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# Étude et optimisation des caractéristiques des détecteurs dédiés à la spectrométrie gamma moyennant la méthode des plans d'expériences

Assia Arectout

► To cite this version:

Assia Arectout. Étude et optimisation des caractéristiques des détecteurs dédiés à la spectrométrie gamma moyennant la méthode des plans d'expériences. Physique [physics]. Université Abdelmalek essaadi - FS Tétouan, 2023. Français. NNT: . tel-04184354

HAL Id: tel-04184354

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Submitted on 21 Aug 2023

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## THÈSE

Présentée à la Faculté des Sciences de TÉTOUAN pour obtenir le grade de :

Docteur en Sciences

Discipline : Physique

Spécialité : Physique Nucléaire

# Titre de la Thèse : Étude et optimisation des caractéristiques des détecteurs dédiés à la spectrométrie gamma moyennant la méthode des plans d'expériences

Par :

Assia ARECTOUT

Soutenue le 07 Juillet 2023 devant le Jury

<table><tr><td>Pr. Abdelfattah ACHAHBAR</td><td>Université Abdelmalek essaâdi, FS Tétouan</td><td>Président</td></tr><tr><td>Pr. EL Mehdi AL IBRAHMI</td><td>Université Ibn tofail, FS Kénitra</td><td>Rapporteur</td></tr><tr><td>Pr. Mohamed AZOUGAGH</td><td>Université Mohamed V, ENSAM Rabat</td><td>Rapporteur</td></tr><tr><td>Pr. Mustapha AZAHRA</td><td>Université Abdelmalek essaâdi, FS Tétouan</td><td>Rapporteur</td></tr><tr><td>Pr. Otman EL HAJJAJI</td><td>Université Abdelmalek essaâdi, FS Tétouan</td><td>Examinateur</td></tr><tr><td>Dr. Tahar ELKHOUKHI</td><td>CNESTEN, Rabat</td><td>Invité</td></tr><tr><td>Pr. El Mahjoub CHAKIR</td><td>Université Ibn tofail, FS Kénitra</td><td>Co-Directeur</td></tr><tr><td>Pr. Hamid BOUKHAL</td><td>Université Abdelmalek essaâdi, FS Tétouan</td><td>Directeur</td></tr></table>
# Dédicace

À mes chers parents,

C'est avec une immense gratitude, un cœur rempli de reconnaissance et une profonde joie que je dédie ce travail à vous, mes guides et mes soutiens les plus précieux. Cette thèse est le témoignage de votre amour et de votre dévouement, et je suis honorée de pouvoir vous rendre hommage de cette manière.

À mes chères petites sœurs Noussaiba et Khaoula, ainsi qu'à mon frère Yassin,

Je vous dédie ce travail avec un amour débordant. Votre soutien inébranlable et vos encouragements continus ont été une source d'énergie et de motivation tout au long de cette aventure.

À ma grande famille, ma tante et son mari, ainsi qu'à leur fille et chère cousine Hafsa,

Je tiens à vous exprimer ma sincère reconnaissance pour votre soutien indéfectible et votre accueil chaleureux. Votre soutien familial précieux a été une véritable bénédiction.

A Soukaina, Ibtissam et Houda

A toute personne qui m'a encouragé et aidé même d'un mot, de proche ou de loin,

A tous mes professeurs, amies et camarades, qui aujourd'hui comme hier me font aimer la science ...

Avec tout mon amour, ma reconnaissance et ma profonde gratitude,

Je dédie ce travail.

Assia ARECTOUT
Remerciements

Le présent mémoire constitue une synthèse des travaux que j'ai réalisés au Laboratoire Radiations et Systèmes Nucléaires au sein de l'Université Abdelmalek Essaadi, Faculté des Sciences de Tétouan.

Au terme de ce travail, je tiens à témoigner ma reconnaissance à Dieu tout-puissant de m'avoir donné le courage et la force de mener à terme ce projet.

À mon directeur de thèse Pr. **Hamid BOUKHAL** qui a assuré la partie encadrement, mais je ne pense pas qu'il y ait suffisamment de mots pour le remercier. Il m'a accueillie au sein de son équipe de recherche et m'a offert un environnement de travail stimulant et enrichissant. Les discussions que nous avons eues resteront gravées dans ma mémoire. Enfin, je tiens à souligner son soutien jusqu'au dernier moment, pendant la difficile épreuve qu'est la rédaction du mémoire.

Je tiens à exprimer ma profonde gratitude envers mon co-directeur de thèse, le Pr. **El Mahjoub CHAKIR**, pour son soutien paternel, sa confiance inébranlable et ses conseils avisés. Malgré son emploi du temps chargé, il a généreusement offert son aide, ses précieux conseils et son temps précieux. Sa passion pour la science a été une source d'inspiration constante pour moi. Je suis extrêmement reconnaissante d'avoir pu bénéficier de sa supervision et de sa présence tout au long de cette aventure académique.

Je tiens à remercier Monsieur Pr. **Abdelfettah ACHAHBAR** pour m'avoir fait l'honneur de présider le jury de cette thèse. Je remercie aussi Pr. **Mustapha Azahra**, Pr. **EL Mehdi AL IBRAHIMI** et Pr. **Mohamed AZOUGAGH** qui ont consacré une partie de leur précieux temps à la lecture de ce manuscrit et qui ont accepté d'être rapporteurs de cette thèse.

J'exprime ma profonde et respectueuse gratitude au Pr. **Otman EL HAJJAJI** qui a accepté d'examiner cette thèse.

Mes remerciements les plus sincères au Pr. **Tarek El Bardouni** Directeur du Laboratoire Radiations et systèmes nucléaires de la faculté des sciences de Tétouan.

Je suis très reconnaissant envers mon collègue Dr. **Essaid CHHAM**, de m'avoir permis de réaliser une collaboration avec le Laboratoire de radiochimie et radiologie environnementale de la Faculté des sciences de l'Université de Grenade. Je tiens particulièrement à remercier le Pr. **M. Angeles Ferro-Garcia** et **Fran Piñero García**, qui ont généreusement permis d'accéder aux mesures expérimentales nécessaires à mon projet.

Je tiens à exprimer mes remerciements les plus chaleureux à Monsieur **Tazi**, directeur du Centre National de Radioprotection, pour l'accueil exceptionnel qui m'a été réservé lors de mon stage. Je
souhaite également adresser ma gratitude à l'ensemble du personnel des différents services
techniques et scientifiques.

Je tiens également à remercier mes collègues docteurs et futur docteurs membres de la famille ERSN, je les remercie pour les moments de détente, les cafés partagés et leurs encouragements. Un merci tout spécial à Houda, Hamza, Tarik, Essaid, Monia, Hafsa, Afaf, Soumaya, Mohamed, Mariam, Khaoula, Omaima, Iman, Randa, Hamid, Hicham... je garderai en mémoire leur aide et leur soutien.
Résumé

La spectrométrie gamma est une technique non destructive de mesure nucléaire permettant l'analyse qualitative et quantitative des radionucléides présents dans un échantillon. La performance d'un système de spectrométrie gamma dépend notamment de la qualité de son étalonnage, particulièrement en efficacité. Comme nous ne disposons pas toujours d'étalons de mêmes propriétés physico-chimiques que celles de l'échantillon à analyser, le recours à la méthode de Monte-Carlo pour simuler la procédure d'étalonnage est une solution alternative simple et peu coûteuse. Elle permet d'obtenir des résultats fiables si l'on connait avec précision les paramètres géométriques du détecteur.

Ce travail de thèse est axé sur la mise au point d'une méthodologie quasi-automatisée permettant d'obtenir une réponse numérique équivalente à la réponse réelle du détecteur à un critère de convergence donné. Cette méthodologie d'optimisation s'appuie sur l'utilisation des plans d'expériences, notamment les plans de criblage et les plans de modélisation appelés aussi plans de surface de réponse.

Dans un premier temps, nous avons mené une étude détaillée d'optimisation des paramètres intrinsèques du détecteur GeHP coaxial de type N. La première étape de cette étude étant l'analyse de criblage pour identifier les facteurs influents sur la réponse observée. Six facteurs ont été identifiés à influence significative sur l'efficacité du détecteur. Ensuite, une modélisation plus fine de ces facteurs a été réalisée à l'aide d'un plan de surface de réponse. Les modèles établis ont été améliorés pour optimiser leur qualité descriptive et prédictive. Enfin, l'approche de désirabilité est utilisée pour obtenir une efficacité simulée équivalente à l'efficacité expérimentale sur une large gamme d'énergie suivant deux configurations de mesure. Les résultats ont été validés avec un écart inférieur à 5%.

Cette approche a été, par la suite, appliquée et validée sur plusieurs autres types de détecteurs, notamment GeHP planaire, GeHP coaxial de type P, NaI 3"x3" et NaI 2"x2". Les résultats obtenus pour tous les détecteurs ont montré une excellente concordance entre les réponses simulées et expérimentales. La précision de la simulation de chaque détecteur par rapport aux mesures expérimentales a été améliorée de manière significative grâce à l'optimisation de ses paramètres intrinsèques. De plus, la méthode a été appliquée avec succès sur différentes configurations de mesure incluant différentes distances de la source et sur une gamme d'énergie variée.

D'un autre côté, pour faciliter l'utilisation et l'application de la méthode des plans d'expériences, nous avons développé une interface graphique basée sur le langage Python Tkinter. Cette interface permet d'automatiser les étapes de la méthodologie d'optimisation et de fournir des résultats clairs et conviviaux aux utilisateurs.

Mots-clés : Spectrométrie gamma, réponse du détecteur, simulation Monte Carlo, code GAMOS, plan d'expériences, plan de criblage, plan de surface de réponse, optimisation multi-réponses, fonction de désirabilité, python tkinter, GUI.
Abstract

Gamma spectrometry is a non-destructive nuclear measurement technique that allows for the qualitative and quantitative analysis of radionuclides present in a sample. The performance of a gamma spectrometry system depends, in particular, on the quality of its calibration, especially in terms of efficiency. However, this is not always the case, provided that standards with the same physicochemical properties as the sample to be analyzed are available. Therefore, the use of Monte Carlo methods to simulate the calibration procedure appears to be a simple and inexpensive solution. It allows for reliable simulation results if the geometric parameters of the detector are known precisely.

This work focuses on the development of a quasi-automated methodology to obtain a numerical response equivalent to the real response of the detector at a given convergence criterion. This optimization methodology is based on the use of experimental designs, including screening designs and modeling designs, also called response surface designs.

Initially, we conducted a detailed optimization study of the intrinsic parameters of the N-type coaxial GeHP detector. The first step of this study was a screening analysis to identify the influential factors on the observed response, reducing the number of factors to be studied. Six factors were identified as having a significant influence on the detector's efficiency. Then, a finer modeling of these factors was carried out using a response surface design, and the models were improved to optimize their descriptive and predictive quality. The models were tested to validate their reliability. Finally, the desirability approach was used to obtain a simulated efficiency equivalent to the experimental efficiency over a wide range of energy and for two measurement configurations. The results were validated with an error of less than 5%.

In addition, this approach was validated on several other types of detectors, including planar GeHP, P-type coaxial GeHP, NaI 3"x3", and NaI 2"x2" detectors. The results obtained for all detectors showed excellent agreement between the simulated and experimental responses. The precision of the simulation of each detector compared to the experimental measurements was significantly improved by optimizing its intrinsic parameters. Moreover, the method was successfully applied to different measurement configurations, including different source distances and a range of energy.

Finally, to facilitate the use and application of the experimental design method, we developed a graphical interface using the Python Tkinter language. This interface automates the steps of the optimization methodology and provides clear and user-friendly results for the users.

Keywords: Gamma spectrometry, detector response, Monte Carlo simulation, GAMOS code, experimental design, screening design, response surface design, multi-response optimization, desirability function, Python Tkinter, GUI.
Table des matières

<table><tr><td>Dédicace</td><td>1</td></tr><tr><td>Remerciements</td><td>2</td></tr><tr><td>Résumé</td><td>4</td></tr><tr><td>Abstract</td><td>5</td></tr><tr><td>Liste des Figures</td><td>11</td></tr><tr><td>Liste des Tableaux</td><td>15</td></tr><tr><td>Introduction générale</td><td>17</td></tr><tr><td>CHAPITRE 1: Généralités sur la spectrométrie gamma</td><td>19</td></tr><tr><td>I. Introduction</td><td>20</td></tr><tr><td>II. Rappels sur les aspects physiques de la spectrométrie gamma</td><td>20</td></tr><tr><td>II.1 Type de rayonnements</td><td>20</td></tr><tr><td>II.2 Interaction photon/matière</td><td>21</td></tr><tr><td>II.2.1 Effet Photo-électrique</td><td>21</td></tr><tr><td>II.2.2 Diffusion Compton</td><td>22</td></tr><tr><td>II.2.3 Création de Paire</td><td>23</td></tr><tr><td>II.2.4 Domaines de prédominance des effets</td><td>24</td></tr><tr><td>II.3 Atténuation des photons dans la matière</td><td>25</td></tr><tr><td>II.3.1 Coefficient d'atténuation</td><td>25</td></tr><tr><td>II.3.2 Libre parcours moyen</td><td>27</td></tr><tr><td>III. La détection des rayonnements ionisants</td><td>28</td></tr><tr><td>IV. Technique de la spectrométrie gamma</td><td>28</td></tr><tr><td>IV.1 Caractérisation des performances d'un spectromètre</td><td>29</td></tr><tr><td>IV.1.1 Efficacité de détection</td><td>29</td></tr><tr><td>IV.1.2 Résolution en énergie</td><td>30</td></tr><tr><td>IV.1.3 Temps mort</td><td>31</td></tr><tr><td>IV.2 Les différents types de détecteurs gamma</td><td>31</td></tr><tr><td>IV.2.1 Détecteurs à scintillation</td><td>32</td></tr><tr><td>IV.2.2 Détecteurs à semi-conducteurs</td><td>33</td></tr><tr><td>a) Détecteurs GeHP</td><td>36</td></tr><tr><td>b) Détecteur planaire</td><td>36</td></tr><tr><td>c) Détecteur coaxial</td><td>37</td></tr><tr><td>d) Détecteur puits</td><td>37</td></tr><tr><td>IV.3 Electronique d'acquisition</td><td>38</td></tr><tr><td>IV.4 Spectre d'acquisition des données</td><td>39</td></tr><tr><td>V. Étalonnage du spectromètre gamma</td><td>41</td></tr><tr><td>V.1 Sources étalons</td><td>41</td></tr><tr><td>V.2 Etalonnage en énergie</td><td>41</td></tr><tr><td>V.3 Etalonnage en résolution</td><td>42</td></tr><tr><td>V.4 Etalonnage en efficacité</td><td>42</td></tr><tr><td>VI. Evaluation de l'activité d'un radioélément dans un échantillon</td><td>43</td></tr><tr><td>VI.1 Préparation de l'échantillon</td><td>43</td></tr><tr><td>VI.2 Calcul de l'activité</td><td>44</td></tr><tr><td>VII. Facteurs de correction</td><td>45</td></tr><tr><td>VII.1 Correction de la géometrie</td><td>45</td></tr><tr><td>VII.2 Correction de la décroissance radioactive</td><td>45</td></tr><tr><td>VII.3 Correction de pic-somme</td><td>46</td></tr><tr><td>VII.4 Correction d'auto-absorption</td><td>48</td></tr></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>VIII. Seuil de décision et limite de détection :</td>
      <td>49</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>CHAPITRE 2 : Fondements théoriques de la méthode des plans d'expériences.</td>
      <td>51</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I. Introduction :</td>
      <td>52</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II. Présentation des plans d'expériences :</td>
      <td>53</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.1 Historique :</td>
      <td>53</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.2 Principe :</td>
      <td>53</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. Formalisation du problème :</td>
      <td>55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.1 Définition de l'objectif de l'étude :</td>
      <td>55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.2 Définition des facteurs d'entrée :</td>
      <td>55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.3 Définition du domaine expériemntal :</td>
      <td>56</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.4 Définition des paramètres de sortie :</td>
      <td>56</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV. Choix d'une stratégie d'expérimentation :</td>
      <td>57</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.1 Construction du plan d'experimentation :</td>
      <td>57</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.2 Choix du modèle empirique :</td>
      <td>57</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V. Plan de criblage ou screening :</td>
      <td>58</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.1 Plans fatoriels fractionnaires :</td>
      <td>58</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.1.1 Principe de construction :</td>
      <td>59</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.1.2 Conditions sur la construction du plan fractionnaire :</td>
      <td>60</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.1.3 Résolution du plan :</td>
      <td>62</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.2 Méthode de TAGUCHI :</td>
      <td>63</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.2.1 Tables orthogonales standards de TAGUCHI :</td>
      <td>63</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.2.2 Graphes linéaires et Triangle des interactions :</td>
      <td>64</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>a) Triangle d'interactions :</td>
      <td>65</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>b) Graphe linéaire :</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.3 Construction d'un plan à partir des tables de Taguchi :</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.4 Expérimentation :</td>
      <td>68</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.5 Analyse et interprétation des résultats des essais :</td>
      <td>68</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.5.1 Analyse globale des résultats d'essai :</td>
      <td>68</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.5.2 Analyse mathématique :</td>
      <td>69</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>a) Concept d'effet moyen:</td>
      <td>69</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>b) Estimation des coefficients du modèle :</td>
      <td>70</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.5.3 Analyse statistique :</td>
      <td>70</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>a) Méthode de Lenth :</td>
      <td>71</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>b) Méthode de Daniel:</td>
      <td>71</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>c) Diagramme de Pareto :</td>
      <td>72</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.5.4 Analyse graphique :</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>a) Graphe des effets moyens et des interactions :</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>b) Graphe des effets des interactions :</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>VI. Plan de modélisation – Plan de surface de réponse :</td>
      <td>74</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>VI.1 Plan factoriel complet 3<sup>k</sup>:</td>
      <td>74</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>VI.2 Plan de Box-Benkhen :</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>VI.3 Analyse et interprétation des résultats des essais :</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>VI.3.1 Analyse mathématique :</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>VI.3.2 Analyse statistique :</td>
      <td>77</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>a) Analyse globale du modèle :</td>
      <td>77</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>b) Analyse statistique des coefficients du modèle:</td>
      <td>79</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>c) Analyse statistique des résidus :</td>
      <td>80</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>VI.3.3 Analyse graphique :</td>
      <td>80</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>a) Surface de réponse :</td>
      <td>80</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>b) Courbe iso-réponses</td>
      <td>81</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>VII. Optimisation multicritères : Fonctions de désirabilité</td>
      <td>81</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>VIII. Conclusion</td>
      <td>84</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>CHAPITRE 3 : Modélisation du détecteur GeHP par le code GAMOS</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I. Introduction</td>
      <td>86</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II. Les techniques de Monte Carlo et les méthodes d'échantillonnage</td>
      <td>86</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.1 Généralités sur la méthode Monte Carlo</td>
      <td>86</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.2 Les méthodes d'échantillonnage</td>
      <td>87</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. Le code de simulation GEANT4</td>
      <td>88</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.1 Description générale</td>
      <td>88</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.2 Architecture et fonctionnalités de base</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV. La plateforme de simulation Monte Carlo GAMOS</td>
      <td>90</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.1 Motivation autour du développement de GAMOS</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.2 Structure du code GAMOS</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.3 La construction d'une simulation dans GAMOS</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.3.1 Description du fichier géométrie</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.3.2 Description du fichier d'entrée</td>
      <td>94</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>a) Générateurs des particules primaires et processus physiques</td>
      <td>94</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>b) Notion de détecteur sensible</td>
      <td>95</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>c) Exemple d'un fichier d'entrée</td>
      <td>96</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.3.3 Extraction et analyse des données</td>
      <td>96</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.3.4 Estimation de la fiabilité d'une méthode Monte Carlo</td>
      <td>97</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V. Mise en œuvre de la simulation du détecteur Germanium Hyper Pure (GeHP) avec GAMOS</td>
      <td>97</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.1 Description du détecteur et du dispositif expérimental</td>
      <td>97</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.2 Calibration expérimentale en efficacité</td>
      <td>100</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.3 Modélisation du dispositif expérimental</td>
      <td>102</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V.4 Comparaison simulation-expérience</td>
      <td>104</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>VI. Approches de littérature</td>
      <td>105</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>VII. Conclusion</td>
      <td>107</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>CHAPITRE 4 : Application de la méthode des plans d'expériences à l'optimisation des paramètres géométriques des détecteurs gamma</td>
      <td>108</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Section I : Étude détaillée sur l'optimisation des paramètres géométriques du détecteur GeHP</td>
      <td>110</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I. Introduction</td>
      <td>110</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II. Formalisation du problème</td>
      <td>111</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.1 Définition de l'objectif de l'étude</td>
      <td>111</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.2 Définition des facteurs d'entrée</td>
      <td>111</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.3 Définition du domaine d'étude</td>
      <td>112</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.4 Définition des paramètres de sortie</td>
      <td>113</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. Plan d'expériences pour étude de criblage des facteurs</td>
      <td>113</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.1 Définition du modèle mathématique</td>
      <td>113</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.2 Construction de la matrice d'expérience</td>
      <td>114</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.2.1 Recherche de la table de Taguchi adaptée</td>
      <td>114</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.2.2 Affectation de colonne à chaque facteur</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.3 Expérimentation</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.4 Analyse globale des résultats d'essai</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.4.1 Analyse mathématique des résultats d'essais</td>
      <td>118</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.4.2 Analyse graphique des résultats d'essais</td>
      <td>119</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>III.5 Analyse statistique des résultats d'essais :</td>
      <td>120</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.5.1 Méthode de Daniel :</td>
      <td>121</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.5.2 Méthode de Lenth:</td>
      <td>121</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.5.3 Diagramme de Pareto :</td>
      <td>122</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.6 Bilan et conclusion sur l'analyse statistique :</td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV. Plan de surface de réponse :</td>
      <td>125</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.1 Définition du modèle mathématique :</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.2 Construction de la matrice d'expériences :</td>
      <td>126</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.3 Expérimentation :</td>
      <td>127</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.4 Analyse globale des résultats d'essais :</td>
      <td>127</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.4.1 Analyse mathématique des résultats d'essais :</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.4.2 Analyse statistique des résultats d'essais :</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>a) Analyse statistique globale des modèles :</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>b) Analyse statistique des éléments du modèle :</td>
      <td>129</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>c) Analyse statistique des résidus :</td>
      <td>131</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.4.3 Analyse graphique des résultats des essais :</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>a) Graphes d'adéquation des modèles :</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>b) Représentation graphique des surfaces de réponse :</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.4.4 Validation du modèle sur des points tests internes :</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V. Optimisation multicritères : fonctions de désirabilité :</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>VI. Test de vérification :</td>
      <td>136</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>VII. Conclusion :</td>
      <td>137</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Section II : Validation de la méthode des plans d'expériences sur l'optimisation de différents types de détecteurs...</td>
      <td>139</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I. Introduction :</td>
      <td>139</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II. Mesures et détecteurs testés :</td>
      <td>139</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. Modélisation utilisant les données du constructeur :</td>
      <td>140</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV. Plan de criblage pour la sélection des facteurs impactant la réponse des détecteurs :</td>
      <td>142</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.1 Méthodologie de l'étude de criblage :</td>
      <td>142</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.2 Résultats de l'étude de criblage...</td>
      <td>143</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>V. Plan de surface de réponse et fonctions de désirabilité pour l'optimisation des paramètres des détecteurs :</td>
      <td>144</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>VI. Modélisation avec les données optimales:</td>
      <td>146</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>VII. Conclusion :</td>
      <td>147</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>CHAPITRE 5: Développement d'une interface utilisateur graphique pour l'optimisation des détecteurs gamma avec la méthode des plans d'expériences...</td>
      <td>148</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>I. Introduction :</td>
      <td>149</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II. Élaboration d'une interface utilisateur graphique GUI:</td>
      <td>149</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.1 Langage de programmation:</td>
      <td>149</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>II.2 Paquets utilisés:</td>
      <td>151</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III. Installation de l'interface OptiGAM:</td>
      <td>152</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.1 Installation des bibliothèques requises :</td>
      <td>152</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.2 Obtention du code source :</td>
      <td>153</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>III.3 Exécution de l'interface :</td>
      <td>153</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV. Description détaillée des différents éléments de l'interface et de processus de son exécution :</td>
      <td>154</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>IV.1 Panneau centrale :</td>
      <td>154</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table><tr><td>IV.1.1 INPUT DATA :</td><td>154</td></tr><tr><td>a) Detector Data :</td><td>155</td></tr><tr><td>b) Container Data :</td><td>156</td></tr><tr><td>c) Measurment setup :</td><td>157</td></tr><tr><td>d) Simulation and Experimental Efficiency :</td><td>158</td></tr><tr><td>IV.1.2 COMPUTATION:</td><td>159</td></tr><tr><td>a) Pour une étude de criblage (Screening design) :</td><td>159</td></tr><tr><td>b) Pour une étude d'optimisation : (Response surface design) :</td><td>163</td></tr><tr><td>IV.1.3 OUTPUT DATA :</td><td>164</td></tr><tr><td>a) Analyse des résultats du plan de criblage :</td><td>165</td></tr><tr><td>b) Analyse des résultats du plan d'optimisation :</td><td>168</td></tr><tr><td>IV.2 Tracé de géométrie :</td><td>172</td></tr><tr><td>IV.3 Projet :</td><td>172</td></tr><tr><td>IV.4 Terminale :</td><td>172</td></tr><tr><td>V. Conclusion :</td><td>173</td></tr><tr><td>Conclusion générale:</td><td>174</td></tr><tr><td>Références:</td><td>177</td></tr><tr><td>Annexe A: Résultats d'analyse de plan de criblage:</td><td>181</td></tr><tr><td>Analyse mathématique:</td><td>184</td></tr><tr><td>Analyse graphique:</td><td>186</td></tr><tr><td>Analyse statistique:</td><td>200</td></tr><tr><td>Annexe B: Résultats d'analyse du plan de surface de réponse:</td><td>206</td></tr><tr><td>Analyse statistique globale des modèles :</td><td>210</td></tr><tr><td>Analyse statistique des éléments du modèle :</td><td>212</td></tr><tr><td>Analyse statistique des résidus :</td><td>218</td></tr><tr><td>Validation du modèle sur des points tests internes :</td><td>221</td></tr></table>
## Liste des Figures

