# Un theoreme d'existence dans une inequation variationnelle parabolique degeneree modelisant le deplacement d'un fluide par un autre non-miscible

Guy Chavent

► To cite this version:

Guy Chavent. Un theoreme d'existence dans une inequation variationnelle parabolique degeneree modelisant le deplacement d'un fluide par un autre non-miscible. [Rapport de recherche] IRIA-RR-260, IRIA. 1977, pp.22. hal-04716448

HAL Id: hal-04716448

https://inria.hal.science/hal-04716448v1

Submitted on 1 Oct 2024

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
03511 : Inv. RR260

IRIA

laboria

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
B. P. 105 78150 - Le Chesnay
France
Tél.: 954 90 20

laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

UN THEORÈME D'EXISTENCE
DANS UNE
INÉQUATION VARIATIONNELLE
PARABOLIQUE DÉGÉNÉRÉE
MODÉLISANT LE DÉPLACEMENT
D'UN FLUIDE PAR
UN AUTRE NON-MISCIBLE

Guy CHAVENT

Rapport de Recherche N° 260

Novembre 1977

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
UN THÉOREME D'EXISTENCE DANS UNE INÉQUATION VARIATIONNELLE PARABOLIQUE DÉGÉNÉRÉE MODÉLISANT LE DÉPLACEMENT D'UN FLUIDE PAR UN AUTRE NON-MISCIBLE

G. Chavent

Résumé:

On montre l'existence d'une solution faible de l'inéquation variationnelle :

trouver $u(t) \in K$, avec $0 \le u(x,t) \le 1$,

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \int_0^1 \frac{du}{dt} (v-u) \, dx + \int_0^1 \left[ a(u) \frac{\partial u}{\partial x} - b(u) \right] \frac{\partial}{\partial x} (v-u) \, dx + v(1)-u(1,t) \ge 0 \\
\forall v \in K \quad \text{pp. sur } ]0,T[
\end{array}
\right.
\\
u(0) = u_0 \in K, \text{ avec } 0 \le u_0(x) \le 1
\\
\text{avec } K = \{ v \in H^1(0,1) \mid v(0) = 0, v(1) \ge 0 \}
\\
\text{et } a, b \text{ fonctions régulières vérifiant } a = 0 \text{ pour } u = 0 \text{ et } u = 1.
$$

Cette inéquation parabolique dégénérée modélise le phénomène de déplacement, dans un barreau poreux, d'huile par de l'eau. L'eau est injectée par la gauche du barreau, en $x=0$, la condition unilatérale, en $x=1$, provient de la condition aux limites à l'extrémité droite du barreau, par laquelle on récupère l'huile.

Abstract :

We show the existence of a weak solution for the variational inequality :

find $u(t) \in K$, with $0 \le u(x,t) \le 1$,

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \int_0^1 \frac{du}{dt} (v-u) \, dx + \int_0^1 \left[ a(u) \frac{\partial u}{\partial x} - b(u) \right] \frac{\partial}{\partial x} (v-u) \, dx + v(1) - u(1,t) \ge 0 \\
\forall v \in K \quad \text{pp. on } ]0,T[ \\
u(0) = u_0 \in K, \text{ with } 0 \le u_0(x) \le 1 \\
\text{with } K = \{ v \in H^1(0,1) \mid v(0) = 0, v(1) \ge 0 \} \\
\text{and } a, b \text{ regular functions, with } a = 0 \text{ for } u = 0 \text{ et } u = 1.
\end{array}
\right.
$$

This parabolic degenerated inequation modelizes the displacement of oil by water in a porous slab.
Water is injected through the left hand side extremity (x = 0) of the slab ; the unilateral condition
(x = 1)corresponds then to the boundary condition on the right hand side extremity of the slab,
through wich oil comes out.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>
# 1. - ORIGINE PHYSIQUE DU PROBLEME

Considérons un barreau, de longueur l, formé d'un matériau poreux de porosité $\emptyset$ et de perméabilité A. On suppose ce barreau imbibé d'huile, que l'on veut récupérer en x = l en injectant de l'eau en x = 0 :

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Si nous appelons u la saturation (réduite) en huile en un point x du barreau à l'instant t et 2q(t) le débit (linéaire) d'eau injectée en x = 0, on a nécessairement

$$ (1.1) \qquad 0 \le u(x,t) \le 1 $$

$$ (1.2) \qquad q(t) \ge 0 \qquad \forall t \in ]0,T] $$

Les lois de conservation et de Darcy, les hypothèses de perméabilité relatives et de pression capillaire, jointes à des conditions aux limites réalistes ("effet de puits" en x = l (*) , cf [1]) se traduisent sur la saturation u par l'inéquation variationnelle suivante (cf [2] [3]) :

