SPECTRE D'ORDRE UN POUR UN
PROBLEME HYPERBOLIQUE ET
APPLICATIONS

AOMAR ANANE

OMAR CHAKRONE

Université Mohamed Premier, Maroc
and

MOHAMMED GHANIM

E. N. C. G., Tanger-Maroc

Abstract

We define and determine the spectrum of order one of the
d'Alembertian operator. We resolve the Fredholm alternative
and the nonlinear problem at resonance.
# 1. Introduction

On se propose de résoudre le problème suivant :

$$ (\mathcal{P}) \left\{ \begin{array}{lll} \text{Trouver :} & u : \bar{\Omega} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} & \text{telle que :} \\ \Box u & = \alpha u + \beta \cdot \nabla u - \gamma u_t + g(x, t, u) + h(x, t) & \\ & \text{dans } Q, \\ u(x, t) & = 0 & \text{sur } \partial \Omega \times \mathbb{R}, \\ u(x, t + 2\pi) & = u(x, t) & \text{dans } \Omega \times \mathbb{R} \end{array} \right. $$

où $\Omega$ est un domaine borné de $\mathbb{R}^N$ de frontière $\partial\Omega$, $Q = \Omega \times ]0, 2\pi[$, $\Box u = u_{tt} - \Delta u$, $h \in L^2(Q)$, $(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}$ et $g : \Omega \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est une fonction de Carathéodory.

On s'intéresse aux conditions sur $(\alpha, \beta, \gamma)$, $h$ et $g$ pour que le problème $(\mathcal{P})$ admette une solution.

Dans le cas $N = 1$, $\alpha = \gamma = 0$, $\beta = 0$ et $h = 0$, le problème $(\mathcal{P})$ a été étudié par plusieurs auteurs, citons en particulier [3], [4], [5], [6], [7] et [8]. Le cas $g(x, t, s) = g(s)$ a été étudié dans [9], le cas $h$ quelconque dans [10], le cas $N = 1$, $\gamma = 0$, $\beta = 0$ et $\alpha$ est une valeur propre de $\Box u$ a été étudié dans [7] et dans le cas où $\beta = 0$ et $\alpha$ est une valeur propre de $\Box u + \gamma u_t$, le problème $(\mathcal{P})$ a été étudié par Mustonen et Berkovits dans [5], ils ont établi l'existence de solutions avec des conditions de Landesman-Lazer [15] en utilisant un argument d'homotopie.

La situation que nous considérons ici est marquée par la présence d'un terme de transport $\beta \cdot \nabla u$, ce qui constitue une extension du cas étudié par Mustonen et Berkovits dans [5].

L'étude du problème $(\mathcal{P})$ nous a conduit à introduire la notion du spectre d'ordre $1 \sigma_1(\Box)$ pour le D'Alembertien $\Box$, de manière analogue à ce qui a été fait par Anane, Chakrone et Gossez dans [1], [2] et [13] pour le laplacien $\Delta$.

L'introduction du spectre d'ordre un de l'opérateur $\Box u$ permet de traiter le problème $(\mathcal{P})$ présentant des dérivées partielles premières au niveau du second membre.

Après avoir déterminé le spectre $\sigma_1(\Box)$ dans la section 2, nous considérons dans une première étape le cas où $g = 0$ et nous établissons (dans la section 3) un résultat de type Alternative de Fredholm "d'ordre 1" en utilisant les propriétés élémentaires de l'opérateur linéaire $\Box u - \alpha u - \beta \cdot \nabla u + \gamma u_t$. Enfin dans la section 4, nous nous plaçons
dans une situation de résonance qui correspond au cas où $(\alpha, \beta, \gamma) \in \sigma_1(\square)$. Nous montrons, en utilisant des techniques analogues à celles développées dans [5], qu'une condition du type Landesman-Lazer "d'ordre 1" est suffisante pour l'existence de solutions.

## 2. Le spectre d'ordre 0 du d'Alembertien : □

Soit $\Omega$ est un domaine borné de $\mathbb{R}^N$ de frontière $\partial\Omega$ et $Q = \Omega \times ]0, 2\pi[$. Une fonction $u : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est dite $(\theta, 2\pi)$- périodique si $u(t + 2\pi) = \theta u(t)$. Pour $\theta \in \mathbb{R}$, nous définissons l'espace de Hilbert $(V_\theta, \|\cdot\|_\theta)$, par

$$V_\theta = \{u : \in L^2(Q); \ u_t, u_{x_i} \in L^2(Q), \ u(\theta, 2\pi) - \text{périodique et} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad u(x, t) = 0 \text{ sur } \partial\Omega \times \mathbb{R}\}.$$

où $\|u\|_{V_\theta}^2 = \|u\|_{L^2(Q)}^2 + \|\frac{\partial u}{\partial t}\|_{L^2(Q)}^2 + \|\nabla u\|_{L^2(Q)}^2$. Pour $\theta \neq 0$, on considère le problème aux valeurs propres $P_{0,\theta}$ suivant

$$(P_{0,\theta}) \left\{ \begin{array}{ll} \text{Trouver } (u, \lambda) \in (V_{\theta} \setminus \{0\}) \times \mathbb{R} & \text{tel que :} \\ \square u = \lambda u. & \end{array} \right.$$

Définissons $\sigma_{o,\theta}(\square) = \{\lambda \in \mathbb{R}/\exists u \text{ avec } (u, \lambda) \text{ solution de } P_{0,\theta}\}$. On note par $\sigma_0(-\Delta) = \{\lambda_i, i \in \mathbb{N}^*\}$ le spectre de $-\Delta$ dans $H_0^1(\Omega)$ (nomé spectre d'ordre 0), et par $\{\psi_i, i \in \mathbb{N}^*\}$ une base Hilbertienne de $L^2(\Omega)$ formée par des fonctions propres associées.

