# Problème de test hypothèses linéaires multiples en analyse de la variance

Tuan Pham Dinh

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## To cite this version:

Tuan Pham Dinh. Problème de test hypothèses linéaires multiples en analyse de la variance. Annales de l'ISUP, 1970, XIX (4), pp.55-76. hal-04083515

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Submitted on 27 Apr 2023

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# PROBLEME DE TEST HYPOTHESES LINEAIRES MULTIPLES

EN ANALYSE DE LA VARIANCE

## PHAM-DINH*

## INTRODUCTION

Dans le modèle I de l'Analyse de la variance, le problème de
test peut se mettre sous une forme générale dans laquelle on a n variables
aléatoires normales, indépendantes $X_1, \dots, X_n$ de moyennes $\xi_1, \dots, \xi_n$, et
de même variance $\sigma^2$. Le vecteur $\xi$ de $\mathbb{R}^n$ de composantes $\xi_1, \dots, \xi_n$ est
supposé appartenir à un sous-espace vectoriel $V$ de $\mathbb{R}^n$ (dim $V < n$). On
s'intéresse à déterminer si $\xi$ appartient à un ou plusieurs sous-espaces
vectoriels donnés $V_i, i = 1, \dots, k$ de $V$. Si $k = 1$, c'est un problème de
test hypothèse linéaire où le test optimal est le F-test classique. Si $k > 1$,
on a un problème de test hypothèses linéaires multiples. La méthode géné-
ralement employée est de traiter les $k$ problèmes de tests : $\xi_i \in V_i$
contre $\xi_i \notin V_i$ séparément et combiner ensuite les résultats.

Considérons par exemple, le plan factoriel à deux facteurs avec
une observation par cellule. On suppose qu'il n'y a pas de l'interaction
entre les deux facteurs. Les variables aléatoires sont alors $X_{ij}$,
$i=1, \dots, I, j=1, \dots, J$, qui s'écrivent :

$$X_{ij} = \mu + \epsilon_{i}^{A} + \epsilon_{j}^{B} + e_{ij}$$

où $\mu$ ; $\epsilon_{i}^{A}$, $i = 1, \dots, I$ ; $\epsilon_{j}^{B}$, $j = 1, \dots, J$ sont des constantes
avec

$$(1) \quad \sum_{i=1}^{I} \epsilon_{i}^{A} = 0, \quad (2) \quad \sum_{j=1}^{J} \epsilon_{j}^{B} = 0$$

et $e_{ij}$, $i = 1, \dots, I, j = 1, \dots, J$ sont des variables aléatoires normales,
indépendantes, centrées de variances communes $\sigma^2$. Le terme $\mu$ repré-
sente la moyenne générale de l'observation, les termes $\epsilon_{i}^{A}$, $i = 1, \dots, I$
représentent l'effet du facteur A, les termes $\epsilon_{j}^{B}$, $j = 1, \dots, J$, celui du
facteur B et les termes $e_{ij}$ tiennent compte des effets du hasard.

<footnote>* Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Grenoble.</footnote>
Ici le nombre des observations est $n = I.J.$, et le vecteur $\xi$, de composant $\xi_{ij} = EX_{ij}$, $i = 1,...,I$, $j = 1,...,J$, appartient au sous-espace vectoriel;

$$V = \{ \xi = (\xi_{ij}) : \xi_{ij} = \mu + \epsilon \frac{A}{i} + \epsilon \frac{B}{j} / \sum_{i=1}^{I} \epsilon \frac{A}{i} = 0, \sum_{j=1}^{J} \epsilon \frac{B}{j} = 0 \}$$

La dimension de $V$ est $I + J - 1$ car les paramètres indépendants qui déterminent un vecteur $\xi \in V$ sont $\mu, \epsilon \frac{A}{i}, i = 1,...,I-1, \epsilon \frac{B}{j}, j = 1,...,J-1$.

On pourra s'intéresser à déterminer si le facteur $A$ n'a pas d'influence sur les observations, ce qui se traduit par $\epsilon \frac{A}{i} = 0, i = 1,..., I$; c'est à dire que le vecteur $\xi$ appartient au sous-espace vectoriel :

$$V_1 = \{ \xi = (\xi_{ij}) : \xi_{ij} = \mu + \epsilon \frac{B}{j} / \sum_{j=1}^{J} \epsilon \frac{B}{j} = 0 \}$$

La dimension de $V_1$ est $J$ car les paramètres indépendantes qui déterminent un vecteur $\xi \in V_1$ sont $\mu$ et $\epsilon \frac{B}{j}, j = 1,...,J-1$.

D'une manière analogue, on pourra se demander si le facteur $B$ n'a pas d'influence sur les observations, ou de façon équivalente, si le vecteur $\xi$ appartient au sous-espace vectoriel:

$$V_2 = \{ \xi = (\xi_{ij}) : \xi_{ij} = \mu + \epsilon \frac{A}{i} / \sum_{i=1}^{I} \epsilon \frac{A}{i} = 0 \}$$

Par le même raisonnement que précédemment, la dimension de $V_2$ est $I$.

Les hypothèses que l'on pourrait formuler sont :

H1 : $\xi \in V_1, \xi \notin V_2$ : pas d'influence de $A$ et $B$

H2 : $\xi \in V_1, \xi \notin V_2$ : influence de $B$ seul

H3 : $\xi \notin V_1; \xi \in V_2$ : influence de $A$ seul

H4 : $\xi \notin V_1, \xi \notin V_2$ : influence de $A$ et $B$
On a donc un problème de test hypothèses multiples. On le résoud en testant séparément l'hypothèse $\xi \in V_1$ contre $\xi \in V_1$ et l'hypothèse $\xi \in V_2$ contre $\xi \in V_2$, et on conclut suivant les résultats de ces deux tests. Par exemple, si par le premier test, on est amené à accepter $\xi \in V_1$ et par le deuxième on est amené à rejeter $\xi \in V_2$, on choisira alors l'hypothèse H2. Cette manière de procéder s'étend aisément dans le cas où on a plusieurs sous-espaces $V_1, \dots, V_k$ ($k > 2$) (plan factoriel à deux facteurs avec interaction entre les facteurs, planc factoriel à trois facteurs....)

Le but de cet article est de montrer que le procédé précédent est optimal dans un certain sens que l'on va préciser. Pour cela nous allons définir quelques notions générales concernant les tests hypothèses multiples.

## II - GENERALITES SUR LES TESTS HYPOTHESES MULTIPLES -

### § 1. - Définition du problème de test -

Soit $\{\Omega, \mathcal{A}, P_\theta, \theta \in \Theta\}$ une structure statistique, $\Omega$ est l'espace des observations et $\{P_\theta, \theta \in \Theta\}$ est une famille des lois de probabilités sur l'espace mesurable $(\Omega, \mathcal{A})$. L'observation $\omega$ suit une loi $P_\theta$ de la famille précédente. On fait $k$ hypothèses $H_i = \theta \in \Theta_i, i = 1, \dots, k$ où $\Theta_1, \dots, \Theta_k$ forment une partition de $\Theta$ ($\Theta = \bigcup_{i=1}^k \Theta_i; \Theta_i \cap \Theta_j = \emptyset \text{ i} \neq j$)

Le problème de test est de décider au vu de l'observation $\omega$, une de ces $k$ hypothèses précédentes.

Un test est une fonction $\phi$ mesurable de $\Omega$ dans $R^k$

$$ \phi(\omega) = \phi_1(\omega), \dots, \phi_k(\omega) $$

tel que

$$ \phi_i(\omega) \ge 0, i = 1, \dots, k; \quad \sum_{i=1}^k \phi_i(\omega) = 1 $$

où $\phi_i(\omega)$ représente la probabilité que l'on accepte l'hypothèse $H_i$ quand $\omega$ est observé.

