# Les entretiens

## Présentation générale

### Passation

Le premier entretien a eu lieu fin janvier, début février 1996 dans la classe A, un peu plus tard dans la classe B. Les élèves disposaient alors de la TI92 depuis un à deux mois. Le second entretien a eu lieu en avril et mai, après les vacances de Pâques, le dernier au mois de juin à la fin de l'année scolaire.

Chaque entretien était d'une demi-heure, sans doute une durée trop courte pour ce qui était prévu. Chacun comportait systématiquement les parties suivantes :

1. des questions visant à conduire l'élève à préciser l'utilisation qu'il avait faite de la TI92, en particulier pendant le contrôle précédant l'entretien (en général la même semaine ou la semaine précédente),

2. une étude de fonction à mener avec la calculatrice rapidement (environ 15 minutes) pour nous permettre de cerner l'évolution de l'instrumentation de la machine dans cette tâche classique du niveau de la première S.

Bien sûr le temps court de l'entretien interdisait d'inscrire cette tâche dans une activité de modélisation, il s'agissait de l'étude tout à fait standard d'une fonction donnée par une expression algébrique. Nous rompions cependant avec la routine de la tâche en demandant dans les deux premiers entretiens aux élèves de commencer par un tracé graphique puis de confronter les résultats de l'étude algébrique aux caractéristiques de ce tracé (les fonctions étant choisies pour qu'une instrumentation graphique réduite produise des incohérences à ce niveau), dans le troisième entretien, en demandant à l'élève de formuler des conjectures sur les propriétés de la fonction à partir du tracé graphique puis d'essayer de les prouver.

Dans la courte discussion qui suivait le travail de l'élève, nous lui refaisions suivre rapidement le fil de sa résolution, en demandant éventuellement des précisions sur des actions que nous avions du mal à interpréter, puis nous essayions de l'aider à aller plus loin pour essayer de cerner ce qui lui était accessible avec les médiations limitées prévues.

Les entretiens étaient enregistrés. De plus, l'élève, pour l'étude de fonction, utilisait une calculatrice rétroprojetable reliée à une tablette qui nous permettait de suivre son travail, sans trop l'importuner. A partir du second entretien, il nous a été également possible d'enregistrer régulièrement des écrans de la calculatrice, reliée aussi à un ordinateur portable.

Ces conditions nous ont permis de suivre un nombre relativement important d'élèves, compte tenu des contraintes qui pesaient sur la réalisation des entretiens. Mais la durée d'une demi-heure est sans aucun doute trop courte pour permettre un travail dans de bonnes conditions. Suivant les élèves, suivant leur rapidité, les difficultés qu'ils rencontrent dans la phase d'étude de fonctions, on obtient des entretiens relativement disparates.

Les conditions de passation ont été semblables dans les deux classes, mais dans certains cas, les questions ont été adaptées pour tenir compte des différences dans l'avancement du cours dans les deux classes. C'est pourquoi le lecteur trouvera d'abord la présentation des questions posées aux élèves de la classe A, au début de chaque série d'entretiens, et l'analyse a priori correspondante. Au moment de rapporter les résultats des entretiens dans la classe B, les
différences dans les questions seront signalées, ainsi que l'analyse a priori dans la mesure où elle diffère de celle de la classe A.

## Dépouillement

Les enregistrements des trois entretiens ont été dépouillés. A partir de l'ensemble des données recueillies- enregistrements, notes de l'observateur, brouillons des élèves -, une fiche a été constituée pour chaque élève rapportant ses réponses dans les différentes parties de chaque entretien.

Pour la partie étude de fonction, nous avons défini une « stratégie standard » prenant en compte les connaissances mathématiques ainsi que l'instrumentation disponibles au moment de l'entretien, et ceci dans le cadre de l'expérience partagée par les élèves au sein de la classe. Elle nous servait de référence pour situer les comportements réels observés. Puis, pour chaque élève, les rubriques suivantes ont été renseignées :

* « Résolution » : il s'agissait d'une reconstitution du travail de l'élève pendant la phase de travail autonome, à partir des données recueillies, ainsi qu'une description de son interaction avec l'observateur pendant la phase de discussion.

* « Applications et commandes » : pour chaque application de la TI92, nous répertorions les fonctions et instructions ayant été utilisées au cours de la résolution, en distinguant éventuellement dans la tâche différentes sous-tâches. Ceci devait nous permettre d'apprécier plus synthétiquement l'utilisation faite de la machine ainsi que l'articulation entre travail P/C et travail avec la TI92, systématiquement mentionnée dans cette rubrique.

* « Techniques, stratégies développées » : il s'agissait ici des techniques et stratégies utilisées par les élèves dans la résolution de sous-tâches clefs pour l'entretien considéré. Les données étaient synthétisées dans cette rubrique, non par rapport à la machine comme dans la rubrique précédente, mais par rapport à la tâche mathématique et à ses sous-tâches.

* « Erreurs, difficultés » : il s'agissait ici de synthétiser des parcours nécessairement différents selon les erreurs et difficultés recensées dans la phase de résolution autonome et la phase de discussion, en prenant en compte tous les types d'erreurs et difficultés rencontrés.

* « Sensibilité aux incohérences » : il s'agissait dans cette rubrique de prendre en compte une dimension que nous considérions comme essentielle dans l'instrumentation de la TI92 : la sensibilité des élèves aux incohérences éventuelles entre étude graphique et étude algébrique (qu'il s'agisse de résultats fournis par la machine ou produits en P/C), soit de façon autonome, soit avec la médiation de l'enseignant.

## Entretien 1

### Scénario de l'entretien

L'entretien est organisé en trois parties.

### Partie 1 : utilisation de la TI92

Nous demandons d'abord à l'élève s'il a utilisé la TI92 en dehors du lycée la semaine précédente et si oui, combien de temps et pour quoi faire. Puis nous lui faisons préciser la façon dont il a utilisé sa TI92 au contrôle précédent. Dans la classe A, il s'agit de la partie
analyse du contrôle commun de la semaine précédente, plus précisément du problème devenu classique de la boîte fabriquée à partir d'une feuille de papier rectangulaire par enlèvement de quatre carrés. Nous demandons en conclusion de cette partie si, à son avis, la machine l'a aidé ou non et en quoi.

## Partie 2 : étude de fonction

Dans la classe A, la notion de dérivée introduite fin décembre est une notion récente et les limites n'ont pas encore été travaillées. Dans la classe B, les limites ont été travaillées, alors que les dérivées n'ont pas été introduites.

Nous avons choisi de demander aux élèves des deux classes de travailler des fonctions rationnelles dont l'écriture est donnée sous la forme de la somme d'un polynôme et d'une fonction de type $x \to \frac{k}{x}$. Dans les deux classes, la mise en cohérence du tracé et de l'étude analytique de la fonction constitue l'objectif central. Comme les élèves de la classe A disposent de la dérivation et peuvent par conséquent faire une étude de variations, la fonction polynôme est du second degré. Ils étudient la fonction $x \to x(x+7)+\frac{9}{x}$. Pour les élève de la classe B, la mise en évidence de la non-définition en zéro, et des limites associées est l'objectif mathématique. Par conséquent, le polynôme est du premier degré. Ils étudient la fonction $x \to x-1-\frac{4}{9x}$. Les objectifs de l'étude différent donc légèrement d'une classe à l'autre et seront précisés dans le rapport relatif à chaque classe.

Les médiations prévues pour la phase de discussion sont de plusieurs types :

* si les élèves n'ont pas obtenu de tracé satisfaisant, leur demander s'ils ne peuvent pas utiliser les résultats de l'étude théorique pour trouver une fenêtre mieux adaptée ; si cela ne donne pas de résultat, proposer une fenêtre adéquate pour pouvoir poursuivre,

* si des contradictions n'ont pas été relevées, essayer d'attirer l'attention des élèves sur elles et voir comment elles sont perçues et formulées,

* si des contradictions sont perçues mais non résolues, essayer d'aider les élèves à les résoudre.

## Partie 3 : mise en œuvre de diverses commandes

Cette partie est organisée sous forme de treize questions commençant toutes par : " Sais-tu avec ta machine faire ... ". Les questions concernent des commandes de la machine rencontrées auparavant et plus ou moins fréquemment utilisées. L'élève répond en principe sans toucher la machine. S'il a un doute, il peut la consulter mais on ne lui laisse pas de temps réel de recherche.

### Résultats et analyse

Lors de ce premier entretien, nous avons rencontré, dans la classe A, quelques problèmes d'enregistrement qui se traduisent par des points d'interrogation dans certains tableaux, lorsque le croisement des données recueillies ne nous permet pas d'assurer une reconstitution fiable. Ceci explique aussi l'absence dans les premiers tableaux d'information sur les réponses apportées par Anne. Dans la classe B, Pierre n'a pas participé aux entretiens.
# Partie 1 : l'utilisation de la TI92

## Classe A

Comme on le voit dans le tableau 1 ci-dessous, l'utilisation par la classe A en dehors des cours n'est pas intensive. Si les élèves ont utilisé de façon privilégiée l'application géométrie, c'est essentiellement parce qu'ils travaillent à ce moment là sur les barycentres et que l'enseignant avait fourni une macro permettant de visualiser la position du barycentre de deux points en fonction des valeurs des coefficients barycentriques, un programme avec animation qui avait eu beaucoup de succès et qu'ils utilisent pour anticiper et/ou contrôler les résultats des exercices donnés à faire à la maison.

<table><caption>Tableau 1 : Utilisation la semaine précédente classe A</caption><thead><tr><th colspan="3">Utilisation de la TI92 en dehors des cours de maths, la semaine précédente</th></tr><tr><th></th><th>Combien de temps ?</th><th>Pour quoi faire ?</th></tr></thead><tbody><tr><td>Anne</td><td>?</td><td>?</td></tr><tr><td>Charles</td><td>Moins d'une demi-heure</td><td>Application GEOMETRY</td></tr><tr><td>Francis</td><td>Entre une et deux heures</td><td>Pour des petits calculs dans [HOME]</td></tr><tr><td>Françoise</td><td>Une demi-heure</td><td>Application GEOMETRY</td></tr><tr><td>Georges</td><td>Environ deux heures</td><td>* Application GEOMETRY<br>* Recopier un programme pour le discriminant, qu'il avait sur son ancienne calculatrice</td></tr><tr><td>Gérard</td><td>?</td><td>?</td></tr><tr><td>Michel</td><td>Ne l'a pas utilisée</td><td></td></tr><tr><td>Serge</td><td>Environ deux heures</td><td>* Programmation d'un jeu<br>* Application GEOMETRY</td></tr><tr><td>Vincent</td><td>?</td><td>Calculs pour la Physique</td></tr></tbody></table>

Nous donnons ci-dessous (tableau 2) un résumé du travail effectué lors du contrôle commun<fnref n="2" /> précédent, puis (tableau 3) les avis exprimés par les élèves à la question posée sur l'utilité de la TI92 pour ce contrôle. On voit clairement que la TI92 n'est pas perçue à ce moment là comme un instrument miracle. On voit aussi des relations évidentes entre l'appréciation donnée et ce qui ressort des portraits tracés au début de cette partie. La réponse de Michel est ici particulièrement significative.

Si l'on regarde plus en détail les réponses fournies dans cette partie, on voit que la machine a essentiellement un statut de vérification de résultats obtenus à la main et que l'application [HOME] est moyennement sollicitée. Dans la partie A du problème, la TI92 sert à vérifier le calcul de la dérivée, parfois à contrôler le tableau de variation (par tracé de f). Mais la plupart des élèves n'utilisent pas la machine pour trouver ou contrôler les zéros de la dérivée et ne font tracer le graphe qu'arrivés à la question correspondante. Ils font éventuellement tracer la tangente trouvée pour contrôler graphiquement la tangence. Dans la partie B, quand ils la traitent, la machine sert dans le calcul de V(5) et la factorisation. De plus, on notera qu'en dépit des affirmations d'aides à la vérification, des incompatibilités évidentes ne sont pas toujours repérées et exploitées.

<footnote n="2">² C'est-à-dire au contrôle commun aux différentes classes de l'établissement, donc non spécifique à l'utilisation de la TI92.</footnote>
<table><caption>Tableau 2 : Travail lors du contrôle commun classe A</caption><tr><td>Anne</td><td>Nous ne disposons pas de l'enregistrement. Sa copie (7.5/20) montre une erreur dans le calcul des racines de la dérivée (les racines trouvées pour f' sont 360 et 1080), un tableau de variation incohérent avec le signe sur [0,10]. Il y a une erreur de signe dans le calcul de l'équation de la tangente. Le graphe est correct pour f, non pour la tangente, et cohérent avec le tableau de variation qu'il a dû servir à obtenir. La partie B est abordée : expression de V(x), calcul de V(5), sans détails de calcul.</td></tr><tr><td>Charles</td><td>Il vérifie son calcul de dérivée et ne trouve pas le même résultat. Il écrit les deux résultats puis continue avec son résultat P/C qui est en fait le résultat correct, l'autre étant nettement moins sympathique : f'(x) = -120x<sup>4</sup>+225. Il utilise son autre calculatrice où il a implanté un programme pour trouver les racines de la dérivée. Il fait ensuite tracer la fonction quand il arrive à la question 5. Dans sa copie (3.5/20), le tableau de variation est faux bien que le signe de la dérivée soit correct, le graphe fourni est conforme au tableau. Il n'a pas fait la partie 2.</td></tr><tr><td>Francis</td><td>Il calcule la dérivée à la main puis, pour contrôler son signe, la fait tracer. Plus tard, il fait aussi tracer la tangente et tombe sur une contradiction car il a oublié que c'était f' et non f qu'il avait fait tracer. Il mettra un peu de temps à comprendre son erreur, ce qui explique sa réponse. Son utilisation est standard dans la partie B où il arrive à la question 4. Sa copie (13.5/20) est soigneusement rédigée mais ne comporte pas de graphique.</td></tr><tr><td>Françoise</td><td>Elle a d'abord fait le calcul de la dérivée à la machine et également fait tracer f. Ensuite elle travaille en P/C jusqu'à la question 5 où elle réaffiche le tracé. Elle ne s'en sert pas dans la partie B. Dans sa copie (7/20), il y a une erreur dans le calcul de la racine négative, le signe de la dérivée est correct à cette erreur près mais le sens de variation faux. L'équation de la tangente est correcte et il n'y a que la tangente tracée. Dans la partie B, l'expression de V(x) est trouvée mais les autres calculs sont faux.</td></tr><tr><td>Georges</td><td>Il a défini d'emblée la fonction à étudier, puis vérifié son calcul de dérivée avec la machine et enfin vérifié son tableau de variation en faisant tracer la fonction. Il fait aussi tracer la droite qu'il a trouvée comme tangente à la courbe et repère à cette occasion une erreur de calcul. Dans la partie B, il utilise la machine de façon standard. Nous n'avons pas sa copie.</td></tr><tr><td>Gérard</td><td>Il a travaillé beaucoup avec la machine : calcul de la dérivée, recherche des zéros et du signe (il a dit-il un programme qui le fait), utilisation de Table pour trouver des points pour le tracé, tracé de f pour voir l'allure. Dans la partie B, il dit avoir utilisé la fonction « maximum » de la calculatrice pour répondre à la question 5. Dans sa copie (8/20), les racines trouvées pour f' sont 360 et 1080, et le tableau de variation donne 250 et 0 pour les valeurs correspondantes de f. L'équation de la tangente est correcte ainsi que le tracé qui se trouve donc en contradiction avec le tableau de variation. Les calculs de la partie B sont faux.</td></tr><tr><td>Michel</td><td>Il s'est servi de la machine pour vérifier des calculs faits à la main : vérification du calcul de la dérivée (fonction entrée par STO de façon non contractuelle), contrôle du tracé, contrôle de la factorisation par développement. Sa copie (12.5/20) montre une erreur de calcul qui conduit à un discriminant négatif. Le tableau de variation donne donc une fonction croissante. Le calcul de l'équation de la tangente ensuite est correct ainsi que le tracé graphique, incompatible donc avec ce qui précède. Dans la partie B, il refait tous les calculs, ce qui lui évite de traîner son erreur et traite correctement toutes les questions jusqu'à la 4 incluse. La rédaction est très soignée.</td></tr><tr><td>Serge</td><td>Il s'est servi de la machine pour vérifier le calcul de la dérivée, puis contrôler son tableau de variation en faisant tracer f. Dans la partie B, il dit ne pas avoir bien compris ce qu'on lui demandait et avoir fait factoriser par la machine. Dans sa copie (13.5/20), le calcul des racines est confus et peu détaillé et on a l'impression qu'il a également utilisé la machine pour trouver les racines de la dérivée. Le tracé est peu soigné mais correct. La partie B est traitée jusqu'à la question 4. Les calculs ne sont pas détaillés, visiblement la machine a été utilisée.</td></tr><tr><td>Vincent</td><td>Il a fait d'abord les calculs à la machine (calcul de la dérivée, détermination de ses zéros) puis les a refaits à la main pour rédiger. Il fait tracer la fonction et sa tangente, trouve le résultat bizarre, incrimine la fenêtre, va dans Table pour trouver des valeurs et trace à partir des points correspondants. Il s'est arrêté au début de la partie 2. Dans sa copie (8.5/20), la factorisation de f' est donnée sans justification, le reste de la partie A est correct, le tracé étant peu soigné. Dans la partie B l'égalité V(x) = f(x) est affirmée sur la base de l'expression factorisée de V(x).</td></tr></table>
<table><caption>Tableau 3 : Utilisation au contrôle commun : avis global classe A</caption><tr><td>Charles</td><td>*Je ne pense pas que ça m'a énormément aidé. Ca ne m'a pas gêné non plus</td></tr><tr><td>Francis</td><td>*On peut pas dire qu'elle m'a fait perdre du temps<br>*Ca m'a perturbé, le temps de comprendre ce qui se passait</td></tr><tr><td>Françoise</td><td>Ca m'a servi à aller plus vite, à vérifier aussi</td></tr><tr><td>Georges</td><td>*Elle m'a aidé</td></tr><tr><td>Gérard</td><td>*Ca m'a aidé, surtout pour la partie A</td></tr><tr><td>Michel</td><td>*Elle m'a conforté dans ce que j'avais fait. C'est tout... sans plus</td></tr><tr><td>Serge</td><td>*Ca m'a aidé à vérifier que mes résultats étaient justes</td></tr></table>

## Classe B

Le tableau 4 ci-dessous résume l'utilisation de la TI92 la semaine précédente en dehors des cours parmi les élèves de la classe B. Le sujet la semaine précédente était les limites.

Parmi les élèves ayant peu ou pas utilisé :

* Sabine utilise seulement pour les devoirs à la maison, circonstance qui ne s'est pas présentée la semaine précédente.

* Julien n'a pas effectué de travail mathématique cette semaine là (semaine de vacances).

* Alice de même, mais elle a utilisé la TI92 "pour voir comment on programmait" à partir d'un jeu qu'on lui avait fourni.

Parmi les élèves ayant davantage utilisé :

* Marie, Franck et Jean ont utilisé pour des exercices donnés en préparation. La TI92 leur a servi à vérifier leurs solutions.

L'utilisation de la TI92 paraît donc liée aux habitudes de travail scolaire des élèves. Certains travaillent surtout au moment des devoirs maison, les autres cherchent les exercices donnés en préparation. Seule Alice déclare chercher les solutions d'abord à la TI92. Pour les autres, elle sert à vérifier.

En contrôle, parmi les élèves n'ayant pas profité de la TI92 :

* Jean a eu peur de perdre du temps, Sabine a essayé, cela lui a fait perdre du temps et elle a abandonné, Alice est plus à l'aise avec sa calculatrice habituelle.

* Franck utilise la TI92 mais aussi son ancienne machine sur laquelle il a l'habitude de faire "les petits calculs".

* Alice utilise encore son ancienne calculatrice en contrôle alors qu'elle en avait moins l'usage que d'autres élèves avant l'arrivée de la TI92. Il s'agit d'un indice de réticence à "investir" un instrument : on utilise seulement les fonctions de base et on a du mal à en changer.

Pour Marie et Julien, l'usage de la TI92 paraît plus "naturalisé" puisqu'ils ne se souviennent pas des occasions précises d'utilisation.
<table><thead><tr><th></th><th>Utilisation TI92 à la maison</th><th>Utilisation TI92 en contrôle.</th></tr></thead><tbody><tr><td>Alice</td><td>Pour les limites, j'ai regardé les réponses (-)</td><td>Non, je préfère la mienne (CASIO graphique)</td></tr><tr><td>Franck</td><td>Faire des exercices, vérifier les limites (+)</td><td>Factorisations, développements. Le reste avec sa CASIO</td></tr><tr><td>Jean</td><td>Des exos, pour vérifier des calculs (+)</td><td>Non, manque de temps</td></tr><tr><td>Julien</td><td>Plutôt vérifier un résultat(-)</td><td>Je ne me rappelle plus bien pourquoi</td></tr><tr><td>Marie</td><td>Vérification de limites(+)</td><td>Je ne sais plus pour quoi faire</td></tr><tr><td>Sabine</td><td>Pour faire des calculs(-)</td><td>Essai et échec</td></tr></tbody></table>

Notes : Pierre n'a pas participé à cet entretien.

(-) : élèves déclarant avoir utilisé moins d'une heure.

(+) : élèves déclarant avoir utilisé plus d'une heure.

<caption>Tableau 4 : Utilisation en dehors des cours classe B</caption>

## Partie 2 : étude de fonction

### Classe A

Cette deuxième partie est consacrée à l'étude de la fonction $x \to x(x+7)+\frac{9}{x}$. On demande aux élèves d'entrer la fonction dans leur calculatrice, de la faire tracer, puis d'étudier les variations de cette fonction et de chercher si les résultats de cette étude sont cohérents avec le tracé obtenu. Si ce n'est pas le cas, il leur est demandé de pointer les incohérences et d'essayer de les résoudre. Il leur est précisé qu'ils n'ont pas à justifier en P/C les résultats fournies par la calculatrice, mais qu'ils peuvent utiliser pour leur résolution le papier et le stylo fournis. Ensuite nous faisons avec eux le point sur leur travail et essayons de tester l'effet de médiations en particulier en cas d'incohérences non repérées ou d'absence d'idées pour les interpréter et les dépasser.

La fonction est donnée sous la forme $x \to x(x+7)+\frac{9}{x}$ pour repérer si les élèves pensent à la nécessité de réintroduire un signe de multiplication entre les deux facteurs et, si ce n'est pas le cas, pour étudier leurs réactions face au message d'erreur reçu.

D'autre part, la fonction est choisie pour remplir un certain nombre de conditions :

* La fonction comporte une singularité en 0.

* La fenêtre de tracé initiale, correspondant à l'option *zoomdec*, soit à la fenêtre :

[-11.9,11.9]x[-5.1,5.1] ne fournit pas un tracé satisfaisant puisque les extremums locaux obtenus pour $x = -3, -1.5$ et $2$ ont des valeurs respectives de : -15, -14.25 et 17.

* L'étude du signe de la dérivée conduit à l'étude du signe d'un polynôme du troisième degré, alors que dans les exercices usuels à ce niveau, les élèves sont habitués à se retrouver avec des fonctions polynômes du premier et du second degré, pour lesquelles ils branchent des algorithmes connus,
* La TI92 fournit sans difficulté les zéros de ce polynôme et sa factorisation en facteurs du premier degré ; en revanche, bien sûr, elle ne résout pas l'inégalité $f'(x) > 0$.

L'obtention d'un tracé satisfaisant, l'étude du sens de variation de la fonction, le contrôle de la cohérence entre tracé et tableau de variation obligent donc une instrumentation suffisante de la calculatrice et une adaptation des méthodes et techniques utilisées dans les exercices usuels à ce niveau.

Nous présentons, en premier lieu, la « stratégie standard », ensuite les informations synthétiques correspondant aux différentes rubriques. Pour ce qui est des applications et fonctionnalités, nous avons distingué dans deux tableaux ce qui relève de la première phase de tracé et ce qui relève ensuite de l'étude du sens de variation et de la mise en relation tracés/sens de variation. Pour ce qui est des stratégies et techniques utilisées par les élèves, nous nous focaliserons sur celles utilisées pour étudier les variations de $f$, en particulier étudier le signe de $f'$, passer à un tableau de variation, déterminer des valeurs particulières de $f$ et de $f'$. Enfin, nous intéressant aux incohérences éventuelles, nous serons particulièrement sensibles à la non prise en compte correcte de la singularité en 0 et aux effets qu'elle peut produire.

## Sous-tâches et stratégie standard

Nous distinguons dans l'étude de la fonction quatre sous-tâches.

### 1. Définir la fonction $f$

* Application :[HOME] : menu F4-1 (Define), taper $f(x) = x*(x+7) + 9/x$ puis [ENTER]

Bien sûr il ne s'agit pas de la seule façon d'entrer une fonction pour la tracer. On peut aussi aller directement dans l'application [Y=] ou utiliser la commande STO dans l'application [HOME]. En fait la définition est appelée ici par la question posée. De plus, cela a été une pratique institutionnalisée dans la classe, justement pour marquer la rupture, au moins partiellement, avec les pratiques liées aux calculatrices graphiques et marquer d'emblée l'importance de l'application de calcul formel.

### 2. Tracer la courbe représentative de $f$

* Application [Y=] : ligne de commande $y1(x) =$, taper $f(x)$ et [ENTER]

L'élève peut aussi retaper l'expression de $f(x)$ mais c'est moins économique.

* Application [GRAPH]

Le tracé dans la fenêtre initiale, ici la fenêtre ZoomDec donne le tracé ci-après.

