Comptes Rendus
Mathématique

Yong Hu et Yisheng Tian

Trivialité des groupes de Whitehead réduits avec applications à l'approximation faible et l'approximation forte

Volume 363 (2025), p. 465-477

En ligne depuis le 26 mai 2025

https://doi.org/10.5802/crmath.705

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Article de recherche / Research article
Théorie des nombres / Number theory

# Trivialité des groupes de Whitehead réduits avec applications à l'approximation faible et l'approximation forte

*Triviality of reduced Whitehead groups with applications to weak approximation and strong approximation*

Yong Hu<sup>a</sup> et Yisheng Tian<sup>b</sup>

<sup>a</sup> Department of Mathematics, Southern University of Science and Technology, Shenzhen 518055, China

<sup>b</sup> Institute for Advanced Study in Mathematics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China

Courriels: huy@sustech.edu.cn, tysmath@mail.ustc.edu.cn

Dédié au Professeur Jean-Louis Colliot-Thélène à l'occasion de son 75ème anniversaire

**Résumé.** Nous prouvons certains résultats de trivialité pour des groupes de Whitehead réduits et groupes de Whitehead unitaires réduits pour des algèbres à division sur un corps de valuation discrète hensélien dont le corps résiduel a dimension cohomologique virtuelle ou séparable $\le 2$. Ces résultats sont appliqués pour démontrer l'approximation forte pour des groupes simplement connexes absolument presque simples isotropes de type A. Comme cas particulier, un tel groupe défini sur le corps des fonctions d'une courbe non réelle $C/k$ vérifie l'approximation forte si le corps de base $k$ est un corps de nombres, un corps $p$-adique, $C((t))$ ou un corps de fonctions à deux variables sur $\mathbb{R}$.

**Abstract.** We prove some triviality results for reduced Whitehead groups and reduced unitary Whitehead groups for division algebras over a Henselian discrete valuation field whose residue field has virtual cohomological dimension or separable dimension $\le 2$. These results are applied to show strong approximation for isotropic absolutely almost simple simply connected groups of type A. In particular, such a group defined over the function field of a nonreal curve $C/k$ satisfies strong approximation if the base field $k$ is a number field, a $p$-adic field, $C((t))$ or a two-variable function field over $\mathbb{R}$.

**Mots-clés.** Groupe de Whitehead réduit, groupe de Whitehead unitaire, algèbre à division sur un corps hensélien, approximation faible, approximation forte, groupes simplement connexes.

**Keywords.** Reduced Whitehead group, unitary Whitehead group, division algebra over a Henselian field, weak approximation, strong approximation, simply connected groups.

**Classification Mathématique (2020).** 11E57, 19B99, 20G35, 16K20.

**Financement.** Le premier auteur a bénéficié d'une subvention de la Guangdong Basic and Applied Basic Research Foundation (no. 2021A1515010396). Le deuxième auteur a bénéficié d'une subvention de la Postdoctoral Fellowship Program of CPSF (no. GZC20233474) ainsi que d'une subvention de la National Natural Science Foundation of China (no. 12401014).

Manuscrit reçu le 10 janvier 2023, révisé le 10 janvier 2024 et le 2 décembre 2024, accepté le 18 novembre 2024.
# 1. Introduction

Soit $A$ une algèbre simple centrale (de dimension finie) sur un corps $K$. Désignons par $A^*$ le groupe des unités de $A$. Le groupe de Whitehead $K_1(A)$ est un quotient de $A^*/[A^*, A^*]$, où $[A^*, A^*]$ est le sous-groupe des commutateurs de $A^*$, et la norme réduite de $A$ induit un homomorphisme bien défini $\text{Nrd}_A: K_1(A) \to K^*$ (voir par exemple [12, Section 2.10]). Le groupe de Whitehead réduit de $A$ est défini par

$$ \text{SK}_1(A) := \text{Ker}(\text{Nrd}_A: K_1(A) \to K^*). $$

Si $B$ est une algèbre simple centrale sur $K$ qui est Brauer équivalente à $A$, alors on a $\text{SK}_1(A) \cong \text{SK}_1(B)$ par [12, Lemmas 2.10.5 et 2.10.8]. À l'exception de l'algèbre matricielle $A = M_2(F_2)$, où $F_2$ est le corps fini de 2 éléments, on a un isomorphisme (voir [6, Section 20, Theorem 4(iii)])

$$ \text{SK}_1(A) \cong \frac{\text{SL}_1(A)}{[A^*, A^*]} \quad \text{où } \text{SL}_1(A) := \text{Ker}(\text{Nrd}_A: A^* \to K^*). $$

