CAHIERS ECO & MATHS

98.06

INEGALITES ET MOBILITE DU CAPITAL DANS
LE MODELE NEO-CLASSIQUE A HORIZON INFINI

Charles VELLUTINI

MAD
# Inégalités et mobilité du capital dans le modèle néo-classique à horizon infini

Charles Vellutini*

21 janvier 1998

## Résumé

Dans un modèle de croissance néo-classique à deux pays et à horizon infini, on étudie les conséquences sociales de la mobilité internationale du capital. En rendant hétérogènes les dotations initiales des ménages dans chaque pays, on établit que le comportement optimal d'épargne, conjugué à la mobilité du capital, induit des dynamiques de la distribution du patrimoine et du revenu contraires: alors que les inégalités de revenu augmentent, la distribution du patrimoine se déconcentre. Les données disponibles fournissent des exemples d'une telle opposition. Deuxièmement, on illustre numériquement l'effet inégalitaire de la mobilité du capital sur le bien-être des ménages, ainsi que les difficultés de la redistribution des revenus à rendre l'intégration internationale bénéfique pour tous. **Mots-clé:** inégalités, mobilité du capital, croissance

## Abstract

In a two-country neoclassical infinite horizon model, we explore the social consequences of international capital mobility. By making initial conditions heterogeneous within each country, it is shown that optimal savings behavior together with capital mobility leads to opposite dynamics in respectively household wealth and income: while inequalities in income increase, wealth becomes more equally distributed. Available data provide examples of this opposition. We illustrate numerically the unequal effect of capital mobility on welfare among households. We also illustrate the fact that policies of revenue redistribution - as opposed to wealth redistribution - may well be ineffective in rendering international integration beneficial to all. **Key words:** inequalities, capital mobility, growth

<footnote>*MAD, Univ. de Paris I, 106-112, bld de l'Hôpital - 75647 Paris Cedex 13 <vellutin@club-internet.fr>. Je remercie A. d'Autume et J. Glachant pour leurs commentaires et suggestions.</footnote>
# 1. Introduction

Cette note se propose de montrer que toutes les implications sociales du modèle néo-classique à horizon infini n'ont pas été explorées. Dans un monde à deux pays où l'on autorise le capital à migrer vers les rendements les plus élevés, l'introduction de dotations initiales en patrimoine hétérogènes permet de lever le voile de la représentation d'une économie nationale par un ménage unique – auquel bénéficiera immanquablement l'intégration internationale, tant dans les pays richement dotés en capital que dans les pays relativement pauvres. On peut alors analyser les intérêts particuliers, voire antagonistes, des ménages au sein de chaque pays, chacun selon son patrimoine initial.

La principale question théorique à laquelle le modèle contribue est celle de la relation entre mondialisation et dynamique des inégalités, dans le cadre du modèle néo-classique à horizon infini : la mobilité des capitaux ajoute-t-elle aux inégalités, ou au contraire les réduit-elle ? Nous concentrerons notre attention sur les inégalités dans le pays le plus riche, suivant en cela les préoccupations actuelles du débat sur le retournement de la courbe de Kuznets : pourquoi, après une longue période durant laquelle les inégalités de revenu se sont réduites dans les pays industriels, augmentent-elles de nouveau ?

Les réponses fournies par le modèle sont les suivantes. Premièrement, outre l'accroissement des inégalités de revenu, le modèle génère sous certaines conditions la prédiction peut-être plus surprenante d'une déconcentration du patrimoine parmi les ménages. Cette déconcentration est le fruit de la combinaison de la migration du capital - qui projettera le pays riche dans une nouvelle phase de transition - et du comportement optimal d'épargne des ménages - chacun selon sa dotation initiale. Alors qu'à l'équilibre stationnaire le patrimoine de chaque ménage est figé, on montre que dans une économie munie d'un processus de production Cobb-Douglas les moins dotés auront tendance, pendant la transition, à accumuler plus vite que les ménages les plus riches. Ce résultat vaut également pour le modèle en autarcie. Ce qui compte dans ce phénomène égalisateur, c'est que l'économie soit au-dessous de l'état stationnaire ; ici, l'ouverture du compte de capital projette l'économie riche dans une nouvelle phase de transition et provoque cet effet.

L'apparent paradoxe que constitue cette dynamique contraire du patrimoine et du revenu devient facilement compréhensible dès lors que l'on distingue les deux effets en jeu dans le modèle: (i) le patrimoine et donc les revenus patrimoniaux deviennent mieux répartis, on l'a vu; (ii) simultanément ces revenus patrimoniaux, qui demeurent malgré tout beaucoup plus inégalitaires que les revenus du travail, prennent plus de poids dans le revenu total des ménages. On comprend que le deuxième effet puisse être plus fort, et au total les revenus deviennent
plus inégalitaires, alors même que le patrimoine devient mieux réparti. On donne quelques point de repères empiriques confirmant l'existence d'exemples de cette dynamique en sens inverse, et où apparaît une augmentation du poids des revenus patrimoniaux.

Deuxièmement, des simulations numériques détaillées permettent d'aborder le problème sous l'angle du bien-être. Ce complément est utile car on sait que dans ce type de modèle dynamique la richesse et le bien-être ne vont pas nécessairement de pair. Ces simulations suggèrent qu'une inégalité même modérée des dotations initiales entre ménages d'un même pays conduit à l'apparition de "perdants" de l'intégration internationale. Concernant le rôle régulateur de l'Etat, elles illustrent le résultat classique qu'une politique de redistribution des revenus ne pourra que très difficilement rendre l'ouverture (ici du compte de capital) acceptable pour tous, parce qu'elle introduit une distorsion dans l'environnement incitatif des ménages (ici, elle décourage l'accumulation du capital physique) et rend ainsi l'économie agrégée moins efficace. Seule une redistribution des dotations initiales, parce qu'elle évite cet effet désincitatif, permet à coup sûr de rendre la mobilité du capital bénéfique pour tous les ménages.

Après un rapide rappel du contexte de cette étude, nous présentons l'analyse de la dynamique des distributions, puis les simulations numériques du bien-être.

## 2. Contexte

Le débat sur les causes de la résurgence des inégalités de revenu dans les pays avancés est loin d'être tranché. Aux partisans du progrès technique biaisé continuent de répondre les tenants de l'explication internationaliste. Rodrik [1997] propose une récapitulation du débat en concluant qu'il est probablement erroné de considérer la mondialisation de l'économie comme une cause secondaire de la montée des inégalités de revenu. Un des arguments, très intuitif, repris par Rodrik est celui de Wood [1994], qui met en question la séparation causale entre progrès technique et mondialisation. Wood [1994] montre que les changements techniques visant à économiser des coûts de main d'oeuvre pourraient tout simplement être des réponses au commerce international avec les pays à bas salaires. Dans la même direction, Borjas et Ramey [1995] suggèrent que les secteurs à imperfections de marché, touchés par la concurrence internationale, devront réduire leurs emplois. Mais ces secteurs offrent, à cause de la concentration de la production dans quelques entreprises seulement, des salaires plus élevés que la moyenne. La concurrence étrangère signifie que des travailleurs devront chercher un emploi dans des secteurs moins rémunérateurs.

Notre modèle s'inscrit bien entendu dans le cadre de l'explication internationaliste des inégalités de revenu. Il est fondé sur la distribution initiale inégalitaire
du patrimoine et la délocalisation du capital physique vers les pays émergents, dans le traitement dynamique du modèle de croissance néo-classique à optimisation intertemporelle. Le phénomène que nous cherchons à analyser doit être vu comme complémentaire de ceux étudiés par Wood & Borjas et Ramey.

Comment le modèle se situe-t-il vis-à-vis des modèles de commerce international, dont les prédictions en matière de distribution des revenus sont bien établies ?

¹ Ventura [1997] remarque qu’à chaque période un modèle de mobilité internationale du capital avec deux facteurs de production est équivalent à un modèle de commerce international avec deux secteurs dans chaque pays (un secteur correspondant à un bien) – avec des intensités factorielles différentes pour chaque facteur et ce tant qu’il n’y a pas spécialisation d’un des deux pays. En effet, par les biens, c’est en substance des facteurs de production qui sont échangés. A chaque instant, le modèle est en somme équivalent au modèle canonique du commerce international, le modèle de Heckscher-Olhin-Samuelson, sans spécialisation toutefois. Une conséquence de cette équivalence est que les résultats du modèle peuvent être interprétés à la fois comme provenant des flux de capital vers les pays à bas salaires et du commerce de biens avec ces pays. La formulation en termes de mobilité du capital présente l’avantage considérable de placer le problème dans un cadre dynamique où l’on pourra étudier l’accumulation de ce facteur selon les méthodes habituelles du modèle de croissance néo-classique à la Cass-Koopmans.<fnref n="2" /> Les effets des échanges internationaux sur les distributions de patrimoine et de revenus pourront ainsi être décomposés au cours du temps, avec notamment la prise en compte des effets transitionnels qui, dans un modèle d’utilité intertemporelle, peuvent modifier les effets constatés à l’équilibre stationnaire. De plus, et cet avantage est décisif compte tenu de nos objectifs, un modèle dynamique est naturellement mieux adapté à l’étude de la déformation des distributions de revenu et de patrimoine dans le temps.

### 3. Dynamique des distributions

La structure de base du modèle est celle utilisée dans Vellutini [1997]. Il s’agit d’un modèle d’équilibre général à bien unique et à deux pays, chacun étant muni de la même fonction de production néo-classique. Tous les ménages ont les mêmes préférences et maximisent leur utilité sur un horizon de prévision infini. Avant l’instant zéro, les deux pays sont chacun en autarcie. Le pays 1, qui représentera le bloc des pays avancés, a alors déjà atteint l’équilibre stationnaire. Le pays 2, qui représente les pays pauvres, est toujours en période de transition, avec par

<footnote n="1">¹Voir par exemple Krugman et Obstfeld [1997], chapitre 5.</footnote>

<footnote n="2">²Avec d'autres objectifs de recherche que les nôtres, Ventura [1997] combine commerce international et accumulation du capital.</footnote>
conséquent un stock de capital national inférieur :

$$k_2^{\text{aut}}(0) < k_1^{\text{aut}}(0) = k^* \quad (3.1)$$

où $k_1^{\text{aut}}(0)$ et $k_2^{\text{aut}}(0)$ sont respectivement les stocks de capital des pays 1 et 2 au moment précédant immédiatement la libéralisation du compte de capital ; $k^*$ est le stock de capital de l'économie en équilibre stationnaire d'autarcie. Compte tenu des rendements décroissants de la technologie néo-classique, on aura au temps zéro une délocalisation massive du capital, attiré par les rendements plus élevés du pays 2.<fnref n="3" />

## 3.1. Les ménages

Dans chaque pays $i$ on considère une population continue de ménages $J = [0, 1]$. Chaque ménage $ij$ ($i = 1, 2$ et $j \in J$) possède une unité de travail, fournie inélastiquement à chaque instant aux firmes nationales. La force de travail de chaque pays, égale à sa population, est donc normalisée à l'unité. La seule source d'hétérogénéité des ménages provient de leurs dotations initiales. Dans chaque pays, le patrimoine initial est réparti selon une fonction de densité $g_i(p)$ ($g_i(p)$ est la fraction de la population possédant le patrimoine $p$). Le patrimoine total de chaque pays (aussi égal au patrimoine moyen) est donc :

$$p_i = \int p g_i(p) dp \quad (3.2)$$

Chaque ménage optimise son chemin de consommation/épargne selon les préférences habituelles :

$$U_{ij} = \int_{0}^{\infty} \frac{c_{ij}^{1-\theta}(t) - 1}{1 - \theta} e^{-\rho t} dt \quad (3.3)$$

où $c_{ij}(t)$ est la consommation instantanée, $\rho > 0$ le taux de préférence pour le présent et $\theta$ l'indice de préférence pour le lissage intertemporel de la consommation.

