L'utilisateur peut décrire facilement de nouveaux matériaux. Par exemple, pour décrire H₂O, on procède comme suit :

* :ELEM Hydrogen H 1,0078

* :ELEM Oxygen O 8 15,999

* :MIXT Water 2 1,0

* Hydrogen 2*1,0078/(2*1,0078+15,999)

* Oxygen 15,999/(2*1,0078+15,999)

## IV.3.2 Description du fichier d'entrée :

### a) Générateurs des particules primaires et processus physiques :

Aucun processus ou particule n'est défini préalablement par GAMOS. Ainsi, il est nécessaire de définir sois même la nature de la particule, sa position initiale, sa taille (ponctuelle ou étendue), son type d'émission (isotrope ou directionnelle) ainsi que les énergies émises. Il existe une centaine de particules disponibles dans la librairie GAMOS classées en six grandes catégories: les leptons, les mésons, les baryons, les bosons, les particules à durée de vie courte et les noyaux. Les particules et les types d'interaction associés sont regroupés dans une liste appelée : « Physics List ». Toutes les listes physiques de GEANT4 sont disponibles dans la plateforme GAMOS, à savoir: *Electromagnetic*, *Microdosimetry*, *hadrontherapy* et ainsi que toutes les listes physiques de Geant4: *hadronic*, *decay*, *optical*, *photo lepton-hadron*, *parameterization* et *transportation*. Le choix de « Physics List » est donc crucial, il permet de déterminer les modèles physiques utilisés, leur précision et les gammes d'énergie accessibles.

Les processus requis pour les applications de la spectrométrie gamma sont « *Electromagnetic*» et « *transportation* ». Le processus *Transportation* est commun à toutes les particules et correspond au déplacement d'une particule dans un milieu sans aucune interaction. En outre, pour simuler le processus électromagnétique, la liste GmEMPhysics comprend, selon l'énergie de la particule, trois modèles : standard, Low-Energy et le modèle PENELOPE.

* Le modèle standard couvre une gamme d'énergie allant de 1 keV à 100 TeV. Il comprend tous les processus d'interaction des particules avec la matière à l'exception de la diffusion Rayleigh et de la relaxation atomique. Ce modèle a été développé pour les besoins de la physique des hautes énergies et des expériences du LHC (Large Hadron Collider).

* Le modèle Low-Energy couvre une gamme d'énergie allant de 250 eV à 100 GeV, ce modèle est impliqué dans la simulation des processus en physique médicale.
* Le modèle PENELOPE couvre une gamme d'énergie allant de 250 eV à 1 GeV, il est basé sur le code PENELOPE.

En plus de l'effet photo-électrique, la diffusion Compton, la diffusion Rayleigh, la production de paire, l'émission bremsstrahlung et l'ionisation. Les modèles Low-Energy et PENELOPE prennent en compte la fluorescence, la production d'électrons auger aussi que la relaxation atomique.

GAMOS utilise, par défaut, le modèle Low-Energy pour les gammas et les électrons, alors que pour les positrons, c'est le modèle standard qui est utilisé. Ces modèles physiques peuvent être facilement substitués par l'un des trois catégories proposées par Geant4 à l'aide de la commande :

/gamos/GmPhysics/replacePhysics PHYSICS MODEL NAME

## b) Notion de détecteur sensible :

La classe G4VSensitiveDetector de GAMOS permet de créer des hits chaque fois qu'une particule traverse un volume et perd de l'énergie. Les informations contenues dans ces hits sont : la position de la particule, le temps, le type d'interaction, l'énergie déposée en plus du nom de volume où l'interaction a eu lieu.

Lors de la création de la géométrie, il est nécessaire de préciser les volumes dans lesquels on souhaite connaître avec précision les interactions qui y ont eu lieu. Cela se fait en lui donnant une propriété supplémentaire, la sensibilité. Plusieurs types de détecteurs sensibles sont prédéfinies dans GAMOS, chacun répond à un besoin spécifique. Par exemple, le GmSDSimple produit des hits avec la position au centre du détecteur, le GmSDOpticalPhoton produit des hits juste si le processus défini est G4OpAbsorption, le GmSDVirtSegmBox permet de faire une segmentation virtuelle si le volume sensible est grand et n'est pas segmenté dans le fichier géométrie, ... etc.

Pour attacher un détecteur sensible à un volume de géométrie (Crystal par exemple), GAMOS fournit quelques utilitaires pour faciliter cela et sans avoir besoin de programmation C++ ; une simple commande peut être utilisée :

/gamos/SD/assocSD2LogVol GmSDSimple Detector Crystal

Les résultats obtenus peuvent être présentés sous forme d'un histogramme à l'aide de la commande suivante :

/gamos/userAction GmHitsHistosUA

Pour rendre la simulation plus réaliste, GAMOS offre la possibilité d'introduire certains effets physiques du détecteur, tels que la résolution en énergie, le temps de résolution, le temps de mesure et le temps mort.
### C) Exemple d'un fichier d'entrée :

L'ensemble minimal de commandes nécessaires à l'exécution d'une simulation GAMOS consiste à sélectionner une géométrie, une liste physique, et un générateur de particules primaires. Le fichier d'entrée dans ce cas se présente comme suit :

```
/gamos/setParam GmGeometryFromText:FileName detector geom
/gamos/geometry GmGeometryFromText
/gamos/physicsList GmEMPhysics
/gamos/generator GmGenerator
```

```
/run/initialize
```

```
/gamos/generator/addSingleParticleSource MY_SOURCE gamma 661*keV
/run/beamOn 10000
```

Ce fichier va créer une géométrie décrite dans le fichier detector.geom, définir la physique électromagnétique GmEMPhysics et exécuter 10000 événements avec un rayonnement primaire gamma de 661 keV.

Les particules primaires peuvent être générées selon certains types de distribution d'énergie, de temps, de position et de direction. Ceux-ci permettent de simuler des sources planaires, ponctuelles, surfaciques ou volumiques, de distribution constante, isotropique ou conique ...etc. Il y a aussi la possibilité non seulement de définir les particules comme mono-énergétiques mais aussi suivant une loi qui peut être gaussienne, exponentielle ou bien une distribution arbitraire de l'énergie.

Il existe de nombreuses autres fonctionnalités qui peuvent être rajoutées pour visualiser la géométrie, extraire des informations d'une simulation ou pouvoir agir sur les grandeurs calculées telles que l'énergie déposée, l'énergie cinétique, la position de la particule... etc.

### IV.3.3 Extraction et analyse des données :

GEANT4 offre plusieurs mécanismes pour extraire et analyser les informations d'une simulation. La manière la plus flexible est d'utiliser les actions d'utilisateur « User actions ». Celles-ci permettent d'extraire différentes données (position finale, énergie déposée, les types de particules secondaires créées dans une interaction...etc) à différents moments de la simulation.

GAMOS fournit un accès facile à un large éventail d'actions d'utilisateur prédéfinies pour permettre à l'utilisateur d'extraire les informations nécessaires et de les stocker dans le format souhaité, qui peut être un histogramme (ROOT), un fichier ASCII (TXT) ou de format CSV (Comma Separated Value). Ces données sont généralement demandées sous certaines conditions ou en utilisant des filtres spécifiques. Un filtre GAMOS est une classe C++ qui, selon certains conditions spécifiques, accepte ou rejette un information qu'il reçoit de la composante Track. GAMOS possède une grande variété de filtres prédéfinis permettant de filtrer les résultats selon le
type du rayonnement (gamma, e-, proton...etc), sa nature (chargée ou neutre, primaire ou secondaire), le processus mis en jeu (photoélectrique, compton,...), l'intervalle d'énergie, la position, la direction... etc. D'un autre côté, le classement des données sous certaines conditions est réalisé par l'établissement d' un nouveau concept par rapport à GEANT4 appelé classificateur. Un classificateur est une classe C++ qui reçoit une information de Track et renvoie un index différent en fonction de certains critères donnés. Différents classificateurs sont implémentés dans GAMOS pour classifier les résultats par volume, région, matériau, processus, type de particule...etc.

IV.3.4 Estimation de la fiabilité d'une méthode Monte Carlo :

Les résultats obtenus lors d'une simulation Monte Carlo sont toujours entachés d'incertitudes statistiques. Pour le code GAMOS, ces incertitudes sont estimées par l'approche « histoire par histoire », développée par walter [walt02] en se basant sur les travaux de Sempau [Sem01]. En effet, si la quantité étudiée est notée X, pour un nombre N d'évènements indépendants simulés le résultat de la simulation est la quantité moyenne par évènement simulé, X̄, et l'incertitude associée est σX, définies par :

$$
\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{N} X_i}{N} \qquad \sigma_{\bar{X}} = \sqrt{\frac{1}{N-1} \times \left( \frac{\sum_{i=1}^{N} X_i^2}{N} - \bar{X}^2 \right)} \qquad (III.4)
$$

Les incertitudes associées aux calculs MC sont calculées à 2σ, ce qui correspond à un intervalle de
confiance de 95%.

V. Mise en œuvre de la simulation du détecteur Germanium Hyper
Pure (GeHP) avec GAMOS :

Le code GAMOS a été utilisé dans le cadre de nos travaux de thèse principalement pour
modéliser la réponse des spectromètres gamma. Dans cette partie, nous allons essayer de reproduire
par simulation les mesures expérimentales réalisées par un détecteur GeHP.

V.1 Description du détecteur et du dispositif expérimental :

Le détecteur étudié dans ce travail, est un cristal semi-conducteur en Germanium Hyper Pur
« GeHP » de type N et d'une géométrie coaxiale. Le modèle du détecteur est GR-2020, muni d'une
fenêtre en Béryllium. Ses principales caractéristiques de performance sont :

* L'efficacité relative de 20% par rapport au scintillateur NaI(Tl) 3"x3" à l'énergie 1332,5 keV du Cobalt-60.

* La résolution caractérisée par la largeur à mi-hauteur (FWHM) est de 2 keV pour la raie 1332,5 keV du Cobalt-60.

* Le rapport Photopic-Compton mesuré à l'aide d'une source du Cobalt-60 est de 46,8.
* le temps de mise en forme est égal à 4 µs par impulsion.

Selon les données fournies par le fabricant du détecteur (Figure III.3) :

* diamètre de 51 mm,

* hauteur de 49 mm,

* creux de profondeur 38 mm, de diamètre 12 mm.

* épaisseur du contact P+ de 0,3 µm (créé par implantation d'ion de bore sur toute la surface externe du cristal).

* épaisseur du contact N+ de 600 µm (réalisé en diffusant des atomes de lithium dans la surface du creux)

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>Figure III.3: Schéma du détecteur</figcaption></figure>
Pour la calibration du détecteur, nous avons utilisé une solution standard multi-gamma d'une matrice équivalente-eau contenant 8 radionucléides différents : Am-241, Cd-109, Co-57, Ce-139, Sn-113, Cs-137, Co-60 et Y-88 émettant 10 rayonnements gamma d'énergies différentes (Tableau III.1). Nous avons effectué des mesures suivant deux géométries différentes, moyennant deux flacons abritant la solution standard. Le premier est une Boîte de pétri de volume 60 mL, et le second est un bêcher Marinelli de 1 Litre. Ces deux conteneurs sont en polyéthylène de densité 0,92 g/cm³. La Figure III.4 représente les deux flacons avec leurs dimensions. Les activités des radionucléides présents dans la solution standard, ainsi que leurs énergies (en keV) et intensités (en %) pour les deux géométries de conteneurs sont répertoriées dans le Tableau III.1.

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>Figure III.4 : Dimensions du Marinelli 1 L et de la Boîte de pétri 60 mL</figcaption></figure>

<table><caption>Tableau III.1 : Données de la source standard multi-gamma utilisée.</caption><thead><tr><th rowspan="2">Nucliéde</th><th rowspan="2">Energie (keV)</th><th rowspan="2">Intensité(%)</th><th colspan="2">Activité (Bq)</th></tr><tr><th>Boîte de pétri 60 mL</th><th>Marinelli 1L</th></tr></thead><tbody><tr><td>Am-241</td><td>59,54</td><td>35,92</td><td>127,99</td><td>98,15</td></tr><tr><td>cd-109</td><td>88,03</td><td>3,66</td><td>836,54</td><td>31,81</td></tr><tr><td>Co-57</td><td>122</td><td>85,49</td><td>126,52</td><td>69,48</td></tr><tr><td>Ce-139</td><td>165,9</td><td>79,9</td><td>143,75</td><td>120,45</td></tr><tr><td>Sn-113</td><td>391,7</td><td>64,97</td><td>355,31</td><td>28,27</td></tr><tr><td>Cs-137</td><td>661,6</td><td>85,1</td><td>162,75</td><td>287,59</td></tr><tr><td>Y-88</td><td>898</td><td>93,7</td><td>645,89</td><td>60,2</td></tr><tr><td>Co-60</td><td>1173,2</td><td>99,85</td><td>280,98</td><td>506,93</td></tr><tr><td>Co-60</td><td>1332,5</td><td>99,82</td><td>281,06</td><td>507,59</td></tr><tr><td>Y-88</td><td>1836</td><td>99,2</td><td>687,3</td><td>64,06</td></tr></tbody></table>
## V.2 Calibration expérimentale en efficacité :

L'efficacité expérimentale peut être exprimée à l'aide de la relation suivante :

$$ \epsilon_p(E_i) = \frac{N_p(E_i)}{A_i \cdot I(E_i) \cdot t} \prod_i C_i \qquad (5) $$

avec :

$N_p(E_i)$ : la surface nette sous le pic photoélectrique à l'énergie $E_i$,

$A_i$ : l'activité de la source en Bq,

$I(E_i)$ : l'intensité d'émission des photons à l'énergie $E_i$,

$t$ : la durée d'acquisition en seconde,

$C_i$ : facteur de correction.

L'incertitude associée étant :

$$ \sigma_e = \epsilon \sqrt{\left(\frac{\Delta N}{N}\right)^2 + \left(\frac{\Delta A}{A}\right)^2 + \left(\frac{\Delta I}{I}\right)^2} \qquad (III.6) $$

avec $\Delta N$, $\Delta A$ et $\Delta I$ représentent respectivement l'incertitude sur la surface du pic photoélectrique, l'incertitude sur l'activité du radionucléide et l'incertitude sur l'intensité du rayonnement gamma. Les incertitudes sur les différents $C_i$ sont négligeables.

Les mesures d'efficacité pour les deux configurations expérimentales sont reportées dans le Tableau III.2. Ces mesures sont aussi illustrées sur la Figure III.5 qui représente l'évolution de l'efficacité absolue en fonction de l'énergie des photons incidents. D'après cette Figure, on constate que la courbe d'efficacité augmente avec l'énergie des photons jusqu'à atteindre un maximum qui se situe autour de 120 keV, puis diminue progressivement au fur et à mesure que l'énergie augmente, mais n'atteint jamais des valeurs nulles. Cette décroissance est due au fait que les photons à haute énergie peuvent traverser la partie sensible du détecteur sans interaction et ne peuvent donc pas être comptés. D'une autre part, les courbes d'efficacité pour le bêcher Marinelli et la Boîte de pétri présentent une allure similaire, mais diffèrent en termes de valeurs. En effet, Les efficacités pour le bêcher Marinelli sont inférieures à celles du Boîte de pétri en raison de son volume plus étendu. Bien que les Marinelli recouvrent entièrement le détecteur, leur efficacité reste inférieure à celle d'un flacon de 60 ml.
<table><caption>Tableau III.2 : Efficacités expérimentales obtenues pour le bêcher Marinelli et la Boîte de pétri</caption><thead><tr><th rowspan="2">Nucliéde</th><th rowspan="2">Energie (keV)</th><th colspan="2">Efficacité expérimentale</th></tr><tr><th>Boîte de pétri</th><th>Marinelli 1L</th></tr></thead><tbody><tr><td>Am-241</td><td>59,54</td><td>8,09E-02±1,67E-03</td><td>3,44E-02±7,12E-04</td></tr><tr><td>cd-109</td><td>88,03</td><td>8,95E-02±1,03E-03</td><td>3,97E-02±5,68E-04</td></tr><tr><td>Co-57</td><td>122</td><td>7,82E-02±1,11E-03</td><td>3,66E-02±5,86E-04</td></tr><tr><td>Ce-139</td><td>165,9</td><td>6,83E-02±3,21E-03</td><td>3,29E-02±1,84E-03</td></tr><tr><td>Sn-113</td><td>391,7</td><td>2,81E-02±4,66E-04</td><td>1,51E-02±2,55E-04</td></tr><tr><td>Cs-137</td><td>661,6</td><td>1,71E-02±3,65E-04</td><td>9,39E-03±2,27E-04</td></tr><tr><td>Y-88</td><td>898</td><td>1,19E-02±2,65E-04</td><td>6,89E-03±1,52E-04</td></tr><tr><td>Co-60</td><td>1173,2</td><td>9,91E-03±3,91E-05</td><td>6,65E-03±3,05E-05</td></tr><tr><td>Co-60</td><td>1332,5</td><td>8,75E-03±4,01E-05</td><td>5,09E-03±2,70E-05</td></tr><tr><td>Y-88</td><td>1836</td><td>6,20E-03±6,20E-07</td><td>3,67E-03±3,67E-07</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>Figure III.5: Efficacités expérimentales obtenues pour le bêcher Marinelli 1L et la Boîte de pétri 60mL en fonction de l'énergie</figcaption></figure>
### V.3 Modélisation du dispositif expérimental :

La modélisation de la réponse du détecteur est effectuée par la version 6.1.0 du code GAMOS (GEANT4-based Architecture for Medicine-Oriented Simulations) [GAMOS Collaboration, 2020]. Nous avons défini trois classes de base, notamment : la construction du détecteur, la liste physique et le générateur de rayonnements primaires.

Les deux configurations expérimentales ont été modélisées en détail à l'aide d'un ensemble d'éléments géométriques disponibles dans GAMOS. Pour la modélisation du détecteur, nous avons pris pour le cristal en germanium ainsi que tous ses autres composants les informations fournies par le constructeur (Figure III.3). En plus, les épaisseurs des deux zones mortes relatives aux deux faces opposées du cristal ont été simulées en nous basant sur leurs valeurs nominales :

En outre, le Marinelli 1L et la boîte de Pétri 60 mL abritant la solution standard ont été modélisés selon leurs dimensions indiquées sur la Figure III.4. La solution multi-gamma est modélisée par la matrice eau renferment les différents radioéléments. Les deux géométries de comptage simulées sont représentées sur les Figures III.6 et III.7.

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>Figure III.7 : Géométrie modélisée par GAMOS du détecteur avec Marinelli 1L</figcaption></figure>

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>Figure III.6 : Géométrie modélisée par GAMOS du détecteur avec Boîte de pétri 60mL</figcaption></figure>
Le processus d'interaction des photons avec le détecteur est facilement mis en place en utilisant
la liste physique fournie par l'option GmEMPhysics. Ce modèle représente fidèlement les processus
d'interactions électromagnétiques. Les particules intervenantes dans cette classe sont : les photons,
les électrons et les positrons. Les processus associés sont :

* l'effet photoélectrique, la diffusion Compton et la création de paires pour les photons

* la diffusion multiple, l'ionisation et le Bremsstrahlung pour les électrons

* la diffusion multiple, l'ionisation, le Bremsstrahlung et l'annihilation pour les positrons.

Le générateur de particules primaires émet des photons d'énergie variant de 59 keV à 1836 keV, uniformément réparties dans tout le volume de la matrice eau. Ainsi, pour un photon d'énergie déterminée, la position et la direction initiales sont tirées de manière aléatoire dans le volume de la source. Chaque événement correspond à une nouvelle position et direction de la source. L'énergie de coupure a été fixée sur à 1 keV pour le transport des électrons et des photons.

Le code GAMOS permet de générer directement le spectre d'énergie déposée, dans un volume
de notre choix, grâce à l'action utilisateur GmHitsHistosUA. Ceci n'exprime pas l'énergie déposée
en fonction de l'énergie incidente, mais un nombre d'occurrence en fonction de l'énergie déposée.
Le volume sensible du détecteur dans lequel on souhaite connaître avec précision les interactions
qui y ont eu lieu, c'est le cristal Germanium. Toutes les interactions qui ont lieu dans ce volume
sont alors enregistrées et stockées dans un histogramme de format ROOT. L'hisotgramme "Energy
(keV)" exprime le nombre d'événements qui ont déposé leur énergie dans le détecteur en fonction
de l'énergie des photons incidents. Les courbes d'efficacité simulées sont reportées ci-après avec les
courbes expérimentales (Figure III.8 et III.9).

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>Figure III.8: Efficacité experimentale simulée en fonction de l'énergie pour la géométrie Marinelli 1L</figcaption></figure>
<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>Figure III.9: Efficacité experimentale simulée en fonction de l'énergie pour la géométrie Boîte de pétri 60mL.</figcaption></figure>

## V.4 Comparaison simulation-expérience :

La validation des deux géométries de comptage réalisées en utilisant les dimensions du détecteur fournies par le fabriquant consiste à comparer les efficacités calculées avec celles mesurées expérimentalement. Les résultats obtenus ont montré que les courbes d'efficacité simulées ont une forme similaire à celles obtenues expérimentalement, mais les efficacités simulées sont toujours supérieures à celles mesurées. Pour quantifier les divergences entre les résultats de simulations et les mesures, nous utiliserons le terme déviation relative DR qui est défini par :

$$DR (\%) = \frac{\varepsilon_{sim} - \varepsilon_{exp}}{\varepsilon_{exp}} \times 100 \qquad (III.7)$$

$\varepsilon_{sim}$ : efficacité simulée

$\varepsilon_{exp}$ : efficacité expérimentale

Le Tableau III.3 présente les résultats de simulation de l'efficacité selon les dimensions fournies par le constructeur, ainsi que les écarts relatifs par rapport aux efficacités expérimentales. Ces écarts sont clairement significatifs (plus de 35%). Ceci est très bien connu par la communauté scientifique, il s'explique d'une part, par le manque de transparence du fabricant sur les dimensions exactes du détecteur, et d'une autre part, par la dégradation des performances du détecteur au fil du temps. Il est ainsi indispensable de mettre en évidence un processus d'optimisation des paramètres
géométriques du détecteur afin de combler l'écart entre les efficacités calculées et mesurées. Nous présenterons par la suite certaines approches élaborées dans la littérature visant à réduire cet écart.

<table><caption>Tableau III.3 : Efficacités simulées et déviation relative pour le détecteur avec dimensions fournies par le constructeur (Marinelli 1L et Boîte de pétri)</caption><thead><tr><th rowspan="2">Nucliéde</th><th rowspan="2">Energie (keV)</th><th colspan="2">Boîte de pétri</th><th colspan="2">Marinelli 1L</th></tr><tr><th>Efficacité simulée</th><th>DR(%)</th><th>Efficacité simulée</th><th>DR(%)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Am-241</td><td>59,54</td><td>9,72E-02</td><td>20,10</td><td>3,96E-02</td><td>15,17</td></tr><tr><td>cd-109</td><td>88,03</td><td>9,86E-02</td><td>10,13</td><td>4,23E-02</td><td>6,60</td></tr><tr><td>Co-57</td><td>122</td><td>9,12E-02</td><td>16,57</td><td>4,12E-02</td><td>12,64</td></tr><tr><td>Ce-139</td><td>165,9</td><td>7,68E-02</td><td>12,38</td><td>3,63E-02</td><td>10,25</td></tr><tr><td>Sn-113</td><td>391,7</td><td>3,40E-02</td><td>21,17</td><td>1,74E-02</td><td>15,29</td></tr><tr><td>Cs-137</td><td>661,6</td><td>2,06E-02</td><td>20,54</td><td>1,09E-02</td><td>16,09</td></tr><tr><td>Y-88</td><td>898</td><td>1,57E-02</td><td>31,66</td><td>8,48E-03</td><td>23,02</td></tr><tr><td>Co-60</td><td>1173,2</td><td>1,25E-02</td><td>26,62</td><td>6,77E-03</td><td>19,73</td></tr><tr><td>Co-60</td><td>1332,5</td><td>1,12E-02</td><td>28,48</td><td>6,15E-03</td><td>20,88</td></tr><tr><td>Y-88</td><td>1836</td><td>8,48E-03</td><td>36,84</td><td>4,62E-03</td><td>25,87</td></tr></tbody></table>

## VI. Approches de littérature:

Plusieurs travaux de recherche se sont concentrés sur l'estimation des détails internes des détecteurs GeHP à l'aide de différentes méthodes dont nous présentons les principales entre elles afin de quantifier leurs avantages et limites.

