# Feuilletages orthogonaux du tore à feuilles fermées

par JEAN-MARIE LION (Rennes)

À la mémoire de Stanisław Łojasiewicz et de René Thom

**Abstract.** We give examples of pairs of orthogonal vector fields with closed orbits in every homotopy class of pairs of transversal vector fields on a two-dimensional riemannian torus.

**1. Introduction.** On considère sur un tore $(\mathbb{T}, g)$ de dimension 2 muni d'une métrique riemannienne de classe $C^k$, $k = 2, \dots, \infty$, $\omega$, une paire de feuilletages transverses $(\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2)$ à feuilles toutes fermées. On associe à chaque feuilletage $\mathcal{F}_i$ la famille $\mathcal{X}_i$ des champs de vecteurs sans singularité dont les orbites sont les feuilles de $\mathcal{F}_i$. La famille $\mathcal{X}_i$ est bien sûr non vide et si $X \in \mathcal{X}_i$ alors $\mathcal{X}_i$ est égale à la famille des champs $fX$ avec $f : \mathbb{T} \to \mathbb{R}$, $C^k$ et sans zéro.

On définit la relation d'équivalence suivante. Deux paires $(\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2)$ et $(\mathcal{F}'_1, \mathcal{F}'_2)$ sont équivalentes s'il existe une isotopie $H : [0, 1] \times T \to T$ qui permet de passer de la première à la seconde paire. La classe d'équivalence d'une paire $(\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2)$ est caractérisée par la classe d'isotopie d'une paire $(V_1, V_2)$ constituée d'une feuille de chacun des deux feuilletages. Puisque $\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{F}_2$ sont des feuilletages non singuliers et transverses de $\mathbb{T}$, $V_1$ et $V_2$ sont homotopiquement non triviales et ne sont pas homotopes. L'objectif de ce texte est de répondre à une question de Guy Métivier en montrant qu'une paire de feuilletages transverses $(\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2)$ à feuilles toutes fermées est toujours équivalente à une paire de feuilletages orthogonaux à feuilles toutes fermées.

**THÉORÈME.** *Soit $(\mathbb{T}, g)$ un tore $\mathbb{T}$ muni d'une métrique $g$ de classe $C^k$, $k = 2, \dots, \infty$, $\omega$, et $\gamma_1, \gamma_2$ deux courbes fermées simples de $\mathbb{T}$, non homotopes et non homotopiquement triviales. Il existe sur $\mathbb{T}$ deux feuilletages $C^k$, non singuliers, orthogonaux dont les feuilles sont des courbes fermées homotopes à $\gamma_1$ ou $\gamma_2$.*

<footnote n="2000">2000 Mathematics Subject Classification: 37C10, 57R25, 14P15.</footnote>

<footnote>*Key words and phrases:* vector field, torus, riemannian metric, analytic geometry, isothermal coordinates, closed orbit.</footnote>
Ce théorème doit beaucoup à Dominique Cerveau. Il m'a parlé de la question de Guy Métivier, puis nous avons eu de nombreuses discussions qui m'ont aidé à trouver la démonstration qui suit. Je le remercie très sincèrement.

On utilise le langage classique des feuilletages qu'on peut trouver dans $[Go]$ par exemple.

**2. Preuve du théorème.** Observons qu'on peut se restreindre au cas d'un tore plat. En effet, notre problème ne dépend pas totalement de la métrique $g$ mais seulement de sa classe conforme. Or le théorème d'existence de coordonnées isothermes (Gauss dans le cas analytique, Ahlfors et Bers dans des cas plus généraux; voir [Ha] par exemple) assure que tout tore est conformément équivalent à un tore plat. Cet argument ne vaut qu'en dimension deux.

Un tore plat est le quotient de $\mathbb{R}^2$ muni de la métrique euclidienne par un réseau et la classification conforme des tores plats se fait par leurs modules. Aussi, par homotopie et similitude on peut supposer :

* L'axe $\mathbb{R}u$ (avec $u = (1,0))$ est une composante connexe du relevé de $\gamma_1$ dans $\mathbb{R}^2$.

