# Sur plusieurs modèles de la corde vibrante

Nathan Couchet, Alexandre Michel

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Nathan Couchet, Alexandre Michel. Sur plusieurs modèles de la corde vibrante. 2026. hal-05456663

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# Sur plusieurs modèles de la corde vibrante

Nathan Couchet¹ and Alexandre Michel²

¹ nathan.couchet@ac-strasbourg.fr

²alexandre.michel@ac-strasbourg.fr

## Résumé

En mobilisant au maximum les outils mathématiques et physiques enseignés dans un cursus universitaire scien-
tifique standard, nous proposons de réexaminer le modèle des cordes vibrantes en tenant compte de leurs propriétés
physiques — notamment la rigidité, l'élasticité et l'influence de la masse linéique. En nous focalisant exclusivement
sur une approche vectorielle, nous aboutissons, grâce à la théorie des poutres d'Euler-Bernoulli (18-ième), à l'équa-
tion de Bresse-Love-Rayleigh (1859-1892-1877) qui gouverne le mouvement d'une corde non-élastique considérée
avec raideur. Dans le cas de la corde élastique sans raideur, nous aboutissons, comme Morse et Ingard en 1968
[M168] à un système couplé d'équations aux dérivées partielles non linéaires.

Cet article s'adresse aussi bien aux étudiants du Supérieur (CPGE, Université) qu'aux personnes préparant les concours de l'enseignement à la fois en mathématiques et en physique. Nous avons pris soin de conserver une trame historique et d'être le plus exhaustif possible vis à vis des calculs.
# 1 Introduction

Dans un article "Un mathématicien, homme de lettres D'Alembert" daté de 1951, Louis de Broglie écrit [dB51] :

> "À eux seuls les travaux de D'Alembert sur l'équation des cordes vibrantes, suffiraient à rendre son nom immortel."

Lord Rayleigh - le baron John William Strutt Rayleigh - dans son célèbre ouvrage "Theory of Sound" de 1877 écrit lors d'un voyage sur le Nil au cours duquel il se soigne d'une fièvre rhumatismale, s'exprime au sujet des cordes vibrantes [Ray77, p 127] :

> "Among the vibrating bodies there are none that occupy a more prominent position than Stretched Strings. [...] To the mathematician they must always possess a peculiar interest as the battlefield on which were fought out the controversies of D'Alembert, Euler, Bernoulli and Lagrange, relating to the nature of the solutions of partial differential equations."

L'objectif de ce travail est de proposer une résolution exhaustive et rigoureuse du problème de la corde vibrante en nous appuyant sur des outils mathématiques et physiques enseignés dans le premier cycle universitaire qui viennent compléter de nombreuses notions déjà abordées dès la classe de Terminale.

Bien que les équations aux dérivées partielles gouvernant ces phénomènes et les résultats présentés ici soient familiers aux spécialistes, il nous a semblé à la fois pertinent et nécessaire de reprendre la mise en équation à l'aide d'un formalisme vectoriel rigoureux. Cela nous a permis de détailler certains points de raisonnement ou de calcul subtils, passés sous silence dans de nombreux ouvrages, levant au passage certaines subtilités non triviales et certaines ambiguïtés conceptuelles et techniques.

Notre constat doit être mis en parallèle avec ce que déplorait Fletcher dans son "Normal Vibration Frequencies of a Stiff Piano String" de 1964, écrit à l'occasion de travaux sur les effets d'inharmonicité dans les cordes de piano. Le physicien acousticien américain [Fle64, p 203] écrivait :

> "Usually, the frequencies of the partials of a piano tone are considered to be harmonic, that is, integer multiples of the fundamental frequency. Many college courses in physics still treat piano strings as having no stiffness, and this leads to the conclusion that the partials are harmonic."

Décrivons maintenant l'organisation de l'article en le replaçant brièvement dans son contexte historique, dédiant pleinement une section à l'Histoire des Sciences (à venir dans une prochaine version de cet article). Notre stratégie consiste à adopter une approche progressive en partant d'un modèle simple auquel on enlève successivement certaines hypothèses quitte à considérer certaines propriétés physiques supplémentaires de la corde (rigidité et élasticité notamment).

1. La corde pendante (statique) : La forme de chaînette apparaît naturellement par exemple pour les câbles électriques suspendus entre deux pylônes. Le poids influe et on observe une forme courbée convexe : une chaînette<fnref n="1" />. Une partie de ce présent article est donc dédiée à déterminer l'équation de cette courbe au travers d'un problème de statique. Dans une large mesure, ce problème est accessible pour des élèves de Terminale, notamment en vu d'approfondissement du programme et pour illustrer les notions.

Du latin "catenarius" ("de chaîne"), la courbe décrite par le câble porte aussi le nom de "caténaire" ou encore le nom de "courbe funiculaire". En 1638 dans son ouvrage "Discorsi e Dimostrazioni matematiche intorno a due Nuove Scienze" ("Discours et démonstrations mathématiques autour de deux Nouvelles Sciences" ou encore "Discours concernant deux sciences nouvelles") Galilée affirme [Gal95, p 120]<fnref n="2" /> :

> "On plante sur un mur à une certaine hauteur deux clous, également distants de l'horizon<fnref n="3" /> [...]; à ces deux clous on suspend une fine chaînette [...]; cette chaînette prend en se pliant une forme de parabole, si bien que si nous marquons sur le mur en pointillé son cheminement, nous obtiendrons le dessin d'une parabole entière, qui sera divisée en parties égales au moyen d'une perpendiculaire abaissée par le milieu des deux clous<fnref n="4" />."

<footnote n="1">1. Il y a aussi d'autres exemples pour la forme convexe (chaîne - bijou - portée autour du cou, tour du Kingdom Center à Ryiad...), ou dans leur forme concave (Gateway Arch à St Louis dans le Missouri, l'arc de Ctésiphon en Irak, dômes de la Sagrada Familia...).</footnote>

<footnote n="2">2. Il s'agit de la traduction française du Discours de Galilée par Clavelin.</footnote>

<footnote n="3">3. Comprendre : les deux clous sont sur une droite parallèle au sol.</footnote>

<footnote n="4">4. Cette perpendiculaire est l'axe de symétrie de la parabole. Rappelons que pour une parabole d'équation cartésienne $y = ax^2+bx+c$, avec $a > 0$ - pour être dans le contexte de notre expérience avec les clous - et notant $\Delta = b^2 - 4ac$ le discriminant associé au polynôme</footnote>
D'une part Jung en 1627 dans "Geometrica Empirica" - voir [Buk08, § The later history of the hanging chain, p 8] - d'autre part Huygens en 1646 montrent tous les deux que la courbe dont il est question ne peut pas être une parabole. À l'aide du principe fondamental de la statique, on montre que la forme de la courbe est donnée par un **cosinus hyperbolique**, constituant ainsi une façon de montrer comment les fonctions hyperboliques émergent dans la Nature. Leibniz écrivait en 1691 (l'article original est en latin dont la traduction en français suit) [Lei95, p 192] :

> "Le Problème de la Courbe Funiculaire ou Chaînette présente un double intérêt, premièrement celui d'étendre l'art d'inventer, autrement dit l'Analyse, jusqu'à présent incapable d'aborder convenablement de telles questions, deuxièmement celui de faire progresser la technique des constructions. Je me suis aperçu en effet que la fécondité de cette courbe n'a d'égale que la facilité de sa réalisation, ce qui la met en tête de toutes les Transcendantes. [...] Galilée fut le premier à y réfléchir, mais sans parvenir à en découvrir la nature : contrairement à ses conjectures, il ne s'agit pas en effet de la Parabole. Joachim Jung, éminent Philosophie et Mathématicien de ce siècle qui, bien avant Descartes avait eu de nombreuses et lumineuses idées pour la réforme des sciences, se lança dans les calculs, fit des expériences, et disqualifia la parabole, mais sans lui substituer la véritable courbe."

Leibniz, Huygens et le petit frère de Jacques Bernoulli, Jean Bernoulli, se mettent en quête de l'équation de cette courbe et y parviennent tous les trois de façon indépendante en 1691.

2. **La corde vibrante (dynamique)** : Nous abordons maintenant la mise en équation de la corde en mouvement. Vis à vis des conclusions tirées de l'étude de la chaînette il est licite de négliger l'influence du poids lorsque l'on modélise une corde d'instrument supposée bien tendue. En suivant judicieusement Morse et Ingard et leur célèbre monographe "Theoretical Acoustics" [MI68, § 14.3, p. 856] paru en 1968, nous introduisons les vecteurs déplacement $\overrightarrow{r}(x, t)$ et position $\overrightarrow{R}(x, t)$ qui permettent une description vectorielle du mouvement de la corde en fonction de la position $x$ et du temps $t$. Nous écrivons ensuite le principe fondamental de la dynamique lequel transcrit le fait que l'accélération du centre de gravité $G$ d'un brin de corde est proportionnelle à la variation des forces de tension en ces extrémités :

$$ \mu \overrightarrow{d}(\mathcal{R})(G) = \partial_x \overrightarrow{T_{d/g}}(x, t), \qquad (1.2) $$

où $\overrightarrow{T_{d/g}}(x, t)$ désigne les forces de tension (de la partie droite d'un brin de corde sur la partie gauche) dans la corde à la position $x$ à l'instant $t$ et $\mu$ est la masse linéique de la corde, c à d le rapport de sa masse par sa longueur. C'est à ce moment que doit s'engager une discussion sur la nature extensible ou non de notre brin de corde et que l'on doit introduire plus ou moins d'hypothèses simplificatrices sur la force de tension.

(a) **La corde sans élasticité et sans raideur** : C'est le modèle usuel vu en deuxième année de cycle universitaire. La force de tension est en tout temps et en tout point toujours colinéaire au vecteur tangent à la corde : on dit que la corde est sans raideur ou parfaitement flexible. On néglige aussi le déplacement longitudinal et l'on suppose que la corde n'est pas élastique. On aboutit alors à l'équation des ondes (1.3) connues d'Euler, D'Alembert et Bernoulli au milieu du 18-ième siècle et que l'on ré-écrira de façon moderne avec les "dérivées partielles" :

$$ \partial_t^2 y(x, t) = \frac{T_0}{\mu} \partial_x^2 y(x, t). \qquad (1.3) $$

Cette équation s'interprète comme suit : l'accélération d'un brin de corde (donnée par la dérivée seconde en la variable de temps de $t$) est proportionnelle à la courbure de la corde (donnée par la dérivée seconde en la variable d'espace $x$). La constante de proportionnalité dépend explicitement de la tension $T_0$ dans la corde avant le passage de l'onde ainsi que de sa masse linéique $\mu$. Immédiatement on constate que plus la corde est épaisse et plus l'accélération de la corde est faible. De même à masse linéique $\mu$ constante, l'accélération du brin de corde est facilitée lorsque la tension $T_0$ est importante.

du second degré représentant cette parabole, on peut obtenir la forme factorisée :

$$ y = a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{-\Delta}{4a}, \qquad (1.1) $$

ce qui nous permet d'affirmer que la perpendiculaire - d'équation $x = -\frac{b}{2a}$ - dont parle Galilée passe par le point minimal $(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$ de la parabole.
(b) **La corde élastique sans raideur** : On conserve l'hypothèse que la corde est sans raideur, mais on lui confère une légère élasticité, ce qui se traduit par le fait que la corde est autorisée à se déplacer selon l'axe horizontal (on lui permet un déplacement longitudinal). Cette hypothèse est cohérente pour une corde d'instrument dans laquelle on introduit une tension supplémentaire $T'$ ajoutée à la tension initiale $T_0$ de la corde en cherchant à la mettre en vibration (par l'action de notre doigt, d'un médiator, d'un marteau...).

L'article fondateur de Carrier, intitulé "On the Non-linear Vibration Problem of the Elastic String" [Car45], publié en 1945, marque le point de départ des travaux consacrés aux cordes élastiques soumises à de grandes amplitudes de vibration. L'auteur met en évidence le couplage qui existe entre les déplacements transversaux et longitudinaux d'une corde mise en vibration, en s'appuyant sur la loi de Hooke unidimensionnelle (relation contrainte-déformation) : L'allongement relatif d'un brin de corde est supposé via cette loi comme étant proportionnel à la force s'exerçant sur le brin. Carrier écrit [Car45, p 157] :

"It is well known that the classical linearized analysis of the vibration of a string can lead to results which are reasonably accurate only when the minimum (rest position) tension and the displacements are of such magnitude that the relative change in tension during the motion is small. [...] The stress-strain relation of the string is assumed in the form [$u$ désigne le déplacement transversal, $v$ longitudinal] :

$$T - T_0 = EA\{[(1 + v')^2 + (u')^2]\frac{1}{2} - 1\},$$

where $T_0$ is the tension in the rest position and $E$ is a constant characteristic of the string material [$E$ désigne ce que l'on appelle le module d'Young]."

On retrouve cette idée de Carrier également dans les dires de Gough [Gou84, p. 1770] :

"The non-linearity arises from the increase in tension associated with the stretching of the string for large-amplitude transverse vibration."

À la même époque, Anand [Ana69], dans "Large-Amplitude Damped Free Vibration of a Stretched String" (1969), et Narasimha [Nar68], dans "Non-linear Vibration of an Elastic String" (1968), établissent eux aussi les équations du mouvement d'une corde élastique soumise à de larges vibrations. Ces trois contributions convergent vers la mise en évidence d'un **système couplé d'équations aux dérivées partielles non linéaires**, dépendant à la fois du temps et de l'espace comme nous l'avons redémontré<fnref n="5" /> à l'équation (3.69) de ce présent article.

(c) **La corde élastique avec raideur** : Avec l'avènement des recherches sur le comportement des poutres par Euler et Bernoulli au 18-ième siècle, vient alors à l'idée aux scientifiques au 19-ième siècle de modéliser la corde en mouvement comme une poutre d'Euler-Bernoulli sous tension. C'est cette partie de l'article qui, à notre sens, est la plus novatrice dans la façon dont elle est rédigée vis à vis de la littérature scientifique disponible. Fletcher [Fle64] s'est rendu célèbre en 1964 vis à vis de l'étude de l'inharmonicité de raideur des cordes du piano, i.e. à quel point les fréquences propres (qu'on appelle aujourd'hui en toute rigueur **partiels**) différent d'un multiple de la fréquence fondamentale $f_1$ du son qu'on étudie, ceci venant précisément du fait que la corde a une raideur. En 1991, Fletcher et Rossing écrivent le monument bibliographique "The physics of musical instruments". Ils nous expliquent [FR+98, p 61] :

"In real strings, the restoring force is partly due to the applied tension and partly due to the stiffness of the string (although the former usually dominates)."

Morse [MoAoP48, chapitre 4 p 151] ajoute en 1948 :

"However, we can no longer put off studying the effect of stiffness on the string's motion. And we shall begin the study by discussing the transverse vibrations of bars."

Constatons qu'une corde de guitare non-tendue rentrera très mal en vibration. Fletcher et Rossing soulignent [FR+98, § 2.15 p 54] :

"In fact, a bar vibrates quite nicely under zero tension, the elastic forces within the bar supplying the necessary restoring force in this case."

L'idée générale que soulignent Fletcher et Rossing [FR+98, § 3.12 p 85] dans le passage suivant est de modifier l'équation des ondes (1.3) de D'Alembert en rajoutant un terme de raideur (dont on verra grâce à la théorie des poutres - qu'il est d'ordre 4 en la variable d'espace) qui provient de l'étude des ondes transversales dans les barres/poutres :

<footnote n="5">5. Voir en particulier : [MI68, équations (14.3.7)–(14.3.9)], [Ana69, équations (11a)–(11c)], [Nar68, équations (6a) et (6b), p. 136].</footnote>
"We described a stiff string as being slightly barlike and added a term to the equation of motion to represent the bending stiffness."

Ainsi, l'étude du comportement des ondes transversales dans les barres/poutres sert donc de raffinement à notre second modèle des cordes vibrantes. Sous certaines hypothèses, la théorie de l'élasticité et en particulier la théorie des poutres d'Euler-Bernoulli apparue au 17-18ième siècle sont en mesure d'expliquer les effets de raideur d'un matériau : on considère notre corde comme une poutre de section circulaire, voir [BD23, § 2.2 p 196], [MoAoP48, chapitre 4]. Comme le souligne Morse [MoAoP48, p 151] :

"There is no sharp distinction between what we mean by a bar and what we mean by a string. In general, tension is more important, as a restoring force, than stiffness for a string, and stiffness is more important for a bar; but there is a complete sequence of intermediate cases, from stiff strings to bars under tension. The perfectly flexible string is one limiting case, where the restoring force due to stiffness is negligible compared with that due to the tension. The rod or bar under no tension is the other limiting case, the restoring force being entirely due to stiffness."

Dans ce nouveau modèle où la raideur est prise en compte, il n'est plus possible de considérer les forces de tension comme étant tangente en tout point à la corde. On va donc décomposer dans une base appropriée à la section droite de notre corde les forces de tension comme ayant alors une composante tangentielle et normale à la section droite. La courbure de la corde et sa propension à résister à une potentielle déformation engendrée par l'onde qui la traverse est donc le résultat d'une part de forces agissant parallèlement à la section droite de la corde (selon le vecteur normal à la section droite) et d'autre part de forces agissant perpendiculairement à la section droite de la corde (selon le vecteur tangent à la fibre neutre). Dans le premier cas, ces forces sont dites **forces de cisaillement** ou encore **efforts tranchants** ("shear forces" en anglais). On les note généralement $V$. Elles tendent, comme leur nom l'indique à venir cisailler, couper en deux, le matériau sur lequel elles s'appliquent. Dans le second cas, ces forces sont en général dites **forces normales**, en raison du fait qu'elles agissent perpendiculairement à la section droite de la corde. On les note généralement $N$. Elles viennent comprimer et tendre les fibres constituant la corde. La théorie des poutres met en évidence une quantité essentielle, le *moment fléchissant* $M_E$, qui exprime la résistance à la déformation imposée par les contraintes extérieures d'une poutre à l'équilibre. Le moment fléchissant fait référence au terme de « raideur » dans le nom du modèle et est par définition intrinsèquement présent dans une poutre à l'équilibre. On démontre que ce moment fléchissant est proportionnel à la courbure de la corde : c'est la célèbre équation des poutres d'Euler-Bernoulli (4.6). L'équilibre dans la corde est alors rompu précisément lorsque les contraintes extérieures (de cisaillement en l'occurrence) exercent un moment supérieur à ce moment fléchissant.

Après avoir conduits les rappels sur la théorie des poutres d'Euler-Bernoulli, nous mettrons en équation le mouvement de la corde élastique avec raideur. Pour ce faire nous utiliserons les outils de la mécanique du solide. C'est grâce à l'utilisation du théorème fondamental de la dynamique **et** du théorème du moment cinétique - lequel fournit un lien essentiel entre le moment fléchissant et la résultante des forces de cisaillement - que l'on parvient à établir l'équation de la corde vibrante élastique avec raideur :

$$ 
\underbrace{\frac{EI_{\vec{e}_z}}{\rho S}}_{\text{Rigidité en flexion}} \partial_x^4 y(x,t) - \underbrace{\frac{I_{\vec{e}_z}}{S} \partial_t^2 \partial_x^2 y(x,t)}_{\text{Inertie de rotation des sections droites}} - \underbrace{\frac{T_0}{\rho S} \partial_x^2 y(x,t)}_{\text{Tension}} + \underbrace{\partial_t^2 y(x,t)}_{\text{Inertie transversale}} = 0, \quad (1.4)
$$

où $y$ désigne toujours le déplacement transversal, $S$ la surface de la section droite, $E$ le module d'Young, $\rho$ le volume massique de la corde, $T_0$ la tension initiale et $I_{\vec{e}_z}$ le moment quadratique d'aire de la poutre selon l'axe $\vec{e}_z$ (dirigé vers le lecteur). Notons que la dérivation de cette équation se fait en négligeant le déplacement longitudinal de la corde. Comme le lecteur le constatera, il s'agit bien d'une complexification du modèle originel de D'Alembert. En consultant la bibliographie fournie, il verra que notre approche vectorielle conduit à effectuer quelques calculs passés usuellement sous silence et permet de mieux visualiser les composantes de chaque force dans les équations de la dynamique. Si l'on tient compte du déplacement longitudinal de la corde, on est encore capable d'écrire un système d'équations aux dérivées partielles couplées, voir (4.73).

