# RELÈVEMENT CANONIQUE DE SURFACES ABÉLIENNES

Abdoulaye Maïga

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Abdoulaye Maïga. RELÈVEMENT CANONIQUE DE SURFACES ABÉLIENNES. Mathématiques [math]. EDMI - Université Cheikh Anta Diop - Sénégal, 2022. Français. NNT: tel-04210605

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UNIVERSITÉ CHEIKH ANTA DIOP

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École Doctorale Mathématiques et Informatique

Nº d'ordre : ....

THÈSE DE DOCTORAT UNIQUE

Mention : Mathématiques et Modélisation

Spécialité : Codage, Cryptologie, Algèbre et Applications

RELÈVEMENT CANONIQUE DE
SURFACES ABÉLIENNES

Présentée et soutenue le 24 Juin 2022

par

ABDOULAYE MAÏGA

Pour obtenir le grade de

Docteur de l'Université Cheikh Anta Diop de Dakar

COMPOSITION DU JURY:

<table><tr><td>Président:</td><td>Cheikh Tiécoumba GUEYE</td><td>Prof. Titulaire CAMES</td><td>UCAD, Sénégal</td></tr><tr><td rowspan="2">Rapporteurs:</td><td>Jean-Marc COUVEIGNES</td><td>Prof. Titulaire des Universités</td><td>Univ. de Bordeaux, France</td></tr><tr><td>Omar KIHEL</td><td>Prof. Titulaire</td><td>Univ. de Brock, Canada</td></tr><tr><td rowspan="3">Examinateurs:</td><td>Abdoul Aziz CISS</td><td>Maître de Conférence CAMES</td><td>EPT de Thiès, Sénégal</td></tr><tr><td>Amadou Lamine FALL</td><td>Maître de Conférence CAMES</td><td>UCAD, Sénégal</td></tr><tr><td>Ismaïla DIOUF</td><td>Maître de Conférence CAMES</td><td>UCAD, Sénégal</td></tr><tr><td rowspan="2">Directeurs de thèse:</td><td>Djiby SOW</td><td>Prof. Titulaire CAMES</td><td>UCAD, Sénégal</td></tr><tr><td>Damien ROBERT</td><td>Prof. Titulaire (HDR)</td><td>Univ. de Bordeaux, France</td></tr></table>
À ma mère, ma maman,

À madame MAÏGA Kouthoum TANDINA.

À l'enseignante spéciale, celle qui m'a appris les opérations de divisions entre les nombres entiers depuis les petites classes au primaire. ⌨️

À toutes ces merveilleuses personnes: père, frères et sœurs, amis et collaborateurs qui m'ont soutenu pendant ces moments remplis d'expériences inoubliables. ⌨️
Let $M_2(\mathbb{F}_q)$ be the moduli space of the genus 2 curves defined over $\mathbb{F}_q$. We first compute modular polynomials with good reduction in any characteristic using Igusa's arithmetic invariants. Using the Kronecker condition on these modular polynomials, we give a method to compute the canonical lift of any ordinary genus 2 curves over $\mathbb{F}_q$. Let $p$ be a prime and $\mathfrak{A}_{g,\Gamma_0(p)}$ be the Siegel moduli space with $\Gamma_0(p)$-level structure. We give the general statement of the Kronecker conditions on the ordinary locus of $\mathfrak{A}_{g,\Gamma_0(p)}$, which extends the well known result in dimension 1 under the same name. We extend the computation of the canonical lift to several types of invariants (Theta invariants and Gundlach invariants). In each case, we introduced a Newton method for lifting the Verschiebung over $\mathbb{Z}_q$. Using these results, we give an algorithm to compute the characteristic polynomial of genus 2 curves in quadratic time complexity using Siegel polynomials and Hilbert polynomials. Further one can use these methods to lift modular forms associated to genus 2 curves.

In other hand we propose a new method for computing the canonical lift in general without
modular polynomial, and in dimension 1 we succed to reduce efficiently these computations
to $\tilde{O}(pn^2)$. We give a detailed description with the necessary optimizations for an efficient
implementation.

**Keywords:** Abelian variety, Arithmetic invariants of genus 2 curves, Modular polynomials, Canonical lift, Point counting.
# RÉSUMÉ

Nous avons calculé des polynômes modulaires en dimension 2 avec bonne réduction en toute caractéristique en fonction des invariants arithmétiques d'Igusa. En utilisant les conditions de Kronecker sur ces polynômes modulaires, nous donnons une méthode pour calculer le relevé canonique de toute courbe ordinaire de genre 2 en caractéristique paire. Soient $p$ un nombre premier et $\mathfrak{A}_{g,\Gamma_0(p)}$ l'espace de module de Siegel des variétés abéliennes, muni d'une structure de niveau $\Gamma_0(p)$. Nous avons établi l'énoncé des conditions de Kronecker sur le lieu $\mathfrak{A}_{g,\Gamma_0(p)}^{(0)}$ des points ordinaires de $\mathfrak{A}_{g,\Gamma_0(p)}$; cette propriété généralise le résultat bien connu en dimension 1 sous le même nom. D'un autre côté, nous avons introduit des méthodes de Newton pour calculer le relevé du Verschiebung sur $\mathbb{Z}_q$ dans chaque cas. Ces résultats nous ont permis de déterminer le polynôme caractéristique d'une courbe de genre 2 en $\tilde{O}(n^2)$ opérations sur $\mathbb{F}_p$, en utilisant des polynômes de Siegel et des polynômes de Hilbert en fonction des invariants Thêta et invariants de Gundlach. En outre, on peut utiliser ces méthodes pour calculer les formes modulaires (vectorielles) associées à ces courbes. Nous avons réduit considérablement les complexités dans les calculs de relevé canonique en proposant des méthodes qui n'utilisent pas de polynômes modulaires et en dimension 1 nous proposons un algorithme qui calcule le relevé canonique en $\tilde{O}(pn^2)$. Nous donnons une description détaillée avec les optimisations nécessaires pour des implémentations efficaces.

**Mots-clés:** Variétés Abéliennes, Invariants arithmétiques en genre 2, Polynômes Modulaires, Relèvement Canonique, Comptage de Points.
Par la Grâce du Tout Miséricordieux, qui m'a donné du temps, et une bonne santé pour aborder ces travaux de recherches doctorales, je suis très reconnaissant envers toutes les personnes et toutes collaborations qui m'ont assisté pendant ces années fastidieuses. Je m'en vais à travers ces quelques lignes exprimer ce qui m'est revenu en mémoire au moment où j'écrivais cette page. Ces mots ne pourront pas exprimer toute ma ré reconnaissance et les bénéfices de mes expériences vécues: que l'on me pardonne l'omission du nom de certaines merveilleuses personnes.

Je remercie sincèrement mes deux co-directeurs Djiby Sow et Damien Robert qui m'ont donné une opportunité de m'épanouïr scientifiquement dans l'un des domaines des mathématiques les plus en vu de notre siècle. Les rencontres avec ces deux chercheurs ont changé ma façon de regarder les mathématiques. Je suis très reconnaissant envers Marie Francoise Roy, David Lubicz et Emmanuel Fouotsa qui m'ont permis de rencontrer Damien Robert à Rennes: une très belle opportunité! Son exigeance au travail m'a permis d'aller très loin aussi bien dans la lecture que dans les idées et la rédaction: sa manière de faire des mathématiques est, véritablement, une source d'inspiration pour moi. Je le remercie chaleureusement d'une part pour ce sujet fascinant et d'autre part pour avoir écouté puis répondu avec patience et gentillesse, à toutes les questions que j'ai pu lui poser durant ces années.

Il me faut également remercier Jean-Marc Couveignes et Omar Kihel pour avoir accepter d'être mes rapporteurs. Je les suis redevable pour leur lecture très attentive de ma thèse.

J'exprime ma profonde gratitude à tous les membres du jury : son président Cheikh Thiécoumba Guèye et les examinateurs Abdoul Aziz Ciss, Ismaïla Diouf et Amadou Lamine Fall pour l'honneur qu'ils me font en acceptant de sièger dans le jury de cette thèse.

À travers mes travaux de recherches doctoriales, j'ai courtoiyé plusieurs groupes de chercheurs desquels je garde des bénéfices et de très bons souvenirs. Je remercie tous les membres du laboratoire LACGAA de Dakar à travers son fondateur Pr. Mamadou Sangharé et les responsables Pr. Cheikh T. Gueye et Pr. Oumar Diankha: j'ai trouvé les séminaires très intéressants. Je remercie très particulièrement tous les membres de l'équipe ASCII dirigée par Pr. Djiby Sow où j'ai bénéficié d'un bon cadre de travail (avec des échanges très animés...) sous l'assistance de Boubacar Sow et dans le voisinage de Aminata Ngom, Guy Wamba, Michel Seck, Mohamadou et Moussa Sall, Yatma Diop, Soda Diop, Sakha, Clément et Sidouane. Mes remerciements s'adressent aussi au Département Mathématiques Informatique de la FST- UCAD dirrigé en ma présence successivement par les professeurs Mamadou Barry et Ismaïla Diouf: Merci à Fatou Kiné et Gnima Camara.

J'ai fait plusieurs séjours scientifiques à l'IMB de Bordeaux financés par le projet FAST-LIRIMA et ANR-CIAO. Je remercie l'IMB et l'INRIA de Bordeaux pour l'accueil dans de très bonnes conditions de travail: Merci à Sabrina Blondel Duthil! Pendant ces séjours j'ai profité d'un côté de l'assistance technique de Bill Allombert et Enea Millio sur les outils pari-gnump.multiprecision de PARI/GP et PlaFRIM et d'un autre côté de discussions très animées (surtout pendant la pause-thé du jeudi soir) avec les membres de l'équipe LFANT.
{ ssh plafrim-ext
cp resamiriel resamiriel-long
sinfo|less }

Je remercie chaleuresement mon père Abdou-Kader, ma mère Kouthoum Tandina, ma sœur Fatim, ma Diata ⌨️, ma petite Dina ⌨️, mon frère Alassane depuis Sikasso (Mali), Mme Sow Fatima Gaye à Keur-Massar, Mme Ciss Aminata Diallo à Thiès, maman Aminata Faye à Médina, mes amis Ahmed Maïga et Mamadou Pouye pour leur soutien moral et leurs bénédictions.

Enfin, je rends un vibrant hommage aux professeurs Niamanto Diarra, Karim Samaké, Gana Blaise Togo et feu Moustaphe Soumaré qui m'ont beaucoup encouragé et ont nourri mes intérêts pour les Mathématiques et en particulier pour l'Algèbre depuis mes débuts à la FAST de l'Université de Bamako.

... Dieure Dieuff ... Yalnala yAllah sameu ...

- Alhamdoulilah Rabbi alAAalamine -
> We have seen that computer programming is an art,
> because it applies accumulated knowledge to the world,
> because it requires skill and ingenuity, and especially
> because it produces objects of beauty.

> Donald E. Knuth

> *En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue.*

> John Von Neumann

> *Le Savoir est une perception argumentée de La Vérité.*

> Abdoulaye MAÏGA

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# TABLE DES MATIÈRES

## Introduction

0.0.1 Variétés Abéliennes 3

0.0.2 Espace de Module des Courbes de Genre 2 4

0.0.3 Relèvement Canonique des Variétés Ordinaires 5

0.0.4 Résultats 8

0.0.5 Plan de la Thèse 11

## I Préliminaires

1 Extension Non-Ramifiée du Corps des Nombres p-adiques 14

1.1 Représentation de Teichmuller 15

1.2 Relèvement des Solutions d'un Système de dimension Zéro 17

1.2.1 Relèvement des Solutions d'un Polynôme Univarié 17

1.2.2 Relèvement de Solutions dans un Système Polynomial multivarié 21

1.2.3 Amélioration par Évaluation Directe du Sytème 22

1.3 Calcul de Norme sur une Extension Non-Ramifiée de $Q_p$ 23

1.3.1 Méthode Analytique 23

1.3.2 Méthode du Résultant 24

1.3.3 Base Normale Gaussienne 24

2 Relèvement Canonique de Courbes Elliptiques Ordinaires 26

2.1 Courbes Elliptiques 26

2.2 Espace de Module 29

2.3 Anneau des Endomorphismes d'une Courbe Elliptique 32

2.4 Calcul d'isogénies 32

2.4.1 Approche de Vélu 32

2.4.2 Approche de Stark-Elkies 33

2.5 Généralités sur les Méthodes p-adiques 34

2.5.1 L'Algorithme de Harley 36

2.5.2 Réconstitution de l'Équation de Weierstrass 37

2.5.3 Relèvement du Verschiebung 37

2.6 Comptage de points rationnels sur les Courbes Elliptiques Ordinaires 39

2.6.1 Méthode d'Évaluation par l'Algorithme de Vélu 39

2.6.2 Méthodes d'Elkies Améliorées 40

2.6.3 Relèvement Canonique sans Polynôme Modulaire 41

## II Dimension Superieure

3 Variétés Abéliennes 51

3.1 Tores Complexes 51

3.1.1 Fibrés en Droites et Facteur d'Automorphie 55

3.1.2 Théorème d'Appell-Humbert 55

3.1.3 Polarisation sur un Tore 57

3.1.4 Espace Modulaire 58

3.1.5 Endomorphismes 59

3.2 Variétés Abéliennes Principalement Polarisées 61
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>3.2.1</td>
      <td>Fonctions Thêta Classiques</td>
      <td>61</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2.2</td>
      <td>Liens avec les Jacobiennes de Courbes: Application d'Abel-Jacobi</td>
      <td>63</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3</td>
      <td>Surfaces Abéliennes Principalement Polarisées</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.1</td>
      <td>Espace Modulaire de Siegel</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3.2</td>
      <td>Invariants avec les thêta constantes</td>
      <td>72</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4</td>
      <td>Espace Modulaire de Hilbert</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.1</td>
      <td>Surfaces de Humbert</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4.2</td>
      <td>De Hilbert à Siegel</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4</td>
      <td>Espaces de Module des Courbes de Genre 2</td>
      <td>78</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1</td>
      <td>Invariant d'une Forme Sextique</td>
      <td>78</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2</td>
      <td>Invariants Arithmétiques</td>
      <td>81</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.1</td>
      <td>Forme Normale Universelle</td>
      <td>81</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.2</td>
      <td>Invariants Arithmétiques</td>
      <td>82</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3</td>
      <td>Classes d'Isomorphismes et Invariants Absolus</td>
      <td>84</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.1</td>
      <td>En Caractéristique Différente de 2</td>
      <td>84</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.2</td>
      <td>En Caractéristique 2</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.3</td>
      <td>Invariants Absolus pour toute Caractéristique</td>
      <td>87</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4</td>
      <td>Construction de Courbes de Genre 2 à partir d'Invariants</td>
      <td>90</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.1</td>
      <td>En Caractéristique 2</td>
      <td>90</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.2</td>
      <td>Algorithme de Mestre</td>
      <td>90</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4.3</td>
      <td>Courbes de Genre 2 et Invariants Thêta</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.5</td>
      <td>Conversions Forme Normale et Modèle Hyperelliptique</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.5.1</td>
      <td>D'une Forme Normale à un Modèle Hyperelliptique</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.5.2</td>
      <td>D'un Modèle Hyperelliptique à une Forme Normale</td>
      <td>94</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.6</td>
      <td>Formes Modulaires Vectorielles et Covariants</td>
      <td>95</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5</td>
      <td>Calcul de Polynômes Modulaires en Dimension Deux</td>
      <td>98</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1</td>
      <td>Matrice de η₂ associée à une Courbe Hyperelliptique de Genre 2</td>
      <td>98</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1.1</td>
      <td>Évaluation des Thêta Constantes</td>
      <td>98</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1.2</td>
      <td>Applications de la Moyenne de Borchardt</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2</td>
      <td>Polynômes Modulaires de Siegel</td>
      <td>101</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2.1</td>
      <td>Polynômes Modulaires pour Γ₀(p)</td>
      <td>101</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2.2</td>
      <td>Evaluations</td>
      <td>103</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2.3</td>
      <td>Exemples avec les Invariants de Streng et des Invariants Thêta</td>
      <td>105</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2.4</td>
      <td>Polynômes Modulaires avec les Invariants a₁, a₂, a₃</td>
      <td>106</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2.5</td>
      <td>Exemples avec les Invariants u₁, u₂, u₃</td>
      <td>107</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2.6</td>
      <td>Polynômes Modulaires de Hilbert</td>
      <td>108</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

III Relèvement Canonique de Surfaces Abéliennes

<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>6</td>
      <td>Généralité sur le Relèvenement Canonique</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.1</td>
      <td>Théorème de Serre-Tate</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2</td>
      <td>Conditions de Kronecker</td>
      <td>116</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3</td>
      <td>Réduction Stable des Courbes de genre 2</td>
      <td>120</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7</td>
      <td>Calcul de Relevé Canonique en Dimension 2</td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1</td>
      <td>Avec l'Espace Modulaire de Siegel</td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1.1</td>
      <td>Conditions de Kronecker sur l'Espace de Siegel</td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2</td>
      <td>Relèvement canonique en Caractéristique Impaire avec l'Espace de Siegel</td>
      <td>125</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2.1</td>
      <td>L'Algorithme de Harley en Dimension 2</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2.2</td>
      <td>Relèvement du Verschiebung</td>
      <td>126</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
7.3 Relèvement Canonique en Caractéristique 2 ou 3 130

7.3.1 Relèvement des Invariants 130

7.3.2 Relèvement 2-Adique d'une Courbe de genre 2 131

7.3.3 Réduction des Points de Weierstrass 135

7.3.4 Réduction de l'Isogénie du Frobenius 135

7.4 Relèvement Canonique Avec l'Espace Modulaire de Hilbert 137

7.4.1 Conditions de Kronecker sur l'Espace de Hilbert 137

7.4.2 Relèvement des Invariants 138

7.4.3 Exemples de Relèvement avec les Polynômes de Hilbert 140

8 Applications 143

8.1 Relèvement de Formes Modulaires 143

8.2 Calcul du Polynôme Caractéristique 144

8.2.1 En Utilisant le Relèvement de la p-Torsion 147

8.2.2 En Caractéristique Deux: Description et Complexité de l'Algorithme 150

8.2.3 En Caractéristique Impaire: Description de l'Algorithme 154

8.2.4 Analyses de Complexités 156

8.2.5 Méthode de Relèvement par Évaluation du Verschiebung 158

8.3 Conclusion 159

8.4 Perspectives 160

IV Annexe

A Annexe 169

A.1 Arithmétique sur la Jacobienne 169

A.1.1 Algorithme de Cantor 169

A.1.2 Amélioration et Complexité 170

A.2 Arithmétique sur la Kummer 171

A.2.1 Equation d'une surface de Kummer 171

A.2.2 Formules de Pseudo-Addition 172

A.2.3 Addition Différentielle 174

A.3 Conversions Entre Fonctions Thêta et Poly nômes de Mumford 175

A.3.1 De Thêta Constantes aux Coordonnées de Mumford 177

A.3.2 Des Coordonnées de Mumford aux Thêta Constantes 178
TABLE DES FIGURES

<table><tr><td>Figure 2.1</td><td>Le cycle de courbes elliptiques p-isogènes</td><td>35</td></tr><tr><td>Figure 2.2</td><td>Décomposition du Verschiebung I&#x0302;</td><td>40</td></tr><tr><td>Figure 3.1</td><td>Diagramme d'Appell-Humbert</td><td>56</td></tr><tr><td>Figure 3.2</td><td>Transport de polarisation entre variétés isogènes.</td><td>58</td></tr><tr><td>Figure 3.3</td><td>Projection des lacets sur P<sup>1</sup>(C).</td><td>65</td></tr><tr><td>Figure 3.4</td><td>Diagramme de description de composantes de surface de Humbert</td><td>75</td></tr></table>

LISTE DES TABLEAUX

<table><tr><td>Table 3.1</td><td>Tableau de l'anneau End<sub>Q</sub>(X) des variétés abéliennes simples</td><td>61</td></tr><tr><td>Table 4.1</td><td>Nombre de classes d'isomorphisme selon le type sur F<sub>2</sub><sup>n</sup>.</td><td>85</td></tr></table>

LISTE DES ALGORITHMES

<table><tr><td>1</td><td>Résolution d'une "équation d'Artin-Schreier" avec A = 0 mod p</td><td>37</td></tr><tr><td>2</td><td>Relèvement Canonique sans Polynôme Modulaire</td><td>44</td></tr><tr><td>3</td><td>Calcul du Relevé Canonique à partir du Relèvement du p-torsion étale</td><td>49</td></tr><tr><td>4</td><td>Réduction de Minkowski</td><td>68</td></tr><tr><td>5</td><td>Réduction sur F<sub>2</sub></td><td>68</td></tr><tr><td>6</td><td>Évaluation de Polynômes Modulaires en dimension 2</td><td>105</td></tr><tr><td>7</td><td>Pour calculer le relevé des invariants sur l'espace de Siegel de dimension 2.</td><td>127</td></tr><tr><td>8</td><td>Algorithme de Harley sur l'espace de module de Hilbert.</td><td>140</td></tr><tr><td>9</td><td>Algorithme de Vélu en coordonnée thêta</td><td>149</td></tr><tr><td>10</td><td>Calcul du polynôme caractéristique sur une courbe de genre 2 par relèvement canonique 2-adique</td><td>150</td></tr><tr><td>11</td><td>Calcul du polynôme caractéristique sur une courbe de genre 2 par relèvement canonique: cas impair</td><td>155</td></tr></table>
LISTE DES EXEMPLES ALGORITHMIQUES

exemple 2.1 Calcul du Relevé Canonique par Évaluation Directe du Verschiebung 47

exemple 7.1 Relèvement canonique de la *p*-torsion d'une variété abélienne ordinaire. 129

exemple 7.2 Relèvement des Invariants Thêta pour $Q(\sqrt{2})$ en Caractéristique 5. 141

exemple 7.3 Relèvement des Invariants Thêta pour $Q(\sqrt{2})$ en Caractéristique 7. 142

exemple 8.1 Calcul du polynôme caractéristique sur une courbe de genre 2 par relèvement canonique 2-adique 152

exemple 8.2 Calcul du polynôme caractéristique sur une courbe de genre 2 par relèvement canonique de la Kummer 157

NOTATIONS ET CONVENTIONS

— $k$ et $\mathbb{K}$ corps commutatifs quelconques.

— $|\cdot|_p$ et $\text{ord}_p$ la norme et la valuation *p*-adique;

— $Q_p$ le corps des nombres *p*-adique et $\mathbb{Z}_p$ son anneau de valuation;

— $W(\mathbb{F}_q)$ l'anneau des vecteurs de Witt sur $\mathbb{F}_q$;

— $Q_q$ l'extension non-ramifiée (à isomorphisme près) de $Q_p$ et $\mathbb{Z}_q$ son anneau de valuation;

— La *p*-ième puissance du Frobenius $\sigma$ et $\hat{\sigma} = \sigma^{-1}$ sur le corps résiduel $\mathbb{F}_q$;

— $\Sigma$ et $\hat{\Sigma}$ sont les rélévés de $\sigma$ et $\hat{\sigma}$ dans le groupe de Galois Gal($Q_q/Q_p$);

— $\mathbb{Z}_q^{ur}$ l'extension non-ramifiée maximale de $\mathbb{Z}_q$;

— $\pi$ et $\hat{\pi}$ sont respectivement le *p*-isogénie du Frobenius et son dual le "petit" Verschiebung; $\Pi$ et $\hat{\Pi}$ sont respectivement leur relevé sur $\mathbb{Z}_q$;

— $\mathcal{A}$ le rélévé d'une variété $\mathcal{A}$;

— $\mathcal{A}[n]$ le groupe de *n*-torsion d'une variété $\mathcal{A}$;

— $\Phi_p$ le système de polynômes modulaires de niveau $p$;

— $\Psi_p$ polynôme de *p*-division sur une courbe elliptique;

— $\tilde{x}$ le relevé d'un élément $x$ de $\mathbb{F}_q$;

— $\text{DF}$ la matrice Jacobienne du système polynômial $F$;

— $\text{HF}$ la matrice Hessienne de $F$;

— $\text{SNF}(S)$ la Forme Normale de Smith d'un système polynomial $S$;

— $M_g$ le schéma de module des courbes de genre $g$;
— $\mathfrak{A}_g$ l'espace de module de Siegel en dimension $g$;

— $\mathfrak{H}_g$ le demi-espace de Siegel en dimension $g$;

— $\mathbb{A}^k$ l'espace affine de dimension $k$;

— $\Gamma_g$ le groupe simplectique en dimension $g$;

— $\text{Tr}_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}$ la fonction trace sur l'extension $\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p$;

— $N_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}$ la fonction norme sur l'extension $\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p$;
# INTRODUCTION
Dans un monde hyper-connecté et dominé par les échanges d'informations, l'importance de sécuriser ces flux devient très evidente pour le commun des humains. Au-cours de leurs évolutions ces protocoles ont utilisé et utilisent des outils mathématiques diverses, certains plus simples et d'autres très sofistiqués. La Cryptographie Asymétrique est la branche de la cryptographie qui fournit des protocoles d'échange de clés à distance. Elle utilise depuis plusieurs décennies des protocoles comme RSA basé sur la difficulté de la factorisation des entiers naturels et d'autre comme le protocole Diffie-Helmann qui utilise des problèmes comme le Logarithme Discret sur les corps finis. Le développement des outils et techniques de Gros Calculs imposèrent l'exploration d'autres bases mathématiques pour la réalisation des protocoles cryptographiques.

Les améliorations des Schémas cryptographiques et l'évolution de la Cryptographie à Clés Publiques ont influencé jusqu'à nos jours, l'orientations des Recherches sur Variétés Abéliennes surtout en Géométrie Algébrique et en Théorie des Nombres. Ces résultats sont d'autant plus importants en Théorie Algorithmique des Nombres.
Les Variétés Abéliennes sont devenues des outils mathématiques plus populaires depuis leur introduction progréssive dans la Cryptographie à Clés Publiques à partir 1985 par N. Ko-blitz [63] et V. Miller [80]. En effet en Dimension 1, la Théorie sur les Courbes Elliptiques fournissait les outils nécessaires à la réalisation d'un Échange de Clés basé sur le Problème du Logarithme Discret (DLP). Par comparaison aux groupes des unités de corps finis, les algorithmes de résolution du Problème du Logarithme Discret sur les courbes elliptiques avaient des complexités plus intéressantes pour la Cryptographie [37, 63, 80].

En plus de servir de groupe pour la réalisation des cryptosystèmes utilisés actuellement sur le marché industriel de sécurité des informations, les variétés abéliennes à travers leur espace de module sont de potentielles candidates pour la standarisation de cryptosystème postquantique. En effet l'algorithme quantique de Shor résoud en temps polynomial le Problème du Logarithme Discret sur les groupes abéliens. Dès lors, l'espace de module des variétés abéliennes est devenu une alternative très intéressante en cryptographie post-quantique. En effet il est montré par des auteurs comme Couveignes que cet espace est un excellent générateur de graphes de Schreier pour la réalisation d'un protocol "Diffie-Hellman". Dans les meilleurs cas (cas supersingulier) ces graphes sont de Ramanujan (aller à [20, 22, 30] pour plus de details).

Et très récemment des cryptosystèmes postquantiques sont élaborés sur les espaces de
modules de variétés abéliennes en dimension 1 (et superieures) avec des propriétés très
intéressantes pour la sécurité des informations [54].

Le but de cette thèse est de réaliser des algorithmes de calcul de rélèvés canonique sur l'espace de module des surfaces abéliennes ordinaires en utilisant des invariants absolus adaptés et utiliser ces rélèvés pour calculer en petites caractéristiques des formes modulaires vectorielles et le polynôme caractéristique des courbes ordinaires de genre 2, qui sont des éléments éssentiels en Théorie des Nombres, en Cryptographie et en Théorie de Codes Correcteurs d'Erreurs.
Pendant plusieurs siècles les recherches sur les Variétés Abéliennes nourrissent nos connaissances sur certaines vieilles conjectures notamment en Théorie des Nombres et Géométrie Algébrique et plus récemment en Géométrie Arithmétique. On peut entre autre citer le *Dernier Théorème de Fermat et l'Hypothèse de Riemann*. Les résultats sur l'étude des variétés abéliennes sont aussi des outils essentiels dans les recherches sur *les Systèmes Dynamiques*. Dès lors des contributions majeures fûrent apportées à leurs études sur plusieurs angles par plusieurs chercheurs comme Riemann, Weierstrass, Frobenius, Poincaré, Picard etc...Il faut attendre André Weil dans les années 1940 pour voir les formalismes actuels sur les variétés abéliennes en language de la Géométrie Algébrique.

### 0.0.1 Variétés Abéliennes

Une variété abélienne sur un corps $\mathbb{k}$ parfait est un groupe algébrique lisse sur $\mathbb{k}$ complet et connexe. Dès lors, on montre qu'elles sont projectives et que leur loi de groupe est définie par des fonctions régulières. Une manière simple de construire de telles classes d'objets est de considérer les Jacobiennes de courbes sur $\mathbb{k}$. Soit $\mathcal{C}$ une courbe algébrique sur $\mathbb{k}$ de genre $g$, on appelle Jacobienne Jac($\mathcal{C}$) de $\mathcal{C}$ l'ensemble des $g$-uplets de points de $\mathcal{C}$ représentant des classes d'équivalences de points géométriques de $\mathcal{C}$ appelés *diviseurs* sur $\mathcal{C}$. Alors le nombre $g$ est la dimension de la variété abélienne Jac($\mathcal{C}$).

De plus lorsque l'on considère $\mathcal{C}$ hyperelliptique c'est-à-dire que $\mathcal{C}$ peut être définie dans $\text{Spec}(\mathbb{k}[x, y])$ par une équation (appelée *modèle hyperelliptique de $\mathcal{C}$*) de la forme:

$$y^2 + h(x)y = f(x)$$

avec $f \in \mathbb{k}[x]$ de degré $2g + 1$ ou $2g + 2$. À partir de la représentation de Mumford et de la réduction de Cantor on décrit chaque élément de la Jacobienne Jac($\mathcal{C}$) par un unique diviseur (appelé *forme normale de Cantor*) de la forme:

$$\sum_{i=1}^{d} (P_i - P_{\infty})$$

avec $d \le g$ $P_i \in \mathcal{C}(\mathbb{k})$, $P_i \ne P_j$, $P_{\infty}$ pour tous $1 \le i, j \le d$.

On peut aussi représenter les diviseurs sous forme normale de Cantor par des couples $(u, v)$, où $u$ est un polynôme unitaire de degré $d$ et $v$ un polynôme tel que $\text{deg}(v) < \text{deg}(u)$ et $u \mid (f - v^2)$. Ces représentations ont permit l'élaboration d'algorithmes d'addition dans le groupe Jac($\mathcal{C}$) (aller à [9, 64] pour plus de détails).