<footnote>(*) l'eau ne peut sortir du barreau en x = l tant que la saturation en huile en ce point est strictement positive. L'instant où u(l,t) s'annule s'interprète ainsi comme le temps de percée ("break-through") de l'eau à l'extrémité du barreau.</footnote>
$$
(1.3) \qquad u(0,t) = 0 \quad u(1,t) \ge 0
$$

$$
(1.4) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \int_{\Omega} \phi \frac{\partial u}{\partial t} (v-u) + \int_{\Omega} [Aa(u) \frac{\partial u}{\partial x} - q(t)b(u)] \frac{\partial}{\partial x} (v-u) + q(t)(v(1)-u(1,t)) \ge 0 \\
\forall t \in ]0,T[, \quad \forall v \text{ telle que } v(0) = 0, v(1) \ge 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(1.5) \qquad u(x,0) = u_o(x)
$$

où a,b et $u_o$ ont la forme suivante :

$$
(1.6) \quad a : [0,1] \to \mathbb{R}^+
$$

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

$$
(1.7) \quad b : [0,1] \to \mathbb{R}
$$

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

$$
(1.8) \quad u_o = \begin{array}{l} \text{saturation initiale} \\ \text{(correspondant à une} \\ \text{injection d'eau} \\ \text{commencée à un ins-} \\ \text{tant } t_o < 0) \end{array}
$$

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Cette inéquation est du type parabolique non-linéaire
dégénérée, et le but de ce papier est de donner un théorème d'existence
d'une *solution faible* pour cette inéquation sous des hypothèses contenant
(1.1), (1.2), (1.6) à (1.8).
On procèdera par régularisation et pénalisation (cf [4]).

On montrera, au § 3, l'existence d'une solution du problème régularisé-pénalisé, au § 4 l'existence d'une solution de l'inéquation régularisée (c'est-à-dire non dégénérée), puis on passera à la limite dans l'inéquation régularisée au § 5 pour obtenir la solution faible de l'inéquation dégénérée.

Les techniques utilisées ici doivent s'étendre aux problèmes de déplacements non miscibles à plusieurs dimensions ; par contre le problème de l'unicité de la solution obtenue est ouvert même en dimension 1 et pour le problème non dégénéré.

## 2. - LES PROBLEMES INITIAUX, REGULARISES, ET REGULARISES-PENALISES*

Soient :

$$ (2.1) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \Omega = ]0,1[, \ T > 0 \text{ donné, } \ Q = \Omega \times ]0T[, \\[1em] V = \{v \in H^1(\Omega) | v(0) = 0\} \text{ muni de la norme :} \\[1em] \|v\|^2 = \int_0^1 \left| \frac{dv}{dx} \right|^2 \text{ et du produit scalaire associé((,))} \\[1em] H = L^2(\Omega) \text{ muni de la norme } | | \text{ et du produit scalaire} \\[1em] \qquad (,) \text{ habituels.} \end{array} \right. $$

En identifiant $H$ à son dual on a la situation.

$$ (2.2) \qquad \left\{ \begin{array}{l} V \subset H \subset V' \\[1em] \text{chaque injection étant continue et chaque espace} \\[1em] \text{dense dans le suivant.} \end{array} \right. $$

<footnote>(*) Pour simplifier l'exposé on a pris dans toute la suite $\emptyset = A = 1$, mais les résultats obtenus sont valables pour $\emptyset \in \mathbb{R}$ et $A \in L^\infty(\Omega)$ tels qu'il existe $m>0$ tel que $\emptyset > m$ et $A(x)>m$ pp sur $\Omega$.</footnote>
et on note :

$$
(2.3) \qquad \| \|_* \text{ et } ((,))_* \text{ la norme et le produit scalaire sur } V'
$$

$$
(2.4) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
\mathcal{K} & \{v \in V \mid v(1) \ge 0\} \\[\medskipamount]
\mathcal{V} & = L^2(\mathcal{O}T ; V), \text{ de dual } \mathcal{V}' = L^2(\mathcal{O}T ; V') \\[\medskipamount]
\mathcal{H} & = \{v \in \mathcal{V} \mid v(t) \in K \text{ pp sur } \mathcal{O}T\} \\[\medskipamount]
\mathcal{W} & = \{v \in \mathcal{V}' \mid \frac{dv}{dt} \in \mathcal{V}'\}
\end{array}
\right.
$$

On se donne alors :

$$
(2.5) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\begin{array}{l}
q \in L^\infty(\mathcal{O}, T) \\
u_o \in K \qquad u_o(x) \ge 0 \quad \text{pp sur } \Omega.
\end{array} & q \ge 0 \\[\medskipamount]
\\[\medskipamount]
\begin{array}{l}
a \in C_b^\infty(\mathbb{R}), \quad a \ge 0, \quad \alpha(\zeta) = \int_0^\zeta a(\tau) d\tau, \quad \gamma(\zeta) = \int_0^\zeta \sqrt{a(\tau)} d\tau \\
\\
b \in C_b^\infty(\mathbb{R}), \quad -1 < \underline{b}(\zeta) < +1 \quad \forall \zeta \in \mathbb{R}, \quad B(\zeta) = \zeta - \int_0^\zeta b(\tau) d\tau
\end{array}
\end{array}
\right.
$$

