# Sur le prolongement à gauche de l’intégrale d’une équation différentielle à paramètre retardé

par Z. MIKOŁAJSKA (Kraków)

Résumé. Dans le livre de J. Halle (¹) on trouve un théorème sur l'existence d'une solution $x(t)$ de l'équation $x'(t) = f(t, x_t)$ avec la condition $x_σ(s) = φ(s)$ pour $s \in [-r, 0]$ dans l'intervalle $σ-r-a < t < σ$, où $a$ est positif suffisamment petit et $x_t(s) = x(t+s)$ pour $-r < s < 0$. Dans la présente note nous allons donner une condition plus simple et plus générale d'existence de $x_t(s)$ pour $σ-a < t < σ$ ($a > 0$).

Dans le livre(1) de J. Halle on trouve un théorème sur l'existence d'un prolongement à gauche d'une solution $x(t)$ de l'équation

$$ (1) \qquad x'(t) = f(t, x_t) $$

satisfaisant à la condition initiale

$$ (2) \qquad x_σ(s) = φ(s) \quad \text{pour } s \in [-r, 0], $$

où

$$ x_t(s) \stackrel{dt}{=} x(t+s) \quad \text{pour } s \in [-r, 0]. $$

Dans le théorème en question l'auteur suppose les hypothèses suivantes:

HYPOTHÈSES H. ($h_1$) D est un ensemble ouvert dans $R \times C$ (où $R = (-\infty, +\infty)$, $C = C([-r, 0], R^n)$ est l'espace des fonctions continues dans l'ensemble $[-r, 0]$, à valeurs dans $R^n$).

($h_2$) $f: D \to R^n$ est atomique, c'est-à-dire que $f(t, \varphi)$ admet une dérivée de Fréchet $f'_φ(t, \varphi)$ par rapport à $\varphi \in C$ continue dans $D$, et il existe une matrice $\eta(t, \varphi, \theta)$ à variation bornée par rapport à $\theta$ pour $(t, \varphi) \in D$, $\theta \in [-r, 0]$, une matrice $A(t, \varphi)$ continue dans $D$ telle que $\text{Det}A(t, \varphi) \neq 0$, et une fonction scalaire $\gamma(t, \varphi, s)$ continue telles que

$$ (3) \qquad f'_φ(t, \varphi)\psi = \int_{-r}^{0} [d_φ\eta(t, \varphi, \theta)]\psi(\theta), $$

<footnote>(1) J. Halle, *Functional differential equations*, New York 1971.</footnote>
$$
(4) \qquad \eta(t, \varphi, -r^+) - \eta(t, \varphi, -r) = A(t, \varphi),
$$

$$
(5) \quad \left\| \int_{-r}^{-r+s} [d_\theta \eta(t, \varphi, \theta)] \psi(\theta) - A(t, \varphi) \psi(-r) \right\| \le \gamma(t, \varphi, s) \sup_{-r \le \theta \le -r+s} \|\psi(\theta)\|,
$$

$$
(6) \qquad \gamma(t, \varphi, 0) = 0,
$$

$$
(h_3) \qquad \varphi'(0) = f(\sigma, \varphi).
$$

Remarque 1. L'hypothèse que $f'_\varphi(t, \varphi)\psi$ est la dérivée de Fréchet de $f$ par rapport à $\varphi$ signifie qu'il existe des fonctions $g(t, \varphi, \psi)$ et $\varepsilon(t, \varphi, \beta)$ telles que

$$
(7) \qquad f(t, \bar{\varphi} + \psi) = f(t, \bar{\varphi}) + f'_{\bar{\varphi}}(t, \bar{\varphi}) \psi + g(t, \bar{\varphi}, \psi),
$$

$$
(8) \qquad g(t, \bar{\varphi}, 0) = 0 \quad \text{pour chaque } \bar{\varphi} \in C,
$$

$$
(9) \quad \|g(t, \bar{\varphi}, \psi) - g(t, \bar{\varphi}, \xi)\| \le \varepsilon(t, \bar{\varphi}, \beta) |\psi - \xi| \quad \text{pour } |\psi|, |\xi| \le \beta,
$$

$\varepsilon(t, \bar{\varphi}, \beta)$ continue par rapport à $(t, \bar{\varphi}, \beta)$ pour $(t, \varphi) \in D,$

$$
(10) \qquad \varepsilon(t, \bar{\varphi}, 0) = 0.
$$

Dans la condition (9) $\|y\| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} y_i^2}$, $|\gamma| = \sup_{-r \le \theta \le 0} \|\gamma(\theta)\|$. Dans le livre de Halle(1) on trouve le théorème suivant:

