup>3</sup>). Ségolène a dérivé x<sup>2</sup> sous forme (x<sup>2</sup>)<sup>2</sup> avec le principe (fg)' =f'g'</td></tr><tr><td>x→ x sin(x)</td><td>Deux élèves donnent la dérivée correcte (Cf remarque ci-dessus). Les autres dérivent les deux fonctions et font le produit ou dérivent seulement le sinus.</td></tr><tr><td>x→ 2x+1</td><td>Quinze élèves donnent la dérivée correcte. Un élève précise que la pente de 2x+1 est 2, un autre que la dérivée de 1 est 0. Les six autres élèves ajoutent 1 à la dérivée de 2x.</td></tr><tr><td>x→ sin(2x)</td><td>Quatre élèves appliquent la dérivation de f(kx) (Cf remarque ci-dessus). 2 autres dérivent en kf'(x), et la majorité (11) en f'(kx).</td></tr><tr><td>x→ 3 sin(x)</td><td>Vingt élèves dérivent seulement le sinus. Valérie a vraisemblablement appliqué la "règle" (fg)' =f'g'</td></tr><tr><td>x→ 4 sin(3x)</td><td>Cinq élèves appliquent la dérivation de f(kx) (les mêmes que pour sin(2x) +1). Les autres élèves dérivent en kf'(x) ou en f'(kx) comme ci-dessus. Valérie dérive à nouveau en zéro.</td></tr><tr><td>x→ sin(x+1)</td><td>La réponse correcte est anticipée par 10 élèves. Quatre autres dérivent le 1 de la parenthèse en zéro.</td></tr><tr><td>x→ cos(x)</td><td>Trois élèves connaissent la dérivée du cosinus. La majorité pense que sinus et cosinus "s'échangeant" par dérivation.</td></tr><tr><td>x→ cos(2x)</td><td>Quatre élèves anticipent correctement à la fois la dérivée du cosinus et la dérivation de f'(kx) (Cf remarque ci-dessus). Deux élèves anticipent seulement la dérivation de f'(kx). Sept élèves font les deux erreurs.</td></tr><tr><td>x→ f(x) + g(x)</td><td>La règle est correctement anticipée par les douze élèves qui répondent.</td></tr><tr><td>x→ f(x)g(x)</td><td>Seul un élève donne la règle de dérivation du produit. 10 autres supposent la conservation du produit.</td></tr><tr><td>x→ 1/f(x)</td><td>Dix élèves s'inspirent de la dérivée de 1/x. Trois autres dérivent le dénominateur. Un dérive le numérateur.</td></tr><tr><td>x→ f(x)/g(x)</td><td>Peu d'élèves abordent cette dernière question. Les réponses supposent la conservation du quotient (Arthur, Marthe) ou s'inspirent de la dérivée de 1/x (Luc, Corinne, Samuel).</td></tr></tbody></table>

Synthèse

9h34. Le professeur note au tableau les résultats donnés par les élèves (Cf tableau ci-dessus) sans se prononcer. Pour les formules générales (somme, produit, inverse, quotient), il va plus vite, prenant seulement les suggestions les plus évidentes.

Il demande ensuite de refaire avec la machine, de façon à remplir le tableau de la page suivante. Il note qu'il est arrivé que la machine donne des résultats faux, et qu'il faudra donc
argumenter pour valider le résultat correct. Il y a quelques problèmes d'entrée (multiplication implicite pour sin x).

Lorsqu'il s'agit des formules générales, un problème est rencontré par un élève qui a affecté les fonctions f et g. Certains élèves omettent le ' de la dérivée lorsqu'ils retranscrivent le résultat obtenu avec la TI92.

## 8h 44 Vérification à l'aide de la TI92

Ecrans enregistrés sur la calculatrice de Francis.

<figure><img src="image_202.png" /></figure>

<figure><img src="image_203.png" /></figure>

<figure><img src="image_204.png" /></figure>

<figure><img src="image_205.png" /></figure>

### Comparaison des prévisions aux résultats donnés par la TI92.

Elle s'effectue en collectif à partir de 8h50.

#### $4x^3$

"Pourquoi pensez-vous que c'est le bon résultat,"

Une élève: "pour $x^3$, ca fait :$3x^2$, donc pour $x^4$

"Si je vous demandais pour $x^8$ ?"

Réponse générale "$8x^7$"

Le professeur note qu'on trouve bien une formule générale, et qu'on y reviendra.

