On voit apparaître une fonction complexe, elle-même fonction d'une valeur complexe des variables. Ainsi le supposé « intérieur » d'un tel objet n'existe que dans l'imagination des théoriciens, au sens strict, puisque ceux-ci décident de considérer comme réel ce qui est imaginaire.

## L'émergence du surréalisme en physique.

Les années ont passé. Aucun théoricien ne se soucie de revenir aux textes fondateurs, ni d'envisager un autre modèle. Voici les raisonnements qui figurent dans tous les livres et manuels destinés à la formation des étudiants. Nous reproduisons à titre d'exemple des éléments de la section 6.8 du chapitre 6 de l'ouvrage de la référence [18]. Le choix de la forme de la métrique introduite par Tolman [16] est alors simplement présenté comme « raisonnable ».

- Quand $r$ devient inférieur à $2m$ (le rayon de Schwarzschild), les signes des composants de la métrique $g_{00}$ (potentiel métrique se référant au temps) et $g_{11}$ (potentiel métrique se référant à la supposée coordonnée radiale) changent, $g_{11}$ devenant positif et $g_{00}$ négatif. Ceci nous oblige à reconsidérer la signification physique (...) accordée aux variables $t$ et $r$ en tant que système de repérage du temps et du rayon, à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild. En fait une *ligne d'univers* qui se trouve décrite selon un $t$, c'est à dire avec $(r, \theta, \varphi)$ constants, correspond à un $ds^2 < 0$. C'est *une courbe du genre espace (spacelike curve)*, tandis qu'un ligne d'univers pour laquelle $ds^2 > 0$ est *une courbe du genre temps (timelike curve)*.

Et là vous tombez sur une conséquence d'une autre erreur de Hilbert, celle de doter l'espace temps de deux systèmes de mesure, le second se référant à des portions de courbes qu'il appelle « segments » et pour lesquels le signe de la forme bilinéaire se trouve inversé.

nicht sein Vorzeichen ändert: ein Kurvenstück, für welches

$$G\left(\frac{dx_s}{dp}\right) > 0$$

ausfällt, heiße eine *Strecke* und das längs dieses Kurvenstücks genommene Integral

$$\lambda = \int \sqrt{G\left(\frac{dx_s}{dp}\right)} dp$$

heiße die *Länge der Strecke*

<caption>Fig.27 : La seconde « longueur » mesurée sur les « segments » de Hilbert.</caption>
Traduction :

- Une portion de courbe où (la forme $G$ est positive) sera appelée segment, tandis que (l'expression donnant le scalaire $\lambda$) représente la longueur de ce segment.

Cette vision des choses est en totale contradiction avec celle d'Einstein, K. Schwarzschild, de J. Droste, H.Weyl, et de tous les scientifiques-mathématiciens qui à cette époque contribuaient à la construction de la relativité générale. Dans l'article de Schwarzschild, par exemple on lit :

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Fig.28 : Comment Schwarzschild définit la longueur, essentiellement positive.</figcaption></figure>

Traduction :

- Considérons un point qui se meut selon (les expressions de la figure), où les variables sont des fonctions des variables $x$ (coordonnées de points de l'hypersurface espace-temps) et où les valeurs de $x$ doivent être considérées comme constantes au début et à la fin du chemin suivi pour l'intégration. En clair, le point devra se déplacer selon une géodésique de la variété (manifold) caractérisée par l'élément $ds$.

Comment Hilbert en est-il arrivé à doter l'espace-temps de deux longueurs ? Peut-être avait-il en têt l'idée de créer une métaphysique, vis à vis des évènements se produisant à l'intérieur (...) de la sphère de Schwarzschild.

Reprenons le texte de la référence [18].
Traduction :

- Une portion de courbe où (la forme $G$ est positive) sera appelée segment, tandis que (l'expression donnant le scalaire $\lambda$) représente la longueur de ce segment.

Cette vision des choses est en totale contradiction avec celle d'Einstein, K. Schwarzschild, de J. Droste, H.Weyl, et de tous les scientifiques-mathématiciens qui à cette époque contribuaient à la construction de la relativité générale. Dans l'article de Schwarzschild, par exemple on lit :

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Fig.28 : Comment Schwarzschild définit la longueur, essentiellement positive.</figcaption></figure>

Traduction :

- Considérons un point qui se meut selon (les expressions de la figure), où les variables sont des fonctions des variables $x$ (coordonnées de points de l'hypersurface espace-temps) et où les valeurs de $x$ doivent être considérées comme constantes au début et à la fin du chemin suivi pour l'intégration. En clair, le point devra se déplacer selon une géodésique de la variété (manifold) caractérisée par l'élément $ds$.

Comment Hilbert en est-il arrivé à doter l'espace-temps de deux longueurs ? Peut-être avait-il en têt l'idée de créer une métaphysique, vis à vis des évènements se produisant à l'intérieur (...) de la sphère de Schwarzschild.

Reprenons le texte de la référence [18].
- Il apparaîtrait donc naturel (...) de traiter $r$ comme une coordonnée de temps et $t$ comme une coordonnée radiale (...). Nous interprétons $ds/c$ comme le temps propre le long the lignes d'univers parcourues par une particule. Alors, comme nous l'avons montré dans la section 4.2 cette définition n'a de sens physique que si $ds^2 > 0$. De même, une particule massive ne peut se maintenir sur une trajectoire à $r$ constant à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild, ce qui entraînerait que $ds^2 < 0$ e long de cette ligne d'univers.

## L'artefact des coordonnées de Kruskal.

Citons la dérivation « standard » de la prétendue solution de Schwarzschild, par exemple en citant les pages correspondance du chapitre 6 de l'ouvrage de la référence [18], datant de 1975. Page 186 l'équation (6.4) représente la forme la plus générale de la métrique, en l'absence de termes croisés. Le signe moins montre que les auteurs entendent, avec A, B, C; D positifs, introduire d'emblée la signature (+---) de la métrique. :

$$ (6.3) \qquad ds^2 = Ac^2 dt^2 - (B dr^2 + Cr^2 d\theta^2 + Dr^2 \sin^2 \theta d\phi^2) $$

Furthermore, by our assumption of radial symmetry, the functions A, B, C, and D must be functions of $r$ only. One more simplification of the form of the line element can be made on the basis of symmetry: we can suppose that the functions $C(r)$ and $D(r)$ which appear in (6.3) are equal. This can be seen as follows: A displacement by $\epsilon = r d\theta$ from the north pole ($\theta = 0$) corresponds to $ds^2 = -C\epsilon^2$, and a displacement by $\epsilon = r d\phi$ along the equator ($\theta = \pi/2$) corresponds to $ds^2 = -D\epsilon^2$. If $\theta$ and $\phi$ are to represent angular coordinates, we should expect these quantities to be equal due to isotropy, which requires that $C \equiv D$. Then

$$ (6.4) \qquad ds^2 = Ac^2 dt^2 - B dr^2 - C(r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2) $$

The above line element represents the simplest form which is dictated by the symmetry requirements; however, it is possible to obtain a further simplification by a judicious choice of a radial coordinate. Specifically,

Fig.29 : Extrait de la page 186 de la référence [18]

Mais dans les dernières lignes on lit « néanmoins, il est possible d'obtenir une simplification supplémentaire par un choix judicieux de coordonnée radiale ».
- Il apparaîtrait donc naturel (...) de traiter $r$ comme une coordonnée de temps et $t$ comme une coordonnée radiale (...). Nous interprétons $ds/c$ comme le temps propre le long the lignes d'univers parcourues par une particule. Alors, comme nous l'avons montré dans la section 4.2 cette définition n'a de sens physique que si $ds^2 > 0$. De même, une particule massive ne peut se maintenir sur une trajectoire à $r$ constant à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild, ce qui entraînerait que $ds^2 < 0$ e long de cette ligne d'univers.

## L'artefact des coordonnées de Kruskal.

Citons la dérivation « standard » de la prétendue solution de Schwarzschild, par exemple en citant les pages correspondance du chapitre 6 de l'ouvrage de la référence [18], datant de 1975. Page 186 l'équation (6.4) représente la forme la plus générale de la métrique, en l'absence de termes croisés. Le signe moins montre que les auteurs entendent, avec A, B, C; D positifs, introduire d'emblée la signature (+---) de la métrique. :

$$ (6.3) \qquad ds^2 = Ac^2 dt^2 - (B dr^2 + Cr^2 d\theta^2 + Dr^2 \sin^2 \theta d\phi^2) $$

Furthermore, by our assumption of radial symmetry, the functions A, B, C, and D must be functions of $r$ only. One more simplification of the form of the line element can be made on the basis of symmetry: we can suppose that the functions $C(r)$ and $D(r)$ which appear in (6.3) are equal. This can be seen as follows: A displacement by $\epsilon = r d\theta$ from the north pole ($\theta = 0$) corresponds to $ds^2 = -C\epsilon^2$, and a displacement by $\epsilon = r d\phi$ along the equator ($\theta = \pi/2$) corresponds to $ds^2 = -D\epsilon^2$. If $\theta$ and $\phi$ are to represent angular coordinates, we should expect these quantities to be equal due to isotropy, which requires that $C \equiv D$. Then

$$ (6.4) \qquad ds^2 = Ac^2 dt^2 - B dr^2 - C(r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2) $$

The above line element represents the simplest form which is dictated by the symmetry requirements; however, it is possible to obtain a further simplification by a judicious choice of a radial coordinate. Specifically,

Fig.29 : Extrait de la page 186 de la référence [18]

Mais dans les dernières lignes on lit « néanmoins, il est possible d'obtenir une simplification supplémentaire par un choix judicieux de coordonnée radiale ».
consider a radial coordinate defined by

$$ (6.5) \qquad \hat{r} = \sqrt{C(r)} r $$

It then follows that

$$ (6.6) \qquad Cr^2 = \hat{r}^2 $$

and

$$ (6.7) \qquad B dr^2 = \frac{B}{C} \left( 1 + \frac{r}{2C} \frac{dC}{dr} \right)^{-2} d\hat{r}^2 = \hat{B} d\hat{r}^2 $$

By means of (6.5) we can express $\hat{B}$ also as a function of the new radial coordinate $\hat{r}$. It is now clear that writing the line element (6.3) in terms of $\hat{r}$ by substituting from (6.6) and (6.7) yields a line element in which the coefficient of the angular term $d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2$ is 1. This, however, is equivalent to taking $C \equiv 1$ in the line element (6.4), so we conclude that, by a suitable choice of the radial coordinate, we can put the line element in the form

$$ (6.8) \qquad ds^2 = Ac^2 dt^2 - B dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2) $$

with only two unknown functions of $r$. In order to exhibit clearly the signature of $g_{\mu\nu}$ and the sign of the determinant $|g_{\mu\nu}| = g$, let us write $A(r)$ as the intrinsically positive function $e^{\nu(r)}$ and $B(r)$ as $e^{\lambda(r)}$. The line element accordingly is written as

$$ (6.9) \qquad ds^2 = e^{\nu(r)} c^2 dt^2 - e^{\lambda(r)} dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2) $$

This equation represents the final form of the line element we shall use in obtaining the Schwarzschild solution; as we have constructed it, the demands of time-independence and radial symmetry are clearly met.

