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BLAISE PASCAL

SALOMON SAMBOU & MANSOUR SANÉ

Résolution du $\partial$ pour les formes différentielles ayant une valeur au bord au sens des courants dans un domaine strictement pseudoconvexe

Volume 18, n° 2 (2011), p. 323-331.

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Publication éditée par le laboratoire de mathématiques
de l'université Blaise-Pascal, UMR 6620 du CNRS
Clermont-Ferrand — France
# Résolution du $\bar{\partial}$ pour les formes différentielles ayant une valeur au bord au sens des courants dans un domaine strictement pseudoconvexe

SALOMON SAMBOU
MANSOUR SANÉ

## Résumé

On résout le $\bar{\partial}$ pour les formes admettant une valeur au bord au sens des courants sur un domaine strictement pseudoconvexe de $C^n$.

*The $\bar{\partial}$-problem for a form with distribution boundary value on a strictly pseudoconvex domain*

## Abstract

We solve the $\bar{\partial}$ operator for forms with distribution boundary values on a strictly pseudoconvex domain of $C^n$.

## 1. Introduction et Préliminaires

Dans ce travail, nous montrons que si $f$ est une forme qui a une valeur au bord au sens des courants et $\bar{\partial}$ fermée sur un domaine strictement pseudoconvexe de $C^n$, alors il existe une forme $u$ à valeur au bord au sens des courants telle que $\bar{\partial}u = f$. Il s'agit donc de prouver le théorème suivant :

**Théorème 1.1** (Théorème Principal). *Soit $\Omega$ un domaine strictement pseudoconvexe à bord lisse de classe $C^\infty$ et soit $f$ une $(0, r)$ forme différentielle de classe $C^\infty$ $\bar{\partial}$ fermée admettant une valeur au bord au sens des courants, $1 \le r \le n$. Il existe une $(0, r-1)$ forme différentielle $g$ de classe $C^\infty$ ayant une valeur au bord au sens des courants, telle que $\bar{\partial}g = f$.*

<footnote>Mots-clés: Opérateur de Cauchy-Riemann, Formes Différentielles, Valeur au Bord, Croissance Polynomiale, Courant Prolongeable.</footnote>

<footnote>Classification math.: 32W05, 32W50.</footnote>
Selon Lojaciewicz et Tomassini [3], si une forme $f$ admet une valeur au bord au sens des courants sur $\Omega \subset \subset \mathbb{C}^n$, alors il existe un courant $F$ à support compact sur $\bar{\Omega}$ telle que $F|_{\bar{\Omega}} = f$. Ceci entraîne que $f$ est un courant prolongeable et donc d'ordre fini $l$.

Nous savons d'après [5] que si $f$ est un courant prolongeable $\bar{\partial}$ fermé, alors il existe un courant prolongeable $U$ sur $\Omega$ tel que $\bar{\partial}U = f$. Cependant [5] ne nous permet pas de dire qu'il existe une forme de classe $C^\infty U$ avec valeur au bord au sens des courants telle que $\bar{\partial}U = f$.

Pour établir ce théorème nous montrons que pour un courant prolongeable $f$ sur $\Omega$, d'ordre $l$ et $\bar{\partial}$ fermé, il existe une solution $U$ du $\bar{\partial}$ qui est aussi un courant prolongeable d'ordre $l$. Soit $S$ une extension, d'ordre $l$ à support compact sur $\bar{\Omega}$, de $U$; et posons $F = \bar{\partial}S$. D'après la formule de $\bar{\partial}$-homotopie de [2], on a $S = R_\epsilon S + A_\epsilon F + \bar{\partial}A_\epsilon S$, où $R_\epsilon$ est un opérateur régularisant et $A_\epsilon$ un opérateur qui augmente la régularité de $\frac{1}{2}$. Ainsi $S_\epsilon = R_\epsilon S + A_\epsilon F$ est une autre solution du $\bar{\partial}$ de $F$. Nous montrons qu'elle a une valeur au bord au sens des courants en partant d'un résultat préliminaire où nous montrons qu'une forme différentielle à croissance polynomiale sur $\Omega$ admet une valeur au bord au sens des courants.

**Définition 1.2.** Soit $\Omega \subset \subset \mathbb{C}^n$ un domaine à bord lisse de classe $C^\infty$ de fonction définissante $\rho$. Posons $\Omega_\epsilon = \{z \in \Omega \mid \rho(z) < -\epsilon\}$ et $b\Omega_\epsilon$ désigne le bord de $\Omega_\epsilon$.

