ANNALES MATHÉMATIQUES BLAISE PASCAL

FRANÇOIS GRAMAIN

Lemme de Schwarz pour des produits cartésiens

*Annales mathématiques Blaise Pascal*, tome 8, n° 2 (2001), p. 67-75

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# LEMME DE SCHWARZ POUR DES PRODUITS CARTÉSIENS

François GRAMAIN

**Abstract.** We prove the best known Schwarz Lemma for analytic functions of several variables which take on zero values with multiplicity on each point of a Cartesian product.

**Résumé.** On donne la preuve du meilleur lemme de Schwarz connu pour les fonctions analytiques de plusieurs variables qui s'annulent avec multiplicité aux points d'un produit cartésien.

## 0. Introduction et notations

Pour $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ le (poly)disque (ouvert) $D(0, r)$ de centre $0 = (0, \dots, 0) \in \mathbb{C}^n$ et de rayon $r = (r_1, \dots, r_n) \in [0, +\infty]^n$ est l'ensemble des $z = (z_1, \dots, z_n) \in \mathbb{C}^n$ tels que $|z_i| < r_i$ pour tout $i$ ($1 \le i \le n$). Son adhérence est le polydisque fermé $\bar{D}(0, r)$, ensemble des points $z$ tels que $|z_i| \le r_i$ pour tout $i$ ($1 \le i \le n$). On dit que la fonction $f$ à valeurs complexes est analytique sur le polydisque fermé de rayon $r$ si elle est continue sur le polydisque fermé $\bar{D}(0, r)$ et analytique en tout point du polydisque ouvert $D(0, r)$. On note $|f|_r$ le maximum de $|f|$ sur le bord distingué $\{z \in \mathbb{C}^n \mid |z_i| = r_i, 1 \le i \le n\}$ du polydisque. Le principe du maximum dit que $|f|_r$ est le maximum de $|f|$ sur le polydisque fermé $\bar{D}(0, r)$. Pour $\tau = (\tau_1, \dots, \tau_n) \in \mathbb{N}^n$ on note $D^\tau f$ la dérivée $z \mapsto \frac{\partial^\tau_1}{\partial z_1^{\tau_1}} \dots \frac{\partial^\tau_n}{\partial z_n^{\tau_n}} f(z)$.

Les lemmes de Schwarz classiques (dans le cas des fonctions d'une variable) sont des énoncés du type suivant

**Théorème.** Soient $r$ et $R$ des nombres réels tels que $0 \le r \le R$. Si la fonction $f$ analytique dans le disque fermé de rayon $R$ admet (au moins) $N$ zéros de multiplicité au moins $t$ dans le disque fermé de rayon $r$, alors on a

$$|f|_r \le E^{-tN} |f|_R.$$

où $E$ est un nombre réel positif ne dépendant que de $r$ et $R$ (supérieur à 1 sous certaines conditions), mais dépendant de la preuve utilisée.
Dans [Wal2] (Lemme 7.1.3), M. Waldschmidt prouve ce résultat avec $E = \frac{R-r}{2r}$ et dit que le Théorème est vrai avec $E = \frac{R^2+r^2}{2rR}$ (ce qui est vrai !). On peut raffiner un tel énoncé en introduisant un troisième paramètre $\rho$ tel que le disque fermé de rayon $\rho$ contienne les zéros considérés de $f$, le nombre $r$ étant alors un nombre quelconque au plus égal à $R$ (voir le Lemme 6.2.1 de [Wal1] et le Lemma 2.2 de [Wal4]), voire en précisant la multiplicité de chacun des zéros de $f$. C'est ce que nous ferons au paragraphe 1, retrouvant un cas particulier du principe de Schwarz approché de P. Philippon [Phi]. Outre la preuve naturelle, nous donnerons une preuve démarquée de la deuxième démonstration du Lemme 7.1.3 de [Wal2] et qui permet de passer aux fonctions de $n$ variables s'annulant sur un produit cartésien, ce que nous ferons au paragraphe $n$. Nous obtiendrons ainsi l'énoncé qui semble le plus précis actuellement connu, mais dont aucune preuve complète n'est publiée.

