# ESTUDIO DE LA CALIDAD DE LA ENSEÑANZA DE CONTENIDOS DE DIVISIBILIDAD EN UN AULA TRILINGÜE DE SECUNDARIA

Miquel Morell, Institut Ausiàs March

Núria Planas, Universitat Autònoma de Barcelona

## Resumen

En este artículo, presentamos resultados de un estudio en desarrollo sobre la calidad de la enseñanza de la divisibilidad en un aula trilingüe de primer curso de educación secundaria. Interpretamos las cinco dimensiones del marco TRU –Teaching for Robust Understanding– y los niveles de la herramienta asociada TRU-Math, con atención a las lenguas del profesor en la enseñanza. Mediante la combinación de métodos cuantitativos y cualitativos aplicados al análisis del habla del profesor a lo largo de 11 sesiones de clase, concluimos sobre la calidad relativamente elevada de la enseñanza. Las frecuencias de aparición y los niveles de las dimensiones se examinan por separado y en relación con la alternancia de las tres lenguas en la interacción con los alumnos. El recurso de una lengua híbrida se muestra como un mediador de la calidad de la enseñanza por su presencia continuada en momentos identificados con: (i) riqueza de contenido matemático, (ii) demanda cognitiva, (iii) acceso equitativo al contenido, (iv) apoyo a la autonomía del alumno y (v) evaluación formativa.

## Palabras clave

Calidad de la enseñanza de la divisibilidad, educación secundaria, análisis de prácticas matemáticas de enseñanza, aula trilingüe, lenguas híbridas.

## Introducción

En este artículo, presentamos un estudio sobre la calidad de la enseñanza de la divisibilidad durante una secuencia de sesiones de clase en un aula trilingüe –inglés, castellano, valenciano– de un primer curso de secundaria. En los inicios del estudio nos planteamos cómo evaluar la calidad de esta enseñanza con atención a las lenguas utilizadas en la interacción con los alumnos. Para responder a esta pregunta, pensamos que debíamos examinar la calidad de la enseñanza de matemáticas en la secuencia de sesiones de clase bajo un marco que vinculase esta calidad con la comprensión del contenido matemático. Consideramos utilizar el marco TRU –Teaching for Robust Understanding– (Schoenfeld, 2013, 2014), con las adaptaciones que fueran necesarias en el contexto de los datos de nuestro estudio. Dadas las características del aula trilingüe, queríamos además examinar la alternancia de lenguas en la interacción con los alumnos e indagar relaciones entre esta alternancia y la calidad de la enseñanza.

Lampert (2001) y Franke et al. (2007) argumentaron la complejidad de la enseñanza de matemáticas, destacando la complejidad de promover formas de participación en las prácticas matemáticas que sean generadoras de oportunidades de aprendizaje matemático. Junto con los estudios sobre la complejidad de la enseñanza de las matemáticas, en el área de educación matemática han aumentado los estudios sobre la calidad de esta enseñanza, mediante distintos marcos teóricos e instrumentos de observación y evaluación asociados. En Charalambous y Praetorius (2018) se comentan hasta 12 marcos desarrollados en el área para el análisis de la calidad de prácticas de enseñanza en clases de matemáticas. Según estos autores, un único marco no cubre la complejidad de la enseñanza de las matemáticas, pero la aplicación de un marco señala puntos fuertes y débiles de aspectos concretos, junto con direcciones de formación y desarrollo profesional. En nuestro caso, por ejemplo, el marco TRU no está especialmente
pensado para examinar prácticas matemáticas multilingües en la enseñanza, pero puede seguir
siendo útil si se introducen maneras de ampliar los resultados de la aplicación de este marco.

Al incluir la atención a la alternancia de las lenguas en el aula trilingüe, nuestro estudio supone una contribución novedosa al conjunto de investigaciones sobre la calidad de la enseñanza de contenidos matemáticos específicos. Aportamos un análisis de la calidad de la enseñanza de la divisibilidad mediante la complementación del marco TRU con la atención a las lenguas del profesor en clase, incluidas combinaciones a modo de translanguaging (García y Klein, 2016). Lemke (1990) acuñó la noción de lenguas híbridas para referirse a las lenguas de profesores y alumnos que combinaban el registro científico y el cotidiano. En nuestro estudio, si bien tiene sentido referirse a lenguas híbridas porque en clase de matemáticas es habitual combinar el registro matemático escolar y el cotidiano, esta noción adquiere complejidad adicional con la combinación de distintos sistemas lingüísticos en el aula trilingüe. En la interacción oral de las clases bilingües –catalán y castellano– de matemáticas en Planas y Setati (2009) y en Planas (2014), se encontró que los alumnos usaban los registros matemático y cotidiano en una u otra lengua según la demanda cognitiva de la tarea matemática. No se estudió la alternancia de las lenguas durante la enseñanza. En Phakeng et al. (2018), con datos de aulas trilingües de matemáticas en tres continentes, se observó que la enseñanza en ocasiones favorecía el aprendizaje de la lengua vehicular por delante del contenido matemático. Suponemos que puede haber relación entre las lenguas en uso en nuestra aula trilingüe y el desarrollo de una enseñanza de calidad facilitadora del aprendizaje de la divisibilidad. Las lenguas de las familias de la mayoría de los alumnos del actual estudio son distintas a las lenguas oficiales y aquí, además, se añade el reto del inglés como lengua vehicular.

Para abordar el problema de investigación en torno a la calidad de la enseñanza de la divisibilidad en un aula trilingüe donde hay la complejidad adicional del inglés como lengua vehicular, planificamos el logro progresivo de tres objetivos:

* Objetivo 1. Caracterizar momentos de la enseñanza según contenido matemático, demanda cognitiva de la tarea, acceso al contenido y a la tarea, apoyo a la autonomía y conocimientos del alumnado y evaluación formativa.

* Objetivo 2. Examinar la calidad de la enseñanza en la secuencia de sesiones de clase con el estudio conjunto de momentos caracterizados de esta enseñanza.

* Objetivo 3. Indagar relaciones entre la calidad de la enseñanza y las lenguas del profesor en la interacción con el alumnado durante las sesiones de clase.

Estos objetivos son de logro progresivo. Por un lado, entendemos que la enseñanza en la secuencia de sesiones de clase puede ser estudiada a partir del estudio de momentos concretos en torno a una tarea matemática. Por otro lado, dado el contexto trilingüe del aula y el papel del inglés como lengua vehicular, entendemos que el estudio de la calidad de la secuencia de enseñanza debe completarse con la atención a posibles tensiones entre la momentos en la enseñanza y la lengua vehicular.