<table><tr><td>Figure I.1 : Classification des rayonnements</td><td>21</td></tr><tr><td>Figure I.2 : Effet photoélectrique</td><td>22</td></tr><tr><td>Figure I.3 : Diffusion Compton</td><td>23</td></tr><tr><td>Figure I.4 : Création de paires</td><td>24</td></tr><tr><td>Figure I.5 : Domaine de prépondérance de chacun des 3 effets en focntion de E et de Z</td><td>24</td></tr><tr><td>Figure I.6 : Coefficients d'atténuation massiques total et partiels pour l'eau</td><td>26</td></tr><tr><td>Figure I.7 : Coefficients d'atténuation massiques total et partiels pour le plomb</td><td>27</td></tr><tr><td>Figure I.8 : Coefficients d'atténuation massiques total et partiels pour le germanium</td><td>27</td></tr><tr><td>Figure I.9 : Schéma descriptif de l'angle solide d'une source ponctuelle</td><td>30</td></tr><tr><td>Figure I.10 : Définition de la résolution pour un pic parfaitement gaussien</td><td>31</td></tr><tr><td>Figure I.11 : Principe defonctionnement d'un détecteur à scintillation</td><td>32</td></tr><tr><td>Figure I.12 : Schéma des bandes d'énergie pour un conducteur, un semi-conducteur et un isolant</td><td>34</td></tr><tr><td>Figure I.13 : Jonction P-N</td><td>35</td></tr><tr><td>Figure I.14 : Configuration géométrique d'un détecteur GeHP plan</td><td>36</td></tr><tr><td>Figure I.15 : Configuration géométrique d'un détecteur GeHP coaxial de type N</td><td>37</td></tr><tr><td>Figure I.16 : Configuration géométrique d'un détecteur GeHP puits</td><td>38</td></tr><tr><td>Figure I.17 : Chaîne d'acquisition associées au détecteur</td><td>39</td></tr><tr><td>Figure I.18 : spectre d'acquisition d'une source gamma</td><td>40</td></tr><tr><td>Figure I.19 : Courbe d'etalonnage en énergie</td><td>42</td></tr><tr><td>Figure I.20 : Courbe étalon pour l'efficacité du détecteur HPGe réalisée à l'aide du logiciel Génie 2000</td><td>43</td></tr><tr><td>Figure I.21 : Schéma de désintégration du Cobalt-60</td><td>46</td></tr><tr><td>Figure I.22 : Exemple d'un spectre expérimental réalisé avec une source ponctuelle de <sup>60</sup>Co au contact du détecteur</td><td>47</td></tr><tr><td>Figure I.23 : dispositifs pour la méthode de transmission</td><td>49</td></tr><tr><td>Figure I.24 : Schéma représentant le seuil de décision SD et la limite de détection LD</td><td>50</td></tr><tr><td>Figure II.1 : La boîte noire du processus</td><td>52</td></tr><tr><td>Figure II.2 : mise en œuvre d'un plan d'expériences</td><td>54</td></tr><tr><td>Figure II.3 : Domaine expérimental : a) continu sans contrainte, b) : continu avec contrainte et c) discret</td><td>56</td></tr><tr><td>Figure II.4 : les graphes linéaires associés à la table L<sub>8</sub>(2<sup>7</sup>)</td><td>66</td></tr><tr><td>Figure II.5 : graphe linéaire du modèle d'exemple</td><td>67</td></tr><tr><td>Figure II.6 : graphe de Taguchi associé à la table L<sub>16</sub></td><td>67</td></tr><tr><td>Figure II.7 : boîte à moustache de la variable X<sub>j</sub></td><td>69</td></tr><tr><td>Figure II.8 : Exemple d'un diagramme de Pareto</td><td>72</td></tr><tr><td>Figure II.9 : Graphe de l'effet global et de l'effet moyen de facteur A</td><td>73</td></tr><tr><td>Figure II.10 : Exemple de graphe d'interaction entre A et B</td><td>73</td></tr><tr><td>Figure II.11 : Evolution de la réponse en fonction du niveau d'un facteur</td><td>74</td></tr><tr><td>Figure II.12 : Combinaisons d'essai dans un plan 3<sup>2</sup></td><td>75</td></tr><tr><td>Figure II.13 : Combinaisons d'essai dans un plan 3<sup>3</sup></td><td>75</td></tr><tr><td>Figure II.14 : Combinaisons d'essai dans un plan de Box-Benkhen 3<sup>3</sup></td><td>76</td></tr></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>Figure II.15 : surface de réponse</td>
      <td>80</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure II.16 : courbes iso-réponses</td>
      <td>81</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure II.17 : Désirabilité d'une fonction à maximiser</td>
      <td>82</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure II.18 : Désirabilité d'une fonction à minimiser</td>
      <td>82</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure II.19 : Désirabilité d'une fonction cible</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure III.1 : Organigramme de l'architecture de GEANT4 d'après [Ago03]</td>
      <td>90</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure III.2 : Structure de la plate-forme de simulation Monte Carlo GAMOS [Ped14]</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure III.3 : Schéma du détecteur</td>
      <td>98</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure III.4 : Dimensions du Marinelli 1 L et de la Boîte de pétri 60 mL</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure III.5 : Efficacités expérimentales obtenues pour le bêcher Marinelli 1L et la Boîte de pétri 60mL en fonction de l'énergie</td>
      <td>101</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure III.6 : Géométrie modélisée par GAMOS du détecteur avec Boîte de pétri 60mL</td>
      <td>102</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure III.7 : Géométrie modélisée par GAMOS du détecteur avec Marinelli 1L</td>
      <td>102</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure III.8 : Efficacité experimentale simulée en fonction de l'énergie pour la géométrie Marinelli 1L</td>
      <td>103</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure III.9 : Efficacité experimentale simulée en fonction de l'énergie pour la géométrie Boîte de pétri 60mL</td>
      <td>104</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure IV.1 : Procédure d'optimisation par plan d'expériences</td>
      <td>110</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure IV.2 : Graphe linéaire de notre modèle</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure IV.3 : Graphe linéaire de la table L32 de Taguchi</td>
      <td>115</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure IV.4 : Box-plot des résultats d'essais calculés en utilisant la Boîte de Pétri 60mL</td>
      <td>117</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure IV.5 : Box-plot des résultats d'essais calculés en utilisant le Marinelli 1L</td>
      <td>118</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure IV.6 : Tracé des effets moyens sur l'efficacité à 662keV pour le Marinelli ε662keV-Mar</td>
      <td>119</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure IV.7 : Tracé des interactions sur l'efficacité à 662keV pour le Marinelli ε662keV-Mar</td>
      <td>120</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure IV.8 : Graphe de Daniel pour la réponse ε662keV-Mar</td>
      <td>121</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure IV.9 : Méthode de Lenth appliquée au modèle de ε662keV-Mar</td>
      <td>122</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure IV.10 : diagramme de pareto pour la réponse ε662keV-Mar</td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure IV.11 : Box-plot des résultats d'essais</td>
      <td>128</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure IV.12 : Histogramme des résidus du modèle ε662keV-Mar</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure IV.13 : Graphe d'adéquation du modèle de ε662keV-Mar</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure IV.14 : surfaces de réponses associées au modèle de ε662keV-Mar</td>
      <td>133</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure IV.15 : Fonction de désirabilité associée à chaque réponse</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure IV.16 : Les courbes d'efficacité mesurées et simulées pour différents détecteurs en utilisant les données de constructeur</td>
      <td>141</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure IV.17 : Les courbes d'efficacité mesurées et simulées pour différents détecteurs en utilisant les données optimales</td>
      <td>147</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.1 : Extrait du script d'installation</td>
      <td>153</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.2 : Fenêtre principale de l'interface OptiGAM</td>
      <td>154</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.3 : Fenêtre de personnalisation des données pour le détecteur Ge planaire</td>
      <td>155</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.4 : Fenêtre de personnalisation des données pour le détecteur NaI</td>
      <td>156</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.5 : Définition des données du conteneur Marinelli et de la matrice de la source</td>
      <td>157</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.6 : Définition des données du conteneur boîte de pétri et de la matrice de la source</td>
      <td>157</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.7 : Configuration des données additionnelles à la géométrie de mesure</td>
      <td>157</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.8 : Définition des conditions de simulation</td>
      <td>158</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>Figure V.9: Comparaison des efficacités simulée et expérimentale</td>
      <td>159</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.10 : Définition des facteurs d'entrée et de leurs niveaux</td>
      <td>160</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.11 : choix des interactions</td>
      <td>161</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.12 : Matrice de Taguchi L<sub>32</sub> pour l'étude de criblage</td>
      <td>161</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.13: Suivi de la progression des essais</td>
      <td>162</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.14 : Exemple des résultats de simulation pour une étude de criblage</td>
      <td>163</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.15 : Analyse globale des résultats du plan d'expériences</td>
      <td>164</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.16 : Analyse statistique des résultats d'essais par la méthode de daniel</td>
      <td>165</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.17 : Analyse statistique des résultats d'essais par la méthode de Lenth</td>
      <td>165</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.18 : Analyse statistique des résultats d'essais par diagramme de Pareto</td>
      <td>166</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.19 : Exemple de graphe des effets</td>
      <td>166</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.20 : Exemple de graphe des interactions</td>
      <td>167</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.21 : Exemple de facteurs significatifs</td>
      <td>167</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.22: Analyse statistique des résultats du plan d'optimisation</td>
      <td>169</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V. 23: Exemple de surface de réponse</td>
      <td>170</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.24: Exemple de graphe de contour</td>
      <td>170</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.25 : Définition des critères d'optimisation pour chaque réponse</td>
      <td>171</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.26: Résultats d'optimisation : combinaison optimale de paramètres, réponses prédites et désirabilités individuelles</td>
      <td>171</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure V.27: Fenêtre affichant la comparaison des efficacités expérimentales et simulées après optimisation des paramètres</td>
      <td>172</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.1 : Graphe des effets pour la réponse ε<sub>59keV-Mar</sub></td>
      <td>186</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.2: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>88keV-Mar</sub></td>
      <td>186</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.3: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>122keV-Mar</sub></td>
      <td>187</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.4: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>165keV-Mar</sub></td>
      <td>187</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.5: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>391keV-Mar</sub></td>
      <td>187</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.6: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>662keV-Mar</sub></td>
      <td>188</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.7: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>898keV-Mar</sub></td>
      <td>188</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.8: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>1173_Mar</sub></td>
      <td>188</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.9: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>1332keV-Mar</sub></td>
      <td>189</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.10: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>1836keV-Mar</sub></td>
      <td>189</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.11: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>59keV-Petri</sub></td>
      <td>189</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.12: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>88keV-Petri</sub></td>
      <td>190</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.13: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>122keV-Petri</sub></td>
      <td>190</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.14: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>165keV-Petri</sub></td>
      <td>190</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.15: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>391keV-Petri</sub></td>
      <td>191</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.16: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>662keV-Petri</sub></td>
      <td>191</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.17: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>898keV-Petri</sub></td>
      <td>191</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.18: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>1173keV-Petri</sub></td>
      <td>192</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.19: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>1332keV-Petri</sub></td>
      <td>192</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.20: Graphe des effets pour la réponse ε<sub>1836keV-Petri</sub></td>
      <td>192</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.41 : Graphe des interactions pour la réponse ε<sub>59keV-Mar</sub></td>
      <td>193</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.42 : Graphe des interactions pour la réponse ε<sub>88keV-Mar</sub></td>
      <td>193</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.43 : Graphe des interactions pour la réponse ε<sub>122keV-Mar</sub></td>
      <td>194</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>Figure A.44 : Graphe des interactions pour la réponse ε1<sub>56keV-Mar</sub></td>
      <td>194</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.45 : Graphe des interactions pour la réponse ε<sub>391keV-Mar</sub></td>
      <td>194</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.46 : Graphe des interactions pour la réponse ε<sub>662keV-Mar</sub></td>
      <td>195</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.47 : Graphe des interactions pour la réponse ε<sub>898keV-Mar</sub></td>
      <td>195</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.48 : Graphe des interactions pour la réponse ε<sub>1173keV-Mar</sub></td>
      <td>195</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.49 : Graphe des interactions pour la réponse ε<sub>1836keV-Mar</sub></td>
      <td>196</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.50 : Graphe des interactions pour la réponse ε<sub>59keV-Mar</sub></td>
      <td>196</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.51 : Graphe des interactions pour la réponse ε<sub>88keV-Petri</sub></td>
      <td>196</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.32 : Graphe des interactions pour la réponse ε<sub>122keV-Petri</sub></td>
      <td>197</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.33 : Graphe des interactions pour la réponse ε<sub>165keV-Petri</sub></td>
      <td>197</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.34 : Graphe des interactions pour la réponse ε<sub>391keV-Petri</sub></td>
      <td>197</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.35 : Graphe des interactions pour la réponse ε<sub>662keV-Petri</sub></td>
      <td>198</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.36 : Graphe des interactions pour la réponse ε<sub>898keV-Petri</sub></td>
      <td>198</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.37 : Graphe des interactions pour la réponse ε<sub>1332keV-Petri</sub></td>
      <td>198</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.38 : Graphe des interactions pour la réponse ε<sub>1836keV-Petri</sub></td>
      <td>199</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.39 : Méthode de Daniel pour les réponses ε<sub>59keV-Mar</sub> - ε<sub>1836keV-Mar</sub></td>
      <td>200</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.40 : Méthode de Daniel pour les réponses ε<sub>59keV-Petri</sub> - ε<sub>1836keV-Petri</sub></td>
      <td>201</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.41 : Méthode de Lenth pour les réponses ε<sub>59keV-Mar</sub> - ε<sub>1836keV-Mar</sub></td>
      <td>202</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.42 : Méthode de Lenth pour les réponses ε<sub>59keV-Petri</sub> - ε<sub>1836keV-Petri</sub></td>
      <td>203</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.43 : Diagramme de Pareto les réponses ε<sub>59keV-Mar</sub> - ε<sub>1836keV-Mar</sub></td>
      <td>204</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Figure A.44 : Diagramme de Pareto les réponses ε<sub>59keV-Petri</sub> - ε<sub>1836keV-Petri</sub></td>
      <td>205</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
## Liste des Tableaux

<table><tr><td>Tableau I.1 : Propriétés de certains scintillateurs inorganiques utilisés en spectrométrie gamma [Kno10]</td><td>33</td></tr><tr><td>Tableau I.2 : Caractéristiques des matériaux semi-conducteurs [Kno10],[Gil08]</td><td>35</td></tr><tr><td>Tableau II.1 : Matrice des effets pour un plan factoriel complet à deux facteurs</td><td>59</td></tr><tr><td>Tableau II.2 : Matrice des effets pour un plan factoriel complet à deux facteurs après confusion</td><td>60</td></tr><tr><td>Tableau II.3 : Matrice d'essais pour un plan factoriel fractionnaire à trois facteurs</td><td>60</td></tr><tr><td>Tableau II.4 : Tableau d'incidence des actions A et B: T(A, B)</td><td>61</td></tr><tr><td>Tableau II.5 : Tableau d'incidence des actions A et C: T(A, C)</td><td>61</td></tr><tr><td>Tableau II.6 : Tableau d'incidence des actions B et C: T(B, C)</td><td>61</td></tr><tr><td>Tableau II.7 : nombre de facteurs étudiés pour différentes résolutions</td><td>62</td></tr><tr><td>Tableau II.8 : Classement des tables orthogonales de TAGUCHI</td><td>64</td></tr><tr><td>Tableau II.9 : Table L<sub>8</sub> (27)</td><td>64</td></tr><tr><td>Tableau II.10 : Triangle des interactions de la table L<sub>8</sub></td><td>65</td></tr><tr><td>Tableau II.11 : Les alias résultants du triangle des interactions</td><td>65</td></tr><tr><td>Tableau II.12 : Matrice d'expérience de Taguchi L<sub>16</sub> pour étudier 7 facteurs</td><td>68</td></tr><tr><td>Tableau II.13 : Tableau de l'ANOVA fourni par le test de Fisher</td><td>78</td></tr><tr><td>Tableau III.1 : Données de la source standard multi-gamma utilisée</td><td>99</td></tr><tr><td>Tableau III.2 : Efficacités expérimentales obtenues pour le bêcher Marinelli et la Boîte de pétri</td><td>101</td></tr><tr><td>Tableau III.3 : Efficacités simulées et déviation relative pour le détecteur avec dimensions fournies par le constructeur (Marinelli 1L et Boîte de pétri)</td><td>105</td></tr><tr><td>Tableau IV.1 : Facteurs et modalités associées</td><td>112</td></tr><tr><td>Tableau IV.2 : Les interactions à examiner entre les facteurs propres au cristal et les facteurs liés aux zones mortes</td><td>113</td></tr><tr><td>Tableau IV.3 : Affectation des colonnes aux facteurs</td><td>116</td></tr><tr><td>Tableau IV.4 : Tableau d'alias</td><td>116</td></tr><tr><td>Tableau IV.5 : récapitulatif des résultats d'analyses statistiques</td><td>124</td></tr><tr><td>Tableau IV.6 : coefficients du modèle associé à la réponse ε<sub>662keV-Mar</sub></td><td>128</td></tr><tr><td>Tableau IV.7 : Analyse de variance du modèle ε<sub>662keV-Mar</sub></td><td>129</td></tr><tr><td>Tableau IV.8 : Analyse statistique des coefficients du modèle ε<sub>662keV-Mar</sub></td><td>130</td></tr><tr><td>Tableau IV.9 : Analyse statistique des coefficients du modèle ε<sub>662keV-Mar</sub></td><td>131</td></tr><tr><td>Tableau IV.10 : Points tests et résultats de validation pour le modèle de ε<sub>662keV-Mar</sub></td><td>134</td></tr><tr><td>Tableau IV.11 : Résultat de la recherche de l'optimum par fonction de désirabilité</td><td>136</td></tr><tr><td>Tableau IV.12 : Les valeurs optimales obtenues par les fonctions de désirabilité</td><td>136</td></tr><tr><td>Tableau IV.13 : Efficacités simulées avec les paramètres optimaux du détecteur</td><td>137</td></tr><tr><td>Tableau IV.14 : Configurations de mesures et détecteurs testés</td><td>140</td></tr><tr><td>Tableau IV.15 : Les indicateurs d'écart entre les efficacités expérimentales et simulées sur toutes les énergies en utilisant les données du constructeur</td><td>141</td></tr><tr><td>Tableau IV.16 : Les paramètres étudiés pour chaque détecteur et la matrice d'expériences utilisée</td><td>143</td></tr><tr><td>Tableau IV.17 : Résultats de l'étude de criblage pour les différents détecteurs</td><td>144</td></tr><tr><td>Tableau IV.18 : Résultats d'optimisation pour chaque détecteur</td><td>145</td></tr></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>Tableau IV.19 : Les indicateurs d'écart entre les efficacités expérimentales et simulées sur toutes les énergies en utilisant les paramètres optimaux</td>
      <td>146</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau V.1 : Comparaison des langages de programmation</td>
      <td>150</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau A.1: La table L<sub>32</sub> de Taguchi en valeurs codées</td>
      <td>181</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau A.2: Résultats des essais obtenus pour les efficacités calculées en utilisant le Marinelli 1L</td>
      <td>182</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau A.3: Résultats des essais obtenus pour les efficacités calculées en utilisant la boîte de Pétri 60mL</td>
      <td>183</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau A.4: Coefficients des modèles associés aux réponses ε<sub>59keV-Mar</sub> à ε<sub>1836keV-Mar</sub></td>
      <td>184</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau A.5 : Coefficients des modèles associés aux réponses ε<sub>59keV-Petri</sub> à ε<sub>1836keV-Petri</sub></td>
      <td>185</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.1: Matrice d'expérience de Box-Benkhen</td>
      <td>206</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.2: Résultats des essais du plan de Box-Benkhen</td>
      <td>208</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.3 : Analyse de la variance pour l'ensemble des modèles</td>
      <td>210</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.4: Qualité descriptives et prédictive des modèles</td>
      <td>211</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.5: Analyse statistique des coefficient du modèle</td>
      <td>212</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.6: Analyse statistique des coefficient du modèle</td>
      <td>212</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.7: Analyse statistique des coefficient du modèle</td>
      <td>213</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.8: Analyse statistique des coefficient du modèle</td>
      <td>213</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.9: Analyse statistique des coefficient du modèle</td>
      <td>214</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.10: Analyse statistique des coefficient du modèle</td>
      <td>214</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.11: Analyse statistique des coefficient du modèle</td>
      <td>215</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.12: Analyse statistique des coefficient du modèle</td>
      <td>215</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.13: Analyse statistique des coefficient du modèle</td>
      <td>216</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.14: Analyse statistique des coefficient du modèle</td>
      <td>216</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.15: Analyse statistique des coefficient du modèle</td>
      <td>217</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.16: Analyse statistique des coefficient du modèle</td>
      <td>217</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.17 : Points tests et résultats de validation pour les modèles ε<sub>59keV-Mar</sub> et ε<sub>88keV-Mar</sub></td>
      <td>221</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.18: Points tests et résultats de validation pour les modèles ε<sub>165keV-Mar</sub> et ε<sub>1173keV-Mar</sub></td>
      <td>221</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.19 : Points tests et résultats de validation pour les modèles ε<sub>1836keV-Mar</sub></td>
      <td>222</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.20: Points tests et résultats de validation pour les modèles ε<sub>59keV-Petri</sub> et ε<sub>88keV-Petri</sub></td>
      <td>222</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.21: Points tests et résultats de validation pour les modèles ε<sub>165keV-Petri</sub> et ε<sub>662keV-Petri</sub></td>
      <td>223</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tableau B.22: Points tests et résultats de validation pour les modèles ε<sub>1173keV-Petri</sub> et ε<sub>1836keV-Petri</sub></td>
      <td>223</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
## Introduction générale:

La spectrométrie gamma est une technique d'analyse nucléaire de plus en plus répandue dans de nombreux domaines, tels que la physique nucléaire, la médecine, l'industrie... etc. Elle permet d'identifier et de quantifier les matériaux radioactifs en mesurant leurs rayonnements gamma émis. La précision des résultats est étroitement reliée à un étalonnage rigoureux de la chaîne de mesure en termes d'énergie et d'efficacité. Le coefficient efficacité est influencé par plusieurs facteurs, dont nous citons la géométrie et la taille du détecteur, la géométrie et la nature des sources étudiées ainsi que l'énergie du photon considéré. L'utilisation de standard de même nature que l'échantillon à analyser permet d'en déduire facilement l'efficacité. Le cas écheant, il faut considérer des corrections liées au problème d'auto-absorption. De plus, dans le cas de sources radioactives multi-énergétiques il faut apporter des corrections de coïncidences X-γ et γ-γ.

