<table><tr><td>Anne<br>(note 10.6)</td><td>Dans l'exercice 1, elle a défini u<sub>n</sub> dans [HOME] et calculé les quatre premières valeurs de la suite (exercice raté, elle trouve la suite arithmétique en remplaçant u<sub>n</sub> par u<sub>0</sub> dans le calcul de u<sub>n+1</sub>-u<sub>n</sub>, conclut de v<sub>n+1</sub>=-3u<sub>n</sub>+3/2 que v<sub>n</sub> est géométrique de raison -3. Dans l'exercice 2, elle a défini et fait tracer f, vérifié le calcul de f' et utilisé l'application [TABLE] pour aider le tracé P/C.</td></tr><tr><td>Charles<br>(7.5)</td><td>Exercice 1 : il a entré u<sub>n</sub> dans [Y=] et fait tracer la suite. Il n'a pas fait l'exercice 2.</td></tr><tr><td>Francis<br>(17.5)</td><td>Il a utilisé la calculatrice uniquement dans l'exercice 2 pour faire tracer f. Il dit : « il y a des moments où je perds un peu de temps en utilisant la calculatrice. je ne sais pas comment je me débrouille... Je préfère ne pas trop l'utiliser. »</td></tr><tr><td>Françoise<br>(9.5)</td><td>Dans l'exercice 1, elle ne s'en sert que pour de petits calculs. Dans l'exercice 2, elle dit s'en être beaucoup servie : vérification du calcul de la dérivée, prise de valeurs dans [TABLE] pour le tracé et contrôle du tracé.</td></tr><tr><td>Georges<br>(17.5)</td><td>Dans l'exercice 1, il rentre la suite dans [Y=] et fait calculer les premiers termes pour contrôler son calcul P/C, mais rencontre des problèmes de décalage d'indices. Dans la dernière question, il est aussi troublé par le fait que la machine lui donne un résultat aussi grand alors que « les termes passant alternativement du plus au moins, donc, quand on fait une somme de termes, ça doit être proche de 0, parce que les termes vont s'annuler... ça peut pas être si grand ». Une erreur de calcul dans le passage de la somme des v<sub>n</sub> (expression correcte) à celle des u<sub>n</sub> l'a conduit à la valeur 1 181 005, mais la réponse correcte : -59043 aurait pu le choquer tout autant. Il n'arrivera pas à corriger son erreur. Pour l'exercice 2, il s'en sert pour le calcul de la dérivée et sa factorisation, ensuite pour contrôler le tableau de variation en faisant tracer f et repère une erreur (il avait considéré à tort la fonction comme une fonction paire) qu'il corrige. Au total, il estime quand même que la machine l'a aidé.</td></tr><tr><td>Gérard<br>(10.5)</td><td>Dans l'exercice 1, il a entré la suite puis utilisé un programme personnel sur les suites récurrentes pour calculer les premières valeurs, ensuite il essaie de trouver les raisons en utilisant les formules générales des suites arithmétiques et géométriques qu'il a aussi entré en machine, n'y arrive pas et abandonne. Dans l'exercice 2, il l'utilise pour vérifier le calcul de dérivée et tracer la courbe. Il estime globalement que la machine l'a aidé, qu'elle aurait pu l'aider plus dans le premier exercice s'il avait avancé davantage.</td></tr><tr><td>Serge<br>(13.5)</td><td>Il n'y a pas d'utilisation dans l'exercice 1 traité jusqu'au calcul de v<sub>n</sub> en fonction de n.. Dans l'exercice 2, il l'a beaucoup utilisée : définition de f, calcul de f(x+2π) et de f', essai sans succès de résolution de cos(x)≤cos(0), utilisation de [GRAPH] pour aider le tracé en P/C.</td></tr><tr><td>Vincent<br>(9.5)</td><td>Dans l'exercice 1: définition de la suite dans [Y=] et lecture dans [TABLE] des premières valeurs (ne va pas au-delà du calcul de v<sub>1</sub>). Dans l'exercice 2 : définition de f, calcul et tracé de f', utilisation du tracé de f' pour remplir le tableau de variation de f, tracé de f et utilisation de [TABLE] pour aider le tracé P/C.</td></tr></table>

Donc, en résumé, on observe chez beaucoup d'élèves un schéma commun d'utilisation de la TI92 pour l'étude de variations de l'exercice 2 : contrôle de la dérivée, du tableau de variation, prise de valeurs dans [TABLE] pour aider le tracé. Même s'ils ne sont pas à l'aise avec la résolution des inéquations trigonométriques, les élèves semblent conscients du peu d'aide que peut leur apporter la machine à ce niveau. La factorisation de la dérivée, qui était donnée dans le texte, est faite directement à la main. On notera cependant les utilisations singulières dans
un sens ou dans l'autre : l'utilisation limitée de Francis, bien dans la ligne de ses rapports à la machine, l'utilisation de Serge qui essaie de gérer avec la machine la périodicité et une inéquation trigonométrique d'ailleurs erronée, bien conforme avec son rapport à la machine là encore et celle de Vincent qui exploite directement le tracé de $f'$ pour l'élaboration du tableau de variation. Pour l'étude des suites de l'exercice 1, les disparités observées montrent la nouveauté du sujet et le fait que l'instrumentation est encore embryonnaire. Là encore, on notera l'utilisation de Gérard qui atteste sa personnalisation de la machine par l'entrée de formules générales qui ici sont loin en fait de lui favoriser la résolution.

## Synthèse entretiens 3

Le comportement en contrôle spécifique (partie 1) montre que l'utilisation de la TI92 pour contrôler le résultat de la dérivation d'une fonction trigonométrique n'est pas encore mûre pour beaucoup d'élèves. En revanche, ils ont une utilisation standard et raisonnable dans l'étude de la fonction. Le contrôle commun (partie 3) révèle des disparités dans l'instrumentation de la TI92 pour l'étude des suites. C'est sans aucun doute lié à la nouveauté du sujet. De plus, cette instrumentation ne se situe pas complètement en continuité de celle des fonctions, comme l'ont montré certaines difficultés rencontrées pendant les observations sur ce domaine. L'utilisation en contrôle spécifique et en contrôle commun montre qu'il y a eu dans les deux classes une progression réelle de l'instrumentation des élèves dans l'étude des fonctions fractions rationnelles habituellement considérées.

Dans la partie 2 de l'entretien, on ne peut que constater la déstabilisation produite par le choix d'une fonction trigonométrique et par le dispositif adopté.

Sur l'ensemble de cette étude de fonction, les élèves manifestent peu de connaissance des fonctions trigonométriques. Les propriétés sont difficilement conjecturées sur le graphique et laborieusement exprimées algébriquement. Ainsi, il n'y a pas transfert de l'étude de variations à partir de l'expérience des fonctions polynômes ou fractions rationnelles. Le calcul symbolique avec la TI92 aide peu. L'élève peut obtenir une justification formelle de la propriété qui "n'explique rien", ou même un résultat faux, comme celui des zéros de la dérivée.

Cette situation montre que les stratégies, les techniques élaborées, les modes de raisonnement mis en place restent fragiles et que la prise en charge par la TI92 des calculs dans des situations plus complexes ne suffit pas à ramener ces dernières dans la zone de maîtrise des élèves. La progression de l'instrumentation supposerait une progression parallèle des connaissances mathématiques.

## Synthèse des observations sur chaque élève

Les neuf élèves de la classe A et les sept élèves de la classe B ont été présentés au début de ce chapitre, à partir des données fournies par le professeur et de leurs réponses au premier questionnaire. Pour chacun de ces élèves, nous avons regroupé en annexe 3 les données obtenues à partir des réponses aux questionnaires et au cours des entretiens. La synthèse qui suit permet d'apprécier le parcours de chacun des 16 élèves dans son apprentissage des mathématiques avec la TI92.
### Anne

Lors du premier entretien, l'utilisation de la TI92 pour l'étude de la fonction a été de type « calculatrice graphique ». Elle a ensuite évolué lentement à travers l'investissement croissant de [HOME] (utilisation de Zeros ou calcul des ordonnées des extrema lors de l'entretien 2, puis démonstration de la parité lors du troisième entretien), mais même en fin d'année l'instrumentation de l'application [HOME] reste encore limitée ainsi que la maîtrise de l'articulation entre le travail-machine et le travail en Papier/Crayon. Anne a été la seule à ne pas considérer les multiples de π (excepté pour la période) lors du troisième entretien.

### Charles

Malgré un rapport positif à la machine, Charles n'est pas arrivé à avoir une bonne instrumentation. Cela semble être dû au fait que des connaissances mathématiques n'étaient pas disponibles (« signe de $(x+3)^2 = \text{signe de } (x+3)$ » lors du 2ème entretien). Cependant l'utilisation de la machine a très légèrement évolué durant l'année, avec la disparition d'erreurs de syntaxe, l'investissement -bien qu'insuffisant- de [HOME] (Etude de la périodicité lors du 3ème entretien) et la mobilisation de [GRAPH] comme outil de contrôle (entretien 2). Mais l'instrumentation de la TI92 n'a pas dépassé le niveau 1 (utilisation de niveau 1 de [HOME], lecture graphique primitive, utilisation brute de [TABLE]). Notons enfin l'absence d'utilisation des zooms.

### Francis

Lors des deux premiers entretiens, Francis a adopté une stratégie de type « calculatrice graphique » basée exclusivement sur les tracés, pour étudier les variations de la fonction, avec cependant un investissement de l'application [HOME] au second entretien pour le contrôle des extrema. Lors du troisième entretien, il a basculé vers un travail exclusivement Papier/Crayon pour démontrer la périodicité et la parité. Tout au long de ces entretiens, Francis n'a donc pas réussi à trouver un équilibre entre le travail-machine et le travail en P/C, sachant qu'il a eu une instrumentation privilégiant l'application graphique dont il utilise une variété de commandes.

### Françoise

Nous remarquons que tout au long des entretiens, Françoise a développé une stratégie pour l'étude de variations où la phase de recherche se résume au tracé de la courbe, et où la phase de preuve se déroule essentiellement en Papier/Crayon et s'articule prudemment avec le module [HOME] (calcul de dérivée et calculs numériques). Enfin l'application [TABLE] n'a été investie qu'au second entretien pour le contrôle du tableau de variation (avec un changement de [TbISet] ).

### Georges

L'instrumentation a été indéniablement riche. En effet :

- L'application [HOME] a été très souvent mobilisée, de manière précoce (dès le premier entretien) et relativement efficace, avec une articulation P/C bien dosée intervenant généralement comme relais au travail-machine quand une connaissance des commandes n'était pas disponible (simplification du résultat-machine concernant la périodicité au troisième entretien), ou quand la résolution était moins coûteuse en P/C (étude du signe du trinôme au second entretien).
-L'application [GRAPH] a été sollicitée essentiellement pour le contrôle, avec une lecture graphique assez élaborée, basée sur une utilisation efficace de Trace et des zooms (surtout ZoomBox et ZoomFit)

-L'application [TABLE] quant à elle, n'a jamais été utilisée (excepté pour le tracé de la courbe en P/C); ce qui aurait permis à Georges un gain de temps (notamment pour le calcul des valeurs de f et de f' en certains points) et une articulation plus aérée.

En ce qui concerne la stratégie pour l'étude de la fonction, elle était déjà stable au premier entretien : Calcul de f', recherche des racines et détermination du signe à l'aide de [HOME] avec un contrôle dans [GRAPH].

Remarque : Lors du premier entretien, la machine a répondu $f'(0) = -\infty$ et Georges a noté $-\infty$ sur son tableau de variation en-dessous de 0. Au second entretien, et bien que la machine ait affiché $f'(-3) = -\infty$, Georges a mis une double-barre $\parallel$ en-dessous de -3 dans le tableau de variation.

## Gérard

Bien qu'ayant un rapport très positif aux technologies informatiques, Gérard a eu une instrumentation limitée privilégiant le graphique. Ceci semble être dû à la non disponibilité de certaines connaissances mathématiques. En effet, au premier entretien il a considéré que la fonction dérivée donnée par la machine ($f'(x) = 2x - \frac{9}{x^2} + 7$) était un trinôme du second degré et en a déduit le signe sans même chercher les racines. Au contrôle spécifique, il n'a pas calculé la dérivée et s'est basé sur [TABLE] pour étudier les variations de f. Par ailleurs, l'application [HOME] n'a pas vraiment été intégrée à l'étude des variations d'une fonction (les commandes Zeros ou Solve n'ont jamais été investies).

Notons cependant qu'il y a eu une légère évolution au troisième entretien, avec l'utilisation de F5-Maximum, de F5-Minimum et de ZoomFit et l'investissement de [HOME] pour la détermination du signe de la dérivée.

Remarque : Gérard a été le seul à ne pas avoir calculé la dérivée pendant le contrôle spécifique, et également le seul à ne jamais avoir utilisé Zeros ou Solve lors des entretiens.

## Michel

Michel est un bon élève mais il a un rapport négatif aux technologies informatiques, ceci explique son « boycottage » du contrôle spécifique et du troisième entretien. Cependant, au cours de chacun des deux entretiens auxquels il a participé, il a utilisé de manière efficace ses connaissances de la machine et a réussi à chaque fois à bien articuler le travail-machine et le travail en Papier/Crayon, preuve qu'avec de bonnes connaissances mathématiques on peut arriver à instrumenter correctement la TI92, et cela malgré un rapport négatif à la machine.

Remarque : « Faire des mathématiques avec la TI92, c'est pareil. Cela ne change en rien mon avis sur les maths » (réponse de Michel aux questions 30 et 31 du deuxième questionnaire).

## Serge

Dès le premier entretien Serge semble avoir une démarche stable pour l'étude des variations, utilisant la machine en exclusivité. Il a cherché les racines de la dérivée dans [HOME], fait tracer
f et f' avant de déterminer le signe de la dérivée que ce soit par le parcours de [TABLE] (avec des adaptations du pas), ou par une lecture graphique (à l'oeil nu ou à l'aide de *Trace*), en se basant sur l'alternance des signes. Lors du troisième entretien, il a commencé à articuler, et de manière satisfaisante, son travail-machine avec le travail en P/C (étude de la parité et de la périodicité de la fonction dans [HOME] et en P/C).

**Remarque :** Avec Francis, Serge est le seul élève :

* à ne rien noter sur la feuille lors du premier entretien.

* à ne pas avoir traité le trinôme du second degré en P/C, lors du deuxième entretien.

## Vincent

Pour l'étude d'une fonction, Vincent possède une stratégie standard Papier/Crayon qui semble résister à l'utilisation de TI92. En effet, les calculs de dérivée à la machine sont à chaque fois refaits à la main, et à la moindre occasion (présence d'une équation du second degré ou étude de la périodicité) Vincent semble opter pour un travail en Papier/Crayon. Ceci pourrait s'expliquer par le fait qu'il n'avait pas vraiment un rapport positif aux technologies informatiques.

**Remarque :**

* Lors du premier entretien, Vincent calcule tout d'abord la dérivée à la TI92. Ensuite, il développe $f(x)$ à la main avant de re-calculer la dérivée, toujours à la main.

* « *A cause de la calculatrice on ne calcule plus à la main, mais grâce à la calculatrice les calculs vont plus vite* » (Réponse de Vincent à la question 42 du premier Questionnaire)

## Alice

Alice rencontre à la fois des difficultés à instrumenter la TI92 et avec les mathématiques elles-mêmes. De façon générale, elle a des difficultés avec les machines, même si elle "voudrait bien" en avoir une utilisation experte. Elle a tenté de l'utiliser assez systématiquement. Par exemple, elle fait les calculs d'abord avec la TI92, ou considère d'abord l'écran graphique avant l'étude algébrique des fonctions. Mais elle est vite bloquée par l'insuffisance de ses connaissances mathématiques, et la TI92 lui apporte peu d'aide. Ses tentatives d'instrumentation se soldent donc par un échec, et elle exprime sa déception à la fin de l'année.

## Franck

Franck manifeste une bonne instrumentation de la TI92 et des capacités mathématiques. Cette instrumentation est préparée à la fois par une utilisation de l'ordinateur et de la calculatrice qu'il possédait antérieurement. Il en a une utilisation équilibrée, en cours, en contrôle, à la maison. Il reconnaît ses limites, en particulier en trigonométrie. Il insiste sur l'apport de la TI92 au cours, à la réflexion et aussi à la compréhension et à l'apprentissage.

## Julien

Julien manifeste à la fois une bonne instrumentation de la TI92 et des capacités mathématiques. Son instrumentation est préparée à la fois par une utilisation de l'ordinateur et de la calculatrice qu'il possédait antérieurement. Il réussit très bien les contrôles habituels, mais a rencontré des difficultés en contrôle spécifique à l'usage de la TI92. En fait, à la
différence de Jean et Franck, son instrumentation de la TI92 paraît assez indépendante de ses capacités mathématiques. Il fait plus confiance à sa propre réflexion qu'aux résultats de la TI92. C'est particulièrement vrai en ce qui concerne le graphisme dont il se méfie et avec lequel il peut avoir des difficultés de gestion et d'interprétation.

### Jean

Jean manifeste une bonne instrumentation de la TI92 et des capacités mathématiques. Cette instrumentation est préparée par une utilisation de l'ordinateur, plus que de la calculatrice qu'il possédait antérieurement. Il manifeste à plusieurs reprises une bonne coordination graphique/algèbre. Il insiste sur l'apport de la TI92 au cours et à la réflexion. En contrôle, il rencontre des difficultés à mettre en œuvre ses capacités en contrôle et à utiliser la TI92.

### Marie

Chez Marie le travail mené avec la TI92 contraste avec sa plus grande aisance dans le travail mathématique habituel. Ses capacités mathématiques lui permettent parfois une interprétation plus aisée du graphique que d'autres élèves, mais dans l'ensemble, la TI92 lui apporte peu d'aide et son instrumentation est plutôt faible. Marie voit l'intérêt de la TI92 comme outil de calcul et non comme aide à l'apprentissage.

### Pierre

Pierre est celui qui manifestement retire le plus de profit, à la fois objectivement et subjectivement, de l'introduction de la TI92. Il a l'instrumentation la plus complète de la machine, et ses capacités mathématiques progressent en même temps que cette instrumentation. L'instrumentation est préparée par une utilisation de l'ordinateur et de la calculatrice qu'il possédait antérieurement et s'appuie sur de bonnes bases subjectives. Bien sûr, ce bilan est à mettre en relation avec la situation de redoublant de Pierre, et il est intéressant de constater comment l'instrumentation de la TI92 peut accompagner une démarche d'affermissement des connaissances sur des notions déjà rencontrées l'année précédente.

### Sabine

Chez Sabine, l'instrumentation de la TI92 paraît dominée par ses habitudes de travail mathématique, et ses limitations dans cette discipline. Elle varie peu au cours de l'année. Sérieuse, Sabine prépare de nombreux exercices pour s'entraîner avant les contrôles. Peu sûre d'elle, elle apprécie d'avoir le résultat avec la TI92. Par contre, elle a peu de capacités et d'initiative en dehors de cette pratique. Sa lenteur, et son manque de souplesse empêchent une utilisation efficace en recherche de problème et en contrôle. Elle apprécie peu le travail en classe mené à l'aide de la calculatrice.
# Synthèse des observations réalisées par entretiens dans chaque classe

La synthèse porte sur l'instrumentation de la TI92 par les 16 élèves observées. Elle est présentée de façon différente dans les deux classes.

Dans la classe A, deux niveaux d'instrumentation des applications [GRAPH] et [TABLE] d'une part, et de l'application [HOME] d'autre part sont distingués. Pour une tâche précise comme l'étude de variations, les niveaux d'instrumentation se conjuguent pour permettre l'apparition des stratégies d'utilisation de la TI92. Nous avons ainsi identifié trois stratégies ordonnées du graphique au formel.

Dans la classe B, nous tentons des regroupements d'élèves, en fonction du caractère plus ou moins achevé de l'instrumentation. Mais comme il faut quatre groupes pour les sept élèves, cette tentative témoigne surtout de la variété des rapports entre instrumentation de la TI92 et développement des connaissances mathématiques.

Ces deux approches complémentaires permettent de tirer des conclusions communes.

## Classe A

Le début de l'instrumentation se traduit par un rapport à la machine dominé par les rapports à la calculatrice graphique qui se sont mis en place dans le cadre d'une étude des variations sans dérivée, les applications [GRAPH] et [TABLE] y jouant, dans une moindre mesure, un rôle essentiel. C'est par le tracé que l'on repère visuellement et qualitativement les variations, et c'est par [TABLE] et éventuellement par la commande *Trace* de [GRAPH] qu'on les quantifie. Même ici, on peut distinguer plusieurs niveaux d'instrumentation :

*Niveau 1* : qui se caractériserait par une lecture directe visuelle de [GRAPH] et une utilisation de [TABLE] sans ajustement.