The coordinate $r$ used in (6.9) has a clear physical meaning. Consider

Fig. 30 : Extrait de la page 187 de la référence [18].

Et là, nous voyons, reproduit à l'identique, le raisonnement tenu par Hilbert dans son article de 1916, ce qui montre bien qu'il est à l'origine de cette distorsion de la véritable solution de Schwarzschild. Dans l'équation (6.9) les auteurs reprennent l'introduction, en 1939, de deux exponentielles par Tolman [16] et Oppenheimer [14]. Ils spécifient même que ces fonctions sont « intrinsèquement positives » et que « ces coordonnées ont un sens physique clair », alors que, justement, le fait d'attribuer un sens physique à des coordonnées de la première source d'erreur.

Six pages plus loin, page 193, figure le résultat de leur calcul :
consider a radial coordinate defined by

$$ (6.5) \qquad \hat{r} = \sqrt{C(r)} r $$

It then follows that

$$ (6.6) \qquad Cr^2 = \hat{r}^2 $$

and

$$ (6.7) \qquad B dr^2 = \frac{B}{C} \left( 1 + \frac{r}{2C} \frac{dC}{dr} \right)^{-2} d\hat{r}^2 = \hat{B} d\hat{r}^2 $$

By means of (6.5) we can express $\hat{B}$ also as a function of the new radial coordinate $\hat{r}$. It is now clear that writing the line element (6.3) in terms of $\hat{r}$ by substituting from (6.6) and (6.7) yields a line element in which the coefficient of the angular term $d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2$ is 1. This, however, is equivalent to taking $C \equiv 1$ in the line element (6.4), so we conclude that, by a suitable choice of the radial coordinate, we can put the line element in the form

$$ (6.8) \qquad ds^2 = Ac^2 dt^2 - B dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2) $$

with only two unknown functions of $r$. In order to exhibit clearly the signature of $g_{\mu\nu}$ and the sign of the determinant $|g_{\mu\nu}| = g$, let us write $A(r)$ as the intrinsically positive function $e^{\nu(r)}$ and $B(r)$ as $e^{\lambda(r)}$. The line element accordingly is written as

$$ (6.9) \qquad ds^2 = e^{\nu(r)} c^2 dt^2 - e^{\lambda(r)} dr^2 - r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\varphi^2) $$

This equation represents the final form of the line element we shall use in obtaining the Schwarzschild solution; as we have constructed it, the demands of time-independence and radial symmetry are clearly met.

The coordinate $r$ used in (6.9) has a clear physical meaning. Consider

Fig. 30 : Extrait de la page 187 de la référence [18].

Et là, nous voyons, reproduit à l'identique, le raisonnement tenu par Hilbert dans son article de 1916, ce qui montre bien qu'il est à l'origine de cette distorsion de la véritable solution de Schwarzschild. Dans l'équation (6.9) les auteurs reprennent l'introduction, en 1939, de deux exponentielles par Tolman [16] et Oppenheimer [14]. Ils spécifient même que ces fonctions sont « intrinsèquement positives » et que « ces coordonnées ont un sens physique clair », alors que, justement, le fait d'attribuer un sens physique à des coordonnées de la première source d'erreur.

Six pages plus loin, page 193, figure le résultat de leur calcul :
$$ (6.47) \qquad \begin{aligned} e^v &= e^{-\lambda} = 1 - \frac{2m}{r} \\ e^{\lambda} &= \frac{1}{1 - 2m/r} \end{aligned} $$

Fig. 31 : Extrait de la page 193 de la référence [18].

Si ces fonctions exponentielles sont « intrinsèquement positives », alors la variable $r$ ne peut être inférieure à $2m$, sinon les grandeurs et correspondraient à :

$$ (81) \qquad e^{\lambda} = - \left| 1 - \frac{2m}{r} \right| \rightarrow \lambda = L_n \left| 1 - \frac{2m}{r} \right| + i\pi $$

En dépit de cette contradiction évidente D.Kruskal a construit un prolongement analytique, de manière à pouvoir construire une description de cet « intérieur de la sphère de Schwarzschild ($0 < r < 2m$). Le lecteur trouvera la construction « standard » de ces nouvelles coordonnées u et v, ainsi que de la métrique qui en résulte, dans les pages 226 à 230 de la référence [18]. Nous ne reproduirons que les équations elles-mêmes. Nous avons d'abord les deux équations repérées par (6.91) dans l'ouvrage :

$$ (82) \qquad \xi = r + 2m L_n \left| \frac{r}{2m} - 1 \right| $$

$$ (83) \qquad F(\xi) = \frac{1 - 2m/r}{f^2} $$

A partir de ces relations il est établi en introduisant la grandeur intermédiaire $\eta$, l'équation (6.200) de la référence [18] montre que :

$$ (84) \qquad F(\xi) = \eta^2 e^{2\eta\xi} $$

On lit alors, dans les équations (6.201)
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Fig. 31 : Extrait de la page 193 de la référence [18].</figcaption></figure>

Si ces fonctions exponentielles sont « intrinsèquement positives », alors la variable $r$ ne peut être inférieure à $2m$, sinon les grandeurs et correspondraient à :

$$ (81) \qquad e^{\lambda} = - \left| 1 - \frac{2m}{r} \right| \rightarrow \lambda = L_n \left| 1 - \frac{2m}{r} \right| + i\pi $$

En dépit de cette contradiction évidente D.Kruskal a construit un prolongement analytique, de manière à pouvoir construire une description de cet « intérieur de la sphère de Schwarzschild ($0 < r < 2m$). Le lecteur trouvera la construction « standard » de ces nouvelles coordonnées u et v, ainsi que de la métrique qui en résulte, dans les pages 226 à 230 de la référence [18]. Nous ne reproduirons que les équations elles-mêmes. Nous avons d'abord les deux équations repérées par (6.91) dans l'ouvrage :

$$ (82) \qquad \xi = r + 2m L_n \left| \frac{r}{2m} - 1 \right| $$

$$ (83) \qquad F(\xi) = \frac{1 - 2m/r}{f^2} $$

A partir de ces relations il est établi en introduisant la grandeur intermédiaire $\eta$, l'équation (6.200) de la référence [18] montre que :

$$ (84) \qquad F(\xi) = \eta^2 e^{2\eta\xi} $$

On lit alors, dans les équations (6.201)
(85)

$$u = \left( \frac{r}{2m} - 1 \right)^{2m\eta} e^{\eta r} \operatorname{ch} \eta x^{\circ}$$

$$v = \left( \frac{r}{2m} - 1 \right)^{2m\eta} e^{\eta r} \operatorname{sh} \eta x^{\circ}$$

$$f^2 = \frac{2m}{\eta^2 r} \left( \frac{r}{2m} - 1 \right)^{1-4m\eta} e^{-2\eta r}$$

On lit ensuite :

The Schwarzschild Solution and Its Consequences 229

It remains only to choose the arbitrary parameter $\eta$; to do this we demand that $f^2$ have no zero or singularity at $r = 2m$, which requires that $\eta = 1/4m$. (Then $ds^2$ will vanish only on the light cone.) The transformation is thus, finally,

Fig. 32 : Extrait de la page 229 de la référence [18].

Le scalaire $m$ étant réel, $\eta$ l'est donc aussi

Ceci conduit à l'expression finale des nouvelles variables, dans deux configurations.

(86) $r > 2m$ :

$$u = \sqrt{\frac{r}{2m} - 1} e^{r/4m} \operatorname{ch} \frac{x^{\circ}}{4m}$$

$$v = \sqrt{\frac{r}{2m} - 1} e^{r/4m} \operatorname{sh} \frac{x^{\circ}}{4m}$$

$$f^2 = \frac{32m^3}{r} e^{r/2m}$$

(87) $$u^2 - v^2 = \left( \frac{r}{2m} - 1 \right) e^{r/2m} \qquad \frac{v}{u} = \operatorname{th} \frac{x^{\circ}}{4m}$$
(85)

$$u = \left( \frac{r}{2m} - 1 \right)^{2m\eta} e^{\eta r} \cosh \eta x^o$$

$$v = \left( \frac{r}{2m} - 1 \right)^{2m\eta} e^{\eta r} \sinh \eta x^o$$

$$f^2 = \frac{2m}{\eta^2 r} \left( \frac{r}{2m} - 1 \right)^{1-4m\eta} e^{-2\eta r}$$

On lit ensuite :

The Schwarzschild Solution and Its Consequences 229

It remains only to choose the arbitrary parameter $\eta$; to do this we demand that $f^2$ have no zero or singularity at $r = 2m$, which requires that $\eta = 1/4m$. (Then $ds^2$ will vanish only on the light cone.) The transformation is thus, finally,

Fig. 32 : Extrait de la page 229 de la référence [18].

Le scalaire $m$ étant réel, $\eta$ l'est donc aussi

Ceci conduit à l'expression finale des nouvelles variables, dans deux configurations.

(86) $r > 2m$ :

$$u = \sqrt{\frac{r}{2m} - 1} e^{r/4m} \cosh \frac{x^o}{4m}$$

$$v = \sqrt{\frac{r}{2m} - 1} e^{r/4m} \sinh \frac{x^o}{4m}$$

$$f^2 = \frac{32m^3}{r} e^{r/2m}$$

(87) $$u^2 - v^2 = \left( \frac{r}{2m} - 1 \right) e^{r/2m} \qquad \frac{v}{u} = \tanh \frac{x^o}{4m}$$
Et
(88) $r < 2m$ :

$$u = \sqrt{1 - \frac{r}{2m}} e^{r/4m} \sh \frac{x^\circ}{4m}$$

$$v = \sqrt{1 - \frac{r}{2m}} e^{r/4m} \ch \frac{x^\circ}{4m}$$

$$f^2 = \frac{32m^3}{r} e^{r/2m}$$

Avec :

$$(89) \qquad v^2 - u^2 = \left(1 - \frac{r}{2m}\right) e^{r/2m} \qquad \frac{u}{v} = \thm \frac{x^\circ}{4m}$$

La métrique prend alors la forme, équation (6.187) de la référence [18]:

$$(90) \qquad ds^2 = f^2(u,v)(dv^2 - du^2) - r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

Bien que cette métrique ne s'identifie pas avec la métrique de Lorentz à l'infini, quand on forme $ds = 0$ on a, voir l'équation (6.188) de la référence [18] :

$$(91) \qquad \left(\frac{du}{dv}\right)^2 = 1$$

Ci-après le célèbre diagramme de Kruskal :