La méthode de simulation Monte Carlo permet efficacement de surmonter ce problème d'étalonnage surtout que de nombreux codes dédiés à ceci sont dsiponibles. En effet, elle ne nécessite pas de sources étalon et elle ne présente ni de problème d'effet de coincidence des pics sommes ni d'effet de matrice. La seule condition qu'elle nécessite est la parfaite connaissance de la nature, la taille et la géometrie du détecteur. De plus, il est souvent nécessaire de raffiner le modèle en le nourrissant de résultats expérimentaux du faite que certains paramètres impliqués dans la réponse du détecteur, tels que la distribution du champ électrique dans le cristal, les dimensions et les propriétés des couches mortes sont difficiles à évaluer.

Dans cette optique, une étude approfondie des caractéristiques géométriques des détecteurs dédiés à la spectrométrie gamma est proposée. Les simulations Monte-Carlo de la réponse des détecteurs ont été réalisées à l'aide du code GAMOS. Pour obtenir une réponse simulée suivant un écart défini par rapport à la réponse réelle du détecteur il est nécessaire de connaître les valeurs optimales des paramètres d'entrée de la simulation. On parle alors de problème inverse. Nous proposons dans cette étude une nouvelle approche permettant de maitriser l'écart entre la simulation et l'expérience. Il s'agit de la méthode des plans d'expériences. Cette méthode consiste à identifier les variables qui influencent le processus étudié et à les ajuster de manière contrôlée afin d'atteindre un optimum.

Dans le cadre de cette thèse, nous utiliserons la méthode des plans d'expériences pour optimiser les paramètres d'entrée du modèle de simulation Monte-Carlo, afin de produire une réponse simulée qui correspondra au mieux à la réponse expérimentale. Le principe de cette méthode permettant l'étude d'un ou plusieurs critères, consiste à définir différents niveaux pour chacun des paramètres à régler et à organiser des essais en faisant varier simultanément plusieurs paramètres. Ainsi, en effectuant un nombre réduit d'essais en simulation, nous pourrons obtenir des informations clés sur l'influence de chaque paramètre sur la réponse du détecteur. Cette méthode nous permettra également de développer un modèle statistique pour prédire avec précision la réponse du détecteur pour n'importe quelle combinaison de paramètres d'entrée. Cette approche permet donc d'obtenir une réponse simulée satisfaisante du détecteur tout en garantissant une meilleure correspondance avec la réponse expérimentale.

Le présent manuscrit est composé de cinq chapitres. Le premier chapitre présente une introduction à la spectrométrie gamma, qui couvre tous les aspects importants de la méthode, y compris les aspects
théoriques, la technique de détection, l'électronique d'acquisition, l'étalonnage et les corrections nécessaires pour l'évaluation de l'activité d'un radioélément dans un échantillon.

Le deuxième chapitre est consacré aux fondements théoriques de la méthode des plans d'expériences, qui est une technique statistique très utile pour la caractérisation et l'optimisation des systèmes de mesure.

Au cours du troisième chapitre, nous discuterons la méthode de simulation Monte Carlo, qui est une méthode de calcul numérique basée sur la simulation stochastique des processus aléatoires. Nous présentons comment cette méthode est utilisée pour simuler la réponse d'un détecteur GeHP coaxial de type N, ainsi que les avantages et les limites de cette méthode.

Le quatrième chapitre est dédié à l'application de la méthodologie des plans d'expériences à l'optimisation des paramètres géométriques des détecteurs gamma. Ce chapitre est divisé en deux sections : la première section présente une étude détaillée sur l'optimisation des paramètres géométriques du détecteur GeHP, tandis que la deuxième section concerne la validation de la méthode des plans d'expériences sur l'optimisation de différents types de détecteurs.

Enfin, le cinquième chapitre décrit le développement d'une interface utilisateur graphique pour l'optimisation de détecteurs gamma avec la méthode des plans d'expériences.
# CHAPITRE 1: Généralités sur la spectrométrie gamma
# I. Introduction :

Afin de pouvoir identifier et quantifier les radioéléments présents dans un échantillon, il est nécessaire de mettre en œuvre une technique de mesure nucléaire appropriée. Parmi les techniques d'analyse élémentaire les plus courantes Figure la spectrométrie gamma qui représente un outil performant et non destructif.

Ce chapitre présente la théorie de la spectrométrie gamma en évoquant les notions fondamentales nécessaires à la compréhension des chapitres suivants.

Dans un premier temps, nous rappellerons les différents modes d'interaction entre les photons gamma et la matière ainsi que le principe de leur détection. Ensuite, les différents critères utilisés pour caractériser la performance des spectromètres seront décrits.

Ce chapitre met également en évidence le principe de fonctionnement des deux principaux types de spectromètres gamma : détecteurs à semi-conducteurs et scintillateurs.

Finalement, nous exposerons le principe d'évaluation de l'activité des échantillons en passant par l'étalonnage des spectromètres (en efficacité, en énergie et en résolution). En effet, l'évaluation précise de l'activité d'un échantillon nécessite de prendre en compte tous les phénomènes physiques impactant les mesures. Ainsi, les principales corrections appliquées lors du traitement d'un spectre seront présentées.

# II. Rappels sur les aspects physiques de la spectrométrie gamma :

## II.1 Type de rayonnements :

D'une manière générale, un rayonnement ou radiation est un transfert d'énergie dans l'espace sous forme d'onde électromagnétique ou sous forme d'un faisceau de particules (rayonnement corpusculaire). Le rayonnement se propage de manière isotrope et sa trajectoire dépend de son énergie. Il est classé en deux catégories, ionisant et non-ionisant (Figure I.1). Un rayonnement est dit ionisant quand il est susceptible d'arracher des électrons lors de son interaction avec la matière. Il se produit soit par la désintégration de radionucléides (radioactivité) ou par des générateurs électriques (générateurs de rayons X et les accélérateurs de particules). Parmi ces rayonnements, on distingue ceux qui sont directement ionisants, particules chargées (α, β, électrons, protons... etc) de ceux qui sont indirectement ionisants, particules non chargées, (photons et neutrons).
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure I.1 : Classification des rayonnements</figcaption></figure>

Les photons X et gamma sont des ondes électromagnétiques difficilement identifiables l'un de l'autre, seule leur origine les différencie. Les rayons gamma sont produits à partir des transitions nucléaires lors de la décroissance radioactive ; ce sont des transitions isomériques. Les rayons X, quant à eux, sont émis naturellement suite à des transitions d'électrons lors du réarrangement du cortège électronique.

Ce travail de thèse concerne la spectrométrie gamma, nous allons donc rappeler uniquement les différents modes d'interaction des rayonnements gamma et X avec la matière.

## II.2 Interaction photon/matière :

Toute mesure de radioactivité par spectrométrie gamma dépend de l'interaction de ces photons avec les matériaux composants le détecteur. Cette section rappele les principaux modes d'interaction des gamma avec la matière. En effet, plusieurs types d'interactions sont possibles, selon l'énergie du photon incident et du numéro atomique du matériau traversé. Les interactions prédominantes sont : l'effet photoélectrique, la diffusion Compton et la création de paire.

### II.2.1 Effet Photo-électrique :

Il se produit lorsqu'un photon gamma entre en collision avec un électron du cortège électronique de l'atome, généralement un électron de la couche K. Cet électron absorbe totalement l'énergie du rayonnement qui lui est transférée. Il est ainsi libéré de sa liaison et éjecté dans une direction arbitraire de l'espace (Figure I.2). L'énergie cinétique de l'électron arraché est :
$$E_e = E_y - E_l \qquad (I.1)$$

avec :

$E_y=h\nu$ représente l'énergie du photon incident

$E_l$ l'énergie de liaison de l'électron.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure I.2 : Effet photoélectrique.</figcaption></figure>

L'effet photoélectrique est toujours suivi d'un réarrangement du cortège électronique. Un électron d'une couche supérieure vient combler l'orbite vacante du photoélectron. Cette transition s'accompagne de l'émission de photons X caractéristiques de l'atome (e.g: fluorescence ou phosphorescence) ou des électrons Auger, qui sont instantanément réabsorbés par la matière [Gil08].

### II.2.2 Diffusion Compton :

La diffusion Compton est appelée aussi diffusion incohérente, est une interaction entre un photon gamma et un électron libre ou faiblement lié de l'atome (Figure I.3). Une fraction de l'énergie du photon incident est transférée à cet électron, le photon est ensuite diffusé en subissant une déviation angulaire suite à cette perte d'énergie. La conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie totale permet de calculer l'énergie du photon diffusé $E_{y'}$ ainsi que l'énergie cinétique de l'électron Compton $T_e$ :

$$E_{y'} = \frac{E_y}{1 + \alpha(1 - \cos \theta)} \quad \text{avec} \quad \alpha = \frac{E_y}{m_0 c^2} \qquad (I.2)$$

$$\text{soit } E_{y' \text{max}} = \frac{E_y}{(1+2\alpha)} \quad \text{pour } \theta=\pi \qquad (I.3)$$

Où $E_{y'}$ représente l'énergie du photon diffusé, $E_y$ l'énergie du photon incident, $m_0c^2$ l'énergie de masse de l'électron au repos et $\theta$ l'angle de diffusion du photon par rapport à la direction d'incidence.
De là, on en déduit l'énergie cinétique de l'électron compton $T_e$ :

$$T_e = E_y - E_{y'} = \frac{E_y}{1 + \alpha(1 - \cos \theta)} \alpha(1 - \cos \theta) \quad (I.4)$$

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure I.3 : Diffusion Compton</figcaption></figure>

### II.2.3 Création de Paire :

La création de paire est un processus qui se produit au voisinage du champ électromagnétique du noyau. Le photon gamma incident est totalement absorbé et donne lieu à la création d'une paire électron-positron (Figure I.4). Ce mode d'interaction n'est possible que si l'énergie de photon incident est supérieure à la somme de l'énergie de masse au repos de l'électron et du positron, ($E_y > 1022$ keV) [Gil08]. Ce procédé peut également se produire dans le champ coulombien d'un électron même avec une probabilité très faible. Dans ce cas, le seuil d'énergie est $4 m_0 c^2$, soit 2044 keV. Ainsi, la création de paire est beaucoup plus probable au voisinage du champ magnétique du noyau qu'au voisinage de celui de l'électron. L'électron et le positron ainsi créés interagissent à leurs tours avec les atomes du milieu et perdent leur énergie en subissant plusieurs chocs. Lorsque l'énergie cinétique du positron devient très faible, il s'annihile en se combinant avec un électron du milieu, supposé au repos, créant ainsi deux photons de même énergie ($\approx 511$ keV chacun) émis dans la même direction mais dans des sens opposés.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure I.4 : Création de paires</figcaption></figure>

II.2.4 Domaines de prédominance des effets :

Les importances relatives des différents processus d'interaction (effet photoélectrique, effet Compton et création de paire) dépendent de l'énergie du photon incident et du Z du milieu traversé.
La Figure 5 présente les régions de prévalence de chaque interaction en fonction de l'énergie du photon et du numéro atomique du matériau cible [Bou98].

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure I.5 : Domaine de prépondérance de chacun des 3 effets en fonction de E et de Z.</figcaption></figure>
On constate que :

* L'effet photoélectrique est prédominat aux basses énergies (0,01MeV<E<0,1 MeV) et pour les atomes cibles de Z élevé. La section efficace de l'effet photoélectrique est proportionnelle approximativement à $\frac{Z^n}{E^m}$ [Kno10].

Avec n et m compris entre 3 et 5, Z le numéro atomique du matériau cible et E l'énergie du photon incident.

* L'effet Compton est prédominant aux énergies intermédiaires ( 0,1 MeV < E < 5 MeV). Il est favorisé dans les matériaux lourds. La probabilité d'occurrence est proportionnelle à Z et inversement proportionnelle à l'énergie E du photon incident, telle que : $\sigma_{DC} \propto \frac{Z}{E}$.

* La création de paire est prédominante pour des énergies de photons très élevées. La section efficace d'interaction varie en $Z^2$ pour les interactions dans le champ coulombien du noyau et en Z pour les interactions dans le champ coulombien de l'électron.

## II.3 Atténuation des photons dans la matière :

Lors de leur traversée de la matière, les photons perdent leur énergie suite à plusieurs interactions (effet photoélectrique, effet compton, création de paires). Toutes ces interactions contribuent à l'atténuation du faisceau incident qui dépend de l'énergie des photons et de numéro atomique du milieu traversé. L'intensité du faisceau initial est atténuée selon une loi exponentielle décroissante telle que:

$$I(X)=I_0 e^{-\mu x} \qquad (I.5)$$

Avec $I_0$ l'intensité des photons incidents, $I(x)$ l'intensité des photons transmis, x l'épaisseur du matériau traversé et $\mu$ le coefficient d'atténuation linéique des photons (en $cm^{-1}$), ce paramètre est caractéristique de chaque matériau. Cette loi, de type Beer-Lambert, n'est valable uniquement que pour un faisceau parallèle, afin que chaque photon parcoure la même distance au sein du matériau.

### II.3.1 Coefficient d'atténuation :

Chaque interaction est caractérisée par son propre coefficient d'atténuation. Ainsi le coefficient d'atténuation total est la somme des coefficients d'atténuation partiels correspondants à chaque type d'interaction des photons avec la matière [Kno10]:

$$\mu_{\text{Tot}} = \mu_{\text{EFE}} + \mu_{\text{EC}} + \mu_{\text{CP}} \qquad (I.6)$$

Le coefficient d'atténuation linéique total ($cm^{-1}$) est lié à la section efficace totale d'interaction $\sigma_{tot}$ selon l'équation suivante :
$$ \mu = \sigma_{\text{tot}} \cdot n_a \qquad (I.7) $$

Où $n_a$ est le nombre d'atomes par unité de volume (cm⁻³) et $\sigma_{\text{tot}}$ la section efficace microscopique totale (en barn, 1 barn = $10^{-24} \text{ cm}^2$).

Avec :

$$ n_a = \frac{\rho N_A}{M_{\text{mol}}} \qquad (I.8) $$

Où $\rho$ et $M_{\text{mol}}$ représentent respectivement, la masse volumique (g.cm⁻³) et la masse molaire (g.mol⁻¹) du matériau considéré et $N_A$ le nombre d'Avogadro (mol⁻¹).

Notons qu'il est également pratique de définir le coefficient d'atténuation massique $\mu_m$ exprimé en cm²/g, avec $\mu_m = \mu/\rho$.

Les Figures I.6, I.7 et I.8 montrent la variation des coefficients d'atténuation massique en fonction de l'énergie des photons incidents dans trois matériaux couramment utilisés en spectrométrie gamma, à savoir : l'eau, le plomb et le germanium. Ils représentent respectivement la matrice étalon, le blindage et le cristal détecteur.

Les domaines de prédominance changent en fonction du milieu traversé. En effet, l'absorption photoélectrique est, par exemple, prépondérant dans le plomb puis le germanium puis l'eau. Inversement la diffusion compton est plus importante dans l'eau qe dans le germanium et le plomb.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure I.6 : Coefficients d'atténuation massiques total et partiels pour l'eau.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure I.7 : Coefficients d'atténuation massiques total et partiels pour le plomb.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure I.8 : Coefficients d'atténuation massiques total et partiels pour le germanium.</figcaption></figure>

### II.3.2 Libre parcours moyen :

Contrairement aux particules chargées lourdes qui perdent leur énergie progressivement dans la matière, un photon peut traverser une grande distance avant de faire sa première interaction ; selon la composition et la densité du milieu traversé, et aussi la valeur de son énergie.

La probabilité de traverser une profondeur x, sans interactions, est donnée par :

$$P(x) = \frac{\text{fonction transmise}(x)}{\text{nombre initial}(x=0)} = \frac{I_0 e^{-\mu x}}{I_0} = e^{-\mu x} \quad (I.9)$$

comme l'interaction est un phénomène probabiliste, on défini le libre parcours moyen λ, qui est égal à la distance moyenne parcourue avec interacton. λ est ainsi donné par :
$$ \lambda = \frac{\int_{0}^{\infty} x P(x) dx}{\int_{0}^{\infty} P(x) dx} = \frac{\int_{0}^{\infty} x e^{-\mu x} dx}{\int_{0}^{\infty} e^{-\mu x} dx} = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{\mu_m \cdot \rho} \quad (I.10) $$

### III. La détection des rayonnements ionisants :

Afin de pouvoir étudier la nature des rayonnements ionisants et de mesurer leurs intensités, il est nécessaire de mettre en œuvre un système capable de détecter ces rayonnements. En effet, la détection des rayonnements ionisants est étroitement liée à leurs modes d'interaction avec le milieu détecteur. Ces interactions génèrent directement ou indirectement des charges électriques à travers deux effets principaux de l'interaction, à savoir l'ionisation et l'excitation. La charge générée est ainsi transformée en signal électrique, qui sera collectée et dénombrée. Géneralement, un système de détection permet de traduire les différentes informations liées aux grandeurs caractéristiques de la qualité (énergie), ainsi que la quantité (activité) des rayonnements ionisants.

Les techniques de mesures nucléaire non destructives sont multiples. Ils se subdivisent généralement en deux catégories: les mesures actives et les mesures passives.

Les méthodes dites actives nécessitent l'utilisation des sources externes pour induire l'émission de rayonnement qui sera ensuite détecté pour caractériser l'échantillon étudié. Les plus utilisées sont la mesure neutronique active, la transmission photonique en ligne droite et la gamma fluorescence X. Les méthodes dite passives, à contrario des méthodes actives, reposent sur la détection des rayonnements provenant spontanément de l'échantillon sans excitation préalable de l'extérieur. La mise en œuvre de ces méthodes ne nécessite de disposer que de la chaîne de détection et d'acquisition des rayonnements émis. Parmi eux, la spectrométrie gamma et le comptage neutronique sont les plus employées.

La spectrométrie gamma a l'avantage d'être non destructive et performante pour la détection des photons. C'est avec cette technique que les travaux de recherche de cette thèse ont été réalisés.

### IV. Technique de la spectrométrie gamma:

La spectrométrie gamma est une technique de mesure nucléaire permettant d'identifier et de quantifier les radionucléides émetteurs gamma présents dans un échantillon. Les photons émis par la source interagissent en déposant l'intégralité ou une partie de leur énergie dans le cristal de détection. Cette mesure effectuée sur un certain intervalle de temps, permet de construire un spectre donnant le nombre de photons détectés en fonction de leur énergie. Par l'analyse des signaux relevés caractérisant les différentes interactions entre les photons et le détecteur (photo-électrique, Compton et création de paire), il est ainsi possible d'identifier les radioéléments présents dans l'échantillon et de déterminer leurs activités.
# IV.1 Caractérisation des performances d'un spectromètre :

La qualité d'un spectromètre gamma est liée à sa capacité d'une part à détecter les raies (critère d'efficacité) et d'autre part à les distinguer entre elles (critère de résolution). Dans ce qui suit, nous allons présenter les principaux critères utilisés pour caractériser et comparer les performances des spectromètres.

## IV.1.1 Efficacité de détection :

L'efficacité de détection est un paramètre critique dans l'analyse quantitative d'un échantillon. Elle varie selon le volume et la nature du détecteur, la section efficace d'absorption et le coefficient d'atténuation des matériaux constituants le dispositif de détection. On peut distinguer entre deux types d'efficacité, absolue et intrinsèque.

**a- Efficacité absolue** : dépend de la géométrie de détection et de la probabilité d'interaction du photon dans le détecteur. Deux termes sont utilisées dans ce cas, l'efficacité d'absorption totale absolue (FEPE) et l'efficacité totale absolue :

* **L'efficacité totale absolue** : c'est le rapport entre le nombre total de photons détectés (photons provenant de tous les types d'interaction) et le nombre de photons émis par la source.

$$ \varepsilon_{\text{abs}} = \frac{N_{\text{ray}} \text{ détectés}}{N_{\text{ray}} \text{ émis par la source}} \qquad (\text{I.11}) $$

* **L'efficacité d'absorption totale absolue** : ou FEPE (Full Energy Peak Efficiency) définie comme la mesure du pourcentage de nombre de photons détectés à une énergie donnée (photons provenant de l'interaction photoélectrique) parmi celles émises par la source. Elle s'exprime telle que :

$$ \varepsilon_{\text{FEPE}} = \frac{N_{\text{PE}}}{A \cdot I \cdot \Delta t} \qquad (\text{I.12}) $$

* Où A est l'activité de la source, I l'intensité d'émission de la raie d'énergie E et Δt le temps d'aquisition.

**b- Efficacité Intrinsèque** : Cette grandeur dépend du type de radiation, de son énergie et du matériau constituant le détecteur. Elle correspond au nombre de photons détectés sur le nombre de photons qui arrivent dans le cristal.

$$ \varepsilon_{\text{int}} = \frac{N_{\text{ray}} \text{ détectés}}{N_{\text{ray}} \text{ reçus par le détecteur}} \qquad (\text{I.13}) $$

Les deux types d'efficacités, intrinsèque et absolue, sont reliées par la relation suivante :
$$ \epsilon_{\text{abs}} = \frac{\Omega}{4\pi} \epsilon_{\text{in}} \qquad (I.14) $$

où $\frac{\Omega}{4\pi}$ est l'efficacité géométrique correspond au rapport entre le nombre de photons qui atteignent le détecteur et le nombre de photons émis par la source, avec $\Omega$ est l'angle solide entre la source et le détecteur comme décrit dans la Figure suivante :

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure I.9 : Schéma descriptif de l'angle solide d'une source ponctuelle.</figcaption></figure>

### IV.1.2 Résolution en énergie :

La résolution en énergie mesure la capacité d'un détecteur à séparer deux raies gamma proches dans le spectre. En pratique, les pics d'absorption total sont des gaussiennes dont la largeur à mi-hauteur varie avec l'énergie (Figure I.10). Cet élargissement du pic est dû principalement aux fluctuations du nombre de porteurs de charges créés, à la non-uniformité de la collection des charges et au bruit des différents composants électroniques (bruit de la chaîne électronique) [Kno10].

