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# Modèle prédictif pour les performances de course à pied avec données fonctionnelles scalaires et qualitatives

François Bassac, Cristian Preda, Cédric Morio

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

## To cite this version:

François Bassac, Cristian Preda, Cédric Morio. Modèle prédictif pour les performances de course à pied avec données fonctionnelles scalaires et qualitatives. JDS 2025 - 56iemes Journées de la Statistique de la SFdS, Société Francaise de Statistique, Jun 2025, Marseille, France. hal-05416339

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Submitted on 15 Dec 2025

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# MODÈLE PRÉDICTIF POUR LES PERFORMANCES DE COURSE À PIED AVEC DONNÉES FONCTIONNELLES SCALAIRES ET QUALITATIVES.

François Bassac¹,² & Cristian Preda² & Cédric Morio¹

¹ Decathlon Lille, France, francois.bassac@decathlon.fr, cedric.morio@decathlon.com

² MODAL Inria Lille, France, cristian.preda@univ-lille.fr

**Résumé.** Prédire les performances des coureurs utilisant des programmes d'entraînement proposés par Decathlon est un défi majeur pour l'entreprise mais aussi pour les coureurs. Des données mesurant les capacités physiques du coureur, la thématique de l'entraînement suivi et les issues de séances d'entraînement sont disponibles chez Decathlon. Leur caractère longitudinal (dimension temporelle) et leur hétérogénéité (type, horizon d'observation) nécessitent un prétraitement performant pour leur utilisation dans un modèle prédictif. L'extension de l'analyse en composantes principales et de l'analyse des correspondances multiples aux données fonctionnelles scalaires, respectivement qualitatives, est utilisée pour réduire la dimension, visualiser les données et ajuster un modèle de régression linéaire. Les fonctions coefficients du modèle de régression permettent l'interprétation et la prédiction avec des nouvelles données.
Une application numérique sur un échantillon de 1120 courses à pied illustre la méthodologie proposée.

**Mots-clés.** données fonctionnelles qualitatives, analyse en composantes principales, analyse des correspondances multiples, régression, prédiction.

**Abstract.** Predicting the performance of runners using the training programs offered by Decathlon is a major challenge for both the company and the runners themselves. Data measuring the runners physical capacities, the training themes followed and the results of training sessions are available at Decathlon. Their longitudinal nature (time dimensionality) and heterogeneity (type, length of observation) require effective pre-processing before they can be used in a predictive model. The extension of principal component analysis and multiple correspondence analysis to scalar and categorical functional data is used to reduce the dimension, visualize the data and fit a linear regression model. The coefficient functions of the regression model allow interpretation and prediction with new data.

A numerical application on a sample of 1120 running events illustrates the proposed methodology.

**Keywords.** categorical functional data, principal component analysis, multiple correspondence analysis, regression, prediction.

## 1 Introduction

KIPRUN PACER est une des applications sportives de Decathlon dédiée à la course à pied. Elle propose des plans d'entraînement adaptés aux coureurs et coureuses en fonction de leurs capacités sportives et de leur objectif à une course donnée (10 kilomètres, semi-marathon ou marathon). À l'issue de la réalisation du plan d'entraînement par le coureur, un des objectifs de l'application KIPRUN PACER est de prédire la performance effective du coureur à l'épreuve pour laquelle il s'est entrainé. Cette prédiction permettra aussi de savoir si le temps cible (ambition du coureur) est atteignable ou non. Certaines études sportives ont permis d'apporter des modèles simples de cette performances future en fonction des caractéristiques sportives des utilisateurs résumées à leur *Vitesse Maximale Aérobie* (VMA) comme le modèle de Riegel (1981). Dans ce travail nous proposons d'intégrer dans un même modèle de régression les données caractérisant le coureur (VMA, allure, temps visé), la course (distance courue) et celles issues des séances d'entraînement. Un plan d'entraînement se déroule sur plusieurs semaines avec une ou plusieurs séances d'entraînement par semaine. Pour chaque séance, on dispose de la thématique de l'entraînement (propre à chaque coureur) et de la qualité de la réalisation de l'entraînement par celui-ci. La thématique de l'entraînement (qui peut changer d'une
séance à l'autre) est une donnée qualitatives à six états : Test VMA, Optimisation de la VMA, Vitesse spécifique, Endurance, Développement de l'endurance, Affutage. La qualité de l'entraînement quant à elle est un score (note) à valeurs dans l'intervalle [0, 1], avec zero correspondant à une séance non-effectuée. Un exemple de plan d'entraînement et de la qualité de sa réalisation est donnée dans la Figure 1.

