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# Étude et développement d'un amplificateur audio de classe D intégré haute performance et basse consommation

Emmanuel Hardy

► To cite this version:

Emmanuel Hardy. Étude et développement d'un amplificateur audio de classe D intégré haute performance et basse consommation. Electronique. Aix Marseille Université, 2013. Français. NNT: tel-04604704

HAL Id: tel-04604704

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Submitted on 7 Jun 2024

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AIX-MARSEILLE UNIVERSITÉ

ÉCOLE DOCTORALE SCIENCES POUR L'INGÉNIEUR
MÉCANIQUE, PHYSIQUE, MICRO ET NANOÉLECTRONIQUE – E.D. 353

## THÈSE

pour obtenir le grade de

DOCTEUR de L'UNIVERSITÉ D'AIX-MARSEILLE

Spécialité : Micro et Nanoélectronique

présentée par

Emmanuel HARDY

Étude et développement d'un amplificateur audio de classe D intégré
haute performance et basse consommation

à soutenir publiquement le 27 juin 2013

Directeur de thèse : Rachid BOUCHAKOUR

Encadrant : Stéphane MEILLÈRE

## JURY

<table><tr><td>Nacer ABOUCHI</td><td>CPE Lyon</td><td>Rapporteur</td></tr><tr><td>Philippe BÉNABÈS</td><td>Ecole Supérieure d'Electricité</td><td>Rapporteur</td></tr><tr><td>Laurent LATORRE</td><td>Université de Montpellier II</td><td>Examinateur</td></tr><tr><td>Rachid BOUCHAKOUR</td><td>Aix-Marseille Université</td><td>Directeur de thèse</td></tr><tr><td>Stéphane MEILLÈRE</td><td>Aix-Marseille Université</td><td>Co-encadrant</td></tr><tr><td>Christian DUFAZA</td><td>Aix-Marseille Université</td><td>Tuteur Industriel</td></tr></table>
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Tout le malheur des hommes vient d'une seule chose,
qui est de ne savoir pas demeurer en repos, dans une chambre.

Blaise Pascal,

*Pensées*.
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# Résumé

De nombreux dispositifs embarqués récents comme les téléphones portables, les GPS ou encore les consoles de jeu, possèdent un ou des haut-parleurs, chacun étant piloté par un amplificateur audio sur circuit intégré. De tels amplificateurs audio doivent répondre le mieux possible à quatre contraintes : une qualité audio satisfaisante, une immunité aux perturbations induites par le système, une faible consommation et une surface de silicium minimale. Ce travail de thèse a pour origine la création de l'entreprise Primachip en mai 2009 par Christian Dufaza et Hassan Ihs. Cette startup a été bâtie sur une architecture innovante d'amplificateur audio de classe D intégré, un concept de classe D numérique haute-performance avec un ADC dans la boucle de rétroaction. Une thèse sous contrat CIFRE et en partenariat avec l'IM2NP a débuté en décembre 2009 pour travailler sur le développement de cet amplificateur et elle s'est terminée en juin 2013. Une étude a tout d'abord été menée sur les différents types de modulation utilisés par les amplificateurs de classe D existant. La modulation de densité d'impulsion, qui utilise un modulateur de type delta-sigma (ΔΣ), a été choisie pour l'amplificateur. Une méthode systématique et automatisable de dimensionnement de ces modulateurs a ensuite été présentée, ainsi que divers mécanismes permettant d'accroître les performances et la stabilité. Le principe de rétroaction partielle en particulier s'applique sur une boucle contenant un modulateur numérique qui pilote l'étage de puissance et un convertisseur analogique-numérique (ADC) effectuant la rétroaction. Cela permet d'obtenir la stabilité de cette boucle tout en offrant une excellente réjection des bruits de l'étage de puissance. Enfin, un prototype sur silicium de l'architecture d'amplificateur de classe D numérique a été conçu et fabriqué. Un nouvel ADC ΔΣ temps continu a été développé pour ce prototype, afin d'obtenir des performances supérieures ou égales à l'état de l'art. Les résultats obtenus sur le circuit se sont révélés encourageants, bien que toutes les spécifications n'aient pas été atteintes. L'analyse des erreurs de ce premier circuit doit permettre la réalisation d'un amplificateur intégré exploitant au mieux cette architecture de classe D numérique.

**Mots-clés** : Amplificateur Audio ; Classe D ; Modulateur Delta-Sigma ; Basse Consommation ; ADC
Temps Continu
Abstract

Most current embedded devices, such as smartphones, GPS or portable consoles, feature one speaker or more, those speakers being driven by an integrated audio amplifier. This type of amplifier must meet four specifications: an adequate audio quality, to be immune to system disturbances, low power consumption and the smallest silicon area. This work takes its origin from the creation of Primachip in May 2009 by Christian Dufaza and Hassan Ihs. The aim of this startup was to develop and sell an innovative audio class-D amplifier for mobile market: the digital class-D concept. A partnership with the IM2NP laboratory was decided to propose a PhD topic under CIFRE contract (PhD in an industrial environment), in order to study and improve the amplifier architecture. The PhD work was carried out from December 2009 to June 2013. First of all, the major types of modulation and architectures for audio class-D amplifiers were studied and compared. Pulse density modulation was selected for the amplifier, using a delta-sigma modulator (ΔΣ). An automatable method for designing ΔΣ modulators was introduced, and a few schemes allowing the audio performances to increase or a better loop stability. The concept of partial feedback, in particular, applies to a loop made of a digital ΔΣ modulator driving the power stage, with an analogue-to-digital converter (ADC) in the feedback path. It makes it possible to achieve stability while offering an outstanding power supply rejection. Finally, an integrated prototype of the class-D amplifier was designed, fabricated and evaluated. A new continuous-time ΔΣ ADC has been added to enable the digital class-D loop to achieve performances superior or equal to state of the art. The circuit measurement results were encouraging, although not ideal. The analysis of the prototype errors was performed. The conclusions should allow the design of an integrated audio amplifier making the best of the digital class-D architecture.

**Keywords:** Class-D; Audio Amplifier; Delta-Sigma Modulator; Low Power; Continuous-Time ADC
Remerciements

J’aimerais remercier à la fois Rachid Bouchakour, directeur de l’Institut Matériaux
Microélectronique Nanosciences de Provence (IM2NP), Sylvain Bourdel, responsable de l’équipe
Conception de Circuits Intégrés (CCI), et Stéphane Meillère, mon encadrant, pour m’avoir permis
d’accomplir ce travail de thèse, et les deux créateurs de Primachip, Christian Dufaza et Hassan Ihs,
pour m’avoir ouvert les portes de l’industrie de l’audio.

Je remercie également Nacer Abouchi, de l'INL Lyon, et Philippe Bénabès, de l'Ecole
Supérieure d'Electricité, d'avoir accepté de rapporter ce manuscrit. Leurs remarques m'ont été très
précieuses pour améliorer la qualité de ce manuscrit.

La fin prématurée de Primachip en Mai 2011 a certes rendu la fin de thèse un peu compliquée, mais ce fut une expérience qui m'a beaucoup appris. Mon emploi chez Wolfson Microelectronics pendant les deux dernières années m'a permis d'avoir une vision beaucoup plus large du domaine de l'audio et cela a énormément nourri ce travail de thèse.

Enfin, je ne vais pas citer ici tous les gens qui m'ont côtoyé à Marseille, Caen et Édimbourg, mais je les remercie beaucoup de m'avoir soutenu, de m'avoir écouté quand je me plaignais, et pour m'avoir rappelé pourquoi j'ai consacré autant de temps à ce travail. J'ajoute une mention spéciale pour ceux qui m'ont aidé dans la correction (merci !). Et puis bien sûr, je remercie ma famille pour son soutien pendant ces presque quatre années.
# Table des matières

Introduction générale.................................................................................................................. 1

I. Introduction aux amplificateurs audio de classe D...................................................... 5

I.1 Le marché des amplificateurs audio..................................................................................7

I.1.1 Caractéristiques du marché de l'audio........................................................................7

I.1.2 Les acteurs du marché ....................................................................................................8

I.1.3 Le choix de la technologie..........................................................................................8

I.2 Outils mathématiques pour la modélisation des amplificateurs audio..................................10

I.2.1 Échantillonnage ................................................................................................................10

I.2.2 Changement de fréquence d'échantillonnage ................................................................12

I.2.2.1 Interpolation..................................................................................................................12

I.2.2.2 Décimation..................................................................................................................15

I.2.3 Fenêtrage ..........................................................................................................................15

I.2.4 Quantification ..................................................................................................................16

I.3 Performances des amplificateurs audio........................................................................17

I.3.1 Notions de psychoacoustique ....................................................................................17

I.3.2 Mesure de la qualité audio..........................................................................................19

I.3.2.1 Plage dynamique........................................................................................................19

I.3.2.2 Taux de distorsion harmonique........................................................................20

I.3.2.3 Rapport signal à bruit..........................................................................................21

I.3.2.4 Taux de réjection des bruits d'alimentation..........................................................21

I.3.2.5 Notion de Haute-Fidélité..................................................................................22

I.4 Amplificateurs de classe D ....................................................................................................22

I.4.1 Principe de base..................................................................................................................22

I.4.2 Problèmes inhérents à l'amplificateur de classe D ..........................................................24

I.4.2.1 Étage de puissance....................................................................................................24

I.4.2.2 Efficacité énergétique ..........................................................................................24

I.4.2.3 Émissions Électromagnétiques ............................................................................25
TABLE DES MATIÈRES

<table><tr><td>I.4.3</td><td>Amplification de classe D avec un modulateur de largeur d'impulsions</td><td>26</td></tr><tr><td>I.4.3.1</td><td>Principe du modulateur de largeur d'impulsions</td><td>26</td></tr><tr><td>I.4.3.2</td><td>Avantages et limites du modulateur de largeur d'impulsions</td><td>27</td></tr><tr><td>I.4.4</td><td>Amplificateurs de classe D avec un modulateur de densité d'impulsions</td><td>29</td></tr><tr><td>I.4.5</td><td>Amplificateurs de classe D avec un modulateur de fréquence</td><td>29</td></tr><tr><td>I.4.6</td><td>Amplificateurs de classe D à entrée numérique</td><td>31</td></tr><tr><td>I.4.7</td><td>Tableau comparatif d'architectures</td><td>33</td></tr><tr><td>I.5</td><td>Conclusion du chapitre</td><td>35</td></tr><tr><td colspan="2">Références du chapitre I</td><td>37</td></tr></table>

II. Boucle d'amplification ΔΣ à rétroaction partielle.................................................. 39

<table><tr><td>II.1</td><td>Étude d'un modulateur du premier ordre</td><td>42</td></tr><tr><td>II.1.1</td><td>Modèle linéaire du modulateur du premier ordre</td><td>42</td></tr><tr><td>II.1.2</td><td>Simulation du modèle linéaire</td><td>43</td></tr><tr><td>II.1.3</td><td>Gain du quantificateur</td><td>44</td></tr><tr><td>II.1.4</td><td>Stabilité et saturation du modulateur</td><td>45</td></tr><tr><td>II.2</td><td>Conception de modulateurs ΔΣ</td><td>46</td></tr><tr><td>II.2.1</td><td>Modulateurs ΔΣ d'ordre supérieur à 1</td><td>46</td></tr><tr><td>II.2.1.1</td><td>Détermination des fonctions de transfert du signal et du bruit</td><td>47</td></tr><tr><td>II.2.1.2</td><td>Cascade d'intégrateurs et de résonateurs avec rétroaction distribuée</td><td>48</td></tr><tr><td>II.2.1.3</td><td>Cascade d'intégrateurs et de résonateurs avec une simple rétroaction</td><td>50</td></tr><tr><td>II.2.2</td><td>Dimensionnement d'un modulateur</td><td>51</td></tr><tr><td>II.2.2.1</td><td>Calcul de la fonction de transfert du modulateur</td><td>53</td></tr><tr><td>II.2.2.2</td><td>Choix du filtre</td><td>54</td></tr><tr><td>II.2.2.3</td><td>Paramètres du filtre et performances du modulateur</td><td>59</td></tr><tr><td>II.2.3</td><td>Stabilisation non-linéaire</td><td>63</td></tr><tr><td>II.2.4</td><td>Technique du « dithering »</td><td>64</td></tr><tr><td>II.2.5</td><td>Quantificateurs multi-bit</td><td>66</td></tr><tr><td>II.2.6</td><td>Modulateurs ΔΣ à temps continu</td><td>68</td></tr><tr><td>II.3</td><td>Étude de la boucle ΔΣ à rétroaction partielle</td><td>68</td></tr><tr><td>II.3.1</td><td>Principe</td><td>69</td></tr><tr><td>II.3.2</td><td>Illustration du principe de la rétroaction partielle</td><td>70</td></tr><tr><td>II.3.2.1</td><td>STF de l'ADC égale à 1</td><td>71</td></tr><tr><td>II.3.2.2</td><td>STF de l'ADC différente de 1</td><td>74</td></tr></table>
TABLE DES MATIÈRES

<table><tbody><tr><td>II.3.3</td><td>Stabilité des modulateurs à rétroaction partielle</td><td>75</td></tr><tr><td>II.3.4</td><td>Evaluation du PSRR</td><td>76</td></tr><tr><td>II.3.5</td><td>Conclusion sur la rétroaction partielle</td><td>77</td></tr><tr><td>II.4</td><td>Étude de la consommation de l'étage de puissance selon la technique de modulation</td><td>77</td></tr><tr><td>II.4.1</td><td>Modélisation de l'étage de puissance</td><td>78</td></tr><tr><td>II.4.2</td><td>Modèle de haut-parleur</td><td>80</td></tr><tr><td>II.4.3</td><td>Simulations</td><td>82</td></tr><tr><td>II.4.3.1</td><td>La puissance consommée</td><td>82</td></tr><tr><td>II.4.3.2</td><td>Le taux d'exposition</td><td>82</td></tr><tr><td>II.4.3.3</td><td>La fréquence de commutation</td><td>83</td></tr><tr><td>II.4.3.4</td><td>Perturbations électromagnétiques</td><td>83</td></tr><tr><td>II.4.3.5</td><td>Résultats de simulation</td><td>84</td></tr><tr><td>II.5</td><td>Conclusion du chapitre</td><td>87</td></tr><tr><td colspan="2">Références du chapitre II</td><td>89</td></tr></tbody></table>

III. Amplificateur de classe D numérique 91

<table><tbody><tr><td>III.1</td><td>Étage d'entrée numérique</td><td>94</td></tr><tr><td>III.1.1</td><td>Entrée audio</td><td>94</td></tr><tr><td>III.1.2</td><td>Filtrage de l'entrée PDM</td><td>95</td></tr><tr><td>III.1.3</td><td>Suppression des bruits parasites au démarrage</td><td>96</td></tr><tr><td>III.1.4</td><td>Calibration automatique d'offset</td><td>97</td></tr><tr><td>III.1.5</td><td>Modulateur Delta-Sigma</td><td>98</td></tr><tr><td>III.1.6</td><td>Interface de programmation série</td><td>100</td></tr><tr><td>III.2</td><td>Étage de puissance</td><td>100</td></tr><tr><td>III.3</td><td>Convertisseur Analogique Numérique Delta-Sigma à temps continu</td><td>102</td></tr><tr><td>III.3.1</td><td>Architecture</td><td>103</td></tr><tr><td>III.3.2</td><td>Choix d'un convertisseur ΔΣ temps continu</td><td>104</td></tr><tr><td>III.3.3</td><td>Dimensionnement du modulateur ΔΣ temps continu</td><td>105</td></tr><tr><td>III.3.3.1</td><td>Principe</td><td>106</td></tr><tr><td>III.3.3.2</td><td>Identification</td><td>107</td></tr><tr><td>III.3.3.3</td><td>Identification</td><td>108</td></tr><tr><td>III.3.3.4</td><td>Fonction de transfert</td><td>109</td></tr><tr><td>III.3.4</td><td>Mécanisme de suppression de bruit de phase (DLL)</td><td>111</td></tr><tr><td>III.3.5</td><td>Algorithme de correction dynamique des erreurs d'appariement (DEM)</td><td>114</td></tr><tr><td>III.3.5.1</td><td>Principe du DEM</td><td>114</td></tr></tbody></table>
TABLE DES MATIÈRES

<table><tr><td>III.3.5.2</td><td>Evaluation des performances du PTVQ-DEM</td><td>117</td></tr><tr><td>III.3.6</td><td>Conclusion sur l'ADC</td><td>119</td></tr><tr><td>III.4</td><td>Conception du circuit intégré</td><td>120</td></tr><tr><td>III.4.1</td><td>Conception de la partie numérique</td><td>120</td></tr><tr><td>III.4.2</td><td>Blocs annexes</td><td>120</td></tr><tr><td>III.4.3</td><td>Validation du circuit</td><td>121</td></tr><tr><td>III.4.4</td><td>Assemblage du système sur silicium</td><td>122</td></tr><tr><td>III.5</td><td>Mesures du circuit intégré</td><td>125</td></tr><tr><td>III.5.1</td><td>Dispositif de test et de mesure</td><td>125</td></tr><tr><td>III.5.1.1</td><td>Description de la carte de test</td><td>125</td></tr><tr><td>III.5.1.2</td><td>Remarques sur la conception de la carte de test</td><td>127</td></tr><tr><td>III.5.1.3</td><td>Génération du signal PDM</td><td>127</td></tr><tr><td>III.5.2</td><td>Mesures de l'amplificateur</td><td>130</td></tr><tr><td>III.5.2.1</td><td>Dispositif de mesure</td><td>130</td></tr><tr><td>III.5.2.2</td><td>Mesure de THD+N</td><td>131</td></tr><tr><td>III.5.2.3</td><td>Mesure de PSRR</td><td>132</td></tr><tr><td>III.5.2.4</td><td>Mesure de Puissance</td><td>133</td></tr><tr><td>III.5.3</td><td>Mesures de l'ADC</td><td>133</td></tr><tr><td>III.5.3.1</td><td>Dispositif de mesure</td><td>133</td></tr><tr><td>III.5.3.2</td><td>Mesure de THD+N</td><td>134</td></tr><tr><td>III.5.3.3</td><td>Mesure du plancher de bruit</td><td>135</td></tr><tr><td>III.5.4</td><td>Mesures de consommation</td><td>136</td></tr><tr><td>III.5.5</td><td>Erreurs de conception</td><td>137</td></tr><tr><td>III.5.5.1</td><td>Erreurs du circuit</td><td>137</td></tr><tr><td>III.5.5.2</td><td>Mesure du composant parasite</td><td>139</td></tr><tr><td>III.5.5.3</td><td>Utilisation du FIB</td><td>140</td></tr><tr><td>III.5.6</td><td>Explication des résultats de mesure</td><td>141</td></tr><tr><td>III.6</td><td>Améliorations possibles de l'amplificateur</td><td>143</td></tr><tr><td>III.6.1</td><td>Optimisation de la surface</td><td>143</td></tr><tr><td>III.6.2</td><td>Optimisation de la consommation</td><td>144</td></tr><tr><td>III.7</td><td>Conclusion du chapitre</td><td>145</td></tr><tr><td></td><td>Références du chapitre III</td><td>147</td></tr><tr><td colspan="2"><strong>Conclusion générale</strong></td><td><strong>149</strong></td></tr><tr><td colspan="2"><strong>Annexe</strong></td><td><strong>153</strong></td></tr></table>
Table des figures

<table><tr><td>FIGURE I.1</td><td>Architecture générique d'un amplificateur audio</td><td>9</td></tr><tr><td>FIGURE I.2</td><td>Echantillonnage d'un signal sinusoïdal</td><td>10</td></tr><tr><td>FIGURE I.3</td><td>Représentation dans le domaine fréquentiel de l'échantillonnage</td><td>11</td></tr><tr><td>FIGURE I.4</td><td>Sur-échantillonnage d'un signal sinusoïdal à 1 kHz échantillonné à 8 kHz</td><td>13</td></tr><tr><td>FIGURE I.5</td><td>Décimation d'un signal sinusoïdal à 1 kHz échantillonné à 48 kHz</td><td>14</td></tr><tr><td>FIGURE I.6</td><td>Spectre des fenêtres rectangulaire et de Blackman</td><td>16</td></tr><tr><td>FIGURE I.7</td><td>Spectre d'un sinus à 1 kHz échantillonné à 48 kHz quantifié</td><td>16</td></tr><tr><td>FIGURE I.8</td><td>Pondération de type A</td><td>19</td></tr><tr><td>FIGURE I.9</td><td>Notion de plage dynamique</td><td>20</td></tr><tr><td>FIGURE I.10</td><td>Illustration du taux de distorsion harmonique et bruit</td><td>20</td></tr><tr><td>FIGURE I.11</td><td>Illustration du taux de réjection des bruits d'alimentation</td><td>21</td></tr><tr><td>FIGURE I.12</td><td>Etage de puissance type « pont en H »</td><td>23</td></tr><tr><td>FIGURE I.13</td><td>Illustration du principe du modulateur PWM</td><td>26</td></tr><tr><td>FIGURE I.14</td><td>Modulateur de classe-D différentiel PWM du 1er ordre</td><td>27</td></tr><tr><td>FIGURE I.15</td><td>Modulateur de classe-D différentiel à modulation de fréquence</td><td>30</td></tr><tr><td>FIGURE I.16</td><td>Amplificateur à entrée numérique en boucle ouverte</td><td>31</td></tr><tr><td>FIGURE I.17</td><td>Amplificateur à entrée numérique en boucle fermée</td><td>32</td></tr><tr><td>FIGURE I.18</td><td>Amplificateur à entrée numérique avec une boucle mixte</td><td>32</td></tr></table>
TABLE DES FIGURES

<table><tr><td>FIGURE II.1</td><td>Schéma général du concept de rétroaction partielle</td><td>39</td></tr><tr><td>FIGURE II.2</td><td>Schéma simplifié d'un modulateur Δ et d'un modulateur ΔΣ</td><td>40</td></tr><tr><td>FIGURE II.3</td><td>Modulateur Delta-Sigma du premier ordre et modèle en Z de l'intégrateur</td><td>42</td></tr><tr><td>FIGURE II.4</td><td>Réponse en fréquence de la NTF d'un modulateur du 1er ordre selon l'OSR</td><td>43</td></tr><tr><td>FIGURE II.5</td><td>Modulation d'un sinus en PDM et spectre du signal modulé</td><td>44</td></tr><tr><td>FIGURE II.6</td><td>Valeur du gain k en fonction de la valeur DC en entrée du modulateur pour 2, 3 et 5 niveaux de quantification</td><td>45</td></tr><tr><td>FIGURE II.7</td><td>Taux de distorsion en fonction de l'amplitude du signal d'entrée</td><td>46</td></tr><tr><td>FIGURE II.8</td><td>Représentation du modulateur ΔΣ sous forme d'un filtre rebouclé</td><td>47</td></tr><tr><td>FIGURE II.9</td><td>Structures CIFB et CRFB d'ordre 4</td><td>48</td></tr><tr><td>FIGURE II.10</td><td>NTF des modulateurs CIFB et CRFB</td><td>49</td></tr><tr><td>FIGURE II.11</td><td>Structures CIFF et CRFF d'ordre 4</td><td>51</td></tr><tr><td>FIGURE II.12</td><td>Etapes de conception d'un modulateur ΔΣ</td><td>52</td></tr><tr><td>FIGURE II.13</td><td>Exemple de modulateur d'ordre 3 de type CRFB</td><td>53</td></tr><tr><td>FIGURE II.14</td><td>Modèle du modulateur d'ordre 3</td><td>53</td></tr><tr><td>FIGURE II.15</td><td>Réponse en fréquence du filtre du 4ème ordre et représentation des pôles et zéros</td><td>56</td></tr><tr><td>FIGURE II.16</td><td>Filtre de Butterworth du 3ème ordre</td><td>56</td></tr><tr><td>FIGURE II.17</td><td>Filtre de Chebyshev type I du 3ème ordre</td><td>57</td></tr><tr><td>FIGURE II.18</td><td>Filtre de Chebyshev type II du 3ème ordre</td><td>58</td></tr><tr><td>FIGURE II.19</td><td>Filtre Elliptique du 3ème ordre</td><td>59</td></tr><tr><td>FIGURE II.20</td><td>Gabarit d'un filtre de Chebyshev de type II avec ses paramètres</td><td>60</td></tr><tr><td>FIGURE II.21</td><td>Spectre de la sortie d'un modulateur d'ordre 3</td><td>61</td></tr><tr><td>FIGURE II.22</td><td>Variation du SNR-A et de l'indice de modulation en fonction de l'OSR</td><td>61</td></tr><tr><td>FIGURE II.23</td><td>Variation du SNR-A et de l'indice de modulation en fonction de l'atténuation du filtre à 20 kHz</td><td>62</td></tr><tr><td>FIGURE II.24</td><td>Influence de la stabilisation non-linéaire sur le SNR-A</td><td>64</td></tr><tr><td>FIGURE II.25</td><td>Mécanisme de dithering à un modulateur ΔΣ et structure d'une LFSR</td><td>65</td></tr></table>
TABLE DES FIGURES

