# Mobilité du capital avec irréversibilité de l'investissement dans un modèle néoclassique à deux pays

Charles Vellutini

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Charles Vellutini. Mobilité du capital avec irréversibilité de l'investissement dans un modèle néoclassique à deux pays. 1997. halshs-04654380

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CAHIERS ECO & MATHS

97.50

MOBILITE DU CAPITAL AVEC IRREVERSIBILITE
DE L'INVESTISSEMENT DANS UN MODELE
NEOCLASSIQUE A DEUX PAYS

Charles VELLUTINI

MAD
MOBILITÉ DU CAPITAL AVEC IRRÉVERSIBILITÉ DE L'INVESTISSEMENT DANS UN MODÈLE NÉOCLASSIQUE À DEUX PAYS<fnref n="1" />

Charles VELLUTINI<fnref n="2" />

10 mars 1997

RÉSUMÉ

Dans un modèle de croissance néoclassique à deux pays, on montre que la mobilité du capital empêche le rattrapage du pays riche par le pays pauvre en termes de PNB et de consommation, mais augmente le bien-être de chacun des deux pays relativement à l'autarcie. Initialement, la délocalisation du capital vers le pays pauvre se fait au détriment des salaires et de la consommation dans le pays riche, alors qu'au même moment ces quantités augmentent dans le pays pauvre. A long terme, ces effets sont symétriquement inversés. L'irréversibilité de l'investissement donne lieu à une convergence graduelle des taux d'intérêt.

Mots clés : Mobilité du capital, convergence, investissement étranger.

ABSTRACT

In a two-country neo-classical growth model, we show that international trade prevents the poorer country's GNP and consumption from catching up with the rich economy's, while it increases welfare in each country - as compared with autarchy. The outflows of capital into the poor economy is initially detrimental to wages and consumption in the rich country, but increase these quantities in the South. In the long run, these effects are symmetrically reserved. The irreversibility of investment induces gradual convergence in the interest rates.

Key words : Capital mobility, convergence, foreign investment.

<footnote n="1">¹ Je remercie mon directeur de recherche Antoine d'Autume (MAD, Université Paris I), ainsi que Renato Fragelli Cardoso (Fundação Gelulio Vargas - EPGE).</footnote>

<footnote n="2">² MAD, Université Paris I Panthéon-Sorbonne, 90 rue de Tolbiac, 75634 Paris Cedex 13.</footnote>
# 1. Introduction

Les tentatives de la littérature sur la croissance pour expliquer les flux internationaux de capitaux peuvent être classées en deux catégories³. Premièrement, la mobilité du capital a été étudiée dans le modèle de croissance néoclassique. Ce modèle est en effet un cadre naturel pour étudier les flux de facteurs d'une économie à une autre puisque, des rendements factoriels décroissants rendent les pays les moins dotés plus attrayants, d'où des flux internationaux de capitaux. Parmi les contributions les plus importantes, Blanchard et Fischer (1989, chap. 2) et surtout Barro, Mankiw et Sala-i-Martin (1995) ont utilisé des versions du modèle néoclassique en équilibre partiel pour analyser l'impact de l'ouverture du compte de capital. Ces modèles ont pour caractéristique principale de considérer un petit pays, sans influence sur le taux d'intérêt mondial.

Deuxièmement, la nouvelle littérature sur la croissance endogène a commencé à explorer les mécanismes par lesquels l'ouverture internationale peut influencer les taux de croissance de long terme. Pourtant, si l'analyse des liens entre commerce international et croissance a grandement progressé (voir notamment les travaux de Grossman et Helpman (1991) et Rivera-Batiz et Romer (1991)), les modèles standards de croissance endogène permettent seulement d'expliquer les flux involontaires de capital immatériel, soit principalement la connaissance (de nouveau voir surtout Grossman et Helpman (1991)). Comme le souligne Lucas (1990), les flux intentionnels de capital physique et humain vers les pays les moins dotés ne peuvent être expliqués dans ce type de modèle car les rendements offerts par les pays riches y sont meilleurs. Or, les flux de capitaux vers les pays en développement sont bien réels, et en augmentation rapide : la Banque mondiale rapporte qu'en 1996 les flux d'investissement privés vers les marchés émergents se sont élevés à 230 milliards de dollars, soit dix fois plus qu'il y a dix ans⁴.

L'analyse que nous présentons se place donc dans le cadre de la croissance néoclassique. Cependant, il s'agit d'une analyse en équilibre général, où l'on considère deux pays, ou deux blocs de pays, susceptibles d'interagir, et non pas un "petit pays" dont les décisions ont une influence négligeable sur le reste du monde. Cette approche Nord/Sud, où le monde est divisé en deux blocs, l'un figurant les pays avancés et l'autre les pays en transition, permet d'aborder des questions difficiles à traiter dans un modèle de croissance en équilibre partiel. Ces questions appartiennent au débat contemporain sur la mondialisation de l'économie : jusqu'où vont aller les délocalisations des capitaux et quelques sont leurs conséquences de court et de long terme sur les pays respectivement exportateurs et importateurs de capital ? Y a-t-il des pays perdants et des pays gagnants dans l'ouverture des flux de capitaux ou au contraire la mobilité du capital est-elle améliorante au sens de Pareto ? Quel est l'effet de la mobilité du capital sur les taux d'intérêt internationaux, qui deviennent ici des variables endogènes ? Enfin, afin d'éviter la migration instantanée et massive du capital, et selon la suggestion de Lucas (1990), nous proposons, au lieu des mécanismes habituels⁵, une hypothèse

<footnote>(3) Pour mémoire, rappelons que la théorie traditionnelle du commerce international rend généralement compte des flux de capitaux dans des modèles statiques, comme celui de Brewer (1985), qui utilisent des avantages comparatifs et absolus. Certains modèles, par exemple celui de Hori et Stein (1977), que l'on peut également rattacher à la théorie traditionnelle du commerce international, comprend bien une dynamique, mais sans optimisation intertemporelle - le taux d'épargne est alors pris comme donnée exogène.</footnote>

<footnote>(4) The Economist, 1er mars 1997.</footnote>

<footnote>(5) Voir page 6.</footnote>
d'irréversibilité de l'investissement : le capital installé ne peut migrer ; seul l'investissement nouveau peut être réalisé à l'étranger.

Cette analyse en équilibre général montre qu'un des résultats les plus importants du modèle de croissance néoclassique en économie fermée, la convergence en PNB vers un niveau unique d'équilibre stationnaire, n'est plus valide avec mobilité internationale du capital. En effet, il n'est jamais optimal tant pour le pays endetté que pour le pays prêteur de procéder au remboursement de la dette internationale. Par conséquent, ce premier paiera perpétuellement un intérêt sur le stock de dette, ce qui réduit d'autant le PNB à l'équilibre stationnaire. Ces résultats contredisent la théorie traditionnelle du cycle de la dette, selon laquelle un pays en développement passerait d'une stade d'emprunteur jeune, puis d'emprunteur mûr à un stade de prêteur.⁶ En réponse à la question posée plus haut, nous verrons que le modèle met en lumière la présence d'effets de court terme défavorables pour le pays riche en terme de consommation et de salaires. Dans ce modèle à prévisions parfaites, ceci peut être interprété comme un sacrifice initial consenti par les agents du pays riche pour profiter de la nouvelle opportunité d'investissement qui s'ouvre dans le pays pauvre. Durant cette phase initiale, la situation est symétrique dans le pays pauvre, avec une hausse immédiate des salaires et de la consommation. Dans le long terme, les effets sont inversés : positifs dans le pays riche, qui reçoit donc le fruit de son sacrifice initial, et négatifs dans le pays pauvre. On montrera qu'en termes d'utilité, les effets de l'introduction de la mobilité du capital sont positifs pour chacun des deux pays.

Après la présentation des hypothèses (seconde partie), la troisième partie propose la résolution du problème centralisé mondialement. La quatrième partie s'attache au partage de la consommation mondiale entre les deux pays et à la trajectoire de l'actif étranger détenu par le Nord. La dernière partie s'intéresse au bien-être.

## 2. Le modèle

On considère une économie à bien unique et à deux pays munis de la même fonction de production néoclassique et des mêmes préférences, y compris pour le taux de préférence pour le présent⁷. Le taux de dépréciation du capital est également identique. La mobilité du capital est introduite au temps zéro, alors que la main d'oeuvre demeure immobile à tout instant. Dans ce modèle simple à un seul bien et à un seul secteur dans chaque pays, il n'est pas possible d'analyser les effets du commerce international de biens finaux. Les seuls effets de l'ouverture internationale proviennent de la mobilité d'un des facteurs de production, ici le capital. Bien que cette caractéristique, comme l'ont montré Grossman et Helpman (1991) prive le modèle d'une dimension importante de l'impact de l'ouverture sur la croissance, elle possède l'avantage d'isoler les effets spécifiques de l'ouverture du compte des flux financiers, par opposition à la libéralisation du compte courant.

