# La domination de la littératie linguistique sur la littératie mathématique : effets concernant la numération écrite à l'école élémentaire

Claire Margolinas, Marceline Laparra

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## To cite this version:

Claire Margolinas, Marceline Laparra. La domination de la littératie linguistique sur la littératie mathématique : effets concernant la numération écrite à l'école élémentaire. Didactiques & [et] disciplines, 2024, 2 (4), pp.[En ligne]. 10.34874/PRSM.dd-vol2iss4.50026. hal-05073848

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Submitted on 19 May 2025

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# La domination de la littératie linguistique sur la littératie mathématique

## *Effets concernant la numération écrite à l'école élémentaire*

Claire Margolinas

Laboratoire ACTé Université Clermont-Auvergne

Marceline Laparra

CREM, Université Lorraine

## Introduction

Notre travail au sein du réseau RESEIDA<fnref n="1" />, en tant que didacticiennes des mathématiques et du français, se caractérise par un mouvement de va et vient entre analyse anthropologique de terrain et développement épistémologique.

Ce texte se situe dans la lignée des analyses de Rochex (2016, p. 41) :

> C'est donc cette question de la place et du statut des contenus et enjeux de savoir qui, selon moi, doit être au cœur du souci d'enseigner plus explicitement ou de traquer les pédagogies implicites ou invisibles.

Cet article est centré sur la littératie, dans le domaine de la langue, mais aussi des mathématiques. Nous montrons l'existence d'un curriculum visible mais dont les incohérences sont cachées, au sujet de l'écriture chiffrée de position, nous cherchons à contribuer ainsi à une étude du curriculum dans des dimensions à la fois anthropologiques, didactiques et sociologiques.

Nous commençons par esquisser les éléments d'une littératie mathématique qui concerne les nombres et l'écriture chiffrée de position, en nous intéressant particulièrement aux interactions entre l'oral et l'écrit.

Nous étudions ensuite une collection de manuels de mathématiques du CP au CM2, pour comprendre comment les interactions entre littératie linguistique et littératie mathématique, qui allaient de soi dans les trois premières années de l'école élémentaire, produisent ensuite des ruptures dans la compréhension, alors même que l'écriture chiffrée de position n'est pas fondamentalement différente entre les entiers et les décimaux. Les inégalités s'installent alors : les élèves qui s'appuient sur des aides et des règles pertinentes dans le contexte des entiers se retrouvent en difficulté quand ils cherchent à les appliquer aux décimaux.

<footnote n="1">¹ REcherches sur la Socialisation, l'Enseignement, les Inégalités et les Différenciations dans les Apprentissages, initié par Jean-Yves Rochex et Elisabeth Bautier</footnote>
En conclusion, nous questionnons ce manque de continuité dans l'enseignement de la numération écrire. Même s'il serait possible, en théorie, de ne pas introduire de rupture dans la compréhension de la numération décimale, cela demanderait un effort aux enseignants avant que la difficulté n'apparaisse, ce qui ne semble pas compatible avec le dispositif curriculaire français.

# 1. Vers une littératie mathématique

## 1.1. La littératie linguistique

Le terme de « littératie linguistique » peut surprendre, car la littératie est souvent entendue comme relevant exclusivement du domaine de la langue. Dans le glossaire de Laparra et Margolinas (2016, p.169), nous avons proposé les définitions suivantes :

**Littératie** : Il y a littératie quand un groupe humain utilise les ressources de l'écrit non seulement pour noter la langue mais aussi pour organiser les corps et les objets du monde et qu'il en a un usage raisonné<fnref n="2" />.

**Littératie linguistique** : Ressources de l'écrit qui permettent de transcrire dans l'espace le flux de la parole.

En s'appuyant sur ces définitions, l'usage des ressources de l'écrit en mathématique peut être considéré comme une littératie, que nous appellerons : littératie mathématique.

Nous allons donc partir du flux de la parole, qui peut être décrit comme des sons, des évènements sonores qui sont émis les uns après les autres, ces évènements sont donc ordonnés par le temps de leur énonciation. Au contraire, les traces (dessin, schéma, écrit, etc.) sur un support plan, une fois leur production achevée, ne sont pas a priori ordonnées. Pour transcrire dans l'espace le flux de la parole, il est donc nécessaire de produire un ordre sur ces traces (Margolinas et Laparra, 2021). Réciproquement, à partir d'un texte écrit dans une langue donnée, il est possible de produire une oralisation qui constitue une restitution plus ou moins exacte de la parole initiale. La langue orale est donc à la fois un point de départ de l'écrit linguistique et peut en constituer un point d'arrivée.

Comme l'a montré Goody (1979), dans une société donnée, la structuration de l'écrit linguistique organise non seulement les mots et les textes, mais aussi les relations spatiales et plus généralement les échanges entre les personnes et les objets. Il est donc prévisible que l'organisation littératienne héritée d'une écriture linguistique puisse avoir des influences sur d'autres écrits et notamment sur les écrits mathématiques. Nous allons nous interroger sur l'écriture des nombres, en définissant d'abord ce terme de nombre.

