# Quelques calculs pour une fonction aléatoire de covariance stationnaire modulo T

Bui Trong Lieu

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## To cite this version:

Bui Trong Lieu. Quelques calculs pour une fonction aléatoire de covariance stationnaire modulo T. Annales de l'ISUP, 1964, XIII (2), pp.67-77. hal-04085158

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Submitted on 28 Apr 2023

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# QUELQUES CALCULS POUR UNE FONCTION A LEATOIRE DE COVARIANCE STATIONNAIRE MODULO T.

## BUI TRONG LIEU

1. Dans un précédent article, j'ai donné la définition et quelques propriétés des fonctions aléatoires de covariance stationnaire modulo T (cf. [2]). J'ai aussi fourni quelques exemples simples de ce type de fonctions aléatoires. Le présent article a pour but de fournir des calculs pour une fonction aléatoire de covariance stationnaire modulo T construite à partir d'une fonction aléatoire de covariance stationnaire.

Rappelons d'abord quelques définitions et précisons quelques conventions de notation.

Dans ce qui suit, nous noterons par : $R$, l'ensemble des nombre réels ; $R_+$, l'ensemble des nombres réels $\ge 0$ ; $R_+^*$, l'ensemble des nombres réels $> 0$ ; $Z$, l'ensemble des entiers ; $N$, l'ensemble des entiers $\ge 0$ ; $N^*$, l'ensemble des entiers $> 0$ ; $C$, l'ensemble des nombres complexes ; $1_A$, la fonction caractéristique de l'ensemble $A$, c'est-à-dire $1_A(x) = 1$ si $x \in A$ et $1_A(x) = 0$ si $x \notin A$.

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace de probabilité. Nous noterons par $L_2(\Omega, \mathcal{A}, P)$ l'espace des variables aléatoires $X$ (définies à une équivalence près) à valeurs dans $C$ telles que

$$ \int_{\Omega} |X(\omega)|^2 dP(\omega) < + \infty. $$

La norme de $L_2(\Omega, \mathcal{A}, P)$ est couramment notée $\|\cdot\|$, et le produit scalaire $\langle X, Y \rangle$ dans cet espace est par définition

$$ \int_{\Omega} \overline{X(\omega)} Y(\omega) dP(\omega), $$

$\overline{X(\omega)}$ étant le conjugué de $X(\omega)$ dans $C$. Soit $\{X_t, t \in R\}$ une fonction aléatoire définie sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ et à valeurs dans $C$, telle que

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$$ \forall t \in \mathbb{R}, X_t \in L_2(\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P}). $$

$\{X_t, t \in \mathbb{R}\}$ est dite de covariance stationnaire si

$$ \forall t \in \mathbb{R} \text{ et } \tau \in \mathbb{R}, \langle X_t, X_{t+\tau} \rangle = r(\tau) $$

ne dépend que de $\tau$. On appelle $r(\tau)$ la fonction de corrélation de $\{X_t, t \in \mathbb{R}\}$. Moyennant l'hypothèse que $\{X_t, t \in \mathbb{R}\}$ est continue en t au sens de la norme de $L_2(\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P})$, alors $\exists$ une fonction $F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ monotone nondécroissante, bornée, telle que

$$ r(\tau) = \int_{\mathbb{R}} \exp(i 2 \pi \lambda \tau) \, dF(\lambda). $$

$F$ est appelée la fonction spectrale.

Soit $T \in \mathbb{R}^*$, une fonction aléatoire $\{Y_t, t \in \mathbb{R}\}$ est dite de covariance stationnaire modulo $T$ si $\exists$ une fonction numérique à valeurs entières $k: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{Z}$, et une fonction $r: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$, telles que $\langle Y_t, Y_{t+\tau} \rangle = r(\tau + k(t, \tau)T)$. Nous appelons fonction de corrélation généralisée de $\{Y_t, t \in \mathbb{R}\}$ l'application

$$ \rho: \tau \longrightarrow \rho(\tau) = \lim_{\substack{u \to \infty \\ U \to 0}} \frac{1}{2U} \int_{-U}^{+U} r(\tau + k(t, \tau)T) \, dt $$

lorsque cette limite existe.

