# Incidence du comportement dynamique des machines-outils sur la détermination de stratégies d'usinage en UGV

Farah Bettaieb, Pascal Cosson, Jean-Yves Hascoët

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Farah Bettaieb, Pascal Cosson, Jean-Yves Hascoët. Incidence du comportement dynamique des machines-outils sur la détermination de stratégies d'usinage en UGV. CFM 2007 - 18ème Congrès Français de Mécanique, Aug 2007, Grenoble, France. hal-01911081

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# Incidence du comportement dynamique des machines-outils sur la détermination de stratégies d'usinage en UGV.

Farah Bettaieb, Pascal Cosson & Jean-Yves Hascoët

Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes – UMR CNRS 6597

Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique– UMR CNRS 6183

1 rue de la Noë, BP92101, 44321 Nantes Cedex 03, France

farah.bettaieb@irccyn.ec-nantes.fr, Pascal.Cosson@ec-nantes.fr, jean-yves.hascoet@irccyn.ec-nantes.fr

## Résumé :

Dans le cadre de l'Usinage Grande Vitesse, les vitesses élevées d'avance et de coupe génèrent des sollicitations dynamiques complexes auxquelles sont soumises les machines-outils et les pièces usinées. Le but des travaux présentés ici est de mettre en évidence des liens existants entre « les stratégies d'usinage, le comportement dynamique de la machine-outil (M.O) pendant l'usinage et la qualité de la pièce ».

Cet article présente la modélisation d'une M.O parallèle, considérée comme structure déformable à l'aide d'une approche multicorps. Il s'agit en particulier d'étudier l'influence des quantités d'accélération sur la déformation des six bras de cette M.O en fonction de la trajectoire imposée au niveau de la broche.

L'avantage principal du modèle multicorps est de générer un modèle de petite taille qui ne nécessite pas l'utilisation d'un logiciel spécifique d'éléments finis. Ceci permet d'envisager, à terme, l'intégration de ces modèles dans un logiciel de FAO afin de prendre en compte le comportement dynamique de la M.O. lors de la définition de la stratégie d'usinage.

Les déformations au niveau des bras sont supposées être élastiques et les équations de liaisons sont prises en compte par l'intermédiaire de multiplicateurs de Lagrange.

Une machine cinématique parallèle (PKM) (la machine Verne) est considérée pour vérifier et illustrer les approches proposées. Les résultats obtenus par la modélisation multicorps ont été comparés avec ceux obtenus en utilisant le logiciel SAMCEF.

## Abstract:

Within the framework of High Speed Machining, worpieces and machine tools are submitted to complex dynamical solicitations. The aim of the work presented here is to highlight existing links between "machining strategies, mechanical behavior of the machine tool during machining and the final workpiece".

This paper provides an introduction to the mechanical aspects of the use of a multibody approach for studying a parallel machine tool regarded as a deformable structure. It is in particular the studying of the influence of the quantities of acceleration on the deformation of the six arms of a parallel machine tool according to the imposed trajectory.

The main advantage of a multibody approach is that it leads to build models with small size, which the use does not require specific finite elements softwares. In the future, it is of interest that this model could be inserted in a simulator of machining operations. The deformations of the arms are supposed to be elastic and the equations of constraints are taken into account using Lagrange formalism.

A Parallel Kinematic Machine (PKM) (Verne machine) is considered to verify and illustrate the proposed approaches. A comparison of the results with those obtained with SAMCEF is proposed.

## Mots-clef :

Usinage Grande Vitesse, Approche multicorps, Manipulateurs flexibles
# 1 Introduction

L'une des premières caractéristiques de l'UGV est l'augmentation des niveaux d'accélération auxquelles sont soumises les machines-outils et les pièces usinées. La fréquence de rotation de la broche et les vitesses d'avance sont décuplées. Au cours d'une opération d'usinage standard, les sollicitations dynamiques (dues aux quantités d'accélération) supportées sont multipliées.

