# Sur deux catégories remarquables de fonctions de variable réelle.

Par

H. Looman (Utrecht).

M. A. Denjoy <fnref n="1" />) a défini deux catégories de fonctions de variable réelle, à savoir les fonctions approximativement continues et à prépondérance de continuité d'une part, les dérivées approximatives et les nombres dérivés prépondérants (de fonctions continues) d'autre part, dont il a démontré, en appliquant la partie réciproque du théorème de Baire <fnref n="2" />), qu'elles sont limites de fonctions continues.

Le but de cette Note est démontrer comment on peut former des suites de fonctions continues, tendant vers les fonctions en question; la seule propriété de ces fonctions que j'ai à appliquer est celle exprimée par leur définition.

## I. Les fonctions approximativement continues et les fonctions à prépondérance de continuité.

1. Soit $f'(x)$ une fonction mesurable, définie pour $a < x < b$ et finie sur une épaisseur pleine de $(a, b)$. Posons $a < x_1 < x_2 < b$, $0 < \lambda < 1$.

La borne supérieure stricte (et en même temps la plus grande) des nombres $y$, satisfaisant à

$$ \text{mes } E[|f'(x)| < y] \le \lambda(x_2 - x_1) $$

<footnote n="1">1) Sur certaines classes de fonctions de variable réelle. C. R. t. 162, 1916. Sur les fonctions dérivées sommables. Bull. Soc. Math. 1915, p. 165-186. Sur la totalisation des nombres dérivés non sommables. Ann. Ec. Norm. Sup. 1916, p. 198. Sur une propriété des fonctions dérivées. Enseignement Mathématique, 1916.</footnote>

<footnote n="2">2) c.-à-d. le théorème: toute fonction ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait est limite de fonctions continues.</footnote>
est alors un nombre fini $\Phi(x_1, x_2, \lambda)$; $\Phi$ est donc déterminée par les deux conditions:

$$ \begin{aligned} & \underset{x_2}{\operatorname{mes}} E\{f(x) < \Phi\} \le \lambda(x_2 - x_1) \\ & \underset{x_2}{\operatorname{mes}} E\{f(x) < \Phi + \varepsilon\} > \lambda(x_2 - x_1), \end{aligned} $$

si petit que soit $\varepsilon > 0$.

De même, la borne inférieure stricte (et en même temps la plus petite) des nombres $z$, satisfaisant à

$$ \underset{x_1}{\operatorname{mes}} E\{f(x) \le z\} \ge \lambda(x_2 - x_1) $$

est un nombre fini $\varphi(x_1, x_2, \lambda)$; $\varphi$ est déterminée par les deux conditions :

$$ \begin{aligned} & \underset{x_1}{\operatorname{mes}} E\{f(x) \le \varphi\} \ge \lambda(x_2 - x_1) \\ & \underset{x_1}{\operatorname{mes}} E\{f(x) \le \varphi - \varepsilon'\} < \lambda(x_2 - x_1) \end{aligned} $$

si petit que soit $\varepsilon' > 0$.

On a immédiatement :

$$ \underset{x_1}{\operatorname{mes}} E\{f(x) \le \Phi\} \ge \lambda(x_2 - x_1), $$

donc $\varphi \le \Phi$. On peut avoir $\varphi < \Phi$.

Si $x_1, x_2$ sont fixes et $\lambda$ varie de 0 à 1, $\varphi$ et $\Phi$ ne décroissent jamais. De là, on déduit aisément, en appliquant la définition de $\varphi$ et $\Phi$, que l'ensemble des valeurs de $\lambda$, tels que $\varphi(x_1, x_2, \lambda) < \Phi(x_1, x_2, \lambda)$, est fini ou dénombrable ($x_1$ et $x_2$ fixes).

2. Je vais démontrer que, si $\lambda$ est fixe, les fonctions $\Phi(x_2, x_1, \lambda)$ et $\varphi(x_1, x_2, \lambda)$ sont respectivement semi-continue supérieurement et semi-continue inférieurement par rapport au couple $(x_1, x_2)$.

En effet, si $\Phi(x_1, x_2, \lambda)$ n'était pas semi-continue supérieurement, il existerait un couple fixe $x_1, x_2$ et des couples $x'_1, x'_2$, tels que l'on aurait :

$$ \Phi(x'_1, x'_2, \lambda) > \Phi(x_1, x_2, \lambda) + \varepsilon, $$

où : $x_1 = \lim x'_1$. $x_2 = \lim x'_2$; $\varepsilon > 0$ indépendant de $x'_1, x'_2$.