2 - Soit donc $\{X_t, t \in \mathbb{R}\}$ une fonction aléatoire de covariance stationnaire.

Soit $r(\tau)$ sa fonction de corrélation.

Soit $T \in \mathbb{R}^*$, et soient $a_j \in \mathbb{R}^*$, $j = 1, 2, \dots, n-1$, $(n-1)$ nom-bres réels tels que

$$ 0 < a_1 < a_2 < \dots < a_h < \dots < a_{n-1} < T. $$

Nous posons par convention $a_0 = 0$, et $a_n = T$.

Considérons les intervalles semi-ouverts

$$ A_1^{(1)} = [0, a_1[, \dots, A_h^{(1)} = [a_{h-1}, a_h[, \dots, A_n^{(1)} = [a_{n-1}, T[. $$

Ainsi
$$ \bigcup_{h=1}^{n} A_h^{(1)} = [0, T[. $$
Si on désigne par $\{ \theta_t, t \in \mathbb{R} \}$ le groupe des translations sur $\mathbb{R}$,
alors on définit par récurrence

$$
A_h^{(2)} = \theta_T A_h^{(1)} = A_h^{(1)} + T = \{ x \in \mathbb{R} \mid x = a + T, a \in A_h^{(1)} \}
$$

....................

$$
A_h^{(m)} = \theta_T A_h^{(m-1)}
$$

............

Ainsi,

$$
\forall h \in \{1, \dots, n\} \quad \text{et} \quad \forall m \in \mathbb{Z}, \quad A_h^{(m)} = \theta_{(m-1)T} A_h^{(1)}
$$

et on a

$$
\bigcup_{h=1}^{n} A_{h}^{(m)} = \{ (m-1)T, mT[ \cdot .
$$

La famille $\mathcal{F}$ de tous les ensembles $A_h^{(m)}$,

$$
h \in \{1, 2, \dots, n\} \quad \text{et} \quad m \in \mathbb{Z},
$$

forme une partition de R.

Soit { Y_t, t ∈ R } la fonction aléatoire définie sur (Ω, σ, P) à
valeurs dans C, construite à partir de { X_t, t ∈ R } de la façon suivante :

$$
Y_t = X_t, \quad \forall t \in \bigcup_{h=1}^{n} A_h^{(h)}
$$

et

$$
Y_t = Y_{t+\tau}, \quad \forall t \in \mathbb{R}.
$$

On a alors le résultat suivant :

PROPOSITION 2-1 - La fonction aléatoire { Y_t, t ∈ R } ainsi définie est
de covariance stationnaire modulo T, avec

$$
k(t, \tau) = \sum_{(j, h, l, m) \in \mathcal{N}^* 4} 1_{A_j^{(l)}}(t) \cdot 1_{A_h^{(m)}}(t+\tau) \cdot [(h-j) + (l-m)],
$$

$$
\text{et} \quad k(t+T, \tau) = k(t, \tau) \ , \quad k(t, \tau+T) = k(t, \tau) - 1 \ ,
$$

$$
\text{et} \quad k(t+T, \tau-T) = k(t, \tau) + 1.
$$

Démonstration : Soit donc $t \in A_j^{(l)}$ et $t+\tau \in A_h^{(m)}$. D'après la définition même des $A_h^{(m)}$, nous avons
$$ \theta_{(j-l)T} A_j^{(l)} = A_j^{(l)} $$

et

$$ \theta_{(h-m)T} A_h^{(m)} = A_h^{(h)} $$

D'où,

$$ t + (j - l) T \in A_j^{(j)} $$

et

$$ t + \tau + (h - m) T \in A_h^{(h)} $$

Ce qui montre que

$$ \begin{aligned} E \bar{Y}_t Y_{t+\tau} &= E \bar{X}_{t+(j-l)T} X_{t+\tau+(h-m)T} \\ &= r(\tau + (h-m)T - (j-l)T) \\ &= r(\tau + ((h-j) + (l-m))T). \end{aligned} $$

D'où l'expression de $k(t, \tau)$.

