CAHIERS ECO & MATHS

96.36

HETEROGENEITE DES AGENTS DANS UN MODELE A DEUX PAYS

Delphine BERAUD

MAD
# HETEROGENEITE DES AGENTS DANS UN MODELE A DEUX PAYS

Delphine Béraud*<fnref n="1" />

MAD

**résumé :**

On étudie l'interdépendance des économies dans un modèle à horizon infini et composé de deux pays. Trois éléments distinguent les pays : la productivité globale des facteurs, les dotations initiales et l'élasticité de substitution intertemporelle des consommateurs sont différents dans les deux pays. Plus l'élasticité de substitution intertemporelle est importante, plus le taux de croissance de la consommation est fort. Comme ce dernier n'est pas le même dans les deux pays, les dynamiques du solde de la balance commerciale et celui de le balance des capitaux sont complexes. Cependant, tout cycle de la balance des paiements est exclu.

**Mots-clé :**

Hétérogénéité, Modèle à deux pays, hystérésis, dette.

**Abstract :**

The interdependence of the world economy is studied in a two-country infinite horizon model. The technical progress, the initial conditions and the intertemporal elasticity of substitution are different in the two countries. The more important the intertemporal elasticity of substitution is, the greater is the rate of increase of consumption. As the latter is different across countries, the dynamic of the current account is complex.

**Keywords :**

Heterogeneity, Two-country model, Hysteresis, Debt.

**JEL Classification :**

F21, F32, F34.

<footnote n="1">¹MAD, Université Paris I PANTHEON-SORBONNE, 90 rue de Tolbiac, 75634 PARIS CEDEX 13.</footnote>

<footnote n="1">¹ Je remercie A. d'Autume pour ses suggestions et pour l'intérêt qu'il porte à ce travail ainsi que les participants au séminaire du MAID. Je suis seule responsable des erreurs subsistantes.</footnote>
# 1. Introduction

Les relations commerciales et financières qui se développent entre pays ont été étudiées dans un modèle de croissance qui tient compte de l'interdépendance des économies. Les échanges simultanés de marchandises ne sont pas étudiés et la spécialisation des économies n'est pas évoquée. Ce sont les échanges intertemporels qui sont explicités. En effet, il est important de comprendre comment vont évoluer les relations commerciales entre un pays créditeur et un pays emprunteur et d'étudier la dynamique du financement des deux économies. En particulier, l'évolution du niveau d'endettement des pays est importante.

Cette étude a été réalisée dans le modèle le plus simple possible : les deux pays ne diffèrent que par la productivité globale des facteurs et par leur niveau de développement initial. Ceci implique que les agents ont les mêmes préférences : leur fonction d'utilité est identique et on montre que le taux de croissance de leur consommation, déterminé par la relation de Keynes-Ramsey, est le même. Les agents ont la même préférence pour le présent, la même élasticité de substitution intertemporelle et ils offrent la même quantité fixe de travail. La rémunération de ce travail peut être différente parce que la mobilité du facteur travail est nulle. Il n'y a donc pas de place dans ce modèle pour des arbitrages intertemporels et intratemporels entre consommation et loisir. Cette hypothèse est réaliste : les agents sont tenus par des obligations légales qui laissent peu de place à des arbitrages entre travailler aujourd'hui ou demain. Il est alors possible de supposer que les agents offrent une quantité fixe de travail et que le salaire diffère selon les pays.

Si l'on admet que les agents ne choisissent pas le nombre d'heures travaillées, ils peuvent néanmoins avoir des préférences différentes : le taux de préférence pour le présent ou l'élasticité intertemporelle de substitution peuvent ne pas être identiques dans les deux pays. Cependant, on a montré que si un agent est plus impatient que l'autre, il n'existe pas d'état stationnaire parce que le pays le plus impatient disparaît tandis que l'autre devient l'économie mondiale. Si les deux agents n'ont pas la même élasticité de substitution intertemporelle, ils ne réagissent pas de la même façon à une variation de prix des biens de consommation. Dans le pays où l'agent a une forte élasticité de substitution, la baisse des prix entraîne une hausse de la consommation plus forte que dans l'autre pays. Le taux de croissance de la consommation n'est pas le même dans les deux pays, ce qui affecte les résultats obtenus dans le modèle où les agents étaient parfaitement identiques.

La structure du modèle est la même que celle du modèle de Béraud[1996]. Il n'y a qu'un seul bien dans l'économie servant à la fois de biens de consommation et de biens d'investissement. La mobilité du capital physique et financier entre les pays est supposée parfaite. Les consommateurs maximisent une utilité sur un horizon infini et offrent une quantité fixe de travail.
Dans le cas où les agents sont identiques, on a montré que la dynamique de l'économie était séparable en deux blocs indépendants, l'un déterminant le comportement de l'économie mondiale, l'autre la dynamique de chaque pays. La dynamique de l'économie mondiale est indépendante du reste du modèle. Cette caractéristique n'est plus valable dans le cas où les pays ont des élasticités de substitution intertemporelle différentes. Certes, à l'état stationnaire, le capital est déterminé par des paramètres exogènes mais aux autres dates, le capital et la consommation mondiaux dépendent des conditions initiales. Le second résultat essentiel concerne les échanges commerciaux et financiers entre les pays : l'évolution de la balance commerciale d'un pays est monotone mais son solde peut changer de signe. Sa dynamique dépendra essentiellement de l'écart entre les taux de croissance des consommations. Un pays qui initialement a une balance commerciale excédentaire mais dont la consommation croît plus vite que celle de l'autre pays, peut avoir une balance commerciale dont le solde devient déficitaire. Les évolutions du solde de la balance commerciale et de la balance globale sont donc plus complexe que dans le cas où les agents ont les mêmes préférence : un pays initialement créditeur peut devenir débiteur et inversement.

Après avoir exposé les hypothèses les plus fondamentales du modèle, on étudie la dynamique de l'économie mondiale. On analyse, ensuite, la répartition du capital et de la consommation entre chaque pays. On s'attache alors à expliquer la dynamique de la balance commerciale selon l'écart des taux de croissance de la consommation des deux pays. De la dynamique de la balance commerciale, on déduit l'évolution de la créance ou de la dette d'un des deux pays.

## 2. Le modèle

### 2.1 La dynamique du modèle

Il existe un bien unique produit par les deux pays. Le consommateur maximise son utilité intertemporelle sous condition de ressources et offre une quantité de travail pour laquelle il reçoit un salaire $w_{it}$. La quantité de travail offerte ne dépend pas du taux de salaire et le loisir n'apparaît pas comme argument de la fonction d'utilité. On peut justifier cette hypothèse en soutenant que les travailleurs n'ont pas le choix de la durée de travail.

Le programme du ménage est le suivant :

$$ \max \int_{0}^{\infty} e^{-\rho t} u_{t}(c_{t}) dt $$

$$ \dot{b}_{it} = r_{it} b_{it} + w_{it} - c_{it} $$
$$b_i(0) = b_{i0} > 0 \text{ et } \lim_{t \to \infty} e^{\int_{t}^{0} r_s ds} b_i(t) = 0$$

$$\text{Le hamiltonien s'écrit : } H = e^{-\rho t} [u_i(c_t) + x_{it} (r_t b_{it} - c_{it} + w_{it})]$$

Il n'y a donc pas d'arbitrage entre consommation et loisir. C'est une hypothèse traditionnelle dans les modèles de croissance à la Solow. Comme il n'existe qu'un seul bien disponible et que le loisir n'entre pas dans la fonction d'utilité de l'agent, l'agent arbitre uniquement entre différents profils dynamiques de consommation.