<table><tr><td>FIGURE II.26</td><td>Influence du dithering sur le SNR-A</td><td>66</td></tr><tr><td>FIGURE II.27</td><td>Comparaison du spectre d'un modulateur avec et sans dithering</td><td>66</td></tr><tr><td>FIGURE II.28</td><td>Influence du nombre de niveaux de quantification sur le SNR-A</td><td>67</td></tr><tr><td>FIGURE II.29</td><td>Schéma de principe de la rétroaction partielle</td><td>70</td></tr><tr><td>FIGURE II.30</td><td>Modèle linéaire d'un modulateur d'ordre 3 avec rétroaction partielle d'ordre 2</td><td>71</td></tr><tr><td>FIGURE II.31</td><td>Fréquences de coupure de STF<sub>ADC</sub> pour obtenir la stabilité de la boucle en fonction de n<sub>ADC</sub> et de l'ordre de la rétroaction partielle et délai induit par ces filtres en DC</td><td>75</td></tr><tr><td>FIGURE II.32</td><td>Variation du PSRR en fonction de la fréquence du signal parasite et de l'ordre de la rétroaction partielle</td><td>76</td></tr><tr><td>FIGURE II.33</td><td>Schéma électrique du modèle de l'étage de puissance</td><td>78</td></tr><tr><td>FIGURE II.34</td><td>Modèle de haut-parleur Thiele-Small</td><td>81</td></tr><tr><td>FIGURE II.35</td><td>Impédance du haut-parleur dans le modèle simulé</td><td>81</td></tr><tr><td>FIGURE II.36</td><td>Schémas des modèles des modulateurs PWM2 et PWM3</td><td>84</td></tr><tr><td>FIGURE II.37</td><td>Résultat des simulations pour la puissance</td><td>85</td></tr><tr><td>FIGURE II.38</td><td>Taux d'exposition des modulateurs</td><td>86</td></tr><tr><td>FIGURE II.39</td><td>Fréquence de commutation des modulateurs</td><td>86</td></tr><tr><td>FIGURE III.1</td><td>Architecture de l'amplificateur de classe D numérique</td><td>92</td></tr><tr><td>FIGURE III.2</td><td>Illustration du format PDM avec le codage sur 1 bit d'un signal sinusoidal</td><td>94</td></tr><tr><td>FIGURE III.3</td><td>Chronogramme de l'interface I2S issu de la spécification de Philips</td><td>95</td></tr><tr><td>FIGURE III.4</td><td>Spectre d'un sinus à 1 kHz encodé au format PDM, après et avant le filtre passif bas du 2ème ordre</td><td>96</td></tr><tr><td>FIGURE III.5</td><td>Algorithme de suppression des bruits impulsionnels parasites</td><td>97</td></tr><tr><td>FIGURE III.6</td><td>Illustration de l'algorithme de calibration automatique</td><td>98</td></tr><tr><td>FIGURE III.7</td><td>Architecture du modulateur ΔΣ numérique de l'amplificateur</td><td>98</td></tr><tr><td>FIGURE III.8</td><td>STF et NTF du modulateur ΔΣ numérique</td><td>99</td></tr></table>
TABLE DES FIGURES

<table><tr><td>FIGURE III.9</td><td>Schéma général de l'étage de puissance</td><td>101</td></tr><tr><td>FIGURE III.10</td><td>Décodage des signaux de contrôle de l'étage de puissance</td><td>101</td></tr><tr><td>FIGURE III.11</td><td>Schéma de principe du circuit de contrôle des transistors de puissance</td><td>102</td></tr><tr><td>FIGURE III.12</td><td>Schéma de l'ADC temps continu</td><td>103</td></tr><tr><td>FIGURE III.13</td><td>Schémas équivalents pour effectuer la conversion entre un modulateur temps continu et un modulateur temps discret</td><td>106</td></tr><tr><td>FIGURE III.14</td><td>Modèle linéaire de la chaîne d'intégrateur de l'ADC temps continu implémenté dans la boucle d'amplification de classe D numérique</td><td>107</td></tr><tr><td>FIGURE III.15</td><td>Chronogramme de la conversion numérique-analogique</td><td>108</td></tr><tr><td>FIGURE III.16</td><td>NTF du modulateur temps continu et représentation des pôles et zéros</td><td>110</td></tr><tr><td>FIGURE III.17</td><td>Spectre de sortie de l'ADC</td><td>111</td></tr><tr><td>FIGURE III.18</td><td>Structure du générateur d'horloge sans jitter (DLL)</td><td>113</td></tr><tr><td>FIGURE III.19</td><td>Chronogramme des signaux de la DLL</td><td>113</td></tr><tr><td>FIGURE III.20</td><td>Schéma de la boucle de rétroaction de l'ADC</td><td>114</td></tr><tr><td>FIGURE III.21</td><td>Architecture du VQ-DEM 8 bits</td><td>116</td></tr><tr><td>FIGURE III.22</td><td>Architecture du PTVQ-DEM 8 bits</td><td>116</td></tr><tr><td>FIGURE III.23</td><td>Cellule DEM deux signaux du PTVQ-DEM</td><td>117</td></tr><tr><td>FIGURE III.24</td><td>Modèle d'un des intégrateurs du PTVQ-DEM</td><td>117</td></tr><tr><td>FIGURE III.25</td><td>Distribution des valeurs de SNR obtenues en simulation selon le type de DEM</td><td>118</td></tr><tr><td>FIGURE III.26</td><td>Layout du circuit complet avec la position des différents blocs du système</td><td>124</td></tr><tr><td>FIGURE III.27</td><td>Surface relative des blocs de la partie numérique et des blocs du circuit</td><td>124</td></tr><tr><td>FIGURE III.28</td><td>Schéma de la carte de test</td><td>126</td></tr><tr><td>FIGURE III.29</td><td>Architecture du filtre interpolateur</td><td>128</td></tr><tr><td>FIGURE III.30</td><td>Spectres de sortie des filtres du filtre interpolateur</td><td>129</td></tr><tr><td>FIGURE III.31</td><td>Banc de mesure de l'amplificateur</td><td>130</td></tr><tr><td>FIGURE III.32</td><td>Courbe de la THD+N en fonction de l'amplitude d'entrée</td><td>131</td></tr><tr><td>FIGURE III.33</td><td>Courbe du PSRR en fonction de la fréquence</td><td>132</td></tr></table>
TABLE DES FIGURES

<table><tr><td>FIGURE III.34</td><td>Courbe de la puissance de sortie en fonction de l'amplitude d'entrée</td><td>133</td></tr><tr><td>FIGURE III.35</td><td>Banc de mesure de l'ADC</td><td>134</td></tr><tr><td>FIGURE III.36</td><td>Spectre du signal en sortie de l'ADC avec le générateur de signal du banc de mesure de l'ADC</td><td>134</td></tr><tr><td>FIGURE III.37</td><td>Mesure du plancher de bruit de l'ADC avec et sans DLL</td><td>135</td></tr><tr><td>FIGURE III.38</td><td>Consommation relative des principaux blocs du circuit</td><td>136</td></tr><tr><td>FIGURE III.39</td><td>Layout d'un des 4 level shifter</td><td>138</td></tr><tr><td>FIGURE III.40</td><td>Mesure de la caractéristique courant-tension du composant parasite entre les nœuds Vdda et Vbat pour 4 puces différentes</td><td>139</td></tr><tr><td>FIGURE III.41</td><td>Image au MEB de l'entaille réalisée grâce au FIB</td><td>140</td></tr><tr><td>FIGURE III.42</td><td>Schéma électrique simplifié d'un DAC unitaire</td><td>141</td></tr></table>
# Liste des tableaux

<table><tbody><tr><td>TABLEAU I.1</td><td>Comparaison des différentes solutions d'amplificateur audio</td><td>9</td></tr><tr><td>TABLEAU I.2</td><td>Tableau comparatif des performances des exemples d'amplificateurs</td><td>34</td></tr><tr><td>TABLEAU II.1</td><td>Expression de la fonction de transfert en boucle ouverte du modulateur en fonction de l'ordre n de la rétroaction partielle</td><td>74</td></tr><tr><td>TABLEAU II.2</td><td>Tableau de commande des transistors pour piloter la tension aux bornes de la charge</td><td>79</td></tr><tr><td>TABLEAU II.3</td><td>Transitions possibles de l'étage de puissance et énergie de commutation associée</td><td>79</td></tr><tr><td>TABLEAU II.4</td><td>Paramètres de Thiele-Small</td><td>81</td></tr><tr><td>TABLEAU III.1</td><td>Tableau des performances du prototype d'amplificateur discret</td><td>92</td></tr><tr><td>TABLEAU III.2</td><td>Valeur des coefficients du modulateur ΔΣ numérique</td><td>99</td></tr><tr><td>TABLEAU III.3</td><td>Coefficients du modulateur ΔΣ de l'ADC</td><td>109</td></tr><tr><td>TABLEAU III.4</td><td>Moyennes et écart-types des valeurs de SNR obtenues dans les simulations selon le type de DEM</td><td>118</td></tr><tr><td>TABLEAU III.5</td><td>Tableau des performances en simulation de l'amplificateur</td><td>122</td></tr><tr><td>TABLEAU III.6</td><td>Caractéristiques des filtres composant le filtre interpolateur</td><td>128</td></tr><tr><td>TABLEAU III.7</td><td>Tableau des consommations pour chaque bloc principal</td><td>136</td></tr><tr><td>TABLEAU C.1</td><td>Performances de l'amplificateur de classe D numérique</td><td>151</td></tr></tbody></table>
## Liste des acronymes

**ADC** Analog-to-Digital Converter

**CIC** Cascaded Integrator-Comb filter

**CIFB** Chain of Integrators with distributed FeedBack

**CIFF** Chain of Integrators with distributed FeedForward

**CMOS** Complementary Metal-Oxyde-Silicon

**CRFB** Chain of Resonators with distributed FeedBack

**CRFF** Chain of Resonators with distributed FeedForward

**ΔΣ** Delta-Sigma

**DAC** Digital-to-Analog Converter

**DEM** Dynamic Element Matching

**DLL** Delay Locked Loop

**DR** Dynamic Range

**EMI** ElectroMagnetic Interference

**ESD** ElectroStatic Discharge

**FFT** Fast Fourier Transform

**FIB** Focused Ion Beam

**FIR** Finite Impulse Response filter

**FPGA** Field-Programmable Gate Array

**GSM** Global System for Mobile communications

**I2C** Inter-Integrated Circuit

**I2S** Inter-IC Sound

**IIR** Infinite Impulse Response filter

**IP** Intellectual Property

**LDO** Low DropOut generator
**LSB** Least Significant Bit

**MEB** Microscope Electronique à Balayage

**MSB** Most Significant Bit

**MOSFET** Metal-Oxide-Semiconductor Field-Effect Transistor

**NTF** Noise Transfer Function

**OSR** OverSampling Ratio

**PDM** Pulse Density Modulation

**PSRR** Power Supply Rejection Ratio

**PTVQ-DEM** Partial-Tree Vector Quantizer - DEM

**PWM** Pulse Width Modulation

**RMS** Root Mean Square

**RTZ** Return to Zero

**SAR** Successive Approximation Register

**SNDR** Signal to Noise and Distortion Ratio

**SNR** Signal to Noise Ratio

**SNR-A** Signal to Noise Ratio A-weighted

**S/PDIF** Sony/Philips Digital Interconnect Format

**STF** Signal Transfer Function

**TF** Transformée de Fourier

**THD** Total Harmonic Distortion

**THD+N** Total Harmonic Distortion + Noise

**USB** Universal Serial Bus

**VHDL** VHSIC Hardware Description Language

**VQ-DEM** Vector-Quantizer DEM
# Introduction générale

## Avant-propos

Ces dernières années ont vu un fort changement des amplificateurs audio dans les applications embarquées. Les constructeurs de ces applications ont demandé aux fabricants de circuits de réduire fortement la consommation de leurs amplificateurs tout en améliorant la qualité audio perçue par l'utilisateur et en augmentant la puissance de sortie (comprise entre 1 et 2 Watt). Dans le même temps, le volume de ce type d'amplificateurs a suivi la très forte courbe des ventes des applications mobiles, essentiellement à travers le marché des téléphones portables, qui ont laissé leur place aux « smartphones ».

L'architecture des amplificateurs s'est donc adaptée à ce nouvel environnement. Les amplificateurs de classe D ont peu à peu remplacé les amplificateurs de classe AB car ils permettent d'atteindre une efficacité supérieure. Auparavant, les amplificateurs de classe D avaient pour défaut de moindres performances en termes de linéarité, du fait des temps morts injectés dans l'étage de puissance, de nécessiter un filtre passif en sortie induisant un coût plus élevé, et la difficulté de les rendre compatibles aux normes d'émissions électromagnétiques. Un important travail a été effectué pour améliorer la linéarité de cette classe d'amplificateurs, leur intégration en supprimant le filtre de sortie et les émissions électromagnétiques avec de nouvelles techniques de modulation.

Désormais, le niveau de bruit et la distorsion ont pu être maîtrisés grâce à de nombreux travaux sur la modulation, et également grâce à la certaine maturité acquise par les différentes équipes de conception d'amplificateurs de classe D intégrés. Les deux principales marges de progression sont désormais l'amélioration de la consommation, et la réjection des bruits de l'alimentation. Pour la consommation, les choix d'architecture et la technique de modulation ont une grande influence. Des modes basse consommation peuvent également être mis en place quand l'amplificateur n'est pas utilisé, l'implémentation de ces modes requiert toutefois de s'assurer que la transition vers ces modes n'est pas audible. Enfin, une réflexion entre une implémentation numérique ou analogique pour une fonction du système, peut permettre de diminuer sensiblement la consommation.
La deuxième marge de progression concerne l'amélioration de la réjection de l'alimentation. Deux possibilités sont offertes. La plus évidente est de réguler la tension d'alimentation de l'étage de puissance, pour que les perturbations se trouvant dans la bande audio ne soient pas transmises au signal pilotant le haut-parleur. Cette solution nécessite un filtrage très important de la tension d'alimentation et doit supporter les forts courants requis par l'étage de puissance, ce qui suppose d'importantes capacités de découplage, un régulateur d'excellente qualité et une conception soigneuse pour isoler ce nœud d'alimentation. Cette solution n'est pas envisageable pour un système embarqué à bas coût, car elle est volumineuse et nécessite un certain nombre de composants supplémentaires.

La deuxième possibilité est d'intégrer l'étage de puissance et ses perturbations dans une boucle de rétroaction afin de les atténuer. Cette technique est très largement répandue dans les systèmes actuels mais son implémentation présente des limites. Dans le cas d'une rétroaction dans une boucle analogique différentielle, la correction peut souffrir des erreurs d'appariement des composants passifs, limitant les performances. Une architecture pseudo-différentielle règle ce problème mais nécessite de doubler la boucle analogique. C'est pourquoi une implémentation avec une boucle numérique et une conversion analogique-numérique dans la boucle de rétroaction a fait l'objet de recherches. La principale difficulté posée par ce choix d'architecture est d'une part la stabilité de la boucle entière, du fait de la fonction de transfert du convertisseur analogique-numérique, et d'autre part la limitation des performances de la boucle par les performances du convertisseur analogique-numérique. Étudier les problèmes liés à ce type d'architecture et leur trouver des solutions constitue l'objet de ce travail de thèse.

## Contexte de la thèse

Le concept particulier d'amplificateur de classe D numérique sur lequel cette thèse est basée avec sa boucle à rétroaction partielle a été développé par Hassan Ihs en 2007-2008 après une longue expérience dans l'industrie audio. Il s'est associé avec Christian Dufaza, professeur à l'Institut Matériaux Microélectronique Nanosciences de Provence (IM2NP) pour créer en mai 2009 l'entreprise Primachip basée à Marseille. Le but de cette entreprise était de breveter l'architecture d'amplificateur et de lui trouver un débouché commercial, à travers de la conception de circuits ou la vente de licences d'exploitations. En parallèle, une activité de recherche et de développement a été mise en place par le biais d'un partenariat avec l'IM2NP, qui a débouché sur la création de ce sujet de thèse sous contrat CIFRE (Conventions Industrielles de Formation par la REcherche).

La cible de l'amplificateur de classe D numérique décrit ici est le marché des applications mobiles, et essentiellement les téléphones portables. Cette architecture a donc pour finalité d'être
implémentée sur un circuit intégré. Toutefois, un prototype d'amplificateur basé sur des composants discrets et un circuit numérique programmable a été conçu afin de démontrer la validité de l'architecture. L'évaluation des performances de ce prototype se sont avérées très encourageantes, compte tenu du manque de contrôle sur les performances de chaque partie du système, même s'il est vrai que les contraintes d'un circuit intégré sont exigeantes. La conception d'une version intégrée du circuit et son évaluation a donc été inclue dans le cadre de la thèse et a pris toute une année, de janvier 2010 à janvier 2011.

Par la suite, la fragilité financière de l'entreprise et le fait que la première version du circuit était inaboutie ont conduit à sa liquidation judiciaire en mai 2011. J'ai donc quitté Marseille pour travailler à Edimbourg chez Wolfson Microelectronics dans la conception de circuits intégrés audio, en continuant à la fois à enrichir mon travail de recherche, et en terminant la rédaction de la thèse. La soutenance a eu lieu le 27 juin 2013.

## Plan du manuscrit

Ce manuscrit se divise en trois chapitres. Le chapitre I a pour but d'introduire les amplificateurs de classe D à travers des considérations sur le marché des amplificateurs audio, la présentation des outils mathématiques utilisés pour l'analyse des modulateurs, une description des différents critères de performance des dispositifs audio, reliés à la physiologie de l'oreille humaine, et enfin un état de l'art des amplificateurs de classe D. Cette dernière partie s'attachera à montrer les différentes architectures d'amplificateur et techniques de modulation utilisés, ainsi que les performances des amplificateurs récents pour chaque catégorie.

Ensuite, le chapitre II portera sur la conception de modulateurs ΔΣ optimisés pour l'audio. Nous exposerons de façon simple le principe de ce type de modulateur. Une méthode pratique et automatisable de conception et de dimensionnement de modulateurs ΔΣ d'ordre plus élevé sera présentée. Toutes les topologies existantes ne seront pas étudiées, seule l'architecture formée d'une cascade d'intégrateurs, d'un quantificateur et d'une boucle de rétroaction le sera. Le principe est de modeler les fonctions de transfert linéaires du système dans le domaine fréquentiel selon les spécifications, et de prendre ensuite en compte les non-linéarités par des simulations extensives, en ajoutant au besoin des mécanismes spécifiques pour améliorer le niveau de bruit, la distorsion et la stabilité. Le concept de boucle ΔΣ à rétroaction partielle sera exposé, cela permet à l'amplificateur de classe D numérique d'atteindre des valeurs de PSRR très importantes tout en ménageant la stabilité du système. Enfin, nous terminerons ce chapitre par une étude de la consommation de l'étage de puissance en fonction de la technique de modulation employée. Les modulations de largeur d'impulsion et de densité d'impulsion seront comparées.
Enfin, l'implémentation de l'amplificateur de classe D numérique sera l'objet du chapitre III.
Nous commencerons par décrire les différents blocs de la partie numérique et le principe des
mécanismes implémentés. Ensuite, nous verrons brièvement la conception de l'étage de puissance. Un
convertisseur analogique-numérique ΔΣ temps continu 9 niveaux a été conçu spécifiquement pour
obtenir des performances optimales dans la boucle de classe D numérique. Un nouveau mécanisme de
génération d'horloge, mis en place pour atténuer fortement l'influence du bruit de phase dans le bruit
du système, sera décrit. Un nouvel algorithme de correction dynamique des erreurs d'appariement a
également été ajouté au convertisseur, dans le but de supprimer la distorsion causée par les erreurs
d'appariement des composants dans la rétroaction. La conception et la validation du circuit intégré
sera ensuite traitée. Cette partie sera suivie par l'évaluation des performances de l'amplificateur et du
convertisseur seul, et les problèmes dus à conception seront analysés pour expliquer les performances
décevantes du système. Nous terminerons ce chapitre par des propositions d'amélioration de
l'architecture et une conclusion sur le concept d'amplificateur de classe D numérique développé dans
ce manuscrit.
# Chapitre I

## Introduction aux amplificateurs audio de classe D

Un amplificateur audio est un dispositif électronique qui, à partir d'un signal de commande contenant des données audio, est capable de piloter un haut-parleur pour qu'il restitue le flux audio à un auditeur à la puissance souhaitée. La qualité sonore obtenue dépend à la fois des performances de l'amplificateur et des caractéristiques du haut-parleur. Le premier système d'amplification audio à partir d'un enregistrement a été inventé en 1877 par Thomas Edison avec son phonographe [1]. L'invention du tube à vide au début du XXème siècle a permis de remplacer la transmission mécanique du phonographe par une transmission électrique permettant par la suite une amélioration des performances ainsi que des contraintes de fabrication plus réduites. Ces tubes à vide ont également permis l'essor de la transmission radio sonore. Plus tard, dans les années 1960, les transistors à base de semi-conducteurs se sont répandus et ont peu à peu remplacé les tubes à vide grâce à leur coût bien plus faible [2]. Ainsi, des circuits intégrés de plus en plus complexes, miniaturisés et performants ont depuis été créés sur la base de ces transistors. Ces circuits intégrés sont aussi appelés puces électroniques. Aujourd'hui, des fonctions audio ont été ajoutées dans à peu près toutes les applications mobiles : des appareils de localisation par satellite à la console de jeu, en passant bien sûr par les derniers téléphones portables et les baladeurs audio, ainsi que les appareils électroniques plus conventionnels comme la télévision ou la chaîne Hi-Fi.

Ce chapitre a pour but d'introduire les nombreuses notions nécessaires pour comprendre les différents enjeux de la conception d'un amplificateur audio et de présenter les solutions les plus couramment utilisées. Nous commencerons ainsi par évoquer les contraintes à prendre en compte dans la conception et comment les différents acteurs du marché des amplificateurs audio sont positionnés. Nous présenterons ensuite toutes les notions et notations de traitement du signal, appliquées au son,
qui seront utilisées par la suite dans ce mémoire, afin que le lecteur comprenne bien les raisons d'être et la fonction exacte des différents blocs du système amplificateur audio numérique.

Dans la section suivante, nous nous intéresserons à la notion de qualité audio. Cela comprend quelques notions de psychoacoustique, permettant de faire le lien avec les mesures de qualité audio utilisées pour évaluer un amplificateur audio. Enfin, la dernière partie portera sur les amplificateurs de classe D. Nous commencerons par voir leur principe et les problématiques posées par leur conception. Nous finirons ensuite par un état de l'art portant d'une part sur trois différentes techniques de modulation utilisées dans des amplificateurs de classe D : la modulation PWM, la modulation PDM et la modulation de fréquence, et d'autre part sur l'implémentation analogique ou numérique de la boucle d'amplification. Nous comparerons ensuite les performances de quelques amplificateurs audio récents conçus pour des applications mobiles implémentant ces types de modulation. Nous finirons par une conclusion sur ce chapitre.
# I.1 Le marché des amplificateurs audio

Le but de cette partie n'est pas de commenter longuement les tenants et les aboutissants de l'industrie audio, mais plutôt d'expliquer en quoi le marché des amplificateurs audio a une influence primordiale sur la conception d'un amplificateur numérique de classe D. Sans cela, il n'est pas possible d'expliquer pourquoi nous avons choisi d'intégrer tel ou tel bloc, de viser une certaine qualité audio ou bien de limiter la consommation.

## I.1.1 Caractéristiques du marché de l'audio

Dans [3], les auteurs divisent le marché en deux parties : le marché de masse et le marché de niche. Le marché de niche repose sur des technologies au cycle de vie souvent très long, il est souvent plus stable que le marché de masse au niveau de la clientèle et porte par définition sur de faibles volumes. Ces caractéristiques donnent aux entreprises positionnées sur ce type de marché du temps pour développer des produits de haute qualité, à des prix plutôt élevés, qu'il est difficile de réduire. En effet, il n'est pas vraiment possible de réaliser des économies d'échelle sur de faibles volumes, par exemple, les amplificateurs à tubes pour les guitares électriques. Cette technologie a perduré depuis le début du XXᵉ siècle jusqu'à maintenant. Ils sont beaucoup plus chers que les amplificateurs classiques à transistors mais les acheteurs recherchent avant tout une qualité de son particulière plutôt qu'un prix bas. Ainsi, la conception d'un produit pour ce type de marché, un amplificateur audio par exemple, va privilégier l'absence de défauts, la robustesse et la fiabilité du produit plutôt qu'un temps de développement rapide et des économies faites au détriment des performances.

A l'inverse, si l'entreprise veut adresser un marché de masse, elle doit avant tout être très mobile par rapport à l'évolution de ce marché. Toujours d'après [3], les cycles des nouveaux produits dans le domaine de l'audio s'accélèrent, ce qui fait que les entreprises doivent : soit diminuer les temps de mise sur le marché pour être présentes à chaque amélioration de la technologie, soit anticiper une génération grâce à une innovation majeure et être prêt à temps pour avoir une chance de s'insérer sur le marché. C'est ce modèle que les entreprises à faibles capitaux essaient de suivre. Le marché de masse est très concurrentiel mais génère des profits très importants pour les sociétés qui ont réussi à s'y installer. De ce fait, cela oblige les entreprises à toujours apporter des innovations, tant au niveau du marketing que de la technologie. Si bien sûr l'aspect technologique intéresse plus le lecteur de ce mémoire, les caractéristiques que doivent posséder les produits d'un même marché sont souvent dictées par des aspects marketing.
## I.1.2 Les acteurs du marché

Le marché des amplificateurs intégrés est constitué d'acteurs très divers [4]. Les premiers acteurs sont de grands groupes généralistes du semi-conducteur qui conçoivent leurs propres amplificateurs audio et qui ont les capacités de les fabriquer et les tester en interne. Les principaux groupes de ce type sont Qualcomm, Texas Instruments, STMicroelectronics, NXP Semiconductor, ON Semiconductor et Austria Mikro Systeme. Ces groupes ont l'avantage de maîtriser toute la chaîne, de la conception à la fabrication avec ses nombreuses étapes. Cela donne une grande marge de manœuvre car les moyens de fabrication peuvent être adaptés à la conception. De plus, les prix peuvent être extrêmement compétitifs car l'entreprise engrange à elle seule ou presque toute la marge sur le produit.