Soit $f$ une fonction de classe $C^\infty$ sur $\Omega$. On dit que $f$ admet une valeur au bord au sens des distributions, s'il existe une distribution $T$ définie sur le bord $b\Omega$ de $\Omega$ telle que pour toute fonction $\varphi \in C^\infty(b\Omega)$, on ait :

$$ \lim_{\epsilon \to 0} \int_{b\Omega_\epsilon} f\varphi_\epsilon d\sigma = \langle T, \varphi \rangle $$

où si $\tilde{\varphi}$ est une extension de $\varphi$ à $\Omega$ et $i_\epsilon : b\Omega_\epsilon \to \mathbb{C}^n$ l'injection canonique, $\varphi_\epsilon = i_\epsilon^* \tilde{\varphi}$; $d\sigma$ désigne l'élément de surface.

Une forme différentielle de classe $C^\infty$ sur $\Omega$ admet une valeur au bord au sens des courants si ses coefficients ont une valeur au bord au sens des distributions.

**Définition 1.3.** On dit qu'une fonction $f$ de classe $C^\infty$ définie sur $\Omega$ est à croissance polynomiale d'ordre $N \ge 0$, s'il existe une constante $C$ telle que pour tout $z \in \Omega$, on a :

$$ |f(z)| \le \frac{C}{d(z)^N} $$
## LE $\bar{\partial}$ POUR UNE FORME À VALEUR AU BORD

où $d(z)$ désigne la distance de $z$ au bord de $\Omega$.

**Notation 1.4.** Soit $\Omega$ un domaine de $\mathbb{C}^n$, on note $H_{0,k}^{p,q}(\Omega)$ le $(p,q)$-ième groupe de $\bar{\partial}$ cohomologie des formes différentielles de classe $C^k$ et à support compact dans $\Omega$ et $H_{0,k,cour}^{p,q}(\Omega)$ le $(p,q)$-ième groupe de $\bar{\partial}$ cohomologie des courants d'ordre $k$ à support compact dans $\Omega$. Les $(p,q)$ formes différentielles de classe $C^k$ et à support compact sur $\bar{\Omega}$ sont notées $D_k^{p,q}(\bar{\Omega})$.

**Remerciements :** Ce travail a été réalisé grâce au projet FIRST du ministère chargé de la recherche scientifique du Sénégal

## 2. Résolution du $\bar{\partial}$ pour les courants prolongeables d'ordre $N$

Nous allons nous intéresser à la résolution du $\bar{\partial}$ pour les courants de bidegré $(p, q)$ d'ordre $N$ sur $\Omega$ et prolongeables, où $\Omega$ est un domaine strictement pseudoconvexe de $\mathbb{C}^n$. D'après [4] ces courants sont les duaux topologiques des $(n-p, n-q)$ formes différentielles de classe $C^N$ à support compact sur $\bar{\Omega}$. La technique de résolution est identique à celle de [5], dans lequel S. Sambou a résolu le $\bar{\partial}$, pour les courants prolongeables. Il montre qu'il existe une solution du $\bar{\partial}$ pour un courant prolongeable. Ici nous montrons que si le courant est prolongeable d'ordre $l$, alors il admet une solution du $\bar{\partial}$ qui est aussi un courant prolongeable d'ordre $l$.

Nous avons d'abord la proposition suivante; il s'agit de la résolution du $\bar{\partial}$ avec condition de support :

**Proposition 2.1.** Soit $\Omega$ un domaine strictement pseudoconvexe à bord lisse de classe $C^\infty$. Si $f \in D_k^{p,r}(\bar{\Omega}) \cap \ker \bar{\partial}$, alors il existe $g \in D_k^{p,r-1}(\bar{\Omega})$ telle que $\bar{\partial}g = f$ sur $\mathbb{C}^n$, pour $1 \le r \le n-1$.

