Graphiques pour la détermination rapide
de la composante directe du facteur de lumière du jour
dans le cas d'un ciel de luminance uniforme
et dans le cas d'un ciel suivant la loi de Moon et Spencer.

par Jean DOURGNON

Président du Comité International d'Experts
pour la prédétermination de l'Éclairement et de la Luminance
Conseller du C. S. T. B

et

Didier FLEURY

Expert chargé de recherches d'Éclairage
au S.F.E.A.

## RÉSUMÉ

Les graphiques établis permettent de déterminer les composantes directes du facteur de lumière du jour C et C' dans les cas d'un ciel uniforme et d'un ciel suivant Moon et Spencer respectivement lorsqu'on ne tient pas compte des pertes par vitrage (C est donc le facteur de ciel). La baie est supposée rectangulaire et verticale, mais il est facile de généraliser au cas de baies rectangulaires et horizontales.

La détermination de C et de C' se fait sans emploi de rapporteur et à l'aide d'une construction immédiate.

## SUMMARY

The graphs plotted make it possible to determine the direct components of the daylight factor C and C', representing an uniform sky and a sky according to Moon and Spencer respectively, with no allowance made for losses due to window-panes (this means that C is the outside daylight factor). The window opening is assumed to be rectangular and vertical, but it is easy to generalise to cover the case of rectangular and horizontal openings.

C and C' are determined without using a protractor, by immediate construction.

## RESUMEN

Los ábacos establecidos permiten la determinación de las componentes directas del factor de luz de día C y C' en los casos de un cielo uniforme y de un cielo según Moon y Spencer respectivamente sin tener en cuenta las pérdidas a través los vidrios (C es, por consiguiente, el factor de cielo). Hemos supuesto que la ventana es rectangular y vertical, pero es fácil generalizar al caso de ventanas rectangulares y horizontales.

La determinación de C y C' se hace sin transportador y con ayuda de una construcción gráfica directa.
La composante directe du facteur de lumière du jour a été définie à Zurich (13e Session de la Commission Internationale de l'Éclairage, juin 1955) de la façon suivante :

Soit un point M situé à l'intérieur d'un local représenté en élévation sur la figure 1, soit $E_M$ l'éclairement

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Figure 1.</figcaption></figure>

produit en M sur un plan horizontal par les seuls rayons émanant de la portion de ciel visible du point M. Cet éclairement diffère de celui qui existe effectivement en M par le fait que l'on ne tient pas compte des réflexions de lumière dues aux obstacles extérieurs, par exemple aux façades des maisons en vis-à-vis, ni des réflexions mutuelles entre les parois du local. Soit en outre $E_o$ l'éclairement sur un plan horizontal en un point O extérieur entièrement dégagé. La composante directe du facteur de lumière du jour est :

$$C = \frac{E_M}{E_o}$$

Pour calculer cette grandeur, il est nécessaire de faire une hypothèse sur la répartition des luminances du ciel. L'hypothèse la plus simple consiste évidemment à supposer que cette luminance est uniforme. C'est ce qui a été fait jusqu'à ces dernières années. La composante directe du facteur de lumière du jour devient alors susceptible d'une définition purement géométrique et a d'ailleurs été définie de cette façon, sous le nom de facteur de ciel, par la Commission Internationale de l'Éclairage (10e Session, SCHEVENINGUE, juin 1939, C.R., p. 12).

Mais cette répartition uniforme est rarement réalisée dans la réalité. MOON et SPENCER ont proposé une répartition qui correspondrait à un ciel couvert moyen. Suivant eux la luminance d'un point du ciel dépend uniquement de la hauteur angulaire $\theta$ de ce point au-dessus de l'horizon et varie avec cette hauteur comme la fonction :

$$L_o = L_o^* \left( 1 + \frac{2 \sin \theta}{3} \right)$$

$L_o$ étant évidemment la luminance au zénith¹.

Nous désignerons par C' la composante directe du facteur de lumière du jour dans ce dernier cas.

Les abaques que nous avons imaginés nous paraissent plus commodes que ceux actuellement en usage

pour la détermination de C'; en ce qui concerne la détermination de C, il semble qu'ils comblent une lacune.

De plus ils permettent une détermination précise quand l'angle vertical sous lequel est vue la verrière est très petit ou très grand.

