# Chapitre 4. Une collaboration de Charles-Ange Laisant. L'algèbre et l'arithmétique graphiques de Gabriel Arnoux

Évelyne Barbin et René Guitart

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OpenEdition
Journals

## Édition électronique

URL : https://journals.openedition.org/sabix/3271
DOI : 10.4000/sabix.3271
ISSN : 2114-2130

## Éditeur

Société des amis de la bibliothèque et de l'histoire de l'École polytechnique (SABIX)

## Édition imprimée

Date de publication : 1 mai 2023
Pagination : 51-63
ISSN : 0989-3059

## Référence électronique

Évelyne Barbin et René Guitart, « Chapitre 4. Une collaboration de Charles-Ange Laisant. L'algèbre et l'arithmétique graphiques de Gabriel Arnoux », *Bulletin de la Sabix* [En ligne], 70 | 2023, mis en ligne le 28 octobre 2023, consulté le 20 septembre 2025. URL : http://journals.openedition.org/sabix/3271 ;
DOI : https://doi.org/10.4000/sabix.3271

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Chapitre 4

Une collaboration

de Charles-Ange Laisant.

L'algèbre et l'arithmétique graphiques
de Gabriel Arnoux

Évelyne Barbin*, René Guitart**

Gabriel Arnoux a connu Charles-Ange Laisant au congrès de 1891 de l'Association française pour l'avancement des sciences (AFAS) à Marseille. Il semble que ce soit lui, qui soit allé au-devant du mathématicien et que celui-ci lui ait accordé aussitôt de l'intérêt. Leurs rencontres se poursuivront dans le réseau de l'AFAS, où échangent mathématiciens, enseignants et passionnés de mathématiques. Laisant devient l'interlocuteur privilégié d'Arnoux et leurs interactions s'inscrivent jusque dans les écrits de l'un et de l'autre. Il fait lire l'Arithmétique graphique d'Arnoux à Gaston Tarry, fonctionnaire à Alger et habitué des congrès de l'AFAS, ce qui jouera un grand rôle pour l'orientation des travaux de Tarry et marquera le début d'une relation entre ces deux amis de Laisant.

Biographie et travaux
de Gabriel Arnoux

Arnoux est né en 1831, il est donc de dix ans l'aîné
de Laisant. À sa mort, en 1913, celui-ci écrit, dans
L'Enseignement mathématique, la meilleure notice

biographique que nous puissions espérer pour
notre propos.

Une biographie de Gabriel Arnoux
par Laisant

Arnoux est né aux Mées (Basses-Alpes) le 23 mars 1831. Admis en 1846 à l'École Navale, il abandonne la carrière maritime en 1858 pour raisons de santé. Il se retire dès lors dans son pays natal, où il est resté presque jusqu'à sa mort, s'occupant de divers travaux, puis consacrant ses loisirs à des recherches mathématiques, publiées dans les comptes rendus de la Société scientifique des Basses-Alpes, et surtout ceux de l'AFAS. Laisant précise : « Mais son œuvre principale, publiée sous le titre général : Essais de psychologie et de métaphysique positives ; arithmétique graphique, se compose de quatre volumes, publiés à d'assez longs intervalles<fnref n="1" /> ». Il dresse aussi un portrait intellectuel de son ami<fnref n="2" /> :

La puissance d'invention d'Arnoux était prodigieuse; mais il lui fallait pour ainsi dire concrétiser les objets de ses recherches pour en saisir les rapports. Il mettait une sorte de coquetterie à se déclarer exclusivement visuel et à proclamer son incapacité à comprendre le langage algébrique, pour lequel, disait-il,

<footnote>* Laboratoire de mathématiques Jean Leray et Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques des Pays de la Loire,
Université de Nantes.</footnote>

<footnote>** Université Paris VII Diderot.</footnote>

<footnote n="1">1. [Laisant, 1913, 338].</footnote>

<footnote n="2">2. [Laisant, 1913, 338].</footnote>
il éprouvait une sorte de phobie. [...]. Le
terme de Métaphysique positive représentait
à ses yeux une science des raisonnements,
s'appuyant sur l'observation et l'expérience,

mais pouvant s'appliquer ensuite à toutes
les recherches dont est capable l'humanité.
À prendre les mots dans leur sens habituel,
c'était une métaphysique-antimétaphysique.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 1.
Les rochers des Mées
appelés « Pénitents »<fnref n="3" />.</figcaption></figure>

Arnoux a publié deux ouvrages à Digne en 1889 et 1890, dont le premier s'intitule *Le cas général de l'hypoténuse*. Il présente plusieurs démonstrations du théorème de Pythagore à la Société scientifique des Basses-Alpes en 1889, et salue la démonstration indienne qui peut se résumer à « Voyez »<fnref n="4" />. Il a pu inspirer Laisant dans son *Initiation mathématique* de 1908 (voir chap. 10). Le second ouvrage est le premier des *Essais de psychologie et de métaphysique positives* et il s'intitule *L'algèbre graphique*. Quatre autres ouvrages sont publiés ensuite par Gauthier-Villars, sans doute avec l'aide de Laisant, dont les trois premiers sont dédiés à l'arithmétique graphique: *Arithmétique graphique*. Les espaces arithmétiques hypermagiques en 1894, *Arithmétique graphique*. *Introduction à l'étude des fonctions arithmétiques* en 1906 et *Arithmétique graphique*. Les espaces arithmétiques; leurs transformations en 1908. Le quatrième ouvrage est publié en 1911 sous le titre *Essai de Géométrie analytique modulaire à deux dimensions*.