Selon [Fle64, p 203], ce serait dans l'ouvrage "Theory Of Sound" de Lord Rayleigh - [Ray77, chapitre
8, équation (1) p 206] écrit en 1877 qu'apparaîtrait déjà le terme d'ordre 4 dans l'équation des ondes complexifiée. On peut lire en effet [Ray77, équation (4) § 188 p 242] :

$$ \kappa^2 \left( b^2 \frac{d^4 y}{d x^4} - c^2 \frac{d^4 y}{d x^4} \frac{d^2 y}{d t^2} \right) - a^2 \frac{d^2 y}{d c^2} + \frac{d^2 y}{d t^2} = 0 \dots\dots\dots (4). $$

FIGURE 1 – Extrait du monographe "Theory of Sound" de Rayleigh, 1877.

Cette équation porte le nom d'équation de Bresse-Love-Rayleigh<fnref n="6" />. Dans la première partie "Résistance des matériaux et stabilité des constructions" de son ouvrage "Cours de Mécanique appliquée" paru en 1859, l'ingénieur Bresse des Ponts et Chaussée met en équation une poutre vibrante avec son inertie de rotation [Bre59, chapitre 6, équation (30) p 344], retrouvant quasiment l'équation précédente<fnref n="7" />.

Enfin l'article est enrichi d'un court appendice mathématique qui permettra de compléter les notions essentielles d'analyse qu'il pourrait manquer à un étudiant.

**Remerciements** : Ce travail est un défi pédagogique et scientifique que l'un des auteurs, guitariste amateur et enseignant en mathématiques, s'est lancé il y a maintenant deux ans et demi, c à d produire un article à l'intention des étudiants du Supérieur et des collègues sur ces modèles des cordes vibrantes. Que l'étudiant ne soit donc pas découragé de ne pas comprendre d'une seule traite et en un temps record tous les concepts présentés. On espère par ailleurs que cet article alimentera sa curiosité et lui fera voir à quel point les Sciences sont riches d'idées et d'Histoire. Par ailleurs, je remercie chaleureusement mon co-auteur, enseignant de physique en CPGE, de m'avoir rejoint dans ce projet !

Enfin, nous ne serions pas aussi satisfaits de notre article sans les excellentes relectures et les commentaires avisés de nos collègues et amis : Jean-Yves Goepfert, Matthieu Mossot et Willy Payet. Qu'ils reçoivent ici notre immense gratitude !

**À paraître** : Une prochaine version de cet article contiendra certains calculs de modes propres vis à vis du modèle de Bresse-Love-Rayleigh et une section contenant d'autres commentaires historiques.

<footnote n="6">6. Comme Rayleigh nous le conseille en note de bas de page on pourra aussi consulter les ouvrages "Theorie der Elasticität fester Körper" (en français "Théorie de l'élasticité des corps solides") écrit en 1862 par Clebsch et l'ouvrage "Acoustics : Theoretical" écrit en 1870 par Donkin [Don70]. Une référence importante est également la quatrième édition (1944) de l'ouvrage "A treatise on the mathematical theory of elasticity" écrit en 1892-1893 par Love [Lov44, p 428]. Deux récents articles [Eli20] et [EKN15] ont toutefois capturé toute notre attention, revenant, à l'occasion des 100 ans du modèle des poutres de Timoshenko (une amélioration du modèle des poutres d'Euler-Bernoulli prenant en compte la déformation dues aux forces de cisaillement), sur l'Histoire de ces différents modèles et sur leurs géniteurs [Eli20, § 1 Introduction] :</footnote>

<footnote>"It appears that a more justifiable name of the above theory ought to be **Bresse–Rayleigh–Timoshenko–Ehrenfest** beam theory or Timoshenko–Ehrenfest theory in short, because the theory as we know it today was put by these scientists in collaboration."</footnote>

<footnote n="7">7. Bresse, contrairement à Rayleigh, n'a pas le terme en $a^2 \partial_x^2$ car il considère seulement une poutre vibrante et non une corde soumise à une tension (longitudinale).</footnote>
## 2 Corde pendante au repos : équation de la chaînette

La chaînette est modélisée par une corde de masse linéique uniforme $\mu$, de longueur $L$ et est supposée attachée en deux points de l'axe des abscisses à savoir l'origine $O$ et un point $O'$ distant d'une longueur $0 < l < L$ de $O$. On suppose aussi que la chaînette est comprise dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{e}_x, \vec{e}_y)$ et que sa courbe est décrite par une fonction $x \mapsto y(x)$ que l'on suppose dérivable sur le segment $[0, l]$. On se reportera à la figure 2 ci-dessous :

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Représentation de la chaînette et des forces s'appliquant sur le tronçon infinitésimal $C_h$</figcaption></figure>

**Important** : Dans la littérature, il est courant de considérer un tronçon entre $x$ et $x + h$ comme système ou même un tronçon entre $x$ et $x + dx$ et de faire tendre $h$ ou bien $dx$ vers 0. Nous préférons pour des raisons de clarté mathématiques 8, choisir un système compris entre $x - \frac{h}{2}$ et $x + \frac{h}{2}$. Cela permet notamment d'évaluer naturellement les fonctions au point $x$ lors des développements limités que nous serons amenés à faire dans la suite.

Commençons par considérer un tronçon infinitésimal $C_h$ de corde située entre les abscisses $x - \frac{h}{2}$ et $x + \frac{h}{2}$ pour $h > 0$. Sur ce tronçon de corde s'appliquent le poids $\overrightarrow{P}$ (au centre de gravité de $C_h$ d'abscisse $x$) et les forces de tension $\overrightarrow{T_{d/g}}(x + \frac{h}{2})$ (signifiant : la force exercée par la partie droite de la corde, sur la partie gauche au point d'abscisse $x + \frac{h}{2}$) et $\overrightarrow{T_{g/d}}(x - \frac{h}{2})$ (signifiant : la force exercée par la partie gauche de la corde, sur la partie droite au point d'abscisse $x - \frac{h}{2}$).

Lorsque la corde est à l'équilibre le principe fondamental de la statique permet d'affirmer que la résultante des forces est égale au vecteur nul soit 9 :

$$m_{C_h} \overrightarrow{g} + T_{d/g} \left( x + \frac{h}{2} \right) + T_{g/d} \left( x - \frac{h}{2} \right) = \overrightarrow{0}, \qquad (2.1)$$

où $m_{C_h}$ représente la masse du tronçon infinitésimal $C_h$. Grâce au rappel fait en annexe sur la longueur d'une courbe, la masse de ce tronçon est donnée par l'intégrale :

$$m_{C_h} = \mu \int_{x-\frac{h}{2}}^{x+\frac{h}{2}} \sqrt{1+(y'(s))^2} ds = F\left(x+\frac{h}{2}\right) - F\left(x-\frac{h}{2}\right), \qquad (2.2)$$

avec :

$$F(x) = \mu \int_{0}^{x} \sqrt{1+(y'(s))^2} ds. \qquad (2.3)$$

Du fait du principe d'action-réaction, on sait que pour tout $x \in [0, l]$ :

$$\overrightarrow{T_{g/d}}(x) = -\overrightarrow{T_{d/g}}(x). \qquad (2.4)$$

<footnote n="8">8. Et de surcroît la notation $dx$ fait référence à un autre objet mathématique, la différentielle. Ainsi pour $f : I \to \mathbb{R}$ dérivable où $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$, on a l'égalité $d_x f = f'(x)dx$ de sorte que $dx$ est la base de l'espace vectoriel dual $\mathbb{R}^*$ dans lequel vit $d_x f$.</footnote>

<footnote n="9">9. Ou dans sa forme torsorielle : le torseur des actions mécaniques extérieures appliquées au tronçon est nul.</footnote>
Regroupant les précédentes informations on a :

$$ \left( F\left(x+\frac{h}{2}\right) - F\left(x-\frac{h}{2}\right) \right) \overrightarrow{\overline{g}} + T_{d/g}\left(x+\frac{h}{2}\right) - T_{d/g}\left(x-\frac{h}{2}\right) = \overrightarrow{0}. \qquad (2.5) $$

Admettons que les deux fonctions $x \mapsto F(x)$ et $x \mapsto \overrightarrow{T_{d/g}(x)}$ soient dérivables, il en résulterait le développement limité à l'ordre 1 pour $h$ dans un voisinage de 0 :

$$ (F'(x)h + |h|\epsilon_1(h)) \overrightarrow{\overline{g}} + h\overrightarrow{T'_{d/g}(x)} + |h|\overrightarrow{\overline{\epsilon_2(h)}} = \overrightarrow{0}, \qquad (2.6) $$

où $\epsilon_1 : ] -r, r[ \to \mathbb{R}^2, h \mapsto \epsilon_1(h)$ est une fonction à valeurs scalaires définie sur un voisinage de 0 satisfaisant $\lim_{h \to 0} \epsilon_1(h) = 0$ et $\overrightarrow{\overline{\epsilon_2}} : ] -r, r[ \to \mathbb{R}^2, h \mapsto \overrightarrow{\overline{\epsilon_2(h)}}$ est une fonction à valeurs vectorielles définie sur un voisinage de 0 satisfaisant $\lim_{h \to 0} \overrightarrow{\overline{\epsilon_2(h)}} = \overrightarrow{0}$. Regroupant ces deux fonctions de limite nulle il vient :

$$ F'(x)h \overrightarrow{\overline{g}} + h\overrightarrow{T'_{d/g}(x)} + |h|\overrightarrow{\overline{\epsilon_1(h)}} = \overrightarrow{0}, \qquad (2.7) $$

où $\overrightarrow{\overline{\epsilon_1(h)}} := \epsilon_1(h)\overrightarrow{\overline{g}} + \overrightarrow{\overline{\epsilon_2(h)}}$ est bien une fonction de limite nulle quand $h \to 0$. Quotientons par $h$ non nul dans l'équation (2.7), prenant la limite quand $h \to 0$ il vient :

$$ F'(x)\overrightarrow{\overline{g}} + \overrightarrow{T'_{d/g}(x)} = \overrightarrow{0}. \qquad (2.8) $$

Revenons maintenant sur l'hypothèse de dérivabilité de $F$. On suppose que $s \mapsto y'(s)$ est continue$^{10}$, ce qui entraîne par composition de fonctions la continuité de $s \mapsto \sqrt{1+(y'(s))^2}$. Le théorème fondamental de l'analyse nous permet de conclure que $F$ est dérivable et que sa dérivée est :

$$ F'(x) = \mu\sqrt{1 + (y'(x))^2}. \qquad (2.9) $$

On récolte au final :

$$ \mu\sqrt{1 + (y'(x))^2} \overrightarrow{\overline{g}} + \overrightarrow{T'_{d/g}(x)} = \overrightarrow{0}. \qquad (2.10) $$

Notons enfin que la dérivabilité de $x \mapsto \overrightarrow{T_{d/g}(x)}$ découle directement de la dérivabilité de $F$ grâce à l'équation (2.5). A ce stade, il est pertinent de définir l'angle $\theta(x)$ comme celui entre la droite engendrée par le vecteur $\overrightarrow{e_x}$ et la force de tension i.e. :

$$ \theta(x) = (\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{T_{d/g}(x)}). \qquad (2.11) $$

Ainsi, par définition de $\theta(x)$, on peut écrire :

$$ \overrightarrow{T_{d/g}(x)} = T(x) \left( \cos(\theta(x)) \overrightarrow{e_x} + \sin(\theta(x)) \overrightarrow{e_y} \right), \qquad (2.12) $$

où l'on a posé $T(x) = ||\overrightarrow{T_{d/g}(x)}||$, $|| ||$ désignant la norme euclidienne de l'espace vectoriel euclidien $(\mathbb{R}^2, +, \cdot)$. Avec ces informations, projetant l'équation (2.10) sur les axes du repère on récolte :

$$ \left\{ \begin{array}{l} -\mu g \sqrt{1 + (y'(x))^2} + \partial_x [T(x) \sin(\theta(x))] = 0 \\ \partial_x [T(x) \cos(\theta(x))] = 0. \end{array} \right. \qquad (2.13) $$

Il est temps d'introduire une **première hypothèse** :

### HYPOTHÈSE

### Tension tangente à la corde

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

La force de tension $\overrightarrow{T_{d/g}(x)}$ est tangente à la corde en tout point. Cela nous permet d'écrire que :

$$ \theta(x) \approx y'(x). \qquad (2.14) $$

de sorte que le système d'équation (2.13) se transforme en :

$$ \left\{ \begin{array}{l} -\mu g \sqrt{1 + (y'(x))^2} + \partial_x [T(x) \sin(y'(x))] = 0 \\ \partial_x [T(x) \cos(y'(x))] = 0. \end{array} \right. \qquad (2.15) $$

On fait ensuite une **seconde hypothèse** :

<footnote n="10">10. Cela est physiquement acceptable, puisque l'on peut raisonnablement admettre par expérience que la forme de la corde n'admet pas de point anguleux. En fait on aurait pu considérer que $x \mapsto y(x)$ soit dès le début de classe $C^1$.</footnote>
<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Les angles sont petits donc que $y'(x) \ll 1$.

Ainsi, approximant au premier ordre les fonctions cosinus et sinus présentes dans l'équation (2.15), il vient :

$$ \begin{cases} -\mu g \sqrt{1 + (y'(x))^2} + \partial_x [T(x)y'(x)] = 0 \\ \partial_x [T(x)] = 0. \end{cases} \qquad (2.16) $$

De la seconde équation il résulte que la norme de la force de tension est constante en tout point de la corde disons :

$$ \exists T_0 \in \mathbb{R}_+, \forall x \in [0, l], T(x) = T_0. \qquad (2.17) $$

Ainsi, réintroduisant cela dans la première équation du système (2.16), il vient :

$$ -\mu g \sqrt{1 + (y'(x))^2} + T_0 y''(x) = 0, \qquad (2.18) $$

soit :

$$ \sqrt{1 + (y'(x))^2} = \frac{T_0}{\mu g} y''(x). \qquad (2.19) $$

Ainsi l'équation de la chaînette est gouvernée par l'équation différentielle non-linéaire (2.19). Elle relie linéairement la courbure de la chaînette (terme en $y''(x)$) à sa longueur (terme de gauche). Un changement de variable $z = y'$ transforme l'équation (2.19) en :

$$ \sqrt{1 + z(x)^2} = \frac{T_0}{\mu g} z'(x). \qquad (2.20) $$

En appliquant la méthode de séparation des variables, il vient :

$$ \frac{T_0}{\mu g} \frac{dz}{\sqrt{1 + z^2}} = dx \qquad (2.21) $$

Posons $C = \frac{T_0}{\mu g}$ une longueur caractéristique du problème. On montre ainsi¹¹ par intégration de (2.21) qu'il existe une constante $C_1$ réelle telle que :

$$ C \sinh^{-1}(y'(x)) = x + C_1, \qquad (2.28) $$

11. Il faut se souvenir de la formule :

$$ \int \frac{dz}{\sqrt{1+z^2}} dz = \sinh^{-1}(z), \qquad (2.22) $$

analogue, en trigonométrie hyperbolique de la formule :

$$ \int \frac{dz}{\sqrt{1-z^2}} dz = \arcsin(z), \qquad (2.23) $$

en trigonométrie circulaire. Voici une autre façon de faire pour aborder la résolution de (2.21). On procède au DSE de $z \mapsto \frac{C}{\sqrt{1+z^2}}$, (ce qui est licite puisque $z(x) = y'(x) \ll 1$) :

$$ C \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}} (-1)^n z^{2n} dz = dx, \qquad (2.24) $$

ce qui donne en intégrant (on peut intégrer une série entière terme à terme dans son disque de convergence) l'existence d'une constante $C_1$ de sorte que :

$$ C \underbrace{\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n} (-1)^n z^{\frac{2n+1}{2n+1}}}_{:=\operatorname{argsh}(z)} = x + C_1 \qquad (2.25) $$

de sorte que :

$$ \operatorname{argsh}(z) = \operatorname{argsh}(y'(x)) = \frac{x + C_1}{C}. \qquad (2.26) $$

Maintenant, ayant nommé la série entière (2.25) comme $z \mapsto \operatorname{argsh}(z)$, il nous faudrait étudier cette fonction, et établir son lien avec la fonction sinus hyperbolique. D'un point de vu historique on notera que D'Alembert au XXXV-ième Mémoire de ses "Opuscules mathématiques ou Mémoires sur différens sujets de géométrie, de méchanique, d'optique, d'astronomie. Tome 5" écrit en 1768, s'intéresse au développement en série entière de $\mu \mapsto (1+\mu)^{\frac{1}{2}}$. Le mathématicien écrit page 172 :

"[D'Alembert considère la série de terme général $(\prod_{k=0}^{n-1} \frac{(m-k)}{n!} \mu^n)_n$, où $\mu, m \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}_+$] [...] or pour que la ferie soit convergente, il faut que ce rapport [du n+1-ième terme par le n-ième terme] (abfraction faite du figne qu'il doit avoir) soit < que l'unité. [...] Pour $m = \frac{1}{2}$ [...] [la série de $(1+\mu)^{\frac{1}{2}}$ vaut :]

$$ 1 + \frac{\mu}{2} - \frac{\mu\mu}{2 \cdot 4} + \frac{\mu^3 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 6} - \frac{\mu^4 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}, \&c. $$

"
soit en se souvenant du fait que la fonction sinus hyperbolique est une bijection sur $\mathbb{R}$ :

$$y'(x) = \sinh\left(\frac{x+C_1}{C}\right), \qquad (2.29)$$

soit encore une fois par intégration, il existe une constante $C_2$ de sorte que :

$$y(x) = C \cosh \left( \frac{x+C_1}{C} \right) + C_2. \qquad (2.30)$$

Par le théorème des bornes atteintes, la courbe $y$ étant continue sur le segment (compact) $[0, l]$, elle atteint son minimum disons $-H$, avec $H > 0$, au point d'abscisse $x = \alpha$, voir la figure 2. En ce point on a $y'(\alpha) = 0$. Cette condition permet avec (2.29) d'affirmer que $C_1 = -\alpha$. Utilisant la condition que $y(\alpha) = -H$, on obtient :

$$C \cosh(0) + C_2 = -H \Leftrightarrow C_2 = -C - H. \qquad (2.31)$$

Finalement que la solution de (2.19) est donnée par la courbe :

$$y(x) = C \left[ \cosh \left( \frac{x-\alpha}{C} \right) - 1 \right] - H, \text{ où l'on pose } C = \frac{T_0}{\mu g}. \qquad (2.32)$$

Identifions plus précisément $\alpha$ en fonction des données du problème. En utilisant les conditions aux limites $y(0) = y(l) = 0$, on aboutit par soustraction à l'équation :

$$C \left[ \cosh \left( \frac{-\alpha}{C} \right) - \cosh \left( \frac{l-\alpha}{C} \right) \right] = 0. \qquad (2.33)$$

Faisant appel aux formules de trigonométrie hyperboliques, on transforme la précédente équation en :

$$C \left[ \sinh \left( \frac{\frac{-\alpha}{C} + \frac{l-\alpha}{C}}{2} \right) \times \sinh \left( \frac{\frac{-\alpha}{C} - \frac{l-\alpha}{C}}{2} \right) \right] = C \left[ \sinh \left( \frac{l-2\alpha}{2C} \right) \times \sinh \left( \frac{-l}{2C} \right) \right] = 0 \qquad (2.34)$$

Par intégrité du corps des nombres réels et bijectivité de la fonction sinus hyperbolique deux cas de figure s'offrent à nous : soit $-\frac{l}{2C} = 0$ - ce qui conduit à $l = 0$, cas que nous avons exclu - soit $\frac{2\alpha - l}{2C} = 0$, ce qui force la relation $\alpha = \frac{l}{2}$. Ce résultat est cohérent avec l'intuition physique que la forme de la chaînette est symétrique par rapport à $\frac{l}{2}$.

