CAHIERS ECO & MATHS

94.71

DYNAMIQUE DE L'EMPLOI EN PRESENCE
DE COUTS D'AJUSTEMENT : AJUSTEMENT DES EFFECTIFS
ET DE LEUR DEGRE D'UTILISATION

Marianne CHAMBIN

Simon CUEVA

MAD
# Dynamique de l'emploi en présence de coûts d'ajustement : ajustement des effectifs et de leur degré d'utilisation

Marianne Chambin*et Simon Cueva†

18 novembre 1994

## Résumé

Cet article se propose de rendre compte du caractère procyclique de la productivité apparente du travail. Pour cela, nous modélisons une entreprise en situation de concurrence imparfaite et étudions son comportement d'ajustement du facteur travail suite à des fluctuations de la demande. En supposant constants les services producteurs du capital, nous insistons sur la distinction entre le "stock" d'effectifs et son degré d'utilisation. Ce dernier intègre non seulement la durée du travail mais aussi le taux d'utilisation de la main-d'oeuvre, représentatif de l'effort variable fourni par les salariés le long du cycle d'activité. L'évolution de ce taux d'utilisation, supposé parfaitement variable, permet ainsi de répondre aux fluctuations conjoncturelles et de compenser l'inertie relative des facteurs quasi-fixes : la durée du travail et tout particulièrement les effectifs.

## Abstract

We intend to account for the procyclical behaviour of labour productivity. Therefore, we model an imperfect competitive firm and analyze adjustment of labour input when it faces demand fluctuations. For given capital services, we stress the distinction between labour force and labour utilization degree which includes working time and labour utilization rate. This rate describes the employees' variable effort during the business cycle. Thus, the firm is able to adapt to demand fluctuations by varying fully flexible utilization rate in order to compensate the working time and especially the labour force quasi-fixity.

<footnote>* M.A.D., unité associée CNRS-URA 0926. Adresse: Université de Paris I, 90 rue de Tolbiac, 75634 Paris Cedex 13 et CEPREMAP.</footnote>

<footnote>† GREFI, Université de Paris VIII et CEPREMAP : 142, rue du Chevaleret, 75013 Paris.</footnote>

<footnote>‡ Nous remercions F. Portier pour ses nombreuses remarques et commentaires et M. Pucci pour son intuition qui nous a beaucoup influencés. Nous restons seuls responsables des éventuelles erreurs.</footnote>
# Dynamique de l'emploi en présence de coûts d'ajustement : ajustement des effectifs et de leur degré d'utilisation

Marianne Chambin*et Simon Cueva†

18 novembre 1994

## Introduction

Dès lors que l'on cherche à décrire le comportement de court terme d'une entreprise en matière de demande de facteurs, il devient nécessaire d'intégrer la notion de services producteurs de ces mêmes facteurs. En effet, les degrés d'utilisation sont soumis à des variations conjoncturelles très importantes. De ce fait, il faut se placer dans le très long terme pour négliger ces variations, et retenir l'approximation traditionnelle de la fonction de production, dans laquelle n'interviennent que les stocks de facteurs capital et travail.

Par conséquent, la description de la technologie de l'entreprise ne doit pas seulement prendre en compte, en ce qui concerne le facteur travail, le stock d'effectifs, mais également leur degré d'utilisation<fnref n="1" />.

Une première manière habituelle d'appréhender cette distinction est d'introduire la durée du travail dans la fonction de production de l'entreprise en tant qu'approximation du degré d'utilisation de la main-d'oeuvre. Une telle fonction de production permet alors d'analyser le comportement d'arbitrage de court terme entre effectifs et durée du travail, et ce tout particulièrement lorsque les effectifs sont supposés être un facteur de production quasi-fixe, c'est à dire soumis à des coûts d'ajustement. Il est ainsi possible d'observer que les variations de la durée du travail permettent à l'entreprise de faire face à des variations conjoncturelles de la demande qui lui est adressée, sans avoir à

<footnote>* M.A.D., unité associée CNRS-URA 0926. Adresse: Université de Paris I, 90 rue de Tolbiac, 75634 Paris Cedex 13 et CEPREMAP.</footnote>

<footnote>†GREFI, Université de Paris VIII et CEPREMAP : 142, rue du Chevaleret, 75013 Paris.</footnote>

<footnote>‡Nous remercions F. Portier pour ses nombreuses remarques et commentaires et M. Pucci pour son intuition qui nous a beaucoup influencés. Nous restons seuls responsables des éventuelles erreurs.</footnote>

<footnote n="1">¹Une remarque similaire s'applique au facteur capital. Cependant, l'ajustement du stock de capital se comptant en années alors que celui du travail s'exprime en mois ou en trimestres, il ne semble pas incohérent de négliger le capital lorsque l'on se concentre sur l'ajustement de court terme de l'emploi.</footnote>
modifier trop brutalement le niveau de ses effectifs<fnref n="2" />. Un tel comportement lui évite
alors d'avoir à supporter des coûts d'ajustement trop importants sur ses effectifs.

De plus, il apparaît que l'hypothèse d'une fonction de production dans laquelle
interviennent le stock des effectifs et leur durée d'utilisation permet de rationnaliser
le comportement procyclique de la productivité du travail<fnref n="3" />. Si la durée du travail est
soumise à des délais d'ajustement plus courts que ceux des effectifs, ce qui est générale-
ment le cas, il est alors normal d'observer une évolution procyclique de la productivité
du travail. Lors d'une phase de reprise de l'activité par exemple, l'entreprise a d'abord
recours à une hausse de la durée du travail avant d'accroître ses effectifs. Pendant cette
période, le niveau de la production s'élève tandis que les effectifs n'augmentent que
plus lentement, ce qui engendre une hausse apparente de la productivité par tête. On
est alors face à ce qui est communément appelé le "cycle de productivité".

C'est ainsi que la comparaison de l'évolution cyclique de la productivité apparente du travail (calculée comme le rapport de la production sur le stock des effectifs) et de la productivité horaire du travail – *i.e.* la productivité par tête rapportée sur la durée du travail, conduit à mettre en évidence une procyclicité moins marquée de cette dernière.

L'intégration du degré d'utilisation du travail dans la technologie de l'entreprise a ainsi de fortes implications sur le comportement d'ajustement de l'emploi. Toutefois, jusqu'à présent, nous n'avons considéré que le cas où le degré d'utilisation du travail était assimilé à la durée du travail. Or, une telle approximation s'avère restrictive puisque elle occulte totalement les notions d'efficacité et d'intensité d'utilisation du travail.

Par conséquent, une seconde étape dans la description de l'ajustement de l'entre-
prise consiste à introduire ces notions dans la mesure du degré d'utilisation du travail
et à comprendre leur rôle joué dans ce comportement d'ajustement. L'idée de cette
démarche repose sur l'existence d'un écart constaté au sein des entreprises entre les
heures de travail rémunérées par celles-ci et les heures effectivements travaillées, pour
reprendre la terminologie employée par Hart [1991]. En d'autres termes, il existerait
dans les entreprises une partie de la main-d'oeuvre dont les heures de travail ne sont
pas totalement productives. Une telle observation traduit alors le concept de "thésa-
risation de la main-d'oeuvre"<fnref n="4" /> qui serait donc fonction de l'efficacité productive des
heures de travail. De ce fait, une entreprise afin de s'adapter à une modification de son
environnement économique aurait à sa disposition la possibilité de jouer sur cet écart
des heures de travail, en incitant les travailleurs à le réduire.

Un tel comportement traduit manifestement l'idée qu'une entreprise puisse d'une
part jouer sur le volume des heures de travail et d'autre part sur l'utilisation de ces
heures – *i.e.* sur leur efficacité. Une façon de reproduire ce comportement est alors de
tenir compte dans la technologie de l'entreprise, d'un degré d'utilisation de la main-
d'oeuvre composé de la durée et du taux d'utilisation de celle-ci. Une mesure synthé-
tique de ce taux d'utilisation du travail est obtenue (dans le cas de la France) à partir

<footnote n="2">²Ce résultat est vrai bien évidemment sous l'hypothèse d'une fonction de production où les effectifs et la durée du travail sont substituables.</footnote>

<footnote n="3">³Ce comportement procyclique de la productivité du travail se traduit en général par des rendements de court terme croissants du travail dans les estimations des fonctions d'emploi, résultat en contradiction avec l'hypothèse néoclassique de rendements décroissants.</footnote>

<footnote n="4">⁴La thésaurisation de la main-d'oeuvre correspond à la notion de “*labour haording*”.</footnote>
des "taux d'utilisation des capacités de production sans embauche" disponibles dans l'Enquête Trimestrielle de Conjoncture de l'INSEE<fnref n="5" />.

Par conséquent, il semble que d'un point de vue théorique, la notion de degré d'utilisation du travail doit être appréhendée par le produit de deux variables : la durée du travail et le taux d'utilisation de la main-d'oeuvre. L'idée sous-jacente de cette approche est de modéliser les différents leviers de réaction à disposition des entreprises pour répondre aux modifications de leur environnement économique. Tout comme les variations de la durée du travail leur permettaient de pallier à la quasi-fixité des effectifs du fait des coûts d'ajustement, on s'attend à ce que les variations de leur taux d'utilisation de leur main-d'oeuvre influencent l'arbitrage de court terme réalisé entre les effectifs et les heures de travail. En d'autres termes, une modification du taux d'utilisation de la main-d'oeuvre permettrait une meilleure adaptation des entreprises, —i.e. un ajustement à moindre coût. Cette possibilité aura d'autant plus d'intérêt s'il est supposé, au même titre que le font Holt, Modigliani, Muth et Simon [1960], Nadiri et Rosen [1969], Shapiro [1986] ou Assouline [1993], qu'il existe un coût d'ajustement de la durée du travail.

Dans une première partie, un modèle de référence intégrant les effectifs et la durée du travail est développé. Nous supposons que le "stock de travailleurs" est traité comme un facteur de production quasi-fixe dont les variations sont soumises à des coûts d'ajustement tandis que la durée du travail est parfaitement variable. Ce modèle d'équilibre partiel construit sous l'hypothèse de concurrence imparfaite sur le marché des biens permet alors de mettre en évidence l'arbitrage de court terme réalisé par les entreprises entre les dimensions "stock" et "flux" du facteur travail en réponse à un choc de demande. Afin d'analyser le rôle joué par le taux d'utilisation de la main-d'oeuvre dans les décisions d'emplois, nous proposons dans une seconde partie, un modèle théorique dans lequel est intégrée cette nouvelle variable. Celle-ci y sera traitée comme un facteur de production à part entière, au même titre que les effectifs et la durée du travail. Cette extension du cadre de référence se fera également en supposant l'existence de délais d'ajustement de la durée du travail, que nous modéliserons à travers des coûts d'ajustement sur cette variable. Ce dernier modèle ne cherche pas à rationaliser l'existence d'un taux d'utilisation de la main-d'oeuvre variable mais plutôt de décrire son rôle en tant que levier de réaction aux fluctuations de la demande auxquelles sont soumises les entreprises. Il est ainsi possible de montrer qu'une modélisation des services du travail à partir de la variable de stock (effectifs) et des deux variables de flux (durée et taux d'utilisation du travail) permet de comprendre l'ajustement à court terme de l'entreprise portant en premier lieu sur le taux d'utilisation de sa main-d'oeuvre puis sur sa durée et sa quantité.

<footnote n="5">⁵Les conclusions relatives à cette enquête montrent ainsi que puisque les entreprises déclarent pouvoir accroître leur production sans embaucher, le taux d'utilisation de la main-d'oeuvre n'est jamais égal à 100%. Dans le cas de la France, il est en moyenne de 90% sur la période 1970-1990, et fluctue entre 84% et 94%.</footnote>
# 1 Un modèle de référence : ajustement des effectifs et de leur durée d'utilisation

L'objet de cette première partie est de modéliser le comportement d'ajustement d'une entreprise face à une modification de son environnement économique. Plus particulièrement, il s'agit de mettre en évidence l'arbitrage de court terme que réalise l'entreprise entre ses effectifs, supposés être un facteur quasi-fixe, et la durée du travail constituant un facteur parfaitement variable. Pour ce faire, un modèle simple de demande de travail en équilibre partiel est développé. L'état stationnaire et la trajectoire optimale qui lui est associée sont ensuite calculés. Ce faisant, nous sommes en mesure d'étudier les conséquences d'un choc de demande en distinguant d'une part, le cas d'un choc spécifique à l'entreprise et d'autre part, le cas d'un choc qui affecte identiquement toutes les entreprises de l'économie.

## 1.1 Le modèle

Le modèle proposé étant à l'équilibre partiel, les comportements d'offre de travail ne sont pas explicitement modélisés. Cela revient ainsi à supposer que les ménages offrent inélastiquement une unité de travail à chaque date t.

### 1.1.1 Les hypothèses

L'économie est composée de $n$ entreprises en concurrence imparfaite, indicées par $i$, chacune produisant un bien spécifique qui est parfaitement substituable aux autres. On suppose qu'elles se comportent de manière concurrentielle sur le marché du travail. Les entreprises considèrent le salaire comme exogène et il n'y a pas de rationnement de la demande de travail des entreprises : le niveau de l'emploi est donc toujours égal à la demande de travail. De plus, le nombre d'entreprises dans l'économie est suffisamment grand pour que chacune d'entre elles prenne les autres prix, et par conséquent le niveau général des prix, comme donnés.

* Nous supposons que l'entreprise représentative $i$ assure sa production grâce à une technologie utilisant deux facteurs de production, les effectifs<fnref n="6" /> et la durée du travail. Comme l'ont remarqué Rosen [1968] et Feldstein [1976], il n'y a aucune raison de penser que ces deux facteurs de production aient des productivités marginales identiques. En effet, une augmentation d'un certain pourcentage de la durée individuelle du travail n'a pas nécessairement les mêmes effets sur la production qu'un accroissement de même ampleur des effectifs. Par conséquent, la fonction de production est donnée par :

$$Q_i(t) = F(L_i(t), H_i(t)) = AL_i(t)^\alpha H_i(t)^\beta \quad \text{avec :} \quad \alpha, \beta \in [0, 1] \quad (1)$$

où $A$ est une constante représentant le terme d'échelle<fnref n="7" />, $L_i(t)$ est le niveau des effectifs de l'entreprise $i$ à la date $t$ et $H_i(t)$ représente la durée individuelle du travail. La fonction de production est croissante et concave en $L_i(t)$ et $H_i(t)$.

<footnote n="6">⁶Le facteur travail est ici supposé homogène.</footnote>

<footnote n="7">⁷Par simplicité, nous avons posé que ce terme est identique pour toutes les entreprises et qu'il ne varie pas dans le temps.</footnote>
Implicitement, nous retenons une fonction de production de court terme dans laquelle le stock de capital et sa durée d'utilisation sont prédéterminés. Le travail étant ici le seul facteur de production accumulable, les rendements d'échelle s'assimilent aux rendements marginaux du travail ($\alpha$) et sont donc décroissants. Il est cependant aisé de montrer que nous pourrions nous ramener à un modèle à rendements d'échelle constants ou croissants en incorporant le capital dans le terme d'échelle A. De même, l'introduction d'un terme exponentiel dans A permettrait de rendre compte d'une évolution tendancielle de la productivité.

* Chaque entreprise fait face à une fonction de demande de biens qui s'écrit :

$$Q_i(t) = \frac{D(t)}{n} \eta_i \left( \frac{p_i(t)}{P(t)} \right)^{-\epsilon} \quad \text{avec } \epsilon > 1 \qquad (2)$$

Le membre de droite de cette relation<fnref n="8" /> s'assimile à la demande perçue par l'entreprise tandis que le membre de gauche est égal à la production. $\frac{D(t)}{n}\eta_i$ représente la demande adressée à l'entreprise $i$ à la date $t$ où $\eta_i$ s'assimile à un choc de demande spécifique à l'entreprise $i$. Par simplicité d'écriture, nous poserons dans ce qui suit que $\frac{D(t)}{n}\eta_i = D_i(t)$. $p_i(t)$ est le prix d'offre, $P(t)$ l'indice général des prix et $(-\epsilon)$ l'élasticité-prix de la demande perçue par l'entreprise.

* Nous supposons que le coût total de l'emploi est représenté par la fonction suivante :

$$C(L_i(t), H_i(t)) = (v + wH_i(t))L_i(t) \qquad (3)$$

où $v$ et $w$ sont constants et exogènes. Cette relation distingue deux composantes du coût du travail. D'une part, le paramètre $v$ correspond au coût par tête qui évolue uniquement avec les effectifs et non avec la durée du travail. Il représente les coûts liés aux dépenses de formation continue, aux services rendus aux travailleurs (cantine, environnement du travail), aux cotisations salariales dépassant le plafond de la sécurité sociale et aux personnels d'encadrement dont la durée du travail n'est pas prescrite. D'autre part, le terme $wH_i(t)$ s'assimile aux coûts variables avec la durée du travail. $w$ s'interprète alors comme le salaire horaire et les cotisations sociales qui lui sont proportionnelles.