<figure><img src="image_325.png" /></figure>
Le tracé est à l'évidence non satisfaisant, la fonction étant définie pour tout x non nul. On peut
penser ici que l'élève sera tenté d'agrandir la fenêtre en passant directement à l'application
[WINDOW] et en modifiant la fenêtre par essais et erreurs. Nous retenons comme stratégie
standard une stratégie plus élaborée et tout à fait accessible aux élèves a priori.

* Application [Tb1Set] : fixer l'initialisation par exemple à -10, abscisse voisine du minimum dans la fenêtre initiale et laisser le pas à 1 (valeur initiale)

* Application [TABLE] : parcourir le tableau de valeurs jusqu'à 10, par exemple, pour couvrir l'intervalle du Range initial sur x, repérer les valeurs extrémales de f(x) dans la table.

<figure><img src="image_326.png" /></figure>

* Application [WINDOW]: ajustement de la fenêtre en fonction des valeurs trouvées, par exemple à [-10,10] x [-30,30]

* Application [GRAPH] pour obtenir le tracé suivant.

<figure><img src="image_327.png" /></figure>

Une variante de la stratégie standard consiste à aller d'abord dans l'application [TABLE] et à ne repasser à l'application [Tb1Set] qu'en constatant que la valeur initiale de x est 0.

Une stratégie plus économique consisterait à faire un *ZoomFit* sur l'intervalle [-10,10] mais au moment où l'entretien a eu lieu, cette commande n'avait pas encore été introduite officiellement justement pour ne pas court-circuiter trop tôt le type de travail et d'articulation entre applications ci-dessus.

### 3. Calculer la dérivée et étudier son signe

* Application [HOME] : Menu F3-1 (differentiate) [ENTER], taper f(x),x puis [ENTER] - Define $d f(x)$ - Zeros($d f(x),x$) ou Factor($d f(x),x$) ou Factor($d f(x)$)ou Solve($d f(x),x$)

Dans la stratégie standard, on utilise donc la différenciation formelle permise par la TI92, en utilisant le menu F3 (plus souvent utilisée en classe que le raccourci 2nd8). Pour la recherche des racines, trois commandes sont utilisables et du même niveau, nous ne les séparons pas dans la stratégie standard. On peut aussi faire factoriser ou chercher les zéros de l'expression sans définir la dérivée comme fonction (cf. ci-dessous).
<figure><img src="image_328.png" /></figure>

## Travail P/C

Une fois les racines calculées, le plus simple consiste à étudier le signe de la dérivée en P/C, en faisant un tableau de signes et en incluant la valeur 0 pour laquelle la fonction dérivée n'est pas définie. C'est cette stratégie que nous retenons pour la stratégie standard.

## 4. Etude des variations

On s'appuie ensuite sur ce tableau de signes pour construire le tableau de variation de la fonction $f$.

<table><thead><tr><th>x</th><th>-∞</th><th>-3</th><th>-3/2</th><th>0</th><th>1</th><th>+∞</th></tr></thead><tbody><tr><td>x+3</td><td>-</td><td>+</td><td>+</td><td>+</td><td>+</td><td>+</td></tr><tr><td>x+3/2</td><td>-</td><td>-</td><td>+</td><td>+</td><td>+</td><td>+</td></tr><tr><td>x-1</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>+</td><td>+</td></tr><tr><td>f'(x)</td><td>-</td><td>+</td><td>-</td><td>-</td><td>+</td><td>+</td></tr><tr><td>f(x)</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Il reste alors à déterminer les valeurs particulières correspondant aux extremums locaux, ce qui se fait très facilement via l'application [HOME]

* Application [HOME] : $f(-3)$ ; $f(-3/2)$ ; $f(1)$

On peut contrôler si on le souhaite en revenant au graphe de $f$.

## Applications et commandes employées par les élèves

Pour les différentes sous-tâches, l'élève a recours à certaines applications et commandes. Elles sont répertoriées dans les tableaux 5 et 6 avec la légende suivante :
Légende :

(n) Utilisation n fois. L'absence de cette indication, signifie que l'utilisation s'est limitée à une fois. Dans la colonne GRAPH/[WINDOW], (n) désigne le nombre de fois où la fenêtre a été modifiée.

* L'élève définit une nouvelle fonction dans [Y=] (il s'agit alors automatiquement de la fonction dérivée)

* L'élève consulte l'application.

Cal Calcul numérique avec les opérations de base.

SD Sélection ou Désélection dans [Y=]

FI Fenêtre Initiale (dans cet entretien, ZoomDec)

W Changement « manuel » de la fenêtre

g fonction 'numérateur' de la dérivée f'

L'indication « Types de tracés obtenus » désigne les types de tracés obtenus dans l'ordre chronologique, après chaque changement opéré dans l'application [WINDOW]. Entre les deux crochets, sont notés les portions de la courbe obtenues, conformément au découpage suivant :

<table><tr><td>[A]</td><td>Portion correspondant à x négatif sur le tracé standard.</td></tr><tr><td>[B]</td><td>Portion correspondant à x négatif complétant le tracé standard.</td></tr><tr><td>[C]</td><td>Portion correspondant à x positif</td></tr></table>

Toujours dans la même colonne, l'indication [O] désigne le tracé suivant obtenu pour la fenêtre [-5,15]x[-10,10], non prévu dans l'étude a priori :

<figure><img src="image_329.png" /></figure>
Définir la fonction et tracer sa courbe représentative.

<table><caption>Tableau 5 : Fonctionnalités utilisées pour le tracé</caption><thead><tr><th></th><th>HOME</th><th>[Y=]</th><th>[GRAPH] - WINDOW<br>types de tracés obtenus</th><th>[TblSet]</th><th>[TABLE]</th></tr></thead><tbody><tr><td>Anne</td><td>Define</td><td>*</td><td>FI [A]<br>W [O]<br>W [A]</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Charles</td><td></td><td>*</td><td>FI [A]<br>W [A]<br>¤</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Francis</td><td></td><td>*</td><td>FI [A]<br>W [AB]</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Françoise</td><td>Define</td><td>*</td><td>FI [A]<br>W [A]<br>W [ABC]</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Georges</td><td>Define</td><td>*</td><td>FI [A]<br>W [AC]<br>ZoomOut<br>puis<br>ZoomBox [ABC]</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Gérard</td><td>Define</td><td>*</td><td>FI [A]<br>W [A]</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Michel</td><td>Expand<br>Define</td><td>*</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Serge</td><td>Define<br>Graph</td><td></td><td>FI [A]<br>W [AB]</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Vincent</td><td>Define</td><td>*</td><td>FI [A]</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Standard</td><td>Define</td><td>*</td><td>FI [A]<br>W [ABC]</td><td>Change<br>de pas</td><td>¤</td></tr></tbody></table>

Calculer la dérivée et étudier son signe.

Pour ce tableau 6, nous avons rajouté une colonne (P/C) dans laquelle toute application qui apparaît signifie qu'elle précède un passage en Papier/Crayon.

Exemple : si dans cette colonne on lit : [HOME] (2), cela s'entend : pour répondre à la question, l'élève est passé 2 fois de l'application [HOME] en P/C.
<table><caption>Tableau 6 : Fonctionnalités utilisées pour l'étude du sens de variation</caption><thead><tr><th></th><th>[HOME]</th><th>[Y=]</th><th>[GRAPH]-[WINDOW] types de tracés obtenus</th><th>[TbISet]</th><th>[TABLE]</th><th>P/C</th></tr></thead><tbody><tr><td>Anne</td><td>d( Define g</td><td>*</td><td>Courbes de f et de g ⌜</td><td></td><td></td><td>[HOME] [GRAPH] (2)</td></tr><tr><td>Charles</td><td>d(</td><td>*</td><td>Courbes de f et f' W [AB] W [ABC] W [ABC]</td><td></td><td> (2)</td><td>[TABLE] (2) [HOME]</td></tr><tr><td>Francis</td><td>d( Factor Define</td><td>*</td><td>Courbes de f et f' F5-Max F5-Min Trace ZoomBox</td><td>Change de pas</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Françoise</td><td>d( Cal. Solve</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>[HOME](2)</td></tr><tr><td>Georges</td><td>d( Define Zeros f'(-4) f'(-2) f'(0) f(0) f(0.5) f(2) f(-1)</td><td>*</td><td>Courbe de f' ZoomOut Trace ZoomBox</td><td></td><td></td><td>[HOME](4)</td></tr><tr><td>Gérard</td><td>d( Expand</td><td></td><td>W [AC] W [ABC] W [ABC]</td><td></td><td>◆</td><td>[HOME] (2)</td></tr><tr><td>Michel</td><td>d( STO Solve (2)</td><td>*</td><td>Courbes de f et f' Courbe de f FI [A] Courbes de f et f'</td><td></td><td>◆ (2)</td><td>[HOME](2)</td></tr><tr><td>Serge</td><td>d( Define Graph Solve (2)</td><td></td><td>Courbes de f et f' Trace</td><td>◆ Change de pas (2)</td><td>◆ (3)</td><td></td></tr><tr><td>Vincent</td><td>d( Define Zeros</td><td>*</td><td>Courbes de f et f' ⌜</td><td></td><td>◆ (2)</td><td>[HOME](2) [TABLE]</td></tr></tbody></table>
# Stratégies des élèves

## Anne

* Calcul de $f'$

* Tracé de $f$ et $g$.

* Lecture graphique à l'œil nu sur la courbe de $g$, pour trouver les racines et le signe de $f'$.

## Charles

* Calcul de $f'$

* Parcours de [TABLE]

* Recopie d'un tableau de valeurs de $f(x)$ en P/C, pour des x choisis en parcourant [TABLE], dans lequel il rajoute des flèches

* Tracé de la courbe de $f'$ pour le contrôle du tableau

* Changement de fenêtre dans [WINDOW]

## Francis :

* Calcul de $f'$

* Factorisation de $f'$ (non utilisée ultérieurement)

* Tracé de la courbe représentative de $f'$

* Recherche des extremums sur la courbe de $f$ (dans [GRAPH] à l'aide de F5-Maximum et F5-Minimum)

* Parcours de [TABLE] pour vérifier que $f'(-3) = 0$

* Contrôle dans [GRAPH] à l'aide de ZoomBox et Trace sur la courbe de $f'$.

## Françoise

* Calcul de $f'$ dans [HOME] (erreur d'inattention)

* Lecture graphique à l'œil nu pour déterminer les variations de $f$

* Repérage de l'erreur

* Re-calcul de $f'$ dans [HOME]

* Recherche des racines de $f'$ en P/C, pour cause d'erreur : elle a considéré que la fonction $g$ était un trinôme du second degré.

Remarque : pendant la résolution, Françoise fait deux erreurs : une erreur de recopie (elle a commencé à étudier les variations de $x*(x+7)$ au lieu de celles de $f(x)$), cette erreur lui est indiquée au bout d'un moment par l'observateur et une erreur de reconnaissance de type d'équation (second degré au lieu du troisième degré - voir ci-dessus), ce qui a été coûteux en temps.

## Georges

* Calcul de $f'$

* Recherche des racines de $f'$ à l'aide de Zeros

* Détermination du signe de $f'$ en prenant un nombre dans chacun des intervalles délimités par les racines de $f'$ et en calculant la valeur de la dérivée en ce point.

* Tracé de la courbe de $f'$ pour le contrôle du signe, avec utilisation de Trace, ZoomOut et ZoomBox

* Repérage de la singularité et contrôle dans [GRAPH] puis dans [HOME] (calcul de $f(0)$)
### Gérard

* Calcul de $f'$

* Transformation de l'expression de $f'$ dans [HOME] avec *Expand*

* Détermination du signe de $f'$ (alternance de signe, par analogie avec un trinôme du 2nd degré)

* Parcours de [TABLE]

* Lecture graphique

* Changements de fenêtre dans [WINDOW]

### Michel

* Calcul de $f'$

* Tracé de la courbe de $f'$

* Recherche des racines de $f'$ à l'aide de *Solve*

* Recherche du signe de $f'$ :

en cherchant une valeur pour laquelle $f'$ est positive par :

*Solve(f'(x) = 2, x)*, ce qui donne : $x = 1,11562$

en déduisant que sur $[1, +\infty [, f'(x)$ est positive.

en complétant alors le tableau de variation en alternant les signes, dans les intervalles déterminés par les zéros de $f'$.

* Parcours de [TABLE] pour le contrôle du signe de $f'$.

### Serge

* Calcul de $f'$

* Parcours de [TABLE] avec deux changements du pas dans [Tb1Set] .

* Lecture graphique sur la courbe de $f$ avec Trace

* Tracé de la courbe de $f'$

* Détermination des racines de $f'$ dans [HOME] à l'aide de *Solve*

### Vincent

* Calcul de $f'$

* Développement de l'expression de $f$ en P/C

* Re-calcul de $f'$ en P/C

* Recherche des racines de $f'$ à l'aide de Zeros

* Parcours de [TABLE] pour l'étude du signe

* Tracé de la courbe de $f'$ pour le contrôle du signe

* Repérage de la singularité lors du parcours de [TABLE].

### Synthèse

Pour définir la fonction, tous les élèves ont utilisé *Define* à part Francis et Charles qui la définissent directement dans [Y=], ceci peut-être dans le but d'aller plus vite dans la résolution. Par ailleurs, Michel utilise *Expand* pour développer l'expression de la fonction. Charles est le seul à avoir oublié le signe * pour le produit de x par $(x+7)$ mais il interprète tout à fait bien le message d'erreur reçu. Tous les élèves ou presque, semblent donc avoir intégré l'utilisation de *Define* pour définir une fonction et adoptent donc ici la technique standard.

Pour faire tracer la courbe tous les élèves redéfinissent la fonction dans [Y=], avant de la faire tracer dans [GRAPH], sauf Serge qui utilise la commande *Graph* dans [HOME]. Cette possibilité
avait en effet été présentée en classe mais peu utilisée. Par ailleurs, et à l’exception de Vincent et Michel, ils semblent considérer que la courbe tracée en *ZoomDec* est incomplète. Ce qui explique leur recours à l’application [WINDOW]. Cependant, deux élèves seulement ont réussi à obtenir la totalité de la courbe : Françoise, qui y est parvenue après deux heureux changements de fenêtre (en effet, elle ne doit sa réussite qu’à une démarche à tâtons), et Georges dont l’utilisation successive et efficace de *ZoomOut* et de *ZoomBox* témoigne d’un niveau d’instrumentation de la TI92 en avance par rapport à celui de ses camarades. Il est à remarquer que personne n’a utilisé les applications [Table] et [TABLE], il y a donc là une divergence certaine par rapport à la stratégie que nous avons définie comme standard.

D'une part donc, le fait de définir une fonction avant de la faire tracer est, dans ce travail autonome comme en classe, la stratégie usuelle. D'autre part, et sans doute pour des raisons de contrat didactique implicite, presque tous les élèves ont réagi à la représentation graphique de la fonction *f* en *ZoomDec*. Ils ont eu recours au changement de fenêtre dans [WINDOW] avec des réussites très partielles (excepté Georges). Leurs stratégies de "pêche" ne sont visiblement pas dans ce domaine réellement efficaces et la stratégie alternative décrite dans la stratégie standard n'est visiblement pas disponible.

Pour étudier le sens de variation de la fonction *f*, les élèves n'utilisent pas majoritairement la stratégie standard. Pourtant tous sauf Anne, Gérard et Charles vont utiliser l'application [HOME] pour faire calculer les zéros de la dérivée ou même la faire factoriser. Mais seuls Georges et Michel vont exploiter cette information, en se basant sur le théorème en acte : la dérivée change de signe à chacun de ses zéros et, entre deux zéros, elle est de signe constant. Si l'on excepte le cas particulier de Françoise, les autres élèves vont soit directement, soit après détermination des zéros de *f*', utiliser des méthodes basées sur l'utilisation de l'application [GRAPH] ou de l'application [TABLE] ou des deux. On notera l'utilisation par Francis des commandes *Maximum* et *Minimum* de l'application [GRAPH], non encore introduites en classe, le tracé par Anne de la représentation graphique de la fonction correspondant au numérateur de la dérivée, pour lire graphiquement son signe, l'utilisation par Vincent à la fois du graphe de *f*' et du tableau de valeurs de *f*'. On notera également que Georges et Michel vont eux aussi recourir à l'application [GRAPH] (tracé de *f*') pour contrôler le travail effectué dans l'application [HOME] et que Michel effectuera de plus un contrôle par l'application [TABLE]. De plus, les observations de résolution laissent penser que l'utilisation des deux applications [GRAPH] et [TABLE] relève plus souvent davantage du tâtonnement que d'une stratégie stable.

Tout ceci témoigne de la fragilité des connaissances mathématiques que la majorité d'entre eux pouvait avoir à cette époque de l'année et qui sont sous-jacentes à une bonne instrumentation de la TI92.

### Prise en compte de la singularité en $x = 0$ :

Georges prend conscience de la singularité en cherchant la valeur de la dérivée en 0. La TI92 renvoie $-\infty$. Il regarde alors l'expression de la fonction, passe à l'application [GRAPH], se déplace le long du graphe de $f$ par Trace, puis repasse dans [HOME], demande la valeur de $f(0)$. La TI92 renvoie *undef*. Georges repasse alors en P/C et écrit sur sa feuille « $f(x)$ pas définie en 0, définie sur $R^*$ », puis rajoute au tableau de variation déjà tracé, la valeur 0 et la double barre. Françoise, lorsqu'elle note la valeur de la dérivée trouvée à la machine sur sa feuille, rajoute $x \neq 0$. Ensuite elle perdra beaucoup de temps dans l'étude du signe et lorsqu'elle ébauchera un tableau de variation, elle n'y inclura pas la valeur 0. Vincent, Charles, Michel, Serge et Gérard découvrent la singularité presque accidentellement en parcourant [TABLE].
Anne et Francis, quant à eux, ne la remarqueront pas de façon autonome. Mais même si la majorité des élèves a repéré la singularité, il n'y a que Georges et Vincent qui ont intégré cette information à leur tableau de variation. Il est clair qu'à ce moment là de l'année, les élèves ne sont pas sensibles à l'existence d'une singularité à la seule vision de l'expression de la fonction. De plus, même si la singularité est repérée, elle n'est pas pour autant intégrée au tableau de variation, en dépit des contradictions que cela peut engendrer : la fonction est décroissante sur [-3/2,1] et la valeur en 1 est supérieure à la valeur en -3/2, par exemple.

Le temps de discussion ensuite est visiblement trop court pour permettre de lever les contradictions, lorsque l'observateur aide les élèves à en prendre conscience.

## Classe B

### Tâche et sous-tâches

Comme dans la classe A, cette deuxième partie est consacrée à l'étude d'une fonction. Pour les raisons indiquées ci-dessus, il ne s'agit pas de la même fonction, ni exactement de la même tâche. On demande ici aux élèves d'étudier $x \rightarrow x-1-\frac{4}{9x}$.

Les sous-tâches sont les suivantes :

1. Entrer la fonction dans leur calculatrice.

2. La faire tracer.

3. Chercher les points où la courbe traverse l'axe des x.

4. Etudier ses limites.

Comme dans la classe A, on leur demandera si les résultats des calculs sont cohérents avec le tracé obtenu. S'ils le souhaitent, ils peuvent faire les calculs en papier crayon pour vérifier.

La fonction est donnée sous la forme $x \rightarrow x-1-\frac{4}{9x}$ pour repérer si les élèves pensent à la nécessité de parenthéser le $9x$ au dénominateur. On sera particulièrement attentif à leur capacité à contrôler leur définition en vérifiant le tracé obtenu. En effet, une erreur de parenthésage conduit à définir la fonction affine $x \rightarrow x-1-\frac{4}{9}x$. Cette erreur n'est pas toujours détectée à l'entrée dans l'application [HOME]. Dans l'application [GRAPH], elle conduit à l'affichage d'une droite, quelque soit le zoom, ce qui devrait permettre de remettre en cause l'entrée.

D'autre part, cette forme conduit à étudier la limite de sommes de fonctions pour différents cas de figures simples à contrôler par le raisonnement. On cherchera donc à voir comment s'exerce ce contrôle sur des limites obtenues à l'aide de la TI92.

Les objectifs de chacune des sous-tâches indiquées ci-dessus sont donc les suivants :

1. Maîtrise de la syntaxe d'entrée des expressions en particulier, passage du registre des expressions fractionnaires P/C au registre des expressions parenthésées de la ligne d'entrée de la TI92.
2. Capacité à coordonner les propriétés graphiques et algébriques de la fonction. On veut voir particulièrement si les élèves sont capables de remettre en cause une erreur de parenthésage à la vue du graphe d'une application affine.

3. Résolution d'un problème se ramenant à la résolution d'une équation du second degré, et pouvant s'envisager dans le registre algébrique P/C, TI92 et graphique.

4. Mise en oeuvre des connaissances nouvelles sur les limites. En particulier, on veut vérifier d'abord si les élèves sont capables de justifier par un raisonnement les valeurs des limites obtenues avec la TI92 et s'ils coordonnent les valeurs des limites qu'ils trouvent ainsi et leur interprétation des branches infinies du graphe.

## Travail des élèves

Nous l'analysons en fonction des quatre objectifs définis ci-dessus.

### Syntaxe d'entrée de la fonction.

<table><tr><td>Alice</td><td>x-1-4/9x [STO▶] f(x)</td></tr><tr><td>Franck</td><td>x-1-4/9x dans la base de fonction</td></tr><tr><td>Jean</td><td>x-1-4/9*x [STO▶] y(x)</td></tr><tr><td>Julien</td><td>x-1-4/(9*x) [STO▶] f(x)</td></tr><tr><td>Marie</td><td>x-1-4/9*x [STO▶] f(x)</td></tr><tr><td>Sabine</td><td>x-1-4/9 x [STO▶] f</td></tr></table>

Comme on le voit dans le tableau, Franck est le seul à utiliser la base de fonctions. L'énoncé oriente les élèves vers le module [HOME], mais cette utilisation ne leur est pas familière. La base de fonction est sans doute associée à l'idée de tracé, plutôt que de définition. L'erreur de parenthésage attendue se rencontre chez tous les élèves sauf Julien.

### Coordination algébrique/graphique.

A l'exception de Julien, les élèves obtiennent le tracé d'une droite, conséquence de l'erreur de parenthésage. L'observateur leur demande si ce tracé est "normal". Voici leurs réponses.

<table><tr><td>Alice</td><td>a = 1 et b = -1-4/9x</td></tr><tr><td>Franck</td><td>Normal, le a (de ax + b)ce serait -9/4+1 et b serait -1</td></tr><tr><td>Jean</td><td>Non, avec 4 divisé par 9x, on aurait pu douter. Il faut mettre des parenthèses</td></tr><tr><td>Marie</td><td>Normal, quand il y a un zéro au dénominateur, ça fait zéro</td></tr><tr><td>Sabine</td><td>Normal, parce qu'il n'y a pas de carré dans f</td></tr></table>

Seul Jean met en doute la droite obtenue et corrige le parenthésage. Pour les autres élèves, il faut une incitation forte de l'observateur. La traduction graphique de la discontinuité en zéro semble peu disponible.

### Problème du second degré dans différents registres.

La séquence proposée dans l'énoncé était l'étude graphique puis algébrique TI92, puis papier/crayon, mais l'observateur indiquait qu'on pouvait choisir l'ordre des recherches.
Trois élèves sur 6 (Jean, Franck, Julien), suivent cette démarche. Dans le travail de ces élèves, on relève des confusions entre le calcul de $f(0)$ et la recherche de la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = 0$. La tâche est cependant bien menée dans les registres graphiques et symboliques TI92. Les élèves font le lien entre les valeurs approchées lues sur le graphique et les valeurs exactes de la résolution symbolique. En P/C, ils transforment l'équation $f(x) = 0$ en une équation du second degré.

Marie cherche d'abord en P/C. Elle trouve deux solutions fausses suite à une erreur algébrique. Elle lit ensuite sur le graphique. Puis, sollicitée par l'observateur, elle résout l'équation à la machine. Constatant des solutions proches des valeurs observées, elle ne revient pas sur la résolution P/C.

Sabine fait seulement les deux premières étapes, ne semblant pas intéressée par la résolution P/C.

Alice lit seulement les valeurs sur le graphique et se révèle incapable de faire la traduction algébrique.

Ainsi, seule Alice reste sur une résolution graphique. Les autres élèves sont capables de poser la résolution algébrique sur la TI92. Certains d'entre eux (Jean, Franck, Julien) sont capables de transformer l'équation obtenue en équation classique du second degré.

## Mise en oeuvre des connaissances sur les limites.

### Limites en +-infini

Marie, Jean et Alice utilisent seulement la machine. Pour Jean et Marie c'est dû au manque de temps, ce travail se situant en fin d'entretien. Alice semble ne pas pouvoir obtenir la limite par raisonnement.

Franck utilise d'abord la machine puis justifie par addition de limites sur sollicitation. Julien travaille en P/C puis vérifie à la machine.

Sabine ne cherche pas ces limites.

### Limites en zéro

Tous les élèves commencent par entrer l'expression donnant la limite en zéro dans la machine et obtiennent *undef*.

Marie, Jean, Julien et Franck modifient l'expression pour avoir la limite à droite puis à gauche.

Sabine ne comprend pas la réponse *undef*. Pour elle, la limite est -1. En effet, $4/(9x)$ étant "indéfini" devrait compter pour 0 dans la somme.

Alice passe en P/C et écrit $\lim_{4/(9x) = 0}$ puis s'arrête.

### Interprétation graphique de la limite en zéro

Sabine et Marie pensent que la limite est nulle, car les branches se rapprochent de zéro.

Julien pense que les limites sont moins l'infini en zéro moins et plus l'infini en zéro plus, car il suit les branches de la courbe à partir de zéro et observe ainsi les limites en +- infini.

Les autres élèves n'ont pas été sollicités sur ce point par manque de temps.

