# Intégration de calculatrices complexes dans l'enseignement des mathématiques au lycée.

Michèle Artigue, Badr Defouad, Michèle Dupérier, Guy Juge, Jean-Baptiste Lagrange

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Michèle Artigue, Badr Defouad, Michèle Dupérier, Guy Juge, Jean-Baptiste Lagrange. Intégration de calculatrices complexes dans l'enseignement des mathématiques au lycée. IREM de Paris. IREM de Paris, Spécial n° 4, 1998, Cahier de DIDIREM, René Cori, 2-86612-149-X. hal-02142166

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INTEGRATION DE
CALCULATRICES COMPLEXES
DANS L'ENSEIGNEMENT DES
MATHEMATIQUES AU LYCEE

M. ARTIGUE, B. DEFOUAD, M. DUPERIER,
G. JUGE, J.B. LAGRANGE
<figure><img src="image_2.png" /></figure>
# Table des matières

INTRODUCTION GENERALE.................................................................................. 1

## PARTIE I. PRESENTATION GLOBALE DE L'ETUDE

I.1. Problématique .................................................................................. 3

I.2. Cadre théorique .................................................................................. 6

I.3. Méthodologie .................................................................................. 11

## PARTIE II. OBSERVATIONS DE CLASSE ET INGENIERIE

Le projet d'ingénierie : les choix initiaux.................................................. 13

L'expérimentation .................................................................................. 14

Chapitre 1. Observations de classe 1995-96.................................................. 15

INTRODUCTION.................................................................................. 15

OBSERVATION 1 (Classe A) : introduction de la notion de dérivée.................. 19

OBSERVATION 2 (Classe B) : introduction de la notion de dérivée.................. 27

OBSERVATION 3 (Classe A) : La cuve, un problème d'optimisation.................. 33

OBSERVATION 4 (Classe B) : La cuve, un problème d'optimisation avec
généralisation.................................................................................. 44

Chapitre 2. Ingénierie : introduction des limites et dérivées

INGENIERIE 1. Le travail algébrique et fonctionnel préparatoire à l'analyse.................. 56

INGENIERIE 2. Une première approche des limites.................................................. 75

INGENIERIE 3. Les dérivées .................................................................................. 94

Chapitre 3. Ingénierie : propriétés et applications des limites et dérivées

INGENIERIE 4. Propriétés algébriques des limites et dérivées .................................. 138

INGENIERIE 5. Interprétation cinématique de la notion de dérivée.................. 169

INGENIERIE 6. Recherche de fonctions sous contraintes : le raccord de tuyaux........ 182

## PARTIE III. LES SUIVIS D'ELEVES

Chapitre 1. Le suivi par questionnaires aux élèves ........................................ 194

Le premier questionnaire.................................................................................. 195

Le deuxième questionnaire.................................................................................. 214

Le troisième questionnaire .................................................................................. 230

Synthèse et comparaison des deux classes .................................................... 243

Interprétation .................................................................................. 247

Chapitre 2. Le suivi par entretiens

Les élèves suivis.................................................................................. 250

Les entretiens.................................................................................. 253

Synthèse des observations sur chaque élève.................................................. 328

Synthèse des observations réalisées par entretiens dans chaque classe.................. 333

Interprétation .................................................................................. 337

## CONCLUSION

Les processus d'instrumentation des TI92 chez les élèves .................................... 370

L'intégration des TI92 dans le quotidien de la classe .................................... 376
# Table des annexes

## PARTIE II. OBSERVATIONS DE CLASSE ET INGENIERIE

### Chapitre 1

Annexe : Enoncé donné aux élèves ( cuve : observations 3 et 4).................................................. 64

### Chapitre 2

Annexe 1 : Rappel des étapes du cours sur les limites................................................................. 86

Annexe 2 : Limites de racines d'une équation du second d°................................................................. 92

Annexe 3 : Résumé de cours sur les dérivées.................................................................................. 94

### Chapitre 3

#### INGENIERIE 4

Annexe 1, limites : fonctions à entrer et résultats TI92................................................................. 158

Annexe 2, limites : polycopié élève ........................................................................................................ 159

Annexe 3 : exemples des élèves pour les limites de produits................................................................. 161

Annexe 4, dérivées : polycopié élève ........................................................................................................ 165

Annexe 5, dérivées : prévisions des élèves pour les dérivées................................................................. 168

#### INGENIERIE 5

Annexe 1 : Diagrammes phase 1 .................................................................................................................. 178

Annexe 2 : Diagrammes phase 2 .................................................................................................................. 179

Annexe 3 : Diagrammes phase 3 .................................................................................................................. 180

Annexe 4 : Diagrammes produits par des élèves.................................................................................. 181

## PARTIE III. LES SUIVIS D'ELEVES

### Chapitre 2. Le suivi par entretiens

Annexe 1 : Enoncé du devoir spécifique TI-92.................................................................................. 339

Annexe 2 : Correction du devoir spécifique TI-92.................................................................................. 340

Annexe 3 : Données recueillies sur chaque élève (classe A)................................................................. 342

Annexe 4 : Données recueillies sur chaque élève (classe B)................................................................. 362
# INTRODUCTION GENERALE

L'objet de ce rapport est l'étude des modes d'appropriation de calculatrices complexes intégrant des possibilités de calcul symbolique et de géométrie par des élèves de lycée. Il s'agit aussi d'étudier la mise en relation de ces modes d'appropriation avec les stratégies développées par les enseignants pour intégrer efficacement ces outils à l'enseignement des mathématiques.

La recherche porte plus précisément sur l'intégration de la calculatrice TI92, seul produit de ce type actuellement sur le marché, dans deux classes de lère S situées l'une à Chartres (classe A dans la suite), l'autre à Caen (classe B dans la suite) et dont les enseignants respectifs Michèle Dupérier et Guy Juge avaient été membres du groupe Calcul Formel de la DITEN. L'expérimentation de Caen a été suivie et analysée par Jean-Baptiste Lagrange, celle de Chartres par Michèle Artigue en collaboration avec Badr Defouad, doctorant en didactique des mathématiques.

L'étude se situe dans le prolongement de la recherche menée de 1993 à 1995 par l'équipe DIDIREM sur l'intégration du logiciel DERIVE à l'enseignement des mathématiques (Abboud, Artigue, Drouhard, Lagrange, 1995) ; c'est pourquoi ce sont les dimensions déjà présentes dans le logiciel DERIVE, c'est à dire les dimensions de calcul symbolique et de représentation graphique qui ont plus spécialement été prises en compte.

Pour ne pas risquer d'aborder les questions d'intégration sous un angle trop réducteur par rapport à la complexité des processus qui nous semblaient en jeu, nous avons décidé de recueillir et de croiser l'analyse d'un ensemble de données diversifiées issues notamment :

* d'observations régulières de séances de classe, au cours des années 1995-96 et 1996-97, portant sur l'enseignement de l'analyse,

* du suivi des élèves des deux classes par le biais de trois questionnaires passés un par trimestre pendant l'année 1995-96,

* du suivi par entretien pendant l'année 1995-96 d'un nombre plus limité d'élèves (neuf dans une classe et sept dans l'autre) choisis pour présenter des profils diversifiés tant dans leur rapport aux mathématiques que dans leur rapport aux technologies informatiques.

Nous rendons compte dans ce rapport du travail effectué. Après avoir précisé la problématique et la méthodologie de l'étude (partie I), nous présentons successivement ses différentes composantes : l'observation de classes et l'ingénierie construite à partir de ces observations sur limites et dérivées (partie II), le suivi des élèves par questionnaire et entretien (partie III). Nous terminons classiquement en tirant les leçons de cette recherche et en indiquant les directions dans lesquelles elle se poursuit actuellement.

Pour la partie II, nous avons effectué une synthèse, à partir d'un certain nombre d'observations menées dans l'une ou l'autre classe pendant l'année 1995-96 qui nous semblaient particulièrement représentatives et réorganisé la présentation autour de celle de l'ingénierie élaborée à l'issue de ces observations, ingénierie qui a, elle, été testée pendant l'année 1996-97. Pour la partie III, après une introduction générale, nous présentons les résultats et analyses, questionnaire par questionnaire, puis entretien par entretien, en différenciant à chaque fois les deux classes.
Nous voudrions, pour terminer cette introduction, remercier tous ceux qui nous ont aidés à la réalisation de cette étude et notamment les élèves qui ont accepté, avec tant de gentillesse, notre intrusion dans leur travail privé lors des observations, ainsi que dans les entretiens.
# PARTIE I.
PRESENTATION GLOBALE DE L'ETUDE

Nous allons dans cette partie présenter tout d'abord la problématique de l'étude, ses fondements théoriques ainsi que les principaux choix méthodologiques effectués. Nous en viendrons ensuite à une description suivant les trois composantes expérimentales distinguées dans l'introduction : observations de classes, suivis d'élèves et questionnaires. Pour chaque composante, nous préciserons les objectifs du travail mené, les formes qu'il a prises dans les deux classes et la façon dont il en est rendu compte dans les parties correspondantes du rapport.

## 1. Problématique

La problématique de cette étude est celle de l'intégration des technologies informatiques dans l'enseignement des Mathématiques. Il est bien connu qu'en dépit des multiples actions institutionnelles menées avec constance depuis plus de dix ans, pour soutenir l'équipement informatique des établissements, la production de logiciels, la formation des enseignants, l'innovation et la recherche, l'intégration des technologies informatiques reste très limitée.

Ces difficultés tendent à enfermer l'intégration des technologies informatiques dans une sorte de cercle vicieux : les difficultés rencontrées tendent à maintenir le système éducatif dans la phase de "militantisme pionnier" qui accompagne régulièrement les innovations technologiques. Cet esprit militant permet à l'innovation de survivre et se développer, dans un système éducatif qui, le plus souvent, n'est pas écologiquement prêt à l'accepter. Mais inversement, nous faisons l'hypothèse que cet état qui perdure empêche de poser de façon satisfaisante et efficace les problèmes d'intégration, en conduisant à sous-estimer ou même à occulter des problèmes épistémologiques, cognitifs ou institutionnels importants.

Cette analyse renvoie automatiquement à une autre question : celle de la légitimité et de la légitimation des moyens de l'enseignement. Qu'est-ce qui peut motiver, légitimer dans l'institution scolaire, une évolution des moyens de l'enseignement, qu'est-ce qui peut inciter l'institution et ses acteurs à en supporter le coût qui n'est jamais, quoi qu'en disent les militants enthousiastes, un coût faible ? Si l'on examine les discours tenus à propos des technologies informatiques, on voit apparaître deux grandes catégories de raisons :

* des raisons que nous qualifierons d'externes car elles puisent leurs arguments en dehors de l'Ecole même, dans l'intégration de ces technologies à notre culture, dans le fonctionnement actuel de notre société et expriment le fait que l'Ecole ne peut rester un point singulier dans cette intégration culturelle globale, faute de perdre sa crédibilité,

* des raisons que nous qualifierons d'internes car elles puisent leurs arguments dans le souci d'améliorer l'efficacité du fonctionnement du système scolaire lui-même. Il s'agit alors d'affirmations sur les gains permis tant au niveau des apprentissages que de la gestion des enseignements par ces technologies. Dans cette optique, les technologies informatiques sont présentées comme des outils de remédiation pour le système scolaire. Il s'agit grâce à elles de surmonter les motivations défaillantes, de résoudre les problèmes difficiles et récurrents que pose l'apprentissage des mathématiques.
Il s'agit là d'une tendance normale. On la retrouve à l'oeuvre dans chaque tentative de modification, réussie ou non, des moyens de l'enseignement. De la même façon, et c'est inévitable, on verra les promoteurs de ces nouveaux moyens, pour vaincre les résistances, être induits à minimiser les coûts et difficultés du changement et à en surestimer les bénéfices potentiels, à forcer sur la dimension « remède miracle ». Mais le déficit d'analyse, le déficit en formations efficaces qui en résultent, jouent en revanche à l'encontre du changement et si ce dernier ne s'impose pas rapidement, le système risque de s'enfoncer dans le cercle vicieux que nous mentionnions plus haut.

Ce dont nous faisons aujourd'hui l'hypothèse, de part notre expérience d'enseignement et de recherche dans ce domaine, c'est que la dimension « remédiation » n'est pas celle qui peut assurer aujourd'hui l'intégration des technologies informatiques. Ce qui va permettre leur développement, c'est en premier lieu, leur légitimité culturelle mais aussi scientifique. Les technologies informatiques sont les instruments du mathématicien d'aujourd'hui, et nous prenons ici le terme mathématicien au sens large pour inclure toute personne entretenant un rapport professionnel soutenu à cette discipline. Les questions qui se posent alors sont les suivantes :

* Qu'est-ce qu'apprendre des mathématiques avec de tels instruments ?

* Comment gérer au mieux la progression dans les instruments disponibles au fil de l'apprentissage mathématique ?

* Quelles connaissances sont nécessaires à la gestion efficace de ces technologies comme instruments du travail mathématique pour l'élève, comme moyens de l'enseignement pour le professeur ?

* Comment ces connaissances imbriquent-elles connaissances mathématiques et connaissance de l'outil ? Comment s'articulent-elles avec les connaissances attendues de l'institution qui sont encore aujourd'hui définies essentiellement indépendamment de ces outils ? A quels problèmes d'incompatibilité, de décalages peut-on s'attendre ? Comment les surmonter ?

Ces questions multiples mais imbriquées sont au coeur de l'étude présente. Nous voudrions préciser un peu plus notre position par rapport à la première d'entre elles. Le travail que nous avons mené sur l'intégration du logiciel DERIVE a en effet attiré notre attention sur un certain nombre de phénomènes qu'il nous semble nécessaire de prendre en compte dans l'étude de cette question. Nous voudrions en évoquer ici trois plus particulièrement :

## Les phénomènes liés à l'informatisation des savoirs mathématiques et de leur gestion

Nous avons montré que l'introduction d'un environnement informatique tel que DERIVE, par les transpositions du savoir mathématique et des moyens d'accès à ce savoir qu'il implique, du fait de l'informatisation, tant au niveau interne qu'à l'interface, produit des phénomènes spécifiques qui influent de façon importante sur le fonctionnement des élèves et des situations de classe. Nous avons en particulier identifié des phénomènes de pseudo-transparence, liés à de subtils décalages entre les caractéristiques DERIVE et papier/crayon, et des phénomènes de double transposition qui influent sur l'interprétation que les élèves vont se faire d'une tâche donnée, des moyens légitimes pour la résoudre, de la nature même des résultats attendus.

## Les phénomènes liés aux rapports entre dimensions technique et conceptuelle de l'activité mathématique
Nous avons aussi mis en évidence des décalages importants entre les attentes des enseignants et la réalité du fonctionnement des classes que nous étions amenés à observer et ceci nous a conduit à interroger une hypothèse plus ou moins explicite dans ces attentes, concernant les capacités offertes par de tels environnements pour déplacer l'activité mathématique de l'élève du « technique » vers le « stratégique » et le « conceptuel ». Nous avons sur ce point montré que la réalité était beaucoup plus complexe et que le travail dans l'environnement DERIVE mettait en jeu deux tendances antagonistes :

* la première favorisant effectivement une certaine distanciation par rapport à l'action et le travail réflexif souhaité,

* la seconde favorisant au contraire l'économie de la réflexion ou la diminution de la cohérence globale des actions,

un équilibre satisfaisant entre ces deux tendances n'étant pas toujours évident à trouver.

D'autre part, nous avons été amenés à constater que, même s'il prenait des formes différentes, le travail technique continuait à jouer, dans l'environnement DERIVE, un rôle essentiel.

A la réflexion, la question du déplacement du « technique » vers « l'heuristique » et le « conceptuel » apparaît comme une question fortement marquée idéologiquement et il importe, nous semble-t-il, de prendre en compte dans son analyse, cet environnement idéologique et nous reprenons sur ce point un extrait de (Artigue, 1996).

« Le développement des technologies informatiques pour l'enseignement et l'apprentissage est contemporain du rejet des théories behaviouristes de l'apprentissage et de la montée en puissance des théories constructivistes, qui se distinguent par les formes plus ou moins radicales qu'elles ont pu prendre, mais qui toutes partent du principe que l'apprentissage est un processus adaptatif de l'individu confronté à des situations problématiques pour lui, que la connaissance n'est pas reçue passivement via les sens ou la communication mais résulte de l'activité du sujet.

Ces théories amènent à jeter un regard très critique sur les pratiques traditionnelles de l'enseignement, perçues comme des pratiques de type « transmissif », fondées sur le discours de l'enseignant et non sur l'activité de l'élève, où d'autre part le souci d'une efficacité technique fondée sur l'imitation et la répétition semble l'emporter sur le souci de compréhension, de conceptualisation.

La réalité du fonctionnement des pratiques traditionnelles est sans aucun doute plus complexe que cette description schématique ne tend à le suggérer mais ce n'est pas notre propos ici. Nous voudrions simplement souligner que les technologies informatiques vont « naturellement » trouver leur place dans l'édifice qui se construit : les micro mondes tels LOGO reflètent les principes théoriques du constructivisme, les activités de programmation permises par les langages informatiques permettent de passer du niveau de l'action à celui de la planification et du contrôle de l'action, les moyens techniques offerts par ces nouveaux outils du travail mathématique laissent entrevoir la possibilité d'un meilleur équilibre dans l'enseignement entre le développement de l'efficacité technique et celui de la compréhension.

La volonté ensuite de promouvoir l'intégration des technologies informatiques, une intégration qui se heurte, dans l'institution scolaire, à des obstacles matériels mais aussi culturels particulièrement résistants, va favoriser la transformation d'hypothèses raisonnables en convictions assurées, en arguments de promotion des technologies nouvelles.
De même, la critique des pratiques d'enseignement traditionnelles va conduire à une
péjoration du travail technique en mathématiques, perçu comme un travail vide de sens, et à
une opposition forte entre ces deux dimensions pourtant étroitement imbriquées dans l'activité
mathématique que sont la dimension technique et la dimension conceptuelle »

Les phénomènes liés à la complexité de l’outil

En effet, dans la recherche DERIVE, nous avons été confrontés très souvent aux effets induits
par une connaissance insuffisante du logiciel, l'utilisation essentiellement épisodique du
logiciel repérée favorisant bien sûr l'apparition de ces phénomènes. Nous avons aussi été
frappés par le caractère secondaire que revêtait cette dimension de connaissance de l'outil
dans les anticipations que nous étions à même de faire des séances prévues. Il est clair que
l'utilisation dans l'enseignement d'objets complexes comme DERIVE ou la TI92 modifie
profondément les rapports qui, culturellement, se sont installés vis à vis des instruments dans
le travail mathématique et que la recherche doit se donner les moyens de surmonter en
quelque sorte des rapports culturels inadaptés.

2. Cadre théorique

Le cadre théorique de l'étude, compte tenu de ce qui précède, ne peut se réduire à un simple
cadre cognitif, même si c'est souvent le cas dans les travaux concernant l'apprentissage des
mathématiques en environnement informatique, notamment dans les recherches menées
jusqu'à présent sur les systèmes de mathématiques symboliques. Nous faisons même
l'hypothèse que, dans une certaine mesure, nous devons rompre avec des modes de pensée
fortement induits par ces approches.

Comme pour la recherche DERIVE déjà citée, nous nous appuierons donc sur des approches
permettant, au delà du seul cognitif, de prendre en compte les transpositions du savoir en jeu
dans les environnements informatiques d'apprentissage ainsi que les interactions entre maître,
élèves et savoir qui se nouent dans la structure sociale que constitue la classe. Nous faisons là
référence aux instruments conceptuels de la théorie des situations didactiques classique
(Brousseau, 1986, 1988) et à la notion de transposition informatique développée par N.
Balacheff (Balacheff, 1994) dans le cadre plus global de la théorie de la transposition
didactique.

Mais une telle approche nous semble aujourd'hui à elle seule insuffisante pour poser et étudier
efficacement les problèmes d'intégration des technologies informatiques dont les dimensions
écologique, culturelle et institutionnelle sont essentielles. Nous trouvons sur ce plan un appui
dans l'approche anthropologique développée par Y. Chevallard (Chevallard, 1991, 1992).

Nos fondements théoriques doivent enfin nous permettre de prendre en compte de façon
efficace la dimension instrumentale des apprentissages en environnement informatique. Sur ce
plan particulier, il nous a semblé intéressant de nous référer aux travaux des chercheurs en
ergonomie cognitive qui, contrairement à nous mathématiciens, ont l'habitude de travailler sur
des apprentissages prenant place dans des environnements technologiquement complexes.

Nous précisons ci-après ce que nous retenons en priorité de ces différentes approches.
A. Ce que nous retenons en priorité de la théorie des situations didactiques

Cette théorie nous conduit à percevoir, de façon classique, l'apprentissage comme un
processus d'adaptation, où les connaissances apparaissent comme des moyens de maîtriser des
situations de nature sociale, et à distinguer, dans la modélisation des phénomènes d'adaptation
en jeu dans une session d'enseignement, deux catégories principales : des adaptations
qualifiées d'a-didactiques et des adaptations qualifiées de didactiques, le fonctionnement
global de l'élève résultant d'une imbrication de ces deux types d'adaptation.

Les adaptations a-didactiques sont celles qui mettent en jeu un sujet modélisé comme sujet "cognitif" : les adaptations s'effectuent par rapport à une situation vécue comme mathématiquement problématique, mais sans que l'on y fasse intervenir pour autant de régulation didactique. Elles sont analysables en termes d'actions (dont la mise en oeuvre de techniques), organisées ou non en stratégies, de coût ; leur signification est recherchée en identifiant les prises de décisions dans un ensemble de possibles, compte tenu des possibilités d'actions et des rétroactions offertes par le "milieu".

L'introduction d'environnements informatiques nous conduit à prendre en compte dans l'analyse de ces adaptations a-didactiques la nécessaire imbrication d'adaptations de nature mathématique et d'adaptations à l'environnement informatique. Nous y reviendrons à propos de la notion de milieu.

Les adaptations didactiques sont celles qui mettent en jeu un sujet modélisé comme sujet "institutionnel". Elles s'effectuent en particulier en s'appuyant sur les connaissances de l'élève relatives à la coutume didactique et au contrat didactique, c'est à dire relevant de règles parfois explicites mais le plus souvent implicites qui règlent les attentes respectives et le jeu des acteurs de la relation didactique.