<footnote>(6) Pour un exposé synthétique de la théorie du cycle de la dette, appelée aussi cycle de la balance des paiements, voir par exemple Bourguinat (1992). Les travaux originaux incluent Cairncross (1953) et récemment Lassudrie-Duchêne (1991).</footnote>

<footnote>(7) Cette hypothèse de symétrie est traditionnelle dans la littérature des modèles à deux pays (voir par exemple Obstfeld et Rogoff (1996), chap. 3 ou encore Grossman et Helpman (1991)). Elle est utilisée chaque fois que les résultats ne dépendent pas des différences entre pays sur la technologie et les préférences. Elle reflète également la diffusion internationale de la meilleure technologie disponible et la convergence mondiale des préférences de consommation.</footnote>
La fonction de production est générique, avec croissance exogène par progrès technologique sur la productivité du travail :

$$Y_i = F(K_i, L_i e^{xt}), \quad i=1,2^8 \quad (1)$$

où $Y_i$ est la production agrégée du pays i, $K_i$ le stock de capital intérieur du pays i, $L_i$ la main d'oeuvre dans ce pays, et $x$ une constante positive représentant le progrès technologique. F(.) présente les propriétés de concavité et de dérivabilité habituelles et satisfait les conditions d'Inada.

La population est égale dans les deux pays et croît au même taux exponentiel n, soit :
$$L_i \equiv L = L_0 e^{nt}.$$

Ayant introduit un progrès technologique par gain de productivité du travail, nous nous référerons le plus souvent aux variables en unités d'efficience du travail, ou encore variables "intensives". On dénote la valeur en unités d'efficience d'une variable agrégée quelconque $V(t)$ comme $v \equiv V(t) / L(t)e^{xt}$ et sa valeur per capita comme $\hat{v} \equiv V(t) / L(t)$.

La fonction d'utilité instantanée est à élasticité intertemporelle de substitution constante $1/\sigma$ :

$$u(c_i) = e^{\frac{1-\sigma}{i}} \frac{i-1}{1-\sigma}, \text{ avec } \sigma > 0$$

Un consommateur représentatif dans chaque pays est considéré être le propriétaire d'une petite fraction du stock de capital. Ce consommateur fournit inélastiquement une unité instantanée de travail aux firmes nationales, qui utilisent la technologie. Nous résoudrons tout d'abord le problème du consommateur représentatif pour chaque pays. Ce consommateur prend les prix (taux de salaire et taux d'intérêt local et étranger) comme donnés. Nous agrégerons ensuite les conditions d'optimisation ainsi obtenues en y ajoutant les conditions de maximisation du profit des firmes et d'équilibre des marchés.

On définit l'utilité totale des consommateurs comme le flux escompté de l'utilité instantanée de la consommation :

$$U_i = \int_0^\infty \frac{\hat{c}_i^{1-\sigma} (t) - 1}{1-\sigma} e^{-\rho t} dt \quad (2)$$

où $\hat{c}_i(t)$ est la consommation par tête du pays i au temps $t$ et $\rho$ le taux de préférence pour le présent. Suivant Barro et Sala-i-Martin (1995), on pose $\rho > n + (1-\sigma)x$ pour s'assurer de la stabilité du modèle⁹.

Au temps zéro, les deux consommateurs sont dotés de stocks de capital différents et résolvent :

<footnote>(8) On aura dans tout le texte $i = 1,2$.</footnote>

<footnote>(9) Cette condition est en fait dérivée de la condition de transversalité (15). Voir Barro et Sala-i-Martin (1995, chap. 3).</footnote>
$$ \max U_i $$

avec

$$ a_1(0) = k^* > a_2(0) > 0 \qquad (3) $$

où $a_1$ et $a_2$ figurent respectivement le stock de capital intérieur des consommateurs 1 et 2 en termes intensifs, et $k^*$ est le stock de capital intensif à l'état stationnaire d'autarcie, donné par $f'(k^*) = n + \delta + \rho + \sigma x$, en notant la fonction de production sous la forme intensive $f(\cdot)$.¹⁰ On voit donc qu'à l'ouverture le pays 1 (qui figure le Nord) a atteint son équilibre stationnaire, alors que le pays 2 (qui figure le Sud) converge toujours vers ce même état stationnaire.

Soulignons que $K_1$ et $K_2$ sont les stocks intérieurs de capital agrégés, indépendamment de la nationalité de leurs propriétaires. Dans le pays 1, tout le capital sera possédé par les nationaux. Dans le pays 2 le stock total de capital intérieur sera la somme du capital possédé par les nationaux et du capital appartenant aux habitants du Nord.

On définit $B$ comme le stock agrégé d'actifs détenus par les consommateurs du pays 1 dans le pays 2. On pose que $B$ est toujours positif. Comme on le verra dans la partie 5, la variable $B$ peut être interprétée soit comme la portion du capital intérieur du pays 2 appartenant au pays 1 (comme nous le faisons jusqu'à la partie 5), soit comme la dette du pays 2 envers le pays 1.

En définissant $i_{12}$ comme l'investissement de l'agent 1 dans le pays 2, $r_1$ et $r_2$ les taux de rendement bruts dans chaque pays, $w_1$ et $w_2$ les taux de salaires respectifs en termes intensifs (si $\hat{w}_i$ est le salaire per capita, alors $w_i = \hat{w}_i e^{-x_i}$), les contraintes du problème du consommateur 1, que l'on écrit directement en termes intensifs, sont:

$$ \dot{a}_1 = a_1 r_1 + w_1 + br_2 - c_1 - i_{12} - (n + \delta + x)a_1 \qquad (4) $$

$$ \dot{b} = i_{12} - (n + \delta + x)b \qquad (5) $$

Dans la formulation ci-dessus, il est commode de rendre disponible à tout instant la rémunération de $b$, $br_2$, pour la consommation, l'investissement dans le pays 1 ou l'investissement dans le pays 2, plutôt que d'en augmenter automatiquement le stock d'actif étranger.

De même, la contrainte du consommateur 2 est :

$$ \dot{a}_2 = a_2 r_2 + w_2 - c_2 - (n + \delta + x)a_2 \qquad (6) $$

De plus, nous imposons la limite supérieure suivante sur $i_{12}$ :

$$ i_{12} \leq a_1 r_1 + w_1 + br_2 - c_1 \qquad (7) $$

Cette inégalité traduit notre contrainte d'irréversibilité de l'investissement. Un problème traditionnel de la modélisation de la mobilité du capital en présence de taux d'intérêt internationaux différents à l'ouverture consiste en effet à éviter un « saut » instantané des

<footnote>(10) Voir Barro et Sala-i-Martin (1995) pour une résolution du modèle en économie fermée.</footnote>
stocks de capital, c'est-à-dire un investissement étranger infini. La solution de Barro, Mankiw et Sala-i-Martin (1995), qui consiste à considérer que seule une partie du capital peut être financée par des sources externes a été considérée à certains égards comme peu réaliste, bien que commode analytiquement¹¹. La solution de Blanchard et Fischer (1989, chap. 2) est plus classique, mais beaucoup plus lourde : il s'agit d'introduire des coûts d'ajustement. Notre approche, donnée par la condition (7), signifie que le consommateur 1 ne peut pas utiliser son stock de capital installé $a_1$ pour investir dans le pays 2. L'investissement étranger est limité par le revenu disponible du consommateur 1.¹² Cette hypothèse d'investissement irréversible exclut donc bien toute délocalisation instantanée des activités productives. Ceci ne signifie pas que cette délocalisation ne se réalisera pas, mais qu'elle ne peut être que progressive, au rythme de l'amortissement du capital. Cette hypothèse peut se justifier par le fait que des biens de capital comme les biens d'infrastructure (par exemple : réseaux de transport et de communications) ne peuvent probablement pas migrer à un coût acceptable. Compte tenu des coûts de délocalisation des autres biens de capital, nous pensons que l'irréversibilité de l'investissement est une hypothèse plausible pour éviter un saut des stocks de capital intérieur au moment de l'ouverture.

Le hamiltonien courant du problème du consommateur 1 est le suivant :

$$ 
\begin{align} 
L_1 = \frac{\hat{c}_1^{1-\sigma}}{1-\sigma} &+ \lambda_1 [a_1 r_1 + w_1 + b r_2 - \hat{c}_1 e^{-xt} - \hat{i}_{12} e^{-xt} - (n+\delta+x)a_1] \nonumber \\
&+ \gamma_1 [\hat{i}_{12} e^{-xt} - (n+\delta+x)b] \nonumber \\
&+ \phi_1 [a_1 r_1 + w_1 + b r_2 - \hat{c}_1 e^{-xt} - \hat{i}_{12} e^{-xt}] 
\end{align} 
\tag{8} $$

On notera que la variable $\phi_1$ est le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte (7), et non une variable de co-état.