$c_{it}$ est la variable de contrôle et $b_{it}$ la variable d'état. $b_{it}$ est la quantité d'actifs financiers étrangers détenus par le pays $i$ et de capitaux placés dans l'industrie nationale. La dotation initiale est supposée être positive et une condition de transversalité sur la richesse finale est imposée pour éviter une solution de type « Ponzy » qui consisterait à ce que l'agent s'endette jusqu'à la faillite pour consommer davantage. Il faut remarquer que la dotation exprimée en nombre d'actifs financiers ou physique est donnée tandis que sa valeur n'est pas déterminée. Cette dernière dépend de la dynamique du taux d'intérêt (ou des prix intertemporels).

La maximisation de l'utilité du ménage représentatif sous condition donne les résultats suivants:

$$u'_{i}(c_{t}) = x_{it}$$

$$\dot{x}_{it} = \rho x_{it} - \frac{\delta H^c}{\delta b} = (\rho_t - r_t)x_{it}$$

où $H^c$ est le hamiltonien courant.

$x_{it}$ est le prix fictif à la date $t$ d'une unité de consommation supplémentaire. Si l'agent consomme une unité supplémentaire à la date $t$, il obtient un supplément d'utilité égal à $x_{it}$.

Donc,

$$\dot{c}_{it} = (\rho_t - r_t) \frac{u'_{it}(c_t)}{u''_{it}(c_t)}$$

On suppose que la fonction d'utilité est telle que l'élasticité de substitution intertemporelle est constante. C'est une fonction CRRA (Constant Relative Risk Aversion) parce que, dans un univers risqué, le coefficient d'aversion relatif au risque est égal à l'inverse de l'élasticité intertemporelle de substitution. On utilise la fonction suivante où $\sigma$ est l'élasticité intertemporelle de substitution.
$$u_i(c_t) = \frac{c_{it}^{1-\frac{1}{\sigma_i}}}{1-\frac{1}{\sigma_i}} \quad \text{avec } \sigma_i > 0$$

La caractéristique de cette fonction est que le paramètre $\sigma$ est égal à :

$$\sigma = - \frac{u'(c_t)}{c_t u''(c_t)}$$

On peut montrer que ce paramètre $\sigma$ représente une élasticité de substitution entre les consommations à des dates différentes. $x_t$ est le prix fictif d'un bien de consommation en terme d'utilité :

$$u'_{it}(c_t) = x_{it}$$

L'élasticité intertemporelle de la consommation par rapport aux prix est la suivante :

$$\varepsilon = - \frac{\frac{dc_t}{dt}}{\frac{c_t}{dx_t}} = - \frac{\frac{dx_t}{dt}}{x_t}$$

Ceci peut se réécrire :

$$\varepsilon = - \frac{u'(c_t)}{c_t u''(c_t)} = \sigma$$

$\sigma$ représente bien l'élasticité de substitution intertemporelle de la consommation qui est constante.

Comme les agents n'ont pas la même élasticité de substitution intertemporelle, leur taux de croissance de leur consommation est différent. Plus l'élasticité de substitution est forte, plus le taux de croissance est important toute chose égale par ailleurs. C'est ce qu'indique l'équation suivante :

$$\frac{\dot{c}_{it}}{c_{it}} = \sigma_i (r_i - \rho_i)$$

Les taux de croissance des consommations des deux pays sont proportionnels :

$$\frac{\dot{c}_{it}}{c_{it}} = \frac{\sigma_i}{\sigma_j} \frac{\dot{c}_{jt}}{c_{jt}}$$

Le programme de l'entreprise représentative est la maximisation intertemporelle du profit. On choisi une fonction à rendements constants telle que :
$$Y_{it} = \theta_i F(K_{it}, N_{it})$$

$\theta_i$ est une mesure de la productivité globale des facteurs spécifique au pays i. On suppose que ce terme est différent dans les deux pays. Un choc technologique qui a lieu dans le pays i et qui modifie $\theta_i$ n'a pas d'impact direct sur le niveau de la production dans l'autre pays mais a un effet indirect qui transite par l'égalisation de la productivité marginale du capital dans les deux pays. En utilisant une fonction de production Cobb-Douglas telle que :

$$Y_{it} = \theta_i K_{it}^{\alpha} N_{it}^{\beta} \text{ avec } \alpha + \beta = 1 \text{ et } 0 < \alpha < 1$$

$\theta_i$ est la mesure de la productivité globale des facteurs quand on mesure la quantité globale des facteurs utilisée comme une moyenne géométrique pondérée de la quantité de capital et de la quantité de travail employées. Les coefficients de pondération sont respectivement la part du capital $\alpha$ et la part du travail $(1-\alpha)$ dans le produit.

On note $x_{it}$ la variable par tête :

$$x_{it} = \frac{X_{it}}{N_{it}}$$

On obtient :

$$y_{it} = \theta_i f(k_{it}) = \theta_i k_{it}^{\alpha}$$

Les variables $k_{it}$ et $y_{it}$ sont des variables par tête. On obtient de façon standard par maximisation du profit :

$$w_{it} = \theta_i (1 - \alpha) k_{it}^{\alpha}$$

$$r_t = \theta_i \alpha k_{it}^{\alpha-1}$$

Les équations dynamiques sont les suivantes :

$$\frac{\dot{c}_{it}}{c_{it}} = \sigma_i (r_t - \rho) \qquad (1) \text{ et } (2)$$

Le marché des biens est caractérisé par :

$$\dot{k}_t = \theta_i k_t^\alpha - c_{1t} - c_{2t} \qquad (3)$$

La contrainte budgétaire de l'agent s'écrit :
$$ \dot{b}_{1t} = \theta_1(1-\alpha)k_{1t}^{\alpha} + r_t b_{1t} - c_{1t} \quad (4) $$

La linéarisation autour de l'état stationnaire donne le résultat suivant :

$$ \dot{c}_{1t} = \frac{-(1-\alpha)\rho^2 \sigma_1 \tilde{c}_1}{\alpha \tilde{c}} (k_t - \tilde{k}) $$

$$ \dot{c}_{2t} = \frac{-(1-\alpha)\rho^2 \sigma_2 \tilde{c}_2}{\alpha \tilde{c}} (k_t - \tilde{k}) $$

$$ \dot{k}_t = \rho(k_t - \tilde{k}) - (c_{1t} - \tilde{c}_1) - (c_{2t} - \tilde{c}_2) $$

La dynamique de la détention d'actifs et celle de la créance peuvent être obtenues ultérieurement par récursivité. De façon générale, on peut écrire sous la forme suivante la quantité d'actifs détenus par le pays 1 en linéarisant l'équation (4) :

$$ \dot{b}_{1t} = -(c_{1t} - \tilde{c}_1) + J_{43}(k_t - \tilde{k}) - (b_{1t} - \tilde{b}_1) $$

où $J_{43}$ est un terme de la matrice jacobienne associée au système.

Cette matrice jacobienne J telle que $\dot{X} = J(X_t - \tilde{X})$ où $X_t = (c_{1t}, c_{2t}, k_t, b_{1t})$ et $\tilde{X}_t$ sont les valeurs d'état stationnaire s'écrit :

$$ J = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \frac{-(1-\alpha)\rho^2 \sigma_1 \tilde{c}_1}{\alpha \tilde{c}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-(1-\alpha)\rho^2 \sigma_2 \tilde{c}_2}{\alpha \tilde{c}} & 0 \\ -1 & -1 & \rho & 0 \\ -1 & 0 & J_{43} & -1 \end{bmatrix} $$

## 2.2 L'économie mondiale

On remarque que les deux premières lignes de la matrice ne sont pas linéairement indépendantes. Le déterminant de la matrice jacobienne est donc nul et il existe une racine nulle. Une infinité d'états stationnaires est obtenue parce que l'économie possède la propriété d'hystérèse. Il existe un état stationnaire unique pour une seule condition initiale. Deux solutions sont possibles : soit on caractérise l'état stationnaire, soit on choisit un ensemble de données initiales. Dans les deux cas, des valeurs *a priori* sont choisis : on a préféré supposer que l'histoire des deux pays permet de poser les conditions initiales. Les deux pays diffèrent donc au départ (par exemple à l'ouverture des économies) par leur dotations initiales. Lorsque les préférences sont identiques, la dynamique de la
consommation mondiale est indépendante de sa répartition entre les deux pays comme l'indique l'équation suivante :

$$ \dot{c}_t = \frac{-(1-\alpha)\sigma\rho^2}{\alpha} (k_t - \tilde{k}) $$

Un choc qui affecterait uniquement la répartition de la consommation (à toutes les dates) n'a d'influence ni sur la consommation mondiale ni sur le capital mondial. Il est donc possible d'étudier la dynamique de l'économie mondiale puis l'évolution des variables caractéristiques de chaque pays.