Dans la théorie des situations didactiques, le “milieu a-didactique” (Brousseau, 1988) est défini comme le système antagoniste du sujet dans le jeu a-didactique qui modélise une situation donnée. L’élève agit sur le milieu et les modifications du milieu fournissent en retour à l’élève des rétroactions qui vont guider les adaptations. C’est par le milieu qu’est médiatisée la relation a-didactique au savoir mathématique et son analyse est donc essentielle. Le milieu a-didactique est composé d’objets, objets matériels mais aussi objets mathématiques suffisamment familiers pour que le rapport des élèves à ces derniers puisse être considéré comme stable (au moins momentanément). Dans l’enseignement traditionnel des mathématiques, la complexité du milieu est directement liée à celle de ses composants mathématiques, les composants matériels sont en effet généralement simples et peu nombreux. L’utilisation d’environnements informatiques ou même de calculatrices bouleverse ces équilibres usuels entre composants mathématiques et non mathématiques et confronte l’enseignant et le didacticien à des difficultés nouvelles. Comme nous l’avions montré dans (Abboud, Artigue, Drouhard, Lagrange, 1995), nous avons en particulier tendance à considérer trop rapidement comme des rapports inertes, stabilisés, les rapports des élèves aux éléments basiques de l’environnement informatique, à minimiser et mal contrôler le rôle joué dans l’adaptation a-didactique par l’adaptation à cet environnement. En d’autres termes, nos analyses ne prennent pas suffisamment en compte tout le passage du logiciel et de l’ordinateur plus généralement, de l’état d’artefact à celui d’instrument au service du travail mathématique de l’élève. Nous reviendrons sur ce point dans la partie III.
Dans le cadre de la théorie des situations didactiques, il nous semble donc ici particulièrement important de s'interroger sur les caractéristiques générales des milieux intégrant l'utilisation de la TI92, mais aussi sur les caractéristiques du milieu dans telle ou telle situation précise, pour donner sens aux comportements observés. Il nous semble aussi important de s'interroger sur le pilotage possible de certaines de ces caractéristiques pour favoriser les adaptations souhaitées ainsi que sur les décalages éventuels constatés entre analyse a priori et réalisations effectives, entre les rapports supposés des élèves à l'environnement informatique et les rapports effectifs.

## B. Ce que nous retenons en priorité de la transposition informatique des savoirs

Une autre dimension essentielle, du point de vue théorique, nous semble celle du fonctionnement des savoirs. Nous nous référons sur ce point à la théorie de la transposition didactique développée elle aussi par Y. Chevallard (Chevallard, 1985), mais en incorporant à cette dernière, les raffinements introduits par N. Balacheff, via la notion de transposition informatique (Balacheff, 1994). Le concept de transposition didactique renvoie à un besoin : celui de ne pas confondre les mathématiques enseignées avec de simples élémentarisations de la connaissance savante et de se donner les moyens, pour les comprendre, de prendre en compte les processus qui les façonnent. Même dans les cas, fréquents en mathématiques, où le savoir enseigné semble dériver directement des mathématiques savantes, ces processus sont en effet complexes. La théorie de la transposition didactique nous aide à éviter toute naïveté dans ce domaine, elle nous aide aussi à repérer les régularités existantes dans les différentes étapes du processus de transposition, des savoirs de référence aux savoirs effectivement enseignés dans les classes et à en identifier les raisons.

L'introduction d'environnements informatiques nous conduit à complexifier le schéma classique : savoirs de référence - savoirs à enseigner - savoirs enseignés, en prenant en compte les contraintes liées à l'implémentation informatique des savoirs (transposition informatique). Ces nouvelles contraintes vont intervenir à deux niveaux différents : celui de la représentation et du traitement interne des savoirs en machine, et celui de la représentation et du traitement à l'interface.

Le travail analytique d'identification des contraintes est essentiel pour comprendre les fonctionnements possibles du savoir permis par un logiciel donné, pour analyser les décalages nécessairement existants avec les fonctionnements scolaires usuels de ce savoir et identifier les conflits et les problèmes de légitimité institutionnelle qui peuvent en résulter. Il permet aussi, à un second niveau, comme le souligne Balacheff d'aborder la question de la validité épistémologique du logiciel, une validité qui, selon lui, s'inscrit dans trois dimensions au moins : celle de l'espace de problèmes auquel l'environnement donne accès, celle des caractéristiques fonctionnelles et sémiotiques de l'interface, celle enfin de la cohérence interne et de la tolérance du dispositif qui met en jeu à la fois l'univers interne et l'interface.

## C. Ce que nous retenons en priorité de l'approche anthropologique

Nous nous référons ici à l'approche anthropologique du didactique développée ces dernières années par Y. Chevallard et ses élèves (Bosch, 1994). Cette approche nous semble essentielle pour plusieurs raisons.
Tout d'abord, elle nous permet de penser la question de l'intégration, de façon globale, en la considérant comme un phénomène social et institutionnel, et de prendre de la distance avec les cadres d'analyse épistémologiques et cognitifs, qui sont le plus souvent utilisés, pour restituer leur place nécessaire aux dimensions écologiques et institutionnelles de l'analyse.

En particulier, elle nous conduit à interroger, en termes de viabilité écologique, les environnements utilisés, qu'il s'agisse de DERIVE ou de la TI92, compte tenu des contraintes institutionnelles actuelles et à rapporter les données recueillies à cette analyse. Elle nous conduit aussi à nous interroger sur le coût didactique des fonctionnements observés et à analyser, en fonction de ces coûts, leurs possibilités d'intégration par le système. Ces questions, de l'ordre du macrodidactique, sont essentielles dans la perspective qui est la nôtre.

Ensuite, l'approche anthropologique nous aide également à penser la dimension technique et instrumentale du travail mathématique qui, dans les analyses didactiques, est souvent laissée au second plan, au profit d'analyses de nature plus conceptuelle. Pour Y. Chevallard, les objets mathématiques n'existent pas en eux-mêmes mais émergent de systèmes de pratiques, des pratiques qui sont nécessairement des pratiques institutionnelles, au sens large donné à ce terme dans la théorie. Il appelle "praxèmes" ces objets pris dans des pratiques, en insistant sur le fait que, si certains objets mathématiques nous paraissent exister par eux-mêmes, c'est du fait de la naturalisation des pratiques associées : stables, naturalisées, elles nous deviennent transparentes.

Cette approche par les pratiques conduit à accorder une attention toute particulière à la dimension "technique" de l'activité mathématique ainsi qu'à ses moyens sémiotiques. En effet, toute activité mathématique provient alors de la mise en pratique, par les acteurs de cette activité, d'une technique - le mot technique prenant bien sûr par là même un sens beaucoup plus général que celui qui lui est attribué usuellement - les techniques les plus fréquentes tendant à être normalisées au sein des institutions dans lesquelles elles vivent sous formes de "techniques officielles". Le travail technique s'appuie sur des "ostensifs" qui sont les moyens sémiotiques de l'activité et appartiennent à des registres sémiotiques variés. La question de l'analyse de l'activité mathématique se pose alors en termes d'analyse de techniques, de technologies (discours accompagnant et justifiant ces techniques) et de théories conçues, à un second niveau, comme technologies de la technologie. La question de l'apprentissage mathématique se pose, quant à elle, en termes de rapports personnels et institutionnels à des objets donnés et de leur développement articulé.

Ce point de vue nous semble particulièrement intéressant dans un contexte comme celui étudié ici où l'introduction d'un nouvel instrument pour l'activité mathématique peut déstabiliser le champ des pratiques associées à un objet donné et où il appartient donc, pour comprendre certains phénomènes didactiques, d'étudier ces déstabilisations. Pour ce faire, il faut d'une part rendre à nouveau visibles et interrogeables par l'analyse didactique, des pratiques devenues transparentes, d'autre part s'interroger sur les modifications susceptibles d'intervenir dans l'économie des techniques et leur signification en termes d'apprentissage du fait des modifications sémiotiques et instrumentales apportées à l'activité mathématique.

## D. Ce que nous retenons en priorité des travaux en ergonomie cognitive.

Nous nous référons plus particulièrement au cadre théorique développé par P. Rabardel à propos de la notion d'instrument dans un ouvrage de synthèse publié récemment (Rabardel, 1995). La transformation d'artefacts en instruments y apparaît comme le résultat de processus
complexes qui mettent en jeu à la fois le sujet avec ses compétences cognitives, l'artefact et l'objet vers lequel l'action instrumentale est dirigée, les relations entre ces trois pôles (sujet - artefact - objet) étant conditionnées par les environnements sociaux dans lequel elles s'inscrivent. Ceci conduit P. Rabardel à considérer un instrument comme une entité mixte formée :

* « d'une part, d'un artefact, matériel ou symbolique, produit par le sujet ou par d'autres,

* d'autre part, d'un ou des schèmes d'utilisation associés, résultant d'une construction propre du sujet, autonome ou d'une appropriation de schèmes sociaux d'utilisation déjà formés extérieurement à lui. » (p.117)

Ces schèmes d'utilisation sont pluri-fonctionnels : ils remplissent en effet « des fonctions épistémiques tournées vers la compréhension des situations, des fonctions pragmatiques tournées vers la transformation de la situation et l'obtention de résultats, des fonctions heuristiques orientant et contrôlant l'activité » (p.116). Ils peuvent prendre différentes formes et P. Rabardel distingue entre ce qu'il appelle des schèmes d'usage associés aux tâches dites « secondes » (relevant de la gestion des caractéristiques et propriétés spécifiques de l'artefact) et des schèmes d'action instrumentée, en référence à la notion d'acte instrumental chez Vygotsky, associés aux tâches dites « premières » (orientées vers l'action sur objet de l'activité).

L'analyse de la genèse instrumentale s'organise alors suivant deux dimensions principales :

* « l'instrumentalisation » dirigée vers l'artefact et pouvant produire, via l'attribution de fonctions à l'artefact, des transformations de ce dernier ou des phénomènes de catachrèse<fnref n="1" />,

* « l'instrumentation » dirigée vers le sujet qui conduit à l'élaboration ou l'appropriation de schèmes d'usage et d'action instrumentée.

L'analyse du rôle des artefacts dans l'activité des sujets s'organise, elle aussi, suivant deux dimensions principales :

* la première est celle des contraintes introduites par l'artefact et de leurs effets,

* la seconde est celle des possibilités permises par l'artefact, formulées en termes de ressources, types d'actions, formes d'organisations.

Dans la recherche menée avec la TI92, la référence à un tel cadre théorique nous semble particulièrement utile pour essayer de comprendre les processus qui sous-tendent l'intégration de la machine à l'activité mathématique des élèves et les transformations que la machine fait subir à cette activité, pour essayer de comprendre ce que peut signifier une instrumentation mathématique efficace, au niveau d'enseignement considéré, identifier les contraintes auxquelles elle doit faire face, penser des stratégies d'enseignement viables et raisonnablement efficaces.

<footnote n="1">¹ « Métaphore lexicalisée (qui n'est plus sentie comme une figure). Ex. : les ailes d'un château, d'un moulin » (Dictionnaire Le Robert).</footnote>
### 3. Méthodologie

Compte tenu de ce qui précède, il nous a semblé nécessaire de recourir pour l'étude à un recueil de données diversifié, concernant à la fois les enseignants, les élèves, le fonctionnement des classes ainsi que plus globalement le fonctionnement institutionnel.

Pour ce qui est des élèves, nous avons choisi d'essayer de cerner les processus d'intégration de la calculatrice et l'effet de cette intégration sur les représentations des élèves et sur leurs pratiques mathématiques, à la fois par des questionnaires et des entretiens. Les questionnaires nous permettaient de nous adresser "économiquement" à l'ensemble des classes concernées mais ne nous donnaient accès que très superficiellement aux rapports que nous cherchions à cerner. Les entretiens nous permettraient, nous l'espérions, d'appréhender plus en profondeur les processus d'intégration et leurs effets, en nous aidant à reconstituer des biographies d'élèves et à essayer de déterminer l'influence sur ces biographies de certaines variables qui nous paraissaient a priori pouvoir jouer un rôle important dans les processus étudiés.

Pour ce qui est des enseignants, nous avons décidé d'essayer de cerner leurs stratégies d'intégration de la calculatrice à travers les documents produits pour faciliter aux élèves la prise en mains de la machine, la progression au fil de l'année dans l'introduction des commandes de la calculatrice, le type d'intégration effectivement pratiqué dans les séances d'enseignement. Nous souhaitions nous appuyer sur trois types de données : les documents de familiarisation, les cahiers de bord des enseignants, l'observation régulière de séances d'enseignement. En fait, la rédaction régulière d'un cahier de bord mentionnant pour chaque séance son thème et ses objectifs, les types d'utilisation et leur durée approximative au cours de la séance, les applications et commandes sollicitées, en distinguant ce qui était a priori prévu de ce qui résultait de décisions en temps réel, le tout accompagné des commentaires nécessaires à la compréhension de décisions prises, s'est révélé beaucoup trop coûteux pour cette première année d'expérimentation où tout était à mettre en place dans l'urgence. Nous nous sommes donc finalement contentés des deux autres sources de données.

Pour ce qui est du fonctionnement des classes, nous avons procédé à des observations régulières : une par mois environ, l'éloignement des sites d'observation rendant une fréquence plus grande peu réaliste. Nous avons cherché de ce fait à centrer les observations sur la partie analyse de l'enseignement qui correspondait plus directement aux choix globaux effectués.

Pour ce qui est du fonctionnement institutionnel, nous avons profité du système de contrôles communs bi-trimestriels qui existait dans l'établissement de Chartres, pour, à partir des textes de ces contrôles négociés au sein de l'équipe enseignante, avoir accès aux attentes de l'institution à ce niveau. Les élèves de la classe expérimentale disposaient des calculatrices pour ces contrôles. Nous avons systématiquement organisé les entretiens peu après un contrôle commun pour pouvoir faire reconstituer par les élèves leur utilisation de la machine lors du contrôle et essayer de mettre en rapport cette reconstitution avec leur production écrite et leurs résultats. Nous n'avons pas en revanche systématiquement comparé les résultats de la classe à ceux des autres classes, comme nous aurions pu le faire. Selon l'enseignante, l'utilisation des machines n'entraînait visiblement pas de décalage important entre les résultats de la classe expérimentale et ceux des autres classes. Compte tenu de cette appréciation, il ne nous a pas paru judicieux d'accorder plus d'importance dans le recueil des données et l'analyse à cette dimension.
Nous avons enfin organisé en fin d'année, un contrôle spécifique machine pour les deux classes. Lorsque les élèves disposaient de leurs machines pour les contrôles communs, les rédactions fournies ne devaient pas porter la trace de l'utilisation de la machine. Le contrôle spécifique visait à instaurer, quant à lui, un tout autre contrat plus conforme à l'idée d'intégration et à étudier son fonctionnement. Il comportait des questions considérées à ce moment là de l'année comme routinières du point de vue des techniques et compétences mises en jeu. Pour ces questions, les élèves n'avaient pas à justifier les productions de la machine. En revanche, pour les questions relatives à des tâches que l'on ne pouvait considérer comme routinières, les élèves ne pouvaient se contenter de s'appuyer sur les résultats fournis par la machine. Le contrôle spécifique se distinguait également des contrôles ordinaires sur d'autres plans bien que la tâche principale envisagée soit une tâche classique d'étude de fonction : une plus grande autonomie était laissée à l'élève dans son travail mathématique classique et le contrôle comportait une question complètement nouvelle pour eux qui visait à tester leurs possibilités d'adaptation à cette nouveauté dans un environnement instrumenté. Enfin, il comportait également une question spécifique à l'instrumentation qui demandait d'expliquer des différences constatées en production machine et production papier/crayon.
# PARTIE II.
## OBSERVATIONS DE CLASSE ET INGENIERIE

### LE PROJET D'INGENIERIE : LES CHOIX INITIAUX

Notre ambition est de construire un produit raisonnable dans le domaine de l'analyse : (dérivées, limites, études de suites), en tenant compte de la culture dominante au lycée et en exploitant les potentialités de la TI92 pour engager l'élève dans une réelle activité mathématique. Le projet, conformément à l'esprit des programmes, est centré sur le pôle de la dérivation, même s'il commence à donner sens à la notion de limite. L'exploitation de la TI92 est principalement guidée par deux principes :

* l'interaction du travail mathématique dans les cadres numériques, graphiques et algébrique,

* les potentialités offertes par le calcul formel de la machine :

- pour susciter et soutenir un travail sur l'analyse et le sens des expressions algébriques, sur le pilotage des calculs algébriques,

- pour étendre le travail expérimental usuellement mené dans les cadres numériques et graphiques au cadre algébrique, en prenant appui notamment sur la recherche d'analogies formelles,

- pour faciliter l'intégration de l'algèbre au travail de preuve en mathématiques, à un moment où les compétences algébriques sont encore mal assurées,

- pour favoriser l'engagement des élèves dans des processus de généralisation.

Il nous semble en effet important, dès le niveau du lycée, au delà de l'étude d'objets spécifiques, de commencer à faire rencontrer aux élèves des problèmes amenant à des généralisations. Nous le ferons d'une part à travers l'étude de quelques situations fonctionnelles dépendant de paramètres et où une première phase du travail sur des cas particuliers met en évidence des régularités que l'on met ensuite à l'épreuve (le problème de la bille et celui de la cuve en sont des exemples typiques), d'autre part en cherchant à formuler des lois générales à partir de données fournies par le module de calcul formel de la calculatrice, dans un processus analogue à celui développé pour les factorisations du polynôme $X^n-1$ dans la recherche antérieure, au même niveau d'enseignement (ceci se fera notamment pour mettre en place l'algèbre des limites et celle des dérivées). Dans ces deux types de situations, pour des raisons différentes, l'appui de la TI92 et notamment de ses possibilités de calcul formel joue un rôle essentiel.

En ce qui concerne l'intégration de la TI92 à un tel enseignement, il nous semble important également de ne pas sous-estimer les problèmes liés à l'instrumentation de la calculatrice et de les prendre en charge dans l'élaboration de l'ingénierie. Il s'agit de choisir quelles commandes seront officiellement introduites et quand, de penser la construction des connaissances spécifiques nécessaires à cette instrumentation, notamment celles nécessaires à l'interprétation et au contrôle des productions de la machine, et leur articulation avec les connaissances usuellement visées par l'institution. En particulier, pour éviter le développement de pseudo-objets formels (Monaghan, 1994), il nous semble important de ne pas introduire trop
prématurément les commandes de calcul formel de limites et de dérivées de l'application HOME.

Sur la base de ces principes généraux, de nombreux choix sont bien sûr possibles. Nous essaierons de préciser, de façon argumentée, les principaux choix que nous avons faits. Nous le ferons en distinguant trois grandes pôles dans l'ingénierie : le travail préliminaire sur l'algèbre et les fonctions, les limites, les dérivées.

## L'expérimentation

Nous avons mené des expérimentations de décembre 1995 à juin 1997 dans les classes de Première S de Michèle Duperrier (classes A, Chartres) et de Guy Juge (classes B, Caen) en nous centrant sur le domaine de l'analyse.

Sur le plan de la réalisation effective, nous nous appuyons à la fois sur les expérimentations menées à Chartres et à Caen. Une fois les grands choix collectivement définis par le groupe, les séances ont de fait été élaborées sur l'un des deux sites puis transmises à l'autre, les deux groupes se partageant le travail d'élaboration. Les deux enseignants ayant des formes de travail différentes, l'un privilégiant plus un travail autonome des élèves à partir de fiches détaillées, l'autre un travail plus collectif, les scénarios élaborés ont été adaptés par l'enseignant récepteur à ses formes de travail en classe et donné lieu à des mises en scène sensiblement différentes. Nous ne chercherons pas à gommer ces différences inéluctables dans le processus d'appropriation par un enseignant d'un scénario d'enseignement, qu'il ait ou non participé à sa définition.

La première année, 1995-96, peut être considérée, pour cette composante de l'étude, comme une année de pré-expérimentation. Nous avons essayé de préciser les potentialités de la TI92 mais aussi de repérer les difficultés que pouvait poser l'intégration d'un tel outil et qu'il fallait se préparer à gérer. Nous illustrerons cette phase du travail dans un premier chapitre, en présentant quelques unes de ces situations et les analyses associées.

Sur la base de ces analyses, nous avons ensuite élaboré le projet global d'ingénierie concernant le pôle : « limites et dérivées » qui a été expérimenté pendant l'année scolaire 1996-97. Dans un deuxième chapitre, nous présentons les situations clefs de cette ingénierie concernant le travail algébrique et l'introduction des notions. Dans un troisième chapitre, nous exposons la partie de l'ingénierie qui porte sur les propriétés des limites et dérivées, l'aspect cinématique de la dérivée et sur la dimension « outil » de la notion de dérivée dans l'étude de situations fonctionnelles.

Précisons que nous nous appuierons plus spécialement sur l'expérimentation menée à Chartres pour ce qui concerne le travail préliminaire à l'analyse, l'introduction des limites et dérivées (chapitre II), et sur l'expérimentation menée à Caen pour ce qui concerne la mise en place du calcul symbolique des limites et dérivées (chapitre III).
# Chapitre 1
Observations de classe 1995-96

## INTRODUCTION

L'objectif des observations de classe régulièrement effectuées au cours de l'année 1995-96, était d'avoir accès de façon directe au fonctionnement de classes avec la TI92, de situer ce fonctionnement par rapport à celui observé dans l'environnement DERIVE, pour étudier notamment les modifications de contraintes apportées par le changement d'environnement, ses effets sur la gestion des situations par l'enseignant ainsi que de façon plus globale sur l'économie du système didactique. Nous précisons dans ce qui suit les situations observées dans chaque classe, les conditions d'observation et leur évolution au fil de l'année scolaire.

### A. Les situations observées en 1995/96

Dans la classe A, six séances ont été observées. Les thèmes, objectifs, et formes globales de fonctionnement en sont décrites dans le tableau ci-après.

<table><thead><tr><td>Date</td><td>Thèmes</td><td>Objectifs</td><td>Type de séance</td></tr></thead><tbody><tr><td>20 Décembre</td><td>Prise en mains de la TI92 Notion de dérivée</td><td>Familiarisation TI92 Introduction cinématique de la notion de dérivée Lien vitesse / notion "algébrique" de tangente</td><td>Séance de deux heures en classe entière, alternant phases collectives et travail par binômes</td></tr><tr><td>22 Janvier</td><td>Optimisation</td><td>Modélisation d'une situation physique Exploitation de la notion de dérivée pour la résolution d'un problème d'optimisation.</td><td>Séance en demi-groupes (1h par demi-groupe) suivie d'une synthèse collective d'une heure</td></tr><tr><td>11 Mars</td><td>Limites à l'infini</td><td>Exploration avec la TI92 de situations d'indétermination Elaboration de stratégies d'étude pour les limites de fonctions polynômes et rationnelles</td><td>Séance de deux heures en classe entière</td></tr><tr><td>1 Avril</td><td>Dérivées de fonctions composées</td><td>Elaboration de conjectures par utilisation du tableur Formulation du théorème et exploitation</td><td>Séance de deux heures en classe entière</td></tr><tr><td>20 Mai</td><td>Suites</td><td>Introduction de la calculatrice dans l'étude des suites (sens de variation)</td><td>Deux séances d'une heure en demi-groupe</td></tr><tr><td>3 Juin</td><td>Suites</td><td>Etude d'une suite définie par récurrence avec la TI92</td><td>Séance d'une heure en classe entière</td></tr></tbody></table>

Toutes les séances observées alternent étroitement phases collectives de nature didactique et phases de travail en binômes de nature plus a-didactique.
Dans la classe B, six situations ont également été observées. Le tableau ci-après les présente globalement en distinguant trois types de fonctionnement : manipulation guidée, enseignement d'une notion, résolution de problèmes.