**Proposition 1.**

$$\sigma_{0,\theta}(\square) = \left\{ \begin{array}{ll} \{\lambda_{i,k,\theta}, \lambda_{i,\theta}; i \in \mathbb{N}^* \text{ et } k \in \mathbb{Z}\} & \text{si } 0 < \theta < 1, \\ \{\lambda_{i,k,\theta}; i \in \mathbb{N}^* \text{ et } k \in \mathbb{Z}\} & \text{si } -1 \le \theta < 0 \\ \{\lambda_{i,\theta}; i \in \mathbb{N}^* \text{ et } k \in \mathbb{Z}\} & \text{ou bien } \theta = 1, \\ \emptyset & \text{si } \theta > 1, \\ \emptyset & \text{si } \theta < -1 \end{array} \right.$$

où $\lambda_{i,k,\theta} = \lambda_i - (\frac{\arccos\theta}{2\pi} + k)^2$ et $\lambda_{i,\theta} = \lambda_i + (\frac{\ln|\theta|}{2\pi})^2$ avec $\phi_{i,k,\theta} = [a \cos((\frac{\arccos\theta}{2\pi} + k)t) + b \sin(\frac{\arccos\theta}{2\pi} + k)t]\psi_i$. (resp. $\phi_{i,\theta} = ae^{\frac{\ln|\theta|}{2\pi}}t\psi_i$). sont les fonctions propres associées à $\lambda_{i,k,\theta}$ (resp. $\lambda_{i,\theta}$).
**Démonstration de la proposition 1.** Le problème $\mathcal{P}_{0,\theta}$ peut être résolu par décomposition sur la base Hilbertienne $(\psi_i)_i$ de $L^2(\Omega)$.
Soit $u \in V_\theta$, écrivons $u(x,t) = \sum_{i=1}^{+\infty} u_i(t)\psi_i(x)$. Si $\square u = \lambda u$, alors $\sum_{i=1}^{+\infty}[u_i''(t) + (\lambda_i - \lambda)u_i(t)]\psi_i(x) = 0$, donc $u_i''(t) + (\lambda_i - \lambda)u_i(t) = 0$ pour tout $i \in \mathbb{N}^*$. En écrivant les conditions initiales, nous avons

$$ 
\begin{cases} 
\theta u_i(0) = u_i(2\pi), \\ 
\theta u_i'(0) = u_i'(2\pi). 
\end{cases} 
$$

**Cas1:** $\lambda = \lambda_i$. Nous avons $u_i(t) = c_i t + d_i$ où

$$ 
\begin{cases} 
\theta d_i = 2\pi c_i + d_i, \\ 
\theta c_i = c_i. 
\end{cases} 
$$

On vérifie facilement que si $\theta \neq 1$, alors $u_i(t) = 0$ et si $\theta = 1$, alors $u_i(t) = d_i$ avec $d_i \in \mathbb{R}$ quelconque.

**Cas2:** $\lambda_i - \lambda < 0$. Nous avons $u_i(t) = c_i \cosh(\omega_i t) + d_i \sinh(\omega_i t)$ où

$$ 
\begin{cases} 
\omega_i^2 = \lambda - \lambda_i, \\ 
\theta(c_i + d_i) = (c_i + d_i)e^{2\pi\omega_i}, \\ 
\theta(c_i - d_i) = (c_i - d_i)e^{-2\pi\omega_i}. 
\end{cases} 
$$

On vérifie facilement que si $\theta < 0$ ou $\theta = 1$, alors $1 - \theta e^{2\pi\omega_i} \neq 0$ et $1 - \theta e^{-2\pi\omega_i} \neq 0$ donc $c_i = d_i = 0$, par suite $u_i(t) = 0$. Et si $0 < \theta$ avec $\theta \neq 1$, alors $\omega_i = \pm \frac{\ln|\theta|}{2\pi}$, donc $u_i(t) = c_i e^{\frac{\ln\theta}{2\pi}t}$ et $\lambda = \lambda_i + (\frac{\ln\theta}{2\pi})^2$.

**Cas3:** $\lambda_i - \lambda > 0$. Nous avons $u_i(t) = c_i \cos(\omega_i t) + d_i \sin(\omega_i t)$, où

$$ 
\begin{cases} 
\omega_i^2 = \lambda_i - \lambda, \\ 
\theta(c_i^2 + d_i^2) = (c_i^2 + d_i^2) \cos(2\pi\omega_i). 
\end{cases} 
$$

On vérifie facilement que si $0 < |\theta| \leq 1$, alors $\omega_i = \pm \frac{\arccos \theta}{2\pi} + k$, $k \in \mathbb{Z}$, donc : $u_i(t) = c_i \cos(\frac{\arccos \theta}{2\pi} + k)t + d_i \sin(\frac{\arccos \theta}{2\pi} + k)t$, et $\lambda = \lambda_i - (\frac{\arccos \theta}{2\pi} + k)^2$. Et si $|\theta| > 1$ alors $u_i(t) = 0$. Ce qui prouve la proposition. ■

**Corollaire 1.** Le spectre d'ordre 0 de $\square$ avec des conditions de périodicité est : $\sigma_0(\square) = \sigma_{0,1}(\square) = \{\lambda_i - k^2/\lambda_i \in \sigma_0(-\Delta), k \in \mathbb{Z}\}$.
### 3. Le spectre d'ordre 1 du d'Alembertien □

On considère le problème aux valeurs propres d'ordre 1 suivant :

$$ (\mathcal{P}_1) \quad \begin{cases} \text{Trouver } (u, (\alpha, \beta, \gamma)) \in (V_1 - \{0\}) \times \mathbf{R} \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R} \text{ tel que :} \\ \Box u = \alpha u + \beta \nabla u - \gamma u_t. \end{cases} $$

Le spectre d'ordre 1 du d'Alembertien (□) est défini par

$$ \sigma_1(\Box) = \{(\alpha, \beta, \gamma); \exists u \in V_1 \setminus \{0\} \text{ avec } (u, (\alpha, \beta, \gamma)) \text{ solution de } (\mathcal{P}_1)\} $$

**Proposition 2.** $(u, (\alpha, \beta, \gamma))$ est solution de $(\mathcal{P}_1)$ si et seulement si $(su, \alpha - \frac{\beta^2}{4} + \frac{\gamma^2}{4})$ est solution de $(\mathcal{P}_{0,\theta})$, où $s(x, t) = e^{\frac{\beta}{2}x + \frac{\gamma}{2}t}$ et $\theta = e^{\pi\gamma}$.