D'où :

$$ \begin{aligned} & \underset{x'_1}{\operatorname{mes}} E\{f(x) < \Phi(x_1, x_2, \lambda) + \varepsilon\} \le \underset{x'_1}{\operatorname{mes}} E\{f(x) < \Phi(x'_1, x'_2, \lambda)\} \\ & \le \lambda(x'_2 - x'_1), \end{aligned} $$
donc, puisque $\sum_{i=1}^{n} E\{f(x) < \Phi(x_1, x_2, \lambda) + \varepsilon\}$ est continue par rapport à $x_1, x_2,$

$$ \sum_{i=1}^{n} E\{f(x) < \Phi(x_1, x_2, \lambda) + \varepsilon\} \leq \lambda(x_2 - x_1), $$

ce qui est en contradiction avec la définition de $\Phi$.

Raisonnement analogue pour démontrer que $\varphi$ est semi continue inférieurement.

Donc, sur un segment $a_1 b_1$, $\Phi(x_1, x_2, \lambda)$ et $\varphi(x_1, x_2, \lambda)$ sont bornés, puisque $\varphi$ est bornée inférieurement, $\Phi$ est bornée supérieurement, et $\varphi \leq \Phi$.

3. Posons $(0 < \lambda_1 < \lambda_2 < 1, x_1$ et $x_2$ fixes):

$$ \psi(x_1, x_2, \lambda_1, \lambda_2) = \frac{1}{\lambda_2 - \lambda_1} \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} \Phi(x_1, x_2, \lambda) d\lambda, $$

et puisque $\varphi$ et $\Phi$ sont des fonctions non décroissant de $\lambda$:

$$ \Phi(x_1, x_2, \lambda_1) \leq \psi(x_1, x_2, \lambda_1, \lambda_2) \leq \varphi(x_1, x_2, \lambda_2). $$

Je dis que, $\psi(x_1, x_2, \lambda_1, \lambda_2)$ est une fonction continue de $(x_1, x_2)$.

En effet, soit $\lambda$ un nombre compris entre $\lambda_1$ et $\lambda_2$, et supposons que les nombres $x'_1, x'_2$ tendent respectivement vers $x_1$ et $x_2$. D'après § 2, on a:

$$ \varphi(x_1, x_2, \lambda) \leq \lim_{\substack{x'_1 \to x_1 \\ x'_2 \to x_2}} \Phi(x'_1, x'_2, \lambda) \leq \lim_{\substack{x'_1 \to x_1 \\ x'_2 \to x_2}} \Phi(x_1, x_2, \lambda) \leq \Phi(x_1, x_2, \lambda). $$

Donc, sauf peut-être pour une infinité dénombrable de valeurs de $\lambda$, $\Phi(x'_1, x'_2, \lambda)$ (et d'ailleurs aussi $\varphi(x'_1, x'_2, \lambda)$) tend vers $\varphi(x_1, x_2, \lambda) = \Phi(x_1, x_2, \lambda)$.

De plus, $\varphi$ et $\Phi$ sont bornées (pour $\lambda_1 < \lambda < \lambda_2$), puisque on a toujours:

$$ \varphi(x'_1, x'_2, \lambda_1) \leq \varphi(x'_1, x'_2, \lambda) \leq \Phi(x'_1, x'_2, \lambda) \leq \Phi(x'_1, x'_2, \lambda_2) $$

et $\varphi(x'_1, x'_2, \lambda)$, $\Phi(x'_1, x'_2, \lambda)$ sont bornées.

Donc, d'après le théorème de M. Lebesgue sur le passage à la limite sous le signe $f$ pour les fonctions bornées, on a:

$$ \lim_{\substack{x'_1 \to x_1 \\ x'_2 \to x_2}} \psi(x'_1, x'_2, \lambda_1, \lambda_2) = \psi(x_1, x_2, \lambda_1, \lambda_2), \quad \text{c. q. f. d.} $$
4. Pour toute fonction mesurable $f(x)^1)$, finie sur une épaisseur pleine, nous pouvons donc déterminer une suite de fonctions continues: $f_n(x) = \psi(x, x + \frac{1}{n}, \lambda_1, \lambda_2)$.

Nous allons montrer que $f(x)$ tend vers $f(x)$, si $f(x)$ est approximativement continue du côté droit, c.-à.-d. si en tout point $x_0$, les fonctions

$$ \text{mes}_{\frac{x_0}{n}} E\{f(x) < f(x_0) + \varepsilon\} \text{ et } \text{mes}_{\frac{x_0}{n}} E\{f(x) > f(x_0) - \varepsilon\} $$

possèdent une dérivée à droite égale à $un$, si petit que soit $\varepsilon > 0$.

