# Mouvement relativiste des particules chargées dans des champs électriques et magnétiques et application aux premières observations de désintégrations dans les chambres de Wilson du Col du Midi (Chamonix, 3600 m) et du Pic du Midi de Bigorre (2870 m)

Jean-Marie Malherbe

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Jean-Marie Malherbe. Mouvement relativiste des particules chargées dans des champs électriques et magnétiques et application aux premières observations de désintégrations dans les chambres de Wilson du Col du Midi (Chamonix, 3600 m) et du Pic du Midi de Bigorre (2870 m). 2025. hal-05329933

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# Mouvement relativiste des particules chargées dans des champs électriques et magnétiques et application aux premières observations de désintégrations dans les chambres de Wilson du Col du Midi (Chamonix, 3600 m) et du Pic du Midi de Bigorre (2870 m)

Jean-Marie Malherbe

Astronome émérite, Observatoire de Paris, PSL Research University, France
Email: Jean-Marie.Malherbe@obspm.fr; ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4180-3729

24 Octobre 2025

## RESUME

Nous abordons dans cet article de niveau L2 les mouvements des particules chargées soumises à la force de Lorentz dans un champ électrique et surtout magnétique dans le cadre de la mécanique relativiste, pour des particules de vitesse proche de celle de la lumière. Le mouvement avec perte d'énergie (force de frottement proportionnelle à la vitesse) est aussi envisagé. Les équations ont une application directe simple, celle des trajectoires des particules dans les chambres de Wilson soumises au rayonnement cosmique, qui permirent vers 1950 d'aborder la physique des particules en utilisant les particules cosmiques comme outil de physique nucléaire, avant l'ère des grands accélérateurs. Nous illustrons cela par les expériences réalisées à Meudon Bellevue, puis en altitude (Col du Midi à Chamonix, Pic du Midi de Bigorre) où le flux d'évènements intéressants est 10 ou 20 fois supérieur à celui du niveau de la mer.

## MOTS CLEF

Particules chargées, mouvement, relativité, champ magnétique, champ électrique, chambre de Wilson, Meudon Bellevue, Col du Midi, Pic du Midi

## I - INTRODUCTION

Avant l'avènement vers 1960 des grands accélérateurs de particules tels ceux du CERN à Genève, l'étude des particules élémentaires en physique nucléaire ne pouvait se faire qu'en utilisant les collisions entre les particules cosmiques galactiques de haute énergie et l'atmosphère terrestre, générant des gerbes de particules secondaires observables au sol, ou mieux en haute altitude. Le rayonnement cosmique n'a donc rien d'un rayonnement (dont le vecteur est le photon de masse nulle), c'est un flux de particules chargées impactant l'atmosphère et produisant au passage par collision et désintégration d'autres particules parfois inconnues. Pour les étudier, les premières chambres de Wilson vers 1950, plongées dans un champ magnétique, permettaient de photographier et de dévier leur trajectoire, la mesure de la courbure menant à l'identification de l'énergie. Nous résolvons dans cet article les équations de base des mouvements relativistes dans un champ électrique et magnétique ; en annexes, nous présentons l'application aux chambres de Wilson installées avant guerre dans le grand électro-aimant de Meudon-Bellevue, puis dans les Alpes durant la guerre (laboratoire Leprince-Ringuet), et au Pic du Midi après guerre (équipes de Blackett puis de Leprince-Ringuet).

En mécanique relativiste, on définit pour une particule de masse m :

L'impulsion $\mathbf{p} = \gamma \mathbf{m} \mathbf{v}$ où $\gamma$ est le facteur de Lorentz, c'est une fonction dépendant de $v/C$, $v$ étant le module du vecteur vitesse $\mathbf{v}$ et C la vitesse de la lumière dans le vide ($C = 3 \ 10^8 \ \text{m/s}$).

On a $\gamma(v) = 1 / (1 - v^2/C^2)^{1/2}$, facteur variant entre 1 ($v = 0$) et l'infini lorsque $v$ tend vers C.
L'impulsion p est nulle si $\mathbf{v} = \mathbf{0}$, mais tend vers l'infini lorsque v tend vers C. L'énergie de la particule, somme de son énergie cinétique et de son énergie de repos $m\mathbf{C}^2$, est donnée par : $\mathcal{E} = \gamma \mathbf{m} \mathbf{C}^2$, variant de $\mathbf{m}\mathbf{C}^2$ (énergie de repos pour $v = 0$) à l'infini lorsque v tend vers C.

L'énergie cinétique est $\mathcal{E}c = (\gamma - 1) \mathbf{m} \mathbf{C}^2$, on montre également que $\mathcal{E}^2 = \mathbf{p}^2 \mathbf{C}^2 + \mathbf{m}^2 \mathbf{C}^4$

En mécanique classique, on a $\mathbf{p} = \mathbf{m} \mathbf{v}$ et $\mathcal{E}c = 1/2 \mathbf{m} \mathbf{v}^2$ (énergie cinétique)

Le facteur $\gamma$, l'impulsion p et l'énergie cinétique $\mathcal{E}c$ sont tracés ci-dessous (figure 1) en fonction de $v/C$ en mécanique relativiste comme classique. L'erreur sur p entre les deux approches n'excède pas 1% lorsque $v < 0.14 C$ et ne dépasse pas 10% lorsque $v < 0.44 C$. La mécanique classique donnera donc de bons résultats même pour une fraction appréciable de la vitesse de la lumière.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 : le facteur de Lorentz, l'impulsion p et l'énergie cinétique Ec en fonction de v/C</figcaption></figure>

## II – MOUVEMENT RELATIVISTE DANS UN CHAMP MAGNETIQUE

La particule de charge q et vitesse v dans le champ magnétique B est soumise à la force de Lorentz $\mathbf{F} = q \mathbf{v} \wedge \mathbf{B}$

En effectuant le produit scalaire avec v, on obtient une puissance nulle de la force et l'équation d'énergie est $d\mathcal{E}/dt = 0$ où $\mathcal{E} = \gamma \mathbf{m} \mathbf{C}^2$, ce qui implique $\mathcal{E} = \text{constante}$ d'où $\gamma = \text{constante}$ et $v = \text{constante}$ (en module).

Le mouvement dans un champ magnétique se fait donc à vitesse constante en module (mais pas en direction). Ecrivons maintenant la relation fondamentale de la dynamique :

$$dp/dt = q \mathbf{v} \wedge \mathbf{B}$$

$$\text{où } \mathbf{p} = \gamma \mathbf{m} \mathbf{v}$$

Comme $\gamma = \text{constante}$, cette relation devient :

$$\gamma \mathbf{m} \, \mathrm{d}\mathbf{v}/\mathrm{d}t = q \mathbf{v} \wedge \mathbf{B}$$

C'est la même équation qu'en mécanique classique dans laquelle on a remplacé la masse m par $\gamma m$, la masse en mouvement à vitesse constante v.
Supposons que **B** soit constant ; alors le produit scalaire avec **B** donne $d(\mathbf{B} \cdot \mathbf{v})/dt = 0$ soit $\mathbf{B} \cdot \mathbf{v} = \text{constante}$. Partageons **v** en 2, l'une dans la direction du champ magnétique et l'autre orthogonale : $\mathbf{v} = \mathbf{v}/ + \mathbf{v}\perp$

$\mathbf{B} \cdot \mathbf{v} = \text{constante devient } \mathbf{B} \text{ v}/ = \text{constante soit } \mathbf{v}/ = \text{constante (vitesse de dérive le long du champ magnétique).}$

La relation $\gamma \text{ m} \text{ d}\mathbf{v}/\text{dt} = \mathbf{q} \mathbf{v} \wedge \mathbf{B}$ s'écrit sous la forme : $\text{d}\mathbf{v}\perp/\text{dt} = (\mathbf{q} / \gamma \text{ m}) \mathbf{v}\perp \wedge \mathbf{B} = \mathbf{\Omega} \wedge \mathbf{v}\perp$

$\mathbf{\Omega} = - (\mathbf{q} / \gamma \text{ m}) \mathbf{B}$ est le vecteur rotation ou **pulsation gyromagnétique**. Le sens de rotation (signe de $\mathbf{\Omega}$) dépend du signe de la charge $\mathbf{q}$ : les protons et les électrons tournent dans le sens contraire.

En module, $\mathbf{\Omega} = (|\mathbf{q}| / \gamma \text{ m}) \mathbf{B} = \text{constante et } \mathbf{v}\perp = \mathbf{\Omega} \mathbf{R} = \text{constante où R est le rayon de courbure de la trajectoire qui est donc circulaire.}$

D'où le rayon de courbure $R = \mathbf{v}\perp (\gamma \text{ m} / |\mathbf{q}| \mathbf{B}) = \text{constante, formule identique à la mécanique classique}$ dans laquelle m est remplacé par $\gamma \text{ m}$ avec $\gamma = 1 / [1 - (\mathbf{v}/^2 + \mathbf{v}\perp^2)/C^2]^{1/2} = \text{constante.}$

Le rayon de courbure est donné par la figure 2 ci-dessous en fonction de $\mathbf{v}/\text{C}$. Il tend vers l'infini quand $\mathbf{v}$ tend vers $\mathbf{C}$. L'écart à la mécanique classique est faible dès que $\mathbf{v} < 0.4 \text{ C environ.}$

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2 : rayon de courbure normalisé à mC/qB en fonction de v/C</figcaption></figure>

L'énergie de la particule est $\mathcal{E} = \gamma \text{ m C}^2$, et l'on a aussi $R |\mathbf{q}| \mathbf{B} / \mathbf{v}\perp = \gamma \text{ m}$, d'où :

$$ \mathcal{E} = R |\mathbf{q}| \mathbf{B} C^2 / \mathbf{v}\perp $$

Pour une particule relativiste, avec $\mathbf{v}\perp$ voisin de $\mathbf{C}$, $\mathcal{E} \approx R |\mathbf{q}| \mathbf{B} \mathbf{C}$.

Ainsi, si l'on connaît $\mathbf{q}$ (en général $\mathbf{q} = \pm \mathbf{e}$) donné par le sens de l'incurvation de la trajectoire et le champ magnétique $\mathbf{B}$, la mesure du rayon $R$ va donc fournir une estimation de l'énergie $\mathcal{E}$ de la particule ; les chambres de Wilson dans un champ $\mathbf{B}$ sont très utiles à cet effet (expériences décrites en annexe). Que valent la pulsation gyromagnétique $\mathbf{\Omega}$ et le rayon de courbure $R$ pour un champ de 1 T et une vitesse de 0.2 C ? Remarquons tout d'abord que plus $m$ est petit, plus $\mathbf{\Omega}$ est grand et $R$ petit.