THÉORÈME 1. Les hypothèses H étant admises, il existe un $\bar{a} > 0$ tel que la solution $x(t)$ définie dans l'intervalle $[\sigma - r, \sigma + a)$ tel que $x_\sigma = \varphi$ peut être prolongée à gauche sur l'intérvalle $[\sigma - \bar{a} - r, \sigma]$ c'est-à-dire qu'il existe une fonction $\bar{x}(t)$ continue dans $[\sigma - \bar{a} - r, \sigma]$ telle que

$$
(11) \qquad \bar{x}_{\sigma} = \varphi
$$

et que la fonction

$$
y(t) = \begin{cases} \omega(t) & \text{pour } \sigma-r \le t \le \sigma+a, \\ \bar{x}(t) & \text{pour } \sigma-\bar{a}-r \le t \le \sigma-r, \end{cases}
$$

satisfait à l'équation (1) pour $\sigma - \bar{a} \le t \le \sigma + a$.

Dans la présente note nous allons démontrer une condition plus
simple et plus générale, suffisante pour l'existence du prolongement à gau-
che de la solution de l'équation (1) satisfaisant à la condition (11).

1. Envisageons l'équation différentielle

$$
(1.1) \qquad \omega'(t) = f(t, \omega(t-r), \omega_t),
$$

$$
\text{où } \omega = \omega_1, \dots, \omega_n, \omega_i(\theta) = \omega(t+\theta) \text{ pour } -r \le \theta \le 0.
$$

Admettons les hypothèses suivantes :

HYPOTHÈSES $\overline{\text{H}}$. ($\overline{h}_1$) $\tilde{\text{D}}$ est un ensemble ouvert dans $\mathbb{R}^{n+1} \times \mathcal{O}$.
(h̄₂) La fonction f(t, y, ψ) est continue dans D̄.

(h₃) Il existe une fonction F(t, ψ, z), continue pour (t, ψ, z) telle que

$$
(1.2) \quad |\psi - \varphi| \le \beta_0, \quad |z - \varphi'(0)| \le \beta_0, \quad \sigma - \alpha_0 \le t \le \sigma + \alpha_0 \quad (\alpha_0 > 0)
$$

et telle que

$$
(1.3) \qquad f(t, F(t, \psi, z), \psi) = z.
$$

(h₄) Il existe une constante k(α, β) telle que

$$
(1.4) \quad \|F(t, \psi, z) - F(t, \tilde{\psi}, z)\| \le k(\alpha, \beta) |\psi - \tilde{\psi}|
$$

pour (t, ψ, z) et (t, ˜ψ, z) appartenant à D̄ telles que

$$
\psi(\theta) = \tilde{\psi}(\theta) \quad \text{pour } -r+a \le \theta \le 0,
$$

$$
|\varphi - \psi| \le \beta, \quad |\tilde{\psi} - \varphi| \le \beta, \quad \beta \le \beta_0,
$$

$$
(1.5) \quad k(\alpha, \beta) \le k^* < 1 \quad \text{pour } \alpha \le \tilde{\alpha}, \beta \le \tilde{\beta}_1 \tilde{\alpha} \le \alpha_0, \tilde{\beta} \le \beta_0.
$$

(h₅) φ(s) est de classe C¹ dans [-r, 0] et

$$
\varphi'(0) = f(\sigma, \varphi(-r), \varphi).
$$

THÉORÈME T. *Les hypothèses H étant admises, on peut prolonger à gauche la solution x(t) de l'équation (1.1) avec la condition initiale*

$$
(1.6) \qquad x_{\sigma} = \varphi.
$$

Démonstration. De la continuité de la fonction φ'(s) dans l'inter-
valle [-r, 0] il résulte qu'il existe un a > 0, a ≤ a₀, a < r tel que

$$
\|\varphi'(t) - \varphi'(0)\| \le \beta_0 \quad \text{pour } -a \le t \le 0.
$$

Envisageons la transformation suivante :

$$
(T\eta)(t) = \begin{cases} F(t+r, \eta_{t+r}, \varphi'(t+r-\sigma)) & \text{pour } \sigma-\alpha-r \le t < \sigma-r, \\ \varphi(t-\sigma) & \text{pour } \sigma-r \le t \le \sigma. \end{cases}
$$