## 1. Lemme de Schwarz en 1 variable

La valeur optimale de la constante $E$ du lemme de Schwarz est obtenue à l'aide des facteurs de Blaschke (isomorphismes du disque) dont le Lemme suivant (Lemma 2.1 de [Wal4] dont nous reproduisons la preuve) donne les principales estimations.

### Lemme.

(a) Soient $z$ et $\zeta \in C$, $r = |z|$ et $\rho = |\zeta|$. On suppose $r \le R$, $\rho \le R$ et $r\rho < R^2$. Alors

$$ \frac{|r - \rho|}{R^2 - r\rho} \le \left| \frac{z - \zeta}{R^2 - z\bar{\zeta}} \right| \le \frac{r + \rho}{R^2 + r\rho}. $$

(b) Soient $\zeta \in C$ et $R > 0$ tels que $|\zeta| \le R$. La fonction $z \mapsto \frac{z - \zeta}{R^2 - z\bar{\zeta}}$ se prolonge en une fonction analytique sur le disque fermé de rayon $R$ et on a $\left| \frac{z - \zeta}{R^2 - z\bar{\zeta}} \right| = \frac{1}{R}$ pour $|z| = R$.

**Démonstration.** (a) L'énoncé est symétrique en $z$ et $\zeta$, car $|R^2 - z\bar{\zeta}| = |R^2 - z\bar{\zeta}|$, et il est trivial pour $r = 0$. On peut donc supposer $r\rho \ne 0$. Alors

$$ \left| \frac{z - \zeta}{R^2 - z\bar{\zeta}} \right|^2 = \frac{(z - \zeta)(\bar{z} - \bar{\zeta})}{(R^2 - z\bar{\zeta})(R^2 - \bar{z}\zeta)} = \frac{r^2 + \rho^2 - (\bar{z}\zeta + z\bar{\zeta})}{R^4 - R^2(\bar{z}\zeta + z\bar{\zeta}) + r^2\rho^2} = f\left(\frac{\bar{z}\zeta + z\bar{\zeta}}{r\rho}\right), $$

où $f(x) = \frac{r^2 + \rho^2 - r\rho x}{R^4 - R^2r\rho x + r^2\rho^2}$. La fonction rationnelle $f$ est définie sur $[-2, 2]$, car $r\rho < R^2$ donne $R^4 - R^2r\rho x + r^2\rho^2 \ge (R^2 - r\rho)^2 > 0$ pour $x \ge -2$. Sa dérivée est du
signe de $-r\rho(R^4 - R^2 r\rho x + r^2\rho^2 - R^2(r^2 + \rho^2 - r\rho x)) = -r\rho(R^2 - r^2)(R^2 - \rho^2) \le 0$.
Ainsi $f$ est décroissante sur $[-2, 2]$ de sorte que $f(2) \le f(x) \le f(-2)$ pour tout
$x \in [-2, 2]$. Cette double inégalité écrite pour $x = \frac{\bar{z}\zeta + z\bar{\zeta}}{r\rho}$, qui est un nombre réel de
valeur absolue au plus 2, donne le résultat (a).

(b) Pour $|\zeta| = \rho < R$ il est inutile de prolonger la fonction considérée pour qu'elle soit analytique sur le disque ouvert de rayon $R^2/\rho > R$. Alors le (a) pour $r=R$ donne le (b). Si $|\zeta| = R$, sur le disque ouvert de rayon $R$ on a $\frac{z-\zeta}{R^2-z\bar{\zeta}} = \frac{z-\zeta}{\zeta\bar{\zeta}-z\bar{\zeta}} = \frac{-1}{\bar{\zeta}}$, donc la fonction peut être considérée comme constante sur $C$, de module $1/R$. Cela achève la preuve de (b). ◇

On en déduit le lemme de Schwarz suivant.