**Démonstration de la proposition 2.** Supposons que $(u, (\alpha, \beta, \gamma))$ est une solution de $(\mathcal{P}_1)$. Posons $v = su$, il est clair que $v \in V_\theta \setminus \{0\}$ et on a successivement :

$$ \nabla v = su \frac{\beta}{2} + s \nabla u; $$

$$ \Delta v = \operatorname{div} \nabla v = s \frac{\beta}{2} \cdot \nabla u + u s \frac{(\beta)^2}{4} + s \frac{\beta}{2} \cdot \nabla u + s \Delta u = s \beta \cdot \nabla u + u s \frac{\beta^2}{4} + s \Delta u; $$

$$ v_t = \frac{\gamma}{2} su + su_t; $$

$$ v_{tt} = \frac{\gamma^2}{4} su + \frac{\gamma}{2} su_t + \frac{\gamma}{2} su_t + su_{tt} = \frac{\gamma^2}{4} su + \gamma su_t + su_{tt}; \text{ donc} $$

$$ \begin{aligned} \Box v &= v_{tt} - \Delta v = \frac{\gamma^2}{4} su + \gamma su_t + su_{tt} - s\beta \nabla u - u s \frac{(\beta)^2}{4} - s\Delta u \\ &= \left(\frac{\gamma^2}{4} - \frac{\beta^2}{4}\right)v + s(\Box u - \beta \nabla u + \gamma u_t) \\ &= \left(\alpha - \frac{\beta^2}{4} + \frac{\gamma^2}{4}\right)v. \end{aligned} $$

Il en résulte que $(su, \alpha - \frac{\beta^2}{4} + \frac{\gamma^2}{4})$ est solution du problème $(\mathcal{P}_{0,\theta})$, ce qui établit la moitié de la proposition. L'implication réciproque se démontre par un calcul identique. ■

**Corollaire 2.** $\sigma_1(\Box) = \{(\alpha_{i,k}, \beta, \gamma) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^{-}, \ k, \ i \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*\} \cup \{(\alpha_i, \beta, \gamma) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}_*, \ i \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*\}$ où $\alpha_{i,k} = \frac{\beta^2}{4} - \frac{\gamma^2}{4} + \lambda_i - \left(\frac{\arccos(e^{\pi\gamma})}{2\pi} + k\right)^2$ et $\alpha_i = \frac{\beta^2}{4} + \lambda_i$.
## 4. L'alternative de Fredholm

Dans toute la suite nous supposerons que l'ensemble $E := \{\lambda_j - k^2, j \in \mathbb{N}^*, k \in \mathbb{Z}\}$ est fermé dans $\mathbb{R}$ et que tout point de cet ensemble est isolé (par exemple si $N = 1$ et $\Omega = ]0, r\pi[$ avec $r \in \mathbb{Q}$).

Étant donnés $(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}$ et $h \in L^2(Q)$. On considère le problème suivant :

$$ \mathcal{P}_{AF,1} \left\{ \begin{array}{ll} \text{trouver } u \in V_1 \text{ tel que} & \\ \Box u = \alpha u + \beta \cdot \nabla u - \gamma u_t + h. & \end{array} \right. $$

**Proposition 3. 1)** Si $(\alpha, \beta, \gamma) \in \sigma_1(\Box)$, alors $\mathcal{P}_{AF,1}$ admet une solution si et seulement si $\int_Q h \phi = 0$ pour toute fonction propre $\phi$ associée à $(\alpha, -\beta, -\gamma)$.

2) Si $(\alpha, \beta, \gamma) \notin \sigma_1(\Box)$, alors $\mathcal{P}_{AF,1}$ admet une solution pour tout $h \in L^2(Q)$.

**Lemme 1.** (théorème ii.18 [11] page 29).

Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach et $A : D(A) \subset E \longrightarrow F$ un opérateur linéaire fermé à domaine dense, alors $[\mathrm{Ker}(A^*)]^\perp = \mathrm{Im}(A)$ où $A^*$ est l'adjoint de $A$.

**Remarques 1.**

a) Pour $(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}$, on défini l'opérateur

$$ L_{\alpha,\beta,\gamma} : D(L_{\alpha,\beta,\gamma}) \subset L^2(Q) \to L^2(Q) : L_{\alpha,\beta,\gamma}(u) = \Box u - \alpha u - \beta \nabla u + \gamma u_t $$

où $D(L_{\alpha,\beta,\gamma})$ dénote le domaine de l'opérateur $L_{\alpha,\beta,\gamma}$ que nous préciserons par la suite. On vérifie facilement que les points 1) et 2) de la proposition 3 signifient que $[\mathrm{Ker}(L_{\alpha,-\beta,-\gamma})]^\perp = \mathrm{Im}(L_{\alpha,\beta,\gamma})$.

b) Soit $u \in D(L_{\alpha,\beta,\gamma})$, un calcul simple donne

$$ L_{\alpha,\beta,\gamma}(u) = e^{-\frac{\beta}{2}x - \frac{\gamma}{2}t} [\Box(e^{\frac{\beta}{2}x + \frac{\gamma}{2}t}u) - (\alpha - \frac{\beta^2}{4} + \frac{\gamma^2}{4})(e^{\frac{\beta}{2}x + \frac{\gamma}{2}t}u)]. $$

