On a alors, compte tenu de la parité paire ou impaire des fonctions $\Sigma_{ij}(\mathbf{q}, z)$ en la variable $z$ :

$$ \tilde{\chi}_{\text{coll}}(\mathbf{q}, z) = - \frac{\alpha^2(\mathbf{q}, z)S_{12}(\mathbf{q}, -z) + \alpha^2(\mathbf{q}, -z)S_{12}(\mathbf{q}, z) + 2\alpha(\mathbf{q}, z)\alpha(\mathbf{q}, -z)D_{12}(\mathbf{q}, z)}{S_{12}(\mathbf{q}, z)S_{12}(\mathbf{q}, -z) - D_{12}^2(\mathbf{q}, z)} \quad (161) $$

Or, il se trouve qu'à l'ordre en $q^{-1}$ où nous irons, le carré de $D_{12}$ au dénominateur restera négligeable et nous pourrons utiliser la forme simplifiée

$$ \tilde{\chi}_{\text{coll}}(\mathbf{q}, z) \approx - \frac{\alpha^2(\mathbf{q}, z)}{S_{12}(\mathbf{q}, z)} - \frac{\alpha^2(\mathbf{q}, -z)}{S_{12}(\mathbf{q}, -z)} - \frac{2\alpha(\mathbf{q}, z)\alpha(\mathbf{q}, -z)D_{12}(\mathbf{q}, z)}{S_{12}(\mathbf{q}, z)S_{12}(\mathbf{q}, -z)} \quad (162) $$

Donnons en effet l'équivalent des lois de puissance (113) pour les nouvelles combinaisons introduites, obtenues par le même argument de comptage de puissances :

$$ S_{12}(\mathbf{q}, z) \approx q^{d-2} \quad ; \quad \alpha(\mathbf{q}, z) \approx q^{d-4} \quad ; \quad D_{12}(\mathbf{q}, z) \approx q^{d-6} \quad (163) $$

Ainsi $D_{12}^2$ au dénominateur est une correction d'ordre relatif $q^{2d-12}/q^{2d-4} = q^{-8}$ alors que nous irons seulement à l'ordre relatif $q^{-2}$ à 2D, voir l'équation (116), et à l'ordre relatif $q^{-4}$ à 3D, voir l'équation (117). On trouve de même que le troisième terme dans (162) pourra être négligé à 2D mais pas à 3D. Notons pour terminer ce point que le premier et le deuxième terme de (162) ont exactement la même intégrale curviligne sur le lacet $C_d$ :$^{54}$

$$ \int_{C_d} dz \left[ - \frac{\alpha^2(\mathbf{q}, -z)}{S_{12}(\mathbf{q}, -z)} \right] = \int_{C_d} dz \left[ - \frac{\alpha^2(\mathbf{q}, z)}{S_{12}(\mathbf{q}, z)} \right] \quad (165) $$

si bien que la contribution du deuxième terme à $\delta\tilde{g}_{\text{coll}}(\mathbf{q})$ double exactement celle du premier.

Deuxièmement, le développement en puissances de $q^{-1}$ est formidablement allégé par la procédure suivante : (i) on suppose temporairement que le potentiel chimique $\mu$ est strictement négatif et l'on pose $\mu = -\nu E_q$, $\nu > 0$ (comme $\mu$ est fixé, $\nu$ tend vers zéro comme $1/q^2$); (ii) on construit des auxiliaires de calcul $f^{\epsilon-\xi}(\mathbf{q}, z)$ en remplaçant $\epsilon_\pm$ par $\xi_\pm$ dans les expressions intégrales de chaque fonction $f(\mathbf{q}, z)$ (ici en pratique $f = \alpha, S_{12}$); (iii) il se trouve qu'on sait calculer analytiquement les $f^{\epsilon-\xi}(\mathbf{q}, z)$, ce qui permet de les développer en puissances de $\nu$ donc de $q^{-2}$;

$$ \int_{C_d} dz F(-z) = \int_{C_d} dz F(z) \quad (164) $$

Ici, comme sur la figure 2b, le lacet orienté $C_d$ entoure les singularités de $F(z)$ sur le demi-axe réel positif, et le lacet orienté $C_g$ à venir, qui s'en déduit par l'action de $z \to -z$, entoure celles sur le demi-axe réel négatif. Nous raisonnons en deux temps. (i) Le changement de variable $z = -z'$ donne $\int_{C_d} dz F(-z) = \int_{C_g} (-dz')F(z')$. (ii) Refermons le double lacet $C_g \cup C_d$ par un demi-cercle à l'infini $DC_h$ dans le demi-plan supérieur et un demi-cercle à l'infini $DC_b$ dans le demi-plan inférieur; le contour obtenu $C_d \cup DC_h \cup C_g \cup DC_b$ n'entoure aucune singularité de l'intégrande donc, d'après le théorème de Cauchy, l'intégrale curviligne correspondante est nulle, $\int_{C_d} dz F(z) + \int_{DC_h} dz F(z) + \int_{C_g} dz F(z) + \int_{DC_b} dz F(z) = 0$. Si les contributions des demi-cercles sont nulles (par exemple parce que $F(z)$ décroît à l'infini comme $1/|z|^\alpha$, $\alpha > 1$), ceci impose $\int_{C_d} dz F(z) + \int_{C_g} dz F(z) = 0$. Il reste à associer (i) et (ii) pour aboutir à la propriété (164) annoncée ($z'$ est une variable muette dans le point (i)).

<footnote>$^{54}$ Considérons une fonction générale $F(z)$ de la variable complexe analytique en dehors des intervalles réels $[a, +\infty[$ et $]-\infty, -a]$ avec $a > 0$, et montrons qu'on a en toute généralité</footnote>
(iv) il reste à développer les restes $\delta f(\mathbf{q}, z) \equiv f(\mathbf{q}, z) - f^{\epsilon \to \xi}(\mathbf{q}, z)$ par la méthode multiéchelle mentionnée plus haut; (v) enfin, on regroupe les résultats et on les étend formellement au cas $\mu > 0$. Donnons les expressions intégrales des fonctions utiles et de leurs auxiliaires :$^{55}$

$$ \alpha(\mathbf{q}, z) = \int_{\mathbb{R}^d} \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{\Delta(\epsilon_+ + \epsilon_-)(z + \xi_+ + \xi_-)}{4\epsilon_+ \epsilon_- [z^2 - (\epsilon_+ + \epsilon_-)^2]} \quad (166) $$

$$ \alpha^{\epsilon \to \xi}(\mathbf{q}, z) = \int_{\mathbb{R}^d} \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{\Delta(\xi_+ + \xi_-)}{4\xi_+ \xi_- [z - (\xi_+ + \xi_-)]} \quad (167) $$

$$ S_{12}(\mathbf{q}, z) = \int_{\mathbb{R}^d} \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \left\{ \frac{(\epsilon_+ + \epsilon_-)(\epsilon_+ \epsilon_- + \xi_+ \xi_-) + z(\epsilon_+ \xi_- + \epsilon_- \xi_+)}{2\epsilon_+ \epsilon_- [z^2 - (\epsilon_+ + \epsilon_-)^2]} + \frac{1}{4\epsilon_+} + \frac{1}{4\epsilon_-} \right\} \quad (168) $$

$$ S_{12}^{\epsilon \to \xi}(\mathbf{q}, z) = \int_{\mathbb{R}^d} \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \left[ \frac{1}{z - (\xi_+ + \xi_-)} + \frac{1}{4\xi_+} + \frac{1}{4\xi_-} \right] \quad (169) $$

$$ D_{12}(\mathbf{q}, z) = \int_{\mathbb{R}^d} \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{(\epsilon_+ + \epsilon_-)\Delta^2}{2\epsilon_+ \epsilon_- [z^2 - (\epsilon_+ + \epsilon_-)^2]} \quad (170) $$

$$ D_{12}^{\epsilon \to \xi}(\mathbf{q}, z) = \int_{\mathbb{R}^d} \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{(\xi_+ + \xi_-)\Delta^2}{2\xi_+ \xi_- [z^2 - (\xi_+ + \xi_-)^2]} \quad (171) $$

