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# Comparaison de deux mesures sur une σ-algèbre à base dénombrable lorsqu'elles présentent pour une suite de partages finis (ou dénombrables) certains rapports de concentration

A. Tortrat

► To cite this version:

A. Tortrat. Comparaison de deux mesures sur une σ-algèbre à base dénombrable lorsqu'elles présentent pour une suite de partages finis (ou dénombrables) certains rapports de concentration. Annales de l'ISUP, 1961, X (4), pp.275-285. hal-04092465

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Submitted on 9 May 2023

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# COMPARAISON DE DEUX MESURES SUR UNE σ-ALGÈBRE A BASE DÉNOMBRABLE L'ORSQU'ELLES PRÉSENTENT POUR UNE SUITE DE PARTAGES FINIS (OU DÉNOMBRABLES) CERTAINS RAPPORTS DE CONCENTRATION

## A. TORTRAT

Cet article reprend une étude antérieure (1) concernant le même sujet mais traité sur la droite réelle ; il était évident que les résultats obtenus, ne faisant intervenir que les propriétés de deux suites numériques caractérisant les rapports que présentent les mesures $\mu$ et $m$ pour leurs partitions respectives sur une même suite dénombrable de partages engendrant leur σ-algèbre commune $\mathcal{B}$, ces résultats s'étendent au cas général où ces mêmes rapports sont supposés exister sur une σ-algèbre quelconque $\mathcal{R}$ d'un espace abstrait $\Omega$.

Cependant, dans ce cas, étant donnée $m$, mesure sur $(\Omega, \mathcal{B})$, et une suite de partages finis de $\Omega$ en cellules $\gamma^1, \dots, \gamma^n, \dots$ dites d'ordre $1, 2, \dots, n, \dots$, nous ne savons plus en général si la mesure $\mu$ finiment additive définie par des rapports donnés de concentration, sur les $\gamma^n$, de $\mu$ par rapport à $m$, est prolongeable en une mesure $\mu$ sur $\mathcal{R}$, c'est-à-dire est dénombrablement additive sur l'algèbre $\mathcal{A}$ engendrée par les $\gamma^{(n)}$ (condition nécessaire et suffisante de son prolongement à $\mathcal{R}$). C'est là un problème un peu différent nécessitant des études particulières pour chaque type d'espace mesuré $(\Omega, \mathcal{B}, m)$ envisagé ; il semble intéressant, de ce point de vue, d'étudier quelles sont les méthodes connues de définition d'une mesure $\mu$ qui sont compatibles avec une suite de partitions (qui pourraient être dénombrables au lieu de finies) présentant, par rapport à une autre mesure $m$ définie par la même méthode, les caractères imposés que nous supposons dans cette étude.

Nous sommes amenés (§1) à préciser un peu l'application de tout espace de mesure à base dénombrable sur une partie $S_0^\sigma$ de la droite réelle $\mathbb{R}$ (et les ensembles induits sur $S_0^\sigma$ par les boréliens de

<footnote>(1) Classes de mesures singulières sur la droite - Journal de mathématiques pures et appliquées 1960.</footnote>
R ou une partie $(\sigma$-algèbre) $b_0$ d'entre eux). Plus précisément R
doit être éventuellement complétée par une infinité dénombrable de
points $\xi$ supplémentaires.

Nous ajoutons aux critères de singularité (μ étrangère à m),
et au théorème de pureté que nous avions déjà donné et dont nous
précisons les nouveaux énoncés, un autre critère, différent et plus
simple mais ne recouvrant pas les précédents. C'est une condi-
tion nécessaire d'absolue continuité (μ << m) à laquelle nous don-
nons le nom de "théorème de M. De Rham" car il est la tra-
duction d'une idée que nous a communiquée M. De Rham à propos
de l'étude du produit de composition de deux mesures à support
cantorien sur le segment [0,1].

I - $\mathcal{B}$, $\sigma$-ALGEBRE A BASE DENOMBRABLE SUR $\Omega$, PEUT TOU-
JOURS ETRE ENGENDREE PAR LES CELLULES D'UNE SUITE
DE PARTAGES BINAIRES.