*Démonstration.* Soit $f \in D_k^{p,r}(\bar{\Omega}) \cap \ker \bar{\partial}$, puisque

$$H_{0,k}^{p,r}(\mathbb{C}^n) \approx H_{0,\infty}^{p,r}(\mathbb{C}^n) = 0,$$

il existe $h \in D_k^{p,r-1}(\mathbb{C}^n)$ telle que $\bar{\partial}h = f$. Puisque $h$ est une $(p, r-1)$ forme sur $\mathbb{C}^n$ à support compact, on a $\bar{\partial}h|_{\mathbb{C}^n \setminus \bar{\Omega}} = 0$. Si $r=1$, alors $h|_{\mathbb{C}^n \setminus \bar{\Omega}}$ est une $(p, 0)$ forme holomorphe à support compact. Le principe du prolongement analytique entraîne $h = 0$ sur $\mathbb{C}^n \setminus \bar{\Omega}$. Si $r \ge 1$ alors $h|_{\mathbb{C}^n \setminus \bar{\Omega}}$ est une $(p, r-1)$ forme différentielle à support compact et de classe $C^k$. D'après le théorème (3-1) de [1], il existe $\theta \in C_k^{p,r-2}(\mathbb{C}^n \setminus \Omega)$ telle que $\bar{\partial}\theta = h|_{\mathbb{C}^n \setminus \bar{\Omega}}$. Soit $\tilde{\theta}$ une
extension de $\theta$ à $\bar{\Omega}$ posons $u = h - \bar{\partial}\tilde{\theta}$, alors $\bar{\partial}u = \bar{\partial}h = f$ et $u$ est à support compact sur $\bar{\Omega}$. $\square$

Le résultat principal de cette section est le suivant :

**Théorème 2.2.** Soit $\Omega \subset\subset \mathbb{C}^n$ un domaine strictement pseudoconvexe à bord lisse de classe $C^\infty$. Si $T$ est un courant de bidegré $(0, r)$, d'ordre $N$, prolongeable et $\bar{\partial}$ fermé sur $\Omega$, alors il existe un courant $S$ de bidegré $(0, r-1)$, d'ordre $N$, sur $\Omega$, prolongeable, et tel que $\bar{\partial}S = T$ sur $\Omega$ pour $1 \le r \le n$.

*Démonstration.* Considérons l'application

$$L_T : \bar{\partial} D_N^{n,n-r}(\bar{\Omega}) \to \mathbb{C}$$

qui à $\bar{\partial}\varphi$ associe $\langle T, \varphi \rangle$.

**Lemme 2.3.** $L_T$ est bien définie.

*Preuve du Lemme 2.3.* Si $\bar{\partial}\varphi = \bar{\partial}\varphi'$ alors $\varphi - \varphi'$ est une $(n, n-r)$ forme différentielle de classe $C^N$, à support compact sur $\bar{\Omega}$ et $\bar{\partial}$ fermée.

Si $n-r=0$, alors $\varphi - \varphi'$ est une $(n,0)$ forme holomorphe à support compact. Donc $\varphi - \varphi' = 0$ grâce au principe du prolongement analytique. On a $\langle T, \varphi \rangle = \langle T, \varphi' \rangle$.

Si $n-r \ge 1$, alors $\varphi - \varphi'$ est une $(n, n-r)$ forme différentielle de classe $C^N$ à support compact sur $\bar{\Omega}$. D'après la proposition 2.1 $\varphi - \varphi' = \bar{\partial}\theta$ où $\theta \in D_N^{n,n-r-1}(\bar{\Omega})$ qui est un espace de Banach. Puisque $D_N^{n,n-r-1}(\Omega)$ est dense dans $D_N^{n,n-r-1}(\bar{\Omega})$, il existe $(\theta_j)_{j \in \mathbb{N}}$ une famille d'éléments de $D_N^{n,n-r-1}(\Omega)$ telle que

$$\lim_{j \to +\infty} \theta_j = \theta \text{ dans } D_N^{n,n-r-1}(\bar{\Omega}). \text{ On a alors}$$

$$\langle T, \bar{\partial}\theta \rangle = \lim_{j \to +\infty} \langle T, \bar{\partial}\theta_j \rangle = 0.$$

Ce qui entraîne $\langle T, \varphi \rangle = \langle T, \varphi' \rangle$. Donc $L_T$ est bien définie. $\square$

**Lemme 2.4.** $L_T$ est continue.

*Preuve du Lemme 2.4.* Pour $1 \le r \le n-1$, l'opérateur

$$\bar{\partial} : D_N^{n,n-r}(\bar{\Omega}) \to D_N^{n,n-r+1}(\bar{\Omega}) \cap \ker \bar{\partial}$$

est linéaire continu et surjectif entre espaces de Banach, donc ouvert. Pour montrer que $L_T$ est continue, il suffit de montrer que l'image réciproque de tout ouvert $U$ de $\mathbb{C}$ par $L_T$ est un ouvert de $D_N^{n,n-r}(\bar{\Omega})$. Soit $U$ un
## LE $\bar{\partial}$ POUR UNE FORME À VALEUR AU BORD

ouvert de $\mathbb{C}$, puisque $L_T \circ \bar{\partial} = T$, on a $L_T^{-1}(U) = \bar{\partial}(T^{-1}(U))$. $T^{-1}(U)$ est ouvert et $\bar{\partial}$ est une application ouverte d'où $L_T^{-1}(U)$ est un ouvert. $\square$