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Fig.33 : Diagramme de Kruskal</figcaption></figure>
Et
(88) $r < 2m:$

$$u = \sqrt{1 - \frac{r}{2m}} e^{r/4m} \sh \frac{x^\circ}{4m}$$

$$v = \sqrt{1 - \frac{r}{2m}} e^{r/4m} \ch \frac{x^\circ}{4m}$$

$$f^2 = \frac{32m^3}{r} e^{r/2m}$$

Avec :

$$(89) \qquad v^2 - u^2 = \left(1 - \frac{r}{2m}\right) e^{r/2m} \qquad \frac{u}{v} = \thm \frac{x^\circ}{4m}$$

La métrique prend alors la forme, équation (6.187) de la référence [18]:

$$(90) \qquad ds^2 = f^2(u,v)(dv^2 - du^2) - r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

Bien que cette métrique ne s'identifie pas avec la métrique de Lorentz à l'infini, quand on forme $ds = 0$ on a, voir l'équation (6.188) de la référence [18] :

$$(91) \qquad \left(\frac{du}{dv}\right)^2 = 1$$

Ci-après le célèbre diagramme de Kruskal :

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Fig.33 : Diagramme de Kruskal</figcaption></figure>
Si on suit ce diagramme, où toutes les quantités deviennent réelles, avec un *ds* réel on parvient donc à pénétrer « à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild ». Les points se situant à *r* constant sont sur des hyperboles. Celle de droite se réfère à la valeur *r* = 4m. Le trajet A figure celui d'une particule dotée d'une masse, qui plonge vers la sphère de Schwarzschild. La demi-droite $x^\circ = 2m$ évoque la façon dont évolue le temps. Dans le système des coordonnées choisi cette masse atteint cette sphère en un temps infini, figure par le demi-droite $v = u$. Puis, en supposant que ce point-masse puisse pénétrer à l'intérieur de cette sphère, il poursuit sont chemin et atteint le point associée à une valeur nulle de *r* qui est une autre hyperbole accompagnée de hachures, qui est censée représenter « la singularité ». Un raisonnement similaire est associé à la trajectoire B.

Par un véritable coup de baguette magique, Kruskal semble avoir transformé une portion irréelle de la variété en quelque chose de réel, décrit par les équations (85) à (89). Mais il faut se souvenir que si avec des grandeurs réelles, comme les coordonnées d'espace-temps, on peut aboutir à une grandeur complexe *ds*, l'inverse est également possible.

Il nous faut donc reprendre à rebours la démarche de Kruskal. Explicitons la relation (84) :

$$ (92) \qquad F(\xi) = \eta^2 e^{2\eta\xi} = \frac{1}{16m^2} e^{\xi/2m} $$

A l'intérieur de la sphère de Schwarzschild (83) nous indique que :

$$ (93) \qquad F(\xi) = \frac{1 - 2m/r}{f^2} < 0 $$

En combinant avec l'équation précédente ceci nous donne :

$$ (94) \qquad e^{\xi/2m} = 16m^2 F(\xi) < 0 $$

Or l'exponentielle ne peut être négative que si l'exposant est complexe :

$$ (95) \qquad \xi = 2m L_n \left[ 16m^2 |F(\chi)| \right] - i\pi $$

Or tout le calcul a été basée sur l'hypothèse (82), qui débouche sur :

$$ (96) \qquad \xi = r + 2m L_n \left| \frac{r}{2m} - 1 \right| = 2m L_n \left[ 16m^2 |F(\chi)| \right] - i\pi $$

Il y a donc une contradiction. Cette relation devient donc incohérente. Dans les deux membres d'une équation, l'un ne peut pas être réel et l'autre complexe. Ce prolongement analytique fait sens si on se situe dans le mode des complexes,
Si on suit ce diagramme, où toutes les quantités deviennent réelles, avec un *ds* réel on parvient donc à pénétrer « à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild ». Les points se situant à *r* constant sont sur des hyperboles. Celle de droite se réfère à la valeur *r* = 4m. Le trajet A figure celui d'une particule dotée d'une masse, qui plonge vers la sphère de Schwarzschild. La demi-droite $x^\circ = 2m$ évoque la façon dont évolue le temps. Dans le système des coordonnées choisi cette masse atteint cette sphère en un temps infini, figure par le demi-droite $v = u$. Puis, en supposant que ce point-masse puisse pénétrer à l'intérieur de cette sphère, il poursuit sont chemin et atteint le point associée à une valeur nulle de *r* qui est une autre hyperbole accompagnée de hachures, qui est censée représenter « la singularité ». Un raisonnement similaire est associé à la trajectoire B.

Par un véritable coup de baguette magique, Kruskal semble avoir transformé une portion irréelle de la variété en quelque chose de réel, décrit par les équations (85) à (89). Mais il faut se souvenir que si avec des grandeurs réelles, comme les coordonnées d'espace-temps, on peut aboutir à une grandeur complexe *ds*, l'inverse est également possible.

Il nous faut donc reprendre à rebours la démarche de Kruskal. Explicitons la relation (84) :

$$ (92) \qquad F(\xi) = \eta^2 e^{2\eta\xi} = \frac{1}{16m^2} e^{\xi/2m} $$

A l'intérieur de la sphère de Schwarzschild (83) nous indique que :

$$ (93) \qquad F(\xi) = \frac{1 - 2m/r}{f^2} < 0 $$

En combinant avec l'équation précédente ceci nous donne :

$$ (94) \qquad e^{\xi/2m} = 16m^2 F(\xi) < 0 $$

Or l'exponentielle ne peut être négative que si l'exposant est complexe :

$$ (95) \qquad \xi = 2m L_n \left[ 16m^2 |F(\chi)| \right] - i\pi $$

Or tout le calcul a été basée sur l'hypothèse (82), qui débouche sur :

$$ (96) \qquad \xi = r + 2m L_n \left| \frac{r}{2m} - 1 \right| = 2m L_n \left[ 16m^2 |F(\chi)| \right] - i\pi $$

Il y a donc une contradiction. Cette relation devient donc incohérente. Dans les deux membres d'une équation, l'un ne peut pas être réel et l'autre complexe. Ce prolongement analytique fait sens si on se situe dans le mode des complexes,
mais n'a pas de sens dans celui de la physique, qui se situe dans le monde des réels.

## L'interprétation d'Hermann Weyl (1917)

En 1915 Hermann Weyl a trente ans. Après avoir enseigné les mathématiques à l'université de Göttingen, où il s'est passionné pour les idées révolutionnaires introduites par Riemann et particulièrement pour les variétés hyperboliques, il trouve un poste à Zurich, à l'école polytechnique fédérale, où une chaire lui est offerte. Il rencontre alors Einstein et assimile rapidement les concepts de base de la relativité, restreinte, puis générale. Découvrant la solution non linéaire exacte trouvée par Karl Schwarzschild il publie l'interprétation qu'il en donne en 1917 [19].

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Fig.34 : Hermann Weyl en 1915</figcaption></figure>

Pour avoir accès à la version en allemand de cet article, publié il y a plus d'un siècle mais sur lequel la société Springer a posé un copyright, lors d'une républication en 2012 où figure également sa version traduite en anglais, il vous en coûtera 49 dollars, quelle que soit la version. Dans on article, à différence de celui de Hilbert, la lettre *R* est utilisée pour désigner le scalaire de Riemann :
mais n'a pas de sens dans celui de la physique, qui se situe dans le monde des réels.

## L'interprétation d'Hermann Weyl (1917)

En 1915 Hermann Weyl a trente ans. Après avoir enseigné les mathématiques à l'université de Göttingen, où il s'est passionné pour les idées révolutionnaires introduites par Riemann et particulièrement pour les variétés hyperboliques, il trouve un poste à Zurich, à l'école polytechnique fédérale, où une chaire lui est offerte. Il rencontre alors Einstein et assimile rapidement les concepts de base de la relativité, restreinte, puis générale. Découvrant la solution non linéaire exacte trouvée par Karl Schwarzschild il publie l'interprétation qu'il en donne en 1917 [19].

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Fig.34 : Hermann Weyl en 1915</figcaption></figure>

Pour avoir accès à la version en allemand de cet article, publié il y a plus d'un siècle mais sur lequel la société Springer a posé un copyright, lors d'une républication en 2012 où figure également sa version traduite en anglais, il vous en coûtera 49 dollars, quelle que soit la version. Dans on article, à différence de celui de Hilbert, la lettre *R* est utilisée pour désigner le scalaire de Riemann :
Für eine Variation des Gravitationsfeldes, die an den
Grenzen des Weltgebietes G verschwindet, gilt

$$
\delta \int H d\omega = \int (R_{ik} - \frac{1}{2} g_{ik} R) \delta g^{ik} \cdot d\omega;
$$

darin ist $R_{ik}$ der symmetrische Riemannsche Krümmungs-
tensor und die Invariante

$$
R = g^{ik} R_{ik} .
$$

Wenden wir die eben angestellte Überlegung statt auf M
auf H an (daß H auch die Differentialquotienten der g^i^k ent-
hält, ist dabei ganz unwesentlich), so finden wir ohne Rech-
nung, daß der Tensor

$$
R_{ik} - \frac{1}{2} g_{ik} R,
$$

an Stelle von $T_{ik}$ gesetzt, die Gleichungen (3) identisch er-
füllt. Der Energie-Impulssatz ist demnach nicht nur, wie
wir soeben zeigten, eine mathematische Folge der Gesetze
des materiellen Vorganges, sondern auch der Gravitations-
gleichungen

$$
R_{ik} - \frac{1}{2} g_{ik} R = - T_{ik}.
$$

Fig.35 : Dérivation de l’équation de champ par Weyl.

La première équation montre que Weyl a immédiatement intégré la technique
de dérivation de l'équation de champ par méthode variationnelle, avec
introduction du tenseur de Ricci et du scalaire R qui en dérive. En bas, on voit
apparaître l'équation de champ à laquelle Einstein donnera son nom, sous la
forme (équivalente à cette de sa publication du 25 novembre 1916 [4]) que lui
connaissent les étudiants d'aujourd'hui. La première chose que fait Weyl est de
rappeler l'inégalité qui confère aux solution un caractère physique :

des Elementes e seiner Weltlinie daselbst, das Verhältnis der
dx_i bezeichnet deren Weltrichtung (Geschwindigkeit). Wir
müssen voraussetzen, daß diese Richtung eine zeitartige ist,
d. h. daß für sie

$$
ds^2 = g_{ik} dx_i dx_j > 0
$$

wird. Statt der Differentiale $dx_i$ schreibe ich fortan, da alle
unsere Betrachtungen sich auf die eine Stelle P beziehen,

Fig.36 : La mesure de longueur, selon H.Weyl [21].
Für eine Variation des Gravitationsfeldes, die an den
Grenzen des Weltgebietes G verschwindet, gilt

$$
\delta \int H d\omega = \int (R_{ik} - \frac{1}{2} g_{ik} R) \delta g^{ik} \cdot d\omega;
$$

darin ist $R_{ik}$ der symmetrische Riemannsche Krümmungs-
tensor und die Invariante

$$
R = g^{ik} R_{ik} .
$$

Wenden wir die eben angestellte Überlegung statt auf M
auf H an (daß H auch die Differentialquotienten der g^i^k ent-
hält, ist dabei ganz unwesentlich), so finden wir ohne Rech-
nung, daß der Tensor

$$
R_{ik} - \frac{1}{2} g_{ik} R,
$$

an Stelle von $T_{ik}$ gesetzt, die Gleichungen (3) identisch er-
füllt. Der Energie-Impulssatz ist demnach nicht nur, wie
wir soeben zeigten, eine mathematische Folge der Gesetze
des materiellen Vorganges, sondern auch der Gravitations-
gleichungen

$$
R_{ik} - \frac{1}{2} g_{ik} R = - T_{ik}.
$$

Fig.35 : Dérivation de l’équation de champ par Weyl.