Comme on le voit, les fonctions auxiliaires $\alpha^{\epsilon \to \xi}(\mathbf{q}, z)$ et $S_{12}^{\epsilon \to \xi}(\mathbf{q}, z)$ admettent comme seule singularité dans le plan complexe la ligne de coupure $z \in \{\xi_+ + \xi_- | \mathbf{k} \in \mathbb{R}^d\} = [E_q/2 - 2\mu, +\infty[ c'est-à-dire $Z \in [1/2 + 2\nu, +\infty[$; en particulier, elles n'ont aucune singularité sur l'axe réel négatif, et leurs contributions aux deux premiers termes de (162) tombent sous le coup du raisonnement illustré par le schéma (115) (leur intégrale curviligne sur $C_d$ est nulle); il en va bien entendu autrement pour les restes $\delta\alpha(\mathbf{q}, z)$ et $\delta S_{12}(\mathbf{q}, z)$, si leur développement en puissances de $q^{-1}$ est poussé assez loin. Nous verrons que ce sont des termes croisés (ou d'interférence) entre $\alpha^{\epsilon \to \xi}(\mathbf{q}, z)$ et $\delta\alpha(\mathbf{q}, z)$ qui donneront la contribution dominante non nulle à l'intégrale de contour des deux premiers termes de (162). Le problème ne se pose pas dans le troisième terme de (162) : celui-ci présente automatiquement des singularités à la fois sur $\mathbb{R}^+$ et sur $\mathbb{R}^-$ parce qu'il contient un facteur $\alpha(\mathbf{q}, z)\alpha(\mathbf{q}, -z)$, mais aussi un facteur $D_{12}(\mathbf{q}, z)$, dont la fonction auxilaire admet la réunion d'intervalle $Z \in [-\infty, -1/2 - 2\nu] \cup [1/2 + 2\nu, +\infty[$ comme lignes de coupure. Enfin, on peut remarquer que les fonctions introduites ne sont pas indépendantes, au sens où

$$ D_{12}(\mathbf{q}, z) = \frac{\Delta}{z}[\alpha(\mathbf{q}, z) - \alpha(\mathbf{q}, -z)] \quad \text{et donc} \quad D_{12}^{\epsilon \to \xi}(\mathbf{q}, z) = \frac{\Delta}{z}[\alpha^{\epsilon \to \xi}(\mathbf{q}, z) - \alpha^{\epsilon \to \xi}(\mathbf{q}, -z)] \quad (172) $$

ce qui n'est qu'une reformulation de la seconde relation dans (51).

Pour faciliter la suite, nous résumons dans la table ci-dessous les ordres dominants et les ordres requis pour les différentes fonctions [fait-il le rappeler, on a $z = ZE_q$ et $q \to +\infty$ avec

<footnote>$^{55}$La symérisation du contre-terme dans l'équation (169) est utile pour le développement multiéchelle de $\delta S_{12}(\mathbf{q}, z)$ en puissances de $q^{-1}$. Elle ne l'est pas pour le calcul analytique de $S_{12}^{\epsilon \to \xi}(\mathbf{q}, z)$ (elle ne fait que compliquer l'intégration angulaire sans changer le résultat final).</footnote>
Z fixé, et l'on se souvient des équations (116,117) et de la première égalité donnant $\delta \tilde{g}_{\text{coll}}(\mathbf{q})$ sous forme d'une intégrale de contour dans (114)] :

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{dom. } d=2 & \text{req. } d=2 & \text{dom. } d=3 & \text{req. } d=3 \\ \hline \alpha(\mathbf{q}, z) & q^{-2} & q^{-4} & q^{-1} & q^{-5} \\ S_{12}(\mathbf{q}, z) & q^{+0} & q^{-2} & q^{+1} & q^{-3} \\ D_{12}(\mathbf{q}, z) & q^{-4} & - & q^{-3} & q^{-3} \\ \hline \tilde{\chi}_{\text{coll}}(\mathbf{q}, z) & q^{-4} & q^{-6} & q^{-3} & q^{-7} \\ 1^{\text{er}}/2^{\text{e}} \text{ terme dans (162)} & q^{-4} & q^{-6} & q^{-3} & q^{-7} \\ 3^{\text{e}} \text{ terme dans (162)} & q^{-8} & - & q^{-7} & q^{-7} \\ \hline \delta \tilde{g}_{\text{coll}}(\mathbf{q}) & q^{-4} & q^{-4} & q^{-4} & q^{-5} \\ \hline \end{array} \tag{173} $$

## B.2. Cas bidimensionnel

En dimension $d=2$, nous obtenons les expressions explicites des fonctions auxiliaires après intégration angulaire, puis radiale au moyen du changement de variable $x = k^2$ :$^{56}$

$$ \alpha^{\epsilon-\xi}(\mathbf{q}, z) = \frac{m\Delta}{4\pi\hbar^2 E_{\mathbf{q}}} \frac{\ln\left[4\nu + 1 - Z - \sqrt{4\nu + (Z-1)^2}\right] - \ln\left[4\nu + 1 - Z + \sqrt{4\nu + (Z-1)^2}\right]}{\sqrt{4\nu + (Z-1)^2}} \tag{174} $$

$$ S_{12}^{\epsilon-\xi}(\mathbf{q}, z) = \frac{m}{4\pi\hbar^2} \left[ \ln\left(2\nu + \frac{1}{2} - Z\right) - \ln(2\nu) \right] \tag{175} $$

Nous obtenons ensuite aux ordres requis les développements des restes $\delta f(\mathbf{q}, z)$ :$^{57}$

$$ \delta\alpha(\mathbf{q}, z) \stackrel{\text{Z fixé}}{=} \frac{m\Delta}{4\pi\hbar^2 E_{\mathbf{q}}} \frac{2\ln(q/q_{\text{dim}}) + \ln\nu}{Z-1} + \left[ \frac{\rho^{\text{sta}}\Delta}{(2E_{\mathbf{q}})^2} \frac{1}{Z+1} \right] + \frac{\Delta}{(2E_{\mathbf{q}})^2} \frac{1}{(Z-1)^3} \times \int_{\mathbb{R}^2} \frac{d^2k}{(2\pi)^2} (\epsilon_{\mathbf{k}}^{-1} - \xi_{\mathbf{k}}^{-1}) [2E_{\mathbf{k}} + (Z^2-1)\xi_{\mathbf{k}}] + O(q^{-6}\ln q) \tag{176} $$

$$ \delta S_{12}(\mathbf{q}, z) \stackrel{\text{Z fixé}}{=} \frac{m}{4\pi\hbar^2} \ln(vq^2/q_{\text{dim}}^2) - \frac{1}{E_{\mathbf{q}}} \frac{\rho^{\text{sta}}}{Z-1} + O(q^{-4}) \tag{177} $$

La contribution la plus intéressante dans tous ces résultats est celle encadrée dans $\delta\alpha(\mathbf{q}, z)$ : c'est la seule à présenter une singularité sur le demi-axe réel négatif (un pôle en $Z = -1$). Nous la notons $\alpha_{\text{sing}}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z)$ dans la suite,

$$ \alpha_{\text{sing}}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z) = \frac{\rho^{\text{sta}}\Delta}{(2E_{\mathbf{q}})^2} \frac{1}{Z+1} = \frac{\rho^{\text{sta}}\Delta}{4E_{\mathbf{q}}(Z+E_{\mathbf{q}})} \tag{178} $$

car c'est l'ordre dominant en $q^{-1}$ de la partie $\alpha_{\text{sing}}(\mathbf{q}, z)$ de $\alpha(\mathbf{q}, z)$ singulière sur $\mathbb{R}^-$. Tout le reste donnera une contribution nulle après intégration sur le contour $C_d$, voir la discussion autour du schéma (115). Nous pouvons donc, dans le premier terme de (162), faire la substitution

$$ -\frac{\alpha^2(\mathbf{q}, z)}{S_{12}(\mathbf{q}, z)} \rightarrow -\frac{2\alpha^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z)\alpha_{\text{sing}}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z)}{S_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z)} \tag{179} $$

<footnote>$^{56}$On pose de plus $x = \frac{1}{4} - v + v^{1/2}(t - t^{-1})/2$ avec $t \in [2v^{1/2}, +\infty[$ dans l'intégrale donnant $\alpha^{\epsilon-\xi}(\mathbf{q}, z)$. La racine carrée au dénominateur de (174) n'introduit malgré les apparences aucune ligne de coupure car le numérateur est – comme le dénominateur – une fonction impaire de cette racine carrée (or, une racine carrée se transforme en son opposé lorsqu'elle traverse sa ligne de coupure). Les logarithmes dans (174) admettent bien $Z \in [\frac{1}{2} + 2v, +\infty[$ comme ligne de coupure.</footnote>

