VINCENT ZOONEKYND

Théorème de Van Kampen pour les champs algébriques

Annales mathématiques Blaise Pascal, tome 9, n° 1 (2002), p. 101-145

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# Théorème de Van Kampen
pour les champs algébriques

Vincent Zoonekynd

## Résumé

We define a category whose objects are finite étale coverings of an
algebraic stack and prove that it is a Galois category and that it allows
one to compute the fundamental group of the stack.

We then prove a Van Kampen theorem for algebraic stacks whose
simplest form reads : Let $U$ and $V$ be open substackks of an algebraic
stack $X$ with $X = U \cup V$, let $P$ be a set of base points, at least one
in each connected component of $X$, $U$, $V$ and $U \cap V$, then there is a
cocartesian square of fundamental progroupoids

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## Introduction

Le groupe fondamental d'un espace topologique (semi-localement sim-
plement connexe) peut se définir de deux manières : à l'aide de chemins
tracés sur cet espace ou à l'aide de ses revêtements. Cette deuxième fini-
tion se généralise aisément aux schémas : la catégorie des revêtements finis
d'un schéma X, i.e., la catégorie dont les objets sont les morphismes étales
finis $Y \to X$ et dont les morphismes $(Y \to X) \to (Y' \to X)$ sont les dia-
grammes commutatifs

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est galoisienne, i.e., équivalente à la catégorie des ensembles finis munis d'une
action continue d'un certain groupe profini, uniquement déterminé (à isomor-
V. ZOONEKYND

phisme non unique près) ; c'est ce groupe que l'on définit comme le groupe
fondamental profini du schéma X.

Nous nous intéressons à la généralisation de ces résultats aux champs algébriques [8, 15], qui apparaissent par exemple dans l'étude des espaces de modules de courbes : on peut les voir comme des « objets géométriques » qui « ressemblent localement », pour la topologie étale, à des quotients de schémas par des groupes finis, ou comme des analogues algébriques des orbifolds [14, 11]. On peut définir le groupe fondamental d'un champ algébrique à l'aide de schémas simpliciaux [12, 3] où à l'aide de faisceaux étales localement constants finis [9, 10, 16] qui jouent le rôle des revêtements. Une définition du groupe fondamental d'un champ algébrique à l'aide d'une catégorie de revêtements est problématique, car les champs algébriques ne forment pas tant une catégorie qu'une 2-catégorie. Nous montrons comment définir cette 1-catégorie de revêtements (définitions 2, 3) et montrons qu'elle est galoisienne et équivalente à la catégorie des faisceaux étales localement constants finis (théorème 3) : elle permet donc de calculer le groupe fondamental d'un champ.

Nous nous intéressons ensuite à l'un des moyens de calculer des groupes fondamentaux : le théorème de Van Kampen. Sous sa forme classique, il permet de calculer le groupe fondamental d'une réunion $U \cup V$, connaissant celui des morceaux $U, V$ et de leur intersection $U \cap V$, sous réserve tout soit connexe. Il peut aussi se formuler en termes de *grupoïdes* [1], ce qui permet de se libérer des hypothèses de connexité. Le théorème de Van Kampen est déjà connu pour les orbifolds : il est par exemple démontré par [7] à l'aide d'espaces classifiants ou par [13, 4.13] à l'aide de la propriété universelle définissant le grupoïde fondamental. Quant-à nous, c'est à l'aide de la théorie de la descente [4] que nous établirons un théorème de Van Kampen pour le grupoïde fondamental d'un champs algébrique, et retrouverons donc le résultat pour les orbifolds (théorème 5).

Voici maintenant le plan de ce travail.

Dans une première section, nous rappelons la définition du groupe fondamental d'un champ algébrique à l'aide de faisceaux étales localement constants finis [9, 10, 16, 17].

Dans une seconde section, nous considérons une 2-catégorie $\mathcal{C}$ et un objet $X \in \text{Ob}\mathcal{C}$ et nous définissons la 2-catégorie $\mathcal{C}/X$ des objets de $\mathcal{C}$ au dessus de $X$, puis la 1-catégorie associée; nous montrons que ces notions se comportent « bien » vis-à-vis des produits fibrés.

Dans une troisième section, nous utilisons ces constructions pour définir
la 2-catégorie des revêtements étales finis d'un champ algébrique $X$, comme une sous-catégorie pleine de la 2-catégorie $\mathcal{Champs}/X$ des champs au dessus de $X$, puis montrons que la 1-catégorie associée est équivalente à la catégorie des faisceaux étales localement constants finis sur $X$: elle permet de calculer le groupe fondamental.

Dans une quatrième section, nous énonçons un théorème de Van Kampen pour le calcul du grupoïde fondamental d'un topos dans lequel on a choisi des points-base et le démontrons à l'aide du théorème de Van Kampen « usuel » exprimé en termes de données de descente.

Dans une cinquième et dernière section, nous appliquons ce théorème au cas des champs algébriques.

# 1 Grupoïde fondamental d'un champ algébrique

Nous rappelons brièvement les résultats de [9] et [17, 16] définissant le progrupoïde fondamental d'un topos localement connexe, en particulier du topos des faisceaux étales sur un champ algébrique, à partir de la sous-catégorie des objets localement constants, qui est équivalente au topos clas-sifiant d'un progrupoïde.

**Notation:** Si $\mathcal{T}$ est un topos, nous noterons $\emptyset$ son objet initial et $*$ son objet final.

**Définition:** Un objet $X$ d'un topos $\mathcal{T}$ est **connexe** si pour tout isomorphisme $X \simeq A \amalg B$, on a $A \simeq \emptyset$ ou $B \simeq \emptyset$.

**Définition:** Un topos est **localement connexe** s'il est engendré par ses objets connexes ou, ce qui revient au même, si le foncteur **objet constant**

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \mathcal{Ens} & \to & \mathcal{T} \\ I & \mapsto & I_{\mathcal{T}} = \coprod_{i \in I} * \end{array} \right. $$

(où $\mathcal{Ens}$ désigne la catégorie des ensembles) possède un adjoint à gauche, noté $\pi$ et appelé foncteur « composantes connexes ».

**Définition:** Un objet $F$ d'un topos $\mathcal{T}$ est **trivialisé** par un objet $U$ si sa restriction $F|_U = (F \times U \to U)$ est un objet constant de $\mathcal{T}/U$.
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**Définition:** Un objet *F* d'un topos *T* est **localement constant** s'il existe un crible *R* couvrant l'objet final *T* tel que tous les objets connexes de *R* trivialisent *F*.

**Définition:** Un **point** d'un topos $\mathcal{T}$ est un morphisme de topos depuis le topos ponctuel (la catéorie des ensembles), i.e., $\mathcal{E}\mathcal{n}\mathcal{s} \to \mathcal{T}$.

Les points d'un topos $\mathcal{T}$ et leurs isomorphismes forment un **grupoïde** que nous noterons $\mathcal{P}\mathcal{o}\mathcal{i}\mathcal{n}\mathcal{s} \mathcal{T}$.

Si $G$ est un grupoïde, nous noterons $\mathfrak{BG}$ son **topos classifiant**, i.e., la catégorie des préfaisceaux sur le grupoïde opposé à $G$. Par exemple, si $G$ est un groupe, $\mathfrak{BG}$ est la catégorie des ensembles munis d'une action de $G$ à gauche.

**Théorème 1.1:** Soit $\mathcal{T}$ un topos localement connexe.

Pour tout crible $R$ couvrant l'objet final $T$ de $\mathcal{T}$, la sous-catégorie pleine $\mathrm{LC}(\mathcal{T}, R)$ des objets localement constants trivialisés par les objets connexes de $R$ est équivalente au topos classifiant du grupoïde $\mathcal{P}\mathcal{o}\mathcal{i}\mathcal{n}\mathcal{s}$ $\mathrm{LC}(\mathcal{T}, R)$ des points de $\mathrm{LC}(\mathcal{T}, R)$.

La sous-catégorie pleine $\mathrm{SLC}\mathcal{T}$ des somme disjointes d'objets localement constants de $\mathcal{T}$ est un topos qui s'identifie à la 2-limite projective des topos classifiants de grupoïdes $\mathrm{LC}(\mathcal{T}, R)$,

$$ \mathrm{SLC}\mathcal{T} = \varinjlim_{R \in \mathcal{J}(\ast)} \mathrm{LC}(\mathcal{T}, R). $$

**PREUVE:** Voir [9].

□

**Définition:** Un **point-base** d'un topos localement connexe $\mathcal{T}$ est un morphisme de topos $\mathcal{E}\mathcal{n}\mathcal{s} \to \mathrm{SLC}\mathcal{T}$.

**Remarque:** Un point-base de $\mathcal{T}$ définit une composante connexe de $\mathrm{SLC}\mathcal{T}$ et même de $\mathrm{LC}(\mathcal{T}, R)$ : on peut le démontrer comme suit. D'après [17, I.1.11.a], les composantes connexes de $\mathrm{SLC}\mathcal{T}$ sont exactement celles de $\mathrm{LC}(\mathcal{T}, R)$. Or, d'après [9, 3.2.8],

$$ \mathrm{LC}(\mathcal{T}, R) \approx \mathfrak{B}\mathcal{P}\mathcal{o}\mathcal{i}\mathcal{n}\mathcal{s} \mathrm{LC}(\mathcal{T}, R), $$

où $\mathfrak{B}\mathcal{P}\mathcal{o}\mathcal{i}\mathcal{n}\mathcal{s}$ $\mathrm{LC}(\mathcal{T}, R)$ désigne le topos classifiant du grupoïde des points de $\mathrm{LC}(\mathcal{T}, R)$. Donc un point de $\mathrm{SLC}\mathcal{T}$ définit un point de $\mathrm{LC}(\mathcal{T}, R)$

$$ \mathcal{E}\mathcal{n}\mathcal{s} \to \mathrm{SLC}\mathcal{T} \to \mathrm{LC}(\mathcal{T}, R), $$
## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

i.e., un objet du grupoïde Points $\mathcal{L}C(\mathcal{T}, R)$, donc une composante connexe de ce grupoïde, donc une composante connexe de son topos classifiant.