La résolution en énergie d'un détecteur est généralement approximée par la relation suivante :

$$ R = \frac{\text{FWHM}}{E_0} \qquad (I.15) $$

Dans le cas d'un pic sous forme d'une distribution idéalement gaussienne, la largeur du pic à mi-hauteur ou FWHM (Full width at half maximum), est liée à l'écart-type $\sigma(E)$ de la distribution :

$$ \text{FWHM} = 2.35 \sigma_E \qquad (I.16) $$
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure I.10 : Définition de la résolution pour un pic parfaitement gaussien.</figcaption></figure>

### IV.1.3 Temps mort :

Pendant l'intervalle de temps où la chaîne d'acquisition traite le signal délivré par l'interaction d'un photon avec le détecteur, le système devient insensible à toute autre photon incident. Tout événement qui survient à cette période sera considéré comme perdu ou ignoré car l'entrée est bloquée électroniquement. Ainsi, le temps mort représente le temps minimal pour séparer deux évènements ou interactions qui vont être transformées en deux impulsions distinctes. La perte de comptage liée au temps mort augmente avec l'activité de la source, car cela augmente la probabilité pour que deux photons interagissent avec le détecteur dans une durée inférieure au temps mort. Le logiciel d'acquisition du spectre estime lui-même la durée de ce temps mort grâce à deux informations : le temps « réel » et le temps « actif ». Ces deux derniers correspondent respectivement au temps total pendant lequel les mesures ont été effectuées et au temps pendant lequel le détecteur est actif.

Le temps mort (en %) est défini alors par le rapport $\frac{\text{temps réel} - \text{temps actif}}{\text{temps réel}}$.

En pratique, on considère que les risques de distorsion existent si le temps mort dépasse 30 à 40 % du temps réel [Cou07].

## IV.2 Les différents types de détecteurs gamma :

Il existe de nombreuses familles de détecteurs gamma, possédant différentes caractéristiques telles que l'efficacité, la résolution ou le domaine d'énergie des photons détectés. Dans cette
section, nous allons présenter les deux principaux types de détecteurs couramment utilisés: les scintillateurs et les semi-conducteurs.

IV.2.1 Détecteurs à scintillation:

En général, la scintillation est un phénomène de fluorescence qui consiste à émettre des photons lumineux (dans l'ultraviolet ou le visible) suite à l'interaction des rayonnements ionisants avec le matériau scintillant. Il existe deux types de scintillateurs: les scintillateurs organiques (cristal, liquide plastique, gaz) et les scintillateurs inorganiques (NaI(Tl), LaBr(Ce) ...). Les premiers sont composés principalement d'hydrogène, de carbone et d'oxygène. Ce type est caractérisé par une réponse très rapide, mais son faible numéro atomique Z le rend peu adapté à la spectrométrie gamma. Les seconds, quant à eux, ils ont une réponse moins rapide mais sont privilégiés pour la spectrométrie gamma en raison de leurs densités et leurs Z élevés (meilleure efficacité lumineuse).

Le mécanisme de scintillation dans les matériaux inorganiques est dû à la structure de bande électronique du matériau scintillant. Lorsqu'un rayonnement ionisant interagit avec ce matériau, l'énergie absorbée peut ejecter un électron de la bande de valence vers la bande de conduction. Cet électron laissant alors un trou associé dans la bande de valence. Le processus de désexcitation se traduit normalement par l'émission de photons dans le domaine de l'UV. Des impuretés sont ajoutés au cristal créant ainsi de nouveaux niveaux d'énergie dans la bande interdite ce qui donne la possibilité aux électrons de se désexciter en passant par ces états. Cela permet l'émission de photons de scintillations dans le domaine du visible. Ces photons sont ensuite collectés par la photocathode de tube photomultiplicateur qui récupère l'énergie et génère par effet photo-électrique des électrons secondaires. Ensuite, par une série de dynodes en cascade, alimentés par une tension, ces électrons créés sont accélérés et multipliés pour obtenir un courant important. À la dynode finale (l'anode), un signal électrique amplifié est récupéré et sera ainsi transmis à l'électronique d'acquisition. La Figure I.11 présente le principe du détecteur à scintillation.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure I.11 : Principe defonctionnement d'un détecteur à scintillation</figcaption></figure>
En général, le scintillateur le plus utilisé pour mesurer les rayons gamma est l'iodure de sodium activé au thalium NaI(Tl). Ce détecteur présente l'avantage d'avoir une bonne sensibilité de détection aux rayons gamma, grâce au numéro atomique élevé de l'iode. Cependant, son domaine d'application est limité à la mesure des radionucléides émetteurs γ monoénergétiques en raison de sa faible résolution en énergie (80 keV à 1332 keV). Le Tableau I.1 présente les caractéristiques de certains scintillateurs inorganiques, utilisés traditionnellement (NaI(Tl), CsI(Tl)) ou développés récemment (LaBr₃(Ce)).

<table><caption>Tableau I.1 : Propriétés de certains scintillateurs inorganiques utilisés en spectrométrie gamma [Kno10].</caption><thead><tr><th>Maériau</th><th>NaI(Tl)</th><th>CsI(Tl)</th><th>LaBr<sub>3</sub>(Ce)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Nombre atomique effectif Z<sub>eff</sub></td><td>51</td><td>54</td><td>46,9</td></tr><tr><td>Masse volumique ρ [g/cm<sup>3</sup>]</td><td>3,67</td><td>4,51</td><td>5,29</td></tr><tr><td>Longueur d'atténuation x<sub>1/2</sub> [cm] à 662keV</td><td>2,5</td><td>2,0</td><td>2,00</td></tr><tr><td>Pic d'émission λ<sub>max</sub> [nm]</td><td>415</td><td>550</td><td>358-385</td></tr><tr><td>Indice de réfraction n (λ<sub>max</sub>)</td><td>1,85</td><td>1,79</td><td>1,88</td></tr><tr><td>Rendement lumineux [ph/MeV]</td><td>38000</td><td>64800</td><td>63000</td></tr><tr><td>Résolution intrinsèque ΔE/E</td><td>5,9 %</td><td>3,8 %</td><td>1,2 %</td></tr></tbody></table>

## IV.2.2 Détecteurs à semi-conducteurs:

Les détecteurs à semi-conducteurs, comme leur nom l'indique, sont des dispositifs de détection des rayonnements ionisants qui reposent sur l'utilisation d'un matériau semi-conducteur comme volume sensible aux rayonnements. Ce sont des matériaux dont la conductivité électrique se situe entre celle des conducteurs et celle des isolants. Selon la théorie des bandes [Col05], les électrons des couches externes d'un cristal semi-conducteur se répartissent en deux bandes continues: la bande de valence et la bande de conduction. Ces deux bandes sont séparées par la bande interdite, appelée aussi « gap », qui est de l'ordre de 0,75 eV pour le germanium (Figure I.12). La largeur de cette bande diffère d'un matériau semi-conducteur à un autre.

A une température de 0 Kelvin, la bande de valence est riche en électrons, tandis que la bande de conduction est vide. Si la température augmente, les électrons de la bande de valence peuvent traverser le gap et se retrouver dans la bande de conduction, laissant derrière eux des places vacantes appelées « trous ». D'autres électrons peuvent prendre la place des trous et ainsi de suite, ce qui fait que chaque paire électron-trou est en mouvement et crée de ce fait un courant mesurable.
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure I.12 : Shéma des bandes d'énergie pour un conducteur, un semi-conducteur et un isolant</figcaption></figure>

Afin d'augmenter le nombre de porteurs de charges, les semi-conducteurs sont dopés par des atomes donneurs ou accepteurs d'électrons pour créer respectivement des matériaux de type n ou de type p. Le dopage du type N consiste à augmenter la densité d'électrons, tandis que le dopage du type P c'est la densité des trous qui est augmentée. Dans le cas d'un semi-conducteur en gérmanium, le dopage N est réalisé par diffusion de lithium sur la face du cristal et le dopage P par implantation ionique de Bore sur l'autre face. Du fait que le bore soit implanté dans le germanium, celui-ci est fixé dans le cristal, par contre les atomes de lithium peuvent diffuser dans le cristal à cause de l'agitation thermique des atomes. Pour limiter cette diffusion, le cristal de germanium doit être gardé à température cryogénique sans interruption. À terme, le dopage P est donc plus stable que le dopage N.

En accolant les deux semi conducteurs (N et P), les électrons excédentaires migrent de la zone N vers la zone P (recombinaison électron-trous) créant une zone sans porteurs de charge au milieu. Cette zone est appelée zone de déplétion, c'est à cet endroit où se produit la détection. Cette région est très étroite si le cristal n'est pas sous tension, mais si on effectue une polarisation inverse c'est-à-dire qu'on applique un champ électrique avec une forte différence de potentiel en sens inverse, généralement entre 3 et 5 kV, cette zone s'élargie (Figure I.13).
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure I.13 : Jonction P-N</figcaption></figure>

Lorsqu'un photon gamma traverse la zone déplétée du détecteur, il perd son énergie principalement en ionisant les atomes du milieu (par effet photoélectrique, effet Compton ou création de paires), créant ainsi tout au long de son parcours des paires « électron-trou ».

Le nombre de paires créées est donné par:

$$N_{paire} = \frac{E_{abs}}{\varepsilon} \qquad (I.17)$$

Où $\varepsilon$ est l'énergie nécessaire pour créer une paire électron-trou et $E_{abs}$ l'énergie déposée du photon incident.

Sous l'influence du champ électrique dans le cristal, les porteurs de charge migrent vers les électrodes produisant un signal électrique qui sera amplifié et traité par une chaine électronique adaptée.

Plusieurs types de détecteurs à semi-conducteurs avec des caractéristiques différentes sont disponibles. Le Tableau I.2 résume les principales propriétés des semi-conducteurs les plus couramment utilisés en spectrométrie gamma.

<table><caption>Tableau I.2 : Caractéristiques des matériaux semi-conducteurs [Kno10],[Gil08].</caption><thead><tr><th>Matériau</th><th>Si</th><th>Ge</th><th>CdTe</th><th>HgI2</th><th>GaAs</th><th>PbI2</th></tr></thead><tbody><tr><td>Nombre atomique Z<sub>eff</sub></td><td>14</td><td>32</td><td>48,52</td><td>80,53</td><td>31,33</td><td>82,35</td></tr><tr><td>Gap (eV)</td><td>1,12</td><td>0,66</td><td>1,56</td><td>2,13</td><td>1,424</td><td>2,6</td></tr><tr><td>Energie par electron-trou W (eV)</td><td>3,61</td><td>2,98</td><td>4,43</td><td>4,22</td><td>4,8</td><td>7,68</td></tr><tr><td>Densité (g/cm<sup>3</sup>)</td><td>2,33</td><td>5,32</td><td>6,06</td><td>6,3</td><td>5,328</td><td>6,16</td></tr><tr><td>Mobilité des e-</td><td>1500</td><td>3900</td><td>1050</td><td>15000</td><td>8500</td><td>8000</td></tr><tr><td>Mobilité des trous</td><td>450</td><td>1900</td><td>100</td><td>8000</td><td>400</td><td>8</td></tr></tbody></table>
a) Détecteurs GeHP:

Vu leur nombre atomique élevé (Z= 32), les détecteurs en germanium ont un coefficient d'atténuation des rayonnements très important ce qui induit un moindre parcours des particules. Par conséquent, ce type de détecteur est privilégié pour la mesure des rayonnements X et gamma. Ils possèdent une très bonne résolution en énergie permettant d'atteindre des mesures très précises.

Actuellement, les détecteurs GeHP se présentent sous trois sortes de disposition, notamment :
les détecteurs planaires, coaxiaux et puits.

b) Détecteur planaire :

Les détecteurs planaires se caractérisent par leur capacité élevée à détecter les photons de faible
énergie (de 1 keV à 1 MeV). Cet avantage est justifié grâce à sa très fine fenêtre d'entrée qui est à
base de carbone époxy ou de béryllium. L'épaisseur du volume actif de ce type de détecteur peut
atteindre 2 à 3 cm, ce qui s'avère insuffisant pour mesurer les photons de haute énergie. Cette
configuration représente la meilleure résolution en énergie. Les contacts électriques N+ et P+ sont
posés sur les deux surfaces parallèles du cristal cylindrique (Figure I.14).

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure I.14 : Configuration géométrique d'un détecteur GeHP plan</figcaption></figure>
### c) Détecteur coaxial :

Le détecteur coaxial se présente comme un cylindre de germanium dont la partie centrale est creuse. Le volume actif de ce type peut atteindre 750 cm³, ce qui permet d'optimiser les efficacités pour les rayonnements de hautes énergies (de 10 keV à 10 MeV). Les contacts électriques sont disposés tout au long des deux surfaces externe et interne du cristal, avec une fenêtre d'entrée en aluminium. Ce type de détecteur sert aussi aux basses énergies (inférieures à 3 keV). Dans ce cas, la fenêtre d'entrée est en béryllium. Il est préférable dans le cas de photons de basses energies que la zone externe du détecteur soit P, c'est-à-dire d'utiliser un GeHP de type N. La configuration d'un détecteur GeHP de type N coaxial est présentée dans la Figure I.15.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure I.15 : Configuration géométrique d'un détecteur GeHP coaxial de type N.</figcaption></figure>

### d) Détecteur puits :

La caractéristique principale d'un détecteur puits est sa géométrie coaxiale inversée (par rapport au détecteur coaxial classique). Ce type de détecteur est plus approprié à la mesure des faibles activités, étant donnée sa haute efficacité geometrique. En effet, il permet d'introduire l'échantillon à analyser au sein même du cristal, procurant une efficacité maximale de détection (quasiment sur
4π). La résolution aux basses énergies de ce détecteur est moins bonne par rapport à la géométrie coaxiale mais à haute énergie la résolution est meilleure avec la géométrie puits. La réponse du détecteur puits est dans le même intervalle en énergie que la géométrie coaxiale. L'inconvénient majeur d'un tel détecteur est sa grande sensibilité aux effets de pic-somme. Comme le détecteur coaxial, les contacts électriques pour un détecteur puits sont disposés tout au long des surfaces externe et interne du cristal (Figure I.16).

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure I.16 : Configuration géométrique d'un détecteur GeHP puits</figcaption></figure>

### IV.3 Electronique d'acquisition :

La chaîne d'acquisition est un ensemble de composants électroniques permettant de transformer une interaction des rayonnements ionisants avec le cristal de germanium en un signal numérique amplifié et mis en forme en vue d'une analyse ultérieure. La Figure I.17 représente les différents éléments de cette chaîne associée à un spectromètre semi-conducteur de type GeHP.
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure I.17 : Chaîne d'aquisition associées au détecteur.</figcaption></figure>

**Le préamplificateur de charge** : il constitue un élément important dans la chaîne de détection. Son rôle est de convertir la charge générée à l'intérieur du cristal de germanium en tension électrique dont l'amplitude est proportionnelle à l'énergie déposée au détecteur. Il permet ainsi de minimiser le bruit électronique en réalisant une première amplification du signal. Ce dernier est caractérisé par une montée rapide (100 à 700ns) et une descente longue d'une dizaine de microsecondes. Le temps de montée est lié à la collection de charges qui dépend du détecteur. Le temps de descente, quant à lui, est dépendant de la constante de temps du circuit RC.

**L'amplificateur** : il a pour objectif d'amplifier et de mettre en forme le signal issu du préamplificateur sous forme d'un signal gaussien permettant sa lecture par le convertisseur analogique-numérique.

**Le convertisseur analogique-numérique (ADC)** : il permet de convertir le signal électrique sortant de l'amplificateur en un signal numérique proportionnel à l'énergie déposée dans le cristal de germanium.

**L'analyseur multi-canaux (MCA)** : sert à collecter et enregistrer les signaux numériques issus de l'ADC dans une mémoire divisée en segments aussi appelée canaux. Chaque signal est placé dans une case de mémoire selon leur amplitude, ainsi à chaque arrivée d'un signal dans un canal l'impulsion est incrémentée d'une unité. Chaque canal correspond à une énergie qui sera deteminée à partir d'un étalonnage en énergie. Ce processus permet d'obtenir en temps réel un histogramme représentant le nombre de coups dans chaque canal. Ce nombre est proportionnel au nombre de photons ayant déposé la même énergie dans le détecteur.

## IV.4 Spectre d'acquisition des données:

Le spectre d'aquisition reflète tous les différents processus d'interaction entre les photons gamma et le volume sensible de détecteur. Ces interactions donnent lieu à différents pics caractéristiques distribués en énergie s'ajoutant à un fond continu. L'analyse de ce spectre permet de tirer des informations sur la présence de certains radionucléides dans l'échantillon et de déterminer leurs activités. La Figure I.18 représente un exemple d'un spectre obtenu par la détection d'une source mono-énergétique.
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure I.18 : spectre d'acquisition d'une source gamma</figcaption></figure>

* **Pic de rétrodiffusion** : correspond aux photons rétrodiffusés dans les matériaux entourant la partie active du détecteur.

* **Pic d'annihilation** : correspond aux photons gamma de 511 keV provenant de l'annihilation entre un positron et un électron du milieu traversé.

* **Pics d'échappement** : consécutifs à l'effet de matérialisation, situés respectivement aux énergies $Eγ-0,511$ MeV et $Eγ-1,022$ MeV pour les pics simple et double échappement.

* **Fond compton** : correspond au dépôt partiel de l'énergie du photon incident par effet Compton dans le détecteur. Il s'étale le pic de rétrodiffusion correspondant à un transfert maximal d'énergie à l'électron de milieu ($θ=180°$) au pic photoélectrique sans transfert d'énergie ($θ=0°$).

* **Pic photoélectrique** : ou pic d'absorption totale, représente le dépôt total d'énergie du photon gamma dans le cristal de germanium. C'est grâce à ce pic qu'il est possible d'identifier les radioéléments présents dans les échantillons à partir de leur énergie caractéristique.
# V. Étalonnage du spectromètre gamma :

La bonne interprétation des spectres relève du bon étalonnage des détecteurs gamma. Trois types d'étalonnages sont indispensables, notamment: l'étalonnage en énergie, l'étalonnage de la largeur à mi-hauteur des pics photoélectriques (résolution) et l'étalonnage en efficacité.

## V.1 Sources étalons :

Une source étalon est un échantillon de référence dont l'activité des éléments constituants est connue avec une grande exactitude. La géométrie d'étalonnage et les radionucléides contenus dans l'étalon sont choisis en fonction du type et de la gamme d'énergie du détecteur utilisé. Parmi les radionucléides couramment utilisés, se trouvent $^{22}$Na, $^{57}$Co, $^{59}$Fe, $^{60}$Co, $^{88}$Y, $^{109}$Cd, $^{131}$I, $^{133}$Ba, $^{137}$Cs, $^{152}$Eu et $^{241}$Am. Le choix de la source standard dépend principalement de deux critères. Le premier est la faible incertitude associée aux activités des radioéléments qui y sont présents. Le deuxième critère est la similitude entre les caractéristiques physico-chimiques de l'étalon et de l'échantillon d'étude, c'est-à-dire la même géométrie et la même matrice.

## V.2 Etalonnage en énergie :

L'étalonnage en énergie consiste à établir un lien entre le numéro de canal et l'énergie déposée dans le cristal. Il est indispensable pour mener à bien une analyse qualitative afin d'identifier les radioéléments présents dans les échantillons. Pour effectuer cet étalonnage, un certain nombre de sources radioactives émettrices de rayonnement y, dont les raies sont bien connues, sont utilisées. La nature de la source standard utilisée n'est pas un critère, elle peut être volumique, ponctuelle, monoénergiétique ou multi-émettrice. La courbe d'étalonnage en énergie est obtenue par la relation polynomiale suivante :

$$E = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i \qquad (I.18)$$

Avec :

E : énergie correspondante au canal x [keV]

ai : coefficients à déterminer [keV]

x : numéro de canal

Pour augmenter l'ordre du polynôme, un plus grand nombre de points d'étalonnage sont nécessaires. Cependant, un ajustement linéaire est généralement suffisant. Sur la Figure I.19 nous présentons un exemple de la droite d'étalonnage obtenue par le logiciel Génie 2000 pour un détecteur GeHP. La droite de calibration donnant l'énergie en fonction du numéro de canal a été déterminée par ajustement des points expérimentaux en utilisant la méthode des moindres carrés. Une bonne linéarité a été constatée, la fonction ajustée sera donc utilisée dans la suite de l'étalonnage et des mesures.
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure I.19 : Courbe d'etalonnage en énergie</figcaption></figure>

### V.3 Etalonnage en résolution :

Comme il a été expliqué dans le paragraphe IV.1.2, le pic d'absorption total induit par un faisceau de photons mono-énergétique a une certaine largeur (FWHM) s'apparentant à une fonction de Gauss. La surface de ce pic est proportionnelle à l'activité de la source. Ainsi, pour évaluer l'activité d'un échantillon il faut pouvoir localiser pour chacun des pics le centre et les limites de celui-ci. La surface du pic sera alors calculée entre ces limites. De ce fait, il est nécessaire d'avoir effectué au préalable un étalonnage en résolution du spectre. Celui-ci consiste à relier la résolution des pics d'absorption totale à l'énergie des photons. Il est ensuite simple de relever la largeur à mi-hauteur pour chaque pic en fonction de l'énergie des photons gamma.

### V.4 Etalonnage en efficacité :

L'étalonnage en efficacité permet d'etablir un lien entre le taux de comptage et l'activité réelle de la source. Contrairement à l'étalonnage en énergie, cette fois-ci, la source étalon doit être de nature et de forme semblables à celles de l'échantillon à analyser. Cependant, lorsque l'échantillon est différent de l'étalon, il est nécessaire de corriger l'efficacité pour les effets de matrice et l'effet de pic-somme. Pour une géométrie et une matrice donnée, une courbe d'efficacité en fonction de l'énergie est obtenue. A partir de cette courbe, les efficacités de détection des différents pics du spectre de l'échantillon sont exploitées pour le calcul de l'activité.

La Figure I.20 représente un exemple de courbe d'efficacité expérimentale pour l'étalonnage du détecteur GeHP coaxial. La source étalon utilisée est une solution standard multi-gamma contenant du $^{241}$Am, $^{108}$Cd, $^{57}$Co, $^{139}$Ce, $^{113}$Sn, $^{137}$Cs, $^{60}$Co et $^{88}$Y. L'allure de la courbe d'efficacité augmente à basse énergie jusqu'à un maximum vers 100 à 200 keV, puis décroît pour les hautes énergies. Afin de relever l'efficacité de détection pour n'importe quelle énergie des photons gamma, différents ajustements non linéaires sont disponibles:

- la tendance Apolog, telle que :
$$ \ln (\epsilon) = \sum_{i=0}^{n} a_i [\ln (E_y)]^i \qquad (I.19) $$

– la tendance Apocope, telle que :

$$ \ln (\epsilon) = \sum_{i=0}^{n} a_i E^{-i} \qquad (I.20) $$

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure I.20 : Courbe étalon pour l'efficacité du détecteur HPGe réalisée à l'aide du logiciel Génie 2000</figcaption></figure>

# VI. Evaluation de l'activité d'un radioélément dans un échantillon :

## VI.1 Préparation de l'échantillon :

Lors de l'analyse par spectrométrie gamma, la préparation des échantillons constitue une étape fondamentale. Les échantillons dont on cherche à déterminer l'activité massique peuvent être de formes et de géométries variées. Ils se présentent généralement sous forme de solides ou de liquides qui sont considérés comme homogènes et isotropes. Les échantillons solides doivent être préparés et conditionnés pour la géométrie choisie. La procédure de préparation consiste en trois étapes:

* Séchage : La teneur en eau de certains échantillons peut entraîner un biais de mesure. Idonc el est nécessaire de sécher les échantillons à analyser. Il s'effectue dans une étuve à 40°C puis à 100°C pendant 24 heures.