Il existe aussi sur ce marché des entreprises de taille moyenne spécialisées dans les produits audio qui sont dépourvues d'usine de fabrication de semi-conducteurs. Elles possèdent la plupart du temps des moyens de tests dédiés. Nous pouvons citer comme exemple Wolfson Microelectronics, Cirrus Logic, Yamaha, AKM Semiconductor, Dialog Semiconductor.

L'entreprise Primachip, qui a proposé ce sujet de thèse, est ce qui est appelée en anglais une « start-up ». Elle visait dès sa création le marché des amplificateurs audio dédiés aux applications embarquées, ce marché étant essentiellement constitué des téléphones portables. Cette entreprise est partie d'une idée d'architecture très innovante par rapport à des produits concurrents. Elle a réalisé des prototypes afin de prouver la validité de cette idée à ses clients potentiels.

Pour fabriquer des prototypes ou des produits commercialisables, les start-up et les entreprises de taille moyenne ont besoin de faire appel à des « fondeurs », c'est-à-dire des groupes qui possèdent des usines pour fabriquer des circuits intégrés sur silicium. Parfois, les grands groupes généralistes peuvent avoir également le rôle de fondeurs pour de plus petites entreprises.

## I.1.3 Le choix de la technologie

La figure I.1 montre les fonctions de base d'un amplificateur audio générique. Le signal d'entrée est d'abord traité afin de le transformer en un signal capable d'adresser l'étage de puissance avec le moins de perte de qualité possible. C'est ensuite l'étage de puissance qui va contrôler le haut-parleur. Il est très courant d'ajouter un banc de registres contenant les paramètres de fonctionnement de l'amplificateur. Enfin, de nombreux circuits intègrent une partie destinée à la gestion de l'alimentation, c'est-à-dire ce qui va générer les tensions d'alimentation et références internes.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE I.1- Architecture générique d'un amplificateur audio</figcaption></figure>

L'amplification audio peut se faire de plusieurs façons, chacune d'entre elles ayant ses avantages et inconvénients. Le tableau I.1 propose une comparaison en allant vers l'intégration la plus grande. Les premiers amplificateurs audio ont bien sûr été réalisés avec des composants discrets et ce jusqu'au début des premières puces électroniques complexes. Aujourd'hui, la plupart des amplificateurs modernes sont programmables, et ceux destinés aux grandes séries sont plutôt réalisés sur semi-conducteur, où les opérations pour fabriquer les différentes fonctions sont entièrement parallèles.

<table><caption>TABLEAU I.1 - Comparaison des différentes solutions pour implémenter un amplificateur audio</caption><thead><tr><td>Nom de la Solution</td><td>Description</td><td>Avantages</td><td>Inconvénients</td></tr></thead><tbody><tr><td>Composants discrets</td><td>Circuit imprimé avec des composants discrets</td><td>Temps de développement et de fabrication très rapide<br>Très faible coût</td><td>Consomme de l'espace<br>Limitation de la complexité des fonctions</td></tr><tr><td>Composants programmables</td><td>Circuit imprimé muni d'un FPGA, d'un DSP ou d'un microcontrôleur et de composants discrets pour l'étage de puissance</td><td>Temps de développement rapide<br>Coût relativement faible pour un prototype</td><td>Intégration très moyenne<br>Consommation non optimale</td></tr><tr><td>Système sur puce (« System on Chip »)</td><td>Circuit intégré composé de blocs distincts ou « IP » interconnectés ayant chacun une fonction particulière et qu'il est possible d'acheter séparément</td><td>Temps de développement correct<br>Très bonne intégration<br>Peu cher pour d'importants volumes</td><td>Les IP peuvent coûter cher<br>Consommation et surface ne sont pas optimales</td></tr><tr><td>Circuit intégré sur mesure (« Full Custom »)</td><td>Circuit intégré entièrement dédié à une application</td><td>Permet une consommation et une surface minimum<br>Très bonne intégration<br>Très peu cher pour d'importants volumes</td><td>Temps de développement et de fabrication très long (de l'ordre de l'année)<br>Coût très élevé</td></tr></tbody></table>
## I.2 Outils mathématiques pour la modélisation des amplificateurs audio

Nous avons vu dans la partie précédente le contexte de ce travail. Nous allons maintenant présenter les outils que nous utiliserons pour modéliser les amplificateurs audio. Cette section a pour but de donner les idées et notions de traitement du signal nécessaires à l'explication de pourquoi et comment le signal audio doit être filtré dans les différents étages d'une chaîne de transmission audio.

Nous désignerons par « signal » un objet physique transportant de l'information [5], en l'occurrence des informations audio. Les signaux peuvent être transmis de façon continue, c'est-à-dire des signaux variant continûment dans le temps, ou alors de façon discrète, c'est-à-dire sous la forme d'une suite de nombres séparés par un intervalle de temps en général constant.

### I.2.1 Échantillonnage

Pour un signal continu $x_c$ donné, nous définissons par $x$ la suite de valeurs correspondant à l'échantillonnage de $x_c$ avec une période égale à $T$.

$$x = \{x[n]\}, \text{avec } -\infty < n < +\infty \text{ et } x[n] = x_c(nT) \quad (I.1)$$

$T$ est défini comme la période d'échantillonnage. $\omega_s$, la pulsation d'échantillonnage, est égale à l'inverse de $T$ multipliée par $2\pi$. La figure I.2 montre un signal sinusoïdal et sa version échantillonnée.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE I.2 - Echantillonnage d'un signal sinusoïdal : (a) signal sinusoïdal continu (b) même signal échantillonné</figcaption></figure>

La version échantillonnée $x_s(t)$ du signal continu $x_c(t)$ est obtenue en multipliant ce dernier par un « peigne de Dirac » noté $s(t)$. La fonction de Dirac est notée $\delta$.
$$s(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) \qquad (I.2)$$

$$x_s(t) = x_c(t) \cdot s(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_c(t) \cdot \delta(t - nT) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_c(nT) \cdot \delta(t - nT) \qquad (I.3)$$

Dans (I.3), nous utilisons le fait que la fonction de Dirac $\delta(t)$ est égale à 0 lorsque $t$ est différent de 0. Nous passons alors d'une représentation temporelle à une représentation fréquentielle en utilisant une transformée de Fourier (TF). Nous calculons la TF $S(j\omega)$ de $s(t)$ où $k$ est un entier naturel [6].

$$S(j\omega) = \frac{2\pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega - k\omega_s) \qquad (I.4)$$

Soit $X_s(j\omega)$ et $X_c(j\omega)$ les TF de $x_s(t)$ et $x_c(t)$. $X_s(j\omega)$ est égale au produit de convolution de $S(j\omega)$ et $X_c(j\omega)$.

$$X(j\omega) = \frac{1}{2\pi} X_c(j\omega) * S(j\omega) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X_c(j(\omega - k\omega_s)) \qquad (I.5)$$

Cette dernière relation montre que dans le domaine fréquentiel, les spectres de $x_c(t)$ décalés de tous les multiples entiers de $\omega_s$ se superposent comme sur la figure I.3. Les répliques du spectre distantes d'$(\omega_s)$ sont appelées « alias ». Cette figure illustre bien le théorème de Shannon d'après lequel la fréquence minimale pour échantillonner un signal en conservant sa forme générale est égale au double de la fréquence maximale $\omega_N$ du spectre du signal. Si la fréquence d'échantillonnage est trop faible, une partie du premier alias se confond avec le signal et le perturbe. Ce dernier effet est appelé repliement de spectre.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE I.3 - Représentation dans le domaine fréquentiel de l'échantillonnage, $\omega_N$ représente la borne supérieure du spectre de $x_c(t)$</figcaption></figure>
## I.2.2 Changement de fréquence d'échantillonnage

Il est très courant dans les dispositifs audio que la fréquence d'échantillonnage d'un signal ait besoin d'être modifiée au cours de son traitement. En effet, un signal audio entrant dans un système audio peut être échantillonné à plusieurs fréquences, selon la qualité recherchée (par exemple : 8 kHz, 44,1 kHz, 48 kHz ou 192 kHz), mais des parties de ce système peuvent devoir fonctionner à une fréquence particulière indépendante de cette fréquence d'échantillonnage initiale. Nous avons réalisé quelques simulations avec le logiciel Matlab [7] pour illustrer ces problèmes de changement de fréquence d'échantillonnage. Afin de rendre les spectres suivants plus proches de ce qui peut être mesuré dans un système réel, nous avons ajouté un bruit blanc d'une amplitude arbitraire au signal original.

### I.2.2.1 Interpolation

L'interpolation consiste à augmenter la fréquence d'échantillonnage d'un signal temps discret de $f_{SL}$ à $f_{SH}$ et donc de « créer » les échantillons manquants. Nous nous plaçons ici dans le cas d'une interpolation simple où $f_{SH}$ est un multiple entier de $f_{SL}$ (d'un facteur A). A-1 zéros sont intercalés entre les échantillons du signal d'entrée. Ce signal est filtré de façon à ce que les alias au milieu du spectre ne soient pas gênants. Les figures I.4 (a) et (b) montrent l'interpolation d'un signal sinusoïdal de 1 kHz, nous passons d'une fréquence d'échantillonnage de 8 kHz à 48 kHz. Si les alias ne sont pas filtrés, les raies à 7 et 9 kHz, et dans une moindre mesure 15 et 17 kHz, seront audibles (figure I.4 (b)).

Si le facteur d'interpolation est fractionnaire et égal à A/B avec A et B entiers, il faut d'abord procéder à une interpolation d'un facteur A puis à une décimation d'un facteur B (voir la section suivante I.2.2.2).

Prenons l'exemple d'un amplificateur audio prenant en entrée un signal audio échantillonné à 48 kHz et fonctionnant à 128 fois cette fréquence soit 6,144 MHz. Si le signal ne subit pas d'interpolation, c'est-à-dire si aucun filtrage des alias n'est effectué, les alias se trouvant en dehors de la bande audio ne sont pas forcément filtrés à l'intérieur de l'amplificateur, ou par le filtre intrinsèque du haut-parleur. Dans ce cas, de l'énergie est perdue à amplifier des composantes spectrales qui sont de toute façon inaudibles.
CHAPITRE I – INTRODUCTION AUX AMPLIFICATEURS AUDIO DE CLASSE D

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE I.4 - Sur-échantillonnage d'un signal sinusoïdal à 1 kHz échantillonné initialement à 8 kHz</figcaption></figure>

<caption>(a) Spectre du signal échantillonné à 8 kHz</caption>

<caption>(b) Spectre du signal sur-échantillonné à 48 kHz</caption>

Au niveau de la conception, le défi est d'utiliser le moins possible de ressources matérielles pour implémenter le filtre interpolateur. Prenons l'exemple d'un signal audio échantillonné à 48 kHz que nous souhaitons interpoler d'un facteur de 128. Du fait de l'échantillonnage, les premières composantes à éliminer se trouvent dans la bande de fréquence 28 kHz – 48 kHz. La haute-fidélité recommande une très faible variation du gain sur la bande 20 Hz – 20 kHz (une variation inférieure à 0.1 dB est acceptable), ainsi qu'une phase linéaire, c'est-à-dire un retard constant en fonction de la fréquence. Ensuite, il faut une atténuation importante du filtre dès 28 kHz, de l'ordre de 120 dB. Le respect de ces contraintes nécessite un filtre d'ordre très élevé, en général un filtre de type FIR pour garantir la linéarité de la phase. L'ordre élevé et la faible fréquence de coupure par rapport à sa fréquence de fonctionnement suppose un nombre de portes logiques très important. En effet, plus la fréquence de coupure d'un filtre temps discret est petite par rapport à sa fréquence de fonctionnement, plus la valeur des coefficients du filtre est faible, ce qui nécessite une importante largeur en nombre de bits pour conserver la précision du signal.
# CHAPITRE I – INTRODUCTION AUX AMPLIFICATEURS AUDIO DE CLASSE D

Pour limiter la complexité de l'interpolator, il est possible d'effectuer l'interpolation par étapes pour atteindre le facteur de 128. Cela permet de jouer sur le rapport fréquence de coupure sur fréquence de fonctionnement et d'additionner l'atténuation des filtres successifs pour obtenir le filtrage nécessaire des alias. Par exemple, un ou deux filtres FIR d'ordre 4 et 8 peuvent amener jusqu'à un facteur de 32 en atténuant fortement les alias. Ensuite, un filtre CIC dit « en peigne » peut éliminer les 3 groupes d'alias autour de Fs/4, Fs/2 et 3.Fs/4 si Fs est la fréquence finale d'échantillonnage. Un exemple est présenté dans la section III.5.1.3.

Un autre moyen de relâcher les contraintes sur les filtres, et limiter la complexité est de se dire que dans le cas des instruments de musique, les harmoniques de plus grande amplitude se trouvent dans la bande 20 Hz – 4 kHz, et en dessous de 1 kHz pour la voix humaine [8]. Pour ces cas, le premier alias de haute amplitude à éliminer a donc une fréquence supérieure à 44 kHz au lieu de 28 kHz. Il convient toutefois prendre en compte le cas des percussions et des bruits synthétiques qui peuvent contenir une grande quantité de hautes-fréquences.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE I.5 - Décimation d'un signal sinusoïdal à 1 kHz échantillonné à 48 kHz</figcaption></figure>

(a) Signal échantillonné à 48 kHz avec une raie parasite à 16,7 kHz

(b) Signal sous-échantillonné à 8 kHz avec la raie parasite se repliant à 700 Hz
### I.2.2.2 Décimation

La décimation est l'opération inverse de l'interpolation. Il s'agit de diminuer la fréquence d'échantillonnage d'un signal temps discret de $f_{SH}$ à $f_{SL}$ (d'un facteur entier A). Quand un signal est sous-échantillonné, c'est-à-dire qu'un échantillon est pris tous les A échantillons, du contenu parasite en dehors de la bande peut se replier dans la bande passante. Ce principe est illustré sur la figure I.5 où une raie parasite à 16,7 kHz qui n'a pas été filtrée se replie, créant une raie à 700 Hz, qui pollue gravement le signal audio. C'est pour éviter ce genre de problèmes qu'il est important d'atténuer par filtrage le contenu parasite du signal avant le sous-échantillonnage.

### I.2.3 Fenêtrage

Lorsque des signaux réels qui possèdent un nombre fini d'échantillons sont analysés, la Transformée de Fourier (TF) obtenue n'est pas satisfaisante. En effet, le fait de ne prendre le signal que sur une période donnée revient à multiplier le signal par une fonction rectangle (égale à 1 sur la période et à 0 en dehors) avant d'effectuer la TF du résultat. Cette fonction rectangle possède un certain contenu harmonique. En passant dans le domaine fréquentiel, la TF du produit du signal par la fonction rectangle est égale à la convolution de leurs TF respectives. La figure I.6 donne le spectre de la fenêtre rectangulaire (largeur de 51 éléments). Les lobes secondaires (à droite du lobe principal centré sur la fréquence nulle) sont d'amplitude assez élevée ce qui va modifier sensiblement l'allure du spectre du signal à observer. La caractéristique fréquentielle de la fenêtre de Blackman, définie par l'équation (I.6) [6], est représentée sur la même figure. Les lobes secondaires sont d'amplitude bien plus faible, ce qui va permettre une meilleure fidélité du spectre observé, et donc une meilleure précision sur le calcul du bruit dans la bande audio. Toutefois, le lobe principal est beaucoup plus large que pour la fenêtre rectangulaire, ce qui va avoir pour effet d'étaler la puissance à une fréquence donnée sur les fréquences proches. Pour diminuer cet effet, il faut augmenter le nombre d'échantillons pour le calcul de la TF.

$$w(n) = 0,42 - 0,5 \cos\left(\frac{2\pi n}{N-1}\right) + 0,08 \cos\left(\frac{4\pi n}{N-1}\right), \text{avec } 0 \le n \le \frac{N}{2} \qquad (I.6)$$
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE I.6 - Spectre des fenêtres rectangulaire et de Blackman</figcaption></figure>

## I.2.4 Quantification

La quantification est un processus nécessaire à la conversion analogique numérique d'un signal. D'une distribution continue de valeurs, nous passons à une distribution quantifiée, créant ainsi une erreur. La distance entre deux valeurs quantifiées adjacentes est notée $q$. La figure I.7 montre un signal quantifié et l'impact de cette quantification sur son spectre.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE I.7 - Spectre d'un sinus à 1 kHz échantillonné à 48 kHz quantifié
(a) 16 bits de quantification ; (b) 10 bits de quantification</figcaption></figure>
Nous remarquons sur le spectre du signal quantifié sur 10 bits, que l'opération de quantification
a pour effet de créer des raies parasites d'ordre impair, suffisamment puissantes pour être audibles car
elles sont dans la bande passante du signal audio. Cette opération non-linéaire de quantification est par
définition entièrement dépendante du signal d'entrée. Toutefois, dans les modèles linéaires des
systèmes à temps discret, la quantification est représentée comme l'addition au signal d'un bruit de
quantification indépendant du signal d'entrée. Si le signal quantifié est fortement périodique, l'erreur
de quantification va avoir la même périodicité et générer des harmoniques. En revanche, si le signal
possède des composantes pseudo-aléatoires du même ordre de grandeur ou supérieurs au pas de
quantification, l'erreur de quantification va être dominée par ce comportement pseudo-aléatoire et
l'hypothèse d'une décorrélation par rapport au signal d'entrée va être acceptable.

## I.3 Performances des amplificateurs audio

Au premier abord, la qualité audio semble être une notion très subjective, étant donné que chaque personne n'entend pas de la même façon, avec la même sensibilité. Or un concepteur d'amplificateur audio ne pourrait pas travailler sans indicateurs, sans mesures de la qualité sonore. Dans le but de comparer les différents produits du marché, l'industrie de l'audio a défini des critères de qualité tout à fait tangibles, mesurables de façon reproductible, et basés sur des observations et des mesures issues de la psychoacoustique.

### I.3.1 Notions de psychoacoustique

La psychoacoustique est l'étude de la perception humaine du son. Il existe de nombreuses publications sur des mesures quantifiées de la sensibilité de l'oreille humaine, obtenues grâce à des méthodes statistiques impliquant un échantillon conséquent de personnes. Nous apportons ici quelques données importantes sur l'audition humaine extraites de [9]. La première donnée est la plage de fréquence audible pour une oreille « normale ». Elle est considérée comme allant de 20 Hz à 20 kHz, même si la sensibilité aux hautes fréquences diminue avec le vieillissement. Cette donnée, assez arbitraire mais utilisée par tous, permet de définir la bande passante des systèmes audio.

De plus, le tympan peut détecter des variations de pressions allant de 20 µPa (seuil de détection admis, référence de la mesure logarithmique en dBSPL) à plus de 20 Pa (seuil de douleur, égal à 120 dBSPL). Cette dynamique, couvrant 120 dB, est très grande, et explique que les concepteurs recherchent des rapports de signal à bruit de l'ordre de 100 dB. Les valeurs de pression données plus
haut représentent la valeur RMS de l'onde de pression acoustique se propageant dans l'air. Toutefois, il est difficile de convertir le bruit du système d'amplification, souvent donné en µV RMS, en une valeur de pression, car celle-ci dépend grandement de la réponse en fréquence du haut-parleur. En revanche, l'oreille humaine ne peut détecter un changement d'amplitude inférieur à 0,5 dB, ce qui correspond à un changement de l'ordre de 6%. C'est pourquoi une grande précision sur les gains d'un système audio n'est pas primordiale.

Au contraire, le plus faible écart de fréquence détectable d'une harmonique pure est de 0,2% dans la bande 500 Hz – 2 kHz. C'est-à-dire que l'oreille peut faire la différence entre un sinus de fréquence 500 Hz et un autre de fréquence 501 Hz. Cette caractéristique avait son importance à l'époque des tourne-disques quand la fréquence de rotation était soumise aux défauts mécaniques. Aujourd'hui, dans les systèmes synchrones, la précision de l'horloge est de très loin suffisante.

Enfin, la sensibilité de l'oreille aux différentes fréquences n'est pas constante. Par exemple, deux signaux audio de même amplitude, l'un à 1 kHz et l'autre à 15 kHz ne seront pas ressentis comme étant de puissance égale. Cela donne lieu dans le calcul des performances audio à une pondération du spectre. La différence de sensibilité de l'oreille humaine selon les fréquences a été pour la première fois caractérisée par Fletcher et Munson en 1933 [10]. Ils ont présenté à des auditeurs un sinus pur à différentes fréquences et leur ont demandé de comparer son intensité avec un sinus de référence à 1 kHz. En faisant une moyenne pour un grand nombre d'auditeurs, ils ont extrait de ces mesures expérimentales des courbes d'intensité égale (« Equal-loudness contours » en anglais). Ce sont ces courbes qui ont donné la pondération de type A (« A-weighting » en anglais) représentée sur la figure I.8. Nous utiliserons cette pondération car même si elle est contestée [11] et que d'autres pondérations plus fidèles existent, elle reste la plus largement utilisée dans l'industrie. Nous pouvons observer ici que d'après ce modèle, l'oreille est plus sensible à des fréquences entre 800 Hz et 8 kHz avec un maximum autour de 4 kHz.
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE I.8 - Atténuation par l'oreille humaine de l'amplitude sonore en fonction de la fréquence selon la pondération de type A</figcaption></figure>

## I.3.2 Mesure de la qualité audio

Comme nous l'avons évoqué plus haut, les concepteurs d'amplificateurs audio ont besoin de critères quantifiables et reconnus pour que les différents amplificateurs puissent être comparés sur la base de leurs performances. Il est habituel de mesurer ces paramètres en appliquant en entrée de l'amplificateur des signaux sinusoïdaux purs à des fréquences et amplitudes données. Il s'agit ensuite d'observer sur le spectre de la sortie la raie fondamentale et ses harmoniques ainsi que le bruit du système. Ajoutons que tous ces indicateurs sont sujets à des variantes selon les conditions dans lesquelles ils sont mesurés, notamment l'amplitude et la fréquence de l'entrée. La note d'application [12] donne une liste assez complète des mesures audio les plus courantes.

### I.3.2.1 Plage dynamique

La plage dynamique de l'amplificateur (notée DR pour « Dynamic Range » en anglais) est définie par l'écart d'amplitude en décibels entre la valeur RMS du bruit dans la tension de sortie, intégré dans la bande audio, et la valeur RMS du plus grand signal admissible par l'amplificateur. Ce plus grand signal peut être défini pour un taux de distorsion donné, par exemple à 1% (ou 40 dB). Nous avons vu dans le paragraphe précédent combien l'oreille était sensible aux très faibles amplitudes de signaux, c'est pourquoi le niveau du plancher de bruit est primordial pour la qualité sonore. La figure I.9 illustre de façon simplifiée la notion de plage dynamique.
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE I.9 - Notion de plage dynamique</figcaption></figure>

## I.3.2.2 Taux de distorsion harmonique

Le taux de distorsion harmonique noté THD (« Total Harmonic Distortion » en anglais) correspond au rapport de la puissance des harmoniques sur la puissance de la raie fondamentale. Cet indicateur permet de mesurer dans quelles proportions un dispositif audio donné ajoute des harmoniques au signal. On utilise toutefois plus souvent le THD+N qui ajoute à la puissance des harmoniques, celle du bruit (N pour « Noise » en anglais). La figure I.10 illustre la signification de cet indicateur de la qualité audio à pleine puissance. Nous pouvons noter que ce rapport peut être donné en dB ou en pourcentage.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE I.10 - Illustration du taux de distorsion harmonique et bruit</figcaption></figure>
## I.3.2.3 Rapport signal à bruit

La qualité sonore des amplificateurs audio est également souvent jugée d'après le rapport signal à bruit noté SNR (« Signal-to-Noise Ratio »). Ce rapport mesure le bruit intrinsèque du dispositif audio, c'est-à-dire quand l'entrée de celui-ci est mise à zéro. On le calcule en faisant le rapport entre la puissance d'une raie pure et virtuelle de référence et la puissance du plancher de bruit.

Nous donnerons également par la suite des valeurs appelées SNR-A : il s'agit du rapport entre la puissance d'une raie pure et la puissance des parasites, c'est-à-dire bruit et harmoniques. Ce calcul s'effectue sur le spectre du signal en sortie avec une pondération de type A. Nous pouvons noter que cet indicateur est exactement l'inverse de la THD+N en exceptant la pondération (voir la figure I.10).

