# Annexe 2, limites : polycopié élève

## Limites techniques algébriques

Nous allons, en utilisant la TI-92, rechercher des règles de calculs sur les limites.

Le problème est donc si l'on connaît $\lim_{x \to 0} f(x)$ et $\lim_{x \to 0} g(x)$ est il possible de déterminer :

La limite de la somme de $f$ et $g$ c'est à dire $\lim_{x \to 0} (f(x) + g(x))$.

La limite du produit de $f$ et $g$ c'est à dire $\lim_{x \to 0} (f(x)g(x))$.

La limite du quotient de $f$ et $g$ c'est à dire $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$.

## Point technique préparation de la machine :

Nous utiliserons le Data-matrix-editor afin d'éviter les blocages liées à la fonction de calcul automatique nous allons initialiser notre tableau avec deux colonnes de zéros..

### Créer un répertoire Opelim

Créer une liste nommée L de de 20 zéros

Ouvrir le Data-matrix-Editor nom du nouveau fichier nu.

Se placer sur C1 tapez L [ENTER]

C1 est maintenant une colonne

de vingt zéro et chaque cellule est verrouillée

se replacer sur C1 puis [CLEAR] [ENTER]

<figure><img src="image_212.png" /></figure>

<figure><img src="image_213.png" /></figure>

Initialiser de même la colonne c2.

## Recherche de la limite d'une somme

On placera :

Dans C1 la fonction $f$

Dans C2 la fonction $g$

Dans C3 la limite de $f$ en 0

Dans C4 la limite de $g$ en 0

Dans C5 la limite de la somme $f+g$ en 0

Pour plus de confort, on remplit la ligne de titre $f,g, \lim f, \lim g, \lim f+g$

<figure><img src="image_214.png" /></figure>
Nous allons traiter des exemples et noter les résultats dans le tableau ci-dessous

<figure><img src="image_215.png" /></figure>

<table><tr><td>Si f a pour limite</td><td>L</td><td>L'</td><td>L</td><td>+∞</td><td>-∞</td><td>+∞</td></tr><tr><td>Si g a pour limite</td><td>L'</td><td>+∞</td><td>-∞</td><td>+∞</td><td>-∞</td><td>-∞</td></tr><tr><td>alors f+g a pour limite</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

## Recherche de la limite d'un produit

De la même façon vous allez étudier le produit.

Trouvez tous les cas qui peuvent se présenter en vous aidant éventuellement d'exemples

<table><tr><td>Si f a pour limite</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Si g a pour limite</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>alors fg a pour limite</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

*Pour chaque cas, donnez un exemple et contrôlez avec la machine*

<table><tr><td>Fonction f : x→</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Fonction g : x→</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

## Recherche de la limite d'un quotient

En raisonnant sur le cas du produit, trouvez tous les cas pour le quotient

<table><tr><td>Si f a pour limite</td><td>L</td><td>L&gt;0</td><td>L&gt;0</td><td>L&lt;0</td><td>L&lt;0</td><td>+∞</td><td>+∞</td><td>+∞</td><td>0</td></tr><tr><td>Si g a pour limite</td><td>L'≠0</td><td>+∞</td><td>-∞</td><td>+∞</td><td>-∞</td><td>+∞</td><td>-∞</td><td>-∞</td><td>±∞</td></tr><tr><td>alors f/g a pour limite</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
# Annexe 3 : exemples des élèves pour les limites de produits

## Produits de deux fonctions ayant des limites finies

15 élèves sur 23 proposent des exemples. Pour 8 d'entre eux, ce sont simplement les fonctions introduites par le professeur à la phase précédente pour l'étude de la somme. 5 autres introduisent des polynômes simples pour $g$ ou pour les deux fonctions.

<table><thead><tr><th>f</th><th>g</th><th>élèves</th></tr></thead><tbody><tr><td>- cos x - 1 / x<sup>2</sup></td><td>sin x / x</td><td>Valérie Ségolène Francis Clément Arthur Corinne Marthe Vincent</td></tr><tr><td>cos x - 1 / x<sup>2</sup></td><td>x<sup>2</sup> - 1</td><td>Raoul</td></tr><tr><td>- cos x - 1 / x<sup>2</sup></td><td>2 x + 3</td><td>Dorothée</td></tr><tr><td>sin x + 1</td><td>- cos x + 2</td><td>Samuel</td></tr><tr><td>- x<sup>2</sup> + 1</td><td>x<sup>2</sup></td><td>Gloria</td></tr><tr><td>x<sup>2</sup> + 1</td><td>x<sup>2</sup> - 1</td><td>Myriam</td></tr><tr><td>x<sup>2</sup> + 2</td><td>x<sup>2</sup> + 4</td><td>Elise</td></tr><tr><td>x - 1</td><td>2x<sup>3</sup> + 1 / x + 1000</td><td>David</td></tr></tbody></table>

## Produits de deux fonctions ayant des limites infinies

15 élèves considèrent le cas $+∞ x +∞ = + ∞$, la plupart utilise l'exemple de la somme.

15 élèves considèrent le cas $+∞ x -∞ = - ∞$. A une exception près, ce sont les mêmes que dans le cas précédent. Ils utilisent le plus souvent l'un des 3 exemples de la somme.

10 élèves seulement considèrent le cas $-∞ x -∞ = + ∞$. Ce cas n'était pas proposé pour la somme, et ces élèves proposent une variété d'exemples plus large que dans les cas précédents.

<table><thead><tr><th>Cas</th><th>f</th><th>g</th><th>élèves</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">+∞ x +∞ = + ∞</td><td>1 / x<sup>2</sup></td><td>1 / x<sup>4</sup></td><td>Gloria Myriam Valérie Ségolène Francis Simon Clément Arthur Emilie Raoul Elise Marthe.Francis Vincent</td></tr><tr><td>1 / x<sup>6</sup></td><td>2 / x<sup>6</sup></td><td>Charles</td></tr><tr><td>+∞ x -∞ = - ∞</td><td>1 / x<sup>2</sup></td><td>x<sup>2</sup> - 1 / x<sup>2</sup></td><td>Valérie Ségolène Simon Arthur Emilie</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td></td><td>$\frac{1}{x^2}$</td><td>$-\frac{1}{x^4}$</td><td>Gloria Francis Clément Elise Corinne Marthe Vincent</td></tr><tr><td></td><td>$\frac{1}{x^2}$</td><td>$-\frac{1}{x^2}$</td><td>Raoul Francis</td></tr><tr><td></td><td>$\frac{1}{x^4}$</td><td>$-\frac{1}{x^2}$</td><td>Myriam</td></tr><tr><td rowspan="7">$-\infty < x < +\infty$</td><td>$\frac{x-1}{x^2}$</td><td>$-\frac{1}{x^4}$</td><td>Elise Vincent</td></tr><tr><td>$-\frac{2}{x^2}$</td><td>$-\frac{1}{x^4}$</td><td>Valérie Francis</td></tr><tr><td>$-\frac{1}{x^8}$</td><td>$-\frac{1}{x^6}$</td><td>Gloria</td></tr><tr><td>$-\frac{1}{x^4}$</td><td>$-\frac{1}{x^2}$</td><td>Myriam</td></tr><tr><td>$-\frac{1}{x^6}$</td><td>$-\frac{2}{x^6}$</td><td>Samuel</td></tr><tr><td>$-\frac{1}{x^6}$</td><td>$-\frac{1}{x^4}$</td><td>Clément</td></tr><tr><td>$-\frac{1}{x^2}$</td><td>$-\frac{3x}{x^2}$</td><td>Marthe</td></tr></table>

## Produits d'une fonction ayant une limite finie par une fonction ayant une limite infinie

5 élèves seulement considèrent le signe de la limite finie. Seule Myriam (qui redouble) considère les 4 cas possibles. Les exemples sont très divers, et témoignent de la capacité d'invention de ces 5 élèves.

<table><thead><tr><th>Cas</th><th>f</th><th>g</th><th>élèves</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">$L(>0) x + \infty = +\infty$</td><td>$x^2 + 1$</td><td>$\frac{1}{x^4}$</td><td>Myriam</td></tr><tr><td>$\frac{\sin x}{x}$</td><td>$\frac{1}{x^4}$</td><td>Samuel</td></tr><tr><td>$\frac{\sin x}{x}$</td><td>$\frac{1}{x^2}$</td><td>Emilie</td></tr><tr><td>$|x|\sqrt{1 + \frac{2}{x^2}}$</td><td>$\frac{1}{x^6}$</td><td>Clément</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td rowspan="3">L (&gt;0) x - &infin; = -<br/>&infin;</td><td>x<sup>2</sup> + 1</td><td>-<sup>1</sup>&frasl;<sub>x<sup>4</sup></sub></td><td>Myriam</td></tr><tr><td>sin x<br/>x</td><td>-<sup>1</sup>&frasl;<sub>x<sup>2</sup></sub></td><td>Samuel</td></tr><tr><td>1 - <sup>1</sup>&frasl;<sub>x</sub><br/>2 - <sup>4</sup>&frasl;<sub>x</sub></td><td>-<sup>1</sup>&frasl;<sub>x<sup>6</sup></sub></td><td>Clément</td></tr><tr><td rowspan="2">L (&lt;0) x +&infin; = -<br/>&infin;</td><td>x<sup>2</sup> - 1</td><td><sup>1</sup>&frasl;<sub>x<sup>2</sup></sub></td><td>Gloria</td></tr><tr><td>x<sup>2</sup> - 1</td><td><sup>1</sup>&frasl;<sub>x<sup>4</sup></sub></td><td>Myriam</td></tr><tr><td>L (&lt;0) x -&infin; = +<br/>&infin;</td><td>x<sup>2</sup> - 1</td><td>-<sup>1</sup>&frasl;<sub>x<sup>4</sup></sub></td><td>Myriam</td></tr></tbody></table>

10 autres élèves donnent des exemples de produits d'une limite finie par une limite infinie sans considération de signe. L'exemple le plus souvent considéré fait partie des cas proposés par le professeur pour la somme. Dans 3 cas les élèves ne considèrent pas une limite finie générique.

<table><thead><tr><th>Cas</th><th>f</th><th>g</th><th>élèves</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">L x +&infin; = +&infin;</td><td>-<sup>cos x - 1</sup>&frasl;<sub>x<sup>2</sup></sub></td><td><sup>1</sup>&frasl;<sub>x<sup>2</sup></sub></td><td>Marthe</td></tr><tr><td><sup>1</sup>&frasl;<sub>x<sup>4</sup></sub></td><td>sin x<br/>x</td><td>Vincent</td></tr><tr><td>+&infin; x 1 = +&infin;</td><td><sup>1</sup>&frasl;<sub>x<sup>2</sup></sub> - 2</td><td>sin x<br/>x</td><td>Arnaud</td></tr><tr><td>L x - &infin; = -&infin;</td><td>sin x<br/>x</td><td>-<sup>1</sup>&frasl;<sub>x<sup>2</sup></sub></td><td>Valérie Ségolène<br/>Francis Emilie Corinne Vincent</td></tr><tr><td>3 x - &infin; = -&infin;</td><td><sup>3</sup>&frasl;<sub>cos x<sup>2</sup></sub></td><td>-<sup>1</sup>&frasl;<sub>x<sup>4</sup></sub></td><td>Clément</td></tr><tr><td>1 x - &infin; = -&infin;</td><td>sin x<br/>x</td><td>-<sup>1</sup>&frasl;<sub>x<sup>2</sup></sub></td><td>Francis</td></tr></tbody></table>
## Produits d'une fonction ayant une limite infinie par une fonction ayant une limite nulle

9 élèves proposent des exemples de produits d'une limite nulle par une limite infinie. Parmi eux, on retrouve les 5 élèves qui distinguaient le signe de L, dans le cas d'une limite finie. L'exemple le plus souvent produit est, encore ici, celui proposé pour l'addition. Seules deux élèves proposent plusieurs produits d'une limite nulle par une limite infinie donnant des résultats différents (Valérie, Gloria).

<table><thead><tr><th>Cas</th><th>f</th><th>g</th><th>élèves</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">∞ x 0 = 0</td><td>x + 1 / x²</td><td>(x - 4) / (x⁴)</td><td>Valérie Ségolène</td></tr><tr><td>1 / x²</td><td>x⁴ / (x - 4)</td><td>Vincent</td></tr><tr><td>∞ x 0 = ∞</td><td>1 / x²</td><td>√x</td><td>Gloria</td></tr><tr><td rowspan="2">-∞ x 0 = 0</td><td>x - 1 / x²</td><td>(x - 4) / (x⁴)</td><td>Valérie Ségolène Francis Simon Bernard Corinne Vincent</td></tr><tr><td>-1 / x²</td><td>x - 4 / (1/x⁴)</td><td>Marthe</td></tr><tr><td>-∞ x 0 = -4</td><td>1 / x⁴</td><td>(x - 4) / (1 / x⁴)</td><td>Valérie Gloria</td></tr><tr><td>-∞ x 0 = -∞</td><td>2x²</td><td>-1 / x⁴</td><td>Gloria</td></tr></tbody></table>
# Annexe 4, dérivées : polycopié élève

## Calculs de fonctions dérivées

Votre TI-92 calcule très bien les fonctions dérivées :

<figure><img src="image_216.png" /></figure>

<figure><img src="image_217.png" /></figure>

vous utilisez :

attention ne pas utiliser le d (droit du clavier)

soit le menu ⍀ puis 1 : differentiate

N'oubliez pas la variable de dérivation.

soit $[d]$

soit [CATALOG]

Rappeler les résultats trouvés lundi et vérifiez avec la machine

<table><thead><tr><td>Fonction définie par</td><td>Fonction dérivée</td></tr></thead><tbody><tr><td>x</td><td></td></tr><tr><td>x<sup>2</sup></td><td></td></tr><tr><td>x<sup>3</sup></td><td></td></tr><tr><td>sin(x)</td><td></td></tr><tr><td>1/x</td><td></td></tr><tr><td>√x</td><td></td></tr><tr><td>b</td><td></td></tr></tbody></table>

Comment faire pour aller presque aussi vite à la main ?

Comme pour les limites nous recherchons des règles :

Complétez le tableau suivant en faisant travailler votre imagination.

<table><thead><tr><td></td><td>Fonction définie par</td><td>Fonction dérivée</td></tr></thead><tbody><tr><td>1.</td><td>x<sup>4</sup></td><td></td></tr><tr><td>2.</td><td>xsin(x)</td><td></td></tr><tr><td>3.</td><td>2x+1</td><td></td></tr><tr><td>4.</td><td>sin(2x)</td><td></td></tr><tr><td>5.</td><td>3sin(x)</td><td></td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>6.</td><td>4sin(3x)</td><td></td></tr><tr><td>7.</td><td>sin(x+1)</td><td></td></tr><tr><td>8.</td><td>cos(x)</td><td></td></tr><tr><td>9.</td><td>cos(2x)</td><td></td></tr><tr><td>10.</td><td>f(x)+g(x)</td><td></td></tr><tr><td>11.</td><td>f(x)g(x)</td><td></td></tr><tr><td>12.</td><td><sup>1</sup>&frasl;<sub>f(x)</sub></td><td></td></tr><tr><td>13.</td><td><sup>f(x)</sup>&frasl;<sub>g(x)</sub></td><td></td></tr></table>

A l'aide de votre TI92 confirmez-vous les règles ci-dessus ?

<table><thead><tr><td></td><td>Fonction définie par</td><td>Fonction dérivée</td></tr></thead><tbody><tr><td>1.</td><td>x<sup>4</sup></td><td></td></tr><tr><td>2.</td><td> xsin(x) </td><td></td></tr><tr><td>3.</td><td> 2x+1 </td><td></td></tr><tr><td>4.</td><td> sin(2x) </td><td></td></tr><tr><td>5.</td><td> 3sin(x) </td><td></td></tr><tr><td>6.</td><td> 4sin(3x) </td><td></td></tr><tr><td>7.</td><td> sin(x+1) </td><td></td></tr><tr><td>8.</td><td> cos(x) </td><td></td></tr><tr><td>9.</td><td> cos(2x) </td><td></td></tr><tr><td>10.</td><td> f(x) + g(x) </td><td></td></tr><tr><td>11.</td><td> f(x)g(x) </td><td></td></tr><tr><td>12.</td><td> <sup>1</sup>&frasl;<sub>f(x)</sub> </td><td></td></tr><tr><td>13.</td><td> <sup>f(x)</sup>&frasl;<sub>g(x)</sub> </td><td></td></tr></tbody></table>
Synthèse des résultats :

<table><thead><tr><td></td><td>Fonction définie par</td><td>Fonction dérivée avec la TI92</td></tr></thead><tbody><tr><td>1.</td><td>f(x) + g(x)</td><td></td></tr><tr><td>2.</td><td>f(x)g(x)</td><td></td></tr><tr><td>3.</td><td><u>f(x)</u><br/>g(x)</td><td></td></tr><tr><td>4.</td><td><u>1</u>/<u>f(x)</u></td><td></td></tr><tr><td>5.</td><td>k f(x) où k est une constante</td><td></td></tr><tr><td>6.</td><td>f(kx) où k est une constante</td><td></td></tr><tr><td>7.</td><td>x<sup>n</sup> ou n est entier</td><td></td></tr><tr><td>8.</td><td>f(x+k)</td><td></td></tr><tr><td>9.</td><td>cos(x)</td><td></td></tr></tbody></table>

Nous démontrerons ces règles dans le prochain cours, elle découlent des règles de calculs sur les limites.

Utilisation des règles de dérivation

En utilisant les règle précédentes calculez les dérivées des fonctions suivantes et préciser pour quelles valeurs de x₀ le calcul est il possible. Vérifiez à la machine.

<table><thead><tr><td>Fonction définie par</td><td>fonction dérivée</td><td>pour x₀ dans</td><td>règle utilisée</td></tr></thead><tbody><tr><td>x ↦→ x<sup>7</sup></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>x ↦→ (3x + 2)(2x + 3)</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>x ↦→ 3x<sup>4</sup> + 5x<sup>3</sup> - 2/3 x<sup>2</sup> + 5</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>x ↦→ (x + 1)/x - 3</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>x ↦→ 1 + 1/x + √x</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>x ↦→ √x + 1</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>x ↦→ (x<sup>2</sup> + 3x + 1)/x<sup>2</sup> + 1</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>x ↦→ (x + 1)<sup>2</sup>(x + 3)</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>x ↦→ sin(x) cos(x)</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>x ↦→ √2(x<sup>3</sup> - x + 7)</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
Annexe 5, dérivées : prévisions des élèves pour les dérivées¹

<table><thead><tr><th></th><th>Fonction</th><th>Prévisions</th></tr></thead><tbody><tr><td>1.</td><td>x<sup>4</sup></td><td>4 x<sup>3</sup> Victor Francis Hubert Antonin Arthur Jean-François Jean Luc Bernard Charles Corinne Simon Gloria Myriam Jacques Francis Valère Marthe Dorothèe Valérie<br>4 x Ségolène</td></tr><tr><td>2.</td><td>xsin(x)</td><td>x cos x +sin x Victor Francis<br>cos x Hubert Antonin Jean-François Bernard Myriam Jacques Ségolène Dorothèe Valérie<br>x cos x Arthur Luc Charles Corinne Simon Gloria Francis Valère Marthe<br>x/cos(x) Hervé</td></tr><tr><td>3.</td><td>2x+1</td><td>2 Victor Frédéric Hubert Antonin Arthur Jean-François Luc Bernard Gloria Myriam<br>Jacques Valère Marthe Dorothèe Valérie<br>3 Jean Charles Corinne Simon Ségolène Francis</td></tr><tr><td>4.</td><td>sin(2x)</td><td>2cos(2x) Victor Hubert Gloria Dorothèe<br>2cos x Myriam Marthe<br>cos(2x) Frédéric Arthur Jean-François Charles Corinne Simon Jacques Ségolène Francis<br>Valère Valérie<br>sin x cos x David</td></tr><tr><td>5.</td><td>3sin(x)</td><td>3 cos(x) Victor Hubert Antonin Arthur Jean-François Luc Bernard Charles Corinne Simon<br>Gloria Myriam Jacques Ségolène Francis Valère Marthe Dorothèe<br>4/cos(3x) Jean<br>cos(x) Frédéric<br>0 Valérie</td></tr><tr><td>6.</td><td>4sin(3x)</td><td>12 cos(3x) Victor Hubert Luc Gloria Dorothèe<br>4 cos(3x) Arthur Jean-François Charles Corinne Jacques Ségolène Valère<br>cos(3x) Francis Samuel<br>12 cos x Marthe<br>0 Valérie</td></tr><tr><td>7.</td><td>sin(x+1)</td><td>cos(x+1) Victor Frédéric Hubert Jean-François Luc Simon Charles Corinne Gloria Jacques<br>Ségolène Valère<br>cos(x)+1 Arthur cos x Myriam Marthe Dorothèe Valérie sin(-x) Antonin</td></tr><tr><td>8.</td><td>cos(x)</td><td>- sin x Hubert Marthe Dorothèe<br>sin(x) Victor Antonin Arthur Jean-François Luc Bernard Charles Gloria Corinne Simon<br>Myriam Francis Valère Valérie<br>cos x Hervé</td></tr><tr><td>9.</td><td>cos(2x)</td><td>-2sin(2x) Victor Hubert Marthe Dorothèe<br>2sin(2x) Gloria Myriam<br>sin(2x) Antonin Arthur Jean-François Corinne Simon Valère Valérie<br>cos 2x Hervé</td></tr><tr><td>10.</td><td>f(x) + g(x)</td><td>f'(x) + g'(x) Victor Francis Hubert Arthur Jean-François Luc Simon Gloria Myriam Valère<br>Marthe Dorothèe</td></tr><tr><td>11.</td><td>f(x)g(x)</td><td>f'(x) g(x) + f(x) g'(x) Frédéric<br>f'(x) g'(x) Victor Hubert Arthur Jean-François Luc Simon Gloria Valère Marthe Dorothèe</td></tr><tr><td>12.</td><td>1/f(x)</td><td>-1/f(x)<sup>2</sup> Victor Hubert Jean-François Simon Luc Charles Corinne Ségolène Francis<br>Dorothèe<br>0 Frédéric<br>1/f'(x) Arthur Valère Marthe</td></tr><tr><td>13.</td><td>f(x)/g(x)</td><td>(f'(x) g(x) - f'(x) g'(x))/g(x)<sup>2</sup> Frédéric,<br>f'(x) / g'(x) Arthur Marthe<br>f(x)/g(x)<sup>2</sup> Luc Karine</td></tr></tbody><tfoot><tr><td colspan="3"><sup>1</sup> certains élèves (particulièrement Vincent, Henri, Frédéric), n'ont pas respecté la consigne de ne pas corriger leur tableau a posteriori. Par conséquent, les dérivations exactes qu'ils donnent ne sont pas à prendre en compte.</td></tr></tfoot></table>
# INGENIERIE 5.

## Interprétation cinématique de la notion de dérivée

Comme nous l'avons déjà précisé dans l'introduction de cette ingénierie, l'interprétation cinématique de la notion de dérivée va se faire assez tard. Elle consiste à construire le concept de vitesse instantanée à partir du concept de vitesse moyenne supposé maîtrisé.

Une séance spécifique a été expérimentée dans ce but. Elle est suivie, pour les élèves, par un problème donné à chercher à la maison. En effet, nous pensions préparer une autre séance problématisant les rapports entre vitesse et dérivée dans un autre contexte : celui de débits, en reprenant une situation expérimentée par M. Schneider dans sa thèse (Schneider, 1989) et reprise dans l'ouvrage : « Vers l'infini pas à pas » réalisé par le groupe A.H.A. (Approche Heuristique de l'Analyse) de Louvain la Neuve (A.H.A., 1997). Mais, faute de temps, nous déciderons de ne pas faire cette séance, et de réinvestir simplement la notion de vitesse instantanée dans la résolution d'un problème à chercher à la maison. Ce problème est tiré du même ouvrage et comporte un extrait d'un texte de Pascal, un auteur étudié par les élèves cette même année en Français.

Nous décrivons dans ce qui suit le scénario prévu pour la première séance, donnons des éléments sur son déroulement, puis dressons un bilan de cette première expérimentation. Pour la recherche du problème, qui n'a pas été observée, nous donnons des éléments plus succincts.

### A. Scénario de la première séance

Cette séance est conçue en trois phases.

#### Phase 1 :

La première phase met en jeu uniquement la notion de vitesse moyenne. Elle doit permettre de s'assurer que, conformément aux hypothèses faites, ce concept ne pose pas problème aux élèves, elle doit aussi assurer la dévolution du problème qui sera repris, dans un cas plus complexe, dans la deuxième phase. Les élèves reçoivent un tracé graphique représentant la distance parcourue en fonction du temps par un automobiliste circulant sur autoroute (cf. annexe 1). Ils doivent :

* décrire le mouvement de l'automobiliste

* déterminer sa vitesse et tracer la courbe représentative de celle-ci sur le papier fourni (le choix des unités étant à leur charge)

* déterminer si l'automobiliste a dépassé la vitesse autorisée et, si oui, à quelles périodes.