Un choix de points-bases $P = (p_i : \mathcal{E}ns \to \mathcal{SLC} \mathcal{T})_{i \in I}$, avec au moins un point-base dans chaque composante de $\mathcal{SLC} \mathcal{T}$, permet de définir des grupoïdes $\pi_1(\mathcal{T}, R, P)$, dont l'ensemble des objets est $P$, et des équivalences $\mathcal{LC}(\mathcal{T}, R) \approx \mathcal{B}\pi_1(\mathcal{T}, R, P)$. On a donc

$$ \mathcal{B} \text{ "lim"}_{R \in J(*)} \pi_1(\mathcal{T}, R, P) := \mathbf{2-\lim}_{R \in J(*)} \mathcal{B} \pi_1(\mathcal{T}, R, P) \approx \mathcal{SLC} \mathcal{T}. $$

Nous dirons que $\pi_1(\mathcal{T}, P) = \mathbf{2-\lim}_{R \in J(*)} \pi_1(\mathcal{T}, R, P)$ est le **progrupoïde fondamental** de $\mathcal{T}$.

**Notation:** Par champ algébrique, nous entendrons toujours « champ de Deligne–Mumford » [2, 8, 15]. Les champs algébriques forment une 2-catégorie **Champs** dont les 2-morphismes sont des isomorphismes.

**Définition:** Le **site étale** $X_{\text{ét}}$ d'un champ algébrique $X$ a pour objets les morphismes étales $f : T \to X$, où $T$ est un schéma, pour morphismes $f \to f'$ les couples $(\varphi : T \to T', \alpha : f'\varphi \to f)$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

et pour familles couvrantes les familles épimorphiques.

**Lemme 1.2:** Soit $X$ un champ algébrique. Considérons le site $X'_{\text{ét}}$, dont les objets sont les morphismes étales $f : T \to X$, où $T$ est un champ algébrique, dont les morphismes sont les couples $(\varphi : T \to T', \alpha : f'\varphi \to f)$

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modulo la relation d'équivalence

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

et dont les familles couvrantes sont les familles épimorphiques.

Les topos $\mathfrak{S}h X_{\text{ét}}$ et $\mathfrak{S}h X'_{\text{ét}}$ sont équivalents.

PREUVE: On a un foncteur pleinement fidèle $X_{\text{ét}} \to X'_{\text{ét}}$, la topologie sur $X_{\text{ét}}$ est la trace de celle sur $X'_{\text{ét}}$ et tout objet de $X'$ peut être recouvert par des objets de $X_{\text{ét}}$ : d'après le lemme de comparaison [6, III 4.1], on a donc une équivalence de catégories

$$ \mathfrak{S}h X_{\text{ét}} \approx \mathfrak{S}h X'_{\text{ét}}. $$

□

**Théorème 1.3:** Le topos des faisceaux étales sur un champ algébrique $X$ est localement connexe; on définit alors

$$ \pi_1(X) = \pi_1 \text{SLC } \mathfrak{S}h X_{\text{ét}}. $$

PREUVE: Voir [17].

□

*Remarque:* Ces résultats ont des analogues profinis. Soit $\mathcal{T}$ un topos localement connexe.

Un objet localement constant $F$ est dit **localement constant fini** si pour tout objet $U$ trivialisant $F$, la restriction $F|_U = (F \times U \to U)$ est un objet constant fini de $\mathcal{T}/U$, i.e., une somme disjointe finie de copies de l'objet final de $\mathcal{T}/U$.

La sous-catégorie pleine SLCF $\mathcal{T}$ des sommes disjointes d'objets localement constants finis est équivalente au topos classifiant d'un grupoïde profini.
Un point-base profini de $\mathcal{T}$ est un morphisme de topos $\mathcal{C}\mathfrak{ns} \to \text{SLCF } \mathcal{T}$.

Si $P$ est un ensemble de points-bases profinis de $\mathcal{T}$, au moins un dans chaque composante connexe de $\text{SLCF } \mathcal{T}$, on définit le **grupoïde fondamental profini** de $\mathcal{T}$ comme

$$ \pi_1(\mathcal{T}, P) = \pi_1(\text{SLCF } \mathcal{T}, P). $$

On a alors $\text{SLCF } \mathcal{T} \approx \mathfrak{B}\pi_1(\text{SLCF } \mathcal{T}, P)$.

## 2 Interlude sur les 2-catégories

On peut définir le groupe fondamental (profini) d'un schéma $X$ à l'aide de faisceaux localement constants finis ou à l'aide de revêtements étales, i.e., de morphismes étales et finis vers $X$. Cette seconde description du groupe fondamental ne s'étend pas immédiatement au cas où $X$ est un champ algébrique : en effet, les morphismes étales finis $Y \to X$ ne forment pas une catégorie mais sont des 1-morphismes dans une 2-catégorie — comment en faire une catégorie ?

Étant donnés une 2-catégorie $\mathcal{C}$ et un objet $X$ de $\mathcal{C}$, nous allons donner une définition de la 2-catégorie $\mathcal{C}/X$ des objets au dessus de $X$ et de la catégorie $\text{Cat}(\mathcal{C}/X)$ associée à cette 2-catégorie, de sorte que la notion de 2-produit fibré au dessus de $X$ se transforme d'abord en 2-produit puis en produit. Nous utiliserons ces notions pour construire une 2-catégorie $\text{Rev } X$ puis une catégorie $\text{CatRev } X$ dont les objets sont les revêtements du champ algébrique $X$ et montrerons qu'elle est équivalente à la catégorie $\text{LCFSh } X$ des faisceaux étales localement constants finis sur $X$.

**Définition:** La catégorie $\text{CatC}$ associée à une 2-catégorie $\mathcal{C}$ a pour objets les objets de $\mathcal{C}$ et pour morphismes les classes d'isomorphisme de 1-morphismes de $\mathcal{C}$.

**Lemme 2.1:** *Un 2-produit dans $\mathcal{C}$ devient un produit dans $\text{CatC}$.*

**PREUVE:** Soient $X$ et $Y$ deux objets de $\mathcal{C}$. Montrons que leur 2-produit-fibré $X \times_X Y$ dans $\mathcal{C}$ est aussi leur produit fibré dans $\text{CatC}$.

(a) Le produit de $X$ et $Y$ dans $\text{CatC}$ est un diagramme

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tel que pour tout diagramme

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

il existe un unique morphisme $\varphi : T \to X \times Y$ tel que

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commute.

(b) D'après la définition de $\mathbf{Cat}$, cette propriété s'écrit aussi : pour tout diagramme

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

il existe un morphisme $\varphi : T \to X \times Y$ et des isomorphismes $\alpha_1 : p_1\varphi \to q_1$, $\alpha_2 : p_2\varphi \to q_2$

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

de plus, le morphisme $\varphi$ est unique à isomorphisme (non unique, a priori) près.

(c) Par contre la propriété 2-universelle du 2-produit-fibré s'écrit : pour tout diagramme

<figure><img src="image_11.png" /></figure>
## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

il existe un morphisme $\varphi : T \to X \times Y$ et des 2-isomorphismes $\alpha_1 : p_1\varphi \to q_1$, $\alpha_2 : p_2\varphi \to q_2$

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

de plus, le morphisme $\varphi$ est unique à unique isomorphisme près, au sens suivant : si

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est un autre diagramme comme ci-dessus, il existe un unique isomorphisme

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

tel que le diagramme

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soit 2-commutatif, i.e., les diagrammes

<figure><img src="image_16.png" /></figure>
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La condition (c) implique donc bien la condition (b).

☐

*Définition:* Soit $X$ un objet d'une 2-catégorie $\mathcal{C}$. La 2-catégorie $\mathcal{C}/X$ des objets de $\mathcal{C}$ au dessus de $X$ a pour objets les 1-morphismes $f : Y \to X$ de $\mathcal{C}$, pour 1-morphismes $(Y, f) \to (Z, g)$ les couples $(\varphi : Y \to Z, \alpha : g\varphi \to f)$

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

et pour 2-morphismes $(\varphi, \alpha) \to (\psi, \beta)$ les 2-morphismes

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

tels que le diagramme

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

soit 2-commutatif, i.e., le diagramme suivant commute.

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

**Lemme 2.2:** *Le foncteur d'oubli*

$$ \left\{ \begin{array}{ccc} \mathcal{C}/X & \to & \mathcal{C} \\ (Y \to X) & \longmapsto & Y \end{array} \right. $$

transforme les 2-produits en 2-produits-fibrés.
## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

PREUVE: (a) Un $2$-produit $Y \times Z$ dans $\mathbb{C}/X$ est un diagramme

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tel que pour tout diagramme

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

il existe un morphisme $\varphi$ et des $2$-morphismes $\alpha_1, \alpha_2$,

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

tels que pour tout autre diagramme

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

il existe un unique isomorphisme

<figure><img src="image_25.png" /></figure>
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tel que le diagramme

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

soit 2-commutatif, i.e.,

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

et

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

(b) D'après la définition de $\mathfrak{C}/X$, le 2-produit $X \stackrel{p_2}{\rightleftharpoons} Y$ est un diagramme

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

tel que pour tout diagramme

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

il existe $\varphi, \alpha_1, \alpha_2$ rendant le diagramme suivant 2-commutatif,

<figure><img src="image_31.png" /></figure>
## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

et tel que pour tout autre diagramme 2-commutatif

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

il existe un unique isomorphisme

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

tel que

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

et

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

soient 2-commutatifs (mais comme le premier diagramme est contenu dans le second, on peut l'oublier).