## Comment expliquer l'erreur de Galilée ?

On constate que la courbe $y$ est une courbe transcendante - voir la section Historique - cela provenant du fait que la série exponentielle :

$$\exp(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}. \qquad (2.35)$$

est une somme infinie de monômes et que la fonction cosinus hyperbolique est une somme linéairement indépendante de deux fonctions exponentielles.

Au regard de (2.32), il n'est pas si étonnant que Galilée ait pu penser dans son "Discours concernant deux nouvelles Sciences" de 1638 que la courbe de la chaînette soit une parabole. En effet menant un développement limité du cosinus hyperbolique à l'ordre 2 au point d'abscisse $x = \alpha$ on obtient :

$$y(x) = y(\alpha) + y'(\alpha)(x - \alpha) + y^{(2)}(\alpha)(x - \alpha)^2 + \epsilon(x)(x - \alpha)^2, \qquad (2.36)$$

où la fonction $x \mapsto \epsilon(x)$ tend vers 0 en 0. Ainsi au voisinage du point d'abscisse $x = \alpha$ on a :

$$y(x) \approx -H + y^{(2)}(\alpha)(x - \alpha)^2, \qquad (2.37)$$

$$(1+\mu)^m = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\prod_{k=0}^{n-1} (m-k)}{n!} \mu^n \qquad (2.27)$$

<footnote>On reconnaît dans les dires de D'Alembert le fameux "critère de D'Alembert". Aujourd'hui on écrirait pour $m \in \mathbb{R}$ le développement en série entière de la fonction $\mu \mapsto (1+\mu)^m$, lequel est donné pour tout $|\mu| < 1$ par :</footnote>
ce qui veut dire que localement au voisinage de ce point la courbe de la chaînette ressemble fortement à la parabole d'équation $y := -H + y^{(2)}(\alpha)(x - \alpha)^2$, laquelle est parfaitement symétrisée autour de la droite d'équation $x = \alpha$ et a pour sommet le point $(\alpha, -H)$.

De surcroît, l'équation (2.19) est également tout à fait adéquate pour montrer, en raisonnant par l'absurde, qu'aucune parabole $y(x) = ax^2 + bx + c$, $a \neq 0$, ne peut décrire la courbe de la chaînette. On renvoie le lecteur intéressé à l'ouvrage [Lei95, p 193-199] de Leibniz lui même où il décrit sa méthode pour construire l'équation de la courbe de la chaînette.

Quelle conclusion physique peut-on tirer de la formule (2.19) ?

À partir de l'équation (2.19), on peut chercher une autre forme mathématique permettant de discuter certains cas limites. Intégrons l'équation (2.19) entre les deux points d'attache de la corde en $x = 0$ et $x = l$ :

$$ \int_{0}^{l} \sqrt{1 + (y'(x))^2} dx = \frac{T_0}{\mu g} \int_{0}^{l} y''(x) dx \qquad (2.38) $$

$$ \Leftrightarrow L = \frac{T_0}{\mu g} [y'(l) - y'(0)] \quad (\text{par définition de la longueur } L \text{ de la corde}) \qquad (2.39) $$

$$ \Leftrightarrow \frac{mg}{T_0} = [y'(l) - y'(0)] \qquad (\text{par définition de } m = \mu L) \qquad (2.40) $$

$$ \Leftrightarrow \frac{mg}{T_0} = 2y'(l) \qquad (\text{par symétrie du problème, } y'(0) = -y'(l)). \qquad (2.41) $$

Dans la dernière égalité, le terme $y'(l)$ représente la valeur de la pente de la tangente à la corde au point d'attache $x = l$. D'après l'équation précédente, cette grandeur est bien positive ce qui est en accord avec la forme de la corde au voisinage de $x = l$. D'autre part, on peut discuter de l'effet du rapport entre le poids de la corde et sa tension sur la valeur de $y'(l)$.

— Si $mg \gg T_0$: la tension appliquée est très faible et la corde possède une masse importante, elle a donc tendance à pendre largement ce qui implique une valeur importante de $y'(l)$.

— Si $mg \ll T_0$: la tension appliquée est importante devant le poids de la corde qui est donc très tendue ce qui implique que $y'(l) \ll 1$ donc que la corde soit quasiment horizontale.

Ce dernier cas sera le plus courant dans les parties qui suivent.
## Extraits d'un atelier pratique effectué en CPGE :

Nous avons proposé un cas pratique aux élèves d'une classe de CPGE. Nous avons suspendu une chaînette aux extrémités d'un tableau à craies.

**Question :** Á votre avis, quelle fonction pourrait décrire la courbe de la chaînette ?

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Les élèves ont pensé immédiatement à une parabole en faisant donc la même erreur que Galilée quelques siècles avant eux. Avec l'aide de la fonction Polyfit de Python, nous avons procédé à un ajustement par un polynôme de degré 2 de sorte que l'on puisse observer quelques "décalages" entre la parabole et la courbe de la chaînette :

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Voici également quelques données qui ont été relevées :

<figure><img src="image_7.png" /></figure>
Après être arrivé à l'équation (2.32) $y(x) = C \left[ \cosh \left( \frac{x-\alpha}{C} \right) - 1 \right] - H$, nous souhaitions maintenant montrer visuellement que cette fonction épouse mieux la courbe de la chaînette que la parabole. Il nous fallait pour cela déterminer l'inconnue $C = \frac{T_0}{\mu g}$.

**Question :** Comment, à partir des données récoltées sur la chaînette, peut-on évaluer $C$ ?

Cela revient à évaluer la tension $T_0$ dans la chaînette. Cela peut se faire grâce à la formule :

$$ \frac{mg}{T_0} = 2y'(l), \qquad (2.42) $$

dans laquelle $y'(l)$ est simplement reliée à l'angle de 61 degrés mesuré sur le tableau :

$$ \tan(61) = y'(l) \qquad (2.43) $$

Ainsi $T_0 = \frac{mg}{2y'(l)} = 0,49 \text{ N}$. Grâce à la mesure de $\mu$, de $T_0$ et de la flèche $H$, nous avons tracé la courbe ci-dessous en bleu par dessus la chaînette, et observé une coïncidence quasi-parfaite.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

**Quelle est l'influence du poids sur un instrument à corde ?**

Dans cette dernière partie, nous allons quantifier par exemple l'influence du poids sur la forme d'une corde d'instrument tendue. On considère une corde de guitare, de violon ou encore de piano qui sont toutes attachées en leur extrémités et qui répondent donc au problème de la chaînette. Dans le cas des instruments de musique, nous sommes précisément dans le cas où ces cordes sont très tendues c'est-à-dire que $T_0 \gg mg$. Essayons donc d'avoir un ordre de la déflexion maximale $H$ de la corde.

La hauteur $H$ est donnée par l'équation (2.32) appliquée en $x = l$ (car $y(l) = 0$)n avec pour rappel $\alpha = \frac{l}{2}$, offrant :

$$ H = C \left[ \cosh \left( \frac{l}{2C} \right) - 1 \right] \qquad (2.44) $$

On voit qu'elle ne dépend que de la distance d'attache $l$ ainsi que de la longueur caractéristique $C = \frac{T_0}{\mu g}$. La dépendance en la longueur $L$ de la corde est en fait cachée dans le terme de tension $T_0$, les deux grandeurs étant liées par l'équation (2.39).

Pour l'application numérique, nous allons prendre l'exemple d'une corde de guitare. Nous vérifions tout d'abord que l'hypothèse d'une corde très tendue est vérifiée. Sur une guitare, les points d'attache sont distants d'une longueur de $l = 65 \text{ cm}$ et la masse linéique donnée par les constructeurs est en moyenne de $\mu = 3 \times 10^{-3} \text{ kg} \cdot \text{m}^{-1}$. La tension appliquée à la corde étant de l'ordre de 100 N on trouve :

$$ C = \frac{T_0}{\mu g} = 3400 \text{ m.} \qquad (2.45) $$
Cette valeur est très supérieure à 1 ce qui valide l'hypothèse de départ d'une corde très tendue. On peut alors estimer une valeur numérique pour $H$ :

$$H \approx 1,6 \times 10^{-5} \, \text{m} = 16 \, \mu\text{m.} \qquad (2.46)$$

On en conclut que pour la modélisation des cordes d'instrument, la déformation statique de la corde liée au poids est négligeable. Nous nous placerons donc toujours dans le cas d'une corde parfaitement horizontale au repos dans la suite de l'étude.
# 3 Ondes dans une corde élastique sans raideur

## 3.1 Mise en place du modèle d'une corde sans raideur

Commençons par fixer un repère orthonormé $(O, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$. On considère une corde de masse linéique uniforme égale à $\mu$, de longueur $l$ tendue entre le point $O$ et un point $O'$ sous une tension $T_0$. Avant d'être excitée et donc d'entrer en mouvement, la corde est confondue avec l'axe des abscisses. On considère un intervalle de longueur $h$, centré en un point $x \in ]0, l[$. Cet intervalle a pour extrémité $M_0$ et $M'_0$ à l'instant initial. A l'instant $t$, le tronçon infinitésimal de corde $C_h$ se déforme sous l'effet du passage de l'onde. Mathématiquement, cette déformation est modélisée à l'aide du **vecteur déplacement** fourni par :

$$ \overrightarrow{r}(x,t) = \eta(x,t)\overrightarrow{e}_x + y(x,t)\overrightarrow{e}_y, \qquad (3.1) $$

i.e. $\eta$ modélise le déplacement longitudinal du tronçon tandis que $y$ celui transversal. Notons que nous supposons que le mouvement de la corde s'effectue dans un plan (sinon on aurait dû rajouter une composante selon le vecteur $\overrightarrow{e}_z$). Les extrémités du tronçon de corde déformé sont $M$ et $M'$. Le centre de gravité $G_0$ du tronçon non-déformé devient $G$ à l'instant $t$. On définit le **vecteur position** d'un point du tronçon infinitésimal de corde $C_h$ initialement à l'abscisse $x_0$ comprise entre $[x - \frac{h}{2}; x + \frac{h}{2}]$ (le point noté $P_0$ vis à vis de notre convention) et qui vient à l'instant $t$ en $P$ par :

$$ \overrightarrow{R}(x_0, t) = \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_0} + \overrightarrow{P_0P} = x_0\overrightarrow{e}_x + \overrightarrow{r}(x_0, t). \qquad (3.2) $$

Il est important de bien distinguer le vecteur position du vecteur déplacement. Le dernier nous indique où un point $P_0$ initialement au repos se retrouve à l'instant $t$, tandis que le premier **repère** le point $P$ par rapport à une origine, ici $O$. Le poids étant pour rappel négligé au même titre que les frottements fluides avec l'air, sur le tronçon $\overline{MM'}$ s'exercent seulement les forces de tension, qui, a priori, dépendent à la fois de l'espace et du temps. On a donc la tension :

1. De la partie gauche (non-représentée sur la figure 3) du tronçon sur la partie droite du tronçon $\overline{T_{g/d}}(x - \frac{h}{2}, t)$.

2. De la partie droite (non-représentée sur la figure 3) du tronçon sur la partie gauche du tronçon $\overline{T_{d/g}}(x + \frac{h}{2}, t)$.

Voici un schéma de la situation, on a également ajouté les forces de tension qui s'appliquent<fnref n="12" /> :

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Représentation du tronçon $\overline{M_0M'_0}$ et du tronçon déformé $\overline{MM'}$.</figcaption></figure>

On va maintenant définir le vecteur unitaire tangent à la corde au point $G$. On calcule en menant deux développements

<footnote n="12">12. Ici tangentiellement à la corde : hypothèse que nous allons de nouveau reconduire dans cette section.</footnote>
limités dans l'égalité (3.4) à venir :

$$ \frac{1}{h} \overrightarrow{MM'} = \frac{1}{h} \left[ \overrightarrow{MM_0} + \overrightarrow{M_0M_0'} + \overrightarrow{M_0'M'} \right] \quad (3.3) $$

$$ = \frac{1}{h} \left[ r \left( x + \frac{h}{2}, t \right) - \overrightarrow{r} \left( x - \frac{h}{2}, t \right) + h \overrightarrow{e_x} \right] \quad (3.4) $$

$$ = \frac{1}{h} \left[ \overrightarrow{r}(x,t) + \frac{h}{2} \partial_x \overrightarrow{r}(x,t) + \frac{|h|}{2} \overrightarrow{\epsilon_1}(h) - \left( \overrightarrow{r}(x,t) - \frac{h}{2} \partial_x \overrightarrow{r}(x,t) - \frac{|h|}{2} \overrightarrow{\epsilon_2}(h) \right) + h \overrightarrow{e_x} \right] \quad (3.5) $$

$$ = \frac{1}{h} \left[ \partial_x \overrightarrow{r}(x,t)h + |h| \overrightarrow{\epsilon}(h) + h \overrightarrow{e_x} \right] \quad (3.6) $$

$$ = \partial_x \overrightarrow{r}(x,t) + \frac{|h|\overrightarrow{\epsilon}(h)}{h} + \overrightarrow{e_x} \quad (3.7) $$

$$ = \partial_x \left[ \overrightarrow{x \epsilon_x} + \overrightarrow{r(x,t)} \right] + \frac{|h|\overrightarrow{\epsilon}(h)}{h}, \quad (3.8) $$

où l'on définit la fonction vectorielle :

$$ h \mapsto \overrightarrow{\epsilon}(h) = \frac{\overrightarrow{\epsilon_1}(h) + \overrightarrow{\epsilon_2}(h)}{2}, \quad (3.9) $$

avec les fonctions vectorielles $h \mapsto \overrightarrow{\epsilon_1}(h)$, $h \mapsto \overrightarrow{\epsilon_2}(h)$ qui sont de limite nulle quand $h \to 0$. Notons que $h \mapsto \frac{|h|\overrightarrow{\epsilon}(h)}{h}$ est le produit de la fonction bornée $h \mapsto \frac{|h|}{h}$ par une fonction (vectorielle) de limite nulle, donc est aussi de limite nulle. D'où prenant la limite de (3.8) quand $h \to 0$ :

$$ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \overrightarrow{MM'} = \partial_x \overrightarrow{R}(x,t). \quad (3.10) $$

Dans ce qui suit, on note encore $\| \| \|$ la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$ c à d la norme issue du produit scalaire euclidien. Par définition, le vecteur :

$$ \overrightarrow{s}(x,t) = \frac{\partial_x \overrightarrow{R}(x,t)}{\| \partial_x \overrightarrow{R}(x,t) \|}, \quad (3.11) $$

est le vecteur unitaire tangent à la corde au point G à l'instant t.

Appliquons le principe fondamental de la dynamique au tronçon infinitésimal $C_h$ de corde et dont nous notons $m_{C_h}$ la masse. Comme on sait que l'accélération totale de chaque point du tronçon de corde, peut être réduite à l'étude de l'accélération du centre de gravité G. En effet, il suffit d'écrire :

$$ \left. \frac{d}{dt} \right|_{(\mathcal{R})} \left[ \underbrace{\int_{P \in C_h} \overrightarrow{v_{(\mathcal{R})}}(P) dm(P)}_{\text{Quantité de mouvement de } C_h} \right] = \left. \frac{d}{dt} \right|_{(\mathcal{R})} \left[ \int_{P \in C_h} \left. \frac{d}{dt} \right|_{(\mathcal{R})} \overrightarrow{\overline{OP}} dm(P) \right] \quad (3.12) $$

$$ \underbrace{\left. \frac{d}{dt} \right|_{(\mathcal{R})}}_{(\spadesuit)} \left[ \left[ \int_{P \in C_h} \left. \frac{d}{dt} \right|_{(\mathcal{R})} \overrightarrow{OG} dm(P) + \int_{P \in C_h} \left. \frac{d}{dt} \right|_{(\mathcal{R})} \overrightarrow{GP} dm(P) \right] \right] \quad (3.13) $$

$$ \underbrace{\left. \frac{d}{dt} \right|_{(\mathcal{R})}}_{(\blacksquare)} \left[ \left[ \int_{P \in C_h} \left. \frac{d}{dt} \right|_{(\mathcal{R})} \overrightarrow{OG} dm(P) + \left. \frac{d}{dt} \right|_{(\mathcal{R})} \underbrace{\int_{P \in C_h} \overrightarrow{GP} dm(P)}_{:= \overrightarrow{0}} \right] \right] \quad (3.14) $$

$$ = \left. \frac{d}{dt} \right|_{(\mathcal{R})} \left[ \overrightarrow{v_{(\mathcal{R})}}(P) \int_{P \in C_h} 1 dm(P) \right] \quad (3.15) $$

$$ = m_{C_h} \overrightarrow{a_{(\mathcal{R})}}(G), \quad (3.16) $$

où $m_{C_h} := \int_{P \in C_h} 1 dm(P)$, la masse du tronçon infinitésimal $C_h$ est constante (système fermé). Notez que dans l'égalité marquée (♠) nous avons utilisé la relation de Chasles et dans l'égalité marquée (■) nous utilisons le fait que la masse
$dm(P)$ de chaque système infinitésimal centré en $P$ considéré est indépendante du temps car ce sont des systèmes fermés, ce qui rend licite le fait de sortir l'opérateur dérivée de l'intégrale en utilisant le théorème usuel de dérivation des intégrales. Le fait que l'intégrale $\int_{P \in C_h} \overline{G P} dm(P)$ soit nulle découle de la définition du barycentre du système. On retrouve le fait, comme en mécanique du solide indéformable, que les propriétés dynamiques du système se résument à connaître l'accélération du centre de gravité.

Ainsi le principe fondamental de la dynamique appliqué au système $C_h$ donne :

$$ m_{C_h} \overrightarrow{d}_{(\mathcal{R})}(G) = \overline{T_{d/g}}\left(x + \frac{h}{2}, t\right) + \overline{T_{g/d}}\left(x - \frac{h}{2}, t\right) \quad (3.17) $$

$$ = \overline{T_{d/g}}\left(x + \frac{h}{2}, t\right) - \overline{T_{d/g}}\left(x - \frac{h}{2}, t\right) \quad (\text{Principe d'action réaction}) \quad (3.18) $$

$$ = \partial_x \overline{T_{d/g}(x,t)}h + |h|\overline{\epsilon(h)}, \quad (3.19) $$

où l'on définit la fonction $h \mapsto \overline{\epsilon(h)}$ comme dans (3.9).