Écrivons $u(x,t) = \sum_{1 \le i,k \le +\infty} u_{i,k} \psi_i(x) f_k(t)$ où $(f_k)_k$ est la base Hilbertienne de $L^2(]0, 2\pi[)$ vérifiant $-(f_k)_{tt} = k^2 f_k$ dans $]0, 2\pi[$ et $u_{i,k} =$
$(u, \psi_i f_k)$ avec $(\cdot, \cdot)$ désigne le produit scalaire de $L^2(Q)$. On vérifie que

$$L_{\alpha, \beta, \gamma} u = e^{-\frac{\beta}{2}x - \frac{\gamma}{2}t} \left[ \sum_{i,k} \left( \lambda_i - k^2 - \alpha + \frac{\beta^2}{4} - \frac{\gamma^2}{4} \right) (u e^{\frac{\beta}{2}x + \frac{\gamma}{2}t}, \psi_i f_k) \psi_i f_k \right].$$

Donc le domaine et l'image de $L_{\alpha,\beta,\gamma}$ sont définis respectivement par :

$$D(L_{\alpha,\beta,\gamma}) = \{u \in L^2(Q) ; aLa'aN \\ \sum_{i,k} (\lambda_i - k^2 - \alpha + \frac{\beta^2}{4} - \frac{\gamma^2}{4})^2 (u e^{\frac{\beta}{2}x + \frac{\gamma}{2}t}, \psi_i f_k)^2 < +\infty\},$$

$$\mathrm{Im}(L_{\alpha,\beta,\gamma}) = \{ e^{-\frac{\beta}{2}x - \frac{\gamma}{2}t} \left[ \sum_{i,k} (\lambda_i - k^2 - \alpha + \frac{\beta^2}{4} - \frac{\gamma^2}{4}) (u e^{\frac{\beta}{2}x + \frac{\gamma}{2}t}, \psi_i f_k) \psi_i f_k \right], \right. \\ \left. u \in D(L_{\alpha,\beta,\gamma}) \right\}.$$

Par conséquent $D(L_{\alpha,\beta,\gamma})$ est dense dans $L^2(Q)$ et $\mathrm{Im}(L_{\alpha,\beta,\gamma})$ est fermé dans $L^2(Q)$.

c) $L_{\alpha,\beta,\gamma}$ est fermé (c'est-à-dire son graphe est fermé). (La démonstration découle de la proposition ii. 16 de [11] page 28).

**Démonstration de la proposition 3.** D'après le lemme 1 et les remarques 1 (b) et c)), on a

$$[\mathrm{Ker}(L_{\alpha,\beta,\gamma}^*)]^\perp = \mathrm{Im}(L_{\alpha,\beta,\gamma}).$$

D'autre part, en utilisant la formule de Green, on a pour tout $u, v \in D(L_{\alpha,\beta,\gamma})$

$$\begin{align*} (L_{\alpha,\beta,\gamma}(u), v) &= \int_Q (\Box u)v - \alpha \int_Q uv - \int_Q (\beta \cdot \nabla u)v + \gamma \int_Q u_t v \\ &= \int_Q u \Box v - \alpha \int_Q uv + \int_Q \beta u \nabla v - \gamma \int_Q uv_t \\ &= (u, L_{\alpha, -\beta, -\gamma}(v)), \end{align*}$$

d'où $L_{\alpha,\beta,\gamma}^* = L_{\alpha,-\beta,-\gamma}$, ce qui prouve la proposition 3. ■

## 5. Un problème non linéaire à la résonance

Dans cette section nous étudions l'existence de solutions périodiques du problème

$$(\mathcal{P}) \left\{ \begin{array}{l} \Box u = \alpha u + \beta \cdot \nabla u - \gamma u_t + g(x, t, u) + h(x, t) \text{ dans } Q, \\ u(x, t) = 0 \text{ sur } \partial \Omega \times \mathbb{R}, \\ u(x, t + 2\pi) = u(x, t) \text{ dans } \Omega \times \mathbb{R} \end{array} \right.$$
dans le cas de résonance où $(\alpha, \beta, \gamma)$ est une valeur propre d'ordre 1 du d'Alembertien $((\alpha, \beta, \gamma) \in \sigma_1(\square))$. Avec $h \in L^2(Q)$ et $g : \Omega \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est une fonction de Carathéodory $2\pi$-périodique en $t$. Par un même calcul que dans la démonstration de la proposition 2, on vérifie facilement que $u$ est une solution du problème $(\mathcal{P})$ si et seulement si $v = e^{\frac{\beta}{2} \cdot x} u$ est une solution du problème

$$ (\tilde{\mathcal{P}}) \left\{ \begin{array}{l} \square v = (\alpha - \beta^2/4)v - \gamma v_t + \tilde{g}(x, t, v) + \tilde{h}(x, t) \text{ dans } Q, \\ v(x, t) = 0 \text{ sur } \partial\Omega \times \mathbb{R}, \\ v(x, t + 2\pi) = v(x, t) \text{ dans } \Omega \times \mathbb{R} \end{array} \right. $$

où $\tilde{g}(x, t, s) = e^{\frac{\beta}{2} \cdot x} g(x, t, e^{-\frac{\beta}{2} \cdot x} s)$ et $\tilde{h} = e^{\frac{\beta}{2} \cdot x} h$. Posons $\lambda = \alpha - \beta^2/4$, pour tout $u \in D(L_{\alpha, \beta, \gamma})$, on note par $Tu = \square u + \gamma u_t$, $T_\lambda = T - \lambda I$ et $P_\lambda : L^2(Q) \to \text{Ker } T_\lambda$ la projection orthogonale.

**Lemme 2. 1)** $T$ est un opérateur linéaire fermé à domaine dense et à image fermé.

2) $T$ est normal (c'est-à-dire il commute avec son adjoint.).

3) $\mathrm{Im}(T) = [\mathrm{Ker}(T)]^\perp$.

4) Si $T_0$ est la restriction de $T$ sur $\mathrm{Im}(T) \cap D(T)$, alors $T_0^{-1} : \mathrm{Im}(T_0) \to \mathrm{Im}(T) \cap D(T)$ est continu compact.

