Étienne MATHERON

Remarque 1. On a très envie de croire qu'il devrait être facile de déduire la partie (b) du lemme de la partie (a) ; mais je n'ai pas vu comment.

Remarque 2. Si $T$ est un opérateur borné sur $\ell^1(\mathbb{N})$ de matrice $(t_{ij})$, alors on a pour tout $I \subseteq \mathbb{N}$ :

$$ \|P_I T P_I\|_{\ell^1 \to \ell^1} = \sup_{j \in I} \sum_{i \in I} |t_{ij}|. $$

Donc la partie (b) du Lemme 7.2 entraîne immédiatement que *tout opérateur borné sur $\ell^1$ est payable* (relativement à la base canonique de $\ell^1$). Un résultat du même type se trouve dans [47].

Le deuxième lemme dont on a besoin est une version de ce qu'on appelle habituellement le test de Schur.

**Lemme 7.3.** Soit $A = (a_{ij})_{i,j \in I}$ une matrice à coefficients complexes indexée par un ensemble $I$. On suppose qu'il existe une constante $C$ et des nombres réels $\xi_i > 0$ tels que

$$ \forall i \in I : \sum_j |a_{ij}| \xi_j \le C \xi_i \quad \text{et} \quad \forall j \in I : \sum_i |a_{ij}| \xi_i \le C \xi_j. $$

Alors $A$ définit un opérateur borné sur $\ell^2(I)$, avec $\|A\| \le C$.

**Démonstration.** Si $x = (x_i)_{i \in I} \in \ell^2(I)$, alors

$$ \begin{aligned} \left(\sum_j |a_{ij} x_j|\right)^2 &= \left(\sum_j \sqrt{|a_{ij}|\xi_j} \times \frac{|x_j|}{\sqrt{\xi_j}} \sqrt{|a_{ij}|}\right)^2 \\ &\le \left(\sum_j |a_{ij}|\xi_j\right) \left(\sum_j |a_{ij}| \frac{|x_j|^2}{\xi_j}\right) \\ &\le C \xi_i \sum_j |a_{ij}| \frac{|x_j|^2}{\xi_j} \quad \text{pour tout } i \in I. \end{aligned} $$

Par conséquent,

$$ \begin{aligned} \sum_i \left( \sum_j |a_{ij} x_j| \right)^2 &\le C \times \sum_j \frac{|x_j|^2}{\xi_j} \times \sum_i |a_{ij}| \xi_i \\ &\le C^2 \sum_j |x_j|^2 = C^2 \|x\|^2. \end{aligned} \quad \square $$
Preuve du Théorème 7.1. Par l’argument habituel à base de Lemme de sélection de Rado, il suffit de montrer que pour $\varepsilon > 0$ donné, tout opérateur $T = (t_{ij}) \in \mathcal{B}(\mathbb{C}^d)$ tel que $\mathbb{D}(T) = 0$ et $t_{ij} \ge 0$ pour tous $i, j$ est $\varepsilon$-pavailable en un nombre $r$ de morceaux ne dépendant que de $\varepsilon$ et de $\|T\|$.

Supposons d’abord que l’opérateur $T$ est auto-adjoint, et fixons $\varepsilon > 0$.

Sans perte de généralité, on peut supposer que les coefficients $t_{ij}$ pour $i \ne j$ sont tous strictement positifs (quitte à remplacer $T$ par $T + E$, où $E$ est une matrice auto-adjointe de norme très petite, de diagonale nulle et à coefficients non diagonaux strictement positifs).

Par le Théorème de Perron-Frobenius (voir par exemple [44]), on peut trouver un vecteur non nul $\xi \in \mathbb{C}^d$ tel que $\xi_i \ge 0$ pour tout $i \in [d]$ et $T\xi = \|T\|\xi$. On a alors en fait $\xi_i > 0$ pour tout $i$ car $\sum_j t_{ij}\xi_j = \|T\|\xi_i$ et les $t_{ij}$ pour $j \ne i$ sont strictement positifs (si $\xi_i$ valait 0, alors tous les autres $\xi_j$ vaudraient aussi 0).

Choisissons un entier $r = r(\varepsilon, \|T\|)$ tel que $\frac{1}{r}\|T\| \le \varepsilon$. En appliquant la partie (a) du Lemme 7.2 à la matrice $(s_{ij}) := (\xi_i\xi_j t_{ij})$, on obtient une partition $I_1 \sqcup \dots \sqcup I_r = [d]$ telle que

$$ \forall k \forall i \in I_k : \sum_{j \in I_k} t_{ij} \xi_j \le \frac{1}{r} \sum_{j=1}^{d} t_{ij} \xi_j = \frac{\|T\|}{r} \xi_i. $$

De plus, si $i \in I_k$ alors

$$ \sum_{j \in I_k} t_{ij} \xi_j = \sum_{j=1}^{d} (P_{I_k} T P_{I_k})_{ij} \xi_j; $$

et si $i \notin I_k$ alors $(P_{I_k} T P_{I_k})_{ij} = 0$ pour tout $j$.

On obtient donc pour $k \in \{1, \dots, r\}$ fixé :

$$ \forall i \in [d] : \sum_{j \in [d]} (P_{I_k} T P_{I_k})_{ij} \xi_j \le \frac{\|T\|}{r} \xi_i; $$

et comme l’opérateur $P_{I_k} T P_{I_k}$ est auto-adjoint, on a aussi

$$ \forall j \in [d] : \sum_{i \in [d]} (P_{I_k} T P_{I_k})_{ij} \xi_i \le \frac{\|T\|}{r} \xi_j. $$

Par le test de Schur (Lemme 7.3), on en déduit

$$ \|P_{I_k} T P_{I_k}\| \le \frac{1}{r} \|T\| \le \varepsilon \quad \text{pour } k = 1, \dots, r. $$
Étienne MATHERON

Traitons maintenant le cas d'un opérateur $T = (t_{ij})$ quelconque. L'opérateur $A := T+T^*$ est auto-adjoint, sa matrice $(a_{ij})$ est à coefficients positifs avec $a_{ii} = 0$, et $\|A\| \le 2\|T\|$. De plus, on a $\|P_I T P_I\| \le \|P_I A P_I\|$ pour tout $I \subseteq [d]$ d'après le Théorème de Perron-Frobenius, car les matrices de $P_I T P_I$ et $P_I A P_I$ sont à coefficients positifs avec $(P_I A P_I)_{ij} \ge (P_I T P_I)_{ij}$ pour tous $i, j$. D'après le cas “auto-adjoint” appliqué à $A$, on en déduit immédiatement le résultat pour $T$. $\square$

*Remarque 1.* La preuve ci-dessus montre que si $r \in \mathbb{N}$ est donné, alors tout opérateur auto-adjoint à coefficients matriciels positifs et de norme au plus 1 est $\frac{1}{r}$-pavailable en $r$ morceaux. Ce résultat est optimal ; voir [8].

*Remarque 2.* Il est assez clair qu'on pourrait utiliser la partie (b) du Lemme 7.2 au lieu de la partie (a) pour démontrer le Théorème 7.1. La preuve du théorème en serait d'ailleurs très légèrement simplifiée, car il serait inutile de considérer d'abord le cas où l'opérateur $T$ est auto-adjoint.

## 7.2. Bourgain-Tzafriri 2

Dans [13], Bourgain et Tzafriri étudient très sérieusement (!) le Théorème de Kadison-Singer. Un de leurs résultats principaux est le théorème suivant, formellement très proche du Théorème 6.9.

**Théorème 7.4.** *Il existe une constante $c > 0$ telle que la propriété suivante ait lieu. Pour tout opérateur sur $\mathbb{C}^d$, $d \ge 1/c$ vérifiant $\mathbb{D}(T) = 0$, pour tout $\varepsilon > 0$ et pour toute mesure de probabilité $\lambda$ sur $[d]$, on peut trouver un ensemble $I \subseteq [d]$ tel que $\lambda(I) \ge \frac{c\varepsilon^2}{\|T\|^2}$ et $\|P_I T P_I\| \le \varepsilon$.*

La preuve du Théorème 7.4 est évidemment difficile, mais reste dans les limites du “raisonnable”.

En prenant pour $\lambda$ la mesure de probabilité uniforme sur $[d]$, on obtient un ensemble $I \subseteq [d]$ avec $|I| \ge \frac{c\varepsilon^2}{\|T\|^2} d$ tel que $\|P_I T P_I\| \le \varepsilon$. Exactement comme dans la preuve du Corollaire 6.10, on en déduit que les opérateurs sur $\mathbb{C}^d$ sont uniformément pavables en $O(\log(d))$ morceaux.

Ce résultat est un indice assez clair de la “plausibilité” de la conjecture de pavage fini-dimensionnelle ($A_{<\infty}$, et donc de (KS). Dans le même article, Bourgain et Tzafriri donnent d'ailleurs des conditions suffisantes très générales pour qu'un opérateur soit payable. En particulier, ils obtiennent le résultat suivant.
**Théorème 7.5.** Soit $\nu > 0$. Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier $d(\nu, \varepsilon)$ tel que tout opérateur $T \in \mathcal{B}(\mathbb{C}^d)$, $d \geq d(\nu, \varepsilon)$ vérifiant $\|T\| = 1$ et

$$|\langle Te_i, e_j \rangle| \leq \frac{1}{(\log d)^{1+\nu}} \quad \text{pour tous } i, j \in [d]$$

est $\varepsilon$-pavailable en un nombre $r = r(\varepsilon, \nu)$ de morceaux.

