# Optimisation multiobjectif de formes paramétrées de raidisseurs

Ferdinand Frabolot, Alain Rassineux, Piotr Breitkopf, Jean-Louis Duval

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Ferdinand Frabolot, Alain Rassineux, Piotr Breitkopf, Jean-Louis Duval. Optimisation multiobjectif de formes paramétrées de raidisseurs. 11e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2013, Giens, France. hal-01717033

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# Optimisation multiobjectif de formes paramétrées de raidisseurs

Ferdinand FRABOLOT<fnref n="1" />,<fnref n="2" />, Alain RASSINEUX<fnref n="1" />, Piotr BREITKOPF<fnref n="1" />, Jean-Louis DUVAL<fnref n="2" />

**Résumé** — L'objectif des travaux présentés est de proposer une démarche permettant d'optimiser la forme et la distribution des raidisseurs sur une structure 3D surfacique dans un contexte d'optimisation multiobjectif (crash, acoustique, rigidité). Il s'agit d'un problème d'optimisation topologique et géométrique. L'originalité de la méthode est de travailler sur le maillage plutôt que sur la CAO ou avec des méthodes de types SIMP. Une bibliothèque de formes élémentaires paramétrées et maillées est utilisée. La démarche est appliquée et validée sur un exemple simple d'optimisation appliqué au crash.

**Mots clés** — Optimisation multiobjectif, Optimisation de forme, Crash

## 1 Introduction

La sécurité est devenue un enjeu majeur dans la conception des véhicules, tant pour ses passagers que pour les piétons. En effet, l'Euro NCAP (European New Car Assessment Program) a, depuis 2009, fait partie intégrante la protection des piétons dans son système de notation. Les processus de conception automobile utilisent, dorénavant, de manière étendue l'utilisation de simulations numériques afin d'en prévoir son comportement mécanique. Dans ce contexte, l'objectif des travaux présentés est de présenter une démarche d'optimisation de forme des raidisseurs de la doublure d'un capot, afin de simplifier les processus de conception et de répondre aux évaluations de l'Euro NCAP.

L'optimisation des structures fait généralement référence à trois grandes classes de problèmes : l'optimisation paramétrique, topologique et géométrique [1].

L'optimisation de forme paramétrique correspond aux méthodes de déterminations de formes paramétrées par un nombre réduit de variables (épaisseur, etc.). Le domaine de référence dans lequel est évalué l'état de la structure n'évolue pas, limitant, par conséquent, la variété des formes possibles. L'exemple le plus répandu est la paramétrisation du profil de barres, sur un problème de treillis [2].

Une des difficultés posée par l'optimisation topologique [3] est le problème de capture de la frontière du domaine, une étape incontournable pour l'analyse par élément fini. La structure est généralement immergée dans une grille par laquelle ses formes sont décrites. La paramétrisation du problème peut se faire par une densité topologique pénalisée variant entre 0 (pas de matière) et 1 (présence de matière). Les problèmes d'optimisations topologique peuvent atteindre de grandes tailles et nécessitent des algorithmes d'optimisations évolutionnaires extrêmement couteux. Des travaux d'homogénéisation permettant la continuité des variables entre 0 et 1, sont des réponses possibles à ces problèmes comme la méthode SIMP (Single Isotropic Material with Penalization, [4]). Malgré tout, cette méthode permet seulement de donner des tendances de formes, mais pas directement une forme adaptée à la fabrication dans la mesure où la représentation par une grille ne permet pas d'obtenir une précision souhaitée.

L'optimisation géométrique introduit des variables de conception qui permettent, à partir d'une forme initiale, des variations de la position des frontières de la forme, sans toutefois changer la topologie de la forme, un problème bien connu de la CAO. Parmi les principales méthodes employées par l'industrie, l'optimisation de forme paramétrée par la CAO est la plus répandue [5], [6]. Les outils de définition géométrique de la forme du logiciel CAO fournissent les variables du problème d'optimisation restreignant par conséquent la variété des formes et exigeant une intuition a priori des variables judicieuse. L'optimisation topographique se base sur la représentation de la géométrie par les noeuds du maillage appliqué à des éléments représentant la frontière du domaine (2D ou coque). C'est le moyen le plus simple pour décrire la géométrie mais aussi le plus coûteux. Les variables de conceptions sont la position des noeuds. La