## I.3.2.4 Taux de réjection des bruits d'alimentation

Il est également primordial de connaître l'impact de bruit d'alimentation sur le signal audio en sortie. Dans les téléphones mobiles par exemple, une fréquence parasite de 217 Hz apparaît lorsque le téléphone échange des données avec un relai (fréquence des trames). Cette fréquence se retrouve dans la tension d'alimentation perturbant l'écoute. La mesure de la réjection du bruit d'alimentation notée PSRR (pour « Power Supply Rejection Ratio » en anglais) est donc un indicateur important. Il faut pour cela injecter une perturbation dans la tension d'alimentation, et mesurer le rapport entre l'amplitude de la perturbation injectée et celle de l'harmonique correspondante dans le signal de sortie [13]. La figure I.11 illustre de façon simple la façon dont est mesuré le PSRR.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE I.11 - Illustration du taux de réjection des bruits d'alimentation</figcaption></figure>
## I.3.2.5 Notion de Haute-Fidélité

La Haute-Fidélité (HiFi en anglais pour « High Fidelity ») pour les appareils audio n'est pas un concept clairement défini. La première tentative pour définir ce qu'est la haute-fidélité date de 1973 avec la norme allemande DIN 45500-6. Les concepteurs d'équipement audio se sont alors concentrés sur la distorsion, le bruit de fond, les perturbations basse fréquence (appelé « hum » en anglais), mais également sur la linéarité de l'amplificateur en amplitude et en fréquence. Ce concept de haute-fidélité est de fait plutôt une appellation commerciale plutôt qu'une véritable norme. A notre époque, les choses ont quelque peu évolué du fait de l'apparition de l'audio numérique. En effet, de nouveaux phénomènes se sont ajoutés par rapport à l'audio analogique, comme la quantification et de l'échantillonnage. Ces phénomènes ne sont pas pris en compte dans la norme alors qu'ils jouent un rôle important dans l'appréciation de la qualité audio. Le terme de haute-définition a ainsi fait son apparition pour remplacer la haute-fidélité en référence à la haute-définition des écrans récents, mais cela reste toujours une appellation commerciale. En résumé, seules les mesures classiques de niveau de bruit, de distorsion et de plage dynamique avec un gain plat sur toute la bande audio sont des moyens reconnus de caractériser la qualité d'un appareil audio.

# I.4 Amplificateurs de classe D

Les différents types d'amplificateurs sont rangés par classe. Les plus connues sont les classes A, B, AB, et D. Les autres classes d'amplificateurs utilisées dans les applications audio comme G ou H sont basées sur ces classes principales, avec l'ajout de fonctions évoluées pour améliorer la consommation (par exemple, la modulation de la tension d'alimentation). Il y aurait beaucoup à dire sur chacune de ces classes d'amplificateur, nous renvoyons à d'autres ouvrages comme [9] ou [14] pour plus de détails. Seuls les amplificateurs de classe D feront l'objet d'une étude ici.

## I.4.1 Principe de base

L'amplificateur de classe D contrairement aux autres classes n'utilise pas les transistors de l'étage de sortie dans leur mode linéaire. Le principe est d'appliquer à la charge la tension d'alimentation de façon positive, négative ou nulle, de manière discontinue à des fréquences en dehors de la bande audio. Deux façons courantes de piloter l'étage de puissance sont : la modulation de largeur d'impulsion appelée PWM pour « Pulse Width Modulation », et la modulation de densité d'impulsion (PDM pour « Pulse Density Modulation ») utilisant la modulation Delta-Sigma, notée $\Delta\Sigma$
pour abréger. Nous utilisons dans ce manuscrit la convention donnée dans le livre de Schreier [15], mais la notation Sigma-Delta (ΣΔ) est tout aussi courante dans la littérature.

La modulation PWM dans son expression la plus simple consiste à comparer le signal d'entrée avec un signal en dent de scie. Lorsque le signal d'entrée est à une valeur basse, la sortie du comparateur est brièvement à '1' au début de la période du signal en dent de scie puis à '0' le reste de la période. Lorsqu'il est à une valeur haute, la sortie du comparateur est longtemps à '1' et très peu à '0'. Ce type de modulation permet donc bien de rendre une image du signal d'entrée sur deux niveaux logiques.

Le principe de la modulation ΔΣ est le suivant : le signal est échantillonné à une fréquence très supérieure à la fréquence de Nyquist, puis il entre dans un filtre rebouclé constitué de un ou plusieurs intégrateurs. La sortie de ce filtre est ensuite quantifiée sur un très faible nombre de valeurs, par exemple deux valeurs. Et ce signal quantifié est réinjecté en rétroaction du filtre rebouclé. La quantification génère un bruit très important, qui est repoussé vers les hautes fréquences du fait des caractéristiques du filtre rebouclé. Le signal d'entrée n'est quant à lui peu ou pas modifié d'un point de vue fréquentiel, du moins dans la bande audio. Ce type de modulation sera traité beaucoup plus en détail dans le chapitre II.

La figure I.12 représente un pont en H de transistors MOSFET, façon très commune d'implémenter l'étage de puissance. Ce montage a l'avantage de permettre d'actionner le haut-parleur de trois façons différentes matérialisant une valeur '+1', '-1' ou '0'. Des diodes sont ajoutées en parallèle des MOSFET afin de limiter les surtensions aux bornes des transistors, le haut-parleur étant fortement inductif.

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE I.12 - Etage de puissance type « pont en H »</figcaption></figure>
L'intérêt de l'amplificateur de classe D est sa grande efficacité. Théoriquement, si les transistors n'ont pas de résistance drain-source et que la commutation des transistors ne consomme pas, le rendement de l'étage de puissance est égal à 100%. C'est pour cela que ce type d'amplificateur a d'abord été utilisé pour les applications de grande puissance, où l'échauffement dû à des forts courants est un problème très important. Il l'est également sur les applications embarquées fonctionnant sur batterie, où la consommation doit être la plus faible possible.

## I.4.2 Problèmes inhérents à l'amplificateur de classe D

### I.4.2.1 Étage de puissance

L'étage de puissance de l'amplificateur doit être piloté de façon à ce que les transistors ne puissent conduire le courant directement du nœud d'alimentation (tension de batterie notée Vbat dans la figure I.12) à la masse. Si les transistors P et N commutaient en même temps, il pourrait y avoir une surconsommation de courant aux transitions qui mettrait le circuit en danger. Un certain délai est donc inséré entre la commutation du transistor N et du transistor P. Il doit être suffisamment long pour interdire la conduction directe dans une branche, et suffisamment court pour ne pas trop augmenter la distorsion. Un autre problème souvent rencontré vient du fait que les transistors de l'étage de puissance ne sont pas identiques. Cela donne des temps de montée et de descente du signal différents (surtout entre les paires de transistors PMOS et NMOS) selon la suite de commandes du pont en H, et peut générer des raies discrètes et du bruit dans la bande audio dégradant SNR et THD. C'est pour cela qu'une architecture avec une boucle de rétroaction entre la sortie de l'étage de puissance et l'entrée du modulateur est utilisée afin d'atténuer ces phénomènes parasites dans la bande audio

### I.4.2.2 Efficacité énergétique

La formule de l'efficacité énergétique η de l'amplificateur de classe D est donnée par le rapport $η = P_{charge}/P_{batterie}$, où $P_{charge}$ et $P_{batterie}$ désignent respectivement : la puissance consommée par la charge, c'est-à-dire le haut-parleur, et la puissance délivrée par la batterie au circuit. Nous utilisons la formule de la puissance :

$$P = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u(t) \cdot i(t) dt \qquad (I.7)$$
La puissance P<sub>charge</sub> est dissipée dans la résistance R<sub>charge</sub> du haut-parleur. Nous obtenons :

$$P_{charge} = \frac{1}{R_{charge}T} \int_{0}^{T} u^{2}(t)dt = \frac{u_{RMS}^{2}}{R_{charge}} \qquad (I.8)$$

La puissance P<sub>batterie</sub> délivrée par la batterie, de tension V<sub>bat</sub>, est quant à elle égale à :

$$P = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} V_{bat} \cdot i_{bat}(t) dt = V_{bat} \cdot \langle i_{bat}(t) \rangle \qquad (I.9)$$

$\langle i_{bat}(t) \rangle$ est la valeur moyenne du courant fourni par la batterie. Nous obtenons donc des équations (I.7), (I.8) et (I.9)

$$\eta = \frac{u_{RMS}^2}{R_{charge} \cdot V_{bat} \cdot \langle i_{bat}(t) \rangle} \qquad (I.10)$$

L'efficacité est le point fort de la classe D, la puissance délivrée à la charge est optimisée tout en limitant la dissipation de chaleur. Il est possible d'atteindre des rendements de l'ordre de 90%. Au niveau des pertes par effet Joule, le paramètre évident à prendre en compte est la résistance drain-source rds des transistors de l'étage de puissance mais également l'impédance du haut-parleur. Une deuxième source de perte peut venir de la présence de composantes parasites dans la bande passante du haut-parleur qui est un filtre passe-bas avec une fréquence de coupure de l'ordre de la dizaine de kHz. Pour éliminer cet effet, il faut soit faire en sorte d'éviter ces parasites dans la conception du modulateur (PWM ou PDM), soit filtrer la sortie de l'étage de puissance pour ne laisser que le contenu de la bande audio.

### I.4.2.3 Émissions Électromagnétiques

A la sortie d'un amplificateur de classe D, de forts courants circulent entre l'étage de puissance et le haut-parleur, qui sont reliés par des câbles ou des lignes de métal plus ou moins longues. Du fait de ces forts courants, la façon dont sont agencés ces câbles ou lignes de métal couplés à l'inductance du haut-parleur peut générer des émissions électromagnétiques. En plus de diminuer l'efficacité de l'amplificateur, ces émissions peuvent perturber des systèmes proches. La fréquence de ces émissions électromagnétiques dépend du type de modulation employée. Des émissions seront observées tout d'abord à la fréquence de fonctionnement du modulateur, si elle est fixe, souvent de l'ordre du MHz. Ensuite, le signal de contrôle des transistors de l'étage de puissance est carré à l'ordre zéro. Cette caractéristique va créer des harmoniques à des fréquences plus élevées dont l'amplitude va être dépendante du temps de montée entre les états « haut » et « bas » [16].
Baisser les temps de montée et descente du signal modulé permet de limiter ce problème mais cela nécessite d'augmenter la zone d'extinction du pont en H, ce qui dégrade le THD [17]. Il est possible aussi d'utiliser une technique dite de « spread-spectrum » qui permet d'étaler au niveau spectral les commutations du signal [18]. Ainsi, les émissions électromagnétiques se trouvent avec une puissance étalée sur une large bande de fréquence et ne posent plus vraiment problème. Cette technique augmente toutefois la complexité du circuit avec l'ajout de blocs analogiques supplémentaires, comme des boucles à verrouillage de phase et des générateurs de signaux pseudo-aléatoires. Enfin, une dernière technique est de faire varier la fréquence de commutation de l'étage de puissance avec un modulateur de type auto-oscillant [19]. Ainsi, la puissance se trouve étalée sur une plus large bande, réduisant les risques d'interférence.

## I.4.3 Amplification de classe D avec un modulateur de largeur d'impulsions

### I.4.3.1 Principe du modulateur de largeur d'impulsions

Le principe de la modulation en largeur d'impulsion (PWM pour « Pulse Width Modulation ») est illustré sur la Figure I.13. Le signal d'entrée est comparé à une fonction « dent de scie ». Un signal modulé est ainsi créé, il ne prend que deux valeurs et contient tout le signal dans la bande audio. Ce dernier signal va contrôler un étage de puissance qui va à son tour actionner le haut-parleur. Un filtre de sortie peut également être ajouté pour supprimer les composantes fréquentielles non désirées. L'étage de puissance représenté ici est simple (« single-ended »). Le haut-parleur est connecté entre la masse et la sortie de l'étage de puissance, ce qui fait que la tension aux bornes du haut-parleur est soit V+, soit V-.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE I.13 - Illustration du principe du modulateur PWM</figcaption></figure>

Une implémentation différentielle du premier ordre avec réjection des bruits d'alimentation est donnée sur la Figure I.14. Cette implémentation est dépourvue de filtre après l'étage de puissance, car la modulation employée fait que le signal différentiel est nul au repos, limitant ainsi la valeur du
courant instantané dans la charge, c'est la modulation de type BD [20]. Le haut-parleur est lui-même par sa conception un filtre passe-bas, il est souvent modélisé par une résistance en série avec une inductance. La fréquence de coupure de ce filtre intrinsèque se trouve autour de 84 kHz pour une inductance de 15 µH et une résistance de 8 Ω (charge typique pour un micro haut-parleur [21]).

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE I.14 - Modulateur de classe-D différentiel PWM du 1er ordre</figcaption></figure>

Néanmoins, il existe un autre type de modulation, de type AD, où le signal différentiel varie entre plus et moins la tension de batterie. Ce dernier type nécessite certes un filtre en sortie, mais les émissions électromagnétiques des deux signaux différentiels, en opposition de phase, s'annulent mutuellement, ce qui constitue en net avantage. Une comparaison des deux types de modulation est réalisée dans [20].

En boucle ouverte comme sur la Figure I.13, des imperfections des parties analogiques et du bruit d'alimentation de l'étage de puissance dégradent le signal émis par le haut-parleur. Le montage représenté sur la Figure I.14 propose donc une contre-réaction négative du premier ordre du signal PWM vers un intégrateur R-C. Ce principe peut être élargi à des ordres de contre-réaction plus élevés, comme dans [22] où les auteurs utilisent une boucle du second ordre.

### I.4.3.2 Avantages et limites du modulateur de largeur d'impulsions

Voici un avantage de la structure présentée sur la Figure I.14 : pour une entrée nulle, les signaux de l'étage de puissance sont en phase, et donc, la tension différentielle aux bornes du haut-parleur reste nulle. La consommation reste ainsi faible malgré les commutations de l'étage de puissance. En revanche, pour une entrée non nulle, les signaux de sortie ne sont plus en phase et le spectre contient
des raies discrètes multiples de la fréquence du signal en dents de scie. Pour que ces raies puissent être filtrées par le haut-parleur, il est intéressant d'augmenter la fréquence du signal triangulaire, cependant, cela augmente en même temps la fréquence de commutation de l'étage de puissance et la consommation. Une fréquence autour de 300 kHz est classiquement choisie comme compromis [9].

Le modulateur PWM de la figure I.14 possède néanmoins quelques inconvénients, le principal étant son faible taux de réjection du bruit d'alimentation (faible PSRR). La cause principale est que les deux résistances dans le chemin de retour du signal PWM n'ont pas exactement la même valeur. Ainsi, les bruits d'alimentation ne sont pas corrigés de la même façon du côté positif et négatif du modulateur et se retrouvent significativement dans le signal audio en sortie. De ce fait, il est difficile pour un tel modulateur de répondre aux attentes de forte réjection de nombreuses sources de perturbations dans les téléphones portables modernes. Les auteurs de [23] ont publié un mécanisme de compensation de cet effet en mesurant l'effet de l'erreur d'appariement des résistances et en injectant cette compensation à travers la tension de référence des intégrateurs, ainsi qu'au niveau de la génération du signal triangulaire. Cela constitue une amélioration de l'amplificateur décrit dans [21], le PSRR à 217 Hz passe ainsi de 63 dB à 81 dB.

D'autre part, les implémentations récentes d'amplificateurs audio de classe D utilisant une modulation PWM possèdent une entrée numérique. Si leur boucle de modulation est analogique, un convertisseur numérique-analogique (DAC pour « Digital-to-Analog Converter ») est nécessaire. Ce DAC représente ainsi un surcroît important de complexité dans la conception de la chaîne d'amplification car ses performances en termes de bruit, distorsion et réjection des perturbations peuvent limiter les performances totales de la chaîne, ainsi que sa sensibilité aux bruits de phase de l'horloge. L'amplificateur présenté dans [24] possède cette topologie, ses performances en termes de plage dynamique (113 dB) et de distorsion (-84,4 dB) sont très importantes avec l'ordre élevé de la boucle mais aucun commentaire n'est fait sur l'influence du bruit de phase sur les performances de l'amplificateur avec son DAC placé en boucle ouverte. L'architecture du système présentée dans cette publication suggère néanmoins un mécanisme de génération d'horloge à très faible bruit.

Il existe enfin des modulateurs PWM numériques [25]. Ils se composent d'un modulateur numérique (cascade d'intégrateurs comme pour les modulateurs analogiques) et d'un « quantificateur » PWM numérique générant une largeur de l'impulsion discrète. Même si l'erreur générée par cette discrétisation est filtrée par le modulateur, il n'en faut pas moins une fréquence d'horloge plus élevée que les modulateurs analogiques afin d'avoir une plus grande plage de largeurs d'impulsion possibles. Cette implémentation est très intéressante car étant numérique, la surface est très faible et son fonctionnement ne dépend pas des paramètres technologiques.
## I.4.4 Amplificateurs de classe D avec un modulateur de densité d'impulsions

Les amplificateurs de classe D en densité d'impulsions (PDM pour « Pulse Density Modulation ») fonctionnent grâce à des modulateurs $\Delta\Sigma$ qui génèrent à haute fréquence (quelques MHz) des impulsions plus ou moins regroupées selon la valeur du signal d'entrée. Dans le cas des amplificateurs de classe D, il n'est possible de piloter l'étage de puissance qu'avec valeurs : '+1', '-1' et '0'. Il s'agit donc de quantifier le signal en utilisant ces trois valeurs. Cela crée une erreur importante de quantification à filtrer. Les sections II.1 et II.2 porteront sur ce type de modulateurs.

Un amplificateur de classe D PDM est composé d'intégrateurs en cascade, d'un quantificateur et d'une boucle de rétroaction venant soustraire au signal d'entrée le signal de sortie. Les intégrateurs peuvent être soit temps continu : montage d'amplificateurs avec résistance et capacité en cascade, soit temps discret. Dans le cas des temps discret, l'implémentation peut-être analogique, grâce à la technique des capacités commutées, où les gains sont réalisés par des rapports de capacités [26].

Les auteurs de [27] proposent une boucle analogique mixte temps continu et temps discret du 4ème ordre. Seul le premier intégrateur est temps continu et les trois autres sont à capacités commutées. L'avantage de cette technique est qu'elle ne nécessite pas d'échantillonnage de la sortie de l'étage de puissance. Ainsi, toutes les perturbations au niveau de l'étage de puissance sont intégrées et compensées dans la boucle permettant théoriquement une valeur importante de PSRR et de THD, conditionnée à une bonne conception du premier intégrateur. Ensuite, les auteurs utilisent des capacités commutées afin de tirer parti d'une meilleure maîtrise des variations technologiques dans la réalisation d'un rapport de capacités, plutôt que dans celle du produit d'une résistance et d'une capacité.

Cette technique peut évidemment être également numérique. De la même façon que pour les modulateurs PWM, l'avantage des solutions analogiques est de pouvoir prendre directement la valeur de la tension de sortie pour effectuer la rétroaction et ainsi obtenir une valeur de PSRR élevée. Faire la même chose avec un modulateur numérique nécessite une conversion analogique-numérique avec un ADC.

## I.4.5 Amplificateurs de classe D avec un modulateur de fréquence

Ce dernier type d'amplificateur de classe D se présente comme une alternative aux modulateurs classiques PWM et $\Delta\Sigma$. La figure I.15 illustre une implémentation différentielle d'un amplificateur à modulation de fréquence. L'architecture est la même que pour un modulateur $\Delta\Sigma$ à ceci près que le
quantificateur, ou comparateur, possède une hystérésis. Si nous prenons un signal d'entrée positif, la sortie de l'intégrateur va dépasser le seuil haut du comparateur à hystérésis après un certain temps, un +1 sera alors envoyé pour commander l'étage de puissance. Ce signal est ensuite soustrait dans l'intégrateur au niveau de la rétroaction sur l'entrée. Ce dernier passera donc ensuite au-dessous du seuil bas du comparateur. La largeur du signal de commande diminuera d'autant plus que l'entrée est grande. Le signal audio est ainsi modulé en fréquence pour piloter l'étage de puissance.

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE I.15 - Modulateur de classe-D différentiel à modulation de fréquence</figcaption></figure>

Les auteurs de [28] proposent une comparaison intéressante entre ce type de modulateur et la modulation PWM. Le principal avantage est un taux de distorsion bien meilleur, d'environ 20 dB, tandis que le principal inconvénient serait la haute fréquence requise pour atteindre de bonnes performances et la possible incompatibilité de cette fréquence avec le reste du système. Dans [29], les auteurs utilisent cette technique ainsi qu'une fonction de transfert particulière pour obtenir un amplificateur avec des performances dans la moyenne pour une consommation au repos dix fois inférieure à celles observées pour les autres amplificateurs du tableau comparatif (tableau I.2). Ils n'utilisent en effet qu'un seul amplificateur opérationnel pour réaliser leurs fonctions de transfert. La fonction de transfert utilisée est différente de la chaîne d'intégrateurs classique car elle utilise un contrôle de mode glissant (SMC pour « Sliding Mode Controller »). Cette fonction de transfert est fortement non linéaire et la méthode usuelle d'analyse des modulateurs PWM et PDM ne s'applique pas, Berkhout montre en effet dans [20] que le comparateur à hystérésis d'apparente à un intégrateur et non à l'addition simple d'une erreur de quantification (voir l'analyse des modulateurs $\Delta\Sigma$ dans le chapitre II). Peu de composants sont utilisés pour cet amplificateur, permettant une faible surface de silicium et une faible consommation. Toutefois, l'ordre utilisé ici est faible, ainsi que la fréquence de commutation obtenue (450 kHz), et cela ne permet pas d'obtenir une très bonne réjection de la distorsion pour des puissances moyennes (-46 dB à -8 dBFS). De plus, la correction de la distorsion
proposée engendre une atténuation ne permettant que d'atteindre 250 mW de puissance maximale à une tension de batterie de 2.7 V, c'est-à-dire 860 mW en normalisant la puissance pour une tension de 5 V.

## I.4.6 Amplificateurs de classe D à entrée numérique

Les amplificateurs de classe D possédant une entrée numérique peuvent avoir trois types d'architecture différente [30]. Les trois techniques de modulation présentées précédemment, c'est-à-dire PWM, PDM et auto-oscillant, peuvent être appliquées indépendamment à ces types d'architecture. Les architectures sont toujours différentielles afin de rejeter toute erreur dans le mode commun mais nous les avons représentées avec une sortie simple pour simplifier les figures.

La première structure, dite « en boucle ouverte », est représentée sur la figure I.16. Elle est entièrement numérique. Le signal numérique est porté à la fréquence de fonctionnement du modulateur dans un filtre interpolateur. Ensuite le modulateur intègre la différence entre l'entrée et la sortie. La sortie du modulateur est quantifiée (PWM [25], PDM ou auto-oscillant) afin de contrôler l'étage de puissance. Le fait que cette solution soit entièrement numérique permet une intégration très aisée sur circuit intégré qui profite de la réduction de la taille des transistors. Son désavantage est l'absence de réjection des bruits de l'alimentation lorsque le haut-parleur est alimenté directement par la tension de batterie. En effet, dans [25], les auteurs obtiennent une réjection de 80 dB avec une entrée égale à zéro, c'est-à-dire quand l'exposition à la tension de batterie est quasi nulle, cette réjection tombant à presque 0 dB pour la puissance maximale de sortie. Ce désavantage signifie que l'alimentation doit être régulée et l'étage de puissance isolé. C'est assez difficile dans les applications mobiles, à la fois techniquement et en termes de prix.

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIGURE I.16 – Amplificateur à entrée numérique en boucle ouverte</figcaption></figure>

La figure I.17 représente une architecture en boucle fermée. Un modulateur numérique contrôle l'étage de puissance, mais la rétroaction se fait après l'étage de puissance grâce à un ADC. C'est la structure adoptée dans cette thèse et dans [31]. Dans [31], le signal d'entrée après interpolation est comparé au signal de rétroaction, la différence passe dans une chaîne d'intégrateurs, la sortie est quantifiée par un modulateur PWM numérique, avant de contrôler l'étage de puissance. La sortie de
l'étage de puissance est ensuite filtrée avant d'être reconvertie en numérique dans un ADC de type SAR (Registre à Approximations Successives). Cet amplificateur est conçu pour piloter un casque audio, mais l'architecture peut être adaptée aux haut-parleurs. L'avantage de cette architecture est de permettre une correction en théorie optimale des non-linéarités de l'étage de puissance, et des perturbations dans l'alimentation. Toutefois, tout délai dans la boucle de rétroaction, dû à la conversion analogique-numérique, peut déstabiliser la boucle. De plus, si l'ADC est temps discret, un filtre passe-bas doit être ajouté entre la sortie de l'étage de puissance et l'ADC, ce qui ajoute au délai.

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE I.17 – Amplificateur à entrée numérique en boucle fermée</figcaption></figure>

Un dernier type d'amplificateur de classe D à entrée numérique avec une boucle dite « mixte » est représenté sur la figure I.18. Un modulateur numérique en boucle ouverte contrôle un DAC. Ce DAC va ensuite piloter une boucle de classe D analogique. Un exemple est présenté dans la seconde partie de [20]. Il s'agit d'un modulateur hybride comprenant un modulateur $\Delta\Sigma$ faisant passer les données audio de 24-bit à 7-bit sur-échantillonné 8 fois, un modulateur PWM numérique différentiel fonctionnant à 1024 fois la fréquence d'échantillonnage pilotant deux DAC 1-bit. Ensuite, chacun de ces DAC pilote un modulateur temps continu du 2^nd^ ordre permettant une rétroaction analogique de la tension de sortie. L'architecture pseudo-différentielle de la partie contrôlant l'étage de puissance permet de contourner les problèmes d'appariement des résistances et d'obtenir une valeur importante de PSRR, de l'ordre de 80 dB, au prix d'une plus grande surface pour le modulateur analogique par rapport à une solution « entièrement différentielle » (« fully-differential »).

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>FIGURE I.18 – Amplificateur à entrée numérique avec une boucle mixte</figcaption></figure>
## I.4.7 Tableau comparatif d'architectures

Les architectures d'amplificateurs présentées précédemment sont représentatives de la plupart des variantes récentes d'amplificateurs de classe D. Le tableau I.2 résume leurs caractéristiques principales pour une charge standard de 8 Ω. Une valeur constante d'inductance n'a pu être obtenue, mais cela ne crée des différences de valeurs qu'à la marge, dans la mesure où une valeur d'inductance élevée offre un meilleur filtrage du spectre en dehors de la bande audio, limitant ainsi le repliement de raies ou de bruit dans la bande audio. Les chiffres fournis sur les publications, et a fortiori pour les spécifications de circuit (« datasheets »), sont en général à prendre avec précaution, car ils sont très souvent donnés pour des conditions avantageuses par rapport aux forces et faiblesses de l'architecture. Par exemple, un amplificateur donné, ayant une consommation extrêmement faible mais souffrant d'une distorsion importante, donnera la valeur maximale de THD mesurée sur toute la plage d'amplitude, même si c'est pour une amplitude très faible, et non pas à des puissances usuelles d'utilisation.