Dans le cadre de modèles intégrant les effectifs et la durée du travail<fnref n="9" />, il est habituel de prendre en compte l'existence d'une durée légale du travail (notée $\bar{H}$), au-delà de laquelle sont comptabilisées des heures supplémentaires dont la rémunération est plus élevée. La fonction de coût peut alors s'écrire :

$$\begin{cases} C(L_i(t), H_i(t)) = (u + w_0 H_i(t)) L_i(t) & \text{si } H_i(t) \le \bar{H} \\ C(L_i(t), H_i(t)) = (u + w_0 \bar{H} + w_1(H_i(t) - \bar{H})) L_i(t) & \text{si } H_i(t) > \bar{H} \end{cases}$$

<footnote n="8">⁸Voir Blanchard et Kiyotaki [1987] pour une formulation complète. L'hypothèse $\epsilon > 1$ est nécessaire pour obtenir un équilibre, puisque dans le cas contraire, l'entreprise aura intérêt à choisir un prix infini. Plus $\epsilon$ sera important, plus les biens seront proches substituts.</footnote>

<footnote n="9">⁹Voir Hart [1984], Calmfors et Hoel [1988] et [1989], Cahuc et Granier [1993].</footnote>
Le terme $u$ représente les coûts par tête du travail. Le paramètre $w_0$ correspond au salaire horaire de base qui rémunère les heures "normales", et $w_1$ est le coût horaire des heures supplémentaires, supposé constant et tel que $w_1 > w_0$.

Suivant les valeurs de $u$, $w_0$ et $w_1$, l'entreprise choisira une durée du travail inférieure ou supérieure à la durée légale $\bar{H}$. Par conséquent, la fonction de coût sera associée à l'une ou l'autre des formulations précédentes. Notre modèle permet de traiter formellement de ces deux cas de figure, sous réserve d'une réinterprétation des paramètres $u$ et $w^{10}$. Enfin, un troisième cas de figure peut se présenter : celui où les différents paramètres sont tels que l'entreprise choisit de ne jamais s'écarter de la durée légale $\bar{H}$. Elle ne peut donc plus faire varier la durée du travail pour modifier son niveau de production. Seuls l'emploi et le prix d'offre lui permettent de s'adapter aux variations de son environnement. Nous nous retrouvons alors dans un modèle simple, similaire à celui développé par Nickell [1986].

Toutefois, notre propos ne portant ni sur les coûts induits par des heures supplémentaires<fnref n="11" /> (ou par du chômage partiel) ni sur la durée légale du travail<fnref n="12" />, nous choisissons une modélisation simple de la fonction de coût du travail (relation (3)).

* A chaque date $t$, une proportion $s$ des effectifs (taux de rotation naturel exogène) quitte volontairement l'entreprise. L'évolution de l'emploi dans l'entreprise $i$ vérifie par conséquent l'équation suivante :

$$ \dot{L}_i(t) = E_i(t) - sL_i(t) \quad (4) $$

où $\dot{L}_i(t)$ est égale à la variation nette de l'emploi et $E_i(t)$ représente le niveau d'embauche (si positif) ou de licenciement (si négatif). Cela signifie en particulier qu'une variation de l'embauche ne se traduit qu'avec retard sur le niveau des effectifs productifs de l'entreprise.

* Chaque décision d'embauche ou de licenciement se traduit par des coûts d'ajustement que doit payer l'entreprise. Dans un souci de simplicité, ils sont ici représentés par une fonction quadratique symétrique de la variation nette de l'emploi<fnref n="13" /> :

$$ CA(\dot{L}_i(t)) = CA(E_i(t), L_i(t)) = \frac{1}{2} a \dot{L}_i(t)^2 \quad \text{avec : } a > 0 \quad (5) $$

Cette spécification implique que les coûts payés par l'entreprise lorsqu'elle embauche un certain nombre de nouveaux travailleurs, varient de la même manière que ceux qu'elle paye si elle licencie un nombre identique de salariés.

<footnote n="10">¹⁰En effet, si la durée effectivement travaillée est inférieure à la durée légale, il suffit de poser $v = u$ et $w = w_0$ pour que notre modèle intègre cette possibilité. De même, dans le cas contraire, il suffit de poser $v = u - (w_1 - w_0)$ et $w = w_1$.</footnote>

<footnote n="11">¹¹Nous laissons effectivement de côté le débat concernant la rémunération des heures supplémentaires, par exemple si leurs coûts sont progressifs ou non.</footnote>

<footnote n="12">¹²Dans ce sens, nous ne nous intéressons pas aux conséquences d'une réduction du temps de travail.</footnote>

<footnote n="13">¹³Au même titre que de nombreux auteurs, nous supposons que les coûts d'ajustement sont une fonction de la variation nette de l'emploi. Toutefois et d'une façon similaire, il est possible, comme le choisit par exemple Nickell [1986] de les exprimer en fonction des variations brutes -i.e. de l'embauche ou du licenciement. Néanmoins, des travaux récents de Hamermesh [1993] suggèrent qu'une nouvelle voie de recherche concernant l'impact des coûts d'ajustement serait de prendre en compte à la fois les variations nettes et brutes de l'emploi.</footnote>
Pour l'objectif qui nous intéresse ici, nous avons volontairement retenu une formulation simple de ces coûts. Cependant, de nombreuses études mettent en évidence que les coûts d'ajustement ne sont pas nécessairement symétriques ni nécessairement convexes (Nickell [1986], Pfann et Verspagen [1989], Hamermesh [1989]...). De telles hypothèses sont alors susceptibles de modifier le comportement d'ajustement dynamique de l'entreprise<fnref n="14" />.

Néanmoins, dans le contexte d'une étude empirique, il s'avérera utile de tester des spécifications alternatives.

### 1.1.2 Le programme de l'entreprise et sa résolution

Nous supposons que l'entreprise n'a aucune aversion pour le risque et que les anticipations sont parfaites. La trajectoire optimale du niveau de l'emploi est alors obtenue à partir du programme de maximisation intertemporelle de l'entreprise<fnref n="15" />. Ce dernier est donné par :

$$ \max_{E_i(t), H_i(t)} \int_0^\infty e^{-\Phi(t)} \{ R(L_i(t), H_i(t)) - C(L_i(t), H_i(t)) - CA(E_i(t), L_i(t)) \} dt \\ \text{s.c.} \quad \left\{ \dot{L}_i(t) = E_i(t) - sL_i(t) \quad (\lambda_i(t)) \right. $$

pour $L_i(0)$ donné et en supposant les contraintes de non négativité toujours vérifiées ($E_i(t) \ge 0$ et $H_i(t) \ge 0$). Si $r(t)$ est le taux d'intérêt, $\Phi(t) = \int_0^t r(\tau)d\tau$ est le taux d'actualisation. $\lambda_i(t)$ représente le prix implicite du travail. La fonction revenu $R(L_i(t), H_i(t))$ est dérivée des équations (1) et (2). $E_i(t)$ et $H_i(t)$ sont les variables de contrôle et $L_i(t)$ la variable d'état du problème.

L'entreprise $i$ prend comme donnés le salaire nominal et le prix moyen de l'économie. Le hamiltonien s'écrit alors :

$$ \mathcal{H}(L_i(t), H_i(t), E_i(t), \lambda_i(t)) = R(L_i(t), H_i(t)) - C(L_i(t), H_i(t)) - CA(E_i(t), L_i(t)) + \lambda_i(t)(E_i(t) - sL_i(t)) \quad (6) $$

Les conditions nécessaires d'optimalité sont obtenues en appliquant le principe du maximum de Pontryagin :

$$ \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial E_i(t)} = -C A_{E_i(t)} + \lambda_i(t) = 0 \quad (7) $$

$$ \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial H_i(t)} = R_{H_i(t)} - C_{H_i(t)} = 0 \quad (8) $$

$$ \dot{\lambda}_i(t) = r(t)\lambda_i(t) - R_{L_i(t)} + C_{L_i(t)} + CA_{L_i(t)} + s\lambda_i(t) \quad (9) $$

L'équation d'évolution de l'emploi (3) reste toujours vérifiée.

<footnote n="14">¹⁴Voir Chambin et Portier [1993] pour un modèle avec des coûts d'ajustement non convexes et asymétriques.</footnote>

<footnote n="15">¹⁵Comme le remarque d'Autume [1988], l'hypothèse d'horizon infini semble être le seul moyen simple d'imposer des conditions terminales dans un modèle tourné vers le futur.</footnote>
La relation (7) exprime le fait que le prix implicite du travail égalise le coût engendré par un ajustement à la marge (embauche ou licenciement d'un travailleur supplémen-taire).

La relation (8) signifie que sur la trajectoire optimale, les gains engendrés par l'uti- lisation d'une heure de travail supplémentaire sont justes égaux aux coûts marginaux de ces heures.

Par ailleurs, la relation (9) montre que le coût d'usage du travail<fnref n="16" />, représenté par $\left(r(t) + s - \frac{\dot{\lambda}_i(t)}{\lambda_i(t)}\right) \lambda_i(t)$, doit être égal au revenu marginal net $R_{L_i(t)} - C_{L_i(t)}$ diminué de l'effet marginal du travail sur les coûts d'ajustement $CA_{L_i(t)}$.

Enfin, la condition de transversalité est donnée par :

$$ \lim_{t \to \infty} e^{-\Phi(t)} \lambda_i(t) L_i(t) = 0 \quad (10) $$

Cette condition signifie qu'à l'infini, la valeur actualisée du "stock" de travailleurs est nulle.

Remarquons qu'en explicitant la fonction valeur de l'entreprise, l'interprétation du prix implicite du travail peut être enrichie.

Soit $V(L_i(t), t)$ la fonction valeur de l'entreprise $i$ :

$$ V(L_i(t), t) = \max_{E_i, H_i} \left\{ \int_t^\infty e^{-\int_t^u r(\tau)d\tau} (R(L_i(u), H_i(u)) - C(L_i(u), H_i(u)) - CA(E_i(u), L_i(u))) du \right\} $$

avec $\dot{L}_i(t) = E_i(t) - sL_i(t)$.

A l'aide du principe d'optimalité de Bellman, nous pouvons écrire :

$$ \lambda_i(t) = \frac{\partial V(L_i(t), t)}{\partial L_i(t)} $$

$\lambda_i(t)$ représente donc l'évaluation marginale ou prix implicite du travail en termes de la fonction valeur $V(L_i(t), t)$.

En intégrant la relation (9), et en utilisant (7) nous pouvons écrire :

$$ \lambda_i(t) = CA_{E_i(t)} = \int_t^\infty e^{-\int_t^u (r(\tau)+s)d\tau} (R_{L_i(u)} - C_{L_i(u)} - CA_{L_i(u)})du \quad \forall t \ge 0 \quad (11) $$

La variable $\lambda_i(t)$ résume ainsi toute l'information future.

Cette dernière relation s'interprète de la manière suivante : le long de la trajectoire optimale, le prix implicite $\lambda_i(t)$ d'un travailleur supplémentaire est égal aux coûts d'ajustement $CA_{E_i(t)}$ engendrés par l'embauche de ce travailleur et doit juste égaliser la valeur actualisée des gains associés à cet ajustement à la marge (membre de droite de l'équation). Par conséquent, l'entreprise n'a pas intérêt à s'écarter de cette trajectoire en faisant varier l'emploi ni à la hausse ni à la baisse.

En utilisant les équations (1) à (5), le hamiltonien et les conditions d'optimalité se réécrivent<fnref n="17" /> de la manière suivante :

$$ \mathcal{H} = PD_i^{1-\sigma}(AL_i^{\alpha}H_i^{\beta})^{\sigma} - vL_i - wL_iH_i - \frac{1}{2}a\dot{L}_i^2 + \lambda_i(E_i - sL_i) $$

<footnote n="16">¹⁶Nous retrouvons ainsi une formulation analogue à celle obtenue pour le coût d'usage du capital dans les travaux s'y rapportant (Jorgenson [1974]).</footnote>

<footnote n="17">¹⁷Afin d'alléger nos notations, nous omettons dorénavant volontairement l'indice temporel.</footnote>
$$ \lambda_i = a(E_i - sL_i) = a\dot{L}_i \qquad (12) $$

$$ \beta\sigma PD_i^{1-\sigma} A^{\sigma} L_i^{\alpha\sigma-1} H_i^{\beta\sigma-1} = w \qquad (13) $$

$$ \dot{\lambda}_i = r\lambda_i - \alpha\sigma PD_i^{1-\sigma} A^{\sigma} L_i^{\alpha\sigma-1} H_i^{\beta\sigma} + v + wH_i \qquad (14) $$

où $\sigma = \frac{\epsilon-1}{\epsilon}$ représente un indicateur du pouvoir de monopole de l'entreprise sur le marché des biens : plus $\sigma$ est faible, plus le pouvoir de monopole est important. Puisque $\epsilon > 1$, $\sigma$ est nécessairement plus petit que un. Le cas limite où $\sigma$ tend vers un correspond à la situation où le prix d'offre devient exogène et où l'entreprise ne bénéficie plus d'un pouvoir de monopole. La relation $\dot{L}_i = E_i - sL_i$ est toujours verifiée et la condition de transversalité reste inchangée.

Ainsi, à partir de la relation (13), nous obtenons une valeur explicite du niveau des heures en fonction des effectifs :

$$ H_i = \left( \frac{\beta\sigma PD_i^{1-\sigma} A^{\sigma}}{wL_i^{1-\alpha\sigma}} \right)^{\frac{1}{1-\beta\sigma}} \qquad (15) $$

La condition (14) devient ainsi :

$$ \dot{\lambda}_i = r\lambda_i + v - \left(\frac{\alpha}{\beta} - 1\right)wH_i \qquad (16) $$

Par conséquent, les conditions d'optimalité du problème sont données par les relations (12), (15), (16) et (4), auxquelles se rajoute la condition de transversalité.

A partir de ces expressions, nous pouvons analyser la dynamique de notre modèle et définir son équilibre stationnaire.

## 1.2 Equilibre stationnaire et trajectoire optimale

Connaissant les conditions d'optimalité de notre modèle, il est alors possible de déterminer d'une part, l'équilibre de long terme –i.e. l'état stationnaire et d'autre part la trajectoire optimale qui converge vers celui-ci.

### 1.2.1 Equilibre stationnaire

L'équilibre de long terme est déterminé à partir des conditions d'optimalité et doit satisfaire $\dot{L}_i = 0$ et $\dot{\lambda}_i = 0$. Nous obtenons donc :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \lambda_i = 0 \\ v - \left(\frac{\alpha}{\beta} - 1\right)wH_i = 0 \end{array} \right. \qquad (17) $$

Le système (17) a une solution admissible (avec $H_i > 0$) uniquement si $\frac{\alpha}{\beta} \ge 1$, c'est à dire lorsque les rendements marginaux des effectifs sont supérieurs à ceux de leur durée d'utilisation. Cela se comprend dans la mesure où la fonction de coût retenue (équation (3)) est telle que les coûts liés aux effectifs sont nécessairement plus élevés que ceux associés à la durée du travail. Nous retrouvons ainsi une condition restrictive
identique à celle imposée dans des modèles d'optimisation du producteur intégrant les effectifs et les heures mais sans coûts d'ajustement<fnref n="18" /> (Hart et McGregor [1988], Calmfors et Hoel [1988] par exemple).

Il est à noter que cette condition peut sembler peu conforme à la réalité. En effet, de nombreuses études empiriques (Hart et McGregor [1988], Anxo et Bigsten [1989] et Hart [1991]) conduisent à des rendements marginaux de la durée du travail supérieurs à ceux des effectifs. Néanmoins, le caractère contraignant de cette condition découle de la modélisation relativement incomplète des surcoûts liés à la durée du travail. Ainsi, dans un modèle où la rémunération des heures supplémentaires ne leur est plus proportionnelle mais au contraire progressive, Cueva [1994] obtient une condition qui s'avère plus aisément vérifiée empiriquement. Toutefois, la prise en compte d'une modélisation de ce type, plus réaliste mais plus complexe, ne modifierait pas, pour l'essentiel, la réponse dynamique de l'entreprise face à des variations de son environnement. C'est pourquoi, nous supposerons dans la suite que l'hypothèse $\frac{\alpha}{\beta} \ge 1$ est bien vérifiée<fnref n="19" />.

