ANNALES MATHÉMATIQUES BLAISE PASCAL

ABDELHAK MAZOUZ

Analyse p-adique et congruences des coefficients
de la série e^{xe^x}

Annales mathématiques Blaise Pascal, tome 3, n° 2 (1996), p. 171-181

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# Analyse p-adique
et congruences des coefficients de la série $e^{xe^x}$

MAZOUZ Abdelhak

Université Cadi Ayyad

Faculté des Sciences-Semlalia

Département de Mathématiques

BP S15 MARRAKECH

(Maroc)

## 1 Introduction

Nous avons étudié dans [M.A.] par des méthodes d'analyse p-adique des congruences satisfaites par les nombres de Bell généralisés $P(n, \lambda)$ introduits par Carlitz. Ces nombres ont pour fonction génératrice: $\sum_{n \ge 0} P(n, \lambda) \frac{x^n}{n!} = \exp(\lambda \cdot x + (e^x - 1))$. Nous étudions ici des nombres $B_n$ introduits par P. Barrucand [B.P.] assez proches des $P(n, \lambda)$ qui ont pour fonction génératrice exponentielle: $\sum_{n \ge 0} B_n \frac{x^n}{n!} = e^{xe^x}$. De la série génératrice exponentielle, on tire facilement la relation suivante :

$$B_0 = 1 \text{ et } B_n = \sum_{j=1}^{n} j^{(n-j)} \binom{n}{j} \quad \text{si } n \in \mathbb{N}^*.$$

Le but de notre travail est de montrer les congruences suivantes

* si $p$ premier impair, on a pour $h \ge 1$ et $n \ge p^{2h}(1+h+p^{-1})$: $B_{n+(p-1)p^{3h}} \equiv B_n \mod (p^h)$

* si $p = 2$, on a pour $h \ge 1$ et $n \ge 2^{2h}(h+2^{-1})$: $B_{n+2^{3h}+1} \equiv B_n \mod (2^h)$

Notre méthode consiste à montrer que la fonction génératrice des nombres $B_n$ est un élément analytique p-adique sur un quasi-connexe de $\mathbb{C}_p$. Les théorèmes généraux de l'analyse p adique, théorème de Mittag-Leffler p adique [R.Ph.] et inégalités de Cauchy [A.Y.], pour les éléments analytiques p-adiques sur des quasi-connexes de $\mathbb{C}_p$, permettent alors de trouver des congruences entre les coefficients de leur série de Taylor à l'origine.
## 2 Notation

Soit $p$ un nombre premiers, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Z}_p$, $\mathbb{Q}_p$, $\mathbb{C}_p$ ont leur signification habituelle, cf. [A]. On note $\mathcal{O}_p$ l'anneau des entiers de $\mathbb{C}_p$. La valeur absolue $p$-adique sur $\mathbb{Q}_p$, $\mathbb{C}_p$, est normalisée par $|p|=p^{-1}$. On désigne par $r$ un nombre réel strictement positif. Soit $a \in \mathbb{C}_p$, on note $B^+(a, r) = \{x \in \mathbb{C}_p; |x - a| \le r\}$ et $B^-(a, r) = \{x \in \mathbb{C}_p; |x - a| < r\}$ les boules fermées et ouvertes de rayon $r$ de $\mathbb{C}_p$. On note aussi: $\begin{pmatrix} x \\ n \end{pmatrix} = \frac{x(x-1)\dots(x-n+1)}{n!}$. Soit $\mathcal{A} \subset \mathbb{C}_p$.
On désigne par $\mathcal{H}_0(\mathcal{A})$ l'espace des éléments analytiques sur $\mathcal{A}$, qui tendent vers zéro à l'infini si $\mathcal{A}$ est non borné, muni de la norme de la convergence uniforme sur $\mathcal{A}$, notée $\|F\|_{\mathcal{A}} = \sup_{x \in \mathcal{A}} |F(x)|$.

## 3 Transformation de Laplace formelle

**Définition 3.1** Soit $F(x) = \sum_{n \ge 0} a_n \frac{x^n}{n!} \in K[[x]]$ où $K$ est un corps de caractéristique zéro. On pose : $\mathcal{L}(F(x)) = \sum_{n \ge 0} a_n x^n$. L'application linéaire $\mathcal{L}$ de $K[[x]]$ dans lui même ainsi définie est appelée la transformation de Laplace formelle, cf. [B.D.]