Il est bien connu que l'étude de $\text{SK}_1(A)$ peut être réduite au cas où $A$ est une algèbre simple centrale à division de degré une puissance d'un nombre premier [6, Section 23, Lemma 6].

On écrit $\text{SK}_1(A) = 1$ si le groupe $\text{SK}_1(A)$ est trivial. Un théorème de Wang [32] dit que $\text{SK}_1(A) = 1$ si $K$ est un corps de nombres ou l'indice (de Schur) ind$(A)$ est sans facteurs carrés. Pour chaque nombre premier $p$, soit $\text{cd}_p(K)$ la $p$-dimension cohomologique du corps $K$ (voir [27, Section I.3.1]). La $p$-dimension cohomologique virtuelle $\text{vcd}_p(K)$ est définie par $\text{vcd}_p(K) := \text{cd}_p(K(\sqrt{-1}))$. Yanchevskii a prouvé que si la caractéristique $\text{car}(K)$ ne divise pas ind$(A)$ et $\text{vcd}_p(K) \le 2$ pour chaque nombre premier $p \mid \text{ind}(A)$, alors $\text{SK}_1(A) = 1$ [33, 35]. Un analogue dans le cas $\text{car}(K) \mid \text{ind}(A)$ a été établi dans [13].

Soit $(K, \nu)$ un corps valué hensélien à corps résiduel $\overline{K}$ et groupe de valeurs $\Gamma_K = \nu(K^*)$. Soient $p$ un nombre primier et $r_p := \dim_{\mathbb{F}_p}(\Gamma_K / p\Gamma_K)$ (ici, on considère $\Gamma_K$ comme un groupe additif). Soit $D$ une algèbre simple centrale à division sur $K$ de degré une puissance de $p$. Soman [28] a prouvé que $\text{SK}_1(D) = 1$ si $\text{car}(\overline{K}) \ne p$, $1 \le r_p \le 3$ et $\text{cd}_p(\overline{K}) \le 3 - r_p$.

Le premier objectif du présent article est d'étendre le théorème de Soman dans deux cas. L'un est le cas où $p = \text{car}(\overline{K})$ (Théorème 8), et l'autre est le cas où $\nu$ est une valuation discrète et $\text{vcd}_p(\overline{K}) \le 2$ (Théorème 2). En particulier, nous pouvons conclure que $\text{SK}_1(A) = 1$ pour toutes les algèbres simples centrales $A$ sur des corps comme $\mathbb{Q}((t))$, $\mathbb{R}(x, y)((t))$, etc. Comme produit secondaire, nous obtenons également la trivialité de $\text{SK}_1(A)$ pour les algèbres de biquaternions sur certains corps « semi-globaux » (Théorème 6).

Soit $C$ une courbe affine irréductible normale sur un corps $k$. De la trivialité des groupes de Whitehead réduits, on obtient des résultats d'approximation pour un groupe absolument presque simple et simplement connexe de type $A$ intérieur, c'est-à-dire, un groupe algébrique de la forme $G = \text{SL}_n(D)$, où $n \ge 1$ et $D$ est une algèbre simple centrale à division sur le corps des fonction $k(C)$. Avec quelques hypothèses sur $D$ ou $k$, on prouve dans le Théorème 18 que $G$ satisfait l'approximation faible sur $C$ et que si $n \ge 2$, $G$ satisfait même l'approximation forte. En particulier, si $n \ge 2$ et $k$ est un corps de caractéristique 0 avec $\text{vcd}(k) \le 2$ (par exemple, $k$ est une extension finie de $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Q}_p$, $\mathbb{R}((t))$, $\mathbb{R}(x)$ ou $\mathbb{R}(x, y)$), alors $G$ satisfait l'approximation forte sur $C$.