Les élèves travaillent par binômes de façon habituelle. Cette première phase est prévue pour durer une quinzaine de minutes et doit se terminer par une mise au point collective rapide, les graphiques étant reproduits sur transparents. Cette mise au point doit permettre de réinstitutionnaliser le lien vitesse constante / représentation affine et valeur de la vitesse / coefficient directeur de la sécante joignant les extrémités de la représentation affine.

#### Phase 2 :

Dans la deuxième phase, les mêmes questions sont reprises avec un autre tracé, cette fois non affine par morceaux. Le tracé (cf. annexe 2) a été construit de manière à passer par les points correspondant aux extrémités des segments du premier tracé proposé. Nous faisons
l'hypothèse que ceci disqualifie une résolution en termes de vitesse moyenne sur ces différents intervalles car une telle résolution ne rendrait pas compte des différences évidentes existant entre les deux tracés. De plus, si dans le premier cas, il n'y avait pas dépassement de la vitesse autorisée, ce n'est plus le cas, elle est dépassée sur chaque tronçon excepté [BC]. De plus, sa croissance continue sur le dernier tronçon peut conduire les élèves à vouloir déterminer la vitesse maximum atteinte sur le parcours et à raffiner le découpage, s'ils procèdent par vitesse moyenne sur intervalles.

Nous faisons l'hypothèse que la description qualitative du mouvement ne devrait pas poser de problème. En ce qui concerne la tâche de tracé, diverses méthodes sont a priori envisageables. La plus plausible est que, par analogie avec le travail précédent, les élèves découpent l'intervalle [0,8], en sous-intervalles et calculent la vitesse moyenne sur chaque intervalle. Pour une subdivision d'une demi-unité, l'approximation par un mouvement uniforme est graphiquement tout à fait raisonnable. Le passage au tracé peut s'effectuer ensuite de plusieurs façons : soit les élèves associent à chaque intervalle, un segment horizontal, soit ils placent une succession de points, ayant pour abscisse par exemple les centres des intervalles considérés et pour ordonnée la vitesse moyenne sur l'intervalle et les joignent ensuite par une ligne brisée ou un tracé plus régulier.

Même si ce n'est pas a priori le plus prévisible, on ne peut exclure que certains élèves fassent directement le lien entre vitesse et coefficient directeur de la tangente et donc essaient d'évaluer ce coefficient directeur, par exemple aux points d'abscisse entière puis à joindre les points, soit par une ligne brisée, soit par une courbe régulière.

La nécessité de comparer à la vitesse maximum autorisée peut cependant amener les élèves à repérer et tracer la pente correspondante puis à essayer de voir sur quelles portions de courbe, la pente est supérieure à cette valeur. Ceci conduirait à rechercher les points limites qui sont justement ceux où la tangente à la courbe a cette pente là et pourrait orienter vers une stratégie de tracé faisant appel aux tangentes au lieu des sécantes.

Précisons que, pour des raisons de temps, les tâches d'associations graphes de fonctions / graphes de fonctions dérivées et de production directe à partir d'une représentation graphique du graphe de la fonction dérivée, n'ont pu être menées, comme prévu, dans cette première expérimentation. Si cela avait été le cas, nous faisons l'hypothèse que l'association vitesse / dérivée / tangente aurait pu apparaître plus facilement à travers la reconnaissance d'une analogie même floue entre les deux tâches. Soulignons cependant que, les élèves ne disposant pas d'expressions algébriques pour les différents tronçons de courbe, l'association vitesse / dérivée, même si elle était effectuée, ne rendrait pas le tracé plus rapide.

Pour cette phase, le scénario prévoit une vingtaine de minutes de travail en binômes, suivi d'un bilan collectif où les difficultés rencontrées, les diverses méthodes utilisées devraient être débattus et les résultats obtenus comparés. C'est dans le cadre de ce bilan collectif qu'il est prévu de faire le lien entre les procédures de calcul de la vitesse moyenne sur des intervalles de plus en plus petits, pour améliorer l'évaluation de la vitesse et le calcul des pentes de sécantes qui a conduit à la notion de dérivée et d'institutionnaliser la notion de vitesse instantanée comme limite.

### Phase 3 :

Dans cette phase, un troisième tracé est fourni (cf. annexe 3). Il correspond au mouvement d'un point M sur une axe. Le tracé représente les variations de l'abscisse de M en fonction du temps. Les élèves doivent :
* Décrire le mouvement du point M,

* Déterminer sa vitesse et tracer la courbe représentative de celle-ci.

Il s'agit donc d'une tâche de réinvestissement dans laquelle ils seront cette fois confrontés à un phénomène nouveau : l'existence de vitesses négatives.

## B. Déroulement

Nous suivrons plus particulièrement dans cette séance Marianne et deux de ses voisins Stéphane et Fabien.

L'enseignante montre au rétroprojecteur la première représentation graphique, fait rappeler la vitesse maximum autorisée sur autoroute. Elle lit le texte de la fiche distribuée puis demande ce que veut dire à leur avis décrire le mouvement. les réponses fusent : « Dire s'il s'arrête », « s'il roule régulièrement », « si sa vitesse est constante », « si elle est nulle », « s'il ralentit », « s'il accélère »... Un élève (Fabien) fait remarquer que la situation proposée n'est pas possible puisque l'automobiliste part avec une vitesse non nulle. L'enseignante précise que l'on ne commence pas forcément à mesurer quand la voiture démarre.

Marianne calcule et note les vitesses moyennes, en faisant une erreur pour la seconde qu'elle ne détecte pas tout de suite malgré la contradiction avec l'évolution des pentes : 110 - 125 - pause - 120. Elle produit ensuite un tracé et corrige en comparant au graphe initial.

Stéphane note les vitesses sur les différents intervalles : $V_1, V_2, V_3, V_4$ et écrit des inégalités : $V_1>V_2, V_4>V_1, V_2>V_4$, puis $V_3=0$ puis il ordonne les vitesses : $V_4>V_1>V_2>V_3$ avant de les calculer soigneusement en revenant à la formule $v=d/t$ et en notant les unités : km.h⁻¹. Ensuite il marque les points correspondant aux extrémités des intervalles et les joint par une ligne brisée. L'enseignante qui passe lui demande d'expliquer ce qu'il a fait et il réalise tout de suite son erreur en disant : « Je me suis trompé, il faut des plats, la vitesse est constante là. »

Fabien lui a écrit :

> « de O à A : accélération constante,
> de A à B, accélération constante mais moins importante que la précédente,
> de B à C, arrêt,
> de C à D, accélération constante ».

puis, après avoir demandé à Marianne quelles sont les unités, fait les calculs de vitesse de tête et fournit un tracé correct.

Les deux fiches de tracés ayant été distribuées ensemble, Marianne et Fabien se lancent dans la seconde fiche avant le premier bilan qui a lieu au bout de 15mn environ. Tous les élèves ont maintenant terminé. Durant le bilan, l'enseignante fait faire le lien entre vitesse constante et représentation affine comme prévu; Elle fait de plus exprimer algébriquement la distance en fonction du temps sur le premier intervalle $d(t)=110t$, expliciter que dans ce cas la distance est proportionnelle au temps et que le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Elle demande ensuite comment ont été calculées les vitesses sur les autres intervalles. Elle commente l'irréalisme du tracé proposé qui se traduit par des sauts dans la vitesse. Ce bilan se termine au bout de dix minutes par le constat que l'automobiliste n'a jamais été en infraction.
Elle introduit ensuite la deuxième activité. Très vite Stéphane intervient pour dire qu'il a la même vitesse moyenne, Amandine qu'il parcourt la même distance. L'enseignante fait préciser et vérifier en demandant l'expression de la vitesse moyenne entre deux points. C'est Stéphane qui dicte. D'autres disent que c'est quand même pas pareil et l'enseignante conclut qu'il faut alors qu'ils trouvent un moyen plus fin pour montrer les différences.

Diverses méthodes apparaissent. Marianne, d'emblée trace les tangentes à l'oeil en divers points de la courbe, évalue leur pente assez grossièrement et reporte pour avoir l'allure des vitesses. Mais ce n'est pas la stratégie générale. Vincent fait les vitesses moyennes de 1/10 en 1/10 et dit qu'il aurait bien fait les tangentes mais que comme il n'a pas l'équation de la courbe, il préfère faire comme ça. Beaucoup commencent par faire d'heure en heure et raffinent en fonction des besoins. Stéphane lui dit à ses voisins qu'il a trouvé un moyen pour savoir si elle fait plus ou moins de 130 : il a tracé en rouge la pente qui correspond à 130 et il déplace parallèlement le long de la courbe ; si la courbe est plus pentue dit-il, c'est qu'on dépasse 130. Assez vite, dans le groupe observé, les élève sont attirés par la question de la vitesse maximum, se demandant si elle roule à plus de 200, de 250 et émaillant ceci de tout un tas de commentaires. La compétition s'installe : c'est à qui trouvera la plus grande vitesse en choisissant bien ses moyens d'évaluation. Les graphes produits (cf. celui de Marianne et Fabien, annexe 4) sont souvent lissés, en respectant plus ou moins la courbure. Fabien, on le voit, a construit les points en prenant les milieux des intervalles car ça lui paraît plus juste mais du coup est parti de 0. D'autres tracent des segments horizontaux. Toute la classe travaille avec intérêt pendant une demi-heure environ puis l'enseignante fait faire le point. Tous n'ont cependant pas terminé le tracé.

Au cours du bilan, la première question abordée est celle du point de départ, avec un débat entre les tenants du départ 0, parce qu'à t=0, d=0 et ceux du départ à 60. Les seconds finissent par l'emporter. Ensuite est présentée la stratégie majoritaire consistant à partager en intervalles et à calculer la vitesse moyenne sur chacun d'eux. Seul Vincent est descendu à 1/10h, la plupart se sont contentés d'intervalles d'une demi-heure. Les différents moyens de tracés correspondants identifiés dans l'analyse a priori sont présentés par les élèves et l'enseignante ne tranche pas entre ces différents choix.

Ensuite Marianne présente sa méthode : « j'ai pris des points et j'ai tracé les tangentes et je me suis dit, c'est ça la vitesse ». L'enseignante annonce alors qu'elle a rentré la courbe dans la calculatrice, la fait afficher, puis fait afficher les équations des tangentes pour 0, 0.5, 1, 1.5, 2. Les équations sont notées au tableau.

<figure><img src="image_218.png" /></figure>

<figure><img src="image_219.png" /></figure>
$$x=0.5 \quad y = 90x-5$$

$$x=1 \quad y = 110x-20$$

$$x=1.5 \quad y = 130x-45$$

$$x=2 \quad y = 150x-80$$

<figure><img src="image_220.png" /></figure>

Quelqu'un demande aussi pour 0. Fabien attend de voir. La machine donne 70x+0 et Marianne jubile.

L'enseignante demande ensuite à Marianne comment elle passait de la tangente à la vitesse. Marianne explique qu'elle prenait le coefficient directeur de la tangente. L'enseignante demande à chacun de reporter en couleur les points correspondants aux valeurs données par la machine sur son propre tracé. Plusieurs très vite font remarquer que les points sont alignés. L'enseignante le fait justifier par les écarts : quand x augmente de 0.5, les ordonnées augmentent de 20 et dit qu'elle a en fait tracé un bout de parabole et que c'est pour cela qu'il y a proportionnalité.

Elle fait ensuite faire le lien entre coefficient directeur et dérivée, ce qui ne pose pas de problème puis s'engage dans l'explication du lien vitesse / dérivée via l'articulation vitesse moyenne / vitesse instantanée, en prenant appui sur ce qu'ils ont fait pratiquement. Ce sera un peu plus laborieux : les élèves arrivent en effet, avec un peu d'aide, à traduire les calculs de vitesse moyenne qu'ils ont faits sur de petits intervalles par le quotient : $\frac{d(t_0+h)-d(t_0)}{t_0+h-t_0}$ et à formuler que quand h tend vers 0, ceci tend vers la vitesse qu'ils cherchent mais ils ne reconnaissent pas là l'analogue d'un calcul qui a servi à définir la dérivée, car visiblement, plus de trois mois après, ils ont oublié cet épisode de leur rencontre avec les dérivées. L'enseignante rappelle la définition de $f'(a)$ comme limite et cela revient. Elle conclut ensuite en définissant la vitesse instantanée et en soulignant donc que pour avoir la vitesse instantanée quand on connaît l'expression de la distance en fonction du temps, il suffit de calculer la dérivée.

Elle fait tracer la dérivée par la machine et interpréter le tracé. Les morceaux de droite sont reliés à la dérivation de fonctions du second degré, ce qui est vérifié ensuite en remontant à la définition explicite de la fonction HOME. Les élèves rient de voir qu'elle a été chercher quelque chose d'aussi compliqué.

<figure><img src="image_221.png" /></figure>

<figure><img src="image_222.png" /></figure>
Reste la question de l'infraction à laquelle les élèves reviennent spontanément. Les élèves proposent de tracer la droite horizontale d'équation y=130 et de chercher les intersections avec la courbe de la dérivée. Ceci ne pose pas de problème.

<figure><img src="image_223.png" /></figure>

<figure><img src="image_224.png" /></figure>

Dans l'application HOME, on peut obtenir les solutions exactes, sans difficulté puisque la TI92 résout directement l'équation

<figure><img src="image_225.png" /></figure>

L'enseignante insiste en conclusion sur le fait que, même sans connaître exactement l'expression de la fonction qu'elle avait utilisée, en interprétant géométriquement la vitesse, ils avaient le moyen de résoudre de façon approchée le problème posé. Cette synthèse a duré environ 30mn.

Elle introduit ensuite l'activité suivante en rétroprojetant le graphe (cf. annexe 3) et en expliquant qu'il s'agit par exemple d'une masse suspendue à un ressort vertical ou d'une bille que l'on lâche. Les élèves se mettent au travail. Marianne commence tout de suite à tracer des tangentes. Fabien a visiblement des difficultés à interpréter le graphe. Il n'est pas le seul dans ce cas. L'enseignante intervient, trace un axe au tableau avec une origine et demande de placer sur cet axe la position du mobile aux temps t=0, 1,..., 12 pour aider l'interprétation. Ceci débloque la situation. Les premiers points à coordonnées entières (t=0,1,2) et ceux qui aux changements du sens de déplacement sur l'axe sont nommés et le mouvement est décrit en se référant à eux. La séance est presque achevée et l'enseignante décide de terminer collectivement, en demandant ce que l'on peut dire sur les vitesses, par exemple entre t=0 et t=1. Diverses réponses fusent : « l'abscisse diminue », « il recule ». L'enseignante insiste en questionnant sur la tangente, sur la vitesse. Un élève dit que le coefficient directeur de la tangente est négatif, Marianne explicite le lien avec la décroissance de la fonction, un autre dit que la vitesse est négative car il recule. La séance se termine en soulignant ce qui différencie cette situation des situations précédentes : un mobile qui va dans les deux sens donc l'existence d'intervalles où la vitesse est négative, c'est à dire la dérivée ou le coefficient directeur de la tangente, négatifs et la fonction associée à l'abscisse du mobile, décroissante.

Lorsque la séance s'achève, l'enseignante précise que la courbe tracée est constituée de trois arcs de paraboles raccordés aux points d'abscisses 2 et 7, de manière à ce que la fonction
associée soit dérivable partout, les sommets des paraboles étant situés exactement aux points d'abscisses 0, 4 et 9. Elle leur demande de finir chez eux la représentation graphique approximative de la fonction vitesse, puis de chercher l'équation des trois arcs de parabole, de calculer les dérivées et de vérifier que cela correspond bien à peu près aux vitesses trouvées graphiquement.

### C. Bilan

Cette séance, si l'on excepte le fait que la phase 2 a pris plus de temps que prévu, nous semble avoir fonctionné globalement conformément aux prévisions effectuées. La notion de vitesse moyenne est réinvestie sans difficulté par les élèves dans la première phase de travail individuel, le travail en binômes et les échanges entre binômes voisins permettent le contrôle et la rectification des quelques tracés erronés produits, le bilan collectif qui suit s'effectue sans problème. Dès le début de la phase 2, les réflexions de quelques élèves montrent qu'ils sont sensibles aux choix effectués au niveau des variables pour disqualifier des procédures d'évaluation grossière et ceci aide sans aucun doute à la dévolution de la tâche. Le travail en binômes fait intervenir les différentes procédures identifiées a priori, y compris l'utilisation des tangentes qui nous semblait moins assurée (elle n'est cependant le fait que d'un petit nombre d'élèves). Au niveau des tracés également, les différents types a priori prévus se retrouvent dans les productions des élèves, sans qu'un type particulier ne s'impose. La tâche est visiblement accessible aux élèves et le contexte dans lequel elle est située contribue visiblement à la rendre attractive. Dans le bilan collectif, le choix fait de construire la fonction à partir de polynômes du second degré aide visiblement à formuler et surtout contrôler expérimentalement le lien vitesse / coefficient directeur de la tangente / dérivée. En revanche, la mise en évidence des raisons de ce lien en revenant à la définition du nombre dérivé est loin d'aller de soi. Comme nous en avions fait l'hypothèse en concevant l'ingénierie, la définition du nombre dérivée s'est effacée devant les techniques algébriques qui ont opérationnelisé le calcul des dérivées et si le lien coefficient directeur de la tangente / nombre dérivé est réinvesti semble-t-il sans difficulté, au moins collectivement, c'est à une tangente perçue comme droite qui colle à la courbe que les élèves visiblement se réfèrent. Ceci est d'autant moins étonnant que la situation graphique qui a servi à introduire la dérivée comme limite ne se retrouve pas du tout ici ; ce qui est en jeu c'est plutôt la possibilité d'approcher de façon raisonnable la courbe par une ligne polygonale. C'est donc l'enseignante qui doit prendre en charge cette réactivation et l'exploiter pour définir la vitesse instantanée comme limite. La dernière phase est trop rapidement menée pour permettre une véritable analyse mais nous voudrions souligner que le travail demandé en fin de séance sera en général fait et correctement fait.

### D. Réinvestissement dans une situation problème : le bateau de Pascal

Ce problème, repris tel que de l'ouvrage « Vers l'infini pas à pas » est donné à chercher à la maison à la suite de cette séance. En voici le texte :
Un observateur dont l'oeil est au point D (Figure) regarde à travers une fenêtre AH un bateau qui s'éloigne de lui sur la mer à la vitesse de 40km/h. La situation lui rappelle une citation de Pascal:

<figure><img src="image_226.png" /></figure>

« Si on regarde au travers d'un verre un vaisseau qui s'éloigne toujours directement, il est clair que le lieu du diaphane où l'on remarque un point tel qu'on voudra du navire haussera toujours par un flux continuel, à mesure que le vaisseau fuit. Donc, si la course du vaisseau est toujours allongée et jusqu'à l'infini, ce point haussera continuellement; et cependant, il n'arrivera jamais à celui où tombera le rayon horizontal mené de l'oeil au verre, de sorte qu'il en approchera toujours sans y arriver jamais, divisant sans cesse l'espace qui restera sous ce point horizontal, sans y arriver jamais. D'où l'on voit la conséquence nécessaire qui se tire de l'infinité de l'étendue du cours du vaisseau, à la division infinie et infiniment petite de ce petit espace restant au-dessous de ce point horizontal et infiniment petite de ce petit espace restant au-dessous de ce point horizontal. »

L'observateur voit sur la vitre l'horizon en H et le bateau en C. Ce point C est celui dont parle Pascal: il s'approche continuellement de H sans jamais y arriver.

1) Calculez la hauteur h(x) du point C, x désignant la distance du bateau à l'observateur.

2) A quelle vitesse se déplace ce point C, image du bateau sur la vitre ?

Ce problème nécessite d'abord une reformulation : la distance que les auteurs considèrent n'est en effet pas la distance du bateau à l'observateur mais la distance OB, la vitesse de 40km/h indiquée est celle de déplacement du point B par rapport au point O.

Comme on le voit, le problème est donné ici sans indication. Si le calcul de h(x) est un calcul qui ne doit a priori pas poser de problème à ce niveau, avec les précisions ci-dessus, la seconde étape de la mathématisation consistant à exprimer AC en fonction du temps pour pouvoir étudier la vitesse du point C n'a rien d'évident. Les élèves ne sont pas guidés dans cette phase et c'est même à eux de choisir une position initiale pour le bateau, pour pouvoir exprimer x en fonction de t. S'ils choisissent comme position initiale le point A (ce qui n'a cependant rien de réaliste), et comme origine du repère le point O, ils arriveront à l'expression x(t)=210⁻³ + 40t, s'ils utilisent les unités d'expression de la vitesse mais, avec ces mêmes choix de repère et d'origine des temps, ils peuvent obtenir d'autres expressions suivant les unités choisies, par exemple l'expression x(t)=2+100t/9, fournie par les auteurs de l'ouvrage, si le temps est exprimé en secondes et la distance en mètres. Il leur faudra ensuite substituer cette expression de x, dans l'expression de h(x) pour obtenir l'expression de la distance AC en fonction du temps. Dans le cas où repère, origine des temps et unités sont choisis comme ci-dessus, ils vont ainsi arriver à l'expression :
$$h_1(t) = \frac{80t}{9+50t}$$

qui leur permettra de calculer la vitesse du point C, exprimée en mètres par seconde.

A partir de ce moment là, le problème devient plus routinier. L'interprétation cinématique et géométrique de l'étude fonctionnelle permet de retrouver les phénomènes que laisse supposer l'étude qualitative de la situation que l'on a pu mener dans un premier temps pour essayer de comprendre la situation et le texte de Pascal : le point C se rapproche du point H sans jamais l'atteindre, la vitesse du point C est une fonction décroissante de t et tend vers 0 lorsque t tend vers l'infini. Les écrans de la TI92 ci-après correspondent à la définition de la fonction $h_1$ et de sa dérivée et à leur tracé dans la fenêtre $[0,5] \times [0,2]$.

On notera que le tracé graphique de la fonction comme de sa dérivée peuvent amener à conjecturer à tort une demi-tangente verticale en $t=0$. Le retour à l'expression de la dérivée de la fonction montre qu'il n'en est rien : la dérivée est simplement grande puisque voisine de 9.

<figure><img src="image_227.png" /></figure>

En fait, on pourrait à ce point enrichir la modélisation en faisant intervenir la courbure de la terre ... mais ce prolongement n'a pas été envisagé.

Les élèves ont eu ce problème à chercher à la maison (il figurait sur la même fiche que les situations d'introduction de la première séance). Ils vont rencontrer des difficultés sérieuses dans la modélisation fonctionnelle, certains ayant même du mal à trouver l'expression de $h(x)$. A la séance suivante, un temps sera donc consacré à l'analyse qualitative de la situation via le positionnement de points $B_i$ régulièrement espacés sur (OA) et la construction des points $C_i$ correspondants, puis à la mise en place de la modélisation fonctionnelle et ils termineront ensuite l'étude, comme prévu, hors classe.

Encore une fois, si besoin était, cette situation nous montre la complexité des prises de décision en jeu dans le processus de modélisation fonctionnelle et la difficulté qu'il y a à construire des stratégies pédagogiques qui, sans sous-estimer ces difficultés, puisse permettre à l'élève de construire progressivement une certaine autonomie dans ce domaine.
Annexe 1 : Phase 1

<figure><img src="image_228.png" /><figcaption>Diagramme de la distance parcourue en fonction du temps</figcaption></figure>

<figure><img src="image_229.png" /><figcaption>Diagramme des vitesses</figcaption></figure>
Annexe 2 : Phase 2

<figure><img src="image_230.png" /><figcaption>Diagramme de la distance parcourue en fonction du temps.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_231.png" /><figcaption>Diagramme des vitesses</figcaption></figure>
Annexe 3 : Phase 3

<figure><img src="image_232.png" /><figcaption>Diagramme de la distance parcourue en fonction du temps</figcaption></figure>

<figure><img src="image_233.png" /><figcaption>Diagramme des vitesses</figcaption></figure>
Annexe 4 : Graphes produits par Marianne et Fabien (ph. 2)

<figure><img src="image_234.png" /><figcaption>Marianne</figcaption></figure>

<figure><img src="image_235.png" /><figcaption>Fabien</figcaption></figure>

<figure><img src="image_236.png" /></figure>

<figure><img src="image_237.png" /></figure>
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# INGENIERIE 6.

## Recherche de fonctions sous contraintes : le raccord de tuyaux

Le problème dont le texte est donné ci-après a été proposé aux élèves de la classe A en fin d'année, le 6 juin, lors d'une séance de 2 heures. Il s'agit d'un problème de recherche de fonctions sous contraintes qui s'inscrit dans la dimension « outil » de la notion de dérivée.

### PROBLEME DE RACCORD

On veut raccorder deux tuyaux représentés en coupe dans la figure ci dessous.

Le raccord est engendré par la rotation d'une courbe autour de l'axe des tuyaux. Cette courbe doit être tangente aux deux tuyaux aux points de jonction et ne doit nulle part changer brusquement de pente.

Le but de l'exercice est de trouver de tels raccords et de choisir, parmi ceux que l'on aura trouvé celui pour lequel la pente est minimum.