*Niveau 2* : qui se caractériserait par une lecture quantifiée à l'aide de *Trace*, ou ajustée par changement efficace de fenêtre (zooms, ...), une utilisation de [TabSet].

Dans le cadre de ces rapports que nous qualifierons de type « calculatrice graphique », l'utilisation de la TI92 et l'introduction des dérivées vont ouvrir de nouvelles possibilités conduisant à d'autres niveaux d'instrumentation, à savoir :

- la possibilité de tracer non seulement *f* mais aussi *f'* et de faire intervenir des lectures graphiques -soit directement visuelles, soit instrumentées- et numériques conjointement sur *f* et *f'*.

- une utilisation des commandes du menu *F5-Math* au-delà de la seule commande *Trace* pour quantifier l'étude des variations.

Ces possibilités, on le voit, sont saisies différemment par les élèves (surtout ceux ou celles qui ont un rapport très positif aux technologies informatiques sans être très matheux), mais ce qui nous semble être l'évolution essentielle dans l'instrumentation, est celle qui se traduit par l'investissement de l'application [HOME] et son articulation efficace avec les autres applications.

Là encore, différents niveaux peuvent être distingués :
Niveau 1 : [HOME] est utilisée pour définir la fonction, calculer sa dérivée, et éventuellement les zéros de la dérivée, mais l'aide que peut fournir la connaissance des zéros de la dérivée pour l'étude du sens de variation n'est pas clairement perçue (hormis les automatismes liés à la gestion du trinôme du second degré), et [HOME] n'est pas sollicitée pour le calcul de valeurs particulières.

Niveau 2 : [HOME] est cette fois-ci efficacement utilisée, au moins des cas simples, pour l'étude du signe de $f'$ (en articulation avec le travail P/C) mais aussi pour obtenir des valeurs particulières en mode exact, et éventuellement pour tester des points critiques relatifs à la fonction ou à sa dérivée (se substituant progressivement à [TABLE] dans ce rôle). Les applications [GRAPH] et [TABLE] sont alors investiesessentiellement d'une fonction de contrôle, et c'est notamment [HOME] et le P/C qui prennent en charge la justification.

Compte tenu des différents facteurs identifiés ci-dessus, dont le jeu se conjugue dans l'instrumentation de la machine, de façon différente visiblement suivant, comme nous l'avons dit, les profils mathématique et technologique des élèves, il nous semble possible d'identifier dans l'étude des variations trois grandes classes de stratégies en plus des stratégies P/C, reposant sur un certain nombre de techniques instrumentées :

1-des stratégies de type calculatrice graphique pré-analyse

### Légende

<figure><img src="image_346.png" /></figure>

Calcul de $f'$

<figure><img src="image_347.png" /></figure>

Détermination du signe de $f'$ (ou des variations de $f$)

<figure><img src="image_348.png" /></figure>

Détermination des zéros de $f'$ (ou des extrema de $f$)

<figure><img src="image_349.png" /></figure>

Contrôle

<figure><img src="image_350.png" /></figure>

**Exemple** : Cas de Gérard lors du contrôle spécifique, où il a eu une instrumentation de [GRAPH] de niveau 2 (utilisation des commandes F5-Maximum et ZoomFit)

<figure><img src="image_351.png" /></figure>

2-des stratégies à dominante calculatrice graphique mais intégrant la dérivée
<figure><img src="image_352.png" /></figure>

**Exemple :** Cas de Anne lors du premier entretien, où elle a une instrumentation de niveau 1.

<figure><img src="image_353.png" /></figure>

3-des stratégies à dominante calcul formel

<figure><img src="image_354.png" /></figure>

**Exemple :** Cas de Georges lors de l'entretien 1, où l'instrumentation a été de niveau 2 (utilisation des commandes Zeros et calculs de valeurs particulières dans [HOME], ainsi que des commandes Trace, ZoomOut et ZoomBox).

<figure><img src="image_355.png" /></figure>

Ces stratégies peuvent donc être utilisées pour situer les élèves à un moment donné.

Soulignons qu'un travail analogue peut être effectué par rapport au concept de limite et mis en rapport avec la thèse de L. Trouche (1997), mais avec la différence essentielle que contrairement à l'étude du sens de variation, la machine donne directement les limites.

## Classe B

Nous repérons parmi les 7 élèves de la classe B quatre groupes d'élèves, différenciés selon le degré d'instrumentation de la TI92
* Alice a l'instrumentation la plus faible, et en même temps les difficultés mathématiques les plus importantes. D'une part, elle manque de souplesse dans son utilisation de la machine (mémoire, modules...) d'autre part, ses limites mathématiques l'empêchent de dépasser le niveau de la lecture du résultat ou du graphisme.

* Sabine et Marie ont une instrumentation assez faible, liée aux limites de leur utilisation de la TI92. Ces limites coexistent, chez Sabine, avec des difficultés mathématiques qui existent moins chez Marie.

* Julien a une bonne instrumentation, mais elle semble peu influer sur le développement de ses capacités mathématiques. Réussissant bien sans machine, il considère comme secondaire la contribution de la TI92, et fait plus confiance à ses calculs ou à son raisonnement.

* Jean, Franck et Pierre ont une bonne ou très bonne instrumentation. Ils ont une utilisation équilibrée, en cours, en contrôle, à la maison. Ils savent aussi en reconnaître les limites. Subjectivement, ils discernent des apports plus larges de la TI92, dans le domaine des apprentissages et de la compréhension. Cependant, chez Jean, cette instrumentation ne suffit pas à compenser ses difficultés en temps limité et à lui assurer la réussite en terme de note aux contrôles. En revanche, il semble bien que Pierre ait, dans son expérience de redoublant, tiré un profit important de l'utilisation de la TI92.

Cette tentative de regroupement témoigne surtout de la variété des rapports entre instrumentation de la TI92 et apprentissages mathématiques. Alice a des difficultés en général avec les machines, et, de plus, son manque de connaissances mathématiques est un handicap à son instrumentation. Les connaissances plus affirmées de Marie ne suffisent pas, par ailleurs à lui assurer une instrumentation meilleure que celle de Sabine, qui rencontre des difficultés mathématiques. La bonne instrumentation de Julien n'a pas de rapport apparent avec son succès en mathématiques. Au contraire, la bonne ou très bonne instrumentation de Jean, Franck et Pierre s'élabore en cohérence avec le développement de leurs connaissances mathématiques.
Interprétation

L'analyse du travail des élèves dans les entretiens et le contrôle spécifique, et de son évolution
au cours de l'année montre en premier lieu la lenteur avec laquelle se met en place, pour la
plupart des élèves, ce que l'on pourrait considérer comme une instrumentation efficace et
économique de la machine : organisation de la répartition du travail entre P/C et machine -
choix des applications et des commandes - interprétation et exploitation des productions de la
machine.

Dans presque tous les entretiens, le décalage entre les stratégies de résolution décrites a priori et les stratégies réellement observées est manifeste. Et même si le contrôle spécifique met en évidence une certaine stabilisation des techniques, les résultats de l'entretien 3 montrent la fragilité de cette stabilisation par rapport aux perturbations introduites.

Dans cette instrumentation de la machine, il nous semble possible de distinguer deux phases principales pour un type de tâche donnée et pour une instrumentation mathématique donnée, qui constituent en quelque sorte des cycles locaux.

La première est une phase d'éclatement. Cette phase est associée à trois phénomènes :

*   **Oscillation** : l'élève oscille en permanence entre plusieurs stratégies et plusieurs techniques.

*   **Zapping** : l'élève zappe entre les commandes et les applications, dans une stratégie de "pêche", sans que l'on puisse identifier un projet cohérent.

*   **Sur-vérification** : pour un même résultat, l'élève multiplie les vérifications en utilisant la diversité des moyens fournis par la machine.

Nous faisons l'hypothèse que cette phase est particulièrement visible ici, vue la richesse des possibilités offertes par la machine, et le fait que, contrairement à ce qui se passe en papier/crayon, on ne note pas, dans l'enseignement, de routinisation de techniques instrumentées spécifiques. En fait, toute liberté de se construire son propre équilibre semble laissée à l'élève dans cette phase.

Sur le point plus précis des justifications, il semble que la machine, par l'éventail des possibilités de validation offertes, tende, si le contrat didactique le permet, à favoriser la recherche de preuves par cohérence de multiples vérifications pragmatiques plus que celle d'une preuve décisive. Ce fonctionnement se met en place dans la phase d'éclatement et tend à perdurer.

Cette phase d'éclatement, où l'élève semble en quelque sorte dépassé par les possibilités offertes et impuissant à définir une ligne de conduite stable, est suivie par une phase d'épuration qui, dans le cas de l'étude des variations, correspond à l'apparition de stratégies relativement stables (mise en évidence dans la classe A), et l'investissement marqué de l'application [HOME] qui prend une importance déterminante dans la résolution (en interaction avec le travail P/C), les autres applications jouant alors plus un rôle d'anticipation ou de contrôle. Cependant cette épuration peut être très lente à s'accomplir et certains élèves ne semblent pas être sortis de la première phase encore à la fin de l'année scolaire.

Le double mouvement éclatement/épuration se conjugue avec une évolution du niveau d'instrumentation des différentes applications. On constate ainsi dans les deux classes une grande variété des processus d'instrumentation de la TI92 et le rôle important que jouent les profils tant mathématiques que technologiques des élèves. En particulier, il apparaît clair
qu'un rapport positif à la machine ne suffit pas à garantir une instrumentation efficace. Inversement, des réticences vis-à-vis de la machine peuvent freiner l'expansion de la phase d'éclatement, et permettre assez tôt une instrumentation peut-être limitée mais relativement efficace.
# Annexe 1 : Enoncé du devoir spécifique TI-92

I Vous devez dériver f telle que $f(x) = \cos(3x - \frac{\pi}{6})$.

1. Faites le calcul à la main et avec la TI92.

2. Si les résultats se présentent sous des formes différentes, expliquez l'équivalence des deux expressions.

## II Etude de fonction.

Soit f la fonction définie sur $]-\infty;2[ \cup ]2,+\infty[$ par $f(x) = \frac{4x^3 + 24x^2 + 47}{4x - 8}$

**ATTENTION :**

On ne vous demande pas de rédiger le détail des calculs pour les calculs de dérivée, de valeurs exactes de fonction, les factorisations, les résolutions d'équations, les calculs algébriques. Vous pouvez donner directement les résultats fournis par la machine, à condition d'indiquer les commandes utilisées.

Par contre, on vous demande de rédiger les raisonnements comme d'habitude et de justifier soigneusement les études de signe et les calculs de limites

1. Etudier le sens de variation de f.

2. Etudier les limites de f au voisinage de 2, de $-\infty$ et de $+\infty$.

3. Dresser le tableau de variation de f.

4. Déterminer un polynôme P dont la courbe représentative soit asymptote à celle de f au voisinage de $-\infty$ et de $+\infty$. Vous justifierez soigneusement votre réponse.

5. Donner les caractéristiques (xmin, xmax, ymin, ymax) d'une fenêtre qui permette de mettre en évidence le sens de variation de f et son comportement au voisinage de 2, de $-\infty$ et de $+\infty$.

6. Reproduisez l'allure du tracé obtenu dans cette fenêtre :

- pour la fonction f,

- pour les droite et courbe asymptotes trouvées dans les questions 2 et 4. (On tracera les asymptotes en rouge).
# Annexe 2 : Correction du devoir spécifique TI-92

**Exercice I :** La fonction est de la forme $f(ax+b)$ f étant la fonction sinus $a = 3$ et $b = \frac{\pi}{6}$ donc

$f'(x) = -3\sin(3x - \frac{\pi}{6})$. Le calcul à la machine donne : $f'(x) = 3\cos(3x + \frac{\pi}{3})$.

Montrons l'équivalence des deux résultats

**A la main :**

$$f'(x) = -3\sin(3x - \frac{\pi}{6}) = 3\sin(\frac{\pi}{6} - 3x) = 3\cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} - 3x)) = 3\cos(3x + \frac{\pi}{3})$$

**A la machine :**

soit calcul de la différence
soit la résolution de l'équation.

<figure><img src="image_356.png" /></figure>

Il est possible aussi d'utiliser la fonction
$tExpand$
sur les deux expressions

<figure><img src="image_357.png" /></figure>

**Exercice II :**

1) La fonction $f$ est dérivable sur son domaine de définition comme quotient de deux fonctions dérivables.

$$f'(x) = \frac{8x^3 - 96x^2 - 47}{4(x-2)^2}$$

On factorise la dérivée pour en étudier le signe

$$f'(x) = \frac{(2x+1)(4x+3\sqrt{21}-1)(4x-3\sqrt{21}-1)}{16(x-2)^2}$$

On réalise un tableau de signe pour étudier le signe du numérateur, le dénominateur étant toujours positif.

(voir tableau de variation plus loin)

2) Etude des limites :

En plus ou moins l'infini un polynôme a même limite que son terme de plus haut degré donc
$$ \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x^3}{4x} = \lim_{x \to \pm\infty} x^2 = \pm\infty $$

### Etude en 2

$$ \lim_{x \to 2} (4x^3 + 24x^2 + 47) = 175 $$

$$ \text{donc } \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} f(x) = +\infty $$

Il faut étudier à gauche et à droite de 2

$$ \lim_{x \to 2} (4x - 8) = 0 $$

$$ \text{Si } x < 2 \text{ alors } 4x - 8 < 0 \text{ donc } \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = -\infty $$

$$ \text{Si } x > 2 \text{ alors } 4x - 8 > 0 \text{ donc } \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = +\infty $$

### 3) Tableau de variation de f

<table><thead><tr><th>x</th><th>-∞</th><th>-3√21 + 1/4</th><th>1/2</th><th>3√21 - 1/4</th><th>2</th><th>+∞</th></tr></thead><tbody><tr><td>x + 1/2</td><td>-</td><td>-</td><td></td><td>+</td><td>+</td><td>+</td></tr><tr><td>4x<sup>2</sup> - 2x - 47</td><td>+</td><td>-</td><td></td><td>-</td><td>-</td><td>+</td></tr><tr><td>f(x)</td><td>-</td><td>+</td><td></td><td>-</td><td>-</td><td>+</td></tr><tr><td>f</td><td>+∞<br>→<br>-7.8</td><td>→</td><td></td><td>-5.25<br>→<br>-∞</td><td>+∞<br>→<br>85</td><td>+∞<br>→<br>85</td></tr></tbody></table>

### 4) Recherche d'un polynôme asymptote

On utilise la fonction expand, ou ProFraction

<figure><img src="image_358.png" /></figure>

Comme pour une asymptote droite, on montre que le polynôme $p(x)=x^2+8x+16$ est asymptote à la courbe représentative de f en calculant la limite de $f(x)-p(x)$ lorsque x tend vers plus ou moins l'infini.

$$ \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - p(x)) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{175}{4(x-2)}\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{175}{4x}\right) = 0 $$

### 5) et 6) Courbe représentative de f :

### 6)

* On désire voir l'asymptote verticale $x=0.5$
* le polynôme asymptote $p(x)=x^2+8x+16$
* et les extremums de f.
* une fenêtre adaptée est par exemple $(-10,10,-50,120)$

<figure><img src="image_359.png" /></figure>
# Annexe 3 : données recueillies sur chaque élève (classe A)

## Anne

Anne est une assez bonne élève, sérieuse : moyenne<fnref n="3" /> de 12.5, moyenne des contrôles : 11.

### Questionnaire 1

Anne dispose d'une CASIO 7900 depuis plus d'un an. Auparavant, elle avait une calculatrice collège qu'elle utilisait souvent en classe et à la maison. Sa calculatrice lui sert essentiellement à faire des calculs numériques, elle déclare en effet ne l'utiliser que parfois pour tracer des graphiques, programmer ou employer les mémoires. Elle a entré un programme pour obtenir des tables de valeurs. Elle a appris à se servir de sa calculatrice surtout avec le mode d'emploi et le professeur, Elle a souvent recours au Range, parfois à la fonction Trace mais jamais au Zoom et estime ne pas bien connaître les possibilités de sa machine. Elle attend de l'enseignant qu'il lui apprenne à utiliser toutes les touches, ce qui correspond à une vision peu élaborée. Elle dit avoir obtenu des graphiques surprenants mais n'avoir jamais été induite en erreur par la calculatrice. Elle déclare vérifier parfois les résultats affichés par sa machine mais ne donne aucune précision. Elle est tout à fait d'accord avec les affirmations 35-38 (gain de temps, vérification, aide à la résolution, aide à la préparation des contrôles). Par ailleurs, elle est favorable à l'utilisation de la calculatrice aux contrôles parce qu'elle permet de gagner du temps. Elle emploie sa calculatrice non seulement en physique, chimie mais aussi en histoire.

Il y a un ordinateur chez elle, qu'elle utilise parfois. Son utilisation des logiciels n'est pas très étendue et concerne essentiellement les jeux informatiques, un peu le traitement de texte. Elle pense enfin que les ordinateurs sont utiles pour apprendre les mathématiques, surtout la géométrie, mais sans donner de raison.

En géométrie, elle a un peu utilisé « l'atelier de géométrie » et « dessiner l'espace ». Elle les a trouvés faciles d'accès et y voit une aide possible à la compréhension de la géométrie dans l'espace. Elle les considère comme des aides pour les trois types de tâches proposées mais sans donner de justification. Elle les juge aussi utiles à l'apprentissage mais sans donner là non plus de raisons.

Elle n'a jamais utilisé DERIVE.

### Questionnaire 2

Anne estime se débrouiller moyennement avec la TI92. Elle a appris seul à utiliser l'éditeur de texte et le module de géométrie. Ce qui lui a posé le plus de difficultés est la prise en main de la machine, sachant qu'elle a consulté parfois le mode d'emploi distribué en décembre (et l'a complété), ainsi que le manuel Texas Instrument (pour la géométrie, les fonctions et la programmation). Par rapport à une calculatrice graphique, ce qui lui semble nouveau «c'est de pouvoir calculer directement les limites et les dérivées, et de pouvoir factoriser». Elle apprécie le module de géométrie mais beaucoup moins la taille de la machine. Elle pense que la TI92

<footnote n="3">³ Les notes données ici sont les notes du premier trimestre.</footnote>
lui est très utile en classe et en contrôle, mais beaucoup moins à la maison. Quant à la calculatrice rétroprojetable, elle juge qu'elle permet de mieux suivre les synthèses en classe. Elle dit qu'avec la TI92, il est plus intéressant de faire des mathématiques («pour la construction en géométrie») et plus facile «car les calculs sont donnés directement, ce qui permet de vérifier sur la feuille». En ce qui concerne la mémoire, elle y conserve ce qui a été fait en classe, des jeux, des programmes, des formules de mathématiques et d'autres disciplines. Elle utilise enfin sa machine en physique et en chimie.

### Questionnaire 3

Anne estime qu'elle est globalement très satisfaite de sa participation à l'expérimentation avec la TI92. S'adressant à un élève d'une autre classe, elle lui dirait qu'elle apprécie la TI92 pendant les contrôles («parce qu'on peut vérifier les résultats») ou pour faire des figures en géométrie. Par contre, ce qu'elle n'apprécie pas est sa taille. Elle pense que si elle n'avait pas eu cette calculatrice en mathématiques, elle aurait appris et compris moins, elle aurait eu des résultats moins bons mais elle aurait travaillé à peu près autant. Elle trouve que la TI92 lui a été utile pour la factorisation de polynômes («car elle ne savait plus comment faire») et pour les suites («en rentrant une suite, on a directement les valeurs»), mais inutile en géométrie et pendant les contrôles («car on n'a pas le temps de faire une figure»). Elle estime qu'elle permet de faire des activités plus intéressantes en classe et qu'elle peut aider à comprendre les mathématiques. Elle estime également qu'elle ne fait pas perdre de temps et qu'elle n'oblige pas à apprendre des choses inutiles. Par ailleurs, elle pense que la TI92 a modifié son point de vue sur les calculatrices («parce qu'avant elle ne faisait pas beaucoup de choses avec sa calculatrice»). Quand la machine fournit un résultat inattendu, elle essaie de factoriser, de développer ce résultat, ou de faire le calcul à la main. A la question : « Avec la TI92, même en étant nul en analyse, on peut réussir les contrôles », elle répondrait «pas complètement mais une bonne partie. Enfin, elle aimerait bien avoir une TI92 l'année suivante et si elle pouvait la garder pendant les vacances elle voudrait apprendre à mieux programmer. Elle dit être volontaire à participer à une séance de TD hebdomadaire d'une heure avec la machine (en plus de l'horaire normal), si le lycée peut en mettre une à sa disposition pour les épreuves de bac.