Arnoux à l'Association française pour l'avancement des sciences

L'AFAS a été fondée en 1872 et elle est reconnue d'utilité publique en 1876. Elle met en avant, dès ses débuts, des principes qui sont toujours d'actualité: rassembler des spécialistes de toutes disciplines, s'ouvrir au monde industriel, informer le public<fnref n="5" /> ». À l'époque, les intervenants aux congrès sont ou non des scientifiques de profession et ils sont regroupés en « sections » correspondant à leurs disciplines de prédilection. Ces congrès représentent pour Arnoux un lieu d'ému-lation et de reconnaissance. Il a surtout publié dans leurs *Comptes rendus*, qui paraissent en deux parties, un ou deux ans après leur tenue. De 1885 à 1909, ses quatorze interventions portent sur trois thèmes: les carrés magiques pour les premier et dernier congrès, l'algèbre graphique, pour celui de 1891, et l'arithmétique graphique pour tous les autres, de 1896 à 1905 (Tab. 1).

<footnote n="3">3. Les Mées autrefois sur http://www.lesmees.org, consulté le 23 décembre 2021.</footnote>

<footnote n="4">4. [Arnoux, 1889a, 82].</footnote>

<footnote n="5">5. https://www.afas.fr consulté le 23 décembre 2021.</footnote>
<table><caption>Tab. 1. Les interventions d'Arnoux dans les congrès de l'AFAS.</caption><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1885</td><td>1891</td><td>1896</td><td>1900</td><td>1901</td><td>1902</td><td>1903</td><td>1904</td><td>1905</td><td>1909</td></tr></table>

Lors de son premier congrès, Arnoux a traité des « carrés de magie diverse<fnref n="6" /> » en donnant des échantillons d'une « méthode générale », qu'il a ainsi présentée dans une note d'un *Bulletin de la Société scientifique et littéraire des Basses Alpes* de 1889⁷ :

> Ainsi Fermat et bien d'autres mathématiciens, après lui, ont étudié la question des carrés magiques, sans pouvoir la résoudre, en employant toutes les ressources de l'analyse, ressources d'une puissance inouïe. Je suis prêt à donner un procédé pour construire des espaces hypermagiques à un nombre quelconque de dimensions à la portée des enfants de l'école primaire, et l'hypermagie est à la magie ce qu'est un homme dans la force de l'âge par rapport à un enfant au maillot.

Les carrés magiques sont des carrés de $n^2$ cases, qui contiennent chacun des nombres 1, 2, ..., $n^2$ de telle sorte que la somme de tous les nombres sur une ligne, sur une colonne ou sur les deux diagonales du carré soit toujours la même. Ces carrés sont recherchés dans le Moyen Âge oriental et les mathématiciens arabes ont donné des algorithmes pour en produire, puis ils intéressent des mathématiciens du XVIIe siècle, comme Pierre de Fermat, et du siècle suivant, comme Leonhard Euler. Avec aussi leurs aspects récréatifs, ils connaissent un engouement à la fin du XIXe siècle<fnref n="8" />. En 1885, l'arithméticien et auteur de *Récréations mathématiques* Édouard Lucas trouve des manuscrits originaux et inédits de Fermat sur les carrés magiques, dont il propose une « restauration »<fnref n="9" />. Or Lucas est présent lors de l'exposé d'Arnoux au congrès de l'AFAS et il a pu ne pas apprécier ses propos présomptueux, qui semblent s'adresser à lui. L'échange qui a suivi a pu laisser un goût amer à Arnoux, ce qui expliquerait son absence aux congrès pendant six ans.

Après cette interruption, Arnoux participe au congrès de l'AFAS de Marseille de 1891, où il fait la connaissance de Laisant, un ami et collaborateur de Lucas (voir chap. 3) qui va s'intéresser dès lors à ses travaux<fnref n="10" />. À ce congrès, il présente un travail sur l'algèbre graphique, mais il reviendra sur les carrés magiques dans le cadre de son arithmétique graphique.