(cf. [2] p.355) : si $e_i$ est une suite de générateurs de $\mathcal{B}$, le
premier partage est :

$$
\Omega = e_1 + e_1',
$$

et le nième partage s'obtient en coupant par $e_n$ et $e_n' = \Omega - e_n$ les
cellules d'ordre $n-1$ qui sont les $2^{n-1}$ ensembles

$$
\bigcap_{i=1}^{n-1} \bar{e}_i, \quad \bar{e}_i = e_i \text{ ou } e_i'.
$$

Mais il est inutile de nous restreindre à des partages binaires suc-
cessifs : supposons simplement que $\Omega$ est la somme d'un nombre
fini arbitraire de cellules $\gamma^1$ dites d'ordre 1, et que chaque cellule
d'ordre $n-1$ est partagée en un nombre fini de cellules d'ordre $n$,
nombre fini quelconque pouvant varier même pour $n$ fixé. Nous
appellerons ces partages, relativement à une mesure $m$ (ou $\mu$), une
fois munis de leur mesure, des partitions (relatives à $m$, ou $\mu$):

les sommes finies de cellules d'ordre arbitraire forment une
algèbre $\mathcal{A}$ qui engendre la $\sigma$-algèbre $\mathcal{B}$ ; nous comparerons deux
mesures $m$ et $\mu$ sur $\mathcal{B}$ d'après des propriétés sur les $\gamma^n$, propriétés
qui seront définies au § II. Pour toute étude de ce genre, on peut,
si $\mu$ et $m$ sont supposées (totalement) $\sigma$-finies, se limiter au cas
$\mu(\Omega) = m(\Omega) = 1$.

On appelle chaîne de $\mathcal{B}$ toute suite décroissante de cellules;
la limite si elle est non vide est un ensemble $A$ de $\mathcal{B}$, indécompo-
sable, ou atome, et tout $B \in \mathcal{B}$ est une somme d'atomes, dont
l'ensemble $a$ au plus la puissance du continu ; nous employons ici
le langage de [2], appelant atome de mesure non nulle (ou atome $> 0$) ce que Halmos (cf. [3]) appelle atome.

Représentation de $(\Omega, \mathcal{B}, m)$ sur le segment $[0,1] = S_0$.

A chacune des partitions successives de $\Omega$ relativement à $m$, nous faisons correspondre des partages de $S_0$ en un nombre égal (de cellule à cellule), de cellules $c$ de longueurs proportionnelles à leur mesure $m$ ; les $c$ sont des semi-intervalles mais par ailleurs leur disposition (c'est-à-dire leur ordre) est quelconque respectant simplement les inclusions des $\gamma$ correspondantes. Si sup $m(\gamma^n) \le 0$, lorsque $n \to \infty$, alors la $\sigma$-algèbre $b_0$ image de $\mathcal{B}$ est celle des boréliens sur $S_0$, et à tout $B \in \mathcal{B}$ correspond un $b$ image, $b \in b_0$ qu'on peut par exemple supposer construite à partir des $c^n$ comme $B$ l'est à partir des éléments de $\mathcal{A}$ (sommes finies de $\gamma^n$) par une suite transfinie dénombrable d'opérations "somme dénombrable" et différence propre" (cf. [3] § 5-9). Cet ensemble $b$ doit en effet être distingué de la réunion des atomes images des $A$ composant $B$ :

L'image de $\Omega^{(1)}$ n'est pas exactement $S_0$.

