Ainsi la matrice colonne dont les composantes sont les $\Phi_{1,p}$, $\Psi_{2,p}$ et $\Psi_{3,p}$ sera notée $\Phi_p$. Alors on a:

$$ \frac{\partial \Phi_p}{\partial V} = \begin{pmatrix} \Phi'_{1,p} & 0 & 0 \\ 0 & -\Phi'_{1,p} \cdot \mathrm{Den}(\psi_{2,p}) & 0 \\ 0 & 0 & -\Phi'_{1,p} \cdot \mathrm{Den}(\psi_{3,p}) \end{pmatrix} $$

$$ \frac{\partial \Phi_p}{\partial U} = \begin{pmatrix} \frac{\partial \Phi_{1,p}}{\partial x_1} & \frac{\partial \Phi_{1,p}}{\partial x_2} & \frac{\partial \Phi_{1,p}}{\partial x_3} \\ \frac{\partial \Phi_{2,p}}{\partial x_1} & \frac{\partial \Phi_{2,p}}{\partial x_2} & \frac{\partial \Phi_{2,p}}{\partial x_3} \\ \frac{\partial \Phi_{3,p}}{\partial x_1} & \frac{\partial \Phi_{3,p}}{\partial x_2} & \frac{\partial \Phi_{3,p}}{\partial x_3} \end{pmatrix} $$

**Proposition 7.1.1.** (Condition de Kronecker) Soit $J = (a, b, c)$ un triplet d'invariant absolus d'une surface abélienne $\mathcal{A}$ sur $\mathbb{F}_q$. Si $a \notin \mathbb{F}_p$ et $J \notin \mathcal{L}_p$ alors :

$i) \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(J, J^\sigma)$ est inversible sur $\mathbb{Z}_q$;

$ii) \frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(J, J^\sigma) \equiv 0 \mod p.$

*Démonstration.* D'après la proposition 6.2.1 dans le chapitre 6 et la section 6.2 le Frobenius réalise les conditions de Kronecker sur le lieu des points ordinaires du champ algébrique $\mathfrak{A}_{g,\Gamma_0(p)}$. Cette proposition est une adaptation à partir des équations modulaires sur le schéma $\mathfrak{A}_2(p)$.

i) Nous avons :

$$ \det \left( \frac{\partial \Phi_p}{\partial V} \right) = \Phi'_{1,p} \cdot \mathrm{Den}(\psi_{2,p}) \cdot \mathrm{Den}(\psi_{3,p}) \quad \text{avec} \quad \Phi'_{1,p} = \frac{\partial \Phi_{1,p}}{\partial u} $$

où $\Phi'_{1,p}$, $\mathrm{Den}(\psi_{2,p})$ et $\mathrm{Den}(\psi_{3,p})$ dépendent seulement des variables $x_1, x_2, x_3$ et $u$. Et on sait des définitions le chapitre 5 et la section 5.2.1 que les dénominateurs $\mathrm{Den}(\psi_{2,p})$ et $\mathrm{Den}(\psi_{3,p})$ ont deux facteurs: l'un est une puissance de $\Phi'_{1,p}$ et l'autre est un multiple de $L_p$. Pour $J \notin \mathcal{L}_p$, si $J \in \mathbb{F}_p \times \mathbb{F}_p \times \mathbb{F}_p$ alors $\hat{\sigma}(J) = \sigma(J) = J$. Comme modulo $p$ le Verschiebung $\hat{\sigma}$ a une multiplicité de $p^3$ alors :

$$ \Phi'_{1,p}((a,b,c),a^p) \equiv 0 \mod p \text{ c'est-à-dire } \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(J, J^\sigma) \notin \mathbb{Z}_q^\times. $$

Lorsque l'on considère l'un des invariants, supposons $a \notin \mathbb{F}_p$ avec $J \notin \mathcal{L}_p$. D'après la section 7.1.1, l'isogénie Frobenius $\sigma$ admet un relevé unique sur $\mathbb{Z}_q$ et de multiplicité 1 modulo $p$ dans le polynôme $\phi_{1,p}(x_1, x_2, x_3, X)$. D'un autre côté le seul $p^2$-endomorphisme sur $\mathcal{A}$ est $[p]$, les autres isogénies différentes du Verschiebung ont des co-domaines différents, alors en les composant avec leur dual correspondant on obtiendra un non trivial $p^2$-endomorphisme, alors:

$$ \Phi'_{1,p}((a,b,c),a^p) \not\equiv 0 \mod p $$

Comme $J \notin \mathcal{L}_p$, nous avons aussi: $\mathrm{Den}(\psi_{2,p})(a,b,c)$ et $\mathrm{Den}(\psi_{3,p})(a,b,c)$ non nuls modulo $p$. Par conséquent

$$ \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(J, J^\sigma) \in \mathbb{Z}_q^\times. $$
ii) L'assertion $\frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(J, J^\sigma) \equiv 0 \pmod p$ signifie que chaque dérivée partielle respectivement en $x_1, x_2$ et $x_3$ des polynômes $\Phi_{1,p}(x_1, x_2, x_3, u)$, $\Phi_{2,p}(x_1, x_2, x_3, u, v)$ et $\Phi_{3,p}(x_1, x_2, x_3, u, w)$ se réduit à 0 modulo $p$ lorsque évaluée en $(a, b, c) \notin \mathcal{L}_p$.

On considère en premier le polynôme $\Phi_{1,p} = \phi_{1,p} \cdot \mathrm{Den}(\phi_{1,p})$, où la réduction modulo $p$ du polynôme modulaire $\phi_{1,p}$ est

$$ \phi_{1,p}(x_1, x_2, x_3, u) = \prod_{\gamma \in \mathcal{C}_p} (u - f_{1,p}^{\gamma}) $$

où les $f_{1,p}^{\gamma}$ sont en fonction des variables $x_1, x_2$ et $x_3$.

D'après la section 7.1.1, $p^3$ fonctions $f_{1,p}^{\gamma}$ représentent les relevés du Verschiebung. Ces $p^3$ fonctions se réduisent en une seule fonction modulo $p$ en les variables $x_1, x_2$ et $x_3$. Alors on obtient:

$$ \frac{\partial \Phi_{1,p}}{\partial x_k}(a, b, c, a^p) \equiv 0 \pmod p \quad \text{pour } k = 1, 2, 3. $$

Alors chaque dérivée partielle en $x_1, x_2$ et $x_3$ des polynômes $\Phi_{1,p}$ devient 0 modulo $p$ en $(J, J^p)$.

Pour $\Phi_{2,p}(x_1, x_2, x_3, u, v)$ et $\Phi_{3,p}(x_1, x_2, x_3, u, w)$ la procédure reste la même.

$$ \Phi_{2,p} = (\psi_{2,p} - v) \cdot \mathrm{Den}(\psi_{2,p}) $$

$$ \frac{\partial \Phi_{2,p}}{\partial x_k} = \mathrm{Den}(\psi_{2,p}) \cdot \frac{\partial \psi_{2,p}}{\partial x_k} + (\psi_{2,p} - v) \cdot \frac{\partial \mathrm{Den}(\psi_{2,p})}{\partial x_k} \quad \text{pour } k = 1, 2, 3 $$

$$ \psi_{2,p}(x_1, x_2, x_3, u) = \sum_{\gamma \in \mathcal{C}_p} f_{2,p}^{\gamma} \cdot \prod_{\gamma' \in \mathcal{C}_p \setminus \{\gamma\}} (u - f_{1,p}^{\gamma'}) $$

où comme dans le cas précédent, les $f_{1,p}^{\gamma}$ sont en fonction des variables $x_1, x_2$ et $x_3$ telles que $p^3$ parmi elles se réduisent en une seule fonction modulo $p$.

Soit $(a, b, c) \notin \mathcal{L}_p$, comme :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \psi_{2,p}(a, b, c, a^p) & \equiv b^p \pmod p & \text{et} \\ \\ \frac{\partial \psi_{2,p}}{\partial x_k}(a, b, c, a^p) & \equiv 0 \pmod p \quad \text{pour } k = 1, 2, 3 \end{array} \right. $$

Alors pour $l = 2$ ou $3$ nous avons : $\frac{\partial \Phi_{l,p}}{\partial x_k}(a, b, c, a^p, b^p) \equiv 0 \pmod p$ pour $k = 1, 2, 3$

Ainsi nous pouvons conclure que $\frac{\partial \Phi}{\partial U}(J, J^\sigma) \equiv 0 \pmod p$. $\square$

**Définition 7.1.2.** On dira d'un système d'invariants qu'il vérifie les conditions de Kronecker si la matrice $\Phi_p$ définie par les polynômes modulaires correspondant vérifie les propriétés i) et ii) de la section 7.1.1 et la proposition 7.1.1.

## 7.2 RELÈVEMENT CANONIQUE EN CARACTÉRISTIQUE IMPAIRE AVEC L'ESPACE DE SIEGEL

Cette section est une application algorithmique du Théorème de Serre-Tate (le chapitre 6 et la section 6.1). Nous utilisons les polyômes modulaires pour calculer les invariants absolus du relélé canonique d'une surface abélienne principalement polarisée.
### 7.2.1 L'Algorithme de Harley en Dimension 2

Cette section utilise principalement la section 7.1.1 et la proposition 7.1.1, alors nous utiliserons les mêmes notations. Le Frobenius induit une isogénie, vérifiant les conditions de Kronecker avec les polynômes modulaires, comme en dimension 1 nous allons construire un algorithme de Newton avec cette propriété.

On suppose que l'on peut calculer efficacement le Frobenius $\sigma$ de $Q_q$ et que l'on connaît $X \in \mathbb{Z}_q^3$ une approximation de $\tilde{J}$ à précision $p^k$ c'est-à-dire $\tilde{J} - X = p^k e$ pour une erreur $e$ un vecteur de $\mathbb{Z}_q^3$ que nous voudrions déterminer. En utilisant l'équation modulaire et l'expansion de Taylor sur $\Phi_p$, on obtient:

$$0 = \Phi_p(X + p^k e, X^\sigma + p^k e^\sigma)$$

$$0 = \Phi_p(X, X^\sigma) + p^k e \frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(X, X^\sigma) + p^k e^\sigma \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(X, X^\sigma) + p^{2k}(\cdots)$$

où le facteur $(\cdots)$ est un élément de $\mathbb{Z}_q$. Alors $\Phi_p(X, X^\sigma)$ a une valuation au moins $k$ (soit sous la forme $p^k.u$) et en divisant toute l'expression par $p^k$ on obtient l'équation suivante en $e$:

$$u + e \frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(X, X^\sigma) + e^\sigma \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(X, X^\sigma) \equiv 0 \quad \mod p^k.$$

Sachant que:

$$\frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(X, X^\sigma) \in \mathbb{Z}_q^\times \quad \text{et} \quad \frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(X, X^\sigma) \equiv 0 \quad \mod p.$$

d'après la section 7.1.1 et la proposition 7.1.1, l'erreur $e$ est déterminée alors par une forme matricielle de l'algorithme 1 dans le chapitre 2 et la section 2.5

**Théorème 7.2.1.** Soit $J = (a, b, c)$ le triplet d'invariants absolus d'une surface abélienne principalement polarisée $\mathcal{A}$ sur $\mathbb{F}_q$. Lorsque $J$ vérifie les conditions de Kronecker (la section 7.1.1 et la proposition 7.1.1) alors l'algorithme 7 détermine le relévé $\tilde{J}$ sur $\mathbb{Z}_q$ des invariants absolus de $J$ en $O(n^2 \log p)$ opérations où $q = p^n$.

**Démonstration.** En utilisant les conditions de Kronecker de la section 7.1.1 et la proposition 7.1.1 on construit un algorithme de Harley matriciel de complexité $O(n^2 \log p)$. On considère que $\phi_{1,p}$ est le polynôme minimal (le chapitre 5, la section 5.2 et la section 5.2.1) pour l'élément du triplet qui est toujours hors de $\mathbb{F}_p$. $\square$

### 7.2.2 Relèvement du Verschiebung

On se propose de calculer le relèvement du Verschiebung sur $\mathbb{Z}_q$ en utilisant l'algorithme suivant de relèvement de la $p$-torsion d'une variété abélienne sur $\mathbb{Z}_q$.

Comme il existe des formules complètes pour de conversion entre coordonnées Mumford et Thêta, pour plus de convenance on peut travailler sur la surface de Kummer.

Ainsi un algorithme de calcul d'isogénies à la Vélu comme celui proposé par D. Robert et R. Cosset pourra ensuite évaluer le Verschiebung relevé sur $\mathbb{Z}_q$.

Soit $\mathcal{A}$ une variété abélienne de dimension $g$ sur $\mathbb{Z}_q$ et $\mathcal{K}$ sa variété Kummer associée. On notera par $\mathfrak{M}_p$ la matrice Jacobienne du système polynômial définissant par la $p$-torsion point sur $\mathcal{A}$ ou $\mathcal{K}$.
**Entrée:** J, et la précision N.

**Sortie:** $\tilde{J}$ le relevé de $J$ à précision $N$.

1. Si $N = 1$ **Retourner** $J$ à précision $p$;

2. **Sinon** $N' = N/2$;

3. $J = \text{Harley@Siegel}(J, N')$;

a. $G = \frac{\partial \Phi}{\partial U}(J, J^\sigma); H = \frac{\partial \Phi}{\partial V}(J, J^\sigma); Q = \Phi(J, J^\sigma);$

b. $a = G.H^{-1}, b = Q.H^{-1}$;

c. $e = \text{ArtinSchreier}(a, b, N')$;

d. **Retourner** $J = J + p^k e$ à la précision $p^{2k}$;

**Algorithm 7** – Pour calculer le relevé des invariants sur l'espace de Siegel de dimension 2.

Par exemple un point $P = (x_1, \dots, x_m)$ sur $\mathcal{A}$ est un point de $p$-torsion si seulement si $[k+1].P = -[k]P$ (avec $p = 2k+1$).

En dimension 1, lorsque $p \neq 2$: d'après la section 2.5.1 et la remarque 2.6.3, la Jacobienne $\mathfrak{M}_p$ est de la forme:

$$ \begin{pmatrix} * & * \\ 0 & p \end{pmatrix} $$

ce qui implique que dans l'algorithme de Newton, par exemple lorsque $x_p$ est à une précision $k$ alors $y_p$ est à la précision $k-1$.

La proposition suivante généralise cette propriété équivalente au lemme de Satoh sur les courbes elliptiques (le chapitre 2, la section 2.5 et la proposition 2.5.3) à un système polynomial définissant la $p$-torsion sur une variété abélienne de dimension $g$.

**Proposition 7.2.2.** Soit $\mathcal{A}$ une variété abélienne de dimension $g$ sur $\mathbb{Z}_q$, en tout point $P$ de $\mathcal{A}$ il existe une base de l'espace tangent à $\mathcal{A}$ pour laquelle, la matrice $\mathfrak{M}_p$ est égale à $p$ fois la matrice identité.

**Démonstration.** D'après [86], il existe un isomorphisme naturel

$$ \Omega_0 \otimes_{\mathbb{Z}_q} \mathcal{O}_{\mathcal{A}} \simeq \Omega_{\mathcal{A}}^1 $$

où $\Omega_0$ est le dual de l'espace tangent en 0 à $\mathcal{A}$ et $\Omega_{\mathcal{A}}^1$ est le faisceau des 1-formes regulières sur $\mathcal{A}$.

Comme la différentielle de l'application "Addition" n'est autre que l'addition des composantes. Ainsi on considère l'application "Multiplication" $[p] : \mathcal{A} \to \mathcal{A}$, sa Jacobienne est alors sous la forme

$$ \mathfrak{M}_p = \text{diag}(p, \dots, p) = p \cdot \text{Id}_g. $$

□

**Corollaire 7.2.3.** Soit $\mathcal{A}$ une variété abélienne définie par un système polynômial $(f_1, \dots, f_n)$ sur l'espace affine $\mathbb{A}^n$. En tout point $P \in \mathcal{A}[p]$ il existe une base telle que :

$$ \left( \begin{array}{c} \mathrm{Jac}(f_1, \cdots, f_n) \\ \mathfrak{M}_p \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} * & * \\ 0 & p \cdot \mathrm{Id}_g \end{array} \right) $$

Ainsi son déterminant a une $p$-valuation $g$ et son inverse est de $p$-valuation $-1$.
Démonstration. Comme pour tout point P de $\mathcal{A}[p]$ le rang de $Jac(f_1, \dots, f_n)$ est $(n-g)$.
Alors en appliquant la proposition 7.2.2 on obtient le résultat. $\square$

**Théorème 7.2.4.** (Relèvement de la *p*-Torsion) Soit $\mathcal{A}$ une variété abélienne ordinaire sur $\mathbb{F}_q$, alors on peut déterminer le relèvement canonique de tout point de *p*-torsion de $\mathcal{A}/\mathbb{F}_q$ sur $\mathbb{Z}_q$ en $O(n^2 \log p)$ opérations au plus.

Démonstration. Soit F la fonction vectorielle définissant le système polynômial *p*-torsion sur $\mathcal{A}$, d'après le corollaire précédent 7.2.3 la Forme Normale de Smith de $(DF(P))$ est de la forme:

$$ \begin{pmatrix} * & * \\ 0 & p.I_g \end{pmatrix} $$

selon un changement de base $M \cdot S \cdot N = DF(P)$.

En considérant le chapitre 1, la section 1.2 et la proposition 1.2.4 la méthode de Newton sur F en X marche comme dans le cas univarié pour chaque composante de X.

Ainsi pour tout $P = \tilde{P}$ mod $p$: $ord_p F_i(P_i) = 1$ et $ord_p F'_i(P_i) = 0$ pour les $(n-g)$ premiers polynômes. Et pour les $g$ autres polynômes on a: $ord_p F_i(P_i) = 1$ et $ord_p F'_i(P_i) = 1$.

D'après le chapitre 1, la section 1.2 et le lemme 1.2.1 pour gagner plus de précisions dans les $g$ dernières équations, l'on doit résoudre des équations :

$$ F_i(P_i) + p.DF(P_i).R_i + \frac{p^2}{2}.^tR_i.HF(P_i).R_i = 0 \quad \mod p^3 $$

Comme le relevé de X est unique d'après [99], alors chaque équation quadratique précédente détermine un unique $R_i$ sur $\mathbb{Z}_q$.

Les étapes suivantes des Newtons univariés correspondront aux cas (le chapitre 1, la section 1.2 et la proposition 1.2.4) c'est-à-dire le cas $ord_p(F_i(P_i)) > 2.ord_p F'_i(P_i)$. Et par suite on détermine l'unique relévé de la *p*-torsion en $O(n^2 \log p)$. $\square$

**Exemple 7.2.5.** (Dimension 1)

On considère la courbe elliptique définie sur $\mathbb{F}_3[t]/(t^5 + 2t + 1)$ par :

$$ E: y^2 = x^3 + (t^2 - t)x^2 + t^3 - t^2 + 1 $$

Le polynôme de Teichmuller de $t^5 + 2t + 1$ à la précision $3^{16}$ est :

$$ M = t^5 + 40187187t^4 + 22623057t^3 + 28433298t^2 + 42740657t + 1 $$

Par l'algorithme de Harley, le relevé du *j*-invariant à la précision $3^{16}$ est:

$$ \tilde{j} = 4184705t^4 + 21892713t^3 + 36017948t^2 + 23621781t + 31000250 $$

La courbe relévée est $\tilde{E}: y^2 = x^3 + Ax^2 + B$, où : $A = t^2 + 1$, $B = 35012730t^4 + 19700410t^3 + 13577987t^2 + 12290190t + 25369066$.

Un point $P = (x, y)$ est dans $\tilde{E}[p]$ si et seulement si [2]. $P = -P$ et comme les points [2]. $P$ et $P$ sont sur la même droite alors :

$$ \tilde{P} \in \tilde{E}[p] \Leftrightarrow F(x, y) = 0. $$

$$ \text{avec } F(x, y) = \begin{pmatrix} -x^3 - Ax^2 + (y^2 - B) \\ \frac{9}{4}x^4 + 3Ax^3 + A^2x^2 - 3y^2x - Ay^2 \end{pmatrix}. $$
On a $P = (2t^4 + 2t^3 + 2t^2 + 1, 1) \in E[3]$ et en utilisant l'algorithme 7.2.4, on obtient:

$$
\begin{aligned}
\tilde{P} = (555542t^4 &+ 15403853t^3 + 5231684t^2 + 29534907t + 30143767, \\
& 11152449t^4 + 34597530t^3 + 41418387t^2 + 1833597t + 31531297).
\end{aligned}
$$

**Exemple 7.2.6. (Dimension 2)**

On considère la courbe de genre 2 définie sur $\mathbb{F}_3[T]/T^{10} + 2T^6 + 2T^5 + 2T^4 + T + 2$ :

$$
\begin{aligned}
C: y^2 &= x^5 + (2T^8 + T^2 + T)x^4 + (T^8 + T^7 + T^6 + T^5 + T^3 + 2T + 2)x^3 \\
&\quad + (T^9 + 2T^8 + T^6 + T^5 + T^4 + 2T^3 + 2)x^2 \\
&\quad + (2T^9 + T^8 + 2T^7 + T^6 + T^5 + 2T^4 + 2T^2 + 1)x
\end{aligned}
$$

On note ses invariants thêta absolus de niveau 2 par $J = (a, b, c)$ avec:

$$
a = 2T^9 + 2T^6 + 2T^5 + 2T^4 + T^3 + T^2 + T,
$$

$$
b = 2T^9 + T^8 + 2T^7 + T^6 + T^5 + 2T^4 + 2T^2,
$$

$$
c = 2T^9 + 2T^6 + T^4 + 2T^3 + 2T + 2
$$

Alors une équation projective de la surface de Kummer $\mathcal{K}$ est donnée par :

$$
(x^4 + y^4 + z^4 + t^4) + 2Exyzt - F(x^2t^2 + y^2z^2) - G(x^2z^2 + y^2t^2) - H(x^2y^2 + z^2t^2) = 0
$$

où $F, H$ et $G$ sont en fonction de $a, b$ et $c$ (aller à l'appendice a et l'appendice a.1).