Une isogénie (séparable) entre deux variétés abéliennes est un morphisme (séparable) surjectif et de noyau fini. Un morphisme de variétés abéliennes est à la fois un morphisme de variétés et un morphisme de groupes. Le cardinal du noyau de l'isogénie (séparable) entre deux variétés abéliennes est appelé son degré, alors ces variétés seront dites *p-isogènes* lorsque ce cardinal est nombre premier $p$.

Lorsque nous considerons $\mathcal{C}$ comme corps de base, une variété abélienne complexe est un tore complexe muni d'un plongement dans un espace projective associé à l'existence d'un morphisme appelé *polarisation*. Dans le cas où la polarisation est un isomorphisme on dit que la variété abélienne est principalement polarisée. Le théorème d'Abel-Jacobi [3, thm 11.1.3] établit que toute Jacobienne Jac($\mathcal{C}$) de courbe hyperelliptique sur $\mathcal{C}$ de genre $g$ est canoniquement isomorphe à une variété abélienne principalement polarisée $\mathcal{C}^g / (\Omega\mathbb{Z}^g + \mathbb{Z}^g)$
de dimension $g$ où $\Omega \in \mathfrak{H}_g = \{\Omega \in M_g(\mathbb{C}), {}^t\Omega = \Omega, \text{Im}(\Omega) > 0\}$; on appelle $\Omega$ matrice de période de la courbe et $\mathfrak{H}_g$ l'espace de Siegel. En dimension inférieure ou égale à 2 et dans le cas où la polarisation est indécomposable, la réciproque de cette assertion est vraie [3, cor 11.8.2].

On définit l'espace modulaire de Siegel des variétés principalement polaisées par $Sp_{2g}(\mathbb{Z})\backslash\mathfrak{H}_g$, elle fournit en dimensions $\le 2$ des outils de tests pour les varétés $p$-isogènes. En effet on utilise un paramétrage à partir de polynômes de l'espace des variétés abéliennes $p$-isogènes appelés polynômes modulaires. Et sur ces espaces, les variétés abéliennes sont représentées à isomorphisme près par des invariants qui sont fournis par des formes modulaires.

Cette notion a pris une grande importance du point de vue algorithmique lorsque qu'elle fût utilisée pour améliorer les algorithmes de comptage de points de variétés et aussi pour transférer le Problème de Logarithme Discret d'une variété abélienne à une autre où il est plus simple à résoudre.

### 0.0.2 Espace de Module des Courbes de Genre 2

La Théorie des Invariants joue un rôle fondamental dans l'étude des variétés abéliennes depuis le 19ième siècle. Cependant elle connait une renaissance à partir d'importantes utilisations motivées par des applications algorithmiques en cryptographie, robotique, théorie des codes correcteurs d'erreurs etc...

En considerant les actions linéaires de certains groupes classiques comme $GL_2(\mathbb{K})$ sur les formes binaires comme dans la *Théorie des Invariants Algébrique d'Hilbert*, Clebsh [16] établit une étude des invariants et covariants associés aux équations de courbes de genre 2 en caractéristiques différentes de 2. En utilisant une opération appelée "Ueberschiebung" Clebsh donna une évaluation des *invariants algébriques A, B, C, D* qui forment une base de l'anneau gradué des invariants pairs des courbes genre 2 en caractéristiques différentes de 2 et 3. Ces invariants suffisent alors à la caractérisation des classes d'isomorphismes pour ces caractéristiques. Lorsque $y^2 = f(x)$ (avec deg $f = 6$) est le modèle hyperelliptique réduit d'une courbe de genre 2 en caractéristiques différentes de 2, J.S. Igusa définit des invariants en fonctions des racines de $f$. Ces derniers invariants notés $I_2, I_4, I_6$, et $I_{10}$ sont équivalents à ceux de Clebsh lorsque la caractéristique différente de 2, 3 et 5 d'où leur nom: *invariants d'Igusa-Clebsh* [51, 52]. En caractéristique 3 ils sont bien définis mais ne permettent pas une classification des courbes de genre 2.

D'une autre part sur $\mathbb{C}$, les actions de $Sp_4(\mathbb{Z})$ sur l'espace $\mathfrak{H}_2$ des matrices de périodes de surfaces abéliennes complexes conduisent à la définition des *invariants absolus* qui sont des formes modulaires de degré zéro appelées *fonctions modulaires*. Plus généralement sous certaines conditions les principes de Koecher permettent d'établir une équivalence entre les covariants (rationnels en fonction des coéfficients des courbes) et les forme modulaires méromorphes de même poids (pour plus de détails voir [98, §3.2]).

Enfin en caractéristique 2 nous avons la construction d'Artin-Schreier d'une courbe de genre 2 que J.S. Igusa [51, §2] utilisa pour étendre les *invariants algébriques $I_{2i}$*s aux *invariants arithmétiques $I_{2i}$*s lesquels ont une bonne reduction en toute caractéristique. En utilisant à la fois l'action du groupe d'Artin-Schreier et le groupe projectif linéaire $PGL_2, G$. Cardona et autres ont introduit des classes d'invariants spécifiant les mêmes classes d'isomorphisme pour les courbes de genre 2 [33].
En général l'espace de module des courbes de genre 2: $M_2$ (consideré au sens "coarse" ou au sens "stack") est de dimension 3. En caractéristique différente de 2 son corps de fonctions est engendré par les invariants absolus d'Igusa $j_1, j_2$ et $j_3$ ou par équivalence birationelle ceux de Streng ou autres... À partir d'un triplet de ces invariants l'algorithme de J.F. Mestre construit un model hyperelliptique d'une courbe $\mathcal{C}$ de genre 2 dont les invariants correspondent au triplet, mais cette construction n'admet pas une bonne réduction pour les caractéristiques inférieures ou égales à 5.

Sur $\mathbb{C}$, les classes d'isomorphismes des variétés Jacobiennes génériques de courbes de genre 2 sont données par des triplets de fonctions modulaires $(j_1, j_2, j_3)$ (les invariants d'Igusa). Lorsque $p$ est un nombre premier, les polynômes modulaires encodent les surfaces abéliennes $(p, p)$-isogènes en fonction des invariants d'Igusa. Plus précisement un model birationnel de l'espace de module (en coarse) $\mathfrak{A}_2(p) = \mathfrak{S}_2/\Gamma^0(p)$ est donné par $\mathbb{C}(\mathfrak{A}_2(p)) = \mathbb{C}(j_1, j_2, j_3, j_{1,p}, j_{2,p}, j_{3,p})$ où $j_{i,p} = j_i(\tau/p)$. Alors les polynômes modulaires de niveau $p$ sont définis comme suite: $\phi_{1,p}(X)$ est le polynôme minimal de $j_{1,p}$ sur $K = \mathbb{C}(\mathfrak{A}_2) = \mathbb{C}(j_1, j_2, j_3)$, et $j_{2,p} = \phi_{2,p}(j_{1,p})$, $j_{3,p} = \phi_{3,p}(j_{1,p})$ pour $\phi_{2,p}(X)$ et $\phi_{3,p}(X)$ polynôme unitaire dans $\mathbb{C}(j_1, j_2, j_3)[X]$ de degré inférieurs à $\deg(\phi_{1,p}(X))$. Lorsque $x$ parcours les racines de $\phi_{1,p}(X)$ sur $\mathbb{C}$, alors $(x, \phi_{2,p}(x), \phi_{3,p}(x))$ sont les $j$-invariants absolus des surfaces abéliennes principalement polarisées $(p, p)$-isogènes à celle définie par les invariants $(j_1, j_2, j_3)$. Ainsi le lieu schématique des $p$-polynômes modulaires en dimension 2:

$$ \left\{ \begin{array}{l} \phi_{1,p}(X_1, X_2, X_3, Y_1) = 0, \\ Y_2 = \phi_{2,p}(X_1, X_2, X_3, Y_1) \\ Y_3 = \phi_{3,p}(X_1, X_2, X_3, Y_1) \end{array} \right. $$

décrit un modèle birationnel de $\mathfrak{A}_2(p)$.

Le calcul de ces polynômes a été initié par R. Dupont dans sa thèse de Doctorat [28]. Des améliorations fûrent proposées par d'autres auteurs comme dans [7] et plus recemment ces calculs ont été étendus à d'autre invariants [78]. Et les invariants thêta $b_1, b_2$ et $b_3$ qui sont des fonctions modulaires pour le sous groupe $\Gamma(2,4)$ fournissent les polynômes plus petits en taille, mais tous ces différents polynômes pour $\mathfrak{A}_2$ deviennent vite impraticables après $p = 5$ car leurs degrés en fonctions de ces invariants et leurs coefficients grandissent très rapidement.

Cependant des alternatives se présentent sur l'espace modulaire de Hilbert défini par $SL_2(\mathcal{O}_K)\backslash\mathfrak{S}_1^2$. Lorsque l'on considère un ordre quadratique réel maximal de discriminant $\Delta_K$, alors $SL_2(\mathcal{O}_K)\backslash\mathfrak{S}_1^2$ décrit les classes d'isomorphismes des surfaces abéliennes principalement polarisées avec multiplication réelle par $\mathcal{O}_K$. De plus le plongement de Hilbert de $\mathfrak{S}_1^2$ dans $\mathfrak{S}_2$ fournit des coordonnées rationnelles des surfaces Humbert (images de ces plongements) en fonction des invariants de Gundlach ou sur un recouvrement des surfaces de Humbert en fonction des invariants thêta. Lorsque le discriminant $\Delta_K = 2, 3$ ou $5$ ce paramétrage permet de calculer les $\beta$-polynômes modulaires (pour $\beta = \ell$ un premier et pour $\beta$ un élément totalement positif de norme $\ell$) [79]. Ces polynômes sont très pratiques jusqu'à des premiers inférieurs à 100 (voir https://members.loria.fr/EMilio/modular-polynomials/).

### 0.0.3 Relèvement Canonique des Variétés Ordinaires

La Théorie du Relèvement des variétés abéliennes a pris depuis la deuxième moitié du 20ième siècle une considération très importante en Géométrie Algébrique. Ces interêts sont très souvent motivés par les nombreuses propriétés qu’offrent les différents espaces de module
sur $\mathbb{Z}_p$. Et plus particulièrement l'une des approches pour définir la cohomologie de Weil sur une variété $\mathcal{A}$ définie sur un corps $\mathbb{k}$ de caractéristique $p$ est de le reléver sur l'anneau des vecteurs de Witt $W(\mathbb{k})$(en caractéristique nulle) puis prendre la cohomologie de De Rham de la variété relévée se réduisant bien sur $\mathcal{A}$ modulo $p$. Dans le cas ordinaires ce relévé est unique et donné par le relèvement canonique. Et par le Théorème de Serre-Tate la théorie de déformation d'une variété abélienne $\mathcal{A}$ et celle de ses sous-groupes $\mathcal{A}[p^\infty]$ sont équivalentes (aller à [55] pour une dissertation détaillée). En outre comme montre les P. Norman et F. Oort [15, 90] la théorie de la déformation $\mathcal{A}[p^\infty]$ donne assez d'informations sur l'espace de module des variétés abéliennes.

Ainsi pour toute variété abélienne ordinaire $\mathcal{A}/\mathbb{F}_q$ (avec $q = p^n$), il existe une variété abélienne unique $\tilde{\mathcal{A}}$ sur $\mathbb{Z}_q$ telle que la réduction modulo $p$ de $\tilde{\mathcal{A}}$ est $\mathcal{A}$ et $\text{End}(\tilde{\mathcal{A}}) \simeq \text{End}(\mathcal{A})$ (comme anneaux).

En dimension 1, lorsque l'on désigne par $j$ le $j$-invariant de $\tilde{E}$ pour une courbe elliptique ordinaire $E$ sur $\mathbb{F}_q$, on a l'équation modulaire: $\Phi_p(j, j^\Sigma) = 0$, où $\Phi_p$ est le polynôme modulaire de niveau $p$ et $\Sigma$ est le représentant dans $\text{Gal}(\mathbb{Q}_{p^n}/\mathbb{Q}_p)$ du petit Frobenius $\sigma$. À partir de $\Phi_p(X, Y) = (X^p - Y)(X - Y^p)$ mod $p$ on montre les relations suivantes appelées conditions de Kronecker:

$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial \Phi_p}{\partial X}(j, j^\sigma) \equiv 0 \quad \mod p \\ \\ \frac{\partial \Phi_p}{\partial Y}(j, j^\sigma) \not\equiv 0 \quad \mod p \end{array} \right. $$

Alors en partant de $j$ mod $p$, un algorithme de Newton permet de determiner $j$ à une précision $N$. C'est le cas de l'algorithme de T.Satoh [99] qui utilise cette propriété pour reléver un cycle de courbes conjuguées:

$$ E \xrightarrow{\pi} E^{\sigma} \longrightarrow \cdots \longrightarrow E^{\sigma^{n-1}} \xrightarrow{\pi} E^{\sigma^n} \simeq E $$

T.Satoh introduisit aussi une méthode de relèvement du noyau du petit Verschiebung comme un facteur $h$ du polynôme de $p$-division $\Psi_p$ bien qu'on ait $\Psi_p \equiv h^p \mod p$ et $\text{ord}_p \Psi'_p(x) = 1$ pour $(x, y) \in \tilde{E}[p] \cap \tilde{E}(\mathbb{Z}_q^{ur}) \neq \{O\}$ [99, Lemma 3.7.]. Alors l'action du petit Verschiebung est déduite après le calcul du Verschiebung normalisé par l'algorithme de Vélu. Par suite en considérant les bornes de Hasse, on a assez de précision dans le produit des coefficients des isogénies du cycles des $E^i$ (qui est équivalent à un calcul de norme dans $\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p$ d'un coefficient) pour rétrouver la trace $t$ du Frobenius et $\#E(\mathbb{F}_q) = 1 + q - t$.

Cet algorithme de Satoh qui tournait avec une complexité en temps $\tilde{O}(n^3)$ et en espace mémoire de $O(n^3)$ (à $p$ fixé), connût très vite des améliorations majeurs. Par exemple Harley utilisa les conditions de Kronecker pour construire une équation:

$$ e^{\sigma} + Ae + B = 0 \quad \text{avec} \quad A \equiv 0 \quad \mod p $$

appelée "équation d'Artin-Schreier" pour sa ressemblance avec celle-ci. À partir de cette équation on arrive à reléver les invariants d'un couple de courbes elliptiques conjuguées et ainsi évaluer les valeurs propres du petit Frobenius [35]. Cette approche connaît plusieurs améliorations autant sur la partie relèvement que la partie de calcul de norme et les meilleures de ces méthodes ont une complexité quadratique en temps et en espace [35, 108].

Par suite, les algorithmes utilisant le relèvement canonique seront classés dans une classe sous le nom de méthodes p-adiques. Dans cette classe on distingue aussi une sous classe
de méthodes pour les quelles le relèvement de la courbe ordinaire est quelconque. Ces méthodes p-adiques ont été développé par Kedlaya and al. [56]. Elles utilisent les groupes de cohomologie de Monsky-Washnitzer (et Dwork) et leurs complexités en p est linéaire (un des avantages du relèvement quelconque) cependant celle en n augmente en cubique.

Dans l'ensemble, les méthodes p-adiques proposent les algorithmes de comptages les plus pratiques en petites caractéristiques sur les courbes elliptiques. Ces propriétés sont une grande motivation pour leur généralisation en dimensions supérieures.

Ainsi J.F. Mestre proposa très tôt une méthode généralisant la méthode "AGM" à partir des for-
mules de duplication de Riemann pour les courbes hyperelliptiques ordinaires en caractéristique
2 [75]. F. Vercauteren et J. Denef prosèrent ensuite une extension de la méthode de Kedlaya
en caractéristique 2 et par suite sur les courbes de classe C<sub>ab</sub> qui admettent une équation
de la forme y<sup>a</sup> + Σ<sub>i=1</sub><sup>i=1</sup> f<sub>i</sub>(x)y<sup>i</sup> + f<sub>0</sub>(x) = 0, où deg (f<sub>0</sub>) = b et tel que a deg f<sub>i</sub> + b<sub>i</sub> < ab pour
i = 1, ..., a − 1 [24, 25]. Après des améliorations ces algorithmes déterminent le nombre de
points d'une courbe sur un corps fini ℂ<sub>p<sup>n</sup></sub> avec une complexité de O(g<sup>5</sup>n<sup>3</sup>). Une comparaison
plus détaillée suit le chapitre 8.

Plus récemment R. Carlz et D. Lubicz décrivirent dans [13] une méthode de relèvement d'une variété ordinaire basée sur le calcul des invariants arithmétiques des relevés canonique à partir de systèmes de coordonnées fournies par les thêta constantes. Cette méthode donne une complexité quasi-quadratique en n mais très couteuse en p.

Il existe d'autres avantages du relèvement canonique autre que le calcul du polynôme caractéristique. En effet sur les courbes elliptiques l'approche de Satoh consiste au relèvement de la fonction modulaire *j*-invariants. En genre 2 en plus de pouvoir reléver les *j*-invariants modulaires, lorsque l'on sait réléver l'équation d'une courbe, nous pourrions reléver toutes fonctions modulaires vectorielles à partir des covariants associés et en utilisant les principes de Koecher [98, § 2.2].

Nous proposons dans nos travaux ci-résumé une généralisation de l'approche Satoh du relèvement canonique d'une surface abélienne ordinaire. Cette méthode travaille directement avec les invariants et un système d'équations fourni par les polynômes modulaires en dimension 2. Nous proposons aussi des algorithmes de complexité quadratique en n, pour le relèvement de fonctions modulaires vectorielles et l'évaluation du polynôme caractéristique associés à une courbe ordinaire de genre 2.

Ce qui est très pratique en terme de complexité en *n* comparer aux autres méthodes *p*-adiques basées sur un relèvement quelconque (approche de Kedlaya et al.). La méthode de relèvement proposée par R.Carlz et D. Lubicz dans [13] nécessite de prendre une extension de corps et les fonctions thêta ne sont pas rationnelles en général, même si elle reste pratique du point de vue asymptotique, le calcul des courbes à partir de relevés de fonctions thêta se complique rapidement en fonction de *p*. Alors que nos algorithmes calculent le polynôme caractéristique avec le même coût en *p* que le calcul de la *p*-torsion de la courbe sur $\mathbb{F}_q$.

Lorsque une surface abélienne $\mathcal{A}$ n'est pas absolument simple, il est isomorphe à un produit de deux courbes elliptiques: $\mathcal{A} = E_1 \times E_2$ et relever $\mathcal{A}$ revient à relever les deux courbes elliptiques. Alors on considère que $\mathcal{A}$ principalement polarisée et absolument simple sur un corps $\mathbb{k}$. Relever canoniquement $\mathcal{A}$ peut signifier différentes choses: relever des invariants modulaires, des formes modulaires, ou encore la courbe de genre 2 associée. Nous allons utiliser des polynômes modulaires en fonction des invariants spécifiques et nous traitons différemment pour plusieurs raisons qui seront citer plus loin, les cas caractéristiques paires et impaires.

En effet les espaces modules pour certains invariants absolus comme ceux de Streng cités
précédemment ne couvrent pas les caractéristiques 2 ou 3, alors les polynômes modulaires issus n'ont pas bonne réduction pour ces caractéristiques. Une alternative en caractéristique 2 est d'utiliser les fonctions thêta (de niveau 2 et 4) comme on peut les définir pour les variétés abéliennes ordinaires [11, 13, 95]. Alors les polynômes modulaires en fonctions thêta sont extraites des formules de duplication [74, 75], une généralisation de l'AGM pour calculer le relèvement canonique puis faire du comptage de points [66]. Cependant ces méthodes exigent de prendre des extensions puisque les fonctions thêta ne sont pas modulaires de niveau $\Gamma(2, 4)$ ou $\Gamma(4, 8)$, donc elles ne sont pas rationnelles en général. Bien que ceci ne soit pas nécessairement un problème pour les applications en comptage de points (pour un point de vue asymptotique). Les relèvements canoniques de courbes à partir de fonctions thêta sont définis sur des extensions de $\mathbb{Z}_q$ alors on sera obligé d'appliquer une descente de Galois délicate tout en contrôlant la précision $p$-adique pour retourner sur $\mathbb{Z}_q$. En outre l'extension est facile à manœuvrer seulement lorsqu'on travaille sur les corps finis. Notre méthode peut être adapter aux corps de fonctions de caractéristique 2, et dans ce cas nous voudrions réellement utiliser des invariants modulaire de niveau 1.

Plus précisement notre objectif est de:

* Premièrement définir des invariants absolus ayant bonne réduction pour des espaces de modules non couvert par les invariants connus avant. Et reussir à calculer des polynômes modulaires avec de bonne réduction pour ces invariants.

* Deuxièmement étendre l'approche de Satoh au genre 2 c'est-à-dire agir sur les invariants pour construire les relèvements canoniques des surfaces abéliennes ordinaires.

* Et enfin utiliser le relèvement canonique pour des applications comme: le calcul du polynôme caractéristique et les formes modulaires vectorielles sur $\mathbb{F}_q$.

* Nous proposons des méthodes efficientes pour chaque étape afin de rendre nos algorithmes plus pratiques.

### 0.0.4 Résultats

Dans les deux premiers chapitres de ce document nous introduisons des algorithmes de Newton " bien adaptés " au relèvement de la $p$-torsion des variétés abéliennes principalement polarisées en général. En dimension 1, l'étape dominante du relèvement canonique utilisant la forme classique du Théorème de Lubin-Serre-Tate réside dans l'évaluation $\Phi_p$ à la précision $N$ sur $\mathbb{Z}_q$ pour un coût de $\tilde{O}(p^2N \log q) = \tilde{O}(p^2Nn)$. À la fin du deuxième chapitre nous avons établi un résultat (le théorème 2.6.2) équivalent au Théorème de Lubin-Serre-Tate pour le relèvement canonique des courbes elliptiques ordinaires. Et par la suite nous avons le résultat suivant :

**Théorème 2.6.10:** Pour toute courbe elliptique $E/\mathbb{F}_q$ on calcule le relèvement canonique $\tilde{E}/\mathbb{Z}_q$ et la trace du Frobenius à la précision $p$-adique $N$ en temps $\tilde{O}(n.N.p)$. En particulier, pour le comptage où $N = O(n)$, on détermine $\chi_\pi$ avec $\tilde{O}(pn^2)$ opérations.

Une courbe de genre 2 en général admet en toute caractéristique, une équation birationnellement équivalent à:

$$XY^2 + (1 + aX + bX^2)Y + X^2(c + dX + X^2) = 0$$
appelée sa *forme normale* ; et ceci est équivalente à la connaissance du quintuplet d'invariants arithmetique d'Igusa ($J_2, J_4, J_6, J_8, J_{10}$) avec $J_2J_6 - J_4^2 - 4J_8 = 0$ [51, §3]. En caractéristique 2, une forme normale de courbe de genre 2 se réduit sur l'une des trois équations :

$$ Y^2 - Y = \begin{cases} \alpha X + \beta X^{-1} + \gamma (X-1)^{-1}, & (1,1,1) \\ X^3 + \alpha X + \beta X^{-1}, & (3,1) \\ X^5 + \alpha X^3, & (5) \end{cases} $$

Selon le nombre et degré de ramification des points de Weierstrass [51, §2]. Cette classification est donnée aussi par le rang de la *p*-torsion étale sur la Jacobienne. Alors le type (1, 1, 1) correspond aux Jacobiennes de courbes ordinaires, le type (3, 1) correspond aux Jacobiennes de *p*-rang 1, et le type (5) aux Jacobiennes supersingulaires (ou courbes). En outre, J. Igusa [51, §7] montre que la variété arithmétique $M_2$ de l'espace des courbes de genre 2 est engendré sur $\mathbb{Z}$ par dix invariants (définis en fonctions de $J_{2i}$'s), notés $\gamma_i$ par Goren-Lauter [41]. Lorsque $\text{char}(\mathbb{k}) = 2$, les invariants arithmétiques absolus $a_1 = J_4/J_2^2$, $a_2 = J_8/J_2^4$ et $a_3 = J_{10}/J_2^5$ définissent sur $M_2 \otimes \mathbb{k}$ l'ouvert $M_2[J_2^{-1}] \otimes \mathbb{k}$ des courbes binationnellement équivalent au type (1, 1, 1). Le triplet $(0, J_8^3/J_6^4, J_{10}^3/J_6^5)$ définit sur ensemble de $M_2[J_6^{-1}] \otimes \mathbb{k}$ des courbes binationnellement équivalent au type (3, 1). Et le type (5) excepté un point (donné par $J_2 = J_4 = J_6 = J_8 = 0$), est contenu dans $M_2[J_8^{-1}] \otimes \mathbb{k}$ est défini à partir du triplet d'invariants $(0, 0, J_{10}^4/J_8^5)$. Alors nous utilisons les dix invariants absolus $\gamma_i$'s pour démontrer l'un des résultats fondamentaux de cette thèse:

**Théorème 4.3.2:** Les triplets d'invariants $(a_1, a_2, a_3)$, $(\partial_1, \partial_2, \partial_3)$, $(u_1, u_2, u_3)$ et $(\mathfrak{w}_1, \mathfrak{w}_2, \mathfrak{w}_3)$ induisent un isomorphisme de $M_2[J_2^{-1}]$, $M_2[J_4^{-1}]$ et $M_2[J_6^{-1}]$ vers l'ouvert standard de $\mathbb{A}^3$ défini par $a_3^{-1}, \partial_3^{-1}, u_3^{-1}$ respectivement, sur $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}[1/2]$ et $\mathbb{Z}$ respectivement.
Le dernier système d'invariants défini un récoupement fini de $M_2[J_8^{-1}]$ vers l'ouvert standard $\mathbb{A}^3[\mathfrak{w}_3^{-1}]$ sur $\mathbb{Z}$. En caractéristique 2, ce dernier triplet defini un morphisme radiciel du lieu des points singuliers ($J_2 = J_6 = 0$) vers $\mathbb{A}_{\mathbb{k}}^1 \setminus \{0\}$.

Alors à partir des triplets de bonne réduction du théorème 4.3.2, l'algorithmme 6 dans le chapitre 5 et la section 5.2 (une variante des algorithmes de Dupont et de Milio) nous permettent de calculer des polynômes modulaires avec bonne réduction décrivant les surfaces abéliennes principalement polarisées (2,2)-isogènes, avec $J_2$ non nul modulo 2 et (3,3)-isogènes, avec $J_4$ non nul modulo 3. Les polynômes modulaires calculés au-paravant dans [28, 78] n'avaient pas ces propriétés de bonne réduction en caractéristique 2 (et caractéristique 3 sur l'espace de Siegel).

Comme dans l'approche originale de Satoh, il existe une propriété généralisant les conditions de Kronecker sur l'espace de module des variétés abéliennes ordinaires de dimension *g*. Nous proposons une preuve générale sur l'espace de module fin $\mathfrak{A}_{g,\Gamma_0(p)}^{(0)}$ dans le chapitre 6, la section 6.2 et la proposition 6.2.1.

**Proposition 6.2.1:** Pour tout point géométrique ($\Pi : A/\mathbb{k} \to A/\mathbb{k}^{\Pi}, \lambda_A$) du lieu $\mathfrak{A}_{g,\Gamma_0(p)}^{(0)}$ des points ordinaires de $\mathfrak{A}_{g,\Gamma_0(p)}$, la fonction vectorielle $\mathfrak{S}$ satisfait les conditions:

1. $\frac{\partial \mathfrak{S}}{\partial X}(\hat{\Pi}, \Pi)$ s'annule modulo *p*,

2. $\frac{\partial \mathfrak{S}}{\partial Y}(\hat{\Pi}, \Pi)$ est inversible modulo *p*.
En particulier pour tout point J du sous schéma du module grossier $M_g$ décrit par le système $\Phi_p$ de polynômes modulaires de niveau p on a:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial \Phi_p}{\partial X}(J, J^\Sigma) & \equiv 0 \mod p \\ \\ \frac{\partial \Phi_p}{\partial Y}(J, J^\Sigma) & \not\equiv 0 \mod p \end{array} \right. $$

Ainsi sur les espaces de module de Siegel (la section 7.1) et de Hilbert (la section 7.4), nous proposons des extensions de l'algorithme de Harley en dimension 2 pour calculer le relevés des invariants qui satisfont les conditions de Kronecker par rapport aux polynômes modulaires utilisés.

Comme en genre 1 avec l'algorithme de Satoh, nous travaillons directement sur les invariants modulaires de niveau 1, avec l'avantage de rester sur le corps de définition afin d'optimiser la complexité des calculs. Et différemment des autres méthodes p-adiques en genre 2, notre approche fournit des méthodes de relèvement canonique de l'équation de la courbe.

**Des applications:** Ces relèvements des courbes permettent le calcul de covariants, par suite des formes modulaires (vectorielles) sur ces courbes, et ceci est utilisé dans le calcul des polynômes de classe [12]. Nos méthodes de relèvement peuvent être utiliser dans les calculs de polynôme de classe comme indiqué dans [39], sans passer par les invariants de Rosenhain ( qui peuvent avoir des valuations négatives).

En dimension 2, le relevé de la p-torsion est donnée par la proposition 7.2.2 (dans la section 7.1) qui est une extension en dimension 2 du [99, Lemma 3.7.] de Satoh. Ainsi nous avons les théorèmes suivants dans le chapitre 8:

**Théorème: 8.2.3** Pour toute courbe hyperelliptique ordinaire $C$ de genre 2 sur $\mathbb{F}_{2^n}$ dont les invariants $(a_1, a_2, a_3)$ satisfont les conditions de Kronecker. Notre algorithme (dans le chapitre 8 et la section 8.2.2) détermine $\#Jac(C)(\mathbb{F}_{2^n})$ (ou le polynôme caractéristique du Frobenius) en $\tilde{O}(n^2)$ opérations, à partir du polynôme en fonction des $a_1, a_2$ et $a_3$.

**Théorème: 8.2.5** En caractéristique impaire notre méthode dans le chapitre 8 et la section 8.2.3 calcule $\#Jac(C)(\mathbb{F}_q)$ pour une courbe $C$ de genre 2 vérifiant les conditions de Kronecker en $\tilde{O}(n^2)$.

En utilisant nos méthodes d'évaluation directe du Verschiebung on a:

**Théorème: 8.2.7** Par la méthode d'évaluation du Verschiebung on calcule le polynôme caractéristique d'une courbe ordinaire de genre 2 en utilisant au plus $O(M(p^4) \log(p) \log(n) \cdot n^2)$ opérations binaires.