Les travaux de Chham [Chh15] porte sur la modélisation du détecteur pour trois types de conteneurs de sources contenant une solution multi-gamma avec une plage d'énergie allant de 59 à 1836 keV. Ces conteneurs incluent le Marinelli, le Marinelli coupé (où seule la partie inférieure a été conservée) et un flacon de 60 mL. La première modélisation du détecteur a été réalisée à partir des données fournies par le constructeur où aucune information sur la couche morte n'a été mentionnée. Avec cette modélisation, la réponse simulée ne correspondait pas à la réponse réelle du détecteur, pour toutes les énergies de la source et pour les trois géométries utilisées. Ainsi pour améliorer les résultats obtenus, le modèle de simulation a été modifié afin d'introduire la partie inactive du cristal. L'auteur a considéré que la couche morte doit être corrigée sur les deux faces latérale et frontale du cristal. Il a ainsi utilisé un flacon 60 mL et un Marinelli coupé pour estimer les épaisseurs de la couche morte frontale latérale respectivement. Cette correction a été effectuée en variant l'épaisseur de la couche inactive dans le modèle du détecteur par pas de 0,1 mm et de 0,2 mm pour le flacon 60mL et le Marinelli coupé, respectivement, jusqu'à ce que l'écart soit inférieur à 3 %.
Cependant, comme l'absorption est très sensible à l'énergie des photons gamma, le choix de l'épaisseur de la zone morte permettant de corriger l'éfficacité simulée est difficile à établir. En outre, *Chham* a effectué une correction au niveau du volume actif du cristal en utilisant une géométrie de type Marinelli, et ce, pour six volumes du cristal. L'influence du volume actif appraît clairement dans le cas des énergies intermédiaires et élevées, car lorsque ce volume est diminué, l'efficacité diminue également pour toutes les énergies à l'exception des plus faibles (59 keV et 88keV). De plus, pour la gamme d'énergie 90-200 keV, l'efficacité diminue peu lorsque le volume actif diminue, alors qu'elle diminue plus fortement pour les énergies plus élevées. Enfin, un autre calcul a été effectué pour tester la sensibilité de l'efficacité à l'épaisseur du capot en aluminium en le variant de 1,5 mm (la valeur fournie par le fabricant) à 3,5 mm par pas de 0,4 mm. Les résultats montrent une variation très légère de l'efficacité pour les basses énergies tandis qu'aux énergies intermédiaires et élevées la variation d'épaisseur d'aluminium n'a pas une influence significative.

Cette étude montre la pertinence de l'introduction des zones mortes dans le modèle du détecteur ainsi que la variation de son volume sensible dans une perspective d'optimisation de la géométrie simulée. Cependant, la correction n'est pas uniforme pour toutes les énergies, ce qui rend la tâche difficile et complexe.

Une méthode couramment utilisée pour déterminer les spécifications de la structure interne d'un détecteur est la radiographie X. Cependant, cette méthode ne permet pas de vérifier les dimensions du trou et l'épaisseur des zones mortes. Le travail de recherche cité dans la référence [Chu16] consiste à modéliser le détecteur GeHP Coaxial de type N en utilisant les données tirées de la radiographie X. Les résultats de cette étude ont montré un écart relatif entre les réponses réelle et simulée variant de 2,11 à 9,86 % pour la gamme d'énergie 88 - 1836 keV, et ce pour un point de mesure situé dans l'axe du détecteur à une distance de 10 cm de la face du détecteur.
Pour réduire cet écart, *Chuong* a suggéré d'ajuster l'épaisseur de la couche morte en utilisant le code MCNP5 pour valider son modèle de simulation. Il a varié l'épaisseur de la couche morte de 0,6 mm à 3 mm par pas de 0,2 mm. Pour chaque valeur, la réponse du détecteur a été simulée et ajustée linéairement dans l'intervalle d'énergie 122 - 1408 keV où il a constaté que la pente des courbes d'efficacité variait linéairement avec l'épaisseur de la couche morte. Il a considéré par conséquent, l'épaisseur d'interpolation de la couche morte celle qui correspond à la pente de la courbe d'efficacité expérimentale, qui est de 2,14 mm, soit environ deux fois plus que la valeur nominale. Par ce modèle Chuong a réduit l'écart entre les efficacités simulées et mesurées à moins de 3 % pour la gamme d'énergie de 88 - 1836 keV.

Cette méthode bien qu'elle parraît prometeuse il convient de noter qu'elle est très coûteuse et nécessite un temps de traitement important, ce qui la rend peu pratique pour une utilisation régulière.

La troisième méthode proposée pour corriger la réponse simulée du détecteur est celle de Haj-Heidari [Haj16]. Elle est basée sur les codes de calcul FLUKA et MCNPX et les données fournies par le fabricant. Les mesures expérimentales ont été réalisées avec un faisceau de rayons gamma d'Am-241 collimaté selon les directions axiale puis radiale du détecteur, permettant ainsi d'estimer le profil spatial de l'épaisseur de la couche morte. Pour cela, la zone morte est discrétisée en plusieurs segments de 1 mm, chacun avec une épaisseur spécifique à évaluer. La corrélation entre la réponse réelle et simulée est obtenue en ajustant manuellement chaque segment de la zone morte.
Haj-Heidari a trouvé une zone morte uniforme de 4 µm à la surface radiale et une épaisseur variable de la couche morte à la surface axiale variant de 17 à 950 µm. Ensuite, il a élargit la gamme d'énergie et les résultats montrent un accord approprié entre les efficacités simulées et mesurées quelque soit l'énergie et ce pour les configurations radiale et axiale.

Cette méthode nécessite plusieurs points de mesure expérimentaux et de simulation ce qui représente un temps de travail important. De plus, l'ajustement manuel de l'épaisseur de la couche morte peut entraîner des erreurs.

## VII. Conclusion :

Dans ce chapitre, nous avons présenté la méthode de simulation Monte Carlo et sa mise en œuvre pour la modélisation du détecteur GeHP avec le code GAMOS. Bien que cette méthode soit très puissante, une comparaison entre les résultats de simulation et les mesures expérimentales a révélé des écarts significatifs. Ce manque de précision est principalement dû au manque de données explicites sur les paramètres du détecteur. Pour y remédier, il est nécessaire de disposer de ces paramètres avec une grande exactitude, ce qui implique une connaissance approfondie des processus de fabrication du cristal et de l'assemblage du détecteur. De plus, un contrôle par radiographie X est requis pour vérifier les cotes du schéma de principe. Toutefois, l'application de cette méthode comporte des inconvénients majeurs, tels que le coût élevé, la nécessité d'avoir des experts qualifiés et des moyens importants pour être mise en œuvre de manière efficace. D'un autre côté, une correction du schéma de principe, généralement appliquée sur la zone morte, peut être introduite pour améliorer la précision de la réponse numérique. Cette correction est complexe car elle varie en fonction de l'énergie.

Dans cette optique, nous allons utiliser la méthode des plans d'expériences pour établir une réponse numérique du détecteur, en l'absence de données précises sur sa géométrie. Des indicateurs seront également utilisés pour évaluer la justesse de la réponse numérique par rapport aux mesures réelles. Cette étude constitue l'objet principal du chapitre suivant et offre des avancées significatives dans le domaine de la modélisation des détecteurs.
# CHAPITRE 4 : Application de la méthode des plans d'expériences à l'optimisation des paramètres géométriques des détecteurs gamma
**Introduction :**

Comme nous l'avons signalé précédement, les données du constructeur ne permettent pas de reproduire, par simulation, les résultats expériementaux, d'où l'importance de disposer d'une connaissance approfondie de la structure interne des détecteurs. Dans ce contexte, différentes approches, détaillées au chapitre III, ont été proposées mais elles restent limitées. Dans ce chapitre nous présentons notre approche d'optimisation des caractéristiques géométriques de certains détecteurs de rayonnement gamma basée sur la méthode des plans d'expériences.

Ce chapitre est divisé en deux sections. La première section vise à acquérir une connaissance approfondie des caractéristiques géométriques du détecteur GeHP coaxial type N basée sur la méthode des plans d'expériences. La deuxième section est consacrée à l'étude de validation de cette approche sur cinq types de détecteurs.
# Section I : Étude détaillée sur l'optimisation des paramètres géométriques du détecteur GeHP

## I. Introduction :

Dans cette section, nous nous concentrons sur l'optimisation des paramètres géométriques du détecteur GeHP (Germanium High Purity) en utilisant l'approche de plan d'expériences. Les étapes suivies sont détaillées dans l'organigramme présenté dans la Figure IV.1.

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>Figure IV.1 : Procédure d'optimisation par plan d'expériences.</figcaption></figure>
## II. Formalisation du problème :

### II.1 Définition de l'objectif de l'étude :

L'objectif principal de cette étude est de parvenir à une réponse numérique équivalente à la réponse réelle du détecteur suivant un critère de convergence donné, et ce pour une large gamme d'énergie allant de 59 jusqu'à 1836 keV et aussi pour deux configurations de mesure différentes en utilisant un Marinelli 1L et une Boîte de Petri 60 mL.

Généralement, les plans d'expériences visent deux types d'objectifs spécifiques : Le criblage et l'optimisation.

La première étude à laquelle le plan de criblage est appliqué vise à estimer l'effet des paramètres géométriques du détecteur GeHP sur l'efficacité photoélectrique et d'identifier ainsi ceux qui ont une influence significative.

La seconde étude, fondée sur le plan d'optimisation, consiste à établir une cartographie des variations des efficacités photoélectrique en fonction des paramètres géométriques du détecteur.

### II.2 Définition des facteurs d'entrée :

Les facteurs utilisés dans cette étude correspondent aux dimensions spécifiques des composants du détecteur. On les retrouve sur le schéma géométrique du détecteur présenté dans la Figure III.3 du chapite III. Des facteurs de 3 natures différentes ont été identifiés :

* Les facteurs liés au cristal détecteur, qui sont :

* Diamètre du cristal,

* Hauteur du cristal,

* Diamètre du trou,

* Hauteur du trou,

* Les facteurs liés aux zones mortes :

* Zone morte frontale extérieure,

* Zone morte latérale extérieure,

* Zone morte frontale intérieure,

* Zone morte latérale intérieure,

* Les facteurs liés à la structure du détecteur :

* Épaisseur de la fenêtre,

* Distance cristal-fenêtre,

* Épaisseur du support,

* Épaisseur du capot.
## II.3 Définition du domaine d'étude :

Le domaine expérimental comprend toutes les combinaisons possibles de facteurs. Dans notre cas, nous étudions 12 facteurs avec 2 modalités correspondantes aux bornes minimale et maximale. Le domaine expérimental est composé donc de 4096 traitements expérimentaux. Le Tableau IV.1 résume les différents facteurs et leur modalités.

* Les niveaux inférieurs et supérieurs des facteurs liés à la structure du détecteur sont donnés par une tolérance fixée à 5 %.

* Les niveaux inférieur et supérieur des facteurs propres au cristal détecteur correspondent aux valeurs extrêmes des différents détecteurs issus de la même gamme.

* Les niveaux inférieurs liés aux zone mortes correspondent aux valeurs nominales du fabricant, et les niveaux supérieurs sont évalués en se basant sur les travaux de recherches du [Haj16] et [Chu16]. Ces études montrent que les épaisseurs des couches mortes externe et interne d'un détecteur HPGe de type n peuvent atteindre respectivement 0,950 mm et 2,14 mm. Ainsi, nous avons fixé les niveaux supérieurs de la couche morte interne et externe à 3 mm et 1 mm, respectivement.

<table><caption>Tableau IV.1 : Facteurs et modalités associées</caption><thead><tr><td>Facteur</td><td>Symbole</td><td>Niveau min (mm)</td><td>Niveau max (mm)</td></tr></thead><tbody><tr><td>Diamètre du cristal</td><td>dc</td><td>49</td><td>56</td></tr><tr><td>Hauteur du cristal</td><td>hc</td><td>47</td><td>53,5</td></tr><tr><td>Diamètre du hole</td><td>dh</td><td>9</td><td>14</td></tr><tr><td>Hauteur du hole</td><td>hh</td><td>32</td><td>40</td></tr><tr><td>Epaisseur du fenêtre</td><td>ef</td><td>0,48</td><td>0,53</td></tr><tr><td>Distance cristal- fenêtre</td><td>dcf</td><td>4,75</td><td>5,25</td></tr><tr><td>Epaisseur du support</td><td>es</td><td>0,95</td><td>1,05</td></tr><tr><td>Epaisseur du capot</td><td>ec</td><td>1,43</td><td>1,76</td></tr><tr><td>Zone morte frontale extérieure</td><td>zmf<sub>ext</sub></td><td>0,0003</td><td>1</td></tr><tr><td>Zone morte latérale extérieure</td><td>zml<sub>ext</sub></td><td>0,0003</td><td>1</td></tr><tr><td>Zone morte frontale intérieure</td><td>zmf<sub>int</sub></td><td>0,6</td><td>3</td></tr><tr><td>Zone morte latérale intérieure</td><td>zml<sub>int</sub></td><td>0,6</td><td>3</td></tr></tbody></table>
## II.4 Définition des paramètres de sortie :

La réponse numérique du détecteur est évaluée par l'efficacité simulée du pic photoélectrique pour une énergie et une configuration de mesure données. Le banc de mesure expérimental possède deux configurations différentes de géométrie, le Marinelli 1L et la Boîte de Petri 60 mL. Ainsi, les réponses observées dans ce travail sont les efficacités photoélectriques simulées pour chaque énergie dans l'intervalle [59keV-1836keV] et pour les deux géométries de mesure.

## III. Plan d'expériences pour étude de criblage des facteurs :

Nous avons présenté, dans le deuxième chapitre, de manière théorique la démarche à suivre lors d'une étude de criblage par plan d'expériences. Cette approche sera suivie, étape par étape, dans cette étude afin de limiter le nombre de facteurs à prendre en considération lors de l'optimisation.

### III.1 Définition du modèle mathématique :

Comme nous avons vu dans le chapitre II, l'étude de criblage repose sur l'utilisation d'un modèle additif avec ou sans interactions. Dans ce travail, nous souhaitons étudier les effets des facteurs ainsi que les éventuelles interactions présentes entre ces facteurs. Pour pouvoir examiner toutes les interactions possibles, il faut nécessairement effectuer le plan complet. Cependant, le nombre d'expériences sera très élevé (2¹²=4096 essais). Nous utiliserons donc le plan de Taguchi selon lequel les interactions entre deux facteurs sont négligeables sauf quelques-unes parfaitement identifiées. Nous supposons que les interactions entre les facteurs liés à la structure du détecteur sont négligeables. Nous examinons ainsi les interactions entre les facteurs propres au cristal et les facteurs liés aux zones mortes. Les principales interactions supposées sont résumées dans le Tableau suivant :

<table><caption>Tableau IV.2 : Les interactions à examiner entre les facteurs propres au cristal et les facteurs liés aux zones mortes.</caption><thead><tr><th></th><th>dc</th><th>hc</th><th>dh</th><th>hh</th><th>zmf<sub>ext</sub></th><th>zml<sub>ext</sub></th><th>zmf<sub>int</sub></th><th>zml<sub>int</sub></th></tr></thead><tbody><tr><th>dc</th><td></td><td>X</td><td>X</td><td></td><td>X</td><td>X</td><td></td><td></td></tr><tr><th>hc</th><td></td><td></td><td></td><td>X</td><td>X</td><td>X</td><td></td><td></td></tr><tr><th>dh</th><td></td><td></td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td></td><td>X</td></tr><tr><th>hh</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>zmf<sub>ext</sub></th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>X</td><td></td><td></td></tr><tr><th>zml<sub>ext</sub></th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>zmf<sub>int</sub></th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>X</td></tr><tr><th>zml<sub>int</sub></th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Pour chaque réponse, le modèle que nous recherchons à identifier s'écrit alors de la forme suivante :
### III.2.2 Affectation de colonne à chaque facteur:

Avant de chercher la colonne à affecter à chaque facteur, nous devons établir le graphe linéaire du modèle postulé. Supposons que tous les facteurs sont facile à modifier, ainsi selon les règles de représentation fixées par Taguchi, le graphe linéaire associé à notre modèle est le suivant :

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>Figure IV.2 : Graphe linéaire de notre modèle</figcaption></figure>

Pour trouver la colonne à affecter à chaque facteur, il faut chercher un graphe linéaire proposé par Taguchi qui est similaire au graphe du modèle qu'on veut identifier. Il existe 15 types standard de graphes linéaires donnés pour la table L₃₂. Cependant, nous ne pouvons pas trouver un graphe linéaire exactement identique à celui qui est requis dans une expérience donnée.

Considérons le graphe suivant qu'on va comparer à celui de notre modèle.

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>Figure IV.3 : Graphe linéaire de la table L₃₂ de Taguchi</figcaption></figure>
On constate que le graphe du modèle diffère peu du graphe de Taguchi. Ce dernier permet d'étudier jusqu'à 16 facteurs et 12 interactions. Les interactions dh*zml<sub>int</sub> et zml<sub>int</sub>*zmf<sub>int</sub> ne Figurent pas dans le graphe standard, mais nous pouvons les placer dans l'une des colonnes relatives aux facteurs 14 et 15. L'emplacement des interactions ainsi que les ALIAS résultants est déterminé à partir du triangle des interactions. L'affectation des colonnes aux facteurs donne :

<table><caption>Tableau IV.3 : Affectation des colonnes aux facteurs</caption><thead><tr><th>Facteur</th><th>zml<sub>ext</sub></th><th>zmf<sub>ext</sub></th><th>hc</th><th>zm<sub>int</sub></th><th>hh</th><th>zmf<sub>int</sub></th><th>ef</th><th>dcf</th><th>dh</th><th>es</th><th>ec</th><th>dc</th></tr></thead><tbody><tr><td>colonne</td><td>1</td><td>3</td><td>5</td><td>7</td><td>9</td><td>11</td><td>13</td><td>15</td><td>17</td><td>19</td><td>21</td><td>31</td></tr></tbody></table>

La matrice d'expériences complète est présentée sur le Tableau A.1 de l'annexe A. Pour déterminer les ALIAS dans la table L<sub>32</sub> établie, nous nous appuyons sur le triangle des interactions correspondant. Ceci permet d'indiquer la colonne à laquelle se trouvent les interactions entre deux facteurs placés chacun dans une colonne. Le Tableau des alias ci-dessous présente les confusions d'actions du plan d'expériences sur les effets du premier et du second ordre. On remarque que les interactions d'ordre II sont alias entre elles alors que les facteurs principaux ne sont pas alias ou en d'autre terme, ils sont alias avec les interactions d'ordre III supposées négligeables. Le plan est donc de résolution IV. Les effets des facteurs sont ainsi déterminés sans ambiguïté, par contre les effets du second ordre sont confondues entre eux. En effet, on ne peut calculer que la somme des effets aliasés. Par exemple, lorsqu'on calcule l'effet de l'interaction zmf<sub>ext</sub>*zml<sub>ext</sub>, en fait, on calcule la somme de tous les effets aliasés à savoir hc*zml<sub>int</sub>+hh*zmf<sub>int</sub>+ef*dcf+dh*es.

<table><caption>Tableau IV.4 : Tableau d'alias</caption><thead><tr><th>Action du modèle</th><th>Colonne</th><th>Alias</th></tr></thead><tbody><tr><td>zml<sub>ext</sub></td><td>1</td><td>-</td></tr><tr><td>zmf<sub>ext</sub></td><td>3</td><td>-</td></tr><tr><td>hc</td><td>5</td><td>-</td></tr><tr><td>zml<sub>int</sub></td><td>7</td><td>-</td></tr><tr><td>hh</td><td>9</td><td>-</td></tr><tr><td>zmf<sub>int</sub></td><td>11</td><td>-</td></tr><tr><td>ef</td><td>13</td><td>-</td></tr><tr><td>dcf</td><td>15</td><td>-</td></tr><tr><td>dh</td><td>17</td><td>-</td></tr><tr><td>es</td><td>19</td><td>-</td></tr><tr><td>ec</td><td>21</td><td>-</td></tr><tr><td>dc</td><td>31</td><td>-</td></tr><tr><td>zmf<sub>ext</sub>*zml<sub>ext</sub></td><td>2</td><td>hc*zml<sub>int</sub>+hh*zmf<sub>int</sub>+ef*dcf+dh*es</td></tr><tr><td>hc*zml<sub>ext</sub></td><td>4</td><td>zmf<sub>ext</sub>*zml<sub>int</sub>+hh*ef+zmf<sub>int</sub>*dcf+dh*ec</td></tr><tr><td>hc*zmf<sub>ext</sub></td><td>6</td><td>zml<sub>ext</sub>*zml<sub>int</sub>+hh*dcf+hh*ef+es*ec</td></tr><tr><td>zml<sub>int</sub>*zmf<sub>int</sub></td><td>10</td><td>hh*zmf<sub>ext</sub>+hzmf<sub>ext</sub>*dcf+zml<sub>int</sub>*ef+dc*ec</td></tr><tr><td>hh*zmf<sub>int</sub></td><td>12</td><td>zml<sub>ext</sub>*ef+zmf<sub>ext</sub>*dcf+zmf<sub>int</sub>*zml<sub>int</sub>+dc*es</td></tr><tr><td>dc*dh</td><td>14</td><td>zml<sub>ext</sub>*dcf+zmf<sub>ext</sub>*ef+hc*zmf<sub>int</sub>+hh*zml<sub>int</sub></td></tr><tr><td>dh*zml<sub>int</sub></td><td>22</td><td>zmf<sub>ext</sub>*ec+hc*es+dc*hh</td></tr><tr><td>dh*zmf<sub>int</sub></td><td>24</td><td>dc*zml<sub>int</sub>+zmf<sub>int</sub>*es+ef*ec</td></tr><tr><td>dc*zmf<sub>int</sub></td><td>26</td><td>hh*es+dh*zmf<sub>int</sub>+dcf*ec</td></tr><tr><td>dc*zmf<sub>ext</sub></td><td>28</td><td>hh*ec+dh*ef+dcf*es</td></tr><tr><td>dc*zml<sub>ext</sub></td><td>30</td><td>hh*ec+dh*ef+dcf*es</td></tr></tbody></table>
### III.3 Expérimentation :

Un bon déroulement des expériences, basé sur la matrice définie dessus, assure des résultats satisfaisants. En effet, les essais sont réalisés selon l'ordre des lignes de la matrice d'expériences en tenant compte de la valeur décodée de chaque facteur. Un essai correspond à une simulation Monte Carlo réalisée moyennant le code GAMOS. Pour faciliter la procédure de calcul, nous avons créé un script qui édite le fichier de géométrie selon les valeurs du plan d'expériences, lance la simulation, récupère le résultat et le range finalement dans un fichier. Toutes ces simulations ont été effectuées avec une incertitude statistique inférieure à 1%. De plus, il n'a pas été prévu de procéder à des répétitions, car la réalisation de la même simulation à deux reprises donnera toujours la même réponse.

### III.4 Analyse globale des résultats d'essai :

Les résultats d'essais pour les deux géométries de mesure (Marinelli et Boîte de Petri) sont présentés respectivement dans les Tableaux A.2 et A.3 de l'annexe A.

Pour chacune des réponses calculées pendant le plan d'expériences, il est important de vérifier si les variations observées sont significatives et si des valeurs atypiques sont présentes. Les diagrammes ci-dessous montrent les boîtes à moustaches pour les résultats d'essais des deux configurations de mesure, à savoir le Marinelli 1L et la Boîte de Petri 60mL, respectivement.

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>Figure IV.4 : Box-plot des résultats d'essais calculés en utilisant la Boîte de Petri 60mL</figcaption></figure>
<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>Figure IV.5 : Box-plot des résultats d'essais calculés en utilisant le Marinelli 1L</figcaption></figure>

D'après ces Figures, on constate que :

* Aucune expérience ne présente de valeur atypique ou aberrante (la présence d'un individu atypique se traduit généralement par un point qui se trouve en dehors de la boîte).

* Toutes les distributions sont approximativement symétriques, les deux moitiés de la boîte sont de longueurs approximativement égales. Cela traduit que les résultats d'essais sont répartis de manière homogène dans le domaine expérimental.

* L'étendue ou l'écart interquartile est plus étalé pour les efficacités calculées aux faibles énergies que pour celles correspondantes aux hautes énergies. Ceci indique que la variabilité des efficacités aux faibles énergies est plus sensible à la variation des niveaux de facteurs.

Il convient maintenant d'évaluer la manifestation des effets des facteurs au cours du plan d'expériences à la variabilité des réponses. L'analyse graphique et statistique des résultats d'essais permettent d'atteindre cet objectif. Comme la démarche d'analyse est la même pour toutes les réponses, nous allons nous contenter de présenter l'analyse complète de la réponse $\epsilon_{662\text{keV-Mar}}$ qui représente l'efficacité calculée à 662 keV avec le Marinelli 1L. Les résultats d'analyse des autres réponses seront regroupés en annexe A.

