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# Critères de découplage des ondes de compression en milieu poreux

Olivier Dazel, Dominic Pilon

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## To cite this version:

Olivier Dazel, Dominic Pilon. Critères de découplage des ondes de compression en milieu poreux. 17e Congrès Français de Mécanique, Aug 2005, Troyes, France. hal-04105582

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Submitted on 24 May 2023

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# Critères de découplage des ondes de compression en milieu poreux

Olivier Dazel<sup>a</sup> & Dominic Pilon<sup>b</sup>

a. Laboratoire d'Acoustique de l'Université du Maine. UMR CNRS 6613

Avenue Olivier Messiaen, 72085 Le Mans Cedex 9, France

b. Groupe Acoustique de l'Université de Sherbrooke

olivier.dazel@univ-lemans.fr / dominic.pilon@USherbrooke.ca

## Résumé :

Lors de la vibration d'un milieu poreux excité par une onde acoustique, il arrive que le mouvement de la phase solide puisse être négligé. Zwikker et Kösten ont proposé un critère qui néanmoins s'avère peu robuste même dans des cas relativement simples. À l'aide de la construction, l'étude et la comparaison de différents modèles de propagation, un nouveau critère de découplage est ici proposé.

## Abstract :

The acoustic behavior of porous materials can be described using various models, the most common ones being the poroelastic and rigid frame models. The poroelastic model is more rigorous than the latter as it takes into account the elasticity of the frame. Criterions to know whether the two phases are coupled or not were proposed in the past but revealed to be limited even in simple case. This paper is devoted to the analysis of the coupling through the construction of an impedance model devoted to acoustic materials.

## Mots-clefs :

## matériaux poreux, modèle de Biot, fluide équivalent, matériau limp

### 1 Introduction

Les matériaux poreux homogénéisés sont modélisés à l'aide de la théorie de Biot [1] qui considère le matériau poreux comme la superposition d'une phase solide et d'une phase fluide. Un de ses modèles simplifié ne faisant intervenir que le mouvement de la phase fluide est appelé fluide équivalent. Dans une certaine gamme de fréquence, on peut considérer qu'il existe un découplage partiel entre les deux phases. La limite basse fréquence $f_{dl}$ de ce domaine est donné part Zwikker et Kosten [2] et la fréquence supérieure $f_{hl}$ par Biot [1]. Ces fréquences sont données par les expressions suivantes:

$$f_{dl} = \frac{h^2 \sigma}{2\pi \rho_1}; \quad f_{dh} = \frac{\sigma}{2\pi \rho_0}, \qquad (1)$$

où $h$ est la porosité, $\sigma$ la résistance au passage à l'air, $\rho_1$ la densité de la phase solide et $\rho_0$ celle de l'air. Aux fréquences inférieures à $f_{dl}$, les phases solide et fluide sont couplées sauf dans le cas de matériaux fins aux basses fréquences [3]. Pour les fréquences supérieures à $f_{dh}$, les deux phases sont complètement découplées et le modèle de fluide équivalent est valide. Pour les fréquences entre $f_{dl}$ et $f_{dh}$, un découplage partiel apparaît entre les deux phases et il est admis qu'une onde se propageant dans la phase fluide n'est pas en mesure de mettre la phase solide en mouvement. On observe néanmoins expérimentalement des phénomènes de résonance de quart d'onde de l'onde solide même dans des cas où la fréquence de cette résonance est supérieure
à la fréquence de Zwikker et Kosten [4;8]. Pour pallier cette lacune, Pilon et al. ont introduit la Frame Acoustical Excitability (FAE) [7] définie par:

$$FAE = \frac{\sigma E}{\rho_1^2} \quad [W/kg], \qquad (2)$$

originellement introduite pour étudier l'effet des conditions de montage sur le coefficient d'absorption lors de mesures au tube à ondes stationnaires [8].

L'objectif de cette communication est d'améliorer la FAE en comparant les modèles élastique, fluide équivalent et à structure souple. Nous en profiterons pour proposer un nouvelle écriture de l'impédance de surface d'un matériau acoustique poroélastique sur laquelle nous nous baserons pour pouvoir dégager les facteurs caractéristiques du couplage entre les deux milieux et ainsi en déduire un critère de découplage.