A chaque test $\phi$, on associe une fonction $\beta(\cdot; \phi)$ appelée fonction puissance du test $\phi$, définie sur $\Theta$, à la valeur dans $R^k$ et qui caractérise la performance du test.
$$ \beta(\theta; \phi) = E_{p_{\theta}}(\phi), \theta \in \Theta $$

La composante $\beta_i(\theta; \phi) = E_{p_{\theta}}(\phi_i)$ de $\beta(\theta; \phi)$ représente la probabilité que l'on accepte l'hypothèse $H_i$ en utilisant le test $\phi$ et quand $P_{\theta}$ est la vraie loi. Evidemment

$$ \beta_i(\theta; \phi) \ge 0, i = 1, \dots, k; \quad \sum_{i=1}^{k} \beta_i(\theta; \phi) = 1 $$

## § 2. - Relation de préordre sur les tests -

Dans un problème de décision, on classifie les procédures de décisions d'après le critère de perte de Wald. Ce critère s'applique aussi dans le problème de test hypothèses multiple, qui est un problème de décision dont l'espace des décisions est $\{1, \dots, k\}$. Etant donné une fonction de perte $W(\theta, i)$, à chaque test $\theta$, on associe sa fonction du risque $R^w(\theta, \theta)$ définie par :

$$ R^w(\theta; \phi) = E_{p_{\theta}} \left[ \sum_{i=1}^{k} W(\theta, i) \phi_i \right] = \sum_{i=1}^{k} W(\theta, i, \phi_i) \beta_i(\theta; \phi) $$

Comme $W(\theta, i)$ représente la perte quand on accepte l'hypothèse $H_i$ et que la vraie loi est $P_{\theta}$, $R^w(\theta, \phi)$ n'est autre que la perte moyenne en utilisant le test $\phi$ et quand la vraie loi est $P_{\theta}$.

**DEFINITION 2.1.** - Soit $W$ une fonction de perte, le test $\phi^*$ est dit W-meilleur que le test $\theta$ si sa fonction du risque basée sur $W$ est uniformément inférieure à celle de $\theta$. C'est-à-dire :

$$ R^w(\theta; \phi^*) \le R^w(\theta; \phi) \quad \forall \theta \in \Theta $$

Nous proposons de généraliser ce critère et définir une relation de préordre basée sur une classe donnée de fonctions de perte.

**DEFINITION 2.2.** - Soit $W$ une classe de fonctions de perte, le test $\phi^*$ est dit W-meilleur que $\phi$ s'il est W-meilleur que $\phi$ pour tout $W \in W$.

Cette définition a l'intérêt de ne pas spécifier complètement la fonction de perte $W$ que l'on connaît mal en pratique.
### § 3 - Test sans biais :

La notion de test sans biais dans un problème général de décision a été introduite par Lehmann ([1] et [3]). Dans le cas du problème de test hypothèses multiples, on peut définir un test sans biais de façon suivante :

**DEFINITION 3.1.** - Soit $W$ une fonction de perte, le test $\phi$ est dit $W$-sans biais si pour tout $\theta \in \Theta$, on a :

$$ \sum_{i=1}^{k} W(\theta, 1) \beta_i(\theta, \phi) \le \sum_{i=1}^{k} W(\theta, i) \beta_i(\theta, \phi) $$

Comme précédemment nous allons étendre cette définition dans le cas où une classe de fonctions de perte est donnée.

**DEFINITION 3.2.** - Soit $W$ une classe de fonctions de perte, le test $\phi$ est dit $W$-sans biais s'il est sans biais pour au moins une fonction de perte $W \in \omega$.

**REMARQUE** - Dans le cas de test de deux hypothèses, si $W$ est une fonction de perte définie par : $W(\theta, 1) = 0$ si $\theta \in \Theta_1$, $\mu$ si $\theta \in \Theta_2$ et $W(\theta, 2) = \lambda$ si $\theta \in \Theta_1$, $0$ si $\theta \in \Theta_2$, $\lambda \ge 0$, $\mu \ge 0$; il est facile de montrer que le test $\theta$, est $W$-sans biais si et seulement si :

$$ \beta_2(\theta; \phi) \le \frac{\mu}{\lambda + \mu} \quad \theta \in \Theta_1 $$

$$ \beta_2(\theta; \phi) \ge \frac{\mu}{\lambda + \mu} \quad \theta \in \Theta_2 $$

Par conséquent, un test sans biais au sens classique est un test, sans biais où $W$ est la classe de fonctions de perte de la forme précédente (avec $\lambda, \mu$ quelconques). La réciproque est vraie aussi.

### § 4. - Problèmes de test du type produit -

#### 4.1. - DEFINITIONS.

**DEFINITION 4.1.** - Soit $P_1, \dots, P_\nu$, $\nu$ problèmes de test de deux hypothèses $P_1$ consiste à tester $\theta \in \Theta_1$ contre $\theta \in \Theta'_1$ (on note $\Theta'_1$ pour $\theta - \Theta_1$), on appelle produit des problèmes $P_1, \dots, P_\nu$ un problème de test hypothèses multiples $P$ qui consiste à tester les hypothèses $\theta \in \Theta_j$ définies par :

$$ \Theta_j = \bigcap_{i \in J} \Theta_i \cap \bigcap_{j \in J} \Theta'_i $$
où J parcourt l'ensemble des parties de $\{1,...,v\}$ telles que $\Theta_J$ soit non vide.

Cette notion de produit des problèmes de test a été introduit par Lehmann [2].

**DEFINITION 4.2.** - Soit $\phi$ un test pour le problème P, produit des problèmes $P_1, ..., P_v$ le test $(1-\phi_1, \phi_1)$ défini par

$$ \phi_i = \sum_{j \neq i} \phi_j $$

est appelé test partiel déduit de $\phi$ pour le problème $P_i$.

**DEFINITION 4.3.** - Soit pour $i \le 1, ..., v$, un test $(1-\phi_i, \phi_i)$ pour le problème de test de deux hypothèses $P_i : \theta \in \Theta_i$ contre $\theta \in \Theta'_i$ ; les tests $(1-\phi_i, \phi_i)$ sont dits compatibles si

$$ \bigcap_{i \in J} \Theta_i \quad \bigcap_{i \notin J} \Theta'_i = \phi \Rightarrow \bigcap_{i \in J} (1-\phi_i) \quad \bigcap_{i \notin J} \phi_i = 0 $$

Dans ce cas :

$$ \phi_j = \prod_{i \in J} (1-\phi_i) \prod_{i \notin J} \phi_i $$

définit un test pour le problème P, produit des problèmes $P_i$, appelé le test produit des tests $(1-\phi_i, \phi_i)$.

**REMARQUE** - Si $\phi$ est le test produit des tests $(1-\phi_i\phi_j)$, les tests partiels déduits de $\phi$ coincident avec les tests initiaux. Cela vient de l'identité.

$$ \phi_i \prod_{j=i} (1-\phi_j + \phi_j) = \sum_{j \neq i} \left[ \prod_{j \in J} (1-\phi_j) \prod_{j \notin J} \phi_j \right] $$

## 4.2. - Liaison entre un test et ses tests partiels.

Nous allons étudier la liaison entre un test d'un problème de test du type produit et ses tests partiels en ce qui concerne la relation d'ordre et la propriété sans biais. On supposera que la classe W de fonctions de perte pour le problème P, produit des problèmes $P_1, ..., P_t$, est l'ensemble des fonctions W de la forme :

$$ W(\theta, J) = \sum_{i \in J} W_i(\theta, 1) + \sum_{i \notin J} W_i(\theta, 2) $$

où $W_i$ est une fonction de perte pour le problème $P_i$. Cela revient à supposer que la perte est additive.
Problème de test hypothèses linéaires multiples en analyse de la variance.

Comme $P_i$ est un problème de test de deux hypothèses, on prendra, $W_i$ de la forme :

$$W_i(\theta, 1) = 0 \text{ si } \theta \in \Theta_i$$

$$W_i(\theta, 1) = \lambda_i \text{ si } \theta \in \Theta'_i$$

$$W_i(\theta, 2) = \mu_i \text{ si } \theta \in \Theta_i$$

$$W_i(\theta, 2) = 0 \text{ si } \theta \in \Theta'_i$$

où $\lambda_i, \mu_i$ positifs ou nuls quelconques, de façon que la relation d'ordre et la notion sans biais dans les problèmes $P_i$ coïncident avec les définitions classiques.

**THEOREME 4.1.** - le test $\phi^*$ pour le problème P est W-meilleur que le test $\phi$ si et seulement si, pour tout $i$, le test partiel $(1-\phi_1^*, \phi_1^*)$ est meilleur que $(1-\phi_1, \phi_1)$ comme test du problème $P_i$.

**DEMONSTRATION** - La fonction de risque du test $\phi$, associée à W est:

$$R^w(\theta;\phi) = \sum_J W(\theta,J) \beta_J(\theta;\phi)$$

$$= \sum_{i=1}^{r} W_i(\theta,1) E_{p_{\theta}}(1-\phi_i) + W_i(\theta,2) E_{p_{\theta}}(\phi_i)$$

Le terme entre crochet est la fonction du risque du test $(1-\phi_1, \phi_1)$; par conséquent, le test $\phi^*$ sera meilleur que le test $\phi$ si pour chaque problème $P_i$ le test $(1-\phi_1^*, \phi_1^*)$ est meilleur que le test $(1-\phi_1, \phi_1)$.