Le ménage $j$ du pays 1 maximise (3.3) sous les contraintes :

$$\dot{p}_{1j} = w_1 + r_1 (p_{1j} - b_{1j}) + r_2 b_{1j} - c_{1j} \quad (3.4a)$$

$$\dot{b}_{1j} = i_{1j} \quad (3.4b)$$

<footnote n="3">³On négligera les imperfections de la mobilité du capital découlant de l'irréversibilité de l'investissement ou encore des coûts d'ajustement. Ces aspects ne sont pas essentiels pour la problématique choisie et ne feraient qu'amortir les effets de la mobilité du capital.</footnote>
La quantité $p_{1j}$ est le patrimoine total du ménage $1j$, qu'il soit détenu sur son territoire national ou dans le pays 2. La quantité $b_{1j}$ représente la part de patrimoine du ménage $1j$ détenue dans le pays 2. La variable $i_{1j}$ est donc le flux d'investissement étranger.<fnref n="4" /> Le salaire en vigueur dans le pays 1 est $w_1$, alors que $r_1$ et $r_2$ sont respectivement les taux de loyer du capital dans les pays 1 et 2.

Le ménage $j$ du pays 2 maximise (3.3) sous la contrainte

$$ \dot{p}_{2j} = w_2 + r_2 p_{2j} - c_{2j} \quad (3.5) $$

Dans cette formulation, il est implicitement impossible pour les ménages du pays 2 d'investir dans le pays 1. Compte tenu de la condition initiale (3.1), ceci n'implique aucune perte de généralité. Il serait aisé de montrer dans une spécification où l'investissement international serait possible dans les deux sens qu'il ne peut jamais être optimal pour les ménages du pays 2 – qui offrira toujours des rendements du capital supérieurs ou égaux à ceux du pays 1 - d'investir à l'étranger.

La somme des contraintes des ménages du pays 1 donnera les lois d'évolution (3.6) et (3.7). De la même manière, on obtient (3.8).<fnref n="5" />

$$ \dot{p}_1 = w_1 + r_1 p_1 - c_1 \quad (3.6) $$

$$ \dot{b}_1 = i_1 \quad (3.7) $$

$$ \dot{p}_2 = w_2 + r_2 p_2 - c_2 \quad (3.8) $$

Le problème de maximisation des ménages du pays 1 donne la relation :

$$ \frac{\dot{c}_{1j}}{c_{1j}} = \frac{1}{\theta} (r_1 - \rho) \quad (3.9) $$

Cette condition indique que tous les ménages du pays 1 feront croître leur consommation au même taux, ce qui n'est guère surprenant en l'absence de consommation de subsistance ou encore d'effort de travail endogène - et avec la même préférence pour le présent. Remarquons d'ores et déjà que, à l'inverse du comportement des modèles de croissance endogène à "chemins équilibrés"<fnref n="6" />, cette condition n'implique aucunement que les ménages accumuleront du patrimoine au même taux à tout instant. Cela ne sera vrai qu'à l'équilibre stationnaire. Nous verrons que pendant la transition le comportement du taux d'épargne est complexe et c'est

<footnote n="4">⁴Les quantités $b_{1j}$ et $i_{1j}$ peuvent aussi s'interpréter comme respectivement le stock de prêts accordés au pays 2 et le flux de prêts nouveaux (voir D'Autume [1996]).</footnote>

<footnote n="5">⁵Dans l'agrégation des contraintes on a utilisé la propriété de régularité de la fonction $f(x_{ij}) = x_{ij}$, qui nous permet d'écrire pour toute variable $x_{ij}$ : $\int \frac{dx_{ij}}{dt} dj = \frac{d}{dt} \int x_{ij} dj = \frac{dx_{ij}}{dt}$</footnote>

<footnote n="6">⁶Par exemple celui de Alesina et Rodrik [1992], dont il sera question dans la partie suivante.</footnote>
précisément cela qui rendra la dynamique de la distribution intéressante. La relation (3.9) facilite cependant beaucoup la résolution du problème puisque l'on peut écrire en agrégé :

$$ \frac{\dot{c}_1}{c_1} = \frac{1}{\theta} (r_1 - \rho) \qquad (3.10) $$

où $c_1$ est la consommation agrégée du pays 1 ($c_i \equiv \int_0^1 c_{1j} dj$). De manière entièrement symétrique, on obtient :

$$ \frac{\dot{c}_2}{c_2} = \frac{1}{\theta} (r_2 - \rho) \qquad (3.11) $$

La mobilité parfaite du capital offre des opportunités d'arbitrage conduisant à la condition :

$$ r_1 = r_2 \qquad (3.12) $$

## 3.2. Les firmes

Le côté offre de l'économie s'écrit, $Y_i$ étant le PIB du pays $i$ ($\forall i$) :

$$ Y_i = F(K_i, L_i) \qquad (3.13) $$

où $F(\cdot)$ est une fonction de production néo-classique satisfaisant aux conditions de dérivabilité et de concavité habituelles, ainsi qu'aux conditions d'Inada. $K_i$ est le capital intérieur agrégé du pays $i$, et $L_i$ sa population. Nous noterons comme de coutume la fonction de production intensive $f(k_i) = F(K_i, 1)$, où $k_i = \frac{K_i}{L_i}$. Compte tenu de la normalisation de la population à l'unité, nous avons ici $k_i = K_i$. Dans la suite, toutes les variables sont écrites en termes *per capita*. Il est utile d'écrire les égalités découlant de nos définitions de stocks, pour clarifier les liens entre d'une part les quantités de capital intérieur ($k_i$), à la disposition des firmes du pays comme facteur de production, et d'autre part les patrimoines agrégés des ménages de chaque pays ($p_i$). Le capital intérieur du pays 2 est composé du patrimoine des ménages du pays 2 et de la partie extérieure du patrimoine des ménages du pays 1 :

$$ k_2 = p_2 + b \qquad (3.14) $$

De même :

$$ k_1 = p_1 - b \qquad (3.15) $$

La maximisation statique du profit par les firmes, jointe aux conditions d'équilibre des marchés donne :

$$ r_1 = f'(k_1); r_2 = f'(k_2) \qquad (3.16) $$

$$ w_1 = f(k_1) - k_1 f'(k_1); w_2 = f(k_2) - k_2 f'(k_2) \qquad (3.17) $$
La relation (3.16), avec la condition d'arbitrage (3.12), indique bien que les stocks de capital agrégés doivent être égaux dès l'ouverture du compte de capital. Du fait de la condition initiale (3.1), il y aura bien migration massive du capital vers le pays 2 à l'instant zéro.

### 3.3. Résolution du modèle

Le modèle est résolu en trois étapes. On résout tout d'abord le modèle "mondial" suivant :

$$ \frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\theta} (f'(k_1) - \rho) \qquad (3.18a) $$

$$ \dot{k}_1 = f(k_1) - c/2 \qquad (3.18b) $$

$$ \lim_{t \to \infty} c^{-\theta} k_1 e^{-\rho t} = 0 \qquad (3.18c) $$

$$ k_1(0) = \frac{k^* + k_2^{\text{aut}}(0)}{2} \qquad (3.18d) $$

où $c$ est la consommation mondiale ($c \equiv c_1 + c_2$); l'équation (3.18a) provient directement de (3.10) et (3.11). L'équation (3.18b) est obtenue à partir de (3.6), (3.7) et (3.15). La condition terminale agrégée (3.18c) est, elle, une conséquence des conditions de transversalité que l'impose implicitement à chaque ménage. Enfin, la condition initiale (3.18d) est une conséquence de (3.1) et de la condition d'arbitrage (3.12). On s'est ainsi ramené à un problème qui ressemble fort à celui d'autarcie, ce qui est normal puisqu'une économie mondiale composée d'économies ouvertes n'en est pas moins en autarcie, et se résout donc de la même manière (voir par exemple Barro et Sala-I-Martin [1995]). Il admet un équilibre stationnaire en point-selle et peut être simulé numériquement. L'équilibre stationnaire du modèle mondial est décrit par $f'(k^*) = \rho + \tau$ et $c^* = 2f(k^*)$.

Dans une seconde étape de calcul, on calculera la constante de partage de la consommation mondiale entre les deux pays,<fnref n="7" /> ce qui, en plus des trajectoires des consommations nationales agrégées, nous permettra de calculer la trajectoire du patrimoine extérieur $b$. La formule utilisée pour le calcul de la constante de partage, définie comme $m \equiv \frac{c_1}{c}$, est la suivante :

$$ m \int_{0}^{\infty} c(v) e^{-R(v)} dv = \int_{0}^{\infty} (f(k_{1}(v)) - \dot{k}_{1}(v)) e^{-R(v)} dv + b(0) \qquad (3.19) $$

où $R(v)$ est le facteur moyen d'actualisation :

$$ R(v) = \int_{0}^{v} f'(k_{1}(s)) ds $$

<footnote n="7">⁷Les relations (3.10) et (3.11) indiquent bien que les consommations restent dans un rapport constant.</footnote>
L'équation (3.19) est simplement la contrainte budgétaire intertemporelle du pays 1: il est nécessaire que la valeur actualisée de la consommation future soit égale à la valeur actualisée de la production future nette du pays 1 (soit après déduction de l'investissement $\dot{k}_1$), plus l'actif net étranger initial. Cette formule est opérationnelle, les trajectoires complètes des variables $k_1$ et $c$ étant connues après la résolution du modèle mondial. Quant à $b(0)$, cette quantité est connue grâce aux conditions initiales du problème. L'ajustement instantané des stocks de capital à l'ouverture donne en effet :

$$b(0) = \frac{k^* - k_2^{aut}(0)}{2} \qquad (3.20)$$

Notons aussi que la trajectoire de $b$, dont nous n'aurons besoin que dans la partie suivante, est donnée par l'équation différentielle (dérivée de (3.6), (3.8) et (3.15)):

$$\dot{b} = b f'(k_1) - c(m - 1/2) \qquad (3.21)$$

La description de l'équilibre stationnaire des variables nationales est complétée par la relation $b^* = \frac{c^*(m-1/2)}{\rho+\tau}$.