## L'algèbre graphique d'Arnoux

Dans la suite de la note citée plus haut, Arnoux explique comment il est passé de l'arithmétique à l'algèbre<fnref n="11" /> :

> Encouragé par cette étude arithmétique, qui comprend une très belle théorie, car on n'obtient pas de grands résultats sans une théorie d'une force équivalente, j'ai porté mes études sur l'algèbre, et là j'ai attaqué le problème de la résolution des équations. Je puis, par des procédés toujours à la portée des élèves des écoles primaires, résoudre approximativement les équations algébriques de n'importe quel degré et je suis prêt à exposer sur l'algèbre des idées qui simplifieraient au plus haut point la compréhension de cette science réputée si ardue et permettraient de la faire entrer dans l'instruction élémentaire.

Une résolution graphique des équations, proposée par le Capitaine Lill, est déjà parue dans les *Nouvelles annales mathématiques* quelque vingt ans plus tôt.

<footnote n="6">6. [Arnoux, 1886, 94].</footnote>

<footnote n="7">7. [Arnoux, 1889a, 77-78].</footnote>

<footnote n="8">8. [Barbin, 2017b].</footnote>

<footnote n="9">9. [Barbin, 2017a, 122].</footnote>

<footnote n="10">10. [Arnoux, 1894, vii].</footnote>

<footnote n="11">11. [Arnoux, 1889a, 77].</footnote>
## La résolution graphique des équations du Capitaine Lill

Lill associe à une équation une ligne polygonale à angles droits dont les côtés ont pour longueurs les valeurs absolues des coefficients de l'équation et tournant à gauche ou à droite selon l'alternance ou non de leurs signes. Par exemple, pour $x^3 - bx^2 + cx - d = 0$, avec $b, c, d$ trois nombres positifs, il construit la ligne polygonale OABCK, telle que :

$$OA = 1, AB = b, BC = c \text{ et } CK = d.$$

Il explique que si une ligne polygonale rectangulaire OA'B'C', inscrite dans la précédente, est telle que C' coïncide avec K, alors AA' est une racine de l'équation. Ce qui se démontre par similitude des triangles rectangles de la figure (Fig. 2)<fnref n="12" />.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 2. La résolution graphique de Lill.</figcaption></figure>

## L'algèbre graphique d'Arnoux au congrès de l'AFAS de 1891

Arnoux présente son algèbre graphique à la Société scientifique et littéraire des Basses-Alpes en mai 1889 en écrivant que « la graphie fait entrer l'analyse mathématique dans les sciences expérimentales, ce qui a une portée immense tant au point de vue de la découverte qu'à celui des vérifications<fnref n="13" /> ». Sa construction du graphique associé à un polynôme est reprise dans L'algèbre graphique de 1890, puis au congrès de l'AFAS de Marseille de 1891 de manière plus brève et plus concise.

Arnoux appelle « latère, un déplacement rectiligne considéré au double point de vue de sa

longueur et de sa direction [et] une ligne polygonale est un $n$. latère<fnref n="14" /> ». La ligne ABC est un « 2. latère » qui représente un polynôme du premier degré :

$$(AB = A_0) x^1 + (BC = A_1) x^0.$$

Il poursuit la représentation des polynômes par des « multiplications » de 2. latères (Fig. 3). Ainsi, la ligne polygonale rectangulaire ABDE représente le polynôme du second degré :

$$(AB = A'_0) x^2 + (BD = A'_1) x^1 + (DE = A'_2) x^0.$$

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 3. La multiplication des 2. latères ABC et ACE<fnref n="15" />.</figcaption></figure>

Il considère un polynôme du cinquième degré tel que la ligne polygonale

$$\text{ABCDEFG} = A_0x^5 + A_1x^4 + A_2x^3 + A_3x^2 + A_4x + A_5x^0.$$

correspond à la présentation du polynôme sous la forme que nous appelons aujourd'hui le schéma de Ruffini-Horner :

$$((A_0x + A_1)x + A_2)x + A_3) + A_4)x + A_5x^0.$$

Il « démontre graphiquement<fnref n="16" /> » qu'alors une ligne polygonale rectangulaire AKLMNG, inscrite dans la précédente, correspond à un des facteurs du quatrième degré du polynôme et que la ligne polygonale ABK sera son multiplicande du premier degré (Fig. 4).

<footnote n="12">12. [Lill, 1868, 360].</footnote>

<footnote n="13">13. [Arnoux, 1889b, 190].</footnote>

<footnote n="14">14. [Arnoux, 1891, 244].</footnote>

<footnote n="15">15. [Arnoux, 1891, 246].</footnote>

<footnote n="16">16. [Arnoux, 1891, 247].</footnote>
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig. 4.
La factorisation graphique d'un polynôme du 5ᵉ degré.</figcaption></figure>

Arnoux commentait sa méthode en 1889 en écrivant : « la traduction de la graphie en symbolie et réciproquement se fait d'elle-même, sans aucune aide. Pas de cerveau qui ne puis comprendre. C'EST LA DÉMOCRATISATION DE L'ALGÈBRE<fnref n="17" /> ». Les méthodes graphiques de Lill et d'Arnoux seront exposées par Maurice d'Ocagne dans son *Cours de géométrie*<fnref n="18" /> de 1918.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Fig. 5.
Les facteurs successifs d'un polynôme dans l'exposé de 1889¹⁹.</figcaption></figure>

Henri Poincaré fait référence au travail d'Arnoux dans une lettre à Henri Becquerel<fnref n="20" /> :

> J'ai lu le travail du Ct Denis qui contient des choses intéressantes. Je ne crois pas qu'il puisse être publié sous sa forme actuelle; il serait facile de le rendre plus court et plus clair. [...]