La première équation montre que Weyl a immédiatement intégré la technique
de dérivation de l'équation de champ par méthode variationnelle, avec
introduction du tenseur de Ricci et du scalaire R qui en dérive. En bas, on voit
apparaître l'équation de champ à laquelle Einstein donnera son nom, sous la
forme (équivalente à cette de sa publication du 25 novembre 1916 [4]) que lui
connaissent les étudiants d'aujourd'hui. La première chose que fait Weyl est de
rappeler l'inégalité qui confère aux solution un caractère physique :

des Elementes e seiner Weltlinie daselbst, das Verhältnis der
dx_i bezeichnet deren Weltrichtung (Geschwindigkeit). Wir
müssen voraussetzen, daß diese Richtung eine zeitartige ist,
d. h. daß für sie

$$
ds^2 = g_{ik} dx_i dx_j > 0
$$

wird. Statt der Differentiale $dx_i$ schreibe ich fortan, da alle
unsere Betrachtungen sich auf die eine Stelle P beziehen,

Fig.36 : La mesure de longueur, selon H.Weyl [21].
Comme Schwarzschild, il est parfaitement clair dans le choix de ses coordonnées Gaussiennes $(x_1, x_2, x_3, x_4)$. L'espace-temps est donc feuilletable à l'aide d'une suite d'hypersurfaces à trois dimensions, invariantes par rapport au temps $x_4$. Le problème est donc de construire cette hypersurface stationnaire à trois dimensions, décrite par les coordonnées $(x_1, x_2, x_3)$ et définie par son élément de longueur $d\sigma$ en accord avec :

$$ (97) \qquad ds^2 = f dx_4^2 - d\sigma^2 $$

Si on fait une comparaison des choix opérés par Weyl avec l'approche de Schwarzschild, celui-ci mène son calcul avec une coordonnée $r$ qui est en fait sa grandeur intermédiaire $R$. Il calcule la fonction $f$ ainsi que les expressions des trois autres potentiels métriques.

und bei geeigneter Verfügung über die noch willkürliche Maß- einheit der Zeit: $w = 1$. Variation von $w$ ergibt

$$ v' = 0, \quad v = \text{const.} = -2a; $$

$$ f = \frac{1}{h} = 1 - \frac{2a}{r}. $$

$a$ hängt mit der Masse $m$ durch die Gleichung $a = \kappa m$ zusammen; wir nennen $a$ den Gravitationsradius der Masse $m$.

Fig.37 : Résultat du calcul du potentiel $g_{44} = f$ [21].

Comme Schwarzschild il fait apparaître ce qu'il appelle *le rayon gravitationnel* associé à une masse $m$. Sa métrique se résume à :

$$ (98) \qquad ds^2 = \left(1 - \frac{2a}{r}\right) dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{a}{r}} - r^2 (d\vartheta^2 + \sin^2\vartheta d\phi^2) = \left(1 - \frac{2a}{r}\right) dt^2 - d\sigma^2 $$

Avec l'hypersurface $3D^{20}$ définie par la métrique :

$$ (99) \qquad d\sigma^2 = \frac{dr^2}{1 - \frac{2a}{r}} + r^2 (d\vartheta^2 + \sin^2\vartheta d\phi^2) $$

Mais Weyl n'a pas la naïveté d'envisager que cette solution puisse avoir un sens physique pour $r < 2a$, où l'élément de longueur cesserait d'être réel. Cette variable $r$ (qui n'est pas la même que celle du papier de Schwarzschild) correspond à un rayon vecteur de coordonnées $(x_1, x_2, x_3)$. C'est une hypersurface à 3 dimensions dont on sait qu'elle « n'existe » que pour $r > 2a$. Weyl va donc pousser plus loin, pour percer le secret de sa géométrie, et plus

<footnote n="20">20 On reconnaît la métrique de notre « diabolo 3D » du début de l'article ».</footnote>
Comme Schwarzschild, il est parfaitement clair dans le choix de ses coordonnées Gaussiennes $(x_1, x_2, x_3, x_4)$. L'espace-temps est donc feuilletable à l'aide d'une suite d'hypersurfaces à trois dimensions, invariantes par rapport au temps $x_4$. Le problème est donc de construire cette hypersurface stationnaire à trois dimensions, décrite par les coordonnées $(x_1, x_2, x_3)$ et définie par son élément de longueur $d\sigma$ en accord avec :

$$ (97) \qquad ds^2 = f dx_4^2 - d\sigma^2 $$

Si on fait une comparaison des choix opérés par Weyl avec l'approche de Schwarzschild, celui-ci mène son calcul avec une coordonnée $r$ qui est en fait sa grandeur intermédiaire $R$. Il calcule la fonction $f$ ainsi que les expressions des trois autres potentiels métriques.

und bei geeigneter Verfügung über die noch willkürliche Maß- einheit der Zeit: $w = 1$. Variation von $w$ ergibt

$$ v' = 0, \quad v = \text{const.} = -2a; $$

$$ f = \frac{1}{h} = 1 - \frac{2a}{r}. $$

$a$ hängt mit der Masse $m$ durch die Gleichung $a = \kappa m$ zusammen; wir nennen $a$ den Gravitationsradius der Masse $m$.

Fig.37 : Résultat du calcul du potentiel $g_{44} = f$ [21].

Comme Schwarzschild il fait apparaître ce qu'il appelle *le rayon gravitationnel* associé à une masse $m$. Sa métrique se résume à :

$$ (98) \qquad ds^2 = \left(1 - \frac{2a}{r}\right) dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{a}{r}} - r^2 (d\vartheta^2 + \sin^2\vartheta d\phi^2) = \left(1 - \frac{2a}{r}\right) dt^2 - d\sigma^2 $$

Avec l'hypersurface $3D^{20}$ définie par la métrique :

$$ (99) \qquad d\sigma^2 = \frac{dr^2}{1 - \frac{2a}{r}} + r^2 (d\vartheta^2 + \sin^2\vartheta d\phi^2) $$

Mais Weyl n'a pas la naïveté d'envisager que cette solution puisse avoir un sens physique pour $r < 2a$, où l'élément de longueur cesserait d'être réel. Cette variable $r$ (qui n'est pas la même que celle du papier de Schwarzschild) correspond à un rayon vecteur de coordonnées $(x_1, x_2, x_3)$. C'est une hypersurface à 3 dimensions dont on sait qu'elle « n'existe » que pour $r > 2a$. Weyl va donc pousser plus loin, pour percer le secret de sa géométrie, et plus

<footnote n="20">20 On reconnaît la métrique de notre « diabolo 3D » du début de l'article ».</footnote>
précisément de sa topologie. Sur ces trois coordonnées d'espace il peut toujours
en supprimer une. Il écrit donc :

Zur Veranschaulichung der Geometrie mit dem Linien-
element dσ² beschränken wir uns auf die durch das Zentrum
gehende Ebene x₃ = 0. Führen wir in ihr Polarkoordinaten ein

$$
x_1 = r \cos \theta, \quad x_2 = r \sin \theta,
$$

so wird

$$
d\sigma^2 = h dr^2 + r^2 d\vartheta^2 .
$$

Dieses Linienelement charakterisiert die Geometrie, die auf
dem folgenden Rotationsparaboloid im Euklidischen Raum
mit den rechtwinkligen Koordinaten x₁, x₂, z gilt:

$$
z = \sqrt{8a(r - 2a)},
$$

wenn dasselbe durch orthogonale Projektion auf die Ebene
z = 0 mit den Polarkoordinaten r, θ bezogen wird. Die Pro-
jektion bedeckt das Äußere des Kreises r ≥ 2a doppelt, das
Innere überhaupt nicht. Bei natürlicher analytischer Fort-
setzung wird also der wirkliche Raum in dem zur Darstellung
benutzten Koordinatenraum der xᵢ das durch r ≥ 2a ge-
kennzeichnete Gebiet doppelt überdecken. Die beiden Über-
deckungen sind durch die Kugel r = 2a, auf der sich die
Masse befindet und die Maßbestimmung singulär wird, ge-
schieden, und man wird jene beiden Hälften als das „Äußere“
und das „Innere“ des Massenpunktes zu bezeichnen haben.

Fig. 38 : L'analyse de la topologie de l'hypersurface 3D par Weyl

Il écrit ainsi :

- De manière à déterminer la géométrie qui est caractérisée par la
forme de la métrique donnant dσ², nous allons projeter dans un
plan correspondant à x₃ = 0. Si nous introduisons les
coordonnées polaires :

$$
x_1 = r \cos\theta \qquad x_2 = r \sin\theta
$$

$$
d\sigma^2 = h dr^2 + r^2 d\theta^2
$$
précisément de sa topologie. Sur ces trois coordonnées d'espace il peut toujours
en supprimer une. Il écrit donc :

Zur Veranschaulichung der Geometrie mit dem Linien-
element dσ² beschränken wir uns auf die durch das Zentrum
gehende Ebene x₃ = 0. Führen wir in ihr Polarkoordinaten ein

$$
x_1 = r \cos \theta, \quad x_2 = r \sin \theta,
$$

so wird

$$
d\sigma^2 = h dr^2 + r^2 d\vartheta^2 .
$$

Dieses Linienelement charakterisiert die Geometrie, die auf
dem folgenden Rotationsparaboloid im Euklidischen Raum
mit den rechtwinkligen Koordinaten x₁, x₂, z gilt:

$$
z = \sqrt{8a(r - 2a)},
$$

wenn dasselbe durch orthogonale Projektion auf die Ebene
z = 0 mit den Polarkoordinaten r, θ bezogen wird. Die Pro-
jektion bedeckt das Äußere des Kreises r ≥ 2a doppelt, das
Innere überhaupt nicht. Bei natürlicher analytischer Fort-
setzung wird also der wirkliche Raum in dem zur Darstellung
benutzten Koordinatenraum der xᵢ das durch r ≥ 2a ge-
kennzeichnete Gebiet doppelt überdecken. Die beiden Über-
deckungen sind durch die Kugel r = 2a, auf der sich die
Masse befindet und die Maßbestimmung singulär wird, ge-
schieden, und man wird jene beiden Hälften als das „Äußere“
und das „Innere“ des Massenpunktes zu bezeichnen haben.