Ces différents résultats sont résumés en quatre manuscrits:

1. **A. Maïga and D. Robert:** *Computing the 2-adic canonical lift of genus 2 curves*.In: Giri, D., Raymond Choo, KK., Ponnusamy, S., Meng, W., Akleylek, S., Prasad Maity, S. (eds) Proceedings of the Seventh International Conference on Mathematics and Computing . Advances in Intelligent Systems and Computing, vol 1412. Springer, Singapore. March.2022 https://doi.org/10.1007/978-981-16-6890-6_48

2. **A. Maïga and D. Robert:** *Computing the canonical lift of genus 2 curves in odd characteristic*. Dec.2020.http://www.normalesup.org/~robert/pro/publications/articles/canonicalliftg2.pdf. Submitted to: Springer Journals Editorial Office The Ramanujan Journal.
3. **A. Maïga and D. Robert**: *Towards computing canonical lifts of ordinary elliptic curves in medium characteristic*. https://hal.inria.fr/INRIA/hal-03702658v1

4. **A. Maïga and D. Robert and D. Sow**: *Towards computing canonical lifts of ordinary abelian surfaces in medium characteristic*. Preprint

En perpective nous prévoyons des méthodes pour améliorer la complexité en *p* dans le calcul de relevé canonique de surfaces abéliennes ordinaires :

* La première serait d'étendre aux courbes de genre 2 nos méthodes introduites dans le troisième manuscrit et abordées à la fin du chapitre 2. Ces méthodes calculent le relevé canonique d'une courbe ordinaire de genre 2 sans utiliser respectivement les polynômes modulaires et le polynôme de division.

* La deuxième serait d'y associer une évaluation le Verschiebung directement en utilisant l'approche d'Elkies du calcul d'isogenie qui fournit une meilleure complexité en *p*, en effet cela pourrait être une alternative à l'évaluation de la *p*-torsion coûte $O(M(p^4) \log(p))$ opérations en $\mathbb{F}_p$.

### 0.0.5 Plan de la Thèse

Nous organisons le résumé de ces travaux de thèse: de parties en chapitres et de chapitres en sections. de la manière suivante :

* La partie *i* concerne le chapitre 1 et le chapitre 2. Dans le premier nous rappellons les constructions de l'anneau des entiers *p*-adiques $\mathbb{Z}_q$ favorables aux calculs de Frobenius rapides (choix du polynôme de Teichmüller) utilisées très souvent dans les exemples. Nous introduisons aussi dans ce chapitre une extension des méthodes de Hensel aux cas où $\text{ord}_p(f'(x)) > 0$ (pour les cas univariés et multivariés). Le chapitre 2 est un rappel détaillé des méthodes *p*-adiques utilisant le relèvement canonique: algorithmes de Satoh [99] et de Harley [35] dont nous proposons plus loin des extensions en dimension 2. Et aussi une amélioration considérable de la complexité de ces dites méthodes.

* Dans la partie *ii* et le chapitre 3, nous abordons les variétés abéliennes principalement polarisées complexes (comme une généralisation des courbes elliptiques complexes). Une arithmétique plus pratique (l'usage des fonctions thêta) sur ces variétés est abordé. Nous étudions ensuite les espaces de module des surfaces abéliennes principalement polarisées complexes dans le sens de Siegle $SL_4(\mathbb{Z})\backslash\mathfrak{S}_2$ et aussi dans le sens de Hilbert $SL_2(O_K)\backslash\mathfrak{S}_1^2$ avec l'objectif de pouvoir utiliser des variantes des algorithmes d'évaluation de polynômes modulaires. Dans la partie *ii* et le chapitre 4 nous parcourons les structures de $M_2 \otimes \mathbb{K}$ en utilisant la *Théorie des Invariants Arithmétiques* d'Igusa et nous introduisons des invariants arithmétiques absolus avec bonne réduction sur $\mathbb{Z}$ ou sur $\mathbb{Z}_{(2)}$. À la fin de ce chapitre nous étudions les différentes contructions de courbes de genre 2 et les conversions entre elles (en effet, dans les applications certaines formes sont plus avantageuses que d'autres). Le dernier chapitre 5 de cette partie concerne le calcul de polynômes modulaires en fonction des nouveaux invariants $(a_1, a_2, a_3)$ et $(u_1, u_2, u_3)$ et quelques détails sur les polynômes modulaires de Siegel et de Hibert.

* Dans la partie *iii*, le premier chapitre (6) concerne un bref rappel des résultats fondamentaux sur la *Théorie du Relèvement Canonique* comme le *Théorème de Serre-Tate* [55] et la théorie de réduction de l'espace des schémas de module de Siegel de genre 2 avec une structure de niveau $\Gamma_0(p)$ [15, 90]. En utilisant ces résultats nous proposons une preuve générale des conditions de Kronecker. Le chapitre 7 concernent respectivement le relèvement canonique sur l'espace de Siegel et sur l'espace de Hilbert. Tout le chapitre 8 concerne des applications
du relèvement canonique: du calcul de formes modulaires vectorielles associées aux courbes de genre 2, au calcul du polynôme caractéristique d'une courbe de genre 2. Et à la fin, nous faisons une conclusion détaillée sur les résultats et leur impact sur d'autres domaines comme la cryptographie et nous proposons des perpectives pour des améliorations de complexité de certains algorithmes.
Première partie

PRÉLIMINAIRES
On considère le corps des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ muni de la valuation $ord_p$ définie par :

$$ \mathrm{ord}_p(0) = \infty; $$

$$ \mathrm{ord}_p(a) = \max\{m, a \equiv 0 \mod p^m\} \quad \text{pour tout } a \in \mathbb{Z}; $$

$$ \mathrm{ord}_p\left(\frac{a}{b}\right) = \mathrm{ord}_p(a) - \mathrm{ord}_p(b) \quad \text{pour tout } b \in \mathbb{Z}^*. $$

**Proposition 1.0.1.** Alors l'application de $|\cdot|_p$ définie sur $\mathbb{Q}$ par :

$$ |x|_p = \begin{cases} 0 & \text{si } x = 0, \\ \frac{1}{p^{\mathrm{ord}_p x}} & \text{sinon} \end{cases} $$

est une norme non-Archimedienne sur $\mathbb{Q}$ c'est à dire que $|x+y|_p \le \max(|x|_p, |y|_p)$.

*Démonstration.* En effet, l'homogénité se déduit de la propriété $\mathrm{ord}_p(xy) = \mathrm{ord}_p x + \mathrm{ord}_p y$. De plus $\mathrm{ord}_p(x+y) \ge \min(\mathrm{ord}_p x, \mathrm{ord}_p y)$, alors

$$ |x+y|_p = p^{-\mathrm{ord}_p(x+y)} \le \max(|x|_p, |y|_p) $$

qui implique à la fois l'inégalité triangulaire et que $|\cdot|_p$ est non-Archimedienne sur $\mathbb{Q}$. Cette dernière propriété donne à $|\cdot|_p$ une très grande importance en Analyse. $\square$

En remplaçant $1/p$ par tout $\rho \in [0, 1]$ dans la définition nous obtenons des normes équivalentes (c'est à dire les mêmes suites de Cauchy). Et le Théorème d'Ostrowski établit que toute norme nontriviale sur $\mathbb{Q}$ est soit équivalente à la norme usuelle $|\cdot|$ ou soit équivalente à une norme du type $|\cdot|_p$ pour un premier $p$.

L'une des constructions du corps des nombres réels $\mathbb{R}$ à partir de celui des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ est d'abord de considerer les suites de Cauchy de l'espace métrique $(\mathbb{Q}, |\cdot|)$ avec la relation d'équivalence : $\{a_j\} \sim \{b_j\}$ si $|a_j - b_j| \to 0$ quand $j \to \infty$. Ainsi $\mathbb{R}$ est défini comme l'ensemble des classes d'équivalence des suites de Cauchy sur $(\mathbb{Q}, |\cdot|)$. Et on y définit une addition et une multiplication qui confèrent à $\mathbb{R}$ une structure de corps.

On considère au début la même construction que précédemment, avec cette fois-ci la norme $|\cdot|_p$.

Soit $Q_p$ l'ensemble des classes d'équivalence des suite de Cauchy de $(\mathbb{Q}, |\cdot|_p)$ par la relation d'équivalence $\sim$. Alors nous avons $\mathbb{Q} \subset Q_p$ car les suites constantes sont de Cauchy et représentent chacune une classe d'équivalence et la classe de $\{0\}$ sera notée 0. La norme $|\cdot|_p$ s'étend aux classes d'équivalence par la définition suivante : Soit $a \in Q_p$, $|a|_p = \lim_{i \to \infty} |a_i|_p$ pour un représentant $\{a_i\}$ de $a$. Grâce à la propriété que $|\cdot|_p$ est non-Archimedienne cette limite existe pour toute suite de Cauchy.

Par la suite on peut définir l'addition et la multiplication de deux classes d'équivalence $a$ et $b$ par $a + b$ et $a.b$ les classes d'équivalence des suites de Cauchy $a_i + b_i$ et $a_i.b_i$ où $\{a_i\}$ et $\{b_i\}$
sont respectivement des représentants quelconques des classes $a$ et $b$.

L'inverse d'une classe non nulle $a$ se définit par $\{1/a_i\}$ pour un représentants $\{a_i\}$ dont tous les termes sont non nuls. Pour cela il est facile de rémarquer qu'une suite de Cauchy $\{a_i\}$ dont un terme $a_j = 0$ est équivalente à la suite $\{a'_i\}$ avec $a'_j = p^j$. Ainsi les autres propriétés ($-a$ et $a(b+c)$) héritent celles des termes et on obtient que $\mathbb{Q}_p$ est un corps contenant $\mathbb{Q}$. En considerant une suite de Cauchy $\{a_j\}$ sur $\mathbb{Q}_p$ où la suite de Cauchy représentant chaque classe $\{a_j\}$ est $\{a_{ji}\}$. Pour chaque $j$ nous avons $|a_{ji} - a_{ji'}|_p < p^{-j}$ quand $i, i' \ge N_j$, alors la classe d'équivalence de $\{a_{jN_j}\}$ est la limite de $\{a_j\}$. Ainsi $(\mathbb{Q}_p, |\cdot|_p)$ est complet.

**Théorème 1.0.2.** Le sous-ensemble de $\mathbb{Q}_p$ défini par :

$$ \mathbb{Z}_p = \{x \in \mathbb{Q}_p / |x|_p \le 1\} = \{x \in \mathbb{Q}_p / \mathrm{ord}_p x \ge 0\} $$

est un anneau local d'idéal maximal $p\mathbb{Z}_p = \{x \in \mathbb{Q}_p / \mathrm{ord}_p x > 0\}$, et chaque $a \in \mathbb{Z}_p$ peut s'écrire de manière unique $\{a_i\}$ avec : $0 \le a_i < p^i$ et $a_i \equiv a_{i+1} \mod p^i$ pour $i = 1, 2, 3, ...$

**Démonstration.** Voir [62, chap 3]. □

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Les éléments de $\mathbb{Z}_p$ sont appelés les *entiers p-adiques*, nous avons $\mathbb{Z}_p^\times = \{x \in \mathbb{Z}_p / |x|_p = 1\}$ et le corps résiduel $\mathbb{Z}_p/p\mathbb{Z}_p$ est isomorphe à $\mathbb{F}_p$ le corps premier à $p$ éléments. Nous parlons maintenant d'un résultat très important sur $\mathbb{Z}_p$, qui permet de réduire sous certaines conditions la résolution d'une équation sur $\mathbb{Z}_p$ à sa réduite modulo $p$ qui est beaucoup plus facile.

**Théorème 1.0.3.** (Lemme de Hensel). Soient $f(x) \in \mathbb{Z}_p[x]$ et $a \in \mathbb{Z}_p$ tels que $f(a) \equiv 0 \mod p$ et $f'(a) \neq 0 \mod p$ où $f'$ est la dérivé de $f$. Alors il existe un unique $\tilde{a}$ dans $\mathbb{Z}_p$ tel que :

$$ f(\tilde{a}) = 0 \quad \text{et} \quad \tilde{a} \equiv a \mod p $$

**Démonstration.** Aller à [62, chap 1, thm 3]. □

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Alors nous avons pour toute erreur $r$ telle que : $\tilde{a} - a = p^k r$, $r$ est solution sur $\mathbb{F}_p$ de l'équation :

$$ f(a) + p^k r \cdot f'(a) = 0 \mod p^{2k} $$

c'est-à-dire encore que

$$ \frac{f(a)}{f'(a)} + p^k r \cdot 1 = 0 \mod p^{2k} $$

Alors sur une boule de centre $a$ et de rayon $p^k$, les deux fonctions $f$ et $\frac{1}{f'(a)} \cdot f$ coïncident et la même erreur $r$ corrige $a$ pour les deux fonctions. Il existe encore d'autres approximations de la fonction $f$ sur la même boule. Nous allons voir dans la section 1.2 que certaines de ces approximations permettent d'élargir l'hypothèse de Hensel.

## 1.1 REPRÉSENTATION DE TEICHMULLER

Pour ce qui suit nous nous intéressons aux extensions algébriques du corps des nombres $p$-adiques c'est à dire des corps $\mathbb{K}$ dont tout élément $\alpha$ est solution d'un polynôme sur $\mathbb{Q}_p$.

Lorsque $\mathbb{K}$ est de dimension finie sur $\mathbb{Q}_p$ alors l'extension $\mathbb{K}/\mathbb{Q}_p$ est séparable (car $\mathrm{char}(\mathbb{Q}_p) = 0$) et $\mathbb{K} = \mathbb{Q}_p(\alpha)$. Ainsi $\mathbb{K}$ est isomorphe à $\mathbb{Q}_p[X]/M(X)$ où $M$ est un polynôme
irréductible sur $\mathbb{Q}_p$ avec $M(\alpha) = 0$ et $\deg(M) = [K : \mathbb{Q}_p]$. Alors on peut définir $N_{K/\mathbb{Q}_p}(\alpha) := \alpha_1\alpha_2 \cdots \alpha_n$, où les $\alpha_i$ sont les conjugués de $\alpha = \alpha_1$ sur $\mathbb{Q}_p$.

Dans ce cas il existe une seule norme sur $K$ définie par $|\alpha|_K := |N_{K/\mathbb{Q}_p}(\alpha)|_p^{1/\deg(M)}$ se réduisant sur la norme $|\cdot|_p$ de $\mathbb{Q}_p$. Nous noterons $|\cdot|_K$ aussi par $|\cdot|_p$ et $\mathrm{ord}_p(\alpha) := -\log_p(|\alpha|_p)$.

Soient $\mathcal{R} = \{x \in K / |x|_p \le 1\}$ l'anneau des entiers de $K$ et $\mathcal{M}$ son idéal maximal, alors nous avons le diagramme suivant :

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Où $\mod p$ est la projection naturelle $\mathbb{Z}_p$ sur $\mathbb{F}_p$, $\psi$ est l'inclusion naturelle de $\mathbb{Z}_p$ dans $\mathcal{R}$.

**Proposition 1.1.1.** Soient $e = \mathrm{ord}_p(\psi(p))$ et $n = [\mathcal{R}/\mathcal{M} : \mathbb{F}_p]$ alors $[K : \mathbb{Q}_p] = e \cdot n$.

*Démonstration.* Aller à [62, chap 3]. □

$e$ est appelé l'indice de ramification de $K$ et $n$ le degré de ramification de $K$.

Lorsque $e = 1$, l'extension $K/\mathbb{Q}_p$ est dite non-ramifiée de degré $n$ et est notée $\mathbb{Q}_q$, son anneau de valuation $\mathbb{Z}_q$ pour $q = p^n$.

**Proposition 1.1.2.** $\mathbb{Q}_q$ est une extension Galoisienne de $\mathbb{Q}_p$, unique à isomorphisme près et $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p)$ est un groupe cyclique engendré par $\Sigma$ se réduisant sur l'automorphism de Frobenius $\sigma : x \mapsto x^p$.

*Démonstration.* Aller à [62, chap 3] et [17] □

L'union de toutes les extensions non-ramifiées finies de $\mathbb{Q}_p$ est appelée l'Extension Non-Ramifiée Maximale de $\mathbb{Q}_p$. Elle sera notée par $\mathbb{Q}_p^{ur}$ et son anneau des entiers par $\mathbb{Z}_p^{ur}$ dont l'idéal maximal est $p\mathbb{Z}_p^{ur}$ tel que :

$$ \mathbb{Z}_p^{ur} := \{x \in \mathbb{Q}_p^{ur} / |x|_p \le 1\} \quad \text{et} \quad p\mathbb{Z}_p^{ur} := \{x \in \mathbb{Q}_p^{ur} / |x|_p < 1\} $$

Chaque élément $x$ de $\bar{\mathbb{F}}_p$ admet un unique "représentant de Teichmüller" $\tilde{x} \in \mathbb{Z}_p^{ur}$ lequel est une racine de l'unité et son image $\tilde{x} \mod p = x$ dans $\mathbb{Z}_p^{ur} / p\mathbb{Z}_p^{ur} \simeq \bar{\mathbb{F}}_p$.

## Anneau de Vecteurs de Witt

Soit $K$ un corps de caractéristique $p > 0$ on définit l'anneau $W_{n+1}(K)$ de vecteurs de Witt comme l'ensemble des éléments $(\alpha_0, \dots, \alpha_n) \in K^{n+1}$ muni des opérations $+$, $\cdot$ définies de manière suivante :

$$ (x_0, \dots, x_n) + (y_0, \dots, y_n) = (s_0, \dots, s_n) $$

$$ (x_0, \dots, x_n) \cdot (y_0, \dots, y_n) = (m_0, \dots, m_n) $$

tel que pour tout $i = 0, \dots, n$ on a $s_i, m_i$ sont des polynômes de $\mathbb{Z}[x_0, \dots, x_n, y_0, \dots, y_n]$ définis par les propriétés suivantes :
1. $s_0 = x_0 + y_0$, et $m_0 = x_0 y_0$,

2. On définit $\phi(z_0, \dots, z_i) = z_0^{p_i} + p z_1^{p_i-1} + \dots + p^i z_i$ pour $i = 1, \dots, n$.

3. Pour $i = 1, \dots, n$, les $s_i$ et $m_i$ sont donnés par :

$$ \phi_i(s_0, \dots, s_i) = \phi_i(x_0, \dots, x_i) + \phi_i(y_0, \dots, y_i), $$

$$ \phi_i(m_0, \dots, m_i) = \phi_i(x_0, \dots, x_i) + \phi_i(y_0, \dots, y_i). $$

Alors nous avons les propriétés suivantes:

• L'idéal $pW_{n+1}(\mathbb{k})$ de l'anneau $W_{n+1}(\mathbb{k})$ est nilpotent de degré $n$ tel que :

$$ W_{n+1}(\mathbb{k}) / pW_{n+1}(\mathbb{k}) \simeq \mathbb{k} $$

• Lorsque corps $\mathbb{k}$ est une extension finie de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, alors l'anneau défini par

$$ W(\mathbb{k}) = \lim_{n \to \infty} W_{n+1}(\mathbb{k}) $$

est une extension finie de $\mathbb{Z}_p$ isomorphe à $\mathbb{Z}_p^{ur}$.

Ainsi $\mathbb{Z}_p^{ur}$ est appelé "anneau des vecteurs de Witt" ou encore le "Lift de $\bar{\mathbb{F}}_p$ en caractéristique zéro".

Les méthodes de relèvement canoniques de courbes elliptiques ordinaires avec le polynôme modulaire s'appuient sur l'unicité du lift de l'isogénie Frobenius (qui ne se ramifie pas sur $\mathbb{Z}_q$). Pour cela ces méthodes utilisent des représentations de $\mathbb{Q}_q$ dans lesquels l'automorphisme Frobenius $\Sigma$ se calcule le plus simplement possible. Ce choix permet aussi un calcul de norme $N_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}$ très rapide.

Soient $q = p^n$ et $\mathbb{F}_q$ donné par $\mathbb{F}_p[X]/m(X)$ avec $m(X)$ un polynôme irréductible unitaire sur $\mathbb{F}_p$. Une manière naturelle de choisir le relevé $M(X)$ de $m(X)$ est de prendre : $M \in \mathbb{Z}_p[X]$ avec $M(X)|X^q - X$ et $M(X) \equiv m(X) \pmod{p}$. Cela preserve la structure Galoisienne aussi simple que possible et nous prendrons $M(X)$ comme relevé de Teichmuller de $m(X)$.

Alors on pourra travailler à la précision $k$ en effectuant les opérations dans $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})[X]/M(X)$. Et dans ces conditions la complexité d'une opération élémentaire sur $(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})[X]/M(X)$ requiert par exemple $\tilde{O}(nk\log p)$ avec la méthode de Kronecker-Schönhage [35].

## 1.2 RELÈVEMENT DES SOLUTIONS D'UN SYSTÈME DE DIMENSION ZÉRO

Dans ce qui suit, nous exposons des résultats répris dans le deuxième article (Introduction: la section 0.0.4), sur des extensions aux conditions de Hensel. Ces résultats fournissent des algorithmes de relèvement des éléments de $\mathbb{F}_q$ en lesquels la Jacobienne du système n'est pas inversible modulo $p$ avec un contrôle fin des pertes de précision.

### 1.2.1 Relèvement des Solutions d'un Polynôme Univarié

Lorsque $f$ est un polynôme sur $\mathbb{Z}_q$ et $x \in \mathbb{F}_q$ tel que $\mathrm{ord}_p(f'(x)) = 0$ alors le Lemme de Hensel donne à la fois l'existence et l'unicité du relevé $\tilde{x}$ de $x$ sur $\mathbb{Z}_q$. Cependant comme nous allons le voir dans les chapitres 2 et 7.1 nous rencontrons des situations où $\mathrm{ord}_p(f'(x)) > 0$. Par exemple lorsque $p \ge 3$ et $\tilde{E} : y^2 = x^3 + \tilde{A}x + \tilde{B}$ on a $\mathrm{ker}(\tilde{\Sigma}) = \tilde{E}[p] \cap \tilde{E}(\mathbb{Z}_q^{ur})$ où $\mathbb{Z}_q^{ur}$ est
l'anneau de valuation de l'extension non-ramifiée $\mathbb{Q}_q^{ur}$ de $\mathbb{Q}_q$ [99, Theorem 3.1]. Et pour tout $P \in \tilde{\mathbb{E}}(\mathbb{Z}_q^{ur}) - \{\emptyset\}$ le [99, Lemma 3.7.] établit que :

$$ \mathrm{ord}_p(\Psi'_p(x_P)) = 1 \quad \text{où} \quad \Psi'_p = \frac{\partial \Psi_p}{\partial x} $$

Bien que l'unicité du relevé soit établie par le relèvement canonique, cependant l'algorithme standard de Hensel n'est pas pratique pour calculer le relélévé de $x_P$ à partir de $\mathbb{F}_q$, car la valuation de la dérivée en $x_P$ fait perdre de la précision dans les calculs. Cependant, comme $\Psi_p(x) \equiv H(x)^p \mod p$, nous avons ord_p $\Psi_p(x_P) \ge 2$ pour tout $P \in E[p]$ alors les méthodes détaillées ci-dessous permettent de calculer sans pertes de précisions le relevé $x_P$ de $x_P$. Pour ce qui suit on pose: $f^{<n>} = n! f^{(n)}$ pour tout $f = \sum a_i X^i \in \mathbb{Z}_q[a_i, X]$.

**Lemme 1.2.1.** Soient $p$ un nombre premier, $f$ un polynôme sur $\mathbb{Z}_q$ et $x \in \mathbb{Z}_q$ tels que $\mathrm{ord}_p f(x) = k$ et $\mathrm{ord}_p f'(x) = e$ avec $e < k$. Alors pour toute solution $r$ de l'équation

$$ f(x) + f^{<1>}(x) p^{(k-e)} r + \dots + f^{<i-1>}(x) p^{(i-1)(k-e)} r^{i-1} \equiv 0 \mod p^{i(k-e)} \quad (1.1) $$

$$ \text{où } i = \lceil (k+1)/(k-e) \rceil $$

$x + p^{(k-e)}r$ est une solution de $f$ à la précision $p^{i(k-e)}$.

**Démonstration.** On suppose que $\mathrm{ord}_p f(x) = k$ et $\mathrm{ord}_p f'(x) = e$ avec $e < k$. Le développement de Taylor de $f$ est donné par :

$$ f(x + \Delta) = f(x) + f'(x) \cdot \Delta + f''(x) \cdot \Delta^2 + \dots + f^{<i-1>}(x) \Delta^{i-1} + \Delta^i \cdot Q(x) $$

où $Q(x)$ est dans $\mathbb{Z}_q$.

On pose $\mathrm{ord}_p(\Delta) = m$, nous voulons déterminer l'erreur $r$ à la précision au moins $p$ et il est avantageux de résoudre avec le degré le plus grand possible en $r$. Nécéssairement $f(x)$ et $f'(x) \cdot \Delta$ doivent être à la même précision, alors $m = k - e$. Par conséquent nous pouvons résoudre l'équation (en fonction de $r$) à la précision $p^{i(k-e)}$ telle que: $i(k-e) \ge k+1$; par exemple pour $i = \lceil (k+1)/(k-e) \rceil$.

$$ f(x) + f^{<1>}(x) p^{(k-e)} r + \dots + f^{<i-1>}(x) p^{(i-1)(k-e)} r^{i-1} \equiv 0 \mod p^{i(k-e)} $$

□

• Dans le cas où $k > 2e$ c'est-à-dire encore $2(k-e) > k$, l'équation (1.1) détermine une unique solution modulo $p^{2(k-e)}$ (avec $i=1$) qui converge vers un unique relevé sans pertes de précision sur $x$. Ainsi pour toute solution $x$ modulo $p$, la condition $\mathrm{ord}_p f(x) > 2 \mathrm{ord}_p f'(x)$ assure l'existence et l'unicité à la fois à partir de la précision $p^{2(k-e)}$ du relevé sur $\mathbb{Z}_q$. En plus

$$ f'(x + p^{(k-e)}r) = f'(x) + f''(x) p^{(k-e)} r + \dots + f^{<i>}(x) p^{i(k-e)} r^i + p^{(i+1)(k-e)} (\dots) $$

ce qui implique $\mathrm{ord}_p f'(x + p^{(k-e)}r) = e$ car $e < k - e$.

• Lorsque $k \le 2e$ la résolution de l'équation (1.1) dépend des valuations des $f^{<j>}(x)$ pour $2 \le j \le i(k-e)$. Alors l'équation (1.1) pourrait avoir une solution sur une extension $\mathbb{Z}_q$ ou ne pas avoir de solutions du tout. Par exemple:
— S'il existe seulement un $j \in \{2, i(k-e)\}$ tel que $\text{ord}_p p^{j(k-e)} f^{<j}(x)$ est inférieure à $k$ alors $r$ n'existe pas. Dans ce cas $x$ n'admet pas de relevés sur $\mathbb{Z}_q$.

— Si $\text{ord}_p p^{j(k-e)} f^{<j}(x)$ est supérieure ou égal à $i(k-e)$ pour tout $j \in \{2, i(k-e)\}$, alors dans ce cas chaque solution de l'équation définit un relevé de $x$ sur $\mathbb{Z}_q$.

**Exemple 1.2.2.** Soit $p$ un nombre premier impair et $E$ une courbe elliptique sur $\mathbb{F}_q$, nous rappellons que pour $P(x_0, y_0) \in E[p]$, $\text{ord}_p \Psi_p(x_0) > 1$, $\text{ord}_p \Psi'_p(x_0) = 1$, et nous avons aussi $\text{ord}_p \Psi''_p(x_0) \ge 1$ car $\Psi_p = h^p \mod p$.

Alors nous avons $\text{ord}_p \Psi_p(x_0) \ge 2$. $\text{ord}_p(\Psi'_p(x))$ et en utilisant le lemme 1.2.1 on peut déterminer l'unique relélévé de $x_0$ sur $\mathbb{Z}_q$.

Par exemple lorsque $\text{ord}_p \Psi_p(x_0) = 2$, nous avons $k=2$ et $e=1$ alors dans le lemme 1.2.1, l'équation (1.1) devient:

$$ \Psi_p(x_0) + \Psi'_p(x_0).p.r \equiv 0 \mod p^3 \quad \text{comme} \quad \text{ord}_p \Psi''_p(x_0) \ge 1. $$

Ce qui correspond à un seul relevé modulo $p^3$.

Pour $k \ge 3$, alors on est dans le cas $2(k-e) > k$ et on peut résoudre l'équation du lemme 1.2.1 modulo $p^{2(k-e)}$ comme dans le cas de l'algorithme de Newton standard.

$$ \Psi_p(x) + \Psi'_p(x).p^{(k-e)}.r \equiv 0 \mod p^{2(k-e)}. $$

Nous rappelons que T. Satoh a introduit dans [99, Lemme 2.1] une variante de l'algorithme de Hensel qui calcule le relélévé du polynôme $h$ définissant le noyau du Verschiebung sur $\mathbb{Z}_q$. En petites caractéristiques, et avec $n$ assez grand, la méthode précédente (le lemme 1.2.1) devient plus rapide puisque Satoh utilise à chaque étape l'algorithme d'Euclide étendu pour calculer l'erreur $r$.

Lorsque nous sommes dans le cas $\text{ord}_p f(x) \le e$ on peut appliquer la méthode suivante pour obtenir une précision suffisante correspondant au lemme 1.2.1. La stratégie est simple mais elle n'assure aucune convergence pour une solution, le but est d'atteindre la condition de convergence précédente (décrite dans le lemme 1.2.1). Pour déterminer l'erreur $r$ nous pouvons continuer le calcul jusqu'à $f^{<j}(x)$ telle que $\text{ord}_p(f^{<j}(x)p^{j\alpha}) = \text{ord}_p f(x)$ et $\alpha \in \mathbb{N}$. Nous supposons qu'une racine $\tilde{x} \in \mathbb{Z}_q$ de $f$ existe et que nous connaissons $x = \tilde{x} \mod p$.

**Lemme 1.2.3.** Lorsque $\text{ord}_p f(x) = k$ et $\text{ord}_p f'(x) = e$ tels que $1 \le k \le e$. Soit $j$ le plus petit entier non nul (s'il existe) tel que $\text{ord}_p(f^{<j}(x)) + j \le k$. Alors pour toute solution $r$ de l'équation:

$$ f(x) + f^{<1>}(x).p^{\alpha}.r + \dots + f^{<j>}(x).p^{j\alpha}.r \equiv 0 \mod p^{(j+1)\alpha} \quad (1.2) $$

$$ \text{où } \alpha = \lfloor \frac{k - \text{ord}_p(f^{<j>}(x))}{j} \rfloor; $$

$x + p^\alpha r$ est une solution de $f$ à la précision $p^{(j+1)\alpha}$.

De plus si $\text{ord}_p(f^{<j>}(x)) \le \alpha$ alors $\text{ord}_p f'(x + p^\alpha r) < (j+1)\alpha$ (condition d'application du lemme 1.2.1).

On peut évidemment remarquer qu'un tel $j$ est inférieur ou égal à $(\deg f + 1)$.