En lo que sigue, empezamos proporcionando una revisión de la literatura científica sobre retos en el aprendizaje de la divisibilidad. Luego presentamos nuestro marco teórico para el análisis de la calidad de enseñanza, que es una adaptación del marco TRU. Seguimos con la explicación del contexto empírico, los métodos de estudio, la discusión de datos y resultados y, finalmente, las conclusiones. Si bien las conclusiones hacen referencia a los resultados de la investigación, consideramos que también abren la puerta a implicaciones para la enseñanza de contenidos matemáticos específicos en aulas multilingües.
## Retos en el aprendizaje de la divisibilidad

En nuestro currículo de matemáticas de la etapa de secundaria, la divisibilidad es uno de los contenidos más importantes de teoría de números, sobre la estructura multiplicativa del conjunto de los números naturales. Este contenido se inicia en la etapa de primaria, con secuencias de enseñanza dedicadas a las prácticas de conservación del número mediante esquemas multiplicativos. Bodí (2006) examinó retos en el aprendizaje de la divisibilidad con alumnos de secundaria. El logro en la resolución de tareas de divisibilidad se vio que dependía de la capacidad de: a) establecer relaciones entre conceptos, b) usar la representación factorial y decimal para determinar divisores y no divisores, múltiplos y no múltiplos de un número natural, c) usar el significado de máximo común divisor y mínimo común múltiplo de un conjunto de números y los procedimientos en su obtención. En ese trabajo, se señaló que la comprensión procedimental de los conceptos implicados en la divisibilidad no basta para superar las demandas cognitivas asociadas con comprender la representación factorial de números, sobre todo con exponentes grandes en los factores, y la unicidad de esta representación. Mason (2006) señaló la tendencia de alumnos de varias edades a ver las representaciones multiplicativas y aditivas de un número, incluida la factorial, como cálculos, así como la dificultad generalizada para dar significado al término 'máximo' (*the greatest*) en máximo común divisor y a 'mínimo' (*the least*) en mínimo común múltiplo. Este autor también documentó la complejidad de trabajar relaciones y generalizaciones a partir de enunciados numéricos como, por ejemplo, 5+7 y 9+11 son ambos divisibles por 4 y 5+7+9+11 es divisible por 8.

Hay abundante literatura sobre retos en el aprendizaje de la divisibilidad con futuros profesores de matemáticas. A pesar de que este no es el grupo de alumnos en nuestro estudio, los retos documentados para futuros profesores informan sobre la persistencia de ciertas dificultades más allá de las etapas educativas básicas. Destacan los trabajos de Zazkis, algunos en colaboración, sobre los retos por establecer conexiones entre multiplicación, división exacta, factorización y descomposición en factores primos. No es fácil, por ejemplo, distinguir el concepto de divisor en el contexto matemático de la operación de división y en el contexto matemático de la divisibilidad. Zazkis y Campbell (1996), en línea con observaciones de Bodí (2006), señalan la dificultad para comprender la unicidad de la factorización en números primos. Zazkis (1998a), en línea con observaciones en Mason (2006), destaca la experiencia de ambigüedad léxica de términos polisémicos como los de divisor, factor y cociente. En Zazkis (1998b), se ilustra la dificultad para relacionar la divisibilidad por dos con ser par, ya que los futuros profesores consideran la paridad como una propiedad que depende del último dígito del número. En Zazkis (2000), los alumnos solo asocian el concepto de divisor con la operación de dividir y el de múltiplo con multiplicar. En Zazkis y Gadowsky (2001), se indican retos en la comprensión del concepto de número primo, ya sea entendido como aquel que tiene dos factores como el que solo es divisible por la unidad y por sí mismo. Todos estos retos documentados en el aprendizaje de la divisibilidad son una fuente de conocimiento importante para el diseño y la implementación de la enseñanza de este contenido y, en nuestro estudio, fueron una fuente de inspiración en la elaboración de las tareas de la secuencia.

## Interpretación del marco TRU –Teaching for Robust Understanding–

Los orígenes del marco TRU se remontan a Schoenfeld (2013, 2014), donde el marco se presentó a modo de fundamento teórico y herramienta de análisis para entender y apoyar las características de una enseñanza de matemáticas que facilite aprendizajes matemáticos basados en el razonamiento y la comprensión robusta. En tanto que marco teórico, TRU plantea cinco dimensiones sobre las características de una enseñanza de calidad en clases de matemáticas,
que se pueden examinar por separado pero que interactúan como un sistema con sentido. Si
todas las dimensiones se desarrollan adecuadamente, es de esperar que la enseñanza promueva
una comprensión matemática robusta de los alumnos, mientras que esto no ocurrirá solo con
que se desatienda o no se preste atención continuada a una de las dimensiones. Todas las
dimensiones son, por tanto, necesarias en el conjunto de una secuencia de enseñanza, esto es,
en el conjunto de las actividades realizadas por un profesor en el aula en torno a mismo objeto
de enseñanza (e.g., la divisibilidad). Formuladas con ligeras variaciones por Schoenfeld desde
2013, estas dimensiones son: riqueza del contenido matemático (D1), demanda cognitiva de las
tareas (D2), acceso equitativo al contenido matemático y a las tareas (D3), apoyo a la autonomía
y conocimientos de los alumnos (D4) y evaluación formativa (D5). Hay una descripción de estas
dimensiones en Schoenfeld (2013, p. 616) y otra complementaria en Schoenfeld (2014, p. 407).
En nuestra interpretación de las dimensiones ponemos el énfasis sobre las tareas en las
dimensiones 2 y 3, en el contenido matemático en las dimensiones 1 y 2 y en el alumnado en la
dimensión 3. Esto no supone un gran cambio puesto que Schoenfeld, de modo similar, ha ido
variando el nombre y alcance de las dimensiones, aunque en esencia sean las mismas. Basta con
observar matices en las dimensiones discutidas por este autor en las referencias mencionadas.