5) Il existe $c(\alpha, \beta) \in [0, +\infty]$ tel que pour tout $u \in D(T)$

$$ \langle T_{\lambda} u, u \rangle \leq \frac{1}{c(\alpha, \beta)} \|T_{\lambda} u\|^{2} $$

où

$$ c(\alpha, \beta) = \min_{\{(j,k) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{Z}; \lambda_j - k^2 > \alpha - \frac{\beta^2}{4}\}} \left| \lambda_j - k^2 - \alpha + \frac{\beta^2}{4} \right| + \frac{\gamma^2 k^2}{\left| \lambda_j - k^2 - \alpha + \frac{\beta^2}{4} \right|} $$

et $c(\alpha, \beta) = +\infty$ si $\lambda_j - k^2 \le \alpha - \frac{\beta^2}{4}$ avec $c(\alpha, \beta)$ est la valeur optimale vérifiant cette inégalité.

**Démonstration du lemme 2. 1)** D'après les remarques 1.

2) Il est clair que $T = T_\gamma$ commute avec $T_\gamma^* = T_{-\gamma})$.

3) D'après la proposition 1, on a $\mathrm{Im}(T) = [\mathrm{Ker}(T^*)]^\perp$, et puisque $T$ est normal, on a $\mathrm{Ker} T^* = \mathrm{Ker} T$, d'où l'assertion 3.
4) $T_0$ est bijective de $Im(T) \cap D(T) \to Im(T_0)$ car $Im(T) \cap Ker(T) = \{0\}$. Pour la compatibilité il suffit de composer avec l'injection compacte $H^1(Q) \to L^2(Q)$.

5) Soit $L_{\mathbb{C}}^2(Q) = \{u+iv, u,v \in L^2(Q)\}$ le complexifié de $L^2(Q)$. Les lois de $L_{\mathbb{C}}^2(Q)$ sont données par : $x+x' := (u+u') + i(v+v')$ et $\lambda x := (au-bv)+i(av+bu)$ pour tout $x=u+iv, x'=u'+iv' \in L_{\mathbb{C}}^2(Q)$ et $\lambda = a+ib \in \mathbb{C}$. Le produit scalaire de $L_{\mathbb{C}}^2(Q)$ est défini par :

$$ \langle x, x' \rangle_{\mathbb{C}} = \langle u, u' \rangle + \langle v, v' \rangle + i(\langle u', v \rangle - \langle u, v' \rangle). $$

D'autre part, nous définissons l'opérateur linéaire complexe $T_{\mathbb{C}} : D(T_{\mathbb{C}}) \subset L_{\mathbb{C}}^2(Q) \to L_{\mathbb{C}}^2(Q)$ par $D(T_{\mathbb{C}}) = \{u+iv \in L_{\mathbb{C}}^2(Q), u,v \in D(T)\}$ et $T_{\mathbb{C}}(u+iv) = Tu+iTv$ pour tout $u+iv \in D(T_{\mathbb{C}})$. Il est clair, d'après les assertions précédentes, que $Im(T_{\mathbb{C}}) = [Ker(T_{\mathbb{C}})]^{\perp}$, $T_{\mathbb{C}}$ est normal et que l'inverse de $T_{D(T_{\mathbb{C}}) \cap Im(T_{\mathbb{C}})}$ est compact. Par conséquent $T_{\mathbb{C}}$ admet un spectre dans $\mathbb{C}$ : $\sigma(T_{\mathbb{C}}) = \{\mu_j\}_{j \in I}$, où $I \subset \mathbb{Z}$. De plus il existe une base orthonormal $\{\phi_{jk}; j \in I, k = 1, 2, ..., m(\mu_j)\}$ de $L_{\mathbb{C}}^2(Q)$ tel que $T_{\mathbb{C}}\phi_{jk} = \mu_j\phi_{jk}, k = 1, 2, ..., m(\mu_j), j \in I$ avec $m(\mu_j)$ est la multiplicité de $\mu_j, \mu_j \neq 0$ (Notons que $m(\mu_j) < +\infty$ si $\mu_j \neq 0$ et $dim Ker T_{\mathbb{C}}$ peut être infini). D'après [14] (théorème 4, p37) pour tout $w \in D(T_{\mathbb{C}})$, nous avons

$$ T_{\mathbb{C}}w = \sum_{j \in I} \sum_{k=1}^{m(\mu_j)} \mu_j \langle w, \phi_{jk} \rangle_{\mathbb{C}} \phi_{jk}. \quad (1) $$

Remarquons que $T_{\mathbb{C}}(D(T)) \subset L^2(Q)$ et

$$ \langle Tu, u \rangle = \langle T_{\mathbb{C}}u, u \rangle_{\mathbb{C}} = \sum_{j,k} \mathrm{Re}\mu_j |\langle w, \phi_{jk} \rangle_{\mathbb{C}}|^2, \quad (2) $$

$$ \langle T_{\lambda}u, u \rangle = \sum_{j,k} (\mathrm{Re}\mu_j - \lambda) |\langle w, \phi_{jk} \rangle_{\mathbb{C}}|^2 \quad (3) $$

pour tout $u \in D(T)$. D'après (1) et (2), on déduit facilement que

$$ c(\alpha, \beta) = \inf_{\mathrm{Re}\mu_j > \lambda} \frac{|\mu_j - \lambda|^2}{\mathrm{Re}\mu_j - \lambda} \quad \text{avec } c(\alpha, \beta) = +\infty \text{ si } \mathrm{Re}\mu_j \le \lambda \quad \forall j \in I. \quad (4) $$
Et puisque l'ensemble $E := \{\lambda_j - k^2, \ j \in \mathbb{N}^*, \ k \in \mathbb{Z}\}$ est fermé dans $\mathbb{R}$ et que tout point de cet ensemble est isolé, on a

$$ \inf_{\text{Re}\mu_j > \lambda} \frac{|\mu_j - \lambda|^2}{\text{Re}\mu_j - \lambda} = \min_{\text{Re}\mu_j > \lambda} \frac{|\mu_j - \lambda|^2}{\text{Re}\mu_j - \lambda} \quad \text{avec} $$

**Affirmation.** $\sigma(T_C) = \{\lambda_j - k^2 + i\gamma k; \ (j, k) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{Z}\}$ avec $(i^2 = -1)$.