- Pour l'électron : $\mathbf{\Omega} = 1.76 \ 10^{11} \text{rd/s, } \mathbf{v} = 2.8 \ 10^{10} \text{Hz, } R = 0.3 \text{ mm (petites traces sur les plaques)}$

- Pour le proton : $\mathbf{\Omega} = 9.58 \ 10^7 \text{rd/s, } \mathbf{v} = 1.5 \ 10^7 \text{Hz, } R = 600 \text{ mm (grandes traces sur les clichés)}$
### III – MOUVEMENT RELATIVISTE DANS UN CHAMP ELECTRIQUE

#### III – 1 - Particule dans un potentiel électrostatique V

La particule de charge q et vitesse v dans le champ électrique E est soumise à la force de Lorentz $F = qE$. Introduisons le potentiel V, indépendant du temps, dont dérive E par la relation $E = - \text{grad } V$.

On a $d\mathcal{E}/dt = q \mathbf{E} \cdot \mathbf{v} = -q \mathbf{v} \cdot \text{grad} V$

Or $dV/dt = \mathbf{v} \cdot \text{grad} V$ car V ne dépend pas de la variable temps, seulement de l'espace

D'où $d\mathcal{E}/dt = -q dV/dt$, soit finalement $\mathcal{E} + qV = \text{constante}$

Si en $t=0$, la particule est au repos au potentiel nul, la constante vaut $mC^2$ et l'on a la loi de conservation de l'énergie $\mathcal{E} + qV = mC^2$. La vitesse est donnée par la relation :

$v/C = (2x+x^2)^{1/2} / (1+x)$ où $x = -qV/mC^2 > 0$ (nombre sans dimension > 0 impliquant $qV < 0$)

En mécanique classique, on aurait $1/2 m v^2 + qV = 0$ avec les mêmes conditions initiales, donnant simplement la relation en fonction de $x = -qV/mC^2 > 0$ :

$$v/C = (2x)^{1/2}$$

La figure 3 donne $v/C$ en fonction du potentiel V normalisé par $-mC^2/q$.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3 : $v/C$ en fonction du potentiel électrique V (cas classique et relativiste)</figcaption></figure>

#### III – 2 - Effet du champ électrique selon un axe Ox (modèle 1D axial)

Nous supposons que le champ électrique E uniforme et constant est orienté selon l'axe Ox, de module E. En $t=0$, la particule est en $x=0$ avec une vitesse initiale $v_0$ selon Ox. Le problème obéit à la relation fondamentale de la dynamique :

$dp/dt = qE$, d'où $\mathbf{p}(t) = q \mathbf{E} t + \mathbf{p}_0$ avec $\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v}$ et $\mathbf{p}_0 = \gamma_0 m \mathbf{v}_0$

On sait aussi que $\mathcal{E}^2 = p^2C^2 + m^2C^4$ et, en $t=0$, que $\mathcal{E}_0^2 = p_0^2C^2 + m^2C^4$
D'où l'on tire l'énergie de la particule par soustraction des deux relations :

$$ \mathcal{E}^2 = \mathcal{E}_0^2 + (p^2 - p_0^2) C^2 = \mathcal{E}_0^2 + (q^2 E^2 t^2 + 2 p_0 q E t) C^2 = \gamma^2 m^2 C^4, \text{ énergie qui augmente indéfiniment ;} $$

$$ \begin{aligned} \text{on en déduit que } \frac{1}{\gamma^2} &= m^2 C^4 / [\mathcal{E}_0^2 + (q^2 E^2 t^2 + 2 p_0 q E t) C^2] \\ &= \frac{m^2 C^2}{[\gamma_0^2 m^2 C^2 + q^2 E^2 t^2 + 2 p_0 q E t]} \end{aligned} $$

$$ \text{Or, } p = \gamma m v = q E t + p_0 $$

$$ \text{D'où } v/C = (q E t + \gamma_0 m v_0) / [\gamma_0^2 m^2 C^2 + q^2 E^2 t^2 + 2 \gamma_0 m v_0 q E t]^{1/2} $$

Lorsque $t=0$, $v=v_0$, et lorsque $t$ tend vers l'infini, $v$ tend vers $C$. Dans le cas classique, on aurait simplement $v = v_0 + q E t$ croissant indéfiniment.

$$ \text{On a } v(t) = (C/2qE) (2q^2 E^2 t + 2\gamma_0 m v_0 qE) / [\gamma_0^2 m^2 C^2 + q^2 E^2 t^2 + 2\gamma_0 m v_0 qE t]^{1/2} $$

Cette équation (du type $u'/2\nu u$) s'intègre aisément (en donnant $\nu u$) et l'on obtient :

$$ x(t) = x_0 + (C / q E) \left[ (\gamma_0^2 m^2 C^2 + q^2 E^2 t^2 + 2 \gamma_0 m v_0 q E t)^{1/2} - \gamma_0 m C \right] $$

$$ \text{soit finalement } x(t) = x_0 + C \left[ (\gamma_0^2 m^2 C^2 / q^2 E^2 + t^2 + 2 \gamma_0 m v_0 t / q E)^{1/2} - \gamma_0 m C / q E \right] $$

En $t=0$, $x = x_0$ et lorsque $t$ tend vers l'infini, $x(t)$ tend vers $x_0 + C t$

$$ \text{En mécanique classique, on aurait eu } x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} q E t^2 $$

### III – 3 - Effet du champ électrique dans le plan xOy

Nous supposons que le champ électrique **E** uniforme et constant est orienté selon l'axe Ox, de module **E**. En $t=0$, la particule est en $x=0$ avec une vitesse initiale $v_0$ selon Oy, donc orthogonale à **E**. Le problème obéit à la relation fondamentale de la dynamique :

$$ \frac{dp}{dt} = q \mathbf{E}, \text{ d'où } \mathbf{p}(t) = q \mathbf{E} t + \mathbf{p}_0 \text{ avec } \mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v} \text{ et } \mathbf{p}_0 = \gamma_0 m \mathbf{v}_0 $$

En projection :

$$ \gamma m v_x = q E t $$

$$ \gamma m v_y = \gamma_0 m v_0 = \text{constante} $$

$$ \text{On a donc } \gamma^2 m^2 v^2 = q^2 E^2 t^2 + \gamma_0^2 m^2 v_0^2 $$

$$ \text{Soit } v^2 / (1 - v^2/C^2) = (qE/m)^2 t^2 + v_0^2 / (1 - v_0^2/C^2) $$

$$ \text{Equation dont on tire } v^2 = \left[ \frac{(qE/m)^2 t^2 + v_0^2}{1 - v_0^2/C^2} \right] / \left[ 1 + \frac{(qE/mC)^2 t^2 + v_0^2}{C^2 - v_0^2} \right] $$

$$ \text{Puis } \gamma^2 = 1 + \frac{(qE/mC)^2 t^2 + v_0^2}{C^2 - v_0^2} $$

Et enfin on obtient :

$$ [v_x = (qE/m) t / \left[ 1 + \frac{(qE/mC)^2 t^2 + v_0^2}{C^2 - v_0^2} \right]^{1/2}] $$

$$ [v_y = \left[ \frac{v_0}{1 - \frac{v_0^2}{C^2}} \right]^{1/2} / \left[ 1 + \frac{(qE/mC)^2 t^2 + v_0^2}{C^2 - v_0^2} \right]^{1/2}] $$

$$ \text{lorsque } t=0, v_x = 0 \text{ et } v_y = v_0 $$

et lorsque $t$ tend vers l'infini, $v_x$ tend vers $C$ et $v_y$ tend vers $0$, alors qu'en mécanique classique, $v_x = (qE/m) t$ tend vers l'infini et $v_y$ est constant et égal à $v_0$.
On peut transformer plus simplement ces expressions sous la forme suivante :

$$
\begin{cases}
v_x = (qE/m) t / [\gamma_0^2 + (qE/mC)^2 t^2]^{1/2} = C t / [(\gamma_0 m c / q E)^2 + t^2]^{1/2} \\
v_y = v_0 \gamma_0 / [\gamma_0^2 + (qE/mC)^2 t^2]^{1/2} = v_0 (\gamma_0 m C / q E) / [(\gamma_0 m c / q E)^2 + t^2]^{1/2}
\end{cases}
$$

Il est possible d'intégrer $v_x(t)$ et $v_y(t)$ pour avoir $x(t)$ et $y(t)$, sachant que $v_x(t)$ est de la forme $t/(a^2+t^2)^{1/2}$ dont la primitive est $(a^2+t^2)^{1/2}$ et que $v_y(t)$ est de la forme $1/(a^2+t^2)^{1/2}$ dont la primitive est $\arg \operatorname{sh}(t/a)$.

$$
\begin{cases}
x(t) = C \left\{ \left[ (\gamma_0 m c / q E)^2 + t^2 \right]^{1/2} - (\gamma_0 m c / q E) \right\} \quad \text{avec } x(0) = 0 \\
\text{et} \\
y(t) = v_0 (\gamma_0 m C / q E) \arg \operatorname{sh}\left[ \left( q E / \gamma_0 m C \right) t \right] \quad \text{avec } y(0) = 0
\end{cases}
$$

On peut poser $\tau = (mC/qE)$, c'est une constante de temps indépendante de $v_0$ ; alors il vient :

$$
\begin{cases}
v_x = C t / [\gamma_0^2 \tau^2 + t^2]^{1/2} & \text{avec } v_x(0) = 0 \\
v_y = \gamma_0 v_0 \tau / [\gamma_0^2 \tau^2 + t^2]^{1/2} & \text{avec } v_y(0) = 0
\end{cases}
$$

$$
\begin{cases}
x(t) = C \left\{ \left[ \gamma_0^2 \tau^2 + t^2 \right]^{1/2} - \gamma_0 \tau \right\} & \text{avec } x(0) = 0 \\
\text{et} \\
y(t) = \gamma_0 v_0 \tau \arg \operatorname{sh}[t / \gamma_0 \tau] & \text{avec } y(0) = 0
\end{cases}
$$

de $t = \gamma_0 \tau \operatorname{sh}(y / \gamma_0 v_0 \tau)$, on tire : $x = C \gamma_0 \tau [ \operatorname{ch}(y / \gamma_0 v_0 \tau) - 1 ]$

qui est l'équation d'une **chaînette** pour la trajectoire de la particule relativiste avec $\tau = (mC/qE)$ temps caractéristique du mouvement.