La preuve originale de ce théorème est extraordinairement élaborée ("quite complicated", écrivent les auteurs). Une preuve plus accessible se trouve dans Tropp [50], où l'étape essentielle de la preuve de [13] est remplacée par un argument plus simple; mais même ainsi, on ne peut certainement pas dire que la démonstration soit facile. Quoi qu'il en soit, les deux preuves reposent sur une approche probabiliste.

## 7.3. Opérateurs de Laurent

Soit $H$ l'espace de Hilbert $L^2(\mathbb{T})$. Il y a sur $H$ une base orthonormée "privilégiée", à savoir la base de Fourier $(e_n)_{n \in \mathbb{Z}}$, où $e_n(t) = e^{int}$. On dira qu'un opérateur $D$ agissant sur $H$ est *diagonal* s'il est diagonal relativement à la base $(e_n)$; et si $T \in \mathcal{B}(H)$, on note $\mathbb{D}(T)$ l'opérateur diagonal avec coefficients $\langle Te_n, e_n \rangle$, $n \in \mathbb{Z}$. Un opérateur $T \in \mathcal{B}(H)$ est dit *pavailable* s'il est payable relativement à la base $(e_n)$. Évidemment, la conjecture de pavage (A), initialement formulée sur $\ell^2(\mathbb{N})$, est vraie si et seulement si tout opérateur sur $H = L^2(\mathbb{T})$ est payable en ce sens.

Il est très naturel de chercher à "tester" la validité de la conjecture de pavage sur des opérateurs classiques. Une classe particulièrement importante est celle des *opérateurs de Laurent*. Si $\phi \in L^\infty(\mathbb{T})$, l'opérateur de Laurent $L_\phi$ associé à $\varphi$ est ... l'opérateur de multiplication par $\phi$, agissant sur $H = L^2(\mathbb{T})$ :

$$L_\phi f = \phi f, \quad f \in L^2(\mathbb{T}).$$

Voici trois résultats assez frappants concernant la propriété de pavage pour les opérateurs de Laurent.

* Dans [8], Berman, Halpern, Keftal et Weiss montrent que si le symbole $\phi$ est *intégrable au sens de Riemann* (!), alors $L_\phi$ est payable, et même payable avec des *progressions arithmétiques*.
Étienne MATHERON

* Toujours dans [8], il est montré que si $V \subseteq \mathbb{T}$ est un ouvert dense dont la frontière $\partial V$ est de mesure de Lebesgue strictement positive, alors l'opérateur de Laurent $L_{1V}$ n'est pas payable avec des progressions arithmétiques.

* Dans [13], Bourgain et Tzafriri montrent à l'aide du Théorème 7.5 que si le symbole $\phi$ vérifie

$$ \sum_{n \in \mathbb{Z}} |\hat{\phi}(n)|^2 |n|^{\tau} < \infty $$

pour un certain $\tau > 0$, alors $L_\phi$ est payable; et ils en déduisent qu'il existe des ouverts denses $V \subseteq \mathbb{T}$ avec $|\partial V| > 0$ tels que $L_{1V}$ est payable.

La proposition qui suit concerne les opérateurs de Laurent associés à des fonctions indicatrices. Pour tout $\Lambda \subseteq \mathbb{Z}$, posons

$$ L_{\Lambda}^{2}(\mathbb{T}) := \{f \in L^{2}(\mathbb{T}); \hat{f}(n) \equiv 0 \text{ sur } \mathbb{Z} \setminus \Lambda\} = [e_n; n \in \Lambda], $$

et notons comme il se doit $P_\Lambda$ la projection orthogonale de $L^2(\mathbb{T})$ sur $L_\Lambda^2$; autrement dit, la projection diagonale associée à $\Lambda$.

**Proposition 7.6.** *Soit $E \subseteq \mathbb{T}$ un ensemble mesurable, de mesure de Lebesgue $|E| > 0$, et soit $\varepsilon \in (0, |E|)$. Soit également $\Lambda \subseteq \mathbb{Z}$. Les propriétés suivantes sont équivalentes.*

$$ (1) \quad \|P_{\Lambda}(L_{1E} - \mathbb{D}(L_{1E}))P_{\Lambda}\| \le \varepsilon; $$

$$ (2) \quad \forall f \in L_{\Lambda}^{2}(\mathbb{T}) \quad : \quad (|E| - \varepsilon) \|f\|^{2} \le \int_{E} |f|^{2} \le (|E| + \varepsilon) \|f\|^{2}. $$

*Démonstration.* On a besoin du fait suivant.

**Fait.** Soit $H$ un espace de Hilbert, et soit $(e_i)_{i \in I}$ une base orthonormée de $H$. Si $P \in \mathcal{B}(H)$ est une projection et si $u \in H$, alors

$$ \|Pu\|^2 = \sum_{i \in I} |\langle u, e_i \rangle|^2 \|Pe_i\|^2 + \langle (P - \mathbb{D}(P))u, u \rangle. $$

*Preuve du Fait.* Bien entendu, la diagonale $\mathbb{D}$ est relative à la base orthonormée $(e_i)$.
Comme $P$ est une projection, on a

$$
\begin{align*}
\|Pu\|^2 &= \langle Pu, u \rangle \\
&= \left\langle \sum_{i \in I} \langle u, e_i \rangle Pe_i, \sum_{j \in I} \langle u, e_j \rangle e_j \right\rangle \\
&= \sum_{i \in I} |\langle u, e_i \rangle|^2 \|Pe_i\|^2 + \sum_{i \neq j} \langle u, e_i \rangle \overline{\langle u, e_j \rangle} \langle Pe_i, e_j \rangle;
\end{align*}
$$

d'où le résultat.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

On applique le Fait avec $P := L_{1E} = M_{1E}$ (qui est bien une projection orthogonale) et $u := P_{\Lambda}f$, où $f \in L^2(\mathbb{T})$. Ici, $H = L^2(\mathbb{T})$ et la base orthonormée est la base de Fourier $(e_n)_{n \in \mathbb{Z}}$. On obtient ainsi

$$
\| \mathbf{1}_E P_\Lambda f \|^2 = \sum_{n \in \mathbb{Z}} |\hat{P}_\Lambda f(n)|^2 \| \mathbf{1}_E e_n \|^2 + \langle P_\Lambda (L_{1E} - \mathbb{D}(L_{1E})) P_\Lambda f, f \rangle;
$$

et comme $\|\mathbf{1}_E e_n\|^2 = |E|$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$ (car $|e_n(t)| \equiv 1$), cela s'écrit
encore

$$
\int_E |P_\Lambda f|^2 = |E| \|P_\Lambda f\|^2 + \langle P_\Lambda (L_{1E} - \mathbb{D}(L_{1E})) P_\Lambda f, f \rangle .
$$

Par ailleurs, comme l'opérateur $L_{1E} - \mathbb{D}(L_{1E})$ est auto-adjoint, on voit
que (1) est satisfaite si et seulement si

$$
-\varepsilon P_{\Lambda} \leq P_{\Lambda}(L_{1E} - \mathbb{D}(L_{1E}))P_{\Lambda} \leq \varepsilon P_{\Lambda},
$$

autrement dit

$$
-\varepsilon \| P_{\Lambda} f \|^2 \leq \langle P_{\Lambda} (L_{1E} - \mathbb{D}(L_{1E})) P_{\Lambda} f, f \rangle \leq \varepsilon \| P_{\Lambda} f \|^2
$$

pour toute $f \in L^2(\mathbb{T})$. On en déduit aussitôt l'équivalence de (1) et (2). $\square$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

De cette proposition (et de l'équivalence de (KS) avec la conjecture de
pavage) on déduit immédiatement le

**Corollaire 7.7.** Une réponse positive à (KS) entraîne le résultat suivant :
pour tout ensemble mesurable $E \subseteq \mathbb{T}$ de mesure non nulle et pour tout
$\varepsilon > 0$, on peut trouver une partition $(\Lambda_1, \dots, \Lambda_r)$ de $\mathbb{Z}$ telle que

$$
\forall k \forall f \in L_{\Lambda_k}^2(\mathbb{T}) : (1-\varepsilon) \|f\|^2 \le \frac{1}{|E|} \int_E |f|^2 \le (1+\varepsilon) \|f\|^2.
$$
Étienne MATHERON

Dans [17], le résultat qui vient d’être énoncé est présenté comme une
conjecture importante en analyse harmonique : *any advance on this pro-
blem would have broad applications throughout the field.*

7.4. Ultrafiltres

Dans cette sous-section, on revient à la formulation initiale de (KS)
en termes d’ultrafiltres. Rappelons que si $\mathcal{U}$ est un ultrafiltre sur $\mathbb{N}$, on
note $\varphi_{\mathcal{U}}$ l’état pur associé sur $\mathcal{D}(\ell^2)$ et $\Phi_{\mathcal{U}} = \varphi_{\mathcal{U}} \circ \mathbb{D}$ son prolongement
canonique à $\mathcal{B}(\ell^2)$ :

$$
\Phi_{\mathcal{U}}(T) = \mathcal{U} - \lim \langle Te_n, e_n \rangle \quad \text{et} \quad \varphi_{\mathcal{U}} = (\Phi_{\mathcal{U}})|_{\mathcal{D}(\ell^2)}.
$$

On commence par combler un trou, en démontrant un résultat d’Ander-
son [4] admis dans le courant de la preuve du Théorème 5.3. Il s’agissait
du Lemme 5.4, qui monte maintenant en grade :

**Théorème 7.8.** *Si* $\mathcal{U} \in \beta\mathbb{N}$, *alors* $\Phi_{\mathcal{U}}$ *est un état pur de* $\mathcal{B}(\ell^2)$.