### Suite de la preuve du théorème.

D'après le lemme 2.3 et le lemme 2.4 l'application $L_T$ est bien définie et continue. Il est évident qu'elle est aussi linéaire. De plus

$$ \bar{\partial} D_N^{n,n-r}(\bar{\Omega}) = D_N^{n,n-r+1}(\bar{\Omega}) \cap \ker \bar{\partial} \subset D_N^{n,n-r+1}(\bar{\Omega}). $$

Donc

$$ L_T : \bar{\partial} D_N^{n,n-r}(\bar{\Omega}) \to \mathbb{C} $$

est définie linéaire et continue. D'après le théorème de Hahn-Banach $L_T$ se prolonge en une forme $\tilde{L}_T$ linéaire et continue sur $D_N^{n,n-r+1}(\bar{\Omega})$. $\tilde{L}_T$ est un courant prolongeable d'ordre $N$ et $\bar{\partial} \tilde{L}_T = (-1)^r T$. $\square$

## 3. Application à la résolution du $\bar{\partial}$ pour les formes ayant une valeur au bord au sens des courants

**Proposition 3.1.** *Soit $\Omega$ un domaine à bord lisse de classe $C^\infty$ et soit $f$ une fonction à croissance polynomiale sur $\Omega$; Alors $f$ admet une valeur au bord au sens des distributions.*

*Démonstration.* Elle est en trois parties.

Considérons $\varphi$, $\varphi_\varepsilon$ et $\tilde{\varphi}$ comme dans la définition 1.2.

(1) On montre dans la première partie que si $\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{b\Omega_\varepsilon} f\varphi_\varepsilon d\sigma$ existe, alors elle ne dépend pas de l'extension $\tilde{\varphi}$ de $\varphi$ choisie.

(2) Dans la deuxième partie on montre que $\left( \int_{b\Omega_\varepsilon} f\varphi_\varepsilon d\sigma \right)_{\varepsilon>0}$ est une famille de Cauchy.

(3) Enfin dans la troisième partie on montre que l'application qui à $\varphi \in C^\infty(b\Omega)$ —→ $\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{b\Omega_\varepsilon} f\varphi_\varepsilon d\sigma$ définit une distribution sur $b\Omega$.

(1) Démonstration de la première partie :

Soit $\tilde{\varphi}$ et $\tilde{\varphi}'$ deux extensions $C^\infty$ de $\varphi$; Donc $\tilde{\varphi} - \tilde{\varphi}' = 0$ à l'ordre infini sur $b\Omega$. Posons $\psi = \tilde{\varphi} - \tilde{\varphi}'$. Soit $x \in b\Omega_\varepsilon$ et soit $x_0$ le point le plus proche de $x$ dans $b\Omega$, d'après la formule de Taylor

$$ \begin{aligned} \psi(x) - \psi(x_0) &= o(\|x - x_0\|^k), \quad \forall k > 0 \\ &= o(\varepsilon^k), \quad \forall k > 0. \end{aligned} $$
Ceci entraîne que $\psi(x) = o(\varepsilon^k)$, $\forall k > 0$.

Soit $N$ l'ordre de $f$; on a :

$$ \left| \int_{b\Omega_{\varepsilon}} f\psi d\sigma \right| \le \int_{b\Omega_{\varepsilon}} |f\psi| d\sigma \le C \int_{b\Omega_{\varepsilon}} \frac{o(\varepsilon^k)}{\varepsilon^N} \quad \forall k > 0. $$

Il suffit de choisir $k > N$ pour que :

$$ \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{b\Omega_{\varepsilon}} f\varphi_{\varepsilon} d\sigma = 0; $$

d'où le résultat

(2) Démonstration de la deuxième partie :

Puisque $f$ est prolongeable en une distribution $F$ à support compact, donc $F$ est d'ordre fini $m$, et on a :

$$ \langle F, \varphi \rangle = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\Omega_{\varepsilon}} f\varphi dV $$

où $dV$ désigne l'élément de volume.