A partir de la seconde relation du système d'équations (17), nous en déduisons le niveau d'équilibre de long terme de la durée du travail $H_i^*$ :

$$H_i^* = \frac{\beta}{\alpha - \beta} \frac{v}{w} \qquad (18)$$

La relation (13) nous donne le niveau optimal des effectifs $L_i^*$ :

$$L_i^* = \left( \sigma \beta^{\beta\sigma} (\alpha - \beta)^{1-\beta\sigma} A^{\sigma} \frac{D_i^{1-\sigma} (v/w)^{\beta\sigma}}{\frac{v}{P}} \right)^{\frac{1}{1-\alpha\sigma}} \qquad (19)$$

Nous obtenons ainsi un résultat standard des modèles de demande de facteurs : à long terme, la demande adressée à l'entreprise n'influence que le niveau des effectifs et non celui de la durée du travail. Cette dernière ne dépent que du coût relatif des effectifs et des heures. Une telle conclusion se retrouve tout aussi bien dans les modèles intégrant également les services producteurs du capital. En effet, la demande ne joue que sur les stocks de facteurs et non sur leurs durées d'utilisation (Nadiri et Rosen [1969], Pouchain [1980], Cette [1983]).

Toutefois, la durée du travail garde tout son intérêt en tant que variable d'ajustement de court terme pour l'entreprise, et ce d'autant plus que dans ce modèle, elle constitue un facteur parfaitement variable.

A l'état stationnaire, l'embauche permet simplement de compenser les départs liés au taux de rotation naturel :

$$E_i^* = sL_i^* \qquad (20)$$

<footnote n="18">¹⁸Dans ces modèles, plusieurs régimes sont envisageables selon que la durée effective du travail est supérieure ou inférieure à la durée légale. $\frac{\alpha}{\beta} \ge 1$, qui est ici la condition d'existence d'une solution admissible, apparaît alors comme la condition du second ordre du problème d'optimisation. Elle est donc nécessaire pour obtenir une solution intérieure pour laquelle le niveau d'équilibre de la durée du travail n'est pas nécessairement identique à tout instant, à la durée légale du travail.</footnote>

<footnote n="19">¹⁹Remarquons que dans le cas particulier où $\alpha = \beta$, le système (17) implique que les coûts par tête du travail sont nuls ($v = 0$). Les effectifs et les heures ont alors des rendements marginaux et des coûts identiques. Il est par conséquent impossible de les distinguer l'un de l'autre et il faut raisonner uniquement en termes de services producteurs du travail.</footnote>
Finalement, les valeurs d'équilibre stationnaire du prix relatif et de la production s'obtiennent à l'aide des relations (1) et (2) prises à l'équilibre :

$$ \frac{p_i^*}{P} = \left( \frac{1}{\sigma^\alpha \beta^\beta (\alpha - \beta)^{\alpha - \beta} A} \frac{D_i^{1-\alpha} (v/P)^\alpha}{(v/w)^\beta} \right)^{\frac{1-\sigma}{1-\alpha\sigma}} \quad (21) $$

$$ Q_i^* = \left( \sigma^\alpha \beta^\beta (\alpha - \beta)^{\alpha - \beta} A \frac{D_i^{\alpha(1-\sigma)} (v/w)^\beta}{(v/P)^\alpha} \right)^{\frac{1}{1-\alpha\sigma}} \quad (22) $$

Les niveaux de long terme des prix relatifs et de la production dépendent tous deux positivement de la demande. Un tel effet sur les prix relatifs exprime le fait que l'entreprise utilisera son pouvoir de monopole pour répondre à une modification de la demande. En d'autres termes, en situation de concurrence imparfaite, elle s'ajustera aussi bien par les prix que par les quantités. Nous retrouvons par ailleurs, dès lors que $\alpha \ge \beta$, le résultat habituel d'une influence positive des coûts des effectifs et des heures sur les prix relatifs et négative sur la production.

### 1.2.2 Trajectoire optimale

Il est habituel de représenter la dynamique de l'économie étudiée à partir d'un diagramme des phases. Ce dernier est représenté sur la figure 1 ci-dessous, où l'axe des abscisses correspond au niveau de l'emploi et l'axe des ordonnées au prix implicite du travail.

Le point d'équilibre de long terme se situe à l'intersection des courbes $\dot{L}_i = 0$ et $\dot{\lambda}_i = 0$, associées aux relations suivantes :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \lambda_i = 0 \\ \dot{\lambda}_i = -\frac{v}{r} + \rho D_i^{\frac{1-\sigma}{1-\beta\sigma}} L_i^{\frac{1-\alpha\sigma}{1-\beta\sigma}} \end{array} \right. \qquad (23) $$

où $\rho = \frac{\alpha - \beta}{r} \frac{\beta}{w} \frac{\beta\sigma}{1-\beta\sigma} (\sigma A^\sigma P)^{\frac{1}{1-\beta\sigma}}$ ne dépend que de variables exogènes.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Fig. 1 : Diagramme des phases</figcaption></figure>
La configuration obtenue dans ce diagramme est celle d'un point selle, où le point A correspond à l'état stationnaire. Ce résultat est démontré analytiquement dans l'an-nexe A. L'équilibre avec prévision parfaite y est représenté par l'unique trajectoire optimale<fnref n="20" />, vérifiant la condition de transversalité ce qui assure sa convergence vers l'état stationnaire.

## 1.3 Réponse à un choc de demande individuelle

Nous allons nous intéresser au comportement dynamique de l'entreprise suite à un choc individuel de demande positif ($\Delta D_i > 0$). En rappelant que $D_i = \frac{D}{n}\eta_i$, nous sommes dans le cas où seule la demande adressée à l'entreprise étudiée est modifiée (choc $\eta_i$) et c'est donc la réponse individuelle de cette entreprise qui est ici analysée. Implicitement, cela revient à supposer que les $n-1$ autres entreprises de l'économie ne sont pas affectées par ce choc et que l'entreprise concernée conjecture que le comportement de ses concurrentes reste inchangé. De plus, $n$ étant suffisamment grand, la réponse au choc de l'entreprise ne modifiera pas le niveau général des prix (P) qui est exogène et constant.

A la date $t=0$, l'entreprise est à son équilibre initial de long terme (point A sur le graphique ci-dessous), caractérisé par des niveaux optimaux de l'emploi $L_{iA}^*$, de l'embauche $E_{iA}^*$, des heures $H_{iA}^*$, du prix relatif $\frac{p_{iA}^*}{P}$ et de la production $Q_{iA}^*$. A cette date, l'augmentation de la demande individuelle se traduit par un déplacement vers la droite de la courbe d'équation $\dot{\lambda}_i = 0$ et conduit à un nouvel équilibre (point B) vers lequel converge l'entreprise à long terme.

Afin de déterminer la stratégie adoptée par l'entreprise pour atteindre son nouvel état stationnaire, nous allons caractériser celui-ci avant d'analyser le processus d'ajustement et d'examiner l'évolution des variables d'intérêt.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 2 : Réponse à un choc de demande individuelle</figcaption></figure>

<footnote n="20">²⁰Cette dernière est indiquée par une double flèche sur la figure 1.</footnote>
### 1.3.1 Le nouvel équilibre stationnaire

La caractérisation du nouvel état stationnaire (point B) s'effectue grâce à l'étude des effets de long terme du choc permanent de demande individuelle. Nous les explicitons en calculant les multiplicateurs de long terme de notre modèle, qui se déduisent des relations (18) à (22) :

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
\frac{\partial L_i^*}{\partial D_i} &= \frac{1-\sigma}{1-\alpha\sigma} \frac{L_i^*}{D_i} > 0 \\
\frac{\partial E_i^*}{\partial D_i} &= \frac{1-\sigma}{1-\alpha\sigma} \frac{E_i^*}{D_i} > 0 \\
\frac{\partial H_i^*}{\partial D_i} &= 0 \\
\frac{\partial \frac{p_i^*}{P}}{\partial D_i} &= \frac{(1-\alpha)(1-\sigma)}{1-\alpha\sigma} \frac{p_i^*}{D_i} > 0 \\
\frac{\partial Q_i^*}{\partial D_i} &= \alpha \frac{1-\sigma}{1-\alpha\sigma} \frac{Q_i^*}{D_i} > 0
\end{aligned}
\right. 
\qquad (24) $$

L'entreprise répond à la variation de demande en jouant aussi bien sur les prix que sur les quantités. Elle utilise son pouvoir de monopole en élevant son prix relatif ce qui diminue sa part de marché. Sa demande perçue augmente donc dans une proportion moindre que la demande qui lui est adressée. Par conséquent, l'élasticité de long terme de la production par rapport à la demande est inférieure à l'unité. Cet accroissement de production s'obtient grâce à une hausse des effectifs, étant donnée l'absence déjà soulignée, d'influence de long terme de la demande sur la durée du travail. De plus, l'augmentation de l'embauche correspond simplement à un niveau de départs volontaires plus élevé, pour un niveau stationnaire plus important des effectifs.

En définitive, le nouvel équilibre stationnaire B est associé à des niveaux d'emploi, d'embauche, de prix relatif et de production plus élevés, alors que le niveau des heures reste inchangé ($L_{iB}^* > L_{iA}^*$, $E_{iB}^* > E_{iA}^*$, $\frac{p_{iB}^*}{P} > \frac{p_{iA}^*}{P}$, $Q_{iB}^* > Q_{iA}^*$, $H_{iB}^* = H_{iA}^*$).

### 1.3.2 Le processus d'ajustement

L'analyse du processus d'ajustement revient à comprendre comment l'entreprise, partant de son état initial (point A) va converger vers son nouvel équilibre stationnaire (point B). Ce processus dépend des caractéristiques internes de l'entreprise ainsi que de l'environnement dans lequel elle évolue.

D'une part, l'entreprise dispose d'un facteur de production quasi-fixe, le travail. Comme en témoigne l'équation (4), l'évolution des effectifs est continue et leur ajustement ne peut se faire instantanément. A l'opposé, l'embauche peut s'ajuster librement. Il en est de même de la durée du travail qui constitue un facteur parfaitement variable.

D'autre part, la situation de concurrence imparfaite de l'entreprise lui donne la possibilité de modifier instantanément son prix relatif. L'entreprise connaissant sa courbe de demande perçue peut jouer de son pouvoir de monopole. Malgré une diminution indirecte de sa part de marché, elle a ainsi intérêt à augmenter son prix relatif en réponse à un accroissement de la demande qui lui est adressée.

L'analyse du diagramme des phases représentant l'effet du choc (figure 2) nous permet de constater que l'ajustement se réalise en deux temps. La réponse instantanée
de l'entreprise se traduit par un déplacement de $A$ vers le point $A'$ qui se situe sur la nouvelle trajectoire convergente et pour lequel le niveau d'emploi reste inchangé. Etant donné la configuration du diagramme, cela s'accompagne nécessairement d'un saut positif de $\lambda_i$.

Ensuite, le système évolue progressivement de $A'$ vers $B$ le long de la nouvelle trajectoire convergente.

Si cette simple interprétation graphique a l'avantage de mettre en évidence les deux phases du processus d'ajustement, elle masque cependant les décisions prises par l'entreprise pour s'adapter en réponse au choc. Aussi, vouloir comprendre la dynamique sous-jacente suppose une analyse de l'évolution des différentes variables sous contrôle de l'entreprise. C'est ce que nous nous proposons d'étudier en analysant la dynamique des effectifs, de l'embauche, de la durée du travail, du prix relatif et de la production.

### 1.3.3 L'évolution des différentes variables

La réponse instantanée de l'entreprise est conditionnée par le caractère quasi-fixe de son facteur travail. L'évolution des effectifs, retracée sur la figure 3, ne peut être que continue : partant du niveau initial, la demande de travail s'élève et tend<fnref n="21" /> vers le nouvel état stationnaire.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 3 : Dynamique des effectifs</figcaption></figure>

Comme nous l'avons précédemment mis en évidence, il existe une réponse instantanée de l'entreprise, représentée par le saut de $A$ à $A'$ du prix implicite du travail ($\lambda_i$). Les variables sous contrôle de l'entreprise peuvent alors évoluer de manière discontinue. Le calcul de leur variation instantanée<fnref n="22" /> nous permet de confirmer notre première intuition graphique.

Ainsi, face à une hausse de sa demande individuelle, l'entreprise choisit d'embaucher immédiatement, sachant que cette décision ne se répercute qu'avec délai sur son niveau de production *via* l'accroissement induit des effectifs. Il y a donc un saut du niveau de l'embauche à la date du choc. Pour obtenir la dynamique d'ensemble de cette variable

<footnote n="21">²¹Tout comme le souligne Nickell [1986], un temps infini sera nécessaire pour atteindre le nouvel équilibre de long terme. On ne fera que tendre asymptotiquement vers celui-ci, et ce du fait de l'hypothèse de stricte convexité de la fonction de coûts d'ajustement.</footnote>

<footnote n="22">²²Ce calcul est présenté dans l'annexe B.1.</footnote>
et déterminer entre autres si l'entreprise choisit d'ajuster instantanément son embauche en deçà ou au delà du niveau stationnaire, il est nécessaire de comparer l'amplitude respective des effets de court et de long terme.

En toute généralité, la variation instantanée de l'embauche ne peut être calculée en l'absence d'une résolution analytique du système d'équations différentielles du modèle. Cependant, dans le cas particulier où le choc de demande est suffisamment petit, cette variation peut être calculée et comparée à celle de long terme<fnref n="23" />. En effet, la trajectoire convergente est alors approximée par sa tangente à l'équilibre stationnaire, ce qui nous permet de distinguer deux cas de figure en fonction des valeurs prises par le taux de rotation naturel *s* et par les coûts d'ajustement du travail *a*. Enfin, dans le cas général, une approche intuitive conduit à des conclusions similaires<fnref n="24" /> :

* soit nous sommes dans une situation de sur-ajustement à court terme : le niveau de l'embauche saute instantanément puis décroît progressivement vers son nouveau niveau de long terme (figure 4a). C'est en particulier ce qui se produit pour des valeurs peu élevées du taux de rotation de la main-d'oeuvre (*s*) et des coûts d'ajustement (*a*);

* soit il y a sous-ajustement (figure 4b) : cette possibilité ne semble envisageable que pour des valeurs relativement élevées de *s* et de *a*.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 4a,b : Dynamique du niveau de l'embauche</figcaption></figure>

Connaissant la dynamique des effectifs et de l'embauche, il nous reste à étudier celle de la durée du travail, du prix relatif et de la production. L'évolution de cette dernière est en fait la conséquence de celles des autres variables.

$$E_i = \frac{\lambda_i}{a} + sL_i$$

Puisque les effectifs varient d'une façon continue, seul le premier terme du membre de droite traduit le saut instantané de l'embauche. Par contre, seul le second terme retrace la variation de long terme, la variable $\lambda_i$ étant nulle à l'état stationnaire. De ce fait, suivant les valeurs prises par les paramètres *s* et *a*, nous pouvons envisager un sur ou un sous ajustement instantané. Cela se comprend dans la mesure où à long terme, l'embauche est la contrepartie des départs volontaires, tandis qu'à court terme, elle répond à la nécessité d'ajuster les effectifs suite à un choc de demande.

<footnote n="23">²³Les calculs sont données dans l'annexe B.1. La démarche revient à expliciter les valeurs propres associées au jacobien du système.</footnote>

<footnote n="24">²⁴Cette approche s'appuie sur une interprétation de l'équation (12) :</footnote>
Il apparaît que les décisions d'ajustement par les heures ou par les prix sont inter-
dépendantes l'une de l'autre. En effet, en utilisant les équations (1), (2) et (13), nous
obtenons une relation entre les heures et le prix d'offre :

$$
p_i = \frac{w}{\beta \sigma A} L_i^{1-\alpha} H_i^{1-\beta}
$$

Sachant que le niveau des effectifs ne peut sauter, les deux variables ont alors une
évolution de même sens : l'entreprise exploite pleinement la possibilité d'utiliser les deux
instruments d'ajustement instantané dont la dynamique se répercute sur sa demande
et son offre de biens.