<table><thead><tr><td>Séances</td><td>Notions abordées</td><td>Objectif</td><td>Type de situation</td></tr></thead><tbody><tr><td>21 Décembre Gestion de la mémoire</td><td>Gestion des variables et "folders", échange de données entre machines</td><td>Utilisation autonome</td><td>Manipulation guidée</td></tr><tr><td>22 Janvier Opérations sur les limites</td><td>Limite d'une somme, d'un produit d'un quotient. Indéterminations</td><td>Découvrir des règles, à partir d'exemples donnés par la TI92</td><td>Enseignement d'une notion</td></tr><tr><td>12 Février Le nombre dérivé</td><td>Vitesse moyenne et instantanée, tangente, approximation affine.</td><td>Introduction d'une notion</td><td>Enseignement d'une notion</td></tr><tr><td>12 Mars Opérations sur les dérivées</td><td>Dérivée d'une somme, d'un produit d'un quotient.</td><td>Découvrir des règles, à partir de la dérivation de fonctions générales par la TI92</td><td>Enseignement d'une notion</td></tr><tr><td>29 Avril Problème d'optimisation</td><td>Étude de fonctions, généralisation algébrique.</td><td>Concevoir une méthode algébrique de recherche d'extremums.</td><td>Résolution de problèmes</td></tr><tr><td>20 Mai Suites numériques</td><td>Étude numérique, étude graphique, calcul de valeurs exactes.</td><td>Connaissance des fonctionnalités de la TI92 pour l'étude des suites.</td><td>Manipulation guidée suivie de travail autonome</td></tr></tbody></table>

* En « Manipulation guidée », le professeur indique, à l'aide de la tablette rétroprojetable des actions à opérer sur la TI92, en lien ou non avec un contenu mathématique. L'élève exécute ces actions.

* En « Résolution de problèmes », le professeur a peu d'interventions collectives. Il lance la recherche, puis suit le travail des groupes. Après cette phase principalement a-didactique, il y a généralement un moment de synthèse collective plus didactique visant en particulier l'institutionnalisation des notions dégagées dans la résolution.

* Les situations « Enseignement d'une notion », enfin, fonctionnent suivant le schéma classique d'alternance de phases a-didactiques et didactiques.

## B. Méthodologie d'observation

Au cours de la recherche sur DERIVE, nous avions observé des groupes d'élèves travaillant sur ordinateur, le plus souvent par groupe de deux. Les entrées au clavier, les affichages obtenus à l'écran, ainsi que les interactions au sein des groupes avaient constitué la matière principale de l'observation. Dans le cas de la TI92, la petite taille de l'écran et du clavier font de la calculatrice un outil privé. Par ailleurs, la possession individuelle de la calculatrice ne produit pas les mêmes interactions que le travail en binôme sur ordinateur. Nous prévoyions donc a priori plus de difficultés pour obtenir des observables.

Voici la méthode d'observation que nous avons élaborée au fil des séances.
<figure><img src="image_3.png" /></figure>

La classe et le dispositif d'observation

* La disposition de la classe n'est pas modifiée par rapport à la disposition habituelle dans l'établissement : les élèves sont répartis en rangées de tables faisant face au tableau et à l'écran du rétroprojecteur (dans la classe B, les tables sont groupées par deux, ce qui n'est pas le cas de la classe A).

* L'observateur se place derrière une table (respectivement un ensemble de deux tables). Il peut ainsi observer à la fois le professeur dans ses interventions collectives, et un (respectivement deux) groupes de deux élèves. Dans chaque groupe, on confie à un des élèves une calculatrice rétroprojetable. Cette calculatrice est reliée à un écran et à un micro-ordinateur situés devant l'observateur. Ainsi l'observateur peut suivre à distance le travail de l'élève sur la TI92, et enregistrer sur le micro-ordinateur l'écran aux moments qui lui paraissent les plus significatifs. Un magnétophone est placé de façon à recueillir les échanges collectifs du professeur avec la classe, et les échanges entre les membres d'au moins un des deux groupes. Le schéma ci-après figure le dispositif d'observation dans la classe B.

En fait, dans la classe A, ce dispositif d'observation n'a pu être adopté que relativement tard, car nous ne disposions pas de tablette rétroprojetable, en dehors de celle utilisée par l'enseignante. Pendant les premières séances, nous n'avons disposé que de l'enregistrement audio de la séance et des prises de notes des deux observateurs, qui ont essayé de suivre chacun quatre élèves voisins. Dès que cela a été possible, chaque observateur, s'est attaché avec tablette rétroprojetable et ordinateur portable à suivre un binôme, dans les conditions décrites ci-dessus. Dans la classe B, deux tablettes de rétroprojection ont été disponibles dès la première séance et le dispositif définitif d'observation a pu se mettre en place à partir de la deuxième observation.
Nous avons choisi de reprendre dans cette partie quatre des observations réalisées lors de cette première année parmi celles publiées dans le rapport intermédiaire de cette recherche. Deux de ces séances correspondent à l'introduction de la notion de dérivée, respectivement à Chartres et à Caen, les deux autres correspondent à l'exploitation de cette notion dans l'étude d'un problème d'optimisation : le problème de la cuve. Ces deux types de situations nous semblent illustrer clairement à la fois les potentialités de la machine dans ce domaine des mathématiques mais aussi le travail didactique nécessaire pour arriver à exploiter de façon efficace ces potentialités dans les classes, un travail que nous avons essayé d'engager pour construire le projet d'ingénierie présenté dans les parties suivantes.
# OBSERVATION 1:
introduction de la notion de dérivée (Classe A)

## A. Contexte et objectifs

Les machines ont été distribuées à la séance précédente ainsi que le document élaboré pour la prise en mains. Quelques élèves absents reçoivent la machine en début de séance. Sur le plan mathématique, l'enseignement en cours concerne l'introduction de la notion de dérivée. Cette notion a été préparée dans un cadre cinématique par l'étude du mouvement d'un mobile animé d'un mouvement rectiligne, la distance étant une fonction polynômiale du second degré du temps. Différents calculs de vitesse moyenne ont été effectués en considérant des instants donnés et des durées données.

La séance construite a pour objectif d'assurer le passage, dans ce contexte, à la notion de vitesse instantanée, de faire le lien entre la droite passant par le point d'abscisse a de la courbe et de coefficient directeur la vitesse instantanée et la tangente à la courbe au sens algébrique du terme, c'est à dire la droite passant par ce point et ayant une intersection double avec la courbe, enfin d'approcher le point de vue approximation en demandant d'évaluer l'erreur commise en approchant la courbe par sa tangente.

Deux exercices sont prévus dont voici le texte.

### Exercice 1

Un mobile se déplace sur un axe x'x et sa position à l'instant t par rapport à l'origine O, est donnée par son abscisse $d(t) = 2*t^2 + 8*t$ avec t dans $[0 ; 4]$.

1) Calculer la vitesse moyenne entre l'instant a et l'instant a+h.

2) Que peut-on dire de cette vitesse moyenne lorsque h tend vers 0 ?

3) a) Ecrire l'équation de la droite de coefficient directeur m, passant par le point A d'abscisse a de la courbe représentative de la fonction d.

b) Peut-on déterminer m pour que cette droite coupe la précédente en deux points confondus ?

c) Déterminer la fonction g telle que $y=g(t)$ soit l'équation de la tangente en A à la courbe.

d) Quelle erreur commet-on lorsque l'on prend $g(a+h)$ comme valeur approchée de $d(a+h)$ ?
Exercice 2

Soit f la fonction définie par $f(x) = x^3-6x+2$.

1) Tracer la courbe représentative de f pour x appartenant à [-2 ; 2].

2) a) Ecrire l'équation de la droite de coefficient directeur m, passant par le point d'abscisse -1 de la courbe représentative de la fonction f.

b) Peut-on déterminer m pour que cette droite coupe la droite précédente en deux points confondus ?

c) Déterminer la fonction g telle que $y=g(t)$ soit l'équation de la tangente en A à la courbe.

d) Tracer cette tangente.

e) Quelle erreur commet-on lorsque l'on prend $g(-1+h)$ comme valeur approchée de $f(-1+h)$ ?

3) Mêmes questions en remplaçant le point A d'abscisse -1 par le point B d'abscisse 0.

4) Mêmes questions en remplaçant le point A d'abscisse -1 par le point E d'abscisse a.

Dans le premier exercice, la fonction est, comme dans le travail préparatoire, une fonction du second degré mais on s'intéresse à un point d'abscisse a, dans le second, le même travail est proposé pour une fonction polynomiale du troisième degré, pour deux abscisses numériques -1, 0 avant de passer au ca général.

B. Scénario

Les élèves sont supposés travailler en binôme, sur une période de deux heures, l'enseignante prenant en charge des bilans collectifs réguliers. L'enseignante fait l'hypothèse que le travail dans le module formel de la TI92 va leur permettre de gérer plus facilement, les calculs algébriques relativement complexes nécessités par cette séance et aider le passage au cas général attendu.

C. Déroulement

Après distribution des machines, la séance commence par une phase collective, avec appui de
la machine rétroprojetable, orientée vers la prise en mains de la machine, qui semble à
l'enseignante d'autant plus nécessaire que, pour des raisons de grèves, certains élèves étaient
absents à la séance précédente où les machines ont été distribuées. Cette phase va durer un
quart d'heure, les élèves présents à la séance précédente y participent très activement, les
réponses fusent.

8h20 : Les points suivants sont successivement abordés :

* Le changement d'applications : rappel des deux modes principaux, la touche diamant pour les applications HOME, Y=, GRAPH, WINDOW, TABLE et Tblset et la touche APPS valable pour toutes les applications.

* La touche MODE déjà utilisée pour changer les modes graphiques, pour partager l'écran en deux et préciser ce qui est mis dans chaque fenêtre, choisir le nombre de décimales en calcul approché, les unités d'angles, dans la séance d'initiation. L'enseignante passe en revue les quatre premières rubriques du menu MODE : *Graph*, *Current Folder*, *Display Digits*, *Angle*, en commentant chacune d'elles, puis elle passe à la page 2. Elle explicite les différents types de partage d'écran puis montre comment choisir les applications correspondant à chaque fenêtre, rappelant qu'à la séance précédente, ils ont ainsi utilisé
*Window Editor* pour sauver des calculs. Elle passe ensuite à *Split Screen Ratio* et explique le sens des rapports donnés.

* La création d'un répertoire. Elle fait créer un répertoire Dérive où sera sauvegardé le travail de la séance. Elle effectue les opérations à la rétroprojetable et les élèves font de même sur leur propre machine. Elle précise que le nom d'un répertoire est d'au plus 8 lettres que la commande *Newfold* non seulement crée un répertoire mais envoie automatiquement dans ce répertoire, c'est à dire l'institue comme répertoire par défaut. Elle insiste sur la nécessité de structurer en répertoires pour une machine dotée d'autant de mémoire pour s'y retrouver aisément. Suite à la demande d'un élève, elle montre comment changer de répertoire courant dans MODE, en insistant sur la nécessité d'appuyer deux fois sur ENTER..

* La ligne d'état. Elle précise le sens de toutes les indications fournies.

* Le nettoyage de l'écran par *Clear Home* dans le menu F1, et la désaffectation des variables par F6. Elle montre sur un exemple que *Clear Home* ne désaffecte pas les variables mais que F6 libère les 26 adresses mémoires d'une seule lettre de a à z. Elle insiste sur la nécessité de le faire avant de commencer un nouvel exercice.

8h35 : Commence ensuite le travail sur les deux exercices qu'elle introduit en disant que, dans le premier, ils vont reconnaître quelque chose qu'ils ont fait pendant les deux séances précédentes. Collectivement, elle prend en charge la définition de la fonction d(t). Plusieurs élèves disent tout de suite qu'il faut aller dans F4 et faire *Define*, quelques uns disent F3. L'enseignante précise que si l'on a oublié que c'est dans F4, on peut toujours taper « define », et que l'on peut aussi aller chercher la commande dans 2nd CATALOG. Elle montre comment faire et leur montre qu'alors la ligne d'état précise la syntaxe de la commande, ici : var(arg1,...)=expr.

Elle entre ensuite l'expression sur la rétroprojetable, chacun le faisant à sa place et explique pour les absents qu'il n'y a pas de touche carré comme sur les calculatrices, que pour les puissances, il faut utiliser la touche ^. Plusieurs élèves ne pensent pas à faire Enter quand ils ont fini de taper l'expression, d'autres se sont trompés de signe -, chaque fois, l'enseignante, qui circule, répercute au niveau collectif.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Elle fait tester collectivement que tout va bien en faisant calculer d(2), puis passe au tracé graphique, en demandant à un élève de la piloter. Il propose d'aller dans Y=. Elle demande si c'est la seule possibilité et un autre propose « diamant GRAPH ». L'enseignante montre que ça ne marche pas et indique elle-même la possibilité utilisant la commande *Graph* du menu F4 de HOME. Elle passe ensuite à Y=. Plusieurs élèves demandent comment effacer les fonctions qui restent de la séance précédente dans Y=. D'autres élèves demandent s'ils peuvent rentrer d(t) alors que la machine indique y1(x). Elle fournit collectivement les
informations correspondantes. Ensuite, elle fait fixer la fenêtre de tracé. Il n'y a pas de problème, les élèves travaillant depuis le début de l'année avec les calculatrices graphiques et elle propose de prendre [0,10] comme intervalle pour y.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

C'est la fin de ce lancement collectif qui a pris une dizaine de minutes et les élèves doivent maintenant travailler de façon autonome, l'enseignante et les observateurs étant là pour dépanner, en cas de besoin.

8h48 : Quelques problèmes liés à la calculatrice sont rencontrés : utilisation de graph dans HOME avec une syntaxe incorrecte : *graph d(x)*= , non nettoyage des fonctions de la séance précédente dans Y= qui conduit à des messages d'erreurs lors du passage à GRAPH : *undefined variable*, grille mise par inadvertance. L'enseignante reprend ce point collectivement en montrant l'accès via *Format* dans le menu F1 de l'application GRAPH puis les élèves se remettent au travail.

Visiblement, cela ne va pas de soi pour la plupart d'entre eux. Ils recherchent dans leurs cahiers la définition de la vitesse moyenne et ont du mal à adapter les calculs faits à la nouvelle situation où interviennent deux variables : a et h. D'autres ont du mal à substituer a+h dans l'expression de d(t). La plupart font d'abord le calcul à la main avant de passer à la machine, ils ne pensent pas qu'il suffit d'entrer le quotient $\frac{d(a+h)-d(a)}{h}$ pour obtenir le résultat.

Ils restent bloqués dans le calcul littéral à effectuer. D'autres demandent la résolution du quotient en entrant : *Solve* $(d(a+h)-d(a))/h$, sans succès. Au bout d'une dizaine de minutes, l'enseignante décide de faire une intervention collective, sur cette notion de vitesse moyenne. Elle dessine un axe : sur lequel elle place les instants et les noms des points :

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Elle demande ensuite comment trouver la vitesse moyenne entre l'instant a et l'instant a+h.
Elle évoque leurs déplacements quotidiens pour susciter des réponses. On entend un peu de tout : le temps divisé par la vitesse, le temps par la distance, la distance par le temps.

Les discussions entre élèves sont animées avant d'arriver à la réponse : $M_{a+h}M_a/h$. De plus cette intervention n'est pas suffisante pour un certain nombre qui n'arrivent pas à exprimer ce quotient avec la fonction d. Finalement, un seconde intervention collective s'avère nécessaire pour que tout le monde dispose de la formule : $\frac{d(a+h)-d(a)}{a+h-a}$.

L'enseignante demande de faire les calculs à la main et de vérifier à la machine ensuite.
On note de grands décalages entre élèves. Certains ont terminé et passent à la suite, d'autres en sont toujours à calculer $d(a+h)$.

9h15 : Point collectif avec détail du calcul de $d(a+h)=-2(a+h)^2+8(a+h)$. L'enseignante fait expliciter par les élèves la suite des opérations à effectuer pour terminer le calcul, ce qui n'est pas inutile, certains ayant perdu le fil, s'apprêtant à factoriser par $(a+h)$.

Ceux qui, en avance, en sont à la question suivante : « Que peut-on dire de cette vitesse moyenne lorsque h tend vers 0 ? » concluent en général rapidement au vu de l'expression formelle, en remplaçant h par 0 pour obtenir $-4a+8$. Le groupe de Vincent, lui, se lance dans des calculs numériques avec la calculatrice, en prenant des valeurs de h de plus en plus petites : $3/4, 0.5, 0.1, 0.01, 0.00001$ et arrive à la même conclusion.

9h30 : L'enseignante récapitule le calcul au tableau arrivant à l'expression : $8-4a-2h$ pour la vitesse moyenne que tous ou presque ont fini par obtenir. Elle prend en charge ensuite le passage à la limite qui visiblement ne pose pas dans ce cas particulier de problème aux élèves et essaie de faire faire le lien avec la notion de vitesse instantanée. C'est difficile. Les élèves sont d'abord silencieux. Elle évoque alors l'affichage du compteur de vitesse et la réponse inattendue qui se dégage est que ce qu'affiche le compteur de vitesse est faux. Enfin, un élève parle de vitesse instantanée. L'enseignante lui demande ce que ça veut dire pour lui. Il répond : « une vitesse croissante ». Les autres sont appelés à l'aide et quelqu'un propose : « la vitesse à l'instant $t$ » sans pouvoir préciser plus. Un autre dit alors : « la vitesse entre deux points très proches ». L'enseignante confirme que ce qu'affiche le compteur, c'est bien une vitesse moyenne entre deux instants très proches puis définit théoriquement la vitesse instantanée comme limite de la vitesse moyenne lorsque l'intervalle de temps tend vers 0.

Elle essaie ensuite de faire le lien avec le travail de la séance précédente où un calcul analogue avait été fait avec non pas $t=a$ mais $t=1$ et avec des valeurs de $h$ successives de 0.1, 0.01... pour lequel ils étaient déjà passés à la limite. La plupart n'ont pas l'air de se souvenir vraiment. Elle les envoie chercher dans leur cahier. L'attention baisse.

Un élève ne trouve pas comme les autres parce que sa variable $h$ était déjà affectée. L'enseignante le mentionne collectivement et insiste une fois de plus sur la nécessité de libérer les variables, chaque fois que l'on commence un nouveau travail. Elle précise aussi comment libérer une seule variable, par exemple ici h si l'on a fait des essais numériques et que l'on veut revenir au calcul littéral en utilisant la commande *Delvar*. Un élève demandant où se trouve cette commande, elle répond puis leur rappelle que s'ils ont oublié dans quel menu elle est, ils peuvent aller la chercher dans CATALOG, en tapant d pour avoir la liste des commandes commençant par d et elle détaille à nouveau l'opération correspondante.

On arrive maintenant à la question 3 : l'équation de la sécante. Les équations de droites ont été revues la semaine précédente. Les élèves peuvent faire les calculs à la machine mais il leur est demandé de marquer la définition et la façon dont ils obtiennent l'équation de la droite de coefficient directeur $m$ sur le cahier. En fait, les notes prises par les élèves jusqu'à présent sont plutôt de type brouillon. Le temps avançant très rapidement, l'enseignante reprend la main assez vite et se fait dicter par les élèves la succession des calculs permettant d'arriver à l'équation : $y-d(a)=m(x-a)$.

Elle attire leur attention sur la nécessité, dans l'entrée en machine de cette équation de rajouter un signe de multiplication entre $m$ et $(x-a)$ et demande pourquoi. Un élève répond de façon floue : « sinon ça fait une variable ». Elle demande de préciser et un autre dit : « ça ferait
comme d(a) ». Elle reprend et commente cette réponse, insiste sur l'importance de ce signe multiplié et leur demande de le noter. Elle écrit elle-même au tableau :

<table><tr><td>d(a)</td><td>m*(x-a)</td></tr><tr><td>↑</td><td>↑</td></tr><tr><td>fonction</td><td>multiplication</td></tr></table>

9h45 : Les élèves se remettent à travailler en binômes. L'entrée de l'équation ne pose pas de problème mais la question b : déterminer m pour que la droite coupe la courbe précédente en deux points confondus, elle, arrête presque tout le monde. Certains égalent l'équation de la droite et celle de la fonction et s'arrêtent là. D'autres sont perdu au milieu des t et des x, d'autres veulent faire tracer la droite pour voir mais la machine refuse vu la présence du paramètre m. Quelques uns enfin, avec une aide assez légère, arrivent à piloter la calculatrice pour obtenir les deux racines de l'équation d(x)=d(a)+m(x-a), en fonction de a et m, c'est à dire en demandant la résolution par rapport à x, et concluent que les deux points d'intersection seront confondus si ces deux racines sont égales. Il faut alors, si l'on travaille à la machine, résoudre une nouvelle équation, de variable m cette fois, a restant un paramètre. Inutile de dire que cela ne va pas de soi et que, la syntaxe de la machine obligeant à préciser par rapport à quelle variable on résout une équation, ils ne peuvent éviter le problème (aucun ne cherche ici à procéder par essai/erreur).

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Assez vite, l'enseignante va reprendre une fois de plus la main, pour faire détailler les étapes :

* entrée de l'équation de la sécante qui donne à l'affichage : y=mx-2a²+a(-m+8)

* résolution du système formé de cette équation et de l'équation de la courbe (sur proposition d'un élève).

L'enseignante fait préciser que les solutions du système seront les coordonnées des points d'intersection de la courbe et de la droite s'ils existent, qu'il y a nécessairement au moins une solution correspondant aux coordonnées du point A. Elle leur demande d'écrire le système sur leur cahier avant de résoudre avec la machine.

En fait, cela n'a pas suffi à remettre tous les élèves sur les rails ; certains sont encore perdus dans les t et les x, d'autres essaient toujours de faire tracer la droite. L'enseignante est obligée une fois de plus d'intervenir pour régler le problème de la dénomination des variables.

10h : Bilan collectif sur la stratégie de résolution du système. Les élèves proposent de procéder par substitution, en gardant l'équation de la droite. L'enseignante écrit le nouveau système au tableau :

$$y=mx-2a^2+a(-m+8)$$
$$mx-2a^2+a(-m+8) = -2x^2+8x$$

Elle rappelle que l'on connaît déjà une solution de la deuxième équation que l'on veut maintenant résoudre $x=a$ et leur demande comment, sachant cela, ils s'y prendraient s'ils avaient à résoudre à la main. Elle veut les faire penser à la factorisation par $x-a$, mais ils ne sont pas du tout branchés dans cette direction et elle les laisse retravailler seuls quelques minutes.

Quelques élèves ont maintenant terminé et reconnaissent avec étonnement dans la valeur de m trouvée, la vitesse instantanée en a, calculée précédemment : 8-4a.

La fin de la séance approche et l'enseignante fait un dernier bilan, détaillant la résolution avec la machine rétroprojetable. Elle arrive ainsi à 8-4a mais n'a pas le temps d'aller plus loin. Elle demande pour les vacances, c'était la dernière séance avant Noël, de se familiariser avec la machine, de faire l'exercice 2 et d'apprendre à résoudre les systèmes avec la machine en suivant le document distribué (cf. annexe systèmes).

## D. Analyse

La première phase de cette situation laisse penser que la familiarisation avec la TI92 peut s'opérer dans de bonnes conditions. Les nombreuses réponses qui fusent montrent que beaucoup d'élèves se souviennent de ce qui a été vu lors de la séance d'introduction. Dans le reste de la séance, tous les élèves ne manifestent pas le même rapport à la machine mais on ne note aucun phénomène de rejet.

Bien sûr, la petite introduction faite ne suffit pas à rendre la machine opérationnelle dans l'application HOME pour les calculs sollicités dans la suite et l'on voit l'enseignante confrontée à la multitude de petits problèmes qui se produisent dans une phase de première initiation comme ici. Comme il s'agit en général de problèmes classiques sur lesquels elle souhaite attirer l'attention de la classe, elle va très souvent les répercuter collectivement, en s'appuyant éventuellement, pour reproduire les problèmes élèves, sur la calculatrice rétroprojetable. C'est sans aucun doute intéressant vis à vis de la connaissance de la machine mais n'aide pas à maintenir le fil mathématique de la séance, déjà très difficile à tenir.