* Broyage : Assure l'homogénéité de l'échantillon et son conditionnement dans un conteneur adéquat.

* Tamisage : L'échantillon est tamisé pour enlever les débris.
## VI.2 Calcul de l'activité :

Pour déterminer l'activité d'un radioélément dans une source inconnue, on mesure le nombre de coups comptés sous le pic d'absorption totale auquel la contribution du fond continu a été retranchée. Le taux de comptage dans le photopic est relié à l'activité de la source en tenant compte d'un certain nombre de paramètres dépendant du radioélément, de la géométrie et la nature de l'échantillon et des caractéristiques du détecteur. Ainsi, différents facteurs correctifs du taux de comptage mesuré doivent être appliqués pour déduire l'activité du radionucléide, notamment :

* Le rapport d'embranchement I [Kra88], qui traduit la probabilité pour qu'une désintégration du noyau considéré soit suivie de l'émission d'un photon gamma d'une énergie donnée. Il s'agit d'une donnée nucléaire de base qui peut être extraite des bibliothèques telles que JEFF [Ban00], ENDF [McL01], JENDL [Shi00], ou NUCLEIDE [Bé02].

* L'éfficacité d'absorption totale : cette grandeur est mesurée avec une source standard dont l'activité est bien connue. Les échantillons à mesurer doivent être identiques aux étalons (géométrie, matrice) pour s'affranchir de l'effet d'auto-absorption. De plus, les radioéléments présents dans l'étalon devraient être monoénergétiques afin d'éviter tout problème de coïncidence entre les photons gamma.

Réunir tous ces critères reste cependant très difficile, il faut alors corriger l'efficacité pour les effets de matrice et l'effet de pic-somme.

* Facteurs de correction des effets de matrice et l'effet de pic-somme.

* Facteur de correction de la décroissance radioactive.

* Facteur de correction de la géométrie.

Connaissant l'éfficacité d'absorption totale, il est donc possible de calculer l'activité d'un radioélément à partir d'une raie gamma donnée par la formule suivante :

$$A = \frac{N_{net}(E)}{\varepsilon_{E} \cdot t \cdot I_{y}} \prod C_{i} \qquad (I.21)$$

avec :

$N_{net}(E)$ est le nombre de coups net à l'energie E, $\varepsilon_E$ l'efficacité d'absorption totale, t le temps d'acquisition, $I_y$ l'intensité d'émission et $C_i$ les facteurs de correction.

L'incertitude associée à l'activité est donnée par l'expression [Lép05] :

$$\sigma_A = A \cdot \sqrt{\left(\frac{\sigma_{\varepsilon_E}}{\varepsilon_E}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_{I_y}}{I_y}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_{N_{net}}}{N_{net}}\right)^2 + \left(\sum \frac{\sigma_{C_i}}{C_i}\right)^2} \qquad (I.22)$$
Pour les cas plus complexes avec émission de plusieurs raies γ intenses, l'activité de l'échantillon est la moyenne pondérée sur ses raies, elle est calculée par la formule:

$$A_{\text{moy}} = \frac{\sum_{i=1}^{n} A_i \cdot I_i}{\sum_{i=1}^{n} I_i} \qquad (\text{I.23})$$

L'incertitude associée est :

$$\sigma_{\text{moy}} = \frac{\sqrt{\sum_i [I_i^2 \times \sigma_{Ai}^2 + A_i^2 \times \sigma_{I_i}^2] + A_{\text{moy}}^2 \times \sum_i \sigma_{I_i}^2}}{\sum_i I_i} \qquad (\text{I.24})$$

## VII. Facteurs de correction :

La mesure précise de l'activité d'un radionucléide n'est pas toujours aisée, car plusieurs effets peuvent influencer la détection. Ainsi différents facteurs de correction doivent être pris en compte afin d'obtenir des résultats fiables. Ces facteurs traduisent l'effet de la géométrie de détection, de la matrice d'échantillon (auto-absorption) et du shèma de désintegration du radionucléide emetteur de rayons gamma (pic-somme et décroissance radioactive). Certains de ces facteurs sont indépendants de l'énergie tandis que d'autres varient avec l'énergie des photons émis par la source.

### VII.1 Correction de la géometrie :

Lors de la mesure d'une faible radioactivité, la source est positionnée le plus proche possible du détecteur afin d'augmenter le taux de comptage. À l'inverse, si l'activité de la source est relativement intense, il est préférable de l'éloigner du détecteur afin de réduire le temps mort. En conséquence, il arrive que la distance source-détecteur soit différente de celle définie par l'étalonnage. Pour tenir compte de ce changement de distance, le facteur de correction de la géometrie doit être appliqué. Il s'exprime par le rapport entre l'angle solide de l'étalonnage et l'angle solide de mesure. Sa valeur est donc indépendante de l'énergie des photons émis.

### VII.2 Correction de la décroissance radioactive :

Pendant la durée de l'acquisition, l'activité du radioélément mesurée diminue également. Si la période T de ce radioélément est courte devant la durée de mesure, il est nécessaire alors de corriger l'efficacité pour cet effet. Le facteur de correction qui prend en compte la décroissance radioactive pendant la durée de l'acquisition $t_m$ s'exprime par:
$$C_{Dec} = \frac{\ln(2) \frac{t_m}{T}}{1 - \exp\left(-\ln(2) \frac{t_m}{T}\right)} \qquad (I.25)$$

A l'inverse, si la période du radioélément est suffisamment importante devant la durée de la mesure, cet effet peut être négligé.

### VII.3 Correction de pic-somme :

Le phénomène de coincidence ou de pic-somme se produit généralement pour les radioéléments qui émettent deux photons voire plus en cascade. En effet, le radionucléide ne se désintègre pas toujours vers l'état fondamental, il peut passer par n niveaux excités en émettant successivement n photons d'énergie $E_1, E_2...$ et $E_n$. La durée de vie de ces niveaux intermédiaires est très courte (de l'ordre de la picoseconde) par rapport au temps de résolution du détecteur qui est de l'ordre de quelques microsecondes. Il est alors impossible pour le détecteur de dissocier les photons gamma qui l'atteindraient simultanément, il les considère comme un seul photon d'énergie comprise entre 0 et $E_1+E_2+...+E_n$. Le pic représentant cette somme des énergies individuelles des photons est appelé « pic somme ».

Pour bien illustrer le phénomène de pic somme, prenons le cas simple du $^{60}$Co qui émet deux photons gamma à deux énergies principales, 1,17 et 1,33 MeV, comme le montre le schéma de désintégration présenté dans la Figure I.21. Ses niveaux nucléaires principaux ont un temps de vie de 3,3 ps et 0,73 ps respectivement. Ceci conduit à l'apparition d'un troisième pic sur le spectre qui a comme énergie la somme des énergies des deux photons gamma, soit 2,505 MeV (Figure I.22).

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Figure I.21: Schéma de désintégration du Cobalt-60</figcaption></figure>
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Figure I.22 : Exemple d'un spectre expérimental réalisé avec une source ponctuelle de $^{60}$Co au contact du détecteur.</figcaption></figure>

En absence des coïncidences, le taux de comptage des photons d'énergie 1,17 et 1,33 MeV est donné par:

$$N_{1,17} = A \cdot p_{1,17} \cdot \varepsilon_{1,17} \qquad (I.26)$$

$$N_{1,33} = A \cdot p_{1,33} \cdot \varepsilon_{1,33} \qquad (I.27)$$

où A est l'activité de la source, $\varepsilon_i$ l'efficacité d'absorption totale à l'énergie i et $p_i$ la probabilité d'émission. Cependant, lorsque les phénomènes de coïncidence affectent la détection, les taux de comptage deviennent :

$$N_{1,173} = A \times p_{1,173} \times (\varepsilon_{1,173} - f_{1,173} \times \varepsilon_{2,505}) \qquad (I.28)$$

$$N_{1,332} = A \times p_{1,332} \times (\varepsilon_{1,33} - f_{1,332} \times \varepsilon_{2,505}) \qquad (I.29)$$

Les termes retranchés aux équations I.28 et I.29 correspondent aux pertes dues aux coïncidences entre les deux photons. L'équivalent de ces pertes se retrouve dans un troisième pic, c'est le « pic somme ». Le taux de comptage du pic somme peut s'exprimer alors selon la relation suivante:

$$N_{2,505} = A \times (f_{1,173} \times p_{1,173} + f_{1,333} \times p_{1,332}) \times \varepsilon_{2,505} \qquad (I.30)$$

En pratique, les schémas de désintégration peuvent être très complexes, où un grand nombre de paramètres doivent être pris en compte. Les corrections des coïncidences deviennent alors plus complexes. Il existe des logiciels dédiés au calcul de la correction de coïncidences comme ETNA, développé par le LNHB [Lép01], ou GESPECOR [Sim001], [Arn04], ANGLE [Jov10], etc.
En plus du schéma de désintégration des radioéléments, le phénomène de coincidence dépend également de la géométrie de mesure. La variation de la distance source-détecteur contribue à l'apparence de l'effet de pic-somme. Plus cette distance est faible, plus l'angle solide de détection est grand, c'est-à-dire plus l'efficacité géométrique est élevée ce qui augmente la probabilité pour que deux photons atteignent le détecteur simultanément. En pratique, au-delà d'une certaine distance les coincidences sont négligeables.

### VII.4 Correction d'auto-absorption :

Dans le cas d'un échantillon radioactif de dimensions non négligeables, les photons émis dans l'échantillon ne parcourent par la même distance avant d'en sortir. Selon l'énergie des photons émis, ils peuvent être absorbés dans la matrice elle-même, on parle alors de l'effet d'auto-absorption ou l'effet de matrice. Ces photons absorbés n'atteindront pas le détecteur et ne pourront donc pas être comptés dans le pic photoélectrique. L'atténuation des photons dans la source entraîne des pertes d'impulsions et donc une sous-estimation du rendement de détection. Ce phénomène dépend de l'énergie des photons émis, de la densité, de la composition chimique et de l'épaisseur de l'échantillon. En pratique, la nature de l'échantillon peut être différente de celle de l'étalon, le degré d'atténuation n'est donc pas identique. L'étalonnage en efficacité sera biaisé, et donc la mesure d'activité est faussée. Si l'échantillon atténue plus que le standard alors son activité sera sous-estimée. À l'inverse, si l'échantillon atténue moins que le standard, alors son activité sera surestimée. Dans ce cas là, la correction de l'auto-absoption est nécessaire.

De nombreuses études ont été proposées pour la correction des effets de l'auto-absorption. Ils reposent généralement sur l'utilisation de techniques de calcul de Monte Carlo ou de méthodes analytiques.

Les techniques de Monte Carlo consistent à définir un échantillon qui présente les mêmes caractéristiques physico-chimiques que l'échantillon d'étude, à savoir : la même densité, la même composition chimique et la même géométrie. Ainsi, le degré d'atténuation que procure l'échantillon modélisé sera identique à celui de l'échantillon d'étude. L'étalonnage numérique en efficacité ne sera donc pas biaisé. Cependant, cette méthode nécessite une connaissance détaillée sur les dimensions géométriques et la composition chimique de l'échantillon.

La méthode de transmission, développée par [Cut83], consiste à déterminer la fraction de photons gamma atténuée dans un échantillon à une énergie donnée. Cette méthode expérimentale se réalise avec deux acquisitions selon les dispositifs représentés sur la Figure I.23. Le premier dispositif permet de définir l'intenisité $I$ des photons gamma atténués dans l'échantillon et le deuxième dispositif définit $I_0$ l'intenisité des photons traversant l'air (aucune atténuation dans l'échantillon). L'utilisation de la méthode de transmission est basée sur l'approximation qui considère que les photons suivent un parcours normal à la surface du détecteur. L'utilisation d'un collimateur entre l'échantillon et le détecteur est donc essentielle.

L'atténuation dans l'échantillon $F_{att}$ est définie par :
$$F_{att} = \frac{1 - \exp(\mu_{T} \cdot H)}{\mu_{T} \cdot H} = \frac{1 - \frac{I}{I_{0}}}{\ln(\frac{I_{0}}{I})} \qquad (I.31)$$

avec $I_0$ et $I$ sont respectivement la fluence avant et après atténuation, et $\mu_T$ est le coefficient d'atténuation linéique total.

Ainsi, le facteur de correction de l'auto-absorption $C_{auto}$ est défini par le rapport du facteur d'auto-absorption de l'étalon à celui de l'échantillon :

$$C_{auto} = \frac{F_{att}(echan)}{F_{att}(stand)} \qquad (I.32)$$

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Figure I.23 : dispositifs pour la méthode de transmission</figcaption></figure>

## VIII. Seuil de décision et limite de détection :

Lorsqu'on mesure un échantillon de très faible activité, le résultat peut être confondu avec celui obtenu lors de la détermination du bruit de fond (signal détecté en l'absence d'un radionucléide recherché). Si un élément radioactif n'est pas décelé dans le spectre gamma, cela ne signifie pas nécessairement que son activité dans l'échantillon étudié est nulle. L'affirmation la plus pertinente dans ce cas-là est de dire que « l'effet est non détecté », ce qui ne veut pas dire effectivement qu'il n'y a pas de radioactivité ajoutée. De cette approche, il est important de déterminer une activité
minimale à partir de laquelle toute activité est systématiquement détectée par la chaîne d'analyse. La Figure I.24 représente schématiquement les notions de seuil de décision et limite de détection définie par la norme ISO-11929.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Figure I.24 : Schéma représentant le seuil de décision SD et la limite de détection LD.</figcaption></figure>

Selon la norme ISO-11929 [ISO], le seuil de décision permet de décider si l'effet physique quantifié par le mesurande est présent ou non. C'est la valeur du résultat de mesure au dessus de laquelle on peut conclure que la grandeur mesurée est significative, on parlera alors «d'effet détecté».

La limite de détection (LD) indique la plus petite valeur vraie du mesurande qui peut encore être détectée par la procédure de mesure utilisée. La limite de détection se trouve entre les évenements détectables non quantifiables et quatifiables, alors que le seuil de détection (SD) est limité entre les évenements non détectable et détectable mais non quantifiable.
# CHAPITRE 2 : Fondements théoriques de la méthode des plans d'expériences
# I. Introduction :

L'expérimentation est une partie essentielle de la méthode scientifique. En effet, la plupart des problèmes scientifiques exigent non seulement d'observer le système, mais également d'expérimenter afin de comprendre comment il réagit en fonction des différents facteurs qui sont susceptibles de le modifier. Des expériences bien conçues peuvent souvent conduire à des résultats objectifs et garantis sur le processus ou le système étudié. Les stratégies couramment employées pour mener à bien ces expérimentations sont souvent coûteuses et peu performantes, et elles peuvent conduire à un nombre de résultats difficile à exploiter.

L'une des stratégies d'expérimentation largement utilisées dans la pratique est l'approche d'un facteur à la fois (en anglais : One Fcator At Time « OFAT »). Cette méthode consiste à sélectionner un point de départ, ou un ensemble de niveaux de référence, pour chaque facteur, puis à faire varier successivement chaque facteur sur sa plage, les autres facteurs étant maintenus constants au niveau de référence. Compte tenu du très grand nombre de paramètres à étudier, cette méthode est parfois inenvisageable. D'où la nécessité d'une méthodologie rigoureuse permettant d'obtenir un maximum de résultats avec un minimum d'essais. Les plans d'expériences apportent une méthodologie capable de répondre parfaitement à ce besoin. C'est une méthode d'expérimentation particulière qui permet d'organiser au mieux les essais d'une étude afin d'obtenir des conclusions solides et objectives de manière efficace et économique.

La méthode des plans d'expériences peut s'appliquer dans tous les systèmes de type boîte noire (Figure II.1), où l'on cherche à optimiser les paramètres de sortie Y en ajustant les variables d'entrée X. L'aspect le plus important de cette méthode consiste dans sa mise en œuvre efficace, rigoureuse et bien ordonnée. Le principe de la méthode consiste à faire varier plusieurs facteurs simultanément ce qui conduit à minimiser le nombre d'expériences à réaliser. La méthode des plans d'expériences permet d'évaluer non seulement les effets principaux des facteurs mais également les interactions éventuelles entre certains facteurs. Elle constitue ainsi un puissant outil d'analyse et de réflexion qui permet de mener des expériences de manière optimale et précise.

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure II.1: La boîte noire du processus</figcaption></figure>
L'objectif de cette méthode est double: d'une part, elle permet de déterminer quelles variables d'entrée sont responsables des variations observées dans la réponse, et d'une autre part, elle permet de développer un modèle reliant la réponse aux variables d'entrée et d'utiliser ce modèle pour l'optimisation du processus.

Dans ce chapitre, nous proposerons de mettre en lumière les fondements de la méthode des plans d'expériences pour mettre en évidence son intérêt et pour que son utilisation dans les chapitres suivants soit compréhensible. Nous présenterons les deux grandes catégories de plans qui ont été utilisées lors de nos travaux à savoir, les plans de criblage et les plans de surface de réponse.

# II. Présentation des plans d'expériences :

## II.1 Historique :

La méthodologie des plans d'expériences a été initiée dans les années du 20ème siècle par Sir Ronald Fisher. Les premiers utilisateurs de cette méthode ont été des agronomes. Fisher a mené des recherches agricoles dans le but d'augmenter les rendements des cultures au Royaume-Uni. Il avait beaucoup de paramètres à étudier, en plus de la longue durée des expériences. Par exemple, s'il s'est appuyé sur sa méthode traditionnelle, il peut planter une culture au printemps et obtenir des résultats à l'automne, ce qui est très long pour obtenir les données. Fisher a proposé pour la première fois en 1925 une méthode permettant d'étudier plusieurs facteurs à la fois, c'est la méthode des plans d'expériences [Fis25], [Fis35]. Cette méthode a été ensuite développée par des statisticiens et des mathématiciens qui définissent des tables d'expériences permettant de réduire considérablement le nombre d'expériences à effectuer. Vers les années soixante, le Docteur Taguchi a fortement contribué à l'expansion de l'utilisation des plans d'expériences en milieu industriel au Japon [Tag85]. Ses travaux sont diffusés aux États-Unis dans les années 80 et en Europe dans les années 90 et ont été appliqués à grande échelle. Au cours des dernières années, cette méthode, en raison de la pertinence des informations fournies, a été employée dans plusieurs domaines scientifiques, notamment: la biologie, la chimie, la physique... etc [Box92],[Soa12].

## II.2 Principe :

La résolution d'un problème d'optimisation par la méthode des plans d'expériences nécessite plusieurs étapes successives. L'approche méthodologique à adopter est illustrée à la Figure II.2.
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Figure II.2: mise en œuvre d'un plan d'expériences</figcaption></figure>

La première étape consiste à formaliser le problème. Il s'agit de définir clairement le phénomène à étudier en identifiant les objectifs à atteindre, les paramètres d'entrée et les variables de sortie.

La deuxième étape consiste à choisir une stratégie d'expérimentation appropriée. L'expérimentateur a accès à deux types de plans d'expériences, le premier est un plan de criblage permettant de déterminer l'influence de chaque paramètre sur la/les réponse(s) du système étudié. En effet, les paramètres identifiés n'ont pas tous une influence prépondérant, certains ont un effet négligeable. Nous proposons donc, un procédé de sélection ou de criblage des facteurs par ordre d'importance, ce qui conduit à une simplification du problème. Les plans factoriels fractionnaires sont tout à fait appropriés pour réaliser une telle étude, car ils permettent d'estimer les effets des facteurs avec minimum d'essais. Les tables standards de Taguchi, faisant partie de ce type de plans, sont les plus simples et les plus utilisés et qui ont donné de bons résultats par la suite. Le deuxième est un plan de modélisation, appelé aussi plan de surface de réponse, permet à travers un modèle polynômial, de modéliser la variation d'une réponse en fonction des paramètres influents le système et de construire ainsi une cartographie plane du domaine expérimental dans un espace multidimensionnel. Les résultats de ces deux plans sont analysés à l'aide d'un ensemble d'outils mathématique, statistique et graphique appropriés.

La dernière étape consiste à déterminer le meilleur ensemble de valeurs de facteurs qui optimise le processus. Pour un système à un critère unique, la recherche de l'optimum est effectuée grâce à la
surface de réponse. En revanche, pour un problème d'optimisation multi-critères, nous introduirons
les fonctions de désirabilité.

III. Formalisation du problème :

C'est la première étape de la démarche méthodologique des plans d'expériences. Elle consiste à
bien décrire le problème en déterminant les objectifs à atteindre, les paramètres d'entrée et leurs
niveaux, le domaine d'étude et les variables de sortie du système étudié.

### III.1 Définition de l'objectif de l'étude :

La définition précise du problème qui fera l'objet de l'analyse est une étape primordiale en vue
de mener un travail efficace. Les objectifs de l'étude doivent être parfaitement définis afin d'obtenir
des résultats précis et satisfaisants.

Définir les objectifs revient à identifier le type de résultat que l'on souhaite atteindre.
Généralement, les plans d'experiences visent deux types d'objectifs spécifiques : Le criblage et
l'optimisation.

Voici quelques voies d'investigation pour lesquelles les plans d'expériences de criblage peuvent
s'appliquer :

* Estimer les effets moyens des facteurs et des interactions,

* Identifier les facteurs ayant une influence significative sur la/les réponse(s) du problème étudié.

Les plans d'expériences d'optimisation, quant à eux, visent à :

* Construire une cartographie de la variation d'une réponse dans un plan,

* Maximiser ou minimiser une ou plusieurs réponses,

### III.2 Définition des facteurs d'entrée :

Les paramètres d'entrée d'un plan d'expériences, appelés facteurs X, sont les variables sur lesquelles l'expérimentateur va agir de manière à créer une variation de la/les réponse(s) étudiée(s). Ils peuvent être quantitatifs ou qualitatifs, continus ou discontinus. La valeur des facteurs varie entre deux bornes inférieure (niveau bas) et supérieure (niveau haut). Généralement, le niveau bas est codé par le signe (-1) et le niveau haut par le signe (+1). Le choix des facteurs et de leurs niveaux associés dépend de la connaissance du système.
### III.3 Définition du domaine expériemntal :

Le domaine expérimental, ou domaine d'étude, correspond à l'espace dans lequel peuvent varier les facteurs. Selon la nature des facteurs étudiés, ce domaine peut être continu ou discrèt. Si par exemple, les facteurs d'entrée du plan d'expériences varient entre deux niveaux [-1,1], le nombre de combainison possible à réaliser est infini dans ce domaine (Figure II.3 a). À l'inverse, si les facteurs d'entrée du plan d'expériences sont qualitatifs ou prennent des valeurs discrètes, le nombre de combainison possible à réaliser est limité (Figure II.3 c).

Il est également possible que le domaine expérimental soit soumis à des contraintes, par exemple certaines combinaisons de facteurs sont improbables ou certaines expériences ne sont pas réalisables. On parle alors de domaine anisotrope (Figure II.3 b).

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Figure II.3 : Domaine expérimental : a) continu sans contrainte, b) : continu avec contrainte et c) discret</figcaption></figure>

### III.4 Définition des paramètres de sortie :

Les paramètres de sortie d'un plan d'expériences, appelés réponses Y, représentent le résultat mesuré pour chaque expérience réalisée. Un système peut être décrit par une réponse particulière ou par une combinaison de plusieurs réponses. Les réponses doivent être exprimées sous forme quantitative afin de permettre l'utilisation des méthodes d'analyses statistiques telles que l'analyse de la variance ou de régression. En revanche, les réponses qualitatives pourront s'interpréter à l'aide d'un codage spécifique de leurs niveaux.
# IV. Choix d'une stratégie d'expérimentation :

## IV.1 Construction du plan d'experimentation :

La construction d'un plan d'expérience dépend fortement de l'objectif visé. Il est donc essentiel de choisir ou construire le plan qui fournira les informations requises afin de répondre à une problématique particulière. Généralement, les plans d'expériences peuvent répondre à deux sortes de problèmes:

**Le criblage:** Il s'agit d'une étude de tri qui vise à sélectionner, parmi un ensemble initial de facteurs, ceux qui ont une influence dominante sur les variables de sortie. Ce type de plan d'expériences est indispensable dans les problèmes d'optimisation soumis à l'influence de nombreux paramètres. Les plans les plus couramment utilisés dans ce cas sont : plans de Plackett Burman, tables de Taguchi et plans d'Hadamard.