Mais il y a autre chose: M. Arnaud ou en tout cas un M dont le nom commence par un A a publié dans le congrès de l'AFAS, en

> 1889 je crois un mémoire où il y a quelque chose d'analogue. Il faudrait le lire et le citer.

Cette lettre doit être postérieure à septembre 1891, date à laquelle Arnoux expose devant l'AFAS. Le Commandant L. Deny (et non Denis), dont il est question ici, publiera en 1905 dans les *Nouvelles annales de mathématiques* une « Note sur la représentation des polynômes algébriques ». Il y cite les écrits de Lill et d'Arnoux, que Laisant lui a signalé et qu'il veut rendre moins tâtonnants en concevant « la base d'une sorte d'algèbre<fnref n="21" /> ».

<footnote n="17">17. [Arnoux, 1889b, 280].</footnote>

<footnote n="18">18. [d'Ocagne, 1918, 184-195].</footnote>

<footnote n="19">19. [Arnoux, 1889b, 215].</footnote>

<footnote n="20">20. [Poincaré, 2007, 12].</footnote>

<footnote n="21">21. [Deny, 1905, 196].</footnote>
## L'appareil d'Arnoux de 1893

Arnoux est devenu membre de la Société Mathématique de France (SMF) en juin 1893 grâce au parrainage de Laisant et d'Ocagne. Cette année-là, il présente dans le *Bulletin* de cette Société un appareil pour décomposer un polynôme<fnref n="22" />, une fois obtenu « le représentant graphique » de ce polynôme présenté dans son *Algèbre graphique* de 1890.

Supposons que le polynôme soit représenté par la ligne polygonale rectangulaire OABCK. L'instrument est composé d'équerres qui peuvent glisser les unes sur les autres. Il suffit de placer l'extrémité de la première équerre, puis d'ajuster les suivantes de sorte que la dernière équerre passe par K. La ligne polygonale obtenue OA'B'K correspond alors à un polynôme qui est facteur du polynôme de départ et AOA' correspond au multiplicande (Fig. 6).

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

## L'arithmétique graphique d'Arnoux

Les ouvrages d'Arnoux sur l'arithmétique graphique font l'objet de nombreuses interactions avec Laisant. Celui-ci écrit, avant même la publication du premier ouvrage en 1894, un article dans le *Bulletin de la SMF* sur les principes de la méthode d'Arnoux. Puis Arnoux et Laisant exposent ensemble, au congrès de l'AFAS de 1900 à Paris, des applications de la méthode aux congruences. Enfin, Laisant expose en 1906 dans la revue *L'Enseignement mathématique* un théo-

rème figurant dans l'ouvrage d'Arnoux de 1906 (Tab. 2). Les trois articles sont examinés ci-après. De son côté, Arnoux cite Laisant dans chaque préface de ses ouvrages : en 1894 parce que « Laisant a prêter son concours à la rédaction<fnref n="23" /> », en 1906 parce que le nom de l'auteur devrait être également Charles-Ange Laisant<fnref n="24" /> et en 1908, car l'ouvrage « a été fait comme les précédents avec la collaboration de Laisant<fnref n="25" /> ».

<table><caption>Tab. 2. Les interactions entre Arnoux et Laisant sur l'arithmétique graphique.</caption><thead><tr><td>Date</td><td>Auteur</td><td>Titre</td><td>Objet</td><td>Exposé</td></tr></thead><tbody><tr><td>1894</td><td>Laisant</td><td>Principes de la méthode de M. Arnoux</td><td>Arnoux 1894</td><td>BSMF</td></tr><tr><td>1894</td><td>Arnoux</td><td>Arithmétique graphique. Les espaces arithmétiques hypermagiques</td><td></td><td>Gauthier-Villars</td></tr><tr><td>1900</td><td>Arnoux et Laisant</td><td>Applications des principes de l'arithmétique graphique</td><td>Arnoux 1906</td><td>AFAS</td></tr><tr><td>1906</td><td>Arnoux</td><td>Arithmétique graphique. Introduction à l'étude des fonctions arithmétiques</td><td></td><td>Gauthier-Villars</td></tr><tr><td>1908</td><td>Laisant</td><td>Un nouveau théorème mathématique</td><td>Arnoux 1906</td><td>EM</td></tr></tbody></table>

<footnote n="22">22. [Arnoux, 1893].</footnote>

<footnote n="23">23. [Arnoux, 1894, vi].</footnote>

<footnote n="24">24. [Arnoux, 1906, vii].</footnote>

<footnote n="25">25. [Arnoux, 1908, v].</footnote>
## La méthode de M. Arnoux par Laisant dans le Bulletin de la SMF de 1894