Le hamiltonien courant du consommateur 2 est :

$$ H_2 = \frac{\hat{c}_2^{1-\sigma}}{1-\sigma} + \lambda_2 [a_2 r_2 + w_2 - \hat{c}_2 e^{-xt} - (n+\delta+x)a_2] \tag{9} $$

Les conditions d'optimisation des problèmes dynamiques, les conditions de maximisation du profit par les firmes et les conditions d'équilibre de marché donnent le système ci-dessous :

$$ \dot{k}_1 = f(k_1) + b f'(k_2) - c_1 - i_{12} - (n + \delta + x)k_1 \tag{10} $$

<footnote>(11) Ces auteurs supposent que seul le capital physique peut être offert comme sûreté des emprunts internationaux, et non pas le capital humain. Obstfeld et Rogoff (1996) font remarquer que même si le capital humain ne peut être saisi pour remboursement de la dette internationale, ses flux de revenus peuvent l'être. Réciproquement, il n'est pas clair que le capital physique puisse être plus facilement saisi que le capital humain au profit d'un créancier étranger.</footnote>

<footnote>(12) Ceci recouvre en fait deux hypothèses distinctes : que le capital installé est immobile et qu'il n'y a pas de marché des actifs financiers. Une autre spécification consisterait à supposer que cela n'est vrai qu'en termes agrégés, ce que imposerait l'introduction d'un prix du capital installé dans le pays 1 en unités de biens de consommation.</footnote>
$$ \dot{b} = i_{12} - (n + \delta + x)b \quad (11) $$

$$ \dot{k}_2 = f(k_2) - bf'(k_2) - c_2 + i_{12} - (n + \delta + x)k_2 \quad (12) $$

$$ \frac{\dot{c}_1}{c_1} = \frac{1}{\sigma} [f'(k_2) - (n + \delta + \rho)] - x \quad (13) $$

$$ \frac{\dot{c}_2}{c_2} = \frac{1}{\sigma} [f'(k_2) - (n + \delta + \rho)] - x \quad (14) $$

$$ \lim_{t \to \infty} k_1 c_1^{-\sigma} e^{-\rho t} = 0 \quad (15) $$

$$ \lim_{t \to \infty} b c_1^{-\sigma} e^{-\rho t} = 0 \quad (16) $$

$$ \lim_{t \to \infty} k_2 c_2^{-\sigma} e^{-\rho t} = 0 \quad (17) $$

$$ \phi_1 \cdot (f(k_1) + bf'(k_2) - c_1 - i_{12}) = 0 \quad (18) $$

$$ \phi_1 \ge 0 \quad (19) $$

Les équations (10-12) proviennent directement des contraintes budgétaires des agents et donnent les lois d'évolution des stocks de capital intérieur et de l'actif étranger. Ces équations peuvent être lues en termes de comptabilité nationale : la quantité $f(k_1) + bf'(k_2)$ représente le PNB intensif du pays 1, où $bf'(k_2)$ est le revenu provenant des actifs étrangers. De même, $f(k_2) - bf'(k_2)$ est le PNB intensif du pays 2. Les quantités $f(k_1)$ et $f(k_2)$ sont les PIB intensifs. La quantité $i_{12} - bf'(k_2)$ représente le solde de la balance des paiements entre les deux pays.

Les équations (13) et (14) sont les conditions d'Euler guidant les trajectoires des consommations. Il est intéressant de constater que les deux agents ajustent leur consommation respective selon la même règle, soit selon le taux de productivité marginale du capital du pays 2 uniquement. Avec la même préférence pour le lissage intertemporel de la consommation dans les deux pays (paramètre $\sigma$), il n'est pas surprenant que les deux consommateurs ajustent le taux de croissance de leur consommation sur le même taux de rendement de l'épargne, le taux qui est toujours le plus élevé (celui du pays 2), puisque toute l'épargne nouvelle (des deux pays) est rémunérée à ce taux.

Les équations (15-17) sont les conditions de transversalité habituelles.

Enfin, les équations (18) et (19) sont plus inhabituelles car elles proviennent de la contrainte d'irréversibilité (7) : $\phi_1$, le multiplicateur associé à la contrainte (7), est positif par construction (voir sens de l'inégalité (7)). La relation (16) indique que quand $\phi_1$ est strictement positif, la contrainte (7) est saturée. Quand $\phi_1$ est nul, la contrainte (7) est indifférente.

Avant de commencer la résolution du problème, nous établissons que la solution se décompose en deux phases distinctes. La première correspond à la période où les taux de rendement offerts par les deux pays sont différents à cause de la contrainte d'irréversibilité, et
où celle-ci est donc saturée -- les capitaux étant attirés par la rémunération la plus forte. Pendant la seconde phase, la contrainte ne s'applique plus car les taux de rendement sont désormais égaux. Pour démontrer formellement ce résultat, nous avons recours à la forme des conditions de premier ordre écrites avec les variables de co-état :

$$ \frac{\dot{\lambda}_1}{\lambda_1} = n + \delta + x + \rho - \frac{\gamma_1}{\lambda_1} f'(k_1) \quad (20) $$

$$ \frac{\dot{\gamma}_1}{\gamma_1} = n + \delta + x + \rho - f'(k_2) \quad (21) $$

$$ \frac{\dot{\lambda}_2}{\lambda_2} = n + \delta + x + \rho - f'(k_2) \quad (22) $$

$$ \gamma_1 = \lambda_1 + \phi_1 \quad (23) $$

**Lemme 1.** Si les rendements du capital dans le pays 2 sont plus élevés que dans le pays 1, alors la contrainte (7) est saturée ; formellement :

$$ \forall t \ge 0, r_2(t) > r_1(t) \Rightarrow \phi_1(t) > 0 $$

Démonstration : En combinant (20) et (21), on obtient

$$ \forall t \ge 0, \frac{\dot{\lambda}_1}{\lambda_1} - \frac{\dot{\gamma}_1}{\gamma_1} = r_2(t) - \frac{\gamma_1}{\lambda_1} r_1(t) \quad (23a) $$

Supposons par absurde que l'on a $r_2(t) > r_1(t)$ et $\phi_1(t) = 0$. Ceci implique, par (23), $\gamma_1(t) = \lambda_1(t)$, d'où $\frac{\dot{\lambda}_1(t)}{\lambda_1(t)} - \frac{\dot{\gamma}_1(t)}{\gamma_1(t)} > 0$, ce qui contredit (19) car on aurait alors $\gamma_1(t + \partial t) < \lambda_1(t + \partial t)$ pour un $\partial t$ infiniment petit. Nous concluons $\forall t \ge 0, r_2(t) > r_1(t) \Rightarrow \phi_1(t) > 0$.

**Corollaire 1.** Il existe une période initiale durant laquelle la contrainte (7) est saturée ; formellement :

$$ \exists T > 0 / \forall t \in [0, T], \phi_1(t) > 0 $$

Démonstration : Par la condition (3), on a $r_2(0) > r_1(0)$. Par (7), (10) et (12), les stock de capital sont continus dans leur argument temporel pour tout temps $t$ strictement positif. C'est ainsi qu'on ne peut avoir $r_2(0 + \partial t) = r_1(0 + \partial t)$ Le Lemme 1 complète la démonstration.

**Corollaire 2.** Si la contrainte (7) n'est pas saturée, alors les taux de rendements sont égaux dans les deux pays ; formellement :
$$ \forall t \ge 0, \phi_1(t) = 0 \Rightarrow r_2(t) = r_1(t) $$

Démonstration : Ce corollaire est une suite directe du Lemme 1, en utilisant le fait que nous avons écarté les situations où $r_1(t) > r_2(t)$.

Le Lemme 1 et ses corollaires indiquent qu'il existe une période initiale durant laquelle les capitaux sont statiquement (c'est à dire à chaque période et indépendamment du problème d'optimisation intertemporelle) attirés par les rendements plus élevés offerts dans le pays 2. Les agents du pays 1 investiront alors le plus possible dans le pays 2. On note que nous n'avons pas formellement démontré que la date T est finie. Cette propriété sera établie dans la partie suivante, où l'on montre que les taux de rendements s'égalisent nécessairement en temps fini.

**Lemme 2.** Une fois que la contrainte (7) se desserre, elle ne peut plus jamais être serrée ; formellement :

$$ \phi_1(T) = 0 \Rightarrow \phi_1(t) = 0, \forall t \ge T $$

Démonstration : $\phi_1(T) = 0$ est équivalent à $\lambda_1(T) = \gamma_1(T)$, et par (23) et le Corollaire 2 du

Lemme 1 on a alors :
$$ \frac{\dot{\lambda}_1(T)}{\lambda_1(T)} - \frac{\dot{\gamma}_1(T)}{\gamma_1(T)} = r(1 - \frac{\gamma_1(T)}{\lambda_1(T)}) = 0 \quad \text{où} \quad r = r_1(T) = r_2(T). \text{ Ceci implique } \dot{\lambda}_1(T) = \dot{\gamma}_1(T) \text{ et donc } \lambda_1(T + \partial t) = \gamma_1(T + \partial t). \text{ Appliqué de manière récursive, cet argument démontre le Lemme 2.} $$

Le Lemme 2 est important pour la résolution du système : combiné avec le corollaire 2 du Lemme 1, il indique qu'une fois que les taux de rendement se sont égalisés, ils ne peuvent plus diverger.

En conclusion, on voit que la solution comporte deux phases, que l'on définit comme suit :

1. La Phase 1 est la phase initiale identifiée par le Lemme 1, pendant laquelle les deux taux de rendements sont différents et où la contrainte d'irréversibilité est saturée.