<footnote n="2">² Un exemple sera donné dans le paragraphe 1.2</footnote>
## 1.2. Qu'est-ce qu'un nombre ?

Considérons d'abord les nombres entiers naturels. La langue a des noms pour les nombres : le mot-nombre « trois » réfère en premier lieu à la quantité de toutes les collections d'objets que l'on peut mettre en relation terme à terme avec la suite ordonnée des mots-nombres « un, deux, trois », dans laquelle « trois » est le dernier mot-nombre prononcé (le cardinal).

Cependant, cette suite orale n'est pas nécessaire pour définir la quantité puisque deux collections ont la même quantité si l'on peut mettre chacun de leurs éléments en correspondance terme à terme, ce qui peut se réaliser sans utiliser les nombres (figure 1). La quantité peut être considérée sans ambigüité parce qu'elle est définie par une action sur des objets (disposition côte à côte, aller et retour d'un objet à l'autre avec le doigt, etc.) et non pas par un mot de la langue.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 1. Trois collections de même quantité</figcaption></figure>

La quantité de batonnets et la quantité de jetons sont les mêmes, le schéma des ronds représente également la même quantité de signes que les autres collections. Le signe écrit « 4 » est une notation symbolique de toutes ces quantités, le mot-nombre « quatre » est une désignation orale de ces quantités. Ces signes (écrit, oral) représentent le même cardinal.

Comme l'indique Mounier (2016, p. 362) :

> « Nous [y] envisageons une multitude de signifiants [...]. Chaque signifiant peut se constituer ou non en système sémiotique et a ses propres caractéristiques. Il est possible d'envisager le nombre sans utiliser une désignation dans un système de numération. »
Le langage mathématique écrit représente des idées qui sont universelles (comme celle de cardinal), indépendamment des mots d'une langue. Le signe écrit « 4 » n'est pas la transcription graphophonique du mot-nombre « quatre ».

Cependant, il est commode de nommer les signes utilisés pour écrire les nombres, c'est-à-dire les chiffres. Comme le nombre 4 s'écrit avec un seul chiffre (4), ce chiffre est aussi nommé « quatre »). Remarquons que cela différencie les chiffres des lettres, puisque celles-ci ont parfois des noms spécifiques qui ne représentent pas toujours des mots de la langue (le nom de Z [zɛd] par exemple, n'est pas un mot de la langue française). Nous allons maintenant étudier les nombres entiers qui nécessitent plus d'un chiffre pour être écrits en base dix.

### 1.3. Des interactions entre oralisation et écriture mathématique qui produisent des erreurs

Les numérations orales s'appuient souvent sur la base dix qui impose de grouper par dix toutes les fois que c'est possible (ainsi par exemple, dix dizaines produisent nécessairement un nouveau groupement, la centaine).

Les numérations orales les plus régulières<fnref n="3" /> se présentent ainsi : neuf mots distincts, un mot pour le premier groupement, puis un mot pour chaque nouveau groupement. Ce qui donne, par exemple, pour 543 : *cinq-cent quatre-dix trois* pour 543, les mots en italiques correspondent aux noms des chiffres utilisés dans l'écriture (5, 4 et 3), les mots en gras correspondent aux groupements en base dix (Bednarz et Janvier, 1984 ; Mounier, 2016). Ce n'est pas le cas en français, puisque quarante n'étant pas le nom d'un chiffre et que le groupement (dix : dizaine) n'est pas nommé, quarante est un exemple d'irrégularité dans la numération orale en langue française.

Cette description assez élémentaire permet déjà d'analyser des erreurs couvrantes, comme celles qui consistent à écrire 5403 ou 500403 pour « cinq-cent quarante trois ». Les élèves qui procèdent ainsi manifestent des connaissances phonographiques : ils savent que quarante s'écrit 40 et que cinq-cent s'écrit 500, ils procèdent donc comme dans la transcription phonographique de la langue en associant un mot-nombre avec son écriture chiffrée. Ils ne comprennent pas nécessairement la différence entre ces écrits et 543, au motif que 0 ne représente rien.

La plupart des adultes français et certains enseignants ne savent pas expliquer de façon claire quel est l'usage du 0. Ils disent souvent que 0 est utilisé pour marquer un objet ou un groupement absent, ce qui n'est pas faux, mais ne suffit à faire la différence entre des zéros « inutiles » et les zéros nécessaires, comme par exemple dans le nombre 0503.