Définissons alors une famille, dépendant du temps, d'opérateurs non
linéaires de $V \to V'$ par

$$
(2.6) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
\forall u, v \in V \ (A(t; u), v) = & \displaystyle \int_{\Omega} [a(u(x)) \frac{\partial u}{\partial x} - q(t)b(u(x))] \frac{\partial v}{\partial x} \\
& \displaystyle + q(t) v(1)
\end{array}
\right.
$$
auquel nous associons l'opérateur non-linéaire $\mathcal{A}$ de $\mathcal{V}$ dans $\mathcal{V}'$
défini par :

$$
(2.7) \quad \forall u, v \in \mathcal{V} \ (\mathcal{A}(u), v) = \int_0^T (\mathcal{A}(t; u(t)), v(t)) dt
$$

L'inéquation (1.3) - (1.5) du § 1 s'écrit alors :

Problème (P)

i) $u \in W \cap K$

$$
ii) \quad \left( \frac{du}{dt} \cdot v - u(t) \right) + \left( A(t; u(t)), v - u(t) \right) \ge 0 \quad \forall v \in K \quad \text{pp sur } ]0T[
$$

$$
\text{iii)} \quad u(0) = u_o
$$

La résolution de ce problème n'est pas possible sous les hypothèses du § 1, car l'absence de "V-ellipticite" de l'opérateur A interdit de trouver u(t) ∈ V, donc à fortiori u ∈ W ! Il faut donc donner une formulation faible (P') du problème (P). Én remarquant que (A(t ; v),v) a un sens dès que γ(v) ∈ V, nous somme amenés à poser

Problème (P')

i) $0 \le u(x,t) \le 1 \text{ pp sur } Q, \gamma(u) \in \mathcal{V}$

$$
\text{ii)} \quad \int_0^T \left( \frac{dv}{dt} \cdot v - u \right) dt + \int_0^T (A(t; u), v - u) dt \ge 0 \quad \forall v \in \mathcal{H}, \frac{dv}{dt} \in L^2(Q), \\
v(0) = u_0
$$
Pour tout $k \in \mathbb{N}$, $k > 0$, nous associons au problème (P) le

Problème régularisé (P<sub>k</sub>) :

i) $u_k \in W \cap \mathcal{K}$

ii) $\left(\frac{du_k}{dt}, v-u_k(t)\right) + \left(A(t; u_k(t), v-u_k(t)) + \frac{1}{k}\left((u_k(t),v-u_k(t))\right)\right) \ge 0$

$\forall v \in K, \text{ pp sur } ]0T[$

iii) $u_k(0) = u_0$

Pour tout $j \in \mathbb{N}$ nous associons au problème (P<sub>k</sub>) le

Problème régularisé pénalisé (P<sub>k,j</sub>) :

i) $u_{kj} \in W$

ii) $\frac{du_{kj}}{dt} + A(t; u_{kj}) + \frac{1}{k} Du_{kj} + j \beta(u_{kj}) = 0$

iii) $u_{kj}(0) = u_0$

où

(2.8) D est l'isomorphisme canonique de V sur V' associé à ((,))

(2.9) \quad $\beta : V \to V'$ est un opérateur de pénalisation associé à K :
$$ \forall u, v \in V \quad (\beta(u), v) = -u(1)^{-} - v(1)^{-} $$

On sait alors ([4]) que

(2.10) $\beta$ est *monotone borné hemicontinu* de $V \to V'$
Avant de résoudre les problèmes $(P_{kj})$, $(P_k)$ et $(P')$ donnons les propriétés de la famille d'opérateurs $A(t;\cdot)$ :

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

**Démonstration** - La majoration (2.11) résulte immédiatement des hypothèses (2.5) sur $a, b$ et $q$.

La fonction $B$ associée à $b$ par (2.5) vérifie :

$$0 \le B'(\zeta) = 1 - b(\zeta) \le 2 \qquad \forall \zeta \in \mathbb{R}$$

d'où :

$$ (2.12\text{bis}) \quad \begin{cases} B \text{ est monotone croissante de } \mathbb{R} \text{ dans } \mathbb{R} \text{ avec } B(0) = 0 \\ B(\zeta) \ge -2\zeta^{-} \qquad \forall \zeta \in \mathbb{R} \end{cases} $$

On vérifie facilement que :

$$(A(t; u), u) = \int_{\Omega} \left[ \frac{\partial}{\partial x}(\gamma(u)) \right]^2 + q(t) B(u(1))$$

d'où (2.12).