La démonstration repose sur deux lemmes. Rappelons que si $\Phi$ est un
état sur une $C^*$-algèbre $\mathcal{A}$, on note

$$
\mathcal{F}_{\Phi}^{+} = \{b \in \mathcal{A}; 0 \le b \le \mathbf{1} \text{ et } \Phi(b) = 1\}.
$$

**Lemme 7.9.** Soit $\mathcal{A}$ une $C^*$-algèbre, et soit $\mathcal{D}$ une sous-$C^*$-algèbre de $\mathcal{A}$. Soit également $\Phi$ un état sur $\mathcal{A}$. On suppose que $\varphi := \Phi|_{\mathcal{D}}$ est un état pur de $\mathcal{D}$, et qu'il existe une projection $\mathbb{E} : \mathcal{A} \to \mathcal{D}$ telle que

$$
\forall a \in \ker(\mathbb{E}) \ : \ \inf \{ \Phi(a^*ba) ; b \in \mathcal{F}_{\Phi}^{+} \} = 0.
$$

Alors l'état Φ est pur.

Démonstration. Remarquons d'abord que l'énoncé du lemme a un sens. En
effet, si $b \in \mathcal{A}$ est positif alors $a^*ba$ est également positif, et par conséquent

$$
\Phi(a^*ba) \ge 0 \text{ pour tout } a \in \mathcal{A}.
$$

Donc l'inf apparaissant dans l'énoncé du lemme est un nombre réel positif
bien défini.

On rappelle qu’on note $\mathbf{S}(\mathcal{A})$ l’ensemble de tous les états sur $\mathcal{A}$. Pour $\Psi \in \mathbf{S}(\mathcal{A})$ et $a \in \mathcal{A}$, on posera

$$
i_{\Psi}(a) := \inf \{ \Psi(a^*ba); b \in \mathcal{F}_{\Psi}^{+} \}.
$$

**Fait 1.** Soit $\Psi \in \mathbf{S}(\mathcal{A})$. Si $a \in \mathcal{A}$ vérifie $i_{\Psi}(a) = 0$, alors $a \in \ker(\Psi)$.
*Preuve du Fait 1.* Fixons $a \in \mathcal{A}$ vérifiant $i_{\Psi}(a) = 0$. Soit également $\varepsilon > 0$.

Par hypothèse, on peut trouver $b \in \mathcal{F}_{\Psi}^{+}$ tel que $\Psi(a^*ba) < \varepsilon$. Soit $u \in \mathcal{A}$ tel que $b = u^*u$. On a $\Psi(a^*ba) = \Psi((ua)^*(ua))$, et donc $\Psi((ua)^*(ua)) < \varepsilon$. Par ailleurs, comme $b \in \mathcal{F}_{\Psi}$, on a (d'après le Fait 4.1) $\Psi(a) = \Psi(ba) = \Psi(u^*(ua))$. Par Cauchy-Schwarz, on en déduit

$$|\Psi(a)| \leq \Psi(uu^*)^{1/2} \Psi((ua)^*(ua))^{1/2} < \sqrt{\varepsilon},$$

où la deuxième inégalité vient du fait que $\|uu^*\| = \|u\|^2 = \|b\| = 1$. Ceci étant vrai pour tout $\varepsilon > 0$, on a donc $\Psi(a) = 0$. $\square$

**Fait 2.** Si $a \in \mathcal{A}$, alors $K_a := \{\Psi \in S(\mathcal{A}); i_{\Psi}(a) = 0\}$ est une partie extrémale de $S(\mathcal{A})$: si $\Psi_1, \Psi_2 \in S(\mathcal{A})$ sont tels que le segment ouvert $]\Psi_1, \Psi_2[$ rencontre $K_a$, alors $\Psi_1$ et $\Psi_2$ appartiennent à $K_a$.

*Preuve du Fait 2.* La fonction $\Psi \mapsto i_{\Psi}(a)$ est positive et concave sur $S(\mathcal{A})$, car c'est la borne inférieure d'une famille de fonctions affines positives. Donc le résultat est clair : si $\Psi = (1-s)\Psi_1 + s\Psi_2 \in K_a$ avec $0 < s < 1$, alors

$$0 = i_{\Psi}(a) \geq (1-s) i_{\Psi_1}(a) + s i_{\Psi_2}(a),$$

et donc $i_{\Psi_1}(a)$ et $i_{\Psi_2}(a)$, qui sont positifs, doivent tous les deux valoir 0. $\square$

Montrons maintenant que l'état $\Phi$ est pur, i.e. est un point extrémal de $S(\mathcal{A})$. Soient $\Phi_1, \Phi_2 \in S(\mathcal{A})$, et supposons que $\Phi$ appartienne au segment ouvert $]\Phi_1, \Phi_2[$ : il s'agit de voir que $\Phi_1 = \Phi = \Phi_2$.

Comme $\Phi|_{\mathcal{D}} \in ](\Phi_1)|_{\mathcal{D}}, (\Phi_2)|_{\mathcal{D}}[$ et que $\Phi|_{\mathcal{D}}$ est un point extrémal de $S(\mathcal{D})$, on sait déjà que $(\Phi_1)|_{\mathcal{D}} = \Phi|_{\mathcal{D}} = (\Phi_2)|_{\mathcal{D}}$.

De plus, on sait par hypothèse que $\Phi \in K_a$ pour tout $a \in \ker(\mathbb{E})$. Par le Fait 2, on a donc $\Phi_j \in K_a$ pour tout $a \in \ker(\mathbb{E})$ et $j = 1, 2$; et par le Fait 1, on en déduit $\ker(\mathbb{E}) \subseteq \ker(\Phi_j)$. Comme $\mathbb{E}$ est une projection, cela s'écrit encore

$$\Phi_j(a - \mathbb{E}(a)) = 0 \quad \text{pour tout } a \in \mathcal{A};$$

autrement dit : $\Phi_j = ((\Phi_j)|_{\mathcal{D}}) \circ \mathbb{E}$. Comme $\ker(\mathbb{E}) \subseteq \ker \Phi$ par le Fait 1, on a de même $\Phi = (\Phi|_{\mathcal{D}}) \circ \mathbb{E}$; et donc $\Phi_j = \Phi$ pour $j = 1, 2$ puisque $(\Phi_j)|_{\mathcal{D}} = \Phi|_{\mathcal{D}}$. $\square$

Le deuxième lemme dont on a besoin est la version infini-dimensionnelle du Lemme 7.2 (b).
**Lemme 7.10.** Soit $(s_{ij})_{i,j \in \mathbb{N}}$ une matrice infinie à coefficients positifs, avec $s_{ii} = 0$ pour tout $i \in \mathbb{N}$. Pour tout $N \in \mathbb{N}$, on peut trouver une partition $(I_1, \dots, I_r)$ de $\mathbb{N}$ en $r = 3^N$ morceaux telle que

$$ \forall k \forall j \in I_k : \sum_{i \in I_k} s_{ij} \le \left(\frac{2}{3}\right)^N \sum_{i \in \mathbb{N}} s_{ij}. $$

*Démonstration.* C'est une application “immédiate” du Lemme 7.2 (b) et du Lemme de sélection de Rado. Les détails sont laissés en exercice. □

On peut maintenant donner la

*Preuve du Théorème 7.8.* Soit $\mathcal{U}$ un ultrafiltre sur $\mathbb{N}$. D'après le Lemme 7.9, pour montrer que $\Phi_{\mathcal{U}}$ est un état pur, il suffit de prouver que si $A \in \mathcal{B}(\ell^2)$ vérifie $\mathcal{D}(A) = 0$, alors

$$ \inf \{ \Phi_{\mathcal{U}}(A^*BA); B \in \mathcal{F}_{\Phi_{\mathcal{U}}}^{+} \} = 0. $$

Fixons $A$ vérifiant $\mathcal{D}(A) = 0$, et $\varepsilon > 0$. On va montrer qu'il existe un ensemble $I \in \mathcal{U}$ tel que $\Phi_{\mathcal{U}}(A^*P_I A) \le \varepsilon$.

Pour tout $I \subseteq \mathbb{N}$, on a

$$ \begin{aligned} \Phi_{\mathcal{U}}(A^*P_I A) &= \mathcal{U}\text{-lim} \langle P_I A e_j, A e_j \rangle \\ &= \mathcal{U}\text{-lim} \left( \sum_{i \in I} \langle P_{\{i\}} A e_j, A e_j \rangle \right). \end{aligned} $$

Posons alors

$$ s_{ij} := \langle P_{\{i\}} A e_j, A e_j \rangle = \langle A^* P_{\{i\}} A e_j, e_j \rangle. $$

La matrice infinie $(s_{ij})$ vérifie les hypothèses du Lemme 7.10. En effet, on a $s_{ij} \ge 0$ car l'opérateur $A^*P_{\{i\}}A$ est positif, et $s_{ii} = \langle P_{\{i\}} A e_i, A e_i \rangle = 0$ car $P_{\{i\}}A e_i \in [e_i]$ et $\mathcal{D}(A) = 0$.