**Preuve de l'affirmation.** Comme $T_{\text{IC}}$ est un opérateur normal complexe, alors $E_{\mu} := \text{Ker}(T_{\text{IC}} - \mu I) = \text{Ker}(T_{\text{IC}}^* - \bar{\mu} I)$ pour tout $\mu \in \text{IC}$. Soit $\mu \in \sigma(T_{\text{IC}})$ et $u + iv \in E_{\mu} \setminus \{0\}$, on a

$$ \begin{cases} T_{\text{IC}}(u + iv) = Tu + iTv = \mu(u + iv), \\ T_{\text{IC}}^*(u + iv) = T^*u + iT^*v = \bar{\mu}(u + iv). \end{cases} $$

Dans notre situation, on a $\square u = (\text{Re}\mu)u$, $\square v = (\text{Re}\mu)v$, $\gamma u_t = -(\text{Im}\mu)v$ et $\gamma v_t = (\text{Im}\mu)u$, puisque $u + iv \neq 0$ (on suppose par exemple $u \neq 0$), il vient que $\square u = (\text{Re}\mu)u$ et $-\gamma^2 u_{tt} = (\text{Im}\mu)^2 u$, d'où $\text{Re}\mu \in \sigma_0(\square)$ et $(\frac{\text{Im}\mu}{\gamma})^2 \in \{k^2, \ k \in \mathbb{Z}\}$, d'où l'affirmation 1, ce qui prouve le lemme 2. ■

Nous supposons qu'il existe $\theta > 0$, $a \in L^2(Q)$ tel que $p.p.x \in \Omega$, $\forall (t, s) \in ]0, 2\pi[ \times \mathbb{R}$, on a

$$ e^{\frac{\beta}{2} \cdot x} |g(x, t, e^{-\frac{\beta}{2} \cdot x} s)| \leq \theta |s| + a(x, t), \quad (5) $$

$$ g(x, t, e^{-\frac{\beta}{2} \cdot x} s) \text{ est croissante en } s \text{ p.p. } x \in \Omega \ \forall t \in \mathbb{R}. \quad (6) $$

Désignons par $N: L^2(Q) \to L^2(Q): N(u) = \tilde{g}(x, t, u)$ l'opérateur de Nemytski associé à $\tilde{g}$.

**Lemme 3.** . Si $g$ vérifie (5) et (6), alors pour tout $\delta > \theta$ il existe $c_{\delta}(.,.)$ tel que

$$ \langle N(u) - N(w), u - v \rangle \geq \frac{1}{\delta} \|N(u)\|^2 - c_{\delta}(w, v) \quad (7) $$

pour tout $u, v, w \in L^2(Q)$.
**Démonstration du lemme 3.** Cette démonstration est inspirée du travail de Brézis et Nirenberg dans [12].

Soit $\delta > \theta$, il existe $\varepsilon = \varepsilon(\delta)$ tel que $\frac{1}{\theta} - \frac{\varepsilon}{2} > \frac{1}{\delta}$. pour tout $u, v, w \in L^2(Q)$, on a

$$ \langle N(u) - N(w), u - v \rangle = \langle N(u) - N(w), u - w \rangle + \langle N(u), w - v \rangle - \langle N(w), w - v \rangle. $$

D'après (5) et (6), on a

$$ \begin{aligned} \langle N(u) - N(w), u - w \rangle &= \int_Q |\tilde{g}(x, t, u) - \tilde{g}(x, t, w)| |u - w| \\ &\geq \int_Q |\tilde{g}(x, t, u) - \tilde{g}(x, t, w)| \left\{ \frac{|\tilde{g}(x,t,u)| - |a(x,t)|}{\theta} - |w| \right\} \\ &\geq \frac{1}{\theta} \|N(u)\|^2 - c(w)N(u) - c(w) \end{aligned} $$

où $c(w)$ est une constante positive;

$$ \langle N(u), w - v \rangle \geq -c_1(w, v) \|N(u)\| \quad \text{et} \quad \langle N(w), w - v \rangle = c_2(w, v) $$

où $c_1$ et $c_2$ sont des constantes positives.

En faisant la somme et en tenant compte que $ab \leq \frac{\varepsilon}{2}a^2 + \frac{1}{2\varepsilon}b^2$ pour tout $a, b \in \mathbb{R}$, il vient

$$ \begin{aligned} \langle N(u) - N(w), u - v \rangle &\geq \frac{1}{\theta} \|N(u)\|^2 - c_3(w, v)N(u) - c_4(w, v) \\ &\geq \frac{1}{\theta} \|N(u)\|^2 - \frac{\varepsilon}{2}(N(u))^2 - \frac{2}{2\varepsilon}(c_3(w, v))^2 - c_4(w, v) \\ &= (\frac{1}{\theta} - \frac{\varepsilon}{2}) \|N(u)\|^2 - c_\delta(w, v) \\ &\geq \frac{1}{\delta} \|N(u)\|^2 - c_\delta(w, v). \end{aligned} $$

Ce qui prouve le lemme.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

**Lemme 4.** . [6]. On suppose (5), (6), $\lambda \in \sigma(T)$ et $\lambda \geq 0$. Soit $f \in L^2(Q)$, s'il existe $R > 0$ tel que

$$ T(u) - \lambda u - tN(u) - (1-t)P_\lambda u \neq tf \quad \forall u \in D(T), \|u\| = R, 0 \le t \le 1, $$

alors d'équation $T(u) - \lambda u - N(u) = f$ admet une solution $u \in D(T)$ avec $\|u\| < R$.

**Démonstration du lemme 4.** D'après (5) et (6) $N$ est continue et $\lambda I + N$ est un opérateur monotone, par suite le résultat découle en utilisant l'homotopie étudiée dans [4] voir aussi [3].