**L'optimisation:** vise à déterminer la variation des réponses vis-à-vis des variables d'entrées influentes. Cette méthode consiste à produire un modèle prédictif capable de décrire fidèlement le phénomène étudié afin de trouver les paramètres ou les niveaux des facteurs qui entraînent les valeurs souhaitables de la réponse. Parmi les plans d'optimisation, on peut citer : plans factoriels complet, plan Box Behnken, plan de Doehlert et plan composite centré.

## IV.2 Choix du modèle empirique :

La méthodologie des plans d'expériences consiste à établir un modèle approximatif qui relie la réponse aux facteurs, afin d'apporter le maximum d'informations à l'expérimentateur. Ce modèle est appelé « modèle a priori » ou « modèle postulé». Les objectifs d'un plan d'expériences renvoient à une forme specifique de modélisation. Il est nécessaire alors de choisir une forme de modèle adaptée à l'objectif de l'étude.

Les plans d'expériences de criblage s'appuient sur un modèle additif avec ou sans interactions :

* Le modèle additif sans interations est adopté pour estimer et comparer les effets moyens des facteurs, il s'écrit sous la forme générale suivante :

$$Y = a_0 + \sum_{i=0}^{k} a_i x_i + \varepsilon \qquad (II.1)$$

Le nombre d'inconnues associées à ce modèle est calculé par :

$$p = 1 + \sum_{i=0}^{k} (m_i - 1) \qquad (II.2)$$

Avec m est le nombre de modalité de chaque facteur.

* Le modèle additif avec interations est adopté pour estimer les effets moyens des facteurs et des interactions (généralement de 1er ordre), ils'écrit sous la forme générale suivante :
$$Y = a_0 + \sum_{i=1}^{k} a_i x_i + \sum_{i=1}^{k-1} \sum_{j=i+1}^{k} a_{ij} x_{ij} + \varepsilon \quad (II.3)$$

Le nombre d'inconnues associées à ce modèle est calculé par :

$$p = 1 + \sum_{i=1}^{k} (m_i - 1) + \sum_{i=1}^{k-1} \sum_{j=i+1}^{k} (m_i - 1)(m_j - 1) \quad (II.4)$$

Pour les plans d'optimisation, le modèle mathématique adopté est un polynome de second degré prenant en compte toutes les interactions entre les facteurs :

$$Y = a_0 + \sum_{i=1}^{k} a_i x_i + \sum_{i=1}^{k-1} \sum_{j=i+1}^{k} a_{ij} x_{ij} + \sum_{i=1}^{k} a_{ii} x_i^2 + \varepsilon \quad (II.5)$$

Le nombre d'inconnues à identifier dans ce modèle est calculé à partir de la formule :

$$p = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \quad (II.6)$$

Dans ces expressions, Y représente la réponse à modéliser, a₀ la constante du modèle, aᵢ les coefficients traduisant les effets principaux des facteurs, aᵢⱼ les coefficients traduisant les effets d'interactions d'ordre 1 et aᵢᵢ les coefficients associés aux termes quadratiques. Le terme ε est le résidu du modèle, il représente la part que le modèle ne peut pas expliquer.

# V. Plan de criblage ou screening :

Cette partie est destinée à la présentation des plans d'expériences visant à estimer les effets des facteurs. De nombreux plans permettent de réaliser une telle étude [Dey09], [Atk92], [Dea99] nous nous contenterons ici de présenter les plans factoriels fractionnaires basés sur la méthode de Taguchi.

## V.1 Plans factoriels fractionnaires :

Les plans factoriels fractionnaires sont très utiles et mettent en évidence l'intérêt primordial de la méthode des plans d'expériences, car ils permettent d'étudier plusieurs facteurs avec un nombre d'essais considérablement réduit [Dey99]. Certes, le nombre d'expérience est étroitement lié au nombre de facteurs étudiés. Par exemple, si on souhaite étudier 8 paramètres à 2 niveaux, il faut donc réaliser 2⁸ expériences. Ceci représente un travail gigantèsque et souvent irréalisable. Les plans factoriels fractionnaires peuvent réduire le nombre d'expérience en fusionnant plusieurs essais en un seul. En effet, ce sont des plans factoriels complet dont le nombre d'essais est divisé par 2, 4 ou 2q. Généralement, ils sont notés par 2k-q, où k est le nombre de facteurs étudiés, et q signifie que le nombre d'essais du plan complet a été divisé par 2q. Par exemple, le plan 2³⁻¹ est un plan fractionnaire permettant l'étude de 3 facteurs en utilisant la matrice des effets du plan complet 2². Le nombre d'essais à réaliser est divisé par 2, 2² expériences à réaliser au lieu de 2³ expériences.
### V.1.1 Principe de construction :

La construction d'un plan fractionnaire est basée sur la théorie des aliases. Le principe consiste à utiliser la matrice du modèle du plan factoriel complet et d'aliaser les facteurs supplémentaires avec les interactions faibles. Plus l'ordre d'une interaction est élevé plus elle est négligeable.

Nous proposons un exemple d'un plan fractionnaire qui permet d'étudier 3 facteurs à 2 niveaux et sans interactions à l'aide de 4 essais. On cherche alors à identifier le modèle suivant :

$$Y=M+A+B+C \qquad (II.7)$$

La démarche à suivre pour construire le plan $2^{3-1}$ est la suivante:

* Choix du plan de base: c'est un plan complet de $2^2$ essais.

* Construction de la matrice des effets du modèle saturé (constante, facteurs et interactions) avec ce plan de base (Tableau II.1):

<table><caption>Tableau II.1 : Matrice des effets pour un plan factoriel complet à deux facteurs</caption><thead><tr><th>M</th><th>A</th><th>B</th><th>AB</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td>-1</td><td>-1</td></tr><tr><td>1</td><td>-1</td><td>1</td><td>-1</td></tr><tr><td>1</td><td>-1</td><td>-1</td><td>1</td></tr></tbody></table>

* Confusion du facteur supplémentaire C avec l'interaction d'ordre le plus élevé AB :

$$C=AB \qquad (II.8)$$

Cela signifie que l'effet du facteur C est aliasé avec l'effet de l'interaction AB.

* Détermination des confusions résultantes :

$$CC=ABC \Rightarrow I=ABC \qquad (II.9)$$

I=ABC appelé générateur d'alias, alors :

$$A(I)=A(ABC) \Rightarrow A=BC \qquad (II.10)$$

$$B(I)=B(ABC) \Rightarrow B=AC \qquad (II.11)$$

D'après ces confusions, la matrice des effets devient :
<table><caption>Tableau II.2 : Matrice des effets pour un plan factoriel complet à deux facteurs après confusion</caption><thead><tr><th>I</th><th>A</th><th>B</th><th>AB</th></tr></thead><tbody><tr><th>ABC</th><th>BC</th><th>AC</th><th>C</th></tr><tr><th>1</th><th>1</th><th>1</th><th>1</th></tr><tr><th>1</th><th>1</th><th>-1</th><th>-1</th></tr><tr><th>1</th><th>-1</th><th>1</th><th>-1</th></tr><tr><th>1</th><th>-1</th><th>-1</th><th>1</th></tr></tbody></table>

Le facteur C est confondu avec l'interaction AB, c'est-à-dire, impossible de différencier ce qui est dû à C de ce qui est dû à AB. De cette confusion, on peut déduire les niveaux que doit prendre le facteur C lors de la réalisation des essais. La matrice d'expériences pour 3 facteurs à 4 essais est donc :

<table><caption>Tableau II.3 : Matrice d'essais pour un plan factoriel fractionnaire à trois facteurs :</caption><thead><tr><th>N° d'essais</th><th>A</th><th>B</th><th>C</th></tr></thead><tbody><tr><th>1</th><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><th>2</th><td>1</td><td>-1</td><td>-1</td></tr><tr><th>3</th><td>-1</td><td>1</td><td>-1</td></tr><tr><th>4</th><td>-1</td><td>-1</td><td>1</td></tr></tbody></table>

### V.1.2 Conditions sur la construction du plan fractionnaire :

La construction d'un plan fractionnaire n'est pas toujours aisée, il faut qu'il remplisse certaines conditions, à savoir le nombre de degré de liberté et l'orthogonalité. Le nombre de degré de liberté d'un modèle indique le nombre de valeurs qu'il faut calculer pour connaître l'ensemble des paramètres du modèle. Par exemple, si on souhaite identifier une droite ($Y = aX + b$) il faut au moins deux essais car il y a deux paramètres à identifier (a et b). D'une façon générale, le nombre minimal d'expériences à réaliser doit être égal au nombre de degré de liberté du modèle étudié.

Pour notre exemple, le modèle étudié est :

$$ \begin{array}{l} Y = M + A + B + C \\ \text{Niveaux} \qquad \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array} \\ \text{ddl} \qquad \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \end{array} \qquad (II.12) $$
Le nombre de degrés de liberté du modèle est 4. Il y a quatre valeurs qu'il faut calculer pour connaître le modèle. Il faudra alors que le plan choisi comprenne au moins 4 essais. C'est bien le cas de notre exemple, la condition sur le nombre de degré de liberté est donc vérifiée.

Une autre condition à remplir est l'orthogonalité. Cette condition implique notamment que les effets des facteurs et des interactions sont totalement indépendants les uns des autres. Cela signifie que lorsqu'on calcule l'effet d'un facteur au niveau 1, il faut que le deuxième facteur soit autant de fois au niveau 1 qu'au niveau 2. Pour vérifier l'orthogonalité d'un plan, il suffit de réaliser un Tableau d'incidence pour chaque paire des actions disjointes. Nous appellerons action un facteur ou une interaction entre facteurs. On dit que deux actions sont disjointes si elles ne comportent pas de facteurs en commun. Nous pouvons remplir les Tableaux d'incidence en dénombrant, dans la matrice d'expériences, le nombre de combinaisons observées correspondant à l'intersection des lignes et des colonnes de ce Tableau.

Pour notre exemple, nous pouvons établir 3 Tableaux d'incidence correspondant aux trois paires A-B, A-C, et B-C.

<table><caption>Tableau II.4 : Tableau d'incidence des actions A et B: T(A, B) :</caption><thead><tr><th colspan="2"></th><th colspan="2">B</th></tr><tr><th colspan="2"></th><th>1</th><th>-1</th></tr></thead><tbody><tr><th rowspan="2">A</th><th>1</th><td>1</td><td>1</td></tr><tr><th>-1</th><td>1</td><td>1</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Tableau II.5 : Tableau d'incidence des actions A et C: T(A, C)</caption><thead><tr><th colspan="2"></th><th colspan="2">C</th></tr><tr><th colspan="2"></th><th>1</th><th>-1</th></tr></thead><tbody><tr><th rowspan="2">A</th><th>1</th><td>1</td><td>1</td></tr><tr><th>-1</th><td>1</td><td>1</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Tableau II.6 : Tableau d'incidence des actions B et C: T(B, C)</caption><thead><tr><th colspan="2"></th><th colspan="2">C</th></tr><tr><th colspan="2"></th><th>1</th><th>-1</th></tr></thead><tbody><tr><th rowspan="2">B</th><th>1</th><td>1</td><td>1</td></tr><tr><th>-1</th><td>1</td><td>1</td></tr></tbody></table>
Deux actions disjointes sont orthogonales si le Tableau d'incidence correspondant a tous ses termes non nuls et égaux entre eux. Par conséquent, on dit qu'un plan est orthogonal, si toutes les actions disjointes sont orthogonales. Le nombre d'essais du plan est donc un multiple du nombre de cases du Tableau d'incidence, soit 4 dans notre exemple. La condition d'orthogonalité est donc vérifiée. Le plan fractionnaire construit est un bon plan.

Pour trouver un plan susceptible d'être orthogonal vis-à-vis d'un modèle, il devra être le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) du produit du nombre de niveaux de toutes les actions disjointes prises deux à deux. Pour cet exemple, le plus petit plan orthogonal que l'on puisse trouver est un plan comportant PPCM=4 expériences.

### V.1.3 Résolution du plan :

La qualité d'un plan d'expérience est mesurée par ce qu'on appelle la « résolution », c'est la longueur de plus petit générateur d'alias. Par exemple, pour un plan $2^{4-1}$ le générateur d'alias I =ABCD, la résolution est donc IV et pour un plan $2^{5-1}$ le générateur d'alias I=ABD=BCE=BCDE, la résolution est donc III.

Un plan d'expérience est de :

* Résolution III si les effets principaux sont confondus avec les interactions d'ordre 2 ou plus.

* Résolution IV si les effets principaux confondus avec les interactions d'ordre 3 ou plus.

* Résolution V si les effets principaux confondus avec les interactions d'ordre 4 ou plus et interactions d'ordre 2 confondus avec interactions d'ordre 3 ou plus.

Plus la résolution d'un plan est élevée, meilleure est la quantification des facteurs et des interactions, mais plus d'essais sont nécessaires. Le Tableau suivant résume le nombre de facteurs qui peuvent être étudiés en fonction du nombre d'essais réalisés pour les trois résolutions.

<table><caption>Tableau II.7 : nombre de facteurs étudiés pour différentes résolutions</caption><thead><tr><th rowspan="2">N° d'essais</th><th colspan="3">Nombre de facteurs étudiés</th></tr><tr><th>Résolution V</th><th>Résolution IV</th><th>Résolution III</th></tr></thead><tbody><tr><td>8</td><td>3</td><td>4</td><td>7</td></tr><tr><td>16</td><td>5</td><td>8</td><td>18</td></tr><tr><td>32</td><td>6</td><td>16</td><td>31</td></tr><tr><td>64</td><td>8</td><td>32</td><td>63</td></tr><tr><td>128</td><td>11</td><td>64</td><td>127</td></tr><tr><td>256</td><td>17</td><td>128</td><td>255</td></tr><tr><td>512</td><td>&gt;23</td><td>256</td><td>511</td></tr></tbody></table>
## V.2 Méthode de TAGUCHI :

La mise au point de plans fractionnaires adaptés à un modèle est un processus excessivement difficile et parfois complexe. Le docteur Genichi Taguchi a proposé une méthode originale permettant, à partir de quelques tables standards, de résoudre facilement la plupart des problèmes impliquant plusieurs facteurs [Roy10]. TAGUCHI considère que les interactions d'ordre 2 sont négligeables sauf quelques-unes parfaitement identifiées et que les interactions d'ordre supérieur à 2 sont toujours négligeables.

Comme les facteurs ne sont pas tous également faciles à modifier, Taguchi les classe en 4 groupes selon leur degré de difficulté de modification.

<table><thead><tr><td>Groupe</td><td>Modification</td><td>Représentation</td></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>Difficile</td><td>○</td></tr><tr><td>2</td><td>Peu difficile</td><td>○○</td></tr><tr><td>3</td><td>Facile</td><td>●</td></tr><tr><td>4</td><td>Très facile</td><td>●●</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

L'interaction entre deux facteurs est représentée par un simple trait entre eux. Ainsi, pour représenter une interaction entre un facteur A du groupe 1 et un facteur B du groupe 4, on trace :

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

### V.2.1 Tables orthogonales standards de TAGUCHI :

Le catalogue de Taguchi contient 18 tables orthogonales ayant des propriétés différentes [Tag 87]. Celles-ci sont notées par $L_N(s^k)$ représentant une matrice de dimension $(N \times k)$, avec N est le nombre de lignes et k le nombre de colonnes du table orthogonale. Ces tables peuvent être subdivisées en trois catégories selon la classification présentée dans le Tableau II.8.

* L'étude des interactions est impossible : Lors de l'utilisation de ces tables, les interactions entre deux facteurs ne peuvent pas être étudiées car la condition d'orthogonalité de ces interactions n'est pas vérifiée. Ce type de tables ne possède pas de triangle d'interactions, ni de graphe linéaire.

* L'étude des interactions est limitée : ces tables ne permettent l'étude que d'une seule interaction entre deux facteurs.

* L'étude des interactions est possible : L'étude de l'ensemble des interactions est possible. Pour une interaction non nulle qui n'est pas en compte dans le modèle, elle est aliasée avec une autre action que l'on trouve dans le triangle des interactions. C'est le cas classique pour lequel il existe des graphes linéaires et des triangles d'interactions.
<table><caption>Tableau II.8 : Classement des tables orthogonales de TAGUCHI</caption><thead><tr><th></th><th>Étude des interactions est impossible</th><th>Étude des interactions est limitée</th><th>Étude des interactions est possible</th></tr></thead><tbody><tr><td>Plan à 2 niveaux</td><td>L<sub>12</sub> (2<sup>11</sup>)</td><td></td><td>L<sub>4</sub> (2<sup>3</sup>)<br>L<sub>8</sub> (2<sup>7</sup>)<br>L<sub>16</sub> (2<sup>15</sup>)<br>L<sub>32</sub> (2<sup>31</sup>)<br>L<sub>64</sub> (2<sup>63</sup>)</td></tr><tr><td>Plan à 3 niveaux</td><td></td><td></td><td>L<sub>9</sub> (3<sup>4</sup>)<br>L<sub>27</sub> (3<sup>13</sup>)<br>L<sub>81</sub> (2<sup>40</sup>)</td></tr><tr><td>Plan à 2 et 3 niveaux</td><td>L<sub>36</sub> (2<sup>11</sup> x 3<sup>11</sup>)</td><td>L<sub>18</sub> (2<sup>1</sup> x 3<sup>7</sup>)</td><td>L<sub>36</sub> (2<sup>3</sup> x 3<sup>13</sup>)<br>L<sub>54</sub> (2<sup>1</sup> x 3<sup>25</sup>)</td></tr><tr><td>Plan à plus de 3 niveaux</td><td></td><td>L<sub>32</sub> (2<sup>1</sup> x 4<sup>9</sup>)<br>L<sub>50</sub> (2<sup>1</sup> x 5<sup>11</sup>)</td><td>L<sub>16</sub> (4<sup>5</sup>)<br>L<sub>64</sub> (4<sup>21</sup>)<br>L<sub>25</sub> (5<sup>6</sup>)</td></tr></tbody></table>

Prenons par exemple la table $L_8 (2^7)$ présentée au Tableau II.9. Cette table comporte 8 expériences, on pourra donc étudier au maximum 7 facteurs, puisque la constante consomme 1 ddl. Les niveaux dans un plan Taguchi sont codés par (2,1) au lieu de (-1,1).

<table><caption>Tableau II.9 : Table $L_8 (2^7)$</caption><thead><tr><th rowspan="2">Essais</th><th colspan="7">N colonne</th></tr><tr><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td>3</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td>4</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>5</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>6</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>7</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>8</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td></tr></tbody></table>

## V.2.2 Graphes linéaires et Triangle des interactions :

Lorsqu'on chercher à étudier un modèle contenant seuls les facteurs principaux, l'ordre d'affectation de ces facteurs aux colonnes de la table orthogonale n'est pas important. Cependant, si
nous avons des facteurs principaux et des interactions à étudier, il est nécessaire de suivre une
certaine procédure. Taguchi a fourni deux outils facilitant l'affectation des facteurs et des
interactions aux colonnes des tables orthogonales, à savoir : les triangles d'interaction et les graphes
linéaires.

a) Triangle d' interactions :

Le triangle d'interactions donne les informations sur l'emplacement des facteurs et des interactions sur les colonnes de la table orthogonale. Le Tableau II.10 montre une partie du triangle d'interactions à deux niveaux correspondante à la table orthogonale L₈. Comme une interaction entre deux facteurs a et b est commutative, le Tableau d'interaction est une matrice symétrique. Par conséquent, seule la partie triangulaire supérieure est présentée.

<table><caption>Tableau II.10 : Triangle des interactions de la table L₈</caption><tbody><tr><td></td><td>2</td><td><b>B</b></td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td></tr><tr><td>(1)</td><td><b>A</b></td><td><b>3</b></td><td><b>AB</b></td><td>2</td><td>5</td><td>4</td><td>7</td><td>6</td></tr><tr><td></td><td></td><td>(2)</td><td></td><td>1</td><td>6</td><td>7</td><td>4</td><td>5</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>(3)</td><td></td><td>7</td><td>6</td><td>5</td><td>4</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>(4)</td><td></td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>(5)</td><td></td><td>3</td><td>2</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>(6)</td><td></td><td>1</td></tr></tbody></table>

Supposons que le facteur A soit affecté à la colonne 1 et que le facteur B soit affecté à la colonne 2, l'interaction AB doit être affectée à l'intersection entre la ligne 1 et la colonne 2, soit la colonne 3. Ensuite, si le facteur C est placé à la colonne 4, la colonne 5 correspond donc à l'interaction AC. On ferait de même pour les interactions AC, BC et ABC. Ainsi, on peut facilement déterminer le Tableau des alias :

<table><caption>Tableau II.11 : Les alias résultants du triangle des interactions</caption><thead><tr><td>Facteur</td><td>Colonne</td><td>Alias</td></tr></thead><tbody><tr><td>A</td><td>1</td><td>BCD</td></tr><tr><td>B</td><td>2</td><td>ACD</td></tr><tr><td>C</td><td>4</td><td>ABD</td></tr><tr><td>D</td><td>7</td><td>ABC</td></tr><tr><td>AB</td><td>3</td><td>CD</td></tr><tr><td>AC</td><td>5</td><td>BD</td></tr><tr><td>BC</td><td>6</td><td>AD</td></tr></tbody></table>
b) **Graphe linéaire** :

Les graphes linéaires de TAGUCHI sont des représentations graphiques des modèles postulés. Ils facilitent l'affectation des facteurs principaux et des interactions aux différentes colonnes d'une table orthogonale. La Figure II.4 montre les deux graphes linéaires standards associés à la table L₈(2⁷). Les chiffres indiquent les numéros de colonne de la table. Supposons que nous attribuons les facteurs principaux A, B, C et D aux colonnes 1, 2, 4 et 7 respectivement. Ainsi, les interactions AB, AC et BC seront affectées aux colonnes 3, 5 et 6 respectivement.

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>Figure II.4 : les graphes linéaires associés à la table L₈(2⁷)</figcaption></figure>

Les modèles qui peuvent être étudiés à partir de ces graphes sont :

$$Y=M+A+B+C+D+AB+AC+BC \qquad (II.13)$$

et

$$Y=M+A+B+C+D+AB+AC+AD \qquad (II.14)$$

V.3 Construction d'un plan à partir des tables de Taguchi :

La construction d'un plan d'expériences de Taguchi est basée sur 4 étapes:

→ Définition du modèle.

→ Établissement du graphe linéaire du modèle.

→ Recherche de la table de TAGUCHI adaptée.

→ Affection de colonne à chaque facteur.

Par exemple, on recherche un plan orthogonal vis-à-vis du modèle suivant :

$$Y=M+A+B+C+D+E+F+G+AB+AC+BC+AD+AE$$
Ce modèle peut être présenté par le graphe linéaire suivant:

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>Figure II.5 : graphe linéaire du modèle d'exemple</figcaption></figure>

Ensuite, on cherche une table orthogonale adaptée au modèle postulé. Selon les conditions sur la construction d'un plan fractionnaire que nous avons citées précédemment, le plan d'expérience doit comporter plus de 13 essais afin de vérifier la condition sur le degré de liberté. En outre, le modèle comporte des interactions disjointes à deux niveaux, le PPCM est donc de 16. La table la plus compatible avec ces deux critères est donc la table $L_{16}$.