Dans le cas où les deux agents représentatifs n'ont pas les mêmes préférences, la dynamique de l'économie mondiale ne peut plus être déterminée indépendamment de la répartition de la consommation<fnref n="2" /> parce que le taux de croissance de la consommation n'est pas le même dans les deux pays. Le taux de croissance de la consommation mondiale dépend de la répartition de la consommation à l'état stationnaire entre les deux pays :

$$ \dot{c}_t = \frac{-(1-\alpha)\rho^2 (\sigma_1 \tilde{c}_1 + \sigma_2 \tilde{c}_2)}{\alpha \tilde{c}} (k_t - \tilde{k}) $$

La dynamique de l'économie mondiale ne pourra être étudiée séparément de la répartition des richesses entre les pays qu'en se donnant a priori une répartition de la consommation à une date donnée. Ceci signifie que si cette dernière se modifie à cause d'un choc qui perturbe le système, la dynamique de l'économie mondiale s'en trouvera modifiée<fnref n="3" />.

Pour étudier la dynamique de la consommation totale, on additionne les deux premières lignes de la matrice jacobienne.

$$ \dot{c}_t = \frac{-(1-\alpha)\rho^2 (\sigma_1 \tilde{c}_1 + \sigma_2 \tilde{c}_2)}{\alpha \tilde{c}} (k_t - \tilde{k}) \quad (5) $$

La dynamique du capital total est la suivante :

$$ \dot{k}_t = \rho(k_t - \tilde{k}) - (c_t - \tilde{c}) \quad (6) $$

Bien que la dynamique de l'économie mondiale ne soit pas indépendante de la répartition des richesses comme ce serait le cas si les agents avaient la même élasticité de substitution intertemporelle, sa caractérisation à l'état stationnaire dépend uniquement des paramètres du

<footnote n="2">² qui évolue dans le temps</footnote>

<footnote n="3">³ Ce point est développé par la suite.</footnote>
modèle. En effet, l'état stationnaire de l'économie composée des deux pays est déterminé de façon unique par :

$$ \tilde{k} = \left( \frac{\alpha \theta}{\rho} \right)^{\frac{1}{1-\alpha}} $$

$$ \tilde{c} = \theta^{\frac{1}{1-\alpha}} \left[ \frac{\alpha}{\rho} \right]^{\frac{\alpha}{1-\alpha}} $$

La consommation et le capital mondiaux ne sont affectés à l'état stationnaire que par les paramètres du modèle à l'exclusion de l'élasticité intertemporelle de substitution des agents de chaque pays : ils dépendent de l'élasticité du produit par rapport au capital, de la productivité globale des facteurs et du taux de préférence pour le présent. Tout choc transitoire qui affecte le modèle n'a aucune influence à long terme sur l'économie mondiale. Par contre, la dynamique de l'économie mondiale aux autres dates dépend de la répartition de la consommation entre les deux pays. Comme celle-ci dépend des conditions initiales, tout choc qui affecte les conditions initiales modifiera la dynamique de l'économie mondiale. En effet, la dynamique de l'économie mondiale est régit par les équations (5) et (6) précédentes. Pour alléger les notations, on peut noter $\sigma$ la moyenne des élasticités intertemporelles de substitution pondérée par la part de la consommation qui revient à chaque pays à l'état stationnaire. On écrira :

$$ \sigma = \sigma_1 \frac{\tilde{c}_1}{\tilde{c}} + \sigma_2 \frac{\tilde{c}_2}{\tilde{c}} $$

ou encore :

$$ \sigma = \sigma_1 \tilde{h} + \sigma_2 (1 - \tilde{h}) \text{ avec } 0 < \tilde{h} < 1 $$

$\tilde{h}$ est la part de la consommation du pays 1 à l'état stationnaire.

On obtient alors la dynamique de l'économie mondiale :

$$ \dot{c}_t = \frac{-(1-\alpha)\rho^2 \sigma (k_t - \tilde{k})}{\alpha} $$

$$ \dot{k}_t = -(c_t - \tilde{c}) + \rho(k_t - \tilde{k}) $$

On retrouve en apparence la même dynamique que la consommation des agents croît au même taux ou non dans les deux pays. Cependant, la moyenne $\sigma$ n'a pas le même statut que l'élasticité
intertemporelle commune aux deux pays parce qu'elle dépend de la répartition de la consommation entre les deux pays. A priori, cette répartition dépend de la quantité d'actifs détenus par les deux pays à l'état stationnaire qui est, elle-même, fonction des actifs détenus initialement. La détermination de sa valeur ne peut se réaliser qu'une fois le modèle entièrement résolu. Cependant, on peut supposer qu'elle dépend de l'état de l'économie à la date 0 qui est posé arbitrairement, de l'élasticité intertemporelle de substitution de chaque pays et des paramètres du modèle. Ainsi, la moyenne pondérée des élasticités intertemporelle de substitution dépend des paramètres suivants :

$$ \sigma = f(a_{10}, k_0, \sigma_1, \sigma_2, \rho, \alpha) $$

Ceci montre que la dynamique de l'économie mondiale n'est pas indépendante de la répartition de la consommation à l'état stationnaire lorsque les deux pays n'ont pas la même élasticité de substitution intertemporelle. Ainsi, même si la matrice est décomposable en deux blocs apparemment indépendants, les dynamiques du capital et de la consommation mondiaux ne peuvent être déterminées sans connaître la répartition à une date *t* de la consommation entre les pays. Cette différence avec le cas où les agents sont identiques a des conséquences importantes : tout choc qui affecte uniquement la répartition de la consommation à une date quelconque affectera la dynamique de l'économie mondiale. Un choc transitoire qui survient avant que l'état stationnaire ne soit atteint et qui modifie la répartition de la consommation, a un impact sur l'accumulation du capital et sur le niveau de la consommation à court terme mais cet effet est nul à long terme parce que le capital mondial et la consommation mondiale à l'état stationnaire sont déterminés indépendamment du fonctionnement de chacune des deux économies.

On remarque cependant que le cas où les agents ont des préférences identiques n'est qu'un cas particulier de celui-ci : il suffit de poser que les deux pays ont la même élasticité de substitution intertemporelle pour retrouver les résultats obtenus précédemment.