Fig. 38 : L'analyse de la topologie de l'hypersurface 3D par Weyl

Il écrit ainsi :

- De manière à déterminer la géométrie qui est caractérisée par la
forme de la métrique donnant dσ², nous allons projeter dans un
plan correspondant à x₃ = 0. Si nous introduisons les
coordonnées polaires :

$$
x_1 = r \cos\theta \qquad x_2 = r \sin\theta
$$

$$
d\sigma^2 = h dr^2 + r^2 d\theta^2
$$
Ce qui lui donne :

$$d\sigma^2 = \left(1 - \frac{2a}{r}\right) dr^2 + r^2 d\vartheta^2$$

Dans ce qui suit, il fait exactement ce que nous avons fait pour le diabolo 3D, c'est à dire qu'il fixe l'angle $\vartheta$ pour déterminer l'équation de la méridienne, ce qui lui donne l'équation différentielle :

$$(100) \qquad dr^2 + dz^2 = \left(1 - \frac{2a}{r}\right) dr^2$$

Dont la solution est :

$$(101) \qquad z = \sqrt{8a(r - 2a)} \quad \text{ou} \quad r = 2a + \frac{z^2}{8a} = R_s + \frac{z^2}{4R_s}$$

On retrouve l'équation(19) de la parabole couchée. L'hypersurface est donc un « diabolo 3D » qui est la projection de l'hypersurface 3D dans un espace Euclidien $(x_1, x_2, x_3)$. Et Weyl poursuit :

- Die projektion bedekt das äubere doppelt. Cette projection couvre deux fois (doppelt: doublement) la partie de l'espace $r > 2a$, das innere überhaupt nicht: mais ce revêtement (3D) de couvre en aucun cas la portion d'espace $r < 2a$<fnref n="21" />. Bel natürlicher analytischer Fortsetzung wird also der wirkliche Raum in dem zur Darstellung benuntzen Koordinaten der $x_i$ das durch $r \ge 2a$ gekennzeichnete Gebeit dopplet überdecken: Dans un prolongement analytique naturel, l'espace réel dans les coordonnées utilisées pour la représentation de la coordonnée $x_i$ du point correspondent deux points de l'hypersurface 3D. Sur cette sphère de rayon $2a$, qui fait la jonction entre ces deux revêtements, se situe la masse.

Là on voit poindre une idée tout à fait extraordinaire, assimilant les masses à des singularités topologiques. On se rappellera que la topologie, à cette époque, est en train de naître en tant que discipline mathématique. Les surfaces fermées régulières 2D sont au nombre de quatre. On a la sphère, le tore, puis la bouteille de Klein et la surface de Boy. Précisons que Félix Klein invente sa bouteille en 1882, tandis que Werner Boy, élève de Hilbert, créera sa propre surface en 1902. Comme Schwarzschild ce dernier s'engage à 35 ans, dès l'entrée en guerre de l'Allemagne, en juillet 1914 et est tué en France, où il repose, en septembre de la même année.

<footnote n="21">²¹ On dirait aujourd'hui : cette hypersurface 3D constitue le revêtement à deux feuillets de la portion d'un espace Euclidien 3 extérieur à une sphère de rayon $2a$.</footnote>
Ce qui lui donne :

$$d\sigma^2 = \left(1 - \frac{2a}{r}\right) dr^2 + r^2 d\vartheta^2$$

Dans ce qui suit, il fait exactement ce que nous avons fait pour le diabolo 3D, c'est à dire qu'il fixe l'angle $\vartheta$ pour déterminer l'équation de la méridienne, ce qui lui donne l'équation différentielle :

$$(100) \qquad dr^2 + dz^2 = \left(1 - \frac{2a}{r}\right) dr^2$$

Dont la solution est :

$$(101) \qquad z = \sqrt{8a(r - 2a)} \quad \text{ou} \quad r = 2a + \frac{z^2}{8a} = R_s + \frac{z^2}{4R_s}$$

On retrouve l'équation(19) de la parabole couchée. L'hypersurface est donc un « diabolo 3D » qui est la projection de l'hypersurface 3D dans un espace Euclidien $(x_1, x_2, x_3)$. Et Weyl poursuit :

- Die projektion bedekt das äubere doppelt. Cette projection couvre deux fois (doppelt: doublement) la partie de l'espace $r > 2a$, das innere überhaupt nicht: mais ce revêtement (3D) de couvre en aucun cas la portion d'espace $r < 2a$<fnref n="21" />. Bel natürlicher analytischer Fortsetzung wird also der wirkliche Raum in dem zur Darstellung benuntzen Koordinaten der $x_i$ das durch $r \ge 2a$ gekennzeichnete Gebeit dopplet überdecken: Dans un prolongement analytique naturel, l'espace réel dans les coordonnées utilisées pour la représentation de la coordonnée $x_i$ du point correspondent deux points de l'hypersurface 3D. Sur cette sphère de rayon $2a$, qui fait la jonction entre ces deux revêtements, se situe la masse.

Là on voit poindre une idée tout à fait extraordinaire, assimilant les masses à des singularités topologiques. On se rappellera que la topologie, à cette époque, est en train de naître en tant que discipline mathématique. Les surfaces fermées régulières 2D sont au nombre de quatre. On a la sphère, le tore, puis la bouteille de Klein et la surface de Boy. Précisons que Félix Klein invente sa bouteille en 1882, tandis que Werner Boy, élève de Hilbert, créera sa propre surface en 1902. Comme Schwarzschild ce dernier s'engage à 35 ans, dès l'entrée en guerre de l'Allemagne, en juillet 1914 et est tué en France, où il repose, en septembre de la même année.

<footnote n="21">²¹ On dirait aujourd'hui : cette hypersurface 3D constitue le revêtement à deux feuillets de la portion d'un espace Euclidien 3 extérieur à une sphère de rayon $2a$.</footnote>
Weyl (qui s'est aussi engagé, mais a été renvoyé à la vie civile pour raison de santé) poursuit son analyse de l'hypersurface 3D. Il est ainsi le premier à introduire la forme isotrope de la métrique.

Vielleicht wird das noch deutlicher durch Einführung eines andern Koordinatensystems, auf das ich die Schwarzschildsgen Formeln ohnehin um der weiteren Entwicklungen willen transformieren muß. Die Transformationsformeln sollen lauten

$$x_1' = \frac{r'}{r} x_1, \quad x_2' = \frac{r'}{r} x_2, \quad x_3' = \frac{r'}{r} x_3; \quad r = \left(r' + \frac{a}{2}\right) \cdot \frac{1}{r'}$$

Lasse ich nach Durchführung der Transformation die Akzente wieder fort, so ergibt sich

$$(12) \quad d\sigma^2 = \left(1 + \frac{a}{2r}\right)^2 (dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2), \quad f = \left(\frac{r - a/2}{r + a/2}\right)^2$$

In den neuen Koordinaten ist das Linienelement des Gravitationsraumes also dem Euklidischen konform; das lineare Vergrößerungsverhältnis ist

$$(1 + \frac{a}{2r})^2$$

Fig. 39 : Forme isotrope de la métrique de Schwarzschild

Sa variable *r* n'est pas la précédente. Sa formule (12) correspond à l'équation (6.69) de la référence [18]. La dernière expression représente le coefficient de dilatation linéaire (lineare Vergrößerungsverhältnis).

Il est clair que Weyl a parfaitement intégré le fait que les diverses coordonnées ne sont que des représentations des objets définis par leur métrique et que le seul objet doté d'une réalité intrinsèque (invariant par tout changement de coordonnées) est l'élément de longueur *s*. Ces choix successifs permettent de découvrir leur topologie. Ainsi, en 1917 est le premier à découvrir que la géométrie découverte par Schwarzschild est non-contractile.

## La P-symétrie qui accompagne le passage de la sphère de gorge.

Weyl crée donc ce concept d'espace de représentation et de revêtement à deux feuillets d'une variété. Les points homologues de ces deux feuillets quadridimensionnels peuvent donc être repérés à l'aide des mêmes coordonnées $x_i$. On peut considérer quatre points au voisinage d'un point de coordonnées $x_i$ qui forment un tétraèdre constitué par quatre triangles équilatéraux ayant deux sommets communs. On peut définir une orientation positive en définissant un sens de parcours de ces triangles, considéré comme positif. Celui-ci définit un vecteur normal. La figure suivante montre ce qu'il advient de cet ensemble de
Weyl (qui s'est aussi engagé, mais a été renvoyé à la vie civile pour raison de santé) poursuit son analyse de l'hypersurface 3D. Il est ainsi le premier à introduire la forme isotrope de la métrique.

Vielleicht wird das noch deutlicher durch Einführung eines andern Koordinatensystems, auf das ich die Schwarzschildsgen Formeln ohnehin um der weiteren Entwicklungen willen transformieren muß. Die Transformationsformeln sollen lauten

$$x_1' = \frac{r'}{r} x_1, \quad x_2' = \frac{r'}{r} x_2, \quad x_3' = \frac{r'}{r} x_3; \quad r = \left(r' + \frac{a}{2}\right) \cdot \frac{1}{r'}$$

Lasse ich nach Durchführung der Transformation die Akzente wieder fort, so ergibt sich

$$(12) \quad d\sigma^2 = \left(1 + \frac{a}{2r}\right)^2 (dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2), \quad f = \left(\frac{r - a/2}{r + a/2}\right)^2$$

In den neuen Koordinaten ist das Linienelement des Gravitationsraumes also dem Euklidischen konform; das lineare Vergrößerungsverhältnis ist

$$(1 + \frac{a}{2r})^2$$

Fig. 39 : Forme isotrope de la métrique de Schwarzschild

Sa variable *r* n'est pas la précédente. Sa formule (12) correspond à l'équation (6.69) de la référence [18]. La dernière expression représente le coefficient de dilatation linéaire (lineare Vergrößerungsverhältnis).

Il est clair que Weyl a parfaitement intégré le fait que les diverses coordonnées ne sont que des représentations des objets définis par leur métrique et que le seul objet doté d'une réalité intrinsèque (invariant par tout changement de coordonnées) est l'élément de longueur *s*. Ces choix successifs permettent de découvrir leur topologie. Ainsi, en 1917 est le premier à découvrir que la géométrie découverte par Schwarzschild est non-contractile.

## La P-symétrie qui accompagne le passage de la sphère de gorge.

Weyl crée donc ce concept d'espace de représentation et de revêtement à deux feuillets d'une variété. Les points homologues de ces deux feuillets quadridimensionnels peuvent donc être repérés à l'aide des mêmes coordonnées $x_i$. On peut considérer quatre points au voisinage d'un point de coordonnées $x_i$ qui forment un tétraèdre constitué par quatre triangles équilatéraux ayant deux sommets communs. On peut définir une orientation positive en définissant un sens de parcours de ces triangles, considéré comme positif. Celui-ci définit un vecteur normal. La figure suivante montre ce qu'il advient de cet ensemble de
points lorsqu'ils franchissent la sphère de gorge. Le tétraèdre doté d'arêtes noires est censé appartenir à une des deux nappes tridimensionnelles de l'objet. Soit une de ses faces ABC, le sens de parcours positif, arbitraire, étant indiqué par des flèches. Le tétraèdre aux arêtes grisées A'B'C' appartient à l'autre nappe. Si on amène ces deux objets en coïncidence on pourra constater que les deux de parcours sont inverses l'un de l'autre.

