# Sur les application du calcul fractionnaire en mécanique: problème de propagation d'onde

Belgacem Madi, Hicham Tebbikh

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Belgacem Madi, Hicham Tebbikh. Sur les application du calcul fractionnaire en mécanique: problème de propagation d'onde. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01508999

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Submitted on 15 Apr 2017

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Public Domain
# Sur les applications du calcul fractionnaire en mécanique : problème de propagation d'onde

Belgacem Madi* – Hicham Tebbikh**

* Faculté des Sciences et Sciences de L'Ingéniorat
Département de Mécanique, Université de Skikda
Route d'Elhadaeik, BP.26, 21000 SKIKDA
ALGERIE
b_madi2000@yahoo.fr

** Laboratoire d'Automatique et Informatique de Guelma
Université de Guelma, BP. 401, 24000 Guelma
ALGERIE
tebbikh@yahoo.com

RÉSUMÉ. Dans ce papier, nous décrivons le problème de propagation des ondes dans les milieux viscoélastiques. Nous avons mis au point l'approche du calcul fractionnaire pour des systèmes hyperboliques avec amortissement viscoélastique fractionnaire. Nous avons présenté un modèle diffusif avec entrée-sortie ainsi qu'une méthode constructive réalisant cette opération de manière non héréditaire. L'application des schémas de Lax-Wendroff et de Lax-Friedrichs, aux systèmes viscoélastiques considérés, a permis de passer d'une forte formulation à une faible formulation facile à simuler numériquement.

ABSTRACT. In this paper, we describe the propagation of waves in the viscoelastic mediums. We develop the approach of fractional calculus for hyperbolic systems with factional viscoelastic damping. We present a diffusive input-output model and a constructive method which realizes this operation in a nonhereditary way. The application of the scheme of Lax-Wendroff and Lax-Friedrich for the viscoelastic systems considered made it possible to pass from a strong formulation to a weak formulation which is easy to simulate numerically.

MOTS-CLÉS : Calcul fractionnaire, Représentation diffusive, Système viscoélastique, Schéma de Lax-Wendroff, Schéma de Lax-Friedrichs.

KEYWORDS: Fractional calculus, Diffusive representation, Viscoelastic system, Lax-Wendroff scheme, Lax-Friedrichs Scheme.
# 1. Introduction

Expérimentalement (Nutting, 1921), il a été montré que certains matériaux présentent un comportement contrainte-déformation difficile à décrire par les méthodes classiques à cause de présence des puissances fractionnaires du temps. Le développement récent de la théorie du calcul fractionnaire (Gorenflo et al., 1997) a servi énormément différents domaines scientifiques et en particulier les phénomènes viscoélastiques à mémoire longue.

La mise au point de l'approche du calcul fractionnaire pour des systèmes hyperboliques avec amortissement viscoélastiques fractionnaire a été décrite dans plusieurs travaux de recherche (Bagley et al., 1983), (Duhen, 1994), (Montseny et al., 1993), (Kawashima, 1993), (Madi et al., 2003). Dans ses travaux, deux types de système ont été considéré : l'un avec amortissement visqueux et l'autre avec amortissement viscoélastique.

Dans (Madi et al., 2003) et (Madi et al., 2004), nous avons décrit une approche simple, parmi celles aboutissant à la définition du calcul fractionnaire, permettant de définir le calcul fractionnaire différentiel et intégral. Nous avons restreint notre étude au cas où l'intégrateur est d'ordre $0 < \alpha < 1$.

Notre travail consiste en l'application des algorithmes de Lax-Friedrichs et de Lax-Wendroff à des systèmes hyperboliques sous forme vectorielle avec différents types d'amortissement.

# 2. Calcul fractionnaire

L'intégration fractionnaire d'ordre non entier $\alpha \in ]0,1[$ d'une fonction $u : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$, consiste en une convolution définie comme suite (formule de Riemann-Liouville) :

$$I^{\alpha} u(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{t} (t-\tau)^{\alpha-1} u(\tau) d\tau, \quad [1]$$

où $\Gamma$ est la fonction Gamma définie par l'expression [2] suivante:

$$\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{+\infty} t^{\alpha-1} \exp(-t) dt, \quad [2]$$

De manière similaire, on définit la dérivée fractionnaire d'ordre $\alpha \in ]0,1[$ :

$$D^{\alpha} u(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \frac{d}{dt} \int_{0}^{t} \frac{u(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha}} d\tau, \quad [3]$$
### 3. Modèle diffusif

Considérons le problème Cauchy monodimensionnel de type diffusion :

$$ egin{cases} 
\partial_t \varphi(x,t) = \partial_x^2 \varphi(x,t) + u(t)\mu(x) \\ 
\varphi(x,0) = 0 \\ 
y(t) = \varphi(0,t) 
\end{cases} , \quad [4] $$

où $u(t)$ est l'entrée à support dans $\mathbb{R}^+$, $\mu$ une mesure positive et $y(t)$ la sortie.