(c) En remarquant que tout diagramme

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

définit un diagramme

<figure><img src="image_37.png" /></figure>
V. ZOONEKYND

et que réciproquement, tout diagramme

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

définit un diagramme

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

on voit que le produit fibré $Y \times_Z Z$ dans $\mathbb{C}/X$ est un diagramme

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

tel que pour tout

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

il existe un diagramme 2-commutatif

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

et tel que pour tout autre diagramme 2-commutatif

<figure><img src="image_43.png" /></figure>
## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

il existe un unique isomorphisme

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

tel que

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

soit 2-commutatif. Mais il s'agit de la propriété 2-universelle définissant le 2-produit-fibré $Y \times_X Z$ dans $\mathcal{C}$. $\square$

*Remarque:* En général, $\mathcal{Cat}(\mathcal{C}/X) \not\approx (\mathcal{Cat}\mathcal{C})/X$. Considérons par exemple la 2-catégorie $\mathcal{C}$ définie par

$$ \mathrm{Ob} \mathcal{C} = \{ X, Y \} $$

$$ \mathrm{hom}(X, X) = \{\mathrm{Id}_X\} $$

$$ \mathrm{hom}(Y, Y) = \{\mathrm{Id}_Y\} $$

$$ \mathrm{Hom}(X, Y) = \emptyset. $$

$$ \mathrm{Ob} \hom(Y, X) = \{a\} $$

$$ \mathrm{Hom}(a, a) = \{\mathrm{Id}_a, \alpha\} $$

$$ \alpha^2 = \mathrm{Id}_a $$

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

La catégorie $\mathcal{Cat}(\mathcal{C}/X)$ a alors $a$ pour seul objet et $\{\mathrm{Id}_a, \alpha\}$ pour morphismes, alors que $(\mathcal{Cat}\mathcal{C})/X$ a $a$ pour seul objet et $\mathrm{Id}_a$ pour seul morphisme.

Nous n'utiliserons pas le résultat suivant par la suite.

**Lemme 2.3:** Soit $U \to X$ un objet d'une 2-catégorie $\mathcal{C}$. On a une équivalence de 2-catégories $(\mathcal{C}/X)/U \approx \mathcal{C}/U$.

**PREUVE:** Notons $u : U \to X$. Nous allons décrire les 2-catégories $\mathcal{C}/U$ et $\mathcal{C}/X/U$ et constater qu'elles sont équivalentes.
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(a) La catégorie $\mathcal{C}/U$ a pour objets les $f' : F \to U$, pour morphismes $(F, f') \to (G, g')$ les $(h : F \to G, \delta : g'h \to f')$

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

et les 2-morphismes

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

sont les 2-morphismes

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

(b) La catégorie $\mathcal{C}/X/U$ a pour objets les $(F, f : F \to X, f' : F \to U, \alpha : uf' \to f)$

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

pour 1-morphismes $(F, f, f', \alpha) \to (G, g, g', \beta)$ les $(h : F \to G, \gamma : gh \to f, \delta : g'h \to f')$,

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

tels que le diagramme

<figure><img src="image_52.png" /></figure>
## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

commute, (on remarquera que la condition définit $\gamma$ en fonction de $\delta$, on peut
donc voir un 1-morphisme comme la donnée de $h$ et $\delta$ tout seuls) et pour
2-morphismes

$$ (F, f, f', \alpha) \underset{(k, \varepsilon, \zeta)}{\overset{(h, \gamma, \delta)}{\rightleftarrows}} (G, g, g', \beta) $$

les $F \xrightarrow[k]{h} G$ tels que $gh \xrightarrow{g\eta} gk \xrightarrow{\varepsilon} f$ et $g'h \xrightarrow{g'\eta} kg' \xrightarrow{\zeta} f'$ commutent.

(c) On définit alors un 2-foncteur

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

Ce 2-foncteur est essentiellement surjectif, car pour tout objet $(F, f, f', \alpha)$ de $\mathcal{C}/X/U$, on a un isomorphisme

$$ (F, uf', f', \mathrm{Id}) \xrightarrow{(\mathrm{Id}, \mathrm{Id}, \alpha)} (F, f, f', \alpha) $$

Montrons que ce 2-foncteur est pleinement fidèle, i.e., que l'on a des
équivalences (et même, en fait, des isomorphismes) de catégories

$$ \hom_{\mathcal{C}/U}((F, f'), (G, g')) \to \hom((F, uf', f', \mathrm{Id}), (G, ug', g', \mathrm{Id})). $$
V. ZOONEKYND

Tout d'abord les objets, à droite comme à gauche, sont les diagrammes

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

D'autre part, à gauche les morphismes sont les

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

et à droite ce sont les

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

or cette dernière condition est automatiquement vérifiée. □

**3 Interprétation géométrique des revêtements d'un champ algébrique**

On note **Champs** la 2-catégorie des champs algébriques. Si $X$ est un champ algébrique, on note $\text{LCF Sh X}$ la catégorie des faisceaux étales localement constants finis sur $X$: on sait que cette catégorie est galoisienne (theorème 1 et remarque 1) et qu'elle permet de calculer le groupe fondamental profini de $X$. Nous allons montrer qu'elle est équivalente à une catégorie dont les objets sont les revêtements étales de $X$.

*Définition:* La 2-catégorie **Rev X** des revêtements d'un champ algébrique $X$ est la sous-2-catégorie pleine de **Champs**/$X$ constituée des morphismes $Y \to X$ représentables étales finis.

**Théorème 3.1:** *Soit $X$ un champ algébrique. On a une équivalence de catégories*

$$ \text{LCF Sh } X \approx \text{Cat Rev } X. $$
## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

PREUVE: D'après [15], on peut supposer que $X = [U/R]$, où $R \twoheadrightarrow U$ est un grupoïde étale dont la diagonale est quasi-compacte et séparée et on peut identifier les faisceaux étales sur $X$ aux faisceaux équivariants sur ce grupoïde. Nous regarderons donc les objets de LCF $\mathfrak{Sh} X$ comme des revêtements étales équivariants du grupoïde $R \twoheadrightarrow U$.

Considérons alors le foncteur

$$ \mathcal{F}: \left\{ \begin{array}{ccc} \text{LCF } \mathfrak{Sh} X & \to & \text{CatRev } X \\ \begin{array}{c} \text{F} \\ \text{R} \end{array} \arrow[r] & & \begin{array}{c} [F/R] \\ X. \end{array} \\ \text{U} \arrow[r] & & \text{U} \end{array} \right. $$

(a) Montrons que le foncteur $\mathcal{F}$ est bien défini.

(a1) Le grupoïde $R \times F \twoheadrightarrow F$ est étale.

(a2) Montrons que sa diagonale $R \times F \twoheadrightarrow F$ est séparée : on a un carré commutatif (mais pas cartésien)

$$ \begin{array}{ccc} R \times F & \xrightarrow{\text{(pr}_2, \alpha)} & F \times F \\ \begin{array}{c} U \\ 1 \times f \end{array} & & \begin{array}{c} f \times f \\ U \end{array} \\ R & \xrightarrow{(s,b)} & U \times U, \end{array} $$

où $1 \times f$ et $(s, b)$ sont séparés, donc $(f \times f) \circ (\text{pr}_2, \alpha) = (s, b) \circ (1 \times f)$ est séparé, donc $(\text{pr}_2, \alpha)$ est séparé.

(a3) Montrons que la diagonale $R \times F \twoheadrightarrow F$ est quasi-compacte. Rappelons qu'un morphisme de schémas $\varphi: A \to B$ est quasi-compact si et seulement s'il existe un recouvrement de $B$ par des ouverts affines $U_i$ et, pour tout $i$, un nombre fini d'ouverts affines $(V_{i,j})_{j \in J_i}$ de $A$ qui recouvrent $\varphi^{-1}(U_i)$, i.e., $\bigcup_{j \in J_i} V_{i,j} \supset \varphi^{-1}(U_i)$ ; c'est alors vrai pour n'importe quel recouvrement $(U_i)_{i \in I}$ par des ouverts affines. On a un carré commutatif

$$ \begin{array}{ccc} R \times F & \xrightarrow{\text{(pr}_2, \alpha)} & F \times F \\ \begin{array}{c} U \\ 1 \times f \end{array} & & \begin{array}{c} f \times f \\ U \end{array} \\ R & \xrightarrow{(s,b)} & U \times U \end{array} $$
V. ZOONEKYND

dont les morphismes verticaux sont des revêtements étales et le morphisme du bas est quasi-compact. Soit $(V_i)_{i \in I}$ un recouvrement de $U \times U$ par des ouverts affines et, pour chaque $i \in I$, un recouvrement $(R_{i,j})_{j \in J_i}$ de $(s, b)^{-1}(V_i)$ par un nombre fini d'ouverts affines. Comme $1 \times f$ est quasi-compact, on peut recouvrir chaque $(1 \times f)^{-1}(R_{ij})$ par un nombre fini d'ouverts affines $(W_{ijk})_{k \in K_{ij}}$. D'autre part, comme $f \times f : F \times F \to U \times U$ est quasi-compact, on peut recouvrir chaque $(f \times f)^{-1}(V_i)$ par un nombre fini d'ouverts affines $(G_{il})_{l \in L_i}$. Dès lors, les $(W_{ijk})_{j \in J_i}$, $k \in K_{ij}$ sont des ouverts affines qui recouvrent chaque $(\mathrm{pr}_2, \alpha)^{-1}(G_{il})$.