Finalement, pour affecter une colonne à chaque facteur, il faut trouver un graphe linéaire proposé par Taguchi similaire au graphe linéaire du modèle postulé. Il existe 18 graphes linéaires pour la table $L_{16}$, le graphe qui conviendrait à notre problème est illustré à la Figure II.6.

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>Figure II.6 : graphe de Taguchi associé à la table $L_{16}$</figcaption></figure>
On remarque que le graphe du modèle d'exemple est un sous-ensemble du graphe standard de TAGUCHI, donc on peut l'utiliser pour affecter des colonnes à chaque facteur. Le plan d'expériences s'écrit facilement en recopiant les colonnes de la table L₁₆ :

<table><caption>Tableau II.12 : Matrice d'expérience de Taguchi L₁₆ pour étudier 7 facteurs</caption><thead><tr><th colspan="2">Colonnes</th><th>1</th><th>2</th><th>4</th><th>8</th><th>15</th><th>10</th><th>12</th></tr><tr><th>Essai</th><th>Facteurs</th><th>A</th><th>B</th><th>C</th><th>D</th><th>E</th><th>F</th><th>G</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>2</td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td>3</td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>4</td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>5</td><td></td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>...</td><td></td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td><td>...</td></tr><tr><td>12</td><td></td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>13</td><td></td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>14</td><td></td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>15</td><td></td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td>16</td><td></td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr></tbody></table>

Après avoir construit une matrice d'expérimentation adéquate, nous passons à la phase d'expérimentation et à la réalisation des essais.

## V.4 Expérimentation :

Chaque essai est conduit comme indiqué sur la matrice d'expérience, en respectant la valeur assignée à chaque facteur. Traditionnellement, les essais considérés par la méthode des plans d'expériences sont des expériences réelles. Il est ainsi possible à présent de réaliser les essais par le biais des simulations informatiques. Ces simulations sont considérées comme des essais virtuels. La principale différence entre les expériences réelles et virtuelles concerne l'erreur expérimentale. Dans le cadre des expériences réelles, les répétitions des essais permettent d'obtenir l'ampleur de l'erreur expérimentale. Néamoins, les plans d'expériences utilisant des simulations informatiques, sont sans répétition. En fait, chaque réponse, correspondant à un essai, est obtenue à partir d'une expérience virtuelle unique car la réalisation de la même simulation deux fois donnera toujours la même réponse.

## V.5 Analyse et interprétation des résultats des essais :

### V.5.1 Analyse global des résultats d'essai :

Avant de mettre en œuvre les outils d'analyses mathématiques, statistiques et graphiques, il est nécessaire de porter un jugement global sur l'ensemble des résultats d'essais. On pourra potentiellement détecter un résultat inattendu, une erreur de mesure ou une simple faute de frappe.
L'analyse globale des résultats d'essais permet notamment de s'assurer qui il n'y a pas de valeurs aberrantes ou d'expérience atypique.

L'outil de « boîte à moustache » est le plus utilisé pour révéler de manière simple et visuel la distribution des données (en particulier la symétrie ou l'asymétrie) et la présence des points qui peuvent être des valeurs aberrantes.

Une boîte à moustaches se compose généralement de :

* un rectangle dont les bords représentent le premier et le troisième quartile respectivement,

* deux droites sortent du rectangle appelées « moustaches », correspondent respectivement à Q1-1,5x(Q3-Q1) et Q3+1,5x(Q3-Q1),

* et une ligne centrale à l'intérieur de la boite indique la médiane des données.

Tous ces paramètres sont reportés sur la Figure II.7.

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>Figure II.7 : boite à moustache de la variable X<sub>j</sub></figcaption></figure>

### V.5.2 Analyse mathématique :

L'analyse mathématique des résultats d'essais a pour objectif d'estimer les coefficients du modèle postulé. Pour ce faire, on fait appel à deux concepts: concept d'effet moyen et concept de coefficient :

#### a) Concept d'effet moyen

L'effet d'un facteur ou d'une interaction est donné par la différence entre la moyenne des réponses au niveau haut (+1) et la moyenne au niveau bas (-1), comme indiqué dans l'équation (V.9):

$$E_X = \frac{\sum (Y_{+1}) - \sum (Y_{-1})}{N} \qquad (II.15)$$
Avec : $\sum (Y_{+1})$ et $\sum (Y_{-1})$ représentent respectivement les sommes des réponses quand le facteur X est au niveau (1) et (-1) et N le nombre d'essais du plan d'expériences.

### b) Estimation des coefficients du modèle :

Pour chaque essai du plan d'expérience, le modèle mathématique décrivant la réponse $Y_i$ en fonction de la variation des facteurs $x_i$ et de leurs interactions peut s'écrire :

$$ \begin{pmatrix} Y_1 \\ Y_2 \\ \vdots \\ Y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{0,1}+a_{1,1} x_1+a_{2,1} x_2+a_{12,1} x_{12}+a_{3,1} x_3+\dots \\ a_{0,2}+a_{1,2} x_1+a_{2} x_2+a_{12,2} x_{12}+a_{3,2} x_3+\dots \\ \vdots \\ a_{0,n}+a_1 n x_1+a_{2,n} x_2+a_{12,n} x_{12}+a_{3,n} x_3+\dots \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \\ \vdots \\ e_n \end{pmatrix} \quad (II.16) $$

Ce qui peut s'écrire aussi sous une forme plus générale :

$$ \{Y\}=(X)\{A\}+\{E\} \quad (II.17) $$

Avec Y représente le vecteur des résultats d'essais, X la matrice du modèle, (A) le vecteur des coefficients et E le vecteur des résidus.

Le vecteur de paramètres (A) est estimé de manière à minimiser la somme des carrés des résidus. L'expression à minimiser s'écrit donc :

$$ \begin{aligned} \|Y - (X)A\|^2 &= (Y - XA)^t (Y - XA) \\ &= Y^t Y - 2 A^t X^t Y + A^t X^t X A \end{aligned} \quad (II.18) $$

par dérivation matricielle de la dernière équation, on obtient :

$$ X^t Y - X^t X A = 0 \quad (II.19) $$

Les estimateurs des moindres carrés des coefficients de régression peuvent être écrites sous la forme suivante:

$$ \{A\}=(X^t X)^{-1}(X^t Y) \quad (II.20) $$

### V.5.3 Analyse statistique :

L'analyse statistique des résultats d'un plan de criblage a pour objectif d'identifier les effets « significatifs » ou « actifs » des facteurs et des interactions.
### a) Méthode de Lenth :

L'identification des effets actifs est l'une des étapes nécessaires à l'analyse des résultats d'un plan de criblage. Lenth a proposé une méthode puissante et simple à mettre en œuvre pour décider quels effets sont actifs dans l'analyse d'expériences [Len89]. La méthode de Lenth consiste à estimer le pseudo écart-type des estimations des coefficients calculés.

Le calcul comporte trois étapes:

D'abord, on calcule $s_0$ comme suit :

$$s_0 = 1,5 \times \text{médiane} |a_i| \qquad (II.21)$$

Ensuite, on élimine les coefficients dont la valeur absolue est supérieure à 2,5 $s_0$ et on recalcule à nouveau $s_0$ pour les coefficients restants. Le pseudo écart-type PSE (Pseudo Standard Error) est correspond à la valeur de $s_0$ trouvée à la dernière itération.

$$\text{PSE} = 1,5 \text{ médiane } \{|a_i| : |a_i| \le 2,5 s_0\} \qquad (II.22)$$

Finalement, on multiplie le PSE obtenu par un facteur $t$ pour obtenir une limite de signification des effets :

$$ME = \pm t_{\alpha,d} \cdot \text{PSE} \qquad (II.23)$$

Le facteur $t$ est distribué selon une distribution de Student qui dépend d'une part du niveau de signification $\alpha$ choisi, généralement égal à 5%, et d'autre part du nombre de degrés de liberté $d$ qui égale au nombre d'effets restants / 3.

Les coefficients $a_i$ qui dépassent la valeur de ME sont considérés comme actifs au seuil de signification de 5 %.

### b) Méthode de Daniel :

Le graphe de Daniel [Dan59] permet de tester la normalité de la distribution des effets moyens et de détecter les effets actifs. La méthode implique de trier les effets moyens en ordre croissant et de calculer les fréquences correspondantes en utilisant la formule statistique suivante :

$$P = \frac{i - 0.5}{k} \qquad (II.24)$$

où $i$ est le rang de l'effet moyen ($i=1,...,k$) et $k$ est le nombre total d'effets moyens.
Ensuite, les fractiles théoriques semi-normaux sont déterminés en appliquant l'inverse de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite :

$$F^{-1}(\frac{P+1}{2}) \qquad (II.25)$$

Enfin, les points (effets moyens, fractiles théoriques semi-normaux) sont tracés sur un graphique. Si le nuage de point s'alignerait alors sous forme d'une droite, cela suggère que la distribution des effets moyens suit une loi normale. Cependant, si certains points se détachent de la droite, cela indique la présence d'effets actifs, c'est-à-dire que certains facteurs ont un effet significatif sur la réponse étudiée.

### C) Diagramme de Pareto :

L'analyse de Pareto permet d'identifier quel effet contribue le plus aux réponses étudiées. Les contributions apportées pour chaque facteur et interaction sont estimées à partir de la relation suivante :

$$CTR_i = \frac{a_i^2}{\sum_{i=1}^{k} a_i^2} \qquad (II.26)$$

Avec :

CTRᵢ est la contribution du facteur i à la variation de la réponse, aᵢ le coefficient du modèle associé au facteur i et k le nombre de facteurs de l'étude.

Les contributions calculées sont ensuite classées par ordre d'importance décroissant et représentées sous forme de diagramme en bâtons appelé diagramme de Pareto. Ceci est accompagné d'une courbe de cumul qui précise l'importance relative de chacun des facteurs ou interactions. Un exemple de diagramme de pareto est illusré à la Figure II.8.

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>Figure II.8 : Exemple d'un diagramme de Pareto</figcaption></figure>
### V.5.4 Analyse graphique :

#### a) Graphe des effets moyens et des interactions :

Le graphe des effets est souvent utilisé afin de faciliter l'interprétation des résultats. Il permet de visualiser de façon assez simple la différence entre les effets de différents facteurs et interactions ainsi de détecter rapidement les effets les plus influents. L'effet d'un facteur est représenté par une droite dont le coefficient directeur vaut cet effet. La Figure II.9 présente un exemple de représentation graphique d'un effet principal du facteur A.

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>Figure II.9 : Graphe de l'effet global et de l'effet moyen de facteur A</figcaption></figure>

#### b) Graphe des effets des interactions :

Comme pour les effets principaux, les effets des interactions sont également présentés sur un graphe comme le montre la Figure II.10. La présence d'une interaction est constatée lorsque les deux droites ne sont pas parallèles.

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>Figure II.10 : Exemple de graphe d'interaction entre A et B</figcaption></figure>
# VI. Plan de modélisation – Plan de surface de réponse :

La modélisation par plan d'expériences est une approche puissante utilisée pour simuler les phénomènes complexe. L'objectif de cette modélisation est de décrire le comportement d'une réponse aussi précisément que possible en fonction des variations des facteurs. De nombreuses références sur le sujet existent: [osb97] [Khu96] et [Dra90]. Parmi les nombreux types de plans qui permettent de réaliser une telle étude, nous présenterons ici le plan factoriel complet et le plan de Box-Benkhen.

## VI.1 Plan factoriel complet 3^k :

Les plans factoriels complets sont généralement utilisés pour l'étude de modélisation. Ils présentent l'avantage d'être simples à concevoir, plus précises et plus efficaces, car ils couvrent toutes les combinaisons de niveaux entre tous les facteurs. Cependant, ils sont assez énormes en terme de nombre d'essais par rapport à d'autres types de plans, mais ce nombre reste raisonnable si le nombre de facteurs étudiés est faible. Les plans de modélisation sont souvent utilisés après une étude des effets des facteurs. Il suffit alors de prendre en considération que les facteurs jugés précédemment influents sur la réponse étudiée. Le but de ce plan est de parvenir à une modélisation du phénomène étudié basée sur l'expérimentation, il consiste donc à mise en oeuvre d'un modèle mathématique de nature polynômial. Pour un plan factoriel complet à n niveaux, il est possible d'observer les interactions de facteurs jusqu'à l'ordre de n-1. Les plans factoriels complets à 2 niveaux ne permettent pas d'évaluer l'effet quadratique dans la variation de la réponse, seuls les interactions du premier degré peuvent être détectées. En introduisant un troisième niveau on peut détecter un effet quadratique (Figure II.11). En conséquence, un modèle de forme quadratique est couramment adoptée [Khu96]. Ce choix repose sur le fait que ce modèle est facile à exploiter et applicable à de nombreux problèmes.

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>Figure II.11 : Evolution de la réponse en fonction du niveau d'un facteur</figcaption></figure>
Nous désignerons les trois niveaux des facteurs comme étant faible, intermédiaire et élevé. Plusieurs notations différentes sont utilisées pour représenter ces niveaux de facteurs; une possibilité consiste à représenter les niveaux de facteur par les chiffres 0 (faible), 1 (intermédiaire) et 2 (élevé). Chaque combinaison est désignée par k chiffres, où le premier indique le niveau du facteur A, le deuxième indique le niveau du facteur B et le k<sup>ème</sup> indique le niveau du facteur K. Par exemple, 012 représente une combinaison d'essai dans un plan 3<sup>2</sup> avec A au niveau bas, B au niveau intermédiaire et C au niveau haut. Les Figures II.12 et II.13 montrent la géométrie du plan 3<sup>2</sup> et 3<sup>3</sup>, respectivement, en utilisant cette notation.

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>Figure II.12 : Combinaisons d'essai dans un plan 3<sup>2</sup>.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>Figure II.13 : Combinaisons d'essai dans un plan 3<sup>3</sup>.</figcaption></figure>
## VI.2 Plan de Box-Behnken :

Le plan de Box-Behnken est souvent considéré comme une alternative plus efficace et précise aux plans factoriels complets car il nécessite moins d'essais tout en permettant l'évaluation des effets quadratiques. Ce plan est particulièrement adapté pour les situations où le nombre de facteurs est élevé.

Le plan de Box-Behnken utilise des combinaisons d'essais situées aux points centraux des bords de l'espace expérimental, qui requièrent au moins trois facteurs continus. Ces combinaisons sont conçues pour optimiser l'efficacité de l'expérience en minimisant le nombre d'essais nécessaires. Un exemple de plan de Box-Behnken à trois facteurs est illustré ci-dessous, où les points représentent les essais expérimentaux effectués.

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>Figure II.14 : Combinaisons d'essai dans un plan de Box-Behnken 3³.</figcaption></figure>

Pour étudier trois facteurs avec le plan de Box-Behnken, il suffit d'utiliser seulement douze nœuds intermédiaires et un nœud central pour ajuster une équation du second ordre, ce qui est considérablement moins que les 27 points nécessaires pour le plan factoriel complet. Cela permet d'optimiser le temps et les ressources nécessaires pour mener l'expérience, tout en permettant l'évaluation des effets d'interaction d'ordre supérieur.

## VI.3 Analyse et interprétation des résultats des essais :

### VI.3.1 Analyse mathématique :

L'analyse mathématique des résultats consiste à déterminer les coefficients du modèle factoriel à l'aide de la méthode de régression linéaire multiples [Wil13]. Cette méthode vise à estimer le vecteur de paramètres (A) de manière à minimiser la somme des carrés des résidus. Il s'agit donc
d'une régression au sens des moindres carrés. Les estimateurs des moindres carrés des coefficients de régression peuvent être écrites sous la forme suivante:

$$a=(X^t X)^{-1}(X^t Y) \qquad (II.27)$$

En connaissant l'estimation des coefficients du modèle, il est possible d'utiliser ce dernier pour faire des prévisions sur l'ensemble du domaine expérimental. La différence entre la réponse réelle et la réponse estimée par le modèle est définie par le prétendu **résidu**.

Pour une combinaison donnée du plan d'expériences, le résidu est défini à partir de la relation suivante :

$$\varepsilon_i=Y_i-\hat{Y}_i \qquad (II.28)$$

où $\hat{Y}_i$ représente la réponse estimée par le modèle au point

### VI.3.2 Analyse statistique :

Dans cet étape, une série de tests statistiques va être menée afin d'examiner la qualité du modèle [sne77],[Dra81]. Il comprend trois parties principales, à savoir: L'analyse globale du modèle, l'analyse statistique des coefficients du modèle et l'analyse statistique des résidus.

#### a) Analyse globale du modèle :

L'analyse globale du modèle consiste à définir sa qualité descriptive au moyen d'un Tableau d'analyse de la variance ANOVA [Abr70]. Le principe est basé sur le calcul de l'écart total entre les différentes mesures $y_i$ du plan d'expériences et la moyenne de ces mesures $\bar{y}$. Cet écart se décompose en deux parties: une partie traduit la variation expliquée par le modèle, appelée **écart de régression**, et une autre partie traduit la variation inexplicuée par le modèle, appelée **écart résiduel**.

On peut tout d'abord écrire la décomposition suivante :

$$y_i-\bar{y}=(y_i-\hat{y}_i)+(\hat{y}_i-\bar{y}) \qquad (II.29)$$

On peut montrer la propriété suivante :

$$\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^{2}=\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\hat{y}_{i})^{2}+\sum_{i=1}^{n}(\hat{y}_{i}-\bar{y})^{2} \qquad (II.30)$$

Cette relation peut également s'écrit :

$$SCT=SCR+SCE \qquad (II.31)$$

Avec SCT représente la somme des carrés totale, c'est-à-dire la dispersion des données autour de la moyenne générale, SCR la somme des carrés des résidus ou variation inexplicuée par le modèle et SCE la somme des carrés due à la régression ou variation expliquée par le modèle.
Les sommes des carrées totales peuvent être divisées par leur nombres de degré de liberté respectifs :

$$ \frac{\text{SCT}}{n-1} = \frac{\text{SCR}}{n-p} + \frac{\text{SCE}}{p-1} \qquad (\text{II.32}) $$

Ce qui donne :

$$ CM_T = CM_R + CM_F \qquad (\text{II.33}) $$

Avec $CM_T$, $CM_R$ et $CM_F$ représentent respectivement le carré moyen total, le carré moyen résiduel et le carré moyen associé au modèle.

Ainsi, pour tester la significativité globale du modèle retenu, on utilise le test statistique de Fisher. Il s'agit de tester si tous les coefficients du modèle sont supposés nuls, excepté la constante. Cela correspond dans le cas de la régression linéaire multiple à tester $H_0$: tous les $b_j=0, j =1,...,p$ contre $H_1$: il existe au moins un $b_j$ non nul.

Sous $H_0$, F suit un loi de Fisher à (p-1, n-p) degré de liberté [Sap06], alors :

$$ F_{\text{obs}} = \frac{CM_F}{CM_R} \sim F_{p-1, n-p} \qquad (\text{II.34}) $$

Pour un seuil donné $\alpha$ (5% en général) les tables de Fisher nous fournissent une valeur critique c telle que :

$$ P_{H_0}(F_{p-1,n-1} < c) = 1 - \alpha \qquad (\text{II.35}) $$

Pour décider l'acceptation ou le rejet de l'hypothèse nulle, il suffit de comparer la p-value avec le risque alpha choisi Si $p-value<\alpha$ alors $H_0$ est rejeté et le modèle permet de décrire la variation des résultats d'essais.

L'ensemble de ces données conduisent à la construction d'un Tableau ANOVA de format standard récapitulant les différents résultats (Tableau II.15).

<table><caption>Tableau II.13 : Tableau de l'ANOVA fourni par le test de Fisher</caption><thead><tr><th>Source de variation</th><th>Somme des carrés</th><th>Degré de liberté</th><th>Carrés moyens</th><th>F</th><th>p-value</th></tr></thead><tbody><tr><td>Régression</td><td>SCE</td><td>p-1</td><td>CM<sub>E</sub></td><td>CM<sub>E</sub>/CM<sub>R</sub></td><td></td></tr><tr><td>Résidu</td><td>SCR</td><td>n-p</td><td>CM<sub>R</sub></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Totale</td><td>SCT</td><td>n-1</td><td>CM<sub>T</sub></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

On peut également chercher à savoir si le modèle décrit bien l'ensemble des résultats en calculant le coefficient de détermination $R^2$ [sob91]. A partir du Tableau ANOVA ce coefficient est calculé par la relation :

$$ R^2 = \frac{CM_F}{CM_T} \qquad (\text{II.36}) $$
Il exprime le pourcentage de variation de la réponse expliquée par le modèle seul. Par définition, le coefficient de détermination prend des valeurs dans l'intervalle [0, 1]. Plus R² est proche de 1, meilleur est le modèle.

L'ajout de variables explicatives ou de prédicteurs au modèle de régression conduit à l'augmentation ou la diminution de la valeur R². Ce coefficient ne peut pas donc servir à comparer la qualité descriptive de différents modèles ayant différents nombre de variables. Il faut recourir à l'utilisation du coefficient de détermination ajusté R²<sub>ajusté</sub>. Ce coefficient tient compte du nombre de prédicteurs dans le modèle et se calcule à partir de la relation:

$$R_{ajusté}^2 = 1 - \frac{\frac{SCE}{(n-p)}}{\frac{SCT}{(n-1)}} = 1 - \left(\frac{n-1}{n-p}\right)(1-R^2) \quad (II.37)$$

Plus $R_{ajusté}^2$ est à 1, mieux l'équation de régression estimée explique la relation entre X et Y.

## b) Analyse statistique des coefficients du modèle:

La qualité de différents paramètres du modèle (coefficient(s) et constante de régression) est estimée par une analyse statistique en utilisant le test de Student. L'hypothèse nulle du test (H0) est étudiée pour chaque coefficient du modèle, selon laquelle ces coefficients sont nuls. Cela correspond à $H_0: b_i=0$ contre l'hypothèse alternative $H_1: b_i \neq 0$.

Pour effectuer ce test on calcule le rapport suivant pour chaque terme du modèle considéré (facteur ou interaction):

$$t_{\text{obs}} = \frac{\hat{\beta}_j}{s(\hat{\beta}_j)} \qquad (II.38)$$

où l'écart types ($\hat{\beta}_j$) représente l'élément diagonal d'indice j de la matrice de dispersion $(XX)^{-1}$ dans la méthode des moindres carrés.

Sous $H_0$, $t_{\text{obs}}$ suit un loi de student à (n-p) degrés de liberté [Sap06], alors :

$$t_{\text{obs}} = \frac{\hat{\beta}_j}{s(\hat{\beta}_j)} \sim t_{n-p} \qquad (II.39)$$

Pour un seuil donné $\alpha$ (5% en général) les tables de Student nous fournissent une valeur critique c telle que :

$$P_{H_0}\left(t_{1-\frac{\alpha}{2}, n-p} < c\right) = 1 - \frac{\alpha}{2} \qquad (II.40)$$

Nous décidons de rejeter l'hypothèse nulle $H_0$ et d'accepter l'hypothèse alternative $H_1$, au seuil $\alpha=5\%$, si p-value est inférieure à $\alpha$ et vise versa.
### C) Analyse statistique des résidus :

Pour confirmer la validité du modèle de régression, il est nécessaire de vérifier si les résidus sont bien normalement distribués [Cau80]. Il existe de nombreux tests statistiques pour confirmer la normalité d'une distribution. Nous nous intéressons en particulier au test de khi-2. Ce test calcule une statistique $\chi$ représentant l'écart entre la distribution observée et la distribution théorique [Sap06] :

$$ \chi^2 = \frac{(N_i - N_{pi})^2}{N_{pi}} \qquad (II.41) $$

La valeur obtenue de $\chi^2$ est ensuite comparée avec un seuil lu dans la table du Khi-2 pour un degré de liberté et pour un risque d'erreur fixé (en général on accepte un risque d'erreur de 0,5%). Si la valeur mesurée de $\chi^2$ est supérieure à celle fournie dans la table on rejette alors l'hypothèse de normalité, si elle est inférieure on considère que l'écart à la normalité n'est pas significatif, donc l'hypothèse de normalité est acceptée.