La situation $\text{ord}_p(f^{<j>}(x)p^{j\alpha}) < k$ dans le lemme 1.2.3 se produit surtout quand à ce stade $x$ n'est pas à une bonne précision en tant que approximation d'un possible relevé $\tilde{x}$. Et à cette précision, $f$ a de nombreuses racines mais elles ne sont pas toutes des réductions du relélévé inconnu $\tilde{x}$.
Démonstration. Dans le dévéloppement de Taylor de l'équation (1.2), nous avons assez de précision pour diviser par $ord_p(f^{<j>}(x)p^{j\alpha})$ et nous obtenons modulo $p^\alpha$ une équation:

$$a_j r^j + \cdots a_1 r + a_0 = 0 \quad \text{avec} \quad a_i \in \mathbb{Z}_q.$$

les possibles solutions modulo $p^\alpha$ de cette dernière équation, sont les erreurs pour les précisions suivantes. On peut les calculer en utilisant les bases de Grœbner.
Pour une racine $r$ de l'équation précédente, nous avons:

$$f(x + p^{\alpha}r) = 0 \quad \mod p^{(j+1)\alpha}.$$

De plus si $ord_p(f^{<j>}(x)) \le \alpha$, alors la rélation:

$$f'(x + p^{\alpha}r) = f'(x) + f^{<2>}(x) \cdot p^{\alpha}r + \cdots + f^{<j>}(x) \cdot p^{(j-1)\alpha}r^{j-1} + p^{j\alpha}(\cdots)$$

implique que:

$$\begin{gathered} \operatorname{ord}_p f'(x + p^{\alpha}r) = \operatorname{ord}(f^{<j>}(x)) + (j-1)\alpha \\ \text{car seule } \operatorname{ord}_p(p^{j\alpha}f^{<j>}(x)) \le k \text{ alors } f'(x + p^{\alpha}r) < (j+1)\alpha \end{gathered}$$

□

Interprétation:

Nous voulons expliquer d'autre part le lien entre les méthodes précédentes et l'algorithme standard de Hensel (qui est utilisé habituellement lorsque $ord_p f'(x) = 0$).

Dans les deux situations étudiées précédemment (le lemme 1.2.1 et le lemme 1.2.3) le calcul de l'erreur marche comme dans le cas de la méthode standard de Hensel, sur une fonction équivalente à $f$ dans un voisinage de l'approximation $x$.

Par conséquent, dans le cas où un relevé de $\tilde{x}$ existe (comme dans le cas du noyau du Verschiebung pour le relèvement canonique) il est possible d'extraire une approximation de la fonction $f$ qui satisfait les conditions standard de Hensel. Par exemple:

- Dans le cas où $ord_p f(x) > 2 \cdot \operatorname{ord}_p f'(x)$ la fonction locale définie dans un voisinage de $x$ (la boule de centre $x$ et rayon $p^{k-e}$) est donnée par : $g = p^{-e}f$ ainsi nous avons la condition de Hensel standard : $\operatorname{ord}_p g(x) = k - e$ et $\operatorname{ord}_p g'(x) = 0$.

- Pour le lemme 1.2.3 la situation est un peu plus complexe puisqu'il est possible d'avoir plus d'une solutions à partir de l'équation de l'erreur (l'équation (1.2)) et chaque solution définit une approximation de la fonction $f$ dans une boule de centre $x$ et de rayon $p^\alpha$. L'objectif principal étant d'atteindre les conditions d'application du lemme 1.2.1, alors l'erreur correspondante peut être calculée en utilisant les fonctions d'approximation de $f$ définies par :

Pour simplifier nous allons supposer $\operatorname{ord}_p f^{<j>}(x) = 0$, alors la condition $\operatorname{ord}_p f^{<j>}(x) + j\alpha = k$ détermine $\alpha$ sachant que celui-ci est nécessairement $\ge 1$.

$$g = p^{-j\alpha} (b_0 f + b_1 f^{<1>}) + \cdots + b_{j-1} f^{<j-1>} \quad \text{avec } \operatorname{ord}_p b_{j-1} = 0.$$

Par suite la fonction déduite $g$ satisfait la condition : $\operatorname{ord}_p g'(x) = 0$ (en utilisant la définition de $j$ et le fait que $\operatorname{ord}_p f^{<j>}(x) = 0$). En particulier les évaluations en $x$ de ces fonctions d'approximation sont données par une factorisation en facteurs premiers sur $\mathbb{Z}_q$ (en fonction de $r$) de l'équation "2.5" à la précision $p^\alpha$ (la condition de Newton). Par suite pour chaque "branche de Taylor" (définie par une solution $r$ de l'équation "2.5") l'étape suivante converge vers un unique relévé sur $\mathbb{Z}_q$ de $x$.
Nombre de relevés à partir d'une racine sur $\mathbb{F}_q$:

En résumé, à partir des lemmes 1.2.1 et 1.2.3 nous pouvons déduire que: pour $f \in \mathbb{Z}_q[X]$ et $x$ une approximation d'une racine de $f$ sur $\mathbb{Z}_q$ telle que $\mathrm{ord}_p f(x) = k$ et $\mathrm{ord}_p f'(x) = e$.

— Si $k > 2e$ alors seulement une racine de $f$ sur $\mathbb{Z}_q$ se réduit sur $x$ modulo $p^k$.

— Autrement le nombre des racines de $f$ sur $\mathbb{Z}_q$ se réduisant modulo $p^k$ sur $x$ peut être plus d'une racine.

Les méthodes détaillées précédemment permettent sous certaines conditions de calculer le relélév canonique d'une racine d'un polynôme dans $\mathbb{Z}_q[X]$ sans perte de précision. Dans l'exemple 1.2.2 on explique le calcule d'un point de torsion $p$ d'un relélév canonique d'une courbe elliptique ordinaire. Ensuite, nous voulons généraliser ces méthodes au cas d'un système polynomial multivarié de dimension zéro dans l'objectif de pouvoir calculer le relélév de la $p$-torsion sur une variété abélienne ordinaire.

### 1.2.2 Relèvement de Solutions dans un Système Polynomial multivarié

Lorsque $F$ est une fonction vectorielle multivariée associée à un système polynomial de dimension zéro défini par: $F(x_1, \dots, x_k) = 0$ sur $\mathbb{Z}_q$ et on note par $DF$ la matrice Jacobienne du système.

Nous supposons que $\tilde{X}$ une racine de $F$ sur $\mathbb{Z}_q$ existe et que nous connaissons une approximation $X$ (à précision inconnue) telle que $\mathrm{ord}_p F(X) = k$, $\mathrm{ord}_p \det(DF(X)) = e$ et $\tilde{X} = X \mod p$. Générallement les composantes de $X$ peuvent être à des précisions différentes (comparées aux composantes de $\tilde{X}$). Par conséquent, nous devons d'abord connaître la précision de chaque composante de $X$. Et en séparant les erreurs dans les composantes, nous pourrions utiliser la méthode (le lemme 1.2.1 ou le lemme 1.2.3) correspondant à chaque "erreur-équation".

Soit $S$ la Forme Normale de Smith (SNF) sur $\mathbb{Z}_q$ de la matrice Jacobienne $DF(X)$ de $F$ en $X$ telle que $DF(X) = M \cdot S \cdot N$ avec $M$ et $N$ inversibles sur $\mathbb{Z}_q$. Alors nous avons $DG(X) = M^{-1} \cdot DF(X) \cdot N^{-1} = S$ et $G(X) = M^{-1} \cdot F(XN^{-1})$ avec $DG(X)$ sous la forme

$$DG(X) = \mathrm{diag}(p^{e_1}, p^{e_2}, \dots, p^{e_n}) \quad \text{où} \quad e = e_1 + \dots + e_n.$$

**Proposition 1.2.4.** Lorsque l'on suppose que chaque composante $X_i$ de $X$ est à la précision $p^{k_i}$. Alors on peut déterminer avec les mêmes complexités que l'algorithme de Hensel standard les approximations des possibles $\tilde{X}$ à la précision $N > k_i$ en utilisant:

— la méthode proposée dans le lemme 1.2.1 si chaque $k_i > e_i$;

— sinon en utilisant celle proposée dans le lemme 1.2.3.

**Démonstration.** L'information sur les valuations données par le calcul de SNF est nécessaire à default d'un résultat connu (comme dans les sections 7.1 et 7.2 et la proposition 7.2.2) sur la matrice Jacobienne.

Comme le changement de bases n'affectent pas les erreurs que nous voulons déterminer, on part directement du système sous la forme $G$ définie comme précédemment. Ainsi l'algorithme de Newton en fonction $X$ fonctionnera de façon similaire au cas univarié (des lemmes précédents). Lorsque nous avons $\mathrm{ord}_p G_i(X_i) = k_i$ avec $k_i > e_i$ pour tout $i$, alors les possibles relévés sur $\mathbb{Z}_q$ de $X$ (à la précision $N > \max(k_i)$) peuvent être déterminer en
utilisant sur G la méthode proposée dans le lemme 1.2.1.

Dans le cas contraire, certaines équations ont besoin d'informations supplémentaires, alors globalement on calcule les autres dérivées succéssives comme suggérer dans le lemme 1.2.3. Ainsi on détermine les approximations de relevés correspondant au lemme 1.2.1 pour les étapes suivantes.

À partir des équations données par le dévélopement de Taylor de F en (X + Rp^k), un calcul de bases de Grœbner lexicographique modulo p^N permet de déterminer l'erreur R pour l'étape suivante. □

Il est nécessaire à chaque étape d'évaluer à la bonne précision sur sa chaque composante afin d'éviter des pertes de précision.

### 1.2.3 Amélioration par Évaluation Directe du Sytème

Cependant lorsque que l'on travaille sur certaines caractéristiques p un peu plus grand: *En une précision k, évaluer directement un système en des valeurs est de complexités plus légères que de déterminer le système global.*

On considère un système polynomial à plusieurs variables S défini sur $\mathbb{Z}_q$ par une relation:

$$ \mathcal{R}(F, X) $$

où F est une fonction qu'on peut évaluer rapidement à une précision k en une valeur X. Lorsque un élément P satisfait sur $\mathbb{Z}_q$ la relation $\mathcal{R}(F, X)$; cela signifie que l'évaluation de F en P s'annulle: $F(P) = 0$. Alors la méthode de Newton suivante permet de calculer le relevé de P modulo p à une précision N en remplaçant les calculs de dérivées par des évaluations directes de F.

Supposons que nous connaissons P à précision k et nous sommes dans le cas d'un Newton où intervient seulement la Jacobienne J (exemple le lemme 1.2.1: lorsque on a $k > 2e$ où $e = \text{ord}_P J(P)$) alors on peut déterminer P à la précision $2k - e$, en évaluant F en r déformations spécifiques et distinctes $P + R_i \cdot p^k$ avec $i \in \{1, 2, \dots, r\}$ où r est le nombre de composantes de la variable X. À partir du développement de Taylor de F on a :

$$ J(P) \cdot R_i = \frac{1}{p^k} \left[ F(P + R_i \cdot p^k) - F(P) \right] \quad \text{mod } p^{2k} $$

En posant $R_i$ égal au i-ième vecteur colonne de la base canonique de $\mathbb{R}^r$. Alors modulo $p^k$, la i-ième colonne de la matrice Jacobienne J en P est donnée par :

$$ C_i = \frac{F(P + R_i \cdot p^k) - F(P)}{p^k} $$

Dans les cas où l'on a besoin de la Héssienne en plus de la Jacobienne pour réaliser un algorithme de Newton (comme c'est détaillé dans les exemples $k \le 2e$, dans les sous-sections plus haut) nous pouvons prendre d'autres déformations pour déterminer la matrice Héssienne. Ainsi procéder comme dans l'exemple suivant : On suppose que $F(X, Y) = 0$ est un système d'équation à deux variables et P une solution de ce système à précision k que l'on veut relever par une évaluation efficace de F en P. On pose $R_1 = (1,0)$, $R_2 = (0,1)$ et $R_5 = (1,1)$, alors $P_1 = P + R_1 p^k$, $P_2 = P + R_2 p^k$, $P_3 = P - R_1 p^k$, $P_4 = P - R_2 p^k$ et $P_5 = P + R_5 p^k$.

$$ J_X = \frac{F(P_1) - F(P_3)}{2p^k} \quad \text{et} \quad J_Y = \frac{F(P_2) - F(P_4)}{2p^k} $$
$$H_X = \frac{F(P_1) - F(P) - p^k J_X}{p^{2k}}, \quad H_Y = \frac{F(P_2) - F(P) - p^k J_Y}{p^{2k}} \text{ et}$$

$$H_{XY} = \frac{F(P_5) - F(P) - p^k(J_X + J_Y) - \frac{p^{2k}}{2}(H_X + H_Y)}{p^{2k}}$$

Alors $H_X$ est la première colonne de la matrice Héssienne $\frac{1}{2}H(P, P)$ modulo $p^k$ (représentant les coefficients en $\partial X^2$), $H_{XY}$ est sa seconde colonne (en $\partial X \partial Y$) et $H_Y$ est sa troisième colonne (en $\partial Y^2$).

En dimension supérieure notre méthode semble plus pratique qu'une possible généralisation de la méthode de Satoh, pour calculer le relevé de la $p$-torsion d'une variété abélienne ordinaire. En effet à partir de la dimension 2, le polynôme de division présente une taille et structure un peu plus complexes nécessitant des opérations très coûteuses.

## 1.3 CALCUL DE NORME SUR UNE EXTENSION NON-RAMIFIÉE DE $\mathbb{Q}_p$

Dans cette partie nous faisons un bref rappel sur deux des algorithmes de calcul rapide de norme $N_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}$. Ces algorithmes présentent de grands interêts dans la mésure où elles remplacent l'évaluation par tous les conjugués succéssifs $\Sigma^i$ du Frobenius $\Sigma$ dans le calcul des valeurs propres de l'endomorphisme Frobenius $x \mapsto x^q$.

Par définition nous avons :

$$N_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}(x) = \prod_{i=0}^{n-1} \Sigma^i(x)$$

### 1.3.1 Méthode Analytique

Satoh, Skjernaa et Taguchi ont proposé dans [100] un algorithme de calcul $N_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}(x)$ basé sur une méthode analytique.

On considère $ord_p(x - 1) > 1/(p - 1)$, alors :

$$N_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}(x) = \exp \left( \text{Tr}_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p} \log(x) \right)$$

Dans le cas où l'on a pas $ord_p(x - 1) > 1/(p - 1)$. Soit $\dot{x} \in \mathbb{Z}_q$ le relevé de Teichmüller de $\pi(x) \in \mathbb{F}_q$, alors on a : $ord_p(\dot{x}^{-1}x - 1) > 1/(p - 1)$ pour $p \ge 3$. Pour $p = 2$ on peut prendre le carré de $\dot{x}^{-1}x \mod 2^{N+1}$. Et on a :

$$N_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}(x) = N_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}(\dot{x}) N_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}(\dot{x}^{-1}x)$$

Par suite on considère que $x$ vérifie $ord_p(x - 1) > 1/(p - 1)$, les méthodes suivantes rendent performents les calculs de $\log(x)$ et $\exp(x)$ sur $\mathbb{Z}_q$.

Si l'on pose $x = \sum_{i=1}^{n-1} a_i X^i$, cela implique : $\text{Tr}_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}(x) = \sum_{i=1}^{n-1} a_i \text{Tr}_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}(X^i)$.

$\text{Tr}_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}(X^i)$ sont des valeurs précalculées en utilisant la méthode dite de Newton :

$$\text{Tr}_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}(X) \equiv -M_{n-1}(\text{mod } p^N),$$

$$\text{Tr}_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}(X^2) \equiv - \text{Tr}_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}(X) M_{n-1} - 2M_{n-2}(\text{mod } p^N),$$

⋮

$$\text{Tr}_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}(X^i) \equiv - \sum_{j=1}^{i-1} \text{Tr}_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}(X^{i-j}) M_{n-j} - i M_{n-i} (\text{mod } p^N)$$
avec $M = \sum_{i=1}^{n} M_i X^i$ et pour une précision $N$ fixée.

Soit $x \in \mathbb{Z}_q$ le logarithme et l'exponentielle $p$-adique de $x$ sont définis par :

$$ \log(x) = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1} \frac{(x-1)^k}{k} \quad \text{et} \quad \exp(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} $$

log converge pour $ord_p(x - 1) > 0$ et exp converge for $ord_p(x) > 1/(p - 1)$.

Pour $x \in \mathbb{Z}_q$ avec $ord_p(x - 1) \ge 1$ il est prouvé que $ord_p(x^{p^k} - 1) > k$ pour $k \in \mathbb{N}$ et :

$$ \log(x) \equiv p^{-k} \left( \log(x^{p^k}) \mod p^{N+k} \right) \mod p^N $$

Ainsi $\log(a^{p^k}) \mod p^{N+k}$ se calcule plus facilement dans $\mathbb{Z}_q/p^{N+k}\mathbb{Z}_q$.

Pour le cas de $\exp(x)$ on part d'une majoration de la valuation $ord_p(i!)$ donnée par :
$$ \mathrm{ord}_p(i!) \le \frac{(i-1)}{(p-1)}. \text{ Cela implique} $$

$$ \exp(x) \equiv \sum_{1 \le i < \beta} \frac{x^i}{i!} \quad \mod p^N \quad \text{et} \quad \beta = \frac{(p-1)N-1}{(p-1)\mathrm{ord}_p(x)-1}. $$

### 1.3.2 Méthode du Résultant

Dans une autre approche de calcul rapide de la norme, Harley a proposé [45] un algorithme qui est asymptotiquement parmi les meilleurs. Sa méthode utilise un calcul de résultant, elle-même calculée avec une variante de l'algorithme de calcul rapide du pgcd de Mœnck [83].

Lorsque $x = \sum_{i=1}^{n-1} a_i X^i \in \mathbb{Z}_q$ alors on définit le polynôme $A(X) = \sum_{i=1}^{n-1} a_i X^i \in \mathbb{Z}_p[X]$.
Alors nous aurons :

$$ N_{\mathbb{Z}_q/\mathbb{Z}_p}(x) = \prod_{i=1}^{n-1} A\left(\sum^i(\theta)\right) = \mathrm{Res}(M(X), A(X)) $$

où $\alpha \in \mathbb{Z}_q$ est une racine de $M$.

### 1.3.3 Base Normale Gaussienne

Nous avons précédemment résumé quelques méthodes rapides de calcul de norme sur $\mathbb{Z}_q$ dans le cas où le polynôme irréductible était de Teichmüller. Cependant lorsque le corps $\mathbb{F}_{p^n}$ admet une base normale Gaussienne c'est-à dire une base de la forme $\{\lambda\alpha / \lambda \text{ parcourant } \text{Gal}(\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p)\}$ pour un $\alpha \in \mathbb{F}_q$ donné par :

$$ \alpha = \sum_{i=0}^{t-1} \gamma^{\tau^i} $$

où $\tau$ est une racine $t$-ième primitive de l'unité dans un corps $\mathbb{Z}/(Nt+1)\mathbb{Z}$ avec $(Nt+1) \ne p$ et $\gamma$ une racine $(Nt+1)$-ième primitive de l'unité sur une extension de $\mathbb{F}_q$.

$\alpha$ est appelé période gaussienne de $(N, t)$. Et engendre une base normale pour $\mathbb{F}_{q^N}/\mathbb{F}_q$ si et seulement si $(Nt/e, N) = 1$ avec $e$ l'ordre de $q$ modulo $(Nt+1)$.

Par exemple il existe 26 valeurs pour un nombre premier $N$ entre 160 et 600 ayant une base normale Gaussienne de type 2 ou 4 sur l'extension $\mathbb{F}_{2^N}/\mathbb{F}_2$ [60].

Comme tout relèvement d'une base de $\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p$ est une base de $\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p$, par suite nous allons
considérer le même générateur $\alpha$ pour la base normale de l'extension $\mathbb{Q}_q(\alpha)/\mathbb{Q}_q$. Ainsi pour $\Sigma$ désignant le Frobenius de Gal $(\mathbb{Q}_q(\alpha)/\mathbb{Q}_q)$ on a $\Sigma(\gamma) = \gamma^q \text{ car } \gamma^{Nt+1} = 1 \text{ et } q^{Nt} \equiv 1 \text{ mod } Nt+1$.

**Exemple 1.3.1.** On part de $\mathbb{F}_p$ comme de corps base avec $t=1$ et $\gamma = \alpha \in \mathbb{Q}_{p^N}$ un élément normal; $\pi(\alpha)$ est un élément normal générateur de la base normale Gaussienne sur $\mathbb{F}_p$.

$$ \mathfrak{B} = \{ \alpha, \sigma(\alpha), \dots, \sigma^{N-1}(\alpha) \} = \{ \alpha, \alpha^2, \dots, \alpha^N \} $$

Pour la multiplication dans $\mathbb{Z}_{p^N} := \mathbb{Z}_p[X]/m(X)$ où $m(X) \in \mathbb{Z}_p[X]$ est le polynôme minimal de $\alpha$, la méthode introduite par H.Y.Kim et autre dans [60] consiste à transporter $\mathbb{Z}_{p^N}$ vers l'anneau $\mathbb{Z}_p[X]/(X^{N+1} - 1)$ via l'application:

$$ \sum_{i=0}^{N-1} a_i X^i \mapsto \sum_{i=0}^{N-1} a_i X^i + 0X^N. $$

Alors pour tous $A, B \in \mathbb{Z}_p[X]/F(X) \in \mathbb{Z}_p[X]/F(X)$:

$$ A \cdot B \equiv (A \cdot B \mod X^{N+1} - 1) \mod F(X) $$

Alors pour tout $A(X) = a_0 + a_1 X + \dots + a_N X^N \in \mathbb{Z}_p[X]/(X^{N+1} - 1)$, le Frobenius de $A(\alpha)$ est donné:

$$ \Sigma \left( \sum_{i=0}^{N} a_i \alpha^i \right) = \sum_{i=0}^{N} a_i \alpha^{pi} = a_0 + \sum_{j=1}^{N} a_{j/p} \alpha^j \quad \text{avec } j/p \in (\mathbb{Z}/(N+1)\mathbb{Z})^*. $$

et pour tout $k \in \mathbb{Z}$

$$ \Sigma^k \left( \sum_{i=0}^{N} a_i \alpha^i \right) = a_0 + \sum_{j=1}^{N} a_{j/p^k} \alpha^j, \quad \text{avec } j/p^k \in (\mathbb{Z}/(N+1)\mathbb{Z})^*. $$

Ainsi le calcul de $\Sigma^k(A)$ se fait par simple permutation sur $(\mathbb{Z}/(N+1)\mathbb{Z})^*$.

Par suite on en déduit un calcul de norme rapide sur $\mathbb{Q}_{p^N}/\mathbb{Q}_p$ modulo $p^M$. Soit $N = \sum_{i=0}^r n_i 2^i$ la décomposition binaire de $N$.

On pose:

$$ [n_0, n_1, \dots, n_j] = \sum_{i=0}^{j} n_i 2^i, M_i = (\sigma^{2^{i-1}} M_{i-1}) M_{i-1} \text{ et } M_0 = A $$

alors

$$ \begin{aligned} N_{\mathbb{Q}_{p^N}/\mathbb{Q}_p}(A) &= A (A^{\sigma}) \dots A (A^{\sigma^{N-1}}) \\ &= M_{r-1} \prod_{i=0}^{r-2} (\sigma^{N-[n_0, n_1, \dots, n_i]} M_i)^{n_i} \end{aligned} $$

En général lorsque le corps de base admet une base normale Gaussienne de type $t$ H.Y.Kim et autres introduisirent un algorithme du type "diviser pour règner" permettant de calculer $N_{\mathbb{Q}_{p^N}/\mathbb{Q}_p}(A)$ à partir de la formule précédente et à une précision $m$ avec une complexité en temps de $O(\log(n)(mn)^\mu)$ et de $O(nm)$ en espace.
## 2.1 COURBES ELLIPTIQUES

Au début de ce chapitre, nous rappellons quelques résultats sur les courbes elliptiques définies sur un corps quelconque $k$ et ensuite les résultats sur celles définies sur $\mathbb{C}$ en utilisant les références suivants: [65, 78, 82, 105, 106]. Après nous détaillons les différentes améliorations de la méthode de Satoh pour le calcul du polynôme caractéristique.

La dernière partie du chapitre concerne nos nouveaux résultats portant sur les algorithmes (la section 2.6.3) de calcul du polynôme caractéristique en une complexité au plus linéaire en $p$. Ces algorithmes constituent une amélioration considérable de la complexité en $p$ dans la méthode de Satoh.

Une courbe elliptique sur un corps $k$ est une courbe projective lisse de genre 1 sur $k$ avec un point donné $O$ sur $k$.

À partir du théorème de Riemann-Roch on montre qu'il existe des fonctions $x, y$ dans le corps de fonctions $k(E)$ de $E$, appelées fonctions de coordonnées de Weierstrass n'ayant pas de pôles en dehors de $O$ et telles que:

$$ord_O(x) = -2, \quad ord_O(y) = -3 \quad \text{et} \quad \frac{y^2}{x^3}(O) = 1.$$

Les points de la courbe elliptique sont alors solutions d'une équation homogène de $\mathbb{P}^2(\bar{k})$:

$$Y^2Z + a_1XYZ + a_3YZ^2 = X^3 + a_2X^2Z + a_4XZ^2 + a_6Z^3, \quad a_i \in k$$

Ainsi les coordonnées affines $x$ et $y$ sont liées par l'équation affine :

$$E: y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6, \quad a_i \in k$$

Avec $x = X/Z$ et $y = Y/Z$ et le discriminant

$$\Delta = -b_2^2b_8 - 8b_4^3 - 27b_6^2 + 9b_2b_4b_6 \quad \text{non nul.}$$

où

$$b_2 = a_1^2 + 4a_2, \quad b_4 = a_1a_3 + 2a_4, \quad b_6 = a_3^2 + 4a_6,$$

$$b_8 = a_1^2a_6 - a_1a_3a_4 + 4a_2a_6 + a_2a_3^2 - a_4^2.$$

Alors on appelle $j$-invariant de la courbe elliptique $E$:

$$j(E) = (b_2^2 - 24b_4)^3 / \Delta.$$

**Exemple 2.1.1.** Pour une courbe elliptique $E$ définie sur $k$, à partir de changement de variables linéaires sur $x$ et $y$ l'équation de $E$ se réduit comme suite:
— Lorsque $\mathrm{char}(\mathbb{k}) = 2$, et $E : y^2 + xy = x^3 + a$ alors $\Delta = -a - 432a^2$ et $j(E) = \frac{-1}{\Delta}$,

— Lorsque $\mathrm{char}(\mathbb{k}) = 3$, et $E : y^2 = x^3 + ax^2 + b$ alors $j(E) = \frac{-256a^6}{4a^3b + 27b^2}$,

— Lorsque $\mathrm{char}(\mathbb{k}) \neq 2,3$, et $E : y^2 = x^3 + ax + b$ alors $\Delta = -16(4a^3 + 27b^2)$ et $j(E) = \frac{-342(a^3)}{\Delta}$.

D'autre part une courbe elliptique peut être munie d'une structure de groupe abélien dont l'élément neutre est $O$. Comme toute courbe elliptique est définie par une cubique, par le théorème de Bézout, une droite de $\mathbb{P}^2(\bar{\mathbb{k}})$ intersecte la courbe en exactement 3 points ( en comptant avec multiplicités). La loi de groupe est une conséquence de la colinéarité entre ces trois points: leur somme est nulle. Alors la somme de 2 points est le symétrique du troisième par l'involution hyperelliptique. Et tout ceci s'interprete algébriquement par les coordonnées de ces points.

Par exemple lorsque l'on considère que la caractéristique du corps $\mathbb{k}$ est différente de 2 ou 3 et $y^2 = x^3 + ax + b$ une équation de la courbe elliptique $E$. Soit $P_1 = (x_1, y_1)$ et $P_2 = (x_2, y_2)$ deux points de $E - \{O\}$, alors: Si $x_1 = x_2$ et $y_1 = -y_2$ alors $P_1 + P_2 = O$, sinon

$$ \text{on pose : } \lambda = \begin{cases} \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} & \text{si } P_1 \neq P_2 \\ \frac{3x_1^2 + a}{2y_1} & \text{sinon} \end{cases} \quad \text{alors} \quad \begin{cases} x_3 = \lambda^2 - x_1 - x_2, \\ y_3 = -\lambda x_3 - y_1 + \lambda x_1. \end{cases} $$

et $P_1 + P_2 = P_3$.

## Points de $n$-Torsion et Polynômes de $n$-Division

Soit $E/\mathbb{k}$ une courbe elliptique, pour un point $P$ sur $E$ on note par $[m]P = P + \dots + P$ ($m$-facteurs) pour tout $m \in \mathbb{Z}$. Alors le sous-groupe $E[m] = \{P \in E(\bar{\mathbb{k}}) / mP = O\}$ de $E$ est appelé le sous-groupe de $m$-torsion.

— Lorsque $\mathrm{char}(\mathbb{k}) = p$ et $E[p^r] = O$ pour un $r \in \mathbb{N}_{>0}$, la courbe elliptique $E/\mathbb{k}$ est dite *supersingulière*, et dans ce cas $j(E) \in \mathbb{F}_{p^2}$.

— Et une courbe elliptique non-supersingulière est appelée ordinaire.

Lorsque $\mathrm{char}(\mathbb{k}) \neq 2,3$ et ne divise pas $m \ge 3$ alors on a : $E : y^2 = x^3 + Ax + B$ ainsi,

$$ [m](x,y) = \left( \frac{\phi_m(x)}{\psi_m^2(x)}, \frac{\omega_m(x,y)}{\psi_m^3(x,y)} \right) $$

$$ \text{où } \phi_m = x\psi_m^2 - \psi_{m+1}\psi_{m-1} \quad \text{et} \quad \omega_m = (\psi_{m+2}\psi_{m-1}^2 - \psi_{m-2}\psi_{m+1}^2)/(4y). $$

$\psi_m$ est appelé polynôme de $n$-torsion (ou polynôme de $n$-division) et est associé à l'équation de la courbe. Un point $P = (x,y)$ sur $E$ est un point de $m$-torsion si et seulement si ses coordonnées constituent une solution de $\psi_m$.

**Exemple 2.1.2.** Soit $E : y^2 = x^3 + Ax + B$ une courbe elliptique les polynômes de $n$-division associés à $E$ sont des polynômes dans $\mathbb{Z}[A, B, x, y]$ définies par :

$$ \psi_1 = 1, \quad \psi_2 = 2y, \quad \psi_3 = 3x^4 + 6Ax^2 + 12Bx - A^2, \\ \psi_4 = 4y(x^6 + 5Ax^4 + 20Bx^3 - 5A^2x^2 - 4ABx - 8B^2 - A^3) $$

et par suite on montre que :

$$ \psi_{2m+1} = \psi_{m+2}\psi_m^3 - \psi_{m-1}\psi_{m+1}^3 \quad \text{pour } m \ge 2 \\ \text{et } \psi_{2m} = (2y)^{-1}\psi_m(\psi_{m+2}\psi_{m-1}^2 - \psi_{m-2}\psi_{m+1}^2) \quad \text{pour } m \ge 3. $$
Morphismes entre Courbes Elliptiques

Les courbes elliptiques étant des variétés projectives lisses de dimension 1 et de genre 1,
les applications rationnelles entres elles sont des *morphismes* de courbes algébriques.
Soit $\phi : E_1 \longrightarrow E_2$ un morphisme de courbe elliptique alors il est soit constant ou soit
surjectif. Et on définit son *tiré en arrière* ("pullback") par:

$$
\phi^* : \bar{\mathbb{k}}(E_2) \longrightarrow \bar{\mathbb{k}}(E_1), \quad \phi^* f = f \circ \phi
$$

et son degré par deg $\phi = 0$ si $\phi$ est constant sinon

$$
\deg \phi = [\bar{\mathbb{k}}(E_1) : \phi^* \bar{\mathbb{k}}(E_2)].
$$

Ainsi on dit que $\phi$ est séparable, inséparable, ou purement inséparable si l'extension de corps $\overline{\mathbb{k}}(E_1)/\phi^*\overline{\mathbb{k}}(E_2)$ a la propriété correspondante et on note par $\deg_s \phi$ et $\deg_i \phi$ respectivement le degré separabilité et d'inseparabilité de l'extension. Et lorsque $\mathbb{k}$ est un corps fini de $q = p^n$ éléments, $\phi$ se factorise en :

$$
\phi : E_1 \xrightarrow{\pi_q} E_1^{\pi_q} \xrightarrow{\phi_s} E_2
$$

où $\pi_q$ est le $q$-ième puissance Frobenius et le morphisme $\phi_s$ est séparable.