* Le tore $\mathbb{T}$ est le quotient de $\mathbb{R}^2$ par $\mathbb{Z}u + \mathbb{Z}v$ avec $v = (\lambda, \mu)$ où $0 \le \lambda < 1$ et $\mu > 0$.

* Une composante connexe du relevé de $\gamma_2$ est la droite $\mathbb{R}(pu + qv)$ avec $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}^*$ et $p+\lambda q \ge 0$. La courbe $\gamma_2$ s'enroule $p$ fois parallèlement à $u$ et $q$ fois parallèlement à $v$.

On représente dans la figure 1 les traces des relevés de $\gamma_1$ et $\gamma_2$ dans un domaine fondamental.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Fig. 1. Domaine fondamental, $\gamma_1$ et $\gamma_2$ avec $p = 2$ et $q = 3$</figcaption></figure>

On va rechercher une solution parmi les paires de feuilletages orthogonaux sur le tore qui se relèvent en des paires de feuilletages orthogonaux de $\mathbb{R}^2$,
invariants sous l'action du groupe de Lie des translations dirigées par les vecteurs de la droite $\mathbb{R}(ru + v)$ (où $r \in \mathbb{N}$ est fixé plus loin) et invariants sous l'action des translations de vecteurs $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$.

Si $p + \lambda q = 0$ alors les feuilletages en droites horizontales et verticales induisent sur le tore une paire de feuilletages solution.

On suppose dorénavant que $p + \lambda q > 0$.

On note $\mathcal{F}$ le feuilletage affine de $\mathbb{R}^2$ en droites parallèles à $pu + qv$ et de pente euclidienne égale à $q\mu/(p + \lambda q)$. Il passe au quotient en un feuilletage $\mathcal{F}_T$ du tore dont les feuilles sont des courbes fermées homotopes à $\gamma_2$. En revanche, généralement les orbites de l'unique feuilletage orthogonal à $\mathcal{F}_T$ ne sont pas fermées.

Soit $r \in \mathbb{N}$ tel que $\mu/(r + \lambda) < q\mu/(p + \lambda q)$. Soient $\delta^+$ et $\delta^-$ les droites dirigées par $ru + v$ et qui passent respectivement par les points $v/r$ et 0. Le feuilletage affine $\mathcal{F}$ est transverse à $ru + v$. On note $h: \delta^+ \to \delta^-$ l'holonomie associée à $\mathcal{F}$ qui à $x \in \delta^+$ associe l'unique point de $\delta^-$ qui est sur la même feuille de $\mathcal{F}$. C'est une translation vers la gauche : il existe $\tau < 0$ tel que si $(x_1, x_2) \in \delta^+$ alors $h(x) = (y_1, y_2)$ avec $y_1 = \tau + x_1$.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 2. Feuilles de $\mathcal{F}$ et les droites $\delta^+$, $\delta^-$ avec $p=2$, $q=3$ et $r=2$</figcaption></figure>

Nous allons construire notre exemple de la façon suivante. Le feuilletage horizontal est invariant sous l'action du groupe de Lie des translations dirigées par les vecteurs de la droite $\mathbb{R}(ru + v)$ et des translations de vecteurs $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$. Il passe au quotient en un feuilletage du tore dont les feuilles sont des courbes fermées homotopes à $\gamma_1$. Nous allons le déformer continûment en préservant cette invariance pour obtenir un feuilletage dont le feuilletage orthogonal aura la même holonomie que $\mathcal{F}$.

On considère une fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, analytique, 1-périodique et qui vérifie :

$$ (1) \text{ si } x \in [0, 1/2[ \cup [1/2, 1], -(r+\lambda)/\mu < f'(x) < \mu/(r+\lambda), $$
$$ (2) \quad f(1/2) = 0 \text{ et } f'(1/2) = -(r + \lambda)/\mu. $$

Par exemple si $\lambda = 0$, $\mu = 2$ et $0 < p/q < r = 1$ alors $f(x) = \sin(2\pi x)/4\pi$ convient.