**Théorème 1.** Soient $r, \rho$ et $R$ des nombres réels tels que $0 \le r \le R$ et $0 \le \rho \le R$.
Soient $S = \{\sigma_1, \dots, \sigma_N\}$ une partie à $N$ ($\ge 1$) éléments du disque de centre $0$ et de
rayon $\rho$ et ($t_1, \dots, t_N) \in \mathbb{N}^N$. Si $f$ est une fonction analytique sur le disque fermé de
centre $0$ et de rayon $R$ qui s'annule à l'ordre $t_i$ au point $\sigma_i$ pour tout $i$ ($1 \le i \le N$),
alors on a

$$
|f|_r \le |f|_R \prod_{1 \le i \le N} \left( \frac{R^2 + r|\sigma_i|}{R(r+|\sigma_i|)} \right)^{-t_i} \le \left( \frac{R^2 + r\rho}{R(r+\rho)} \right)^{-\sum_{1 \le i \le N} t_i} |f|_R.
$$

Démonstration. Le résultat étant trivial pour $r=R$, on suppose que $r < R$. La preuve naturelle consiste à appliquer le principe du maximum ($|g|_r \le |g|_R$) à la fonction $z \mapsto g(z) = f(z) \prod_{1 \le i \le N} \left( \frac{R^2 - z\bar{\sigma}_i}{z - \sigma_i} \right)^{t_i}$ qui est analytique sur le disque fermé de rayon $R$. Le Lemme (b) donne $|g|_R \le R^{\sum t_i} |f|_R$ et il suffit d'appliquer la deuxième inégalité du Lemme (a) pour minorer $|g|_r$, ce qui donne le résultat annoncé, la deuxième inégalité résultant de la croissance sur l'intervalle $[0, +\infty[$ de la fonction $\rho \mapsto \frac{R+\rho}{R^2+r\rho}$. ◇

On peut aussi utiliser une formule d'interpolation. On part de l'identité

$$
\frac{1}{\zeta - z} = \frac{R^2 - u\bar{u}}{(R^2 - \bar{u}z)(\zeta - u)} + \frac{R(z-u)}{R^2 - \bar{u}z} \frac{R^2 - \bar{u}\zeta}{R(\zeta - u)} \frac{1}{\zeta - z}
$$

que l'on vérifie facilement [en prenant $(R^2 - \bar{u}z)(\zeta - u)(\zeta - z)$ comme dénominateur du
second membre, le numérateur obtenu est $(R^2 - u\bar{u})(\zeta - z) + (z - u)(R^2 - \bar{u}\zeta)$ qui n'est
autre que $(R^2 - \bar{u}z)(\zeta - u)$].
Soit $(u_i)_{0 \le i \le n-1}$ une suite finie de nombres complexes. On écrit l'identité précédente avec $u = u_0$ ; puis, dans le dernier terme, on remplace $\frac{1}{\zeta - z}$ par sa valeur donnée par l'identité écrite pour $u = u_1$. L'itération de ce procédé fournit l'identité fondamentale suivante :

$$ (1) \quad \frac{1}{\zeta - z} = \sum_{0 \le j < n} \frac{R^2 - u_j \overline{u_j}}{R^2 - \overline{u_j} z} \frac{1}{\zeta - u_j} \prod_{0 \le i < j} \frac{R(z - u_i) R^2 - \overline{u_i} \zeta}{R^2 - \overline{u_i} z R(\zeta - u_i)} \\ \qquad + \frac{1}{\zeta - z} \prod_{0 \le i < n} \frac{R(z - u_i) R^2 - \overline{u_i} \zeta}{R^2 - \overline{u_i} z R(\zeta - u_i)}. $$

En effet, pour $n=0$ c'est l'identité de départ (le produit vide vaut 1). Le passage de $n$ à $n+1$ consiste à remplacer dans le dernier terme du second membre $\frac{1}{\zeta - z}$ par sa valeur donnée par l'identité de départ

$$ \frac{R^2 - u_n \overline{u_n}}{(R^2 - \overline{u_n} z)(\zeta - u_n)} + \frac{R(z - u_n)}{R^2 - \overline{u_n} z} \frac{R^2 - \overline{u_n} \zeta}{R(\zeta - u_n)} \frac{1}{\zeta - z}, $$

ce qui fournit bien la formule (1) à l'ordre supérieur.