2. La Phase 2 est la phase où les deux taux sont désormais égaux et où la contrainte n'est plus saturée.

### 3. Modèle centralisé mondialement

Suivant d'Autume (1996), on utilise le fait que les utilités marginales des deux pays restent dans un rapport constant. Il existe une constante $\theta$ telle que (16) s'écrit :

$$ u'(\hat{c}_2) = \frac{\theta}{1-\theta} \gamma_1 e^{-\lambda_1 t} = \frac{\theta}{1-\theta} u'(\hat{c}_1) \quad (24) $$

Les consommations des deux pays étant ainsi liées, il est possible d'isoler un sous-système dynamique qui peut être vu comme la solution d'un problème de croissance optimale
centralisé mondialement. Un planificateur mondial maximisant $U = \int_{0}^{\infty} \frac{\hat{c}^{1-\sigma}(t)}{1-\sigma} e^{-\rho t} dt$ (où $\hat{c}$ est la consommation per capita mondiale, soit $\hat{c}_1 + \hat{c}_2$) avec les contraintes technologiques (12-14) et (20) obtiendrait une solution donnée par le système suivant :¹³

$$ \frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\sigma} [f'(k_2) - (n + \delta + \rho)] - x \quad (\text{Phases 1 et 2}) $$

$$ \dot{k}_1 = -(n + \delta + x)k_1 \quad (\text{Phase 1}) $$

$$ \dot{k}_2 = f(k_2) + f(k_1) - c - (n + \delta + x)k_2 \quad (\text{Phase 1}) $$

$$ \dot{k}_1 = \dot{k}_2 = f(k_2) - \frac{c}{2} - (n + \delta + x)k_2 \quad (\text{Phase 2}) $$

Le système ci-dessus est appelé « centralisé » par référence à l'interprétation qu'en donne d'Autume (1996) : on peut en effet le considérer comme résultant du programme d'un planificateur central maximisant l'utilité intertemporelle de la consommation mondiale. C'est ce système qui est résolu et simulé dans cette section.

On vérifie que la répartition de la consommation mondiale entre les deux pays se fait en choisissant $c_1$ et $c_2$ de façon à maximiser statiquement l'utilité pondérée mondiale :

$$ \text{Max } \theta u'(c_1) + (1-\theta)u'(c_2), \text{ avec } c_1 + c_2 = c $$

$$ \text{Soit, en posant } m = \frac{1}{1 + \left(\frac{1-\theta}{\theta}\right)^{1/\sigma}}, $$

$$ mc = c_1 \quad (25) $$

et

$$ (1-m)c = c_2 \quad (26) $$

La convergence du modèle vers un état stationnaire en point selle, par deux phases successives est détaillée à l'annexe 1. L'état stationnaire est décrit par les équations suivantes :

$$ f'(k_1^*) = f'(k_2^*) = f'(k^*) = x\sigma + n + \delta + \rho $$

$$ c^* = 2(f(k^*) - (n + \delta + x)k^*) $$

<footnote>(13) On utilise également la décomposition de la solution en deux phases.</footnote>
Comme illustré par la figure 1, on voit donc que les stock de capital intérieur finissent par converger vers les valeurs de l'équilibre d'autarcie. De même, la consommation mondiale à l'équilibre stationnaire est exactement deux fois la consommation d'autarcie de chaque pays.

Le système, dans ses deux phases, a été simulé numériquement en spécialisant la fonction de production selon la forme de Cobb-Douglas<sup>14</sup> (voir annexe 2). Nous utilisons la paramétrisation de base de Barro et Sala-i-Martin (1995), soit $A = 1$, $\delta = 0,05$, $x = 0,02$, $n = 0,01$, $\rho = 0,02$, $\sigma = 3$, $\alpha = 0,3$. De plus on fixe le capital initial du pays pauvre à 10 % de celui du pays riche. La figure ci-dessous donne les courbes des stocks de capital intérieur intensif.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1</figcaption></figure>

La convergence des stocks de capital intérieur est rapide puisque, avec la paramétrisation de base, seulement 4,2 années (date T) sont nécessaires pour rattraper un retard de 90 %. Comme on pouvait s'y attendre, des simulations non reproduites ici montrent que T est une fonction décroissante du taux d'amortissement$\delta$. Il est visible sur la figure 1 qu'en termes de capital intérieur, et donc de produit intérieur, l'impact de l'ouverture est d'accélérer la convergence.

Cependant, notre modèle à deux pays permet ici un résultat plus fort que celui obtenu dans des modèles d'équilibre partiel (par exemple Barro, Mankiw et Sala-i-Martin (1995)) : alors que dans ces derniers, les pays convergent vers un même état stationnaire, ici les pays convergent l'un vers l'autre, ce qui semble intuitivement satisfaisant compte tenu de la mobilité du capital. Outre l'impact sur la $\beta$-convergence des produits intérieurs, puisque la vitesse de convergence du Sud vers l'état stationnaire est augmentée pendant la phase 1, le modèle

<footnote>(14) $Y_i = AK_i^\alpha (L_i e^{xt})^{1-\alpha}$, $0 < \alpha < 1$</footnote>
suggère donc un impact de la mobilité du capital plus grand encore sur la σ - convergence.¹⁵
En effet, la vitesse de convergence entre les deux pays est dans ce modèle accrue par le désinvestissement dans le Nord durant la première phase.

L'impact de l'ouverture sur le taux de croissance du capital/produit intérieur du Sud peut être évalué numériquement tout au long du temps et par référence à la situation d'autarcie (figure 2¹⁶). Avec la paramétrisation de base, le taux de croissance du capital intérieur (intensif) avec mobilité du capital du pays pauvre est de 160 % par an à la date zéro, contre 53 % en autarcie.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2</figcaption></figure>

Comme le rappellent Barro et Sala-i-Martin (1995), une valeur de 0,3 pour la part du capital dans le revenu (α), adéquate si l'on utilise un concept de capital physique restreint, conduit cependant à des taux de croissance excessivement élevés dans les premières phases de la croissance d'un pays en autarcie que l'on prend éloigné de l'état stationnaire. Une valeur α=0,75, que l'on peut interpréter comme un concept élargi de capital comprenant des éléments de capital humain¹⁷, donne en économie fermée des taux de croissance qui s'accordent mieux avec les résultats empiriques. Il est donc intéressant de réaliser une autre simulation avec cette valeur. La date T est alors de 6,8 années. Le taux de croissance du capital intérieur d'autarcie est de 4,9 % à la date zéro, pour 82 % avec mobilité du capital.

<footnote>(15) Alors que la β -convergence correspond à l'aptitude des économies éloignées de l'état stationnaire (pauvres) à croître plus vite que celle rapprochées de l'état stationnaire (riches), la σ -convergence décrit la diminution de la dispersion de revenu entre les économies. (voir Barro et Sala-i-Martin (1995)).</footnote>

<footnote>(16) Dans la paramétrisation de base (sur laquelle est basée la figure 2), le taux de croissance du capital intérieur à la date *T* est identique dans les deux situations (commerce et autarcie). Ce résultat est purement fortuit.</footnote>

<footnote>(17) Barro et Sala-i-Martin (1995, chap. 2)) ont montré que des valeurs élevées de α, prises avec des valeurs plausibles des autres paramètres, permettent de simuler numériquement des vitesses de convergence proches de celles observées empiriquement. Des valeurs élevées de α sont supposées comprendre des éléments de capital humain, l'investissement recouvrant alors également une processus d'éducation.</footnote>
Dans ce modèle ouvert, il est toutefois crucial de distinguer entre PNB et PIB, ce premier apparaissant ici comme le concept le plus pertinent de revenu. En effet, le revenu de l'agent riche est bien composé de sa parcelle intérieure et de sa parcelle extérieure (les intérêts perçus sur son avoir extérieur), et c'est donc bien le PNB qui entre en compte dans sa contrainte budgétaire (4). Ceci vaut également pour la contrainte budgétaire de l'agent pauvre (6). Or, comme nous allons le voir dans la section 5, le comportement du PNB diffère radicalement de celui du PIB.

## 4. Marché du travail

Afin d'évaluer les effets de l'ouverture du compte des flux financiers sur le marché de travail imparfait, nous spécialisons la fonction de production en une technologie Cobb-Douglas, comme nous l'avons fait pour simuler numériquement le modèle :

$$Y_i = AK_i^{\alpha} (L_i e^{xt})^{1-\alpha}, 0 < \alpha < \delta \quad (27)$$

L'impact de la sortie des capitaux du pays riche sur ses salaires dépendra des rapports entre le taux d'amortissement du capital $\delta$, l'influence du progrès technologique $x$ et le taux $n$ de croissance de l'offre de travail. Le salaire *per capita* dans le pays riche est égal, dans notre économie avec compétition parfaite, à la productivité marginale du travail :

$$\hat{w}_1 = (1 - \alpha)e^{\alpha}AK_1^{\alpha}(Le^{\alpha})^{1-\alpha}$$

Durant la première phase (avec $\dot{K}_1 = -\delta K_1$), la dérivée par rapport au temps de $\hat{w}_1$ est donnée par (après calculs) :

$$\dot{\hat{w}}_1 = A(1-\alpha)e^{\alpha}(Le^{\alpha})^{-\alpha}[x(1-\alpha) - \alpha(x+n)]$$

On aura donc une baisse des salaires si et seulement si :

$$n > x\left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right) - \delta \quad (28)$$

Le sens économique de cette condition est claire : le capital chute au taux $\delta$, tendant à faire chuter la demande de travail. Celle-ci est cependant une fonction croissante du progrès technologique (pondéré par le poids du travail dans la fonction de production). Pour des paramétrisations plausibles, notamment dans le cas de toutes les simulations que nous avons réalisées du modèle, la condition ci-dessus est remplie et on aura une baisse des salaires du pays riche durant la première phase.