<footnote n="1">¹ Laboratoire Roberval UMR 7337 UTC-CNRS, Université de Technologie de Compiègne, Compiègne, France</footnote>

<footnote n="2">² ESI-Group, 20, Rue Du Fonds Pernant, 60471 Compiègne, France</footnote>
généralisation de la méthode à des structures complexes est difficilement applicable d'une part, à cause du nombre de variables et d'autre part par le grand risque d'apparition d'irrégularités dans le contour, il faudrait ajouter des relations entre les variables pour "amortir" les déformations trop localisées.

L'optimisation de forme par morphing [7] repose sur la déformation graduelle d'une forme par déplacement de points de contrôles pondérés régissant la géométrie. La forme finale dépend de l'historique des opérations et il est délicat de conserver un paramétrage de la forme.

Nous proposons dans ces travaux une approche reposant sur l'utilisation d'un maillage. Il s'agit de manipuler des formes élémentaires paramétrées pré-maillées en les intégrant dans une structure 3D surfacique maillée dont la forme n'est pas modifiée a priori. Nous avons développé des opérateurs ensemblistes d'intersection sur le maillage permettant dans la mesure du possible une évolution continue de la topologie vis-à-vis de ces paramètres et au final une définition paramétrique du modèle maillé. Ce modèle peut être adapté à la prestation souhaitée permettant ainsi une optimisation multiobjectif des formes paramétrées ; utilisation d'éléments triangle pour l'acoustique et d'éléments quadrilatère pour le crash par exemple. Nous poserons tout d'abord le problème général d'optimisation, puis nous décrirons la méthode proposée. Un exemple d'application est présenté en dernière partie.

## 2 Problème d'optimisation

Le but recherché est d'obtenir une solution de forme de doublure, permettant au capot de respecter les contraintes de crash, d'acoustique, de rigidité, d'enfoncement et de fabrication. Spontanément, le problème d'optimisation ainsi posé ne possède pas réellement de fonction objectif, seule l'existence d'une solution respectant "au mieux" ces contraintes est nécessaire. Le problème étant typiquement un problème d'ingénierie concourante [8], les objectifs peuvent être antagonistes (contraintes de crash et rigidité par exemple). Il s'agit alors de trouver un ensemble de compromis possibles entre les différents critères et de nombreuses méthodes d'optimisation multicritères ont été proposées [8] et [9]. Le problème d'optimisation se pose, à masse constante, de la manière suivante :

$$ egin{cases} \{v^{opt}\} = \operatorname{Argmin} (J_{HIC}, J_{\omega}, J_{c}) \\ \int_{\Omega} d\Omega = V_0 \\ J_E \le 0 \end{cases} \qquad (1) $$

où $V_0$ est un volume imposé.

On définit alors 4 types de prestations :

- Le Head Injury Criterion (HIC) calculé suite à un impact normalisé entre une tête et le capot [10] :

$$ HIC_m = \max_{(t_1, t_2)} \left\{ (t_2 - t_1) \left[ \frac{\int_{t_1}^{t_2} a_R(t) dt}{t_2 - t_1} \right]^{2.5} \right\} \qquad (2) $$

où $a_R = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$ est l'accélération résultante de la tête en son centre de gravité et avec un intervalle de temps $(t_1, t_2)$ inférieur à 15ms. Une série de $k$ impacts, à déterminer, sera effectué sur l'ensemble du capot suivant des zones Figure 1. Nous cherchons à ce que l'ensemble des $HIC_m^{[i]}$ calculés pour chaque impact soit inférieur à un $HIC_{cible}^{[i]}$ dépendant de la zone $i$ d'impact Adulte ou Enfant. On normalisera ainsi le $HIC_m$ sous la forme suivante, [11] :

$$ \overline{HIC}_i = \frac{HIC_m^{[i]} - HIC_{cible}^{[i]}}{HIC_{cible}^{[i]}} \qquad (3) $$