#### $x \sin x$

Il demande de comparer la "bonne réponse" ($x \cos x + \sin x$) aux anticipations de la phase précédente.

Réponse "$x \cos x$.

Une élève justifie en disant que " la dérivée de sinus x, c'est cos x ".

Réponse "$\cos x$"
Un élève justifie : « la dérivée de $x$ c'est 1, la dérivée de sinus $x$, c'est cos $x$, donc le produit c'est 1 ».

$$2x+1$$

Réponse « 2 ». Le professeur commente en remarquant que 2 est le coefficient directeur de la droite représentant la fonction, et rappelle une activité précédente.

Réponse « 3 ». Un élève indique que « la dérivée de $x$ c'est 1, multiplié par 2, et après j'ajoute 1, donc 3 », mais d'autre disent « la dérivée de 1 c'est zéro » (Le dialogue est vivant).

$$\sin (2x)$$

Le professeur note qu'on ne s'attendait pas à la réponse de la TI92, qu'on s'attendait plutôt à cos (2x). Il essaie ensuite de faire expliquer la réponse 2 cos x sin x sans succès. Il essaie aussi de faire faire le lien avec sin (2x).

$$3 \sin x.$$

Il passe vite en disant "Ca ressemble aux arguments qu'on a développés au-dessus"

Il insiste moins sur les questions suivantes (4sin (3x), sin (x+1), cos x). Pour sin (x+1), il interpelle l'élève qui a donné cos x et tente de lui faire dire qu'il a dérivé 1 en zéro.

$$\cos(2x)$$

Il fait le lien entre les anticipations erronées et les erreurs déjà constatées aux questions précédentes.

$$f(x)g(x)$$

Il note que le produit des dérivées était très tentant. Les élèves dictent le résultat en transcrivant la notation $\frac{\partial}{\partial x}$ en notation « prime ». Il demande de faire le lien avec les résultats précédents. "Est-ce que c'est bien en concordance ?". Une élève propose de regarder $x \sin x$. Le professeur commente "La dérivée de $x$ ca fait 1, multiplié par $f(x)$....". Il fait remarquer que ça concorde, même si la somme n'est pas écrite dans le même ordre.

$$\frac{1}{f(x)}$$

Les élèves transcrivent de même la notation $\frac{\partial}{\partial x}$ en notation « prime ». Le professeur remarque "la formule qu'on avait proposée tout à l'heure est tout à fait à côté, même si elle est bien tentante". Un élève fait le rapport avec $\frac{1}{x}$.

$$\frac{f(x)}{g(x)}$$

Même processus.

Le professeur note ensuite que "la machine n'est pas courageuse", et que "la formule (obtenue) n'est pas facile à retenir". Une élève propose de réduire au même dénominateur, ce qui est fait en collectif. Le professeur tente sans succès de faire interpréter les anticipations obtenues (il y
a peut-être un peu de lassitude sur ce travail de comparaison). Il fait le lien avec les deux formules précédentes, et indique "qu'on fera les démonstrations la prochaine fois".

A partir de 9h04, il fait noter la synthèse sur le second tableau de la page 3.

Arrivé à la dérivée de $x \to k f(x)$, il demande sans succès la réponse à partir des exemples, puis demande de le faire à la machine (Cf écrans de Francis ci-dessous). Il note le résultat en inversant les facteurs, et déclare que "c'est la démarche que vous aviez naturellement tout à l'heure".

<figure><img src="image_206.png" /></figure>

Pour $f(kx)$, même demande, en rappelant "ce qu'on a fait avec les sinus". Un élève "f'(kx)". Le professeur corrige "fois k". Il fait le lien avec "la dérivée de sin $2x$". Il semble que des élève ont essayé à la machine, car il leur demande confirmation. Ils répondent "non". Il y a comme l'année précédente, la difficulté d'interprétation de $\frac{\partial}{\partial x}(f(kx))$ qui est compris comme $f'(kx)$, alors que la machine retourne l'entrée sans la modifier.

Le professeur demande de substituer 3 à $k$ (forme $|k=3$). Il n'y a pas davantage de calcul par la machine. Le professeur fait noter la différence avec sin (3x). "Tout à l'heure pour sin 3x, la machine a bien fait le calcul, et donc, semble-t-il la machine ne sait pas, $k$ pourrait dépendre de $x..."

Il indique que les formules seront démontrées par la suite.