Lorsque $y$ est petit ($y \ll \gamma_0 v_0 \tau$), on sait que $\operatorname{ch}(y) - 1 \approx y^2/2$, dans ce cas $x \approx \frac{1}{2} C y^2 / v_0^2 \gamma_0 \tau$ qui est l'équation d'une **parabole**, que l'on trouve en mécanique classique (à l'origine, la chaînette est toujours proche d'une parabole, comme le montre la figure 4 ci dessous).

En mécanique classique, on aurait en effet $v_x = (qE/m) t$ et $v_y = v_0 = \text{constante}$, puis par intégration, $x = \frac{1}{2} (qE/m) t^2$ et $y = v_0 t$, d'où la parabole $x = \frac{1}{2} (qE / mv_0^2) y^2 = \frac{1}{2} C y^2 / v_0^2 \tau$.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4 : trajectoires pour $v_0/C = 0.9$ et $v_0/C = 0.2$ dans le cas relativiste (chaînette) et classique (parabole). Lorsque $v_0 < 0.2 C$, l'erreur entre la chaînette et la parabole est faible.</figcaption></figure>
### III – 4 – Modélisation de la force de dissipation

Une dissipation ou amortissement du mouvement peut avoir lieu sous différentes formes, par frottement visqueux avec une force proportionnelle à la vitesse en $\mathbf{F} = -f \mathbf{v}$ (dont la puissance est $P = -f \mathbf{v}^2$, f étant un coefficient phénoménologique) ou par rayonnement, puisque l'on sait que toute particule accélérée rayonne. La puissance rayonnée par une particule accélérée se calcule classiquement en électromagnétisme en utilisant les potentiels retardés et le vecteur de Poynting rayonné par un dipôle oscillant et intégré sur tout l'espace (voir Malherbe, 2024, https://cnrs.hal.science/hal-04855435v1). On trouve pour une particule d'accélération $\mathbf{a}$ :

$$P = \frac{q^2 a^2}{6 \pi \varepsilon_0 C^3}$$

$q$ est la charge de la particule. L'effet cyclotron (mouvement d'une particule dans un champ magnétique B uniforme) est tel que $a = v^2/R$, ou R est le rayon de la trajectoire, $v$ la vitesse, ou encore $a = \Omega v$ où $\Omega = q B / m$ est la pulsation gyromagnétique. On en déduit :

$$P = \frac{q^4 B^2 v^2}{(6 \pi \varepsilon_0 m^2 C^3)}$$

Comme la puissance rayonnée est de la forme $P = f v^2$, on en tire le coefficient phénoménologique $f = \frac{q^4 B^2}{(6 \pi \varepsilon_0 m^2 C^3)}$, il est proportionnel à $B^2$, la force de freinage étant en $\mathbf{F} = -f \mathbf{v}$.

### Recherche d'une vitesse limite

Si elle existe, elle est telle que $dp/dt = q \mathbf{v} \wedge \mathbf{B} + q \mathbf{E} - f \mathbf{v} = 0$

Considérons une particule au point M dans un champ électrique $\mathbf{E} = E \mathbf{e}_x$, magnétique $\mathbf{B} = B \mathbf{e}_z$ dont la trajectoire en coordonnées paramétriques est $(x(t), y(t), 0)$ et dont le vecteur vitesse $\mathbf{v}$ est dans le plan xOy. On prend donc $\mathbf{E} = (E, 0, 0)$, $\mathbf{B} = (0, 0, B)$ et $\mathbf{v} = (v_x, v_y, 0) = d\mathbf{OM}/dt$ et $\mathbf{M} (x, y, 0)$

La vitesse limite est donnée par :

$$v_x = f \frac{q E}{f^2 + q^2 B^2}$$

$$v_y = - \frac{q^2 E B}{f^2 + q^2 B^2}$$

**Cas numéro 1 :** $f = 0$ (pas de frottements)

$v_x = 0, v_y = -E/B$, il existe une vitesse de dérive constante selon Oy

**Cas numéro 2 :** $E = 0$ (pas de champ électrique)

$v_x = 0, v_y = 0$, il existe un point d'arrêt

**Cas numéro 3 :** $B = 0$ (pas de champ magnétique)

$v_x = q E / f, v_y = 0$, il existe une vitesse de dérive constante selon Ox

### Recherche d'un point d'arrêt (mouvement amorti)

Celui-ci existe en champ électrique nul. Reprenons dans ce cas l'équation du mouvement :

$$\frac{dp}{dt} = q \mathbf{v} \wedge \mathbf{B} - f \mathbf{v}$$

dont on prend une intégrale première, sachant qu'en $t = 0$, on prend la particule M à l'origine O, de vitesse initiale $v_0$ selon Oy, et que lorsque t tend vers l'infini, la vitesse tend vers zéro :

$$\int_{P_0}^{0} \frac{dp}{dt} = q \int_{0}^{M} \frac{d\mathbf{OM}}{dt} \wedge \mathbf{B} - f \int_{0}^{M} \frac{d\mathbf{OM}}{dt}$$
$$ - \mathbf{p}_0 = q \mathbf{OM} \wedge \mathbf{B} - f \mathbf{OM} = - \gamma_0 m \mathbf{v}_0 $$

Toujours avec $\mathbf{B} = (0, 0, B)$, $M(x, y, 0)$, $\mathbf{v}_0 = (0, v_0, 0)$, il vient en développant le produit vectoriel :

$$ \left[ \begin{array}{l} x = \gamma_0 m v_0 q \mathbf{B} / (q^2 B^2 + f^2) \\ y = \gamma_0 m f v_0 / (q^2 B^2 + f^2) \\ \text{avec } \gamma_0 = 1 / (1 - v_0^2/C^2)^{1/2} \end{array} \right. $$

Il s'agit des coordonnées du point d'arrêt. Lorsque $v_0$ tend vers C, le point limite est rejeté à l'infini puisque sa position finale est proportionnelle à $v_0 / (1 - v_0^2/C^2)^{1/2}$

En mécanique classique, la formule sera identique en posant $\gamma_0 = 1$, facteur n'intervenant pas.

$$ \text{On remarque que } y/x = f / q B $$

Dans un champ magnétique constant, pour une même charge et un même frottement, à $v_0$ variable ou à $m$ variable, les divers points limite sont donc alignés sur la droite $y = x$ ($f / q B$), que ce soit dans le cas classique ou relativiste.

La figure 5 ci-dessous montre la trajectoire de particules de même masse, charge dans un champ magnétique uniforme, avec même amortissement, mais de vitesses initiales variables.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5 : trajectoires pour des vitesses initiales différentes ($v_0/C = 0.15, 0.35, 0.6, 0.85, 0.95$) en mécanique relativiste (trait plein) et mécanique classique (tirets). Jusqu'à $v_0/C = 0.35$ environ, l'erreur entre résultat classique et relativiste reste modérée.</figcaption></figure>

### III – 5 – Mouvement relativiste amorti dans un champ magnétique uniforme

L'équation du mouvement $dp/dt = q \mathbf{v} \wedge \mathbf{B} - f \mathbf{v}$ où $\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v}$ avec $\gamma = 1 / (1 - v^2/C^2)^{1/2}$ étant complexe à résoudre à cause de la présence de $\gamma$ qui dépend de $v^2$, on va se rabattre sur l'équation d'énergie obtenue par produit scalaire avec $\mathbf{v}$ :

$$ d\mathcal{E}/dt = - f v^2 \quad \text{où} \quad \mathcal{E} = \gamma m C^2 $$

On a donc $d\gamma/dt = m C^2 = -f v^2$ avec $v^2/C^2 = 1 - 1/\gamma^2$
D'où $d\gamma/dt \quad \gamma^2/(\gamma^2 - 1) = -f/m$

Qui s'écrit aussi : $d\gamma/dt [ 1 + 1/2 / (\gamma - 1) - 1/2 / (\gamma + 1) ] = -f/m$ et que l'on peut intégrer aisément avec la condition initiale $t = 0, \gamma = \gamma_0$

$$ \gamma - \gamma_0 + \frac{1}{2} \ln[(\gamma - 1) / (\gamma + 1)] - \frac{1}{2} \ln[(\gamma_0 - 1) / (\gamma_0 + 1)] = - (f/m) t $$

On n'obtient pas $\gamma$ en fonction de $t$, mais $t$ en fonction de $\gamma$, autrement dit $t$ en fonction de $v/C$ puisque $\gamma = 1 / (1 - v^2/C^2)^{1/2}$, et l'on peut tracer numériquement $t$ en fonction de $v/c$ en faisant varier $v/C$ de 0 à sa valeur maximale $v_0/C$, ce qui donne les courbes de la figure 6 ci-dessous en plaçant $t$ en abscisse et $v/C$ en ordonnée. $t$ est normalisé à $t_0 = m/f$. Dans le cas classique, on aurait $v = v_0 e^{-(f/m)t}$.

Lorsque $t = 0, v = v_0$ et $\gamma_0 > 1$; lorsque $t$ tend vers l'infini, $\gamma$ tend vers 1 et il reste asymptotiquement

$$ \frac{1}{2} \ln[(\gamma - 1) / (\gamma + 1)] \approx - (f/m) t $$

Soit $\gamma \approx 1 / \text{th}[(f/m)t]$ qui tend vers 1 et $v \approx C / \text{ch}[(f/m)t]$ qui tend vers 0, lorsque $t$ tend vers l'infini.

Il y a peu d'erreur entre le cas classique et le cas relativiste jusqu'à $v_0/C = 0.35$ (figure 6).