Estas cinco dimensiones son hipótesis que relacionan y agrupan aspectos importantes de la enseñanza informados por investigaciones de aula. A fecha de hoy, la utilidad de trabajar con estas hipótesis ha sido validada en numerosas observaciones de clases de matemáticas (e.g., Schoenfeld, 2017; Zhou et al., 2023) y en entornos de desarrollo profesional con profesores, a menudo involucrados en tareas de análisis de videos de clase mediante el marco TRU (e.g., Karsenty y Sherin, 2017; Schoenfeld, 2018). Tanto en las observaciones de clases como en los entornos de desarrollo profesional, la aplicación del marco TRU como herramienta de análisis generalmente se ha apoyado en la rúbrica denominada TRU-Math –*Teaching for Robust Understanding in Mathematics*– (Schoenfeld, 2018). TRU-Math propone tres niveles de logro para cada dimensión, contribuyendo así a la especificación del logro en la calidad de la enseñanza con respecto al contenido matemático que es el objeto del aprendizaje. Para la concreción de niveles por dimensión, son útiles las cuestiones orientadoras sugeridas en Li y Schoenfeld (2019), además de la formulación de niveles en Schoenfeld (2018). En nuestra interpretación del marco TRU-Math adaptado, trabajamos con el siguiente esquema de preguntas y niveles particularizados para la enseñanza de contenidos de divisibilidad:

* [D1] Riqueza del contenido matemático sobre divisibilidad. ¿Este contenido se comunica con corrección y claridad y conectado a otros contenidos?

* D1-Nivel 1. Contenido no siempre claro y con pocas conexiones

* D1-Nivel 2. Contenido claro con pocas conexiones

* D1-Nivel 3. Contenido claro y conectado a otros contenidos

* [D2] Demanda cognitiva de las tareas de divisibilidad. ¿Las tareas que se proponen suponen retos de razonamiento matemático para los alumnos?

* D2-Nivel 1. Tareas rutinarias con procedimientos memorísticos

* D2-Nivel 2. Tareas de indagación sin andamiaje suficiente

* D2-Nivel 3. Tareas de indagación con andamiaje suficiente

* [D3] Acceso equitativo al contenido y a las tareas de divisibilidad. ¿La participación matemática en la resolución de las tareas se pide a todos los alumnos?

* D3-Nivel 1. Participación limitada a algunos alumnos
* D3-Nivel 2. Participación de todos los alumnos en tareas rutinarias

* D3-Nivel 3. Participación de todos los alumnos en tareas de indagación

* [D4] Apoyo a la autonomía y conocimientos de los alumnos. ¿Las contribuciones de los alumnos se facilitan y valoran en la discusión de las tareas?

* D4-Nivel 1. Contribuciones esporádicas de alumnos

* D4-Nivel 2. Contribuciones abundantes de alumnos sin discusión

* D4-Nivel 3. Contribuciones abundantes de alumnos destacadas en la discusión

* [D5] Evaluación formativa de retos en el aprendizaje de la divisibilidad. ¿La evaluación regula partes del contenido que todavía no se han entendido?

* D5-Nivel 1. Interrupciones dedicadas a la corrección de errores

* D5-Nivel 2. Discusión de errores sin ajustes para su seguimiento

* D5-Nivel 3. Discusión de errores y ajustes para su seguimiento

Con el contenido de divisibilidad y para D2, por ejemplo, se puede especificar y examinar la progresión en la demanda cognitiva, desde tareas relativamente sencillas con números pares e impares, y con números primos y compuestos (Bodí, 2006), a tareas matemáticamente más complejas de factorización en números primos (Zazkis y Campbell, 1996) y de conceptualización del significado de divisor común y de múltiplo común para un conjunto de números naturales (Mason, 2006). La demanda cognitiva o el esfuerzo requerido para la resolución de unas u otras tareas dependerá del punto de partida de los alumnos y de sus conocimientos, pero también del apoyo que reciban durante la enseñanza, en particular mediante andamiajes lingüísticos en la interacción matemática con el profesor. Estos andamiajes lingüísticos, consistentes por ejemplo en preguntas orientadoras o clarificaciones, son especialmente complejos en un aula trilingüe con distintas lenguas en la comunicación matemática con el alumnado.

En nuestra interpretación y adaptación del marco TRU-Math, por tanto, es relevante incluir una dimensión transversal (DT) a las anteriores que contemple cuestiones de alternancia de lenguas:

* [DT] Alternancia de las lenguas en la enseñanza de la divisibilidad. ¿Las lenguas que se utilizan contribuyen a la comunicación con los alumnos en torno a la riqueza del contenido matemático, a la demanda cognitiva de las tareas, al acceso equitativo al contenido matemático y a las tareas, al apoyo a la autonomía de los alumnos y a sus conocimientos y a la evaluación formativa?

* DT-Nivel 1. Uso exclusivo de la lengua vehicular en la comunicación matemática

* DT-Nivel 2. Uso de lenguas híbridas en la comunicación matemática

* DT-Nivel 3. Uso de lenguas híbridas que fomentan la calidad de la enseñanza

De acuerdo con todo lo anterior, nos planteamos dar respuesta a una doble pregunta de investigación: ¿Cómo se puede evaluar la calidad de la enseñanza de la divisibilidad según el contenido matemático, la demanda cognitiva de la tarea, el acceso al contenido y a la tarea, el apoyo a la autonomía y conocimientos de los alumnos y la evaluación formativa? ¿Cómo se pueden ampliar y refinar los resultados de la evaluación de esta enseñanza de manera que las lenguas del profesor en la interacción del aula se consideren?

## Metodología del estudio

En esta sección, primero presentamos el contexto institucional del aula trilingüe y los participantes del estudio. A continuación, indicamos los criterios seguidos en el diseño de las
tareas de la secuencia de enseñanza de la divisibilidad y la distribución de contenidos a lo largo de estas tareas. Acabamos con la presentación de los métodos e instrumentos que se aplicaron en la recogida de datos de aula y en el análisis mixto cualitativo-cuantitativo de estos datos.

La implementación del experimento de enseñanza del presente estudio tuvo lugar en un instituto público de Gandia, en València, una zona bilingüe donde las lenguas oficiales son el castellano y el valenciano, que es una variante lingüística del catalán. En otoño de 2022 se implementó una unidad didáctica sobre divisibilidad con un grupo de primer curso de secundaria obligatoria (11-12 años). El primer autor es el profesor del aula y el responsable del programa plurilingüe en el instituto. Respecto del perfil docente del profesor, conviene señalar la amplia experiencia profesional impartiendo matemáticas tanto en grupos ordinarios de las etapas de secundaria obligatoria y bachillerato, como impartiendo matemáticas en los primeros cursos de secundaria a través de diferentes programas de inmersión en lengua extranjera.