Au début de son article de 1894 dans le *Bulletin de la SMF*, « Principes de la méthode de M. Arnoux concernant l'étude des espaces arithmétiques hypermagiques », Laisant prévient<fnref n="26" />:

> L'auteur qui vit dans une petite commune des Basses-Alpes, en dehors du mouvement mathématique contemporain, a bien voulu faire appel à mon amitié pour me demander de l'aider dans la rédaction de ce volume; j'ai donc été conduit à étudier ses méthodes avant qu'elles n'aient été soumises au public, et il m'a semblé intéressant d'en faire connaître la substance à la Société mathématique.

Il y a en effet une telle originalité, une telle puissance d'invention dans les méthodes dont il s'agit, que je serais bien étonné si l'Arithmétique n'arrivait pas quelque jour à les utiliser, soit pour obtenir des démonstrations plus simples de vérités connues déjà, soit pour découvrir des vérités nouvelles.

Il explique que les carrés magiques ou d'espaces hypermagiques sont l'occasion d'utiliser « des idées générales, ayant une bien autre portée qu'un simple amusement arithmétique<fnref n="27" />».

Pour définir un « espace arithmétique modulaire », Laisant part d'un espace indéfini, délimité par une demi-droite horizontale $Ox$ et une demi-droite verticale $Oy$, et d'un carré de 25 cases (Fig. 7 gauche) dans lequel sont placées successivement les lettres $O, A$ de coordonnées $x = 2$ et $y = 1$, puis, « en marchant sur la droite $OA$ du même pas régulier » les lettres $B, C, D$. Ce carré sert de motif en étant reproduit sur l'espace indéfini à deux dimensions. Les lettres du carré sont disposées de telle sorte qu'on obtient une succession de « lignes arithmétiques » de même direction (Fig. 7 droite). Cet espace à deux dimensions est dit de module premier 5 et de « direction » $2x + y$.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Fig. 7. L'espace arithmétique modulaire de « direction » $2x+y$.</figcaption></figure>

La notion d'espace arithmétique modulaire est ensuite appliquée pour trouver des « carrés diaboliques ». Euler a introduit dans son mémoire de 1779 « une nouvelle espèce de carrés magiques » tels que, « non seulement toutes les bandes horizontales et verticales, mais aussi toutes les diagonales et leur parallèles et complétées comme

par exemple 17, 36, 34, 7, 12, 44 et 25 produiront la même somme, savoir $175^{28}$» (Fig. 8). Ce carré est tel que si on le coupe selon une ligne horizontale ou verticale et si on le reconstruit en permutant les deux parties, on obtient encore un carré magique.

<footnote n="26">26. [Laisant, 1894, 28].</footnote>

<footnote n="27">27. [Laisant, 1894, 28].</footnote>

<footnote n="28">28. [Euler, 1849, 324].</footnote>
<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Ces carrés sont appelés « hypermagiques » par Arnoux et « panmagiques » par Tarry. Laisant explique comment la méthode d'Arnoux permet de passer d'un espace arithmétique à un carré hypermagique. Le carré de côté 5 qui sert de motif contient les nombres de 0 à 24 disposés de

manière naturelle (Fig. 9 gauche). Dans l'espace hypermagique, les lignes de « direction » $2x+y$ sont des parallèles (Fig. 9 centre) donnant successivement les lignes horizontales d'un carré de côté 5: 0, 7, 14, 16, 23, puis 11, 18, 20, 2, 9, etc (Fig. 9 droite). Ce carré est hypermagique de somme 60:

$$0 + 7 + 14 + 16 + 23 = 60, 14 + 18 + 22 + 1 + 5 = 60, 7 + 20 + 13 + 1 + 8 + 21 = 60, \text{etc.}$$

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Arnoux utilise aussi une « grille », qu'il attribue en 1908 à Tarry, pour mieux voir le carré hypermagique dans l'espace hypermagique<fnref n="29" />. Tarry est un contrôleur des contributions qui vit près d'Alger. Il fréquente les congrès de l'AFAS depuis 1886 et il a pu rencontré Arnoux à celui de 1891, où il présente un de ses travaux sur sa « Géométrie générale ». Il commence à écrire sur les carrés magiques à partir de 1895, un an après que Laisant lui ait fait lire l'ouvrage d'arithmétique graphique de 1894, et il en deviendra un virtuose. Dans son article « La magie

arithmétique dévoilée » de 1907, il rend hommage à Arnoux à propos des notions de grille et de constellation dans un carré de nombres<fnref n="30" />. De son côté, Arnoux consacre le dernier chapitre de son ouvrage de 1908 à des « Applications diverses. Grilles et constellations de Tarry » et il aborde le problème des 36 officiers<fnref n="31" />, dont Tarry donne une solution<fnref n="32" /> au congrès de l'AFAS de 1900. La « grille » du carré hypermagique est présente dans les *Récréations arithmétiques* d'Émile Fourrey de 1899 (Fig. 10).