D'une part des chaînes non vides ou atomes $m$ nuls $A_\xi$ de $\mathcal{B}$ peuvent avoir pour image des chaînes vides sur $S_0$ ; ceci n'est possible que si la limite de ces images est un point $\xi$ de division lors des partages successif de $S_0$ correspondant à ceux qui, dans $\Omega$, aboutissent à $A_\xi$, c'est-à-dire si $\xi$ est extrémité de tous les intervalles $c^n$ de la chaîne image, à partir d'un certain $n$, et ne leur appartient pas. Ces $\xi$ sont dénombrables et on doit alors les ajouter à $S_0$, c'est-à-dire les compter deux fois, distinguant $\xi^-$ et $\xi^+$ (ceci, au moins si la chaîne contigue de limite $\xi$ n'est pas image d'une chaîne vide de $\mathcal{B}$ ; si non on pourrait échanger ces deux chaînes et corriger l'application de $\Omega$ sur $S_0$). $\xi^-$ et $\xi^+$ appartiennent alors, par définition, à chacune des cellules des chaînes correspondantes. On pourrait aussi retirer de $\Omega$ les atomes $A_\xi$ correspondants, transformant leurs chaînes en chaînes vides. Nous désignerons toujours par $S_0$ le segment ainsi complété, aucune difficulté ne s'introduira dans la définition de la mesure $\mu_0$, image de $\mu$, même si $A_\xi$ est $\mu$ positif. D'autre part les chaînes vides de $\mathcal{B}$ peuvent avoir des images non vides (nécessairement réduites à un point puisque la mesure $m$ limite est 0) : l'ensemble $\varepsilon$ de ces images peut avoir la puissance du continu, et n'être pas mesurable relativement à la mesure uniforme $m_0$ sur $S_0$. L'image de $\Omega$ est $S_0 - \varepsilon = S_0'$ et l'image (1) de $B \in \mathcal{B}$ est alors en réalité l'ensemble $b'$ trace de $b$ sur $S_0$, la mesure de $b'$ étant $m_0'(b') = m_0(b)$ ; à $\mathcal{B}$ correspond alors $b_0'$. Nous n'aurons en fait pas à considérer directement l'espace image $(S_0', b_0', m_0')$ ; deux suites transfinies d'opérations aboutissant à partir

<footnote>(1) image "point par point".</footnote>
d'éléments de $\mathcal{A}$ au même $B \in \mathcal{B}$ peuvent donner lieu à des b différents mais de même mesure $m_0$, qui est celle $m_0'(b')$ de leur trace commune $b'$, image de B, sur $S_0'$.

### Représentation de $\mu$.

Si $\mu$ est une autre mesure sur $\Omega, \mathcal{B}$, elle a une image $\mu_0$ sur $b_0$, ou $\mu_0'$ sur l'espace mesuré $(S_0', b_0')$, mais c'est sur $b_0$ que nous comparerons $\mu_0$ et $m_0$. La densité sur $S_0$ de la composante absolue continue par rapport à $m_0$, de $\mu_0$, définit une densité égale sur $(S_0', b_0')$ et sur $(\Omega, \mathcal{B})$, et de même intégrale $(\mu_0' \text{ ou } \mu)$ relativement à $m_0'$ ou $m$.

## II - DEFINITION DES RAPPORTS (SUPPOSES) ENTRE LES m PARTITIONS ET $\mu$ PARTITIONS -

Nous supposons que sur chaque cellule $\gamma^n$ les $\gamma^{n-1}$ dont elle est la somme sont de deux catégories, et que celles de l'ère catégorie $(\gamma_1^{n+1} \subset \gamma^{n+1})$ ont une mesure (m) relative totale égale à $\beta_{n+1}$:

$$ \sum_{\gamma_1^{n+1} \subset \gamma^n} m(\gamma^{n+1}) = \beta_{n+1} \quad m(\gamma^n) \quad 0 \le \beta_{n+1} \le 1, \text{ chaque } \gamma^n \quad (1) $$

$\beta_i$ ne dépend que du nombre $i$ et est donc le même sur toutes les $\gamma^{i-1}$. Toute cellule $\gamma^{n+1}$ est dite de l'ère ou de 2ème catégorie par référence à la cellule $\gamma^n$ qui la contient ; de ce point de vue chaque $\gamma^{n+1}$ est caractérisée par n choix binaires successifs, de catégorie, et tout atome par une suite infinie de tels choix : à tout $\omega \in \Omega$ nous associons la valeur 1 ou 0 d'une variable aléatoire $X_i$ définie sur $\Omega$, suivant que la cellule d'ordre $i$ qui contient $\omega$ est de l'ère ou de 2ème catégorie. (1) implique en particulier que les variables $X_i$ sont mutuellement indépendantes. On a $\beta_i = \bar{X}_i$. $Y_i$ désigne une variable égale à $X_i$, mais définie avec la mesure $\mu$: sur $(\Omega, \mathcal{B}, \mu)$ au lieu de m.