Il convient pourtant de noter que ces abaques ne se rapportent qu'au cas où l'obstacle extérieur est limité par une droite indéfinie parallèle à la façade. De plus il n'y est pas tenu compte des pertes éventuelles par les vitrages. Il serait d'ailleurs facile, quoique probablement assez long d'établir de nouveaux abaques de même forme qui tiennent compte de cette perte.

Comme tous les abaques de ce genre, nos abaques ne donnent directement la valeur de C ou de C' que dans le cas où le point M est sur la normale à l'un des sommets inférieurs d'une fenêtre rectangulaire sans obstacles extérieurs (fig. 2). C et C' ne sont alors fonctions que des seuls angles $\beta$ et $\gamma$. Prenons donc une base $O_1O_2$ de longueur arbitraire (fig. 3), traçons les demi-droites $O_1X_1$ et $O_2X_2$ qui font avec $O_1O_2$ les angles $\gamma$ et $\beta$ respectivement. Leur point de rencontre définit un point Q. Traçons les lieux de tous les points Q correspondant à des valeurs données de C (ou de C'). Nous obtenons ainsi des familles de courbes qui correspondent à la planche I (ou III.)

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 3.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
L'utilisation de ces courbes suppose simplement que l'on possède un plan et une élévation des locaux sur lesquels est figurée la position du point de référence M.

Le cas général suivant lequel M a une position quelconque dans l'espace par rapport à la fenêtre ne doit être envisagé qu'après avoir résolu celui dans lequel ce point se trouve placé perpendiculairement à un des angles inférieurs de la fenêtre (cas de la fig. 2).

Sur un calque on tracera une base de longueur $O_1O_2$ égale à celle de la longueur $O_1O_2$ des planches I à IV. On portera d'abord ce calque sur l'élévation des lieux, le point $O_1$ coïncidant avec le point M vu en élévation et la base $O_1O_2$ étant horizontale. On tracera la droite $O_1X_1$ qui joint le point $O_1$ au bord supérieur BC de la fenêtre ABCD (détermination de l'angle $\gamma$).

On portera ensuite le calque sur le plan des lieux, le point $O_2$ coïncidant maintenant avec le point M vu en plan et la droite $O_1O_2$ étant toujours perpendiculaire à la fenêtre. On tracera la droite $O_2X_2$ qui joint le point $O_2$ au bord CD de la fenêtre ABCD (détermination de l'angle $\beta$).

Le cas échéant, on retournera le calque dans une des deux opérations de façon que le point de rencontre Q des deux droites $O_1X_1$ et $O_2X_2$ soit au-dessus de la base $O_1O_2$.

Il n'y aura plus qu'à porter le calque sur la planche I (ou sur la planche II selon la répartition choisie pour le ciel) en faisant coïncider les points homologues $O_1$ et $O_2$ du calque et de la planche respectivement. La position du point Q donnera immédiatement par coïncidence la valeur de C (planche I) ou C' (planche III).

L'opération est comme on le voit extrêmement simple et aisée. Elle demande à peine une demi-minute si on a tous les documents sous la main.

Pour des valeurs élevées de $\beta$ et de $\gamma$, le point Q sort des limites raisonnables de l'abaque. Afin de permettre des évaluations dans ces cas, nous avons tracé deux nouveaux abaques dans lesquels les droites $O_1X_1$ et $O_2X_2$ font avec la base $O_1O_2$ des angles égaux aux compléments des angles $\beta$ et $\gamma$ (fig. 4).

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 4.</figcaption></figure>

(Planches II et IV). Ces abaques s'utilisent d'une façon analogue aux précédents en comptant les angles $\gamma$ et $\beta$ par rapport à la perpendiculaire élevée respectivement en $O_1$ et en $O_2$ à la base $O_1O_2$.

Le cas général où la normale tracée du point M au plan de la baie ne tombe pas au sommet d'un des angles inférieurs de celle-ci peut se traiter aisément en décomposant la baie en plusieurs éléments et en additionnant ou en soustrayant, suivant les cas, les résultats obtenus pour chacun de ces éléments. Ainsi sur la figure 5 la valeur de $C_{ABCD}$ (ou de C') en M correspondant à la baie ABCD, est égale à la valeur

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 5.</figcaption></figure>

de C (ou de C') pour une fenêtre $KB_1CD_1$ augmentée de la valeur correspondant à la fenêtre $KA_1AA_2$ et diminuée des valeurs correspondant aux fenêtres $KB_1BA_2$ et $KA_1DD_1$.