Troisièmement, après le calcul du modèle mondial et la séparation des consommations entre les deux pays, la séparation de la consommation nationale de chaque ménage atomiste se fait de la même manière en utilisant sa contrainte budgétaire intertemporelle, en posant $q_{1j} \equiv \frac{c_{1j}}{c_1}$ (dans le cas du pays 1):

$$q_{1j}m \int_{0}^{\infty} c(v)e^{-R(v)}dv = \int_{0}^{\infty} w_{1}(v)e^{-R(v)}dv + p_{1j}(0) \qquad (3.22)$$

De nouveau, cette formule est opérationnelle; la trajectoire de la variable $k_1$ nous donne celle de $w_1$ (relation (3.17)).

## 3.4. Equilibre stationnaire et mobilité sociale

Notre exercice consiste essentiellement à comparer une situation d'autarcie où le pays riche a atteint l'équilibre stationnaire à une situation où ce pays est de nouveau projeté, à cause de l'ouverture de nouvelles opportunités d'investissement, dans une phase de transition avec croissance. Il est donc intéressant pour cette comparaison de se demander au préalable comment les inégalités évoluent dans un régime d'équilibre stationnaire. La réponse est simple: dans le modèle néo-classique de croissance, équilibre stationnaire est synonyme d'absence complète de mobilité sociale. On remarque que les relations (3.9) et (3.18a), qui sont valables en autarcie comme sous mobilité du capital, impliquent que les consommations individuelles des ménages, tout comme la consommation agrégée, seront
constantes à l'équilibre stationnaire. La contrainte (3.4a) s'écrit alors à l'équilibre stationnaire :

$$ \dot{p}_{1j} = w^* + \rho p_{1j} - c_{1j}^* \quad (3.23) $$

où $w^*$ est le salaire à l'équilibre stationnaire et $c_{1j}^* = q_{1j}c_1^*$ est la part de la consommation nationale revenant au ménage $1j$, à l'équilibre stationnaire. La figure (3.1) donne une représentation dans le plan de cette équation différentielle en $p_{1j}$.

On voit à l'évidence que cette dynamique à l'équilibre stationnaire impose un $p_{1j}$ constant, car à défaut le patrimoine du ménage quelconque $j$ tendrait nécessairement vers plus ou moins l'infini au taux $\rho$, ce qui n'est pas compatible avec la finitude du patrimoine agrégé et une condition de transversalité imposée à chaque ménage.<fnref n="8" /> A l'équilibre stationnaire la distribution du patrimoine est donc définitivement figée. Seule la croissance, c'est-à-dire la transition, est compatible avec une recomposition de la distribution du patrimoine. A l'équilibre stationnaire, avec ou sans mobilité du capital, le patrimoine du ménage $1j$ s'écrit :

$$ p_{1j}^* = \frac{1}{\rho} (c_{1j}^* - w^*) \quad (3.24) $$

Comme le garantit la relation (3.22), qui donne la valeur de la constante $q_{1j}$ et donc $c_{1j}^*$, la part $p_{1j}^*$ du ménage $1j$ dépend naturellement de sa dotation initiale. L'équation (3.24) indique simplement que la valeur du patrimoine de chaque ménage à l'équilibre stationnaire est égal à la somme du flux actualisé de ses revenus patrimoniaux.

## 3.5. Dynamique de la distribution du patrimoine

Dans ce modèle à optimisation intertemporelle de la consommation/épargne et à effort de travail fixe, on cherche à isoler l'influence du taux d'épargne sur la déformation de la distribution de patrimoine. Nous allons voir que la trajectoire du taux d'épargne pendant la transition est individuelle à chaque ménage, en fonction de sa dotation initiale; c'est cette influence qui produira une déformation de la distribution de la richesse pendant la transition. Nous nous concentrons dans un premier temps (lemme 1 et proposition 1) sur une fonction de production Cobb-Douglas, qui permet d'obtenir des résultats bien caractérisés du comportement du taux d'épargne et donc de la dynamique de la distribution du patrimoine. Après l'exposition d'un lemme utile pour la suite de l'analyse, nous montrons que

<footnote n="8">⁸A supposer que l'accumulation infinie d'avoirs par certains agents puisse avoir pour contrepartie exacte l'endettement infini d'autres agents, respectant ainsi la finitude du patrimoine agrégé, on voit malgré tout par (3.23) que la dette des agents débiteurs croîtrait asymptotiquement au taux d'intérêt d'équilibre stationnaire $\rho$, violant ainsi leurs conditions de transversalité.</footnote>
<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Figure 3.1: Comportement de $p_{1j}$ à l'équilibre stationnaire</figcaption></figure>

la période de transition s'accompagne d'un mouvement de déconcentration du patrimoine.

**Lemme 1.** On suppose que les deux pays sont munis d'une fonction de production Cobb-Douglas selon la forme (3.39). Soit le taux de consommation sur production intérieure $z \equiv c_1/f(k_1)$ et son taux de croissance $\gamma_z = \frac{\dot{z}}{z}$. On a :

$$ \forall t \ge 0, \gamma_z(t) > 0 \qquad (3.25) $$

*Preuve.* La preuve est donnée en annexe. ■

**Proposition 1.** Une économie où les pays 1 et 2 sont munis d'une fonction de production Cobb-Douglas vérifie

$$ \forall (a, b) \in J \times J \text{ et } \forall t \ge 0, p_{1a}(t) > p_{1b}(t) \implies \frac{\dot{p}_{1a}(t)}{p_{1a}(t)} < \frac{\dot{p}_{1b}(t)}{p_{1b}(t)} \qquad (3.26) $$

*Preuve.* Commençons par montrer que la propriété est vraie pour $t = 0$. Nous écrivons pour cela une expression de $c_{1j}(0)$ en fonction de la richesse totale et de la propension à consommer :

$$ c_{1j}(0) = \mu(0) (p_{1j}(0) + \tilde{w}(0)) \qquad (3.27) $$

où $\mu(0) = 1/\int_0^\infty e^{R(t)(1-\theta)/\theta-t(\rho/\theta)}dt$ est la propension à consommer la richesse totale au temps zéro et $\tilde{w}(0) = \int_0^\infty w_1(v)e^{-R(v)}dv$ est la richesse "humaine" initiale,
c'est-à-dire le flux actualisé des salaires futurs. La relation (3.27) est tirée de la contrainte intertemporelle (3.22) et de l'expression $c_{1j}(t) = c_{1j}(0)e^{(R(t)-t\rho)/\theta}$, provenant de (3.9). On remplace $c_{1j}(0)$ dans (3.4a) écrite au temps zéro pour obtenir

$$ \frac{\dot{p}_{1j}(0)}{p_{1j}(0)} = \frac{w_1(0) - \mu(0)\tilde{w}(0)}{p_{1j}(0)} + r_1(0) - \mu(0) $$

On voit dans cette expression que les coefficients $w_1(0)$, $\mu(0)$, $\tilde{w}(0)$ et $r_1(0)$ sont indépendants de la dotation initiale du ménage 1j. En notant $\gamma_{p_{1j}} = \frac{\dot{p}_{1j}(0)}{p_{1j}(0)}$, on peut donc écrire

$$ \frac{d\gamma_{p_{1j}}}{dp_{1j}(0)} = -\frac{w_1(0) - \mu(0)\tilde{w}(0)}{(p_{1j}(0))^2} $$

L'effet égalisateur du comportement d'épargne au temps zéro dépendra donc entièrement du signe de $w_1(0) - \mu(0)\tilde{w}(0)$, y compris pour les ménages dotés d'un patrimoine initial négatif. Il suffit de montrer que $w_1(0) - \mu(0)\tilde{w}(0)$ est positif pour établir la propriété (3.26) pour $t = 0$. Ecrivons cette quantité explicitement (en utilisant les expressions de $\mu(0)$ et de $\tilde{w}(0)$):

$$ w_1(0) - \mu(0)\tilde{w}(0) = \frac{\int_0^\infty \left( w_1(0)e^{R(t)(1-\theta)/\theta - t(\rho/\theta)} - w(t)e^{-R(t)} \right) dt}{\int_0^\infty e^{R(t)(1-\theta)/\theta - t(\rho/\theta)} dt} \quad (3.28) $$

Montrons par l'absurde que $w_1(0) - \mu(0)\tilde{w}(0) \ge 0$. L'inégalité $w_1(0) - \mu(0)\tilde{w}(0) < 0$ imposerait qu'il existe un intervalle de temps durant lequel $w(t) > w_1(0)e^{R(t)/\theta - t(\rho/\theta)}$, ce qui imposerait qu'il existe un autre intervalle de temps durant lequel

$$ \frac{\dot{w}_1}{w_1} > e^{R(t)/\theta - t(\rho/\theta)} = \frac{\dot{c}_1}{c_1} \quad (3.29) $$

Mais le lemme 1 nous informe que $\forall t \ge 0$, $\frac{\dot{z}(t)}{z(t)} = \frac{\dot{c}_1(t)}{c_1(t)} - \alpha \frac{\dot{k}_1(t)}{k_1(t)} > 0$, où $\alpha$ est la part du capital dans le revenu total de la fonction Cobb-Douglas (voir (3.39)). De plus, toujours avec une fonction de production Cobb-Douglas, on peut écrire $\frac{\dot{w}(t)}{w(t)} = \alpha \frac{\dot{k}_1(t)}{k_1(t)}$. On a donc $\frac{\dot{c}_1(t)}{c_1(t)} > \frac{\dot{w}(t)}{w(t)}$, $\forall t \ge 0$, ce qui contredit (3.29). On conclut que la propriété est vraie pour $t = 0$.

L'extension à un $t$ positif quelconque repose sur la propriété de récursivité du problème de maximisation des ménages dans le modèle néo-classique à horizon infini : à chaque instant $t$, si un ménage quelconque avait le loisir de choisir de nouveau sa trajectoire de consommation/épargne avec cette fois-ci le patrimoine accumulé jusqu'à cet instant, il choisirait exactement le reste de la trajectoire déjà choisie au temps zéro. Il s'ensuit que l'on peut considérer les dotations en patrimoine des ménages à chaque instant comme les dotations initiales d'un nouveau problème de maximisation, sans modification des trajectoires ultérieures. La démonstration faite pour $t = 0$ s'applique donc pour tout $t \ge 0$. ■
**Corollaire 1.** Une économie où les pays 1 et 2 sont munis d'une fonction de production Cobb-Douglas vérifie

$$ \forall (a, b) \in J \times J, p_{1a}(0) > p_{1b}(0) > 0 \implies \frac{p_{1a}^*}{p_{1b}^*} \le \frac{p_{1a}(0)}{p_{1b}(0)} $$

*Preuve.* Le corollaire découle directement de la proposition 1, en notant qu'il est impossible que les trajectoires temporelles des stocks de patrimoine de deux ménages quelconques *a* et *b* se croisent, en raison de l'unicité de la solution du problème de maximisation intertemporel de chaque ménage. ■

La proposition 1 et son corollaire montrent que le patrimoine du pays 1 se déconcentre monotoniquement durant toute la phase de transition, pour aboutir à une répartition plus égalitaire du patrimoine, quelle que soit la distribution de départ: tout écart entre deux stocks de patrimoine au temps zéro sera moindre à l'équilibre stationnaire. On aura noté de plus que les preuves de la proposition 1 et de son corollaire sont également valides pour une économie en autarcie.