Le système sur lequel on applique le principe fondamental de la dynamique étant fermé, sa masse est par définition toujours la même et on a donc :

$$ \text{masse de l'élément déformé} = \text{masse de l'élément au repos} \quad (3.20) \\ m_{C_h} = \mu h. $$

En divisant par $h$ dans (3.19) puis en prenant la limite quand $h \to 0$, il s'ensuit :

$$ \mu \overrightarrow{d}_{(\mathcal{R})}(G) = \partial_x \overline{T_{d/g}(x,t)}. \quad (3.21) $$

Arrêtons nous un instant car cette précédente équation est fondamentale. Elle nous dit simplement que les variations de vitesse du brin infinitésimal de corde (l'accélération donc !) sont proportionnelles aux variations des forces de tension à ses extrémités. On fait alors une **première hypothèse** :

### HYPOTHÈSE

### Tension tangente à la corde

La force de tension est tangente à la corde en tout point et pour tout instant du mouvement. Dans la littérature courante on parle du fait que la corde est **sans raideur** ou encore **parfaitement flexible** en le sens qu'elle n'oppose aucune résistance quand elle se courbe.

Par exemple, un fil à coudre ne résiste pas à la déformation qu'on pourrait lui imposer et prend ainsi, à l'échelle du visible, la forme souhaitée. A l'inverse, lorsqu'on exerce un couple de forces aux extrémités d'une règle en plastique pour tenter de la plier, l'objet a du "mal à se déformer". Concrètement, l'opérateur qui exerce ce couple de forces ressent le moment fléchissant que la règle impose en retour sur lui pour tenter de retourner à sa position d'équilibre. Dans les sections suivantes, nous discuterons plus en détails de ces notions de raideur.

Sous cette hypothèse et en rappelant que $\overline{s(x,t)}$ désigne le vecteur tangent en tout point d'abscisse $x$ du tronçon de corde à l'instant $t$, l'équation (3.21) devient :

$$ \mu \overrightarrow{d}_{(\mathcal{R})}(G) = \partial_x \overline{T_{d/g}(x,t)} = \partial_x \left[ T(x,t) \overline{s(x,t)} \right], \quad (3.22) $$

où l'on a posé $T(x,t) = \|\overline{T_{d/g}(x,t)}\|$. Dans ce qui suit, on impose également l'hypothèse suivante :

### HYPOTHÈSE

### Petits angles/petites déformations.

On fait l'hypothèse des petits déplacements i.e. $|\partial_x \eta| \ll 1$ et $|\partial_x y| \ll 1$, hypothèse que l'on peut réécrire sur la forme plus compacte en utilisant la borne supérieure $^a$ :

$$ \sup\{|\partial_x \eta(x,t)|; (x,t) \in [0,l] \times \mathbb{R}_+\} \ll 1, \quad \sup\{|\partial_x y(x,t)|; (x,t) \in [0,l] \times \mathbb{R}_+\} \ll 1 \quad (3.23) $$

On distingue ensuite deux modèles : l'un est enseigné en CPGE comme le modèle le plus simple de résolution qui utilise deux hypothèses simplificatrices supplémentaires ; l'autre est un modèle plus élaboré tenant compte de la déformation longitudinale de la corde lors du passage de l'onde et reposant sur la loi unidimensionnelle de Hooke.

<footnote>$^a$ Dont l'existence présuppose que les fonctions dérivées sont a minima bornées sur la variable de temps et d'espace. Cela est raisonnable car on n'envisage pas que les vitesses des déplacements longitudinaux et transversaux soient infinies...</footnote>
## 3.2 Ondes transversales : modèle de la corde vibrante en CPGE

Dans le modèle usuellement enseigné en CPGE on fait les hypothèses simplificatrices suivantes :

HYPOTHÈSE

Déplacement longitudinal

On néglige le déplacement longitudinal i.e. $η = 0$.

Il en résulte que :

$$ \vec{d}_{(\mathcal{R})}(G) = \partial_t^2 y(x,t) \vec{e}_y, \quad \overrightarrow{r(x,t)} = y(x,t) \vec{e}_y. \qquad (3.24) $$

L'hypothèse des petites déformations, combinée avec l'hypothèse précédente, permet d'écrire :

$$ \begin{gathered} ||\partial_x \overrightarrow{R(x,t)}|| = ||\partial_x [x\vec{e}_x + \overrightarrow{r(x,t)}]|| \\ \sqrt{1 + (\partial_x y(x,t))^2} \approx 1 + \frac{1}{2} (\partial_x y(x,t))^2 \approx 1, \qquad (3.25) \\ \overrightarrow{s(x,t)} = \vec{e}_x + \partial_x y(x,t) \vec{e}_y. \end{gathered} $$

On notera que $\partial_x y(x,t)$ est négligée dans l'approximation de $||\partial_x \overrightarrow{R(x,t)}||$ et non pas dans l'approximation $\overrightarrow{s(x,t)}$ car, dans la première, c'est le carré de la quantité négligeable $\partial_x y(x,t)$. Avec cela en tête l'équation (3.22) se transforme grâce à la règle de dérivation de Leibniz en :

$$ \mu \partial_t^2 y(x,t) \vec{e}_y = \partial_x [T(x,t)] \times \left( \underbrace{\vec{e}_x + \partial_x y(x,t) \vec{e}_y}_{=\overrightarrow{s(x,t)}} \right) + T(x,t) \partial_x [\vec{e}_x + \partial_x y(x,t) \vec{e}_y] \qquad (3.26) $$

$$ = \partial_x T(x,t) \vec{e}_x + [\partial_x T(x,t) \partial_x y(x,t) + T(x,t) \partial_x^2 y(x,t)] \vec{e}_y. \qquad (3.27) $$

Par projection sur l'axe $\vec{e}_x$, il en résulte que $T(x,t)$ est constant sur la variable spatiale (c'est bien une conséquence mathématique des trois hypothèses ci-dessus !).

HYPOTHÈSE

Tension de norme constante

La tension est de norme constante en tout temps.

Cette hypothèse est valide si la corde est tendue via un dispositif de poulie<fnref n="13" /> comme sur le schéma suivant :

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

La masse accrochée à la corde permet d'appliquer une tension constante $T_0 = Mg$. Dans le cas où l'on ébranle la corde, supposée inextensible, le système de poulie permet à la masse de remonter légèrement pour compenser l'augmentation de longueur de corde entre le point A (l'attache fixe) et B (la poulie). La tension appliquée reste donc celle appliquée initialement $T_0 = Mg$ à tout instant et on aura donc :

$$ \exists T_0 \in \mathbb{R}, \forall (x,t) \in [0,l] \times \mathbb{R}_+, T(x,t) = T_0. \qquad (3.28) $$

Ainsi on tire de l'équation (3.27), après projection sur $\vec{e}_y$, que :

$$ \mu \partial_t^2 y(x,t) = T_0 \partial_x^2 y(x,t), \qquad (3.29) $$

que l'on peut mettre sous la forme de la célèbre **équation des ondes linéaire de D'Alembert** qui régit le déplacement transversal d'une corde parfaitement souple :

$$ \left( \partial_x^2 - \frac{1}{c^2} \partial_t^2 \right) y(x,t) = 0, \quad c = \sqrt{\frac{T_0}{\mu}}. \qquad (3.30) $$

<footnote n="13">13. Attention pour une corde d'instrument de musique, la corde est tendue entre deux attaches fixes, ce qui ne permet pas de vérifier cette hypothèse. Pour exciter la corde (donc ajouter de la tension), il est alors nécessaire que la corde possède un comportement élastique pour pouvoir se déformer sous l'effet de la perturbation comme nous le verrons dans la suite après le modèle CPGE.</footnote>
La quantité c est homogène à une vitesse et représente la célérité de l'onde qui se transmet le long de la corde et qui ne
doit en aucun cas être confondue avec la vitesse d'un point de la corde d'abscisse x donnée par ∂_t y(x, t). La célérité est
une grandeur intrinsèque au matériau : elle est en ce sens complètement indépendante des conditions initiales qu'on
donne à la corde pour la faire vibrer<fnref n="14" />. Voici quelques premières conclusions que l'on peut tirer de la formule de la
célérité. Plus la corde est tendue, plus la célérité est grande et plus la corde est lourde, plus la célérité est faible. Ces
deux propriétés intuitives trouvent une origine physique au niveau microscopique : plus la corde est tendue, moins
les atomes possèdent la liberté de se mouvoir facilement les uns par rapport aux autres et donc plus la perturbation
sera ressentie rapidement de proche en proche. De même, plus les atomes sont lourds, plus il sera difficile de mettre
en mouvement les atomes voisins au moment du passage de la perturbation.

Dans la littérature scientifique on note parfois pour compactifier l'écriture de la précédente équation :

$$
\Box = \left( \partial_x^2 - \frac{1}{c^2} \partial_t^2 \right). \tag{3.31}
$$

L'objet mathématiques □ est un opérateur différentiel<fnref n="15" /> à coefficients constants i.e. une application linéaire qui agit sur des fonctions (ici le déplacement transversal y). Cet opérateur différentiel s'appelle le d'Alembertien. Voici ce que dit De Broglie dans un article dédié à D'Alembert [dB51, p 207] :

"Un autre problème qui fut étudié par d'Alembert vers la même époque fut celui de la vibration des cordes, déjà examiné auparavant par Taylor. D'Alembert est parvenu à montrer que le mouvement d'une corde vibrante est représenté par une équation aux dérivées partielles et a indiqué la solution générale de cette équation. On peut dire qu'en donnant ce résultat fondamental, le grand géomètre a été l'un des fondateurs de la Physique mathématique car son équation des cordes vibrantes a été le premier exemple de cette équation des ondes qui joue aujourd'hui un si grand rôle dans toutes les branches de la Physique théorique, depuis l'Acoustique jusqu'à la Mécanique ondulatoire en passant par l'Optique et l'Électromagnétisme. C'est à juste titre que l'on donne actuellement le nom de "d'Alembertien" au symbole opératoire qui permet d'écrire l'équation des ondes sous une forme abrégée."

3.3 Couplage longitudino-transversal : modèle de la corde élastique et sans raideur

On prend en compte désormais le déplacement longitudinal de la corde lors du passage de l'onde. Ce déplacement
doit répondre à une loi de comportement du matériau. Nous ferons dans la suite l'hypothèse que la corde suit une loi
élastique.

HYPOTHÈSE

Élasticité de la corde

On considère que la corde est un matériau élastique dont l'allongement est proportionnel à la force qui s'exerce
sur lui i.e. le comportement élastique du tronçon infinitésimal de corde est gouverné par la loi de Hooke reliant
linéairement la contrainte appliquée au matériau à sa déformation, voir [EH85, 71-75].

D'après l'annexe, la fonction suivante :

$$
F(x,t) = \int_{0}^{x} \left\| \partial_{x} \overrightarrow{R(v,t)} \right\| dv, \qquad (3.34)
$$

représente la longueur de la corde au temps t, entre les abscisses 0 et x, puisque nous sommes conceptuellement en
train d'additionner (intégrale!) des morceaux infinitésimaux de tangentes à notre tronçon de corde. Cette fonction
est dérivable selon la variable x toujours en vertu du théorème fondamental de l'analyse. Cela suppose que la corde
ne possède pas de point anguleux pour que x ↦→ r(x, t) soit de classe C¹, a fortiori que x ↦→ R(x, t) le soit aussi, de

$$
P = \sum_{|\alpha| \le N} a_{\alpha} \partial^{\alpha}. \tag{3.32}
$$

C'est le théorème de Schwarz qui assure justement la commutativité de ce polynôme en raison du fait que :

$$
\partial_{x_j} \partial_{x_k} = \partial_{x_k} \partial_{x_j}. \tag{3.33}
$$

<footnote n="14">14. Cette affirmation est vraie tant que le modèle et les équations qui régissent la déformation de la corde sont linéaires mais devient fausse si on introduit des non-linéarités dans le modèle. Il y a alors existence d'un couplage entre l'amplitude de vibration et la célérité. De plus, la célérité des ondes dépend de la fréquence des ondes dans un milieu dispersif.</footnote>

<footnote n="15">15. Un opérateur différentiel P à coefficients constants sur $\mathbb{R}^n$ peut-être vu comme un polynôme (commutatif) à plusieurs indéterminées où les indéterminées sont les dérivées $\partial_{x_j}$, soit avec les notations en terme de multi-indice :</footnote>
sorte que $x \mapsto ||\partial_x \overrightarrow{R(v,t)}||$ soit continue comme composée de telles fonctions<fnref n="16" />. L'allongement relatif de $C_h$ est donné par :

$$ \epsilon_h(x,t) = \frac{||\overrightarrow{MM'}|| - ||\overrightarrow{M_0M'_0}||}{||\overrightarrow{M_0M'_0}||} \quad (3.36) $$

$$ = \frac{\int_{x-h/2}^{x+h/2} ||\partial_x \overrightarrow{R(v,t)}|| dv - h}{h} \quad (3.37) $$

$$ = \frac{F\left(x - \frac{h}{2}, t\right) - F\left(x + \frac{h}{2}, t\right) - h}{h} \quad (3.38) $$

$$ = \frac{\partial_x F(x,t)h + h\epsilon(h) - h}{h} \quad (\text{Développement limité à l'ordre 1}) \quad (3.39) $$

$$ = ||\partial_x \overrightarrow{R(x,t)}|| - 1 + \epsilon(h) \quad (\text{Théorème fondamental de l'analyse}) \quad (3.40) $$

$$ = \sqrt{(1 + \partial_x \eta(x,t))^2 + (\partial_x y(x,t))^2 - 1 + \epsilon(h)}, \quad (3.41) $$

où $h \mapsto \epsilon(h)$ est une fonction de limite nulle en 0 et où la dernière égalité découle de la définition (3.2) du vecteur position et de la définition de la norme euclidienne. Ainsi l'allongement relatif $\epsilon(x, t)$ du tronçon $C_h$ centré en $x$ lorsque $h$ est petit est donné par :

$$ \epsilon(x,t) = \lim_{h \to 0} \epsilon_h(x,t) = \sqrt{(1 + \partial_x \eta(x,t))^2 + (\partial_x y(x,t))^2 - 1} = ||\partial_x \overrightarrow{R(x,t)}|| - 1. \quad (3.42) $$

Cet allongement relatif intervient directement dans l'expression de la tension appliquée au système. En effet, cette force de tension contient à la fois la tension de la corde au repos<fnref n="17" /> notée $T_0$ et la tension supplémentaire $T'$ nécessaire à l'allongement de la corde lors du passage de l'onde. Dans le cadre d'une approximation linéaire de la déformation, cette tension supplémentaire est proportionnelle à l'allongement $\epsilon(x, t)$ via la loi de Hooke $T'(x,t) = ES(x)\epsilon(x, t)$ où $E$ est le module d'Young de la corde (le coefficient de proportionnalité de cette relation en fait...) et $x \mapsto S(x)$ la fonction donnant l'aire au point d'abscisse $x$ de la section droite<fnref n="18" /> de la corde correspondante. Pour rappel, le module d'Young est un paramètre qui décrit la raideur du matériau. Il s'ensuit :

$$ T(x,t) = T_0 + T'(x,t) \quad (3.43) $$

$$ = T_0 + ES(x)\epsilon(x,t) \quad (3.44) $$

$$ = T_0 + ES(x) \left[ \sqrt{(1 + \partial_x \eta(x,t))^2 + (\partial_x y(x,t))^2} - 1 \right] \quad (3.45) $$

$$ = T_0 + ES(x) \left[ ||\partial_x \overrightarrow{R(x,t)}|| - 1 \right]. \quad (3.46) $$

Cette équation, identique modulo notations à celle qu'obtient Carrier en 1945 [Car45, équation (3) p 157], traduit que la norme $T(x, t)$ de la tension dans la corde à l'instant $t$ au point d'abscisse $x$ est la somme de la tension $T_0$ dans la corde lorsqu'elle est au repos plus une variation de tension due au passage de l'onde. Finalement l'équation (3.22) régissant le mouvement du centre de gravité $G$ du tronçon $C_h$ à l'instant $t$ se transforme en :

$$ \mu \vec{a}_{(R)}(G) = \partial_x \left[ \underbrace{(T_0 + ES(x) (||\partial_x \overrightarrow{R(x,t)}|| - 1))}_{:=T(x,t)} \overline{s(x,t)} \right] \quad (3.47) $$

## HYPOTHÈSE

## Section droite

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

La fonction $x \mapsto S(x)$ est constante en tout point de la corde de valeur disons $S$

<footnote n="16">16. Notons en effet que nous faisons une composition où la continuité de $x \mapsto ||x||$, c à d de la continuité de la norme (ici euclidienne) dans un espace vectoriel normé découle de la seconde inégalité triangulaire i.e. pour tout $(x, y) \in E$ :</footnote>

<footnote>$$ |||x|| - ||y||| \le ||x - y||. \quad (3.35) $$</footnote>

<footnote n="17">17. Par exemple, dans le cas de l'expérience de la corde de Melde, cette tension est due à la masse que l'on suspend à l'une des extrémités de la corde.</footnote>

<footnote n="18">18. En anglais "cross-section".</footnote>
Cette hypothèse est cohérente pour les cordes des instruments par exemple, la section droite étant un disque. En ré-écrivant l'équation (3.47) grâce à la règle de dérivation de Leibniz il vient :

$$ \mu \vec{d}_{(\mathcal{R})}(G) = \partial_x [T_0 \overline{s(x,t)}] + ES \partial_x \left[ (\|\partial_x \overline{R(x,t)}\| - 1) \overline{s(x,t)} \right] \quad (3.48) $$

$$ = T_0 \partial_x [\overline{s(x,t)}] + ES \partial_x [\overline{s(x,t)}] (\|\partial_x \overline{R(x,t)}\| - 1) + ES \partial_x [\|\partial_x \overline{R(x,t)}\|] \overline{s(x,t)} \quad (3.49) $$

$$ = (T_0 - ES) \partial_x [\overline{s(x,t)}] + ES \partial_x [\overline{s(x,t)}] \|\partial_x \overline{R(x,t)}\| + ES \partial_x [\|\partial_x \overline{R(x,t)}\|] \overline{s(x,t)}. \quad (3.50) $$

À ce stade menons le calcul intermédiaire suivant, toujours en utilisant la règle de Leibniz :

$$ \partial_x [\overline{s(x,t)} \|\partial_x \overline{R(x,t)}\|] = \partial_x [\overline{s(x,t)}] \|\partial_x \overline{R(x,t)}\| + \partial_x [\|\partial_x \overline{R(x,t)}\|] \overline{s(x,t)}, \quad (3.51) $$

dont on tire en isolant le terme qui nous intéresse pour la suite :

$$ \partial_x [\overline{s(x,t)}] \|\partial_x \overline{R(x,t)}\| = \partial_x [\overline{s(x,t)} \|\partial_x \overline{R(x,t)}\|] - \partial_x [\|\partial_x \overline{R(x,t)}\|] \overline{s(x,t)} \quad (3.52) $$