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 6 : $v/C$ en fonction du temps normalisé $t/t_0$ pour $v_0/C = 0.95, 0.6$ et $0.35$ dans le cas relativiste (trait plein) et classique (tirets, correspondant aux exponentielles $v = v_0 e^{-t/t_0}$).</figcaption></figure>

Pour obtenir la trajectoire, il faut résoudre numériquement $dp/dt = q v \wedge B - f v$ où $p = \gamma m v$ avec $\gamma = 1 / (1 - v^2/C^2)^{1/2}$ sachant que l'on connaît numériquement $\gamma(t)$ et $v(t)$, module de la vitesse, déterminés par la résolution numérique ci dessus. Toujours avec $B = (0, 0, B)$, $M(x, y, 0)$, $v = (v_x, v_y, 0)$, on obtient deux équations différentielles en $t$ sur $v_x(t), v_y(t)$ à intégrer numériquement, puis par nouvelle intégration numérique de $dx/dt = v_x(t)$ et $dy/dt = v_y(t)$, on obtient la trajectoire paramétrique en $t$ de la particule chargée dont deux exemples sont présentés sur la figure 7 ci dessous. Donnons maintenant ces équations.
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 7 : exemple de trois trajectoires pour différentes valeurs de Ω = q B / m et de même v₀ = 0.5
C. La trajectoire à Ω grand (beaucoup d'enroulements autour du point d'arrêt) va correspondre à l'électron (m petit), les autres à Ω plus grand à des particules plus lourdes.</figcaption></figure>

$$
\mathrm{dp}/\mathrm{dt} = q \mathbf{v} \wedge \mathbf{B} - f \mathbf{v} \quad \text{avec} \quad \mathbf{p} = \gamma \mathbf{m} \mathbf{v}
$$

$$
\mathrm{d}\boldsymbol{p}/\mathrm{d}t = \mathrm{d}\gamma/\mathrm{d}t \, \boldsymbol{m}\,\boldsymbol{v} + \gamma \, \boldsymbol{m}\,\mathrm{d}\boldsymbol{v}/\mathrm{d}t = \boldsymbol{q}\,\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{B} - \boldsymbol{f}\,\boldsymbol{v}
$$

$$
\mathrm{d}\mathbf{v}/\mathrm{d}t = (\mathbf{q} / \gamma \, \mathbf{m}) \, \mathbf{v} \wedge \mathbf{B} - (\mathbf{f} / \gamma \, \mathbf{m}) \, \mathbf{v} - \frac{\mathrm{d}\ln(\gamma)}{\mathrm{d}t} \, \mathbf{v} \quad (\text{remarque : } (1/\gamma) \, \mathrm{d}\gamma/\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}\ln(\gamma)}{\mathrm{d}t})
$$

$$
\begin{cases}
\mathrm{d}v_x/\mathrm{d}t = (\Omega / \gamma) v_y - (\mathbf{f} / \gamma \mathbf{m} + \mathrm{d}\ln(\gamma)/\mathrm{d}t) v_x \\
\mathrm{d}v_y/\mathrm{d}t = - (\Omega / \gamma) v_x - (\mathbf{f} / \gamma \mathbf{m} + \mathrm{d}\ln(\gamma)/\mathrm{d}t) v_y
\end{cases}
\quad \text{où } \gamma(\mathrm{t}), \mathrm{d}\ln(\gamma)/\mathrm{d}t, \text{ donc le module de la vitesse } v(\mathrm{t}), \text{ sont connus par l'équation d'énergie}
$$

$\Omega = q B / m$ est la pulsation gyromagnétique. On obtient $v_x(t)$ et $v_y(t)$ par intégration numérique simultanée de ces deux équations, $\gamma(t)$ et sa dérivée étant connus numériquement par l'équation d'énergie qui donne t en fonction de $\gamma$, et de là $x(t)$ et $y(t)$ par une nouvelle intégration numérique. La figure 8 ci-dessous illustre la trajectoire de particules chargées positivement ou négativement, légères (électron) ou plus lourdes (méson). L'électron très léger décrit des spirales très compactes ($\Omega$ grand).

En mécanique classique, on peut résoudre facilement l'équation du mouvement :

$$
\mathrm{d}v/\mathrm{d}t = (\mathbf{q} / \mathbf{m}) \, \mathbf{v} \wedge \mathbf{B} - (f/\mathbf{m}) \, \mathbf{v}
$$

Avec **B** = (0, 0, **B**), dans le plan xOy, on a en posant Ω = q B / m et τ = m / f constante de temps :

$$
\begin{cases}
\mathrm{d}v_x/\mathrm{d}t = \Omega v_y - v_x/\tau \\
\mathrm{d}v_y/\mathrm{d}t = -\Omega v_x - v_y/\tau
\end{cases}
$$

En posant $V = v_x + i v_y$, vitesse complexe, on se ramène à une équation $dV/dt + (1/\tau + i\Omega)V = 0$

Prenons pour vitesse initiale $v_0$ selon Oy et une position initiale l'origine O :
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 8 : exemple de trajectoires dans une chambre à brouillard, crédit Wikimedia Commons</figcaption></figure>

Alors $V = v_x + i v_y = i v_0 e^{-(1/\tau + i \Omega)t}$ et $|V| = v_0 e^{-(t/\tau)}$ mouvement amorti en $e^{-(t/\tau)}$, $|V|$ tend vers 0 lorsque $t$ tend vers l'infini

$$ 
\begin{cases}
v_x = v_0 \sin\Omega t e^{-(t/\tau)} \\
v_y = v_0 \cos\Omega t e^{-(t/\tau)}
\end{cases}
$$

$$ \text{Et } X = x + i y = i \left[ \frac{v_0}{1/\tau + i \Omega} \right] \left[ 1 - e^{-(1/\tau + i \Omega)t} \right] $$

Lorsque $t$ tend vers l'infini, $X$ a pour valeur limite $X_l = i \left[ \frac{v_0}{1/\tau + i \Omega} \right] = \frac{v_0 (i/\tau + \Omega)}{1/\tau^2 + \Omega^2}$, soit le point de coordonnées $L \left[ \frac{v_0 \Omega}{1/\tau^2 + \Omega^2}, \frac{v_0}{\tau} \right] \left( \frac{1}{1/\tau^2 + \Omega^2} \right)$, ou point d'arrêt. La trajectoire part de l'origine avec $v_0$ selon $Oy$ et est une spirale autour du point limite (facteur $e^{-(t/\tau)}$) dont elle se rapproche indéfiniment mais qu'elle n'atteint en réalité jamais (voir figures 7 et 8 ci dessus).

### III – 6 – Mouvement relativiste dans un champ électrique et magnétique uniforme

On reprend la configuration $E = (E, 0, 0)$, $B = (0, 0, B)$ et $v = (v_x, v_y, 0) = dOM/dt$ et $M(x, y, 0)$

En présence de champ électrique et magnétique, on doit résoudre l'équation du mouvement :

$$ dv/dt = \left( \frac{q}{\gamma} m \right) \left( E + v \wedge B \right) - \frac{d\ln(\gamma)}{dt} v \quad (\text{remarque : } (1/\gamma) \frac{d\gamma}{dt} = \frac{d\ln(\gamma)}{dt}) $$

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
dv_x/dt &= q E / \gamma m + (\Omega / \gamma) v_y - \frac{d\ln(\gamma)}{dt} v_x \\
dv_y/dt &= - (\Omega / \gamma) v_x - \frac{d\ln(\gamma)}{dt} v_y \\
\text{où } \gamma(t) &= 1 / \left[ 1 - \frac{v_x^2 + v_y^2}{C^2} \right]^{1/2}
\end{aligned}
\right. $$

On obtient $v_x(t)$ et $v_y(t)$ par intégration numérique simultanée de ces deux équations, et de là $x(t)$ et $y(t)$ par une seconde intégration numérique (figure 9).
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 9 : mouvement relativiste avec comme condition initiale $v_x = 0$ et $v_y = 0.9$ C. La vitesse de dérive E/B vaut 0.5 C. En tireté, le cas à vitesse initiale nulle (proche d'une cycloïde).</figcaption></figure>

En mécanique classique, on peut résoudre facilement l'équation du mouvement :

$$dv/dt = (q / m) (\mathbf{E} + \mathbf{v} \wedge \mathbf{B})$$

Avec $\mathbf{E} = (E, 0, 0)$, $\mathbf{B} = (0, 0, B)$, dans le plan xOy, on a :

$$dv_x/dt = q E / m + \Omega v_y$$

$$dv_y/dt = - \Omega v_x$$

En posant $V = v_x + i v_y$, vitesse complexe, on se ramène à une équation $dV/dt + i \Omega V = q E / m$

Prenons pour vitesse initiale $v_0 = (v_0 \cos\alpha, v_0 \sin\alpha, 0)$ et position initiale l'origine O :

$$\text{Alors } V = v_x + i v_y = -i \frac{E}{B} + \left[ v_0 \cos\alpha + i \left( v_0 \sin\alpha + \frac{E}{B} \right) \right] e^{-i\Omega t}$$

$$\text{Et } X = x + iy = -i \frac{E}{B} t + \left[ \left(v_0 \sin\alpha + \frac{E}{B}\right) - i v_0 \cos\alpha \right] \frac{1 - e^{-i\Omega t}}{\Omega}$$

$$v_x = v_0 \cos\alpha \cos\Omega t + \left(v_0 \sin\alpha + \frac{E}{B}\right) \sin\Omega t$$

$$v_y = -\frac{E}{B}t - v_0 \cos\alpha \sin\Omega t + \left(v_0 \sin\alpha + \frac{E}{B}\right) \cos\Omega t$$

La vitesse de dérive est $-\frac{E}{B}$ selon Oy. On obtient en intégrant :

$$x = \left[ v_0 \cos\alpha \sin\Omega t + \left(v_0 \sin\alpha + \frac{E}{B}\right) \left(1 - \cos\Omega t\right) \right] / \Omega$$

$$y = -\left(\frac{E}{B}t + \left[-v_0 \cos\alpha (1 - \cos\Omega t) + \left(v_0 \sin\alpha + \frac{E}{B}\right) \sin\Omega t\right] / \Omega\right)$$

Lorsque $v_0 = 0$, on a l'équation classique de la cycloïde :

$$x = \left(\frac{E}{B}\right) \left(1 - \cos\Omega t\right) / \Omega$$

$$y = - \left(\frac{E}{B}t + \frac{E}{B}\sin\Omega t\right) / \Omega$$
La figure 10 ci-dessous illustre les trajectoires de particules chargées dans le cas où $\mathbf{v}_0$ est selon Oy, **E** selon Ox et **B** selon Oz (mouvement dans le plan xOy). Avec $\mathbf{v}_0 = \mathbf{0}$, le mouvement est une cycloïde représentée en tirets. Il existe une vitesse de dérive constante E/B selon Oy.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 10 : trajectoires avec $\mathbf{v}_0$ selon Oy, **E** selon Ox et **B** selon Oz, en mécanique classique. En tiretés, on a représenté la cycloïde à vitesse initiale $\mathbf{v}_0$ nulle.</figcaption></figure>