Désignons par $\psi: R \times R \to \mathfrak{F} \times \mathfrak{F}$, l'application qui au couple $(t, \tau)$ fait correspondre le couple $(A_j^{(l)}, A_h^{(m)})$ tel que $t \in A_j^{(l)}, t+\tau \in A_h^{(m)}$. Désignons aussi par $\gamma: \mathfrak{F} \times \mathfrak{F} \to N^{*4}$, l'application qui au couple $(A_j^{(l)}, A_h^{(m)})$ fait correspondre $(j, h, l, m)$, et enfin par $\xi: N^{*4} \to N$, l'application qui à $(j, h, l, m)$ fait correspondre $(h-j) + (l-m)$. Il est clair que

$$ \xi(j+1, h+1, l, m) = \xi(j, h, l+1, m+1) = \xi(j, h, l, m) $$

et que

$$ \gamma(\theta_{\tau} A_j^{(l)}, \theta_{\tau} A_h^{(m)}) = (j, h, l+1, m+1). $$

Comme $k = \xi_0 \gamma_0 \psi$, on a bien

$$ k(\theta_{\tau} t, \tau) = k(t, \tau) \quad \text{et} \quad k(t, \theta_{\tau} \tau) = k(t, \tau) - 1. $$

Quant à la relation

$$ k(\theta_{\tau} t, \theta_{-\tau} \tau) = k(t, \tau) + 1, $$

elle découle simplement des deux premières.

*Remarque* : Dans le cas particulier où $n=2$, si on désigne par $\varphi: N^{*2} \to N^*$, l'application qui à $(h,m)$ fait correspondre $h+2(m-1)$, et si on pose $\alpha_{\varphi(h,m)} = A_h^{(m)}$, on retrouve l'expression de $k(t, \tau)$ donnée dans [2]. En effet, puisque

$$ \varphi(h, m) = h + 2(m-1) \quad \text{et} \quad \varphi(j, l) = j + 2(l-1), $$
on a
$$ \frac{\varphi(j, l) - \varphi(h, m)}{2} = l - m + \frac{j - h}{2}, $$

et comme $j = 1, 2$ et $h = 1, 2$,

$$ \frac{3}{4} [ (-1)^{\varphi(h,m)} - (-1)^{\varphi(j,l)} ] = \frac{3}{4} [ (-1)^h - (-1)^j ] = \frac{3}{2} (h-j) . $$

D'où

$$ \begin{aligned} & 1_{A_h(l)}(t) \cdot 1_{A_h(m)}(t+\tau) \cdot [(h-j) + (l-m)] = \\ & = 1_{a_\varphi(j,l)}(t) \cdot 1_{a_\varphi(h,m)}(t+\tau) \cdot \left[ \frac{\varphi(j,l) - \varphi(h,m)}{2} + \frac{3}{4}((-1)^{\varphi(h,m)} - (-1)^{\varphi(j,l)}) \right] \end{aligned} $$

Calculons maintenant la fonction de corrélation généralisée.

PROPOSITION 2-2 : Dans le cas où

$$ a_j - a_{j-1} = \frac{T}{n}, \quad \forall j \in \{1, 2, \dots, n\}, $$

la fonction de corrélation généralisée vaut

$$ \rho(\tau) = \sum_{m \in \mathbb{Z}} \sum_{h=0}^{n-1} 1_{A_h^{(m)}}(\tau) \cdot \left[ \begin{aligned} & (n-h)\left(\frac{h+1}{n} + m - 1 - \frac{\tau}{T}\right) \cdot r(\tau + (h-m+1)T) \\ & + (n-h-1)\left(\frac{\tau}{T} - \frac{h}{n} - m + 1\right) \cdot r(\tau + (h-m+2)T) \\ & + h\left(\frac{h+1}{n} + m - 1 - \frac{\tau}{T}\right) \cdot r(\tau + (h-n-m)T) \\ & + (h+1)\left(\frac{\tau}{T} - \frac{h}{n} - m + 1\right) \cdot r(\tau + (h-n-m+1)T) \end{aligned} \right]. $$

Démonstration : Commençons par poser

$$ \rho_1(\tau) = \frac{1}{T} \int_0^T r(\tau + k(t, \tau)T) \, dt. $$

Nous montrerons plus loin que

$$ \rho_1(\tau) = \rho(\tau). $$

1/ Restreignons nous au cas où $\tau \in [0, T[$, et faisons le calcul pour $\tau \in A_{h+1}^{(1)}$. Pour cela, posons $v = \tau - h \frac{T}{n}$. Nous avons $v \in A_1^{(1)}$ et
$0 < a_1 - v \le a_1 < \dots \le a_{j-1} < a_j - v \le a_j < \dots \le a_{n-1} < a_n - v \le a_n$.