Si la condition (28) est réalisée, en présence d'une rigidité vers le bas des salaires dans le Nord, l'ouverture du compte des flux financiers aboutira donc à du chômage. Supposons ainsi que le niveau des salaires ne peut jamais être inférieur au niveau précédent l'ouverture. Cette hypothèse est forte, mais comme le souligne Brewer (1985) : « elle peut, par exemple, fournir des informations utiles sur les effets dans les pays avancés des investissements des compagnies multinationales dans les pays à bas salaires (mobilité du capital) si les travailleurs des pays riches refusent des baisses de salaire (fixité des salaires) ». On peut exprimer la
demande de travail comme une fonction du stock domestique de capital et des salaires (par (27)) :

$$L_1^d = w_1^{-1/\alpha} K_1 e^{\int_0^1 \left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right)t} A^{1/\alpha} (1-\alpha)^{1/\alpha} \quad (29)$$

En fixant $w_1(t) = w_1(0), \forall t \ge 0$, on a $\frac{\dot{L}_1^d}{L_1^d} = \frac{\dot{K}_1}{K_1} + x(\frac{1-\alpha}{\alpha})$. Avec durant la première phase $\dot{k}_1 = -(n+\delta+x)k_1, t \le T$ et $k_1 = \frac{K_1}{Le^{xt}}$, nous obtenons

$$\frac{\dot{L}_1^d}{L_1^d} = -\delta + x(\frac{1-\alpha}{\alpha}) \quad (30)$$

L'offre de travail croissant au taux $n$, on aura bien chômage si la condition (28) est satisfaite. Cependant, en présence de progrès technique, on peut montrer que même dans ce cas, le chômage disparaîtra à long terme, c'est à dire qu'il n'y a pas de transfert permanent d'emplois vers le Sud dans cette économie. Nous utilisons le fait que dès après $T$, le stock intérieur de capital $K_1$ augmentera de nouveau. A l'état stationnaire, il croîtra au taux constant $x+n$. (30) donne alors $\frac{\dot{L}_1^d}{L_1^d} = n+\frac{x}{\alpha}$. Comme l'offre de travail croît au taux $n$, l'économie du pays 1 retournera finalement au plein emploi. Une fois celui-ci atteint, les salaires pourront de nouveau augmenter au taux du progrès technique.

## 5. Partage des consommations et comportement de l'actif étranger

Cette section se propose de déterminer le partage de la consommation mondiale entre les deux pays et la trajectoire de l'actif étranger détenu par le pays 1. La contrainte intertemporelle du pays 1 et la valeur initiale (donnée) de $b$ (dans notre modèle, $b(0)=0$), donne une relation permettant le calcul de $m$, la contrainte de partage des consommations :

$$m \int_{0}^{\infty} e^{\int_{0}^{t} (f'(k_2) - n - \delta - x) ds} c dv = \int_{0}^{\infty} e^{\int_{0}^{t} (f'(k_2) - n - \delta - x) ds} (f(k_1) - \dot{k}_1 - (n + \delta + x)k_1) dv \quad (31)$$

On observe que dans cette formule, $m$ est effectivement la seule inconnue, puisque les trajectoires de $k_1$, $k_2$ et $c$ sont déterminées par le modèle centralisé résolu et simulé à la section précédente. La valeur de $m$, obtenue numériquement à partir de (31) pour la paramétrisation de base est de 0,56.

La répartition de la consommation mondiale entre les deux pays est donc fonction de la répartition initiale de la richesse mondiale, cette dernière étant donnée dans l'équation (31) comme le flux actualisé de la production nette du pays 1 (production moins investissement). Dans cette formule, on note de nouveau que le taux d'intérêt servant à actualiser les flux est celui du pays 2, qui est bien celui offert à toute la nouvelle épargne à partir du temps zéro. On voir donc que les conditions initiales (valeurs de $k_1(0), k_2(0)$ et $b(0)$) conditionnent les consommations nationales à l'état stationnaire, à la différence du modèle en autarcie. En effet, on note que la valeur de la constante $m$, et donc les valeurs de $c_1$ et $c_2$ (y compris à l'équilibre
stationnaire) dépendent des trajectoires de $k_1$, $k_2$ et $c$, et pas seulement de leurs valeurs asymptotiques.

Comme le montre la relation suivante, où intervient $m$, il en va de même pour $b$, le stock d'actif étranger. Les relations (8) et (9), après intégration, donnent ¹⁸:

$$b(t) = \int_{t}^{\infty} e^{\int_{t}^{v} (f'(k_2) - n - \delta - x) ds} (mc - f(k_1) + \dot{k}_1 + (n + \delta + x)k_1) dv \quad (32)$$

On peut ainsi parler d'hystérésis pour les consommations de chaque pays et le stock d'actif étranger, puisque les valeurs de ces agrégats à l'équilibre stationnaire dépendra des conditions initiales¹⁹.

Compte tenu de la convergence du système des stocks de capital et la consommation mondiale vers un point selle, $b$ évoluera vers un état stationnaire strictement positif. L'annexe 2 donne la preuve formelle de cette proposition. La valeur de $b$ à l'état stationnaire (où l'on définit $b^* = \lim_{t \to \infty} b(t)$) se déduit des équations (8) et (10) :

$$b^* = \frac{c^*(m - 1/2)}{\rho + x(\sigma - 1)} \quad (33)$$

Pour la paramétrisation de base, la valeur de $b^*$ est de 2,55 soit 86 % du capital intérieur du pays pauvre à l'état stationnaire. La figure suivante représente la trajectoire de l'actif étranger $b$.

<footnote>(18) En faisant $b(0) = 0$, cette équation permet d'obtenir la relation précédente.</footnote>

<footnote>(19) Conformément à l'usage de la littérature, le terme hystérésis désigne ici un phénomène où un choc temporaire a des effets permanents sur les agrégats de l'économie. On considère les conditions initiales comme un choc. Selon cette définition, on voit qu'on ne peut parler d'hystérésis pour le modèle en économie fermée, puisque les trajectoires convergent toujours vers les mêmes valeurs à l'équilibre stationnaire, indépendamment des conditions initiales.</footnote>
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3</figcaption></figure>

Le modèle permet d'évaluer le comportement des balances des paiements. On définit le solde de la balance des paiements comme l'investissement du pays 1 dans le pays 2 duquel on déduit la rémunération du stock d'actif étranger, soit : $SBP = i_{12} - bf'(k_2)$. Il s'agit donc des « flux nets » entre les deux pays, une valeur positive représentant un flux du Nord vers le Sud et réciproquement. Cette quantité a des expressions différentes dans les deux phases du modèle. En phase 1, la contrainte (7) étant serrée, l'expression de SBP est évidente :

$$SBP = f(k_1) - c_1 \quad (\text{PHASE 1})$$

En phase 2, on utilise $i_{12} = \dot{b} + b(n + \delta + x)$ et l'équation (j) de l'annexe 4 pour obtenir :

$$SBP = c(1/2 - m) \quad (\text{PHASE 2})$$

Rappelons que dans ce modèle d'optimisation intertemporelle de l'utilité, le fait que les flux nets en phase 2 soient en faveur du Nord à perpétuité n'indique nullement que le Sud est perdant dans les échanges internationaux, comme on le verra dans la dernière section.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4</figcaption></figure>

La théorie traditionnelle du cycle de la dette internationale reçoit donc un nouveau démenti dans les prédictions du modèle. Selon cette théorie, un pays « débiteur jeune » passe plusieurs étapes de développement durant lesquelles, grâce au flux d'exportation généré par les investissements financés par l'endettement, il rembourse sa dette jusqu'à devenir un « créditeur mûr ». Dans notre modèle d'équilibre général, au contraire, il n'est jamais optimal de rembourser la dette internationale. Le Sud demeure débiteur perpétuellement. Comme le souligne Bliss (1995), l'implication de ce fait pour les revenus est frappante : la mobilité du capital prévient la convergence du revenu et de la consommation. Le montant de la dette, et donc l'écart de revenu et de consommation à l'état stationnaire, est une fonction croissante de l'écart de richesse initial. En ce sens, dans ce modèle simple, la mobilité du capital maintient indéfiniment le retard du Sud en termes de revenu. La simulation numérique indique que le PNB du pays pauvre à l'état stationnaire avec mobilité du capital représente 74 % du PNB d'autarcie.

La connaissance des trajectoires des trois variables d'état $k_1, k_2$ et $b$ nous permet maintenant de calculer les trajectoires des PNB des deux pays, qui s'écrivent dans ce modèle de la manière suivante (voir équations (10) et (12)) :

$$PNB_1 = f(k_1) + bf'(k_2)$$

$$PNB_2 = f(k_2) - bf'(k_2)$$

Les deux figures suivantes donnent les trajectoires du PNB de chaque pays.
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 6</figcaption></figure>

De nouveau, il est frappant de voir que le PNB intensif du pays pauvre, non seulement ne rattrape jamais celui du pays riche, mais est toujours inférieur, même dans la première phase, au PNB intensif d'autarcie. Il n'y a pas dans ce modèle de convergence en PNB, contrairement au modèle fermé.
## 6. Bien-être

Nous donnons dans cette section des simulations numériques visant à comparer pour chaque pays l'utilité, telle que définie en (2), en autarcie et avec mobilité du capital, puis nous présentons une discussion théorique de cette comparaison.