<footnote n="29">29. [Arnoux, 1908, 74].</footnote>

<footnote n="30">30. [Barbin, 2017a, 122-123].</footnote>

<footnote n="31">31. [Arnoux, 1908, 70, 82].</footnote>

<footnote n="32">32. [Barbin, 2017a, 135-141].</footnote>
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Fig. 10.
La « grille » du carré hypermagique chez Fourrey<fnref n="33" />.</figcaption></figure>

## Arnoux et Laisant au congrès de l'AFAS de Paris en 1900

Dans « Applications des principes de l'arithmétique graphique : congruences ; propiétés diverses », les deux auteurs expliquent ainsi l'intérêt expérimental de la méthode graphique<fnref n="34" /> :

> Cette méthode [graphique] est par excellence celle qui convient à l'expérimentation, si précieuse surtout dans la recherche; et si la preuve complète d'une vérité entrevue par l'expérience n'est pas entièrement obtenue, c'est alors qu'il est temps d'appeler à son secours l'analyse et les méthodes symboliques.

Dans les recherches arithmétiques, notamment, la méthode graphique peut offrir des ressources précieuses. [...] En somme, pour

nous, la théorie des congruences ne sera autre chose que celle des marches sur les espaces arithmétiques congruents.

Ils commencent par présenter une table de « multiplication congruente » avec l'exemple d'une table modulo 13 (Fig. 11 gauche). À l'intersection d'une colonne, par exemple celle de 6, et d'une ligne, par exemple celle de 5, on doit trouver le reste modulo 13 de la multiplication de 6 par 5 (égale à 30), c'est-à-dire 4. La construction de la table est aisée car elle se fait ligne par ligne en ajoutant à la ligne précédente la première ligne du tableau. Par exemple, 4 s'obtient en ajoutant 11 + 6 = 17, car 17 = 13 + 4.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Fig. 11.
Les tables<fnref n="35" /> de multiplication et des puissances modulo 13.</figcaption></figure>

<footnote n="33">33. [Fourrey, 1899, 241].</footnote>

<footnote n="34">34. [Arnoux et Laisant, 1900, 36].</footnote>

<footnote n="35">35. [Arnoux et Laisant, 1900, 44, 51].</footnote>
Arnoux et Laisant présentent ensuite la « génération graphique des puissances » pour obtenir des tables de puissances congruentes, par exemple la table des puissances modulo 13 des nombres $N^1$ (Fig. 11 droite). Un nombre de la ligne $N$ s'obtient en multipliant le nombre qui est à sa gauche par $N$. Pour $N = 5, 8$ s'obtient en multipliant 12 par 5, car $60 = 4 \times 13 + 8$. Chaque ligne peut être aisément complétée en remarquant qu'elle est périodique. Par exemple pour $N = 5$, la période est 5, 12, 8, 1.

Une fois la table obtenue, les deux auteurs observent<fnref n="36" /> que la dernière colonne est composée uniquement de 1. Ceci signifie, par définition de la table, que pour tous les nombres $N$, nous avons que $N^{12}$ est congru à 1 modulo 13. Pour eux, ceci est une preuve expérimentale du petit théorème de Fermat. Ils donnent d'autres preuves expérimentales de théorèmes arithmétiques, dont celui de John Wilson, et ils indiquent que la méthode graphique permet d'aborder la théorie des résidus quadratiques.

## Le « théorème d'Arnoux » Laisant (1908)

Laisant publie dans la revue *L'Enseignement mathématique*, qu'il a fondée quelques années auparavant (voir chap. 16), un article sur un « nouveau théorème » dont l'énoncé est, d'une certaine façon, une collaboration d'Arnoux et de Tarry<fnref n="37" /> :

À propos des tables de numération inverse, dans son Introduction à l'étude des fonctions arithmétiques M. Gabriel Arnoux a en effet établi implicitement le théorème en question, par une constatation faite sur les figures, laquelle est une véritable démonstration.

En examinant cette partie intéressante du livre dont il s'agit, M. Gaston Tarry, dont j'avais attiré l'attention sur ce point, a formulé l'énoncé [...]:

Théorème d'Arnoux. – Soit $M = m_1 m_2 \dots m_n$ un nombre composé, dont les facteurs $m_1, m_2, \dots m_n$ sont premiers entre eux deux à deux; appelons $\mu_1, \mu_2, \dots \mu_n$ les quotients $M/m_1 = m_2 m_3 \dots m_n, \dots$ Si $a_1, a_2, \dots a_n$ sont des nombres tels que l'ont ait

$$a_1\mu_1 = \text{mult. } m_1 + r, \quad a_2\mu_2 = \text{mult. } m_2 + r, \quad \dots \quad a_n\mu_n = \text{mult. } m_n + r$$

il s'ensuit qu'on aura aussi

$$a_1\mu_1 + a_2\mu_2 + \dots + a_n\mu_n = \text{mult. } M + r.$$

La démonstration est d'une extrême facilité.