Seuls Franck et Julien utilisent les propriétés algébriques des limites pour calculer et vérifier les limites en +-infini. Aucun élève ne tente un raisonnement pour les limites en zéro. Le registre symbolique de la TI92 est donc, pour les élèves, la plus sûre référence en ce qui
concerne les limites, particulièrement pour la discontinuité en zéro. Le résultat *undef* et l'écriture des limites à droite et a gauche facilitent l'accès à ce type de discontinuité. Par contre, ces limites ne sont pas du tout disponibles sous leur aspect graphique.

## Partie 3 : mise en oeuvre de diverses commandes

Voici ci-dessous les questions posées dans cette partie et les réponses attendues. Nous n'avons pas pris en compte deux questions prévues initialement sur le déplacement dans l'écran et la recopie sur la ligne de commande, les manipulations des élèves pendant la phase de travail autonome nous ayant montré qu'elles correspondaient à des savoir-faire techniques partagés par tous.

<table><thead><tr><td>Question</td><td>Réponse</td></tr></thead><tbody><tr><td>Comment effacer l'écran [HOME] ?</td><td>F1-8 (Clear Home)</td></tr><tr><td>Comment effacer la mémoire ?</td><td>par [MEM]- F1 Reset ou [VAR-LINK]-F1-Delete pour effacer des fichiers précis.</td></tr><tr><td>Comment donner la valeur 5 à la variable x ?</td><td>5 STO x</td></tr><tr><td>Comment libérer ensuite la variable x ?</td><td>F4-DelVar</td></tr><tr><td>Comment libérer toutes les variables ?</td><td>F6</td></tr><tr><td>Comment obtenir un résultat sous forme approchée ?</td><td>en appuyant sur ◆[ENTER] si on est en mode exact ou automatique, [ENTER] sinon.</td></tr><tr><td>Comment changer d'application ?</td><td>par [APPS] ou par ◆ pour les applications accessibles par cette touche : [HOME], [Y=], [GRAPH], [TABLE], [TblSet]</td></tr><tr><td>Comment partager l'écran en 2 ?</td><td>par [MODE]-F2-SplitScreen et appuyer deux fois sur la touche [ENTER]</td></tr><tr><td>Comment passer d'une sous-fenêtre à une autre ?</td><td>par 2nd [APPS]</td></tr><tr><td>Comment créer un nouveau répertoire ?</td><td>par F4-B (NewFold)</td></tr><tr><td>Comment fixer le répertoire de travail ?</td><td>par [MODE]-Current Folder</td></tr><tr><td>Comment sauver son travail dans un fichier ?</td><td>par F1-2 (Save)</td></tr><tr><td>Comment ouvrir un fichier existant ?</td><td>par [APPS]-9 (Open)</td></tr></tbody></table>

## Classe A

Le tableau 7 ci-après donne les résultats de cette partie. Les cases marquées d'une croix signifient que la réponse standard a été donnée. Quand cette réponse standard est tout de même inscrite, c'est que l'élève a eu besoin de consulter la machine.

Comme on le voit, la plupart des questions obtiennent des taux de réussite très importants, la plupart des élèves n'ayant d'ailleurs pas à consulter la machine pour les fournir. C'est le cas pour les questions : 1, 3, 5, 6, 8, 10 et 11 et 12 et, un petit peu moins de 7. Les questions moins réussies concernent toutes des fonctions encore peu utilisées comme créer un nouveau répertoire, ouvrir un fichier existant, voire mentionnées mais non utilisées comme effacer la mémoire, passer d'une sous-fenêtre à une autre.
<table><caption>Tableau 7 : Réponses à la partie 3 de l'entretien 1, classe A</caption><thead><tr><th></th><th>Anne</th><th>Charles</th><th>Francis</th><th>Françoise</th><th>Georges</th><th>Gérard</th><th>Michel</th><th>Serge</th><th>Vincent</th></tr></thead><tbody><tr><td>Effacer l'écran [HOME]</td><td>F1-8</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Effacer la mémoire</td><td>F6</td><td>[VAR-LINK]</td><td>F6</td><td>Ne sait pas</td><td>Ne sait pas</td><td>x</td><td>Ne sait pas</td><td>x</td><td>F6</td></tr><tr><td>Donner la valeur 5 à la var. x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>Ne sait pas</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Libérer ensuite la var. x</td><td>F1-7</td><td>Ne sait pas</td><td>Ne sait pas</td><td>Ne sait pas</td><td>0 STO x ou x STO x ou DelVar x</td><td>DelVar x</td><td>F6</td><td>x</td><td>F6</td></tr><tr><td>Libérer toutes les variables</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>Ne sait pas</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Résultat sous forme approchée</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>* [ENTER] ou dans [MODE]</td><td>x</td><td>F2-5</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Changer d'application</td><td>* [HOME]</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>[MODE] - Current Folder puis * [HOME]</td><td>[APPS] - [HOME] OU * [HOME]</td><td>Ne sait pas</td></tr><tr><td>Partager l'écran en deux</td><td>x</td><td>x</td><td>[MODE]-F2 SplitScreen</td><td>x</td><td>[MODE]-F2 SplitScreen</td><td>x</td><td>Ne sait pas</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Passer d'une sous-fenêtre à une autre</td><td>Ne sait pas</td><td>?</td><td>x</td><td>Ne sait pas</td><td>Ne sait pas</td><td>x</td><td>x</td><td>Ne sait pas</td><td>x</td></tr><tr><td>Créer un nouveau répertoire</td><td>[APPS]</td><td>?</td><td>Ne sait pas</td><td>[APPS]-9 New</td><td>[VAR-LINK] F1-5 ou F4-B</td><td>F4-B ou [APPS]-9New</td><td>Ne sait pas</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Fixer le répertoire de travail</td><td>Ne sait pas</td><td>?</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Sauver dans un fichier</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>Ne sait pas</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Ouvrir un fichier existant</td><td>[APPS]-9New</td><td>x</td><td>[VAR-LINK] se place sur fichier puis [ENTER]</td><td>x</td><td>[APPS]-9Open</td><td>[APPS]-9Open</td><td>[MODE] Current Folder</td><td>x</td><td>Ne sait pas</td></tr></tbody></table>
## Classe B

Certaines questions n'ont pas été posées, car elles correspondaient à des savoirs déjà vérifiés dans l'entretien.

<table><thead><tr><th></th><th>Sabine</th><th>Marie</th><th>Jean</th><th>Franck</th><th>Julien</th><th>Alice</th></tr></thead><tbody><tr><td>Effacer l'écran [HOME]</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Effacer la mémoire</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Donner une valeur à une variable</td><td>hésite</td><td>Ne sait pas</td><td>x = ...</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Libérer une variable</td><td>?</td><td>?</td><td>?</td><td>?</td><td>x</td><td>?</td></tr><tr><td>Libérer toutes les variables</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>?</td></tr><tr><td>Changer d'application</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Partager l'écran en deux</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>?</td></tr><tr><td>10. Créer un nouveau répertoire</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>?</td></tr></tbody></table>

## Synthèse du premier entretien

Que se dégage-t-il de ce premier entretien ?

* Tout d'abord, tous les élèves ont pris en main la machine, y compris ceux qui pouvaient paraître réticents. Mais les différences dans l'instrumentation sont déjà sensibles et ne reflètent pas complètement les seules différences de rapport aux machines ou les seules différences de niveau mathématique. Elles intègrent sans aucun doute les deux dimensions à la fois. Par exemple, dans la classe B, Sabine, Marie et Alice ont des utilisations limitées et rencontrent le plus de difficultés, alors que leur réussite mathématique est très différente.

* Une utilisation à la maison peu intensive, étroitement liée au travail scolaire et aux habitudes de travail des élèves.

* Une utilisation en contrôle à des fins de vérification principalement, sans que cette fonction de vérification soit toujours efficacement gérée et une opinion positive mais réaliste sur l'aide effectivement apportée dans ce contexte par la mise à disposition de la TI92. Certains élèves préfèrent encore la calculatrice numérique précédemment "instrumentée".

* Une instrumentation pour l'étude des fonctions qui est encore très limitée sauf exception. Les élèves savent utiliser l'application [HOME] pour définir une fonction, calculer sa dérivée, trouver ses zéros ou la factoriser. Mais il s'agit là de ce que nous serions tentés de qualifier d'instrumentation de niveau 1 : on connaît des commandes et on sait les exploiter mathématiquement dans la mesure où elles donnent directement la réponse demandée. En particulier, il semble bien que la plupart des élèves de la classe A n'aient pas réellement perçu l'intérêt de la recherche des zéros de la dérivée ou même de la factorisation de son expression algébrique. Dans une situation où cette recherche ne s'inscrit pas dans la réalisation d'un algorithme connu, ils ne savent pas exploiter les informations fournies par la machine. Les techniques et instrumentations des calculatrices graphiques qui se sont mises en place avant l'introduction des dérivées pour l'étude des fonctions : exploitation des tracés graphiques et de l'option Trace, exploitation des tables de valeur, sont des techniques qui restent encore très dominantes. On notera d'ailleurs leur extension au niveau de la fonction dérivée $f'$ qui sous-tend la plupart des stratégies développées par les élèves. Dans les deux classes, la perturbation causée par l'introduction d'une singularité n'est pas plus facilement surmontée par les élèves. Visiblement, ils notent la non-définition de la fonction mais ne perçoivent pas ses répercussions possibles sur son graphe, ses limites ou
ses variations. Ils ne disposent pas de techniques pour cela. On voit bien, à travers cette perturbation volontairement introduite, jusqu'à quel point l'instrumentation efficace de la TI92 est dépendante des connaissances mathématiques élaborées par les élèves.

* En ce qui concerne la gestion des représentations graphiques, il apparaît que la plupart des élèves de la classe A ne disposent pas de moyens efficaces pour obtenir un tracé satisfaisant si la fenêtre standard ne le fournit pas. Ils procèdent par essais et erreurs de petite amplitude, ce qui ne change pas fondamentalement la situation dans le cas présent. Cette gestion des graphiques reste dans le cadre des deux applications [GRAPH] et [WINDOW] et ne met pas en jeu les applications [HOME] et [TABLE], dont la seconde en particulier peut fournir des moyens efficaces de piloter les changements de fenêtre de représentation.. les élèves de la classe B ne rencontrent pas ces problèmes, la représentation obtenue dans la fenêtre standard étant d'emblée significative, mais ont les plus grandes difficultés à interpréter graphiquement les branches infinies en zéro.

* Quand on fait le point, en partie 3, sur les fonctionnalités de la TI92, les manipulations les plus courantes dans la fenêtre [HOME] apparaissent bien intégrées par tous les élèves, ainsi que la touche de changement d'application. Quelques élèves ignorent les fonctions de gestion de l'écran et de la mémoire. Ils sont plus nombreux à ignorer les fonctions de gestion des variables.

Bien sûr, tout ce qui précède doit être relativisé aux conditions de l'entretien et au faible temps dont ont disposé les élèves pour effectuer la tâche demandée. Nous pouvons cependant en conclure que les tâches proposées dans chacune des classes sont loin d'être devenues routinières, même en excluant la question de la singularité, et que la possession d'une TI92 dont on connaît les commandes susceptibles d'intervenir ici ne diminue pas substantiellement leur difficulté.

# Entretien 2

## Scénario de l'entretien

L'entretien était organisé en deux parties.

### Partie 1 : Instrumentation de la TI92

Dans la classe A, cette partie comportait trois questions, l'une sur l'appropriation de la machine dans son aspect "stockage de données", les deux autres sur l'utilisation de la TI92 en contrôle commun et pendant les vacances.

Pour des contraintes de temps, la première question a été posée seulement à certains élèves de la classe B, et les deux autres n'ont pas été posées dans cette classe.

**Première question** : on demandait à l'élève : « Peux-tu montrer ce que tu as mis en mémoire dans la TI92 et comment tu l'as organisé ? ». S'il y avait des activités faites en classe, on demandait lesquelles, s'il y avait des jeux, on demandait s'ils avaient été copiés ou programmés, s'il y avait des programmes, on demandait des exemples, s'il y avait des formules de maths ou d'autres disciplines, on demandait lesquelles. Il était prévu le cas échéant de récupérer les fichiers correspondants.

**Deuxième question** : on demandait à l'élève de préciser, comme dans le premier entretien, comment il avait utilisé la machine pendant le contrôle commun n°5 qui portait sur la fonction
$f$ définie par $f(x) = \frac{x^3 + 3x^2 + 2}{x^3 + 1}$ et on faisait conclure par une appréciation générale sur l'aide éventuelle apportée par la machine.

**Troisième question** : on demandait à l'élève s'il avait utilisé sa calculatrice pendant les vacances de Pâques et si oui, combien de temps approximativement et pour quoi faire.

## Partie 2 : étude de fonction

Les élèves de la classe B disposaient des dérivées au moment de l'entretien, et donc une étude de variations est demandée dans les deux classes en suivant un schéma analogue à celui du premier entretien dans la classe A. Comme la classe A avait vu les limites, l'étude inclut la recherche des limites de la fonction et d'une asymptote.

La fonction étudiée dans la classe A est $x \to \frac{x^2 - 2x - 14}{x + 1}$.

La fonction étudiée dans la classe B est $x \to x - 1 + \frac{1}{100x}$.
# Résultats et analyse

## Partie I : Instrumentation de la TI92

### Classe A

#### Première question

<table><tr><td>Anne</td><td>Elle a rentré en mémoire beaucoup de fichiers sans créer de répertoires. Ils concernent les maths (calcul du discriminant, exercices, énoncés de théorèmes, activités faites en classe). Elle ne programme pas elle-même. Elle a également copié un jeu.</td></tr><tr><td>Charles</td><td>Il n'a rien sauvegardé en dehors des sauvegardes faites en classe. En 3D, il a reproduit un graphique du manuel pour s'amuser et l'a gardé. Dans le questionnaire 2, il avait coché les rubriques : travaux de classe et formules de maths.</td></tr><tr><td>Francis</td><td>Il n'a rentré que ce qui avait été fait en classe et ne compte pas s'en servir. Il déclare préférer utiliser sa propre calculatrice qui est celle qu'il aura l'an prochain.</td></tr><tr><td>Françoise</td><td>Elle a entré deux fichiers : dans le premier, elle a écrit l'énoncé d'un théorème, dans le second une figure pour montrer à une copine comment la machine fonctionnait.</td></tr><tr><td>Georges</td><td>Il a sauvegardé certains TP et des macros ainsi que des dessins réalisés tout seul. Il dispose de trois répertoires main, bary (pour barycentre) et documents (pour les dessins géométriques). Main est rempli en vrac de formules par exemple somme et différences de cubes, formules de trigonométrie, de fichiers correspondant à des activités faites en classe, de travaux personnels sur axes et coordonnées. Il a entré pour la physique les masses molaires de différents corps et le tableau de Mendeleiev ainsi que divers renseignements. Il a transcrit un programme de calcul du discriminant d'une équation du second degré qu'il avait sur sa Casio. Il n'a pas mis de jeux en mémoire.</td></tr><tr><td>Gérard</td><td>Il a créé un répertoire « jeu » où il a programmé un jeu. Dans le répertoire Main, il a un programme pour le calcul du discriminant, un fichier avec les codes des touches, des formules de maths et de physique. Il ne garde pas ce qui est fait en classe.</td></tr><tr><td>Michel</td><td>Il n'y a pas de répertoire créés, il ne garde pas systématiquement ce qui est fait en cours. Il n'avait pas rempli la rubrique correspondante du questionnaire 2.</td></tr><tr><td>Serge</td><td>Il avait rentré des jeux et des programmes de maths (calcul du discriminant), des macros de barycentre, des formules de maths et de physique puis il a tout effacé car il ne les utilisait pas. Il n'est pas sûr de remettre des choses en mémoire.</td></tr><tr><td>Vincent</td><td>Il a rentré en mémoire des fichiers correspondant aux différentes rubriques proposées dans le questionnaire 2 mais ne programme pas. Sa machine contient des jeux qu'il a copiés.</td></tr></table>

Ces réponses attestent de l'existence de décalages certains entre les élèves mais aussi d'un niveau d'instrumentation moyen limité. En particulier, les élèves, à deux exceptions près, n'ont créé aucun répertoire pour structurer la mémoire de leur machine. Les programmes mathématiques rentrés, quand il y en a, se résument au programme de calcul du discriminant d'une équation du second degré. L'entrée de programmes de jeux n'est pas non plus majoritaire. Peut-être faut-il voir là la marque du fait qu'il ne s'agit pas de leur calculatrice
propre et il sera intéressant de comparer avec d'instrumentation que développeront en classe de terminale ceux qui disposeront l'année suivante d'une TI92 à eux..

## Deuxième question

Dans le problème d'analyse du contrôle, la TI92 pouvait essentiellement aider à produire ou contrôler la factorisation de $g(x)$ (question A2), à calculer et vérifier les limites en $-1$ et $+\infty$, la dérivée, à prévoir ou contrôler l'allure de Cf et sa position par rapport au droites D et $\Delta$, enfin à trouver les coordonnées de points de Cf. Elle compliquait plus qu'elle n'aidait la résolution de l'équation $f(x) = 2$. Une fois reconnue l'équation de la tangente horizontale, la factorisation de $f(x) - 2$ pouvait aider à étudier la position de la tangente par rapport à la courbe mais le tableau de variation déjà construit fournissait toutes les informations nécessaires à la résolution.

Nous ne disposons pas des copies de ce contrôle et ne connaissons que la note globale concernant les deux parties : analyse et géométrie. La moyenne de la classe est ici de 12.2. Nous ne pouvons donc pas confronter les déclarations des élèves à leurs productions écrites comme nous l'avions fait pour le premier entretien.

<table><tr><td>Anne (note 12.5) :</td><td>Elle a d'abord défini la fonction et l'a faite tracer. Elle a effectué la factorisation et le calcul de la dérivée d'abord à la machine, en revanche elle a effectué les deux calculs de limite à la main et a ensuite vérifié avec la TI92. Elle a utilisé l'application [TABLE] à la fois pour le tracé de f et pour celui de Δ dit-elle.</td></tr><tr><td>Charles (10.5) :</td><td>Il a fait peu d'analyse car il a commencé par la géométrie. En analyse, il a commencé par la partie B car il sentait qu'il savait faire. Il a utilisé la calculatrice pour trouver la limite en -1, ensuite il a fait le b) à la main et s'est arrêté là.</td></tr><tr><td>Francis (17.5) :</td><td>Il n'a pas du tout utilisé sa calculatrice.</td></tr><tr><td>Françoise (12.5) :</td><td>Elle dit s'être beaucoup servie de la machine. Elle a d'abord fait tracer la courbe, ensuite elle a utilisé la machine pour factoriser g, pour vérifier les calculs de limites, de dérivée et elle a aussi utilisé [TABLE] pour tracer Cf.</td></tr><tr><td>Georges (17.5) :</td><td>Il a effectué la factorisation et les calculs de limites d'abord à la machine et ensuite à la main « pour bien détailler, bien rédiger ». Il a utilisé aussi la TI92 pour vérifier le calcul de la dérivée et l'application [TABLE] pour aider le tracé.</td></tr><tr><td>Gérard (14.5) :</td><td>Il a d'abord défini la fonction sans la faire tracer et a utilisé la machine pour vérifier la factorisation de g. Il l'a aussi utilisée pour vérifier les calculs de limites et de dérivée. Il a résolu l'équation à la machine et enfin a utilisé [TABLE] pour tracer Cf.</td></tr><tr><td>Michel (16.5) :</td><td>Il n'a utilisé la machine que pour vérifier (limites, signe de f', tracé de Cf).</td></tr><tr><td>Serge (14.5) :</td><td>Il a d'abord fait tracer la courbe puis a utilisé la calculatrice pour vérifier la factorisation, la limite en 1, les asymptotes et le calcul de la dérivée.</td></tr><tr><td>Vincent (13.5) :</td><td>Il a d'abord défini la fonction sans la faire tracer. Il a fait la factorisation et le calcul de la limite en -1 d'abord à la machine, le calcul de la limite en $\infty$ d'abord à la main. Pour contrôler le signe de f', il s'est servi de [TABLE], il s'est aussi servi de [TABLE] et du tracé pour le tracé de Cf.</td></tr></table>

La TI92 a donc, ici encore, une fonction de vérification essentiellement. Visiblement les élèves ne cherchent pas à l'utiliser systématiquement dans toutes les questions et par exemple un seul d'entre eux va résoudre l'équation $f(x) = 2$ avec la machine. Suivant les questions en revanche, l'ordre : calcul machine - calcul papier/crayon est variable et ceci indépendamment
du niveau mathématique des élèves. L'application [TABLE] est presque toujours utilisée pour soutenir le tracé. Elle résiste chez Vincent comme outil de contrôle du signe de la dérivée. Un élève enfin, Francis, n'utilise pas du tout la machine et Michel dans l'entretien marque bien qu'il ne l'a utilisée que pour vérifier, ce qui est tout à fait conforme à ses réponses aux questionnaires.

## Troisième question

L'utilisation pendant les vacances est faible : Michel, Charles, Françoise et Vincent n'ont pas du tout utilisé la machine, Serge a juste pris la machine pour faire le ménage et tout effacer. Seuls Georges, Francis et Gérard déclarent l'avoir utilisée un peu :

* Georges, pour un exercice de trigonométrie qu'il n'arrivait pas à faire à la main : montrer que l'équation cosx - x = 0 a une solution dans R. La machine lui a donné une solution 0.789, dit-il, mais il ne sait pas comment la retrouver à la main,

* Francis, pour faire les exercices,

* Gérard, pour faire les exercices et programmer un jeu.

Ces données confirment donc celles issues du premier entretien : la machine est avant tout liée à la réalisation du travail scolaire en mathématiques, encore moins utilisée pendant les périodes de vacances que dans le temps scolaire usuel.

## Classe B

Voici le contenu des machines des trois élèves interrogés sur ce point, ainsi que son organisation et les difficultés rencontrées.

<table><thead><tr><td></td><td>Programmes</td><td>Texte</td><td>Organisation</td><td>Incident</td></tr></thead><tbody><tr><td>Alice</td><td>Jeux (ne s'en est jamais servi)</td><td>Chimie</td><td>« Je suis paumée »</td><td></td></tr><tr><td>Julien</td><td>Equations des tangentes (donné)<br/>Macro barycentre (fait)<br/>Jeux (perdus)</td><td>Physique</td><td>Pgm et macro dans MAIN.Folder<br/>PHYSIQUE et TANG (tangente ?)</td><td>Perte des données. Pas de sauvegarde.</td></tr><tr><td>Pierre</td><td>Équation de tangente, compter les points au tarot, Jeu de poker</td><td></td><td>Répertoire tarot,<br/>répertoire tangente,<br/>répertoire pratique</td><td></td></tr></tbody></table>

On constate un grande différence entre Pierre et Julien d'une part, et Alice d'autre part. Les premiers stockent des programmes qu'ils utilisent et ont même développé pour certains. Alice garde seulement ses "antisèches" de chimie. Elle a aussi chargé des jeux des calculatrices d'autres élèves, mais n'a pas réussi à les utiliser. Pierre est le plus organisé, avec des sous-répertoires thématiques.
# Partie 2 : Etude de fonction

## Classe A

Dans cette partie, on demande aux élèves d'étudier la fonction définie par l'expression algébrique : $f(x) = \frac{x^2-2x-14}{x+3}$ suivant un schéma analogue à celui du premier entretien, mais prenant en compte cette fois l'étude des limites de la fonction, les élèves ayant à déterminer eux-mêmes en quels points ils estiment nécessaire de chercher les limites éventuelles de la fonction. La fonction est choisie pour présenter les caractéristiques suivantes :

* Le tracé correspondant à la fenêtre standard ne permet d'obtenir qu'une partie de la courbe représentative de la fonction, celle correspondant à $x>3$ et le trait de liaison peut alors être pris pour le début de la courbe,

* La fonction admet un maximum et un minimum local (en -2 et -4, de valeurs respectives -6 et -10). Ces valeurs sont calculées par la machine qui factorise aussi la dérivée en $\frac{(x+2)(x+4)}{(x+3)^2}$.

* La courbe représentative de la fonction admet une asymptote verticale d'équation $x = -3$, et une asymptote oblique au voisinage de l'infini. La machine calcule les limites à gauche et à droite en -3, à condition de spécifier correctement ces limites, et les limites en $-\infty$ et $+\infty$. Les élèves n'ont pas encore rencontré d'asymptotes obliques, l'existence d'une telle asymptote peut cependant être inférée du tracé graphique dans une fenêtre convenable et justifiée en mettant la fonction sous la forme $\frac{1}{x+3} + x-5$, ce que permet notamment l'utilisation de la commande *Expand* dans l'application [HOME].

* Selon les fenêtres utilisées, le tracé de la fonction a des allures différentes : pour la fenêtre standard, comme nous l'avons dit, il est très incomplet, si l'on effectue un *ZoomFit* à partir de la fenêtre standard soit sur [-10,10], la courbe obtenue a une allure cohérente avec l'étude théorique ; si l'on effectue le même *ZoomFit* à partir de l'intervalle [-5,5], la courbe semble présenter une asymptote horizontale : l'axe des abscisses.

Quelques médiations sont prévues pour la discussion :

* si l'élève n'a pas obtenu un tracé satisfaisant et en est convaincu, lui demander si l'étude théorique ne lui suggère pas une fenêtre plus adaptée,

* si l'élève considère l'asymptote comme une partie de la courbe, faire comparer aux résultats de l'étude algébrique du sens de variation et aux calculs de limites éventuels, et de manière générale, aider à repérer les incohérences éventuelles entre tracé et étude algébrique,

* aider l'élève à explorer la situation au voisinage de l'infini en lui faisant analyser le tracé et en lui proposant éventuellement la forme de $f$ obtenue par utilisation de *Expand*.