<footnote>$^{57}$Pour expliciter certaines intégrales, nous avons utilisé l'équation d'état (21) et l'équation sur le paramètre d'ordre (16) de la théorie BCS statique à température nulle. Par exemple, $\int_{\mathbb{R}^2} [d^2k/(2\pi)^2](\epsilon_{\mathbf{k}}^{-1} - \xi_{\mathbf{k}}^{-1}) = (m/2\pi\hbar^2)\ln(vq^2/q_{\text{dim}}^2)$.</footnote>
avec les comportements dominants des fonctions $\alpha(\mathbf{q}, z)$ et $S_{12}(\mathbf{q}, z)$ :$^{58}$

$$ \alpha^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z) = \frac{m\Delta}{4\pi\hbar^2 E_{\mathbf{q}}} \frac{1}{Z-1} [2\ln(q/q_{\text{dim}}) + 2\ln(1-Z) - \ln(1-2Z)] \quad (180) $$

$$ S_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z) = \frac{m}{4\pi\hbar^2} \left[ 2\ln\left(\frac{q}{2q_{\text{dim}}}\right) + \ln(1-2Z) \right] \quad (181) $$

Après la substitution (179), l'intégrale curviligne (114) du premier terme de (162) se calcule très bien en refermant le lacet $C_d$ par un grand cercle à l'infini, comme sur le schéma (115); la seule singularité entourée est alors le pôle de $\alpha_{\text{sing}}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z)$ en $Z = -1$. L'intégrale curviligne sur $C_d$ du second terme (soumis à la même substitution) se déduit directement du théorème des résidus sans déformer le lacet, le pôle de $\alpha_{\text{sing}}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, -z)$ en $Z = +1$ étant la seule singularité entourée par $C_d$; elle double exactement la contribution du premier terme, comme l'annonçait déjà l'équation (165). Le troisième terme de (162), nous l'avons dit, est négligeable. Il reste

$$ \delta \tilde{g}_{\text{coll}}(\mathbf{q}) \stackrel{d=2}{\underset{q \to +\infty}{\rightleftharpoons}} = 2 \times \frac{\rho^{\text{sta}} \Delta \alpha^{\text{dom}}(\mathbf{q}, -E_{\mathbf{q}})}{2E_{\mathbf{q}}} \frac{S_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, -E_{\mathbf{q}})}{S_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, E_{\mathbf{q}})} + O(\ln^\alpha / q^6) \quad (182) $$

en accord avec les équations (109,111) qu'il fallait démontrer.

### B.3. Cas tridimensionnel

En dimension $d=3$, nous parvenons là aussi à intégrer analytiquement (167,169) :$^{59}$

$$ \alpha^{\epsilon \to \xi}(\mathbf{q}, z) = \frac{q^3 \Delta}{(4\pi E_{\mathbf{q}})^2} \mathcal{F} \left( u = 2i\nu^{1/2} + i\sqrt{1+4\nu-2Z} \right) \quad (183) $$

$$ S_{12}^{\epsilon \to \xi}(\mathbf{q}, z) = \frac{mq}{8\pi\hbar^2} [(1 + 4\nu - 2Z)^{1/2} - 2\nu^{1/2}] \quad (184) $$

Pour arriver à une écriture compacte, il nous a fallu introduire$^{60}$

$$ \mathcal{F}(u) = \frac{i\pi}{2} [\ln(u-1) - \ln(u+1) + \ln(1-u) - \ln(-1-u)] \quad (185) $$

La fonction manquante $D_{12}^{\epsilon \to \xi}$ se déduit de (183) au travers de l'équation (172). Il reste à dévettapper les restes $\delta\alpha(\mathbf{q}, z)$ et $\delta S_{12}(\mathbf{q}, z)$ en puissances de $q^{-1}$, ce qui est assez lourd. Pour voir jusqu'où il faut aller, repartons de l'expression utile (162) de la partie collective de la susceptibilité et analysons-la terme par terme et facteur par facteur, sachant que nous devons en déterminer jusqu'à l'ordre $q^{-7}$ les parties qui sont singulières à la fois sur $\mathbb{R}^-$ et sur $\mathbb{R}^+$ :

<footnote>$^{58}$On les obtient en développant (174,175) à l'ordre $v^0$ et en regroupant avec (176,177); on vérifie que les logarithmes $\ln v$ se compensent exactement dans le regroupement.</footnote>

<footnote>$^{59}$Exliquons notre calcul de $\alpha^{\epsilon-\xi}(\mathbf{q}, z)$ assez retors. Après moyenne angulaire en coordonnées sphériques d'axe polaire $\mathbf{q}$, on étend l'intégrale radiale à $\mathbb{R}$ par parité formelle de l'intégrande puis on applique une méthode d'intégrale de contour. Plus précisément, après le changement de variable $k = qK$, on tombe sur l'intégrale $I_\alpha = \int_{-\infty}^{+\infty} dK K [\ln P(K) - \ln P(-K)]/Q(K)$ avec les trinômes $P(K) = (K-1/2)^2 + v$ et $Q(K) = 2K^2 + 1/2 + 2v - Z$. En appelant $u = 1/2 + iv^{1/2}$ et $z_0 = (i/2)\sqrt{1+4v-2Z}$ les racines de $P$ et de $Q$ de partie imaginaire positive (les autres sont $u^*$ et $-z_0$), en utilisant l'identité $\ln[(K-u)(K-u^*)] = \ln(K-u) + \ln(K-u^*)$ $\forall K \in \mathbb{R}$, puis en décomposant $K/Q(K)$ en éléments simples, on trouve que $I_\alpha = (1/4) \int_{-\infty}^{+\infty} dK [(K+z_0)^{-1} + (K-z_0)^{-1}] [[\ln(K-u) - \ln(K+u^*)] + [\ln(K-u^*) - \ln(K+u)]]$. Nous sommes ramené à des intégrales de la forme $J = \int_{-\infty}^{+\infty} dK [\ln(K-a) - \ln(K-b)]/(K-c)$ avec des parties imaginaires $Im a$ et $Im b$ non nulles de même signe. Nous calculons $J$ par le théorème des résidus, en refermant le chemin d'intégration par un demi-cercle à l'infini dans le demi-plan complexe inférieur ($s = -1$) ou supérieur ($s = +1$) $P_s = P_{\mathfrak{F}a,b}$ ne contenant pas les lignes de coupure $a+\mathbb{R}^-$ et $b+\mathbb{R}^-$ des logarithmes. Alors $J = 0$ si $c \notin P_{\mathfrak{F}a,b}$ et $J = 2i\pi s [\ln(c-a) - \ln(c-b)]$ sinon.</footnote>

<footnote>$^{60}$Contrairement aux apparences, la fonction $\mathcal{F}(u)$ admet uniquement le segment $u \in [-1; 1]$ comme ligne de coupure (les discontinuités des deux premiers logarithmes à la traversée de l'intervalle $]-\infty, -1[$, ou celles des deux derniers à la traversée de l'intervalle $[1, +\infty[$, se compensent exactement). De toute façon, la variable $u$ dans (183) n'atteint jamais l'axe réel lorsque $Z$ décrit $C \setminus \mathbb{R}$ car la racine carrée d'un nombre complexe $\notin \mathbb{R}^-$ est toujours de partie réelle strictement positive; la ligne de coupure de (183) est donc simplement celle de $\sqrt{1+4v-2Z}$, à savoir $[\frac{1}{2} + 2v, +\infty[$ comme il se doit.</footnote>
* Le troisième terme de (162) est immédiatement d'ordre $q^{-7}$ [voir le récapitulatif (173)] et bilatéralement singulier; il requiert donc seulement la connaissance des ordres dominants $\alpha^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z) \propto q^{-1}$ et $S_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z) \propto q^{+1}$. Nous pouvons faire dans (162) la substitution

$$ \frac{2\alpha(\mathbf{q}, z)\alpha(\mathbf{q}, -z)D_{12}(\mathbf{q}, z)}{S_{12}(\mathbf{q}, z)S_{12}(\mathbf{q}, -z)} \rightarrow \frac{2\alpha^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z)\alpha^{\text{dom}}(\mathbf{q}, -z)D_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z)}{S_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z)S_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, -z)} \quad (186) $$

* La première singularité de $\alpha(\mathbf{q}, z)$ sur $\mathbb{R}^-$ apparaît à l'ordre $q^{-4}$, voir la note 62; nous l'appelons $\alpha_{\text{sing}}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z)$. Elle n'épuise pas l'ordre requis sur $\alpha(\mathbf{q}, z)$, qui est $q^{-5}$ [voir le récapitulatif (173)]; à cet ordre-là, nous trouverons également une contribution singulière sur $\mathbb{R}^-$, que nous noterons en toute logique $\alpha_{\text{sing}}^{\text{sdom}}(\mathbf{q}, z)$ (l'indice « sdom » signifie « sous-dominant »).