D'où

$$ \int_0^T r(\tau + k(t, \tau)T) dt = \int_0^{a_1-v} r(\tau + k(t, \tau)T) dt + \int_{a_1-v}^{a_1} \dots + \int_{a_{j-1}-v}^{a_j-v} r(\tau + k(t, \tau)T) dt + \int_{a_j-v}^{a_j} r(\tau + k(t, \tau)T) dt + \dots + \int_{a_{n-1}-v}^{a_n-v} r(\tau + k(t, \tau)T) dt + \int_{a_n-v}^{a_n} r(\tau + k(t, \tau)T) dt. $$

L'indice n-h joue un rôle particulier. En effet, $\forall j \in \{1, \dots, n\}$, pour $t \in A_j^{(1)}$, deux cas se produisent :

Si $a_{j-1} \le t < a_j - v$, alors $a_{j-1} + v \le t + v < a_j$ ; d'où $t + \tau \in A_{j+n}^{(1)}$ lorsque $j \le n-h$, et $t + \tau \in A_{j+n-1}^{(2)}$ lorsque $j > n-h$.

Si $a_j - v \le t < a_j$, alors $a_j \le t + v < a_j + v \le a_{j+1}$ ; d'où $t + \tau \in A_{j+n}^{(1)}$ lorsque $j < n-h$, et $t + \tau \in A_{j+n-1}^{(2)}$ lorsque $j \ge n-h$.

Il y a donc parmi les 2n intégrales dont la somme vaut $\int_0^T$ :

a) (n-h) termes tous égaux, provenant des

$$ \int_{a_{j-1}}^{a_j-v} r(\tau + k(t, \tau)T) dt, \quad 1 \le j \le n-h, $$

$$ \text{car} \quad t \in A_j^{(1)} \quad \text{et} \quad t + \tau \in A_{j+h}^{(1)} \implies k(t, \tau) = h, $$

$$ \text{et de plus,} \quad a_j - v - a_{j-1} = \frac{h+1}{n} T - \tau. $$

b) (n-h-1) termes égaux, provenant des

$$ \int_{a_{j-v}}^{a_j} r(\tau + k(t, \tau)T) dt, \quad 1 \le j \le n-h-1, $$

parce que

$$ t \in A_j^{(1)} \quad \text{et} \quad t + \tau \in A_{j+h+1}^{(1)} \implies k(t, \tau) = h+1, $$

$$ \text{et que} \quad a_j - a_j + v = v. $$

c) h termes égaux, provenant des

$$ \int_{a_{j-1}}^{a_j-v} r(\tau + k(t, \tau)T) dt, \quad n-h+1 \le j \le n, $$

$$ \text{car} \quad t \in A_j^{(1)} \quad \text{et} \quad t + \tau \in A_{j+n-1}^{(2)} \implies k(t, \tau) = h-n-1. $$
d) $(h+1)$ termes égaux, provenant des

$$ \int_{a_{j-v}}^{a_j} r(\tau + k(t, \tau)T) \, dt, \quad n-h \le j \le n, $$

car $t \in A_j^{(1)}$ et $t + \tau \in A_{j+h+1-n}^{(2)} \implies k(t, \tau) = h-n$.

Donc, pour $\tau \in A_{h+1}^{(1)}$, nous avons

$$ \begin{aligned} \rho_1(\tau) &= \frac{n-h}{T} \int_0^{a_1-\tau} + \frac{n-h-1}{T} \int_{a_1-\tau}^{a_1} + \frac{h}{T} \int_{a_{n-h}}^{a_{n-h+1-\tau}} + \frac{h+1}{T} \int_{a_{n-h-\tau}}^{a_{n-h}} \\ &= (n-h) \left(\frac{h+1}{n} - \frac{\tau}{T}\right) \cdot r(\tau+hT) + (n-h-1) \left(\frac{\tau}{T} - \frac{h}{n}\right) \cdot r(\tau+(h+1)T) \\ &\quad + h \left(\frac{h+1}{n} - \frac{\tau}{T}\right) \cdot r(\tau+(h-n-1)T) + (h+1) \left(\frac{\tau}{T} - \frac{h}{n}\right) \cdot r(\tau+(h-n)T). \end{aligned} $$