D'autre part une courbe elliptique E étant une courbe algébrique projective de genre 1, on note par $\mathrm{Pic}(E) = \mathrm{Div}(E)/\mathrm{Prin}(E)$ le groupe des classes de diviseurs aussi appelé le Groupe de Picard. Alors il existe un isomorphisme entre E et $\mathrm{Pic}_0(E) = \mathrm{Div}_0(E)/\mathrm{Prin}(E)$ sa variété Jacobienne, définie par $P \in E \mapsto \mathrm{classe}[(P) - (O)] \in \mathrm{Pic}_0(E)$. Et on a la suite exacte suivante :

$$
1 \longrightarrow \bar{\mathbb{k}}^* \longrightarrow \bar{\mathbb{k}}(E)^* \stackrel{\mathrm{div}}{\longrightarrow} \mathrm{Div}_0(E) \longrightarrow \mathrm{Pic}_0(E) \longrightarrow 0
$$

Isogénies

Une isogénie $\phi$ est un morphisme non trivial entre courbes elliptiques qui est aussi un
homorphisme de groupe. Soit $\phi : E_1 \to E_2$ une isogénie de courbes elliptiques. Lorsque
$\phi(E_1) \neq \{0\}$ on dit que $E_1$ et $E_2$ sont isogènes et on note par $\operatorname{Hom}(E_1, E_2)$ le $\mathbb{Z}$-module formé
par le morphisme $0$ et les isogénies de $E_1$ vers $E_2$ sur $\bar{\mathbb{k}}$. L'ensemble $\operatorname{End}(E_1) = \operatorname{Hom}(E_1, E_1)$
muni $+$ et de la loi composition des applications est un anneau.

**Proposition 2.1.3.** *Soit $\phi : E_1 \to E_2$ une isogénie de courbes elliptiques:*

- si $\phi$ est séparable alors on a \#ker($\phi$) = deg($\phi$), sinon on a \#ker($\phi$) = deg$_s$(φ).

- si $\phi$ est une $\ell$-isogénie (isogénie séparable de degré $\ell$), elle admet une unique isogénie duale
$\hat{\phi} : E_2 \to E_1$ telle que $\phi \circ \hat{\phi} = [\ell]$ sur $E_2$ et $\hat{\phi} \circ \phi = [\ell]$ sur $E_1$. Sous ces conditions
$\phi(E_1[\ell]) = \operatorname{Ker} \hat{\phi}$.

- Pour tout premier $\ell \neq \mathrm{char}(k)$, on a $E_1[\ell] \simeq \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}$ et les $\ell + 1$ sous-groupes cycliques de $E[\ell]$ sont les noyaux de $\ell$-isogenies.

Démonstration. Aller à [65, 105].

<figure><img src="image_6.png" /></figure>
Soit $E$ une courbe elliptique dont l'équation de Weierstrass est $E : y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6$. On appelle invariant différentiel de $E$, noté $\omega$ l'élément de $\Omega_E$ ( le $\overline{\mathbb{k}}(E)$-espace vectoriel des formes différentielles ) défini par :

$$ \omega = \frac{dx}{2y + a_1x + a_3} = \frac{dy}{3x^2 + 2a_2x + a_4 - a_1y} $$

Ainsi pour tout point $Q$ de $E$ le tiré en arrière de $\omega$ le long de la translation par $Q$ est $\omega$ lui-même. Et de manière générale lorsque $\phi : E_1 \to E_2$ est une isogénie entre courbes elliptiques et $\phi_x$ et $\phi_y$ les applications coordonnées de $\phi$, on a:

$$ \phi^*\omega_2 = \alpha(\phi_x, \phi_y)d\phi_x \quad \text{avec} \quad \omega_2 = \alpha dx \in \Omega_{E_2}. $$

Alors on montre que $\phi^*(\omega_2) = c \cdot \omega_1$ pour une constante $c \in \overline{\mathbb{k}}$. Et pour $c = 1$, l'isogénie $\phi$ est dite normalisée.

### Isomorphismes

Soient deux courbes elliptiques

$$ \begin{gathered} E : y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6 \\ \text{et } E' : y^2 + a'_1xy + a'_3y = x^3 + a'_2x^2 + a'_4x + a'_6 \end{gathered} $$

sur $\overline{\mathbb{k}}$, on dira que $E$ et $E'$ sont isomorphes lorsque l'on peut obtenir l'équation de Weierstrass de l'une en appliquant à celle de l'autre une application de la forme :

$$ (x, y) \mapsto (u^2x + r, u^3y + s.u^2x + t) \quad \text{avec } u, r, s, t \in \overline{\mathbb{k}} \text{ et } u \neq 0. $$

Ce qui implique :

$$ \begin{align*} ua_1 &= a'_1 + 2s, \quad u^2a_2 = a'_2 - sa'_1 + 3r - s^2, \quad u^3a_3 = a'_3 + ra'_1 + 2t, \\ u^4a_4 &= a'_4 - sa'_3 + 2ra'_2 - (t + rs)a'_1 + 3r^2 - 2st \\ u^6a_6 &= a'_6 + ra'_4 + r^2a'_2 + r^3 - ta'_3 - t^2 - rta'_1 \end{align*} $$

Par conséquent on a :

$$ u^{12}\Delta = \Delta', \quad j(E) = j(E') \quad \text{et} \quad u^{-1}\omega = \omega'. $$

Ainsi deux courbes elliptiques isomorphes sur $\overline{\mathbb{k}}$ ont le même $j$-invariant. On montre dans [105] que la réciproque est vraie sur $\overline{\mathbb{k}}$. Et pour tout $j_0 \in \overline{\mathbb{k}}$ il existe une courbe elliptique définie sur $\overline{\mathbb{k}}(j_0)$ dont $j_0$ est le $j$-invariant.

## 2.2 ESPACE DE MODULE

Soit $\Lambda$ un réseau complexe, c'est à dire un sous groupe complexe discret admettant une $\mathbb{R}$-base.

$$ \Lambda = \omega_1\mathbb{Z} + \omega_2\mathbb{Z} \quad \text{avec} \quad \frac{\omega_1}{\omega_2} \notin \mathbb{R} $$

On associe au réseau $\Lambda$, la fonction $\wp$ de Weierstrass définie par :

$$ \wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{w \in \Lambda - \{0\}} \left( \frac{1}{(z - w)^2} - \frac{1}{w^2} \right). $$
— $\wp$ est une fonction elliptique pour $\Lambda$ c'est à dire elle est méromorphe sur $\mathbb{C} \cup \{\infty\}$ et
$\wp(z+w) = \wp(z)$ pour tout $z \in \mathbb{C}$ et $w \in \Lambda$.

— de plus elle vérifie l'équation différentielle :

$$
\wp'(z)^2 = 4\wp(z)^3 - g_2\wp(z) - g_3, \quad \text{pour tout } z \notin \Lambda
$$

où $g_2(\Lambda) = 60E_4(\Lambda)$, $g_3(\Lambda) = 140E_6(\Lambda)$ et $E_{2k}(\Lambda) = \sum_{w \in \Lambda - \{0\}} w^{-2k}$ la série d'Eisenstein de poids $2k$.

D'autre part l'équation $y^2 = 4x^3 - g_2x - g_3$ définit une courbe elliptique sur $\mathbb{C}$. Et nous avons le théorème suivant.

**Théorème 2.2.1.** *L'application :*

$$
\begin{align*}
\mathbb{C}/\Lambda &\to E \subset \mathbb{P}^2(\mathbb{C}) \\
0 &\mapsto [0:1:0] \\
z &\mapsto [\wp_\Lambda(z) : \wp'_\Lambda(z) : 1]
\end{align*}
$$

est un isomorphisme de *Surface* de *Riemann* et aussi un morphisme de *groupes*.

Démonstration. Aller à [106, Corollaire 4.3].

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Réciproquement lorsque l'on considère une courbe elliptique $E$ sur $\mathbb{C}$ avec $x$ et $y$ comme coordonnées de Weierstrass. Alors

$$
\omega_1 = \int_{\alpha} dx/y \quad \text{et} \quad \omega_2 = \int_{\beta} dx/y \quad \text{tels que } \alpha \text{ et } \beta \text{ sont des lacets sur } E/\mathbb{C}
$$

sont $\mathbb{R}$-linéairement indépendants et définissent un réseau $\Lambda$. Et l'application :

$$
\begin{gather*}
E/\mathbb{C} \to \mathbb{C}/\Lambda \\
P \mapsto \int_{\mathcal{O}}^{P} dx/y \quad \text{mod } \Lambda
\end{gather*}
$$

est l'inverse de l'isomorphisme de *Surface de Riemann* du Théorème 2.2.1 (aller à [106, Proposition 5.2]).

Ainsi deux courbes elliptiques $C/\Lambda_1$ et $C/\Lambda_2$ sont isomorphes si seulement si les réseaux $\Lambda_1$ et $\Lambda_2$ sont homothétiques i.e $\Lambda_1 = \alpha\Lambda_2$ avec $\alpha \in \mathbb{C}^*$. Comme tout réseau est homothétique à un réseau de base $[1, \tau]$ avec $\mathcal{I}m(\tau) > 0$. On en déduit que sur le *demi-plan de Pointcaré* $\mathcal{H}_1 = \{z \in \mathbb{C}; \mathcal{I}m(z) > 0\}$ chaque point $\tau$ représente (à isomorphisme près) une courbe elliptique.

D'autre part le groupe modulaire $\Gamma_1 = \{\gamma \in M_2(\mathbb{Z}); \det(\gamma) = 1\}$ agit sur $\mathcal{H}_1$ par

$$
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} . \tau = \frac{a\tau + b}{c\tau + d} \quad \text{pour } \tau \in \mathcal{H}_1.
$$

Polynômes Modulaires

**Définition 2.2.2.** Soit $\Gamma$ un sous groupe de $\Gamma_1$ d'indice fini. Une forme $\Gamma$-modulaire de poids $k$ est une fonction $f: \mathcal{H} \to \mathbb{C}$ holomorphe sur $\mathcal{H}_1^* = \mathcal{H} \cup \mathbb{Q} \cup \{\infty\}$ et modulaire sur $\Gamma$ de poids $k$ c'est à dire :

$$
f(\gamma \cdot \tau) = (c\tau + d)^k f(\tau)
$$

$$
\text{pour } \gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma \text{ et } \tau \in \mathcal{H}_1.
$$
Une fonction $\Gamma$-modulaire peut être vu comme quotient de deux formes modulaires de même poids.

**Exemple 2.2.3.** La fonction $\Gamma_1$-modulaire appelée fonction $j$-invariant définie par $j(\tau) = 1728 \frac{(60E_4(\tau))^3}{\Delta(\tau)}$. Elle est holomorphe sur $\mathcal{H}_1$ avec des coéfficients de Fourier entiers.

$$j(\tau) = q^{-1} + 744 + 196884q + 21493760q^2 + 864299970q^3 + 20245856256q^4 + 333202640600q^5 + 4252023300096q^6 + \dots$$

**Théorème 2.2.4.** Le corps des fonctions $\Gamma_1$-modulaires notée $\mathbb{C}_{\Gamma_1}$ est égal $\mathbb{C}(j)$ tel que $j(\mathcal{H}_1) = \mathbb{C}$.

Démonstration. Aller à [101, Théorème 2.5.1]. $\square$

**Corollaire 2.2.5.** $j(\tau) = j(\tau') \iff \tau \text{ et } \tau' \text{ sont homothétiques.}$

Soit $p$ un nombre premier, on définit la matrice $R = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & p \end{pmatrix}$ et la fonction $j_p(\tau) := j(R \cdot \tau)$, alors $j_p$ est une fonction modulaire sur $\Gamma^0(p) = \{(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}) \in \Gamma_1, b \equiv 0 \mod p\}$.
Nous avons $\mathbb{C}_{\Gamma^0(p)} = \mathbb{C}(j, j_p)$ et le polynôme minimal de $j_p$ noté $\Phi_r(X, j)$ est élément de $\mathbb{Z}[X, j]$.

Les représentants des classes à droite de $\Gamma_1/\Gamma^0(p)$ sont: $S = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et les $T^i$ où $T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $i = 1, \dots, p-1$.

Les actions de ces derniers sur $\tau \in \mathcal{H}_1$ donnent $p\tau$ et $\frac{\tau+i}{p}$ modulo $\Gamma_1$ qui sont homothétiques au réseaux définissant les tores $p$-isogènes à $\mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \tau\mathbb{Z})$.

En effet les fonctions holomorphes entre tores, qui envoient 0 sur 0 définies par:

$$ \begin{array}{ccc} \mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \tau\mathbb{Z}) & \to & \mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \frac{\tau+i}{p}\mathbb{Z}) \\ \mathbb{Z} & \mapsto & \mathbb{Z} & \text{et} \\ & & & \end{array} $$

$$ \begin{array}{ccc} \mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \tau\mathbb{Z}) & \to & \mathbb{C}/(\mathbb{Z} + p\tau\mathbb{Z}) \\ \mathbb{Z} & \mapsto & \mathbb{Z} \end{array} $$

sont les $p$-isogenies partant de $\mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \tau\mathbb{Z})$.

**Définition 2.2.6.** Le polynôme modulaire classique de niveau $p$ en $j(\tau)$, noté $\Phi_p(X, j(\tau))$ est le polynôme dont les racines sont les $j$-invariants de toutes les courbes elliptiques $p$-isogènes à la courbe de $j(\tau)$.

$$ \Phi_p(X, j(\tau)) := \prod_{i=1}^{p+1} (X - j_p(R_i \cdot \tau)) \quad \text{avec } R_i \text{ parcourant } \{S, T^i, i = 1, \dots, p-1\} $$

**Exemple 2.2.7.**

$$ \begin{aligned} \Phi_3(X, Y) = & X^4 - X^3 Y^3 + 2232X^3Y^2 - 1069956X^3Y + 36864000X^3 \\ & + 2232X^2Y^3 + 2587918086X^2Y^2 + 8900222976000X^2Y \\ & + 452984832000000X^2 - 1069956XY^3 + 8900222976000XY^2 \\ & - 770845966336000000XY + 1855425871872000000000X + Y^4 \\ & + 36864000Y^3 + 452984832000000Y^2 \\ & + 1855425871872000000000Y. \end{aligned} $$
## 2.3 ANNEAU DES ENDOMORPHISMES D'UNE COURBE ELLIPTIQUE

Soit $E$ une courbe elliptique définie sur un corps $k$. L'anneau des endomorphismes de $E$ avec la multiplication par $0$ muni de l'addition et de la composition des applications est un anneau noté $\text{End}(E)$.

Les endomorphismes de multiplication par des entiers s'identifient à $\mathbb{Z}$ alors $\mathbb{Z} \subset \text{End}(E)$.
De plus lorsque le corps $k$ est $\mathbb{F}_q$ nous avons : $\mathbb{Z}[\pi_q] \subset \text{End}(E)$ où $\pi_q$ est l'endomorphisme de Frobenius.

**Théorème 2.3.1.** Soit $E$ une courbe elliptique définie sur le corps $k$, alors l'anneau $\text{End}(E)$ est isomorphe :

- soit à $\mathbb{Z}$;

- soit à un ordre dans un corps quadratique imaginaire $\mathbb{Q}(\sqrt{-D})$ avec $D > 0$, si $E$ est ordinaire;

- soit à un ordre maximal dans un corps de quaternion ramifié $p = \text{char}(k)$ et à $\infty$, si $E$ est supersingulière.

**Démonstration.** Aller à [65]. □

Dans le cas où la courbe elliptique $E$ est définie sur $\mathbb{F}_q$, l'automorphisme de Frobenius $\pi_q$ vérifie l'équation quadratique:

$$X^2 - tX + q = 0$$

où $t$ est appelé la trace de $\pi_q$ et vérifie la rélation $|t| \le 2\sqrt{q}$ appelée les bornes de Hasse.

**Théorème 2.3.2.** Soient $E$ une courbe elliptique ordinaire sur $\mathbb{F}_q$ et $D_{\pi_q} = t^2 - 4q < 0$ alors :

- $\#E(\mathbb{k}) = q + 1 - t$,

- $\mathbb{Z}[\pi_q] \subset \text{End}(E) \subset \mathcal{O}_{\mathbb{k}}$ où $\mathbb{k} = \mathbb{Q}[\sqrt{D_{\pi_q}}]$.

## 2.4 CALCUL D'ISOGÉNIES

Selon les entrées les algorithmes de calcul d'isogénies peuvent se classifier en deux grands groupes. Les premiers initiés par vélu [115] donnent à partir d'une courbe elliptique $E$ et un sous-groupe $H$ de $E$ une forme explicite de l'isogenie $E \to E/H$. Et à partir de deux courbes elliptiques $E$ et $E'$ et un entier $\ell > 0$, Stark [110] introduisit une approche de calcul de l'isogénie $E \to E'$ de degré $\ell$.

### 2.4.1 Approche de Vélu

Lorsque $E/\mathbb{k}$ est une courbe elliptique et $H$ est un sous-groupe fini de $E(\bar{\mathbb{k}})$, les formules de Vélu [115] donnent une forme explicite de l'isogénie normalisée $\phi : E \to E/H$ en fonction des points de $H$ et aussi une équation de la courbe elliptique $E/H$.
Ainsi pour tout $P \in E$:

$$x_{\phi(P)} = x_P + \sum_{Q \in H^*} (x_{P+Q} - x_Q) \quad \text{et} \quad y_{\phi(P)} = y_P + \sum_{Q \in H^*} (y_{P+Q} - y_Q).$$

En considerant les améliorations apportées par D. Kohel [65] on arrive aux mêmes résultats lorsque ker $\phi$ est représenté par un polynôme.
**Exemple 2.4.1.** Lorsque $char(\mathbb{k}) > 3$ et une courbe elliptique $E$ sur $\mathbb{k}$ est donnée: $E: y^2 = f(x) = x^3 + a_4x + a_6$.

Soit $h$ le polynôme définissant le noyau $H$ de l'isogénie séparable et normalisée $\phi$ de degré $\ell$ de domaine $E$.

Posons:

$$Q(x) = \gcd(f(x), h(x))$$

$$ \begin{aligned} D(x) &= h(x)^2/Q(x) \\ &= x^{\ell-1} - d_1x^{\ell-2} + d_2x^{\ell-3} - d_3x^{\ell-4} + \dots \end{aligned} $$

Alors pour tout point $P(x, y)$ de $E$ nous avons:

$$\phi(x, y) = (\alpha(x), y\alpha'(x))$$

$$\text{où } \alpha(x) = \ell x - d_1x - (3x^2 + a_4) \cdot \frac{D'(x)}{D(x)} - 2f(x) \cdot \left(\frac{D'(x)}{D(x)}\right)'$$

Et $E/H$ est donné par l'équation suivante:

$$y^2 = x^3 + (a_4 - 5v)x + (a_6 - 7w)$$

$$\text{où } v = a_4(\ell - 1) + 3(d_1^2 - 2d_2) \text{ et}$$

$$w = 3a_4d_1 + 2a_6(\ell - 1) + 5(d_1^3 - 3d_1d_2 + 3d_3).$$

### 2.4.2 Approche de Stark-Elkies

Lorsque $E$ et $E'$ sont des courbes elliptiques $\ell$-isogènes sur $\mathbb{k}$ (par $\phi: E \to E'$) avec $char(\mathbb{k}) \neq \ell$. On considère que $E$ et $E'$ sont données respectivement par les équations $y^2 = x^3 + ax + b$ et $y^2 = x^3 + a'x + b'$ et aussi $\phi(x, y) = (\phi_x, cy\phi_y)$ où $c$ est la constante de normalisation.

Alors en utilisant l'action de $\phi$ sur les espaces tangents et le fait que $\phi_x$ et $cy\phi_y$ vérifient l'équation de $E'$ on a:

$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\phi_x' dx}{y \phi_y} = c \frac{dx}{y} \\ c^2 (x^3 + ax + b) \phi_y^2 = \phi_x^3 + a' \phi_x + b' \end{array} \right. $$

où $c$ est la constante de normalisation et les fractions rationnelles $\phi_x$ et $\phi_y$ sont telles que
$$ \phi_x = \frac{N(x)}{D(x)} \text{ et } \phi_y = \left( \frac{N(x)}{D(x)} \right)' $$

L'idée principale de la méthode de Elkies [32] est de calculer une expansion de la fraction rationnelle $N/D$ à l'infini pour recouvrir la somme des racines de $D$. En partant de la même approche que l'algorithme d'Elkies [32] on pose le changement de variable suivant:

$$S(x) = \sqrt{\frac{D(1/x^2)}{N(1/x^2)}} \iff \frac{N(x)}{D(x)} = \frac{1}{S(1/\sqrt{x})^2}$$

Alors la deuxième équation différentielle devient

$$c^2(bx^6 + ax^4 + 1)S'(x)^2 = 1 + a'S(x)^4 + b'S(x)^6$$
Pour plus de simplicité, on peut supposer que $\ell$ est impair. Le noyau de l'isogénie $\phi$ noté $H$, comme $\phi$ est separable soit:

$$h(x) = x^d - p_1 x^{d-1} + \dots$$

l'unique polynôme dont les racines sont les abscisses des $d = \frac{\ell-1}{2}$ paires de points de $H - \{O\}$. Ce qui suit résume les améliorations apportées dans [5]. On pose:

$$S = xT(x^2) \quad \text{et} \quad U(x) = \frac{1}{T(x)^2} \in 1 + x^2 \mathbb{K}[[x]]$$
$$\text{tel que } \frac{N(x)}{D(x)} = xU\left(\frac{1}{x}\right).$$

Alors l'algorithme suivant calcule $\frac{N(x)}{D(x)}$ en $O(M(\ell))$ opérations.

1. Calculer $C(x) = c^2(bx^6 + ax^4 + 1)^{-1} \mod x^{8d+4} \in \mathbb{K}[[x]]$;

2. Calculer $S(x) \mod x^{8d+5}$ et déduire $T(x) \mod x^{4d+2}$;

3. Calculer $U(x) = 1/T^2(x) \mod x^{4d+2}$,

4. Reconstruire la fraction rationnelle $U(x)$;

5. Retourner $N(x)/D(x) = xU(1/x)$.

## 2.5 GÉNÉRALITÉS SUR LES MÉTHODES p-ADIQUES

Dans cette section nous faisons une reconstitution technique du Relèvement Canonique de Courbes Elliptiques Ordinaires definies sur $\mathbb{F}_q$, tout en faisant ressortir les propriétés à partir desquelles nous proposons une généralisation en dimension 2. Chaque algorithme utilise tous le Théorème suivant de Lubin, Serre et Tate permettant de relever canoniquement une courbe elliptique à partir de son $j$-invariant lorsque ce dernier satisfait une condition dite de Kronecker.

**Théorème 2.5.1.** (Lubin-Serre-Tate) Soit $E$ une courbe elliptique ordinaire sur $\mathbb{F}_q$, alors il existe une unique courbe elliptique à isomorphisme près $\tilde{E}$ sur $\mathbb{Z}_q$ telle que :

- $E$ est la réduite de $\tilde{E}$ modulo $p$,

- $\text{End}(\tilde{E}) \cong \text{End}(E)$.

$\tilde{E}$ est appelée le relèvement canonique de $E$ et elle est uniquement caractérisée par le relèvement de l'isogénie Frobenius $\pi$ en $\Pi$, alors par l'équation:

$$\Phi_p(j(\tilde{E}), j(\tilde{E})^{\Sigma}) = 0$$

<figure><img src="image_8.png" /></figure>
De plus le polynôme modulaire $\Phi_p$ se réduit à :

$$ \Phi_p(X, Y) \equiv (X^p - Y)(X - Y^p) \mod p $$

Soit $j \notin \mathbb{F}_{p^2}$ nous avons les relations suivantes appelées conditions de Kronecker :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial \Phi_p}{\partial X}(j, j^\sigma) \equiv j^p - j^p \equiv 0 \mod p \\ \frac{\partial \Phi_p}{\partial Y}(j, j^\sigma) \equiv j^{p^2} - j \not\equiv 0 \mod p \end{array} \right. $$

Si l'on pose $X = j$: alors $Y = j^p$ est une solution de multiplicité 1 de l'équation $\Phi_p(j, Y) \equiv 0 \mod p$ c'est à dire que le Frobenius $\sigma$ est de multiplicité 1.

D'autre part si l'on pose $Y = j^p$, $\Phi_p(X, j^p) \equiv (X - j)^p(X - j^{p^2}) \mod p$. Alors $X = j$ est de multiplicité $p$ dans l'équation $\Phi_p(j, Y) \equiv 0 \mod p$, c'est à dire que le Verschiebung $\hat{\sigma}$ est de multiplicité $p$.

En effet nous avons sur $\mathbb{Z}_q$ deux points de $\tilde{E}[\mathbb{Z}_q]$ se réduisant sur $\bar{P}$ et 0 respectivement. Alors les $p$ noyaux $\langle P + kQ \rangle$ avec $0 \le k < p$ réduit sur $\bar{P}$ et le dernier $\langle Q \rangle$ se réduit sur $\langle 0 \rangle$. Ainsi en utilisant les conditions de Kronecker on peut construire une variante de l'algorithme de Hensel permettant de calculer le $j$-invariant des deux courbes $p$-isogènes $\tilde{E}$ et $\tilde{E}^\Sigma$.

Ainsi dans [99] T. Satoh a calculé les relevés des $j$-invariants d'un cycle de $n$ courbes conjuguées $E^{\sigma'}$ avec $i = 1, \dots, n$ de $E$ en utilisant les conditions de Kronecker. Comme le Frobenius est inséparable, le cycle est construit dans le sens du Verschiebung qui possède un noyau étale sur $\mathbb{Z}_q$.

On pose $E_{n-i} = E^{\sigma_i}$ et $\pi_i$ est l'isogénie entre $E_{i+1}$ et $E_i$ définie par $(x, y) \mapsto (x^p, y^p)$. Alors on obtient le Verschiebung ( le dual de l'endomorphisme Frobenius ) par :

$$ \hat{\pi}_q = \hat{\pi}_{n-1} \hat{\pi}_{n-2} \cdots \hat{\pi}_0 $$

Comme les courbes $E_i$ sont ordinaires on note par $\tilde{E}_i$ les relevés canoniques respectives des $E_i$ et par $\hat{\Sigma}_i$ les relevés canoniques respectives des $\hat{\sigma}_i$.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 2.1 – Le cycle de courbes elliptiques $p$-isogènes</figcaption></figure>

Soit $\Theta : \mathbb{Z}_q \to \mathbb{Z}_q$ l'application définie par :

$$ \Theta(x_0, x_1, \dots, x_{n-1}) = (\Phi_p(x_0, x_1), \Phi_p(x_1, x_2), \dots, \Phi_p(x_{n-1}, x_0)) $$

dont le determinant de la matrice Jacobienne est noté : $(D\Theta)(x_0, x_1, \dots, x_{n-1})$ Nous avons :

$$ \Theta(j(E_0), j(E_1), \dots, j(E_{n-1})) = (0, 0, \dots, 0) \quad \text{et} $$

$$ (D\Theta)(j(E_0), j(E_1), \dots, j(E_{n-1})) = \frac{\partial \Phi_p}{\partial X}(E_0, E_1) \cdots \frac{\partial \Phi_p}{\partial X}(E_{n-1}, E_0) $$
Où par les conditions de Kronecker tous les $\frac{\partial \Phi_p}{\partial X}(E_{i+1}, E_i) = \frac{\partial \Phi_p}{\partial Y}(j(E_i), j(E_i)^p)$ sont non nuls modulo $p$.

Alors un algorithme à la Hensel permet de determiner le $n$-uplets de $j$-invariants $(j(\tilde{E}_0), j(\tilde{E}_1), \cdots, j(\tilde{E}_{n-1})$ à la précision $N$ avec une complexité en espace de $O(N^3)$.

En utilisant le même cycle des $n$ courbes conjuguées Vercauteren introduisit dans [117] une méthode qui coûtait moins en espace de calculs soit $O(N^2)$. Cette méthode était basée sur la propriété suivante :

Pour tout $x \in \mathbb{Z}_q$ avec $x \equiv x_0 \mod p$ il existe un unique $y \in \mathbb{Z}_q$ tel que $y \equiv y_0 \mod p$ et $\Phi_p(x, y) = 0$ (Kronecker). Alors si on part d'un $x$ à précision $N$, on obtient un unique $y$ à précision $N+1$ tel que $y \equiv y_0 \mod p^{N+1}$.

Ainsi partant d'un $j$-invariant $j(E_{N-1})$ mod $p$, avec la propriété précédente permet d'augmenter la précision et atteindre $j(E_0)$ à la précision $N$ après $N$ itérations.

L'objectif final étant d'évaluer le Verschiebung sur l'espace tangent, avec les algorithmes de " calcul de norme " rapides, relever canoniquement un seul $j$-invariant devenait plus avantageux. En effet si l'on note par $\gamma$ l'information donnée par l'action de $\pi_q$ sur la forme différentielle $\frac{dx}{y}$. Alors $\gamma$ se décompose sur $\mathbb{Q}_q$ en $\gamma_i$ pour chaque $\pi_i$ et par conjugaison on obtiendrait $\gamma = \gamma_0^{\Sigma_q}$ c'est à dire $\gamma = N_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}(\gamma_0)$.

Par la suite nous détaillons l'algorithme de Harley dont la complexité asymptotique est parmi les meilleures puisque le temps de calcul est quasi-linéaire en la taille.

### 2.5.1 L'Algorithme de Harley

On suppose toujours que nous sommes dans un cas où le calcul du Frobenius $\Sigma$ est éfficient.