La logique économique sous-jacente du comportement d'accumulation pendant la transition est fondée sur la propriété d'homothétie des préférences définies en (3.3). Des préférences homothétiques impliquent que tout ménage consommera la même part de sa richesse totale<fnref n="9" /> à chaque période et que donc le taux de croissance de la richesse totale sera identique pour tous les ménages. Pour voir cela au temps zéro, il suffit de tirer de l'équation (3.27) une expression du taux de croissance de la richesse totale :

$$ \frac{\dot{p}_{1j}(0) + d(\tilde{w}(0))/dt}{p_{1j}(0) + \tilde{w}(0)} = \frac{\dot{c}_{1j}(0)}{c_{1j}(0)} - \frac{\dot{\mu}(0)}{\mu(0)} \quad (3.30) $$

où l'on note que le coté droit de l'équation est commun à tous les ménages. Or le taux de croissance de la richesse totale d'un ménage quelconque résulte d'une pondération entre les deux composantes de cette richesse: le patrimoine (spécifique au ménage) et la richesse humaine (identique pour tous les ménages). On voit que pour rester sur la trajectoire optimale de consommation/épargne, un ménage faiblement doté en patrimoine aura tendance à accumuler plus rapidement du patrimoine que les mieux dotés.

Cet effet ne peut intervenir que pendant la transition. La mobilité du capital, en propulsant l'économie riche dans une nouvelle phase de transition, resserre la distribution du capital.

Dans leur très pénétrant papier, Caselli et Ventura [1996] ont établi la convergence transitionnelle des patrimoines physiques des ménages dans une économie

<footnote n="9">⁹En prenant soin de définir la richesse totale comme la somme du patrimoine et de la richesse humaine, c'est-à-dire le flux actualisé des salaires futurs.</footnote>
autarcique munie d'une fonction Cobb-Douglas, mais seulement dans le cas de l'utilité instantanée logarithmique. Par le biais d'une démonstration différente de la leur, la proposition 1 ci-dessus traite le cas plus général d'une utilité instantanée à élasticité de substitution intertemporelle constante. Caselli et Ventura [1996] montrent en outre qu'une fonction de production plus générale du type CES (à élasticité de substitution entre facteurs constante), toujours avec utilité instantanée logarithmique, peut faire alterner pendant la transition des périodes de convergence et de divergence. Comme le suggèrent les données que nous présentons à la fin de cette partie, le résultat généralisé sur la fonction Cobb-Douglas semble toutefois garder une certaine pertinence empirique.<fnref n="10" /> Il faut aussi citer Chatterjee [1994], qui étudie dans le modèle néo-classique de croissance la relation entre préférences et dynamique de la distribution de la richesse intertemporelle totale des ménages - sans cependant s'intéresser à la distribution du patrimoine physique et à son interaction avec la fourniture du travail, comme nous le faisons dans cette note.<fnref n="11" />

**Proposition 2.** Dans une économie où les pays 1 et 2 sont munis d'une fonction de production néo-classique (3.13), quelle que soit la distribution initiale du patrimoine dans le pays 1, sa distribution finale est unique et invariante. Si la distribution initiale du patrimoine dans le pays 1 est non dégénérée, alors sa distribution finale est non dégénérée.

*Preuve.* La combinaison de la contrainte budgétaire intertemporelle (3.22) et de l'expression du patrimoine final (3.24) permet d'obtenir une relation simple entre le patrimoine initial de chaque ménage et son patrimoine à l'équilibre stationnaire :

$$p_{1j}^* = \beta + \eta p_{1j}(0) \quad (3.31)$$

où l'on définit

$$\beta = \frac{1}{\rho} \left( c^* \frac{\tilde{w}(0)}{\int_0^\infty c(v)e^{-R(v)} dv} - w^* \right)$$

et

$$\eta = \frac{c^*}{\rho \int_0^\infty c(v) e^{-R(v)} dv}$$

et où $c^*$ est la consommation mondiale à l'équilibre stationnaire. Les coefficients $\beta$ et $\eta$ convergent évidemment vers des valeurs finies et constantes à l'équilibre

<footnote n="10">¹⁰De manière générale, la constance temporelle de la répartition des PIB entre capital et travail est souvent citée comme un argument fort en faveur d'une représentation du processus de production agrégé par une fonction Cobb-Douglas. Piketty [1997] donne un résumé récent de l'abondante littérature concernant la validité empirique de la fonction Cobb-Douglas.</footnote>

<footnote n="11">¹¹Chatterjee [1994] ne distingue pas la richesse intertemporelle provenant du travail futur du patrimoine physique. Cette distinction est importante dans la proposition 1 de cette note.</footnote>
stationnaire et ne dépendent pas de la dotation initiale quelconque $p_{1j}(0)$. Ils proviennent des trajectoires des agrégats de l'économie. La proposition découle directement de la relation linéaire (3.31). ■

On voit donc que le processus d'égalisation se ralentit jusqu'à devenir négligeable à l'approche de l'équilibre stationnaire et que pour toute distribution initiale non dégénérée, la distribution finale sera aussi non dégénérée.

Une autre manière d'écrire (3.31), plus intuitive quoique moins maniable pour étudier la déformation de la distribution, est :

$$p_{1j}^* + \frac{w^*}{\rho} = \frac{c_1^*/\rho}{\int_0^\infty c_1(v)e^{-R(v)}dv} (p_{1j}(0) + \tilde{w}(0)) \quad (3.32)$$

La richesse totale à l'état stationnaire (coté gauche de l'équation), qui est composée du patrimoine et du flux actualisé du salaire final, est égale à la richesse totale initiale $(p_{1j}(0) + \tilde{w}(0))$, multipliée par un facteur donnant une mesure du sacrifice de consommation (autrement dit : l'augmentation de leur taux d'épargne à l'ouverture) consenti par les ménages du pays riche pendant la transition. La quantité $c_1^*/\rho$ est en effet le flux actualisé de consommation à l'équilibre stationnaire (ce que les ménages auraient reçu en autarcie), alors que $\int_0^\infty c_1(v)e^{-R(v)}dv$ est la valeur actualisée du flux de consommation effectif, y compris donc le sacrifice fait pendant la période de transition. Le facteur $\frac{c_1^*/\rho}{\int_0^\infty c_1(v)e^{-R(v)}dv}$ est bien sûr supérieur ou égal à 1.

## 3.6. Dynamique de la distribution des revenus

La proposition 1 pourrait sans difficulté être étendue à la dynamique des revenus, puisque la seule différence entre les ménages tient à leur dotation en patrimoine. Toutefois, au temps zéro, il y a dans notre modèle une chute soudaine du salaire dans le pays riche. Ce que la proposition 1 étendue aux revenus nous montrerait, c'est la déconcentration des revenus avec le *salaire sous mobilité du capital*, sans tenir compte du salaire précédent l'ouverture du compte de capital. Or c'est la comparaison entre situation d'autarcie et situation de mobilité du capital qui nous intéresse. Nous comparerons donc la distribution du revenu avant l'introduction de la mobilité du capital à cette distribution à l'équilibre stationnaire. Le revenu au temps zéro et à l'équilibre stationnaire d'un ménage quelconque $1j$ est donné par :

$$y_{1j}(0) = w^* + \rho p_{1j}(0) \quad (3.33)$$

$$y_{1j}^* = w^* + \rho p_{1j}^* \quad (3.34)$$
On écrit bien dans (3.33) le salaire d'autarcie et non le salaire suivant immédiatement l'ouverture. Puisque le pays 1 est à l'équilibre stationnaire à l'instant précédant l'ouverture, ce salaire sera identique à celui de l'équilibre stationnaire sous mobilité du capital. On obtient par (3.31) :

$$y_{1j}^* = w^*(1 - \eta) + \rho\beta + \eta y_{1j}(0) \quad (3.35)$$

De nouveau, on a une loi de déformation linéaire. Il est facile de l'étudier par manipulation algébrique directe pour obtenir la proposition suivante.

**Proposition 3.** Une économie où les pays 1 et 2 sont munis d'une fonction de production néo-classique (3.13) vérifie

$$\forall (a, b) \in [0, 1] \times [0, 1], \quad y_{1a}(0) \le y_{1b}(0) \Rightarrow \frac{y_{1b}^*}{y_{1a}^*} \ge \frac{y_{1b}(0)}{y_{1a}(0)} \quad (3.36)$$

Preuve. Montrons d'abord que la quantité $w^*(1 - \eta) + \rho\beta$ est strictement négative. Son expression explicite est

$$w^*(1 - \eta) + \rho\beta = c^* \frac{\rho \int_0^\infty w_1(v) e^{-R(v)} dv - w^*}{\int_0^\infty c(v) e^{-R(v)} dv}$$

Le dénominateur est évidemment positif et on montre facilement que le numérateur est strictement négatif. Il suffit d'écrire $w^*/\rho = \int_0^\infty w^*e^{-\rho v}dv > \int_0^\infty w_1(v)e^{-R(v)}dv$. Le reste de la preuve est un réarrangement algébrique tenant compte du signe négatif de $w^*(1 - \eta) + \rho\beta$: $y_{1a}(0) \le y_{1b}(0) \implies (w^*(1 - \eta) + \rho\beta) y_{1a}(0) + \eta y_{1a}(0) y_{1b}(0) \ge (w^*(1 - \eta) + \rho\beta) y_{1b}(0) + \eta y_{1a}(0) y_{1b}(0) \implies$

$$\frac{w^*(1-\eta)+\rho\beta+\eta y_{1a}(0)}{w^*(1-\eta)+\rho\beta+\eta y_{1a}(0)} \ge \frac{y_{1b}(0)}{y_{1a}(0)} \quad \blacksquare$$

Le modèle génère comme on s'y attendait la prédiction d'accroissement des inégalités de revenu. Mais nous avons dans le cas Cobb-Douglas ce résultat plus surprenant de prime abord: avec ouverture du compte de capital, la distribution des revenus suivra une dynamique opposée à celle du patrimoine; celui-ci se déconcentre alors que les revenus se concentrent. Le résultat devient plus intuitif si l'on remarque que deux forces sont en jeu. D'une part, le patrimoine et donc les revenus patrimoniaux deviennent mieux répartis, on l'a vu. Mais d'autre part, les revenus du patrimoine acquièrent plus de poids dans le revenu total des ménages - puisque dans le pays riche les salaires de l'équilibre stationnaire avec mobilité du capital sont strictement égaux aux salaires de départ (ceux de l'équilibre stationnaire d'autarcie). Ceci apparaît dans l'équation (3.34). Ce que la précédente proposition montre, c'est qu'avec une fonction de production Cobb-Douglas ce deuxième effet domine toujours le premier, quelle que soit l'intensité
en capital de la technologie et quelle que soit la préférence des ménages pour le lissage intertemporel de la consommation.