(a4) D'après le lemme 3, on a un carré 2-cartésien

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

donc le morphisme $[F/R] \to [U/R]$ est étale, quasi-fini et propre [2, 4.11].

(b) Montrons que le foncteur $\mathcal{F}$ est essentiellement surjectif. Soit $Y \to X$ un morphisme étale et fini. Le morphisme $Y \times_X U \to U$ est toujours étale et fini et on a un morphisme de groupoïdes

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

Mais comme

$$ \begin{align*} (Y \times_U U) \times_Y (Y \times_U U) &\approx U \times_X (Y \times_X U) \\ &\approx (U \times_U U) \times_U (Y \times_X U), \end{align*} $$

on voit que la présentation de $Y$ ainsi obtenue est de la forme requise : c'est un revêtement équivariant de $R \twoheadrightarrow U$.

(c) Pour montrer que le foncteur $\mathcal{F}$ est pleinement fidèle, soient $F$ et $G$ des revêtements équivariants du groupoïde $R \twoheadrightarrow U$. Montrons que l'application

$$ \mathrm{Hom}_{R \twoheadrightarrow U}(F, G) \to \mathrm{hom}_{[U/R]}([F/R], [G/R]) / \text{isomorphismes} $$
## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

est injective. Soient $\varphi, \psi : F \to G$ deux morphismes équivariants et

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

un isomorphisme entre leurs images. Si l'on prend la fibre de ces catégories fibrées au dessus de $F$, on obtient un isomorphisme

<figure><img src="image_60.png" /></figure>

D'après la description des fibres d'un champ algébrique quotient [15], cela nous donne un isomorphisme

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

La catégorie de gauche possède un objet particulier, correspondant au morphisme canonique $F \to [F/R]$ : regardons son image $\gamma$ par $\alpha_F$. C'est un 2-morphisme de groupoïdes

<figure><img src="image_62.png" /></figure>
V. ZOONEKYND

Pour tout schéma $W$, on a donc un 2-morphisme de groupoïdes

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

D'après le lemme 3, on a donc $\operatorname{Hom}(W, \varphi) = \operatorname{Hom}(W, \psi)$ pour tout $W$, donc
$\varphi = \psi$.

(d) Montrons que l'application

$\operatorname{Hom}_{R \to U}(F, G) \to \operatorname{hom}_{[U/R]}([F/R], [G/R]) / \text{isomorphismes}$

est surjective. Soit donc

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

un morphisme de champs au dessus de $U/R$. D'après le lemme 3, on a un
carré 2-cartésien

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

Comme dans le diagramme

<figure><img src="image_66.png" /></figure>
## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

il existe une flèche en pointillés (qui fasse tout commuter), à savoir

$$F \times_{F/R} F \longrightarrow F \times_{G/R} F \xrightarrow{\psi \times \psi} G \times_{G/R} G,$$

le morphisme $\psi : F \longrightarrow G$ est bien équivariant et son image est bien (isomorphe au) morphisme $(\varphi, \alpha)$ dont on est parti. $\square$

*Remarque:* Soient $\mathcal{U} = (R \twoheadrightarrow U)$ un groupoïde dans la catégorie des ensembles et $(F, \pi : F \longrightarrow U, \alpha : R \times_U F \longrightarrow F)$ un ensemble $\mathcal{U}$-équivariant.

$$R \times_U F \xrightarrow{\alpha} F \\ R \underset{b}{\overset{s}{\rightleftharpoons}} U$$

Cet objet équivariant définit un groupoïde $\mathfrak{F} = (R \times_U F \twoheadrightarrow F)$, dont les morphismes source, but, unité, inverse et multiplication sont respectivement $\mathrm{pr}_2, \alpha$,

$$e: \begin{cases} F \longrightarrow R \times_U F \\ f \longmapsto (\mathrm{Id}_{\pi(f)}, f) \end{cases}$$

$$i: \begin{cases} R \times_U F \longrightarrow R \times_U F \\ (\varphi, f) \longmapsto (\varphi^{-1}, \alpha(\varphi, f)) \end{cases}$$

$$m: \left\{ \begin{array}{l} (R_s \times_{\pi} F)_{\mathrm{pr}_2 \times_{\alpha}} (R_s \times_{\pi} F) \underset{U}{\cong} R_s \times_b R_s \times_{\pi} F \longrightarrow R_s \times_{\pi} F \\ \\ (\psi, \alpha(\varphi, f), \varphi, f) \longmapsto (\psi, \varphi, f) \longmapsto (\psi \circ \varphi, f). \end{array} \right.$$

On remarquera que $\mathfrak{F} \to \mathcal{U}$ est un revêtement de groupoïdes, i.e., pour tout objet $f \in \mathrm{Ob}\,\mathfrak{F}$, on a une bijection

$$\left\{ \begin{array}{l} \{ \text{flèches de } \mathfrak{F} \text{ partant de } f \} \longrightarrow \{ \text{flèches de } \mathfrak{G} \text{ partant de } \pi(f) \} \\ f \xrightarrow{(\varphi, f)} \alpha(\varphi, f) \quad \longmapsto \quad \pi f \xrightarrow{\varphi} \pi \alpha(\varphi, f). \end{array} \right.$$

En particulier, le foncteur $\mathfrak{F} \to \mathcal{U}$ est fidèle.

On remarquera aussi qu'un morphisme d'ensembles équivariants induit un morphisme de groupoïdes.

**Lemme 3.2:** Soient $\mathcal{U} = (R \twoheadrightarrow U)$ un groupoïde (dans la catégorie des ensembles), $F$ et $G$ des ensembles $\mathcal{U}$-équivariants, qui définissent des groupoïdes
V. ZOONEKYND

$\mathfrak{F} = (R \times_U F \twoheadrightarrow F)$ et $\mathfrak{G} = (R \times_U G \twoheadrightarrow G)$ comme dans la remarque précédente. Soient $T$ un ensemble et $h : T \to F$ une application, qui définit un groupoïde $\mathfrak{T} = (T \times_F T \twoheadrightarrow T)$ et un morphisme de groupoïdes, encore noté $h$, $\mathfrak{T} \to \mathfrak{F}$. Soient enfin $\varphi$ et $\psi : F \to G$ deux applications équivariantes. S'il existe un $\lambda$-morphisme de groupoïdes $\gamma : \varphi h \to \psi h$

<figure><img src="image_67.png" /></figure>

tel que le diagramme

<figure><img src="image_68.png" /></figure>

soit $\lambda$-commutatif, i.e., $g\gamma = \text{Id}_{g\varphi h} = \text{Id}_{g\psi h}$, alors $\varphi = \psi$ et $\gamma = \text{Id}$.

PREUVE: La situation est la suivante.

<figure><img src="image_69.png" /></figure>

On regarde $T$, $G$ et $F$ comme des catégories. Soit $x \in T$. Considérons le foncteur $g$ et plus particulièrement l'application

$$ g : \begin{cases} \operatorname{Hom}_G(\varphi h x, \psi h x) & \to \operatorname{Hom}_U(f h x, f h x) \\ (\alpha : \varphi h x \to \psi h x) & \mapsto (g \alpha : f h x \to f h x). \end{cases} $$
## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

En particulier, l'image de

$$ \gamma_x : \varphi hx \to \psi hx $$

est

$$ g\gamma_x : fhx \to fhx. $$

Mais comme $g\gamma = \text{Id}$, on a $g\gamma_x = \text{Id}_{fhx}$. D'autre part, comme le foncteur $g$ est fidèle d'après la remarque 3, on a $\gamma_x = \text{Id}_{\varphi hx}$ et $\varphi hx = \psi hx$. $\square$

*Remarque:* En particulier, pour $T = F$ et $h = \text{Id}$, le lemme nous dit que les seuls 2-morphismes de grupoïdes $\mathfrak{G} \to \mathfrak{G}$ au dessus de $\mathfrak{U}$ sont les identités.