Dans la gestion de l'activité proposée ensuite pour l'approche de la notion de dérivée, l'enseignante est confrontée à de multiples difficultés que nous allons essayer d'analyser. L'hypothèse faite est que l'utilisation de la TI92 va permettre une généralisation de calculs numériques effectués dans une séance précédente et une approche cinématique de la notion de dérivée. En fait, on s'aperçoit que sur ce plan, les élèves, pour la plupart ne gardent que peu de trace de ces calculs qu'ils ont du effectuer en position d'exécutants sans en percevoir nécessairement bien le projet global. La désorganisation de cette fin d'année, du fait des grèves, n'aide sans doute pas non plus. La généralisation ne s'appuie donc pas sur un contexte déjà bien intégré. A ceci s'ajoutent des difficultés grandes dans le calcul algébrique demandé, d'autant plus visibles que les élèves sont trop peu familiers avec la machine pour savoir la piloter pour produire les résultats attendus. Le calcul de $d(a+h)$ par exemple en arrête plus d'un très longtemps. Face à ces difficultés, l'enseignante est partagée entre deux choix :

* soit exploiter le plus possible la machine, mais en intervenant fortement du fait du manque d'instrumentation constaté pour avancer dans la résolution, quitte à revenir plus tard sur les déficiences algébriques constatées,
* soit gérer ces déficiences, en exigeant un calcul papier crayon préalable à l'entrée en machine, et en gérant tous les problèmes liés à la réalisation de ce calcul.

Le premier choix permettrait certes d'avancer plus vite, mais on peut légitimement s'interroger sur le sens que les calculs menés pourraient prendre pour les élèves. L'enseignante privilégie donc le second.

Une seconde difficulté de la situation est liée à l'approche cinématique choisie ici et à la notion de vitesse instantanée. Cette notion n'a rien de spontané et le travail que les élèves ont pu faire par ailleurs en physique ne les y prépare pas puisque les vitesses à ce niveau sont toujours des vitesses moyennes même si l'on parle de vitesse à l'instant t. En fait, il s'agit là d'un concept qui se construit par passage à la limite, comme l'ont bien montré les travaux de M.Schneider par exemple (Schneider, 1989) et on peut penser que le travail sur la notion de dérivée peut aider cette conceptualisation plutôt que l'inverse. A la réflexion, il nous semble qu'un approche géométrique ou graphique serait sans doute plus appropriée.

L'enseignante essaie aussi dans cette séance de lier la tangente au sens algébrique du terme à la parabole à l'approche cinématique effectuée, faisant reconnaître dans le coefficient directeur de la tangente, la vitesse instantanée calculée précédemment. Il s'agit sans doute là d'un choix a priori tout à fait raisonnable, l'enseignement faisant trop souvent l'impasse sur l'articulation nécessaire des conceptions de la tangente héritées du cercle avec la conception de l'analyse, avec des effets négatifs maintenant connus (Castela, 1995). En revanche, le dispositif dans lequel s'inscrit cette articulation nous semble ici très complexe, vu le niveau des élèves. Il y a sans aucun doute à organiser cette articulation, en étant très attentif dans le choix des variables de la situation, au coût technique de cette articulation.

Nous voudrions également souligner qu'une telle séance d'introduction de la notion de dérivée, quelle que soit l'approche choisie, nous semble être nécessairement une séance complexe de gestion difficile. Il nous semble peu raisonnable d'espérer pouvoir l'instituer, vu de plus les contraintes temporelles de l'enseignement, dans un fonctionnement essentiellement a-didactique. Les propositions d'activités qui en apparence vont dans ce sens, ne sont, nous semble-t-il, a-didactiques qu'en façade et mettent généralement l'élève en position d'exécution, dans une démarche expérimentale qui le dépasse. Une telle séance, si l'on veut que l'élève n'en perde pas la cohérence globale, suppose nous semble-t-il une gestion donnant à l'enseignant un rôle plus important. Il importe de trouver les moyens de problématiser réellement pour l'élève les mathématiques qui vont intervenir, de lui laisser une autonomie maximum, sans que les difficultés techniques de nature algébrique inhérentes au type de travail demandé n'effacent la cohérence globale de la situation et ne fassent perdre son fil. Même avec l'assistance de la TI92, même avec des élèves plus familiers avec cet outil, comme cela sera le cas en 1996-97, au moment de l'introduction des dérivées, ceci est loin d'aller de soi. C'est ce qui nous a incité à privilégier, pour l'année 1996-97, au niveau expérimental ce domaine de la dérivation, avec l'objectif de construire une ingénierie didactique complète et institutionnellement viable.
# OBSERVATION 2:
introduction de la notion de dérivée (Classe B)

## A. Le point de départ : une situation avec DERIVE

La conception de la séance est reprise de la brochure DITEN (Hirliman, 1994), chapitre "Introduction au nombre dérivé en Première scientifique". Dans ce texte, l'auteur décrit une activité en deux parties. Nous le citons :

* "La première partie est fortement guidée par le professeur; c'est essentiellement lui qui dirige l'utilisation du logiciel (...). Un seul poste de travail peut suffire (avec tablette de rétroprojection). L'enseignant peut bien sûr mettre à contribution les élèves pour les calculs avec le logiciel, mais il ne faudrait pas que les problèmes d'environnement et d'options perturbent trop la progression de l'activité".

* "La deuxième partie de l'activité est prévue pour une utilisation individuelle, par chaque élève, du logiciel. Elle est donc prévue dans une salle équipée de plusieurs postes (...). Cette deuxième partie est moins dirigée que la première."

La première partie nous intéresse ici : en reprenant notre classification elle s'apparente à l'"enseignement d'une notion", alors que la seconde partie est du type "recherche autonome". La présentation est faite à partir de l'équation horaire de la chute d'un corps. Le nombre dérivé en un point apparaît comme limite du taux d'accroissement, vu sous trois aspects :

* La vitesse instantanée. Elle est vue comme limite de la vitesse moyenne entre deux points proches. On calcule cette vitesse moyenne pour des valeurs de plus en plus proches de façon à observer la convergence vers la vitesse instantanée.

* Le coefficient directeur de la tangente. La tangente est approchée par une sécante en deux points proches.

* La notion d'approximation affine. On montre que la position du corps à l'instant $0,8+\Delta t$, s'écrit comme la somme de trois termes, $9, -4\Delta t$ et $-5(\Delta t)^2$, et on constate que le troisième terme est négligeable.

La situation incorpore l'utilisation d'un ordinateur avec DERIVE dont l'écran est retroprojeté. Le document est accompagné de douze renvois à une utilisation du logiciel en mode collectif. Cette utilisation est conçue pour gagner du temps sur les calculs et le tracé de graphique de façon à ne perdre "le fil conducteur et l'objectif de l'activité". On peut cependant penser que cette utilisation n'interfère pas directement avec le travail mathématique des élèves. En effet, les élèves n'ont pas une connaissance suffisante de DERIVE pour que les calculs et tracés opérés avec le logiciel soient réellement discutés dans la classe. DERIVE sert surtout à exposer des résultats comme point de départ d'une discussion.

## B. Analyse préalable

Nous avons voulu reprendre cette première partie, en mettant à profit la disponibilité d'une TI92 pour chaque élève. Dans chacune des phases de travail le professeur indiquera les calculs à réaliser, en donnant des indications sur les fonctionnalités de la TI92 utiles pour cette tâche. Les élèves devront mettre en oeuvre ces calculs, en opérant certains choix (par exemple les
points où calculer le taux d'accroissement). Ils devront tirer les conclusions de ces calculs. Un synthèse fera apparaître le lien avec les aspects vus dans la phase précédente.

Comme dans la situation avec DERIVE, l'utilisation de la TI92 a pour but de conserver "le fil conducteur et l'objectif de l'activité". La disponibilité d'une TI92 par élève, et la familiarité qu'ils ont acquise avec cette machine doit permettre de plus un engagement réel des élèves dans les calculs et les tracés. En effet, on peut penser qu'ils se construiront une conception du nombre dérivé d'autant plus adéquate qu'ils auront eux-mêmes mis en oeuvre les calculs où il intervient.

Concrètement, la situation se divise quatre phases bien distinctes pour une durée totale de 1 h 30. La première phase vise à l'appropriation de l'équation horaire et les suivantes correspondant aux trois aspects du nombre dérivé. Chacune de ces phases se compose d'une présentation par le professeur, de la réalisation d'une tâche par l'élève, puis d'une synthèse des résultats.

## C. Déroulement

Nous avons observé les interventions du professeur et les périodes de dialogue avec la classe. Parallèlement nous avons observé un groupe de deux élèves S. et A., travaillant ensemble. Les écrans de la calculatrice de S. ont été enregistrés.

### Première phase : l'introduction à la situation

La séance commence à 8h15. Après une introduction sur l'importance de la notion de dérivée dans le programme de Première, le professeur règle des détails techniques. Puis il explique la définition de H(t), équation horaire de la chute de la pierre. Il commente les questions du premier paragraphe (détermination de quelques instants particuliers).

Les élèves commencent à chercher vers 8h30.

S. et A. s'interrogent sur la façon de définir $h(t)$. Il y a en effet une différence entre affecter l'expression à une variable expression $h$ (première ligne de l'écran ci-dessous), et définir une fonction $h(t)$ (seconde ligne).

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Elles cherchent ensuite les questions du premier paragraphe. S. s'interroge sur la façon de "donner" une valeur". Elle essaie l'expression $h(t)|t=..$, mais ne sait pas quelle valeur donner. Par contre, A. a compris qu'il faut résoudre une équation (à l'aide de la fonction Solve). En effet, la question est de trouver le temps pour une hauteur donnée. Finalement S. recopie sur A. la fonction Solve, mais résout pour la variable $x$ au lieu de $t$. La machine renvoie l'expression en $t$ factorisée. Elle essaie ensuite en $t$, mais elle a entré $t2$ au lieu de $t^2$, et $t2$ est compris par la machine comme une autre variable. Elle tente de résoudre de nouveau l'expression obtenue en $x$, sans succès, puis rajoute $=0$ à l'expression : "Ca ne marche pas"

Pendant ce temps, le professeur corrige l'exercice collectivement, puis passe aux explications sur la vitesse moyenne. S. décide de recopier l'écran rétroprojeté par le professeur, mais il manque une parenthèse, et elle obtient une erreur de syntaxe. Elle efface alors toutes ses tentatives de résolution et

<figure><img src="image_9.png" /></figure>
recopie l'écran de sa voisine. Elle obtient enfin les solutions : "J'ai mis des x, ça marche !"

## Seconde phase : vitesse moyenne et vitesse instantanée

A 8h 50, le professeur a bien avancé dans ses explications, et a demandé d'effectuer les calculs de vitesse moyenne. S. entre la formule de la vitesse moyenne, en recopiant l'écran rétroprojeté. Le professeur demande

de calculer la valeur de cette fonction pour des valeurs "proches de 0,8". Elle propose 0,7 et 0,9, et se concerte avec sa voisine sur la façon d'entrer ces valeurs. Elle tente sans succès d'utiliser la forme "|".

Pendant ce temps, le professeur commente en collectif le résultat obtenu, et demande d'affiner l'intervalle ("encore un peu plus près de 0,8") d'abord 0,79 et 0,81 puis 0,799 et 0,801. Pendant ce temps S. et A. s'interrogent sur leurs erreurs de syntaxe.

Le professeur intervient pour un élève qui n'a pas défini h, et s'étonne de ne pas obtenir les résultats, puis il demande d'approcher de la même façon la vitesse instantanée en 1,8 et 1.

S. et A. n'ont toujours pas terminé leur calcul pour la valeur 0,8. Le professeur demande à la classe le résultat pour la valeur 1,8 et le note au tableau. Il se prépare à faire de même pour la valeur 1, mais S. et A. l'interrompent "Vous allez un peu vite, nous on en est toujours là à faire ce calcul". Le professeur explique ce qui a été fait au rétroprojecteur, et elles recopient.

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

## Troisième phase : les tangentes

A 9 h, le professeur explique alors qu'on va "faire une vision graphique" de la notion, lui en donner une "interprétation graphique". Il fait le lien entre le coefficient directeur d'une sécante en deux points, et la vitesse moyenne entre ces deux points et rappelle le calcul du coefficient directeur.

S. entre *graphh(t)*, *t*. Elle obtient une erreur de syntaxe : il manque un espace ou des parenthèses. Elle supprime un des deux h et obtient le tracé d'une droite. Elle finit par corriger et obtient la parabole attendue. Elle doit ensuite effacer la droite et y parvient en passant dans la base de fonctions. Elle se fait expliquer par le professeur l'utilisation de la fonction Trace, et du Zoom. Elle zoome une autre fois en éloignant Ensuite, elle "zoome standard" par erreur, et se retrouve avec le tracé initial, mais le réticule a disparu. Elle zoome de nouveau sans retrouver le réticule. Elle s'interroge avec sa voisine sur "Zoom Dec", pose la question au professeur qui répond de façon évasive, puis s'en va. Quand il revient, il fait faire aux élèves un Zoom standard, puis zoomer avant plusieurs fois.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>
S. et A. hésitent sur les points à repérer puis décident de prendre "n'importe lesquels". Elles recopient les coordonnées de deux points qu'elles ont repérés sur la courbe, et passent dans l'application Home pour établir l'équation de la droite passant par ces deux points.

S. écrit la différence des ordonnées, puis la différence des abscisses.

Il y a ensuite une période de flottement assez longue, à l'issue de laquelle elle adapte une formule de colinéarité qu'elle lit sur la machine de sa voisine.

Elle obtient une équation implicite de la droite passant par ces deux points. En principe, c'est la pause, mais elles continuent à travailler.

Elle montre cette équation au professeur qui indique qu'il vaudrait mieux avoir "une équation y=...". Elle tente de résoudre en papier crayon l'équation implicite. Devant les difficultés rencontrées, elle interroge l'observateur. Celui-ci indique d'utiliser la fonction SOLVE pour faire résoudre à la machine.

Pendant ce temps certains élèves annoncent leurs résultats au professeur. Celui-ci les inscrit au tableau : $y=-5x+13$ $y=-6x+13,7$.

S. discute avec sa voisine de l'utilisation de la fonction Solve. Elle obtient sans difficulté une expression correcte, qui se simplifie en une équation réduite dont le second

membre est factorisé. Elle la développe avec la fonction Expand et annonce au professeur : "Comme le premier, -5 et 13".

Le professeur indique qu'on va faire une vérification graphique pour savoir quelle équation "donne la meilleure précision".

S. recopie dans la base de fonctions sa solution (elle tronque le coefficient directeur à deux chiffres décimaux et le terme constant à sa partie entière), et d'autres solutions inscrites au tableau.

Après différents essais de Zoom, elle obtient l'écran ci-contre :

Elle essaie ensuite une équation que lui a indiqué sa voisine (-4x +12.2). Curieusement, c'est l'équation exacte de la tangente en t=0,8.

Il est probable qu'un des redoublants l'a obtenue par calcul et qu'elle a ensuite diffusé dans la classe. A l'échelle

choisie cette solution paraît plus tangente : "C'est la vraie !" Elle zoome de nouveau pour

<table><tr><td>■ Graph h(t), t</td><td>Done</td></tr><tr><td>■ Graph h(t), t</td><td>Done</td></tr><tr><td>■ .9243 - .95588</td><td>-.03158</td></tr><tr><td colspan="2"><b>8.4251-8.25491</b></td></tr><tr><td>MAIN</td><td>RAD APPROX</td></tr><tr><td></td><td>FUNC 13/99</td></tr></table>

$$ \begin{array}{l} \bullet .9243 - .95588 \qquad -.03158 \\ \bullet -.03158(y - 8.2549) - .1702(x - .95588) \blacktriangleright \\ \qquad -.1702x - .03158y + .423380518 = 0. \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \bullet \left( \begin{array}{l} \color{red}{\sim} 5 \cdot 10^{-7} \cdot x + 13 \\ y = -5.3894870171 \cdot (x - 2.48754710928) \end{array} \right) \\ \bullet \text{ expand } \left( -5.3894870170994 \cdot (x - 2.48754710928) \cdot y + 13.4066028499 \right) \blacktriangleright \\ \text{ expand } \left( -5.3894870170994 \cdot (x - 2.48754710928) \cdot y + 13 \right) \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \sim 5 \cdot 10^{-7} \cdot x + 13 \\ \sim 6 \cdot x + 13.7 \\ \sim 7 \cdot 10^{-7} \cdot x + 12.4 \\ \sim 8 \cdot 10^{-7} \cdot x + 11.8 \end{array} $$

<figure><img src="image_12.png" /></figure>
constater la coïncidence de la courbe et de la tangente : "Elles sont pratiquement confondues... elle est tangente...". Elle note l'équation de cette tangente sur son compte-rendu.

Pendant ce temps, le professeur fait rappeler aux élèves la définition de la tangente. ("une droite qui n'a qu'un seul point commun, proche de la courbe, c'est une position limite du cas où il y a deux points d'intersection...") Il tente d'obtenir que les élèves précisent le coefficient directeur de la tangente ("aux alentours de combien ? ... de -5").

## Quatrième phase : l'approximation affine

Le professeur explique "qu'on va essayer d'avoir mieux le coefficient directeur". Il demande de calculer la position du corps à l'instant $0,8 + \Delta t$. Il est obligé de s'attarder sur un détail technique : la manière d'obtenir le caractère $\Delta$. S. et sa voisine suivent pas à pas.

Le professeur indique d'utiliser l'éditeur de données (*Data-Matrix Editor*) pour observer chaque terme. Elles passent dans ce module, effacent les données qui y sont présentes, puis entrent les titres, mais pas dans la bonne ligne.

Elles demandent au professeur comment entrer les données. Le professeur explique que le titre n'a pas à être en ligne 1 : "C'est du décor". Elles comprennent qu'il faut entrer des valeurs dans les cases des colonnes c1 et c2, et des formules dans les autres colonnes. S. hésite à entrer une formule comportant la fonction h en colonne 6. Le professeur la rassure "il y a une liaison entre les modules". S. est perdue, car les valeurs ne se calculent pas. Après un temps d'hésitation, et de concertation avec sa voisine, elle positionne le format *auto-calculate* sur *ON*.

Elle est inquiète car, à cause d'une question de largeur de colonne, son tableau n'est pas le même que celui que le professeur a fait afficher sur rétroprojecteur. Elle parcourt les cases du tableau, pour observer les résultats dans la ligne d'entrée. Mais elle ne s'y retrouve pas davantage, car le tableau du professeur a une ligne de plus. En fait, le professeur a entré une valeur de plus de $\Delta t$. De nombreux autres élèves sont perdus eux aussi, et le travail n'avance pas pendant plusieurs minutes. Le professeur s'aperçoit du problème et en donne les raisons. Puis il essaie, sur les quelques minutes qui restent, de tirer une conclusion, mais la séance se termine.

## D. Analyse

On sent, tout au long de la séance la volonté du professeur d'"avancer" pour présenter aux élèves les trois aspects du nombre dérivé. Il y est aidé, dans les phases collectives, par les résultats annoncés par les élèves, souvent redoublants qui vont le plus vite. La présentation des calculs au rétroprojecteur est aussi un moyen efficace de faire "recoller" les élèves qui comme S. et A. peinent à suivre.

Côté élève, l'activité prend la forme d'une suite de tâches. Le lien entre les tâches et avec le sujet n'apparaît pas toujours :

* On aurait pu s'attendre à ce que des valeurs de la vitesse moyenne sur des intervalles encadrant de plus en plus en plus finement 0,8, s'observent comme "convergeant" vers la vitesse instantanée. Or les deux vitesses moyennes calculées autour de 0,8 sont égales. Il en est de même autour de 1. Ce phénomène ne fait pas l'objet d'un débat chez les élèves.

* Dans la troisième phase, la recherche d'une droite approchant le mieux possible la courbe constitue une motivation importante. C'est ce qui conduit S. à abandonner son propre
résultat pour celui qui diffuse dans la classe. Comme, de plus, S. a utilisé une formule de colinéarité ne faisant pas intervenir le calcul du coefficient directeur, elle ne peut pas faire le lien avec la phase précédente.

* La quatrième phase vient tard en fin de séance, les difficultés techniques dominent.

Beaucoup de difficultés mathématiques sont levées par la donnée de formules. Les élèves rencontrent malgré cela des difficultés algébriques, comme en témoigne l'observation de S. particulièrement dans la première et la troisième phase. Ainsi, les élèves maîtrisent peu les aspects mathématiques des notions présentées et ne font pas le lien entre les différents aspects du nombre dérivé (cinématique, tangente, approximation affine).

En comparant avec la classe A, la séance a lieu, pour la classe B, deux mois plus tard dans l'année. Les difficultés de manipulation sont moins présentes que dans la classe A. Néanmoins, beaucoup des difficultés rencontrées par les élèves sont liées au fonctionnement de la TI92 :

* Confusion entre fonction et expression dans la première phase,

* Difficulté dans la syntaxe des fonctions Solve et Graph et du Zoom,

* Difficultés dans l'utilisation de l'éditeur de données.

Ces difficultés contribuent à ce que les élèves "ne décollent pas" de la tâche.

La classe B est ici beaucoup plus dirigée par le professeur. Les phases a-didactiques sont très courtes, vite interrompues par des synthèses collective. Cependant, l'impression domine, comme dans la classe A, que les élèves en restent à l'exécution de tâches, à la résolution de problèmes locaux, sans compréhension des notions abordées par le professeur.

En fait, introduire le nombre dérivé sous trois aspects dans la même séance est certainement peu réaliste. La TI92 peut rendre possible certains calculs, et permettre d'aller plus vite sur d'autres, mais elle ne résout pas les difficultés conceptuelles des différents aspects de la dérivée. Bien que cette séance diffère dans sa conception et dans ses conditions de mise en œuvre, de la séance sur l'introduction des dérivées, la conclusion que nous tirons est semblable : si l'on veut des situations réellement problématiques pour l'élève sans que soit perdue la cohérence globale de la situation, il nous faut organiser dans une ingénierie globale l'étude de la dérivation et des différentes situations qui lui donnent sens. C'est ce que nous expérimenterons en 1996-97, comme ce sera rapporté dans le prochain chapitre.
## OBSERVATION 3 :
### La cuve, un problème d'optimisation (Classe A)

#### A. Contexte et organisation

C'était, à la fin du mois de janvier un des premiers problèmes d'optimisation que les élèves rencontraient. La notion de dérivée avait été introduite à la rentrée de janvier, après une phase d'approche avant les vacances de Noël.

L'observation s'est déroulée dans les conditions suivantes : deux séances de recherche d'une heure en binômes par demi-classe suivies d'une heure de synthèse collective. Il était d'autre part demandé aux élèves de rédiger individuellement pour la semaine suivante un compte-rendu du travail effectué, prenant en compte la synthèse.

Le texte du problème est en annexe à la fin de ce chapitre. L'enseignante avait réalisé dans le module GEOMETRY de la TI92 rétroprojetable une représentation géométrique de la cuve qui servait à introduire collectivement le problème.