Dans un autre travail avec J. Liu [15], on utilise l'arithmétique des formes quadratiques entières pour donner un exemple où le groupe $\text{SL}_1(Q)$ associé à une certaine algèbre de quaternions $Q$ sur $k(C)$ ne satisfait pas l'approximation forte.

La partie restante de cet article concerne des résultats de trivialité pour le groupe de Whitehead unitaire réduit et des applications aux propriétés d'approximation pour les groupes semi-simples simplement connexes de type $A$ extérieur. Les principaux résultats dans cette direction sont les Théorèmes 14 et 22.

Certains de nos résultats sur les groupes de Whitehead réduits (unitaires) et l'approximation faible ont été obtenus par V. Suresh indépendamment.
## 2. Les groupes de Whitehead réduits

Dans cette section, soit $(K, \nu)$ un corps valué hensélien à corps résiduel $\overline{K}$ et groupe de valeurs $\Gamma_K$. Soient $p$ un nombre premier et $r_p = \dim_{\mathbb{F}_p}(\Gamma_K / p\Gamma_K)$.

Nous rappelons quelques notations de [28, Section 2]. Soit $D$ une algèbre simple centrale à division sur $K$. La valuation $\nu$ s'étend uniquement à une valuation sur $D$. On écrit $\overline{D}$ et $\Gamma_D$ pour l'algèbre à division résiduelle et le groupe de valeurs de $D$ respectivement. L'application canonique $\theta_D: \Gamma_D \to \text{Aut}(Z(\overline{D})/\overline{K})$ est définie dans [30, Section 1.1.1, p. 3], où $Z(\overline{D})$ est le centre de $\overline{D}$. On sait que $\theta_D$ est surjective et que l'extension $Z(\overline{D})/\overline{K}$ est quasi-galoisienne [30, Proposition 1.5].

Suivant [16, Section 6], on dit que $D$ est modérée (« tame » en anglais) sur $K$ si $D$ est sans défaut (c'est-à-dire $[D : K] = [\overline{D} : \overline{K}][\Gamma_D : \Gamma_K]$), l'extension $Z(\overline{D})/\overline{K}$ est séparable (donc abélienne) et $\text{car}(\overline{K}) \nmid [\text{Ker}(\theta_D) : \Gamma_K]$.

Si $\text{car}(\overline{K}) \nmid \text{deg}(D)$, alors $D$ est modérée par [30, Proposition 4.9].

Lorsque $D$ est modérée, le nombre

$$ \zeta := \frac{\text{deg}(D)}{\text{deg}(\overline{D})[Z(\overline{D}) : \overline{K}]} $$

est un entier. En effet,

$$ \zeta^2 = \frac{[D : K]}{[\overline{D} : Z(\overline{D})][Z(\overline{D}) : \overline{K}]^2} = \frac{[\Gamma_D : \Gamma_K]}{[Z(\overline{D}) : \overline{K}]} = [\text{Ker}(\theta_D) : \Gamma_K] \in \mathbb{N}. $$

Notons $\mu_\zeta(\overline{K})$ le groupe des racines $\zeta$-ièmes de l'unité dans $\overline{K}$.

On utilisera le lemme suivant, dû à Ershov; voir [8, p. 68] ou [28, Theorem 2.1].

**Lemme 1.** Avec les notations ci-dessus, soit $\ell = Z(\overline{D})$. Lorsque $D$ est modérée, pour un certain sous-groupe $C \le \mu_\zeta(\overline{K})$ et deux groupes convenables $G_1, G_2$, on a trois suites exactes comme suit :

$$ \begin{aligned} \text{SK}_1(\overline{D}) &\to G_1 \to \hat{H}^{-1}(\ell/\overline{K}, \text{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{D}^*)) \to 1, \\ 1 &\to G_1 \to G_2 \to C \to 1, \\ G_2 &\to \text{SK}_1(D) \to 1. \end{aligned} $$

(On écrit simplement $\ell/\overline{K}$ au lieu du groupe de Galois $\text{Gal}(\ell/\overline{K})$ dans la notation du groupe de cohomologie, par convention standard en cohomologie galoisienne.)