<footnote n="3">³ Par exemple la numération orale vietnamienne https://lepetitjournal.com/ho-chi-minh/comprendre-viet-nam/compter-en-vietnamien-264107.</footnote>
## 1.4. Le nombre entier à l'écrit : la numération chiffrée de position

Les traces écrites les plus anciennes de la numération chiffrée de position remontent à Babylone (vers -1800), à l'Inde, aux Mayas et à la Chine (Guittel, 1975). La numération indienne été étudiée et retravaillée par les mathématiciens arabes, qui ont diffusé cette numération en Occident à partir du 10e siècle. La numération indo-arabe est donc postérieure à la stabilisation de la numération orale en français, ce qui pose des problèmes de cohérence entre les deux. Dans la suite du texte nous précisons le fonctionnement de la numération de position en relation avec des objets groupés en base dix.

Nous devons donc introduire des quantités d'objets, par exemple des batonnets qui servent de référence de ce qui est compté, groupés en base dix (premier groupement : un fagot de dix batonnets, c'est-à-dire une dizaine de batonnets ; deuxième groupement : un sac de dix fagots, c'est-à-dire une dizaine de fagots ou encore une centaine de batonnets, etc.).

Quand nous avons cinq fagots, alors nous avons bien cinq objets, qui vont être représentés par un 5 à l'intérieur de l'écriture chiffrée. Mais en écrivant seulement 5, il n'est pas possible de savoir qu'il s'agit de cinq fagots ou de cinq batonnets.

C'est là qu'intervient la position : il faut une origine et un sens sur la ligne d'écriture. L'origine est nécessairement la place de l'unité de référence. En numération indo-arabe, le sens est de droite à gauche à partir de cette origine.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 2. Origine et sens de la numération indo-arabe</figcaption></figure>

Pour écrire le nombre correspondant à cinq dizaines (qui ne nomme cinquante), il faut donc bien écrire un 5 et repérer la position de ce 5 par rapport à l'origine de l'écriture chiffrée, c'est donc *pour marquer cette origine* et la place de ce 5 par rapport à l'origine qu'il faut nécessairement un 0 dans la position de l'unité de référence.

C'est pour cette raison que l'écriture 500403 ne peut pas représenter cinq-cent quarante trois puisque le 5 doit représenter une centaine et donc un deuxième groupement à partir de l'unité de référence (origine, à droite du repère droite-gauche de la figure 2).

En revanche, la quantité représentée par le nombre 500403, peut se comprendre par son écriture. Il y 3 batonnets, 4 sacs, pas de troisième ni de quatrième groupement, 5 cinquièmes groupements que nous savons comment fabriquer, en respectant la base dix et qui représente en tout cas une très grande quantité. Cette quantité est tout à fait différente de celle du nombre
543 : trois unités de référence (batonnets), 4 premiers groupements (fagots), 5 deuxièmes groupements (sacs).

Le lecteur peut être surpris par la considération d'un repère droite-gauche, en effet pour faire la correspondance graphophonique 500403 il faut d'abord savoir quelle est la valeur du 5, valeur qui se comprend à partir de l'unité de référence, à droite (cinquième groupement : cent-milles). L'écriture chiffrée se constitue à partir de l'unité de référence (en allant de droite à gauche vers les groupements de plus en plus grands), mais une fois le plus grand groupe-ment nommé, elle peut s'oraliser de gauche à droite (groupements de plus en plus petits). L'écriture mathématique des nombres utilise donc le sens de « lecture » de multiples façons... Selon les langues, l'ordre de l'oralisation varie : en allemand 543 s'oralise « fünfhundertdreiundvierzig » c'est-à-dire cinq-cent trois et quarante, alors que l'ordre des chiffres ne change pas.

Nous venons donc de voir que l'écriture mathématique des nombres entiers en écriture chiffrée n'utilise pas les ressources de l'écrit de la même façon que l'écriture linguistique et n'obéit pas aux mêmes règles que la littératie linguistique suivant au moins deux aspects essentiels :

- Elle est constituée de droite à gauche ;

- Ce n'est pas une transcription phonographique.

## 1.5. Le nombre décimal à l'écrit

L'écriture des nombres décimaux non entiers, proposée notamment par Stevin en 1585, permet de rapprocher les techniques de calcul de celles des entiers (Briand et Peltier, 2003). Pour comprendre l'introduction des nombres décimaux dans la continuité de la numération des entiers, il faut considérer d'abord l'écriture des entiers dans les deux sens possibles de lecture, de droite à gauche et de gauche à droite :

- De droite à gauche, les valeurs correspondant à la position de chaque chiffre sont multipliées par un facteur dix (de droite à gauche, unité, dizaine, etc.);

- De gauche à droite, les valeurs correspondant à la position de chaque chiffre sont divisées par un facteur dix (de gauche à droite, millier, centaine, etc.).

En introduisant des fractionnements par dix, la numération décimale éten-due aux nombres décimaux respecte parfaitement cette logique :

- De gauche à droite : l'unité est divisée par dix pour former le dixième.