#### B. Le problème d'optimisation proposé

Il s'agit d'un problème d'optimisation classique mais nettement plus complexe sur le plan de la modélisation et sur le plan du traitement technique que les deux problèmes déjà traités par les élèves (aire maximum pour un rectangle de périmètre donné, aire minimum pour une boîte de conserve de volume donné). C'est pourquoi la modélisation était relativement guidée, l'enseignante pensant que les élèves ne pouvaient dépasser à ce moment de l'année le degré d'autonomie donné ici. Les deux variables x et h étaient donc introduites et l'on précisait qu'il fallait exprimer le volume en fonction de x seul.

Pour arriver à l'expression du volume, les élèves pouvaient :

* soit décomposer le volume en sous-volumes correspondant aux parois latérales et au fond de la cuve et additionner les volumes correspondants. Les risques d'erreurs dans ce cas étaient loin d'être négligeables (problèmes d'intersection, erreurs dans les évaluations de dimensions notamment).

* soit calculer le volume de béton comme différence entre le volume extérieur de la cuve et son volume intérieur, calcul facile dès que l'on avait déterminé les dimensions extérieures de la cuve puisque le volume intérieur était connu. Il fallait en revanche penser à utiliser une démarche soustractive.

Une fois cette expression obtenue, il fallait mobiliser la relation entre x et h fournie par la donnée du volume intérieur de la cuve pour éliminer la variable h.

Ces deux opérations faisaient donc de l'opération de modélisation une opération relativement complexe et l'enseignante avait prévu de faire le point au bout d'un quart d'heure environ, pour faire expliciter l'ensemble de la démarche.

Ensuite l'étude du problème commençait par une exploration graphique se situant dans la continuité des approches développées en seconde pour ce type de problème. Elle devait conduire à conjecturer l'existence d'un minimum pour la fonction obtenu approximativement pour x=2.
La résolution exacte commençait avec la question 3 dans laquelle on demandait de calculer la dérivée à la main. L'enseignante avait fait ce choix avec plusieurs objectifs :

* un objectif d'entraînement technique avec ici la possibilité ensuite de faire comparer divers modes de calcul suivant la forme choisie pour l'expression du volume : forme semi-factorisée : $V(x) = (x + 0.4)^2 (\frac{4}{x^2} + 0.2)$, forme développée ou fraction rationnelle et attirer l'attention sur l'importance d'un tel choix,

* un objectif de comparaison d'écritures algébriques, à partir des différentes formes trouvées, formes P/C et TI92. C'était la raison de la question 4.

La fin du problème était classique mais n'était pas techniquement évidente. En effet, la dérivée obtenue, à partir de l'expression développée était égale à

$$V'(x) = 0.4x - \frac{3.2}{x^2} + 0.16 - \frac{1.28}{x^3}.$$

La factorisation de cette expression n'allait pas de soi, sans la calculatrice. Si l'on partait pour le calcul de la dérivée de la forme semi-factorisée, la factorisation était plus facile mais l'étude du signe du second facteur : $1 - \frac{8}{x^3}$ risquait de poser problèmes aux élèves.

La TI92 permettait de mettre $V'(x)$ sous la forme : $\frac{2(x-2)(5x+2)(x^2+2x+4)}{25x^3}$. Ensuite, il fallait remarquer que $x$ étant positif le signe de $V'(x)$ était celui de $x-2$, pour aboutir au tableau de variation et conclure qu'il y avait bien un minimum et un seul pour $x=2$.

## C. Déroulement

Nous présentons d'abord succinctement la recherche de deux élèves A. et son voisin C. dans le deuxième groupe observé. On verra que l'enseignante, tirant les enseignements du fonctionnement du premier groupe, ne laissera pas les deux élèves « sécher » trop longtemps sur la modélisation. Dans le premier groupe, elle avait voulu laisser les élèves trouver plus autonomes et avait finalement dû intervenir à plusieurs reprises, finir par faire préciser collectivement les dimensions intérieures et extérieures de la cuve et insister sur la relation donnée entre $x$ et $h$ via le volume intérieur. La démarche soustractive avait, quant à elle, fini par diffuser.

9h15 : Après le lancement de la séance, A. écrit sur sa feuille : "Le volume de béton" puis elle s'arrête. Assez vite, l'enseignante (M.) qui circule dans la classe vient l'aider. Elle lui fait formuler que le volume extérieur est égal au produit : longueur, largeur, hauteur. Puis elle lui rappelle qu'avec ça, elle a aussi l'intérieur de la cuve. Puis M. passe à C. qui a écrit :

$$[(x+0.4)(x+0.4)(x+0.4)] - [(x+0.2)x \times x]$$

puis s'est lui aussi arrêté. Elle lui demande d'expliquer sa formule en montrant le début. C. répond que c'est un cube. M. lui montre alors la hauteur marquée sur la figure. C. acquiesce que ce n'est pas un cube mais en revanche ne voit pas comment faire les calculs sans h. M. lui conseille de les faire d'abord avec h, qu'il l'éliminera ensuite. Elle lui fait également préciser les dimensions extérieures et intérieures, remarquer le renseignement donné dans le texte (volume intérieur) et conclut en lui disant que donc il est prêt.
C. réécrit alors correctement le volume de béton sous la forme :

$$[(x+0.4)(x+0.4)(h+0.2)] - [h \cdot x^2]$$

A. a de son côté écrit :

Vint : h.x.x

Vext : (h+0.2)(x+0.2)(x+0.2)

A. regarde ce que fait C. et lui demande pourquoi il a mis x+0.4. Il le lui explique et elle corrige. Ensuite elle ajoutera une troisième ligne exprimant le volume de béton comme différence des deux volumes.

C. se lance dans des transformations algébriques de V(x) écrivant successivement :

$$V(x) = [(x+0.4)^2(h+0.2)] - [h \cdot x^2]$$

$$V(x) = [(x^2+0.16+0.8x)(h+0.2)] - [h \cdot x^2]$$

9h25 : Il peine ensuite sur le développement du produit de facteur. L'observateur (O.) lui dit qu'il peut s'aider de la TI. Il ne le fera pas.

A., après avoir demandé à C. comment il fait, transforme son expression en :

$$V(x) = [(x+0.4)^2(h+0.2)] - 4.$$

Ils comparent leurs résultats mais se trouvent tous les deux bloqués. O. réintervient au bout d'un moment et leur demande s'ils n'ont pas un renseignement qui leur permet d'exprimer h en fonction de x. Cette question débloque instantanément la situation. Ils écrivent $h=\frac{4}{x^2}$ puis font la substitution, arrivant enfin à : $V(x) = [(x+0.4)^2(\frac{4}{x^2} + 0.2)] - 4$.

Ils passent alors à la suite. C. entre la fonction V dans la calculatrice par *F4-Define* correctement, sans oublier de parenthèses, sans oublier non plus le signe de multiplication entre les deux facteurs. L'enseignante passe et il lui demande ce qu'il doit faire maintenant avec la calculatrice. M. lui dit de faire afficher V(x) pour voir ce que cela donne. Il obtient :

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

M. lui demande ce qu'a fait la machine (C. répond qu'elle a développé) puis le renvoie au texte du problème.

De son côté, A. a directement entré l'expression de V(x) dans Y= et elle demande à l'enseignante si ça va. M. acquiesce et s'en va.

C. passe dans Y=, entre y1(x)=V(x) puis fait tracer.
<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Il utilise ensuite TRACE et se positionne au minimum négatif qui est effectivement le minimum absolu. Il passe ensuite dans Tblset, fixe l'abscisse de départ à -4 et le passe à 1 et fait afficher un tableau de valeurs dans TABLE. Il passe ensuite à un pas de 0.1. Il va très vite dans ses manipulations et finalement stabilise l'affichage autour de -0.4 :

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

Pendant ce temps, A. rencontre des difficultés à obtenir le tracé. En effet, elle a l'option grille, ce qui lui donne ceci :

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

et ne sait pas comment s'en sortir. O. finit par lui expliquer comment faire.

C. est satisfait de ce qu'il a trouvé, note les valeurs trouvées dans TABLE et est prêt à passer à la suite. O. intervient une fois de plus pour lui faire remarquer que dans son problème, x est toujours positif. C. rajoute des valeurs absolues à -0.4, puis repasse dans TABLE pour voir l'évolution des valeurs, toujours par pas de 0.1 à partir de 0.
<figure><img src="image_18.png" /></figure>

A. lui demande comment il a fait pour obtenir le minimum. C. lui dit d'aller dans TABLE et lui montre sa machine. Elle ne comprend pas bien alors il s'arrête et lui explique comment utiliser Tblset pour fixer le départ à 0 et le pas à 0.1, puis dans TABLE faire défiler les valeurs jusqu'au minimum. A. lui demande si le minimum c'est 0. C. répond que non. A. fait alors les manipulations sur sa propre machine et déclare qu'elle trouve 2. C. est d'accord et ils notent le résultat obtenu sous la forme :

"La fonction semble avoir un minimum pour $x \approx 2."

A. rajoute à côté : ♦ Tblset.

9h40 : Ils passent ensuite au calcul de la dérivée. C. part du quotient donné par la machine, en posant : $u(x) = 25x^4+20x^3+4x^2+400x+80$ et $v(x) = 125x^2$. A. part de l'expression qu'elle a

obtenue : $V(x) = \frac{0.2[x^4 + 8x^3 + 16x^2 + 16x + 3.2]}{x^2}$ et prend pour $u(x)$ le terme entre crochets.

Elle n'a visiblement pas repéré que l'expression donnée par la machine contient les coefficients .8 et .16 et non 8 et 16. O. ne le voit pas non plus.

C. écrit la formule de dérivation d'un quotient avec un + au lieu d'un -. O. lui fait remarquer son erreur. Ensuite il utilise la calculatrice pour faire tous les calculs de coefficients. Il réduit ensuite l'expression obtenue à la main, obtenant :

$$ \frac{(650x^5 + 2500x^4 - 50000x^2 - 20000x)}{15625x^4} $$

Pendant ce temps, A. fait ses calculs complètement à la main et arrive à :

$$ \frac{4x^5+24x^4+32x^3+16x^2-2x^5-16x^4-32x^3-32x^2-6.4x}{x^4} $$

expression qu'elle réduit en :

$$ \frac{2x^5 + 8x^4 - 16x^2 - 6.4x}{x^4} $$

et elle rajoute enfin le coefficient multiplicatif : 0.2. Ce calcul est correct, compte tenu du point de départ.

9h50 : C. fait dériver à la machine et obtient : $\frac{2(5x^4 + 2x^3 - 40x - 16)}{25x^3}$. Il se demande si c'est la même chose que ce qu'il a déjà. M. passe et lui conseille de comparer les degrés. C. constate que du point de vue des degrés, ça marche s'il simplifie son numérateur par x, mais
trouve quand même les coefficients très différents. Pour comparer les deux résultats, il a l'idée de rentrer sa dérivée P/C et il constate alors que la machine lui renvoie l'expression de la dérivée machine. Il est très content et demande à A. où elle en est. A. a elle aussi fait calculer la dérivée à la machine. Elle est en mode automatique, ce qui explique les différences d'affichage.

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Elle obtient en effet :

$$ \frac{.4(x^4 + .4x^3 - 8x - 3.2)}{x^3} $$

qu'elle compare à sa valeur P/C :

$$ \frac{0.2(2x^5 + 8x^3 - 16x - 6.4)}{x^4} $$

et conclut que c'est bon.

9h55 : Ils passent à la question 5. C. définit la dérivée comme nouvelle fonction, en sachant rappeler l'expression sur la ligne de commande pour éviter de la retaper, puis il s'arrête ne sachant trop que faire. A. fait de même, en appelant u la nouvelle fonction. Elle l'entre dans Y= pour la faire tracer puis ne sait plus trop que faire non plus.

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

O. essaie de les aider, en leur demandant comment trouver le sens de variation. C. répond qu'il faut trouver le signe de la dérivée mais lorsque l'observateur leur demande s'ils peuvent le faire avec la machine, il n'obtient pas de réponse. O. demande alors s'ils peuvent le faire à partir du tracer de A. et ils y arrivent mais ils ne voient pas d'autre moyen possible.

**Note** : dans un autre groupe, un élève a pensé à demander les zéros de la dérivée mais il ne sait pas quoi en faire. M. l'aide à faire factoriser par la machine.
D. La synthèse collective

M. fait d'abord préciser les méthodes utilisées par les élèves pour calculer le volume. Les deux méthodes prévues ont été rencontrées mais, comme on pouvait s'y attendre, aucun élève ayant utilisé la méthode additive n'a abouti. M. ne rentre pas dans les détails de cette méthode et demande l'expression finalement trouvée par différence. M. l'entre dans la rétroprojetable puis fait raconter aux élèves ce qu'ils ont fait ensuite. Elle en profite pour montrer l'utilisation de la barre verticale "tel que" pour les substitutions.

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

Elle fait ensuite répertorier toutes les expressions différentes obtenues dans la classe à partir de la question : « Est-ce l'expression que vous aviez obtenue ? » et les écrit au fur et à mesure au tableau. Les élèves proposent bien sûr l'expression semi-factorisée et l'expression développée :

$$V(x) = 0.2x^2 + \frac{3.2}{x} + 0.16x + \frac{0.64}{x^2} + 0.032.$$

Elle demande comment obtenir cette expression à la machine. Les réponses oscillent entre *Factor* et *Expand* puis ce dernier l'emporte. Elle le fait et obtient une expression à coefficients fractionnaires qu'elle écrit au tableau. Il s'agit maintenant de savoir si elles sont égales, ce que les élèves vont vérifier collectivement, coefficient par coefficient. M. demande ensuite si l'on pourrait quand même obtenir la première forme à la machine et un élève propose de faire : ♦ ENTER. M. le fait et commente, en expliquant que la valeur approchée ainsi obtenue est en fait une valeur exacte car les dénominateurs des fractions sont des puissances de 5.

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

Elle passe ensuite à la définition et au tracé de la fonction qu'elle effectue à la rétroprojetable puis demande quelles sont ses particularités. Un élève dit qu'elle n'est pas définie en 0. A la question de M. : « Est-ce une surprise ? Pouvait-on le prévoir ? », après un moment de silence quelqu'un répond : « Oui, parce qu'il y a un x au dénominateur ». M. acquiesce puis revient au
problème physique posé, en faisant remarquer que x représente une longueur et que donc l'ensemble de définition de la fonction est ]0,+∞[.

10h30 : M. profite de la circonstance pour introduire la fonction *When* qui n'a jamais été utilisée encore. Elle va la chercher dans CATALOG, explique la syntaxe :

when (x>0, v(x), undef)

tout en faisant les manipulations : le symbole > est à aller chercher dans MATH Test, undef qui est un mot réservé, un nom de variable qui signifie que la fonction n'est pas définie... Ca va trop vite, les élèves sont perdus, ils n'arrivent pas à faire les manipulations correspondantes sur leur machine. Elle reprend en détail, en précisant que *when* on peut le taper directement puis en écrivant la syntaxe au tableau sous la forme : *when* (condition, valeur si oui, valeur si non).

Elle passe ensuite à l'écran graphique pour leur montrer que la portion gauche de la courbe a bien disparu, puis leur laisse le temps de faire eux-mêmes les manipulations.

Certains cherchent sans succès *undef* dans CATALOG. Elle leur conseille de le taper. Elle montre ensuite que l'affichage dans Y= se fait alors sur deux lignes puis précise qu'on aurait pu utiliser la même définition dans HOME.

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

On revient ensuite au graphe et M. demande si la fonction semble avoir un minimum. Les élèves répondent qu'elle semble d'abord décroissante puis croissante puis proposent d'utiliser *Trace* pour chercher le minimum. Elle le fait, tout en disant qu'avec 2nd ils peuvent faire bouger le curseur plus vite et arrive à un minimum entre 1.93 et 2.10.

Elle demande ensuite comment faire pour avoir quelque chose de plus précis. Plusieurs élèves proposent d'aller dans TABLE. Elle passe d'abord dans Tblset et conseille un pas de 0.1. Puis elle revient à TABLE et fait défiler les valeurs en commentant : « On a l'air d'avoir un minimum pour 2. Est-on sûr ? ». Réponse en choeur : « Non », qui confirme ce que laissait penser l'observation de C. et A., à savoir que l'attention des élèves a été attirée sur la distinction exact / approché. Elle prend un pas de 0.05 pour confirmer puis demande comment faire pour être vraiment sûrs. Un élève propose de faire F5-Min. Elle le fait, en commentant encore une fois : « Vous savez que la notion de minimum est une notion locale, alors on me demande l'intervalle sur lequel il faut chercher le minimum ».
<figure><img src="image_24.png" /></figure>

Finalement, elle obtient : 1.9999 et comme valeur 2.912 et demande : « Donc, la machine a-t-elle fait un calcul exact ? » Plusieurs élèves répondent non et elle insiste fortement sur le fait que, dans l'écran graphique, quand on utilise F5-Min, la machine ne calcule les valeurs que pour un nombre fini de points : 238-1 correspondant aux 238 pixels, entre xmin et xmax, qu'elle fait une table de valeurs pour ces points et ensuite donne la plus petite valeur de sa table, que c'est du calcul approché.

Après cette parenthèse, on revient à la question : comment trouver exactement ? A. propose la dérivée, parce que quand la dérivée s'annule, il y a un extremum. M. demande si c'est bien sûr et fait expliciter la condition de changement de signe. Elle revient ensuite aux quatre formes obtenues pour V(x) et demande laquelle choisir si on veut dériver à la main. L'accord se fait sur l'expression développée décimale, plusieurs disent qu'ils ont commencé avec les autres et ne s'en sont pas sortis. M. fait détailler ce premier calcul puis passe à la forme avec dénominateur $125x^2$ et conseille dans ce cas là de mettre $1/125$ en facteur pour ne pas avoir des coefficients trop compliqués. Elle passe ensuite à la forme semi-factorisée et là fait détailler les calculs car visiblement certains ont essayé et se sont trompés, en introduisant des fonctions intermédiaires. Le calcul de la dérivée de $(x+0.4)^2$ pose visiblement problème et les réponses fausses fusent. M. détaille la composition.

On arrive enfin au signe de la dérivée. L'expression de la dérivée dont on part est la dernière obtenue :

$$V'(x) = 0.4x \cdot (x + 0.4) \left(1 - \frac{8}{x^3}\right)$$

mais les élèves ne voient pas comment déterminer le signe du second terme. M. laisse ceci momentanément en suspens, revient à la dérivée donnée par la machine et la fait factoriser, obtenant :

<figure><img src="image_25.png" /></figure>
Les élèves retrouvent les valeurs 2 et -0.4 déjà rencontrées et il reste le trinôme du second degré. M. fait chercher les racines, et calculer mentalement le discriminant qui se trouve être négatif. Tout est préparé maintenant, M. fait détailler tous les raisonnements qui conduisent au signe de la dérivée, tracer le tableau de variation et conclure à l'existence d'un minimum en 2, en le faisant justifier soigneusement. Elle demande ensuite quelle est la valeur du minimum. Plusieurs élèves répondent 2.912. M. fait remarquer qu'a priori c'est une valeur approchée, la valeur exacte du minimum est V(2), soit : 364/125. En faisant ♦ ENTER, on obtient 2.912, mais a-t-on égalité entre les deux nombres ou seulement égalité approchée ?

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

C. dit que ça doit être égal parce qu'autrement y aurait d'autres décimales. M. fait lire 364/125 comme une fraction décimale et conclure. On conclut en cherchant la hauteur de la cuve : un mètre.

La séance se termine. L'enseignante demande aux élèves de rédiger individuellement un compte-rendu du travail effectué.

## E. Analyse

Le déroulement de cette séance est dans ses grandes lignes conforme à l'analyse a priori effectuée. On voit bien que l'autonomie donnée aux élèves dans la modélisation, bien qu'elle soit réduite, est déjà trop grande pour bon nombre d'élèves et que l'enseignante doit fortement aider cette modélisation. En particulier, il est clair que les élèves n'ont pas l'habitude d'avoir à gérer des éliminations de variables. Même si les situations fonctionnelles font souvent intervenir naturellement plusieurs variables, ce n'est pas eux qui ont à choisir dans les activités usuelles les variables pertinentes et le travail éventuel d'élimination est guidé pas à pas.

Une fois l'expression du volume obtenu, on rentre comme prévu dans une activité plus classique d'exploration graphique. On soulignera que les élèves observés sont en général sensibles (au-delà du binôme cité) au fait que TRACE ou TABLE ne donnent que des valeurs approchées, même si ces valeurs, comme c'est le cas ici, ont l'air de valeurs exactes. On voit sans doute là l'effet du travail soutenu sur ces questions, dans le cadre de l'instrumentation des calculatrices graphiques, au premier trimestre. Ce n'est pas aussi net pour F5-Min, dont le fonctionnement est plus caché et l'enseignante est obligée d'intervenir à ce niveau.

Pour le calcul de la dérivée, les élèves ne choisissent pas nécessairement la forme la plus économique, ce qui était prévu. Un certain nombre préfère partir du résultat machine, lui donnant sans doute une autorité supérieure à leur production P/C. C'est ici une erreur si l'expression machine n'est pas préalablement développée car cela les conduit à des calculs compliqués. En général, ils n'ont pas perçu non plus l'intérêt de la mise en facteur de coefficients numériques et ceci renforce la complexité des calculs à mener. Quant à ceux qui sont partis de l'expression semi-factorisée, ils ont rencontré des difficultés sérieuses,
l'expression dépassant les compétences de dérivation de la plupart des élèves à ce moment là de l'année. Néanmoins, dans les deux groupes, la plupart des élèves arrivent à obtenir l'expression de la dérivée et sont donc confrontés au problème intéressant de la comparaison avec la production machine. Le constat d'une différence est d'abord surprenant mais, le texte aidant, il n'est pas automatiquement attribué à une erreur dans le calcul P/C. Il faudra aider certains élèves à trouver des moyens de comparaison, tous n'y arrivant pas de façon autonome comme le groupe observé décrit plus haut, à ce moment de l'année.

Ce qui est aussi à remarquer, c'est que le fait de disposer de la dérivée et parfois même pour certains élèves de ses zéros ne rend pas l'étude du signe de la dérivée aussi facile que l'on aurait pu le penser. On retrouve ici un phénomène tout à fait cohérent avec les observations faites peu après lors du premier entretien. Confrontés à une situation plus complexe que les situations usuelles, ils se retrouvent démunis car ils n'ont pas réellement perçu l'intérêt de la factorisation dans l'étude du signe de la dérivée.

La synthèse collective ensuite se révèle tout à fait riche et peut fonctionner comme il avait été prévu. Les élèves y participent très activement et les difficultés qu'ils ont rencontrées mais que l'enseignante a aidé bon nombre d'entre eux à surmonter facilite la problématisation des questions que l'on souhaitait soulever. Il est clair que la complexité non standard de la situation est ici un atout pour soulever des questions intéressantes sur le plan mathématique que la confrontation aux situations gérables dans le seul environnement P/C à ce niveau d'enseignement, n'arrive pas aussi aisément à induire.

On notera aussi dans cette synthèse l'imbrication de l'avancée mathématique et de l'avancée dans la connaissance de la machine, l'enseignante saisissant visiblement toutes les opportunités qu'elle peut rencontrer, à ce moment de l'année tout au moins.