Pour démontrer le Théorème 1, on écrit l'identité (1) pour la suite $(u_i)$ formée des $\sigma_j$ ($1 \le j \le N$) où chaque $\sigma_j$ est répété $t_j$ fois (l'ordre étant sans importance), de sorte que $n = \sum_{1 \le j \le N} t_j$. On multiplie alors chacun des deux membres de (1) par $\frac{1}{2i\pi} f(\zeta)$ et on intègre l'égalité obtenue sur le bord du disque $\{\zeta \in \mathbb{C} ; |\zeta| \le R\}$. Le premier membre vaut $f(z) = \frac{1}{2i\pi} \int_{|\zeta|=R} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta$. Tous les termes de la somme $\sum_{0 \le j < n}$ sont nuls car la fonction à intégrer $\zeta \mapsto \frac{1}{\zeta - u_j} \prod_{0 \le i < j} \frac{R^2 - \overline{u_i} \zeta}{R(\zeta - u_i)} f(\zeta)$ est analytique sur le disque fermé de rayon $R$. On obtient donc

$$ f(z) = \varphi(z) \prod_{0 \le i < n} \frac{R(z - u_i)}{R^2 - \overline{u_i} z} = \varphi(z) \prod_{1 \le j \le N} \left( \frac{R(z - \sigma_j)}{R^2 - \overline{\sigma_j} z} \right)^{t_j}, $$ 
 où $\varphi(z) = \frac{1}{2i\pi} \int_{|\zeta|=R} \prod_{1 \le j \le N} \left( \frac{R^2 - \overline{\sigma_j} \zeta}{R(\zeta - \sigma_j)} \right)^{t_j} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta.$

Or, pour $|\zeta| = R$ on a $\left| \frac{R^2 - \overline{\sigma_j} \zeta}{R(\zeta - \sigma_j)} \right| = 1$ (Lemme (b)), donc la formule intégrale donnant $\varphi$ fournit $|\varphi|_r \le \frac{R}{R-r} |f|_R$.

Pour $|z|=r$ on a $\left| \frac{R(z-\sigma_j)}{R^2-\overline{\sigma_j}z} \right| \le \frac{R(r+|\sigma_j|)}{R^2+r|\sigma_j|}$ d'après le Lemme (a). Il en résulte que $|f|_r \le |\varphi|_r \prod_{1 \le j \le N} \left( \frac{R(r+|\sigma_j|)}{R^2+r|\sigma_j|} \right)^{t_j} \le \frac{R}{R-r} |f|_R \prod_{1 \le j \le N} \left( \frac{R^2+r|\sigma_j|}{R(r+|\sigma_j|)} \right)^{-t_j}$. c'est-à-dire
le résultat annoncé au facteur parasite $\frac{R}{R-r}$ près. On se débarrasse de ce facteur grâce à l'astuce de Landau : pour tout $k \in \mathbb{N}$ la fonction $f^k$ admet un zéro d'ordre $kt_j$ au point $\sigma_j$, donc le résultat que l'on vient d'obtenir appliqué à la fonction $f^k$ s'écrit

$$|f^k|_r = |f|_r^k \le \frac{R}{R-r} |f|_R^k \prod_{1 \le j \le N} \left( \frac{R^2 + r|\sigma_j|}{R(r + |\sigma_j|)} \right)^{-kt_j}$$

Il suffit alors de prendre la racine k-ième de cette inégalité et de remarquer que $\left(\frac{R}{R-r}\right)^{1/k}$ a pour limite 1 lorsque $k$ tend vers l'infini pour obtenir l'inégalité désirée. ◇

### n. Lemme de Schwarz en n variables

L'itération de cette méthode de démonstration du Théorème 1, comme dans la preuve du Lemme 2 de [Wal3], conduit à l'énoncé suivant.