En este contexto de enseñanza, el inglés era la lengua vehicular en las clases de matemáticas y los documentos con las tareas estaban únicamente escritos en esta lengua, según las recomendaciones del programa CLIL –*Content and Language Integrated Learning*– al que estaba adscrito el instituto bajo la coordinación del primer autor. No había preselección de alumnos con un cierto dominio del inglés, sino que todo un grupo clase entraba en el programa CLIL. Los alumnos del aula del estudio tenían, en general, poco dominio de la lengua inglesa y, aunque eran ágiles con prácticas multiplicativas como $3 \times 5 = 15$ y otras más sofisticadas, no estaban familiarizados con contenidos de divisibilidad asociados a la comprensión de estas prácticas multiplicativas, tales como el significado de 15 como múltiplo y el significado de 3 y 5 como divisores, ni tampoco lo estaban con comunicar significados para estos contenidos en inglés.

## Diseño de la secuencia de enseñanza

El primer autor diseñó, en colaboración con la segunda autora, la unidad y los materiales didácticos que apoyaron el desarrollo de la secuencia de enseñanza. El diseño estuvo guiado por resultados de las investigaciones sobre retos en el aprendizaje de la divisibilidad, algunos de los cuales hemos resumido en un apartado anterior. Pensamos tareas sobre hallar todos los divisores de un número que, dada la complejidad de aplicar esquemas combinatorios, acostumbran a seguir siendo difíciles para alumnos que ya han aprendido a identificar divisores concretos de un número. En la elaboración de las tareas, consideramos las dimensiones del marco TRU: riqueza del contenido matemático sobre divisibilidad (D1); demanda cognitiva de las tareas de divisibilidad (D2); acceso equitativo al contenido y a las tareas de divisibilidad (D3); apoyo a la autonomía de los alumnos y a sus conocimientos (D4); evaluación formativa de retos en el aprendizaje de la divisibilidad (D5). La primera versión de la unidad didáctica se pilotó en otoño de 2021, también en un aula trilingüe de primer curso de secundaria obligatoria del mismo instituto a cargo del primer autor. Las sesiones piloto se grabaron y discutieron con la segunda autora a fin de refinar los enunciados de algunas tareas y revisar su secuenciación y complejidad matemática. Por ejemplo, decidimos dejar las tareas sobre máximo común divisor y mínimo común múltiplo para las últimas sesiones de la unidad y, de este modo, garantizar que los alumnos hubieran trabajado suficientes tareas sobre las operaciones básicas que se necesitan para estas otras operaciones.
<table><caption>Figura 1. Distribución de contenidos en la unidad didáctica</caption><thead><tr><td>Sesión</td><td>Tarea</td><td>Contenido</td></tr></thead><tbody><tr><td>S1</td><td>1a, 1b, 1c, 1d, 2a, 2b, 3b, 3a</td><td>partes de la división, división exacta e inexacta, número par e impar</td></tr><tr><td>S2</td><td>2b, 3a, 3b, 4a, 4b, 4c</td><td>número par e impar, secuencias numéricas, múltiplo</td></tr><tr><td>S3</td><td>4d, 5d, 5a, 5e, 5f, 5g</td><td>relaciones multiplicativas, múltiplo y relación ser múltiplo de, potencia</td></tr><tr><td>S4</td><td>6c, 7a, 7b, 8a, 11a, 11b, 8b, 8d</td><td>divisor y relación ser divisor de, divisible por 3, relación múltiplo-divisor</td></tr><tr><td>S5</td><td>6a, 6b, 9a, 9b</td><td>número capicúa, divisible por 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 25 y 10</td></tr><tr><td>S6</td><td>10d, 10e, 13b, 13a, 10a</td><td>factor, divisor, árbol de factores, número de factores, potencia</td></tr><tr><td>S7</td><td>10d, 12d, 13b, 13d</td><td>( quantity de ) factores, número primo y compuesto, criba de Eratóstenes, potencia</td></tr><tr><td>S8</td><td>13b, 15c, 15b, 15e</td><td>factor, descomposición en factores primos</td></tr><tr><td>S9</td><td>16a, 16b, 17a, 18c</td><td>( máximo/mínimo común ) divisor/múltiplo, descomposición, diagrama de Venn</td></tr><tr><td>S10</td><td>13a, 13e, 13f, 11c, 11d, 10b</td><td>árbol de factores, número de factores, potencia, factor y divisor</td></tr><tr><td>S11</td><td>19a, 19b, 20d, 20e</td><td>( máximo/mínimo común ) divisor/múltiplo, descomposición, diagrama de Venn</td></tr></tbody></table>

La tabla de la Figura 1 indica la distribución de contenidos en la unidad didáctica llevada al aula, con tareas primero sobre división y multiplicación, luego sobre factorización y descomposición en factores primos y, por último, sobre los conceptos de mínimo común múltiplo y máximo común divisor de un conjunto de números naturales. En la segunda columna de la tabla, se observa que finalmente no se realizaron las tareas 14 y 21, al no haber tiempo en las correspondientes sesiones de clase para las cuales estaban planeadas. Tampoco se completaron algunos de los ítems originales de algunas de las tareas. En algunos casos fue por falta de tiempo durante la sesión. En otros casos, las modificaciones fueron porque, dadas las intervenciones de los alumnos, el profesor en el aula tuvo que tomar determinadas decisiones. Decidió, por ejemplo, desarrollar en mayor profundidad alguno de los ítems a costa de suprimir otros.