D'une part, l'utilisation accrue des effectifs (augmentation de la durée du travail) permet à l'entreprise d'augmenter instantanément sa production. Le niveau des heures revient ensuite progressivement vers sa valeur initiale, comme l'indique la nullité du multiplicateur de long terme correspondant (système (24)). Nous pouvons donc représenter sans ambiguïté la dynamique de la durée du travail<fnref n="25" /> :

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 5 : Dynamique de la durée du travail</figcaption></figure>

D'autre part, grâce à sa décision d'élever sans délai son prix relatif au moment du
choc, l'entreprise fait face à une demande perçue plus faible. Ce saut initial du prix
relatif est nécessairement supérieur à la variation de long terme dès lors que σ < 1 et
β ≤ α ≤ 1²⁶. Etant donné que les rendements marginaux de la durée du travail (β)
sont inférieurs à ceux des effectifs (α), la hausse instantanée des heures ne produira
qu'une augmentation limitée de la production. Afin d'équilibrer son offre et sa demande
de biens, l'entreprise a intérêt à exploiter pleinement son pouvoir de monopole ce qui
explique le surajustement de son prix relatif<fnref n="27" />. Nous obtenons alors la dynamique
suivante :

<footnote n="25">²⁵Si l'on prend en compte l'existence d'une durée légale du travail, il est possible de se trouver dans le cas de figure où la durée effectivement travaillée est toujours identique à cette durée légale. Dans une telle situation, la durée du travail reste fixée et ne constitue plus un instrument d'ajustement pour l'entreprise. Seule la variation du prix relatif, qui est décrite ci-dessous, lui permet alors de s'ajuster de façon instantanée.</footnote>

<footnote n="26">²⁶La démonstration est donnée dans l'annexe B.2.</footnote>

<footnote n="27">²⁷Remarquons que dans le cas particulier où les rendements marginaux des heures et des effectifs sont unitaires (α = β = 1), la relation liant les heures au prix d'offre fait apparaître que ce dernier est toujours constant, ce qui signifie que l'ajustement se réalise entièrement par un accroissement des heures.</footnote>
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig. 6 : Dynamique du prix relatif</figcaption></figure>

Du fait du surajustement du prix relatif, la demande instantanée perçue par l'entreprise est plus faible que celle de long terme<fnref n="28" />. L'offre et la demande de biens devant être équilibrées à tout instant, l'évolution de la production, qui résulte par ailleurs des variations des effectifs et de leur durée d'utilisation, suit une dynamique identique à celle de la demande perçue. Elle répond ainsi par un saut immédiat puis croît progressivement jusqu'à son nouveau niveau d'équilibre stationnaire.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Fig. 7 : Dynamique de la production</figcaption></figure>

L'étude de la réponse à un choc de demande individuelle nous a permis d'une part de caractériser le processus d'ajustement suivi par une entreprise et d'autre part, de mettre en évidence l'utilisation par celle-ci de son pouvoir de monopole en situation de concurrence imparfaite. Nous allons maintenant nous intéresser aux conséquences d'un choc de demande agrégée.

## 1.4 Les effets macroéconomiques d'un choc de demande a-grégée

Nous n'avons jusqu'à présent étudié que la réponse d'une entreprise *i* face à un choc de demande individuelle (variation de $\eta_i$). Pour observer son comportement en réponse

<footnote n="28">²⁸Comme l'indique la relation (2), prix et demande perçue sont liés par une relation décroissante.</footnote>
à un choc de demande agrégée (variation de D), nous supposerons que les $η_i$ sont identiques pour toutes les entreprises$^{29}$. Il est nécessaire en premier lieu de caractériser l'économie à l'équilibre symétrique de façon à intégrer la réponse de l'ensemble des entreprises face à ce même choc.

### 1.4.1 L'équilibre symétrique

Les $n$ entreprises en situation de concurrence imparfaite sur le marché des biens étant identiques, chacune d'entre elles adopte à l'équilibre symétrique le même comportement. La demande agrégée (D) pour l'ensemble de l'économie se distribue uniformément entre les différentes entreprises. Nous aurons donc $D_i = \frac{D}{n}$. Toutes les entreprises ayant un comportement similaire de fixation de leur prix d'offre, le niveau général des prix est par conséquent égal à chacun des prix d'offre individuels. En d'autres termes, à l'équilibre symétrique, la relation suivante est toujours vérifiée :

$$p_i = P \quad \forall i = 1, \dots, n \qquad (25)$$

A l'aide de cette égalité et des relations (18) à (22) dans lesquelles la variable $P$ est maintenant déterminée de façon endogène pour l'ensemble de l'économie, nous pouvons déduire l'état stationnaire d'une entreprise à l'équilibre symétrique. Nous avons alors :

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
L_i^* &= \left( \frac{(\alpha-\beta)^\beta}{\beta^\beta A} \frac{D/n}{(v/w)^\beta} \right)^{\frac{1}{\alpha}} \\
E_i^* &= s L_i^* \\
H_i^* &= \frac{\beta}{\alpha-\beta} \left( \frac{v}{w} \right) \\
P^* &= \left( \frac{1}{\sigma \beta^\beta (\alpha-\beta)^{\alpha-\beta} A} \frac{(D/n)^{1-\alpha}}{(v/w)^\beta} \right)^{\frac{1}{\alpha}} v \\
Q_i^* &= \frac{D}{n}
\end{aligned}
\right. 
$$

De plus, les deux équations dynamiques associées à ce modèle sont données par :

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
\dot{L}_i &= \frac{\lambda_i}{a} \\
\dot{\lambda}_i &= r\lambda_i + v - \left(\frac{\alpha}{\beta} - 1\right) \frac{\beta\sigma D}{L_i n}
\end{aligned}
\right. 
$$

Ces deux relations dynamiques nous conduisent à un diagramme de phases respectant la même configuration que celui étudié précédemment (figure 1, section 1.2). Seule l'élasticité de $\lambda_i$ par rapport à $L_i$, qui reste néanmoins toujours négative, est modifiée dans l'équation associée à la courbe $\dot{\lambda}_i = 0$.

Le profil de l'évolution dynamique du système est donc similaire à celui donné par la figure 2 de la section 1.2.

<footnote>$^{29}$Par convention, nous prenons les $η_i$ identiques et égaux à un pour toutes les entreprises.</footnote>
1.4.2 Réponse au choc de demande agrégée

A la date t = 0, les n entreprises font face à un choc favorable de demande agrégée, ΔD > 0, qui se répartit uniformément entre toutes les entreprises. Chaque entreprise agit comme si elle faisait face à un choc de demande individuelle. Cependant, la réaction des n entreprises étant identique à l'équilibre symétrique, la relation (25) reste valable à chaque instant.

Exceptée la nécessité de prendre en compte cette dernière hypothèse, notre raison-
nement concernant l'étude du choc de demande agrégée sera mené dans les mêmes
termes que dans le cas d'un choc individuel.

Les multiplicateurs de court et de long terme, calculés dans l'annexe C, permettent d'observer que la dynamique d'ajustement est semblable à celle obtenue pour un choc de demande individuelle en ce qui concerne les effectifs, le niveau de l'embauche et la durée du travail (figures 3, 4 et 5 de la section 1.3).

L'évolution du niveau général des prix est similaire à celle observée pour le prix d'offre relatif de l'entreprise concernée dans le cas d'un choc de demande individuelle (figure 6). En effet, face au choc de demande agrégée qu'elle perçoit, chaque entreprise cherche à utiliser son pouvoir de monopole et accroît son prix d'offre. Toutes ses concurrentes adoptant le même comportement, cela se répercute sur le niveau général des prix.

Cependant, cette évolution parallèle du prix individuel et du niveau général des prix empêche justement l'entreprise de modifier sa part de marché, contrairement à ce qui se passait dans le cas du choc individuel.

La concurrence monopolistique à l'équilibre symétrique a ainsi pour conséquence
d'entraîner une hausse de tous les prix, suite à une augmentation de la demande a-
grégée, mais laisse néanmoins inchangée les prix relatifs des différentes entreprises. Une
entreprise ne parvient pas à modifier la demande qui lui est adressée malgré la varia-
tion de son prix d'offre. C'est pourquoi, l'évolution de la production (figure 7) suit
intégralement les variations de la demande agrégée : elle 'saute" au moment du choc
pour se placer immédiatement à son nouveau niveau stationnaire.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 7 : Evolution dynamique du niveau de la production</figcaption></figure>

En fin de compte, l'entreprise ne dispose plus que de leviers de réactions pour répondre à un choc de demande agrégée : les effectifs qui ne peuvent s'ajuster que
d'une façon progressive et la durée du travail qui constitue le seul facteur de production parfaitement variable. Par conséquent, la durée du travail supporte à court terme la totalité de l'ajustement nécessaire pour satisfaire la variation de la demande agrégée. Rappelons que dans le cas d'un choc de demande individuelle, l'entreprise disposait de son prix d'offre comme levier supplémentaire.

Ce modèle permet de mettre en avant l'intérêt qu'a une entreprise de recourir à une modification de la durée du travail pour réaliser un ajustement dynamique en réponse à un choc. Toutefois, il peut sembler exagéré de supposer que l'intégralité de l'ajustement soit réalisée à travers les seules variations de la durée du travail. En pratique, la productivité du travail varie le long du cycle d'activité et permet aussi à l'entreprise d'adopter une évolution flexible face aux chocs conjoncturels. Il est donc nécessaire de pouvoir rendre compte d'un tel phénomène. Le modèle plus complet que nous proposons dans la suite intègre cette dernière possibilité.

## 1.5 Conclusion d'étape

Nous venons de voir qu'une entreprise disposait de trois leviers de réactions pour répondre à un choc de demande individuelle : le niveau des effectifs, la durée du travail et son prix d'offre, les effectifs constituant un facteur de production quasi-fixe. Ils ne peuvent s'ajuster par conséquent que d'une manière progressive contrairement à la durée du travail.

L'évolution observée du prix d'offre de l'entreprise nous a permis de dégager le rôle du pouvoir de monopole dont disposent les entreprises en concurrence imparfaite. Néanmoins, une telle évolution ne peut survenir que sous l'hypothèse que l'entreprise se comporte comme si toutes ses concurrentes restaient passives, c'est à dire ne réagissant pas à la modification de son prix d'offre. Une telle hypothèse peut cependant paraître restrictive, puisque dans le cas de la concurrence monopolistique, chaque entreprise ne reste pas indifférente aux décisions des autres.

Dans cette optique, nous nous sommes intéressés aux conséquences d'un choc de demande agrégée. Toutes les entreprises de l'économie sont alors affectées par le même choc et adoptent un comportement identique. L'étude de ce choc montre que le prix d'offre individuel ne peut plus être utilisé par l'entreprise comme instrument d'ajustement efficace. Elle ne dispose plus que des effectifs et de la durée du travail (supposée approximer le degré d'utilisation des effectifs) pour s'adapter aux modifications de l'environnement économique.

Ainsi, si l'économie est dans une phase de relance, les entreprises s'ajustent d'une façon instantanée en faisant varier le niveau de la durée du travail, puis d'une façon progressive le niveau des effectifs. Une telle conclusion semble cohérente avec l'observation que les heures s'ajustent effectivement plus rapidement que le nombre de travailleurs. Néanmoins, elle s'avère abusive, car il faudrait supposer que la durée du travail puisse être gérée au jour le jour, c'est à dire qu'elle constitue un facteur de production parfaitement et totalement flexible. Or, différentes contraintes pèsent sur les entreprises en matière de temps de travail (délais préalablement convenus pour la mise en place des heures supplémentaires, retards liés à une modification éventuelle de l'organisation du travail...).
Par conséquent, dans un second modèle, nous supposerons l'existence de coûts d'ajustement sur la durée du travail. C'est alors le taux d'utilisation de la main-d'oeuvre comme deuxième composante du degré d'utilisation des effectifs qui sera traité comme un facteur de production parfaitement variable.

## 2 Dynamique d'ajustement et taux d'utilisation du travail

Contrairement au modèle précédent, nous allons tenir compte dans cette seconde partie du fait que la durée du travail ne peut plus être considérée comme un facteur de production parfaitement variable. Le choix d'une telle hypothèse repose principalement sur une conclusion couramment obtenue dans les estimations de demandes de facteurs. Celles-ci semblent indiquer que le délai d'ajustement du travail (de l'ordre de quelques trimestres) est plus élevé que celui de la durée du travail qui néanmoins s'avère non négligeable (de l'ordre du trimestre). Toutefois, la fragilité reconnue des données disponibles pour la durée du travail, mesurant mal le recours conjoncturel aux heures supplémentaires individuelles, peut laisser penser que cette variable s'ajuste en réalité un peu plus rapidement. Cependant, des délais réglementaires, administratifs ou d'organisation interne de l'entreprise doivent être respectées lors du recours aux heures supplémentaires. Ils sont encore plus importants dans le cas du chômage partiel. Cela justifie alors l'introduction dans notre modélisation de coûts d'ajustement pour la durée du travail, certes moins importants que pour les effectifs.

Par ailleurs, nous nous proposons de modéliser le degré d'utilisation des effectifs non plus à partir de la seule durée du travail, mais en y intégrant de plus, le concept de taux d'utilisation de la main-d'oeuvre.

De ce fait, l'objet même de cette partie est de décrire le comportement d'ajustement d'une entreprise en réponse à une modification de son environnement économique lorsque d'une part, il existe des coûts d'ajustement sur la durée du travail et d'autre part, elle a à sa disposition un nouveau facteur de production parfaitement variable, le taux d'utilisation de sa main-d'oeuvre. Après avoir dans un premier temps brièvement discuté de la notion de taux d'utilisation de la main-d'oeuvre, nous explicitons et résolvons notre modèle. Nous calculons ensuite l'état stationnaire et la trajectoire convergente qui y sont associés. Finalement, une dernière section est consacrée à l'étude de la réponse d'une entreprise à un choc de demande agrégée.

### 2.1 Le concept de taux d'utilisation de la main-d'oeuvre

Nous avons jusqu'à présent supposé que l'entreprise ne pouvait ajuster les services producteurs du travail que par l'intermédiaire des effectifs ou de la durée du travail. Une composante supplémentaire de ces services producteurs est donnée par l'intensité d'utilisation de la main-d'oeuvre ou encore taux d'utilisation. Cette notion mesure les cadences de production ou encore l'effort productif des salariés. Dans la mesure où toutes les heures de travail rémunérées par l'entreprise ne sont pas équivalentes en termes d'efficacité productive, cela permet d'intégrer le phénomène de "thésauri-
sation de la main-d'oeuvre”<fnref n="30" /> : une partie de la main-d'oeuvre d'une entreprise serait
rémunérée pour des heures pas totalement productives.

Dans une perspective keynésienne, l'évolution du taux d'utilisation de la main-d'oeuvre le long du cycle d'activité permet à l'entreprise de s'ajuster face aux variations de la demande qui lui est adressée. Un effort accru est en effet demandé aux salariés lors des périodes de reprise de l'activité et, inversement, un relâchement de cet effort est observé pendant les périodes de freinage. Cela justifie donc une évolution procyclique de la productivité apparente du travail comme des heures travaillées, telle qu'elle est observée empiriquement. Une variable de taux d'utilisation du travail ou d'effort productif est ainsi avancée aussi bien dans des modélisations de l'offre productive (Cette, Cueva, Taddei et Timbeau [1991]) que dans les analyses de la productivité de travail (Péléraux [1994]b) ou dans des modèles de type cycle réel (Burnside, Eichenbaum et Rebelo [1990], Fairise, Hénin et Langot [1992]), afin de modéliser le cycle de productivité du travail.

Nous nous proposons ici d'intégrer, outre les effectifs et la durée du travail, cette
notion d'effort productif à travers une mesure du taux d'utilisation de la main-d'oeuvre.
Il faut pour cela préciser les justifications empiriques d'une telle notion, ainsi que les
moyens de la mesurer et les coûts qui lui sont éventuellement associés.

A partir de résultats d'enquête auprès d'entreprises américaines sur la période 1981-1982, Fay et Medoff [1985] évaluent à 8% les heures de travail qui, tout en étant peu efficaces ou inefficaces d'un point de vue productif, demeurent rémunérées par l'entreprise lors d'une période de freinage de l'activité. Une moitié de ces heures correspondrait à des tâches non directement productives (maintenance, réparation...) auxquelles sont affectés les salariés pendant ces périodes, et l'autre moitié au phénomène de thésaurisation de la main-d'oeuvre proprement dit.

En fait, au même titre que Hart [1991], il semble plus pertinent de raisonner en
termes d'efficacité productive des heures travaillées plutôt que de durée du travail pour
mesurer le degré d'utilisation de la main-d'oeuvre. Il est en effet possible de distinguer
les heures de travail rémunérées par l'entreprise des heures effectivement travaillées.
Comme le signale cet auteur :

[...] un autre problème conceptuel de base [...] concerne la distinction entre les heures de travail mesurées, telles qu'elles sont fournies par les bases de données, et les heures effectivement travaillées. Les premières représentent généralement le nombre total d'heures par période pour lesquelles l'employeur a des obligations salariales directes. Souvent, elles sont appelées dans la littérature, heures de travail rémunérées. Pour nombre de raisons diverses, les heures de travail mesurées sont invariablement plus importantes que les heures de travail effectives. Certaines heures rémunérées sont improductives; nous pouvons ici inclure les arrêts maladie, les arrêts de travail préalablement convenus et d'autres temps "morts". D'autres heures rémunérées ne sont productives que de manière indirecte. Par exemple, les délais de mise en marche, pourtant essentiels pour l'activité productive, ne comprennent pas des heures de travail qui accroissent directement la pro-

<footnote n="30">³⁰Ce que l'on appelle d'une façon plus courante, le “labor hoarding”.</footnote>
duction physique de biens ou de services... Or, ce sont les heures de travail effectives qui ont le plus d'intérêt pour l'analyse. En conséquence, les implications de l'écart entre heures mesurées et effectives sont, nécessairement, d'une considération importante. (Hart [1991], p.61)

Qu'est-ce qui justifie l'existence de cet écart entre heures rémunérées et heures efficaces ? Hart [1991] avance quatre types d'explications : le paiement des jours chômés payés ; les arrêts de production préalablement convenus (temps de pause, délais d'installation, nettoyage...) ; les contraintes techniques liées aux équipements (délais de mise en marche ou de maintenance) ; enfin, le phénomène de thésaurisation de la main-d'oeuvre.