Tout d'abord, il est intéressant d'exprimer les valeurs stationnaires des consommations de chaque pays en fonction de $b^*$ (voir (10) et (12)) :

$$c_1^* = c^*/2 + (\rho + x(\sigma - 1))b^* \quad (34)$$

$$c_2^* = c^*/2 - (\rho + x(\sigma - 1))b^* \quad (35)$$

En remarquant que $c^*/2$ est la valeur de la consommation à l'état stationnaire d'autarcie, on voit que le pays 1 reçoit avec mobilité du capital une prime de consommation égale à la rémunération nette de son actif étranger. Cette prime est perpétuelle.

Les trajectoires des consommations simulées numériquement sont les suivantes (c2a représente la trajectoire de la consommation du pays 2 en autarcie), toujours avec la paramétrisation de base :

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 7</figcaption></figure>

Le mécanisme économique guidant ces trajectoires est clair : le Nord accepte un sacrifice initial de consommation pour recevoir une rémunération perpétuelle sur les actifs étrangers ainsi constitués. Pour le Sud, la croissance est accélérée durant la première phase, mais au prix d'une baisse permanente de la consommation à l'état stationnaire. Soulignons que l'opposition ci-dessus entre effets de court terme négatifs pour le pays riche (positifs pour le pays pauvre)
et positifs pour le pays pauvre (négatifs) ne doit rien à l'hypothèse d'irréversibilité de l'investissement. Elle se constaterait bien sûr dans le modèle sans irréversibilité : le désinvestissement massif fait au temps zéro par le pays riche serait accompagné d'une baisse immédiate de la consommation de ce pays, ainsi que des salaires.

**Evaluation numérique.** L'impact final sur le bien-être est évalué par calcul numérique de l'utilité définie par (2). Le principal résultat est que, pour différentes paramétrisations détaillées ci-dessous, le bien-être avec mobilité du capital est supérieur au bien-être d'autarcie pour les deux pays. De nombreuses autres simulations, que nous ne reportons pas ici aboutissent au même résultat. Un des enseignements les plus forts de la théorie néoclassique des échanges internationaux semble donc préservé par ce modèle : les échanges mènent à une situation supérieure au sens de Pareto. Le tableau suivant donne les résultats concernant le bien-être des deux principales simulations. On remarque que les gains de bien-être ne sont pas symétriques. Pour le pays pauvre, ils augmentent avec la part du capital dans le revenu total. Une interprétation de ce résultat est que le Sud, étant relativement pauvre en capital, gagne plus à la mobilité internationale du capital si celui-ci intervient davantage dans la production.

<table><tr><td>α=0,3</td><td>Gain utilité pays 1: 0,32 (+9,5 %)<br/>Gain utilité pays 2 : 1,08 (+5,2 %)<br/>m=0,56<br/>b*= 2,55<br/>k*=2,9<br/>T=4,54<br/>PNB pays 2 avec mobilité/PNB pays 2 autarcie = 74 % (état stationnaire)</td></tr><tr><td>α=0,75</td><td>Gain utilité pays 1: 0,0063 (+10 %)<br/>Gain utilité pays 2 : 1,08 (+48 %)<br/>m=0,75<br/>b*= 735,9<br/>k*=823,6<br/>T=6,8<br/>PNB pays 2 avec mobilité/PNB pays 2 autarcie = 33 % (état stationnaire)</td></tr></table>

**Evaluation théorique.** Afin d'évaluer théoriquement l'impact de la mobilité du capital sur le bien-être, il est intéressant de formuler différemment le modèle en introduisant pour le consommateur représentatif de chaque pays (et non pas seulement pour le pays riche) une variable de contrôle sur l'investissement étranger, que l'on considérera alors respectivement comme un prêt (pour le pays riche) et un emprunt (pour le pays pauvre). Le problème d'optimisation du consommateur de chaque pays comportera également une variable d'état représentant le stock de dette (créance) internationale qui à l'équilibre sera égale pour les deux pays. Cette nouvelle formulation comprend ainsi un choix entre autarcie et mobilité du capital pour les deux pays simultanément. Du reste, elle ne modifie pas la structure de la solution, qui se décompose toujours en deux phases.

En définissant $p_1$ (patrimoine) comme la somme des actifs du consommateur du pays riche²⁰, $b_1$ comme son actif étranger, et $i_1$ comme l'investissement local, on peut poser son problème comme suit :

$$ \max U_1 $$

<footnote>(20) Dans la section 2, les variables $a_1$ et $a_2$ représentent les actifs intérieurs des agents.</footnote>
avec

$$ \dot{p}_1 = f(k_1) + b_1 r_2 - c_1 - (n + \delta + x)p_1 \quad (36) $$

$$ \dot{k}_1 = i_1 - (n + \delta + x)k_1 \quad (37) $$

$$ b_1 = p_1 - k_1 \quad (38) $$

$$ i_1 \ge 0 \quad (39) $$

Ces contraintes sont essentiellement identiques aux contraintes (4-5) et (7). On notera que l'on a bien deux variables de contrôle qui sont la consommation et l'investissement local. L'accroissement de l'actif étranger, c'est-à-dire les nouveaux prêts accordés au pays pauvre, est ici déduit par différence entre le patrimoine et le capital intérieur.

Avec des définitions de variables symétriques, le problème du consommateur du pays pauvre peut s'écrire de la manière suivante :

$$ \max U_2 $$

avec

$$ \dot{p}_2 = f(k_2) - b_2 r_2 - c_2 - (n + \delta + x)p_2 \quad (40) $$

$$ \dot{k}_2 = i_2 - (n + \delta + x)k_2 \quad (41) $$

$$ b_2 = k_2 - p_2 \quad (42) $$

A la différence de la formulation antérieure, on a bien ici deux variables de contrôle et une variable d'état représentant l'emprunt à l'étranger. Le pays pauvre décide de combien il souhaite s'endetter.

Il est facile de montrer qu'après avoir dérivé les conditions de maximisation, et posé ensuite la condition d'équilibre du marché international des capitaux $b_1 = b_2 = b$, la résolution des deux problèmes ci-dessus mène aux mêmes systèmes d'équations que précédemment. Les trajectoires sont ainsi les mêmes que dans la formulation précédente.

L'argument que nous utilisons pour montrer que la situation avec mobilité du capital est toujours supérieure au sens de Pareto à l'autarcie est le suivant : pour chacun des deux pays, le problème de maximisation du bien-être en autarcie est identique au problème avec mobilité du capital, à une contrainte supplémentaire près, celle de maintenir le prêt (l'emprunt) international nul. Formellement, pour le pays 1, on ajoute au problème (36-39) la contrainte $b_1 = 0 \Leftrightarrow p_1 = k_1$. Par simple substitution, les équations (36-39) donnent alors le problème classique d'autarcie :

$$ \max U_1 $$
avec

$$ \dot{k}_1 = f(k_1) - c_1 - (n + \delta + x)k_1 \quad (43) $$

$$ i_1 = f(k_1) - c_1 \quad (44) $$

$$ i_1 \ge 0 \quad (45) $$

On voit que la trajectoire du $r_2$ d'autarcie (qui ne sera plus la même qu'avec mobilité du capital) n'est pas prise en compte dans ce nouveau problème. La contrainte (45) n'est jamais serrée. On voit également que l'on « perd » en quelque sorte une variable de contrôle, puisque la consommation et l'investissement local sont maintenant fonction l'un de l'autre (à travers la variable d'état).

Le raisonnement est entièrement identique pour le pays 2. De nouveau, $r_2$ s'élimine des équations pour aboutir au système habituel d'autarcie :

$$ \max U_2 $$

avec

$$ \dot{k}_2 = f(k_2) - c_2 - (n + \delta + x)k_2 \quad (46) $$

$$ i_2 = f(k_2) - c_2 \quad (47) $$

On remarque en outre que la condition ex post $b_1 = b_2 = b$ est vérifiée (dette et créance internationales sont nulles). L'unique différence entre autarcie mobilité du capital dans le problème de maximisation de chaque pays est donc bien la présence d'une contrainte supplémentaire. On en conclut que pour chacun des deux pays le bien-être avec mobilité du capital sera toujours supérieur ou égal au bien-être d'autarcie.

## 8. Marché interne des capitaux

Nous abandonnons dans cette partie l'hypothèse d'irréversibilité d'investissement appliquée aux agents individuellement en introduisant un marché interne des titres financiers. En vendant ses titres au prix $v(t)$, chaque agent du pays riche peut maintenant recouvrer la liquidité de son investissement intérieur pour investir dans le pays pauvre. Cependant, l'irréversibilité physique de l'investissement demeure ; c'est ainsi que la contrainte continuera de s'appliquer au stock agrégé de capital intérieur. L'intérêt principal de cet exercice est de montrer l'impact de la mobilité du capital sur le prix des titres financiers dans le pays riche. On verra que l'effet instantané de l'ouverture est de faire chuter le prix du titre, de manière à égaliser les rendements dans le deux pays. Au fur et à mesure que les rendements du capital offerts dans les deux pays se rapprochent, les prix des titres se rapprochent également, jusqu'à finalement s'égaliser à la date $T$.