* La première singularité de $S_{12}(\mathbf{q}, z)$ sur $\mathbb{R}^-$ apparaît à l'ordre $q^{-6}$, voir la note 62, ce qui va au-delà de l'ordre requis sur cette fonction; on peut donc l'oublier.

* Dans le premier terme de (162), nous pouvons donc à l'ordre $q^{-7}$ remplacer $\alpha^2(\mathbf{q}, z)$ au numérateur par le double produit de la partie régulière sur $\mathbb{R}^-$ (écrite à l'ordre sous-dominant) et de la partie singulière sur $\mathbb{R}^-$ (écrite elle aussi à l'ordre sous-dominant); au dénominateur, nous pouvons limiter $S_{12}(\mathbf{q}, z)$ à l'ordre sous-dominant. D'où la substitution :

$$ \frac{\alpha^2(\mathbf{q}, z)}{S_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z)} \rightarrow \frac{2[\alpha^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z) + \alpha^{\text{sdom}}(\mathbf{q}, z)][\alpha_{\text{sing}}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z) + \alpha_{\text{sing}}^{\text{sdom}}(\mathbf{q}, z)]}{S_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z) + S_{12}^{\text{sdom}}(\mathbf{q}, z)} \quad (187) $$

* Nous pouvons faire exactement le même raisonnement et la même modification dans le deuxième terme de (162), il suffit de changer $z$ en $-z$ dans (179). De toute façon, ce deuxième terme donne la même contribution que le premier à $\delta\tilde{g}_{\text{coll}}(\mathbf{q})$ en vertu de l'équation (165); nous en tiendrons compte par un facteur 2.

* Les parties avec singularité sur $\mathbb{R}^-$ ne peuvent bien entendu provenir que des restes $\delta f(\mathbf{q}, z)$.

Pour alléger, nous ne donnons pas les développements assez longs de $\delta\alpha(\mathbf{q}, z)$ et de $\delta S_{12}(\mathbf{q}, z)$, qui ne sont après tout que des intermédiaires de calcul. Disons simplement que celui de $\delta\alpha(\mathbf{q}, z)$ commence à l'ordre $q^{-2}$ et que le terme suivant est en $q^{-4}$ (les deux termes sont des $O(1/|Z|)$ à l'infini); celui de $\delta S_{12}(\mathbf{q}, z)$ commence à l'ordre $q^0$, avec un terme suivant en $q^{-2}$ (le premier est indépendant de $Z$, le second est proportionnel à $1/(Z-1)$). Signalons aussi que la dépendance en $\nu$ disparaît dans le regroupement de $\alpha^{\epsilon\rightarrow\xi}(\mathbf{q}, z)$ et de $\delta\alpha(\mathbf{q}, z)$ à l'ordre $q^{-2}$, et dans celui de $S_{12}^{\epsilon\rightarrow\xi}(\mathbf{q}, z)$ et de $\delta S_{12}(\mathbf{q}, z)$ à l'ordre $q^0$, en vertu de l'égalité $\int_{\mathbb{R}^3}[d^3k/(2\pi)^3](\epsilon_{\mathbf{k}}^{-1} - \xi_{\mathbf{k}}^{-1}) = (m/2\pi\hbar^2)(\nu^{1/2}q - a_{3D}^{-1})$ déduite de l'équation (16). Il reste finalement pour les parties qui sont régulières sur $\mathbb{R}^-$ :

$$ \alpha^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z) = \frac{m^2 \Delta}{4\pi^2 \hbar^4} \left[ F(Z) - \frac{\pi^2}{2} \right] q^{-1} \quad ; \quad \alpha^{\text{sdom}}(\mathbf{q}, z) = - \frac{m^2 \Delta a_{3D}^{-1}}{2\pi \hbar^4} \frac{1}{Z-1} q^{-2} \quad (188) $$

$$ S_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z) = \frac{m}{8\pi\hbar^2(1-2Z)^{1/2}} q \quad ; \quad S_{12}^{\text{sdom}}(\mathbf{q}, z) = -\frac{ma_{3D}^{-1}}{4\pi\hbar^2} \quad (189) $$
Les contributions sous-sous-dominantes figurent dans la note 61 ci-dessous. Pour abréger, on a introduit la fonction<fnref n="61" />

$$F(Z) = \frac{i\pi}{2} \ln \frac{\sqrt{1-2Z}+iZ}{\sqrt{1-2Z}-iZ} \quad \forall Z \in \mathbb{C} \setminus [1/2, +\infty] \quad (190)$$

après avoir montré que

$$\lim_{v \to 0^+} \mathcal{F} \left( 2iv^{1/2} + i\sqrt{1+4v-2Z} \right) = \mathcal{F} \left( i\sqrt{1-2Z} \right) = F(Z) - \pi^2/2 \quad (191)$$

en vérifiant dans la seconde égalité que les fonctions ont même dérivée première par rapport à Z, à savoir $\pi/[(Z-1)\sqrt{1-2Z}]$, et même limite nulle en $Z = -\infty$. Nous trouvons pour les parties qui sont singulières sur $\mathbb{R}^-$ les ordres dominant et sous-dominant suivants:<fnref n="62" />

$$\alpha_{\text{sing}}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z) = \frac{\rho^{\text{sta}} \Delta}{(2E_{\mathbf{q}})^2} \frac{1}{Z+1} \quad (192)$$

$$\alpha_{\text{sing}}^{\text{sdom}}(\mathbf{q}, z) = \lim_{\eta \to 0^+} \frac{m^4 \Delta^3}{\pi^2 \hbar^8 q^5} \left[ \frac{-1}{Z+1} \frac{\hbar^4 q}{2m^2 \Delta^2} \int_{\eta q}^{+\infty} dk_- k_-^2 \frac{2\Delta^2}{(2E_{\mathbf{k}_-})^2} + \int_{\eta}^{+\infty} \frac{dK_-}{K_-^2} \int_{u_m(K_-)}^1 \frac{du_-}{2} \frac{1+2K_-u_-+2K_-^2}{(1+2K_-u_-+K_-^2)^2} \frac{1}{Z+1+2K_-u_-+2K_-^2} \right] \quad (193)$$

où la densité $\rho^{\text{sta}}$ est celle (21) de la théorie BCS statique à température nulle, $\eta$ est le paramètre de coupure séparant la zone de proximité $k_- < \eta q$ de la zone asymptotique $k_- > \eta q, \mathbf{k} \cdot \mathbf{q} > 0$ dans la méthode multiéchelle de la référence [5], on a remplacé $1-\xi_{\mathbf{k}}/\epsilon_{\mathbf{k}}$ par son ordre dominant $2\Delta^2/(2E_{\mathbf{k}})^2$ dans la première intégrale, et l'on a posé $u_m(K) = \max(-1, -1/2K)$ dans la seconde intégrale comme dans la section 4.3.5.4 de cette référence ($u_-$ est le cosinus de l'angle entre les vecteurs $\mathbf{q}$ et $\mathbf{k}_-$ et l'on a $\mathbf{K}_- = \mathbf{k}_-/q$). En étendant l'astuce bidimensionnelle de la note 47 à l'intégrale auxiliaire tridimensionnelle

$$J = \int_{\mathbb{R}^3} \frac{d^3 K}{(K_+^2 + \epsilon^2)^2 (K_-^2 + \epsilon^2)^2} \frac{K_+^2 + K_-^2}{Z + K_+^2 + K_-^2} \quad (194)$$