Inversement, si $\phi^*$ est meilleur que $\phi$, $R^w(\theta;\phi^*) - R^w(\theta;\phi) \le 0$, donc quand $\theta \in \Theta_i$:

$$\sum_{i \in I} \lambda_i \left[ E_{p_{\theta}}(\theta^*) - E_{p_{\theta}}(\theta_i) \right] + \sum_{i \in I} \mu_i \left[ E_{p_{\theta}}(\theta_i) - E_{p_{\theta}}(\theta^*) \right] \le 0$$

Comme $\lambda_i$ et $\mu_i$ sont positifs ou nuls arbitraires, cela entraîne que :
$$ V_{\theta \in \Theta_I} : E_{p_{\theta}}(\phi_i^*) \le E_{p_{\theta}}(\phi_i) \quad i \in I $$

$$ E_{p_{\theta}}(\phi_i^*) \ge E_{p_{\theta}}(\phi_i) \quad i \notin I $$

et on en déduit que le test $(1-\phi_i^*, \phi_i^*)$ est meilleur que le test $(1-\phi_i, \phi_i)$ pour le problème $P_i$.

**THEOREME 4.2.** - Le test $\phi$ est W-sans biais pour le problème P si dans chaque problème $P_i$, le test partiel $(1-\phi_i, \phi_i)$ est sans biais.

**DEMONSTRATION :** Elle est immédiate à partir des égalités : $(\theta, \theta' \in \Theta)$

$$ \sum_j W(\theta, J) \beta_j(\theta; \phi) = \sum_{i=1}^{r} \left[ W_i(\theta, 1) E_{p_{\theta}}(1-\phi_i) + W_i(\theta, 2) E_{p_{\theta}}(\phi_i) \right] $$

$$ \sum_j W_i(\theta', J) \beta_j(\theta, \phi) = \sum_{i=1}^{r} \left[ W_i(\theta', 1) E_{p_{\theta}}(1-\phi_i) + W(\theta', 2) E_{p_{\theta}}(\phi_i) \right] $$

La réciproque du théorème 4.2 nécessite une hypothèse supplémentaire.

**Hypothèse III -**

Aucune des intersections $\bigcap_{i \in J} \Theta_i \bigcap_{i \in J} \Theta_i'$, $J \subset \{1, \dots, r\}$ n'est vide.

**THEOREME 4.3.** - Sous hypothèse H1, un test $\theta$, W-sans biais pour le problème P implique que ses tests partiels $(1-\theta_i, \theta_i)$ pour les problèmes $P_i$ sont sans biais.

**DEMONSTRATION -** Soit $\theta \in \Theta_I$, il existe $I \supseteq I'$ tel que $\theta \in \Theta_I$. Posons $I' = I - \{i\}$ et choisissons un point $\theta' \in \Theta_j$ (non vide d'après H1), la propriété sans biais du test $\phi$ permet d'écrire

$$ (1) \quad \sum_j W(\theta, J) \beta_j(\theta, \phi) \le \sum_j W(\theta', J) \beta_j(\theta', \phi) $$
Problème de test hypothèses linéaires multiples en analyse de la variance.

Comme $\theta \in \Theta_I$ :

$$ 
\begin{align*} 
\sum_j W(\theta, J) \beta_j(\theta; \phi) &= \sum_{i=1}^{r} \left[ W_1(\theta, 1) E_{P_{\theta}}(1-\phi_i) + W_2(\theta, 2) E_{P_{\theta}}(\phi_i) \right] \\
&= \sum_{i=1}^{r} \lambda_j E_{P_{\theta}}(\phi_i) + \sum_{j \neq 1} \mu_j E_{P_{\theta}}(1-\phi_j)
\end{align*} 
$$

De même $\theta' \in \Theta_I'$,

$$ \sum_j W(\theta', J) \beta_j(\theta, \phi) = \sum_{i \in I'} \lambda_j E_{P_{\theta}}(\phi_i) + \sum_{i \in I'} \mu_j E_{P_{\theta}}(1-\phi_i) $$

Comme $I' = I - \{i\}$, on en déduit

$$ \lambda_i E_{P_{\theta}}(\phi_i) \le \mu_i E_{P_{\theta}}(1-\phi_i) $$

$$ \text{d'où } E_{P_{\theta}}(\phi_i) \le \frac{\mu_i}{\lambda_i + \mu_i} \qquad V_{\theta} \in \Theta_I $$

De la même manière si on prend $\phi \in \Theta_I'$, on démontre

$$ E_{P_{\theta}}(\phi_i) \ge \frac{\mu_i}{\lambda_i + \mu_i} \qquad V_{\theta} \in \Theta_I' $$

Ces deux inégalités montrent que le test $(1-\phi_i, \phi_i)$ est sans biais.

### III - TEST HYPOTHESES LINEAIRES MULTIPLES

#### § 1. - Formulation du problème -

Soit X un vecteur aléatoire gaussien à valeurs dans $\mathbb{R}^n$, de vecteur moyenne $\xi$ et de matrice de covariance $\sigma^2 I$. On suppose que $\xi$ appartient à un sous-espace vectoriel propre V de $\mathbb{R}^n$ (dim V < n).

Soient $V_1, \dots, V_k$, k sous-espaces vectoriels de V (dim $V_i < dim V$, $i=1, \dots, k$) on veut tester les $2^k$ hypothèses.

$$ H_j: \quad \xi \in V_i \qquad i \in J $$

$$ \xi \in V_i \qquad i \in J $$

où J est une partie de $1, \dots, k$
Le problème de test est du type produit. Les hypothèses à tester sont des intersections des hypothèses : $\xi \in V_1$ ou $\xi \in V_1$, i=1,...,k. Pour appliquer les résultats de II.§ 4, on prendra comme classe de fonctions de perte pour ce problème les fonctions :

$$W(\theta, J) = \sum_{i \in J} W_i(\theta, 1) + \sum_{i \notin J} W_i(\theta, 2) \quad \theta = (\xi, \sigma^2)$$

où $W_i(\theta, 1) = 0$ si $\xi \in V_1$, $\lambda_i$ si $\xi \notin V_1$ et $W_i(\theta, 2) = \mu_i$ si $\xi \in V_1$, 0 si $\xi \notin V_1$ ($\lambda_i$ et $\mu_i$ sont positifs ou nuls quelconques).

La signification de W est facile à interpréter. On considère chaque décision d'accepter l'hypothèse $H_j, J \subset \{1,...,k\}$ comme composée de k décision élémentaires : accepter $\xi_i \in V_i$ ou non, et on suppose que, la perte totale est la somme des pertes résultées de chaque décision élémentaire, ces dernières étant $\lambda_i$ ou $\mu_i$ suivant que $\xi \in V_i$ ou $\xi \notin V_i$, quand on a déclaré le contraire.

Pour pouvoir réduire le problème de test par la considération de l'invariance, nous supposerons par la suite que la condition (C) suivante est remplie.

(C) { Les sous-espaces $V_1,...,V_k$ sont tels que si $W_i$ désigne le complémentaire orthogonal de $V_i$ dans $V$, alors les $W_i$, i=1,...,k, sont orthogonaux entre eux.

Si (C) est remplie, désignons par T le complémentaire orthogonal de $W_1,...,W_k$ dans $V$, on peut écrire :

$$V = W_1 + \dots + W_k + T \quad (\text{somme directe})$$

$$\xi = \xi_{w_1} + \dots + \xi_{w_k} + \xi_T$$

où $\xi_{w_i}$ est la projection de $\xi$ sur $W_i$. Comme $\xi \in V_i$, est équivalente à $\xi_{w_i} = 0$, les hypothèses à tester deviennent

$$H_j \qquad \xi_{w_1} = 0 \qquad i \in J$$

$$\xi_{w_1} \neq 0 \qquad i \notin J$$

C'est sous cette forme que l'on va résoudre le problème.
Problème de test hypothèses linéaires multiples en analyse de la variance.

## § 2. - Réduction du problème -

### 2.a - Réduction par exhaustivité -

Comme la fonction puissance d'un test ne change pas quand on remplace ce test par son espérance conditionnelle à une statistique exhaustive, on va immédiatement réduire le problème en se restreignant à des tests fonction de la statistique $(X_{w_1}, \dots, X_{w_k}, X_T, ||X_\nu||^2)$ qui est exhaustive pour la famille $\{N(\xi, \sigma^2I), \xi \in V\}$ $(X_{w_i}$ désigne la projection de $X$ sur $W_i, ||X_\nu*||$ est la norme euclidienne de $X_\nu*, V^*$ étant le complémentaire orthogonal de $V$ dans $\mathbb{R}^n)$.