**Lemme 3.3:** Soient $X$ un champ algébrique, $R \twoheadrightarrow U$ une de ses présentations et $(F, \pi : F \to U, \alpha : R \times_U F \to F)$ un revêtement équivariant de $R \twoheadrightarrow U$. On a alors un carré 2-cartésien

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

**PREUVE:** (a) Commençons par démontrer que l'on a un tel carré 2-cartésien dans la 2-catégorie des grupoïdes si $R \twoheadrightarrow U$ est un grupoïde et $F$ un ensemble équivariant. Le 2-produit-fibré $(F/R)^{\mathbb{Z}_{U/R}}$ a pour objets

$$ \{ (f, u, \gamma) \in F \times U \times R : \gamma \in \operatorname{Hom}(u, \pi(f)) \} $$

et pour morphismes

$$
\operatorname{Hom}((f, u, \gamma), (f', u', \gamma'))
= \left\{
  \begin{array}{@{}l@{\quad}c@{\quad}l@{}}
    \left.
      \begin{array}{@{}c@{}}
        \begin{array}{@{}c@{}}
          \left(\varphi, \psi\right) \in \operatorname{Hom}(u, u') \times \operatorname{Hom}(f, f') : \quad
          \begin{array}{@{}c@{}}
            \begin{array}{@{}c@{}}
              \begin{array}{@{}c@{}}
                \begin{array}{@{}c@{}}
                  \begin{array}{@{}c@{}}
                    \begin{array}{@{}c@{}}
                      \begin{array}{@{}c@{}}
                        \begin{array}{@{}c@{}}
                          \varphi \xrightarrow{u} \pi(f) \\
                          \begin{array}{@{}c@{}}
                            \begin{array}{@{}c@{}}
                              \begin{array}{@{}c@{}}
                                \begin{array}{@{}c@{}}
                                  \varphi \xrightarrow{u} \pi(f) \\
                                  \begin{array}{@{}c@{}}
                                    \begin{array}{@{}c@{}}
                                      \pi(\psi) \xrightarrow{\gamma'} \pi(f')
                                      \begin{array}{@{}c@{}}
                                        \begin{array}{@{}c@{}}
                                          \varphi \xrightarrow{u'} \pi(f')
                                          \begin{array}{@{}c@{}}
                                            \begin{array}{@{}c@{}}
                                              \varphi = \text{Id},
                                              \psi = (\chi, f) \in R \times_F F, \alpha(\chi, f) = f' \text{ et } \chi\gamma = \gamma'
                                              \end{array}
                                              \end{array}
                                              \end{array}
                                              \end{array}
                                              \end{array}
                                              \end{array}
                                              \end{array}
                                              \end{array}
                                              \end{array}
                                              \end{array}
                                              \end{array}
                                              \end{array}
                                              \end{array}
                                              \right\} &
  \end{array}
\right\}
$$
V. ZOONEKYND

$$
\begin{align*}
&= \{ \chi \in \mathbb{R} : u = u', \ s(\chi) = f, \ \alpha(\chi, f) = f' \text{ et } \chi = \gamma'\gamma^{-1} \} \\
&= \begin{cases}
\ast & \text{si } u = u', \ \alpha(\gamma'\gamma^{-1}, f) = f' \\
& \quad (\text{et } s(\gamma'\gamma^{-1}) = \pi(f), \text{ mais c'est automatique}) \\
\emptyset & \text{sinon}
\end{cases}
\end{align*}
$$

On constate qu'il s'agit d'un ensemble muni d'une relation d'équivalence :

$$
(f, u, \gamma) \sim (f', u', \gamma') \iff \alpha(\gamma'\gamma^{-1}, f) = f'.
$$

On remarque que tout élément (f, u, γ) est équivalent à un élément de la
forme (f', π(f'), Id) :

$$
(f, u, \gamma) \sim (\alpha(\gamma^{-1}, f), \pi(\alpha(\gamma^{-1}, f)), \text{Id}).
$$

D'autre part, deux élément de la forme (f, π(f), Id) sont équivalents si et
seulement s'ils sont égaux. On a donc

$F/R \underset{U/R}{\overset{\sim}{\mathfrak{A}}} U \approx F.$

(b) On peut supposer $X = [U/R]$. Soit maintenant $T$ un schéma. Nous allons montrer que le carré

<figure><img src="image_71.png" /></figure>

est 2-cartésien en exhibant une équivalence de catégories

$$
F_T \approx U_T \times_{[U/R]_T} [F/R]_T.
$$

Mais d'après [15],

$$
\begin{gather*}
[U/R]_T = \varinjlim_{T' \to T} [U/R]_{T'} \to T \\
\text{où } [U/R]_{T'} \to T = \operatorname{hom} \left( \begin{array}{ccc} T' \times_T T' & & R \\ \twoheadrightarrow_T & \twoheadrightarrow_{T'} & \twoheadrightarrow_U \end{array} \right).
\end{gather*}
$$
## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

Nous allons donc simplement montrer que l'on a un carré 2-cartésien de
groupeïdes

<figure><img src="image_72.png" /></figure>

où $F_{T' \to T}$ et $U_{T' \to T}$ sont des ensembles

Pour cela, il suffit de montrer que le groupeïde

$$ G_1 = U_{T' \to T} / R_{T' \to T} : \operatorname{hom} \left( \begin{array}{c@{\,}c} T' & T' \\ \llap{$\stackrel{T}{\longrightarrow}$} & \llap{$\stackrel{T'}{\longrightarrow}$} \\ \llap{$\stackrel{\llap{$\scriptstyle T'$}}{\longrightarrow}$} & \end{array} , \begin{array}{c@{\,}c} R & \\ \llap{$\stackrel{R}{\longrightarrow}$} & \llap{$\stackrel{R}{\longrightarrow}$} \\ \llap{$\stackrel{\llap{$\scriptstyle R$}}{\longrightarrow}$} & \end{array} \right) \twoheadrightarrow \operatorname{hom} \left( \begin{array}{c@{\,}c} T' & T' \\ \llap{$\stackrel{T}{\longrightarrow}$} & \llap{$\stackrel{T'}{\longrightarrow}$} \\ \llap{$\stackrel{\llap{$\scriptstyle T'$}}{\longrightarrow}$} & \end{array} , \begin{array}{c@{\,}c} U & \\ \llap{$\stackrel{U}{\longrightarrow}$} & \llap{$\stackrel{U}{\longrightarrow}$} \\ \llap{$\stackrel{\llap{$\scriptstyle U$}}{\longrightarrow}$} & \end{array} \right) $$

qui apparaît dans (a) est équivalent à

$$ G_2 = X_{T' \to T} = \operatorname{hom} \left( \begin{array}{c@{\,}c} T' & T' \\ \llap{$\stackrel{T}{\longrightarrow}$} & \llap{$\stackrel{T'}{\longrightarrow}$} \\ \llap{$\stackrel{\llap{$\scriptstyle T'$}}{\longrightarrow}$} & \end{array} , \begin{array}{c@{\,}c} R & \\ \llap{$\stackrel{R}{\longrightarrow}$} & \llap{$\stackrel{R}{\longrightarrow}$} \\ \llap{$\stackrel{\llap{$\scriptstyle R$}}{\longrightarrow}$} & \end{array} \right) $$

et d'appliquer (a).

À un objet du premier groupeïde, $G_1$, i.e., à un morphisme de groupeïdes

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

on associe un objet du second, $G_2$, par composition

<figure><img src="image_74.png" /></figure>
V. ZOONEKYND

Cette application (entre les ensembles d'objets de nos deux groupoïdes) est
bijective car les seuls morphismes du grupoïde

$$
T' \times_T T' \Rightarrow T'
$$

sont les identités et un morphisme de groupoïdes

$$
\begin{tikzcd}
T' \times_T T' \arrow[r] & T' \\
\downarrow \arrow[d] & \downarrow \\
R \arrow[r] & U
\end{tikzcd}
$$

préserve les identités et se factorise donc par

$$
\begin{tikzcd}
T' \times_T T' \arrow[r] & T' \\
\downarrow \arrow[d] & \downarrow \\
U \arrow[r] & U \\
\downarrow \arrow[d] & \downarrow \\
R \arrow[r] & U.
\end{tikzcd}
$$

Regardons maintenant les morphismes de nos groupoïdes.

$$
\operatorname{Hom}_{G_1} \left( \begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
    T' \times_T T' \arrow[r] \arrow[d] & T' \arrow[d, "f"] \\
    U \arrow[r] \arrow[d] & U \arrow[d, "g"]
  \end{tikzcd} , \begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
    T' \times_T T' \arrow[r] \arrow[d] & T' \arrow[d, "g"] \\
    U \arrow[r] \arrow[d] & U \arrow[d, "f"]
  \end{tikzcd} \right) \\
= \left\{ \begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
    T' \times_T T' \arrow[r] \arrow[d] & T' \arrow[d, "\alpha"] \\
    R \arrow[r] & R
  \end{tikzcd} \middle| \text{ tels que } s\alpha = f \text{ et } b\alpha = g \right\} \\
= \left\{ \begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
    T' \times_T T' \arrow[r] \arrow[d] & T' \arrow[d, "\alpha"] \\
    R \arrow[r] \arrow[d] & R \arrow[d, "s"] \\
    R \arrow[r] & U
  \end{tikzcd} \middle| \text{ tels que } s\alpha = f \text{ et } b\alpha = g \right\}
$$
V. ZOONEKYND

et dont les morphismes $(F, \alpha) \to (F', \alpha')$ sont les morphismes $f : F \to F'$
dans $\mathfrak{F}_X$ tels que

<figure><img src="image_75.png" /></figure>

*Remarque:* Soit $F : \mathfrak{F} \to \mathcal{C}$ une catégorie fibrée et $\varphi : X \to Y$ un morphisme de $\mathcal{C}$. D'après [5, IV.5], on a une équivalence de catégories

$$
\mathcal{D}esc \varphi \approx \mathbf{2-lim} \left( \mathfrak{F}_X \mathrel{\mathop{\Rightarrow\Rightarrow}} \mathfrak{F}_{X \times_X X} \mathrel{\mathop{\Rightarrow\Rightarrow}} \mathfrak{F}_{X \times_Y X \times_Y X} \right)
$$

où le 2-système projectif est défini par :

(i) trois catégories $\mathfrak{F}_X$, $\mathfrak{F}_{X \times X}$ et $\mathfrak{F}_{X \times X \times X}$;

(ii) des foncteurs entre ces catégories

$$
\mathfrak{F}_X \xrightarrow{p_1^*} \mathfrak{F}_{X \times X} \underset{p_2^*}{\twoheadrightarrow} \mathfrak{F}_{X \times X \times X};
$$

(iii) des 2-isomorphismes

<figure><img src="image_76.png" /></figure>
## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

**Définition:** Soit $\mathcal{F}: \mathcal{F} \to \mathcal{C}$ une catégorie fibrée. On dit qu'un morphisme $\varphi: X \to Y$ de $\mathcal{C}$ est un **morphisme de descente effective** si le foncteur

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \mathcal{F}_X & \to & \mathcal{Desc} \varphi \\ F & \mapsto & (\varphi^* F, p_1^* \varphi^* F \to (p_1 \varphi)^* F = (p_2 \varphi)^* F \to p_2^* \varphi^* F) \end{array} \right. $$

est une équivalence de catégories.