$f(x+k)$, il rappelle sin(x+1), obtient $f'(x+k)$ et demande une interprétation graphique "Comment obtient-on la représentation graphique de $f(x+k)$, ..., par une translation de vecteur..." Réponse unanime "k". "Non", "k i ", "Non moins k i ".

"Conclusion ? La translation transforme la tangente...". Cette tentative d'interprétation graphique par le professeur ne rencontre pas beaucoup d'écho. Ca ressemble assez à la situation de l'année précédente, mais cette année, il passe plus vite en indiquant "On y reviendra".

<figure><img src="image_207.png" /></figure>

<figure><img src="image_208.png" /></figure>

## Seconde phase

Cette phase de mise en œuvre du calcul symbolique des dérivées est lancée à partir de 9h29 par le professeur. Il indique de "faire d'abord à la main", puis de vérifier à la calculatrice. Il
insiste sur la troisième colonne du tableau à remplir, où le domaine de validité de la dérivation est demandé. En fait, il s'agit du domaine de définition de la fonction pour laquelle la dérivation est demandée. Le professeur souhaite que les élèves ne voient pas la dérivation seulement sous son aspect symbolique. Il insistera à nouveau plusieurs fois au cours de la recherche des élèves, mais sans grand succès. En fait les élèves ont bien compris l'aspect essentiellement symbolique de la tâche et pour eux, et voient la détermination de l'ensemble de définition comme une tâche différente de la dérivation.

Quelques observations sur cette phase :

$$x \mapsto (3x+2)(2x+3)$$

Quelques élèves dérivent d'abord en 6 (produit des dérivées), puis effacent après essai sur la machine.

$$x \mapsto 3x^4 + 5x^3 - \frac{2}{3}x^2 + 5$$

Une élève dérive correctement, puis dérive à nouveau le résultat. Elle pense en effet que le premier résultat obtenu est trop compliqué. Elle se tranquillise avec le résultat de la calculatrice. Quelques élèves conservent le terme constant (5) dans la dérivation.

$$x \mapsto \sin(x) \cos(x)$$

Les élèves ont des difficultés à coordonner le résultat qu'ils obtiennent à la main $\cos^2 x - \sin^2 x$ et celui de la TI92 ($2 \cos^2 x - 1$).

Francis (écrans ci-dessous) fait tranquillement ses calculs à la main, puis note le résultat obtenu à la machine sans se troubler de la différence: il a fait deux colonnes l'une pour son calcul, l'autre pour la dérivée donnée par la TI92.

Autres erreurs significatives relevées dans les protocoles.

<table><tr><td>$x \mapsto (3x+2)(2x+3)$</td><td>6 (Karine)</td></tr><tr><td>$x \mapsto 3x^4 + 5x^3 - \frac{2}{3}x^2 + 5$</td><td>12$x^3+15x^2-2/3x+5$ (Damien)</td></tr><tr><td>$x \mapsto 1+\frac{1}{x}+\sqrt{x}$</td><td>1/x dérivé en 1/x<sup>2</sup> (Marthe,)</td></tr><tr><td>$x \mapsto \sqrt{x+1}$</td><td>dérivé en 1/(2rac(x)) (1 dérivé en zéro Ségolène)</td></tr><tr><td>$x \mapsto \frac{x^2+3x+1}{x^2+1}$</td><td>(2x+3)/(2x+0) (Vincent) (2x+3)/(2x+1) puis à nouveau dérivé (Ségolène) (2x+3)/(2x) simplifié en (x+3)/x (Damien)</td></tr><tr><td>$x \mapsto (x+1)^2(x+3)$</td><td>développe (x+1)<sup>2</sup> en (x<sup>2</sup>+2x+1) puis (2x+2+1). Dérive finalement en (2x+3)+2(x+3) (Valérie)</td></tr><tr><td>$x \mapsto \sqrt{2}(x^3-x+7)$</td><td>0 car $\sqrt{2}=0$ (Fréderic). $\sqrt{2}$ dérivé en 1/(2$\sqrt{2}$)) (François).</td></tr></table>

Les confusions portent sur la dérivation des constantes (Damien, Ségolène, François) et sur la règle de dérivation du produit (Karine, Valérie) et du quotient (Vincent, Ségolène, Damien).
Il y a aussi de nombreuses erreurs algébriques dans les développements (Cf Charles ci-dessus).

Ecrans enregistrés sur la calculatrice de Francis.

<figure><img src="image_209.png" /></figure>

<figure><img src="image_210.png" /></figure>

<figure><img src="image_211.png" /></figure>

## Bilan et améliorations possibles

Les résultats des élèves montrent que la dérivation des polynômes est généralement intégrée, à l'exception de la dérivation de la constante en zéro qui peut être omise par certains élèves.