### 2.b - Réduction par invariance -

Le problème est invariant par rapport aux groupes de transformations :

- Le groupe des translations : $X \to X + a, a \in V$

- Le groupe des transformations orthogonales dans les sous-espaces $W_i, i = 1, \dots, k$.

Un maximal invariance pour ces groupes est la statistique $(||X_w_1||^2, \dots, ||X_w_k||^2, ||X_\nu*||^2)$. Comme on reprend l'intéresse qu'à des tests invariants par rapport à ces groupes, on se restreint donc à des tests fonction de la statistique précédente.

On peut encore réduire le problème en considérant le groupe des homothéties $X \lambda X, \lambda R$ mais l'application du principe sans-biais rend cela inutile.

### 2. c - Problème réduit -

Posons $S_i = ||X_w_i||^2, i=1, \dots, k, S = ||X_\nu*||^2$, on peut énoncer, le problème réduit de la façon suivante :

Soit $S_1, \dots, S_k, S$ k+1 variables aléatoires indépendantes, $S_i / \sigma^2$ $(i=1, \dots, k)$ suit la loi de $\lambda^2$ décentré : $\lambda^2_{n_i}$ (p) de $n_i=\text{dim } W_i$ degré de liberté et de paramètre de décentrage $P_i = ||\xi_{w_i}||^2 / \sigma^2$ ; $S/\sigma^2$ suit la loi $\lambda^2_{n_o}$ de $n_o = \text{dim } V$ degrés de liberté. On veut tester les hypothèses

$$H_j : P_i = 0 \quad i \in J$$

$$P_i > 0 \quad i \notin J$$
où J est une partie de $\{1,...,k\}$

### §3. - Test de l'hypothèse $p_1 = 0$ contre $p_1 > 0$ -

D'après les résultats de III 6 4, la relation d'ordre sur les tests ainsi que la propriété sans biais d'un test dans le problème précédent s'expriment à l'aide des tests partiels pour tester l'hypothèse $p_1=0$ contre $p_1 > 0$. Ainsi on va résoudre d'abord ce problème de test de deux hypothèses.

Un test $(1-\phi_1^*,\phi_1^*)$ sera dit $\alpha_1$-libre en moyenne sur

$\{(p_1,..., p_k, \sigma^2) ; p_1 = 0\}$ si

$$E_{p_\theta} (\phi_1^*) = \alpha_1 \quad \forall \Phi = (p_1, \dots, p_k, \sigma^2) \text{ avec } p_1 = 0$$

**THEOREME** - Pour tout $\alpha_1$, $0 \le \alpha_1 \le 1$, il existe un meilleur test $(1-\phi_1^*,\phi_1^*)$ les tests $\alpha_1$-libre en moyenne sur $\{(p_1,\dots,p_k,\sigma^2) : p_1 = 0\}$ pour tester l'hypothèse $p_1=0$ contre $p_1 > 0$ définie par

$$\phi^*(s_1, \dots, s_k, s) = \begin{cases} 0 & \text{si } s_1/s < \rho_1 \\ \alpha_1 & \text{si } s_1/s = \rho_1 \\ 1 & \text{si } s_1/s > \rho_1 \end{cases}$$

où $0 \le \alpha_1 \le 1$ et $\rho_1$ sont donnés par :

$$P\{S_1/S < \rho_1\} = 1 - \alpha_1 \quad \text{quand } p_1 = 0$$

**DEMONSTRATION** - On utilisera la méthode des tests conditionnels pour chercher le meilleur test parmi les tests $\alpha_1$-libre en moyenne sur $\{(p_1,...,p_k, \sigma^2) : p_1 = 0\}$ ([3]). Il nous faut donc une statistique de conditionnement qui est exhaustive complète pour la famille $\{P_\theta, \theta = (p_1,...,p_k, \sigma^2) : p_1 = 0\}$. Ecrivons la densité de $S_1,...,S_k,S$ :

$$f(s_1, \dots, s_k, s) = \frac{1}{\sigma^{2k}} \prod_{i=1}^{k} g_{n_i} \left( p_{i'} \frac{s_i}{\sigma^2} \right) \frac{e^{-s/2\sigma^2}}{2^{n_0}/2} \frac{(n_0/2) - 1}{s} \frac{\Gamma(n_0/2)}{\Gamma(n_0/2)}$$
Problème de test hypothèses linéaires multiples en analyse de la variance.

où $g_n(p, x)$ est la densité de la loi du $\chi^2$ décentrée à n degrés de liberté et de paramètre de décentrage p :

$$g_n(p, x) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{e^{-p/2} (p/2)^j}{j!} \frac{e^{-x/2} x^{(n/2) + j - 1}}{2^{(n/2) + j} \Gamma((n/2) + j)}$$

On voit que :

$$g(p, x/\sigma^2) = \sigma^{-(n-2)} \exp \left[ \left[ (p/2\sigma^2) - (p/2) + (x/2) - (x/2\sigma^2) \right] \cdot g_n(p/\sigma^2, x \right]$$

Par conséquent :

$$f(s_1, \dots, s_k, s) = \sigma^{-(n_o + \sum s_i)} \exp \left[ \left[ \left( (1-\sigma^2)/2\sigma^2 \right)^{k_i} \sum_{i=1}^{k_i} p_i - \sum_{i=1}^{k_i} s_i^2/2 - \left( (1-\sigma^2)(s+\sum s_i) \right) \right] \right. \\ \left. \times \prod_{i=1}^{k} g_{n_i} \left( p_i/\sigma^2, s_i \right) \frac{s^{(n_o/2)-1}}{2^{(n_o/2)} \Gamma(n_o/2)} \right]$$

On posera $t = \sum_{i=1}^{k} s_i + s, \lambda_i = p_i/\sigma^2$. L'espérance de $(S_1, \dots, S_k, S)$ est de la forme :

$$f(s_1, \dots, s_k, s) = C (\lambda_1, \dots, \lambda_k, \sigma^2) h(s_1, \dots, s_k, t) e^{-t/2\sigma^2} \prod_{i=1}^{k} g_{n_i} (\lambda_i, s_i)$$

Sous cette forme, on voit que, quand $\lambda_i = 0$ (c'est à dire $p_i = 0$), une statistique exhaustive pour la famille des lois précédentes est la statistique $(\hat{s}_i, T)$ où $\hat{s}_i = (S_1, \dots, S_{i-1}, S_{i+1}, \dots, S_k)$ et $T = \sum_{i=1}^{k} S_i + S$.

La statistique $(\hat{s}_i, T)$ est complète. Il suffit de remarquer que $(S_i, T)$ est fonction de $(X_{w_1}, \dots, X_{w_{i-1}}, \dots, X_{w_{i+1}}, \dots, X_{w_k}, T)$ ; cette dernière statistique a pour loi une famille exponentielle complète (même avec la liaison $\lambda_i = p_i = 0$ car sa densité est de la forme :
$$a(\xi, \sigma^2) \cdot g(x_{w_1}, \dots, x_{w_{1+l_1}}, x_{w_{1+l_1}}, \dots, x_{w_k}, t) \exp \left[ -t/(2\sigma^2) + \sum \langle x_{w_i}, \xi_w \rangle / \sigma^2 \right]$$

où $\langle x, \xi \rangle$ désigne le produit scalaire de x et $\xi$

Par conséquent, un test $(1\phi, \phi)$, $\alpha_i$-libre sur $\{(p_1, \dots, p_k \ \sigma^2) : p_i=0\}$ est aussi de structure de Neyman relative à $(\hat{S}_i, T)$ c'est à dire :

$$(3.1) \quad E(\phi / \hat{S}_i, T) = \alpha_i \quad \text{quand} \quad p_i = 0$$

D'autre part, $\lambda_i$ étant fixé, la statistique $(\hat{S}_i, T)$ est exhaustive pour $(\hat{\lambda}_i, \sigma^2)$, où $\hat{\lambda}_i = (\lambda_i, \dots, \lambda_{i-1}, \hat{\lambda}_{i+1}, \dots, \lambda_k)$. La densité de la loi de $S_i$ conditionnelle à $(\hat{S}_i, T)$ ne dépend que de $\hat{\lambda}_i$. Cette densité est :

$$f_{\hat{\lambda}_i} (s_i / s_{i-1}, t) = \frac{h(s_1, \dots, s_{k-1}, t) \cdot g_{n_i} (\lambda_i, s_i)}{\int h(s_1, \dots, s_{k-1}, t) g_{n_i} (\lambda_i, s_i) \ ds_i}$$