De plus, on a $\sum_{i \in \mathbb{N}} s_{ij} = \sum_{i \in \mathbb{N}} \langle P_{\{i\}} A e_j, A e_j \rangle = \|A e_j\|^2$ pour tout $j$, et donc

$$ \sup_{j \in \mathbb{N}} \sum_{i \in \mathbb{N}} s_{i,j} < \infty. $$

Enfin, on a pour tout $I \subseteq \mathbb{N}$ et pour tout $j \in \mathbb{N}$ :

$$ \sum_{i \in I} s_{ij} = \langle P_I A e_j, A e_j \rangle = \langle A^* P_I A e_j, e_j \rangle. $$
Par le Lemme 7.10 appliqué avec $N$ suffisamment grand, il existe donc une partition $(I_1, \dots, I_r)$ de $N$ telle que

$$ \forall k \forall j \in I_k : \langle A^* P_{I_k} A e_j, e_j \rangle < \varepsilon. $$

Comme $\mathcal{U}$ est un ultrafiltre, on peut trouver $k_0$ tel que $I := I_{k_0} \in \mathcal{U}$. En considérant $\mathcal{U}$ comme un quantificateur, on a ainsi

$$ \mathcal{U}_j : \langle A^* P_I A e_j, e_j \rangle < \varepsilon, \\ \text{et donc } \Phi_{\mathcal{U}}(A^* P_I A) = \mathcal{U} - \lim \langle A^* P_I A e_j, e_j \rangle \le \varepsilon. \quad \square $$

On va maintenant montrer que pour une certaine catégorie d'ultrafiltres $\mathcal{U}$, l'état pur $\varphi_{\mathcal{U}}$ sur $\mathcal{D}(\ell^2)$ admet bel et bien un unique prolongement à $\mathcal{B}(\ell^2)$.

**Définition 7.11.** On dira qu’un ultrafiltre $\mathcal{U} \in \beta\mathbb{N}$ est un $q$-point s’il vérifie la propriété suivante : pour toute partition $(J_k)_{k \in \mathbb{N}}$ de $\mathbb{N}$ en intervalles bornés, il existe un ensemble $I \in \mathcal{U}$ qui rencontre chaque $J_k$ en exactement 1 point.

Par exemple, tout ultrafiltre trivial $U_n$ est un $q$-point : la partition $(J_k)$ étant donnée, il n’est pas difficile de trouver un ensemble $I \subseteq \mathbb{N}$ contenant $n$ et rencontrer chaque $J_k$ en exactement 1 point.

Hormis cet exemple, il n’est pas clair qu’il existe vraiment des $q$-points dans $\beta\mathbb{N}$ ... mais l’inverse n’est pas clair non plus. En effet, Choquet a montré dans [20] que si on admet l’*Hypothèse du Continu* CH, alors il existe des $q$-points non triviaux. Par ailleurs, il a également montré (sans recourir à CH) qu’il existe des ultrafiltres qui ne sont pas des $q$-points.

Le théorème suivant est dû à Reid [42]. C’est un des rares exemples de résultats positifs concernant (KS) qui se formule en termes d’ultrafiltres. Ce qui vient d’être dit sur les $q$-points montre qu’il ne faut pas en surestimer la portée, mais le résultat et sa preuve sont beaux... On renvoie à [9] pour un résultat plus général, et par exemple à [1] ou [40] pour d’autres considérations sur une éventuelle approche de (KS) “par ultrafiltres”.

**Théorème 7.12.** Si $\mathcal{U} \in \beta\mathbb{N}$ est un $q$-point, alors $\varphi_{\mathcal{U}}$ admet un unique prolongement à $\mathcal{B}(\ell^2)$.

*Démonstration.* Le point clé est le fait suivant.

**Fait 1.** Soit $\mathcal{U} \in \beta\mathbb{N}$ un $q$-point. Pour tout $T \in \mathcal{B}(\ell^2)$, on peut trouver $I \in \mathcal{U}$ tel que l’opérateur $P_I(T - \mathbb{D}(T))P_I$ soit compact.
Étienne MATHERON

*Preuve du Fait 1.* Remarquons d'abord qu'on a

$$ \mathbb{D}(T) = \sum_{n \in \mathbb{N}} P_{\{n\}} T P_{\{n\}}, $$

où la série converge inconditionnellement pour la topologie forte des opérateurs, ce qui signifie que toutes ses sous-séries convergent. Pour tout $I \subseteq \mathbb{N}$, on peut donc écrire

$$ P_I \mathbb{D}(T) P_I = \sum_{n \in I} P_{\{n\}} T P_{\{n\}}. $$

Fixons une suite $(\varepsilon_k)_{k \in \mathbb{N}}$ de nombres réels strictement positifs convergent très vite vers 0.

Soit $n_1 := 1$. Les opérateurs $TP_{[1,n_1]}$ et $T^*P_{[1,n_1]}$ sont de rang fini (donc compacts), donc

$$ \|(Id - P_{[1,n]})TP_{[1,n_1]}\| \to 0 \quad \text{et} \quad \|(Id - P_{[1,n]})T^*P_{[1,n_1]}\| \to 0 $$

quand $n \to \infty$. On peut donc trouver un entier $n_2 > n_1$ tel que

$$ \|P_{(n_2, \infty)} T P_{[1, n_1]}\| < \varepsilon_1 \quad \text{et} \quad \|P_{(n_2, \infty)} T^* P_{[1, n_1]}\| < \varepsilon_1. $$

En répétant ce raisonnement, on construit par récurrence une suite strictement croissante d'entiers $(n_k)_{k \in \mathbb{N}}$ telle que pour tout entier $k$ :

$$ \|P_{(n_{k+1}, \infty)} T P_{[1, n_k]}\| < \varepsilon_k \quad \text{et} \quad \|P_{(n_{k+1}, \infty)} T^* P_{[1, n_k]}\| < \varepsilon_k. $$

Posons alors $J_1 := [1, n_1]$ et $J_{k+1} := (n_k, n_{k+1}]$ pour tout $k \ge 1$. Comme $\mathcal{U}$ est un $q$-point, on peut trouver un ensemble $I_0 \in \mathcal{U}$ tel que $I_0$ rencontre chaque $J_k$ en exactement 1 point :

$$ I_0 \cap J_k = \{m_k\}. $$

Comme $\mathcal{U}$ est un ultrafiltre, on a $I_0 \cap 2\mathbb{N} \in \mathcal{U}$ ou $I_0 \cap (2\mathbb{N} - 1) \in \mathcal{U}$. Supposons par exemple qu'on soit dans le deuxième cas, i.e.

$$ I := \{m_1, m_3, m_5, \dots\} \in \mathcal{U}. $$
Comme $P_I = \sum_{i=0}^{\infty} P_{\{m_{2i+1}\}}$ (où la série converge dans $\mathcal{B}(\ell^2)$ pour la topologie forte des opérateurs), on a

$$ 
\begin{aligned}
P_I T P_I &= \left( \sum_{i=0}^{\infty} P_{\{m_{2i+1}\}} \right) T \left( \sum_{j=0}^{\infty} P_{\{m_{2j+1}\}} \right) \\
&= P_I \mathbb{D}(T) P_I + \sum_{i=0}^{\infty} P_{\{m_{2i+1}\}} T \left( \sum_{j \neq i} P_{\{m_{2j+1}\}} \right).
\end{aligned}
$$

Il suffit donc de montrer que l'opérateur

$$ K := \sum_{i=0}^{\infty} P_{\{m_{2i+1}\}} T \left( \sum_{j \neq i} P_{\{m_{2j+1}\}} \right) $$

est compact. Ce n'est a priori pas évident, car à ce stade on ne sait pas que les séries définissent $K$ convergent en norme et donc on ne peut pas immédiatement affirmer que $K$ est limite en norme d'une suite d'opérateurs de rang fini.

Soient $i, j \in \mathbb{N}$ quelconques avec $i \neq j$.