Soit $\tilde{j} = j + p^k e$ une approximation de $\tilde{j}$ à la précision $k$ pour une erreur $e \in \mathbb{Z}_q$ que nous voulons déterminer. Le dévéloppement de Taylor de $\Phi_p(\tilde{j}, \tilde{j}^\sigma) = 0$ en $j + p^k e$ nous donne :

$$0 = \Phi_p(j + p^k e, j^\sigma + p^k e^\sigma)$$

$$0 = \Phi_p(j, j^{\sigma}) + p^k e \frac{\partial \Phi_p}{\partial X}(j, j^{\sigma}) + p^k e^{\sigma} \frac{\partial \Phi_p}{\partial Y}(j, j^{\sigma}) + p^{2k}(\dots),$$

où le facteur derrière $p^{2k}$ est dans $\mathbb{Z}_q$. Alors $\Phi_p(j, j^{\sigma})$ a une valuation au moins égale $k$ et on peut l'écrire comme $p^k u$ avec $u \in \mathbb{Z}_q$. En simplifiant l'expression par $p^k$ on obtient l'équation en $e$ suivante :

$$u + e \frac{\partial \Phi_p}{\partial X}(j, j^{\sigma}) + e^{\sigma} \frac{\partial \Phi_p}{\partial Y}(j, j^{\sigma}) \equiv 0 \mod p^k.$$

En considérant $j \notin \mathbb{F}_{p^2}$, les relations Kronecker impliquent que :

$$\frac{\partial \Phi_p}{\partial X}(j, j^{\sigma}) \equiv 0 \mod p \quad \text{et} \quad \frac{\partial \Phi_p}{\partial Y}(j, j^{\sigma}) \not\equiv 0 \mod p$$

Alors l'erreur $e$ est solution sur $\mathbb{Z}_q$ d'une équation de la forme :

$$e^{\sigma} + Ae + B = 0.$$

où $A \equiv 0 \mod p$. Cette équation a été appelée **équation d'Artin-Schreier** à cause de sa ressemblance avec les équations de la même forme mais irréductibles. Cependant dans la présente situation la condition congruence $A \equiv 0 \mod p$ assure l'unicité de la solution. La
racine p-ième de B est l'unique solution de l'équation modulo p. Si l'on pose à son tour $e = x + p^k\alpha$ avec $\alpha \in \mathbb{Z}_q$, alors l'erreur $\alpha$ est solution d'une équation du type Artin-Schreier ainsi de manière récurssive on aboutit à un algorithme de type Newton 1 pour résoudre l'équation $e^\sigma + Ae + B = 0$ dans $\mathbb{Z}_q$.

**Entrée:** $a, b \in \mathbb{Z}_q$ avec $a \equiv 0 \mod p$ et une précision $N$.

**Sortie:** $e$ tel que $e^p + ae + b \equiv 0 \mod p^N$.

1. Si $N = 1$ Retourner $-\sqrt[p]{b}$ mod $p$.

2. $X \leftarrow ArtinSchreier(a, b, N/2)$.

3. Relever arbitrairement $X$ à la précision $p^N$.

4. $b' \leftarrow (X^\sigma + aX + b) / p^{N/2}$.

5. $e \leftarrow ArtinSchreier(a, b', N/2)$.

6. Retourner $X + p^{N/2}e$.

**Algorithm 1** – Résolution d'une "équation d'Artin-Schreier" avec $A = 0 \mod p$

### 2.5.2 Réconstitution de l'Équation de Weierstrass

L'équation de Weierstrass sous sa forme simple possède au plus deux paramètres ayant une relation arithmétique réductible modulo $p$ avec le $j$-invariant. Alors avec un algorithme de type Hensel et un relevé $\tilde{j}$ de $j$ à une précision $N$, on peut calculer le relevé d'une équation de Weierstrass à la précision $N$.

Par exemple en caractéristique 3, soit $E : y^2 = x^3 + a_2x^2 + a_6$ l'équation sur $\mathbb{F}_{3^n}$. Comme $j = \frac{-256a_2^6}{4a_2^3a_6 + 27a_6^2}$, on considère $\tilde{a}_2 = a_2$ et $f(X) = (\tilde{j}(a_2^3X + 27X^2/4) + 64a_2^6)$ alors $f(a_6) \equiv 0 \mod 3$ et $f'(a_6) \not\equiv 0 \mod 3$. Un algorithme de Hensel sur $f$ permet de construire une équation de $\tilde{E}$ se réduisant sur $E : y^2 = x^3 + a_2x^2 + a_6$.

D'autre part en caractéristique $\ge 5$ Skjernaa [108] suggérait de considérer simplement $a_6 = 3\alpha$ et $a_4 = 2\alpha$ avec

$$ \alpha = \frac{j(E)}{1728 - j(E)} $$

Et $\tilde{j}$ donne une équation de $\tilde{E}$. Cette éfficente méthode utilise simplement une inversion sur $\mathbb{Z}_q$ à partir de $\tilde{j}$.

### 2.5.3 Relèvement du Verschiebung

Soit $E$ une courbe elliptique dont le $j$-invariant satisfait les conditions de Kronecker sur $\mathbb{F}_q$. Le noyau du Verschiebung $\hat{\sigma}$ est un sous groupe d'ordre $p$ de $E[p]$ donné par le facteur unitaire $h$ du polynôme de $p$-division $\Psi_p$ et $h$ défini par :

$$ h(x) = \prod_{P \in \ker \hat{\pi} \setminus \{O\}} (x - x(P)) $$

Soit $\tilde{E}$ le relèvement canonique de $E$, relever $End(E)$ revient à relever $\ker(\sigma_q)$ et cela revient à relever $h$ sur $\mathbb{Z}_q$.

**Lemme 2.5.2. (Satoh)**

On considère $p \ge 3$, alors $\ker(\hat{\Pi}) = \tilde{E}[p] \cap \tilde{E}(\mathbb{Z}_q^{ur})$ avec $\mathbb{Z}_q^{ur}$ l'anneau de valuation de l'extension maximale non ramifiée $\mathbb{Q}_q^{ur}$ de $\mathbb{Q}_q$.
Soit $H$ le relevé de $h$ sur $\mathbb{Z}_q$, alors $H$ est un facteur unitaire de degré $(p-1)/2$ de $\Psi_p$ et $H(x) = h(x)$ mod $p$ est sans facteur carré. De plus $\Psi_p(x) \equiv H(x)^p \mod p$ c'est à dire que modulo $p$, les facteurs $H(x)$ et $\Psi_p(x)/H(x)$ ne sont pas premiers.

**Proposition 2.5.3. (Lemme de Satoh)**

On considère $p \ge 5$ et $\tilde{E} : y^2 = x^3 + \tilde{A}x + \tilde{B}$ tel que $\tilde{E}[p] \cap \tilde{E}(\mathbb{Z}_q^{ur}) \neq \{O\}$. Alors pour tout $P \in \tilde{E}(\mathbb{Z}_q^{ur}) - \{O\}$,

$$ \mathrm{ord}_p (\Psi'_p(x_p)) = 1 $$

$$ \text{où } \Psi'_p = \frac{\partial \Psi_p}{\partial x}. $$

**Démonstration.** Aller à Lemme 3.7. dans [99]. □

En général soit $P = p_m X^m + p_{m-1} X^{m-1} + \dots + p_1 X + p_0$ un polynôme sur $\mathbb{Z}_q$ et $\alpha$ un élément non ramifié de $\mathbb{Q}_q$ tel que $P(\alpha) \neq 0$ et $\mathrm{ord}_p(\alpha) = 0$. Si $p$-valuation des coefficients $p_k$ de $P$ sont tous différents cela implique que $\mathrm{ord}(\alpha)$ n'est pas "une valeur exceptionnelle"¹ et $\mathrm{ord}(P(\alpha))$ est fini. Alors d'après [14, Pages: 2-5] nous avons :

$$ \mathrm{ord}_p(P(\alpha)) = \min_k (\mathrm{ord}_p(p_k) + k \mathrm{ord}_p(\alpha)) $$

alors

$$ \mathrm{ord}_p(P(\alpha)) = \min_k (\mathrm{ord}_p(p_k)). $$

**Proposition 2.5.4.** Lorsque $p$ est un premier impaire et $\Psi_p$ est le polynôme de $p$-division d'une courbe elliptique sur $\mathbb{Z}_q$ alors :

$$ \mathrm{ord}_p(\Psi'_p) = 1. $$

**Démonstration.** En considerant $p$ un premier impaire et $P(x_0, y_0) \in E[p] \cap E(\mathbb{Z}_q^{ur})$, le résultat précédent sur $\Psi'_p$ et $x_0$ donne $(\mathrm{ord}_p(\Psi'_p)) = \mathrm{ord}_p(\Psi'_p(x_0))$. Alors la proposition 2.5.3 s'applique et nous avons : $\mathrm{ord}_p(\Psi'_p) = 1$. □

Le lemme de Hensel originel ne pouvant s'appliquer dans les cas précédents, T. Satoh introduisit dans [99] une méthode de relèvement de Hensel déterminant le relévé du facteur d'un polynôme.

**Proposition 2.5.5.** Considerons $p$ impair, $u \in \mathbb{N}$ et $G(x) \in \mathbb{Z}_q[x]$ tels que $t = \mathrm{ord}_p(G'(x))$. Soit $h(x) \in \mathbb{Z}_q[x]$ un polynôme unitaire tel que :

— modulo $p$, $h(x)$ est séparable et premier avec $p^{-t}G'(x)$,

— et nous connaissons $G(x) \equiv q(x)h(x) \mod p^{u+t}$,

Alors le polynôme :

$$ H(x) = h(x) + \left( \frac{G(x)}{G'(x)} h'(x) \mod h(x) \right) $$

est le lift de $h(x)$ à la précision $p^{2u}$ et $G(x) \equiv Q(x)H(x) \mod p^v$ où $v = 2u + \min(t, u)$

L'algorithme 2.5.1 construit $H$ en $O((\deg h + \deg G)^2)$ opérations arithmétiques sur $\mathbb{Z}_q$ à la précision $p^{2n}$.

**Démonstration.** Aller à [99]. □
**Entrée:** Des polynômes $G, h$ satisfaisant les conditions 2.5.5 et un entier $N$ comme précision.

**Sortie:** Le lift de $H$ à la précision $N$.

1. $t = \mathrm{ord}_p(G'(x));$

2. Si $N = 1$ **Retourner** $h(x)$;

3. **Sinon** $k = N/2$;

a. $H(x) = \mathrm{LiftPolynôme}(G, H, k);$

b. **Retourner** $H(x) + \frac{G(x)H'(x)}{G'(x)} \mod H(x);$

**Algorithm 2.5.1 LiftPolynôme :** Méthode de Satoh de Relèvement du polynôme de $p$-torsion

En utilisant l'algorithmme 2.5.1 de Satoh on peut donc relever $h$ en $H$ sur $\mathbb{Z}_q$. L'algorithme 2.5.1 construit $H$ avec $O((\deg h + \deg G)^2)$ opérations arithmétiques sur $\mathbb{Z}_q$ à la précision $p^{2n}$.

D'autre part nous avons proposé une méthode dans le chapitre 1, la section 1.2 et le lemme 1.2.1, pour reléver directement les abscisses des points de torsion de $E$. Cette nouvelle méthode est généralisable aux systèmes d'équations comme l'illustre les exemples 1.2.2 de la section 1.2.

## 2.6 COMPTAGE DE POINTS RATIONNELS SUR LES COURBES ELLIPTIQUES ORDINAIRES

On considère $E$ une courbe elliptique dont $\tilde{E}$ est le relevé canonique sur $\mathbb{Z}_q$. Le polynôme caractéristique de $E$ noté $\chi$ est le polynôme reciproque du polynôme minimal du Frobenius définie sur $\mathbb{Z}$ par :

$$ \chi(X) = X^2 - tX + q $$

où $t$ est la trace du Frobenius. Nous avons $\chi(1) = \#E(\mathbb{F}_q)$ avec $t$ vérifiant la condition : $|t| \le 2\sqrt{q}$ appelée bornes de Hasse.

Soit $\gamma$ la valeur propre inversible du Frobenius $\sigma$ alors nous avons :

$$ t = \gamma + \frac{q}{\gamma} $$

Pour toute forme modulaire $\vartheta_k$ de poids $k$ définie sur $\mathcal{H}_1$ nous pouvons déterminer $\gamma$ par :

$$ \gamma_0^k = \frac{\vartheta_k(E^\Sigma)}{\vartheta_k(E)} \quad \text{et} \quad \gamma = N_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p}(\gamma_0) $$

### 2.6.1 Méthode d'Évaluation par l'Algorithmme de Vélu

Nous avons le diagramme suivant de décomposition de l'isogénie $\hat{\mathcal{I}}$ le relevé de $\hat{\pi}$ où $\pi$ est définie par $(x, y) \in E \mapsto (x^p, y^p) \in E^\sigma$. Où $\nu$ est l'isogénie normalisée déterminée par les Formules de Vélu's et $\lambda$ est l'isomorphisme entre $\tilde{E}/\ker(\hat{\mathcal{I}})$ et $\tilde{E}^{\hat{\Sigma}}$. Comme $\nu$ est normalisée son action est trivial sur l'espace tangent et on a seulement besoin de l'action de l'isomorphisme $\lambda$ pour avoir celle de l'isogénie $\hat{\mathcal{I}}$.

<footnote n="1">1. c'est-à-dire qu'il ne coïncide pas avec les pentes négatives des arêtes du polygone de Newton de P</footnote>
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE 2.2 – Décomposition du Verschiebung $\hat{\mathcal{I}}$</figcaption></figure>

Soit $\tilde{E}$ définie par $y^2 = x^3 + \tilde{A}x + \tilde{B}$, Satoh montre dans [99] que les Formules de Vélu déterminant l'équation de $\tilde{E}/ker(\hat{\mathcal{I}})$ sont simplement donnée par :

$$ 
\begin{aligned}
A' &= (6 - 5p)\tilde{A} - 30(h_1^2 - 2h_2), \\
B' &= (15 - 14p)\tilde{B} - 70(-h_1^3 + 3h_1h_2 - 3h_3) + 42\tilde{A}h_1
\end{aligned}
$$

Où $h_i$ est le coefficient de $x^{(p-1)/2-i}$ dans le polynôme $H(x)$ et $h_i = 0$ pour $(p-1)/2 - i < 0$. Nous voudrions maintenant calculer le coefficient $\gamma_0$ de l'isomorphisme $\lambda$ entre les courbes elliptiques d'équations $\tilde{E}/ker(\hat{\mathcal{I}})$ : $y^2 = x^3 + A'x + B'$ et $\tilde{E}\hat{\mathcal{I}}$ : $y^2 = x^3 + A''x + B''$. Sachant que $B'/A'$ et $B''/A''$ sont des formes modulaires de poids 2, alors :

$$ \gamma_0^2 = \frac{B''/A''}{B'/A'} $$

Et d'autre part la bonne racine de cette expression est le coéfficient de $x^{p-1}$ dans le polynôme $(x^3 + Ax + B)^{(p-1)/2} \in \mathbb{F}_q[x]$ [107] et nous avons : $\gamma = N_{\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p}(\gamma_0)$.

**Remarque 2.6.1.** Nous allons conclure cette partie par une comparaison sur quelques variantes de la méthode originale de Satoh. Leurs points communs résident essentiellement sur l'utilisation du théorème de Lubin Serre et Tate 2.5.1 en des courbes elliptiques vérifiant les conditions de Kronecker 2.5 et ensuite la factorisation du dual de l'isogénie $\hat{\mathcal{I}}$ en utilisant les Formules de Vélu. Cependant l'idée originale de relever le cycle des $n$ courbes conjuguées était assez coûteuse en complexité. Sachant qu'il fallait relever la courbe à une précision $k > \frac{n}{2} + \log_p(4)$, cette méthode marchait avec $O(n^3 \log n \log \log n)$ opérations binaires et $O(n^3)$ en espace pour $p$ fixé. Les variantes les plus performentes en complexité utilisent un relèvement de seulement deux courbes $\hat{\pi}$-isogènes jusqu'à cette précision, ce qui coûte $\tilde{O}(n^2)$, puis effectuer un calcul de norme rapide du coéfficient $\gamma_0$, ce qui peut se faire dans les meilleurs cas avec la même complexité.

## 2.6.2 Méthodes d'Elkies Améliorées

### Différentiation d'Elkies

Soient $E$ et $E'$ deux courbes elliptiques sur $\mathbb{C}$, $\phi : E \to E'$ une isogénie de courbes elliptiques et $\Phi_\ell$ le polynôme modulaire classique de niveau $\ell = \deg \phi$.

$$ \phi : E \xrightarrow{\sim} \mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \tau\mathbb{Z}) \longrightarrow \mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \frac{\tau}{\ell}\mathbb{Z}) \xrightarrow{\sim} E' $$
Alors on a:

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{dj}{d\tau}(\tau) \frac{\partial \Phi_{\ell}}{\partial X}(j(\tau), j(\tau/\ell)) + \frac{1}{\ell} \frac{dj}{d\tau}(\tau/\ell) \frac{\partial \Phi_{\ell}}{\partial Y}(j(\tau), j(\tau/\ell)) = 0 \\
\text{et} \quad \frac{dj}{d\tau} = \lambda j \frac{\tilde{E}_6}{\tilde{E}_4} \quad \text{avec} \quad \lambda \in \mathbb{C}^*.
\end{array}
\right.
$$

Où $E_{2k}$ est la série d'Eisenstein de poids 2k.

La première équation est une conséquence de $\Phi_{\ell}(j(\tau), j(\tau/\ell)) = 0$ et la seconde est la
derivée $\frac{dj}{d\tau}$ mise en fonction des coefficients $a$ et $b$ de $E$ à partir des modules $E_6$ et $E_4$.

Lorsque l'on remplace les dérivées partielles $\frac{dj}{d\tau}(\tau)$ et $\frac{dj}{d\tau}(\tau/\ell)$ par leurs valeurs en fonction des coefficients de $E$ et $E'$, on peut extraire le coefficient de normalisation $\gamma_0$.

Cette méthode de calcul du coefficient de normalisation $\gamma_0$ de $\phi$ permet un algorithme de calcul de la trace du Frobenius à partir de relevé canonique d'une courbe elliptique $E/\mathbb{F}_q$.

Le nouveau algorithme est une combinaison utilisant le relèvement canonique pour obtenir
le couple $(\tilde{E}, \tilde{E}^{\Sigma})$, et l'algorithme d'Elkies [32] pour evaluer directement le coefficient de nor-
malisation $\gamma_0$ de l'isogénie $\pi$. Par la suite un calcul de norme rapide donne $\gamma = N_{Q_q/\mathbb{F}_p}(\gamma_0)$.
Et nous avons l'algorithme suivant 2.6.1.

Entrée: $q = p^n$, une courbe elliptique $E$ sur $\mathbb{F}_q$ et précision $N \sim n$.

Sortie: La trace $t$ de l'isogénie $\pi_q$.

1. Calculer $\tilde{j}$ en utilisant $\Phi_p(j, j^\sigma) = 0$;

2. Calculer les équations de $\tilde{E}$ et $\tilde{E}^\Sigma$;

3. Calculer $\gamma_0$ en utilisant la méthode de Différentiation d'Elkies;

4. Calculer $\gamma = N_{Q_q/\mathbb{F}_p}(\gamma_0)$;

5. Retourner $t = \gamma + \frac{q}{\gamma}$.

**Algorithm 2.6.1**

2.6.3 Relèvement Canonique sans Polynôme Modulaire

Dans cette sous-section nous supposons *p* un nombre premier impaire. Le cas *p* = 2 est
bien traité par J.Mestre en utilisant la méthode de l'AGM (en anglais "Arithmetic-Geometric-
Means") [35] pour calculer les courbes elliptiques 2-isogènes conjuguées par le *p*<sup>th</sup>-Frobenius.
Cette méthode dite de l'AGM n'utilise pas de polynôme modulaire.

L'objectif de cette partie est de diminuer considérablement le coût du relèvement canonique afin de
rendre ces algorithmes plus pratiques que possible en dimension 1. Ces nouveaux résultats détaillés
ci-dessous portent sur les algorithmes de calcul du polynôme caractéristique d'une courbe elliptique
ordinaire en une complexité au plus linéaire en p. Les idées sont reprises de la troisième publication
(Introduction la section 0.0.4).

En effet, pour les méthodes utilisant les polynômes modulaires, la complexité totale est
de $\tilde{O}(p^3 + p^2 n N)$ pour un relèvement à la précision $N$ (dans le cas du comptage de points
rationnels $N = O(n)$). Ces polynômes modulaires sont de tailles $\tilde{O}(p^3)$ en les invariants et
leurs hauteurs logarithmiques sont $h(\Phi_p) \le 6p \log p + 18p$ (aller à [8]). Puisqu'on les utilise
qu'avec un seuil de précision connu, par évaluation directe de ces polynômes on pourrait
réduire la dépendance en $p$ jusqu'à $\tilde{O}(p^2nN)$ dans le cas du comptage de points [97, § 6.6].

Correspondance Modulaire par la Méthode de Décomposition du Verschiebung

En utilisant le diagramme de décomposition du Verschiebung (la section 2.5.1), on arrive à
un résultat équivalent au théorème de Serre-Tate (la section 2.5.1 et le théorème 2.5.1).

**Théorème 2.6.2.** Soit $E$ une courbe elliptique ordinaire sur $\mathbb{F}_q$, alors $\tilde{E}$ est l'unique courbe elliptique (à isomorphisme près) vérifiant :

— $E$ est la réduite modulo $p$ de $\tilde{E}$,

— la partie étale de $E[p]$ est la réduction modulo $p$ du noyau $\ker v$ et

— $j(\tilde{E}^v) = j(\tilde{E})^{\hat{\Sigma}}$

Démonstration. Comme $\tilde{E}$ est bien définie par les assertions du théorème de Serre-Tate la section 2.5.1 et le théorème 2.5.1, alors l'isogénie Frobenius $\pi$ et son dual se relèvent caniquement sur $\mathbb{Z}_q$. Ainsi $\tilde{E}$ vérifie les trois propriétés du théorème 2.6.2.

Réciproquement, lorsque $\mathcal{E}$ est une courbe elliptique sur $\mathbb{Z}_q$ vérifiant les trois propriétés du théorème 2.6.2, alors modulo $p$ on a $j(\mathcal{E}) = j(E)$ et le noyau du Verschiebung de $\mathcal{E}$ se réduit à $E[p]_{\text{ét}}$ ce qui implique que $\text{End}(\mathcal{E}) \simeq \text{End}(E)$ et par suite $\mathcal{E} \simeq \tilde{E}$. $\square$

Le théorème précédent (le théorème 2.6.2) établit l'unicité (à isomorphisme près) du diagramme de décomposition du Verschiebung pour toute courbe elliptique ordinaire $E$ de $\mathbb{F}_q$ à $\mathbb{Z}_q$.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Ainsi, les propriétés suivantes sont équivalentes :

— $j(E^v) = j(E^{\hat{\Sigma}})$;

— $\mathrm{End}(E) \cong \mathrm{End}(\tilde{E})$ et $\Phi_p(j(E), j(E)^{\hat{\Sigma}}) = 0$ où $\tilde{E}$ est la réduite modulo $p$ de $E$.

Les propriétés du théorème 2.6.2 fournissent une méthode de relèvement du $j$-invariant d'une courbe elliptique ordinaire $E$ définie sur $\mathbb{F}_q$ basée sur les formules de Vélu à la place du polynôme modulaire. Nous détaillons ci-dessous un exemple à partir des formules de Vélu standard.

Méthodes du Diagramme de Décomposition du Verschiebung

Au départ, on pourra de façon plus pratique calculer $H_p$ sur $\mathbb{F}_q$ en interpolant sur $O(p)$ points l'équation $\hat{\pi}(\pi(P)) = [p]$. P pour en extraire $H_p$ dans le dénominateur de la fraction rationnelle coordonnée de $\hat{\pi}$.
Supposons que à une précision *k* nous ayons $E : y^2 = x^3 + Ax + B$ et $P(x_p, y_p) \in E[p] - \{O\}$.

Soit $(e, r)$ le couple d'erreurs tel que: $x_{\tilde{p}} - x_p = e \cdot p^k$ et $y_{\tilde{p}} - y_p = r \cdot p^k$, alors nous pouvons obtenir un relèvement de l'équation à partir des coefficients $A$ et $B + \theta \cdot p^k$. Ainsi les trois erreurs $e, r$ et $\theta$ forment l'unique solution du système d'équations suivant:

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l} 
\tilde{P} \in \tilde{E}, \\ 
\Psi_p(x_{\tilde{p}}) = 0, \\ 
j(\tilde{E}^v) = j(\tilde{E})^{\hat{\Sigma}} 
\end{array} 
\right. 
$$

D'après la section 2.5.1 et le théorème 2.5.1 la Jacobienne de système est inversible sur $\mathbb{Z}_q$. Ainsi, de la première équation nous avons:

$$ r = \frac{1}{2y_p} \left[ \frac{(x_p^3 + A \cdot x_p + B - y_p^2)}{p^k} + (3 \cdot e \cdot x_p^2 + A \cdot e + \beta) \right]. $$

Et à partir de la second équation, on pourra extraire $p \cdot e$ de

$$ \Psi_p (x_p + e \cdot p^k, A, B + \beta \cdot p^k) = 0 $$

(car d'après le lemme 2.5.2 de Satoh $\Psi'_p(x_p + e \cdot p^k)$ est de $p$-valuation 1).

On considère $A_v$ et $B_v$ les coefficients de l'équation de la courbe $p$-isogène $E^v$ (par le petit Frobenius) donnés par les formules de Vélu sur les entrées $(A, B + \beta \cdot p^k, P_{e,r})$ à la précision $2k$ où $P_{e,r} = (x_p + e \cdot p^k, y_p + r \cdot p^k)$. Alors l'égalité entre les $j$-invariants des courbes isomorphiques $E^v$ et $E^{\hat{\Sigma}}$ détermine la troisième équation:

$$ A_v^3 \cdot (B^{\hat{\Sigma}})^2 - (A^{\hat{\Sigma}})^3 \cdot B_v^2 = 0 $$

Par suite, en considerant les valeurs de $r$ et celle de $p \cdot e$ dans cette dernière équation on aboutit à une équation en $\beta$ de la forme :

$$ \beta^{\Sigma} + a \cdot \beta + b = 0 \quad \text{avec } a = 0 \mod p $$

que l'on peut résoudre avec la méthode (la section 2.5.1 et l'algorithme 1) ainsi obtenir: $\beta, e$ et $r$.

**N.B:** Cette méthode s'étend bien au calcul de relevé canonique des courbes elliptiques ordinaires dont les $j$-invariants appartiennent à $\mathbb{F}_{p^2} \setminus \{0, 1728\}$.

De manière pratique lorsque $S_E$ exprime les données comprenant les coefficients de l'équation et le $j$-invariant d'une courbe ordinaire, alors l'équation dont l'unique solution est $\tilde{E}$ est donnée par:

$$ 
\begin{gathered} 
A \cdot S_E^{\Sigma} + B \cdot S_E + C = 0 \\ 
\text{avec } A \neq 0 \mod p \text{ and } B = 0 \mod p 
\end{gathered} 
$$

Comme $A \neq 0 \mod p$ et le système est séparable, on pourra toujours se focaliser sur une ligne pour obtenir une forme d'Artin-Schreier.

Et cela est une conséquence du résultat 6.2.1 dans le chapitre 6 et la section 6.2. En effet comme nous allons le voir dans le chapitre 6 les conditions de Kronecker en général n'ont pas de restriction sur les points ordinaires de l'espace de module fin.
**Entrée:** Une équation $y^2 = x^3 + A.x + B$ de la courbe $E/\mathbb{F}_{p^n}$ et un entier $N = 0(n)$ comme précision.

**Sortie:** Une équation $y^2 = x^3 + \tilde{A}.x + \tilde{B}$ de la courbe $\tilde{E}$ à la précision $N$.

1. $k = 1$;

2. Tant que $k \le N/2 + 1$;

a. On pose $r = \frac{1}{2y_p} \left[ \frac{(x_p^3 + A.x_p + B - y_p^2)}{p^k} + \frac{(3.e.x_p^2 + A.e + \beta)}{p^k} \right]$;

b. Extraire p.e de l'équation $\Psi_p (x_p + e.p^k, A, B + \beta.p^k) = 0$

c. À partir de l'équation $A_v^3.(B^v)^2 - (A^v)^3.B_v^2 = 0$ calculer $\beta^\Sigma + a.\beta + b = 0$.

d. En utilisant l'algorithmme 1, calculer les erreurs $\beta$ puis $e, r$.

e. $B = B + \beta.p^k, x_p = x_p + e.p^k, y_p = y_p + r.p^k \text{ et } k = 2k$;

3. Retourner $A, B$ et $P$;

**Algorithm 2 – Relèvement Canonique sans Polynôme Modulaire**

**Remarque 2.6.3.** Remarquons qu'un point de $p$-torsion $P$ différent du point à l'infini est défini de manière équivalente par le système:

$$ \begin{cases} f(x, y) = 0 \\ \Psi_p(x) = 0 \end{cases} \quad \text{or} \quad \begin{cases} f(x, y) = 0 \\ g(x, y) = 0 \end{cases} $$

où $g(x, y)$ est une des équations de $[k+1]P = -[k]P$. La Jacobienne de ce système est donnée par:

$$ \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) & \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \\ \Psi'_{p}(x) & 0 \end{pmatrix} $$

Comme $p \ne 2$, nous avons $\frac{\partial f}{\partial y}(P)$ non nul modulo $p$. Alors d'après le lemme de Satoh (la proposition 2.5.3), la valuation du déterminant de la Jacobienne de ce système en $P$ est 1. En considerant le second système équivalent, la forme de la Jacobienne devient :

$$ \begin{pmatrix} * & * \\ 0 & p \end{pmatrix} $$

En considérant le développement de Taylor sur le système on déduit que lors du relèvement, les coordonnées du point $P$ sont en rétard d'une précision sur les coefficients de l'équation de la courbe de $\tilde{E}$. Plus explicitement lorsque le point $P = \tilde{P}$ mod $p^k$ vérifie l'équation de la courbe de $\tilde{E}$ avec une précision $N$ c'est-à-dire $f(P) = 0$ mod $p^N$; nous n'aurons besoin que de $P$ mod $p^{k-1}$ pour atteindre la même précision $N$ sur les équations de la $p$-torsion.

Ainsi dans la troisième équation nous perdrons souvent<fnref n="2" /> une précision sur les formules de Vélu pour le calcul du Verschiebung.

**Exemple 2.6.4. :**

<footnote n="2">2. Cette perte commencera après les compensations de précisions apportées par les coefficients d'homogénéisation dans l'équation.</footnote>
Soit $E$ une courbe elliptique ordinaire sur $\mathbb{F}_5[T]/m(T)$ avec $m(T) = T^{10} + 3T^6 + 3T^5 + T^2 + 2T + 4$ donnée par l'équation :

$$y^2 = x^3 + a_4 x + a_6 \quad \text{où :} \quad a_4 = T + 3 \text{ et } a_6 = -(T^9 + 2T^8 + 2T^6 + T^3 + 4T^2 + 2)$$
tels que le $j$-invariant de $E$ est $j = 2T + 3$;

Le polynôme de Teichmuller $M$ de $m$ à la précision 13 est

$$M = T^{10} + 759170540T^9 + 1187000135T^8 + 435927860T^7 + 1154383168T^6 + 1177330303T^5 + 512301245T^4 + 661739075T^3 + 46449971T^2 + 1140095647T + 1220703124$$

l'algorithme 2 calcule le relèvement des coefficients $a_4, a_6$, du $j$-invariant $j$ et de la $p$-torsion de $\tilde{E}$ à la précision $N$.