La fonction objectif à minimiser sera la moyenne des $HIC_{norm}$, soit :

$$ J_{HIC} = \frac{1}{k} \cdot \sum_{i}^{k} \overline{HIC}_{i} \qquad (4) $$

- L'enfoncement de la structure ne doit pas dépasser une nappe d'enfoncement maximal $E_{max}^{[i]}$ à déterminer, afin que la tête ne soit pas en contact avec le moteur ou le châssis du véhicule. Cette nappe
d'enfoncement dépend de la zone i d'impact de la tête. Ainsi, l'enfoncement $\bar{E}_i$ est normalisé de la même manière que pour le HIC :

$$J_E(i) = \frac{\bar{E}_i - \bar{E}_{max}^{[i]}}{\bar{E}_{max}^{[i]}} \qquad (5)$$

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 1 – Division des zones de test d'impact Adulte (A) et Enfant (C) - Source : [9]</figcaption></figure>

- Le critère vibro-acoustique NVH (Noise, Vibration and Harshness) correspond au calcul des fréquences et modes propres de la structure, ainsi que de sa réponse acoustique aux vibrations du véhicule. Dans ces travaux, nous nous intéressons particulièrement à la première fréquence propre de la structure (ω) que nous chercherons à maximiser soit :

$$J_{\omega} = -\omega \qquad (6)$$

- La rigidité de la structure est mesurée par sa compliance. Soit pour un effort f sur la structure et son déplacement associé u, on définit la fonction coût :

$$J_C = \int_{\Omega} f \cdot u \, d\Omega \qquad (7)$$

La forme des pièces a une influence de premier ordre sur les performances. Ces formes sont définies par les variables d'optimisation v. On distingue alors 3 niveaux de paramètres :

- Le nombre et type de raidisseurs utilisés à partir d'une bibliothèque de formes élémentaires paramétrées de type Oméga et Cylindre, représentée en Figure 2.

- Les paramètres de positionnement des raidisseurs (position des points A et B en Figure 2).

- Les paramètres de forme des raidisseurs choisis (Figure 2)

- Omega : largeur du sommet (a), largeur de la base (b) et hauteur (h)

- Cylindre : hauteur (h) et rayon (R)

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 2 – Formes Paramétrées (Omega et Cylindre)</figcaption></figure>

Nous prenons comme hypothèse dans notre étude que le nombre et le type de raidisseurs, des variables de conception discrètes, sont connus a priori. Les variables de conception du problème d'optimisation correspondent ainsi aux paramètres de formes et de position des raidisseurs.
# 3 L'Approche proposée

Nous présentons une méthodologie correspondant davantage à la réalité des optimisations réalisées en avant-projet qui utilisent le plus souvent un jeu de paramètres plus restreint, modifiables dans un modèle numérique. L'idée est de partir d'une bibliothèque de formes élémentaires paramétrées et préalablement maillées pour l'analyse souhaitée (Crash, NVH, etc.). L'outil de maillage utilise ainsi les paramètres analytiques des formes élémentaires. Afin de clarifier le discours, nous faisons 3 hypothèses quant au paramétrage des raidisseurs. Ces hypothèses ne remettent pas en doute la généralité de la méthode.

- Toutes les formes ont la même hauteur

- Les raidisseurs traversent la surface d'accueil dans sa longueur.

- La surface d'accueil des raidisseurs est plane.

Après avoir défini le contour plan et maillé la surface d'accueil, chaque raidisseur est paramétré et découpé en zones développables pouvant alors être maillées par un mailleur plan, (Figure 3). Ce découpage permet de prendre en compte les lignes caractéristiques de la géométrie à conserver lors du remaillage.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 3 – Découpages des raidisseurs (Omega et Cylindre) en zones paramétrées.</figcaption></figure>

Chacune de ces zones est alors paramétré indépendamment entre $z = 0$ et $z = h$. Nous obtenons ainsi des zones planes dans l'espace des paramètres, (Figure 4).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 4 – Différentes zones des raidisseurs (Omega et Cylindre) dans l'espace des paramètres.</figcaption></figure>

La principale difficulté pour construire le maillage est de déterminer les intersections entre les diverses surfaces élémentaires qui constituent les raidisseurs. Le principe consiste à construire les points d'intersection à l'aide d'une méthode semblable à celle des plans auxiliaires utilisée en géométrie descriptive. Les points déterminés à diverses altitudes vont ensuite permettre de construire les courbes intersections.