On déduit de (1) que le graphe de $\varepsilon f$ est transverse aux droites parallèles à $ru+v$ et n'est jamais orthogonal à ces droites si $\varepsilon \in [0, 1[$. En revanche, le graphe de $f$ est partout transverse aux droites parallèles à $ru+v$ mais il est orthogonal à la direction $ru+v$ en $(1/2, 0)$ d'après (2). On associe donc à la fonction analytique $\varepsilon f$ un feuilletage analytique $G_\varepsilon$ de $\mathbb{R}^2$ défini de la façon suivante. Ses feuilles sont les translatés du graphe de $\varepsilon f$ parallèlement à $ru+v$. Par passage au quotient on obtient sur le tore $\mathbb{T}$ un feuilletage analytique, non singulier $G_{\mathbb{T}\varepsilon}$ dont les feuilles sont en raison de la périodicité de $f$ des courbes fermées homotopes à $\gamma_1$. On note $G_\varepsilon^\perp$ le feuilletage orthogonal à $G_\varepsilon$. Le feuilletage $G_{\mathbb{T}\varepsilon}^\perp$ obtenu par passage au quotient est orthogonal à $G_{\mathbb{T}\varepsilon}$.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 3. Les feuilles de $G_{\mathbb{T}\varepsilon}$ et $G_{\mathbb{T}\varepsilon}^\perp$ entre $\delta^+$ et $\delta^-$ lorsque $\varepsilon = 1$, $0 < \varepsilon < 1$ et $\varepsilon = 0$</figcaption></figure>

Montrons qu'on peut choisir $\varepsilon \in [0, 1[$ de telle sorte que les feuilles du feuilletage $G_{\mathbb{T}\varepsilon}^\perp$ soient des courbes fermées homotopes à $\gamma_2$.

D'après (1), si $\varepsilon \in [0, 1[$, le feuilletage $G_\varepsilon$ n'est jamais orthogonal aux droites parallèles à $ru+v$ et donc le feuilletage orthogonal $G_\varepsilon^\perp$ est transverse à ces droites. De plus, chaque feuille de $G_\varepsilon^\perp$ coupe une et une seule fois toute droite parallèle à $ru+v$. L'application d'holonomie $h_\varepsilon : \delta^+ \to \delta^-$ associée à $G_\varepsilon^\perp$ est donc bien définie : c'est l'application qui à chaque point de $\delta^+$ associe l'unique point de $\delta^-$ qui est sur la même feuille de $G_\varepsilon^\perp$. C'est une translation car $G_\varepsilon^\perp$ est invariant sous l'action de $\mathbb{R}(ru+v) + \mathbb{Z}v/r$ : il existe $a_\varepsilon \in \mathbb{R}$ tel que si $(x_1, x_2) \in \delta^+$ alors $h_\varepsilon(x) = (y_1, y_2)$ avec $y_1 = a_\varepsilon + x_1$. La fonction $\varepsilon \in [0, 1[$ $\mapsto a_\varepsilon$ est continue, $a_0 = 0$ et en raison de (2) on a $\lim_{\varepsilon \to 1^-} a_\varepsilon = -\infty$. Ainsi $a_\varepsilon$ décrit tout l'intervalle $]-\infty, 0[$ (et peut-être plus), lorsque $\varepsilon$ décrit l'intervalle $[0, 1[$. On choisit $\varepsilon$ tel que $a_\varepsilon = \tau$. Dans ce cas $h_\varepsilon = h$. Puisque $G_\varepsilon^\perp$ et $\mathcal{F}$ sont invariants sous l'action de $\mathbb{R}(ru+v) + \mathbb{Z}v/r$, les feuilles de $G_{\mathbb{T}\varepsilon}^\perp$ sont homotopes à celles de $\mathcal{F}_{\mathbb{T}}$ : ce sont des courbes fermées homotopes à $\gamma_2$.
**3. Une famille explicite.** On conserve les notations de la partie précédente. Les données sont donc $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \lambda, \mu, p, q$ et un entier $r$ tel que $\mu/(r+\lambda) < q\mu/(p+\lambda q)$. On pose $\alpha = \mu/(r+\lambda)$. On définit alors sur $\mathbb{R}^2$ les deux familles de champs de vecteurs

$$X_{\varepsilon} = \left( 1 - \frac{\varepsilon}{1 + \alpha^2} \cos(2\pi(x - y/\alpha)) \right) \frac{\partial}{\partial x} - \frac{\varepsilon\alpha}{1 + \alpha^2} \cos(2\pi(x - y/\alpha)) \frac{\partial}{\partial y}, \\ Y_{\varepsilon} = \frac{\varepsilon\alpha}{1 + \alpha^2} \cos(2\pi(x - y/\alpha)) \frac{\partial}{\partial x} + \left( 1 - \frac{\varepsilon}{1 + \alpha^2} \cos(2\pi(x - y/\alpha)) \right) \frac{\partial}{\partial y} = X_{\varepsilon}^{\perp}$$

où $\varepsilon \in [0, 1]$.