**Théorème n.** Soient $f$ une fonction de $n$ variables complexes analytique dans le polydisque fermé de rayon $R = (R_1, \dots, R_n)$ et, pour chaque $i$ ($1 \le i \le n$) une partie $S_i$ à $N_i$ éléments du disque $\{z_i \in \mathbb{C} ; |z_i| \le \rho_i\}$. On suppose que, pour tout $i$ ($1 \le i \le n$) on a

$$0 \le \tau_i \le R_i, \quad 0 \le \rho_i \le R_i \quad \text{et} \quad \frac{R_i^2 + r_i \rho_i}{R_i (r_i + \rho_i)} \ge E \ge 1.$$

Si l'on a $D^\tau f(x) = 0$ pour tout $x \in \prod_{1 \le i \le n} S_i$ et pour tout $\tau = (\tau_1, \dots, \tau_n) \in \mathbb{N}^n$ tel que $\sum_{1 \le i \le n} \tau_i N_i < T$ (où $T$ est un nombre réel), alors $|f|_R \le E^{-T} |f|_R$.

Remarquons tout de suite que le Lemme 2 de [Wal3] contient la Proposition 7.2.1 de [Wal2] (dont la preuve complète utilise le travail d'Abdelhak Azhari [Azh]), qui, elle-même, entraîne la Proposition 4.7 de [Wal6]. L'introduction dans la preuve du Lemme 2 de [Wal3] des facteurs de Blaschke donne un Théorème $n$ qui est donc plus précis que tous les énoncés que nous venons de citer. Pour $r_i = \rho_i$ et $N_i = N = T$ ($1 \le i \le n$) on retrouve le Lemme 1.3 de [Wal5], où les détails de la preuve sont laissés au lecteur. La comparaison avec le principe de Schwarz de [Phi] (dans le cas où la fonction considérée a des zéros, et non pas des petites valeurs) est plus difficile à faire. Il semble que le présent énoncé améliore le résultat en supprimant des termes parasites dans la majoration, tout en affaiblissant un peu l'hypothèse. Enfin, le paramètre $T$ du Théorème est un nombre
réel (positif) quelconque, mais il est clair que l'on a intérêt à le choisir entier et multiple du pgcd des $N_i$. Cela dit, on peut passer à la

*Démonstration.* Elle se fait par récurrence sur $n$. Pour $n=1$, l'énoncé est conséquence du Théorème 1.

Soit donc $n$ un nombre entier fixé $\ge 2$ et supposons le Théorème $n-1$ démontré.
Notons $S_1 = \{\sigma_1, \dots, \sigma_{N_1}\}$ et $T_1 = [T/N_1]$ de sorte que $N_1 T_1 \ge T$ et que, pour $\tau \in N$
on a $\tau < T_1$ si et seulement si $N_1 \tau < T$. On définit la suite $(u_j)_{0 \le j < N_1 T_1}$ comme étant la
suite ordonnée des $\sigma_j$ répétés $T_1$ fois : on a $u_{q_{N_1+\tau}} = \sigma_{r+1}$ si $0 \le q < T_1$ et $0 \le r < N_1$.
On multiplie la formule (1) de la preuve du Théorème 1

$$
\frac{1}{\zeta - z_1} = \sum_{0 \le j < N_1 T_1} \frac{R_1^2 - u_j \bar{u}_j}{R_1^2 - \bar{u}_j z_1} \frac{1}{\zeta - u_j} \prod_{0 \le i < j} \frac{R_1 (z_1 - u_i)}{R_1^2 - \bar{u}_i z_1} \frac{R_1^2 - \bar{u}_i \zeta}{R_1 (\zeta - u_i)} \\
\qquad + \frac{1}{\zeta - z_1} \prod_{0 \le i < N_1 T_1} \frac{R_1 (z_1 - u_i)}{R_1^2 - \bar{u}_i z_1} \frac{R_1^2 - \bar{u}_i \zeta}{R_1 (\zeta - u_i)}
$$