Pour $\alpha \in (0, \bar{\alpha}]$ la transformation $T$ est définie pour chaque $\eta(t)$, continue dans l'intervalle $\sigma - r - \alpha \le t \le \sigma$, et telle que

$$
(1.7) \qquad |\eta_t - \varphi| \le \beta.
$$

Dans le cas où

$$
(1.8) \qquad \eta_{\sigma} = \varphi
$$

la fonction (Tη)(t) est continue (cf. (h₅)) dans l'intervalle σ - α - r ≤ t ≤ σ
et satisfait à la relation

$$
(1.9) \qquad (T\eta)_{\sigma} = \varphi.
$$
Envisageons la fonction

$$ \varphi^*(t) = \begin{cases} \varphi(-r) & \text{pour } \sigma-r-a \le t \le \sigma-r, \\ \varphi(t-\sigma) & \text{pour } \sigma-r \le t \le \sigma, \end{cases} $$

on a

$$ \varphi_i^*(\theta) = \varphi^*(t+\theta) = \begin{cases} \varphi(-r) & \text{pour } \sigma-r-a \le t+\theta \le \sigma-r, \\ \varphi(t+\theta-\sigma) & \text{pour } \sigma-r \le t+\theta \le \sigma. \end{cases} $$

Pour $\sigma-a \le t \le \sigma$ on a

$$ (1.10) \quad \|\varphi(\theta) - \varphi_i^*(\theta)\| = \begin{cases} \|\varphi(\theta) - \varphi(-r)\| & \text{pour } -r \le \theta \le -t + \sigma - r, \\ \|\varphi(\theta) - \varphi(t + \theta - \sigma)\| & \text{pour } -t + \sigma - r \le \theta \le 0. \end{cases} $$

On a (pour $\sigma-a \le t \le \sigma$)

$$ (1.11) \qquad -a \le t - \sigma \le 0. $$

De la continuité uniforme de la fonction $\varphi(\theta)$ dans l'intervalle $-r \le t \le 0$ il résulte que pour chaque $\varepsilon > 0$ il existe un $a(\varepsilon) > 0$ tel que $\tilde{a} \ge a(\varepsilon) > 0$ et que

$$ \|\varphi(\theta) - \varphi(\theta + s)\| \le \varepsilon \quad \text{pour } |s| \le a(\varepsilon), \theta \in [-r, 0] $$

et par suite

$$ (1.12) \qquad \|\varphi(\theta) - \varphi_i^*(\theta)\| \le \varepsilon \quad \text{pour } a \le a(s), \theta \in [-r, 0]. $$

On a donc pour $a$ suffisamment petits

$$ (1.13) \qquad |\varphi_i^* - \varphi| \le \frac{1}{2}\beta_0 \quad \text{pour } a \le a(\frac{1}{2}\beta_0) $$

et, par suite, $F\varphi^*$ est définie pour $a \le a(\frac{1}{2}\beta_0)$. Evaluons $|T\varphi^* - \varphi^*|$ pour $a < a(\frac{1}{2}\beta_0)$.

$$ \|(T\varphi^*)(t) - \varphi^*(t)\| \le \begin{cases} \|F(t+r, \varphi_{i+r}^*, \varphi'(t+r-\sigma)) - \varphi^*(t)\| & \text{pour } \sigma-r-a \le t \le \sigma-r, \\ 0 & \text{pour } \sigma-r \le t \le \sigma. \end{cases} $$

En vertu de la définition de $\varphi^*(t)$ on a

$$ F(t+r, \varphi_{i+r}^*, \varphi'(t+r-\sigma)) - \varphi^*(t) = F(t+r, \varphi_{i+r}^*, \varphi'(t+r-\sigma)) - \varphi(-r) \quad \text{pour } \sigma-r-a \le t \le \sigma-r $$

d'où, en vertu de (h$_5$) et (1.3),

$$ \|(T\varphi^*)(t) - \varphi^*(t)\| < \|E(t+r, \varphi_{i+r}^*, \varphi'(t+r-\gamma)) - F(\gamma, \varphi, \varphi'(0))\| \quad \text{pour } \sigma-r-a \le t \le \sigma-r, $$

et par suite, $F(t, \psi, z)$ étant continue,

$\|(T\varphi^*)(t) - \varphi^*(t)\| \le \varepsilon$ pour $a$ suffisamment petit, $\sigma-a-r \le t \le \sigma$
c'est-à-dire qu'il existe un $a^*(\varepsilon) \le a(\frac{1}{2}\beta) \le \tilde{a}$ tel que