Le résultat suivant généralise [28, Theorem 1.1] dans le cas $r_p = 1$.

**Théorème 2.** Soit $D$ une algèbre simple centrale à division sur $K$ de degré une puissance d'un nombre premier $p$. Supposons $\text{car}(\overline{K}) \ne p, r_p = 1 \text{ et } \text{vcd}_p(\overline{K}) = \text{cd}_p(\overline{K}(\sqrt{-1})) \le 2$. Alors $\text{SK}_1(D) = 1$.

**Démonstration.** Rappelons qu'un corps $k$ est appelé (formellement) réel ou ordonnable si $-1$ n'est pas une somme d'un nombre fini de carrés dans $k$. On peut supposer que $p=2$ et $\overline{K}$ est réel, car sinon $\text{cd}_p(\overline{K}) = \text{vcd}_p(\overline{K})$ d'après [27, Section II.4, Proposition 10'] et le résultat est déjà connu dans le théorème de Soman.

Soit $\ell = Z(\overline{D})$. Comme $D$ est modérée, l'extension $\ell/\overline{K}$ est galoisienne. On a $\text{vcd}_2(\ell) \le \text{vcd}_2(\overline{K}) \le 2$. Par [35, Theorem 3.1], on voit que $\text{SK}_1(\overline{D}) = 1$.

L'hypothèse $r_p = 1$ entraîne que le groupe $\Gamma_D/\Gamma_K$ est cyclique, d'après [28, Lemma 4.2]. Ainsi, $\text{Ker}(\theta_D)/\Gamma_K$ est cyclique aussi, et la surjectivité de $\theta_D$ implique que l'extension $\ell/\overline{K}$ est cyclique. D'autre part, [30, Proposition 8.17(iv)] nous dit que le groupe $\text{Ker}(\theta_D)/\Gamma_K$ admet un accouplement alterné non-dégénéré. Ce groupe, étant cyclique, doit alors être trivial. Cela montre que $\zeta = 1$. Le groupe $C \le \mu_\zeta(\overline{K})$ est donc trivial.

D'après le Lemme 1, il suffit de montrer que $\hat{H}^{-1}(\ell/\overline{K}, \text{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{D}^*)) = 1$.
Si $\ell$ n'est pas réel, alors $cd_2(\ell) = vcd_2(\ell) \le 2$. Cela donne $\mathrm{Nrd}_{\bar{D}}(\bar{D}^*) = \ell^*$, par un théorème bien connu de Merkurjev–Suslin [22]. Ainsi, on obtient

$$ \hat{H}^{-1}(\ell/\bar{K}, \mathrm{Nrd}_{\bar{D}}(\bar{D}^*)) = \hat{H}^{-1}(\ell/\bar{K}, \ell^*) = H^1(\ell/\bar{K}, \ell^*) = 1 $$

par le Théorème 90 de Hilbert. (Ici on utilise le fait que $\ell/\bar{K}$ est cyclique.)

Supposons maintenant $\ell$ réel. Soit $S_0$ l'ensemble des ordres $i$ de $\ell$ tels que $\bar{D}$ n'est pas déployée sur la clôture réelle de $\ell$ par rapport à $i$. D'après [1, Theorem 2.1], on a

$$ \mathrm{Nrd}_{\bar{D}}(\bar{D}^*) = \ell^+ := \{a \in \ell \mid i(a) > 0 \text{ pour tout } i \in S_0\}. $$

(Ici, on identifie un ordre avec un plongement dans un corps réellement clos.) On définit $S := \{i\sigma \mid i \in S_0, \sigma \in \mathrm{Gal}(\ell/\bar{K})\}$. Comme expliqué dans [8, p. 66], $\mathrm{Nrd}_{\bar{D}}(\bar{D}^*)$ est stable sous l'action galoisienne de $\mathrm{Gal}(\ell/\bar{K})$. Cela implique

$$ \mathrm{Nrd}_{\bar{D}}(\bar{D}^*) = \ell^+ = \ell_S^+ := \{a \in \ell \mid i(a) > 0 \text{ pour tout } i \in S\}. $$