Les deux premières explications concernent essentiellement des arrêts prévus et convenus. On peut penser que leur importance est relativement constante au cours du temps et que dans tous les cas, l'entreprise ne peut pas avoir réellement une influence en termes de marge de manoeuvre conjoncturelle sur ces phénomènes afin de réduire l'écart constaté entre heures rémunérées et effectives. La troisième explication concerne en bonne partie, des temps non directement productifs et "subis" par l'entreprise pour des raisons techniques. Cependant, elle peut disposer d'une certaine possibilité d'ajustement temporaire dans la mesure où certaines de ces tâches peuvent être réalisées en priorité lors des périodes où la demande de biens finis diminue et au contraire être retardées temporairement lors des phases de reprise. Enfin, la dernière raison avancée par Hart [1991] représente la possibilité qu'a une entreprise d'imposer des cadences de travail plus ou moins importantes en fonction de la situation conjoncturelle.

La notion de taux d'utilisation de la main-d'oeuvre est en fait déjà présente, dès les années soixante dans les travaux de Holt, Modigliani, Muth et Simon [1960]. Ces derniers définissent en effet, le degré d'utilisation du travail par le nombre d'heures productives par travailleur et par période. Cette dernière variable est construite comme une fonction du nombre de travailleurs affectés à la production, du nombre d'heures individuelles de travail par période et de l'intensité du travail de chacun des travailleurs. De telles hypothèses leur permettent de déduire un taux d'utilisation mesuré comme le rapport du nombre d'heures productives par travailleur et par période sur le nombre normal d'heures productives.

En France, une mesure de ce taux d'utilisation peut être construite à partir de l'enquête de conjoncture trimestrielle de l'INSEE auprès des entreprises. Cette dernière inclut une question portant sur les "marges de production disponibles sans embauche", autrement dit l'accroissement de production que l'entreprise estime pouvoir réaliser, sans avoir recours à des embauches supplémentaires. Cette information est imprécise dans la mesure où l'entreprise pourrait éventuellement envisager une augmentation importante de la durée du travail ou une modification de l'organisation du travail. Cependant, une enquête de la Banque de France est beaucoup plus précise sur ce point. La comparaison de ces deux enquêtes (Heyer [1991]), semble montrer que les réponses fournies à l'INSEE se font implicitement à durée et à organisation du travail inchangées. Il est alors possible de construire à partir de ces marges de capacité un "taux d'utilisation sans embauche", qui correspond à la notion de sur-effectifs ou de thésaurisation des heures de travail.

Il est remarqué de plus que ce taux constitue un bon indicateur de la conjonc-
ture (e.g. Adda et Sigogne [1993]). Le caractère procyclique de la productivité des heures travaillées serait donc expliqué par la procyclicité de l'intensité d'utilisation de la main d'oeuvre, mesurée par le taux d'utilisation. En effet, comme le souligne Péléraux [1994]a :

> Du fait de l'évolution des degrés d'utilisation des effectifs présents dans les entreprises, le nombre d'emplois constitue une mesure biaisée de la quantité de travail engagée dans la production. Pour cette raison, le calcul consistant à rapporter la production au nombre d'emplois brut fournit une image déformée de la productivité; son profil véritable peut néanmoins être mis en évidence en prenant en compte les degrés d'utilisation du travail. On passe ainsi du concept d'emploi à la notion d'heure efficace d'activité, en appliquant aux effectifs employés, d'abord la durée hebdomadaire moyenne du travail [...] mais aussi le taux d'utilisation de la main-d'oeuvre.

Les variations apparemment heurtées de la productivité du travail par tête devient alors beaucoup plus lissées et suivent une tendance exponentielle assez régulière.

Enfin, il est nécessaire de jusitifer les raisons pour lesquelles l'entreprise ne cherche pas à avoir, en permanence, un taux maximal d'utilisation de la main d'oeuvre (c'est à dire égal à 100%). Un premier argument consiste à observer que les coûts salariaux de l'entreprise augmentent avec l'intensité d'utilisation du travail. Si l'entreprise décide d'assurer sa production à l'aide d'un taux d'utilisation élevé, il faudra probablement qu'elle verse des primes au rendement ou autres rémunérations non pécuniaires à ses salariés afin que ces derniers acceptent une intensité de travail élevée. De plus, un taux d'utilisation important signifie un accroissement des cadences de production. Par conséquent, l'entreprise peut de trouver face à un taux particulièrement important de rebuts ou encore d'articles défectueux. Autrement dit, un effort exceptionnel peut être fourni de façon transitoire par les salariés, mais il ne peut être maintenu durablement sans coût.

Une seconde analyse peut être avancée en termes de coûts d'opportunité. D'une part, si l'entreprise observe une récession conjoncturelle temporaire, elle a tout intérêt à rémunérer des heures "improductives" plutôt que de licencier une partie de sa main-d'oeuvre. Un tel comportement lui permet de conserver ses travailleurs, qui ont acquis un savoir-faire spécifique à l'entreprise. Nous retrouvons ici la notion de capital humain. D'autre part, si le taux d'utilisation n'est pas trop élevé, l'entreprise sera en mesure d'agir instantanément sur ce levier de réaction. Elle dispose ainsi d'une flexibilité accrue à court terme pour acquérir éventuellement de nouvelles parts de marché.

Le modèle que nous présentons ci-après distingue en fin de compte, à l'intérieur des services producteurs du travail, le stock d'effectifs, ainsi que son degré d'utilisation, mesuré aussi bien par la durée du travail que par le taux d'utilisation de la main-d'oeuvre. Ces deux variables au même titre que les effectifs sont traitées comme des facteurs de production à part entière et sont supposées engendrer des coûts. De plus, des coûts d'ajustement sont postulés pour les effectifs et pour la durée du travail.
## 2.2 Le modèle avec taux d'utilisation du travail

Tout comme dans le cadre de référence précédent, nous développons dans ce qui suit un modèle à l'équilibre partiel. Les principales différences concernent l'introduction de coûts d'ajustement sur la durée du travail et le taux d'utilisation de la main-d'oeuvre.

### 2.2.1 Les hypothèses

L'économie étudiée est composée de n entreprises en concurrence monopolistique sur le marché des biens et qui agissent de manière concurrentielle sur le marché du travail.

De ce fait, chaque entreprise fait face à une fonction de demande de biens identique à celle de notre modèle de référence <fnref n="31" /> :

$$Q_i(t) = \frac{D(t)}{n} \left( \frac{p_i(t)}{P(t)} \right)^{-\epsilon} \quad \text{avec } \epsilon > 1 \qquad (26)$$

* Nous supposons que chaque entreprise assure sa production à l'aide de trois facteurs : les effectifs ($L_i$), la durée du travail ($H_i$) et le taux d'utilisation de la main-d'oeuvre, noté $TU_i$. La fonction de production s'écrit alors :

$$Q_i(t) = F(L_i(t), H_i(t), TU_i(t)) = AL_i(t)^\alpha H_i(t)^\beta TU_i(t)^\gamma \quad (27)$$

avec : $\alpha, \beta, \gamma \in [0, 1]$.

Les rendements marginaux des effectifs, de leur durée et du taux d'utilisation sont supposés décroissants.

* La fonction de coût total de l'emploi s'écrit de la manière suivante :

$$C(L_i(t), H_i(t), TU_i(t)) = (v_1 + wH_i(t) + v_2H_i(t)TU_i(t)) L_i(t) \quad (28)$$

avec $v_1$, $w$ et $v_2$ constants et exogènes. $v_1$ et $w$ correspondent aux paramètres $v$ et $w$ du modèle précédent : le premier représentant les coûts par tête du travail et le second, le salaire horaire.

Finalement, le paramètre $v_2$ s'assimile aux coûts associés au taux d'utilisation du travail que nous avons détaillés dans la section précédente. Ce terme dépend du taux d'utilisation de la main-d'oeuvre mais aussi des effectifs et de la durée du travail. En effet, un accroissement de l'intensité d'utilisation peut correspondre aussi bien à une augmentation de la productivité de certains salariés qu'à une diminution des "heures improductives" en général.

* L'équation d'évolution de l'emploi reste inchangée par rapport au cadre de référence :

$$\dot{L}_i(t) = E_i(t) - sL_i(t) \qquad (29)$$

<footnote n="31">³¹La seule différence repose sur l'hypothèse qu'il n'existe plus de choc de demande spécifique à l'entreprise car nous nous limitons aux conséquences d'un choc de demande agrégée.</footnote>
où, rappelons-le, $E_i(t)$ et $s$ sont respectivement le niveau de l'embauche et le taux de rotation exogène de la main-d'oeuvre. Puisqu'il existe un délai d'ajustement pour modifier la durée du travail, nous supposons que la relation décrivant l'évolution de cette variable est donnée par :

$$ \dot{H}_i(t) = h_i(t) \qquad (30) $$

La fonction $h_i(t)$ qui représente la variation de la durée du travail<fnref n="32" /> peut s'interpréter de la façon suivante : l'entreprise peut décider instantanément de modifier la durée d'utilisation de ses effectifs, mais cette décision ne se répercutera qu'avec retard sur le niveau de la durée effective de travail.

* Chaque entreprise subit des coûts d'ajustement toutes les fois qu'elle modifie ses effectifs et la durée du travail. Nous avons donc, en supposant une fonction de coûts d'ajustement additivement séparable :

$$ CA(\dot{L}_i(t), \dot{H}_i(t)) = CA(E_i(t), L_i(t), h_i(t)) = \frac{1}{2} a \dot{L}_i(t)^2 + \frac{1}{2} b \dot{H}_i(t)^2 \quad (31) $$

avec $a, b > 0$.

Un ajustement plus rapide de la durée du travail que des effectifs sera exprimé par $b < a$, $-i.e.$ que un degré de quasi-fixité des effectifs plus élevé que celui de la durée du travail.

L'hypothèse retenue pour cette fonction de coûts d'ajustement s'assimile à celle généralement utilisée dans des modèles prenant en compte le capital et l'emploi comme facteurs de production quasi-fixes. Néanmoins, il est fréquent de rencontrer dans ces derniers un terme de coûts d'ajustement croisés<fnref n="33" /> que nous n'avons pas modélisé ici. Dans notre contexte, la modélisation d'un terme de coûts croisés entre les effectifs et leur durée d'utilisation reviendrait à supposer qu'une modification de cette dernière serait moins coûteuse à mettre en oeuvre si elle s'accompagnait d'une variation concomitante des effectifs. Cet argument ne pourrait être discuté correctement que si l'on s'intéressait aux modifications de l'organisation du travail, aspect que nous laissons volontairement de côté. En effet, notre modèle suppose implicitement que ni le capital ni ses services producteurs ne varient, ce qui implique que l'organisation du travail reste inchangée.

Les nouvelles hypothèses étant précisées, nous sommes maintenant en mesure d'écrire le programme de l'entreprise représentative, puis d'en effectuer sa résolution.

### 2.2.2 Le programme de l'entreprise et sa résolution

L'entreprise étant neutre au risque et formulant des anticipations parfaites, nous pouvons alors écrire le programme de maximisation intertemporelle de ses profits actualisés :

$$ \max_{E_i(t), h_i(t), TU_i(t)} \int_0^\infty e^{-\Phi(t)} \{ R(L_i(t), H_i(t), TU_i(t)) - C(L_i(t), H_i(t), TU_i(t)) \\ \qquad - CA(E_i(t), L_i(t), h_i(t)) \} dt $$

<footnote n="32">³²Pour une formulation identique, voir Assouline [1993].</footnote>

<footnote n="33">³³Pour des exemples, voir Nadiri et Rosen [1969], Pouchain [1980], Fairise [1993]...</footnote>
$$
\text{s.c.} \quad \begin{cases} \dot{L}_i(t) = E_i(t) - sL_i(t) & (\lambda_{1i}(t)) \\ \dot{H}_i(t) = h_i(t) & (\lambda_{2i}(t)) \end{cases}
$$

pour $L_i(0)$ et $H_i(0)$ donnés et $\Phi(t) = \int_0^t r(\tau) d\tau$ le taux d'actualisation. Comme précédemment, nous supposons les contraintes de non négativité des facteurs de production toujours vérifiées.

$\lambda_{1i}(t)$ et $\lambda_{2i}(t)$ représentent respectivement le prix implicite du travail et de sa durée d'utilisation. La fonction revenu $R(L_i(t), H_i(t), TU_i(t))$ est calculée à partir des relations (26) et (27). $E_i(t)$, $h_i(t)$ et $TU_i(t)$ sont donc les variables de contrôle tandis que $L_i(t)$ et $H_i(t)$ sont les variables d'état du problème.

Sous l'hypothèse que l'entreprise prenne comme données le salaire nonimal et le niveau général des prix, le hamiltonien associé à ce problème s'écrit :

$$
\begin{align}
\mathcal{H} ={}& R(L_i(t), H_i(t), TU_i(t)) - C(L_i(t), H_i(t), TU_i(t)) \nonumber \\
& - CA(E_i(t), L_i(t), h_i(t)) + \lambda_{1i}(t)(E_i(t) - sL_i(t)) \tag{32} \\
& + \lambda_{2i}(t)(h_i(t)) \nonumber
\end{align}
$$

avec $\mathcal{H} = \mathcal{H}(L_i(t), H_i(t), TU_i(t), E_i(t), h_i(t), \lambda_{1i}(t), \lambda_{2i}(t))$. Les conditions d'optima-
lité suivantes sont alors obtenues :

$$
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial E_i(t)} = -C A_{E_i(t)} + \lambda_{1i}(t) = 0 \quad (33)
$$

$$
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial h_i(t)} = -C A_{h_i(t)} + \lambda_{2i}(t) = 0 \quad (34)
$$

$$
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial TU_i(t)} = R_{TU_i(t)} - C_{TU_i(t)} = 0 \quad (35)
$$

$$
\dot{\lambda}_{1i}(t) = r(t)\lambda_{1i}(t) - R_{L_i(t)} + C_{L_i(t)} + CA_{L_i(t)} + s\lambda_{1i}(t) \quad (36)
$$

$$
\dot{\lambda}_{2i}(t) = r(t)\lambda_{2i}(t) - R_{H_i(t)} + C_{H_i(t)} \quad (37)
$$

avec bien entendu les conditions de transversalité suivantes :

$$
\lim_{t \to \infty} e^{-\Phi(t)} \lambda_{1i}(t) L_i(t) = 0
$$

$$
\lim_{t \to \infty} e^{-\Phi(t)} \lambda_{2i}(t) H_i(t) = 0
$$

Les équations d'évolution des effectifs et de leur durée d'utilisation restent de plus
toujours vérifiées.

Nous pouvons remarquer que les relations (33) et (36) sont identiques à celles du
modèle précédent (relations (7) et (9)) : elles conservent donc la même interprétation.
L'équation (34) exprime quant à elle le fait que le prix implicite de la durée du travail
égalise le coût lié à un ajustement à la marge grâce à une variation de cette durée. La
relation (35) signifie que si l'entreprise évolue le long de sa trajectoire optimale, les gains
obtenus par une augmentation à la marge du taux d'utilisation de la main-d'oeuvre
sont égaux aux coûts marginaux associés à ce facteur de production. Finalement, nous
déduisons de la relation (37) que le “coût d’usage de la durée du travail”<fnref n="34" /> égalise le revenu marginal net de ce facteur.

En utilisant nos différentes hypothèses, les conditions d'optimalité se réécrivent<fnref n="35" /> :

$$ \lambda_{1i} = a(E_i - sL_i) = a\dot{L}_i \quad (38) $$

$$ \lambda_{2i} = bh_i = b\dot{H}_i \quad (39) $$

$$ \sigma\gamma P \frac{D^{1-\sigma}}{n} A^{\sigma} L_{i}^{\alpha\sigma-1} H_{i}^{\beta\sigma-1} T U_{i}^{\gamma\sigma-1} = v_{2} \quad (40) $$

$$ \dot{\lambda}_{1i} = r\lambda_{1i} - \alpha\sigma P \frac{D^{1-\sigma}}{n} A^{\sigma} L_{i}^{\alpha\sigma-1} H_{i}^{\beta\sigma} T U_{i}^{\gamma\sigma} + v_{1} + wH_{i} + v_{2}H_{i}TU_{i} \quad (41) $$

$$ \dot{\lambda}_{2i} = r\lambda_{2i} - \beta\sigma P \frac{D^{1-\sigma}}{n} A^{\sigma} L_{i}^{\alpha\sigma} H_{i}^{\beta\sigma-1} T U_{i}^{\gamma\sigma} + wL_{i} + v_{2}L_{i}TU_{i} \quad (42) $$

avec les conditions de transversalité et les deux équations d'évolution inchangées.