Et la 3-torsion sur $\mathbb{F}_3[T]/T^{10} + 2T^6 + 2T^5 + 2T^4 + T + 2$ est définie par le système polynômial donné par $2P = P$. On obtient en plus du thêta-nul point les points affines :

$$
\begin{aligned}
\text{tors}0 = & [T^7 + T^6 + T^4 + 2T^2 + 2T, 2T^9 + T^8 + T^7 + 2T^4 + 2T^3 + T^2 + 2, \\
& 2T^8 + T^7 + T^6 + T^4 + 2];
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\text{tors1} = & [2T^9 + 2T^8 + 2T^7 + T^6 + 2T^5 + T^2 + T + 1, 2T^9 + T^8 + T^7 + T^6 \\
& + T^5 + T^4 + 2T^3 + T^2 + 2T, T^9 + 2T^8 + 2T^5 + 2T^4 + 2T^3 + 2T + 1];
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\text{tors2} = & [T^9 + 2T^8 + T^7 + 2T^6 + T^4 + 2T^3 + 2T^2 + 1, 2T^9 + 2T^7 + 2T^5 + T^4 \\
& + 2T^3 + T^2 + T + 2, T^9 + 2T^8 + 2T^7 + T^6 + 2T^4 + 2T^3 + T^2 + 2T + 2];
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\text{tors3} = & [2T^9 + 2T^6 + T^4 + 2T^3 + 2T, T^9 + 2T^7 + T^5 + 2T^3, \\
& 2T^9 + T^8 + 2T^6 + T^4 + 2T^3 + 2T^2 + T + 1]
\end{aligned}
$$

Comme $J$ satisfait les conditions de Kronecker, on utilise l'algorithme 7 avec les polynômes modulaires en thêta.

Après la phase de relèvement canonique, on obtient à la précision 3²⁰:

$$
\begin{aligned}
M ={}& T^{10} + 2549079126T^9 + 1424896413T^8 + 387776124T^7 + 1501830083T^6 \\
     & + 2399043737T^5 + 1835343671T^4 + 3327249759T^3 + 1052748765T^2 \\
     & + 1815623119T + 3486784400
\end{aligned}
$$

exemple 7.1 – Relèvement canonique de la *p*-torsion d'une variété abélienne ordinaire.
$$
\begin{align*}
\tilde{a} &= 1632442511T^9 + 3184765518T^8 + 3476194941T^7 + 3108882704T^6 \\
&\quad + 2423383142T^5 + 1764926933T^4 + 1098986671T^3 + 2957646787T^2 \\
&\quad + 1669307941T + 2686192050,
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\tilde{b} &= 1855464665T^9 + 458606629T^8 + 1644296153T^7 + 2202845860T^6 \\
&\quad + 2959176835T^5 + 2200438487T^4 + 1716586968T^3 + 1038290165T^2 \\
&\quad + 133634418T + 2980506843,
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\tilde{c} &= 3067405283T^9 + 2017143027T^8 + 1539671400T^7 + 2805617504T^6 \\
&\quad + 754015086T^5 + 1269571459T^4 + 2964123128T^3 + 609859068T^2 \\
&\quad + 3096552740T + 605100932,
\end{align*}
$$

En utilisant l’algorithme 7.2.4 sur le système polynômial définie par $2P = P$, on obtient le relevé de chaque point de 3-torsion comme par exemple celui de $\textit{tors}0$ donné :

$$
\begin{align*}
\textit{tors}0 = [ & 783079641T^9 + 2124478056T^8 + 836911573T^7 + 2573975062T^6 \\
& + 902190282T^5 + 366817813T^4 + 3020511501T^3 + 3106437113T^2 \\
& + 1881969155T + 838267932, 1475631209T^9 + 1062021913T^8 \\
& + 1843928959T^7 + 795907434T^6 + 2521901733T^5 + 1698902771T^4 \\
& + 2534696996T^3 + 3155556349T^2 + 3023958660T + 1433503754, \\
& 2400942648T^9 + 833485184T^8 + 2017122688T^7 + 265798210T^6 \\
& + 371555682T^5 + 828437455T^4 + 3052717911T^3 + 3041519346T^2 \\
& + 2288895138T + 3190509602].
\end{align*}
$$

7.3 RELÈVENEMENT CANONIQUE EN CARACTÉRISTIQUE 2 OU 3

Dans cette section nous introduisons une méthode de calcul de relevé canonique d'une courbe $C$ de genre 2 en caractéristique 2. La partie de cette méthode concernant le calcul des invariants du relevé canonique $\tilde{C}$ pourra facilement s'adapter aux caractéristiques 3 à partir de polynômes modulaires en les invariants fournis par les trois composantes de $M_2 \otimes \mathbb{Z}_3$. Les autres parties sont spécifiques au relèvement canonique des courbes de genre 2 en caractéristique paire.

Nous allons utiliser les polyômes modulaires pour calculer le relevé les invariants absolus correspondant comme dans la section 7.2, et après nous expliquons comment calculer le relevé d'une équation de la courbe $C$. Ensuite nous introduisons des méthodes de calcul du relevé 2-adique de l'isogénie du Frobenius. Mais il faudrait bien distinguer les cas où le relevé est canonique (type (1, 1, 1)) des cas où le relevé n'est pas unique (les autres types).

7.3.1 *Relèvement des Invariants*

Nous avions vu dans le chapitre 4 et la section 4.3 que la réduction modulo 2 des courbes de genre 2 sur $\mathbb{Z}_q$ suit la classification bironnelle donnée par les types (1, 1, 1), (3, 1) et (5). On peut directement remarquer que des courbes de types différents ne sont pas isogènes par le Frobenius, alors le relevé de l'isogénies Frobenius réliera des courbes 2-isogènes de même type sur $\mathbb{Z}_q$. Les courbes de genre 2 ordinaires sont celles qui sont bironnellement équivalentes au type (1, 1, 1) c'est-à-dire encore celles qui sont de *p*-rang 2. En effet les autres types sont de *p*-rang 0 et 1 ( correspondant au nombre de points de Weierstrass triviaux )
donc non ordinaires.

Par suite les polynômes modulaires en les invariants $(a_1, a_2, a_3)$ (le chapitre 5 et la section 5.2.4) décrivent sur $M_2 \otimes \mathbb{Z}_2$ les relevés canoniques des courbes ordinaires 2-isogènes sur $\mathbb{F}_q$ (avec $q = 2^n$).

Alors on considère que $\mathcal{A} = \text{Jac}(\mathcal{C})$ est ordinaire ou de manière équivalente que $\mathcal{C}$ est de type (1, 1, 1). Comme pour le cas de la caractéristique impaire on se propose de calculer le relevé $\tilde{J} = (\tilde{a}_1, \tilde{a}_2, \tilde{a}_3)$ de $J = (a_1, a_2, a_3)$ en utilisant la même approche que précédemment pour la caractéristique impaire c'est-à-dire en utilisant la relation modulaire entre $J$ et $J^\sigma$.

Soit $U = (x, y, z)$ le triplet de variables (dans les polynômes modulaires) représentant les invariants absolus dans $M_2[J_2^{-1}]$ et respectivement $V = (u, v, w)$ représentant les invariants absolus (2, 2)-isogènes à $U$.

**Corollaire 7.3.1.** Lorsque $p = 2$ et $\mathcal{A}$ est une surface abélienne sur $\mathbb{F}_q$ telle que $J_2(\mathcal{A})J_{10}(\mathcal{A}) \neq 0$. Alors $\mathcal{A}$ est ordinaire, et est la Jacobienne d'une courbe $C$ de type $(1, 1, 1)$. Si $J = (a_1, a_2, a_3)$ est le triplet d'invariants absolus de $\mathcal{A}$ dans $M_2[J_2^{-1}]$ sur $\mathbb{F}_{2^n}$ avec $n > 2$, alors :

i) $\frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(J, J^\sigma)$ est inversible;

ii) $\frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(J, J^\sigma) \equiv 0 \bmod p$.

*Démonstration.* Les relations sont bien vérifiées par les points ordinaires ($J_2J_{10} \neq 0$.) du lieu géométrique défini par l'équation modulaire (sur $M_2[J_2^{-1}$]) d'après le chapitre 6 et la section 6.2. Ces relations proviennent aussi d'un changement de variables birationnel qui induit une transformation inversible différentiable (sur le domaine ouvert de définition). Ces relations sont donc vérifiées pour tout triplet $J = (f_1, f_2, f_3)$ bien défini sur le lieu $J_2J_{10} \neq 0$. $\square$

**Remarque 7.3.2.** $J$ est bien défini en $\mathcal{A}$ exactement lorsque $J_2(\mathcal{A})J_{10}(\mathcal{A}) \neq 0$, donc dans ce cas $J$ est automatiquement bien défini en $\mathcal{A}^\sigma$, comme $J(\mathcal{A}^\sigma) = J(\mathcal{A})^\sigma$. Il reste à retirer les points singuliers de l'équation modulaire qui semblent contenir le lieu du dénominateur $D_p$. Mais nous pouvons toutefois éliminer le dénominateur et se ramener à une équation modulaire sur $\mathcal{A}$ et $\mathcal{A}^\sigma$ puisque $J$ est bien défini en les deux points. Plus précisement, on pourra interpréter le dénominateur comme une forme modulaire pour éliminer les facteurs parasites selon ( [79] et [59] ).

Comme les polynômes modulaires satisfont les conditions de Kronecker nous pouvons utiliser la méthode de Harley introduit précédemment dans la section 7.2, pour obtenir le résultat suivant:

**Corollaire 7.3.3.** Lorsque $J = (a_1, a_2, a_3)$ désigne les invariants absolus d'une surface abélienne vérifiant les conditions de Kronecker le corollaire 7.3.1. Alors l'algorithme 7 dans la section 7.2 calcule (en doublant de précisions) les invariants absolus du relèvement canonique $\tilde{\mathcal{A}}$ sur $\mathbb{Z}_q$.

*Démonstration.* En combinant le corollaire 7.3.1 et une adaptation de la méthode de Harley dans la section 7.2. $\square$

### 7.3.2 Relèvement 2-Adique d'une Courbe de genre 2

Nous avons vu précédemment que les conditions de Kronecker fournissent des algorithmes de calcul des invariants du relevé d'une courbe de genre 2 ordinaire. Dans cette partie, on
se propose de déterminer une équation $\tilde{f}(x, y)$ d'une courbe $\tilde{\mathcal{C}}$ de genre 2 dont on connaît les invariants sur $\mathbb{Z}_q$ et une equation $\mathcal{C} : f(x, y) = 0 \pmod{2}$ de sa réduite de genre 2. On pourra utiliser la même approche (avec des invariants adaptés) pour les caractéristiques non couvertes par l'algorithme de construction de Mestre (mauvaise réduction par exemple de la conique en caractéristique 2).

En considerant les conversions entre la forme normale et le modèle hyperelliptique d'une courbe de genre 2 dans le chapitre 4 et la section 4.5, nous allons nous restreindre au cas d'une forme normale.

Soit $q = 2^n$ et $\mathcal{C}$ une courbe de genre 2 sur $\mathbb{F}_q$ par une équation de sa forme normale:

$$ \mathcal{C} : XY^2 + (1 + aX + bX^2)Y + X^2(c + dX + X^2) = 0. $$

Soit $(\tilde{f}_1, \tilde{f}_2, \tilde{f}_3)$ les invariants de $\tilde{\mathcal{C}}$ sur $\mathbb{Z}_q$ (définis par le chapitre 4, la section 4.3 et le théorème 4.3.2), où dans le cas ordinaire ce sont les invariants $(\tilde{a}_1, \tilde{a}_2, \tilde{a}_3)$ donnés par l'algorithme 7 avec $(\tilde{a}_1, \tilde{a}_2, \tilde{a}_3)$ vérifiant les conditions de Kronecker.

Les invariants $J_{2i}$ admettent des expressions en fonction des coefficients $a, b, c$ et $d$, alors on peut aussi exprimer les invariants birationnels $(f_1, f_2, f_3)$ comme fonctions rationnelles en les $(a, b, c, d)$. Ces relations fournissent un système d'équations (pour $(\tilde{a}, \tilde{b}, \tilde{c}, \tilde{d}$), sur lequel on peut appliquer un relèvement de Newton à partir d'une solution $(a, b, c, d)$ modulo 2 (puisque l'expression globale a une bonne réduction).

En particulier, comme le modèle $\tilde{\mathcal{C}}$ a une bonne réduction modulo 2, la réduction $w$ d'une base des formes différentielles $\tilde{w}$ est bien définie. En comparant $w$ avec une base fixée $w_C$ de $\mathcal{C}$, nous obtenons que $w = Mw_C$ pour une certaine matrice $M$ dans $GL_2(\mathbb{F}_q)$. Relever $M$ en $\tilde{M} \in GL_2(\mathbb{Z}_q)$, et en posant $\tilde{w}_{\tilde{C}} = \tilde{M}^{-1}\tilde{w}$, nous pouvons relever $w_C$. En application, soit $g$ une forme modulaire vectorielle (avec une bonne réduction modulo 2), alors $g(C, \tilde{w}_{\tilde{C}})$ est un relélévé de $g(C, w_C)$. Nous abordons cette application du relèvement plus en détails dans le chapitre 8.

### Relèvement sur $\mathbb{Z}_q$ d'une courbe de type $(1, 1, 1)$

Pour ce qui suit nous détaillons les différentes étapes du relèvement sur $\mathbb{Z}_q$ d'une courbe de type $(1, 1, 1)$ ce qui couvre couvre les cas ordinaires (à travers les transformations birationnelles du chapitre 4 et la section 4.3). Ainsi modulo 2, les invariants absolus $(a_1, a_2, a_3)$ peuvent être déterminer à partir des coefficients $a, b, c$, and $d$ directement par les relations la section 4.3 et la section 4.3.2.

Par suite, les coefficients $\tilde{a}, \tilde{b}, \tilde{c}$, et $\tilde{d}$ de la forme normale du relevé canonique $\tilde{\mathcal{C}}$ se réduisant sur $\mathcal{C}$ satisfait le system d'équations suivant fourni par les $J_{2i}$ et les relevés $(\tilde{a}_1, \tilde{a}_2, \tilde{a}_3)$ (que l'on sait calculer à partir de $(\tilde{a}_1, \tilde{a}_2, \tilde{a}_3)$):

$$ \left\{ \begin{array}{l} \tilde{J}_4 - \tilde{J}_2^2 \tilde{a}_1 = 0, \\ \tilde{J}_8 - \tilde{J}_2^4 \tilde{a}_2 = 0, \\ \tilde{J}_{10} - \tilde{J}_2^5 \tilde{a}_3 = 0 \end{array} \right. \qquad (7.1) $$

où les $J_{2i}$ sont en fonction des variables $a, b, c$ et $d$ obtenues en utilisant par exemple le modèle hyperelliptique donné par:

$$ y^2 + h(x)y = f(x) \quad \text{où} \quad h(x) = 1 + ax + bx^2 \text{ et } f(x) = -x^3(c + dx + x^2). $$
Alors on a le résultat suivant:

**Lemme 7.3.4.** Sur $\mathbb{Z}_q$ l'intersection des trois surfaces de l'équation (7.1) est non-singulière en les $(a, b, c, d)$ satisfaisant les conditions de Kronecker, plus précisément non singulière à toute précision > 1. Ces équations se ramifient modulo 2.

*Démonstration.* Pour toute courbe $C$ de genre 2, deux caractérisations de $C$ se réduisent bien modulo 2: sa forme normale en les $(a, b, c, d)$ et l'évaluation des $J_{2i}$ en $C$. Le système d'équations 7.1 est construit en exprimant les $J_{2i}$ en fonction of $(a, b, c, d)$ ([51, Pages 10-12]). Sur $\mathbb{Z}_q$ et lorsque $J_2$ est non nul modulo 2 (c'est-à-dire $ab \neq 0 \mod 2$), le système 7.1 définit un point non-singulier dans $M_2[J_2^{-1}]$ (représentant les classes d'équivalence birationnelle de $\mathbb{C}$). [51, Théorem 4]. De plus modulo 2, nous avons la factorisation suivante:

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
J_4 &= J_2^2(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2), \\
J_8 &= J_2^4(\alpha^2\beta^2 + \alpha^2\gamma^2 + \beta^2\gamma^2 - g^3 - g^4), \\
J_{10} &= J_2^5(\alpha^2\beta^2\gamma^2). 
\end{aligned}
\right. \\
\text{avec } J_2 \equiv a^2b^2 \text{ et } g = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2.
$$

où $\alpha, \beta$ et $\gamma$ sont en fonction de $(a, b, c, d)$ à travers les relations le chapitre 4 et la section 4.3.2. On peut normaliser ces nouvelles équations du 7.1 par des puissances paires de $ab$. Ainsi sur un modèle affine (fixant un paramètre pour avoir trois variables) les dérivées partielles en $a$ et $b$ du système 7.1 s'annulent. Alors le déterminant de la matrice Jacobienne du système s'annule aussi. À remarquer que la factorisation ci-dessus est seulement valable modulo 2. D'autre part à la précision 2 lorsqu'un paramètre (par exemple $a$) est fixé, le déterminant de la matrice Jacobienne du système 7.1 est donné par:

$$ 
\begin{aligned}
& 2a^{12} [a^{10} + (b^3 + db)a^9 + (cb^2 + b)a^8 + (d^2b^5 + c^2b)a^7 + \\
& (cb^3 + b^2)a^6 + (a_3b^{15} + c^2b^7 + b^5)a^5 + a_3b^{18}a^4 + \\
& (a_3db^{19} + c^4b^5)a^3 + (a_3cb^{20} + a_3b^{19})a^2 + \\
& (a_3c^2b^{19} + c^2b^9 + b^7)a + (a_3cb^{21} + a_3b^{20})].
\end{aligned}
$$

Alors l'annulation modulo 4 de cette quantité implique celle de la quantité entre paranthèses modulo 2. Cette dernière annulation implique que modulo 2: $a_3$ est le quotient de:

$$ 
\begin{aligned}
-a^{10} + (-b^3 - db)a^9 + (-cb^2 - b)a^8 + (-d^2b^5 - c^2b)a^7 + \\
(-cb^3 - b^2)a^6 + (-c^2b^7 - b^5)a^5 - c^4b^5a^3 + (-c^2b^9 - b^7)a
\end{aligned}
$$

par

$$ b^{15}a^5 + b^{18}a^4 + db^{19}a^3 + (cb^{20} + b^{19})a^2 + c^2b^{19}a + (cb^{21} + b^{20}) $$

ce qui n'est pas égal modulo 2 à la valeur de $a_3 = J_{10}/J_2^5$ (donné par [51, Pages:11-12]). Alors génériquement le facteur ne s'annule pas modulo 2.

Ainsi le déterminant du système est seulement de 2-valuation 1.

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

**Remarque 7.3.5.** Comme le déterminant de la Jacobienne du système 7.1 est de valuation 2-adique 1 sur $M_2[J_2^{-1}]$, alors la forme SNF de la Jacobienne est connue (une seule équation est à la précision 2). Ainsi par le Théorème de Serre-Tate on a l'existence du relélé canonique et la méthode du chapitre 6, la section 1.2 et la proposition 1.2.4 calcule les coefficients $(\tilde{a}, \tilde{b}, \tilde{c}, \tilde{d})$.
Pour ce qui suit on se propose d'étendre la méthode précédente au relèvement (quelconque) des équations de courbes de rang 0 et 1. Plusieurs classes d'isomorphismes de courbe sur $\mathbb{Z}_q$ se réduisent sur ces classes de courbes modulo 2, pour rendre les systèmes d'équations lisses sur $\mathbb{Z}_q$ on pourra choisir une classe d'isomorphisme représentant un point lisse de la composante sur $\mathbb{Z}_q$.

Alors on supposera que l'on connaît ce point sur $\mathbb{Z}_q$ de bonne réduction définis respectivement sur $M_2[J_6^{-1}]$ avec $J_2 \equiv 0 \pmod{2}$ et $M_2[J_8^{-1}]$ avec $J_2 = J_4 = 0$ modulo 2 (se réduisant sur nos triplets).

Dans le cas des courbes de type (3,1)

Les courbes de type (3,1) sont définies par $(a,b,c,d)$ avec $(a=0 \text{ et } b \neq 0)$ ou $(a \neq 0 \text{ et } b=0)$. On peut alors utiliser le système polynômial suivant pour reléver les coefficients $(\tilde{a}, \tilde{b}, \tilde{c}, \tilde{d})$ correspondant à la forme normale d'une courbe sur $\mathbb{Z}_q$ dont les invariants sont $(\tilde{u}_1, \tilde{u}_2, \tilde{u}_3)$ où $\tilde{u}_1 = 0$ modulo 2:

$$ \left\{ \begin{array}{l} J_4^3 - J_6^2 \tilde{u}_1 = 0 \\ J_8 J_{10} - J_6^3 \tilde{u}_2 = 0 \\ J_{10}^3 - J_6^5 \tilde{u}_3 = 0 \end{array} \right. \qquad (7.2) $$

Comme nous sommes dans un cas où $J_6 \neq 0$ le système 7.2 définit un point lisse de $M_2 \otimes \mathbb{Z}_q$ (d'après [51, Theorem 4]). Cependant modulo 2 le même système est équivalent à:

$$ \left\{ \begin{array}{l} \alpha^6 = \tilde{u}_2 \\ \beta^6 = \tilde{u}_3 \end{array} \right. $$

où $\alpha$ et $\beta$ sont en fonction de $(a,b,c,d)$ par les relations (le chapitre 4 et l'équation (4.8)). On en conclut que le déterminant de la Jacobienne s'annule modulo 2.

Alors sur $\mathbb{Z}_q$ l'intersection des trois surfaces du système 7.2 est non singulière en $(a,b,c,d)$ et elle se ramifie en ce point seulement modulo 2.

Dans le Cas du Type (5)

Ce type dépend seulement de $c$ sur $\mathbb{F}_q$ et sur $\mathbb{Z}_q$ le quadruplet de coefficients $(\tilde{a}, \tilde{b}, \tilde{c}, \tilde{d})$ est solution du système polynômial défini par:

$$ \left\{ \begin{array}{l} J_2^4 - J_8 \tilde{w}_1 = 0 \\ J_6^4 - J_8^3 \tilde{w}_2 = 0 \\ J_{10}^4 - J_8^5 \tilde{w}_3 = 0 \end{array} \right. \qquad (7.3) $$

où on a: $w_1 = w_2 = 0$ modulo 2. Sur $\mathbb{Z}_q$ l'intersection des trois surfaces de 7.3 n'est pas forcement non singulière en $(\tilde{a}, \tilde{b}, \tilde{c}, \tilde{d})$. Mais nous pouvons toutefois choisir parmi les différents relevés un point lisse de $M_2 \otimes \mathbb{Z}_q$ ($\tilde{w}_1$ et $\tilde{w}_2$ non tous nuls) se réduisant sur $(w_1, w_2, w_3)$. Cependant le système se ramifie en ce point modulo 2, on peut toute fois minimiser la valuation du déterminant de la matrice Jacobienne en prenant la plus petite valuation possible pour le produit $\tilde{w}_1\tilde{w}_2$ (valuation 2-adique 1.).