Pour $(s_i, t)$ fixé, la famille des lois conditionnelles précédentes est une famille de lois de probabilité de rapport de vraisemblance monotone. Cela vient du fait que la famille des lois de $x_n^2(\lambda)$ est une famille de rapport de vraisemblance monotone (en$\lambda$). Par conséquent, pour tout $\alpha_i$, $0 \le \alpha_i \le 1$, il existe un test $\phi_i^* (.; \hat{s}_i, t)$ de la forme :

$$\phi_i^* (s_i; s_{i-1}, t) = \begin{cases} 0 & \text{si } s_i < C(\hat{s}_i, t) \\ \alpha_i & \text{si } = C(\hat{s}_i, t) \\ 1 & \text{si } s_i > C(s_i, t) \end{cases}$$

qui est UMP de niveau $\alpha_i$, pour tester l'hypothèse $\lambda_i=0$ contre $\lambda_i > 0$, c'est à dire :

$$\int f_{\lambda_i} (s_i / s_{i-1}, t) \phi_i^* (s_i; s_{i-1}, t) \, ds_i = \alpha_i \quad \text{quand } \lambda_i = 0$$

et pour tout test $\phi$, $0 < \phi < 1$ qui vérifie :
$$ (3.2) \quad \int f_{\lambda_1}(s_1/s, t) \theta(s_1; s, t) \, ds_1 = \alpha_1 \quad \lambda_1 = 0 $$

on a

$$ (3.3) \quad \int f_{\lambda_1}(s_1/s, t) \cdot \theta^* ds_1 \ge \int f_1(s_1; \hat{s}_1, t) \cdot (\phi ds_1 \quad \lambda_1 > 0 $$

Si $\phi_1^*(s_1; \hat{s}_1, t)$ est une fonction mesurable de $(S_1, \dots, S_k, T)$, il définit un test pour le problème non conditionnel qui soit meilleur que tout test $(1-\phi, \phi)$ $\alpha$-libre en moyenne sur $(p_1, \dots, p_k, \sigma^2): p_1 = 0$. En effet, un tel test satisfait à (3.1), donc à (3.2) et en intégrant l'inégalité (3.4) par rapport à la loi mar ginale de $(S_1, T)$, on a :

$$ (3.4) \quad E_{\theta}^p (\phi_1) \le E_{\theta}^p (\phi_1^*) \quad \theta = (p_1, \dots, p_k, \sigma^2) \quad p_i > 0 $$

Or, on peut écrire $\phi_1^*$ sous la forme

$$ (3.5) \quad \phi_1^*(s_1, \dots, s_k, t) = \begin{cases} 0 & \text{si } s_1/s < c'(\hat{s}_1, t) \\ \alpha_1 & = \\ 1 & > \end{cases} $$

car $(\hat{s}_1, t)$ étant fixé, la fonction $s_1/s = s_1/(t \sum_{i=1}^k s_i)$ est une fonction croissante de $s_1$.

La fonction $C'(\hat{s}_1, t)$ doit vérifier :

$$ E(\phi_1^* / \hat{S}_1, T) = \alpha_1 \quad \text{quand } p_1 = 0 $$

Quand $p_1=0$, $S_1/S$ est une statistique libre, donc indépendante de $(\hat{S}_1, T)$, la condition précédente montre que $C'(\hat{S}_1, t)$ doit être une constante $p_1$. Le test $\phi_1^*$ a donc la forme indiquée par le théorème et on voit que $\phi_1^*$ est bien une fonction mesurable de $(S_1, \dots, S_k, T)$ ce qui achève la démonstration.

## § 4. - Classe essentiellement complète de tests -

**THEOREME** - La classe des tests $\phi^*$ définis par
$$ (4.1) \quad \phi_j^*(x) = 1 \quad \text{si} \quad \frac{\| x_{w_i} \|^2}{\| x_{\downarrow*} \|^2} < \rho_i \quad \forall i \in J $$

$$ \text{et} \quad \frac{\| x_{w_i} \|^2}{\| x_{\downarrow i}^* \|^2} > \rho_i \quad \forall i \notin J $$

est une classe essentiellement complète parmi les tests invariants sans biais. De plus, ces tests $\phi_i^*$ sont admissibles dans la classe de tests invariants.

**DEMONSTRATION** - Il suffit de considérer le problème réduit et montrer que les tests $\phi_i^*$ précédents forment une classe essentiellement complète par les tests sans-biais de ce problème.

Soit donc $\phi$, un test sans biais, d'après III § 4, on a
(4.2) $E_{\substack{p \\ \theta}}(\phi_i) = \alpha_i$ (constante) $\forall \theta = (p_1, \dots, p_k, \sigma^2)$, $p_i = 0$
où $(1<\phi_1, \phi_i)$ est le test partiel déduit de $\phi$ pour tester l'hypothèse $p_i=0$ contre $p_i > 0$ $(\phi_i = \sum_{j \neq i} \phi_j)$. Ce test est sans biais et comme sa fonction puissance est continue, on a donc (4.2).

D'après § 3, il existe un test $(1\phi_1^*, \phi_i^*)$ qui soit meilleur que $(1\phi_i, \phi_i)$. Si on forme le produit de ces tests $(1\phi_i^* \phi_i^*)$ on obtient un test $\phi^*$ qui sera meilleur que le test $\phi$. On a :

$$ \phi_j^* = \prod_{i \in J} (1 - \phi_i^*) \prod_{i \notin J} \phi_i^* $$

comme $\theta_i^*$ est de la forme

$$ \phi_i^* = \begin{cases} 0 & \text{si } s_i / s < \rho_i \\ 1 & \text{si } s_i / s > \rho_i \end{cases} $$

Le test $\phi$ a bien la forme indiquée par le théorème.
Soit maintenant un test $\phi^{**}$ invariant qui est meilleur que $\phi^*$.
Cela implique que le test partiel $(1-\phi_1^{**}, \phi_1^{**})$ est meilleur que le test $(1-\phi_1^*, \phi_1^*)$ comme test de $p_1 = 0$ contre $p_1 > 0$. Or la fonction puissance, du test $(1-\phi_1^{**}, \phi_1^{**})$ est continue, on doit avoir.

$$ E_p(\phi_i^{**}) = E_p(\phi_i^*) = \alpha \qquad \theta = (p_1, \dots, p_k, \sigma^2) $$

donc le test $(1\phi_1^*, \phi_1^*)$ est meilleur que le test $(1\phi_1^{**}, \phi_1^{**})$ (cf § 3) et par conséquent le test $\phi^*$ est meilleur que le test $\phi^*$, ce qui montre que $\phi^*$ est admissible.

## § 5. - Exemples de calcul numérique -

### 5.1. - Calcul de la fonction puissance du test (4.1) -

La fonction puissance du test (4.1) est une fonction à valeur dans $\mathbb{R}^{2k}$, soit $\beta(\theta, \phi)$ dont les composants sont (cf 1.§ 1)

$$ \beta_j(\theta, \phi^*) = p \left\{ \text{accepter } H_j / \theta \right\} \quad \{ J \subset \{1, \dots, k\} \} $$

D'après la forme du test $\phi^*$, on a :

$$ \beta_J(\theta, \theta^*) = p \left\{ \frac{\| X_{w_1} \|^2}{\| X_{\phi^*} \|^2} < \rho_1 \quad \forall i \in J, \quad \frac{\| X_{w_i} \|^2}{\| X_{\phi^*} \|^2} > \rho_i \quad \forall i \notin J \right\} $$

Ici $\theta = (p_1, \dots, p_k, \sigma^2)$ et $\| X_{w_i} \|^2 / \sigma^2$ suit une loi de $x^2$ décentrée de $n_1 = \text{dim } W_1 = \text{dim } V - \text{dim } V_i$ degré de liberté et de paramètre de décentrage $p_i$, et $\| X_{\phi^*} \| / \sigma^2$ suit une loi de $x^2$ centré de degré de liberté $n_0 = \text{n-dim } V$.