- De droite à gauche : le dixième est multiplié par dix pour former l'unité (figure 3).
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 3. Régularité de la numération décimale chiffrée de position</figcaption></figure>

Il y a une symétrie des valeurs de différentes unités de numération par rapport à l’unité de référence. La fonction du 0 est toujours la même : il est nécessaire quand son absence ne permet pas de connaitre la position d’un chiffre par rapport à l’unité de référence :

- 1 dixième ne peut pas s'écrire 1, car cela se lirait comme une unité de référence, pour montrer que la valeur de ce 1 est le dixième, il faut donc marquer l'unité de référence 0.1.

- Remarque : le raisonnement est le même pour 1 dizaine qui ne peut pas s'écrire 1, il faut écrire 0 pour l'unité de référence 1 0.

Ainsi, la numération des nombres décimaux correspond mathématiquement à un prolongement sans rupture de la numération des entiers. Des notations anciennes des nombres décimaux (figure 4), comme celle de Jost Bürgi (1552-1632) rendaient bien visible la symétrie de la dizaine et du dixième par rapport à l’unité de référence (marquée d’un rond) (voir également figure 13).

<caption>Figure 4. Écriture de 45,2 à la façon de Bürgi</caption>

452°

Cependant, ces écritures n'ont pas été retenues car elles ne convenaient pas à l'usage de l'imprimerie. Le point ou la virgule ont été privilégiées au 17ᵉ siècle, malheureusement, cela modifie la perception du nombre : dans 45,2 la dizaine (4) est plus proche de l'unité (5) que le dixième (2) (figure 5).
Figure 5. Écriture usuelle de 45,2

45,2

La virgule, dont le rôle mathématique dans la numération est seulement de désigner le chiffre à gauche de celle-ci comme l’unité de référence, prend un rôle de séparateur.

2. Étude d'une collection de manuels de mathématiques du CP au CM2 : des interactions entre littératies linguistique et ma-thématique

Nous venons de montrer qu'il y existe des contradictions entre la littératie linguistique (écriture, oralisation) et la littératie mathématique, particulièrement dans le cadre de la numération chiffrée de position.

Nous allons étudier une collection de manuels scolaires. Il s'agit d'un en-
semble d'ouvrages de la collection « Pour comprendre les maths » publiée
aux éditions Hachette. Cette collection est dirigée par Claude Maurin, forma-
teur de mathématiques à Avignon et membre de la COPIRELEM<fnref n="4" />. .La col-
lection choisie est assez répandue dans les écoles, depuis plusieurs décennies.
Elle s'appuie sur des connaissances didactiques disponibles dans les instituts
de formation. Cette collection représente pour nous un bon équilibre entre ce
que les enseignants attendent et une réflexion sur l'enseignement des mathé-
matiques.

Nous allons nous intéresser d'abord au tout début de l'école élémentaire (CP). Nous avons suivi le manuel dans l'ordre des fiches, c'est-à-dire d'abord l'addition puis la numération décimale de position. Nous nous sommes intéressées à l'ordre des « manipulations » qui sont évoquées explicitement ou non dans le fichier, c'est-à-dire à un ordre des actions et à l'oralisation possible des écritures mathématiques. Nous aborderons ensuite la fin de l'école élémentaire (au CM) et la difficile compréhension de l'écriture décimale de position dans le cas des nombres décimaux, quand celle-ci s'appuie implicitement sur la littératie linguistique.

2.1. Introduction de l'addition au CP

Dans ce manuel, la première rencontre (Chevallard, 2002b) de la composition additive de deux nombres entiers est celle de la succession de plusieurs nombres consécutifs (figure 6).

Figure 6. (Bramand et al., 2022b Fiche 5)

<footnote n="4">⁴ https://www.copirelem.fr/</footnote>
<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Dans l'extrait de la fiche 5 (figure 6) l'élève doit écrire dans une place réservée dans une phrase (présence d'une virgule, puis d'un point final) comme dans un exercice à trous, bien connu par les élèves dans le cadre d'exercices linguistiques. Ce cadre lui impose donc implicitement l'ordre gauche-droite.

La fiche 9 a pour titre « Découvrir les signes + et = » :

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 7. (Bramand et al., 2022b Fiche 9)</figcaption></figure>

Les deux premières activités (1 et 2) correspondent à deux structures ad- ditives différentes (Vergnaud, 1986). Dans la première les deux collections sont données simultanément, alors que dans la seconde il y a d'abord une collection, qui est transformée ensuite par l'ajout d'une autre.

Cependant, dans les trois parties de la figure 7, il y a toujours deux collec- tions d'objets (points d'une carte, cubes, points du dé) associées aux nombres d'objets. De gauche à droite, dans chacune des parties, on peut voir sur la figure : une quantité, puis une autre, puis une phrase à compléter ou bien une action à faire à l'oral qui demande le nombre de points ou de cubes. Les don- nées nécessaires pour effectuer les exercices sont figurées à gauche et le
résultat est à inscrire dans une case située à droite. Les consignes écrites, qui restent très proches de ce qui se dit à l'oral, vont du connu à gauche vers l'inconnu à droite.