Ainsi, il convient d'émettre quelques remarques quant aux valeurs données dans ce tableau. Premièrement, afin de mettre les amplificateurs sur un pied d'égalité, les valeurs de THD+N données ont été prises à la moitié de la puissance pour laquelle la THD+N est égale à 1%. Cela correspond à une puissance d'écoute typique, tandis que la valeur maximale de THD+N peut concerner des puissances de sortie assez différentes selon l'architecture. De plus, nous avons recalculé la plage dynamique de la même façon pour les publications à partir du bruit de sortie RMS intégré sur la bande audio avec une pondération de type A et de l'amplitude maximale RMS. Nous définissons également dans le tableau la puissance maximale pour laquelle la distorsion commence à dépasser un niveau « acceptable » (THD+N = 1% ou -40 dB). Cette puissance est parfois donnée à 10% de THD+N. Et enfin, dans un produit commercial, il est important de prendre en compte la variation de la tension de batterie qui n'est pas la même lorsqu'elle est en charge (5.5 V) et lorsqu'elle est presque vide (2.5 V) [21]–[26].
CHAPITRE I – INTRODUCTION AUX AMPLIFICATEURS AUDIO DE CLASSE D

<table><thead><tr><th>Auteur –<br>[référence]</th><th>Huffenus -<br>[23] - [21]<sup>(1)</sup></th><th>Wang -<br>[25]</th><th>Berkhout -<br>[20]</th><th>Matamura -<br>[27]</th><th>Analog Device -<br>[26]</th><th>Rojas - [29]</th></tr><tr><th>Type</th><th>PWM temps<br>continu</th><th>PWM<br>numérique</th><th>PWM<br>numérique /<br>boucle<br>analogique</th><th>ΔΣ temps<br>continu /<br>discret<br>analogique</th><th>Entrée PDM /<br>ΔΣ analogique<br>temps discret</th><th>Modulateur<br>analogique à<br>hystérésis<br>(ternaire)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Plage<br>dynamique<br>A-w</td><td>95 dB</td><td>122 dB</td><td>95 dB</td><td>103dB</td><td>95 dB</td><td>/</td></tr><tr><td>SNR à<br>-6 dB</td><td>85 dB</td><td>91,5 dB</td><td>92 dB</td><td>/</td><td>/</td><td>92 dB</td></tr><tr><td>THD+N à<br>P<sub>THD=1%/2</sub><br>(max.)</td><td>-52 dB<br>(-57 dB)</td><td>-85 dB<br>(-84 dB)</td><td>-80 dB<br>(-81 dB)</td><td>-91 dB<br>(-91 dB)</td><td>-60 dB<br>(-74 dB)</td><td>-64 dB<br>(-71 dB)</td></tr><tr><td>PSRR (à<br>217 Hz)</td><td>80 dB</td><td>82 dB<br>entrée nulle<sup>(2)</sup></td><td>80 dB</td><td>60 dB</td><td>85 dB</td><td>81 dB</td></tr><tr><td>P<sub>THD=1%</sub></td><td>1,4 W</td><td>0,4 W<br>(1,11 W)<sup>(3)</sup></td><td>1 W</td><td>1,48 W</td><td>1,38W</td><td>0,25 W (0,86<br>W)<sup>(3)</sup></td></tr><tr><td>Courant</td><td>2,3 mA<sup>(4)</sup></td><td>2,4 mA</td><td>/</td><td>3,2 mA</td><td>3,2 mA</td><td>0,21 mA</td></tr><tr><td>Tension de<br>batterie</td><td>2.4 – 5.5 V</td><td>3 V</td><td>2,7 – 5 V</td><td>5 V</td><td>2,5 V – 5 V</td><td>2,7 V</td></tr><tr><td>F<sub>commutation</sub></td><td>250 kHz</td><td>667 kHz</td><td>350 kHz</td><td>300 kHz</td><td>290 kHz</td><td>450 kHz</td></tr><tr><td>Techno.<br>CMOS</td><td>0.25 μm</td><td>65 nm</td><td>0.14 μm</td><td>0.35 μm</td><td>/</td><td>0.5 μm</td></tr></tbody></table>

<caption>TABLEAU I.2- Tableau comparatif des performances des exemples d’amplificateurs</caption>

<footnote>(1) Seule la valeur de PSRR vient de la publication [23], les autres valeurs provenant de [21]</footnote>

<footnote>(2) Il convient de rappeler ici que cette architecture n’offre une réjection des bruits d’alimentation que pour une entrée nulle, cette valeur tombant à 0 dB pour la puissance maximale.</footnote>

<footnote>(3) Les valeurs entre parenthèses sont normalisées à 5 V à titre de comparaison car les amplificateurs proposés fonctionnent à des tensions inférieures.</footnote>

<footnote>(4) Cette mesure de courant est donnée sans charge. Nous le précisons car l’étage de puissance consomme du courant même pour une entrée nulle.</footnote>
## I.5 Conclusion du chapitre

Ce premier chapitre a pour but de permettre au lecteur de mieux comprendre les enjeux de la conception d'un amplificateur audio de classe D. Nous avons choisi de commencer en consacrant une courte section au marché des amplificateurs audio, étant donné le contexte de cette thèse en partenariat avec une entreprise, et portant sur un système à visée commerciale. Nous avons montré comment ce marché particulier guidait la conception et le dimensionnement des produits, ainsi que le choix de la technologie. Nous avons ensuite rapidement présenté des notions de traitement du signal afin d'expliquer certaines problématiques comme la différence entre un traitement temps continu et temps discret d'un signal. L'échantillonnage avec notamment l'interpolation et la décimation, le fenêtrage et la quantification ont également été brièvement décrits. Ces notions de base expliquent une part importante des phénomènes parasites limitant les performances d'un modulateur $ΔΣ$, comme nous le verrons dans le chapitre II.

Nous avons ensuite décrit différents critères de qualité audio utilisés dans l'industrie, caractérisant le bruit ou la distorsion, et nous les avons mis en relation avec des observations sur l'oreille humaine. Tous ces différents critères s'entremêlent parfois, au gré des habitudes des concepteurs. Par exemple, le SNR est égal à l'inverse de la THD+N, quand la distorsion est négligeable devant le bruit de quantification et le bruit thermique. Ces critères offrent un aperçu assez partial des performances d'un dispositif, car ils peuvent cacher des problèmes n'apparaissant qu'à certaines puissances ou dans des conditions réelles non optimales.

Nous avons enfin présenté les amplificateurs de classe D, qui font l'objet de cette thèse. Le principe commun est d'appliquer à une charge une tension pouvant prendre deux ou trois valeurs différentes à l'aide d'un pont à base de transistors à effet de champ. De nombreuses implémentations de ce type d'amplificateur ont été et sont encore proposées. Après avoir donné le principe et exposé certaines limitations intrinsèques à ce type d'amplificateur, nous nous sommes attachés à classer les grands types de modulation utilisés en fournissant un état de l'art récent. Nous avons retenu trois types de modulation : en largeur d'impulsion ou PWM, en densité d'impulsion ou PDM et une dernière catégorie en modulation de fréquence, à l'aide de comparateurs ou mécanismes à hystérésis. Nous avons également comparé dans la section I.4.6 les différentes architectures d'amplificateurs à entrée numérique.

Le tableau comparatif I.2 montre qu'il est difficile de départager les différentes techniques de modulation retenues pour l'état de l'art au regard des performances affichées pour un amplificateur de classe D. Pour chaque type de modulation, divers mécanismes ont été publiés pour améliorer les
performances de l'amplificateur (PSRR, THD, niveau de bruit, EMI, etc.) tout en conservant une
consommation maîtrisée. Les modulateurs PWM et PDM sont les plus courants. La technique PWM
permet une quantification très linéaire du signal d'entrée en faisant varier la largeur de l'impulsion
(continuité des niveaux pour un modulateur analogique), tandis que la modulation PDM quantifie sur
un certain nombre de niveaux avec une largeur d'impulsion fixe. Cette moindre linéarité est
compensée par un ordre de modulateur et une fréquence de fonctionnement plus élevés. La technique
des modulateurs auto-oscillants n'est pas encore répandue dans les amplificateurs commerciaux, mais
elle présente de très bons avantages en termes de complexité, linéarité et consommation, car sa
fréquence de fonctionnement varie en fonction du signal.

Ce travail de thèse porte sur l'implémentation d'un amplificateur de classe D constitué d'un
modulateur numérique pilotant l'étage de puissance avec un ADC dans la boucle de rétroaction. Cette
architecture n'a jamais été utilisée pour piloter un haut-parleur, du fait de problèmes de stabilisation et
des limitations des performances par l'ADC. Nous l'avons choisie car comme nous l'avons vu dans la
section I.4.6, elle permet d'obtenir une meilleure réjection des erreurs de l'étage de puissance que les
boucles d'amplification analogiques, très couramment utilisées. Nous verrons dans les chapitres
suivants les techniques utilisées pour obtenir des performances égales ou supérieures à celles de l'état
de l'art avec l'architecture de classe D numérique que nous proposons.
Références du chapitre I

[1] T. Edison, «Phonograph or Speaking Machine». US Brevet 200521, 1878.

[2] W. Leach, «Electronic Technology,» J. Audio Engineering Soc., vol. 46, pp. 59-70, 1998.

[3] B. Blesser et D. Pilkington, «Global Paradigm Shifts in the Audio Industry Part 2,» J. Audio Engineering Society, vol. 48, pp. 946-959, 2000.

[4] Research in China, «Class D Audio Amplifier IC Market Report 2007-2008,» 2008.

[5] A. V. Oppenheim et R. Schafer, Discrete-Time Signal Processing Third Edition, Prentice Hall, 2009.

[6] A. Oppenheim et A. Willsky, Signals and Systems, Second Edition, Prentice Hall, 1997.

[7] MathWorks, Matlab (r2010b).

[8] D. Roach, S. Janus et W. Jones, High Definition Audio for the Digital Home, Intel Press, 2006.

[9] D. Self, Audio Power Amplifier Design Handbook, Focal Press, 2009.

[10] H. Fletcher et W. A. Munson, «Loudness, Its Definition, Measurement and Calculation,» J. Acoust. Soc. Am., pp. 82-108, 1933.

[11] R. S. Pierre et D. J. Maguire, «The Impact of A-weighting Sound Pressure Level Measurements during the Evaluation of Noise Exposure,» chez NOISE-CON, 2004.

[12] Intersil, Audio Quality Measurement Primer - AN9789, 1998.

[13] Texas Instruments, «Get low-noise, low-ripple, high-PSRR power with the TPS717xx,» Analog Applications Journal, pp. 17-19, 2007.

[14] B. Cordell, Designing Audio Power Amplifiers, McGraw-Hill Professional, 2010.

[15] R. Schreier et G. C. Temes, Understanding Delta-Sigma Converters, Wiley Interscience - IEEE Press, 2005.

[16] P. e. a. Balmelli, «A Low-EMI 3-W Audio Class-D Amplifier Compatible With AM/FM Radio,» IEEE JSSC, vol. 48, n° %18, 2013.

[17] N. Abouchi, P. Marguery et G. Pillonnet, «Reduction of Power Stage THD by Adding Output Capacitance,» chez AES, 2005.

[18] Maxim, Spread-Spectrum-Modulation Mode Minimizes Electromagnetic Interference in Class-D Amplifiers - AN3881, 2006.
[19] R. Cellier, A. Nagari, H. Souha, G. Pillonnet et N. Abouchi, «A Synchronized Self Oscillating Class-D Amplifier for Mobile Application,» chez ESSCIRC, 2012.

[20] M. Berkhout et L. Dooper, «Class-D Audio Amplifiers in Mobile Applications,» IEEE Trans. on Circuits and Systems, vol. 57, n° %15, pp. 992-1002, 2010.

[21] STMicroelectronics, 3W Filter-free Class D Audio Power Amplifier TS4962, 2007.

[22] M. Berkhout, «An Integrated 200W Class-D Audio Amplifier,» chez ESSCIRC, 2002.

[23] A. Huffenus, G. Pillonnet, N. Abouchi, F. Goutti, V. Rabary et R. Cittadini, «A High PSRR Class-D Audio Amplifier IC Based on a Self-Adjusting Voltage Reference,» chez ESSIRC, 2010.

[24] T. Ido et e. al., «A Digital Input Controller for Audio Class-D Amplifiers with 1--W 0.004% THD+N and 113dB DR,» chez ISSCC, 2006.

[25] M. Wang, X. Jiang, J. Song et T. Brooks, «A 120 dB Dynamic Range 400 mW Class-D Speaker Driver with Fourth Order PWM Modulator,» JSSC, vol. 45, n° %18, pp. 1427-1435, 2010.

[26] Analog Device, PDM Digital Input, Mono 2.4W Class-D Audio Amplifier - SSM2517, 2010.

[27] A. Matamura, N. Nishimura et B. Y. Liu, «Filterless Multi-Level Delta-Sigma Class-D Amplifier for Portable Application,» chez ISCAS, 2009.

[28] A. Huffenus, G. Pillonnet, N. Abouchi et F. Goutti, «A Comparison of Phase-Shift Self-Oscillating and Carrier-based PWM Modulation for Embedded Audio Amplifiers,» chez AES 128th Convention, 2010.

[29] M. A. Rojas-González et E. Sánchez-Sinencio, «Low-Power High-Efficiency Class D Audio Power Amplifiers,» JSSC, vol. 44, n° %112, pp. 3272-3284, 2009.

[30] R. Cellier, G. Pillonnet, N. A. et N. Abouchi, «A Review of fully digital audio class D amplifiers topologies,» chez NEWCAS, 2009.

[31] T. Forzley et R. Mason, «A Scalable Class D Audio Amplifier for Low Power Applications,» chez AES 37th International Conference, 2009.
# Chapitre II

## Boucle d'amplification ΔΣ à rétroaction partielle

L'amplificateur de classe D numérique développé dans cette thèse s'appuie sur un concept de modulateur Delta-Sigma (ΔΣ) numérique dont la rétroaction est distribuée. La figure II.1 propose un schéma de ce concept appelé rétroaction partielle. Le signal audio numérique sur-échantillonné à la fréquence de fonctionnement du modulateur ΔΣ est fourni en entrée de la boucle. On le compare avec un signal de rétroaction et la différence est intégrée dans le modulateur numérique. La sortie de la chaîne d'intégrateur est ensuite quantifiée, ce qui permet de piloter l'étage de puissance qui prend en entrée un signal '-1', '0' ou '+1'. La sortie de l'étage de puissance, analogique, est ensuite convertie en numérique dans un ADC pour donner à la boucle son signal de rétroaction.

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIGURE II.1 - Schéma général du concept de rétroaction partielle</figcaption></figure>

La modulation ΔΣ est très utilisée dans le domaine de l'audio, essentiellement pour effectuer les conversions analogique-numérique et numérique-analogique. Le principe essentiel de ce type de modulation consiste à quantifier le signal d'entrée sur un très faible nombre de niveaux, au minimum 2, et à filtrer l'erreur de quantification résultante dans la bande passante grâce au filtre intrinsèque du modulateur.
Ce principe a pour la première fois été décrit dans [1], avec les modulateurs Delta (ou Δ) en 1952. Dans cette architecture, l'intégration s'effectue dans la rétroaction sur la sortie quantifiée (voir figure II.2 (a)). Le signal d'entrée se trouve ainsi modulé par la même fonction de transfert que l'erreur de quantification. La démodulation nécessite ensuite un intégrateur et un filtre passe-bas. Le principal problème de ce type de modulation est que les basses fréquences du signal sont trop atténuées pour pouvoir les démoduler en obtenant suffisamment de dynamique par rapport au niveau de bruit.

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE II.2 - Schéma simplifié d'un modulateur Δ (a) et d'un modulateur ΔΣ (b)</figcaption></figure>

A partir de la modulation Δ, les auteurs de [2] ont proposé en 1962 la modulation Delta-Sigma (ou ΔΣ). Le passage de l'un à l'autre type de modulation est assez rapide car dans cette structure, l'intégrateur se trouve après la comparaison entre l'entrée et la sortie, juste en amont de la quantification (voir figure II.2 (b)). Dans cette implémentation, l'entrée et l'erreur de quantification possèdent leur propre fonction de transfert. Le contenu de l'entrée dans la bande passante du modulateur ne subit aucune atténuation, tandis que l'erreur de quantification est rejetée en dehors de cette bande passante.

L'architecture d'amplificateur de classe D numérique utilise la modulation ΔΣ pour différentes opérations. Elle est utilisée pour la transmission de données, la modulation du signal audio avant amplification dans la boucle de retour de l'amplificateur au niveau de la conversion analogique-numérique (ou ADC pour « Analogue-to-Digital Converter ») et également dans un système de correction dynamique des erreurs d'appariement de l'ADC.

Nous étudierons ainsi dans ce chapitre, le principe de la modulation ΔΣ à travers l'exemple d'un modulateur du premier ordre et nous verrons les principaux phénomènes mis en jeu. Dans une seconde partie, nous présenterons une méthode de dimensionnement des modulateurs. En effet, nous procédons par identification par rapport à la fonction de transfert d'un filtre en fonction de la qualité audio attendue. Nous verrons également les problèmes de stabilité qui se posent, quels sont les moyens d'action et finalement quels sont les compromis qu'il convient de faire. Nous évoquerons également le cas des modulateurs à temps continu.
Nous présenterons ensuite une étude du concept de boucle à rétroaction partielle qui a été développé et breveté par Primachip, et qui permet de placer un ADC dans la boucle de rétroaction ΔΣ. Nous montrerons que ce principe offre un compromis entre stabilité et réjection des perturbations de l'alimentation. Et nous finirons par une étude de la consommation d'un amplificateur en fonction de la technique de modulation qu'il emploie. Nous comparerons à ce titre l'influence des modulations de type PDM et PWM sur la consommation de l'étage de puissance au niveau du nombre de commutations et du courant fourni par la batterie à la charge.
## II.1 Étude d'un modulateur du premier ordre

### II.1.1 Modèle linéaire du modulateur du premier ordre

Nous donnons sur les figures II.3 (a) et (b) le schéma d'un modulateur ΔΣ du premier ordre le plus simple. Une étude plus complète est menée dans le deuxième chapitre de [3]. Nous allons étudier son comportement en fréquence avec un modèle en transformée en Z. Le quantificateur n'est pas un composant linéaire, il est modélisé ici par un gain de 1 (non représenté) et l'addition d'une erreur E(z) représentant le bruit de quantification.

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE II.3 - (a) Modulateur Delta-Sigma du premier ordre
(b) Modèle en Z de l'intégrateur</figcaption></figure>

Pour obtenir les fonctions de transfert du signal et du bruit de quantification, nous recherchons l'expression de Q(z) en fonction de U(z) et E(z).

$$Q(z) = \frac{z^{-1}}{1 - z^{-1}} (U(z) - Q(z)) + E(z) \qquad (II.1)$$

$$Q(z) \left( 1 + \frac{z^{-1}}{1 - z^{-1}} \right) = \frac{z^{-1}}{1 - z^{-1}} U(z) + E(z) \qquad (II.2)$$

Et nous obtenons :

$$Q(z) = z^{-1} \cdot U(z) + (1 - z^{-1}) E(z) \qquad (II.3)$$

$$Q(z) = \text{STF}(z) \cdot U(z) + \text{NTF}(z) \cdot E(z) \qquad (II.4)$$

Nous avons noté dans l'équation (II.4) STF la fonction de transfert du signal (« Signal Transfer Function ») et NTF la fonction de transfert du bruit (« Noise Transfer Function »). La STF est égale à z⁻¹, cela signifie que le signal d'entrée U(z) se retrouve intégralement dans la sortie Q(z), avec un décalage d'une période d'horloge. La NTF est quant à elle égale à 1-z⁻¹. Pour obtenir la variation de l'amplitude de cette fonction de transfert en fonction de la fréquence, nous remplaçons les z par e^(jωT) = e^(2πj/T) avec f la fréquence et T la période d'horloge du circuit. Nous définissons un facteur de sur-
échantillonnage OSR pour « Over-Sampling Ratio ». Ce facteur correspond au rapport entre la fréquence de fonctionnement du modulateur et la fréquence d'échantillonnage du signal numérique. Nous prendrons par la suite une valeur de 48 kHz pour cette fréquence. La figure II.4 montre la NTF pour un OSR de 8 et pour un OSR de 128. Nous pouvons voir que plus la fréquence de fonctionnement du modulateur est élevée, plus le bruit de quantification est faible dans la bande audio. Il est possible d'augmenter encore la réjection du bruit en utilisant des modulateurs d'ordre plus élevés.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE II.4 – Réponse en fréquence de la fonction de transfert du bruit de quantification pour le modulateur ΔΣ du premier ordre en supposant un signal échantillonné à 48 kHz.</figcaption></figure>

(a) Facteur de sur-échantillonnage de 8 ; (b) Facteur de sur-échantillonnage de 128

## II.1.2 Simulation du modèle linéaire

Nous pouvons maintenant examiner sur la figure II.5 (a) l'allure du signal audio en entrée et en sortie du modulateur du premier ordre ainsi que son comportement en fréquence. Nous utilisons le modèle de la figure II.43 (a) en prenant comme source d'erreur un quantificateur 1 bit qui sort '+1' quand son entrée est supérieure à 0 et '-1' sinon. Une simulation avec Matlab Simulink est effectuée avec en entrée du modulateur un signal sinusoïdal à 1 kHz et une amplitude de -3 dB par rapport à la pleine échelle, qui est égale à 1 (ce sera le cas dans toutes les simulations suivantes). Le modulateur fonctionne avec un OSR de 8 afin de mieux visualiser les impulsions élémentaires. Il faut toutefois noter que le sinus en entrée est ici préalablement échantillonné à la fréquence de fonctionnement du modulateur. Nous obtenons un SNR de 32,7 dB A-weighting, ce qui est très faible et qui s'explique par le faible facteur de sur-échantillonnage et un ordre relativement bas. Le spectre du signal de sortie est représenté sur la figure II.5 (b).
<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE II.5 - (a) en noir, le sinus en entrée du modulateur et en gris, le signal modulé en densité d'impulsion ; (b) spectre du signal de sortie, SNDR A-w = 32,7 dB</figcaption></figure>

En résumé, un modulateur ΔΣ transforme un signal audio analogique ou numérique multi-bit en un flux numérique codé sur deux états ou plus, cadencé à une fréquence plusieurs fois supérieure à la limite de la bande audio. Le fait de coder sur très peu d'états l'information crée une très importante erreur de quantification. Cette erreur est filtrée par le filtre passe-haut intrinsèque du modulateur. Ainsi, le bruit dans la bande audible est très limité. En poussant le concept à des ordres plus élevés de modulateurs, il est possible d'obtenir une réjection du bruit de quantification supérieure à 120 dB par rapport à la pleine échelle, ce qui rend ce bruit parfaitement inaudible dans les applications de faible puissance.

## II.1.3 Gain du quantificateur

L'opération de quantification dans le modèle linéaire illustré sur la figure II.3 est très simplifiée. Ce modèle constitué d'un gain de 1 avec l'ajout d'une erreur décorrélée de l'entrée fonctionne seulement si la quantification se fait sur un nombre suffisant de niveaux. Dans le cas d'une quantification sur 2 états, le gain dépend de la valeur en entrée comme nous allons le montrer par des simulations. Le gain k du quantificateur est défini dans l'équation (II.5). En supposant que l'erreur de quantification e(n) est décorrélée de l'entrée du quantificateur y(n) et que sa moyenne est nulle, nous obtenons l'équation (II.6).

$$q(n) = ky(n) + e(n) \qquad (II.5)$$

$$\langle q, y \rangle = k \langle y, y \rangle + \langle e, y \rangle \approx k \langle y, y \rangle \Rightarrow k \approx \frac{\langle q, y \rangle}{\langle y, y \rangle} \qquad (II.6)$$
Les auteurs de [4] ont développé un modèle non linéaire de quantificateur pour les modulateurs ΔΣ qui prend en compte l'influence de l'entrée dans l'erreur de quantification, et qui permet de calculer son gain effectif, de prévoir le SNR et la limite de stabilité du modulateur. Nous avons tracé sur la figure II.6 le gain du modulateur d'ordre 1 calculé avec la formule de l'équation (II.6) en fonction de la valeur DC en entrée et le nombre de niveaux de quantification. Nous observons que plus le nombre de niveaux est élevé, plus le gain calculé du quantificateur est proche de l'unité. Le fait que le gain ne soit pas égal à 1 et dépende de l'entrée rend la NTF effective du modulateur non linéaire, influant sur ses conditions de stabilité.

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE II.6 – Valeur du gain k en fonction de la valeur DC en entrée du modulateur pour 2, 3 et 5 niveaux de quantification</figcaption></figure>

## II.1.4 Stabilité et saturation du modulateur

Deux phénomènes différents peuvent faire que le modulateur ΔΣ cesse de fonctionner correctement : l'instabilité et la saturation. La première condition peut être déduite de la fonction de transfert de bruit du modulateur. Le modulateur du premier ordre est ainsi inconditionnellement stable car d'après l'équation (II.4), sa NTF est égale à $1 - z^{-1}$.