On obtient pour $N = 2$:

$$e_1 = T^7 + 3T^6 + 3T^5 + T^4 + 4T^3 + 2T^2 + 2;$$
$$r_1 = T^9 + 4T^8 + 4T^7 + T^6 + 2T^5 + 2T^4 + 4T^3 + 4T^2 + T + 3;$$
$$\beta_1 = 4T^9 + T^8 + 4T^7 + T^5 + T^4 + T^3 + 3T^2 + 4T + 3;$$

Alors à la précision 2

$$\tilde{J} = 5T^8 + 20T^7 + 5T^6 + 10T^5 + 15T^4 + 15T^3 + 12T + 18;$$

On obtient pour $N = 4$:

$$r_2 = 5T^9 + 19T^8 + 18T^7 + 5T^6 + 2T^5 + 24T^4 + 17T^3 + 2T^2 + 17T + 24;$$
$$e_2 = 15T^9 + 2T^8 + 10T^7 + 22T^6 + 19T^5 + T^4 + 20T^3 + T^2 + 11T + 23;$$
$$\beta_2 = 19T^9 + 18T^8 + 8T^7 + 22T^6 + 2T^5 + 21T^4 + 20T^3 + 18T^2 + 21T + 16;$$

Alors à la précision 4

$$\tilde{J} = 100T^9 + 30T^8 + 145T^7 + 405T^6 + 260T^5 + 40T^4 + 140T^3 + 125T^2 + 137T + 143;$$

On obtient pour $N = 8$:

$$e_4 = 44T^9 + 42T^8 + 97T^7 + 11T^6 + 105T^5 + 15T^4 + 121T^3 + 39T^2 + 52T + 45;$$
$$r_4 = 500T^9 + 149T^8 + 368T^7 + 279T^6 + 105T^5 + 390T^4 + 429T^3 + 258T^2 + 240T + 263$$
$$\beta_4 = 200T^9 + 606T^8 + 300T^7 + 349T^6 + 599T^5 + 529T^4 + 304T^3 + 342T^2 + 333T + 366;$$

Alors on a:

$$\tilde{J} = 337600T^9 + 353780T^8 + 317020T^7 + 61030T^6 + 39635T^5 + 665T^4 + 378890T^3 + 152000T^2 + 199512T + 19518.$$

Lorsque $\phi$ est une isogénie séparable de degré $\ell$ et $d$ est le degré minimal tel que le polynôme de $\ell$-division $\Psi_\ell$ admet toutes ses racines sur l'extension algébrique $\mathbb{K}/\mathbb{k}$ de degré $d$. Alors les formules d'isogénies de Kohel ont une complexité de $O(\ell \cdot M(d))$ opérations sur $\mathbb{k}$ où $M(d)$ est le coût de la multiplication dans l'extension $\mathbb{K}/\mathbb{k}$. Les mêmes formules coûteront $O(\ell)$ opérations lorsque l'isogénie $\phi$ est définie sur $\mathbb{k}$. Mieux encore, le recent algorithme (développé dans [2]) peut calculer une isogénie définie sur $\mathbb{k}$ avec $O(\sqrt{p})$ opérations. Ainsi, les méthodes basées sur le théorème 2.6.2 offrent une complexité en $p$ plus pratique que les autres méthodes connues.

**Théorème 2.6.5.** Lorsque $p \ge 3$ et $E$ une courbe elliptique ordinaire sur $\mathbb{F}_{p^n}$, alors l'algorithme 2 calcule relèvement canonique $\tilde{E}$ (en relevant l'équation de $E$) à la précision $N$, avec un coût au plus $\tilde{O}(pn^2 + p^{0.5} \cdot d \cdot n \cdot N)$ opérations, où $N = O(n)$.
Démonstration. Le degré de décomposition de $\Psi_p$ sur $\mathbb{F}_{p^n}$ est noté $d$ et $d \le (p-1)$. Le calcul du polynôme de $p$-division coûte $\tilde{O}(p^2.N)$ opérations à la précision $N$ et ses racines sont obtenues modulo $p$ avec $\tilde{O}(p.n^2)$ opérations (d'après [97, § 6.6]). D'un autre côté les formules de Vélu (pour l'évaluation du Verschiebung normalisé) coûtent au plus $O(p)$ et à la précision $N$ l'évaluation de l'équation d'Artin-Schreier l'algorithme 1 est quasi-linéaire en temps (d'après [35, § 5.3]). Alors la complexité globale du relèvement canonique de $E$ est au plus $\tilde{O}(pn^2 + p^{0.5}.d.n.N)$ opérations lorsque le calcul du Verschiebung se fait en $O(\sqrt{p})$ opérations binaires. $\square$

## Amélioration par Évaluation Directe du Verschiebung

La méthode précédente est un algorithme de Newton basé sur un système polynomial défini au départ avec un point de $p$-torsion modulo $p$. Cependant lorsque que le polynôme du noyau n'a pas ses racines sur $\mathbb{F}_q$, on pourra compenser le calcul d'une extension de $\mathbb{F}_q$ avec une méthode combinant: une idée introduite par D. Robert dans son HDR [97, § 6] avec un algorithme de calcul d'isogénie éfficace comme les formules de Kohel l'exemple 2.4.1; ci-dessous nous proposons un algorithme basé sur ces idées.

Lorsque que l'on considère l'algorithme de calcul du Verschiebung sur $\mathbb{Z}_q$ comme une fonction $F(X)$ sur $\mathbb{Z}_q$ à une variable $X$ sur l'espace de modules des courbes elliptiques ordinaires modulo $p$. À partir du développement de Taylor et les conditions de Kronecker (à la section 2.5.1) on a:

$$F(X + \Delta) = F(X) + F'(X) \cdot \Delta \quad \mod p^{2k}$$

où $F'(X)$ est la dérivée de $F$ en fonction de $X$.

D'autre part, on sait des résultats précédents que le calcul du Verschiebung à une précision $k$ provoque une perte de précision dans le second membres de l'égalité, ainsi on a:

$$F(J + e.p^k) = A + B.e.p^{k-1} \quad \mod p^{2k-1}$$

Ainsi lorsque nous partons d'une courbe elliptique ordinaire relevée canoniquement à une précision $k$ et d'un algorithme de calcul du Verschiebung, nous pouvons déterminer canoniquement le prochain $j$-invariant (c'est-à-dire $A + B.e.p^{k-1}$) à partir d'une évaluation directe du nombre dérivée $F'(J)$ en $J$ à la précision $k$. On obtient $F'(J)$ en procédant comme dans le chapitre 1 et la section 1.2.3 : On calcule deux déformations $F(J + e_1.p^k)$ et $F(J + e_2.p^k)$ quelconque de $F(J)$ où $J$ est le $j$-invariant $E$ à la précision $k$, alors le système suivant détermine $A$ et $B$:

$$\begin{cases} F(J + e_1.p^k) = A + B.e_1.p^{k-1} \mod p^{2k-1} \\ F(J + e_2.p^k) = A + B.e_2.p^{k-1} \mod p^{2k-1} \end{cases}$$

On pourra prendre $e_1 = 0$ pour simplifier les calculs.

D'un autre côté, le théorème 2.6.2 établit que:

$$j(\tilde{E}^\nu) = j(\tilde{E})^{\hat{\Sigma}}$$

Cela implique que, modulo $p^{2k-1}$ l'erreur correcte $e$ correspondant à l'approximation de $\tilde{J}$ à la précision $2k-1$ vérifie la relation :

$$A + B.e.p^{k-1} = \tilde{J}^{\hat{\Sigma}} + e^{\hat{\Sigma}}.p^k$$
En appliquant le Frobenius Σ, on obtient :

$$A^{\Sigma} + B^{\Sigma}.e^{\Sigma}.p^{k-1} = J + e.p^k$$

Comme $A = F(J) \mod p^{2k-1}$, alors on a : $ord_p(A^{\Sigma} - J) = k - 1$ et par suite on obtient :

$$B^{\Sigma}e^{\Sigma} + a.e + b = 0 \mod p^k$$

$$où \ a = -p \ \text{et} \ \ b = \frac{A^{\Sigma} - J}{p^{k-1}}.$$

Comme $ord_p b = 0$, on en déduit que $ord_p B^{\Sigma} = 0$. Alors on pourra diviser l'équation précédente par $B^{\Sigma}$ et obtenir une forme "d'Artin-Schreier" dont la solution est donnée par l'algorithme 1 (la section 2.5.1).

**Remarque 2.6.6.** On remarque que les étapes détaillées ci-dessus ne peuvent commencer à la précision $k=1$. Heureusement la $p$-torsion $h(X)$ ainsi que la relation $j(E^v) = j(E)^{\hat{\Sigma}}$ sont à la bonne précision c'est-à-dire 1. Les seuls éléments du système qui sont donc à relever (à la précision 2) sont les coefficients de l'équation de la courbe (cela détermine le $j$-invariant aussi à la précision 2). L'existence et l'unicité de ce relèvement (à isomorphisme-près) sont garanties par la $p$-torsion $h(X)$ plus précisément par l'équation :

$$\Psi_p(\tilde{E}) = 0 \mod h(X) \text{ à la précision 2}$$

Lorsque nous utilisons la nouvelle approche dite par évaluation directe du Verschiebung basée sur le théorème 2.6.2 :

**Corollaire 2.6.7.** Le relèvement canonique de toute courbe elliptique ordinaire $E/\mathbb{F}_q$ avec $j(E) \neq 0, 1728$ se fait en $\tilde{O}(p.n^2 + n.N.D(p))$, où $D(p)$ est la complexité des formules de Kohel pour le calcul du Verschiebung à la précision $N$ (ces formules n'ont pas besoin de prendre des extensions). Lorsque $d$ est le degré de l'extension de $\mathbb{F}_q$ sur laquelle se trouvent les racines du polynôme $\Psi_p$, la méthode utilise seulement $\tilde{O}(p.n^2 + p^{0.5} \cdot n \cdot d \cdot N)$ opérations, où le meilleur cas correspondrait à $d=1$ où $O(p^{0.5})$ est la complexité de la méthode [2].

**Exemple 2.6.8. :**

Soit $E$ une courbe elliptique ordinaire sur $\mathbb{F}_5[T]/m(T)$ avec $m(T) = T^{10} + 3T^6 + 3T^5 + T^2 + 2T + 4$ donnée par l'équation :

$$y^2 = x^3 + a_4x + a_6 \text{ où : } a_4 = T^7 + T^5 + T \text{ et } a_6 = T^9 + T^3$$

tels que le $j$-invariant de $E$ est $j = 3T^9 + 4T^8 + 4T^7 + T^6 + T^5 + 2T^4 + T^3 + 4T + 2$;

Le polynôme de $p$-division et le noyau du Verschiebung sont donnés par :

$$\Psi_p = (2T^7 + 2T^5 + 2T)x^{10} + (4T^9 + 4T^8 + 3T^7 + 4T^6 + 2T^5 + T^4 + T^3 + 4T^2 + 4T + 4)x^5 + (4T^9 + 3T^8 + 2T^7 + T^5 + T^4 + 2T^3 + 2T^2 + 2T);$$

$$h_p = x^2 + (T^9 + T^8 + 2T^3 + 4T^2 + 3T + 1)x + (3T^9 + T^7 + T^6 + 2T^5 + T^3 + 2T^2 + 4T + 3);$$

exemple 2.1 – Calcul du Relevé Canonique par Évaluation Directe du Verschiebung
Le même polynôme de Teichmuller $M$ de l'exemple 2.6.4 reste valide.

En utilisant la remarque 2.6.6, on obtient à la précision 2:

$$[A4, A6] = [T^7 + T^5 + T, T^9 + 10T^8 + 20T^7 + 10T^6 + 5T^5 + 10T^4 + 6T^3 + 20T^2 + 15T + 20]$$
$$H_p = x^2 + (21T^9 + 21T^8 + 5T^5 + 5T^4 + 17T^3 + 24T^2 + 8T + 1)x + (8T^9 + 16T^7 + 6T^6 + 22T^5 + 15T^4 + 16T^3 + 2T^2 + 19T + 3)$$

En utilisant la méthode de la section 2.6.3 on obtient une forme d'Artin-Schreier:

$$e^{\Sigma} + a.e + b = 0 \quad \mod p^2$$

$$a = 5T^9 + 5T^7 + 5T^6 + 10T^5 + 20T^4 + 5T^3 + 20,$$

$$b = 21T^9 + 15T^8 + 2T^7 + 2T^6 + 14T^4 + 24T^3 + 17T^2 + 10T + 23$$

Par suite à partir de l'algorithme 7, on obtient le relèvement canonique du $j$-invariant $j$ de $\tilde{E}$ à la précision $3 = 2(2) - 1$.

$$298T^9 + 164T^8 + 184T^7 + 241T^6 + 516T^5 + 577T^4 + 371T^3 + 425T^2 + 594T + 482$$

### Relèvement Canonique par Relèvement de la p-Torsion Étale

On remarque que dans la relation de la proposition 2.5.5 de Satoh:

$$\tilde{H}_p = H_p + e \quad \text{avec} \quad e = \frac{\tilde{\Psi}_p \cdot H'_p}{\tilde{\Psi}'_p} \quad \mod H_p$$

pour le relèvement de la $p$-torsion $H_p$ de la précision $k$ à la précision $2k + 1$ encode les informations entre l'équation de la courbe $\tilde{E}$ et sa $p$-torsion $H_p$ à la précision $2k$ comme dans le système défini dans la section 2.6.3. Alors on arrive à corriger tous les éléments à partir d'une troisième équation donnée par la relation $j(E^v) = j(E)^\Sigma$ en tenant compte du retard de précision sur $H_p$. Ainsi dans la relation $j(E^v) = j(E)^\Sigma$ on peut calculer le relevé $\tilde{E}$ en corrigeant son coefficient $\tilde{a}_6$ avec une faible dépendance en $p$.

D'autre part, à une précision $N$ on peut évaluer $\Psi_p$ (associée à la courbe $\tilde{E}/\mathbb{Z}_q$) modulo $H_p$ en temps $\tilde{O}(\alpha.N.\log q.\log p) = \tilde{O}(\alpha.N.n)$ où $\alpha = \deg H_p$. Alors nous avons le lemme suivant:

**Lemme 2.6.9.** À partir de $\tilde{H}_p$ à la précision $k$ et un relèvement quelconque $H_p^*$ de $\tilde{H}_p$ à la précision $2k + 1$, le relevé $\tilde{H}_p$ à la précision $2k$ associé à $\tilde{E}$ est donné par:

$$\tilde{H}_p = H_p^* + e \quad \text{avec} \quad e = \frac{\Psi_p \cdot H_p^{*'}}{\Psi_p'} \quad \mod H_p^*$$

*Démonstration.* La formule de Newton associée à ce relèvement est la suivante: prendre un relevé arbitraire $H_p^*$, soit $a = \Psi_p \mod H_p^*$ et $b = \Psi_p \mod (H_p^* + p)$. Alors la dérivée associée à cette méthode de Newton est donnée par: $c = (b-a)/p^k$, et nous avons l'équation suivante $a + cp^kQ = 0 \mod (H_p^*, p^{2k})$. Comme l'équation reste valide à la précision $k$, elle ne dépend pas du choix de $H_p^*$. Alors le relevé $\tilde{H}_p$ associé à $\tilde{E}$ est: $\tilde{H}_p = H_p^* + p^kQ$. $\square$

D'où le résultat suivant:

**Théorème 2.6.10.** Pour toute courbe elliptique $E/\mathbb{F}_q$, en utilisant la méthode (la section 2.6.3) on calcule le relèvement canonique $\tilde{E}/\mathbb{Z}_q$ et la trace du Frobenius à la précision $p$-adique $N$ en temps $\tilde{O}(n.N.p)$.

En particulier, pour le comptage où $N = O(n)$, on détermine $\chi_{\pi_q}$ avec $\tilde{O}(pn^2)$ opérations.
**Entrée:** $E$ une courbe elliptique sur $\mathbb{F}_q$ avec $q = p^n$, $n \in \mathbb{N}$.

**Sortie:** Le relèvement canonique de $E$ à la précision $N$.

1. Calculer $H_p$ sur $\mathbb{F}_q$ en utilisant une interpolation rapide $\hat{\pi}(\pi(P))$ alors $\Psi_p = H_p^p$;

2. Calculer $\tilde{a}_6$ de $\tilde{E}$ à la précision 2 à partir de l'équation $\tilde{\Psi}_p \bmod H_p = 0$ à la précision 2;

3. Calculer $\tilde{H}_p \bmod p^{2+1}$.

4. $k=2$

5. while $k < \lceil N/2 \rceil$;

a. Calculer à la précision $2(k+1)$, $\tilde{\Psi}_p \bmod \tilde{H}_p$ à la précision $2k$ à partir de deux approximations de $\tilde{E} \bmod p^{k+1}$;

b. Calculer $\tilde{H}_p \bmod p^{2k+1}$ à partir des formules de Satoh (la proposition 2.5.5).

c. Déterminer le coefficient $\tilde{a}_6$ de $\tilde{E} \bmod p^{2k+1}$ dans la relation $j(\tilde{E}^v) = j(\tilde{E})^{\hat{\Sigma}}$;

d. $k=2k$;

6. Retourner $\tilde{E}(\tilde{a}_6)$ à la précision $N$ (l'autre coefficient étant relevé au hazard).

**Algorithm 3** – Calcul du Relevé Canonique à partir du Relèvement du *p*-torsion étale

En resumé, le théorème 2.6.2 constitue une bonne alternative pour améliorer la dépendance en *p* dans les algorithmes utilisant le relèvement canonique. Et le résultat du théorème 2.6.10 présente un coût plus pratique pour le calcul du polynôme caractéristique $\chi$ d'une courbe elliptique ordinaire. En effet l'approche de Kedlaya (relèvement quelconque utilisant la cohomologie Monsky-Washnitzer) présente aussi une bonne dépendance en *p* (linéaire); cependant elle réconstitue $\chi$ avec une complexité en temps (et en espace) de $O(n^{3+\epsilon})$. Cette dépendance en *p* fût amélioré par Havey [46] en $\tilde{O}(\sqrt{pn^{5/2}m + n^4m \log p})$ au prix de coût élevé en *n*.

Ce qui complète l'étude de nos améliorations des algorithmes de relèvement canonique en dimension 1.

Cependant du genre $g=1$ au genre supérieur (par exemple $g=2$), certaines de ces astuces peuvent devenir moins agréables en terme de complexité des opérations.
Deuxième partie

DIMENSION SUPERIEURE
Dans la section 2.2 du chapitre 2 nous avons abordé les courbes elliptiques sur $\mathbb{C}$ comme étant des tores complexes de dimension 1 ($\mathbb{C}/\Lambda$ avec $\Lambda$ un réseau sur $\mathbb{C}$) sur lesquels existe un plongement naturel dans l'espace projectif $\mathbb{P}^2$ défini par :

$$z \mapsto [\wp_{\Lambda}(z) : \wp'_{\Lambda}(z) : 1] \quad \text{et} \quad 0 \mapsto [0 : 1 : 0]$$

On dit que les courbes elliptiques complexes sont des variétés abéliennes de dimension 1. En général nous avons la définition suivante.

**Définition 3.0.1.** Une variété abélienne complexe est un groupe de Lie complexe $\mathcal{A}$ connexe admettant un plongement dans un espace projectif.

Un tel groupe de Lie est nécessairement compact et si nous notons par $V$ son espace tangent en 0 et $\phi_v : \mathbb{C} \to \mathcal{A}$ l'unique homomorphisme différentiable telque : $\phi_v(0) = 0$ et $d\phi_v(1) = v$. Alors l'application exponentielle $\exp : V \to \mathcal{A}$ définie pour tout $v$ par : $\phi_v(1)$, est surjective et son noyau $\ker(\exp) = \Lambda$ est un réseau dans l'espace vectoriel $V$ [81]. Ainsi $\mathcal{A}$ est isomorphisme au tore $V/\Lambda$.

Nous abordons ce chapitre par une étude descriptive des tores complexes ensuite nous allons nous focaliser sur ceux admettant un plongement dans un espace projectif.

## 3.1 TORES COMPLEXES

Soit $V$ un espace vectoriel complexe de dimension $g$ et $\Lambda$ un réseau dans $V$ c'est à dire un sous groupe discret de rang $2g$ de $V$. Alors on appelle tore de dimension $g$, le quotient $X = V/\Lambda$ de l'action de $\Lambda$ sur $V$, c'est un groupe de Lie complexe de dimension $g$.

Pour caractériser un tore $X = V/\Lambda$ on peut se convenir sur une base de $e_1, ..., e_g$ de $V$ et $\lambda_1, ..., \lambda_{2g}$ du réseau $\Lambda$. Lorsqu'on écrit les $\lambda_i$ dans la base $e_1, ..., e_g$ on obtient la matrice $\Pi \in M(g \times 2g, \mathbb{C})$ définie par :

$$\Pi = \begin{pmatrix} \lambda_{11} & \cdots & \lambda_{1,2g} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_{g1} & \cdots & \lambda_{g,2g} \end{pmatrix} \quad \text{avec} \quad \lambda_i = \sum_{j=1}^{g} \lambda_{ji} e_j$$

appelée *matrice de période de X*. Cette matrice caractérise le tore $X$ même si elle dépend du choix des bases de $V$ et de $\Lambda$. La proposition suivante caractérise les matrices de ce type qui déterminent un tore.

**Proposition 3.1.1.** $\Pi \in M(g \times 2g, \mathbb{C})$ est une matrice de période d'un tore complexe si et seulement si la matrice $P = \begin{pmatrix} \Pi \\ \bar{\Pi} \end{pmatrix} \in M_{2g}(\mathbb{C})$ est inversible, avec $\bar{\Pi}$ matrice conjuguée de $\Pi$.

*Démonstration.* Aller à [3, § 1.1]. □
### 3.1.0.1 Homomorphismes

Soient $X_1 = V_1/\Lambda_1$ et $X_2 = V_2/\Lambda_2$ des tores complexes de dimensions respectives $g_1$ et $g_2$. Une application analytique de $X_1$ vers $X_2$ est la composée d'un morphisme (de groupes de Lie) et d'une translation.

Tout morphisme $f: X_1 \to X_2$ se déduit de manière unique d'une application $C$-linéaire $F: V_1 \to V_2$ telle que : $F(\Lambda_1) \subset \Lambda_2$.

L'ensemble des morphismes entre les tores $X_1$ et $X_2$ forment un groupe abélien noté $\text{Hom}(X_1, X_2)$. Par suite on obtient deux morphismes de groupes injectifs notés $\rho_a$ et $\rho_r$ définis par :

$$ \rho_a : \text{Hom}(X_1, X_2) \to \text{Hom}_C(V_1, V_2), \quad \rho_a(f) = F; $$

$$ \rho_r : \text{Hom}(X_1, X_2) \to \text{Hom}_Z(\Lambda_1, \Lambda_2), \quad \rho_r(f) = F_{\Lambda_1} $$

où $F_{\Lambda_1}$ la restriction de $F$ à $\Lambda_1$ est $Z$-linéaire. Le morphisme $\rho_a$ est appelé la *représentation analytique* de $\text{Hom}(X_1, X_2)$ et $\rho_r$ est appelé sa *représentation rationnelle*. On notera par

$$ \text{Hom}_Q(X_1, X_2) := \text{Hom}(X_1, X_2) \otimes_Z Q $$

**Proposition 3.1.2.** $\text{Hom}(X_1, X_2) \simeq \mathbb{Z}^m$ pour un certain $m \le 4g_1g_2$.

*Démonstration.* Voir [3, Proposition 1.2.2.]. Le morphisme $F_{\Lambda_1}$ détermine totalement $F$ et $f$ et d'autre part nous avons $\text{Hom}_Z(X_1, X_2) \simeq \mathbb{Z}^m$. Alors on conclut avec l'injectivité de $\rho_r$. $\square$

On considère $\Pi_1$ et $\Pi_2$ les matrices de période respectives des tores $X_1$ et $X_2$ selon des bases choisies de $(V_1, \Lambda_1)$ et de $(V_2, \Lambda_2)$. Soit $f: X_1 \to X_2$ un morphisme, on note respectivement par $A \in M(g_2 \times g_1, \mathbb{C})$ et $R \in M(2g_2 \times 2g_1, \mathbb{Z})$ les matrices des morphismes $\rho_a$ et $\rho_r$. Alors de la condition $\rho_a(f)(\Lambda_1) \subset \Lambda_2$ nous avons :

$$ A\Pi_1 = \Pi_2 R. $$

Et réciproquement toutes matrices $A \in M(g_2 \times g_1, \mathbb{C})$ et $R \in M(2g_2 \times 2g_1, \mathbb{Z})$ satisfaisant cette condition définissent un morphisme de $X_1$ vers $X_2$.

Lorsque $f \in \text{End} X$, on a la rélation :

$$ \left( \begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & \bar{A} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \Pi \\ \bar{\Pi} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \Pi \\ \bar{\Pi} \end{array} \right) R $$

Sachant que la matrice $\left( \begin{array}{c} \Pi \\ \bar{\Pi} \end{array} \right)$ est inversible on peut déterminer $A$ à partir de $R$ et vise-versa.

**Proposition 3.1.3.** Soit $f: X_1 \to X_2$ un morphisme de tores complexes, alors :

- Im $f$ est un sous tore de $X_2$;

- ker $f$ est un sous groupe fermé de $X_1$ et sa composante connexe contenant $0$ notée $(\ker f)_0$ est un sous tore $X_1$ d'indice fini dans $\ker f$.

*Démonstration.* Voir [3]. En effet $\text{Im } f = F(V_1)/F(V_1) \cap \Lambda_2$ et $F(V_1) \cap \Lambda_2$ est un sous groupe discret de $F(V_1)$ engendré par $F(V_1)$ comme un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.

D'autre part ker $f$ étant compact; la composante connexe $F^{-1}(\Lambda_2)_0$ de $F^{-1}(\Lambda_2)$ contenant $0$ est un sous espace de $V_1$ et $(\ker f)_0 = F^{-1}(\Lambda_2)_0/(F^{-1}(\Lambda_2)_0 \cap \Lambda_1)$ est compact avec $F^{-1}(\Lambda_2)_0 \cap \Lambda_1$ est un réseau dans $F^{-1}(\Lambda_2)_0$. $\square$
Nous allons nous intéresser maintenant à une classe d'homomorphismes de tores complexes appelés *isogénies*. Par définition une isogénie de tore complexe de $X_1$ vers $X_2$ est un morphisme surjective de $X_1 \to X_2$ ayant un noyau fini et le cardinal de son noyau est appelé son *degré*. Le degré de l'isogénie est aussi égal à $[\Lambda_2 : \rho_r(f)(\Lambda_1)]$. De plus si $f$ est un endomorphisme on a $\Lambda_1 = \Lambda_2$ et $\deg f = \deg \rho_r(f)$.

D'autre part un morphisme $X_1 \to X_2$ est une isogénie si et seulement si il est surjectif et $\dim X_1 = \dim X_2$.

Si $K \subset X_1$ est un sous groupe fini, le quotient $X_1/K$ est un tore complexe et la projection naturelle $X_1 \to X_1/K$ est une isogénie. Et réciproquement à isomorphisme près toute isogénie est de cette forme.

Tout morphisme surjectif $f : X_1 \to X_2$ de tore complexe se décompose canoniquement suivant le diagramme de factorisation de Stein ci-dessous :

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Où $g$ est un morphisme surjectif de noyau ($\ker f)_0$ et $h$ une isogénie.

L'application analytique $F = \rho_a(f)$ est un isomorphisme si seulement si $f$ est une isogénie. Dans ce cas, à isomorphisme près, on peut prendre $F = \text{id}$ alors $\Lambda_1 \subset \Lambda_2$ et $f$ dévient l'application canonique $V_1/\Lambda_1 \to V_2/\Lambda_2$. Par consequent il y a une bijection entre les isogénies partant de $X_1$ et les sous groupes de $X_1$.

Pour tout entier $n$ on note par $n_{X_1}$ l'endomorphisme de $X_1$, $x \mapsto nx$. Si $n \neq 0$ on appelle groupe des points de $n$-torsion et note $X_1[n]$ le noyau de $n_{X_1}$. On a

$$X_1[n] = \frac{1}{n}\Lambda_1/\Lambda_1 \simeq \Lambda_1/n\Lambda_1 \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{2g_1}.$$

Par conséquent $\text{Hom}(X_1, X_2)$ est un groupe abélien sans torsion et on peut le considérer comme un sous groupe de $\text{Hom}_Q(X_1, X_2)$. On y étend aussi la notion de degré par la propriété de composition :

$$\deg fg = \deg f \cdot \deg g \quad \forall f, g \in \text{Hom}_Q(X_1, X_2).$$

Par suite on définit l'exposant $e = e(f)$ d'une isogénie $f$ comme étant le plus petit entier positif $n$ pour lequel $nx = 0, \forall x \in \ker f$.

**Proposition 3.1.4.** *Pour tout isogénie $f : X_1 \to X_2$ d'exposant $e$ il existe une isogénie $g : X_2 \to X_1$, unique (à isomorphisme près) telle que $gf = e_{X_1}$ et $fg = e_{X_2}$. Et $g$ est appelé isogénie contragrédiente de $f$.*

*Démonstration.* Voir [3, Proposition 1.2.6.]. Comme $\ker f \subset \ker e_{X_1} = X_1[e]$, on prend $g : X_1 \to X_2$ comme l'unique facteur tel que $gf = e_{X_1}$. Pour tout $y \in \ker g$ on a $x \in \ker e_{X_1}$ avec $f(x) = y$ et $ey = f(ex) = 0$ alors $\ker g \subset X_2[e]$. Et le reste du résultat suit. $\square$

On en déduit que "l'existense d'une isogènie" définie une rélation d'équivalence sur l'ensemble des tores complexes. Nous dirons alors que les tores en rélation sont *isogènes*. Et un élément de $\text{End} X$ est une isogénie si et seulement si, il est inversible dans $\text{End}_Q X$.
### 3.1.0.2 Formes de Riemann sur un Tore

On rapelle qu'une forme Hermitienne $H$ sur un l'espace vectoriel $V$ est une application $V \times V \to \mathbb{C}$, $\mathbb{C}$-linéaire en la première variable et vérifiant $H(x,y) = \overline{H(y,x)}$ pour tout $x,y \in V$.

**Définition 3.1.5.** Une forme de Riemann sur un tore complexe $X = V/\Lambda$ est une forme Hermitienne sur $V$ telle que $\mathrm{Im} H(\Lambda, \Lambda) \subset \mathbb{Z}$.