### III.4.1 Analyse mathématique des résultats d'essais :

Avant de procéder à l'analyse statistique et graphique des résultats d'essais, il faut d'abord estimer les p coefficients du modèle à partir des résultats des N expériences réalisées.
Rappelons que le modèle postulé s'écrit comme suit :

$$Y = a_0 + a_1 \text{dc} + a_2 \text{hc} + a_3 \text{dh} + a_4 \text{hh} + a_5 \text{zmf}_{\text{ext}} + a_6 \text{zml}_{\text{ext}} + a_7 \text{zmf}_{\text{int}} + a_8 \text{zml}_{\text{int}} + a_9 \text{ef} + a_{10} \text{dcf} + a_{11} \text{es} + a_{12} \text{ec} + a_{13} \text{dc} * \text{hc} + a_{14} \text{dc} * \text{dh} + a_{15} \text{dc} * \text{zmf}_{\text{ext}} + a_{16} \text{dc} * \text{zml}_{\text{ext}} + a_{17} \text{hc} * \text{hh} + a_{18} \text{hc} * \text{zmf}_{\text{ext}} + a_{19} \text{hc} * \text{zml}_{\text{ext}} + a_{20} \text{dh} * \text{hh} + a_{21} \text{dh} * \text{zml}_{\text{int}} + a_{22} \text{zmf}_{\text{ext}} * \text{zml}_{\text{ext}} + a_{23} \text{zmf}_{\text{int}} * \text{zml}_{\text{int}}$$

En utilisant la matrice saturée du modèle (constante, facteurs et interactions), l'estimation du coefficient associé à la variable de la colonne Xᵢ s'obtient par la moyenne des éléments du vecteur de réponses Y lorsque les éléments de la colonne Xᵢ sont au niveau haut moins la moyenne des éléments du vecteur de réponses Y lorsque les éléments de la colonne Xᵢ sont au niveau bas. Les coefficients de chaque modèle sont reportés dans les Tableaux A.4 et A.5 à l'annexe A.

### III.4.2 Analyse graphique des résultats d'essais :

L'analyse graphique des résultats d'essais facilite l'estimation et la visualisation des effets des facteurs et des interactions sur la réponse observée. Grâce aux tracés des effets moyens et des interactions, il est facile d'identifier les effets les plus influents sur la réponse étudiée. La Figure IV.6 illustre le tracé des effets moyens de tous les facteurs sur la réponse ε<sub>662keV-Mar</sub>. La pente de la droite permet de juger le signe et l'intensité de la significativité du facteur sur la réponse observée. La variation du facteur dc entre ses bornes présente une très grande pente positive, ce qui indique un effet significatif dans le sens positif du facteur sur la réponse. En revanche, les facteurs zml<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub> et zml<sub>int</sub> ont des pentes négatives et moins importantes, ce qui suggère un effet significatif mais moins important sur la réponse. Les autres facteurs ont des droites presque constantes, ce qui indique que leur effet sur la réponse est négligeable ou non significatif.

<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>Figure IV.6 : Tracé des effets moyens sur l'efficacité à 662keV pour le Marinelli ε<sub>662keV-Mar</sub></figcaption></figure>
En outre, on dit qu'il y a une interaction entre deux facteurs si l'effet de l'un sur la réponse dépend du niveau de l'autre. Autrement dit, si les droites des effets de ces deux facteurs sont fortement non parallèles. Le tracé des interactions pour la réponse $\varepsilon_{662\text{keV-Mar}}$ est présenté par la Figure IV.7.

<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>Figure IV.7: Tracé des interactions sur l'efficacité à 662keV pour le Marinelli $\varepsilon_{662\text{keV-Mar}}$</figcaption></figure>

En observant ces graphiques, nous constatons une faible interaction entre les facteurs avec des droites presque parallèles, ce qui suggère que les effets de ces facteurs sur la réponse ne dépendent pas significativement du niveau de l'autre facteur.

L'ensemble des graphiques relatives aux tracés des effets moyens et des interactions est fourni en annexe A.

En utilisant cette méthode d'analyse, il est possible de visualiser clairement et facilement l'importance relative de chaque facteur sur la réponse étudiée. Toutefois, il est risqué d'en déduire la significativité des éléments du modèle. En effet, certains facteurs ou interactions semblent avoir un faible effet sur la réponse du point de vue graphique, mais pourraient être considérés comme influents d'un point de vue statistique. Dans la suite, une analyse plus précise sera présentée afin de confirmer ces premiers constats.

### III.5 Analyse statistique des résultats d'essais :

Le but de cette analyse est d'identifier les effets probablement significatifs ou actifs des facteurs et interactions sélectionnées sur les réponses observées. Trois méthodes statistiques sont décrites dans le paragraphe V.5.3. du chapitre II. L'application de ces méthodes est présentée ici.
### III.5.1 Méthode de Daniel :

L'application de la méthode de Daniel aux résultats obtenus en terme d'efficacité du détecteur calculée à 662 keV avec le Marinelli 1L $\varepsilon_{662\text{keV-Mar}}$ donne le graphique de la Figure IV.8.

<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>Figure IV.8 : Graphique de Daniel pour la réponse $\varepsilon_{662\text{keV-Mar}}$</figcaption></figure>

Les points alignés qui ont une tendance à former une ligne droite ascendante représentent les variables non statistiquement influentes. Alors que, les points écartés de la droite sont considérés comme probablement actifs. En observant ce graphique, on peut constater que les points associés au diamètre du cristal, à la zone morte latérale extérieure, à la hauteur du cristal, à la zone morte latérale intérieure, au diamètre du trou et à la zone morte frontale extérieure sont nettement éloignés de la droite, ce qui indique une forte probabilité que ces variables soient statistiquement significatives et aient un impact sur l'efficacité de détection à l'énergie 662 keV.

L'ensemble des graphiques issus de l'application de la méthode de Daniel pour l'identification des facteurs influents sur les réponses observées est fourni en annexe A.

L'application de cette méthode aux autres modèles nous montre que les variables influentes sur l'efficacité du détecteur semblent être : $zmf_{\text{ext}}$, dc, $zmf_{\text{ext}}*dc$, $zml_{\text{ext}}$, hc, $zml_{\text{int}}$, dh, hh, $zml_{\text{ext}}*dc$

### III.5.2 Méthode de Lenth:

L'application de la méthode de Lenth à ce même modèle de $\varepsilon_{662\text{keV-Mar}}$ donne le résultat présenté dans la Figure IV.9:
<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>Figure IV.9 : Méthode de Lenth appliquée au modèle de ε<sub>662keV-Mar</sub></figcaption></figure>

Ce graphique représente les coefficients associés à chaque variable du modèle, ainsi que les limites définies à partir des probabilités de 1-α/2 pour un niveau de signification α =5%. Les facteurs significatifs sont représentés par des coefficients dont la valeur est supérieure à la limite de Lenth. Dans ce cas-ci, les coefficient associés au diamètre et hauteur du cristal dépassent, dans le sens positif, la limite de signification. De plus, les zones mortes latérales extérieure et intérieure ainsi que le diamètre du trou ont également une influence considérable sur la réponse étudiée. Les facteurs non significatifs sont représentés par des coefficients dont la valeur est inférieure à la limite de Lenth pour le même niveau de confiance. On observe que tous les autres facteurs ainsi que les interactions entre eux sont non significatifs.

Les résultats obtenus en appliquant cette méthode aux autres réponses montrent que les variables influentes sur la réponse du détecteur semblent être : dc, dh, hc, hc*dc, zmf<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub>*dc, zml<sub>ext</sub>, zml<sub>ext</sub>*dc, zml<sub>ext</sub>*hc, zml<sub>ext</sub>*zmf<sub>ext</sub>, zml<sub>int</sub> et zml<sub>int</sub>*dh.

L'ensemble des graphiques résultant de l'application de cette méthode pour identifier les facteurs influant sur les autres réponses est présenté en annexe A.

### III.5.3 Diagramme de Pareto :

La contribution de chaque variable du modèle à la variation de l'efficacité du détecteur ε<sub>662keV-Mar</sub> est présentée sous forme de diagramme (Figure IV.10):
<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>Figure IV.10 : diagramme de pareto pour la réponse ε<sub>662keV-Mar</sub></figcaption></figure>

Ce diagramme met en évidence l'importance des différents facteurs qui influencent la réponse étudiée. Le diamètre du cristal apparaît comme étant le facteur le plus important avec une contribution significativement plus élevée que les autres facteurs (66%), suivie de la zone morte latérale extérieure et de la hauteur du cristal. Ces facteurs contribuent respectivement à environ 10 % et 9 % de la variation de la réponse. La zone morte latérale intérieure, contribue quant à elle, d'environ 6 %. A partir de la fonction cumulée de ces contributions, nous pouvons voir qu'à eux seuls, ces quatre premiers facteurs expliquent plus de 90 % de la variation de la réponse. En revanche, les autres facteurs semblent ne pas avoir de contribution significative à la variation de l'efficacité du détecteur ε<sub>662keV-Mar</sub>.

Par conséquent, le diagramme de Pareto est plus restrictif que la méthode de Lenth. En appliquant cette méthode aux autres réponses, les facteurs qui ont une contribution supérieure à 5 % sont : dc, dh, hc, zmf<sub>ext</sub>, zml<sub>ext</sub> et zml<sub>int</sub>.

L'ensemble des diagrammes de Pareto pour chacune des réponses est présenté en annexe A.

### III.6 Bilan et conclusion sur l'analyse statistique :

Le Tableau IV.5 résume les résultats issus des trois méthodes d'analyse statistique utilisées. Ces résultats montrent que les facteurs impactant le plus la réponse du détecteur sont les facteurs propres au cristal (diamètre et hauteur du cristal, diamètre du trou) et les facteurs liés aux zones mortes (zones mortes extérieures latérale et frontale, et zone morte intérieure latérale). Toutefois, l'importance de chaque facteur peut varier en fonction de l'énergie des photons et de la géometrie de la source utilisée.

Pour comparer l'impact des facteurs suivant les deux configurations de mesure (Marinelli et Boîte de Petri), nous avons analysé la contribution de chacun pour chaque énergie. Nous citons à
titre d'exemple, pour l'énergie de 59 keV, la contribution de la zone morte frontale est de 16,6 % pour l'efficacité calculée avec Marinelli, tandis qu'elle atteint 96,7 % pour l'efficacité calculée avec la Boîte de Petri. Aux basses energies, pour les simulations réalisées avec la Boîte de Petri, la zone morte frontale est le facteur qui a le plus fort impact sur la réponse du détecteur, tandis que pour les simulations effectuées avec le Marinelli, c'est la zone morte latérale qui a plus d'effet. Cette différence s'explique par le fait que lorsque la source est en face du détecteur, la première interaction des photons de basses énergies se produit, dans la majorité des cas, au niveau de la zone morte frontale. En revanche, lorsque la source couvre complètement le détecteur, la première interaction des photons de basses énergies dans le cristal se produit au niveau de la zone morte latérale. En conséquence, les deux configurations de mesure doivent être conservées pour obtenir une vue complète des effets des facteurs sur la réponse du détecteur.

Une autre analyse a été effectuée pour réduire le nombre d'énergies à traiter, qui était initialement de 10. Nous avons constaté que les energies à effets similaires sont les suivantes:

(88keV- 122keV),

(391keV-662keV),

(898keV, 1173keV)

(1173keV, 1332keV).

Ainsi, les 10 énergies sont réduits à 6: **59, 88, 165, 662, 1173 et 1836 keV.**

Dans l'ensemble, ces analyses statistiques nous ont fourni une compréhension approfondie des facteurs qui influencent les réponses étudiées. Grâce à cette étude, nous avons considérablement réduit la complexité du problème, en passant d'un problème à 12 facteurs à un problème à 6 facteurs seulement.

<table><caption>Tableau IV.5 : récapitulatif des résultats d'analyses statistiques</caption><thead><tr><th rowspan="2">Y</th><th colspan="3">Marinelli</th><th colspan="3">Boîte de Pétri</th></tr><tr><th>Daniel</th><th>Lenth</th><th>Pareto</th><th>Daniel</th><th>Lenth</th><th>Pareto</th></tr></thead><tbody><tr><td>ε<sub>59keV</sub></td><td>zml<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub>, dc</td><td>zml<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub>,<br>hc, zml<sub>int</sub>, dh,<br>dcf, dc,<br>zml<sub>ext</sub>*zmf<sub>ext</sub>,<br>zml<sub>ext</sub>*hc,<br>zml<sub>int</sub>*dh,<br>zml<sub>ext</sub>*dc,<br>zmf<sub>ext</sub>*dc,<br>hc*dc</td><td>zml<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub></td><td>Zmf<sub>ext</sub>, dc,<br>zmf<sub>ext</sub>*dc,<br>zml<sub>ext</sub></td><td>zmf<sub>ext</sub>, dcf, dc,<br>zml<sub>ext</sub>*zmf<sub>ext</sub>,<br>zml<sub>ext</sub>*dc,<br>zmf<sub>ext</sub>*dc,<br>zml<sub>ext</sub></td><td>zmf<sub>ext</sub></td></tr><tr><td>ε<sub>88keV</sub></td><td>zml<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub>, dc, hc,<br>zml<sub>ext</sub>*dc</td><td>zml<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub>,<br>hc, zml<sub>int</sub>, dcf,<br>dc,<br>zml<sub>ext</sub>*zmf<sub>ext</sub>,<br>zml<sub>ext</sub>*hc,<br>zml<sub>ext</sub>*dc,<br>zmf<sub>ext</sub>*dc,</td><td>zml<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub>,<br>dc</td><td>Zmf<sub>ext</sub>, dc,<br>zml<sub>ext</sub>,<br>zmf<sub>ext</sub>*dc,</td><td>zmf<sub>ext</sub>, dcf, dc,<br>zml<sub>ext</sub>*zmf<sub>ext</sub>,<br>zml<sub>ext</sub>*dc,<br>zml<sub>ext</sub></td><td>zmf<sub>ext</sub>, dc</td></tr><tr><td>ε<sub>122keV</sub></td><td>zml<sub>ext</sub>, dc, zmf<sub>ext</sub> hc</td><td>zml<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub></td><td>zml<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub></td><td>Zmf<sub>ext</sub>, dc,</td><td>zmf<sub>ext</sub>, hc, hh,</td><td>zmf<sub>ext</sub>, dc</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td></td><td>hc, zml<sub>int</sub>, dc, zml<sub>ext</sub>*zmf<sub>ext</sub>, zml<sub>ext</sub>*hc, zml<sub>ext</sub>*dc, zmf<sub>ext</sub>*dc</td><td>dc</td><td>zml<sub>ext</sub></td><td>dcf, dc, zmf<sub>ext</sub>*dc, zml<sub>ext</sub></td><td></td></tr><tr><td>ε<sub>165keV</sub></td><td>dc, Zml<sub>ext</sub>, hc, zmf<sub>ext</sub></td><td>zml<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub>, hc, dc</td><td>zml<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub>, hc, dc</td><td>dc, Zmf<sub>ext</sub>, Zml<sub>ext</sub></td><td>zmf<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, hh, dh, dcf, dc, zml<sub>ext</sub> zml<sub>ext</sub>*zmf<sub>ext</sub>, hh*dh, zmf<sub>ext</sub>*dc, dh*dc</td><td>zmf<sub>ext</sub>, dc</td></tr><tr><td>ε<sub>391keV</sub></td><td>dc, Zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dh, zmf<sub>ext</sub>, hh</td><td>zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dc</td><td>zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dc</td><td>dc, Zmf<sub>ext</sub>, Zml<sub>ext</sub>, zml<sub>int</sub>, hc, dh, hh</td><td>zml<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, hh, zmf<sub>int</sub>, dh, dcf, dc, zml<sub>ext</sub>*zmf<sub>ext</sub>, zml<sub>int</sub>*dh, hh*dh, zmf<sub>ext</sub>*dc, dh*dc</td><td>zml<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub>, zml<sub>int</sub>, dc</td></tr><tr><td>ε<sub>662keV</sub></td><td>dc, Zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dh, zmf<sub>ext</sub>, hh</td><td>zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dh, dc</td><td>zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dc</td><td>dc, zml<sub>int</sub>, Zml<sub>ext</sub>, Zmf<sub>ext</sub>, hc, dh, hh</td><td>zml<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, hh, zml<sub>int</sub>, dh, dcf, dc, hh*dh, dh*dc</td><td>zml<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub>, zml<sub>int</sub>, dc</td></tr><tr><td>ε<sub>898keV</sub></td><td>dc, hc, Zml<sub>ext</sub>, zml<sub>int</sub>, dh, zmf<sub>ext</sub>, hh</td><td>zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dh, dc</td><td>zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dc</td><td>dc, zml<sub>int</sub>, hc, Zml<sub>ext</sub>, Zmf<sub>ext</sub>, dh, hh</td><td>zml<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, hh, dh, dc</td><td>zml<sub>ext</sub>, zmf<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dc</td></tr><tr><td>ε<sub>1173keV</sub></td><td>dc, hc, Zml<sub>ext</sub>, zml<sub>int</sub>, dh, zmf<sub>ext</sub>, hh</td><td>zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dh, dc</td><td>zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dc</td><td>dc, zml<sub>int</sub>, hc, Zml<sub>ext</sub>, Zmf<sub>ext</sub>, dh, hh</td><td>zml<sub>int</sub>, dc</td><td>zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dc</td></tr><tr><td>ε<sub>1332keV</sub></td><td>dc, hc, zml<sub>int</sub>, Zml<sub>ext</sub>, dh, zmf<sub>ext</sub>, hh</td><td>zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dh, dc</td><td>zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dc</td><td>dc, zml<sub>int</sub>, Zml<sub>ext</sub>, hc, Zmf<sub>ext</sub>, dh, hh</td><td>zml<sub>int</sub>, dc</td><td>zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dc</td></tr><tr><td>ε<sub>1836keV</sub></td><td>dc, hc, zml<sub>int</sub>, Zml<sub>ext</sub>, dh, zmf<sub>ext</sub>, hh</td><td>zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dh, dc</td><td>zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dc</td><td>dc, zml<sub>int</sub>, hc, Zml<sub>ext</sub>, dh, Zmf<sub>ext</sub>, hh</td><td>zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dh, dc</td><td>zml<sub>ext</sub>, hc, zml<sub>int</sub>, dh, dc</td></tr></table>

## IV. Plan de surface de réponse :

L'étude de criblage nous a permis d'identifier les facteurs ayant une influence significative sur l'efficacité du pic photoélectrique dans l'intervalle d'énergie allant de 59keV à 1836keV et ce pour les deux géométries de mesure. Cette limitation du nombre de facteurs aboutit directement à la réduction du nombre de coefficients à déterminer dans les modèles ainsi que le nombre d'expériences à réaliser. Nous présentons par la suite la modélisation de l'efficacité du pic photoélectrique en fonction des facteurs identifiés au cours de l'étude de criblage. Les modèles
obtenus seront utilisés dans un but de prédiction dans l'ensemble du domaine expérimental. Nous allons reprendre les différentes étapes de la méthode des plans d'expériences pour l'étude de surface de réponse préalablement présentées dans le chapitre II.

À travers cette étude, nous cherchons d'établir une cartographie de variation de l'efficacité en fonction des paramètres du détecteur identifiés dans la partie précédente à savoir : dc, dh, hc, zmf<sub>ext</sub>, zml<sub>ext</sub> et zml<sub>int</sub>.

Les niveaux utilisés pour chacun des facteurs sont identiques à ceux utilisés lors de l'étude de criblage. Cependant, le modèle recherché pour l'étude de surface de réponse est un polynôme du second degré et par conséquent chaque facteur doit comprendre au moins 3 modalités. Les niveaux intermédiaires sont alors les valeurs centrales pour chaque facteur. Le domaine expérimental est composé donc de 3⁶ essais.

## IV.1 Définition du modèle mathématique :

Le modèle recherché pour l'étude de surface de réponse est un polynôme du second degré défini par l'équation suivante :

$$Y = a_0 + \sum_{i=1}^{k} a_i x_i + \sum_{i=1}^{k-1} \sum_{j=i+1}^{k} a_{ij} x_{ij} + \sum_{i=1}^{k} a_{ii} x_i^2 + \varepsilon \quad (IV.1)$$

avec :

a₀ : la constante du modèle,

aᵢ : les coefficients associés aux facteurs,

aᵢⱼ : les coefficients associés aux interactions entre les facteurs,

aᵢᵢ : les coefficients associés aux termes d'ordre 2,

ε : le résidu.

Le nombre de coefficients à identifier dans chacun des modèles est calculé à partir de la formule suivante :

$$p = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \quad (IV.2)$$

L'application de cette formule pour six facteurs conduit à un nombre total de 28 coefficients à identifier. Il convient donc que le plan d'expérience comporte au moins 28 expériences. Il s'agit alors d'identifier parmi les (3⁶=729) points candidats, au moins 28 essais permettant d'obtenir la meilleure matrice possible.

## IV.2 Construction de la matrice d'expériences :

Pour l'étude de surface de réponses, les plans factoriels complets à 3 niveaux sont les plus simples et les plus faciles à construire. Cependant, le nombre d'expériences augmente rapidement avec le nombre de facteurs. Pour étudier six facteurs avec le plan complet il faut 3⁶ (729) expériences, ce qui construit un travail énorme et quasiment irréalisable. Les plans de Box-Benkhen
présentent l'avantage d'être économiques et donc particulièrement utiles lorsque les essais à réaliser sont coûteux et demandent beaucoup de temps. La matrice d'expériences de Box-Benkhen pour six facteurs possède 55 essais dont six sont au centre du domaine expérimental (essais 50-55). Cette matrice est représentée dans le Tableau B.1 de l'annexe B.

Selon cette matrice, chaque variable prend une valeur maximale (codé par 1), une valeur minimale (-1) et une valeur intermédiaire (0). Les niveaux intermédiaires en valeur décodée sont calculés à partir de la formule suivante :

$$ \text{Niveau}_{(0)} = \frac{\text{Niveau}_{(1)} + \text{Niveau}_{(-1)}}{2} \qquad (\text{IV.3}) $$

### IV.3 Expérimentation :

Cette phase se déroule de la même façon que celle de l'étude de criblage. Les essais sont réalisés selon l'ordre des lignes de la matrice d'expériences en tenant compte de la valeur décodée de chaque facteur. Un essai correspond à une simulation Monte Carlo réalisée par le code GAMOS. Un script a été créé pour éditer le fichier de géométrie, selon les valeurs du plan d'expérience, lancer la simulation, récupérer le résultat et le ranger dans un fichier. Toutes ces simulations ont été effectuées avec une incertitude statistique inférieure à 1%. De plus, il n'a pas été prévu de procéder à des répétitions, car la réalisation de la même simulation à deux reprises donnera toujours la même réponse.

### IV.4 Analyse globale des résultats d'essais :

Les résultats d'essais pour chaque réponse sont reportés dans le Tableau B.2 de l'annexe B. Comme pour le plan de criblage, il convient de vérifier que les essais effectués sont répartis de façon homogène et symétrique dans le domaine expérimental. Nous remarquons à partir de la Figure IV.11 que tous les essais présentent une distribution relativement symétrique. Cependant, il est à noter que la réponse $\varepsilon_{59keV-Petri}$ présente une distribution asymétrique, avec plus de résultats dans les valeurs hautes que basses.
<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>Figure IV.11 : Box-plot des résultats d'essais</figcaption></figure>

IV.4.1 Analyse mathématique des résultats d'essais :

L'analyse mathématique consiste essentiellement à identifier les p coefficients des modèles à partir des résultats des N expériences réalisées. L'application de la méthode des moindres carrés sur les résultats d'essais a permis d'obtenir les 28 coefficients de chaque modèle. Le Tableau IV.6 présente les coefficients calculés pour le modèle associé à la réponse $\varepsilon_{662\text{keV-Mar}}$.

<table><caption>Tableau IV.6 : coefficients du modèle associé à la réponse $\varepsilon_{662\text{keV-Mar}}$</caption><thead><tr><th>Coefficient</th><th>Valeur</th><th>Coefficient</th><th>Valeur</th></tr></thead><tbody><tr><td>Constante</td><td>3,55E-02</td><td>hc*zml<sub>ext</sub></td><td>-3,48E-05</td></tr><tr><td>hc</td><td>-8,18E-04</td><td>hc*dc</td><td>1,14E-05</td></tr><tr><td>zmf<sub>ext</sub></td><td>1,05E-03</td><td>hc*dh</td><td>-1,51E-06</td></tr><tr><td>zml<sub>ext</sub></td><td>1,37E-03</td><td>hc*zml<sub>int</sub></td><td>2,63E-06</td></tr><tr><td>dc</td><td>-9,30E-04</td><td>zmf<sub>ext</sub>*zml<sub>ext</sub></td><td>7,70E-05</td></tr><tr><td>dh</td><td>1,98E-04</td><td>zmf<sub>ext</sub>*dc</td><td>-2,97E-05</td></tr><tr><td>zml<sub>int</sub></td><td>-1,71E-04</td><td>zmf<sub>ext</sub>*dh</td><td>4,05E-06</td></tr><tr><td>hc*hc</td><td>4,85E-06</td><td>zmf<sub>ext</sub>*zml<sub>int</sub></td><td>9,79E-06</td></tr><tr><td>zmf<sub>ext</sub>*zmf<sub>ext</sub></td><td>-5,71E-05</td><td>zml<sub>ext</sub>*dc</td><td>-2,56E-05</td></tr><tr><td>zml<sub>ext</sub>*zml<sub>ext</sub></td><td>8,53E-05</td><td>zml<sub>ext</sub>*dh</td><td>1,56E-05</td></tr><tr><td>dc*dc</td><td>9,12E-06</td><td>zml<sub>ext</sub>*zml<sub>int</sub></td><td>2,67E-05</td></tr><tr><td>dh*dh</td><td>-6,60E-06</td><td>dc*dh</td><td>-1,97E-06</td></tr><tr><td>zml<sub>int</sub>*zml<sub>int</sub></td><td>-6,12E-06</td><td>dc*zml<sub>int</sub></td><td>-2,86E-06</td></tr><tr><td>hc*zmf<sub>ext</sub></td><td>-3,08E-07</td><td>dh*zml<sub>int</sub></td><td>-3,04E-05</td></tr></tbody></table>
## IV.4.2 Analyse statistique des résultats d'essais :

L'analyse statistique a été réalisée en trois parties. Tout d'abord les modèles doivent être analysés dans leur globalité afin de vérifier si la forme quadratique permet de bien décrire les variations des réponses observées. Ensuite, on procédera à une analyse statistique des éléments des modèles afin de déterminer le meilleur sous-modèle pour chaque réponse. Enfin, la normalité de la distribution des résidus pour les modèles retenus devrait être vérifiée.