### Entretien 1

Après deux changements dans [WINDOW], Anne n'arrive pas à faire mieux que le tracé initial. Elle a investi [HOME] pour définir $f$ et $g$ ($g$ étant la fonction numérateur de $f'$) ainsi que pour calculer la dérivée. Sa stratégie pour étudier le sens de variation a été de faire tracer la fonction $g$ et de lire à l'oeil nu dans [GRAPH] son signe pour remplir le tableau de variation.

### Entretien 2

Pour le tracé de $f$, Anne a effectué un ZoomFit à partir de la fenêtre initiale. Elle a investi ensuite [HOME] pour calculer la dérivée, les racines de $g$ (Zeros) puis les limites en $-\infty$, $+\infty$ et 0. L'étude du sens de variation de $f$ s'est déroulée en P/C (racines et signe du trinôme) avec un contrôle dans [GRAPH] via une lecture à l'oeil nu et un changement dans [WINDOW], qui lui a révélé une incohérence entre le tableau de variation et le tracé. Pour vérifier cette incohérence, Anne a parcouru [TABLE] où elle a découvert la singularité en -3.
### Contrôle spécifique

Pour étudier la fonction, Anne dit avoir utilisé [HOME] pour le calcul de $f'$, des zéros et des limites, et [TABLE] pour la détermination du signe de $f'$.

### Entretien 3

Anne est l'une des deux élèves à avoir effectué des changements dans [WINDOW] pendant la phase des conjectures. Questionnée sur les maxima, elle a recouru aux applications [HOME] et [TABLE] (sans changement de pas) pour chercher $f(3)$. Pendant la phase de preuve, elle utilise l'application [HOME] pour démontrer la parité. Pendant l'entretien, le passage aux multiples de $\pi$ ne s'est fait à aucun moment, à part pour la périodicité où elle a déclaré que la période devait être de $2\pi$, et où elle a noté en P/C l'égalité à démontrer sans aller plus loin.

### Charles

Charles est un élève sérieux, un peu lent, de niveau faible. Ses notes du premier trimestre en témoignent : une moyenne de 8.5, une moyenne de contrôles de 7.

### Questionnaire 1

Charles dispose d'une CASIO 7900 depuis moins d'un an. Il disposait auparavant d'une calculatrice collège CFX 82. L'année dernière, il utilisait parfois sa calculatrice en classe et à la maison. Il utilise sa calculatrice essentiellement pour des calculs numériques, parfois pour tracer des graphiques ou pour programmer. Il y a entré un programme de tableau de valeurs. Il a appris à se servir de la machine avec le professeur et le mode d'emploi et estime ne pas bien connaître ses possibilités. Il a recours parfois au Zoom et à Trace mais jamais à Range. Il attend du professeur qu'il lui apprenne à se servir de toutes les touches et à programmer. Il dit avoir rencontré des graphiques surprenants mais n'avoir jamais commis d'erreurs du fait de la calculatrice. Il vérifie parfois les résultats affichés par sa calculatrice en refaisant les calculs à la main et est favorable à son utilisation aux contrôles car « elle permet des calculs rapides et c'est un outil rassurant ». Il est tout à fait d'accord avec les affirmations 35-38 (gain de temps, vérification, aide à la résolution, aide à la préparation des contrôles) du questionnaire.

Son utilisation des logiciels concerne surtout les jeux informatiques et dans une moindre mesure les traitements de texte (entre 3 et 10 fois). Il dispose d'un ordinateur chez lui mais ne l'utilise pas souvent. Il pense enfin que les ordinateurs sont utiles pour apprendre des mathématiques « grâce à des logiciels ».

En géométrie, il a déjà utilisé les logiciels : « l'atelier de géométrie » et « dessiner l'espace », en tout entre 3 et 10 fois. Il ne les a pas trouvés d'accès difficile et les considère comme une aide possible aux trois tâches décrites (trouver les propriétés d'une figure, démontrer, résoudre des problèmes de construction) mais sans donner de justifications précises. Il les considère comme utiles pour apprendre la géométrie « car ils disent si les propriétés sont vraies ou fausses ».

Il n'a jamais utilisé DERIVE.

### Questionnaire 2

Charles estime se débrouiller moyennement avec la TI92. Il a appris seul à faire des graphiques en 3D. Ce sont «la prise en main de machine (mode, fichier, répertoire) et quelques subtilités (telle qu'appuyer deux fois sur [ENTER] pour sauvegarder) qui lui ont posé le
plus de difficultés, sachant qu'il n'a utilisé le manuel Texas Instrument qu'une ou deux fois
(«prise en main de la machine et surtout comment réaliser un graphique). Quant au mode
d'emploi distribué en décembre, il l'a parfois consulté notamment pour la résolution de
systèmes. Par rapport à une calculatrice graphique, ce sont «la taille de la machine, la grande
capacité de la mémoire ainsi que les touches ♦ et 2nd et les zoom' qui lui paraissent
représenter la nouveauté. Il apprécie par ailleurs le module géométrie et les calculs de limites
et de dérivées. Par contre, il trouve qu'elle «prend de la place dans le sac». Parmi les résultats
qui l'ont surpris, il y a ceux sur les fractions. Il pense que la TI92 lui est très utile en classe et
en contrôle, mais beaucoup moins à la maison. Quant à la calculatrice rétroprojetable, il juge
qu'elle permet de mieux suivre les synthèses en classe, et que c'est bien mieux que quand le
prof écrit tout au tableau. Il dit qu'il est plus intéressant de faire des mathématiques avec la
TI92, car «moins rébarbatif». Il pense par ailleurs que la machine l'a aidé à comprendre la
notion de dérivation. En ce qui concerne la mémoire, il y conserve ce qui a été fait en classe
ainsi que des formules de mathématiques. Il utilise enfin sa machine en physique et en
biologie.

### Questionnaire 3

Charles estime qu'il est globalement plutôt satisfait de sa participation à l'expérimentation avec la TI92. S'adressant à un élève d'une autre classe, il lui dirait qu'il apprécie «la possibilité de factoriser et de calculer les limites». Par contre, ce qu'il n'apprécie pas c'est «l'encombrement». Il pense que s'il n'avait pas eu cette calculatrice en mathématiques, il aurait travaillé, appris et compris à peu près autant, et il aurait eu des résultats à peu près identiques. Il trouve que la TI92 lui a été utile pour le calcul de la dérivée et pour la géométrie dans l'espace («parce que l'animation des figures permet de mieux se rendre compte de ce qui se passe»), et qu'elle a été gênante «quand la dérivée trouvée n'est pas la même que celle à la main»). En utilisant la TI92, il a découvert à quel point les calculatrices peuvent être performantes. A la question : « Avec la TI92, même en étant nul en analyse, on peut réussir les contrôles », il répondrait que «c'est faux, car il est évident qu'il faut connaître un certain nombre de choses et bases du cours, et même si on peut enregistrer les formules, il faut savoir les appliquer et justifier». Par ailleurs, quand la machine fournit un résultat inattendu, il dit qu'en algèbre il factorise ou il développe.

### Entretien 1

En voulant entrer la fonction dans `[Y=]`, Charles commet une double erreur de syntaxe qu'il n'arrive à corriger qu'avec l'aide de l'observateur. Pour le tracé du graphe, il n'arrive pas à obtenir plus que le tracé initial, et au bout d'un seul changement de fenêtre il paraît satisfait du résultat. Son utilisation de `[HOME]` se réduit au calcul de la dérivée, quant à l'étude du sens de variation, elle est basée sur une utilisation brute des valeurs obtenues dans `[TABLE]`. Il fait ensuite tracer la courbe de $f'$ (en gardant celle de $f$) qu'il n'exploite que pour contrôler son tableau de variation. Il effectue enfin des changements dans `[WINDOW]` pour améliorer son tracé (formé des deux courbes de $f$ et de $f'$) sans relever de contradiction avec son tableau de variation.

Au cours de cet entretien, la résolution a été essentiellement sur machine. L'instrumentation s'est réduite à

* une utilisation brève et de niveau 1 de l'application `[HOME]`

* la lecture de `[TABLE]` pour l'étude des variations
* l'utilisation de [GRAPH] uniquement pour améliorer le tracé de f

## Entretien 2

Lors de cet entretien, Charles a fait tracer le graphe de $f$ sans effectuer de changement de fenêtre. Il a ensuite calculé la dérivée dans [HOME], avant d'en étudier le signe en Papier/Crayon. Il a tout d'abord cherché les racines du numérateur (trinôme du 2nd degré) à l'aide du discriminant avant de déterminer son signe. Le seul recours à [HOME] a été pour faire des calculs numériques. Le signe de la dérivée a été finalement incorrect vu qu'il a considéré que le signe de $(x+3)^2$ était le même que celui de $(x+3)$. Par ailleurs, il a eu recours à une lecture graphique primitive pour déterminer les limites et le point de singularité, ainsi que pour le contrôle des variations de $f$. Notons enfin l'absence d'utilisation de [TABLE].

En résumé, la stratégie de Charles a été plutôt une stratégie P/C basée sur l'étude du signe d'un trinôme, avec un contrôle à l'aide de [GRAPH] (lecture à l'oeil nu).

## Contrôle spécifique

Charles a déterminé les zéros de la dérivée à la machine, et a étudié son signe par [TABLE].

## Entretien 3

Pendant la phase de preuve, Charles ne se rappelait plus de la définition de la périodicité. Le seul module utilisé est [HOME], et ce pour étudier la périodicité (sollicité par l'observateur, il a fait calculer $f(x+\pi)$ dans [HOME] sans pouvoir exploiter le résultat malgré un essai en P/C) et pour calculer la dérivée.

## Francis

Francis est un bon élève, sérieux, cherchant vraiment à comprendre en profondeur, encore un peu lent dans les travaux écrits au début de l'année : 13.25 de moyenne, 13.25 de moyenne de contrôles.

## Questionnaire 1

Il dispose d'une TI82 depuis moins d'un an. L'année dernière, il avait une calculatrice collège et l'utilisait souvent en classe et à la maison. Il utilise sa calculatrice actuelle pour faire des calculs numériques et tracer des graphiques exclusivement. Il a appris à s'en servir uniquement en manipulant, et pense qu'il ne connaît pas bien ses possibilités. Il a souvent recours au Zoom et parfois aux commandes Trace et Range. Il est d'accord avec les opinions 35 (gain de temps) et 37 (vérification), sans avis sur la 36 (aide à la résolution) et pas du tout d'accord avec la 38 (aide à la préparation des contrôles). Sa machine, dit-il, n'a jamais affiché des résultats surprenants, ne l'a jamais induit en erreur mais il déclare vérifier souvent les résultats qu'elle affiche, soit graphiquement soit « en remplaçant une inconnue par une valeur numérique dans une équation ». Pour lui, la calculatrice fait gagner du temps tout en aidant à contrôler les résultats, il est favorable à son utilisation en contrôle.

Il y a un ordinateur chez lui, qu'il utilise souvent. Il a déjà utilisé plus de dix fois des logiciels de traitement de textes, de dessin et des jeux informatiques, il a aussi utilisé des tableurs. Il pense enfin que les ordinateurs sont utiles pour apprendre des mathématiques mais sans justifier sa réponse.
En géométrie, il a juste utilisé et très peu le logiciel « dessiner l'espace », qu'il voit comme un
logiciel pour s'entraîner, facile d'accès. Il pense qu'il est utile pour l'apprentissage de la
géométrie dans l'espace.

Il n'a jamais utilisé DERIVE.

### Questionnaire 2

Francis estime se débrouiller moyennement avec la TI92. Il a appris seul à utiliser le module de géométrie et à tracer les graphiques en 3D (pour un jeu). Il n'a rencontré aucune difficulté à utiliser sa machine, sachant qu'il consulte parfois le manuel Texas Instrument et jamais le mode d'emploi distribué en décembre. Par rapport à une calculatrice graphique, ce sont le module de géométrie et les graphiques en 3D qui lui paraissent représenter la nouveauté. Quant à ce qui lui semble le mieux, ce sont les calculs de limites et de dérivées, les factorisations et les développements ainsi que la résolution d'équations, sans oublier l'accès aux fonctionnalités par les touches de fonction. Il pense que la TI92 lui est très utile en classe, mais peu en contrôle ou à la maison. Pour ce qui est de la calculatrice rétroprojetable, il juge qu'elle permet de mieux suivre les synthèses en classe. Il dit que faire des mathématiques est pareil avec la TI92 que sans, ni plus intéressant ni plus facile. En ce qui concerne la mémoire, il y conserve uniquement ce qui a été fait en classe.

### Questionnaire 3

François estime qu'il est globalement très satisfait de sa participation à l'expérimentation avec la TI92. S'adressant à un élève d'une autre classe, il lui dirait qu'il apprécie l'utilisation de la TI92 en général. Il pense que s'il n'avait pas eu cette calculatrice en mathématiques, il aurait travaillé, appris et compris à peu près autant, et il aurait eu des résultats à peu près identiques.

Il trouve que la TI92 lui a été utile par l'utilisation du ZoomFit («parce que ça permet de visualiser le courbe entièrement ou ses variations essentielles») et par la rapidité des calculs, qu'elle a été intéressante par «l'utilisation de l'application de géométrie, avec les lieux de points et les animations («parce qu'on visualise mieux le problème et la figure»)». Il dit avoir trouvé la machine gênante (mais pas plus qu'une calculatrice graphique habituelle) lorsqu'en «devoir, il affiché la dérivée au lieu de la fonction, et qu'il a perdu du temps car la courbe ne correspondait pas au tableau de variation». Par ailleurs, il pense que la TI92 est inutile pour les calculs simples (divisions, multiplications...) Il dit qu'elle ne l'oblige pas à se poser des questions, ni à réfléchir davantage à ce qu'il fait, pas plus qu'à apprendre des choses inutiles. Néanmoins, il juge que l'utilisation de la TI92 a modifié son point de vue sur les calculatrices, «parce que c'est une calculatrice très puissante et complexe, et qu'elle s'apparente davantage à un ordinateur». Il ne pense pas qu'elle soit très utile en contrôle, car «elle donne les résultats mais pas le raisonnement qu'il faut écrire sur la feuille de devoir». Il dit enfin que quand la TI92 fournit un résultat inattendu, «il essaie de voir si ce résultat est égal à celui auquel il s'attendait, avec les calculs de dérivées notamment en visualisant les deux courbes».

### Entretien 1

Après un changement dans [WINDOW], Francis a obtenu un tracé de type [AB]. L'investissement de [HOME] a été pour définir et pour calculer la dérivée. Sa stratégie pour l'étude des variations de f se base essentiellement sur le tracé de $f'$ et sur une lecture graphique assez variée (utilisation de Trace, ZoomBox et F5-Maximum). L'unique recours à l'application [TABLE] a été pour vérifier que $f'(-3) = 0$. Notons enfin deux erreurs de syntaxe survenues lors de la
résolution : l'oubli de * pour un produit et l'oubli de la variable au moment de chercher la dérivée.

## Entretien 2

**Avant Clear a-z** : Pour tracer *f*, Francis a effectué un *ZoomFit*. Par ailleurs, l'étude des variations de *f* est fondée sur le tracé des courbes de *f* et de *f'* (par une lecture graphique primitive). Le repérage des racines de *f'* s'est fait dans [GRAPH] à l'oeil nu, avant le contrôle dans [HOME] (calcul de *f'*-(-4), *f'*-(-2) et *f'*-(-3)). L'incohérence entre le tableau de variation et le tracé de *f* a conduit Francis à reprendre son étude depuis le début (la machine ayant répondu -∞ au calcul de *f'*-(-3) et non *undef*, Francis n'en a pas déduit la singularité et a plutôt pensé que c'était la mémoire de la TI92 qui était en cause).

**Après Clear a-z** : Sa démarche a été exactement la même qu'auparavant, mais cette fois-ci il a repéré la singularité. Il a ensuite utilisé [HOME] pour le calcul des limites (en ∞, en -3 puis en -3 à gauche et à droite, en -4 et en -2), après avoir intégré -3 à son tableau de variation. Et grâce à une lecture graphique par *Trace*, il a contrôlé les variations de *f*.

## Contrôle spécifique

Pour l'étude de la fonction, Francis dit avoir utilisé [HOME] pour le calcul de *f'*, pour la factorisation (*Factor*) et pour la recherche des racines de l'équation du second degré. Pour contrôler le tableau de variation, il a fait tracer séparément *f* puis *f'*.

## Entretien 3

Pendant la phase de conjecture, Francis a combiné efficacement [WINDOW], la commande *Trace* ainsi que les commandes *Maximum* et *Minimum* du menu [GRAPH]-F5, avec un recours au module [HOME] pour chercher une valeur approchée de π (afin d'avoir un ordre de grandeur lors de la lecture graphique).

Pendant la phase de preuve, il démontre en P/C la parité et la périodicité. Il calcule ensuite *f'* dans le module [HOME] sans pouvoir aller plus loin.

## Françoise

Françoise est une élève d'un niveau très moyen : sa moyenne est de 10.5, donc au-dessous de celle de la classe, sa moyenne de contrôle de 9.5. Elle semble s'investir moyennement en mathématiques et a besoin d'être stimulée.

## Questionnaire 1

L'année dernière, Françoise utilisait sa calculatrice (une CASIO collège), souvent en classe et à la maison. Depuis moins de deux mois, elle dispose d'une CASIO FX-9900GC qu'elle emploie essentiellement pour tracer des graphiques, parfois pour faire des calculs numériques, entrer des formules de trigonométrie ou programmer. Elle a appris à se servir de sa machine en manipulant et en consultant le mode d'emploi. Elle déclare ne pas bien en connaître les possibilités et attend du professeur qu'il l'aide pour les tracés graphiques. Elle a souvent recours à la commande *Trace*, parfois à *Range* et *Zoom*. Sa machine, dit-elle, n'a jamais affiché des résultats surprenants, ne l'a jamais induite en erreur, pourtant elle vérifie souvent les résultats affichés par la calculatrice, pour « les factorisations et formes canoniques ». Elle est d'accord avec les affirmations 35 à 38 (gain de temps, vérification, aide à la résolution,
aide à la préparation des contrôles), et tout à fait d'accord avec celle concernant la vérification. Par ailleurs, elle est favorable à l'utilisation de la machine aux contrôles pour vérifier des calculs et faire des graphiques.

Il y a un ordinateur chez elle qu'elle utilise parfois. Son utilisation des logiciels concerne le traitement de texte, le dessin, les tableur et jeux informatiques (plus de dix fois sauf le tableur). Elle pense enfin que les ordinateurs sont utiles pour apprendre des mathématiques sans préciser en quoi.

Concernant la géométrie, elle a utilisé mais très peu « le géomètre » et a trouvé son accès relativement facile. Elle pense que c'est une aide pour les trois types de tâches proposées mais ne commente pas ses réponses. Elle juge un tel logiciel utile pour l'apprentissage de la géométrie car il permet de mieux comprendre.

Elle n'a jamais utilisé DERIVE.

## Questionnaire 2

Françoise estime se débrouiller moyennement avec la TI92. Elle a appris seule à programmer, à utiliser le module de géométrie et à tracer les graphiques en 3D. Elle n'a rencontré aucune difficulté à utiliser sa machine, sachant qu'elle consulte parfois le manuel Texas Instrument et jamais le mode d'emploi distribué en décembre. Par rapport à une calculatrice graphique, ce sont «le clavier, le module de géométrie et l'animation des figures» qui lui paraissent représenter la nouveauté. Elle dit apprécier tout dans la TI92 à part sa taille, et pense qu'elle lui est très utile que ce soit en classe, en contrôle ou à la maison. Quant à la calculatrice rétroprojetable, elle juge qu'elle ne fait pas gagner du temps. Elle pense par ailleurs, qu'il est plus intéressant et plus facile de faire des mathématiques, car «on peut vérifier les résultats». En ce qui concerne la mémoire, elle y conserve des programmes. Elle utilise enfin sa machine en physique et en biologie, pour faire des calculs.