Par simple manipulation mathématique, on arrive aux résultats suivants :

$$ egin{cases} 
\hat{\varphi}(\xi, t) = \int_0^t \exp(-\xi^2 (t-s)) \mu(s) \hat{\mu}(\xi) ds \\ 
y(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{\xi} d\xi 
\end{cases} , \quad [5] $$

### 4. Approximation du système hyperbolique avec amortissement viscoélastique fractionnaire

Dans cette section, nous appliquons les schémas de Lax-Wendroff et de Lax-Friedrichs à un système hyperbolique, écrit sous forme vectorielle, avec différents types d'amortissements. L'écriture vectorielle de l'équation d'ondes permet de passer d'un système d'ordre 2

$$ \partial_t^2 \theta = c^2 \partial_x^2 \theta, \quad (c=1) \quad [6] $$

à un système de deux équations du premier ordre :

$$ egin{cases} 
\partial_t \varphi = \partial_t^2 \theta = \partial_x^2 \theta = \partial_x \psi \\ 
\partial_t \psi = \partial_t \partial_x \theta = \partial_x \partial_t \theta = \partial_x \varphi 
\end{cases} , \quad [7] $$

La discrétisation de [7] permet l'ériture :

$$ egin{cases} 
\varphi_i^{n+1} = \varphi_i^n + \frac{\Delta t}{2(\Delta x)} (\psi_{i+1}^n - \psi_{i-1}^n) + \frac{(\Delta t)^2}{2(\Delta x)^2} (\varphi_{i+1}^n - 2\varphi_i^n + \varphi_{i-1}^n) \\ 
\psi_i^{n+1} = \psi_i^n + \frac{\Delta t}{2(\Delta x)} (\varphi_{i+1}^n - \varphi_{i-1}^n) + \frac{(\Delta t)^2}{2(\Delta x)^2} (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) 
\end{cases} \quad [8] $$
avec : • Conditions initiales :

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
\varphi_i^0 = \omega_1(i) \\
\psi_i^0 = \omega_2(i)
\end{cases}
\tag{9}
\end{equation}
$$

• Conditions limites de Dirichlet :

$$
\psi_1^n = \psi_{N_x}^n = 0 \tag*{[10]}
$$

• Conditions sur les mailles fictives :

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
\varphi_0 = \varphi_2, \varphi_{N_x+1} = \varphi_{N_x-1} \\
\psi_0 = -\psi_2, \psi_{N_x+1} = -\psi_{N_x-1}
\end{cases}
\tag{11}
\end{equation}
$$

4.1. Amortissement viscoélastique externe

Dans ce cas, le terme d'amortissement dépend de $\partial_t \theta$, et le système viscoélastique s'écrit :

$$
\partial_t^2 \theta = \partial_x^2 \theta + \lambda \partial_t^\alpha \theta, \alpha \in ]0,1[ \quad [12]
$$

Par le biais que la simulation du terme fractionnaire faisait intervenir l'équation
de diffusion (Boudjehem, 2000), alors le système [12] peut être transformé en deux
systèmes couplés dont la discrétisation et l'application du schéma de Lax-Wendroff
donne :

$$
\left\{
\begin{aligned}
\varphi_i^{n+1} &= \varphi_i^n + \frac{\Delta t}{2(\Delta x)} (\psi_{i+1}^n - \psi_{i-1}^n) + \frac{(\Delta t)^2}{2(\Delta x)^2} (\varphi_{i+1}^n - 2\varphi_i^n + \varphi_{i-1}^n) + \\
&\qquad \qquad \qquad \qquad \lambda(\Delta t) \left( \frac{S_{i+1}^n + S_{i-1}^n}{2} \right), \quad \lambda < 0 \\[2ex]
\psi_i^{n+1} &= \psi_i^n + \frac{\Delta t}{2(\Delta x)} (\varphi_{i+1}^n - \varphi_{i-1}^n) + \frac{(\Delta t)^2}{2(\Delta x)^2} (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) \\[2ex]
\hat{\beta}_{i,j}^{n+1} &= \exp(-\xi_j^2(\Delta t))\hat{\beta}_{i,j}^n + 2 \left( \frac{1 - \exp(-\xi_j^2(\Delta t))}{\xi_j^2} \right) \\[2ex]
S_i^{n+1} &= \frac{1}{\pi} \sum_{j=1}^{N_y} b_j \hat{\beta}_{i,j}^{k+1}
\end{aligned}
\right.
\tag{13}
$$
avec les conditions décrites par [9], [10], [11].