Cette séance est organisée suivant le dispositif en trois temps déjà utilisé dans la recherche DERIVE : recherche - synthèse - rapport de recherche. Ce dispositif nous semble ici bien adapté. On aurait pu cependant profiter de la dimension « rapport » pour engager les élèves dans un processus de généralisation. En effet, les valeurs obtenues pour le minimum cherché présentent certaines particularités : la valeur de x trouvée est la moitié de la mesure donnée pour le volume intérieur, la hauteur est le double de la valeur de x et l'on peut se demander si ces rapports particuliers sont ou non dépendants des paramètres du problème, à savoir l'épaisseur de la cuve et le volume intérieur. En fait, il y a indépendance de x par rapport à e, mais non par rapport au volume intérieur, la valeur minimum de x étant donnée par la racine cubique de $2V_0$, $V_0$ étant le volume initial. En revanche, dans tous les cas, la valeur de h trouvée pour le minimum est bien la moitié de la valeur de x. Il y a donc dans cette situation des régularités intéressantes à étudier. Cette généralisation aurait pu être soulevée à la fin de la séance, en relançant ainsi une recherche hors classe outillée par le travail de la synthèse. Les élèves ont la possibilité de tester les régularités éventuelles par d'autres choix de valeurs de l'épaisseur et du volume initial. Prouver ensuite l'indépendance conjecturée dans le cas de l'épaisseur, trouver l'expression de la dépendance dans le cas d'un volume intérieur quelconque, suppose que l'on introduise des paramètres et que l'on généralise à ce cas le travail réalisé dans les cas numériques. La machine le permet en assurant les calculs et factorisations de dérivée dans les mêmes conditions. Il est évident qu'on est là complètement sorti du type de travail accessible en papier/crayon à ce niveau, même avec aide.

Cette généralisation a été en fait présente dès la première année dans la classe de Caen et nous allons en rendre compte dans le paragraphe suivant.
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# OBSERVATION 4 :
## La cuve, un problème d'optimisation avec généralisation (Classe B)

### A. Contexte

Le même problème a été proposé aux élèves de la classe de Caen, à la fin du mois d'avril, lors d'une séance de 2 heures. Un problème du même type mais avec des données moins complexes avait été résolu au cours d'une séance précédente : « la boîte de petits pois ». Il s'agissait de déterminer les dimensions d'une boîte cylindrique de volume donné, afin de minimiser la consommation de matériau.

Le texte donné aux élèves était identique à celui proposé à Chartres mais proposait de plus deux généralisations, le professeur estimant qu'à ce moment de l'année, la résolution du problème ne prendrait pas les deux heures de la séance.

> Reprendre le même problème avec une épaisseur de la cuve de e mètres (le volume de la cuve est toujours $4m^3$)

> Reprendre le même problème avec une épaisseur de la cuve de e mètres, le volume de la cuve à réaliser étant $V_0$.

### B. Déroulement

Nous avons observé deux groupes de deux élèves (deux garçons R. Et S., deux filles E. Et L.) Dans chacun des groupes, les écrans de calculatrice d'un élève ont été enregistrés, et sont restitués dans ce compte rendu.

Nous avons également relevé 21 compte rendu d'élèves. Ces compte rendu nous permettent d'avoir un état de l'avancement de la recherche dans la classe et des méthodes utilisées.

#### Groupe R. et S.

Les écrans sont enregistrés sur la calculatrice de R.

A 8h20 le professeur présente le travail. Il précise qu'on laisse la liberté de travailler soit à la main, soit à la machine, mais que "pour que ce soit utile" et "dans l'optique du baccalauréat", on a imposé à certains moments du texte de travailler à la main.

Il indique qu'il s'agit d'un problème d'étude de fonction à partir d'une situation concrète analogue à la situation de "la boîte de petits pois".

Il indique qu'on essaiera ensuite "de faire un petit plus général" et que la calculatrice sera davantage utilisée.

Il donne des indications sur le compte rendu à produire, et lance le travail en précisant que, dans ce problème, la calculatrice "aide bien".

### Le cas numérique

8h25 Les élèves créent un nouveau répertoire
<figure><img src="image_27.png" /></figure>

R. travaille pendant une dizaine de minutes sur papier. Il établit h en fonction de x, puis V(x) sous forme d'une somme de trois termes : deux "grands" panneaux latéraux, deux "petits" panneaux latéraux et le fond. Il développe en papier crayon et obtient une fraction rationnelle qu'il entre dans la calculatrice. Il y a une erreur sur le terme en x³ du numérateur. C'est la conséquence d'une erreur de modélisation : dans les "petits" panneaux latéraux, il a pris h comme hauteur au lieu de (h+0,2).

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

8h45 Il graphe cette fonction, et fait afficher par la machine les coordonnées du minimum.

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

Il ne s'est donc pas aidé de la calculatrice pour la modélisation, et les transformations algébriques qui l'accompagnent. Ce comportement est général dans la classe. On voit très peu d'utilisation de la calculatrice avant 8h45. Un élève utilise sa CASIO fx7800 pour des calculs du type 0,8x0,2. Questionné par l'observateur, il répond que sa TI92 n'a plus de piles.

L'autre élève du groupe, S. se sert davantage de sa TI92 : il entre chacun des termes (panneaux latéraux, fond) et les fait développer. Il obtient une fraction rationnelle correcte, différente de

celle de R : $\frac{0,2(x^4 + 0,8x^3 + 0,16x^2 + 16x + 3,2)}{x^2}$. Comme R., il trace la courbe et fait afficher

le minimum, qu'il obtient pour x=2. Il considère que, ayant constaté un minimum, sa fonction "est la bonne".

9h00 R. et S. comparent leur courbe. R. est ennuyé par le fait que les minimums ne sont pas obtenus pour les mêmes valeurs. A l'aide de la calculatrice, il factorise, puis développe son expression pour pouvoir comparer avec S.

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

A partir de 9h20, il abandonne cette recherche. Une modélisation différente diffuse dans la classe : plutôt que de calculer panneau par panneau, on peut calculer la différence du volume extérieur et du volume intérieur. R. exprime V(x) sous cette forme, entre cette formule et
obtient la forme fraction rationnelle. Il fait développer et obtient la décomposition en éléments simples. Il constate que sa fonction est la même que celle de S. : "j'avais fait une erreur..."

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

Il fait tracer le graphe et afficher le minimum. Il porte sur son compte rendu la forme développée, et les coordonnées affichées du minimum : (2 ; 7,9).

9h25 Le professeur indique pour toute la classe les deux généralisations demandées. Il précise qu'on peut utiliser largement la calculatrice.

R. et S. continuent de travailler sur le cas numérique. Ils calculent la dérivée en papier crayon à partir de la forme développée. Ils appliquent correctement la formule de dérivation de $x^n$. La forme qu'ils obtiennent à la calculatrice diffère seulement sur la position du terme constant : il est en seconde position dans le calcul des élèves et en dernière position sur la machine. S. note "Non, ils n'ont pas la même forme. Il faut développer les résultats obtenus".

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

9h30 Ensuite R. et S. établissent le tableau de variations. Ce tableau est correct, mais la façon dont il est obtenu est curieuse. Sans chercher les zéros de la dérivée, ils portent la valeur $x=2$ dans le tableau. Ils calculent à la machine les valeurs de la dérivée pour $x=1$ et $x=3$, et indiquent dans le tableau le signe - sur l'intervalle $]0;2[$, et le signe + sur l'intervalle $]2; \infty[$.

9h40 L'observateur leur fait remarquer que la valeur 2 peut être une valeur approchée (elle a été obtenue par la machine à l'aide d'une méthode numérique). Il leur indique de mettre la dérivée sous forme d'une fraction rationnelle, et d'étudier le signe du numérateur, ce qu'ils font.

<figure><img src="image_33.png" /></figure>
9h50 Ayant obtenu la valeur 2 comme zéro de la dérivée, ils déclarent "C'est pareil". Ils ne factorisent pas le numérateur, mais calculent comme ci-dessus les valeurs du numérateur pour $x=1$ et $x=3$.

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

Dans le tableau de variations, R. porte la valeur exacte de V(2), calculée à la machine, alors que S. se contente de la valeur 3.

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

## Première généralisation

Ils abordent ensuite le problème général. R. déclare "C'est le même problème, il faut remplacer 0,2 par e. Je ne vois pas où est le problème". Sur son compte-rendu, il reprend la formule de calcul de V(x), raye 0,4 et écrit 2e. Il raye aussi 0,2 et écrit e. Vers 10h, il entre cette nouvelle formule dans la machine tente de la factoriser, mais, par la suite, sa recherche n'avance plus; la séance se termine à 10h05.

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

## Groupe L. et E.

Les écrans sont enregistrés sur la calculatrice de L.

## Le cas numérique

Les deux élèves travaillent pendant environ 15 minutes sur papier seulement. Elles se mettent d'accord sur une modélisation du volume de béton demandé : il suffit de faire la différence du volume extérieur et du volume intérieur. L. dit "Au grand, tu enlèves le petit". Elles notent sur leur compte rendu les termes "Volume du grand cube", et "Volume du petit cube", avec les formules correspondantes, et obtiennent une formule en $x$ et $h$ pour le volume de béton. Elles développent cette formule, toujours sans utiliser la calculatrice. L. a entouré la partie de la formule correspondant au volume intérieur, et a écrit =4 à côté.

Elles discutent un moment sur la présence des deux variables. L. pose des questions à E. "h, tu es obligée de le prendre ?"... "On n'a pas besoin d'avoir h ?" Elles résolvent à la main $hx^2 = 4$.
Elles tentent de simplifier la formule toujours sur papier, L. en conservant h, E. en l'éliminant.
Mais elles rencontrent des difficultés. L. a pris h au lieu de (h+0,2) pour la hauteur du volume
extérieur. E. simplifie $4/x^2 \times 0,8x$ en $0,32x^4$.

8h50 L'observateur suggère de vérifier à la calculatrice les développements faits à la main. Il demande à L. s'il n'existe pas une façon de remplacer h par sa valeur, de façon à l'éliminer de la formule.

L. entre sa formule (toujours avec l'erreur sur la hauteur), puis remplace à la main h par $\frac{4}{x^2}$.

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

9h00 En comparant avec S., elle découvre son erreur sur la hauteur du volume extérieur. Elle corrige, mais bizarrement ajoute aussi + 0,2 à la suite du h de la seconde partie de la formule.

Elle confie cette fois la substitution de $\frac{4}{x^2}$ à h à la machine.

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

9h09 Elle corrige, toujours par comparaison avec S. Elle obtient une erreur "Memory", suite sans doute à une erreur de substitution. Elle recommence, toujours en substituant à la machine.

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

Elle est satisfaite de la formule trouvée (identique à celle de S.).

9h10 E. et L. discutent alors de la suite du problème. Elles affectent la fonction à la fonction système y1(x) de façon à obtenir son graphe. Elles y parviennent après une erreur de syntaxe.
<figure><img src="image_40.png" /></figure>

Elles cherchent le minimum en suivant la courbe.

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

Elles notent sur le compte rendu "Oui (il y a un minimum) en x=2 et y=2,9 est le minimum".

9h25 Elles cherchent la dérivée à la main. La TI92 leur sert à exécuter des calculs sur les nombres décimaux.

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

9h30 Elles vérifient leur dérivée.

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

et notent : "les deux résultats ont la même forme".

Elles cherchent ensuite à tracer le tableau de variations. E. entre dans le tableur la dérivée et cherche à obtenir un tableau de valeurs. Elle fait également un tracé dans la fenêtre graphique. Elle lit la valeur 2, qu'elle porte dans son tableau de variations.

9h45 L. appelle le professeur et lui demande comment faire. Celui-ci indique de réduire au même dénominateur. Comme elles n'avacent pas davantage, l'observateur indique que la TI92 a une fonction pour réduire au même dénominateur.

E. "J'ai pas entendu ce qu'il t'a dit. Comment on fait pour réduire au même dénominateur ?"

L. "Tu vas dans F2, il y a ComDenom pour réduire au même dénominateur"

<figure><img src="image_44.png" /></figure>
A l'aide de cette fonction, la dérivée est mise sous la forme d'une fraction rationnelle.

9h50 Elles semblent perdues, à cause du numérateur de degré 4. L'observateur leur suggère d'utiliser la machine pour factoriser, ce qu'elles font.

$$ \text{factor}\left( \frac{.4 \cdot x^4 + .16 \cdot x^3 - 3.2 \cdot x - 1.28}{x^3} \right) \cdot \frac{.4 \cdot (x - 2) \cdot (x + .4) \cdot (x^2 + 2 \cdot x + 4)}{x^3} $$

Après cette factorisation, le professeur passe voir l'avancement du travail. Il est satisfait de la factorisation et les guide pour trouver le signe de la dérivée.

"Vous savez que x est positif. Que peut-on dire du signe de x^2, de x^3, de x+0,4 ? Positif, il reste juste à regarder le signe de x-2". Elles remplissent le tableau de variations et calculent à la main la valeur de h pour x=2.

## Seconde généralisation

10h00 L. et E. abordent d'emblée la seconde généralisation. Elles forment facilement l'expression du volume en se guidant sur la résolution précédente, et remplacent h par sa valeur.

F1 F2 F3 F4 F5 F6

■ expand((x + 2·e)·(x + 2·e)·(h + e) - x²·h)
e·x² + 4·e²·x + 4·e·h·x + 4·e³ + 4·e²·h

■ e·x² + 4·e²·x + 4·e·h·x + 4·e³ + 4·e²·h

$$ e \cdot x^2 + 4 \cdot e^2 \cdot x + \frac{16 \cdot e}{x} + \frac{16 \cdot e^2}{x^2} + 4 \cdot e^3 $$

L. cherche ensuite l'expression dans le cas plus général où le volume intérieur est quelconque, puis arrête de chercher jusqu'à la fin de la séance.

F1 F2 F3 F4 F5 F6

$$ e \cdot x^2 + 4 \cdot e^2 \cdot x + \frac{16 \cdot e}{x} + \frac{16 \cdot e^2}{x^2} + 4 \cdot e^3 $$

■ e·x² + 4·e²·x + 4·e·h·x + 4·e³ + 4·e²·h

$$ v \cdot \left( \frac{4 \cdot e}{x} + \frac{4 \cdot e^2}{x^2} \right) + e \cdot x^2 + 4 \cdot e^2 \cdot x + 4 \cdot e^3 $$

*e*h*x + 4*e^3 + 4*e^2*h

CUVE

RAD AUTO

FUNC 1/19

E. quant à elle, calcule la dérivée de l'expression obtenue pour le volume de béton, puis déclare : "On ne peut plus rien faire". L'observateur lui demande pourquoi. Elle répond : "On ne peut pas tracer de courbe". L'observateur indique qu'il y a des méthodes pour se passer du tracé : "Comme on a fait tout à l'heure". Elle factorise alors à la machine, interprète le signe de la fraction rationnelle en notant $e>0$, remplit le tableau de variations et déclare : "C'est la même chose (que dans le cas numérique)".
# C. Analyse

## La modélisation

Elle conduit à une expression rationnelle, de degré 4 au numérateur et de degré 2 au dénominateur, donc plus complexe que les expressions précédemment étudiées. Les élèves valident leur résultat par comparaison avec leurs voisins. La recherche d'erreur est difficile. Dans le cas numérique, peu d'élèves pensent à utiliser leur TI92 pour obtenir et transformer cette expression, alors que c'est précisément là qu'elle serait utile. Des fonctionnalités algébriques comme la substitution, le développement, la réduction au même dénominateur et même la résolution d'équation ne sont pas employés spontanément. Elles sont moins disponibles que les fonctionnalités d'analyse comme les calculs de dérivée ou les limites qui sont employées systématiquement pour vérification de calculs à la main.

Au début de leur résolution du le cas numérique, L. et E. utilisent ces fonctionnalités seulement sur la suggestion de l'observateur. Par contre quand L. opère sa recherche d'erreur, elle se sert davantage de la machine : d'abord pour développer, puis pour substituer. Tout se passe comme si, ayant fait des opérations algébriques à la main dans un premier temps, elle se sent suffisamment familière avec ces opérations pour les confier à la machine. De même, pour produire l'expression du cas général, elles se guident sur cette utilisation précédente de la TI92.

## La détermination du minimum

Dans le cas numérique, les élèves réinvestissent sans difficulté les notions vues dans l'année. Il est vrai que ce n'est pas le premier problème d'optimisation qu'ils ont à résoudre. L'observation du premier groupe (R. et S.) montre bien des perversions liées à l'utilisation de calculatrices graphiques : l'abscisse du minimum est observée sur la courbe, et non calculée comme zéro de la dérivée, le signe de la dérivée est obtenu en prenant des valeurs approchées, et non par raisonnement sur un tableau de signes. Il aurait sans doute été plus judicieux de donner des valeurs numériques n'entraînant pas une valeur entière de l'abscisse du minimum.

Le second groupe (L. et E.) est plus scrupuleux, mais est désorienté par l'expression de la dérivée, plus complexe que les exemples qu'ils ont eu à traiter. Ici aussi, l'apport de la TI92 est essentiel pour que les élèves puissent continuer leur travail.

La détermination du minimum lors des généralisations leur pose une difficulté, puisque, dans ce cas, l'étude numérico-graphique n'est plus possible. Cette difficulté, et la proximité de la fin de la séance, conduisent 3 des 4 élèves observés à arrêter leur recherche. La quatrième élève parvient sans trop de difficulté à une étude purement algébrique de la dérivée, en se guidant sur l'étude faite dans le cas numérique.

## Les productions des autres élèves

Parmi les 21 compte rendu relevés :

* Deux élèves ne produisent pas de résultats significatifs. Les difficultés algébriques du cas numérique les arrêtent.

* Deux élèves se contentent de donner la valeur de x minimisant la volume de béton dans le cas numérique. L'un ne donne pas de justification. L'autre justifie par une fonctionnalité (numérique) de la TI92 (F5 mini du module GRAPH).
* Les 17 autres élèves donnent les variations de $V(x)$ dans le cas numérique. Parmi ces 17 élèves, 8 obtiennent les variations par factorisation du numérateur de la dérivée. Cette factorisation d'un polynôme de degré 4 est obtenue à la machine dans 7 cas sur 8. Dans un cas, l'élève a anticipé le facteur $(x-2)$ et procédé par division. Dans 8 autre cas, les variations sont données sans justification, et on peut penser qu'elles ont été lues sur la courbe. Un élève donne des variations fausses.

* Douze élèves abordent la première généralisation. Parmi ces 12 élèves

* deux produisent seulement une formule du volume dépendant de l'épaisseur

* deux élèves trouvent seulement la valeur de $x$ minimisant le volume de béton. Ils obtiennent cette valeur en calculant à l'aide de la TI92, les zéros de la dérivée. Ces deux élèves avaient, dans le cas numérique, obtenu les variations par lecture de la courbe.

* huit élèves justifient les variations par factorisation du numérateur de la dérivée. A une exception près, ce sont ceux qui employaient cette procédure pour le cas numérique.

* Huit élèves abordent la seconde généralisation. Parmi ces 8 élèves

* deux élèves avaient trouvé la valeur de $x$ minimisant le volume de béton pour la première généralisation en calculant les zéros de la dérivée à l'aide de la TI92. Ils employent la même procédure ici.

* un élève calcule la dérivée, mais ne donne pas ses variations

* cinq élèves produisent la factorisation donnée par la TI92 : $\frac{-2e^{2v-x^3}(x+2e)}{x^3}$ et concluent sur la valeur de $x$ minimisant le volume de béton. L'un d'eux donne comme valeur de $x$ minimisant le volume de béton $3\sqrt{2v}$. Les autres donnent la valeur exacte sous la forme $\sqrt[3]{2v}$. Il est à noter que cette forme est différente de la forme donnée par la TI92 : $(2v)^{1/3}$. On peut donc penser que ce résultat a été obtenu par résolution de $2v - x^3 = 0$ sans utilisation de la TI92.

## Bilan : nécessité d'une dévolution spécifique de la généralisation

Dans la classe B, le problème est posé bien plus tard dans l'année que dans la classe A. C'est la conséquence des choix différents de progression dans les deux classes : dans la classe A, approche des limites, dérivation puis calculs de limites ; dans la classe B, limites et calculs de limites avant la dérivation. Il n'est donc pas étonnant que les élèves de la classe B soient plus à l'aise avec ce problème et avec l'utilisation de la TI92 que ceux de la classe A. Ils ont assez bien intégré la recherche d'extremum dans le cas numérique, même si, dans de nombreux cas, leur procédure de recherche s'appuie fortement sur les capacités numériques de la TI92 dans ce domaine. Ils rencontrent néanmoins d'importantes difficultés algébriques, et, pour les élèves observés, il faut une aide importante de l'observateur pour qu'ils utilisent les capacités algébriques de la TI92.

Ce n'est pas le premier problème d'optimisation que les élèves ont eu à résoudre dans cette classe. Mais ces problèmes ont été abordés seulement dans le cas numérique. C'est pourquoi,
la généralisation apparaît ici la partie la plus féconde. En premier lieu, elle conduit à l'utilisation consciente des fonctionnalités algébriques de la TI92, par généralisation des calculs faits dans le cas numérique. On voit ainsi l'élève L. prendre progressivement confiance dans les calculs opérés par la TI92 et confier une part de plus en plus importante de ces calculs à la machine.

De plus, la généralisation conduit les élèves à constater les limites de leurs procédures de recherche d'extrema numérico-graphique, et motive ainsi l'étude algébrique de la dérivée. On voit ainsi, dans les compte rendu, deux élèves passer d'une observation de la courbe dans le cas numérique, à une résolution algébrique : la recherche des zéros de la dérivée.

La lecture des compte rendu montre que la TI92 rend possible l'étude des généralisations. D'une part elle autorise la manipulation d'expressions algébriques à plusieurs variables, trop complexes en papier/crayon. D'autre part elle permet la factorisation de la dérivée, qui ne serait pas accessible aux élèves en papier crayon.

Cependant, la généralisation n'atteint pas ici sa pleine efficacité. A l'image des deux groupes observés, peu d'élèves dans la classe ont résolu les deux phases de la généralisation. De plus, il n'est pas sûr que l'intérêt mathématique de ce travail de généralisation ait été réellement ressenti par les élèves. Le texte propose de reprendre le même problème dans deux contextes différents, de plus en plus généraux et les élèves le font, respectant en cela le contrat didactique mais sans plus. L'insertion des prolongements dans le texte de la fiche proposée aux élèves ne semble donc pas, au vu de l'observation menée, suffisante pour permettre d'exploiter réellement les potentialités de la situation par rapport à la généralisation et la problématiser de façon satisfaisante. Pourquoi chercher à généraliser si n'apparaissent pas des phénomènes intéressants, des régularités dont on a envie de tester la résistance ? Pour des élèves de ce niveau, se poser spontanément ce type de question ne va pas de soi et nous semble nécessiter une mise en scène, une dévolution spécifique.

L'expérimentation du même problème avec sa généralisation l'année suivante dans les deux classes prendra en compte cette nécessaire dévolution. Cette situation y fonctionnera d'autant mieux qu'elle s'adressera alors à des élèves qui disposent cette fois de la machine depuis le début de l'année. Ceci permettra de mettre en scène la première généralisation dans le cadre même de la séance en classe, les élèves ayant à étudier hors classe le problème de la dépendance du minimum par rapport à la valeur choisie pour le volume intérieur. Les rédactions produites par les élèves seront en général de très bonne qualité et montreront qu'ils ont su exploiter la TI92 dans la généralisation à une situation dépendant de paramètres des calculs effectués dans le contexte initial.
Annexe : Enoncé donné aux élèves

Un maçon doit réaliser une cuve en béton parallélépipédique de base carrée de 20 cm d'épaisseur et pouvant contenir 4m³

On désigne par x (en m) le côté du carré intérieur et par h (en m) la hauteur intérieure de la cuve.