Le même système est équivalent modulo 2 à:

$$ \{ \alpha^4 - \tilde{w} = 0 $$
où $\alpha$ et $\beta$ sont en fonction de $c$ et $d$ avec $a$ et $b$ un fixé et l'autre nul (par les relations le chapitre 4 et l'équation (4.9)). Alors dans des conditions favorables, le déterminant de la Jacobienne du système en $(\tilde{a}, \tilde{b}, \tilde{c}, \tilde{d})$ peut être de valuation 2-adique 1.

**Remarque 7.3.6.** Les systèmes polynômiaux 7.2 et 7.2 sont tous lisses sur $\mathbb{Z}_q$ en les solutions $(\tilde{a}, \tilde{b}, \tilde{c}, \tilde{d})$ pour certains triplets. La meilleure situation étant celle où le déterminant de la Jacobienne de ces systèmes en ces points est de valuation 2-adique très petite (même si elle est supérieure ou égale à 2), alors les méthodes de relèvement détaillées dans le chapitre 6, la section 1.2 et la proposition 1.2.4 calculent plus rapidement le quadruplet $(\tilde{a}, \tilde{b}, \tilde{c}, \tilde{d})$. À remarquer que dans ces deux derniers cas le relèvement n'est pas canonique.

### 7.3.3 Réduction des Points de Weierstrass

On considère que l'on connaît les coefficients relévés $\tilde{a}, \tilde{b}, \tilde{c}$ et $\tilde{d}$ de la courbe $\tilde{\mathcal{C}}$ le relévée canonique de $\mathcal{C}$. Alors l'équation de $\mathcal{C}$ se relève (canoniquement lorsque $J_2 \neq 0 \bmod p$) en :

$$Y^2 + (1 + \tilde{a}X + \tilde{b}X^2)Y = -X^3(\tilde{c} + \tilde{d}X + X^2)$$

Un point $P$ de coordonnées affine $(x_P, y_P) \in \mathbb{Z}_q \times \mathbb{Z}_q$ est un point de Weierstrass de $\tilde{\mathcal{C}}$ si et seulement si pour $H(x) = 1 + \tilde{a}x + \tilde{b}x^2$ et $F(x) = x^3(\tilde{c} + \tilde{d}x + x^2)$, nous avons :

$$2y_P + H(x_P) = 0, \quad \text{et} \quad y_P^2 + H(x_P)y + F(x_P) = 0$$

Alors les cinq points de Weierstrass de $\tilde{\mathcal{C}}$ se réduisent comme suite :

#### Dans le cas du type (1, 1, 1)

Nous avons deux points Weierstrass se réduisant sur $P$ et deux autres se réduisant sur $Q$ tels que $x_P$ et $x_Q$ sont les solutions modulo 2 de l'équation :

$$1 + ax + bx^2 = 0$$

Et le cinquième point se réduise sur le point à l'infini.

#### Dans le cas du type (3, 1)

Ce cas est caractérisé par $(a = 0 \text{ et } b \neq 0)$ ou $(a \neq 0 \text{ et } b = 0)$ et l'on peut remarquer que deux points Weierstrass se réduisent sur un unique point dont l'abscisse est la solution de l'équation $1 + ax = 0$ respectivement $1 + bx^2 = 0$ selon le cas $(a = 0 \text{ et } b \neq 0)$ respectivement $(a \neq 0 \text{ et } b = 0)$. Et les trois autres points se réduisent tous sur le point à l'infini.

#### Dans le cas du type (5)

Dans ce cas tous les points de Weierstrass de $\tilde{\mathcal{C}}$ se réduisent modulo 2 sur le point à l'infini.

### 7.3.4 Réduction de l'Isogénie du Frobenius

Pour l'étude de la réduction de l'isogénie Frobénius, nous considérons celle du calcul des (2, 2)-isogénies par l'algorithme de Richelot [94]. Alors nous allons nous référer aux notations de B.Smith [109], pour caractériser les noyaux des isogénies Frobenius et Verschiebung. Soient $G_1, G_2$ et $G_3$ des polynômes de degré au plus 2 dans $k[x]$ on note par: $[G_2, G_3] =$
$G'_2G_3 - G_2G'_3$ et $\det(G_1, G_2, G_3)$ le déterminant de la matrice dont les coefficients $(ij)$ sont les $j$-ième coefficient de $G_i$.

On note par $\Pi(G_1, G_2, G_3)$ une décomposition (sans facteurs carrés en polynômes de degré 2 au plus) du polynôme $f(x)$ de degré 5 ou 6 du model hyperelliptique $y^2 = f(x)$ d'une courbe de genre 2.

Alors l'opérateur de Richelot $\mathcal{R}$ est défini par :

$$ \mathcal{R}(G_1, G_2, G_3) := (\delta[G_2, G_3], \delta[G_3, G_1], \delta[G_1, G_2]), $$

où

$$ \det(G_1, G_2, G_3) \neq 0 \quad \text{et} \quad \delta = (\det(G_1, G_2, G_3))^{-1}. $$

Soit $(H_1, H_2, H_3) = \mathcal{R}(G_1, G_2, G_3)$ alors :

- $\Pi(H_1, H_2, H_3)$ est un polynôme sans facteurs carrés de degré 5 ou 6.

- $\mathcal{R}(k_1G_1, k_2G_2, k_3G_3) = (k_1^{-1}H_1, k_2^{-1}H_2, k_3^{-1}H_3)$ pour des $k_i$ non nuls sur le corps de base;

- $\mathcal{R}(G_2, G_3, G_1) = (H_2, H_3, H_1)$ et $\mathcal{R}(G_3, G_1, G_2) = (H_3, H_1, H_2)$;

- $\mathcal{R}(H_1, H_2, H_3) = (G_1, G_2, G_3)$.

Lorsque $\det(G_1, G_2, G_3) \neq 0$, nous appelerons cette décomposition: *décomposition quadratique lisse* en considerant que le polynôme de degré 1 (éventuellement) est quadratique avec une racine à l'infini. Ainsi les décompositions quadratiques lisses forment une partition en paires des points de Weierstrass de $C$ c'est-à-dire une caractérisation des $(2,2)$-sous groupes de $(\text{Jac } C)[2]$.

**Lemme 7.3.7.** Soit $C: y^2 = f_C(x)$ une courbe de genre 2. Pour chaque décomposition quadratique lisse $G = (G_1, G_2, G_3)$ de $f_C$, on définit la courbe $C_G$ par l'équation $y^2 = f_{C_G} := \Pi(\mathcal{R}(G))$. Alors les variétés Jacobiennes $\text{Jac } C$ et $\text{Jac } C_G$ sont $(2,2)$-isogènes par l'isogénie de noyau engendré par les diviseurs définis par $G_1(x)$, $G_2(x)$ et $G_3(x)$.

*Démonstration.* En utilisant ensemble la Proposition 8.2.3. et le Théorem 8.4.11. dans [109]. □

**Remarque 7.3.8.** Lorsque $\det(G_1, G_2, G_3) = 0$ on dira que la décomposition quadratique est singulière et dans ce cas la variété Jacobienne $\text{Jac } C$ est $(2,2)$-isogène à un produit de courbes elliptiques.

**Proposition 7.3.9.** (Réduction du Frobenius)

- Dans le cas du type $(1,1,1)$: la courbe de genre 2 conjuguée $\tilde{\mathcal{C}}^\Sigma$ sur $\mathbb{Z}_q$ of $\tilde{\mathcal{C}}$ est définie par l'équation: $y^2 = \Pi\mathcal{R}(G_1, G_2, G_3)$, où : $G_1(u) = (u - x_1)(u - x_2)$ et $G_2(u) = (u - x_3)(u - x_4)$ tels que $x_1 = x_2 \mod 2$ et $x_3 = x_4 \mod 2$ sont les solutions de l'équation : $1 + ax + bx^2 = 0$.

- Le type $(3,1)$ concerne les courbes de p-rang 1, pour ces cas le Frobenius admet 3 relevés.

- Et le type $(5)$ concerne les courbes de p-rang 0, pour ces courbes: toutes les isogénies se réduisent sur le Frobenius.

*Démonstration.* En utilisant la section 7.3 et le lemme 7.3.7 et les propriétés de réduction du noyau des isogénies de la section 7.1.1 nous avons que les décompositions quadratiques lisses $G$ de l'équation de $\tilde{\mathcal{C}}$ correspondant aux calculs du Frobenius sont celles dont les diviseurs se réduisent sur des diviseurs principaux de $\text{Jac } C$.
• Dans le cas du type (1,1,1): Posons $G_1(x) = (x - x_1)(x - x_2)$ et $G_2(x) = (x - x_3)(x - x_4)$ où $x_1 = x_2 \mod 2$ et $x_3 = x_4 \mod 2$ sont les solutions de l'équation : $1 + ax + bx^2 = 0$. Les diviseurs définis sont $\tilde{D}_1 = P_1 + P_2 - 2\infty$ et $\tilde{D}_1 = P_3 + P_4 - 2\infty$ et ceux-ci se réduisent modulo 2 sur les diviseurs principaux $\text{div}(x - x_1)$ et $\text{div}(x - x_3)$. Et le diviseur défini par $G_3$ se réduise sur 0. Alors $\mathcal{R}(G_1, G_2, G_3)$ correspond au calcul du Frobenius par l'algorithme de Richelot.

• Dans le cas du type (3,1): Soit $x_0$ l'unique solution de l'équation $1 + ax = 0$ or $1 + bx^2 = 0$ (selon le cas voir plus haut 7.3.3). On dénote par $\tilde{x}_0$ et $\tilde{x}'_0$ les deux relevés de $x_0$. Alors les décompositions quadratiques lisses correspondant au calcul du Frobenius sont donnés par:

$$G_1(x) = (x - \tilde{x}_0)(x - \tilde{x}'_0), \quad G_2(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \\ \text{et} \quad G_3(x) = (x - \alpha_3)(x - \alpha_4)$$

où les $\alpha_i$ se réduisent tous en l'infini. Le diviseur de $G_1(x)$ se réduit sur $\text{div}(x - x_0)$ et les autres sur 0. L'isogénie associée à G en utilisant l'algorithme de Richelot se réduise sur le Frobenius. D'après les propriétés des correspondances de Richelot, on en déduit 3 relevés pour le Frobenius.

• Dans le cas du type (5): Pour toute décomposition quadratique lisse G de l'équation $\tilde{C}$ le diviseur défini par $G_i(x)$ pour $i \in \{1,2,3\}$ se réduit sur 0. □

**Remarque 7.3.10.** On considère,

$$\Sigma : \text{Jac}\mathcal{C} \to \text{Jac}\mathcal{C}^{\Sigma} \quad \text{et} \quad \hat{\Sigma} : \text{Jac}\mathcal{C}^{\Sigma} \to \text{Jac}\mathcal{C}$$

Lorsque G définit le noyau de l'isogénie du Frobenius $\Sigma$, alors $\mathcal{R}(G)$ définit le noyau de l'isogénie du Verschiebung sur $\hat{\Sigma}$.

En appliquant cette propriété sur $\text{Jac}\mathcal{C}^{\Sigma^{-1}}$, cela permet d'identifier le noyau du Verschiebung $\hat{\Sigma} : \text{Jac}\mathcal{C}^{\Sigma} \to \text{Jac}\mathcal{C}^{\Sigma^{-1}}$ parmi ceux de ses huit-ramifications.

## 7.4 RELÈVEMENT CANONIQUE AVEC L'ESPACE MODULAIRE DE HILBERT

Dans ce chapitre nous détaillons l'utilisation des polynômes modulaires de Hilbert dans le relèvenement canonique de surfaces abéliennnes ayant multiplication réelle par $O_K$ où $K = \mathbb{Q}(\sqrt{D})$ pour $D = 2$ ou 5. Ils paramétrent les isogénies cycliques plutôt que les isogénies de noyaux totalement isotropes maximaux permettant ainsi de réduire le degré d'un endomorphisme.

### 7.4.1 Conditions de Kronecker sur l'Espace de Hilbert

On considère les polynômes modulaires de Hilbert définis à la section 5.2.6 et le chapitre 5 selon le cas classique en fonction des invariants de Gundlach et le cas des invariants en fonction des tirés en arrière des invariants d'Igusa ou des thêtas.

Lorsque $z \in \mathfrak{H}_1^2$, en partant des invariants $(\mathfrak{J}_1(z), \mathfrak{J}_2(z))$ ou de tirés en arrière d'invariants, pour calculer les invariants correspondants des variétés $\beta$-isogènes certaines situations sont similaires à celles des calculs avec de invariants en Siegel 7.1 alors que d'autres situations utilisent des invariants intermédiaires.
## Situations Directes

On considère $q = \ell^n$ et $\ell = \beta\bar{\beta}$ avec $\beta \in \mathcal{O}_K^+$ et $C_\beta$ un système de représentation des classes de $\bar{\Gamma}(2,4)/\bar{\Gamma}(2,4) \cap \bar{\Gamma}^0(\beta)$ respectivement de $\bar{\Gamma}/\bar{\Gamma}^0(\beta)$. Alors:

* Pour $\ell$ est ramifié dans le cas des polynômes avec les invariants de Gundlach.

* Et $D \equiv 1 \mod 4$ dans le cas des polynômes avec les invariants d'Igusa ou des thêtas.

## Polynômes avec des Invariants Intermédiaires

Cette situation regroupe les cas suivants :

* lorsque $\ell$ se décompose pour les polynômes avec les invariants de Gundlach;

* ou lorsque $D \equiv 2,3 \mod 4$ et $\beta = a+b\omega$ avec $b$ pair, pour les polynômes en fonctions des tirés en arrière d'invariants.

Soit $J$ représentant les invariants Gundlach (ou les tirés en arrière d'invariants) correspondant aux situations décrites ci-dessus; et $\Phi_p$ est la matrice colonne dont les coefficients sont les $\beta$-polynômes modulaires.

Le corollaire suivant donne une forme simple des conditions de Kronecker correspondant aux situations décrites.

**Corollaire 7.4.1.** Lorsque $J \notin \mathcal{L}_\ell \cap (\mathbb{F}_p)^2$ (ou $J \notin \mathcal{L}_\beta \cap (\mathbb{F}_p)^3$):

i) $\frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(J, J^\sigma)$ est inversible sur $\mathbb{Z}_q$;

ii) $\frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(J, J^\sigma) \equiv 0 \mod p$.

*Démonstration.* Cela est une conséquence du chapitre 6 et la section 6.2 sur les conditions de Kronecker. Ainsi on peut appliquer la même approche detaillée dans la preuve de la proposition 7.1.1 (les sections 7.1 et 7.2). $\square$

## 7.4.2 Relèvement des Invariants

Dans les premères situations le revlèvement des invariants vérifiant les conditions de Kronecker peut se faire de manière identique à celui des invariants dans le cas de l'espace de Siegel. Alors pour ce qui suit nous résumons les détails du relèvement des invariants paramétrés par les polynômes modulaires cycliques avec des invariants intermédiaires 7.4.1. Soit $J$ le vecteur formé par les invariants (qui peuvent être des invariants de Gundlach ou des tirés en arrière des thêta constantes) spécifiant un point $A$ sur l'Espace de Hilbert sur $\mathbb{F}_q$ avec $q = p^n, n > 1$.

Supposons que, $p$ se décompose sous la forme $p = \beta\bar{\beta}$ et que nous sommes dans le cas où les polynômes modulaires utilisent des invariants intermédiaires définis par l'action de $v$:

$$ \Phi_p(X, J) = \prod_{\gamma \in C_\beta} (X - J_{1,\beta}^\gamma) (X - J_{1,\bar{\beta}}^\gamma) $$

Ainsi $\Phi_p$ la fonction vectorielle formée par les polynômes modulaires $\phi_p, \psi_{k,p}$ vérifie la condition:

$$ \left\{ \begin{array}{l} \Phi_p(J, Y) = 0 \\ \Phi_p(Y, J^\sigma) = 0 \end{array} \right. $$
où $\mathcal{Y}$ représente l'invariant intermédiaire correspondant à l'évaluation du polynôme modulaire au couple $(J, J^\sigma)$.

Alors connaissant $J$ et $J^\sigma$, on peut résoudre le système précédemment en $\mathcal{Y}$ défini sur $\mathbb{F}_q$, et le lemme suivant garanti l'unicité de sa solution.

**Lemme 7.4.2.** Soit $J \notin \mathcal{L}_\beta$ l'invariant définissant un point sur l'espace modulaire de Hilbert tel que une au moins des composantes de $J$ est en dehors de $\mathbb{F}_p$ et $\phi_\beta$ le polynôme minimal de la fonction modulaire associée à cette composante, alors:

* $\frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(J, \mathcal{Y}) \neq 0 \bmod p, \quad \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(\mathcal{Y}, J^\Sigma) \neq 0 \bmod p;$

* Et $\frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(\mathcal{Y}, J^\Sigma) \equiv 0 \bmod p.$

*Démonstration.* • Selon la propriété de réduction des noyaux d'isogénies: le Frobenius admet un unique rélévé $\Sigma$: se réduisant modulo $p$ sur le noyau $\langle 0 \rangle$ alors $\mathcal{Y}$ est unique c'est-à-dire qu'on ne peut avoir qu'une seule isogénie $g$ entre $\mathcal{Y}$ et $J^\Sigma$.

Supposons que l'on ait deux isogénies $f_1$ et $f_2$ entre $J$ et $\mathcal{Y}$, alors l'unicité de $\Sigma$ et de $g$ impliquent que $\mathrm{Im}(f_2 - f_1) \subset \mathrm{ker}(g)$. Comme $\mathrm{ker}(g)$ est un schéma affine fini, on aurait $f_2 - f_1$ constant, par la suite nul. Alors on a $f_1 = f_2$. Comme les deux isogénies respectives (entre $J$ et $\mathcal{Y}$) et (entre $\mathcal{Y}$ et $J^\Sigma$) sont de multiplicité 1 modulo $p$, alors les dérivées partielles:

$$ \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(J, \mathcal{Y}) \quad \text{et} \quad \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(\mathcal{Y}, J^\sigma) $$

ne s'annulent pas modulo $p$ (comme dans le cas $i$) de la section 7.1.1 et la proposition 7.1.1).

* D'un autre côté, comme $J^\Sigma \equiv J^p \bmod p$ la même méthode détaillée en ii) la section 7.1.1 et la proposition 7.1.1, basée sur les multiplicités du Verschiebung dans la réduction modulo $p$ des polynômes $\Phi_p(X, J^p)$, montre que $\frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(\mathcal{Y}, J^\sigma) \equiv 0 \bmod p$. $\square$

Par suite, on suppose que l'on connaît une approximation de $X$ et $T$ respectivement de $J$ et $\mathcal{Y}$ à précision $p^k$, alors on pose $\tilde{J} - X = p^k e$ et $\tilde{\mathcal{Y}} - T = p^k r$ où $e, r \in \mathbb{Z}_q$ sont les erreurs que nous voudrions déterminer en utilisant $\Phi_p$.

Comme $J^\Sigma = X^\Sigma + p^k e^\Sigma$, en utilisant le développement de Taylor de $\Phi(X + p^k e, T + p^k r) = 0$ et $\Phi(T + p^k r, X^\Sigma + p^k e^\Sigma) = 0$ on obtient:

$$ \left\{ \begin{array}{l} 0 = \Phi_p(X, T) + p^k \frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(X, T) \cdot e + p^k \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(X, T) \cdot r + p^{2k}(\cdots) \\ 0 = \Phi_p(T, X^\Sigma) + p^k \frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(T, X^\Sigma) \cdot r + p^k \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(T, X^\Sigma) \cdot e^\Sigma + p^{2k}(\cdots) \end{array} \right. $$

où les facteurs $(\cdots)$ derrière $p^{2k}$ sont dans $\mathbb{Z}_q$.

Alors en divisant toutes les équations du système par $p^k$, on obtient modulo $p^k$:

$$ \left\{ \begin{array}{l} 0 = \frac{\Phi_p(X, T)}{p^k} + \frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(X, T) \cdot e + \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(X, T) \cdot r \\ 0 = \frac{\Phi_p(T, X^\Sigma)}{p^k} + \frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(T, X^\Sigma) \cdot r + \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(T, X^\Sigma) \cdot e^\Sigma \end{array} \right. $$

À partir des conditions de Kronecker (le lemme 7.4.2): $\frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(X, T)$ et $\frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(T, X^\Sigma)$ sont inversibles, alors on a:

$$ r = - \left[ \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(X, T) \right]^{-1} \left( \frac{\Phi_p(X, T)}{p^k} + \frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(X, T) \cdot e \right), $$
Par conséquent la résolution du système se réduit à celle d'une équation "d'Artin-Schreier equation" de la forme:

$$e^{\Sigma} + Ae + B = 0$$

où on a:

$$A = - \left[ \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(T, X^{\Sigma}) \right]^{-1} \cdot \frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(T, X^{\Sigma}) \cdot \left[ \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(X, T) \right]^{-1} \cdot \frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(X, T), \\ B = \left[ \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(T, X^{\Sigma}) \right]^{-1} \left( \frac{\Phi_p(T, X^{\Sigma})}{p^k} - \frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(T, X^{\Sigma}) \cdot \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(X, T)^{-1} \cdot \frac{\Phi_p(X, T)}{p^k} \right).$$

Comme les conditions de Kronecker (le lemme 7.4.2) implique:

$$\frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(T, X^{\Sigma}) \equiv 0 \quad \mod p \quad \text{alors } A \equiv 0 \quad \mod p.$$

Ainsi on obtient l'erreur *e* pour corriger l'approximation *J* (à la précision *p*²ᵏ) en utilisant l'algorithme d'Artin-Schreier dans [35, § 5.3]. Alors nous avons le résultat suivant:

**Théorème 7.4.3.** Lorsque $J \in \mathbb{F}_q$ (les invariants de Gundlach ou les tirés-en-arrière d'invariants thêta) représentant un point $A$ sur l'espace de Hilbert tel que $J$ satisfait les conditions de Kronecker pour les polynômes modulaires de Hilbert. Alors la variante de l'algorithme de Harley (l'algorithme 8) calcule le relélévé $\tilde{J}$ en $O(n^2)$ opérations avec $n = \text{ord}_p q$.