En intégrant la relation (40) dans les conditions (41) et (42) et en simplifiant nos calculs, ces deux dernières peuvent se réécrire de la manière suivante :

$$ \dot{\lambda}_{1i} = r\lambda_{1i} - \left(\frac{\alpha}{\gamma} - 1\right) v_2 H_i T U_i + v_1 + w H_i \quad (43) $$

$$ \dot{\lambda}_{2i} = r\lambda_{2i} - \left(\frac{\beta}{\gamma} - 1\right) v_2 L_i T U_i + w L_i \quad (44) $$

Par conséquent, à partir de ces différentes conditions d'optimalité nous sommes en mesure d'analyser la dynamique de notre économie.

## 2.3 Equilibre stationnaire et trajectoire optimale

Tout comme nous l'avons réalisé pour notre cadre de référence, nous nous intéressons maintenant au comportement dynamique de l'entreprise représentative. Pour ce faire, nous calculons dans un premier temps, l'équilibre stationnaire puis dans un second temps la trajectoire optimale qui assure la convergence vers cet état stationnaire. Néanmoins, puisque nous ne nous préoccupons dans la suite que de la réponse à un choc de demande agrégée<fnref n="36" />, nous nous situons directement à l'équilibre symétrique de notre économie.

<footnote n="34">³⁴Nous reprenons ici le terme de coût d'usage, représenté par $(r(t) - \frac{\dot{\lambda}_{2i}(t)}{\lambda_{2i}(t)}) \lambda_{2i}(t)$ pour garder une cohérence dans nos interprétations des différentes conditions d'optimalité.</footnote>

<footnote n="35">³⁵Afin d'alléger nos notations, l'indice temporel est négligé.</footnote>

<footnote n="36">³⁶Nous ne reproduisons pas ici les conclusions liées à un choc de demande individuelle. Les différences entre les deux types de choc, mises en avant dans le cadre de référence, restent valables dans ce nouveau contexte.</footnote>
### 2.3.1 Equilibre symétrique et équilibre stationnaire

L'économie est constituée de n entreprises en concurrence monopolistique qui sont identiques : elles adoptent donc toutes le même comportement. Nous avons déjà vu qu'une telle hypothèse implique que chaque entreprise détermine entre autres le même niveau de prix d'offre. Nous avons par conséquent à l'équilibre symétrique, toujours $\frac{p_i}{P} = 1 \quad \forall i = 1, ..., n$.

Les relations $\dot{L}_i = 0$, $\dot{H}_i = 0$, $\dot{\lambda}_{1i} = 0$ et $\dot{\lambda}_{2i} = 0$ nous permettent de définir l'équilibre de long terme de notre modèle. Nous avons ainsi le système suivant :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l}
\lambda_{1i} = 0 \\
\lambda_{2i} = 0 \\
v_1 + wH_i - \left(\frac{\alpha}{\gamma} - 1\right)v_2H_iTU_i = 0 \\
wL_i - \left(\frac{\beta}{\gamma} - 1\right)v_2L_iTU_i = 0
\end{array}
\right.
\qquad (45) $$

Un tel système a une solution admissible (avec $TU_i \ge 0$, $H_i \ge 0$) seulement si :

$$ \alpha \ge \beta \ge \gamma $$

Ces deux conditions sont cohérentes avec l'hypothèse retenue pour la fonction de coût total du travail (relation (28)). En effet, la durée du travail y est associée au coût $w$ et au coût $v_2$, tandis que le taux d'utilisation n'est affecté dans cette modélisation que par le terme $v_2$. Par conséquent, il semble cohérent d'imposer qu'une durée d'utilisation des effectifs plus importante soit plus productive qu'une augmentaton du taux d'utilisation, ce qui revient à observer des rendements marginaux de la durée du travail supérieurs à ceux du taux d'utilisation de la main-d'oeuvre : $\beta \ge \gamma$. Le même raisonnement s'applique pour justifier le fait que nous contraignons les rendements marginaux des effectifs à être supérieurs à ceux de leur taux d'utilisation : $\alpha \ge \gamma$.

Le système (45) précédent nous fournit les valeurs stationnaires des différentes variables à l'équilibre symétrique. Ainsi, à partir de la dernière relation, nous en déduisons la valeur d'équilibre du taux d'utilisation de la main-d'oeuvre, ce qui nous permet d'obtenir directement celle de la durée du travail.

En utilisant ensuite les relations (26) et (27) à l'équilibre symétrique, la condition $p_i = P$ étant donc toujours vérifiée, la valeur d'équilibre des effectifs est obtenue. De ce fait, connaissant ces trois équations, nous sommes en mesure de dériver les niveaux d'embauche, de la production et du niveau général des prix à l'équilibre stationnaire.

$$ TU_i^* = \frac{\gamma}{\beta - \gamma} \frac{w}{v_2} \qquad (46) $$

$$ H_i^* = \frac{\beta - \gamma v_1}{\alpha - \beta w} \qquad (47) $$

$$ h_i^* = 0 \qquad (48) $$
$$L_i^* = \left( \frac{(\alpha - \beta)^\beta}{(\beta - \gamma)^{\beta-\gamma}\gamma^\gamma} A \frac{D}{n} \left(\frac{w}{v_1}\right)^\beta \left(\frac{v_2}{w}\right)^\gamma \right)^{\frac{1}{\alpha}} \quad (49)$$

$$E_i^* = sL_i^* \qquad (50)$$

$$P^* = v_1 \left( \frac{1}{A\sigma(\alpha - \beta)^{\alpha-\beta}(\beta - \gamma)^{\beta-\gamma}\gamma^\gamma} \frac{D^{1-\alpha}}{n} \left(\frac{w}{v_1}\right)^\beta \left(\frac{v_2}{w}\right)^\gamma \right)^{\frac{1}{\alpha}} \quad (51)$$

$$Q_i^* = \frac{D}{n} \qquad (52)$$

### 2.3.2 Trajectoire optimale

S'il était possible dans le contexte de notre cadre de référence de représenter la dynamique de l'économie à partir d'un diagramme de phases, cela n'est plus le cas dans la situation présente. En effet, auparavant, le modèle ne possédait qu'une seule variable d'état, les effectifs. Notre nouveau modèle en intègrant deux, les effectifs et leur durée d'utilisation, il faudrait pouvoir représenter la dynamique étudiée dans un espace à quatre dimensions.

La trajectoire optimale, si elle existe, assure la convergence vers l'équilibre stationnaire. Les évolutions dynamiques des effectifs, de leur durée d'utilisation et de leurs prix implicites respectifs, sont alors représentées par les hyperplans $\dot{L}_i(t) = 0$, $\dot{H}_i(t) = 0$, $\dot{\lambda}_{1i}(t) = 0$ et $\dot{\lambda}_{2i}(t) = 0$.

En remplaçant par ailleurs, $TU_i$ par sa valeur à l'équilibre symétrique<fnref n="37" />, nous obtenons dans l'espace $(L_i, H_i, \lambda_{1i}, \lambda_{2i})$, les quatre hyperplans suivants :

$$\left\{
\begin{array}{l}
\lambda_{1i} = 0 \\
\\
\lambda_{2i} = 0 \\
\\
r\lambda_{1i} = v_1 + wH_i - \frac{\alpha-\gamma}{\gamma}v_2 \left(\frac{D}{nA}\right)^{\frac{1}{\gamma}} L_i^{-\frac{\alpha}{\gamma}} H_i^{-\frac{\beta-\gamma}{\gamma}} \\
\\
r\lambda_{2i} = wL_i - \frac{\beta-\gamma}{\gamma}v_2 \left(\frac{D}{nA}\right)^{\frac{1}{\gamma}} L_i^{-\frac{\alpha-\gamma}{\gamma}} H_i^{-\frac{\beta}{\gamma}}
\end{array}
\right.
\qquad (53)$$

Remarquons que ces équations sont de même nature que celles du système (23) du modèle précédent. L'équilibre stationnaire serait situé, s'il était possible de représenter graphiquement ce système, à l'intersection des quatres hyperplans correspondants.

En l'absence d'une représentation graphique, une démarche analytique dont les calculs sont fournis dans l'annexe D permet de démontrer l'existence d'une configuration point selle et par conséquent celle d'une unique trajectoire optimale.

$$TU_i = \frac{D^{\frac{1}{\gamma}}}{nA} L_i^{-\frac{\alpha}{\gamma}} H_i^{-\frac{\beta}{\gamma}}$$

<footnote n="37">³⁷A partir des relations (26), (27) et $p_i = P$, nous obtenons pour $TU_i$ :</footnote>
Sachant qu'il existe une trajectoire qui assure la convergence vers l'état stationnaire, nous nous intéressons maintenant à la réponse d'une entreprise représentative à un choc de demande agrégée.

## 2.4 Réponse à un choc de demande agrégée

Nous supposons qu'à la date $t = 0$, l'économie subit un choc de demande favorable, $\Delta D > 0$, avec $D$ la demande agrégée. Puisque la demande est supposée uniformément distribuée entre les $n$ entreprises de cette économie, chacune d'entre elles répond à cette pertubation de manière identique. Nous allons nous intéresser ici au comportement de l'entreprise représentative, en supposant qu'à la date du choc, elle se trouve à son équilibre stationnaire, défini par les relations (46) à (52).

L'intérêt de cette section est de comprendre tout particulièrement le rôle joué par le taux d'utilisation de la main-d'oeuvre en tant que levier de réaction face à une modification de l'environnement économique de l'entreprise.

Dans un premier temps, nous analysons les conséquences à long terme du choc de demande en étudiant le nouvel état stationnaire de l'économie. Puis, dans un second temps, nous nous intéressons à la stratégie adoptée par l'entreprise pour converger vers ce nouvel état, c'est à dire à l'évolution dynamique des différentes variables d'intérêt.

### 2.4.1 Le nouvel équilibre stationnaire

A la date $t = 0$, l'entreprise est à son équilibre stationnaire initial, noté $A$, caractérisé par des niveaux optimaux des effectifs ($L_{iA}^*$), de la durée du travail ($H_{iA}^*$), du taux d'utilisation de la main-d'oeuvre ($TU_{iA}^*$), de l'embauche ($E_{iA}^*$), du niveau général des prix ($P_A^*$) et de la production ($Q_{iA}^*$).

Les conséquences de long terme du choc de demande sont immédiates et s'analysent à partir du calcul des multiplicateurs de long terme. Ces derniers se déduisent des équations (46) à (52). Nous avons ainsi :

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
\frac{\delta TU_i^*}{\delta D} &= 0 \\
\frac{\delta H_i^*}{\delta D} &= 0 \\
\frac{\delta L_i^*}{\delta D} &= \frac{1}{\alpha} \frac{L_i^*}{D} \\
\frac{\delta E_i^*}{\delta D} &= \frac{1}{\alpha} \frac{E_i^*}{D} \\
\frac{\delta P_i^*}{\delta D} &= \left( \frac{1}{\alpha} - 1 \right) \frac{P_i^*}{D} \\
\frac{\delta Q_i^*}{\delta D} &= \frac{Q_i^*}{D}
\end{aligned}
\right. 
\qquad (54) $$

De nouveau, l'entreprise représentative répond au choc de demande en jouant aussi bien sur les prix que sur les quantités, l'effet de long terme sur les prix d'offre transitant toujours par les variations du niveau général des prix. En effet, à l'équilibre symétrique, chaque entreprise s'ajuste par les prix en augmentant son prix individuel. Mais puisque
toutes les entreprises agissent de même, les prix relatifs restent inchangés. Par contre, le niveau général des prix s'élève.

Finalement, le nouvel équilibre stationnaire (noté *B*) est caractérisé par des niveaux d'emploi, d'embauche et de production plus élevés, accompagnés d'une augmentation du niveau général des prix et de niveaux inchangés de la durée d'utilisation du travail et du taux d'utilisation de la main-d'oeuvre : $L_{iB}^* > L_{iA}^*, E_{iB}^* > E_{iA}^*, Q_{iB}^* > Q_{iA}^*, P_B^* > P_A^*, H_{iB}^* = H_{iA}^*$ et $TU_{iB}^* = TU_{iA}^*$.

A l'exception de l'intervention du taux d'utilisation de la main-d'oeuvre, les résultats de long terme obtenus ici traduisent un comportement de l'entreprise représentative identique à celui du modèle de référence.

En effet, nous retrouvons de nouveau une influence nulle de la demande sur le niveau stationnaire de la durée du travail. Il en est de même pour le taux d'utilisation de la main-d'oeuvre. Un tel résultat traduit bien le comportement d'une entreprise en réponse à un choc permanent de demande : pour ajuster sa production, l'entreprise modifie de façon définitive le niveau de ses effectifs (c'est à dire son stock de travail) en ne jouant que de manière temporaire sur leurs degrés d'utilisation (durée et taux).

## 2.4.2 Le processus d'ajustement

Le comportement de long terme de l'entreprise représentative, en réponse au choc de demande agrégée, se traduit par une modification de l'état stationnaire (passage de *A* à *B*). Il faut donc comprendre quelles décisions instantanées elle adopte pour s'ajuster vers son nouvel état stationnaire. En d'autres termes, nous cherchons ici à retrouver les différentes phases du processus d'ajustement mises en évidence dans le modèle précédent, *-i.e.* le saut qui permet d'atteindre la nouvelle trajectoire optimale (passage de *A* vers *A'* et la convergence vers l'équilibre de long terme (passage de *A'* vers *B*).

Le comportement de l'entreprise est conditionnel au fait que les effectifs et la durée du travail sont des facteurs de production quasi-fixes. Par conséquent, leurs évolutions sont continues et leurs ajustements ne peuvent se faire que d'une manière progressive. Seuls l'embauche, le taux de variation de la durée du travail et le taux d'utilisation de la main-d'oeuvre, constituant des facteurs totalement variables, peuvent s'ajuster instantanément.

Comme le montre le système (53), un choc de demande agrégée déplace les hyperplans $\lambda_{1i} = 0$ et $\lambda_{2i} = 0$. Par conséquent, nous sommes en présence d'un nouvel équilibre de long terme auquel est associée une nouvelle trajectoire convergente. Ainsi, la réponse instantanée de l'entreprise s'assimile à un saut de $\lambda_{1i}$ et de $\lambda_{2i}$ qui la conduit en un point *A'* situé sur cette nouvelle trajectoire convergente. La deuxième phase de l'ajustement correspond alors à l'évolution progressive le long de cette trajectoire jusqu'à tendre vers le nouvel état stationnaire *B*.

Afin de suivre l'évolution d'ensemble de la dynamique des différentes variables sous contrôle de l'entreprise, nous allons analyser les impacts instantanés du choc de demande. La détermination de ces derniers<fnref n="38" />, cumulée aux effets de long terme étudiés précédemment, nous permet de caractériser le processus d'ajustement de ces variables d'intérêt, et par conséquent les choix de l'entreprise représentative.

<footnote n="38">³⁸Le calcul des multiplicateurs instantanés est donné dans l'annexe E.</footnote>
Ainsi, la détermination des effets instantanés du choc positif de demande sur l'embauche, la variation de la durée du travail, le taux d'utilisation, la production et sur le niveau général des prix nous conduit au système de multiplicateurs instantanés suivant :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l@{\qquad}l@{\qquad}l}
\frac{\Delta E_i}{\Delta D} = & \frac{1}{a} \frac{\Delta \lambda_{1i}}{\Delta D} & > 0 \\[2ex]
\frac{\Delta h_i}{\Delta D} = & \frac{1}{b} \frac{\Delta \lambda_{2i}}{\Delta D} & > 0 \\[2ex]
\frac{\Delta T U_i}{\Delta D} = & \frac{1}{\gamma} \frac{T U_i}{D} & > 0 \\[2ex]
\frac{\Delta Q_i}{\Delta D} = & \frac{Q_i}{D} & > 0 \\[2ex]
\frac{\Delta P}{\Delta D} = & (\frac{1}{\gamma} - 1) \frac{P}{D} & > 0
\end{array}
\right.
\qquad (55) $$

Le choc de demande agrégée se répercute intégralement sur la demande adressée à l'entreprise. En effet, en situation d'équilibre symétrique, la variation de son prix d'offre ne lui permet pas de modifier la demande pour ses produits dans la mesure où toutes les entreprises concurrentes ont un comportement identique. Remarquons que nous retrouvons la conclusion obtenue dans le modèle précédent.

De ce fait, l'évolution du niveau de la production suit celle de la demande agrégée :

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Fig. 12 : Dynamique de la production</figcaption></figure>

Pour s'adapter à cette évolution, l'entreprise dispose de trois leviers de réactions instantanés : le niveau de l'embauche ($E_i$), la variation de la durée du travail ($h_i$) et le taux d'utilisation de la main-d'oeuvre ($TU_i$).

L'augmentation de l'embauche et celle de la variation de la durée du travail sont liées aux sauts des prix implicites des deux facteurs quasi-fixes. Elles se traduisent par un accroissement de la production mais seulement après un certain délai, vraisemblablement plus long pour l'embauche.