D'autres modélisations sportives plus récentes existent comment celles de Mulligan (2018) ou d'Emig & Peltonen (2020). Mais leur précision fine pour des coureurs "élites" et non récréationnels, l'utilisation de données très précises de courses passées réalisées au maximum des capacités du sportif, ainsi que leur équation plus compliquée à mettre en oeuvre (appel à la fonction W de Lambert, minimisation à deux ou trois inconnues) n'en font pas des modèles aisément applicables au plus grand nombre de coureurs.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Thématiques d'un plan d'entraînement (bas) et sa réalisation (haut)</figcaption></figure>

## 2 Modèle de régression avec prédicteurs fonctionnels scalaires et qualitatifs

Dans cette modélisation nous nous intéressons à la prédiction de la performance des coureurs après que le plan d'entraînement soit entièrement effectué par ceux-ci.

La performance réalisée par un coureur après un plan d'entraînement est une variable aléatoire à valeurs réelles notée $Y$. Les changements des thématiques d'entraînement et l'évolution de la qualité des réalisations des séances (Figure 1) sont considérées comme des données de type fonctionnel, chaque trajectoire étant vue comme la réalisation d'un processus stochastique à temps continu. Les changements des thématiques d'un entraînement sont associés à un processus qualitatif générant des données fonctionnelles qualitatives (Preda et. al (2021)) alors que les scores de réalisation des séances d'entraînement ont comme modèle sous-jacent un processus scalaire (Ramsay and Silverman (2007)).

Les prédicteurs considérés dans le modèle de régression sont :

- $X_1 = (X_{1,1}, \dots, X_{1,p})$ : vecteur aléatoire à valeurs dans $\mathbb{R}^p$, $p \ge 1$, regroupant les données du coureur (VMA, allure, temps visé), de course (distance courue) et nombre de jours d'entraînement.
- $X_2 = \{X_2(t), t \in [0, T]\}$ : variable aléatoire fonctionnelle scalaire représentant l'évolution sur la période d'entraînement [0,T] de la qualité de la réalisation des séances d'entraînement, $X_2(t)$ est un score dans l'intervalle $[0, 1]$ (note normalisée) mesurant la qualité de la réalisation de la séance prévue au temps $t$ (exprimé en pourcentage du temps d'entraînement, $T = 100\%$).

- $X_3 = \{X_3(t), t \in [0, T]\}$ : variable aléatoire fonctionnelle qualitative décrivant la succession des thématiques d'entraînement : pour une séance réalisée au temps $t$, $X_3(t)$ est une variable qualitative avec $K = 6$ modalités (états) : Test VMA, Optimisation de la VMA, Vitesse spécifique, Endurance, Développement de l'endurance, Affutage. La variable $X_3(t)$ est résumée à l'aide des fonctions indicatrices de chaque état, $X_3(t) = \{1_i^s, s = 1, \dots, K\}$.

Nous proposons le modèle de régression suivant :

$$Y = \beta_0 + \sum_{i=1}^{p} \beta_i X_{1,i} + \int_{0}^{T} \beta(t) X_2(t) dt + \int_{0}^{T} \sum_{s=1}^{K} \gamma_s(t) 1_i^s dt + \epsilon, \quad (1)$$

où $\{\beta_i\}_{i=0,p}, \beta: [0:T] \to \mathbb{R}$ et $\gamma_s: [0:T] \to \mathbb{R}, s \in 1, \dots, K$, représentent les coefficients du modèle.

**Estimation.** Afin d'estimer les paramètres fonctionnels $\beta$ et $\{\gamma_s\}_{s=1,...,K}$, les trajectoires résumant la qualité de l'entraînement (courbe scalaire de notes) et celle de la thématique d'entraînement (courbe qualitative) sont résumées dans le modèle à travers les composantes principales des deux analyses de données fonctionnelles. Les variables fonctionnelles sont alors représentées à l'aide des composantes principales $\{z_i\}_{i \ge 1}$ :

- pour la variable fonctionnelle scalaire (Ramsay and Silverman (2005)) :

$$X_2(t) = \mu(t) + \sum_{i \ge 1} z_i u_i(t), \quad t \in [0, T],$$

où $\mu$ et $\{u_i\}_{i \ge 1}$ sont la moyenne, respectivement les fonctions propres de l'opérateur de covariance, du processus $\bar{X}_2$.