## Questionnaire 3

Françoise estime qu'elle est globalement plutôt satisfaite de sa participation à l'expérimentation avec la TI92. S'adressant à un élève d'une autre classe, elle lui dirait qu'elle apprécie «pouvoir vérifier les calculs de dérivées, ou faire des figures dans le module de géométrie, mais que par contre elle n'apprécie pas le fait «de ne pas savoir se servir de sa propre calculatrice». Elle pense que si elle n'avait pas eu cette calculatrice en mathématiques, elle aurait travaillé, appris et compris à peu près autant, et elle aurait eu des résultats à peu près identiques. Elle trouve que la TI92 lui a été utile pour tracer des courbes à la main, grâce au module [TABLE]. Elle pense qu'elle ne l'oblige pas à apprendre des choses inutiles, et que son utilisation n'a pas modifié son point de vue sur les calculatrices. Elle dit qu'elle aurait aimé pouvoir la garder pendant les vacances afin de connaître et de mieux utiliser ses commandes. A la question : « Avec la TI92, même en étant nul en analyse, on peut réussir les contrôles », elle répondrait que ce n'est pas vrai, et que la preuve est qu'elle n'a pas réussi ses contrôles!. Enfin, elle aimerait bien avoir une TI92 l'année suivante. Elle dit être volontaire à participer à une séance de TD hebdomadaire d'une heure avec la machine (en plus de l'horaire normal), si le lycée peut en mettre une à sa disposition pour les épreuves de bac.

## Entretien 1

Après deux changements dans [WINDOW] motivés par la volonté de voir ce qui se passe en haut et en bas du tracé initial, Françoise a obtenu le tracé complet.
Son étude des variations de f a été affectée par deux erreurs. La première semble être une erreur d'inattention (elle a dérivé x(x+7) au lieu de dériver f(x)), quant à la seconde elle semble être due à une identification brute du 3ème degré au second degré. Il s'en est suivi un travail en P/C (calcul du discriminant et recherche des racines).

Au cours de cet entretien, le travail a été essentiellement en Papier/Crayon. L'utilisation couplée de [WINDOW] et [GRAPH] (lecture à l'oeil nu) s'est manifestée lors de l'amélioration du tracé de f, ou encore pour le contrôle du tableau de variation. Notons que [HOME] n'a été utilisée que pour définir f, calculer la dérivée ou effectuer des calculs numériques; la commande Solve n'a été investie quant à elle, que sous l'impulsion de l'observateur. Enfin, l'application [TABLE] n'est apparue à aucun moment dans la résolution.

## Entretien 2

Françoise a investi [HOME] pour définir la fonction, pour calculer la dérivée, pour effectuer un calcul numérique, pour déterminer les limites en -4, -2, -∞ et -à titre de contrôle la limite en -3 à droite (le calcul de cette dernière limite s'étant effectué tout d'abord à la main). L'unique utilisation de [GRAPH] a été pour le tracé de la fonction, avec un changement dans [WINDOW]. En ce qui concerne les variations de f, l'étude a été effectuée en Papier/Crayon (racines et signe du trinôme). Notons enfin que Françoise a utilisé l'application [TABLE] (avec changement de [TblSet]) pour contrôler le tableau de variation.

## Contrôle spécifique

Françoise a effectué la factorisation de $f'$ à la machine et a résolu en P/C l'équation du second degré ainsi que l'étude du signe de la dérivée (tableau de signes et signe du trinôme). Elle a calculé la limite en 2 dans [HOME], tandis qu'en +∞ la limite a été calculée en P/C et vérifiée à la machine.

## Entretien 3

Pendant l'entretien, Françoise a déclaré que les maxima étaient toujours les mêmes mais pas les minima, se laissant donc piéger par les phénomènes de discrétisation. Plus tard, après avoir rempli un tableau de variation (fortement sollicitée par l'observateur), elle a utilisé Trace pour repérer les coordonnées des extremums mais n'est pas arrivée à conclure. Par ailleurs elle a montré la périodicité en P/C, et a utilisé ZoomFit pendant la phase de conjecture.

## Georges

Georges est un très bon élève : moyenne 17, moyenne des contrôles : 17.

## Questionnaire 1

Il dispose d'une CASIO FX 9900GC depuis plus d'un an et sa calculatrice précédente était déjà une calculatrice graphique. L'année dernière, il l'a utilisée souvent en classe et à la maison. Il l'utilise actuellement souvent pour faire des calculs numériques, tracer des graphes ou rentrer des formules ou programmes : « Jeu 3x3 - Calcul de déterminations principales en trigonométrie » . Il a appris à se servir de sa machine en manipulant et en consultant le mode d'emploi. Il a souvent recours aux fonctions Zoom et Trace, parfois à Range et estime bien connaître les possibilités de sa machine. Il attend de l'enseignant une aide en programmation et en calcul scientifique. Sa machine ne lui a jamais donné de résultats surprenants mais il
s'est parfois trompé de mode en trigonométrie. Il vérifie parfois le résultat affiché en traitant
la question de plusieurs manières. Par ailleurs, il est tout à fait d'accord avec les affirmations
35-38 (gain de temps, vérification, aide à la résolution, aide à la préparation des contrôles) et
favorable à l'utilisation de la calculatrice aux contrôles parce que cela permet de gagner du
temps et d'être plus sûr de soi.

Il y a un ordinateur chez lui, qu'il utilise souvent. Son utilisation des logiciels couvre le traitement de texte, le dessin, les tableurs et les jeux informatiques. Il pense enfin que les ordinateurs sont utiles pour apprendre des mathématiques, car « ils aident à mieux comprendre quand ils sont simples d'utilisation ».

En géométrie, il n'a utilisé que le logiciel « dessiner l'espace ». Il estime qu'il permet de mieux voir en 3D mais lui reproche de manquer de liberté. Ce logiciel constitue à son avis une aide pour les trois types de tâches proposées, du fait des changements de point de vue possibles. Il pense qu'il est utile pour l'apprentissage de la géométrie, car il permet de mieux comprendre et de mieux représenter l'espace.

Il n'a jamais utilisé DERIVE.

### Questionnaire 2

Georges estime bien se débrouiller avec la TI92. Il a appris seul à programmer et à utiliser le module de géométrie. Ce sont l'utilisation du module Data/Matrix Editor et le langage de programmation qui lui ont posé le plus de difficultés, sachant qu'il n'a jamais consulté le mode d'emploi distribué en décembre. Quant au manuel Texas Instrument, il s'en est servi parfois, surtout pour la programmation. Par rapport à une calculatrice graphique, ce sont «l'interface d'utilisation, les possibilités de calcul (dérivées, limites, ...) et l'interactivité (copier/coller)' qui lui paraissent représenter la nouveauté. Il apprécie par ailleurs, les «grandes capacités' de la machine dans de nombreux domaines (math, physique ... ), la résolution et le travail sur les équations' ainsi que la présentation des calculs (pretty print) et la grande capacité de mémoire». Par contre, ce qui lui paraît moins bien ce sont «l'encombrement, la vitesse des graphiques et le langage de programmation complexe (mais complet!). Parmi les résultats qui l'ont surpris, il y a les «exposants 2/3». Il pense que la TI92 lui est très utile en classe et en contrôle, mais beaucoup moins à la maison. Quant à la calculatrice rétroprojetable, il juge qu'elle permet de mieux suivre les synthèses en classe. Il dit qu'il est plus facile (car plus rapide) et plus intéressant de faire des mathématiques avec la TI92, surtout la résolution d'équations, l'étude de fonctions et certaines factorisations où la machine l'a particulièrement aidé à comprendre. Par ailleurs et pour ce qui est de la mémoire, il y conserve ce qui a été fait en classe ainsi que des programmes, des formules de mathématiques. Il utilise enfin sa machine en physique, en chimie et en biologie.

### Questionnaire 3

Georges estime qu'il est globalement très satisfait de sa participation à l'expérimentation avec la TI92. S'adressant à un élève d'une autre classe, il lui dirait qu'il apprécie «la grande variété d'applications de cette calculatrice (en maths ou dans d'autres disciplines), sa logique dans les calculs de base (pretty print, résolution d'équations) et son langage de programmation complet. Par contre, il n'apprécie pas « l'interface de certaines applications (Text Editor, Data/Matrix Editor, Geometry)». Il pense que s'il n'avait pas eu cette calculatrice en mathématiques, il aurait travaillé et compris à peu près autant, il aurait eu des résultats à peu près identiques, mais il aurait appris davantage. Il trouve que la TI92 lui a été utile en devoir
commun («parce qu'elle permet de gagner du temps dans les résolutions d'équations, en trigonométrie, pour faire les graphiques ou pour vérifier des calculs»). Il trouve également qu'elle était intéressante à utiliser pour résoudre les exercices de géométrie («parce que le module Geometry permet de faire la figure et de voir le lieu des points»), mais que certaines notations spécifiques sont gênantes telle que *Exposant 2/3*. Il dit que la TI92 permet de faire des activités plus intéressantes en classe et qu'elle aide à résoudre les problèmes. Par ailleurs, il pense qu'elle a modifié son point de vue sur les calculatrices («la calculatrice n'est plus une simple aide au calcul numérique ou tracé de graphiques, mais une aide et un outil de résolution pour tout exercice»). Quand la machine fournit un résultat inattendu, il essaie de factoriser ou de développer ce résultat et de le comparer avec celui trouvé en Papier/Crayon. A la question :« Avec la TI92, même en étant nul en analyse, on peut réussir les contrôles », il répondrait «qu'il faut justifier les résultats». Enfin, il aimerait bien avoir une TI92 l'année suivante et s'il pouvait la garder pendant les vacances il voudrait approfondir le langage de programmation. Il dit être volontaire à participer à une séance de TD hebdomadaire d'une heure avec la machine (en plus de l'horaire normal), si le lycée peut en mettre une à sa disposition pour les épreuves de bac.

### Entretien 1

L'investissement de [HOME] a concerné la définition de la fonction, le calcul, la définition et les racines de la dérivée (Zeros) ainsi que le calcul de certaines valeurs de $f'$ pour déterminer son signe, sans oublier le calcul de $f(0)$ pour vérifier la singularité en 0. Pour l'amélioration du tracé, Georges a effectué un changement dans [WINDOW] ainsi qu'un ZoomOut et un ZoomBox. Enfin, et pour contrôler son tableau de signes, il fait tracer la courbe de $f'$ et effectue un ZoomOut avant de se déplacer à l'aide de Trace. Notons que Georges a mis $-\infty$ en-dessous de 0 sur le tableau de signes ( au lieu du conventionnel $\parallel$ ) conformément au résultat de la machine qui était $f'(0) = -\infty$.

### Entretien 2

Georges définit la fonction, puis définit et calcule simultanément la dérivée avant de faire tracer la courbe de $f$ et d'effectuer un ZoomFit. Ensuite il calcule les racines de $f'$ dans [HOME] et détermine son signe en P/C (signe d'un trinôme), avant de contrôler dans [HOME] (calcul de $f'(0)$, $f'(10)$, $f'(-3)$ et $f(-3)$) puis dans [GRAPH] (à l'oeil nu). Pour ce qui est du calcul des limites (en $\infty$, en -3 puis en -3 à gauche), il s'est effectué dans [HOME] avec un contrôle dans [GRAPH] (utilisation de Trace). Notons que même si la machine a affiché $-\infty$ pour $f'(-3)$, Georges a marqué cette fois $\parallel$ sur son tableau de signes.

### Contrôle spécifique

Durant ce contrôle, Georges a utilisé [HOME] pour le calcul de $f'$ et de ses racines ainsi que pour la factorisation. Ensuite, il étudie le signe en P/C (tableau de signes), en s'aidant de la machine (calcul des ordonnées des extremums). Notons également l'utilisation de la commande *Expand* pour la détermination du polynôme dont la courbe est asymptote à celle de $f$.

### Entretien 3

Durant la phase de conjecture, Georges a fait un *ZoomFit* avant d'utiliser *Trace* pour conjecturer. Il a semblé tenir compte autant de la représentation graphique que de l'expression
de la fonction ( « Je vais suivre le tracé de la courbe, donc apparemment elle est de 3π la période . . . Je vais regarder si 2π est période, non on voit pas, mais comme cos(x+2π) = cosx, apparemment c'est 2π. »).

Durant la phase de preuve, il a utilisé exclusivement le module [HOME] avec au besoin, un relais P/C assez efficace (notamment pour la périodicité en simplifiant le résultat donné par la machine, et pour la non-définition de $f'$ en repérant la nullité du dénominateur).

### Gérard

Gérard est un élève de niveau moyen, aux résultats irréguliers, peu travailleur : une moyenne globale de 10.5, des notes de contrôles respectives de 7.5 et 16.

### Questionnaire 1

Il dispose d'une CASIO FX-7500G depuis plus d'un an et disposait auparavant d'une calculatrice SHARP. L'année précédente, il l'utilisait parfois en classe et à la maison. Il utilise sa calculatrice actuelle pour faire des calculs numériques (souvent), tracer des graphiques (souvent), programmer (parfois). Il y a entré des formules pour résoudre des équations et des jeux. Il a appris à se servir de sa machine en manipulant et en consultant le mode d'emploi. Il est un de rares élèves à estimer qu'il connaît bien les possibilités de sa machine et pourtant ne déclare utiliser que parfois les fonctions graphiques *Zoom*, *Trace* et *Range*. Il n'a pas bénéficié d'une initiation spécifique et exprime ce qu'il attend de l'enseignant dans un registre un peu primitif « toutes les touches ». Il dit avoir rencontré des graphiques surprenants mais n'avoir jamais commis d'erreurs du fait de la calculatrice. Il ne vérifie jamais les résultats affichés par la calculatrice, et est favorable à son utilisation aux contrôles « parce qu'on peut mettre des aide-mémoire et que parfois ça simplifie la vie ». Il est plutôt d'accord avec les affirmations 35, 36 et 37 (gain de temps, aide à la résolution et à la vérification) mais estime que la calculatrice ne l'aide pas à préparer ses contrôles.

Il y a un ordinateur chez lui et il s'en sert souvent. Il a utilisé plus de dix fois des traitements des textes et des jeux, moins régulièrement des logiciels de dessins variés et un tableur. Il pense enfin que les ordinateurs sont utiles pour apprendre des mathématiques « grâce à des logiciels éducatifs ».

Il a déjà utilisé en géométrie, « le géomètre » et « dessiner l'espace », entre trois et dix fois. Il n'a pas trouvé difficile de les utiliser car il les trouve simples d'utilisation. Il insiste sur les potentialités de visualisation et de déplacement offertes par ces logiciels qui les rendent utiles pour l'apprentissage de la géométrie et en font des aides pour la recherche de propriétés et leur démonstration.

Il a utilisé DERIVE en classe entre trois et dix fois pour résoudre des équations et des inéquations. Il pense qu'il n'est pas difficile à utiliser et utile car il permet de vérifier les résultats et de résoudre rapidement les exercices les plus difficiles.

### Questionnaire 2

Gérard estime bien se débrouiller avec la TI92. Il a appris seul à manipuler le module de géométrie, l'éditeur de programme et le Data/Matrix Editor. Il n'a rencontré aucune difficulté à utiliser sa machine, sachant qu'il n'a jamais consulté le mode d'emploi distribué en décembre. Quant au manuel Texas Instrument, il s'en est servi parfois, surtout pour la programmation et pour les modules géométrie et Data/Matrix. Par rapport à une calculatrice
graphique, c'est le module de géométrie qui lui paraît représenter la nouveauté. Il apprécie la capacité de mémoire, la rapidité des calculs et les fonctions, mais beaucoup moins le fait que tout soit indiqué en anglais. Il pense que la TI92 lui est très utile en contrôle et à la maison, mais moins en classe, et qu'avec elle faire des mathématiques est plus intéressant et plus facile parce que plus rapide. Il dit que la machine l'a aidé à comprendre la notion de limite. En ce qui concerne la mémoire, il y conserve des jeux, des programmes, des formules de mathématiques et d'autres disciplines. Il utilise enfin sa machine en physique et en chimie.

### Questionnaire 3

Gérard estime qu'il est globalement plutôt satisfait de sa participation à l'expérimentation avec la TI92. S'adressant à un élève d'une autre classe, il lui dirait qu'il apprécie «d'avoir la calculatrice». Par contre, ce qu'il n'apprécie pas est le module de géométrie «parce qu'il prend trop de place». Il pense que s'il n'avait pas eu cette calculatrice en mathématiques, il aurait travaillé et compris à peu près autant, et il aurait eu des résultats à peu près identiques, mais il aurait appris davantage. Il trouve que la TI92 lui a été utile pour le calcul des limites («c'est rapide») et par la programmation («ça réduit le temps pour calculer»). Il trouve par ailleurs que le module de géométrie est inutile et gênant. Il estime qu'elle incite à ne pas apprendre les choses indispensables et qu'elle ne fait pas perdre de temps. Néanmoins, il pense qu'elle ne donne pas envie de chercher les exercices, pas plus qu'elle n'oblige à réfléchir davantage à ce que l'on fait. En utilisant la TI92, il s'est rendu compte à quel point les calculatrices peuvent être performantes («grande capacité de stockage»). A la question : « Avec la TI92, même en étant nul en analyse, on peut réussir les contrôles », il répondrait que c'est vrai. Il dit être volontaire à participer à une séance de TD hebdomadaire d'une heure avec la machine (en plus de l'horaire normal), si le lycée peut en mettre une à sa disposition pour les épreuves de bac.

### Entretien 1

L'amélioration du tracé de *f* s'est faite en deux temps, se basant à chaque fois sur une utilisation couplée de [WINDOW] et [GRAPH] (lecture à l'oeil nu) : au début de l'entretien où Gérard n'a fait qu'un seul changement de fenêtre sans pouvoir obtenir mieux que le tracé initial, après avoir parcouru [TABLE] à l'occasion du contrôle du tableau de variation.

L'investissement de [HOME] s'est résumé à la définition de la fonction, au calcul de la dérivée (avec une erreur de syntaxe) et au développement de son expression (Expand). En ce qui concerne le signe de $f'(x)$, il a été déterminé en P/C. Cette détermination semble être due à une identification erronée de $f'(x)$ à un trinôme du 2nd degré, compte tenu de la présence de monômes du 1er et du 2ème degré dans l'expression développée de la dérivée. Notons enfin que Gérard n'a pas relevé l'incohérence de son tableau de variation avec le tracé final de *f*.

### Entretien 2

L'investissement de [HOME] a concerné la définition de *f*, le calcul de la dérivée, des calculs numériques, le calcul de *f*(-4) et de *f*(-2) puis la détermination des limites (en $\infty$, en -3 puis en -3 à gauche et à droite). Excepté un ZoomFit pour améliorer le tracé de *f*, son utilisation de l'application [GRAPH] (pour le contrôle du tableau de variation et de la limite en -3) se réduit à une lecture à l'oeil nu. Quant à l'application [TABLE], elle a été mobilisée uniquement pour déterminer la singularité. Enfin pour ce qui est des variations de *f*, l'étude s'est effectuée en Papier/Crayon (racines et signe d'un trinôme).
Contrôle spécifique

Pour l'étude des variations, Gérard a entré la fonction dans [Y=] avant de faire tracer la courbe en ZoomFit. Il n'a pas calculé la dérivée et s'est basé exclusivement sur l'application [TABLE] pour repérer le sens de variation et les singularités. Pour les limites, le calcul s'est fait à la machine.

Entretien 3

Pendant la phase de conjectures, les seules commandes que Gérard a utilisées ont été les commandes *F5-Maximum* et *F5-Minimum* de l'application [GRAPH].

Durant la phase de preuves, il a utilisé [HOME] pour montrer la périodicité. Pour étudier le sens de variation, il a commencé par parcourir [TABLE] mais sans changement de pas dans [Tb1Set] , avant de calculer la dérivée en 0, π, et π/2. Ensuite il a fait un ZoomFit dans [GRAPH] puis est retourné dans [HOME] afin de déterminer le signe de la dérivée sur [0;π] et ceci en calculant f'(π/4) et f'(3π/4), en vertu du théorème-en-acte « entre deux racines, le signe de la dérivée est constant ». Notons enfin que Gérard a utilisé la commande [GRAPH]-F5-A-Tangent pour répondre à la question de l'observateur sur l'existence d'une tangente.

Michel

Michel est un très bon élève de cette classe : moyenne 15.5, moyenne des contrôles : 13.5.

Questionnaire 1

Il dispose d'une TI82 depuis moins d'un an et ne mentionne pas le type de la calculatrice qu'il possédait avant. L'année dernière, il l'utilisait parfois en classe et à la maison. Il utilise sa calculatrice actuelle uniquement pour faire des calculs numériques et des tracés graphiques. Il a appris à s'en servir uniquement avec le professeur. Il a souvent recours au *Zoom*, parfois au *Range* mais jamais à *Trace* et estime ne pas bien connaître les possibilités de sa machine. Il attend du professeur une aide à la programmation, à la gestion des mémoires, à la connaissance des touches. Il a déjà obtenu des résultats surprenants pour des raisons de parenthésage mais estime ne jamais avoir été induit en erreur. Il vérifie souvent les résultats affichés par sa machine : « en les refaisant de différentes manières », et est favorable à son utilisation aux contrôles car « ça permet de résoudre certains calculs plus rapidement et le temps durant un devoir étant important, l'utilisation de la calculatrice parait nécessaire ».