Comme pour l'entretien 1, nous allons proposer successivement une stratégie standard destinée à servir de référence pour l'analyse, puis des informations détaillées sur les applications et commandes utilisées par les élèves, ainsi que sur les méthodes et techniques utilisées pour les trois sous-tâches suivantes :

1. tracé du graphe de la fonction
2. étude du sens de variation de f

3. choix des points de calcul de limites et détermination des limites aux points choisis.

Nous ferons ensuite une analyse synthétique de ces données.

## Sous-tâches et stratégie standard

### Tracer la courbe représentative de f

* Définition dans l'application [HOME] de la fonction, entrée dans [Y=], via $y1(x) = f(x)$, passage à l'application [GRAPH] pour le tracé dans la fenêtre standard. Le tracé obtenu n'est pas satisfaisant.

<figure><img src="image_330.png" /></figure>

Compte tenu du fait que les élèves ont déjà utilisé la commande ZoomFit plusieurs fois en classe et pris conscience de son intérêt, nous intégrons cette utilisation dans la stratégie standard, au lieu d'utiliser l'application [TABLE] comme dans le premier entretien pour trouver une fenêtre satisfaisante.

* Application [GRAPH] ou [WINDOW] : F2-A ZoomFit puis [GRAPH] éventuellement.

On obtient alors le graphe suivant :

<figure><img src="image_331.png" /></figure>

### Question 2 : Etudier le sens de variation de f

La stratégie standard est pour cette question analogue à celle de l'entretien 1 :

* Calcul de la dérivée dans l'application [HOME], définition de la dérivée par F4-Define, recherche des zéros de la dérivée par l'une des commandes : Zeros(d f(x),x), Factor(d f(x),x) ou Solve(d f(x) = 0,x) ou recherche directe des zéros.
<figure><img src="image_332.png" /></figure>

Le numérateur étant un polynôme du second degré, la recherche des zéros de la dérivée est tout à fait accessible aux élèves en papier/crayon, mais vu les fortes contraintes de temps de l'entretien, nous privilégions dans la stratégie standard l'utilisation de la machine. Notre choix pourrait être différent s'il s'agissait de décrire la stratégie standard dans une situation de contrôle où la rédaction de l'élève ne devrait pas conserver de traces de l'utilisation de la TI92.

* L'étude du signe de la dérivée se fait ensuite en P/C et compte tenu des techniques développées à propos des trinômes du second degré, nous optons pour le raisonnement suivant : le signe de $f'$ qui est définie pour $x \neq -3$, est celui de son numérateur, le dénominateur étant toujours positif (carré). Ce numérateur est un trinôme du second degré admettant deux racines -4 et -2, il est donc du signe du coefficient de son terme en $x^2$, c'est à dire positif, à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.

On peut penser que certains élèves court-circuiteront ce raisonnement et utiliseront le théorème en acte déjà rencontré dans l'entretien 1 : le signe de la dérivée est constant entre deux zéros et change à chaque zéro. Ceci conduit à la stratégie suivante : calculer $f'(x)$ pour un $x$ simple, par exemple ici $x = 0$ qui n'est ni zéro de la dérivée, ni singularité, à la main s'il s'agit de 0, via l'application [HOME] si la valeur de $x$ est moins judicieusement choisie, et en déduire le signe de $f'$ sur $R\{-3\}$

On en déduit ensuite, dans les deux cas, le tableau de variation :

<table><thead><tr><th>x</th><th>-∞</th><th>-4</th><th>-3</th><th>-2</th><th>+∞</th></tr></thead><tbody><tr><th>f'(x)</th><td>+</td><td>-</td><td>-</td><td>+</td><td></td></tr></tbody></table>

Pour trouver les valeurs des extremums, on utilise l'application [HOME].

* Application [HOME] : $f(-4) - f(-2)$

## Etudier les limites de $f$

La seule singularité étant en $x = -3$, on a donc à déterminer les limites éventuelles en -3, en $-\infty$ et $+\infty$. Dans la stratégie standard, nous prévoyons l'utilisation de la commande *limit* de l'application [HOME], avec pour le cas de $x = -3$, le passage éventuel par la commande simple de limite qui renverra le résultat *undef*.

* Application [HOME] :

```
limit (f(x), x, -3) undef
```
$$ \text{limit}(f(x), x, -3, 1) \quad -\infty $$

$$ \text{limit}(f(x), x, -3, -1) \quad +\infty $$

$$ \text{limit}(f(x), x, -\infty) \quad -\infty $$

$$ \text{limit}(f(x), x, +\infty) \quad +\infty $$

On en déduit l'existence d'une asymptote verticale d'équation $x = -3$. A l'infini, on peut penser que, sans sollicitation particulière, les élèves n'iront pas plus loin.

## Applications et commandes employées par les élèves

Par souci de clarté, toutes les informations de cette rubrique relatives à chaque élève ont été réunies en tableaux. Nous avons construit deux tableaux en regroupant les sous-taches. La légende est la même que pour le premier entretien.

<table><caption>Faire tracer la courbe représentative de f</caption><thead><tr><th></th><th>[HOME]</th><th>[Y=]</th><th>[GRAPH]<br>[WINDOW]</th><th>[TbISet]</th><th>[TABLE]</th><th>P/C</th></tr></thead><tbody><tr><td>Anne</td><td>Define</td><td>*</td><td>ZoomStd puis<br>ZoomFit sur<br>[-5,5]</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Charles</td><td></td><td>*</td><td>FI (ZoomStd)</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Francis</td><td></td><td>*</td><td>FI (ZoomDec)<br>puis ZoomFit</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Françoise</td><td>Define</td><td>*</td><td>ZoomStd</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Georges</td><td>Define</td><td>*</td><td>FI (ZoomStd)<br>puis ZoomFit</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Gérard</td><td>Define</td><td>*</td><td>FI (ZoomStd)<br>puis ZoomFit</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Michel</td><td>Define</td><td>*</td><td>FI (ZoomStd)</td><td></td><td>¤</td><td></td></tr><tr><td>Serge</td><td>Define</td><td>*</td><td>FI (ZoomStd)<br>¤</td><td>Change<br>de pas</td><td>¤ (3)</td><td>[TABLE]</td></tr><tr><td>Vincent</td><td>Define</td><td>*</td><td>FI (ZoomDec)<br>puis ZoomStd</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<caption>Tableau 8 : Commandes utilisées pour la définition et le tracé</caption>

Pour la bonne compréhension du tableau, précisons d'une part que Michel s'arrête sur la fenêtre standard, malgré l'utilisation de [TABLE], d'autre part que l'étude de Serge est complexe. En effet, il obtient d'abord le tracé standard puis passe à l'application [TABLE], fait défiler à partir de $x = -6$ (valeur résultant du dernier entretien, non modifiée par l'observateur), repasse au tracé standard, puis de nouveau à [TABLE], écrit « $f(x)$ n'est pas définie pour $x = -3$ », passe dans [TbISet] pour modifier la valeur initiale : -3 et le pas : 0.1, explore dans [TABLE] le voisinage de -3 puis s'arrête et passe à [HOME] pour le calcul de la dérivée.
On note une évolution évidente depuis le premier entretien, liée à l'intégration de la commande ZoomFit : quatre élèves suivent en effet cette fois la stratégie standard décrite plus haut, tandis que cinq s'arrêtent sur la fenêtre standard. On ne note pas non plus d'essais à tâtons de modification de la fenêtre. Deux élèves ont recours à l'application [TABLE] mais visiblement n'en tirent pas parti au niveau graphique, un élève améliore son tracé en passant de la représentation en fenêtre ZoomDec à la représentation en fenêtre ZoomStd et s'arrête là, les deux autres passent tout de suite au calcul de la dérivée.

## Etudier le sens de variation et les limites de f

**Remarque:** Au cours de la résolution de cette question, Francis a utilisé la commande *Clear a-z* avant de traiter la question, ce qui explique la présence des deux cases le concernant dans le tableau 9 suivant.
<table><caption>Tableau 9 : Utilisation des commandes dans l'étude du sens de variation</caption><thead><tr><th></th><th>[HOME]</th><th>[Y=]</th><th>[GRAPH] [WINDOW]</th><th>[TbISet]</th><th>[TABLE]</th><th>P/C</th></tr></thead><tbody><tr><td>Anne</td><td>d( Define g Zeros limit (3) Cal. f(-4) f(-2)</td><td></td><td>□ (4) W</td><td></td><td>□</td><td>[GRAPH] (2) [HOME] (2)</td></tr><tr><td>Charles</td><td>Define d( Cal.(2)</td><td></td><td>□ (3)</td><td></td><td></td><td>[HOME] (3) [GRAPH] (2)</td></tr><tr><td>Francis</td><td>d( Define f'(-4), f'(-2) f'(-3)</td><td>* SD □ (2)</td><td>Courbes de f et de f' Courbe de f'</td><td></td><td></td><td>[HOME] [GRAPH]</td></tr><tr><td>Francis (Après Clear a-z)</td><td>Define (2) d( limit (7)</td><td>* (2) SD</td><td>Courbes de f et de f' Courbe de f Trace</td><td></td><td></td><td>□ [HOME]</td></tr><tr><td>Françoise</td><td>d( Cal. (2) limit (5)</td><td></td><td></td><td>□</td><td>□</td><td>[HOME] (5)</td></tr><tr><td>Georges</td><td>Define d( Zeros f'(0) f'(10) f(-4), f(-2) f(-10), f'(-10) limit (4) f'(-3), f(-3) □</td><td></td><td>□ (3) Trace</td><td></td><td></td><td>[HOME] (5) [GRAPH]</td></tr><tr><td>Gérard</td><td>d( Cal. (3) f(-4) f(-2) limit (5)</td><td></td><td>□ (2)</td><td></td><td>□</td><td>[HOME] (5) [GRAPH] (2)</td></tr><tr><td>Michel</td><td>d( Cal. Define g Solve g(-3) limit (3)</td><td></td><td>□ (3)</td><td></td><td>□ (2)</td><td>[HOME] (5) [TABLE]</td></tr><tr><td>Serge</td><td>d( Define Zeros f'(-3) limit (5)</td><td>* (2)</td><td>Courbes de f et f' □ (3) ZoomFit Droites y = -10 et y = -6 W</td><td></td><td></td><td>[HOME] (7) [GRAPH]</td></tr><tr><td>Vincent</td><td>d( □ f(-3) f(-4) f(2) ♦≈ limit (3)</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>[HOME] (3)</td></tr></tbody></table>
# Stratégies des élèves

## Anne

* Calcul standard dans [HOME] de la dérivée, définition du numérateur comme fonction $g(x)$, recherche de ses zéros, recherche des limites en $-\infty$, $+\infty$ et $0$.

* Passage à [GRAPH] et tracé de la fonction $f$

* Passage en P/C et début de rédaction ; expression de la dérivée. signe du dénominateur, calcul du discriminant puis s'arrête car elle ne sait plus comment calculer les racines. Au bout d'un moment, aide de l'observateur et elle retrouve les racines données par la machine, ce qu'elle constate. Début du tableau de variation avec mention du signe de $f'$ ; -3 n'apparaît pas.

* Passage à [GRAPH], regarde le tracé puis met les flèches sur le tableau de variation.

* Calcul en [HOME] de $f(-4)$ et $f(-2)$, ajout des valeurs au tableau de variation.

* Passage en [GRAPH], puis en [WINDOW], et diminue la valeur de $ymin: ymin = -30$ ($ymax = 55$).

* Elle remarque alors que le tracé ne correspond pas au tableau de variation

* Passage à [TABLE] : En la parcourant, elle repère la singularité en -3.

Dans la discussion, Anne précise qu'elle a calculé les racines à la main car, de toute façon, en contrôle il faut faire le détail et qu'à la fin, pour choisir le nouveau $ymin$ elle a regardé les valeurs données par le ZoomFit sur [-5,5] puis a mis un peu plus parce qu'on ne voyait pas très bien en-dessous.

## Charles

* Calcul standard de la dérivée. Note la dérivée et marque : signe de $x^2+6x+8$ et signe de $(x+3)^2$.

* Passe en [GRAPH] et regarde le graphe (fenêtre standard).

* Lit les limites sur le graphe en considérant la liaison comme le début de la courbe et écrit les limites trouvées : $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$, $\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to -3} f(x) = \infty$.

* Calcul du discriminant et des expressions des racines à la main, fin du calcul numérique à la machine.

* Trace un tableau de signe pour trouver le signe de $f'$ mais traite $(x+3)^2$ comme $x+3$.

* Regarde ensuite le tracé et son tableau de signe.

Dans la discussion, il dit que le premier tracé lui convenait, qu'il est passé aux limites car il ne voyait pas trop comment faire avec la dérivée. Il confirme qu'il a lu graphiquement les limites, « en + ∞., la courbe est croissante, donc ça tend vers + ∞. ». Pour la limite en -3, il montre le raccord du haut. L'observateur lui demande si le tracé est conforme au sens de variation trouvé. Il répond oui mais avec un peu d'aide change d'avis. L'observateur l'aide alors à rectifier l'erreur liée à $(x+3)^2$ pour obtenir un tableau correct puis l'interroge sur le trait vertical du tracé. Charles finit par dire qu'à son avis la courbe doit être en deux parties puisque la fonction n'est pas définie en -3. Il tâtonnera mais ne parviendra pas seul à obtenir la partie de la courbe correspondant à $x < -3$. Quand on lui montre un graphe satisfaisant, il reconnaît l'asymptote et rectifie les limites en -3, sans être sûr de lui.

## Francis

* Calcul standard de la dérivée qui est entrée dans $[Y=]$ pour être tracée
* Zéros et signe de $f'$ déterminés à partir du tracé de $f'$, début du tableau de variation.

* Contrôle en faisant calculer dans [HOME] $f'(-4)$, $f'(-2)$, $f'(-3)$

* Aller et retour entre [GRAPH] et P/C puis arrêt sur [GRAPH]

* Calcul dans [HOME] de la dérivée de $f'$

* Repassage dans [Y=] et dans [GRAPH]

* Passage en [HOME] et nettoyage des variables par F6, puis redéfinition de $f$, calcul et définition de la dérivée, tracé des deux courbes.

* Passage en [Y=], désélection de y2 et repassage en [GRAPH] pour tracer. Résultat visiblement jugé satisfaisant.

* Passage en [HOME], calcul des limites en -∞, -4, -3, -3g, -3d, -2, +∞, valeurs placées au fur et à mesure sur le tableau de variation.

* Passage à [GRAPH], utilisation de Trace pour suivre les valeurs et explorer les voisinages des extremums.

Au cours de la discussion, il confirme qu'il a tracé son premier tableau de variation en se servant du graphe de $f'$, qu'ensuite il a été gêné car « la dérivée était négative entre -4 et -2 donc la courbe décroissante alors que sur le graphique ça montait » (liaison) et qu'il a fini par tout effacer en pensant qu'il y avait peut-être quelque chose dans la mémoire de la TI92 qui perturbait. Puis, à un moment, il dit avoir compris que la liaison, « ça ne faisait pas partie de la courbe, c'était la calculatrice qui le faisait pour relier les deux bouts de courbe... En général, ça se passe quand la courbe n'est pas définie en un point. ». Questionné, il montre qu'il sait comment obtenir un tracé discontinu. Il dit avoir cherché la limite en -4 « parce que ça devait être un maximum », puis avoir exploré avec Trace pour contrôler que tout allait bien.

## Françoise

* Calcul de la dérivée standard.

* Ecrit que $f'$ a toujours le signe du numérateur puis calcule à la main les racines du numérateur et trace un tableau de variation sans la valeur -3.

* En [HOME], fait calculer les limites en -4, -2 et -∞. et note les résultats obtenus.

* En P/C cherche la limite du numérateur de $f$ en -3, trouve 1 et contrôle dans [HOME] en tapant l'expression : $(-3)^2-2*3-14$

* En P/C continue sa recherche de la limite en -3 par valeurs supérieures (raisonnement correct) et contrôle dans [HOME].

* Début du calcul de la limite en + ∞. (mise en facteur de $x^2$ au numérateur et au dénominateur) et arrêt.

* Interprétation en termes d'asymptote de la limite supérieure en -3 : « la droite d'équation $x = -3$ est asymptote à la courbe représentative au voisinage de +∞. »

Dans la discussion, elle explique qu'elle a cherché la limite en -3 parce que -3 annule le dénominateur de $f$, qu'elle n'a pas cherché les limites à la machine en +∞ car il faut rédiger et qu'une asymptote, c'est pour elle « une droite parallèle à la courbe ». Lorsque l'observateur lui demande si son tracé est cohérent avec le tableau de variation, qui ne contient pas la valeur -3, elle dit que « non, elle ne croit pas », puis elle va dans [Tb1Set] , fixe la valeur initiale à -8 et fait défiler les valeurs entre -8 et -4 dans [TABLE]. L'entretien va s'arrêter là pour des raisons de temps.

## Georges

* Trouve de façon standard la dérivée et ses zéros.
* Trace ensuite un tableau de variation conforme au signe de $f'$ (signe du trinôme) mais sans la valeur $x = -3$.

* En faisant calculer la valeur des maxi et mini, repère une contradiction : $M<m$

* Vérifie son tableau en faisant calculer $f(-10)$, $f'(-10)$, puis $f'(-3)$ pour lequel la TI92 renvoie $-\infty$.

* Repasse en [GRAPH], regarde le graphe et le tableau de variation.

* Repasse en [HOME] et fait calculer les limites à l'infini, note les résultats, puis la limite en -3, puis la limite à gauche en -3.

* Note la limite à gauche et rajoute la limite à droite en -3.

* Refait calculer $f'(-3)$ et $f(-3)$.

* Regarde son tableau de variation, repasse en [GRAPH], regarde et se déplace avec trace aux environs de -3, suit le graphe avec le tableau de variation puis, satisfait, éteint la machine.

Dans la discussion qui suit, il explique : « ça me paraissait incohérent mais en fait, avec la courbe on se rend compte qu’en fait la courbe est interrompue en -3 et comme la fonction est pas définie en -3, elle tend vers $+\infty$ et $-\infty$ à la fois, ça dépend si $x$ est inférieur ou supérieur à -3 ; donc en fait c’est l’inverse, le minimum est -10 et le maximum -6 ». L’observateur lui fait alors remarquer que la valeur -3 ne figure pas sur son tableau de variation, il rectifie son tableau sans difficulté. Il sait aussi expliquer le pourquoi du trait vertical tracé par la TI92 et propose de le supprimer en modifiant le mode de tracé.

## Gérard

* Calcul de la dérivée standard.

* Calcul du discriminant dans [HOME] : $6^2-4*8$ puis calcul des racines de la même façon.

* Début d'un tableau de variation sans la valeur -3 : signe de la dérivée.

* Passage dans [GRAPH] puis ajout des flèches au tableau de variation.

* Calcul dans [HOME] de $f(-4)$ et $f(-2)$, adjonction au tableau de variation

* Repasse en [GRAPH] et regarde le tracé.

* Calcul dans [HOME] des limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.

* Passage en [TABLE] et défilement entre -5 et -3, arrêt sur -3.

* Limites à l'infini notées en P/C

* Calcul en [HOME] des limites en 3 puis limite supérieure et inférieure, recopie des résultats.

* Passage à [GRAPH], regarde le tracé.

* Ajout de -3 dans le tableau de variation et rectification.

* Arrêt. Il est satisfait.

Dans la discussion, Gérard explique qu'il vérifie toujours avec [GRAPH] le sens de variation avant de mettre les flèches dans le tableau de variation et que s'il constate que ça ne va pas, il refait l'étude de la fonction.

## Michel

* Calcul standard de la dérivée dans [HOME] puis tracé d'un cadre pour le tableau de variation et calcul à la main du discriminant (erreur : $\Delta = 0$)

* Passage à [HOME] pour calcul de $4x8$ puis retour au P/C pour fin de la résolution de l'équation.

* Passage à [GRAPH], regarde le tracé.

* Passage à [HOME], définition du numérateur de la dérivée : $g(x)$, résolution de l'équation $g(x) = 0$.

* Ajout de -4 et -2 dans le tableau, avec une erreur dans l'ordre des valeurs (-2 avant -4).
* Dans `[HOME]`, fait calculer $g(-3)$ et obtient -1.

* Complète le tableau de variation en marquant le signe de la dérivée puis le sens de variation de $f$, corrige l'erreur d'ordre.

* Passage à `[GRAPH]`, regarde le graphe et le tableau de variation.

* Passage à `[TABLE]`, début à -4 avec pas de 1, ne fait pas défiler. Il repère la singularité en -3.

* Repasse en P/C et étudie la limite en -3 en considérant d'abord $x>-3$ (raisonnement correct).

* En `[HOME]`, fait calculer la limite à droite en -3 ; erreur de syntaxe : +1 au lieu de 1, message d'erreur et correction

* Calcul de la limite à gauche en P/C puis vérification dans `[HOME]`.

* Calcul de la limite en $+\infty$ dans `[HOME]` et recopie.

* Passage à `[GRAPH]`, regarde le tracé.

* Passage à `[TABLE]`, redescend les valeurs à partir de -4.

Dans la discussion, Michel explique qu'il a utilisé `[TABLE]` pour savoir où chercher les limites. Il a vu `undef` pour -3 et il s'est dit qu'il fallait chercher la limite en -3. Il confirme que pour l'étude du signe de la dérivée, il a fait $p(-3)$ pour savoir si c'était négatif entre les racines mais qu'il aurait pu le savoir sans cela. Il est passé dans `[GRAPH]` pour vérifier, ça allait bien entre -2 et $+\infty$, mais pas dans la zone autour de -3. Il reconnaît : « j'ai du mal à imaginer quand je vois une définition de fonction, alors j'accepte ce qu'elle me donne ». Il explique comment il a cherché les limites et qu'en $+\infty$, il a fait directement à la machine car il voyait bien que la limite était $+\infty$. L'observateur lui fait remarquer que -3 ne figure pas dans son tableau de variation. Il rajoute -3 mais trouve que le tableau reste contradictoire avec le tracé (croissance aux environs de -3), pense que le tracé n'est pas assez précis dans cette zone. Même aidé, il n'arrive pas à interpréter la liaison et c'est l'observateur qui doit lui expliquer que la liaison ne fait pas partie de la courbe et qu'il ne voit pas la partie correspondant à $x<-3$ parce que son `ymin` est trop grand.

## Serge

* Calcul standard de $f'$ et de ses zéros, note que $f'$ change de signe en -4 et -2.

* Fait tracer le graphe de $f'$

* Trace un tableau de variation en se servant des tracés de $f$ et de $f'$, rajoute la valeur -3 et la double barre.

* Fait calculer $f'(-3)$ puis les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$ et note les résultats obtenus. Fait calculer la limite à gauche en -3, note le résultat puis écrit directement la valeur de la limite à droite.

* Repasse dans `[GRAPH]`, regarde les graphes, son tableau de variation, les limites.

* Repasse dans `[HOME]` et fait calculer les limites de $f$ en -4 et -2.

* Entre dans `[Y=]` les expressions $y3(x) = -10$ et $y4(x) = -6$

* Passe dans `[GRAPH]`; la droite d'équation $y = -10$ n'apparaît pas.

* Fait un `ZoomFit` qui ne donne rien d'intéressant.

* Dans `[WINDOW]`, change `ymin` en -11 et refait tracer.

* S'arrête visiblement satisfait.

Au cours de la discussion, il explique que les résultats qu'il a obtenus collaient bien avec le tracé, même pour la limite en $-\infty$, car il se doutait que ça devait être comme ça. Il a calculé les limites en -4 et -2 « pour trouver les lignes droites asymptotes ». L'observateur lui demande si les deux droites tracées sont bien asymptotes à la courbe, il répond d'abord oui puis, devant justifier, il s'aperçoit de son erreur et dit que non ce sont des tangentes. Il dit que `ZoomFit` est
lent et qu'en plus ça n'a rien donné, sauf un trait tout en haut et qu'il a préféré ensuite changer
la fenêtre lui-même pour qu'on voie tout. Il n'arrive pas à interpréter le tracé vertical de
liaison.

Vincent

* Calcul standard de la dérivée dans [HOME].

* Reprise du calcul de la dérivée à la main. Intervention de l'observateur pour lui rappeler qu'il n'est pas obligé de tout faire à la main. Continue à la main et arrive à l'expression de la dérivée.

* Passe en [HOME] et regarde.

* Ecrit que $(x+3)^2$ est toujours positif pour $x 
eq -3$.

* Repasse en [HOME] et fait calculer $f(-3)$. la machine renvoie undef.

* Repasse en P/C, écrit que la dérivée a le même signe que son numérateur, hésite puis calcule le discriminant et s'arrête. Au bout d'un moment, l'observateur l'aide à trouver les racines au moment où il allait aller chercher le programme mis sur sa calculatrice.

* Trace le tableau de variation, d'abord sans -3 mais le rajoute rapidement.

* Dans [HOME], calcule $f(-4)$, $f(2)$ (au lieu de $f(-2)$) en exact et approché puis les limites en $-\infty$, $-3$ par valeur inférieure et supérieure.

Dans la discussion, il précise qu'il a voulu faire le calcul de dérivée à la main pour se prouver qu'il savait le faire. L'observateur lui demande s'il y a cohérence entre le tableau de variation et la courbe. Il répond : « oui, à partir de -3 », mais qu'avant il ne voit pas le début. En réponse à la question de l'observateur qui lui demande s'il peut obtenir ce morceau, il pense à ZoomFit et le fait. Il veut ensuite effacer la liaison qui ne fait pas partie de la courbe dit-il: « là y a un trait, je ne sais plus comment faire pour l'effacer ».