Siguiendo algunas de las recomendaciones didácticas en Planas et al. (2022), las tareas escritas proporcionaron en su conjunto: (i) combinaciones de representaciones lingüísticas, gráficas-visuales y simbólicas-numéricas de conceptos como el de factorización o el de árbol de factores; (ii) combinaciones de enunciados de contextos cotidianos y académicos para la discusión de hechos matemáticos como la unicidad de la descomposición en factores primos o la equivalencia entre x es divisor de y e y es múltiplo de x. Por otra parte, la diversidad de representaciones y contextos se combinó con tareas de fluidez procedimental (e.g., encontrar todos los divisores naturales de varios números) y de indagación (e.g., encontrar un número dados todos sus divisores naturales; sabiendo el máximo común divisor de dos números y uno de estos números, encontrar el segundo número). En la Figura 2, a modo de ejemplo, mostramos dos de las tareas que se presentaron y desarrollaron durante la segunda y tercera sesiones de clase de la secuencia. Se pueden observar las demandas cognitivas de producir, completar y discutir razonamientos en torno a contenidos sobre divisibilidad.
<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Figura 2. Reproducción de las tareas 3 y 5 de la secuencia de enseñanza</figcaption></figure>

## Recogida y análisis de datos

Los datos del estudio se corresponden con 11 sesiones consecutivas de clase (S1 a S11), de una hora aproximadamente cada una, en la que participan los 26 alumnos de primer curso de un grupo clase estable. Estos datos se grabaron en video, se transcribieron de acuerdo con los criterios argumentados en Jefferson (2004) y se volcaron, en video y transcritos, en el programa informático Atlas.ti 23. Nos propusimos valorar la calidad de la enseñanza en un total de más de 500 minutos de grabaciones. Por tanto, estos 500 minutos constituyeron nuestra unidad máxima de análisis, constituida a su vez por las unidades intermedias de las sesiones de clase, cada una con sus momentos o períodos intermedios de enseñanza.

La formulación última de los objetivos del estudio tuvo lugar tras la recogida de los datos de video y la primera familiarización de los dos autores con los datos de video y transcritos. Hasta ese momento, estuvimos trabajando con objetivos provisionales que orientaran los primeros pasos metodológicos. En términos de reproducibilidad del experimento, cabe indicar que el Objetivo 3 se acordó tras el diseño y la implementación, por lo que el profesor no sabía que se identificarían sus cambios y alternancia de lenguas en la enseñanza. El tercer objetivo surgió al familiarizarnos con los datos transcritos y notar que la elección de la lengua de la enseñanza variaba a lo largo de la gestión de las tareas de modos que parecían estratégicos con respecto al desarrollo de dimensiones del marco TRU y del instrumento TRU-Math.

El análisis de datos empezó con la codificación de las dimensiones y niveles a partir del marco TRU-Math adaptado. Para ello se crearon las unidades de análisis susceptibles de ser codificadas. Los turnos del profesor, entendidos como los fragmentos de datos más pequeños con significado
en la enseñanza, fueron la unidad mínima de análisis. Los tomamos como turnos de palabra en una sesión que abarcan desde que el profesor empieza a hablar hasta que deja de hablar y pasa a hablar un alumno. Enumeramos los turnos en la transcripción y codificamos deductivamente solo los del profesor. Los turnos no codificables fueron los que no pudimos asociar con ninguna de las dimensiones D1 a D5. La Figura 3 muestra un ejemplo de turno del profesor.

T<sub>1816</sub> si et preguntem (.) ↑és divisible (x) >la pregunta de l'activitat, *is this number [243·5+4] divisible by five?*< eixa és la pregunta (.) el raonament que tu has fet >és impecable està perfecte no podem dir res< ara bé (.) lo que no sé és si està responent a la pregunta (.) *is this number [243·5+4] divisible by five, yes or not?*

<caption>Figura 3. Ilustración de un turno del profesor en una sesión de clase</caption>

Para cada turno transcrito del profesor Tn, el turno situado TSn fue la unidad constituida por turnos inmediatamente anteriores y posteriores. Se tuvieron que tomar decisiones, por tanto, sobre cuántos turnos considerábamos necesarios en cada caso para confirmar o abandonar las codificaciones preliminares realizadas por uno de los dos autores o por los dos en paralelo. Así, nos apoyamos en una unidad intermedia más manejable que la sesión de clase en cuanto a tamaño, que en general acabó representando un momento de enseñanza centrado en la discusión de uno o más ítems de una tarea. La Figura 4 muestra un ejemplo de turno situado del profesor, en este caso asociado al turno T<sub>1816</sub>.

1811 Gina: tens que multiplicar un impar
1812 P: [si::i]
1813 Gina: [per un impar] però después un par es converteix en un par
1814 P: i la conclusió per tant què és?
1815 Gina: que serà par
1816 P: i si et preguntem (.) ↑és divisible (x) >la pregunta de l'activitat, *is this number [243·5+4] divisible by five?*< eixa és la pregunta (.) el raonament que tu has fet >és impecable està perfecte no podem dir res< ara bé (.) lo que no sé és si està responent a la pregunta (.) *is this number [243·5+4] divisible by five, yes or not?*
1817 Yadir: no, because ...
1818 P: explica-ho en altra si prefereixes (.) no, per què no? per què dius que no?
1819 Yadir: perquè com ha dit Gina...
1820 P: si::i
1821 Yadir: quan sumes un par per un par ...

<caption>Figura 4. Ilustración del turno situado para el turno de la Figura 3</caption>

Si para Tn habíamos identificado evidencias de la dimensión Di, buscábamos confirmación en turnos adyacentes, y lo hacíamos cada uno de los autores por separado. Para cada Tn con códigos asociados, cuando esto fue posible, asignamos niveles a las dimensiones identificadas. La presencia de una dimensión en un momento de una secuencia de enseñanza es independiente con respecto a la de otra, por lo que un mismo momento podía ser ejemplo o evidencia de varias dimensiones, cada una con su nivel. Finalmente, asignamos las lenguas en uso a cada Tn codificado y a los turnos situados o momentos de enseñanza asociados. Para asignar las lenguas en los turnos del profesor, tomamos los siguientes códigos: lengua vehicular (inglés), lengua no vehicular (castellano/valenciano) y lenguas híbridas. A pesar de que la noción de lenguas híbridas en Lemke (1990) se refiere a la alternancia de registros dentro de un sistema lingüístico, nuestro código se refiere a la alternancia de sistemas lingüísticos.
La codificación deductiva de naturaleza cualitativa se completó con métodos cuantitativos. Para cada sesión y dimensión, agrupamos los momentos de enseñanza codificados y calculamos frecuencias de aparición. Luego elaboramos un gráfico poligonal con las variables de sesión de clase y frecuencia de aparición, con un color por dimensión. Al ser cuantitativa la variable de niveles, con solo tres posibles valores y de ahí poco margen de dispersión, decidimos no realizar análisis de varianzas y simplemente calculamos medias aritméticas. Con los valores de estas medias, elaboramos cinco líneas poligonales, una por dimensión, donde la calidad del momento de enseñanza se mide en orden creciente de 1 a 3. La síntesis, mediante gráficos poligonales, de frecuencias absolutas de momentos de enseñanza por dimensión y sesión y de medias aritméticas para niveles, fue una estrategia para facilitar ver tendencias a lo largo de la secuencia de enseñanza. Esto no significa, sin embargo, que dimensiones con menor frecuencia tengan menor importancia en el desarrollo de la enseñanza. Nuestros análisis no se centran en las frecuencias de las dimensiones, sino que estas frecuencias funcionan como evidencia de la presencia de las dimensiones. Recurrimos a una tercera medida estadística para las frecuencias absolutas de momentos de enseñanza con el recurso de lenguas híbridas. La representación de estas frecuencias se intersecó con la representación de las frecuencias absolutas por dimensiones y sesiones, solo para los Niveles 2 y 3. Por ejemplo, si para S1, hubo 65 momentos codificados como D1-Nivel 2 y D1-Nivel 3, se buscó cuántos mostraban alternancia de lenguas.