Il reste à prouver $\hat{H}^{-1}(\ell/\bar{K}, \ell_S^+) = 1$, que l'on fait dans le Lemme 3(3) ci-dessous. $\square$

**Lemme 3.** Soit $L/k$ une extension finie galoisienne de corps réels avec $G = \mathrm{Gal}(L/k)$. Soit $S$ un ensemble d'ordres de $L$ qui est stable sous l'action naturelle de $G$, c'est-à-dire, $i\sigma \in S$ pour tout $i \in S$ et tout $\sigma \in G$. Soient $H \triangleleft G$ un sous-groupe distingué, $E := H^\mathrm{L}$ le sous-corps fixé et $T$ l'ensemble des ordres de $E$ obtenus par restriction des ordres dans $S$ à $E$.

(1) L'ensemble $S$ est précisément l'ensemble des ordres de $L$ qui étendent les ordres dans $T$, et $T$ est stable sous l'action naturelle de $\mathrm{Gal}(E/k) = G/H$.

(2) On définit $L_S^+ := \{a \in L^* \mid i(a) > 0 \text{ pour tout } i \in S\}$. Alors $L_S^+$ est stable sous l'action naturelle de $G$ sur $L^*$, et

$$ (L_S^+)^H = E_T^+ := \{x \in E^* \mid i(x) > 0 \text{ pour tout } i \in T\}. $$

(3) Supposons que $[L:k]$ est une puissance de 2. On a $H^1(L/k, L_S^+) = 1$.

**Démonstration.**

(1) La première affirmation est un fait standard (voir par exemple [18, Chapter VIII, Appendix A, Corollary 2.20]). La deuxième est une conséquence de la définition.

(2) Ceci est une conséquence de la stabilité de $S$ sous l'action de $G$.

(3) On peut choisir comme $H$ un sous-groupe d'indice 2 dans $G$. Par (2), la suite exacte de restriction-inflation pour le $G$-module $L_S^+$ est

$$ 1 \to H^1(E/k, E_T^+) \to H^1(L/k, L_S^+) \to H^1(L/E, L_S^+) \to 0. $$

Par récurrence sur $[L:k]$, on se réduit au cas $[L:k] = 2$. Selon l'isomorphisme $H^1(L/k, L_S^+) \cong \hat{H}^{-1}(L/k, L_S^+)$, il suffit de montrer que pour tout $a \in L_S^+$ tel que $N_{L/k}(a) = 1$, il existe $b \in L_S^+$ tel que $a = b/\sigma(b)$, où $\sigma$ est l'élément non trivial du groupe $G = \mathrm{Gal}(L/k)$. Pour ce faire, observons d'abord qu'il existe un élément $c \in L^*$ tel que $a = c/\sigma(c)$. Comme $a \in L_S^+$, pour chaque $i \in S$ les éléments $c$ et $\sigma(c)$ ont le même signe par rapport à l'ordre $i$. Donc $t := c + \sigma(c) \in k$ est du même signe que $c$ par rapport à chaque $i \in S$. En prenant $b = tc$, on obtient $a = b/\sigma(b)$ et $b \in L_S^+$. Ceci complète la démonstration. $\square$

**Remarque 4.** Sans aucune restriction sur $r_p$ et $D$, on peut montrer que $\mathrm{SK}_1(D) = 1$ si $\bar{K} = \mathbb{R}$ [30, Exercise 11.1] ou si $K = k((t_1))\cdots((t_n))$, où $k$ est un corps de fonctions à une variable sur $\mathbb{R}$ [19].

Si $D$ est une algèbre simple centrale à division non ramifiée (ou « inertial » en terminologie de [16, p. 138] et [30, Chapter 8]) sur $K$, on a $\mathrm{SK}_1(D) \cong \mathrm{SK}_1(\bar{D})$ par [30, Theorem 11.23(i)]. Dans ce cas, on a $\mathrm{SK}_1(D) = 1$ si $\mathrm{SK}_1(\bar{D}) = 1$ (par exemple si $\bar{K} = \mathbb{Q}((t))$, par le Théorème 2).

