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# L'erreur est-elle humaine ?

David Dureisseix

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David Dureisseix. L'erreur est-elle humaine?. 2024. hal-04815030

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Submitted on 2 Dec 2024

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# L'erreur est-elle humaine ?

D. Dureisseix, INSA Lyon

## Un scientifique peut-il se tromper ?

Évidemment la réponse est oui ! Cela est arrivé, cela arrive, cela arrivera<fnref n="1" />. Il s'agit ici de discuter du cas de la bonne foi : il ne s'agit pas d'annoncer des choses pour tromper le lecteur, mais de croire (à tort, certes) à ce que l'on annonce.

Pourquoi se trompe-t-on ? Comment éviter cela ? Ces questions sont encore largement ouvertes. La démarche scientifique essaye évidemment de limiter cela. Un principe de base est celui de la réfutabilité [1] : la démarche doit être explicitée pour que les lecteurs (ou les examinateurs, les experts, les collègues...) puissent vérifier, critiquer, se faire les avocats du diable, contester, discuter...

## Même les théoriciens ?

On pourrait se dire que les mathématiciens ont la vie plus facile : soit c'est juste, soit c'est faux, la preuve étant irréfutable. Dans les faits, ce n'est pas si tranché. Outre la révolution des théorèmes d'incomplétude de Kurt Godel [2] qui montrent (car ils ont été prouvés !) qu'il existe des propositions qui ne sont pas démontrables, on peut se poser la question sur ce qu'est une preuve. Une proposition possible est que la preuve est en fait l'art de convaincre [3].

La notion d'erreur n'est par ailleurs pas toujours négative : on peut apprendre et s'entraîner avec les paradoxes et le défi de trouver l'erreur (voulue dans ce cas-là, et annoncée au départ). D'autre part, on sait qu'il y a eu des découvertes faites à la suite d'une erreur ou par hasard (on parle alors de sérendipité [4]).

## L'humain ou la machine ?

Les ordinateurs peuvent-ils nous aider ? La réponse est oui, par exemple avec les assistants de preuve (comme Coq [5]). Ils peuvent passer en revue les cas distincts, faire de la vérification/certification de preuve, mais peuvent-ils construire une preuve ? Et comment vérifier la preuve construite par l'ordinateur quand les humains en sont incapables physiquement (longueur de la preuve, nombre de cas trop grand comme pour le théorème des 4 couleurs [6]) ? Par ses collègues ordinateurs ?

Et il y a aussi les progrès faits par l'intelligence artificielle (IA) ; mais il y a aussi le cas des « hallucinations » des IA [7]... Un point partout entre humains et ordinateurs !

## Que pourrait-on conseiller ?

Citer ses sources, pour rendre à César ce qui est à César, avec la question de la pérennité et de l'accessibilité de l'information (archivage et science ouverte) et la confiance dans les sources d'information (fiabilité).

Une démarche plus difficile à mettre en œuvre est aussi celle du travail massivement collaboratif, pour le référencement (par exemple l'encyclopédie libre wikipedia) et aussi pour la phase de démonstration (par exemple le projet Polymath [8]).

De façon plus générale, il est donc important de développer son esprit critique (comme la zététique [9]). Mais alors, on devrait l'appliquer à lui-même, car comme l'a dit Henri Poincaré [10] : « Douter de tout ou tout croire sont deux solutions également commodes, qui l'une et l'autre nous dispensent de réfléchir ».

<footnote n="1">¹ Phrase inspirée par une chanson de Francis Cabrel</footnote>
Références

[1] Réfutabilité (2024, 14 juin). Wikipédia. Disponible sur :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Réfutabilité
(Consulté le : 25/08/2024).

[2] Kurt Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Monatsh. f. Mathematik und Physik 38, 173–198 (1931).
https://doi.org/10.1007/BF01700692
Voir aussi https://theconversation.com/kurt-godel-ses-theoremes-dincompletude-ont-ebranle-les-
mathematiques-227074
(Consulté le : 25/08/2024).

[3] Démontrer : l'art de convaincre. Tangente hors-série 55, Éditions Pole. 2016. ISBN : 978-2-84884-198-4

[4] Sérendipité. (2024, 25 août). Wikipédia. Disponible sur
http://fr.wikipedia.org/wiki/Sérendipité
(Consulté le : 25/08/2024).

[5] Coq (logiciel). (2024, 9 août). Wikipédia. Disponible sur :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Coq_(logiciel)
(Consulté le : 25/08/2024).

[6] Théorème des quatre couleurs. (2024, 2 août). Wikipédia. Disponible sur :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_quatre_couleurs
(Consulté le : 26/08/2024).

[7] Hallucination (intelligence artificielle). (2024, 1er juillet). Wikipédia. Disponible sur :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Hallucination_(intelligence_artificielle)
(Consulté le : 26/08/2024).

[8] The Polymath blog. https://polymathprojects.org/
(Consulté le : 25/08/2024).

[9] Zététique. (2024, 14 août). Wikipédia. Disponible sur :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Zététique
(Consulté le : 25/08/2024).

[10] Henri Poincaré. La science et l'hypothèse. 1902. Publié en 1917 chez Flammarion dans la collection "Bibliothèque de philosophie scientifique".
Voir https://fr.wikisource.org/wiki/La_Science_et_l'Hypothèse
(Consulté le : 02/09/2024).
# L'erreur est-elle humaine ?

## En géométrie aussi l'être humain peut se tromper, même si ce n'est pas de beaucoup

### Démontrer : l'art de convaincre ?

On peut être convaincu et se tromper !

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Ceci n'est pas un pentakidodécaèdre étoilé.

### Et voilà une erreur

Une réalisation en origami modulaire (assemblage de 30 « compound Sonobe units » de Tomoko Fuse). Chaque module est un mécanisme à 1 degré de mobilité.

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Avec la définition mathématique du pentakidodécaèdre, https://en.wikipedia.org/wiki/Pentakis_dodecahedron et https://bendwavy.org/klitzing/incmats/m3m5o.htm

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$$ \cos(\theta/2) = \frac{(a/2)^2}{1 - (a/2)^2} $$

$$ \cos \theta_0 = - \frac{80 + 9\sqrt{5}}{109} $$

$$ a_0 = \frac{9 - \sqrt{5}}{6} $$

Merci à Michaël Kosmulski, qui m'a fait douter !

« I haven't checked if the angles actually add up, so it might be that this model can only exist because of imprecise folding » https://origami.kosmulski.org/models/spiked-pentakisdodecahedron-sonobe

### Le carré manquant

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La preuve par l'image ? Où est l'erreur ?

### Même Aristote peut se tromper

L'assemblage compact de tétraèdres réguliers ne peut pas paver l'espace ! À environ 2 % près.

### Vive l'esprit critique !

Et l'appliquer à lui même :

« Douter de tout ou tout croire sont deux solutions également commodes, qui l'une et l'autre nous dispensent de réfléchir. » Henri Poincaré, 1902.

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