**Lemme 3.2** Soit $\mathcal{L}$ la transformation de Laplace formelle, alors :

$$ \mathcal{L}(\exp(xe^x)) = \mathcal{L}\left(\sum_{n \ge 0} B_n \frac{x^n}{n!}\right) = \sum_{n \ge 0} \frac{x^n}{(1 - nx)^{n+1}} $$

*Preuve:* Par définition $e^{xe^z} = \sum_{n \ge 0} \frac{(xe^x)^n}{n!} = \sum_{n \ge 0} B_n \frac{x^n}{n!}$ et donc :

$$ \mathcal{L}(e^{xe^z}) = \sum_{n \ge 0} \frac{1}{n!} \mathcal{L}(x^n e^{nx}) = \sum_{n \ge 0} B_n x^n $$

Il est facile de montrer, cf. [B.D.], que : $\mathcal{L}(x^n e^{nx}) = n! x^n \frac{1}{(1 - nx)^{n+1}}$, on en déduit que

$$ \sum_{n \ge 0} B_n x^n = \sum_{n \ge 0} \frac{x^n}{(1 - nx)^{n+1}} $$

□
# 4 Étude de la fonction génératrice

**Lemme 4.1** La série $F(x) = \sum_{n \ge 0} B_n x^n$ est congrue modulo $p^h O_p[[x]]$ à la fraction rationnelle $F_{h,p}(x)$ où:

$$F_{h,p}(x) = \frac{\sum_{j=0}^{p^h-1} x^j (1-jx)^{p^h-j-1} \prod_{k \ne j}^{p^h-1} [(1-kx)^{p^h} - x^{p^h}]}{\prod_{j=0}^{p^h-1} [(1-jx)^{p^h} - x^{p^h}]}$$

Preuve: Soit $F(x) = \sum_{n \ge 0} B_n x^n = \sum_{n \ge 0} \frac{x^n}{(1-nx)^{n+1}}$.

Posons $n = k p^h + j$ où $0 \le j \le p^h - 1$, alors

$$F(x) = \sum_{j=0}^{p^h-1} \sum_{k \ge 0} \frac{x^{kp^h+j}}{[1 - (kp^h + j)x]^{kp^h+j+1}}$$

$$F(x) \equiv \sum_{j=0}^{p^h-1} \sum_{k \ge 0} \frac{x^{kp^h+j}}{(1-jx)^{kp^h+j+1}} \mod p^h O_p[[x]]$$

$$F(x) \equiv \sum_{j=0}^{p^h-1} \frac{x^j}{(1-jx)^{j+1}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x^{p^h}}{(1-jx)^{p^h}}} \mod p^h O_p[[x]]$$

$$F(x) \equiv \frac{\sum_{j=0}^{p^h-1} x^j (1-jx)^{p^h-j-1} \cdot \prod_{k \ne j}^{p^h-1} [(1-kx)^{p^h} - x^{p^h}]}{\prod_{j=0}^{p^h-1} [(1-jx)^{p^h} - x^{p^h}]} \mod p^h O_p[[x]]$$

Appelons $F_{h,p}$ le second membre de l'égalité. D'où la congruence énoncée dans le lemme $\square$

**Lemme 4.2** Soit $Q_{h,p}(x) = \prod_{j=0}^{p^h-1} [(1-jx)^{p^h} - x^{p^h}]$ le dénominateur de $F_{h,p}$ et soit
$$R_{h,p}(x) = \prod_{j=0}^{p^h-1} [(x-j)^{p^h} - 1] \text{ le polynôme réciproque de } Q_{h,p}(x). \text{ Alors:}$$

$$R_{h,p}(x) \equiv [R_p(x)]^{p^{2h}-1} \mod p \mathbb{Z}_p[x]$$

où $R_p(x) = (x-1)(x-2)\dots(x-p)$.
Preuve:

$$
\begin{align*}
R_{h,p}(x) &= \prod_{j=0}^{p^h-1} [(x-j)^{p^h} - 1] \\
R_{h,p}(x) &\equiv \prod_{j=0}^{p^h-1} (x-j-1)^{p^h} \mod p \mathbb{Z}_p[x] \\
R_{h,p}(x) &\equiv [(x-1)\dots(x-p)]^{p^{2h}-1} \mod p \mathbb{Z}_p[x].
\end{align*}
$$

Ce qui achève la démonstration.