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

**Théorème 1.** Nous supposons que $g$ vérifie (5) et (6), nous avons
1) Si $\lambda \ge 0$ (c'est-à-dire $\alpha - \frac{\beta^2}{4} \ge 0$) et $0 < \theta < c(\alpha, \beta)$, alors
$$ \overline{Im T_\lambda - conv \, \mathcal{R}(N)} = \overline{\mathcal{R}(T_\lambda - N)} $$

où $\mathcal{R}(N) = N(L^2(Q))$ et $conv \, \mathcal{R}(N)$ désigne l'envelope convexe de $\mathcal{R}(N)$.

2) Si de plus il existe $\eta > 0$ et $b \in L^2(Q)$ tels que

$$ e^{\frac{\beta}{2} \cdot x} |g(x, t, e^{-\frac{\beta}{2} \cdot x} s)| \geq \eta |s| - b(x, t) \quad p.px \in \Omega, t, s \in \mathbb{R}, \quad (8) $$

alors $\mathcal{R}(N) = L^2(Q)$ et $\mathcal{R}(T_\lambda - N) = L^2(Q)$ c'est-à-dire le problème $(\mathcal{P})$ admet une solution.

**Démonstration du théorème 1.** 1) Il suffit de montrer que $Im T_\lambda - conv \mathcal{R}(N) \subset \overline{\mathcal{R}(T_\lambda - N)}$. Soit $f \in Im T_\lambda - conv \mathcal{R}(N)$, écrivons $f = T_\lambda u_0 - h$ où $h = \sum_{i=1}^m \alpha_i N(u_i)$, $\alpha_i \ge 0$, $\sum_{i=1}^m \alpha_i = 1$ et $u_0 \in D(T)$. Si $f \in \mathcal{R}(T_\lambda - N)$, alors l'assertion est démontrée, sinon l'équation $T_\lambda u - N(u) = f$ n'admet pas de solution, ce qui revient à dire que l'équation

$$ T_{\lambda}w - N(u_{0} + w) + h = 0 \quad \text{avec} \quad w = u - u_{0} \quad (9) $$

n'admet pas de solution. D'après le lemme 4 il existe $(w_n)$ et $(t_n)$ tels que $\|w_n\| \to +\infty$, $0 < t_n < 1$ et

$$ T_{\lambda} w_{n} - (1 - t_{n}) P_{\lambda} w_{n} - t_{n} (N(u_{0} + w_{n}) - h) = 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}. \quad (10) $$

Comme $T_\lambda w_n$ et $P_\lambda w_n$ sont orthogonales, on a

$$ \|T_{\lambda} w_{n}\| \leq t_{n}(\|N(u_{0} + w_{n})\| + \|h\|). \quad (11) $$

En multipliant (10) par $w_n$ et en utilisant le lemme 3 avec $0 < \delta < c(\alpha, \beta)$, il vient que

$$
\begin{align*}
\langle T_\lambda w_n, w_n \rangle &= (1 - t_n) \|P_\lambda w_n\|^2 + t_n (\langle N(u_0 + w_n), w_n \rangle - \langle h, w_n \rangle) \\
&= (1 - t_n) \|P_\lambda w_n\|^2 + t_n \sum_{i=1}^m \alpha_i \langle N(u_0 + w_n) - N(u_i), w_n \rangle \\
&\geq (1 - t_n) \|P_\lambda w_n\|^2 + t_n \left\{ \frac{1}{\delta} \|N(u_0 + w_n)\|^2 - c(f) \right\}.
\end{align*}
$$
D'après le lemme 2 assertion 5) et (11), nous avons

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{c(\alpha, \beta)} t_n^2 (\|N(u_0 + w_n)\| + \|h\|)^2 &\ge \frac{1}{c(\alpha, \beta)} \|T_\lambda w_n\|^2 \\
&\ge \langle T_\lambda w_n, w_n \rangle \\
&\ge \frac{t_n^2}{\delta} \|N(u_0 + w_n)\|^2 - c(f) \\
&\quad + (1 - t_n) \|P_\lambda w_n\|^2.
\end{aligned}
$$

Comme $\frac{1}{\delta} - \frac{1}{c(\alpha, \beta)} > 0$, on déduit que la suite $(t_n \|N(u_0+w_n)\|)_n$ est bornée, donc $((1-t_n)\|P_\lambda w_n\|^2)_n$ est bornée, et par (11), on a aussi $(T_\lambda w_n)_n$ est bornée, par suite $(Q_\lambda(w_n))_n := (w_n - P_\lambda w_n)_n$ est bornée. Par conséquent $\|P_\lambda w_n\| \to +\infty$, donc $t_n \to 1$ et $(1-t_n)\|P_\lambda w_n\| \to 0$. Par passage à la limite dans (10), on obtient $T_\lambda w_n - N(u_0+w_n) + h \to 0$, ce qui prouve que $f \in \overline{\mathcal{R}(T_\lambda - N)}$.

2) D'après (8), on a $\mathcal{R}(N) = L^2(Q)$. Soit donc $f \in L^2(Q) = \text{Im } T_\lambda - \text{conv } \mathcal{R}(N)$, supposons que $f \notin \mathcal{R}(T_\lambda - N)$. Nous procéderons de façon analogue que l'assertion 1, nous montrons facilement que la suite $(N(u_0 + w_n))_n$ est bornée. D'après (8) on déduit que $(w_n)$ est bornée, ce qui est absurde, d'où l'assertion 2. ■

Afin d'étudier le problème $(\mathcal{P})$ à la résonance, nous reprenons les notations données dans [12] : Le support de $\mathcal{R}(N)$ est défini par

$$I_{\mathcal{R}(N)}^*(v) = \sup_{u \in L^2(Q)} \langle N(u), v \rangle \quad v \in L^2(Q)$$

et la fonction de recession de $N$ est défini par

$$J_N(v) = \liminf_{t \to +\infty, u \to v} \langle N(tu), v \rangle \quad v \in L^2(Q).$$

Notons aussi par

$$[\tilde{g}, v] = \int_{v>0} \tilde{g}^{+} v + \int_{v<0} \tilde{g}^{-} v, \quad v \in L^2(Q),$$

où

$$\tilde{g}^{+}(x, t) = \liminf_{s \to +\infty} \tilde{g}(x, t, s), \quad \tilde{g}^{-}(x, t) = \limsup_{s \to -\infty} \tilde{g}(x, t, s).$$

D'après [12] on a la proposition suivante
**Proposition 4.** Soit $h \in L^2(Q)$. Si on suppose (5) et (6), alors

1) $[\tilde{g}, v] = J_N(v) = I_{\mathcal{R}(N)}^*(v)$ pout tout $v \in L^2(Q)$.