### a) Analyse statistique globale des modèles :

Cette première étape de l'analyse statistique consiste à calculer la probabilité P de refuser l'hypothèse nulle $H_0$ selon laquelle les modèles de forme quadratique ne permettent pas de décrire la variation de l'efficacité du détecteur. En s'appuyant sur l'analyse de variance ANOVA, les résultats correspondant à la réponse $\varepsilon_{662\text{keV-Mar}}$ sont présentés dans le Tableau IV.7.

<table><caption>Tableau IV.7: Analyse de variance du modèle $\varepsilon_{662\text{keV-Mar}}$</caption><thead><tr><th>Source de variation</th><th>SC</th><th>DL</th><th>CM</th><th>F</th><th>p-value</th></tr></thead><tbody><tr><td>Régression</td><td>27</td><td>1,30E-04</td><td>5,00E-06</td><td>3508,15</td><td>0</td></tr><tr><td>Résidu</td><td>21</td><td>0,00E+00</td><td>0,00E+00</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Total</td><td>48</td><td>1,30E-04</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Nous obtenons pour toutes les réponses une valeur très faible de p-value ce qui conforte l'hypothèse de l'utilisation des modèles quadratiques pour modéliser les réponses. Les modèles expliquent bien la variation de l'efficacité du détecteur en fonction de six paramètres géométriques du détecteur à savoir : dc, dh, hc, zmf<sub>ext</sub>, zml<sub>ext</sub> et zml<sub>int</sub>.

L'ensemble des résultats des tests ANOVA établis pour les autres réponses est donné en annexe B (Tableau B.3).

Les qualités descriptives ($R^2_{ajusté}$) et prédictives ($Q^2$) calculées pour ce modèle sont très élevées (=99,8%). Cela indique que le modèle peut bien expliquer et prédire les données. Les valeurs concernant l'ensemble des autres modèles sont fournies dans le Tableau B.4 de l'annexe B.

### b) Analyse statistique des éléments du modèle :

L'analyse statistique des coefficients du modèle consiste à tester l'hypothèse nulle $H_0$ selon laquelle le coefficient $a_i$ du modèle est nul. En s'appuyant sur le test de student, la qualité descriptive de chaque coefficient du modèle a été vérifiée. Le Tableau IV.8 récapitule les résultats de l'analyse statistique des coefficients du modèle $\varepsilon_{662\text{keV-Mar}}$.
<table><caption>Tableau IV.8: Analyse statistique des coefficients du modèle ε<sub>662keV-Mar</sub></caption><thead><tr><th>Facteur</th><th>Coefficient</th><th>Ecart-type</th><th>t</th><th>P-value</th></tr></thead><tbody><tr><td>Constante</td><td>3,55E-02</td><td>6,88E-03</td><td>5,16E+00</td><td>4,14E-05</td></tr><tr><td>hc</td><td>-8,18E-04</td><td>1,60E-04</td><td>-5,10E+00</td><td>4,73E-05</td></tr><tr><td>zmf<sub>ext</sub></td><td>1,05E-03</td><td>5,76E-04</td><td>1,83E+00</td><td>8,20E-02</td></tr><tr><td>zml<sub>ext</sub></td><td>1,37E-03</td><td>5,81E-04</td><td>2,36E+00</td><td>2,82E-02</td></tr><tr><td>dc</td><td>-9,30E-04</td><td>1,45E-04</td><td>-6,41E+00</td><td>2,39E-06</td></tr><tr><td>dh</td><td>1,98E-04</td><td>1,28E-04</td><td>1,55E+00</td><td>1,35E-01</td></tr><tr><td>zml<sub>int</sub></td><td>-1,71E-04</td><td>2,44E-04</td><td>-7,00E-01</td><td>4,92E-01</td></tr><tr><td>hc*hc</td><td>4,85E-06</td><td>1,53E-06</td><td>3,18E+00</td><td>4,49E-03</td></tr><tr><td>zmf<sub>ext</sub>*zmf<sub>ext</sub></td><td>-5,71E-05</td><td>6,45E-05</td><td>-8,86E-01</td><td>3,86E-01</td></tr><tr><td>zml<sub>ext</sub>*zml<sub>ext</sub></td><td>8,53E-05</td><td>6,45E-05</td><td>1,32E+00</td><td>2,00E-01</td></tr><tr><td>dc*dc</td><td>9,12E-06</td><td>1,32E-06</td><td>6,94E+00</td><td>7,48E-07</td></tr><tr><td>dh*dh</td><td>-6,60E-06</td><td>2,58E-06</td><td>-2,56E+00</td><td>1,82E-02</td></tr><tr><td>zml<sub>int</sub>*zml<sub>int</sub></td><td>-6,12E-06</td><td>1,12E-05</td><td>-5,47E-01</td><td>5,90E-01</td></tr><tr><td>hc*zmf<sub>ext</sub></td><td>-3,08E-07</td><td>8,05E-06</td><td>-3,82E-02</td><td>9,70E-01</td></tr><tr><td>hc*zml<sub>ext</sub></td><td>-3,48E-05</td><td>8,05E-06</td><td>-4,32E+00</td><td>3,01E-04</td></tr><tr><td>hc*dc</td><td>1,14E-05</td><td>8,13E-07</td><td>1,40E+01</td><td>4,00E-12</td></tr><tr><td>hc*dh</td><td>-1,51E-06</td><td>1,61E-06</td><td>-9,37E-01</td><td>3,59E-01</td></tr><tr><td>hc*zml<sub>int</sub></td><td>2,63E-06</td><td>3,35E-06</td><td>7,84E-01</td><td>4,42E-01</td></tr><tr><td>zmf<sub>ext</sub>*zml<sub>ext</sub></td><td>7,70E-05</td><td>5,23E-05</td><td>1,47E+00</td><td>1,56E-01</td></tr><tr><td>zmf<sub>ext</sub>*dc</td><td>-2,97E-05</td><td>7,47E-06</td><td>-3,98E+00</td><td>6,86E-04</td></tr><tr><td>zmf<sub>ext</sub>*dh</td><td>4,05E-06</td><td>7,40E-06</td><td>5,48E-01</td><td>5,90E-01</td></tr><tr><td>zmf<sub>ext</sub>*zml<sub>int</sub></td><td>9,79E-06</td><td>2,18E-05</td><td>4,49E-01</td><td>6,58E-01</td></tr><tr><td>zml<sub>ext</sub>*dc</td><td>-2,56E-05</td><td>7,47E-06</td><td>-3,42E+00</td><td>2,56E-03</td></tr><tr><td>zml<sub>ext</sub>*dh</td><td>1,56E-05</td><td>1,05E-05</td><td>1,49E+00</td><td>1,51E-01</td></tr><tr><td>zml<sub>ext</sub>*zml<sub>int</sub></td><td>2,67E-05</td><td>1,54E-05</td><td>1,73E+00</td><td>9,82E-02</td></tr><tr><td>dc*dh</td><td>-1,97E-06</td><td>1,49E-06</td><td>-1,32E+00</td><td>2,01E-01</td></tr><tr><td>dc*zml<sub>int</sub></td><td>-2,86E-06</td><td>3,11E-06</td><td>-9,18E-01</td><td>3,69E-01</td></tr><tr><td>dh*zml<sub>int</sub></td><td>-3,04E-05</td><td>4,36E-06</td><td>-6,97E+00</td><td>6,97E-07</td></tr></tbody></table>

Le risque associé à l'obtention du modèle est fixé à 5 %, ce qui est équivalent à un intervalle de confiance de 95 % de la qualité du modèle et de ses coefficients associés. Les coefficients jugés non significatifs seront rejetés par le test de Student. Le modèle retenu sera testé à nouveau jusqu'à ce que tous ses termes soient pertinents. Les coefficients constituant le modèle résultant de cette analyse sont regroupés au Tableau IV.9.
<table><caption>Tableau IV.9: Analyse statistique des coefficients du modèle ε<sub>662keV-Mar</sub></caption><thead><tr><th>Facteur</th><th>Coefficient</th><th>Ecart-type</th><th>t</th><th>P-value</th></tr></thead><tbody><tr><td>Constante</td><td>0,0015281</td><td>0,0004603</td><td>3,320</td><td>0,002</td></tr><tr><td>hc</td><td>-0,000368019</td><td>1,697E-05</td><td>-21,689</td><td>0,000</td></tr><tr><td>hc*zml<sub>ext</sub></td><td>-2,409393E-05</td><td>1,736E-06</td><td>-13,876</td><td>0,000</td></tr><tr><td>hc*dc</td><td>1,086E-05</td><td>7,89E-08</td><td>137,637</td><td>0,000</td></tr><tr><td>hc*dh</td><td>4,07991E-06</td><td>1,353E-06</td><td>3,016</td><td>0,005</td></tr><tr><td>zmf<sub>ext</sub>*zmf<sub>ext</sub></td><td>-0,00033107</td><td>8,3E-05</td><td>-3,989</td><td>0,000</td></tr><tr><td>zmf<sub>ext</sub>*dc</td><td>-2,85426E-06</td><td>1,662E-06</td><td>-1,718</td><td>0,094</td></tr><tr><td>zml<sub>ext</sub>*zml<sub>ext</sub></td><td>-0,000159058</td><td>8,3E-05</td><td>-1,916</td><td>0,063</td></tr><tr><td>dh*dh</td><td>-1,42526E-05</td><td>2,982E-06</td><td>-4,779</td><td>0,000</td></tr><tr><td>dh*zml<sub>int</sub></td><td>-3,06562E-05</td><td>4,028E-06</td><td>-7,611</td><td>0,000</td></tr><tr><td>zml<sub>int</sub>*zml<sub>int</sub></td><td>-5,2455E-05</td><td>1,268E-05</td><td>-4,137</td><td>0,000</td></tr></tbody></table>

L'ensemble des résultats des tests de student établis pour les autres réponses est donné en annexe B (Tableaux B.5 à B.16).

### C) Analyse statistique des résidus :

Bien que les résidus ont été minimisés en utilisant la méthode des moindres carrés, il est important de s'assurer qu'ils ne sont pas anormalement importants en certains points du domaine d'étude. Pour évaluer la normalité des résidus, on peut utiliser un histogramme pour visualiser leur distribution. Si la distribution des résidus est symétrique et centrée autour de zéro, cela suggère qu'ils suivent une distribution normale. Pour une validation plus rigoureuse, on calcule la fréquence observée et la fréquence théorique pour chaque barre de l'histogramme. La fréquence théorique est calculée en supposant que les résidus suivent une distribution normale. Ensuite, on calcule la statistique du test de khi-2 qui mesure l'écart entre les fréquences observées et théoriques. Plus l'écart est grand, plus la probabilité que les résidus ne suivent pas une distribution normale est élevée. Enfin, pour vérifier si les résidus suivent une distribution normale, on compare cette statistique du test à une valeur critique de la distribution de khi-2. Si la statistique du test est inférieure à la valeur critique, alors les résidus suivent une distribution normale. Dans notre cas, l'histogramme des résidus du modèle ε<sub>662keV-Mar</sub> (voir Figure IV.12) montre une distribution symétrique et normale. De plus, le test de khi-2 donne une P-value=0,590, indiquant que la condition de normalité des résidus est respectée pour ce modèle à un seuil α de 5 %. Ainsi, nous pouvons considérer que les résidus suivent une distribution normale pour ce modèle.
<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>Figure IV.12 : Histogramme des résidus du modèle $\varepsilon_{662\text{keV-Mar}}$</figcaption></figure>

L'ensemble des histogrammes des résidus des autres modèles est disponible en annexe B.

### IV.4.3 Analyse graphique des résultats des essais :

Avant de visualiser les surfaces de réponse traduites par les modèles, nous allons montrer de manière graphique la bonne qualité descriptive des modèles grâce à leur graphique d'adéquation associé.

#### a) Graphes d'adéquation des modèles :

La valeur élevée du coefficient de régression $R^2_{ajusté}$ associé au modèle de $\varepsilon_{662\text{keV-Mar}}$ se traduit par le graphe d'adéquation représenté à la Figure IV.13, sur lequel l'alignement des nuages de points est très proche de la droite $f(x)=x$. Cela signifie que les valeurs prédites par le modèle correspondent étroitement aux valeurs observées.

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>Figure IV.13 : Graphe d'adéquation du modèle de $\varepsilon_{662\text{keV-Mar}}$</figcaption></figure>
Il convient également de noter que les réponses obtenues pour les 55 essais réalisés couvrent l'ensemble de la gamme de variation des réponses sans laisser d'importantes zones vides.

L'ensemble des graphes d'adéquation associés aux autres modèles est présenté en annexe B.

## b) Représentation graphique des surfaces de réponse :

Les graphes des surfaces de réponse présentent les variations des réponses en fonction de deux facteurs à la fois tout en fixant les autres. Dans la Figure IV.14, nous présentons les surfaces de réponse associées au modèle $\varepsilon_{662\text{keV-Mar}}$. Bien qu'il existe 15 combinaisons de facteurs, nous ne présentons pas tous les graphiques correspondants dans cette section. Nous nous concentrons plutôt sur les paramètres qui ont le plus grand impact sur l'efficacité $\varepsilon_{662\text{keV-Mar}}$, à savoir : dc, hc, zml$_{ext}$ et zml$_{int}$.

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>Figure IV.14 : surfaces de réponses associées au modèle de $\varepsilon_{662\text{keV-Mar}}$</figcaption></figure>

Ces graphes permettent d'observer la direction et l'amplitude de l'effet de chaque facteur sur la réponse étudiée. Ils permettent également d'identifier les zones où les réponses, en fonction des niveaux de facteurs, sont maximales ou minimales. Cela conduit ainsi à optimiser les niveaux des facteurs pour obtenir la réponse désirée. Cependant, lorsqu'il s'agit d'un problème impliquant plusieurs réponses, il est nécessaire d'utiliser des méthodes d'optimisation multicritères permettant d'évaluer et d'optimiser simultanément les différents critères, notamment en utilisant des fonctions de désirabilité.

## IV.4.4 Validation du modèle sur des points tests internes :

L'analyse des résultats d'essais a permis de constater que les modèles retenus ont été validés et peuvent modéliser correctement les réponses aux points présents dans la matrice d'expériences. Il s'agit maintenant de valider complètement les modèles en effectuant de nouvelles simulations aux
points non testés par la matrice expérimentale. Le Tableau IV.10 montre les points de validation, les résultats issus de la simulation et les prédicitions du modèle.

<table><caption>Tableau IV.10 : Points tests et résultats de validation pour le modèle de $\epsilon_{662\text{keV-Mar}}$</caption><thead><tr><th rowspan="2">Point</th><th colspan="6">Facteurs</th><th colspan="2">ε<sub>662keV-Mar</sub></th><th rowspan="2">écart</th></tr><tr><th>hc</th><th>zmf<sub>ext</sub></th><th>zml<sub>ext</sub></th><th>dc</th><th>dh</th><th>zml<sub>int</sub></th><th>Calculée</th><th>Prédite</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>48,55</td><td>0,08</td><td>0,54</td><td>49,11</td><td>13,54</td><td>1,8</td><td>8,08E-03</td><td>8,03E-03</td><td>-0,52%</td></tr><tr><td>2</td><td>52,23</td><td>0,4</td><td>0,18</td><td>52,81</td><td>12,96</td><td>1,4</td><td>1,16E-02</td><td>1,15E-02</td><td>-1,06%</td></tr><tr><td>3</td><td>49,52</td><td>0,92</td><td>0,5</td><td>50,91</td><td>12,99</td><td>2,3</td><td>8,65E-03</td><td>8,59E-03</td><td>-0,62%</td></tr><tr><td>4</td><td>49,76</td><td>0,36</td><td>0,57</td><td>49,55</td><td>9,88</td><td>2,5</td><td>8,76E-03</td><td>8,60E-03</td><td>-1,81%</td></tr><tr><td>5</td><td>52,66</td><td>0,91</td><td>0,97</td><td>54,56</td><td>12,03</td><td>0,9</td><td>1,18E-02</td><td>1,16E-02</td><td>-1,42%</td></tr><tr><td>6</td><td>51,58</td><td>0,47</td><td>0,42</td><td>50,39</td><td>13,54</td><td>2,2</td><td>9,13E-03</td><td>9,01E-03</td><td>-1,25%</td></tr><tr><td>7</td><td>49,41</td><td>0,4</td><td>0,35</td><td>53,39</td><td>11,14</td><td>1,9</td><td>1,10E-02</td><td>1,09E-02</td><td>-1,07%</td></tr><tr><td>8</td><td>48,03</td><td>0,33</td><td>0,58</td><td>49,41</td><td>11,5</td><td>0,7</td><td>8,97E-03</td><td>8,87E-03</td><td>-1,10%</td></tr><tr><td>9</td><td>47,32</td><td>0,51</td><td>0,09</td><td>55,98</td><td>9,65</td><td>1</td><td>1,31E-02</td><td>1,29E-02</td><td>-1,75%</td></tr><tr><td>10</td><td>53,38</td><td>0,86</td><td>0,03</td><td>54,27</td><td>10,61</td><td>2,2</td><td>1,29E-02</td><td>1,27E-02</td><td>-1,53%</td></tr></tbody></table>

On remarque que le modèle permet de représenter correctement la variation des réponses en tout point du domaine puisque les écarts entre les valeurs simulées et prédites sont faibles. Les résultats de validation pour l'ensemble des modèles sont présentés dans les Tableaux B.22 à B.27 de l'annexe B.

## V. Optimisation multicritères : fonctions de désirabilité :

Cette étape consiste à déterminer les valeurs optimales des facteurs pour obtenir les réponses désirées. Nous utilisons pour cela les fonctions de désirabilité, qui permettent de rechercher un optimum multi-critères en trois phases :

La première phase consiste à transformer les valeurs des réponses calculées en un indice de satisfaction variant de 0 à 100 %. Pour chacune des réponses, nous cherchons une valeur cible ($\epsilon_{exp}$) permettant d'obtenir une efficacité simulée égale à l'efficacité mesurée, avec un intervalle de tolérance de 5 %. Les fonctions de désirabilité individuelle associées à chaque réponse peuvent être illustrées de manière graphique comme ci-dessous (Figure IV.15) :
<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>Figure IV.15 : Fonction de désirabilité associée à chaque réponse</figcaption></figure>

**La deuxième phase** consiste à définir un critère objectif qu'on va chercher à optimiser, à savoir la fonction de désirabilité globale. Celle-ci est définie par la moyenne géométrique des valeurs des fonctions de désirabilité individuelle. Il est également possible d'attribuer un poids aux différentes réponses selon l'ordre d'importance de chacune. Dans notre étude, nous avons accordé le même poids à toutes les réponses. Ainsi, la fonction de désirabilité globale est calculée par l'équation suivante :

$$D = \prod_{i} d_{i}^{\left(\frac{1}{\varepsilon_{i}}\right)} \quad (4)$$

**La troisième phase** consiste à trouver les niveaux optimaux des facteurs qui maximisent la valeur de la fonction de désirabilité globale.

Les fonctions de désirabilité attribuées à chaque réponse sont données dans le Tableau IV.11, ainsi que les réponses prédites par les modèles. Les niveaux optimaux obtenus par les fonctions de désirabilité sont donnés dans le Tableau IV.12. Les valeurs des paramètres fournies par le fabricant sont également présentées à des fins de comparaison.
<table><caption>Tableau IV.11 : Résultat de la recherche de l'optimum par fonction de désirabilité</caption><thead><tr><th>Réponse</th><th>Valeur ciblée</th><th>Valeur prédite</th><th>Désirabilité</th></tr></thead><tbody><tr><td>ε<sub>59keV-Petri</sub></td><td>8,09E-02</td><td>8,04E-02</td><td>88,20%</td></tr><tr><td>ε<sub>88keV-Petri</sub></td><td>8,95E-02</td><td>8,87E-02</td><td>81,60%</td></tr><tr><td>ε<sub>165keV-Petri</sub></td><td>6,83E-02</td><td>6,73E-02</td><td>71,80%</td></tr><tr><td>ε<sub>662keV-Petri</sub></td><td>1,71E-02</td><td>1,64E-02</td><td>19,80%</td></tr><tr><td>ε<sub>1173keV-Petri</sub></td><td>9,91E-03</td><td>9,77E-03</td><td>71,80%</td></tr><tr><td>ε<sub>1836keV-Petri</sub></td><td>6,20E-03</td><td>6,36E-03</td><td>49,00%</td></tr><tr><td>ε<sub>59keV-Mar</sub></td><td>3,44E-02</td><td>3,39E-02</td><td>70,40%</td></tr><tr><td>ε<sub>88keV-Mar</sub></td><td>3,97E-02</td><td>3,99E-02</td><td>90,60%</td></tr><tr><td>ε<sub>165keV-Mar</sub></td><td>3,29E-02</td><td>3,35E-02</td><td>65,20%</td></tr><tr><td>ε<sub>662keV-Mar</sub></td><td>9,39E-03</td><td>8,92E-03</td><td>0,60%</td></tr><tr><td>ε<sub>1173keV-Mar</sub></td><td>6,65E-03</td><td>5,46E-03</td><td>31,60%</td></tr><tr><td>ε<sub>1836keV-Mar</sub></td><td>3,67E-03</td><td>3,58E-03</td><td>53,60%</td></tr><tr><td>Désirabilité globale</td><td></td><td></td><td>39,68%</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Tableau IV.12 : Les valeurs optimales obtenues par les fonctions de désirabilité.</caption><thead><tr><th>Facteur</th><th>Valeur nominale (mm)</th><th>Valeur optimale (mm)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Diamètre du cristal</td><td>51</td><td>49,3</td></tr><tr><td>Hauteur du cristal</td><td>49</td><td>49,57</td></tr><tr><td>Zone morte latérale extérieure</td><td>0,0003</td><td>0,06</td></tr><tr><td>Zone morte frontale extérieure</td><td>0,0003</td><td>0,12</td></tr><tr><td>Zone morte latérale intérieure</td><td>0,6</td><td>1,65</td></tr><tr><td>Diamètre du trou</td><td>12</td><td>12,26</td></tr></tbody></table>

D'après ces résultats, on constate que les valeurs de désirabilité individuelle pour toutes les réponses sont élevées, conduisant ainsi à une désirabilité globale de 40%. Il est important de noter qu'une désirabilité non nulle indique que toutes les réponses sont acceptables. De plus, les valeurs optimisées des facteurs sont à l'intérieure du domaine expérimental. En effet, une valeur de borne inférieure/supérieure signifie que le facteur est sur-évalué/sous-évalué et que, par conséquent, le niveau minimal/maximal doit être réévalué. Ce comportement est un indicateur fort d'une éventuelle erreur de dimensionnement du détecteur. Par conséquent, l'optimisation des niveaux de facteurs a permis de déterminer les valeurs optimales tout en s'assurant qu'elles restent réalistes et réalisables dans le cadre de conception et fabrication du détecteur.

## VI. Test de vérification :

Afin de juger l'acceptabilité des niveaux optimaux des facteurs obtenus par les fonctions de désirabilité, une vérification des résultats est nécessaire. Ce processus consiste à mener un essai avec les niveaux optimaux des facteurs et à évaluer l'écart entre les réponses simulées et expérimentales pour vérifier s'ils sont inférieurs ou égaux à l'écart ciblé. Les résultats de cet essai sont présentés dans le Tableau IV.13. On constate que les valeurs simulées des réponses du détecteur, en considérant les niveaux optimaux, sont conformes aux critères requis et se rapprochent
des valeurs expérimentales visées. Ces résultats confirment que les dimensions du détecteur retenues sont en adéquation avec l'objectif de ce travail.