□

Notons $\frac{1}{\beta_{i,j}}$ ($1 \le i \le p; 1 \le j \le p^{2h-1}$) les racines de $R_{h,p}(x)$. Le lemme de Hensel [A.Y.]
et le lemme 4.1 montrent que ces racines se groupent en $p$ classes contenant chacune $p^{2h-1}$
racines. Soient $\theta_i$, $1 \le i \le p-1$ le représentant de Teichmüller de la classe résiduelle de $i$.

La racine $\beta_{i,j}^{-1}$ appartient à la classe résiduelle de $i$ pour $(1 \le i \le p-1)$. Elle vérifie donc :
$$ \left| \frac{1}{\beta_{i,j}} - \theta_i \right| < 1. $$

**Lemme 4.3** Soient $\beta_{i,j}$ ($1 \le j \le p^{2h-1}$) les racines de $Q_{h,p}(x)$ qui se groupent dans la classe résiduelle de $i^{-1}$ pour ($1 \le i \le p-1$), alors :

$$
|\theta_i^{-1} - \beta_{i,j}| \le p^{-1/p^{2h}}
$$

Preuve: Le degré sur $\mathbb{Q}_p$ de l'extension $Q_p(\beta_{i,j})$ est inférieur ou égal à $p^{2h}$ car le polynôme $Q_{h,p}(x)$ est de degré $p^{2h}$. Donc d'après la formule $ef = n$, reliant la ramification, le degré résiduel et le degré d'une extension finie de $\mathbb{Q}_p$, on a dans le corps $Q_p(\beta_{i,j})$:

$$
|\theta_i^{-1} - \beta_{i,j}| \le p^{-1/p^{2h}}.
$$

□

**Lemme 4.4** Soient $\frac{1}{\beta_{p,j}}$ ($1 \le j \le p^{2h-1}$) les racines de $R_{h,p}(x)$ qui appartiennent à la classe résiduelle de $p$, on a :

$$
|\beta_{p,j}| \geq p^{1/p^{2h}}.
$$
Preuve: On se place dans le corps $Q_p(\beta_{p,j})$. Pour les mêmes raisons que ci-dessus on a dans ce corps, $|p - \frac{1}{\beta_{p,j}}| < 1$ Or $|p| < 1$, d'où $|\frac{1}{\beta_{p,j}}| < 1$. En appliquant un argument analoque à celui exposé dans le lemme précédent on en déduit que $|\frac{1}{\beta_{p,j}}| \le p^{-1/p^{2h}}$. Donc $|\beta_{p,j}| \ge p^{1/p^{2h}}$. $\square$

**Proposition 4.5** $F_{h,p}(x)$ est une fraction rationnelle nulle à l'infini sans pôle sur le quasi-connexc

$$D_{h,p} = \left( \mathbb{C}_p - \bigcup_{i=1}^{p-1} B^+ \left( \theta_i^{-1}, p^{-1/p^{2h}} \right) \right) \cap B^- \left( 0, p^{1/p^{2h}} \right)$$

Preuve: La proposition est évidente puisque $F_{h,p}(x)$ est une fraction rationnelle sans pôle dans $D_{h,p}$, et le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur. $\square$

# 5 Congruences

**Proposition 5.1** *Sur la quasi-connexe*

$$D_{h,p} = \left( \mathbb{C}_p - \bigcup_{i=1}^{p-1} B^+ \left( \theta_i^{-1}, p^{-1/p^{2h}} \right) \right) \cap B^- \left( 0, p^{1/p^{2h}} \right)$$

la fraction rationnelle $F_{h,p}$ vérifie l'estimation suivante:

$$\|F_{h,p}\|_{D_{h,p}} \le p^{2-p^{-1}-p^{-2h}}.$$

Preuve: Soit $N_{h,p}(x) = \sum_{j=0}^{p^h-1} x^j (1-jx)^{p^h-j-1} \cdot \prod_{\substack{k=0 \\ k \ne j}}^{p^h-1} [(1-ky)^{p^h} - x^{p^h}]$, alors on a