2) si $\lambda > 0$, alors $h$ appartienne à l'interieur de $\mathrm{Im}T_\lambda - \mathrm{conv} \mathcal{R}(N)$
si et seulement si $[\tilde{g}, v] > \langle -h, v \rangle$ pour tout $v \in \mathrm{Ker} T_\lambda \setminus \{0\}$.

3) si $\lambda = 0$, alors $h \in \overline{\mathrm{Im} T_\lambda - \mathrm{conv} \mathcal{R}(N)}$ si et seulement si $[\tilde{g}, v] \ge \langle -h, v \rangle$ pour tout $v \in \mathrm{Ker} T$.

Maintenant nous sommes en mesure d'énoncer des résultats
d'existence pour le problème $(\mathcal{P})$ avec des conditions de résonance de
Landesman-Lazer d'ordre 1.

**Théorème 2.** *Soit $h \in L^2(Q)$. Si on suppose (5) et (6) avec $0 < \theta < c(\alpha, \beta)$, alors.*

1) Si $\lambda > 0$ et $[\tilde{g}, v] > \langle -h, v \rangle$ pour tout $v \in \mathrm{Ker} T_\lambda \setminus \{0\}$, alors le problème $(\mathcal{P})$ admet une solution $u \in D(T)$.

2) Si $\lambda = 0$ (c'est-à-dire $\alpha - \frac{\beta^2}{4} = 0$) et $[\tilde{g}, v] \ge \langle -h, v \rangle$ pour tout $v \in \mathrm{Ker} T$, alors le problème $(\mathcal{P})$ admet une solution dans le sens que $h \in \overline{\mathcal{R}(T-N)}$.

**Démonstration du théorème 2.** 1) D'après la proposition 4, $h \in \mathrm{Im}T_\lambda - \mathrm{conv} \mathcal{R}(N)$ et d'après le théorème 1, $h \in \overline{\mathcal{R}(T_\lambda - N)}$. Donc si $h \in \mathcal{R}(T - N)$, alors l'assertion 1 est démontrée, sinon il existe une suite $(u_n)$ de $D(T)$ tel que

$$
T_{\lambda} u_{n} - N(u_{n}) \to f. \tag{12}
$$

En utilisant la mme démonstration que le théorème 1, nous montrons
facilement que les suites $(T_\lambda u_n)$, $(N(u_n))$ et $(u_n - P_\lambda u_n)$ sont bornées
et que $\|P_\lambda u_n\| \to +\infty$. Posons $v_n = \frac{u_n}{\|u_n\|}$, pour une sous suite,
nous avons les convergences faibles suivantes $v_n \to v$ et $T_\lambda u_n \to \chi \in \mathrm{Im} T_\lambda$. Il vient que $P_\lambda v_n \to P_\lambda v \in \mathrm{Ker} T_\lambda$ faiblement et $v_n - P_\lambda v_n \to 0$ fortement. Comme $\mathrm{Ker} T_\lambda$ est de dimension finie $P_\lambda v_n \to P_\lambda v$ fortement, donc $v_n \to v = P_\lambda v$. D'autre part

$$
\langle T_{\lambda} u_{n}, v \rangle \rightarrow \langle \chi, v \rangle = 0,
$$
et par (12), on a $\langle N(u_n), v \rangle \to \langle -h, v \rangle$. D'après la proposition 4, il vient que

$$ \langle -h, v \rangle = \lim_{n \to +\infty} \langle N(\|u_n\|v_n), v \rangle \geq J_N(v) = [\tilde{g}, v] $$

ce qui est absurde, d'où l'assertion 1.

L'assertion 2) se démontre facilement en utilisant le théorème 1 et la proposition 4.

## References

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[8] J. Berkovits-V. Mustonen, an application of topologique degree to semilinear equations with nonlinearities strongly monotones, Bull. London Math. Soc. 23, pp. 470-476, (1991).

[9] J. Berkovits-V. Mustonen, On multiple solutions for a class of semilinear wave equations, Nonlinear Analysis: theory and applications, Vol. 16, No. 5, pp. 421-434, (1991).

[10] J. Berkovits-V. Mustonen: On nonresonance for systems of semilinear wave equations, Nonlinear Analysis: theory and applications, Vol. 29, pp. 627-638, (1997).

[11] H. Brézis, Analyse fonctionnelle, théorie et applications, Masson (1987).

[12] H. Brézis-L. Nirenberg, Characterization of the ranges of some nonlinear operators and applications to boundary value problems, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (4) 5, pp. 225-326, (1978).

[13] O. Chakrone, thèse de doctorat.université d'oujda (1998).

[14] R. Dautray-J. L. Lions, Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et les techniques, T2 Masson (1985).

[15] E. Landesman, A. Lazer, Nonlinear perturbation of linear elliptic boundary value problems at resonance, J. Math. Mech. 19, pp. 609-623, (1970).

Received : December, 2001.
## AOMAR ANANE

Département de mathématiques
Faculté des Sciences
Université Mohamed Premier
60.000 OUJDA
MAROC
e-mail: anane@sciences.univ-oujda.ac.ma

## OMAR CHAKRONE

Département de mathématiques
Faculté des Sciences
Université Mohamed Premier
60.000 OUJDA
MAROC
e-mail: chakrone@sciences.univ-oujda.ac.ma

## MOHAMMED GHANIM

E. N. C. G.
Tanger - Maroc
e-mail: ghanimmohammed@hotmail.com