On recherche les intersections de toutes les zones avec la surface d'accueil. Soit $z = 0$, le contour de la surface d'accueil est redéfini par des lignes de contrôle facilitant ainsi le remaillage de la surface d'accueil, (Figure 5).

De la même manière, on recherche les intersections entre toutes les zones à différentes altitudes afin d'en construire les courbes intersections. L'intersection d'une zone avec le plan $xOy$ d'équation $z = z_i$ ou $z_i \in ]0, h[$ et $i = 1...n$ est une droite unique. Les intersections de ces droites permettent de nous donner les points d'intersections entre les différentes zones, (Figure 6). De la même manière, les intersections des zones avec le contour de la base à altitude virtuelle $z = z_i$ sont calculées.

Après avoir incrémenté $i$ recherchant ainsi l'ensemble des intersections entre les raidisseurs et la base, des lignes de contrôle sont construites à l'aide de spline cubique et le contour est redéfini. Les lignes de contrôle délimitent ainsi le domaine. Ces lignes sont alors rediscrétisées en 3D et non pas dans l'espace des paramètres, ainsi ces lignes sont communes en tout point de discrétisation entre les différentes zones. Chaque zone est, par la suite, maillée dans l'espace de ses paramètres, (Figure 7).

Le maillage est ensuite projeté en 3D afin d'assurer l'assemblage du maillage par les lignes de contrôle. Après assemblage, il est nécessaire de supprimer les dépouilles d'intersections, (Figure 8).
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig. 5 – Redéfinition et remaillage de la structure d'accueil (pour 2 raidisseurs Omega et Cylindre)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Fig. 6 – Recherche des intersections entre les zones Z3 et C1, C2.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Fig. 7 – Maillage de la zone Z3 respectant les lignes de contrôle.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Fig. 8 – Dépouille d'intersection de la zone Z1 avec C1 et C2.</figcaption></figure>

En conclusion, nous proposons une démarche permettant de créer des formes paramétrées de raidisseurs dans une structure maillée, Figure 9.
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Fig. 9 – Exemple de maillage de formes paramétrées obtenu à l'aide de la méthode proposée.</figcaption></figure>

# 4 Exemple d'application : Optimisation de forme rapporté au crash

## 4.1 Description du cas-test

Nous proposons d'utiliser l'outil de création de forme sur un exemple simple d'optimisation. Le problème d'optimisation(1) est simplifié et est posé de la manière suivante :

$$ \begin{cases} \{v^{opt}\} = \operatorname{Argmin}(J_{HIC}) \\ J_E \le 0 \end{cases} \qquad (8) $$

La variable d'optimisation v correspond à la variable de positionnement d'un raidisseur Omega. Ce dernier est alors paramétré tel que (Figure 10) :

- A = (v, yA, 0) et B = (v, yB, 0).

- La largeur du sommet a = 1, la largeur de la base b = 2 et la hauteur h = 0.8 restent des constantes.

Nous n'analyserons le problème de crash que sur un seul impact, soit k = 1.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Fig. 10 – Paramétrage du raidisseur Omega : Exemple d'Application</figcaption></figure>

Un modèle de calcul crash, (Figure 11), est alors élaboré [12]. La doublure en aluminium ainsi construite est déposée sur un support rigide. Une plaque en aluminium, représentant le capot du véhicule, est déposée par dessus la doublure et une tête modélisée grossièrement par une sphère rigide viendra impacter le capot à vitesse $v_0$ en son centre.

Une gestion des contacts est assurée entre le support et la doublure, entre le capot et la doublure et entre la tête et le capot. Des éléments coques quadrilatères ont été utilisés avec un maillage de près de 27000 éléments.
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Fig. 11 – Modèle numérique de l’exemple d’Application, Source [12]</figcaption></figure>

## 4.2 Présentation et discussion des résultats

Nous calculons donc la fonction objectif $J_{HIC}$ en fonction du paramètre de positionnement du raidisseur oméga $v$. Les résultats obtenus sont présentés sur la Figure 12.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Fig. 12 – Calcul du $J_{HIC}$ du capot en fonction du positionnement $v$ du raidisseur.</figcaption></figure>

La réponse est très bruitée (Figure 12) ce qui est typique dans les problèmes liés au crash. Pour palier à ce problème, il serait nécessaire d'utiliser un maillage plus fin tout en augmentant le nombre de point d'intégration dans l'épaisseur [13], augmentant, par conséquent, le temps de calcul (Figure 13).