$F_{h,p}(x) = \frac{N_{h,p}(x)}{Q_{h,p}(x)}$. Soit $\frac{1}{\beta_{i,j}} (1 \le j \le p^{2h-1})$ les racines de $R_{h,p}(x)$ de la classe résiduelle de $i$, pour $1 \le i \le p$.
Donc $Q_{h,p}(x) = a_{h,p} \prod_{i=1}^{p} \prod_{j=1}^{p^{2h-1}} (x - \beta_{i,j})$ où $a_{h,p}$ est le coefficient dominant de $Q_{h,p}(x)$.

$$ \text{Ainsi } |F_{h,p}(x)| = \frac{|N_{h,p}(x)|}{|a_{h,p}| \prod_{i=1}^{p} \prod_{j=1}^{p^{2h-1}} |x - \beta_{ij}|} $$

Cherchons maintenant à minorer $Q_{h,p}(x)$ dans $D_{h,p}$.

$$ \bullet \text{ Si } 1 \le i \le p-1 $$

Soit $x \in D_{h,p}: |x - \beta_{i,j}| = |x - \theta_i^{-1} + \theta_i^{-1} - \beta_{i,j}| \text{ or } |x - \theta_i^{-1}| > p^{-1/p^{2h}} \text{ et } |\theta_i^{-1} - \beta_{i,j}| \le p^{-1/p^{2h}}$. D'où $|x - \beta_{i,j}| = |x - \theta_i^{-1}|$ pour $1 \le j \le p^{2h-1}$.

$$ \bullet \text{ Si } i = p $$

Soit $x \in D_{h,p}: |x - \beta_{p,j}| = |\beta_{p,j}|$, car $|x| < p^{1/p^{2h}}$ et $|\beta_{p,j}| \ge p^{1/p^{2h}}$.

Donc pour $x \in D_{h,p}$, on a :

$$ |Q_{h,p}(x)| = |a_{h,p}| \prod_{i=1}^{p-1} |x - \theta_i^{-1}|^{p^{2h-1}} \cdot \prod_{j=1}^{p^{2h-1}} |\beta_{p,j}| $$

Or $|a_{h,p}| \cdot \prod_{j=1}^{p^{2h-1}} |\beta_{p,j}| = 1$ ce qui entraîne que:

$$ |Q_{h,p}(x)| \ge (p^{-1/p^{2h}})^{(p-1)p^{2h-1}} = p^{-1+p^{-1}} \quad (1) $$

Cherchons maintenant une majoration de $N_{h,p}$ dans $D_{h,p}$, par définition on a :

$$ N_{h,p}(x) = \sum_{j=0}^{p^h-1} x^j (1-jx)^{p^h-j-1} \cdot \prod_{\substack{k=0 \\ k \ne j}}^{p^h-1} [(1-ky)^{p^h} - x^{p^h}]. $$

Comme $x \in D_{h,p}$, on a $|x| < p^{1/p^{2h}}$, et donc :

$$ |N_{h,p}(x)| \le (p^{1/p^{2h}})^{p^{2h}-1} = p^{1-p^{-2h}}. \quad (2) $$

D'après (1) et (2) on obtient, $||F_{h,p}||_{D_{h,p}} \le p^{2-p^{-1}-p^{-2h}}$. $\square$

**Lemme 5.2** Soit $k$ un entier et soit $\ell(k)$ l'entier naturel défini par $p^{\ell(k)} \le k < p^{\ell(k)+1}$.

On pose :

$$ E_p(k) = -2 + p^{-1} + (k+1)p^{-2h} $$

$$ S_p(k) = -2 + p^{-1} + (k+1)p^{-2h} + j + 2h - \ell(k-1). $$

On a pour $j \ge 1$ et $h \ge 1$ les inégalités suivantes :
1. si $k-1 \ge p^{j+2h}$, $E_p(k) > j-1$,

2. si $p > 2$, $S_p(k) > j - 1$,

3. si $p = 2$, $S_2(k) > j - 2$,

Preuve: $E_p(k) = -2 + p^{-1} + (k+1)p^{-2h}$

Si $k-1 \ge p^{j+2h}$ alors: $E_p(k) \ge -2 + p^{-1} + 2p^{-2h} + p^j$

Comme $p^j \ge j+1$ on a $E_p(k) > j-1$.