### III – 7 – Mouvement relativiste amorti dans un champ électrique et magnétique uniforme

On garde la configuration $\mathbf{E} = (E, 0, 0)$, $\mathbf{B} = (0, 0, B)$ et $\mathbf{v} = (v_x, v_y, 0) = d\mathbf{OM}/dt$ et $M(x, y, 0)$
On doit résoudre l'équation du mouvement :

$$ \frac{dv}{dt} = \left(\frac{q}{\gamma} m\right) \left(\mathbf{E} + \mathbf{v} \wedge \mathbf{B}\right) - \frac{d\ln(\gamma)}{dt} \mathbf{v} - \left(\frac{f}{m}\right) \mathbf{v} \quad (\text{remarque : } (1/\gamma) \frac{d\gamma}{dt} = \frac{d\ln(\gamma)}{dt}) $$

$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{dv_x}{dt} = \frac{q E}{\gamma m} + \left(\frac{\Omega}{\gamma}\right) \frac{v_y - \frac{d\ln(\gamma)}{dt} v_x}{f/m} v_x \\ \frac{dv_y}{dt} = -\left(\frac{\Omega}{\gamma}\right) \frac{v_x - \frac{d\ln(\gamma)}{dt} v_y}{f/m} v_y \\ \text{où } \gamma(t) = \frac{1}{\left[1 - \frac{v_x^2 + v_y^2}{C^2}\right]^{1/2}} \end{array} \right. $$

On obtient $v_x(t)$ et $v_y(t)$ par intégration numérique, et de là $x(t)$ et $y(t)$. Les figures 11, 12, 13 et 14 ci-dessous illustrent la trajectoire d'une particule chargée dans le cas où $\mathbf{v}_0$ est selon Oy, **E** selon Ox et **B** selon Oz (mouvement amorti dans le plan xOy). On peut constater qu'il existe une grande variété de trajectoires possibles selon les valeurs de $\Omega$ (effet rotatoire du champ magnétique), f (amortissement ou dissipation de la vitesse), $\mathbf{v}_0$ (vitesse initiale) ou E/B (mesure de la dérive de la particule sous l'effet du champ électrique selon Ox).

La vitesse limite ($\frac{dv_x}{dt} = 0$, $\frac{dv_y}{dt} = 0$) est solution des trois équations :

$$ \left\{ \begin{array}{l} v_x = \gamma f \frac{q E}{\gamma^2 f^2 + q^2 B^2} \\ v_y = -\gamma \frac{q^2 E B}{\gamma^2 f^2 + q^2 B^2} \\ \text{où } \gamma = \frac{1}{\left[1 - \frac{v_x^2 + v_y^2}{C^2}\right]^{1/2}} \end{array} \right. $$

$\gamma^2$ est solution de l'équation bicarrée : $(q^2 E^2 / C^2) \gamma^2 = (\gamma^2 - 1) (\gamma^2 f^2 + q^2 B^2)$, d'où $v_x$ et $v_y$.
En mécanique classique (γ = 1), on trouve : $v_x = f$ q E / ($f^2 + q^2 B^2$) et $v_y = - q^2 E B / (f^2 + q^2 B^2)$
La vitesse limite classique est alors $v = q E / (f^2 + q^2 B^2)^{1/2}$ ou vitesse de dérive (< C), égale à E/B < C
sans amortissement (lorsque f = 0).

On a au voisinage de la vitesse limite : dy/dx = v_y/v_x = - q B / f qui dépend du champ magnétique et de l'amortissement. La trajectoire tend alors vers une droite de pente - q B / f, ainsi que le montrent les figures qui suivent. La dérive se fait dans sa direction avec une vitesse proportionnelle à E mais dont la direction dépend de B et de l'amortissement f.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 11 : trajectoire avec amortissement et $v_0 = 0.9$ C selon Oy, E selon Ox et B selon Oz, vitesse de dérive $E/B = 0.5$ C, en mécanique relativiste. La courbe en tirets représente le cas à $v_0$ nul.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 12 : trajectoire avec amortissement et $v_0 = 0.9$ C selon Oy, E selon Ox et B selon Oz, vitesse de dérive $E/B = 0.1$ C, en mécanique relativiste. La courbe en tirets représente le cas à $v_0$ nul.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 13 : trajectoire avec amortissement et $v_0 = 0.9$ C selon Oy, E selon Ox et B selon Oz, vitesse de dérive $E/B = 0.1$ C, en mécanique relativiste, avec une pulsation $\Omega$ moitié de celle de la figure 12. La courbe en tirets représente le cas à $v_0$ nul.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 14 : trajectoire avec amortissement et $v_0 = 0.1$ C selon Oy, E selon Ox et B selon Oz, vitesse de dérive $E/B = 0.1$ C, en mécanique relativiste. La courbe en tirets représente le cas à $v_0$ nul.</figcaption></figure>

### III – 8 – Application au cyclotron et au synchrotron

Le cyclotron combine accélération par un champ électrique et la déviation par un champ magnétique. Dans le cyclotron, le champ magnétique est constant et le rayon de la trajectoire circulaire augmente à chaque accélération. Dans le synchrotron, on garde le rayon constant (par
exemple on atteint un diamètre de 30 km au CERN à Genève), mais on ajuste la valeur du champ magnétique déviateur à chaque accélération. Le cyclotron délivre des particules dans la gamme 1-100 MeV alors que le synchrotron monte à 1 GeV-1 TeV (moins que les particules cosmiques qui peuvent dépasser 1 EeV mais sont très rares). Un électron accéléré sous un potentiel de $10^6$ V est relativiste avec 0.95 C. Par contre, un proton sous $10^6$ V ne l'est pas (0.05 C) ; pour le trouver relativiste, il faut un potentiel de $10^8$ V (0.43 C) ou plus (0.87 C pour $10^9$ V). Ces appareils délivrent tous des électrons relativistes, le cyclotron est par contre à la limite avec 100 Mev pour le proton (0.43 C) ; ils seront par contre tous relativistes avec un synchrotron délivrant plus d'un GeV.

## En mécanique classique

On a pour chaque accélération dans un potentiel V la relation de récurrence :
$$v_n^2 = v_{n-1}^2 + 2 q V / m \text{ (avec } q V > 0)$$

La pulsation gyromagnétique est $\Omega = q B / m$ constante ; comme $v_n = \Omega R_n$, on voit que $R_n$ augmente avec $v_n$ car B est constant. La fréquence électrique d'inversion de tension des plaques accélératrices est constante et égale à la fréquence gyromagnétique $f = \Omega/2\pi$.

## En mécanique relativiste

On a pour chaque accélération dans un potentiel V la relation de récurrence :
$$\mathcal{E}_n = \mathcal{E}_{n-1} + q V \text{ (avec } q V > 0)$$

Où $\mathcal{E}_n = \gamma m C^2$ est l'énergie de la particule.

Donc la relation de récurrence devient $\gamma_n = \gamma_{n-1} + q V / m C^2$ (avec $q V > 0$)

Soit

$$1/(1 - v_n^2/C^2)^{1/2} = 1/(1 - v_{n-1}^2/C^2)^{1/2} + q V / m C^2 \text{ (avec } q V > 0)$$

La pulsation gyromagnétique est $\Omega_n = q B / \gamma_n m = (q B / m) (1 - v_n^2/C^2)^{1/2}$ et elle n'est plus constante, à B constant, car elle dépend de $v_n$ ; la fréquence électrique d'inversion de tension des plaques accélératrices doit s'adapter à la fréquence gyromagnétique $f_n = \Omega_n / 2\pi$ qui diminue quand $v_n$ augmente. On aura aussi $R_n = v_n / \Omega_n = (m / q B) v_n / (1 - v_n^2/C^2)^{1/2}$ qui tend vers l'infini quand $v_n$ tend vers C.

## Synchrotron (R constant)

En mécanique classique, R constant implique $q B_n / m = v_n / R$ croissant avec $v_n$, soit $B_n = m v_n / q R$ croissant.

En mécanique relativiste, il faut remplacer m par $\gamma_n m$, d'où :

$$B_n = (m / q R) v_n / (1 - v_n^2/C^2)^{1/2}$$

$B_n$ croît avec $v_n$. On constate que lorsque $v_n$ tend vers C, $B_n$ tend vers l'infini.

# IV – PREMIERES APPLICATIONS AUX CHAMBRES DE WILSON AVANT 1955

Les annexes ci jointes décrivent les environnements dans lesquels ont été menées les premières expériences avec des chambres de Wilson plongées dans le champ magnétique d'un électro-aimant pour l'étude de la désintégration de particules cosmiques, à une époque où l'on utilisait le rayonnement cosmique comme outil de physique nucléaire.

En annexe 1, on aborde l'installation de Leprince-Ringuet dans le grand électro-aimant de Meudon Bellevue (avant guerre) ; puis en annexe 2, les expériences menées par son laboratoire en zone libre durant la guerre, d'abord à l'Argentière la Bessée (Hautes Alpes, 1000 m) puis celles du
Col du Midi (3600 m) dans le massif du Mont Blanc où l'altitude permettait d'avoir 20 fois plus d'évènements (en annexe 3).

Enfin, l'annexe 4 décrit l'installation de l'équipe Blackett de Manchester suivie par celle de Leprince-Ringuet au Pic du Midi de Bigorre (2870 m, Pyrénées), bénéficiant après la guerre d'une grosse puissance électrique (1947) et d'un accès beaucoup plus facile qu'au Col du Midi à Chamonix (route emperrée et plan incliné en 1949 puis véritable téléphérique en 1952). Ces conditions plus favorables l'emportèrent sur l'altitude moindre.

A partir de 1955, les regards se portèrent sur les grands accélérateurs de particules naissants qui détrônèrent rapidement le rayonnement cosmique comme outil de physique nucléaire.