Il est plutôt d'accord avec l'opinion 35 (gain de temps), tout à fait d'accord avec les deux suivantes (aide à la vérification et à la résolution), pas du tout d'accord avec la 38 (aide à la préparation des contrôles).

Il a un ordinateur chez lui et l'utilise parfois. Son utilisation de certains logiciels est fréquente surtout pour le traitement de textes, le dessin, le tableur et les jeux informatiques. Il pense enfin que l'utilisation des ordinateurs est sans effet dans l'apprentissage des mathématiques : « A mon avis, rien n'est mieux que le professeur pour enseigner les mathématiques ».

En géométrie, il n'a utilisé que le logiciel dessiner l'espace et très peu. Il estime n'y avoir rien appris. Il ne le considère comme une aide pour aucune des tâches proposées car dit-il, « il n'y a pas besoin de réfléchir » . Il le juge inutile pour l'apprentissage de la géométrie car, encore une fois, dit-il, le professeur c'est mieux.

Il n'a jamais utilisé DERIVE.
### Questionnaire 2

Michel estime se débrouiller moyennement avec la TI92. Il a appris seul à utiliser l'éditeur de texte. C'est dans le module de géométrie qu'il a rencontré le plus de difficultés pour apprendre à se servir de sa machine, sachant qu'il n'a jamais consulté ni le mode d'emploi distribué en décembre, ni le manuel Texas Instrument. Par rapport à une calculatrice graphique, ce sont «la résolution d'équations et d'inéquations, les constructions géométriques et les différents calculs que la TI92 effectue seule (dérivée, limites, ... )' qui lui paraissent représenter la nouveauté. Il trouve également qu'elle est facile à utiliser grâce aux «menus', tout en déclarant qu'il n'aime pas s'en servir. Les résultats qui l'ont surpris concernent le calcul des limites et la résolution d'équations et d'inéquations. Il pense que la TI92 lui est peu utile en classe et en contrôle, et pas du tout à la maison. Quant à la calculatrice rétroprojetable, il juge qu'elle ne va pas trop vite mais que c'est mieux quand le prof écrit tout au tableau. Il dit qu'il est plus facile de faire des maths avec la TI92, parce qu'elle permet la vérification des résultats, mais «qu'elle n'a changé en rien son avis sur les maths». L'utilisation de sa machine s'étend à la physique et la biologie mais se résume à des calculs.

### Entretien 1

Michel commence sa résolution par la transformation de l'expression de $f(x)$ à l'aide de *Expand* dans [HOME]. Il définit ensuite la fonction avec *Define*, avant de calculer la dérivée et de définir $f'$ à l'aide de *STO*. Et bien qu'il ait fait tracer la courbe de la dérivée, sa stratégie pour l'étude des variations de $f$ semble essentiellement basée sur le théorème en acte « *Entre deux zéros, la dérivée a un signe constant* ». Il utilise alors *Solve* dans [HOME] pour chercher les racines de $f'$ ainsi que pour déterminer l'intervalle sur lequel $f'$ est positif ($Solve(d(x) = 2,x)$), avant de contrôler en parcourant [TABLE]. Notons enfin que son utilisation de [GRAPH] s'est réduite au tracé des courbes de $f$ et de $f'$ dans la fenêtre initiale.

### Entretien 2

Michel a étudié le signe de $f'$ en P/C (racines et signe d'un trinôme), avant de contrôler les racines dans [HOME] (*Solve*). Et en dehors de la définition de $f$, le calcul de $f'$ et de $\lim_{x \to +\infty} f$, il a utilisé [HOME] pour contrôler les limites à droite et à gauche en -3, les calculs étant effectués auparavant en P/C. L'utilisation de [GRAPH] a été essentiellement pour le contrôle (tableau de variation puis limites). Quant à l'application [TABLE], elle a été investie exclusivement pour la détermination de points remarquables.

### Serge

Serge est un élève moyen, difficile à cerner : sa moyenne est de 10.5 et sa moyenne de contrôle de 10.

### Questionnaire 1

Il dispose d'une CASIO CFX 6300 depuis plus d'un an et avait avant une TI collège. L'année dernière, il l'a utilisée parfois en classe et à la maison. Il l'utilise cette année dans tous les registres indiqués mais seulement parfois et ses activités de programmation concernent des jeux. Il a appris à s'en servir uniquement en manipulant, a parfois recours à la fonction *Range* mais jamais à *Trace* ou *Zoom*. Il estime cependant avoir une bonne connaissance de ses possibilités. Il déclare avoir déjà obtenu des résultats surprenants, avoir parfois été induit en
erreur, mais ne donne pas d'exemples. Il vérifie parfois les résultats affichés par sa machine « avec des règles de math », et est favorable à son utilisation aux contrôles parce que « les calculs sont plus simples ». Il est tout à fait d'accord avec les affirmations 35-38 (gain de temps, vérification, aide à la résolution, aide à la préparation des contrôles).

Chez lui, il n'y a pas d'ordinateur et son utilisation de logiciels se limite essentiellement à la fréquentation de jeux informatiques. Il pense enfin que les ordinateurs sont utiles pour apprendre des mathématiques car « on peut tout faire avec ».

En géométrie, Serge a utilisé « le géomètre » et « dessiner l'espace » entre 3 et 10 fois. Il les a trouvés faciles d'accès. Il les considère comme des aides pour les trois types de tâches proposées, en donnant chaque fois les mêmes raisons : visualisation en 3D, action possible sur la figure. Il pense qu'ils peuvent être utiles à l'apprentissage de la géométrie car ils rendent les tracés plus simples.

Concernant DERIVE, Serge l'a utilisé en classe une ou deux fois pour illustrer le cours et chercher des exercices. Il pense qu'il est facile à utiliser, utile car il factorise et développe lui-même, et qu'il permet de construire des figures, chose que sa calculatrice ne peut pas faire

### Questionnaire 2

Serge estime bien se débrouiller avec la TI92. Il a appris seul à manipuler l'éditeur de programme, l'éditeur de texte et la mémoire. Il n'a rencontré aucune difficulté à utiliser sa machine, sachant qu'il n'a jamais consulté le mode d'emploi distribué en décembre. Quant au manuel Texas Instrument, il s'en est servi parfois «pour les messages d'erreur ou pour les fonctions de commande pour les programmes». Il dit que par rapport à une calculatrice graphique, il y a «plus de mémoire et plus de possibilités mathématiques (au niveau des calculs, des graphiques, de la géométrie...)». Il apprécie particulièrement l'éditeur de programme mais beaucoup moins la taille de la machine. Il pense que la TI92 lui est très utile en classe et en contrôle, mais beaucoup moins à la maison. Quant à la calculatrice rétroprojetable, il juge qu'elle fait gagner du temps, sans pour autant aller trop vite. Il dit qu'avec la TI92, il est plus intéressant de faire des mathématiques («on peut résoudre des équations et on a plus de calculs»), et plus facile («tous les résultats mathématiques sont vérifiés»). En ce qui concerne la mémoire, il y conserve ce qui a été fait en classe ainsi que des jeux, des programmes, des formules de mathématique et d'autres disciplines. Il utilise enfin sa machine en physique, en chimie et en biologie.

### Questionnaire 3

Serge estime qu'il est globalement plutôt satisfait de sa participation à l'expérimentation avec la TI92. S'adressant à un élève d'une autre classe, il lui dirait qu'il apprécie «le fait de bénéficier gratuitement d'un outil de travail très utile', mais que par contre il n'apprécie pas d'être interviewé. Il pense que s'il n'avait pas eu cette calculatrice en mathématiques, il aurait travaillé, appris et compris à peu près autant, et il aurait eu des résultats à peu près identiques.

Il trouve que la TI92 lui a été utile «quand le calcul est difficile à la main, parce qu'elle permet de vérifier le résultat et de mieux comprendre', mais que son utilisation n'a pas modifié son point de vue sur les calculatrices («car une calculatrice sera toujours un outil de calcul»). Par ailleurs, il dit qu'elle permet de faire des activités plus intéressantes en classe, de résoudre des problèmes et qu'elle peut aider à comprendre les mathématiques. Il estime également qu'elle ne fait pas perdre de temps, qu'elle n'incite pas le professeur à poser des
problèmes trop difficiles, et qu'elle n'oblige ni à réfléchir davantage à ce que l'on fait, ni à
apprendre des choses inutiles.

A la question : « Avec la TI92, même en étant nul en analyse, on peut réussir les contrôles », il répondrait que c'est vrai. Il dit enfin qu'il aimerait bien avoir sa machine l'année prochaine.

### Entretien 1

Lors de cet entretien, le travail de Serge a été exclusivement sur machine. Pour l'amélioration du tracé de *f*, il a effectué un seul changement dans [WINDOW] et n'a obtenu qu'un tracé de type [AB].

Son investissement de [HOME] va de la définition de *f* à l'utilisation de la commande *Graph* (unique parmi tous les élèves sélectionnés), en passant par le calcul de la dérivée et la recherche de ses racines (*Solve*). Sa stratégie pour l'étude des variations de *f* est basée sur le parcours de [TABLE] (avec des changements du pas), sur une lecture graphique à l'aide de *Trace* ainsi que sur l'utilisation précoce du tracé de la dérivée. Tout ceci témoigne d'une assez bonne connaissance de la machine.

### Entretien 2

Serge a investi [HOME] pour définir les fonctions $f$ et $f'$, pour calculer la dérivée et ses racines (Zeros) et pour calculer les limites (en $\infty$, en -3 à gauche puis en -2 et -4). L'utilisation de [GRAPH] a concerné essentiellement le signe de la dérivée (lecture à l'oeil nu) et le contrôle des limites (avec un ZoomFit pour le contrôle final du tableau de variation). Serge a également mobilisé l'application [TABLE] (avec un changement de pas) pour la détermination de la singularité en -3, avec un contrôle dans [GRAPH]. En ce qui concerne l'étude des variations de $f$, sa stratégie a été basée sur l'alternance des signes et sur une lecture graphique primitive. Notons qu'à la fin de sa résolution, il a fait tracer les droites d'équations $y = -10$ et $y = -6$ les appelant dans un premier temps asymptotes avant qu'il ne rectifie en disant « *Ce sont les tangentes... elles sont parallèles à l'axe des abscisses* ».

### Contrôle spécifique

Serge a calculé la dérivée ainsi que les limites à la machine, semble avoir cherché les racines dans [HOME] et le signe à l'aide du tracé.

### Entretien 3

Pendant la phase de conjectures, Serge a utilisé *Trace* pour déterminer la période. Il a parcouru ensuite [TABLE] pour chercher les valeurs des extremums après avoir adapté [TblSet]. En ce qui concerne la dérivabilité, il a calculé $f'$ dans [HOME], fait tracer sa courbe puis parcouru [TABLE] à la recherche des points de non-dérivabilité.

Pendant la phase de preuve, il est arrivé à montrer la périodicité et la parité en combinant [HOME] et le travail en Papier/Crayon. Pour l'étude des variations de $f$, il a calculé dans [HOME] $f(0)$, $f(\pi/2)$ et $f(\pi)$ avant de mettre le signe de $f'$ en se basant sur le tracé. Il a contrôlé ensuite en parcourant [TABLE].
## Vincent

Vincent est un élève moyen qui a des idées mais n'aime pas beaucoup rédiger et travaille assez irrégulièrement selon son enseignante. Ses notes pour le premier trimestre ne reflètent pas tout à fait ce portrait : sa moyenne de 13 est supérieure à celle de la classe, celle des contrôles de 11.5.

### Questionnaire 1

Il dispose d'une CASIO 7800 depuis plus d'un an, avant il avait une TI Galaxie. L'année dernière, il a utilisé sa calculatrice parfois en classe et à la maison. Il utilise sa calculatrice actuelle pour faire des graphiques et moins souvent pour des calculs numériques ou pour la programmation (Jeux). Il a appris à s'en servir uniquement en manipulant, il n'a que parfois recours à Zoom, Range ou Trace, et estime ne pas bien connaître les possibilités de sa machine. Il attend de l'enseignant qu'il lui montre la majorité des possibilités. Sa machine n'a jamais produit des résultats surprenants, ne l'a jamais induit en erreur, dit-il et il ne vérifie jamais les résultats qu'elle affiche. Il est partagé sur son utilisation aux contrôles : « A cause de la calculatrice on ne calcule plus à la main, mais grâce à elle les calculs vont plus vite ». Il est tout à fait d'accord avec les affirmations 35, 37 et 38 (gain de temps, vérification, aide à la résolution, aide à la préparation des contrôles), mais pense en revanche que la calculatrice ne l'aide pas à résoudre les problèmes.

Il ne dispose pas chez lui d'un ordinateur et a utilisé peu de logiciels. Il pense enfin que les ordinateurs sont dangereux pour apprendre des mathématiques car « il n'y a plus de calcul à la main, plus de dessin graphique en géométrie ».

En géométrie, il n'a utilisé que le logiciel « dessiner l'espace », entre 3 et 10 fois. Il a rencontré des difficultés à cause de son manque de familiarité avec l'ordinateur. Il estime que c'est une aide à la détermination des propriétés d'une figure à cause des zooms et des rotations possibles, à la démonstration car cela fait voir les propriétés fausses, mais non à la résolution des problèmes de construction. Il juge le logiciel sans effet sur l'apprentissage.

Enfin, il n'a jamais utilisé DERIVE.

### Questionnaire 2

Vincent estime se débrouiller moyennement avec la TI92. Il a appris seul à programmer et à faire la «transmission de programmes». Il n'a rencontré aucune difficulté à utiliser sa machine, sachant qu'il n'a jamais consulté le mode d'emploi distribué en décembre. Quant au manuel Texas Instrument, il s'en est servi parfois, surtout pour la programmation. Par rapport à une calculatrice graphique, c'est le module de géométrie qui lui paraît représenter la nouveauté. Il trouve également que «les graphiques sont plus grands et les fonctions très accessibles partout»; mais ce qui lui plaît par dessus tout, ce sont les fonctions limite et dérivée. Par contre, il estime qu'il n'y a pas «le détail des calculs». Parmi les résultats qui l'ont surpris, il y a des calculs de dérivées et de limites. Il pense que la TI92 lui est très utile en classe et en contrôle, mais beaucoup moins à la maison. Quant à la calculatrice rétroprojetable, il juge qu'elle fait gagner du temps, sans pour autant aller trop vite. Il dit qu'avec la TI92, il est plus facile et plus intéressant de faire des mathématiques, «parce qu'elle offre plusieurs possibilités (la rapidité des calculs, entre autres) et parce qu'on peut écouter le prof en cours». Par contre, la TI92 ne l'a aidé à comprendre aucune notion mathématique. Par ailleurs et pour ce qui est de la mémoire, il y conserve ce qui a été fait en classe ainsi que des jeux, des programmes, des formules de math et de physique.
### Questionnaire 3

Vincent estime qu'il est globalement très satisfait de sa participation à l'expérimentation avec la TI92. S'adressant à un élève d'une autre classe, il lui dirait qu'il apprécie «tout ce que la machine peut faire plus rapidement qu'une autre, sans le programme », mais que par contre il n'apprécie pas le fait que toutes les commandes soient en anglais. Il pense que s'il n'avait pas eu cette calculatrice en mathématiques, il aurait appris moins, travaillé et compris à peu près autant et qu'il aurait eu des résultats moins bons. Il trouve que la TI92 lui a été utile pour le calcul des limites («parce qu'il n'avait pas très bien compris le cours»), mais inutile en géométrie «parce qu'elle est très complexe à manoeuvrer») et gênante à cause de sa taille et de son poids.

Il dit qu'elle l'oblige à se poser des questions, l'incite à ne pas apprendre les choses indispensables et l'aide à résoudre les problèmes. Par ailleurs, il juge que l'utilisation de la TI92 a modifié son point de vue sur les calculatrices, «parce qu'il a découvert qu'elles pouvaient faire beaucoup de choses». A la question : «Avec la TI92, même en étant nul en analyse, on peut réussir les contrôles », il répondrait que c'est vrai mais qu'il faut justifier les calculs que l'on fait. Enfin, il aimerait bien avoir une TI92 l'année suivante. Il dit être volontaire à participer à une séance de TD hebdomadaire d'une heure avec la machine (en plus de l'horaire normal), si le lycée peut en mettre une à sa disposition pour les épreuves de bac.

### Entretien 1

Pendant cet entretien, Vincent a investi [HOME] pour définir les fonctions *f* et *f*', ou pour calculer la dérivée et ses racines (Zeros). Le travail en P/C a été marqué par le développement de l'expression de *f(x)* ainsi que par le re-calcul de *f*'. En ce qui concerne l'étude des variations de *f*, la stratégie de Vincent commence par un parcours de [TABLE] (grâce auquel il découvre la singularité) suivi par une lecture primitive dans [GRAPH]. Notons que Vincent a fait tracer dans un même repère les courbes de *f* et de *f*', ce qui l'a conduit à commettre une erreur en confondant les deux tracés pour x>0. Auparavant, il a confondu le signe de *f*' et celui de *f* en parcourant [TABLE].

Précisons enfin qu'il n'a pas utilisé [WINDOW].

### Entretien 2

Lors de cet entretien, Vincent a investi [HOME] pour définir *f*, pour calculer la dérivée, les limites (en -∞ et en -3 à gauche et à droite) et $f'(-4)$ et $f'(-2)$ (pour compléter le tableau de variation), ainsi que pour contrôler la singularité en -3 (calcul de $f'(-3)$). L'étude de la fonction *f* se fait intégralement en Papier/Crayon. Il re-calcule même la dérivée à la main avant de calculer le discriminant et déterminer le signe, en remarquant la singularité en -3. Notons enfin l'utilisation limitée de [GRAPH] (lecture à l'oeil nu et utilisation de ZoomStd pour l'amélioration du tracé) et l'absence d'utilisation de [TABLE].

### Contrôle spécifique

Pour étudier les variations de *f*, Vincent a calculé la dérivée par 2nd-8. Il l'a factorisée à la machine et a résolu l'équation du second degré en P/C, avec utilisation d'un programme pour le calcul du discriminant. Pour l'étude du signe il a utilisé Factor et le tableau de signes. Le calcul des limites a été effectué dans [HOME].
## Entretien 3

Vincent a utilisé les commandes *Maximum* et *Minimum* du menu *F5* dans [GRAPH] avec un contrôle à l'aide de *ZoomBox*. L'observateur lui a demandé ensuite une valeur exacte d'un extremum, ce à quoi il a répondu en calculant $f(0)$ dans [HOME]. Par ailleurs il démontre en P/C la périodicité de la fonction.
# Annexe 4 : données recueillies sur chaque élève (classe B)

## Alice

Alice a de grosses difficultés en Mathématiques. Ces difficultés s'accentuent en temps limité, ce qui explique sa note moyenne de 7 en contrôle. A la fin de l'année, elle devra redoubler sa classe de 1ère.

Au premier questionnaire, il apparaît qu'elle n'avait pas de calculatrice en collège, et qu'elle utilise assez peu sa calculatrice actuelle. Elle n'a pas de pratique systématique de vérification des résultats. En contrôle, l'intérêt principal est pour elle la mémorisation du cours, grâce à la mémoire alphanumérique de la machine. Elle n'utilise pas du tout l'ordinateur présent dans le milieu familial et trouve que l'ordinateur ne présente pas d'intérêt pour l'apprentissage des mathématiques.

Au second questionnaire, Alice fait partie des élèves qui déclarent se débrouiller moyennement avec la TI92. En fait, l'instrumentation paraît plus faible que ce que déclare Alice, puisque son score est très faible aux questions sur la connaissance de la TI92 du second questionnaire. Elle est cependant "tout à fait d'accord" avec la rétroprojection aux synthèses.

Au troisième questionnaire, Alice déclare apprécier la calculatrice en elle-même ("toutes ses fonctions") ainsi que son utilité mais regrette que les cours "ne soient basés que sur la machine". Elle pense qu'elle aurait travaillé moins sans la TI92.

Elle a trouvé intéressante la fonction [TABLE], car "lorsqu'on a une fonction, grâce à [TABLE], on peut trouver les valeurs de $f(x)$ et $f'(x)$". Elle a trouvé utile le calcul des limites: "Permet une vérification, voire même un calcul plus rapide".

Elle est nettement plus favorable que la moyenne de la classe à l'opinion selon laquelle, la TI92 "fait perdre du temps". Elle a changé d'avis sur les calculatrices et pense maintenant que les calculatrices sont inutiles, "elles permettent seulement de vérifier les résultats". Elle est la seule à ne pas souhaiter avoir une TI92 l'année suivante.