L'intégralité de la variation instantanée de la production se réalise par conséquent, à travers l'ajustement du taux d'utilisation de la main-d'oeuvre. Celui-ci saute instantanément avant de revenir à long terme vers son niveau initial :

<caption>Fig. 13 : Dynamique du taux d'utilisation de la main-d'oeuvre</caption>
Ce taux d'utilisation joue ici un rôle similaire à celui observé pour la durée du travail dans le modèle précédent. Comme dans ce dernier, le saut de l'embauche conduit à un accroissement progressif des effectifs qui tendent ensuite vers leur nouvel équilibre de long terme :

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Fig. 14 : Dynamique des effectifs</figcaption></figure>

Cependant, contrairement au modèle de référence, la durée du travail est ici un facteur quasi-fixe. Elle varie donc d'une façon continue mais à la différence des effectifs, les effets d'un choc de demande agrégée ne l'affectent que temporairement. En d'autres termes, l'impact de long terme sur la durée du travail est nul. Nous observons alors une dynamique croissante puis décroissante de cette variable :

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Fig. 15 : Dynamique de la durée du travail</figcaption></figure>

## Conclusion

Le comportement d'ajustement de l'entreprise tel que nous venons de le décrire, permet de reproduire l'évidence empirique avancée par Péléraux [1994]b. En effet, ce dernier remarque que :
[...] la modulation de la durée du travail et du taux d'utilisation des effectifs constitue, compte tenu de l'inertie de l'emploi à très court terme, le mode d'ajustement initial de la quantité de travail au cours du cycle. (H. Péléraux, [1994], p.4)

Face à un choc favorable de demande, l'entreprise s'adapte à long terme en modifiant uniquement le niveau de ses effectifs. Toutefois, à court terme, elle cherche à exploiter au mieux les facteurs de production dont elle dispose -i.e. en jouant sur leur degré d'utilisation.

Un tel comportement se traduit alors en termes d'une meilleure flexibilité face aux fluctuations conjoncturelles. Ainsi, le comportement d'ajustement d'une entreprise peut se résumer de la façon suivante :

* Elle peut choisir de faire varier la durée du travail. Dans la mesure où les délais d'ajustement qui sont liés à cette dernière sont vraisemblablement plus faibles que ceux des effectifs, l'entreprise a tout intérêt à exploiter cette possibilité. Ce comportement est dans la pratique quantifiable puisqu'il se traduit par une variation observée des heures supplémentaires ou au contraire du chômage partiel et de ce fait des coûts qui y sont associés.

* Une seconde solution consiste à jouer (à la hausse ou à la baisse) sur le taux d'utilisation de la main-d'oeuvre. Ce choix implique alors directement les salariés. En effet, l'entreprise lors d'une phase de reprise, peut demander un supplément d'effort temporaire à ses employés. A contrario, elle acceptera une diminution transitoire de leur productivité horaire durant une récession. Cette solution spécifiquement interne à l'entreprise est difficilement quantifiable, d'autant plus que les coûts induits sont essentiellement de nature indirecte.

Certes, de telles conclusions sont obtenues à partir d'un modèle théorique essentiellement descriptif. Néanmoins, il a l'avantage de permettre de modéliser des faits empiriques reconnus. Par conséquent, il est évident qu'un tel modèle gagnerait beaucoup à être confronté réellement aux données. Un tel exercice permettrait d'évaluer l'ordre de grandeurs de ses paramètres structurels.

Par ailleurs, des extensions immédiates d'un tel modèle seraient d'une part, de prendre en compte le capital et ses services et d'autre part, de s'intéresser à des spécifications alternatives de la fonction de production et des coûts d'ajustement.

Il semble nécessaire de devoir remettre en cause certaines des hypothèses utilisées pouvant paraître relativement simplificatrices. A ce titre,
# Annexes

## A Configuration d'un point selle

Le point A du diagramme des phases (fig.1) correspond à l'équilibre stationnaire du modèle. Nous démontrons ici que la dynamique obtenue au voisinage de ce point est une configuration point selle.

Les conditions d'optimalité (12), (15), (16) et (4) peuvent se réécrire en fonction des variables $λ_i$ et $L_i$ dont la dynamique nous intéresse :

$$ 
\begin{gathered}
\dot{L}_i = \frac{\lambda_i}{a} \\
\dot{\lambda}_i = r\lambda_i + v - \left(\frac{\alpha}{\beta} - 1\right) w f(L_i)
\end{gathered}
$$

où $f(L_i) = H_i$ est issue de la relation (15).

Au voisinage de l'équilibre stationnaire, nous pouvons en déduire une approximation linéaire de la trajectoire. Le jacobien correspondant s'écrit de la façon suivante :

$$ J = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{a} \\ -(\frac{\alpha}{\beta} - 1)w f'(L_i^*) & r \end{pmatrix} $$

Les valeurs propres, notées $\mu$, associées au jacobien vérifient l'équation :

$$ \mu^2 - r\mu - \frac{wH_i^*}{aL_i^*} \left(\frac{\alpha}{\beta} - 1\right) \left(\frac{1 - \alpha\sigma}{1 - \beta\sigma}\right) = 0 \quad (56) $$

où $L_i^*$ et $H_i^*$ sont les niveaux stationnaires des effectifs et de leur durée d'utilisation. Le discriminant de cette équation du second degré est :

$$ \Delta = r^2 + \frac{4wH_i^*}{aL_i^*} \left(\frac{\alpha}{\beta} - 1\right) \left(\frac{1 - \alpha\sigma}{1 - \beta\sigma}\right) \quad (57) $$

Dès lors que $\alpha \ge \beta^{39}$ et que l'on a des rendements décroissants ou constants des effectifs et des heures ($\alpha \le 1$ et $\beta \le 1$), ce discriminant est toujours positif et supérieur ou égal à $r^2$. Par conséquent, il existe une valeur propre strictement positive, l'autre étant négative ou nulle. Ce résultat permet alors d'assurer l'existence d'une configuration point selle. La trajectoire convergente correspond au cas où l'on impose une contribution nulle au vecteur propre associé à la valeur propre positive.

## B Choc de demande individuelle

### B.1 Calcul des variations instantanées

Nous supposons qu'à la date $t = 0$, l'entreprise fait face à une variation de la demande individuelle qui lui est adressée, notée $\Delta D_i$ avec $D_i = \frac{D}{n}\eta_i$. Le comportement d'ajustement de court terme de l'entreprise est conditionné par la réponse instantanée de son

<footnote n="39">³⁹Cette condition nécessaire à l'existence d'une solution a déjà été imposée précédemment pour la résolution de notre modèle.</footnote>
niveau d'embauche, de la durée du travail, de son prix relatif et par conséquent de sa production, sachant que l'évolution de l'emploi ne peut être que continue.

A chaque instant, pour des valeurs données de $\lambda_i$ et de $L_i$, les relations suivantes restent vérifiées :

$$Q_i = AL_i^{\alpha} H_i^{\beta}$$

$$Q_i = D_i \left(\frac{p_i}{P}\right)^{\frac{-1}{1-\sigma}}$$

$$E_i = \frac{\lambda_i}{a} + sL_i$$

$$H_i = \left( \frac{\beta \sigma P D_i^{1-\sigma} A^{\sigma}}{w L_i^{1-\alpha\sigma}} \right)^{\frac{1}{1-\beta\sigma}}$$

Sous l'hypothèse que le choc observé ne soit pas trop important, nous pouvons en déduire les variations instantanées des différentes variables considérées :

$$\frac{\Delta H_i}{\Delta D_i} = \frac{1 - \sigma}{1 - \beta\sigma} \frac{H_i}{D_i} \geq 0$$

$$\frac{\Delta \frac{p_i}{P}}{\Delta D_i} = \frac{(1 - \beta)(1 - \sigma)}{1 - \beta\sigma} \frac{\frac{p_i}{P}}{D_i} \geq 0$$

$$\frac{\Delta Q_i}{\Delta D_i} = \frac{\beta(1 - \sigma) Q_i}{1 - \beta\sigma D_i} \geq 0$$

Ces trois effets sont positifs puisque nous avons $\beta \leq 1$ et $\sigma < 1$.

La variation instantanée de l'embauche est donnée par :

$$\frac{\Delta E_i}{\Delta D_i} = \frac{1}{a} \frac{\Delta \lambda_i}{\Delta D_i} \geq 0 \qquad (58)$$

Dans le cas général, une formulation explicite de ce multiplicateur nécessiterait la résolution analytique du système d'équations différentielles (4), (12), (15) et (16) de la section 1.1. Toutefois, le sens de l'effet correspondant peut se déduire du diagramme de phases (figure 2 de la section 1.3) : étant donné la configuration de ce diagramme, nous avons observé que l'effet instantané se traduisait par un saut positif de $\lambda_i$ et par conséquent d'un saut du niveau de l'embauche.

Cependant, puisque le choc est supposé petit, il est possible d'approximer la trajectoire convergente par sa tangente à l'équilibre stationnaire (point B), dont la dynamique est donnée par le jacobien $J$ de l'annexe (A) précédente.

$$\begin{pmatrix} \dot{L}_i \\ \dot{\lambda}_i \end{pmatrix} = J \begin{pmatrix} L_i - L_{iB}^* \\ \lambda_i - \lambda_{iB}^* \end{pmatrix}$$

La trajectoire convergente est donnée par la solution générale de ce système différentiel dans laquelle la contribution de la valeur propre strictement positive est annulée. En notant $\mu$ la valeur propre négative, nous obtenons :

$$L_i(t) - L_{iB}^* = \Gamma_1 e^{\mu t} \qquad (59)$$
$$ \lambda_i(t) - \lambda_{iB}^* = \lambda_i(t) = \Gamma_2 e^{\mu t} \quad (60) $$

puisque $\lambda_{iB}^* = 0$.

En dérivant l'équation (59) et en utilisant l'approximation précédente, nous obtenons la relation suivante :

$$ \dot{L}_i = \mu \Gamma_1 e^{\mu t} = \frac{\lambda_i}{a} = \frac{1}{a} \Gamma_2 e^{\mu t} \quad (61) $$

De plus, à la date $t = 0$, l'entreprise répond instantanément au choc en se déplaçant du point A vers A'. Les équations (59) et (60) se réécrivent alors :

$$ L_{iA'} - L_{iB}^* = \Gamma_1 \quad (62) $$

$$ \lambda_{iA'} = \Gamma_2 \quad (63) $$

Or, au point A', le niveau des effectifs restant inchangé, $L_{iA'} - L_{iB}^* = L_{iA}^* - L_{iB}^*$. Cet écart représente la variation de long terme des effectifs lors du choc, et sa valeur est donnée par le multiplicateur $\frac{\partial L_{iA}^*}{\partial D_i}$ du système (24) de la section 1.3.

De même, le prix implicite du travail étant nul à l'équilibre stationnaire, $\lambda_{iA'} = \lambda_{iA} - \lambda_{iA}^* = \Delta\lambda_i$. Ce terme s'associe au saut instantané de $\lambda$ lors du choc.

L'utilisation combinée des relations (61), (62) et (63) conduit à :

$$ \Delta\lambda_i = \Gamma_2 = a\mu\Gamma_1 = a\mu(L_{iA}^* - L_{iB}^*) \quad (64) $$

Partant de cette relation, en remplaçant $L_{iA}^* - L_{iB}^*$ par sa valeur et en utilisant l'équation (58), nous obtenons une approximation de la variation instantanée du niveau de l'embauche :

$$ \frac{\Delta E_i}{\Delta D_i} = \frac{-\mu}{s} \frac{1-\sigma}{1-\alpha\sigma} \frac{E_i}{D_i} \quad (65) $$

Puisque $\mu$ est négative et que $\alpha \le 1$ et $\sigma < 1$, cette variation est positive.

## B.2 Comparaison des effets de court et de long terme

La comparaison avec les valeurs des multiplicateurs de long terme, donnés par le système (24) de la section 1.3.1., nous permet de déterminer si l'entreprise choisit de s'ajuster instantanément au-delà ou en-deçà de son nouveau niveau d'équilibre de long terme.

* Puisque le multiplicateur de long terme de la durée du travail est nul, il est clair que le niveau de celle-ci s'accroît instantanément puis revient progressivement vers son niveau initial d'équilibre.

* Le saut instantané du prix relatif est supérieur à sa variation de long terme si :

$$ \frac{1 - \beta}{1 - \beta\sigma} \ge \frac{\sigma(1 - \alpha)}{1 - \alpha\sigma} $$

Puisque la fonction $f(x) = \frac{1-x}{1-\beta x}$ est décroissante, cette condition est toujours vérifiée dès lors que $\sigma < 1$ et $\beta \le \alpha \le 1$.
* De la même manière, la variation instantanée de la production est inférieure à celle de long terme puisque la condition suivante est toujours vérifiée sous nos hypothèses :

$$ \frac{\beta(1 - \sigma)}{1 - \beta\sigma} < \frac{\alpha(1 - \sigma)}{1 - \alpha\sigma} $$

* La comparaison des effets de court et de long terme sur le niveau de l'embauche nous conduit à envisager deux cas de figure :

- la variation instantanée de l'embauche est inférieure à celle de long terme si : $s < \mu$, la valeur de $\mu$ se déduisant des relations (56) et (57) de l'annexe (A). Il y a donc sous-ajustement instantané si :

$$ 2s < \sqrt{r^2 + \frac{4w H_i}{a L_i} \left(\frac{\alpha}{\beta} - 1\right) \left(\frac{1 - \alpha\sigma}{1 - \beta\sigma}\right) - r} $$

Le membre de gauche étant une fonction croissante du taux de rotation naturel $s$ et celui de droite, une fonction décroissante des coûts d'ajustement $a$, il est possible de trouver des $s$ et des $a$ suffisamment petits qui vérifient toujours cette inégalité.

- inversement, pour des valeurs élevées de $s$ et de $a$, cette relation n'est plus vérifiée. On est alors dans ce cas dans une situation de sur-ajustement : à la date du choc, le niveau de l'embauche saute instantanément au point $A'$ puis décroit progressivement vers sa nouvelle valeur d'état stationnaire.

## C Choc de demande agrégée : équilibre symétrique et état stationnaire

Afin d'étudier la réponse au choc de demande agrégée ($\Delta D > 0$) d'une entreprise, il est nécessaire de définir l'équilibre symétrique de notre modèle, pour ensuite déterminer l'état stationnaire de l'entreprise considérée. Ce faisant, nous pouvons alors d'une part, en déduire les effets de court et de long terme du choc et d'autre part, les comparer afin d'obtenir la dynamique d'ajustement.

* A l'équilibre symétrique, les $n$ entreprises identiques adoptent le même comportement. C'est pourquoi, nous avons :

$$ \frac{p_i}{P} = 1 \quad \forall i \qquad (66) $$

Du point de vue d'une entreprise $i$, le niveau général des prix $P$ est toujours une variable exogène tandis que le prix d'offre $p_i$ reste endogène. Cependant, à l'équilibre symétrique, puisque la relation (66) doit toujours être vérifiée, la variable $P$ devient déterminée de façon endogène par le système. Les équations (1), (4), (12) à (16) données dans les section 1.1 restent inchangées. Néanmoins, il ne faut pas oublier que dès lors que la variable $P$ intervient, il faut la considérer comme endogène. Rappelons également que la demande individuelle adressée à l'entreprise $D_i$ est liée à la demande agrégée $D$ par la relation : $D_i = \frac{D}{n}$.
* A partir de l'état stationnaire du système donné dans le texte principal (section 1.4), nous pouvons calculer les multiplicateurs de long terme par rapport à la demande agrégée :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial L_i^*}{\partial D} = \frac{1}{\alpha} \frac{L_i^*}{D} > 0 \\[2ex]
\displaystyle \frac{\partial E_i^*}{\partial D} = \frac{1}{\alpha} \frac{E_i^*}{D} > 0 \\[2ex]
\displaystyle \frac{\partial H_i^*}{\partial D} = 0 \\[2ex]
\displaystyle \frac{\partial P^*}{\partial D} = \left(\frac{1}{\alpha} - 1\right) \frac{P^*}{D} > 0 \\[2ex]
\displaystyle \frac{\partial Q_i^*}{\partial D} = \frac{Q_i^*}{D} > 0
\end{array}
\right.
$$

* De même, en utilisant les conditions d'optimalité de ce nouveau système et en intégrant la relation (66), les variations instantanées des différentes variables sous contrôle de l'entreprise sont obtenues. Rappelons que les effectifs sont toujours contraints à évoluer d'une façon continue.

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\Delta H_i}{\Delta D} = \frac{1}{\beta} \frac{H_i}{D} \geq 0 \\[2ex]
\displaystyle \frac{\Delta P}{\Delta D} = \left(\frac{1}{\beta} - 1\right) \frac{P}{D} \geq 0 \\[2ex]
\displaystyle \frac{\Delta Q_i}{\Delta D} = \frac{Q_i}{D} \geq 0 \\[2ex]
\displaystyle \frac{\Delta E_i}{\Delta D} = \frac{1}{\alpha} \frac{\Delta \lambda_i}{\Delta D} \geq 0
\end{array}
\right.
$$

* Finalement, le profil de la dynamique des effectifs, de l'embauche et de la durée du travail est similaire à celui des figures 3, 4 et 5 de la section 1.3. La dynamique du prix *P* est semblable à celle du prix individuel *p*ᵢ de la figure 6. Cependant, l'entreprise augmente bien son prix individuel mais elle ne peut obtenir les effets désirés de l'utilisation de son pouvoir de monopole, étant donné l'hypothèse d'équilibre symétrique. Elle ne peut donc plus influencer la demande qui lui est adressée. C'est pourquoi, sa production suit intégralement les variations de la demande agrégée.