V – REFERENCES

Cachon, A., Les particules Vº observées dans le rayonnement cosmique, 1953, *l'Astronomie*, 67, 155

Fontaine, G., 2021, l'épopée du rayonnement cosmique, célébration au LLR des 50 ans de l'IN2P3

Gayral, P., Naissance et évolution de la recherche scientifique à Meudon, 1988, *Comité de Sauvegarde des sites de Meudon*, 65, 1

Malherbe, J.-M., Cours d'électromagnétisme L2/L3 et quelques applications astronomiques, 2024, https://cnrs.hal.science/hal-04855435v1

Malherbe, J.-M., Cours d'électromagnétisme L2 (CPES PSL), 2018, https://hal.science/cel-01458369v2

L'électro-aimant le plus puissant du monde, auteur inconnu, 1928, *La Nature*, 2790, 119

Rösch, J., Quatre années de l'Observatoire du Pic du Midi, 1951, *l'Astronomie*, 65, 221

Rösch, J., L'observatoire du Pic du Midi, *Revue de l'enseignement supérieur*, 1963, page 103

Sanchez, J.-C., L'étude des rayons cosmiques au Pic du Midi de Bigorre (1947-1978), 2013, Bulletin de la société Ramond, page 1
# ANNEXE 1

## LE GRAND ELECTRO-AIMANT DE MEUDON-BELLEVUE

L'observation des gerbes produites par l'interaction des rayons cosmiques avec l'atmosphère terrestre permit de découvrir le positon (électron positif) en 1936 ainsi que le muon (même charge que l'électron mais 207 fois plus lourd). Leprince-Ringuet profita du grand électro aimant de l'académie des sciences à Meudon Bellevue, installé en 1928 par Aimé Cotton, pour placer dans l'entrefer une chambre de Wilson qui lui permit d'évaluer la masse du muon en 1939 (207 $m_e$). Ce grand électro-aimant abrité par l'office national des recherches scientifiques et industrielles et des inventions, préfigurait les futurs grands équipements du CNRS, fondé en cette même année (Gayral, 1988). Il était composé de bobines de tuyaux de cuivre évidés permettant la circulation d'eau de refroidissement. Avec 100 KW de puissance dissipée dans les 5 km et 1260 spires de cuivre (résistance totale 0.625 Ohm), l'eau évacuait la chaleur produite par effet Joule (à cette époque on ne disposait pas de matériaux supra conducteurs). L'intensité du courant était de 400 A sous 250 V courant continu, produisant dans l'entrefer d'acier doux un champ magnétique maximal de 5 à 7 T dans un petit volume, le champ faiblissant avec la taille de l'expérience à positionner entre les pôles.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure A1 : l'office national de Meudon-Bellevue ancêtre du CNRS créé en 1939 (carte postale)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure A2 : le grand électro-aimant de 120 tonnes et 100 KW (de type Pierre Weiss) délivrait un champ magnétique de l'ordre de 5 T dans un petit volume au centre de l'entrefer. Les bobines (1.30 m de diamètre moyen) étaient constituées de tubes de cuivre creux évidés dans lesquels circulait de l'eau pour évacuer l'effet Joule (crédit Gallica/BNF)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Figure A3 : On positionnait l'expérience dans l'entrefer entre les deux bobines en montage Helmoltz autour d'un noyau d'acier doux (perméabilité μ élevée) canalisant les lignes de champ (une culasse d'acier doux fermait le circuit magnétique). Le conducteur de cuivre avait une section carrée entourée d'un isolant et un évidement cylindrique interne pour la circulation de l'eau de refroidissement (30 l/mn) permettant d'évacuer le dégagement de chaleur Joule (crédit CNRS)

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Figure A4 : Schéma d'un grand électro-aimant proche de celui de Meudon (P. Weiss, 1914)

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

Figure A5 : la chambre de Wilson du laboratoire Leprince-Ringuet dans le grand électro-aimant de Meudon en 1939 (crédit CNRS images)
# ANNEXE 2

## INSTALLATION DANS LES ALPES A L'ARGENTIERE LA BESSEE (HAUTES ALPES)

La guerre contraint en 1939 de poursuivre les recherches en zone libre et Leprince-Ringuet installa alors un laboratoire à l'Argentière la Bessée, vallée de la Durance à 1000 m d'altitude, profitant d'une petite centrale hydro-électrique alimentant une usine d'aluminium (où se posera le laboratoire), apte à fournir la puissance requise à l'alimentation de l'électro-aimant nécessaire au fonctionnement de la chambre de Wilson. G. Fontaine (2021) mentionne la découverte du méson K⁺ (le kaon de charge positive, 965 m_e), plus lourd que le muon (207 m_e) découvert à Bellevue, mais plus léger que le proton (1835 m_e).

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure B1 : laboratoire de l'Argentière la Bessée (1000 m ; Hautes Alpes) et sa chambre de Wilson (Crédit Laboratoire Leprince-Ringuet, LLR, IN2P3-CNRS)</figcaption></figure>

Cependant, le flux de rayons cosmiques de haute énergie au niveau de la mer est beaucoup plus faible qu'à 3000 m d'altitude en montagne, où le nombre d'évènements intéressants peut y être des dizaines de fois plus élevé.

Pour cette raison, l'installation pendant la guerre d'un laboratoire situé à 3600 m d'altitude à Chamonix, près du Col du Midi, fut démarrée. Le lieu ne fut pas choisi au hasard, il était lié à la présence du téléphérique des Glaciers, en fonctionnement depuis 1924 (premier tronçon créé pour les jeux olympiques d'hiver de Chamonix en 1924, second tronçon en 1927) portant le public à l'altitude de 2400 m. Il y avait un projet de prolongation par un troisième tronçon jusqu'à un gendarme à 3600 m sous l'Aiguille du Midi. En fait, cette prolongation ne dépassa jamais le simple stade de benne de service ou de chantier, permettant seulement de transporter du matériel et du personnel habilité, et en aucun cas du public. Mais elle fut décisive pour la construction du laboratoire et de son alimentation électrique à haute tension (en 15000 V triphasé).

Le téléphérique des Glaciers et la benne de chantier au dessus furent abandonnés dans les années 50 au profit de la création du téléphérique de l'Aiguille du Midi en deux tronçons tel que nous le connaissons, et mis en service en 1955. L'installation du laboratoire des Cosmiques au Col du midi au début des années 40 étant tellement liée à la présence de l'ancien téléphérique des Glaciers, que nous allons en conséquence commencer par conter brièvement son histoire.
# ANNEXE 3

## LE LABORATOIRE DES COSMIQUES AU COL DU MIDI (3600 m)

### 3- a) Le téléphérique des Glaciers (mis en service en 1927)

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

Figure C1 : le téléphérique des Glaciers part du hameau des Pélerins, en aval de Chamonix. Il se compose de deux tronçons, le premier va des Pélerins (1050 m) à la Para (1600 m) et le second de la Para aux Glaciers à 2400 m. Le premier tronçon a été ouvert au public en 1924, après une longue interruption des travaux par la guerre ; le second a été ouvert en 1927. De là, plusieurs options existaient pour monter plus haut et discutées entre les deux guerres : un gendarme situé à 3610 m entre le col du Midi et l'Aiguille du Midi fut choisi. Collection de l'auteur.

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

Figure C2 : les sections 1 et 2 du téléphérique sont ouvertes en 1924 et 1927. Pendant la guerre, une benne de service sera installée sur la section 3 avec un pylône sur l'arête à 3100 m, permettant l'acheminement du laboratoire des cosmiques et de son lourd équipement (électro-aimant) nécessitant la pose d'une ligne électrique aérienne de 15000 V triphasé. Collection de l'auteur.
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Figure C3 : la section 1 des Pélerins (1050 m) à La Para (1600 m) comporte des dizaines de pylônes rapprochés rendant la marche du téléphérique assez lente (crédit Gallica/BNF)</figcaption></figure>
Le téléphérique des glaciers, de type va et vient, comportait deux cabines de 18 places et trois cables, un porteur, un câble frein sur lequel venaient se positionner des mâchoires, et un câble tracteur. Conçu avant la première guerre, et retardé par celle-ci, il y avait trop de pylônes avec en conséquence un débit modeste. Il conduisait sous l'Aiguille du Midi en bordure du Glacier des Bossons, chemin de la voie historique d'accès au Mont Blanc via Pierre Pointue, la Jonction et les Grands Mulets.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Fig C4 : station des Glaciers 2400 m en construction avec ligne de chantier (collection de l'auteur)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure C5 : le téléphérique des Glaciers en hiver sert aux skieurs (collection de l'auteur)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Fig C6 : Le téléphérique des Glaciers avec le glacier des Bossons au fond (collection de l'auteur)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Figure C7 : le téléphérique des Glaciers avec le glacier des Pélerins au fond (crédit Gallica/BNF)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Figure C8 : le téléphérique tri-câble (porteur-frein-tracteur) des Glaciers en deux tronçons montant à 2400 m, avec la vallée de Chamonix dans le fond (collection de l'auteur)</figcaption></figure>

### 3 - b) Ligne de service du Col du Midi, ou ligne de chantier mise en service en 1940

Nous reprenons ici quelques extraits d'un article de Paul Chanson, qui fut chargé par Leprince Ringuet de la responsabilité du laboratoire des Cosmiques, article paru le 1er Juin 1950 dans la revue "LE GENIE CIVIL".