$$ (1.14) \qquad |(T\varphi^*)_t - \varphi_t^*| \le \varepsilon \quad \text{pour } a \le a^*(\varepsilon), \gamma - a \le t \le \sigma. $$
Envisageons l'ensemble (B) des fonctions continues $η(t)$ (pour $σ-r-a ≤ t ≤ γ$) telles que

$$ (B) \qquad |\eta_t - \varphi_t^*| \le \frac{1}{2}\beta_0 \quad \text{pour } \sigma - a \le t \le \sigma, \\ \eta_σ = \varphi_σ^* = \varphi $$

où

$$ (1.15) \qquad a = a^*\left(\frac{1}{2}\beta_0(1-k^*)\right). $$

La transformation $Tη$ est définie et continue dans (B). Nous allons démontrer que $TB ⊂ B$. Envisageons $Tη$ pour $η ∈ B$. On a $(Tη)_σ = \varphi$. Evaluons $|(Tη)_t - \varphi_t^*|$ pour $γ-a ≤ t ≤ σ$.

$$ \|(T\eta)(t) - \varphi^*(t)\| \le \|(T\eta)(t) - (T\varphi^*)(t)\| + \|(T\varphi^*)(t) - \varphi^*(t)\| \\ \le \|(T\eta)(t) - (T\varphi^*)(t)\| + \frac{1}{2}\beta_0(1-k^*) $$

(cf. (1.14) et (1.15)). On vérifie facilement que pour $η ∈ B$ on peut appliquer la condition (1.4). On a donc

$$ \|(T\eta)(t) - (T\varphi^*)(t)\| \le k^*|\eta_t - \varphi_t^*| \le k^*\frac{1}{2}\beta_0 $$

et par suite

$$ \|(T\eta)(t) - \varphi^*(t)\| \le k^*\frac{1}{2}\beta_0 + \frac{1}{2}\beta_0(1-k^*) = \frac{1}{2}\beta_0 $$

c'est-à-dire que $TB ⊂ B$. On vérifie facilement que pour chaque $\bar{η} ∈ B$, $\bar{η} \in B$ on a

$$ |T\bar{η} - \bar{T}\bar{η}| \le k^*|\eta - \bar{η}| $$

(où $|\xi| = \sup_{\sigma-r-a<t<\sigma} \|\xi(t)\|$, donc il existe un $η^* ∈ B$ tel que

$$ \Gamma\eta^* = \eta^*, $$

c'est-à-dire

$η_σ^* = \varphi$, $η^*(t) = F(t+r, η_{i+r}^*, \varphi'(t+r-σ))$ pour $σ-r-a ≤ t ≤ σ-r$

d'où il vient

$$ η^*(t-r) = F(t, η_i^*, \varphi'(t-σ)) = F(t, η_i^*, η^*(t)) \quad \text{pour } σ-a ≤ t ≤ σ $$

et par suite, en vertu de (1.3),

$$ η^*(t) = f(t, η^*(t-r), η_i^*) \quad \text{pour } σ-a ≤ t ≤ σ. $$

Le théorème T est ainsi démontré.

Remarque 2. Le théorème 1 résulte du théorème T. Les hypothèses H étant admises, la fonction $f(t, \varphi)$ est de la forme

$$ f(t, \varphi) = \tilde{F}(t, \varphi(-r)) + \tilde{g}(t, \varphi) $$
où

$$
\tilde{F}(t, y) = A(t, \varphi_i^*) y,
$$

$$
\tilde{g}(t, x_t) = g(t, \varphi_i^*, x_t - \varphi_i^*) + f(t, \varphi_i^*) - f'_{\varphi}(t, \varphi_i^*) \varphi_i^* + \int_{-r}^{0} [d_{\theta}\eta(t, \varphi_i^*(\theta), \theta)] x_t(\theta)
$$

et par suite de l'hypothèse que $\text{Det} A(t, \varphi) \neq 0$ il résulte qu'il existe une fonction $F(t, \varphi, z)$ satisfaisante à (1.3)