Par conséquent, $\forall \tau \in [0, T[$,

$$ \rho_1(\tau) = \sum_{h=0}^{n-1} \mathcal{I}_{A_{h+1}^{(1)}}(\tau) \cdot \left[ \begin{aligned} & (n-h) \left(\frac{h+1}{n} - \frac{\tau}{T}\right) \cdot r(\tau+hT) + \\ & \qquad + (n-h-1) \left(\frac{\tau}{T} - \frac{h}{n}\right) \cdot r(\tau+(h+1)T) \\ & + h \left(\frac{h+1}{n} - \frac{\tau}{T}\right) \cdot r(\tau+(h-n-1)T) + (h+1) \left(\frac{\tau}{T} - \frac{h}{n}\right) \cdot r(\tau+(h-n)T) \end{aligned} \right]. $$

2/ Pour $\tau \in A_{h+1}^{(m)}$, on se ramène au cas précédent en considérant, au lieu de $\tau$, $\theta_{l_{1-m}l}\tau$ qui est un élément de $A_{h+1}^{(1)}$. D'où $\forall \tau \in \mathbb{R}$, $\rho_1(\tau)$ est égale à l'expression donnée dans l'énoncé.

3/ Il nous reste à montrer que $\rho(\tau) = \rho_1(\tau)$. Or pour $U \in \mathbb{R}_+^*$,

$$ \frac{1}{U} \int_{0}^{U} = \frac{1}{e\left(\frac{U}{T}\right)T} \cdot \frac{e\left(\frac{U}{T}\right)T}{U} \left[ \int_{0}^{e\left(\frac{U}{T}\right)T} + \int_{e\left(\frac{U}{T}\right)T}^{U} \right], $$

où $e\left(\frac{U}{T}\right) = \sup \{j|j \le \frac{U}{T}, j \in \mathbb{N}\} = \text{partie entière de } \frac{U}{T} = m$, si

$U \in \bigcup_{h=1}^{n} A_h^{(m+1)}$. Comme $\frac{e\left(\frac{U}{T}\right)T}{U} \to 1$ quand $U \to +\infty$, et comme $\forall m \in \mathbb{N}^*$,
$$ \frac{1}{\mathrm{mT}} \int_{0}^{\mathrm{mT}} r(\tau + k(t, \tau)\mathrm{T}) \, \mathrm{d}\tau = \frac{1}{\mathrm{T}} \int_{0}^{\mathrm{T}} r(\tau + k(t, \tau)\mathrm{T}) \, \mathrm{d}\tau, $$

on a

$$ \lim_{\tau \to +\infty} \frac{1}{2\mathrm{U}} \int_{-\mathrm{U}}^{+\mathrm{U}} r(\tau + k(t, \tau)\mathrm{T}) \, \mathrm{d}\tau = \frac{1}{\mathrm{T}} \int_{0}^{\mathrm{T}} r(\tau + k(t, \tau)\mathrm{T}) \, \mathrm{d}\tau = \rho_{1}(\tau). $$

Ce qui achève la démonstration.

Nous avons ainsi les calculs pour $\rho(\tau)$ sous l'hypothèse que $a_j - a_{j-1} = \frac{T}{n}$, $\forall j \in \{1, 2, \dots, n\}$. Sans cette hypothèse, les calculs deviennent très compliqués. Restreignons nous au cas de $n = 2$. Nous avons la