par $\frac{1}{2i\pi} f(\zeta, z_2, \dots, z_n)$ et on intègre sur le bord du disque $\{\zeta \in \mathbb{C} ; |\zeta| \le R_1\}$, ce qui
donne

$$
(2) \quad f(z_1, \dots, z_n) = \sum_{0 \le j < N_1 T_1} f_j(z_2, \dots, z_n) \frac{R_1^2 - u_j \bar{u}_j}{R_1^2 - \bar{u}_j z_1} \prod_{0 \le i < j} \frac{R_1 (z_1 - u_i)}{R_1^2 - \bar{u}_i z_1} \\
\qquad + \varphi(z_1, \dots, z_n) \left( \prod_{\sigma \in S_1} \frac{R_1 (z_1 - \sigma)}{R_1^2 - \bar{\sigma} z_1} \right)^{T_1},
$$

$$
\text{où } f_j(z_2, \dots, z_n) = \frac{1}{2i\pi} \int_{|\zeta|=R_1} \left( \prod_{0 \le i < j} \frac{R_1^2 - \bar{u}_i \zeta}{R_1 (\zeta - u_i)} \right) \frac{f(\zeta, z_2, \dots, z_n)}{\zeta - u_j} d\zeta
$$

$$
\text{et } \varphi(z_1, \dots, z_n) = \frac{1}{2i\pi} \int_{|\zeta|=R_1} \left( \prod_{\sigma \in S_1} \frac{R_1^2 - \bar{\sigma}\zeta}{R_1(\zeta - \sigma)} \right)^{T_1} \frac{f(\zeta, z_2, \dots, z_n)}{\zeta - z_1} d\zeta.
$$

On va vérifier, par récurrence sur $j$ ($0 \le j < N_1 T_1$), que

$$
(3) \quad \mathrm{D}^\tau f_j(x) = 0 \quad \text{pour tout } x = (x_2, \dots, x_n) \in \prod_{2 \le i \le n} S_i \quad \text{et tout } \tau = (\tau_2, \dots, \tau_n) \in \mathbb{N}^{n-1} \\
\text{tel que } \sum_{2 \le i \le n} \tau_i N_i < T - j.
$$

On a $f_0(z_2, \dots, z_n) = \frac{1}{2i\pi} \int_{|\zeta|=R_1} \frac{f(\zeta, z_2, \dots, z_n)}{\zeta - u_0} d\zeta = f(\sigma_1, z_2, \dots, z_n)$, puisque $u_0 = \sigma_1$. Par hypothèse on a $\mathrm{D}^\tau f(\sigma_1, x_2, \dots, x_n) = 0$ pour tout $(x_2, \dots, x_n) \in \prod_{2 \le i \le n} S_i$ et tout $\tau = (0, \tau_2, \dots, \tau_n) \in \mathbb{N}^n$ tel que $\sum_{2 \le i \le n} \tau_i N_i < T$, ce qui donne la propriété (3) pour $j=0$.
Fixons l'entier $j$ ($1 \le j < N_1 T_1$) et supposons (3) vraie jusqu'à l'ordre $j-1$. Fixons $(x_2, \dots, x_n) \in \prod_{2 \le i \le n} S_i$ et $\tau = (\tau_2, \dots, \tau_n) \in \mathbb{N}^{n-1}$ tel que $\sum_{2 \le i \le n} \tau_i N_i < T - j$. Par division euclidienne on obtient $j = qN_1 + r$ ($q \in \mathbb{N}$, $0 \le r < N_1$), de sorte que

$$ \prod_{0 \le i < j} (z_i - u_i) = (z_1 - \sigma_1)^{q+1} \dots (z_1 - \sigma_r)^{q+1} (z_1 - \sigma_{r+1})^q \dots (z_1 - \sigma_{N_1})^q $$