## Resultados principales

En esta sección, primero mostramos la caracterización de los momentos de la enseñanza (subapartado 5.1, Objetivo 1), con la utilización de seudónimos para los nombres de alumnos. A continuación, presentamos la discusión de la calidad de la enseñanza en la secuencia de clases (subapartado 5.2, Objetivo 2). Por último, exploramos algunas de las relaciones emergentes documentadas entre la calidad de la enseñanza, específicamente la priorización del aprendizaje de contenidos de divisibilidad, y las lenguas en uso (subapartado 5.3, Objetivo 3).

## Caracterización de los momentos de enseñanza: turno del profesor T<sub>1816</sub>

Dada la complejidad de sintetizar las características de los distintos momentos de enseñanza, con una o más dimensiones asociadas a cada uno, hemos optado por caracterizar el momento de enseñanza del turno del profesor T<sub>1816</sub>, turno codificado únicamente con tres dimensiones: demanda cognitiva de las tareas (D2), apoyo a la autonomía y conocimiento de los alumnos (D4), y evaluación formativa (D5). Aunque hay otros turnos triplemente codificados, hemos seleccionado uno donde los niveles no son iguales para todas las dimensiones. T<sub>1816</sub> es, además, un turno interesante desde la perspectiva de las lenguas en uso ya que el profesor utilizó lenguas híbridas que combinaron valenciano e inglés. En el subapartado donde se explica el análisis de datos, de la sección de metodología, se muestra la transcripción original del momento de enseñanza que se corresponde con el turno situado.

En la segunda mitad de S4, el profesor pidió a los alumnos que trabajaran en parejas y que anotaran las respuestas del compañero a las cuestiones de la Tarea 8b sobre divisibilidad por 5 que muestra la Figura 5. Las cuestiones de la tarea suponían una dificultad matemática creciente, con un número cuyo último dígito era 5, otro cuyo último dígito era 0, otro representado como la suma de dos sumandos donde solo uno es múltiplo de 5 y un último número exponencial de base 4. El enunciado en inglés fue el que se reproduce en la Figura 5.
TASK 8b: Work in pairs and write down your partner's answers.

Is 2435 divisible by 5?

Why?

Is 520 divisible by 5?

Why?

Is 243·5+4 divisible by 5?

Why?

Is 4²⁰ divisible by 5?

Why?

<caption>Figura 5. Tarea 8b planteada en el momento de enseñanza del turno del profesor T₁₈₁₆</caption>

El momento de enseñanza cuyo turno codificado es T₁₈₁₆, tiene las siguientes características:

a) La tarea presenta una demanda cognitiva de indagación sin andamiaje suficiente a la que asignamos el nivel (D2-N2), dado que preguntar si el número 243·5+4 es múltiplo de 5 supone un reto para los alumnos de primer curso de secundaria, al no poder usar la propiedad distributiva, conocida por ellos, para representar el número de la forma 5·(a+b). Además, el profesor en sus turnos hizo preguntas pero no dio explicaciones matemáticas sobre, por ejemplo, comprender que el número 243·5 es divisible por 5 está relacionado con comprender que el número 243·5+4 no puede ser divisible por 5.

b) El apoyo a la autonomía y a los conocimientos de los alumnos se favorece, tal como evidencian las contribuciones de estos en la discusión y su valoración por parte del profesor (D4-N3). Por ejemplo, el profesor valoró y reconoció la contribución de Gina sobre la paridad del producto de un número par por un número impar, indicándole que su razonamiento era matemáticamente correcto pero que no respondía a la pregunta *is this number [243·5+4] divisible by five, yes or not?*

c) La evaluación formativa del aprendizaje de la divisibilidad se centra en discutir errores sin un seguimiento posterior (D5-N2). Durante la discusión sobre la paridad del producto de un número par por un número impar, se favoreció la comprensión de los alumnos al repetir en inglés la pregunta de la tarea, *is this number [243·5+4] divisible by five? (*) is this number [243·5+4] divisible by five, yes or not?* Sin embargo, no se han encontrado indicios de que este momento de enseñanza fuera parte de una discusión orientada a argumentar la distinción entre la paridad de un número y su divisibilidad por 5.

## Discusión de la calidad de la enseñanza

En un principio la calidad de la enseñanza se asocia con que las dimensiones del marco estén bien representadas en la práctica matemática del aula. Por ello son agrupadas por intervalos, las cantidades de momentos de enseñanza codificados por sesión, todavía sin mención a la alternancia de lenguas ni a niveles tal y como se ilustra en la Figura 3. Estas cantidades son la base del análisis de la calidad de la enseñanza a lo largo de las 11 sesiones de clase. Se observa que, en general, hay una cantidad mayor de momentos con presentación de contenidos sobre divisibilidad (D1, color azul) y con facilitación del acceso al contenido y a las tareas específicas (D3, color verde). Estos resultados contrastan con la cantidad de momentos con demanda cognitiva a los alumnos (D2, color amarillo). También se observa en S2, S5 y S8 una tendencia de descenso de todas las dimensiones con respecto a sesiones previas. Esto se justifica porque en las tareas de la segunda sesión se repite gran parte del contenido sobre paridad como se observa en la tabla de la Figura 1; en la quinta sesión se lleva a cabo una tarea rutinaria que es necesaria para afianzar la comprensión del contenido, pero supone poco reto en el aprendizaje del alumnado; igualmente, en la octava sesión se repite el concepto de factor de la sesión anterior y se factorizan números como preparación al mínimo común múltiplo, lo cual resulta mecánico.
Aunque los momentos de enseñanza tienen duraciones y niveles distintos, de las frecuencias calculadas se pueden inferir algunas características de la enseñanza en la secuencia. Por ejemplo, para D1, independientemente de si los contenidos sobre divisibilidad se comunican siempre de un modo claro y conectado con otros contenidos, las frecuencias indican que hay una gran cantidad de momentos en los que se presentan y discuten estos contenidos a lo largo de la secuencia. Para D2, sin embargo, las frecuencias apenas indican que parte de la enseñanza se organiza en torno a tareas, sin evidencias de que haya tareas de indagación con andamiaje suficiente por delante de rutinas de baja demanda cognitiva.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figura 6. Frecuencias de momentos de enseñanza por dimensión y sesión</figcaption></figure>