## 2 Modèles d'impédances

Cette section présente une nouvelle écriture de l'impédance de surface d'un matériau poroélastique sous incidence normale. On rappelle que le coefficient d'absorption $\alpha$, le coefficient complexe de réflexion $R$ et l'impédance de surface en incidence normale $Z$ sont reliés par les relations suivantes:

$$\alpha = 1 - |R|^2; \quad R = \frac{Z - \rho_0 c_0}{Z + \rho_0 c_0}, \qquad (3)$$

où $\rho_0$ et $c_0$ sont les densité et célérité de l'air. La procédure générale pour trouver l'impédance de surface $Z$ est détaillée dans [5]. Nous présentons ici une nouvelle expression de cette quantité qui s'exprime simplement mais qui n'est valable que sous l'hypothèse d'un matériau solide à fort module d'incompressibilité par rapport à l'air, ce qui est valide pour tous les matériaux rencontrés dans les applications acoustiques (contrairement à ceux trouvés en mécanique des sols).

### 2.1 Formulation {$u^s, u^t$} des équations de Biot

L'obtention de nouvelles expressions des nombres d'ondes $\delta_1$ et $\delta_2$ des deux ondes de compression est basée sur l'expression des équations de Biot en terme des inconnues déplacement de la phase solide $u^s$ et déplacement total du poreux $u^t$ au lieu des déplacements solide et fluide du formalisme {$u^s, u^t$}. On rappelle que le déplacement total est défini par $u^t = (1-h)u^s + hu^f$.

En utilisant ces inconnues les équations de Biot s'écrivent:

$$\left( \tilde{A} - \frac{\tilde{Q}^2}{\tilde{R}} \right) \nabla^2 \mathbf{u}^s + 2N \nabla \cdot \mathbf{E}^s(\mathbf{u}^s) + \frac{\tilde{Q}}{h} \nabla^2 \mathbf{u}^t = -\omega^2 \left( \tilde{\rho}_{11} - \frac{1-h}{h} \tilde{\rho}_{12} \right) \mathbf{u}^s - \omega^2 \frac{\tilde{\rho}_{12}}{h} \mathbf{u}^t, \quad (4)$$

$$\tilde{K}_{eq} \nabla^2 \mathbf{u}^t = -\omega^2 \left( \tilde{\rho}_{12} - \frac{1-h}{h} \tilde{\rho}_{22} \right) \mathbf{u}^s - \omega^2 \frac{\tilde{\rho}_{22}}{h} \mathbf{u}^t. \qquad (5)$$

On effectue ensuite une manipulation algébrique en remplaçant l'équation (4) par la combination linéaire: $(4) - \frac{\tilde{\rho}_{12}}{\tilde{\rho}_{22}} \times (5)$. En définissant les grandeurs suivantes:

$$\tilde{\rho} = \tilde{\rho}_{11} - \frac{\tilde{\rho}_{12}^2}{\tilde{\rho}_{22}}; \quad \tilde{\gamma} = \left( \frac{\tilde{\rho}_{12}}{\tilde{\rho}_{22}} - \frac{1-h}{h} \right), \quad \hat{A} = \tilde{A} - \frac{\tilde{Q}^2}{\tilde{R}}; \quad \tilde{\rho}_{eq} = \frac{\tilde{\rho}_{22}}{h}; \quad \tilde{\rho}_s = \tilde{\rho} + \tilde{\gamma}^2 \tilde{\rho}_{22}, \qquad (6)$$
les équations du mouvement s'écrivent alors:

$$ \hat{A} \nabla^2 \mathbf{u}^s + 2N \nabla \cdot \mathbf{E}^s(\mathbf{u}^s) - \tilde{\gamma} \widetilde{K}_{eq} \nabla^2 \mathbf{u}^t = -\omega^2 \widetilde{\rho} \mathbf{u}^s, \quad (7a) $$

$$ \widetilde{K}_{eq} \nabla^2 \mathbf{u}^t = -\omega^2 \tilde{\rho}_{22} \tilde{\gamma} \widetilde{\mathbf{u}}^s - \omega^2 \widetilde{\rho}_{eq} \widetilde{\mathbf{u}}^t. \quad (7b) $$

Le lecteur notera la similarité de ces équations avec celle obtenues par Atalla, Panneton et Debergue [6] dans l'article sur la formulation {$\mathbf{u}, P$}. Dans le cadre de ce proceeding, nous ne nous attarderons pas sur les liens entre ces deux formulations.

