# Intéraction fluide coque en SPH

Bertrand Maurel, Alain Combescure, Serguei Potapov

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Bertrand Maurel, Alain Combescure, Serguei Potapov. Intéraction fluide coque en SPH. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01492455

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Submitted on 20 Mar 2017

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# Intéraction fluide coque en SPH

## Modélisation SPH de l'intéraction fluide structure dans le cas d'un réservoir sous impact

Bertrand Maurel* — Alain Combescure* — Serguei Potapov**

* Laboratoire de Mécanique des contacts et des Solides, INSA Lyon / UMR CNRS 20 avenue Albert Einstein 69621 Villeurbanne Cedes

bertrand.maurel@insa-lyon.fr

**Electricité de France, Direction des études et recherces
1 avenue du général de Gaulle BP 40892141 Clamart Cedex

RÉSUMÉ. Dans cet article est présentée une nouvelle méthode de modélisation d'intéractions fluide-structure adaptée à la prédiction de ruptures de parois de réservoirs remplis de fluide. La méthode se base sur un modèle SPH pour le fluide et un autre pour la coque. Cet article présente le model SPH coque utilisé ainsi que la technique utilisée pour gérer l'intéraction.

ABSTRACT. In this paper, we present a new model for computation of fluid structure interaction adapted to the prediction of failure under impact loads of shells containing a fluid. The model is based on SPH models for both shell and fluid. The paper presents the models for thin shell structures and finally interaction.

MOTS-CLÉS: SPH,méthodes sans maillages,intéraction fluide structure,coques,méthode pinball

KEYWORDS: SPH,meshless methods, fluid-structure interaction,shells,pinball method
# 1. Introduction

L'impact à des vitesses élevées de l'ordre de plusieurs centaines de m/s d'un réservoir remplis de fluide sur une structure s'accompagne de nombreux phénomènes complexes comme l'éventration du réservoir et la fuite du fluide au travers des déchirures. Ces phénomènes se révèlent particulièrement difficiles à modéliser à l'aide d'outils classiques comme la méthode des éléments finis. En effet les grandes déformations du fluide, les effets de sloshing dans le réservoir, les impacts multiples et la fracturation de solides sont autant de phénomènes complexes et coûteux à traiter lorsque l'on utilise un maillage en particulier à cause des problèmes de remaillage. Le choix a donc été fait de se tourner vers des méthodes plus adaptées, les méthodes dites sans maillage ou meshless et plus particulièrement la méthode SPH. Cette dernière se révèle en effet très intéressante pour ce type de problèmes. Cette méthode se base en effet sur la discrétisation de la matière par un ensemble d'éléments assimilables à des billes. Ces billes ont une connectivité variable ce qui signifie qu'il est très facile de réorganiser les liaisons et en particulier de les casser pour modéliser des détachements de matière. Cette méthode a donc été appliquée ici à la modélisation de coques puis couplée à du fluide lui même modélisé en SPH.

# 2. Le principe de la méthode

La méthode SPH fut l'une des premières méthodes meshless. Elle était initialement destinée à la modélisation du comportement de gaz en astrophysique (Gingold et al., 1977) mais fut ensuite étendue aux fluides ce qui reste encore aujourd'hui son principal champ d'application. Plus récemment elle fut adaptée aux solides (Gray et al., 2001), (Randles et al., 1996) et plus particulièrement aux problèmes d'impacts (Rabczuk et al., 1996).

Le principe de la méthode repose sur une interpolation pour chaque bille des grandes physiques définies sur les billes voisines. On peut ainsi calculer pour chaque bille $i$ une valeure approchée $\tilde{f}$ d'un champ $f$ à l'aide de ses voisines notées $j$ (de volume $V_j$) en ayant recours à une fonction d'interpolation appelée aussi fonction noyau et notée $W(\vec{X}_i - \vec{X}_j)$. On écrit ainsi :

$$f_i = \sum_j f_j \times W(\vec{x}_i - \vec{x}_j) V_j \quad [1]$$

De la même manière il est possible d'évaluer le gradient ou le divergent d'un champ :