Une solution optimale est obtenue à $v = 25$, au centre de la plaque. Le résultat est expliqué par le fait que le raidisseur a flambé suite à l'impact s'enfonçant ainsi profondément. Cette solution ne peut être conservée, car elle viole la contrainte d'enfoncement ($J_E > 0$), de plus on remarque qu'il ne s'agit pas d'une solution robuste. Deux autres solutions optimales peuvent ainsi être obtenues à $v = 24$ et $v = 26$, dû à la symétrie du problème.

En généralisant l'exemple d'application au problème d'optimisation défini préalablement au paragraphe 2, par soucis de réduction du temps de calcul d'optimisation, l'utilisation d'une surface de réponse diffuse [14] est possible car nous avons une réponse lisse du problème crash.
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Fig. 13 – Calcul du $J_{HIC}$ du capot en fonction du positionnement $v$ du raidisseur, après raffinement du modèle.</figcaption></figure>

# 5 Conclusion

Nous avons, dans ces travaux, introduit une démarche permettant d'optimiser la forme et la distribution des raidisseurs sur une structure 3D surfacique dans un contexte multiobjectif. A l'inverse d'optimisations de forme basées sur la CAO paramétrée, la méthode présentée repose uniquement sur le maillage. L'exemple d'application nous permet d'en valider la méthodologie sur un problème simple d'optimisation de forme appliquée au crash. Les perspectives envisagées sont d'intégrer le processus dans un cas industriel d'optimisation multicritère de doublure de capot.

# Références

[1] G.Allaire. *Conception Optimale de structures*, Springer, 2007.

[2] P.W.Christensen, A.Klarbring. *An introduction to structural optimization*, Springer, 2009.

[3] M.P.Bendsøe. *Optimization of structural topology, shape and material*, Springer, 1995.

[4] M.P.Bendsøe, O.Sigmund. *Topology optimization : theory, methods and applications*, Springer, 2004.

[5] F.Mercier, M.Guillo, S.Maillot. *Deployment of optimization studies using Alternova : design of a hood inner panel for pedestrian safety performance*, SIA, 2012.

[6] D.Weiss, B.Sonntag, T.Krumenaker, DR.D.Nowottny, Dr.J.Sprave, W.Hipp. *Geometry-based Topology Optimization - Improving Head Impact Performance of an Engine Hood*, 7th European LS-DYNA Conference, 2009.

[7] H.Van Der Auweraer, T.Langenhove, M.Brughmans, I.Bosmans, N.Masri, S.Donders. *Application of Mesh Morphing Technology in the concept phase of Vehicle development*, International Journal of Vehicle Design, Vol. 43, Number 1-4/2007.

[8] P.Breitkopf, R.Filomeno Coelho. *Multidisciplinary Design Optimization in Computational Mechanics*, Wiley & Inter-science, 2010.

[9] C.A.Coello Coello. *A comprehensive survey of evolutionary-based multiobjective optimization techniques*, 1998

[10] *European New Car Assessment Programme - Pedestrian Testing Protocol*, Version 6.3, December 2012.

[11] Gaël Lavaud. *Optimisation robuste appliquée au crash automobile*, Thèse de doctorat de l'école centrale de Lyon, 2007.

[12] ESI Visual Environment 8.0 - Visual Performance Solution 2012, *Solver Reference Manual*, ESI Group

[13] J.Lebon, G.le Quilliec, P.Breitkopf, R.Filomeno Coelho, P.Villon. *A two-pronged approach for springback variability assessment using sparse Polynomial Chaos Expansion and multi-level simulations*, International Journal of Material Forming manuscript, DOI:10.1007/s12289-013-1126-y.

[14] P.Breitkopf, H.Naceur, A.Rassineux, P.Villon. *Moving least squares response surface approximation : formulation and metal forming applications*, Computers and Structures, 83(17-18):1411-1428, 2005.