<figure><img src="image_238.png" /></figure>

### A. Objectifs et scénario

Il s'agit de faire travailler les élèves sur un problème se modélisant en termes de recherche de fonctions sous contraintes, les contraintes faisant intervenir à la fois les valeurs de la fonction et de sa dérivée. Le problème est proposé sans indication de modélisation, dans le contexte de la situation. Il admet des solutions diverses, même en se limitant aux fonctions connues des élèves de ce niveau, et un critère d'optimisation est donné : « minimum de la pente » qui devra sans doute être explicité puisque ce que l'on vise ici, c'est en fait la minimisation du maximum de la pente sur l'intervalle considéré. De plus, la modélisation fonctionnelle passe ici par le choix d'un repère. Si nous considérons la courbe dessinée dans la partie supérieure du schéma fourni, deux repères semblent bien adaptés au problème : le repère R1 dont l'axe des abscisses est parallèle à l'axe des tuyaux et l'origine au début du raccord, le repère R2 dont l'axe des abscisses est lui aussi parallèle à l'axe des tuyaux mais dont l'origine se trouve au milieu du segment déterminé par les deux points de raccord. Suivant le repère choisi, les contraintes fournies vont s'exprimer de façon différente et les élèves vont être confrontés, pour un même raccord, à des calculs différents et à des expressions fonctionnelles différentes. Il sera alors intéressant de vérifier graphiquement qu'il s'agit bien du même raccord, puis de chercher une justification analytique, en étudiant comment le changement de repère affecte l'expression fonctionnelle, de comparer également l'économie des calculs suivant le type de repère choisi.

Même si les élèves sont dans un premier temps tentés par une stratégie d'ajustement par essais successifs de fonctions, les tracés étant aisés à la calculatrice, il y a très peu de chances qu'une telle stratégie aboutisse, compte-tenu de la nature des contraintes données. Il est prévu de ne pas laisser les élèves s'enfermer dans cette voie et, pour cela, après une première phase de recherche en binômes :
* de faire exprimer par les élèves, collectivement, les types de raccord qu'ils envisagent (nous pensons voir apparaître des raccords avec des morceaux de paraboles, les élèves ayant déjà rencontré ce type de raccord dans la séance d'introduction de la notion de vitesse instantanée, et peut-être aussi des raccords de type sinusoïdal ou cubique),

* de décider avec eux de commencer à travailler sur un type donné de raccord et de les aider, si nécessaire, à modéliser fonctionnellement la situation, avant de les engager dans une deuxième phase de recherche en binômes qui sera conclue par un bilan où sera gérée collectivement la recherche du maximum de la pente pour le type de raccord considéré.

Dans une quatrième phase de la séance, il est prévu d'envisager un second type de raccord, en leur laissant cette fois une autonomie complète dans la résolution. Cette phase conduira elle aussi à un bilan où le choix entre les deux raccords sur la base du critère de pente sera traité collectivement, même s'il n'a pas été abordé par les binômes dans la phase de recherche.

A l'issue de cette quatrième phase, il est prévu d'introduire un troisième type de raccord si cela n'a pas été fait spontanément et de leur demander de résoudre le problème correspondant hors classe.

## B. Déroulement

L'enseignante distribue le texte encadré ci-dessus et conseille aux élèves de travailler en binômes. Vincent est l'élève dont les écrans sont enregistrés.

Assez vite, elle va intervenir car un élève dit qu'il ne comprend pas très bien ce qu'on lui demande. L'enseignante commente le texte puis trace au tableau deux raccords : un raccord zigzaguant et un raccord droit en demandant si ces raccords respectent les conditions fixées. Les élèves répondent que non, plusieurs précisant qu'il n'y a pas tangence. Un élève propose d'arrondir un petit peu le raccord droit et Vincent propose, quant à lui, de prendre une courbe en x³. Quand l'enseignante lui demande d'expliquer pourquoi, il répond qu'une partie de la courbe pourrait ressembler à ce dont ils ont besoin. Nicolas rajoute que ça pourrait marcher parce qu'il y aurait un maximum et un minimum. L'enseignante utilise le rétroprojecteur pour visualiser ceci avec une cubique déjà tracée sur papier quadrillé, en marquant les tangentes horizontales aux deux points de raccord, nommés A et B.

Elle demande ensuite aux élèves pourquoi ils sont passés directement d'un segment, c'est à dire de la courbe représentative d'une fonction affine à une fonction du troisième degré. C'est Marianne qui lui répond qu'avec une parabole, elle ne pourrait pas avoir deux tangentes horizontales. Un élève rajoute que ce serait peut-être possible avec deux paraboles. L'enseignante visualise cette seconde proposition en rétroprojetant deux paraboles, ayant leurs sommets respectifs en A et B et se raccordant entre ces deux points.

Elle demande ensuite s'ils ont d'autres suggestions à faire et un autre élève propose de prendre des fonctions sinus ou cosinus. L'enseignante, là encore, projette un morceau de sinusoïde qui assure le raccord, en les assurant que c'est bien un morceau de sinusoïde qu'elle a tracé.

Ces trois types de raccords ayant été envisagés, elle leur demande par quel type ils veulent commencer la recherche, lequel leur paraît le plus simple. C'est le raccord cubique qui l'emporte nettement et il est donc décidé de commencer par ce type de raccord. Une dizaine de minutes se sont en fait écoulées depuis le début de la séance et l'enseignante lance la phase de recherche individuelle, sans entrer plus avant dans la modélisation fonctionnelle.
Quelques élèves, dont Vincent, vont d'emblée écrire l'expression générale d'une fonction du troisième degré et commencer à écrire des conditions. Vincent, sans le préciser, a choisi un repère de type R1 mais travaille en millimètres puisque les premières conditions écrites sont : $f(0)=0$ et $f(60)=30$. Il conclut tout de suite que le terme constant est nul puis passe au calcul de $f(60)$ à la main.

Mais beaucoup d'élèves font des essais à partir de $x^3$, avec leur calculatrice. Amandine par exemple entre successivement dans $Y=$ les expressions : $x^3, 2x^3-3, 2x^3-9, 3x^3-4$ et les fait tracer.

<figure><img src="image_239.png" /></figure>

Elle déclare qu'il faut qu'elle arrive à faire quelque chose de « moins abrupt, de moins raide ».

Jérôme appelle l'enseignante, en lui disant qu'avec $x^3$, il n'arrive pas à avoir de maximum et de minimum. L'enseignante répercute la question au niveau collectif. Elle entre la fonction dans $Y=$ et la fait tracer en ZoomSdt puis demande s'il y a, comme l'avaient dit Vincent et Nicolas un maximum et un minimum. Les élèves répondent que non, que la fonction est toujours croissante. L'un d'eux propose de diviser $x^3$ par un entier. L'enseignante fait remarquer que cela ne va pas changer le sens de variation.

Vincent, perplexe, fait tracer $x^3+x^2+x+1$ :

<figure><img src="image_240.png" /></figure>

L'enseignante insiste sur le fait que la dérivée peut s'annuler, comme c'est le cas pour $x^3$, sans qu'il y ait pour autant un maximum ou un minimum et elle pose la question de savoir si, finalement, on peut obtenir un maximum et un minimum avec une fonction du troisième degré.

Les avis sont maintenant partagés. Certains proposent d'abandonner les cubiques pour les paraboles. L'enseignante ne les suit pas et revient à la question initiale. Vincent suggère de prendre $ax^3+bx^2+cx+d$ et de regarder la dérivée. L'enseignante lui demandant de préciser, il ajoute que, comme elle est du second degré, elle peut s'annuler deux fois. L'enseignante reprend aussitôt qu'effectivement comme elle est du second degré, soit il n'y a pas de racines et elle reste de signe constant, soit il y a une racine double, soit il y a deux racines et c'est donc vraisemblablement possible d'avoir un maximum et un minimum. Et elle relance le travail en binômes.
Beaucoup d'élèves se relancent dans des essais à la calculatrice, Amandine par exemple, essaie $0.1x^3+2x+1$ :

<figure><img src="image_241.png" /></figure>

Voyant cela, l'enseignante réintervient assez rapidement, en soulignant que s'ils cherchent de façon complètement empirique des fonctions du troisième degré, ils risquent d'y passer du temps... Elle ajoute que, s'ils veulent chercher des fonctions, il faut qu'ils choisissent un repère.

Elle circule dans la classe puis au bout d'un moment fait le point collectivement sur la question du choix du repère. Pierre explique le premier qu'il a pris un repère vertical, en mettant A en bas et B en haut, il fait le geste de tourner la feuille. L'enseignante dit qu'elle préfère qu'on laisse le tuyau horizontal comme il l'est initialement. Grégory ensuite propose de choisir le point A comme origine. Ce choix du repère R1 est le choix majoritaire mais quelques uns ont choisi le repère R2 et le disent. L'enseignante laisse les élèves libres de choisir un des deux repères et annonce qu'ensuite ils discuteront les avantages et les inconvénients des deux méthodes.

Elle guide ensuite l'expression des contraintes. Précisons que Vincent a de son côté avancé dans la recherche, écrivant que $f'(0)=c$. Il calcule maintenant $f'(60)$. Il vérifie ensuite ses calculs à la machine :

<figure><img src="image_242.png" /></figure>

L'expression des contraintes ne pose pas de problème au niveau des valeurs prises par la fonction, mais la classe peine davantage sur les contraintes qui se traduisent par des valeurs de la dérivée. Ils formulent en effet sans problème la contrainte en termes d'équation de la tangente mais la reformulation en termes de valeur de la dérivée nécessite l'aide de l'enseignante. L'extrait suivant l'illustre bien :

P. : « D'accord les coordonnées de A vérifient l'équation donc $f(0)=0$ et qu'est-ce que l'on doit avoir de plus en A ? »

Plusieurs élèves : « une tangente horizontale »

P. : « Oui, une tangente horizontale ; et on le traduit comment Nicolas ? »

N. : « La tangente c'est $y=0$ »
P. : « Oui, la tangente a pour équation y=0, mais par rapport à f ? »

Silence

P. : « Qu'est-ce qui différencie une tangente horizontale d'une tangente comme ça ? »
(elle trace une tangente oblique)

N. : « Le coefficient directeur »

P. : « Oui, le coefficient directeur. Et c'est quoi le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a ? »

Pierre : « C'est $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ »

D'autres élèves : « C'est m »

P. : « Oui, mais cet m, comment on l'obtient quand on connaît la fonction ? »

Silence puis Pierre : « C'est f'(a) »

P. : « oui f'(a), et alors ici quelle condition ça nous donne ? »

Plusieurs élèves : « f'(0)=0 »

On notera que dans cet épisode, les élèves qui ont déjà formulé les conditions sous forme de dérivée n'interviennent pas. Peut-être, comme Vincent, avancent-ils dans leurs calculs, sans s'impliquer dans la discussion collective.

L'expression des contraintes en B se fait ensuite très vite et les élèves se remettent à la recherche. L'enseignante circule dans la classe. A un moment, elle reprend la parole suite à une demande d'élève pour faire préciser le nombre d'équations, le nombre d'inconnues. Les deux nombres étant égaux à 4, elle souligne qu'il y a de bonnes chances pour que le système ait une solution, qu'ils peuvent s'aider de la machine mais qu'ils peuvent aussi résoudre à la main. A une autre demande elle répond que oui, c'est la méthode de Gauss qui est à utiliser pour la résolution du système.

Au bout de 10mn, beaucoup d'élèves ont terminé. C'est en particulier le cas de Vincent qui a repris ses calculs en revenant au centimètre, résolu le système à la main, puis entré la fonction obtenue dans Y= et l'a faite tracer.

<figure><img src="image_243.png" /></figure>

Mais un certain nombre d'élèves traînent dans la résolution du système. L'enseignante décide d'arrêter la recherche et récapitule collectivement, en utilisant la machine rétroprojetable. Elle définit la fonction f et exprime les contraintes. Plusieurs élèves proposent de remplacer tout de suite c et d par 0, ce qu'elle fait en affectant la valeur 0 à ces deux variables.
<figure><img src="image_244.png" /></figure>

Elle recopie au tableau le système 2x2 résultant et le simplifie en :

$$72a+12b=1$$

$$9a+b=0$$

Puis elle fait oraliser les calculs et donner les résultats : a=-1/36 et b=1/4. Elle entre ensuite la fonction et la fait tracer en Zoom standard obtenant le même tracé que Vincent qui, entre temps, a modifié la fenêtre pour se limiter à [0,6]x[0,3]. Au vu du tracé, plusieurs élèves lui suggèrent d'ailleurs de se limiter à l'intervalle [0,6], mais l'enseignante dit qu'elle souhaiterait visualiser la fonction entière (elle trace au tableau). Un élève propose d'utiliser « when », ce qu'elle fait en détaillant soigneusement la syntaxe. Les élèves doivent faire de même sur leur propre machine. Elle choisit ensuite de tracer la fonction g sur [-2,8]x[-1,4].

<figure><img src="image_245.png" /></figure>

L'enseignante en vient ensuite à la question du maximum de la pente. Pour les élèves, il n'y a aucun doute : le maximum est atteint au milieu de l'intervalle pour x=3. Elle demande comment le vérifier. Certains proposent de calculer l'équation de la tangente, mais cette fois le lien avec la fonction dérivée se fait plus facilement. Il est donc décidé de définir et tracer la fonction dérivée et de vérifier que son maximum est bien atteint pour x=3. La première heure s'achève sur ce point.

Après une pause qui est pour les élèves l'occasion de demander des informations sur le choix des options de terminale, la séance reprend. Suivant les propositions des élèves, elle définit la dérivée dans HOME et la fait tracer. Les élèves y voient la confirmation de leur conjecture et lorsque l'enseignante demande comment obtenir la valeur de ce maximum, ils suggèrent d'utiliser la commande maximum. L'enseignante le fait, en commentant les différentes étapes. Elle souligne également que la machine ne fonctionne pas ici en calcul exact, en dépit des apparences.
<figure><img src="image_246.png" /></figure>

Un élève appelle à l'aide. En fait il a oublié de définir la fonction.

L'enseignante demande ensuite de prouver que le maximum est bien $\frac{3}{4}$. Un élève propose de calculer la dérivée de $g$ et de chercher où elle s'annule. L'enseignante demande la valeur de cette dérivée mais les élèves, visiblement effrayés par la complexité de l'expression formelle de $g$, ne peuvent répondre. Elle rappelle alors que l'on s'intéresse à la valeur de $g$ sur l'intervalle $[0,6]$ seulement et ceci débloque la situation. La dérivée est calculée mentalement : $-\frac{x}{6}+\frac{1}{2}$, un tableau de variation tracé et la démonstration achevée. Personne n'a pensé à raisonner directement en faisant appel aux propriétés de symétrie de la parabole. L'enseignante demande en revanche si le point correspondant au maximum de la pente a une autre propriété particulière vis à vis de la courbe de $f$ et plusieurs répondent que c'est un centre de symétrie. Elle leur demande de le démontrer chez eux pour la séance suivante et passe au second type de raccord : par paraboles, en disant aux élèves que cette fois, ils doivent le faire sans aide. Cette première phase a duré une dizaine de minutes.

Vincent, pendant cette phase collective, a travaillé sur le raccord parabolique écrivant les conditions : $f(0)=0$, $f'(0)=0$ et $f(3)=3/2$. A partir de l'expression générale $f(x)=ax^2+bx+c$, il a ainsi obtenu l'équation du premier morceau de parabole et contrôle avec sa calculatrice.

L'enseignante circule dans la classe. Visiblement la mathématisation du problème du raccord des deux paraboles ne va pas de soi. Au bout de 5mn environ, elle intervient collectivement pour aider cette mathématisation. Elle trace au tableau un raccord possible, C n'étant pas spécialement au milieu de [AB], en précisant que les tangentes au point de raccord doivent être les mêmes, puis demande comment choisir le raccord. Tout de suite, des élèves proposent de fonctionner par symétrie autour du milieu de [AB]. L'enseignante acquiesce et lance tout le monde sur cette piste. Certains ont quand même du mal et elle sera obligée de faire préciser les trois contraintes que l'on va formuler pour trouver chaque parabole. Certains ont sans doute été gênés par l'expression de la contrainte de tangence au raccord qui, de fait, est momentanément abandonnée.

Suit une dizaine de minutes de travail en binômes. A ceux qui ont terminé, l'enseignante demande de vérifier que le raccord se fait bien sans rupture de pente en $x=3$. Vincent a fini assez vite, vérifie une fois de plus ses calculs à la machine, puis veut définir la fonction globale en utilisant *when* et fait l'erreur de l'appeler $g$ tout en utilisant $g$ dans sa définition. Sa machine se plante et, après avoir essayé diverses choses, il fait un *Reset*.

Suit une mise au point collective, les calculs étant dictés par les élèves et écrits par l'enseignante au tableau. On arrive ainsi aux deux expressions algébriques : $f(x)=x^2/6$ et $f(x)=-x^2/6+2x-3$. L'enseignante fait remarquer que les coefficients de $x^2$ sont opposés et fait rapidement le lien avec la symétrie par rapport au point C. Elle définit ensuite la fonction et la fait tracer, d'abord seule puis avec la cubique, la cubique étant tracée en plus épais.
<figure><img src="image_247.png" /></figure>

Les élèves sont étonnés par la proximité des deux courbes et ne savent pas très bien dire laquelle a « la plus grande pente ». Avant de travailler sur de problème, l'enseignante revient sur le raccord des deux paraboles, qui est momentanément en suspens en demandant si les deux paraboles se raccordent vraiment bien. Encore une fois, des élèves proposent de trouver les équations des deux tangentes en x=3 et encore une fois, l'enseignante les ramène à la comparaison des seuls coefficients directeurs et des nombres dérivés. Ceci étant explicité, les calculs sont faits oralement et les résultats notés au tableau. Finalement, on peut conclure puisque les deux nombres dérivés sont égaux à 1.

Pour comparer les pentes, ils proposent ensuite de tracer les deux dérivées. L'enseignante le fait, tout en faisant remarquer que l'on peut déjà conclure puisque le raccord des paraboles se fait avec une pente 1 supérieure au maximum de ¾ trouvé pour la cubique. Elle fait analyser ensuite les positions relatives des deux courbes.

<figure><img src="image_248.png" /></figure>

Cette phase collective a duré une vingtaine de minutes. On passe ensuite aux sinusoïdes pour les 10 dernières minutes de la séance. Vincent, à son habitude a un peu anticipé. Il a commencé à tracer diverses sinusoïdes correspondant aux expressions : sin2x, sinx et sin(x/2). Il compare les pentes et semble satisfait.

<figure><img src="image_249.png" /></figure>

Il passe ensuite à l'expression des conditions et écrit :

$$f(x)=a \sin(b x)+c$$
$$0=a \sin(0)+c$$

$$3=a \sin(6 b)+c$$

$$0=a b \cos(0)$$

$$0=a b \cos(6 b)$$

Il en déduit : $c=0$ puis reste en plan, ce qui se comprend aisément.

L'enseignante, dans cette dernière phase, va préparer collectivement le travail sur les sinusoïdes que les élèves auront à achever seuls pour la séance suivante. Elle le fera en partant directement des caractéristiques graphiques de la fonction sinus et non de la forme générale de l'expression à trouver, comme dans les cas précédents. Après avoir écarté la proposition d'un élève : essayer $\sin x + x$, déclarée trop compliquée, elle fait tracer la fonction sinus à la calculatrice :

<figure><img src="image_250.png" /></figure>

puis demande aux élèves quelle partie de cette courbe leur paraît intéressante par rapport au problème posé. Ceci ne pose pas de problème. Elle reproduit cette partie au tableau, en faisant préciser les coordonnées des extrémités : $(-\pi/2, -1)$ et $(\pi/2, 1)$ et en faisant préciser les caractéristiques que l'on doit avoir pour le raccord : un intervalle $[0,6]$ pour les x, un intervalle $[0,3]$ pour les y. Les élèves proposent d'abord de remonter la courbe d'une unité. Ensuite, elle attire leur attention sur l'amplitude qui est de 2 pour la fonction sinus et doit être ici de 3. Plusieurs proposent alors de multiplier le sinus par $3/2$. Ensuite elle pose le problème de l'ajustement de l'écart sur les abscisses qu'il faudra gérer en multipliant $x$ par quelque chose et leur dit aussi qu'il leur restera ensuite à centrer la courbe en C en rajoutant quelque chose aux $x$ et quelque chose aux $y$. C'est la fin de la séance. Elle propose de faire des rédactions par groupes pour la séance suivante.

## D. Bilan

Divers points ressortent du déroulement que nous venons de décrire. Nous voudrions en souligner principalement deux :

* le fait que les élèves font intervenir sans difficultés et très vite les diverses solutions qui nous avaient semblé envisageables à leur niveau.

* l'ensemble des savoirs et techniques nécessaires à la mathématisation et à la résolution du problème, au delà de la seule idée des différents types de raccords possibles.

Nous avions sans aucun doute sous-estimé la complexité des problèmes que les élèves avaient à gérer simultanément dans cette situation, complexité accrue par le fait que beaucoup d'entre d'eux n'étaient encore en rien des problèmes routiniers. On voit bien ainsi que la première stratégie que développent beaucoup d'élèves consiste à essayer au hasard des fonctions du troisième degré, ce qui conduit généralement, vu le type d'essais effectués, à des fonctions
monotones qui ne répondent pas aux attentes. Et l'on voit bien tout le travail mathématique nécessaire pour comprendre ce phénomène lorsque l'enseignante l'engage collectivement avec les élèves. Il est clair que, même nourri par une réflexion sur les dérivées, l'ajustement expérimental des cubiques est une voie pratiquement sans issue et dont la productivité mathématique est limitée. C'est pourquoi, conformément à l'analyse a priori, l'enseignante ne va pas laisser les élèves persister dans cette voie et les orienter vers une modélisation fonctionnelle. Ce type de modélisation, qui fait intervenir des objets dépendant de quatre paramètres, n'a rien de routinier à ce niveau. Il apparaît cependant spontanément chez certains élèves, comme Vincent, qui n'éprouvent pas par ailleurs de difficulté à formuler économiquement les contraintes. Pour la plupart des élèves cependant, on voit bien que l'introduction d'un repère, qu'ils choisissent astucieusement sans difficulté et d'une forme générale de fonction ne suffit pas à résoudre les problèmes de la mathématisation. Les contraintes sur la dérivée sont lues en termes d'équations de tangente et la reformulation en valeur de la dérivée n'est en rien automatique. On retrouve là les difficultés dans la construction de la flexibilité entre les différents points de vue et expressions autour de la dérivée que nous avons déjà mentionnées à diverses reprises. Le temps passé sur ce premier type de raccord fera d'ailleurs que l'enseignante renoncera à aborder la question a priori envisagée de la comparaison des résolutions suivant le repère choisi et se limitera collectivement à la modélisation dans le repère massivement choisi par les élèves. Elle renverra également en travail hors classe la question du centre de symétrie, plus facile à traiter, avec le choix du repère R2.

Le second type de raccord avec les deux paraboles peut se gérer de plusieurs façons. Ici, en continuité avec ce qui précède (cette continuité étant d'ailleurs implicite dans les consignes données), les élèves les premiers à démarrer vont partir d'expressions générales dépendant de trois paramètres cette fois et déterminer les paramètres en traduisant les contraintes. Le problème est ici moins simple qu'il n'y paraît à première vue, si l'on ne raisonne pas par symétrie par rapport au point C milieu de [AB] et ce, même si l'on décide très raisonnablement de raccorder les deux paraboles en C. En effet, la condition de tangence en C rajoute une condition supplémentaire qui fait intervenir les deux fonctions, mais sera de fait automatiquement satisfaite dès que les 6 autres le seront. On aurait aussi pu gérer le problème plus géométriquement en considérant la parabole de sommet A passant par C puis en considérant la parabole image de celle-ci par la symétrie par rapport au point C. Si l'on admet que la symétrie conserve la tangence, ce qui on l'a vu à plusieurs reprises dans l'ingénierie semble une évidence pour les élèves, le problème du raccord en C est alors résolu puisque la tangente à la première parabole est globalement invariante dans cette symétrie ; celui du raccord en B peut être géré ensuite de façon analogue. On notera que l'enseignante évoque très brièvement cette possibilité dans le bilan collectif.

Le troisième type de raccord pourrait lui aussi être géré via l'écriture d'une forme générale dépendant de quatre paramètres : $f(x) = a \sin(b \times x + c) + d$. Mais les équations que l'on obtient ainsi sont inextricables pour un élève de première. C'est d'ailleurs la voie dans laquelle s'engage spontanément Vincent, sans introduire cependant le paramètre c, ce qui le conduit à un blocage. En fait, pour ce troisième type de raccord, le raisonnement par transformations successives, en prenant en compte les caractéristiques de la sinusoïde cherchée et les rapports entre fonctions associées, est sans aucun doute le plus économique. C'est dans cette voie que l'enseignante engage les élèves à la fin de la séance, pour rendre raisonnable le travail demandé à la maison pour la séance suivante.
Le problème posé est donc d'une richesse très grande, par les types de fonctions qu'il permet de faire intervenir, les points de vue divers qu'il sollicite et amène à articuler, dans le cadre de l'analyse mais aussi dans les interactions de ce cadre avec celui de la géométrie. Pour la grande majorité des élèves considérés, rien dans les différentes étapes de la résolution n'est routinier, tout est problématique. Dans ces conditions, dans le temps réduit qui est imparti à cette recherche, on voit un fonctionnement où les médiations de l'enseignante sont très prégnantes. Sans aucun doute, un tel problème serait-il mieux adapté, à ce niveau là, à un autre dispositif didactique qu'une séance de deux heures, par exemple à un travail de recherche sur plusieurs semaines entrecoupé de points collectifs réguliers. Le système des échanges entre classes, via Internet, que la commission InterIREM Informatique met en place en 1997-98, sur des problèmes de recherche, pour une durée de trois semaines, lui serait sans doute mieux approprié.
## PARTIE III.
LES SUIVIS D'ELEVES

Nous avons cerné les processus d'intégration de la calculatrice par les élèves et l'effet de cette intégration sur leurs représentations et sur leurs pratiques mathématiques, à la fois par des questionnaires et des entretiens.