$$\nabla f_i = \sum_j f_j \times \nabla W(\vec{x}_i - \vec{x}_j, h) V_j \quad [2]$$
En se basant sur la formule 2 on peut de plus écrire les équations de la méca-
nique des milieux continus, respectivement l’équation de continuité et l’équation de
conservation de la quantité de mouvement :

$$
\left(\frac{\partial \rho}{\partial t}\right)_i = -\rho_i \times \operatorname{div}(\vec{v}) = -\rho_i \sum_j \frac{m_j}{\rho_j} (\vec{v}_i - \vec{v}_j) \vec{\nabla} W(\vec{x}_i - \vec{x}_j, h) \quad [3]
$$

$$
\left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}\right)_i = \operatorname{div}(\sigma) = \sum_j m_j \left(\frac{\sigma_i}{\rho_i^2} + \frac{\sigma_j}{\rho_j^2}\right) \vec{\nabla} W(\vec{x}_i - \vec{x}_j, h) \quad [4]
$$

Ce formalisme s'applique aussi bien à des fluides qu'à des solides, la différence résidant dans le calcul des contraintes. Cependant dans le cas de solides des problèmes de stabilité et de sous intégration apparaissent comme l'ont montré entre autre Mona-ghan (Gray et al., 2001) et Belytschko (Belytschko et al., 2000). Dans le cas où les dé-formations restent raisonnables le recours à une formulation lagrangienne totale ainsi que l'ajout de points de calculs fictis appelés stress points permettent de s'affranchir efficacement de ces problèmes (Belytschko et al., 2005). L'équation 4 est modifiée pour faire intervenir désormais le tenseur des contraintes nominales P. En considé-rant de plus que le matériau est homogène et que les masses volumiques initiales sont égales on peut écrire :

$$
\rho_{0i} \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \right)_i = \sum_j V_j (P_i + P_j) \vec{\nabla}_0 W(\vec{x}_{0i} - \vec{x}_{0j}, h) \quad [5]
$$

La formulation SPH lagrangienne totale présente en outre un grand intérêt en
termes de temps de calcul car on utilise à chaque instant la position initiale des billes
et l'on peut ainsi se passer de coûteuses opérations de recherches de voisins.

3. Méthode SPH adaptée à la modélisation des coques

Le théorie des coque épaisses de Mindlin-Reissner est ici utilisée. On considère
que la position $\vec{X}$ de même que le déplacement $\vec{U}$ de tout point de la coque d’épaisseur
$h$ dont la position dans l’épaisseur est paramètrée par $\xi$ avec $\xi \in [-\frac{h}{2}; \frac{h}{2}]$ peut être
définie uniquement à l’aide de la position $\vec{X}_m$ ou du déplacement $\vec{U}_m$ des points du
plan moyen de la coque :

$$
\vec{X} = \vec{X}_m + \xi \cdot \vec{n} \quad ; \quad \vec{U} = \vec{U}_m + \xi \cdot \Delta \vec{n} \tag{6}
$$
Le vecteur $\vec{n}$ est le vecteur pseudo normal qui modélise l'orientation par rapport
au plan moyen des sections. Il est lui même déterminé pour chaque bille par deux
degrés de liberté suplémentaires en rotation autour des axes du repère local. On calcul
à partir de l'équation 6 les déformations puis les contraintes dans le repère local via
une loi de comportement élastique en contraintes planes. Les contraintes sont ensuite
séparées en une partie constante dans l'épaisseur $\sigma$ et une partie linéaire $\sigma_f(\xi)$. A
partir de $\sigma$ écrit dans le repère global on calcule le tenseur des contraintes nominales
$P$ et comme pour la formulation volumique on applique l'équation de continuité
5. Les contraintes de flexion $\sigma_f$ intégrée dans l'épaisseur donnent les moments de
flexion qui permettent ensuite d'écrire les équations dynamiques d'équilibres en
rotation issues de la théorie des plaques.