PROPOSITION 2-3 : Si $n = 2$, et si on pose

$$ B_{1}^{(1)} = [0, \inf(a_{1}, T - a_{1})[, $$

$$ B_{2}^{(1)} = [\inf(a_{1}, T - a_{1}), \sup(a_{1}, T - a_{1})[, $$

$$ B_{3}^{(1)} = [\sup(a_{1}, T - a_{1}), T[ $$

$$ B_{h}^{(m)} = \Theta_{(m-1)\tau} B_{h}^{(1)}, \quad \forall m \in \mathbb{Z} \quad \text{et} \quad h \in \{1, 2, 3\}, $$

alors

$$ \begin{aligned} \rho(\tau) = & \sum_{m \in \mathbb{Z}} \{1_{B_1^{(m)}}(\tau). \left[ \begin{aligned} & ((2m-1)\mathrm{T} - 2\tau) \cdot r(\tau - (m-1)\mathrm{T}) + \\ & \quad + (\tau - (m-1)\mathrm{T}) \cdot r(\tau - (m-2)\mathrm{T}) + \\ & \quad + (\tau - (m-1)\mathrm{T}) \cdot r(\tau - (m+1)\mathrm{T}) \end{aligned} \right] \\ & + 1_{B_2^{(m)}}(\tau). \left[ \begin{aligned} & \inf(a_1, T - a_1) \cdot r(\tau - (m-2)\mathrm{T}) + \\ & \quad + (\sup(a_1, T - a_1) - \tau + (m-1)\mathrm{T}) \cdot r(\tau - (m-1)\mathrm{T}) \\ & \quad + \inf(a_1, T - a_1) \cdot r(\tau - (m+1)\mathrm{T}) + \\ & \quad + (\tau - (m-1)\mathrm{T} - \inf(a_1, T - a_1)) \cdot r(\tau - m\mathrm{T}) \end{aligned} \right] \\ & + 1_{B_3^{(m)}}(\tau). \left[ \begin{aligned} & (2\tau - (2m-1)\mathrm{T}) \cdot r(\tau - m\mathrm{T}) + (m\mathrm{T} - \tau) \cdot r(\tau - (m+1)\mathrm{T}) \\ & \quad + (m\mathrm{T} - \tau) \cdot r(\tau - (m-2)\mathrm{T}) \end{aligned} \right] \end{aligned} $$

Démonstration : La seule difficulté qui existe ici est la longueur des calculs. Nous ne les reproduisons pas ici en détail. Signalons sim-
plement que $\bigcup_{h=1}^{3} B_{h}^{(m)} = \bigcup_{h=1}^{2} A_{h}^{(m)}$, et que

a) Si $\tau \in B_{1}^{(1)}$, alors on écrit

$$ \int_{0}^{\tau} = \int_{0}^{a_{1}-\tau} + \int_{a_{1}-\tau}^{a_{1}} + \int_{a_{1}}^{\tau-\tau} + \int_{\tau-\tau}^{\tau}, $$

ce qui donne

$$ (T - 2\tau) \cdot r(\tau) + \tau \cdot r(\tau + T) + \tau \cdot r(\tau - 2T) $$

b) Si $\tau \in B_{3}^{(1)}$, alors on écrit

$$ \int_{0}^{\tau} = \int_{0}^{\tau-\tau} + \int_{\tau-\tau}^{a_{1}} + \int_{a_{1}}^{\tau+a_{1}-\tau} + \int_{\tau+a_{1}-\tau}^{\tau}, $$

ce qui donne

$$ (2\tau - T) \cdot r(\tau - T) + (T - \tau) \cdot r(\tau - 2T) + (T - \tau) \cdot r(\tau + T). $$

c) Si $\tau \in B_{2}^{(1)}$, alors

$$ \inf(a_1, T - a_1) = a_1 \implies \int_0^\tau = \int_0^{a_1} + \int_{a_1}^{\tau-\tau} + \int_{\tau-\tau}^{\tau+a_1-\tau} + \int_{\tau+a_1-\tau}^{\tau}, $$

ce qui donne

$$ a_1 \cdot r(\tau + T) + (T - a_1 - \tau) \cdot r(\tau) + a_1 \cdot r(\tau - 2T) + (\tau - a_1) \cdot r(\tau - T); $$

tandis que

$$ \sup(a_1, T - a_1) = a_1 \implies \int_0^\tau = \int_0^{a_1-\tau} + \int_{a_1-\tau}^{\tau-\tau} + \int_{\tau-\tau}^{a_1} + \int_{a_1}^{\tau}, $$

ce qui donne

$$ (a_1 - \tau) \cdot r(\tau) + (T - a_1) \cdot r(\tau + T) + (\tau - T + a_1) \cdot r(\tau - T) + (T - a_1) \cdot r(\tau - 2T), $$

c'est-à-dire, dans les deux cas,

$$ \inf(a_1, T - a_1) \cdot r(\tau + T) + (\sup(a_1, T - a_1) - \tau) \cdot r(\tau) + \inf(a_1, T - a_1) \cdot r(\tau - 2T) + (\tau - \inf(a_1, T - a_1)) \cdot r(\tau - T). $$