**Théorème 4.1:** *Un morphisme couvrant $\varphi: X \to \ast$ dans un topos $\mathcal{T}$ est un morphisme de descente effective pour la catégorie fibrée associée au pseudo-foncteur*

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \mathcal{T} & \to & \mathcal{Cat} \\ T & \mapsto & \mathcal{T}/T \\ f & \mapsto & f^*. \end{array} \right. $$

**PREUVE:** Voir [4]. □

**Corollaire 4.2:** *Un morphisme couvrant $\varphi: X \to \ast$ dans un topos $\mathcal{T}$ est un morphisme de descente effective pour la catégorie fibrée associée au pseudo-foncteur*

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \mathcal{T} & \to & \mathcal{Cat} \\ T & \mapsto & \text{SLC } \mathcal{T}/T \\ f & \mapsto & f^* \end{array} \right. \quad \text{respectivement} $$

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \mathcal{T} & \to & \mathcal{Cat} \\ T & \mapsto & \text{SLCF } \mathcal{T}/T \\ f & \mapsto & f^*. \end{array} \right. $$

**PREUVE:** Il suffit de remarquer que

$$ \begin{align*} (\text{SLC } \mathcal{T})/X &\simeq \text{SLC}(\mathcal{T}/X) \\ &\simeq \text{SLC } \mathcal{Desc}(\varphi, \mathcal{T}/\cdot) \\ &\simeq \mathcal{Desc}(\varphi, \text{SLC } \mathcal{T}/\cdot) \end{align*} $$

et de procéder de même pour le cas de SLCF. □

**Proposition 4.3:** *Soit $\mathcal{T}$ un topos, $U$ et $V$ des objets de $\mathcal{T}$ tels que $\varphi: U \amalg V \to \ast$ soit couvrant et que $U \times U \simeq U$ et $V \times V \simeq V$. On a alors un carré 2-cartésien de catégories et de foncteurs « image réciproque » de topos,*

<figure><img src="image_77.png" /></figure>
V. ZOONEKYND

PREUVE: On sait déjà que $\mathcal{T} \approx \mathcal{Desc} \varphi$ : nous allons expliciter la catégorie $\mathcal{Desc} \varphi$ des données de descente et voir que cette description est la même que celle du 2-produit fibré $\mathcal{T}/U \times_{\mathcal{G}/U \times V} \mathcal{T}/V$ : on pourra alors conclure grâce au théorème 4. Une donnée de descente relative à $f$ est la donnée de

- Un objet de $\mathcal{T}/U \amalg V$, que l'on peut écrire $F \amalg G$, où $F$ et $G$ sont des objets de $\mathcal{T}/U$ et $\mathcal{T}/V$ respectivement;

- Un isomorphisme $\theta : p_1^*(F \amalg G) \to p_2^*(F \amalg G)$ tel que

<figure><img src="image_78.png" /></figure>

Or, on peut écrire $\theta$ sous la forme

$$F|_{U \times U} \amalg F|_{U \times V} \amalg G|_{U \times V} \amalg G|_{V \times V} \to F \amalg G|_{U \times V} \amalg F|_{U \times V} \amalg G,$$

$$\text{i.e., puisque } F|_{U \times U} = F|_U = F \text{ et } G|_{V \times V} = G|_V = G,$$

$$F \amalg F|_{U \times V} \amalg G|_{U \times V} \amalg G \to F \amalg G|_{U \times V} \amalg F|_{U \times V} \amalg G.$$

Une donnée de descente est donc la donnée d'isomorphismes

$$F \xrightarrow{\alpha} F,$$

$$F|_{U \times V} \xrightarrow{\beta} G|_{U \times V}$$

$$G \xrightarrow{\delta} G,$$

$$G|_{U \times V} \xrightarrow{\gamma} F|_{U \times V};$$

tels que

<figure><img src="image_79.png" /></figure>

<figure><img src="image_80.png" /></figure>

<figure><img src="image_81.png" /></figure>

i.e., $\alpha = \text{Id}, \delta = \text{Id}, \gamma = \beta^{-1}$. On expliciterait de même les morphismes de données de descente. En définitive, la catégorie des données de descente est équivalente à la catégorie des $(F,G,\beta)$, où $F$ et $G$ sont des objets de $\mathcal{T}/U$
## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

et $\mathcal{T}/V$ et $\beta$ est un isomorphisme $F|_{U \times V} \to G|_{U \times V}$ : c'est exactement la description du 2-produit fibré $\mathcal{F}_U \times_{\mathcal{T}/V} \mathcal{T}/V$. $\square$

**Corollaire 4.4:** Soit $\mathcal{T}$ un topos, $U$ et $V$ des objets de $\mathcal{T}$ tels que $\varphi : U \times V \to *$ soit couvrant et que $U \times U \simeq U$ et $V \times V \simeq V$. On a alors un carré 2-cartésien de catégories et de morphismes image réciproque de topos,

<figure><img src="image_82.png" /></figure>

**PREUVE:** Comme $\text{SLC}(\mathcal{T}/X) = (\text{SLC}\,\mathcal{T})/X$, il suffit d'appliquer le résultat précédent à $\text{SLC}\,\mathcal{T}$.
$\square$

**Corollaire 4.5:** Soit $\mathcal{T}$ un topos, $U$ et $V$ des objets de $\mathcal{T}$ tels que $\varphi : U \times V \to *$ soit couvrant et que $U \times U \simeq U$ et $V \times V \simeq V$. Soient

- $P_{U \times V}$ un ensemble de points-bases de $\mathcal{T}/U \times V$, au moins un dans chaque composante connexe;

- $P_U$ un ensemble de points-bases de $\mathcal{T}/U$, comprenant les images des éléments de $P_{U \times V}$, avec au moins un point dans chaque composante connexe;

- $P_V$ un ensemble de points-bases de $\mathcal{T}/V$, comprenant les images des éléments de $P_{U \times V}$, avec au moins un point dans chaque composante connexe;

- P un ensemble de points-bases de $\mathcal{T}$ comprenant les images des éléments de $P_U$ et $P_V$ avec au moins un point dans chaque composante connexe.

On a alors un carré 2-cocartésien de progrupoïdes fondamentaux,

<figure><img src="image_83.png" /></figure>
V. ZOONEKYND

PREUVE: On a un carré 2-cartésien

<figure><img src="image_84.png" /></figure>

qui peut s'écrire

<figure><img src="image_85.png" /></figure>

où, pour simplifier, on a noté

$$
\begin{align*}
\pi_1 \mathcal{T} &= \pi_1 (\mathcal{T}, P) \\
\pi_1 U &= \pi_1 (\mathcal{T} / U, P_U) \\
\pi_1 V &= \pi_1 (\mathcal{T} / V, P_V) \\
\pi_1 (U \times V) &= \pi_1 (\mathcal{T} / (U \times V), P_{U \times V}).
\end{align*}
$$

D'après les choix de points-bases que l'on a effectués, ces morphismes provi-
ennent de morphismes de groupoïdes

<figure><img src="image_86.png" /></figure>

Remarquons que, pour tout groupe $\pi$, on a $\mathfrak{B}\pi \approx \hom(\pi, \mathfrak{Ens})$. On a donc

$$
\begin{align*}
\mathfrak{B} \left( \pi_1 U \xrightarrow[\pi_1(U \times V)]{*} \pi_1 V \right) &\approx \operatorname{hom}(\pi_1 U \xrightarrow[\pi_1(U \times V)]{*} \pi_1 V, \mathfrak{Ens}) \\
&\approx \operatorname{hom}(\pi_1 U, \mathfrak{Ens}) \stackrel{\mathfrak{X}}{\otimes} \operatorname{hom}(\pi_1(U \times V), \mathfrak{Ens}) \\
&\approx \mathfrak{B}\pi_1 U \xrightarrow[\mathfrak{B}\pi_1(U \times V)]{\mathfrak{X}} \mathfrak{B}\pi_1 V \\
&\approx \mathrm{SLC} \mathcal{T} \\
&\approx \mathfrak{B}\pi_1 \mathcal{T}.
\end{align*}
$$
## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

Donc,

$$ \pi_1(\mathcal{T}, P) \approx \pi_1(\mathcal{T}/U, P_U) \stackrel{2}{*}_{\pi_1(\mathcal{T}/U \times V, P_U \times V)} \pi_1(\mathcal{T}/V, P_V). $$

□

Nous allons maintenant voir que dans certains cas, cette 2-somme amalgamée peut se calculer comme une 1-somme amalgamée.

**Lemme 4.6: Soient des morphismes de groupoïdes**

<figure><img src="image_87.png" /></figure>

qui établissent des bijections entre les ensembles d'objets. La somme amalgamée $A *_C B$ est aussi une 2-somme amalgamée.