<footnote n="61">⁶¹ Dans (190), l'argument du logarithme est un réel négatif $-x^2$, $x \ge 0$, donc se trouve sur la ligne de coupure du logarithme, si $Z = 1-2x/(1+x)^2$ (qui décrit $[1/2, +\infty]$ lorsque $x$ décrit $\mathbb{R}^+$) ou si $Z = 1+2x/(x-1)^2$ (qui décrit $[1, +\infty]$ lorsque $x$ décrit $\mathbb{R}^+$); on obtient donc la ligne de coupure annoncée $Z \in [1/2, +\infty[$, qui est aussi celle de la racine carrée sous le logarithme. Par ailleurs, on vérifie que $F(Z) = -\pi^2 Z + O(Z^2)$ lorsque $Z \to 0$ et surtout que $F(Z) - \pi^2/2 = O(1/|Z|)^{1/2}$ lorsque $|Z| \to +\infty$. La seconde propriété permet de vérifier que le cercle à l'infini dans le schéma (115) a une contribution nulle, donc que l'intégrale curviligne sur $C_d$ des coefficients $\tilde{\chi}_{\text{coll}}^{(-n)}(Z)$ du développement (117) est nulle jusqu'à l'ordre $n=5$. Pour que le lecteur puisse s'en convaincre, donnons la contribution du premier terme de (162) à ces coefficients : $\tilde{\chi}_{\text{coll}}^{(-3)}(Z)|_{1\text{er}} = -\Delta^2(m/2\pi\hbar^2)^3[\pi^2-2F(Z)]^2/\sqrt{1-2Z}$, $\tilde{\chi}_{\text{coll}}^{(-4)}(Z)|_{1\text{er}} = -2\Delta^2 a_{3D}^{-1}(m/2\pi\hbar^2)^3[\pi^2-2F(Z)]\{[\pi^2-2F(Z)]/(1-2Z)+4\pi/(|Z-1|\sqrt{1-2Z})\}$, $\tilde{\chi}_{\text{coll}}^{(-5)}(Z)|_{1\text{er}} = -4\Delta^2(m/2\pi\hbar^2)^3(1-2Z)^{-3/2}\{a_{3D}^{-2}[2F(Z)-\pi^2+2\pi\sqrt{1-2Z}/(1-Z)]^2+(m\mu/\hbar^2)[2F(Z)-\pi^2][2F(Z)-\pi^2-4\pi Z\sqrt{1-2Z}/(1-Z^2)]\}$. Le calcul de $\tilde{\chi}_{\text{coll}}^{(-5)}(Z)$ requiert les parties sous-sous-dominantes $\alpha^{\text{sdom}}(\mathbf{q}, z) = -(m^3\Delta\mu/\pi\hbar^6 q^3)Z/[(Z-1)^2\sqrt{1-2Z}]$ et $S_{12}^{\text{sdom}}(\mathbf{q}, z) = -(m^2\mu/2\pi\hbar^4 q)(1-2Z)^{-1/2}$.</footnote>

<footnote n="62">⁶² Expliquons comment retrouver les puissances $q^{-4}$ et $q^{-5}$ correspondantes. Dans l'expression (166) de $\alpha(\mathbf{q}, z)$, décomposons l'intégrande en éléments simples pour la variable $z$ et gardons la partie de dénominateur $z+\epsilon_+ + \epsilon_-$, seule susceptible d'être singulière sur $\mathbb{R}^-$, ce qui donne $\alpha_{\text{sing}}(\mathbf{q}, z) = \int_{\mathbb{R}^3} [d^3 k / (2\pi)^3] [(\Delta/8) [\delta\epsilon_+ / (\epsilon_+\epsilon_-) + \delta\epsilon_- / (\epsilon_-\epsilon_+)] (z+\epsilon_+ + \epsilon_-)^{-1}$ avec $\delta\epsilon_{\mathbf{k}} = \epsilon_{\mathbf{k}} - \xi_{\mathbf{k}}$. Comme $\delta\epsilon_{\mathbf{k}} \approx 1/k^2$ à l'infini, la zone de proximité $k_- < \eta q$ de la méthode multiéchelle donne à l'ordre dominant en $q^{-1}$ une contribution indépendante de la coupure $\eta$, $\alpha_{\text{sing}}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z) = 2 \int_{\mathbb{R}^3} [d^3 k_- / (2\pi)^3] [(\Delta/8) (\delta\epsilon_- / \epsilon_-) / [E_{\mathbf{q}}^2(Z+1)]$: on retrouve l'équation (192). La zone asymptotique, dans laquelle $q \to +\infty$ à $\mathbf{K} = \mathbf{k}/q$ fixé, est évidemment d'ordre dominant $q^{-5}$ puisque $d^3 k$ sort un facteur $q^3$, $\delta\epsilon_- / \epsilon_-\epsilon_+$ sort un facteur $q^{-6}$ et le dénominateur d'énergie $z+\epsilon_+ + \epsilon_-$ est d'ordre $q^2$; le résultat dépend cependant de la coupure $\eta$, d'une façon qui est compensée par une contribution sous-dominante de la zone de proximité comme dans (193). Le même raisonnement sur l'expression (168) de $S_{12}^{\text{sing}}(\mathbf{q}, z)$ conduit à une partie singulière sur $\mathbb{R}^-$ donnée par $S_{12}^{\text{sing}}(\mathbf{q}, z) = \int_{\mathbb{R}^3} [d^3 k / (2\pi)^3] (-1/4) (\delta\epsilon_+ \delta\epsilon_- / \epsilon_+\epsilon_-) (z+\epsilon_+ + \epsilon_-)^{-1}$ d'ordre dominant $q^{-6}$ sur la zone de proximité et $q^{-7}$ sur la zone asymptotique.</footnote>
(ici $K_± = K_± \hat{q}/2$ avec $\hat{q} = q/q$ la direction du vecteur $q$) puis en calculant cette intégrale à un $o(1)$
près lorsque $\epsilon \to 0^+$ par la méthode de la note 59, nous aboutissons à l'expression explicite$^{63}$

$$
\alpha_{\text{sing}}^{\text{sdom}}(\mathbf{q}, z) = \frac{m^4 \Delta^3}{\pi^2 \hbar^8 q^5} \left[ \frac{\pi \sqrt{1+2Z}}{2Z(Z+1)^2} - \frac{F(-Z)}{2Z^2} \right] \quad (195)
$$

singulière sur l'intervalle $Z \in ]-\infty, -1/2]$ mais dont on vérifie l'absence de pôle en $Z=0$ au moyen
de la note 61, qui donne le comportement de $F(Z)$ en $Z=0$.

Pour résumer, à l'ordre $q^{-5}$ et en nous souvenant de l'expression par intégrale curviligne
à température nulle $\delta \tilde{g}_{\text{coll}}(\mathbf{q}) = \int_{C_d} \frac{dz}{(-2i\pi)} \tilde{\chi}_{\text{coll}}(\mathbf{q}, z)$, nous pouvons identifier trois contributions
dans la transformée de Fourier de la partie collective $\delta g_{\text{coll}}(\mathbf{r}, \mathbf{r}')$ (56) des fonctions de distribution
de paires :

(i) la contribution de la partie singulière dominante $\alpha_{\text{sing}}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z)$ dans le premier terme de (162) simplifié comme dans l'équation (187); comme la singularité n'est qu'un pôle simple en $Z = -1$, nous refermons le contour d'intégration $C_d$ comme sur le schéma (115) pour entourer le pôle. Le théorème des résidus donne alors

$$
\delta \tilde{g}_{\text{coll}}(\mathbf{q})|_{(i)} = 2 \times E_{\mathbf{q}} \times \frac{2[\alpha_{\text{dom}}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z = -E_{\mathbf{q}}) + \alpha_{\text{sdom}}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z = -E_{\mathbf{q}})]}{S_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z = -E_{\mathbf{q}}) + S_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z = -E_{\mathbf{q}})} \frac{\rho^{\text{sta}} \Delta}{(2E_{\mathbf{q}})^2} \quad (196)
$$

Le facteur 2 tient compte du doublement par le deuxième terme de (162) et le facteur $E_q$ est le
jacobien du changement de variable $z = E_q Z$. Les valeurs des fonctions en $Z = -1$ s'obtiennent
facilement si l'on sait que $F(-1) = \pi^2/6$ [voir l'équation (201)], si bien que

$$
\begin{align}
\delta \tilde{g}_{\text{coll}}(\mathbf{q})|_{(i)} &= - \frac{2\rho^{\text{sta}} m^2 \Delta^2}{\hbar^4 q^4} \frac{\frac{1}{12} - \frac{1}{4\pi a_{3D} q} + O(q^{-2})}{\frac{\sqrt{3}}{8\pi} - \frac{1}{4\pi a_{3D} q} + O(q^{-2})} \nonumber \\
&= -2 \left(\frac{m\Delta}{\hbar^2 q^2}\right)^2 \rho^{\text{sta}} \left[ \frac{2\pi}{3\sqrt{3}} + \left(\frac{4\pi}{9} - \frac{2\sqrt{3}}{3}\right) (qa_{3D})^{-1} + O(q^{-2}) \right] \tag{197}
\end{align}
$$