Les questionnaires nous ont permis de dresser, dans chacune des classes, une description globale des processus d'intégration. Cette description est présentée et analysée dans le premier chapitre de cette partie. Les entretiens, réalisés sur un nombre limité d'élèves des deux classes, nous ont permis d'observer plus en profondeur les processus d'instrumentation et leurs effets. Cette observation est présentée et analysée dans le second chapitre de cette partie.

Ce suivi a été réalisé au cours de l'année 1995-96. Les résultats présentés devront être mis en rapport avec le caractère pré-expérimental des situations auxquelles les élèves ont participé : calculatrices arrivées tard dans l'année, situations de classe expérimentées pour la première fois... Il était cependant important de réaliser ce suivi au cours de la première année pour qu'il puisse orienter l'ingénierie didactique développée en 1996-97 et présentée dans la partie précédente.
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# Partie III. Chapitre 1
## Le suivi par questionnaires aux élèves

Les élèves des deux classes ont passé trois questionnaires : le premier en octobre, avant qu'ils ne disposent des machines, le second juste avant les vacances de Pâques, le troisième au début du mois de juin.

Pour chacun des trois questionnaires, nous débutons par une présentation, suivie du texte du questionnaire, puis nous donnons les résultats de leur dépouillement pour les deux classes.

Nous dressons ensuite une synthèse des informations recueillies dans chaque questionnaire, à partir de la comparaison des réponses dans les deux classes. Des caractéristiques différentes de l'instrumentation de la TI92 apparaissent ainsi, et nous tentons d'isoler des déterminants susceptibles d'éclairer ces différences.
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# Le premier questionnaire

## Présentation du questionnaire

Ce premier questionnaire avait pour objectif de cerner, avant le début de l'expérimentation, le rapport des élèves aux technologies informatiques (calculatrices et logiciels) ; il devait également nous aider à choisir les élèves qui feraient l'objet d'un suivi individualisé. Nous nous sommes inspirés, pour le constituer du questionnaire réalisé dans le cadre de la recherche DERIVE (Abboud & alt, 1995) (Lagrange, 1996) ainsi que d'un questionnaire réalisé par L.Trouche (Trouche, 1997).

Ce questionnaire de 92 questions, reproduit ci-après, est composé de quatre parties concernant respectivement les calculatrices et les logiciels de façon générale, puis les logiciels de construction géométrique et le logiciel DERIVE.

Dans la partie « calculatrice », on cherche à savoir notamment :

* de quelle calculatrice disposent actuellement les élèves et depuis combien de temps ils en disposent,

* quelle utilisation ils en font et quelle familiarité ils ont avec les fonctionnalités graphiques s'ils disposent d'une calculatrice graphique,

* comment ils se situent par rapport aux résultats fournis par la calculatrice,

* leurs appréciations sur le rôle des calculatrices dans le travail mathématique de façon générale et plus spécifiquement dans les situations d'évaluation.

La partie « logiciel » a pour objectif de cerner l'environnement informatique des élèves et leur position vis à vis des logiciels dans une perspective d'apprentissage mathématique.

Les deux dernières parties ont pour objectif de connaître les utilisations qu'ils ont pu avoir de logiciels comparables aux applications HOME et GEOMETRY de la calculatrice TI92 et leur opinion sur l'intérêt de tels logiciels pour l'apprentissage des mathématiques.
Le texte du questionnaire

QUESTIONNAIRE 1

1. Nom :

2. Prénom :

3. Classe :

4. Établissement :

5. Sexe :

F

<figure><img src="image_252.png" /></figure>

G

<figure><img src="image_253.png" /></figure>

LES CALCULATRICES ET VOUS

6. Disposez-vous d'une calculatrice ?

Oui

<figure><img src="image_254.png" /></figure>

Non

<figure><img src="image_255.png" /></figure>

7. Laquelle ?

Marque :

Nom :

8. Depuis combien de temps l'avez-vous ?

Moins de deux mois

<figure><img src="image_256.png" /></figure>

Moins d'un an

<figure><img src="image_257.png" /></figure>

Plus d'un an

<figure><img src="image_258.png" /></figure>

9. Est-ce une calculatrice programmable ?

Oui

<figure><img src="image_259.png" /></figure>

Non

<figure><img src="image_260.png" /></figure>

10. Est-ce une calculatrice graphique ?

Oui

<figure><img src="image_261.png" /></figure>

Non

<figure><img src="image_262.png" /></figure>

11. En aviez-vous une autre avant?

Oui

<figure><img src="image_263.png" /></figure>

Non

<figure><img src="image_264.png" /></figure>

12. Si oui, laquelle ?

Marque :

Nom :

L'année dernière, si vous aviez une calculatrice, l'utilisiez-vous :

13. En classe ?

Jamais

<figure><img src="image_265.png" /></figure>

Parfois

<figure><img src="image_266.png" /></figure>

Souvent

<figure><img src="image_267.png" /></figure>

14. A la maison ?

Jamais

<figure><img src="image_268.png" /></figure>

Parfois

<figure><img src="image_269.png" /></figure>

Souvent

<figure><img src="image_270.png" /></figure>

Utilisez-vous votre calculatrice actuelle :

15. Pour faire des calculs numériques ?

Jamais

<figure><img src="image_271.png" /></figure>

Parfois

<figure><img src="image_272.png" /></figure>

Souvent

<figure><img src="image_273.png" /></figure>

16. Pour tracer des graphiques ?

Jamais

<figure><img src="image_274.png" /></figure>

Parfois

<figure><img src="image_275.png" /></figure>

Souvent

<figure><img src="image_276.png" /></figure>

17. Pour programmer ?

Jamais

<figure><img src="image_277.png" /></figure>

Parfois

<figure><img src="image_278.png" /></figure>

Souvent

<figure><img src="image_279.png" /></figure>

18. Utilisez-vous les mémoires ?

Jamais

<figure><img src="image_280.png" /></figure>

Parfois

<figure><img src="image_281.png" /></figure>

Souvent

<figure><img src="image_282.png" /></figure>

19. Utilisez-vous des formules ou programmes que vous avez entrés dans votre calculatrice ?

Jamais

Parfois

Souvent

20. Pouvez-vous citer des exemples de formules et programmes que vous avez entrés dans votre calculatrice ?

Si vous avez une calculatrice graphique, utilisez-vous :

21. Le zoom

Jamais

Parfois

Souvent

22. La commande "Trace"

Jamais

Parfois

Souvent
23. La commande "Range"

Jamais ☐

Parfois ☐

Souvent ☐

24. Pensez-vous bien connaître les possibilités de votre calculatrice ?

Oui ☐

Non ☐

25. Avez-vous appris à vous servir de votre calculatrice surtout :

Avec le professeur ☐

En manipulant ☐

Avec le mode d'emploi ☐

Avec des copains ☐

26. Avez-vous eu en classe, les années précédentes, des séances spécialement consacrées aux calculatrices ?

Oui ☐

Non ☐

27. A votre avis, les professeurs de maths doivent-ils faire une initiation aux calculatrices ?

Oui ☐

Non ☐

28. Si vous avez répondu "Oui", précisez ce qu'à votre avis les professeurs doivent apprendre à leurs élèves ; Si vous avez répondu "Non", expliquez pourquoi :

<figure><img src="image_283.png" /></figure>

29. Est-ce que votre calculatrice a parfois affiché des résultats surprenants pour vous ?

Oui ☐

Non ☐

30. Si oui, pouvez-vous en donner un ou plusieurs exemples ?

<figure><img src="image_284.png" /></figure>

31. Est-ce que votre calculatrice vous a parfois entraîné à commettre des erreurs ?

Oui ☐

Non ☐

32. Si oui, pouvez-vous donner un ou plusieurs exemples ?

<figure><img src="image_285.png" /></figure>

33. Vérifiez-vous les résultats affichés par votre calculatrice ?

Jamais ☐

Parfois ☐

Souvent ☐

34. Comment ? Donnez un ou plusieurs exemples :

<figure><img src="image_286.png" /></figure>

Pour chacune des phrases ci-après cochez la case correspondant à votre opinion :

<table><thead><tr><th></th><th>tout à fait d'accord</th><th>plutôt d'accord</th><th>plutôt pas d'accord</th><th>pas du tout d'accord</th><th>sans opinion</th></tr></thead><tbody><tr><td>35. La calculatrice me fait gagner du temps</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>36. La calculatrice m'aide à résoudre les problèmes</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>37. La calculatrice me permet de vérifier mes résultats</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>38. La calculatrice m'aide à préparer les contrôles</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>39. La calculatrice me fait perdre du temps</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

40. Avez-vous utilisé **avant cette année scolaire** votre calculatrice durant un contrôle ?

Jamais ☐

Parfois ☐

Souvent ☐

41. Etes-vous pour ou contre l'utilisation de la calculatrice aux contrôles ?

Oui ☐

Non ☐

Ca dépend ☐

42. Pourquoi ?

<figure><img src="image_287.png" /></figure>

43. Utilisez-vous la calculatrice dans d'autres matières ? Oui ☐

Non ☐

44. Si oui, lesquelles ?

## LES LOGICIELS ET VOUS

Avez-vous déjà utilisé avant cette rentrée scolaire un logiciel :

<table><thead><tr><th></th><th>jamais</th><th>une ou deux fois</th><th>entre trois et dix fois</th><th>plus de dix fois</th><th>lequel ou lesquels ?</th></tr></thead><tbody><tr><td>45. De traitement de textes</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>46. De mathématiques</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>47. De dessin</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>48. Un tableur</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>49. Un jeu informatique</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>50. D'autres logiciels</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

51. Y a-t-il un ordinateur chez vous? Oui ☐

Non ☐

52. L'utilisez-vous? Jamais ☐

Parfois ☐

Souvent ☐.

Chez vous, y-a-t-il des personnes utilisant :

53. Une calculatrice scientifique?

Parents ☐

Frères ou sœurs ☐

Autre ☐ (précisez)

54. Un ordinateur ?

Parents ☐

Frères ou sœurs ☐

Autre ☐ (précisez)
55. Avez-vous suivi l'option informatique, participé à des ateliers ou à un club informatique?
Oui ☐ Non ☐

56. Pour apprendre des mathématiques, les ordinateurs sont-ils, à votre avis :
Utiles ☐ Dangereux ☐ Sans effet ☐

57. Précisez vos raisons :

POUR CEUX QUI ONT DEJA UTILISE UN LOGICIEL DE CONSTRUCTION GEOMETRIQUE

Quel(s) logiciel(s) avez-vous utilisé(s) ?

<table><thead><tr><td></td><td>Oui</td><td>Non</td></tr></thead><tbody><tr><td>58. Le géomètre</td><td></td><td></td></tr><tr><td>59. Géoplan</td><td></td><td></td></tr><tr><td>60. Géospace</td><td></td><td></td></tr><tr><td>61. Calques géométriques</td><td></td><td></td></tr><tr><td>62. Atelier de géométrie</td><td></td><td></td></tr><tr><td>63. Autres</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

En tout, vous les avez utilisés :

64. Une ou deux fois ☐ Entre trois et dix fois ☐ Plus de dix fois ☐

65. En classe ☐ Au CDI ☐ En atelier ou club ☐ A la maison ☐
Autre ☐ (préciser)

66. Selon vous, que permettent de faire les logiciels que vous avez utilisés ?

67. Trouvez-vous difficile de les utiliser? Oui ☐ Non ☐

68. Précisez vos raisons :

S'ils ont été utilisés en classe, l'étaient-ils :
<table><thead><tr><th></th><th>Oui</th><th>Non</th></tr></thead><tbody><tr><td>69. Surtout par le professeur</td><td></td><td></td></tr><tr><td>70. Surtout par les élèves</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

71. Pour quelles activités (par exemple, illustrer le cours, chercher des exercices, les corriger, résoudre des problèmes différents des problèmes usuels...) ? Donnez si possible des exemples précis :

A votre avis, de tels logiciels peuvent-ils aider à

<table><thead><tr><th></th><th>Oui</th><th>Non</th><th>Comment ?</th></tr></thead><tbody><tr><td>72. Trouver les propriétés d'une figure</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>73. Démontrer ces propriétés</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>74. Résoudre des problèmes de constructions géométriques</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

75. Pour apprendre la géométrie sont-ils, à votre avis :

Utiles ☐

Dangereux ☐

Sans effet ☐

76. Précisez vos raisons :

POUR CEUX QUI ONT DEJA UTILISE DERIVE

En tout, vous l'avez utilisé :

77. Une ou deux fois ☐

Entre trois et dix fois ☐

Plus de dix fois ☐

78. En classe ☐

Au CDI ☐

En atelier ou club ☐

A la maison ☐

Autre ☐ (préciser)

S'il a été utilisé en classe, l'était-il :

<table><thead><tr><th></th><th>Oui</th><th>Non</th></tr></thead><tbody><tr><td>79. Surtout par le professeur</td><td></td><td></td></tr><tr><td>80. Surtout par les élèves</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
81. Pour quelles activités (par exemple, illustrer le cours, chercher des exercices, les corriger, résoudre des problèmes différents des problèmes usuels...) ? Donnez si possible des exemples précis :

82. Selon vous, que permet de faire ce logiciel de plus que votre calculatrice ?

83. Trouvez-vous difficile de l'utiliser ?

Oui ☐

Non ☐

84. Précisez vos raisons :

85. Savez-vous utiliser des fenêtres graphiques ?

Oui ☐

Non ☐

86. Savez-vous utiliser les touches [F3] et [F4] ?

Oui ☐

Non ☐

A votre avis, DERIVE peut-il vous aider à :

<table><thead><tr><th></th><th>Oui</th><th>Non</th><th>Comment ?</th></tr></thead><tbody><tr><td>87. Organiser vos calculs</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>88. Vérifier vos résultats</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>89. Résoudre des problèmes plus difficiles</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>90. Comprendre des notions mathématiques (préciser lesquelles)</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

91. Pour apprendre l'algèbre ou les fonctions, à votre avis, DERIVE est-il :

Utile ☐

Dangereux ☐

Sans effet ☐

92. Précisez vos raisons :
# Résultats du premier questionnaire

Les trente élèves (22 garçons et 8 filles) de la classe A, et les 24 élèves (12 garçons et 12 filles) de la classe B ont répondu à ce premier questionnaire.

## Les calculatrices des élèves

Tous les élèves disposent d'une calculatrice, toutes sont des calculatrices graphiques. Dans la classe A, elles se répartissent relativement équitablement entre Casio et Texas, et dans la classe B, elles sont plus souvent des Casio que des Texas comme en témoigne le tableau suivant :

<table><caption>Tableau 1 : Calculatrices des élèves</caption><thead><tr><th rowspan="2">Marque</th><th>Classe A</th><th>Classe B</th></tr><tr><th>Types et nombres entre parenthèses</th><th>Types et nombres entre parenthèses</th></tr></thead><tbody><tr><td>Texas</td><td>TI80 (1) - TI81 (4) - TI82 (9) - TI85 (1) - non précisé (1)</td><td>TI81 (3) - TI85 (3)</td></tr><tr><td>Casio</td><td>série 6000 (2) - série 7000 (5) série 9000 (7)</td><td>série 6000 (1) - série 7000 (9) série 8000 (6) série 9000 (1)</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_288.png" /></figure>

Dans la classe A, sept élèves ont leur calculatrice depuis moins de deux mois, douze depuis moins d'un an et dix depuis plus d'un an. Tous avaient une calculatrice avant. C'était en grande majorité des calculatrices collèges :

* Texas Galaxie (1), TI30 ou 40 (6)

* Casio FX82 (8), FX92 (8)

Trois élèves avaient déjà une calculatrice graphique, l'un une calculatrice Sharp (modèle non précisé), les autres élèves ne répondent pas.

En fait tous les élèves sauf six avaient déjà une calculatrice graphique avant les vacances.

Dans la classe B, dix élèves ont leur calculatrice depuis moins de deux mois, six depuis moins d'un an et huit depuis plus d'un an. La majorité (19) avaient une calculatrice avant, en majorité "collèges" :

* Texas Galaxie (1), TI30 ou 40 (6)

* Casio FX82 (5), FX92 (1), autre (6)

## Utilisation l'année précédente

Pour ce qui est de l'utilisation l'année précédente, tous les élèves utilisaient leur calculatrice à la fois en classe et à la maison, un peu plus en classe qu'à la maison dans la classe A, un peu plus à la maison qu'en classe dans la classe B
<figure><img src="image_289.png" /></figure>

## Utilisation actuelle

En ce qui concerne l'utilisation actuelle, les réponses dans les deux classes opposent nettement l'utilisation pour effectuer des calculs numériques et tracer des graphiques, très fréquente, et l'utilisation pour programmer, l'utilisation des mémoires, qui restent elles très épisodiques :

<table><caption>Tableau 2 : Types d'utilisation actuels</caption><thead><tr><th rowspan="2">Types d'utilisation</th><th colspan="3">Classe A</th><th colspan="3">Classe B</th></tr><tr><th>Jamais</th><th>Parfois</th><th>Souvent</th><th>Jamais</th><th>Parfois</th><th>Souvent</th></tr></thead><tbody><tr><td>calcul numérique</td><td>0</td><td>6</td><td>24</td><td>0</td><td>4</td><td>20</td></tr><tr><td>graphiques</td><td>0</td><td>6</td><td>24</td><td>2</td><td>6</td><td>16</td></tr><tr><td>programmation</td><td>6</td><td>19</td><td>5</td><td>8</td><td>11</td><td>5</td></tr><tr><td>mémoires</td><td>8</td><td>19</td><td>3</td><td>10</td><td>10</td><td>4</td></tr><tr><td>programmes, formules</td><td>10</td><td>14</td><td>6</td><td>7</td><td>11</td><td>6</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_290.png" /></figure>

Vingt et un élèves de la classe A, et treize élèves de la classe B fournissent des exemples de formules et programmes entrés dans leur machine. Ils se répartissent de la façon suivante :
* Formules : 12 A, 6 B.

* Jeux : 9 A, 1 B.

* Tables de valeurs : 4 A, 2 B

* Equation du second degré : 3 A, 7 B

* Courbes : 2 A

* Polynômes : 1 A.

Précisons que treize de ces vingt et un élèves de la classe A, et huit des treize élèves de la classe B ne citent qu'un exemple.

## Les commandes graphiques

Comme l'attestent les tableaux et graphiques suivants, environ un tiers des élèves seulement dans chacune des deux classes utilise fréquemment les fonctions graphiques : zoom, trace et range. On peut donc faire l'hypothèse qu'en ce début d'année, les élèves, dans leur majorité, se contentent des tracés fournis dans la fenêtre standard et n'ont pas développé une réelle instrumentation du module graphique de leur calculatrice.

<table><caption>Tableau 3 : Utilisation des fonctions graphiques</caption><thead><tr><th rowspan="2">Commandes</th><th colspan="3">Classe A</th><th colspan="3">Classe B</th></tr><tr><th>Jamais</th><th>Parfois</th><th>Souvent</th><th>Jamais</th><th>Parfois</th><th>Souvent</th></tr></thead><tbody><tr><td>Zoom</td><td>6</td><td>13</td><td>11</td><td>6</td><td>11</td><td>7</td></tr><tr><td>Trace</td><td>3</td><td>13</td><td>14</td><td>9</td><td>7</td><td>8</td></tr><tr><td>Range</td><td>4</td><td>18</td><td>8</td><td>9</td><td>8</td><td>7</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_291.png" /></figure>

En pondérant par 0, 1 et 2 respectivement les trois niveaux d'utilisation pour chaque commande, on obtient la répartition suivante des valeurs possibles de 0 à 6 parmi les élèves :
<figure><img src="image_292.png" /><figcaption>Tableau 4 : Effectifs par niveaux d'utilisation (Zoom+Trace+Range)</figcaption></figure>

Cette instrumentation limitée est confirmée dans la classe A par la réponse à la question 24 :
vingt sept élèves en effet estiment ne pas bien connaître les possibilités de leur calculatrice.

Dans la classe B, quatorze élèves estiment ne pas bien connaître les possibilités de leur calculatrice. On a donc une séparation nette entre la dizaine d'élèves qui connaît bien sa machine et utilise les fonctions graphiques, et les quatorze autres dont l'instrumentation semble très limitée.

## Apprentissage de la machine

Les réponses peuvent ici être multiples et l'on a en effet les résultats suivants à la question 25 :

<figure><img src="image_293.png" /></figure>

La moitié des élèves de la classe A a eu les années précédentes des séances spéciales consacrées aux calculatrices. Quatre élèves seulement de la classe B ont eu les années précédentes ces séances spéciales. Tous sauf un irréductible de la classe B, estiment que les professeurs de mathématiques doivent assurer une initiation aux calculatrices.

En ce qui concerne le contenu de l'apprentissage à gérer par les enseignants, les réponses sont en majorité de trois types :

* tout apprendre : « apprendre le fonctionnement de toutes les touches », « apprendre toutes les possibilités » (9 A, 6 B),

* se centrer sur ce qui est nécessaire à une utilisation efficace (10 A, 10 B),

* apprendre à programmer (12 A, 5B).

L'élève de la classe B qui refuse cet apprentissage justifie son refus par la diversité des calculatrices présentes dans la classe.
Attitude par rapport aux résultats fournis par la machine

Les réponses fournies aux questions de cette rubrique montrent une attitude de grande
confiance vis à vis de la machine.

La moitié des élèves de la classe A seulement déclare que leur machine a parfois affiché des résultats surprenants et huit seulement en fournissent des exemples : des tracés graphiques (4 fois), des questions de décimales (1), parenthèses (1), des résultats liés à la confusion des modes radian/degré en trigonométrie (1), des messages d'erreur bizarres (1).

Dans la classe B, la confiance est encore plus générale, puisqu'un seul élève déclare que sa
machine a parfois affiché des résultats surprenants et il ne fournit pas d'exemples.

La majorité (18 A, 14 B) estiment que la machine ne les a jamais conduits à faire des erreurs ; de plus, les huit types d'erreurs donnés en exemples sont exclusivement des erreurs liées aux manipulations de l'élève, puisque ces erreurs se répartissent de la façon suivante :

* erreurs d'entrée de données (ordre et parenthésage) : 5 A, 2 B

• erreurs d'interprétation : 2 B

* erreur de mode : 1 A, 1 B

* erreur de choix de menu : 1 A

* erreur dans la détermination d'équations de droites : 1 A

Les élèves s'attribuent ainsi exclusivement les causes d'erreurs, et ne mettent pas en doute le fonctionnement mathématique de leur calculatrice.

En ce qui concerne la vérification des résultats affichés par la machine, les réponses, réalistes, sont les suivantes :

33. Vérifiez-vous les résultats affichés par votre calculatrice ?

<figure><img src="image_294.png" /></figure>

Les méthodes de vérification décrites dans les vingt réponses fournies sont, en revanche, relativement variées :

* refaire la même chose (2 A, 5 B)

* refaire en papier/crayon (6 A, 6 B)

* vérifier les règles (1 A)

* refaire en changeant de méthode (7 A, 2 B), deux élèves précisant : refaire à l'envers

* vérifier en traçant un graphique (2 A)

* vérifier en substituant des valeurs numériques (2 A)

* vérifier la plausibilité du résultat (1 B)
Les opinions sur l'usage des calculatrices

Nous reproduisons ci-après le tableau associé aux questions 35-39, en mentionnant les effectifs correspondant aux différentes réponses et les moyennes d'adhésion correspondantes sur une échelle allant de 0 (pas du tout d'accord) à 1 (tout à fait d'accord).

Les réponses dans les deux classes sont ici nettes et opposent l'adhésion très forte aux affirmations sur le gain de temps et l'aide à la vérification, à l'adhésion plus modérée à la calculatrice vue comme aide à la résolution de problèmes.