**Entrée:** $J$ des invariants représentant $A$, $Y$ la solution du système sur $\mathbb{F}_q$ et une précision $N$.

**Sortie:** $\tilde{J}$ à la précision $N$.

1. Si $N=1$ **Retourner** $J$ et $Y$ à la précision $p$;

2. Sinon $N' = N/2$;

3. $J = \text{Harley@Hilbert}(J, Y N')$;

$$\text{a. } A = - \left[ \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(T, X^{\Sigma}) \right]^{-1} \cdot \frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(T, X^{\Sigma}) \cdot \left[ \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(X, T) \right]^{-1} \cdot \frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(X, T);$$

$$\text{b. } B = \left[ \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(T, X^{\Sigma}) \right]^{-1} \left( \frac{\Phi_p(T, X^{\Sigma})}{p^k} - \frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(T, X^{\Sigma}) \cdot \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(X, T)^{-1} \cdot \frac{\Phi_p(X, T)}{p^k} \right);$$

$$\text{c. } e = \text{ArtinSchreier}(A, B, N');$$

$$\text{d. } r = - \left[ \frac{\partial \Phi_p}{\partial V}(X, T) \right]^{-1} \left( \frac{\Phi_p(X, T)}{p^k} + \frac{\partial \Phi_p}{\partial U}(X, T) \cdot e \right),$$

$$\text{e. } J = J + p^k e \text{ et } Y = Y + p^k r \text{ à la précision } p^{2k};$$

4. **Returner** $J$ et $Y$;

**Algorithm 8 –** Algorithme de Harley sur l'espace de module de Hilbert.

*Démonstration.* En utilisant les conditions de Kronecker le lemme 7.4.2 et la méthode de résolution "d'Artin-Schreier" équation détaillée dans le chapitre 2 et la section 2.5.1, alors la méthode détaillée dans cette section permet de récouvrir (avec la même complexité $O(n^2)$ que la méthode d'Artin-Schreier) l'erreur correcte pour toute précision à partir de $J \in \mathbb{F}_q$. $\square$

### 7.4.3 Exemples de Relèvement avec les Polynômes de Hilbert

Dans ces exemples de calculs de relèvements des invariants thêta nous utilisons des polynômes déjà calculés par E.Milio dans sa thèse de doctorat [78, 79].
Relèvement des Invariants Thêta pour $Q(\sqrt{2})$ en Caractéristique 5

Dans ce cas le morphisme du 5-ième Frobenius est inerte sur $Q(\sqrt{2})$.

On considère le corps $\mathbb{F}_5[X]/m$ où: $m = X^7 + 3X + 3$ et $b_2 = X$, $b_3 = 3$ et $b_1 = 3X^2 + 2$ les invariants de thêta d'une surface abélienne $\mathcal{A}$ sur $\mathbb{F}_5[X]/m$.

On pose $J = [b_2, b_3]$ que nous voulons reléver sur $\mathbb{Z}_q$ avec $q = 5^7$ car on a $b_1 = (b_2 + b_3^2)/2$. À une précision de $5^{16}$, on obtient comme polynôme de Teichmuller:

$$M = X^7 + 26941848975X^6 + 2901765225X^5 + 136053272250X^4 \\ + 78296802910X^3 + 119068596420X^2 + 117632782643X \\ + 49925501068;$$

Alors l'algorithme 7 dans les sections 7.1 et 7.2 nous donne:

$$ \begin{aligned} \tilde{J} = & [138519127940X^6 + 82646512005X^5 + 66125929130X^4 \\ & + 13577818665X^3 + 100249545506X^2 + 112840384440X \\ & + 14980687290, 98963138605X^6 + 21368067695X^5 \\ & + 52557804060X^4 + 151876542585X^3 + 135343131255X^2 \\ & + 81220969846X + 12795578393]. \end{aligned} $$
Relèvement des Invariants Thêta pour $Q(\sqrt{2})$ en Caractéristique 7

Dans ce cas le morphisme du 7-ième Frobenius se décompose sur $Q(\sqrt{2})$.
On considère le corps $\mathbb{F}_7[X]/m$ où $m = X^{10} + X^6 + X^5 + 4X^4 + X^3 + 2X^2 + 3X + 3$ avec $J$ le vecteur des invariants thêta $b_1$ et $b_2$ de la surface abélienne $\mathcal{A}$ que nous voulons reléver sur $\mathbb{Z}_{7^{10}}$.

$$J = [X^9 + 6X^8 + 2X^7 + 3X^6 + 4X^5 + 6X^2 + X + 6, \\ X^9 + 6X^8 + 3X^7 + 6X^6 + 5X^5 + 5X^4 + 3X^3 + 4X^2 + X + 3]$$

À partir du polynôme cyclique on calcule sur $\mathbb{F}_{7^{10}}$ les invariants thêta intermédiaires. Sachant que c'est une solution $J_{int}$ du système

$$\begin{cases} \Phi_p(J, Y) = 0, \\ \Phi_p(Y, J^7) = 0. \end{cases}$$

n'appartenant pas à l'ensemble $\mathcal{L}_\ell \cap (\mathbb{F}_7)^2$.

$$J_{int} = [6X^9 + 2X^8 + 2X^7 + 5X^6 + 5X^4 + 4X^3 + 6X^2 + X + 3, \\ 4X^9 + 2X^8 + 2X^7 + 5X^6 + 6X^4 + 5X^2 + 6X].$$

$$M = X^{10} + 389747593107578334251496972X^9 + 180939175172265627977707274X^8 + 820639109166877804289290966X^7 + 131887355846932099924702249X^6 + 121266091566247143956159224X^5 + 461264446170929852035132727X^4 + 601063599941632172000280143X^3 + 359625048065291962433680566X^2 + 89255509728460926330906618X + 870862203657907303192001683;$$

Alors l'algorithme 8 dans la section 7.4.2 et la section 7.4 nous donne:

$$\begin{aligned} \tilde{J} = & [12974108350541835741613951X^9 + 736285665317500307261954120X^8 + 252704946594161462853025058X^7 + 344881913903677978390848512X^6 + 440061182663717000160228556X^5 + 546567818309614051963074062X^4 + 759971315137437890804466261X^3 + 395505353352671247298116146X^2 + 893378103178005334695930377X + 910636861101123617203813454, \\ & 784623245580678440883298857X^9 + 1008087072223601571352745747X^8 + 234947087489147532452529460X^7 + 432888814352820281132739362X^6 + 567604469139263798493214213X^5 + 628919076485468412446677362X^4 + 350269558955349671468018737X^3 + 770808683780643181938377831X^2 + 274337567861932071403143462X + 957385751029172560819264250]. \end{aligned}$$

exemple 7.3 – Relèvement des Invariants Thêta pour $Q(\sqrt{2})$ en Caractéristique 7.
Dans ce chapitre, nous utilisons le calcul de relevé canonique d'une part pour relever des formes modulaires et d'autre part pour calculer le polynôme caractéristique d'une courbe de genre 2 (comme une extension en genre 2, de la méthode de Satoh). Ces nouveaux algorithmes fournissent des complexités très pratiques; les idées et certains exemples sont repris des papiers ([70, 71]).

## 8.1 RELÈVEMENT DE FORMES MODULAIRES

Dans cette section, nous allons nous intéresser dans un premier temps aux méthodes de calcul de formes modulaires vectorielles pour les courbes de genre 2 définie sur $\mathbb{F}_q$ (sur les relevés canoniques). Et en deuxième temps l'opération inverse aussi est abordée à savoir les méthodes de calculs de covariants fractionnaires associés aux rélévées canoniques des courbes de genre 2. Et très rapidement on se rend compte que les deux opérations sont associées aux calculs des équations de relevés canoniques sur $\mathbb{Z}_q$.

Lorsqu'on part d'une courbe $\mathcal{C} : f(x, y) = 0$ de genre 2, l'équation $\tilde{f}(x, y) = 0$ du relevé canonique $\tilde{\mathcal{C}}$ dont nous avons besoin, doit nécessairement vérifier:

$$ \tilde{f}(x, y) = f(x, y) \quad \mod p. $$

Dans le chapitre 4 et la section 4.6 nous avons vu que l'action de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ a une représentation scalaire $\det^k$ sur $V = \mathbb{C}$ et une représentation irréductible correspondant à $\det^k \mathrm{Sym}^n$ pour tous $k$ et $n \in \mathbb{N}$. Ainsi $\det^k$ désigne le poids des formes modulaires scalaires de Siegel. Par exemple les formes modulaires de Siegel $\psi_4, \psi_6, \psi_{10}$ et $\psi_{12}$ de poids respectives $\det^k$ avec $k = 4, 6, 10, 12$ engendrent l'anneau gradué des formes modulaires scalaires de poids paires en dimension 2.

Le relèvement des covariants fractionnaires associés à une courbe de genre 2 fournirait des représentations très pratiques: par exemple à partir des triplets définis dans le chapitre 4, la section 4.3 et le théorème 4.3.2 on pourrait travailler sur certaines classes d'isomorphismes comme celles parcourant la composantes $\mathfrak{A}_2$ définies par $\psi_4 = 0$.

Lorsque $f$ est une forme modulaire, $\mathrm{Cot}(f)$ est un covariant polynomial selon le principe de Koecher. Réciproquement, si $F$ est un covariant fractionnaire, la fonction $f : \Omega \mapsto F(\mathcal{C}(\Omega))$ est une forme modulaire de Siegel méromorphe du même poids associé à $F$.

Ces deux fonctions sont définies dans le chapitre 4 et la section 4.6 pour plus de détails sur leurs propriétés se référer à [98]. Et d'autre part la fonction cot s'étend aux fonctions modulaires de Hilbert.

Lorsque $\mathcal{A}$ représente la variété Jacobienne munie d'un plongement $\mu : \mathcal{O}_{\mathbb{K}} \hookrightarrow \mathrm{End}^s(\mathcal{A})$ et $\omega$ une base des différentielles sur $\mathcal{A}$. Soient $\eta : \mathcal{A} \to \mathcal{A}(t)$ pour $t \in \mathfrak{H}_1^2$ un isomorphisme et $m \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ une matrice de changement de base telle que: $\omega = m\eta^*\omega(t)$. Lorsque le triplet $(\mathcal{A}, \mu, \omega)$ est normalisé (c'est-à-dire $m$ est diagonale), pour toute fonction modulaire de Hilbert de poids $(k_1, k_2)$ c'est-à-dire toute fonction méromorphique $f : \mathfrak{H}_2 \to \mathbb{C}$ vérifiant:

$$ f(\gamma z) = (cz_1 + d)^{k_1}(\bar{c}z_2 + \bar{d})^{k_2}f(z), \quad \forall \gamma \in \mathrm{SL}_2(\mathcal{O}_{\mathbb{K}} \otimes \partial_{\mathbb{K}}) \text{ et } z \in \mathfrak{H}_1^2; $$
la quantité $f(\mathcal{A}, \mu, \omega)$ est donné par:

$$f(\mathcal{A}, \mu, \omega) := m_1^{-k_1} m_2^{-k_2} f(t) \quad \text{où} \quad m = \operatorname{diag}(m_1, m_2).$$

Alors $f(\mathcal{A}, \omega)$ est bien-défini lorsque $(\mathcal{A}, \omega)$ a ses endomorphismes réels diagonals c'est-à-dire lorsque pour tout $\alpha \in \operatorname{End}^s(\mathcal{A})$, $\alpha^*$ est diagonal dans la base $\omega$. Par conséquent, sur un autre corps $\mathbb{F}$, pour identifier une courbe Hilbert-normalisée on fixe un morphisme : $\mathcal{O}_{\mathbb{K}} \to \mathbb{F}$ (c'est-à-dire on fixe dans $\mathbb{F}$ une valeur de $\sqrt{\Delta}$), alors on pourra utiliser les mêmes caractérisations que $f(\mathcal{A}, \omega)$ données dans le chapitre 4 et la section 4.6. Ainsi la quantité $f(\mathcal{A}, \mu, \omega)$ est bien-définie sur $\mathbb{F}$.

**Exemple 8.1.1.** Reconstitution de l'équation de $\tilde{C}$ à partir de l'Espace de Siegel.

**En caractéristique $p \le 5$ :** Dans ces différents cas, l'algorithmes de J.F.Mestre a une mauvaise réduction modulo $p$ (par exemple la réduite de la conique définie dans l'algorithmes n'est pas définie modulo $p$). Ainsi dans la section 7.1 et la section 7.3.2, on utilise un système polynomial avec des invariants définis dans le chapitre 4, la section 4.3 et le théorème 4.3.2 pour calculer les équations d'une forme normale du rélévé canonique d'une courbe ordinaire de genre 2. Nous pouvons étendre cette méthode sur les autres composantes de $M_2 \otimes \mathbb{K}$ (définies dans le chapitre 4, la section 4.3 et le théorème 4.3.2) pour les caractéristiques 3 et 5.

Par exemple lorsque l'on travaille sur la composante $M_2[J_4^{-1}]$ de $M_2$ en caractéristique 3, on peut exprimer les invariants $(\mathfrak{d}_1, \mathfrak{d}_2, \mathfrak{d}_3)$ en fonction des coefficients $a, b, c$, et $d$ de la forme normale de la courbe $C$ associée. On peut alors écrire : $y^2 + (1+ax+bx^2)y = -x^3(c+dx+x^2)$ un modèle hyperelliptique de $C$. Les coefficients $\tilde{a}, \tilde{b}, \tilde{c}$ et $\tilde{d}$ de la forme normale du rélévé $\tilde{C}$ se réduisant sur $C$ satisfont le système d'équations en les variables $a, b, c$ et $d$ :

$$\left\{ \begin{array}{l} J_2^2 - J_4 \tilde{\mathfrak{d}}_1 = 0, \\ J_6^2 - J_4^3 \tilde{\mathfrak{d}}_2 = 0, \\ J_{10}^2 - J_4^5 \tilde{\mathfrak{d}}_3 = 0 \end{array} \right.$$

où le triplet $(\tilde{\mathfrak{d}}_1, \tilde{\mathfrak{d}}_2, \tilde{\mathfrak{d}}_3)$ est le relevé du triplet $(\mathfrak{d}_1, \mathfrak{d}_2, \mathfrak{d}_3)$ définissant la courbe $C$ que l'on calcule rapidement avec la méthode de la section 7.1 et la section 7.3.2 lorsque $(\mathfrak{d}_1, \mathfrak{d}_2, \mathfrak{d}_3)$ satisfait les conditions de Kronecker.

**En caractéristique $p > 5$ :** Dans ce cas la conique de Mestre a une bonne réduction. On peut relever le model hyperelliptique $y^2 = f(x)$ d'une courbe $C$ de genre 2 connaissant les invariants du relevé canonique $\tilde{C}$ comme suit:

* On construit d'abord la cubique $M$ et la conique $\mathcal{L}$ correspondant à $C$ sur $\mathbb{Z}_q$ en utilisant $\tilde{J}$.

* Comme $M$ et $\mathcal{L}$ ont une bonne réduction, nous pouvons extraire modulo $p$ un point de paramétrage $P$ sur $M$ mod $p$ correspondant à la construction de l'équation $y^2 = f(x)$.

* Alors on calcule le rélévé $\tilde{P}$ de $P$ en utilisation $M$ et par la méthode de Mestre on réconstitue l'équation $y^2 = \tilde{f}(x)$ de la courbe $\tilde{C}$.

## 8.2 CALCUL DU POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE

L'une des applications les plus répandues du relèvement canonique est bien le calcul des valeurs propres du morphisme de Frobenius pour ensuite retrouver son polynôme caractéristique $\chi \in \mathbb{Z}[t]$ (ou sa fonction zêta) pour une courbe hyperelliptique de genre $g$.
LES CONJONCTURES DE WEIL

Soit $\mathcal{C}$ une courbe algébrique projective lisse de genre $g$ définie sur $\mathbb{F}_q$ avec $q = p^n$. On appelle fonction Zêta de $\mathcal{C}$ sur $\mathbb{F}_q$ la fonction définie par

$$Z(t) = \exp \left( \sum_{k \ge 1} N_k \cdot \frac{t^k}{k} \right)$$

où $N_k$ désigne le cardinal de $\mathcal{C}(\mathbb{F}_{q^k})$.

Alors nous avons les résultats suivants connu auparavant sous le nom de *Conjectures de Weil*:

* $Z(t)$ est une fraction rationnelle et plus précisement

$$Z(t) = \frac{L(t)}{(1-t)(1-qt)}$$

où $L(t) = a_0 + a_1 t + \dots + a_{2g} t^{2g}$ est un polynôme dont les coefficients sont des entiers vérifiants

$$a_0 = 1, \quad a_{2g} = q^g \quad \text{et} \quad a_{2g-i} = q^{g-1}a_i \quad \text{pour } 0 \le i \le g.$$

* Lorsque l'on considère $L(t) = \prod_{i=1}^{2g} (1 - \alpha_i t)$, l'hypothèse de Riemann implique $|\alpha_i| = \sqrt{q}$ ce qui donne pour les coefficients de $L(t)$, la borne

$$|a_i| \le \binom{2g}{i} q^{i/2}$$

En organisant les racines de la manière $\alpha_i\alpha_{i+g} = q$ pour $i = 0, \dots, g$ on a:

$$\log Z(t) = \sum_{i=1}^{2g} \log (1 - \alpha_i t) - \log (1 - t) - \log (1 - qt)$$

Comme $\log (1 - st) = - \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(st)^k}{k}$, on peut conclure que

$$N_k = q^k + 1 - \sum_{i=1}^{2g} \alpha_i^k \quad \text{pour } k \in \mathbb{N}^*.$$

Une preuve de la rationnalité de $Z(t)$ dans le cas générale a été proposée par Dwork [29]. Celle de l'hypothèse de Riemann est l'œuvre de Deligne [23].

On notera aussi le Frobenius sur Jac C par $\pi_q$ et un point $P$ de Jac C est $\mathbb{F}_q$-rationnel si et seulement si $\pi_q(P) = P$ c'est-à-dire :

$$\mathrm{Ker} (\pi_q - \mathrm{id}) = \mathrm{Jac} \, \mathcal{C}(\mathbb{F}_q)$$

L'application $(\pi_q - \mathrm{id})$ étant séparable cela implique que

$$| \mathrm{Jac} \, \mathcal{C}(\mathbb{F}_q) | = \mathrm{deg} (\pi_q - \mathrm{id})$$

On montre aussi que: $|\mathrm{Jac} \, \mathcal{C}(\mathbb{F}_q)| = \chi(1)$ et que $L(t) = t^{2g}\chi(1/t)$.

Et pour le cas du genre 1 la connaissance de $\chi(1)$ est équivalente à celle de $Z(t)$.

Le calcul de la fonction Zêta $Z(t)$ d'une courbe $\mathcal{C}$ contient d'importantes propriétés géométriques sur $\mathcal{C}$ et Jac $\mathcal{C}$.

Lorsque $L(t) = c_0 + \dots + c_{2g} t^{2g}$ le p-rang de Jac $\mathcal{C}$ est égal au plus grand $i$ pour lequel $c_i$
est non nul modulo $p$ [111]. Et Jac C est isogène sur $\overline{\mathbb{F}}_q$ à un produit de courbes elliptiques supersingulières si et seulement si $p^{nk/2}$ divise $c_k$ pour tout $1 \le k \le g$ avec $q = p^n$ [112]. D'autre part le calcul du polynôme caractéristique $\chi$ (ou de $\chi(1)$) intervient en théorie des codes correcteurs d'erreurs, pour un genre fixé il indique la qualité du code crée à partir de celle-ci. En cryptographie, l'ordre du groupe des points de la jacobienne est un paramètre de sécurité. Ces calculs constituent aussi des outils essentiels pour bon nombres de mathématiciens.

Il existe deux classes de méthodes qui déterminent rapidement la fonction $Z(t)$ ou le polynôme caractéristique $\chi(t)$.

* Les premiers constituent la classes des méthodes $\ell$-adiques initiées par R.Schoof [102] sur les courbes elliptiques. Il fut ensuite étendu aux variétés abéliennes d'une part par Pila [91], Adleman et Huang [1] et d'autre part par B. Edixhoven [31] tout en gardant la même approche.

On considère que $\mathcal{A}$ est une variété abélienne de dimension $g$ sur $\mathbb{F}_q$ de polynôme caractéristique de l'endomorphisme du Frobenius $\chi(t)$.

Pour tout premier $\ell \neq p$ le groupe de $\mathcal{A}[\ell]$ torsion étant un $\mathbb{F}_\ell$-espace vectoriel de dimension $2g$ sur lequel $\pi_q$ agit de manière $\mathbb{F}_\ell$-linéaire, le polynôme caractéristique de cet endomorphisme est $\chi \mod \ell$.

Alors ces algorithmes consistent à :

- Calculer $\chi \mod \ell$ en utilisant l'action de $\mathcal{A}[\ell]$.

- On répète cette opération pour différents $\ell$ en considerant les bornes des coefficients de $\chi(t)$.

- Reconstruire $\chi(t)$ en utilisant le théorème des restes chinois.

Les différences entre l'algorithme de Schoof et ses améliorations résident surtout dans leur manière de calculer $\chi \mod \ell$. Et pour les courbes elliptiques les plus rapides de ces algorithmes (comme les améliorations de SEA [5, 32]) peuvent calculer $\chi \mod \ell$ en $\tilde{O}((\ell + \log q)\ell \log q)$ pour une évaluation de $\chi$ en $\tilde{O}((\log q)^4)$.

L'une des difficultés associée à la généralisation des méthodes $\ell$-adiques au genre supérieur vient de la difficulté à manipuler $\mathcal{A}[\ell]$ même s'il existe souvent des possibilités à travailler que dans un sous-espace de dimension inférieure. En effet, $\mathcal{A}[\ell]$ contient $\ell^{2g}$ points ce qui revient à considérer un objet de taille $\ell^{2g} \log q$. Et aussi le calcul effectif de l'image par $\sigma_q$ des points de $\mathcal{A}[\ell]$ qui se fait en $O(\ell^{2g}(\log q)^2)$ opérations. Alors l'algorithme schématique de Schoof pourrait au mieux tourner avec une complexité de $\tilde{O}(g^{1+2g}(\log q)^{2g+3})$ (voir [35]). Cependent en pratique l'algorithme de Schoof en genre 2 n'est pas aussi performant que l'on pourrait l'espérer à cause du coût de la caractérisation de l'ideal $I_\ell$ de $\mathcal{A}[\ell]$ [38]. Ainsi les meilleures implantations ont des complexités totales d'environ $\tilde{O}(\log q^8)$.