<table><caption>Tableau IV.13 : Efficacités simulées avec les paramètres optimaux du détecteur.</caption><thead><tr><th rowspan="2">Nucliéde</th><th rowspan="2">Energie (keV)</th><th colspan="2">Marinelli 1L</th><th colspan="2">Boîte de Petri 60mL</th></tr><tr><th>ε<sub>sim</sub></th><th>DR (%)</th><th>ε<sub>sim</sub></th><th>DR (%)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Am-241</td><td>59,54</td><td>3,39E-02</td><td>1,48%</td><td>8,04E-02</td><td>0,59%</td></tr><tr><td>cd-109</td><td>88</td><td>3,99E-02</td><td>-0,47%</td><td>8,87E-02</td><td>0,92%</td></tr><tr><td>Co-57</td><td>122</td><td>3,82E-02</td><td>-4,35%</td><td>8,07E-02</td><td>-3,22%</td></tr><tr><td>Ce-139</td><td>165,9</td><td>3,35E-02</td><td>-1,74%</td><td>6,73E-02</td><td>1,41%</td></tr><tr><td>Sn-113</td><td>391,7</td><td>1,47E-02</td><td>2,55%</td><td>2,76E-02</td><td>1,95%</td></tr><tr><td>Cs-137</td><td>661,6</td><td>8,99E-03</td><td>4,24%</td><td>1,64E-02</td><td>4,01%</td></tr><tr><td>Y-88</td><td>898</td><td>7,03E-03</td><td>-1,96%</td><td>1,24E-02</td><td>-4,39%</td></tr><tr><td>Co-60</td><td>1173,2</td><td>5,46E-03</td><td>3,42%</td><td>9,77E-03</td><td>1,41%</td></tr><tr><td>Co-60</td><td>1332,5</td><td>4,94E-03</td><td>2,97%</td><td>8,68E-03</td><td>0,86%</td></tr><tr><td>Y-88</td><td>1836</td><td>3,58E-03</td><td>2,32%</td><td>6,36E-03</td><td>-2,55%</td></tr></tbody></table>

## VII. Conclusion :

Le travail réalisé dans cette section nous a permis de bien définir les caractéristiques géométriques qui définissent le détecteur GeHP coaxial de type N et d'en porter d'eventuelles rectification vis-à-vis des données fournies par le constructeur. Nos données corrigées ont permis de reproduire parfaitement les résultats de mesure expériementale.

L'étude de criblage nous a permis d'estimer l'effet des facteurs et des interactions d'ordre 1 sur la réponse observée afin d'identifier les éléments statistiquement influents. Cette étude présente une étape obligatoire dans la modélisation d'une réponse par l'utilisation des plans d'expériences. Étant donné que les plans d'expériences pour l'étude des surfaces de réponse nécessitent souvent un grand nombre d'essais, il est donc important de réduire le nombre de facteurs considérés. Parmi les 12 facteurs définissant la géométrie du détecteur, nous avons identifié 6 facteurs présentant une influence significative sur l'efficacité du détecteur. Ces facteurs sont spécifiques au cristal détecteur (diamètre et hauteur du cristal, diamètre du trou) et aux zones mortes (zones mortes exterieures latérales et frontales, et zone mozte intérieure latérales). Cette réduction du nombre de facteurs à prendre en compte a permis de minimiser le nombre de simulations nécessaires pour l'optimisation.

Les paramètres d'influence significative ont été modélisés en utilisant un plan de surface de réponse. Des analyses ont été effectuées pour déterminer les corrélations entre les paramètres du détecteur et son efficacité de détection. Suite à ces analyses, les modèles ont été améliorés pour optimiser leur qualité descriptive et prédictive. Ces modèles ont été, ensuite testés dans des régions du domaine expérimental non explorées par le plan d'expériences. Les prédictions données par les modèles ont été alors comparées aux résultats de simulation relativement aux mêmes points pour valider leur fiabilité.
Enfin, afin d'obtenir une efficacité numérique du détecteur équivalente à celle expérimentale sur un large intervalle d'énergie [59-1836keV] et pour les deux configurations de mesure considérées (Marinelli et boîte de Petri), nous avons adopté une approche d'optimisation multicritères. En utilisant les fonctions de désirabilité, nous avons ciblé l'efficacité expérimentale avec un intervalle de tolérance de 5%. Les tests de vérification ont ensuite confirmé que la précision de la simulation du détecteur reproduit bien les résultats expériementaux (l'écart est inférieur à 5%, et ce pour toutes les énergies et suivant les deux géométries de mesure).

Pour compléter cette étude, il serait intéressant d'examiner cette approche d'optimisation sur d'autres types de détecteurs et suivant différentes configurations et gammes d'énergie. Le but étant de vérifier sa fiabilité et son éventuel généralisation à des contextes différents. Ceci fera l'objet de la section suivante.
# Section II : Validation de la méthode des plans d'expériences sur l'optimisation de différents types de détecteurs

## I. Introduction :

Après avoir optimiser, avec succès, les paramètres intrinsèques du détecteur GeHP coaxial type N par la méthode des plans d'expériences, nous avons décidé d'étalrgir cette approche en l'appliquant à d'autres détecteurs, particulièrement GeHP coaxial de type N et de type P, BEGe planaire, NaI 3"x3" et NaI 2"x2".

Trois indicateurs sont utilisés pour comparer les réponses simulées et réelles du détecteur relativement à l'ensemble des énergies considérées, notamment :

* La moyenne de l'écart entre les efficacités simulées et expérimentales,

* L'écart type,

* La médiane.

## II. Mesures et détecteurs testés :

Afin de réaliser cette étude, nous avons sélectionné une variété de détecteurs utilisés dans des études antérieures où on a effectué des mesures expérimentales utilisant différentes sources radioactives à des distances et énergies variées. Les détails des mesures effectuées pour chaque détecteur sont présentés dans le Tableau ci-dessous.
<table><caption>Tableau IV.14: Configurations de mesures et détecteurs testés</caption><thead><tr><th rowspan="2">Détecteur</th><th rowspan="2">Modèle</th><th colspan="3">Configuration de mesure</th><th rowspan="2">Référence</th></tr><tr><th>Source utilisée</th><th>Energie (keV)</th><th>Distance</th></tr></thead><tbody><tr><td>GeHP coaxial-type N</td><td>GR3019-Canberra</td><td><sup>241</sup>Am, <sup>152</sup>Eu</td><td>59-122-344,3-411-778,9-1085,8-1112-1408</td><td>21 cm</td><td>[Azl15]</td></tr><tr><td>GeHP coaxial-type P</td><td>DSG</td><td><sup>109</sup>Cd, <sup>60</sup>Co, <sup>203</sup>Hg, <sup>137</sup>Cs, <sup>51</sup>Cr, <sup>65</sup>Zn</td><td>88-122,1-136,5-279,2-320-661-1115</td><td>12,6 cm</td><td>[Aga11]</td></tr><tr><td>BEGe planaire</td><td>BE503-Canberra</td><td><sup>152</sup>Eu</td><td>39,82-121,78-244,7-344,28-778,91-867,38-964-1085,80-1112,1-1408</td><td>12,8 cm</td><td>[Lui10]</td></tr><tr><td>NaI 3"x3"</td><td>802Mirion Inc</td><td><sup>22</sup>Na, <sup>137</sup>Cs, <sup>54</sup>Mn, <sup>65</sup>Zn, <sup>60</sup>Co</td><td>511-661,65-834,83-115,39-1173,3-1274,5-1332,49</td><td>0</td><td>[Tam17]</td></tr><tr><td>NaI 2"x2"</td><td>Canberra Inc</td><td><sup>54</sup>Mn, <sup>60</sup>Co, <sup>65</sup>Zn, <sup>109</sup>Cd, <sup>133</sup>Ba, <sup>137</sup>Cs, <sup>152</sup>Eu, <sup>241</sup>Am</td><td>30,97-59,54-81,00-121,78-244,7-344,28-356,01-661,6-964,08-1173-1332,49-1408</td><td>0</td><td>[Chu19]</td></tr></tbody></table>

### III. Modélisation utilisant les données du constructeur :

La première étape de cette étude consiste à modéliser la réponse des différents détecteurs en utilisant les données des fabricants. Les résultats sont ensuite confrontés aux mesures expérimentales (Figure IV.15). Nous remarquons qu'ils présentent les mêmes allures mais les valeurs sont différentes. En effet, les courbes d'efficacité simulée sont nettement supérieures aux valeurs expérimentales. Pour quantifier cette différence sur toutes les énergies, nous avons calculé les trois indicateurs cités dessus : la moyenne, la médiane et l'écart-type des écarts entre les efficacités simulées et mesurées. Les résultats de cette comparaison (Tableau IV.15) montrent que les modèles de simulation basés sur les données fournies par les constructeurs présentent des écarts significatifs par rapport aux mesures expérimentales, et ce pour tous les détecteurs étudiés. Les moyennes des écarts atteinent respectivement 16,23 %, 14,69 %, 25,45 %, 9,47 % et 8,05 % pour le GeHP coaxial de type P, GeHP coaxial de type N, BEGe planaire, NaI 3"x3" et le NaI 2"x2". De plus, les écart-types sont également élevés, cela reflète une importante variabilité dans les résultats. Encore plus, les médianes sont importantes, indiquant que la moitié des écarts sont significatifs.
<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>Figure IV.16 : Les courbes d'efficacité mesurées et simulées pour différents détecteurs en utilisant les données de constructeur</figcaption></figure>

<table><caption>Tableau IV.15 : Les indicateurs d'écart entre les efficacités expérimentales et simulées sur toutes les énergies en utilisant les données du constructeur</caption><thead><tr><td>Détecteur</td><td>Moyenne (%)</td><td>Ecart type (%)</td><td>Médiane (%)</td></tr></thead><tbody><tr><td>GeHP coaxial- type N</td><td>16,23</td><td>6,46</td><td>15,45</td></tr><tr><td>GeHP coaxial- type P</td><td>14,69</td><td>4,88</td><td>13,79</td></tr><tr><td>BEGe planaire</td><td>25,45</td><td>4,43</td><td>24,71</td></tr><tr><td>NaI 3"x3"</td><td>9,74</td><td>0,60</td><td>9,92</td></tr><tr><td>NaI 2"x2"</td><td>8,05</td><td>1,36</td><td>7,54</td></tr></tbody></table>
Dans l'ensemble, ces résultats indiquent que la modélisation basée sur les données du constructeur est insuffisante. Par conséquent, une optimisation des paramètres géométriques du détecteur est nécessaire pour améliorer la concordance des résultats de simulation avec l'expérience.

# IV. Plan de criblage pour la sélection des facteurs impactant la réponse des détecteurs :

## IV.1 Méthodologie de l'étude de criblage :

Pour réduire le nombre de paramètres à optimiser, nous avons mené une étude de criblage pour sélectionner les facteurs les plus impactants sur la réponse de chaque détecteur. Nous avons utilisé un plan de Taguchi qui permet de réaliser une telle étude avec un nombre minimal d'expériences nécessaires. Pour chaque détecteur, nous avons identifié entre 6 et 12 paramètres initiaux correspondant à l'ensemble de ses paramètres géométriques. Nous avons négligé les interactions entre les différents facteurs, car nous nous sommes concentrés sur l'identification des facteurs individuels de plus grand impact sur la réponse des détecteurs. La matrice d'expériences a été sélectionnée en fonction du nombre de facteurs à étudier. Le Tableau présenté ci-dessous résume le nombre de paramètres à étudier pour chaque détecteur, ainsi que les niveaux associés et la matrice d'expériences utilisée.
<table><caption>Tableau IV.16 : Les paramètres étudiés pour chaque détecteur et la matrice d'expériences utilisée</caption><thead><tr><th rowspan="2">Facteurs</th><th colspan="2">GeHP coaxial-N</th><th colspan="2">GeHP coaxial-P</th><th colspan="2">BEGe planaire</th><th colspan="2">NaI 3"x3"</th><th colspan="2">NaI 2"x2"</th></tr><tr><th>min</th><th>max</th><th>min</th><th>max</th><th>min</th><th>max</th><th>min</th><th>max</th><th>min</th><th>max</th></tr></thead><tbody><tr><td>Diamètre du cristal</td><td>53</td><td>59</td><td>46,1</td><td>52,1</td><td>74</td><td>82</td><td>72,2</td><td>79,8</td><td>48,26</td><td>53,34</td></tr><tr><td>Hauteur du cristal</td><td>50,5</td><td>56,5</td><td>46,9</td><td>52,9</td><td>20</td><td>32</td><td>72,2</td><td>79,8</td><td>48,26</td><td>53,34</td></tr><tr><td>Diamètre du hole</td><td>6</td><td>12</td><td>5,5</td><td>11,5</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Hauteur du hole</td><td>19</td><td>25</td><td>35,4</td><td>41,4</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Épaisseur du support</td><td>0,5</td><td>1,5</td><td>0,5</td><td>1,5</td><td>0,5</td><td>1,5</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Épaisseur du Capot</td><td>0,5</td><td>1,5</td><td>0,5</td><td>1,5</td><td>0,5</td><td>1,5</td><td>0,5</td><td>1,7</td><td>0,5</td><td>1,7</td></tr><tr><td>Distance cristal-fenêtre</td><td>3</td><td>6</td><td>3</td><td>6</td><td>3</td><td>6</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Épaisseur de la fenêtre</td><td>0,3</td><td>0,7</td><td>0,3</td><td>0,7</td><td>0,3</td><td>0,7</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Zone morte frontale extérieure</td><td>0,6</td><td>3</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0,02</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Zone morte latérale extérieure</td><td>0,6</td><td>3</td><td>0</td><td>1</td><td>0,5</td><td>1</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Zone morte frontale intérieure</td><td>0</td><td>1</td><td>0,6</td><td>3</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Zone morte latérale intérieure</td><td>0</td><td>1</td><td>0,6</td><td>3</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Zone morte arrière</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>0,7</td><td>3</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Épaisseur du réflecteur latéral</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>0,1</td><td>3</td><td>0,1</td><td>3</td></tr><tr><td>Épaisseur du réflecteur frontal</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>0,1</td><td>3</td><td>0,1</td><td>3</td></tr><tr><td>Densité de Al<sub>2</sub>O<sub>3</sub> (g/cm<sup>3</sup>)</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>0,5</td><td>3</td><td>0,5</td><td>3</td></tr><tr><td>Nombre de paramètres</td><td colspan="2">12</td><td colspan="2">12</td><td colspan="2">9</td><td colspan="2">6</td><td colspan="2">6</td></tr><tr><td>Matrice</td><td colspan="2">L16 (2<sup>^</sup>12)</td><td colspan="2">L16 (2<sup>^</sup>12)</td><td colspan="2">L12 (2<sup>^</sup>9)</td><td colspan="2">L8 (2<sup>^</sup>6)</td><td colspan="2">L8 (2<sup>^</sup>6)</td></tr></tbody></table>

## IV.2 Résultats de l'étude de criblage

L'étude de criblage permet de réduire considérablement le nombre de paramètres à optimiser. Les résultats d'essais de chaque détecteur ont été analysés par un ensemble d'outils d'analyse tels qu'ils sont décrits dans la section V.5 du chapitre 2. Cette étude nous a permis de sélectionner 4 ou 5 paramètres pour chaque détecteur. Le Tableau IV.17 présente les paramètres retenus pour chaque détecteur.
<table><caption>Tableau IV.17 : Résultats de l'étude de criblage pour les différents détecteurs</caption><thead><tr><td>Détecteur</td><td>Nombre de paramètres initiaux</td><td>Nombre de paramètres retenus</td><td>Paramètres retenus</td></tr></thead><tbody><tr><td>GeHP coaxial de type N</td><td>12</td><td>5</td><td>Diamètre du cristal<br>Hauteur du cristal<br>Zone morte frontale extérieure<br>Zone morte latérale extérieure<br>Zone morte frontale intérieure</td></tr><tr><td>GeHp coaxial de type P</td><td>12</td><td>5</td><td>Diamètre du cristal<br>Hauteur du cristal<br>Diamètre du hole<br>Zone morte frontale extérieure<br>Zone morte latérale extérieure</td></tr><tr><td>BEGe planaire</td><td>9</td><td>4</td><td>Diamètre du cristal<br>Hauteur du cristal<br>Zone morte frontale<br>Zone morte arrière</td></tr><tr><td>NaI 3" x3"</td><td>6</td><td>4</td><td>Diamètre du cristal<br>Hauteur du cristal<br>Épaisseur du réflecteur latéral<br>Densité de Al<sub>2</sub>O<sub>3</sub> (g/cm<sup>3</sup>)</td></tr><tr><td>NaI 2"x2"</td><td>6</td><td>4</td><td>Diamètre du cristal<br>Hauteur du cristal<br>Épaisseur du réflecteur latéral<br>Densité de Al<sub>2</sub>O<sub>3</sub> (g/cm<sup>3</sup>)</td></tr></tbody></table>

## V. Plan de surface de réponse et fonctions de désirabilité pour l'optimisation des paramètres des détecteurs :

Cette étape vise à optimiser les paramètres retenus lors de l'étude de criblage. Pour ce faire, nous avons utilisé le plan de Box-Behnken afin d'étudier la surface de réponse de chaque détecteur en fonction des paramètres sélectionnés. Le nombre d'essais requis pour la matrice de Box-Behnken varie en fonction du nombre de paramètres à optimiser pour chaque détecteur. Nous avons utilisé des matrices nécessitant 27 et 46 essais pour étudier 4 et 5 facteurs respectivement. Les résultats d'essais ont été analysés tel qu'il est décrit dans le paragraphe VI.3 du chapitre 2. Les modèles de second ordre ont été identifiés et validés pour effectuer des prédictions dans le domaine d'étude
correspondant à chaque détecteur. L'analyse de variance ANOVA montre que les modèles expliquent bien la variation de l'efficacité en fonction des paramètres retenus du détecteur, avec des qualités descriptives et prédictives assez élevées, atteignant 90%.

Pour touver une combinaison optimale de paramètres de chaque détecteur, nous avons utilisé les fonctions de désirabilité. Les valeurs ciblées sont les efficacités mesurées, avec une tolérance de 5%. Les résultats obtenus sont présentés dans le Tableau IV.18, indiquant les combinaisons optimales des paramètres avec les valeurs nominales et la désirabilité globale pour chaque détecteur. Les valeurs de désirabilité globale sont assez élevées, indiquant que les réponses prédites par les modèles répondent bien aux objectifs de l'étude.

<table><caption>Tableau IV.18 : Résultats d'optimisation pour chaque détecteur</caption><thead><tr><th>Détecteur</th><th>Facteurs</th><th>Valeur nominale (mm)</th><th>Valeur optimale (mm)</th><th>Désirabilité globale</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="5">GeHP coaxial de type N</td><td>Diamètre du cristal</td><td>56</td><td>54,8621</td><td rowspan="5">57,21 %</td></tr><tr><td>Hauteur du cristal</td><td>53,5</td><td>56,5</td></tr><tr><td>Zone morte frontale extérieure</td><td>0,6</td><td>1,5103</td></tr><tr><td>Zone morte latérale extérieure</td><td>0,0003</td><td>0,176079</td></tr><tr><td>Zone morte latérale intérieure</td><td>0,0003</td><td>0,551859</td></tr><tr><td rowspan="5">GeHP coaxial de type P</td><td>Diamètre du cristal</td><td>49,1</td><td>49,20</td><td rowspan="5">36,61 %</td></tr><tr><td>Hauteur du cristal</td><td>49,9</td><td>49,59</td></tr><tr><td>Diamètre du hole</td><td>8,5</td><td>5,91</td></tr><tr><td>Zone morte frontale</td><td>0,6</td><td>1,0531</td></tr><tr><td>Zone morte latérale</td><td>0,6</td><td>1,27931</td></tr><tr><td rowspan="4">BEGe planaire</td><td>Diamètre du cristal</td><td>81</td><td>77,58</td><td rowspan="4">46,13 %</td></tr><tr><td>Hauteur du cristal</td><td>30</td><td>28,04</td></tr><tr><td>Zone morte frontale</td><td>0,0003</td><td>0,344</td></tr><tr><td>Zone morte latérale</td><td>0,5</td><td>0,685</td></tr><tr><td rowspan="4">NaI 3" x3"</td><td>Diamètre du cristal</td><td>76</td><td>73,77</td><td rowspan="4">52,56%</td></tr><tr><td>Hauteur du cristal</td><td>76</td><td>79,8</td></tr><tr><td>Épaisseur du réflecteur</td><td>2</td><td>1,36207</td></tr><tr><td>Densité de Al<sub>2</sub>O<sub>3</sub></td><td>0,55</td><td></td></tr><tr><td rowspan="4">NaI 2" x2"</td><td>Diamètre du cristal</td><td>50,8</td><td>50,18</td><td rowspan="4">95,37 %</td></tr><tr><td>Hauteur du cristal</td><td>50,8</td><td>49,86</td></tr><tr><td>Épaisseur du réflecteur</td><td>1,6</td><td>1,9</td></tr><tr><td>Densité de Al<sub>2</sub>O<sub>3</sub></td><td>0,55</td><td>2,475</td></tr></tbody></table>
## VI. Modélisation avec les données optimales:

Conformément aux résultats d'optimisation obtenus à partir des fonctions de désirabilité, nous avons réalisé des simulations de vérification relativement aux niveaux sélectionnés (Tableau IV.17). Les courbes d'efficacité simulées à partir de ces données optimales sont présentées dans la Figure IV.16. Nous constatons un bon accord pour tous les types de détecteurs. Pour évaluer les différences entre les résultats simulés et expérimentaux et ce pour l'ensemble des énergies, nous avons utilisé les indicateurs définis précédemment (Tableau IV.19). On observe un bon accord avec une moyenne des écarts inférieure à 5 % pour tous les détecteurs. De plus, les écarts-types sont très faibles, ce qui indique que toutes les valeurs sont concentrées autour de la moyenne. Les médianes sont également très faibles (inférieures à 5 %), confirmant que la moitié des écarts sont inférieurs à 5 %. Nous avons également calculé le centile à 90%, qui indique que 90 % des écarts entre les efficacités simulées et expérimentales sont de l'ordre de 5%.

<table><caption>Tableau IV.19 : Les indicateurs d'écart entre les efficacités expérimentales et simulées sur toutes les énergies en utilisant les paramètres optimaux</caption><thead><tr><td>Détecteur</td><td>Moyenne</td><td>Ecart type</td><td>Médiane (50%)</td><td>Centile (90%)</td></tr></thead><tbody><tr><td>GeHP coaxial de type N</td><td>1,94</td><td>1,39</td><td>1,76</td><td>3,85</td></tr><tr><td>GeHp coaxial de type P</td><td>2,94</td><td>1,98</td><td>3,54</td><td>5,71</td></tr><tr><td>BEGe planaire</td><td>2,81</td><td>2,71</td><td>2,61</td><td>5,92</td></tr><tr><td>NaI 3" x3"</td><td>2,17</td><td>1,16</td><td>2,75</td><td>3,23</td></tr><tr><td>NaI 2" x2"</td><td>1,37</td><td>0,61</td><td>1,36</td><td>1,90</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>Figure IV.17 : Les courbes d'efficacité mesurées et simulées pour différents détecteurs en utilisant les données optimales</figcaption></figure>

VII. Conclusion :

Cette étude a montré l'efficacité de la méthode des plans d'expériences quant à l'optimisation des paramètres intrinsèques des différents types de détecteurs. Les résultats obtenus pour les détecteurs GeHP coaxial, GeHP planaire, NaI 3"x3" et NaI 2"x2 ont montré une excellente concordance entre les réponses simulées et expérimentales. La précision de la simulation de chaque détecteur par rapport aux mesures experimentales a été améliorée de manière significative grâce à l'optimisation de ses paramètres intrinsèques. De plus, la méthode a été appliquée avec succès sur différentes configurations de mesure incluant différentes distances source-detecteur suivant une gamme d'énergie variée.
# CHAPITRE 5: Développement d'une interface utilisateur graphique pour l'optimisation des détecteurs gamma avec la méthode des plans d'expériences
# I. Introduction :

Dans le cadre de l'optimisation des paramètres intrinsèques des différents types de détecteurs gamma, la méthode des plans d'expériences a éprouvé une grande efficacité en termes de précision et de reproductibilité des mesures. Toutefois, l'utilisation de cette méthode nécessite la maîtrise d'un ensemble de techniques d'analyse statistique et mathématique. Pour faciliter l'utilisation de cette méthode et rendre son application plus accessible, nous avons développé une interface graphique conviviale "OptiGAM" (Optimisation Gamma detectors), basée sur la bibliothèque Python Tkinter. Elle est couplée au code de simulation GAMOS pour lancer les simulations directement à partir de cette interface graphique.

Dans ce chapitre, nous détaillerons les différentes étapes nécessaires à la mise en place de cette interface. Nous expliquerons la procédure de son installation en décrivant, en détail, l'installation des bibliothèques requises, l'obtention du code source et l'exécution de l'interface. Enfin, nous détaillerons les différents éléments de l'interface, ainsi que les fonctionnalités clés de chaque élément.