> « L'année 1938 marque la reprise des travaux du téléphérique au dessus de la station des Glaciers, à 2400 m, sous l'impulsion de M. de Peufeuilhoux. Ce n'est pas l'Aiguille du Midi elle même qui sera l'aboutissement du funiculaire aérien, mais un "gendarme" situé près du Col du Midi à 3600 m d' altitude. »

> « Ce point sera atteint en deux tronçons de même longueur (environ 1100 m). Le premier tronçon, Glacier-Arête, est construit en 1938. Pour cela, des rouleaux de câbles de 4 mm et des poulies sont portées par les guides, en charges de 30 kg, jusqu'à l'arête de granite qui a donné son nom à ce point intermédiaire (altitude 3100 m). Le problème du Col du Midi, situé au dessus, était plus difficile à résoudre, car il était indispensable de monter des pièces de 80 kg à l'altitude de 3600 m. M. de Peufeuilhoux, ancien pilote de chasse, choisit la solution audacieuse, qui devait réussir, de confier à M. Guiron, du Fayet, la mission de parachuter au Col du Midi, avec son petit avion équipé d'un moteur de 300 chevaux, le matériel destiné à l'ancrage du premier câble de service. Au cours de l'été 1939, 25 colis furent ainsi lancés sur la neige fraîche et retrouvés grâce à un long ruban rouge indicateur. Les guides devaient, non sans péril, descendre jusqu'à l'Arête le câble de 4 mm par une série de rappels de 50 m. »
« En Automne 1939, la guerre est déclarée et il faut interrompre les travaux. Ceux ci sont repris le 15 Août 1940, et le 8 Septembre, la première ligne assurant le transport du personnel est inaugurée par M. Toubin, ingénieur en chef des Ponts et Chaussées à Annecy. Au cours de l'hiver 1940-41, la ligne est coupée et une équipe de guides doit fouiller la neige pour récupérer le câble et rétablir la ligne de service. »

« C'est alors que commence la construction du laboratoire des rayons cosmiques, début Septembre 1942. Malheureusement, trois semaines après, un grave accident, au cours duquel M. de Peufeuilhoux, alors directeur de la Compagnie Française des Funiculaires de Montagne (CFFM) trouve la mort, provoque l'interruption du chantier. Les câbles entre les Glaciers et le Col du Midi sont coupés. Ce transporteur aérien, établi par M. de Peufeuilhoux, était constitué par un simple câble de 12 mm de diamètre porteur-tracteur, de deux portées égales de 1100 m de longueur. L'appui intermédiaire entre les Glaciers et le Col était une simple poulie dont le support était directement scellé dans le rocher de l'Arête (à 3100 m). Deux bennes, l'une entre les Glaciers et l'Arête, et l'autre entre l'Arête et le Col, montaient et descendaient en même temps. Pour augmenter la charge utile du transporteur, le câble avait été purement et simplement doublé par un deuxième câble semblable, placé à 15 cm du premier. Mais des solutions aussi audacieuses ne devaient avoir qu'un temps. »

« Au printemps 1943, la ligne fut rétablie plus simplement. Un seul câble porteur-tracteur de 12 mm soutenait deux bennes équilibrées, l'une montante, l'autre descendante. De cette manière, la charge utile était de l'ordre de 300 kg au maximum. Durant l'été 1943, s'achevait l'érection du pylône intermédiaire de l'Arête à 3100 m, destiné au téléphérique de service définitif tel qu'on peut le voir actuellement. L'acheminement des bois et des charpentes jusqu'à l'emplacement du futur laboratoire des Cosmiques fut réalisé grâce à un petit transporteur aérien de 300 m de portée à peu près horizontale, au dessus du glacier, entre le gendarme d'arrivée du téléphérique et le laboratoire ; cet aérien était servi par un simple treuil à main. En 1945, la CFFM installait sur le téléphérique, constitué jusqu'ici d'un simple porteur-tracteur de 12 mm, un câble porteur de 25 mm, permettant le transport de charges d'une tonne. Ceci facilita grandement le transport de charges lourdes vers le laboratoire (transformateur 15000 V, puis ultérieurement groupe électrogène diesel électrique). »

Les chasseurs alpins utilisèrent la benne de service pour défendre la Vallée Blanche pendant le second conflit mondial, la frontière italienne étant toute proche.

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Fig C9 : benne de service entre les Glaciers (2400 m) et le col du Midi (3600 m, crédit LLR IN2P3)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>Figure C10 : la benne de service près de la station inférieure (crédit Défense Nationale)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>Figure C11 : le pylône intermédiaire sur l'arête à 3100 m (collection de l'auteur)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_33.png" /></figure>

Figure C12 : le point d'arrivée de la benne de service au gendarme à 3600 m et son débarcadère en bois ; un autre câble horizontal à treuil manuel de 300 m de long faisait ensuite la jonction avec le laboratoire situé un peu plus loin juste au dessus du col du Midi (collection de l'auteur).

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

Fig C13 : le gendarme d'arrivée de la benne de service à 3600 m et le débarcadère en bois ; un câble horizontal de 300 m faisait ensuite la jonction avec le laboratoire (collection de l'auteur).
<figure><img src="image_35.png" /></figure>

Fig C14 : le gendarme d'arrivée de la benne de service à 3600 m et le débarcadère en bois ; un câble horizontal de 300 m de long faisait la jonction avec le laboratoire (collection de l'auteur).

En vue d'établir la ligne définitive, après 1945, entre la station des Glaciers à 2400 m et le Col du Midi à 3600 m, qui devait comporter deux cabines transportant du public en va et vient, un système étrange de mise en tension des câbles fut réalisé, sous la forme d'un plan incliné de béton sur lequel roulait un chariot faisant contre poids. Cette installation insolite ne fut en fait jamais opérationnelle ; en effet, le téléphérique des Glaciers, dont les deux sections étaient ouvertes depuis 1927, était de conception obsolète, ce qui incita sa fermeture en 1951 et la recherche d'une solution moderne et rapide permettant de rallier directement Chamonix ville à l'Aiguille du Midi (3842 m) en deux portées, dont l'une sans pylône, véritable prouesse technique qui fut réalisée en 1955.

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

Figure C15 : plan incliné pour la tension des câbles de la ligne des Glaciers (2400 m) au col du Midi (3600 m) par un chariot contre poids (collection de l'auteur).
### 3 - c) Le téléphérique des Glaciers et la benne de service, ce qu'il en reste aujourd'hui

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

Figure C16 : en 2017, la station des Glaciers à 2400 m avec une cabine ; les restes du plan incliné à chariot mobile contre poids destiné au téléphérique à deux cabines vers le col du Midi (jamais réalisé, à droite), et la ligne électrique (crédit FR3 Rhône Alpes)

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

Figure C17 : en 2019, la station des Glaciers à 2400 m avec une cabine et son hôtellerie en ruine (au dessus) ; les restes du plan incliné à chariot mobile contre poids destiné au téléphérique à deux cabines vers le col du Midi (jamais réalisé, à droite), la gare de départ de la benne de service du col du Midi (en haut) et la ligne électrique (crédit Cyril Preiss, Gigascope)
<figure><img src="image_39.png" /></figure>

Figure C18 : en 1986, l'ancienne gare des Glaciers à 2400 m et les ruines de l'hôtellerie ; à droite le départ de la benne de service vers le col du Midi (à noter le petit contre poids sur rails juste à l'arrière) ; la ligne électrique ; tout à gauche, le plan incliné de béton supportant le chariot mobile destiné à la mise en tension des câbles du futur téléphérique à deux cabines vers le col, finalement jamais réalisé ; toutes les installations ont été abandonnées vers 1950 (photo de l'auteur)

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

Figure C19 : en 1994, le point d'arrivée (débarcadère) à 3600 m de la benne de service du col du Midi ; on aperçoit en contrebas l'unique pylône pour franchir l'arête à 3100 m (photos de l'auteur)

Les ruines de la station des glaciers, de la gare de départ de la ligne de service et du plan incliné sont encore visibles sur les clichés de 2019. Le chariot mobile, rouillé, de mise en tension des câbles du futur téléphérique jamais réalisé, était encore présent en 1986 mais a été retiré.

Le débarcadère à 3600 m de la benne de service, les câbles et poulies, et le pylône sur l'arête à 3100 m étaient tous présents en 1994 et en 2015, ce pylône était même encore visible en 2019. Mais un important nettoyage a été mené à 3600 m fin 2017. Seul l'abri Simond subsiste en tant que refuge de secours, ainsi que la ligne électrique qui alimente les installations de l'Aiguille du Midi et le nouveau refuge des Cosmiques bâti en 1990 sur l'emplacement du vieux laboratoire. Celui-ci servait en effet de refuge (point de départ de nombreuses ascensions dont la traversée du Mont Blanc) depuis son déclassement scientifique dans les années 50 ; il fut incendié par accident en 1986.
<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>Figure C20 : l'unique pylône intermédiaire est toujours en place sur l'arête à 3100 m (crédit Cyril Preiss, Gigascope, 2019, à gauche, et FR3 Rhône Alpes, 2017, à droite)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>Figure C21 : en 2015, la station d'arrivée de la benne de service et de la ligne électrique avec le refuge Simond rénové (crédit Filippo Blengini, IN2WHITE) ; le site sera nettoyé en 2017.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>Figure C22 : fin 2017, tout a été nettoyé à 3600 m, il ne reste plus que ce treuil témoin d'une belle épopée (crédit FR3 Rhône Alpes)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>Fig C23 : en 2019, l'arrivée de la benne de service a été nettoyée (à gauche), le récent refuge des Cosmiques sur l'emplacement du vieux laboratoire est en place depuis 1990 et la ligne électrique triphasée reste indispensable à l'alimentation de l'Aiguille du Midi (crédit Cyril Preiss, Gigascope)</figcaption></figure>

### 3 - d) Le laboratoire du Col du Midi

Paul Chanson nous a laissé les schémas ci-dessous. Le laboratoire, fondé en 1943, était situé sur une plateforme rocheuse à 300 m environ du gendarme d'arrivée de la benne de service juste au refuge Simond. Pour y acheminer le matériel, on avait donc tiré un câble transporteur aérien (animé par un simple treuil à main) partant de l'embarcadère situé à côté de l'abri Simond (figure C24).

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>Figure C24 : plan des accès au laboratoire des cosmiques ; la benne de service arrive à un gendarme à 3600 m ; elle est suivie d'un câble horizontal jusqu'au labo (schéma de Paul Chanson)</figcaption></figure>
Une ligne électrique était indispensable à l'alimentation d'un transformateur 15000 V, monté en 1944, pour créer un courant continu dans deux bobines d'Helmoltz baignant la chambre de Wilson (à partir de 1946) dans un champ magnétique ; elle arrivait aux 3 pylônes P1, P2, P3. D'abord aérienne entre ces pylônes et le laboratoire, elle fut ensuite enterrée en 1947, la rendant moins exposée aux intempéries, sévères à cette altitude. Un groupe électrogène de sécurité lui fut adjoint en 1949.