La dynamique de l'économie mondiale s'écrit :

$$ \dot{c}_t = \frac{-(1-\alpha)\rho^2 \sigma(k_t - \tilde{k})}{\alpha} $$

$$ \dot{k}_t = -(c_t - \tilde{c}) + \rho(k_t - \tilde{k}) $$

$$ \sigma = \sigma_1 \tilde{h} + \sigma_2 (1 - \tilde{h}) \text{ avec } 0 < \tilde{h} < 1 $$

La matrice jacobienne J de ce système s'écrit :
$$J = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{(1-\alpha)\sigma\rho^2}{\alpha} \\ -1 & \rho \end{bmatrix}$$

La dynamique jointe de ces deux variables est stable parce qu'il existe une valeur propre positive $\lambda_1$ et une négative $\lambda$.

$$\lambda = \frac{\rho}{2} \left[ 1 - \sqrt{1 + \frac{4(1-\alpha)\sigma}{\alpha}} \right] < 0$$

$$\lambda_1 = \frac{\rho}{2} \left[ 1 + \sqrt{1 + \frac{4(1-\alpha)\sigma}{\alpha}} \right] > 0$$

La dynamique de l'économie mondiale peut se réécrire :

$$k_t - \tilde{k} = (k_0 - \tilde{k}) e^{\lambda t}$$

$$c_t - \tilde{c} = - \frac{(1-\alpha)\sigma\rho^2}{\lambda\alpha} (k_t - \tilde{k}) = (\rho - \lambda)(k_t - \tilde{k})$$

$$\sigma = \sigma_1 \tilde{h} + \sigma_2 (1 - \tilde{h}) \text{ avec } 0 < \tilde{h} < 1$$

$$\lambda = \frac{\rho}{2} \left[ 1 - \sqrt{1 + \frac{4(1-\alpha)\sigma}{\alpha}} \right] < 0$$

Graphiquement, la dynamique de l'économie mondiale est représentée par un point-selle.
<figure><img src="image_1.png" /></figure>

La vitesse d'ajustement de l'économie $|λ|$ dépend positivement de la moyenne pondérée des élasticités intertemporelles de substitution de chaque pays. Une modification de la répartition de la consommation entraîne que la vitesse d'ajustement vers le long terme change. Pour illustrer cette caractéristique, supposons que les deux pays s'accordent pour réduire la dette (resp. créance) du pays 2 (resp.1) à la date 0. La répartition de la consommation calculée à l'état stationnaire (par exemple) se modifie en faveur du pays 2 parce que le pays 2 est moins pauvre et le pays 1 moins riche. La moyenne des élasticités pondérée par la part de la consommation totale est une fonction croissante de la part du pays 1 si celui-ci a un taux de croissance plus rapide. Si la consommation croît moins vite dans ce pays, le résultat inverse est obtenu.

$$ \sigma = f(h) \text{ où } f' > 0 \text{ si } \sigma_1 > \sigma_2 $$

Si les agents du pays 1 ont une élasticité de substitution supérieure à celle des agents du pays 2, la vitesse d'ajustement diminue. Si au contraire, les agents du pays 1 ont une élasticité de substitution plus faible que celle de l'autre pays, la vitesse d'ajustement augmente. Ainsi, un choc ponctuel sur la créance du pays 1 a un impact sur la consommation et sur le capital mondiaux à toutes les dates suivant le choc. Cependant, à long terme cet effet est nul parce que les caractéristiques de l'économie mondiale à long terme ne dépendent que des conditions de production. L'impact du choc ponctuel transite par la vitesse d'ajustement de l'économie vers le long terme : il ne modifie ainsi que la dynamique d'ajustement.

Supposons qu'une remise de dette ait lieu dans le pays 2 et que ce pays ait un taux de croissance plus important que dans l'autre pays. La créance dans le pays 1 est plus faible. La répartition se
modifie en faveur du pays 2. La moyenne pondérée des élasticités augmente. Comme la vitesse d'ajustement est une fonction croissante de cette moyenne, elle croît également. Graphiquement, ceci se traduit par une augmentation de la pente de la représentation du vecteur propre sur lequel se déplace l'économie.

L'économie mondiale suite à une remise de dette dans le pays où la consommation croît le plus vite

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

La vitesse d'ajustement augmente s'il y a une remise de dette dans le pays qui a une élasticité de substitution intertemporelle supérieure à celle des agents de l'autre pays. Le capital initial est donné et son niveau à l'état stationnaire dépend uniquement de la part des salaires dans l'économie et du taux de préférence commun aux deux pays. L'augmentation de la vitesse d'ajustement modifie la dynamique du capital entre son niveau initial et son niveau final. A chaque date t, le capital est à un niveau supérieur à celui qui aurait été atteint si le choc n'avait pas eu lieu. Graphiquement, on obtient :
La dynamique du capital mondial suite à une remise de dette

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

La dynamique de la consommation est plus complexe parce que son niveau initial n'est pas prédéterminé mais se fixe de façon à respecter la contrainte budgétaire intertemporelle des agents. Elle est donnée par l'équation suivante :

$$c_0 = \tilde{c} + (\rho - \lambda)(k_0 - \tilde{k})$$

La consommation à la date 0 est d'autant plus faible que la vitesse d'ajustement est élevée. La consommation à l'état stationnaire est la même quelle que soit la créance initiale parce qu'elle est déterminée par la part des salaires dans l'économie et par le taux de préférence pour le présent. L'ajustement vers cet état stationnaire subit deux effets contradictoires : d'une part, la consommation initiale diminue et d'autre part, la vitesse d'ajustement est plus importante. Ainsi, jusqu'à une date T finie, la consommation mondiale est plus faible que ce qu'elle aurait été si la vitesse d'ajustement avait été plus faible. Après cette date, la consommation est plus élevée que si le choc n'avait pas eu lieu. Comme l'accumulation du capital se fait plus vite, la consommation croît moins fortement.
La dynamique de la consommation mondiale suite à une remise de dette

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Dans le cas particulier où les deux pays ont les mêmes préférences, une remise de dette, à une
date quelconque à laquelle l'état stationnaire n'est pas encore atteint, n'a aucun impact sur la
dynamique de l'économie mondiale. En effet, l'état stationnaire vers lequel converge l'économie
mondiale n'est pas modifié parce qu'il dépend uniquement des paramètres du modèle. De plus, le
chemin qu'emprunte l'économie est le même parce que la vitesse de convergence n'est pas
modifiée. Cette dernière ne dépend que de paramètres :

$$
|\lambda| = \frac{\rho}{2} \left[ 1 - \sqrt{1 + \frac{4(1-\alpha)\sigma}{\alpha}} \right]
$$

où σ est l'élasticité de substitution intertemporelle commune aux deux pays. La dynamique de l'économie mondiale n'est pas affectée par un choc ponctuel sur la dette du pays 2⁴.

Dans le cas où les deux pays n'ont pas le même taux de croissance de la consommation, la
dynamique de l'économie mondiale n'est pas indépendante de la répartition des richesses entre les
deux pays. On a montré que la vitesse d'ajustement de l'économie vers l'état stationnaire est
modifiée par un choc ponctuel sur le niveau de la dette par exemple. Ce choc transitoire modifie la
répartition de la consommation à l'état stationnaire et la vitesse d'ajustement commune à toutes les
variables. La modification de la vitesse d'ajustement entraîne un changement de la dynamique de
l'économie vers l'état stationnaire. L'accumulation du capital se fait plus rapidement tandis que la
consommation initialement plus faible croît à un taux plus rapide. Ainsi, contrairement au modèle
dans lequel les agents ont les mêmes préférences et dans lequel une remise de dette n'affecte en
aucune façon la dynamique de l'économie mondiale, la remise de dette à une date quelconque hors

<footnote n="4">⁴ Un choc durant l'ajustement de l'économie vers l'état stationnaire a des impacts différents de ceux obtenus à la suite d'un choc réalisé quand l'économie a atteint l'état stationnaire.</footnote>
de l'état stationnaire modifie l'accumulation du capital et le niveau de la consommation à court terme. Par contre, les caractéristiques de l'état stationnaire ne sont pas modifiées. Ainsi, un choc transitoire n'a pas d'impact à long terme sur l'économie mondiale. Cette propriété correspond à la spécificité de la matrice jacobienne qui caractérise le modèle : cette matrice contient une racine nulle mais peut se décomposer en deux blocs. Le bloc qui caractérise l'économie mondiale et qui peut se résoudre indépendamment du reste du modèle en posant *a priori* la répartition de la consommation à l'état stationnaire, ne contient pas de racine nulle et n'est, par conséquent, pas affecté de façon permanente par un choc transitoire. Il n'y a donc pas de phénomène d'hystérésis dans cette partie du modèle.