<figure><img src="image_10.png" /></figure>
Démonstration : soit $u_n$ une suite de W telle que

$$
(2.13) \quad u_n \xrightarrow{\phantom{=} } u \quad \text{dans } W \text{ faible}
$$

L'injection de $W \to L^2(Q)$ étant compacte, (2.13) entraine

$$
(2.14) \quad u_n \to u \quad \text{dans } L^2(Q) \text{ fort et pp.}
$$

Comme $u_n$ est borné dans $\gamma$, $\alpha(u_n)$ l'est aussi et on peut extraire
une sous-suite $u_N$ telle que

$$
\alpha(u_N) \to \psi \text{ dans } \gamma\text{-faible}
$$

D'après (2.14) et le théorème de Lebesgue, $\alpha(u_N) \to \alpha(u)$ dans $L^2(Q)$
fort, donc $\psi = \alpha(u)$ de sorte que toute la suite

$$
(2.15) \quad \alpha(u_n) \underset{\sim}{\to} \chi(u) \quad \text{dans } \mathcal{C}\text{-faible}
$$

On montrerait de même que

$$
(2.16) \quad \gamma(u_n) \xrightarrow{\phantom{=} } \gamma(u) \quad \text{dans } \mathcal{C} \text{ faible}
$$

Enfin (2.14) et le théorème de Lebesgue montrent que

$$
(2.17) \quad b(u_n) \to b(u) \quad \text{dans } L^2(Q) \text{ fort}
$$

De (2.15) et (2.17) on déduit que $(\mathcal{A}(u_n), v) \to (\mathcal{A}(u), v) \quad \forall v \in V$
c'est-à-dire que $\mathcal{A}(u_n) \underset{\sim}{\to} \mathcal{A}(u)$ dans $V$ faible.

De (2.16) on déduit que $\liminf((\gamma(u_n), \gamma(u_n))) \ge (\gamma(u), \gamma(u))$ ce qui
joint au fait que $\int_Q q(t) b(u_n) \frac{\partial u}{\partial x} \to \int_Q q(t) b(u) \frac{\partial u}{\partial x}$ d'après
(2.13) et (2.17), montre que $u \to (\mathcal{A}(u), u)$ est faiblement sci sur W.
3. - ÉTUDE DU PROBLEME REGULARISE VENALISE Pkj

Montrons la

**Proposition 1** : Avec les hypothèses et notations (2.1) à (2.7) le problème $P_{kj}$ admet une solution $u_{kj}$ telle que ( les C désignent des constantes diverses indépendantes de k et j).

$$
(3.1) \quad \left\| \gamma(u_{kj}) \right\|_{\gamma}^{2} + \left\| \frac{u_{kj}}{\sqrt{k}} \right\|_{\gamma}^{2} \le \frac{1}{2} |u_o|^2 + \frac{C}{j}
$$

$$
(3.2) \quad \left\| u_{kj} \right\|_{L^\infty(\Omega; H)}^2 \le |u_o|^2 + \frac{C}{j}
$$

$$
(3.3) \quad \left\| \beta(u_{kj}) \right\|_{\gamma} \le |u_{kj}^{-(1,\cdot)}|_{L^2(\Omega t)}^2 \le \frac{C}{j}
$$

$$
(3.4) \quad \left\| \frac{du_{kj}}{dt} \right\|_{\gamma} \le C \left(1+\frac{1}{j}\right) \left(1+\frac{1}{k}\right)
$$

**Démonstration :** i) **Existence** : L'opérateur $A(u)$ défini en (2.6) est de la forme $A(u,u)$ où

$$
(3.6) \quad (A(\varphi, u), v) = \int_{\Omega} [a(\varphi) \frac{\partial u}{\partial x} - q(t)b(\varphi)] \frac{\partial v}{\partial x} + q(t)v(1) \quad \forall \varphi, u, v \in V
$$

Alors, $\forall \varphi \in W$ l'équation

$$
(3.7) \quad \begin{cases} \frac{d\phi}{dt} + A(\phi, \psi) + \frac{1}{k} D \phi + j \beta(\phi) = 0 \\ \phi(0) = v_o \end{cases}
$$

commet une solution unique $\phi \in W$ (théorème 1.2 p 162 de [4]) vérifiant,
(les constantes $C_1, C_2$ dépendant de $k$ et $j$ mais non de $\varphi$) :
$$
(3.8) \quad \|\psi\|_{\mathcal{B}} \le c_1, \quad \left\|\frac{d\psi}{dt}\right\|_{\mathcal{B}} \le c_2
$$

Soit M le <u>convexe fermé borné</u> de W défini par :

$$
(3.9) \quad M = \{ v \in W \mid \|v\|_{\mathcal{B}} \le c_1 \text{ et } \left\| \frac{dv}{dt} \right\|_{\mathcal{B}} \le c_2 \}
$$