### Représentation canonique sur $S_0$.

C'est l'image obtenue sur $S_0$ par les partages binaires correspondants aux partages de chaque $\gamma^{(n)}$ en ses deux catégories de $\gamma^{(n+1)}$, image bien définie par la suite des $\beta_i$ (plaçant par exemple toujours à gauche l'intervalle $c^{n+1}$ de mesure relative $\beta_{n+1}$). Un atome de cette représentation correspond en général à une somme non dénombrable d'atomes de $\mathcal{B}$ ou de sa représentation non canonique.

Nous considèrons trois hypothèses de plus en plus strictes concernant le partage de $\mu$ suivant les deux catégories, par rapport à m :
A) On connaît :

$$p_i = \frac{\mu(\Sigma \gamma_i^1)}{\mu(\Sigma \gamma_i^{1-1})} = \mu(\Sigma \gamma_i^1) \quad \text{soit} \quad p_i = \overline{Y}_i. \qquad (2)$$

Ce cas ne suppose aucune structure particulière liant $\mu$ à $m$, puisque c'est seulement en moyenne sur toutes les $\gamma_i^{1-1}$, que les cellules de l'ère catégorie $\gamma_i^1$ recueillent la proportion $p_i$ de la mesure $\mu$. Les résultats s'appliqueront donc à $\mu$ et $m$ quelconques, dès que $m$ satisfait à (1), mais nous ne disposerons que d'une condition nécessaire d'absolue continuité de $\mu$ par rapport à $m$ ($\mu \ll m$) (cf. théorème 1).

B) On a :

$$p_i = \frac{\mu(\Sigma \gamma_i^1)}{\mu(\gamma_i^{1-1})} \qquad (3)$$

au numérateur figurent toutes les $\gamma_i^1 \subset \gamma_i^{1-1}$, $\gamma_i^{1-1}$ étant une quelconque cellule d'ordre i-1.

$p_i$ ne dépend que de $i$, est le même pour toutes les $\gamma_i^{1-1}$.

(3) implique donc en particulier, comme (1) ci-dessus pour la mesure $m$ et les variables $X_i$, que les variables $Y_i$ sont mutuellement indépendantes.

C) (3) reste valable mais on suppose en outre que lorsque $\gamma_i^{1-1}$ contient plus d'une $\gamma_i^1$ de l'ère (ou de 2ème) catégorie, la mesure $p_i \mu(\gamma_i^{1-1})$ est partagée entre ces $\gamma_i^1$ (et la mesure $(1-p_i) \mu(\gamma_i^{1-1})$ entre les $\gamma_i^1$) proportionnellement à leur mesure $m$. Nous dirons alors que le processus des $\mu$ partitions est régulier (sous-entendu : par rapport à $m$).

C'est seulement sous cette hypothèse que nous pourrons atteindre la densité de la composante absolument continue de $\mu$ par rapport à $m$. Pour affirmer la singularité de $\mu$ par rapport à $m$, il suffit de la constater sur un support $\sigma$ ne faisant pas intervenir la séparation des $\gamma_i^1$ d'une même $\gamma_i^{1-1}$, c'est-à-dire un $\sigma$ appartenant à une $\sigma$-algèbre $\mathcal{R}'$ moins fine que $\mathcal{R}$, ce ne peut suffire pour affirmer la pureté d'une des mesures par rapport à l'autre. Sous les conditions C) la symétrie est complète entre $m$ et $\mu$ (on peut les échanger en échangeant $p_i$ et $\beta_i$).

Appelons $\frac{p_i}{\beta_i} = 1 + \eta_i$, le facteur de concentration (moyen en A), sur chaque $\gamma_i^{1-1}$ en B), et de plus régulièrement pour chaque $\gamma_i^1$ ou $\gamma_i^2$ en C)); on peut toujours supposer $\eta_i \ge 0$ (ce n'est pas nécessaire).
saire) appelant de lère catégorie la catégorie des $\gamma^1 \subset \gamma^{1-1}$ pour lesquels on a effectivement $p_1 \ge \beta_1$. On a :

$$ \frac{\mu(\gamma^n)}{m(\gamma^n)} = \prod_{1}^{n} \bar{\rho}_i \qquad \bar{\rho}_i = \begin{cases} \rho_i = 1 + \eta_i & \text{si } X_i = Y_i = 1 \\ \rho'_i = \frac{1-p_1}{1-\beta_i} & \text{si } X_i = Y_i = 0 \end{cases} \quad \text{sur } \gamma^n \quad (4) $$

Ce rapport caractérise la suite finie de catégories aboutissant à $\gamma^n$ et est le même pour toutes les $\gamma^n$ ayant cette même suite (ou s'appliquant en une même c'n de la représentation canonique). Nous verrons que la limite de (4) lorsque $n \to \infty$, existe presque partout (relativement à m) et définit la densité de la composante absolument continue de $\mu$ (par rapport à m) ; en fait elle est presque partout nulle, ou presque partout positive.