Le but premier de ce travail est de quantifier les déformations dues à la dynamique de la machine-outil pour étudier l'influence de la prise en compte ou non des déformations. Si ces déformations peuvent être négligées, la machine outil peut être modélisée avec une approche multicorps indéformable. Dans ce cas les vibrations seront dues aux jeux dans les articulations. Si non, pour modéliser le comportement mécanique de la machine-outil, l'approche multicorps indéformable peut être adaptée en modélisant les parties les plus rigides par des solides indéformables et les parties plus flexibles par des éléments déformables.

Un autre aspect du problème est la nécessité de disposer d'un modèle synthétique de la machine défini par un nombre limité de paramètres de sorte que ces modèles puissent être intégrés dans un simulateur d'usinage.

Une étude a donc été initiée sur le centre d'Usinage FATRONIK VERNE. C'est une machine hybride 5 axes (fig.1). Le module parallèle comporte 3 axes de translation, 6 bras pour piloter les déplacements de la broche. Les bras relient la plateforme mobile supportant la broche à la structure par trois liaisons glissière. Le module sériel est un berceau avec 2 axes rotatifs.

L'objectif est de parvenir à un modèle multicorps déformable des six bras pilotant le déplacement de la plate-forme mobile. Il s'agit en particulier d'étudier l'influence des quantités d'accélération sur la déformation des six bras en fonction de la trajectoire imposée.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1 – Cinématique de la machine verne.</figcaption></figure>

# 2 Etude des manipulateurs flexibles : approche multicorps

## 2.1 Modélisation dynamique des manipulateurs flexibles

Une approche multicorps déformable est utilisée pour modéliser les bras flexibles pilotant les mouvements de la broche. Elle est basée sur le fait que la déformation du corps est suffisamment petite pour être considérée linéaire élastique par rapport à un repère local. Le calcul peut alors être effectué en superposant les grands mouvements de type solide indéformable et un mouvement de type solide déformable en petite déformation.

Pour le mouvement de petite déformation, on fait l'hypothèse d'un comportement linéaire élastique. Le champ de déplacement s'écrit alors :
$$U = Ur + Ue \quad (1)$$

Ur est le champ de déplacement rigide. Ue est le champ de déplacement élastique (Ue << 1). En première approche une simplification plane du module parallèle de la M.O Verne a été traitée. Ce premier modèle 2D du module parallèle a permis d'étudier l'influence des déformations sans avoir à construire une représentation spatiale. (figure 3). On considère les deux bras uniformes avec une masse à l'extrémité mc. Pour chaque bras le champ de déplacement est le suivant (figure2) :

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 2 – définition des champs de déplacement du bras i.</figcaption></figure>

$$ \begin{align} u_i(s) &= [N_{ui}(s)]\{q_{ui}\} \tag{2-a} \\ w_i(s) &= [N_{vi}(s)]\{q_{vi}\} \tag{2-b} \end{align} $$

$$ \alpha_i(s) = w_{i's}(s); \quad \overline{OO_i} = x_{0i}\vec{x}_0 + y_{0i}\vec{y}_0 \quad (2-c) $$

$$ \theta_i = (\vec{x}_0, \vec{x}_i) \quad (2-d) $$

$\alpha_i$: Rotation de la section du au déplacement élastique du bras i.

Pour chaque bras i le vecteur des coordonnées généralisées Xi est le suivant :

$$ X_i = [x_{0i} \quad y_{0i} \quad \theta_i \quad q_{ui} \quad q_{vi}]^T \quad (3) $$

La position de la masse mc est définie par ses coordonnées absolues x_E et y_E. Ces deux variables sont introduites pour faciliter l'écriture des équations du mouvement.

Pour calculer correctement l'écart entre la trajectoire réelle et théorique du point E, il est important de prendre en compte la déformation due à l'effort normal : Cosson et al. (2006). En effet en négligeant cet effort, la longueur du bras reste constante. On trouve après simulation que le point E suit la trajectoire théorique. L'effort normal a donc été pris en compte afin de pouvoir estimer d'éventuels écarts entre la trajectoire attendue et la trajectoire réelle.