Ainsi, insérant (3.52) dans (3.50) il s'ensuit :

$$ \mu \vec{d}_{(\mathcal{R})}(G) = (T_0 - ES) \partial_x [\overline{s(x,t)}] + ES \left( \partial_x [\overline{s(x,t)} \|\partial_x \overline{R(x,t)}\|] - \partial_x [\|\partial_x \overline{R(x,t)}\|] \overline{s(x,t)} \right) \quad (3.53) $$

$$ + ES \partial_x [\|\partial_x \overline{R(x,t)}\|] \overline{s(x,t)} \quad (3.54) $$

$$ = (T_0 - ES) \partial_x [\overline{s(x,t)}] + ES \partial_x^2 \overline{R(x,t)}, \quad (3.55) $$

où dans la dernière équation on se sera souvenu que par définition du vecteur $\vec{s}$ faite à l'équation (3.11), on a $\|\partial_x \overline{R(x,t)}\| \|\overline{s(x,t)}\| = \partial_x \overline{R(x,t)}$. Divisant par $\mu$ dans (3.55), se souvenant toujours que :

$$ \overline{R(x,t)} = (x + \eta(x,t)) \overline{e}_x + y(x,t) \overline{e}_y, \quad (3.56) $$

on tire l'équation mise en valeur par Morse et Ingard en 1968 dans leur ouvrage "Theoretical Acoustics", voir [MI68, (14.3.5) p 858] :

$$ \underbrace{\partial_t^2 \eta(x,t) \overline{e}_x + \partial_t^2 y(x,t) \overline{e}_y}_{:= \vec{d}_{(\mathcal{R})}(G)} = c_l^2 \partial_x^2 \overline{R(x,t)} - (c_l^2 - c_t^2) \partial_x [\overline{s(x,t)}] \quad (3.57) $$

$$ = c_l^2 (\partial_x^2 \eta(x,t) \overline{e}_x + \partial_x^2 y(x,t) \overline{e}_y) - (c_l^2 - c_t^2) \partial_x \left[ \frac{(1 + \partial_x \eta(x,t)) \overline{e}_x + \partial_x y(x,t) \overline{e}_y}{\sqrt{(1 + \partial_x \eta(x,t))^2 + (\partial_x y(x,t))^2}} \right] \quad (3.58) $$

où $c_l$ et $c_t$ représentent les vitesses caractéristiques de propagation des ondes dans les directions longitudinales et transversales. Leurs expressions sont données par :

$$ c_l^2 = \frac{ES}{\mu}, \quad c_t^2 = \frac{T_0}{\mu}. \quad (3.59) $$

L'expression de $c_l$ est identique à celle de la vitesse de propagation d'une onde dans une barre, voir par exemple [EH85, p 94], [Gra75, p 77]. On peut remarquer que le rapport des carrés des célerités vaut $\frac{c_l^2}{c_t^2} = \frac{T_0}{ES}$. Par ailleurs la loi de Hooke traduisant l'allongement élastique de la corde entre son état non tendue (à vide) et l'état initial (tendue à la tension $T_0$ de longueur $l$) donne :

$$ ES \frac{\Delta l}{l} = T_0 \quad (3.60) $$

On a donc $\frac{c_l^2}{c_t^2} = \frac{\Delta l}{l}$ où l'on peut décomposer $l = l_0 + \Delta l$ comme la somme de la longueur de la corde non tendue (à vide) augmentée de l'allongement dû à la tension $T_0$. On peut donc exprimer différemment le terme $(c_l^2 - c_t^2)$ de l'équation (3.58) :

$$ (c_l^2 - c_t^2) = c_l^2 \left( 1 - \frac{c_l^2}{c_t^2} \right) = c_l^2 \left( 1 - \frac{\Delta l}{l} \right) = c_l^2 \frac{l_0}{l} = c_l^2 \frac{\text{longueur de la corde à vide}}{\text{longueur de la corde tendue sous } T_0} \quad (3.61) $$
En pratique, notamment en musique, la longueur de la corde tendue au départ est très proche de la longueur de la corde à vide ce qui implique $\frac{c_t^2}{c_l^2} \ll 1$<fnref n="19" />. Cependant les mesures des vitesses pour la propagation des ondes dans les solides (notamment le cas des ondes sismiques) donnent un rapport $c_t^2/c_l^2$ de l'ordre de 0.25 ce qui confirme la nécessité de prendre en compte le couplage longitudinal-transversal dans ces cas là.

L'équation (3.58) est non-linéaire en les fonctions $\eta$ et $y$ à cause du dernier terme entre crochet qui traduit le couplage entre le déplacement transversal et longitudinal de la corde. Dans le cadre des petits déplacements, nous pouvons effectuer un développement limité de ce terme en ne conservant que des termes polynomiaux en les dérivées spatiales sur les déplacements transversaux et longitudinaux de la corde (l'équation restera donc non-linéaire). Pour ce faire, on introduit la fonction :

$$g(x, y) = \frac{1}{\sqrt{(1 + x)^2 + y^2}}, \qquad (3.62)$$

dont le gradient et la matrice hessienne sont :

$$\vec{\nabla} g(x, y) = \begin{pmatrix} -\frac{x+1}{\sqrt{(1+x)^2 + y^2}} \\ -\frac{y}{\sqrt{(1+x)^2 + y^2}} \end{pmatrix}, \\ \\ \text{Hess}(g)(x, y) = \begin{pmatrix} \frac{3(x+1)^2}{((1+x)^2 + y^2)^{5/2}} - \frac{1}{((1+x)^2 + y^2)^{3/2}} & \frac{3(1+x)y}{((1+x)^2 + y^2)^{5/2}} \\ \frac{3(1+x)y}{((1+x)^2 + y^2)^{5/2}} & \frac{3y^2}{((1+x)^2 + y^2)^{5/2}} - \frac{1}{((1+x)^2 + y^2)^{3/2}} \end{pmatrix}. \qquad (3.63)$$

Ainsi un développement limité en (0,0) de $g$ à l'ordre 2 donne pour $(h,k)$ dans un petit voisinage de ce point :

$$g(h, k) \approx g(0, 0) + \langle \vec{\nabla} g(0, 0), \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \rangle + \frac{1}{2} t \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \text{Hess}(g)(0, 0) \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \qquad (3.64)$$

$$= 1 - h + \frac{1}{2} t \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} \qquad (3.65)$$

$$= 1 - h + h^2 - \frac{1}{2}k^2. \qquad (3.66)$$

Par soucis de lisibilité, on ôte maintenant les variables $(x,t)$ des équations. En reprenant l'équation (3.58) il vient par projection sur $\vec{e}_x$ et $\vec{e}_y$ et en utilisant la fonction $g$ :

$$\left\{ \begin{aligned} \partial_t^2 \eta - c_l^2 \partial_x^2 \eta &= -(c_l^2 - c_t^2) \partial_x [(1 + \partial_x \eta) \times g(\partial_x \eta, \partial_x y)] \\ \partial_t^2 y - c_l^2 \partial_x^2 y &= -(c_l^2 - c_t^2) \partial_x [\partial_x y \times g(\partial_x \eta, \partial_x y)]. \end{aligned} \right. \qquad (3.67)$$

La forme de l'équation (3.67) nous permet d'affirmer que l'on retrouve bien les équations du modèle CPGE si on garde uniquement le terme d'ordre 0 de $g$, à savoir un système découplé dans lequel le déplacement transversal obéit à une équation de D'Alembert et où l'accélération longitudinale est nulle.

En utilisant le développement limité de la fonction $g$ à l'ordre 2, il vient alors le système d'équations aux dérivées partielles couplées :

$$\left\{ \begin{aligned} \partial_t^2 \eta - c_l^2 \partial_x^2 \eta &= -(c_l^2 - c_t^2) \partial_x \left[ (1 + \partial_x \eta) \times \left(1 - \partial_x \eta + (\partial_x \eta)^2 - \frac{1}{2}(\partial_x y)^2\right) \right] \\ \partial_t^2 y - c_l^2 \partial_x^2 y &= -(c_l^2 - c_t^2) \partial_x \left[ \partial_x y \times \left(1 - \partial_x \eta + (\partial_x \eta)^2 - \frac{1}{2}(\partial_x y)^2 \right) \right], \end{aligned} \right. \qquad (3.68)$$

qui se simplifie en :

<footnote n="19">19. En effet pour une corde de guitare tendue sous une force d'environ $T_0 = 100$ N, dont le module d'Young vaut 200 GPa (pour l'acier) et la section $S \simeq 1 \text{ mm}^2$, on trouve $c_t^2/c_l^2 \simeq 5 \times 10^{-4} \ll 1$.</footnote>
$$
\left\{
\begin{aligned}
\partial_t^2 \eta - c_l^2 \partial_x^2 \eta &= -(c_l^2 - c_t^2) \left[ 3(\partial_x^2 \eta)(\partial_x \eta)^2 - \frac{1}{2}(\partial_x^2 \eta)(\partial_x y)^2 - (\partial_x^2 y)(\partial_x y) (1 + \partial_x \eta) \right] \\
\partial_t^2 y - c_l^2 \partial_x^2 y &= -(c_l^2 - c_t^2) \left[ -\frac{3}{2}(\partial_x y)^2 (\partial_x^2 y) + (\partial_x^2 y) (-\partial_x \eta + (\partial_x \eta)^2) + (\partial_x y)(\partial_x^2 \eta) (2\partial_x \eta - 1) \right],
\end{aligned}
\right.
\qquad (3.69)
$$

où nous voyons apparaître les termes des équations de D'Alembert à gauche pour les déplacement transversaux et longitudinaux de célitérité respectives $c_t$ et $c_l$. Aussi, nous voyons qu'il apparaît des termes d'ordre supérieur non couplés en $\eta$ et en $y$ (premier terme du crochet). Le lecteur pourra consulter [Cha12, appendice C p 273] et [MI68, p 860], pour analyser en détail ce précédent système d'équations. Écrivons une version simplifiée de ce système couplé en ne conservant que les termes d'ordre 3 en $\eta$ et en $y$ et en faisant l'approximation $c_l^2 \gg c_t^2$ :

$$
\left\{
\begin{aligned}
\partial_t^2 \eta - c_l^2 \partial_x^2 \eta &= c_l^2 (\partial_x^2 y)(\partial_x y) = c_l^2 \frac{1}{2} \partial_x (\partial_x^2 y) \\
\partial_t^2 y - c_l^2 \partial_x^2 y &= -c_l^2 [-(\partial_x^2 y)\partial_x \eta - (\partial_x y)(\partial_x^2 \eta)] = c_l^2 \partial_x (\partial_x y \partial_x \eta),
\end{aligned}
\right.
\qquad (3.70)
$$

où l'on voit apparaître des termes en $\partial_x$ dans les membres de droite, qui correspondent aux forces de couplage entre les deux directions longitudinale et transversale vues comme des gradients (à 1D ici) d'énergies potentielles de couplage.

Enfin, signalons également deux références notables en langue française sur le sujet : l'ouvrage [VC93, § 2.1, p. 27; § 5.4, p. 138] et l'article [HLB08], qui offrent un éclairage complémentaire et de grande qualité à ce présent document. Valette et Cuesta [VC93, p 142-158] obtiennent le même système d'équation que celui présenté dans cette partie mais augmenté de la deuxième composante transversale (dans la direction $\vec{e}_z$). Ils discutent ainsi du couplage existant notamment entre les deux composantes transversales de vibration expliquant que la corde excitée initialement selon une dimension transversale seulement, peut vibrer sous la forme d'un faisceau tubulaire autour de l'axe $\vec{e}_x$ (ce qui se voit très aisément expérimentalement).

Hernandez et Le Breton écrivent [HLB08] :

"Les mouvements des cordes sont en général très complexes, car avec les oscillations transversales elles-mêmes couplées aux vibrations longitudinales, coexistent des vibrations de torsion, auxquelles viennent s'ajouter les effets des interactions avec les supports aux points d'attache et avec l'air. [...] En fait, l'usage courant des cordes se limite en général à des oscillations de faibles amplitudes, masquant souvent l'inharmonicité résultant des phénomènes de non-linéarité [qui intervient lors des grandes amplitudes]."

Devaud et Hocquet ajoutent [DH19, § Introduction p 1] :

"Although presented at the simplest level as transverse, the motion of the string consequently entails (in both cases) a longitudinal displacement. This longitudinal displacement, in turn, brings in a modification of the longitudinal tension of the string, hence changes in the transverse propagation celerity associated with a wealth of nonlinearities."

Ripplinger raconte [Rip09] :

"Fletcher [Fle64, p 1] developed a theoretical expression to predict the partial frequencies of a piano string by including a fourth-order stiffness term in the differential equations of motion<fnref n="20" />, but this correction was for low-amplitude displacement and is unrelated to the large-amplitude problem."

<footnote n="20">20. [Établir cette équation est précisément le but des sections suivantes]</footnote>
# 4 Ondes dans une corde élastique avec raideur

## 4.1 Introduction à la théorie des poutres d'Euler-Bernoulli

L'idée des sections à venir est de considérer la corde vibrante comme ayant une section non nulle (un certain diamètre), chose que nous avions négligée précédemment. On peut donc modéliser ses déformations en utilisant la théorie des poutres d'Euler-Bernoulli. Dans ce modèle et lorsque l'on en viendra concrètement à modéliser une corde d'instrument, on considérera bien entendu la corde comme une poutre de section circulaire. Une poutre est [BT95, p 11], [Gra75, § 3.1.1 p 140] :

> "Un solide engendré par la translation d'une surface S [la section droite] dont le centre de gravité décrit une ligne plane [l'axe neutre ($N_a$), voir ci-après], en général une droite ou une courbe à grand rayon de courbure."

Ce modèle suppose que les dimensions caractéristiques des sections droites ("cross-sections" en anglais) sont grandement inférieures en taille devant la longueur de la corde. La grande nouveauté est cette fois de prendre en compte en plus des forces de tension longitudinales des modèles précédents, des forces orthogonales à la corde appelées forces de cisaillement toutes deux contribuant à la déformation du matériau. De plus ces forces ne s'appliquent plus en un point comme dans le cas de la corde mais sur toutes les surfaces infinitésimales constituant la section droite. Néanmoins, le modèle d'Euler-Bernoulli néglige les déformations de cisaillement<fnref n="21" /> : on parle de "shear-rigid beam theory", [Öch21, p 2]. Ceci est représenté sur la figure suivante où une force extérieure de cisaillement est bien nécessaire pour déformer la poutre (en bleu) mais où la déformation n'admet pas de cisaillement : les sections droites restent orthogonales à la ligne neutre et ne sont pas déformées.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Schéma introductif d'une poutre non déformée et déformée sous l'effet d'une force cisaillante dans le modèle d'Euler-Bernoulli.</figcaption></figure>

Voici maintenant les hypothèses qui constituent le modèle des poutres d'Euler-Bernoulli :

### HYPOTHÈSE

Faible courbure

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Les angles de courbure sont faibles.

On notera que les angles de courbures sont relativement élevés sur les dessins pour une meilleure visualisation.

<footnote n="21">21. Consulter [Öch21, chapitre 2 p 7], [BT95, § IV p 10, 3° p 73], [Don70, chapitre IX], [Gra75, 3.1.1 p 140], [HLB08, § B.1 p 679].</footnote>
L'axe neutre ($N_a$) (aussi dit "ligne moyenne") est indéformable pour ces petites déformations et chaque point de cette ligne est le centre de gravité des sections droites.

Les sections droites - par définition perpendiculaires à ($N_a$) avant déformation - demeurent planes, indéformables même après la déformation : On dit que les **sections droites ne gauchissent pas**.

Les sections droites demeurent perpendiculaires à l'axe neutre après la déformation si elles l'étaient avant la déformation<sup>a</sup>.

a. Ayant défini ci-dessus les sections droites comme étant déjà perpendiculaires à l'axe neutre avant la déformation, il suffirait en fait de dire que l'on demande à ce qu'elles le restent après la déformation. Ce point est en quelque sorte redondant avec le précédent.

L'inertie de rotation des sections droites est négligée<sup>a</sup>.

a. Le modèle des poutres de Bresse-Love-Rayleigh, dont on discutera prochainement prend lui en compte le terme d'inertie de rotation.

La distance au point d'abscisse $x$ et au temps $t$ entre l'axe ($Ox$) et l'axe neutre ($N_a$) est notée $y(x, t)$, on l'appelle la **flèche ou la courbe de fléchissement** ("deflection curve" en anglais), voir [BT95, p 74].

Les deux hypothèses sur les sections droites - dites hypothèses de Navier-Bernoulli<sup>22</sup> - signifient comme on l'a écrit plus haut, que l'on néglige les déformations cisaillantes bien qu'il existe des forces de cisaillement<sup>23</sup>, voir figure 4.

Mettons en place les notations permettant l'étude générale des déformations de la poutre dans le cadre de ce modèle. On pourra se référer à la figure 5.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 5 – Schéma détaillé de la courbure d'une poutre d'Euler-Bernoulli</figcaption></figure>

<footnote n="22">22. Voir la section 1.3.1 p 8 https://www.emse.fr/~drapier/index_fichiers/CoursPDF/Meca-Structu2A/Meca-struct-num-Octobre-2021.pdf ou encore [BT95, remarques p 11]</footnote>

<footnote n="23">23. Au sujet du cisaillement on pourra lire [GT91, chapitre 4] et [BT95, chapitre III p 37 et p 75-76].</footnote>
On a choisi de représenter un morceau infinitésimal de poutre ABCD compris, avant déformation entre les abscisses $x - \frac{h}{2}$ et $x + \frac{h}{2}$ et pour lequel on cherche à modéliser la déflexion de l'axe neutre ($N_a$), confondu avant déflexion avec l'axe ($Ox$) de notre repère orthonormé. On imagine la poutre étant composée d'un ensemble de fibres horizontales linéiques et élastiques<sup>24</sup> de longueur $h$ et de section infinitésimale $dS(x, t)$. Sur le schéma, l'axe neutre ($N_a$) passe par les points PQ. On considère une fibre NM au dessus de l'axe neutre et une fibre RS en dessous de l'axe neutre. On note alors $\xi(x, t)$ la distance algébrique entre l'axe neutre et une de ces fibre. De manière générale, on prendra $\xi > 0$ dans le sens du centre de courbure de la poutre (la distance entre la fibre neutre PQ et la fibre NM est $\xi_{NM} > 0$) et $\xi < 0$ dans le sens opposé (la distance entre la fibre neutre PQ et la fibre RS est $\xi_{RS} < 0$).

Les deux hypothèses de Navier-Bernoulli portant sur les sections droites impliquent :

1. Les points $A', R', P', N', D'$ sont alignés sur la section droite $S(x - \frac{h}{2}, t)$ et $S(x + \frac{h}{2}, t)$ est toujours perpendiculaire à l'axe neutre ($N_a$) après déformation. De même, les points $B', S', Q', M', C'$ sont alignés sur $S(x + \frac{h}{2}, t)$.

2. Les aires des sections droites $S(x - \frac{h}{2}, t)$ et $S(x + \frac{h}{2}, t)$ restent inchangées avant et après déformation (la poutre ne s'amincit pas sous l'effet de la déformation) : on notera cette aire $S$ dans la suite. On a donc $PN = P'N'$, $MQ = M'Q'$, $PR = P'R'$ et $SQ = S'Q'$, ce qui entraîne que la distance $\xi(x, t)$ est conservée lors de la déformation et que les fibres restent parallèles entre elles : $\xi(x, t)$ ne dépend ni de $x$ ni de $t$ et sera noté $\xi$ dans la suite.