### III - THEOREME 1. (M. DE RHAM) -

$p_i - \beta_i \to 0$ est une condition nécessaire à $\mu \ll m$.

Soit en effet :

$$ \mu(e) = \int_{e} f(\omega)dm \quad \text{tout } e \in \mathcal{B}. $$

Désignons par $m_1$ la mesure induite par m sur les $\gamma^1$ de lère catégorie, c'est-à-dire obtenue en annulant m sur toutes les $\gamma_2^1$. On a :

$$ p_i = \int_{\Omega} f(\omega)dm_i = \lim_{\eta \to \infty} \sum_{-\infty}^{+\infty} y_l m_i(e_l) \quad e_l = \{ \omega : y_l \le f(\omega) < y_{l+1} \} \quad (5) $$

la limite (5) étant uniforme par rapport à i, puisque l'approximation est majorée par :

$$ \eta = \sup_l (y_{l+1} - y_l). $$

Or chaque $e_l$, mesurable $\mathcal{B}$ est approché d'arbitrairement près par une somme finie de $\gamma^{1-1}$, puisque l'algèbre $\mathcal{A}$ engendre $\mathcal{B}$ et qu'on peut toujours décomposer une somme finie de $\gamma^k$, en $\gamma^{1-1}$, i-1 étant le plus grand des ordres k qui y figurent, et la mesure $m_i$ de cette somme finie est exactement $\beta_i m$ :

$$ m_i(e_i) \sim \beta_i m(e_i), \quad i \text{ assez grand} $$

Puisque dans (5) la convergence de la série est majorée (uniformément par rapport à i) par celle de $\sum y_l m(e_l)$ on a :
$$ \lim_{1 \to \infty} \left( \sum_{-\infty}^{+\infty} y_l m_l(e_l) - \beta_l \sum_{-\infty}^{+\infty} y_l m(e_l) \right) = 0 $$

et puisque la limite (5) lorsque $η \to 0$ a lieu uniformément :

$$ 0 = \lim_{1 \to \infty} \lim_{\eta \to 0} (\Sigma y_l m_l(e_l) - \beta_l \Sigma y_l m(e_l)) = \lim (p_l - \beta_l) $$

puisque :

$$ \sum_{-\infty}^{+\infty} y_l m(e_l) \to \int_{\Omega} f(\omega) dm = 1. $$

## THEOREME II (THEOREME DE PURETE).

Sous les conditions C) (partitions régulières) on a :

* $\mu \perp m$ (mesures étrangères)

ou $\mu \sim m$ (mesures absolument continues l'une par rapport à l'autre).

En effet comme nous l'avons démontré (cf. [1]) les deux images canoniques (de $m$ et $\mu$) sur $S_0$ sont telles que les fonctions de répartition des deux composantes (absolument continue et singulière) de $\mu_0$ par rapport à $m_0$, sont proportionnelles. Les conditions B) assurent pour cette représentation canonique une $\mu_0$-partition régulière par rapport à $m_0$ ; et on a soit $\mu_0 \perp m_0$, soit $\mu_0 \ll m_0$, d'où en ce dernier cas en échangeant $m_0$ et $\mu_0$, l'équivalence $\mu_0 \sim m_0$.

La densité $k(x) = \frac{d\mu_0}{dm_0}$ ainsi définie presque partout relativement à $m_0$ est la limite lorsque $n \to \infty$ (pour les $c^n$ de l'image canonique contenant $x$) du rapport

$$ \prod_{1}^{n} \rho_i \cdot \text{ définie comme en (4) ;} $$

elle égale la densité correspondante $f(\omega)$ sur $\Omega$ qui est une fonction mesurable $\mathcal{B}$ ($\mathcal{B}$' introduite en C) est l'image inverse de $b_0$ sur $S_0$), constante en particulier pour tous les $\omega$ dont l'image appartient à un même atome de $b_0$ (m nul ou non).