Le tableau 10 synthétise quelques caractéristiques des comportements observés sans rentrer dans les détails.
<table><caption>Tableau 10 : Résumé des comportements observés</caption><thead><tr><th></th><th>Sens de variation</th><th>Choix des limites</th><th>Calcul des limites</th></tr></thead><tbody><tr><td>Anne</td><td>* Racines : [HOME] (Zeros)<br>* Recalcul des racines en P/C<br>* Signe P/C (Trinôme)<br>* Sens de variation ([GRAPH])</td><td>*-∞, +∞ et 0 (d'emblée)</td><td>*[HOME]</td></tr><tr><td>Charles</td><td>* Racines et signe : P/C (Trinôme +err.(x+3))<br>* Contrôle dans [GRAPH]</td><td>*+∞, -∞ et -3 : [GRAPH]</td><td>*[GRAPH]</td></tr><tr><td>Francis</td><td>* Racines : [GRAPH] (f')<br>* Contrôle dans [HOME] (f' (-4)=0 & f' (-2)=0)<br>* Signe : [GRAPH]</td><td>* -3 : f' (-3) et [GRAPH]<br>* -∞ et +∞ : tableau<br>* -4 et -2 : tableau</td><td>* [HOME]<br>* pour -4,-2, -∞ en [HOME]<br>* pour -3, +∞<br>Calcul P/C puis<br>Contrôle dans [HOME]<br>*+∞ : début P/C</td></tr><tr><td>Françoise</td><td>* Racines et signe : P/C (trinôme)</td><td>* -3 : expression de f(x)<br>*-∞ : tableau<br>* -4 et -2 : tableau</td><td>* pour -4,-2, -∞ en [HOME]<br>* pour -3, +∞<br>Calcul P/C puis<br>Contrôle dans [HOME]<br>*+∞ : début P/C</td></tr><tr><td>Georges</td><td>* Racines : [HOME]<br>* Signe : Trinôme<br>* Contradiction des valeurs maxi et mini, levée par repérage -3<br>* Contrôle dans [GRAPH] (Trace)</td><td>* -3 : f' (-3) et [GRAPH]<br>* -∞ et +∞ : tableau</td><td>*[HOME]<br>*Contrôle dans [HOME] (f' (-3) et f'(-3))</td></tr><tr><td>Gérard</td><td>* Racines : P/C avec calc. [HOME]<br>* signe : Trinôme<br>* Contrôle dans [GRAPH]</td><td>* -3 : [TABLE]<br>* -∞ et +∞ : [GRAPH]</td><td>* [HOME]</td></tr><tr><td>Michel</td><td>* Racines : P/C (trinôme)<br>* Contrôle dans [HOME] (Solve)<br>* Signe : alternance<br>* Contrôle dans [GRAPH]</td><td>* -3 : [TABLE]<br>* +∞ : tableau</td><td>* -3 :<br>Calcul P/C<br>contrôle dans [HOME]<br>* pour +∞ : [HOME]</td></tr><tr><td>Serge</td><td>* Racines : [HOME] (Zeros)<br>* Signe : alternance et [GRAPH] de f'</td><td>* -3, -∞ et +∞<br>* -4 et -2<br>([GRAPH] et tableau)</td><td>* [HOME]</td></tr><tr><td>Vincent</td><td>* Calcul de f' dans [HOME]<br>* Recalcul de f' en P/C<br>* Racines et signe : P/C (trinôme)</td><td>* -3 : expression<br>* -∞ : tableau</td><td>* [HOME]</td></tr></tbody></table>
## Classe B

Comme dans la classe A, on demande l'étude complète (ensemble de définition, variations, limite, asymptote) d'une fonction. La fonction étudiée est $f(x) = x - 1 + \frac{1}{100x}$. Cette fonction est choisie pour les caractéristiques suivantes :

* L'expression de la fonction fait rencontrer la nécessité de parenthéser le dénominateur quand celui-ci est un produit. Il s'agit d'une difficulté rencontrée par presque tous les élèves au premier entretien. Il est intéressant d'étudier chez ces élèves l'évolution de la coordination de l'écriture mathématique et des écritures parenthésées de la TI92.

* La fonction est donnée sous la forme de la somme d'une fonction affine et d'un terme asymptotique. Cette forme fait apparaître directement l'existence d'une asymptote oblique et son équation.

* Le terme asymptotique est "petit" de façon que les variations de la fonction n'apparaissent pas avec les paramètres standards de la représentation graphique par la machine et obligent à utiliser les différentes fonctions de zoom. Ainsi, le Zoom standard donne un tracé indiscernable de celui de la droite d'équation $y = x - 1$. Les extremums sont atteints en -0,1 et +0,1, avec des valeurs de -1,2 et -0,89. Par conséquent, il convient de zoomer jusqu'à une fenêtre d'environ [-0,20 ; 0,20]x[-2 ; 2] pour bien apprécier les variations.

On cherche à voir :

1. comment ils utilisent les définitions de fonction et si la difficulté de parenthésage rencontrée par tous les élèves à l'entretien précédent persiste,

2. comment ils mettent en oeuvre leurs connaissances nouvelles (mars) sur les variations d'une fonction,

3. si la notion plus ancienne (janvier) d'asymptote oblique est suffisamment familière pour que l'équation puisse être trouvée à partir de la forme donnée dans l'énoncé.

## Objectif 1 : Parenthésage et gestion des identificateurs de fonction

Marie et Alice rencontrent à nouveau la difficulté de parenthésage du dénominateur.

Sabine, Marie, Pierre. et Jean utilisent *define* pour définir $f$. Sabine ne réutilise pas l'identificateur $f$ dans la suite. Marie, Pierre. et Jean l'utilisent pour calculer la dérivée et les limites.

Franck et Julien utilisent *sto*. Il utilisent $f$ pour le calcul de l'expression dérivée qu'ils définissent comme fonction $g$. Franck utilise l'identificateur $g$ pour le calcul des nombreuses valeurs dont il a besoin pour l'étude du signe. Julien résout à la machine $g(x) = 0$, puis $f(x) = 0$.

Alice utilise la base de fonction; sur sa calculatrice, $y2(x)$ (seconde fonction de la base) est définie comme dérivée de $y1(x)$ (première fonction de la base); dans sa pratique habituelle, elle entre la fonction à étudier comme $y1(x)$ et peut se servir de $y2(x)$ comme expression de la dérivée. Travaillant pour cet entretien avec la calculatrice de l'observateur, elle ne retrouve pas la syntaxe de l'expression dérivée et est donc perdue. Elle revient dans le `[HOME]` et entre l'expression dérivée sans utiliser l'identificateur $y1(x)$.
## Objectif 2 : Connaissances nouvelles sur les variations d'une fonction

Voici une présentation des procédures utilisées par chaque élève. Nous donnons la suite des gestes effectués par l'élève, puis nous détaillons la façon dont ces gestes sont effectués. A la suite de cette analyse par élève, une synthèse compare les différentes procédures.

### Alice

*Lecture du graphe de la fonction* → *Lecture de la table de la fonction* → *Calcul de la dérivée*
→ *Calcul des zéros de la dérivée*

L'élève commence par regarder le graphe, puis la table de la fonction. Ces deux expériences ne sont pas informatives. Elle est perdue pour le calcul de la dérivée à cause du fait signalé plus haut que, d'habitude, la dérivation est automatiquement définie sur sa calculatrice. L'aide de l'observateur est nécessaire pour la formule de dérivation. L'observateur essaie de faire calculer les zéros de la dérivée, mais Alice ne comprend pas.

### Franck

*Calcul de la dérivée* → *Calcul des zéros de la dérivée* → *Calcul de signes sur valeurs numériques*

Franck calcule la dérivée et ses zéros sur la TI92. Ensuite il calcule 4 valeurs de la dérivée pour déterminer le signe. Le tableau de variations est exact. Il n'y a pas d'utilisation du graphique.

### Jean

*Calcul de la dérivée* → *Calcul des zéros de la dérivée* → *Etude standard de signes* → *Lecture variations sur graphe* → *Etude standard de signes*

Jean calcule la dérivée et ses zéros sur la TI92. Il considère l'expression non factorisée de la dérivée pour étudier le signe. Il trouve les signes inverses. Il trace alors la courbe sur la TI92, s'aperçoit de son erreur. Il factorise alors à l'aide de la TI92 et corrige le tableau. Il trace à nouveau, avec un zoom pour vérifier.

### Julien

*Calcul de la dérivée* → *Calcul des zéros de la dérivée* → *Etude standard de signes* → *Lecture variations sur graphe*

La recherche des variations est faite de façon algébrique, à l'aide de la TI92. L'élève confronte ensuite au graphique. L'étude algébrique permet à l'élève de remettre en cause le graphique.

### Pierre

*Calcul de la dérivée* → *Calcul des zéros de la dérivée* → *Calcul de signes sur valeurs numériques*

Il calcule la dérivée sur papier, mais en s'aidant de la TI92 pour la dérivation de $\frac{1}{100x}$.

Il s'aide de la TI92 aussi pour le calcul des zéros et de la valeur de la dérivée en 0.2. Il place mal cette valeur dans le tableau de variations et obtient des variations inversées.
Il s'aperçoit de l'erreur en considérant les limites et corrige. Ensuite il confronte au graphique.

### Marie

*Calcul de la dérivée → Calcul des zéros de la dérivée → Lecture variations sur graphe → Etude standard de signes*

Marie calcule la dérivée, et ses zéros, sur la TI92 puis commence un tableau de variations. Elle considère, à la lecture du graphique en Zoom Standard, que la fonction est croissante sur tous les intervalles qu'elle a défini. Spontanément, elle revient en [HOME] et demande la factorisation de la dérivée. L'observateur lui indique de faire un tableau de signe dont elle se sert correctement pour corriger son tableau. Elle a bien vu la discontinuité en zéro.

### Sabine

*Calcul de la dérivée → Calcul des zéros de la dérivée → Lecture variations sur graphe → Calcul des zéros de la dérivée → Calcul des zéros de la dérivée → Etude standard de signes*

Après calcul de la dérivée et de ses zéros sur la TI92, Sabine commence un tableau de variations. Elle considère, à la lecture du graphique en Zoom Standard, que la fonction est croissante sur tous les intervalles qu'elle a définis. L'observateur lui propose de revenir dans le module [HOME] pour étudier les variations. Elle cherche les zéros de la fonction, puis de la dérivée (à nouveau). Elle transforme ensuite l'expression dérivée par réduction au même dénominateur, mais elle se trompe dans les signes. L'observateur essaie de faire corriger, mais Sabine est gênée par la discontinuité en zéro.

### Synthèse

Pierre, Julien, Jean et Franck font l'étude de variations préalablement à la lecture du graphique. Les trois premiers établissent le signe de la dérivée en raisonnant sur l'expression, alors que Franck considère des valeurs de la dérivée sur les intervalles déterminés par les zéros. Seul Pierre, qui redouble, fait certains calculs en papier/crayon.

Pierre, Julien, Jean considèrent le graphique à titre de vérification. Cela permet à Pierre et Jean de corriger une inversion de signe. Pour Julien, c'est une surprise, car la discontinuité n'apparaît pas. Mais il fait davantage confiance à son calcul.

Marie et Sabine recherchent la dérivée et ses zéros à l'aide de la TI92. Elles établissent ensuite les variations en considérant le graphique de la TI92. Mais elles sont gênées par la discontinuité en zéro. Marie se tire mieux de ce piège.

Alice tente une étude graphique et numérique. Elle ne parvient pas à l'étude algébrique sur la TI92.

## Objectif 2.3 Connaissances anciennes sur l'asymptote oblique

Trois élèves (Franck, Jean, et Pierre) annoncent d'emblée l'asymptote d'équation $y = x-1$ quand on leur demande si la courbe a une asymptote oblique. Il est probable qu'ils tirent ce résultat de la forme sous laquelle la fonction est donnée, mais simultanément, ils considèrent la courbe sur l'écran de la TI92. Il y a bien coordination graphique algébrique, opérée de façon automatique.

Jean, se concentre sur la lecture graphique, sans penser à considérer la définition algébrique de la fonction. Sur l'écran de la TI92 en Zoom Standard, la représentation graphique de la
fonction est très peu différente de la droite asymptote. Spontanément, il donne l'équation $y = x+1$ à cette droite, alors qu'il est visible que cette droite coupe l'axe des y en y = -1 et l'axe des x en x = 1. Il faut l'aide de l'observateur et de plusieurs tracés de droite pour qu'il trouve la bonne équation et qu'il fasse le rapport avec la définition algébrique.

Marie voit sur le graphique une asymptote "qui est en travers, là", mais elle est bien en peine de trouver son équation. L'observateur propose de prendre deux points sur la courbe, assez éloignés et de chercher l'équation d'une droite passant par ces points, mais Marie déclare "je ne sais pas trouver la droite". Quand l'observateur propose de considérer la définition algébrique, Marie est gênée par ses connaissances insuffisantes des limites. Elle considère par exemple que $\frac{1}{100x}$ tend vers l'infini.

Sabine et Alice n'abordent pas cette partie, ayant passé beaucoup de temps sur l'étude de variations.

## Synthèse

La première partie de l'entretien montre que l'instrumentation de la machine est plus faible que nous ne l'attendions. En particulier, le nombre d'élèves ayant créé des répertoires pour structurer la mise en mémoire ne dépasse pas le quart de l'effectif. Comme nous le soulignions plus haut, peut-être faut-il voir là du fait qu'ils ne considèrent pas cette machine comme la leur propre mais ce fait n'intervient sans doute que partiellement : Serge, par exemple, explique qu'il a nettoyé sa machine parce qu'il y avait beaucoup de choses (sans doute en vrac) qu'il n'utilisait pas.

L'utilisation en contrôle est une utilisation orientée vers la vérification, que nous pourrions qualifier de standard. L'utilisation pendant la période des vacances est quasi nulle.

Pour la seconde partie on note, dans la classe A, une évolution certaine depuis le premier entretien. Elle est visible dès la phase de tracé de la machine puisque cette fois, quatre élèves utilisent la stratégie standard. A noter de plus Serge, qui s'arrête sur la fenêtre standard mais plus tard va faire un *ZoomFit* qui passera inaperçu de l'interviewer et pour lequel, comme il a à la fois sélectionné la fonction et sa dérivée, il obtient effectivement un tracé ininterprétable.

Concernant le calcul de la dérivée et la détermination de ses zéros, il est intéressant de constater comment le glissement du troisième degré au second degré conduit une majorité d'élèves, et même Gérard, à se situer dans un contrat didactique de type "contrôle usuel" : ne déléguer à la machine que les calculs numériques intermédiaires dans la résolution de l'équation du second degré ou revenir au calcul P/C, après avoir trouvé les zéros à la machine. A noter le cas de Vincent qui, en accord avec son profil, va même jusqu'à dériver à la main pour se prouver qu'il en est capable.

La détermination du signe de la dérivée, une fois trouvés ses zéros, est majoritairement effectuée suivant la stratégie standard mais ce n'est pas systématique : Michel et Serge utilisent le principe d'alternance des signes, Michel reconnaissant ensuite qu'il aurait pu faire autrement, Francis utilise le graphe de $f'$.

En ce qui concerne la singularité en x = -3, on voit bien la fragilité des connaissances en cours de construction. Contrairement à la situation de contrôle qu'ils viennent de vivre, ici, c'est à eux de déterminer les points où ils jugent nécessaire de chercher les limites éventuelles de la fonction. Cela est loin d'aller de soi. Seuls Françoise et Vincent semblent repérer le problème au vu de l'expression. Anne calcule d'office des limites, mais ce sont celles en $-\infty$, $+\infty$ et 0.
Charles prend la liaison du graphe pour son début et l'estime donc satisfaisant puis, percevant qu'il se passe quelque chose en -3, il lit une limite +∞, à cause du raccord tout en haut de l'écran. Michel et Gérard repèrent la singularité dans [TABLE] et Michel a l'air de considérer cette stratégie comme efficace. Pour Francis et Georges enfin, cela résulte plus ou moins directement de la prise de conscience de la contradiction maxi/mini.

La syntaxe de la commande limite, son adaptation aux limites droites et gauches semble bien maîtrisée, certains élèves se contentant d'ailleurs d'un seul calcul (vu que, dans le cas de retour "undef" à la demande de limite, ils n'ont du rencontrer que des situations de limites infinies à droite et à gauche). Seul Charles n'y recourt pas. Mais l'obtention des valeurs correctes de limites à droite et à gauche en -3 ne suffit pas à garantir une interprétation correcte du graphe : Michel et Serge par exemple n'y parviennent pas seuls. Enfin, plusieurs élèves, ayant le choix, calculent aussi les limites en -4 et -2, les zéros de la dérivée.

Dans la classe B, on note aussi une évolution depuis le premier entretien. A l'exception de Alice, la fonction est maintenant correctement parenthésée. A l'exception de Sabine et Alice, les élèves réutilisent les identificateurs des fonctions définies. Cette évolution est donc différenciée. En particulier Alice manque de capacité d'adaptation et est vite perdue.

Dans la classe B, l'étude de variations est nouvelle. Trois élèves (Pierre, Julien, Jean) la font de façon standard, par factorisation de la dérivée, un quatrième (Franck) utilisant le principe d'alternance des signes. La TI92 est très largement utilisée pour les calculs, mais il est possible que les conditions de l'entretien aient poussé à cet usage. Marie et Sabine s'appuient davantage sur le graphique pour l'étude de variations. Mais la discontinuité n'apparaît pas dans la fenêtre standard, et seule Marie se tire de ce piège. Alice ne dépasse pas l'étude graphique et numérique.

L'idée d'étude algébrique de la dérivée est donc bien installée, sauf chez Alice. Le graphique est utilisé pour vérifier les variations par les élèves qui maîtrisent la résolution algébrique avec la TI92. Il est sollicité pour établir les variations par les élèves (Marie, Sabine) qui rencontrent des difficultés algébriques.

On retrouve les difficultés de la lecture graphique avec la recherche de l'asymptote oblique. Les élèves qui tentent le repérage par lecture graphique rencontrent beaucoup de difficultés (Jean, Marie). Au contraire, les élèves (Franck, Jean et Pierre.) capables de coordonner cette lecture graphique avec l'expression algébrique de la fonction trouvent d'emblée l'équation demandée.

Dans les deux classes, on note que la sensibilité aux contradictions n'est pas encore celle que l'on souhaiterait. Cela limite l'efficacité de la calculatrice comme moyen de contrôle, au delà des situations où elle fournit directement le résultat. Même dans les cas où les élèves réussissent, leurs comportements sont beaucoup moins linéaires que ceux qu'on peut anticiper dans une stratégie standard et sont assez diversifiés sur l'ensemble des élèves.
# Entretien 3

Ce troisième entretien a eu lieu après le contrôle spécifique, la dernière semaine de cours des élèves. Tous les élèves sauf Michel de la classe A l'ont passé. Michel n'est pas non plus venu au contrôle spécifique.

## Scénario de l'entretien

L'entretien était organisé en trois parties.

## Partie 1 : Utilisation en contrôle spécifique

Nous avons organisé, la dernière semaine de cours, un contrôle spécifique TI92, commun aux deux classes expérimentales A et B. Le texte et le corrigés sont reproduit en annexe à ce chapitre. Le contrôle spécifique visait à instaurer un contrat différent des contrôles habituels, plus conforme à l'idée d'intégration de la calculatrice dans les pratiques mathématiques des élèves. L'objectif était d'étudier la façon dont ce contrat fonctionne chez les élèves observés.

Lorsque les élèves disposaient de leurs machines pour les contrôles communs, les rédactions fournies ne devaient pas porter la trace de l'utilisation de la calculatrice. Pour ce contrôle spécifique, en revanche, les élèves n'avaient pas à justifier les productions de la machine pour les questions considérées à ce moment de l'année comme routinières du point de vue des techniques et compétences utilisées. Cependant, les élèves ne pouvaient se contenter de donner les résultats fournis par la TI92 pour les tâches nouvelles.

La tâche principale était une étude de fonction classique. Dans cette tâche, le contrôle spécifique se distinguait cependant des contrôles ordinaires :

* Une plus grande autonomie était laissée à l'élève dans son travail mathématique classique.

* Le contrôle comportait une question spécifique à l'instrumentation : on demandait d'expliquer des différences constatées entre le résultat donné par la machine et celui obtenu en papier/crayon.

* Il comportait également une question directement liée au fonctionnement graphique de la TI92. Cette question, nouvelle pour eux, visait à tester leurs possibilités d'adaptation à un environnement instrumenté.

Le temps accordé aux élèves était de 50 minutes environ.

Comme pour les entretiens, nous précisons les résolutions a priori attendues, en fonction de la place du contrôle dans l'année et du contrat explicité à son propos.

### Exercice 1 :

Le calcul à la main de la dérivée de la fonction conduit à l'expression : $-3\sin(3x-\frac{\pi}{6})$. tandis que la TI92 fournit l'expression : $3\cos(3x+\frac{\pi}{3})$. Ces deux expressions sont égales et la machine permet de le vérifier de différentes façons, par calcul de la différence, par résolution de l'équation associée, par application de *tExpand* aux deux expressions. Il suffit même, mais nous ne l'avions pas prévu a priori, n'imaginant pas ce fonctionnement de la machine, de rentrer l'expression trouvée à la main pour obtenir l'expression machine par simplification automatique. En revanche, il n'existe pas de fonction permettant de passer de l'expression
machine à l'expression à la main et, par exemple, l'utilisation de *tCollect*, seconde possibilité de transformation trigonométrique renvoie l'expression initiale.

<figure><img src="image_333.png" /></figure>

Mais si la machine permet de vérifier l'égalité, elle ne l'explique pas. L'explication relève de la propriété : $\cos(x+\frac{\pi}{2}) = -\sin x$, que la machine ne donne pas à voir. C'est plutôt ce type de justification qui est attendu ici, vu que le texte demande d'expliquer l'égalité. Mais, on est bien sûr intéressé par les stratégies de vérification à la machine qui seront utilisées par les élèves.

### Exercice 2 :

Pour la définition de la fonction, nous avons respecté, dans cette situation de contrôle, les indications du programme qui précisent que la fonction doit être donnée avec son domaine de définition.

#### Question 1 :

La résolution attendue est la suivante.

Définition de la fonction dans la TI92 et calcul machine de la dérivée.

Calcul machine des zéros du numérateur, sous une des formes classiques.

On arrive ainsi à l'un des résultats suivants, suivant que l'on utilise ou non Factor :

<figure><img src="image_334.png" /></figure>

Compte tenu du contrat, on attend ensuite une étude du signe à l'aide de la factorisation de la dérivée et d'un tableau de signe. Cette étude conduit au tableau de variation suivant, $\alpha$ (valeur approchée : -3.19), $-1/2$ et $\beta$ valeur approchée 3.69) étant les zéros de la dérivée.

<table><thead><tr><th>x</th><th>-∞</th><th>α</th><th>-1/2</th><th>2</th><th>β</th><th>+∞</th></tr></thead><tbody><tr><th>f'(x)</th><td>-</td><td>+</td><td>-</td><td>-</td><td>+</td><td>+</td></tr><tr><th>f(x)</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

#### Question 2 :

Pour l'étude des limites, on s'attend à voir les élèves, dans leur majorité, chercher d'abord les limites à la machine, avec pour certains un passage par la commande de limite simple en 2, avant de distinguer les limites à droite et à gauche. La machine fournit les résultats attendus.

Certains élèves en resteront sans doute là, d'autres se lanceront dans la production des justifications demandées, basées :
* à l'infini, sur la factorisation du numérateur et du dénominateur par leurs termes de plus haut degré,

* en x = 2, sur le calcul de la valeur du numérateur en x = 2 et l'étude de la limite et du signe du dénominateur lorsque x tend vers 2 respectivement par valeurs supérieures et inférieures.

### Question 3 :

Pour compléter le tableau de variation il suffit de calculer dans l'application [HOME], les valeurs du maximum et du minimum local. On obtient, des expressions complexes factorisées que l'on peut faire réduire par *Expand* et transformer à la main en :
$$ \frac{-81-\frac{309}{8}}{8} + \frac{81\sqrt{21}}{8} + \frac{309}{8} $$
dont des valeurs approchées sont respectivement : -7.78 et 85.

<figure><img src="image_335.png" /></figure>

<figure><img src="image_336.png" /></figure>

### Question 4 :

L'application de *Expand* permet de mettre $f(x)$ sous la forme d'un polynôme du second degré et d'une expression de limite nulle à l'infini :
$$ \text{■ expand}(f(x)) \quad \left| \frac{175}{4 \cdot (x-2)} + x^2 + 8 \cdot x + 16 \right. $$
On en déduit que le polynôme P cherché est le polynôme d'équation : $x^2+8x+16$.

### Question 5

Compte tenu des valeurs figurant dans le tableau de variation, on peut vouloir garder l'intervalle standard sur x et prendre par exemple [-20, 200] sur y, ou faire un *ZoomFit* sur la fenêtre standard. On obtient les tracés suivants :

<figure><img src="image_337.png" /></figure>

<figure><img src="image_338.png" /></figure>

Celui réalisé avec ZoomFit écrase un peu trop la courbe. On pouvait préférer un ajustement du type :[-10,10]x[-50,150] :
<figure><img src="image_339.png" /></figure>

On demandait donc à l'élève pendant l'entretien comment il avait utilisé la TI92 pendant ce contrôle spécifique.

## Partie 2 : Etude de fonction

Pour cet entretien, la fonction était la même dans les deux classes. Il s'agissait de la fonction $f(x) = \sqrt{1 + \cos 2x}$. Les questions ont été posées de la façon suivante : on demandait aux élèves, en premier lieu, de définir la fonction et la faire tracer mais, ensuite, ils devaient proposer, à partir de ce tracé et des opérations permises dans la fenêtre graphique, un certain nombre de conjectures concernant les propriétés de la fonction : propriétés de parité et périodicité, sens de variation, localisation et valeur des extremums, dérivabilité...