On peut supposer que l'enseignant, quand il intervient en classe pour expliquer ce qu'il convient de faire dise quelque chose comme « il y a..., puis il y a ...et alors ça fait... » ou « on a ...et on a ...et alors on a... », et qu'il établisse donc (« puis », « et alors ») une chronologie. L'ordre gauche-droite de la littératie linguistique s'impose de lui-même à la lecture des images du fichier et semble exclure toute autre possibilité.

Les auteurs du manuel sont sans doute au courant des travaux de Gérard Vergnaud sur les structures additives (1986), qui ont diffusé dans les instituts de formation et à la COPIRELEM. Nous interprétons comme une manifestation de cette connaissance des auteurs la différence **(Erreur ! Source du renvoi introuvable. 7)** entre l'item 1 (Léa) et l'item 2 (Théo). En effet, Léa possède les deux cartes simultanément, ce qui correspond pour Vergnaud à une composition d'états alors que Théo a deux cubes au départ et en ajoute trois ensuite, ce qui correspond à un état suivi d'une transformation.

Cependant, cette différence disparait sans aucun doute à l'oral puisqu'il n'est pas possible de rendre aisément par la parole la simultanéité du premier cas (les cartes de Léa).

On trouve dans le manuel pratiquement toutes les verbalisations possibles.

Les premières, très proches de l'oral, sont des énoncés du type : « J'ai..., et j'ai encore..., alors j'ai... ». « Je possède ..., puis j'ajoute..., alors j'ai... ». Les sujets des verbes réfèrent à des personnes ; les verbes sont en parataxe, reliés entre eux par des coordinations renvoyant à la succession des manipulations.

On trouve aussi des énoncés avec de simples présentatifs comme : « c'est ...et encore c'est..., alors c'est/ça fait ». Toutes ces verbalisations appartient-à la compétence linguistique d'un élève de CP et s'utilisent aussi bien à l'écrit qu'à l'oral.

On passe ensuite rapidement de « j'ai en tout... » à « écris le total de.../ le nombre total de... », « trouve le résultat ». Viennent aussi des énoncés avec des sujets inanimés comme « une boite contient..., on ajoute dans cette boite ..., quel est le nombre total de... ».

Ces énoncés contiennent des termes comme « résultat » en position sujet ou objet « écris le nombre total de... ».

Tout se passe comme si ce continuum permettait à lui seul de passer d'un usage éthico-pratique de la langue (« logique du faire » : Bautier et Goigoux (2004, p. 90-91)) à son usage décontextualisé. On semblerait s'éloigner sans heurt progressivement de la restitution des manipulations et on commencerait à s'approprier des termes caractéristiques du langage mathématique. Comme nous le verrons par la suite (au CM, §2.3), ce supposé continuum se heurtera plus tard aux différences entre littératie linguistique et littératie mathématique.
## 2.2. Introduction de l'écriture chiffrée de position au CP

Le manuel de CP introduit tout d'abord les groupements par dix avec reste, ce qui correspond au travail proposé par les didacticiens des mathématiques comme un préalable nécessaire à toute numération écrite (Tempier et Chambris, 2017).

L'ordre gauche-droite de la littératie linguistique se retrouve de nouveau quand l'élève apprend à décomposer un nombre supérieur à dix en faisant des regroupements de dix éléments. Lors de la tâche à effectuer, les regroupements par dix sont effectués en premier en entourant d'un trait les éléments dessinés sur la fiche, qui sont plus ou moins clairement dessinés de manière à favoriser l'ordre gauche droite : groupements de dix à gauche et reste des cubes non groupés à droite. Les paquets de dix s'écrivent dans une phrase à trou qui commence par nommer les « paquets de 10 cubes » puis les « cubes », ce qui conduit obligatoirement à écrire les paquets de 10 cubes avant le nombre de cubes en allant de gauche à droite (figure 8).

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 8. (Bramand et al., 2022b Fiche 16)</figcaption></figure>

La question posée « Qui a le plus de cubes ? » comporte l'indication « Compare d'abord le nombre de paquets de dix » (2 dans le cas de Théo et 3 dans le cas de Léa). Ce travail est très important pour la compréhension du principe décimal (Houdement et Tempier, 2022), ce qui est d'ailleurs explique dans le guide ressource : « Il est très important de construire le concept qu'un paquet de 10 est toujours plus grand que le nombre d'unités restantes après un groupement par 10 achevé, c'est-à-dire où tous les paquets de 10 possibles ont été constitués et où les unités restantes sont donc inférieures à 10. » (Bramand et al., 2022a, p. 50).

Cependant, il est plus aisé pour l'enseignant de dire aux élèves que l'on compare d'abord le nombre inscrit en premier (de gauche à droite), le nombre de paquets de dix, puis, si nécessaire avec le nombre écrit en second, le nombre d'objets restant. Cette facilité dans l'explication basée sur la littératie linguistique se trouve justifiée par l'absence de difficultés des élèves puisqu'il s'agit de transcrire dans l'ordre ce qui est constaté sur la figure 9 et ce qui est écrit dans la phrase-réponse.