Si $i > j$, alors $\{m_{2i+1}\} \subseteq J_{2i+1} \subseteq (n_{2i}, \infty)$ et $\{m_{2j+1}\} \subseteq J_{2j+1} \subseteq [1, n_{2j+1}] \subseteq [1, n_{2i-1}]$. Donc

$$ P_{\{m_{2i+1}\}} T P_{\{m_{2j+1}\}} = P_{\{m_{2i+1}\}} P_{(n_{2i}, \infty)} T P_{[1, n_{2i-1}]} P_{\{m_{2j+1}\}}, $$

et par suite

$$ \| P_{\{m_{2i+1}\}} T P_{\{m_{2j+1}\}} \| \le \| P_{(n_{2i}, \infty)} T P_{[1, n_{2i-1}]} \| < \varepsilon_{2i-1}. $$

Si $i < j$, on a de même

$$ \| P_{\{m_{2i+1}\}} T P_{\{m_{2j+1}\}} \| = \| P_{\{m_{2j+1}\}} T^* P_{\{m_{2i+1}\}} \| < \varepsilon_{2j-1}. $$

On en déduit que si la suite $(\varepsilon_k)$ tend suffisamment vite vers 0 et si on pose

$$ K_{ij} := P_{\{m_{2i+1}\}} T P_{\{m_{2j+1}\}}, $$

alors, pour tout $i \in \mathbb{N}$ fixé, la série $\sum_{j \neq i} K_{ij}$ converge en norme dans $\mathcal{B}(\ell^2)$

et

$$ \left\| \sum_{j \neq i} K_{ij} \right\| \le \sum_{j<i} \varepsilon_{2i-1} + \sum_{j>i} \varepsilon_{2j-1} = (i-1) \varepsilon_{2i-1} + \sum_{j>i} \varepsilon_{2j-1} := \alpha_i. $$
Étienne MATHERON

Donc l'opérateur

$$
K_i := \sum_{j \neq i} K_{ij}
$$

est compact car les opérateurs $K_{ij}$ sont de rang fini; et si la suite $(\varepsilon_k)$
tend assez vite vers 0, alors la série $\sum \alpha_i$ est convergente et donc

$$
\sum_{i=0}^{\infty} \|K_i\| < \infty.
$$

Ainsi, la série $\sum K_i$ converge en norme dans $\mathcal{B}(\ell^2)$; et comme $K = \sum_0^\infty K_i$ (où $a \text{ priori}$ la convergence n'avait lieu que pour la topologie forte des opérateurs), on peut conclure que l'opérateur $K$ est compact. $\square$

Introduisons maintenant la notation ad hoc suivante : si $\alpha_I$ est une
quantité positive dépendant de $I \subseteq \mathbb{N}$, on écrira

$$
\alpha_I \xrightarrow{I \to \mathcal{U}} 0
$$

pour indiquer que pour tout $\varepsilon > 0$, on peut trouver $I \in \mathcal{U}$ tel que $\alpha_I \le \varepsilon$.

**Fait 2.** Soit $\mathcal{U} \in \beta\mathbb{N}$ un ultrafiltre non trivial. Si $K \in \mathcal{B}(\ell^2)$ est un opérateur compact, alors $\|P_I K\| \xrightarrow{I \to \mathcal{U}} 0$.

Démonstration. Fixons un opérateur compact $K$ et $\varepsilon > 0$. Comme $K$ est
compact, on peut trouver un entier $d \in \mathbb{N}$ tel que $\|P_{[1,d]}K - K\| \le \varepsilon$.
Comme l'ultrafiltre $\mathcal{U}$ est non trivial, il contient le filtre de Fréchet et
donc $I := \mathbb{N} \setminus [1,d]$ appartient à $\mathcal{U}$; et comme $P_I = \text{Id} - P_{[1,d]}$, on a
$\|P_I K\| \le \varepsilon$. $\square$

Il est à présent facile de terminer la preuve du théorème. Fixons un
$q$-point $\mathcal{U} \in \beta\mathbb{N}$. Par le Lemme 3.12, on peut supposer que l'ultrafiltre $\mathcal{U}$
est non trivial.

Soit $T \in \mathcal{B}(\ell^2)$ quelconque, et soit $\varepsilon > 0$. Par le Fait 1, on peut trouver
$I_1 \in \mathcal{U}$ tel que l'opérateur $K := P_{I_1}(T - \mathbb{D}(T))P_{I_1}$ soit compact ; et par le
Fait 2, on peut trouver $I_2 \in \mathcal{U}$ tel que $\|P_{I_2}KP_{I_2}\| \le \varepsilon$. Alors $I := I_1 \cap I_2$
appartient à $\mathcal{U}$, et on a

$$
\| P_I (T - \mathbb{D}(T)) P_I \| \le \| P_{I_2} K P_{I_2} \| \le \varepsilon .
$$

On voit ainsi que tout opérateur $T \in \mathcal{B}(\ell^2)$ est compressible modulo $\mathcal{U}$;
d'où le résultat par le Corollaire 4.2. $\square$
## 7.5. Repères

Comme il a déjà été dit, la théorie des repères est depuis déjà un certain temps en croissance au moins exponentielle; et en particulier, énormément de résultats partiels ont été obtenus ces dernières années concernant la Conjecture de Feichtinger. Il n’est pas question d’en donner ici un pano- rama exhaustif, ce que je serais de toute façon bien incapable de faire. Je vais me contenter d’indiquer très brièvement quelques résultats frap- pants, en renvoyant à [17] pour plus de détails et pour un tour d’horizon beaucoup plus ambitieux.

### 7.5.1. Repères de Gabor

Comme il a été dit, les repères de Gabor sont à l'origine de la conjecture de Feichtinger. Il est donc naturel de citer au moins un résultat concernant les suites de la forme $f_{m,n}(x) = f(x - ma)e^{inx}$ : dans [14], Bownik et Speegle montrent que si $ab \in \mathbb{Q}$, alors $(f_{m,n})$ est réunion finie de suites de Riesz. (L'artice contient de nombreux autres résultats très intéressantes concernant la conjecture de Feichtinger, en particulier pour les repères d'ondelettes.)

### 7.5.2. Repères de translatés

Pour toute fonction $g \in L^2(\mathbb{R})$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, notons $g_\lambda \in L^2(\mathbb{R})$ la *translatée* de $g$ par $\lambda$ :

$$g_{\lambda}(x) = g(x - \lambda).$$

Dans [15], Casazza, Christensen et Kalton démontrent que de nombreux “repères de translatés” sont en fait des suites de Riesz :

**Théorème 7.13.** Soit $\Lambda \subseteq \mathbb{Z}$ un ensemble minoré, soit $a > 0$ et soit $g \in L^2(\mathbb{R})$. Si la suite $(g_{na})_{n \in \Lambda}$ est un repère de l'espace qu'elle engendre, alors c'est une suite de Riesz.

En particulier, la Conjecture de Feichtinger est “trivialement” satisfaite pour les repères du type précédent.

### 7.5.3. Suites localisées

Il est possible de définir plusieurs notions raisonnables de “localisation” pour une suite vivant dans un espace de Hilbert $H$.
Étienne MATHERON

Dans [28], Gröchenig considère des suites $(f_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ indexées par un ensemble $\Lambda \subseteq \mathbb{R}^d$. L'ensemble $\Lambda$ est supposé $\delta$-séparé pour un certain $\delta > 0$, ce qui signifie que les points de $\Lambda$ sont à distance au moins $\delta$ les uns des autres. La suite $(f_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} \subseteq H$ est dite *intrinsèquement localisée* s'il existe deux constantes $C < \infty$ et $s > d$ telles que

$$ |\langle f_\lambda, f_\mu \rangle| \le C (1 + \|\lambda - \mu\|)^{-s} \quad \text{pour tout } \lambda, \mu \in \Lambda. $$

Il est montré dans [28] que toute suite intrinsèquement localisée $(f_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ vérifiant $\inf_{\lambda \in \Lambda} \|f_\lambda\| > 0$ est réunion finie de suites de Riesz. Des résultats du même type se trouvent dans [6] et [26].

Ainsi, la Conjecture de Feichtinger est vraie pour les repères localisés ; ce qui inclut de nombreux cas “utiles dans les applications”.

### 7.5.4. Repères de noyaux reproduisants normalisés

Soit $H$ un espace de Hilbert de fonctions holomorphes sur un ouvert $\Omega \subseteq \mathbb{C}$, tel que les évaluations $f \mapsto f(\lambda)$ soient continues. Pour tout $\lambda \in \Omega$, il existe alors une unique fonction $k_\lambda \in H$ telle que

$$ \forall f \in H : f(\lambda) = \langle f, k_\lambda \rangle. $$

La fonction $k_\lambda$ s'appelle le *noyau reproduisant* de l'espace $H$ au point $\lambda$. Le *noyau reproduisant normalisé* (qui ne reproduit plus rien du tout) est par définition

$$ \tilde{k}_{\lambda} := \frac{k_{\lambda}}{\|k_{\lambda}\|}. $$

Il est très naturel de tenter de “tester” la Conjecture de Feichtinger sur des suites de noyaux reproduisants normalisés, dans divers espaces de fonctions $H$ ; et de fait, on connaît beaucoup de choses.

#### 7.5.4.1. Cas de l'espace de Hardy $H^2(\mathbb{D})$.

Ici, $\mathbb{D}$ est le disque unité de $\mathbb{C}$, et pas la projection canonique de $\mathcal{B}(\ell^2)$ sur $\mathcal{D}(\ell^2)$ ! L'espace de Hardy $H^2(\mathbb{D})$ est l'ensemble de toutes les fonctions $f$ holomorphes sur $\mathbb{D}$,

$$ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n, $$
dont les coefficients de Taylor sont de carré sommable :

$$ \|f\|_{H^2}^2 := \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^2 < \infty. $$

Le noyau reproduisant au point $\lambda \in \mathbb{D}$ est facile à déterminer : on a

$$ k_{\lambda}(z) = \frac{1}{1 - \bar{\lambda}z}; $$

ce qui est juste une traduction de la formule de Cauchy.

Les suites $\Lambda = (\lambda_i)_{i \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{D}$ pour lesquelles la suite de noyaux reproduisants normalisés $(\tilde{k}_{\lambda_i})$ est une suite de Riesz ou une suite de Bessel dans $H^2$ ont été et sont encore très étudiées ; voir par exemple la référence incontournable [39].