* Enfin, la discussion concernant le sur-ajustement éventuel du niveau de l'embauche à court terme reste très proche de celle menée dans le cas du choc de demande individuelle. Seule l'élasticité de λᵢ par rapport à Lᵢ est modifiée le long de la courbe λᵢ. Néanmoins, cela n'affecte en rien la conclusion obtenue, à savoir qu'en fonction des valeurs des paramètres *a* et *s*, il est possible d'observer un sous ou sur-ajustement de court du niveau de l'embauche.
D Configuration d'un point selle dans un espace
à quatre dimensions

Nous démontrons ici que la dynamique obtenue au voisinage de l'équilibre stationnaire,
calculé dans la section 2.2, correspond à une configuration d'un point selle.

Le système dynamique (53) associé à la trajectoire optimale peut se réécrire de la manière suivante :

$$
\left\{
\begin{aligned}
\dot{L}_i &= f_1(\lambda_{1i}) \\
\dot{H}_i &= f_2(\lambda_{2i}) \\
\dot{\lambda}_{1i} &= f_3(L_i, H_i, \lambda_{1i}) \\
\dot{\lambda}_{2i} &= f_4(L_i, H_i, \lambda_{2i})
\end{aligned}
\right.
$$

Au voisinage de l'état stationnaire, nous en déduisons une approximation linéaire
de la trajectoire convergente. Le jacobien associé est donné par :

$$
J =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \frac{1}{a} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{b} \\
f_{3L_i^*} & f_{3H_i^*} & r & 0 \\
f_{4L_i^*} & f_{4H_i^*} & 0 & r
\end{pmatrix}
\qquad (67)
$$

Les expressions marquées d'une étoile représentent les dérivées partielles des fonctions $f_3$ et $f_4$ prises à l'équilibre stationnaire.

Les valeurs propres, notées μ, associées à ce jacobien vérifient la condition suivante :
|J - μI| = 0, avec I la matrice identité de rang 4. Nous obtenons ainsi la relation :

$$
\mu^2(r - \mu)^2 + M\mu(r - \mu) + N = 0 \quad (68)
$$

avec :

$$
\left\{
\begin{aligned}
M &= \frac{a f_{4H_i^*} + b f_{3L_i^*}}{ab} \\
N &= \frac{1}{ab} (f_{3L_i^*} f_{4H_i^*} - f_{3H_i^*} f_{4L_i^*})
\end{aligned}
\right.
\qquad (69)
$$

et où :

$$
\left\{
\begin{aligned}
f_{3L_i^*} &= v_2 \frac{\alpha - \gamma}{\gamma} \frac{1 - \alpha \sigma}{1 - \gamma \sigma} \frac{T U_i^*}{L_i^*} \\
f_{3H_i^*} &= f_{4L_i^*} = w - v_2 \frac{\beta(\alpha - \gamma)}{\gamma} \frac{\sigma}{1 - \gamma \sigma} \frac{T U_i^*}{H_i^*} \\
f_{4H_i^*} &= v_2 \frac{\beta}{\gamma} \frac{1 - \beta \sigma - \gamma \sigma}{1 - \gamma \sigma} \frac{L_i^* T U_i^*}{H_i^*}
\end{aligned}
\right.
$$
Si $\mu$ est une racine de la relation (68), alors $(r - \mu)$ l'est également. Par conséquent, (68) admet quatre racines que l'on peut classer par paires. Soit :

$$ \begin{cases} \mu_1 = r - \mu_3 \\ \mu_2 = r - \mu_4 \end{cases} $$

En notant :

$$ \begin{cases} \nu_1 = \mu_1\mu_3 = \mu_1(r - \mu_1) \\ \nu_2 = \mu_2\mu_4 = \mu_2(r - \mu_2) \end{cases} \qquad (70) $$

$\nu_1$ et $\nu_2$ sont les racines de :

$$ \nu^2 + M\nu + N = 0 $$

Le discriminant de cette relation est égal à :

$$ \Delta = \left( \frac{f_{4H_i^*}}{b} - \frac{f_{3L_i^*}}{a} \right)^2 + \frac{4}{ab} f_{3H_i^*}^2 \geq 0 $$

Puisque ce discriminant est positif ou nul, nous avons bien $\nu_1$ et $\nu_2$ qui sont des racines réelles. De ce fait, $\mu_1, \mu_2, \mu_3$ et $\mu_4$ sont également des racines réelles.

De plus, nous savons que :

$$ \begin{cases} \nu_1\nu_2 = N \\ \nu_1 + \nu_2 = -M \end{cases} \qquad (71) $$

Nous pouvons déduire du système (D) que la somme $-M$ des deux racines est négative ou nulle. En effet, ce sytème pris au voisinage de l'équilibre stationnaire et à l'équilibre symétrique peut se réécrire en remplaçant $TU_i^*$ par sa valeur, $-i.e. TU_i^* = \frac{\gamma}{\beta-\gamma} \frac{w}{\nu_2}$, de la façon suivante :

$$ \begin{cases} f_{3L_i^*} = \frac{\alpha-\gamma}{\beta-\gamma} \frac{\alpha}{\gamma} w \frac{H_i^*}{L_i^*} \geq 0 \\ f_{3H_i^*} = f_{4L_i^*} = \frac{\alpha}{\gamma} w \geq 0 \\ f_{4H_i^*} = \frac{\beta}{\gamma} w \frac{L_i^*}{H_i^*} \geq 0 \end{cases} $$

Ceci nous permet alors de déduire que $M$ est bien positif ou nul.

Pour déterminer le signe respectif des racines $\nu_1$ et $\nu_2$, il est nécessaire d'étudier le signe du produit $N$ de ces racines :

* si $N \leq 0$, alors $\nu_1 = \mu_1\mu_3$ et $\nu_2 = \mu_2\mu_4$ sont de signe opposé et il y a donc dans ce cas trois valeurs propres $\mu$ positives ou nulles;

* si $N \geq 0$, $\nu_1$ et $\nu_2$ sont de même signe et on a donc deux valeurs propres positives ou nulles et deux négatives ou nulles.
Ce dernier cas, i.e. $N \ge 0$ correspond à la situation pour laquelle on peut obtenir une configuration point selle dans notre modèle. Il reste donc à démontrer quelles sont les conditions à satisfaire pour vérifier $N \ge 0$.

D'après les systèmes (69) et (D), on en déduit que $N \ge 0$ si et seulement si :

$$f_{3L_i^*} f_{4H_i^*} \ge f_{3H_i^*}^2$$

ce qui revient à :

$$\alpha \ge \beta$$

Cette condition, identique à celle que l'on obtenait dans le modèle de référence, est toujours vérifiée, puisqu'elle est nécessaire à l'existence d'une solution admissible pour le modèle.

Ainsi, si $\alpha \ge \beta$, nous avons $\nu_1 \le 0$ et $\nu_2 \le 0$, c'est à dire $\mu_1\mu_3 \le 0$ et $\mu_2\mu_4 \le 0$. Etant donné que ces deux produits sont négatifs ou nuls, nous sommes bien dans le cas où il y a deux valeurs propres positives ou nulles et deux négatives ou nulles, ce qui assure l'existence d'un point selle dans notre modèle. En effet, cette condition est compatible avec un modèle dans lequel il y a bien deux variables prédéterminées ($L_i$ et $H_i$), dont la détermination se fait vers l'avant (de type "forward") et deux variables libres ($\lambda_{1i}$ et $\lambda_{2i}$), qui peuvent s'ajuster instantanément et dont la détermination est réalisée de l'avant vers l'arrière (de type "backward").

## E Choc de demande agrégée : les effets instantanés

L'entreprise représentative est supposée faire face, à la date $t = 0$, à un choc positif de demande agrégée, $\Delta D > 0$ (avec $\frac{D_i}{n} = D$). Partant de son équilibre stationnaire initial (point A), l'entreprise à l'instant du choc, se retrouve instantanément sur la nouvelle trajectoire convergente en un point $A'$, pour ensuite s'ajuster progressivement vers le nouvel équilibre de long terme (point B).

Puisque l'évolution des effectifs et de leur durée d'utilisation ne peut être que continue, le comportement d'ajustement instantané de l'entreprise (passage de $A$ à $A'$) s'assimile à celui du niveau de l'embauche, de la variation possible de la durée du travail, du taux d'utilisation de la main-d'oeuvre, de la production et de l'effet induit sur le niveau général des prix.

A toute date, les relations suivantes sont vérifiées :

$$Q_i = \frac{D}{n} \left(\frac{p_i}{P}\right)^{-\epsilon}$$

$$Q_i = F(L_i, H_i, TU_i) = AL_i^\alpha H_i^\beta TU_i^\gamma$$

$$E_i = \frac{\lambda_{1i}}{a} + sL_i$$

$$h_i = \frac{\lambda_{2i}}{b}$$
$$ TU_i = \left( \frac{\gamma \sigma P \frac{D}{n}^{1-\sigma} A^{\sigma}}{v_2 L_i^{1-\alpha\sigma} H_i^{1-\beta\sigma}} \right)^{\frac{1}{1-\gamma\sigma}} \\ p_i = P $$

De ces relations, on peut en déduire les multiplicateurs instantanés donnés par le système (55) de la section 2.4. Toutefois, si le signe de l'effet instantané sur $TU_i$, $Q_i$ et $P$ se déduit directement, ce n'est pas le cas pour l'embauche ($E_i$) et la variation de la durée du travail ($h_i$). En effet, pour ces variables, il faudrait une résolution explicite des équations différentielles (relations (38) à (42)) régissant la dynamique du modèle, qui nous permettrait de connaître les variations instantanées de $\lambda_{1i}$ et de $\lambda_{2i}$.

Faute d'une résolution complète, il est possible au voisinage de l'équilibre stationnaire, d'approximer la trajectoire convergente par sa tangente dont la dynamique est donnée par le jacobien calculé précédemment (relation (67)). Une telle démarche nous conduit alors à des expressions relativement simples des variations instantanées de $\lambda_{1i}$ et de $\lambda_{2i}$ et par la même de $E_i$ et $h_i$.

* En notant $\mu_1$ et $\mu_2$, les deux valeurs propres négatives, la trajectoire convergente assurant le passage de $A'$ vers $B$ est obtenue en annulant les contributions des vecteurs propres associés aux deux autres valeurs propres positives. Nous avons ainsi, $L_i^*, H_i^*, \lambda_{1i}^*$ et $\lambda_{2i}^*$ caractérisant le nouvel équilibre stationnaire (B) :

$$ \begin{pmatrix} L_i(t) - L_i^* \\ H_i(t) - H_i^* \\ \lambda_{1i}(t) - \lambda_{1i}^* \\ \lambda_{2i}(t) - \lambda_{2i}^* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Gamma_{11} \\ \Gamma_{12} \\ \Gamma_{13} \\ \Gamma_{14} \end{pmatrix} e^{\mu_1 t} + \begin{pmatrix} \Gamma_{21} \\ \Gamma_{22} \\ \Gamma_{23} \\ \Gamma_{24} \end{pmatrix} e^{\mu_2 t} \quad (72) $$

* De ce fait, ce système, pris à la date $t=0$ du choc, nous donne les valeurs des différentes variables au point $A'$ et peut se réécrire :

$$ \begin{pmatrix} L_{iA'} - L_{iB} \\ H_{iA'} - H_{iB} \\ \lambda_{1iA'} - \lambda_{1iB} \\ \lambda_{2iA'} - \lambda_{2iB} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\Delta L_{LT} \\ -\Delta H_{LT} \\ \Delta \lambda_{1i} \\ \Delta \lambda_{2i} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Gamma_{11} + \Gamma_{21} \\ \Gamma_{12} + \Gamma_{22} \\ \Gamma_{13} + \Gamma_{23} \\ \Gamma_{14} + \Gamma_{24} \end{pmatrix} \quad (73) $$

avec $\Delta L_{LT}$ et $\Delta H_{LT}$ les variations de long terme des effectifs et de la durée du travail, et $\Delta \lambda_{1i}$ et $\Delta \lambda_{2i}$, les variations instantanées de leurs prix implicites respectifs.

* Par ailleurs, en utilisant le système (72), les relations (38) et (39) de la section 2.2. peuvent se réécrire de la manière suivante :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \mu_1 \Gamma_{11} e^{\mu_1 t} + \mu_2 \Gamma_{21} e^{\mu_2 t} = \frac{1}{a} \Gamma_{13} e^{\mu_1 t} + \frac{1}{a} \Gamma_{23} e^{\mu_2 t} \\ \mu_1 \Gamma_{12} e^{\mu_1 t} + \mu_2 \Gamma_{22} e^{\mu_2 t} = \frac{1}{b} \Gamma_{14} e^{\mu_1 t} + \frac{1}{b} \Gamma_{24} e^{\mu_2 t} \end{array} \right. $$
Pour que ces relations soient vérifiées à tout instant, il faut avoir :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\mu_1 \Gamma_{11} = \frac{1}{a} \Gamma_{13} \\
\mu_2 \Gamma_{21} = \frac{1}{a} \Gamma_{23} \\
\mu_1 \Gamma_{12} = \frac{1}{b} \Gamma_{14} \\
\mu_2 \Gamma_{22} = \frac{1}{b} \Gamma_{24}
\end{array}
\right.
\qquad (74)
$$

* Par conséquent, en intégrant ces quatre relations dans le système (73) et en rappelant que $\Delta H_{LT} = 0$ puisque il n'y a pas d'effet de long terme de la demande sur la durée du travail, nous obtenons les évolutions instantanées de l'embauche et de la variation de la durée du travail :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\Delta E_i = \frac{1}{a}\Delta\lambda_{1i} = (\mu_1 - \mu_2)\Gamma_{11} + (-\mu_2)\Delta L_{LT} \\
\Delta h_i = \frac{1}{b}\Delta\lambda_{2i} = (\mu_1 - \mu_2)\Gamma_{12}
\end{array}
\right.
\qquad (75)
$$

* A partir du jacobien (67), il est possible d'écrire la relation donnant l'évolution dynamique de $\lambda_{1i}$ au voisinage de l'équilibre stationnaire :

$$
\dot{\lambda}_{1i} = f_{3L_i^*}(L_i - L_i^*) + f_{3H_i^*}(H_i - H_i^*) + r\lambda_{1i}
$$

En utilisant le système (72), cette équation peut se réécrire :

$$
\mu_1 \Gamma_{13} e^{\mu_1 t} + \mu_2 \Gamma_{23} e^{\mu_2 t} = f_{3L_i^*} (\Gamma_{11} e^{\mu_1 t} + \Gamma_{21} e^{\mu_2 t}) \\
\qquad + f_{3H_i^*} (\Gamma_{12} e^{\mu_1 t} + \Gamma_{22} e^{\mu_2 t}) + r (\Gamma_{13} e^{\mu_1 t} + \Gamma_{23} e^{\mu_2 t})
$$

* Puisque cette relation reste vraie pour tout instant $t$ au voisinage de l'équilibre stationnaire, on peut en déduire, en utilisant le système (74) et les relations (70), les deux équations suivantes :

$$
\begin{cases}
-(a\nu_1 + f_{3L_i^*})\Gamma_{11} = f_{4H_i^*}\Gamma_{12} \\
-(a\nu_2 + f_{3L_i^*})\Gamma_{21} = f_{4H_i^*}\Gamma_{22}
\end{cases}
$$

* Si l'on utilise le système (73), il est possible de combiner ces deux relations pour obtenir une expression de $\Gamma_{12}$ :

$$
\Gamma_{12} = \frac{(a\nu_1 + f_{3L_i^*})(a\nu_2 + f_{3L_i^*})\Delta L_{LT}}{a f_{4H_i^*}(\nu_2 - \nu_1)}
$$

Le numérateur de cet expression peut se simplifier à partir des systèmes (69) et (71). On obtient alors en remplaçant dans (75) :

$$
\Delta h_i = \frac{1}{b} \frac{\mu_2 - \mu_1}{\nu_2 - \nu_1} \frac{f_{3H_i^*}^2}{f_{4H_i^*}} \Delta L_{LT} \geq 0 \quad (76)
$$

Le multiplicateur instantané pour la variation de la durée du travail est positif puisque :

$$
\frac{\mu_2 - \mu_1}{\nu_2 - \nu_1} = \frac{1}{r - \mu_1 - \mu_2}
$$

expression qui est positive car les deux valeurs propres $\mu_1$ et $\mu_2$ sont négatives.
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