D'autre part, on a : $S_p(k) = -2 - p^{-1} + (k+1)p^{-2h} + j + 2h - \ell(k-1)$

Comme $\ell(k-1) \le \frac{\log(k-1)}{\log p}$, on en déduit:

$$S_p(k) \ge -2 - p^{-1} + (k+1)p^{-2h} + j + 2h - \frac{\log(k-1)}{\log p}$$

Posons : $g(x) = -2 - p^{-1} + (x+1)p^{-2h} + j + 2h - \frac{\log(x-1)}{\log p}$ où $x$ est un réel $\ge 1$. On montre facilement que le minimum de $g(x)$ est atteint pour $x-1 = \frac{p^{2h}}{\log p}$.

Comme $\ell(k-1)$ garde la même valeur pour $p^m \le k-1 < p^{m+1}$ on en déduit que le minimum de $S_p(k)$ est atteint pour $k-1 = p^{2h-1}$ si $p > 2$ (resp. pour $k-1 = 2^{2h}$ si $p = 2$). D'où les inégalités suivantes :

1. Si $p > 2$ on a : $S_p(k) \ge S_p(1 + p^{2h-1})$ et

$$ 
\begin{aligned}
S_p(1 + p^{2h-1}) &= -2 - p^{-1} + (2 + p^{2h-1})p^{-2h} + j + 2h - (2h-1) \\
&= -1 + j + 2p^{-2h}
\end{aligned}
$$

D'où $S_p(k) > j - 1$ si $p > 2$.

2. Si $p=2$ et $h \ge 1$ on a : $S_2(k) \ge S_2(1 + 2^{2h-1})$ et

$$ 
\begin{aligned}
S_2(1 + 2^{2h}) &= -2 - 2^{-1} + (2 + 2^{2h}) 2^{-2h} + j + 2h - 2h \\
S_2(1 + 2^{2h}) &= j - 1 - 2^{-1} + 2^{-2h+1} > j - 2.
\end{aligned}
$$

D'où $S_2(k) > j - 2$ si $h \ge 1$.

□
**Lemme 5.3** Soit $F_{h,p}(x) = \sum_{n \ge 0} B(n, h) x^n$, le développement en série de Taylor de la fonction rationnelle $F_{h,p}$. Soient $j \ge 1$ et $h \ge 1$

* si $p > 2$ et $n \ge p^{2h}(1 + j - p^{-1})$ on a: $B(n + (p-1)p^{j+2h}, h) \equiv B(n, h) \mod (p^j)$

* si $p = 2$ et $n \ge 2^h (j + 2^{-1})$ on a: $B(n + 2^{j+2h+1}, h) \equiv B(n, h) \mod (2^j)$

Preuve: $F_{h,p}$ est un élément analytique borné sur $D_{h,p}$. D'après le théorème de Mittag-Leffler p-adique [R.Ph.] on a:

$F_{h,p} = \sum_{i=1}^{p} F_{i,h}$ où $F_{i,h} \in \mathcal{H}_0(\mathbb{C}_p - B^+(\theta_i^{-1}, (p^{-1/p^{2h}})))$ pour $1 \le i \le p-1$, et $F_{p,h} \in \mathcal{H}_0(B^-(0, (p^{1/p^{2h}})))$ si $i = p$. Pour $1 \le i \le p-1$ on a:

$F_{i,h}(x) = \sum_{k \ge 1} b_{i,h,k} (1 - x \theta_i)^{-k} \text{ avec } ||F_{i,h}||_{\mathbb{C}_p - B^+(\theta_i^{-1}, (p^{-1/p^{2h}}))} = \sup_k |b_{i,h,k}| p^{k/p^{2h}}.$

Pour $|x| < 1$, on a:

$$(1 - x \theta_i)^{-k} = \sum_{n \ge 0} \binom{n + k - 1}{k - 1} \theta_i^n x^n$$

Si l'on pose $F_{i,h}(x) = \sum_{n \ge 0} f_{i,h,n} x^n$ on a: $f_{i,h,n} = \sum_{k \ge 1} b_{i,h,k} \theta_i^n \binom{n+k-1}{k-1}$.