## 2.2 Obtention des nombres d'onde des ondes de compression

L'introduction d'une telle formulation permet d'exprimer les nombres d'ondes des ondes de compression d'une manière légèrement différente et plus facilement interprétable que les formules classiques [5]. Pour étudier les ondes de compression, on introduit deux potentiels scalaires $\phi^s$ et $\phi^t$; les équations (7) s'écrivent alors:

$$ -\omega^2 [\boldsymbol{\rho}] \begin{Bmatrix} \phi^s \\ \phi^t \end{Bmatrix} = [\mathbf{M}] \nabla^2 \begin{Bmatrix} \phi^s \\ \phi^t \end{Bmatrix} ; [\boldsymbol{\rho}] = \begin{bmatrix} \tilde{\rho} & 0 \\ \tilde{\rho}_{22} \tilde{\gamma} & \tilde{\rho}_{eq} \end{bmatrix} ; [\mathbf{M}] = \begin{bmatrix} \hat{P} & -\tilde{\gamma} \widetilde{K}_{eq} \\ 0 & \widetilde{K}_{eq} \end{bmatrix} \quad (8) $$

On peut alors trouver les nombres d'ondes $\delta_1$ et $\delta_2$ solutions d'un problème aux valeurs propres:

$$ \delta_i^2 = \frac{(\delta_{s2}^2 + \delta_{eq}^2) + (-1)^i \sqrt{(\delta_{s2}^2 - \delta_{eq}^2)^2 + 4\delta_{eq}^2 \delta_p^2}}{2}, \quad (9) $$

en ayant auparavant introduit les grandeurs suivantes:

$$ \delta_{eq} = \omega \sqrt{\frac{\widetilde{\rho}_{eq}}{\widetilde{K}_{eq}}} ; \delta_{s1} = \omega \sqrt{\frac{\widetilde{\rho}}{\hat{P}}} ; \delta_{s2} = \omega \sqrt{\frac{\widetilde{\rho}_s}{\hat{P}}} ; \delta_p = \omega \sqrt{\frac{\widetilde{\rho}_s - \widetilde{\rho}}{\hat{P}}} \implies \delta_{s1}^2 = \delta_{s2}^2 - \delta_p^2. \quad (10) $$

Les vecteurs d'ondes, quant à eux s'écrivent:

$$ \phi_i' = \begin{Bmatrix} \phi_i^s \\ \phi_i^t \end{Bmatrix} \equiv \begin{Bmatrix} 1 \\ \mu_i' \end{Bmatrix} ; \mu_i' = \frac{\hat{P}}{\tilde{\gamma} \widetilde{K}_{eq}} \left(1 - \frac{\delta_{s1}^2}{\delta_i^2}\right) = \frac{h \tilde{\gamma}}{\frac{\delta_i^2}{\delta_{eq}^2} - 1}. \quad (11) $$

On peut montrer que ces résultats sont équivalents à ceux obtenus par l'approche déplacement classique [5], néanmoins chacun les nombres d'ondes s'exprime comme des combinaisons de nombres d'ondes. Nous reviendrons sur ces expressions dans la section 3.

## 2.3 Modèle de fluide équivalent et modèle limp

Le modèle fluide équivalent suppose que le solide est immobile, l'équation du mouvement du fluide se simplifie et on obtient:

$$ -\omega^2 \widetilde{\rho}_{eq} \phi^t = \widetilde{K}_{eq} \nabla^2 \phi^t. \quad (12) $$

Le nombre d'onde est alors $\delta_{eq}$ précédemment défini. Le modèle limp appelé aussi de squelette souple suppose $\hat{P} \approx 0$. Dans ce cas, on tire le potentiel des déplacements de la phase solide de la première équation de (8) que l'on reporte dans la seconde:

$$ -\omega^2 \widetilde{\rho} \phi^s = -\tilde{\gamma} \widetilde{K}_{eq} \nabla^2 \phi^t \implies -\omega^2 \widetilde{\rho}_{eq} \phi^t = \widetilde{K}_{eq} \frac{\widetilde{\rho}_s}{\widetilde{\rho}} \nabla^2 \phi^t \implies \delta_{limp} = \delta_{eq} \left( \frac{\delta_{s1}}{\delta_{s2}} \right). \quad (13) $$
## 2.4 Impédance de surface en incidence normale sur fond rigide