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Fig.40 : Inversion de l'orientation d'un tétraèdre après franchissement de la sphère de gorge</figcaption></figure>

On en déduit que tout objet franchissant la sphère de gorge de la géométrie de Schwarzschild subit une P-symétrie

Temps de chute libre ou d'évasion dans la géométrie de Schwarzschild.

Le modèle du trou noir est basé sur le complet découplage du temps propre d'objets accompagnant le phénomène d'implosion que cette géométrie est censée décrire et le temps propre d'un observateurs situé à l'infini, observant le phénomène, qui pour lui est censé durer un temps infini. Considérons des trajectoires radiales. On a (en gardant la notation de Schwarzschild) :

$$
(102) \qquad ds^2 = \left(1 - \frac{R_s}{R}\right) dx_4^2 - \frac{dR^2}{1 - \frac{R_s}{R}} \qquad s = c\tau \qquad x_4 = ct
$$

Les équations de Lagrange donnent :

$$
(103) \qquad \frac{d\tau}{dR} = \pm \frac{1}{c} \sqrt{\frac{R}{R_s}}
$$

$$
(104) \qquad \frac{dt}{dR} = \pm \frac{1}{c} \sqrt{\frac{R}{R - R_s}}
$$
points lorsqu'ils franchissent la sphère de gorge. Le tétraèdre doté d'arêtes noires est censé appartenir à une des deux nappes tridimensionnelles de l'objet. Soit une de ses faces ABC, le sens de parcours positif, arbitraire, étant indiqué par des flèches. Le tétraèdre aux arêtes grisées A'B'C' appartient à l'autre nappe. Si on amène ces deux objets en coïncidence on pourra constater que les deux de parcours sont inverses l'un de l'autre.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Fig.40 : Inversion de l'orientation d'un tétraèdre après franchissement de la sphère de gorge</figcaption></figure>

On en déduit que tout objet franchissant la sphère de gorge de la géométrie de Schwarzschild subit une P-symétrie

Temps de chute libre ou d'évasion dans la géométrie de Schwarzschild.

Le modèle du trou noir est basé sur le complet découplage du temps propre d'objets accompagnant le phénomène d'implosion que cette géométrie est censée décrire et le temps propre d'un observateurs situé à l'infini, observant le phénomène, qui pour lui est censé durer un temps infini. Considérons des trajectoires radiales. On a (en gardant la notation de Schwarzschild) :

$$
(102) \qquad ds^2 = \left(1 - \frac{R_s}{R}\right) dx_4^2 - \frac{dR^2}{1 - \frac{R_s}{R}} \qquad s = c\tau \qquad x_4 = ct
$$

Les équations de Lagrange donnent :

$$
(103) \qquad \frac{d\tau}{dR} = \pm \frac{1}{c} \sqrt{\frac{R}{R_s}}
$$

$$
(104) \qquad \frac{dt}{dR} = \pm \frac{1}{c} \sqrt{\frac{R}{R - R_s}}
$$
L'intégration donne le schéma

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Fig. 41 : Temps de chute libre</figcaption></figure>

La particule témoin atteint la sphère de gorge en un temps fini, en terme de temps propre, mais ce parcours correspond à un temps infini pour un observateur distant.

La métrique de Kerr.

En 1963 Roy Kerr construit la solution de l'équation d'Einstein sans second membre [20], décrivant une portion d'espace vide, invariant par translation temporelle et par action du groupe O(2).

(105)

$$
ds^2 = \left( 1 - \frac{2m\rho}{\rho^2 + a^2 \cos^2 \theta} \right) c^2 dt^2 - \frac{\rho^2 + a^2 \cos^2 \theta}{\rho^2 + a^2 - 2m\rho} d\rho^2 - (\rho^2 + a^2 \cos^2 \theta) d\theta^2 \\ - \left[ (\rho^2 + a) \sin^2 \theta + \frac{2m\rho a^2 \sin^4 \theta}{\rho^2 + a^2 \cos^2 \theta} \right] d\varphi^2 - \frac{4m\rho a \sin^2 \theta}{\rho^2 + a^2 \cos^2 \theta} c dt d\varphi
$$

Le paramètre *a* chiffre l'importance de la rotation. S'il est nul on retrouve la métrique de Schwarzschild. Dans le plan cette métrique devient :
L'intégration donne le schéma

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Fig. 41 : Temps de chute libre</figcaption></figure>

La particule témoin atteint la sphère de gorge en un temps fini, en terme de temps propre, mais ce parcours correspond à un temps infini pour un observateur distant.

La métrique de Kerr.

En 1963 Roy Kerr construit la solution de l'équation d'Einstein sans second membre [20], décrivant une portion d'espace vide, invariant par translation temporelle et par action du groupe O(2).

(105)

$$
ds^2 = \left( 1 - \frac{2m\rho}{\rho^2 + a^2 \cos^2 \theta} \right) c^2 dt^2 - \frac{\rho^2 + a^2 \cos^2 \theta}{\rho^2 + a^2 - 2m\rho} d\rho^2 - (\rho^2 + a^2 \cos^2 \theta) d\theta^2 \\ - \left[ (\rho^2 + a) \sin^2 \theta + \frac{2m\rho a^2 \sin^4 \theta}{\rho^2 + a^2 \cos^2 \theta} \right] d\varphi^2 - \frac{4m\rho a \sin^2 \theta}{\rho^2 + a^2 \cos^2 \theta} c dt d\varphi
$$

Le paramètre *a* chiffre l'importance de la rotation. S'il est nul on retrouve la métrique de Schwarzschild. Dans le plan cette métrique devient :
(106)

$$ds^2 = \left(1 - \frac{2m}{\rho}\right) c^2 dt^2 - \frac{\rho^2}{\rho^2 + a^2 - 2m\rho} d\rho^2 - \left[\left(\rho^2 + a\right) + \frac{2ma^2}{\rho}\right] d\phi^2 - \frac{4ma}{\rho} c dt d\phi$$

Considérons deux rayons de lumière émis tangentiellement à une trajectoire à $\rho$ constant :

$$ (107) \quad 0 = \left(1 - \frac{2m}{\rho}\right) c^2 dt^2 - \left[ \left(\rho^2 + a\right) + \frac{2ma^2}{\rho} \right] d\phi^2 - \frac{4ma}{\rho} c dt d\phi $$

La vitesse de la lumière prend alors deux valeurs différentes, selon la direction de l'émission :

$$ (108) \quad v_{\phi} = c \left[ 2ma \pm \sqrt{18m^2a^2 + 2m\rho^3 - \rho^2a^2 - \rho^4} \right] $$

Ce phénomène est classiquement interprété comme un phénomène d'entraînement du système de coordonnées (frame-dragging) et n'est pas sans évoquer l'idée d'Ernst Mach selon laquelle la matière et l'espace seraient étroitement liées. Ces deux valeurs de la vitesse des photons est lié à la présence d'un terme croisé en $d\phi dt$. La présence dans la solution stationnaire d'un terme croisé en $d\phi dt$ a été envisagée en 1916 par le Hollandais J. Droste<fnref n="22" /> [21], mais rejetée aussitôt par cet auteur car considérée comme non physique.

Faisons une courte digression. Droste, élève de Lorentz, présente ce travail le 27 mai 1916, il a trente ans.

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Fig.42 : Johannes Droste (1886-1963)</figcaption></figure>

Il part des mêmes hypothèses que Schwarzschild, et voici son résultat :

<footnote n="22">²² https://fr.wikipedia.org/wiki/Johannes_Droste</footnote>
(106)

$$ds^2 = \left(1 - \frac{2m}{\rho}\right) c^2 dt^2 - \frac{\rho^2}{\rho^2 + a^2 - 2m\rho} d\rho^2 - \left[\left(\rho^2 + a\right) + \frac{2ma^2}{\rho}\right] d\phi^2 - \frac{4ma}{\rho} c dt d\phi$$

Considérons deux rayons de lumière émis tangentiellement à une trajectoire à $\rho$ constant :

$$ (107) \quad 0 = \left(1 - \frac{2m}{\rho}\right) c^2 dt^2 - \left[ \left(\rho^2 + a\right) + \frac{2ma^2}{\rho} \right] d\phi^2 - \frac{4ma}{\rho} c dt d\phi $$

La vitesse de la lumière prend alors deux valeurs différentes, selon la direction de l'émission :

$$ (108) \quad v_{\phi} = c \left[ 2ma \pm \sqrt{18m^2a^2 + 2m\rho^3 - \rho^2a^2 - \rho^4} \right] $$

Ce phénomène est classiquement interprété comme un phénomène d'entraînement du système de coordonnées (frame-dragging) et n'est pas sans évoquer l'idée d'Ernst Mach selon laquelle la matière et l'espace seraient étroitement liées. Ces deux valeurs de la vitesse des photons est lié à la présence d'un terme croisé en $d\phi dt$. La présence dans la solution stationnaire d'un terme croisé en $d\phi dt$ a été envisagée en 1916 par le Hollandais J. Droste<fnref n="22" /> [21], mais rejetée aussitôt par cet auteur car considérée comme non physique.

Faisons une courte digression. Droste, élève de Lorentz, présente ce travail le 27 mai 1916, il a trente ans.

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Fig.42 : Johannes Droste (1886-1963)</figcaption></figure>

Il part des mêmes hypothèses que Schwarzschild, et voici son résultat :

<footnote n="22">²² https://fr.wikipedia.org/wiki/Johannes_Droste</footnote>
This $v$ is not the same as occurs in (4). We obtain

$$ds^2 = \left(1 - \frac{\alpha}{r}\right) dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{\alpha}{r}} - r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) \quad (7)$$

Fig.43 : Métrique de Droste

Résultat identique à celui de Schwarzchild. Dans cet article très complet, tout est explicité. Les expressions des géodésiques et le reste. Par la suite Droste dira que lors qu'il avait présenté son papier, il ignorait que Schwarzschild venait de résoudre ce problème trois mois plus tôt.