et que, pour $k > j$, le produit $\prod_{0 \le i < k} (z_1 - u_i)$ admet un zéro d'ordre $\ge q+1$ au point $z_1 = \sigma_{r+1}$. En dérivant $q$ fois la formule d'interpolation (2) et en spécialisant au point $(\sigma_{r+1}, z_2, \dots, z_n)$ on obtient donc

$$ \frac{\partial q}{\partial z_1^q} f(\sigma_{r+1}, z_2, \dots, z_n) = \sum_{0 \le k \le j} f_k(z_2, \dots, z_n) \left. \frac{\partial q}{\partial z_1^q} \frac{R_1^2 - u_k \bar{u}_k}{R_1^2 - \bar{u}_k z_1} \prod_{0 \le i < k} \frac{R_1 (z_1 - u_i)}{R_1^2 - \bar{u}_i z_1} \right|_{z_1=\sigma_{r+1}}, $$

puisque les coefficients de $\varphi$ et des $f_k$ pour $k > j$ ont un zéro d'ordre $\ge q+1$ au point $z_1 = \sigma_{r+1}$. Dans cette formule, le coefficient de $f_j(z_2, \dots, z_n)$ est une constante non nulle car $\sigma_{r+1}$ est un zéro d'ordre exactement $q$ du coefficient de $f_j$ dans la formule (2). Ainsi $f_j$ est combinaison linéaire à coefficients complexes de $\frac{\partial q}{\partial z_1^q} f(\sigma_{r+1}, z_2, \dots, z_n)$ et des $f_k(z_2, \dots, z_n)$ pour $0 \le k < j$. Il en résulte que $D^r f_j(x_2, \dots, x_n)$ est combinaison linéaire de $D^{(q,r)} f(\sigma_{r+1}, x_2, \dots, x_n)$, qui est nul car $qN_1 + \sum_{2 \le i \le n} \tau_i N_i < j - r + T - j = T - r \le T$, et des $D^r f_k(x_2, \dots, x_n)$ (pour $k < j$) qui sont nuls par l'hypothèse de récurrence, du fait que $\sum_{2 \le i \le n} \tau_i N_i < T - j < T - k$. Cela achève la preuve de la propriété (3).

Cette propriété permet d'appliquer le lemme de Schwarz (Théorème $n-1$) à chacune des $f_j$ pour obtenir $|f_j|_r \le E^{-T+j} |f_j|_R$. La formule d'interpolation (2) fournit alors

$$ |f|_r \le \sum_{0 \le j < N_1 T_1} \frac{R_1^2 + \rho_1^2}{R_1^2 - \rho_1^2} \left( \frac{R_1 (r_1 + \rho_1)}{R_1^2 + \rho_1 r_1} \right)^j E^{-T+j} |f_j|_R + \left( \frac{R_1 (r_1 + \rho_1)}{R_1^2 + \rho_1 r_1} \right)^{T_1 N_1} |\varphi|_r. $$

Les intégrales définissant $\varphi$ et les $f_j$ et le Lemme (b) donnent $|f_j|_R \le \frac{R_1}{R_1 - \rho_1} |f|_R$ et $|\varphi|_R \le \frac{R_1}{R_1 - \rho_1} |f|_R$. De $0 \le E \le \frac{R_1^2 + \rho_1 r_1}{R_1(r_1 + \rho_1)}$ on déduit $E^j \left( \frac{R_1(r_1 + \rho_1)}{R_1^2 + \rho_1 r_1} \right)^j \le 1$, et comme $N_1 T_1 \ge T$, on a

$$ |f|_r \le E^{-T} |f|_R \left( N_1 T_1 \frac{R_1^2 + \rho_1^2}{R_1^2 - \rho_1^2} + 1 \right) \frac{R_1}{R_1 - \rho_1}. $$

