Liste des travaux cités.

1. Banach, St.: *Über analytisch darstellbare Operationen in abstrakten Räumen*, Fund. Math. XVII (1931), pp. 283—295.

2. Hausdorff, F.: *Mengenlehre*, Berlin-Leipzig 1927.

3. Hurewicz, W.: *Zur Theorie der analytischen Mengen*, Fund. Math. XV (1930), pp. 4—17.

4. Kuratowski, C.: *Evaluation de la classe borélienne ou projective d'un ensemble de points à l'aide des symboles logiques*. Fund. Math. XVII, (1931), pp. 249—272.

5. — *Sur la théorie des fonctions dans les espaces métriques*, Fund. Math. XVII (1931), pp. 275—282.

6. — *Les fonctions semi-continues dans l'espace des ensembles fermés*, Fund. Math. XVIII (1932), pp. 148—159.

7. — et Tarski, A.: *Les opérations logiques et les ensembles projectifs*, Fund. Math. XVII (1931), pp. 240—248.

8. Lusin, N.: *Leçons sur les ensembles analytiques et leurs applications*, Paris 1930.

9. Mazurkiewicz, St. et Sierpiński, W: *Sur un problème concernant les fonctions continues*, Fund. Math. VI (1924), pp. 161—169.

10. Sierpiński, W.: *Sur une classe d'opérations sur les ensembles de points*, Mathematica (Cluj) V (1931), pp. 49—58.

11. — *Sur certaines opérations sur les ensembles fermés plans*, Comptes-Rendus des séances de la Soc. des Sc. et des Lettres de Varsovie XXIV (1931), cl III, pp. 57—77.

12. — *Les ensembles analytiques comme criblés au moyen des ensembles fermés*, Fund. Math. XVII (1931), pp. 77—91.

13. — *Sur les cribles projectifs*, Fund. Math. XVII (1931), pp. 30—31.

14. — *Sur un ensemble fermé conduisant à un ensemble non mesurable (B)* Fund. Math. VII (1925), pp. 198—202.

15. — *Sur les images des fonctions représentables analytiquement*, Fund. Math. II (1921), pp. 74—80.

Sur l'hyperespace d'un continu.

Par

Stefan Mazurkiewicz (Warszawa).

E étant un espace métrique et compact, désignons par $2^E$ l'hyperespace de E c. à d. l'ensemble de tous les sous-ensembles fermés non vides de E, métrisé par la distance de M. Hausdorff <fnref n="1" />) Nous désignerons les distances dans E, $2^E$, $2^{2E}$ par $\rho_1, \rho_2, \rho_3$ respectivement, les diamètres par $\delta, \delta_1, \delta_2$.

Je vais supposer dans la suite que E est un continu.

$2^E$ est alors un continu <fnref n="2" />) «arcwise connected» <fnref n="3" />). Ce continu est péanien, si E est péanien <fnref n="4" />) et vice versa <fnref n="5" />).

Soit $(r, \varphi)$ un système de coordonnées polaires, $p_0$ le point $r=0$, P un ensemble parfait, punctiforme, situé sur la circonférence $r=1$. J'appelle étoile de Cantor, l'ensemble-somme de segments réctilignes $p_0p$, où $p \in P$.

$p_0$ est le centre, les points $p \in P$ — les extrémités, les segments $p_0p$ les rayons de l'étoile. Deux étoiles de Cantor sont homéomorphes.

**Théorème.** *L'hyperespace $2^E$ d'un continu E est l'image continue d'une étoile de Cantor.*

**Lemme 1.** Soit: $X_1 \in 2^E$, $X_2 \in 2^E$, $Y_1 \in 2^E$, $Y_2 \in 2^E$; $\rho_1(X_1, Y_1) \le \lambda \le \rho_1(X_2, Y_2)$; $X_1 \subset X_2$, $Y_1 \subset Y_2$. Alors: $\rho_1(X_1, Y_2) \le \lambda \le \rho_1(X_2, Y_1)$.