Los resultados de la Figura 6 permiten atender comparativamente a dos o más dimensiones según sus frecuencias de aparición en la secuencia. En particular, las frecuencias de D2, en comparación con el resto de las dimensiones, no implican que en la enseñanza no se planteen tareas de indagación con demanda cognitiva para los alumnos. En los análisis para la caracterización de los momentos de enseñanza, se comprueba que turnos como el T₁₈₁₆, caracterizado con un Nivel 2 de demanda cognitiva, tienen un impacto en la interacción con los alumnos al iniciar intervenciones sobre la estructura multiplicativa de la divisibilidad. La discusión en torno a la relación multiplicativa en 243·5 y la relación aditiva en 243·5+4 no se recoge en T₁₈₁₆, pero sí aparece en la participación de los alumnos tras indicar, el profesor, que no se está respondiendo a la pregunta de la tarea.

Los análisis cualitativos matizan en este sentido los resultados estadísticos de las frecuencias de la Figura 6. Las diferencias entre dimensiones en la secuencia de enseñanza tienden a reducirse y las dimensiones tienden a equilibrarse si se considera el impacto de los momentos del habla del profesor en la participación matemática de los alumnos y en la evaluación formativa, a partir de la discusión de errores y razonamientos poco precisos o incompletos. Estas consideraciones surgen de los análisis cualitativos desarrollados para asignar niveles a las dimensiones y, por tanto, la discusión de la calidad de la enseñanza ahora se asocia con los matices que proporcionan los niveles de cada dimensión del marco. El gráfico de la Figura 7 recoge los resultados de niveles promedio por dimensión y sesión de clase.
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figura 7. Frecuencias de momentos de enseñanza por dimensión y sesión</figcaption></figure>

La Figura 7 muestra que no hay una dimensión cuyo nivel promedio esté claramente por encima del resto a lo largo de las sesiones de clase, ni tampoco hay una dimensión cuyo nivel promedio esté siempre por debajo, aunque D4 suele ir por debajo. Por otra parte, el gráfico de todas las dimensiones está siempre por encima del Nivel 2, a excepción de D3 en S1. Los resultados del análisis cualitativo indican que la calidad de la enseñanza va a depender del equilibrio final entre las dimensiones. Estos análisis han demostrado que la sostenibilidad en el tiempo de una demanda cognitiva de Nivel 3 incide negativamente sobre otras dimensiones como la aparente falta de interés del alumnado y el descenso del número de alumnos que siguen la tarea con atención. De igual modo ocurre que un exceso de andamiaje en las tareas, D3, no facilita que el alumnado exprese sus ideas y haga sus aportaciones, D4, ni tampoco permite conocer otros enfoques con los que afrontar una tarea y fomentar la discusión entre el alumnado. A pesar de la identificación de momentos de enseñanza de bajo nivel en las dimensiones, se puede concluir, por tanto, sobre una calidad elevada de la enseñanza, con algunas sesiones y momentos con dominio de niveles altos en varias dimensiones y un equilibrio relativo entre dimensiones.

## Relaciones emergentes entre calidad de la enseñanza y alternancia de lenguas

En el subapartado anterior, los resultados mostrados y discutidos llevan a concluir sobre la calidad de la enseñanza. No se ha considerado todavía, sin embargo, la singularidad trilingüe del aula mediante el estudio de la dimensión transversal relativa a la alternancia de lenguas. En este subapartado, nos fijamos en esta dimensión, introducida en nuestra adaptación del marco TRU en relación con el resto de las dimensiones para determinar de qué manera se mantiene una relativa calidad de la enseñanza cuando son utilizadas las tres lenguas.

La Figura 8 muestra las frecuencias de aparición, en los distintos momentos de enseñanza caracterizados, de las lenguas inglesa, castellana y valenciana y de lenguas híbridas (lenguas combinadas en una misma intervención del profesor), distribuidas por dimensión y sin distinción de sesión de clase. La suma de momentos por columna se corresponde con los totales de cada dimensión. La suma de frecuencias horizontales, sin embargo, no coincide con el total (e.g.,
526+199+528+405+397=2055 es casi el doble de 1057) puesto que muchos de los momentos identificados de enseñanza se han caracterizado con más de una dimensión.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figura 8. Frecuencias de lenguas en uso por dimensión (imagen de Atlas.ti 23)</figcaption></figure>

Los datos de frecuencias de la Figura 8 indican que el valenciano es la primera lengua en uso en los momentos de enseñanza en todas las dimensiones, aun cuando la lengua planificada era el inglés. Sigue el uso de lenguas híbridas en D1, D2, D3 y D4, a excepción de D5. Estos datos muestran la escasa "imposición" del inglés en la interacción del aula. La tabla de la Figura 9 ilustra las frecuencias de lenguas híbridas por dimensión y sesión para los momentos de enseñanza caracterizados con niveles más altos; las cantidades marcadas en negrita muestran los momentos con lenguas híbridas para los cuales hemos asociado niveles bajos.