Alors M est _faiblement compact_ dans W, et _l'application_ $\varphi \to \psi$
applique M dans lui même. Elle possèdera un point fixe $u_{kj}$ (solution
de $P_{kj}$) si elle est _faiblement continue_ de M dans lui même, ce qui
se vérifie facilement en utilisant le fait que l'application $\varphi, \psi \to A(\varphi, \psi)$
est continue de W x $\gamma$ faible dans $\gamma'$ faible (même démonstration que le
lemme 2), que l'opérateur de pénalisation $\beta$ est monotone borné hémicon-
tinu, et que la solution $\psi$ de (3.7) est unique.

ii) Majorations sur $u_{kj}$ : •Montrons d'abord (3.3) : Multiplions ($P_{kj}$-ii)
par $\varphi(t) = -u_{kj}(t)^{-} \in V$. Il vient, en remarquant que ($A(t; u_{kj}(t))$, $\varphi(t)$)
= ($A(t; \varphi(t))$, $\varphi(t)$) et en utilisant le lemme 1 :

$$
(3.10) \quad \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |\varphi(t)|^2 + ||\gamma(\varphi(t))||^2 - c |\varphi(1,t)| + \frac{1}{k} ||\varphi(t)||^2 + j \varphi(1,t)^2 \le 0
$$

D'où en intégrant de 0 à T, et puisque φ(0) = 0 d'après (2,5) :

$$
\frac{1}{2} |\varphi(T)|^2 + j \int_0^T \varphi(1,t)^2 \le C \int_0^T |\varphi(1,t)| \le C \sqrt{T} \left\{ \int_0^T \varphi(1,t)^2 \right\}^{\frac{1}{2}}
$$

c'est-à-dire

$$
(3.11) \quad |\varphi(1,.)|_{L^2(OT)}^2 \le \frac{c}{j}
$$

ce qui est (3.3)

•Montrons ensuite (3.1)(3.2) : Multiplions ($P_{kj}$-ii)
par $u_{kj}(t)$ ; Il vient en utilisant le lemme 1 et la monotonicité de $\beta$ :
$$ \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |u_{kj}(t)|^2 + ||\gamma(u_{kj}(t))||^2 - C u_{kj}^{-1}(1,t) + \frac{1}{k} ||u_{kj}(t)||^2 \le 0 $$

Intégrons de 0 à T :

$$ \frac{1}{2}|u_{kj}(T)|^2 + ||\gamma(u_{kj})||_\gamma^2 + \frac{1}{k}||u_{kj}||_\gamma^2 \le C\sqrt{T}|\phi(1,.)|_{L^2(OT)} + \frac{1}{2}|u_0|^2 $$

ce qui prouve (3.1) et (3.2) compte tenu de (3.11).

•Enfin (3.4) résulte de l'équation ($P_{kj}$-ii).

du lemme 1 et des majorations (3.1) et (3.3) sur $u_{kj}$.

Remarque 1 - si on fait sur b et q les seules hypothèses

$$ (3.12) \qquad b \in C_b(\mathbb{R}) \qquad q \in L^\infty(\mathbb{R}) $$

on a encore existence d'une solution $u_{kj}$ du problème ($P_{kj}$) vérifiant (3.3), mais (3.1) (3.2) (3.4) sont à remplacer par :

$$ (3.13) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \left\| \frac{u_{kj}}{k} \right\|_{\gamma} \le C \\[2ex] \displaystyle \left\| \frac{u_{kj}}{k} \right\|_{L^\infty(\text{OT}; H)} \le C \\[2ex] \displaystyle \left\| \frac{1}{k} \frac{du_{kj}}{dt} \right\|_{\gamma'} \le C \end{array} \right. $$
4. - ÉTUDE DU PROBLEME REGULARISE P_k

**Proposition 2** : Avec les hypothèses et notations (2.1) à (2.7) le problème régularisé (P_k) admet au moins une solution u_k vérifiant

$$
(4.1) \quad \left\| \gamma(u_k) \right\|^2_v + \left\| \frac{u_k}{\sqrt{k}} \right\|^2_v \le \frac{1}{2} |u_o|^2
$$

$$
(4.2) \quad \|u_k\|_{L^\infty(OT;H)} \le |u_o|^2
$$

$$
(4.3) \quad \left\| \frac{du_k}{dt} \right\|_{\gamma} \le C(1 + \frac{1}{k})
$$

$$
(4.4) \quad u_k(x,t) \ge 0 \quad \text{pp sur } Q
$$

**Démonstration** : L'indice k étant fixé, nous noterons au cours de cette démonstration u_kj par u_j. Il résulte des majorations de la proposition 1 et des lemmes 1 et 2 qu'on peut extraire de {u_j} une sous-suite, encore notée u_j, telle que :

$$
(4.5) \quad u_j \underset{\rightarrow}{\to} u \quad \text{dans } W \text{ faible} \quad \text{d'après (3.1) et (3.4)}
$$

$$
(4.6) \quad \beta(u_j) \to 0 \quad \text{dans } V \text{ fort} \quad \text{d'après (3.3)}
$$

$$
(4.7) \quad \mathcal{A}(u_j) \underset{\rightarrow}{\to} \mathcal{A}(u) \text{ dans } \nu' \text{ faible} \quad \text{d'après le lemme 2}
$$