Mais revenons au travail de Roy Kerr :

Dans la mesure où on admet dans sa solution la présence d'un frame-dragging azimutal, qu'obtient-on si on envisage dans une solution invariante par action de $O(3)$ un frame-dragging radial. Cela se traduit par la présence d'un terme croisé en $dRdt$. En conservant les notations de Schwarzschild, ceci correspond à la métrique d'Eddington-Finkelstein, qui se déduit de la métrique de Schwarzschild par le changement de variable :

$$(109) \qquad t = t' + \delta \frac{R_s}{c} L_n \left(\frac{R}{R_s} - 1\right) \qquad \delta = \pm 1$$

Ce qui donne :

$$(110) \qquad ds^2 = \left(1 - \frac{R_s}{R}\right) c^2 dt'^2 - \left(1 + \frac{R_s}{R}\right) dR^2 - R^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) + 2\delta \frac{R_s}{R} c dt' dR$$

Cette situation a été récemment étudiée dans [22]. Le temps de transit le long d'une trajectoire radiale devient :

(111) $v = -1$ : trajectoire centripète ; $v = 1$ : trajectoire centrifuge

$$\begin{align*} \frac{dt'}{dR} &= \frac{1}{c} \frac{\lambda R - \delta v R_s \sqrt{\lambda^2 - 1 + \frac{R_s}{R} - \frac{h^2}{R^2} + \frac{h^2 R_s}{R^3}}}{v(R - R_s) \sqrt{\lambda^2 - 1 + \frac{R_s}{R} - \frac{h^2}{R^2} + \frac{h^2 R_s}{R^3}}} & \delta &= \pm 1 \\ v &= \pm 1 \end{align*}$$

Pour des trajectoires radiales ($h = 0$)

(112)
This $v$ is not the same as occurs in (4). We obtain

$$ds^2 = \left(1 - \frac{\alpha}{r}\right) dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{\alpha}{r}} - r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) \quad (7)$$

Fig.43 : Métrique de Droste

Résultat identique à celui de Schwarzchild. Dans cet article très complet, tout est explicité. Les expressions des géodésiques et le reste. Par la suite Droste dira que lors qu'il avait présenté son papier, il ignorait que Schwarzschild venait de résoudre ce problème trois mois plus tôt.

Mais revenons au travail de Roy Kerr :

Dans la mesure où on admet dans sa solution la présence d'un frame-dragging azimutal, qu'obtient-on si on envisage dans une solution invariante par action de $O(3)$ un frame-dragging radial. Cela se traduit par la présence d'un terme croisé en $dRdt$. En conservant les notations de Schwarzschild, ceci correspond à la métrique d'Eddington-Finkelstein, qui se déduit de la métrique de Schwarzschild par le changement de variable :

$$(109) \qquad t = t' + \delta \frac{R_s}{c} L_n \left(\frac{R}{R_s} - 1\right) \qquad \delta = \pm 1$$

Ce qui donne :

$$(110) \qquad ds^2 = \left(1 - \frac{R_s}{R}\right) c^2 dt'^2 - \left(1 + \frac{R_s}{R}\right) dR^2 - R^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) + 2\delta \frac{R_s}{R} c dt' dR$$

Cette situation a été récemment étudiée dans [22]. Le temps de transit le long d'une trajectoire radiale devient :

(111) $v = -1$ : trajectoire centripète ; $v = 1$ : trajectoire centrifuge

$$\begin{align*} \frac{dt'}{dR} &= \frac{1}{c} \frac{\lambda R - \delta v R_s \sqrt{\lambda^2 - 1 + \frac{R_s}{R} - \frac{h^2}{R^2} + \frac{h^2 R_s}{R^3}}}{v(R - R_s) \sqrt{\lambda^2 - 1 + \frac{R_s}{R} - \frac{h^2}{R^2} + \frac{h^2 R_s}{R^3}}} & \delta &= \pm 1 \\ v &= \pm 1 \end{align*}$$

Pour des trajectoires radiales ($h = 0$)

(112)
$$ 
\begin{gathered}
\frac{dt'}{dR} = \frac{1}{c} \frac{\lambda R - \delta \nu R_s \sqrt{\lambda^2 - 1 + \frac{R_s}{R}}}{\nu(R - R_s) \sqrt{\lambda^2 - 1 + \frac{R_s}{R}}} \qquad \delta = \pm 1 \\
\nu = \pm 1
\end{gathered}
$$

Quand R tend vers Rs, cette contribution du temps devient infini si $\delta \nu < 0$

Dans ces conditions :

$$ (113) \qquad \frac{dt'}{dR} \approx \frac{\nu}{c} \frac{R - \delta \nu R_s}{R - R_s} $$

Il est donc possible de coupler deux solutions métriques, deux nappes se raccordant selon la sphère de gorge, jouant alors le rôle de *one-way membrane*, de surface que les masses ne peuvent traverser que dans un seul sens. Considérons le couple de métriques ci-après. Dans la première les masses ne peuvent qu'entrer dans la sphère de gorge, en un temps bref, mais ne peuvent en émerger qu'en un temps infini, ce qui équivaut à une impossibilité. Situation inverse vis à vis de la seconde nappe, définie par la métrique (91). Globalement le transit, avec entrée dans la première nappe et émergence dans la seconde, s'effectue en un temps fini. Le transit inverse est impossible.

$$ (114) \quad ds^2 = \left(1 - \frac{R_s}{R}\right) c^2 dt'^2 - \left(1 + \frac{R_s}{R}\right) dR^2 - R^2(d\theta^2 + \sin^2 d\phi^2) - 2 \frac{R_s}{R} c dt' dR $$

$$ (115) \quad ds^2 = \left(1 - \frac{R_s}{R}\right) c^2 dt'^2 - \left(1 + \frac{R_s}{R}\right) dR^2 - R^2(d\theta^2 + \sin^2 d\phi^2) + 2 \frac{R_s}{R} c dt' dR $$

Une étoile en implosion verrait ainsi sa masse transférée dans une seconde nappe, selon un temps fini.

## Epilogue.

Francfort est la ville natale de Karl Schwarzschild. Chaque année se tient à l'Advanced Studies Institute de Francfort un « colloque Schwarzschild », consacré aux questions de cosmologie et d'astrophysique. En 2017 les organisateurs du colloque avaient invité le cosmologiste Argentin Juan Malcadena, en poste à l'Advanced Studies Institute de Princeton, Etats-Unis. Celui-ci débuta sa conférence, consacrée au dernières avancées dans le domaine de le thermodynamique des trous noirs en disant.

- En 1916, quand Karl Schwarzschild publia son article, la communauté scientifique dut passer un certain temps avant que certains points soient éclaircis. Aujourd'hui ces problèmes ont été bien maîtrisés.

Pour montrer la façon dont la communauté des spécialistes perçoit ces questions, depuis les années soixante, le plus simple est de reproduire
$$ \frac{dt'}{dR} = \frac{1}{c} \frac{\lambda R - \delta v R_s \sqrt{\lambda^2 - 1 + \frac{R_s}{R}}}{v(R - R_s) \sqrt{\lambda^2 - 1 + \frac{R_s}{R}}} \qquad \begin{array}{l} \delta = \pm 1 \\ v = \pm 1 \end{array} $$

Quand R tend vers Rs, cette contribution du temps devient infini si $\delta v < 0$

Dans ces conditions :

$$ (113) \qquad \frac{dt'}{dR} \approx \frac{v}{c} \frac{R - \delta v R_s}{R - R_s} $$

Il est donc possible de coupler deux solutions métriques, deux nappes se raccordant selon la sphère de gorge, jouant alors le rôle de *one-way membrane*, de surface que les masses ne peuvent traverser que dans un seul sens. Considérons le couple de métriques ci-après. Dans la première les masses ne peuvent qu'entrer dans la sphère de gorge, en un temps bref, mais ne peuvent en émerger qu'en un temps infini, ce qui équivaut à une impossibilité. Situation inverse vis à vis de la seconde nappe, définie par la métrique (91). Globalement le transit, avec entrée dans la première nappe et émergence dans la seconde, s'effectue en un temps fini. Le transit inverse est impossible.

$$ (114) \quad ds^2 = \left(1 - \frac{R_s}{R}\right) c^2 dt'^2 - \left(1 + \frac{R_s}{R}\right) dR^2 - R^2(d\theta^2 + \sin^2 d\phi^2) - 2 \frac{R_s}{R} c dt' dR $$

$$ (115) \quad ds^2 = \left(1 - \frac{R_s}{R}\right) c^2 dt'^2 - \left(1 + \frac{R_s}{R}\right) dR^2 - R^2(d\theta^2 + \sin^2 d\phi^2) + 2 \frac{R_s}{R} c dt' dR $$

Une étoile en implosion verrait ainsi sa masse transférée dans une seconde nappe, selon un temps fini.

## Epilogue.

Francfort est la ville natale de Karl Schwarzschild. Chaque année se tient à l'Advanced Studies Institute de Francfort un « colloque Schwarzschild », consacré aux questions de cosmologie et d'astrophysique. En 2017 les organisateurs du colloque avaient invité le cosmologiste Argentin Juan Malcadena, en poste à l'Advanced Studies Institute de Princeton, Etats-Unis. Celui-ci débuta sa conférence, consacrée au dernières avancées dans le domaine de le thermodynamique des trous noirs en disant.

- En 1916, quand Karl Schwarzschild publia son article, la communauté scientifique dut passer un certain temps avant que certains points soient éclaircis. Aujourd'hui ces problèmes ont été bien maîtrisés.

Pour montrer la façon dont la communauté des spécialistes perçoit ces questions, depuis les années soixante, le plus simple est de reproduire
l'interprétation main stream telle qu'elle se présente dans la page 223 de la référence [18], et qui traduit un consensus unanime au sein de la communauté des cosmologistes d'aujourd'hui, et des partisans du modèle de Trou Noir.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Fig.44 : Interprétation standard de la métrique de Schwarzschild</figcaption></figure>

Traduction :

La solution de Schwarzschild et ses Conséquences.

## 6.8 Le rayon de Schwarzschild, les coordonnées de Kruskal et le Trou Noir.

Nous avons remarqué dans l'expression (5.3) de la métrique de Schwarzschild une singularité apparaît en $r = 2m$, au rayon de Schwarzschild ; en ce point le potentiel métrique $g_{11}$ devient infini, alors que le potentiel $g_{00}$ devient nul. Du fait que $g_{00}$ est nul, la sphère de
l'interprétation main stream telle qu'elle se présente dans la page 223 de la référence [18], et qui traduit un consensus unanime au sein de la communauté des cosmologistes d'aujourd'hui, et des partisans du modèle de Trou Noir.

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Fig.44 : Interprétation standard de la métrique de Schwarzschild</figcaption></figure>

Traduction :

La solution de Schwarzschild et ses Conséquences.

## 6.8 Le rayon de Schwarzschild, les coordonnées de Kruskal et le Trou Noir.

Nous avons remarqué dans l'expression (5.3) de la métrique de Schwarzschild une singularité apparaît en $r = 2m$, au rayon de Schwarzschild ; en ce point le potentiel métrique $g_{11}$ devient infini, alors que le potentiel $g_{00}$ devient nul. Du fait que $g_{00}$ est nul, la sphère de
Schwarzschild $r = 2m$ est une surface avec un redshift infini, si on se base sur notre discussion des sections 4.2 et 4.4. Ainsi comme la longueur d'onde de la lumière émise par cette surface subit un redshift infini, la fréquence du signal perçu à une un observateur distance sous une fréquence nulle, ce qui fait que nul atome ne peut être observé.