**PREUVE:** Nous allons montrer que $A *_C B$ vérifie la propriété 2-universelle d'une 2-somme amalgamée. Considérons une présentation de chacun de ces groupoïdes

$$ \begin{align*} A &= \langle (a_i)_{i \in I}; (r_i)_{i \in I'} \rangle \\ B &= \langle (b_j)_{j \in J}; (s_i)_{i \in J'} \rangle \\ C &= \langle (c_k)_{k \in K}; (t_i)_{i \in K'} \rangle \\ A *_C B &= \langle (a_i)_{i \in I}, (b_j)_{j \in J}, (r_i)_{i \in I'}, (s_j)_{j \in J'}, (a(c_k)b(c_k)^{-1})_{k \in K} \rangle \end{align*} $$

et un carré 2-commutatif

<figure><img src="image_88.png" /></figure>

Montrons qu'il existe un diagramme

<figure><img src="image_89.png" /></figure>
V. ZOONEKYND

On peut définir le morphisme $h$ par

$$
\begin{array}{l@{\qquad}l}
h(x) = f(x) & \text{si } x \in \text{Ob } C = \text{Ob } A \\
h(a_i) = f(a_i) & \text{si } i \in I \\
h(b_j : x \to y) = \alpha_y g(b_j) \alpha_x^{-1} & \text{si } j \in J.
\end{array}
$$

C'est bien défini, car les relations $h(r_i) = \text{Id}$ (pour $i \in I'$) et $h(s_j) = \text{Id}$ (pour $j \in J'$) sont vérifiées car elles le sont dans $A$ ou $B$ et les relations $h(a(c_k)) = h(b(c_k))$ (pour $k \in K'$) sont vérifiées car $\alpha$ est une transformation naturelle :

$$
\begin{array}{ccc}
x & g(x) & \alpha x \xrightarrow{f} x \\
c_k & gbc_k & \\
y & gy & \alpha y \xrightarrow{f} fy.
\end{array}
$$

On peut définir $\alpha'$ et $\beta'$ par $\beta' = \text{Id}$ et $\alpha'_x = \alpha_x$ (pour $x \in \text{Ob } B = \text{Ob } C$).
On obtient bien un diagramme 2-commutatif, i.e.,

$$
\begin{array}{ccc}
 gb & \xrightarrow{\alpha'b} & hb'b \\
 \alpha & \searrow & \parallel \\
 ha & \underset{\beta'a}{\searrow} & ha'a.
\end{array}
$$

Considérons un autre diagramme 2-commutatif $(h', \beta, \gamma)$,

<figure><img src="image_90.png" /></figure>

On veut montrer qu'il existe un unique

$$
A * C \underset{h'}{\overset{h}{\rightarrow}} B \xrightarrow{\delta} D
$$
## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

tel que

<figure><img src="image_91.png" /></figure>

Si un tel $\delta$ existe, on a nécessairement, pour tout objet $x$ de $\mathcal{A}$, $\gamma_x \circ \delta_{a'|x} = \text{Id}_x$, i.e., $\delta_{a'|x} = \gamma_x^{-1}$; or, comme $a'$ est une bijection sur les objets, on peut identifier $x$ et $a'|x$ et écrire

$$ \delta_x = \gamma_x^{-1}. $$

Ceci montre que $\delta$ est unique. Vérifions que $\delta$, ainsi défini, est une transformation naturelle : il s'agit de montrer que pour tout morphisme $\varphi : x \to y$ de $\mathcal{A} *_{\mathcal{C}} \mathcal{B}$, on a

<figure><img src="image_92.png" /></figure>

Il suffit de l'établir pour les générateurs $a_i$ et $b_j$ de $\mathcal{A} *_{\mathcal{C}} \mathcal{B}$. D'une part, on a bien

$$ \begin{array}{ccc} f x \mathrel{\substack{\leftarrow\gamma x \\ \rightarrow}} & h'x = h'a'x & \\ f a_i \mathrel{\substack{\leftarrow \\ \rightarrow}} & h'a_i = h'a'a_i & \\ f y \mathrel{\substack{\leftarrow\gamma y \\ \rightarrow}} & h'y = h'a'y & \end{array} $$

car $\gamma$ est une transformation naturelle. D'autre part, comme le diagramme $(h', \beta, \gamma)$ est 2-commutatif, i.e.,

$$ \begin{array}{ccc} gbx \mathrel{\substack{\leftarrow\alpha x \\ \rightarrow}} & fax & \\ \beta b x \mathrel{\substack{\leftarrow \\ \rightarrow}} & \gamma_{ax} & \\ h' b' b x \mathrel{\substack{\leftarrow \\ \rightarrow}} & h'a'ax, & \end{array} $$

et comme $\beta$ est une transformation naturelle, i.e.,

$$ \begin{array}{ccc} gbx \mathrel{\substack{\leftarrow\beta b x \\ \rightarrow}} & h'b'bx & \\ gb_j \mathrel{\substack{\leftarrow \\ \rightarrow}} & h'b_j & \\ gby \mathrel{\substack{\leftarrow\beta by \\ \rightarrow}} & h'b'by, & \end{array} $$
on a bien

<figure><img src="image_93.png" /></figure>

Par conséquent, $\gamma$ est bien une transformation naturelle. Enfin, on a

<figure><img src="image_94.png" /></figure>

par définition de $\delta$ et montrer

<figure><img src="image_95.png" /></figure>

se ramène à établir

<figure><img src="image_96.png" /></figure>

qui n'est autre que la 2-commutativité du diagramme $(h', \beta, \gamma)$. $\square$

*Remarque:* Le même résultat s'étend à des progroupoïdes : on peut écrire $A = \text{“}\lim\text{”}_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}$, $B = \text{“}\lim\text{”}_{\lambda \in \Lambda} B_{\lambda}$ et $C = \text{“}\lim\text{”}_{\lambda \in \Lambda} C_{\lambda}$ et reprendre la même démonstration, en rajoutant « pour $\lambda \ge \lambda_0$ », « pour $\lambda \ge \lambda_1$ » ou « pour $\lambda \ge \sup\{\lambda_0, \lambda_1\}$ » un peu partout.

**Corollaire 4.7:** *Soient $\mathcal{T}$ un topos localement connexe, $U$ et $V$ des objets tels que $U \times V \to *$ soit un épimorphisme et tels que $U \times U \simeq U$ et $V \times V \simeq V$. Soit $P = (p_i : \mathcal{Ens} \to \text{SLC } \mathcal{T})_{i \in I}$ un ensemble de points-bases de $U \times V$, tel qu'il y ait au moins un point dans chaque composante connexe de $U \times V$, $U$, $V$ et $*$. On a alors un carré cocartésien de groupoïdes fondamentaux*

<figure><img src="image_97.png" /></figure>
# 5 Théorème de Van Kampen pour les champs algébriques

Nous allons maintenant appliquer le corollaire 4 au topos $\mathfrak{S}h X$ des faisceaux étales sur un champ algébrique $X$.

**Théorème 5.1:** Soient $X$ un champ algébrique, $U$ et $V$ des sous-champs ouverts tels que $X = U \cup V$ et $P = (p_i : \text{Ens} \to \text{SLCF} \mathfrak{S}h X)_{i \in I}$ un ensemble de points-bases de $U \mathbb{X}_X V$, avec au moins un point dans chaque composante connexe de $U \mathbb{X}_X V$, $U$, $V$ et $X$. On a alors un carré cocartésien de progroupoïdes,

<figure><img src="image_98.png" /></figure>

**PREUVE:** Comme $U \to X$ est un sous-champ ouvert, c'est un objet de $X'_{\text{ét}}$, auquel correspond un préfaisceau représentable $\tilde{U}$, objet de $\mathfrak{S}h X'_{\text{ét}}$.

Montrons que $\tilde{U} \times \tilde{U} \simeq \tilde{U}$ dans $\mathfrak{S}h X$. D'après le lemme 5, on a

$$U \mathbb{X}_X U \approx U \quad \text{dans } \mathfrak{Champs}$$

donc, d'après le lemme 2,

$$U \mathbb{X} U \approx U \quad \text{dans } \mathfrak{Champs}/X$$

donc, d'après le lemme 2,

$$U \times U \simeq U \quad \text{dans } \text{Cat}(\mathfrak{Champs}/X).$$

Or, $X'_{\text{ét}}$ est une sous-catégorie pleine de $\text{Cat}(\mathfrak{Champs}/X)$, donc

$$U \times U \simeq U \quad \text{dans } X'_{\text{ét}}$$

donc

$$\tilde{U} \times \tilde{U} \simeq \tilde{U} \quad \text{dans } \mathfrak{S}h X'_{\text{ét}}$$
V. ZOONEKYND

donc (puisque le plongement d'Yoneda est exact à gauche),

$$
\tilde{U} \times \tilde{U} \simeq \tilde{U} \quad \text{dans } \mathfrak{S}h X'_{\text{ét}}.
$$

On peut maintenant appliquer le corollaire 4 au topos $\mathfrak{S}h X'_{\text{ét}}$ et aux
objets $\tilde{U}$ et $\tilde{V}$ qui vérifient bien $\tilde{U} \times \tilde{U} \simeq \tilde{U}$ et $\tilde{V} \times \tilde{V} \simeq \tilde{V}$ et $\tilde{U} \amalg \tilde{V} \to \*$
est un épimorphisme (car la famille $(U \to \*, V \to \*)$ est couvrante, donc
$(\tilde{U} \to \*, \tilde{V} \to \*)$ aussi). On a donc un carré cocartésien de progrupoïdes

$$
\begin{tikzcd}
\pi_1(\mathfrak{S}h X'_{\text{ét}}/\tilde{U} \times \tilde{V}, P) \arrow[r] & \pi_1(\mathfrak{S}h X'_{\text{ét}}/\tilde{U}, P) \arrow[d] \\
\pi_1(\mathfrak{S}h X'_{\text{ét}}/\tilde{V}, P) \arrow[r] & \pi_1(\mathfrak{S}h X'_{\text{ét}}, P) \arrow[d]
\end{tikzcd}
$$