(ii) la contribution de la partie singulière sous-dominante $\alpha_{\text{sing}}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, z)$ dans la forme simplifiée (187); comme ses singularités dans le plan complexe sont une ligne de coupure sur $Z \in ]-\infty, -1/2]$ et un pôle en $Z = -1$, nous préférons garder le contour d'origine $C_d$, en l'écrasant cependant sur l'intervalle $Z \in [1/2; +\infty[$ pour se ramener à une variable d'intégration réelle $\epsilon \in [1/2, +\infty[$ (on pose $Z = \epsilon \pm i0^+$) et on utilise l'identité $\tilde{\chi}(\epsilon + i0^+) - \tilde{\chi}(\epsilon - i0^-) = 2i \operatorname{Im} \tilde{\chi}(\epsilon + i0^+)$ :

$$
\delta \tilde{g}_{\text{coll}}(\mathbf{q})|_{(ii)} = 2 \times E_{\mathbf{q}} \times \int_{1/2}^{+\infty} \frac{d\epsilon}{\pi} \operatorname{Im} \left( \frac{2\alpha_{\text{dom}}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, Z = \epsilon + i0^+)}{S_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, Z = \epsilon + i0^+)} \right) \alpha_{\text{sing}}^{\text{sdom}}(\mathbf{q}, Z = \epsilon) \quad (198)
$$

où le facteur $2 \times E_q$ a même origine que dans (196).

(iii) la contribution du troisième terme de (162) simplifié comme dans l'équation (186); nous
nous ramenons à une variable d'intégration réelle comme au point (ii) pour obtenir :

$$
\delta \tilde{g}_{\text{coll}}(\mathbf{q})|_{(iii)} = E_{\mathbf{q}} \times \int_{1/2}^{+\infty} \frac{d\epsilon}{\pi} \frac{2\alpha^{\text{dom}}(\mathbf{q}, Z = \epsilon)}{S_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, Z = \epsilon)} \operatorname{Im} \left( \frac{\alpha^{\text{dom}}(\mathbf{q}, Z = \epsilon + i0^+) D_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, Z = \epsilon + i0^+)}{S_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, Z = \epsilon + i0^+) S_{12}^{\text{dom}}(\mathbf{q}, Z = \epsilon)} \right) \quad (199)
$$

<footnote>$^{63}$Si l'on passe à côté de cette astuce, on peut toujours calculer analytiquement $\text{Im}[\alpha_{\text{sing}}^{\text{sdom}}(\mathbf{q}, Z = \epsilon + i0^+)]$ sur
son support $\epsilon \in ]-\infty, -1/2]$ en utilisant la relation $\text{Im}[1/(x + i0^+)] = -\pi\delta(x)$ sous le signe intégral dans (193) puis en
prenant la limite $\eta \to 0^+$ au sens des distributions. Il reste alors à refermer le contour d'intégration sur $C_g$ comme
dans la note 54. Ceci conduit à une expression équivalente mais bien plus compliquée de l'intégrale (203) à venir, $\mathcal{F} =$
$4\phi(-1) - \int_{-\infty}^{-3/2} d\epsilon \frac{\phi(\epsilon)}{(1+\epsilon)^2} - \int_{-1/2}^{+1/2} \frac{d(\delta\epsilon)}{2(\delta\epsilon)^2} [\phi(-1+\delta\epsilon) + \phi(-1-\delta\epsilon) - 2\phi(-1)] + \int_{-\infty}^{-1/2} d\epsilon \phi(\epsilon) \left[ \frac{1}{2\epsilon^2} \ln \frac{\epsilon+\sqrt{-1-2\epsilon}}{\epsilon-\sqrt{-1-2\epsilon}} - \frac{1}{\epsilon(\sqrt{-1-2\epsilon}-\epsilon)} \right]$,
avec $\phi(\epsilon) = [\pi^2/2 - F(\epsilon)]/\sqrt{1-2\epsilon}$.</footnote>
en se souvenant que les ordres dominants de $\alpha$ et de $S_{12}$ sont des fonctions régulières sur $\mathbb{R}^-$ et que la fonction $D_{12}(\mathbf{q}, z)$ est reliée à $\alpha(\mathbf{q}, z)$ par l'équation (172).

On peut calculer les parties imaginaires et plus généralement les intégrandes dans (198,199) au moyen des relations suivantes :

$$F(\epsilon + i0^+) \stackrel{\epsilon \ge 1/2}{=} \frac{i\pi}{2} \ln \left[ - \frac{\epsilon - \sqrt{2\epsilon - 1}}{\epsilon + \sqrt{2\epsilon - 1}} \left( 1 + \frac{2i0^+}{(\epsilon - 1)\sqrt{2\epsilon - 1}} \right) \right] = \frac{i\pi}{2} \ln R(\epsilon) + \frac{\pi^2}{2} \operatorname{sgn}(\epsilon - 1) \quad (200)$$

$$F(-\epsilon) \stackrel{\epsilon \ge 0}{=} \frac{\pi^2}{2} - \pi \arctan \frac{\sqrt{1+2\epsilon}}{\epsilon} = \pi \arctan \left( \frac{\epsilon}{\sqrt{1+2\epsilon}} \right) \quad (201)$$

où $\operatorname{sgn}$ est la fonction signe et l'on a posé $R(\epsilon) = (\epsilon - \sqrt{2\epsilon - 1})/(\epsilon + \sqrt{2\epsilon - 1}) \ge 0 \forall \epsilon > 1/2$. En regroupant les trois contributions (197,198,199), nous aboutissons au développement asymptotique annoncé (109), avec l'expression de la constante numérique dans le coefficient (110) de $q^{-5}$ :

$$\mathcal{D} = \frac{2}{\pi^3} (\mathcal{I} + \mathcal{J}) \quad (202)$$

où l'intégrale $\mathcal{I}$ provient du point (ii) et l'intégrale $\mathcal{J}$ provient du point (iii) :

$$\mathcal{I} = \int_{1/2}^{1} d\epsilon \left[ \frac{F(-\epsilon)}{2\epsilon^2} - \frac{\pi\sqrt{1+2\epsilon}}{2\epsilon(\epsilon+1)^2} \right] \frac{2\pi}{\sqrt{2\epsilon-1}} \quad (203)$$

$$\mathcal{J} = \int_{1/2}^{1} d\epsilon \frac{[\pi^2/2 - F(-\epsilon)][-\pi^2/2 - F(-\epsilon)]}{\epsilon\sqrt{2\epsilon-1}\sqrt{2\epsilon+1}} + \int_{1/2}^{+\infty} d\epsilon \frac{[\pi^2/2 - F(-\epsilon)]\ln^2 R(\epsilon)}{4\epsilon\sqrt{2\epsilon-1}\sqrt{2\epsilon+1}} \quad (204)$$

Nous nous contentons ici d'un calcul numérique de ces constantes :

$$\mathcal{I} = 0,985\,834\dots; \quad \mathcal{J} = -9,507\,704\dots \quad (205)$$

Signalons cependant (sans le mener jusqu'au bout) la possibilité d'un calcul analytique. D'abord, on fait disparaître les racines carrées par le changement de variable $\epsilon = (t^2 + 1/t^2)/4$ où $t \ge 1$; alors $\sqrt{1+2\epsilon} = (t+1/t)/\sqrt{2}$ et $\sqrt{2\epsilon-1} = (t-1/t)/\sqrt{2}$. Ensuite, on remarque que le numérateur et le dénominateur de la fraction sous le logarithme dans la définition (190) de $F(Z)$ sont des carrés, par exemple $\sqrt{1-2Z}+iZ = (\sqrt{1-2Z}+i)^2/(2i)$. Ceci permet d'écrire $F(-\epsilon)$ sous la forme

$$F(-\epsilon) = \frac{\pi^2}{2} + i\pi \left[ \ln(t+i\alpha) + \ln(t-i\beta) - \ln(t-i\alpha) - \ln(t+i\beta) \right] \quad \text{où } \alpha = \beta^{-1} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2} \quad (206)$$