<footnote n="1">1) Hausdorff: Mengenlehre 1927, § 28. Le symbole $2^E$ a été introduit par M. Kuratowski, Fund. Math. XIII, p. 259 ss.</footnote>

<footnote n="2">2) Vietoris: Monatsh. f. Math. u. Phys. XXIII, p. 56, Satz (8'').</footnote>

<footnote n="3">3) Borsuk-Mazurkiewicz: C. R. de la Soc. Scient. de Varsovie. Séance de 21 Mars, 1931.</footnote>

<footnote n="4">4) Vietoris: I, c., p. 56, Satz (9').</footnote>

<footnote n="5">5) Wałęski: Fund. Math. p. 214—235 en part p. 232, théorème XXIV.</footnote>
On a:

$$ (1) \quad \max_{x \in X_1} \rho(x, Y_2) \le \max_{x \in X_2} \rho(x, Y_1) \le \rho_1(X_2, Y_2) \le \lambda $$

$$ (2) \quad \max_{y \in Y_1} \rho(y, X_1) \le \max_{y \in Y_1} \rho(y, X_1) \le \rho_1(X_1, Y_1) \le \lambda $$

$$ (3) \quad \max_{x \in X_2} \rho(x, Y_1) \le \max_{x \in X_2} \rho(x, Y_2) \le \rho_1(X_2, Y_2) \le \lambda $$

$$ (4) \quad \max_{y \in Y_1} \rho(y, X_2) \le \max_{y \in Y_1} \rho(y, X_1) \le \rho_1(X_1, Y_1) \le \lambda $$

ce qui entraîne la thèse de nôtre lemme.

Nous appellons segment de $2^\varepsilon$ un ensemble $\mathfrak{A} \in 2^{2^\varepsilon}$ (c. à d. un sous-ensemble fermé de $2^\varepsilon$) si 1) $\mathfrak{A}$ est connexe, 2) pour $X_1 \in \mathfrak{A}$, $X_2 \in \mathfrak{A}$ on a l'une des relations : $X_1 \subset X_2$, $X_1 \supset X_2$.

**Lemme 2.** Tout segment $\mathfrak{A}$ de $2^\varepsilon$ contient un (et un seul) élément initial $X_0(\mathfrak{A})$, tel que $X \in \mathfrak{A}$ entraîne $X \subset X_0(\mathfrak{A})$ et un (et un seul) élément final $X_1(\mathfrak{A})$ tel que $X \in \mathfrak{A}$ entraîne $X_1(\mathfrak{A}) \subset X$.

En effet l'élément initial est l'ensemble-element de $\mathfrak{A}$ saturé par rapport à la propriété d'être element de $\mathfrak{A}$. Cet ensemble saturé existe $^*$, car $\mathfrak{A}$ étant fermé les relations : $X_n \in \mathfrak{A}$, $X_n \subset X_{n+1}$ entraînent : $\overline{\bigcup_{n=1}^\infty X_n} = \lim_{n \in \mathfrak{A}} X_n \in \mathfrak{A}$.

De même l'élément final est l'ensemble-element de $\mathfrak{A}$ irréductible par rapport à la propriété d'être element de $\mathfrak{A}$. Cette propriété étant inductive l'ensemble irréductible existe en vertu du théorème classique de Brouwer $^1$.

Désignons par $\Gamma$ l'ensemble de tous les segments de $2^\varepsilon$, qui admettent $E$ comme élément initial

**Lemme 3.** Si $Y \in 2^\varepsilon$, il existe un $\mathfrak{A} \in \Gamma$ tel que $X_1(\mathfrak{A}) = Y$. La démonstration de ce lemme se trouve dans la note citée de M. Borsuk et de moi.