3. On peut définir un repère local en tout point de l'axe neutre dont les vecteurs directeurs sont $\overrightarrow{s(x, t)}$ le vecteur tangent à la fibre neutre en ce point, $\overrightarrow{n(x, t)}$ un vecteur normal à $\overrightarrow{s(x, t)}$ obtenu après une rotation de $\pi/2$ dans le sens direct (défini par $\theta$) et le vecteur $\overrightarrow{e_z}$ sortant de la feuille en pointant vers le lecteur de sorte que :

$$ \left( \overrightarrow{s(x,t)}, \overrightarrow{n(x,t)}, \overrightarrow{e_z} \right) \qquad (4.1) $$

soit un trièdre orthonormé direct. Notons que cette base locale est valable en tout point de la section droite passant par le point de ($N_a$) d'abscisse $x$ (cf figure 6 ci-dessous).

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE 6 – Définition de la base locale de Frénet associé à la poutre déformée.</figcaption></figure>

Nous conseillons vivement au lecteur non familier avec la notion de courbure et de rayon de courbure de lire l'annexe mathématique à ce sujet avant de poursuivre sa lecture. Après déformation du morceau de poutre, les plans $S(x - \frac{h}{2}, t)$ et $S(x + \frac{h}{2}, t)$ s'intersectent en $O'$ centre du cercle osculant à la courbe représentative de la fonction $y(x, t)$ à un temps $t$ fixé. L'angle réalisé entre ces deux plans est dénoté par $d\theta$ - par abus de langage - et la distance $O'P'$ i.e. entre le centre du cercle osculant et l'axe neutre ($N_a$) est précisément le rayon de courbure $R_c(x, t)$. Les deux premières hypothèses ci-dessus permettent d'écrire que la longueur $P'Q' = PQ$ (la longueur de l'axe neutre après déformation n'est pas altérée!). Ainsi on trouve l'équation :

$$ P'Q' = R_c(x, t) \quad d\theta = PQ = h. \qquad (4.2) $$

Étudions la déformation des fibres de manière quantitative en calculant l'allongement longitudinal (i.e. selon $\overrightarrow{s}$) d'une fibre quelconque située au dessus ou en dessous de l'axe neutre ($N_a$). Nous prenons l'exemple de la fibre NM déformée en la fibre $N'M'$ dont la longueur est donnée par :

$$ N'M' = (R_c(x, t) - \xi)d\theta. \qquad (4.3) $$

<footnote n="24">24. Comme le dirait Morse [MoAoP48, p 152] :</footnote>

<footnote>"Now imagine the bar to be a bundle of fibers of cross-sectional area $dS$, all running parallel to the center plane of the bar."</footnote>
Ainsi l'allongement (normal) longitudinal relatif est :

$$ \epsilon(x,t) = \frac{N'M' - NM}{NM} = \frac{N'M' - PQ}{PQ} \qquad (4.4) $$

$$ = -\frac{\xi}{R_c(x,t)}, \qquad (4.5) $$

où l'on a utilisé le fait que $NM = PQ$ lorsque la poutre est au repos et l'équation (4.2). Ce résultat se généralise à n'importe quelle fibre car $\xi$ est algébrique. Ainsi comme le dirait Graff, on trouve un allongement proportionnel à la distance avec l'axe neutre : [Gra75, § 3.1.1 p 140] (et aussi [GT91, voir après équation (5.2) p 254]) :

"This assumption [les deux hypothèses de Navier-Bernoulli portant sur les sections droites] implies that the longitudinal strains [ici $\epsilon(x,t)$] vary linearly [linéairement en $\xi$] across the depth of the beam [...]."

On a en effet $\epsilon > 0$ (donc une élongation) si $\xi < 0$ (comme pour la fibre RS de la figure 5) et $\epsilon < 0$ (donc une compression) si $\xi > 0$ (comme pour la fibre NM de la figure 5). C'est ce que remarquait déjà Beeckman en 1620, [TE$^+$60, p 27] :

"In considering the bending of a beam, Beeckman in 1620 recognizes that the parts on the convex side are extended, while those on the concave side are contracted, but he does not attempt to formulate a theory."

Enfin, nous ferons dans la suite l'hypothèse que la poutre possède un comportement élastique.

## HYPOTHÈSE

Élasticité

On considère que la corde/poutre est un matériau élastique régit par la loi de Hooke reliant linéairement la contrainte appliquée au matériau à sa déformation, voir [EH85, 71-75].

## 4.2 L'équation d'Euler-Bernoulli : moment fléchissant

Nous nous proposons$^{25}$ maintenant de prouver au regard de ces hypothèses l'équation d'Euler-Bernoulli reliant le moment fléchissant $M_E$ (aussi dit "moment élastique") à la courbure de l'axe neutre :

$$ M_E(x,t) = E I_{\vec{e}_z}(x) \partial_x^2 y(x,t), \qquad (4.6) $$

Cette précédente équation traduit la résistance de la poutre à la déformation où cette dernière est à comprendre au sens de la courbure $\partial_x^2 y(x,t)$ de la courbe y représentant l'axe neutre. Le paramètre E désigne le module d'Young du matériau et $I_{\vec{e}_z}(x)$ représente le moment quadratique d'aire de la section-droite $S(x,t)$ selon l'axe $\vec{e}_z$ (aussi appelé paramètre de rigidité de flexion ou "flexural rigidity" ou "flexural stiffness" en anglais).

Considérons une fibre de poutre déformée, en équilibre. Pour comprimer ou étendre une fibre considérée comme élastique, il aura fallu exercer une force extérieure infinitésimale $\overrightarrow{dT}$ normale à la section droite donc tangente à la fibre (voir la figure 7). On oriente conventionnellement cette force qu'applique l'extérieur par un vecteur sortant au système :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{dT_{g/sys}} = dT \left(x - \frac{h}{2}, t\right) \left( -s \left(x - \frac{h}{2}, t\right) \right) \\ \\ \overrightarrow{dT_{d/sys}} = dT \left(x + \frac{h}{2}, t\right) \overrightarrow{s} \left(x + \frac{h}{2}, t\right) \end{array} \right. \qquad (4.7) $$

La direction de ces forces extérieures est donnée par le signe des composantes $dT(x - h/2, t)$ et $dT(x + h/2, t)$. Dans le cas d'une fibre en compression elles sont négatives et dans le cas d'une fibre en extension, elles sont positives. On pourra se référer à la figure 7.

D'après la loi de Hooke, la composante $dT(x,t)$ en un point $x$ et à un temps $t$ est proportionnelle à l'allongement de la fibre $\epsilon$ ainsi qu'à sa section $dS$ :

$$ dT(x,t) = E \epsilon(x,t) dS = -E \frac{\xi}{R_c(x,t)} dS. \qquad (4.8) $$

On retrouve alors que pour $\xi > 0$, $dT(x,t) < 0$ donc les forces extérieures sont dirigées vers l'intérieur du système et le compressent (et inversement pour $\xi < 0$).

<footnote n="25">25. Nous nous inspirons [FR$^+$98, § 2.15 p 54], [HLB08, § B.1 p 679], [TS63, p 151], [MoAoP48, chapitre IV p 151], [GT91, chapitre 5, § 5.2 p 251].</footnote>
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 7 – Schéma des fibres en compression/extension sous l’effet des forces extérieures. On remarque le profil linéaire de ces forces avec $\xi$ qui traduit le régime de déformation élastique.</figcaption></figure>

**Attention :** les forces $\overrightarrow{dT_{d/sys}}$ et $\overrightarrow{dT_{g/sys}}$ ne possèdent pas les même normes car la courbure de la poutre peut différer en $P'$ et en $Q'$. Les moments résultants de ces forces sont donc de normes différentes en $P'$ et en $Q'$.

Dans l'approximation des petits angles, nous pouvons écrire que (voir l'annexe mathématiques) la courbure, définie pour rappel comme l'inverse du rayon de courbure, est donnée par :

$$ \frac{1}{\mathcal{R}_c(x, t)} \approx \partial_x^2 y(x, t). \qquad (4.9) $$

Ceci est cohérent par ailleurs avec le fait que l'on a supposé les dimensions de la section droite très petites devant la longueur de la poutre. Aussi quand la poutre est déformée, vue de loin, on a affaire à un arc de cercle dont il suffit de connaître le centre et le secteur angulaire pour donner la longueur de cet arc. De l'équation (4.8), il s'ensuit donc :

$$ dT(x, t) = -E \partial_x^2 y(x, t) \xi \, dS \qquad (4.10) $$

Maintenant que l'on a leurs expressions, on peut calculer le moment qu'induisent ces forces au niveau du barycentre $G$ de l'élément de poutre déformée. Si l'on pose le fait que la fibre considérée s'étend du point $N'$ au point $M'$, voir le schéma (5), les moments des forces $\overrightarrow{dT_{g/sys}}$ et $\overrightarrow{dT_{d/sys}}$ calculés en $G$ s'écrivent :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{dM_{g/sys}} = \overrightarrow{GN'} \wedge \overrightarrow{dT_{g/sys}} = -\overrightarrow{GN'} \wedge dT \left(x - \frac{h}{2}, t\right) \quad \overrightarrow{s} \left(x - \frac{h}{2}, t\right) \\ \\ \overrightarrow{dM_{d/sys}} = \overrightarrow{GM'} \wedge \overrightarrow{dT_{d/sys}} = \overrightarrow{GM'} \wedge dT \left(x + \frac{h}{2}, t\right) \quad \overrightarrow{s} \left(x + \frac{h}{2}, t\right) \end{array} \right. \qquad (4.11) $$

On exprime les vecteurs $\overrightarrow{GP'}$ et $\overrightarrow{GQ'}$ comme suit en utilisant l'approximation des petits angles nous obtenons :

$$ \overrightarrow{GQ'} = \frac{h}{2} \overrightarrow{e}_x + \left( y \left( x + \frac{h}{2}, t \right) - y(x, t) \right) \overrightarrow{e}_y = \frac{h}{2} \overrightarrow{e}_x + \frac{h}{2} \left( \partial_x y(x, t) + o_0(1) \right) \overrightarrow{e}_y \approx \frac{h}{2} \overrightarrow{s(x, t)}, \qquad (4.12) $$

en négligeant le petit $o$. De même, on montre que :

$$ \overrightarrow{GP'} \approx -\frac{h}{2} \overrightarrow{s(x, t)}. \qquad (4.13) $$

Dans le cadre de ces approximations, nous nous permettons donc d'écrire l'égalité $\overrightarrow{GP'} = -\overrightarrow{GQ'}$. En exprimant les vecteurs :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{GN'} = \overrightarrow{GP'} + \overrightarrow{P'N'} = -\frac{h}{2} \overrightarrow{s(x, t)} + \xi \overrightarrow{n} \left(x - \frac{h}{2}, t\right) \\ \\ \overrightarrow{GM'} = \overrightarrow{GQ'} + \overrightarrow{Q'M'} = \frac{h}{2} \overrightarrow{s(x, t)} + \xi \overrightarrow{n} \left(x + \frac{h}{2}, t\right) \end{array} \right. \qquad (4.14) $$

on obtient en reprenant (4.11) :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\overrightarrow{dM_{g/sys}} = -\xi \overrightarrow{n\left(x - \frac{h}{2}, t\right)} \wedge dT\left(x - \frac{h}{2}, t\right) \overrightarrow{s\left(x - \frac{h}{2}, t\right)} = \xi \, dT\left(x - \frac{h}{2}, t\right) \overrightarrow{e_z} \\
\\
\overrightarrow{dM_{d/sys}} = \xi \overrightarrow{n\left(x + \frac{h}{2}, t\right)} \wedge dT\left(x + \frac{h}{2}, t\right) \overrightarrow{s\left(x + \frac{h}{2}, t\right)} = -\xi \, dT\left(x + \frac{h}{2}, t\right) \overrightarrow{e_z}
\end{array}
\right.
\qquad (4.15)
$$

en exploitant le fait que $(\overrightarrow{s(x,t)}, \overrightarrow{n(x,t)}, \overrightarrow{e_z})$ soit une base orthonormée directe (BOND).

On définit alors la fonction $dM(x, t) = \xi dT(x, t)$ comme étant la composante selon $\overrightarrow{e_z}$ du moment des forces appliquées par la partie gauche sur la partie droite de la poutre de part et d'autre d'une section droite d'abscisse $x$, voir la figure 7. Pour avoir la projection sur $\overrightarrow{e_z}$ du moment résultant de ces forces, nous sommons sur la section droite d'aire $S$ les projections des moments infinitésimaux $dM(x, t)$ :

$$M(x,t) = \int_S dM(x,t) = \int_S \xi dT(x,t) \qquad (4.16)$$

$$= -E \partial_x^2 y(x,t) \underbrace{\int_S \xi^2 dS}_{I_{\vec{e}_z}} \qquad (4.17)$$

$$= -E I_{\vec{e}_z} \partial_x^2 y(x,t). \qquad (4.18)$$

Ce moment de force est responsable de la rotation de la section droite d'abscisse $x$ autour de $\overrightarrow{e_z}$ et donc de la déformation de la poutre. En réaction à l'application de ce moment, la poutre exerce en retour un moment (de forces intérieures cette fois), qu'Heald et Elmore qualifient de "moment élastique" [EH85, p 88] aussi appelé *moment fléchissant* que l'on note $M_E(x, t)$ et qui modélise le moment qu'exerce la poutre pour compenser le moment des forces extérieures $M(x, t)$ afin qu'elle atteigne l'équilibre (principe d'action-réaction). On retrouve l'équation d'Euler-Bernoulli :

$$M_E(x,t) = -M(x,t) = E I_{\vec{e}_z} \partial_x^2 y(x,t) \qquad (4.19)$$

Autrement dit, ce moment fléchissant traduit la difficulté (ou la résistance) de la poutre à la déformation imposée par les contraintes extérieures : il fait référence au terme de « raideur » dans le nom du modèle. L'expression de ce moment est donc établie pour une poutre à l'équilibre : pour rompre l'équilibre et induire un mouvement de la poutre, les contraintes extérieures devront donc appliquer un moment de force supérieur à ce moment élastique, inhérent à la poutre déformée. Ce terme interviendra donc systématiquement dans les équations du mouvement que l'on obtiendra dans la section prochaine.

On revient au bilan (4.15) sur l'élément de poutre déformé compris entre les abscisses $x - h/2$ et $x + h/2$. Après avoir intégré sur $S$, on peut écrire le moment résultant total qu'appliquent les forces extérieures sur le système au point $G$ d'abscisse $x$ en sommant les contributions des parties gauche et droite (cf figure 7) :

$$\overrightarrow{M_{\text{ext/sys}}}(x,t) = \overrightarrow{M_{\text{g/sys}}} + \overrightarrow{M_{\text{d/sys}}} = \overrightarrow{M_{\text{g/sys}}} - \overrightarrow{M_{\text{sys/d}}} = \overrightarrow{M}\left(x - \frac{h}{2}, t\right) - \overrightarrow{M}\left(x + \frac{h}{2}, t\right) = -h \partial_x M(x,t) \overrightarrow{e_z} \qquad (4.20)$$

Le moment résultant que le système exerce sur l'extérieur pour résister à la déformation imposée est donc obtenu par principe d'action-réaction :

$$\overrightarrow{M_{\text{res}}}(x,t) = \overrightarrow{M_{\text{sys/ext}}} = -\overrightarrow{M_{\text{ext/sys}}} = h \partial_x M(x,t) \overrightarrow{e_z} \qquad (4.21)$$
## 4.3 Equation des ondes dans une corde élastique avec raideur

On considère cette fois la dynamique d'une corde en déformation modélisée comme une poutre d'Euler-Bernoulli. La surface S de ses sections droites est constante et sa masse volumique est notée $\rho$. On travaillera dans toute la suite sur un système composé d'une portion de corde $C_h$ comprise entre les abscisses $x$ et $x+h$ et de centre de gravité $G$.<fnref n="26" />

On suppose désormais que les résultantes des forces de tension s'appliquant aux extrémités de la fibre neutre du tronçon $C_h$ - explicitement en $P'$ à gauche ($F_{g/sys} (x - \frac{h}{2}, t)$) et en $Q'$ à droite ($F_{d/sys} (x + \frac{h}{2}, t)$) - ne sont plus tangentes à la fibre neutre mais peuvent aussi contenir une composante normale. Les notations $P'$ et $Q'$ font référence à la figure 5.

On peut donc décomposer ces forces dans le repère local défini dans l'équation (4.1). Par exemple, la force de tension en $x - \frac{h}{2}$ notée $\overrightarrow{F_{g/sys}}(x - \frac{h}{2}, t)$ est composée :

* de la résultante des efforts normaux à la section droite au point d'abscisse $x$, agissant tangentiellement à la fibre neutre au niveau de la section droite d'abscisse $x - \frac{h}{2}$ i.e. selon le vecteur $-\overrightarrow{s(x - \frac{h}{2}, t)}$ sortant du système et tangent à la fibre. La composante de la résultante de ces forces selon le vecteur $-\overrightarrow{s(x - \frac{h}{2}, t)}$ est notée $T(x - \frac{h}{2}, t)^{27}$.

* de la résultante des efforts tranchants à la section droite au point d'abscisse $x - \frac{h}{2}$, agissant parallèlement à la section droite i.e. selon le vecteur $-\overrightarrow{n(x - \frac{h}{2}, t)}$ normal à la fibre neutre et orienté tel que :

$$ \left( -\overrightarrow{s(x - \frac{h}{2}, t)}, -\overrightarrow{n(x - \frac{h}{2}, t)}, \overrightarrow{e_z} \right) $$

forme une BOND (base orthonormée directe). La composante de la résultante de ces forces selon le vecteur $-\overrightarrow{n(x - \frac{h}{2}, t)}$ est notée $V(x - \frac{h}{2}, t)^{28}$.

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE 8 – Représentation du tronçon infinitésimal $C_h$ de corde soumis à des efforts normaux et tranchants extérieurs s'appliquant sur sa droite, sa gauche. Le système est également soumis au moment $M_{ext/sys}(x, t)$ imposant sa déformation élastique.</figcaption></figure>

En faisant le même type de décomposition pour la force de tension $\overrightarrow{F_{d/sys}}(x + \frac{h}{2}, t)$ en $x + \frac{h}{2}$, on obtient :

<footnote n="26">26. On aurait pu considérer comme système uniquement un morceau infinitésimal d'une fibre quelconque, puis intégrer sur la surface de la section droite de la poutre les théorèmes de la mécanique utilisés ci-après.</footnote>

<footnote n="27">27. Dans certains ouvrages les efforts normaux sont notés $N$.</footnote>

<footnote n="28">28. Dans certains ouvrages les efforts tranchants sont notés $Q$.</footnote>
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\overrightarrow{F_{\text{g/sys}}\left(x-\frac{h}{2}, t\right)} = -T\left(x-\frac{h}{2}, t\right) \overrightarrow{s\left(x-\frac{h}{2}, t\right)} - V\left(x-\frac{h}{2}, t\right) \overrightarrow{n\left(x-\frac{h}{2}, t\right)} \\
\\
\overrightarrow{F_{\text{d/sys}}\left(x+\frac{h}{2}, t\right)} = T\left(x+\frac{h}{2}, t\right) \overrightarrow{s\left(x+\frac{h}{2}, t\right)} + V\left(x+\frac{h}{2}, t\right) \overrightarrow{n\left(x+\frac{h}{2}, t\right)}
\end{array}
\right.
\qquad (4.22)
$$

En gardant les même notations que dans la partie précédente de la corde sans raideur et en rappelant au lecteur que η désigne le déplacement longitudinal, l'application du principe fondamental de la dynamique sur le système C_h donne donc :

$$
\rho S h \overrightarrow{d}_{(\mathcal{R})}(G) = \rho S h (\partial_t^2 \eta(x,t) \overrightarrow{e_x} + \partial_t^2 y(x,t) \overrightarrow{e_y}) \quad (4.23)
$$

$$
= \overrightarrow{F_{\text{g/sys}}\left(x - \frac{h}{2}, t\right)} + \overrightarrow{F_{\text{d/sys}}\left(x + \frac{h}{2}, t\right)} \qquad (4.24)
$$

$$
= T \left( x + \frac{h}{2}, t \right) \overrightarrow{s} \left( x + \frac{h}{2}, t \right) - T \left( x - \frac{h}{2}, t \right) \overrightarrow{s} \left( x - \frac{h}{2}, t \right) \quad (4.25)
$$

$$
+ V \left( x + \frac{h}{2}, t \right) \overrightarrow{n} \left( x + \frac{h}{2}, t \right) - V \left( x - \frac{h}{2}, t \right) \overrightarrow{n} \left( x - \frac{h}{2}, t \right) \quad (4.26)
$$

$$
= \partial_x \left( T(x,t) \overrightarrow{s(x,t)} \right) h + \partial_x \left( V(x,t) \overrightarrow{n(x,t)} \right) h + h\epsilon(\overrightarrow{h}), \quad (4.27)
$$

où $h \mapsto \overrightarrow{\epsilon(h)}$ est définie comme dans les sections précédentes.