Le problème d'un l'agent quelconque du pays riche s'écrit maintenant :
$$ \max U_1 $$

avec

$$ \dot{p}_1 = k_1(r_1 + \dot{v}) + w_1 + (p_1 - vk_1)r_2 - c_1 - (n + \delta + x)p_1 \quad (48) $$

où, comme dans la section 5, $p_1$ est le patrimoine non-humain total de l'agent (tant intérieur qu'extérieur), $k_1$ son stock d'actifs intérieurs, et $v$ le prix d'une unité de capital intérieur. On voit que la rémunération de l'actif intérieur se décompose maintenant en deux parcelles : le rendement brut $r_1$, toujours égal à la productivité marginal du capital intérieur, et la plus-value $\dot{v}$. Notons également que la quantité $p_1 - vk_1$ est simplement égale au stock d'actifs étrangers, puisqu'on a bien (b représente toujours les actifs étrangers de l'agent) :

$$ p_1 = vk_1 + b \quad (49) $$

Dans ce programme, à la différence de nos spécifications antérieures, l'actif intérieur $k_1$ est traité comme une variable de contrôle (conjointement à $c_1$), alors que la seule variable d'état de l'agent 1 est $p_1$. En effet, puisque la contrainte d'irréversibilité ne s'applique plus à l'agent individuellement, celui-ci peut vendre et acheter des quantités discrètes de capital intérieur. Cette variable est donc susceptible de discontinuités.²¹

Il est possible de séparer ce problème en deux sous-problèmes, l'un statique et l'autre dynamique. Premièrement, la décision de la répartition de l'épargne entre les deux investissements possibles est statique. A chaque période, l'agent 1 souhaitera allouer son épargne entre les deux pays de manière à en maximiser le revenu : il choisira statiquement la valeur de $k_1$ pour maximiser la quantité $k_1(r_1 + \dot{v}) + (p_1 - vk_1)r_2 = k_1(r_1 + \dot{v} - vr_2) + p_1r_2$, qui est linéaire en $k_1$. La seule solution économique à ce problème est que le comportement des agents conduisent à des taux nets de rendements offerts par les deux pays égaux, soit :

$$ \frac{r_1 + \dot{v}}{v} = r_2 \quad (50) $$

Deuxièmement, l'agent 1 choisira la trajectoire de son épargne totale (c'est à dire de sa consommation) en fonction de son problème intertemporel, dont la contrainte peut maintenant s'écrire :

$$ \dot{p}_1 = p_1 r_2 + w_1 - c_1 - (n + \delta + x)p_1 $$

Le problème dynamique aboutit donc à la même loi de mouvement de la consommation que précédemment :

$$ \frac{\dot{c}_1}{c_1} = \frac{1}{\sigma} [r_2 - (n + \delta + \rho)] - x $$

<footnote>(21) La formulation précédente, bien qu'a priori moins rigoureuse dans ce cas, aboutirait à la même solution, car il n'y aura pas de discontinuité en $k_j$.</footnote>
Nous complétons le système dynamique en considérant maintenant le programme de l'agent du pays 2, qui est identique à celui du modèle de la section 5, et qui donne donc les conditions :

$$ \dot{p}_2 = f(k_2) - (p_1 - vk_j)r_2 - c_2 - (n + \delta + \rho)p_2 \quad (51) $$

$$ \dot{k}_2 = i_2 - (n + \delta + \rho)k_2 \quad (52) $$

$$ \frac{\dot{c}_2}{c_2} = \frac{1}{\sigma} [r_2 - (n + \delta + \rho)] - x \quad (53) $$

Dans l'équation (51) ci-dessus on a utilisé le fait qu'une condition ex post d'équilibre sur le marché international des capitaux est :

$$ b = p_1 - vk_1 = k_2 - p_2 \quad (54) $$

En dérivant l'équation (54) par rapport au temps et en utilisant le fait que durant la phase 1 la contrainte d'irréversibilité continue de s'appliquer au capital agrégé (d'où $\dot{k}_1 = -(n + \delta + \rho)k_1$, où $k_1$ figure cette fois le capital intérieur agrégé, et non celui de l'agent individuel) on obtient :

$$ \dot{k}_2 = f(k_2) + f(k_1) - c - (n + \delta + \rho)k_2 \quad (55) $$

En fin de compte, on voit que les équations guidant les variables agrégées sont identiques au problème avec contrainte d'irréversibilité s'appliquant aux agents individuellement. La trajectoire du prix $v(t)$ est donnée par l'équation différentielle (50), où les taux de rendements bruts sont donc déterminés par les trajectoires des variables agrégées. On complète cette équation par la condition terminale $v(T)=1$. En effet, dès que la contrainte d'irréversibilité n'est plus saturée, l'économie se retrouve dans la situation habituelle du modèle de croissance néoclassique, où tous les biens (capital et consommation) ont une valeur normalisée à l'unité. Il est alors facile de trouver numériquement la trajectoire du prix $v(t)$. La figure ci-dessous donne cette trajectoire pour notre calibrage de base. A l'introduction de la mobilité des capitaux, le prix chute immédiatement, car l'actif intérieur du pays 1 offre un rendement brut inférieur à celui offert à l'étranger. L'ajustement des rendements nets par arbitrage doit donc venir du prix de l'actif. Il est par conséquent normal que les prix se rejoignent au fur et à mesure que les rendements bruts font de même.
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 8</figcaption></figure>

## 9. Conclusions

Cette extension en équilibre général du modèle néoclassique de croissance aux échanges internationaux contredit un des principaux résultats du modèle original : il n'y a pas convergence entre les PNB et les niveaux de consommation des pays. En ce sens, dans ce modèle simple, la mobilité du capital renforce la disparité des revenus relativement à une situation d'autarcie, au lieu de les réduire plus rapidement, comme l'intuition tendrait à l'indiquer. La répartition initiale des richesses se traduira en un écart permanent du PNB à l'état stationnaire, et en un stock d'actif étranger maintenu par le pays riche à perpétuité.

Néanmoins, ce résultat doit être interprété en conjonction avec l'impact de la mobilité sur le bien-être. Les simulations numériques indiquent que chacun des deux pays augmente son utilité, telle que définie dans ce modèle, et qui est, rappelons-le, l'objectif à maximiser dont est déduit le comportement de toutes les variables, y compris bien sûr les PNB. On a montré analytiquement que ceci est un résultat général du modèle.

Les effets de la délocalisation du capital sont initialement négatifs pour le pays riche, se traduisant généralement par la baisse des salaires et dans tous les cas de la consommation. La situation est alors symétriquement opposée pour le pays pauvre. Comme on l'a vu, en prenant en compte les effets de long terme, les deux pays sont cependant gagnants en termes d'utilité. Cette distinction entre effets de court et long terme résultant du modèle peut utilement éclairer le débat politique actuel des pays développés sur l'ouverture internationale. Selon ce modèle, les partisans des délocalisations auraient raison, mais seulement dans le long terme, alors que les craintes de leurs contradicteurs ne seraient pas dénuées de fondement pour l'immédiat.

Enfin, la présence d'investissement irréversible dans l'économie, en rendant imparfaite la mobilité du capital, fait apparaître une phase durant laquelle les taux d'intérêt diffèrent entre les pays. Elle produit, de manière plausible, un ajustement graduel à l'ouverture du compte des flux financiers, sans les inconvénients des autres mécanismes utilisés dans la littérature.
Bibliographie

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# ANNEXES

## Annexe 1 - Convergence vers un état stationnaire en point-selle.

Nous commençons par montrer que $T$, la durée de la première phase, est nécessairement finie. Les équations de la première phase, avec la contrainte (7) bloquée, sont les suivantes :

$$ \dot{k}_1 = -(n + \delta + x)k_1 \quad (a) $$

$$ \dot{k}_2 = f(k_2) + f(k_1) - c - (n + \delta + x)k_2 \quad (b) $$

$$ \frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\sigma} [f'(k_2) - (n + \delta + \rho)] - x \quad (c) $$

$$ \text{avec } 0 \le t < T $$

Après avoir remarqué que durant cette phase la consommation mondiale est toujours croissante, nous utilisons un diagramme des phases pour montrer que pendant la première phase $k_2$ ne peut décroître et que donc les deux stocks de capital se rejoignent en temps fini, puisque nous avons $\dot{k}_1 = -(n + \delta + x)k_1$ et $k_1(0) = k^* > k_2(0) > 0$.

Le système ci-dessus peut être représenté comme suit :

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 9</figcaption></figure>

La représentation en deux dimensions d'un système à trois variables est ici possible car l'une d'entre elles, $k_1$, est autonome et que l'on est donc assuré que l'arc O se déplace vers le bas monotoniquement, au fur et à mesure que la quantité $f(k_1) - c$ diminue. La démonstration est alors similaire à celle employée dans le modèle fermé : il suffit de montrer que le chemin A, le seul qui permettrait d'avoir $\dot{k}_2 < 0$, conduit à une situation impossible.