Aussitôt l'article publié, des lecteurs écrivent à la revue que le théorème est déjà connu d'eux. En fait, l'intérêt du travail d'Arnoux réside dans la démonstration, qui repose sur ses « tables de numération inverse ». Prenons l'exemple du nombre $M = 28$ qui possède deux facteurs 7 et 4 (en général $m_1, m_2$) premiers entre eux. Pour chacun des 28 nombres 0, 1, 2, ... 27, notons $r_1$ le reste de sa division par 7 et $r_2$ le reste de sa division par 4. La table de numération inverse est composée de sept colonnes notées 0, 1, ... 6 correspondant aux restes modulo 7 et de quatre lignes notées 0, 1, ... 3 correspondant aux restes modulo 4. Le nombre 25 qui a pour restes $r_1 = 4$ et $r_2 = 1$ est placé dans la colonne 4 et dans la ligne 1. Ainsi, la constatation que tous les nombres de 0 à 27 remplissent la table correspond à ce que nous appelons aujourd'hui le « théorème des restes chinois » et elle démontre le « théorème d'Arnoux » (Fig. 12).

<table><caption>Fig. 12. La table de numération inverse.</caption><thead><tr><th></th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th></tr></thead><tbody><tr><th>0</th><td>0</td><td>8</td><td>16</td><td>24</td><td>4</td><td>12</td><td>20</td></tr><tr><th>1</th><td>21</td><td>1</td><td>9</td><td>17</td><td>25</td><td>5</td><td>13</td></tr><tr><th>2</th><td>14</td><td>22</td><td>2</td><td>10</td><td>18</td><td>26</td><td>6</td></tr><tr><th>3</th><td>7</td><td>15</td><td>23</td><td>3</td><td>11</td><td>19</td><td>27</td></tr></tbody></table>

<footnote n="36">36. [Arnoux et Laisant, 1900, 51].</footnote>

<footnote n="37">37. [Laisant, 1908, 221].</footnote>
Conclusion. Expérimentation graphique et visualisation

Dans La Mathématique. Philosophie – Enseignement de 1898, Laisant explique que toutes les sciences sont expérimentales (voir chap. 10) et il cite Arnoux à propos de la géométrie de situation<fnref n="38" /> :

Dans cet ordre d'idées, je ne résiste pas
au plaisir de citer un des ouvrages les plus
originaux et les plus curieux qui aient été
publiés dans ces dernières années, ouvrage
d'autant plus intéressant qu'il n'émane pas
d'un mathématicien de profession. Je veux
parler du livre de M. Gabriel Arnoux:
Arithmétique graphique.

Nous avons vu, en effet, que les graphismes ont
permis à Arnoux de concevoir dès 1894 une
arithmétique expérimentale où les résultats sont
obtenus de manière visuelle, et que, dans leur
article commun de 1900, Arnoux et Laisant consi-
dèrent que la méthode graphique est « par excel-
lence » celle qui convient à l'expérimentation.

Laisant prolonge ce propos au delà de l'arith-
métique avec, par exemple, la solution du pro-
blème des paquebots, donnée dans son Initiation
mathématique de 1906. Il raconte une anecdote
« absolument authentique » arrivée à Lucas au
cours d'un congrès scientifique, où se trouvaient
plusieurs mathématiciens connus, auxquels il
posa la question suivante<fnref n="39" /> :

Je suppose que chaque jour à midi, un paque-
bot parte du Havre pour New-York, et qu'en
même temps un paquebot de la même com-
pagnie parte de New-York pour Le Havre.
La traversée se fait exactement en sept jours,
soit dans un sens, soit dans l'autre. Combien
le paquebot qui part du Havre aujourd'hui
à midi rencontrera-t-il en route de navires
de sa compagnie faisant la route opposée?

Laisant prétend que quelques « illustres audi-
teurs » répondirent sept et que d'autres se turent.
Sa solution est graphique avec, sur une pre-
mière demi-droite horizontale, les journées qui

se suivent au Havre et, sur la seconde les jour-
nées à New-York (Fig. 13). Les traversées de sept
jours sont représentées par des obliques allant
des unes aux autres. En comptant le nombre de
points d'intersection du segment AB avec les
obliques, il apparaît comme « certain que tout
paquebot dont le graphique est AB rencontrera
en mer 13 navires, plus celui qui entre au Havre
à l'instant du départ, plus celui qui part de New-
York à l'instant de l'arrivée, soit 15 en tout<fnref n="40" /> ».