Dans la suite, pour l'introduction de l'écriture chiffrée de position, le manuel propose une schématisation de paquets (leçon 21), en indiquant dans le
guide ressources : « Le sac vert représente un paquet de 10 que l'on appellera plus tard dizaine » (Bramand et al., 2022a, p. 60). Dans la leçon 45 **(Erreur ! Source du renvoi introuvable.)** 9), le manuel introduit une représentation en colonnes qui sera systématisée dans la leçon suivante. Il y a là encore une cohérence absolue entre l'ordre de la phrase et l'ordre du tableau, si l'on considère celui-ci de gauche à droite.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 9. (Bramand et al., 2022b Fiche 45)</figcaption></figure>

Dans la leçon 46 (figure 10), le paquet de dix est remplacé par une barre verticale verte et le jeton unité par un petit carré jaune, le code couleur est introduit explicitement et imposé dans le travail introductif. Cette modification est associée à l'introduction des termes « dizaine » et « unité », ainsi que de deux cadres organisés en tableau à deux colonnes qui sera ensuite utilisé pendant toute l'année de CP, jusqu'au début du CM1 (avec les ajouts des colonnes centaine et millier).

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 10. (Bramand et al., 2022b Fiche 46)</figcaption></figure>

Ainsi, la signification de l'écriture chiffrée de position, qui permet d'écrire un nombre sans aucun contexte ni tableau, par exemple sur une feuille blanche, en considérant uniquement la position des chiffres dans un repère dont l'origine est l'unité de référence, n'est pas construite.

En effet, dans le tableau, figurent à la fois les noms des unités de numération (unité et dizaine) mais aussi les couleurs correspondantes. L'information qui est supposée être portée par la position dans un repère est redondante avec
les couleurs et les noms des unités. Dans le tableau, écrire 2 dans la bonne colonne pour signifier 2 dizaines fonctionne parfaitement, puisqu'il suffit de lire le mot « dizaine » dans l'entête. La lecture de l'entête suffit à déterminer la valeur du 2 sans que l'ordre ne soit convoqué. D'ailleurs, les cadres pourraient être disposés dans n'importe quelle position dans la feuille. De ce fait, le 0 du nombre 20 n'a pas de fonction dans un système organisé et cohérent. Les élèves mémorisent facilement que le mot-nombre [vɛ̈] s'écrit avec les lettres v, i, n, g et t ou avec les chiffres 2, 0, comme s'il s'agissait de deux transcriptions phonographiques.

## 2.3. L'écriture chiffrée de position : les ruptures au CM

Dans notre analyse de la numération de position, nous avons montré qu'il n'y pas de rupture mathématique entre la numération entière et la numération décimale, mais un prolongement. Bien entendu, les nombres décimaux introduisent des différences importantes par rapport aux entiers, puisqu'ils permettent de rendre compte du caractère continu des grandeurs, mais la numération des décimaux garde la même logique.

Cependant, dans la collection étudiée et plus généralement dans les pratiques courantes à l'heure actuelle, il y a bien une rupture qui se produit avec l'introduction des décimaux, dans la numération décimale. Nous allons d'abord nous intéresser à un indice de cette rupture au travers de l'utilisation des couleurs. En effet, pour les élèves les plus fragiles, l'indice principal de la signification d'un chiffre pourrait référer à la couleur et pourrait donc être un élément important dans leur réussite dans les tâches scolaires de numération. Nous pensons qu'il s'agit d'un des effets identifiés par Bautier et Goingoux (2004) de la « logique du faire » contrastée à celle de la « secondarisation » (p. 90-91), point sur lequel nous reviendrons en conclusion. Certains élèves peuvent être conduits à identifier les indices les plus simples (couleur, notamment) sans concevoir qu'il y a quelque chose d'autre à connaitre (l'existence d'un repère qui détermine la valeur de la position de chaque chiffre dans l'écriture du nombre).

Dans la collection de manuels étudiée, les couleurs sont stables du CP jusqu'au début du CM1 (nombres jusqu'à 9999), sur la figure 11, les unités sont en jaune et les dizaines en vert<fnref n="5" />, comme au CP, les centaines en bleu, comme au CE1, les milliers en rouge, comme au CE2.

<footnote n="5">⁵ Les manuels de CM1 et de CM2 sont antérieurs aux CP, CE1 et CE2, cependant les couleurs adoptées sont les mêmes.</footnote>
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 11. (Bramand et al., 2016, p. 29, CM1 leçon 16)</figcaption></figure>

L'introduction des nombres décimaux va perturber cette organisation, comme nous pouvons le voir sur la figure 12.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 12. (Bramand et al., 2016, p. 138, CM1 leçon 76)</figcaption></figure>

La représentation qui est donnée ne conserve pas la couleur jaune pour l'unité de référence, de plus l'unité est regroupée avec la dizaine (en rouge, ancienne couleur des milliers) alors que les dixième et les centièmes sont regroupées (en vert, ancienne couleur des dizaines).