Le théorème de Mittag-Leffler fournit l'inégalité de norme suivante:

$$\sup_{1 \le i \le p-1} ||F_{i,h}||_{\mathbb{C}_{p-B}+(\theta_i^{-1}, p^{-1/p^{2h}})} \le ||F_{h,p}||_{D_{h,p}}$$

De la proposition 5.1 on déduit que: $\sup_i ||F_{i,h}||_{\mathbb{C}_p - B^+(\theta_i^{-1}, (p^{-1/p^{2h}}))} \le p^{2-p^{-1}-p^{-2h}}$ ce qui entraîne que:

$$|b_{i,h,k}| \le p^{2-p^{-1}-(k+1)p^{-2h}} \quad (1)$$

et on a donc, d'après l'inégalité ultramétrique:

$$|f_{i,h,n+(p-1)p^{j+2h}} - f_{i,h,n}| \\ \le \sup_k |b_{i,h,k}| |\theta_i^{n+(p-1)p^{j+2h}} \binom{n+(p-1)p^{j+2h}+k-1}{k-1} - \theta_i^n \binom{n+k-1}{k-1}|$$

Pour $1 \le i \le p-1$ on a $\theta_i^{p-1} = 1$. D'autre part on a d'après [S.W.]:

$$\left| \binom{n + (p - 1)p^{j+2h} + k - 1}{k - 1} - \binom{n + k - 1}{k - 1} \right| \le \inf(1, p^{-j-2h+\ell(k-1)})$$
Rappelons que:

$E_p(k) = -2 + p^{-1} + (k+1)p^{-2h}$ et $S_p(k) = -2 + p^{-1} + k + 1)p^{-2h} + j + 2h - l(k-1)$.

D'après (1) on déduit que : $|f_{i,h,n+(p-1)p^{j+2h}} - f_{i,h,n}| \le p^{-E_2(k)} \inf(1, p^{-j-2h+l(k-i)})$.

Deux cas sont à envisager : $k-1 < p^{j+2h}$ et $k-1 \ge p^{j+2h}$.

Si $k-1 \ge p^{j+2h}$ alors $\inf(1, p^{-j-2h+l(k-1)}) = 1$ et $E_2(k) > j-1$. Ainsi:

$$|f_{i,h,n+(p-1)p^{j+2h}} - f_{i,h,n}| \le p^{1-j}$$

Si $k-1 < p^{j+2h}$ alors $\inf(1, p^{-j-2h+l(k-1)}) = p^{-j-2h+l(k-1)}$.

On en déduit que $|f_{i,h,n+(p-1)p^{j+2h}} - f_{i,h,n}| \le p^{-S_p(k)}$. Du lemme 5.2 on déduit que, pour $1 \le i \le p-1$, on a:

$$|f_{i,h,n+(p-1)p^{j+2h}} - f_{i,h,n}| < p^{1-j} \quad \text{si} \quad p > 2 \quad (2),$$

respectivement

$$|f_{i,h,n+2j+2h} - f_{i,h,n}| < 2^{-j+2} \quad \text{si} \quad p = 2 \quad (3)$$

$$\bullet \text{ si } i = p, F_{p,h} \in \mathcal{H}_o \left(B^{-}(0, \left(p^{1/p^{2h}}\right))\right)$$

Comme $F_{p,h}(x) = \sum_{n \ge 0} f_{p,h,n} x^n$, de l'estimation de la proposition 5.1

$$\text{on déduit : } \|F_{p,h}\|_{B^{+(0,p^{1/p^{2h}})}} \le p^{2-p^{-1}-p^{-2h}}$$

Ceci entraîne que:

$$\|f_{p,h,n}\| \le p^{-(n+1)p^{-2h}+2-p^{-1}} \quad (4)$$

Enfin pour établir des congruences entre les $B(n, h)$, deux cas sont à envisager : $p > 2$ et $p = 2$.

$$\bullet \text{ Si } p > 2$$

Déterminons à quelle condition sur $n$ on a $|f_{p,h,n}| \le p^{1-j}$. Pour cela d'après (4), il suffit que $p^{-(n+1)p^{-2h}+2-p^{-1}} \le p^{1-j}$, ce qui entraîne $n \ge p^{2h}(j - 2^{-1})$.