Cette formulation SPH coque a ensuite été validée par comparaison avec des
résultats éléments finis de coque épaisse. On présente ici le cas test d'une plaque
carrée de dimensions 1mx1m et d'épaisseur 1cm soumis à une pression uniforme.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.** *Déformée observée en SPH*
*(amplification x3)*</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 2.** *Déformée observée en EF*
(amplification x3)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 3.** *Evolution de la flèche au centre de la plaque avec les méthodes SPH et EF*</figcaption></figure>

Un modèle de plasticité de type global dans l'épaisseur (Zeng et al., 2001) a éga-
lement été introduit. Le même type de validations qu'en élasticité ont été réalisés et
montrent à nouveau une bonne concordance des résultats avec les éléments finis de
coque épaisse.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 4.** Comportement plastique : déformation résiduelle en SPH (x2)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure 5.** Flèches obtenues avec la méthode SPH et des EF COQ4 (x2)</figcaption></figure>

## 4. Intéraction fluide-structure en SPH

Comme il a déjà été évoqué, dans le cas de la coque le formalisme SPH lagrange total pour la partie solide impose de traiter le contact de manière indépendante de la formulation. On utilise pour ce faire la méthode dite des pinballs (Belytschko et al., 1991), (Casadei, 2003) qui permet via un calcul de multiplicateurs de lagrange d'imposer une condition de compatibilité des vitesses au niveau de la zone de contact entre les billes des deux corps impactant. Dans l'attente de résultats expérimentaux cette approche a été validée par comparaison avec une technique existante permettant le couplage entre un fluide SPH et une structure éléments finis (Letellier, 1996). Dans le cas de l'impact 3D d'une colonne d'eau à 500 m/s sur une plaque carrée de dimensions 1mx1mx0.01m la comparaison des déformées observées à divers pas de temps ainsi que l'évolution de la flèche au centre de la plaque révèlent une bonne similitude des résultats.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>**Figure 6.** Intéraction fluide SPH / Coque SPH (t=20ms)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>**Figure 7.** Intéraction fluide SPH / Coque EF (t=20ms)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>**Figure 8.** Intéraction fluide SPH / Coque SPH (t=40ms)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>**Figure 9.** Intéraction fluide SPH / Coque SPH (t=40ms)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>**Figure 10.** *Evolution de la flèche au centre de la plaque pour les deux méthodes*</figcaption></figure>

**5. Conclusion**

Le formalisme SPH obtenue permet bien donc de modéliser le comportement de plaques ou de coques, et permet de plus couplé à un modèle fluide via la méthode pinball de simuler l'impact d'une fluide sur une structure mince.

**6. Bibliographie**

Belytschko T., Guo Y., Liu W. K., Xiao S. P., « A unified stability analysis of meshless particle methods », *International journal for numerical methods in engineering*, vol. 40, p. 1359-1400, 2000.

Belytschko T., Neal M. O., « Contact-Impact by the Pinball method with penalty and Lagrangian Methods », *International journal for numerical methods in engineering*, vol. 31, p. 547-572, 1991.

Belytschko T., Rabczuk T., Xiao S. P., « Stable particle methods based on lagrangian kernels », *Computer methods in applied mechanics and engineering*, vol. 193, p. 1035-1063, 2005.

Casadei F., A General Impact-Contac Algorithm based on hierarchic pinballs for the EUROPLEXUS software system, Technical note n° 265, CCR ISPRA, septembre, 2003.

Gingold R. A., Monaghan J. J., « Smoothed particle hydrodynamics : theory and application to non-spherical stars », *Mon. Not. R. astr. Soc*, vol. 181, p. 375, 1977.

Gray J. P., Monaghan J. J., « SPH elastic dynamics », *Computer methods in applied mechanics and engineering*, vol. 190, p. 6641-6662, 2001.

Letellier A., Contribution à la modélisation d'impacts d'oiseaux sur les aubes des réacteurs d'avions, Thèse de doctorat, Université d'Evry, 1996.

Rabczuk T., Belytschko T., « SPH for high velocity impact », *Computer methods in applied mechanics and engineering*, vol. 139, p. 347-373, 1996.

Randles P. W., Libersky L. D., « Smoothed Particle Hydrodynamics : Some recent improvements and applications », *Computer methods in applied mechanics and engineering*, vol. 139, p. 375-408, 1996.

Zeng Q., Combescure A., Arnaureau F., « An efficient plasticity algorithm for shell elements application to metal forming simulations », *Computers and Structures*, vol. 79, p. 1525-1540, 2001.