À $\varepsilon$ fixé, ces deux champs sont orthogonaux, invariants sous l'action du groupe de Lie des translations dirigées par les vecteurs de la droite $\mathbb{R}(r\mathbf{u} + \mathbf{v})$ et invariants sous l'action des translations de vecteurs $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$. Un petit calcul montre que si $\varepsilon \neq 1$ les champs $X_{\varepsilon}$ et $Y_{\varepsilon}$ sont transverses aux droites parallèles à $r\mathbf{u}+\mathbf{v}$. Le champ $X_1$ est lui aussi transverse à ces droites. Ce n'est pas le cas du champ $Y_1$, qui est parallèle à la direction $r\mathbf{u}+\mathbf{v}$ le long des droites du type $\mathbb{R}(r\mathbf{u}+\mathbf{v})+k\mathbf{v}/r$, $k \in \mathbb{Z}$, qui sont $Y_1$-invariantes. Par passage au quotient ils définissent des paires de champs de vecteurs orthogonaux sur le tore $\mathbb{T}$. Il existe une fonction $f$ associée à $X_1$ comme dans la partie précédente et pour chaque $\varepsilon \in [0, 1]$ il existe une fonction $f_{\varepsilon}$ associée à $X_{\varepsilon}$.

La situation est différente de celle de la partie précédente car maintenant $f_{\varepsilon}$ ne s'exprime pas très facilement en fonction de $f$, c'est seulement $X_{\varepsilon}$ qui dépend affinement de $\varepsilon$. Cependant, en faisant une analyse semblable à celle de la partie 2 on montre qu'il existe $\varepsilon$ tel que la paire de feuilletages du tore associée à la paire $(X_{\varepsilon}, Y_{\varepsilon})$ vérifie les conclusions du théorème. L'intérêt de cet exemple explicite est qu'il est intégrable. Si on se restreint au traces des solutions dans le domaine fondamental engendré par les directions $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$, alors les solutions appartiennent à la clôture pfaffienne [Sp] de la structure o-minimale engendrée par la restriction de la fonction sinus à l'intervalle $[0, 2\pi]$.

**4. Une petite question de Ludwig Bröcker.** Pour finir, je mentionne une jolie question que Ludwig Bröcker a posée à la suite de mon exposé de mars 2004 au colloque RAAG de Cracovie. Il demande si on peut préciser le théorème de la façon suivante. Étant donnés $\mathbb{T}, \gamma_1, \gamma_2$, est-ce que la famille des paires $(\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2)$ vérifiant les conclusions du théorème est connexe? À ma connaissance le problème reste ouvert, même si on se limite aux paires $(\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2)$ qui se relèvent en des paires invariantes sous l'action du groupe de Lie des translations dirigées par les vecteurs de la droite $\mathbb{R}(r\mathbf{u} + \mathbf{v})$ (avec $r \in \mathbb{N}$ ad hoc) et sous l'action des translations de vecteurs $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$.
Bibliographie

[Go] C. Godbillon, *Feuilletages. Études géométriques*, Progr. Math. 98, Birkhäuser, Basel, 1991.

[Ha] P. Haïssinsky, *Définition de la quasi-conformité*, prépublication, 2001.

[Sp] P. Speissegger, *The Pfaffian closure of an o-minimal structure*, J. Reine Angew. Math. 508 (1999), 189–211.

IRMAR, UMR 6625 CNRS
Université Rennes 1
35042 Rennes Cedex, France
E-mail: jean-marie.lion@univ-rennes1.fr

Reçu par la Rédaction le 12.10.2004 (1622)