Le résultat obtenu, dans le cas où les agents ont les mêmes préférences pour le présent, selon lequel le modèle n'est pas affecté à court et à long terme par une remise de dette ponctuelle ne tient pas dans le cas où les agents n'ont pas la même élasticité de substitution intertemporelle. Dans ce dernier cas, il n'y a pas d'hystérésis parce qu'un choc n'a pas d'impact à long terme sur le niveau d'accumulation de capital et sur le niveau de la consommation. Par contre, la dynamique de ces deux variables est affectée par l'intermédiaire de la vitesse d'ajustement.

Les conséquences d'un choc selon qu'il intervient lorsque l'économie a atteint l'état stationnaire ou pas sont très différentes. Supposons désormais que l'état stationnaire est atteint et qu'une remise de dette ait lieu. Dans ce cas, la réponse de l'économie mondiale est identique que les agents aient la même élasticité de substitution ou qu'elle soit différente. En effet, les niveaux de capital et de consommation ne dépendent à long terme que de la préférence pour le présent des agents et de la part des salaires dans le produit. Tout choc sur la créance qui modifie la répartition de la consommation n'écarte en aucun cas l'économie mondiale de l'équilibre. Ainsi, que les agents aient ou non la même élasticité de substitution, une remise de dette n'a aucun impact sur le capital et la consommation mondiaux. Elle modifie une fois pour toute la répartition de la consommation : la consommation et la situation financière de chaque pays sautent à leur nouveau niveau d'état stationnaire. Ce résultat est valable que les agents aient les mêmes préférences ou non.

Une destruction de capital ou un choc d'offre ponctuel ont des effets plus complexes parce qu'elles entraînent une modification de l'accumulation du capital dans les deux pays. Dans le cas où les agents ont les mêmes préférences, la vitesse d'ajustement est la même qu'avant le choc tandis que l'état stationnaire est différent. Dans le cas où les agents sont hétérogènes, la vitesse d'ajustement vers un état stationnaire différent est modifiée parce que la répartition de la consommation (calculée au nouvel état stationnaire par exemple) n'est plus la même.
## 2.3 La dynamique de chaque pays

Supposer que les deux pays n'ont pas la même élasticité de substitution ne modifie pas la répartition du capital qui se fait selon le rendement du capital dans chaque pays. Puisque le capital est parfaitement mobile à chaque instant, la productivité marginale du capital est la même dans les deux pays :

$$ \forall t, \forall i, i \in [1,2], A_i = \theta_i^{1-\alpha}, k_{it} = \frac{A_i k_t}{A_i + A_j} $$

Tant que la productivité globale des facteurs dans chaque pays ne se modifie pas, les taux de croissance du capital investi dans chaque pays sont égaux à celui du capital total :

$$ \frac{\dot{k}_t}{k_t} = \frac{\dot{k}_{it}}{k_{it}} $$

La dynamique du capital dans le pays *i* peut s'écrire :

$$ k_{it} - \tilde{k}_i = \frac{A_i}{A_i + A_j} (k_0 - \tilde{k}) e^{\lambda t} $$

Un choc transitoire qui survient à une date quelconque n'affectera que la vitesse de convergence du capital du pays *i* vers un état stationnaire invariant. Reprenons l'exemple de la remise de dette dans le pays où le taux de croissance de la consommation est le plus élevé. On a vu que la vitesse d'ajustement augmente suite à une remise de dette. Comme la productivité globale des facteurs n'est pas modifiée, la répartition du capital entre les deux pays est identique et le niveau de long terme est le même que si le choc n'avait pas eu lieu. Comme seule la vitesse d'ajustement vers l'état stationnaire augmente, le capital s'accumule plus rapidement dans les deux pays.
La dynamique du capital dans le pays i suite à une remise de dette

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

La dynamique de la consommation dans chaque pays peut être déterminée en remarquant que
les taux de croissance de la consommation de chaque pays sont proportionnels :

$$
\frac{\dot{c}_{1t}}{\sigma_1 c_{1t}} = \frac{\dot{c}_{2t}}{\sigma_2 c_{2t}} = \frac{\dot{c}_t}{\sigma_1 c_{1t} + \sigma_2 c_{2t}} = r_t - \rho
$$

Plus l'élasticité de substitution intertemporelle est grande plus les agents modifient le profil
dynamique de leur consommation suite à une variation du taux d'intérêt. La baisse du taux d'intérêt
entraîne une augmentation de la consommation d'autant plus forte que l'élasticité de substitution
intertemporelle est importante. Ainsi, dans le pays où l'agent a une élasticité de substitution
intertemporelle la plus grande, le taux de croissance de la consommation croît le plus rapidement.

Au voisinage de l'état stationnaire, on a alors :

$$
\frac{c_{1t} - \tilde{c}_1}{\sigma_1 \tilde{c}_1} = \frac{c_{2t} - \tilde{c}_2}{\sigma_2 \tilde{c}_2} = \frac{c_t - \tilde{c}}{\sigma_1 \tilde{c}_1 + \sigma_2 \tilde{c}_2}
$$

En reprenant la dynamique de la consommation mondiale, on peut réécrire :

$$
\forall i \in [1,2], c_{it} - \tilde{c}_i = \frac{-(1-\alpha)\rho^2 \sigma_i}{\alpha \lambda} \left(\frac{\tilde{c}_i}{\tilde{c}}\right) (k_0 - \tilde{k}) e^{\lambda t}
$$

La consommation dans chaque pays augmente dans une économie mondiale en croissance
jusqu'à un état stationnaire caractérisé par :

$$
\tilde{c} = (A_1 + A_2) \left(\frac{\alpha}{\rho}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}
$$
$$ \tilde{c}_1 = \tilde{h} \tilde{c} $$

$$ \tilde{c}_2 = (1 - \tilde{h}) \tilde{c} $$

La répartition de la consommation totale à l'état stationnaire n'est pas déterminée à ce stade de la résolution du modèle. Cependant, on sait que cette répartition<fnref n="5" /> à une date donnée est unique et qu'elle dépend des paramètres et de la dynamique du modèle. La vitesse d'ajustement vers l'état stationnaire dépend de la répartition de la consommation.

La détention d'actifs financiers est régit par l'équation dynamique suivante :

$$ \dot{b}_{1t} = r_t b_{1t} - c_{1t} + w_{1t} $$

Ce qui peut se réécrire en faisant apparaître la créance :

$$ \dot{a}_{1t} = r_t a_{1t} + r_t k_{1t} - c_{1t} - \dot{k}_{1t} + \theta_1 (1-\alpha) k_{1t}^{\alpha} $$

La linéarisation de l'équation et sa simplification en utilisant les valeurs de l'état stationnaire et la dynamique de la consommation calculées précédemment donnent le résultat suivant :

$$ \dot{a}_{1t} = \rho(a_{1t} - \tilde{a}_1) + \left[ \frac{(\rho - \lambda) A_1 \tilde{k}}{A_1 + A_2} + \frac{(1-\alpha) \tilde{c}_1 \rho \sigma_1}{\lambda} - (1-\alpha) \rho \tilde{a}_1 \right] \frac{(k_t - \tilde{k})}{\tilde{k}} $$