On sait que $(\tilde{k}_{\lambda_i})$ est une suite de Riesz si et seulement si elle est de Bessel avec un opérateur de synthèse $S = \ell^2(\mathbb{N}) \to H^2$ injectif à image fermée; ce qui revient à dire que l'application linéaire $A : H^2 \to \mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ définie par $Af = (\langle f, \tilde{k}_{\lambda_i} \rangle)_{i \in \mathbb{N}}$ envoie continûment $H^2$ dans $\ell^2$, et que l'opérateur $A : H^2 \to \ell^2$ (qui est bien entendu l'adjoint de $S$) est *surjectif*. Notons également que le fait que $A$ envoie continûment $H^2$ dans $\ell^2$ est automatique par le théorème du graphe fermé, dès lors qu'on sait que $A(H^2) \subseteq \ell^2$. Comme $\langle f, \tilde{k}_{\lambda_i} \rangle = \frac{1}{\|\tilde{k}_{\lambda_i}\|} f(\lambda_i)$ pour toute fonction $f \in H^2$, on voit donc que $(\tilde{k}_{\lambda_i})$ est une suite de Riesz si et seulement si $\Lambda = (\lambda_i)$ est une *suite d'interpolation complète pour* $H^2$, au sens suivant : le problème d'interpolation

$$ f(\lambda_i) = \|k_{\lambda_i}\| a_i, \quad i \in \mathbb{N} $$

admet une solution $f \in H^2$ si et seulement si la donnée $a = (a_i)_{i \in \mathbb{N}}$ appartient à $\ell^2$.

Dans le même esprit, comme $\|k_{\lambda}\|_{H^2}^2 = k_{\lambda}(\lambda) = (1 - |\lambda|^2)^{-1}$ pour tout $\lambda \in \mathbb{D}$, on voit que $(\tilde{k}_{\lambda_i})$ est une suite de Bessel si et seulement si la suite $(\lambda_i)$ vérifie la *condition de Carleson-Newman*

$$ \sum_{i \in \mathbb{N}} (1 - |\lambda_i|^2) |f(\lambda_i)|^2 < \infty \quad \text{pour toute } f \in H^2. \quad (\text{CN}) $$

Par ailleurs, Shapiro et Shields ont montré dans [45] que $(\tilde{k}_{\lambda_i})$ est une suite d'interpolation complète pour $H^2$ si et seulement si $(\lambda_i)$ est une *suite*
Étienne MATHERON

de Carleson, i.e. vérifie la condition

$$
\inf_j \prod_{i \neq j} \left| \frac{\lambda_i - \lambda_j}{1 - \bar{\lambda}_i \lambda_j} \right| > 0. \qquad (C)
$$

Enfin, McKenna a montré dans [38] que si $(\lambda_i)$ vérifie (CN), alors $(\lambda_i)$ est une réunion finie de suites de Carleson.

De ces résultats très classiques, on déduit immédiatement que la Conjecture de Feichtinger est vraie pour les suites de noyaux reproduisants normalisés dans $H^2(\mathbb{D})$. Cette observation est due à Nikol'skiï.

7.5.4.2. Cas des *espaces modèles*.

Soit $H^\infty(\mathbb{D})$ l'espace des fonctions holomorphes et bornées sur $\mathbb{D}$. Une fonction $\Theta \in H^\infty(\mathbb{D})$ est dite *intérieure* si sa "valeur au bord" est de module presque partout égal à 1 sur $\partial\mathbb{D}$; autrement dit si on a

$$
\lim_{r \to 1^{-}} |\Theta(re^{it})| = 1
$$

pour presque tout $t \in [0, 2\pi)$. L'espace modèle $K_\Theta$ associé à une fonction intérieure $\Theta$ est par définition le supplémentaire orthogonal de $\Theta H^2 := \{\Theta f; f \in H^2\}$ dans $H^2 = H^2(\mathbb{D})$ :

$$
\mathcal{K}_{\Theta} = H^2 \ominus \Theta H^2.
$$

À titre d'exercice, on pourra montrer que le noyau reproduisant de $\mathcal{K}_\Theta$
au point $\lambda \in \mathbb{D}$, noté $k_\lambda^\Theta$, est donné par la formule

$$
k_{\lambda}^{\Theta}(z) = \frac{1 - \bar{\Theta}(\lambda) \Theta(z)}{1 - \bar{\lambda} z}.
$$

Dans [7], Dyakonov et Baranov obtiennent de très beaux résultats sur les suites de noyaux reproduisants normalisés dans les espaces modèles, que l’on peut résumer par le théorème suivant.

**Théorème 7.14.** *Soit $\Theta \in H^\infty(\mathbb{D})$ une fonction intérieure.*

(a) Si $\Lambda = (\lambda_i)_{i \in \mathbb{N}}$ une suite de points de $\mathbb{D}$ vérifiant $\sup_{i \in \mathbb{N}} |\Theta(\lambda_i)| < 1$ et si la suite $(\tilde{k}_{\lambda_i}^{\Theta})$ est une suite de Bessel, alors $(\tilde{k}_{\lambda_i}^{\Theta})$ est réunion finie de suites de Riesz.

(b) S'il existe $\varepsilon \in (0,1)$ tel que l'ensemble $\{z \in \mathbb{D}; |\Theta(z)| < \varepsilon\}$ est connexe, alors la Conjecture de Feichtinger est vraie pour les suites de noyaux reproduisants normalisés dans $\mathcal{K}_{\Theta}$.
7.5.4.3. Cas des espaces contractivement contenus dans $H^2$.

Un espace de Hilbert $H$ est dit contractivement contenu dans $H^2$ si $H$ est un sous-espace vectoriel de $H^2(\mathbb{D})$ et si on a $\| \cdot \|_H \ge \| \cdot \|_{H^2}$.
Dans [34], Lata et Paulsen ont montré que pour résoudre la Conjecture de Feichtinger, il suffirait de tout savoir sur ces espaces et leurs noyaux reproduisants :

**Théorème 7.15.** La Conjecture de Feichtinger est vraie si et seulement si elle est vraie pour les suites de noyaux reproduisants dans les espaces de Hilbert contractivement contenus dans $H^2$.

C'est un résultat “philosophiquement” très intéressant, mais qui n'est sans doute pas d'une énorme utilité pratique : le zoo des espaces contractivement contenus dans $H^2$ est particulièrement vaste! On pourra à ce sujet consulter le monumental ouvrage [25].

7.5.4.4. Cas des espaces ayant la *Propriété de Pick*.

Soit $H$ un espace de Hilbert de fonctions holomorphes sur un ouvert $\Omega \subseteq \mathbb{C}$, avec évaluations continues. On dit qu'une fonction $\phi : \Omega \to \mathbb{C}$ est un multiplicateur de $H$ si $\phi f \in H$ pour toute $f \in H$; dans ce cas, on note $\|\phi\|_{\mathfrak{M}(H)}$ la norme de l'opérateur de multiplication $M_\phi : H \to H$. Par exemple, les multiplicateurs de l'espace $H^2 = H^2(\mathbb{D})$ sont les fonctions de $H^\infty = H^\infty(\mathbb{D})$, et $\|\phi\|_{\mathfrak{M}(H^2)} = \|\phi\|_\infty$ pour toute fonction $\phi \in H^\infty$.

On dit que l'espace $H$ possède la *Propriété de Pick* si pour toute suite finie $(\lambda_i)_{i \in I} \subseteq \Omega$ et pour toute suite $(a_i)_{i \in I} \subseteq \mathbb{C}$ indexée par le même ensemble $I$ telle que la matrice hermitienne $((1 - \bar{a}_j a_i) \langle k_{\lambda_j}, k_{\lambda_i} \rangle)_{i,j \in I}$ soit positive, on peut trouver un multiplicateur $\phi$ de $H$ tel que $\phi(\lambda_i) = a_i$ pour tout $i \in I$ et $\|\phi\|_{\mathfrak{M}(H)} \le 1$. Le très classique *Théorème de Pick* affirme précisément que l'espace de Hardy $H^2$ possède la Propriété de Pick.

Dans [43], Seip propose la conjecture suivante : *Si $H$ est un espace possédant la Propriété de Pick, alors toute suite de Bessel de noyaux reproduisants normalisés $(f_i)_{i \in I} \subseteq H$ vérifiant la condition de “séparation” $\sup_{i \neq j} |\langle f_i, f_j \rangle| < 1$, est en fait une suite de Riesz*. Cette conjecture est vraie dans de nombreux cas, en particulier pour l'espace de Hardy $H^2$;
voir [10] pour plus de détails.

Par ailleurs, il est observé dans [19] que toute suite de Bessel normalisée dans un espace de Hilbert est réunion finie de suites (de Bessel) vérifiant
la condition de séparation précédente. On voit donc que la validité de la Conjecture de Seip entraînerait la validité de la Conjecture de Feichtinger pour toutes les suites de Bessel de noyaux reproduisants normalisés dans un espace possédant la Propriété de Pick.

## 7.6. Rado-Horn

Le Théorème de Rado-Horn est un résultat d'algèbre linéaire de nature "combinatoire", démontré indépendamment par Rado en 1955 et par Horn en 1962. Il s'énonce comme suit.