Quelques leçons plus loin (figure 13), la couleur change encore. Cependant, l'organisation est la même : les dizaines et les unités sont associées (couleur bois jusque-là réservée à des commentaires) et les dixièmes et les centièmes sont associés (couleur bleue, antérieurement des centaines).

<table><caption>Figure 13. (Bramand et al., 2016, p. 166, CM1 leçon 76)</caption><thead><tr><th>dizaines</th><th>unités</th><th>dixièmes</th><th>centièmes</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0</td><td>3</td><td>5</td></tr></tbody></table>

L'association dizaine-unité et dixième-centième introduit une espèce de fausse symétrie, puisque dans ces images, si l'on considère la ligne rouge verticale séparant les unités et les dixièmes (figure 13), les dixièmes sont symétriques des unités et les centièmes sont symétriques des dizaines.

Un tableau dont la symétrie représente celle de l'écriture décimale de position correspondrait au contraire à une figure similaire à la **Erreur ! Source du renvoi introuvable.**, dans laquelle la symétrie se fait par rapport à un axe au milieu de la case des unités (axe en rouge sur la figure), ce qui correspond aussi à la notation de Bürgi (figure 4).
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 13. Un tableau alternatif qui respecte la symétrie par rapport à l'unité</figcaption></figure>

Au CM2, une autre représentation apparaît, qui introduit des couleurs différentes pour les dixièmes, les centièmes et les millièmes alors que les unités et les dizaines sont en blanc. La ligne rouge devient alors le « mur de l'unité » (figure 14). Les couleurs des dixièmes, des centièmes et des millièmes correspondent à des tons plus clairs des dizaines, centaines et milliers (ce qui n'est pas commenté dans le guide pédagogique correspondant à cette leçon).

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 14. Bramand et al., 2017, p. 70, CM2 leçon 35)</figcaption></figure>

Le « mur de l'unité » correspond parfaitement à l'oralisation usuelle du nombre (deux virgule quinze), la virgule introduit un « mur » dans cette orauxlation. Bien qu'il soit possible de prononcer, à l'école, deux unités, un dixième, cinq centièmes ou bien deux unités et quinze centièmes (comme dans la figure 14), cela reste exceptionnel car s'écarter durablement de la norme, quand il s'agit de la langue parlée, est une décision difficile et souvent mal comprise par les élèves et par leur entourage.

L'écriture chiffrée de position, alors qu'elle est parfaitement régulière et repose toujours sur la même logique, n'est pas un appui au CM pour les grands nombres et les décimaux, parce que cette logique de l'écrit n'est pas suffisamment connue et n'a donc pas été institutionnalisée.
Les élèves ont été aidés, pour obtenir les bonnes écritures, à la fois par l'oralisation et la littératie linguistique, mais l'obtention de la réponse correcte ne s'est pas accompagnée d'une étude du système de l'écrit mathématique, qui diffère de l'écrit linguistique. Ce phénomène peut être rapproché de la logique du « faire » et de l'obtention du résultat (Bautier et Goigoux, 2004).

À partir du CM, de nombreux élèves se retrouvent souvent en difficulté, constat très bien connu comme le résume Jean-Louis Durpaire, inspecteur général de l'éducation nationale dans la préface d'un ouvrage concernant l'enseignement des décimaux et des fractions :

> Tous les enseignants de cycle 3 et les professeurs de mathématiques de collège savent bien que les notions de fraction et de nombre décimal sont difficiles pour les élèves. Et beaucoup d'adultes font encore des confusions, preuve s'il en était besoin que ces notions ont été mal installées dans leur esprit. (Graff et al., 2013, p. 3)

## Conclusion

Dans cet article, nous avons mis en évidence plusieurs phénomènes.

Le premier porte sur le fait que des connaissances convoquées par la littératie linguistique permettent à des élèves d'accéder à la réussite dans les tâches mathématiques proposées au CP sans nécessairement construire les connaissances visées, relevant de la littératie mathématique. Les difficultés, nombreuses et persistantes, ne sont alors pas constatées avant les classes de fin d'école primaire.

Le deuxième concerne la rupture qui s'opère, dans l'enseignement, avec l'introduction de l'écriture des nombres décimaux, à la fin de l'école élémentaire. Alors que nous montrons que, du point de vue mathématique, il n'y a pas vraiment de rupture, mais plutôt une continuité de la numération décimale (des entiers aux décimaux).