La résolution de cette équation différentielle donne le résultat suivant<fnref n="6" /> :

$$ a_{1t} - \tilde{a}_1 = \left[ -(1-\alpha)\rho\tilde{a}_1 + \frac{(1-\alpha)\sigma_1\rho\tilde{c}_1}{\lambda} + \frac{A_1\tilde{k}(\rho-\lambda)}{A_1+A_2} \right] \frac{(k_0 - \tilde{k})}{\tilde{k}(\lambda-\rho)} e^{\lambda t} \quad (7) $$

L'évolution de la balance commerciale et celle du taux d'intérêt déterminent la dynamique de la créance. En effet, on montre facilement que l'évolution du solde de la balance commerciale quand le capital croît est donné par :

$$ \frac{\delta b c_{1t}}{\delta k_t} = \frac{A_1 (\rho - \lambda)}{A_1 + A_2} + \frac{(1 - \alpha) \sigma_1 \rho^2 \tilde{c}_1}{\alpha \lambda \tilde{c}} $$

<footnote n="5">⁵ Contrairement au modèle précédent, la répartition de la consommation évolue dans le temps.</footnote>

<footnote n="6">⁶ On pose $A = \left[ \frac{(\rho - \lambda) A_1 \tilde{k}}{A_1 + A_2} + \frac{(1 - \alpha) \tilde{c}_1 \rho \sigma}{\lambda} - (1 - \alpha) \rho \tilde{a}_1 \right] \frac{1}{\tilde{k}} \quad \text{et} \quad x_t = a_{1t} - \tilde{a}_1$. Sachant que $k_t - \tilde{k} = (k_0 - \tilde{k}) e^{\lambda t}$, on obtient comme solution $x_t = c_1 e^{\lambda t + c_2} + \frac{A(k_0 - \tilde{k}) e^{\lambda t}}{\lambda - \rho}$. Quand $t \to \infty$, $x_t = 0$, d'où la solution (7).</footnote>
$$ \frac{\delta r_t}{\delta k_t} = - \frac{(1-\alpha)\rho}{\tilde{k}} $$

Ainsi, l'équation (7) peut se réécrire :

$$ a_{1t} - \tilde{a}_1 = \left[ \frac{\delta bc_t}{\delta k_t} + \tilde{a}_1 \frac{\delta r_t}{\delta k_t} \right] \left[ \frac{(k_0 - \tilde{k})e^{\lambda t}}{\lambda - \rho} \right] \quad (7) $$

Or, on sait que : $\lambda(\rho - \lambda) = -\frac{(1-\alpha)\sigma\rho^2}{\alpha}$. On peut donc écrire :

$$ a_{1t} - \tilde{a}_1 = \left[ - \frac{(1-\alpha)\rho\tilde{a}_1 \alpha \lambda}{(1-\alpha)\sigma\rho^2} + \frac{\alpha \sigma_1 \tilde{c}_1}{\sigma\rho} - \frac{A_1 \tilde{k}}{A_1 + A_2} \right] \frac{(k_0 - \tilde{k})}{\tilde{k}} e^{\lambda t} $$

En utilisant les relations entre les valeurs d'état stationnaire en particulier la relation suivante,

$$ \tilde{a}_1 = \frac{\tilde{c}_1}{\rho} - \frac{\tilde{k}_1}{\alpha} $$

on obtient la dynamique de la créance suivante :

$$ a_{1t} - \tilde{a}_1 = \left[ \frac{\alpha(\sigma_1 \rho - \lambda)\tilde{a}_1}{\rho\tilde{k}(\sigma_1 h + \sigma_2(1-h))} + \frac{(\sigma_1 - \sigma)\tilde{k}_1}{\sigma\tilde{k}} \right] (k_t - \tilde{k}) \quad (8) $$

Le terme entre crochets est constant : il est soit toujours positif soit toujours négatif. De plus, le capital croît de façon monotone. La dynamique de la créance est donc monotone. Ainsi, tout phénomène cyclique de la balance des paiements est exclu : un pays créancier à une date pourra devenir endetté pour le rester indéfiniment si aucun choc ne vient perturber le système économique.

En écrivant l'équation (8) à la date 0, on obtient l'expression de la créance et de la dette à l'état stationnaire du pays 1 et du pays 2 en fonction des paramètres du modèle et des conditions initiales.

$$ \tilde{a}_1 = \frac{\sigma \rho \tilde{k} a_{10} + \tilde{k}_1 \rho (\sigma_1 - \sigma) (\tilde{k} - k_0)}{\rho \sigma \tilde{k} + \alpha (\sigma_1 \rho - \lambda) (k_0 - \tilde{k})} $$

De plus, il existe une relation valable à l'état stationnaire entre le niveau de la créance et la répartition de la consommation :

$$ h = \frac{\rho}{\tilde{c}} \left[ \tilde{a}_1 + \frac{\tilde{k}_1}{\alpha} \right] $$
Ces deux relations indiquent que la créance à l'état stationnaire dépend de la créance initiale et des paramètres du modèle. Il en est de même de la répartition de la consommation à l'état stationnaire.

$$h = \frac{\rho}{\tilde{c}} \left[ \tilde{a}_1 + \frac{\tilde{k}_1}{\alpha} \right] = f(a_{10}, k_0, \alpha, \rho, \sigma_1, \sigma_2)$$

Si les agents ont les mêmes préférences, on obtient une relation linéaire entre la créance à la date 0 et la créance à long terme qui s'écrit :

$$\tilde{a}_1 = \frac{\sigma \rho \tilde{k} a_{10}}{\sigma \rho \tilde{k} + \alpha (\sigma \rho - \lambda)(k_0 - \tilde{k})}$$

L'évolution de la créance du pays 1 dépend de la dynamique du solde de la balance commerciale et des intérêts reçus de l'étranger. Le solde de la balance commerciale est plus complexe que dans le cas où les agents ont les mêmes préférences. En effet, le taux de croissance de la consommation n'est plus le même dans les deux pays. On montre en annexe que la dynamique de la balance commerciale est la suivante :

$$b\tilde{c}_1 = \frac{\tilde{c}}{c_t}bc_{1t} + \frac{\tilde{c}_1\tilde{c}_2(\tilde{c} - c_t)(\sigma_2 - \sigma_1)}{\sigma\tilde{c}c_t} \quad (9)$$

Le premier terme de droite de cette équation est le même que celui obtenu dans le cas où les pays ont les mêmes préférences. Il capte les effets qui jouent sur la balance commerciale des pays à taux de croissance de la consommation, du capital et de la production identiques dans les deux pays. Le second terme prend en compte l'écart entre les taux de croissance des consommations. En effet, on peut montrer que :

$$\frac{c_{1t} - \tilde{c}_1}{\tilde{c}_1} - \frac{c_{2t} - \tilde{c}_2}{\tilde{c}_2} = \frac{(\tilde{c} - c_t)(\sigma_2 - \sigma_1)}{\sigma \tilde{c}}$$

Supposons qu'initialement la balance commerciale du pays 1 est excédentaire. Si le pays 2 a un taux de croissance de la consommation plus grand que dans le pays 1, la balance commerciale de ce dernier s'améliore et reste excédentaire à l'état stationnaire. Inversement, si le pays 1 a un taux de croissance de sa consommation plus important que dans le pays 2, le signe de la balance commerciale à l'état stationnaire est indéterminé : il est possible que la balance commerciale s'améliore ou qu'elle se détériore. Si les taux de croissance des consommations sont voisins, la balance commerciale peut rester excédentaire. Sinon, elle devient déficitaire à partir d'une certaine date.
La dynamique de la balance commerciale d'un pays dont le solde est initialement excédentaire

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Si au contraire, on suppose que la balance commerciale du pays 1 est initialement déficitaire, la balance commerciale est d'autant plus déficitaire à long terme que le taux de croissance de la consommation est élevé dans le pays 1. Si l'élasticité de substitution est plus grande dans le pays 2, le solde de la balance commerciale est indéterminé à long terme. Le solde de la balance commerciale du pays 1 s'améliore ou se détériore.