On veut déterminer x et h pour que le volume de béton utilisé soit minimal.

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

1) Exprimer le volume de béton en fonction de x seul. On notera V(x) ce volume.

2) Tracer la courbe représentative de V avec votre calculatrice.

3) La fonction V semble-t-elle avoir un minimum ?

4) Si oui, pour quelle valeur de x est-il approximativement obtenu ?

5) Calculer V'(x) à la main.

6) Vérifier votre résultat avec la calculatrice. Les deux résultats ont-ils la même forme ? Comment être sur qu'ils sont identiques ?

7) Justifier le sens de variation de la fonction V. V admet-elle un minimum ? Déterminer alors les dimensions de la cuve pour lesquelles ce volume est minimal.

Prolongement (classe B) :

8) Reprendre le même problème avec une épaisseur de la cuve de e mètres. (le volume de la cuve est toujours 4 m³)

9) Reprendre le même problème avec une épaisseur de la cuve de e mètres. Le volume de la cuve à réaliser étant V₀.
# Chapitre 2
## Ingénierie : introduction des limites et dérivées

Après les observations de l'année 1995-96, les chapitres 2 et 3 exposent les ingénieries développées au cours de l'année 1996-97. Ce chapitre 2 est consacré à l'introduction des notions, alors que le chapitre 3 est orienté vers les propriétés algébriques et l'utilisation des notions comme outil.

Nous présentons trois ingénieries dans ce chapitre :

La première ingénierie concerne le travail sur les expressions et les fonctions préliminaire à l'analyse. Ce travail nous semble indispensable car les premiers apprentissages en analyse s'appuient sur des compétences dans le domaine des expressions et des fonctions, et les compétences en algèbre sont loin d'être solides pour bon nombre d'élèves à l'entrée en première S.

L'objectif de la seconde ingénierie est de mener une première approche des limites, préparatoire à la notion de dérivée. Nous restreignons volontairement l'étude aux limites en 0, en nous appuyant sur les conceptions spontanées des élèves. Les dimensions numériques et graphiques du concept sont développées, la commande *limit* de l'application HOME étant introduite ultérieurement, lors de l'étude des propriétés algébriques, exposée au chapitre suivant.

La troisième ingénierie introduit les dérivées. Nous avons essayé de nous appuyer sur les résultats des observations rapportées au chapitre précédent, et de prendre en compte les différents aspects du concept et les difficultés de leur articulation : les dimensions « outil » et « objet », les différents registres sémiotiques dans lesquels il s'exprime, les divers points de vue géométrique, cinématique, numérique, algébrique. Dans une première présentation de la notion, il importe d'opérer des choix pertinents dans ces différents aspects, de prendre en compte les limites des compétences algébriques des élèves ainsi que la nécessité pour eux de reconstruire le concept de tangente. Nous proposons donc un travail sur la dérivation en sept phases, dont deux seulement sont traitées dans ce chapitre.
<figure><img src="image_46.png" /></figure>
# INGENIERIE 1

## Le travail algébrique et fonctionnel préparatoire à l'analyse

Divers travaux didactiques montrent que l'égalité d'expressions algébriques n'a pas forcément un statut clair, que le calcul algébrique n'est pas encore un outil opérationnel et qu'en particulier les élèves ont des difficultés à piloter les calculs, en fonction de l'objectif visé, en prenant en compte à la fois le sens et la référence des expressions (Drouhard, 1995). La notion de fonction occupe une place importante en seconde mais en dépit de l'accent mis par les programmes sur la modélisation, l'accès à la pensée fonctionnelle demeure limité (Pihoué, 1996). Les élèves ont pris l'habitude de travailler avec des calculatrices graphiques, mais ce travail reste le plus souvent d'ordre privé et les élèves, divers travaux le montrent, sont peu sensibles aux spécificités des tracés machine et aux effets induits (Trouche, 1996).

Ces difficultés algébriques nous conduisent à travailler les notions d'expressions et de fonctions au début de la classe de première S, en parallèle avec le développement d'un premier niveau d'instrumentation de la calculatrice, visant l'application HOME de calcul formel et son interaction avec les applications de tracé graphique et de tables de valeur, déjà présentes sur leurs calculatrices graphiques.

Cette première instrumentation de l'application HOME doit prendre en compte le fait que les expressions entrées dans la machine sont automatiquement évaluées par cette dernière, cette évaluation ne conduisant pas nécessairement aux formes de présentation conventionnelle des expressions. Il est donc important que les élèves soient sensibilisés à ce phénomène et apprennent à identifier les transformations formelles opérées, à contrôler économiquement l'équivalence d'un résultat obtenu en papier/crayon et la production de la machine et, dans une moindre mesure, à piloter la machine pour lui faire produire des formes qu'elle ne produit pas spontanément.

La machine, de plus, si elle gère formellement les calculs, laisse à la responsabilité des élèves, jusqu'à un certain point, le contrôle des conditions de validité des calculs effectués. C'est en particulier le cas dans la manipulation d'expressions avec des quotients, des radicaux ou dans la résolution d'équations contenant de telles expressions. Il nous semble là aussi important que l'élève apprenne à savoir ce qu'il peut déléguer à la machine et ce qui reste à sa charge, en dehors de toute question de contrat didactique.

Dans l'expérimentation, la gestion de ces questions d'instrumentation se fait bien sûr, en continu, en fonction des opportunités rencontrées. Il nous a semblé cependant nécessaire de construire quelques situations permettant de les travailler plus systématiquement et permettant aussi de constituer, au sein de la classe, une référence. Elles ont visé plus particulièrement :

* le travail sur l'égalité et le sens des expressions algébriques,

* la résolution d'équations assistée par la TI92,

* l'interprétation et la gestion des représentations graphiques fournies par la TI92,

* la modélisation et l'étude de situations fonctionnelles.

Dans ce rapport, nous avons choisi de présenter la première et la dernière. Précisons que, pour ce qui est du travail graphique, nous nous sommes très étroitement inspirés du travail effectué à l'IREM de Montpellier sur les calculatrices graphiques et déjà publié (Guin, Delgoulet, 1997).
# SITUATION 1 : expressions algébriques

## A. Contexte et objectifs

Cette séance, expérimentée en début d'année, alors que les élèves ne disposaient des calculatrices TI92 que depuis quelques jours seulement, vise à travailler sur les expressions algébriques en s'inspirant de situations élaborées par J. Delgoulet (Guin, Delgoulet, 1997) dans le cadre de l'expérimentation réalisée en seconde en 1995-96.

Il s'agit d'utiliser les transformations d'expressions algébriques possibles dans l'application HOME pour susciter un travail sur l'égalité d'expressions algébriques, notion qui n'est pas nécessairement bien maîtrisée par des élèves entrant en première S, élaborer des moyens de contrôle efficaces et économiques, enfin amorcer une réflexion sur l'intérêt de choisir tel ou tel type de forme par rapport à tel ou tel type de tâche.

Sur le plan de l'instrumentation de la TI92, il s'agit d'attirer l'attention des élèves sur le fait :

* que les expressions entrées dans l'application HOME sont traitées par la calculatrice en affichant sur la partie gauche de l'écran, une représentation spatiale de l'expression entrée en ligne et sur la partie gauche le résultat du traitement,

* que le traitement effectué peut, plus ou moins modifier l'expression, qu'il ne correspond pas nécessairement à une simplification de l'expression au sens usuel du terme en classe et peut produire des expressions tout à fait inattendues,

* que ce traitement peut faire intervenir des simplifications qui ne sont pas nécessairement toujours valides et qu'il importe donc d'apprendre à contrôler les productions de la machine (après avoir contrôlé sur la partie gauche de l'écran que l'on a bien entré ce que l'on voulait entrer) et à déterminer éventuellement le champ réel de validité de l'égalité entre expressions.

Il s'agit aussi de les familiariser avec les transformations d'expressions permises par les commandes usuelles : *Expand*, *Factor*, *comDenom*, de leur montrer les différences entre les deux formes de factorisations associées à la commande *Factor* et, de leur apprendre à gérer ces commandes pour organiser le passage entre deux expressions données.

## B. Activités proposées

Elles sont au nombre de quatre.

### Activité 1

Un certain nombre d'expressions rationnelles sont proposées. L'élève doit les entrer dans la machine, noter l'expression affichée par la TI92 et essayer d'exprimer mathématiquement le traitement effectué.

On a choisi ici volontairement des expressions d'une complexité que les élèves sont susceptibles de rencontrer à ce niveau. Les expressions sont choisies pour faire jouer les formes de traitement suivantes : développement, factorisation, simplification par un facteur (choisi pouvant s'annuler en fonction des objectifs décrits plus haut), décomposition en éléments simples, changement d'ordre des termes, renvoi de l'expression initiale, qui sont celles rencontrées avec les fractions rationnelles.
Bien d'autres choix d'expressions rationnelles sont bien sûr possibles avec les mêmes choix de variables didactiques.

On pourrait également mener un travail analogue avec des expressions incluant des radicaux.
Pour une séance d'une heure, comme c'est le cas ici, il nous semble cependant plus efficace
de centrer le travail sur les seules expressions rationnelles.

A

B

C

D

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>Ecran 1</figcaption></figure>

D

E

F

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>Ecran 2</figcaption></figure>

On notera également dans le choix des expressions, dans l'expression B, le signe « - », en première place, pour attirer l'attention sur les erreurs liées à l'existence de deux signes « - » sur la TI92 et le message d'erreur correspondant (syntax error), le facteur « x » précédant la parenthèse pour attirer l'attention sur la nécessité de rajouter le signe de multiplication et le message d'erreur correspondant (invalid implied multiply).

## Activité 2

On explore pour les mêmes expressions le fonctionnement des commandes *expand*, *factor* avec et sans variable précisée, et *comDenom* pour les expressions non polynomiales. Le fait de choisir les mêmes expressions permet de limiter le travail de frappe, une contrainte se rajoute : choisir des expressions qui donnent une palette de transformées plus ou moins riche. Ici par exemple, l'expression E est simplifiée en 1/x quelle que soit la commande, l'expression D permet de différencier le fonctionnement de *factor* et de *comDenom*. On s'aperçoit également que les traitements automatiquement opérés sur les expressions C et D correspondent au fonctionnement de la commande *expand* mais que ce n'est pas le cas pour l'expression F.

## Activité 3

Trois expressions sont proposées et pour chacune d'elles trois expressions sont candidates à l'égalité. Il s'agit de déterminer dans chaque cas celles qui sont égales, en se servant de la calculatrice. Les expressions candidates à l'égalité sont choisies pour être toutes des expressions a priori crédibles, par exemple les degrés, les racines évidentes, la valeur en 0 sont respectées pour la première expression, les singularités respectées pour les expressions 2 et 3.

On peut, dans tous les cas, résoudre le problème avec la TI92 par un test d'égalité mais ce n'est pas la méthode la plus économique car elle oblige à rentrer toutes les expressions ; elle ne permet pas non plus de rentrer dans les raisons de l'égalité ou l'inégalité. Il nous semble bien plus probable que les élèves se situeront dans la continuité de ce qui précède et essayeront de prévoir des modes de passage entre expressions.

Pour l'expression 1 :
$$ egin{array}{c} G \quad x^6 - 1 \\ I \quad (x-1)(x+1)(x^4 + x^2 + 1) \end{array} \quad \left| \begin{array}{c} H \quad (x^2 + x + 1)(x+1)(x^3 - 2x^2 + 2x - 1) \\ J \quad (x+1)(x^2 - x - 1)(x^3 + 2x^2 + 2x + 1) \end{array} \right. $$

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>Ecran 3</figcaption></figure>

<caption>Ecran 4</caption>

Dans la mesure où les trois expressions H, I et J proposées sont des produits de facteurs avec des coefficients entiers, on peut penser que les élèves vont d'abord utiliser la commande *factor* pour factoriser G, l'expression la plus simple à entrer. On obtient ainsi la factorisation à quatre facteurs figurant dans l'écran 3, qui ne correspond à aucune des expressions proposées, ce qui résulte bien sûr d'un choix délibéré. En revanche, l'expression H contient déjà deux des facteurs de la factorisation de G. Pour vérifier l'égalité, il suffit donc de vérifier que le produit des deux autres facteurs est bien égal au premier facteur de H, ce qui peut se faire à la calculatrice, soit en développant par la commande *expand* le produit de facteurs (cf. écran 3), soit en factorisant le premier facteur de H. La seconde expression proposée : I peut se gérer de la même façon.

Pour l'expression J, compte-tenu de la similarité avec l'expression H, on peut penser à une comparaison avec H qui a été prouvée égale à G, comme par exemple celle proposée dans l'écran 4. Obtenant deux polynômes du cinquième degré de coefficients différents, on peut penser que les élèves n'hésiteront pas à conclure que les deux expressions ne sont pas égales. Dans le bilan, on pourra revenir sur ce pas de raisonnement et sur la propriété qui le fonde : une fonction polynôme est la fonction nulle si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

Nous avons ici cherché à limiter les entrées en tenant compte des facteurs communs. Une méthode plus brutale peut consister à entrer successivement les trois expressions H, I et J et à les faire développer. Dans les deux premiers cas, on obtiendra l'expression G, dans le troisième cas, on obtient le polynôme de degré 6 : $x^6+2x^5-4x^3-6x^2-4x-1$.

On peut aussi tester l'égalité en donnant des valeurs numériques à x. Les élèves, à ce niveau, ne savent pas que si deux polynômes de degré n prennent les mêmes valeurs pour n+1 valeurs distinctes de x, ils sont nécessairement égaux, le test ne peut donc leur permettre de conclure qu'en cas de réponse négative. Essayer une ou deux valeurs simples, dans un environnement papier/crayon peut être une stratégie économique, limitant les calculs algébriques à effectuer. Par exemple, pour x=0, les quatre expressions prennent la valeur -1, mais pour x=1, G, H et I prennent la valeur 0 et J la valeur -12. J ne peut donc être égale à G. On peut penser que la calculatrice ne va pas inciter à développer de telles stratégies. En effet, d'une part le coût faible des développements n'oblige pas à s'économiser de la sorte, d'autre part, le calcul de la
valeur d'une expression pour une valeur de la variable va passer, soit par l'entrée de l'expression et l'affectation d'une valeur à x (par exemple : x⁶-2 | x=1), soit la définition de l'expression comme fonction et la demande ensuite de sa valeur pour une valeur de la variable. Ceci n'est avantageux que si l'on a plusieurs valeurs à calculer successivement. Néanmoins, il peut être intéressant de pointer le test de valeur comme méthode dans la synthèse collective, même s'il n'est pas apparu. Outre son intérêt en environnement standard, c'est une occasion de revenir sur le sens de l'égalité.

Pour l'expression 2 :

$$
\begin{array}{ll}
\text{G} & \displaystyle \frac{x^2 - 6x + 2}{2x - 1} \\
\text{I} & \displaystyle \frac{-11x + 4}{4x - 2} + \frac{x}{2}
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{ll}
\text{H} & \displaystyle \frac{3}{4(2x-1)} - \frac{x}{2} + \frac{11}{4} \\
\text{J} & \displaystyle \frac{(x + \sqrt{7-3})(x - \sqrt{7-3})}{2x-1}
\end{array}
$$

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>Ecran 5</figcaption></figure>

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>Ecran 6</figcaption></figure>

Les expressions proposées H et I étant des sommes, l'expérience de l'activité 1 peut conduire les élèves à développer G pour tester l'égalité (cf. Ecran 5). Ceci permet de repérer que H est l'opposée de G, donc que, vu que l'on n'a pas : pour tout x G(x)=-G(x), G et H ne sont pas égales. On peut penser que cette dernière partie du raisonnement sera omise par les élèves qui concluront immédiatement.

De même, la forme factorisée avec radicaux de J peut conduire les élèves à faire factoriser G, en utilisant la deuxième commande de factorisation. On obtient ainsi sans difficultés l'égalité de J et G (cf. Ecran 6). Pour l'expression I, qui est elle aussi égale à G, diverses méthodes sont possibles. Sur l'écran 5, nous avons exploité la présence du x/2 et utilisé la commande de réduction au même dénominateur.

Pour l'expression 3 :

$$
\begin{array}{ll}
\text{G} & \displaystyle 3 - \frac{1}{x} + \frac{16}{x-7} \\
\text{I} & \displaystyle \frac{-3x^2 + 6x - 7}{x(x-7)}
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{ll}
\text{H} & \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{3x-5}{x-7} \\
\text{J} & \displaystyle \frac{(3x+7)(x+1)}{x(x-7)}
\end{array}
$$
<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>Ecran 7</figcaption></figure>

L'expression G est donnée développée. Si on la fait factoriser par la machine, on obtient l'expression figurant sur l'écran 7 qui, par un raisonnement analogue à celui effectué pour l'expression 1, permet de conclure à la non égalité de G et I. La TI92 n'ayant pas factorisé le numérateur, l'expression J n'est sans doute pas égale à G. On peut le vérifier aisément en considérant une valeur particulière, racine de J : J s'annule pour x=-1, ce n'est pas le cas à l'évidence pour l'expression G. Mais on peut penser que les élèves choisiront plutôt de faire développer J ou son seul numérateur pour conclure. Enfin la comparaison de G et H peut, elle aussi, être traitée de différentes façons : réduction au même dénominateur, développement de la différence G-H ou d'une différence partielle comme dans l'Ecran 7, pour tenir compte du facteur 1/x commun aux deux expressions au signe près.

Comme ce qui précède le montre, l'utilisation de la TI92, en rendant ici compétitives une diversité de méthodes de comparaison, modifie l'économie de ce type de tâche et sa richesse potentielle sur le plan mathématique. Le fait collectif, associé à la proximité de l'activité 1, permettent de faire l'hypothèse que vont apparaître des méthodes variées susceptibles de susciter une synthèse riche, tant sur le plan mathématique que sur le plan de l'instrumentation de la calculatrice.

## Activité 4

Il s'agit de trouver avec la TI92, le moyen de passer d'une expression A à une expression B et vice versa. De B vers A, le passage est immédiat par *expand* (à l'ordre des termes près), de A vers B, l'utilisation de la commande *comDenom* donne le quotient non factorisé, l'utilisation de la commande *factor* donne le quotient factorisé au numérateur et dénominateur. Il faut donc procéder en deux temps.

A

B

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>Ecran 8</figcaption></figure>
### C. Déroulement

10h15 : L'enseignante (désignée par M. dans la suite) fait sortir cahiers et machines et distribue la fiche de séance. Elle rappelle qu'il faut bien faire attention à ce qu'il n'y ait pas de variable affectée et demande comment libérer les variables. Les réponses fusent : F6. Même chose avec la question suivante : comment nettoyer l'écran ? F1-8. Elle précise qu'elle leur donne 10 minutes pour la première question, installe la rétroprojection puis circule dans les rangs. Ceci l'amène à faire préciser où lire sur l'écran ce qu'elle demande de noter. Plusieurs élèves répondent simultanément (noté Es dans la suite) : « à droite ».

10h20 : M. écrit au tableau les expressions. Dans le groupe observé (sans moyens spécifiques), A. (le garçon) en est à la 2ème expression, B. (la fille) déjà à la quatrième.

Un élève appelle M. En rentrant la deuxième expression, il a obtenu un message d'erreur. M. répercute collectivement et rentre l'expression, comme l'a fait A. sans signe de produit. Plusieurs réagissent immédiatement : il a oublié le signe multiplié.

M. acquiesce et demande de noter.

M. intervient auprès d'un autre élève ; visiblement il n'a pas rentré correctement l'une des expressions et s'étonne du résultat. M. lui indique son erreur et là encore répercute collectivement en conseillant de bien vérifier à gauche sur l'écran, si ce qui a été entré est correct.

F'le leur conseille aussi de rentrer d'abord toutes les expressions et de noter avant de chercher à identifier les transformations faites par la machine.

A. appelle M. qui lui explique que ses problèmes sont dus au fait qu'il n'est pas en *pretty print* ; elle lui montre comment s'y mettre.

A. et B. ont maintenant fini de rentrer les expressions. Ils discutent ensemble de ce qu'a fait la machine, reconnaissent développement et factorisation, mais n'écrivent rien.

M. presse les quelques retardataires.

10h30 : M. fait un bilan collectif, expression par expression. Elle entre les expressions sur la rétroprojetable et pendant ce temps, des élèves, à tour de rôle vont écrire le résultat au tableau, ce qui permet de conserver l'information. Chaque fois, les élèves précisent ce qu'a fait la machine : « Elle a développé », « Elle a factorisé », « Elle a changé l'ordre, rien d'autre ». Pour la seconde, elle fait détailler la factorisation en demandant comment passer de l'expression entrée à l'expression donnée par la machine $(x-3)(4x-3)$. Elle les aide à formuler que $(-x+3)^2$, c'est la même chose que $(x-3)^2$ car $(-x+3)$ et $(x-3)$ sont opposés donc ont leurs carrés égaux.

M. passe ensuite à la quatrième expression. Un élève dit : « Elle a évité qu'il y ait un $x$ en haut », d'autres font remarquer qu'il y a $\frac{2}{x}$ des deux côtés, qu'elle a juste transformé : $\frac{x}{x-2}$ en $\frac{2}{x-2} + 1$.

10h35 : M. leur demande de le vérifier eux-mêmes à la main, commence à circuler et très vite reprend collectivement : « Comment passer de la première expression à la seconde ? » Un élève propose d'écrire 1 comme $\frac{x-2}{x-2}$. Le calcul est écrit au tableau et M. fait remarquer que cela revient à réduire au même dénominateur. Elle conclut ensuite en disant que la machine a
mis l'expression entrée sous forme de la somme d'une constante et d'une fraction dont le
numérateur est une constante.

Elle passe ensuite à la cinquième expression. Les élèves en choeur disent que la machine a simplifié l'expression. M. demande : « Ca ne vous pose pas de problème ? »

Visiblement non, à voir leur réaction. Elle insiste alors en demandant par quoi la machine a simplifié.

Es : x-2

Elle fait ensuite préciser que le dénominateur est x(x-2) puis revient au problème de la validité de la simplification.

M. : « L'année dernière, est-ce que vous simplifiez comme cela ? »

Une élève l'interrompt : elle n'a pas compris comment on arrive à 1/x. M. se fait dicter la suite des transformations algébriques et les écrit au tableau, puis revient à la question initiale.

M. : « Si vous simplifiez comme cela, croyez-vous que je serais tout à fait contente ? »

Les élèves semblent se demander où elle veut en venir.

M. choisit alors plusieurs valeurs de x : x=1 puis x=3 et fait comparer les valeurs des deux expressions : elles sont égales, ce qui n'étonne personne. Elle demande alors :

M. : « Est-ce que ce sera encore vrai pour toutes les valeurs de x ? »

B. : « Sauf pour x=0 »

M. : « Pourquoi ? »

B. : « Parce qu'on peut pas diviser par 0. »,

M. fait constater que, pour x=0, les deux expressions n'ont pas de sens, puis revient à la question initiale, en excluant 0. Un élève propose alors 2. M. détaille les calculs correspondants pour les deux expressions et on constate que l'expression de gauche n'est alors pas définie tandis que celle de droite l'est.