Comme $B(n, h) = \sum_{i=1}^{p} f_{i,h,n}$. On a d'après (2), pour $p > 2$ et $n \ge p^{2h}(1 + j + p^{-1})$

$$|B(n + (p-1) p^{j+2h}, h) - B(n, h)| < p^{1-j}.$$

Comme $B(n, h) \in \mathbb{Z}_p$ l'inégalité précédente entraîne :

$$|B(n + (p-1) p^{j+2h}, h) - B(n, h)| \le p^{-j}.$$
Ainsi si $p > 2$ et $n \ge p^{2h}(1 + j + p^{-1})$, on a :

$$B(n + (p-1)p^{j+2h}, h) \equiv B(n, h) \mod (p^j).$$

• Si $p = 2$ et $h \ge 1$

Déterminons à quelle condition sur $n$ on a $|f_{2,h,n}| \le 2^{-j+2}$. Pour cela d'après (4)

il suffit que : $2^{-(n+1)\cdot 2^{-2h}} + 2 - 2^{-1} \le 2^{-j+2}$. Ce qui entraîne $n \ge 2^{2h}(j - 2^{-1})$.

Comme $B(n, h) = f_{1,h,n} + f_{2,h,n}$, on a d'après (3) pour $p = 2$, $h \ge 1$ et $n \ge 2^h(j + 2^{-1})$ : $|B(n+2^{j+2h}; h) - B(n, h)| < 2^{-j+2}$. Or $B(n, h) \in \mathbb{Z}_2$, l'inégalité précédente entraîne alors que :

$$|B(n + 2^{j+2h+1}, h) - B(n, h)| \le 2^{-j}.$$

Ainsi si $p = 2$ ; $h \ge 1$ et $n \ge 2^{2h}(j + 2^{-1})$ on a :

$$B(n + 2^{j+2h+1}, h) \equiv B(n, h) \mod (2^j).$$

□

**Théorème 5.4** *Les nombres* $B_n$ *vérifient les congruences suivantes :*

• si $p$ est premier impair, alors pour tous, $h \ge 1$ et $n \ge p^{2h}(1 + h + p^{-1})$ on a :

$$B_{n+(p-1)p^{3h}} \equiv B_n \mod (p^h)$$

• si $p = 2$, alors pour tous $h \ge 1$ et $n \ge 2^{2h}(h + 2^{-1})$ on a :

$$B_{n+2^{3h}+1} \equiv B_n \mod (2^h)$$

*Preuve:* D'après le lemme 4.1 on a :

$$F(x) \equiv F_{h,p}(x) \mod p^h \mathcal{O}_p[[x]].$$

D'où

$$\|F - F_{h,p}\|_{B^{-(0,1)}} \le p^{-h}.$$

Des inégalités de Cauchy, on déduit que :

$$B(n, h) \equiv B_n \mod p^h.$$

En appliquant le lemme 5.3, on obtient des congruences énoncées par le théorème 5.4. □
Bibliographie

[A.Y. ] AMICE, Y. : *Nombres p-adiques*, PUF collection Sup, Le Mathématicien, Paris, 1975.

[B.D. ] BARSKY, D. : *Analyse p-adique et suites classiques de nombres*, Séminaire Lotharringien de Combinatoire 5ème session, 7-8 décembre 1981, Publication de l'IRMA de Strasbourg 182/S-04, 1982.

[M.A. ] MAZOUZ, A : *Nombres de Bell Généralisés et Analyse p-adique*, Thèse Université Paris 13, 1994.

[B.P. ] BARRUCAND,P.: *Communication personnelle*.

[R.Ph. ] ROBBA, Ph. : *Fonctions analytiques sur les corps valués ultramétriques complets*, Astérisque n° 10, pp.109-220, 1973.

[S.W. ] SCHIKOFF, W.H. : *Ultrametric calculus, an introduction to p-adic analysis*, Cambridge University Press, 1984.