Montrons que u satisfait les propriétés i) ii) iii)

du problème (P_k) :

i) Il résulte de (4.5) que $u \in W$ ; il suffit donc de montrer que $u \in K$,
c'est-à-dire que $\beta(u) = 0$, ce qui résulte de (4.5) et (4.6) et du fait
que $\beta$ est monotone borné hemicontinu de $V \to V'$, donc de $\nu$ dans $\nu'$,
donc de type M de $\nu$ dans $\nu'$.
ii) Puisque $\beta(u) = 0$, l'équation obtenue en multipliant $(p_{kj}v^i)$ par $v - u_j$, $v \in K$ s'écrit :

$$ (\frac{du_j}{dt}, v-u_j) + (A(t;u_j), v-u_j) + \frac{1}{k}((u_j,v-u_j)) - j(\beta(v)-\beta(u_j),v-u_j) = 0 \\ \forall v \in K \text{ pp sur } ]0T[ $$

D'où, puisque $\beta$ est monotone :

$$ (\frac{du_j}{dt}, v-u_j) + (A(t;u_j), v-u_j) + \frac{1}{k}((u_j,v-u_j)) \geq 0 \quad \forall v \in K, \text{ pp sur } ]0T[ $$

soit en intégrant de 0 à T :

$$ (4.8) \quad \left( \frac{du_j}{dt}, u_j - v \right)_{\nu, \nu} + \left( \mathcal{L}(u_j), u_j - v \right) + \frac{1}{k} \int_0^T \left( (u_j, u_j - v) \right) dt \le 0 \quad \forall v \in K $$

D'après (4.5) et le lemme (2) on a :

$$ (4.9) \quad \liminf_{j \to \infty} \left( \mathcal{L}(u_j), u_j \right) \ge \left( \mathcal{L}(u), u \right) $$

Par ailleurs :

$$ \left(\frac{du_j}{dt}, u_j\right)_{\nu, \nu} = \frac{1}{2} |u_j(T)|^2 - \frac{1}{2} |u_0|^2 $$

Comme $v \to \frac{1}{2} |v_j(T)|^2$ est convexe continue sur w, elle est faiblement s.c.i. d'où :

$$ (4.10) \quad \liminf_{j \to \infty} \left( \frac{du_j}{dt}, u_j \right) \ge \left( \frac{du}{dt}, u-v \right) $$

On peut donc passer à la limite dans (4.8) lorsque $j \to \infty$ en utilisant (4.5), (4.7), (4.9) et (4.10), ce qui donne :
$$
(4.11) \quad \left( \frac{du}{dt} u - v \right)_{\sigma \cdot \nu} + (\mathcal{L}(u), u - v) + \frac{1}{k} \int_0^T \left( \left\langle (u, u-v) \right\rangle dt \right) \le 0 \quad \forall v \in \mathcal{K}
$$
c'est-à-dire (P_k-ii)

iii) Enfin $u(o) = u_o$ résulte de (4.5) et de ce que l'application $v \to v(o)$ est linéaire continue de W dans H.

iv) La propriété (4.4) s'obtient en prenant dans (P_k-ii)v=u_k(t)+φ avec φ = -u, d'où (cf (3.10)

$$
\frac{1}{2} \left| \frac{d}{dt} \varphi(t) \right|^2 \leq c |\varphi(1,t)| = 0 \quad \text{d'après i)}
$$

$$
\text{donc } \varphi = 0 \text{ puisque } \varphi(0) = -\overline{u_0} = 0 \text{ d'après (2.5).}
$$

**Remarque 2 -** (cf remarque 1) On a encore, sous les hypothèses (3.12)
de la remarque 1, existence d'un $u_k$ solution de $(P_k)$ et vérifiant
(4.4) ; mais (4.1) à (4.3) sont remplacés par (3.13), et on ne peut
plus espérer passer à la limite lorsque $k \to 0$.