<table><caption>Tableau 5 : Opinions sur la calculatrice</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">tout à fait d'accord</th><th colspan="2">plutôt d'accord</th><th colspan="2">plutôt pas d'accord</th><th colspan="2">pas du tout d'accord</th><th colspan="2">taux d'adhésion</th></tr><tr><th>A</th><th>B</th><th>A</th><th>B</th><th>A</th><th>B</th><th>A</th><th>B</th><th>A</th><th>B</th></tr></thead><tbody><tr><td>35. La calculatrice me fait gagner du temps</td><td>22</td><td>19</td><td>6</td><td>4</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,91</td><td>0,94</td></tr><tr><td>36. La calculatrice m'aide à résoudre les problèmes</td><td>10</td><td>5</td><td>9</td><td>11</td><td>9</td><td>5</td><td>1</td><td>3</td><td>0,66</td><td>0,58</td></tr><tr><td>37. La calculatrice me permet de vérifier mes résultats</td><td>24</td><td>16</td><td>6</td><td>7</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0,93</td><td>0,9</td></tr><tr><td>38. La calculatrice m'aide à préparer les contrôles</td><td>5</td><td>0</td><td>10</td><td>8</td><td>7</td><td>8</td><td>8</td><td>6</td><td>0,47</td><td>0,36</td></tr><tr><td>39. La calculatrice me fait perdre du temps</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>6</td><td>6</td><td>22</td><td>17</td><td>0,09</td><td>0,09</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_295.png" /></figure>
Dans les réponses aux questions suivantes il apparaît que la calculatrice est en majorité intégrée au travail en contrôle dans la classe B, mais pas dans la classe A. Dans les deux classes, les élèves sont en faveur de son autorisation comme en témoignent les réponses suivantes :

40. Avez-vous utilisé avant cette année scolaire votre calculatrice durant un contrôle ?

<figure><img src="image_296.png" /></figure>

41. Etes-vous pour ou contre l'utilisation de la calculatrice aux contrôles ?

<figure><img src="image_297.png" /></figure>

Les raisons avancées sont cohérentes avec ce qui précède puisqu'elles placent nettement en tête gain de temps et possibilités de vérification :

* gain de temps (21A, 14 B)

* vérification, sûreté, limitation des erreurs (10A, 5 B)

* aide aux calculs (4A, 4 B)

* aide aux tracés graphiques (3A, 2 B)

* aide mémoire (2A, 1 B)

Dans la classe A, ceux plus rares dont les avis sont mitigés précisent qu'il faut savoir travailler sans la machine, apprendre les formules et que l'autorisation de la machine en contrôle (sans doute pensée comme systématique) pourrait conduire à de moins bonnes capacités de calcul, à moins de mémorisation. Un seul élève de la classe B note : " Elle donne la réponse et nous ne cherchons pas nous-mêmes."

Tous enfin utilisent leur calculatrice dans d'autres matières. Dans les deux classes, les sciences physiques sont citées en priorité, viennent ensuite la Biologie et l'Histoire-Géographie.

## Environnement informatique et logiciels

Vingt élèves de la classe A et vingt et un de la classe B disposent d'un ordinateur à la maison mais six de chaque classe seulement l'utilisent souvent (un même déclare ne jamais l'utiliser). Ce sont les logiciels de jeux et de traitement de textes qui sont les plus utilisés comme en témoigne le tableau 6.
<table><caption>Tableau 6 : Utilisation de logiciels</caption><thead><tr><th rowspan="2">Types de logiciels/Nombre d'utilisations</th><th colspan="2">jamais</th><th colspan="2">une ou deux fois</th><th colspan="2">entre trois et dix fois</th><th colspan="2">plus de dix fois</th></tr><tr><th>Cl A</th><th>Cl B</th><th>Cl A</th><th>Cl B</th><th>Cl A</th><th>Cl B</th><th>Cl A</th><th>Cl B</th></tr></thead><tbody><tr><td>45. traitement de textes</td><td>0</td><td>3</td><td>3</td><td>6</td><td>13</td><td>8</td><td>14</td><td>7</td></tr><tr><td>46. mathématiques</td><td>3*</td><td>13</td><td>9*</td><td>7</td><td>13*</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td>47. dessin</td><td>3</td><td>9</td><td>12</td><td>4</td><td>3</td><td>4</td><td>8</td><td>7</td></tr><tr><td>48. un tableur</td><td>8</td><td>15</td><td>6</td><td>3</td><td>7</td><td>2</td><td>6</td><td>4</td></tr><tr><td>49. un jeu informatique</td><td>3</td><td>2</td><td>4</td><td>2</td><td>0</td><td>4</td><td>23</td><td>16</td></tr><tr><td>50. autres logiciels</td><td>0</td><td>9</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>7</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_298.png" /></figure>

Les réponses de la classe A concernant les logiciels de mathématiques données ici ne sont pas cohérentes avec celles données dans les deux dernières parties du questionnaire : elles sont systématiquement inférieures et nous renvoyons le lecteur à ces parties qui montrent qu'en fait vingt élèves ont déjà utilisé plus de 3 fois un logiciel de construction géométrique et neuf élèves déjà utilisé le logiciel DERIVE.

En revanche, seuls six élèves de la classe A ont suivi l'option informatique, participé à des ateliers ou à un club informatique. Treize élèves de la classe B ont suivi l'option informatique, participé à des ateliers ou à un club informatique, ce qui est une proportion plus élevée.

## Les ordinateurs, logiciels et l'apprentissage des mathématiques

Les élèves ont a priori une représentation positive des logiciels de mathématiques, qu'ils ont pourtant peu utilisé avant cette année.
56. Pour apprendre des mathématiques, les ordinateurs sont-ils, à votre avis :

<figure><img src="image_299.png" /></figure>

Les raisons avancées sont les suivantes :

* ordinateurs dangereux :

"Il n'y a plus de calculs à la main, plus de dessin graphique en géométrie" (A)

"On ne respecte plus la logique humaine." (B)

"On fait faire à l'ordinateur et on ne comprend pas forcément. On ne sait peut-être même pas le faire seul, le calcul." (B)

* ordinateurs sans effet : ce qui compte c'est le professeur, le professeur c'est mieux (4 A), il y a moins d'échanges (1 A), peut faire commettre des erreurs (1 A), le travail est "mâché" (1B), c'est mieux à la main (1 B).

Ces élèves expriment leur hostilité ou leur scepticisme sur l'apport à la compréhension d'une pratique où on "fait faire à l'ordinateur", sans faire soi-même.

* ordinateurs utiles : beaucoup de réponses sont vagues et les deux raisons qui dominent sont les suivantes : aide aux représentations notamment en géométrie, aide à la compréhension. Dans la classe A elles ne sont citées que quatre fois chacune. En revanche, dans la classe B, treize élèves citent la "meilleure perception de l'espace", comme un apport significatif. Ces élèves ont manifestement été influencés par une utilisation récente d'un logiciel de géométrie dans l'espace.

## Les logiciels de construction géométrique

Cette partie a été remplie seulement par les élèves de la classe A. En fait, tous les élèves de cette classe sauf un ont déjà utilisé un logiciel de construction géométrique et le plus utilisé : « Dessiner l'espace » ne figurait pas dans la liste.

<table><caption>Tableau 7 : Logiciels de géométrie déjà utilisés</caption><thead><tr><td>Logiciels</td><td>Nombre d'élèves</td></tr></thead><tbody><tr><td>Le géomètre</td><td>9</td></tr><tr><td>Géoplan</td><td>3</td></tr><tr><td>Géospace</td><td>7</td></tr><tr><td>Calques géométriques</td><td>0</td></tr><tr><td>Atelier de géométrie</td><td>2</td></tr><tr><td>Dessiner l'espace</td><td>20</td></tr><tr><td>Autres</td><td>2 (non précisés)</td></tr></tbody></table>

L'utilisation reste néanmoins une utilisation épisodique, comme en témoignent les réponses à la question 64, même si l'on peut faire l'hypothèse d'une sous-estimation systématique dans les réponses.
<figure><img src="image_300.png" /></figure>

Les logiciels de construction géométrique sont avant tout appréciés pour les possibilités offertes de visualisation de figures, notamment dans l'espace, et de changement de point de vue sur ces figures. Ceci est tout à fait cohérent avec l'utilisation majoritaire du logiciel « Dessiner l'espace ». En ce qui concerne la facilité d'utilisation, les avis sont partagés : 12 répondent oui et 15 répondent non, 2 donnant un avis mitigé. Dans les raisons avancées, c'est le manque de familiarité avec l'ordinateur, de façon générale, qui est incriminé et non les caractéristiques des logiciels eux-mêmes, même s'il est reconnu qu'il faut se familiariser avec ces derniers.

Les réponses aux questions 69, 70 et 71 apportent peu d'informations; L'utilisation n'est pas le seul fait de l'enseignant, elle couvre des registres variés : illustration du cours (cité 8 fois), recherche d'exercices (9), corrections (8). La rubrique «résoudre des problèmes différents » est citée 7 fois et deux élèves enfin mentionnent également : « pour faire des démonstrations ».

Concernant l'aide que ces logiciels peuvent apporter, c'est la première proposition qui recueille le plus fort taux d'adhésion, comme l'on pouvait s'y attendre : le logiciel comme aide pour trouver les propriétés d'une figure et les raisons avancées sont cohérentes avec ce qui précède. Pour l'aide à la démonstration, les avis sont plus partagés mais peu d'élèves justifient leur position et quand ils la justifient, c'est sans différencier nettement l'activité de démonstration de celle de recherche de propriétés. Leur position sur l'aide à la résolution de problèmes de construction est intermédiaire et là encore, on ne voit pas apparaître de raisons qui prendraient mieux en compte la spécificité de la tâche. Les réponses négatives sont de plus très peu justifiées. Nous n'avions pas demandé aux élèves de se situer par rapport à des problèmes de lieux géométriques puisque c'est en première que de tels problèmes deviennent des enjeux d'enseignement officiel.

A votre avis, de tels logiciels peuvent-ils aider à

<table><caption>Tableau 8 : Potentialités des logiciels de géométrie</caption><thead><tr><td></td><td>Oui</td><td>Non</td><td>Comment ?</td></tr></thead><tbody><tr><td>72. Trouver les propriétés d'une figure</td><td>24</td><td>5</td><td>Oui : tracé exact, figures de bonne qualité, meilleure vision (8)<br/>caractère dynamique des figures, vues multiples, zooms, rotations (8)<br/>Non : pas besoin de réfléchir (1)</td></tr><tr><td>73. Démontrer ces propriétés</td><td>14</td><td>13</td><td>Oui : vision, exactitude des tracés, mouvement (4), calcul (1), propriétés fausses visibles (1)<br/>Non : ne donne pas le résultat (1), pas besoin de réfléchir (1)</td></tr><tr><td>74. Résoudre des problèmes de constructions géométriques</td><td>19</td><td>10</td><td>Oui : vision, tracés exacts, changement de points de vue, mouvement (10), test d'hypothèse (1)<br/>Non : pas besoin de réfléchir (1)</td></tr></tbody></table>
Pour apprendre la géométrie, ils estiment en grande majorité ces logiciels utiles :

<figure><img src="image_301.png" /></figure>

Les raisons avancées pour appuyer cette opinion sont encore une fois les mêmes. L'élève estimant ces logiciels dangereux invoque des tracés imprécis et ceux qui jugent les logiciels sans effet rappellent que le professeur est ce qu'il y a de mieux, que la résolution de problèmes ne change pas vraiment et qu'il faut toujours savoir son cours.

## Utilisation de DERIVE

Cette partie a été remplie seulement par les élèves de la classe A.

Neuf élèves de cette classe seulement ont déjà utilisé le logiciel DERIVE, 7 entre trois et dix fois, un une ou deux fois, un plus de dix fois. Ils l'ont tous utilisé en classe. Les utilisations, comme pour les logiciels de construction géométrique, n'ont pas été le seul fait de l'enseignant et ont couvert des registres variés.

Les réponses à la question de comparaison avec les possibilités de leur propre calculatrice sont très éclatées et deux élèves seulement semblent clairement sensibles la dimension calcul formel.

La plupart ne jugent pas son utilisation difficile (2 oui - 6 non), trois soulignent sa simplicité et parmi les réponses « oui », un élève mentionne le nombre de fonctions, l'autre le manque de familiarité avec le logiciel.

Les réponses aux questions 85 et 86 montrent un niveau d'instrumentation relativement réduit, ce qui est cohérent avec le niveau d'utilisation :

<figure><img src="image_302.png" /></figure>

Et, en ce qui concerne les potentialités de DERIVE, l'affirmation qui emporte une adhésion sans ambiguïté est, comme l'on pouvait s'y attendre, celle de l'aide à la vérification.
A votre avis, DERIVE peut-il vous aider à:

<table><caption>Tableau 9 : Potentialités de DERIVE</caption><thead><tr><td>Types d'aide</td><td>Oui</td><td>Non</td></tr></thead><tbody><tr><td>87. Organiser vos calculs</td><td>6</td><td>3</td></tr><tr><td>88. Vérifier vos résultats</td><td>8</td><td>1</td></tr><tr><td>89. Résoudre des problèmes plus difficiles</td><td>6</td><td>3</td></tr><tr><td>90. Comprendre des notions mathématiques (préciser lesquelles)</td><td>4</td><td>5</td></tr></tbody></table>

Les justifications sont assez peu nombreuses et là encore ne différencient pas nettement les types de tâches. Nous les reproduisons ci-après. L'accent est cependant cette fois mis sur les capacités de calcul formel dans le domaine algébrique (factorisation, développement, résolution d'équations).

87: « On peut voir plusieurs calculs » - 88 : « On fait résoudre »

88 : « En calculant »

87 : « Développe les calculs » - 88 : « Il nous donne le résultat »

88 : « En regardant les réponses » - 89 : « car il résout vite »

87 : « Il factorise et développe lui-même » - 88, 89, 90 : idem

En ce qui concerne l'utilité pour l'apprentissage, l'adhésion est massive (8 oui et 1 sans effet) mais il ne se dégage pas de tendance nette des raisons données.

« Il aide à résoudre facilement les problèmes d'algèbre. »

« Complète le cours »

« Il factorise et développe avec les étapes »

« Car la manipulation se fait personnellement et à sa vitesse. »

« Car il résout comme on apprend le cours »

« Facile à utiliser »

« Il résout que les calculs, il faut savoir son cours pour apprendre l'algèbre et les fonctions. » (réponse « sans effet »).
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# Le deuxième questionnaire

## Présentation du questionnaire

Le questionnaire 2, passé après un trimestre d'utilisation de la calculatrice, a pour objectif de recueillir des informations sur les rapports que les élèves ont établi avec cette machine :

* Ont-ils réussi à se familiariser avec la machine sans trop de difficultés et ont-ils dans ce but eu recours au document que les enseignants avaient élaboré (cf. annexe 1) ?

* Se sont-ils lancés, au delà des utilisations institutionnelles, dans un apprentissage autonome de la machine, l'ont-ils personnalisée ?

* Comment leur apparaît la TI92 par rapport à leur propre calculatrice ?

* Quelle opinion ont-ils sur son intérêt pour le travail mathématique, pour l'apprentissage?

Le questionnaire inclut aussi des questions précises relatives à la machine posées à partir d'une reproduction d'écran (cf. ci-dessous). Les élèves doivent y répondre sans utiliser leur machine (les machines sont relevées au début de la passation du questionnaire). Les élèves doivent donc avoir mémorisé les commandes et successions de commandes à utiliser ainsi bien sûr que leur syntaxe.

<figure><img src="image_303.png" /></figure>

Les questions posées mêlent volontairement deux types de tâches : des tâches de production directe (questions 37 et 38), des tâches d'interprétation de réponses fournies par la machine dans le but de déterminer les commandes qui ont permis de les obtenir (questions 39 et 40), de corriger des erreurs de syntaxe (question 41), ou d'obtenir un résultat (question 42). On croise cette dimension avec celle de la familiarité des commandes (les commandes impliquées dans les questions 37-41 devraient être familières aux élèves, celles relatives à la question 42 ont été plus récemment introduites.

La première ligne correspond à la définition d'une fonction ; les élèves doivent indiquer comment l'obtenir. La solution attendue consiste à utiliser, dans le menu F4, la commande *define* qui est en première position, en sélectionnant cette commande et en appuyant sur la touche [ENTER], puis à entrer $f(x)=1$'expression de la fonction et enfin à appuyer de nouveau sur [ENTER]. Il est aussi possible de taper *define* en toutes lettres sans passer par le menu F4 mais cette solution nous paraît moins probable, les élèves manipulant régulièrement la commande *define*.
La seconde ligne affiche la dérivée de la fonction. On attend de l'élève qu'il reproduise la syntaxe de cette commande. Il peut dans le menu F3, utiliser la commande de dérivation qui est en position 1, en sélectionnant cette commande et en appuyant sur [ENTER]. Il tape ensuite $f(x), x$, la première parenthèse étant ouverte automatiquement, et termine par [ENTER]. Il peut aussi utiliser le symbole d de dérivation (accessible par 2nd 8) et taper ensuite $(f(x),x)$.

La ligne 3 propose un blanc correspondant à une commande effacée et l'expression de la dérivée à gauche, la même expression factorisée à droite. On demande à l'élève de trouver la commande effacée. La réponse attendue est factor et il n'y a pas d'autre solution possible.

A la ligne 4, les élèves doivent interpréter et corriger une erreur commise dans l'utilisation de la commande *Solve*. Plusieurs réponses sont possibles, puisqu'il suffit d'écrire une équation ou une inéquation, la réponse attendue est celle qui correspond à l'utilisation usuelle de la commande *Solve* par les élèves, à savoir la complétion en équation de second membre 0 par ajout de : =0.

Enfin, à la ligne 5, un calcul de limite a été demandé et a conduit à la réponse : *undef*. On attend de l'élève qu'il attribue cette non définition au fait que dans la syntaxe de la limite utilisée (non visible ici), on a oublié de préciser que l'on voulait une limite à droite ou à gauche, compte-tenu du type de singularité et qu'il fasse donc une proposition adaptée à cette interprétation. Plusieurs solutions sont possibles, par exemple :

F3 3 [ENTER] f(x), x, 3, 1) [ENTER] et F3 3 [ENTER] f(x), x, 3, -1) [ENTER]

F3 3 [ENTER] f(x), x, 3, 3) [ENTER] et F3 3 [ENTER] f(x), x, 3, -3) [ENTER]
# Résultats du deuxième questionnaire

Vingt sept élèves de la classe A ont répondu à ce questionnaire, vingt garçons et sept filles. La classe, à ce moment de l'année compte 29 élèves. Les vingt quatre élèves de la classe B ont répondu à ce questionnaire.

## La familiarisation avec la calculatrice

Visiblement, dans les deux classes, les élèves ont cherché à apprendre à se servir de leur calculatrice et se sont familiarisés avec elle sans rencontrer de difficultés sérieuses, comme le montrent les réponses aux premières questions.

6. Actuellement, estimes-tu te débrouiller avec la TI92

<figure><img src="image_304.png" /></figure>

Ils sont peu nombreux (1 A, 3 B) à ne pas avoir appris seuls à utiliser certaines fonctionnalités. Parmi les fonctionnalités que les autres élèves déclarent avoir appris seuls, viennent nettement en tête :

* l'application géométrie ou « dessins » (14 A, 8 B)

* la programmation (10 A, 8 B).

Ce dernier nombre est important si l'on considère le nombre de potentialités de la calculatrice hors programmation, le faible nombre d'élèves qui, dans les réponses au premier questionnaire, déclaraient utiliser souvent des programmes et le fait que le mode d'emploi simplifié distribué en début d'année ne faisait aucune référence à la programmation de la TI92.

Viennent ensuite le traitement de texte (6 A, 5 B), les représentations en trois dimensions (5 A, 2 B), les commandes graphiques (5 A, 5 B), le tableur (4 A, 3 B), l'application matrix/data editor (2 A), les dérivées et limites (1 A, 5 B).

Dans la classe A, l'utilisation de mémoires, de répertoires, l'échange de données entre machines sont cités chacun une fois. Ils ne sont pas cités dans la classe B où le professeur a fait une initiation spécifique.

Quatorze élèves de la classe A et douze élèves de la classe B déclarent avoir rencontré des difficultés pour apprendre à utiliser la TI92. Cependant, dans la plupart des cas de la classe A, ce qui est cité correspond à des fonctionnalités dont les élèves ont fait l'apprentissage autonome, en particulier la programmation (citée 7 fois), ce qui n'est guère étonnant si l'on connaît le manuel.

Sont cités également dans la classe A les modes (2), l'application data/matrix editor (1), la géométrie (1), les fichiers (1), la résolution de systèmes (1). Ceci correspond au premier polycopié distribué par l'enseignante pour les vacances de Noël : les élèves avaient appris à résoudre les systèmes d'équations linéaires avant d'avoir la machine, le polycopié organisait la transposition pour la TI92 de la méthode de résolution apprise, par pivot de Gauss.
Dans la classe B, les explications du professeur sont mises en cause (2), ainsi que la complexité de la calculatrice (2).

Deux élèves de la classe A et trois de la classe B évoquent davantage des difficultés liées à la prise en main : nombre de touches, fonctionnement de la touche `ENTER` qu'il faut régulièrement utiliser deux fois de suite.

Une élève de la classe A lie ses difficultés à son manque d'intérêt pour la machine qui fait qu'elle ne mémorise pas.

Cette familiarisation relativement aisée, qui confirme les observations que nous avions pu faire en séance, est également attestée, nous semble-t-il, par la faible utilisation du mode d'emploi simplifié qui avait été distribué avec la machine :

10. Consultes-tu le mode d'emploi distribué en décembre ?

<figure><img src="image_305.png" /></figure>

De plus quand on demande aux élèves de préciser ce qui leur a été le plus utile, 8 élèves de la classe A citent les systèmes, c'est à dire le polycopié précédemment cité et non le mode d'emploi.

Six réponses seulement dans chacune des classes déclarent avoir complété ce mode d'emploi.

Le manuel est, lui, un peu plus utilisé particulièrement dans la classe A :

13. Consultes-tu le manuel Texas Instrument ?

<figure><img src="image_306.png" /></figure>

Les utilisations citées renvoient essentiellement aux apprentissages autonomes : programmation (10 A, 7 B), géométrie (5 A, 2 B), graphes (4 A, 1 B), matrix (2 A), dérivées, limites (2 A, 1 B), tableur (1 A), 3D (1 A). Les fonctions sont aussi citées (3 A, 1 B), sans que l'on sache à quoi ce terme renvoie exactement, les messages d'erreur (2 A, 1 B).

## La comparaison avec les calculatrices graphiques

La nouveauté qui frappe les élèves c'est, en priorité, les possibilités de calcul formel citées 15 fois (A) et 12 fois (B), ainsi que la possibilité de faire de la géométrie, citée 7 fois (A) et 11 fois (B), des élèves insistant en particulier sur l'animation possible des figures. Viennent ensuite les commandes graphiques citées 5 fois (A) et 6 fois (B) à égalité avec l'interface, le clavier (5 fois (A) et 1 fois (B)), les représentations 3D (1 A, 2 B), le tableur (1 A, 2 B), les possibilités en mémoire (1 A), la "disposition des applications" (1 B).

On note aussi quelques réponses vagues du style : le nombre de fonctions possibles. Une élève de la classe A mentionne déjà sa crainte de ne plus savoir se servir de son ancienne machine.
Les élèves sont donc réellement sensibles à ce qui est nouveau. Cela tranche avec les réponses obtenues aux questionnaires concernant le logiciel DERIVE (Artigue & alt. 1995).

Interrogés sur ce qui leur paraît moins bien, un certain nombre d'élèves répond « rien » (8 A) ou ne répond pas (6 A, 4 B). Cela correspond à la moitié des élèves de la classe A, et un sixième de la classe B.

En dehors de ces réponse, les élèves citent en majorité la taille, le poids, l'encombrement de la machine (9 A, 10 B), la lenteur du tracé de certaines courbes et de l'exécution de programmes (4 B) et, plus marginalement, le fait qu'elle soit en anglais (2 A), sa complexité (2 A, 2 B), la visibilité de l'écran (1 A), la difficulté de la programmation (1 A).

Un élève de la classe A regrette enfin l'absence de détails de calculs, des détails que ne lui donnait pas non plus son ancienne calculatrice mais un phénomène auquel il était peu être moins sensible car elle faisait moins de choses.

Les réponses aux questions suivantes sont cohérentes avec ce qui précède.

Ce qui paraît mieux, c'est par ordre décroissant de citation : le calcul exact et le calcul formel (7 A, 5 B), les multiples possibilités (6 A, 5 B), la taille de l'écran (5 A, 4 B), les possibilités graphiques (4 A, 4 B), la géométrie (3 A, 3 B), la mémoire (3 A, 3 B), la programmation (2 A, 2 B), la rapidité (2 A), l'accessibilité des fonctions, les menus (2 A, 4 B), le tableur (1 A, 2 B), le clavier (1 A, 1 B).

Ce qui plaît le plus, c'est : le nombre de possibilités (9 A, 4 B), le calcul formel (8 A, 8 B), la géométrie (5 A, 4 B), la programmation (4 A), la facilité d'utilisation (4 A), la rapidité (2 A), les possibilités graphiques (2 A, 2 B), le dessin en 3D (1 A, 2 B), la mémoire (1 A, 2 B), les jeux (2 A, 2 B). Un élève de la classe A déclare qu'il n'aime pas cette machine et un de la classe B déclare ne rien aimer.

## La TI92 les a-t-elle surpris ?

Dix de la classe A et sept de la classe B, donc environ un tiers, déclarent avoir été surpris par des résultats obtenus par la machine. Encore faut-il noter qu'il n'est pas facile dans les réponses de faire la part entre les surprises dues aux possibilités de la machine et les surprises dues à des résultats inattendus. Deux citent ainsi les possibilités de la machine, un les résultats donnés en fractions.