# II. Élaboration d'une interface utilisateur graphique GUI:

## II.1 Langage de programmation:

Lors du développement d'une interface utilisateur graphique (GUI), il est indispensable de bien choisir le langage de programmation approprié ainsi que l'environnement d'exécution qui lui est associé. Actuellement, il existe plusieurs langages de programmation permettant de créer des applications visuelles et interactives. Les langages les plus courants incluent : C, C++, C#, Java et Python. Le Tableau V.1 présente une comparaison entre ces différents langages. Une analyse plus approfondie de leurs fonctionnalités est discutée ci-après.
<table><caption>Tableau V.1 : Comparaison des langages de programmation</caption><thead><tr><td>langage</td><td>Réutilisabilité</td><td>Multiplateforme</td><td>Performance</td><td>Support</td><td>Vitesse de développement</td></tr></thead><tbody><tr><td>C</td><td>Non</td><td>Non</td><td>élvée</td><td>Nombreuses bibliothèques disponibles</td><td>faible</td></tr><tr><td>C++</td><td>Non</td><td>Non</td><td>élvée</td><td></td><td>faible</td></tr><tr><td>C#</td><td>Non</td><td>Non</td><td>élvée</td><td>Certaines bibliothèques sont disponibles gratuitement. Support commerciale disponible.</td><td>élvée</td></tr><tr><td>Java</td><td>Oui</td><td>Oui</td><td>faible</td><td></td><td>élvée</td></tr><tr><td>Python</td><td>Oui</td><td>Oui</td><td>faible</td><td>Communauté très active.</td><td>élvée</td></tr></tbody></table>

* **Réutilisabilité**: Les langages Python et Java possèdent de nombreuses bibliothèques de codes qui peuvent être utilisés par les développeurs pour ajouter des fonctionnalités courantes à leur propre code. Cela leur permet de gagner du temps en augmentant la vitesse de développement du projet. Généralement, les langages de haut niveau comme Python et Java sont caractérisés par la présence d'une vaste bibliothèque de codes réutilisables. Cependant, les langages de plus bas niveau tels que C, C++ et C# n'ont pas autant de bibliothèques prédéfinies disponibles aux développeurs.

* **Multi-plateformes**: Les langages compilés tels que C, C++ et C# peuvent fonctionner sur plusieurs systèmes d'exploitation comme Windows et Linux. Cependant, ils doivent être compilés pour chaque combinaison de système d'exploitation et d'architecture matérielle (32 ou 64-bits) ainsi que pour différentes versions de bibliothèques exécutées sur ces systèmes. Les langages interprétés tels que Python et JavaScript sont considérés comme multiplateformes car ils peuvent être exécutés sur différents systèmes d'exploitation sans avoir besoin de recompilation. En général, les langages interprétés sont plus faciles et plus rapides à développer, mais peuvent être plus lents à exécuter et moins efficaces que les langages compilés.

* **Performance**: La performance du langage choisi constitue un critère important à prendre en considération. Cela devient de moins en moins critique avec l'augmentation des performances des ordinateurs bien qu'il est toujours important dans les applications nécessitant une utilisation intense du CPU. Les langages compilés sont généralement plus performants que les langages interprétés, qui s'exécutent relativement plus lentement.

* **Support**: La disponibilité d'outils de développement, de documentation et de communautés actives pour aider les développeurs varie d'un langage à l'autre. C et C++ sont des langages très anciens et largement utilisés, ils disposent d'une grande quantité de documentation et de
ressources. C# est utilisé principalement pour les applications Windows et est fortement
supporté par Microsoft. Java est souvent choisi pour les applications mobiles et les
applications d'entreprise, avec un grand nombre de bibliothèques et de ressources
disponibles. Python quant à lui est utilisé pour une variété d'applications, notamment
l'analyse de données, la science des données et le développement Web, il possède une
communauté de développeurs très active.

*   **Vitesse de développement:** Pour les langages qualifiés de haut niveau, la vitesse de développement est généralement plus rapide. C#, Java et Python possèdent une courbe d'apprentissage plus courte et sont plus rapides à développer. C et C++, nécessitent plus de temps pour écrire le même code, mais offrent un contrôle plus fin sur les ressources système.

Compte tenu de tous ces critères, nous avons opté pour langage de programmation Python en raison de sa flexibilité, de la disponibilité de nombreuses bibliothèques et de sa capacité à fonctionner sur plusieurs systèmes d'exploitation [van95].

## II.2 Paquets utilisés:

**Tkinter (Tk interface)** : Tkinter (Tool kit interface) [Ros12] est un module intégré à Python permettant de développer des interfaces graphiques en offrant une gamme complète de widgets telles que les fenêtres graphiques, les boutons, les cases à cocher, les zones de saisie de texte, les boîtes de dialogue...etc. Il est souvent utilisé pour créer des applications simples grâce à sa facilité et sa flexibilité d'utilisation. Tkinter a été utilisé depuis longtemps pour développer des applications avec des interfaces graphiques GUI. Bien qu'il soit stable, fiable et maniable, il ne peut pas offrir certaines fonctionnalités pour les applications plus modernes qui nécessitent des designs plus sophistiqués et plus personnalisés.

**Customtkinter (CTk interface)** : est une bibliothèque basée sur Tkinter, qui offre de nouvelles fonctionnalités et de personnalisation moderne pour GUI. Customtkinter aide à maintenir une apparence cohérente et moderne sur toutes les plates-formes de bureau (Windows, macOS, Linux). Les widgets peuvent être personnalisés en termes de couleurs, de tailles, de polices... etc. Ils sont utilisés comme des widgets Tkinter normaux et peuvent également être utilisés en combinaison avec des éléments Tkinter.

**NumPy [Num21]**: est un paquet Python conçu pour la manipulation et le traitement des Tableaux numériques multidimensionnels avec une variété de fonctionnalités mathématiques. Il est largement utilisé en science de données et en apprentissage automatique en raison de sa capacité à traiter, rapidement et efficacement, de grandes quantités de données numériques.

**Statsmodels [Sta21]** : est un paquet Python qui offre des classes et des fonctions pour les statistiques et l'analyse de données. Il fournit un large éventail d'outils pour la modélisation, la prédiction et l'analyse statistique, tels que la régression linéaire simple et multiple, l'analyse de variance (ANOVA), l'analyse des séries chronologiques, la régression logistique... etc. Le paquet statmodels est utilisé en conjonction avec la bibliothèque « **pandas** » qui offre un format de
données flexible et facile à utiliser. Cela permet une interaction efficace entre la manipulation de données, les analyse statistiques et la modélisation. Les données peuvent être facilement présentées et manipulées avec pandas, puis analysées et modélisées avec statmodels.

**Sklearn [Sci21]:** scikit-learn est une bibliothèque de machine learning en Python qui comporte une variété de modules pour la sélection de modèles, le prétraitement des données, l’évaluation des modèles, la régression, la classification ...etc. Ces modules incluent des algorithmes et des fonctions pour traiter, analyser et utiliser les données pour élaborer des modèles de machine learning. Sklearn est construit sur d'autres bibliothèques Python, telles que NumPy, pandas et matplotlib. En d'autres termes, en utilisant sklearn, il est possible d’exploiter les fonctionnalités de ces bibliothèques pour résoudre des problèmes de machine learning sans avoir besoin d’apprendre de nouvelles bibliothèques.

[Mat21]: Matplotlib est une bibliothèque Python pour la visualisation de données et la création de graphiques. Elle permet de produire des graphiques de haute qualité selon plusieurs formats, comme les diagrammes en barres, les histogrammes, les courbes, les graphiques à nuages de points... etc. Matplotlib peut également être utilisé pour visualiser les données en 2D et 3D. Il est compatible avec de nombreuses autres bibliothèques Python telles que NumPy, pandas et scikit-learn.

### III. Installation de l'interface OptiGAM:

Afin de s'assuer du bon fonctionnement de l'interface OptiGAM, il est nécessaire de suivre correctement les étapes d'installation suivantes :

#### III.1 Installation des bibliothèques requises :

Toutes les bibliothèques citées précédemment doivent être installées sur le système pour pouvoir construire et installer correctement OptiGAM. Il est important de vérifier que toutes les dépendances nécessaires sont installées avant de commencer l'installation de l'interface. Afin d'automatiser et de simplifier le processus d'installation pour les utilisateurs finaux, nous avons créer un script d'installation qui inclut toutes les instructions nécessaires pour télécharger les dépendances requises. Le script d'installation « install_script.sh » est écrit en langage Bash et peut être exécuté à l'aide de la commande "bash install_script.sh" dans le terminal. L'utilisation de ce script accélère considérablement le processus tout en minimisant les erreurs et en assurant une installation cohérente et réussie. Un extrait du script est présenté dans la Figure suivante :
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>Figure V.1 : Extrait du script d'installation</figcaption></figure>

### III.2 Obtention du code source :

Pour obtenir le code source de OptiGAM, il suffit de se rendre sur notre page sur GitHub et de télécharger le fichier ZIP qui contient tous les fichiers du projet. Vous pourrez ensuite extraire les fichiers pour accéder au code source. Vous pouvez également cloner le dépôt GitHub directement sur votre ordinateur à l'aide de la commande Git en utilisant la commande suivante :

git clone https://github.com/assiaarectout/OptiGAM.git

### III.3 Exécution de l'interface :

Une fois que vous avez vérifié que les dépendances nécessaires sont installées sur votre système et que le code source a été téléchargé sur votre ordinateur, l'étape suivante consiste à lancer l'interface. À partir du terminal, naviguez vers le répertoire où se trouve le fichier source de l'interface et exécutez-le en utilisant la commande suivante :

python3 gui.py

L'interface OptiGAM devrait alors s'ouvrir et être fonctionnelle.
# IV. Description détaillée des différents éléments de l'interface et de processus de son exécution :

La fenêtre principale de l'interface OptiGAM est conçue de manière claire et instructive avec quatre parties distinctes : un panneau central, un tracé de géométrie, un terminal et une section projet, tel qu'il est illustré dans la Figure V.2. Dans ce qui suit, nous présentons, étape par étape, tous les composants disponibles sur l'interface, ainsi que les fonctionnalités correspondantes.

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>Figure V.2: Fenêtre principale de l'interface OptiGAM</figcaption></figure>

## IV.1 Panneau centrale :

Constitue l'élément clé de l'interface pour la modélisation et l'optimisation des détecteurs gamma en utilisant la méthode des plans d'expériences. Elle offre à l'utilisateur une plateforme complète pour conFigurer leur système de détection, exécuter des simulations Monte Carlo, analyser les résultats et ajuster les paramètres pour améliorer l'accord entre les simulations et l'expériences. Afin de garantir une démarche simple et précise, cette section est structurée en 3 parties principales, à savoir : Données d'entrée, Calculs et Données de sortie. Cette organisation permet à l'utilisateur de naviguer facilement entre les différentes étapes du processus de modélisation et d'optimisation, en suivant une séquence logique et intuitive qui assure une utilisation efficace de l'interface.

### IV.1.1 INPUT DATA :

Dans cette section, l'utilisateur peut définir les données d'entrée de leur système de détection, telles que les dimensions du détecteur fournies par le constructeur, les propriétés de la source, la
configuration de mesure... etc. L'utilisateur peut également lancer des simulations et comparer les résultats avec les résultats expérimentaux pour évaluer la qualité des données du constructeur et déterminer si une optimisation des paramètres du détecteur est nécessaire.

Ces foncionalités sont accesibles via quatres volets, à savoir : *Detetor data*, *Container data*, *Measurement setup* et *Simulation and Experimental Efficiency*.

### a) Detector Data :

Dans ce volet, nous avons implémenté différents modèles de détecteurs dans une liste déroulante afin de permettre à l'utilisateur de sélectionner facilement le type de détecteur qu'il souhaite étudier. Les détecteurs disponibles sont : GeHP coaxial, GeHP puits, GeHP planaire, NaI 3"x3" et NaI 2"x2" qui sont tous couramment utilisés en spectrométrie gamma. Pour chaque type de détecteur, un fichier de géométrie de GAMOS a été préalablement créé, décrivant la géométrie de chaque détecteur, y compris les matériaux et les dimensions par défaut. L'utilisateur peut facilement personnaliser les données du détecteur en cliquant sur le bouton **Detector info**, qui ouvre une fenêtre affichant les caractéristiques par défaut du détecteur sélectionné, ainsi qu'une image pour une meilleure visualisation. Les Figures V.3 et V.4 présentent des exemples des fenêtres associées à la description des caractéristiques des détecteurs Ge planaire et NaI, respectivement.

Une fois que l'utilisateur a apporté les modifications souhaitées, il peut enregistrer les données modifiées en utilisant le bouton **Save**. Le fichier de géométrie correspondant au détecteur sélectionné est ainsi mis à jour avec les nouvelles caractéristiques. Ce fichier peut ensuite être utilisé pour effectuer des simulations avec GAMOS.

<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>Figure V.3: Fenêtre de personnalisation des données pour le détecteur Ge planaire</figcaption></figure>
<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>Figure V.4: Fenêtre de personnalisation des données pour le détecteur NaI</figcaption></figure>

## b) Container Data :

Dans ce volet, l'utilisateur peut sélectionner le type de conteneur de source adéquat pour sa simulation. Le choix des options proposées telles que ‘No container’, ‘Cylindrical’ et ‘Marinelli’ est mis à disposition de l'utilisateur à travers un groupe de check-boutons. L'option 'No container' permet de simuler des sources ponctuelles. Si l'utilisateur sélectionne l'option "Cylindrical" ou "Marinelli", le bouton **container info** devient actif permettant de définir les dimensions du conteneur de source sélectionné, aisni que les informations sur la matrice de la source, telles que la composition, le volume et la densité. Les Figures V.5 et V.6 présentent les fenêtres associées à la description du conteneur Marinelli et du boîte à Pétri, respectivement.
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>Figure V.5 : Définition des données du conteneur Marinelli et de la matrice de la source</figcaption></figure>

<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>Figure V.6 : Définition des données du conteneur boîte de petri et de la matrice de la source</figcaption></figure>

### c) Measurment setup :

l'utilisateur peut spécifier la présence de différents types de blindage, collimateurs et écrans entre la source et le détecteur dans la simulation. Cette fonctionnalité permet d'adapter la simulation aux situations expérimentales spécifiques en ajoutant ces éléments de protection et/ou de sélection du faisceau. Le bouton Settings permet de spécifier pour chaque élément la forme géométrique (par exemple, cylindrique ou cubique), les dimensions (diamètre, hauteur, etc.) et le matériau (plomb, aluminium, etc.) (voir Figure V.7).

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>Figure V.7 : Configuration des données additionnelles à la géométrie de mesure</figcaption></figure>
### d) Simulation and Experimental Efficiency :

Ce dernier volet permet à l'utilisateur de définir les conditions de simulation telles que le nombre d'événements à simuler, l'énergie du rayonnement, et la distance source-détecteur. Le bouton **Simulation parameters** permet de spécifier ces paramètres de manière personnalisée pour adapter la simulation aux conditions expérimentales spécifiques (Figure V.8). Une fois que les paramètres de la simulation ont été configurés, un fichier d'extension « .in » de GAMOS est créé dans le répertoire défini. L'utilisateur peut ensuite lancer les simulations en cliquant sur le bouton **Start simulation** et suivre l'état de simulation à partir de la section "Terminal".

<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>Figure V.8: Définition des conditions de simulation</figcaption></figure>

Après la fin de la simulation, l'utilisateur peut utiliser le bouton **Create Reference Efficiency** pour visualiser les résultats de l'efficacité simulée et comparer à l'efficacité expérimentale dont l'utilisateur a saisi les valeurs dans le Tableau correspondant (Figure V.9). Cette fonctionnalité permet une évaluation précise de l'écart entre les résultats de simulation et les mesures expérimentales, ce qui peut aider à identifier les besoins d'optimisation du détecteur.
<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>Figure V.9: Comparaison des efficacités simulée et expérimentale</figcaption></figure>

IV.1.2 COMPUTATION:

Suite à l'identification de l'écart entre les résultats expérimentaux et simulés en utilisant les données fournies par le constructeur dans la section INPUT, l'utilisateur est en mesure d'entamer la procédure d'optimisation des paramètres du détecteur afin d'améliorer la concordance entre l'expérience et la simulation. Cette section comporte deux options: "Criblage" et "Optimisation", qui sont accessibles à travers deux radio-boutons. En sélectionnant "Screening design", l'utilisateur peut effectuer une étude de criblage en définissant les paramètres d'entrée de ce plan et en générant la matrice d'expériences correspondante. Les résultats peuvent ensuite être analysés dans la section OUTPUT, qui permet d'identifier les paramètres significatifs. L'utilisateur peut ensuite poursuivre avec une étude d'optimisation en définissant les facteurs retenus lors de l'étude de criblage comme facteurs d'entrée de ce plan et en générant une nouvelle matrice d'expériences. Les résultats de cette étape peuvent être analysés dans la section OUTPUT, qui permet dans ce cas, d'établir des modèles de prédiction et de chercher l'optimum. Alternativement, si l'utilisateur connaît déjà les facteurs à optimiser, il peut directement passer à l'étape d'optimisation sans effectuer l'étape de criblage.

a) Pour une étude de criblage (Screening design) :

L'objectif est d'identifier parmi l'ensemble des paramètres du détecteur, ceux qui ont une
influence siginificative sur son efficacité de détection. Pour cela, les facteurs d'entrée du plan de
criblage correspondent à l'ensemble des paramètres du détecteur. En cliquant sur le bouton

Input Factors
l'utilisateur peut accéder à une fenêtre affichant un Tableau contenant tous les paramètres du détecteur, ainsi que leurs dimensions définies dans la section INPUT (Figure V.10). L'utilisateur peut alors saisir les niveaux minimum et maximum de chaque paramètre, et peut égambler exclure certains paramètres de l'étude, en fonction de ses connaissances antérieures.

<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>Figure V.10 : Définition des facteurs d'entrée et de leurs niveaux</figcaption></figure>

L'utilisateur peut également évaluer les effets de certaines interactions entre les paramètres sur l'efficacité du détecteur en utilisant le bouton **Select interactions**. Il est important de noter que le nombre total d'interactions sélectionnées en plus du nombre de facteurs ne doit pas dépasser 31. Cela etant dû à la limitation des tables de Taguchi implémentées, qui sont disponibles jusqu'à L32. L'utilisateur peut sélectionner les interactions en cochant les cases correspondantes dans la liste d'interactions illustrée dans la Figure V.11. Si l'utilisateur souhaite estimer uniquement les effets principaux des facteurs, cette étape peut être ignorée.
<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>Figure V.11 : choix des interactions</figcaption></figure>

Une fois que les facteurs d'entrée et les interactions sont définis, l'étape suivante consiste à générer la matrice d'expériences correspondante. Le bouton **Generate matrix** permet de générer la table minimale nécessaire pour étudier les facteurs et les interactions sélectionnées. Cette table est basée sur la méthode de Taguchi qui permet de minimiser le nombre d'expériences nécessaires. Par exemple, pour étudier 12 facteurs et 10 interactions, la matrice générée est la table $L_{32}$ de Taguchi (illustrée à la Figure V.12). Cette table contient 32 expériences, ce qui est beaucoup moins que le nombre d'expériences nécessaires pour étudier tous les facteurs et interactions de manière exhaustive.

<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>Figure V.12 : Matrice de Taguchi $L_{32}$ pour l'étude de criblage</figcaption></figure>
La matrice d'expériences étant générée, l'étape suivante consiste à procéder aux simulations. Le bouton **Proceed** permet d'effectuer les simulations pour chaque essai de la matrice d'expériences. Il est important de noter que le temps de simulation dépend du nombre d'essais de la matrice d'expériences et de la complexité du modèle de simulation. Le bouton **Proceed** ouvre une fenêtre affichant l'état de chaque essai (not started, running, done) comme illustré à la Figure V.13. Cela permet à l'utilisateur de suivre la progression de la simulation.

<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>Figure V.13: Suivi de la progression des essais</figcaption></figure>

Les résultats de simulation sont enregistrés dans un fichier de sortie, et peuvent être récupérés en cliquant sur le bouton **Get results**. Les résultats sont présentés sous forme de Tableau, affichant le numéro de chaque essai avec les efficacités calculées pour chaque énergie et chaque configuration de mesure (Figure V.14).
<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>Figure V.14 : Exemple des résultats de simulation pour une étude de criblage</figcaption></figure>

Ces résultats peuvent être examinés dans la section "OUTPUT DATA" pour identifier les facteurs significatifs. Ensuite, l'utilisateur peut reprendre une étude d'optimisation en suivant les mêmes étapes. L'analyse des résultats sera abordée en détail dans la section "OUTPUT DATA".

## b) Pour une étude d'optimisation : (Response surface design)

Les facteurs d'entrée de ce plan sont généralement les facteurs considérés significatifs après l'étude de criblage. Toutefois, afin de garantir une utilisation simple et pratique de l'interface, nous avons laissé le choix à l'utilisateur quant à la manière de définir ces facteurs. En effet, l'utilisateur peut déjà avoir une connaissance des paramètres ayant un impact, ce qui pourrait rendre l'étude de criblage inutile. Dans ce cas, l'utilisateur peut sélectionner les paramètres du détecteur qu'il souhaite optimiser et exclure les autres. Par ailleurs, si l'utilisateur a mené une étude de criblage, il pourra facilement récupérer les facteurs significatifs pour les considérer comme facteurs d'entrée du plan d'optimisation. Le bouton **Input factors** ouvre une boîte de dialogue permettant de choisir entre ces deux options.

Une fois que l'utilisateur a choisi les facteurs d'entrée, il peut générer la matrice d'expériences correspondante. Le bouton **Generate matrix** permet de créer une matrice d'essais pour le plan
d'expérience sélectionné. Cette matrice correspond, dans ce cas, à une matrice de Box-Behnken. Le nombre d'essais de la matrice varie en fonction du nombre de facteurs d'entrée de ce plan.

De la même manière que pour le plan de criblage, une fois la matrice d'expériences générée, l'utilisateur peut procéder à la simulation en cliquant sur le bouton **Proceed**. Il peut suivre l'état de la simulation jusqu'à ce qu'elle soit terminée, puis récupérer les résultats en cliquant sur le bouton **Get results**. Ces résultats peuvent ensuite être analysés dans la section suivante.

#### IV.1.3 OUTPUT DATA :

Cette section offre à l'utilisateur un ensemble d'outils mathématiques, statistiques et graphiques adaptés à chaque type de plan d'expérience, permettant ainsi d'analyser les résultats des essais. Selon le type de plan d'expériences sélectionné dans la section « COMPUTATION », les boutons d'analyse proposent des fonctionnalités spécifiques. Si l'utilisateur a selectioné « Screening design », ces boutons peuvent être utilisés pour identifier les facteurs les plus importants qui influencent l'efficacité du détecteur. Ces mêmes boutons peuvent être utilisés pour établir le modèle mathématique présentant l'efficacité du détecteur en fonction de ses paramètres géométriques si l'utilisateur selectionne « Response Surface Design ».

Afin de simplifier l'utilisation de l'interface, nous avons intégré, de manière implicite, l'analyse mathématique des résultats d'essais, qui implique le calcul des coefficients du modèle, dans l'analyse statistique.

**Global analysis** : permet à l'utilisateur d'effectuer une analyse globale des résultats du plan d'expériences en utilisant des graphiques en boîte à moustaches (Figure V.15). Ces graphiques permettent de visualiser la distribution des données et de détecter rapidement les résultats aberrants ou les valeurs extrêmes. Cette analyse est appliquée sur les deux types des plans d'expériences.

<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>Figure V.15 : Analyse globale des résultats du plan d'expériences</figcaption></figure>
a) Analyse des résultats du plan de criblage :

**Statistical analysis** : permet à l'utilisateur d'effectuer une série de tests statistiques pour estimer les effets des facteurs et des interactions sur la réponse étudiée. En cliquant sur ce bouton, une fenêtre s'ouvre, présentant l'ensemble des tests statistiques disponibles, notamment la méthode de Daniel, la méthode de Lenth et le diagramme de Pareto (Figures V.16, V.17 et V.18).

<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>Figure V.16 : Analyse statistique des résultats d'essais par la méthode de daniel</figcaption></figure>

<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>Figure V.17 : Analyse statistique des résultats d'essais par la méthode de Lenth</figcaption></figure>
<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>Figure V.18 : Analyse statistique des résultats d'essais par diagramme de Pareto</figcaption></figure>

**Graphical analysis** : permet à l'utilisateur de visualiser les graphes des effets et des interactions (Figures V.19 et V.20).

<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>Figure V.19 : Exemple de graphe des effets</figcaption></figure>
<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>Figure V.20 : Exemple de graphe des interactions</figcaption></figure>

**Significant factors** : permet d'extraire les résultats de ces analyses et donne directement les facteurs les plus impactants. En cliquant sur ce bouton, l'utilisateur peut rapidement obtenir des informations clés sur les facteurs qui ont le plus d'impact sur la réponse du détecteur (Figure V.21). Par exemple, pour la réponse ε_662_Mar, les facteurs les plus impactants sont C et E: diamètre et hauteur du cristal respectivement. Cette fonctionnalité permet à l'utilisateur de gagner du temps et de faciliter la prise de décision quant à la sélection des paramètres.

<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>Figure V.21 : Exemple de facteurs significatifs</figcaption></figure>
b) Analyse des résultats du plan d'optimisation :

Statistical analysis permet d'effectuer une série de tests statistiques pour examiner la qualité du modèle établi à partir de la régression linéaire multiple d'ordre 2. Ce bouton ouvre une fenêtre affichant pour chaque réponse, le Tableau ANOVA, le Tableau des coefficients du modèle, le graphe des résidus et le graphe d'adéquation (la Figure V.22).