Ainsi en quotientant par $h$, en prenant la limite quand $h \to 0$ puis projetant cette précédente relation sur les vecteurs $\overrightarrow{e_x}$, $\overrightarrow{e_y}$ de notre repère, et en se souvenant que le vecteur tangent à la fibre moyenne $\overrightarrow{s}$ et le vecteur normal $\overrightarrow{n}$ sont donnés dans l'approximation des petits angles par :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\overrightarrow{s(x,t)} \approx \overrightarrow{e_x} + \partial_x y(x,t) \overrightarrow{e_y} \\
\\
\overrightarrow{n(x,t)} \approx -\partial_x y(x,t) \overrightarrow{e_x} + \overrightarrow{e_y},
\end{array}
\right.
\qquad (4.28)
$$

il vient :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\rho S \partial_t^2 \eta(x,t) = \partial_x [T(x,t) - V(x,t) \partial_x y(x,t)] \\
\\
\rho S \partial_t^2 y(x,t) = \partial_x [T(x,t) \partial_x y(x,t) + V(x,t)].
\end{array}
\right.
\qquad (4.29)
$$

Notons que ces deux précédentes équations sont similaires à celles obtenues par Graff [Gra75, (3.3.3) et (3.3.5) p 172 pour $k = c = q = 0$]. Nous allons maintenant appliquer le théorème du moment cinétique à l'élément infinitésimal de corde $C_h$ dont les extrémités sont notés $P'$ et $Q'$ (voir la figure 5). On se place dans le référentiel barycentrique $\mathcal{R}^*$ du tronçon infinitésimal dont les axes sont en translation par rapport au référentiel terrestre galiléen (figure 9).

Rappelant et notant :

$$
\overrightarrow{\sigma_G^*(x,t)} := \int_{P \in C_h} \overrightarrow{GP} \wedge \overrightarrow{v}_{(\mathcal{R}^*)}(P) dm(P), \quad (4.30)
$$

le moment cinétique barycentrique du tronçon $C_h$ où $\overrightarrow{v}_{(\mathcal{R}^*)}(P)$ désigne précisément la vitesse d'un point $P$ du tronçon dans le référentiel barycentrique $\mathcal{R}^*$, il vient donc :

$$
\left. \frac{d\overrightarrow{\sigma_G^*(x,t)}}{dt} \right|_{\mathcal{R}} = \overrightarrow{M_{\text{ext/sys}}(x,t)} + \overrightarrow{GQ'} \wedge \left[ T\left(x+\frac{h}{2}, t\right) \overrightarrow{s\left(x+\frac{h}{2}, t\right)} \right] + \overrightarrow{GP'} \wedge \left[ -T\left(x-\frac{h}{2}, t\right) \overrightarrow{s\left(x-\frac{h}{2}, t\right)} \right] \quad (4.31)
$$

$$
+ \overrightarrow{GQ'} \wedge \left[ V \left( x + \frac{h}{2}, t \right) \overrightarrow{n} \left( x + \frac{h}{2}, t \right) \right] + \overrightarrow{GP'} \wedge \left[ -V \left( x - \frac{h}{2}, t \right) \overrightarrow{n} \left( x - \frac{h}{2}, t \right) \right], \quad (4.32)
$$

avec $\overrightarrow{M_{\text{ext/sys}}(x,t)}$ la résultante des moments de fléchissement donné par l'équation (4.20). Nous allons simplifier ces précédentes équations en conduisant des développements limités vectoriels à l'ordre un. Pour ce faire, on se souvient des
équations (4.12) et (4.13) obtenues dans le cadre des petits angles et qui nous donnaient : $\overrightarrow{GP'} = -\overrightarrow{GQ'} = -\frac{h}{2}s(x, t)$.

Ainsi d'une part :

$$ \overrightarrow{GQ'} \wedge \left[ T \left( x + \frac{h}{2}, t \right) s \left( x + \frac{h}{2}, t \right) \right] + \overrightarrow{GP'} \wedge \left[ -T \left( x - \frac{h}{2}, t \right) s \left( x - \frac{h}{2}, t \right) \right] \quad (4.33) $$

$$ = \frac{h}{2} \overline{s(x,t)} \wedge \left[ V(x,t) \overline{s(x,t)} + \frac{h}{2} \partial_x \left( V(x,t) \overline{s(x,t)} \right) + V(x,t) \overline{s(x,t)} - \frac{h}{2} \partial_x \left( V(x,t) \overline{s(x,t)} \right) + \epsilon_1(\overline{h}) \right] \quad (4.34) $$

$$ = \frac{h}{2} \overline{s(x,t)} \wedge \left[ 2V(x,t) \overline{s(x,t)} + \epsilon_1(\overline{h}) \right], \quad (4.35) $$

et d'autre part :

$$ \overrightarrow{GQ'} \wedge \left[ V \left( x + \frac{h}{2}, t \right) n \left( x + \frac{h}{2}, t \right) \right] + \overrightarrow{GP'} \wedge \left[ -V \left( x - \frac{h}{2}, t \right) n \left( x - \frac{h}{2}, t \right) \right] \quad (4.36) $$

$$ = \frac{h}{2} \overline{s(x,t)} \wedge \left[ T(x,t) \overline{n(x,t)} + \frac{h}{2} \partial_x \left( T(x,t) \overline{n(x,t)} \right) + T(x,t) \overline{n(x,t)} - \frac{h}{2} \partial_x \left( T(x,t) \overline{n(x,t)} \right) + \epsilon_2(\overline{h}) \right] \quad (4.37) $$

$$ = \frac{h}{2} \overline{s(x,t)} \wedge \left[ 2T(x,t) \overline{n(x,t)} + \epsilon_2(\overline{h}) \right], \quad (4.38) $$

où les fonctions vectorielles $h \mapsto \overline{\epsilon_1(h)}$, $h \mapsto \overline{\epsilon_2(h)}$ sont définies dans un voisinage de 0 et ont une limite nulle en ce point. Exploitant de nouveau le fait que $(\overline{s(x,t)}, \overline{n(x,t)}, \overline{e_z})$ soit une base orthonormée directe (BOND) on aboutit au final à :

$$ \frac{d}{dt} |_{\mathcal{R}} \overline{\sigma_G^*(x,t)} = \overline{-h \partial_x M(x,t) \overline{e_z}} + \frac{h}{2} \overline{s(x,t)} \wedge \left[ 2T(x,t) \overline{s(x,t)} + \overline{\epsilon_1(h)} \right] \quad (4.39) $$

$$ + \frac{h}{2} \overline{s(x,t)} \wedge \left[ 2V(x,t) \overline{n(x,t)} + \overline{\epsilon_2(h)} \right] \quad (4.40) $$

$$ = (-\partial_x M(x,t) + V(x,t)) \overline{h \vec{e}_z} + \frac{h}{2} \overline{s(x,t)} \wedge (\overline{\epsilon_1(h)} + \overline{\epsilon_2(h)}) . \quad (4.41) $$

Par ailleurs, puisque la section droite $S$ est toujours perpendiculaire à la fibre moyenne après déformation(c’était une hypothèse de la théorie d’Euler-Bernoulli), alors on peut évaluer sa vitesse de rotation grâce à l’angle :

$$ \theta(x,t) = \overline{(\overrightarrow{e_x}, \overline{s(x,t)})}, \quad (4.42) $$

or, du fait que $\overline{s(x,t)} \simeq \overline{e_x} + \partial_x y(x,t) \overline{e_y}$ (l'approximation des petits angles et des petits déplacements), il vient que$^{29}$ :

$$ \theta(x,t) \approx \partial_x y(x,t). \quad (4.50) $$

29. En effet, en se souvenant de la fameuse formule :

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), \quad \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\vec{u}, \vec{v}), \quad (4.43) $$

qui donne, les vecteurs $\overrightarrow{e_x}$ et $\overline{s(x,t)}$ étant unitaires :

$$ \theta(x,t) := \overline{(\overrightarrow{e_x}, \overline{s(x,t)})} = \arccos \left( \frac{\langle \overrightarrow{e_x}, \overline{s(x,t)} \rangle}{\|\overrightarrow{e_x}\| \|\overline{s(x,t)}\|} \right) = \arccos \left( \langle \overrightarrow{e_x}, \overline{s(x,t)} \rangle \right) \quad (4.44) $$

$$ = \arccos \left( \frac{1 + \partial_x \eta(x,t)}{\sqrt{(1 + \partial_x \eta(x,t))^2 + (\partial_x y(x,t))^2}} \right) \quad (4.45) $$

$$ = \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{1 + \left( \frac{\partial_x y}{1 + \partial_x \eta} \right)^2}} \right) (\text{car } \partial_x \eta \ll 1) \quad (4.46) $$

$$ \approx \arccos \left( 1 - \frac{1}{2} (\partial_x y(x,t))^2 \right) \quad (4.47) $$

$$ \approx \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \partial_x y(x,t) \quad (4.48) $$

$$ \approx \partial_x y(x,t), \quad (4.49) $$

où l'on a utilisé que $\arccos(1 - h) = \sqrt{2} \sqrt{h} + o_{h \to 0}(h)$.
On remarque que l'ensemble des moments s'appliquant sur le système est orienté par le vecteur $\vec{e}_z$. Nous cherchons donc à calculer la composante selon $\vec{e}_z$ du moment cinétique barycentrique $\overline{\sigma_G^*(x, t)}$. Il nous faut pour cela les expressions de $\overline{GP}$ et de $\vec{v}_{(\mathcal{R}^*)(P)}$. On utilise la base polaire $(\vec{e}_r, \vec{e}_\alpha)$ (voir figure 9) centrée sur G où on définit :

$$ \alpha = \overline{(s(x, t), \vec{e}_r)}. \qquad (4.51) $$

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE 9 – Représentation de la base polaire permettant de repérer un point de la poutre P de coordonnées $(r(P), \alpha)$ exprimées dans la base polaire $(\vec{e}_r, \vec{e}_\alpha)$. Noter que, par définition, le référentiel barycentrique $(\mathcal{R}^*)$ est en translation par rapport au référentiel terrestre galiléen $(\mathcal{R})$.</figcaption></figure>

On décompose le vecteur $\overrightarrow{GP}$ dans cette base augmentée du vecteur $\vec{e}_z : \overrightarrow{GP} = r(P)\vec{e}_r + z(P)\vec{e}_z$ où $r(P)$ et $z(P)$ sont respectivement les composantes de $\overrightarrow{GP}$ selon $\vec{e}_r$ et $\vec{e}_z$. En effet rappelons qu'en toute rigueur, la corde est modélisée comme une poutre, c à d comme un objet tri-dimensionnel donc $P \in \mathcal{C}_h$ possède une profondeur, régit par $z(P)$. La vitesse d'un point P dans le référentiel barycentrique $\mathcal{R}^*$ (en translation par rapport au référentiel du laboratoire galiléen) est une pure vitesse de rotation puisque :

$$ \vec{v}_{(\mathcal{R}^*)}(P) = \left. \frac{d\overrightarrow{GP}}{dt} \right|_{\mathcal{R}^*} \qquad (4.52) $$

$$ = r(P) \left. \frac{d\vec{e}_r}{dt} \right|_{\mathcal{R}^*} + z(P) \left. \frac{d\vec{e}_z}{dt} \right|_{\mathcal{R}^*} \qquad (4.53) $$

$$ = r(P) \left. \frac{d}{dt} \right|_{\mathcal{R}^*} (\cos(\alpha + \theta)\vec{e}_x + \sin(\alpha + \theta)\vec{e}_y) \qquad (4.54) $$

$$ = r(P) \partial_t \theta(x, t) \vec{e}_\alpha, \qquad (4.55) $$

où l'on a utilisé que l'angle $\alpha$ est constant dans $\mathcal{R}^*$ car P est toujours à la même position par rapport à la ligne neutre (autrement dit, le solide bouge « en bloc »). En utilisant la définition de $\overline{\sigma_G^*(x, t)}$ donnée plus haut, nous pouvons déterminer sa composante selon $\vec{e}_z$ dans le cadre de l'approximation des petits angles :

$$ \overline{\sigma_G^*(x, t)} \cdot \vec{e}_z := \sigma_{G,z}^*(x, t) = \left( \int_{P \in \mathcal{C}_h} \overline{GP} \wedge \vec{v}_{(\mathcal{R}^*)}(P) dm(P) \right) \cdot \vec{e}_z \qquad (4.56) $$

$$ = \int_{P \in \mathcal{C}_h} (r(P)\vec{e}_r + z(P)\vec{e}_z) \wedge (r(P) \partial_t \theta(x, t) \vec{e}_\alpha) dm(P) \cdot \vec{e}_z \qquad (4.57) $$

$$ = \int_{P \in \mathcal{C}_h} r(P)^2 \partial_t \theta(x, t) \vec{e}_z dm(P) \cdot \vec{e}_z - \underbrace{\int_{P \in \mathcal{C}_h} r(P) z(P) \partial_t \theta(x, t) \vec{e}_r dm(P) \cdot \vec{e}_z}_{= 0 \text{ car } \vec{e}_r \perp \vec{e}_z} \qquad (4.58) $$

$$ = \left( \int_{P \in \mathcal{C}_h} r(P)^2 \rho dV \right) \times \partial_t \theta(x, t) \qquad (4.59) $$

$$ = \left( \int_{P \in \mathcal{C}_h} r(P)^2 \rho dV \right) \times \partial_t \partial_x y(x, t), \qquad (4.60) $$
où $r(P)$ désigne la distance entre un point $P$ de l'élément $C_h$ et son projeté orthogonal sur l'axe $(\Delta)$ passant par $G$ et parallèle à $\vec{e}_z$. On appelle la quantité $J_{\Delta,C_h} := \int_{P \in C_h} r(P)^2 \rho dV$ le moment quadratique d'inertie du tronçon $J_{\Delta,C_h}$ par rapport à l'axe $(\Delta)$. Calculons $J_{\Delta,C_h}$ en se souvenant que $\rho$ désigne la masse volumique du matériau constituant la corde. Il vient :

$$J_{\Delta,C_h} = \int_{P \in C_h} r(P)^2 \rho dV \qquad (4.61)$$

$$= \int_{x-h/2}^{x+h/2} \int_{P \in C_h^x} r^2(P) \rho dSdl \qquad (4.62)$$

$$= \rho \int_{x-h/2}^{x+h/2} \int_{P \in C_h^x} r^2(P) dSdl \qquad (4.63)$$

$$= \rho I_{\vec{e}_z} h, \qquad (4.64)$$

où $I_{\vec{e}_z}$ désigne, par définition, le moment quadratique d'aire de la section droite $S$ par rapport à l'axe $\vec{e}_z$ et où $C_h^x$ représente l'ensemble des points de $C_h$ dont l'abscisse est $x$ fixée. En résumé :

$$\overline{\sigma_G^*(x,t)} \cdot \vec{e}_z = I_{\vec{e}_z} \rho h \partial_t \partial_x y(x,t). \qquad (4.65)$$

En vertu de (4.41) on tire après projection sur $\vec{e}_z$ :

$$I_{\vec{e}_z} \rho h \partial_t^2 \partial_x y(x,t) = (-\partial_x M(x,t) + V(x,t)) h + \frac{h}{2} \left( \overrightarrow{s(x,t)} \wedge \left( \overrightarrow{\epsilon_1(h)} + \overrightarrow{\epsilon_2(h)} \right) \right) \cdot \vec{e}_z. \qquad (4.66)$$

Quotientant par $h$, faisant tendre $h \to 0$ et isolant $V(x,t)$ on récolte :

$$V(x,t) = I_{\vec{e}_z} \rho \partial_t^2 \partial_x y(x,t) + \partial_x M(x,t). \qquad (4.67)$$

Cette équation traduit physiquement ce que nous avons abordé dans la fin de la section précédente sur le moment fléchissant vis à vis de la poutre en équilibre. Pour passer d'un état d'équilibre à un autre (pour rompre l'équilibre en fait, c'est-à-dire avoir une variation temporelle de $\sigma^*$ non nulle), on est obligé d'appliquer une force $V$ qui soit assez élevée pour au moins compenser le terme de résistance élastique intrinsèque à la poutre dont l'expression est justement $\partial_x M(x,t)$. La subtilité réside ici dans le fait que ce terme résistant à la mise en mouvement n'est ni constant ni homogène : l'obtention d'un nouvel état d'équilibre modifie la valeur du moment fléchissant $M_E = -M$.

Ainsi l'utilisation du théorème du moment cinétique nous a permis de nous débarrasser d'une inconnue i.e. la résultante $V(x,t)$ des efforts tranchants sur laquelle on ne connaît rien. Quant au moment des forces extérieures $M(x,t)$, il est lui directement reliée à $y(x,t)$ grâce à l'équation d'Euler-Bernoulli (4.19) et est donc considéré comme connu : explicitement, on modélise bien notre morceau de corde comme une poutre au sens de ce modèle d'Euler-Bernoulli. Injectant (4.67) dans (4.29) on obtient alors le système d'équations :

$$\left\{ \begin{array}{l} \rho S \partial_t^2 \eta(x,t) = \partial_x [T(x,t) - (I_{\vec{e}_z} \rho \partial_t^2 \partial_x y(x,t) + \partial_x M(x,t)) \partial_x y(x,t)] \\ \rho S \partial_t^2 y(x,t) = \partial_x [T(x,t) \partial_x y(x,t) + I_{\vec{e}_z} \rho \partial_t^2 \partial_x y(x,t) + \partial_x M(x,t)]. \end{array} \right. \qquad (4.68)$$

Il reste à discuter de la résultante $T(x,t)$ des forces normales aux sections droites. On distinguera deux cas :

1. $T(x,t) = T_0$ : Comme dans le cas du modèle de d'Alembert, on peut considérer que la tension est constante dans la corde. Cette hypothèse est raisonnable si l'on néglige le déplacement longitudinal $\eta$ ainsi que les termes non linéaires. La première équation de (4.68) devient donc :

$$0 = \partial_x T(x,t), \qquad (4.69)$$

soit $T$ est constante en la variable d'espace. On peut également la supposer constante en la variable de temps en reprenant la même discussion faite dans la section présentant le modèle CPGE. On peut alors réécrire la deuxième équation du système (4.68) (dans laquelle on aura injecté l'équation d'Euler-Bernoulli (4.19)) pour déterminer le déplacement transversal $y$ de la corde :

$$\rho S \partial_t^2 y(x,t) = T_0 \partial_x^2 y(x,t) + I_{\vec{e}_z} \rho \partial_t^2 \partial_x^2 y(x,t) - EI_{\vec{e}_z} \partial_x^4 y(x,t), \qquad (4.70)$$
équation que l'on remet sous la forme standard dite du **modèle de Bresse-Love-Rayleigh** (1859-1892/1893-1877) :

$$ \left( \frac{I_{\vec{e}_z}}{S} \left[ \frac{E}{\rho} \partial_x^4 - \partial_t^2 \partial_x^2 \right] - \frac{T_0}{\rho S} \partial_x^2 + \partial_t^2 \right) y(x,t) = 0, \quad (4.71) $$

pour l'écrire comme Rayleigh lui-même [Ray77, équation (4) § 188 p 242] (voir aussi l'équation (??)) ou encore sous la forme développée :

$$ \underbrace{\frac{EI_{\vec{e}_z}}{\rho S} \partial_x^4 y(x,t)}_{\text{Rigidité en flexion}} - \underbrace{\overbrace{\frac{I_{\vec{e}_z}}{S} \partial_t^2 \partial_x^2 y(x,t)}^{\text{Inertie de rotation des sections droites}} - \frac{T_0}{\rho S} \partial_x^2 y(x,t)}_{\text{Tension}} + \underbrace{\overbrace{\partial_t^2 y(x,t)}^{\text{Inertie transversale}}}_{\text{Équation de D'Alembert}} = 0 \quad (4.72) $$

Ce modèle est bien une complexification de celui de D'Alembert. Cette fois on a affaire à un opérateur différentiel d'ordre 4.