Donc, si $\varepsilon$ et $\varepsilon'$ sont deux nombres positifs arbitrairement petits ($\varepsilon$ inférieur à $\lambda_1$ et $1-\lambda_2$), il existe un nombre $N(x_0, \varepsilon, \varepsilon')$ tel que l'inégalité $n > N$ entraîne:

$$ \text{mes}_{x_0} E\{f(x) > f(x_0) - \varepsilon\} > (1 - \varepsilon') \frac{1}{n}, $$

$$ \text{mes}_{x_0} E\{f(x) < f(x_0) + \varepsilon\} > (1 - \varepsilon') \frac{1}{n}. $$

On a aussi d'après les définitions de $\varphi$ et de $\Phi$:

$$ \text{mes}_{x_0} E\{f(x) > \varphi(x_1, x_2, \lambda_1)\} \le (1 - \lambda_1) \frac{1}{n} < (1 - \varepsilon') \frac{1}{n} $$

$$ \text{mes}_{x_0} E\{f(x) < \Phi(x_1, x_2, \lambda_2)\} \le \frac{\lambda_2}{n} < \frac{1 - \varepsilon'}{n}. $$

Donc

$$ f(x_0) - \varepsilon < \varphi(x_1, x_2, \lambda_1) \text{ et } f(x_0) + \varepsilon > \Phi(x_1, x_2, \lambda_2), $$

d'où:

$$ f(x_0) - \varepsilon < f_n(x) = \psi(x_1, x_2, \lambda_1, \lambda_2) < f(x_0) + \varepsilon $$

$f_n(x)$ tend, par suite, vers $f(x)$, si $n$ croît indéfiniment.

Ceci a lieu, en particulier, si $f(x)$ est approximativement continue de deux côtés.

Si $f(x)$ est seulement à prépondérance de continuité du côté droit (ou de deux côtés), c.-à.-d. si les fonctions

$$ \text{mes}_{\frac{x_0}{n}} E\{f(x) < f(x_0) + \varepsilon\}, \quad \text{mes}_{\frac{x_0}{n}} E\{f(x) < f(x) - \varepsilon\} $$

<footnote n="1">1) Si $f(x)$ est définie dans un intervalle fini; nous lui attribuerons, pour définir $f_n(x)$, des valeurs quelconques finis (p. ex. le valeur 0) hors de cet intervalle.</footnote>
ont an points $x_0$ leurs nombres dérivés à droite $> \frac{1}{2}$, il n'est pas permis de choisir $\lambda_1, \lambda_2$ d'une façon quelconque, indépendant de $n$, mais il faut poser $f_n(x) = \psi(x, x + \frac{1}{n}, \lambda_1(n), \lambda_2(n))$, où $\lambda_1(n), \lambda_2(n)$ tendent vers $\frac{1}{2}$, si $n$ croît indéfiniment.

La démonstration de la convergence de la suite $f_n(x)$ se fait alors comme pour les fonctions approximativement continues.

5. En admettant la proposition démontrée par M. Denjoy <fnref n="1" />) que toute fonction approximativement continue, ou à prépondérance de continuité, prend dans un intervalle quelconque toute valeur entre son minimum et son maximum (dans cet intervalle) <fnref n="2" />), on peut former une autre suite de fonctions continues. En effet, dans ce cas, $y$ étant une valeur quelconque entre le minimum et le maximum de $f'(x)$ dans $(x_1, x_2)$, l'ensemble $E\{y-\varepsilon<f(x)<y+\varepsilon\}$ a une mesure positive. De là résulte que $\varphi(x_1, x_2, \lambda) = \Phi(x_1, x_2, \lambda)$ pour toute valeur de $\lambda$, comprise entre 0 et 1. Donc, $\varphi = \Phi$ est une fonction continue de $x_1, x_2$ <fnref n="3" />).

On voit aisément que la suite de fonctions continues $f_n(x) = \varphi(x, x + \frac{1}{n}; \lambda)$ tend vers $f(x)$ (en prenant resp. pour $\lambda$ un nombre quelconque compris entre 0 et 1, ou le nombre $\lambda = \frac{1}{2}$).