Au $f(\omega) \stackrel{p.p.}{=} 0$, ou $f(\omega) > 0$ p.p. et $\int_{\Omega} f(\omega) dm = 1$, d'où le théorème.

La démonstration, pour $(\Omega, \mathcal{B})$ est la même que celle que nous
avons donnée en [1] pour des partages non binaires du segment unité, en en faisant la représentation canonique sur un tel segment (partages binaires).

Il est cependant intéressant de bien préciser ce qui peut se passer si l'une des mesures à des atomes > 0, car nous nous étions, pour la simplicité, restreints à des mesures continues sur la droite.

1) Si la m-partition n'est pas linéaire, désignons par $\alpha_{i+1}$ le maximum des $m(\gamma_1^{i+1})/m(\gamma^i)$, pour chaque $\gamma^i$, supposé dépendre seulement de $i$,

$$ \alpha_i \le \beta_i $$

et par $\alpha_{i+1}^i$ la même borne pour les $\gamma_2^{i+1}$.

Sous cette hypothèse supplémentaire H de régularité pour m, on a : si m a un atome > 0, elle est presque sûrement atomique, c'est-à-dire presque sûrement réduite à une somme dénombrable d'atomes > 0.

Il existe en effet une suite de $\overline{\alpha_i}$ satisfaisant à :

$$ \bigcap_{1}^{\infty} \overline{\alpha_i} = a > 0 \quad \overline{\alpha_i} = \alpha_i \text{ ou } \alpha_i^1; \qquad (6) $$

on a donc $\bigcap_{n}^{\infty} \overline{\alpha_i} \nearrow 1$, pour cette suite particulière de catégorie. Mais alors toutes les cellules $\gamma^n$ contiennent un atome de mesure $m(\gamma^n) \bigcap_{n+1}^{\infty} \overline{\alpha_i}$, soit un nombre fini d'atomes > 0 de mesure totale $\bigcap_{n+1}^{\infty} \overline{\alpha_i}$ (leur nombre égale celui des cellules d'ordre n). D'où le résultat en faisant tendre n vers $\infty$.

Si $\mu$ satisfait alors aux conditions C), le même résultat vaut pour $\mu$ car elle satisfait à la condition H ci-dessus ; si m a un atome positif donc est presque sûrement atomique, ou $\mu$ l'est aussi et a mêmes atomes positifs que m (alors $\mu \sim m$), et tous ces atomes sont différents ($\mu \perp m$), ou $\mu$ n'a aucun atome positif et c'est encore $\mu \perp m$.

2) Si m a un atome A, et que nous ne faisions pas l'hypothèse H (pour m), alors l'image canonique m est presque sûrement atomique en ce sens que $b_0$ contient des atomes de longueur totale unité :
ou $\mu_o \perp m_o$, alors $\mu \perp m$ (mais m n'est pas en général presque sûrement atomique),

ou $\mu_o \sim m_o$, alors la densité $h(x)$ sur $S_o$ est constante et $> 0$ sur chaque atome positif de $b_o$,

d'où $f(\omega)$ constante sur presque tous les atomes de $\mathcal{B}'$ c'est-à-dire sur chaque élément d'une famille dénombrable de $B \in \mathcal{B}'$ et $\mathcal{B}$ (de mesure m totale égale à 1). Mais chacun de ces B n'est pas nécessairement résoluble dans $\mathcal{B}$ en atomes $m > 0$ (l'un d'eux contient l'atome initial A) : chaque atome $m > 0$ est $\mu > 0$, et au dehors il reste une composante de $\mu A^t$. continue par rapport à m à laquelle on aurait retiré ses atomes possibles. Nous vérifions d'ailleurs par le même raisonnement que ci-dessus que si $\mu(A) = 0$, $\frac{d\mu}{dm}$ est presque partout nul, $\mu$ est étrangère à m (dans le cas contraire $\mu \sim m)$;