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Fig. 13.
La solution du problème
des paquebots<fnref n="41" />.</figcaption></figure>

Laisant considère que les graphiques constituent
« une algèbre sans calcul » qui permet de visuali-
ser les problèmes et leurs solutions<fnref n="42" /> :

C'est en ce sens qu'on peut dire que les
graphiques permettent de faire de l'Al-
gèbre sans calcul, et même quelque chose
de plus, puisque des graphiques ont pu être
établis pour des fonctions qui ne sont pas
algébriques. [...] Il y a donc beaucoup de
questions auxquelles s'appliquent avanta-
geusement ces tracés, qui ont en outre l'avan-
tage de parler à l'esprit par l'intermédiaire
des yeux, de figurer les choses elles-mêmes.
C'est là une qualité précieuse en matière de
pédagogie.

Il s'accorde ainsi avec le propos d'Arnoux de
1889, selon lequel « la graphie » est la « démo-
cratisation de l'algèbre ».

<footnote n="38">38. [Laisant, 1898, 105-106].</footnote>

<footnote n="39">39. [Laisant, 1906, 140-141].</footnote>

<footnote n="40">40. [Laisant, 1906, 141].</footnote>

<footnote n="41">41. [Laisant, 1906, 140].</footnote>

<footnote n="42">42. [Laisant, 1906, 135].</footnote>
# Références

## Sources primaires

**Arnoux Gabriel**, (1886). Solution des carrés de magie diverse de tous les nombres entiers sans exception, *Compte rendu du congrès de l'AFAS de Grenoble de 1885*, Paris, Masson, 94.

**Arnoux Gabriel**, (1889a). Le cas général du carré de l'hypoténuse, *Bulletin de la Société scientifique et littéraire des Basses-Alpes*, iv, 76-89.

—, (1889b). Les travaux de M. Arnoux sur l'Algèbre graphique, *Bulletin de la Société scientifique et littéraire des Basses-Alpes*, iv, 187-224, 279-288.

—, (1892). « Essais de psychologie et de métaphysique positives. La méthode graphique en mathématiques », *Compte rendu du congrès de l'AFAS de Marseille de 1891*, Paris, Masson, 241-259.

—, (1893). « Technologie graphique; appareil pour la décomposition d'un polynôme en facteurs », *Bulletin de la Société Mathématique de France*, 21, 87-92.

—, (1894). *Arithmétique graphique. Les espaces arithmétiques hypermagiques*, Paris, Gauthier-Villars.

**Arnoux Gabriel, Laisant, Charles-Ange**, (1901). « Applications des principes de l'arithmétique graphique: congruences; propriétés diverses ». *Compte rendu du congrès de l'AFAS de Paris de 1900*, Paris, Masson et Cie, 36-59.

**Arnoux Gabriel**, (1906). *Arithmétique graphique. Introduction à l'étude des fonctions arithmétiques*, Paris, Gauthier-Villars.

—, (1908). *Arithmétique graphique. Les espaces arithmétiques; leurs transformations*, Paris, Gauthier-Villars.

**Deny L.**, (1905). « Note sur la représentation géométrique des polynômes algébriques », *Nouvelles annales de mathématiques*, 193-211.

**Euler Leonhard**, (1849). « Recherches sur une nouvelle espèce de carrés magiques (1779) », *Commentationes arithmeticae*, t. II, Petropoli, Typis ac impensis Academiae Imperialis scientarium, 302-361.

**Fourrey Émile**, (1899). *Récréations arithmétiques*, Paris, Vuibert.

**Laisant Charles-Ange**, (1894). « Principes de la méthode de M. Arnoux concernant l'étude des espaces arithmétiques hypermagiques », *Bulletin de la SMF*, 22, 28-36.

—, (1898). *La Mathématique Philosophie - Enseignement*, Paris, Carré et Naud.

—, (1906). *Initiation mathématique*, Paris, Hachette.

—, (1908). « Un nouveau théorème de mathématique », *L'Enseignement mathématique*, 10, 220-225.

—, (1913). « Gaston Arnoux », *L'Enseignement mathématique*, 15, 337-339.

**Lill E.**, (1867). « Résolution graphique des équations numériques de tous les degrés à une seule inconnue et description d'un instrument inventé dans ce but », *Nouvelles annales de mathématiques*, 2, t. 6, 359-362.
**Ocagne Maurice, d'** (1918). *Cours de géométrie pure et appliquée*, t. II, Paris, Gauthier-Villars.

**Poincaré, Henri**, (2007). *La correspondance entre Henri Poincaré et les physiciens, chimistes et ingénieurs*, Walter, S., Bolmont, É., Coret, A. (éd.). Basel, Boston, Berlin, Birkhäuser.

## Sources secondaires

**Barbin Évelyne**, (2017a). Gaston Tarry et la doctrine des combinaisons, in Barbin, É., Goldstein, C., Moyon, M., Schwer, S., Vinatier, S. (éd.), *Les travaux combinatoires en France (1870-1914) et leur actualité*, Limoges, PULIM, 119-144.

—, (2017b). Géométrie, algorithmes et combinatoire des carrés magiques, in Chevalarias, N. & al. (éd.), *Mathématiques récréatives. Éclairages historiques et épistémologiques*, Grenoble, UGA Éditions, 159-180.