En plus, si $F$ prolonge $f$, alors $\frac{\partial F}{\partial x_j}$ prolonge $\frac{\partial f}{\partial x_j}$ au sens des distributions, $\forall j = 1, 2, \dots, n$.

$$ \int_{b\Omega_{\varepsilon}} f\varphi_{\varepsilon} d\sigma = \int_{\Omega_{\varepsilon}} d(f\tilde{\varphi} d\sigma) = \sum_{j=1}^{2n} \left( \int_{\Omega_{\varepsilon}} dx_j \frac{\partial f}{\partial x_j}(\tilde{\varphi} d\sigma) + \int_{\Omega_{\varepsilon}} f dx_j \left( \frac{\partial}{\partial x_j}(\tilde{\varphi} d\sigma) \right) \right). $$

$$ \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\Omega_{\varepsilon}} dx_j \frac{\partial f}{\partial x_j}(\tilde{\varphi} d\sigma) = \langle \frac{\partial F}{\partial x_j}, \tilde{\varphi} \rangle, $$

$$ \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\Omega_{\varepsilon}} f dx_j \left( \frac{\partial}{\partial x_j}(\tilde{\varphi} d\sigma) \right) = \langle F, \frac{\partial}{\partial x_j} \tilde{\varphi} \rangle. $$

D'où

$$ \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{b\Omega_{\varepsilon}} f\varphi_{\varepsilon} d\sigma \text{ existe;} $$

d'où le résultat

(3) Démonstration de la troisième partie.
## LE $\bar{\partial}$ POUR UNE FORME À VALEUR AU BORD

L'application

$$ 
\begin{aligned}
C^\infty(b\Omega) & \to \mathbb{C} \\
\varphi & \to \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{b\Omega_\varepsilon} f \varphi_\varepsilon d\sigma
\end{aligned}
$$

est une application linéaire.

Il suffit de montrer qu'elle est continue pour qu'elle définisse une distribution.

Puisque $\int_{b\Omega_\varepsilon} f \varphi_\varepsilon d\sigma$ a une limite qui ne dépend pas de l'extension choisie, choisissons $\tilde{\varphi}$ telle que :

$$ \|\tilde{\varphi}\|_{m, \bar{\Omega}} \le C \|\varphi\|_{m, b\Omega}, \text{ où } m \text{ est l'ordre de } F. $$

$$ 
\begin{aligned}
\left| \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{b\Omega_\varepsilon} f \varphi_\varepsilon d\sigma \right| &= \left| \sum_{j=1}^{2n} \left( \left\langle \frac{\partial F}{\partial x_j}, \tilde{\varphi} \right\rangle \pm \left\langle F, \frac{\partial \varphi}{\partial x_j} \right\rangle \right) \right| \\
&\le C' \|\tilde{\varphi}\|_{m+1, \bar{\Omega}} \\
&\le C' \|\varphi\|_{m+1, b\Omega};
\end{aligned}
$$

d'où le résultat.

□

### *Preuve du Théorème Principal.*

D'après [3], $f$ est un courant prolongeable d'ordre $l$, il existe un courant $F$ d'ordre $l$ à support compact sur $\bar{\Omega}$ qui prolonge $f$. D'après le théorème précédent $f = \bar{\partial}U$ où $U$ est un courant prolongeable sur $\Omega$ de même ordre que $f$. Soit $S$ une extension, d'ordre $l$ à support compact sur $\bar{\Omega}$, de $U$, avec $F = \bar{\partial}S$. D'après la formule de $\bar{\partial}$-homotopie de [2], on a $S = R_\epsilon S + A_\epsilon F + \bar{\partial}A_\epsilon S$, où $R_\epsilon$ est un opérateur régularisant et $A_\epsilon$ un opérateur qui augmente la régularité de $\frac{1}{2}$. Ainsi $R_\epsilon S + A_\epsilon F$ est une autre solution du $\bar{\partial}$ de $F$. Or $R_\epsilon S$ est une forme de classe $C^\infty$ à support compact dans un $\epsilon$ voisinage du support de $S$, donc bornée sur $\bar{\Omega}$. Donc $A_\epsilon F$ est le mauvais terme de la solution $R_\epsilon S + A_\epsilon F$, au sens où il n'admet pas immédiatement de valeur au bord. Sa régularité est meilleure que celle de $F$ dans un $\epsilon$ voisinage du support de $F$. Puisque $F$ est $C^\infty$ sur $\Omega$, $A_\epsilon F$ est donc $C^\infty$ sur $\Omega$. Montrons qu'il a une valeur au bord au sens des courants. Il nous suffit pour avoir le théorème de montrer que $A_\epsilon F$ restreinte à $\Omega$ admet une valeur au bord au sens des courants. Or $A_\epsilon F$ est de même nature que $\langle F, K(z, \xi) \rangle$ où $K(z, \xi)$ est le noyau de Bochner Martinelli Koppelmann.
Nous allons donc montrer que $\langle F, K(z, \xi) \rangle$ admet une valeur au bord au sens des courants.