10h45 : M. précise que dire que deux expressions sont égales, c'est dire qu'elles sont identiques pour toutes les valeurs de x, puis elle demande : « Toutes les valeurs, qu'est-ce que ça veut dire ? »

E. : « Les entiers relatifs. »

M. : « Mais il n'y a pas que les entiers relatifs, parmi les nombres ! ».

Elle fait élargir à tous les nombres connus : décimaux, rationnels, nombres exprimés avec des radicaux..., puis demande d'écrire dans le cahier : « Pour que deux expressions soient égales, il faut qu'elles soient identiques pour toutes les valeurs de la variable ». Elle précise :

M. : « La variable, ici c'est x mais ce pourrait être t »

A. : « Ou y »

M. passe ensuite à la dernière expression que la machine renvoie sous la même forme.

A. dit à B. en aparté : « Si tu veux qu'elle fasse quelque chose tu fais : DIAMANT ENTER »<fnref n="1" />

<footnote n="1">¹ L'utilisation de cette commande au lieu de la simple commande ENTER donne l'affichage suivant :</footnote>
10h48 : M. demande aux élèves de passer à la partie 2 et vérifie collectivement qu'ils savent où trouver les commandes concernées. Les élèves répondent en coeur : « F2 ». Elle demande ensuite de prévoir la factorisation par la machine de l'expression : x2-4.

Es : (x-2)(x+2)

Elle le fait à la rétroprojetable, ce qui confirme la prévision. Elle propose ensuite de remplacer 4 par 3 et demande aux élèves comment factoriser cette expression.

B. : « on n'a qu'à remplacer -3 par -4+1 »

M. : « Quand on a factorisé x²-4, qu'a-t-on utilisé ? »

Les élèves répondent qu'ils ont utilisé l'identité remarquable a²-b² et M. écrit, sous la dictée :

$$x^2-4 = x^2 - 2 \cdot 2$$

$$x^2-4 = (x-2)(x+2)$$

Puis elle demande si x²-3, c'est très différent.

Es : « Non »

M. : « Alors que fait-on ? »

B. propose à nouveau son idée.

M. écrit, sous sa dictée : x²-3 = (x²-4)+1 = (x-2)(x+2)+1

M. accepte la réponse mais fait remarquer que l'expression n'est pas factorisée. Les élèves sont d'accord. Un élève propose alors de « mettre 3 sous la racine ». M. lui fait préciser son idée puis écrit :

$$x^2-3 = x^2 - (\sqrt{3})^2$$

Ils arrivent alors à prévoir la factorisation associée.

M. fait factoriser par la machine en utilisant la commande *factor*. L'expression n'est pas modifiée.

Elle demande comment faire alors pour faire produire la factorisation à la machine. Un élève propose aussitôt de marquer la variable et lui rappelle qu'elle en a déjà parlé en cours.

M. conclut alors : « *Factor* factorise en utilisant des entiers, si on veut factoriser avec des racines, il faut préciser la variable », puis leur demande de faire la partie 2. Pendant ce temps, elle circule dans les rangs.

10h55 : M. : « Les expressions, vous êtes obligés de les retaper ? »

Es : « Non »

M. : « Non, vous allez les rechercher avec votre souris. »

B. travaille et dit à A. : « C'est marrant ça »

$$\frac{.5(x-4.)}{(x-2.)(x-.5)} + 2$$
Un élève demande s'il faut faire *comDenom* pour les premières. M. reprend collectivement et précise que l'on utilise la commande *comDenom* que lorsqu'elle a un sens, c'est à dire lorsqu'il y a un dénominateur<fnref n="2" />.

M. intervient ensuite auprès de Benoît qui, sur sa feuille, a écrit : « *expand* = ... ». M. insiste sur la nécessité d'écrire correctement : ce n'est pas *expand* qui est égal au second membre. Voyant que certains ont du mal à organiser leurs réponses, elle leur propose de faire un tableau.

A. se lance aussitôt dans la construction du tableau. B., elle, continue à travailler avec la machine. Elle est gênée parce que la commande *expand*, pour la deuxième expression, lui donne exactement ce qu'elle avait déjà et se demande si elle ne se trompe pas. Je la rassure.

11h : B. a du mal à gérer les parenthèses associées à la commande *factor*. Si l'on entre la commande par F2-2, *factor* s'inscrit sur la ligne d'édition, il suffit ensuite d'entrer ou recopier l'expression à factoriser et de rajouter une parenthèse correspondant à celle ouverte automatiquement à la fin. B., visiblement, trouve qu'il y a trop de parenthèses, en efface et se retrouve avec un message d'erreur. Je lui explique la syntaxe de la commande.

M. passe et dit à A. qui est toujours en train de tracer son tableau, de se dépêcher.

11h03 : M., collectivement, fait le point pour les deux premières expressions, en utilisant la rétroprojetable.

M. précise que l'on peut aller chercher les commandes dans F2 ou les taper directement. Elle fait expliquer aussi pourquoi, pour les deux premières expressions, les deux commandes de factorisation donnent le même résultat. Elle les aide à formuler que les deux expressions se factorisant en deux facteurs du premier degré à coefficients entiers, on obtient cette factorisation avec la commande *factor* simple, et elle précise que ce serait aussi le cas si les coefficients étaient rationnels.

Elle demande ensuite si tout le monde a fait l'expression 3. Seuls quelques doigts se lèvent. En effet, la plupart des élèves ont mis du temps à s'organiser, à tracer le tableau, certains ont fonctionné par commande et non par expression, ce qui accroît encore le temps passé dans la recherche des expressions sur l'écran, si on veut éviter les recopies.

M. relance le travail individuel. A., qui a fini son tableau, avance maintenant rapidement, B., elle, se met à faire un tableau pour noter les résultats.

11h10 : M. fait le point pour l'expression E, en demandant ce que donnent les commandes pour cette expression.

Es : « On a toujours 1/x »

M. acquiesce. La sonnerie retentit. M. demande de terminer la fiche pour le lundi suivant en faisant un tableau propre pour cette activité 2.

Elle conclut ensuite rapidement la séance : elle souligne qu'on peut obtenir une même expression sous plusieurs formes et elle leur demande combien ils en ont obtenu pour D ; les réponses données sont 3 pour les uns, 4 pour les autres. Elle demande alors laquelle on prendra si l'on veut résoudre l'équation D=0 et plusieurs élèves répondent : « La factorisée »

<footnote n="2">² Précisions que la commande ne bloque pas en l'absence de dénominateur, elle renvoie simplement l'expression initiale.</footnote>
M. acquiesce et ajoute que, suivant le travail que l'on veut faire, que l'on ait ou pas la machine, il faut choisir la forme la plus adaptée.

## D. Analyse

Il ressort du déroulement de cette séance, nous semble-t-il, un certain nombre de points :

1. La familiarité déjà acquise par les élèves avec leur machine, pour ce qui est de l'application Home, alors même qu'ils n'en disposent que depuis quelques jours. Ceci tend à confirmer les résultats obtenus en 1995-96.

2. L'intérêt de l'activité 1 et du choix effectué au niveau des variables prises en compte. Elles permettent effectivement de faire émerger les points que l'on souhaitait faire émerger. De plus, les réactions des élèves confirment la nécessité de prendre en charge effectivement, en début de première S, un travail sur l'égalité d'expressions algébriques et de revenir sur les questions de simplification, à la fois pour les besoins du travail mathématique en environnement papier/crayon usuel et pour une instrumentation efficace de la TI92, qui les amène à bien distinguer ce qui est géré par la machine et ce qu'ils ont, eux, à gérer.

En fait, à travers ces questions de simplification, se pose celle du sens de la notion d'égalité entre expressions algébriques, qui met en jeu deux dimensions :

* une dimension formelle où ce qui est pris en compte, c'est la capacité de passer d'une expression à une autre, par des manipulations algébriques syntaxiquement valides,

* une dimension sémantique où ce qui est pris en compte, c'est l'identité des dénotations des expressions, c'est à dire des références, ici des fonctions à une ou plusieurs variables qui leur sont associées, un ensemble de référence, ici les nombres réels, étant choisi<fnref n="3" />.

La définition de l'égalité d'expression repose sur cette dimension sémantique et donc met en jeu, même si cela reste le plus souvent implicite dans l'enseignement, le choix d'un ensemble de référence. On voit très bien, dans cette séance, les difficultés réelles que cela soulève et aussi la difficulté qu'il y a à trouver des formulations qui soient à la fois correctes et accessibles aux élèves, qui prennent en compte à la fois l'égalité des domaines de définition des expressions dans un ensemble de référence donné et l'égalité des valeurs prises sur cet ensemble commun de définition<fnref n="4" />. Ceci est d'autant plus difficile que les élèves n'ont plus à gérer ces questions dans le domaine fonctionnel, les programmes imposant de préciser systématiquement à l'élève l'ensemble de définition des fonctions introduites. On peut penser, au vu de leurs réactions, que les conditions comme x-2≠0 qu'ils écrivent régulièrement sur leur feuille sont vécues comme des sortes de rites auxquels on sacrifie pour des raisons de contrat didactique uniquement. C'est d'ailleurs ce niveau du contrat que l'enseignante, à un moment, va essayer, économiquement, de faire jouer en demandant : « Si vous simplifiez comme cela, croyez-vous que je serais tout à fait contente ? », sans succès d'ailleurs, les élèves ne la connaissant pas encore assez, avant d'en revenir au sens, donc à la référence.

<footnote n="3">³ S'il s'agissait d'équations et non d'expressions algébriques comme ici, la référence serait définie comme un sous ensemble de l'ensemble sur lequel est considérée la résolution ou, si l'on veut se situer encore dans une perspective fonctionnelle, comme la fonction caractéristique de ce sous-ensemble ou comme une application de l'ensemble de résolution dans l'ensemble {vrai, faux}.</footnote>

<footnote n="4">⁴ Sur ce point, on peut penser que les formulations proposées ici dans l'action pourraient être améliorées, tout en respectant les contraintes citées.</footnote>
Mais d'autre part, ce que le travail sur les expressions algébriques met en jeu, c'est essentiellement un travail qui s'inscrit dans la dimension syntaxique et va permettre de transformer les expressions formellement, en étant assuré de conserver leur dénotation. Le fait que deux expressions aient la même dénotation en soi en soi nous intéresse moins que le fait de pouvoir passer de l'une à l'autre (deux identités faisant intervenir le même nombre de variables, quelles qu'elles soient, ont toujours la même dénotation). Dans le travail algébrique, les deux dimensions donc se conjuguent et l'on sait très bien, cette séance ne fait que le confirmer, que pour les élèves de niveau lycée, tout ceci est loin d'être clair.

3. Le fait que, même si les élèves manipulent leur machine sans rencontrer de difficultés particulières, l'activité 2, telle qu'elle est organisée, est coûteuse en temps. Même en utilisant les possibilités de recopie d'expressions de l'écran dans la ligne d'édition, en procédant, expression par expression, pour limiter les déplacements dans l'écran, l'obtention des résultats machine prend du temps. Si l'on ajoute à ce temps celui de la constitution du tableau, cela en fait une activité qui présente un déséquilibre trop grand entre temps d'exécution et productivité.

Diverses solutions sont envisageables : par exemple fournir un tableau aux élèves pour noter les résultats, répartir les expressions dans la classe, par rangée par exemple, pour que chaque élève n'ait à gérer que deux expressions, tout en s'arrangeant pour qu'elles soient « contrastées », voire se limiter à quelques expressions. Il est peut-être aussi inutile de prendre en charge collectivement, avant le travail des élèves, la distinction entre les deux commandes *factor*. Cela fait partie des propriétés qu'ils vont nécessairement découvrir, en suivant les consignes.

Une telle modification du scénario permettrait d'aborder en séance l'activité 3, beaucoup plus riche sur le plan mathématique et avoir de ce fait un bon équilibre dans la séance entre ce qui relève de l'instrumentation de la TI92 et ce qui relève des objectifs mathématiques au sens strict.

# SITUATION 2 : une situation fonctionnelle - la bille

## A. Contexte et objectifs

Cette séance a été expérimentée au début du mois de décembre avant que ne débute l'enseignement de l'analyse proprement dit. Elle conclut en quelque sorte le travail fonctionnel pré-analyse.

Elle vise à faire travailler les élèves sur un problème dont la résolution est susceptible de mettre en jeu les différentes techniques à ce moment là disponibles pour étudier un phénomène de variation continue et leur articulation (approches numériques, algébriques, graphiques). Le problème est choisi pour que des preuves algébriques soient accessibles avec l'aide de la machine et qu'elles soient susceptibles de mettre en jeu divers points de vue sur les équations et les polynômes. Le problème est de plus choisi pour que cette étude mathématique de la variation mette en défaut l'intuition et suscite assez naturellement le désir de dépasser le cadre de la situation particulière étudiée. Il y a là le souci d'engager les élèves, dans les processus d'élaboration de conjectures, de preuve et de réfutation, de recherche de résultats généraux, propres au travail mathématique, mentionné plus haut.
## B. Le problème proposé

Il s'agit du problème suivant, adapté d'une activité proposée dans le manuel Terracher de 1ereS.

Dans un cylindre à base circulaire de 10 cm de rayon et de hauteur aussi grande que l'on veut, repose une bille de 8 cm de rayon que l'on recouvre d'eau jusqu'à affleurement.

On remplace la bille par une autre bille de rayon x cm, la quantité d'eau dans le cylindre restant la même.

On se propose d'étudier le problème suivant :

- la bille est-elle sous l'eau ?

- la bille sort-elle de l'eau ?

- la bille affleure-t-elle ?

On supposera que les billes reposent toutes sur le fond du cylindre.

*Indication* : Appeler $V(x)$ le volume d'eau qui permet de recouvrir exactement la bille de rayon x.

* Même problème si le rayon de la bille initiale est 3 cm au lieu de 8 cm.

* **Généralisation** : Le rayon de la bille initiale est a (en cm). Suivant les valeurs de a, peut-on trouver des valeurs de x pour lesquelles la bille de rayon x reste totalement immergée ?

Nous en ferons d'abord l'analyse sur un plan mathématique, dans le cadre d'une résolution assistée par la TI92, avant d'envisager, en nous appuyant notamment sur les données issues de l'expérimentation, les scénarios didactiques qui nous semblent les plus appropriés.

On propose donc de traiter deux situations particulières, le cas où la bille initiale a un diamètre de 8 cm, puis le cas où la bille initiale a un diamètre de 3 cm, avant de passer à une généralisation.

Dans le premier cas, la fonction V introduite dans le texte a pour expression :

$$V(x) = 200\pi x - 4/3\pi x^3$$

et le volume initial de l'eau est $V(8)$.

* Si $V(x) = V(8)$, la bille de rayon x affleure juste,

* si $V(x) \ge V(8)$ la bille sort de l'eau

* et si $V(x) \le V(8)$ la bille est sous l'eau.

On est donc amené à étudier les variations de la fonction V et résoudre l'équation et les inéquations ci-dessus. Ceci peut s'appuyer sur une exploration graphique qui conduit à conjecturer qu'il existe deux solutions à l'équation dans l'intervalle $[0; 10] : \alpha$ et 8 et que l'on a les résultats suivants, non évidents a priori :

* si $x < \alpha$ la bille est sous l'eau

* si $x = \alpha$ la bille affleure

* si $\alpha < x < 8$ la bille sort de l'eau

si $x > 8$ la bille est de nouveau sous l'eau.
<figure><img src="image_54.png" /></figure>

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

Cette exploration graphique peut être justifiée algébriquement, en étudiant l'expression :

$V(x) - V(8)$. Cette expression est égale à : $-4/3 \cdot \pi (x^3 - 150x + 688)$. Elle est nécessairement factorisable par $(x-8)$ ce qui nous ramène à la résolution d'une équation du second degré qui admet bien une racine dans l'intervalle considéré : $\sqrt{102} - 4$.

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

Dans le cas où le rayon de la bille initiale est 3 cm, on a à étudier $V(x) - V(3)$. Cette fois-ci la racine positive de l'équation du second degré est supérieure à 10. On est donc cette fois dans la situation conforme à l'intuition où si $x < 3$, la bille est sous l'eau et si $x > 3$, la bille est hors de l'eau.

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

Dans le cas général d'un bille de rayon $a$ cm, on a à étudier $V(x) - V(a)$. L'exploration graphique systématique, prolongeant celle déjà menée dans les deux cas particuliers étudiés, conduit à conjecturer l'existence d'une valeur $a_0$ voisine de 3,7 telle que :

* si $0 < a < a_0$, la droite d'équation : $y = V(a)$ a un point d'intersection unique (celui d'abscisse $a$) avec la courbe représentative de la fonction $V$ dans l'intervalle considéré et l'on est dans une situation analogue à celle rencontrée pour $a=3$,
* si $a = a_0$, la droite d'équation : $y = V(a_0)$ a deux points d'intersection avec la courbe représentative de la fonction V sur $[0 ; 10]$, les points d'abscisse $a_0$ et 10 et la bille affleure en ces deux points,

* si $a_0 < a < 10$, la droite a deux points d'intersection avec la courbe d'abscisses a et $\alpha$ strictement inférieures à 10. C'est dans cette situation que l'on se trouve pour $a = 8$.

Dans cet intervalle, l'étude graphique conduit aussi à conjecturer l'existence d'une valeur $a_1$ pour laquelle les deux points d'intersection se confondent, cette valeur correspondant au maximum de la fonction V. Dans ce cas particulier la bille ne sort jamais de l'eau, résultat qui là encore n'a rien d'évident.

* enfin si $a = 10$, on retrouve la situation déjà rencontrée en $a_0$.

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

Les conjectures issues de cette exploration graphique peuvent être prouvées, avec l'aide du module de calcul formel de la TI92, en adaptant les calculs faits dans les deux cas particuliers à cette situation plus complexe puisque dépendant d'un paramètre.

Par factorisation, on obtient le facteur du second degré $x^2 + ax + a^2 - 150$. Il y a donc pour a dans $[0 ; 10]$ toujours deux racines de signe contraire et la racine positive est inférieure à 10 si et seulement si $a^2+10a-50<0$, soit : $a < 5(\sqrt{3} - 1)$ avec $5(\sqrt{3} - 1) \approx 3,7$.

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

On peut aussi chercher à quelle condition $10$ est racine de l'équation $V(x) = V(a)$ c'est à dire résoudre l'équation en $a : V(10) = V(a)$.
<figure><img src="image_60.png" /></figure>

ce qui conduit bien sûr au même résultat.

En ce qui concerne la recherche de la racine double, celle-ci peut s'effectuer, économiquement, en cherchant à quelle condition a est racine du trinôme : $x^2 + ax +a^2 - 150$, ce qui conduit à l'équation :

$3a^2 = 150$, soit $a = 5\sqrt{2}$ puisque a est positif. Pour cette valeur de a, on a :

$$V(x) - V(a) = -4\pi/3(x-a)^2(x+2a)$$

ce qui permet de conclure que la valeur trouvée correspond bien à un maximum de la fonction V et que, pour cette valeur, la bille ne sort pas de l'eau.

Précisons que si l'on résout l'équation du second degré et si l'on cherche à résoudre l'équation en a correspondant à l'égalité des racines, la machine ne fournit pas directement la solution.

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

### C. Déroulement

Après lecture du texte et un rappel collectif sur les formules donnant le volume du cylindre et de la sphère, les élèves se lancent dans le calcul de $V(x)$. Comme l'on pouvait s'y attendre, un certain nombre d'entre eux vont éprouver des difficultés à définir une stratégie de calcul. Un point collectif sera effectué au bout de cinq minutes, avec l'aide de la TI92 rétroprojetable, les élèves dictant à l'enseignante les expressions à entrer et les calculs à effectuer. Cette phase collective se termine par la formulation de conjectures concernant la position de la bille suivant les valeurs de x. Comme prévu, la conjecture qui est formulée et écrite au tableau est la suivante :

« Si $x < 8$, la bille est totalement dans l'eau

Si $x = 8$, elle affleure l'eau,

Si $x > 8$, la bille est hors de l'eau. »
Suit une courte phase de travail autonome où les élèves ont à trouver les moyens de prouver la véracité de leur conjecture. De fait, comme l'on pouvait s'y attendre, la reformulation du problème en comparaison de $V(x)$ et $V(8)$ ne va pas de soi et l'enseignante va de nouveau assez vite intervenir et s'appuyer sur des schémas dessinés au tableau pour amener collectivement à la formulation souhaitée.

Toujours collectivement, l'enseignante engage alors l'exploration graphique, les élèves conduisant parallèlement l'exploration sur leur propre machine : entrée de $V(x)$ et $V(8)$ dans $Y=$, définition d'une fenêtre d'affichage : [-1, 11], après avoir fait préciser les valeurs à considérer pour $x$, utilisation de ZoomFit pour ajuster la fenêtre verticalement, utilisation de la commande Intersection du menu F5 pour trouver les coordonnées approchées des deux points d'intersection, en insistant sur le fait qu'il s'agit ici de coordonnées approchées. Certains élèves ne connaissant pas bien le fonctionnement de cette commande d'intersection n'y arrivent pas et elle recommence plus lentement en précisant la fonction de chaque étape.

L'exploration graphique conduit sans difficultés à la disqualification des conjectures initiales et à leur rectification.

Cette phase a duré 12 minutes.

L'enseignante annonce que maintenant on va s'appuyer sur le calcul et non plus seulement sur le graphique et demande aux élèves s'ils ont des suggestions à faire. Vincent, un élève observé, va répondre tout de suite en proposant de résoudre l'équation $V(x) = V(8)$. En fait, il avait anticipé sur ce travail dans la phase collective d'exploration graphique et déjà résolu cette équation dans HOME après avoir calculé une valeur approchée de $V(8)$. L'enseignante lui demande à quoi va lui servir cette résolution ; pour lui, il s'agit de trouver les points d'intersection mais elle insiste sur le fait que pour connaître la position de la bille, il faut aussi comparer $V(x)$ et $V(8)$. La tâche est reformulée en étude du signe de $V(x)$ - $V(8)$ et les élèves sont renvoyés à un travail autonome qui sera entrecoupé de points collectifs. Le lien : étude du signe / factorisation émerge sans difficulté, mais la factorisation obtenue par la commande Factor n'est pas complète puisque les racines ne sont pas toutes rationnelles. C'est l'enseignante qui va rappeler l'utilisation de Factor(expression, x) qui permet d'arriver à un produit de trois facteurs. Elle les aide aussi à obtenir des valeurs approchées des racines, en utilisant la commande Zeros associée à la touche diamant. Cette manipulation visiblement ne leur est pas familière, ce qui l'amène à rappeler les liens entre les commandes Zeros et Solve. Suit la réalisation autonome d'un tableau de signes qui ne pose pas, elle, de problème et la conclusion. L'ensemble dure environ 15 minutes.

On passe ensuite à la seconde bille. Les élèves pensent au départ que la situation va être la même. La situation va être gérée en une dizaine de minutes, sans difficulté particulière, toujours dans un travail autonome coupé d'interventions collectives. Les stratégies utilisées sont soit graphiques, soit algébriques comme celle de Vincent qui, tout de suite, entre l'expression $V(x) - V(3)$, la fait factoriser et fait aussi résoudre l'équation correspondante.

Un bilan collectif est effectué et le tableau de signes tracé au tableau.

C'est la fin de la séance et l'étude du cas général est donnée à chercher en travail à la maison.

Une synthèse collective sera organisée la semaine suivante à partir de ce travail.