La fonction puissance du test $\phi^*$ est donc une fonction de $(p_1, \dots, p_k)$ et dépend des degrés de liberté $n_0, n_1, \dots, n_k$ et des séparatives $P_1, \dots, P_k$ qui définissent le test $\phi^*$. En général on choisira $p_i$, $i = 1, \dots, k$, de façon que

$$ P \left\{ \frac{\| X_{w_i} \|^2}{\| X_{\phi^*} \|^2} < \rho_i \right\} = 1 - \alpha \quad \text{quand } p_i = 0 $$

où $\alpha$ est un nombre compris entre 0 et 1.
Dans le cas où $k=2$, nous avons écrit une procédure Algol permettant de calculer les quatre composants de la fonction puissance pour chaque valeur de $n_0, n_1, n_2$ ; $p_1, p_2$ ; et $p_1, p_2$.

Comme exemple, reprenons le plan factoriel à deux facteurs de l'introduction. On prend $I = 5$, $J = 4$, d'où $n_0 = I \cdot J - (I+J-1) = 12$, $n_1 = (I+J-1) \cdot J - 4$, $n_2 = (I+J-1) \cdot I - 3$. Dans la table 1, pour chaque couple, $p_1, p_2$ on a listé les quatre probabilités de décider les quatre hypothèses $H1 : p_1 = p_2 = 0$ (en haut à gauche), $H2 : p_1 > 0, p_2 = 0$ (en haut à droite), $H3 : p_1 = 0, p_2 > 0$, (en bas à gauche), $H4 : p_1 > 0, p_2 > 0$ (en bas à droite). On voit que l'erreur de décision est moins que 5 % si $p_1$ n'est pas comprise entre 0 et 30.0 et $p_2$ n'est pas comprise entre 0 et 25.0.

## 5.2. - Valeur du paramètre de décentrage à partir de laquelle le test est valable.

Si les paramètres de décentrage $p_1, p_2$ sont trop proches (et distincts) de 0, le test précédent ne permet pas de conclure valablement. On peut alors calculer les seuils $p_i^*$, $i = 1,2$ tels que si $p_i$, $i=1,2$ ne sont pas strictement compris entre 0 et $p_i$, $i = 1,2$, le test sera valable. Les nombres $p_i^*$, $i = 1,2$ sont définis par

$$ (5.1) \quad P \left\{ \frac{\| X_{w_1} \|^2}{\| X_{\downarrow x} \|^2} < \rho_1 / p_1 = p_1^* \right\} = \alpha \quad i = 1,2 $$

où $\rho_1$, $i=1,2$ sont les séparatrices du test, déterminées par

$$ (5.2) \quad P \left\{ \frac{\| X_{w_1} \|^2}{\| X_{\downarrow x} \|^2} < \rho_1 / p_1 = 0 \right\} = 1-\alpha \quad i = 1,2 $$

On voit que $p_1^*$ ne dépend que de $n_1, n_0$ et $\alpha : p_1^* = p^*(n_1, n_0, \alpha)$, où $p^*(n_1, n_0; \alpha)$ est défini par les égalités :

$$ (5.3) \quad \int_0^\rho f_{n_1, n_0} (0; x) \, dx = 1 - \alpha $$
$$ (5.4) \quad \int_0^\rho f_{n_1, n_0} (p^*, x) \ast dx = \alpha $$

$f_{n_1, n_0}(p; x)$ étant la densité de la loi de $\beta$ décentré de paramètre $n_1/2, n_0/2$ et de paramètre de décentrage $p/2$, soit :

$$ (5.5) \quad f_{n_1, n_0}(p,x) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{e^{-p/2} (p/2)^j \Gamma((n_0+n_1)/2+j)}{j! \Gamma((n_0/2)\Gamma((n_1/2)+j)) (1+x)^{(n_0+n_1)/2+j}} $$

On a tabulé les valeurs de $p^*(n_1, n_0; \alpha)$ pour $\alpha = 0.05$ (table 2), $\alpha = 0.10$ (table 3) et pour $n_0 = 1(1)20, n_1 = 1(1)20$.

Dans l'exemple de l'introduction, $n_0 = 12, n_1 = 4, n_2 = 3$; on trouve pour $\alpha = 0.05$ $p_1^* = 27.74$ et $p_2^* = 24.12$.

BIBLIOGRAPHIE

[1] LEHMANN - (E.L.) : A general concept of unbiaedness. *Annals of Math. Stat.* Vol. 22 (1951) pp. 587 - 592

[2] LEHMANN - (E.L.) : A theory of somme multiple decision problems. I. *Annals of Math. Stat.* Vol.28 (1957) pp. 1 - 25

[3] LEHMANN - (E.L.) : *Testing Statistical Hypotheses*. WILEY, New-York (1959)

[4] FERGUSON - (Th. S.) : *Mathematical Statistics - A decision theoretic approach*. Academic Press, New-York, London (1967)

[5] PHAM-DINH (T.) : *Contribution à l'Analyse de la Variance et aux plans d'expérience*. Thèse, Grenoble (1970).
<table><caption>TABLE 1</caption><tbody><tr><td>P<sub>1</sub>=P<sub>2</sub>=0</td><td>P<sub>1</sub>>0</td></tr><tr><td>: P<sub>2</sub>=0</td><td>P<sub>2</sub>>0</td></tr><tr><td>---</td><td>---</td></tr><tr><td>p<sub>1</sub>=0</td><td>p<sub>1</sub>>0</td></tr><tr><td>P<sub>2</sub>>0</td><td>P<sub>2</sub>>0</td></tr></tbody></table>

## FONCTION DE PUISSANCE

$$ \alpha = 0.05, \quad n_0 = 12, \quad n_1 = 4, \quad n_2 = 3 $$

### Probabilités de décider

<table><thead><tr><th>P<sub>1</sub> / P<sub>2</sub></th><th>0.0</th><th>5.0</th><th>10.0</th><th>15.0</th><th>20.0</th><th>25.0</th><th>30.0</th></tr></thead><tbody><tr><th>0.0</th><td>0.909 0.041<br>0.041 0.009</td><td>0.699 0.251<br>0.021 0.029</td><td>0.460 0.490<br>0.009 0.041</td><td>0.271 0.679<br>0.004 0.046</td><td>0.146 0.804<br>0.001 0.049</td><td>0.074 0.876<br>0.000 0.050</td><td>0.036 0.914<br>0.000 0.050</td></tr><tr><th>5.0</th><td>0.652 0.019<br>0.298 0.031</td><td>0.528 0.142<br>0.193 0.137</td><td>0.366 0.305<br>0.104 0.226</td><td>0.225 0.446<br>0.049 0.280</td><td>0.126 0.545<br>0.022 0.308</td><td>0.066 0.605<br>0.008 0.321</td><td>0.032 0.638<br>0.003 0.326</td></tr><tr><th>10.0</th><td>0.387 0.007<br>0.563 0.043</td><td>0.329 0.066<br>0.392 0.214</td><td>0.241 0.154<br>0.229 0.376</td><td>0.156 0.239<br>0.118 0.487</td><td>0.092 0.303<br>0.056 0.550</td><td>0.050 0.344<br>0.025 0.581</td><td>0.026 0.368<br>0.010 0.595</td></tr><tr><th>15.0</th><td>0.203 0.002<br>0.747 0.048</td><td>0.178 0.026<br>0.542 0.253</td><td>0.137 0.068<br>0.333 0.463</td><td>0.094 0.111<br>0.181 0.614</td><td>0.058 0.147<br>0.090 0.705</td><td>0.033 0.172<br>0.041 0.754</td><td>0.018 0.187<br>0.018 0.777</td></tr><tr><th>20.0</th><td>0.097 0.001<br>0.853 0.049</td><td>0.088 0.009<br>0.633 0.270</td><td>0.070 0.027<br>0.400 0.503</td><td>0.050 0.047<br>0.224 0.679</td><td>0.033 0.065<br>0.115 0.788</td><td>0.019 0.078<br>0.055 0.848</td><td>0.011 0.086<br>0.025 0.878</td></tr><tr><th>25.0</th><td>0.043 0.000<br>0.907 0.050</td><td>0.040 0.003<br>0.681 0.276</td><td>0.033 0.010<br>0.437 0.520</td><td>0.025 0.018<br>0.249 0.707</td><td>0.017 0.026<br>0.131 0.826</td><td>0.011 0.033<br>0.064 0.893</td><td>0.006 0.037<br>0.030 0.927</td></tr></tbody></table>
<caption>TABLE 2</caption>