## 4.2. Amortissement viscoélastique interne

Il s'agit du cas le plus réaliste du point de vue physique. Par ailleurs, c'est aussi le plus difficile à maîtriser sur le plan numérique. Le système viscoélastique s'écrit :

$$ \partial_t^2 \theta = \partial_x^2 \theta + \lambda \partial_t^\alpha \partial_x^2 \theta ; \alpha \in ]0,1[ \quad [14] $$

Par changement de variables, Le système [14] devient :

$$ \begin{cases} \partial_t \varphi = \partial_x \psi + \lambda I^{1-\alpha} \partial_x^2 \varphi \\ \partial_t \psi = \partial_x \varphi \end{cases} \quad [15] $$

avec : $\hat{\mu}$ : pris pour l'ordre $1-\alpha$ ; $\beta(x, \xi, t) \in \mathbb{R}$ ; $x \in ]0,1[, \xi \in \mathbb{R}$.

Après avoir discrétisé le système [15] et appliqué le schéma de Lax-Wendroff, nous obtenons :

$$ \left\{ \begin{aligned} \varphi_i^{n+1} &= \varphi_i^n + \frac{\Delta t}{2(\Delta x)} (\psi_{i+1}^n - \psi_{i-1}^n) + \frac{(\Delta t)^2}{2(\Delta x)^2} (\varphi_{i+1}^n - 2\varphi_i^n + \varphi_{i-1}^n) + \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \lambda(\Delta t) S_i^n, \quad \lambda > 0 \\ \psi_i^{n+1} &= \psi_i^n + \frac{\Delta t}{2(\Delta x)} (\varphi_{i+1}^n - \varphi_{i-1}^n) + \frac{(\Delta t)^2}{2(\Delta x)^2} (\psi_{i+1}^n - 2\psi_i^n + \psi_{i-1}^n) \quad [16] \\ \hat{\beta}_{i,j}^{n+1} &= \exp(-\xi_j^2(\Delta t)) \hat{\beta}_{i,j}^n + 2 \left( \frac{1-\exp(-\xi_j^2(\Delta t))}{\xi_j^2} \right) \left( \frac{\varphi_{i+1}^n - 2\varphi_i^n + \varphi_{i-1}^n}{(\Delta x)^2} \right) \\ S_i^{n+1} &= \frac{1}{\pi} \sum_{j=1}^{N_y} b_j \hat{\beta}_{i,j}^{k+1} \end{aligned} \right. $$

avec les conditions décrites par [9], [10], [11].

## 5. Conclusions

Dans ce travail, nous avons mis au point, à l'aide des schémas de Lax-Friedrichs et de Lax-Wendroff, la discrétisation des systèmes hyperboliques avec différents types d'amortissement. Nous avons montré que dans le cas d'un amortissement
viscoélastique fractionnaire, le problème devient complexe du fait que l'amortissement fait intervenir des intégrateurs fractionnaires d'ordre $\alpha \in ]0,1[$, ce qui nous oblige de construire un intégrateur fractionnaire à partir des caractéristiques de l'onde choisie.

## 6. Bibliographie

Nutting P. G., *A new generalized law of deformation*, J. of the Franklin Institute, 1921.

Bagley R. L., Torvik P. J., « A theoretical basis of application of fractional calculus to viscoelasticity », *Journal of Rheology*, vol. 27, n°3, 1983, p. 201-210.

Madi B., Tebbikh H., Montseny G., « Application du calcul fractionnaire aux systèmes viscoélastiques », 4ème Séminaire National de Mécanique, Annaba, 18-19 décembre 2003, Algérie.

Matignon D., Montseny G., « Systèmes Différentiels fractionnaires : modèles, méthodes et applications », *Actes des journées thématiques ENST-LAAS*, vol. 5, 1998. URL : http://www.emath.fr/proc/vol.5/.

Mainardi F., « Fractional calculus : Some basic problems in continuum and statistical mechanics », In this book : *Fractal and Fractional calculus in continuum Mechanics*, Eds. A. Carpinteri and F. Mainardi, Springer verlag, Wien., 1997, p. 223-276

Gorenflo R., Mainardi F., « Fractional calculus : Integral and differential equations of fractional order », In this book : *Fractal and Fractional calculus in continuum Mechanics*, Eds. A. Carpinteri and F. Mainardi, Springer verlag, Wien, 1997.

Kawashima, « Global solution of the equation of viscoelasticity with fading memory », *Journal of Differential Equations*. 1993

Teulière V., « Réalisation diffusive d'opérateur héréditaire de type pseudo-différentiel : Application à l'absorption des ondes bidimensionnelles », Mémoire de DEA, Toulouse, 1995.

Montseny G., Audounet J., Mbodje B., Optimal models of fractional integrators and application to systems with fading memory, Rapport du Laas n°93286, 1993.

Duhen S., Intégration fractionnaire non héréditaire : application aux systèmes viscoélastiques, Rapport de DEA, Toulouse, 1994

Montseny, G., Matignon D., Opérateurs pseudo-différentiels et représentations diffusives en modélisation, contrôle et signale, Rapport du LAAS, 1999.

Boudjehem B., « Contrôle diffusif d'un bras flexible », Mémoire de Magister, C. U. de Guelma, 2000.