$u(z) := \langle F, K(z, \xi) \rangle$ pour tout $z \in \Omega$. Soit $z \in \Omega$, $\rho$ une fonction à support compact sur $B(z, \frac{d(z)}{2})$ comprise entre 0 et 1 qui vaut 1 sur $B(z, r(z) = \frac{d(z)}{4})$, où $d(z)$ est la distance de $z$ au bord de $\Omega$. On a :

$$u(z) = \langle F, \rho K(z, \xi) \rangle + \langle F, (1 - \rho) K(z, \xi) \rangle.$$

$$\text{Posons } u_1(z) = \langle F, \rho K(z, \xi) \rangle = \int_{z \in \Omega} \rho f \wedge K(z, \xi).$$

$u_1$ est une forme de classe $C^\infty$ sur $\bar{\Omega}$; donc admet une valeur au bord au sens des courants.

Posons $u_2(z) = \langle F, (1 - \rho)K(z, \xi) \rangle$. Puisque $l$ est l'ordre du courant $F$ qui prolonge $f$, on a :

$$
\begin{align*}
u_2(z) &\le C \|(1-\rho)K(z, \xi)\|_{l, \bar{\Omega}} \\
&\le C \|(1-\rho)K(z, \xi)\|_{l, \bar{\Omega} \setminus \bar{B}(z,r(z))} \\
&\le \sup_{\xi \in \bar{\Omega} \setminus \bar{B}(z,r(z))} \frac{C'}{|\xi-z|^{2n-1+l}} + \text{des termes moins} \\
&\qquad \text{mauvais} \\
&\le \sup_{\xi \in \bar{\Omega} \setminus \bar{B}(z,r(z))} \frac{C''}{|\xi-z|^{2n-1+l}} \\
&\le \sup_{\xi \in \bar{\Omega} \setminus B(z,r(z))} \frac{C''}{|\xi-z|^{2n-1+l}} \\
&\le \frac{C'''}{d(z)^{2n-1+l}}.
\end{align*}
$$

Donc $u_2$ est une forme à croissance polynomiale sur $\Omega$; elle admet alors une valeur au bord au sens des courants d'après la proposition 3.1. $\square$

Références

[1] J. L. C. LAURENT-THIEBAULT – « Andreotti-vesentini separation theorem with $c^k$ estimates and extension of $cr$ forms », *Mathematical Notes 38 Princeton University* (1993), p. 416–436.
## LE $\bar{\partial}$ POUR UNE FORME À VALEUR AU BORD

[2] E. M. CHIRKA – « Regularization and $\bar{\partial}$-homotopy on a complex manifold », *Soviet Math. Dokl.* **20** (1979), p. 73–76.

[3] S. LOJACIEWIECZ & G. TOMASSINI – « Valeurs au bord des forms holomorphes », in *Several Complex Variables* (P. Scuola. Norm. Sup. Pisa, éd.), Cortona, 1976 77, 1978, p. 222–246.

[4] A. MARTINEAU – « Distributions et valeurs au bord des fonctions holomorphes », in *Theory of Distributions* (Proc. Internat. Summer Inst., Lisbon, 1964), Inst. Gulbenkian Ci., Lisbon, 1964, p. 193–326.

[5] S. SAMBOU – « Résolution du $\bar{\partial}$ pour les courants prolongeables », *Math. Nachrichten* **235** (2002), p. 179–190.

SALOMON SAMBOU
Laboratoire de Mathématiques et
applications
Université de Ziguinchor
Ziguinchor BP 523
SENEGAL
ssambou@refer.sn

MANSOUR SANÉ
Laboratoire de Mathématiques et
applications
Université de Ziguinchor
Ziguinchor BP 523
SENEGAL
sanemansour@yahoo.fr