* L'autre classe d'algorithmes regroupent ceux utilisant les méthodes dites *p-adiques* qui débutèrent avec l'utilisation par T. Satoh [99] du relèvement canonique pour évaluer la trace du Frobenius d'une courbe elliptique ordinaire. Cette approche fut améliorer par bon nombre d'auteurs selon les manières de calcul du relévé de la courbe ou de l'évaluation de l'action l'endomorphisme du Frobenius $\pi_q$ (voir dans le chapitre 2 et la section 2.6.1). Toujours sur les courbes elliptiques ordinaires, lorsque la caractéristique est 2 et en considérant que le relevé canonique admet $y^2 = x(x - a^2)(x - b^2)$ équation sur $\mathbb{Z}_q$, alors nous avons une courbe 2-isogène d'équation $y^2 = x(x - a'^2)(x - b'^2)$ avec $a' = \frac{a+b}{2}$ et $b' = \sqrt{ab}$. Cette construction par la *moyenne arithmétique-géométrique* permet de calculer une suite de courbes reliées par le
Frobenius tout en gagnant de précisions à chaque étape.

Cette méthode dite de l'AGM introduite J-F. Mestre bien qu'étant schématiquement différente de l'approche de Satoh (n'utilisant pas de polynômes modulaires), est bien la première méthode à connaître une généralisation en dimension supérieure.

Mestre utilisa les relations entre l'AGM et les formules de duplication de Riemann pour les fonctions Thêta analytiques [73]. Une meilleure amélioration de cette approche est donnée par R. Carlz et D. Lubicz dans [13] en utilisant les invariants artithmétiques des relévés canoniques à partir d'un système de coordonnés produit par les thêta nuls points associés à une variété abélienne munie de thêta structure de niveau $2^νp$ pour $p > 2$. En partant des formules de Thomae et des relations de Riemann on peut évaluer l'action du relévé $\Sigma$ du Frobenius $\sigma$ sur le tore formel de Serre-Tate [13]. L'algorithme de Carlz et Lubicz a une complexité asymptotique en temps de $O(n^{2+o(1)})$ et en espace de $O(n^2)$. On peut souligner que cette méthode nécessite de prendre des extensions et que l'utilisations des mêmes formules en fonction de $p$ devient rapidement très pénible.

Une autre méthode $p$ basée sur le calcul de l'action du relévé de l'endomorphisme du Frobenius sur le groupe de cohomologie de Monsky-Washnitzer a été développée par Kedlaya et autres [57, 116].

Soit $\mathcal{C} : f(x, y) = 0$ une courbe hyperelliptique de genre $g$ sur $\mathbb{F}_q$. La particularité de l'algorithme de Kedlaya est que le relèvement utilisé est quelconque et on prend la complétion faible ("dague") du relevé par les séries convergentes $A^\dagger = \mathcal{Q}_q\langle\langle x, y \rangle\rangle / \tilde{f}(x, y)$ pour définir le relevé $\Sigma$ du Frobenius. Les seuls groupes de cohomologie de Monsky-Washnitzer associée à $A^\dagger$ sont $H^0(A^\dagger)$ et $H^1(A^\dagger)$. Alors en utilisant le théorème du point fixe de Lefschetz $H^0(A^\dagger)$ et $H^1(A^\dagger)$ on a:

$$ \#\mathcal{C}/\mathbb{F}_q = \mathrm{Tr} \left( (q\Sigma_*^{-1})^k |H^0(A^\dagger)\right) - \mathrm{Tr} \left( (q\Sigma_*^{-1})^k |H^1(A^\dagger)\right) $$

où $\Sigma_*$ est l'action induite par $\Sigma$ sur l'espace cohomologique.

L'algorithme de Kedlaya [57] reconstitue la fonction Zêta de $\mathcal{C}$ avec une complexité en temps de $O(g^{4+\epsilon}n^{3+\epsilon})$ et en espace de $O(g^{4+\epsilon}n^{3+\epsilon})$. Les améliorations par des auteurs comme Vercauteren qui proposa un model en caractéristique 2 [25] et Harvey [46] n'ont pas réduit la complexité en $n$.

Nous proposons dans ce chapitre des algorithmes de calcul du polynôme caractéristique basés sur le relèvement canonique de la variété Jacobienne.

Pour ce qui suit nous partirons des conditions de Kronecker sur les systèmes d'invariants pour calculer le relèvé et selon les approches de calculs d'isogénie on déduit des algorithmes efficaces de calcul des valeurs propres du Frobenius.

### 8.2.1 En Utilisant le Relèvement de la p-Torsion

Par l'action galoisienne de $\Sigma$, il est facile de voir que la matrice changement de base entre la base différentielle canonique de $\tilde{\mathcal{C}}^{\Sigma^n}$ et $\tilde{\mathcal{C}}^{\Sigma^{n+1}}$ est donné par $\Sigma^{-n}M$. Donc si on considère $\Sigma_q$ le relevé du grand Verschiebung $\sigma_q$, le dual du Frobenius $\sigma_q$, on obtient que la matrice du grand Verschiebung agissant sur les différentielles de $\tilde{\mathcal{C}}$ est $M_q = N_{\mathcal{Q}_q/\mathcal{Q}_p}(M)$. Cette matrice est diagonale, avec pour valeurs propres $\lambda_1, \lambda_2$, les racines inversibles du polynôme caractéristique $\chi_\pi$. Les deux autres racines sont $q/\lambda_1, q/\lambda_2$.
Alternativement, plutôt que de calculer directement $M$, nous utilisons le schéma de l'algorithme de Satoh dans la section 2.6.1 et le chapitre 2 qui consiste à relevé canoniquement la variété abélienne et sa $p$-torsion.

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

Ensuite par un calcul d'isogénie déduire l'action de l'isogénie Frobenius $\Sigma$. Nous pouvons calculer $I_k(\tilde{\mathcal{C}}^{\Sigma}) / I_k(\tilde{\mathcal{C}}^v)$ pour obtenir det $M^k$ où $I_k$ est n'importe quel covariant de degré $k$.

### Calcul d'Isogénies: Approche de Vélu

Soit $f$ une isogénie de degré $\ell$ entre les variétés abéliennes $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ de dimension $g$. Soit $K$ un sous-groupe isotropique maximal de la $\ell$-torsion $\mathcal{A}[\ell]$ et $Z(n)$ désigne $Z^g/nZ^g$.

$$f: \mathcal{A} = \mathbb{C}^g / (\Omega Z^g + Z^g) \longrightarrow \mathcal{B} = \mathbb{C}^g / (\ell \Omega Z^g + Z^g) \\ z \longmapsto \ell.z$$

On peut toujours choisir une base symplectique de $\mathcal{A}$ pour laquelle $K$ est isomorphe à $\frac{1}{\ell}Z^g/Z^g$. Dans ce cas lorsque $\Omega \in \mathfrak{H}_g$ est la matrice de période de $\mathcal{A}$ on peut calculer $K$ à partir des thêta constantes

$$\theta_b^A := \Theta \left[ \frac{0}{\frac{b}{n}} \right] \left( \cdot, \frac{\Omega}{n} \right) \quad \text{et} \quad \theta_b^B := \Theta \left[ \frac{0}{\frac{b}{n}} \right] \left( \cdot, \frac{\ell \Omega}{n} \right)$$

et un point générique de $\mathcal{A}$. On pourra consulter [19] pour plus de détails sur ce calcul. Nous considérons le cas où l'on part de la connaissance de $\mathcal{A}$ et d'une base de $K$ et nous voulons déterminer les thêta constantes de la surface abélienne $\mathcal{B} = \mathcal{A}/K$.

On note par $(\tilde{e}_1, \dots, \tilde{e}_g)$ la base canonique de $\frac{1}{\ell}Z^g$ se réduisant sur la base de coordonnées $(e_1, \dots, e_g)$ de $K$.

Alors le théorème suivant détermine les thêta constantes de $\mathcal{B}$ à partir $(\theta_k^A(\tilde{e}_i))_{k \in Z(n)}$ avec des facteurs projectifs inconnus près $\lambda_i$ pour $i = 1, \dots, g$.

**Théorème 8.2.1.** Soit $F$ une matrice de rang $r$ telle que $^tFF = \ell.Id_r$. Soit $X \in (\mathbb{C}^g)^r$ et $Y = \ell.XF^{-1}$. Soit $i \in (Z(n))^r$ et $j = iF^{-1}$. Alors nous avons :

$$\theta_{i_1}^{\mathcal{B}}(Y_1) \cdots \theta_{i_r}^{\mathcal{B}}(Y_r) = \sum_{\substack{t_1, \cdots, t_r \in \frac{1}{\ell}Z^g/Z^g \\ (t_1, \cdots, t_r)F = 0}} \theta_{j_1}^{\mathcal{A}}(X_1 + t_1) \cdots \theta_{j_r}^{\mathcal{A}}(X_r + t_r) \quad (8.1)$$

De plus, pour $k \in Z(n)$ et $j = (k, 0 \cdots 0)F^{-1}$ :

$$\theta_k^B(0)\theta_0^B(0)\cdots\theta_0^B(0) = \sum_{\substack{t_1, \cdots, t_r \in \frac{1}{\ell}Z^g/Z^g \\ (t_1, \cdots, t_r)F = 0}} \theta_{j_1}^A(t_1) \cdots \theta_{j_r}^A(t_r) \quad (8.2)$$
Démonstration. Aller à [19].

Dans le cas où $\theta_0^B(0) = 0$, on utilise la première équation avec $i_2 = \cdots = i_r$ correspondant aux coordonnées non nulles. Alors on aura les monômes de la somme avec des facteurs projectifs inconnus. D'après le [19, Lemme 4.2.] les monômes

$$ \theta_{j_1}^A(t_1) \cdots \theta_{j_r}^A(t_r) $$

sont invariants sous l'action des transformations $T$ de $\mathbb{C}[\lambda_i, \lambda_{i,j}]$ agissant sur les générateurs par une racine $\ell$-ième de l'unité. Par suite, on montre que ces monômes dépendent uniquement des $\lambda_i^\ell$, $\lambda_{i,j}^\ell$ qui sont connus. Les $(\theta_k^B(0))_{k \in Z(n)}$ sont donc déterminés projectivement en prenant une racine $\ell$-ième des $\lambda_i^\ell$, $\lambda_{i,j}^\ell$ avant d'appliquer l'équation 8.2.

Dans le cas où $\ell = a^2 + b^2$, on peut prendre $F = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$ et $r = 2$.

Cependant on peut toujours mettre $\ell$ sous la forme

$$ \ell = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 $$

et ainsi prendre la matrice de multiplication par $a + b_i + c_j + d_k$ dans une algèbre de quaternions sur $\mathbb{R}$, avec $r = 4$.

**Entrée:** Une surface abélienne $\mathcal{A}$ et la base $\{e_1, e_2\}$ en coordonnées thêta du sous-groupe isotropique maximal $K \subset \mathcal{A}[\ell]$.

**Sortie:** Les thêta constantes de surface abélienne $\mathcal{B} = \mathcal{A}/K$.

1. Prendre une matrice $F$ sur $\mathbb{Z}$ de rang $r$ telle que $^tFF = \ell \operatorname{Id}$;

2. Calculer $e_1 + e_2$ dans $\mathcal{A}$;

3. Écrire $\tilde{e}_1, \tilde{e}_2$ et $\tilde{e}_1 + \tilde{e}_2$ en coordonnées thêta avec des facteurs projectifs inconnus $\lambda_1, \lambda_2$ et $\lambda_{1,2}$ utilisés comme indeterminés.

4. En utilisant l'addition différentielle calculer les coordonnées affines de tous les points de $K$ dans $\mathbb{C}[\lambda_1, \lambda_2, \lambda_{1,2}]$.

5. À partir des coordonnées affines de $\frac{\ell-1}{2}\tilde{e}_1$ et $\frac{\ell}{2}\tilde{e}_2$, reconstituer les relations $\lambda_1^\ell = \alpha_1, \lambda_2^\ell = \alpha_2$ et $\lambda_{1,2}^\ell = \alpha_{1,2}$.

6. Pour $k \in \mathbb{Z}(n)$ et $j = (k, 0, \dots, 0)F^{-1}$ et calculer dans $\mathbb{C}[\lambda_1, \lambda_2, \lambda_{1,2}]/\{\lambda_1^\ell = \alpha_1, \lambda_2^\ell = \alpha_2, \lambda_{1,2}^\ell = \alpha_{1,2}\}$

$$ \theta_k^B(0)\theta_0^B(0)\cdots\theta_0^B(0) = \sum_{\substack{t_1, \cdots, t_r \in \frac{1}{\ell}\mathbb{Z}^g/\mathbb{Z}^g \\ (t_1, \cdots, t_r)F = 0}} \theta_{j_1}^A(t_1) \cdots \theta_{j_r}^A(t_r) $$

**Algorithm 9 –** Algorithme de Vélu en coordonnée thêta

Lorsque l'on part d'une courbe de genre 2 et un sous-groupe isotropique maximal de Jac$(\mathcal{C})[\ell]$. Des conversions entre coordonnées Mumford et Thêta au niveau des éléments de base de $K$ suivies d'une application de l'algorithme 9 permettent d'aboutir à une courbe $\mathcal{C}'$ dont la variété Jacobienne est $\mathrm{Jac}(\mathcal{C})/K$.

**Exemple 8.2.2.** (Cas $g = 2$) À partir des entrées $\{e_1, e_2\}$ une base en coordonnées thêta d'un sous-groupe isotropique maximal $K \subset \mathcal{A}[\ell]$, l'algorithme 9 retourne $\theta_k^B(0) \times C_0$, où
$C_0 = \theta_0^B(0)$ si $\ell \equiv 1 \mod 4$ et $C_0 = \theta_0^B(0)^3$ si $\ell \equiv 3 \mod 4$.

Notons ce résultat par $(a, b, c, d)$ alors nous avons:

— Pour $\ell \equiv 3 \mod 4$ :

$$a = \theta_0^B(0) \cdot C_0, \dots, d = \theta_3^B(0) \cdot C_0$$

où $a = \theta_k^B(0)^4$ c'est-à-dire $C_0 = \theta_k^B(0)^3$. À partir des formules la section 3.3.1.3 et la section 3.3 on a $h'_4$ avec un facteur $C_0^8$ et Comme $C_0^8 = a^6$, on en déduit $h_4 = h'_4/a^6$ et en utilisant la même méthode $h_{10} = h'_{10}/a^{15}$.

— Pour le cas $\ell \equiv 3 \mod 4$ on a:

$$a = \theta_0^B(0) \cdot C_0, \dots, d = \theta_3^B(0) \cdot C_0$$

où $C_0 = \theta_0^B(0)$. Alors $h_4 = h'_4/a^4$ et $h_{10} = h'_{10}/a^{10}$.

### 8.2.2 En Caractéristique Deux: Description et Complexité de l'Algorithmme

Soient $\mathcal{C}$ une courbe hyperelliptique ordinaire de genre 2 sur $\mathbb{F}_{2^n}$ et $\mathcal{A}$ sa variété jacobienne. L'endomorphisme de Frobenius se décompose comme suit:

$$\mathcal{A} \xrightarrow{\pi} \mathcal{A}^{\sigma} \longrightarrow \dots \longrightarrow \mathcal{A}^{\sigma^{n-1}} \xrightarrow{\pi} \mathcal{A}^{\sigma^n} \simeq \mathcal{A}$$

**Algorithm 10** – Calcul du polynôme caractéristique sur une courbe de genre 2 par relèvement canonique 2-adique

Lorsque $\Pi$ de $\tilde{\mathcal{A}}$ vers $\mathcal{A}^{\Sigma}$ est le relélé du morphisme de Frobenius $\pi$ de $\mathcal{A}$ vers $\mathcal{A}^{\sigma}$. Alors $\hat{\Pi}$ se décompose comme suit:

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

où $\nu$ est l'isogénie normalisée et $\lambda$ est un isomorphisme entre $\tilde{\mathcal{A}}/\tilde{\mathcal{K}}$ et $\tilde{\mathcal{A}}^{\hat{\Sigma}}$. Comme $\nu$ est normalisée son action est triviale alors l'action du "petit" Verchiebung $\hat{\Sigma}$ se réduit à celle de l'isomorphisme $\lambda$.

#### Calcul du Polynôme Caractéristique du Frobenius

On considère que la courbe hyperelliptique $\mathcal{C}$ est donnée sur $\mathbb{F}_q$ (avec $q = 2^n$) par une équation : $y^2 + h(x)y = f(x)$ où $h(x) = 1 + ax + bx^2$ et $f(x) = x^3(c + dx + x^2)$.

#### Initialisation

Soit $\mathcal{C}$ une courbe hyperelliptique de genre 2 sur un corps fini $\mathbb{F}_q$ (avec $q = 2^n$) donnée par son équation : $y^2 + h(x)y = f(x)$ où $h(x) = 1 + ax + bx^2$ et $f(x) = x^3(c + dx + x^2)$. À partir des relations 4.7 on peut calculer les invariants correspondants $J = (a_1, a_2, a_3)$ modulo 2.
Relèvement des Invariants

Par l'action galoisienne de Σ, il est facile de voir que le cas ordinaire correspond au type (1, 1, 1). L'algorithme 7 de Harley dans les sections 7.1 et 7.2 calcule Ŵ en utilisant les polynômes modulaires en fonction de a₁, a₂ et a₃. Ce calcul peut se faire en Œ(Nn) opérations binaires, où N est la précision p-adique.

Relèvement de la Courbe et du Verschiebung

On peut utiliser la section 7.1 et la section 7.3.2 pour relever la courbe C en calculant
(ã, ã, ã, ã) via une itération de Newton, cela coûte Œ(N).
Comme Frobenius se décompose en π · π² · ... · πⁿ⁻¹, le produit λ₁λ₂ de ses valeurs propres
inversibles est donné par :

$$
(\lambda_1 \lambda_2)^{2k} = N_{Q_q/Q_p} \left( \frac{I_{2k}(\tilde{C}^{\hat{\Sigma}})}{I_{2k}(\tilde{C}^{\nu})} \right)
$$

La courbe 2-isogène $\tilde{C}^v$ (dont la variété Jacobienne est $\tilde{\mathcal{A}}/\tilde{\mathcal{K}}$) est donnée par l'algorithme
de Richelot (les sections 7.1 et 7.3 et le lemme 7.3.7). La décomposition quadratique lisse
$(G_1, G_2, G_3)$ correspondant à une équation de $\tilde{\mathcal{A}}/\tilde{\mathcal{K}}$ peut être calculer en testant à faible
précision les huits décompositions formées par: $G_1 = P_1P_3$, $G_2 = P_2P_4$ et $P_5$ telles que (
$P_1 \equiv P_2 \bmod 2$ et $P_3 \equiv P_4 \bmod 2$).

D'autre part lorsque l'on suppose que $\mathcal{R}(G_1, G_2, G_3)$ définit le noyau du Verschiebung sur la
courbe $C_0$ dans le cas où

$\Pi : \mathcal{C}^{\hat{\Sigma}} \to \mathcal{C}_0 \approx \mathcal{C}$

$\mathcal{R}(G_1, G_2, G_3)$ est donné par la remarque 7.3.10 dans les sections 7.1 et 7.3. Alors on peut
calculer l'image de $\mathcal{R}(G_1, G_2, G_3)$ sur $C$ en utilisant les méthodes de conversion détaillées
dans le chapitre 4 et la section 4.5.

Soit $\chi$ le polynôme caractéristique de $C$, alors $\#\mathrm{Jac}\,C(\mathbb{F}_q) = \chi(1)$ et il satisfait les inégalités suivantes appelées *bornes de Hasse-Weil* :

$$
\lceil (\sqrt{q} - 1)^2 \rceil \le \chi(1) \le \lfloor (\sqrt{q} + 1)^2 \rfloor.
$$

On considère le polynôme $P_{sym}$ de degré 2 sur $\mathbb{Z}$ dont les racines sont $\lambda_1\bar{\lambda}_1 + \lambda_2\bar{\lambda}_2$ et $\lambda_1\lambda_2 + \bar{\lambda}_1\bar{\lambda}_2$ appelé *polynôme symétrique de C*. Ce polynôme détermine $\lambda_1^2$ et $\lambda_2^2$ par les relations suivantes démontrées dans [95]: $(\lambda_1\lambda_2)(\lambda_1\bar{\lambda}_2) = \lambda_1^2 q$ sachant que $\lambda_1\lambda_2$ est la racine de valuation $n$ de $x^2 - (\lambda_1\lambda_2 + \bar{\lambda}_1\bar{\lambda}_2)x + q^2$.

Et si de plus $\chi$ est irréductible, $\lambda_1$ est une racine du polynôme $\chi(t)$ si $-\lambda_1$ est une racine de $\chi(-t)$. Ainsi $\lambda_1$ détermine $\chi$.

**Théorème 8.2.3.** Soit $C$ une courbe hyperelliptique de genre 2 sur $\mathbb{F}_{2^n}$ dont les invariants $(a_1, a_2, a_3)$ vérifient les conditions de Kronecker, la méthode précédente calcule le polynôme caractéristique de $C$ en $\tilde{O}(n^2)$ opérations à partir des polynômes modulaire en fonction des invariants $(a_1, a_2, a_3)$.
**Exemple 8.2.4.** On considère que la courbe hyperelliptique $C$ est donnée sur $\mathbb{F}_2[T]/m$ avec $m = T^{15} + T^5 + T^4 + T^2 + 1$, d'équation: $y^2 + h(x)y = f(x)$ où $h(x) = 1 + ax + bx^2$ et $f(x) = -x^3(c + dx + x^2)$ avec

$$a = T^{14} + T^{13} + T^{12} + T^{11} + T^9 + T^7 + T^5 + T^2 + T + 1,$$

$$b = T^{14} + T^{13} + T^{12} + T^{10} + T^8 + T^7 + T^5 + T^4 + T^3,$$

$$c = T^{14} + T^{13} + T^{10} + T^9 + T^4,$$

$$d = T^{14} + T^{13} + T^{12} + T^{11} + T^9 + T^7 + T^5 + T^2 + T;$$

Cette équation est déduite de la *forme normale* de $C$. Comme le cas ordinaire correspond au type (1, 1, 1), en utilisant les relations du chapitre 4 et l'équation (4.7) on détermine le triplet d'invariants absolus $J$ (en fonction des $J_{2i}$) correspondant au quadruplet $(a, b, c, d)$.