Si en effet $\prod_{1}^{\infty} \bar{\rho}_{i}^{0}$ (cf. (4)) est nul sur A, on a $\prod_{n+1}^{\infty} \bar{\rho}_{i}^{0} = 0$ ($\bar{\rho}_{i}^{0}$ correspond à cette suite de catégorie particulière) tout $n$ ; pour cette même suite particulière $\prod_{n+1}^{\infty} \bar{\rho}_{i}^{0} \nearrow 1$ puisque $m(A) > 0$, et à toute cellule $\gamma^n$ correspondent les chaînes définies au-delà de $n$ par la même suite de catégorie que A, d'où une densité nulle sur des ensembles de mesure m totale égale à $\prod_{n+1}^{\infty} \bar{\rho}_{i}^{0} \nearrow 1$. La densité $\frac{d\mu}{dm}$ est bien presque partout nulle.

### Remarque

Le théorème de Radon-Nicodym définit en fait dans tous les cas la densité de la composante absolument continue de $\mu$ par rapport à m, c'est

$$f(\omega) = \sup_{\phi < \mu(e)} \phi(\omega); \\ \int_{e}^{\phi < \mu(e)}$$

l'enveloppe supérieure est prise sur toutes les fonctions $\phi \ge 0$ définissant des mesures $\int_{e}^{\phi}(\omega)dm$ majorées par $\mu(e)$. Nous avons ici donné des conditions assurant que cette densité est presque partout nulle ou au contraire d'intégrale sur $\Omega$ égale à 1.
IV - RAPPELONS LES RESULTATS GENERAUX OBTENUS DANS 1 ET COMPARABLES AVEC LE THEOREME [1] PRECE-DENT -

1) Sous les conditions B) une condition suffisante pour $\mu \perp m$ est :

$$ \frac{1}{n} \sum_{1}^{n} (p_i - \beta_i) \to 0. \qquad (7) $$

Cette condition est plus stricte que celle du théorème 1, mais elle assure d'emblée la singularité totale de $\mu$ par rapport à $m$ (et non, seulement, l'existence d'une composante singulière). Les conditions du théorème 1 sont il est vrai très larges, ne nécessitant pas l'indépendance des $Y_i$, mais pour obtenir à partir de ce théorème le résultat $\mu \perp m$, le théorème de pureté nécessite non seulement cette indépendance (c'est-à-dire les conditions B)) mais les conditions de régularité C. Cela parce que la démonstration de ce théorème s'appuie sur le comportement de la densité $\prod_{1}^{\infty} \bar{p}_i$ qui n'est définie qu'au prix des conditions C.

En fait on a :

2) Toujours sous les conditions B), supposons qu'on ait :

$$ \left. \begin{array}{l} B_n^2 = \sum_{1}^{n} \beta_i (1 - \beta_i) \to \infty \\ B_n^2 = \sum_{1}^{\infty} p_i (1 - p_i) \to \infty \end{array} \right\} n \to \infty \quad (1) $$

et considérons les sommes (9) et (9') :

$$ \frac{1}{B_n} \sum_{1}^{n} (p_i - \beta_i) \qquad (9) $$

$$ \frac{1}{B_n'} \sum_{1}^{n} (p_i - \beta_i) ; \qquad (9') $$

Si (9) et (9') ne sont pas bornées lorsque $n \to \infty$, on a $\mu \perp m$.

<footnote>(1) il suffit, mais ce n'est pas nécessaire que les suites $\beta_i$, $(1-\beta_i)$, $p_i$, $(1-\beta_i)$ ne convergent pas vers 0 ou 1.</footnote>
Si (9) seulement augmente indéfiniment avec n, μ a une com-
posante singulière (par rapport à m) au moins égale à 1/2.

Si c'est (9') qui seule augmente indéfiniment, m a une com-
posante singulière par rapport à μ au moins égale à 1/2.

En particulier ces conditions sont compatibles avec $p_i - \beta_i \rightarrow 0$
et ces résultats sont beaucoup plus larges que ceux qu'on peut ob-
tenir par une méthode de densité en précisant des conditions qui
assurent que $\prod_i \bar{p}_i$ est presque partout nul (on obtient des condi-
tions plus strictes que (7), cf. [1]).

Demeurent les problèmes concernant des conditions suffisantes
d'absolue continuité.

REFERENCES

[2] Michel LOEVE - Probability Theory. Second edition.

[3] Paul R. HALMOS - Mesure Theory fourth printing.