## 2.2 Equation de Lagrange

Pour décrire la dynamique de ce système, les équations du mouvement sont obtenues en utilisant le formalisme de Lagrange. Les équations régissant le mouvement sont données par :

$$ \begin{cases} M(X)\ddot{X} = f(t, X, \dot{X}) - G^T(X,t)\Lambda \quad (a) \\ g(X,t) = 0 \quad (b) \end{cases} $$

X: vecteur de variables : $X = [X_1, X_2, x_E, y_E]^T$

M(X): matrice masse;

$f(t, X, \dot{X})$: La contribution des forces centrifuge, de coriolis, interne et externe;

g : équation de contrainte ; $G = \frac{\delta g}{\delta X}$ matrice jacobienne de contrainte

$\Lambda$: vecteur de multiplicateurs de Lagrange associés aux équations de liaison.

L'équation de mouvement de ce type de modèle multicorps contraint est un système d'équations algébro-differentielles (DAE) du second ordre. Ce type d'équation peut être résolu en utilisant un schéma d'intégration du 1er ou du 2ed ordre : Bettaieb et al. (2007).

La résolution par un schéma du premier ordre de l'équation (4) nécessite de réduire au préalable l'ordre du système. De plus, cette équation (4) est d'index égal à 3 : Le Vey (1994) et Wehage et al. (1982). Afin d'éviter les problèmes numériques qui compliquent l'intégration de
ce type de système, ce dernier est transformé en un nouveau système d'index inférieur en dérivant les contraintes : Brenan et al. (1996), Fuhrer (1988) et Hairer, et al. (1996). Les équations de contraintes sont satisfaites en introduisant une stabilisation de Baumgarte Baumgarte (1972). On obtient ainsi un système différentiel du premier ordre qui peut être intégré avec un schéma de Runge-Kutta.

L'équation (4) peut également être résolue par un schéma du second ordre de type Newmark. La résolution de cette équation non linéaire avec un schéma implicite est itérative. L'utilisation des multiplicateurs de Lagrange avec un schéma d'intégration de Newmark fait apparaître des instabilités numériques. Pour palier à cela, l'introduction d'un amortissement numérique s'avère nécessaire. Cet amortissement numérique peut être introduit soit en modifiant les paramètres du schéma de Newmark, soit en utilisant un schéma de Hilber-Hugues-Taylor Hilber (1977). Ces deux méthodes ont été implémentées dans MATLAB et les résultats obtenus ont été comparés avec ceux obtenus avec SAMCEF. Le modèle retenu dans SAMCEF est celui d'une poutre en grandes transformations.

Les deux méthodes d'intégration ont conduit aux mêmes résultats, ces résultats étant comparables avec ceux fournis par SAMCEF. Pour la suite, la méthode d'intégration choisie est celle utilisant le schéma implicite du second ordre, car elle permet d'utiliser un pas de temps plus important et donc de réduire le temps de calcul.

## 3 Résultats

Le premier cas traité est celui de la figure 3. Les trajectoires $V1$ et $V2$ sont calculées en faisant l'hypothèse que les deux bras sont des solides rigides. Par la suite, en prenant en compte les déformations des bras, l'écart entre la trajectoire réelle et théorique du point E est calculé. L'effort $F$ est introduit pour prendre en compte l'effort de coupe.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 3 – Modélisation plane</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 4 – Vitesse imposée en $v1$ et $v2$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIG. 5 – Effort imposé au point E</figcaption></figure>

### 3.1. Déformation à l'extrémité de l'outil : cas 1

Après simulation sur MATLAB et SAMCEF, la figure 6 présente respectivement la déformation de l'extrémité des bras (point E) suivant les axes $x$ et $y$ pour l'effort de coupe $F$ défini par la figure 5 et les vitesses $V1(t)$ et $V2(t)$ des deux glissières définies par la figure 4.
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIG. 6 – L’écart entre la trajectoire réelle et théorique du point E suivant les axes x et y</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