$$
F(t, \psi, z) = A^{-1}(t, \varphi^*) \{z - \tilde{g}(t, \varphi)\}
$$

on a donc

$$
\begin{align*}
\|F(t, \psi, z) - F(t, \tilde{\psi}, z)\| &= \|A^{-1}(t, \varphi_i^*) \{\tilde{g}(t, \psi) - \tilde{g}(t, \tilde{\psi})\}\| \\
&\le \|A^{-1}(t, \varphi_i^*)\| \|\tilde{g}(t, \psi) - \tilde{g}(t, \tilde{\psi})\| \le p_0 \{\|g(t, \varphi_i^*, \psi - \varphi_i^*) - \\
&\qquad - g(t, \varphi_i^*, \tilde{\psi} - \varphi_i^*)\|\} + \left\| \int_{-r}^{0} [d_{\theta}\eta(t, \varphi_i^*(\theta), \theta)] (\psi(\theta) - \tilde{\psi}(\theta)) \right\| \\
&\le p_0 \{\varepsilon(t, \varphi_i^*, \beta) |\psi - \tilde{\psi}| + \left\| \int_{-r}^{-r+a} [d_{\theta}\eta(t, \varphi_i^*(\theta), \theta)] [\psi(\theta) - \tilde{\psi}(\theta)] \right\|
\end{align*}
$$

pour chaque couple $\psi, \tilde{\psi}$ tel que $\psi(\theta) = \tilde{\psi}(\theta)$ pour $-r+a \le \theta < 0$.

En vertu de (5) on a

$$
\left\| \int_{-r}^{-r+a} [d_{\theta}\eta(t, \varphi_i^*(\theta), \theta)] \zeta(\theta) \right\|
$$

$$
= \left\| \int_{-r}^{-r+a} [d_{\theta}\eta(t, \varphi_i^*(\theta), \theta)] \zeta(\theta) - A(t, \varphi_i^*) \zeta(-r) \right\| \le \gamma(t, \varphi_i^*, a) \sup_{-r \le \theta < -r+a} \|\zeta(\theta)\|,
$$

donc

$$
\|F(t, \psi, z) - F(t, \tilde{\psi}, z)\| \le p_0 \{\varepsilon(t, \varphi_i^*, \beta) + \gamma(t, \varphi_i^*, a) |\psi - \tilde{\psi}|\}
$$

pour $\psi, \tilde{\psi}$ tel que $\psi(\theta) = \tilde{\psi}(\theta)$ pour $-r+a \le \theta \le 0$,

mais $\varepsilon(t, \varphi_i^*, \beta) \to 0$ pour $\beta \to 0$, $\gamma(t, \varphi_i^*, a) \to 0$ pour $a \to 0$, et, par suite, pour $a, \beta$ suffisamment petits on a

$$
k(a, \beta) \stackrel{\text{df}}{=} \varepsilon(t, \varphi_i^*, \beta) + \gamma(t, \varphi_i^*, a) \le 1.
$$

Les hypothèses $\overline{H}$ sont donc satisfaites.

2. Remarque 3. Les hypothèses $\overline{H}$ étant admises, il existe exactement une solution $x(t)$ à gauche de $\sigma$, satisfaisant à la condition $x_\sigma = \varphi$, telle que $|x_t - \varphi| \le \tilde{\beta}$ dans l'intervalle de définition de $x_t$.

Supposons qu'il existe deux fonctions $\bar{x}(t)$ et $\bar{\bar{x}}(t)$ définies dans l'intervalle $\sigma - \alpha - r \le t \le \sigma$ telles que

$$
\bar{x}'(t) = f(t, \bar{x}(t-r), \bar{x}_t) \quad \text{pour } \sigma - \alpha \le t \le \gamma,
$$

$$
\bar{\bar{\omega}}'(t) = f(t, \bar{\bar{\omega}}(t-r), \bar{\bar{\omega}}_t) \quad \text{pour } \sigma - \alpha \le t \le \gamma,
$$

$$
(2.1) \qquad \bar{x}_{\sigma} = \bar{\bar{\omega}}_{\sigma} = \varphi, \quad \bar{x}(t) \neq \bar{\bar{\omega}}(t).
$$
On a donc

$$ \bar{x}(t-r) = F(t, \bar{x}_t, \bar{x}'(t)) \quad \bar{\bar{x}}(t-r) = F(t, \bar{\bar{x}}_t, \bar{\bar{x}}'(t)) \quad \text{pour } \sigma-a \le t \le \sigma, $$

c'est-à-dire

$$ (2.2) \qquad \bar{x}(t) = F(t+r, \bar{x}_{t+r}, \bar{x}'(t+r)) $$

$$ (2.3) \qquad \bar{x}(t) = F(t+r, \bar{x}_{t+r}, \bar{x}'(t+r)) \quad \text{pour } \sigma-r-a \le t \le \sigma-r, $$

$$ (2.4) \qquad \bar{x}(t) = \bar{\bar{x}}(t) = \varphi(t-\sigma) \quad \text{dans } [\sigma-r, \sigma]. $$