La solution "physique" cherchée étant comprise entre 0 et 1,
montrons la

**Proposition 3** : Avec les hypothèses et notations de la proposition 2 et
(4.12) $0 < u_o(x) < 1$ pp sur $\Omega$

la solution $u_k$ du problème régularisé $(P_k)$ vérifie :

(4.13)      0 ≤ u_k(x,t) ≤ 1      pp sur Q

Démonstration : Prenons dans (P_k-ii)v = u_k + φ avec φ = (u_k - 1)⁺
[ce qui est licite car

$$u_k(0,t) + \varphi(0,t) = 0 \qquad \text{puisque } \varphi(0,t) = (0-1)^+ = 0$$

$$u_k(1,t) + \varphi(1,t) \ge u_k(1,t) \ge 0$$

$$u_k(1,t) - \varphi(1,t) = \begin{cases} 1 \ge 0 & \text{si } u_k(1,t) \ge 1 \\ u_k(1,t) \ge 0 & \text{si } u_k(1,t) \le 1 \end{cases}$$

Il vient alors (B est définie en (2.5)):

$$\frac{1}{2} \frac{d}{dt} |\varphi(t)|^2 + \frac{1}{k} \|\varphi(t)\|^2 + q(t) [B(\varphi(1,t)+1) - B(\varphi(0,t)+1)] \le 0$$

ce qui prouve (4.12) puisque $q(t)$ est positive, B est monotone croissante d'après (2.12) bis et que $\varphi(1,t) \ge 0 = \varphi(0,t)$.

■

## 5. - ÉTUDE DU PROBLEME (P) ou (P')

Afin de pouvoir passer à la limite lorsque $k \to 0$ dans le problème régularisé ($p_k$), nous faisons sur la fonction à l'hypothèse supplémentaire (cf [2]):

$$(5.1) \quad \exists \theta \in ]0,1[ \text{ tel que } \sup_{0 < \zeta < \xi < 1} \frac{\xi - \zeta}{\left[ \int_{\zeta}^{\xi} \sqrt{a(\tau)} d\tau \right]^{\theta}} < +\infty$$

Cette hypothèse se traduit, en utilisant la primitive $\gamma$ de $\sqrt{a}$, par :

$$(5.2) \quad \exists \theta \in ]0,1[ \text{ et } C > 0 \text{ tq } |\xi - \zeta| \le C|\gamma(\xi) - \gamma(\zeta)|^{\theta} \quad \forall \xi, \zeta \in ]0,1]$$

ce qui montre que $\gamma$ est strictement croissante sur $[0,1]$ et que $\gamma^{-1}$ est Höldérienne de degré $\theta$.
**Remarque 3** - La condition (5.1) est satisfaite lorsque la fonction a vérifie

$$a(0) = a(1) = 0 \quad a(\zeta) > 0 \quad \forall \zeta \in ]0,1[$$

$$a(\zeta) \sim \zeta^{\text{Po}} \quad \text{lorsque } \zeta \to 0 \quad \text{avec } \text{Po} > 0$$

$$a(\zeta) \sim (1-\zeta)^{\text{Pl}} \quad \text{lorsque } \zeta \to 1 \quad \text{avec } \text{Pl} > 0$$

ce qui contient la situation physique du § 1

On a alors

**Proposition 4** : Avec les hypothèses et notations (2.1) à (2.7), (4.12) et (5.1), le problème (P') admet une solution u vérifiant :

$$\text{(5.4)} \qquad \|\gamma(u)\|_{\gamma} \le \frac{1}{2} |u_o|^2$$

$$\text{(5.5)} \qquad \|u\|_{L^\infty(\text{OT};H)} \le |u_o|^2$$

$$\text{(5.6)} \qquad \frac{du}{dt} \in \mathcal{V}'$$

**Démonstration** : La solution $u_k \in W \cap \mathcal{H}$ du problème régularisé $(P_k)$ donnée par les Théorèmes 2 et 3 vérifie, puisque $\frac{1}{k}((u_k, u_k)) \ge 0$.

$$\text{(5.7)} \qquad \left( \frac{du_k}{dt}, u_k - v \right) + \left( A(t; u_k), u_k - v \right) \le \frac{1}{k} \left( (u_k, v) \quad \forall v \in K \right. \\ \left. \text{pp sur } ]0T[ \right]$$

En intégrant de 0 à T et en choisissant $v \in W \cap \mathcal{H}$ tel que $v(0) = u_0$ :

$$\frac{1}{2}|u_k(T)-v(T)|^2 + \int_0^T \left(\frac{dv}{dt} \cdot u_k - v\right) dt + \int_0^T \left(A(t; u_k), u_k - v\right) dt \le \frac{1}{k} \int_0^T ((u_k, v))$$
d'où, puisque le premier terme est positif

$$
(5.8) \quad \int_0^T \left( \frac{dv}{dt}, u_k-v \right) + \int_0^T \left( A(t; u_k), u_k-v \right) \le \frac{1}{k} \int_0^T \left( (u_k, v) \right) \quad \forall v \in W \cap K, v(0) = u_0
$$