## 3.2 Déformation à l’extrémité de l’outil : cas 2

Pour le même cas de trajectoire, de vitesse et de configuration mais avec un effort seulement suivant l’axe des x, L’écart entre la trajectoire théorique et la trajectoire calculé avec SAMCEF comme avec MATLAB est représenté sur la figure 7.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIG. 7 – L’écart entre la trajectoire réelle et théorique du point E suivant les axes x et y</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Pour le cas 2, l’écart entre les résultats obtenus par SAMCEF et ceux obtenus par MATLAB est représenté sur la figure 8.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIG. 8 – Ecart entre la trajectoire sur SAMCEF et Matlab suivant x et y</figcaption></figure>

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

On remarque que pour la figure 9 (écart suivant y), la courbe de l’écart entre les résultats donnés par SAMCEF et ceux donnés par MATLAB augmente à partir de 0.5s. Même en augmentant l’amortissement numérique sur SAMCEF les résultats restent les mêmes. Cela est dû à l’écart initial qu’il y a entre les trajectoires V1 et V2 imposées avec SAMCEF et avec MATLAB.
On constate aussi que l'écart entre la trajectoire réelle (hypothèse de solide indéformable) et théorique (hypothèse de solide déformable) est relativement faible (de l'ordre de $10^{-7} 10^{-9}$).

## 4. Conclusion

L'objectif des travaux présentés ici était d'estimer le niveau de déformation dans les bras qui pilotent le mouvement de la broche. Les premiers résultats ont été obtenus à l'aide d'une modélisation plane. Pour modéliser les bras, une approche multicorps a été adoptée.

Les équations du mouvement ont été intégrées avec un schéma implicite du second ordre (méthode de Newmark, algorithme de Hilber-Hugues-Taylor).

Il est important d'observer et de quantifier la déformation des bras du modèle plan pour pouvoir choisir entre une modélisation multicorps déformable ou indéformable dans la réalisation du modèle 3D de la machine Verne.

La suite du travail sera la modélisation numérique du comportement dynamique des six bras de la machine VERNE en 3D dans le but de mettre en évidence les liens existants entre « les stratégies d'usinage, le comportement dynamique de la machine-outil pendant l'usinage et la qualité de la pièce ».

Ce travail a été réalisé dans le cadre du groupe de travail Manufacturing 21 qui rassemble 11 laboratoires français de recherche. Les thèmes approchés sont : La modélisation du processus de fabrication, de l'usinage virtuel, et l'émergence de nouvelles méthodes de fabrication.

## Références

* Cosson, P., Bettaieb, F., Hascoët, J.-Y., 2006, A multibody approach for a better understanding of the mechanical behavior of High Speed Machining center, fifth Conference on High Speed Machining, Metz, France.

* Bettaieb, F., Cosson, P., Hascoët, J.-Y., 2006, Modeling of a High Speed Machining Center with a Multibody Approach: The dynamic modeling of flexible manipulators, *Sixth International Conference on HIGH SPEED MACHINING*, San Sebastian, Spain.

* Le Vey, G., 1994, Differential Algebraic Equations a new look at the index, rapport of research N°2239 INRIA.

* Wehage, R.A., Haug, E.J., 1982, Generalized coordinate partitioning for dimension reduction in analysis of constrained dynamic systems, Jnl. of Mechanical Design, 104:247_255.

* Brenan, K.E., Campbell, S.L., Petzold, L.R., 1996, *Numerical solution of initial-value problems in differential-algebraic equations*, SIAM, Philadelphia, 2nd edition.

* Fuhrer, C., 1988, *Differential-algebraische Gleichungssysteme in mechanischen Mehrkörpersystemen. Theorie, numerische Ansätze und Anwendungen*. PhD thesis, TU München, Mathematisches Institut und Institut für Informatik.

* Hairer, E., and Wanner, G., 1996, *Solving Ordinary Differential Equations. II. Stiff and Differential-Algebraic Problems*. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2nd edition.

* Baumgarte, J., 1972, Stabilization of constraints and integrals of motion in dynamical systems. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 1:1_16.

* Hilber, H., Hughes, T., and Taylor, R., 1977, Improved numerical dissipation for time integration algorithms in structural dynamics. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 5:283_292.