L'observateur faisait ensuite le point sur les conjectures et l'élève devait essayer de les démontrer ou de les infirmer, en dépassant les seuls critères graphiques. Si le temps le permettait, on essayait de l'aider à faire le lien avec la fonction $\sqrt{2} |\cos x|$ et d'exploiter ce lien pour l'étude des singularités ; on ne pensait pas en effet que les élèves feraient spontanément ce lien.

Il s'agissait, par ce choix de la fonction et des questions, de casser le schéma d'étude classique en obligeant à un travail sur le tracé fourni par la machine et d'inscrire l'étude algébrique dans une démarche de validation de conjectures.

La fonction était choisie pour présenter les caractéristiques suivantes :

* C'est une fonction trigonométrique périodique de période $\pi$ et paire. Elle est construite à partir des fonctions usuelles mais sort du registre des fonctions trigonométriques étudiées jusqu'alors.

* Elle est non dérivable pour $x = \frac{k\pi}{2}$ et admet en ces points des demi-dérivées à droite et à gauche. Cela permettait de tester l'image de la dérivabilité que se faisaient les élèves, à la fin de cette année scolaire, où la notion de dérivée avait joué un rôle important mais via l'outil « fonction dérivée » plus que via l'objet « nombre dérivé ».

* Enfin, elle admet une forme plus simple, aisément accessible à la calculatrice, qui permettait d'analyser en particulier son comportement au voisinage des points singuliers, en se ramenant à la fonction d'expression : $\sqrt{2} \cos x$.

## Partie 3 : Utilisation en de la TI92 contrôle commun

(cette partie a été passée uniquement dans la classe A).
On demandait à l'élève, en suivant le schéma habituel, comment il avait utilisé la TI92
pendant le contrôle commun de la semaine précédente (contrôle n°6). Ce contrôle, pour la
partie analyse, comportait deux exercices. Le premier concernait l'étude de la suite définie
par : u₁ = 9/2 et uₙ₊₁ = -3uₙ + 2 pour tout n>0. On demandait successivement de calculer les
quatre premiers termes, de déterminer si la suite était ou non arithmétique ou géométrique,
puis on se ramenait classiquement à une suite géométrique en posant vₙ = uₙ₋₁/₂ et on en
déduisait l'expression de uₙ en fonction de n ainsi que la valeur de u₀+u₁+...+uₙ. L'exercice se
terminait par une application numérique (n = 10).

Le second exercice concernait l'étude de la fonction trigonométrique f(x) = cos2x+2sinx+3.

La moyenne de la classe à ce contrôle, en incluant donc le troisième exercice de géométrie, est
de 10.3.

Résultats et Analyses

**Partie 1 : Utilisation en contrôle spécifique**

Nous proposons ci-dessous, pour la classe A un rapport des productions au contrôle des élèves observés et les éclaircissements qu'ils ont donné lors de l'entretien. Puis une synthèse replace ces observations dans les comportements observés sur la totalité de la classe au cours du contrôle et à la lecture des copies. Pour la classe B, nous avons seulement dépouillé les copies des 7 élèves observés, et nous donnons une synthèse de leurs productions, ainsi que des éclaircissements qu'ils ont donné lors de l'entretien.

Le lecteur pourra ainsi, avec la synthèse dans la classe A avoir une bonne vision des aptitudes développées par les élèves d'une classe de première S à l'issue d'une année d'expérimentation. Il pourra, avec le rapport sur la classe B, apprécier comment ces aptitudes peuvent varier d'une classe à l'autre.

Classe A

Productions des élèves

Anne

Exercice 1 : "Les deux résultats sont les mêmes."

Calcul dérivée et étude des variations : calcul de la dérivée par F3-1, recherche des zéros par F2-4. Signe correct non justifié. Sens de variation non justifié. Singularité repérée.

Limites : Limites calculées à la machine. Justifications approximatives : en 2, mise en facteur de x³ au numérateur et x au dénominateur, calcul des limites de quelques termes (24/x, 47/ x³, x³ et x) et conclusion ; en +∞, affirmation des limites infinies des numérateur et dénominateur après factorisation mais sans simplification et conclusion.

**Tableau de variation** : Correct, valeurs des ordonnées des extremums et des limites non indiquées.

Fenêtre : Adaptée : [-2020]x[-400,400]

Tracé : Recopie écran avec appui de points, tracé soigné.
Dans l'entretien, elle dit qu'elle a utilisé la TI92 pour le calcul de $f'$ et des limites et utilisé
[TABLE] pour étudier le signe de $f'$, ce qui explique que le signe de $f'$ ne soit pas justifié.

Charles

**Exercice 1** : Calcul détaillé de la dérivée, expression machine, cercle trigonométrique avec $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{6}$, pas de conclusion.

**Calcul dérivée et étude des variations** : Entrée fonction par F4-1, calcul de dérivée (F3-ENTER) $f(x),x)$. Recherche des zéros à la calculatrice (commandes non précisées). Etude du signe de la dérivée par [TABLE]. Non repérage de la singularité en 2.

**Limites** : Pas de calcul de limites.

**Tableau de variation** : Incorrect vu l'absence de 2. Abscisses des extremums locaux sous forme exactes et ordonnées non précisées, limites non indiquées. Rajoute néanmoins en remarque : "D'après le tableau de valeurs et en mettant [WINDOW] avec ymax 500, on note que la courbe varie encore pour des valeurs de y élevées. Et donc f est croissante jusqu'à x = 2 (asymptote) puis décroissante jusqu'à x = $\frac{3\sqrt{21}+1}{4}$ puis f est croissante jusqu'à +∞."

**Fenêtre** : Non donnée mais visiblement adaptée.

**Tracé** : Recopie écran peu soignée mais correcte, abscisses points particuliers et asymptote marqués, valeur approximative du minimum positif indiquée : ~90. Tracé non cohérent avec tableau de variation et avec remarque.

Dans l'entretien, il précise qu'il pensait résoudre l'exercice 1 avec *Factor* mais que ça n'a pas marché. Pour l'exercice 2, il dit avoir utilisé la machine pour le calcul de $f'$ et utilisé [TABLE] pour le tableau de valeurs.

Francis

**Exercice 1** : Elles sont égales à car si on ajoute $\frac{\pi}{2}$ à un sinus négatif, on obtient un cosinus positif. $\sin(x+\frac{\pi}{2}) = \cos x$ donc $-3 \sin(3x-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}) = 3\cos(3x+\frac{\pi}{3})$.

**Calcul dérivée et étude des variations** : Calcul machine de la dérivée par F3-1 ; factorisation et résolution de l'équation du second degré à la machine. Signe du trinôme justifié et signe de la dérivée justifié par tableau de signes. Sens de variation soigneusement justifié.

**Limites** : Limites correctes (pas de mention d'utilisation de la calculatrice). Justifications :

en 2 : d'abord mise en facteur de $x^3$ et calcul de sa limite en 2 - barré puis $\langle f(x) \rangle$ n'est pas définie en 2 donc elle n'a pas de limite "exacte" (c'est à dire donc un chiffre quand x tend vers 2) mais une limite infinie. $f$ est décroissante sur [-1/2,2[ donc la limite est -∞." Raisonnement analogue pour la limite à droite.

Limites en $-\infty$ et $+\infty$ données sans justification.

**Tableau de variation** : Correct. Valeurs approximatives des ordonnées des extremums indiquées sans marque d'approximation.
**Fenêtre** : Adaptée à partir de fenêtre standard : [-10,10]x[-300,250]

**Tracé** : Non fourni.

Dans l'entretien, il précise qu'il a utilisé la machine pour le calcul de $f'$, la factorisation et la recherche des racines de l'équation du second degré, puis pour le tracé de $f$, puis de $f'$ séparément, pour contrôler le tableau de variation. Il a trouvé une fenêtre par ZoomFit puis a divisé les $ymin$ et $ymax$ par 2 environ.

## Françoise

**Exercice 1** : Donne les deux valeurs sans commentaires.

**Calcul dérivée et étude des variations** : Calcul machine par F3-1, après expression détaillée du quotient $(u(x) = ..., v(x) = ...)$ ; factorisation machine et résolution à la main de l'équation du second degré. Signe du trinôme justifié. Repérage singularité et justification détaillée du signe de la dérivée par tableau de signe. Sens de variation justifié.

**Limites** : Calculs machine pour les limites en 2, sans justification. Pour les limites en $+\infty$, mise en facteur de $x^3$ et simplification, puis utilisation des fonctions de référence. Conclusion correcte.

**Tableau de variation** : Correct mais limites non indiquées, valeur approximative du premier minimum indiquée.

**Fenêtre** : correspond à l'utilisation de ZoomFit sur la fenêtre standard :
[-1010]x[-615.6,471.07]

**Tracé** : Recopie écran peu soignée ; asymptote marquée.

Dans l'entretien, pour l'exercice 1 dit qu'elle a entré le résultat trouvé à la main en machine et que ça lui a donné l'autre, donc qu'elle était satisfaite. Pour l'exercice 2, elle a eu une utilisation standard avec contrôle par tracé du tableau de variation. Pour les limites, elle dit avoir fait à la machine pour 2 car elle ne se « souvenait plus comment on faisait avec 2 supérieur et 2 inférieur », mais que pour l'infini, elle a fait à la main et vérifié à la calculatrice. Elle a essayé la question 4, mais n'a pas compris. Elle est passée à la suite et a pris comme fenêtre celle qu'elle avait déjà utilisée, obtenue par ZoomFit. Pour l'asymptote, elle savait que c'était $x = 2$.

## Georges

**Exercice 1** : Développement : "-sin(3x-π/6) = cos(3x)sin(π/6) - sin(3x)cos(π/6)
= 1/2 cos(3x)-√3/2sin(3x)
= cos(3x)cos(π/3)-sin(3x)sin(π/3)"

**Calcul dérivée et étude des variations** : Calcul dérivée et zéros de la dérivée à la machine (syntaxe non indiquée). Factorisation précisée et signe de la dérivée justifié par tableau de signes (signe du trinôme non justifié). Valeurs approchées des extremums calculées. Singularité repérée. Sens de variation non justifié.

**Limites** : calculées à la machine, pas de justification donnée.
**Tableau de variation** : correct.

**Fenêtre** : Adaptée : [-16,7]x[-18,100]

**Tracé** : Recopie d'écran, peu soignée, asymptote marquée, parabole asymptote obtenue à l'écran mais non recopiée.

**Polynôme** : Utilise la commande *Expand* pour obtenir : $f(x) = \frac{175}{4(x-2)} + x^2+8x+16$. Puis justifie le choix de $x^2+8x+16$ : "Le terme $\frac{175}{4(x-2)}$ a pour limite 0 lorsque $x \to -\infty$. Si l'on ne considère que le polynôme $x^2+8x+16$, "l'erreur" entre ce polynôme $P$ et $f$ ne sera que de $\frac{175}{4(x-2)}$. Or au voisinage de $-\infty$, cette erreur est pratiquement nulle. Donc $P(x) = x^2+8x+16$. $P$ est asymptote à $f$ au voisinage de $-\infty$. Il en est de même au voisinage de $+\infty$."

Dans l'entretien, pour l'exercice 1, il dit qu'il a essayé de développer en utilisant les formules de trigonométrie de la machine mais avoue avoir tourné en rond et avoir fini par passer à la suite. Pour l'exercice 2, il fait état au départ d'une utilisation standard, il précise qu'il n'a même pas justifié les limites car il n'avait pas bien lu (!). Il a fait la question 5 avant la 4, car il n'avait pas d'idée, en choisissant d'abord une très grande fenêtre [-100,100]x[-1000,1000] pour bien voir, puis en utilisant *ZoomBox* pour encadrer la partie la plus intéressante. Il est revenu ensuite à la question 4 et il explique qu'il a pensé à *Expand* à cause des limites et que ça lui a donné ce qu'il vouloit.

**Gérard**

**Exo1** : "Les expressions sont les mêmes, même s'ils sont sous des formes différentes car la calculatrice résout différemment de nous."

**Calcul dérivée et étude des variations** : Pas de calcul de dérivée. Entre la fonction dans $[y=]$, puis utilise Table pour repérer le sens de variation et les singularités. Pas de repérage des extremums locaux négatifs. Donne un minimum vers 3.68.

**Limites** : Calcul à la machine. Décomposition en somme de trois termes et écriture des limites de chaque terme en $+\infty$ et $-\infty$, sans explication ni conclusion.

**Tableau de variation** : Fonction décroissante sur $]-\infty,2[$, valeurs des extremums approchées (3.68, 85), sans mention d'approximation.

**Fenêtre** : Adaptée : [-20,15]x[-300,400]

**Tracé** : Points correspondants aux valeurs de 5 en 5 ainsi que $x = 2.5$, non joints (9 points). Non incompatible avec le tableau de variation mais le tracé continu obtenu l'était sûrement.

Dans l'entretien, il déclare qu'il n'est pas resté longtemps sur la recherche de l'exercice 1 car le second lui semblait long. Pour lui, la machine ne calcule pas comme nous et c'est tout. Pour l'exercice 2, il dit tout de suite qu'il s'est trompé car il a fait le tableau de variation d'abord. Il l'a fait en rentrant la fonction dans $[y=]$, en la faisant tracer et en faisant un *ZoomFit*, puis en utilisant [TABLE]. Les limites ont été faites à la machine et il les a un peu justifiées, dit-il. Il a sauté ensuite à 5 et 6 qui lui semblaient plus faciles, il a fait un *ZoomFit* sur [-20,15] mais il a réduit un peu car « ça allait un peu trop en dessous ». Il n'a pas eu le temps de revenir à la question 4.
### Serge

**Exercice 1** : "-sin(π/6) = cos(π/3) d'où les différentes écritures."

**Calcul dérivée et étude des variations** : Dérivée donnée sans indication. Signe correct au vu du tableau de variation mais non justifié. Sens de variation non justifié.

**Limites** : Limites calculées à la machine (syntaxe non précisée), pas de justifications.

**Tableau de variation** : Correct, limites non marquées et valeurs approchées des extremums non précisées.

**Fenêtre** : Adaptée : [-25,25]x[-366,843]

**Tracé** : Recopie écran peu soignée, mention de l'asymptote et tracé du graphe de f(x) = x²

**Polynôme** : "f(x)≈x²" et justification par les limites à l'infini.

Dans l'entretien, il dit avoir testé l'égalité après avoir montré que cos(-π/6) = sin(π/3). Dans l'exercice 2, il a utilisé la machine pour calculer f', f'(0) et des limites. Il déclare avoir trouvé la fenêtre un peu au hasard en faisant des ZoomFit sur plusieurs intervalles pour x jusqu'à ce que ça soit bien.

### Vincent

**Exol** : "Quand on met sur la machine Solve (3cos(3x+π/3) = -3sin(3x-π/6)), elle vous répond true."

**Calcul dérivée et étude des variations** : Calcul de la dérivée par 2nd8; factorisation machine puis résolution à la main de l'équation du second degré. Repérage singularité et justification détaillée du signe de la dérivée par tableau de signes. Calcul machine des ordonnées des extremums (valeur exacte et approchée).

**Limites** : Calcul machine. Pas de justification. Asymptote précisée.

**Tableau de variation** : Correct avec valeurs exactes pour les extremums.

**Fenêtre** : Adaptée : [-20,20]x[-10,100]

**Tracé** : Recopie écran peu soignée, asymptote marquée.

Dans l'exercice 1, il déclare avoir testé l'égalité avec Solve. Dans l'exercice 2, il a utilisé la machine pour le calcul de f' et des limites. Il a obtenu le signe de f', dit-il, par Factor et il a utilisé un programme pour le calcul du discriminant.

### Synthèse dans la classe A

Lors de ce contrôle spécifique, la majorité des élèves passe beaucoup de temps sur le premier exercice et, au bout de vingt minutes, nous avons été obligés de leur demander de passer à l'exercice 2. Tous ont pu calculer la dérivée à la main et à la machine mais la plupart ont voulu ensuite transformer le résultat machine pour obtenir le résultat P/C, au lieu de chercher à faire l'inverse, comme Françoise ou de traiter le problème de façon plus symétrique, comme Vincent. Or, comme nous l'avons montré dans l'analyse a priori du contrôle, ces trois choix
stratégiques, mathématiquement équivalents, ne sont pas équivalents, du fait du fonctionnement interne de la machine.

Sur l'ensemble de la classe :

* Douze élèves n'aboutissent pas, n'écrivant que les deux résultats ou, comme Gérard, affirment l'égalité ou écrivent une banalité ou développent simplement l'expression machine

* Deux élèves testent l'égalité ou feront calculer la différence

* Trois élèves donnent de façon détaillée la justification attendue

* Trois élèves relieront le passage d'un sinus à un cosinus au fait que la dérivée de cosinus est sinus

* Six élèves donnent, plus ou moins précisément, la raison : $cos(x+\pi/2) = -\sin x$ ou une raison équivalente, parfois instanciée en $\pi/3$ ou $\pi/6$.

On voit donc qu'il ne s'agit pas pour la majorité d'entre eux d'une tâche triviale et qu'il y a une réelle différence entre la capacité de calculer $cos(x+\pi/2)$ et celle de mobiliser la propriété correspondante pour expliquer le passage d'une expression en cosinus à une expression en sinus lorsque le symbole $\pi/2$ n'est pas explicitement visible. Néanmoins, nous pensons qu'une instrumentation efficace de la TI92 dans le domaine trigonométrique suppose cette capacité.

Pour ce qui est de l'exercice 2, les élèves se retrouvent, au moins au départ, dans une situation familière. A deux exceptions près, celle de Gérard qui utilise [TABLE] et d'un élève qui s'arrête après avoir calculé la dérivée, tous les élèves utilisent des stratégies standard pour obtenir la dérivée et ses zéros. D'ailleurs l'observation de cette phase du contrôle a montré qu'ils allaient très vite pour cette phase. On notera que certains obtiennent les trois racines, par exemple en ayant recours à la factorisation radicale, et que d'autres après avoir utilisé la factorisation normale résolvent l'équation du second degré de façon classique. En fait, la forme légèrement différente des expressions des racines suivant qu'on les calcule à la main ou à la machine, nous permet de voir comment les élèves ont procédé même si le détail des calculs de la copie laisse un doute. Un des élèves travaillant en P/C a fait une erreur de calcul qu'il ne repère visiblement pas.

Pour ce qui est de l'étude du signe, dix-huit élèves donnent la justification correcte attendue, conformément au contrat passé pour ce contrôle.

Pour ce qui est des limites, la situation montre que la tâche est moins routinière. Seize élèves utilisent visiblement la TI92, un seul d'entre eux ne parvenant pas à obtenir les limites à droite et à gauche en 2. Un seul donne complètement les justifications attendues. Les essais de justification fournis pour 2 montrent que plusieurs élèves ont tendance à calquer la technique de mise en facteur du terme de plus haut degré mise en place pour l'étude des limites à l'infini. Visiblement, et cela n'a rien d'étonnant en fin de Première, la situation n'est pas claire. Nous renvoyons par exemple à la copie de Francis.

Les élèves pensent que les limites sont un des domaines principaux où la machine les a aidés. Mais, en fait, ils maîtrisent mal ce domaine. Bien sûr, le simple fait de pouvoir trouver les limites à la machine n'aide pas à lui seul à comprendre les limites, ni à produire les justifications attendues.

L'étude des tableaux de variation fournis par 24 élèves sur les 26, montre en général des tableaux corrects du point de vue de la variation mais souvent peu précis (le temps a sans
doute joué ici). De plus, pour quatre élèves, on retrouve le phénomène déjà observé dans l'entretien 2 : la non définition en 2 pose problème.

Pour ce qui est de la détermination d'une fenêtre adaptée, visiblement les élèves ont mis en place au fil de l'année des stratégies efficaces qui dépassent d'ailleurs la seule utilisation de ZoomFit. Cette question, à laquelle répondent 21 élèves, est réussie 20 fois.

Les tracés P/C sont eux en général peu soignés mais corrects et la distinction courbe / asymptote est bien marquée. Gérard ne joint pas les neuf points marqués, peut-être a-t-il perçu la contradiction entre son tableau de variation et le tracé que lui fournissait la machine. Cinq élèves fournissent un tracé incorrect et dans deux d'entre eux on voit nettement que la liaison au dessus de la non définition en 2 est considérée comme faisant partie de la courbe.

La question relative à la parabole asymptote n'est traitée que par trois élèves : Georges propose un raisonnement parfait, Serge prend en compte seulement l'ordre et propose $x^2$. Le dernier élève, dont la production est peu satisfaisante par ailleurs propose $x^2$. Sans doute la question temps a-t-elle joué, les élèves choisissant en priorité de faire les questions qu'ils savaient faire ensuite, dans une stratégie très raisonnable pour un contrôle.

## Classe B

### Les notes

<table><thead><tr><th></th><th>Sabine</th><th>Marie</th><th>Jean</th><th>Franck</th><th>Julien</th><th>Alice</th><th>Pierre</th></tr></thead><tbody><tr><th>Note contrôle spécifique</th><td>5</td><td>14</td><td>12</td><td>13</td><td>6</td><td>6</td><td>13</td></tr></tbody></table>

Sabine et Julien ont une note très notablement inférieure à leur note habituelle. Sabine met cette différence sur le compte des conditions matérielles du contrôle (il faisait très chaud, c'était la fin de l'année...) En fait, elle n'est pas du tout à l'aise avec les tâches demandées, telles que la recherche de résultats avec la TI92, suivie d'une justification par le calcul. Julien a rencontré beaucoup de difficultés en comparant les résultats TI92 et ses calculs en P/C. Il semble qu'il y ait passé beaucoup de temps sans trouver les erreurs en P/C. Pourtant il déclare "Je préfère faire à la main. Je suis plus sûr de moi à la main". La donnée du résultat TI92 le perturbe dans sa vérification au lieu de l'aider. Des difficultés avec l'écran graphique (gestion du Zoom) ont pu aussi jouer un rôle.

### Exercice 1 (dérivée d'une fonction trigonométrique et comparaison TI92-P/C)

Alice a développé la fonction en P/C. Il semble qu'elle n'ait pas compris la question.

Pierre, Sabine et Marie ont calculé la dérivée à la machine, mais n'ont pu le faire en P/C, ne connaissant pas la dérivée du cosinus. Aucun n'a pensé à "demander" cette dérivée à la TI92.

Jean, Julien, et Franck ont fait diverses erreurs en dérivant en P/C (élimination du terme constant pour Jean, variable passée au dénominateur pour Franck, oubli du facteur constant pour Julien) qu'ils n'ont pas détectées. Jean dit qu'on pourrait vérifier avec la fonction tExpand. Franck déclare qu'il faudrait développer à la main les deux expressions, mais qu'il n'a pas eu le temps.

Les sept élèves sont donc mal à l'aise avec la dérivation des fonctions trigonométriques en P/C. De plus, les techniques de vérification, qu'elles soient P/C ou TI92 sont peu disponibles.
## Limites

Sabine donne seulement les valeurs obtenues avec la TI92 sans justification. Les autres élèves font un calcul en P/C vérifient à l'aide de la TI92. L'énoncé demandait de rédiger les calculs de limites, ce qui est sans doute la cause de ce comportement majoritaire.

Il y a donc une évolution dans les compétences en calcul de limites des élèves (sauf chez Sabine qui a sans doute manqué de temps) : les élèves peuvent justifier les valeurs trouvées avec la TI92. Le texte du contrôle insistait sur la rédaction des "raisonnements" et sur la justification soigneuse des "calculs de limite". Il est vrai que les élèves disposent maintenant d'algorithmes (quotient des monômes de plus haut degré, etc.) plus économies en réflexion que l'application des propriétés algébriques des limites.

## Calcul de dérivée et étude de variations

### Pierre

Calcul de la dérivée à la machine → Calcul de valeurs approchées des zéros de la dérivée à la machine → Variations non justifiées

### Julien

Calcul de la dérivée à la machine → Calcul des zéros de la dérivée à la machine → Variations non justifiées

### Jean

Calcul de la dérivée à la machine → Calcul des zéros de la dérivée à la machine → Variations justifiées par le calcul de valeurs de la dérivée

### Franck

Calcul de la dérivée à la machine → Calcul des zéros de la dérivée à la machine → Variations justifiées par le calcul de valeurs de la dérivée

### Marie

Calcul de la dérivée à la machine → Calcul des zéros de la dérivée à la machine → Variations justifiées par un tableau de signes

### Sabine

Calcul de la dérivée à la machine → Première factorisation en P/C → Calcul des zéros de la dérivée à la machine → Variations justifiées par un tableau de signes (avec erreur)

### Alice

Calcul de la dérivée en P/C → Première factorisation en P/C → Calcul des zéros de la dérivée à la machine → Variations justifiées par un tableau de signes

Le travail de Pierre et Julien est éloigné du contrat habituel. Ils n'ont pas compris que l'injonction de l'énoncé "rédiger les raisonnements comme d'habitude" s'applique à l'étude de variations.
Les autres justifient "comme d'habitude", tout en ayant fait les calculs avec la TI92. On retrouve les deux types de justification : le traditionnel tableau de signes (Alice, Sabine, Marie) après factorisation de la dérivée et l'utilisation de valeurs de la dérivée calculées à l'aide de la TI92 (Jean, Franck).

### Polynôme asymptote

Seul Pierre a effectué une résolution en P/C en posant et en résolvant un système. Sabine Marie, Jean et Franck utilisent la fonction *Propfrac* de la TI92. Julien calcule le quotient des termes de plus haut degré. Il obtient un monôme dont la courbe représentative lui semble bien asymptote (il est assez maladroit dans les Zooms qui lui permettraient de constater son erreur). Alice n'aborde pas cette question par manque de temps.