La dynamique de la balance commerciale d'un pays dont le solde est initialement déficitaire

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Pour interpréter ces résultats, on remarque que deux effets jouent dans l'évolution de l'équation (9). D'une part, à taux de croissance de la consommation identique, si la balance commerciale du pays 1 est excédentaire à la date 0, elle s'améliore : son solde progresse. Dans l'autre pays, la balance commerciale est déficitaire et se détériore au cours du temps. En effet, à taux de croissance identique, c'est l'écart dans le niveau des variables qui compte. Si, à la date 0, la balance commerciale du pays 2 est déficitaire, son absorption est plus faible que sa production. Dans une économie où le
capital croît, la balance commerciale du pays 2 devient de plus en plus déficitaire tandis que celle du pays 1 est de plus en plus excédentaire. Le second effet est dû à l'écart entre les taux de croissance de la consommation. En effet, si la consommation croît à un rythme plus rapide dans le pays 1, la balance commerciale a tendance à se détériorer parce que les importations augmentent plus vite que les exportations : *a priori*, les importations vont augmenter plus vite dans le pays 1 que dans le pays 2. Ainsi, si la balance commerciale est initialement déficitaire, cet effet va accroître le déficit. Si au contraire, le solde est positif initialement, il se détériore. Il peut rester positif ou devenir négatif si les taux de croissance sont très différents. Si au contraire, la consommation croît plus vite dans le pays 2 que dans le pays 1, la balance commerciale du pays 1 a tendance à s'améliorer grâce à une augmentation plus forte des exportations que des importations de biens de consommation. Dans le cas où elle est initialement déficitaire, la balance commerciale du pays 1 s'améliore et peut devenir excédentaire. Si elle est initialement excédentaire, elle le deviendra de plus en plus.

L'évolution de la balance commerciale est donc plus riche lorsque les agents sont hétérogènes que lorsqu'ils ont les mêmes préférences. Deux effets se conjuguent : d'une part, en supposant que la consommation croît au même taux dans les deux pays, c'est l'écart entre les niveaux pris à une date quelconque qui détermine le signe de la balance commerciale. Cet effet détermine entièrement l'évolution de la balance commerciale quand les agents sont identiques. Le second effet est dû à l'écart des taux de croissance des consommations des pays. Il est d'autant plus fort que la différence entre les taux de croissance de la consommation est importante.

On a montré que la dynamique de la balance commerciale est monotone mais que le signe de son solde peut se modifier (une fois). Il peut être négatif et devenir positif et inversement. C'est l'écart entre les taux de croissance de la consommation qui entraîne cette dynamique. Ainsi, le changement de signe du solde de la balance commerciale a d'autant plus de chances de se produire que les élasticités de substitution sont très différentes.

L'équation (7) indique que la dynamique de la balance des opérations courantes dépend de celle de la balance commerciale et des intérêts de la créance.

Comme le capital croît, le taux d'intérêt diminue et les intérêts de la créance diminuent :

$$ \frac{\delta r_t}{\delta k_t} = - \frac{(1 - \alpha) \rho}{\tilde{k}} $$

Supposons que le pays 1 est créditeur à l'état stationnaire. Ceci implique que la balance commerciale est déficitaire à cette date parce que :

$$ \tilde{a}_1 = 0 = \rho \tilde{a}_1 + b \tilde{c}_1 $$
Comme la balance courante est équilibrée à l'état stationnaire, si son solde décroît au cours du temps, ceci signifie qu'elle était excédentaire à toutes les dates. Si son solde croît, ceci signifie qu'elle était déficitaire. On a vu que le taux d'intérêt décroît sans ambiguïté dans une économie en croissance tandis que l'évolution de la balance commerciale est plus complexe. Etudions les différents cas possibles<fnref n="7" /> :

1. - La consommation croît plus vite dans le pays 1 que dans l'autre pays. La balance commerciale du pays 1 déficitaire à l'état stationnaire se détériore au cours du temps. Initialement, il est possible qu'elle soit excédentaire ou déficitaire. Le taux d'intérêt diminue également. Le solde de la balance courante nul à l'état stationnaire est donc positif à toutes les dates précédentes et son solde décroît : la créance du pays 1 augmente de façon monotone à taux décroissant. Deux cas sont possibles selon le signe de la balance commerciale du pays 1 à la date 0 :

1.1. - La balance commerciale du pays 1 est déficitaire à la date 0. Ceci revient à écrire une condition sur la valeur de la créance à l'état stationnaire :

$$ \tilde{a}_1 > \frac{(\tilde{c} - c_0)(\sigma_1 - \sigma_2)\tilde{c}_1 \tilde{c}_2}{\rho c_0 (\sigma_1 \tilde{c}_1 + \sigma_2 \tilde{c}_2)} $$

Il reste à montrer que la créance, qui croît au cours du temps, est toujours positive. Sa valeur la plus faible est prise à la date 0. Or, à cette date, la balance commerciale est déficitaire tandis que la balance courante est excédentaire. La créance est donc nécessairement positive : le pays 1 investi dans le pays 2 pour financer le déficit de sa balance commerciale.

$$ \dot{a}_{10} = bc_{10} + r_0 a_{10} > 0 $$

<footnote n="7">⁷ On suppose par la suite que le pays 1 est créancier à l'état stationnaire</footnote>
L'évolution de la créance, de la richesse et de la balance commerciale du pays 1

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

1.2. - Le second cas possible est le cas où la balance commerciale est excédentaire à la date 0. La créance à la date initiale peut alors être positive ou négative :

$$ \dot{a}_{10} = bc_{10} + r_0 a_{10} > 0 $$

La situation financière du pays 1 est soit une faible dette soit une créance.

Ainsi, si la consommation croît plus vite dans le pays 1 que dans le pays 2, le pays 1 créditeur à l'état stationnaire l'est à toutes les dates si sa balance commerciale est déficitaire à la date 0. Sinon, ce pays, qui initialement était peut-être endetté, devient créancier.
L'évolution de la créance, de la richesse et de la balance commerciale du pays 1 : deux
cas possibles

Cas 1 : le pays est initialement créditeur

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

cas2 : le pays est initialement endetté

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

2. Supposons que la consommation croît moins vite dans le pays 1 que dans l'autre pays. La balance commerciale du pays 1 est déficitaire à l'état stationnaire pour les mêmes raisons que précédemment. Cela impose qu'elle soit déficitaire à la date initiale mais plusieurs dynamiques sont néanmoins possibles. Si elle s'améliore, cela signifie que la consommation croît à un rythme beaucoup plus rapide dans le pays 2 et que la balance commerciale de ce dernier se détériore pour cette raison. La balance commerciale du pays 1 s'améliore. Comme elle est déficitaire à l'état stationnaire, ceci signifie qu'elle l'était davantage auparavant. Si elle se détériore alors que la consommation croît plus vite dans l'autre pays ce qui a un effet favorable sur la balance commerciale du pays 1, c'est parce que en niveau ce dernier consomme plus que l'autre pays. Si les agents étaient identiques, la balance commerciale se
détériorerait davantage. Comme la dynamique de la balance courante dépend de celle de la balance commerciale et de celle du taux d'intérêt, plusieurs cas apparaissent :

2.1. Si le solde de la balance commerciale se détériore tout comme le taux d'intérêt, la balance courante se détériore également. Comme le solde de cette dernière est nul à l'état stationnaire, cela signifie qu'il était positif à toutes les dates précédentes : la créance du pays 1 augmente. Il reste à savoir si la situation financière du pays 1 est toujours positive c'est-à-dire s'il détient une créance sur l'autre pays à toutes les dates. A la date 0, on a la relation suivante :

$$ \dot{a}_{10} = r_0 a_{10} + bc_{10} $$

La balance commerciale est déficitaire alors que la balance courante est excédentaire. Le pays détient nécessairement une créance à la date 0. Ainsi, le pays 1 détient une créance sur l'autre pays qui croît au cours du temps. Le pays 2 est donc débiteur.