En dehors de ces réponses, trois (A) citent des dérivées non conformes au calcul en papier/crayon, un (A) des limites, un (A) des expressions factorisées, un (A) et trois (B) des graphiques, un (A) des exposants fractionnaires et un (A) enfin cite les fameux systèmes.

## L'utilisation de la calculatrice

Comme on pouvait s'y attendre, la calculatrice est beaucoup utilisée en classe et dans les contrôles, il est intéressant de noter qu'elle l'est moins à la maison. Ceci est conforme aux informations recueillies dans les entretiens. La machine est devenue un outil banalisé de l'activité mathématique, on l'utilise pour le travail scolaire essentiellement.
<table><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">Beaucoup</th><th colspan="2">Un peu</th><th colspan="2">Pas du tout</th></tr><tr><th>Cl A</th><th>Cl B</th><th>Cl A</th><th>Cl B</th><th>Cl A</th><th>Cl B</th></tr></thead><tbody><tr><td>La calculatrice TI92 t'est-elle utile :</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>21. En classe</td><td>20</td><td>15</td><td>7</td><td>8</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>22. En contrôle</td><td>25</td><td>16</td><td>2</td><td>7</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>23. A la maison</td><td>11</td><td>12</td><td>15</td><td>10</td><td>1</td><td>2</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_307.png" /></figure>

Quant à l'utilisation de la calculatrice rétroprojetable, elle est appréciée, avec toutefois certaines réserves dans la classe B comme en témoignent les réponses aux questions 24-27 :

Juges-tu que l'utilisation de la calculatrice rétroprojetable, en classe,

<table><caption>Tableau 10 : Opinions sur l'utilisation de la rétroprojection</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">Tout à fait d'accord</th><th colspan="2">Plutôt d'accord</th><th colspan="2">Plutôt pas d'accord</th><th colspan="2">Pas du tout d'accord</th><th colspan="2">Moyenne d'adhésion</th></tr><tr><th>Cl A</th><th>Cl B</th><th>Cl A</th><th>Cl B</th><th>Cl A</th><th>Cl B</th><th>Cl A</th><th>Cl B</th><th>Cl A</th><th>Cl B</th></tr></thead><tbody><tr><td>Fait gagner du temps</td><td>12</td><td>10</td><td>6</td><td>12</td><td>3</td><td>0</td><td>3</td><td>0</td><td>0.71</td><td>0,82</td></tr><tr><td>Permet de mieux suivre les synthèses</td><td>14</td><td>11</td><td>11</td><td>9</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0.85</td><td>0,8</td></tr><tr><td>Va trop vite</td><td>0</td><td>3</td><td>3</td><td>11</td><td>9</td><td>2</td><td>10</td><td>6</td><td>0.23</td><td>0,5</td></tr><tr><td>C'est mieux quand le prof écrit tout au tableau</td><td>2</td><td>0</td><td>5</td><td>4</td><td>7</td><td>10</td><td>6</td><td>7</td><td>0.38</td><td>0,29</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_308.png" /></figure>

Mathématiques et TI92

Un petit tiers des élèves (8 A, 8 B) déclare que la TI92 les a aidés à comprendre une notion. Viennent par ordre décroissant : les limites (3 A, 5 B), les barycentres pour lesquels il y avait eu effectivement une utilisation de l'application géométrie mais très brève (3 A, 1 B), les dérivées (1 A, 3 B), la géométrie (1 A, 1 B), les factorisations (1 A).

En revanche, ils estiment en très forte majorité qu'il est plus intéressant de faire des mathématiques avec la TI92 :

30. Faire des mathématiques avec la TI92 c'est :

<figure><img src="image_309.png" /></figure>

Les raisons avancées sont les suivantes :

* moins intéressant : « l'année prochaine, on n'aura pas la machine (A) » « faire des math avec une calculatrice ne ressemble à rien. On pourrait en faire avec notre tête (B)».

* pareil : « ça ne change rien aux mathématiques (A)», « c'est juste un instrument (A)», « ça prend du temps pour apprendre à s'en servir (A)», « parfois c'est intéressant, parfois non (A)», « Il faut avant tout se débrouiller "à la main" dans la perspective du bac (B) », « Je comprends mieux les exos faits à l'écrit car je n'ai pas le temps de chercher à comprendre les résultats de la TI92 (B) ».

* plus intéressant : rapidité (3 A, 3 B), « les maths sont moins rébarbatives », « moins ennuyeuses » ou « plus ludiques » (3 A), « ça change » (1 A, 3 B), « on travaille moins » (1 A), « vérification des résultats», « sécurisant » (5 B). Aide à la compréhension (4 B).

Un élève de la classe A souligne qu'au début, il trouvait les maths plus intéressantes avec la TI92, mais qu'avec le temps ça s'estompe.
Ils sont aussi en grande majorité d'avis que la TI92 rend les maths plus faciles mais ce qu'ils mettent en avant essentiellement pour justifier cette facilité accrue, c'est la possibilité de vérification, qui concerne maintenant tout le calcul algébrique et l'analyse. Deux élèves de la classe B rayent la mention « pareil » pour la remplacer par « différent ». Ces deux élèves, très favorables à l'expérimentation, signifient que l'intérêt de l'introduction de la calculatrice n'est pas à rechercher dans un gain de temps, mais dans la nouvelle activité qu'elle permet.

32. Faire des mathématiques avec la TI92 c'est :

<figure><img src="image_310.png" /></figure>

Les raisons avancées sont les suivantes :

* moins facile : « ça prend du temps d'utiliser la machine (A) », « Il faut apprendre à s'en servir, après ça va (B)»

* pareil : On rencontre des difficultés (1 A, 2 B). C'est juste un instrument, ça donne les réponses, mais ça ne permet de comprendre (1 A, 2 B).

* plus facile : possibilité de vérification (12 A, 5 B), aide aux calculs (5 A, 3 B), rapidité (3 A, 4 B), conjecture en géométrie (1 B).

## La personnalisation de la calculatrice

Elle était prise en compte par la question 34, où l'on demandait aux élèves de préciser ce qu'ils conservaient dans la mémoire de la TI92. Les réponses sont les suivantes :

<table><thead><tr><td></td><td>Classe A</td><td>Classe B</td></tr></thead><tbody><tr><td>ce qui a été fait en classe :</td><td>15</td><td>14</td></tr><tr><td>des jeux :</td><td>14</td><td>20</td></tr><tr><td>d'autres programmes :</td><td>12</td><td>18</td></tr><tr><td>des formules de maths :</td><td>17</td><td>10</td></tr><tr><td>des formules d'autres discipline</td><td>15</td><td>12</td></tr><tr><td>autres (précise)</td><td>3</td><td></td></tr></tbody></table>

Les trois réponses « autres » sont des définitions en sciences, des dessins, des messages envoyés entre camarades.

Ces nombres peuvent paraître élevés. En fait il faut aussi les relativiser en prenant en compte le nombre de catégories citées par élève : ainsi 10 élèves de la classe A ne mentionnent qu'une ou deux catégories et 10 élèves mentionnent 4 ou 5 catégories. Dans la classe B, des jeux et des programmes ont circulé. Cette circulation a été favorisée par l'initiation technique à la connexion entre machines. Mais conserver des jeux et des programmes sur sa machine ne veut pas dire les utiliser, ni même savoir ce qu'ils font, comme on le voit dans les entretiens.

Enfin, tous les élèves sauf un de la classe A et 5 de la classe B utilisent leur calculatrice pour les autres disciplines. On note une progression de la biologie par rapport au premier
questionnaire puisque 13 élèves de la classe A et 7 élèves de la classe B déclarent maintenant
utiliser leur calculatrice dans cette matière.

### Les questions 37-42

Ces questions avaient pour objet de nous permettre d'approcher, au delà du discours, l'instrumentation de la calculatrice par les élèves. Qu'en ressort-il ? Les réponses détaillées élève par élève sont données en annexe et résumées en un tableau. Nous en ferons d'abord une synthèse question par question, avant de faire un bilan, élève par élève.

### Question 37 : La définition de la fonction

Cette question peut-être considérée comme bien réussie dans la classe A, et non réussie dans la classe B.

Les résultats sont les suivants (en distinguant trois catégories de réponses les réponses complètement correctes, les réponses correctes sauf pour ce qui concerne éventuellement la touche [ENTER], les réponses incorrectes) :

<table><caption>Tableau 11 : réponses à la question 37</caption><thead><tr><td></td><td>Réponses correctes</td><td>Réponses correctes (sauf [ENTER])</td><td>Réponses incorrectes</td></tr></thead><tbody><tr><td>Classe A</td><td>7</td><td>19</td><td>1</td></tr><tr><td>Classe B</td><td>2</td><td>2</td><td>20</td></tr></tbody></table>

Dans la classe A, il y a une seule réponses que nous considérons ici comme véritablement incorrecte du fait de son ambiguïté, c'est celle d'un élève qui écrit : « Il faut aller dans F4 et taper *define* puis écrire $f(x)=x+1+\left(\frac{9}{x-3}\right)$ ». En revanche, de nombreux élèves oublient de mentionner soit l'utilisation de la touche [ENTER] après sélection de *define* dans le menu F4 (12 élèves), soit l'utilisation de [ENTER] en fin de définition (2 élèves), soit toutes les commandes [ENTER] (5 élèves). On peut raisonnablement faire l'hypothèse que cette utilisation de [ENTER], complètement routinière, s'est naturalisée et que c'est pour cette raison qu'ils ne la formulent pas.

Les réponses de la classe B sont généralement moins précises surtout quant à l'écriture de la fonction. Une réponse typique est : « F4 [ENTER], tu tapes $f(x)$.» Dans d'autres réponses, la fonction est donnée avec son écriture mathématique, ne faisant pas apparaître le parenthésage. Beaucoup d'élèves de cette classe se sont attachés à désigner l'entrée de menu où l'on obtient « *define* » et non à l'écriture de la fonction.

Si l'on regarde les types de définitions proposées, les deux grandes catégories attendues sont représentées de façon très dissymétrique :

* deux élèves de la classe A et un de la classe B proposent de taper « *define* »,

* deux élèves de la classe B proposent l'utilisation du « catalog »

* tous les autres ont recours au menu F4. Les expressions diffèrent cependant quant à l'utilisation de ce menu :

* la plupart des élèves ont clairement mémorisé que l'instruction de définition est en première position dans ce menu, ils déclarent donc faire F4-1 (16 A, 1 B)
* ou encore directement `F4-ENTER` puisque c'est le premier niveau qui est automatiquement sélectionné à l'ouverture du menu (4 A),

* ou formulent l'instruction sous la forme `F4 - define` (2 A).

La question ne précisait pas suffisamment le niveau de détail attendu dans la formulation. On notera que, dans la classe A, 17 élèves fournissent une expression détaillée en ligne. Deux seulement ne sont pas conformes à l'expression attendue, l'une est correcte mais sur-parenthésée, l'autre a une erreur de parenthésage.

Enfin signalons que quatre élèves de la classe A et un de la classe B, proposent deux solutions soit définir, soit recopier la ligne, ceci correspondant à deux interprétations différentes de la question 37, a priori possibles même si la seconde n'était pas prévue a priori.

### Question 38 : La dérivation de f

Cette question est relativement bien réussie. Les résultats sont les suivants, en distinguant trois catégories.

* catégorie 1 : les réponses complètement correctes,

* catégorie 2 : les réponses correctes au niveau de la commande de dérivation mais incorrectes au niveau de sa syntaxe, ou l'inverse

* catégorie 3 : les réponses incorrectes aux deux niveaux.

<table><caption>Tableau 12 : Réponses à la question 38</caption><thead><tr><th></th><th>complètement<br>correctes</th><th>syntaxe<br>incorrecte</th><th>syntaxe et commandes<br>incorrectes</th><th>non<br>réponse</th></tr></thead><tbody><tr><th>Classe A</th><td>16</td><td>8</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><th>Classe B</th><td>5</td><td>17</td><td>1</td><td>1</td></tr></tbody></table>

Les erreurs des réponses de la catégorie 2, concernent en majorité la syntaxe de la commande de dérivation (7/1). Il s'agit dans les 17 cas de la classe B et dans 5 cas de la classe A, de l'oubli de la variable x et dans 2 cas de la classe A de l'oubli de la parenthèse fermante.

L'erreur concernant la commande est du type `F3-3`. Les deux élèves de la catégorie 3 cumulent les deux erreurs : `F3-3` et oubli de x. On peut cependant faire l'hypothèse que de telles erreurs seront rectifiées par les élèves dans l'action, au vu des messages d'erreur correspondants pour les erreurs de syntaxe, à la simple vue du menu déroulant `F3` pour les erreurs de commande et auront donc un impact limité sur le fonctionnement mathématique de l'élève.

En ce qui concerne les formulations proposées par les élèves, on note encore une fois dans la classe A une mémorisation majoritaire de la position de la commande « differentiate » dans le menu `F3`, puisque 12 élèves commencent par `F3-1` et 2 par `F3-ENTER`, seuls 2 élèves formulant en `F3-differentiate`. De plus 7 élèves proposent le raccourci clavier 2nd 8, 1 élève seulement proposant les deux solutions.

Dans la classe B, le raccourci clavier 2nd 8 est utilisé presque exclusivement. Un seul élève utilise « catalog ».
## Questions 39 et 40 : La commande de factorisation effacée

On est là dans une situation différente, où il s'agit non d'utiliser la machine dans le cadre de la réalisation d'une tâche familière mais de déduire de la comparaison des deux expressions algébriques figurant sur une même ligne, la commande qui a permis de passer de l'une à l'autre. Même si la factorisation nous semble évidente, il s'agit là d'une tâche a priori plus délicate parce que non routinière. Les résultats obtenus montrent qu'environ deux tiers des élèves reconnaissent la factorisation :

<table><caption>Tableau 13 : Réponses à la question 39</caption><thead><tr><th></th><th>Réussite</th><th>Echec</th><th>Non réponses</th></tr></thead><tbody><tr><th>Classe A</th><td>16</td><td>6</td><td>5</td></tr><tr><th>Classe B</th><td>14</td><td>9</td><td>1</td></tr></tbody></table>

L'échec vient cette fois, à quelques exceptions près, d'erreurs liées à une incompréhension des relations entre les deux expressions. Les propositions sont les suivantes :

* « Expand » (2 A, 3 B). C'est souvent la première commande utilisée par les élèves qui vont à la pêche au résultat.

* « comDenom » (2 A, 3 B). Cette commande réduira effectivement au même dénominateur mais ne factorisera pas numérateur et dénominateur.

* « Propfrac » (2 B). Cette commande a pu être rencontrée pour la recherche d'asymptote. En fait, elle produit l'effet inverse à celui recherché.

On trouve aussi :

* « factor f(x) » (1 A). Cet élève n'est donc pas très loin de la solution.

* la touche d'effacement ← (1 A, 1 B), « faire CLEAR » (1 A). C'est une incompréhension de la tâche elle-même.

La question suivante qui cherchait à faire préciser cette première réponse a visiblement été mal comprise. Les réussites sont ici inversées.

<table><caption>Tableau 14 : Réponses à la question 40</caption><thead><tr><th></th><th>Réussite</th><th>Echec</th><th>Non réponses</th></tr></thead><tbody><tr><th>Classe A</th><td>8</td><td>14</td><td>5</td></tr><tr><th>Classe B</th><td>7</td><td>12</td><td>5</td></tr></tbody></table>

Les erreurs attestent cette incompréhension de la question ou reprennent des fonctions erronées de la question précédente. Certains ont interprété la question comme la reproduction sur la ligne de commande de la ligne 3 affichée entière.

## Question 41 : La syntaxe de la commande Solve

Il s'agit cette fois d'interpréter une erreur de syntaxe relative à une commande familière, la commande Solve. La majorité des élèves réussit mais la réussite n'est pas massive, comme en témoigne le tableau suivant :
<table><caption>Tableau 15 : Réponses à la question 41</caption><thead><tr><th></th><th>Réussite</th><th>Echec</th><th>Non réponses</th></tr></thead><tbody><tr><td>Classe A</td><td>15</td><td>6</td><td>6</td></tr><tr><td>Classe B</td><td>14</td><td>8</td><td>2</td></tr></tbody></table>

Les erreurs commises consistent respectivement à inverser l'ordre de x et de l'expression (1 A), à enlever la variable x (2 A), à proposer de compléter par x=un nombre (2 A, 1 B) ou à indiquer qu'« il n'y a pas de valeur pour x » (1B). Nous comptabilisons également dans les réponses fausses la réponse : « mettre un résultat », qui est susceptible d'avoir diverses interprétations mais traduit en tout état de cause un rapport assez primitif à la notion d'équation si c'est à la complétion sous forme d'équation qu'il est fait référence. Deux autres ajoutent seulement le signe =.

Deux élèves de la classe B ajoutent = ?, après l'expression. Veulent-ils dire qu'on peut mettre ce qu'on veut après le signe d'égalité, ou pensent-ils que cette syntaxe est admissible ? Dans le doute, nous les avons comptabilisés dans les réponses fausses.

Parmi les réponses considérées comme correctes, la plupart, comme l'on pouvait s'y attendre, expriment qu'il manque un signe d'égalité et suggèrent de rajouter =0, la référence à la notion d'équation ou d'égalité n'est cependant que rarement explicitée (3 A, 1 B). Un élève de la classe A mentionne la possibilité de compléter aussi en introduisant une inégalité, un élève enfin propose de mettre : solve f(x)=expression, solution que nous avons acceptée puisqu'elle ne bloque pas la machine, même si elle était a priori non prévue.

### Question 42 : la syntaxe de la notion de limite

Cette question renvoyait à la notion de limite beaucoup plus neuve pour les élèves. Il s'agissait de lever en quelque sorte une indétermination affichée par la machine, en considérant des limites à droite et à gauche. Il ne s'agissait pas encore à nos yeux d'une tâche routinière pour les élèves. Les résultats le confirment puisque ce sont les suivants, en distinguant quatre catégories :

* catégorie 1 : les réponses correctes,

* catégorie 2 : les réponses manifestant que le problème a été correctement identifié mais que la syntaxe de la solution proposée n'est pas correcte et les réponses ambiguës de ce point de vue,

* catégorie 3 : les réponses manifestant que le problème n'a pas été identifié,

* catégorie 4 : les non-réponses.

<table><caption>Tableau 16 : Réponses à la question 42</caption><thead><tr><th></th><th>réponses correctes</th><th>problème identifié syntaxe incorrecte</th><th>problème non identifié</th><th>non-réponses</th></tr></thead><tbody><tr><td>Classe A</td><td>8</td><td>6</td><td>10</td><td>3</td></tr><tr><td>Classe B</td><td>2</td><td>14</td><td>4</td><td>4</td></tr></tbody></table>

Les élèves qui ne voient pas le problème se bornent à reproduire la syntaxe standard de la commande *limit*, avec d'ailleurs parfois des erreurs de syntaxe, ou précisent une expression explicite à la place de $f(x)$. Ceux qui ont identifié le problème mais ne proposent pas une
solution correcte commettent l'erreur attendue consistant de façon symétrique à rajouter : +1 et -1 ou +3 et -3 (3 A, 14 B), ou rajoutent simplement : > et < (2 A). La réponse classée dans les ambiguës consiste à dire qu'il faudrait préciser si c'est plus ou moins 3.

Venons-en maintenant à un bilan élève par élève. Nous avons pondéré les questions de la façon suivante, pour donner un score à chaque élève :

* Question 37 : 0 ou 2 points

* Question 38 : 0, 1 ou 2 points suivant les trois catégories introduites

* Question 39 et 40 : 0, 1 ou 2 points en attribuant 1 point par question

* Question 41 : 0, 1 ou 2 points (1 point pour la solution *solve (f(x)=expression)*)

* Question 42 : 0, 1 ou 2 points suivant les trois catégories introduites.

On obtient le diagramme en bâtons suivant. Dans la classe A, la moyenne est de 6.3 et la médiane de 6.5. La plupart des élèves se regroupent sur les quatre scores : 5, 6, 7 et 8. Dans la classe B, la moyenne et la médiane valent 4.

<figure><img src="image_311.png" /><figcaption>Graphique 2 : Scores dans les questions relatives à l'instrumentation</figcaption></figure>
# Le troisième questionnaire

## Présentation du questionnaire

Il s'agit cette fois d'un questionnaire de bilan, en fin d'année. On cherche à recueillir l'opinion de l'élève sur l'expérimentation à laquelle il a participé, la façon dont il perçoit le rôle joué par la TI92 dans son travail mathématique, ses apprentissages, ses résultats scolaires.

Dans la mesure où nous essayons de mettre en place pour les élèves des classes concernées des séances avec calculatrice en terminale, la dernière question leur demande s'ils seraient volontaires pour une telle opération.

## Le texte du troisième questionnaire

### QUESTIONNAIRE DE BILAN

1. Nom :

2. Prénom :

3. Depuis la fin du mois de décembre, tu as participé à une expérimentation avec la TI92.
Quelle est globalement ton impression sur cette expérimentation ?

Très satisfait ☐

Plutôt satisfait ☐

Plutôt insatisfait ☐

Très insatisfait ☐

Si tu voulais expliquer à un élève d'une autre classe ce que tu as apprécié et ce que tu n'as pas apprécié dans cette expérimentation, que lui dirais-tu ?

4. J'ai apprécié :

<figure><img src="image_312.png" /></figure>

5. Je n'ai pas apprécié :

<figure><img src="image_313.png" /></figure>

6. As-tu l'impression que si tu n'avais pas eu cette calculatrice, tu aurais travaillé en mathématiques :

davantage ☐

à peu près autant ☐

moins ☐

7. As-tu l'impression que si tu n'avais pas eu cette calculatrice, en mathématiques, tu aurais appris :

davantage ☐

à peu près autant ☐

moins ☐

8. As-tu l'impression que si tu n'avais pas eu cette calculatrice, en mathématiques, tu aurais compris :

davantage ☐

à peu près autant ☐

moins ☐

9. As-tu l'impression que si tu n'avais pas eu cette calculatrice, en mathématiques, tu aurais eu des résultats :

meilleurs ☐

à peu près identiques ☐

moins bons ☐

10. Un élève d'une autre classe te dit : "Avec la TI92, même en étant nul en analyse, tu peux réussir tes contrôles". Que lui réponds-tu ?

<figure><img src="image_314.png" /></figure>
11. Peux-tu citer un exemple de situation où tu as trouvé l'utilisation de la TI92 très intéressante :

Explique pourquoi :

12. Peux-tu citer un exemple de situation où tu as trouvé l'utilisation de la TI92 utile :

Explique pourquoi :

13. Peux-tu citer un exemple de situation où tu as trouvé l'utilisation de la TI92 inutile :

Explique pourquoi :

14. Peux-tu citer un exemple de situation où tu as trouvé l'utilisation de la TI92 gênante :

Explique pourquoi :

Pour chacune des affirmations suivantes, coche la case qui correspond le mieux à ton opinion :

La TI92 :

<table><thead><tr><th></th><th>Tout à fait d'accord</th><th>Plutôt d'accord</th><th>Plutôt pas d'accord</th><th>Pas du tout d'accord</th><th>Sans opinion</th></tr></thead><tbody><tr><td>15. Permet de faire en classe des activités plus intéressantes</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>16. Oblige à se poser des questions</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>17. Donne envie de chercher les exercices</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>18. Fait perdre du temps</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>19. Oblige à réfléchir davantage à ce que l'on fait</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>20. Incite le professeur à poser des problèmes trop difficiles</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>21. Peut aider à comprendre les mathématiques</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>22. Incite à ne pas apprendre les choses indispensables</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>23. Aide à résoudre les problèmes</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>24. Oblige à apprendre des choses inutiles</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

25. Est-ce-que l'utilisation de la TI92 a modifié ton point de vue sur les calculatrices ?

Oui ☐

Non ☐

Explique ta réponse :

<figure><img src="image_315.png" /></figure>

26. Quand la TI92 fournit un résultat inattendu, que fais-tu ? (donne des exemples)

<figure><img src="image_316.png" /></figure>

27. Si tu pouvais garder la calculatrice pendant les vacances, y-a-t-il des choses que tu aimerais apprendre à faire ou à mieux faire avec elle ?

Oui ☐

Non ☐

Si tu as répondu "Oui", peux-tu donner des exemples :

<figure><img src="image_317.png" /></figure>

28. Aimerais-tu avoir une TI92 l'année prochaine ?

Oui ☐

Non ☐

Sans opinion ☐

29. Si le lycée pouvait mettre à ta disposition une TI92 pour les épreuves du bac à condition que tu t'engages à participer à une séance de TD hebdomadaire d'une heure avec TI92 (en plus de l'horaire normal), serais-tu volontaire ?

Oui ☐

Non ☐

## Résultats du troisième questionnaire

Il s'agit donc du questionnaire de bilan, auquel ont répondu 27 élèves de la classe A et 20 (12 F et 8 G) de la classe B. Ce qui ressort tout d'abord, c'est une impression de satisfaction générale, plus marquée toutefois dans la classe A :

3. Depuis la fin du mois de décembre, tu as participé à une expérimentation avec la TI92. Quelle est globalement ton impression sur cette expérimentation ?