**Exemple 3.1.6.** Soit $\Omega \in M_g(\mathbb{C})$ qui est symétrique et $\mathrm{Im} \, \Omega > 0$, alors $H(x,y) = {}^t x \cdot (\mathrm{Im} \, \Omega)^{-1} \cdot \overline{y}$ est une forme de Riemann définie et positive sur $\mathbb{C}^g(\mathbb{Z}^g + \Omega \mathbb{Z}^g)$.

**Remarque 3.1.7.** Les correspondances suivantes :

$$E(x, y) = \mathrm{Im} H(x, y) \quad \text{et} \quad H(x, y) = E(ix, y) + iE(x, y).$$

définissent une bijection entre les formes hermitiennes $H$ sur $V$ et les formes alternées réelles $E$ sur $V$ telles que $E(ix, iy) = E(x, y)$ pour tout $x, y \in V$ [3, Lemme 2.1.7]. En effet, lorsque que nous avons $E$ on a :

$$H(x, y) = E(ix, y) + iE(x, y) = E(iy, x) - iE(y, x) = \overline{H(y, x)}$$

Et réciproquement à partir $H$, la forme $E = \mathrm{Im} H$ est alternée et on a :

$$E(ix, iy) = \mathrm{Im} H(ix, iy) = \mathrm{Im} H(x, y) = E(x, y).$$

De plus, on dira que $E$ est une forme symplectique si $E$ est non dégénérée.

### 3.1.0.3 Dual d'un Tore Complexe

Soit $\hat{V} = \mathrm{Hom}_{\mathbb{C}}(V, \mathbb{C})$ l'ensemble des formes antilinéaires de $V$ vers $\mathbb{C}$. L'ensemble

$$\hat{\Lambda} = \{ l \in \hat{V} : \mathrm{Im}(l(\Lambda)) \subset \mathbb{Z} \}$$

est un réseau dans $\hat{V}$ et on appelle tore complexe dual $\hat{X}$ de $X$ le tore complexe de dimension $g$ défini par : $\hat{V}/\hat{\Lambda}$. Soit $f : X_1 \to X_2$ un morphisme de représentation analytique $F$. L'application $F^* : \hat{V}_2 \to \hat{V}_1$ qui associe à toute forme antilinéaire $l_2 \in \hat{V}_2$ la forme antilinéaire $l_2 \circ F \in \hat{V}_1$ induit un morphisme $\hat{f} : \hat{X}_2 \to \hat{X}_1$ puisque $F^*\hat{\Lambda}_2 \subseteq \hat{\Lambda}_1$.

De plus nous avons :

$$\text{— } \mathrm{i}\mathrm{d}_X = \mathrm{id}_{\hat{X}} \text{ et } \hat{f} = f.$$

— Et si $g : X_2 \to X_3$ est un morphisme de tore complexe, alors

$$\widehat{gf} = \hat{f}\hat{g}.$$

**Proposition 3.1.8.** Soit $f : X_1 \to X_2$ est une isogénie de tores complexes, alors l'application duale $\hat{f} : \hat{X}_2 \to \hat{X}_1$ est une isogénie dont le noyau est isomorphe à $\mathrm{Hom}(\ker f, \mathbb{C}_1)$ et nous avons $\mathrm{deg} \hat{f} = \mathrm{deg} f$.

*Démonstration.* Aller à [3]. □
### 3.1.1 Fibrés en Droites et Facteur d'Automorphie

Une variété abélienne étant (à isomorphisme près) un tore de dimension $g$, cependant à part le cas de la dimension 1 un tore de dimension $g$ n'est pas forcement une variété abélienne.

Soient $X = V/\Lambda$ un tore et $f: X \to \mathbb{C}$ fonction analytique définie sur tout $X$. Alors $f$ est de la forme $f: V \to \mathbb{C}$ et invariant par $\Lambda$. On considère une classe de ses fonctions définies par :

$$f(v + \lambda) = a(v, \lambda)f(v). \qquad (3.1)$$

où $a$ est une fonction donnée de $V \times \Lambda \to \mathbb{C}^*$ vérifiant la condition d'associativité $a(x, \lambda_1 + \lambda_2) = a(x, \lambda_1)a(x + \lambda_1, \lambda_2)$. On appelle la fonction $a$ un facteur d'automorphie. Par la suite le théorème d'Appell-Humbert caractérise les facteurs d'automorphie pour lesquels les fonctions $f_1, \dots, f_{n+1}$ de cette classe définissent une application $v \in V \mapsto (f_1(v), \dots, f_{n+1}(v)) \in \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^n$ se factorisant en une application rationnelle $X \to \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^n$.

On peut voir $f$ comme une application $V \to V \times \mathbb{C}$, $v \to (v, f(v))$ une section de la projection canonique $V \times \mathbb{C} \to V$. Alors $\Lambda$ agit aussi sur $V \times \mathbb{C}$ par : $\lambda.(v, \alpha) \mapsto (v + \lambda, a(v, \lambda)\alpha)$ et nous avons le diagramme commutatif suivant :

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Où $p$ est la projection canonique induite par la projection $V \times \mathbb{C} \to V$. Comme $\Lambda$ est un groupe discret agissant proprement et librement sur $V$ alors il existe toujours des sections (analytiques) locales pour $a$. On appelle l'espace géometrique $\mathcal{L} = (V \times \mathbb{C})/a(\Lambda)$ un fibré en droite sur $X$ dont l'ensemble des sections ( locales) forme un faisceau qui détermine entièrement $\mathcal{L}$.

### 3.1.2 Théorème d'Appell-Humbert

Les facteurs d'automorphie caractérisent explicitement les fibrés en droite sur les tores complexes. Nous résumons dans cette partie quelques propriétés sur ces facteurs d'automorphie pour plus de détails le lecteur peut se réferer à [96].

On note Pic $X$ le groupe des fibrés en droite sur $X$ et Pic $X \simeq H^1(X, \mathcal{O}_X^*)$. Pour un fibré en droites analytique $\mathcal{L}$ sur $X$ on note par $\tilde{\mathcal{L}} = v^*\mathcal{L}$ l'image réciproque de $\mathcal{L}$ sur $V$. Soit $\mathcal{O}_V$ le fibré des fonctions analytiques sur $V$ et $\mathcal{O}_V^*$ celui des fonctions analytiques inversibles, alors nous avons la suite exacte suivante :

$$0 \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow \mathcal{O}_V \stackrel{\exp}{\longrightarrow} \mathcal{O}_V^* \longrightarrow 0$$

On en déduit que $H^p(V, \mathcal{O}_V^*) = 0$ pour $p > 0$.

Il est prouvé dans [96] que $H^1(X, \mathcal{O}_X^*) \simeq H^1(\Lambda, \Gamma(\mathcal{O}_X^*))$. Si $\mathcal{F}$ est un fibré en droites sur $X$ alors le facteur d'automorphie associé à $\mathcal{F}$ sera noté $a_{\mathcal{F}}$ un cocycle représentant $\mathcal{F}$. Les sections globales de $\mathcal{F}$ sont exactement les fonctions analytiques $\vartheta: V \to \mathbb{C}$ telles que : pour tout $\lambda \in \Lambda$ et $v \in V$,

$$\vartheta(v + \lambda) = a_{\mathcal{F}}(v, \lambda)\vartheta(v).$$
De la suite exacte suivante :

$$0 \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow \mathcal{O}_X \xrightarrow{\text{exp}} \mathcal{O}_X^* \longrightarrow 0$$

On déduit un morphisme de connexion $c_1 : H^1(X, \mathcal{O}_X^*) \to H^2(X, \mathbb{Z})$. Si $\mathcal{L}$ est un fibré en droites sur $X$, le facteur d'automorphie associé à $\mathcal{L}$ peut être écrit sous la forme $a_{\mathcal{L}} = \text{exp}(2\pi ig)$ et sa classe de Chern notée $c_1(\mathcal{L})$ correspond sur $\Lambda$ à la forme alternée $E_{\mathcal{L}} : (\lambda_1, \lambda_2) \mapsto g(\lambda_2, v + \lambda_1) + g(\lambda_1, v) - g(\lambda_1, v + \lambda_2) - g(\lambda_2, v)$ pour $v$ quelconque dans $V$. Si $\text{Alt}^n(V, \mathbb{C})$ désigne le groupe des $\mathbb{R}$-formes alternées sur $\mathbb{C}$ alors l'extension réelle $E_{\mathcal{L}} \in \text{Alt}_{\mathbb{R}}^2(V, \mathbb{C})$ satisfait $E(ix, iy) = E(x, y)$ pour tout $x, y \in V$. Réciproquement, l'image de la classe de Chern $c_1$ correspond exactement aux formes alternées $E \in \text{Alt}_{\mathbb{R}}^2(V, \mathbb{C})$ telles que $E(\Lambda, \Lambda) \subset \mathbb{Z}$ et $E(ix, iy) = E(x, y)$ pour tout $x, y \in V$. Le lemme 3.1.7 montre qu'on peut voir $E_{\mathcal{L}}$ comme une forme hermitienne sur $V$.

On appelle *groupe de Néron-Severi* de $X$ noté $\text{NS}(X)$, le noyau de $\gamma : H^2(X, \mathbb{Z}) \to H^2(X, \mathcal{O}_X)$. C'est l'ensemble des classes de Chern des éléments de Pic $X$, alors on désigne par $\text{Pic}_0 X$ le noyau de $c_1 : \text{Pic} X \to H^2(X, \mathbb{Z})$.

Soit $\mathcal{L} \in \text{Pic} X$ dont $E$ et $H$ sont respectivement sa forme de Chern et sa forme Hermitienne associées. Soit $C_1^* = \{z \in \mathbb{C}, |z| = 1\}$ et $\chi : \Lambda \to C_1^*$ un semi-caractère sur $\Lambda$ pour $E$, c'est à dire $\chi(\lambda_1 + \lambda_2) = \chi(\lambda_1)\chi(\lambda_2) \exp(i\pi E(\lambda_1, \lambda_2))$ si $\lambda_1, \lambda_2 \in \Lambda$. Le théorème suivant montre qu'il existe toujours un facteur d'automorphie de la forme $a_{\mathcal{L}}(\lambda, v) = \chi(\lambda)\exp(\pi H(v, \lambda) + \frac{\pi}{2}H(\lambda, \lambda))$ pour $\mathcal{L}$. Réciproquement, si $H$ est une forme hermitienne telle que $\text{Im} H(\Lambda, \Lambda) \subset \mathbb{Z}$ et $\chi$ est un semi-caractère pour $H$ (c'est à dire pour $\text{Im} H$), alors $a_{\mathcal{L}}(\lambda, v) = \chi(\lambda)\exp(\pi H(v, \lambda) + \frac{\pi}{2}H(\lambda, \lambda))$ est un facteur d'automorphie. Par suite on notera $L(H, \chi)$ le fibré en droites associé au facteur d'automorphie $a_{\mathcal{L}}(\lambda, v)$.

**Théorème 3.1.9.** (Appell-Humbert). L'ensemble des $(H, \chi)$ où $H$ est une forme hermitienne telle que $\text{Im} H(\Lambda, \Lambda) \subset \mathbb{Z}$ et $\chi$ est un semi-caractère pour $H$ forme un groupe via :

$$(H_1, \chi_1) \cdot (H_2, \chi_2) = (H_1 + H_2, \chi_1 \chi_2)$$

De plus ce groupe est isomorphe à $\text{Pic} X$ via l'application $(H, \chi) \mapsto L(H, \chi)$, rendant le diagramme suivant commutatif :

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 3.1 – Diagramme d'Appell-Humbert</figcaption></figure>

Démonstration. Aller à [3, § 2.2] et [96, § 2.3]. □

Si $\mathcal{L} = L(H, \chi)$ est un fibré en droites sur $X$. on notera $L(H, \chi)^n = L(nH, \chi^n)$ et pour tout $v \in V$ on a :

$$t_v^*L(H, \chi) = L(H, \chi \exp(\text{Im} H(v, \cdot)))$$
On dira que $\mathcal{L}$ est symétrique (resp. antisymétrique) si $[-1]^*\mathcal{L} \simeq \mathcal{L}$ (resp. si $[-1]^*\mathcal{L} \simeq \mathcal{L}^{-1}$). De manière équivalente $\mathcal{L}$ est symétrique (resp. antisymétrique) si $[n]^*\mathcal{L} \simeq \mathcal{L}^{n^2}$ (resp. $[n]^*\mathcal{L} \simeq \mathcal{L}^n$), pour tout $n \in \mathbb{Z}$.

De plus si $f : X_1 \to X_2$ une isogénie de tores complexes, soit $H_2$ une forme hermitienne sur $V_2$ de semi-caractère associé $\chi_2$ alors on a :

$$f^*L_2(H_2, \chi_2) = L_1(\rho_a(f)^*H_2, \rho_r(f)^*\chi_2).$$

**Remarque 3.1.10.** Si $\mathcal{L} = L(H, \chi) \in \text{Pic} X$, alors le Théorème 2.3.3 de [3] montre qu'il existe un morphisme :

$$\phi_{\mathcal{L}} : X \to \hat{X}, \quad x \mapsto t_x^*\mathcal{L} \otimes \mathcal{L}^{-1}$$

dont la représentation analytique est $\phi_H : V \to \hat{V}$, $v \mapsto H(v, \cdot)$.

$\phi_{\mathcal{L}}$ ne dépend de la classe de Chern de $\mathcal{L}$. Réciproquement une application $f : X \to \hat{X}$ est de la forme $\phi_{\mathcal{L}}$ pour un fibré en droites $\mathcal{L}$ sur X si seulement si l'application :

$$H : V \times V \to \mathbb{C}, \quad (v, w) \mapsto \rho_a(f)(v)(w)$$

est hermitienne, et $H$ est alors le type de $\mathcal{L}$ [3].

### 3.1.3 Polarisation sur un Tore

D'après la définition 3.0.1, un tore complexe $X = V/\Lambda$ est une variété abélienne si elle admet un plongement dans un espace projectif. Un facteur d'automorphie (ou son fibré) sur $X$ définit un morphisme $X \to \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^{\text{deg} \mathcal{L}}$. On dit que ce fibré est *très ample* lorsque ce morphisme est un plongement. Réciproquement tout plongement de ce genre provient d'un fibré très ample.

On dit qu'un fibré $\mathcal{L}$ est *ample* s'il existe un $n$ suffisamment grand pour que $\mathcal{L}^n$ soit très ample.

**Proposition 3.1.11.** $L(H, \chi)$ est ample si et seulement si $H$ est définie et positif (c'est à dire $E$ non dégénérée).

*Démonstration.* Aller à [3, Théorème 4.5.1]. □

**Remarque 3.1.12.** Soit $f : X_1 \to X_2$ une isogénie de tores complexes, si $L_2$ un fibré très ample sur $X_2$, alors $f^*L_2$ est un fibré très ample sur $X_1$. De plus on peut trouver une rélation explicite entre les coordonnées projectives de $X_2$ associées à $L_2$ et celles de $X_1$ associées à $f^*L_2$ [96, Lemme 2.4.2], c'est à dire que l'on peut expliciter l'isogénie $f$ par rapport à ces systèmes de coordonnées.

Une variété abélienne polarisée est un couple $(X, \mathcal{L})$ où $X$ est une variété abélienne complexe et $\mathcal{L}$ un fibré ample sur $X$. Dans ce cas si $\mathcal{L} = (H, \chi)$, $H$ est une forme hermitienne définie positive, alors le morphisme $\phi_{\mathcal{L}}$ est une isogénie et on dit que c'est la *polarisation* associée à $\mathcal{L}$. Le noyau noté $K(\mathcal{L})$ de $\phi_{\mathcal{L}}$ est l'ensemble des $x$ dans $X$ tels que $t_x^*\mathcal{L} \simeq \mathcal{L}$.

**Proposition 3.1.13.** Soit $f : X_1 \to X_2$ une isogénie de variétés abéliennes, et $L_1 = (H_1, \chi_1)$ un fibré en droites sur $X_1$. Alors il existe un fibré $L_2 \in \text{Pic} X_2$ tel que $L_1 = f^*L_2$ si et seulement si le noyau de $f$ est un sous-groupe isotrope pour $E_1 = \text{Im} H_1$ de $K(\mathcal{L}_1)$. Et le lien entre les deux polarisations est donné par le diagramme commutatif suivant :
Soit $\mathcal{J}_D = \begin{pmatrix} 0 & D \\ -D & 0 \end{pmatrix}$ alors $Sp_{2g}^D(\mathcal{R}) = \{M \in M_{2g}(\mathcal{R}) : M\mathcal{J}_D^t M = \mathcal{J}_D\}$, pour un an-
neau commutatif $\mathcal{R}$ est un groupe. On notera $Sp_{2g}(\mathcal{R}) = Sp_{2g}^{\text{Id}_g}(\mathcal{R})$. On appelle groupe
symplectique de type $D$, le groupe $\Gamma_D = Sp_{2g}^D(\mathbb{Z})$. Il agit sur $\mathfrak{H}_g$ par : pour tout $\Omega \in \mathfrak{H}_g$ et
$$ \gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_D $$

$$
\gamma\Omega = (\Omega D c + d)^{-1}(\Omega D a + b)D^{-1}
$$

Alors les deux tores $X_\Omega$ et $X_{\gamma\Omega}$ sont isomorphes en tant que variétés abéliennes polarisées de types $D$, la représentation rationnelle (resp. analytique) de cet isomorphisme est donnée par $\gamma^{-1}$ (resp. $(c\Omega D + d)^{-1}$). Réciproquement deux variétés abéliennes polarisées $(X_{\Omega_1}, H_{\Omega_1})$ et $(X_{\Omega_2}, H_{\Omega_2})$ de types $D$ sont isomorphes si et seulement si $\Omega_1$ et $\Omega_2$ sont dans la même orbite par $\Gamma_D$ [3] Proposition 8.1.3. On note par $\mathfrak{A}_D = \mathfrak{H}_g/\Gamma_D$ l'espace modulaire des variétés abéliennes polarisées de type $D$.

En prenant pour base de $V$, $e_1 = \beta_1/d_1, \cdots, e_g = \beta_g/d_g$, on peut rafiner l'action de $\Gamma_D$.
D'abord la matrice de période de $X$ s'écrira : $\Pi = (\Omega_0, D)$ avec $\Omega_0 = D\Omega D$ et celle de $H$
sera $(\text{Im } \Omega_0)^{-1}$ pour la nouvelle base.

On part d'un isomorphisme $\sigma_D$ de $Sp_{2g}^D(\mathbb{Q})$ sur $Sp_{2g}(\mathbb{Q})$ donnée par :

$$
\gamma_D \mapsto \begin{pmatrix} \mathrm{Id}_g & 0 \\ 0 & D \end{pmatrix}^{-1} \gamma \begin{pmatrix} \mathrm{Id}_g & 0 \\ 0 & D \end{pmatrix}
$$

$\gamma_D$ induit un isomorphisme de $Sp_{2g}^D(\mathbb{Z})$ sur $\Gamma_D^0 = \{\gamma \in Sp_{2g}(\mathbb{Q}) : {}^t\gamma\Lambda_D \subset \Lambda_D\}$ où $\Lambda_D = \begin{pmatrix} \mathbb{Z}^g \\ D\mathbb{Z}^g \end{pmatrix}$. Ce qui conduit à une action de $\Gamma_D^0$ sur $\mathfrak{H}_g$ définie par :

$$
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Omega = (\Omega c + d)^{-1} (\Omega a + b)
$$

Et $\mathfrak{A}_D$ est isomorphe à $\mathfrak{H}_g/\Gamma_D^0$.

3.1.5 *Endomorphismes*

Soit $X = V/\Lambda$ une variété abélienne de dimension $g$ sur laquelle on considère une polarisation $\mathcal{L}$. Cette polarisation induit une isogénie $\phi_{\mathcal{L}} : X \to \tilde{X}$ de degré $d$. Par suite la proposition 3.1.4 donne l'existence d'une isogénie $\psi_{\mathcal{L}}$ de degré $d$ aussi telle que $\psi_{\mathcal{L}} \circ \phi_{\mathcal{L}} = d_X$ et $\phi_{\mathcal{L}} \circ \psi_{\mathcal{L}} = d_{\tilde{X}}$. D'où $\phi_{\mathcal{L}}$ admet dans $\text{Hom}_{\mathcal{Q}}(\tilde{X}, X)$ un inverse $\phi_{\mathcal{L}}^{-1} = \frac{1}{d}\psi_{\mathcal{L}}$. Par conséquent tout $f \in \text{End}_{\mathcal{Q}}(X)$ s'écrit sous la forme $rh$ avec $h \in \text{End}(X)$ et $r \in \mathbb{Q}$. On aura ainsi $\tilde{f} = rh \in \text{End}_{\mathcal{Q}}(\tilde{X})$.

On considère l'application :

$'
: \mathrm{End}_{\mathbb{Q}}(X) \to \mathrm{End}_{\mathbb{Q}}(X), \quad f' = \phi_{\mathcal{L}}^{-1} \tilde{f} \phi_{\mathcal{L}}
$

À partir de $\widehat{gf} = \widehat{f}\widehat{g}, \widehat{f} = f \text{ et } \widehat{\phi_L} = \phi_L \text{ nous avons pour tout } f,g \in \text{End}_Q(X) \text{ et } r,s \in \mathbb{Q}$:

$$
\begin{align*}
(rf + sg)' &= rf' + sg' \\
(fg)' &= g'f' \quad \text{et} \quad f'' = f
\end{align*}
$$
Alors l'application $'$ est une involution sur $\mathrm{End}_Q(X)$, appelé *involution de Rosati* associée à la polarisation $\mathcal{L}$. Et le résultat suivant montre que $'$ est un *opérateur adjoint* à la forme hermitienne $H$ et à la forme alternée $E$.

**Proposition 3.1.15.** Soit $f \in \mathrm{End}_Q(X)$.

$$ \text{— } E(\rho_r(f)(\lambda), v) = E(\lambda, \rho_r(f')(v)) \text{ pour tout } \lambda, v \in \Lambda. $$

$$ \text{— } H(\rho_a(f)(v), w) = H(v, \rho_a(f')(w)) \text{ pour tout } v, w \in V. $$

*Démonstration.* Voir [3, Proposition 5.1.1.]. □

Soit $f \in \mathrm{End}_Q(X)$, on note par $P_f^r$ le polynôme caractéristique det $(x \mathrm{Id}_\Lambda - \rho_r(f))$ de $\rho_r(f)$ son degré est $2g$ et on note par $\mathrm{Tr}_r(f)$ l'opposé du coefficient de degré $(2g-1)$ appelé *trace rationnelle de f*. Alors l'application $(f,g) \mapsto \mathrm{Tr}_r(f'g)$ est une forme bilinéaire symétrique, définie et positive sur le Q-espace vectoriel $\mathrm{End}_Q(X)$ [3, Pages: 117-118]. Et il en découle que le groupe des automorphismes d'une variété abélienne polarisée $(X, \mathcal{L})$ est fini et pour $f \in \mathrm{Aut}(X)$, $n \ge 3$ un entier, $f|_{X_n} = \mathrm{id}_{X_n}$ implique $f = \mathrm{id}_X$. Alors pour $n \ge 3$ on a :

$$ \mathrm{Aut}(X, \mathcal{L}) \hookrightarrow \mathrm{Aut}_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}(X[n]) = \mathrm{GL}_{2g}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) $$

On dit que $f \in \mathrm{End}_Q(X)$ est symétrique suivant la polarisation $\mathcal{L}$ si $f' = f$ et on note $\mathrm{End}_Q^s(X)$ (resp. $\mathrm{End}^s(X)$) le sous ensemble de $\mathrm{End}_Q(X)$ (resp. $\mathrm{End}(X)$) des éléments symétriques. Alors $\mathrm{End}_Q^s(X)$ est Q-espace vectoriel et $\mathrm{End}^s(X)$ est un groupe additif tel que: $\mathrm{End}_Q^s(X) \simeq \mathrm{End}^s(X) \otimes_{\mathbb{Z}} Q$.

**Proposition 3.1.16.** Soit $\mathcal{L}_0$ une polarisation sur $X$, alors l'application

$$ \phi : \mathrm{NS}_Q(X) \to \mathrm{End}_Q^s(X), \quad \mathcal{L} \mapsto \phi_{\mathcal{L}_0}^{-1} \phi_{\mathcal{L}} $$

est un isomorphisme de Q-espace vectoriel, qui se réduit en un isomorphisme de groupes entre $\mathrm{NS}(X)$ et $\mathrm{End}^s(X)$ lorsque $\mathcal{L}_0$ est principale.

*Démonstration.* Aller à [3, Proposition 5.2.1.]. □

On dit d'une variété abélienne qu'elle est *simple* lorsqu'elle ne contient que 0 et $X$ comme sous variétés abéliennes.

Et pour toute variété abélienne $X$ le théorème de *Réductibilité Complète de Poincaré* donne l'existence d'une isogénie : $X \to X_1^{n_1} \times \cdots \times X_r^{n_r}$, avec $X_i$ des variétés abéliennes simples non isogènes entre elles et déterminées (avec les exposants) à isogénie et permutation près [3]. Il en découle que pour une variété abélienne simple $(X, \mathcal{L})$ de dimension $g$, $\mathrm{End}_Q(X)$ est un corps gauche de dimension finie sur $\mathbb{Q}$ muni de l'involution de Rosati $'$ par rapport à $\mathcal{L}$.

**Proposition 3.1.17.** Soient $K$ le centre de $\mathrm{End}_Q(X)$ et $K_0$ le sous-corps de $K$ invariant par l'involution $'$. On note

$$ [F : K] = d^2, \quad [K : \mathbb{Q}] = e, \quad [K_0 : \mathbb{Q}] = e_0, \quad \text{et} \quad \mathrm{rg}(\mathrm{NS}(X)) = \rho. $$

Alors le tableau 3.1 suit.

*Démonstration.* Aller à [3, Proposition 5.5.7.]. □

Le couple $(\mathrm{End}_Q,')$ est dit du *premier type* si $K = K_0$, sinon il est dit du *second type*.
<table><caption>TABLE 3.1 – Tableau de l’anneau End$_Q(X)$ des variétés abéliennes simples
[3, § 5.5]</caption><thead><tr><th>End<sub>Q</sub>(X)</th><th>d</th><th>e<sub>0</sub></th><th>Q</th><th>restriction</th></tr></thead><tbody><tr><td>Corps de nombre totalement réel</td><td>1</td><td>e</td><td>e</td><td>e|g</td></tr><tr><td>Algèbre de quaternions totalement indéfinie</td><td>2</td><td>e</td><td>3e</td><td>2e|g</td></tr><tr><td>Algèbre de quaternions totalement définie</td><td>2</td><td>e</td><td>e</td><td>2e|g</td></tr><tr><td>(End<sub>Q</sub>,') du second</td><td>d</td><td>e/2</td><td>e<sub>0</sub>d<sup>2</sup></td><td>e<sub>0</sub>d<sup>2</sup>|g</td></tr></tbody></table>

## 3.2 VARIÉTÉS ABÉLIENNES PRINCIPalement POLARISÉES

Dans cette section nous introduisons les fonctions thêtas, qui définissent un plongement projectif associé à un fibré très ample. Puis nous étudions les liens entre courbes hyperellip- tiques de genre $g$ et variétés abéliennes principalement polarisées.

Soit $(X, \mathcal{L})$ une abélienne polarisée de type $D$. Soit $\Lambda = \Lambda_1 \oplus \Lambda_2$ une décomposition symplec- tique du réseau de $X$, et $K(\mathcal{L}) = K_1(\mathcal{L}) \oplus K_2(\mathcal{L})$ celle de $K(\mathcal{L})$ associée. Alors il existe une base $(\theta_i)_{i \in K_2(\mathcal{L})}$ des fonctions thêta de $\mathcal{L}$. Et cela peut se ramener à l'étude des fonctions thêta pour le fibré symétrique $\mathcal{L}_0$ de caractéristique 0 induit par la décomposition symplectique de $\Lambda$ (pour plus de détails se référer à [3, § 3.2] ou à [96, § 2.6]).

La forme hermitienne $H$ étant symétrique sur $V_2$, on note par $B$ l'extension bilinéaire $H_{|V_2}$ à $V \times V$. Alors on définit le facteur d'automorphie classique $a_{\mathcal{L}}^c$ par :

$$ (\lambda, v) \mapsto \chi(\lambda) \exp[\pi(H - B)(v, \lambda) + \frac{\pi}{2}(H - B)(\lambda, \lambda)] $$

Ainsi une fonction $f$ satisfaisant l'équation fonctionnelle : $f(z + \lambda) = a_{\mathcal{L}}^c(\lambda, v)f(z)$ avec le facteur d'automorphie classique $a_{\mathcal{L}}^c$, est appelée fonction thêta classique pour $\mathcal{L}$. Soit $\Lambda_1 = \Omega\mathbb{Z}^g$, $\Lambda_2 = \mathbb{Z}^g$ et $\Lambda = \Lambda_1 \oplus \Lambda_2$ telle que $\Omega D^{-1} \in \mathfrak{H}_g$. Alors la fonction thêta classique $f$ vérifie les conditions :

$$ \begin{gathered} f(z + m) = f(z) \\ f(z + \Omega m) = f(z) \exp[-\pi i^t m \cdot (D\Omega) \cdot m - 2\pi i^t z \cdot D \cdot m] \end{gathered} $$

Cette fonction étant $\mathbb{Z}$-périodique, son dévéloppement de Fourier lui offre plus de flexibilité.

On appelle fonctions thêta de niveau $D$, les fonctions $(\theta^0_b]([\cdot, \Omega D^{-1}]))_{b \in D^{-1}\mathbb{Z}^g/\mathbb{Z}^g}$ et elles forment une base des fonctions thêta classiques [88, Page: 124].

### 3.2.1 Fonctions Thêta Classiques

Soit $(X_\Omega = \mathbb{C}^g/\Lambda, H)$ une variété abélienne principalement polarisée avec $\Omega \in \mathfrak{H}_g$ tel que $\Lambda = \Omega\mathbb{Z}^g \oplus \mathbb{Z}^g$. Soit $a, b \in \mathbb{Q}^g$, on appelle fonction thêta de caractéristique $(a, b)$ la fonction sur $\mathbb{C}^g$ définie par :

$$ \theta_b^{[a]}(z, \Omega) = \sum_{n \in \mathbb{Z}^g} \exp[i\pi^t(n + a)\Omega(n + a) + 2i\pi^t(n + a)(z + b)] $$

On notera $\theta = \theta^{[0]}$. Les fonctions thêta classiques sont holomorphes et vérifient pour tout $m, n \in \mathbb{Z}^g$, l'équation :

$$ \theta_b^{[a]}(z + \Omega m + n, \Omega) = \exp[2\pi i(ta \cdot n - tb \cdot m) - \pi i(t^m \Omega m + 2^t m z)] \theta_b^{[a]}(z, \Omega) $$