PARAMETRE DE DECENTRAGE A PARTIR DUQUEL LE TEST DISTINGUE LES HYPOTHESES
α = .05

<table><thead><tr><th></th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th><th>9</th><th>10</th><th>11</th><th>12</th><th>13</th><th>14</th><th>15</th><th>16</th><th>17</th><th>18</th><th>19</th><th>20</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>624.2</td><td>1544</td><td>2490</td><td>3490</td><td>4486</td><td>5455</td><td>6423</td><td>7370</td><td>8334</td><td>9283</td><td>11410</td><td>1259.7</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>2</td><td>60.40</td><td>117.8</td><td>175.1</td><td>232.6</td><td>290.1</td><td>347.6</td><td>404.8</td><td>462.0</td><td>520.0</td><td>577.6</td><td>636.7</td><td>692.8</td><td>749.4</td><td>807.4</td><td>865.6</td><td>923.6</td><td>978.9</td><td>1038</td><td>1097</td><td>1152</td></tr><tr><td>3</td><td>31.97</td><td>54.39</td><td>76.12</td><td>97.63</td><td>119.0</td><td>140.4</td><td>161.7</td><td>183.0</td><td>204.3</td><td>225.6</td><td>246.7</td><td>268.0</td><td>289.2</td><td>310.6</td><td>331.7</td><td>353.1</td><td>374.2</td><td>395.5</td><td>416.7</td><td>438.1</td></tr><tr><td>4</td><td>24.29</td><td>38.03</td><td>51.03</td><td>63.75</td><td>76.34</td><td>88.87</td><td>101.4</td><td>113.8</td><td>126.2</td><td>138.7</td><td>151.0</td><td>163.4</td><td>175.8</td><td>188.2</td><td>200.6</td><td>213.0</td><td>225.4</td><td>237.8</td><td>250.1</td><td>262.5</td></tr><tr><td>5</td><td>20.92</td><td>31.06</td><td>40.43</td><td>49.51</td><td>58.46</td><td>67.32</td><td>76.14</td><td>84.93</td><td>93.69</td><td>102.4</td><td>111.2</td><td>119.9</td><td>128.6</td><td>137.3</td><td>146.0</td><td>154.7</td><td>163.4</td><td>172.1</td><td>180.8</td><td>189.5</td></tr><tr><td>6</td><td>19.07</td><td>27.28</td><td>34.73</td><td>41.89</td><td>48.90</td><td>55.82</td><td>62.70</td><td>69.54</td><td>76.36</td><td>83.13</td><td>89.91</td><td>96.67</td><td>103.4</td><td>110.2</td><td>116.9</td><td>123.7</td><td>130.4</td><td>137.1</td><td>143.9</td><td>150.6</td></tr><tr><td>7</td><td>17.90</td><td>24.95</td><td>31.22</td><td>37.20</td><td>43.04</td><td>48.78</td><td>54.46</td><td>60.10</td><td>65.71</td><td>71.32</td><td>76.89</td><td>82.45</td><td>88.01</td><td>93.55</td><td>99.10</td><td>104.6</td><td>110.2</td><td>115.7</td><td>121.2</td><td>126.7</td></tr><tr><td>8</td><td>17.11</td><td>23.37</td><td>28.86</td><td>34.05</td><td>39.09</td><td>44.04</td><td>48.92</td><td>53.76</td><td>58.57</td><td>63.36</td><td>68.14</td><td>72.89</td><td>76.64</td><td>82.38</td><td>87.11</td><td>91.84</td><td>96.57</td><td>101.3</td><td>106.0</td><td>110.7</td></tr><tr><td>9</td><td>16.54</td><td>22.23</td><td>27.17</td><td>31.80</td><td>36.27</td><td>40.64</td><td>44.96</td><td>49.23</td><td>53.47</td><td>57.38</td><td>61.88</td><td>66.06</td><td>70.23</td><td>74.39</td><td>78.54</td><td>82.70</td><td>86.82</td><td>90.96</td><td>95.09</td><td>99.21</td></tr><tr><td>10</td><td>16.10</td><td>21.37</td><td>25.89</td><td>30.11</td><td>34.16</td><td>38.11</td><td>42.00</td><td>45.84</td><td>49.64</td><td>53.43</td><td>57.19</td><td>60.94</td><td>64.68</td><td>68.39</td><td>72.11</td><td>75.82</td><td>79.52</td><td>83.23</td><td>86.91</td><td>90.60</td></tr><tr><td>11</td><td>15.76</td><td>20.71</td><td>24.90</td><td>28.79</td><td>32.52</td><td>36.14</td><td>39.70</td><td>43.21</td><td>46.68</td><td>50.13</td><td>53.55</td><td>56.96</td><td>60.36</td><td>63.75</td><td>67.12</td><td>70.49</td><td>73.85</td><td>77.21</td><td>80.55</td><td>83.91</td></tr><tr><td>12</td><td>15.49</td><td>20.18</td><td>24.12</td><td>27.74</td><td>31.21</td><td>34.57</td><td>37.86</td><td>41.11</td><td>44.31</td><td>47.49</td><td>50.65</td><td>53.79</td><td>56.92</td><td>60.04</td><td>63.14</td><td>66.23</td><td>69.32</td><td>72.40</td><td>75.48</td><td>78.55</td></tr><tr><td>13</td><td>15.26</td><td>19.74</td><td>23.47</td><td>26.89</td><td>30.14</td><td>33.29</td><td>36.37</td><td>39.39</td><td>42.38</td><td>45.34</td><td>48.28</td><td>51.20</td><td>54.11</td><td>57.00</td><td>59.88</td><td>62.75</td><td>65.62</td><td>68.48</td><td>71.33</td><td>74.18</td></tr><tr><td>14</td><td>15.07</td><td>19.38</td><td>22.94</td><td>26.18</td><td>29.26</td><td>32.23</td><td>35.13</td><td>37.97</td><td>40.78</td><td>43.56</td><td>46.31</td><td>49.05</td><td>51.77</td><td>54.47</td><td>57.18</td><td>59.86</td><td>62.54</td><td>65.21</td><td>67.88</td><td>70.54</td></tr><tr><td>15</td><td>14.91</td><td>19.07</td><td>22.48</td><td>25.88</td><td>28.51</td><td>31.33</td><td>34.08</td><td>36.77</td><td>39.43</td><td>42.05</td><td>44.65</td><td>47.23</td><td>49.79</td><td>52.35</td><td>54.89</td><td>57.42</td><td>59.94</td><td>62.46</td><td>64.96</td><td>67.47</td></tr><tr><td>16</td><td>14.78</td><td>18.81</td><td>22.10</td><td>25.07</td><td>27.87</td><td>30.56</td><td>33.18</td><td>35.74</td><td>38.27</td><td>40.76</td><td>43.23</td><td>45.68</td><td>48.11</td><td>50.52</td><td>52.93</td><td>55.33</td><td>57.71</td><td>60.10</td><td>62.47</td><td>64.84</td></tr><tr><td>17</td><td>14.66</td><td>18.58</td><td>21.76</td><td>24.63</td><td>27.32</td><td>29.90</td><td>32.40</td><td>34.86</td><td>37.27</td><td>39.64</td><td>42.00</td><td>44.33</td><td>46.64</td><td>48.95</td><td>51.24</td><td>53.52</td><td>55.79</td><td>58.05</td><td>60.31</td><td>62.56</td></tr><tr><td>18</td><td>14.56</td><td>18.39</td><td>21.47</td><td>24.24</td><td>26.83</td><td>29.32</td><td>31.73</td><td>34.08</td><td>36.40</td><td>38.67</td><td>40.93</td><td>43.16</td><td>45.37</td><td>47.57</td><td>49.76</td><td>51.93</td><td>54.11</td><td>56.27</td><td>58.42</td><td>60.57</td></tr><tr><td>19</td><td>14.46</td><td>18.21</td><td>21.21</td><td>23.90</td><td>26.41</td><td>28.81</td><td>31.13</td><td>33.40</td><td>35.62</td><td>37.81</td><td>39.98</td><td>42.12</td><td>44.25</td><td>46.36</td><td>48.46</td><td>50.54</td><td>52.62</td><td>54.69</td><td>56.75</td><td>58.81</td></tr><tr><td>20</td><td>14.38</td><td>18.06</td><td>20.98</td><td>26.60</td><td>28.03</td><td>28.36</td><td>30.60</td><td>32.79</td><td>34.94</td><td>37.06</td><td>39.14</td><td>41.21</td><td>43.25</td><td>45.29</td><td>47.30</td><td>49.31</td><td>51.30</td><td>53.29</td><td>55.28</td><td>57.25</td></tr></tbody></table>
PARAMETRE DE DECENTRAGE A PARTIR DUQUEL LE TEST DISTINGUE LES HYPOTHESES