Pour effectuer une régression linéaire multiple d'ordre 2 nous avons utilisé la bibliothèque Statsmodels. Pour cela, nous avons calculé d'abord les coefficients de régression en utilisant la fonction "statsmodels.apOLS()". Cette fonction prend pour entrée les valeurs de l'efficacité calculée à chaque éssai (y) et les valeurs des paramètres du détecteur (x), puis ajuste le modèle en utilisant la méthode des moindres carrés ordinaires (OLS). Les coefficients du modèle peuvent être obtenus à partir de l'attribut "params" de l'objet OLS.

Par la suite, nous avons mené une série de tests statistiques pour examiner la qualité du modèle établi. Cela inclut une analyse globale du modèle par ANOVA, une analyse statistique des coefficients du modèle par le test de Student, et une analyse statistique des résidus par le test Chi-2. Nous avons combiné plusieurs bibliothèques pour effectuer ces tests. Pour l'ANOVA, nous avons utilisé la fonction "anova_lms" de la bibliothèque Statsmodels pour obtenir l'analyse de variance du modèle de régression. Cette fonction calcule les statistiques ANOVA, y compris la somme des carrés des résidus, la somme des carrés du modèle et la F-value. Pour l'analyse statistique des coefficients du modèle, nous avons utilisé le test de Student, qui compare les coefficients de régression estimés aux valeurs nulles pour déterminer leur significativité. Pour effectuer ce test, nous avons utilisé la bibliothèque Statsmodels et la fonction "t_test()" qui calcule la valeur de la t-statistique, la p-value en considérant l'intervalle de confiance à 95% pour chaque coefficient. Enfin, pour l'analyse statistique des résidus, nous avons effectué un test du chi2 avec la fonction "chisquare()" de la bibliothèque SciPy pour tester la correspondance entre les fréquences observées et attendues. Nous avons également visualisé les résidus en utilisant des graphiques de résidus pour évaluer la normalité des erreurs.

Pour visualiser la qualité du modèle, nous avons tracé la courbe prédite par rapport aux valeurs mesurées (calculées par GAMOS). Le graphique obtenu nous a permis de visualiser la qualité de notre modèle et de vérifier si les valeurs prédites sont en accord avec les valeurs mesurées.
<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>Figure V.22: Analyse statistique des résultats du plan d'optimisation</figcaption></figure>
**Graphical analysis** : utilise la bibliothèque matplotlib pour tracer les surfaces de réponse en 3D et les graphes de contours. Ce bouton affiche une fenêtre qui permet à l'utilisateur de choisir les variables à tracer pour la surface de réponse et le contour plot et de spécifier les valeurs des autres variables en tant que constantes. Une fois que l'utilisateur a entré les variables et les constantes souhaitées, il peut cliquer sur le bouton **Plot** pour générer la surface de réponse et le graphe de contours (Figures V.23 et V.24). Ces graphiques permettent de comprendre la relation entre les variables et de visualiser les zones où la réponse est maximale ou minimale.

<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>Figure V.24: Exemple de graphe de contour</figcaption></figure>

**Find optimum** permet à l'utilisateur de sélectionner les réponses à optimiser et de définir les critères d'optimisation pour chaque réponse. Ces critères peuvent inclure une valeur cible ainsi que deux valeurs minimale et maximale (Figure V.25). Le processus d'optimisation calcule les désirabilités individuelles de chaque réponse en fonction des spécifications de l'utilisateur pour chaque critère. Ensuite, le bouton **Search optimum** utilise la méthode de nelder-mead de la bibliothèque scipy.optimise pour trouver la combinaison optimale de réponses qui maximise la désirabilité globale en fonction des objectifs d'optimisation de l'utilisateur. La fenêtre résultante affiche la combinaison optimale de paramètres, les réponses prédites par les modèles en utilisant ces paramètres, leurs désirabilités individuelles, ainsi que la désirabilité globale (Figure V.26).
<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>Figure V.25 : Définition des critères d'optimisation pour chaque réponse</figcaption></figure>

<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>Figure V.26: Résultats d'optimisation : combinaison optimale de paramètres, réponses prédites et désirabilités individuelles</figcaption></figure>

Une fois la combinaison optimale de réponses trouvée, le bouton **Verification run** permet à l'utilisateur de lancer un essai de vérification avec les niveaux optimaux des paramètres. Les efficacités simulées sont automatiquement récupérées et comparées aux efficacités expérimentales (Figure V.27).
<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>Figure V.27: Fenêtre affichant la comparaison des efficacités expérimentales et simulées après optimisation des paramètres</figcaption></figure>

## IV.2 Tracé de géométrie :

Permet d'afficher la configuration entière de la simulation, y compris la source et le détecteur, en utilisant un fichier au format VRML<fnref n="3" />. L'utilisateur peut ainsi visualiser la géométrie en 3D de manière interactive, ce qui peut être très utile pour mieux comprendre la configuration de la simulation et pour vérifier visuellement que tout est correctement positionné. La fonction utilise la bibliothèque VTK (Visualisation Toolkit) pour créer une fenêtre de rendu dans l'interface, où la géométrie est affichée.

## IV.3 Projet :

Consiste à afficher les fichiers et les documents associés au projet en cours. Cette section permet à l'utilisateur d'accéder facilement à ces fichiers sans avoir à les chercher manuellement dans les dossiers de stockage. Il peut contenir des fichiers de simulation, des matrices d'expériences, des résultats d'essais, des fichiers d'entrée et de sortie, ainsi que d'autres documents pertinents.

## IV.4 Terminale :

Cette partie de l'interface est conçue pour afficher en temps réel les informations sur l'état de la simulation, les messages d'erreur et les avertissements.

<footnote n="3">3 VRML (Virtual Reality Modeling Language) est un format de fichier pour la représentation de scènes en trois dimensions.</footnote>
# V. Conclusion :

La mise en place d'une interface utilisateur graphique pour l'optimisation des paramètres de détecteurs gamma est un atout considérable pour les scientifiques qui ont besoin de mesures précises et reproductibles. La méthode des plans d'expériences a été montrée comme étant efficace pour optimiser différents types de détecteurs et peut avoir un impact significatif sur les applications scientifiques. Le développement de l'interface OptiGAM a permis de faciliter l'utilisation de la méthode des plans d'expériences pour l'optimisation des paramètres de détecteurs gamma. Les utilisateurs peuvent ainsi introduire les informations sur le détecteur, le conteneur source et la géométrie de mesure, et choisir les paramètres d'entrée pour leur plan d'expériences. Ils peuvent également analyser les résultats de leur plan d'expériences à l'aide d'approches variées telles que l'analyse globale, mathématique, graphique et statistique.

Ce chapitre peut être considéré comme un guide détaillé pour les futurs utilisateurs souhaitant installer et utiliser notre interface OptiGAM. Les informations présentées dans ce chapitre aideront les utilisateurs à comprendre les différentes étapes de l'installation et de l'exécution de l'interface, ainsi que la signification des différents éléments de l'interface.
Conclusion générale:

Ce travail de recherche a mis en évidence l'importance de l'optimisation des paramètres géométriques des détecteurs gamma pour améliorer la précision des résultats de simulation Monte Carlo. Les résultats obtenus ont montré que cette méthode est puissante pour simuler le comportement des détecteurs, si les données relatives au détecteur sont connues avec précision, ce qui n'est pas toujours le cas.

Pour surmonter le problème de manque de données, nous avons utilisé la technique des plans d'expériences pour établir une réponse numérique du détecteur même en absence de données géométriques précises. Nous avons particulièrement présenté une étude détaillée sur l'optimisation des paramètres géométriques du détecteur GeHP coaxial de type N en utilisant la méthode des plans d'expériences. Pour réduire le nombre de facteurs à prendre en compte dans l'optimisation, nous avons utilisé un plan de criblage qui nous a permis de minimiser le nombre de simulations nécessaires. Les paramètres d'influence significative ont été modélisés par l'intermédiaire d'un plan de surface de réponse. Les modèles ainsi obtenus ont été testés pour valider leur fiabilité et leurs qualités descriptive et prédictive. Enfin, nous avons adopté une approche d'optimisation multi-critères pour obtenir une efficacité numérique du détecteur équivalente à l'expérimentale sur un large intervalle d'énergie suivant deux configurations de mesure. Cette approche a permis d'obtenir des résultats satisfaisants avec une tolérance inférieure à 5%.

De plus, la méthode des plans d'expériences a été validée par optimisation de différents types de détecteurs, démontrant ainsi sa fiabilité et son applicabilité. En effet, les résultats obtenus pour les détecteurs GeHP coaxial, GeHP planaire, NaI 3"x3" et NaI 2"x2" ont montré une excellente concordance entre les réponses simulées et expérimentales. La précision de la simulation de chaque détecteur par rapport aux mesures experimentales a été améliorée de manière significative grâce à l'optimisation de ses paramètres intrinsèques. De plus, la méthode a été appliquée avec succès sur différentes configurations de mesure incluant différentes distances source-détecteur et sur des gammes d'énergie variées.

Enfin, nous avons développé l'interface utilisateur graphique OptiGAM pour faciliter l'utilisation de la méthode des plans d'expériences en permettant aux utilisateurs d'introduire des informations sur le détecteur, le conteneur source et la géométrie de mesure, et de choisir les paramètres d'entrée pour leur plan d'expériences. Les résultats peuvent être analysés à l'aide d'approches variées telles que l'analyse globale, mathématique, graphique et statistique.

Ce travail présente une preuve quant à l'utilisation de la méthode des plans d'expériences à l'optimisation des différents détecteurs utilisés en spectrométrie gamma.
## Perspectives:

Des recherches postérieures pourraient utiliser la méthode des plans d'expériences pour optimiser les caractéristiques physico-chimiques des échantillons. Nous avons prouvé l'importance du choix de l'étalon vis-à-vis de la nature des échantillons à étudier. En effet, lorsque la nature de l'échantillon diffère de celle du standard utilisé, l'atténuation n'est pas exactement similaire et par conséquent l'activité mesurée est affectée. Pour résoudre ce problème, une solution proposée consiste à effectuer l'étalonnage en efficacité à l'aide d'une simulation Monte-Carlo, où les caractéristiques du standard numérique peuvent être choisies librement. Par la simulation, il est possible de créer un échantillon virtuel ayant les mêmes caractéristiques physico-chimiques que l'échantillon d'étude, tels que la même densité apparente, la même composition chimique et la même géométrie. Cela permet d'assurer que l'atténuation des photons de basse énergie par l'échantillon virtuel sera identique à celle de l'échantillon d'étude. L'étalonnage numérique en efficacité ne sera donc pas biaisé aux faibles énergies. Toutefois, il est crucial d'avoir connaissance de la composition chimique de l'échantillon car celle-ci doit être incluse dans le fichier d'entrée de la simulation. L'analyse élémentaire est souvent utilisée pour déterminer la composition chimique d'un échantillon. Bien que cette méthode puisse être fiable, elle peut effectivement être coûteuse et longue, surtout si l'échantillon doit être préparé ou traité avant l'analyse. En effet, l'utilisation de la méthode des plans d'expériences, et plus spécifiquement les plans de mélanges, pourrait être intéressante pour déterminer une composition chimique fictive qui aurait le même degré d'atténuation à une énergie donnée que la composition réelle de l'échantillon.

D'un autre côté, la méthode des plans d'expériences pourrait être utilisée pour des configurations de mesures multi-détecteurs dans des applications comme la tomographie gamma, pour des détecteurs d'autres types de radiations tels que les détecteurs de neutrons, ainsi que pour des détecteurs utilisés dans la radioprotection tels que les dosimètres thermoluminescents (TLD) et les détecteurs optiquement stimulés (OSL).
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Mat21 Matplotlib. (2021). Matplotlib Documentation. https:// matplotlib.org/stable/contents.html
# Annexe A: Résultats d'analyse de plan de criblage

<table><caption>Tableau A.1: La table L₃₂ de Taguchi en valeurs codées</caption><thead><tr><th>Essai</th><th>zml<sub>ext</sub></th><th>zmf<sub>ext</sub></th><th>hc</th><th>zm<sub>int</sub></th><th>ht</th><th>zmf<sub>int</sub></th><th>ef</th><th>dcf</th><th>dt</th><th>es</th><th>ec</th><th>dc</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td>3</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>4</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>5</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td>6</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>7</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>8</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>9</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>10</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>11</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>12</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td>13</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>14</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>15</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td>16</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>17</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td>18</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>19</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>20</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>21</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>22</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td>23</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>24</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>25</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>26</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>27</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td>28</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>29</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>30</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>31</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>32</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau A.2: Résultats des essais obtenus pour les efficacités calculées en utilisant le Marinelli 1L</caption><thead><tr><th>Essai</th><th>ε<sub>59keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>88keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>122keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>165keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>391keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>661keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>898keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>1173keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>1332keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>1836keV-Mar</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>4.54E-02</td><td>4.49E-02</td><td>4.21E-02</td><td>3.60E-02</td><td>1.63E-02</td><td>9.89E-03</td><td>7.73E-03</td><td>6.07E-03</td><td>5.41E-03</td><td>4.13E-03</td></tr><tr><td>2</td><td>5.45E-02</td><td>5.44E-02</td><td>5.11E-02</td><td>4.41E-02</td><td>2.08E-02</td><td>1.30E-02</td><td>1.01E-02</td><td>8.21E-03</td><td>7.29E-03</td><td>5.59E-03</td></tr><tr><td>3</td><td>5.47E-02</td><td>5.45E-02</td><td>5.12E-02</td><td>4.42E-02</td><td>2.12E-02</td><td>1.34E-02</td><td>1.05E-02</td><td>8.42E-03</td><td>7.60E-03</td><td>5.79E-03</td></tr><tr><td>4</td><td>4.51E-02</td><td>4.44E-02</td><td>4.14E-02</td><td>3.48E-02</td><td>1.50E-02</td><td>8.84E-03</td><td>6.73E-03</td><td>5.20E-03</td><td>4.75E-03</td><td>3.52E-03</td></tr><tr><td>5</td><td>5.79E-02</td><td>5.78E-02</td><td>5.45E-02</td><td>4.71E-02</td><td>2.27E-02</td><td>1.44E-02</td><td>1.13E-02</td><td>9.27E-03</td><td>8.25E-03</td><td>6.27E-03</td></tr><tr><td>6</td><td>4.76E-02</td><td>4.74E-02</td><td>4.42E-02</td><td>3.72E-02</td><td>1.61E-02</td><td>9.55E-03</td><td>7.28E-03</td><td>5.72E-03</td><td>5.16E-03</td><td>3.82E-03</td></tr><tr><td>7</td><td>4.79E-02</td><td>4.77E-02</td><td>4.44E-02</td><td>3.76E-02</td><td>1.63E-02</td><td>9.75E-03</td><td>7.51E-03</td><td>5.90E-03</td><td>5.31E-03</td><td>3.97E-03</td></tr><tr><td>8</td><td>5.76E-02</td><td>5.75E-02</td><td>5.38E-02</td><td>4.58E-02</td><td>2.06E-02</td><td>1.26E-02</td><td>9.68E-03</td><td>7.87E-03</td><td>6.98E-03</td><td>5.31E-03</td></tr><tr><td>9</td><td>3.95E-02</td><td>4.55E-02</td><td>4.57E-02</td><td>4.05E-02</td><td>1.91E-02</td><td>1.19E-02</td><td>9.14E-03</td><td>7.35E-03</td><td>6.62E-03</td><td>5.02E-03</td></tr><tr><td>10</td><td>3.34E-02</td><td>3.78E-02</td><td>3.72E-02</td><td>3.18E-02</td><td>1.30E-02</td><td>7.55E-03</td><td>5.73E-03</td><td>4.35E-03</td><td>3.87E-03</td><td>2.91E-03</td></tr><tr><td>11</td><td>3.34E-02</td><td>3.76E-02</td><td>3.72E-02</td><td>3.21E-02</td><td>1.39E-02</td><td>8.11E-03</td><td>6.22E-03</td><td>4.78E-03</td><td>4.40E-03</td><td>3.28E-03</td></tr><tr><td>12</td><td>3.95E-02</td><td>4.54E-02</td><td>4.53E-02</td><td>3.93E-02</td><td>1.75E-02</td><td>1.06E-02</td><td>8.03E-03</td><td>6.37E-03</td><td>5.70E-03</td><td>4.23E-03</td></tr><tr><td>13</td><td>3.61E-02</td><td>4.07E-02</td><td>4.05E-02</td><td>3.60E-02</td><td>1.70E-02</td><td>1.06E-02</td><td>8.20E-03</td><td>6.58E-03</td><td>6.02E-03</td><td>4.50E-03</td></tr><tr><td>14</td><td>4.28E-02</td><td>4.89E-02</td><td>4.95E-02</td><td>4.42E-02</td><td>2.20E-02</td><td>1.40E-02</td><td>1.09E-02</td><td>8.85E-03</td><td>8.02E-03</td><td>6.13E-03</td></tr><tr><td>15</td><td>4.27E-02</td><td>4.87E-02</td><td>4.92E-02</td><td>4.42E-02</td><td>2.23E-02</td><td>1.45E-02</td><td>1.14E-02</td><td>9.37E-03</td><td>8.42E-03</td><td>6.40E-03</td></tr><tr><td>16</td><td>3.63E-02</td><td>4.08E-02</td><td>4.06E-02</td><td>3.58E-02</td><td>1.63E-02</td><td>9.88E-03</td><td>7.59E-03</td><td>5.98E-03</td><td>5.46E-03</td><td>4.06E-03</td></tr><tr><td>17</td><td>1.22E-02</td><td>2.98E-02</td><td>3.75E-02</td><td>3.55E-02</td><td>1.70E-02</td><td>1.05E-02</td><td>7.96E-03</td><td>6.41E-03</td><td>5.82E-03</td><td>4.38E-03</td></tr><tr><td>18</td><td>1.00E-02</td><td>2.48E-02</td><td>3.08E-02</td><td>2.90E-02</td><td>1.33E-02</td><td>7.94E-03</td><td>6.10E-03</td><td>4.78E-03</td><td>4.36E-03</td><td>3.21E-03</td></tr><tr><td>19</td><td>9.92E-03</td><td>2.47E-02</td><td>3.06E-02</td><td>2.88E-02</td><td>1.31E-02</td><td>7.72E-03</td><td>5.93E-03</td><td>4.61E-03</td><td>4.16E-03</td><td>3.15E-03</td></tr><tr><td>20</td><td>1.23E-02</td><td>2.99E-02</td><td>3.82E-02</td><td>3.68E-02</td><td>1.90E-02</td><td>1.21E-02</td><td>9.49E-03</td><td>7.66E-03</td><td>6.96E-03</td><td>5.35E-03</td></tr><tr><td>21</td><td>9.93E-03</td><td>2.33E-02</td><td>2.86E-02</td><td>2.70E-02</td><td>1.22E-02</td><td>7.18E-03</td><td>5.55E-03</td><td>4.20E-03</td><td>3.88E-03</td><td>2.81E-03</td></tr><tr><td>22</td><td>1.24E-02</td><td>2.86E-02</td><td>3.59E-02</td><td>3.47E-02</td><td>1.78E-02</td><td>1.13E-02</td><td>8.78E-03</td><td>7.03E-03</td><td>6.43E-03</td><td>4.88E-03</td></tr><tr><td>23</td><td>1.23E-02</td><td>2.86E-02</td><td>3.59E-02</td><td>3.46E-02</td><td>1.74E-02</td><td>1.09E-02</td><td>8.39E-03</td><td>6.80E-03</td><td>6.19E-03</td><td>4.68E-03</td></tr><tr><td>24</td><td>1.00E-02</td><td>2.36E-02</td><td>2.93E-02</td><td>2.81E-02</td><td>1.34E-02</td><td>8.17E-03</td><td>6.40E-03</td><td>5.00E-03</td><td>4.55E-03</td><td>3.40E-03</td></tr><tr><td>25</td><td>2.05E-02</td><td>3.11E-02</td><td>3.48E-02</td><td>3.19E-02</td><td>1.48E-02</td><td>8.93E-03</td><td>6.90E-03</td><td>5.38E-03</td><td>4.91E-03</td><td>3.57E-03</td></tr><tr><td>26</td><td>2.58E-02</td><td>3.79E-02</td><td>4.28E-02</td><td>4.00E-02</td><td>2.07E-02</td><td>1.33E-02</td><td>1.06E-02</td><td>8.67E-03</td><td>7.82E-03</td><td>5.97E-03</td></tr><tr><td>27</td><td>2.60E-02</td><td>3.81E-02</td><td>4.30E-02</td><td>3.99E-02</td><td>2.04E-02</td><td>1.28E-02</td><td>1.00E-02</td><td>8.20E-03</td><td>7.39E-03</td><td>5.70E-03</td></tr><tr><td>28</td><td>2.03E-02</td><td>3.09E-02</td><td>3.47E-02</td><td>3.21E-02</td><td>1.55E-02</td><td>9.59E-03</td><td>7.46E-03</td><td>5.95E-03</td><td>5.43E-03</td><td>4.07E-03</td></tr><tr><td>29</td><td>2.58E-02</td><td>3.65E-02</td><td>4.00E-02</td><td>3.59E-02</td><td>1.62E-02</td><td>9.68E-03</td><td>7.37E-03</td><td>5.82E-03</td><td>5.18E-03</td><td>3.90E-03</td></tr><tr><td>30</td><td>2.03E-02</td><td>2.95E-02</td><td>3.23E-02</td><td>2.88E-02</td><td>1.26E-02</td><td>7.34E-03</td><td>5.61E-03</td><td>4.29E-03</td><td>3.92E-03</td><td>2.91E-03</td></tr><tr><td>31</td><td>2.03E-02</td><td>2.96E-02</td><td>3.23E-02</td><td>2.86E-02</td><td>1.19E-02</td><td>6.77E-03</td><td>5.21E-03</td><td>3.89E-03</td><td>3.47E-03</td><td>2.53E-03</td></tr><tr><td>32</td><td>2.58E-02</td><td>3.66E-02</td><td>4.04E-02</td><td>3.70E-02</td><td>1.78E-02</td><td>1.10E-02</td><td>8.48E-03</td><td>6.86E-03</td><td>6.11E-03</td><td>4.68E-03</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau A.3: Résultats des essais obtenus pour les efficacités calculées en utilisant la boîte de Pétri 60mL</caption><thead><tr><th>Essai</th><th>ε598keV-Petri</th><th>ε88keV-Petri</th><th>ε122keV-Petri</th><th>ε165keV-Petri</th><th>ε391keV-Petri</th><th>ε661keV-Petri</th><th>ε898keV-Petri</th><th>ε1173keV-Petri</th><th>ε1332keV-Petri</th><th>ε1836keV-Petri</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>9.00E-02</td><td>9.41E-02</td><td>8.55E-02</td><td>7.10E-02</td><td>3.08E-02</td><td>1.86E-02</td><td>1.41E-02</td><td>1.12E-02</td><td>1.00E-02</td><td>7.54E-03</td></tr><tr><td>2</td><td>1.11E-01</td><td>1.10E-01</td><td>1.01E-01</td><td>8.50E-02</td><td>3.84E-02</td><td>2.35E-02</td><td>1.80E-02</td><td>1.44E-02</td><td>1.30E-02</td><td>9.75E-03</td></tr><tr><td>3</td><td>1.13E-01</td><td>1.12E-01</td><td>1.02E-01</td><td>8.58E-02</td><td>3.94E-02</td><td>2.42E-02</td><td>1.88E-02</td><td>1.49E-02</td><td>1.34E-02</td><td>1.01E-02</td></tr><tr><td>4</td><td>9.26E-02</td><td>9.04E-02</td><td>8.02E-02</td><td>6.53E-02</td><td>2.65E-02</td><td>1.55E-02</td><td>1.18E-02</td><td>9.30E-03</td><td>8.34E-03</td><td>5.96E-03</td></tr><tr><td>5</td><td>1.13E-01</td><td>1.13E-01</td><td>1.04E-01</td><td>8.77E-02</td><td>4.06E-02</td><td>2.52E-02</td><td>1.96E-02</td><td>1.58E-02</td><td>1.42E-02</td><td>1.08E-02</td></tr><tr><td>6</td><td>9.26E-02</td><td>9.21E-02</td><td>8.35E-02</td><td>6.89E-02</td><td>2.90E-02</td><td>1.72E-02</td><td>1.30E-02</td><td>1.02E-02</td><td>9.00E-03</td><td>6.88E-03</td></tr><tr><td>7</td><td>9.50E-02</td><td>9.40E-02</td><td>8.46E-02</td><td>6.91E-02</td><td>2.86E-02</td><td>1.70E-02</td><td>1.28E-02</td><td>9.99E-03</td><td>9.07E-03</td><td>6.68E-03</td></tr><tr><td>8</td><td>1.10E-01</td><td>1.10E-01</td><td>9.94E-02</td><td>8.18E-02</td><td>3.50E-02</td><td>2.11E-02</td><td>1.62E-02</td><td>1.29E-02</td><td>1.15E-02</td><td>8.60E-03</td></tr><tr><td>9</td><td>2.72E-02</td><td>6.46E-02</td><td>7.60E-02</td><td>6.98E-02</td><td>3.28E-02</td><td>2.02E-02</td><td>1.57E-02</td><td>1.24E-02</td><td>1.11E-02</td><td>8.49E-03</td></tr><tr><td>10</td><td>2.35E-02</td><td>5.49E-02</td><td>6.37E-02</td><td>5.63E-02</td><td>2.32E-02</td><td>1.35E-02</td><td>1.00E-02</td><td>7.65E-03</td><td>7.03E-03</td><td>5.16E-03</td></tr><tr><td>11</td><td>2.30E-02</td><td>5.33E-02</td><td>6.11E-02</td><td>5.43E-02</td><td>2.32E-02</td><td>1.38E-02</td><td>1.05E-02</td><td>8.15E-03</td><td>7.26E-03</td><td>5.42E-03</td></tr><tr><td>12</td><td>2.76E-02</td><td>6.47E-02</td><td>7.42E-02</td><td>6.68E-02</td><td>2.94E-02</td><td>1.79E-02</td><td>1.33E-02</td><td>1.07E-02</td><td>9.67E-03</td><td>7.07E-03</td></tr><tr><td>13</td><td>2.31E-02</td><td>5.40E-02</td><td>6.36E-02</td><td>5.85E-02</td><td>2.78E-02</td><td>1.71E-02</td><td>1.34E-02</td><td>1.05E-02</td><td>9.64E-03</td><td>7.22E-03</td></tr><tr><td>14</td><td>2.75E-02</td><td>6.57E-02</td><td>7.81E-02</td><td>7.30E-02</td><td>3.60E-02</td><td>2.28E-02</td><td>1.80E-02</td><td>1.44E-02</td><td>1.28E-02</td><td>9.87E-03</td></tr><tr><td>15</td><td>2.73E-02</td><td>6.47E-02</td><td>7.68E-02</td><td>7.16E-02</td><td>3.62E-02</td><td>2.31E-02</td><td>1.81E-02</td><td>1.46E-02</td><td>1.32E-02</td><td>1.01E-02</td></tr><tr><td>16</td><td>2.34E-02</td><td>5.49E-02</td><td>6.46E-02</td><td>5.86E-02</td><td>2.68E-02</td><td>1.64E-02</td><td>1.25E-02</td><td>9.83E-03</td><td>8.77E-03</td><td>6.67E-03</td></tr><tr><td>17</td><td>2.61E-02</td><td>6.16E-02</td><td>7.14E-02</td><td>6.41E-02</td><td>2.85E-02</td><td>1.74E-02</td><td>1.32E-02</td><td>1.04E-02</td><td>9.33E-03</td><td>7.10E-03</td></tr><tr><td>18</td><td>2.20E-02</td><td>5.15E-02</td><td>5.99E-02</td><td>5.33E-02</td><td>2.31E-02</td><td>1.37E-02</td><td>1.05E-02</td><td>8.16E-03</td><td>7.29E-03</td><td>5.41E-03</td></tr><tr><td>19</td><td>2.17E-02</td><td>5.07E-02</td><td>5.96E-02</td><td>5.37E-02</td><td>2.35E-02</td><td>1.39E-02</td><td>1.06E-02</td><td>8.19E-03</td><td>7.39E-03</td><td>5.58E-03</td></tr><tr><td>20</td><td>2.64E-02</td><td>6.28E-02</td><td>7.43E-02</td><td>6.92E-02</td><td>3.35E-02</td><td>2.12E-02</td><td>1.64E-02</td><td>1.32E-02</td><td>1.16E-02</td><td>9.05E-03</td></tr><tr><td>21</td><td>2.16E-02</td><td>4.91E-02</td><td>5.62E-02</td><td>5.00E-02</td><td>2.14E-02</td><td>1.25E-02</td><td>9.42E-03</td><td>7.42E-03</td><td>6.58E-03</td><td>4.87E-03</td></tr><tr><td>22</td><td>2.64E-02</td><td>6.21E-02</td><td>7.29E-02</td><td>6.76E-02</td><td>3.24E-02</td><td>2.03E-02</td><td>1.55E-02</td><td>1.25E-02</td><td>1.11E-02</td><td>8.50E-03</td></tr><tr><td>23</td><td>2.61E-02</td><td>6.17E-02</td><td>7.27E-02</td><td>6.71E-02</td><td>3.16E-02</td><td>1.95E-02</td><td>1.51E-02</td><td>1.20E-02</td><td>1.06E-02</td><td>8.03E-03</td></tr><tr><td>24</td><td>2.21E-02</td><td>5.16E-02</td><td>6.10E-02</td><td>5.54E-02</td><td>2.51E-02</td><td>1.52E-02</td><td>1.15E-02</td><td>9.02E-03</td><td>8.30E-03</td><td>6.07E-03</td></tr><tr><td>25</td><td>8.93E-02</td><td>8.83E-02</td><td>8.00E-02</td><td>6.58E-02</td><td>2.76E-02</td><td>1.63E-02</td><td>1.23E-02</td><td>9.51E-03</td><td>8.75E-03</td><td>6.41E-03</td></tr><tr><td>26</td><td>1.06E-01</td><td>1.05E-01</td><td>9.61E-02</td><td>8.10E-02</td><td>3.76E-02</td><td>2.33E-02</td><td>1.82E-02</td><td>1.47E-02</td><td>1.32E-02</td><td>1.01E-02</td></tr><tr><td>27</td><td>1.08E-01</td><td>1.08E-01</td><td>9.85E-02</td><td>8.29E-02</td><td>3.75E-02</td><td>2.33E-02</td><td>1.79E-02</td><td>1.45E-02</td><td>1.28E-02</td><td>9.64E-03</td></tr><tr><td>28</td><td>8.71E-02</td><td>8.64E-02</td><td>7.83E-02</td><td>6.50E-02</td><td>2.85E-02</td><td>1.72E-02</td><td>1.32E-02</td><td>1.05E-02</td><td>9.26E-03</td><td>6.98E-03</td></tr><tr><td>29</td><td>1.08E-01</td><td>1.07E-01</td><td>9.41E-02</td><td>7.62E-02</td><td>3.08E-02</td><td>1.84E-02</td><td>1.35E-02</td><td>1.07E-02</td><td>9.50E-03</td><td>7.01E-03</td></tr><tr><td>30</td><td>8.72E-02</td><td>8.58E-02</td><td>7.59E-02</td><td>6.10E-02</td><td>2.38E-02</td><td>1.37E-02</td><td>1.03E-02</td><td>7.99E-03</td><td>7.16E-03</td><td>5.27E-03</td></tr><tr><td>31</td><td>8.93E-02</td><td>8.82E-02</td><td>7.90E-02</td><td>6.32E-02</td><td>2.39E-02</td><td>1.36E-02</td><td>9.99E-03</td><td>7.57E-03</td><td>6.89E-03</td><td>5.03E-03</td></tr><tr><td>32</td><td>1.06E-01</td><td>1.05E-01</td><td>9.57E-02</td><td>7.93E-02</td><td>3.43E-02</td><td>2.05E-02</td><td>1.58E-02</td><td>1.24E-02</td><td>1.11E-02</td><td>8.45E-03</td></tr></tbody></table>
Analyse mathématique:

<table><caption>Tableau A.4: Coefficients des modèles associés aux réponses ε<sub>59keV-Mar</sub> à ε<sub>1836keV-Mar</sub></caption><thead><tr><th>coeff</th><th>ε<sub>59keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>88keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>122keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>165keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>391keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>661keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>898keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>1173keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>1332keV-Mar</sub></th><th>ε<sub>1836keV-Mar</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>a<sub>0</sub></td><td>3.09E-02</td><td>3.87E-02</td><td>4.05E-02</td><td>3.62E-02</td><td>1.70E-02</td><td>1.04E-02</td><td>8.07E-03</td><td>6.43E-03</td><td>5.81E-03</td><td>4.38E-03</td></tr><tr><td>a<sub>1</sub></td><td>-1.38E-02</td><td>-9.60E-03</td><td>-5.02E-03</td><td>-3.19E-03</td><td>-1.16E-03</td><td>-7.34E-04</td><td>-5.53E-04</td><td>-4.61E-04</td><td>-3.97E-04</td><td>-3.05E-04</td></tr><tr><td>a<sub>2</sub></td><td>-6.34E-03</td><td>-2.61E-03</td><td>-2.23E-03</td><td>-1.33E-03</td><td>-4.46E-04</td><td>-2.53E-04</td><td>-2.08E-04</td><td>-1.75E-04</td><td>-1.28E-04</td><td>-1.05E-04</td></tr><tr><td>a<sub>3</sub></td><td>7.36E-04</td><td>2.27E-03</td><td>1.35E-03</td><td>1.38E-03</td><td>9.72E-04</td><td>7.04E-04</td><td>5.73E-04</td><td>5.18E-04</td><td>4.72E-04</td><td>3.62E-04</td></tr><tr><td>a<sub>4</sub></td><td>-4.21E-05</td><td>-1.19E-03</td><td>-1.87E-04</td><td>-4.94E-04</td><td>-7.26E-04</td><td>-5.87E-04</td><td>-5.00E-04</td><td>-4.37E-04</td><td>-4.15E-04</td><td>-3.21E-04</td></tr><tr><td>a<sub>5</sub></td><td>-9.69E-07</td><td>1.11E-03</td><td>-1.05E-04</td><td>-1.92E-04</td><td>-2.45E-04</td><td>-1.95E-04</td><td>-1.65E-04</td><td>-1.53E-04</td><td>-1.24E-04</td><td>-1.17E-04</td></tr><tr><td>a<sub>6</sub></td><td>-9.38E-08</td><td>-1.15E-03</td><td>-3.03E-05</td><td>-6.68E-05</td><td>-9.13E-05</td><td>-7.46E-05</td><td>-7.21E-05</td><td>-6.80E-05</td><td>-5.33E-05</td><td>-4.06E-05</td></tr><tr><td>a<sub>7</sub></td><td>-9.91E-06</td><td>-1.14E-03</td><td>8.44E-06</td><td>-2.69E-06</td><td>8.53E-06</td><td>6.97E-06</td><td>3.63E-06</td><td>4.28E-06</td><td>1.32E-05</td><td>-5.72E-06</td></tr><tr><td>a<sub>8</sub></td><td>-4.06E-07</td><td>1.14E-03</td><td>-3.50E-06</td><td>2.62E-06</td><td>-2.97E-06</td><td>5.03E-06</td><td>-9.25E-06</td><td>-9.69E-07</td><td>1.91E-06</td><td>-2.41E-06</td></tr><tr><td>a<sub>9</sub></td><td>-2.89E-05</td><td>1.11E-03</td><td>-1.02E-04</td><td>-2.84E-04</td><td>-4.62E-04</td><td>-4.00E-04</td><td>-3.61E-04</td><td>-3.16E-04</td><td>-2.93E-04</td><td>-2.36E-04</td></tr><tr><td>a<sub>10</sub></td><td>-7.14E-05</td><td>-1.22E-03</td><td>-1.04E-04</td><td>-7.64E-05</td><td>-3.26E-05</td><td>-1.66E-05</td><td>-2.84E-05</td><td>-2.91E-06</td><td>3.34E-06</td><td>1.28E-06</td></tr><tr><td>a<sub>11</sub></td><td>-2.59E-06</td><td>-1.14E-03</td><td>-8.13E-07</td><td>1.00E-06</td><td>-1.91E-06</td><td>2.84E-06</td><td>-3.94E-06</td><td>6.78E-06</td><td>-1.22E-06</td><td>-9.38E-08</td></tr><tr><td>a<sub>12</sub></td><td>2.98E-03</td><td>2.61E-03</td><td>4.16E-03</td><td>4.01E-03</td><td>2.56E-03</td><td>1.83E-03</td><td>1.43E-03</td><td>1.27E-03</td><td>1.12E-03</td><td>8.89E-04</td></tr><tr><td>a<sub>13</sub></td><td>3.57E-04</td><td>1.35E-03</td><td>1.25E-04</td><td>1.06E-04</td><td>4.77E-05</td><td>2.20E-05</td><td>1.88E-05</td><td>1.53E-05</td><td>1.12E-05</td><td>1.23E-05</td></tr><tr><td>a<sub>14</sub></td><td>-7.35E-04</td><td>7.05E-04</td><td>-2.46E-04</td><td>-1.76E-04</td><td>-6.35E-05</td><td>-4.31E-05</td><td>-3.23E-05</td><td>-3.10E-05</td><td>-2.75E-05</td><td>-1.18E-05</td></tr><tr><td>a<sub>15</sub></td><td>7.28E-06</td><td>-1.14E-03</td><td>7.37E-06</td><td>-6.25E-07</td><td>1.33E-05</td><td>1.40E-05</td><td>6.06E-06</td><td>6.16E-06</td><td>1.84E-06</td><td>1.05E-05</td></tr><tr><td>a<sub>16</sub></td><td>6.72E-06</td><td>-1.11E-03</td><td>1.82E-05</td><td>5.34E-05</td><td>-2.67E-05</td><td>-1.69E-05</td><td>-1.73E-05</td><td>-1.72E-06</td><td>-2.10E-05</td><td>-1.55E-05</td></tr><tr><td>a<sub>17</sub></td><td>-2.17E-05</td><td>1.12E-03</td><td>-4.33E-05</td><td>-9.66E-05</td><td>-1.25E-04</td><td>-7.92E-05</td><td>-5.68E-05</td><td>-4.87E-05</td><td>-5.67E-05</td><td>-4.19E-05</td></tr><tr><td>a<sub>18</sub></td><td>1.91E-06</td><td>-1.15E-03</td><td>-8.19E-06</td><td>-7.75E-06</td><td>-7.46E-05</td><td>-6.58E-05</td><td>-6.63E-05</td><td>-5.94E-05</td><td>-5.54E-05</td><td>-5.38E-05</td></tr><tr><td>a<sub>19</sub></td><td>-1.02E-03</td><td>-1.86E-03</td><td>-3.82E-04</td><td>-2.47E-04</td><td>-9.60E-05</td><td>-7.72E-05</td><td>-6.28E-05</td><td>-5.58E-05</td><td>-3.92E-05</td><td>-2.07E-05</td></tr><tr><td>a<sub>20</sub></td><td>-8.19E-04</td><td>6.56E-04</td><td>-2.55E-04</td><td>-1.72E-04</td><td>-6.39E-05</td><td>-3.07E-05</td><td>-3.88E-05</td><td>-4.30E-05</td><td>-2.50E-05</td><td>-2.92E-05</td></tr><tr><td>a<sub>21</sub></td><td>5.98E-05</td><td>1.18E-03</td><td>8.16E-05</td><td>6.86E-05</td><td>8.89E-05</td><td>7.27E-05</td><td>8.46E-05</td><td>7.30E-05</td><td>6.23E-05</td><td>5.87E-05</td></tr><tr><td>a<sub>22</sub></td><td>-3.13E-08</td><td>1.15E-03</td><td>-9.44E-06</td><td>-4.63E-05</td><td>-7.79E-05</td><td>-9.06E-05</td><td>-9.02E-05</td><td>-6.50E-05</td><td>-5.82E-05</td><td>-4.24E-05</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau A.5 : Coefficients des modèles associés aux réponses $\epsilon_{59keV-Petri}$ à $\epsilon_{1836keV-Petri}$</caption><thead><tr><th>coeff</th><th>ε<sub>59ke-Petri</sub></th><th>ε<sub>88keV-Petri</sub></th><th>ε<sub>122keV-Petri</sub></th><th>ε<sub>165keV-Petri</sub></th><th>ε<sub>391keV-Petri</sub></th><th>ε<sub>661keV-Petri</sub></th><th>ε<sub>898keV-Petri</sub></th><th>ε<sub>1173keV-Petri</sub></th><th>ε<sub>1332keV-Petri</sub></th><th>ε<sub>1836keV-Petri</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>a<sub>0</sub></td><td>6.23E-02</td><td>7.87E-02</td><td>7.89E-02</td><td>6.81E-02</td><td>3.02E-02</td><td>1.83E-02</td><td>1.40E-02</td><td>1.11E-02</td><td>9.96E-03</td><td>7.49E-03</td></tr><tr><td>a<sub>1</sub></td><td>-1.62E-03</td><td>-2.11E-03</td><td>-2.25E-03</td><td>-2.15E-03</td><td>-1.27E-03</td><td>-8.47E-04</td><td>-6.96E-04</td><td>-5.70E-04</td><td>-5.31E-04</td><td>-3.99E-04</td></tr><tr><td>a<sub>2</sub></td><td>-3.77E-02</td><td>-2.07E-02</td><td>-1.10E-02</td><td>-6.24E-03</td><td>-1.80E-03</td><td>-9.41E-04</td><td>-6.79E-04</td><td>-5.43E-04</td><td>-4.83E-04</td><td>-3.32E-04</td></tr><tr><td>a<sub>3</sub></td><td>6.34E-06</td><td>2.35E-04</td><td>6.67E-04</td><td>9.36E-04</td><td>1.02E-03</td><td>7.81E-04</td><td>6.99E-04</td><td>5.96E-04</td><td>5.18E-04</td><td>4.47E-04</td></tr><tr><td>a<sub>4</sub></td><td>6.66E-06</td><td>2.55E-05</td><td>-3.57E-04</td><td>-8.98E-04</td><td>-1.26E-03</td><td>-9.55E-04</td><td>-8.30E-04</td><td>-7.15E-04</td><td>-6.47E-04</td><td>-4.95E-04</td></tr><tr><td>a<sub>5</sub></td><td>-3.80E-05</td><td>-2.67E-04</td><td>-7.87E-04</td><td>-1.05E-03</td><td>-8.12E-04</td><td>-5.60E-04</td><td>-4.88E-04</td><td>-3.80E-04</td><td>-3.33E-04</td><td>-2.89E-04</td></tr><tr><td>a<sub>6</sub></td><td>-7.78E-06</td><td>-7.15E-05</td><td>-1.53E-04</td><td>-2.66E-04</td><td>-2.81E-04</td><td>-2.31E-04</td><td>-1.49E-04</td><td>-1.41E-04</td><td>-1.37E-04</td><td>-1.13E-04</td></tr><tr><td>a<sub>7</sub></td><td>-1.25E-05</td><td>-7.34E-06</td><td>6.53E-06</td><td>2.00E-05</td><td>5.84E-06</td><td>-1.58E-05</td><td>1.84E-05</td><td>-6.09E-06</td><td>1.85E-05</td><td>1.53E-06</td></tr><tr><td>a<sub>8</sub></td><td>1.32E-05</td><td>1.13E-05</td><td>1.35E-05</td><td>-2.53E-06</td><td>3.12E-08</td><td>7.78E-06</td><td>7.00E-06</td><td>7.28E-06</td><td>-7.47E-06</td><td>-1.60E-05</td></tr><tr><td>a<sub>9</sub></td><td>-1.17E-05</td><td>-9.05E-05</td><td>-3.39E-04</td><td>-6.55E-04</td><td>-8.90E-04</td><td>-6.74E-04</td><td>-6.16E-04</td><td>-5.15E-04</td><td>-4.68E-04</td><td>-3.92E-04</td></tr><tr><td>a<sub>10</sub></td><td>-6.49E-04</td><td>-8.04E-04</td><td>-8.85E-04</td><td>-7.88E-04</td><td>-3.39E-04</td><td>-2.40E-04</td><td>-1.31E-04</td><td>-1.04E-04</td><td>-1.11E-04</td><td>-6.98E-05</td></tr><tr><td>a<sub>11</sub></td><td>7.29E-05</td><td>1.78E-05</td><td>6.35E-05</td><td>5.73E-05</td><td>-1.21E-05</td><td>-8.03E-06</td><td>-2.41E-05</td><td>-2.03E-05</td><td>4.41E-05</td><td>-1.21E-05</td></tr><tr><td>a<sub>12</sub></td><td>5.64E-03</td><td>7.47E-03</td><td>7.80E-03</td><td>7.49E-03</td><td>4.42E-03</td><td>3.01E-03</td><td>2.42E-03</td><td>2.04E-03</td><td>1.79E-03</td><td>1.42E-03</td></tr><tr><td>a<sub>13</sub></td><td>9.85E-04</td><td>5.15E-04</td><td>3.72E-04</td><td>3.70E-04</td><td>2.47E-04</td><td>1.58E-04</td><td>1.26E-04</td><td>1.09E-04</td><td>8.55E-05</td><td>6.38E-05</td></tr><tr><td>a<sub>14</sub></td><td>-2.41E-06</td><td>-1.59E-06</td><td>2.34E-06</td><td>8.97E-06</td><td>4.69E-07</td><td>-5.97E-06</td><td>-1.02E-05</td><td>2.97E-06</td><td>2.41E-06</td><td>-5.97E-06</td></tr><tr><td>a<sub>15</sub></td><td>2.81E-07</td><td>-1.84E-06</td><td>-2.09E-06</td><td>-1.73E-05</td><td>-9.34E-06</td><td>7.09E-06</td><td>2.11E-05</td><td>2.09E-06</td><td>2.34E-06</td><td>1.36E-05</td></tr><tr><td>a<sub>16</sub></td><td>1.35E-05</td><td>1.71E-04</td><td>3.61E-04</td><td>2.07E-04</td><td>5.78E-06</td><td>-4.05E-05</td><td>-3.15E-05</td><td>-6.53E-05</td><td>-2.00E-05</td><td>-2.10E-05</td></tr><tr><td>a<sub>17</sub></td><td>-2.40E-05</td><td>2.76E-05</td><td>-5.92E-05</td><td>-1.35E-04</td><td>-1.46E-04</td><td>-1.02E-04</td><td>-1.28E-04</td><td>-1.02E-04</td><td>-6.38E-05</td><td>-5.41E-05</td></tr><tr><td>a<sub>18</sub></td><td>-2.91E-06</td><td>-8.15E-05</td><td>-2.22E-04</td><td>-2.89E-04</td><td>-2.53E-04</td><td>-1.84E-04</td><td>-1.77E-04</td><td>-1.30E-04</td><td>-1.12E-04</td><td>-1.01E-04</td></tr><tr><td>a<sub>19</sub></td><td>1.21E-04</td><td>1.30E-04</td><td>5.05E-05</td><td>8.16E-06</td><td>-6.94E-05</td><td>-3.45E-05</td><td>-4.64E-05</td><td>-4.18E-05</td><td>-6.09E-05</td><td>-3.00E-05</td></tr><tr><td>a<sub>20</sub></td><td>-3.50E-03</td><td>-1.98E-03</td><td>-1.14E-03</td><td>-6.68E-04</td><td>-2.69E-04</td><td>-1.38E-04</td><td>-1.10E-04</td><td>-9.30E-05</td><td>-9.40E-05</td><td>-5.96E-05</td></tr><tr><td>a<sub>21</sub></td><td>-4.09E-06</td><td>-3.33E-05</td><td>-4.65E-05</td><td>-7.97E-05</td><td>-3.04E-05</td><td>1.59E-05</td><td>4.47E-05</td><td>5.81E-05</td><td>4.30E-05</td><td>4.05E-05</td></tr><tr><td>a<sub>22</sub></td><td>7.59E-06</td><td>3.63E-05</td><td>-1.42E-04</td><td>-2.87E-04</td><td>-3.28E-04</td><td>-2.14E-04</td><td>-1.94E-04</td><td>-1.50E-04</td><td>-1.39E-04</td><td>-1.40E-04</td></tr></tbody></table>
Analyse graphique:

○ Graphes des effets:

<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>Figure A.1 : Graphe des effets pour la réponse $\varepsilon_{59\text{keV-Mar}}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_103.png" /><figcaption>Figure A.2: Graphe des effets pour la réponse $\varepsilon_{88\text{keV-Mar}}$</figcaption></figure>
<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>Figure A.3: Graph of the effects on the response $\epsilon_{122\text{keV-Mar}}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>Figure A.4: Graph of the effects on the response $\epsilon_{165\text{keV-Mar}}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_106.png" /><figcaption>Figure A.5: Graph of the effects on the response $\epsilon_{391\text{keV-Mar}}$</figcaption></figure>
<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>Figure A.6: Graphe des effets pour la réponse $\varepsilon_{662\text{keV-Mar}}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>Figure A.7: Graphe des effets pour la réponse $\varepsilon_{898\text{keV-Mar}}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_109.png" /><figcaption>Figure A.8: Graphe des effets pour la réponse $\varepsilon_{1173\_Mar}$</figcaption></figure>
<figure><img src="image_110.png" /><figcaption>Figure A.9: Graph of the effects on the response $\epsilon_{1332\text{keV-Mar}}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_111.png" /><figcaption>Figure A.10: Graph of the effects on the response $\epsilon_{1836\text{keV-Mar}}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>Figure A.11: Graph of the effects on the response $\epsilon_{59\text{keV-Petri}}$</figcaption></figure>
<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>Figure A.12: Graph of the effects on the response $\epsilon_{88\text{keV-Petri}}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_114.png" /><figcaption>Figure A.13: Graph of the effects on the response $\epsilon_{122\text{keV-Petri}}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>Figure A.14: Graph of the effects on the response $\epsilon_{165\text{keV-Petri}}$</figcaption></figure>