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# Sur le domaine d'attraction de la loi de Poisson

A. Fuchs, N. Roby

► To cite this version:

A. Fuchs, N. Roby. Sur le domaine d'attraction de la loi de Poisson. Annales de l'ISUP, 1960, IX (4), pp.391-394. hal-04092986

HAL Id: hal-04092986

https://hal.science/hal-04092986

Submitted on 9 May 2023

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# SUR LE DOMAINE D'ATTRACTION DE LA LOI DE POISSON

## A. FUCHS ET N. ROBY

### I - POSITION DU PROBLEME -

Pour tout entier $n > 0$ on considère $n$ variables aléatoires (v.a.) indicatrices *indépendantes* $X_{kn}$ ($k = 1, \dots, n$) où $X_{kn}$ peut prendre les valeurs $\begin{cases} 1 & \text{avec probabilité } p_{kn} \\ 0 & \text{ou } 1-p_{kn} \end{cases}$ où $0 < p_{kn} < 1$. On posera

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} X_{kn}, \quad a_n = \sum_{k=1}^{n} p_{kn} = E\{S_n\}, \quad \alpha_n = \max_{k=1}^{n} p_{kn} \quad (0 < \alpha_n < 1)$$

et l'on étudiera le rôle des deux conditions suivantes :

$$\lim_{n \to \infty} a_n = a, \quad 0 < a < \infty \qquad (1)$$

$$\lim_{n \to \infty} \alpha_n = 0 \qquad (2)$$

Pour tout nombre $a > 0$ désignons par $Y_a$ la v.a. de Poisson du paramètre $a$, définie par $P\{Y_a = k\} = e^{-a} \frac{a^k}{k!}$ ($k$: entier $\ge 0$). On sait que si (1) et (2) sont réalisées la suite de v.a. $S_n$ tend en loi, lorsque $n \to \infty$, vers la v.a. $Y_a$.

Nous nous proposons, au § 2, de donner une démonstration simple de cette proposition. Au § 3 nous montrerons que, réciproquement, les conditions (1) et (2) sont *nécessaires* pour que la suite de v.a. $S_n$ tende en loi, lorsque $n \to \infty$, vers la v.a. $Y_a$.
## II - THEOREME DIRECT -

### THEOREME I -

Si les conditions (1) et (2) sont réalisées, $S_n \to Y_s$ en loi. La fonction caractéristique (f. c.) du $S_n$ est :

$$ \varphi_{S_n}(t) = \prod_{k=1}^{n} [1 + p_{kn}(e^{it} - 1)], \quad t \in \mathbb{R} $$

$$ \Rightarrow \quad \Psi_{S_n}(t) = \operatorname{Log} \varphi_{S_n}(t) = \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Log} [1 + p_{kn}(e^{it} - 1)] $$

d'où, en posant $e^{it} - 1 = z$ :

$$ \Psi_{S_n}(t) = \sum_{n=1}^{n} \operatorname{Log} (1 + p_{kn} z) $$

Soit $\mathcal{V}$ un voisinage réel de $t=0$ tel que $t \in \mathcal{V} \Rightarrow |e^{it} - 1| = |z| < 1$. Alors $|p_{kn} z| < p_{kn} < 1$ et l'on peut développer $\operatorname{Log}(1 + p_{kn} z)$ en série entière absolument et uniformément convergente dans $|z| < 1$.

$$ \operatorname{Log} (1 + p_{kn} z) = p_{kn} z + R_{kn}(z) $$

$$ \text{où } R_{kn}(z) = - \frac{(p_{kn} z)^2}{2} + \frac{(p_{kn} z)^3}{3} - \dots $$

$$ \Rightarrow |R_{kn}(z)| \le \frac{p_{kn}^2 |z|^2}{2} + \frac{p_{kn}^3 |z|^3}{3} + \dots < \frac{p_{kn}^2}{2} + \frac{p_{kn}^3}{3} + \dots $$

$$ \le p_{kn} \left( \frac{\alpha_n}{2} + \frac{\alpha_n^2}{3} + \dots \right) = p_{kn} \frac{\operatorname{Log}(1 - \alpha_n) - \alpha_n}{\alpha_n} (\operatorname{car } 0 < \alpha_n < 1) $$

$$ \Rightarrow \Psi_{S_n}(t) = a_n z + \sum_{k=1}^{n} R_{kn}(z) $$

$$ \Rightarrow |\Psi_{S_n}(t) - az| \le |a_n z - az| + \sum_{k=1}^{n} |R_{kn}(z)| $$

$$ \text{Or} \quad \left\{ \begin{array}{l} |a_n z - az| \le |a_n - a| |z| < |a_n - a| \\ \sum_{k=1}^{n} |R_{kn}(z)| \le a_n - \frac{\operatorname{Log}(1 - \alpha_n) - \alpha_n}{\alpha_n} \quad \forall z : |z| < 1 \\ \forall z : |z| < 1 \end{array} \right. $$