<figure><img src="image_318.png" /></figure>

Ce qui est particulièrement apprécié dans cette calculatrice, c'est par ordre décroissant de citation :

* le calcul formel et l'extension des possibilités de vérification qu'il induit : 12 A, 7 B

* l'éventail des possibilités offertes : 8 A, 7 B

* la facilité d'utilisation : 4 A, 4 B

* l'aide à la résolution, aux calculs : 3 A, 4 B

* la rapidité de travail et le gain de temps : 4 A, 2 B

* la programmation : 4 A, 1 B

* la géométrie : 3 A, 2 B

* avoir la calculatrice : 3 A

* les tracés graphiques : 1 A, 2 B
* l'aide à la compréhension : 1 A, 2 B

* la qualité de l'écran : 1 A, 1 B

* la mémoire : 1 A, 1 B

* les possibilités offertes sans programmation : 1 A

* les possibilités logiques : 1 A

* la découverte d'un outil informatique : 1 B

Comme on le voit, les réponses sont très diversifiées. Ce qui domine, comme dans le questionnaire 2, c'est la composante calcul formel, mais à travers le détail des réponses, on sent bien que ce à quoi les élèves sont particulièrement sensibles, c'est à l'extension des possibilités de vérification que cette composante permet. Cette dimension apparaît plus que celle d'aide aux calculs et à la résolution, citée seulement 7 fois. Vient ensuite, l'éventail des possibilités offertes. Puis on trouve, de façon plus marginale, un ensemble de caractéristiques diverses tenant notamment aux domaines mathématiques d'utilisation (géométrie, tracés graphiques) et aux caractéristiques techniques de la machine. On notera par rapport au questionnaire 2, la disparition du tableur faiblement utilisé et la résistance en revanche de la programmation dans la classe A, malgré l'absence d'utilisation officielle. A noter aussi trois élèves de cette même classe pour qui le principal intérêt est d'avoir pu bénéficier gratuitement de cette machine.

En sens inverse, ce qui n'a pas été apprécié, c'est toujours par ordre décroissant de citation :

* la taille, le poids : 5 A, 6 B

* les cours trop centrés sur la TI 92 : 7 B

* la perte de savoir faire relative à leur propre machine : 3 A,

* la complexité, les difficultés avec le mode d'emploi : 3 A, 2 B

* la perte de temps : 2 A, 1 B (en rapport avec le baccalauréat, où l'élève n'aura plus la TI92).

* la géométrie : 2 A

* les discordances de résultats avec les calculs papier/crayon : 1 A, B

* certaines interfaces : 1 A, B

* la faible connaissance de la machine : 1 A

* la « trop grande facilité » : 1 B

* l'anglais : 1 A

* le prix des changements de piles : 1 A

* les cours en plus : 1 A

* le manque d'heures spécifiques pour apprendre à se servir de la TI92 : 1 A

* le fait d'être interviewé : 1 A

Là encore, les réponses sont très diversifiées et moins concentrées sur l'encombrement de la machine que dans le questionnaire 2 ; quatre élèves de la classe A, et un de la classe B seulement ne donnent cette fois pas de raison pour ne pas apprécier la TI92. On notera, dans la classe A, les craintes qui se manifestent plus fortement en cette fin d'année, de ne plus savoir se servir de sa propre machine et l'apparition, même si elle est très marginale, de la mention de décalages avec les résultats papier/crayon ainsi que de facteurs qui ne concernent pas directement la machine mais l'organisation de l'expérimentation, eux aussi très marginaux. On notera aussi les avis contradictoires exprimés à propos de la géométrie et sans doute liés, au moins en partie, à la faible utilisation de cette application en classe.

On notera dans la classe B, le nombre important de réserves portant plus sur l'expérimentation que sur la machine.
Travail, apprentissages, résultats

Les questions 6-9 concernent ce domaine et on obtient les résultats suivants, les questions concernant ce qui se serait passé à leur avis s'ils n'avaient pas disposé de la calculatrice :

<table><caption>Tableau 17 : Travail, apprentissage, compréhension, résultats</caption><thead><tr><th rowspan="2">Question</th><th colspan="2">moins</th><th colspan="2">identique</th><th colspan="2">plus</th></tr><tr><th>Cl A</th><th>Cl B</th><th>Cl A</th><th>Cl B</th><th>Cl A</th><th>Cl B</th></tr></thead><tbody><tr><td>travail</td><td>1</td><td>0</td><td>22</td><td>10</td><td>4</td><td>9</td></tr><tr><td>apprentissage</td><td>6</td><td>3</td><td>14</td><td>7</td><td>7</td><td>9</td></tr><tr><td>compréhension</td><td>6</td><td>3</td><td>19</td><td>3</td><td>2</td><td>13</td></tr><tr><td>résultats</td><td>12</td><td>3</td><td>12</td><td>13</td><td>2</td><td>3</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_319.png" /></figure>

Sur le plan du travail fourni par les élèves, leur impression est que la participation à l'expérimentation n'a rien changé (classe A) ou l'a diminué (classe B). On peut conclure que la calculatrice ne les a pas incités à travailler davantage en mathématiques puisqu'un seul élève a cette opinion. Ceci atteste en un sens la banalisation de l'outil : dès lors que cette banalisation se réalise, l'instrument nouveau n'entraîne pas une « motivation » supérieure au travail mathématique.

Concernant l'apprentissage, les réponses sont équilibrées dans la classe A, la majorité étant pour le statut quo. Dans la classe B, les élèves pensant que l'expérimentation a eu un effet négatif sur leur apprentissage sont les plus nombreux (presque la moitié des réponses).

Avec la question relative à la compréhension, les deux classes montrent un comportement encore plus différent. Dans la classe A, un léger plus est accordé à la calculatrice, mais les élèves pensant que la calculatrice n'a rien changé à leur compréhension sont majoritaires. Pour la classe B, en revanche, l'impression qu'on aurait mieux compris sans la TI92 domine nettement.
Concernant les résultats, 12 élèves de la classe A estiment qu'ils auraient moins réussi sans la machine. C'est un plus en faveur de la TI92, mais notons que, même sur ce point, les avis sont partagés et qu'il y a autant d'élèves pour penser qu'ils auraient eu des résultats identiques. Dans la classe B, l'opinion selon laquelle la TI92 n'a pas changé les résultats domine (2/3 des réponses), les deux autres opinions s'équilibrant. Une grande majorité d'élève pense donc que la TI92 n'a rien changé à leurs notes en contrôle, alors même qu'ils en ont disposé pour tous les contrôles et notamment les contrôles communs à toutes les classes de première S de l'établissement.

La tendance générale est donc à penser que la TI92 n'entraîne pas de changement décisif sur chacune des quatre dimensions : travail, apprentissage, compréhension, résultats scolaires. Cependant il est intéressant de noter que les élèves différencient bien ces quatre dimensions quand on les interroge sur l'impact de la TI92.

La question 10 apporte des éléments complémentaires pour apprécier ces réponses. Seuls 3 élèves (2 A, 1 B) répondent : « oui » sans autre commentaire. La plupart répondent non ou ont des réponses mitigées : oui mais..., non mais..., la différence entre les deux n'étant pas très claire du fait de la proximité des raisons invoquées. Les raisons invoquées sont en effet les suivantes :

* non, car la machine ne donne pas le raisonnement, les justifications, ne fait pas les démonstrations : 6 A, 8 B

* non, car la machine permet de vérifier, mais ne fait pas le raisonnement : 2 A, 1 B

* non, car il faut connaître le cours : 2 A, 2 B

* non, car il faut comprendre, analyser : 3 B

* non, il faut savoir utiliser les résultats, expérimenter 1 B

* non, car il faut savoir programmer : 1 A

* non, car moi je n'ai pas réussi mes contrôles : 1 A

* oui, aide mais il faut connaître les bases : 1 A

* oui, donne les résultats mais il faut justifier : 4 A, 3 B

* oui, si l'on sait utiliser la machine : 4 A, 1 B

* oui, on peut progresser en analyse : 1 A, 1 B

* oui, car on peut tricher avec : 1 B

Enfin un élève de la classe A répond qu'il n'est pas concerné par la question puisqu'il n'est pas nul.

On voit donc bien que les élèves sont conscients de l'aide fournie par la machine mais savent aussi que la machine ne fait pas tout le travail mathématique à leur place. Le fait que les résultats de la classe ne se soient pas envolés par rapport à ceux des autres classes dans les différents contrôles communs les conforte sans aucun doute dans cette vision réaliste. On notera l'accent fort mis sur les raisonnements ainsi que sur la nécessité de savoir utiliser la machine.

## Intérêt de la calculatrice dans les situations mathématiques

Les situations pour lesquelles la calculatrice a semblé très intéressante sont les suivantes :

* limites : 5 A, 4 B

* géométrie : 5 A

* dérivées : 3 A, 3 B

* graphes : 2 A, 4 B

* tables de valeurs : 1 A, 5 B
* vérification : 1 A, 3 B

* factorisation : 2 A, 2 B

* compréhension : 2 B

* suites : 1 A

* 3D : 1 A

* calculs difficiles : 1 A

* programmation : 1 A

* jeux : 1 A

Enfin trois élèves (2 A, 1 B) répondent n'avoir trouvé la TI92 très intéressante dans aucune situation.

On voit là encore dominer le calcul formel et en particulier celui relatif à la notion de limite que les élèves ont sans doute l'impression d'avoir plus de mal à gérer que celle de dérivée, en cette fin d'année.

On notera la présence de la géométrie dans la classe A, à jeu égal avec les limites en dépit de la faible utilisation relative. Dans ce domaine, ce qui a frappé les élèves, c'est visiblement la possibilité d'obtenir les lieux de points.

Deux élèves de la classe B insistent sur l'apport de la TI92 à leur compréhension (« J'ai eu le sentiment de comprendre par moi-même »). C'est la preuve que le scepticisme constaté au plan général dans la classe sur cet apport n'empêche pas des attitudes beaucoup plus positives.

Les réponses à la question 12, concernant l'utilité de la TI92 sont cohérentes avec ce qui précède puisque l'on retrouve les dérivées (6 A, 3 B), les limites (3 A, 1 B), les suites (3 A), les graphes (3 A, 2 B) et la géométrie (3 A), les factorisations (2 A), les études de fonctions (2 A, 2 B), les calculs difficiles (2 A, 2 B), les devoirs d'analyse (2 A), les tables de valeur (1 A, 1 B) et les programmes (1 A). Un élève de la classe A enfin répond n'avoir trouvé la TI92 très utile dans aucune situation. Les petits décalages observés, notamment relativement à la géométrie, aux limites et aux dérivées peuvent s'expliquer par la fréquence des tâches correspondantes qui influe sans aucun doute sur l'impression d'utilité.

Les raisons invoquées dans les réponses à ces deux questions sont diverses et on y retrouve les catégories déjà mises en évidence dans le questionnaire précédent, avec la domination nette de la dimension vérification (9 A, 6 B), devant le gain de temps (6 A, 3 B), l'aide aux calculs (5 A, 5 B), la visualisation (4 A, 3 B), les mouvement, les animations en géométrie (4 A), l'aide à la compréhension (3 A), le palliatif à l'oubli de formules (3 A), d'autres dimensions intervenant de façon plus marginale pour lesquelles nous renvoyons le lecteur intéressé aux tableaux en annexe correspondant à ce questionnaire.

La question 13 était relative à des situations où la TI92 apparaissait comme inutile. Les réponses sont ici concentrées et claires :

* rien et non réponses : 12 A, 6 B

* géométrie : 12 A, 5 B

* calculs simples : 2 A, 1 B

* courbes : 1 A, 1 B

* limites (« avoir le résultat ne nous sert qu'à vérifier ») : 2 B

Les raisons invoquées concernant la géométrie sont la complexité, le manque de familiarité avec l'application, le temps nécessaire pour tracer les figures, le peu d'aide apporté par rapport aux problèmes de géométrie posés. Il faut bien sûr pondérer ces réponses par la faible utilisation effective de cette application en classe et la faible instrumentation qui en résulte
chez les élèves. Dans la classe B, une utilisation pour les barycentres n'a pas convaincu plusieurs élèves.

La question 14 faisait référence à des situations où la TI92 apparaissait comme gênante.

* rien et non réponses : 12 A, 13 B

* résultats différents du calcul P/C (calculs de dérivées, trigonométrie...) et simplifications (difficiles à comprendre) : 5 A, 2 B

* sac, sport (encombrement) : 3+1 A

* géométrie (temps perdu, complexité) : 1 A, 2 B

* suites (compliqué, pas assez d'exercices à la main) : 1 A, 1 B

* valeurs approchées (rapport exact/approché) : 1 A, 1 B

* notations spécifiques (exposants rationnels) : 1 A, 1 B

* programmation (précision exigée) : 1 A

On trouve donc, comme dans la question précédente une majorité d'élèves pour répondre rien ou ne pas répondre. Ce ne sont d'ailleurs pas exactement les mêmes puisque 18 élèves de la classe A et 14 de la classe B ont répondu de la sorte à l'une des deux questions. Et il est intéressant de noter que la seconde catégorie de réponses qui apparaît concerne la gêne provoquée par la production par la TI92 de résultats différents de ceux obtenus en papier/crayon, arriver à contrôler ces décalages étant sans aucun doute une des composantes d'une instrumentation efficace. La géométrie reprend ici une place réduite et l'on retrouve les questions d'encombrement déjà apparues à de multiples reprises mais moins citées que dans le questionnaire 2 : sans doute les élèves s'y sont-ils progressivement habitués.

## Les opinions sur la TI92

Elles sont exprimées dans les réponses aux questions 15-24 : (la question 23 n'a pas été posée dans la classe B)
<table><caption>Tableau 18 : Opinions relatives à la TI92</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="2">Tout à fait d'accord</th><th colspan="2">Plutôt d'accord</th><th colspan="2">Plutôt pas d'accord</th><th colspan="2">Pas du tout d'accord</th><th colspan="2">Taux d'adhésion</th></tr><tr><th>A</th><th>B</th><th>A</th><th>B</th><th>A</th><th>B</th><th>A</th><th>B</th><th>A</th><th>B</th></tr></thead><tbody><tr><td>15. Permet de faire en classe des activités plus intéressantes</td><td>11</td><td>3</td><td>10</td><td>9</td><td>2</td><td>4</td><td>0</td><td>2</td><td>0.8</td><td>0,57</td></tr><tr><td>16. Oblige à se poser des questions</td><td>2</td><td>2</td><td>11</td><td>8</td><td>6</td><td>3</td><td>3</td><td>3</td><td>0.52</td><td>0,52</td></tr><tr><td>17. Donne envie de chercher les exercices</td><td>3</td><td>1</td><td>10</td><td>2</td><td>7</td><td>9</td><td>4</td><td>5</td><td>0.5</td><td>0,31</td></tr><tr><td>18. Fait perdre du temps</td><td>0</td><td>1</td><td>5</td><td>5</td><td>10</td><td>5</td><td>10</td><td>7</td><td>0.27</td><td>0,33</td></tr><tr><td>19. Oblige à réfléchir davantage à ce que l'on fait</td><td>1</td><td>3</td><td>11</td><td>5</td><td>9</td><td>6</td><td>3</td><td>2</td><td>0.47</td><td>0,52</td></tr><tr><td>20. Incite le professeur à poser des problèmes trop difficiles</td><td>0</td><td>8</td><td>7</td><td>7</td><td>10</td><td>3</td><td>2</td><td>0</td><td>0.38</td><td>0,76</td></tr><tr><td>21. Peut aider à comprendre les mathématiques</td><td>7</td><td>3</td><td>13</td><td>2</td><td>3</td><td>9</td><td>1</td><td>4</td><td>0.69</td><td>0,41</td></tr><tr><td>22. Incite à ne pas apprendre les choses indispensables</td><td>6</td><td>9</td><td>10</td><td>7</td><td>5</td><td>1</td><td>3</td><td>2</td><td>0.6</td><td>0,74</td></tr><tr><td>23. Aide à résoudre les problèmes</td><td>12</td><td></td><td>12</td><td></td><td>2</td><td></td><td>0</td><td></td><td>0.79</td><td></td></tr><tr><td>24. Oblige à apprendre des choses inutiles</td><td>0</td><td>3</td><td>2</td><td>1</td><td>10</td><td>6</td><td>9</td><td>8</td><td>0.22</td><td>0,31</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_320.png" /></figure>

Des tendances nettes se dégagent, cohérentes avec les réponses aux questions 6-10 du début du questionnaire, attestant chez les élèves des représentations de la calculatrice et de son influence sur leur rapport aux mathématiques positives et réalistes à la fois de façon cependant plus marquée dans la classe A que dans la classe B.

Deux affirmations rencontrent un fort taux d'adhésion dans la classe A : la TI92 permet de faire en classe des activités plus intéressantes, la TI92 aide à résoudre les problèmes.

Deux affirmations sont nettement rejetées dans les deux classes: la TI92 fait perdre du temps, la TI92 oblige à apprendre des choses inutiles.

L'affirmation que la TI92 peut aider à comprendre les mathématiques rencontre un taux d'adhésion relativement élevé, si l'on compare par exemple aux résultats de la recherche DERIVE précédemment menée (Lagrange, 1996). Dans la classe A, seuls quatre élèves manifestent une position contraire et il y a sans doute eu une évolution des positions des élèves dans ce domaine depuis le début de l'année. Dans la classe B, l'adhésion est en dessous de la moyenne.
Trois affirmations rencontrent des taux d'adhésion très voisins de 0,5, traduisant bien les opinions partagées des élèves : la TI92 oblige à se poser des questions, donne envie de chercher les exercices, oblige à réfléchir davantage à ce que l'on fait. La TI92 n'apparaît donc pas dotée de toutes les vertus et susceptible à elle seule de donner envie de chercher ou de transformer l'activité mathématique des élèves en une activité plus réflexive.

En revanche, les élèves sont plutôt enclins à penser que l'utilisation de la TI92 peut inciter à ne pas apprendre les choses indispensables, ce en quoi ils sont tout à fait raisonnables.

Dans la classe A, ils ont également tendance à rejeter l'affirmation comme quoi la TI92 incite le professeur à poser des problèmes trop difficiles : 7 seulement adhèrent à cette opinion et aucun n'est tout à fait d'accord avec elle.

Bien sûr cette appréciation est relative au vécu propre de chaque élève, et d'ailleurs, l'appréciation est différente dans la classe B. Nous analyserons dans le paragraphe suivant comment on peut analyser ces vécus différents dans les deux classes. En tout cas, les réponses des élèves montrent bien que la dérive que pourrait entraîner la TI92 vers de problèmes plus difficiles n'a rien d'obligatoire.

Les réponses à la question 25 montrent clairement que le passage des calculatrices graphiques à la TI92 a modifié la vision des calculatrices dans la classe A. Le changement est moins net dans la classe B :

<figure><img src="image_321.png" /></figure>

Les arguments présentés à l'appui de la réponse « non » sont :

* c'est indispensable et compliqué (1 A), ça fonctionne pareil (1 A), ce n'est toujours qu'un outil (1 A, 3 B), j'aime toujours autant (2 B)

Ceux présentées à l'appui de la réponse « oui » sont encore une fois :

* les possibilités et performances, données sans plus de précision (9 A, 4 B) ou en précisant certains domaines (graphisme, animation) (2 A), le saut au delà du numérique et du graphique (1 A), les possibilités de vérification accrues (1 A).

Trois élèves de la classe A s'expriment sur un autre plan : ils utilisent plus la nouvelle calculatrice, ils l'aiment mieux, deux enfin mentionnent son prix et les problèmes d'inégalité qui en résultent, au delà de l'expérience menée.

Deux élèves de la classe B expriment un changement de point de vue dans le sens de la déception : « Les calculatrices sont inutiles, elles permettent seulement de vérifier les résultats. »

Deux autres élèves de cette classe expriment une prise de conscience de l'utilité réelle des calculatrices : « Les calculatrices peuvent vraiment "simplifier la vie". Elles peuvent avoir aussi un rôle expérimental (découverte d'une notion à travers la TI92). Cependant, il faut avoir un esprit critique sur les résultats affichés et son utilisation. »
# Rapport aux résultats inattendus de la machine

## 26. Quand la TI92 fournit un résultat inattendu, que fais-tu ? (donne des exemples)

Dans les réponses, ce qui vient en premier, c'est la recherche d'une autre forme en utilisant les commandes adaptées, notamment les commandes de factorisation et développement plusieurs fois citées. Ceci se retrouve exprimé sous des formes diverses dans 7 réponses dans chaque classe. Ces réponses traduisent clairement le fait que la catégorie : « réponses inattendues » renvoie pour ces élèves avant tout à des décalages entre forme attendue et forme obtenue dans l'application Home et qu'ils ont développé des stratégies pour reconnaître les égalités non évidentes, non interprétées automatiquement comme signe d'erreur. Deux élèves de la classe A vont semble-t-il dans le même sens, en disant qu'ils vérifient l'égalité, l'un précisant « par exemple en traçant un graphique », donc en mobilisant un changement de cadre.

Quelques réponses se situent, elles, plus dans la vérification liée à la recherche d'erreurs : vérification des entrées et des calculs (3 A, 3 B), recherche de l'erreur (1 A, 1 B), ou la simple reproduction : (4 A, 4 B), refait en papier/crayon (3 A, 2 B).

Enfin d'autres réponses ne rentrent pas dans ces catégories : dans la classe A, un élève déclare essayer un autre calcul, deux essayer de comprendre, le dernier demande au professeur ou aux camarades. Dans la classe B, ils sont trois à demander au professeur.

On notera là encore l'évolution sensible depuis les réponses au premier questionnaire.

## Projets d'avenir

## 27. Si tu pouvais garder la calculatrice pendant les vacances, y-a-t-il des choses que tu aimerais apprendre à faire ou à mieux faire avec elle ?

<figure><img src="image_322.png" /></figure>

On peut être étonné par le faible nombre des élèves qui répondent : « oui ». Cela confirme, s'il en était besoin, que la TI92 s'est installée comme un instrument du travail mathématique et qu'à ce titre elle a perdu sa dimension ludique. Elle est associée à l'école. Ceux qui ont répondu « oui » mentionnent :

* la programmation : 9 A, 3 B

* la géométrie : 5 A

* le 3D : 1 A

* les commandes, savoir l'utiliser mieux, étudier le mode d'emploi : 2 A, 5 B

On voit donc figurer, surtout dans la classe A, les deux domaines peu ou pas exploités dans l'enseignement, constamment mentionnés dans les réponses aux questionnaires : la programmation et la géométrie.

Enfin aux dernières questions, on obtient les réponses suivantes :
28. Aimerais-tu avoir une TI92 l'année prochaine ?

29. Si le lycée pouvait mettre à ta disposition une TI92 pour les épreuves du bac à condition que tu t'engages à participer à une séance de TD hebdomadaire d'une heure avec TI92 (en plus de l'horaire normal), serais-tu volontaire ?

<figure><img src="image_323.png" /></figure>

Ces réponses incitent bien sûr à mettre en place ces séances spécifiques en terminale S.
<figure><img src="image_324.png" /></figure>
# Synthèse et comparaison des deux classes

Nous faisons dans ce paragraphe une synthèse, questionnaire par questionnaire, avant de présenter une interprétation dans le paragraphe suivant.

Rappelons tout d'abord que la classe A est en majorité masculine (presque ¾ de garçons) alors que les garçons et les filles sont en nombre égal dans la classe B. Précisons également qu'il y a quatre redoublants dans la classe B, alors qu'il n'y en a aucun dans la classe A.

## Avant la TI92

Un cinquième des élèves de la classe B n'avait pas de calculatrice avant cette année. Les élèves de la classe A et les autres élèves de la classe B, possédaient une calculatrice. Tous les élèves disposent cette année d'une calculatrice, graphique, excepté un élève de la classe B. Cet achat est récent (moins de deux mois) pour près de la moitié de la classe B, et moins du quart de la classe A. Nous avons donc un équipement plus récent dans la classe B que dans la classe A. De plus, dans cette classe, c'est plus souvent le premier équipement.

Les domaines d'utilisation préférentiels sont les mêmes dans les deux classes : calculs numériques et tracés graphiques. Il n'y a pas de différence sur l'utilisation, plutôt faible, des programmes et des mémoires.

Par contre, les élèves de la classe A l'utilisent plus volontiers en classe et ceux de la classe B, plus volontiers à la maison. On peut donc penser que la calculatrice est plus intégrée aux pratiques de classe dans la classe A, et plus utilisée en préparation d'exercices dans la classe B.

L'instrumentation du module graphique (tableau 3) n'est générale dans aucune des deux classes. Elle est plus faible dans la classe B ou un élève sur 3 n'utilise jamais les commandes graphiques : zoom, trace et range.

La situation est inverse quand les élèves sont interrogés sur leur connaissance de la machine : neuf élèves sur 10 de la classe A et deux élèves sur 3 de la classe B déclarent ne pas bien en connaître les possibilités. En fait, il y a dans la classe B une minorité d'élèves qui sont des utilisateurs experts de leur calculatrice. En revanche, la classe A est plus homogène, les commandes avancées, par exemple graphiques, sont en cours d'instrumentation et posent des difficultés à la quasi totalité des élèves.