**Lemme 4.** $\Gamma$ est un sous-ensemble fermé de $2^{2^\varepsilon}$.

En effet soit $\mathfrak{A}_n \in \Gamma$, $n=1, 2, \dots$ lim $\mathfrak{A}_n=\mathfrak{A}_0$. D'abord $\mathfrak{A}_0$ est un continu. Soit : $X \in \mathfrak{A}_0$, $Y \in \mathfrak{A}_0$; il existe deux suites : $\{X_n\}$, $\{Y_n\}$ telles que : $X_n \in \mathfrak{A}_n$, $Y_n \in \mathfrak{A}_n$, $\lim_{n \to \infty} X_n = X$, $\lim_{n \to \infty} Y_n = Y$. $\mathfrak{A}_n$ étant un segment on a pour

tout $n$ l'une au moins des relations $X_n \subset Y_n$, $Y_n \subset X_n$, donc l'une au moins de ces relations a lieu pour une infinité des $n$. Il en résulte que l'on a l'une au moins des relations : $X \subset Y$, $Y \subset X$. Donc $\mathfrak{A}_0$ est un segment. Comme pour $n=1, 2, \dots$ $E = X_0(\mathfrak{A}_n) \in \mathfrak{A}_n$ on a $E \in \mathfrak{A}_0$; évidemment $E = X_0(\mathfrak{A}_0)$. Donc $\mathfrak{A}_0 \in \Gamma$ c. q. f. d.

**Lemme 5.** Tout segment $\mathfrak{A}$ est un arc simple. En effet il suffit de remarquer que si $X \in \mathfrak{A}$ et $X \neq X_0(\mathfrak{A})$, $X \neq X_1(\mathfrak{A})$ alors $\mathfrak{A} - (X)$ n'est pas connexe $^2$.

Soit $\mathfrak{A} \in \Gamma$; désignons par $\Phi(\mathfrak{A})$ la classe de toutes les fonctions $Z(t)$ qui satisfont aux conditions suivantes : 1) $Z(t)$ est continue pour $0 \le t \le 1$; 2) $Z(t)$ transforme l'intervalle $0 \le t \le 1$ en $\mathfrak{A}$; 3) $Z(0) = E$, et $Z(t_2) \subset Z(t_1)$ pour $t_1 < t_2$. La classe $\Phi(\mathfrak{A})$ n'est pas vide; en effet elle contient toute fonction $Z(t)$ établissant un homéomorphisme entre l'intervalle $0 \le t \le 1$ et le segment $\mathfrak{A}$ et satisfaisant à la condition $Z(0) = E$. Or il existe une telle fonction d'après le lemme 5.

**Lemme 6.** Soit $\mathfrak{A}_1 \in \Gamma$; $Z_1(t) \in \Phi(\mathfrak{A}_1)$; $\eta > 0$. Pour tout $\mathfrak{A} \in \Gamma$ satisfaisant à l'inégalité $\rho_2(\mathfrak{A}_1, \mathfrak{A}) < \frac{1}{2}\eta$ il existe une fonction $Z(t) \in \Phi(\mathfrak{A})$ telle que $\rho_1(Z_1(t), Z(t)) < \eta$, pour $0 \le t \le 1$.

Remarquons d'abord, que l'on a :

$$ (5) \qquad \rho_1(X_1(\mathfrak{A}_1), X_1(\mathfrak{A})) < \frac{1}{2}\eta $$

en effet on peut détérminer un $U_1 \in \mathfrak{A}_1$ et un $U \in \mathfrak{A}$ de manière à avoir :

$$ (6) \qquad \rho_1(U, X_1(\mathfrak{A}_1)) < \frac{1}{2}\eta > \rho_1(U_1, X_1(\mathfrak{A})) $$

comme d'autre part $U \supset X_1(\mathfrak{A})$ et $U_1 \subset X_1(\mathfrak{A})$ on a (5) d'après le lemme 1.

$Z_1(t)$ étant continue, nous pouvons détérminer la suite $t_0 = 0 < t_1 < t_2 \dots < t_k = 1$ de manière à avoir :

$$ (7) \qquad \rho_1(Z_1(t_1), Z_1(t_{k+1})) < \frac{1}{2}\eta \quad i=0, 1, \dots, k-1. $$

Posons $Y_0=E$, $Y_k=X_1(\mathfrak{A})$ et détérminons pour $i=1, 2, \dots, k-1$, $Y_i \in \mathfrak{A}$ de manière à avoir :

$$ (8) \qquad \rho_1(Z_1(t_i), Y_i) < \frac{1}{2}\eta $$

<footnote>$^*$ v. p. ex. Mazurkiewicz, Fund. Math. 1, pp. 195-196.</footnote>

<footnote>$^1$ v. p. ex. Menger. Dimensionstheorie, pp. 69-70, 78.</footnote>

<footnote>$^2$ Comp. Strassnewicz, Math. Ann. 78, p. 369 ss.</footnote>
en tenant compte de (5) ou voit que (8) est vérifiée pour $i=0, 1,..., k$.
Détérminons la suite $\{Y'_i\}$, $i=0, 1,..., k$ par les conditions suivantes:

I) $Y'_0 = Y_0$.