Lorsque le triplet $J$ vérifie les conditions de Kronecker, l'algorithme 7 de la section 7.2 (avec les polynômes modulaires en les invariants $a_1, a_2$ et $a_3$) calcule le relévé canonique sur $\mathbb{Z}_q$ du triplet $J$ en $\tilde{O}(n^2)$ opérations.

$$J = [T^{13} + T^{11} + T^{10} + T^9 + T^8 + T^7 + T, \\ T^{13} + T^{11} + T^{10} + T^9 + T^8 + T^7 + T, \\ T^{14} + T^{13} + T^{11} + T^8 + T^3 + T^2 + T + 1];$$

$$\begin{aligned} \tilde{J} = & [13474940032272004850T^{14} + 16754559589254918889T^{13} + 8152007378073597672T^{12} \\ & + 14572772277029696995T^{11} + 9119476433797133587T^{10} \\ & + 4240523924640418307T^9 + 6042690066170973759T^8 + 2446801185468953757T^7 \\ & + 10879075386207885102T^6 + 16543022202561708534T^5 \\ & + 10457394664501256190T^4 + 1008439897351563314T^3 \\ & + 12770643410383775408T^2 + 12442302921457674557T + 7907936886510960452, \\ & 9391731769952962454T^{14} + 5272471816093258695T^{13} + 4694061109440793682T^{12} \\ & + 1160444082877628509T^{11} + 11540449592893237497T^{10} \\ & + 36529509427174927T^9 + 4466186733562397311T^8 + 7829903155290047333T^7 \\ & + 11267196542271673434T^6 + 17253646350720823144T^5 + 6033296500969149134T^4 \\ & + 17471757159738016832T^3 + 1021665186136268416T^2 + 12749389994979729051T \\ & + 17738635541368473904, \quad 15031255427447906939T^{14} + 18038781498479259395T^{13} \\ & + 6632965468075882578T^{12} + 10958722626511106823T^{11} + 14970482097439825396T^{10} \\ & + 16140758820844564488T^9 + 5066524261002336475T^8 + 15608122093822831302T^7 \\ & + 6346841391962884778T^6 + 2569207608253317670T^5 + 17560295176929269876T^4 \\ & + 772991990626853181T^3 + 18211641834701810925T^2 + 3154110753804246243T \\ & + 10813538131737859899]; \end{aligned}$$

**exemple 8.1** – Calcul du polynôme caractéristique sur une courbe de genre 2 par relèvement canoni-que 2-adique
$\tilde{a} = a$

$$
\begin{aligned}
\tilde{b} = & 55254945626000335T^{14} + 2495303479704612441T^{13} + 7574135553523578945T^{12} \\
& + 17657822010544924326T^{11} + 18303838455570926487T^{10} + 8691589592897029258T^{9} \\
& + 15880976756508178763T^{8} + 8137542866338533123T^{7} + 1751515243362325780T^{6} \\
& + 15173917807468023881T^{5} + 13535990953482006667T^{4} + 13249191404306422397T^{3} \\
& + 15266294715630972570T^{2} + 11246399060627237230T + 2818864660668733758,
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\tilde{c} = & 11680772807742526815T^{14} + 8462196439439432885T^{13} + 4082621152616853678T^{12} \\
& + 3449365608477422726T^{11} + 8044838154129826453T^{10} + 12767501506222894797T^{9} \\
& + 12156512742870596762T^{8} + 9798059797084151424T^{7} + 890940578050211020T^{6} \\
& + 13063966645087747702T^{5} + 16659593041914489461T^{4} + 18350855261372336648T^{3} \\
& + 1112483797783970558T^{2} + 17560823775859402782T + 4329936160920373454,
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\tilde{d} = & 7421772889079972841T^{14} + 9713169896204108213T^{13} + 6738005140636710569T^{12} \\
& + 17599473000615086251T^{11} + 11698686714612397812T^{10} + 7673261705606420745T^{9} \\
& + 14637176029428512428T^{8} + 15868249165914841089T^{7} + 1125575441318211564T^{6} \\
& + 17714798647050759191T^{5} + 1641993322611124490T^{4} + 913618315192094656T^{3} \\
& + 17953856381537676697T^{2} + 4604480195212408743T + 1202716416589165592.
\end{aligned}
$$

La phase de relèvement détermine la décomposition quadratique lisse de $C$.

$$
P1 = (x + (-27499397306669T^{14} - 104108864093772T^{13} - 72190469780601T^{12} - 115434333597685T^{11} - 130682791175686T^{10} + 71485344737819T^{9} + 93810423080862T^{8} - 79173306769954T^{7} - 127418781818674T^{6} + 16821049599381T^{5} - 65589614246955T^{4} + 70251572308663T^{3} - 80835683163668T^{2} - 10882553983411T - 140522863371668));
$$

$$
P2 = (x + (31931374171863T^{14} - 86513099225224T^{13} - 93457672426045T^{12} + 102150671708127T^{11} - 65305500898574T^{10} + 111042151260415T^{9} - 11116478506626T^{8} - 114569669306774T^{7} - 50517044414922T^{6} + 35343102544249T^{5} + 6828453986989T^{4} + 1784352633367T^{3} - 96792882371272T^{2} + 13468056048465T + 16161264291160));
$$

$$
P3 = (x + (37058400079907T^{14} - 90894798270813T^{13} + 136899047104414T^{12} + 123980821883020T^{11} + 63786983405963T^{10} - 55522175792215T^{9} - 47167405597672T^{8} - 66232728309206T^{7} - 13922670795072T^{6} + 114898854962428T^{5} + 23815982188633T^{4} + 19845818312694T^{3} - 88612939847082T^{2} - 93598522843036T + 54854521291173));
$$

$$
P4 = (x + (95876749096463T^{14} - 46282769547553T^{13} + 96099901407366T^{12} - 108440868522716T^{11} - 108884878509769T^{10} - 28105265738995T^{9} - 134819990078416T^{8} + 36493467184354T^{7} + 34610520131656T^{6} + 5866413448212T^{5} - 40588267667491T^{4} - 68511278224546T^{3} + 44626765726166T^{2} + 26926642085156T - 19235354424143));
$$
$$
P_5 = -(4x + (-549386473001740T^{14} + 185416724591973T^{13} - 268754553342494T^{12} - 9010553886254T^{11} - 160744857714336T^{10} - 395596840372744T^9 + 395006886970112T^8 - 233101947780155T^7 - 495392036247522T^6 + 436026043845296T^5 + 301035644984107T^4 - 156583924329429T^3 - 241580812300751T^2 + 255254170629438T + 354634709659596));
$$

Nous avons $P_1 = P_2 \pmod{2}$ et $P_3 = P_4 \pmod{2}$ avec $\tilde{C} : y^2 = P_1P_2P_3P_4P_5$.

À partir de la méthode des tests ou celle utilisant le calcul d'isomorphisme on détermine
l'équation $\tilde{C}^v$:

$$
G1 = P_1 P_3, \quad G_2 = P_4 P_5, \quad G_3 = P_2 \quad \text{et} \quad \text{nous avons} \quad \tilde{C}^v : y^2 = \Pi \mathcal{R}(G_1, G_2, G_3).
$$

Après le calcul du produit $\lambda_1\lambda_2$ des valeurs propres inversibles, le polynôme caractéristique
réconstitué est :

$$
\chi(X) = (X^2 + 2482103 \cdot 2^{16}X + 157 \cdot 2^{30}) (X^2 - 81333551261 \cdot 2X + 129494369717)
$$

8.2.3 En Caractéristique Impaire: Description de l'Algorithme

Soient $\mathcal{C}$ une courbe de genre 2 définie sur $\mathbb{F}_q$, on note $\mathcal{A}$ et $\mathcal{K}$ la variété Jacobienne et sa surface de Kummer.

Soit $\Pi$ de $\tilde{\mathcal{A}}$ vers $\tilde{\mathcal{A}}^{\Sigma}$ le relévé du morphisme de Frobenius $\pi$ entre $\mathcal{A}$ et $\mathcal{A}^{\Sigma}$. Alors son isogénie duale $\hat{\Pi}$ se décompose comme suit :

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

où $v$ est l'isogénie normalisée et $\lambda$ est un isomorphisme entre $\tilde{\mathcal{A}}/\tilde{\mathcal{K}}$ et $\tilde{\mathcal{A}}^{\Sigma}$.
Lorsque $\vartheta_k$ est une forme modulaire de poids $k$ ; $\Omega \in \mathcal{H}_g$ et $\gamma \in \Gamma_g$. Alors

$$
\vartheta_k(\gamma \cdot \Omega) = \mathrm{Det}^k(C\Omega + D) \cdot \vartheta_k(\Omega) \quad \text{avec} \quad \gamma = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}.
$$

D'autre part si on note par $f^*$ le tiré en arrière ("pull-back") sur l'espace tangent de l'isomor-
phisme défini par :

$$
f : \mathbb{C}^g / (\Omega \mathbb{Z}^g + \mathbb{Z}^g) \to \mathbb{C}^g / (\gamma \cdot \Omega \mathbb{Z}^g + \mathbb{Z}^g)
$$

Alors $\vartheta_k(\gamma \cdot \Omega) = \mathrm{Det}^k(M_f) \cdot \vartheta_k(\Omega)$, où $M_f$ est la matrice de $f^*$.

Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_g$ les valeurs propres inversibles du morphisme de Frobenius $\Pi$ de $\mathcal{A}$ sur $\mathbb{Z}_q$. Alors le produit $\lambda_1 \cdots \lambda_g$ est un élément de l'anneau $\mathbb{Z}_q$ et :

$$
(\lambda_1 \cdots \lambda_g)^k = N_{\mathbb{Q}_q/\mathbb{Q}_p} \left( \frac{\vartheta_k(\Omega^{\Sigma})}{\vartheta_k(\Omega)} \right) \qquad (8.3)
$$

Pour ce qui suit nous décrivons une extension en dimension 2 de la méthode de Satoh (le chapitre 2 et la section 2.6.1). Pour simplifier les calculs nous travaillons directement en coordonnées thêta sur la variété Kummer $\mathcal{K}$ associée à la courbe hyperelliptique $\mathcal{C}$ de genre 2 définie sur $\mathbb{F}_q$ avec $p > 2$. On pourra toutefois utiliser les formules de conversion entre les coordonnées Mumford et les coordonnées Thêta à l'appendice a.1.
**Algorithm 11** – Calcul du polynôme caractéristique sur une courbe de genre 2 par relèvement canonique: cas impair

Initialisation et Calculs sur $\mathbb{F}_q$

On suppose que $J$ est le vecteur des invariants thêta de $\mathcal{K}$ vérifiant les conditions de Kronecker la section 7.1, la section 7.1.1 et la proposition 7.1.1 correspondant aux polynômes modulaire $\Phi_{1,p}$, $\Psi_{2,p}$ et $\Psi_{3,p}$ par exemple.

Le calcul des points de $p$-torsion sur $\mathbb{F}_q$ peut se faire de deux manières. À partir des coordonnées Mumford suivi d'une conversion vers les coordonnées thêta, cela peut se faire par la méthode de composition modulaire [38].

Autrement on peut directement résoudre le système polynômial affine $(F) : [k+1].P = -[k]P$ (avec $p = 2k+1$) définissant la $p$-torsion sur la variété Kummer $\mathcal{K}$ les sections 7.1 et 7.2 et la proposition 7.2.2, en utilisant les formules de pseudo-addition de l'appendice a et l'appendice a.2.

Phase de Relèvement

Comme $J$ vérifie les conditions Kronecker dans la section 7.1, la section 7.1.1 et la pro-
position 7.1.1 correspondant au vecteur $\Phi$ des polynômes modulaires, l'algorithme 7, les
sections 7.1 et 7.2 détermine $\tilde{J}$. Alors on peut réconstituer l'équation de la surface Kummer
de $\mathcal{A}^{\Sigma}$ et $\mathcal{A}$ et aussi le système $\tilde{F}$ en fonction des thêta invariants relevés l'appendice a
et l'appendice a.2 à une précision définie.

En utilisant le théorème 7.2.4 et la section 7.1 on détermine une approximation du relevé de chaque $P \in \mathcal{K}[p]$. Lors de la première étape du relèvement on peut faire un petit calcul de base de Gröbner sur : :

$$
F(P) + p.DF(P).R + \frac{p^2}{2} \cdot {}^t R.HF(P).R = 0 \quad \operatorname{mod} p^3
$$

pour avoir $P$ à la bonne précision. Ce système a seulement trois polynômes de degré 2 chacun.

Calcul du Produit $\lambda_1\lambda_2$ des Valeurs Propres

D'une part nous avons le résultat :

$$
(\lambda_1 \lambda_2)^2 = N_{Q_q/Q_p} \left( \frac{\theta_k(\mathcal{K}^{\mathcal{S}})}{\theta_k(\mathcal{K} / \ker \Sigma)} \right)
$$

D'autre part en utilisant l'algorithme 9 et l'exemple 8.2.2 de la section 8.2.1 et le chapitre 8 on détermine $\theta_k(\mathcal{K}/\ker \Sigma)$ par suite le produit $\lambda_1\lambda_2$.

Reconstitution du polynôme Caractéristique

On pourra utiliser l'algorithme LLL pour séparer les facteurs du produit $\lambda_1\lambda_2$. Cette méthode est plus générale en caractéristique et en genre. Elle consiste à réduire avec un algorithme LLL un réseau dont une base est définie par les racines $\lambda_i + q^g / \lambda_i$ et les coéfficients
du polynôme $P_{sym}$ sont les composantes d'un vecteur de norme minimale de ce réseau [13]. Cependant J.F Mestre dans [75] propose une méthode pour déterminer directement (en genre 2) #JacC($\mathbb{F}_q$) et #C($\mathbb{F}_q$) à partir de la connaissance $u = \lambda_1\lambda_2$. En effet $(\lambda_1 + \bar{\lambda}_1)$ et $(\lambda_2 + \bar{\lambda}_2)$ sont les racines du polynôme quadratique: $X^2 - bX + a$ où: la somme des racines $b \equiv u \mod q$ et leur produit $a$ satisfait la relation $a^2 \equiv (\lambda + 2)u \mod q$ avec $\lambda = (b - u)/q$, $|b| \le 4q$ et $|a| \le 4\sqrt{q}$. Et

$$ \# \mathrm{Jac} \ C(\mathbb{F}_q) = \prod_{i=1}^{2} (1 - \lambda_i)(1 - \bar{\lambda}_i) \\ \#C(\mathbb{F}_q) = q + 1 - (\lambda_1 + \bar{\lambda}_1) - (\lambda_2 + \bar{\lambda}_2). $$

### 8.2.4 Analyses de Complexités

Lorsque nous sommes à une précision d'ordre $n$, l'évaluation d'un polynôme modulaire en les invariants peut se faire en $O(p^4 \log(p) \cdot n^2)$ opérations avec les polynômes modulaires de Hilbert et en $O(p^{15} \log(p) \cdot n^2)$ opérations en utilisant ceux de Siegel. Alors nous supposons que l'on travaille en petite caractéristique.

**Théorème 8.2.5.** Soit $C$ une courbe hyperelliptique de genre 2 sur $\mathbb{F}_q$ de caractéristique $p > 2$ dont les invariants satisfont les conditions de Kronecker de la section 6.2 et le chapitre 6 (selon le type d'invariants). Par la méthode précédemment détaillée on peut calculer $\#JacC(\mathbb{F}_q)$ en une complexité $\tilde{O}(n^2)$ opérations binaires.

En effet on arrive à ce résultat en considérant les complexités des étapes de calculs précédents.

#### Calcul de la $p$-torsion sur $\mathbb{F}_q$

Par la méthode de composition modulaire proposée par P. Gaudry et É. Schost [38] en coordonnées Mumford le calcul de la $p$-torsion peut se faire avec une complexité en temps d'au plus $O(pM(p^4) + p^{\omega+3})$ où $\omega$ est tel que la multiplication de deux matrices de tailles $n$ se fait en $O(n^\omega)$ opérations. Et la complexité en espace est $O(p^5)$ éléments de $\mathbb{F}_p$. Par la méthode de composition par la loi de groupe, le calcul de la $p$-torsion coûte $O(M(p^4) \log(p))$ en temps sur $\mathbb{F}_p$, avec utilisation en espace mémoire $O(p^4)$ éléments de $\mathbb{F}_p$.

#### Phase de relèvement

Lorsque nous utilisons les polynômes modulaires de Hilbert les calculs les plus coûteux résident dans l'évaluation des polynômes en les invariants qui coûte $O(p^4 n^2)$ opérations car l'algorithme de Artin-Schreier ne coûterait que $O(n^2 \log p)$. Ainsi l'algorithme 8 de la section 7.4.2 et la section 7.4 calcule le relevé des invariants en $O(p^4 \cdot n^2)$.
Cependant dans le cas des polynômes modulaires de Siegel le correspondant algorithme 7 de les sections 7.1 et 7.2 coûte $O(p^{15} n^2)$.

En ce qui concerne le relèvement de la $p$-torsion, le coût total est $O(\log n)$ fois le coût de la division entre deux éléments de $\mathbb{Z}_q$ à une précision $\Theta(n)$. Le calcul de base de Gröebner pour la bonne précision de départ ne concerne que trois polynômes de degré 2 à trois variables à la précision $p^2$, qui est négligeable.
Calcul du Produit $\lambda_1\lambda_2$ et #JacC($\mathbb{F}_q$)

Le calcul des thêta constantes de la surface abélienne $\mathcal{B} = \mathcal{A}/\mathcal{K}$ à partir de l'algorithme 9 et de la $p$-torsion relévé se fait en $O(p^r)$ opérations (dans notre cas $r = 2$). En utilisant la méthode des résultats (le chapitre 1 et la section 1.3), la norme

$$N_{\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p} \left( \frac{\theta_k(\mathcal{K}^\Sigma)}{\theta_k(\mathcal{K}/\ker \Sigma)} \right)$$

se calcule en $O(n^\mu \log n)$ où $\mu = 1 + \epsilon$ (pour $n$ grand) et $\mu = \log_2(3)$ en utilisant l'algorithme de multiplication FFT respectivement l'algorithme de Karatsuba [17]. Alors la méthode de Mestre calcule #JacC($\mathbb{F}_q$) à partir du produit $\lambda_1\lambda_2$ en un temps de $O(n^\mu \log p)$, soit le coût du calcul d'un carré sur $\mathbb{F}_q$. Et la réconstitution du polynôme $P_{\text{sym}}$ à partir des racines $\lambda_1\bar{\lambda}_1 + \lambda_2\bar{\lambda}_2$ et $\lambda_1\lambda_2 + \bar{\lambda}_1\bar{\lambda}_2$ se fait en $O(n^{\mu+1})$ soit le coût de la multiplication de deux entiers.

**Exemple 8.2.6.** On considère les mêmes données de l'exemple 7.2.6 et les sections 7.1 et 7.2.

$$C : y^2 = x^5 + (2T^8 + T^2 + T)x^4 + (T^8 + T^7 + T^6 + T^5 + T^3 + 2T + 2)x^3 + (T^9 + 2T^8 + T^6 + T^5 + T^4 + 2T^3 + 2)x^2 + (2T^9 + T^8 + 2T^7 + T^6 + T^5 + 2T^4 + 2T^2 + 1)x$$

est une courbe de genre 2 sur $\mathbb{F}_3[T]/m$ avec $m = T^{10} + 2T^6 + 2T^5 + 2T^4 + T + 2$ dont les invariants thêta de niveau 2 sont:

$$a = 2T^9 + 2T^6 + 2T^5 + 2T^4 + T^3 + T^2 + T, \quad b = 2T^9 + T^8 + 2T^7 + T^6 + T^5 + 2T^4 + 2T^2, \\ c = 2T^9 + 2T^6 + T^4 + 2T^3 + 2T + 2$$

Ainsi après la phase des relèvements on obtient à une précision 3$^{20}$:

$$M = T^{10} + 2549079126T^9 + 1424896413T^8 + 387776124T^7 + 1501830083T^6 + 2399043737T^5 + 1835343671T^4 + 3327249759T^3 + 1052748765T^2 + 1815623119T + 3486784400$$

$$\bar{a} = 1632442511T^9 + 3184765518T^8 + 3476194941T^7 + 3108882704T^6 + 2423383142T^5 + 1764926933T^4 + 1098986671T^3 + 2957646787T^2 + 1669307941T + 2686192050,$$

$$\bar{b} = 1855464665T^9 + 458606629T^8 + 1644296153T^7 + 2202845860T^6 + 2959176835T^5 + 2200438487T^4 + 1716586968T^3 + 1038290165T^2 + 133634418T + 2980506843,$$

$$\bar{c} = 3067405283T^9 + 2017143027T^8 + 1539671400T^7 + 2805617504T^6 + 754015086T^5 + 1269571459T^4 + 2964123128T^3 + 609859068T^2 + 3096552740T + 605100932,$$

exemple 8.2 – Calcul du polynôme caractéristique sur une courbe de genre 2 par relèvement canoni-que de la Kummer
Et le relélé des 4 points de 3-torsion comme indiquer dans l'exemple 7.2.6 et les sections 7.1 et 7.2. À partir de l'algorithme 9 dans http://avisogenies.gforge.inria.fr on obtient les invariants thêta de la variété abélienne *p*-isogène.

$$
\begin{align*}
& [1665426634T^9 + 2291786881T^8 + 319244275T^7 + 908965652T^6 + 373529527T^5 \\
& \qquad + 3459234302T^4 + 637296308T^3 + 1615339023T^2 + 71993550T + 2412291147, \\
& 137569385T^9 + 1781159471T^8 + 2975497017T^7 + 2625983267T^6 + 3456313825T^5 \\
& \qquad + 258917388T^4 + 169437654T^3 + 2862222480T^2 + 3191428894T + 828753903, \\
& 933603536T^9 + 1711410927T^8 + 130528953T^7 + 3466168598T^6 + 1834982298T^5 \\
& \qquad + 1734316195T^4 + 2194380317T^3 + 1333319670T^2 + 2564003393T + 1123362129, \\
& 899185444T^9 + 2638232402T^8 + 1147310541T^7 + 2100019531T^6 + 2732363852T^5 \\
& \qquad + 2339070819T^4 + 1863357600T^3 + 2399257487T^2 + 1456953946T + 2821097391]
\end{align*}
$$

$u = \lambda_1 \lambda_2 = 2255204904638089156$

Alors le polynôme caractéristique de $\mathcal{C}$ à une précision $3^{20}$ est:

$$
\chi(X) = X^4 - 404X^3 + 158902X^2 - 404 \cdot 3^{10} X
$$

8.2.5 Méthode de Relèvement par Évaluation du Verschiebung

Cette méthode est une extension en dimension 2 de la méthode du chapitre 2 et la section 2.6.3. Elle réduit considérablement la dépendance en *p* dans les calculs de relevé canonique utilisant les polynômes de Siegel dont les tailles sont en $O(p^{15}n^2)$. Cependant lorsque l'on utilise les polynômes de Hilbert nous avons vu plus haut (la section 8.2.4), que le coût de l'évaluation de ces polynômes est dominé par le calcul de la *p*-torsion sur $\mathbb{F}_q$ qui se fait en temps $O(M(p^4) + p^{\omega+3})$ et en espace de $O(p^4)$ à partir de la méthode de composition par la loi de groupe [38] en coordonnées Mumford (où $O(n^\omega)$ est le coût de la multiplication de deux matrices de tailles *n*). En utilisant les algorithmes Cosset-Robert [19] ou Couveignes-Ezomé [21] pour le calcul du Verschiebung à la précision *N* on excède pas ce coût d'évaluation de la *p*-torsion. D'autre part en utilisant la méthode de relèvement de la *p*-torsion à une précision *N* par évaluation directe (le chapitre 1 et la section 1.2) combinée avec les formules d'addition (de la partie iv) on ne fait pas plus pire. Par la suite nous avons le résultat suivant:

**Théorème 8.2.7.** Par la méthode d'évaluation du Verschiebung on calcule le polynôme caractéristique d'une courbe ordinaire de genre 2 après $O(M(p^4) \log(p) \log(n) \cdot n^2)$ opérations binaires.
8.3 CONCLUSION

En ce qui concerne la dimension 1, à partir d'une interprétation équivalente du Théorème de Lubin-Serre-Tate (le chapitre 2, la section 2.5.1 et le théorème 2.6.2) nous avons développé des méthodes de relèvement canonique plus pratiques que les méthodes connues auparavant. Les plus performantes de nos méthodes de calcul ont un coût en temps $Õ(n.N.p)$. Ces performances sont aussi les fruits de méthodes de Newton dévéloppées dans le chapitre 1 et la section 1.2 ; lesquelles méthodes s'appliquent directement dans le calcul du relèvement de la *p*-torsion d'une variété abélienne en général.