On ramène donc (203) à une intégrale de la forme $\int dt R(t) \ln(t-a)$ avec $Im a \neq 0$ puis, en décomposant la fraction rationnelle $R(t)$ en éléments simples sur $\mathbb{C}$, à $\int dt \ln(t-a)/(t-z)$ avec $Im z \neq 0$ et $z \neq a$, pour laquelle une primitive (continue sur $\mathbb{R}$) est connue :

$$\int dt \frac{\ln(t-a)}{t-z} = g_2\left(\frac{t-a}{z-a}\right) - g_1\left(\frac{t-a}{z-a}\right) \left[\ln(t-a) - \ln(z-a)\right] + \ln(z-a) \ln(t-z) \quad (207)$$

Ici $g_n$ est une fonction de Bose ou polylogarithme. Ceci suffit pour $\mathcal{I}$. La même méthode conduit, pour la première intégrale $\mathcal{I}_1$ dans (204), à $\int \ln(t-a) \ln(t-b)/(t-z)$, pour laquelle une primitive (pas nécessairement continue) est donnée par le calcul formel (nous ne la recopions pas ici). La seconde intégrale dans (204) est plus coriace; grâce à l'invariance par les transformations $t \to 1/t$ et $t \to -t$, on arrive à l'écrire comme une intégrale sur l'axe réel tout entier,

$$\mathcal{I}_2 = \int_{-\infty}^{+\infty} dt \frac{(-i\pi t)}{1+t^4} \left\{ \left[ \ln(t+i\alpha) - \ln(t+i\beta) \right] + \left[ \ln((t-i\beta) - \ln(t-i\alpha)) \right] \ln^2 \frac{|t-\alpha||t+\beta|}{|t+\alpha||t-\beta|} \right\} \quad (208)$$

où nous avons regroupé les logarithmes dont les arguments ont des parties imaginaires de même signe. Il reste à appliquer la méthode de contour de la note 59, après avoir exprimé $\ln|x|$ en termes d'une fonction logarithme complexe

$$\ln|x| = \ln(x + i0^+) - i\pi Y(-x) = \ln(x - i0^+) + i\pi Y(-x) \quad \forall x \in \mathbb{R}^* \quad (209)$$
et avoir choisi le signe $\pm$ pour que toutes les lignes de coupure des logarithmes soient dans le même demi-plan complexe inférieur ou supérieur. La partie non analytique de (209) mettant en jeu la fonction de Heaviside échappe au théorème des résidus, mais se ramène à une intégrale d'un produit de deux fonctions logarithmes sur un intervalle semi-infini de $\mathbb{R}$, que l'on sait calculer comme dans $\mathcal{J}_1$.

## Annexe C. Comportement à courte distance de certaines intégrales de Fourier

On considère une fonction $\tilde{\phi}(\mathbf{q})$ de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathcal{C}$ isotrope, de module intégrable, de comportement asymptotique (109). On demande comment varie sa transformée de Fourier inverse $\phi(\mathbf{r}) = \int_{\mathbb{R}^d} [d^d q / (2\pi)^d] \tilde{\phi}(\mathbf{q}) \exp(i\mathbf{q} \cdot \mathbf{r})$ à l'ordre $r^2$, c'est-à-dire à un $o(r^2)$ près, au voisinage de $\mathbf{r} = \mathbf{0}$. Dans la suite, on omettra l'indice « coll » sur les coefficients de (109) pour alléger et pour universaliser.

### C.1. Cas bidimensionnel

En dimension $d=2$, on se ramène après moyenne angulaire et soustraction de $\phi(\mathbf{0})$ à l'intégrale suivante :

$$ \phi(\mathbf{r}) - \phi(\mathbf{0}) = \int_{0}^{+\infty} \frac{q dq}{2\pi} [J_0(qr) - 1] \tilde{\phi}(\mathbf{q}) \quad (210) $$

Nous ne pouvons pas remplacer froidement $J_0(qr) - 1$ par son approximation quadratique $-(qr)^2/4$ sous le signe intégrale sans déclencher une divergence ultraviolette logarithmique. Après réflexion, nous introduisons deux paramètres de coupure fixés $Q \gg 1$ et $0 < \eta \ll 1$, nous séparons l'intervalle d'intégration en trois sous-intervalles $I_1 = [0, Q]$, $I_2 = [Q, \eta/r]$ et $I_3 = [\eta/r, +\infty[$ et nous utilisons dans la limite $r \to 0^+$ trois approximations différentes de l'intégrande de (210) adaptées à chaque intervalle. Il restera ensuite à prendre la limite $Q \to +\infty$ et $\eta \to 0^+$ dans les coefficients du développement obtenu. Sur l'intervalle $I_1$, nous quadratisons $J_0(qr) - 1$; l'erreur commise est un $O(r^4)$ négligeable. Sur l'intervalle $I_2 \cup I_3$, nous pouvons remplacer $\tilde{\phi}(\mathbf{q})$ par le terme dominant en $q^{-4}$ dans (109); puisque $J_0(qr) - 1 = O((qr)^2)$, l'erreur commise est un $O(r^2/Q^2)$ (à des facteurs $\ln Q$ près) donc affecte le coefficient de $r^2$ par un $O(1/Q^2)$ négligeable. Toujours sur $I_2 \cup I_3$, nous effectuons ensuite le changement de variable $x = qr$, ce qui fait sortir un facteur global $r^2$,

$$ \phi(\mathbf{r}) - \phi(\mathbf{0})|_{I_2 \cup I_3} \approx \frac{Cr^2}{2\pi} \int_{Qr}^{+\infty} \frac{dx \ln(Ax/r)}{x^3 \ln(Bx/r)} [J_0(x) - 1] \quad (211) $$

Dans l'intégrale sur $x$ restante, nous pouvons alors passer à la limite $r \to +\infty$, donc dire que $\ln(Ax/r)/\ln(Bx/r) \to 1$ si $x \in [\eta, +\infty[$ (l'erreur commise est un $o(1)$), et approximer $J_0(x) - 1$ par $-x^2/4$ si $Qr < x < \eta$ (ceci introduit une erreur $O(\eta^2)$ négligeable). Il reste deux intégrales que l'on sait étudier lorsque $\eta \ll 1$ ou $r \to 0^+$ :

$$ \begin{aligned} \int_{\eta}^{+\infty} \frac{dx}{x^3} [J_0(x) - 1] &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} d\theta \left[ -\frac{1 - \cos(\eta \cos \theta)}{2\eta^2} - \frac{1}{2\eta} \sin(\eta \cos \theta) \cos \theta + \frac{1}{2} \operatorname{Ci}(\eta \cos \theta) \cos^2 \theta \right] \\ &= \frac{1}{4} (-1 - \ln 2 + \gamma + \ln \eta) + O(\eta^2) \quad (212) \end{aligned} $$

(nous avons utilisé la représentation intégrale $J_0(x) = (2/\pi) \operatorname{Re} \int_0^{\pi/2} d\theta \exp(ix \cos \theta)$, interverti l'intégration sur $x$ et sur $\theta$, intégré deux fois par parties dans l'intégrale sur $x$ pour passer de
$x^3$ à $x$ au dénominateur, reconnu la fonction cosinus intégral Ci, utilisé son développement en l'origine et l'identité $(2/\pi) \int_0^{\pi/2} d\theta \cos^2\theta \ln(\cos\theta) = (1-2\ln 2)/4$

$$
\begin{align}
\int_{Qr}^{\eta} \frac{dx \ln(Ax/r)}{x^3 \ln(Bx/r)} \left(-\frac{1}{4} x^2\right) &= \frac{1}{4} \ln\left(\frac{Qr}{\eta}\right) - \frac{1}{4} \ln\left(\frac{A}{B}\right) \ln\left[\frac{\ln(\eta B/r)}{\ln(QB)}\right] \nonumber \\
&= \frac{1}{4} \ln\left(\frac{Qr}{\eta}\right) - \frac{1}{4} \ln\left(\frac{A}{B}\right) \left[\ln\ln\left(\frac{B}{r}\right) - \ln\ln(QB)\right] + O\left(\frac{1}{\ln r}\right) \tag{213}
\end{align}
$$