## La dynamique de la créance, de la richesse et de la balance commerciale dans le pays 1

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

2.2. - La dynamique de la créance du pays 1 est différente si la balance commerciale s'améliore. Deux effets opposés déterminent l'évolution de la balance courante et de la créance. Le taux d'intérêt diminue tandis que la balance commerciale s'améliore. Deux situations sont envisageables :

2.2.1. - Si l'évolution de la balance commerciale domine celle du taux d'intérêt, la balance des opérations courantes s'améliore. Etant équilibrée à l'état stationnaire, ceci signifie qu'elle était négative aux autres dates. La créance du pays 1 diminue vers son niveau de long terme. Dans ce cas, on a :
$$ \frac{\delta bc_{1t}}{\delta k_t} + \frac{\delta r_t}{\delta k_t} \tilde{a}_1 > 0 $$

Ceci revient à écrire une condition sur la créance à l'état stationnaire :

$$ \tilde{a}_1 < \frac{(\sigma - \sigma_1) \rho \tilde{k}_1}{(\sigma_1 \rho - \lambda) \alpha} \quad (C1) $$

Comme on a supposé que la créance à l'état stationnaire est positive et qu'elle décroît, elle est toujours positive.

## La dynamique de la créance, de la richesse et de la balance commerciale dans le pays 1

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

2.2.2. - Dans le cas où la balance commerciale s'améliore moins que ne diminue le taux d'intérêt, la balance courante se détériore. La condition suivante est alors vérifiée :

$$ \frac{\delta bc_t}{\delta k_t} + \frac{\delta r_t}{k_t} \tilde{a}_1 < 0 \Leftrightarrow \tilde{a}_1 > \frac{(\sigma - \sigma_1) \tilde{k}_1 \rho}{\alpha (\sigma_1 \rho - \lambda)} \quad (C2) $$

Comme la balance courante se détériore, son solde est positif à toutes les dates et la créance du pays 1 augmente. A la date 0, la balance courante est excédentaire tandis que la balance commerciale est déficitaire, la créance à cette date est nécessairement positive. Le pays est initialement créditeur et sa créance croît vers sa valeur de long terme.
La dynamique de la créance, de la richesse et de la balance commerciale dans le pays 1

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

3. Conclusion

Supposer que les agents n'ont pas tous les mêmes préférences permet d'introduire de l'hétérogénéité dans le comportement des agents. N'ayant pas la même élasticité de substitution, ils réagissent différemment à une hausse des prix entre deux périodes. Cette hypothèse permet de montrer que certains résultats obtenus précédemment étaient peu généraux.

D'une part, la détermination de la dynamique de l'économie mondiale et la répartition du capital entre les pays ne sont plus indépendantes de la répartition des richesses entre les pays. Elles se modifient si la répartition de la consommation change. Cependant, leurs valeurs de long terme dépendent uniquement des paramètres du modèle. Lorsque la répartition de la consommation est modifiée, la vitesse d'ajustement de ces variables change mais l'état stationnaire est invariant. La dynamique de l'économie mondiale est donc déterminée conditionnellement à la répartition de la consommation. Ainsi, le bloc concernant l'économie mondiale ne contient pas de racine unitaire mais reste subordonné au reste du modèle.

D'autre part, la différence de taux de croissance dans la consommation conduit à une dynamique de la balance commerciale plus riche que dans le cas où les agents sont identiques. Un pays dont la balance commerciale est excédentaire peut devenir importateur net et réciproquement. Comme l'évolution de la créance dépend à la fois de la dynamique du taux d'intérêt et de celle de la balance commerciale, elle est plus complexe que précédemment. Un pays initialement débiteur peut devenir créditeur. Le pays investi à l'étranger et vend des marchandises pour rembourser ses intérêts. Puis, il devient créditeur et continue d'investir à l'étranger. Le pays 2 est alors d'abord débiteur puis créditeur. Cependant, cette évolution est monotone : le signe de la balance courante ne peut être modifié qu'une seule fois : tout cycle de la balance des paiement est exclu.
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# ANNEXE 1: dynamique du solde de la balance commerciale

Notons $bc_{1t}$ le solde de la balance commerciale du pays 1 à l'instant $t$ et $b\tilde{c}_1$ ce solde à l'état stationnaire. On a :

$$bc_{1t} = y_{1t} - c_{1t} - i_{1t} \quad (1)$$

$$bc_{2t} = -bc_{1t} = y_{2t} - c_{2t} - i_{2t} \quad (1')$$

On additionne ces deux équations :

$$2bc_{1t} = y_{1t} - y_{2t} - (c_{1t} - c_{2t}) - (i_{1t} - i_{2t}) \quad (2)$$

A l'état stationnaire, l'investissement est nul :

$$2b\tilde{c}_{1t} = \tilde{y}_1 - \tilde{y}_2 - (\tilde{c}_1 - \tilde{c}_2) \quad (2')$$

Le taux de croissance du produit est le même dans les deux pays et le marché des biens est équilibré à chaque instant :

$$\frac{y_{1t}}{\tilde{y}_1} = \frac{y_{2t}}{\tilde{y}_2} = \frac{y_t}{\tilde{y}} = \frac{c_t + i_t}{\tilde{y}}$$

Donc :

$$2bc_{1t} = \frac{c_t}{\tilde{c}}(\tilde{y}_1 - \tilde{y}_2) - (c_{1t} + c_{2t}) + \frac{2(i_{2t} - \tilde{y}_1 - i_{1t} \tilde{y}_2)}{\tilde{y}}$$

On peut montrer que le second terme de droite est nul. Ceci est du d'une part parce que le taux d'accumulation du capital est le même dans les deux pays et d'autre part parce que la part du capital investi dans un pays est toujours la même.

$$\frac{i_{2t} \tilde{y}_1 - i_{1t} \tilde{y}_2}{\tilde{y}} = 0$$

A l'état stationnaire, la balance commerciale s'écrit :

$$2b\tilde{c}_1 = \tilde{y}_1 - \tilde{y}_2 - \tilde{c}_1 + \tilde{c}_2$$

On obtient alors :

$$2bc_{1t} = \frac{c_t}{\tilde{c}}(\tilde{c}_1 - \tilde{c}_2) - (c_{1t} - c_{2t}) + \frac{2c_t}{\tilde{c}}b\tilde{c}_1$$
Ce qui peut encore se réécrire :

$$bc_{1t} = \frac{c_t}{\tilde{c}} b \tilde{c}_1 + \frac{\tilde{c}_1 c_{2t} - \tilde{c}_2 c_{1t}}{\tilde{c}}$$

Les taux de croissance de la consommation sont proportionnels et on a montré que la dynamique de la consommation dans chaque pays peut s'écrire de la façon suivante :

$$\frac{c_{1t} - \tilde{c}_1}{\sigma_1 \tilde{c}_1} = \frac{c_{2t} - \tilde{c}_2}{\sigma_2 \tilde{c}_2} = \frac{c_t - \tilde{c}}{\sigma_1 \tilde{c}_1 + \sigma_2 \tilde{c}_2}$$

En définitive, la dynamique de la balance commerciale s'écrit :

$$bc_{1t} = \frac{c_t}{\tilde{c}} b \tilde{c}_1 + \frac{(c_t - \tilde{c})(\sigma_2 - \sigma_1) \tilde{c}_1 \tilde{c}_2}{(\sigma_1 \tilde{c}_1 + \sigma_2 \tilde{c}_2) \tilde{c}}$$