**Théorème 7.16.** Soit $(f_i)_{i \in I}$ une suite dans un espace vectoriel $V$, et soit $r \in \mathbb{N}$. Les propriétés suivantes sont équivalentes.

(1) $(f_i)$ peut être partitionnée en $r$ suites linéairement indépendantes;

(2) pour tout ensemble fini $J \subseteq I$, on a

$$ \dim [f_i; i \in J] \geq \frac{1}{r} |J|. $$

On connaît maintenant de nombreuses preuves de ce résultat, toutes hautement non triviales; voir [18] pour une intéressante discussion. Il y a cependant une implication très facile (exercice : trouver laquelle et la démontrer).

Voici une conséquence du Théorème de Rado-Horn qui n'est pas sans suggérer un lien possible avec la Conjecture de Feichtinger.

**Corollaire 7.17.** Soit $r \in \mathbb{N}$. Si $(f_i)_{i \in I}$ est un repère r-Parseval normalisé dans $\mathbb{C}^d$, $d \geq 1$, alors $|I| = rd$ et $(f_i)$ peut être partitionné en $r$ bases de $\mathbb{C}^d$.

*Démonstration.* On a pour tout $j \in [d]$ :

$$ \sum_{i \in I} |\langle e_j, f_i \rangle|^2 = r \|e_j\|^2 = r; $$

d'où en sommant de 1 à $d$ :

$$ rd = \sum_{j=1}^{d} \left( \sum_{i \in I} |\langle e_j, f_i \rangle|^2 \right) = \sum_{i \in I} \|f_i\|^2 = |I|. $$

Soit maintenant $J$ une partie quelconque de $I$, et soit $P_J$ la projection orthogonale de $\mathbb{C}^d$ sur $F_J := [f_i; i \in J]$. Comme "le rang d'un projecteur
est égal à sa trace”, on a

$$
\begin{align*}
\dim(F_J) = \operatorname{trace}(P_J) &= \sum_{j=1}^{d} \langle P_J e_j, e_j \rangle \\
&= \sum_{j=1}^{d} \|P_J e_j\|^2 \\
&= \frac{1}{r} \sum_{j=1}^{d} \sum_{i \in I} |\langle P_J e_j, f_i \rangle|^2,
\end{align*}
$$

et par conséquent

$$
\dim(F_J) \ge \frac{1}{r} \sum_{i \in J} \left[ \sum_{j=1}^{d} |\langle e_j, P_J f_i \rangle|^2 \right] = \frac{1}{r} \sum_{i \in J} \|P_J f_i\|^2 = \frac{1}{r} \sum_{i \in J} \|f_i\|^2 = \frac{|J|}{r}.
$$

D'après le Théorème de Rado-Horn, on en déduit que $(f_i)$ peut être
partitionnée en $r$ suites linéairement indépendantes. Ces suites contiennent
chacune au plus $d$ vecteurs puisqu'on est en dimension $d$; mais comme
$|I| = rd$, elles contiennent en fait exactement $d$ vecteurs, et donc ce sont
des bases de $\mathbb{C}^d$. $\square$

À ce stade, il est judicieux de rappeler l'énoncé W(C) : Il existe un entier r ∈ N et une constante η > 0 tels que tout repère C-Parseval fini (fᵢ) avec ||fᵢ|| ≤ 1 est réunion de r suites de Bessel de constantes au plus égales à (1 − η)C. On a vu que la validité de W(C) pour un C > 1 est équivalente à (KS).

Cela étant dit, admettons à présent que pour un certain entier $r \ge 2$
on sache démontrer la version “quantitative” suivante du Corollaire 7.17 :
tout repère r-Parseval normalisé $(f_i)_{i \in I} \subseteq \mathbb{C}^d$ peut être partitionné en r
bases $(f_i)_{i \in I_1}, \dots, (f_i)_{i \in I_r}$, dont les “constantes inférieures de repère” sont
minorées, i.e. au moins égales à une certaine constante $\alpha = \alpha(r) > 0$.

Pour $k = 1, \dots, r$ et $x \in \mathbb{C}^d$, on a alors

$$
\sum_{i \in I_k} |\langle x, f_i \rangle|^2 = \sum_{i \in I} |\langle x, f_i \rangle|^2 - \sum_{i \in I \setminus I_k} |\langle x, f_i \rangle|^2 \\
\leq r \|x\|^2 - \alpha \|x\|^2 = (1 - \eta)r \|x\|^2,
$$

où η = α/r. Autrement dit, la constante de Bessel de chaque suite (fᵢ)ᵢ∈Iₖ
est au plus égale à (1 − η)r.
Étienne MATHERON

On voit donc que l'énoncé $W(r)$ est satisfait, à un détail près : il n'est
valable *a priori* que pour des repères $r$-Parseval normalisés. Cependant,
Weaver a montré dans [53] que cette version affaiblie de $W(r)$ entraîne
$W(r)$ si de plus $r$ est au moins égal à 4 et $\eta = \alpha/r$ est supérieur à $\frac{1}{\sqrt{r}}$, i.e.
$\alpha > \sqrt{r}$.

On arrive ainsi à la conclusion suivante : si, pour un certain entier $r \ge 4$, on est capable de démontrer une version quantitative du Théorème de Rado-Horn suffisamment forte, alors on a prouvé que (KS) est vrai.

7.7. Et pourquoi pas un contre-exemple ?

Outre Kadison et Singer eux-même, de nombreux spécialistes considé-
raient comme très plausible que (KS) soit en fait faux. Et de fait, on a
pu montrer que certaines conjectures “très proches mais un peu plus for-
tes” sont bel et bien fausses. Cependant, je ne parlerai absolument pas
des diverses stratégies élaborées depuis 1959 pour tenter de trouver un
contre-exemple à (KS). On pourra consulter [1] ou [17] pour d’intéres-
santes discussions.

8. Marcus-Spielman-Srivastava

Rappelons que si $H$ est un espace de Hilbert et si $v \in H \setminus \{0\}$, on note
$v \otimes v$ l'opérateur de rang 1 sur $H$ défini par

$$
(v \otimes v)(x) = \langle x, v \rangle v.
$$

L'opérateur $v \otimes v$ est auto-adjoint ; et si $\|v\| = 1$, il s'agit simplement
de la projection orthogonale sur $[v] = \mathcal{C}v$.

Les opérateurs du type $v \otimes v$ interviennent très naturellement dans la théorie des repères, en raison du fait suivant :

**Fait 8.1.** *Soit $(f_i)_{i \in I}$ une suite finie dans un espace de Hilbert $H$. Alors*

* $(f_i)$ est une suite de Bessel si et seulement si il existe une constante $B < \infty$ telle que

$$
\sum_{i \in I} f_i \otimes f_i \leq B I d;
$$
• $(f_i)$ est un repère de $H$ si et seulement si il existe deux constantes $A > 0$ et $B < \infty$ telles que

$$A \mathrm{Id} \leq \sum_{i \in I} f_i \otimes f_i \leq B \mathrm{Id};$$

• $(f_i)$ est un repère $C$-Parseval, pour un certain $C > 0$, si et seulement si

$$\sum_{i \in I} f_i \otimes f_i = C \mathrm{Id};$$

*Démonstration.* Il suffit d'observer que pour tout $x \in H$, on a

$$\left\langle \left( \sum_{i \in I} f_i \otimes f_i \right) x, x \right\rangle = \sum_{i \in I} \langle x, f_i \rangle \langle f_i, x \rangle = \sum_{i \in I} |\langle x, f_i \rangle|^2 . \quad \square$$

Dans [36], Marcus, Spielman et Srivastava démontrent le résultat suivant. On appellera *vecteur aléatoire dans $\mathbb{C}^d$* toute variable aléatoire $v$ à valeurs dans $\mathbb{C}^d$. Les variables aléatoires seront supposées définies sur le même espace de probabilité $(\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P})$. L'espérance d'une variable aléatoire réelle ou vectorielle $\xi$ est notée $\mathbb{E}(\xi)$ ou $\mathbb{E}\xi$.

**Théorème 8.1.** Soit $(v_i)_{i \in I}$ une suite finie de vecteurs aléatoires indépendants dans $\mathbb{C}^d$, chaque $v_i$ ne prenant qu'un nombre fini de valeurs. Soit également $\varepsilon > 0$. On suppose qu'on a

$$\mathbb{E}\|v_i\|^2 \leq \varepsilon \quad \text{pour tout } i \in I, \text{ et } \mathbb{E}\left(\sum_{i \in I} v_i \otimes v_i\right) = \mathrm{Id}.$$

Alors, on a avec probabilité positive :

$$\left\| \sum_{i \in I} v_i(\omega) \otimes v_i(\omega) \right\| \leq (1 + \sqrt{\varepsilon})^2 .$$

En première lecture, ce résultat peut sembler presque anodin. Comme “la norme de l’espérance n’est pas plus grande que l’espérance de la norme”, on a évidemment

$$1 = \|\mathrm{Id}\| \leq \mathbb{E} \left\| \sum_{i \in I} v_i \otimes v_i \right\| ;$$

et le Théorème 8.1 dit “simplement” que pour certaines réalisations des $v_i$, on peut essentiellement renverser cette inégalité évidente.
Étienne MATHERON

En deuxième lecture ... on ne voit pas du tout comment démontrer ce théorème, ce qui n'est pas très étonnant au vu du corollaire suivant.