Au premier entretien, Alice déclare avoir utilisé la TI92 "pour voir comment on programmait" à partir d'un jeu qu'on lui avait fourni. Quand il y a des calculs à faire, elle cherche d'abord les solutions à la TI92, puis essaie de résoudre en P/C, à la différence des autres élèves qui se servent de la TI92 pour vérifier. En contrôle, elle n'a pas utilisé la TI92 car elle est plus à l'aise avec sa calculatrice habituelle.

Alice est la seule à ignorer les fonctions de gestion de l'écran et de la mémoire que les autres élèves observés ont bien intégré.

Dans la partie étude de fonction, elle montre peu d'aptitudes mathématiques en dehors de la lecture graphique et de la manipulation de la calculatrice. Pour l'intersection avec l'axe des x, elle lit les valeurs sur le graphique et se révèle incapable de faire la traduction algébrique. Elle calcule les limites avec la TI92, mais n'est pas capable de les obtenir par raisonnement.

Au second entretien, Alice manifeste une organisation assez pauvre de sa TI92. Elle a chargé des jeux, mais n'a pas réussi à les utiliser, et est perdue dans les répertoires. En fait, la mémoire de la TI92 lui sert surtout pour ses "antisèches" de chimie.
Dans la partie mathématique, Alice manque de capacité à s'adapter à la diversité des modes de définition des fonctions et est vite perdue. Son étude de variations est seulement graphique et numérique. Elle ne parvient pas à l'étude algébrique même avec la TI92.

En contrôle spécifique, Alice a développé la fonction trigonométrique en P/C. Il semble qu'elle n'ait pas compris la question. Elle justifie les variations par le traditionnel tableau de signes. Elle donne des paramètres non adaptés pour la fenêtre demandée.

Dans le troisième entretien Alice ne reconnaît pas la propriété de périodicité sur le graphique. Elle énonce la symétrie après que l'observateur ait fait remarquer que la courbe "part un peu pareil des deux côtés".

## Franck

Franck est considéré par son professeur comme un bon élève et il obtient 13 en contrôle. Le professeur note qu'il "utilise intelligemment" la calculatrice.

Au premier questionnaire, il fait partie en effet de ceux qui ont l'instrumentation la plus complète de leur calculatrice. C'est aussi un utilisateur assidu de l'ordinateur.

Au second questionnaire, Franck déclare bien se débrouiller avec la TI92 ce que confirme son bon score aux questions sur la connaissance de la TI92 (4 réponses sur 5). Il insiste sur l'apport à la compréhension en cours. Cependant, il l'utilise plutôt à la maison, et n'aime pas l'utilisation de la rétroprojection pour les synthèses.

Au troisième questionnaire Franck déclare apprécier la simplicité d'utilisation et de compréhension, la mémoire importante, la rapidité d'exécution, les diversité des capacités offertes.

Il pense qu'il aurait travaillé moins et qu'il aurait eu de moins bons résultats sans la TI92.

Franck a trouvé intéressant le TD sur les propriétés des limites d'une fonction. "La TI92 a permis d'une façon expérimentale l'élaboration d'un tableau de valeurs. Ainsi on peut dégager nous-mêmes les règles de calcul et de comportement des fonctions". Il a trouvé utile la dérivée d'une fonction: "Moyen de vérification qui permet l'élaboration d'un tableau de variations". Il a trouvé la TI92 gênante pour la résolution d'une équation trigonométrique "le résultat donné par la TI92 n'est pas toujours le même que le mien. Ce résultat n'est pas toujours simplifié à ma convenance"

Il est nettement plus favorable que la moyenne de la classe aux opinions selon laquelle, la TI92 " Donne envie de chercher les exercices "," Peut aider à comprendre les mathématiques ", "Oblige à apprendre des choses inutiles ". Il est nettement moins favorable que la moyenne de la classe à l'opinion selon laquelle, la TI92 " incite le professeur à poser des problèmes trop difficiles".

Au premier entretien, Franck déclare aussi avoir utilisé la TI92 pour vérifier les solutions des exercices donnés en préparation. En contrôle, il a utilisé la TI92 mais aussi son ancienne machine sur laquelle il a l'habitude de faire "les petits calculs".

Dans la partie mathématique, Franck est seul avec Julien à utiliser les propriétés algébriques des limites pour calculer et vérifier les limites en +-infini alors que les autres ne seraient pas capables de trouver ces limites sans la TI92.
Au second entretien, Franck fait l'étude de variations en considérant des valeurs de la dérivée sur les intervalles déterminés par les zéros. Le tableau de variations est exact. Franck n'utilise pas le graphisme.

Franck fait partie des trois élèves qui trouvent d'emblée l'asymptote à partir de l'expression algébrique.

En contrôle spécifique, Franck s'est trompé en dérivant en P/C. Il déclare que, pour vérifier, il faudrait développer à la main les deux expressions, mais qu'il n'a pas eu le temps. Il justifie l'étude de variations par l'utilisation de valeurs de la dérivée calculées à l'aide de la TI92.

Dans le troisième entretien, Franck est un peu plus à l'aise que les autres pour le repérage de la périodicité sur le graphique, mais a des difficultés avec l'expression algébrique de la périodicité. Il repère une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, hésite un peu sur l'expression algébrique de la parité et démontre en P/C.

## Julien

Julien a un moyenne élevée en contrôle (16). Mais le professeur souligne qu'il obtient cette moyenne " sur des tâches bien cadrées", et qu'il a du mal a "élargir".

Au premier questionnaire, il fait partie de ceux qui ont l'instrumentation la plus complète de leur calculatrice. Il ne dispose pas d'un ordinateur à la maison, mais a été élève de l'option informatique.

Au second questionnaire, Julien déclare bien se débrouiller avec la TI92 ce que confirme son bon score aux questions sur la connaissance de la TI92 (4 réponses sur 5). Il l'utilise très systématiquement. Il insiste sur l'apport à la compréhension aussi bien que sur le caractère sécurisant en résolution d'exercices.

La réponse de Julien au troisième questionnaire n'est pas parvenue.

Au premier entretien, Julien est le seul à entrer correctement la fonction sans erreur de parenthésage. Il est seul avec Franck à utiliser les propriétés algébriques des limites pour calculer et vérifier les limites en +-infini alors que les autres ne seraient pas capables de trouver ces limites sans la TI92.

Il rencontre une difficulté d'interprétation du graphisme, concernant les limites en zéro : il suit les branches de la courbe à partir de zéro et observe ainsi les limites en +- infini.

Au second entretien, Julien fait partie des élèves qui stockent des programmes qu'ils utilisent. Il a même développé certains programmes.

Il fait la recherche des variations de façon algébrique, à l'aide de la TI92, puis confronte ensuite au graphique. Le graphisme est contradictoire à l'étude de variations, mais, à juste titre, Julien fait confiance à son calcul. Il fait partie des trois élèves qui trouvent d'emblée l'asymptote à partir de l'expression algébrique.

En contrôle spécifique, Julien a une note très notablement inférieure à sa note habituelle. Il a rencontré beaucoup de difficultés en comparant les résultats TI92 et ses calculs en P/C.

Il ne justifie pas les variations, n'ayant pas compris que l'injonction de l'énoncé "rédiger les raisonnements comme d'habitude" s'applique à l'étude de variations. Pour le polynôme asymptote, il calcule le quotient des termes de plus haut degré et ne peut invalider graphiquement la règle (fausse) qu'il se donne ainsi. Il donne des paramètres non adaptés pour la fenêtre demandée.
Dans le troisième entretien, Julien ne repère pas la propriété de périodicité sur le graphique. Il repère une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, mais hésite sur la parité, puis démontre en P/C. Il est le seul à maîtriser suffisamment le langage des fonctions trigonométriques pour exprimer correctement les valeurs de x pour lesquelles f(x) est maximum.

## Jean

Jean est considéré par son professeur comme un bon élève, travailleur. Il perd ses moyens en contrôle, ce qui explique sa note moyenne de 12.

Au premier questionnaire, il apparaît comme un utilisateur assidu de l'ordinateur dont il dispose dans l'environnement familial. Cela contraste avec son utilisation de sa calculatrice qui est seulement moyenne.

Au second questionnaire, Jean déclare bien se débrouiller avec la TI92. En fait il se débrouille très bien puisqu'il a le meilleur score aux questions sur la connaissance de la TI92 (5 réponses sur 5), et il porte un regard critique sur l'affichage graphique à la suite d'une expérience de non séparation de la courbe à l'endroit d'une discontinuité. Il insiste sur l'apport à la compréhension et l'utilise plus volontiers en classe qu'à la maison.

Au troisième questionnaire Jean déclare apprécier la facilité de calculs, l'écran très large, la mémoire, les nombreuses capacités d'algèbre, graphiques mais regrette le mode d'emploi mal expliqué. Il pense qu'il aurait moins appris sans la TI92.

Jean a trouvé intéressant les études de fonctions, "car on a les solutions des limites, de la dérivée, les tableaux de valeur pour tracer les courbes". Il est nettement plus favorable que la moyenne de la classe aux opinions selon laquelle, la TI92 "Permet de faire en classe des activités plus intéressantes "," Oblige à se poser des questions", " Oblige à réfléchir davantage à ce que l'on fait".

Au premier entretien, Jean déclare aussi avoir utilisé la TI92 pour vérifier les solutions des exercices donnés en préparation. En contrôle, il n'a pas utilisé la TI92 par peur de perdre du temps.

Dans la partie mathématique Jean est le seul à mettre en doute la représentation graphique, et à corriger l'écriture de la fonction. Il manifeste ainsi une bonne coordination graphique/algèbre.

Au second entretien, Jean fait l'étude classique de variations en raisonnant sur l'expression de la dérivée, puis considère le graphique à titre de vérification, ce qui lui permet de corriger une inversion de signe.

Pour la recherche de l'asymptote, Jean se concentre sur la lecture graphique, et ne parvient pas à donner l'équation correcte de la droite qu'il "voit" sur le graphique. Il ne fait pas le rapport avec la définition algébrique.

En contrôle spécifique, Jean s'est trompé en dérivant en P/C la fonction trigonométrique Il dit qu'on pourrait vérifier avec la fonction *tExpand*, mais n'a pu trouver son erreur. Il justifie l'étude de variations par l'utilisation de valeurs de la dérivée calculées à l'aide de la TI92.

Dans le troisième entretien, comme pour Sabine et Marie, la notion de période émerge difficilement du graphique, et le repérage de la valeur de la période est laborieux. Par contre, il exprime spontanément la propriété algébriquement. Il pense à une symétrie centrale, puis se reprend et reconnaît une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Il est le seul capable de limiter l'intervalle d'étude lors de l'étude des variations.
## Marie

Marie est considérée par son professeur comme une bonne élève. Bien qu'elle ait tendance à s'affoler et à perdre confiance en elle, sa note moyenne est de 14.

Au premier questionnaire, l'instrumentation de sa calculatrice apparaît moyenne : elle l'utilise fréquemment, mais pas systématiquement. Elle utilise peu l'ordinateur disponible dans l'environnement familial.

Au second questionnaire, Marie déclare se débrouiller moyennement avec la TI92, ce que confirme son score assez faible aux questions sur la connaissance de la TI92 (2 réponses sur 5). Elle est la seule à avouer avoir eu des difficultés pour apprendre à utiliser la TI92. Elle l'utilise peu en classe, et n'est pas favorable à l'utilisation de la rétroprojection pour les synthèses.

Au troisième questionnaire, Marie déclare apprécier l'aide pour les vérifications mais regrette qu'il y ait eu "trop de calculatrice, mais pas assez de cours". Elle pense qu'elle aurait compris davantage sans la TI92. Pour elle, "c'est seulement un outil de calcul".

Elle a trouvé intéressant le tracé de graphique "plus détaillé", et utile la vérification des calculs. Elle est nettement plus favorable que la moyenne de la classe à l'opinion selon laquelle, la TI92 fait perdre du temps.

Au premier entretien, Marie déclare avoir utilisé la TI92 pour vérifier les solutions des exercices donnés en préparation.

Dans la partie mathématique elle a rencontré une difficulté avec l'interprétation graphique. Elle a vu que "les branches se rapprochent de zéro" et pensé par conséquent que la limite est nulle.

Au second entretien, Marie recherche comme Sabine la dérivée et ses zéros à l'aide de la TI92 et établit ensuite les variations en considérant le graphique de la TI92. Elle est cependant plus à l'aise que Sabine dans l'interprétation du graphique.

Marie tente repère l'asymptote sur le graphique, mais elle ne parvient pas à trouver son équation. Cherchant à partir de la définition algébrique, elle est gênée par ses connaissances insuffisantes des limites.

En contrôle spécifique, comme Sabine, Marie a calculé la dérivée de la fonction trigonométrique à la machine, mais n'a pu le faire en P/C.

Dans le troisième entretien, comme pour Sabine, la notion de période émerge difficilement. Elle ne voit pas la propriété de parité.

## Pierre

Pierre est un redoublant. D'après le professeur, il profite bien de ce redoublement et obtient une note moyenne en contrôle assez élevée (15).

Au premier questionnaire, il apparaît qu'il utilise fréquemment sa calculatrice, de façon complète et systématique et qu'il est très convaincu de son utilité dans les problèmes. Il y a un ordinateur dans le milieu familial, qu'il utilise.

Au second questionnaire, Pierre déclare bien se débrouiller avec la TI92 ce que confirme son bon score aux questions sur la connaissance de la TI92 (4 réponses sur 5). Il fait partie des élèves qui utilisent systématiquement leur machine, en classe, en contrôle ou à la maison.
Au troisième questionnaire, Pierre marque une satisfaction plus élevée que la majorité des élèves de la classe, et que les autres élèves observés. Il apprécie toutes les fonctionnalités de la machine, en dehors de son poids.

Un exemple de fonctionnalité qu'il a jugé intéressante est la factorisation et la résolution d'équations de degré>2. "C'est bcp plus rapide que de chercher les racines évidentes et d'appliquer la méthode de gauss". Il a trouvé utile le calcul de dérivée "plus rapide". Il note cependant que la TI92 est inutile pour "l'explication des limites".

Il est nettement plus favorable que la moyenne de la classe aux opinions selon laquelle, la TI92 " Permet de faire en classe des activités plus intéressantes "," Peut aider à comprendre les mathématiques ", "Oblige à apprendre des choses inutiles ", et nettement moins favorable aux opinions selon laquelle, la TI92 "Incite le professeur à poser des problèmes trop difficiles" et "Fait perdre du temps".

Au second entretien, Pierre manifeste la meilleure organisation de la mémoire de sa TI92, avec des sous-répertoires thématiques. Il stocke des programmes qu'il utilise ou a développé. Il fait les calculs de variations en papier/crayon, puis considère le graphique à titre de vérification. Cela lui permet de corriger une inversion de signe. Il fait partie des trois élèves qui trouvent d'emblée l'asymptote par coordination graphique-algébrique.

En contrôle spécifique, comme Sabine et Marie, Pierre a calculé la dérivée de la fonction trigonométrique à la machine, mais n'a pu le faire en P/C. Comme Julien, Il ne justifie pas les variations, n'ayant pas compris que l'injonction de l'énoncé "rédiger les raisonnements comme d'habitude" s'applique à l'étude de variations. Il est le seul à rechercher le polynôme asymptote en P/C en posant et en résolvant un système.

Dans le troisième entretien, Pierre est un peu plus à l'aise que les autres élèves pour la recherche de la période et l'expression algébrique de la périodicité. Il reconnaît la symétrie de la courbe puis démontre la parité en P/C.

## Sabine

Sabine est une élève sérieuse, mais lente. Cette lenteur est un handicap en contrôle, qui explique sa note moyenne de 11.

Au premier questionnaire, elle manifeste un rapport assez faible avec sa calculatrice personnelle. Il s'agit d'un modèle moins "haut de gamme" que les autres, et elle l'utilise moins. Elle avoue se débrouiller moyennement avec cette calculatrice, et n'utilise pas les possibilités graphiques.

Au second questionnaire, Sabine déclare se débrouiller moyennement avec la TI92 ce que confirme son score assez faible aux questions sur la connaissance de la TI92 (2 réponses sur 5). Elle l'utilise peu en contrôle. Elle est très favorable à l'utilisation de la rétroprojection aux synthèses, mais regrette que "ca aille trop vite".

Pour elle, la TI92 ne permet pas de comprendre une notion mais elle "sécurise". En fait, elle l'utilise surtout pour vérifier les solutions de ses exercices. Cette vérification lui donne plus de confiance en elle.

Au troisième questionnaire, Sabine déclare apprécier le côté sécurisant qu'elle a souligné dans le second questionnaire. Elle précise : dans les calculs de limite, dérivée, et dans les graphique. Elle est nettement plus favorable que la moyenne de la classe à l'opinion selon laquelle, la TI92 "donne envie de chercher les exercices".
Elle regrette les références trop fréquentes à la TI92. Elle aurait préféré "voir plus d'exos à la main, puis voir en quoi la calculatrice aide". Elle pense qu'elle aurait compris et appris davantage sans la TI92.

Elle n'a pas d'initiative face aux résultats inattendus, puisqu'elle déclare dans ce cas demander au professeur.

Au premier entretien, Sabine est parmi les élèves qui utilisent le moins la TI92. Elle s'en sert seulement pour les devoirs à la maison. Elle a essayé de l'utiliser en contrôle, mais cela lui a fait perdre du temps et elle a abandonné.

Dans la partie mathématique, Sabine manifeste une difficulté spécifique avec la discontinuité en zéro. A la différence de ses camarades, elle n'interprète pas la réponse *undef* obtenue pour la limite en zéro. Pour elle un terme n'ayant pas de limite devrait compter pour 0 dans la somme. Elle a également des difficultés avec l'interprétation graphique. Elle voit que "les branches se rapprochent de zéro" et pense par conséquent que la limite est nulle.

Au second entretien, Sabine fait partie des élèves qui ne réutilisent pas les identificateurs des fonctions définies, ce qui confirme une difficulté à utiliser les fonctionnalités de la machine.

Elle recherche la dérivée et ses zéros à l'aide de la TI92 et établit ensuite les variations en considérant le graphique de la TI92. Elle tente ainsi d'utiliser le graphisme pour pallier des difficultés algébriques. Mais elle est gênée par la discontinuité en zéro, qu'elle interprète mal graphiquement.

En contrôle spécifique, Sabine a une note très notablement inférieure à sa note habituelle. Elle n'est pas du tout à l'aise avec la recherche de résultats avec la TI92, suivie d'une justification par le calcul.

Elle a calculé la dérivée de la fonction trigonométrique à la machine, mais n'a pu le faire en P/C, ne connaissant pas la dérivée du cosinus. Elle donne seulement les valeurs des limites obtenues avec la TI92 sans justification.

Dans le troisième entretien, la notion de période émerge difficilement et le repérage de la valeur de la période est laborieux. Elle énonce la symétrie après que l'observateur ait fait remarquer que la courbe "part un peu pareil des deux côtés".
CONCLUSION

Nous allons essayer dans cette partie de résumer les principaux résultats qui se dégagent du travail effectué ainsi que les questions qu’il suscite. Nous reviendrons pour cela aux interrogations initiales, concernant :

* les processus sous-jacents à l'instrumentation des calculatrices par les élèves, les connaissances mathématiques qui les sous-tendent et l'articulation de ces connaissances avec celles visées par l'institution scolaire au niveau considéré, elles définies indépendamment des calculatrices,

* la prise en compte de cette instrumentation dans l'enseignement et plus globalement l'intégration de ces calculatrices dans le quotidien de la classe, en comparaison notamment avec ce que nous avait permis d'observer la recherche DERIVE.
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# Les processus d'instrumentation des TI92 chez les élèves

Sur ce plan, divers résultats semblent se dégager :

* Atteindre un premier niveau de familiarisation avec la TI92 semble relativement facile pour ces élèves

L'aisance de la première familiarisation avec la TI92 nous est apparue dès les séances de prise en main de la machine dans les classes (cf. par exemple la première observation dans la classe A en 1995-96). Ces premières impressions ont été confirmées par les réponses au questionnaire 2, passé en Février, et les données issues du premier entretien.

Les enseignants, qui ne tablaient pas sur une telle accessibilité, avaient élaboré, vu la taille et la complexité du manuel accompagnant la TI92, un mode d'emploi résumé d'une dizaine de pages que les élèves pouvaient annoter et même compléter, en fonction des besoins, dans une plage réservée. Les réponses au questionnaire 2 montrent que les élèves n'ont guère eu recours à ce mode d'emploi, passés les premiers contacts avec la machine. Certains disent consulter le manuel, notamment dans la classe A, mais il s'agit alors de prendre en charge de façon autonome des fonctionnalités non prises en charge par l'enseignement : programmation par exemple.