On utilise alors l'astuce de Landau pour supprimer le facteur parasite : pour $k \in \mathbb{N}$. On applique le résultat obtenu à la fonction $f^k$, avec $T$ remplacé par $kT$.
Pour cela, il suffit de vérifier que $D^r f^k(x) = 0$ pour tout $x \in \prod_{1 \le i \le n} S_i$ et pour tout $\tau \in N^n$ tel que $\sum_{1 \le i \le n} \tau_i N_i < kT$. D'après la formule de Leibniz, $D^r f^k$ est combinaison linéaire de produits $D^{\tau^{(1)}} f \dots D^{\tau^{(k)}} f$ où $\tau^{(1)} + \dots + \tau^{(k)} = \tau$, de sorte que $\sum_{1 \le i \le n} \tau_i N_i = \sum_{1 \le i \le n} \sum_{1 \le j \le k} \tau_i^{(j)} N_i$. Le produit $D^{\tau^{(1)}} f(x) \dots D^{\tau^{(k)}} f(x)$ ne peut être différent de 0 que si l'on a $\sum_{1 \le i \le n} \tau_i^{(j)} N_i \ge T$ pour tout $j$, ce qui impose $\sum_{1 \le i \le n} \tau_i N_i \ge kT$. On a donc bien le résultat cherché et on obtient l'inégalité

$$|f|_r^k = |f^k|_r \le E^{-kT} |f|_R^k \left( N_1 k T_1 \frac{R_1^2 + \rho_1^2}{R_1^2 - \rho_1^2} + 1 \right) \frac{R_1}{R_1 - \rho_1}$$

car $kT/N_1$ (le $T_1$ de cette nouvelle situation) est majoré par $kT_1$ (la double inégalité de définition $a \le [a] < a+1$ donne $ka \le k[a] < ka+k$, donc $[ka] \le k[a]$). Comme $(ak+b)^{1/k}$ a pour limite 1 quand $k$ tend vers l'infini (puisque $\frac{1}{k} \log k$ a pour limite 0), en prenant la racine k-ième de cette inégalité, on obtient, pour $k \to +\infty$, le Théorème n. ♦

Bibliographie

[Azh] A. AZHARI. – *Lemmes de Schwarz en plusieurs variables*; Pub. Math. Univ. P. et M. Curie (Paris VI) n° 73, Problèmes diophantiens (D. Bertrand et M. Waldschmidt ed.) 1984-1985, I1–I6.

[Phi] P. PHILIPPON. – *Une approche méthodique pour la transcendance et l'indépendance algébrique de valeurs de fonctions analytiques*; J. Number Theory 64 (1997), 291–338.

[Wall] M. WALDSCHMIDT. – Nombres Transcendants; L. N. in Math. 402, Springer-Verlag, Berlin . . . , 1974.

[Wal2] M. WALDSCHMIDT. – Nombres transcendants et groupes algébriques; Soc. Math. France, Astérisque 69-70, 1987/1979.

[Wal3] M. WALDSCHMIDT. – *Lemme de Schwarz pour des produits cartésiens*; tapuscrit préparatoire pour Approximation Diophantienne sur les Groupes Algébriques Commutatifs I; J. reine angew. Math. 493 (1997), 61–113.
[Wal4] M. WALDSCHMIDT. – *Integer valued functions on products* ; J. Ramanujan Math. Soc. vol 12, n° 1, 1997, 1-24.

[Wal5] M. WALDSCHMIDT. – *Integer Valued Entire Functions on Cartesian Products*; Proceedings of the Zakopane Number Theory Conference, Jerzy Urbanovicz ed., W. de Gruyter, 553-576.

[Wal6] M. WALDSCHMIDT. – Diophantine Approximation on Linear Algebraic Groups. Transcendence Properties of the Exponential Function in Several Variables; Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 326, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2000.

François GRAMAIN
Laboratoire d'ARithmétique et d'ALgèbre
Faculté des Sciences
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42023 ST ETIENNE CEDEX 2