De l'hypothèse que $\bar{x}(t) \neq \bar{\bar{x}}(t)$ il résulte qu'il y a un $t_1$, $t_1 \in [\sigma-a-r, \sigma]$ tel que

$$ (2.5) \qquad \bar{x}(t_1) \neq \bar{\bar{x}}(t_1). $$

De (2.4) il s'ensuit que $t_1 \in [\sigma-a-r, \sigma-r]$. En vertu de (2.4) et (2.5) il existe un $\bar{i} \in (t_1, \sigma-r]$ et une suite $\{t_v\}$, $t_v \to \bar{i}$, $t_v \in (t_1, \sigma-r)$ tels que

$$ (2.6) \qquad \bar{x}(t) = \bar{\bar{x}}(t) \quad \text{pour } t \in [\bar{i}, \sigma], $$

$$ (2.7) \qquad \bar{x}(t_v) \neq \bar{\bar{x}}(t_v). $$

On a

$$ \bar{x}'(t+r) = \bar{\bar{x}}'(t+r) \quad \text{pour } t \in [\bar{i}-r, \sigma], $$

$$ \bar{x}_{t+r}(\theta) = \bar{\bar{x}}_{t+r}(\theta) \quad \text{pour } \bar{i}-r-t \le \theta \le 0, \quad -r \le \theta, $$

et par suite, en vertu de (1.4), pour $\bar{i}-a_0 \le t \le \bar{i}$ ($a_0 < r, a_0 < \bar{\tilde{a}}$) on a

$$ \begin{aligned} \|\bar{x}(t) - \bar{\bar{x}}(t)\| &= \|F(t+r, \bar{x}_{t+r}, \bar{x}'(t+r)) - F(t+r, \bar{\bar{x}}_{t+r}, \bar{\bar{x}}'(t+r))\| \\ &\le k(a_0, \beta) \cdot |\bar{x}_{t+r} - \bar{\bar{x}}_{t+r}|. \end{aligned} $$

Posons par définition

$$ M = \max_{\bar{i}-a_0 < s < \bar{i}+r} |\bar{x}(s) - \bar{\bar{x}}(s)|. $$

On a donc

$$ M \le k(a_0, \beta)M. $$

$t_v \to \bar{i}$ et par suite $\bar{i}-a_0 \le t_v \le \bar{i}$ pour $v \ge N$, d'où il résulte que $0 < M$. De l'inégalité $a_0 < \bar{\tilde{a}}$ et de (1.5) il vient

$$ k(a_0, \beta) < 1, $$

donc

$$ M < M. $$

L'unicité du prolongement est ainsi démontrée.
### 3. Remarque 4. Dans la remarque 2 nous avons démontré que l'hypothèse H entraîne l'hypothèse $\bar{H}$. Dans la suite nous allons donner un exemple d'équation satisfaisant à l'hypothèse $\bar{H}$ et ne satisfaisant pas à l'hypothèse H.

**EXEMPLE 1.** Envisageons le cas où $f(t, y, \psi)$ est donné par la relation suivante

$$ (3.1) \qquad f(t, y, \psi) = y + \int_{-r}^{0} \psi(s) ds + 3 [\psi(0)]^{2/3}. $$

Dans ce cas

$$ F(t, \psi, z) = z - \int_{-r}^{0} \psi(s) ds - 3 \psi^{2/3}(0), $$

$$ \|F(t, \psi, z) - F(t, \bar{\psi}, z)\| \le \int_{-r}^{0} \|\psi(s) - \bar{\psi}(s)\| \bar{ds} + 3 \|\psi^{2/3}(0) - \bar{\psi}^{2/3}(0)\|. $$

Dans le cas où

$$ \psi(s) = \bar{\psi}(s) \quad \text{pour } -r+a \le s \le 0 \ (0 < a < r) $$

on a donc

$$ \|F(t, \psi, z) - F(t, \bar{\psi}, z)\| \le \int_{-r}^{-r+a} \|\psi(s) - \bar{\psi}(s)\| ds \le a|\psi - \bar{\psi}|. $$

Les hypothèses $\bar{H}$ du théorème T sont donc satisfaites tandis que les hypothèses H ne le sont plus pour $\psi(\theta)$ tel que $\psi(0) = 0$.

Reçu par la Rédaction le 21. 10. 1976