$\alpha = 0.10$

<table><thead><tr><th></th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th><th>9</th><th>10</th><th>11</th><th>12</th><th>13</th><th>14</th><th>15</th><th>16</th><th>17</th><th>18</th><th>19</th><th>20</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>110.6</td><td>269.5</td><td>435.3</td><td>603.5</td><td>772.8</td><td>942.2</td><td>1115.</td><td>1285</td><td>1455</td><td>1630</td><td>1797</td><td>1978</td><td>2147</td><td>2314</td><td>2477</td><td>2664</td><td>2836</td><td>2981</td><td>3197</td><td>3313</td></tr><tr><td>2</td><td>23.13</td><td>43.94</td><td>64.79</td><td>85.62</td><td>106.5</td><td>127.4</td><td>148.2</td><td>169.1</td><td>189.9</td><td>210.8</td><td>231.6</td><td>252.5</td><td>273.4</td><td>294.0</td><td>315.0</td><td>335.9</td><td>356.7</td><td>377.8</td><td>398.7</td><td>419.6</td></tr><tr><td>3</td><td>15.43</td><td>25.71</td><td>35.67</td><td>45.50</td><td>56.29</td><td>65.06</td><td>74.79</td><td>84.51</td><td>94.27</td><td>104.0</td><td>113.7</td><td>123.4</td><td>133.1</td><td>142.8</td><td>152.5</td><td>162.2</td><td>172.0</td><td>181.6</td><td>191.3</td><td>201.1</td></tr><tr><td>4</td><td>12.96</td><td>20.05</td><td>26.73</td><td>33.25</td><td>39.71</td><td>46.11</td><td>52.50</td><td>58.87</td><td>65.24</td><td>71.58</td><td>77.93</td><td>84.27</td><td>90.60</td><td>96.93</td><td>103.3</td><td>109.6</td><td>115.9</td><td>122.3</td><td>128.6</td><td>134.9</td></tr><tr><td>5</td><td>11.78</td><td>17.40</td><td>22.56</td><td>27.55</td><td>32.46</td><td>37.32</td><td>42.14</td><td>46.96</td><td>51.75</td><td>56.54</td><td>61.31</td><td>66.08</td><td>70.84</td><td>75.61</td><td>80.37</td><td>85.13</td><td>89.88</td><td>94.63</td><td>93.37</td><td>104.1</td></tr><tr><td>6</td><td>11.09</td><td>15.88</td><td>20.19</td><td>24.31</td><td>28.33</td><td>32.31</td><td>36.25</td><td>40.17</td><td>44.07</td><td>47.96</td><td>51.84</td><td>55.71</td><td>59.57</td><td>63.43</td><td>67.29</td><td>71.14</td><td>75.00</td><td>78.85</td><td>82.70</td><td>86.54</td></tr><tr><td>7</td><td>10.64</td><td>14.90</td><td>18.66</td><td>22.22</td><td>25.69</td><td>29.09</td><td>32.46</td><td>35.80</td><td>39.13</td><td>42.44</td><td>45.74</td><td>49.03</td><td>52.31</td><td>55.60</td><td>58.86</td><td>62.14</td><td>65.40</td><td>68.68</td><td>71.94</td><td>75.20</td></tr><tr><td>8</td><td>10.33</td><td>14.22</td><td>17.54</td><td>20.77</td><td>23.85</td><td>26.86</td><td>29.83</td><td>32.77</td><td>35.70</td><td>38.60</td><td>41.50</td><td>44.39</td><td>47.26</td><td>50.13</td><td>53.00</td><td>55.87</td><td>58.73</td><td>61.58</td><td>64.43</td><td>67.29</td></tr><tr><td>9</td><td>10.10</td><td>13.71</td><td>16.82</td><td>19.71</td><td>22.50</td><td>25.22</td><td>27.90</td><td>30.54</td><td>33.17</td><td>35.78</td><td>38.38</td><td>40.96</td><td>43.54</td><td>46.11</td><td>48.68</td><td>51.25</td><td>53.80</td><td>56.36</td><td>58.90</td><td>61.46</td></tr><tr><td>10</td><td>9.92</td><td>13.33</td><td>16.22</td><td>18.90</td><td>21.47</td><td>23.97</td><td>26.42</td><td>28.84</td><td>31.24</td><td>33.62</td><td>35.99</td><td>38.35</td><td>40.69</td><td>43.04</td><td>45.36</td><td>47.70</td><td>50.03</td><td>52.34</td><td>54.66</td><td>56.98</td></tr><tr><td>11</td><td>9.78</td><td>13.02</td><td>15.75</td><td>18.26</td><td>20.65</td><td>22.97</td><td>25.26</td><td>27.50</td><td>29.72</td><td>31.92</td><td>34.10</td><td>36.28</td><td>38.44</td><td>40.60</td><td>42.75</td><td>44.89</td><td>47.04</td><td>49.17</td><td>51.30</td><td>53.43</td></tr><tr><td>12</td><td>9.66</td><td>12.78</td><td>15.37</td><td>17.74</td><td>19.99</td><td>22.18</td><td>24.31</td><td>26.41</td><td>28.48</td><td>30.54</td><td>32.57</td><td>34.60</td><td>36.61</td><td>38.62</td><td>40.62</td><td>42.62</td><td>44.61</td><td>46.59</td><td>48.57</td><td>50.55</td></tr><tr><td>13</td><td>9.57</td><td>12.58</td><td>15.05</td><td>17.31</td><td>19.45</td><td>21.52</td><td>23.53</td><td>25.51</td><td>27.46</td><td>29.40</td><td>31.31</td><td>33.21</td><td>35.10</td><td>36.99</td><td>38.87</td><td>40.73</td><td>42.60</td><td>44.46</td><td>46.32</td><td>48.17</td></tr><tr><td>14</td><td>9.49</td><td>12.40</td><td>14.79</td><td>16.95</td><td>19.00</td><td>20.96</td><td>22.88</td><td>24.76</td><td>26.61</td><td>28.44</td><td>30.25</td><td>32.04</td><td>33.83</td><td>35.61</td><td>37.38</td><td>39.14</td><td>40.91</td><td>42.66</td><td>44.41</td><td>46.16</td></tr><tr><td>15</td><td>9.42</td><td>12.26</td><td>14.57</td><td>16.65</td><td>18.61</td><td>20.49</td><td>22.32</td><td>24.12</td><td>25.88</td><td>27.62</td><td>29.35</td><td>31.05</td><td>32.75</td><td>34.44</td><td>36.12</td><td>37.79</td><td>39.46</td><td>41.13</td><td>42.79</td><td>44.44</td></tr><tr><td>16</td><td>9.36</td><td>12.13</td><td>14.37</td><td>16.39</td><td>18.28</td><td>20.09</td><td>21.84</td><td>23.56</td><td>25.25</td><td>26.92</td><td>28.66</td><td>30.20</td><td>31.82</td><td>33.43</td><td>35.03</td><td>36.63</td><td>38.22</td><td>39.80</td><td>41.38</td><td>42.95</td></tr><tr><td>17</td><td>9.31</td><td>12.03</td><td>14.21</td><td>16.16</td><td>17.99</td><td>19.73</td><td>21.42</td><td>23.08</td><td>24.70</td><td>26.30</td><td>27.88</td><td>29.45</td><td>31.00</td><td>32.54</td><td>34.08</td><td>35.61</td><td>37.13</td><td>38.65</td><td>40.15</td><td>41.66</td></tr><tr><td>18</td><td>9.27</td><td>11.93</td><td>14.06</td><td>15.96</td><td>17.73</td><td>19.42</td><td>21.06</td><td>22.65</td><td>24.22</td><td>25.76</td><td>27.28</td><td>28.79</td><td>30.29</td><td>31.77</td><td>33.24</td><td>34.71</td><td>36.17</td><td>37.62</td><td>39.07</td><td>40.52</td></tr><tr><td>19</td><td>9.23</td><td>11.85</td><td>13.93</td><td>15.78</td><td>17.50</td><td>19.15</td><td>20.73</td><td>22.28</td><td>23.79</td><td>25.28</td><td>26.76</td><td>28.21</td><td>29.65</td><td>31.08</td><td>32.50</td><td>33.92</td><td>35.32</td><td>36.72</td><td>38.12</td><td>39.51</td></tr><tr><td>20</td><td>9.19</td><td>11.77</td><td>13.81</td><td>15.62</td><td>17.31</td><td>18.90</td><td>20.45</td><td>21.95</td><td>23.42</td><td>24.86</td><td>26.28</td><td>27.69</td><td>29.08</td><td>30.47</td><td>31.84</td><td>33.21</td><td>34.57</td><td>35.92</td><td>37.26</td><td>38.61</td></tr></tbody></table>