Toutefois, l'intégrateur d'un modulateur réel sature quand l'entrée appliquée est de trop grande amplitude. Comme nous l'avons vu dans la section précédente, le processus de quantification n'est pas linéaire et le modèle de la figure II.4 (a) n'est pas très fidèle. La figure II.7 montre l'évolution du rapport signal à bruit et distorsion (SNDR) en fonction de l'amplitude d'entrée. Quand l'amplitude du sinus en entrée va au-delà de 0 dB, le quantificateur ne peut plus suivre en envoyant que des +1 et -1. Cela amène beaucoup de distorsion, ce qui n'est pas prévu dans le modèle linéaire.
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE II.7 - Taux de distorsion en fonction de l'amplitude du signal d'entrée (sinus)</figcaption></figure>

## II.2 Conception de modulateurs ΔΣ

Nous avons donc vu dans la partie précédente à travers l'exemple du modulateur du premier ordre les principes de base de la modulation ΔΣ, c'est-à-dire la quantification, le sur-échantillonnage, la modélisation des modulateurs et la stabilité.

### II.2.1 Modulateurs ΔΣ d'ordre supérieur à 1

Pour concevoir un modulateur ΔΣ, il faut définir ces spécifications : la bande passante, c'est-à-dire la bande de fréquence sur laquelle le bruit de quantification doit être fortement atténué (bande 20 Hz – 20 kHz pour les applications audio), la fréquence de fonctionnement (choix de l'OSR), les niveaux de bruit et de distorsion acceptables en fonction de l'amplitude. Plusieurs architectures de modulateur sont disponibles pour répondre aux besoins de l'application. En effet, chaque architecture possède des avantages particuliers et donne des fonctions de transfert différentes (NTF et STF). Dans les paragraphes suivants, nous utiliserons les notations et noms de structure de l'ouvrage de Schreier sur les convertisseurs ΔΣ [3].
II.2.1.1 Détermination des fonctions de transfert du signal et du bruit

Les fonctions de transfert du signal et du bruit appelées NTF et STF sont définies dans l'équation (II.4). Un modulateur ΔΣ peut être représenté sous la forme d'un « filtre rebouclé » comme sur la figure II.8. Nous cherchons à exprimer la STF et la NTF en fonction de L₀ et L₁.

$$
Y(z) = L_{0}(z) \cdot U(z) - L_{1}(z) \cdot Q(z) \tag{II.7}
$$

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIGURE II.8 - Représentation du modulateur ΔΣ sous forme d'un filtre rebouclé</figcaption></figure>

Nous modélisons le quantificateur comme l'addition de Y(z) et d'une erreur E(z) de la même façon que pour le modulateur du premier ordre (voir figure II.3 (a)).

$$
Q(z) = Y(z) + E(z) \tag{II.8}
$$

En injectant (II.7) dans (II.8), nous obtenons :

$$
Q(z) = \frac{L_0(z)}{1 + L_1(z)} U(z) + \frac{1}{1 + L_1(z)} E(z) \quad (II.9)
$$

Nous pouvons ainsi déterminer la STF et la NTF par identification :

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
STF(z) = \frac{L_0(z)}{1 + L_1(z)} \\
NTF(z) = \frac{1}{1 + L_1(z)}
\end{cases}
\tag{II.10}
\end{equation}
$$

Le fait d'exprimer les fonctions de transfert en fonction de L₀ et L₁ permet de faciliter l'étude des types de structure que nous allons voir dans les prochains paragraphes. Nous nommerons zéros les fréquences pour lesquelles le numérateur s'annule, et pôles les fréquences où le dénominateur s'annule. Cela aura une grande importance dans l'étude des fonctions de transfert. En effet, pour connaître la stabilité d'un système linéaire, il est courant de tracer sur un plan complexe les pôles (représentés par des croix) et les zéros (représentés par des cercles) de la fonction de transfert. Cela permet de déduire les propriétés de stabilité du système en fonction du type d'entrée. Nous pouvons remarquer par ailleurs dans l'équation (II.10) que la NTF et la STF ont le même dénominateur. Cela veut dire que quelle que soit la fonction de transfert du modulateur, la NTF et la STF possèderont toujours les mêmes pôles.
II.2.1.2 Cascade d'intégrateurs et de résonateurs avec rétroaction distribuée

Les figures II.9 (a) et (b) montrent respectivement des structures CIFB et CRFB du 4ème ordre.
Ces abréviations signifient respectivement « Chain of Integrators/Resonators with distributed
FeedBack ».

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIGURE II.9 - (a) Cascade d'intégrateurs CIFB d'ordre 4
(b) Cascade de résonateurs CRFB d'ordre 4</figcaption></figure>

Nous calculons l’expression de Q(z) pour le modulateur CIFB de la figure II.9 (a) :

$$
Y(z) = U(z) + \frac{k_4 z^{-1}}{1 - z^{-1}} \left( U(z) - Q(z) + \frac{k_3 z^{-1}}{1 - z^{-1}} \left( U(z) - Q(z) + \frac{k_2 z^{-1}}{1 - z^{-1}} (\dots) \right) \right) \quad (II.11)
$$

Nous en déduisons que les fonctions de transfert L₀(z) et L₁(z) (voir équation (II.7)) de la
structure CIFB sont de la forme :

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
L_0(z) = 1 + \frac{k_4 z^{-1}}{1-z^{-1}} \left( 1 + \frac{k_3 z^{-1}}{1-z^{-1}} \left( 1 + \frac{k_2 z^{-1}}{1-z^{-1}} (\dots) \right) \right) \\
L_1(z) = \frac{k_4 z^{-1}}{1-z^{-1}} \left( 1 + \frac{k_3 z^{-1}}{1-z^{-1}} \left( 1 + \frac{k_2 z^{-1}}{1-z^{-1}} (\dots) \right) \right) = \frac{N_1(z)}{(1-z^{-1})^4} = L_0(z) - 1
\end{cases}
\tag{II.12}
\end{equation}
$$
Nous en déduisons la STF et la NTF grâce aux résultats de l'équation (II.12) :

$$
\left\{
\begin{aligned}
\text{STF}(z) &= \frac{L_0(z)}{1 + L_1(z)} = 1 \\
\text{NTF}(z) &= \frac{1}{1 + L_1(z)} = \frac{(1 - z^{-1})^4}{(1 - z^{-1})^4 + N_1(z)}
\end{aligned}
\right.
\qquad (II.13)
$$

La STF est égale à 1 quelle que soit la valeur des coefficients $k_i$ du fait de la structure du
modulateur. Cela signifie que le signal d'entrée passe dans la sortie avec un gain de 1 sur toutes les
fréquences et sans déphasage. Nous pouvons également remarquer que la NTF possède un zéro
quadruple en z = 1. Cela veut dire que seule la composante continue est exclue du spectre du bruit de
quantification. La figure II.10 (a) montre l'allure de la NTF pour ce modulateur.

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIGURE II.10 - (a) NTF du modulateur CIFB d'ordre 4
(b) NTF du modulateur CRFB d'ordre 4</figcaption></figure>

Pour obtenir les fonctions de transfert de la structure CRFB représentée sur la figure II.9 (b),
nous posons le système linéaire donné dans l'équation (II.14). Nous remplaçons le quantificateur par
l'addition d'une erreur E(z) comme dans la section II.1.

$$
\left\{
\begin{aligned}
X_1(z) &= k_1 \frac{1}{1-z^{-1}} (U(z) - Q(z) - g_1 X_2(z)) \\
X_2(z) &= k_2 \frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} (U(z) - Q(z) + X_1(z)) \\
X_3(z) &= k_3 \frac{1}{1-z^{-1}} (U(z) - Q(z) + X_2(z) - g_2 X_4(z)) \\
X_4(z) &= k_4 \frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} (U(z) - Q(z) + X_3(z)) \\
Q(z) &= X_4(z) + U(z) + E(z)
\end{aligned}
\right.
\qquad (II.14)
$$
En résolvant le système, nous obtenons le résultat suivant :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l} 
STF(z) = 1 \\ 
NTF(z) = \frac{(1 - (2 - g_1 k_1 k_2) z^{-1} + z^{-2}) (1 - (2 - g_2 k_3 k_4) z^{-1} + z^{-2})}{Den(z)} 
\end{array} 
\right. 
\qquad (II.15) 
$$

Nous obtenons ainsi une STF égale à 1 du fait de la structure du modulateur. En outre, le numérateur de la NTF s'exprime comme le produit de 2 polynômes du second degré. Chacun de ces polynômes possède deux racines complexes conjuguées, car les coefficients $g_1, k_1$ et $k_2$ sont positifs et petits devant 1.

Ainsi, en jouant sur les coefficients du modulateur, il est possible d'insérer des zéros dans la bande audio, afin de mieux contrôler le filtrage du bruit de quantification dans la bande audio et ainsi d'optimiser la plage dynamique du modulateur. L'avantage de cette structure est donc de permettre le contrôle des zéros de la NTF grâce aux deux structures bouclées du second ordre. La figure II.10 (b) montre l'allure de la NTF de la structure.

### II.2.1.3 Cascade d'intégrateurs et de résonateurs avec une simple rétroaction

Les figures II.11 (a) et (b) montrent respectivement les structures dites CIFF et CRFF (« Chain of Integrators/Resonators with distributed FeedForward and input coupling»). Les modulateurs $\Delta\Sigma$ de type CIFF et CRFF ont la particularité par rapport aux CIFB et CRFB de n'avoir qu'un seul point de rétroaction, à l'entrée du modulateur. Cela est avantageux pour limiter le nombre d'additionneurs du système.

Le modulateur CIFF possède des STF et NTF de la même forme que dans l'équation (II.10) et donc avec une NTF à zéro quadruple en 1. La différence est que la STF n'est ici pas égale à 1. Il est possible de montrer en posant et en résolvant le système linéaire que l'ajout d'un chemin entre l'entrée U(z) et l'additionneur de sortie peut remédier à cela. Quant au modulateur de type CRFF, les structures bouclées du 2^nd^ ordre permettent de placer des zéros dans la bande audio en jouant sur la valeur des coefficients $g_1$, comme pour la structure CRFB.
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIGURE II.11 - (a) Cascade d'intégrateurs CIFF d'ordre 4
(b) Cascade de résonateurs CRFF d'ordre 4</figcaption></figure>

## II.2.2 Dimensionnement d'un modulateur

Comme expliqué précédemment, dans une application audio, le modulateur $\Delta\Sigma$ doit laisser passer le signal d'entrée sans trop l'altérer (STF) et renvoyer le maximum d'énergie du bruit de quantification en dehors de la bande audio (NTF). Il existe plusieurs méthodes pour effectuer ce dimensionnement. Dans [3], les auteurs ont par exemple établi un tableau dans lequel sont données les valeurs optimales des zéros de la NTF pour diminuer le bruit dans la bande passante. De même, il existe des méthodes de calcul et des tableaux permettant d'optimiser la valeur des pôles, essentiellement pour obtenir une bonne stabilité [5]. Des logiciels et autres boîtes à outil existent pour aider le concepteur de modulateurs $\Delta\Sigma$ à choisir ses coefficients. Il convient toutefois de recourir à un grand nombre de simulations et d'ajustements de paramètres pour optimiser le dimensionnement d'un modulateur $\Delta\Sigma$.

La méthode que nous utilisons pour dimensionner un modulateur est la suivante : selon les performances requises en termes de bruit, un ordre de modulateur est choisi. Ensuite, les coefficients
du modulateur sont choisis pour que sa NTF(z) corresponde à la fonction de transfert H(z) d'un filtre passe-haut de même ordre choisi avec soin. Les paramètres de ce filtre sont l'atténuation dans la bande audio (réjection du bruit de quantification) et la fréquence de coupure (bande passante du modulateur). Ces deux paramètres règlent « l'agressivité » du filtre, c'est-à-dire que plus la fréquence de coupure et l'atténuation du filtre sont élevées, plus le filtre est proche de l'instabilité et peut saturer facilement. Schreier dans [3] donne comme paramètre empirique de stabilité le gain du filtre en dehors de la bande, c'est-à-dire à Fs/2.

Ensuite, le modulateur est décrit sous la forme d'un système linéaire. La résolution de ce système permet de déduire l'expression de la NTF en fonction des coefficients du modulateur. Il est ainsi possible de déterminer par identification ces coefficients. Des simulations sont ensuite effectuées pour déterminer principalement si le modulateur ne sature pas trop vite, si la bande passante est suffisamment importante, et si le bruit est suffisamment atténué.

Le diagramme de la figure II.12 montre les étapes du dimensionnement d'un modulateur ΔΣ selon la méthode décrite plus haut.

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIGURE II.12 - Etapes de conception d'un modulateur ΔΣ</figcaption></figure>
Pour illustrer cette méthode, nous prendrons l'exemple d'un modulateur d'ordre 3, de type CRFB, représenté sur la figure II.13. Nous identifierons la fonction de transfert de bruit de ce modulateur avec un filtre de Chebyshev type 2 également d'ordre 3.

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>FIGURE II.13 - Exemple de modulateur d'ordre 3 de type CRFB</figcaption></figure>

### II.2.2.1 Calcul de la fonction de transfert du modulateur

La figure II.14 donne un modèle linéaire du modulateur. Le quantificateur est une nouvelle fois remplacé par l'addition d'une erreur $E(z)$.

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIGURE II.14 - Modèle du modulateur d'ordre 3</figcaption></figure>

Nous posons le système en remplaçant l'entrée $U(z)$ par une entrée nulle.

$$ egin{cases} X_1(z) = -Q(z) \cdot k_1 \cdot \left( \frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} \right) \\ X_2(z) = (X_1(z) - Q(z) - g_1 \cdot X_3(z)) \cdot k_2 \cdot \left( \frac{1}{1-z^{-1}} \right) \\ X_3(z) = (X_2(z) - Q(z)) \cdot k_3 \cdot \left( \frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} \right) \\ Q(z) = X_3(z) + E(z) \end{cases} \quad (II.16) $$
Le système linéaire (II.16) peut se réécrire sous la forme :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
X_1(z) + k_1 \left( \frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} \right) Q(z) = 0 \\[1em]
-k_2 \left( \frac{1}{1-z^{-1}} \right) X_1(z) + X_2(z) + g_1 k_2 \left( \frac{1}{1-z^{-1}} \right) X_3(z) + k_2 \left( \frac{1}{1-z^{-1}} \right) Q(z) = 0 \\[1em]
-k_3 \left( \frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} \right) X_2(z) + X_3(z) + k_3 \left( \frac{z^{-1}}{1-z^{-1}} \right) Q(z) = 0 \\[1em]
-X_3(z) + Q(z) = E(z)
\end{array}
\right.
\qquad (II.17)
$$

Pour trouver la fonction de transfert de l’erreur NTF(z), nous résolvons le système (II.17) soit à la main ou avec un logiciel de calcul symbolique (Nous avons utilisé Maxima [6]). Cela nous permet de déduire la NTF du système :

$$
\begin{equation}
\begin{split}
NTF(z) = \frac{Q(z)}{E(z)} &= \frac{1 - a \cdot z^{-1} + a \cdot z^{-2} - z^{-3}}{1 - b \cdot z^{-1} + c \cdot z^{-2} - d \cdot z^{-3}} \\
\text{avec } \begin{cases} a = 3 - g_1 \cdot k_2 \cdot k_3 \\ b = 3 - k_3 \cdot (k_2 \cdot (g_1 + 1) + 1) \\ c = 3 - k_3 \cdot (k_2 \cdot (g_1 - k_1 + 1) + 2) \\ d = 1 - k_3 \end{cases} & \text{(II.18)}
\end{split}
\end{equation}
$$

Du fait de la structure du modulateur, nous avons $L_1(z) = L_0(z) - 1$, ce qui fournit une STF égale à 1.

II.2.2.2 Choix du filtre

Nous possédons donc l’expression des coefficients du filtre en fonction des coefficients du
modulateur. Nous pouvons observer dans l’équation (II.18) que nous avons 4 expressions
indépendantes et 4 coefficients. Ainsi, pour pouvoir identifier l’expression de la NTF avec la fonction
de transfert d’un filtre, il s’agit de bien observer la forme de cette dernière.

De plus, toujours d'après l'équation (II.18), afin de pouvoir identifier la NTF avec la fonction de transfert H(z) d'un filtre, il faut « normaliser » cette fonction de transfert pour avoir des 1 à l'ordre zéro du numérateur et du dénominateur. En effet, nous utilisons une fonction Matlab pour obtenir les coefficients de la fonction de transfert H(z). Par défaut, H(z) possède un gain unitaire dans sa bande non atténuée, c'est-à-dire à Fs/2 si Fs est la fréquence du modulateur. En revanche, la NTF possède un gain à Fs/2 que nous notons H<sub>1/2</sub> qui n'est en général pas égal à 1.
Nous pouvons obtenir ce gain en remplaçant les z⁻¹ par -1 car :

$$e^{2i\pi\frac{(Fs/2)}{Fs}} = e^{i\pi} = -1 \qquad (II.19)$$

Nous obtenons donc :

$$H_{1/2} = \frac{1 - a(-1) + a(-1)^{-2} - (-1)^{-3}}{1 - b(-1)^{-1} + c(-1)^{-2} - d(-1)^{-3}} = \frac{2 + 2a}{1 + b + c + d} \qquad (II.20)$$

Nous allons tester différents types de filtres passe-haut du 3ème ordre. Il est inutile de tester des filtres de type FIR (pour « Finite Impulse Response » en anglais) qui sont par définition non récursifs. Le modulateur ΔΣ est en effet par définition un système récursif. Nous verrons quatre filtres de types IIR (pour « Infinite Impulse Response »). Nous supposons pour le dimensionnement de ces filtres que la fréquence d'échantillonnage est de 48 kHz avec un facteur de sur-échantillonnage (OSR) de 32.

### II.2.2.2.1 Stabilité des filtres

Avant de donner les différents types de filtres, expliquons ici rapidement la façon dont est évaluée la stabilité d'un filtre linéaire à temps discret (voir [7] pour plus de détails théoriques). Nous prenons pour exemple un filtre du 4ème ordre de type Chebyshev type II ayant pour fréquence de coupure 20 kHz et pour atténuation 70 dB. Nous obtenons la fonction de transfert H(z) dans l'équation (II.21). Nous pouvons vérifier en remplaçant z⁻¹ par -1 que $H_{1/2} = 1$.

$$H(z) = \frac{0,626 - 2,499z^{-1} + 3,747z^{-2} - 2,499z^{-3} + 0,626z^{-4}}{1 - 3,065z^{-1} + 3,613z^{-2} - 1,928z^{-3} + 0,392z^{-4}} \qquad (II.21)$$

La réponse en fréquence de la fonction de transfert H(z) du filtre ainsi que les pôles et zéros sont tracés sur les figures II.15 (a) et (b). Les zéros de la fonction de transfert sont les racines du numérateur et les pôles les racines du dénominateur. La condition de stabilité du filtre est que les pôles doivent être contenus dans le cercle unitaire. Le paragraphe suivant en explique la raison.

Nous supposons que le signal en entrée du filtre est une suite dont la valeur initiale est zéro. Cela entraîne d'après [7] que le domaine de convergence (et donc de stabilité) du filtre est l'ensemble des valeurs de z à l'extérieur du cercle centré sur zéro d'un rayon égal à la distance entre le centre et le pôle le plus éloigné du centre (zone grise sur la figure II.15 (b)). La condition de stabilité pour un système linéaire est que le cercle unitaire soit contenu dans le domaine de convergence, ce qui est ici le cas. Et comme le domaine de convergence par définition ne peut pas contenir de pôle, la condition de stabilité du filtre est que les pôles doivent être contenus strictement à l'intérieur du cercle unitaire. C'est ce que nous vérifierons sur les différents filtres étudiés.
<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>FIGURE II.15 - (a) Réponse en fréquence du filtre du 4ème ordre</figcaption></figure>

(b) Représentation des pôles et zéros du filtre avec le domaine de convergence en gris.

II.2.2.2.2 Filtre de Butterworth

Le filtre de Butterworth est conçu pour avoir un gain dans la bande passante aussi constant que
possible [8]. L'équation (II.22) donne la fonction de transfert du filtre avec les valeurs des coefficients.
Nous choisissons pour ce filtre de Butterworth une fréquence de coupure de 160 kHz. Nous pouvons
remarquer que le numérateur peut se factoriser pour devenir (1 − z⁻¹)³, ce qui donne une racine triple
en 1. Nous avons H₁/₂ = 2,86 dB. Les figures II.16 (a) et (b) donnent respectivement la réponse en
fréquence du filtre et la position des pôles et des zéros dans le cercle unitaire.

$$
H_{\text{Butterworth}}(z) = \frac{1 - 3z^{-1} + 3z^{-2} - z^{-3}}{1 - 2,348z^{-1} + 1,892z^{-2} - 0,518z^{-3}} \quad (\text{II.22})
$$

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>FIGURE II.16 - (a) Réponse en fréquence du filtre de Butterworth du 3ème ordre</figcaption></figure>

(b) Représentation des pôles et zéros du filtre
II.2.2.2.3 Filtre de Chebyshev type I

Les filtres de Chebyshev ont pour propriété, par rapport aux filtres de Butterworth, d'avoir une
meilleure sélectivité en fréquence – c'est-à-dire une pente plus forte – en contrepartie d'ondulations
dans la bande passante (type I) ou dans la bande atténuée (type II) [8]. Ces ondulations ne posent a
priori aucun problème car elles se situent dans les hautes fréquences et peuvent améliorer la réjection
dans la bande audio par rapport à Chebyshev type II. Toutefois, si elles sont importantes, elles peuvent
regrouper de l'énergie de quantification dans une bande de fréquence particulière, ce qui peut avoir
des effets en termes d'émissions électromagnétiques dans le cas d'un amplificateur. De plus, si cette
résonance coïncide avec une fréquence de résonance du haut-parleur, cela peut induire une dépense
d'énergie supplémentaire.

L'équation (II.23) donne la fonction de transfert du filtre avec les valeurs des coefficients. Les
paramètres choisis sont une fréquence de coupure de 120 kHz et une ondulation de 2 dB dans la bande
non atténuée. Nous avons $H_{1/2} = 3,08$ dB.

$$
H_{\text{Chebyshev\_I}}(z) = \frac{1 - 3z^{-1} + 3z^{-2} - z^{-3}}{1 - 2,339z^{-1} + 1,822z^{-2} - 0,451z^{-3}} \quad (\text{II.23})
$$

Les figures II.17 (a) et (b) donnent respectivement la réponse en fréquence du filtre et la
position des pôles et des zéros dans le cercle unitaire. Nous pouvons remarquer qu’il y’a une racine
triple en zéro et qu’il y’a une résonance autour de la fréquence de coupure non loin de la bande
passante du filtre intrinsèque des hauts parleurs.

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIGURE II.17 - (a) Réponse en fréquence du filtre de Chebyshev type I du 3ème ordre
(b) Représentation des pôles et zéros du filtre.</figcaption></figure>
II.2.2.2.4 Filtre de Chebyshev type II

Voyons maintenant le filtre de Chebyshev de type II qui lui crée des ondulations dans la bande
atténuée. L'équation (II.24) donne la fonction de transfert du filtre avec les valeurs des coefficients.
Les paramètres sont une fréquence de fin de bande atténuée de 20 kHz et une atténuation de 55 dB.
Nous avons H₁/₂ = 3,63 dB.

$$
H_{\text{Chebyshev\_II}}(z) = \frac{1 - 2,995z^{-1} + 2,995z^{-2} - z^{-3}}{1 - 2,171z^{-1} + 1,654z^{-2} - 0,433z^{-3}} \quad (\text{II.24})
$$

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE II.18 - (a) Réponse en fréquence du filtre de Chebyshev type II du 3ème ordre
(b) Représentation des pôles et zéros du filtre.</figcaption></figure>

Les figures II.18 (a) et (b) donnent respectivement la réponse en fréquence du filtre et la
position des pôles et des zéros dans le cercle unitaire. Il y a cette fois trois racines au numérateur, ce
qui donne un zéro sur la composante continue et un zéro à 17,4 kHz. Plus l'ordre est élevé, plus il y a
de zéros dans la bande atténuée, cela permet une réjection « plate » du bruit dans la bande audio.
L'absence d'ondulation dans la « bande passante » du filtre empêche la concentration d'énergie à une
fréquence particulière, ce qui limite les possibles perturbations électromagnétiques.

II.2.2.2.5 Filtre Elliptique

Nous allons tester enfin le filtre elliptique qui crée à la fois des ondulations dans la bande
passante et dans la bande atténuée. L'équation (II.25) donne la fonction de transfert du filtre avec les
valeurs des coefficients. Les paramètres choisis sont une ondulation de 2 dB dans la bande non
atténuée et une atténuation de 50 dB à 20 kHz. Nous avons H₁/₂ = 6,41 dB.
$$H_{\text{Elliptique}}(z) = \frac{1 - 2,958z^{-1} + 2,958z^{-2} - z^{-3}}{1 - 1,595z^{-1} + 1,036z^{-2} - 0,1538z^{-3}} \quad (II.25)$$

Les figures II.19 (a) et (b) donnent respectivement la réponse en fréquence du filtre (sans constante multiplicative) et la position des pôles et des zéros dans le cercle unitaire

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>FIGURE II.19 - (a) Réponse en fréquence du filtre Elliptique du 3ème ordre
(b) Représentation des pôles et zéros du filtre.</figcaption></figure>

### II.2.2.2.6 Conclusion sur le choix du filtre

Les deux principales qualités recherchées pour choisir un filtre modélisant la NTF du modulateur sont les suivantes : des zéros répartis sur la bande audio pour avoir une réjection du bruit la plus constante possible dans cette bande, et pas de résonance dans les hautes fréquences afin d'étaler au maximum la puissance du bruit. Le filtre de Chebyshev de type II répond à ces deux critères. C'est donc ce type de filtre qui a été choisi pour réaliser la NTF du modulateur ΔΣ.