2. $T(x,t) = T_0 + ES \partial_x \eta(x,t)$ : Dans l'hypothèse où le matériau est élastique, on obtient cette équation à partir de l'équation (3.46) après avoir fait un développement limité dans lequel on néglige les termes non-linéaires (en la dérivée d'espace du déplacement transversal). En reportant cette expression dans (4.68), on obtient deux équations aux dérivées partielles, non linéaires, couplées entre le déplacement longitudinal et transversal :

$$ \begin{cases} \rho S \partial_t^2 \eta = ES \partial_x^2 \eta - (I_{\vec{e}_z} \rho \partial_t^2 \partial_x^2 y - EI_{\vec{e}_z} \partial_x^4 y) \partial_x y - (I_{\vec{e}_z} \rho \partial_t^2 \partial_x y - EI_{\vec{e}_z} \partial_x^3 y) \partial_x^2 y \\ \rho S \partial_t^2 y = T_0 \partial_x^2 y + ES \partial_x^2 \eta \partial_x y + ES \partial_x \eta \partial_x^2 y + I_{\vec{e}_z} \rho \partial_t^2 \partial_x^2 y - EI_{\vec{e}_z} \partial_x^4 y. \end{cases} \quad (4.73) $$

Le lecteur pourra d'ailleurs trouver explicitement les équations de ce couplage (sans le terme faisant intervenir l'accélération des sections droites $\partial_t^2 \partial_x^2 y(x,t)$) aux [Gra75, équations (3.3.7) et (3.3.8) p 172].

Notons que l'on retrouve naturellement dans la seconde équation de ce système, dans le membre de droite, le terme de couplage $ES \partial_x(\partial_x \eta \partial_x y)$ obtenus en fin de partie 3 dans l'équation simplifiée (3.70). Par contre, le terme de couplage de la première équation de (3.70) n'apparaît pas ici car on a fait une approximation plus grossière qu'à la partie 3 en écrivant $T(x,t) = T_0 + ES \partial_x \eta(x,t)$.
# 5 Annexe rappels de calcul infinitésimal

Dans cette annexe on propose quelques rappels de calcul infinitésimal, notamment basés sur une approche heuristique.

1. **Rappel sur la notion de tangente à une courbe** : On considère une courbe $C_f$ représentant une fonction dérivable $x \mapsto f(x)$. On se donne le point $A = (a, f(a))$ avec $a > 0$ et on va fixer deux accroissements $a + h_2$ et $a + h_1$ avec $h_2 < h_1$. On place le points $M_1 = (a + h_1, f(a + h_1))$ et $M_2 = (a + h_2, f(a + h_2))$. Commençons par illustrer la situation comme suit :

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Le taux d'accroissement de $f$ en $a$ évalué en $h_i$, soit $\tau_a f(h_i) = \frac{f(a+h_i)-f(a)}{h_i}$ - qui est précisément le coefficient directeur des droites ($AM_i$) - est positif pour tout $h_i \neq 0$ proche d'un voisinage de $a$ (sur le schéma, on s'est placé dans la situation où $h_i > 0$). Si l'on créait une suite de points ($h_n$) vérifiant $h_n \xrightarrow{n \to +\infty} a$ - disons avec $h_n > a$ pour tout $n$ pour simplifier - on verrait que la famille de droites ($AM_n$) converge vers une droite : la tangente à $C_f$ au point $a$.

Puisque $f$ est dérivable et que $\tau_a f(h) \ge 0$ pour tout $h \neq 0$ du fait que la fonction $f$ est croissante au voisinage de $a$, alors en prenant la limite lorsque $h \to 0$, on récolte $f'(a) \ge 0$. Par ailleurs cette quantité $f'(a)$, le nombre dérivé en $a$, représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$. Cette tangente nous donne une première idée du comportement local (au voisinage de $a$) de la courbe $C_f$. C'est à dire (et peut le voir sur le dessin), au voisinage de $a$, la courbe "ressemble à un petit morceau de la tangente". C'est précisément ce qu'exprime l'idée d'un développement limité à l'ordre 1 :

$$f(a+h) = \underbrace{f(a) + f'(a)h}_{\text{approximation affine linéaire}} + \overbrace{h\epsilon(h)}^{\text{reste}}, \qquad (5.1)$$

où $\epsilon : \mathcal{V}(0) \to 0$ est une fonction définie sur un voisinage $\mathcal{V}(0)$ de l'origine et de limite nulle en 0.

Une autre façon utile de voir les choses est de dire qu'au voisinage de $a$ i.e. pour $h$ proche de 0 la différence $h \mapsto f(a+h) - f(a)$ varie linéairement puisque :

$$f(a+h) - f(a) \approx f'(a)h, \qquad (5.2)$$

modulo le reste $h\epsilon(h)$ qu'on considère négligeable. Néanmoins la tangente, a fortiori la dérivée, ne disent rien sur la courbure de la courbe $C_f$ c à d à quel point la forme de la courbe est "tordue".
2. **Rappel sur la longueur d'un arc prescrit par une courbe** : Soit $f$ une courbe de classe $C^1([b, c], \mathbb{R})$. L'expression de la longueur de l'arc de courbe entre les abscisses $b$ et $c$ est donnée par :

$$ \mathcal{L}_f = \int_b^c \sqrt{1 + (f'(s))^2} ds. \qquad (5.3) $$

La quantité $\sqrt{1 + (f'(s))^2} ds$ correspond précisément à la longueur infinitésimale d'un morceau de courbe i.e. en prenant l'intégrale, on fait la somme d'une infinité de morceaux infinitésimaux de courbe. En effet, pour $a \in [b, c]$, lorsque $h > 0$ est petit de sorte que $[a, a + h] \subset [b, c]$, on peut considérer que le morceau infinitésimal de courbe $C_h$ de longueur disons $d_h$ est assimilable à un segment$^{30}$ alors en vertu du théorème de Pythagore on peut écrire :

$$ d_{C_h}^2 = h^2 + (f(a+h) - f(a))^2, \qquad (5.4) $$

$$ d_{C_h} = h \sqrt{1 + \left( \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \right)^2}. \qquad (5.5) $$

Puisque $f$ est dérivable en $a$ alors :

$$ \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a). \qquad (5.6) $$

Par continuité de la fonction $s \mapsto \sqrt{1+s^2}$ sur $\mathbb{R}$, le passage à la limite quand $h \to 0$ donne par composition de limites :

$$ \lim_{h \to 0^+} \frac{d_{C_h}}{h} \approx \sqrt{1 + (f'(a))^2}. \qquad (5.7) $$

Autrement dit, localement, pour $h > 0$ suffisamment proche de 0, la distance du morceau $d_{C_h}$ de courbe vaut environ $h\sqrt{1+(f'(a))^2}$.

3. **Rappel sur la notion de courbure d'un arc** : Nous allons dans cette partie introduire les notions de courbure et de rayon de courbure associés de la courbe d'une fonction $x \mapsto f(x)$, voir par exemple [GT91, p 251-252, p 462-465], [Law72, p 22].

On considère une courbe concave $C_f$ représentant une fonction deux fois dérivable $x \mapsto f(x)$. On se donne le point $A = (a, f(a))$ avec $a > 0$ et on place avec $h > 0$, le point $M = (a+h, f(a+h))$. On trace les tangentes $\tau_A$ et $\tau_M$ respectivement au point $A$ et $M$ et les normales $n_A$ et $n_M$ à ces droites passant respectivement par les points $A$ et $M$. Ces normales se croisent au point $O$, centre du cercle osculant (du latin "osculum" qui signifie "petit baiser") de rayon (de courbure) $\mathcal{R}_c(a)$. On obtient :

Notons, voir le schéma 10, $\theta_h(a)$ l'angle entre la tangente $\tau_A$ et l'axe des abscisses ou de façon plus exacte l'angle orienté $(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{u_{\tau_A}})$ où $\overrightarrow{u_{\tau_A}}$ est le vecteur unitaire directeur de la tangente $\tau_A$. De même on définit $\theta_h(a+h)$ représente l'angle entre la tangente $\tau_M$ et l'axe des abscisses. Avec un peu de trigonométrie de sorte que, lorsque $h > 0$ est petit on puisse approximer le morceau infinitésimal $C_h$ par un segment, on a :

$$ \tan(\theta_h(a)) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}. \qquad (5.8) $$

Puisque $f$ est dérivable en $a$ et arctan est continue sur $\mathbb{R}$ on a :

$$ \theta_h(a) \xrightarrow{h \to 0} \theta(a) := \arctan(f'(a)). \qquad (5.9) $$

Puisque $\theta = \arctan \circ f'$, alors $\theta$ est dérivable comme composée de deux fonctions dérivables (on rappelle que l'on a supposé $f$ deux fois dérivable). En dérivant cette composée de fonctions on obtient :

$$ \theta'(x) = \frac{f''(x)}{1 + (f'(x))^2}. \qquad (5.10) $$

Grâce à ce que l'on disait au point précédent sur la longueur d'un morceau de courbe et en y reprenant, on peut dire que la longueur $d_{C_h}$ du morceau infinitésimal de courbe $C_h$ vaut :

$$ d_{C_h} \approx h \sqrt{1 + (f'(a))^2}. \qquad (5.11) $$

<footnote n="30">30. On s'apprête à approcher le tronçon $C_h$ par un morceau de la tangente en $a$ à la courbe $C_f$...</footnote>
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE 10 – Figure illustrant la notion de courbure et de cercle osculant</figcaption></figure>

On utilise que la longueur d'un arc de cercle de portion angulaire $\theta_h(a+h) - \theta_h(h)$ - reporté en $d\theta$ par abus de notation sur le schéma 10 - et de rayon $\rho_h(a)$ est :

$$d_{C_h} = \mathcal{R}_c^h(a) (\theta(a+h) - \theta(h)), \qquad (5.12)$$

égalité qui fait sens en supposant que $\mathcal{R}_c^h(a) \simeq \mathcal{R}_c^h(a+h)$ i.e. nous sommes précisément en train d'approcher la courbe $C_f$ par un cercle de centre $O$ où $\mathcal{R}_c^h(a), \mathcal{R}_c^h(a+h)$ sont des rayons de ce cercle. Cela entraîne :

$$\frac{1}{\mathcal{R}_c^h(a)} = \frac{\theta(a+h) - \theta(h)}{d_{C_h}} = \frac{\theta(a+h) - \theta(h)}{h\sqrt{1+(f'(a))^2}}. \qquad (5.13)$$

Invoquant de nouveau la dérivabilité de $\theta$ en $a$ et en prenant la limite quand $h \to 0^+$ on obtient grâce à (5.10) :

$$\frac{1}{\mathcal{R}_c^h(a)} \xrightarrow{h \to 0^+} \frac{1}{\mathcal{R}_c(a)} := \frac{\theta'(a)}{\sqrt{1+(f'(a))^2}} = \frac{f''(a)}{(1+(f'(a))^2)^{\frac{3}{2}}} \qquad (5.14)$$

La quantité $\mathcal{R}_c(a)$ s'appelle le rayon de courbure au point d'abscisse $x = a$ tandis que la quantité $\frac{1}{\mathcal{R}_c(a)}$ s'appelle la courbure. Lorsque les angles de courbure sont faibles i.e. $\theta(a) \ll 1 \Rightarrow f'(a) \ll 1$, on peut approcher la courbure par la dérivée seconde :

$$\frac{1}{\mathcal{R}_c(a)} \approx f''(a). \qquad (5.15)$$

Une courbe avec une courbure positive est dite convexe et concave lorsque sa courbure est négative. Noter qu'une droite est un objet mathématique dont on aimerait "logiquement" qu'il n'ait pas de courbure puisqu'on peut la représenter par un "trait droit". Cela est cohérent avec le fait que la dérivée seconde d'une fonction affine $f(x) = ax + b$ - dont la représentation est une droite justement - est nulle en tout point.

4. **Rappel sur le théorème fondamental de l'analyse** : On rappelle que si $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, et $f : I \to \mathbb{R}$ est une fonction continue, alors une primitive $F$ de $I$ est une fonction $F : I \to \mathbb{R}$, qui vérifie :

$$\forall x \in I, F'(x) = f(x). \qquad (5.16)$$

Sans doute n'est-il pas inutile non plus d'insister qu'on ne parle pas de "la" primitive mais bel et bien "d'une" primitive, puisque si on en trouve une, alors la somme de celle-ci et d'un réel quelconque demeure une primitive... On énonce le théorème fondamental de l'analyse :
**Théorème 5.1.** Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $x_0 \in I$ et $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Alors $F : I \to \mathbb{R}, x \mapsto \int_{x_0}^x f(t)dt$ est une primitive de $f$ et $F$ est de classe $C^1(I, \mathbb{R})$.

Comme le lecteur l'aura sans doute vu au moment du calcul de la longueur d'un arc, l'outil "intégrale" n'est pas seulement fait pour calculer des aires sous des courbes. Il permet de faire la "somme continue" de "morceaux infinitésimaux" de courbe, surface, volume.
Références

[Ana69] GV Anand. Large-amplitude damped free vibration of a stretched string. *The Journal of the Acoustical Society of America*, 45(5):1089-1096, 1969.

[BD23] Stefan Bilbao and Michele Duceschi. Models of musical string vibration. *Acoustical Science and Technology*, 44(3):194-209, 2023.

[Bre59] Jacques Antoine Charles Bresse. *Cours de mécanique appliquée : Résistance des matériaux et stabilité des constructions*, volume 1. Mallet-Bachelier, 1859.

[BT95] G Buhot and P Thuillier. *Cours de mécanique 2 : Résistance des matériaux*. Masson et cie, 1995. Cinquième tirage.

[Buk08] John Bukowski. Christiaan Huygens and the problem of the hanging chain. *The College Mathematics Journal*, 39(1):2-11, 2008.

[Car45] GF Carrier. On the non-linear vibration problem of the elastic string. *Quarterly of applied mathematics*, 3(2):157-165, 1945.

[Cha12] Juliette Chabassier. *Modélisation et simulation numérique d'un piano par modèles physiques*. PhD thesis, Ecole Polytechnique X, 2012.

[dB51] Louis de Broglie. Un mathématicien, homme de lettres : D'Alembert. *Revue d'histoire des sciences et de leurs applications*, pages 204-212, 1951.

[DH19] Martin Devaud and Thierry Hocquet. An essay on the vibrating string and its nonlinearities. 2019.

[Don70] William Fishburn Donkin. *Acoustics : Theoretical. Part 1*. Clarendon Press Series, 1870.

[EH85] William Cronk Elmore and Mark A Heald. *Physics of waves*. Dover, 1985. McGraw-Hill Book Company First Edition 1969.

[EKN15] Isaac Elishakoff, Julius Kaplunov, and Evgeniya Nolde. Celebrating the centenary of Timoshenko's study of effects of shear deformation and rotary inertia. *Applied Mechanics Reviews*, 67(6):060802, 2015.

[Eli20] Isaac Elishakoff. Who developed the so-called Timoshenko beam theory? *Mathematics and Mechanics of Solids*, 25(1):97-116, 2020.

[Fle64] Harvey Fletcher. Normal vibration frequencies of a stiff piano string. *The Journal of the Acoustical Society of America*, 36(1):203-209, 1964.

[FR+98] Neville H Fletcher, Thomas D Rossing, et al. The physics of musical instruments, 1998. Second Edition.

[Gal95] Galileo Galilei. Discours concernant deux sciences nouvelles, traduction. *Maurice Clavelin (Paris : PUF, 1995)*, 19, 1995.

[Gou84] Colin Gough. The nonlinear free vibration of a damped elastic string. *The journal of the acoustical society of america*, 75(6):1770-1776, 1984.

[Gra75] Karl F Graff. *Wave motion in elastic solids*. Dover Publication, NY, 1975.

[GT91] James M Gere and Stephen P Timoshenko. Mechanics of materials. Springer, 1991.

[HLB08] Christophe HERNANDEZ and Claude LE BRETON. Inharmonicité des modes d'oscillation des cordes vibrantes. *Bulletin de l'Union des physiciens*, (904):667-682, 2008.

[Law72] J Dennis Lawrence. *A catalog of special plane curves*. Dover Publications, 1972. First Edition.

[Lei95] Gottfried Wilhelm Leibniz. Naissance du calcul différentiel, trad. *Marc Parmentier, Collection Mathesis, Vrin, Paris*, 1995. seconde édition.

[Lov44] AEH Love. A treatise on the mathematical theory of elasticity. 1944. Fourth Edition.

[MI68] Philip McCord Morse and K Uno Ingard. *Theoretical acoustics*. McGraw-Hill Book Company, 1968.

[MoAoP48] Philip McCord Morse, Acoustical Society of America, and American Institute of Physics. *Vibration and sound*, volume 2. McGraw-Hill New York, 1948.

[Nar68] R Narasimha. Non-linear vibration of an elastic string. *Journal of Sound and Vibration*, 8(1):134-146, 1968.

[Öch21] Andreas Öchsner. *Classical beam theories of structural mechanics*, volume 42. Springer, 2021.

[Ray77] John William Strutt Baron Rayleigh. *The theory of sound*. Macmillan, 1877.

[Rip09] David C Ripplinger. *Normal frequencies of a string vibrating at large amplitudes*. PhD thesis, Citeseer, 2009.

[TE+60] Clifford Truesdell, Leonhard Euler, et al. The rational mechanics of flexible or elastic bodies, 1638-1788 : introduction to leonhardi euleri opera omnia, vol. x et xi seriei secundae. (No Title), 1960.

[TS63] Andrey Nikolayevich Tikhonov and Aleksandr Andreevich Samarskii. *Equations of mathematical physics*. Dover Publications, 1963.

[VC93] Claude Valette and Christian Cuesta. *Mécanique de la corde vibrante*. Hermes, 1993.