La méthode pour obtenir l'impédance de surface d'un matériau poroélastique sous incidence normale est présentée dans l'ouvrage d'Allard [5]. Sans détailler les calculs, cette méthode peut être reprise en formulation {$\mathbf{u}^s, \mathbf{u}^t$}. Elle débouche sur l'annulation d'un déterminant:

$$ \left| \begin{array}{ccc} Z_{el} & \delta_1 \left( \frac{\hat{P}}{\widetilde{R}} + \frac{\mu'_1}{h} \right) & \delta_2 \left( \frac{\hat{P}}{\widetilde{R}} + \frac{\mu'_2}{h} \right) \\ hZ_{el} & \delta_1 \mu'_1 & \delta_2 \mu'_2 \\ -\frac{\widetilde{K}_{eq}}{j\omega} & \mu'_1 \tan(\delta_1 l) & \mu'_2 \tan(\delta_2 l) \end{array} \right| = 0. \quad (14) $$

où $Z_{el}$ est l'impédance du matériau dont le développement du déterminant donne l'expression:

$$ Z_{el} = \frac{\widetilde{K}_{eq}}{\phi j \omega} \times \frac{\delta_1 \delta_2 (\mu'_2 - \mu'_1)}{\delta_1 \mu'_2 \tan(\delta_2 l) - \delta_2 \mu'_1 \tan(\delta_1 l)} \quad (15) $$

que l'on peut réécrire en remplaçant les $\mu'_i$ par leurs expressions (11):

$$ Z'_{el} = \frac{\widetilde{K}_{eq} \delta_{eq}}{\phi j \omega} \times \frac{\delta_{s1}(\delta_1^2 - \delta_2^2)}{\delta_1(\delta_1^2 - \delta_{eq}^2) \tan(\delta_2 l) - \delta_2(\delta_2^2 - \delta_{eq}^2) \tan(\delta_1 l)}. \quad (16) $$

Les impédances de surface d'un matériau à squelette rigide $Z_{fe}$ et à squelette souple $Z_{limp}$ sont données par un calcul classique et s'expriment:

$$ Z_{fe} = \frac{1}{h} \sqrt{\widetilde{K}_{eq} \overline{\rho_{eq}}} \cot(\delta_{eq} l); \quad Z_{limp} = \frac{1}{h} \sqrt{\widetilde{K}_{eq} \left(\frac{\delta_{s1}}{\delta_{s2}}\right)^2 \overline{\rho_{eq}}} \cot(\delta_{limp} l). \quad (17) $$

## 3 Influence sur le couplage

La nouvelle écriture des nombres d'ondes (9) nous permet de voir facilement que $\delta_p = 0 \Rightarrow \delta_1 = \delta_{s2}$ et $\delta_2 = \delta_{eq}$. Cette hypothèse n'est jamais vérifiée en pratique, mais on peut remarquer que $\delta_1$ (resp. $\delta_2$) est relativement similaire à $\delta_{s2}$ (resp. $\delta_{eq}$). Ceci est confirmé analytiquement lorsque le facteur $\varepsilon = \left| \frac{2\delta_{eq}\delta_p}{\delta_{s2}^2 - \delta_{eq}^2} \right|$ est petit. En d'autres termes, le couplage est d'autant plus fort que $\tilde{\gamma}$ (facteur caractérisant $\delta_p$) est grand et que les nombres d'ondes des phases non couplées sont proches. Cela se comprend aisément dans la mesure où si les ondes sont relativement similaires, elles interagiront d'autant plus. On peut aussi montrer à l'aide des expressions (16) et (17) que plus $\varepsilon$ est petit et plus l'expression de l'impédance de surface du modèle élastique est proche de l'impédance de surface du milieu limp.

## 4 Comparaison des modèles élastique et limp

Des simulations numériques de comparaison des différents modèles ont été effectuées sur une base de 43 matériaux caractérisés au LCMA de l'Université de Sherbrooke ou issus de la littérature. Ces matériaux sont représentatifs de ceux rencontrés en acoustique et ont des caractéristiques présentés dans TAB.1. En analysant la variation de $\varepsilon$ en fonction de la fréquence,
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 1 – Erreurs sur les coefficients d'absorption; (a) Critère proposé s = 4%, (b) Critère proposé s = 2%, (c) Critère basé sur $f_{dl}$, (d) Critère basé sur $f_{hl$</figcaption></figure>