### II.2.2.3 Paramètres du filtre et performances du modulateur

Grâce au logiciel de calcul symbolique Maxima [6], en utilisant l'équation (II.13) et les coefficients de la fonction de transfert du filtre, la résolution du système permet d'obtenir la valeur des coefficients g₁, k₁, k₂ et k₃ de la figure II.14. Nous réinjectons ces valeurs dans une simulation Matlab Simulink d'un modèle du modulateur afin d'en obtenir les performances théoriques. En faisant varier les paramètres du filtre, il est possible d'optimiser le SNR du modulateur et sa plage de fonctionnement qui dépendent à la fois de la largeur de la bande d'atténuation du filtre, et de la valeur de l'atténuation.
## II.2.2.3.1 Paramètres du filtre

Le filtre de Chebyshev type II est défini par trois paramètres : l'ordre, l'atténuation et la fréquence supérieure de la bande atténuée $F_{stop}$ normalisée par rapport à la fréquence de fonctionnement du filtre $F_s$ (voir figure II.20). Nous allons tester l'influence de ces paramètres sur les performances du modulateur évaluées grâce à deux paramètres : la valeur maximale du SNR-A (SNR avec une pondération de type « A-weighting » présentée dans le chapitre I) sur la plage d'amplitude -20 jusqu'à 0 dBFS et l'indice de modulation.

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIGURE II.20 - Gabarit d'un filtre de Chebyshev de type II avec ses paramètres</figcaption></figure>

L'indice de modulation indique l'amplitude maximale par rapport à la pleine échelle de l'entrée (le gain du modulateur est de 1) pour laquelle le modulateur ΔΣ fonctionne sans saturer. Nous mesurerons ici l'indice de modulation d'après l'amplitude en entrée (sinus à 1 kHz) pour laquelle le taux de distorsion harmonique plus bruit (THD+N) est égal à 1%. Le spectre de la sortie d'un modulateur d'ordre 3 est représenté sur la figure II.21 afin de montrer l'allure des données traitées pour calculer le SNR-A. Un sinus de fréquence 1 kHz et d'amplitude -6 dB par rapport à la pleine échelle est mis en entrée de ce modulateur.
<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>FIGURE II.21 - Spectre de la sortie d'un modulateur d'ordre 3
(Entrée de 1kHz et -6 dBFS, OSR de 64, atténuation de 50 dB à 20 kHz, 2 niveaux de quantification)</figcaption></figure>

## II.2.2.3.2 Facteur de sur-échantillonnage (OSR)

L'OSR détermine la fréquence de fonctionnement du modulateur. Plus cette fréquence est élevée, plus le rapport de la bande atténuée de la NTF sur la fréquence du modulateur est faible. Cela aide la stabilité en permettant un plus grand étalement du spectre du bruit de quantification pour les fréquences de fonctionnement les plus basses. Pour la simulation présentée ici, nous utilisons un modulateur d'ordre 3 dimensionné avec un filtre possédant une atténuation de 50 dB à 20 kHz et deux niveaux de quantification. Nous faisons varier la fréquence de fonctionnement du modulateur via l'OSR pour observer la variation de l'indice de modulation et du SNR-A. Pour chaque valeur d'OSR, nous devons recalculer les coefficients du modulateur pour maintenir la bande coupée à 20 kHz.

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>FIGURE II.22 - Variation du SNR-A et de l'indice de modulation en fonction de l'OSR</figcaption></figure>
Sur la figure II.22, nous observons que l'indice de modulation dépasse rapidement les 90% quand l'OSR augmente, pour plafonner à 100% pour des valeurs élevées. Nous observons ici un lien entre OSR et stabilité car pour une atténuation donnée dans la NTF et à fréquence fixe, l'augmentation de la bande passante diminue la stabilité. Le SNR-A maximum varie linéairement à partir d'un OSR de 32, à raison d'environ 10dB quand la fréquence double. Cela s'explique par le fait que la quantité de bruit de quantification reste constante quel que soit l'OSR. Donc plus l'OSR augmente, plus ce bruit est étalé, et donc plus faible est la quantité dans la bande audio, augmentant de ce fait le SNR.

## II.2.2.3.3 Atténuation

Nous faisons varier ici la valeur de l'atténuation $A_{stop}$ à 20 kHz en conservant l'ordre 3 et en choisissant un OSR de 64. Le choix de cet OSR permet d'avoir une plus grande plage de valeurs d'atténuation $A_{stop}$ pour lesquelles le modulateur reste stable. Nous observons sur la figure II.23 que l'indice de modulation diminue quand l'atténuation augmente. La courbe illustre bien le compromis entre niveau de bruit dans la bande audio et indice de modulation. Par exemple, il n'est pas forcément utile d'atteindre un SNR-A de 100 dB avec l'ordre 3 si seulement 50% de la pleine échelle est utilisable. En effet, si l'entrée est divisée par 2, il faut retrancher 6 dB à la valeur de SNR-A par rapport à la pleine échelle.

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>FIGURE II.23 - Variation du SNR-A et de l'indice de modulation en fonction de l'atténuation du filtre à 20 kHz</figcaption></figure>
II.2.2.3.4 Conclusion sur les paramètres

La méthode utilisée ici pour dimensionner un modulateur est de nature itérative. Les graphes
des figures II.22 et II.23 montrent qu'il n'est pas évident de trouver une loi donnant la valeur du
SNR-A ou bien de l'indice de modulation en fonction des paramètres du filtre. En effet, les
phénomènes en jeu sont fortement non-linéaires et peuvent dépendre aussi de la nature du signal audio
en entrée. C'est pour cela que nous avons recours à de nombreuses simulations où nous faisons varier
les paramètres du système. La clé pour gagner en efficacité sur ces multiples opérations est de les
automatiser au maximum. Nous avons par exemple mis en place un algorithme itératif sur Matlab qui
converge automatiquement vers l'amplitude maximale de stabilité du modulateur pour déterminer
l'indice de modulation. Nous avons de plus interfacé les outils de simulation (Matlab) et de résolution
symbolique des équations (Maxima [6]) dans le but de réduire le temps de génération des courbes de
variation des paramètres.

Enfin, il faut noter que nous n'avons pas fait varier l'ordre du modulateur. Il est évident
qu'augmenter cet ordre augmente significativement les performances du modulateur. Néanmoins, plus
l'ordre est élevé, plus les équations deviennent complexes à résoudre et plus il est difficile de trouver
une configuration stable pour le modulateur. Les ordres 4 ou 5 permettent d'atteindre relativement
facilement 120 dB de SNR-A.

II.2.3 Stabilisation non-linéaire

Afin de permettre le fonctionnement du modulateur à des amplitudes où il n'est pas stable, une
technique de stabilisation non linéaire peut être employée. Trois techniques pour borner la valeur
contenue dans les intégrateurs été résonateurs sont présentées dans [9]. Le principe que nous utilisons
ici est simple : quand la valeur contenue dans les intégrateurs excède une valeur limite, l'algorithme de
stabilisation non-linéaire considère que le modulateur fonctionne de manière instable. Alors, tous les
intégrateurs et résonateurs du modulateur sont remis à zéro en même temps. Cette remise à zéro crée
bien sûr de la distorsion, mais la figure II.24 nous montre que ce mécanisme peut améliorer la plage de
fonctionnement du modulateur de 2 dB (SNR-A au-dessus de 40 dB).

Pour obtenir cette valeur limite, la méthode à adopter est la suivante. En faisant un balayage très
fin en amplitude de l'entrée du modulateur, il est possible d'obtenir la valeur d'amplitude pour la
laquelle le modulateur devient instable. En relevant la valeur maximale prise par les intégrateurs quand
le modulateur devient instable, il devient possible de définir une zone de fonctionnement stable du
modulateur. Le concepteur peut alors définir un seuil au-delà duquel il est certain que le modulateur
est instable. Il convient d'être prudent lors de la définition du seuil et d'effectuer des simulations pour
le plus grand nombre de cas possibles afin d'éviter de remettre à zéro le modulateur inutilement et
dégrader les performances.

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>FIGURE II.24 - Variation du SNR-A en fonction de l'amplitude du sinus en entrée avec ou sans le mécanisme de stabilisation non linéaire (ordre 3, OSR de 64 et atténuation 50 dB à 20 kHz)</figcaption></figure>

## II.2.4 Technique du « dithering »

Nous avons considéré précédemment de façon implicite que l'erreur de quantification et l'entrée sont indépendantes. Cela peut être une bonne approximation pour des signaux complexes quasi aléatoires mais cela peut ne pas être du tout vérifié pour des signaux simples, comme un sinus ou une entrée constante non nulle par exemple. Le processus de quantification et le modulateur lui-même peuvent alors générer des harmoniques indésirables dans le spectre comme sur la figure II.27 (a).

De plus, dans un modulateur numérique, lorsque l'entrée est constante, il est possible d'obtenir un phénomène d' « idle tone ». Ce phénomène a lieu lorsque le modulateur reboucle toujours sur les mêmes états. Ces cycles peuvent être suffisamment longs pour former des composantes audibles. Une façon intuitive de briser ces cycles est d'introduire une part d'aléatoire dans le modulateur, ce qui est intrinsèquement le cas dans les modulateurs analogiques.

Une technique couramment utilisée en modulation ΔΣ pour introduire cette part d'aléatoire, et ainsi améliorer le taux de distorsion, consiste à injecter un signal aléatoire binaire en sortie de la chaîne d'intégrateurs et juste avant le quantificateur. Un générateur pseudo-aléatoire (Linear Feedback Shift Register ou LFSR en anglais) est utilisé ici, c'est une structure basée sur des registres et des
portes OU exclusif, qui génère pseudo-aléatoirement une suite de ‘0’ et de ‘1’ binaires. Ces ‘0’ et ‘1’ sont transformés respectivement en –k et +k et ajoutés à la sortie des intégrateurs. La figure II.25 en illustre le principe.

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>FIGURE II.25 - Ajout d'un mécanisme de dithering à un modulateur ΔΣ et structure interne générique d'une LFSR</figcaption></figure>

Nous avons choisi un facteur k arbitrairement égal à Δ/4 où Δ est le pas de la sortie du quantificateur. Il n'existe pas de calcul théorique permettant de déterminer l'amplitude idéale du dither à appliquer [10]. Si cette amplitude est trop faible, cette composante aléatoire n'a pas suffisamment d'influence sur les états du modulateur pour les empêcher de reboucler sur une même suite. Si par contre elle est trop grande, elle peut saturer plus vite le modulateur et augmenter le niveau de bruit dans la bande audio. Encore une fois, des simulations extensives peuvent permettre d'optimiser l'amplitude du dithering. De plus, plus l'ordre du modulateur est élevé, plus les cycles sont complexes et de moindre intensité. De nombreuses publications ont été consacrées au dithering car le principe est applicable dans de nombreux domaines (voir [11] et [12]).

La LFSR produit un bruit pseudo-aléatoire s'apparentant à du bruit blanc qui possède la même énergie sur toutes les fréquences. Il est également possible de filtrer ce bruit blanc pour changer sa couleur. Par exemple, le bruit rose en 1/f envoie la majorité du bruit dans les basses fréquences, ce qui n'aide pas les performances du modulateur. Le bruit bleu qui est en f permet de briser les « idle tones » du modulateur tout en rejetant l'essentiel de ce bruit vers les hautes fréquences, donc en dehors de la bande audio afin de limiter la perte de performance due à l'ajout de dithering à faible amplitude.

La figure II.26 illustre la variation du SNR-A en fonction de l'amplitude d'entrée du modulateur avec ou sans le mécanisme de dithering. Nous observons un gain significatif de SNR-A à toutes les amplitudes quand celui-ci est activé.
<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>FIGURE II.26 - Variation du SNR-A en fonction de l'amplitude du sinus en entrée avec ou sans le mécanisme de dithering</figcaption></figure>

Les figures II.27 (a) et (b) quant à elles montrent bien comment les premières harmoniques du signal sont supprimées par le dithering. Cela donne un spectre beaucoup plus lisse qui se traduit après calcul par un meilleur SNDR.

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>FIGURE II.27 - Comparaison du spectre d'un modulateur (ordre 3, OSR de 64 et atténuation 50 dB à 20 kHz) (a) sans et (b) avec dithering pour une entrée d'amplitude -6 dB</figcaption></figure>

## II.2.5 Quantificateurs multi-bit

Recourir à une quantification sur un plus grand nombre de niveaux en sortie du modulateur est une excellente technique pour augmenter l'indice de modulation et le SNR. La figure II.28 le
démontre. Nous simulons le même modulateur que précédemment en faisant varier le nombre de niveaux de quantifications de 2 à 11. L'indice de modulation dépasse ici rapidement les 95% (pour 5 niveaux) et se stabilise, alors que le SNR-A augmente régulièrement avec le nombre de niveaux, de façon sensible mais relativement réduite. Nous pouvons déduire de cette courbe qu'il est intéressant en termes de stabilité (indice de modulation élevé) d'augmenter autant que possible le nombre de bit jusqu'à des nombres inférieurs à 10.

Toutefois, il faut être conscient des limites de la quantification multi-bit. La raison d'être du modulateur ΔΣ est de transmettre au système en aval un signal codé sur un faible nombre de niveaux tout en conservant une très bonne qualité (transmission PDM sur un seul bit par exemple). Dans les systèmes analogiques, la réduction du nombre de niveaux permet de réduire le coût en surface d'une conversion numérique analogique. Cependant, si ce nombre de niveaux peut être supérieur à par exemple 5 niveaux, d'autres problèmes peuvent se substituer. Dans le cas d'un DAC précédé d'un modulateur numérique dont l'entrée est sur plusieurs niveaux, le non-appariement entre les DAC unitaires crée de la non-linéarité dans la caractéristique du quantificateur. Cela génère de la distorsion. Si les performances du modulateur doivent être améliorées, il est possible de mettre en place un algorithme qui va compenser ces problèmes d'appariement en distribuant l'activation des DAC unitaires dynamiquement (DEM pour « Dynamic Element Matching »). La section III.3.4 sera consacrée à ce mécanisme implémenté dans le prototype d'amplificateur de classe D pour un DAC 9 niveaux. Pour conclure sur le sujet, le nombre de niveaux d'entrée d'un DAC est choisi en fonction du besoin de performance en termes de bruit, du coût par DAC unitaire en termes de surface et du coût du DEM en termes de complexité. Le nombre de niveaux peut aller de 2 à 64 ou même plus.

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>FIGURE II.28 - Variation du SNR-A et de l'indice de modulation en fonction du nombre de niveaux de quantification</figcaption></figure>
## II.2.6 Modulateurs ΔΣ à temps continu

Les modulateurs ΔΣ ne fonctionnent pas tous en temps discret comme les modulateurs numériques ou à capacités commutées. Dans certains ADC, comme c'est le cas dans cette thèse (voir le chapitre III), des modulateurs temps continu sont utilisés. Ils sont réalisés avec des intégrateurs temps continu, constitués d'un montage intégrateur d'amplificateur opérationnel avec des résistances et des capacités. Ces intégrateurs prennent donc en compte l'intégralité du signal et non simplement des échantillons toutes les périodes d'horloge. Toutefois, la sortie de la chaîne d'intégrateur est échantillonnée et « conservée » (« sample and hold ») par une horloge donnée, puis est quantifiée sur deux niveaux ou plus. Un DAC doit être placé dans la boucle de rétroaction car le signal repasse du domaine numérique au domaine analogique.

Le dimensionnement des modulateurs temps continu est différent de celui des modulateurs temps discret. En effet, ce sont des systèmes mixtes temps continu - temps discret. Les transformées de Laplace sont utilisées pour modéliser la partie temps continu. Les étapes de quantification et d'échantillonnage, qui ne sont pas indépendantes du signal d'entrée, sont modélisables en transformées de Laplace mais cela rompt la linéarité du modèle empêchant une résolution simple du système. Afin d'analyser et dimensionner les modulateurs temps continu, il est possible de trouver un modulateur temps discret équivalent [10]. La méthode consiste à relier par une équation différentielle sur les variables d'état du modulateur la sortie temps discret aux états continus du modulateur. En supposant un modulateur temps discret équivalent, une transformation permet de déduire les variables d'état discrètes. Cela permet d'obtenir et analyser la fonction de transfert du modulateur temps discret équivalent. La section III.3.3 du chapitre III montre de façon détaillée un exemple de l'utilisation de cette méthode pour un modulateur temps continu du 4ème ordre.

## II.3 Étude de la boucle ΔΣ à rétroaction partielle

La boucle ΔΣ à rétroaction partielle est le cœur du système amplificateur de classe D numérique. C'est grâce à elle que le système peut atteindre un taux de réjection des bruits d'alimentation (PSRR) d'au moins 80 dB sur toute la bande audio. Nous allons étudier ici la stabilité et les performances de cette structure en se basant sur des concepts décrits dans les sections II.1 et II.2.
## II.3.1 Principe

Le principe est simple et s'applique aux modulateurs ΔΣ à rétroaction distribuée décrits dans le chapitre II. Pour obtenir une bonne réjection des perturbations de l'étage de puissance et donc améliorer le PSRR, il faut que ce dernier se trouve à l'intérieur de la boucle du modulateur. Ce principe est utilisé dans les architectures à l'état de l'art pour les applications mobiles où les perturbations sont nombreuses et difficilement compensables autrement (voir par exemple [13], [14] et [15]). Pour des boucles analogiques, effectuer cette rétroaction est relativement aisé a priori car aucune conversion n'est nécessaire. Elle est toutefois limitée par les erreurs d'appariement quand il s'agit de corriger les erreurs introduites dans le mode différentiel. De plus, l'ordre du modulateur est souvent faible car une boucle d'ordre 2 analogique suffit en général à atteindre un SNR A-w de 100 dB et les concepteurs ciblent une surface minimale. Mais cela signifie que les erreurs de l'étage de puissance ne sont rejetées qu'à l'ordre 2. Ainsi, si des valeurs de PSRR de 80 dB peuvent être atteintes pour 217 Hz (fréquence des trames du GSM), le PSRR est bien plus faible pour des fréquences de quelques kHz ce qui peut poser des problèmes avec la multiplication des perturbations dans les derniers téléphones mobiles.

Pour une architecture impliquant un modulateur numérique pilotant directement l'étage de puissance, le modulateur peut aisément être d'ordre 5 ou 6 sans coûter beaucoup en surface, et permettre des valeurs de PSRR de 100 dB sur toute la bande audio, du moins en théorie. Toutefois, parce que ce modulateur est numérique, un ADC est requis dans le chemin de la rétroaction. Un exemple de cette implémentation pour un amplificateur de classe D est décrit dans [16], il s'agit toutefois ici d'un amplificateur pour des écouteurs. Une boucle numérique est implémentée, contrôlant l'étage de puissance et l'ADC de retour est de type SAR (conversion à approximations successives). Cette architecture possède deux inconvénients : elle nécessite un filtre analogique peu intégrable en entrée de l'ADC, pour éliminer les bruits de quantification de l'étage de puissance. De plus, un ADC SAR pouvant répondre aux spécifications de bruit et de latence consomme beaucoup trop de courant et de surface pour être compétitif. Cette architecture a été implémentée sur FPGA, mais aucune version intégrée n'a apparemment vu le jour. De même, le fabricant Cirrus Logic a commercialisé un ADC seul, spécifiquement conçu pour effectuer la rétroaction d'un modulateur numérique [17] mais aucune version intégrée ne semble disponible. A part ces exemples, il n'y a pas eu à notre connaissance d'autres tentatives d'implémenter ce type de boucle.

La stabilité d'une telle architecture est relativement complexe à atteindre pour un ordre élevé de modulateur du fait des limites d'un ADC typique, au niveau du délai de conversion et de sa fonction de transfert, comme nous le montrerons par la suite. Afin d'obtenir la stabilité malgré tout, le concept de rétroaction partielle a été développé par l'entreprise Primachip. Il s'applique aux modulateurs à
rétroaction distribuée. Pour ce type de modulateur, le signal de rétroaction est la sortie du quantificateur, cependant, pour appliquer la NTF du modulateur aux perturbations de l'étage de puissance, il est plus intéressant de prendre le signal pilotant le haut-parleur comme rétroaction en veillant à le convertir en numérique. Mais le signal issu de la conversion peut être trop déphasé pour que la correction dans le modulateur s'effectue correctement, ce qui peut rendre le système instable. L'idée est donc de prendre le signal de l'ADC comme signal de rétroaction pour une première partie des intégrateurs et le signal issu de la quantification pour les autres comme illustré sur la figure II.29 (reproduction de la figure II.1 donnée en introduction). Nous nous attacherons à montrer par la suite que le choix de l'ordre de la rétroaction décide du compromis entre un PSRR élevé et la stabilité de la boucle.

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>FIGURE II.29 - Schéma général de la rétroaction partielle</figcaption></figure>

## II.3.2 Illustration du principe de la rétroaction partielle

Pour comprendre le principe de la rétroaction partielle, nous allons l'illustrer par un exemple : un modulateur numérique d'ordre 3, composé d'une suite d'intégrateurs à rétroaction distribuée et avec un chemin de feedforward auquel on applique ce principe. Un modèle linéaire du modulateur avec un ordre de rétroaction de 2 est donné sur la figure II.30.

Nous modélisons l'ADC ici par sa fonction de transfert $STF_{ADC}$ plus l'injection d'une erreur. Nous verrons deux cas : nous considérerons la STF de l'ADC comme égale à 1 dans un premier temps, puis nous remplacerons cette STF par un filtre passe-bas IIR dont nous ferons varier l'ordre et la fréquence de coupure. Ce filtre atténue l'amplitude des hautes fréquences et introduit également une certaine latence qui varie en fonction de sa fréquence et qui perturbe la boucle. Nous choisissons cette modélisation de l'ADC car un ADC $\Delta\Sigma$ à capacités commutées (un choix classique en audio) nécessite un filtre passe-bas anti-aliasing en entrée avant de pouvoir échantillonner le signal sans repliement de spectre. Nous verrons que l'addition d'un tel filtre modifie les pôles de la boucle.
<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>FIGURE II.30 - Modèle linéaire d'un modulateur d'ordre 3 avec chemin de feedforward et rétroaction partielle d'ordre 2</figcaption></figure>

II.3.2.1 STF de l'ADC égale à 1

Nous allons calculer la fonction de transfert de ce modulateur par rapport au signal d'entrée I et aux signaux d'erreur E₁, E₂ et E₃. E₁ correspond à l'erreur de quantification du modulateur numérique, et l'erreur E₂ contient les perturbations dues à l'étage de puissance et à l'alimentation de ce dernier, dont la réjection est mesurée par le PSRR. L'erreur E₃ contient le bruit issu de la conversion analogique numérique. Nous supposerons dans un premier temps que la STF de l'ADC est égale à 1 et que l'ordre de la rétroaction est de 2.