Le résultat sur l'évolution des inégalités de revenu dépend des conditions initiales choisies, et notamment du fait que le pays 1 se trouve à l'équilibre stationnaire au moment de l'ouverture. Si au temps zéro les ménages du pays riche n'avaient pas accès au salaire w*, l'économie se trouvant encore en phase de transition, la validité de la proposition 3 dépendrait alors de l'écart entre ce salaire transitionnel à l'ouverture et w*. En revanche, on a noté que les propositions 1 et 2 sur la dynamique de la distribution du patrimoine ne dépendent en rien des conditions initiales.

## 3.7. Simulations numériques

Dans cette partie, il a été possible d'établir nos principaux résultats sans recours aux simulations numériques du modèle. Celles-ci sont tout de même utiles à titre d'illustration et aussi parce qu'elles permettent de tester aisément la sensibilité des effets de déformation montrés ci-dessus aux paramètres du modèle, en particulier à la préférence pour le lissage intertemporel. Il faut souligner que ces simulations ne peuvent pas être interprétées comme donnant des ordre de grandeur applicables à l'économie réelle. Le modèle est trop abstrait pour que ses prédictions quantitative puissent être rapprochées des données. Un modèle plus réaliste, quoique identique dans sa structure théorique, devrait au moins intégrer du capital humain (le capital physique migrerait alors selon le ratio capital physique/capital humain de chaque pays) et un calibrage du paramètre $k_2^{aut}(0)$, qui est ici arbitrairement fixé à 10 % de $k_1^{aut}(0)$. Les simulations numériques sont en conséquence faites exclusivement à des fins d'évaluation qualitative.

Nous devons choisir pour nos calculs une forme explicite de distribution initiale du patrimoine. Cartiglia [1997] utilise une distribution uniforme pour modéliser la répartition du capital humain parmi les ménages. Bien que pratique analytiquement, cette hypothèse ne permet pas de répliquer l'asymétrie des distributions par rapport à la moyenne. Pour cette raison, Benabou [1996] a recours à une distribution lognormale pour représenter la distribution des dotations initiales. Ce sera également notre choix. Les niveaux de patrimoine net initial du pays 1 suivent donc une fonction de densité telle que :

$$ \forall p \ge 0, \text{ avec } \lambda \in ] -\infty, \infty [ \text{ et } \sigma > 0, \quad \ln p \sim N(\lambda, \sigma) \quad (3.37) $$

Cette spécification des dotations initiales, où tous les ménages reçoivent un patrimoine net initial positif, n'implique aucune imperfection du marché du crédit, puisqu'aucune de nos hypothèses n'interdit l'endettement net d'un ménage quelconque après le temps zéro. La moyenne de la distribution lognormale est $e^{\lambda+\frac{\sigma^2}{2}}$.
Pour appliquer cette distribution à notre modèle, nous fixerons pour le pays 1

$$e^{\lambda + \frac{\sigma^2}{2}} = k^* \qquad (3.38)$$

Nous choisirons $\sigma$ qui, complété par la relation (3.38), donnera la dispersion du patrimoine initial, de façon à reproduire les dispersions observées empiriquement.

Pour tous les calculs numériques présentés dans cette note, nous utilisons la fonction de production (Cobb-Douglas) :

$$f(k) = Ak^{\alpha}, \quad A > 0 \text{ et } 0 < \alpha < 1 \qquad (3.39)$$

Nous reprenons les valeurs paramétriques du calibrage de base de Barro et Sala-I-Martin [1995], soit $A = 1$; $\alpha = 0,3$; $\rho = 0,02$; $\theta = 3$. Comme on l'a dit, on fixe $k_2^{aut}(0)$ à 10 % de $k_1^{aut}(0)$. Nous ferons varier $\theta$, la préférence pour le lissage de la consommation et nous vérifierons la robustesse des résultats à des variations de $k_2^{aut}(0)$, la dotation initiale du pays pauvre. On choisit la valeur de $\sigma$ en se basant sur les indices de Gini relevés empiriquement pour les distributions de patrimoine. L'indice de Gini est commode pour notre problème car il est calculable numériquement pour n'importe quelle distribution continue, y compris sur un domaine infini.<fnref n="12" /> Wolff [1992] est une des quelques sources de la littérature rapportant des indices de Gini appliqués au patrimoine. En 1962, aux Etats-Unis, le Survey of Financial Characteristics of Consumers donnait un Gini de 73 %. Le Survey of Consumer Finances donnait un Gini de 76 % en 1983 et 77 % en 1986. Comme le montre le tableau 1, une bonne approximation est obtenue avec la valeur $\sigma = 1,7$.

Ces simulations numériques (ainsi que celles présentées dans la partie suivante) sont des calculs exacts des trajectoires complètes, et non des approximations par linéarisation autour de l'équilibre stationnaire. Compte tenu des propriétés d'hystérésis<fnref n="13" /> du modèle, les trajectoires complètes sont indispensables pour calculer la part de consommations de chaque pays et de chaque ménage à l'équilibre stationnaire et donc pouvoir résoudre le modèle.

Après calcul des trajectoires agrégées, la relation (3.33) et les lois de déformation (3.31) et (3.35) déterminent la forme de la distribution initiale des revenus ainsi que celle des distributions finales du patrimoine et des revenus, par application du théorème sur la distribution d'une variable aléatoire transformée par une

<footnote n="12">¹²En particulier, l'utilisation des ratios interdéciles pose de sérieux problèmes d'approximation numérique dans le cas d'une distribution lognormale (dont le domaine n'est pas borné supérieurement), car le décile extrême supérieur doit être calculé sur un domaine infini.</footnote>

<footnote n="13">¹³On fait référence à la propriété d'influence permanente des conditions initiales (patrimoine initial des pays et des ménages) sur les valeurs à l'état stationnaire de certaines variables: consommations nationales et par ménage, actifs détenus à l'étranger. Cette propriété apparaît dans les relations (3.19) et (3.22). Voir D'Autume [1996] pour une discussion plus détaillée des propriétés d'hystérésis du modèle.</footnote>
fonction dérivable et monotone. Dans notre cas, les fonctions de transformation sont linéaires et nous pouvons bien appliquer ce théorème. Nous calculons ensuite numériquement les indices de Gini pour chacune des distributions trouvées.

Le tableau 1 donne les résultats de ces calculs. On voit clairement l'opposition entre déformation de la distribution du patrimoine et celle des revenus, ainsi que la sensibilité à la préférence pour le lissage de la consommation, qui influence négativement l'impact d'égalisation de la transition. Il semble raisonnable que l'accumulation des ménages les moins dotés soit en effet la plus forte relativement aux ménages les plus dotés quand la préférence pour le lissage intertemporel de la consommation est la plus basse : les sacrifices de consommation initiale impliquent un moindre coût d'utilité intertemporelle.

On notera l'écart important entre la distribution du patrimoine et des revenus, même à l'état stationnaire, c'est à dire après que ces effets opposés se sont faits sentir. Elle correspond bien sûr à notre hypothèse de répartition parfaitement égale du travail. Les données ne contredisent pas ce contraste : Deininger et Squire [1996] rapporte qu'aux Etats-Unis l'indice de Gini pour les revenus était de 35 % en 1962, 37 % en 1983 et 37 % en 1986.

<table><caption>Tableau 1
Déformation des distributions
entre $t = 0$ et l'état stationnaire
Avec $\sigma = 1,7$</caption><thead><tr><th>θ</th><th>0,2</th><th>0,5</th><th>1,5</th><th>3</th></tr></thead><tbody><tr><td>Gini patrimoine initial (%)</td><td>76</td><td>76</td><td>76</td><td>76</td></tr><tr><td>Gini patrimoine final (%)</td><td>63</td><td>64</td><td>68</td><td>70</td></tr><tr><td>Gini revenus initial (%)</td><td>23</td><td>23</td><td>23</td><td>23</td></tr><tr><td>Gini revenus final (%)</td><td>25</td><td>27</td><td>28</td><td>30</td></tr></tbody></table>

Les figures (3.2) et (3.3) donnent les trajectoires des patrimoines des ménages du pays 1 calculées numériquement pour les valeurs de base ($A = 1; \sigma = 1,7; \theta = 3; \alpha = 0,3; \rho = 0,02; k_2^{aut}(0) = 10 \% de k^*$). On a fixé arbitrairement des dotations initiales régulièrement espacées afin de faciliter la visualisation des mouvements de concentration ou de déconcentration.<fnref n="14" /> Dans la figure (3.2), l'effet de déconcentration n'est pas visuellement perceptible, car il est masqué par la "tendance" croissante affectant tous les ménages pendant la transition. L'effet égalisateur est en revanche nettement visible dans la figure (3.3), qui donne le rapport de chaque stock individuel à la moyenne $p_1(t)$, qui est aussi le stock total de patrimoine du pays 1.

<footnote n="14">¹⁴On utilise dans ce calcul l'équation (3.22), qui donne une relation linéaire simple entre la dotation initiale et la part de consommation de chaque ménage. On déduit ensuite la trajectoire de son patrimoine par la loi d'évolution dérivée de la contrainte (3.4a).</footnote>
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 3.2: Exemples de trajectoires du patrimoine des ménages du pays 1</figcaption></figure>

## 3.8. Quelques repères empiriques

On l'a dit, le haut degré d'abstraction du modèle (pas de capital humain, absence de contenu empirique de $k_2^{aut}(0)$, la variable d'écart entre les deux stocks initiaux de capital agrégé) rend hasardeuse la validité de tests empiriques de ses prédictions quantitatives. Certains résultats qualitatifs du modèle sont pourtant si fortement caractérisés qu'il semble justifié de rechercher quelques repères dans les données disponibles. Il s'agit (i) des mouvements contraires des dynamiques des distributions de patrimoine et de revenu; <fnref n="15" /> (ii) de l'augmentation de la part des revenus patrimoniaux dans le revenu total des ménages; (iii) de la hausse du taux d'épargne à partir de l'ouverture.

### 3.8.1. Données françaises

Un des traits les plus intrigants des tendances récentes des distributions de patrimoine et de revenu en France est précisément leur évolution en sens inverse. L'Insee [1996] rapporte qu'à la légère hausse des inégalités du revenu s'est superposée une déconcentration du patrimoine. Les données de l'Insee, qui portent sur une période plus récente, indiquent une croissance des inégalités de revenu plus forte que celles de la *Luxembourg Income Study* (voir plus bas) : l'indice de Gini pour les revenus serait passé de 33,2 % en 1984 à 35,7 % en 1994. Le tableau 2 indique que la distribution du patrimoine s'est, elle, déconcentrée.