<table><caption>TAB. 1 – Caractéristiques des matériaux utilisés</caption><thead><tr><th>Grandeur</th><th>Gamme de variation</th><th>Unités</th><th>Grandeur</th><th>Gamme de variation</th><th>Unités</th></tr></thead><tbody><tr><td><i>E</i></td><td>1 000 - 4 400 000</td><td>N/m<sup>2</sup></td><td>ρ<sub>1</sub></td><td>9 - 396</td><td>kg/m<sup>3</sup></td></tr><tr><td><i>ν</i></td><td>0 - 0.46</td><td></td><td>η</td><td>0 - 0.88</td><td></td></tr><tr><td><i>σ</i></td><td>2 000 - 465 000</td><td>Ns/m<sup>4</sup></td><td>φ</td><td>0.7 - 0.995</td><td></td></tr><tr><td>α<sub>∞</sub></td><td>1 - 2.57</td><td></td><td>Λ</td><td>14 - 322</td><td>μm</td></tr><tr><td>Λ'</td><td>48 - 524</td><td>μm</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

on peut montrer qu'il décroit aux hautes fréquences. Ainsi en se fixant un seuil $s$ on exhibe une fréquence à partir de laquelle $ε < s$, c'est-à-dire où l'on considère que le matériau est découplé.

FIG. 1 présente les résultats obtenus pour différentes simulations effectuées pour des épaisseurs allant de 1" à 10" pour chacun des matériaux (15 simulations au total par matériau). Pour chaque cas d'étude, on calcule la fréquence de découplage $f_d$ donné par chacun des critères et ensuite on calcule l'indicateur $η = 100\max_{f \ge f_d} |α_{elas}(f) - α_{limp}(f)|$. Pour chaque critère, on a donc autant d'indicateurs que de simulations. On trace FIG. 1. Les effectifs cumulés pour deux valeurs
de *s* et pour les critères de Zwikker et Kosten et Biot (1). On peut voir d'une part que le critère classique de Zwikker et Kösten est largement mis en défaut. Une seconde remarque est que le critère de Biot est très bon, signalons au passage que les valeurs de fréquence de découplage donnés par ce critère sont généralement relativement grandes; il est donc relativement restric- tif. Pour les valeurs considérées de *s* (2*e*⁻² et 4*e*⁻²) on remarque une certaine pertinence des critères proposés. De plus, une analyse plus détaillée des fréquences obtenues montre que ces critères sont relativement robustes vis-à-vis des phénomènes de résonance quart-d'onde de la phase solide.

**5 Conclusion**

Ce papier a présenté un nouveau critère de découplage des ondes solide et fluide d'un matériau poreux. Celui-ci a été élaboré à l'aide d'une nouvelle écriture de l'impédance de sur- face. Cette nouvelle écriture a permis de dégager analytiquement la grandeur caractéristique du couplage. L'étude de la variation de cette grandeur a permis de d'obtenir une fréquence de découplage déterminée en fonction d'un seuil, et pouvant ainsi être modifiée en fonction de la précision choisie.

**Références**

[1] M.A. Biot. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-filled-saturated porous solid. *Journal of the Acoustical Society of America*, 28:168-191, 1956.

[2] C. Zwikker and C.W. Kosten. *Sound absorbing materials*. Elsevier applied sciences, New York, 1949.

[3] A. Bardot, B. Brouard, and J.F. Allard. Frame decoupling at low frequencies in thin porous layers saturated by air. *Journal of Applied Physics*, 79, 1996.

[4] J.F. Allard and P. Delage. Free field measurements of absorption coefficients on square panels of absorbing materials. *Journal of Sound and Vibration*, 101:161-170, 1985.

[5] J.F Allard. *Propagation of sound in porous media, Modelling sound absorbing materials*. New York and London, 1993.

[6] N. Atalla, R. Panneton, and P. Debergue. A mixed displacement-pressure formulation for poroelastic materials. *Journal of the Acoustical Society of America*, 104(3):1444-1452, 1998.

[7] D. Pilon, F. Sgard, R. Panneton. Frame acoustical excitability: a decoupling criterion for poroelastic materials. Euronoise 2003, May 19-21 2003, Naples, Italy.

[8] D. Pilon, R. Panneton, and F. Sgard. Behavioral criterion quantifying the edge-constrained effects on foams in the standing wave tube, *Journal of the Acoustical Society of America*, 114:1980-1987, 2003.