Quand $r$ devient inférieur à $2m$, les signes des composants de la métrique $g_{00}$ et $g_{11}$ changent, $g_{11}$ devenant positif et $g_{00}$ négatif. Ceci nous contraint à reconsidérer la signification physique de $t$ et de $r$ en tant qu'indicateurs du temps et du rayon ($!??$) à l'intérieur ($??$) de la sphère de Schwarzschild. En fait, une ligne d'univers ($?$) le long de l'axe du temps, c'est à dire à ($r, \theta, \varphi$ constants) correspond alors à $ds^2 < 0$. C'est donc une courbe du genre espace$^{23}$. Mais si on chemine le long de l'axe $r$ ($!?!$...) on a $ds^2 > 0$, c'est une courbe du genre temps. Il apparaîtra ainsi naturel de réinterpréter $r$ comme une coordonnée de temps et $t$ comme un indicateur de rayon, vis à vis des évènements survenant à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild. (n'importe quoi! ...). Ceci étant fait nous pouvons interpréter $ds/c$ comme le temps propre le long de la ligne d'univers d'une particule car, comme nous l'avons vu à la section 4.2 $ds^2$ doit être positif tout au long. Ainsi une particule dotée de masse ne saurait rester à $r$ constant à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild puisque ceci impliquerait que soit négatif de long de celle ligne d'univers.

Références :

[1] D.Hilbert. Die Grundlagen der Physik (Esrte Mitteilung). Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-ohysikalische Klasse. (1915) 395-407.

English translation : The foundations of Physics (first communication). English translation. Boston Series in Philosophy and Science. Copyright Springer, Vol.250 2007 ( 29$95 )
https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4020-4000-9_44

[2] D.Hilbert. Die Grundlagen der Physik (Esrte Mitteilung). Nachrochten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-ohysikalische Klasse. (1916)

English translation : The foundations of Physics (second communication). English translation. Boston Series in Philosophy and Science. Copyright Springer, Vol.250 2007 ( 29$95 )
https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-1-4020-4000-9_45

<footnote n="23">²³ Non, cela signifie simplement qu'on est en dehors de l'hypersurface !</footnote>
Schwarzschild $r = 2m$ est une surface avec un redshift infini, si on se base sur notre discussion des sections 4.2 et 4.4. Ainsi comme la longueur d'onde de la lumière émise par cette surface subit un redshift infini, la fréquence du signal perçu à une un observateur distance sous une fréquence nulle, ce qui fait que nul atome ne peut être observé.

Quand $r$ devient inférieur à $2m$, les signes des composants de la métrique $g_{00}$ et $g_{11}$ changent, $g_{11}$ devenant positif et $g_{00}$ négatif. Ceci nous contraint à reconsidérer la signification physique de $t$ et de $r$ en tant qu'indicateurs du temps et du rayon ($!?...$) à l'intérieur ($?...$) de la sphère de Schwarzschild. En fait, une ligne d'univers ($?$) le long de l'axe du temps, c'est à dire à ($r, \theta, \phi$ constants) correspond alors à $ds^2 < 0$. C'est donc une courbe du genre espace<fnref n="23" />. Mais si on chemine le long de l'axe $r$ ($!?!...$) on a $ds^2 > 0$, c'est une courbe du genre temps. Il apparaîtra ainsi naturel de réinterpréter $r$ comme une coordonnée de temps et $t$ comme un indicateur de rayon, vis à vis des évènements survenant à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild. (n'importe quoi! ...). Ceci étant fait nous pouvons interpréter $ds/c$ comme le temps propre le long de la ligne d'univers d'une particule car, comme nous l'avons vu à la section 4.2 $ds^2$ doit être positif tout au long. Ainsi une particule dotée de masse ne saurait rester à $r$ constant à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild puisque ceci impliquerait que soit négatif de long de celle ligne d'univers.

Références :

[1] D.Hilbert. Die Grundlagen der Physik (Esrte Mitteilung). Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-ohysikalische Klasse. (1915) 395-407.

English translation : The foundations of Physics (first communication). English translation. Boston Series in Philosophy and Science. Copyright Springer, Vol.250 2007 ( 29$95 )
https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4020-4000-9_44

[2] D.Hilbert. Die Grundlagen der Physik (Esrte Mitteilung). Nachrochten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-ohysikalische Klasse. (1916)

English translation : The foundations of Physics (second communication). English translation. Boston Series in Philosophy and Science. Copyright Springer, Vol.250 2007 ( 29$95 )
https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-1-4020-4000-9_45

<footnote n="23">²³ Non, cela signifie simplement qu'on est en dehors de l'hypersurface !</footnote>
[3] Tilman Sauer : The Relativity Discovery : Hilbert's First Note on Foundations of Physis. See page 48. Correspondance Einstein-Hilbert au jour le jour. Page 48
https://arxiv.org/pdf/physics/9811050.pdf

[4] A. Einstein : Die Feldgleichungen des Gravitation ( The Field Equation of Gravitation). Sitzungsber. XLIV, 8, 778 and XLVI s. 799 (25 nov 1915)

[5] A.Einstein : Erlklärung der Perihelbeweggung des Merkur aus allgemeinen Relativitätstheorie. Königlish Preubische Akademie der Wissenschaften (Berlin) ? Sitzungberichet (25 nov. 1915) p. 831-838

[6] K. Schwarzschild : Über das Gravitationsfeld Messenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preubischen Akademie der Wissenschaften p. 189-196. jan 1916
English translation by S.Antoci and A.Loinger. On the gravitational field of a mass point according to Einstein theory. arXiv :physics/9912033v1 [physics.hist-ph] 16 dec 1999.

Traduction française à partir de la version allemande par H.Traccard :
http://www.jp-petit.org/papers/cosmo/1916-Schwarzschild-fr.pdf

[7] L.S.Abrams : Black Hole : the Legacy of Hilbert's Error. Can. Jr. Phys. 67, 9191 (1989). arXiv : gr-qc/01205055v1/13 feb 2001

[8] A.Loinger : The Black holes do not exist « Also sprach Karl Schawarzschild » (« Ainsi parlait Karl Schwarzschild »). arXiv :physics/9905030 may 1999nb

[9] S.Antoci and D.E. Liebscher : Reconsidering Schwarzschild original solution. Astronomische Nachrichten 322 (2001), 3, 137-174

[10] S.Antoci and D.E. Liebscher : The Topology of Schwarzschild Original Solution. arXiv : gr-qc/0308005v3 26 sept 2005.

[11] S.Antoci. David Hilbert and the origin of the Schwarzschild Solution. (2003)
https://arxiv.org/abs/physics/0310104

[12] A.A.Vankov : Explanation of the Perihelion of Mercury From General Relativity ». Gen.Sc.Jr. Researchgate.net. (2021)

[13] J.P.Petit & G.D'Agostini : Cancellation of the singularity of the Schwarzschild solution with natural mass inversion process. Mod. Phys. Lett. A vol. 30 n°9 (2015). arXiv : gr-qc/2103.12845/13 feb 2001( 23 March 2021)

[14] J.R.Oppenheimer and H.Snyder : On Continued Gravitational Contraction. Phys. Rev. Vol. 56 pp 455-459 sept 1939
https://journals.aps.org/pr/pdf/10.1103/PhysRev.56.455

[15] M.D Kruskal : Maximal extension of Schwarzschild metric. Phys. Rev. 119, 1734 (1° sept 1060).
[3] Tilman Sauer : The Relativity Discovery : Hilbert's First Note on Foundations of Physis. See page 48. Correspondance Einstein-Hilbert au jour le jour. Page 48
https://arxiv.org/pdf/physics/9811050.pdf

[4] A. Einstein : Die Feldgleichungen des Gravitation ( The Field Equation of Gravitation). Sitzungsber. XLIV, 8, 778 and XLVI s. 799 (25 nov 1915)

[5] A.Einstein : Erlklärung der Perihelbeweggung des Merkur aus allgemeinen Relativitätstheorie. Königlish Preubische Akademie der Wissenschaften (Berlin) ? Sitzungberichet (25 nov. 1915) p. 831-838

[6] K. Schwarzschild : Über das Gravitationsfeld Messenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preubischen Akademie der Wissenschaften p. 189-196. jan 1916

English translation by S.Antoci and A.Loinger. On the gravitational field of a mass point according to Einstein theory. arXiv :physics/9912033v1 [physics.hist-ph] 16 dec 1999.

Traduction française à partir de la version allemande par H.Traccard :
http://www.jp-petit.org/papers/cosmo/1916-Schwarzschild-fr.pdf

[7] L.S.Abrams : Black Hole : the Legacy of Hilbert's Error. Can. Jr. Phys. 67, 9191 (1989). arXiv : gr-qc/01205055v1/13 feb 2001

[8] A.Loinger : The Black holes do not exist « Also sprach Karl Schawarzschild » (« Ainsi parlait Karl Schwarzschild »). arXiv :physics/9905030 may 1999nb

[9] S.Antoci and D.E. Liebscher : Reconsidering Schwarzschild original solution. Astronomische Nachrichten 322 (2001), 3, 137-174

[10] S.Antoci and D.E. Liebscher : The Topology of Schwarzschild Original Solution. arXiv : gr-qc/0308005v3 26 sept 2005.

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[17] K.Schwarzschild : Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus incompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie. Sitzund der Phys. Math. Klasse V.24 24 Februar 1916

[18] R.Adler, M.Bazin, M.Schiffer : Introduction to General Relativity, Mc Graw Hill Books Cie, 1975. http://www.jp-petit.org/books/asb.pdf

[19] H.Weyl : Zu Gravitationstherie. Annalen der physik, Vol.35 n° 18 (1917)
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[20] R.P.Kerr (1963) Gravitational Field of a Spinning Body as an Example of Argebraic Special Metrics. Phys. Rev.Letters 11 ; 237

[21] J Droste : The Field of a Single Centre in Einstein's Theory of Gravitation and the Motion of a Particle in that Field. Royal Netherland Academy of Arts and Sciences (KNAW) Proc. 19 I, Amsterdam 1917 pp.197-215.

[22] P.Koiran : Infall Time in the Eddington-Finkelstein Metric, with Application do Eddigton-Rosen Bridges. Inter. Jr. of Mod. Phys. D, 14 aug. 2021, to be published. https://arxiv.org/abs/2110.05938

[23] A.Eddington : A Comparizon of Withehead'sand Einstein's formulae. Nature 113-192, 1924

[24] D.Finkelstein : Pst-Future asymetry of the gravitational field od a point particle. Phys. Rev. 110(4) : 956-967, 1958

[25] S.Bondarenko : Negative mass Scenario and Schwarzschild Spacetime in General Relativity. Od. Phys. Lett. A Vol.34 n°11 (2019).
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