II) supposons détérminé $Y'_i \in \mathfrak{A}$. Si $Y_{i+1} \subset Y'_i$ on pose $Y'_{i+1} = Y_{i+1}$, dans le cas contraire $Y'_{i+1} = Y'_i$. On voit bien que $Y'_k = Y_k$.

Démontrons par induction l'inégalité:

$$ (9) \qquad \varrho_1(Z_1(t)), Y'_i < \frac{1}{2}\eta $$

d'après (8) elle est vérifiée pour $i=0$. Supposons la vérifiée pour un $i$; elle est encorre vérifie, d'après (8) pour $i+1$, si $Y'_{i+1} = Y_{i+1}$, Si $Y'_{i+1} \neq Y_{i+1}$, on a: $Y'_{i+1} = Y'_i$ et on ne peut pas avoir $Y_{i+1} \subset Y'_i$, donc, $\mathfrak{A}$ étant un segment:

$$ (10) \qquad Y_{i+1} \supset Y'_i = Y'_{i+1} $$

d'autre part:

$$ (11) \qquad Z_1(t_{i+1}) \subset Z_1(t_i) $$

$$ (12) \qquad \varrho_1(Z_1(t_{i+1}), Y_{i+1}) < \frac{1}{2}\eta $$

(9), (10), (11), (12) et le lemme 1 donnent:

$$ (13) \qquad \varrho_1(Z_1(t_{i+1}), Y'_{i+1}) = \varrho_1(Z_1(t_{i+1}), Y'_i) < \frac{1}{2}\eta. $$

Donc (9) est démontrée.

Soit $Z^*(t) \in \Phi(\mathfrak{A})$. Posons $t'_0 = 0$, $t'_k = 1$ et désignons pour $i=1, 2, ..., k-1$ par $t'_i$ le plus petit nombre réel tel que: $Z^*(t'_i) = Y'_i$. D'après la construction des $Y'_i$ on a: $Y'_i \supset Y'_{i+1}$, donc $t'_i \leq t'_{i+1}$. Détérminons la fonction $Z(t)$ par les conditions suivantes:

$$ (I) \quad Z(t_i) = Y'_i = Z^*(t'_i) $$

$$ (II) \quad \text{pour } t_i < t < t_{i+1} \text{ et } Y'_i = Y'_{i+1} \text{ soit } Z(t) = Y' = Y'_{i+1} $$

$$ (III) \quad \text{pour } t_i < t < t_{i+1} \text{ et } Y'_i \neq Y'_{i+1} \text{ on a certainement } t'_i < t'_{i+1}. $$

$$ \text{Posons dans ce cas: } Z(t) = Z^* \left( t_i + \frac{t - t'_i}{t'_{i+1} - t'_i} (t_{i+1} - t_i) \right). $$

On vérifie aisément que $Z(t) \in \Phi(\mathfrak{A})$. D'après (17), (18), (I) on a:

$$ (15) \qquad \varrho_1(Z(t_i), Z(t_{i+1})) < \frac{1}{2}\eta $$

donc pour $t_i \leq t \leq t_{i+1}$ on obtient en tenant compte de (7), (I) et de ce que: $Z_1(t_i) \supset Z_1(t)$, $Z_1(t_{i+1})$; $Z(t_i) \supset Z(t)$, $Z(t_{i+1})$:

$$ (15) \qquad \varrho_1(Z_1(t), Z(t)) \leq \varrho_1(Z_1(t), Z_1(t_i)) + \varrho_1(Z_1(t_i), Z(t)) + \varrho_1(Z(t_i), Z(t)) < \frac{1}{2}\eta + \frac{1}{2}\eta + \frac{1}{2}\eta < \frac{5}{6}\eta < \eta. $$

Le lemme est ainsi démontré.