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>Figure C25 : l'embarcadère du câble aérien de service horizontal sur 300 m entre le refuge Simond (à droite) et le laboratoire (crédit LLR)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>Figure C26 : le câble de chantier entre le laboratoire et l'arrivée de la benne de service où l'on voit la grue (crédit LLR)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_48.png" /></figure>

Figure C27 : plan du laboratoire des cosmiques ; le transformateur 15000 V sera complété par un groupe électrogène en 1949. La chambre de Wilson date de 1946. Un aérien de service horizontal fait la liaison sur 300 m avec la benne de service vers la vallée (schéma de Paul Chanson)

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

Figure C28 : le laboratoire et sa terrasse, à gauche l'abri du transformateur 15000 V (collection de l'auteur)
<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>Figure C29 : le laboratoire et sa terrasse (crédit LLR)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>Figure C30 : Louis Leprince-Ringuet devant le laboratoire (crédit LLR)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>Figure C31 : la chambre de Wilson et les bobines magnétiques du laboratoire. (A) Démontée, la chambre proprement dite ; elle contient de la vapeur d'eau sursaturée qui se condense au passage d'une particule chargée et ainsi matérialise sa trajectoire (B) Les bobines de l'électro-aimant destiné à incurver la trajectoire des particules chargées pour mesurer leur énergie (C) Détecteur de particules actionnant la chambre au moyen de relais et d'amplificateurs (D) Appareil photographique (E) Flash illuminant la chambre (F) ventilateurs de refroidissement des bobines (Crédit LLR)</figcaption></figure>

La chambre de Wilson contenait de la vapeur d'eau ou d'alcool à la pression partielle de vapeur saturante de sorte que le passage d'une particule puisse jouer le rôle de grain de condensation. On sait que la pression de vapeur saturante diminue avec la température, de sorte qu'une petite baisse brutale de température déclenchée en même temps que le passage de particules cosmiques va initier le processus de condensation. La transformation adiabatique associée, telle que $PV^γ = \text{constante}$ ou $T^{γ-1} = \text{constante}$ implique une baisse de température par augmentation de volume, celui-ci se faisant par la chute d'un piston. Un détecteur de particules peut ainsi déclencher lors de la détection d'un cosmique le piston, le flash et l'appareil photo, la chambre étant placée dans le champ magnétique des bobines d'Helmoltz (refroidies par ventilation forcée de manière à évacuer la chaleur dissipée par effet Joule dans les conducteurs). Après 1949, l'équipe se tourna vers le Pic du Midi de Bigorre.
<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>Figure C32 : la chambre de Wilson du laboratoire des cosmiques (crédit LLR)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>Figure C33 : quelques scènes de la vie courante à 3600 m (crédit LLR et INA)</figcaption></figure>
# ANNEXE 4

## LABORATOIRE DES RAYONS COSMIQUES AU PIC DU MIDI DE BIGORRE (2870 m)

L'installation des cosmiciens au Pic du Midi de Bigorre à partir de 1947 est étroitement liée à deux équipements majeurs de l'observatoire : l'arrivée d'une ligne électrique en 1947, la réalisation d'un plan incliné à 40° en 1949 permettant l'acheminement des pièces lourdes en été, l'installation d'une benne de service en 1949 pour monter du matériel en hiver, et benne de chantier qui va permettre de construire un téléphérique pour le personnel qui sera mis en service en 1952.

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>Fig D1 : benne de service (1949) avec laquelle on construisit le téléphérique en 1952 (crédit INA)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>Figure D2 : le Pic du Midi en hiver et en été avec son téléphérique pour le personnel, opérationnel depuis 1952 (crédit OMP)</figcaption></figure>
L'avantage du Pic, à partir de 1952, était l'accès « tout temps », la vaste place disponible au sommet et la puissance électrique disponible. La ligne électrique sous 15000 V délivrait la puissance de 3200 KVA depuis 1949. Le matériel lourd, transformateurs et électro-aimant de 11 tonnes de l'équipe Blackett de Manchester monta au Pic par le nouveau plan incliné de 220 m, faisant suite à la route empirisée du col du Tourmalet à l'hôtellerie des Laquets, praticable en été seulement.

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

Figure D3 : plan incliné ayant servi à hisser l'électro-aimant de 11 tonnes du groupe Blackett de Manchester à l'observatoire (à gauche, d'après Rösch, 1951) et chambre de Wilson se glissant entre les deux bobines ventilées (à droite, d'après Sanchez, 2013)

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

Figure D4 : double chambre de Wilson au Pic du Midi du groupe Leprince-Ringuet après 1952, d'après Rösch, 1963. Gérard Fontaine (2021) décrit ce grand équipement ainsi : « deux grandes chambres de Wilson superposées y sont construites, celle du dessus permettant de mesurer les trajectoires et les impulsions des particules (grâce à un champ magnétique) et celle du dessous (munie d'écrans absorbeurs) aidant à leur identification et à l'estimation de leur énergie. Bien des découvertes y furent effectuées de 1953 à 1956, en particulier celle de la désintégration du K en muon et neutrino. »
<figure><img src="image_60.png" /></figure>

Figure D5 : désintégration d'un hypéron négatif (particule plus lourde que le proton, 2.35 $10^{-27}$ kg) dans la chambre de Wilson de Leprince-Ringuet au Pic du Midi. Elle se désintègre en un méson négatif et un autre hypéron neutre $\Lambda^0$ (la particule V plus lourde que le neutron, soit $1.98 \ 10^{-27}$ kg), qui à son tour donne un proton (positif, $1.67 \ 10^{-27}$ kg) et un méson négatif ($0.25 \ 10^{-27}$ kg) laissant une trace en forme de V. Crédit OMP et Sanchez, 2013.

On peut comprendre pourquoi la puissance électrique était un point critique pour les physiciens des particules. Prenons une spire de courant plate de rayon R parcourue par un courant continu d'intensité I. Au centre de la spire, la loi de Biot et Savart nous donne :

$$B = \mu_0 I / 2 R, \text{ et pour N spires accolées, } B = \mu_0 N I / 2 R$$

$$\text{Sa résistance pour une longueur } L = N 2\pi R \text{ est } r = (N 2\pi R) / \gamma s$$

$$\text{Où s est la section du conducteur et } \gamma \text{ sa conductivité (5 } 10^7 \text{ S/m pour du cuivre).}$$

$$\text{La puissance dissipée vaut } P = r I^2 = (N 2\pi R) I^2 / \gamma s = (N 2\pi R) (2 R / \mu_0 N)^2 B^2 / \gamma s$$

$$\text{Soit } P = B^2 (8\pi R^3) / (\mu_0^2 N \gamma s), \text{ dont on dérive } B \text{ en fonction de } P :$$

$$B = [P (\mu_0^2 N \gamma s) / (8\pi R^3)]^{1/2}$$

Le champ magnétique généré varie comme $P^{1/2}$, $N^{1/2}$ et $R^{-3/2}$ ou encore $V^{-1/2}$ si V désigne l'ordre de grandeur du volume utile baigné par le champ magnétique. Pour bénéficier d'un champ magnétique B fort, il faut donc augmenter la puissance électrique P ou le nombre de spires N, mais B n'évolue qu'en fonction de leur racine, ce qui est critique ! Les grandes chambres de Wilson seront plus difficiles à exploiter que les petites (R ou V grands). Le champ au voisinage des pôles de l'électro-aimant est amélioré par un noyau de fer doux (perméabilité $\mu$ grande).

L'usage de 2 bobines d'Helmoltz à N spires (en x = 0 et x = 2d) permet d'avoir à mi distance x = d entre les deux un champ axial $B_x$ selon Ox assez uniforme, car il est tel que $dB_x/dx = 0$ en x = d, et de valeur :

$$B_x = \mu_0 (N I / R) (1 + d^2/R^2)^{-3/2}$$
La composante radiale à la distance r de l'axe, au premier ordre en r, se calcule par $div(B) = 0$ en symétrie cylindrique, elle vaut $B_r = -(r/2) dB_x/dx$ ; elle est du premier ordre en r, mais elle est nulle à mi distance $x = d$ entre les bobines où $dB_x/dx = 0$.

L'engouement pour le Pic du Midi des physiciens utilisant le rayonnement cosmique comme outil de physique nucléaire, servant à étudier les particules élémentaires (par collision ou désintégration), est résumé par Rösch (1963) et se déroula comme suit. Dès 1947, Occhialini exposait au Pic des plaques nucléaires dans lesquelles les mésons μ et π furent découverts. La particule lourde V (figure D5 ci-dessus, Cachon, 1953) fut identifiée par le groupe de Blackett à Manchester, qui décidait en 1949 d'approfondir la question en altitude au Pic où l'occurrence d'évènements est bien plus fréquente qu'au niveau de la mer (20 fois plus), saisissant l'occasion de la mise en service de la ligne électrique ; c'est pour monter l'électro-aimant de 11 tonnes que le plan incliné de 220 m à 40° sera réalisé en été en prolongement de la piste montant du col du Tourmalet jusqu'à 2700 m. La chambre de Wilson de 30 cm de diamètre de Manchester était plongée dans un champ de 0.75 T. C'est de là que partit l'étude des particules plus lourdes que le proton (appelées hypérons). En 1951, le groupe Leprince-Ringuet vint aussi s'installer au Pic pour une durée de six ans. Ils montèrent deux grandes chambres de Wilson (80 x 80 x 40 cm), l'une dans un champ magnétique de 0.5 T (1000 KW de puissance absorbée). L'importance majeure de tous ces travaux fut couronnée de succès par le congrès international de Bagnères en 1953.

Par la suite, la mise en service progressive des grands accélérateurs comme ceux du CERN à Genève, fournissant un flux de particules incidentes connues et plus intense que le rayonnement cosmique (quoique souvent moins énergétiques) mit fin aux expériences menées en altitude et les recherches se déportèrent alors sur ces grands équipements internationaux.

## FILMS D'ACCOMPAGNEMENT INA

### 1943INA.MP4 (CREDIT INA)

Construction de la ligne de service donnant accès au Col du Midi à 3600 m pour l'installation du laboratoire Leprince-Ringuet (vallée de Chamonix)

### 1946INA.MP4 (CREDIT INA)

Madame Irène Joliot Curie visite le laboratoire Leprince-Ringuet au Col du Midi à 3600 m (vallée de Chamonix)

### PICMIDI-INA.MP4 (CRÉDIT INA)

L'accès au Pic du Midi à partir de 1949 (benne de chantier) puis 1952 (téléphérique), qui permettra d'installer les grands électro-aimants des équipes Blackett et Leprince-Ringuet