**Remarque 5.** Soit $D$ une algèbre simple centrale à division sur un corps $F$ de caractéristique $\neq 2$. On sait que $\mathrm{SK}_1(D) = 1$ dans chacun des cas suivants :
(1) $\deg(D) = 4$ et $cd_2(F) \leq 3$;

(2) D est une algèbre de biquaternions et F est le corps des fonctions d'une courbe sur un corps de nombres.

Le cas (1) résulte de [21, Theorem 6.6] ou [29, p. 134, Theorem 3]. Le cas (2) a été prouvé dans [4, Théorème 3.1].

Nous observons le résultat suivant du même type que la Remarque 5(2).

**Théorème 6.** *Soit $k$ un corps réel tel que $vcd_2(k) \le 1$ (par exemple $k = \mathbb{R}(t)$ ou $\mathbb{R}((t))$). Soit $F$ une extension finie de $k((x), y)$ ou de $k((x))(y)$.*

Alors $\text{SK}_1(A) = 1$ pour chaque algèbre de biquaternions $A$ sur $F$.

**Démonstration.** Soit $\Omega$ l'ensemble $\mathcal{X}^{(1)}$ défini comme dans [14, Theorem 1.2]. Pour chaque valuation discrète $v \in \Omega$, son corps résiduel $\kappa(v)$ est isomorphe à une extension finie de $k((x))$ ou de $k(x)$. On a donc $vcd_2(\kappa(v)) \le 2$. Par le Théorème 2, sur le complété $F_v$, l'algèbre $A_v := A \otimes_F F_v$ satisfait $\text{SK}_1(A_v) = 1$ pour toute $v \in \Omega$. Maintenant le résultat est une conséquence de [14, Theorem 1.2] et du diagramme commutatif

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où les flèches verticales sont les invariants de Rost (qui sont fonctoriels et injectifs, voir [20, Theorem 4]). $\square$

**Scholie 7.** Pour tout corps $k$, la $p$-dimension séparable $scd_p(k)$ est définie dans [9, p. 62]. Si $\text{car}(k) \neq p$, alors $scd_p(k) = \text{cd}_p(k)$. En utilisant la définition et la théorie de Galois, on peut montrer que $scd_p(k) = 0$ si et seulement si pour toute extension séparable finie $\ell/k$, le corps $\ell$ n'a pas d'extension séparable de degré une puissance de $p$. D'après [11, Proposition 4.6.1 et Théorème 4.7.1], on a :

* $scd_p(k) \le 1$ si et seulement si pour toute extension séparable finie $\ell/k$, l'application de norme $N_{E/\ell}: E^* \to \ell^*$ est surjective pour toute extension séparable finie $E/\ell$;

* $scd_p(k) \le 2$ si et seulement si pour toute extension séparable finie $\ell/k$, l'application de norme réduite $\text{Nrd}_{B/\ell}: B^* \to \ell^*$ est surjective pour chaque algèbre simple centrale $B$ sur $\ell$ d'indice une puissance de $p$.

Maintenant, on étend [28, Theorem 1.1] au cas $p = \text{car}(\bar{K})$.

**Théorème 8.** *Soit $D$ une algèbre simple centrale à division modérée de degré une puissance de $p$. Supposons car$(\bar{K}) = p$, $1 \le r_p \le 3$ et $scd_p(\bar{K}) \le 3 - r_p$. Alors $\text{SK}_1(D) = 1$.*

**Démonstration.** Les idées crucales sont similaires à celles dans la preuve du théorème de Soman. Remarquons d'abord que comme $\zeta$ est une puissance de $p$ et car$(\bar{K}) = p$, le groupe $\mu_\zeta(\bar{K})$ et son sous-groupe $C$ sont nuls. (Grâce à ce fait, notre démonstration devient plus courte que celle de Soman.)

En vertu des trois suites exactes du Lemme 1, il reste à démontrer que les groupes $\text{SK}_1(\bar{D})$ et $\hat{H}^{-1}(\ell/\bar{K}, \text{Nrd}_{\bar{D}}(\bar{D}^*))$ s'annulent, où $\ell = Z(\bar{D})$.