<table><caption>Figura 9. Frecuencia de lengua híbrida por dimensión y sesión</caption><thead><tr><th>Híbrida</th><th>D1 -N2, N3</th><th>D2 -N2, N3</th><th>D3 -N2, N3</th><th>D4 -N2, N3</th><th>D5 -N2, N3</th></tr></thead><tbody><tr><td>S1</td><td>18</td><td>6</td><td>12</td><td>11</td><td>10</td></tr><tr><td>S2</td><td>16</td><td>8</td><td>9</td><td>12</td><td>7</td></tr><tr><td>S3</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>S4</td><td>14</td><td>6</td><td>12</td><td>13</td><td>11</td></tr><tr><td>S5</td><td>15</td><td>6</td><td>17</td><td>16</td><td>9</td></tr><tr><td>S6</td><td>4</td><td>5</td><td>4</td><td>3</td><td>5</td></tr><tr><td>S7</td><td>12</td><td>5</td><td>7</td><td>6</td><td>6</td></tr><tr><td>S8</td><td>5</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>3</td></tr><tr><td>S9</td><td>18</td><td>9</td><td>8</td><td>9</td><td>6</td></tr><tr><td>S10</td><td>14</td><td>15</td><td>24</td><td>15</td><td>18</td></tr><tr><td>S11</td><td>7</td><td>4</td><td>14</td><td>14</td><td>5</td></tr><tr><td>Total</td><td>124</td><td>68</td><td>113</td><td>103</td><td>82</td></tr></tbody></table>

Los momentos de enseñanza caracterizados con niveles altos y lenguas híbridas son un total de 124+68+113+103+82=490 y se distribuyen por sesiones según el gráfico de la Figura 10. Hasta 538 momentos de enseñanza se apoyan en lenguas híbridas, 490 de los cuales son de Niveles 2 y 3, lo cual interpretamos como un criterio de calidad en la enseñanza de la divisibilidad durante la secuencia. Por otro lado, D1 es la dimensión relacionada con la comunicación clara y con conexiones del contenido, pudiendo observarse en la distribución por sesiones de la Figura 10 que es la dimensión con más momentos de enseñanza de calidad en las sesiones S1, S2, S4, S7, S8 y S9. Los casos de S3 y S8 son algo distintos. Convendría revisar la secuencia de tareas y contemplar alternativas en su andamiaje que faciliten el uso de las otras lenguas, mejoren D1 y
D3 en S3 y contribuyan a un ligero aumento de los promedios de D4 y D5 en S8. Estos datos muestran evidencias del uso de lenguas híbridas en la enseñanza, con intercambios entre las tres lenguas, para favorecer la comprensión matemática en tareas que exigen cierta demanda cognitiva. De la Figura 7, se encuentran identificados tan solo 16 momentos con lengua inglesa de entre los 326 identificados con D2 que conllevan tareas de alta demanda cognitiva. De nuevo, el uso exclusivo del inglés es bajo a lo largo de la secuencia con un dominio de alternancia entre lenguas especialmente en momentos de la enseñanza con niveles altos para las cinco dimensiones caracterizadas. La relación hace razonable pensar que los niveles altos asociados a la calidad de la enseñanza han sido posibles por la flexibilidad en la alternancia de lenguas.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figura 9. Momentos con niveles altos y lenguas híbridas por dimensión y sesión</figcaption></figure>

## Conclusiones

La utilización del marco TRU (Schoenfeld, 2013, 2018), adaptado para analizar una secuencia de sesiones de clase sobre divisibilidad en nuestro contexto de aula trilingüe, nos ha permitido discutir una mirada informada sobre aspectos de la calidad de esta enseñanza. Respondiendo a nuestra doble pregunta de investigación, hemos podido evaluar la calidad de la enseñanza de la divisibilidad según resultados acerca del contenido matemático, la demanda cognitiva de la tarea, el acceso al contenido y a la tarea, el apoyo a conocimientos de los alumnos, la evaluación formativa y la alternancia de lenguas en la interacción del aula. Nuestras dimensiones del marco TRU son una adaptación de un modelo de los muchos otros que podríamos haber escogido (Charalombous y Praetorius, 2018). En la base de nuestro estudio está el argumento de que cualquier modelo escogido tendría que haberse complementado con la atención a la alternancia de lenguas en la enseñanza, dada la singularidad del aula del estudio. En un aula trilingüe donde los alumnos tienen un escaso dominio de la lengua vehicular, la calidad de la enseñanza de matemáticas no es independiente de la flexibilidad con la que el profesor utiliza las lenguas del aula en beneficio de la participación de los alumnos en los procesos de discusión y de razonamiento. Incluir la alternancia de lenguas en el estudio de la calidad de la enseñanza ha puesto de manifiesto cómo ciertas dimensiones se concretan de maneras distintas según si solo se utiliza la lengua vehicular o si se utilizan varias lenguas combinadas.

Por un lado, hemos identificado lenguas híbridas en la enseñanza en los momentos con niveles altos de riqueza del contenido matemático, de demanda cognitiva de las tareas, de acceso equitativo al contenido y a las tareas, de apoyo a la autonomía y conocimientos de los alumnos y de evaluación formativa. Por otro lado, hemos identificado el uso exclusivo de la lengua
vehicular o de una de las lenguas oficiales en los momentos de enseñanza con niveles más bajos de estas dimensiones. El recurso de lenguas híbridas en la enseñanza parece haber apoyado la facilitación de una comprensión robusta del contenido matemático. Hay varios momentos de la enseñanza en los cuales se interactúa con retos parecidos a los señalados en la literatura (e.g., Zazkis, 1998a, 1998b, 2000) y, como respuesta, se recurre a un cierto equilibrio entre el registro matemático en la lengua vehicular y los registros matemáticos y cotidianos en las tres lenguas utilizadas por los alumnos. En el conjunto de datos de las sesiones de clase, quedan sin embargo cuestiones por resolver, que precisan de un estudio detallado de las prácticas matemáticas-lingüísticas en la enseñanza más allá de la elección de la lengua. El profesor en su enseñanza ha tenido que utilizar prácticas lingüísticas específicas como, por ejemplo, preguntar para mantener el nivel de demanda cognitiva en las discusiones con los alumnos.

Nuestros resultados complementan resultados de Planas y Setati (2009) y Planas (2014) centrados en los alumnos y en el aprendizaje, sobre alternancias de lenguas según la demanda cognitiva de las tareas matemáticas. Desde la enseñanza, el profesor del aula en nuestro estudio también parece elegir la lengua más adecuada en cada momento según la interacción que se está produciendo con los alumnos, tal como mostramos en el ejemplo de momento en este artículo. Esta elección de lenguas híbridas contrasta con las prácticas de enseñanza en aulas multilingües documentadas en Phakeng et al. (2018), donde se concluyó que se había favorecido la enseñanza y el aprendizaje de la lengua vehicular por delante del contenido matemático al no haberse promovido la alternancia de lenguas. Es especialmente importante tener en cuenta todos estos resultados en el contexto institucional de auge de programas CLIL de enseñanza de las matemáticas, generalmente con el inglés como lengua vehicular.

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