<footnote n="15">¹⁵Ce premier point a été montré avec une fonction de production Cobb-Douglas.</footnote>
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 3.3: Exemples de trajectoires du rapport à la moyenne du patrimoine des ménages du pays 1</figcaption></figure>

<table><caption>Tableau 2
France : Répartition du patrimoine</caption><thead><tr><th></th><th>1986</th><th>1992</th><th>1996</th></tr></thead><tbody><tr><td>Gini (%)</td><td>69</td><td>67</td><td>61</td></tr></tbody></table>

Source: Insee [1996]

Concernant le point (ii) ci-dessus, la montée des revenus patrimoniaux a effectivement contribué à l'accroissement des inégalités de revenu, la répartition du patrimoine restant plus inégalitaire que celles des revenus (voir Insee [1996], page 41). Les revenus de placement représentaient en 1994 13 % du revenu des ménages avant impôts contre 9 % en 1979 (voir tableau 3). Un autre point intéressant est que cette hausse des revenus patrimoniaux s'est accompagnée d'une augmentation continue de la part des actifs financiers dans le patrimoine moyen des Français : de 31 % du patrimoine en 1975, ils sont passés à 49 % en 1995 (Insee [1996], page 108). Et c'est bien au travers de ce type d'actifs que les ménages français ont eu un accès grandissant à l'investissement étranger.
<table><caption>Tableau 3
France : Structure du revenu moyen de 1979 à 1994</caption><thead><tr><th></th><th>1979</th><th>1984</th><th>1989</th><th>1994</th></tr></thead><tbody><tr><td>Revenu monétaire av. impôts (KF de 1994)</td><td>165,5</td><td>167,9</td><td>175,3</td><td>183,8</td></tr><tr><td>Répartition du revenu moyen (en %)</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Revenus d'activité</td><td>70,5</td><td>64,5</td><td>62,8</td><td>58,5</td></tr><tr><td>Retraites</td><td>13,5</td><td>16,7</td><td>17,7</td><td>19,8</td></tr><tr><td>Revenues liés au chômage</td><td>1,0</td><td>2,0</td><td>2,0</td><td>2,4</td></tr><tr><td>Revenus sociaux autres que retraite et chômage</td><td>5,6</td><td>5,7</td><td>5,5</td><td>5,4</td></tr><tr><td>Revenus du patrimoine</td><td>9,0</td><td>10,5</td><td>11,2</td><td>13,0</td></tr><tr><td>Versements réguliers d'autres ménages</td><td>0,4</td><td>0,6</td><td>0,8</td><td>0,9</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>100,0</td><td>100,0</td><td>100,0</td><td>100,0</td></tr></tbody></table>

Source: Insee [1996]

Pour ce qui concerne le point (iii), le comportement du taux d'épargne des ménages (rapport de l'épargne au revenu disponible) fournit des indications plus ambiguës. Il a diminué continûment de 1975 à 1987, puis a augmenté depuis lors. En 1995, il était toujours, avec 14,3 %, en dessous du niveau de 1975 (environ 20 %). Dans le cadre du modèle, il conviendrait de dater la montée de l'ouverture internationale pour interpréter cette évolution.

Les mécanismes d'épargne optimale couplés à l'ouverture internationale étudiés dans cette note ne sont pas les seules explications possibles de ces évolutions. Pour la déconcentration du patrimoine, Insee [1996], page 6, met en avant un phénomène de renouvellement de générations, qui "a entraîné un renforcement du poids des ménages arrivés en âge d'accumuler après la Seconde guerre mondiale et qui n'ont donc pas connu les handicaps des générations précédentes. Le patrimoine médian des ménages de cette tranche d'âge est désormais de 10 % plus élevé que le patrimoine médian de l'ensemble des ménages de tous âges alors qu'il lui était inférieur de 10 % en 1986."

### 3.8.2. Autres données

La montée des inégalités de revenu dans l'ensemble des pays développés a fait l'objet de très nombreuses quantifications.<fnref n="16" /> Donnons seulement ici un des tableaux issus de la *Luxembourg Income Study* (LIS) effectuée en 1991 sous la direction de l'OCDE (rapportée dans Atkinson, Rainwater et Smeeding [1995]), où apparaît clairement l'augmentation des inégalités de revenu, particulièrement aux Etats-Unis, au Royaume-Uni et aux Pays-Bas.

<footnote n="16">¹⁶On peut par exemple consulter l'ouvrage de Piketty [1997] pour un résumé des données récentes et comme source de références.</footnote>
<table><caption>Tableau 4
Indices de Gini pour certains pays de l'OCDE (revenus)</caption><thead><tr><th>Pays</th><th>Année</th><th>Gini (%)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">Finlande</td><td>1987</td><td>20,7</td></tr><tr><td>1990</td><td>21,5</td></tr><tr><td rowspan="2">Suède</td><td>1981</td><td>19,9</td></tr><tr><td>1987</td><td>22,0</td></tr><tr><td rowspan="2">Norvège</td><td>1979</td><td>22,2</td></tr><tr><td>1986</td><td>23,4</td></tr><tr><td rowspan="2">Belgique</td><td>1985</td><td>22,8</td></tr><tr><td>1988</td><td>23,5</td></tr><tr><td rowspan="2">Pays-Bas</td><td>1983</td><td>24,7</td></tr><tr><td>1987</td><td>26,8</td></tr><tr><td rowspan="2">France</td><td>1979</td><td>29,7</td></tr><tr><td>1984</td><td>29,6</td></tr><tr><td rowspan="2">Royaume-Uni</td><td>1979</td><td>27,0</td></tr><tr><td>1986</td><td>30,4</td></tr><tr><td rowspan="2">Etats-Unis</td><td>1979</td><td>30,9</td></tr><tr><td>1986</td><td>34,1</td></tr></tbody></table>

Source: Atkinson et al. [1995]

Concernant la distribution du patrimoine, les données publiées sur l'ensemble des pays de l'OCDE sont rares. En particulier, les résultats de la *LIS* rendus publics dans Atkinson et al. [1995] ne comprennent pas l'évolution de la part des revenus patrimoniaux dans le revenu total, ni l'évolution de la distribution du patrimoine.

Les données recueillies par Wolff [1992] pour les Etats-Unis (tableau 5) montrent que la répartition du patrimoine y est aussi très inégalitaire. Plus du quart du patrimoine total était possédé par les 1 % individus les plus riches dans chacune des années couvertes, sauf en 1976 et 1981.
<table><caption>Tableau 5

*Etats-Unis: part du patrimoine total détenue par les 1 % individus les plus riches*</caption><thead><tr><th rowspan="2">Année</th><th colspan="2">%</th></tr><tr><th>Droits à retraite exclus</th><th>Droits à retraite inclus</th></tr></thead><tbody><tr><td>1945</td><td>28,9</td><td>22,4</td></tr><tr><td>1949</td><td>25,7</td><td>20,5</td></tr><tr><td>1953</td><td>28,1</td><td>21,6</td></tr><tr><td>1958</td><td>27,0</td><td>20,7</td></tr><tr><td>1962</td><td>30,1</td><td>22,5</td></tr><tr><td>1965</td><td>31,9</td><td>23,4</td></tr><tr><td>1969</td><td>29,0</td><td>21,0</td></tr><tr><td>1972</td><td>28,6</td><td>20,5</td></tr><tr><td>1976</td><td>18,9</td><td>13,8</td></tr><tr><td>1981</td><td>23,6</td><td>-</td></tr></tbody></table>

Source: Wolff [1992]

Ces données n'indiquent pas aussi clairement que pour la France le desserrement de la distribution du capital, à moins d'inclure dans le patrimoine total les droits à retraite (calculés en équivalent patrimonial comme les sommes actualisées des flux de pensions de retraites futures). Remarquons que le faire serait en accord avec les définitions utilisées dans le modèle, puisqu'il est raisonnable d'admettre que la constitution des droits à la retraite est bien prise en compte dans le comportement d'épargne des ménages. Or c'est bien de ce comportement, différencié selon les dotations initiales, que proviennent les principaux résultats du modèle.

# 4. Bien-être, conflit politique et redistribution

La première partie a traité de l'impact de l'intégration mondiale sur les positions relatives des ménages du pays riche en termes de patrimoine et de revenu, en fonction de leur dotations initiales. Cette partie s'intéresse à l'impact sur leur positions absolues en termes de bien-être.

## 4.1. Les ménages

La déformation des distributions n'étant plus notre préoccupation dans cette partie, on peut simplifier l'hétérogénéité de la population à deux ménages dans chaque pays, que l'on appellera "rentier" et "travailleur", chacun avec sa dotation initiale en patrimoine. Comme dans la partie précédente, ces deux types ne sont pas purs, en ce sens que le ménage travailleur pourra épargner et que le rentier travaillera.
Le travail est toujours fourni inélastiquement par chacun des ménages à part égale. En normalisant de nouveau la population de chaque pays à l'unité, on a à chaque instant,∀i, j :

$$L_{i,j} = 1/2 \qquad (4.1)$$

On aura ici $j=c, w$ (c indique le rentier et $w$ le travailleur).

Le ménage $j$ du pays 1 maximise (3.3) sous les contraintes :

$$\dot{p}_{1j} = w_1/2 + r_1(p_{1j} - b_{1j}) + r_2b_{1j} + (p_1/2 - p_{1j}) \tau_1 - c_{1j} \qquad (4.2a)$$

$$\dot{b}_{1j} = i_{1j} \qquad (4.2b)$$

où l'on conserve les notations de la partie précédente. Un premier instrument de redistribution est introduit dans l'équation (4.2a) : le stock de patrimoine de chaque ménage est taxé au taux $\tau_1$. Simultanément une subvention est versée par l'Etat, sur la base du même taux $\tau_1$ appliqué au stock moyen de patrimoine détenu par les ménages du pays 1 ($p_1/2$). Selon le signe positif ou négatif de l'écart du patrimoine du ménage avec le patrimoine moyen national, il devra payer un impôt ou recevra au contraire une subvention.

L'unique contrainte du problème des ménages du pays 2 s'écrit de la manière suivante :

$$\dot{p}_{2j} = w_2/2 + r_2p_{2j} + (p_2/2 - p_{2j}) \tau_2 - c_{2j} \qquad (4.3)$$

De la même manière qu'à la partie précédente, on tient compte de la condition d'arbitrage (3.12) et les problèmes des ménages 2 donnent les lois d'évolution :

$$\frac{\dot{c}_1}{c1} = \frac{1}{\theta} (r_1 - \tau_2 - \rho) \qquad (4.4)$$

$$\frac{\dot{c}_2}{c_2} = \frac{1}{\theta} (r_1 - \tau_2 - \rho) \qquad (4.5)$$

Enfin, l'agrégation des contraintes par pays donnent les lois d'évolution des stocks agrégés (3.6-3.8).

## 4.2. L'Etat

On cherchera à tester la pertinence de deux instruments de redistribution. Premièrement, l'Etat taxera les revenus du patrimoine et redistribuera intégralement cet impôt aux ménages les moins dotés. C'est l'impôt introduit en (4.2a) et (4.3) comme taxe sur le stock de patrimoine. Etant permanent, il doit bien être vu comme un impôt sur le revenu patrimonial. La subvention est forfaitaire, au sens où son versement ne dépend pas de décisions individuelles des ménages. Cette formulation est commode car la contrainte budgétaire de l'Etat est automatiquement respectée à chaque période (voir (3.6) et (3.8), où les subventions et
les impôts, exactement compensés, ont disparu.) On aura noté que c'est ici le principe d'imposition résidentielle (encore appelée mondiale) - par apposition à l'imposition territoriale - qui est retenu. Les revenus du capital des ménages du pays 1 sont taxés uniformément par le gouvernement de ce pays, quelle qu'en soit la source. Rappelons que ce système est utilisé par la plupart des pays de l'OCDE, à la notable exception de la France.<fnref n="17" /> A cause du principe d'imposition résidentielle, ce sont bien les rendements bruts du capital qui doivent s'égaliser, puisque les revenus patrimoniaux seront taxés au même taux, quelle qu'en soit la source. La condition d'arbitrage sera donc de nouveau (3.12), avec les mêmes conséquences que précédemment sur l'égalité des stocks de capital des deux pays à chaque période.