Les premiers entretiens, en janvier, un mois après la réception des machines, montrent, dans les deux classes, en dépit des différences sensibles (sans doute liées à une prise en mains officielle de la machine plus poussée dans la classe B), une bonne connaissance des commandes introduites jusque là dans les applications accessibles par la touche diamant, soit : HOME, WINDOW, GRAPH, TABLE et Tblset. Il y a visiblement ici, sur le plan ergonomique, une continuité entre la TI92 et les calculatrices graphiques, qui différencie sensiblement cet objet du logiciel DERIVE.

Les données montrent cependant déjà l'hétérogénéité instrumentale des élèves, une hétérogénéité qui ne s'estompera pas. Elle concerne la gestion plus informatique de la machine, au delà de la création de répertoirs et de la sauvegarde de fichiers, et ce qui concerne les applications peu abordées en classe, comme la programmation, l'édition de textes... Mais elle concerne aussi, et ceci nous intéresse ici plus directement, la capacité à interpréter les productions de la machine, à articuler ses différentes applications, à investir l'application HOME, comme le montrent les premiers entretiens et les réponses aux questions 36 à 41 du second questionnaire. Soulignons, à ce propos, le rôle visiblement joué par la familiarité préalablement acquise avec une calculatrice graphique, nettement sensible quand on compare les réponses au questionnaire 2 des deux classes.

* La personnalisation de la machine, une composante de l'instrumentalisation, reste en revanche limitée tout au long de l'année

Ceci est patent dans les réponses au deuxième questionnaire ainsi que dans les seconds entretiens, là encore en dépit de différences sensibles entre les deux classes. Bien sûr, la machine sert à la plupart à stocker des formules de maths, de physique... mais peu vont vraiment au delà et structurent leur machine de façon efficace. Les problèmes techniques rencontrés par certains (blocage de la machine entraînant la perte complète des fichiers sauvegardés) en ont sans doute découragé d'autres. Peut-être aussi le fait que cette machine, tout en étant à leur disposition pour l'année, n'était quand même pas la leur, a-t-il joué. Il serait sans aucun doute intéressant sur ce plan d'étudier les évolutions éventuelles chez les élèves qui disposent ensuite de leur propre machine en terminale.
* La machine devient très vite un instrument banalisé du travail scolaire

Ceci est manifeste dans les réponses au questionnaire 2 et les premiers entretiens. La majorité des élèves utilise peu la machine hors classe, en dehors des utilisations associées au travail scolaire obligatoire. Dès ce moment, l'instrument est banalisé et le surinvestissement qui avait pu exister les premières semaines disparaît. Ceci tend à renforcer notre conviction que ce ne sont pas les questions d'accroissement de motivation qui peuvent constituer un levier réellement efficace dans la durée pour supporter l'intégration de telles technologies dans l'enseignement des mathématiques.

* En analyse, secteur que nous avons plus particulièrement étudié, la genèse instrumentale semble un processus complexe, impliquant l'intégration progressive de l'application HOME, la réorganisation de pratiques anciennes centrées sur l'utilisation de tables de valeurs et de tracés graphiques et leur coordination avec les pratiques relatives à l'application HOME. Elle ne se met en place que lentement, même avec les élèves ayant un bon niveau en mathématiques et un bon rapport aux machines, et il faut du temps pour arriver à ce que nous pourrions appeler des schèmes relativement stabilisés et susceptibles de s'adapter aisément à des situations un peu plus complexes que celles usuellement rencontrées à ce niveau.

Si nous considérons par exemple l'étude du sens de variation des fonctions qui est une sous-
tâche classique intervenant dans le travail lié aux fonctions, qu'il se situe dans la dimension
outil ou objet de leur étude, les entretiens mettent bien en évidence la complexité du processus
d'instrumentation, du fait en particulier de l'autonomie complète qui est ici donnée à l'élève
dans l'étude de la variation. Il ne suffit visiblement pas à l'élève de connaître les commandes
utiles et leur syntaxe pour pouvoir résoudre économiquement les tâches proposées ; les
décalages généralement constatés entre les stratégies des élèves et les stratégies standard
définies a priori en témoignent.

Les techniques instrumentées se développent, nous semble-t-il, la première année d'expérimentation, largement de façon artisanale. Elles sont initialement marquées chez beaucoup d'élèves par un attachement fort à des approches de la variation par tables de valeurs, par représentations graphiques, des approches qui prévalent avant l'enseignement officiel de l'analyse, depuis la classe de seconde. L'analyse du suivi des élèves met bien en évidence cet attachement, en montrant en particulier comment il est susceptible d'assimiler l'objet nouveau qu'est la dérivée. Elle nous montre aussi que l'évolution est repérable dans les stratégies des élèves, à travers le rôle joué par l'application HOME et la façon dont le travail dans cette application est articulé avec celui dans les applications GRAPH et TABLE.

Si l'on compare aux techniques papier / crayon standard, l'utilisation de la calculatrice multiplie les possibilités techniques d'approche d'un même problème. La recherche d'un extremum par exemple peut s'y faire de façon approchée dans les applications TABLE et GRAPH, mais elle peut prendre dans cette dernière application des formes plus ou moins sophistiquées : estimation visuelle simple, estimation visuelle appuyée par un ajustement de la fenêtre graphique lui même pouvant mobiliser des techniques d'ajustement diverses, lecture appuyée sur la commande Trace, exploitation des commandes spécifiques du menu Math de l'application (max et min), ceci au niveau de la fonction, sachant qu'à ces techniques vont s'en ajouter d'autres si l'on inclut la prise en compte de la fonction dérivée. Elle peut bien sûr aussi s'effectuer dans l'application HOME, cette fois avec des commandes permettant du calcul exact. Nous avons essayé de montrer, dans la conclusion de la partie réservée au suivi,
comment cette diversité pouvait être structurée, analysée, de façon à mettre en évidence l'existence de différents types de rapports à l'étude instrumentée de la variation.

La diversité potentielle se traduit, au moins dans un premier temps, par un éclatement au niveau des pratiques effectives et une grande sensibilité de ces pratiques au contexte. Le suivi montre aussi, nous semble-t-il, à ce niveau, une différence sensible entre techniques papier / crayon et techniques instrumentées : les secondes gardent une variabilité beaucoup plus grande, les choix y semblent beaucoup plus sensibles aux contextes particuliers d'utilisation, elles se routinisent moins. On peut voir là un indice des limites de la prise en charge institutionnelle de l'instrumentation : les enseignants permettent et soutiennent, dans les deux classes, le développement de techniques instrumentées mais, lors de cette première expérimentation, ils ne semblent pas s'autoriser les choix et le travail qui assureraient, à partir d'un certain moment, la routinisation de techniques instrumentées précises, comme ils le font pour les techniques institutionnelles papier/crayon. L'optimisation et la routinisation des techniques instrumentées est laissée au travail privé des élèves. Il est clair que nous rencontrons là des problèmes institutionnels liés aux questions de légitimité que nous avons évoquées dans la présentation du cadre théorique du travail.

Soulignons également que le grand nombre de techniques a priori disponibles favorise la tendance au « zapping » d'une technique à l'autre, fréquemment constatée, notamment lors des premiers entretiens. Elle favorise aussi; nous semble-t-il, des comportements nouveaux dans la recherche de la certitude : pour s'assurer de la validité d'une interprétation, d'un résultat, on cherche à le conforter par différents tests faisant intervenir une mais plus souvent plusieurs applications, plus qu'on ne cherche à fournir une preuve décisive. Il s'agit là de comportements particulièrement économiques dans l'environnement de la TI92. Même s'ils ne correspondent pas aux attentes institutionnelles standard, ils ne sont pas sans intérêt par la flexibilité qu'ils amènent l'élève à mettre en œuvre et développer entre différents cadres, registres et points de vue, une flexibilité que l'enseignement dans les environnements traditionnels a, comme le montre de nombreuses recherches didactiques, bien du mal à mettre en place.

Enfin les données issues de la recherche menée montrent bien, nous semble-t-il, le rôle joué dans l'instrumentation par la variable "rapport à la machine", au delà du seul niveau mathématique des élèves. Les résultats obtenus vont globalement dans le même sens que ceux obtenus par L.Trouche, dans le cadre de sa typologie (Trouche, 1996). Les élèves « bricoleurs » sont ainsi rarement ceux dont la genèse instrumentale est, en fin d'année, la plus aboutie. En sens inverse, des élèves a priori un peu plus réticents peuvent se construisent un rapport plus distancié à la machine mais souvent plus efficace. Ce phénomène a cependant ses limites comme tend à le montrer la comparaison des deux classes effectuée dans la partie relative aux questionnaires.

* Une instrumentation efficace de la TI92 requiert des connaissances mathématiques spécifiques

Ceci est patent en ce qui concerne la gestion et l'exploitation des tracés graphiques et confirme ce que divers travaux sur les calculatrices graphiques avaient déjà montré (cf. par exemple (Trouche,1994)). L'utilisation de la calculatrice confronte les élèves au fait qu'une même fonction admet, suivant la fenêtre de représentation choisie, des représentations graphiques très différentes, la discrétisation et la continuité des tracés produisent des phénomènes spécifiques qu'il faut savoir repérer et interpréter.
Dans cette maîtrise, la coordination entre le travail mathématique mené avec l'application HOME et celui mené avec GRAPH et WINDOW et, dans une moindre mesure, TABLE et TblSet jouent un rôle essentiel. La TI92 offre ainsi des possibilités de contrôle que n'offrent pas les calculatrices graphiques usuelles et dont il est important d'apprendre aux élèves à tirer profit. Ceci nécessite un apprentissage. Dans le premier entretien, par exemple, la grande majorité des élèves, alors même qu'ils ne sont pas satisfaits du tracé obtenu, ne savent pas utiliser les applications TABLE et HOME, pour se faire une idée des valeurs extrémales prises par la fonction. Les élèves ne repèrent pas non plus alors facilement les incohérences existantes entre tracé et tableau de variation et si, dans le premier contrôle commun, ils affirment tous que la machine les a aidés à vérifier leurs résultats, on voit bien, à lire leurs copies, les limites à ce moment là de leurs moyens de vérification. Encore une fois, nous voudrions souligner l'intérêt des apprentissages correspondants, au delà de la seule instrumentation de la calculatrice, par les connexions et reformulations qu'ils mettent en jeu nécessairement.

A ces connaissances, s'ajoutent pour la TI92, des connaissances requises par la gestion et le contrôle des formes algébriques non canoniques fournies par la machine, notamment dans le traitement automatique qu'elle fait des expressions qui sont entrées. L'éventail des formes algébriques rencontrées pour une même expression s'élargit. Une instrumentation efficace suppose que l'on sache gérer cette richesse, que l'on mette également au point des moyens de contrôle rapides et efficaces (par exemple pour contrôler la validité des simplifications formelles faites par la machine et introduire éventuellement les restrictions nécessaires), que l'on sache piloter la machine pour vérifier l'adéquation d'une forme trouvée, par exemple dans un calcul P/C, différente de celle fournie par la machine, voire passer d'une forme à une autre alors qu'aucune commande de la machine ne permet le passage direct.

Nous renvoyons pour plus de détails sur ce point aux travaux menés par D.Guin et J.Delgoulet, dans un cadre similaire au nôtre, mais au niveau seconde (Guin, Delgoulet, 1996). Nous voudrions souligner cependant l'intérêt que présente l'utilisation de la TI92, même au niveau de la classe de première S, pour travailler ces questions d'équivalence d'expressions algébriques, de choix pertinent de la forme en fonction du travail que l'on a à réaliser. Comme le montrent les observations réalisées, ces questions sont loin d'être maîtrisées à l'entrée en première S et il nous semble important d'assurer l'instrumentation de la calculatrice dans ce domaine avant de débuter l'enseignement de l'analyse, si l'on ne veut pas voir les difficultés correspondantes parasiter au delà du raisonnable l'introduction de la notion de dérivée, comme nous avons pu l'observer dans les classes la première année.

Soulignons également que la mise en place rationnelle de moyens de contrôle et de pilotage se heurte parfois à des difficultés sérieuses dues à certaines caractéristiques de la transposition informatique au niveau interne. Ainsi, le passage dans les calculs effectués de façon interne, par les nombres complexes, n'apparaît à l'utilisateur qu'en cas de résultat définitif lui-même complexe. Mais la machine renverra $\sqrt{5}$ si on lui fait calculer $f(-3)$ pour la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{x+2}\sqrt{x-2}$. Sur un autre plan, pour éliminer certaines erreurs apparaissant dans la gestion de fonctions composées, les EPROM utilisées la deuxième année de l'expérimentation ne permettaient pas d'opérer des substitutions de la forme : $x \to x+1$, dans l'expression d'une fonction définie comme fonction de x, alors qu'en revanche il était tout à fait possible d'obtenir alors la valeur de $f(t+1)$.
Enfin, de manière évidente, une instrumentation efficace de la TI92 suppose une maîtrise des rapports entre calcul exact et approché qui va bien au delà des exigences actuelles réelles de l'enseignement secondaire.

La TI92 cumule en effet des possibilités de calcul exact et approché dans l'application HOME, avec des niveaux d'approximation dépassant ceux des calculatrices ordinaires, mais le jeu subtil qui se joue dans son univers interne entre exact et approché n'est pas transparent à l'utilisateur qui, lui, choisit entre trois modes : exact, automatique, approché et qui, même dans les modes exact et automatique, peut demander une valeur approchée d'un résultat, en utilisant la touche diamant. L'exemple de cos(π/16) présenté par L.Trouche dans (Trouche, 1996) l'illustre particulièrement bien. Les observations de classe montrent bien l'attention portée par les enseignants à ces rapports et des comportements des élèves qui, en retour, sont sensiblement différents de ceux que l'on a l'habitude d'observer.

Nous avons présenté les connaissances mentionnées ci-dessus comme des connaissances spécifiques, résultant des besoins mathématiques d'une instrumentation efficace. Cette spécificité est cependant toute relative. Globalement, les compétences mathématiques qu'elles expriment figurent parmi les attendus des programmes même si le niveau de maîtrise atteint par les élèves reste généralement faible. Nous voulions simplement souligner, en utilisant ce terme, que d'une part, les exigences de réussite dans les environnements usuels ne suffisaient pas assurer le niveau de maîtrise souhaitable ici, d'autre part que l'utilisation d'une calculatrice comme la TI92 pouvait aider à mettre en évidence l'importance de ces compétences et à organiser leur développement.

## Les contraintes institutionnelles induisent des besoins instrumentaux spécifiques

Les élèves qui utilisent la TI92 l'utilisent dans un cadre institutionnel qui est celui de l'enseignement secondaire actuel. Même s'ils ont droit à leurs calculatrices pour les contrôles de mathématiques, contrôles interne à la classe ou communs à plusieurs classes, la règle du jeu (en dehors des contrôles spécifiques organisés dans le cadre de la recherche pour lesquels des contrats plus élaborés ont été passés, en fonction de la progression des connaissances des élèves) est de fournir une rédaction d'où toute référence à l'utilisation de la machine a disparu. S'ils veulent utiliser efficacement leur instrument pour produire, voire même simplement pour vérifier des résultats obtenus en P/C, retrouver une erreur et la corriger, ceci induit des besoins d'instrumentation spécifique. Ils devront très souvent faire produire à la machine des formes intermédiaires qu'elle ne produit pas spontanément. On distingue très bien dans l'évolution des élèves, pour une tâche donnée, par exemple un calcul de dérivée, ce que nous appelons un premier niveau d'instrumentation qui correspond simplement à la connaissance de la commande de dérivation et de sa syntaxe et les niveaux supérieurs où l'élève peut décortiquer un calcul de dérivée un peu complexe à la machine, contrôler les étapes d'un calcul n'ayant pas abouti au résultat donné dans le texte, tester l'égalité de deux formes différentes. Les difficultés rencontrées par les élèves dans la comparaison des deux formes obtenues de la dérivée de la fonction sinusoïdale, dans le contrôle spécifique, l'illustrent particulièrement bien.

De manière plus globale, il ressort tant des entretiens que des observations que l'instrumentation efficace de la TI92, dès que l'on sort du cadre des tâches routinières pour lesquelles la machine fournit d'emblée le résultat demandé, sous la forme attendue ou une forme très directement exploitable, nécessite des connaissances mathématiques. Cette nécessité n'est pas immédiatement visible à l'enseignant tant ses pratiques mathématiques
usuelles sont naturalisées. Nous ne citerons ici qu'un exemple parmi les nombreux rencontrés. La TI92 fournissait, dans les situations de variation étudiées, les zéros de la fonction dérivée, dans le mode exact. Il était même possible, dans la quasi-totalité des cas, d'obtenir une factorisation de la dérivée. Comment ne pas penser dans ces conditions que la machine faisait tout le travail mathématique ? Pourtant il nous a suffi d'observer le comportement d'élèves confrontés à des dérivées pour lesquelles l'étude du signe ne se limitait pas, comme d'habitude, à l'étude du signe d'un trinôme du second degré, pour nous apercevoir que ces potentialités de la machine n'étaient d'aucun secours à un élève qui, tout en sachant fort bien se débrouiller dans les situations usuelles, n'avait pas compris que la connaissance des zéros d'un polynôme, la factorisation d'une expression algébrique permettent d'en déterminer le signe. Soulignons à ce propos l'aide apportée par la machine qui, en permettant de sortir justement du champ des situations usuelles, aide à mettre en jeu cette fonctionnalité de la factorisation qu'ils ont rarement perçue, en dépit des exercices de factorisation accumulés depuis le collège.

Les réactions des élèves aux décalages souvent subtils introduits par la TI92 dans les pratiques mathématiques, dans les techniques, font de la machine, de ce point de vue, un instrument de diagnostic tout à fait intéressant : elle nous aide à prendre conscience du sens réel des adaptations, des réussites des élèves. Il n'est pas neutre, de ce point de vue, de voir citer, dans le questionnaire de bilan, par divers élèves, les décalages obtenus entre les expressions formelles du calcul papier / crayon et du calcul à la TI92.

Nous voudrions souligner également que les caractéristiques de la genèse instrumentale comme celles de ses fondements mathématiques ne constituent en rien quelque chose d'absolu. Elles sont bien sûr dépendantes des conditions institutionnelles de l'enseignement. Plus localement, elles dépendent des tâches, non seulement de façon triviale, mais aussi parce que, pour des tâches relevant a priori de la même catégorisation mathématique, les besoins instrumentaux peuvent être très différents. Dans le cadre de l'expérimentation menée avec la TI92, nous avons essayé, à travers le choix des variables des tâches proposées aux élèves de conjuguer les apprentissages mathématiques visés et les apprentissages nécessaires à une instrumentation efficace de la TI92. Ceci n'a cependant rien d'évident et il nous a par exemple été rarement possible de reprendre, sans la modifier, une activité proposée dans un manuel. Nous reviendrons sur ce point dans le paragraphe suivant.
# L'intégration des TI92 dans le quotidien de la classe

Il nous semble intéressant ici de mettre en perspective l'environnement TI92 et l'environnement DERIVE que nous avions préalablement étudié. Dans la recherche sur DERIVE, nous avions été amenés à observer, essentiellement, des situations d'enseignement en salle informatique dans lesquelles les élèves travaillaient en binômes, avec un ordinateur par binôme. Dans ces situations, l'enseignant, une fois le travail lancé, intervenait très peu collectivement, ses médiations étaient essentiellement des médiations individuelles, groupe par groupe. Ceci rigidifiait de fait le fonctionnement des processus de dévolution et d'institutionnalisation - on ne négociait pas au cours de la séance un changement de tâche ou de rapport à la tâche, il n'y avait pas d'institutionnalisation locale - et tendait à conduire systématiquement, nous semblait-il, à des situations se situant aux deux extrêmes d'un continuum possible : dans le premier cas, les élèves travaillaient à partir d'une fiche très détaillée qui "programmait" en quelque sorte leur activité mathématique sur toute la séance, dans le second cas, un problème relativement ouvert était proposé aux élèves et la séance était une séance de recherche sur ce problème. Nous avions mis en évidence les difficultés rencontrées par les enseignants observés, pourtant experts, pour en faire des séances conformes à leurs attentes.

Dans le premier cas, nous avions régulièrement observé que l'approche expérimentale généralement sous-jacente à l'élaboration de la fiche avait du mal à passer de l'univers de l'enseignant à celui de l'élève qui, face à un travail si fortement cadré et prévu à l'avance dans ses détails, avait plutôt tendance à se situer en position d'exécutant, avançant pas à pas dans la suite des activités proposées, sans en percevoir ni même rechercher la cohérence globale. Même s'il produisait avec l'aide de la machine des données et résultats intéressants, son niveau d'activité mathématique pouvait rester relativement bas, contrairement à ce qu'une simple lecture des fiches pouvait conduire à penser. Toutes les situations observées avaient donné lieu, après analyse, à des reconstructions plus satisfaisantes mais ceci n'allait pas de soi.