Enfin, il est bien évident que l'on doit négliger la partie de la fenêtre située au-dessous du plan horizontal passant par le point M, dans le cas où la fenêtre descendrait effectivement au-dessous de ce niveau.

On remarquera sur les abaques un réseau de droites perpendiculaires à la base $O_1O_2$. Chaque droite de ce réseau correspond à un rapport constant entre les dimensions (largeur $w$ et hauteur $h$) de la fenêtre, rapport qui est indiqué sur chaque droite.

$$ \left( \frac{w}{h} = \frac{\text{tg } \beta}{\text{tg } \gamma} \right) $$

Il est donc facile de déterminer comment varie C (ou C') pour toutes les fenêtres ayant même forme.

De plus, les abaques donnent immédiatement la variation de C (ou C') lorsqu'une fenêtre ayant une longueur donnée, on fait varier la hauteur ou inver- sement; il suffit de considérer la variation de C ou C' sur les droites en $\beta$ ou en $\gamma$ constant.
<figure><img src="image_6.png" /></figure>
<figure><img src="image_7.png" /></figure>
<figure><img src="image_8.png" /></figure>
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Planche IV
C' en %
CIEL MOON ET SPENCER</figcaption></figure>
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 6.</figcaption></figure>

Exemple numérique.

Considérons le cas du local représenté par la figure 6.

L'obstacle extérieur est constitué par un mur continu s'élevant de 2,20 m au-dessus du niveau du point M et situé à 12 m de la façade.

On divisera la fenêtre en 4 portions et on trouvera :

<table><tr><td>C<sub>γ₁β₁</sub> = 4,2</td><td>C'<sub>γ₁β₁</sub> = 3,3</td></tr><tr><td>C<sub>γ₁β₂</sub> = 1,5</td><td>C'<sub>γ₂β₁</sub> = 0,92</td></tr><tr><td>C<sub>γ₁β₂</sub> = 1,75</td><td>C'<sub>γ₁β₂</sub> = 1,45</td></tr><tr><td>C<sub>γ₂β₂</sub> = 0,58</td><td>C'<sub>γ₂β₂</sub> = 0,4</td></tr></table>

Les valeurs de C et C' pour la fenêtre complète seront :

$$C = C_{\gamma_1\beta_1} + C_{\gamma_1\beta_2} - C_{\gamma_2\beta_1} - C_{\gamma_2\beta_2} = 3,87.$$

$$C' = C'_{\gamma_1\beta_1} + C'_{\gamma_1\beta_2} - C'_{\gamma_2\beta_1} - C'_{\gamma_2\beta_2} = 3,43.$$

ANNEXE

Pour établir nos abaques nous sommes partis des valeurs particulières de C et de C' correspondant au cas de la figure 2;

C est donné directement par la formule de YAMAUTI :

$$C = \frac{1}{2\pi} (\beta - \beta \cos \gamma).$$

C' a été calculé par MOON et SPENCER (Transactions of the Illuminating Engineering Soc. Décembre 1942 (37) (p. 707-726).

* * *

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 7.</figcaption></figure>

NOTA : On remarquera que les abaques précédents établis pour des sources rectangulaires verticales peuvent également s'é servir dans le cas de sources rectangulaires horizontales. Soit en effet ABCD (figure 7) une telle source. L'éclairement qu'elle produira en M sur un plan horizontal sera égal à l'éclairement horizontal E₀ produit par l'ensemble de la voûte du ciel diminué des éclairements E₁, E₂, E₃, E₄, que produiraient en M sur un plan horizontal les sources ABB'A', BCC'B', CDD'C', DAA'D', la composante directe du facteur de lumière du jour pour la source ABCD et le point de référence M sera donc :

$$C = \frac{1 - (E_1 + E_2 + E_3 + E_4)}{E_0} = 1 - (C_1 + C_2 + C_3 + C_4)$$

C₁, C₂, C₃, C₄ étant les composantes directes du facteur de lumière du jour pour les faces verticales du parallélipiède ABCDA'B'C'D' que nos abaques permettent de déterminer.