Les deux phénomènes ci-dessus ne sont pas indépendants : les élèves sont en droit de considérer que les connaissances qu'ils acquièrent à l'école à un niveau donné vont leur servir pour la poursuite de leur scolarité, surtout s'il s'agit de la même matière. Or, en mathématiques, les connaissances investies, appuyées sur la littératie linguistique, peuvent faire obstacle dans la suite de la scolarité. Les aides introduites, notamment les couleurs, changent quand les choses se compliquent. Les élèves qui mettent le plus de temps à construire et à consolider leurs connaissances risquent ainsi de se retrouver dans une situation paradoxale : au moment où ils sont sûrs d'avoir compris, ces connaissances deviennent inutiles, voire fausses. Par exemple, des élèves, se fondant sur les couleurs d'un manuel, peuvent penser que les unités sont toujours à écrire dans un tableau dans lequel la colonne est en jaune ; des élèves (qui peuvent être les mêmes) peuvent penser, jusqu'au CE2, que l'unité s'écrit toujours 'à la fin du nombre' (à droite), ce qui sera faux avec les décimaux, dès le CM1, etc.

Des élèves, qui se sont appuyés sur des indices qui n'étaient pertinents que dans un contexte restreint, se retrouvent en difficulté alors qu'ils n'ont fait
qu'apprendre ce qui leur était enseigné. Nous pouvons d'ailleurs nous demander si les contradictions, jamais énoncées, entre littératie linguistique et littératie mathématique ne pourraient pas, paradoxalement, défavoriser plus particulièrement les élèves qui sont les plus investis dans les connaissances linguistiques, qui sont souvent des filles (Chabanon et Steinmetz, 2018).

Cependant, les raisons qui semblent empêcher la mise en évidence d'une continuité au sein de la littératie mathématique, entre écriture chiffrée des entiers et des décimaux, ne relèvent sans doute pas seulement de considérations mathématiques, mais appelleraient une étude du curriculum (Forquin, 2008), qui prendrait en compte non seulement les savoirs mais aussi l'organisation de l'étude (Chevallard, 2002b).

Pour esquisser une partie de ce programme de recherche concernant un curriculum de la numération décimale, essayons de raisonner « à l'envers » : serait-il possible d'enseigner autrement dans les classes précédant le CM, alors même qu'aucune difficulté n'est repérée à ce moment-là par les professeurs ? Sur le plan didactique, il serait tout à fait possible, dès le CP, d'introduire des questions comme : « Pourquoi y a-t-il un 0 pour écrire 20 ? » et d'y répondre d'une façon qui mettrait en évidence l'importance de l'unité comme origine d'un repère droite-gauche, ce qui restera stable pour les décimaux.

Par contre, cela demanderait un effort aux enseignants *avant* que la difficulté n'apparaisse, ce qui ne semble possible qu'à certaines conditions, qui consisteraient à considérer le travail de l'enseignant dans une perspective curriculaire d'une durée de plusieurs années, du CP à la 6e.

Mais, dans le système scolaire de tradition française, les enseignants, quand ils le peuvent, choisissent souvent d'exercer dans un seul niveau pendant assez longtemps. Dans ces conditions, il n'est guère possible pour un enseignant de CP d'assumer l'introduction d'une explication complexe alors que celle-ci n'a aucun effet immédiat, qui ne profiterait éventuellement aux élèves que bien plus tard. De plus, la coordination des contenus d'enseignement entre les différents professeurs n'est guère facilitée dans le système français.

Ces conditions d'exercice du métier ont une conséquence importante : il est difficile de mettre en évidence les incohérences du curriculum, même officiel, et encore moins des aspects cachés du curriculum, ce qui se rapproche des questions posées par les pédagogies visibles et invisibles (Bernstein, 2007). Nous rejoignons également ici Forquin (2008, p. 7) au sujet de « [...] la difficulté de prendre du recul par rapport aux évidences d'une culture scolaire tenue spontanément pour 'allant de soi' [...] ». Nous proposons de parler, au sujet de l'écriture chiffrée de position, et peut-être plus généralement de la littératie mathématique, d'un curriculum visible mais dont les incohérences sont cachées. Remarquons que ces incohérences ne peuvent être révélées que par une étude du curriculum sur plusieurs années (5 ou 6 années scolaires), ce qui constitue une difficulté méthodologique importante. Nous nous demandons si la volonté d'explicitation ne pourrait pas, paradoxalement, conduire à la production par les enseignants de « règles » attachées aux contextes sans contrôle de leur généralité. Ces réflexions appellent de nouveaux travaux.
La construction des inégalités scolaires (Rochex et Crinon, 2011) qui est à l’œuvre au sujet de l’écriture mathématique révèle une codétermination complexe, notamment entre l’école, les institutions productrices de savoir, la société (Chevallard, 2002a).

## Bibliographie

Bautier, E. et Goigoux, R. (2004). Difficultés d'apprentissage, processus de secondarisation et pratiques enseignantes : Une hypothèse relationnelle. *Revue Française de Pédagogie*, 148, 89-100.
https://doi.org/10.3406/rfp.2004.3252

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Bramand, N., Bramand, P., Delsalle, S., Lafont, É., Maurin, C., et Vargas, A. (2022b). *Pour comprendre les MATHS. Fichier 1 et Fichier 2. Hachette Éducation.*

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