Les relations (4.4) et (4.5) nous imposent de traiter le problème de l'interdépendance des politiques fiscales. Afin d'éviter une solution "en coin" de l'équilibre de long terme, nous choisissons d'égaliser les taux d'imposition des revenus des capitaux dans les deux pays. En effet, comme le souligne Bianconi [1995], maintenir des taux d'imposition différents conduirait à un équilibre de long terme où tout le capital serait accumulé par un seul pays. On fixe donc :

$$ \tau_1 = \tau_2 = \tau \qquad (4.6) $$

Cette condition impose une forte contrainte de coordination internationale des politiques de redistribution, quelle que soit la distribution du patrimoine initial dans chaque pays, et notamment même en cas de forte différence entre les deux pays sur l'inégalité que l'on cherche à corriger. Il s'agit donc d'une hypothèse forte.

Deuxièmement, à la redistribution des revenus nous comparerons la redistribution du patrimoine initial. Dans notre modèle, cet outil sera testé en modifiant exogènement la répartition du patrimoine national initial. Pour ce deuxième instrument, il n'y a aucune contrainte de coordination internationale.

Ces deux instruments sont utilisés à des fins de redistribution "pure", par opposition à une redistribution "efficace": il s'agit de corriger, selon des critères de pure équité, des différences de revenus et de bien-être liées à des différences de dotations initiales, et non d'interventions visant à traiter une imperfection de marché aboutissant à une allocation de facteurs sub-optimale au sens de Pareto.

### 4.3. Résolution du modèle

Le modèle se résout toujours selon la marche donnée dans la partie précédente. Après résolution du problème mondial et partage de la consommation entre les deux pays, on détermine le partage des consommations nationales entre les deux

<footnote n="17">¹⁷Razin et Yuen [1994] signale que sur 15 pays de l'OCDE, 11 ont adopté l'imposition résidentielle des revenus du capital.</footnote>
ménages en utilisant une des deux contrainte budgétaire intertemporelle (ici celle du rentier) :

$$q_c m \int_0^\infty c(v) e^{-\bar{R}(v)} dv = \int_0^\infty \left( \frac{w_1(v)}{2} + \tau p_1(v) \right) e^{-\bar{R}(v)} dv + p_{1w}(0) \quad (4.7)$$

$$\text{où l'on définit } q_c \equiv \frac{c_1 c}{c_1} \text{ et } \bar{R}(v) \equiv \int_0^v (f'(k_1(s)) - \tau) ds.$$

Ce facteur d'actualisation tient compte du taux d'imposition puisque chaque ménage voit bien ses revenus patrimoniaux imposés et n'intériorise pas le versement forfaitaire. Dans le calcul de partage de la consommation mondiale entre les deux pays, c'est bien toujours le facteur d'actualisation de la formule (3.19) que l'on a utilisé, puisque l'impôt est entièrement redistribué à l'intérieur du pays. On aura remarqué que le calcul de la trajectoire de $p_1 = k_1 + b$, (nécessaire dans la formule (4.7)) demande le calcul du chemin de $b$, ce qui est fait par l'équation différentielle (3.21).

Une fois connue la trajectoire de la consommation de chaque ménage, nous pourrons calculer son utilité par (3.3) et la comparer avec celle d'autarcie. Le calcul des trajectoires de consommation des ménages en autarcie se fait par les méthodes de résolution habituelles du modèle d'autarcie. On y utilise également les contraintes budgétaires intertemporelles des ménages pour le calcul des constantes de partage des consommations.

## 4.4. Simulations numériques

Le critère utilisé dans cette partie pour juger des effets de l'ouverture sur la situation de chaque ménage et de la pertinence des outils correctifs de l'Etat est celui du bien-être défini en (3.3). L'importance centrale de ce critère découle de la construction même de ce type de modèles : l'utilité intertemporelle est l'objectif maximisé par les ménages et duquel découlent toutes les trajectoires de l'économie. Il serait sans doute possible d'aller plus loin dans l'étude analytique du modèle concernant le bien-être, comme nous le faisons dans la partie précédente. Cependant, les simulations numériques nous permettent d'obtenir des résultats bien caractérisés avec une relative économie de moyens. Ces simulations nous permettront de classer au sens de Pareto les différents scenarii quand cela est possible, ou bien de constater le conflit entre les deux ménages, quand leur intérêt est antagoniste. Une manière commode d'exprimer les gains (ou pertes) d'utilité intertemporelle consiste à calculer l'augmentation permanente de la consommation d'autarcie nécessaire pour obtenir l'utilité avec mobilité du capital. C'est de cette manière que seront présentés tous les écarts de bien-être.

Nous ferons varier les paramètres $\tau$, le taux d'imposition des revenus patrimoniaux, et $p_{1w}(0)$, la dotation initiale du ménage travailleur. Ce dernier paramètre
nous donne une mesure simplifiée de la distribution initiale du patrimoine dans l'économie. Nous testerons également la robustesse des résultats à des variations de $\alpha, \theta$ et $k_2^{aut}(0)$. Nous reprenons les valeurs paramétriques de la partie précédente.

Le tableau 6 donne l'écart permanent de la consommation du scénario considéré avec la consommation d'autarcie, de manière à obtenir la même utilité intertemporelle.

<table><caption>Tableau 6
Pays 1: Gains d'utilité (en %)
$\alpha = 0,3$ et $\tau = 0$</caption><thead><tr><th>$p_w(0)$, en % de $k^*$</th><th>0</th><th>35</th><th>36</th><th>37</th><th>38</th></tr></thead><tbody><tr><th>Travailleur</th><td>-10,55</td><td>-0,43</td><td>-0,21</td><td>0,01</td><td>0,22</td></tr><tr><th>Rentier</th><td>9,69</td><td>5,14</td><td>4,98</td><td>4,83</td><td>4,67</td></tr><tr><th>Agrégé</th><td>2,61</td><td>2,61</td><td>2,61</td><td>2,61</td><td>2,61</td></tr></tbody></table>

Cette première simulation montre que sans capital initial ($p_w(0) = 0$), le ménage travailleur est perdant dans l'intégration des marchés de capitaux et ceci même si dans notre modèle il peut lui aussi épargner à partir du temps zéro et donc profiter des nouvelles opportunités d'investissement. Le mécanisme économique sous-jacent est simple: la délocalisation des capitaux vers le pays pauvre provoque une baisse de la demande de main d'oeuvre et donc des salaires dans le pays 1. Comme les salaires continueront à constituer une part largement majoritaire du revenu du ménage travailleur, sa consommation et donc son bien-être seront inférieurs relativement à la situation d'autarcie. Le bien-être du rentier (qui possède dans ce cas la totalité de la richesse nationale à l'ouverture) est, sans surprise, nettement améliorée. Il profite à plein des rendements du capital supérieurs offerts par le pays pauvre. On notera également que l'utilité d'un ménage représentatif unique (ligne "Agrégé")<fnref n="18" /> est bien entendu toujours plus grande avec mobilité du capital, quelle que soit la répartition de la richesse initiale, et ceci est vrai également dans le pays pauvre.<fnref n="19" /> Dans ce modèle simple à deux ménages et dans le cas limite d'une distribution extrêmement inégale de la richesse, nous avons donc une situation de conflit politique. Le ménage travailleur, suivant le comportement maximisateur supposé dans ce modèle, s'opposera à la mobilité du capital. A partir de quel étalement de la richesse initiale ce conflit disparaît-il? Le tableau 6 montre qu'avec les paramètres choisis, il faut que le ménage "travailleur" détienne au moins 37 % du capital national initial pour trouver avantage à l'ouverture du compte de capital. La mobilité du capital bénéficie alors aux deux

<footnote n="18">¹⁸La ligne "Agrégé" correspond simplement à l'utilité donnée par la consommation nationale agrégée, dérivée de la formule (3.19).</footnote>

<footnote n="19">¹⁹On ne reproduit pas les résultats numériques du pays 2. Voir à ce sujet Vellutini [1997].</footnote>
ménages. Une distribution initiale même modérément inégalitaire de la richesse conduit donc à un conflit politique face à la mobilité du capital.

La redistribution des revenus patrimoniaux peut-elle résoudre ce conflit ? Le principal résultat du tableau 7 ci-après est que la taxation des revenus patrimoniaux est dans ce modèle impuissante à réconcilier les intérêts du travailleur et du rentier. On compare ces différents scénarios avec la situation d'autarcie sans impôt ($\tau = 0$).

<table><caption>Tableau 7
Pays 1: Gains d'utilité (en %)
$\alpha = 0,3$ et $p_{1w}(0) = 0$</caption><thead><tr><th>τ</th><th>0 %</th><th>0,1 %</th><th>0,2 %</th><th>0,3 %</th><th>0,4 %</th></tr></thead><tbody><tr><th>Travailleur</th><td>-10,55</td><td>-9,79</td><td>-9,20</td><td>-8,76</td><td>-8,45</td></tr><tr><th>Rentier</th><td>9,69</td><td>6,45</td><td>3,48</td><td>0,76</td><td>-1,74</td></tr><tr><th>Agrégé</th><td>2,61</td><td>0,77</td><td>-0,96</td><td>-2,57</td><td>-4,09</td></tr></tbody></table>

Dès que l'on atteint le taux d'imposition des revenus patrimoniaux de 0,4 %, le ménage rentier est perdant vis-à-vis de l'autarcie, alors que le ménage travailleur se trouve toujours dans une situation dégradée. L'explication de l'inefficacité de cet instrument de redistribution réside dans l'effet de distorsion bien connu de l'impôt sur les revenus patrimoniaux.<fnref n="20" /> En introduisant une désincitation à accumuler du capital, cet impôt modifie l'allocation des ressources dans l'économie. Cet effet est clair dans la ligne "Agrégé" du tableau 7, où l'on voit une chute du bien-être agrégé au fur et à mesure que l'impôt sur les revenus patrimoniaux augmente. La distorsion affectera bien sûr directement le rentier, mais aussi le travailleur, via l'effet sur son épargne naissance et surtout sur les niveaux de salaires, puisque la demande de main d'oeuvre sera moindre. Ainsi, l'effet de distorsion diminuera fortement le bien-être du rentier et amortira l'impact de la redistribution sur celui du travailleur. Au total, l'impôt enlèvera au rentier toute incitation à accepter l'ouverture et pour des niveaux suffisamment élevés de $\tau$, on aboutit à une situation où la mobilité du capital est désavantageuse pour les deux ménages. Ce résultat est robuste pour une variation de $\alpha$. Par exemple, avec $\alpha = 0,4$, la part des revenus du capital étant plus grande, il n'est pas surprenant que le niveau d'imposition à partir duquel les deux ménages sont perdants est plus bas (les calculs donnent un niveau de $\tau = 0,3 %$), puisque l'impact allocatif de l'impôt est plus fort. La robustesse des résultats à une variation de $\theta$, la préférence des ménages pour le lissage intertemporel de la consommation, a aussi été vérifiée. Pour $\theta = 1$ (utilité instantanée logarithmique), par exemple, et $\alpha = 0,3$, le taux d'imposition à partir duquel les deux ménages sont désavantagés par les

<footnote n="20">²⁰Voir par exemple Blanchard et Fischer [1989], pages 56-58.</footnote>
délocalisations est de 0,3 %. On obtient le même taux (arrondi) avec $\theta = 2$ et $\alpha = 0,3$.