(nous avons eu recours au changement de variable $u = \ln x$). La dépendance en $\eta$ disparaît dans la somme de (212) et (213). Pour faire disparaître la dépendance en $Q$ dans la limite $Q \to +\infty$, il faut revenir à la contribution de l'intervalle $I_1$; nous la transformons par astuce moins-plus comme suit :

$$
\begin{equation}
\begin{split}
\phi(\mathbf{r}) - \phi(\mathbf{0})|_{I_1} &\approx -\frac{r^2}{8\pi} \int_0^Q dq \, q^3 \tilde{\phi}(\mathbf{q}) = -\frac{r^2}{8\pi} \int_0^Q dq \, q \left[ q^2 \tilde{\phi}(\mathbf{q}) - \frac{C}{q^2 + q_0^2} \frac{\ln[A^2(q^2 + q_0^2)]}{\ln[B^2(q^2 + q_0^2)]} \right] \\
&\quad - \frac{Cr^2}{8\pi} \int_0^Q \frac{q dq}{q^2 + q_0^2} \frac{\ln[A^2(q^2 + q_0^2)]}{\ln[B^2(q^2 + q_0^2)]} \underset{Q \to +\infty}{=} -\frac{r^2}{4} \mathcal{I}_{2D} - \frac{Cr^2}{8\pi} \left[ \ln\left(\frac{Q}{q_{\text{dim}}}\right) + \ln\left(\frac{A}{B}\right) \ln\ln(QB) \right] + O(Q^{-2})
\end{split}
\tag{214}
\end{equation}
$$

(la dernière intégrale au troisième membre se calcule au moyen du changement de variable $u = \ln(q^2 + q_0^2)$). Ici $q_0 > 1/B$ est un nombre d'onde de référence arbitraire et l'on a posé

$$
\mathcal{I}_{2D} = \int_{0}^{+\infty} \frac{q dq}{2\pi} \left[ q^2 \tilde{\phi}(\mathbf{q}) - \frac{C}{q^2 + q_0^2} \frac{\ln[A^2(q^2 + q_0^2)]}{\ln[B^2(q^2 + q_0^2)]} \right] - \frac{C}{2\pi} \left[ \ln \frac{q_0}{q_{\text{dim}}} + \ln \left( \frac{A}{B} \right) \ln \ln(Bq_0) \right] \quad (215)
$$

C'est une quantité bien définie au vu du comportement asymptotique (109) de $\tilde{\phi}(\mathbf{q})$; elle est de plus indépendante de $q_0$ tant que $q_0 > 1/B$ (on vérifie aisément que sa dérivée par rapport à $q_0$ est identiquement nulle). Finalement, après regroupement des contributions des trois intervalles, la paramètre de coupure $Q$ disparaît et il reste le comportement quadratique cherché :

$$
\phi(\mathbf{r}) - \phi(\mathbf{0}) \stackrel{d=2}{=} \frac{1}{4} r^2 \left\{ -\mathcal{I}_{2D} + \frac{C}{2\pi} \left[ -1 + \gamma + \ln(q_{\text{dim}}r/2) - \ln\left(\frac{A}{B}\right)\ln(-\ln(r/B)) \right] + o(1) \right\} \quad (216)
$$

On peut simplifier un peu en remplaçant $\ln(-\ln(r/B))$ par $\ln(-\ln(q_{\text{dim}}r))$, car ceci introduit une correction en $O[\ln(q_{\text{dim}}B)/\ln(q_{\text{dim}}r)]$ absorbable dans le $o(1)$.

## C.2. Cas tridimensionnel

En dimension $d=3$, nous nous réduisons par isotropie à

$$
\phi(\mathbf{r}) - \phi(\mathbf{0}) = \int_{0}^{+\infty} \frac{q^2 dq}{2\pi^2} \left( \frac{\sin(qr)}{qr} - 1 \right) \tilde{\phi}(\mathbf{q}) \quad (217)
$$

Après réflexion, nous trouvons qu'il suffit de couper l'intervalle d'intégration en deux parties seulement, au moyen de la coupure $Q$. Sur la partie basse $q \in [0, Q]$, nous pouvons remplacer $\sin(qr)/(qr)-1$ par son approximation quadratique $-(qr)^2/6$; l'erreur commise est un $O(r^4)$ négligeable. Sur la partie haute, nous pouvons remplacer $\tilde{\phi}(\mathbf{q})$ par son comportement asymptotique (109); comme $\sin(qr)/(qr)-1 = O[(qr)^2]$, l'erreur commise $\int_Q^{+\infty} O(r^2/q^2) dq = O(r^2/Q)$ est sans effet sur le coefficient de $r^2$ lorsque $Q \to +\infty$. Sur la partie basse, appliquons immédiatement une astuce moins-plus pour préparer l'élimination de $Q$ dans la limite où il tend vers l'infini :

$$
\begin{equation}
\begin{split}
\phi(\mathbf{r}) - \phi(\mathbf{0})|_{q<Q} \approx & -\frac{r^2}{6} \int_0^Q \frac{q^2 dq}{2\pi^2} q^2 \left[ \tilde{\phi}(\mathbf{q}) - \frac{C}{(q^2 + q_0^2)^2} - \frac{Dq}{(q^2 + q_0^2)^3} \right] \\
& - \frac{r^2}{6} \int_0^Q \frac{q^2 dq}{2\pi^2} q^2 \left[ \frac{C}{(q^2 + q_0^2)^2} \right. \\
& \qquad \left. + \frac{Dq}{(q^2 + q_0^2)^3} \right] \\
\approx & \frac{r^2}{6} \left[ \mathcal{I}_{3D} + \frac{QC}{2\pi^2} + \frac{D}{2\pi^2} \ln\left(\frac{Q}{k_\Delta}\right) - \frac{3D}{8\pi^2} + O(Q^{-1}) \right] \quad (218)
\end{split}
\end{equation}
$$
où nous avons posé

$$ \mathcal{I}_{3D} = \int_{0}^{+\infty} \frac{q^2 dq}{2\pi^2} q^2 \left[ \frac{\dot{\phi}(\mathbf{q})}{(q^2 + q_0^2)^2} - \frac{Dq}{(q^2 + q_0^2)^3} \right] - \frac{3q_0 C}{8\pi} - \frac{D}{2\pi^2} \ln\left(\frac{q_0}{k_{\Delta}}\right) \quad (219) $$

et $k_Δ = (mΔ/ħ^2)^{1/2}$, avec $q_0 > 0$ un nombre d'onde arbitraire dont le rôle est d'éviter une divergence infrarouge. On vérifie que $d\mathcal{I}_{3D}/dq_0 = 0$ donc que $\mathcal{I}_{3D}$ est indépendant de $q_0$. Sur la partie haute $q \in [Q, +\infty[$, nous obtenons après changement de variable $x = qr$ puis passage à la limite $r \to 0^+$ à Q fixé :

$$ \begin{aligned} \phi(\mathbf{r}) - \phi(\mathbf{0})|_{q>Q} &\approx \frac{Cr}{2\pi^2} \int_{Qr}^{+\infty} \frac{dx}{x^2} \left(\frac{\sin x}{x} - 1\right) + \frac{Dr^2}{2\pi^2} \int_{Qr}^{+\infty} \frac{dx}{x^3} \left(\frac{\sin x}{x} - 1\right) \\ &= \frac{Cr}{2\pi^2} \left[ -\frac{\pi}{4} + \frac{1}{6}Qr + O(r^3) \right] + \frac{Dr^2}{2\pi^2} \left[ \frac{-11 + 6\gamma + 6\ln(Qr)}{36} + O(r^2) \right] \quad (220) \end{aligned} $$

(dans la seconde égalité, nous avons exprimé les intégrales sur $x$ en termes des fonctions spéciales sinus intégral et cosinus intégral, puis utilisé les développements connus de ces fonctions en l'origine). Il reste à sommer (218) et (220) pour obtenir le comportement quadratique cherché, indépendant de Q comme il se doit :

$$ \phi(\mathbf{r}) - \phi(\mathbf{0}) \underset{r \to 0^+}{\stackrel{d=3}{\rightleftharpoons}} -\frac{Cr}{8\pi} + \frac{1}{6}r^2 \left[ -\mathcal{I}_{3D} + \frac{D}{2\pi^2} \left( -\frac{13}{12} + \gamma + \ln(k_\Delta r) \right) + o(1) \right] \quad (221) $$

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