* Le cas $r_p = 1$. Par l'hypothèse, on a $scd_p(\bar{K}) \le 2$. Ainsi $scd_p(\ell) \le scd_p(\bar{K}) \le 2$. On obtient $\text{Nrd}_{\bar{D}}(\bar{D}^*) = \ell^*$ par la Scholie 7, et $\text{SK}_1(\bar{D}) = 1$ à l'aide de [13, Corollary 5.5]. Comme on a vu dans la preuve du Théorème 2, $\ell/\bar{K}$ est une extension cyclique, et donc la trivialité de $\hat{H}^{-1}(\ell/\bar{K}, \ell^*)$ résulte du théorème 90 de Hilbert.
* Le cas $2 \le r_p \le 3$. Dans ce cas, on a $scd_p(\ell) \le scd_p(\bar{K}) \le 1$. Cela signifie que le groupe de Brauer de $\ell$ n'a pas de $p$-torsion. Il s'ensuit que $\bar{D} = \ell$ et donc $SK_1(\bar{D}) = 1$. De plus, en tant que Gal$(\ell/\bar{K})$-module, $\ell^*$ est cohomologiquement trivial par [26, IX.5, Theorem 8]. Donc, $\hat{H}^{-1}(\ell/\bar{K}, \text{Nrd}_{\bar{D}}(\bar{D}^*)) = \hat{H}^{-1}(\ell/\bar{K}, \ell^*) = 1$. $\square$

**3. Les groupes de Whitehead unitaires réduits**

Dans cette section, soit $K/F$ une extension quadratique séparable de corps.

Soit $A$ une algèbre simple centrale sur $K$ qui admet une $K/F$-involution unitaire $\sigma$ (c'est-à-dire une involution de seconde espèce telle que $F$ est le sous-corps des éléments fixés par $\sigma$ dans $K$). On définit les groupes

$$ \Sigma_{\sigma}(A) := \text{le groupe engendré par tous les éléments } a \in A^{*} \text{ tels que } \sigma(a) = a, $$

$$ \Sigma'_{\sigma}(A) := \{a \in A^* \mid \text{Nrd}_{A/K}(a) = \sigma(\text{Nrd}_{A/K}(a))\}. $$

Si $\tau$ est une autre $K/F$-involution sur $A$, il existe $u \in A^*$ tel que $\sigma(u) = u = \tau(u)$ et $\tau = \text{Int}(u) \circ \sigma$, où $\text{Int}(u)$ est l'automorphisme intérieur $x \mapsto u x u^{-1}$ [17, (2.18)]. Il s'ensuit que $\Sigma_{\sigma}(A) = \Sigma_{\tau}(A)$ et $\Sigma'_{\sigma}(A) = \Sigma'_{\tau}(A)$ [33, Lemma 1].

Le groupe de Whitehead unitaire réduit de $A/F$ est défini par

$$ \text{USK}_1(A/F) := \text{USK}_1(\sigma, A) := \Sigma'_{\sigma}(A)/\Sigma_{\sigma}(A), $$

où $\sigma$ est une $K/F$-involution unitaire quelconque sur $A$.

**Remarque 9.** Les faits suivants révèlent certaines analogies entre les groupes $\text{USK}_1(A/F)$ et $\text{SK}_1(A)$.

(1) Si $A = A_1 \otimes_K A_2$, où $A_1$ et $A_2$ sont des algèbres simples centrales sur $K$ dont les indices sont premiers entre eux, alors $\text{USK}_1(A/F) \cong \text{USK}_1(A_1/F) \times \text{USK}_1(A_2/F)$ [34, Proposition 2.7].

(2) Si $D$ est l'algèbre simple centrale à division sur $K$ Brauer équivalent à $A$, alors on a $\text{USK}_1(A/F) \cong \text{USK}_1(D/F)$ par [33, Lemma 3].

(3) On a $\text{USK}_1(A/F) = 1$ dans chacun des cas suivants :

(a) ind$(A)$ est sans facteurs carrés [34, Lemma 2.8];

(b) $K$ est un corps global [24];

(c) Pour chaque diviseur premier $p$ de ind$(A)$, $scd_p(K) \le 2$ ([33, Theorem 1] et [13, Theorem 1.1 et Corollary 5.5]);

(d) $\text{car}(k) = 0$ et $\text{vcd}(k) \le 2$ [35, Theorem 3.1].