Démonstration du théorème. Désignons par $G$ une étoile de Cantor ayant $p_0$ comme centre et $P$ comme ensemble d'extrémités. Il existe $\theta$) une fonction continue $\mathfrak{A}(p)$ determinée pour $p \in P$ et transformant $P$ en $\Gamma$ c. à d. telle que $\mathfrak{A}(P) = \Gamma$.

Considérons un système d'ensembles fermés $P_{n_1, n_2, ..., n_k}$, $k=1, 2, ...$; $n_i = 1, 2, ..., l_i$ possèdent les propriétés suivantes:

$$ (16) \qquad \sum_{n=1}^{l_1} P_n = P $$

$$ (17) \qquad \sum_{n=1}^{l_k+1} P_{n_1, n_2, ..., n_k, n} = P_{n_1, n_2, ..., n_k} $$

$$ (18) \qquad P_{n_1, n_2, ..., n_k, n} \times P_{n_1, n_2, ..., n_{k-1}, n} = 0 \quad \text{pour } m \neq n $$

$$ (19) \qquad \delta_2(\mathfrak{A}(P_{n_1, n_2, ..., n_k})) < \left(\frac{1}{2}\right)^k $$

l'existence d'un tel système se démontre sans peine.

A chaque $P_{n_1, n_2, ..., n_k}$ faisons correspondre un point $p_{n_1, n_2, ..., n_k} \in P_{n_1, n_2, ..., n_k}$.

D'après (17), (19) on aura:

$$ (20) \qquad \varrho_2(\mathfrak{A}(p_{n_1, n_2, ..., n_k}), \mathfrak{A}(p_{n_1, n_2, ..., n_k, n_{k+1}})) < \left(\frac{1}{2}\right)^k. $$

Determinons maintenant le système de fonctions: $Z_{n_1, n_2, ..., n_k}(t)$ par les conditions suivantes:

a) $Z_{n_i}(t)$ est une fonction de la classe $\Phi(\mathfrak{A}(p_{n_i}))$

b) Supposons determinées les fonctions $Z_{n_1, n_2, ..., n_k}(t)$ pour une valeur de $k$ et supposons que $Z_{n_1, n_2, ..., n_k}(t) \in \Phi(\mathfrak{A}(p_{n_1, n_2, ..., n_k}))$.

$Z_{n_1, n_2, ..., n_k, n_{k+1}}(t)$ est une fonction telle que:

$$ (21) \qquad Z_{n_1, n_2, ..., n_k, n_{k+1}}(t) \in \Phi(\mathfrak{A}(p_{n_1, n_2, ..., n_k, n_{k+1}})) $$

$$ (22) \qquad \varrho_1(Z_{n_1, n_2, ..., n_k, n_{k+1}}(t), Z_{n_1, n_2, ..., n_k}(t)) < \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} $$

une telle fonction existe d'après le lemme 6.
Soit $q \in G$; désignons par $p(q)$ l'extrémité du rayon de l'étoile $G$ contenant $q$ par $t(q)$ la distance $\varrho(q, p_0)$. Déterminons pour $k=1, 2, \dots$ la fonction $V_k(q)$ de manière suivante: pour $p(q) \in P_{n_v n_b \dots n_k}$ on a:

$$ (23) \qquad V_k(q) = Z_{n_v n_b \dots n_k} (t(q)). $$

D'après (17), (18) la définition est univoque pour $t(q) > 0$; elle l'est encore pour $t(q) = 0$ c. à d. pour $q = p_0$, car $Z_{n_v n_b \dots n_k}(0) = E$. D'après (17), (18) $V_k(q)$ est une fonction continue. Il résulte enfin de (17), (22) que:

$$ (24) \qquad \varrho_1(V_{k+1}(q), V_k(q)) < (\frac{1}{2})^{k-1} $$

donc la suite $\{V_k(q)\}$ est uniformément convergente. Posons:

$$ (25) \qquad V(q) = \lim_{k \to \infty} V_k(q) $$

la fonction $V(q)$ est continue sur l'étoile $G$.