Enfin, pour les fonctions approximativement continues de deux côtés, ou seulement du côté droit, on peut encore procéder comme il suit. Soit d'abord $f(x)$ bornée; $f(x)$ est la dérivée à droite de son intégrale besguienne indéfinie $F(x)$ <fnref n="4" />), donc la limite de la suite de fonctions continues $\frac{F(x+h_n)-F(x)}{h_n}$, où $h_n > 0$ tend vers 0 avec $\frac{1}{n}$. (Il est à rémarquer que $\frac{F(x+h_n)-F(x)}{h} = \int_0^1 \varphi(x,x+h,\lambda)d\lambda$, l'intégrale étant celle de Riemann. Cette égalité subsiste si $f$ est

<footnote n="1">¹) *Bull. Soc. Math.* 1915, p. 180, p. 184 (en note).</footnote>

<footnote n="2">²) Cette proposition n'est pas exacte pour des fonctions approximativement continues ou à prépondérance de continuité d'un seul côté, p. ex. du côté droit; exemple: $f(x) = 0$ pour $x < 0$, et $f(x) = 1$ pour $x \ge 0$). Elle le devient, si l'on ajoute que $f(x)$ soit toujours une des limites de $f(x)$, si $x$ tend vers $x_0$. en restant $<x_0$; moyennant cette supposition le raisonnement de § 5 s'applique aussi.</footnote>

<footnote n="3">³) et aussi de $\lambda$. De là résulte que: $\varphi(x_1, x_2, \lambda) = \Phi(x_1, x_2, \lambda) = \lim_{\substack{\lambda_1 \to \lambda \\ \lambda_2 \to \lambda}} \psi(x_1, x_2, \lambda_1, \lambda_2)$</footnote>

<footnote n="4">⁴) *Bull. Soc. Math.* 1915, p. 172.</footnote>
sommable, sans être bornée, mais alors $\int_0^1$ est une intégrale de Riemann généralisée). Si $f(x)$ n'est pas bornée, nous considérons la fonction bornée et approximativement continue $g(x) = \frac{f'(x)}{1 + |f(x)|}$; $g(x)$ est alors la limite de la suite des fonctions $g_n(x) = \frac{1}{n} \int_0^n g(x) dx$ et $f(x)$ celle de la suite $f_n(x) = \frac{g_n(x)}{1 - |g_n(x)|}$.

## II. Les dérivées approximatives et les nombres dérivés prépondérants.

6. Soit $F(x)$ une fonction continue de $x$. Il existe un nombre $\chi(x_1, x_2, \lambda)$ fini et un seul, satisfaisant aux conditions:

$$ \text{mes}_{x_1} E \left\{ \frac{F(x) - F(x_1)}{x - x_1} < \chi(x_1, x_2, \lambda) \right\} \le \lambda(x_2 - x_2). $$

$$ \text{mes}_{x_1} E \left\{ \frac{F(x) - F(x_1)}{x - x_1} \le \chi(x_1, x_2, \lambda) \right\} \ge \lambda(x_1 - x_1). $$

$\chi(x_1, x_2, \lambda)$ n'est pas autre chose que le nombre $\varphi(x_1, x_2, \lambda) = \Phi(x_1, x_2, \lambda)$ calculé pour la fonction $\frac{F(x) - F(x_1)}{x - x_1}$, continue pour $x_1 < x \le x_2$.

On vérifie facilement que la fonction

$$ \text{mes}_{x_1} E \left\{ \frac{F(x) - F(x_1)}{x - x_1} < y \right\}, $$

$y$ étant un nombre quelconque, varie d'une façon continue avec $x_1$ et $x_2$. On en déduit que $\chi(x_1, x_2, \lambda)$ est une fonction continue de $x_1, x_2$.

Donc, les fonctions $f_n(x) = \chi(x, x + \frac{1}{n}, \lambda)$ constituent une suite de fonctions continues.

7. Comme au § 4, on démontre que $f_n(x)$ tend vers une limite $f(x)$.

1. Si $F(x)$ possède une dérivée approximative $f(x_0)$ pour les deux côtés, ou seulement pour le côté droit, c.-à-d. si la fonction
$$ mes_x E'\left\{ \left| \frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0} - f(x) \right| < \varepsilon \right\} $$
possède au point $x_0$ une dérivée, ou seulement une dérivée à droite, égale à un, $\lambda$ peut être choisi un nombre quelconque compris entre 0 et 1.

2. Si $F'(x)$ possède un dérivé prépondérant bilatéral, ou seulement à droite, c.-à-d. si la fonction

$$ mes_x E'\left\{ \left| \frac{F'(x) - F(x_0)}{x - x_0} - f(x_0) \right| < \varepsilon \right\} $$

possède au point $x_0$ ses dérivés extrêmes inférieurs, ou seulement son nombre dérivé inférieur à droite $> \frac{1}{2}^1$), dans ce cas $\lambda$ doit être égal à $\frac{1}{2}$.

1) Il suffit même de supposer que

$$ mes_x E\left\{ \left| \frac{F'(x) - F(x_0)}{x - x_0} - f(x) \right| < \varepsilon \right\} > \frac{h}{2}, $$

si $h$ est assex petit; $\varepsilon$ désignant toujours un nombre positif arbitrairement petit.