Julien confirme ici ses difficultés d'articulation graphique/algèbre. Il ne peut invalider graphiquement la règle (fausse) qu'il se donne pour la recherche du polynôme asymptote.

### Fenêtre

Sabine ne répond pas à cette question. Julien et Alice donnent des paramètres non adaptés. Les autres donnent une réponse correcte.

### Appréciation sur l'aide apportée en contrôle par la calculatrice

Voici les réponses des élèves interrogés sur l'aide que la calculatrice apporte en contrôle.

#### Alice

"Ça a plutôt aidé (à ne pas perdre de temps), surtout pour calculer (la dérivée)"

#### Franck

"J'aimais bien avoir la sécurité, quoi. Savoir qu'on a été bon, ça met en confiance pour la suite (...) Une fois que la dérivée est bonne, on a le tableau de signe, on a tout ça...donc, ça mettait en confiance.."

#### Jean

(non enregistré)

#### Julien

"Je préfère faire à la main. Je suis plus sûr de moi à la main"

#### Pierre

"Pour la dérivée, ça aurait pas été aussi vite, mais j'aurais réussi quand même, pour vérifier les limites, c'est pratique"

#### Marie

"Ca m'a aidé quand même, ... Ça permet de vérifier"
### Sabine

"J'aime mieux faire à la main. Enfin, je m'en sers (de la TI92) "

## Partie 2 : Etude de fonction

Nous allons préciser la stratégie standard pour cette tâche commune aux deux classes, puis dans chacune des classes, reconstituer pour chaque élève, brièvement l'historique de l'entretien, avant de faire une synthèse.

### Stratégie standard :

* Entrée standard de la fonction et tracé dans la fenêtre standard. Ceci peut conduire à restreindre la fenêtre en prenant en compte les valeurs effectivement prises par $f$ et la périodicité, par exemple réduire l'intervalle sur $x$ à [-2π, 2π] et celui sur $y$ à [-1,2] ou [0,2] ou à faire un ZoomFit.

<figure><img src="image_340.png" /><figcaption>Zoom Standard [-2π, 2π] x [-1,2]</figcaption></figure>

<figure><img src="image_341.png" /><figcaption>-[2π, 2π] x [-1,2]</figcaption></figure>

<figure><img src="image_342.png" /><figcaption>ZoomFit</figcaption></figure>

* Conjectures :
  Le tracé montre une fonction positive, qui semble continue, paire et périodique, si l'on ne s'attache pas de trop près aux détails graphiques. La période semble voisine de 3 au vu des graduations et, vu la nature trigonométrique de la fonction, ceci conduit à conjecturer une période de $π$. Le minimum semble de 0 et le maximum proche de 1.5. Un calcul mental, à partir de l'expression de la fonction, donne les valeurs exactes 0 et $\sqrt{2}$ pour $f(0)$ et $f(\pi/2)$. Sur la période $[0, π]$, la fonction semble décroissante jusqu'en $π/2$ puis croissante et elle
semble présenter un point anguleux en $\pi/2$, donc être non dérivable en ce point mais admettre des demi-tangentes à droite et à gauche de pentes opposées vue la symétrie.

Ces conjectures ont été élaborées à la seule vue du tracé. On peut penser que les élèves ne vont pas nécessairement fonctionner de la sorte mais s'appuyer pour formuler leurs conjectures sur différentes actions possibles dans la fenêtre graphique. En fait, ces actions peuvent troubler l'élaboration des conjectures. En effet, l'utilisation de la commande *Trace* par exemple pour explorer les valeurs extrémales ne va pas donner la valeur 0 systématiquement pour les minimums. Du fait de la discrétisation, elle peut conduire aussi à des valeurs différentes d'un minimum à l'autre et donc à douter donc de la périodicité de la fonction ou de sa parité.

<figure><img src="image_343.png" /></figure>

<figure><img src="image_344.png" /></figure>

Les commandes du menu F5 permettent de même d'obtenir maximum et minimum sur un intervalle donné. Si les valeurs données sont les mêmes, les élèves peuvent oublier qu'il s'agit de valeurs approchées et les considérer a priori comme les maxima et minima exacts. L'utilisation de zooms pour aller explorer le voisinage des points anguleux peut d'autre part conduire à des tracés discontinus, toujours pour les mêmes raisons. La formulation des conjectures correctes suppose donc un détachement de certaines caractéristiques visuelles et numériques et un travail de mathématisation certain. Il est pour nous important de savoir jusqu'à quel point les élèves, en cette fin d'année, en sont capables.

* **Preuves :**

Pour le signe de la fonction, sa périodicité et sa parité, les preuves à la main nous semblent les plus économiques. Si l'élève veut utiliser la machine pour prouver la périodicité, il peut perdre du temps : la machine, en effet, ne simplifie pas $f(x+\pi)$, elle ne répond pas *true* au test d'égalité $f(x) = f(x+\pi)$, il faut demander explicitement de résoudre l'équation. En revanche, elle simplifie $f(-x)$ et permet donc de gérer la parité. Pour ce qui concerne l'étude du sens de variation, la machine donne l'expression de la dérivée. Elle résout aussi l'équation $\sin(2x) = 0$ mais non les inéquations associées (figure ). L'étude du signe de la dérivée impose donc aux élèves une articulation travail machine et travail P/C. La machine confirme, enfin, si besoin, la non dérivabilité en $(2k+1)\pi/2$ en renvoyant la valeur *undef*.

■ Define $f(x)=\sqrt{1+\cos(2\cdot x)}$      Done
■ $f(x + \pi)$                         $\sqrt{\cos(2\cdot(x + \pi))+1}$
■ $f(x + \pi) = f(x)$                   $\sqrt{\cos(2\cdot(x + \pi))+1} = \sqrt{\cos(2\cdot x)+1}$
■ solve($f(x + \pi) = f(x), x$)        true

■ $f(-x)$
■ $\frac{d}{dx}(f(x))$
■ solve($\sin(2\cdot x) = 0, x$)
■ $\frac{-\sin(2\cdot x)}{\cos(2\cdot x) + 1} | x = \frac{\pi}{2}$

$\begin{array}{l}
\sqrt{\cos(2 \cdot x) + 1} \\
-\sin(2 \cdot x) \\
\hline
\cos(2 \cdot x) + 1 \\
x = \frac{\pi \cdot 6}{2} \\
\text{undef}
\end{array}$

On peut s'attendre bien sûr, de la part, des élèves, à l'utilisation d'autres stratégies déjà mises en oeuvre dans les entretiens précédents : utilisation de l'application [TABLE], utilisation du
tracé de la dérivée (même si elle peut paraître ici hors contrat), enfin utilisation du principe d'alternance des signes de la dérivée, la machine permettant alors d'obtenir facilement les valeurs de la dérivée en des points autres que ses zéros.

* Liaison avec la fonction cosinus :

La commande trigonométrique *tExpand* transforme l'expression en $\sqrt{2} |\cos x|$. Le tracé du graphe de la fonction $\sqrt{2} \cos x$ conjointement avec celui de $f$ permet de mettre en évidence les rapports des deux courbes et d'en déduire les valeurs des demi-dérivées aux points anguleux. Comme nous l'avons dit plus haut, nous n'attendons pas des élèves qu'ils se lancent spontanément dans ces transformations en P/C ou avec la machine, bien qu'ils soient censés connaître les formules donnant les lignes trigonométriques des arcs doubles.

<figure><img src="image_345.png" /></figure>

## Classe A

### Comportements observés

*Anne*

**Conjectures :**

Fonction périodique : questionnée sur la période, elle propose $2\pi$ mais dit ne pas trop savoir. Fonction paire « car elle se reproduit par rapport à l'axe des ordonnées ». Questionnée sur le sens de variation, elle décrit les alternances de croissance et décroissance sans préciser les intervalles sur x correspondants, malgré la sollicitation en ce sens de l'observateur. Pour les maxima, elle dit : environ 1.5 et sollicitée de préciser, elle propose de regarder dans [TABLE], prend la valeur pour $x = 3$ et conclut que c'est à peu près : 1.4. L'observateur demande si le maximum est vraiment obtenu pour $x = 3$, elle reprend le graphique, trouve que c'est à peu près ça, fait calculer dans [HOME] $f(3)$ et ne voit pas d'autre moyen. Interrogée sur la dérivabilité, elle ne semble pas bien comprendre la question, évoque croissance et décroissance puis dit ne pas savoir le voir sur le graphique.

**Preuves :**

Période : elle écrit ce qu'elle doit démontrer mais n'arrive pas à transformer l'expression et conclure sans aide.

Parité : elle fait calculer $f(-x)$ dans [HOME] et conclut.

Sens de variation, dérivabilité : elle fait calculer la dérivée dans [HOME], remarque que le dénominateur est positif et donc qu'il suffit d'étudier le signe du numérateur, mais ne sait pas trop comment faire avec $\sin(2x)$. L'observateur essaie sans succès de l'aider en la ramenant au graphe de $f$ (elle repasse aux valeurs entières sans faire de lien avec des multiples de $\pi$) puis passe à la suite.
Comparaison avec la fonction cosinus : questionnée, elle pense seule à la fonction cosinus.
Sur le tracé, elle remarque que le maximum n'est pas le même, va calculer f(0) dans [HOME],
puis propose de mettre le cosinus au carré pour n'avoir que des valeurs positives.
L'observateur lui propose plutôt de chercher à transformer l'expression initiale et, comme elle
ne sait pas, lui montre comment transformer avec tExpand la quantité sous le radical. Puis il
l'aide à passer à l'expression en valeur absolue.

Charles

Conjectures :

Fonction périodique de période π « parce que c'est à peu près trois unités ». « Courbe toujours
au-dessus de l'axe des x », reformulé en fonction positive, sur sollicitation de l'observateur.
Croissante et décroissante, par exemple décroissante sur [0, π/2] et croissante sur [π/2, π].
Fonction « qui n'a pas une grande amplitude », reformulé en « qui a une limite », « qui a une
valeur maximale », maximum f(0) et minimum 0. Questionné sur les symétries, il dit qu'il y a
plusieurs axes de symétrie, par exemple l'axe des ordonnées ou x = 3π/2. L'observateur lui
demande ce que l'on peut en conclure sur la fonction, il répond qu'elle est paire. Pour lui la
fonction est définie en tout point « puisque la calculatrice ne trace pas d'asymptote » et elle
est aussi dérivable en tout point, parce qu'il n'y a pas de problèmes comme « s'il y avait des
valeurs en +∞. »

Preuves :

Périodicité : il propose de montrer que f(-π) = f(π). L'observateur lui rappelle la définition de la périodicité. Il écrit alors f(x+π) = √[1+cos2x + π. l'observateur l'aide à corriger puis lui suggère d'utiliser la TI92. La machine renvoie √[cos(2(x+π))+1]. Il repasse en P/C écrit une expression de f(x+π) en oubliant les parenthèses autour de 2x+2π, et quand elles sont rajoutées n'arrive pas à conclure.

Sens de variation, dérivabilité : il calcule la dérivée et sur demande de l'observateur déclare que la fonction est dérivable quand le dénominateur n'est pas nul. L'observateur l'aide à déterminer les valeurs correspondantes.

Comparaison avec la fonction cosinus : Charles pense tout de suite au cosinus, tout en soulignant « qu'il ne rebondit pas pareil ». L'observateur fait tracer la fonction cosinus et comparer les deux graphes, puis suggère de transformer l'expression de f pour mieux voir les rapports. Charles ne voit pas comment faire. L'observateur transforme avec tExpand et demande d'utiliser l'expression pour comparer. Charles remarque le √2, en demande une valeur approchée et fait le lien avec f(0).

Francis

Conjectures

Fonction positive, peut-être nulle en certains endroits. Regarde avec Trace puis en utilisant la
commande F5-Minimum. Après quelques essais, conclut « qu'elle ne descend pas en 0 ».
Fonction périodique de période 3π (il pense que le premier minimum en π/2 n'a pas la même
valeur que celui en 3π/2). Change de fenêtre : [0,20]x[-1,2] au lieu de [-10,10)[-1,2]. Il
compare les minimums en π/2 et 7π/2 et conclut que ça doit faire 3π car c'est entre 9 et 10.
Utilise la commande Maximum pour voir s'il y a les mêmes maximums. Trouve les mêmes
valeurs et conclut que c'est majoré par cette valeur : 1.4142136. Questionné sur la parité, il
reprend la fenêtre antérieure et conclut qu'elle doit être paire « puisque de chaque côté, le deuxième minimum est à la même distance de l'origine ». Questionné sur le sens de variation, il reprend la fenêtre positive et veut regarder pour une période entre 0 et $3\pi$. Il utilise la commande *F5-Maximum* pour comparer les valeurs des maximums extrêmes, ceci le conduit à $xc = 9.4111...$. Il fait calculer dans [HOME] une valeur approchée de $3\pi$ pour contrôler. Il donne ensuite le sens de variation sur l'intervalle en cherchant les minimums et maximums successifs avec les commandes correspondantes. Il repère que les variations « apparemment marchent par intervalles de $\pi$. ». Questionné sur la dérivabilité, il dit qu'il pense que oui parce que la racine est toujours définie. Sur le graphe, il dit qu'on ne voit pas très bien près des minimums. Il propose de faire un zoom, utilise *ZoomBox* (2fois) puis conclut que oui.

## Preuves

**Périodicité** : Démontre à la main que $3\pi$ est période puis, quand l'observateur lui demande si c'est la plus petite, propose $2\pi$ et fait le calcul pour $\pi$. Justifie ensuite le fait qu'on ne puisse aller plus loin.

**Parité** : démonstration standard à la main avec référence au cercle trigonométrique.

**Sens de variation, dérivabilité** : calcule $f'$ dans [HOME] et dit que le résultat est « barbare ». Sur question de l'observateur, dit que la fonction est dérivable partout sauf peut-être aux points anguleux (terme introduit dans la fin de la phase de conjecture par l'observateur), mais qu'il ne sait pas ce qui se passe en ces points : « je sais pas... la dérivée est nulle ? ». Fait ensuite le lien avec la non définition pour $\sqrt{\cos(2x)+1}=0$, mais ne va pas plus loin.

**Comparaison avec la fonction cosinus** : Questionné, évoque la fonction cosinus. L'observateur lui demande de la faire tracer. Il repère la correspondance des maximums. L'observateur lui propose alors de transformer l'expression. Il pense à aller dans Trigo et l'observateur suggère de choisir *tExpand*. Francis l'applique à $1+\cos(2x)$ et obtient $2(\cos x)^2$. Il commence à raisonner comme si c'était $f$ et l'observateur l'aide à passer à la valeur absolue.

## Françoise

### Conjectures

Fonction périodique, n'a pas d'idée a priori de la période mais montre deux minimums successifs. Questionnée sur une valeur numérique possible, elle dit qu'elle essayerait avec $2\pi$. Fonction positive, avec un axe de symétrie (axe Oy), ce qui lui semble normal puisqu'elle est périodique. Questionnée sur les maxi et mini, elle dit que les maxi sont toujours les mêmes mais pas les mini (toujours les phénomènes de discrétisation). La fonction lui semble dérivable parce que « elle est pas coupée, il y a pas un point où elle est pas définie, quoi... ». L'observateur résume les conjectures.

### Preuves

**Périodicité** : montre à la main que $2\pi$ est période. L'observateur demande s'il en existe une plus petite. Françoise essaie $\pi$ et conclut.

**Parité** : elle ne se souvient plus.

**Sens de variation, dérivabilité** : elle est effrayée à l'idée de calculer la dérivée. Encouragée à le faire à la machine, elle obtient la dérivée et s'arrête. L'expression lui paraît trop compliquée. Encouragée, elle formule que le dénominateur doit être toujours positif car le cosinus reste entre -1 et 0 et donc que $f'$ a le signe du numérateur. Elle l'écrit, trace le cercle
trigonométrique puis s'arrête. L'observateur doit l'aider fortement pour la résolution de sin(2x) = 0 puis la ramener à l'intervalle [-π,π] qu'elle choisit pour étudier la fonction. Elle passe de 2x = π+kπ à x = π/2+kπ et commence un tableau de variation en incluant les valeurs π/2 et -π/2 puis est de nouveau bloquée sur la détermination du signe de f'. L'observateur le fait avec elle, après lui avoir indiqué son erreur dans le passage de 2x à x. Elle complète le tableau de variation, à partir du signe du numérateur de la dérivée et fait calculer en [HOME] les valeurs de f aux points marqués : -π, -π/2, 0, π/2, π. L'observateur lui demande alors de vérifier les valeurs de la dérivée en ces points, puisqu'elle a tout fait avec le numérateur. Elle obtient un *undef* pour -π/2, est étonnée puis parvient à interpréter en revenant à l'expression de la dérivée. L'observateur lui demande ensuite si ce qu'elle a fait lui permet de répondre à la question qu'elle s'était posée sur les minimums pendant la phase de conjecture : identiques ou non. Françoise repasse en [GRAPH], utilise *Trace* pour repérer les coordonnées, ne trouve pas 0 pour les minimums et n'arrive pas seule à faire le lien avec son tableau de variation. L'observateur doit beaucoup l'aider. Ensuite il essaie de l'engager sur la voie de la tangente mais elle n'a pas d'idée.

Comparaison avec la fonction cosinus : l'observateur lui propose de tracer la fonction $x \to \sqrt{2} \cos x$ et de comparer les graphes, elle parle de coïncidence et de symétrie mais est visiblement fatiguée.

## Georges

Vérifie qu'il est bien en mode Fonction, entre la fonction dans [Y=] et la fait tracer dans la fenêtre standard.

## Conjectures

Fonction positive, périodique de période à peu près π (repère l'écart sur x entre deux minimums successifs, en fonction des graduations et trouve environ 1.5), maximum environ 1.5 et minimum 0 ou proche de 0. Remet en doute la période (mini, maxi pas exactement au même niveau) : apparemment plutôt 2π mais tracé pas assez précis pour être sûr. Propose de faire un zoom pour mieux voir et utilise *ZoomFit*. En déduit que la période est plus grande et utilise l'option *Trace* pour suivre le tracé. En explorant les sommets et minima, conclut à une période de 3π et propose de le tester dans [HOME]. Puis se dit que 2π devrait marcher puisque cos est de période 2π. L'observateur résume les conjectures faites et interroge sur la parité et la dérivabilité. Au vu du graphe, dit qu'elle ne semble pas paire mais qu'au vu de l'expression algébrique, elle devrait l'être, Revient alors sur sa première impression graphique : « ça a l'air d'être vrai, elle admet comme axe de symétrie l'axe des ordonnées ». *f* lui semble dérivable partout « puisqu'elle a pas l'air de changer de signe trop rapidement, proche de 0 ou proche de l'infini ». L'observateur montre les points anguleux. Georges se positionne avec *Trace* à proximité du premier minimum positif, dit que le zéro a l'air d'être aux alentours de π/2, mentalement remplace dans l'expression algébrique, arrive à $\sqrt{0}$ et conclut à l'impossibilité, puis rit et dit que ça fait bien 0. L'observateur interroge sur le sens de variation. Georges le lit sur [0, π] puis dit qu'ensuite il suffit de faire des translations de vecteur π. L'observateur résume l'ensemble des conjectures et Georges est d'accord.

## Preuves

**Périodicité** : fait calculer dans [HOME] $f(x+2\pi)$. La machine ne simplifiant pas, fait le calcul à la main et se rend compte que π peut aussi marcher. Conclut sur la période.

**Parité** : propose de faire vérifier $f(-x) = f(x)$. L'observateur lui dit de passer à la suite.
Sens de variation, dérivabilité : fait dériver la fonction dans [HOME], définit la dérivée et demande ses zéros. Obtient ${@n3 \pi/2}$. Interprète en $f'(x) = 0$ pour $x = \pi/2+k.2\pi$. Commence le tableau de variation sur $[0, \pi]$, fait calculer $f'(0)$, $f'(\pi)$ et $f'(\pi/3)$, en déduit le signe de $f'$ et termine le tableau de variation, en marquant 0 pour la valeur de $f'(\pi/2)$.

L'observateur lui demande ce qu'il a trouvé pour la dérivée en $\pi/2$. Georges fait calculer dans [HOME] et obtient *undef*. Il rajoute une double barre verticale pour $\pi/2$, puis fait calculer $f(0)$ et limite la double barre à $f'$. Interprète la non-définition de $f'$ en repérant la nullité du dénominateur qui est $f(x)$.

L'observateur essaie de l'aider à analyser le point anguleux, en lui demandant quelle serait la tangente en ce point. Pour Georges, il y a deux tangentes mais ce n'est pas gênant. Il trace le graphe de la fonction cos et montre deux tangentes en deux points symétriques par rapport à l'axe (Oy), en disant qu'elle est dérivable et qu'on a bien la même chose avec deux tangentes. L'observateur lui explique la différence.

Comparaison avec la fonction cosinus : questionné, Georges évoque la fonction cosinus et ensuite fait un lien avec $\sqrt{2} \cos x$. Il fait tracer et constate la coïncidence pour les parties positives, ce qui lui semble normal puisque la fonction racine ne peut pas être négative. Fin de l'entretien.

## Gérard

### Conjectures

Fonction périodique, pour la période propose $2\pi$ car il y a un cosinus. L'axe des y est axe de symétrie, mais il ne sait pas faire sans aide le lien avec la parité. La fonction a d'autres axes de symétrie. L'observateur interroge sur le sens de variation. Utilise les commandes *F5-Maximum* et *Minimum* pour trouver les maxi et mini et conclut que les valeurs sont 1.41 et 0. Lit le sens de variation sur le graphe sans préciser les intervalles correspondants sur x. L'observateur interroge sur la dérivabilité. Gérard répond : « oui, parce qu'elle est toujours pareille ». L'observateur résume les conjectures.

### Preuves :

**Périodicité :** entre en [HOME] l'égalité $f(x) = \sqrt{1+\cos(2x+4\pi)}$ et obtient $\sqrt{1+\cos(2x)} = \sqrt{1+\cos(2x)}$. Conclut que $2\pi$ est période, puis essaie avec $\pi$, en rappelant l'égalité sur la ligne de commande et en la modifiant. Il obtient le même résultat et conclut que la période est $\pi$.

**Parité :** ne se souvient plus comment faire.

Sens de variation, dérivabilité : va regarder dans [TABLE] mais sans modifier [TblSet]. Commence un tableau de variation sur $[0, \pi]$, fait calculer la dérivée dans [HOME], puis $f'(0)$, $f'(\pi)$ et $f'(\pi/2)$, en utilisant la syntaxe « tel que : | ». Rajoute $\pi/2$ dans le tableau de variation et une double barre. Fait calculer $f'(\pi/4)$ et rajoute cette valeur dans le tableau de variation. Repasse en [GRAPH], change la fenêtre en faisant *ZoomFit* sur $[0, \pi]$. Repasse en [HOME], cherche une valeur entre $\pi/2$ et $\pi$ pour calculer la valeur de la dérivée en ce point mais a du mal. L'observateur lui propose $3\pi/4$. Il continue et en déduit le signe de la dérivée sur $[0, \pi]$. Complète le tableau de variation (maxi : 1.41 qu'il va rechercher dans [TABLE]). L'observateur demande la valeur exacte. Gérard la fait calculer dans [HOME]. Fait calculer $f(\frac{\pi}{2})$, trouve 0 et est
étonné car il se souvient avoir eu *undef*. Se rappelle que c'était pour la dérivée. L'observateur
le confronte à sa conjecture sur la dérivabilité et le fait revenir au tracé. Gérard explique que
oui, ce n'est pas dérivable « parce qu'il y a un petit intervalle entre les deux » (problème de
discrétisation au voisinage du minimum). L'observateur lui demande s'il y a une tangente.
Gérard utilise le menu F5 de la TI92 et obtient le message : « no solution », il en conclut qu'il
n'y a pas de tangente en ce point.

Comparaison avec la fonction cosinus : questionné, Gérard l'évoque spontanément.
L'observateur l'aide à trouver le coefficient multiplicatif et lui demande de tracer la fonction $\sqrt{2}$ cos. Il doit l'aider à formuler les rapports entre les deux fonctions, puis lui explique que la non-dérivabilité n'est pas liée au saut apparent comme il le pensait et comment utiliser la fonction auxiliaire pour trouver les coefficients directeurs des demi-tangentes.

## Serge

### Conjectures

Fonction périodique. En utilisant *Trace*, repère $-\pi/2$ et $\pi/2$ et conjecture que la période doit être $\pi$. Questionné sur la parité, dit qu'il ne se souvient pas. L'observateur lui rappelle les définitions et interprétations graphiques et il conclut que la fonction doit être paire. Questionné sur le sens de variation, il le décrit sur $[0,2\pi]$. Pour trouver les valeurs des extrema, il va dans [**TABLE**] et lit la valeur en 0, puis va dans [**Tb1Set**], modifie le pas en le choisissant égal à $\pi/2$ et lit les valeurs correspondantes dans [**TABLE**] (les valeurs minimales données sont 0). Questionné sur la dérivabilité, il répond d'abord « oui » et passe dans [**HOME**]. Il fait calculer la dérivée, l'entre dans $Y =$, la fait tracer puis affiche les valeurs dans [**TABLE**] et conclut à la non-dérivabilité en $\pi/2$. Il avoue ne pas savoir le voir sur le tracé.

### Preuves

Périodicité : il fait calculer dans [HOME] $f(x+\pi)$ et obtient $\sqrt{1+\cos(2(x+\pi))}$. Il dit que ça fait $f(x)$ parce que « chaque fois qu'on a $\pi$ on revient à la valeur ». L'observateur lui demande de justifier plus précisément ; il détaille le calcul puis conclut.