Soit $U \subset \mathbb{R}^n$. D'après le lemme 3 il existe un $\mathfrak{A}' \in \Gamma$ tel que $U = X_1(\mathfrak{A}')$. D'autre part $P$ contient un point $p'$ tel que $\mathfrak{A}(p') = \mathfrak{A}'$. Le système $\{P_{n_v n_b \dots n_k}\}$ étant un système determinant pour $P$ (d'après (16), (17)) il existe une suite d'indices: $m_1, m_2, \dots$ tel que:

$$ (26) \qquad p' \subset \bigoplus_{k=1}^{\infty} P_{m_1 m_2 \dots m_k} $$

donc :

$$ (27) \qquad V_k(p') = Z_{m_1 m_2 \dots m_k}(1) = X_1(\mathfrak{A}(p_{m_1 m_2 \dots m_k})) $$

D'après (19), (26) on a:

$$ (28) \qquad \varrho_2(\mathfrak{A}(p'), \mathfrak{A}(p_{m_1 m_2 \dots m_k})) < (\frac{1}{2})^k $$

donc, d'après la relation (5):

$$ (29) \qquad \varrho_1(U, V_k(p')) = \varrho_1[X_1(\mathfrak{A}(p')), X_1(\mathfrak{A}(p_{n_v n_b \dots n_k}))] < (\frac{1}{2})^k $$

$$ (30) \qquad U = \lim V_k(p') = V(p'). $$

On voit que $V(G) \supset 2^E$. Comme d'autre part on a évidemment $V(G) \subset 2^E$ il s'ensuit : $V(G) = 2^E$ et le théorème est démontré.

En utilisant la notion du type $c$<fnref n="10" />), nous pouvons enoncer notre théorème comme il suit. Le type $c$ de $2^E$ est $\leq$ type $c$ de l'étoile de Cantor.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Le type $c$ de l'étoile de Cantor est donc la limite supérieure des types $c$ appartenant aux hyperespace des continus. Or cette limite est exacte; en effet elle est atteinte pour tout continu $E$ tel que $E^*$ est non séparable<fnref n="11" />).

Posons pour simplifier les notations: $E_1 = 2^E$. $E^*$ n'étant pas séparable il existe une constante positive $\lambda$ et un ensemble non dénombrable $W \subset E$ tel que pour $x \in W$, $y \in W$, $-\varrho_E(x, y) > \lambda$. L'ensemble $\mathfrak{W}$ de tous les ensembles $(x)$ où $x \in W$, c. à d. de tous les sous-ensembles de $E$ qui se réduisent à un point de $W$ est non dénombrable et $\mathfrak{W} \subset 2^E$. Or il résulte des théorèmes X et XXIII da M. Ważewski<fnref n="12" />), que

$$ (31) \qquad \varrho_E(x, y) \leq 2 \varrho_{E_1}((x), (y)) $$

donc pour $(x) \in \mathfrak{W}$, $(y) \in \mathfrak{W}$, on a $\varrho_{E_1}((x), (y)) > \frac{\lambda}{2}$. Il en résulte que $E_1^*$ n'est pas séparable, donc, $G$ étant une étoile de Cantor, — $G$ est l'image continue de $E_1 = 2^E$, en d'autres<fnref n="13" />) termes $cG \leq c2^E$. Comme d'autre part d'après nôtre théorème: $cG \leq c2^E$, on a le résultat: si $E^*$ n'est pas séparable alors $c2^E = cG$.

Warszawa 24/IX 1931.

<footnote n="10">¹⁰) Sierpiński, Fund. Math. XIV, pp. 234–236.</footnote>

<footnote n="11">¹¹) $E^*$ est l'espace de Urysohn (Verh. Akad. Amsterdam. Erste Sectie Deel XIII, Nr. 4, pp. 35-42).</footnote>

<footnote n="12">¹²) Fund. Math. pp. 221, 231.</footnote>

<footnote n="13">¹³) Mazurkiewicz, C. R. du Premier Congrès des Mathématices des Pays Slaves, pp. 68-9.</footnote>