Le schéma du modèle linéaire de la figure II.30 permet de poser les équations suivantes afin de
trouver les fonctions de transfert du signal I et des erreurs E₁, E₂ et E₃.

$$
\left\{
\begin{array}{l}
S_1 = E_1 + I + H_3 \cdot (I - S_1 + H_2 \cdot (I - S_3 + H_1 \cdot (I - S_3))) \\
S_2 = S_1 + E_2 \\
S_3 = S_2 + E_3
\end{array}
\right.
\qquad (II.26)
$$

La première équation nous donne l’expression suivante pour S₁ :

$$
S_1 = \frac{1}{1+H_3} \cdot E_1 + \frac{1+H_3+H_2H_3+H_1H_2H_3}{1+H_3} \cdot I - \frac{H_2H_3+H_1H_2H_3}{1+H_3} \cdot S_3 \quad (II.27)
$$

Nous définissons quatre fonctions de transfert STF, NTF₁, NTF₂ et NTF₃ pour respectivement les signaux I, E₁, E₂ et E₃. S₂ s'écrit donc ainsi :

$$
S_2 = \text{STF.} I + \text{NTF}_1 \cdot E_1 + \text{NTF}_2 \cdot E_2 + \text{NTF}_3 \cdot E_3 \quad (\text{II.28})
$$
$$
\left\{
\begin{array}{l}
STF = 1 \\
NTF_1 = \frac{1}{1 + H_3 + H_2H_3 + H_1H_2H_3} \\
NTF_2 = \frac{1}{1 + H_3 + H_2H_3 + H_1H_2H_3} \\
NTF_3 = - \frac{H_2H_3 + H_1H_2H_3}{1 + H_3 + H_2H_3 + H_1H_2H_3}
\end{array}
\right.
\qquad (II.29)
$$

Nous revérifions dans l'équation (II.29) que la STF est toujours unitaire malgré la rétroaction partielle grâce au chemin de feedforward. De même, l'expression de NTF₁ n'est pas modifiée par l'ordre de la rétroaction partielle. Il est possible de démontrer ces résultats pour tout modulateur d'ordre N ≥ 2 et d'ordre de rétroaction partielle n ≥ 0.

$$
H_i(s) = \frac{1}{\tau_i \cdot s} \tag{II.30}
$$

Pour compléter cette analyse, les blocs $H_i$ sont maintenant remplacés par des intégrateurs temps continu dont la fonction de transfert a pour transformée de Laplace l'expression de l'équation (II.30). Comme nous l'avons expliqué dans la section II.2.6 sur les modulateurs temps continu, l'utilisation des transformées de Laplace avec l'addition d'une erreur de quantification et d'échantillonnage indépendante de l'entrée pour décrire les modulateurs $\Delta\Sigma$ n'est pas mathématiquement correcte. Toutefois, l'objet de cette démonstration est de vérifier la réjection des différentes erreurs, et l'utilisation des transformées de Laplace le permet très bien. Nous allons maintenant démontrer que nous obtenons une réjection d'ordre 2 avec un tel modulateur :

$$
NTF_2 = \frac{1 + H_3}{1 + H_3 + H_2H_3 + H_1H_2H_3} \qquad (II.31)
$$

$$
NTF_2(s) = \frac{\tau_1 \tau_2 \tau_3 s^3 + \tau_1 \tau_2 s^2}{\tau_1 \tau_2 \tau_3 s^3 + \tau_1 \tau_2 s^2 + \tau_1 s + 1} \quad (II.32)
$$

La variable *s* est remplacée par *j*ω afin d'étudier le comportement en fréquence de la fonction de transfert NTF₂. Le module de NTF₂(jω) est égal à :

$$
|NTF_2(j\omega)| = \frac{\tau_1 \tau_2 \omega^2 \sqrt{1 + \tau_3^2 \omega^2}}{\sqrt{(1 - \tau_1 \tau_2 \omega^2)^2 + (\tau_1 \omega - \tau_1 \tau_2 \tau_3 \omega^3)^2}} \quad (II.33)
$$

Nous supposons ici que le modulateur fonctionne à une fréquence bien supérieure aux limites de
la bande audio – ce qui signifie un OSR élevé – et que les constantes de temps τᵢ sont choisies pour
que les pôles de cette fonction de transfert se trouvent à des fréquences supérieures à celles comprises
dans la bande audio.
Une fois ces hypothèses faites, en considérant que la pulsation $\omega$ est proche de 0, donc comprise dans la bande audio, nous obtenons :

$$|NTF_2(j\omega)| \approx \tau_1\tau_2\omega^2 \qquad (II.34)$$

$$|NTF_2(f)|_{dB} \approx 40\log(2\pi\sqrt{\tau_1\tau_2}f) \qquad (II.35)$$

Le module de $|NTF_2(j\omega)|_{dB}$ tend vers $-\infty$ pour des fréquences tendant vers 0 et qu'il augmente à raison de 40 dB par décade dans la bande audio. Nous obtenons donc bien une réjection d'ordre 2 du bruit dans l'étage de puissance grâce à la rétroaction partielle d'ordre 2. Il est bien sûr possible de démontrer qu'un ordre de rétroaction partielle $n$ dans un modulateur d'ordre $N$ supérieur ou égal à 2 donne une réjection d'ordre $n$ du bruit dans l'étage de puissance.

Une analyse de $NTF_3$, identique à celle effectuée précédemment et avec les mêmes hypothèses, nous conduit à un comportement de filtre passe-bas.

$$|NTF_3(j\omega)| = \frac{\sqrt{1 + \tau_1^2\omega^2}}{\sqrt{(1 - \tau_1\tau_2\omega^2)^2 + (\tau_1\omega - \tau_1\tau_2\tau_3\omega^3)^2}} \qquad (II.36)$$

Nous pouvons montrer d'après l'équation (II.36) montre que le gain tend vers 1 dans les basses fréquences et vers $-\infty$ dans les hautes fréquences. Cela signifie que l'erreur générée par l'ADC reste la même dans la bande audio et est filtrée pour des fréquences plus élevées.

Nous avons choisi ici d'effectuer l'analyse fréquentielle avec des transformées de Laplace pour faciliter la démonstration. Mais ces résultats restent tout à fait valables dans le cas de modulateurs à temps discret.

En se basant sur l'équation (II.28), nous pouvons affirmer que dans cette structure, c'est le bruit de l'ADC qui détermine le SNR. En effet, le bruit dans la sortie comporte trois termes : le premier terme $NTF_1E_1$ est entièrement déterminé par le modulateur numérique, c'est sa NTF propre multipliée par son erreur de quantification. Il est aisé de dimensionner un modulateur numérique qui rend négligeable ce terme devant les deux autres. Le second terme est $NTF_2E_2$, l'erreur $E_2$ contient en grande partie la distorsion générée par l'étage de puissance et les bruits de la tension d'alimentation. La réjection de ces défauts est caractérisée par le PSRR. Le dernier terme est $NTF_3E_3$. Nous avons vu que $NTF_3$ est passante dans la bande audio, mais $E_3$ est égale à la NTF de l'ADC multipliée par son erreur de quantification. Ce terme de bruit est donc entièrement dépendant de l'ADC et c'est aussi le plus difficile à améliorer. Nous pouvons considérer que c'est lui qui déterminera le plancher de bruit du système.
II.3.2.2 STF de l'ADC différente de 1

Nous allons maintenant refaire le calcul avec une STF de l'ADC différente de 1. Ajouter l'erreur
de quantification de l'ADC filtrée par la NTF de l'ADC ne perturbe évidemment en rien les pôles de la
structure. Ce n'est pas le cas quand STF<sub>ADC</sub> est différente de 1 comme nous allons le voir.

Avec l'introduction de STF<sub>ADC</sub>, le système donné dans l'équation (II.26) d'après le schéma de la
figure II.30 devient :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
S_1 = E_1 + I + H_3 \cdot (I - S_1 + H_2 \cdot (I - S_3 + H_1 \cdot (I - S_3))) \\
S_2 = S_1 + E_2 \\
S_3 = STF_{ADC} \cdot S_2 + E_3
\end{array}
\right.
\qquad (II.37)
$$

Nous effectuons à nouveau la résolution et nous obtenons :

$$
S_2 = \text{STF.}I + \text{NTF}_1 \cdot E_1 + \text{NTF}_2 \cdot E_2 + \text{NTF}_3 \cdot E_3 \quad (II.38)
$$

$$
\left\{
\begin{aligned}
\text{STF} &= \frac{1 + H_3 + H_2H_3 + H_1H_2H_3}{1 + H_3 + \text{STF}_{\text{ADC}}(H_2H_3 + H_1H_2H_3)} \\
\text{NTF}_1 &= \frac{1}{1 + H_3 + \text{STF}_{\text{ADC}}(H_2H_3 + H_1H_2H_3)} \\
\text{NTF}_2 &= \frac{1 + H_3}{1 + H_3 + \text{STF}_{\text{ADC}}(H_2H_3 + H_1H_2H_3)} \\
\text{NTF}_3 &= -\frac{H_2H_3 + H_1H_2H_3}{1 + H_3 + \text{STF}_{\text{ADC}}(H_2H_3 + H_1H_2H_3)}
\end{aligned}
\right.
\qquad (II.39)
$$

Nous observons d'après l'équation (II.39) que les pôles de toutes ces fonctions de transfert sont
modifiés par l'introduction de STF<sub>ADC</sub>. Le tableau II.1 donne l'expression du dénominateur D<sub>n</sub> des
quatre fonctions de transfert définies dans l'équation (II.39) en fonction de l'ordre n de la rétroaction
partielle. Nous observons que plus l'ordre de la rétroaction est élevé, plus la fonction de transfert
STF<sub>ADC</sub> possède une influence sur les pôles des différentes NTF. Cela est surtout vrai quand sa
fréquence de coupure est proche des pôles des NTF. La position des pôles se trouve ainsi modifiée et il
devient difficile de prévoir les conditions de stabilité du système.

<table><caption>TABLEAU II.1 - Expression de la fonction de transfert en boucle ouverte du modulateur
en fonction de l'ordre n de la rétroaction partielle</caption>
   <thead>
    <tr>
     <td>
      n
     </td>
     <td>
      D
      <sub>
       n
      </sub>
     </td>
    </tr>
   </thead>
   <tbody>
    <tr>
     <td>
      0
     </td>
     <td>
      D
      <sub>
       0
      </sub>
      = 1 + H
      <sub>
       3
      </sub>
      + H
      <sub>
       2
      </sub>
      H
      <sub>
       3
      </sub>
      + H
      <sub>
       1
      </sub>
      H
      <sub>
       2
      </sub>
      H
      <sub>
       3
      </sub>
     </td>
    </tr>
    <tr>
     <td>
      1
     </td>
     <td>
      D
      <sub>
       1
      </sub>
      = 1 + H
      <sub>
       3
      </sub>
      + H
      <sub>
       2
      </sub>
      H
      <sub>
       3
      </sub>
      + STF
      <sub>
       ADC
      </sub>
      H
      <sub>
       1
      </sub>
      H
      <sub>
       2
      </sub>
      H
      <sub>
       3
      </sub>
     </td>
    </tr>
    <tr>
     <td>
      2
     </td>
     <td>
      D
      <sub>
       2
      </sub>
      = 1 + H
      <sub>
       3
      </sub>
      + STF
      <sub>
       ADC
      </sub>
      (H
      <sub>
       2
      </sub>
      H
      <sub>
       3
      </sub>
      + H
      <sub>
       1
      </sub>
      H
      <sub>
       2
      </sub>
      H
      <sub>
       3
      </sub>
      )
     </td>
    </tr>
    <tr>
     <td>
      3
     </td>
     <td>
      D
      <sub>
       3
      </sub>
      = 1 + STF
      <sub>
       ADC
      </sub>
      (H
      <sub>
       3
      </sub>
      + H
      <sub>
       2
      </sub>
      H
      <sub>
       3
      </sub>
      + H
      <sub>
       1
      </sub>
      H
      <sub>
       2
      </sub>
      H
      <sub>
       3
      </sub>
      )
     </td>
    </tr>
   </tbody>
  </table>
## II.3.3 Stabilité des modulateurs à rétroaction partielle

Nous allons montrer dans cette section l'influence de la rétroaction partielle sur la stabilité de la boucle composée d'un modulateur avec un ADC dans le chemin de rétroaction. La trop forte non-linéarité de ces processus nous a imposé comme dans le chapitre précédent d'avoir recours à des simulations pour prévoir de façon relativement fiable la stabilité d'un modulateur donné.

Il serait en effet intéressant d'utiliser les critères de stabilité courants que sont la marge de gain et la marge de phase sur la fonction de transfert en boucle ouverte du système en intégrant une STF de l'ADC différente de 1. Les tentatives que nous avons menées dans ce sens ne mènent malheureusement qu'à des incohérences entre ces résultats « analytiques » et ceux des simulations. En effet, nous avons observé que des structures peuvent être stables seulement en analytique ou seulement en simulation, ce qui donne peu de confiance sur la validité de cette méthode analytique.

Nous avons donc effectué des simulations sur un modulateur ΔΣ du 5ᵉme ordre cinq niveaux avec un OSR de 128. Un filtre passe-bas de type Butterworth, dont l'ordre et la fréquence de coupure sont variables, placé dans la boucle de rétroaction du modulateur simule la STF de l'ADC. La figure II.31 (a) donne la fréquence de coupure Fcmin du filtre en kHz pour laquelle la stabilité de la structure est obtenue, en fonction de l'ordre n<sub>ADC</sub> de STF<sub>ADC</sub> variant de 2 à 4, et en fonction de l'ordre de la rétroaction partielle variant de 1 à 5. La structure est jugée stable tant que la THD+N est supérieure à 1% pour une entrée sinusoïdale de -6 dBFS à 1 kHz. La figure II.31 (b) donne quant à elle le délai en nombre d'échantillons induit par ces filtres à fréquence nulle.

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>FIGURE II.31 - Fréquences de coupure de STF<sub>ADC</sub> pour obtenir la stabilité de la boucle en fonction de n<sub>ADC</sub> et de l'ordre de la rétroaction partielle et délai induit par ces filtres en DC</figcaption></figure>
Nous pouvons conclure d'après ces deux figures que le délai induit à basse fréquence par ces filtres est primordial pour la stabilisation de la boucle et que l'ordre de STF<sub>ADC</sub> ne semble pas avoir d'influence, ou très peu, sur la latence maximale admissible par la boucle à rétroaction partielle. En effet, la boucle corrige essentiellement le signal audio, donc si le signal d'entrée et le signal de rétroaction sont trop décalés, la différence entre ces deux signaux possède une amplitude très importante, ce qui a pour effet de saturer la boucle de l'amplificateur.

## II.3.4 Evaluation du PSRR

Nous avons démontré pour un modulateur ΔΣ d'ordre 3, dans la section II.3.2, que l'ordre de la rétroaction partielle était égal à l'ordre de la réjection des bruits d'alimentation. Nous allons vérifier ce résultat par le calcul du taux de réjection des bruits d'alimentation (PSRR) grâce à des simulations sur un modulateur d'ordre 5.

Nous injectons dans la sortie du modulateur un signal sinusoïdal d'amplitude fixe à -32 dB ce qui correspond à un signal parasite d'amplitude 100 mV sur une tension de batterie égale à 4,2 V. Nous effectuons la simulation sur 5 périodes de ce signal parasite dont nous faisons varier la fréquence, et nous mesurons l'amplitude de la raie spectrale du signal parasite sur le spectre de la sortie du modulateur. Le PSRR est égal à la différence entre l'amplitude du signal parasite injecté et l'amplitude de son image dans le spectre de sortie. Les courbes du PSRR en fonction de la fréquence du signal parasite et de l'ordre de la rétroaction partielle sont données sur la figure II.32.

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>FIGURE II.32 - Variation du PSRR en fonction de la fréquence du signal parasite injecté en simulation dans l'alimentation et de l'ordre de la rétroaction partielle</figcaption></figure>
Il apparaît sur ces courbes que les signaux injectés dans l'étage de sortie du modulateur sont rejetés par un filtre passe-haut d'ordre égal à celui de la rétroaction partielle. Il est d'ailleurs possible d'observer des zéros aux alentours de 10 kHz sur les courbes où l'ordre de la rétroaction est le plus élevé. La structure à rétroaction partielle permet donc d'atteindre des valeurs de PSRR élevées tout en préservant la stabilité de la boucle, ceci dépendant des performances de l'ADC.

## II.3.5 Conclusion sur la rétroaction partielle

Dans cette section, nous avons décrit un mécanisme permettant de stabiliser une structure avec un modulateur ΔΣ numérique, pilotant un étage de puissance et dont le signal de sortie est converti en numérique par un ADC pour effectuer la rétroaction de la boucle. Nous avons montré comment la fonction de transfert de l'ADC pouvait perturber la stabilité de cette structure et par quel mécanisme de très bonnes valeurs de PSRR pouvaient être obtenues. La modélisation du système a également démontré que le bruit de la boucle complète est dominé par le bruit généré par l'ADC. Nous avons ensuite effectué des simulations qui montrent que le délai induit par la STF de l'ADC a une forte influence sur la stabilité de la boucle et détermine l'ordre de rétroaction maximal. De plus, les simulations d'injection de parasites dans l'étage de puissance ont montré que maximiser l'ordre de la rétroaction partielle permet d'améliorer le PSRR. Grâce à ces résultats, il est possible de donner des spécifications pour l'ADC pour atteindre les performances visées par le système d'amplificateur de classe D numérique en termes de SNR, de PSRR et de stabilité.

## II.4 Étude de la consommation de l'étage de puissance selon la technique de modulation

Dans les amplificateurs de classe D, la consommation du circuit en fonctionnement est fortement dominée par l'énergie fournie à la charge. La modulation PDM est souvent perçue comme plus gourmande en énergie par rapport à la modulation PWM car elle nécessite une fréquence de fonctionnement plus élevée, et génère donc plus de commutations de l'étage de puissance. L'objet de cette section est de comparer la consommation générée par des deux types de modulation sur un modèle d'étage de puissance et de charge. Nous tirerons des simulations réalisées des critères d'efficacité de l'amplificateur en fonction de l'amplitude d'entrée pour juger l'influence de ces techniques sur la consommation.
## II.4.1 Modélisation de l'étage de puissance

Nous avons présenté rapidement dans le chapitre I le pont en H. Son principal atout est d'être différentiel, cela permet d'éliminer toutes les perturbations du mode commun des deux signaux différentiels. L'inconvénient est de doubler la surface de l'étage de puissance par rapport à un étage de puissance où la charge est connectée à la tension commune. Toutefois la majeure partie des étages de puissance des amplificateurs de classe D pour haut-parleurs sont de ce type. Nous allons décrire ici les phénomènes pris en compte dans notre modèle de pont en H plus haut-parleur, qui permet de simuler la consommation de courant dans la charge représentant le haut-parleur. Il est ainsi possible d'effectuer des calculs de puissance en fonction du type de modulation choisi sans recourir à des simulations électriques de circuit qui prennent beaucoup plus de temps, bien que plus précises. Nous comparerons dans la section suivante les modulations PWM et PDM.

Le modèle de pont en H que nous avons adopté prend en compte trois phénomènes : l'impédance $Z_{HP}$ de la charge, l'énergie nécessaire pour charger la grille des transistors de sortie et les résistances parasites du pont. La figure II.33 donne le schéma électrique équivalent avec paramètres qui a été porté sur Matlab Simulink pour effectuer les simulations. Nous nous intéresserons à l'impédance $Z_{HP}$ du haut-parleur dans la section II.4.2.

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>FIGURE II.33 - Schéma électrique du modèle de l'étage de puissance</figcaption></figure>

Nous avons de plus évalué grâce à des simulations électriques l'énergie nécessaire pour charger la grille des transistors de puissance. En effet, les transistors de sortie sont dimensionnés pour réduire au maximum la résistance du canal et ainsi limiter les pertes par effet Joule pour augmenter l'efficacité. Il en résulte une largeur de canal de plusieurs millimètres et une très grande capacité à charger en un temps très court, de l'ordre de la nanoseconde, pour faire changer d'état ces transistors. Le tableau II.2 donne les tensions utilisées pour commander la tension appliquée à la charge.
<table><caption>TABLEAU II.2 - Tableau de commande des transistors pour piloter la tension aux bornes de la charge</caption><thead><tr><th rowspan="2">Commande</th><th colspan="4">Tension de grille des transistors</th></tr><tr><th>V<sub>grille</sub>(pmos_g)</th><th>V<sub>grille</sub>(nmos_g)</th><th>V<sub>grille</sub>(pmos_d)</th><th>V<sub>grille</sub>(nmos_d)</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>Vdd</td><td>Vdd</td><td>Vdd</td><td>Vdd</td></tr><tr><td>+1</td><td>Vss</td><td>Vss</td><td>Vdd</td><td>Vdd</td></tr><tr><td>-1</td><td>Vdd</td><td>Vdd</td><td>Vss</td><td>Vss</td></tr></tbody></table>

Enfin, nous avons inclus au modèle d'étage de puissance l'énergie dissipée pour faire commuter les transistors MOS. Pour obtenir la valeur de cette énergie, nous avons utilisé le logiciel de simulation électrique Spectre pour simuler la commutation d'un étage de puissance. L'étage de puissance simulé est celui qui a été conçu pour le prototype de circuit intégré qui sera présenté dans le chapitre III. Dans cette simulation, nous observons un pic de courant dans le circuit de commande de la grille d'un transistor lors d'une commutation. Nous avons donc simplement intégré ce pic de courant i(t), et en multipliant le résultat par la tension de contrôle du transistor u(t), nous obtenons directement l'énergie E d'une commutation unique d'un transistor.

$$E = \int_{0}^{t} u(t) \cdot i(t) \cdot dt \qquad (II.40)$$

De cette façon, nous avons évalué à 20 nJ l'énergie nécessaire pour le changement d'état d'un transistor PMOS et 10 nJ pour un transistor NMOS. En effet, un transistor PMOS est plus grand qu'un transistor NMOS à résistance ON égale, car la mobilité des porteurs de charge est plus grande pour ce dernier. L'énergie nécessaire pour faire commuter le pont dépend de la transition entre deux états. Le tableau II.3 donne d'une part la définition des états, et la liste des transitions possibles avec la quantité d'énergie associée nécessaire pour charger les grilles.

<table><caption>TABLEAU II.3 – Transitions possibles de l'étage de puissance et énergie de commutation associée</caption><thead><tr><th rowspan="2">Transition</th><th colspan="4">Transistors</th><th rowspan="2">Énergie</th></tr><tr><th>V<sub>grille</sub>,pmos_g</th><th>V<sub>grille</sub>,nmos_g</th><th>V<sub>grille</sub>,pmos_d</th><th>V<sub>grille</sub>,nmos_d</th></tr></thead><tbody><tr><td>0 → -1</td><td>Décharge</td><td>Décharge</td><td>=</td><td>=</td><td>0 nJ</td></tr><tr><td>0 → +1</td><td>=</td><td>=</td><td>Décharge</td><td>Décharge</td><td>0 nJ</td></tr><tr><td>+1 → 0</td><td>Charge</td><td>Charge</td><td>=</td><td>=</td><td>30 nJ</td></tr><tr><td>-1 → 0</td><td>=</td><td>=</td><td>Charge</td><td>Charge</td><td>30 nJ</td></tr><tr><td>+1 → -1</td><td>Charge</td><td>Charge</td><td>Décharge</td><td>Décharge</td><td>30 nJ</td></tr><tr><td>-1 → +1</td><td>Décharge</td><td>Décharge</td><td>Charge</td><td>Charge</td><td>30 nJ</td></tr></tbody></table>
Le modèle intègre enfin les résistances parasites qui consomment une partie du courant destinée à la charge et donc dégradent l'efficacité. Il y a tout d'abord la résistance des plots de la puce, au nombre de quatre comme illustré sur la figure II.33, la résistance entre le drain et la source des deux transistors PMOS et NMOS, et la résistance des pistes de métal reliant les doigts de ces transistors. Nous avons pris de façon arbitraire la valeur de 500 mΩ pour la résistance cumulée $2R_p$ sur le chemin du courant en excluant la charge de 8 Ω. Les transistors sont conçus pour que cette résistance soit la plus faible possible, avec donc une longueur de grille minimum et une largeur maximum. Il faut cependant ajouter la résistance de la piste sur la carte où est soudé le circuit.

Avec ces données, il nous a été possible de modéliser le courant passant dans la charge, et d'en déduire le courant fourni par la batterie en fonction de la commande de l'étage de puissance. Nous avons choisi de ne pas modéliser les temps morts (voir section III.2). Ils sont nécessaires pour le fonctionnement correct d'un pont en H et sont donc présents dans toutes les architectures. La différence entre les techniques de modulation porte sur la réjection de la distorsion ainsi générée.

## II.4.2 Modèle de haut-parleur

Un haut-parleur est usuellement modélisé par un schéma électrique séparé en deux parties (voir figure II.34 (a)) : une partie électrique et une partie mécanique. Ce modèle est issu des publications de Thiele et de Small [18] [19] [20] qui ont abouti aux paramètres de Thiele-Small, largement utilisés pour spécifier les haut-parleurs. Il est valide pour un déplacement linéaire de la membrane. Le tableau II.4 donne la description des paramètres de Thiele-Small. La figure II.34 (b) donne un modèle simplifié de haut-parleur sans transformateur avec des paramètres recalculés en fonction du facteur B1.

Cependant, dans cette étude, nous nous intéressons à la consommation de l'étage de puissance en fonction de la technique de modulation. Si l'amplitude du signal d'entrée se trouve dans la bande de fonctionnement normal de l'amplificateur, le contenu dans la bande audio reste le même quel que soit le type de modulation utilisé. La différence se trouve dans la quantification, rejetée vers les hautes-fréquences. Dans la figure II.34 (b), l'impédance équivalente aux composants Lces, Cmes et Res en parallèle décrit des phénomènes mécaniques qui sont par nature basse fréquence. Si nous faisons l'hypothèse que cette impédance mécanique est dominée par la capacité Cmes dont l'impédance tend vers 0 en haute fréquence, nous pouvons considérer que le bruit de quantification appliquée au haut-parleur voit l'impédance électrique Ze représentée sur la figure II.35 formée de la résistance Re et de l'inductance Le en série. La valeur de ces composants est caractéristique du haut-parleur et a une grande influence sur le rendement du système. Pour les téléphones portables, il est courant de trouver dans les publications et datasheets une valeur de 8 Ω pour la résistance et 22 μH pour l'inductance, ce
qui donne un filtre passe bas avec une fréquence de coupure de 57,9 kHz [21]. Nous pouvons noter que plus la valeur de l'inductance est élevée, moins la fréquence de coupure est haute, et moins les composantes du signal en dehors de la bande audio génèrent de la consommation de courant. C'est avantageux mais cela dépend totalement des caractéristiques électromécaniques du haut-parleur.

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>(a)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>(b)</figcaption></figure>

<table><caption>FIGURE II.34 – (a) Modèle de haut-parleur d'après Thiele-Small ;
(b) Modèle électrique simplifié</caption><thead><tr><td>Nom</td><td>Description</td><td>Unité</td></tr></thead><tbody><tr><td>Re</td><td>Impédance du haut-parleur en DC</td><td>Ω</td></tr><tr><td>Le</td><td>Inductance de la bobine</td><td>H</td></tr><tr><td>Bl</td><td>Produit du champ magnétique par la longueur. Ce facteur relie la force au courant.</td><td>T.m</td></tr><tr><td>C<sub>ms</sub></td><td>« Compliance » – Inverse de la constante de raideur de la membrane</td><td>m/N</td></tr><tr><td>M<sub>md</sub></td><td>Masse de la membrane en mouvement</td><td>kg</td></tr><tr><td>R<sub>ms</sub></td><td>« Résistance » mécanique – modélisation des pertes mécaniques dans le haut-parleur</td><td>N.s/m</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>FIGURE II.35 – Impédance du haut-parleur dans le modèle simulé</figcaption></figure>