Il faut maintenant passer à la limite dans (5.8). Nous utiliserons le
résultat de compacité suivant, démontré dans [2] :

$$
(5.9) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\text{sous l'hypothèse (5.1), l'ensemble } \{v \in L^2(Q) \mid \|\gamma(v)\|_{\gamma} \le M \|\frac{dv}{dt}\|_{\gamma} \le M\} \\
\text{est relativement compact dans } L^2(Q) \text{ pour } M > 0.
\end{array}
\right.
$$

On déduit alors de (5.9) et des majorations (4.1) à (4.4) que l’on
peut extraire de $u_k$ une sous-suite, encore notée $u_k'$, telle que :

$$
(5.10) \quad u_k \to u \quad \text{dans } L^2(Q) \text{ fort et p.p.}
$$

$$
(5.11) \quad \gamma(u_k) \longrightarrow \gamma(u) \quad \text{dans } v \text{ faible}
$$

$$
(5.12) \quad \gamma(u_k(1, \cdot)) \to \gamma(u(1, \cdot)) \quad \text{dans } L^2(0T) \text{ fort et pp}
$$

$$
(5.13) \quad \frac{du_k}{dt} \to \frac{du}{dt} \quad \text{dans } \gamma' \text{ faible}
$$

$$
(5.14) \quad \frac{1}{k} u_k \to 0 \quad \text{dans } \gamma \text{ fort}
$$

Le premier terme de (5.8) passe à la limite d'après (5.10) _si on_
choisit_ v tel que $\frac{dv}{dt} \in L^2(Q)$. Le second membre de (5.8) tend vers
zéro d'après (5.14).

Reste à passer à la limite dans le second terme de (5.8)

On a :

$$
(5.14) \quad \int_0^T \left( A(t; u_k), v \right) \d dt = \int_Q \left[ \sqrt{a(u_k)} \frac{\partial}{\partial x} \gamma(u_k) - q(t) b(u_k) \right] \frac{\partial v}{\partial x} \d t + \int_0^T q(t) v(1,t) \d t
$$
En utilisant le théorème de Lebesgue et (5.10), on trouve que $\sqrt{a(u_k)}$ et $b(u_k)$ convergent vers $\sqrt{a(u)}$ et $b(u)$ dans $L^2(Q)$ fort par exemple. On peut ainsi, compte tenu de (5.11) passer à la limite dans (5.14) :

$$ (5.15) \quad \lim_{k \to \infty} \int_0^T (A(t; u_k), v) \, dt = \int_0^T (A(t; u), v) \, dt $$

On a ensuite d'après (2.12)

$$ (5.16) \quad \int_0^T (A(t; u_k), u_k) \, dt = \|\gamma(u_k)\|^2_v + \int_0^T q(t) \, \text{Bo}\gamma^{-1}(\gamma(u_k(1,t))) \, dt $$

D'après (5.11) on a :

$$ (5.17) \quad \liminf_{k \to \infty} \|\gamma(u_k)\|^2_v \ge \|\gamma(u)\|^2 $$

D'après (2.5) et (2.12bis), les fonctions $\gamma$ et $B$ sont monotones croissantes. Donc l'application $\zeta \to B \circ \gamma^{-1}(\zeta)$ est monotone croissante de $[0, \gamma(1)]$ dans $[0, B(1)]$ et d'après (5.12) et le théorème de Lebesgue on a :

$$ (5.18) \quad \lim_{k \to \infty} \int_0^T q(t) \, \text{Bo}\gamma^{-1}(\gamma(u_k(1,t))) \, dt = \int_0^T q(t) \, \text{Bo}\gamma^{-1}(\gamma(u(1,t))) \, dt $$

On a donc d'après (5.15), (5.17) et (5.18) :

$$ (5.19) \quad \liminf_{k \to \infty} \int_0^T (A(t; u_k), u_k - v) \, dt \ge \int_0^T (A(t; u), u - v) \, dt $$

ce qui montre que $u$ vérifie (P'-ii). Enfin (P'-i) résulte de (4.13) et (5.10).

<figure><img src="image_11.png" /></figure>
## 6. - CONCLUSIONS

On a montré l'existence d'une solution faible de l'inéquation parabolique dégénérée régissant le déplacement unidimensionnel d'un fluide par un deuxième non miscible avec le premier, avec des hypothèses réalistes sur les conditions aux limites et les non-linéarités. Le problème de l'unicité de cette solution faible reste ouvert.
REFERENCES

[1] C. MARLES
Cours de Production, tome IV "Les écoulements Polyphasiques".

[2] G. CHAVENT
A new formulation of diphasic incompressible flows in porous media.

[3] G. CHAVENT
About the identification and Modeling of miscible or immiscible displacements in porous media.

[4] J.L. LIONS
Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod-Gauthier-Villars, Paris 1969.