Dans le cas de la dimension 2, nous avons utilisé des triplets d'invariants absolus de courbes de genre 2 sur $\mathbb{Z}_q$ ayant bonne réduction en toute caractéristique et en particulier en caractéristique 2 sur les différents types (1, 1, 1), (3, 1) et (5). Ce qui est utile pour définir une équation modulaire sur l'espace de module des courbes ordinaires de genre 2 ayant une bonne réduction en toute caractéristique.

D'autre part nous avons proposé une démonstration aux *Conditions de Kronecker* sur $\mathfrak{A}_g, \Gamma_0(p)$, le champ algébrique des variétés abéliennes polarisées de dimension $g$ muni d'une structure de niveau $p$. Une interprétation algorithmique de ces propriétés à travers les polynômes modulaires permet de construire des algorithmes de calcul du relevé canonique d'une les variétés ordinaires. Ainsi pour $g = 2$, en utilisant des invariants « bien » adaptés, nous avons proposé une extension de l'algorithmme de Harley sur les espaces de module de Siegel et de Hilbert avec une complexité au plus en $Õ(n^2)$ pour $n \sim \log q$. Cependant lorsque l'on travaille sur l'espace de Siegel, la complexité en $p$ de ces algorithmes de relèvement est entièrement couverte par l'évaluation des polynômes modulaires utilisés.

Néanmoins les polynômes de Hilbert sont encore plus pratiques, la complexité de leurs évaluations permettent de faire des tests jusqu'à $p < 100$.

Les *p*-torsions des variétés abéliennes ordinaires sont étales en partie. En utilisant la forme de leurs matrices sur l'espace tangent nous avons donné un algorithme permettant de les relever sur $\mathbb{Z}_q$. Une variante de cet algorithme permet aussi de relever l'equation d'une courbe hyperelliptique à partir de ses invariants.

Cette étude algorithmique basée sur le *Théorème de Serre-Tate* permet de déterminer le polynôme caractéristique et de calculer les rélévés des formes modulaires vectorielles d'une courbe hyperelliptique.

Ainsi pour les courbes de genre 2 sur $\mathbb{F}_{p^n}$ nous avons proposé des algorithmes de calcul de polynômes caractéristiques en utilisant des calculs d'isogénies à partir du relevé de la *p*-torsion. Cette approche fût bien-avant introduite en dimension 1 par Satoh [99]. Elle admet une complexité quasi-quadratique en $n$, "bien-meilleure" comparée aux autres méthodes de calcul de polynôme caractéristique d'une courbe ordinaire de genre 2.

Pour améliorer la complexité en $p$, notre première alternative a été l'utlisation de polynômes de Hilbert avec lesquels le polynôme caractéristique est déterminé après $O(M(p^4) \log(p) \log(n) \cdot n^2)$ opérations. Et le coût $O(M(p^4) \log(p))$ vient de l'évaluation de la *p*-torsion sur $\mathbb{F}_q$ pour le calcul d'isogénie. La deuxième alternative repose sur le relèvement par évaluation directe du
Verschiebung dont l'étape la plus coûteuse reste le calcul de la *p*-torsion en $O(M(p^4) \log(p))$. Alors en perspective nous pouvons aborder ce futur projet de réduction de complexité sous plusieurs angles.

## 8.4 PERSPECTIVES

Pour la suite nous projetons de suivre les idées suivantes pour améliorer par exemple la complexité en *p* dans le calcul du polynôme caractéristique.

### AMÉLIORATION ET EXTENSION DE NOS MÉTHODES DE RELÈVEMENT CANONIQUE AUX VARIÉTÉS ORDINAIRES DE DIMENSION $g > 1$

Comme dans le cas de la dimension 1, pour une bonne réduction de la complexité en *p* dans le relèvement canonique nous projetons d'utiliser l'approche du chapitre 2, la section 2.6.3 et le théorème 2.6.10 appelée « Calcul du Relevé Canonique par Évaluation du Verschiebung » combinée à des méthodes plus rapides de calcul de la *p*-torsion sur $\mathbb{F}_q$. Cette méthode présente beaucoup d'avantages en considérant les raisons suivantes:

1. La taille des polynômes modulaires en Dimension superieure à 1 explose très rapidement en fonction de *p*, *g* et *n*.

2. Par contre d'un autre côté on dispose d'algorithmes de Calcul d'Isogénies très pratiques.

Comme dans nos études dans le chapitre 2 et la section 2.6.3 nous espérons atteindre des perferences considérables.

### MÉTHODE DE DIFFÉRENTIATION D'ELKIES POUR L'ÉVALUATION DU VERSCHIEBUNG

Cette approche même si elle utilise le relèvement canonique de la variété abélienne, se dispense du relèvement de la *p*-torsion. En effet à partir des versions plus améliorées de la méthode de Stark, on peut évaluer directement l'action du petit Verschiebung sur les relevés canoniques des variétés conjuguées $Jac\tilde{C}$ et $Jac\tilde{C}^\sigma$.

Cette approche d'évaluation de l'action d'une isogénie connaît tout récemment une généralisation à travers les travaux de Damien Robert et autres [97, 98]. Comme l'évaluation de la *p*-torsion coûte au moins $O(M(p^4) \log(p))$ opérations en $\mathbb{F}_p$, ainsi en évitant le relèvement de la *p*-torsion et en évaluant le Verschiebung par cette approche permettrait d'obtenir une meilleure complexité en temps et espace mémoire.

### CALCUL DE RELEVÉ D'UNE VARIÉTÉ NON ORDINAIRE

Historiquement les idées de calculs de relevés étaient motivées par la détermination du polynôme caractéristique d'une variété abélienne ordinaire sur $\mathbb{F}_q$ pour des applications cryptograpiques en ECC et HECC. Actuellement les intérêts post-quantiques en ECC et HECC portés sur les variétés non-ordinaires constituent une grande motivation pour le calcul de relevés des variétés non ordinaires. Ces possibles relevés n'étant pas canoniques, leur étude devient plus intéressant. Une approche de P. Norman et F. Oort [90] (suivant une idée de Mumford) détermine les relevés de variétés non ordinaires à partir du relèvement canonique de variétés ordinaires.
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[116] F. VERCAUTEREN. « Computing zeta functions of curves over finite fields ». In : *PhD thesis, Katholieke Universiteit Leuven* (2003) (cf. p. 147).

[117] F. VERCAUTEREN, B. PRENEEL et J. VANDEWALLE. « A memory efficient version of Satoh's algorithm ». In : *Springer-Verlag* 2045 (2001). Sous la dir. d'Advances in CRYPTOLOGY – EUROCRYPT 2001, p. 1-13 (cf. p. 36).

[118] P. WAMELEN. « Equations for the Jacobian of a hyperelliptic curve ». In : *AMS* 350.8 (août 1999), p. 3083-3106 (cf. p. 176).
Quatrième partie

ANNEXE
Dans l'annexe nous rappellons quelques méthodes algorithmiques utilisées dans les exemples tests.

## A.1 ARITHMÉTIQUE SUR LA JACOBIENNE

On considère la courbe hyperelliptique $\mathcal{C}$ de genre $g$ sous un modèle imaginaire techniquement plus agréable. Soit $\mathcal{C} : y^2 + h(x)y = f(x)$ (avec $\deg f = 2g + 1$ et $\deg h \le g$), alors toute classe de Jac($\mathcal{C}$) contient un unique diviseur $D$ défini par :

$$D = P_1 + \dots + P_r - r\infty$$

pour $P_1, \dots, P_r \in \mathcal{C}$ ne dépendant que de la classe, tels que :

$$\text{— } P_i \neq \infty \text{ et } P_i \neq \iota(P_j) \text{ pour } i \neq j$$

$$\text{— et } r \le g.$$

Un tel diviseur $D$ est dit réduit et si on n'a pas la condition $r \le g$, il est dit semi-réduit et alors il n'est pas unique. Voir [34] pour plus de détails. On peut remarquer que le diviseur $P + \iota(P) - 2\infty = \text{div}(x - x_P)$ étant principal n'affecte pas la classe; de même 2 fois un point de ramification.

Soit $D = P_1 + \dots + P_r - r\infty$ un diviseur sous forme réduite (ou semi-réduite). Alors $D$ peut être représenté de manière unique par deux polynômes $u(x)$ et $v(x)$ définis par :

$$u(x) = \prod_{i=1}^{r} (x - x_{P_i}) \quad \text{et} \quad v(x_{P_i}) = y_{P_i}, \text{ pour } i = 1, \dots, r.$$

et $v(x)$ est l'unique polynôme avec $\deg v < r$ tel que $u(x)$ divise $v^2(x) + v(x)h(x) - f(x)$. $u(x)$ représente les abcisses des $P_i$ et on pourra déterminer $v(x)$ par interpolation. Et le couple $(u(x),v(x))$ est appelé représentation de Mumford et noté

$$D = \langle u(x), v(x) \rangle.$$

L'entier $r$ est appelé le poids de $D$ et $D$ est dit premier si le polynôme $u$ est irréductible. Et nous avons l'algorithme a.1.1 de réduction d'un diviseur semi-réduit, qui procède par des ajouts de diviseurs principaux : Dans cet algorithme proposé par Cantor [9], une itération de la boucle fait baisser le poids $r$ de 2 ou de 1 pour la dernière.
Chaque classe de diviseur dans Jac($\mathcal{C}$) étant représentée par un unique diviseur réduit, la représentation de Mumford permet d'expliciter l'addition d'éléments de Jac($\mathcal{C}$).

### A.1.1 Algorithme de Cantor

Nous décrivons dans cette partie un algorithme permettant de déterminer la représentation de Mumford de la somme de deux diviseurs réduit et donnés sous forme de Mumford. Pour un point $P$ de la courbe, on a $\text{div}(x - x_P) = P + \iota(P) - 2\infty$ ce qui implique que
**Entrée:** Diviseur $D = \langle u(x), v(x) \rangle$ semi-réduit;

**Sortie:** Diviseur réduit $D' \sim D$;

1. Tant que $\deg u(x) > g$, faire :

$$a. u = (f - hv - v^2) / u;$$

$$b. v = (-h - v) \mod u;$$

2. Retourner $D' = \langle u(x), v(x) \rangle$;

**Algorithm a.1.1 Réduction de Mumford**

**Entrée:** Diviseurs $D_1 = \langle u_1(x), v_1(x) \rangle$ $D_2 = \langle u_2(x), v_2(x) \rangle$ semi-réduits;

**Sortie:** Diviseur réduit $D_3 \sim D_1 + D_2$;

1. Caluler $s_1, s_2, s_3$ par pgcd étendus tel que:

$$d = \text{pgcd}(u_1, u_2, v_1 + v_2 + h) = s_1u_1 + s_2u_2 + s_3(v_1 + v_2 + h)$$

2. $u_3 = u_1u_2/d^2$;

3. $v_3 = d^{-1} \cdot (s_1u_1v_2 + s_2u_2v_1 + s_3(v_1v_2 + f)) \mod u_3$;

4. Retourner $D_3 = \langle u_3(x), v_3(x) \rangle$;

**Algorithm a.1.2 Addition de Cantor**

l'opposé du diviseur $D = P - \infty$ est $-D = \iota(P) - \infty$ c'est-à-dire $D = \langle (x - x_P), y_P \rangle$ et $-D = \langle (x - x_P), -y_P - h(x) \rangle$ car $y_{\iota(P)} = y_P - h(x_P)$. Et le cas général en découle, l'opposé dans $Jac(C)$ de tout diviseur $D = \langle u(x), v(x) \rangle$ réduit (ou semi-réduit) est donné par :

$$-D = \langle u(x), -v(x) - h(x) \mod u(x) \rangle.$$

L'Algorithme d'addition suivant a.1.2 a été proposé par Cantor dans [9] et son équivalent en caractéristique 2 est décrit dans [64].

Les deux algorithmes a.1.1 et a.1.2 permettent la composition de diviseurs réduits.

### A.1.2 Amélioration et Complexité

Si on note par $M(n)$ le nombre d'opérations dans le corps de base nécessaires pour multiplier deux polynômes de degré au plus $n$. En considérant une situation plus agréable de composition de Cantor de deux diviseurs réduits et en considérant que l'on peut calculer efficacement le pgcd de deux polynômes, on peut additionner deux diviseurs réduits avec l'algorithme a.1.2 en $O(M(g) \log g)$ opérations dans $\mathbb{K}$ [34]. Alors que la réduction d'un diviseur de poids au plus $2g$ se fait en $O(gM(g))$ opérations dans $\mathbb{K}$. Bien que dans le cas $g = 2$ ces algorithmes sont parmi les plus efficaces, il est possible de les dérouler selon le poids des diviseurs en entrée et aux différents branchements possibles dans les algorithmes de calcul pgcd (Voir [34] pour plus de détails).
## A.2 ARITHMÉTIQUE SUR LA KUMMER

La Jacobienne Jac C d'une courbe hyperelliptique $\mathcal{C}$ de genre 2 sur $\mathbb{C}$ étant une surface abélienne principalement polarisée et simple, le théorème 3.2.4 dans le chapitre 3 établit que les fonctions thêta de niveau 2 ne permettent qu'un plongement projectif de (Jac C) / $\pm$ 1. Et à partir de la théorie des fonctions thêta Chudnovsky introduisirent des formules éfficientes pour l'Arithmétique sur la variété de Kummer (Jac C) / $\pm$ 1. Cependant en dimension 2 les formules avec les fonctions thêta sont d'abord valables sur $\mathbb{C}$; pour les adaptations sur un corps quelconque certaines conditions doivent être remplies.

Nous nous référerons sur [36] pour décrire dans cette partie certains résultats dont nous utilisons dans l'exemple 7.2.6. Et dans cette partie la caractéristique du corps $\mathbb{k}$ est différente de 2.

Soit $\Omega \in \mathfrak{S}_2$, la surface de Kummer associée à $\Omega$ est le lieu des images par l'application $\phi$ de $\mathbb{C}^2$ sur $\mathbb{P}^3(\mathbb{C})$ définie par :

$$z \mapsto (\vartheta_1(2z), \vartheta_2(2z), \vartheta_3(2z), \vartheta_4(2z)) \quad \text{avec}$$
$$\vartheta_1(z) = \vartheta_0(z, \Omega), \quad \vartheta_2(z) = \vartheta_3(z, \omega), \quad \vartheta_3(z) = \vartheta_1(z, \Omega), \quad \vartheta_4(z) = \vartheta_2(z, \omega).$$

Cet ordre correspond aux notations utilisées par Gaudry dans [36] sur lequel nous allons nous référer dans cette partie.

Les quatres fonctions $\vartheta_i(\cdot)$ avec $i \in \{0, 1, 2, 3\}$ ne s'annulent pas en même temps. De plus comme ces fonctions thêta sont paires, la fonction $\phi$ est paire et elle envoie deux points opposés sur une même image sur la surface de Kummer (variété projective de dimension 2) que nous notons par $\mathcal{K}$. Nous notons aussi par $\Theta$ la fonction thêta associée à $2\Omega$. Comme les $\Theta$ et $\vartheta$ sont duals alors nous avons les évaluations suivantes :

$$\Theta_1(z) = \theta_0(z, 2\Omega), \quad \Theta_2(z) = \Theta_{12}(z, 2\omega),$$
$$\Theta_3(z) = \theta_8(z, 2\Omega), \quad \Theta_4(z) = \Theta_4(z, 2\omega).$$

À partir des formules de duplication 3.3.2 et les thêta constantes $\vartheta_i$ et $\Theta_i$, on peut toutefois déterminer sur $\mathcal{K}$, $\phi(2z)$ ne connaissant que $\phi(z)$. D'un autre côté: il est impossible de savoir si l'image $\phi$ provient de $-z$ ou bien de $z$. Ainsi on ne peut distinguer $\phi(z - z')$ de $\phi(z + z')$ sur $\mathcal{K}$.

### A.2.1 Equation d'une surface de Kummer

Pour $\Omega \in \mathfrak{S}_2$, alors $a = \vartheta_1$, $b = \vartheta_2$, $c = \vartheta_3$ et $d = \vartheta_4$ désignent les quatres thêta constantes fondamentales associées à $\Omega$ et $A, B, C$ et $D$ ceux associés $2\Omega$ de la variété (2, 2)-isogène. En utilisant les formules de duplication 3.3.2 nous avons :

$$4A^2 = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2), \quad 4B^2 = (a^2 + b^2 - c^2 - d^2),$$
$$4C^2 = (a^2 - b^2 + c^2 - d^2), \quad 4D^2 = (a^2 - b^2 - c^2 + d^2),$$

Pour tout $z \in \mathbb{C}^2$ nous notons les fonctions thêta fondamentales en z par :

$$x = \vartheta_1(z), \quad y = \vartheta_2(z), \quad z = \vartheta_3(z), \quad t = \vartheta_4(z).$$

Le quadruplet $(x, y, z, t)$ correspond aux coordonnées projectives associées à un point de la surface de Kummer.
• Lorsque abcd est non nul et les six autres thêta constantes paires déduites sont aussi non nulles que nous appellons condition 1.

Et les quadruplets vérifiant cette condition définissent bien une matrice de $\mathfrak{H}_2$ en laquelle nous avons : $(a, b, c, d) = (\theta_0, \theta_3, \theta_1, \theta_2)$.

Alors une équation projective de $\mathcal{K}$ peut être construite en combinant des identités de Frobenius [89, Chap: IIIa]. Et une équation projective de $\mathcal{K}$ est définie par :

$$ (x^4 + y^4 + z^4 + t^4) + 2Exyzt - F(x^2t^2 + y^2z^2) - G(x^2z^2 + y^2t^2) - H(x^2y^2 + z^2t^2) = 0 $$

$$ E = 256abcdA^2B^2C^2D^2 / ((a^2d^2 - b^2c^2)(a^2c^2 - b^2d^2)(a^2b^2 - c^2d^2)); $$

$$ F = (a^4 - b^4 - c^4 + d^4) / (a^2d^2 - b^2c^2); $$

$$ G = (a^4 - b^4 + c^4 - d^4) / (a^2c^2 - b^2d^2); $$

$$ H = (a^4 + b^4 - c^4 - d^4) / (a^2b^2 - c^2d^2); $$

Les dénominateurs apparaissants dans les nombres $E, F, G$ et $H$ sont produits de thêta constantes paires. Les valeurs de $\Omega$ pour lesquelles les thêta constantes paires s'annulent correspondent aux variétés abéliennes isomorphes à un produit de courbes elliptiques.
Les formules définies sont tous homogènes alors l'égalité projective est suffisante.