Les lemmes 5 et 5 montrent que $\mathfrak{S}h X'_{\text{ét}}/\tilde{U} \approx \mathfrak{S}h U'_{\text{ét}}$ et $\mathfrak{S}h X'_{\text{ét}}/\tilde{V} \approx \mathfrak{S}h V'_{\text{ét}}$ ;
d'autre part, d'après les lemmes 2 et 2 et comme le plongement d'Yoneda est
exact à gauche,

$$
\tilde{U} \times \tilde{V} \approx \tilde{U} \underset{X}{\overset{\sim}{\boxtimes}} V,
$$

donc

$$
\mathfrak{S}h X'_{\text{ét}}/\tilde{U} \times \tilde{V} \approx \mathfrak{S}h (U \underset{X}{\overset{\sim}{\boxtimes}} V)'_{\text{ét}}.
$$

Finalement, on a un carré cocartésien de progrupoïdes

$$
\begin{tikzcd}
\pi_1(\mathfrak{S}h(U \underset{X}{\overset{\sim}{\boxtimes}} V)'_{\text{ét}}, P) \arrow[r] & \pi_1(\mathfrak{S}h U'_{\text{ét}}, P) \arrow[d] \\
\pi_1(\mathfrak{S}h V'_{\text{ét}}, P) \arrow[r] & \pi_1(\mathfrak{S}h X'_{\text{ét}}, P).
\end{tikzcd}
$$

□

**Lemme 5.2:** Si $i: U \hookrightarrow X$ est un sous-champ d'un champ algébrique, alors
$U \approx U \underset{X}{\overset{\sim}{\boxtimes}} U$.

PREUVE: Le sous-champ *i*: U ↪ → X est une sous-catégorie fibrée. La fibre
au dessus d'un schéma T de la catégorie fibrée U ≁ X U a pour objets les
(f, g, α), où f ∈ U(T), g ∈ U(T) et α ∈ Hom<sub>X(T)</sub>(if, ig) = Hom<sub>U(T)</sub>(f, g),
i.e., les diagrammes

$$
T \underset{g}{\overset{\alpha}{\bigwedge^{f}}}{U},
$$
## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

et les morphismes $(f, g, \alpha) \to (f', g', \alpha')$ sont les $(\varphi, \psi)$ où

<figure><img src="image_99.png" /></figure>

Mais tout $(f, g, \alpha)$ est isomorphe à $(f, \mathrm{Id}_f, f)$ :

<figure><img src="image_100.png" /></figure>

D'autre part les morphismes $(f, f, \mathrm{Id}) \to (g, g, \mathrm{Id})$ sont les $(\varphi, \psi)$ tels que

<figure><img src="image_101.png" /></figure>

i.e., tels que $\varphi = \psi$. Cela donne une équivalence de catégories

$$U_T \to (U \underset{X}{\overset{\alpha}{\times}} U)_T.$$

□

**Lemme 5.3:** Si $U \hookrightarrow X$ est un sous-champ, on a une équivalence de sites $X'_{\text{ét}}/U \approx U'_{\text{ét}}$.

**PREUVE:** (a) Les objets de $U'_{\text{ét}}$ sont les $t : T \to U$ et les morphismes $(T, t) \to (T', t')$ sont les $(f : T \to T', \alpha : t'f \to t)$,

<figure><img src="image_102.png" /></figure>

<figure><img src="image_103.png" /></figure>
V. ZOONEKYND

(b) Les objets de $X'_{\text{ét}}/U$ sont les $(T, s : T \to X, t : T \to U, \beta : ut \to s)$,

<figure><img src="image_104.png" /></figure>

modulo les $T \xrightarrow[t']{t} U$ tels que $s't \xrightarrow[\beta]{s'\varphi} \beta' s$ et les morphismes

$$ (T, s, t, \beta) \to (T', s', t', \beta') $$

sont les $(f : T \to T', \alpha : t'f \to t, \gamma : s'f \to s)$ tels que

<figure><img src="image_105.png" /></figure>

modulo les $T \xrightarrow[f]{\theta} T'$ tels que $s'f \xrightarrow[\beta]{s'\theta} \beta' s$ et modulo un choix différent de $\alpha$.

(c) Nous allons montrer que le foncteur suivant est une équivalence de
## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

catégories.

<figure><img src="image_106.png" /></figure>

(d) Il est essentiellement surjectif, car tout objet $(T, s, t, \beta)$ est isomorphe à un objet de la forme $(T, ut, t, \text{Id})$ par l'isomorphisme

$$ (T, s, t, \beta) \xrightarrow{(\text{Id}, \text{Id}, \beta)} (T, ut, t, \text{Id}). $$

(e) Montrons maintenant qu'il est pleinement fidèle. Soient donc $(T, t)$ et $(T', t')$ des objets de $U'_{\text{ét}}$. Montrons que l'application

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \operatorname{Hom}((T, t), (T', t')) & \to & \operatorname{Hom}((T, ut, u, \text{Id}), (T, ut', u, \text{Id})) \\ (f, \alpha) & \mapsto & (f, \alpha, u\alpha) \end{array} \right. $$

est bijective. La surjectivité est imédiate, car tout morphisme $(f, \alpha, \gamma)$ est l'image du morphisme $(f, \alpha)$, car $\gamma$ s'exprime en fonction de $f$ et $\alpha$. Pour l'injectivité, il suffit de remarquer que $\alpha$ est entièrement déterminé par la donnée de $f$ et $u\alpha$ : si

<figure><img src="image_107.png" /></figure>

alors $\alpha = \alpha'$, car le foncteur $\operatorname{hom}(T, U) \to \operatorname{hom}(T, X)$ est pleinement fidèle, car $U$ est un sous-champ.
V. ZOONEKYND

(f) Enfin, il s'agit d'une équivalence de sites, car les topologies sont définies de la même manière : les familles étales surjectives (ce sont les mêmes dans $X'_{\acute{e}t}/U$ et $U'_{\acute{e}t}$) sont décrétées couvrantes. □

**Lemme 5.4:** *Soit $U \to X$ un sous-champ ouvert et $\tilde{U}$ le faisceau étale sur $X$ correspondant. On a une équivalence de catégories $\mathfrak{S}\mathfrak{h}X_{\acute{e}t}/\tilde{U} \approx \mathfrak{S}\mathfrak{h}U_{\acute{e}t}$.*

PREUVE:

$$ 
\begin{align*}
\mathfrak{S}\mathfrak{h} X_{\acute{e}t}/\tilde{U} &\approx \mathfrak{S}\mathfrak{h} X'_{\acute{e}t}/\tilde{U} \quad \text{d'après le lemme 1} \\
&\approx \mathfrak{S}\mathfrak{h}(X'_{\acute{e}t}/U) \quad \text{d'après [6, III.5.4]} \\
&\approx \mathfrak{S}\mathfrak{h} U'_{\acute{e}t} \quad \text{d'après le lemme 5} \\
&\approx \mathfrak{S}\mathfrak{h} U_{\acute{e}t} \quad \text{d'après le lemme 1.}
\end{align*}
$$

□

Références

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[2] P. Deligne and D. Mumford. The irreducibility of the space of curves of given genus. *Publ. Math. IHES*, 36 :75-109, 1969.

[3] E. Friedlander. *Étale homotopy of simplicial schemes*, volume 104 of *Annals of Math. Studies*. Princeton University Press, 1982.

[4] J. Giraud. *Théorie de la descente. Mémoires de la société mathématique de France*, 2, 1964.

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[6] A. Grothendieck and J.-L. Verdier. *Théorie des topos et cohomologie étale des schémas*, volume 269-271 of *LNM*. Springer Verlag, 1972.

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## THÉORÈME DE VAN KAMPEN POUR LES CHAMPS ALGÉBRIQUES

[9] O. Leroy. Groupoïde fondamental et théorème de Van Kampen dans les topos. *Cahiers mathématiques de l'université de Montpellier*, 1979.

[10] I. Moerdijk. Prodiscrete groups and galois toposes. *Proc. Kon. Ned. Ac. Wet. series A*, 92:219-235, 1989.

[11] I. Moerdijk and D.A. Pronk. Orbifolds, sheaves and groupoids. *K-theory*, 12:3-21, 1997.

[12] T. Oda. Étale homotopy type of the moduli space of algebraic curves. In L. Schneps and P. Lochak, editors, *Geometric Galois Actions*, volume 242 of *London Mathematical Society, Lecture Notes Series*, pages 85-95. Cambridge University Press, 1997.

[13] D.A. Pronk. Groupoid representations for sheaves on orbifolds. Ph.D. thesis, Universiteit Utrecht, 1995.

[14] W.P. Thurston. *The geometry and topology of 3-manifolds*. Princeton, 1978. http://msri.org/publications/books/gt3m/.

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[16] V. Zoonekynd. The fundamental group of an algebraic stack. math.AG/0111071.

[17] V. Zoonekynd. La tour de Teichmüller-Grothendieck. thèse de doctorat, disponible en http://www.institut.math.jussieu.fr/theses/2001/zoonekynd/, 2001.

VINCENT ZOONEKYND

UNIVERSITÉ D'ÉVRY

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