SÉRIES DE FOURIER ET SÉRIES D'ONDELETTES

PAR

DINA MELAS ET EDUARDO SERRANO (BUENOS AIRES)

**1. Introduction.** Les notations sont celles de [1]. On désigne par $V_j$, $j \in \mathbb{Z}$, une analyse multirésolution $r$-régulière de $L^2(\mathbb{R})$ où $r \ge 1$. Il existe donc une fonction $\varphi$ de la variable réelle $x$ telle que $\varphi(x-k)$, $k \in \mathbb{Z}$, soit une base hilbertienne de $V_0$ et que

$$ (1.1) \qquad \left| \left( \frac{d}{dx} \right)^q \varphi(x) \right| \le C_m (1 + |x|)^{-m} $$

pour $0 \le q \le r$ et tout $m \ge 0$.

Alors $2^{j/2}\varphi(2^j x - k)$, $k \in \mathbb{Z}$, est une base hilbertienne de $V_j$, on a $V_j \subset V_{j+1}$, $\bigcap_{j=-\infty}^{\infty} V_j = \{0\}$ et finalement $\bigcup_{j=-\infty}^{\infty} V_j$ est dense dans $L^2(\mathbb{R})$. Nous venons de rappeler la définition d'une analyse multirésolution $r$-régulière de $L^2(\mathbb{R})$. Quitte à multiplier $\varphi$ par une constante de module 1, on peut supposer $\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x) dx = 1$.

On sait alors qu'il existe une fonction $2\pi$-périodique et indéfiniment dérivable $m_0(\xi)$ telle que l'on ait, pour tout $\xi$ réel,

$$ (1.2) \qquad \hat{\varphi}(2\xi) = m_0(\xi)\hat{\varphi}(\xi). $$

On a, en outre,

$$ (1.3) \qquad m_0(0) = 1 \quad \text{et} \quad |m_0(\xi)|^2 + |m_0(\xi + \pi)|^2 = 1. $$

S. Mallat a posé le problème de savoir sous quelle condition on peut construire une analyse multirésolution $r$-régulière $V_j$, $j \in \mathbb{Z}$, à partir d'une fonction $m_0(\xi)$ indéfiniment dérivable et $2\pi$-périodique vérifiant (1.3). Il suppose, en outre,

$$ (1.4) \qquad m_0(\xi) \neq 0 \quad \text{si} \quad -\pi/2 \le \xi \le \pi/2 $$

et démontre alors que (1.2) possède une et une seule solution $\varphi \in L^2 \cap L^1$ vérifiant $\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x) dx = 1$ et que $\varphi(x-k)$, $k \in \mathbb{Z}$, est une suite orthonormée. Cette suite est une base hilbertienne d'un sous-espace fermé $V_0$ de $L^2(\mathbb{R})$. On définit $V_j$ par

$$ (1.5) \qquad f(x) \in V_0 \iff f(2^j x) \in V_j $$
et l'on a

$$
(1.6) \qquad
\begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
V_j \subset V_{j+1}, & \displaystyle\bigcap_{j=-\infty}^{\infty} V_j = \{0\}, \\[1.5ex]
\bigcup_{j=-\infty}^{\infty} V_j & \text{est dense dans } L^2(\mathbb{R}).
\end{array}
$$

On ne dispose pas, à l'heure actuelle, d'un critère simple portant sur $m_0(\xi)$ et fournissant (1.1). C'est pour cette raison que nous supposerons, dans tout ce qui suit, que (1.4) est vérifiée ainsi que (1.1).

**2. L'énoncé du théorème fondamental.** On désigne par $P_j : L^2(\mathbb{R}) \to V_j$ l'opérateur de projection orthogonale, on note $W_j$ le supplémentaire orthogonal de $V_j$ dans $V_{j+1}$. On observe que $Q_j = P_{j+1} - P_j$ est l'opérateur de projection orthogonale sur $W_j$. Le noyau de $Q_j$ est $K_j(x, y) = 2^j \sum_{k=-\infty}^{\infty} \psi(2^j x - k) \overline{\psi(2^j y - k)}$ et vérifie, pour tout $m \ge 1$, l'estimation suivante :

$$
(2.1) \qquad |K_j(x, y)| \le C_m 2^j (1 + 2^j |x - y|)^{-m}.
$$

Il en résulte que $Q_j$ est aussi défini sur $L^\infty(\mathbb{R})$ et, plus précisément, que si $f \in L^\infty(\mathbb{R})$ est périodique de période 1 et si $j \ge 0$, il en est de même pour $Q_j(f)$.

Pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $n \neq 0$, on définit $j \ge 0$ par, soit $-2^j \le n < -2^{j-1}$, soit $2^{j-1} \ge n < 2^j$. Si $n=1$, on a $j=1$ et si $n=-1$, $j=0$. On définit $e_n$, $n \in \mathbb{Z}$, par

$$
(2.2) \qquad e_n(x) = \exp(2\pi i n x)
$$

et l'on pose, si $n$ et $j$ sont reliés comme indiqué ci-dessus,

$$
(2.3) \qquad f_n(x) = Q_j(e_n)(x).
$$

On a alors, en posant $f_0(x) = 1$,

THÉORÈME 1. Avec les notations précédentes, la suite $f_n(x)$ est une base de Riesz de $L^2[0, 1]$.

Une base de Riesz d'un espace de Hilbert $H$ est l'image d'une base hilbertienne par un isomorphisme $T : H \to H$, non nécessairement isométrique.

Plus précisément, nous montrerons que les fonctions 1 et $\gamma_n f_n$, $\gamma_n = (\overline{\psi(2\pi n 2^{-j})})^{-1}$, forment une base hilbertienne de $L^2[0, 1]$ et qu'il existe deux constantes $c' > c > 0$ telles que $c \le |\gamma_n| \le c'$ pour tout $n \ne 0$.

Ce théorème a des variantes. Si nous supposons, par exemple, que $\varphi(x)$ est paire, alors la collection des fonctions 1, $Q_j(\cos 2\pi nx)$, $j = 0, 1, \dots, 2^{j-1}+1 \le n \le 2^j$ et $Q_j(\sin 2\pi nx)$, $j = 1, 2, \dots, 2^{j-1} \le n \le 2^j-1$, est aussi une base de Riesz de $L^2[0, 1]$.
**3. La preuve du théorème 1.** Commençons par rappeler la construc-
tion des ondelettes périodiques. Pour tout $j \ge 0$, on pose

$$
(3.1) \qquad \tilde{\psi}_j(x) = 2^{j/2} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \psi(2^j(x-k)).
$$

Alors la suite 1, $\tilde{\psi}_j(x - k2^{-j})$, $j = 0, 1, 2, \dots$, $k = 0, 1, \dots, 2^j - 1$, est une
base orthonormée de $L^2[0, 1]$. Or on a

$$
(3.2) \quad Q_j(e_n)(x) = 2^{-j/2} \widehat{\psi}(2\pi n 2^{-j}) \sum_{0 \le k < 2^j} e_n(k 2^{-j}) \tilde{\psi}_{j,k}(x).
$$

Grâce à l'hypothèse faite sur $m_0(\xi)$, on a $|\hat{\psi}(\xi)| \ge \beta > 0$ si $\pi \le |\xi| \le 2\pi$.
On a donc $0 < \alpha \le |\gamma_n| \le \beta^{-1}$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$. Si donc 1 et les $\gamma_n f_n$,
$n \in \mathbb{Z}$, $n \neq 0$, forment une base hilbertienne de $L^2[0,1]$, alors 1 et les $f_n$,
$n \in \mathbb{Z}$, $n \neq 0$, constituent une base de Riesz de $L^2[0,1]$.

Pour démontrer que 1 et les $\gamma_n f_n$ forment une base hilbertienne de $L^2[0,1]$, on considère la matrice carrée $M_j$ dont les coefficients sont $2^{-j/2}e_n(k2^{-j})$, $0 \le k < 2^{-j}$, $-2^j \le n < -2^{j-1}$ ou $2^j - 1 \le n < 2^j$. On observe que deux valeurs distinctes de $n$ ne peuvent être congrues modulo $2^j$. Il en résulte que les vecteurs correspondants de $M_j$ sont orthogonaux et que $M_j$ est unitaire.

On désigne alors par $F_j$, $j \in \mathbb{N}$, le sous-espace engendré par les fonctions $\tilde{\psi}_j(x - k2^{-j})$, $0 \le k < 2^j$, et l'on a $L^2[0,1] = l \oplus F_0 \oplus \dots \oplus F_j \oplus \dots$ où $l$ est le sous-espace des fonctions constantes. L'identité (3.2) nous apprend que les fonctions $\gamma_n f_n$, $-2^j \le n < -2^{j-1}$ ou $2^{j-1} \le n < 2^j$, constituent une base orthonormée de $F_j$. Le théorème 1 est démontré.

RÉFÉRENCE

[1] Y. Meyer, *Ondelettes et opérateurs*, tome I, Hermann, 1990.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
FACULTAD DE CIENCIAS
CIUDAD UNIVERSITARIA, PABELLON 1
1428 BUENOS AIRES, ARGENTINE

Reçu par la Rédaction le 5.10.1990