### VI.3.3 Analyse graphique :

La représentation graphique des résultats constitue l'un des principaux avantages des plans d'expériences. Il permet de mieux comprendre comment agissent les effets et les interactions. Deux formes différentes de graphiques sont disponibles: les surfaces de réponses et les courbes iso-réponses.

#### a) Surface de réponse :

Le graphe de surface de réponses est un diagramme grillagé tridimensionnel qui permet d'illustrer les variations de la réponse et d'identifier une zone du domaine expérimental dans laquelle la réponse est intéressante (Figure II.15). Le plan horizontal représente le domaine de variation de deux facteurs et l'axe vertical représente la variation de la réponse à partir du modèle. Toute variable supplémentaire plus de deux facteurs est maintenue à un niveau constant.

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>Figure II.15 : surface de réponse</figcaption></figure>
b) Courbe iso-réponses :

Les courbes d'iso-réponses sont les projections sur le plan horizontal de la surface de réponse. Ils représentent la variation de la réponse en fonction de deux facteurs dans l'espace à trois dimensions (Figure II.16). Les lignes iso-réponse s'interprètent comme les courbes de niveau de la surface de réponse. Tout comme pour les surfaces de réponse, la connaissance des courbes iso réponses permet de trouver les facteurs optimales dans le domaine expérimental.

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>Figure II.16 : courbes iso-réponses</figcaption></figure>

# VII. Optimisation multicritères : Fonctions de désirabilité

Lorsqu'une procédure d'optimisation comprend plusieurs réponses, il n'est pas possible d'optimiser chacune de manière séparée, car il est fort probable que les coordonnées des optima obtenues pour chaque réponse ne soient pas identiques. En l'occurrence, il est nécessaire de trouver une méthode de recherche d'un compromis conduisant à un certain degré de conformité aux critères proposés pour chaque variable du système. À cette fin, on a recours à la construction d'une fonction de désirabilité qui permet de prendre en compte simultanément toutes les variables du système. Cet approche a été introduite par E.C. Harrington [Har65] en 1965 puis a été développée par la suite, notamment par G. Derringer [Der80]. Son objectif est de trouver les niveaux des facteurs qui assurent le respect des critères de toutes les réponses impliquées. Ceci est réalisé en transformant toutes les réponses de différentes échelles de mesure en une échelle identique de désirabilité sans dimension variant entre 0 et 1. Une désirabilité nulle indique que la combinaison de facteurs conduit à une réponse inacceptable alors qu'une désirabilité de 1 représente une configuration acceptable et sur la cible.

La transformation d'une valeur particulière d'une réponse en un indice de satisfaction dépend de l'objectif de l'étude. Il peut correspondre à un maximum, un minimum ou encore à une valeur spécifique (valeur cible). Cette transformation donne lieu à des représentations graphiques et des équations mathématiques.
Selon les critères d'optimisation retenus (minimisation, maximisation ou cible), différentes fonctions de désirabilité individuelle peuvent être construites.

Dans le cas d'une réponse à maximiser, la fonction de désirabilité individuelle $d_i$ est illustrée de manière graphique ci-dessous (Figure II.17) :

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>Figure II.17: Désirabilité d'une fonction à maximiser</figcaption></figure>

L'équation permettant de calculer les valeurs $d_i$ peut être ainsi présentée comme suit :

$$d_i = \begin{cases} 0 & \Leftrightarrow Y_i \le Y_{i, \min} \\ \left[ \frac{Y_i - Y_{i, \min}}{Y_{i, \max} - Y_{i, \min}} \right]^{r_i} & \Leftrightarrow Y_{i, \min} \le Y_i \le Y_{i, \max} \\ 1 & \Leftrightarrow Y_i \ge Y_{i, \max} \end{cases} \quad (42)$$

Avec :

$Y_{i,\min}$: est la valeur minimale en dessous de laquelle la réponse Y ne convient pas ($d_i = 0$),

$Y_{i,\max}$: est la valeur cible au dessus de laquelle la réponse est très satisfaisante ($d_i = 1$),

$r_i$: est la pondération de la fonction de désirabilité de la ième réponse.

Lorsqu'on cherche à minimiser une réponse, la fonction de désirabilité peut être tracée comme le montre la Figure II.18 :

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>Figure II.18: Désirabilité d'une fonction à minimiser</figcaption></figure>
L'équation permettant de calculer les valeurs $d_i$ peut être ainsi présentée comme suit :

$$d_i = \begin{bmatrix} 1 & \Leftrightarrow & Y_i \le Y_{i, \min} \\ \frac{Y_i - Y_{i, \max}}{Y_{i, \min} - Y_{i, \max}} & \Leftrightarrow & Y_{i, \min} \le Y_i \le Y_{i, \max} \\ 0 & \Leftrightarrow & Y_i \ge Y_{i, \max} \end{bmatrix} \quad (II.43)$$

Avec :

$Y_{i,\min}$: la valeur cible en dessous de laquelle la réponse est très satisfaisante ($d_i = 1$),

$Y_{i,\max}$: la valeur maximale au dessus de laquelle la réponse Y ne convient pas ($d_i = 0$),

Dans le cas où l'on souhaite avoir une valeur cible d'une réponse, la fonction de désirabilité individuelle est représentée sur la Figure II.19.

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>Figure II.19 : Désirabilité d'une fonction cible</figcaption></figure>

L'équation permettant de calculer les valeurs $d_i$ est donnée par :

$$d_i = \begin{cases} 0 & \Leftrightarrow Y_i \le Y_{i, \min}, Y_i \ge Y_{i, \max} \\ \frac{Y_i - Y_{i, \min}}{Y_c - Y_{i, \min}} & \Leftrightarrow Y_{i, \min} \le Y_i \le Y_c \\ \frac{Y_i - Y_{i, \max}}{Y_c - Y_{i, \max}} & \Leftrightarrow Y_c \le Y_i \le Y_{i, \max} \\ 1 & \Leftrightarrow Y_i = Y_c \end{cases} \quad (II.44)$$
Une fois les variables transformées en fonctions de désirabilité individuelle, l'étape suivante consiste à rassembler ces fonctions en une fonction unique nommée **Désirabilité globale**, D, et définie par [He08] :

$$D = \left[ \prod_{i} d_{i}^{w_i} \right]^{1 / \sum w_i} \qquad (II.45)$$

Avec : Wᵢ est le niveau d'importance attribué à chaque réponse.

Il s'agit de la moyenne géométrique des fonctions de désirabilité individuelle. Lorsque D atteint une valeur supérieure à zéro, toutes les réponses optimisées simultanément peuvent être considérées comme ayant une valeur acceptable. En revanche, si l'une des réponses est totalement indésirable, dᵢ=0, D sera nul. La recherche d'un optimum multi-critères qui répond mieux aux objectifs de l'étude consiste à trouver les niveaux des facteurs qui maximisent la fonction de désirabilité globale D.

## VIII. Conclusion :

Dans ce chapitre, nous avons présenté la méthodologie des plans d'expériences en se focalisant sur les plans plus spécifiques qui ont été utilisés pendant ces travaux de doctorat. Les grandes étapes de la démarche méthodologique retenue pour résoudre les problèmes d'optimisation ont été présentées.

Les plans fractionnaires de TAGUCHI représentent une étape préliminaire de la démarche méthodologique des plans d'expériences. Ils permettent d'étudier les effets de différents paramètres sur une réponse avec un nombre d'expériences réduit. Cela permet généralement de simplifier le problème en rejetant certains facteurs qui ont peu ou pas d'effet. Les outils statistique, mathématique et graphique d'analyse des résultats permettent une sélection rapide des effets les plus influent.

Ensuite, nous avons abordé les plans de Box-Benkhen pour une analyse plus fine afin de comprendre la variation de la réponse en fonction de ces facteurs. La modélisation mathématique de la réponse est effectuée à l'aide d'une régression linéaire multiple. Suite à une analyse globale comprenant l'analyse mathématique, statistique et graphique, les modèles ont été validés afin de vérifier leurs qualités descriptive et prédictive. La recherche de l'optimum pour un critère unique est effectuée grâce à la surface de réponse. Cependant, dans le cas de l'optimisation multi-critères la notion de désirabilité qui permet de transformer en un unique critère composite plusieurs autres critères a été utilisée.
# CHAPITRE 3 : Modélisation du détecteur GeHP par le code GAMOS
# I. Introduction :

Les détecteurs en germanium de haute pureté (GeHP) sont largement employés pour effectuer des mesures par spectrométrie gamma en raison de leur haute résolution et de leur capacité à détecter des rayonnements de faible activité. Pour remonter à la quantité de matière présente dans l'objet mesuré, il est essentiel de connaître avec précision l'efficacité de détection du détecteur. Cependant cette grandeur est spécifique aux géométries de chaque scène de mesure. Bien qu'elle puisse être déterminée expérimentalement à l'aide de sources de rayonnements gamma, un étalonnage entièrement expérimental n'est pas toujours possible car il nécessite des échantillons standards de mêmes géométrie et matrice que l'échantillon à analyser. Comme il n'est pas toujours facile de préparer de tels échantillons, l'utilisation de la simulation Monte Carlo s'avère une solution très utile. De nombreux travaux de recherche ont été menés pour simuler les détecteurs GeHP et évaluer ainsi leur efficacité de détection en fonction de la géométrie de la scène de mesure, utilisant des codes de simulation Monte Carlo, tels que MCNPX [Azl15], [Sar16], [Ela12], [Van14], GEANT [Kha18], [Kar20], [Isa07], GAMOS [Woo22], FLUKA [Haj16], [Avi20] et PENELOPE [Var06], [Tom19]....

Dans ce chapitre, nous présentons une étude détaillée de la modélisation Monte Carlo d'un détecteur GeHP moyennant le code GAMOS. Dans un premier temps, nous abordons les techniques de Monte Carlo et les méthodes d'échantillonnage pour la simulation des processus physiques. Ensuite, nous décrivons, en détail, la plateforme de simulation GAMOS, y compris son architecture et ses fonctionnalités de base. Enfin, les résultats de simulation, par GAMOS, de l'efficacité du détecteur GeHP.

# II. Les techniques de Monte Carlo et les méthodes d'échantillonnage:

## II.1 Généralités sur la méthode Monte Carlo:

La méthode Monte Carlo désigne un ensemble de techniques mathématiques et algorithmiques visant à calculer des valeurs numériques via des procédés aléatoires, c'est-à-dire des techniques probabilistes [Met87]. Elle a été définie et publiée pour la première fois dans les années 1940 par Nicholas Metropolis et Stanislas Ulam dans le cadre du projet Manhattan. Aujourd'hui, la méthode de Monte Carlo est applicable dans tous les domaines.

La méthode de Monte Carlo s'appuie sur la loi des grands nombres qui consiste à répéter, d'une manière indépendante, un grand nombre de fois une expérience gouvernée par une distribution de probabilité. La valeur obtenue converge vers le résultat réel du phénomène étudié. Le recours à cette méthode de calcul est envisageable lorsque le problème à étudier est complexe et que la solution analytique ou numérique s'avère incomplète [Jam80].

Du point de vue application, la méthode Monte Carlo est utilisée dans un nombre croissant de problèmes, notamment :

* Évaluation d'intégrales multidimensionnelles,
* Études moléculaires ("classique", "quantique", "volumétrique", dynamique moléculaire, etc...),

* Résolution des équations intégro-différentielles définissant le champ de rayonnement,

* Transport de particules dans la matière,

* ...etc.

Dans le cadre des études du transport des particules, il existe plusieurs codes de simulations utilisant la méthode de Monte Carlo tels que : MCNP, EGS, PENELOPE, FLUKA ainsi que le code GAMOS/GEANT4 utilisé dans le cadre de ce travail.

## II.2 Les méthodes d'échantillonnage:

Les processus simulés par la méthode de Monte Carlo sont exprimés en terme de fonctions de densité de probabilité (PDF Probability density function). Ainsi, la méthode de Monte Carlo est bien adaptée à simuler l'interaction photons-matière, qui est étroitement liée aux sections efficaces qui représentent des probabilités d'interaction.

la fonction de densité de probabilité cumulée $F(x)$, ou encore appelée fonction de répartition, est définie par :

$$F(x) = \int_{x_{\min}}^{x_{\max}} f(x) dx \qquad (III.1)$$

où : $x$ : la variable aléatoire à échantillonner

$f(x)$ : densité de probabilité (normée) définie dans l'intervalle $[x_{\min}, x_{\max}]$

Cette fonction est définie sur l'intervalle $[0, 1]$, de sorte que $F(x_{\min})=0$ et $F(x_{\max})=1$.

La variable aléatoire $x$ peut alors être échantillonnée en utilisant des nombres aléatoires distribués uniformément dans l'intervalle $[0,1]$. Plusieurs méthodes d'échantillonnage sont proposées, nous distinguerons principalement deux cas :

* si $f(x)$ est continue et intégrable :

Si $f(x)$ est positive et la fonction de répartition $F(x)$ est facilement inversible, la méthode échantillonnage utilisée est dite **méthode directe**. Cette méthode repose sur le principe de générer un nombre aléatoire $\eta$ de l'intervalle $[0,1]$ à partir de la densité de probabilité :

$$\eta = F(x) = \int_{x_{\min}}^{x_{\max}} f(x) dx \qquad (III.2)$$
Et la variable échantillonnée x se déduit ainsi par : $x=F^{-1}(\eta)$

* si, par contre, f(x) n'est pas intégrable ou F(x) n'est pas inversible, la méthode utilisée est celle dite **méthode de rejet**. Celle-ci fonctionne comme suit :

* définir la fonction g(x) telle que :

$$g(x) = \frac{f(x)}{f_{\max}(x)} \qquad (III.3)$$

* tirer deux nombres aléatoires η₁ et η₂ uniformément distribués dans l'intervalle [0,1].

* calculer x selon l'équation : $x = x_{min} + \eta_1 (x_{max} - x_{min})$. Celle-ci est retenue comme valeur échantillonnée si $\eta_2 < g(x)$, sinon le couple $(\eta_1, \eta_2)$ est rejeté.

# III. Le code de simulation GEANT4 :

## III.1 Description générale :

Le code GEANT4 (GEometry And Tracking) est une « boîte à outils » logicielle dédiée à la simulation de transport des rayonnements dans la matière. Il a été développé par le Conseil Européen de Recherche Nucléaire (CERN) pour les besoins de calcul en physique des hautes énergies [Ago03]. Par la suite, il a été adapté à d'autres domaines tels que la physique nucléaire, la physique médicale, et continue encore, à l'heure actuelle, à être étendu à d'autres applications. Son architecture s'appuie sur la programmation orientée objet, constituée de centaines de classes C++ incluant des fonctionnalités qui permettent d'étudier plusieurs aspects d'une expérience, à savoir :

* la géométrie du système,

* les matériaux utilisés,

* la génération des particules primaires,

* le suivi des particules à travers les matériaux ;

* les processus physiques mis en jeu ;

* la visualisation des détecteurs et des trajectoires de particules ;

* l'analyse des données de simulations...etc.
### III.2 Architecture et fonctionnalités de base:

Réaliser une simulation revient à appeler les différentes classes nécessaires à la création des objets et à définir le fonctionnement de ceux-ci. Le code GEANT4 se compose d'un ensemble de classes dont chacune décrit les composants fondamentaux nécessaires pour la simulation. La Figure III.1 montre l'organigramme d'organisation de ces classes.

Les principales classes de GEANT4 sont : [Ago03]

**Global** : gère le système d'unité, les constantes numériques et les nombres aléatoires.

**Geometry** : permet de décrire une structure géométrique et de faire se propager une particule à l'intérieur.

**Track** : est un instantané de l'état d'une particule, il contient les informations physiques de la particule.

**Processes** : comprend les processus physiques décrivant les interactions des particules avec les matériaux

**Tracking** : suit les processus physiques tout au long des différents *steps* qui constituent la trajectoire des particules. Le *step* contient l'information sur le changement d'un *Track* au cours de son propagation (énergies, temps, volume,...). Il est représenté par deux points, un pré et un post-step. Si le *Step* est limité par une frontière entre deux volumes, le post-step appartient au volume suivant.

**Event** : représente l'unité de base d'une simulation GEANT4. Il s'agit d'un ensemble de particules primaires et toutes les particules secondaires créées lors de leur transport à travers la géométrie. Un *Event* est terminé lorsque la particule primaire et les particules secondaires produites ont une énergie cinétique nulle.

**Run** : est un ensemble d'événements ayant les mêmes conditions de détection, c'est-à-dire même géométrie et même processus physique.

**Visualisation** : permet de visualiser la géométrie du détecteur et la trajectoire des particules.
<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>Figure III.1 : Organigramme de l'architecture de GEANT4 d'après
[Ago03]</figcaption></figure>

L'architecture modulaire de GEANT4 en fait un cadre idéal pour intégrer de nouveaux composants et développer de nouveaux modèles physiques.

IV. La plateforme de simulation Monte Carlo GAMOS:

GAMOS (Geant4 based Architecture for Medicine Oriented Simulation) est une plateforme de simulation Monte Carlo basée sur le code GEANT4, elle a été développée au laboratoire espagnol CIEMAT<fnref n="1" /> en 2006. Son objectif est de fournir une boîte à outils logicielle facile à utiliser, qui permet à l'utilisateur non expérimenté de simuler son projet avec une connaissance minimale de GEANT4 et sans passer par le codage C++ [Ped08].

<footnote n="1">1 http://fismed.ciemad.es/GAMOS/</footnote>
Après des rappels sur l'intérêt de développement de GAMOS, nous présenterons son architecture ainsi que les bases fondamentales pour construire une simulation.

## IV.1 Motivation autour du développement de GAMOS :

Comme nous l'avons mentionné précédemment, le code GEANT4 est un système de simulation Monte Carlo extrêmement puissant, il fournit un ensemble d'outils pour la modélisation de transport des particules dans la matière. Toutefois, une telle flexibilité nécessite une certaine expertise en C++ et en programmation orientée objet. Plusieurs boîtes à outils logiciels (frameworks) ont été développées pour faciliter l'utilisation de Geant4 dans des domaines spécifiques en fournissant des applications pré-compilées dont les fonctionnalités sont accessibles via un langage de script, indépendant du code C++.

Nous citons certaines boîtes à outils logiciels :

- ATLAS, CMSSW et GAUSS (dans le domaine de la physique des hautes énergies)

- GLAST et MEGAlib (dans le domaine de la physique spatiale)

- GATE, G4NAMU ou TOPAS (dans le domaine de la physique médicale)

Toutefois, l'utilisation de ces applications dessus reste limité à son domaine spécifique (GATE par exemple limité au domaine médical). Le développement de GAMOS a pour but d'établir une plateforme générale adaptable selon le besoin de l'utilisateur qui peut servir dans tous les domaines. Trois stratégies ont été retenues pour y parvenir :

- Optimiser la gamme d'options d'entrée et de sortie disponibles via le langage de script ;

- Fournir aux utilisateurs un accès direct, moyennant le langage de script, à un large éventail d'applications prédéfinies pour les simulations spécifiques au domaine.

- Offrir la possibilité à l'utilisateur ayant un minimum de connaissances en C++ d'étendre et de personnaliser facilement le framework en y ajoutant de nouveau code sans modifier ou recompiler le noyau de GAMOS.

La communauté GAMOS ajoute de nouvelles applications à chaque nouvelle version, élargissant ainsi constamment le portefeuille disponible. La version actuelle de GAMOS (6.2.0) présente plusieurs applications pour la simulation de caméra Compton, les détecteurs de médcine nucléaire, les techniques PET et SPECT, ainsi que pour les études de radiothérapie, de blindage et de la spectrométrie gamma.

## IV.2 Structure du code GAMOS :

Le code GAMOS est divisé en modules de base et d'application [Ped14]. Le module de base *GamosCore* implémente les classes qui enveloppent le noyau Geant4, il permet à l'utilisateur d'accéder aux fonctionnalités GEANT4 via des commandes et des plugins et de fournir des
fonctionnalités supplémentaires non liées à une application spécifique. Quant au module d'application, il exploite les outils disponibles dans GEANT4 et ceux ajoutés par le noyau GAMOS pour fournir à l'utilisateur des configurations de simulation prédéfinies pour un domaine spécifique.

Le langage de script est étendu pour chacun des modules de base et d'application. L'utilisateur peut décrire, initialiser et exécuter une simulation en utilisant uniquement une macro<fnref n="2" /> contenant des lignes de commandes. La Figure III.2 présente un schéma de la structure du code GAMOS.

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>Figure III.2 : Structure de la plate-forme de simulation Monte Carlo GAMOS [Ped14]</figcaption></figure>

### IV.3 La construction d'une simulation dans GAMOS :

En général, pour réaliser une étude de transport par le code GAMOS, il est essentiel de générer deux fichiers d'entrées. Le premier est un fichier de géométrie (`.geom`) où seront définies les différentes caractéristiques liées à la géométrie du problème et aux matériaux utilisés. Le deuxième est un fichier input (`.in`) décrivant les caractéristiques relatives à la nature et la position de la source. Il est aussi relatif aux modèles physiques en plus de la nature des résultats souhaités.

<footnote n="2">2 Une macro est un fichier texte qui comprend toutes les commandes scriptées permettant de réaliser une simulation complète.</footnote>
### IV.3.1 Description du fichier géométrie :

GAMOS offre la possibilité de décrire la géométrie en utilisant des balises simples dont la signification est déduite de leurs noms. Chaque balise représente un solide, un matériau, un emplacement, une matrice de rotation...etc.

Les volumes sont imbriqués les uns dans les autres de façon hiérarchique à partir d'un volume initial appelé "world" représentant le volume de repère. La définition d'un volume nécessite la description de sa forme géométrique, de ses dimensions ainsi que ses matériaux constituants. Chaque volume doit être rempli d'un matériau et positionné en un endroit de l'espace par les mouvements de rotation, de translation ou de réplication en utilisant des balises bien spécifiques pour chaque action.

Les matériaux sont généralement constitués d'un ou plusieurs éléments qui peuvent être composés de plusieurs isotopes. GAMOS permet de définir directement un matériau ou bien de le construire à partir de ses composants. Il possède une liste de matériaux prédéfinis compatibles avec la base de données NIST.

Nous présentons ici un exemple simple d'une géométrie écrite dans une application GAMOS :

Le volume père, *world*, est une boîte de 30cm × 30cm × 30cm contenant de l'air. On définit ses dimensions dans les trois directions de l'espace à l'aide de la commande :

*:VOLU world BOX 300. 300. 300. G4_AIR*

Ce volume ne doit être ni translaté ni tourné. Tous les autres volumes seront contenus dans ce volume père.

Pour créer un nouveau volume de type boîte nommé mybox rempli d'eau et placé au centre du volume père sans rotation, on utilise les commandes suivantes :

*:VOLU mybox BOX 150. 150. 20.*cm water*

*:PLACE mybox 1 world RM0 0. 0. 0.*

Le matériau *water* et la matrice de rotation *RM0* attribués au volume *mybox* doivent être préalablement définis.

La matrice de rotation est définie dans les trois directions de l'espace par :

*:ROTM RM0 0. 0. 0.*

Pour définir un matériau composé de plusieurs éléments dans GAMOS, l'eau par exemple, on commence par définir chaque composant (nom, symbole et masse atomique), ensuite la définition des matériaux est réalisée soit par leur nombre d'atomes, soit par la fraction massique de chacun des éléments présents dans le matériau.