- pour la variable fonctionnelle qualitative (Preda et al (2021)),

$$1_i^s = p_s(t) + \sum_{i \ge 1} z_i a_i^s(t) p_s(t), \quad t \in [0, T]$$

où $p_s(t) = P(X_3(t) = s)$ et $\{a_i^s\}_{i \ge 1, s \in 1:K}$ sont les fonctions optimales de codage du processus $X_3$ associées aux composantes principales $\{z_i\}_{i \ge 1}$.

Le calcul des composantes principales est réalisé à l'aide d'une approximation des facteurs principaux $\{u\}_{i \ge 1}$ et des fonctions de codage $\{a_i^s\}_{i \ge 1, s \in 1:K}$ dans une base de fonctions splines cubiques (B-Splines). Une procédure de sélection des composantes principales basée sur le critère AIC est appliquée à l'ensemble des premières composantes assurant la conservation d'au moins 90% de l'information (variance totale).

## 3 Application

Le modèle (1) est estimé à partir d'un échantillon de 1120 courses à pied pour lesquelles les données sont disponibles chez Decathlon.

Les coefficients de variables non-fonctionnelles ($X_1$) sont présentés dans la Table 1.

Les fonctions de régression $\beta$ et $\{\gamma_s\}_{s \in 1:K}$ sont présentées dans la Figure 2.

Nous comparons les résultats de ce modèle avec le modèle de Riegel qui fait référence dans le domaine de la course à pied (Riegel (1981)). Dans ce dernier modèle, seule la variable VMA du coureur compte (quantité prenant en compte les données historiques du coureur). On obtient les résultats suivants :

L'indicateur de performance RMSEP (en secondes) présenté Table 2 est calculé par validation croisée (leave-one-out). L'écart-type de l'erreur de prédiction pour le modèle intégrant les co-variables fonctionnelles
<table><caption>TABLE 1 – Coefficients des variables non-fonctionnelles</caption><thead><tr><td>Variable</td><td>Coefficient</td><td>p-value</td></tr></thead><tbody><tr><td>VMA (km/h)</td><td>-215.83195</td><td>3.57e-05</td></tr><tr><td>Allure de course (s/km)</td><td>-13.24704</td><td>9.89e-08</td></tr><tr><td>Distance (m)</td><td>-0.05484</td><td>0.0207</td></tr><tr><td>Jours d'entrainements</td><td>-3.76544</td><td>0.0872</td></tr><tr><td>Temps cible</td><td>1.24860</td><td>&lt; 2e-16</td></tr><tr><td>Intercept</td><td>7315.33569</td><td>7.89e-08</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Coefficients de régression fonctionnels : $\beta$ (gauche) et $\gamma_s$ (droite)</figcaption></figure>

comme prédicteurs est de l'ordre de 25 minutes. Ce modèle apporte une amélioration de l'ordre de 16% sur ce même écart-type par rapport au modèle de Riegel.

La Figure 3 présente une visualisation des données prédites et réalisées et la Figure 4 présente les résidus.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Plot comparatifs des temps réalisés, temps prédits</figcaption></figure>

La modélisation présentée performe mieux que le modèle de Riegel sur l'ensemble des courses. L'unicité du modèle pour toutes les distances est une contraite de modélisation posée par Kiprun PACER. Des modèles dédiés à chaque distance pourraient être plus performants que le modèle multi-courses.
<table><caption>TABLE 2 – Performances de prédiction</caption><thead><tr><th></th><th>Modèle</th><th>Modèle de Riegel</th></tr></thead><tbody><tr><th>RMSEP</th><td>1.534254e+03</td><td>1.831826e+03</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Boxplot et histogramme des résidus.</figcaption></figure>

La Table 3 présente l'indice de Shapley résumant l'importance des variables dans le modèle linéaire estimé. Notons la contribution importante de la variable *temps cible* qui confirme la connaissance par le coureur des ses propres capacités. Malgré une faible contribution des variables fonctionnelles (évaluation de l'entrainement et choix du plan d'entrainement), celles-ci s'avèrent néanmoins significatives dans la modélisation (test ANOVA des modèles emboités).