### A.2.2 Formules de Pseudo-Addition

Pour tous $z$ et $z'$ dans $\mathbb{C}^2$ les formules d'addition donnent les résultats :

$$ \vartheta_1(z + z')\vartheta_1(z - z') = \Theta_1(2z)\Theta_1(2z') + \Theta_2(2z)\Theta(2z') + \Theta_3(2z)\Theta_3(2z') + \Theta_4(2z)\Theta_4(2z'), $$

$$ \vdots = \vdots $$

$$ \vartheta_4(z + z')\vartheta_4(z - z') = \Theta_1(2z)\Theta_1(2z') - \Theta_2(2z)\Theta(2z') - \Theta_3(2z)\Theta_3(2z') + \Theta_4(2z)\Theta_4(2z'), $$

et

$$ 4\Theta_1(z + z')\Theta_1(z - z') = \vartheta_1(z)\vartheta_1(z') + \vartheta_2(z)\vartheta_2(z') + \vartheta_3(z)\vartheta_3(z') + \vartheta_4(z)\vartheta_4(z'), $$

$$ \vdots = \vdots; $$

$$ 4\Theta_4(z + z')\Theta_4(z - z') = \vartheta_1(z)\vartheta_1(z') - \vartheta_2(z)\vartheta_2(z') - \vartheta_3(z)\vartheta_3(z') + \vartheta_4(z)\vartheta_4(z'). $$

D'autre part :

• Lorsque $A^2, B^2, C^2, D^2$ étant en fonction des $a^2, b^2, c^2, d^2$ sont tels que abcd est non nul et aussi le produit ABCD, alors nous désignons cela par condition 2. Ainsi nous pouvons calculer les valeurs suivantes pour les formules de la pseudo-addition :

$$ y_0 = a/b, \quad z_0 = a/c, \quad t_0 = a/d, $$

$$ Y_0 = A^2/B^2, \quad Z_0 = A^2/C^2, \quad T_0 = A^2/D^2. $$

Et cet algorithme peut s'étendre au produit scalaire par un entier $n > 1$ comme suit: Pour $P \in \mathcal{K}$ et $m > 1$, connaissant $mP$ et $(m+1)P$, on détermine $(2m+1)$ avec "PseudoAdd" ensuite $(2m)$ et $(2m+2)$ avec "PseudoDouble". Et en partant d'une décomposition binaire de $n$ l'algorithme a.2.3 calcule efficacement $nP$.
**Entrée:** $P = (x, y, z, t) \in \mathcal{K}$;

**Sortie:** $2P = (x_2, y_2, z_2, t_2) \in \mathcal{K}$;

1. $x_1 = (x^2 + y^2 + z^2 + t^2)^2$;

2. $y_1 = Y_0(x^2 + y^2 - z^2 - t^2)^2$;

3. $z_1 = Z_0(x^2 - y^2 + z^2 - t^2)^2$;

4. $t_1 = T_0(x^2 - y^2 - z^2 + t^2)^2$;

5. $x_2 = x_1 + y_1 + z_1 + t_1$;

6. $y_2 = y_0(x_1 + y_1 - z_1 - t_1)$;

7. $z_2 = z_0(x_1 - y_1 + z_1 - t_1)$;

8. $t_2 = t_0(x_1 - y_1 - z_1 + t_1)$;

9. Return $(x_2, y_2, z_2, t_2)$

**Algorithm a.2.1 PseudoDouble**

**Entrée:** $P = (x, y, z, t)$ et $Q = (x_2, y_2, z_2, t_2)$ dans $\mathcal{K}$ et $R = (\underline{x}, \underline{y}, \underline{z}, \underline{t})$ égal $P + Q$ ou-bien $P - Q$, avec $\underline{xyzt} \neq 0$

**Sortie:** $(X, Y, \bar{Z}, T) \in \mathcal{K}$ l'autre composition différente de $R$.

1. $x_3 = (x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 + t_2^2)(x^2 + y^2 + z^2 + t^2)$;

2. $y_3 = Y_0(x_2^2 + y_2^2 - z_2^2 - t_2^2)(x^2 + y^2 - z^2 - t^2)$;

3. $z_3 = Z_0(x_2^2 - y_2^2 + z_2^2 - t_2^2)(x^2 - y^2 + z^2 - t^2)$;

4. $t_3 = T_0(x_2^2 - y_2^2 - z_2^2 + t_2^2)(x^2 - y^2 - z^2 + t^2)$;

5. $X = (x_3 + y_3 + z_3 + t_3)/\underline{x}$;

6. $Y = (x_3 + y_3 - z_3 - t_3)/\underline{y}$;

7. $Z = (x_3 - y_3 + z_3 - t_3)/\underline{z}$;

8. $T = (x_3 - y_3 - z_3 + t_3)/\underline{t}$;

9. Return $(X, Y, Z, T)$;

**Algorithm a.2.2 PseudoAdd**
**Entrée:** $P = (x, y, z, t) \in \mathcal{K}$ avec $xyzt \neq 0$ et $n > 1$ un entier;

**Sortie:** $nP = (x_2, y_2, z_2, t_2) \in \mathcal{K}$;

1. Si $n=2$, Retourner PseudoDouble($P$);

2. $n_0n_1\cdots n_k$ étant la décomposition binaire de $n$, avec $n_0$ le bit dominant;

3. $P_m = P, P_d = \text{PseudoDouble}(P)$;

4. Pour $i=1$ allant à $k$ Faire :

a. $Q = \text{PseudoAdd}(P_d, P_m, P)$;

b. Si $n_i = 1$ Alors,

i. $P_d = \text{PseudoDouble}(P_d)$;

ii. $P_m = Q$;

c. Sinon,

i. $P_m = \text{PseudoDouble}(P_m)$;

ii. $P_d = Q$;

5. Retourner $P_m$.

**Algorithm a.2.3 PseudoAdd n-fois**

**Remarque a.2.1.** L'algorithme PseudoAdd a.2.2 ne marche pas si $R$ admet une coordonnée nulle. Même si cette condition reste valable pour la multiplication scalaire, cela présente un problème majeur pour cette approche. Alors une méthode plus générale est l'addition utilisant les formules différentielles de Riemann. Bien que cette dernière est moins bonne en terme de complexité.

### A.2.3 Addition Différentielle

Soient $Z(n) = \mathbb{Z}^g/n\mathbb{Z}^g$ et $\mu_n$ le groupe des $n$-racines de l'unité dans $\mathbb{C}^*$, alors le dual de Cartier $\hat{Z}(n) = \bigoplus_{i=1}^g \mu_n$. En utilisant les formules de duplication et les relations de Riemann D. Lubicz et D. Robert ont perfectionné la Pseudo-Addition dans [68]. Dans cette partie nous allons nous référer sur leurs résultats.

**Théorème a.2.2. (Relations de Riemann).** Soient $z_1, z_2, z_3, z_4, z \in \mathbb{C}^g$ avec $2z = z_1 + z_2 + z_3 + z_4$ et $z'_1 = z - z_1, z'_2 = z - z_2, z'_3 = z - z_3$ et $z'_4 = z - z_4$. Alors pour tout caractère $\chi \in \hat{Z}(2)$ et tous $i, j, k, l, m \in Z(n)$ tels que $i + j + k + l = 2m$, si $i' = m - i, j' = m - j, k' = m - k$ et $l' = m - l$, nous avons :

$$ \left( \sum_{t \in Z(2)} \chi(t) \theta_{i+t}(z_1) \theta_{j+t}(z_2) \right) \cdot \left( \sum_{t \in Z(2)} \chi(t) \theta_{k+t}(z_3) \theta_{l+t}(z_4) \right) = \\ \left( \sum_{t \in Z(2)} \chi(t) \theta_{i'+t}(z'_1) \theta_{j'+t}(z'_2) \right) \cdot \left( \sum_{t \in Z(2)} \chi(t) \theta_{k'+t}(z'_3) \theta_{l'+t}(z'_4) \right) $$
En particulier, nous avons les formules d'addition :

$$
\left( \sum_{t \in Z(2)} \chi(t) \theta_{i+t}(z_1 + z_2) \theta_{j+t}(z_1 - z_2) \right) \cdot \left( \sum_{t \in Z(2)} \chi(t) \theta_{k+t}(0) \theta_{l+t}(0) \right) = \\
\left( \sum_{t \in Z(2)} \chi(t) \theta_{-i'+t}(z_2) \theta_{j'+t}(z_2) \right) \cdot \left( \sum_{t \in Z(2)} \chi(t) \theta_{k'+t}(z_1) \theta_{l'+t}(z_1) \right)
$$

Démonstration. Voir [84] pour l'approche analytique ou [68] pour l'approche algébrique. □

On en déduit les formules d'addition explicites suivantes pour les surfaces abéliennes .
Soit $(a_i)_{i \in Z(2)}$ un quadruplet de thêta constantes de niveau 2 associé à la Kummer $\mathcal{K}$.
Pour tous $x = (x_i)_{i \in Z(2)}$ et $y = (y_i)_{i \in Z(2)}$ on pose $X = x + y$ et $Y = x - y$. Alors les coordonnées de $2W_{ij} = X_i Y_j + X_j Y_i$ sont donnés par les relations suivantes:

$$
\begin{align*}
2(X_{10}Y_{00} + X_{00}Y_{10}) &= z_{10}^{00} + z_{10}^{01}; \\
2(X_{11}Y_{01} + X_{01}Y_{11}) &= z_{10}^{00} + z_{10}^{01}; \\
2(X_{01}Y_{00} + X_{00}Y_{01}) &= z_{01}^{00} + z_{01}^{10}; \\
2(X_{11}Y_{10} + X_{10}Y_{11}) &= z_{01}^{00} + z_{01}^{10}; \\
2(X_{11}Y_{00} + X_{00}Y_{11}) &= z_{11}^{00} + z_{11}^{11}; \\
2(X_{01}Y_{10} + X_{10}Y_{01}) &= z_{10}^{00} + z_{11}^{11};
\end{align*}
$$

où pour $i \in Z(2)$, $\chi \in \hat{Z}(2)$ on a :

$$
z_i^\chi = \left( \sum_{t \in Z(2)} \chi(t) x_{i+t} x_t \right) \left( \sum_{t \in Z(2)} \chi(t) y_{i+t} y_t \right) / \left( \sum_{t \in Z(2)} \chi(t) a_{i+t} a_t \right)
$$

et $\sum_t \chi(t)a_{i+t}a_t$ n'est autre que la thêta constante $\theta[\frac{\chi}{2}][0, \Omega]^2$. De plus lorsqu'on ajoute à ces relations les formules d'addition :

$$
\begin{align*}
4X_{00}Y_{00} &= z_{00}^{00} + z_{00}^{01} + z_{00}^{10} + z_{00}^{11}; \\
\vdots &= \vdots \\
4X_{11}Y_{11} &= z_{00}^{00} - z_{00}^{01} - z_{00}^{10} + z_{00}^{11};
\end{align*}
$$

on détermine les coordonnées projectives de X dans $\mathcal{K}$. Pour plus de simplicité on peut supposer $a_0 = 1$ et $A_{00}^{00} = 1$.

Remarque a.2.3. Lorsque l'on représente par $M$ le coût d'une multiplication sur le corps de base $\mathbb{k}$, par $S$ celui d'un calcul de carré. Comme nous travaillons avec des coordonnées projectives, l'inversion coûtera quelque multiplications. Ainsi

— Le coût d'une pseudo-addition avec les algorithmes a.2.2 est de $7M + 12S + 9M_0$.

— Alors la réconstitution des coordonnées de $X_i Y_j + X_j Y_i$ dans la méthode de l'addition différentielle coûte $10M + 20S + 9M_0$.

A.3 CONVERSIONS ENTRE FONCTIONS THÊTA ET POLY NÔMES DE MUMFORD

Dans cette partie, nous nous intéressons aux liens entre les coordonnées Mumford d'un
diviseurs $D = \langle u, v \rangle$ de la Jacobienne d'une courbe et les coordonnées thêta de son image z
par l'application d'Abel-Jacobi.

Les formules de Thomae permettent d'obtenir les puissances quatrième des thêta constantes en dimension $g$ à partir de l'équation d'une courbe hyperelliptique de genre $g$. Elles dépendent d'un choix de la base du groupe d'homologie. Des méthodes introduites par Mumford [89] et Van Wamelen [118] déterminent des formules de changement de coordonnées entre $(u, v)$ et des thêta constantes de niveau 4; et ensuite entre $(u, v^2)$ et des thêta constantes de niveau 2 définissant la variété Kummer. Dans cette partie nous nous réferons aux améliorations techniques proposées par R. Cosset dans [19] où l'étude concerne le genre quelconque.

Lorsque $\mathcal{H}_g^{(2)}$ désigne l'ensemble des paires $(C, \sigma)$ modulo isomorphismes de courbes, où $C$ est une courbe hyperelliptique et $\sigma : \{1, \dots, 2g+2\} \leftarrow E$ une bijection, avec $E = \{a_1, \dots, a_{2g+1}\}$ l'ensemble des points de ramification $\pi : C \leftarrow \mathbb{P}^1$. On montre que :
$$ \mathcal{H}_g^{(2)} \simeq \{ \text{séquences de points distincts } P_1, \dots, P_{2g+2} \text{ de } \mathbb{P}^1 \} \text{ modulo l'équivalence projective} $$
$PGL_2(C)$.

En normalisant et en posant $a_1 = 0$ et $a_2 = 1$, on obtient :

$\mathcal{H}_g^{(2)} \simeq \{ \text{sous-ensemble ouvert de } \mathbb{C}^{2g-1} \text{ de points } (a_3, \dots, a_{2g+1}) \text{ tel que } a_i \neq a_j \text{ et } a_i \neq 0, 1 \}.$

Alors l'anneau des coordonnées affine de $\mathcal{H}_g^{(2)}$ est engendré par les fonctions

$$ \left( \frac{\theta_{a,b}}{\theta_{0,0}} \right)^{\pm 4} $$

On considère la courbe hyperelliptique sous un modèle imaginiare techniquement plus agréable.

Pour ce qui suit $g = 2$ et pour une simplification des formules, nous admettons les notations suivantes : $C : y^2 = f(x)$ avec $\deg f = 5$ et $a_1, \dots, a_5$ les racines de $f$. On pose :

$$ \eta_1 = [(1/2,0); (0,0)] \quad \eta_2 = [(1/2,0); (1/2,0)] \quad \eta_3 = [(0,1/2); (1/2,0)] $$

$$ \eta_4 = [(0,1/2); (1/2,1/2)] \quad \eta_5 = [(0,0); (1/2,1/2)] \quad \eta_\infty = [(0,0); (0,0)]. $$

Pour $S \subset \{1, \dots, 5, \infty\}$, on pose : $\eta_S = \sum_{i \in S} \eta_i$, tel que $\Omega \eta'_S + \eta''_S$ est l'image par l'application d'Abel-Jacobi du diviseur $\sum_{i \in S} a_i - \#S(\infty)$. Par suite toute fonction thêta est de la forme $\theta[\eta_{U \circ A}]$ avec $U = \{1, 3, 5\}$ et $A$ un sous-ensemble d'ordre impaire de $\{1, \dots, 5\}$. Le symbole $\circ$ désigne l'opération de la différence symétrique de deux ensembles.

On definit les fonctions $t_A$ selon Wamelen [118] par :

$$ t_A(z) = f_A \cdot \theta[\eta_{U \circ A}] $$

où $f_A$ sont des constantes définies par : $f_A = \theta[0]/\theta[\eta_{U \circ A}]$ pour les fonctions paires autrement par :

$$ f_1 = \delta \frac{\theta_0 \theta_4 \theta_6 \theta_{12}}{\theta_1 \theta_3 \theta_9 \theta_{15}}, \quad f_2 = \delta \frac{\theta_4 \theta_6 \theta_{12}}{\theta_2 \theta_8 \theta_{15}}, \quad f_3 = \delta \frac{\theta_0 \theta_6}{\theta_2 \theta_3}, \quad f_4 = \delta \frac{\theta_4}{\theta_1} $$

$$ f_5 = \delta \frac{\theta_0 \theta_{12}}{\theta_8 \theta_9}, \quad f_{\{1,2,3,4,5\}} = f_{\emptyset} = \delta^3 \frac{\theta_4^2 \theta_6^2 \theta_{12}^2}{\theta_1 \theta_2 \theta_3 \theta_8 \theta_9 \theta_{15}} \quad \text{avec} \quad \delta = \frac{-1}{\sqrt{a_2 - a_1}}. $$

De même pour $A$ de cardinale pair, les fonctions $t_{A^c}$ et $f_{A^c}$ (où $A^c$ est le complémentaire de $A$ dans $\{1, \dots, 5\}$) seront notées par $t_A$ et $f_A$.
### A.3.1 De Thêta Constantes aux Coordonnées de Mumford

Soit $\mathcal{C}$ une courbe de genre 2 d'équation $y^2 = f(x)$ avec $(a_i)_{i \in \{1, \dots, 6\}}$ un ordre choisi sur les racines de $f$ et soit $D \in \text{Jac}(\mathcal{C})$ n'est pas un diviseur thêta. Le Théorème [89, Théorème 5.3] de Mumford établit que les coefficients des polynômes de Mumford $(u, v)$ de $D$ sont fonctions méromorphes sur $\mathbb{C}^2/(\Omega\mathbb{Z}^2 + \mathbb{Z}^2)$.

Ainsi Van Wamelen montra qu'avec les fonctions $t_A$ nous avons pour toute racine $a_i$ avec $i \in \{1, \dots, 6\}$ de $f$ et pour tous $l, m$ deux entiers distincts de $\{1, \dots, 5\} - \{k\}$ :

$$u(a_i) = \frac{t_k^2(z)}{t_{\emptyset}^2(z)}, \quad v(a_i) = \frac{Y_{k,m} - Y_{k,l}}{a_l - a_m}, \quad \text{et} \quad Y_{l,m} := \pm \frac{t_l(z)t_m(z)t_{l,m}(z)}{t_{\emptyset}^3(z)}$$

Pour la détermination du signe des $Y_{l,m}$ on peut utiliser l'approche de R. Cosset dans [18, Section 5.1.4]. La fonction $Y_S$ a un pôle d'ordre exactement $s + 1$ en les diviseurs thêta sinon elle est regulière ailleure.

Ainsi dans le cas où l'on utilise des fonctions thêta de niveau $n = 2$ ou $4$, on peut déterminer les coordonnées de Mumford $(u, v)$ de $D$ par interpolation de Langrange sachant que :

$$u(a_1) = (a_2 - a_1)^2 \frac{\theta_0^2 \theta_2^2 \theta_8^2}{\theta_4^2 \theta_6^2 \theta_{12}^2} \frac{\theta_{10}(z)^2}{\theta_{14}(z)^2},$$

$$u(a_2) = (a_2 - a_1)^2 \frac{\theta_1^2 \theta_3^2 \theta_9^2}{\theta_4^2 \theta_6^2 \theta_{12}^2} \frac{\theta_{11}(z)^2}{\theta_{14}(z)^2}$$

$$v(a_1) = \frac{1}{a_3 - a_2} (Y_{1,2} - Y_{1,3}), \quad v(a_2) = \frac{1}{a_3 - a_1} (Y_{1,2} - Y_{2,3}).$$

Où l'on peut trouver dans [19] un calcul donnant :

$$Y_{1,2} = c_{1,2} \sqrt{a_2 - a_1} \frac{\theta_0^3 \theta_1^2 \theta_2^2 \theta_3^2 \theta_8^2 \theta_9^2}{\theta_4^4 \theta_6^4 \theta_{12}^4} \frac{\theta_{10}(z) \theta_{11}(z) \theta_{15}(z)}{\theta_{14}(z)^3},$$

$$Y_{1,3} = c_{1,2} \sqrt{a_2 - a_1} \frac{\theta_0^3 \theta_1^2 \theta_2^2 \theta_8^2 \theta_9^2 \theta_{15}^2}{\theta_4^5 \theta_6^4 \theta_{12}^5} \frac{\theta_3(z) \theta_7(z) \theta_{10}(z)}{\theta_{14}(z)^3},$$

$$Y_{2,3} = c_{1,2} \sqrt{a_2 - a_1} \frac{\theta_0^3 \theta_1^2 \theta_3^2 \theta_8^2 \theta_9^2 \theta_{15}^2}{\theta_4^5 \theta_6^4 \theta_{12}^5} \frac{\theta_2(z) \theta_7(z) \theta_{11}(z)}{\theta_{14}(z)^3}.$$

Pour raison de simplification, on peut calculer les calculs les produits de fonctions thêta en utilisant les fonctions thêta de niveau 4. [19].

Dans le cas utilisant les thêta de niveau 2, on peut améliorer les calculs des produits de $Y_{1,2}$, $Y_{1,3}$ et $Y_{2,3}$ en utilisant les formules de l'équation de la Kummer a.2.1.

Lorsque $D$ est un diviseur thêta alors il vérifie :

$$\deg(u) \le 1 \iff t_{\emptyset}(z) = 0 \iff \theta_{14}(z) = 0.$$

et dans le cas où il s'écrit $[\text{DiviseurTheta}] + (a_k - \infty)$, on a :

$$u(a_k) = 0 \iff t_k(z) = 0 \iff \theta[\eta_{U \circ \{k\}}](z) = 0.$$
### A.3.2 Des Coordonnées de Mumford aux Thêta Constantes

En conservant les mêmes notations, nous partons du diviseur $D$ en coordonnées Mumford $(u, v)$ (ou $(u, v^2)$ pour la surface de Kummer) et nous voulons déterminer les fonctions thêta de niveau $n = 2$ ou $4$ (à un facteur constant près) correspondant aux coordonnées projectives de l'image $z$ de $D$ par l'application d'Abel-Jacobi.

Dans le cas $n = 2$, les termes $Y_{i,j}^2$ peuvent être exprimer algébriquement en fonction des polynômes $u$ et $v^2$ en inversant les formules du problème inverse. En évaluant $u$ en les racines de $f$, l'on obtient:

$$Y_{l,m}(D)^2 = \frac{(y_1(x_2 - a_l)(x_2 - a_m) - y_2(x_1 - a_l)(x_1 - a_m))^2}{(x_2 - x_1)^2}$$

Et par suite les formules pour les $\frac{\theta_i(z)^2}{\theta_{14}(z)^2}$ pour $i \in \{0, \dots, 15\}$.

Dans le cas $n = 4$, les fonctions thêta de niveau 4 sont de la forme $\theta[\eta_{U \circ A}](2z)$ avec $\#A \le 2$. Pour les calculer P. Gaudry [36] et R. Cosset [18] proposent les formules de dédoublement suivantes :

$$4\theta[a_b^0](2z)\theta[a_b^0]\theta[0^0]^2 = \sum_{\alpha\beta \in Z(2)} \exp(-4i\pi^t a\beta) \theta[a_{b+\beta}^{a+\alpha}](z)^2 \theta[\beta^\alpha](z)^2$$

$$4\theta[a_b^0](2z)\theta[a_b^0]\theta[0^0]\theta[0^0]^2 = \sum_{\alpha\beta \in Z(2)} \exp(-4i\pi^t a\beta) \theta[a_{b+\beta}^{a+\alpha}](z) \theta[a_{b+\beta}^{\alpha}](z) \theta[\beta^\alpha](z)$$

La première pour les paires et la seconde pour les impaires.

Par suite pour un diviseur générique $D = \langle u, v \rangle$ on arrive à exprimer les termes de droite de ces formules en fonction de $Y_{l,m}$, $Y$ et $u(a_i)$.