Dans le second cas, on se heurtait à des difficultés liées à l'incompressibilité du temps nécessaire à une recherche efficace ainsi qu'à la difficulté rencontrée à assurer chez les élèves une articulation satisfaisante entre diverses formes du travail mathématique, en particulier le travail très opportuniste de la recherche où le perceptif, l'analogique, les méthodes d'essai/erreur, de « pêche », jouaient un rôle essentiel et un travail plus "analytique", et donc, par voie de conséquence, à organiser la capitalisation de ce vécu mathématique. Ceci nous avait conduit à proposer d'inscrire ces situations soit dans des scénarios à plus long terme, alternant temps de travail en classe, sous de formes diversifiées et temps de travail hors classe, dans des scénarios plus complexes (exemple de la situation de factorisation de xⁿ-1) ou dans des scénarios en trois temps : recherche - synthèse collective orale - narration de recherche et prolongements écrits (exemple de la situation de tracé de fonctions sous contraintes). Nous soulignions également que ces réorganisations imposaient un choix judicieux des situations, nécessairement peu nombreuses, vu les contraintes institutionnelles, que l'on pourrait ainsi faire vivre de façon satisfaisante dans une année d'enseignement (Artigue, 1996).

Bien sûr, ce n'était pas les seuls types de séances d'enseignement possibles dans l'environnement DERIVE. Tous les enseignants concernés avaient également utilisé DERIVE dans leur salle de classe ordinaire, avec un dispositif de rétroprojection, DERIVE étant alors piloté par l'enseignant ou par un élève sous le contrôle immédiat de l'enseignant, dans un fonctionnement proche de celui généralement associé à la gestion collective des "imagiciels" par exemple. Dans ce cas, DERIVE fonctionnait comme un outil de l'enseignant.
Dès les premières observations menées avec la TI92, il est apparu comme le souligne J.B Lagrange dans (Lagrange, 1996), que les contraintes étaient profondément modifiées et rapprochaient les situations observées de situations de classes ordinaires. Ceci est particulièrement visible dans la classe A par exemple où il nous a été impossible de différencier réellement les modes de gestion des séances observées, en dehors du fait qu'il s'agisse de séances en groupe entier ou en demi-groupe, toutes les séances ayant fonctionné de façon similaire dans une alternance étroite de travail en binômes et de travail collectif piloté par l'enseignant, indépendamment des prévisions faites et de l'existence ou non de support écrit au travail de l'élève. Il apparaît évident que l'enseignant retrouve, dans cet environnement, l'espace dans lequel il déploie ordinairement ses médiations ainsi que les moyens dont il peut user pour faire avancer, lorsqu'il le désire, le temps didactique. Deux caractéristiques techniques nous semblent y contribuer : la visibilité et lisibilité de la rétroprojection de la TI92, même dans une salle normalement éclairée, la taille de la machine qui ne mobilise par l'espace de regard de l'élève comme le faisait l'écran d'ordinateur avec DERIVE.

Au niveau des élèves, ceci se traduit par des échanges entre élèves qui, eux aussi, tendent à retrouver les formes standards et une interaction du travail machine et du travail P/C favorisée elle aussi par la taille de la machine.

On peut différencier dans les séances observées différents types de fonctionnement de la calculatrice, suivant que la responsabilité est du côté de l'enseignant ou du côté de l'élève. Aux deux extrêmes, il y a les moments où la machine est sous la responsabilité complète de l'enseignant. C'est lui qui pilote et les élèves reproduisent chacun sur leur machine ce qui est fait par l'enseignant sur la rétroprojetable, en disposant du contrôle permanent fourni par son écran. A l'autre extrême, la machine est sous la responsabilité complète de l'élève qui en fait une utilisation que l'on peut qualifier de privée hors du regard de l'enseignant pour effectuer une tâche. Mais les rapports de responsabilité ne se limitent pas à ces deux extrêmes : fréquemment par exemple, les élèves utilisent la machine seuls mais sur la base d'indications ou consignes fournies par l'enseignant, oralement ou par écrit ; à d'autres moments, c'est l'enseignant qui s'empare d'une production privée d'élève jugée intéressante pour la collectivité et la reproduit sur la rétroprojetable pour la faire analyser. Une même séance combine généralement tous ces types d'utilisation, tout en intégrant également des moments où la machine ne doit pas être utilisée. En revanche, les journaux de bord des enseignants, même succincts, ne nous donnent pas à voir une alternance entre séances sans machine et séances avec machine. C'est, à quelques exceptions près, au sein même de chaque séance que se règlent prioritairement les rapports entre travail mathématique à la machine et sans machine.

Nous voudrions souligner que la TI92 apparaît dans cette expérimentation peut être plus encore comme un outil au service de l'enseignement que comme un outil au service de l'apprentissage. Elle sert à problématiser des situations, à visualiser des phénomènes, à multiplier les points de vue dans les bilans et synthèses, elle autorise des explorations par variation des données d'un problème, des recherches de régularités tant graphiques, numériques que formelles que les instruments usuels du travail mathématique ne permettent pas. On notera qu'un certain nombre des situations élaborées dans le projet d'ingénierie peuvent être adaptées sans difficultés à un environnement où la classe fonctionnerait avec une calculatrice TI92 rétroprojetable dans les phases collectives, les élèves ne disposant que de calculatrices graphiques. Mais on notera également le rôle essentiel que joue dans la quasi-
totalité des situations, même si ce n'est qu'au niveau collectif, l'application HOME de calcul formel.

L'environnement TI92, du moins tel qu'il fonctionnait dans l'expérimentation, conduit donc
nous semble-t-il à installer ces machines comme des outils quotidiens du travail
mathématique, dans une gestion de la classe qui offre à l'enseignant la même panoplie
d'interactions avec l'élève que l'environnement usuel et donc ne déséquilibre pas a priori ses
pratiques. On peut faire l'hypothèse que cette aisance va le conduire à se situer vis à vis de
l'environnement TI92 dans un rapport d'assimilation plus que dans un rapport
d'accommodation. Cette conservation apparente des équilibres fondamentaux antérieurs
présente, les observations en témoignent, des avantages certains.

En revanche, elle nous semble pouvoir être aussi productrice d'obstacles dans la mesure où la
tendance naturelle à l'assimilation, dès qu'elle est possible, peut conduire à minimiser
l'importance de la gestion nécessaire par l'enseignement de l'instrumentation de la TI92 et
introduire l'illusion d'une transparence de l'instrumentation. Or, comme nous l'avons souligné
plus haut, au vu des données recueillies et de leur analyse, cette instrumentation ne peut en
aucun cas être laissée au travail privé de l'élève. L'apprentissage de techniques instrumentées
doit en particulier être travaillé et articulé avec celui des techniques usuelles papier/crayon.
Leurs registres respectifs d'utilisation doivent être pris en compte, dans leur évolution au fil de
la progression des connaissances et cette évolution, devenir une des composantes normales de
l'évolution du contrat didactique. Les contraintes de justification imposées aux élèves dans le
contrôle spécifique de fin d'année, par exemple, nous semblent caractéristiques d'un contrat de
contrôle qui peut être passé à ce niveau d'enseignement et à ce moment de l'année. Des
contrôles spécifiques antérieurs nous auraient sans aucun doute conduits à décider d'autres
équilibres entre le travail P/C et le travail machine. Et il nous semble a posteriori que de telles
évolutions tangibles du contrat didactique peuvent constituer de meilleurs indicateurs de la
réalité de l'intégration de l'instrument que sa seule autorisation banalisée aux contrôles.

La prise en compte de l'instrumentation par l'enseignement ne va pas de soi. Comme nous le soulignions au début de cette partie, elle ne fait pas partie de notre culture d'enseignants de mathématiques. Les observations de séances montrent les problèmes indéniables que cette prise en compte pose, dans un premier temps, même à des enseignants experts. La première séance observée en 1995-96 dans la classe A, par exemple, montre clairement la tension existant entre plusieurs tendances :

* celle de profiter de toutes les occasions qui se présentent au cours de la séance, au delà de la phase de prise en mains de la machine du début de séance, pour attirer l'attention des élèves sur des caractéristiques de la machine, importantes à connaître pour pouvoir l'utiliser correctement et efficacement,

* celle d'avancer dans le problème mathématique à résoudre en tirant profit des moyens fournis par la machine,

* celle, enfin, constatant l'importance des difficultés d'ordre algébrique rencontrées par les élèves, de reprendre le travail mathématique à ce niveau, au lieu de déléguer les calculs à la machine pour avancer momentanément en dépit des difficultés.

A ce titre, cette situation nous semble exemplaire des tensions existantes et des choix qu'une gestion de ces tensions impose en temps réel à l'enseignant, notre déficit culturel dans le domaine de l'apprentissage instrumenté rendant difficile des anticipations efficaces. Dans les premières observations, ces tensions sont rarement résolues de façon satisfaisante. Dans ce cas
particulier, l'enseignante va avoir du mal à choisir entre les différents fils de la situation, mais ménager toutes les tendances conduit à un déroulement oscillant dont la cohérence globale devient difficilement lisible. On pourra comparer de ce point de vue cette première situation et la situation de travail sur les expressions littérales, la première observée cette fois en 1996-97, élaborée dans des conditions tout à fait différentes et où les rapports entre instrumentation TI92 et travail mathématique sur les expressions sont pris en compte de façon essentielle, dans la conception même de la situation.

Si les tensions existent et sont incontournables, du fait notamment de la transposition informatique des savoirs, nous voudrions cependant souligner l'évolution constatée sur ce plan entre les deux années d'expérimentation. L'attention portée à ces questions dans les observations quasiment naturalistes de la première année, dans l'analyse des données recueillies, a permis de mettre en place une organisation beaucoup plus satisfaisante la seconde année. Au cours de cette seconde année, des décisions ont été prises concernant :

* Le mode utilisé : on fonctionnera sauf circonstances particulières (par exemple travail avec les tableurs) en mode Exact, tout en insistant sur le fait que, même avec le choix de ce mode, le calcul n'est exact que dans l'application HOME.

* Les commandes officiellement introduites et travaillées et celles qui resteront du domaine d'utilisation privée de la machine, et le moment où elles seront officiellement introduites, en fonction de la progression de l'instrumentation et de la progression du savoir mathématique. L'introduction officielle de certaines commandes se fera ainsi assez tard, pour permettre à des connaissances, des rapports aux objets mathématiques jugés importants de se développer. Citons de ce point de vue par exemple le retard à l'introduction officielle de la commande ZoomFit, pour ne pas court-circuiter un travail d'ajustement du fenêtrage qui nous semblait mathématiquement important, le retard aussi à l'introduction officielle des commandes de limite et de dérivation formelle. L'ensemble des commandes régulièrement utilisées restera réduit pour limiter la tendance à l'éclatement constatée la première année. Enfin, on sera très vigilant à limiter, au delà de la première prise en mains de la machine, le « nouveau » en jeu dans une séance donnée, à la fois au niveau de la conception des séances mais aussi dans le choix fait de saisir ou non collectivement les opportunités qui pourront se présenter au cours d'une séance donnée.

Ce qui s'impose à travers ces choix, c'est une prise en charge de l'instrumentation mais ceci dans une optique où la machine est considérée comme un outil au service du fonctionnement mathématique, non comme un objet d'apprentissage autonome.

Cette deuxième année, nous avons aussi essayé, à travers le projet d'ingénierie, de construire une organisation de l'enseignement de l'analyse intégrant la TI92 plus satisfaisante que celle de la première année. Dans ce rapport, nous avons présenté la structure du projet, décrit de façon détaillée les situations qui nous semblaient en constituer des étapes crucales, et essayé de dresser un bilan rapide de la première expérimentation dont l'analyse est loin d'être achevée. Globalement les résultats obtenus sont encourageants, tant au niveau des observations que des suivis d'élèves. Ces derniers, non pris en compte dans le rapport, attestent une évolution sensible par rapport à la première année. On atteint ainsi, dès le premier entretien, pour la grande majorité des élèves un niveau de compétence comparable voire supérieur à celui atteint dans le second entretien, la première année.

Il est reconnu qu'il est difficile de faire vivre, au lycée, aujourd'hui, un enseignement de l'analyse qui respecte les valeurs épistémologiques à l'origine des programmes actuels, tant en ce qui concerne le champ propre de l'analyse que les modes d'accès à ce savoir et les
interactions souhaitées entre enseignants et élèves. Il nous semble, après ces deux ans de recherche, que des instruments performants comme la TI92 peuvent nous aider à faire vivre ces valeurs dans l'enseignement. Mais nous voudrions aussi souligner que ceci ne devient pas pour autant miraculeusement facile. Des séances, comme celles observées dans l'enseignement des dérivées, montrent bien la multiplicité des variables à contrôler et ajuster si l'on veut exploiter efficacement les potentialités de l'instrument et construire des situations problématiques mais où les élèves ne se réduisent pas à de simples exécutants.

Au delà de ces questions, un des problèmes qui nous semble posé par l'utilisation d'outils comme la TI92 est celui des traces écrites de l'activité mathématique qui est une activité instrumentée. Nous avons très vite remarqué que les notes prises par les élèves pendant les séances reflétaient mal la réalité de leur travail mathématique, un travail complexe qui imbriquait des calculs à la main, des raisonnements « classiques », des calculs machines, des productions et interprétations de phénomènes graphiques ou numériques... Comment garder une trace écrite substantielle de ce travail qui permette d'y revenir si nécessaire, qui en favorise la capitalisation ? Nous aurions aimé constituer un journal de bord de la classe incluant des copies d'écran, dont par exemple, un binôme aurait été responsable à tour de rôle, pour assurer une sorte de mémoire collective de la classe. En fait, c'est l'enseignante de la classe A qui, pour quelques séances clefs, a reconstitué, pour la classe entière, les récits de séance qui ont été joints en annexe. Ils sont sans doute éloignés de ceux qu'auraient pu produire les élèves. Il serait intéressant de savoir comment ils ont été reçus par ces derniers et quel usage éventuel ils en ont fait.

Nous voudrions également souligner que n'avons pas mené, dans le cadre de cette étude, une analyse comparative des observations effectuées dans les deux classes mais, qu'à l'évidence, en dépit des régularités que nous avons essayé ci-dessus de dégager, il existe des différences sensibles dans les modes de fonctionnement des enseignants, dans leur rapport à la technologie aussi sans doute, qui se répercutent sur leur choix de situations et leur gestion de l'enseignement. Très grossièrement on pourrait dire que l'enseignant de la classe B s'appuie beaucoup plus sur l'écrit que l'enseignante de la classe A. C'est d'ailleurs lui qui est à l'origine du document distribué aux élèves au moment de l'introduction des machines. Les documents qui accompagnent les séances sur l'introduction de la dérivée, sur les suites par exemple sont typiques et s'opposent à celui concernant le problème d'optimisation, qui reproduit, aux généralisations proposées près, celui élaboré initialement pour la classe A. Ceci bien sûr n'est pas sans répercussion sur le fonctionnement des séances. L'enseignant de la classe B est aussi un enseignant pour lequel la familiarisation jugée nécessaire avec la machine va bien au delà de ce qui est mis en place dans la classe A. En témoignent par exemple, l'organisation d'une séance sur la gestion de la mémoire, la mise au point écrite sur les différents moyens d'obtenir une tangente (tracé et équation, exacte ou approchée) avec la TI92. Quels effets ont ces différences sur les rapports aux calculatrices que les élèves développent, sur les techniques instrumentées qu'ils élaborent et privilégient éventuellement, sur leurs apprentissages mathématiques ? Il nous est difficile de faire, dans l'état actuel de l'analyse, ne fut-ce que des hypothèses, et ce d'autant plus que les deux classes concernées ont des caractéristiques sensiblement différentes, comme le montrent bien l'analyse des réponses aux questionnaires.

Nous voudrions pour achever cette partie de conclusion insister sur le fait que l'étude menée, bien qu'il ne s'agisse que d'un travail exploratoire, montre bien que, pour progresser dans la question de l'intégration efficace à l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques, des instruments actuels du travail mathématique que sont les outils de calcul symbolique, nous devons dépasser les points de vue également sommaires qui consistent à estimer :
* soit que ces outils sont dangereux parce qu'ils permettent de réussir sans apprendre de mathématiques,

* soit que ces outils sont merveilleux, parce qu'ils rendent les mathématiques passionnantes et aisément accessibles.

Ces deux points de vue, certes, ne sont pas complètement infondés.

Si la réussite mathématique se mesure à l'aune de ce que permet une instrumentation de bas niveau d'une calculatrice comme la TI92, il y a sans aucun doute possibilité de réussir à peu de frais en mathématiques. Mais il est frappant de constater que les élèves qui ont participé aux expérimentations, qui ont vécu un an leur vie d'élève avec ces calculatrices, qui ont, pour certains d'entre eux, passé avec ces calculatrices des contrôles communs avec d'autres classes, sont loin pourtant de partager cette opinion. Ce qui leur était demandé ne se limitait sans doute pas à cela. Et, comme en témoignent leurs réponses au questionnaire de bilan de fin d'année, ils semblent estimer quant à eux que, même si la machine peut les aider, elle ne peut résoudre les problèmes mathématiques à leur place. Leurs résultats aux contrôles ne se sont pas miraculeusement envolés. Et les entretiens montrent bien que, même pour des tâches relativement simples, piloter sa calculatrice pour produire des résultats, choisir selon les questions entre fonctionner à la main ou avec la calculatrice, vérifier ses résultats avec la calculatrice ou contrôler les productions de la calculatrice ne va pas forcément de soi.

De la même façon, les élèves nous indiquent clairement que s'ils ont très majoritairement apprécié l'expérience, la richesse des situations que le travail avec la calculatrice leur a permis de rencontrer (notamment dans la classe A), les mathématiques n'en deviennent pas pour autant passionnantes si elles étaient peu appréciées, elles n'en deviennent pas miraculeusement faciles. La machine semble devenir très vite un instrument du travail scolaire et, comme le disent certains élèves, la motivation spécifique qu'elle peut engendrer au début ne dure pas. Ils sont sensibles à ses possibilités et la distinguent nettement d'une super calculatrice graphique, mais très majoritairement, ils estiment qu'ils auraient sans doute appris à peu près autant de mathématiques sans elle. Au vu des observations, ces appréciations nous semblent réalistes, si l'on se place dans la position de l'élève. Les situations problèmes qui leur sont proposées dans ces deux classes sont conçues pour être des situations problématiques, dans l'environnement considéré, pour nécessiter un réel travail mathématique. Les tâches des entretiens leur sont proposées sans aucune indication. Il leur est difficile de savoir s'ils auraient appris plus ou moins dans un autre environnement. Ce que permet la machine et que n'autorisaient pas ou permettaient plus difficilement les environnements usuels est, de fait, d'abord sensible à l'enseignant qui dispose d'éléments de comparaison.
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TITRE :

Intégration de calculatrices complexes dans l'enseignement des mathématiques au lycée

AUTEUR (S) :

Artigue M, Defouad B, Duperier M, Juge G, Lagrange J-B.

RESUME :

Ce cahier constitue le rapport final d'une recherche contractuelle menée avec le soutien de la DISTNB2 au Ministère de l'Éducation Nationale. Cette recherche concernait l'intégration de calculatrices complexes dans l'enseignement des mathématiques au lycée et a été menée avec la TI92, dans deux classes de première S. Le rapport comporte trois parties principales. La première présente la problématique, le cadre théorique et la méthodologie de la recherche. La seconde est consacrée à la dimension ingénierie didactique de la recherche, elle concerne la globalité de l'enseignement de l'analyse en première S. La troisième est consacrée au suivi effectué au cours de la première année de recherche, en particulier celui d'élèves sélectionnés dans les deux classes, en prenant en compte leur sexe, leur rapport aux mathématiques et aux technologies informatiques. La conclusion revient sur les principaux résultats obtenus, en se centrant plus particulièrement sur l'analyse des processus d'instrumentalisation des calculatrices et l'intégration des TI92 dans le quotidien des classes.

MOTS CLES :

didactique-mathématique-analyse-lycée-première scientifique-NTIC-calculatrices-symboliques-TI92-instrumentation-écologie des savoirs-suivi biographique-ingénierie didactique

Editeur : IREM
Université PARIS 7-Denis Diderot
Directeur responsable de la
publication : R. CORI
Case 7018 - 2 Place Jussieu
75251 PARIS Cedex 05
Dépôt légal : janvier 1998
ISBN : 2-86612-149-X