En tenant compte du fait que $\tau \in B_{h}^{(m)} \implies \tau - (m - 1)T \in B_{h}^{(1)}$, nous obtenons la formule donnée dans l'énoncé.
3 - Faisons maintenant quelques remarques concernant les fonctions aléatoires de covariance stationnaire modulo T "associées" (c'est-à-dire, quand n = 1 dans la construction donnée dans le § 2), apportant une amélioration à un résultat de [2]. Rappelons à ce pro- pos les définitions et propriétés suivantes :

Soit H un espace de Hilbert sur C de fonctions f défi- nies sur un ensemble A et à valeurs dans C. Notons par (·, ·) le produit scalaire de cet espace H. Une application K : A × A — C est un noyau reproduisant de H si et seulement si :

$$
1/ \quad \forall y \in A, K(., y) \in H ;
$$

$$
2/ \quad \forall y \in A \text{ et } \forall f \in H, f(y) = (f|K(.,y)), (\text{cf. [1]}).
$$

Rappelons aussi que K est un noyau reproduisant si et seulement
si K est de type défini positif. Pour être plus explicite, nous no-
terons par H(K) l'espace de Hilbert dont K est le noyau repro-
duisant.

Citons le résultat suivant de [3] :

Soit m une application de A dans C. Alors, K(x, y) - m̅(x) m(y)
de type défini positif ⇐⇒ m ∈ H(K) et ||m||<sub>H(K)</sub> ≤ 1.

Soit { Y_t, t ∈ R_+ } une fonction aléatoire de covariance stationnaire modulo T "associée" à une fonction aléatoire { X_t, t ∈ R } de covariance stationnaire, continue en t au sens de la norme de L_2(Ω, α, P) et dont la fonction spectrale est F. Soit

$$
r(t' - t + k(t, t' - t)T) = \langle X_{t'}, X_{t''} \rangle,
$$

sa covariance stationnaire modulo T. Prenant ici A = R+, le résul-
tat cité donne directement la

PROPOSITION 3-1 : Une condition nécessaire et suffisante pour que

$$
r(t' - t + k(t, t' - t)T) \cdot \overline{m(t)} m(t')
$$

soit une covariance est que

$$
m(t) = \int_{\mathbb{R}} \exp \left[ i 2\pi \left( t - e \left( \frac{t}{T} \right) T \right) \lambda \right] d\mu(\lambda),
$$

où $\mu$ est à variation bornée et $d\mu \ll dF$,

$$
\left\| \frac{d\mu}{dF} \right\|_{L_2(R, dF)} \le 1 .
$$
Nous nous dispensons de réénoncer ici les résultats qui dé-
coulent de la proposition précédente et renvoyons à [3].

La notion de fonction aléatoire de covariance stationnaire mo-
dulo T a une origine pratique : c'est au cours d'une conversation
avec M.P. Caseau, de l'Electricité de France, que l'idée m'est
venue de définir cette classe de fonctions aléatoires. On m'a parlé
d'analyseur de fréquence, de houle, et bien d'autres choses encore
qui me sont autant d'inconnues..., mais pour qui ces calculs sont
faits. Je tiens à remercier ici P. Caseau et E. Kérékès pour d'uti-
les conversations.

REFERENCES

[1] ARONSZAJN (N.) : Theory of reproducing kernels, *Trans. Amer. Math. Soc.* **68** (1950), 337-404.

[2] BUI TRONG LIEU : Estimations pour des processus de Markov, *Publ. Inst. Statist. Univ. Paris 11* (1962), 73-188.

[3] YLVISAKER (N.D.) : A generalization of a theorem of Balakrishnan, *Ann. Math. Statist.* **32** (1961), 1337-1339.

Institut de Mathématiques
Université de Lille

Reçu le 2 Mars 1964