On a donc, $\forall t \in \mathcal{V}$ :
$$|\Psi_{s_n}(t) - a(e^{it} - 1)| \le |a_n - a| + a_n \frac{- \operatorname{Log}(1 - \alpha_n) - \alpha_n}{\alpha_n}$$

Or, en vertu de (1) et (2) le second membre tend vers 0 lorsque $n \to \infty$. Mais puisque ce second membre majore le premier uniformément p.r. à $t \in \mathcal{V}$, il en résulte que le premier membre tend vers 0 lorsque $n \to \infty$ et ceci uniformément p.r. à $t \in \mathcal{V}$. $\Rightarrow \Psi_{s_n}(t)$ tend vers $a$ (e$^{it}$ - 1) lorsque $n \to \infty$, cette convergence étant uniforme dans un voisinage réel $\mathcal{V}$ de $t=0$. La conclusion en découle d'après un théorème classique de P. Lévy en remarquant que $a$ (e$^{it}$ - 1) est la deuxième f.c. de la v.a. de Poisson $Y_n$.

### III - THEOREME RECIPROQUE -

#### THEOREME III -

Si $S_n \to Y_a$ en loi, alors les conditions (1) et (2) sont réalisées.

Supposons à présent que $S_n \to Y_a$ en loi ; il en résulte d'après un théorème classique de P. Lévy, que sur tout intervalle réel borné de valeurs de $t$, en particulier pour $-\pi \le t \le +\pi$, la f. c. $\varphi_{s_n}(t) = \prod_{k=1}^n [i + p_{kn}(e^{it} - 1)]$ de $S_n$ tend uniformément vers la f. c. $e^{a(s_1t - 1)}$ de $Y_a$. C'est dire que le polynôme de la variable complexe $u$, $P_n(u) = \prod_{k=1}^n [1 - p_{kn} + p_{kn}u]$ tend uniformément vers la fonction holomorphe $e^{a(u-1)}$ sur le cercle $|u| = 1$, donc aussi dans le disque $|u| < 1$. En particulier, pour $u = 0$, $\prod_{k=1}^n (1 - p_{kn}) \to e^{-a}$; pour n suffisamment grand on aura donc $e^{-2a} \le \prod_{k=1}^n (1 - p_{kn})$ ; mais d'autre part $\prod_{k=1}^n (1 - p_{kn}) \le e^{-2a} \le e^{-a_n} \Rightarrow a_n \le 2a$. Il en résulte que $a_n$ est borné quel que soit $n$ :

$$a_n \le A < \infty \qquad \forall n \text{ entier} > 0$$

Soit alors $\mathcal{C}(O, R)$ le disque du centre $O$ et de rayon $R > 1$. Pour $u \in \mathcal{C}(O, R)$ on a $|P_n(u)| \le \prod_{k=1}^n (1 - p_{kn} + p_{kn}R) \le e^{a_n(R-1)} \le e^{A(R-1)}$.

Les polynômes $P_n(u)$ sont donc uniformément bornés dans $\mathcal{C}(O, R)$ ; comme ils convergent uniformément vers $e^{a(u-1)}$ dans le disque $|u| < 1$ intérieur à $\mathcal{C}(O, R)$, il résulte du théorème de Vitali qu'ils convergent aussi uniformément vers la même fonction dans tout le disque $\mathcal{C}(O, R)$, en particulier dans tout un voisinage de
u = 1. Si l'on pose alors $u - 1 = z$, le polynôme $F_n(z) = \prod_{k=1}^{n} (1 + p_{kn} z)$ tend donc uniformément vers la fonction $e^{az}$ dans tout un voisinage de $z = 0$ : d'où convergence l'un vers l'autre des coefficients de Taylor de même rang.

En considérant les coefficients de $z$ il vient ainsi :

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = a \quad (1) $$

En considérant les coefficients de $z^2$ il vient de même :

$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{h < k} p_{hn} p_{kn} = \frac{a^2}{2} $$

mais, comme $a_n^2 = \sum_{k=1}^{n} p_{kn}^2 + 2 \sum_{h < k} p_{hn} p_{kn} \to a^2$, il en résulte que
$$ \sum_{k=1}^{n} p_{kn}^2 \to 0 \text{ ; d'autre part } \alpha_n^2 \le \sum_{k=1}^{n} p_{kn}^2 \text{, d'où également :} $$

$$ \alpha_n \to 0 \quad (2) $$

On voit ainsi que les conditions (1) et (2) sont nécessairement vérifiées. Notons que c'est ce théorème réciproque qui justifie pleinement la détermination de "loi des petites probabilités" que l'on donne souvent à la loi de Poisson.