Parité : écrit sur sa feuille $f(-x) = f(x)$ et $f(-x) = \sqrt{1+\cos-2x}$ puis ne voit pas comment continuer. L'observateur lui rappelle qu'il peut utiliser la TI92. Il fait calculer $f(-x)$ et obtient : $\sqrt{(\cos2x)+1}$. Il constate l'égalité mais se demande comment on arrive à ce résultat. L'observateur l'aide à voir que cela revient à montrer que $\cos(-2x) = \cos2x$ et, à ce moment là, il continue seul.

Sens de variation, dérivabilité : il hésite et l'observateur lui suggère de travailler sur $[0, \pi]$. Il fait alors calculer dans [HOME] $f(0)$, $f(\pi/2)$ et $f(\pi)$, puis commence à tracer un tableau de variation complet sur cet intervalle. Il met d'abord 0 pour $f'(\pi/2)$ mais corrige très vite et *Trace* la double barre d'indétermination. L'observateur lui demande s'il peut justifier le signe de la dérivée. Serge ne répond pas. Il lui demande ensuite pourquoi il a mis la double barre en $\pi/2$. Serge répond qu'il l'avait vu tout à l'heure. Il repasse dans [TABLE] pour vérifier puis dans [HOME] et, sollicité, arrive à justifier la non définition à partir de l'expression algébrique de la dérivée. L'observateur lui demande s'il pouvait le voir sur les tracés, il répond qu'il ne voit pas trop.

Comparaison avec la fonction cosinus : l'observateur lui fait alors désélectionner $f'$ et lui demande si le tracé de $f$ ne lui rappelle pas une fonction connue. Il n'a pas d'idée. L'observateur lui suggère alors de transformer l'expression de $f$ dans [HOME]. Serge hésite entre
tExpand et tCollect, choisit la seconde et obtient la même expression. Encouragé à utiliser l'autre, il arrive à $\sqrt{2} |\cos x|$ et dit qu'il ne comprend pas. L'observateur l'aide à piloter la machine pour obtenir le détail des calculs. L'entretien se termine par la comparaison avec le tracé de $\cos x$, en s'appuyant sur cette nouvelle forme.

Vincent

Conjectures

Fonction positive de période $\pi$ (car les arches se reproduisent tous les $\pi$), fonction positive. Pour déterminer le maximum, utilise la commande *Maximum* du menu *F5* mais a besoin de l'observateur pour définir l'intervalle de recherche (ne comprend pas le sens de *lowerBound*) et choisit [0,1.5], confondant intervalle sur x et sur y. Il utilise également *ZoomBox* pour contrôler. L'observateur lui demande s'il peut calculer la valeur exacte, ce qu'il fait en faisant calculer dans [*HOME*] $f(0)$. Pour les minimums, il utilise également la commande *Minimum* du menu *F5*, cette fois sur l'intervalle [0, $\pi$] et trouve une valeur approchée non nulle. Questionné sur le sens de variation, il le décrit sur [-$\pi$/2, $\pi$/2]. L'observateur sort du cadre prévu en lui faisant calculer la valeur exacte du minimum $f(\pi/2)$ et en lui expliquant pourquoi ce n'est pas la valeur qu'il a trouvée par *F5*. Questionné sur la dérivabilité, il dit ne pas savoir la reconnaître sur le tracé.

Preuves : pour des raisons d'horaire scolaire, la partie preuve de cet entretien n'a pu disposer du temps normalement imparti.

Périodicité : justification correcte à la main de la période $\pi$.

Parité : non mentionnée

Sens de variation, dérivabilité : néant

Comparaison avec la fonction cosinus : Vincent ne voit pas de rapport a priori avec le tracé d'une fonction connue.

Tableaux de synthèse

Dans les tableaux ci-après, nous synthétisons les informations sur cette partie.
<table><thead><tr><th></th><th>Périodicité</th><th>Parité</th><th>Sens de variation, Mini, Maxi</th><th>Dérivabilité</th></tr></thead><tbody><tr><td>Anne</td><td>2π?</td><td>oui car se reproduit / Oy</td><td>~1.5 (gr) ~1.4 (table)</td><td>ne voit pas</td></tr><tr><td>Charles</td><td>π</td><td>plusieurs axes de symétrie et parité</td><td>0 et f(0) variation sur [0, π]</td><td>oui</td></tr><tr><td>Francis</td><td>3π (doute = maxi, mini)</td><td>oui car mini équidistants de O</td><td>valeurs approchées par F5, variation sur [0, 3π]</td><td>oui et vérifie par ZoomBox</td></tr><tr><td>Françoise</td><td>2π?</td><td>symétrie /Oy donc paire, péroïpaires</td><td>maxi identiques, mini différents (gr)</td><td>oui</td></tr><tr><td>Georges</td><td>π (doutes = mini, maxi) - 2π - 3π - 2π?</td><td>non (gr)-oui (exp) - oui (gr)</td><td>~1.5 (tr), ~0 (tr) puis 0 variation sur [0, π]</td><td>oui</td></tr><tr><td>Gérard</td><td>2π</td><td>symétrie /Oy</td><td>1.41 et 0 par F5 variation sans valeurs de x exactes</td><td>oui</td></tr><tr><td>Serge</td><td>π</td><td>oui aidé</td><td>valeurs approchées par [TABLE] variation sur [0,2π]</td><td>oui puis non après calcul [HOME]</td></tr><tr><td>Vincent</td><td>π</td><td></td><td>valeurs approchées par F5 - variation sur [-π/2, π/2]</td><td>ne voit pas</td></tr></tbody></table>

Les conjectures

<table><thead><tr><th></th><th>Périodicité</th><th>Parité</th><th>Sens de variation</th><th>Non-dérivabilité</th></tr></thead><tbody><tr><td>Anne</td><td>P/C n'y arrive pas seule</td><td>calcul de f(-x) dans [HOME]</td><td>ne sait pas étudier signe de sin(2x)</td><td>non abordé</td></tr><tr><td>Charles</td><td>f(-π) = f(π) puis aide lourde</td><td>non abordé</td><td>non abordé</td><td>algébrique sur intervention</td></tr><tr><td>Francis</td><td>3π en P/C puis 2π et π sur intervention</td><td>démonstration P/C</td><td>non abordé</td><td>algébrique sur intervention</td></tr><tr><td>Françoise</td><td>2π en P/C, π sur intervention</td><td>ne sait pas</td><td>signe f' P/C très aidée pb liaison Tableau de variation et graphe</td><td>algébrique sur intervention</td></tr><tr><td>Georges</td><td>[HOME] puis P/C réduit à π</td><td>[HOME] f(-x) = f(x)</td><td>[HOME] : zéros f' et valeurs, alternance</td><td>algébrique sur intervention</td></tr><tr><td>Gérard</td><td>[HOME]: test égalité réduction à π</td><td>ne sait pas faire</td><td>[HOME] : valeurs partic. de f' et alternance</td><td>algébrique gr : non car saut</td></tr><tr><td>Serge</td><td>[HOME] puis P/C sur intervention</td><td>f(-x) = f(x) puis aide</td><td>au vu du graphe</td><td>algébrique</td></tr><tr><td>Vincent</td><td>P/C correct</td><td>non abordé</td><td>non abordé</td><td>non abordé</td></tr></tbody></table>

Les preuves
<table><thead><tr><th></th><th>[HOME]</th><th>[Y=]</th><th>[WINDOW]</th><th>[GRAPH]</th><th>[TbISet]</th><th>[TABLE]</th></tr></thead><tbody><tr><td>Anne</td><td>*Define f(x)<br>*~f(3)<br>pour maxi</td><td>y1=f(x)</td><td>[-2,2]x[-2,2]<br>pour voir</td><td></td><td></td><td>pour maxi</td></tr><tr><td>Charles</td><td></td><td>entrée f</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Francis</td><td>*Define f(x)<br>*~ pour variations</td><td>y1=f(x)</td><td>*[0,20]x[-1,2]<br>pour périod. puis<br>pour variations<br>*[-10,10]x[-1,2]<br>pour parité</td><td>*Trace et<br>F5-Minim<br>pour f 0<br>*F5-Maxim pour<br>maxi puis pour<br>variations<br>*F5-Minimum<br>pour variations<br>*ZoomBox pour<br>Df'</td><td></td><td>pour<br>extrema</td></tr><tr><td>François<br>e</td><td>Define f(x)</td><td>y1=f(x)</td><td></td><td>ZoomFit</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Georges</td><td>Define f(x)</td><td>y1=f(x)</td><td></td><td>*ZoomFit puis<br>Trace pour périod.<br>*Trace pour Df'</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Gérard</td><td>Define f(x)</td><td>y1=f(x)</td><td></td><td>* ZoomFit<br>*F5-Maxim pour<br>maxi<br>*F5-Minim pour<br>mini</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Serge</td><td>Define f(x)<br>f'(x),x)</td><td>y1=f(x)</td><td></td><td>* Trace pour périod</td><td>pour val.<br>particul.<br>et Df'</td><td>*pas π/2<br>pour<br>valeurs<br>part. ≠0</td></tr><tr><td>Vincent</td><td>*Define<br>f(x) *f(0)<br>et f(π)<br>pour maxi<br>*f(π/2)<br>pour mini</td><td>y1=f(x)</td><td></td><td>*F5-Maximum puis<br>ZoomBox pour<br>maxi<br>*F5-Minimum pour<br>mini</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Commandes utilisées pendant la phase de conjecture.
<table><thead><tr><th></th><th>[HOME]</th><th>[WINDOW]</th><th>[GRAPH]</th><th>[TABLE]</th></tr></thead><tbody><tr><td>Anne</td><td>*d(f(x),x)<br>*f(-1) et f(-2) pour f'<br>*f(-x) pour parité<br>*~f'(3) pour variations</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Charles</td><td>*f(x+π)=<br>*d(f(x),x) pour Df'</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Francis</td><td>d(f(x),x)</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>François<br>e</td><td>*d(f(x),x)<br>*f(-π),f(-π/2),f(0),f(π/2),f(π)<br>Define df(x), f'(0), f'(-π/2)<br>pour variations</td><td></td><td>Trace<br>pour mini</td><td></td></tr><tr><td>Georges</td><td>*f(x+2π)<br>*d(f(x),x) Zéros df<br>f'(0),f'(π),f'(π/3),f(0)<br>pour variations</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Gérard</td><td>*f(x)=√1+cos(2x+4π)<br>*d(f(x),x)<br>f'(0),f'(π),f'(π/2),f'(3π/4),f(0),f(π/2)<br>pour variations</td><td>*Xmin=0 Xmax=π<br>ZoomFit pour<br>variations<br>*Tangente pour Df'</td><td>ZoomBox<br>(2) pour<br>variations<br>et contrôle<br>de f(0)</td><td></td></tr><tr><td>Serge</td><td>*f(x+π)=<br>*f(-x)=<br>*f(0),f(π/2) et f(π)<br>pour variations<br>*df(x) pour Df'</td><td></td><td>Cf et Cf'<br>pour<br>extrema</td><td>pour Df'</td></tr><tr><td>Vincent</td><td>*√(0)<br>pour f'</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Commandes utilisées pendant la phase de justification

## Classe B

Nous rapportons le travail des élèves en distinguant les quatre propriétés de la fonction mises en évidence dans l'étude a priori : périodicité (π), parité, étude de variations (maximum en k π, minimum en π/2 + k π), comportement de la courbe aux points minimums (ce sont des points anguleux). Pour chacune de ces propriétés nous distinguons la phase de conjecture où l'élève fait un repérage de la propriété sur le graphe et la phase de preuve où il tente de justifier la propriété par une étude algébrique.

## Périodicité

### Conjecture

Alice fait un vague geste de répétition en annonçant que la fonction "n'a pas de limite". L'observateur ayant précisé que la propriété est la périodicité et demandé la valeur de la période, elle annonce 3, puis précise 3.1, puis guidée par l'observateur "π"

Franck annonce de même que la fonction est périodique, fait plusieurs zooms pour trouver 3 puis 3,1 3,2 et annonce spontanément π. Pierre procède de même.
Jean annonce que la fonction est périodique. Il déclare que la période "c'est entre deux vagues", annonce 1.5, puis se reprend : 3. Il zoome avant puis utilise la fonction distance du menu Draw et annonce 3,1 3,2. L'observateur demande de faire référence à des valeurs remarquables, Jean annonce "1/2, racine de 3 sur 2...", puis, l'observateur ayant rappelé le contexte trigonométrique : $π, 2π, π/2...$ Il faut encore une sollicitation de l'observateur pour qu'il annonce $π$.

Julien a besoin d'être très guidé par l'observateur pour apercevoir la propriété de périodicité sur le graphe et pour conjecturer la valeur de la période.

Marie annonce spontanément que la fonction est périodique, mais ne peux pas préciser la valeur de la période.

Pierre fait un ZoomIn, puis utilise la fonction Trace, et annonce que la période est de 3,1 à peu près, puis que « ça doit être $π$ ».

Sabine repère la périodicité et annonce une période de 3,5 ou 4 à peu près. L'observateur tente de faire préciser par référence à la période du cosinus, mais Sabine ne la connaît pas.

### Preuve

Alice ne parvient pas, même très guidée, à exprimer algébriquement la périodicité.

Franck exprime d'abord la propriété en $f(x)+π = f(x)$. L'observateur ayant corrigé en $f(x+π)$, il tente plusieurs fonctions de la TI92 pour simplifier cette expression. tExpand donne la forme simplifiée de la fonction, sur laquelle on ne reconnaît pas l'expression de $f(x)$. Il faut l'aide de l'observateur pour que Franck simplifie de même l'expression de $f(x)$ et reconnaisse l'égalité.

Jean exprime spontanément la propriété algébriquement avec une période T et une erreur de parenthéssage. L'observateur tente de faire appel aux propriétés du cosinus, mais Jean préfère utiliser la TI92 et obtient comme Franck l'expression simplifiée. Curieusement, il raisonne alors sur cette expression simplifiée à l'aide des propriétés du cosinus et reconnaît sa périodicité $π$.

Julien ne parvient pas à exprimer algébriquement la périodicité.

Marie n'aborde pas cette justification.

Pierre démontre la périodicité en P/C, puis, sur invitation de l'observateur, il entre $f(x+π)$, et $f(x)-f(x+π)$ dans la TI92, mais ne parvient pas à faire simplifier cette différence.

Sabine demande comment on démontre la périodicité. L'observateur indique l'expression algébrique de la propriété. Sabine introduit cette expressions dans la TI92, applique la fonction solve et obtient "true", ce qui la satisfait.

### Parité

### Conjecture

Alice énonce la symétrie après que l'observateur ait fait remarquer que la courbe "part un peu pareil des deux côtés"

Marie ne voit pas la propriété, même sollicitée par l'observateur.
Jean pense à une symétrie centrale : après que l'observateur ait demandé s'il existe une symétrie, il donne les coordonnées d'un point "Euh oui en (0, 1,4), à peu près", puis se reprend "Enfin l'axe des ordonnées, donc pas de symétrie centrale".

Sabine énonce la symétrie après que l'observateur ait fait remarquer la similitude du comportement de la fonction de part et d'autre de l'axe des y.

Julien : "... On dirait qu'il y a une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées".

Franck : " C'est une fonction symétrique par rapport à l'axe des ordonnées".

Pierre déclare que la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

## Preuve

Julien annonce qu'il va démontrer la symétrie/axe des ordonnées, puis déclare "Je ne sais plus si c'est pair ou impair qu'il faut démontrer". L'observateur ayant précisé "pair" et ayant indiqué "On peut se servir du module [HOME]" pour inciter à l'usage de la calculatrice, Julien annonce "Faut montrer que $f(-x) = f(x)$" puis que "$\cos(-2x)$, ça vaut $\cos(2x)$" et demande "c'est bon ce que je fais ?"

Franck écrit $f(x) = -f(-x)$, puis barre le premier signe -. Ensuite, il développe $f(-x)$ et déclare « Donc c'est égal à $f(x)$ parce que $-\cos 2x$ et $\cos 2x$ c'est la même chose. »

Pierre démontre en P/C.

Les autres élèves n'abordent pas cette justification.

## Etude de variations

### Conjecture

Alice sollicitée par l'observateur, annonce "le minimum c'est zéro". L'observateur ayant demandé les valeurs de $x$ elle répond "Pour toutes.." Sollicitée pour la valeur du maximum, elle déplace le réticule et répond "Le maximum c'est 1,37", puis écrit 1,4. Pour les valeurs de $x$, elle fait comprendre qu'il s'agit de "la moitié de la période", mais ne peut préciser davantage.

Franck annonce d'emblée "max $y \approx 1,4$ "min $y = 0$", L'observateur ayant demandé les valeurs de $x$ il répond " $x$ ben, c'est sur R..", puis "apparemment, il y en a plusieurs".

Jean annonce "le maximum c'est 1,4 à peu près, et le minimum 0" mais a plus de mal à énoncer les abscisses de ces points " C'est la période, $\pi$ ". L'observateur ayant demandé les valeurs sur une seule période il annonce "en $x = -1,5$ et 0 en 1,5, et $y = 1,4$ en $x = 0"

Julien, sollicité par l'observateur, déplace le réticule et annonce "y maximum ça vaut environ vers 1,4, et minimum 0". L'observateur ayant demandé les valeurs de $x$ il répond "maximum pour $x = 0, \pi, 2\pi, k\pi$" puis "minimum pour $\pi/2$ on dirait, $k\pi/2$"

Marie est gênée par les maximums multiples. Elle peut seulement énoncer " Ben les maximums c'est chaque..."

Pierre trouve les valeurs exactes des extrémas par recherche sur la courbe en mode trace. "Max en $y = \sqrt{2}$, mini en 0", mais ne donne pas les valeurs de $x$.

Sabine annonce un maximum en $y \approx 1,4$ et $x = 1,5+n\pi$ et un minimum en $y = 0$ et $x = -1,5+n\pi$.
## Preuve

Franck tente une étude en calculant à la machine la dérivée, mais il ne détermine pas d'intervalle d'étude et rencontre des difficultés pour déterminer les zéros de la dérivée.

Jean détermine spontanément l'intervalle d'étude "0 π, ou 2π, non π/2 puisque c'est périodique". Il cherche la dérivée avec la calculatrice et annonce "à cause du signe de - sinus, c'est décroissant...". On ne sait pas s'il a conscience de ce que le sinus n'est pas nécessairement positif. Par la suite, il rencontre beaucoup de difficultés pour déterminer les zéros de la dérivée.

Julien doit être guidé pour restreindre l'intervalle de variations et pour interpréter les zéros de la dérivée donnés par la TI92. Finalement, il graphe la dérivée pour l'étude de signes.

Marie fait une étude de variations. Bien que très guidée par l'observateur, elle rencontre de multiples difficultés : détermination de l'intervalle d'étude, signe de la dérivée... Elle ne sait pas calculer les dérivées sans le formulaire. Ayant utilisé la TI92 pour le calcul des zéros de la

dérivée, elle obtient $x = \frac{@n23\pi}{2}$ qu'elle traduit difficilement en $\frac{k\pi}{2}$.

Les autres élèves n'abordent pas cette justification.

## Comportement de la courbe aux points minimums

Alice déclare "On voit pas trop".

Franck note que "la dérivée, elle est pas définie sur R", mais ne parvient pas davantage à caractériser le comportement de la courbe.

Jean déclare qu'il n'y a pas de tangente "parce que il y en a deux", mais ensuite il a bien du mal à faire la différence avec un minimum classique du type parabole.

Marie "ne voit pas" ce qu'il y a comme tangente.

Ce point n'est pas abordé avec les autres élèves faute de temps.

## Synthèse de l'étude de la fonction,

Dans les conjectures, la périodicité est identifiée dans la classe A, mais elle n'est toujours exprimée par rapport à π, de plus, on peut penser que les réponses 2π données suite aux demandes de précision de l'observateur sont sans doute simplement liées à la présence du cosinus et non le reflet d'un réel raisonnement. Il est aussi intéressant de noter que ce sont Francis et Georges qui subissent le plus l'effet des perturbations prévues, donc deux élèves de très bon niveau en mathématiques, contrastés d'autre part dans leur rapport à la machine. La propriété de parité semble être passée à l'arrière plan des préoccupations dans l'étude des fonctions, tout en restant liée à l'idée de symétrie par rapport à l'axe Oy et nous avons été étonnés par l'importance des oublis à ce niveau.

En revanche, dans la classe B la parité est mieux vue sur le graphe que la périodicité, grâce sans doute à l'expérience des fonctions polynômes ou rationnelles. Pour Julien et Alice la périodicité n'est pas visible sur le graphique. Pour Marie, Sabine et Jean, elle ne vient pas facilement et le repérage de la valeur de la période est laborieux. Il faut souvent une incitation de l'observateur pour que la valeur symbolique soit induite des valeurs approchées repérées sur le graphique. Franck et Pierre sont les plus à l'aise.
Dans les deux classes, la variation est correctement lue, ce qui semble naturel, mais on ne note pas le souci en général d'aller au delà des valeurs approchées fournies dans la fenêtre graphique. Le recours aux commandes *Maximum* et *Minimum* du menu *F5* est fréquent et l'on peut se demander si, pour certains élèves, il n'y a pas l'idée que ces commandes spécifiques fournissent des valeurs exactes à la différence des valeurs trouvées par exploration dans [TABLE]. Les élèves sont très mal à l'aise pour exprimer les valeurs de x pour lesquelles $f(x)$ est maximum (resp. minimum). Dans la classe B, seul Julien maîtrise suffisamment le langage des fonctions trigonométriques pour exprimer correctement les valeurs de x pour lesquelles $f(x)$ est maximum. Il tente d'utiliser le même langage pour les valeurs de x pour lesquelles $f(x)$ est minimum, mais sa réponse est erronée (k $\pi/2$ au lieu de $\pi/2+k\pi$).

Enfin, soulignons l'absence de reconnaissance graphique de la non dérivabilité au point anguleux. Certains élèves affirment qu'il y a dérivabilité parce qu'en gros c'est une bonne fonction partout définie, qui ne saute pas. D'autres voient bien qu'il se passe quelque chose de différent, mais ne font pas le rapport avec d'autres fonctions ayant le même comportement (p. ex. $abs(x)$).

Pour la preuve de la périodicité, le choix majoritaire dans la classe A est le travail P/C comme dans la stratégie standard énoncée ci-dessus. Ceci, comme les conduites au contrôle, nous incite à penser que les élèves ont pris conscience des limites de la machine dans ce domaine et de la difficulté de la piloter efficacement et ne cherchent vraiment pas à bien l'instrumenter dans ce domaine. Il n'est d'ailleurs pas surprenant que ce soit Gérard qui arrive à se débrouiller pour faire produire le résultat à la machine. Les difficultés rencontrées avec la caractérisation algébrique de la parité chez plusieurs élèves confirment d'autre part ce qui était apparu dans la phase de conjectures.

Dans la classe B, les élèves tentent d'utiliser la TI92, avec peu de succès. L'expression algébrique de la périodicité est disponible pour peu d'élèves (Jean, Pierre). De plus, la TI92 n'apporte pas une aide décisive pour la justification. Le raisonnement à partir de la périodicité de cosinus et sinus fonctionne mieux. Peu d'élèves abordent la justification de la parité.

En ce qui concerne la justification du sens de variation, on ne peut que noter la forte déstabilisation liée à la complexité de l'expression à gérer. Sur ce plan, les différences avec l'entretien 2 et avec le contrôle spécifique sont manifestes. La stratégie standard qui semblait en place : définition de la dérivée, recherche des zéros par *Solve*, *Factor* ou *Zeros*, n'est utilisée dans la classe A que par Georges tandis que Serge et Gérard en reviennent à [TABLE] pour l'étude des variations. Ceux qui finalement vont le plus loin de façon autonome, dépassant la seule lecture graphique, sont ceux qui utilisent le principe d'alternance. Le travail sur la dérivée, même s'il n'aboutit pas, conduit souvent à la reconnaissance de la non-dérivabilité algébrique aux minimums, mais on notera la difficulté que les élèves rencontrent à articuler ici le point de vue algébrique et le point de vue graphique et la faible sensibilité aux incohérences. Dans la classe B, seul Jean détermine spontanément l'intervalle d'étude. L'étude de variations nécessite pour tous les élèves de cette classe abordant cette question, un guidage important de la part de l'observateur. La TI92 est utilisée pour le calcul de la dérivée et pour ses zéros. La recherche des zéros sur R donne un résultat paradoxal, puis que la TI92 annonce que la dérivée s'annule en $\frac{k\pi}{2}$, alors qu'elle n'est pas définie pour les $\pi/2+k\pi$.
Enfin, la mise en relation avec la fonction $\sqrt{2} \cos$ même aidée, dépasse visiblement les compétences de presque tous les élèves et les tentatives de liaison font apparaître les difficultés que rencontrent toujours les élèves avec la notion de valeur absolue.

## Partie 3 : Utilisation en contrôle commun (classe A seule)

Ce contrôle, pour la partie analyse, comportait deux exercices. Le premier concernait l'étude de la suite définie par : $u_1 = 9/2$ et $u_{n+1} = -3u_n + 2$ pour tout $n>0$. On demandait successivement de calculer les quatre premiers termes, de déterminer si la suite était ou non arithmétique ou géométrique, puis on se ramenait classiquement à une suite géométrique en posant $v_n = u_n - 1/2$ et on en déduisait l'expression de $u_n$ en fonction de n ainsi que la valeur de $u_0 + u_1 + ... + u_n$. L'exercice se terminait par une application numérique ($n = 10$). Le second exercice concernait l'étude de la fonction trigonométrique $f(x) = \cos2x + 2\sin x + 3$.

La moyenne de la classe à ce contrôle, en incluant donc le troisième exercice portant sur la géométrie est de 10.3.