Il est instructif de comparer ce résultat aux régularités empiriques relevées par Rodrik [1997], chap. 4. Dans cette analyse, Rodrik constate que l'absence d'obstacles réglementaires aux mouvements de capitaux est *négativement* corrélée aux dépenses de l'Etat (en % du PIB), qui sont prises comme une mesure de l'amplitude des politiques fiscales redistributives. L'interprétation que donne Rodrik (pages 63 et 90) de ce fait est que, si l'intégration aux marchés mondiaux augmente le besoin de transferts entre les ménages du pays concerné,<fnref n="21" /> il rend en même temps cette intervention plus difficile, et même quasiment impossible en cas d'intégration très poussée, comme pour les pays de l'OCDE. L'érosion des salaires devient trop forte pour être compensée par un impôt sur les revenus du capital si celui-ci est très mobile. Notre modèle de mobilité parfaite tend à renforcer cette interprétation, tout en complétant l'explication de Rodrik : il faut prendre en compte l'effet de désincitation de l'impôt. Réciproquement, l'observation empirique de Rodrik semble cohérente avec le modèle.

Qu'en est-il du second instrument de redistribution, celui agissant sur la richesse initiale elle-même ? Le tableau 8 en donne une évaluation. Cette fois-ci, le résultat recherché est atteint : en prenant comme point de départ une situation où tout le capital national est entre les mains du ménage rentier, un transfert de 10 % de la richesse permet de rendre les délocalisations de capital avantageuses pour les deux ménages. Le point essentiel est que l'effet allocatif de l'impôt sur les revenus du capital a ici disparu. La redistribution est faite une fois pour toute entre les deux ménages. Le comportement agrégé de l'économie n'est pas modifié, et le conflit peut ainsi être résolu par l'Etat.

<table><caption>Tableau 8
Pays 1 : Gain d'utilité (en %)
Avec $\alpha = 0,3$ et $\tau = 0$</caption><thead><tr><th>$p_w(0)$, en % de $k^*$</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th><th>9</th><th>10</th></tr></thead><tbody><tr><th>Travailleur</th><td>-4,84</td><td>-3,70</td><td>-2,56</td><td>-1,41</td><td>-0,27</td><td>0,87</td></tr><tr><th>Rentier</th><td>6,61</td><td>6,00</td><td>5,38</td><td>4,78</td><td>4,15</td><td>3,54</td></tr><tr><th>Agrégé</th><td>2,61</td><td>2,61</td><td>2,61</td><td>2,61</td><td>2,61</td><td>2,61</td></tr></tbody></table>

La conclusion qu'une redistribution des dotations initiales peut faciliter la croissance est familière dans la littérature sur les inégalités et la croissance. On

<footnote n="21">²¹Rodrik [1997], page 59, montre dans une autre régression que l'intervention redistributive est positivement et significativement corrélée à la combinaison de l'intégration mondiale de l'économie et de la volatilité des termes de l'échange (combinaison que Rodrik appelle "exposition au risque externe").</footnote>
la trouve en particulier dans l'article précurseur de Alesina et Rodrik [1992], qui montre dans un modèle de croissance endogène avec biens publics que lorsque un large segment de l'électorat est faiblement doté en capital, ce dernier sera davantage taxé - ce qui réduira la croissance. Ce mécanisme contribuerait à expliquer pourquoi des pays comme le Japon, la Corée du Sud et Taiwan, qui ont tôt procédé à une réforme agraire, ont pu lever les obstacles politiques d'une croissance à taux élevés.<fnref n="22" /> Dans notre modèle néo-classique, la croissance (transitionnelle) provient de la délocalisation du capital. Cet appareil théorique, malgré sa simplicité, aboutit à une conclusion voisine de celle de Alesina et Rodrik [1992] : en démocratie et en présence d'une répartition inégalitaire des dotations, seule une redistribution initiale de celles-ci par la puissance publique peut rendre politiquement acceptables des décisions conduisant à la croissance, ici la délocalisation du capital. Soulignons malgré tout les limites pratiques de ce résultat. Sauf en cas de guerre, de révolution ou de crise extrêmement grave, le temps "zéro" n'a pas de réalité.<fnref n="23" /> Toute situation provient d'une histoire, de "règles du jeu" sur lesquelles se sont bâties les éventuelles inégalités. Benabou [1996] fait valoir qu'un pays confronté à une situation d'inégalité inhibant la croissance doit mesurer le coût en terme de réputation - et donc en termes de désincitation future - de toute redistribution des dotations. Ce coût est potentiellement élevé. Si une nouvelle redistribution est perçue comme possible par les ménages, alors il y aura bien, comme pour une simple redistribution des revenus à chaque période, un effet de distorsion de leurs décisions ultérieures.

## 4.5. Mobilité du capital et mobilité du travail

Comme dans le modèle Heckscher-Ohlin-Samuelson sans spécialisation, auquel notre modèle est équivalent à chaque période, le résultat attendu de cette partie est que les échanges entre pays créent des "perdants". Pour les ménages, pris individuellement, la mobilité du capital correspond à une déformation de leurs contraintes intertemporelles, et non à leur allégement: chaque ménage, sans influence sur les décisions agrégées de son pays, verra les deux trajectoires des prix des facteurs (taux d'intérêt et salaire) modifiées par les délocalisations. Le résultat peut être une amélioration de sa situation, ou une dégradation.

<footnote n="22">²²Remarquons que les réformes agraires de la Corée du Sud et de Taiwan ont eu lieu dans les années 50. Il est intéressant de constater qu'elles ont coïncidé avec deux des rares "années zéro" qu'offre de loin en loin l'histoire: la formation Corée du Sud a lieu en 1948 (après l'occupation du pays par les Alliées), suivie de la guerre de Corée (1950-53); Taiwan est formé en 1949 à la suite de la victoire des Communistes en Chine continentale.</footnote>

<footnote n="23">²³Une certaine tradition marxiste, il est vrai passée de mode dans le contexte actuel de déconstruction communiste à l'Est, pourrait juger qu'il s'agit là d'un bon argument en faveur d'une révolution. Nous laisser au lecteur le soin d'apprécier la justesse de cette idée.</footnote>
Ces résultats ne doivent rien à l'opposition entre mobilité du capital et immobilité du travail. Avec mobilité parfaite de la main d'oeuvre (et toujours mobilité parfaite du capital), l'effet différencié sur l'utilité des ménages en fonction de leur dotation aurait encore lieu. Pour illustrer ce point, prenons le cas extrême où l'intégralité de l'arbitrage sur les prix des facteurs entre les deux pays serait fait par pure migration de main d'oeuvre vers le pays riche. On voit que l'effet sur le ratio $k_1 = \frac{K_1}{L_1}$ immédiatement après l'ouverture serait strictement le même qu'avec mobilité du capital et immobilité du travail : les salaires et donc simultanément les taux d'intérêt seraient égalisés dans les deux pays, avec le même impact sur les revenus des ménages. Ce qui est important, c'est que la mobilité d'au moins un des deux facteurs aboutit à une économie intégrée avec un nouveau ratio d'abondance relative des facteurs. Dans le pays riche, relativement mieux doté en capital, le ratio $k_1$ baissera à l'ouverture et les perdants seront ceux qui possèdent le moins de capital, car ce dont ils sont le mieux doté, le travail, devient plus abondant. Dans le pays pauvre, relativement mieux doté en travail, le ratio $k_2$ augmentera et ce sera au contraire les mieux dotés en travail qui seront les gagnants, car la main d'oeuvre deviendra plus rare relativement au capital dans l'économie mondiale.

## A. Annexe: preuve du lemme 1

Cette démonstration est due à Barro et Sala-I-Martin [1995], page 89. On veut montrer qu'avec $z = c_1/f(k_1)$, et le taux de croissance $\gamma_z = \frac{\dot{z}}{z}$, on a $\forall t \ge 0$, $\gamma_z(t) > 0$.

Notons d'abord que $z(t)$ converge à l'équilibre stationnaire vers la valeur $\rho/\alpha$. La différenciation de $z(t)$ par rapport au temps donne $\gamma_z = \dot{c}_1/c_1 - \alpha \dot{k}_1/k_1$, soit avec (3.10) et (3.18b) :

$$ \gamma_z = f'(k_1) \left( z/2 - \frac{\theta - 1}{\theta} \right) - \rho/\theta \quad (A.1) $$

où l'on utilise les propriétés de la fonction Cobb-Douglas $\alpha c_1/2k = f'(k_1)z/2$ et $f(k_1)/k_1 = f'(k_1)/\alpha$. L'examen de l'équation (A.1) nous garantit que l'on a nécessairement à chaque instant $t$: $z(t) > \frac{2(\theta-1)}{\theta}$, car l'inégalité $z(T) \le \frac{2(\theta-1)}{\theta}$ pour un $T$ quelconque serait incompatible avec la convergence de $z$ vers sa valeur d'équilibre stationnaire. La différenciation de (A.1) par rapport au temps donne ensuite :

$$ \dot{\gamma}_z = f''(k_1) \dot{k}_1 \left( z/2 - \frac{\theta - 1}{\theta} \right) + f'(k_1) \gamma_z z \quad (A.2) $$

Cette relation montre que la condition $z(t) > \frac{2(\theta-1)}{\theta}$ impose $\gamma_z > 0$ à chaque instant. En effet, $\gamma_z(T) \le 0$ pour un $T$ quelconque, impliquerait nécessairement
(compte tenu de $f''(k_1) < 0$, $\dot{k}_1 > 0$ et $f'(k_1) > 0$) : $\dot{\gamma}_z(t) < 0$ et donc $\gamma_z(t) < 0$ pour tout $t \ge T$, ce qui est incompatible avec la convergence vers l'équilibre stationnaire. ■

Cette démonstration vaut pour le modèle sans croissance de la population, sans amortissement du capital et sans croissance exogène de la productivité du travail. Dans une spécification plus générale où au moins l'un de ces paramètres serait strictement positif, la démonstration est encore valide pourvu que l'on ait $\theta \ge \alpha$, ce qui n'est pas une condition forte (voir Barro et Sala-I-Martin [1995]). Notons de plus que cette remarque ne signifie pas que l'hypothèse $\theta < \alpha$ invaliderait nécessairement le lemme et/ou la proposition 1, mais seulement que cette voie de démonstration ne pourrait plus être utilisée.

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