Ils sont plus nombreux dans la classe A (1/3) que dans la classe B (1/12) à avoir appris à se servir de leur calculatrice surtout avec le professeur. Cette différence se confirme quand on considère que 5 élèves sur 6 de la classe B n'ont pas eu d'initiation par le professeur l'année précédente, contre un sur deux dans la classe A. Cela confirme que dans la classe A, la calculatrice a été davantage été prise en compte dans l'enseignement.

On trouve seulement un élève de la classe B à ne pas souhaiter cette initiation : il s'agit d'un refus de la calculatrice qui s'exprime systématiquement sur tout le questionnaire. Pour cette initiation on trouve dans les deux classes les mêmes registres : fonctionnalités de base seules, fonctionnalités approfondies seules, et toutes les fonctionnalités.

Les élèves de la classe B n'ont pratiquement jamais rencontré de résultats leur semblant aberrants, alors qu'ils sont la moitié dans la classe A. Ces résultats ont surtout été rencontrés par les élèves de la classe A dans une utilisation graphique que les élèves de la classe B ont
été moins nombreux à pratiquer. Les élèves dans la classe B sont plus nombreux (1/3) que dans la classe A (1/6) à déclarer ne jamais vérifier leurs résultats.

Les opinions sur l'usage des calculatrices différent seulement sur l'utilité pour la préparation des contrôles : le taux d'adhésion est voisin de ½ dans la classe A, et de 1/3 dans la classe B. Cela peut sembler contradictoire avec l'utilisation plus marquée à la maison dans la classe B. Il faut comprendre que les élèves de la classe B se servent surtout de la calculatrice à la maison, mais n'en attendent pas nécessairement un apport important à la préparation des contrôles.

Pourtant, la quasi-totalité des élèves de la classe B a utilisé souvent sa calculatrice en contrôle, alors que c'est moins fréquent dans la classe A. Il faut croire qu'il ne s'agit pas d'un usage mettant en jeu des fonctionnalités avancées ou en relation avec des concepts mathématiques, puisqu'une préparation n'est généralement pas considérée comme utile.

Les utilisations d'outils généraux (traitement de textes, tableurs) sont peu différentes, bien que les élèves de la classe B soient nettement plus nombreux (1/2) que ceux de la classe A (1/5) à avoir suivi l'option informatique, participé à des ateliers ou à un club informatique.

Les utilisations déclarées de logiciels de mathématiques sont quasi-inexistantes dans la classe B, alors qu'elles existent dans la classe A et qu'elles sont probablement sous-estimées.

Les élèves de la classe B ont une représentation a priori très généralement favorable de ces logiciels qu'ils n'ont pratiquement pas utilisés. En revanche, dans la classe A qui a eu une utilisation effective, l'avis est plus mitigé : 1/3 des élèves pensent que, pour apprendre des mathématiques, les ordinateurs sont sans effet ou dangereux, et ils comparent plus volontiers ce que peut apporter l'ordinateur à ce qu'apporte le professeur.

## Avec la TI92

Après un trimestre d'utilisation, les élèves des deux classes, dans leur majorité, déclarent se débrouiller moyennement avec la TI92. Dans les deux classes, ils sont un sur deux à avouer avoir rencontré des difficultés pour apprendre à utiliser la TI92. Les raisons sont différentes dans les deux classes. Dans la classe A, on a rencontré des difficultés en tentant d'explorer des fonctionnalités de façon autonome. Dans la classe B, on incrimine la complexité de la machine ou l'approche du professeur. Ceci se confirme avec l'utilisation du manuel TI, bien plus fréquente dans la classe A.

L'utilisation des documents d'initiation distribués par le professeur a été peu fréquente dans les deux classes, ce qui montre que, dans les situations standard d'utilisation, la documentation n'apparaît pas vraiment nécessaire. Dans les deux classes, l'occasion majoritaire d'utilisation de manuel TI est la programmation.

Nous retrouvons donc l'instrumentation moins exigeante de la calculatrice dans la classe B. Dans la classe A, on rencontre des difficultés, on a l'impression de ne pas dominer la machine parce qu'on veut « en savoir plus », éventuellement de façon autonome. Dans la classe B, on s'en remet davantage au professeur.

Dans les deux classes, les élèves paraissent sensibles à ce qui fait de la TI92 un outil réellement nouveau, et non une « super calculatrice graphique », ce qui diffère des résultats que nous avions eus avec le logiciel DERIVE. On peut penser que les utilisations développées par les professeurs ont bien mis en évidence cette spécificité. La durée d'utilisation joue un
rôle également, puisque, dans l'expérimentation DERIVE, les élèves n'avaient, dans leur majorité, pas dépassé les quelques heures d'utilisation.

Dans les deux classes aussi, l'encombrement constitue l'inconvénient le plus généralement ressenti à ce moment de l'expérimentation.

Environ un élève sur 3, dans chaque classe, déclare avoir été surpris par des résultats obtenus par la machine. Ils sont un peu moins nombreux dans la classe B, et, dans cette classe, leur étonnement vient presque exclusivement de phénomènes inattendus rencontrés dans le module graphique (en particulier le tracé des discontinuités). Nous avions vu que les élèves de cette classe n'avaient pratiquement pas de pratique du graphisme de leur calculatrice, avant l'introduction de la TI92.

Les élèves de la classe A choisissent plus souvent « beaucoup » pour l'utilité en classe et en contrôle, et les élèves de la classe B choisissent plus souvent « beaucoup » pour l'utilité à la maison. Nous avions rencontré cette inversion pour l'utilisation de la calculatrice personnelle au premier contrôle. Elle est ici moins marquée, sans doute à cause de la progression de l'utilisation de la calculatrice en classe, avec le passage à la TI92, dans la classe B.

L'utilisation de la calculatrice rétroprojetable recueille un avis favorable dans les deux classes, mais les élèves de la classe B estiment dans leur majorité que « ça va trop vite ». Cette réserve montre bien le souci des élèves de la classe B, de « bien suivre » les explications du professeur, que nous avons observé lors des séquences de travail en classe.

Les opinions sont assez semblables dans les deux classes en ce qui concerne l'apport de la TI92 à la compréhension des mathématiques(1/3 des élèves) et l'intérêt et la facilité des maths avec la TI92 (en majorité reconnus). La possibilité de vérification est soulignée dans les deux classes. Dans la classe B, les élèves sont assez nombreux à souligner qu'avec la TI92, ils seraient moins « stressés », plus « sécurisés » en contrôle. Dans les entretiens et observations, nous avons pu constater que le « stress » en contrôle existe pour beaucoup d'élèves de la classe B : l'anxiété de ne pas réussir semble un élément important du rapport aux mathématiques dans cette classe.

Dans les deux classes 2/3 des élèves conservent dans leur calculatrice ce qui a été fait en classe. Il faudrait étudier pourquoi certains élèves ont perdu ou effacent le contenu des cours. Pour le reste, les élèves de la classe B conservent davantage des jeux et d'autres programmes, et moins des formules de mathématiques et d'autres disciplines. L'initiation spécifique à l'échange de données entre machines dans la classe B a donc été réinvestie par les élèves de cette classe plutôt dans une instrumentation « extra-scolaire ».

## Le bilan

A la fin de l'expérimentation, dans les deux classes, le taux de "Plutôt satisfait" avoisine 2/3. Cependant la satisfaction est moins générale dans la classe B, qui a un seul "Très satisfait" (contre 7 dans la classe A) et 3 "Très insatisfait" (contre 0 dans la classe A). Cette insatisfaction relative de la classe B marque donc une déception, après les appréciations favorables portées sur les logiciels au premier questionnaire, puis sur la TI92 au second questionnaire.

On trouve dans les deux classes un éventail comparable de raisons d'apprécier mais aussi de ne pas apprécier la TI92. Les raisons de ne pas apprécier sont plus diverses que dans le second questionnaire. Les élèves se sont un peu habitués à l'encombrement de la machine, qui était le principal reproche avancé au second questionnaire, et on voit apparaître des raisons liées au
travail mathématique, principalement quand les résultats sont différents en P/C et sur la TI92 ou quand les simplifications ne donnent pas la forme escomptée. Cela explique la déception des élèves de la classe B, qui attendaient beaucoup de la possibilité de vérification : ils voient maintenant que c'est moins facile qu'ils ne l'imaginaient.

Dans les deux classes, la TI92 est vue comme ayant apporté peu de changements dans la quantité de travail. En ce sens, c'est un instrument maintenant banal.

En revanche, l'opinion dans les deux classes diffère quand il s'agit de la compréhension. On observe un net déplacement de la classe B vers l'opinion selon laquelle ils auraient compris davantage sans la calculatrice. Le taux d'adhésion à l'opinion dans la classe A est nettement supérieur à ce que nous avions trouvé dans la recherche DERIVE (0,51). Dans la classe B, il est inférieur à ce taux. On peut penser que, dès le départ, les élèves de la classe B voyaient plutôt dans la TI92 un outil de vérification, et que donc, ils n'en attendaient pas un apport décisif à leur compréhension.

La classe A reconnaît en majorité qu'elle aurait eu des résultats plus faibles sans la TI92, alors que la classe B voit peu de différence. Cela confirme ce que nous avions constaté avec DERIVE : pour apprendre avec une technologie, il faut que celle-ci apporte davantage à la compréhension.

De façon cohérente, les appréciations portées sur l'expérimentation sont moins favorables dans la classe B. Les différences les plus importantes portent sur :

* L'intérêt des activités (jugé très moyen dans la classe B et assez fort dans la classe A).

* La difficulté des problèmes (accord assez général dans la classe B, désaccord dans la classe A).

* L'apport à la compréhension (plutôt défavorable dans la classe B, plutôt favorable dans la classe A).

Le changement de point de vue sur la calculatrice est moins général dans la classe B (1/2) que dans la classe A (3/4). On reste plus souvent sur l'idée que c'est un outil de vérification sans réelle influence sur le travail mathématique.
Interprétation

Les données rapportées dans ce chapitre dressent un tableau assez différent de l'instrumentation de la TI92 dans les deux classes. Quels facteurs globaux dans chacune des classes sont susceptibles d'expliquer ces différences ? Pour les déterminer, nous synthétisons d'abord les principales caractéristiques de l'instrumentation dans chacune des classes.

La classe A semble assez homogène quant à l'utilisation des moyens technologiques, avec un souci général d'explorer les possibilités, de vérifier ses résultats. L'utilisation plus significative des moyens technologiques dans la classe A, pour les mathématiques, est confirmée par l'utilisation de logiciels. Il faut souligner que la prise en compte des calculatrices dans l'enseignement, qui se manifeste par une initiation faite par un professeur les années antérieures, est moyenne dans la classe A, alors qu'elle est quasi inexistante dans la classe B, comme dans beaucoup de classes. Elle semble bien préparer les élèves de la classe A à l'instrumentation de leur calculatrice personnelle puis de la TI92.

Les problèmes rencontrés par les élèves de cette classe avec leur propre calculatrice témoignent d'un début d'instrumentation des fonctions graphiques qui se poursuivra avec la TI92. Cette instrumentation de la TI92 se manifeste par exemple par l'exploration autonome des fonctionnalités. Les habitudes et techniques de vérification des résultats de la calculatrice, constatées avec la calculatrice personnelle, puis avec la TI92, font aussi partie de cette instrumentation que les élèves de la classe A ont généralement commencée.

La situation est plus contrastée dans la classe B. On y rencontre beaucoup de « néo-
utilisateurs » dont l'équipement en calculatrice est récent et dont c'est la première calculatrice.
Ils utilisent moins le graphisme, fonctionnalité nouvelle pour beaucoup d'entre eux. Il y a
aussi des « utilisateurs chevronnés », déclarant connaître bien leur calculatrice, parmi lesquels,
on trouverait certainement les 4 redoublants.

La participation à l'option informatique, à des ateliers ou à un club est plus importante dans la classe B. Elle ne paraît cependant pas avoir une influence importante sur l'utilisation personnelle de l'ordinateur par l'élève, et sur l'utilisation des fonctionnalités de la calculatrice.

Les élèves de la classe B se posent moins de questions sur les résultats obtenus avec leur calculatrice personnelle. C'est à mettre en relation avec le peu d'utilisation graphique qu'ils ont eu, et, avec la TI92, c'est dans ce domaine qu'ils ont en premier lieu des surprises. Il sont d'ailleurs assez prudents avec cette machine nouvelle et en explorent généralement peu les possibilités.

Dans l'utilisation quotidienne de la TI92, deux préoccupations apparaissent plus marquées
dans la classe B, le temps et le « stress » : on pense que l'utilisation de la calculatrice
rétroprojetée risque de conduire à un cours qui « va trop vite » ; on souligne la sécurité que
l'on attend de la TI92 en contrôle. Cela reflète sans doute un rapport aux mathématiques
spécifique à cette classe, qui a, semble-t-il, joué un rôle dans l'instrumentation de la TI92.

L'instrumentation est moins aboutie dans cette classe. Cela apparaît dès le second
questionnaire avec les réponses plus faibles aux questions précises sur les fonctionnalités de la
machine, alors même que les élèves ont une impression favorable sur la TI92. Cela se
confirme au troisième questionnaire : la satisfaction globale est moins marquée dans la classe
B et la différence est en effet particulièrement sensible dans le domaine de la compréhension.
Les élèves de la classe A perçoivent l'influence de la TI92 sur la compréhension et sur leurs
résultats, alors que ceux de la classe B voient plutôt un effet négatif. Corrélativement, les activités sont plus souvent jugées difficiles ou peu intéressantes par la classe B.

En fait, ce qui transparaît dans les opinions de la classe B au bilan global, c'est la déception : on attendait beaucoup de la sécurité de la calculatrice dans les calculs, en premier lieu en contrôle, et les apports se sont révélés limités dans ce domaine. Par ailleurs, face aux difficultés d'utilisation en classe, auxquelles une instrumentation préalable de la calculatrice personnelle n'avait pas préparé, l'apport de la TI92 à la compréhension a été moins reconnu.

A travers cette étude globale de deux classes, nous percevons deux facteurs qui ont joué un rôle dans l'instrumentation de la TI92 :

* le début d'instrumentation d'une calculatrice graphique personnelle, favorisé par une prise en compte par l'enseignement les années précédentes, et l'utilisation de logiciels,

* le rapport aux mathématiques, semble-t-il assez différent dans deux classes où le rapport filles/garçon est lui aussi très différent.

Bien sûr, ces facteurs agissent de façon globale dans la classe, et il y a bien d'autres déterminants qui font de l'instrumentation de la TI92 une aventure personnelle à chaque élève, dont nous verrons quelques exemples dans l'exploitation des entretiens au chapitre suivant.
## Partie III. Chapitre 2
Le suivi par entretiens

Le suivi d'élèves a pour objectif un accès plus fin que les questionnaires, aux processus personnels d'intégration de la calculatrice, en prenant en compte notamment la diversité des rapports possibles des élèves tant aux mathématiques qu'aux technologies informatiques. Seize élèves (neuf dans la classe A et sept dans la classe B) ont fait l'objet d'un tel suivi en 1995/96¹. Pour tous ces élèves, nous avons effectué un dépouillement spécifique des questionnaires et du contrôle spécifique de fin d'année et organisé par ailleurs trois entretiens au fil de l'année à partir de la fin du mois de janvier. Dans la classe A, nous avons pu également disposer des copies des élèves pour un certain nombre de contrôles communs.

Dans ce chapitre, nous présentons successivement :

* Les critères de choix utilisés pour sélectionner les élèves, les élèves sélectionnés dans les deux classes et leurs profils au moment du choix.

* Les entretiens : présentation générale, objectifs précis et scénarios de chacun des trois entretiens dans les deux classes, puis résultats analyse et synthèse par entretien. Le troisième entretien porte notamment sur un contrôle spécifique à l'utilisation de la TI92 que nous avons organisé dans les deux classes. Le rapport sur cet entretien contient la présentation et les résultats de ce contrôle. Le texte et le corrigé de ce contrôle spécifique sont en annexes 1 et 2.

* Les résultats par élève : un portrait de l'évolution de chacun des 16 élèves observés est dressé à partir des éléments d'observation qui sont rassemblés en annexes 3 et 4.

* La synthèse des observations réalisées dans chaque classe par ce suivi.

* Un interprétation portant sur les processus d'instrumentation de la TI92.

<footnote n="1">1 Précisons qu'un suivi analogue a été réalisé en 1996/97. Les analyses correspondantes, encore en cours, ne sont pas prises en compte dans le présent rapport.</footnote>
# Les élèves suivis

## Critères de choix

Le choix a été effectué à la fin décembre. Pour prendre en compte la diversité des rapports possibles aux mathématiques, nous nous sommes basés sur l'avis des enseignants et les notes du premier trimestre qui étaient alors disponibles. Pour prendre en compte la diversité des rapports possibles aux outils informatiques, nous avons utilisé comme critères l'avis des enseignants qui avaient eu l'occasion pendant un trimestre de travailler avec eux dans l'environnement des calculatrices graphiques ainsi que les réponses au premier questionnaire. Enfin, nous avons aussi cherché à croiser les catégories issues de ces deux premières dimensions avec la variable sexe.

Nous avons ainsi retenu des élèves représentatifs des différents niveaux rencontrés dans ces classes (sans prendre en compte cependant la catégorie des élèves très faibles), travaillant a priori de façon différente et ayant vis à vis des machines, des rapports allant de la méfiance à une certaine forme de dépendance.

## Les élèves retenus et leurs profils

Ce sont donc neuf élèves pour la classe A- sept garçons et deux filles - et sept élèves dans la classe B - trois filles et quatre garçons.

Dans ce qui suit, pour faciliter la lecture, chaque élève sera désigné par son prénom, mais nous avons, pour des raisons de déontologie, modifié les prénoms.

Nous effectuons une présentation classe par classe des élèves à partir de leurs réponses au premier questionnaire. Des données plus complètes sur chaque élève, en particulier leurs résultats en mathématiques sont présentées à l'annexe 3 pour la classe A et à l'annexe 4 pour la classe B.

### Les élèves de la classe A

Les neufs élèves suivis dans cette classe sont Anne, Charles, Georges, Gérard, Francis, Françoise, Michel, Serge et Vincent. Ils sont tous équipés d'une calculatrice graphique, Georges, Serge, Vincent, et Anne en disposent depuis plus d'un an. Georges est celui qui en a l'utilisation la plus systématique. Seuls Michel, Charles et Anne ont été aidés par leur professeur pour l'apprentissage de la calculatrice. Françoise attend du professeur une aide spécifique pour les tracés graphiques et Georges pour la programmation. Les autres élèves expriment des attentes plus vagues : « toutes les touches ».

Gérard, Charles et Anne ont obtenu des résultats graphiques surprenants. Michel, lui a été surpris pour des raisons de parenthésage. Serge a été parfois induit en erreur. Françoise, Michel et Francis vérifient souvent les résultats, Georges, Anne, Serge et Charles seulement parfois, et Gérard et Vincent jamais.

Seuls Vincent et Gérard expriment des réserves sur l'utilité de la calculatrice pour l'apprentissage des Mathématiques. Vincent pense que la calculatrice ne l'aide pas à résoudre les problèmes et Gérard estime que la calculatrice ne l'aide pas à préparer ses contrôles. Tous sont d'accord pour son utilité en contrôle, mais seul Gérard souligne avec franchise son utilité comme « aide-mémoire ».
Francis, Georges et Gérard ont un ordinateur chez eux, qu'il utilisent souvent. Leur utilisation des logiciels couvre le traitement de texte, le dessin, les tableurs et les jeux informatiques. Ils pensent que les ordinateurs sont utiles pour apprendre des mathématiques.

Anne, Françoise, Charles et Michel ont aussi un ordinateur chez eux. Ils l'utilisent moins souvent, essentiellement pour des jeux informatiques, ou du traitement de texte.

Serge et Vincent n'ont pas d'ordinateur et leur utilisation de logiciels se limite aux jeux.

Vincent et Michel sont les seuls à émettre des réserves sur l'utilisation de l'ordinateur pour apprendre des mathématiques.

En géométrie, Serge, Gérard et Charles ont utilisé « le géomètre » ou « l'atelier de géométrie », et « dessiner l'espace » entre 3 et 10 fois. Ils les ont trouvés faciles d'accès et utiles à l'apprentissage de la géométrie.

Anne a un peu utilisé « l'atelier de géométrie » et « dessiner l'espace ». Elle les a trouvés faciles d'accès et y voit une aide possible à la compréhension. Françoise a la même opinion du « géomètre » qu'elle a cependant peu utilisé.

Georges, Vincent, Francis et Michel n'ont utilisé que le logiciel « dessiner l'espace ». Georges et Francis le trouvent utile pour l'apprentissage de la géométrie dans l'espace. Michel, lui, pense que « le professeur c'est mieux ». Vincent a rencontré des difficultés à cause de son manque de familiarité avec l'ordinateur.

Gérard a utilisé DERIVE en classe entre trois et dix fois pour résoudre des équations et des inéquations. Il pense qu'il n'est pas difficile à utiliser et utile car il permet de vérifier les résultats et de résoudre rapidement les exercices les plus difficiles.

Serge l'a utilisé en classe une ou deux fois pour illustrer le cours et chercher des exercices. Il pense lui aussi qu'il est facile à utiliser, utile car il factorise et développe lui-même.

Les sept autres élèves n'ont pas utilisé DERIVE.

En conclusion de cette présentation, Gérard et Georges ont un rapport très positif aux technologies informatiques. Ils disposent hors classe d'un environnement informatique et se sentent visiblement à l'aise avec ces outils.

Francis et Françoise ont un rapport positif aux technologies informatiques, et une certaine familiarité avec ces dernières, mais ont une faible pratique des logiciels de mathématiques et leur utilisation de la calculatrice graphique reste limitée.

Charles, Serge et Anne ont une opinion positive des technologies informatiques, mais ne font de ces technologies qu'un usage très modéré. C'est en particulier le cas de Anne qui a une calculatrice graphique depuis plus d'un an mais ne l'utilise que pour des calculs numériques.

Vincent et Michel ont un rapport plus nuancé vis à vis des technologies informatiques (réticences vis à vis des utilisations en contrôle, calculatrices jugées néfastes aux apprentissages) et une faible familiarité avec les environnements informatiques.

Si l'on se réfère aux catégories introduites par Trouche (1997) pour situer l'utilisation qu'ont les élèves observés des moyens technologiques dans leur pratique mathématique, on trouve deux « expérimentateurs » (Serge et Vincent), deux « théoriciens » (Georges et Francis), un « bricoleur » (Gérard), une « rationnelle » (Anne), un « scolaire » (Charles). Pour deux élèves (Françoise, Michel), il est difficile de choisir pour lui une catégorie précise.
Les élèves de la classe B

Les sept élèves suivis dans cette classe sont Alice, Franck, Jean, Julien, Marie, Pierre et Sabine. Ils sont tous équipés de calculatrices graphiques comme d'ailleurs tous les élèves de la classe. Alice et Sabine ont des modèles moins « haut de gamme » que les autres. Il s'agit pour tous sauf Pierre qui redouble et Alice d'un équipement récent. Franck, Julien et Pierre sont ceux qui ont l'utilisation la plus complète et la plus systématique. Alice Jean et Sabine se limitent eux aux utilisations les plus courantes. Alice et Sabine, par exemple, n'utilisent pas les possibilités graphiques de leur machine.

Comme les autres élèves de la classe, ils souhaitent une initiation aux calculatrices, Sabine et Alice plutôt une initiation basique, les autres désirant plutôt approfondir la programmation et le graphisme.

Tous les élèves sauf Alice vérifient parfois les résultats affichés par leur calculatrice. Sabine recommence, Marie, Franck, Julien refont à la main, Jean et Pierre ont des stratégies plus sophistiquées : ils refont d'une autre manière à la calculatrice.

Concernant l'utilité des calculatrices, ils ont des réponses similaires au reste de la classe. Alice, Franck et Julien sont les moins convaincus de l'utilité pour la résolution de problèmes, Pierre, qui redouble, est en revanche, le plus convaincu.

Ils sont favorables à l'utilisation des calculatrices aux contrôles et Alice est la seule de la classe à justifier cette opinion avec franchise par la possibilité de mémorisation de « choses principales ».

Tous, à l'exception de Julien, ont un ordinateur chez eux et l'utilisent, sauf Alice. Mais cette utilisation est très variable concernant les traitements de texte, logiciels de dessin et tableurs : Franck, Jean et Pierre sont des utilisateurs assidus, les autres utilisent peu l'ordinateur en dehors des jeux. Julien, Jean et Pierre sont les seuls à avoir suivi l'option informatique ou participé à un club informatique.

Tous sauf Alice trouvent les ordinateurs utiles pour apprendre des mathématiques, en arguant souvent des possibilités de visualisation offertes en géométrie. Alice, quant à elle, trouve les « ordinateurs plus rapides mais les maths meilleures à la main ».

Au vu de l'ensemble, Pierre et Franck semblent ceux qui ont l'utilisation des moyens informatiques la plus complète, Julien, Jean et Marie se situent dans la moyenne de la classe, Sabine et Alice semblent un peu en dessous, Alice ayant par ailleurs une opinion réservée sur leur utilité pour les mathématiques.