# 4 Conclusions et perspectives

La méthode présentée permet d'exploiter dans un même modèle des données scalaires non fonctionnelles, des données fonctionnelles scalaires et catégorielles. Les méthodes d'analyse de données fonctionnelles permettent à l'aide des composantes principales de réduire la dimension des prédicteurs fonctionnels et ainsi d'estimer une vaste gamme de modèles de régression.

Dans l'application de la prédiction de performance en course à pied, cette approche permet de diminuer de 16,3% l'écart-type de l'erreur de prédiction et de prendre en compte à la fois les thématiques d'entraînement d'un coureur ainsi que ses réalisations.

Dans le cadre d'une plus large utilisation de cette méthodologie, nous nous intéressons à son extension à une approche de prédiction "online".

# Bibliographie

Preda, C., Grimonprez, Q., & Vandewalle, V. (2021). *Categorical Functional Data Analysis. The cfda R Package*. Mathematics, 9(23), 3074. https://doi.org/10.3390/math9233074

Ramsay, J.O. and Silverman, B.W. (2005) Functional Data Analysis. Springer, New York. https://doi.org/10.1002/0470013192.bsa239
<table><caption>TABLE 3 – Valeurs ordonnées de Shapley du modèle</caption><thead><tr><td>Variable</td><td>Valeur</td><td>Valeur standardisée</td></tr></thead><tbody><tr><td>Temps cible</td><td>0.3877</td><td>0.4327</td></tr><tr><td>Distance (m)</td><td>0.3441</td><td>0.3840</td></tr><tr><td>Rythme de course (s/km)</td><td>0.0543</td><td>0.0606</td></tr><tr><td>Jours d'entrainements</td><td>0.0433</td><td>0.0483</td></tr><tr><td>VMA (km/h)</td><td>0.0202</td><td>0.0226</td></tr><tr><td>FMCA cp 5</td><td>0.0113</td><td>0.0126</td></tr><tr><td>FMCA cp 7</td><td>0.0102</td><td>0.0114</td></tr><tr><td>FMCA cp 9</td><td>0.0085</td><td>0.0095</td></tr><tr><td>FMCA cp 19</td><td>0.0048</td><td>0.0053</td></tr><tr><td>FMCA cp 33</td><td>0.0040</td><td>0.0045</td></tr><tr><td>FMCA cp 23</td><td>0.0038</td><td>0.0043</td></tr><tr><td>FMCA cp 1</td><td>0.0017</td><td>0.0019</td></tr><tr><td>FPCA cp 1</td><td>0.0010</td><td>0.0011</td></tr><tr><td>FMCA cp 21</td><td>6e-04</td><td>7e-04</td></tr><tr><td>FMCA cp 30</td><td>4e-04</td><td>4e-04</td></tr></tbody></table>

Deville, J.C.; Saporta, G. Correspondence Analysis with an Extension towards Nominal Time Series. J. Econom. 1983, 22, 169–189.

Ramsay, J.O.; Wickham, H.; Graves, S.; Hooker, G. fda : Functional Data Analysis, R Package Version 5.5.1; 2021. Available online : https://cran.r-project.org/package=fda (accessed on 28 November 2021).

G.Saporta, Méthodes exploratoires d’analyse de données temporelles, Cahiers du BURO, 37–38, 1981.

Aguilera, A., Escabias, M., Preda, C., Saporta, G. (2010), "Using basis expansions for estimating functional PLS regression : Applications with chemometric data," Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, 104, 289-305.

Preda, C., Saporta, G. (2005), "PLS regression on a stochastic process," Computational Statistics and Data Analysis, 48, 149-158.

Riegel, Peter S. "Athletic Records and Human Endurance : A Time-vs.-Distance Equation Describing World-Record Performances May Be Used to Compare the Relative Endurance Capabilities of Various Groups of People." American Scientist 69, no. 3 (1981) : 285–90. http://www.jstor.org/stable/27850427.

Mulligan M, Adam G, Emig T (2018) A minimal power model for human running performance. PLoS ONE 13(11) : e0206645. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0206645

Emig, T., Peltonen, J. Human running performance from real-world big data. Nat Commun 11, 4936 (2020). https://doi.org/10.1038/s41467-020-18737-6