**Corollaire 8.2.** *L'énoncé W(C) est vrai pour tout $C > 1$ ; et par conséquent, (KS) et toutes ses versions équivalentes sont vrais.*

*Démonstration.* Fixons $C > 1$ et un repère C-Parseval fini $(f_i)_{i \in I} \subseteq \mathbb{C}^d$, avec $\|f_i\| \le 1$. Par le Fait 8.1, on a ainsi

$$ \sum_{i \in I} f_i \otimes f_i = C \mathrm{Id}. $$

Il s'agit de trouver une partition $(I_1, \dots, I_r)$ de $I$ telle que chaque suite $(f_i)_{i \in I_k}$ ait une constante de Bessel au plus égale à $(1 - \eta)C$, où l'entier $r$ et la constante $\eta > 0$ dépendent uniquement de $C$.

L'idée, très naturelle, est de choisir la partition $(I_1, \dots, I_r)$ "au hasard".

Fixons un entier $r \ge 2$, et soit $(k_i)_{i \in I}$ une suite de variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur l'ensemble $\{1, \dots, r\}$ :

$$ \mathbb{P}(k_i = k) = \frac{1}{r} \quad \text{pour } k = 1, \dots, r. $$

On définit des variables aléatoires $v_i$ à valeurs dans $\mathbb{C}^{dr} = \mathbb{C}^d \oplus \dots \oplus \mathbb{C}^d$ de la façon suivante :

$$ v_i(\omega) := \sqrt{\frac{r}{C}} (0 \oplus \dots \oplus f_i \oplus \dots \oplus 0), $$

où $f_i$ apparaît à la place $k_i(\omega)$.

Les vecteurs aléatoires $v_i$ sont indépendants, et prennent chacun exactement $r$ valeurs. De plus, comme $\|f_i\| \le 1$ on a

$$ \mathbb{E}\|v_i\|^2 \le \frac{r}{C} \quad \text{pour tout } i \in I. $$

Enfin, on a

$$ v_i(\omega) \otimes v_i(\omega) = \frac{r}{C} \left( 0 \oplus \dots \oplus (f_i \otimes f_i) \oplus \dots \oplus 0 \right), $$

où $f_i \otimes f_i$ apparaît à la place $k_i(\omega)$. Donc

$$ \begin{align*} \mathbb{E}(v_i \otimes v_i) &= \frac{r}{C} \sum_{k=1}^{r} \mathbb{P}(k_i = k) \left( 0 \oplus \dots \oplus \underbrace{(f_i \otimes f_i)}_{\text{place } k} \oplus \dots \oplus 0 \right) \\ &= \frac{1}{C} \left( (f_i \otimes f_i) \oplus \dots \oplus (f_i \otimes f_i) \oplus \dots \oplus (f_i \otimes f_i) \right); \end{align*} $$
et comme $\sum_i f_i \otimes f_i = C \mathrm{Id}$, on en déduit

$$ \mathbb{E} \left( \sum_{i \in I} v_i \otimes v_i \right) = \frac{1}{C} (C \mathrm{Id} \oplus \cdots \oplus C \mathrm{Id}) = \mathrm{Id}. $$

Par le Théorème 8.1, on peut donc trouver au moins un $\omega \in \Omega$ (l'espace de probabilité sur lequel les variables aléatoires sont définies) tel que

$$ \left\| \sum_{i \in I} v_i(\omega) \otimes v_i(\omega) \right\| \le \left( 1 + \sqrt{\frac{r}{C}} \right)^2 . $$

Écrivons pour simplifier $\boldsymbol{v}_i := v_i(\omega)$ et $\boldsymbol{k}_i := k_i(\omega)$. Soit $(I_1, \dots, I_r)$ la partition de $I$ définie par la suite $(\boldsymbol{k}_i)_{i \in I}$ :

$$ I_k := \{i \in I; \boldsymbol{k}_i = k\} \quad \text{pour } k = 1, \dots, r. $$

Par définition des $I_k$, on a

$$ \sum_{i \in I} \boldsymbol{v}_i \otimes \boldsymbol{v}_i = \frac{r}{C} \left( \sum_{i \in I_1} f_i \otimes f_i \right) \oplus \dots \oplus \left( \sum_{i \in I_r} f_i \otimes f_i \right), $$

et donc

$$ \left\| \sum_{i \in I} \boldsymbol{v}_i \otimes \boldsymbol{v}_i \right\| = \frac{r}{C} \max \left( \left\| \sum_{i \in I_1} f_i \otimes f_i \right\|, \dots, \left\| \sum_{i \in I_r} f_i \otimes f_i \right\| \right). $$

$$ \text{Comme } \left\| \sum_{i \in I} \boldsymbol{v}_i \otimes \boldsymbol{v}_i \right\| \le \left(1 + \sqrt{\frac{r}{C}}\right)^2, \text{ on obtient donc} $$

$$ \left\| \sum_{i \in I_k} f_i \otimes f_i \right\| \le \frac{C}{r} \left( 1 + \sqrt{\frac{r}{C}} \right)^2 \quad \text{pour } k = 1, \dots, r. $$

D'après le Fait 8.1, cela signifie que chaque suite $(f_i)_{i \in I_k}$ a une constante de Bessel au plus égale à

$$ B(r, C) := \frac{C}{r} \left( 1 + \sqrt{\frac{r}{C}} \right)^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{r}} + \frac{1}{\sqrt{C}} \right)^2 C. $$

Comme $C > 1$, on a $\frac{1}{\sqrt{r}} + \frac{1}{\sqrt{C}} < 1$ si $r = r(C)$ est assez grand, de sorte qu'on peut écrire $B(r, C) = (1 - \eta)C$, où $\eta = \eta(C) > 0$. Et ainsi, la démonstration est terminée. $\square$
Étienne MATHERON

Remarque. En prenant $C = 2$, on trouve que l'énoncé $AA(\frac{1}{2})$ est satisfait avec témoins $r = 12$ et $\eta$ tel que $1 - \eta = \frac{14+4\sqrt{6}}{24}$. En revenant à la preuve de la Proposition 5.1, on voit alors que si $\varepsilon > 0$ est donné, tout opérateur $T \in B(l^2)$ vérifiant $\|T\| \le 1$ et $D(T) = 0$ est $\varepsilon$-pavailable en $r(\varepsilon) := 12^{4N}$ morceaux, où $N$ est le plus petit entier tel que $(1 - \eta)^N \le \varepsilon$.

Bien que la preuve du Théorème 8.1 soit finalement assez courte, elle ne sera pas donnée ici, en grande partie parce que je ne pense pas l'avoir comprise au delà d'une lecture mot à mot. L'article original [36] est de toute façon très bien écrit ; et on trouve également de belles présentations dans [51], [49] et sur le "blog" de T. Tao.

Il est tout de même assez facile de résumer les étapes principales de la
preuve en quelques mots.

En notant $P_A$ le polynôme caractéristique de l'opérateur aléatoire

$$
A := \sum_{i} v_{i} \otimes v_{i}
$$

et en posant $P := \mathbb{E}P_A$, on commence par montrer d'une part que le
polynôme $P$ admet une expression explicite assez simple, et d'autre part
que la plus grande racine de $P_A$ (c'est à dire la norme de l'opérateur positif
$A = \sum_i v_i \otimes v_i$) est, avec probabilité positive, au plus égale à la plus grande
racine de $P$.

Le gros du travail consiste alors à montrer que la plus grande valeur
propre de P est au plus égale à (1 + √ε)²; ce qui demande d'introduire
des idées entièrement nouvelles. Les notions clés utilisées dans cette der-
nière étape sont celles de polynôme réel-stable et de famille entrelacée de
polynômes... mais on n'en dira pas plus.

Il est tout à fait remarquable que les mêmes outils aient permis aux trois mêmes auteurs de résoudre dans [35] un problème très célèbre de théorie des graphes, en prouvant l'existence de familles infinies de graphes de Ramanujan de degré arbitraire. Voir le tout récent [37] pour un "survol" des techniques en question.

Pour conclure, on peut se retourner et mesurer le chemin parcouru : le
Problème de Kadison-Singer, issu d’une branche très abstraite de l’analyse
fonctionnelle, considéré comme “inattaquable” par de nombreux spécia-
listes et sur lequel certains résultats partiels avaient été obtenus par des
méthodes d'une complexité vertigineuse, a été résolu de manière finale-
ment assez “élémentaire” (mais remarquablement ingénieuse) par des cher-
cheurs travaillant dans des domaines a priori très éloignés, à la frontière
des mathématiques et de l'informatique. Il y a certainement là matière à
réflexion...

9. Un schéma pour terminer

Le diagramme ci-après récapitule l'essentiel de ce que j'ai raconté dans
cet article. Un simple coup d'œil suffit pour se convaincre (si besoin était)
que le chemin suivi a tout de même été assez tortueux.

Les notations devraient être suffisamment claires pour qu'il soit inutile
de les expliquer. Précisons cependant que les flèches simples indiquent des
implications "faciles" (voire triviales), et les flèches doubles des implica-
tions plus délicates; ceci étant bien entendu très subjectif.

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Références

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ÉTIENNE MATHERON
Laboratoire de Mathématiques de Lens
Université d'Artois
rue Jean Souvraz S. P. 18
62307 Lens, France
etienne.matheron@euler.univ-artois.fr