On montre ci-après que le chemin A de la figure 9 est impossible. Comme l'arc O se déplace monotoniquement vers le bas, le chemin A le croise une et une seule fois. En dérivant
l'équation (b) par rapport au temps, on obtient $\ddot{k}_2 = \dot{k}_2[f'(k_2) - (n+\delta+x)] - \dot{c} + \dot{k}_1 f'(k_1)$.
En utilisant la condition sur les paramètres $\rho > n + (1-\sigma)x$ on voit que $\ddot{k}_2$ deviendra négatif,
ce qui implique que $k_2$ s'annulera en temps fini. Alors que dans le modèle fermé cette
annulation du stock de capital permet de conclure directement que le chemin considéré est
impossible, car la consommation s'annulerait instantanément, l'argument est ici plus
complexe, bien qu'également basé sur la continuité de $c$. Dans ce modèle ouvert, il se pourrait
en effet que l'épuisement du stock $k_2$ ne provoque pas une baisse instantanée de $c$, à cause de
la présence du stock $k_1$. Cependant, cela est également impossible : la consommation
mondiale $c$ est alimentée par les productions $f(k_1)$ et $f(k_2)$, ainsi que par la consommation
directe des stocks de capital, qui n'est pas exclue dans notre modèle (seule est exclue la
migration du capital installé). $k_1$ étant autonome, lorsque $k_2$ atteint la valeur nulle, on voit
qu'il y a nécessairement une discontinuité dans la consommation mondiale $c$, car la
discontinuité provenant de l'épuisement du stock $k_2$ ne peut pas être compensée par une
discontinuité symétrique du flux de consommation provenant de $k_1$. Une telle compensation
provoquerait un point de non-dérivabilité dans la trajectoire de $k_1$, ce qui est exclu durant la
phase 1. Notons de plus qu'un chemin se situant dans le quadrant supérieur droit est exclu, car
$k_2$ serait alors supérieur à $k^*$, ce qui est impossible en phase 1 ($k_1$ est désormais en dessous
de la valeur $k^*$ et on doit avoir $k_2 < k_1$). Nous concluons que l'on a $\dot{k}_2 \ge 0$ pour $0 \le t < T$ et
que $T$ est finie.

Ayant montré que le système atteint nécessairement la phase 2, nous établissons maintenant que celle-ci mène à un équilibre stationnaire en point selle. En phase 2, le système centralisé ressemble davantage à l'économie fermée :

$$
\dot{k}_1 = \dot{k}_2 = f(k_2) - \frac{c}{2} - (n + \delta + x)k_2 \quad (d)
$$

$$
\frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\sigma} [f'(k_2) - (n + \delta + \rho)] - x \quad (e)
$$

$$
\lim_{t \to \infty} k_1 \lambda_1 e^{-\rho t} = 0 \qquad (f)
$$

$$
\lim_{t \to \infty} k_2 \lambda_2 e^{-\rho t} = 0 \qquad (g)
$$

On utilise de nouveau un diagramme des phases pour montrer la convergence vers l'état stationnaire, cette fois-ci en figurant deux variables seulement, $k_2$ (on aurait bien sûr pu utiliser $k_1$) et $c$.
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 10</figcaption></figure>

On montre que les chemins A et B de la figure 10 sont impossibles. Concernant le chemin A, en calculant la seconde dérivée par rapport au temps de $k_2$, on établit comme précédemment que cette variable s'annule en temps fini le long du chemin A, et que donc il en va de même pour $k_1$. L'économie mondiale n'ayant plus de capital, la consommation $c$ est alors instantanément ramenée à zéro, ce qui est impossible. Le chemin B est exclu par la condition de transversalité (g), que nous pouvons écrire $\lim_{t \to \infty} k_2 u'(c) e^{(x(1-\sigma)-\rho)t} = 0$ (en utilisant $c = \frac{c_2}{1-m}$). Mais (e) donne : $\frac{du'(c)}{dt} = n+\delta+\sigma x + \rho - f'(k_2)$. Or, sur le chemin B, $k_2$ tend vers une constante supérieure à $k^*$. Le taux de croissance de $k_2 u'(c)$ sera donc supérieur à $x(1-\sigma) - \rho$. On en conclut que la condition de transversalité est violée.

Finalement, le système converge donc vers un état stationnaire en point selle, qui est caractérisé par :

$$f'(k_1^*) = f'(k_2^*) = f'(k^*) = x\sigma + n + \delta + \rho$$

$$c^* = 2(f(k^*) - (n + \delta + x)k^*)$$

## Annexe 2 - Démonstration de la convergence de b

On montre tout d'abord que si $\lim_{t \to \infty} b(t)$ existe, elle est strictement positive. Supposons que $\lim_{t \to \infty} b(t)$ existe et est nulle. Par (10) et (11), on voit alors que la consommation du pays 1 à l'état stationnaire serait égale à sa consommation d'autarcie, également à l'état stationnaire. Cependant, il est optimal pour le pays 1 de fixer sa consommation au temps zéro (en commerce) à un niveau strictement inférieur à la consommation stationnaire d'autarcie. En effet, le taux de retour offert par le pays 2 est supérieur au temps de préférence pour le présent, et une unité non consommée au temps zéro rapportera davantage d'utilité qu'elle n'en a coûté. En conséquence, il ne peut être optimal pour le pays 1 de fixer son investissement à
l'étranger de manière à avoir $\lim_{t \to \infty} b(t) = 0$. On conclut que si $\lim_{t \to \infty} b(t)$ existe, elle est strictement positive.

Une manière commode d'établir que $b$ atteint un état stationnaire est ensuite de remarquer qu'en phase 2 du système, on peut obtenir une équation différentielle simple en $b$ par combinaison de $\dot{k}_1 = \dot{k}_2$ avec (10) et (11) :

$$ \dot{b} = b[f'(k_2) - (n + \delta + x)] - c(m - 1/2) \quad (h) $$

Avant de représenter graphiquement cette équation, notons les propriétés de ses coefficients. $[f'(k_2) - (n + \delta + x)]$ est strictement positif et monotoniquement croissant. $-c(m - 1/2)$ est strictement négatif et monotoniquement décroissant.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 11</figcaption></figure>

Comme il est impossible d'une part, que la valeur de $b$ soit nulle à l'état stationnaire, et que d'autre part $b$ suive un sentier explosif (car $b$ doit être inférieur à $k_2$), le seul chemin admissible est celui indiqué par la flèche en trait plein. On voit donc que $b$ est toujours croissant et admet une limite à l'état stationnaire.

## Annexe 3 - Méthode de simulation numérique

Compte tenu des propriétés d'hystérésis du modèle, les valeurs stationnaires de l'actif étranger et des consommations ne peuvent être obtenues que par calcul complet des trajectoires. De même, la date $T$, qui donne une mesure de l'importance de l'irréversibilité de l'investissement dans le ralentissement de la convergence des agrégats intérieurs, ne peut être obtenue que par évaluation numérique. Enfin, selon la problématique classique de la théorie du commerce international, il est intéressant de comparer numériquement le bien-être de chaque pays en autarcie et en avec mobilité du capital.
Le modèle a été simulé par une méthode de tirs récursifs basée sur l'élimination du temps²². Cette méthode permet une caractérisation complète de toutes les variables, y compris pour des conditions initiales éloignées de l'état stationnaire.

Les étapes du calcul sont les suivantes :

1. On effectue un tir arbitraire d'une valeur de la consommation mondiale au temps zéro ($c(0)$).

2. A partir des équations d'évolution de la phase 1, on peut calculer la date $T$ à laquelle les deux stocks de capital se rencontrent.

3. A partir de la date $T$, et donc du stock de capital à cette date, on calcule par élimination du temps les trajectoires de la phase 2 jusqu'à l'état stationnaire.

4. On mesure l'écart entre la valeur de la consommation mondiale à la date $T$ donnée par le système en phase 1, et cette même valeur donnée par le système en phase 2. Si l'écart est supérieur à la précision fixée, on procède à un nouveau tir en 1.

5. Quand la convergence est obtenue avec la précision souhaitée, on procède alors au calcul de $m$ selon la formule (31). On en déduit les trajectoires des consommations de chaque pays et de l'actif étranger.

On utilise une fonction de production de Cobb-Douglas pour tous les calculs numériques :

$$Y_i = AK_i^\alpha (L_i e^{xt})^{1-\alpha}, \quad 0 < \alpha < 1$$

A la différence d'un calcul par linéarisation autour de l'état stationnaire, la valeur de $k_2(0)$ (capital intensif intérieur du pays pauvre) peut être quelconque. Nous avons pris dans tous les calculs une valeur de 10 % du capital intensif à l'état stationnaire, c'est-à-dire du capital intensif du pays riche au début de l'ouverture.

La robustesse de l'algorithme ci-dessus a été testée en faisant varier les paramètres $\alpha$ (entre 0,3 et 0,7) et $\sigma$ (de 1 à 3). La convergence du calcul a toujours été obtenue mais dans certains cas on a dû ajuster le pas du tir automatique, ou même procéder à des tirs manuels.

<footnote>(22) Voir Barro et Sala-i-Martin (1995).</footnote>