La non conservation du produit par dérivation est certainement mieux mise en évidence dans cette séance que dans celle de l'année précédente. Cependant, elle reste non intégrée par certains élèves. Il en est de même de la dérivation de l'inverse et du quotient.

La dérivation du 1 en zéro par Ségolène dans $\sqrt{x+1}$ montre les confusions qui peuvent persister dans la dérivation des fonctions composées. Il est regrettable qu'il n'y ait pas eu un exemple du type $x \rightarrow \sin(kx)$ pour évaluer l'intégration de la règle de dérivation de $x \rightarrow f(kx)$

Le déroulement confirme que le travail est essentiellement d'ordre algébrique, et a peu de lien avec les situations qui ont donné son sens à la dérivation. C'est particulièrement vrai pour la dérivation des sommes, produits et quotients. Mettre en valeur la forme spécifique et nouvelle que prennent les règles de dérivation du produit, de l'inverse et du quotient paraît un objectif pertinent, et l'anticipation demandée aux élèves, préalablement à l'observation des résultats de la TI92 déclenche une réflexion qui conduit à un débat animé entre élèves et avec le professeur.

La dérivation des fonctions composées du type $x \rightarrow f(x+a)$ et $x \rightarrow f(kx)$ conduit à davantage de difficultés. Certes, l'introduction de fonctions comme $x \rightarrow \sin(3x)$ et $x \rightarrow \sin(x+1)$ permet d'induire des règles formelles, mais cela ne semble pas suffisant. Les élèves ne comprennent pas la réponse donnée par la machine pour la dérivation de fonctions génériques. Cela reste donc flou pour eux, avec le risque de confusion qui en résulte. Le professeur tente de faire appel à la transformation associant la courbe représentative de $x \rightarrow f(x)$ respectivement à la courbe représentative de $x \rightarrow f(x+a)$ et à la conservation de
la direction des tangentes dans cette transformation. Cette interprétation graphique de la propriété de dérivation montre que, dans ce cas, il est possible de revenir aux situations ayant donné son sens à la notion de dérivée. Il est donc dommage qu'elle n'ait pas été préparée par un travail spécifique des élèves, par exemple, le tracé, sur le même graphique, des courbes représentatives de $x \to \sin x$ et $x \to \sin(x+1)$. On aurait pu d'ailleurs, avec plus de temps, essayer la même approche avec une fonction du type $x \to f(kx)$.

Avec le recul, il parait préférable de faire deux séances distinctes : l'une, après la phase d'introduction porterait sur l'algèbre des dérivées (somme, produits, quotients) et l'autre, plus tard dans l'année, sur les fonctions composées du programme. Les élèves seraient ainsi plus à même, dans cette seconde séance, d'interpréter les résultats de la TI92, disposeraient de davantage d'exemples de fonctions, et de plus de temps pour l'interprétation graphique. Cette séparation en deux séances a été expérimentée avec succès dans la classe A.
Annexe 1, limites : fonctions à entrer et résultats TI92

<table><thead><tr><th>f"</th><th>g"</th><th>lim f"</th><th>lim g"</th><th>limf+g"</th></tr></thead><tbody><tr><td>cos x - 1 / x<sup>2</sup></td><td>sin x / x</td><td>-1/2</td><td>1</td><td>1/2</td></tr><tr><td>sin x / x</td><td>-1/x<sup>2</sup></td><td>1</td><td>-∞</td><td>-∞</td></tr><tr><td>1 / x<sup>2</sup></td><td>1 / x<sup>4</sup></td><td>∞</td><td>∞</td><td>∞</td></tr><tr><td>(x - 4) / x<sup>2</sup></td><td>(x - 4) / x<sup>4</sup></td><td>-∞</td><td>0</td><td>-∞</td></tr><tr><td>1 / x<sup>2</sup></td><td>x<sup>2</sup> - 1 / x<sup>2</sup></td><td>∞</td><td>-∞</td><td>1</td></tr><tr><td>2 / x<sup>2</sup></td><td>x<sup>2</sup> - 1 / x<sup>2</sup></td><td>∞</td><td>-∞</td><td>∞</td></tr><tr><td>1 / x<sup>2</sup></td><td>-1 / x<sup>4</sup></td><td>∞</td><td>-∞</td><td>-∞</td></tr></tbody></table>