En particulier, on peut se limiter à considérer les algèbres à division de degré une puissance d'un nombre premier lors de l'étude des groupes de Whitehead unitaires réduits.

**Théorème 10 ([34, Corollaries 4.10, 4.13 et 4.14]).** Soit $K$ un corps de valuation discrète hensélien et supposons que l'extension $K/F$ est séparable. Soit $D$ une algèbre simple centrale à division modérée sur $K$ admettant une $K/F$-involution.

(1) Si $D/K$ et $K/F$ sont non ramifiées, on a $\text{USK}_1(D/F) \cong \text{USK}_1(\bar{D}/\bar{F})$.

(2) Si $K/F$ est totalement ramifiée, ou si $D/K$ est ramifiée et $\bar{D}$ est commutative, alors $\text{USK}_1(D/F) = 1$.

**Scholie 11.** Supposons que $K/F$ est une extension quadratique non ramifiée de corps de valuation discrète henséliens avec l'extension de corps résiduels $K/F$ (séparable). Soit $D$ une $K$-algèbre simple centrale à division admettant une $K/F$-involution. Supposons que $D/K$ est modérée et ramifiée.

Comme l'algèbre résiduelle $\bar{D}$ est séparable sur $\bar{K}$, il existe une sous-algèbre $E \subseteq D$ non ramifiée sur $K$ telle que $\bar{E} = \bar{D}$ [16, Theorem 2.9]. On choisit une telle sous-algèbre $E \subseteq D$.
D'après [34, Proposition 3.17], on peut choisir une $K/F$-involution convenable $\tau$ sur $D$ et une certaine uniformisante $\Pi$ de $D$ telles que $\tau(E) = E$, $\tau(\Pi) = \Pi$ et $\mathrm{Int}(\Pi)(E) = E$, où $\mathrm{Int}(\Pi): D \to D$ désigne l'automorphisme intérieur $x \mapsto \Pi x \Pi^{-1}$. Posons $\tau_2 = \mathrm{Int}(\Pi) \circ \tau$.

La restriction $\tau|_K$ est l'automorphisme non trivial de $K/F$. Comme $K/F$ est non ramifiée, la réduction $\bar{\tau}$ de $\tau$ est non triviale sur $\bar{K}$. Ainsi, $\bar{\tau}$ est une involution unitaire sur $\bar{D}$. Comme $\tau_2|_K = \tau|_K$, la réduction $\bar{\tau}_2$ est aussi une involution unitaire sur $\bar{D}$.

Comme dans [34, 4.11], on dit qu'un élément

$$ \tilde{a} \in \frac{Z(\bar{D})^*}{\bar{K}^* \mathrm{Nrd}_{\bar{D}/Z(\bar{D})}(\Sigma_{\bar{\tau}}(\bar{D}))} $$

est une conorme unitaire projective s'il existe un représentant $a \in Z(\bar{D})^*$ de $\tilde{a}$ et un élément $b \in \mathrm{Nrd}_{\bar{D}}(\bar{D}^*)$ tels que $\sigma(a)/a = b/\bar{\tau}_2(b)$, où $\sigma$ désigne le générateur du groupe cyclique $\mathrm{Gal}(Z(\bar{D})/\bar{K})$ obtenue par restriction de $\mathrm{Int}(\Pi)$.

Les conormes unitaires projectives forment un groupe, que l'on note $\mathrm{PU}(\tau, D)$.

**Proposition 12 ([34, Theorem 4.12])**. Avec les notations et les hypothèses de la Scholie 11, il existe une suite exacte

$$ \mathrm{USK}_1(\bar{\tau}_2, \bar{D}) \to \mathrm{USK}_1(\tau, D) \to \mathrm{PU}(\tau, D) \to 1. $$

Le théorème suivant est essentiellement une répétition de [34, Corollary 4.15].

**Théorème 13.** Soit $K$ un corps de valuation discrète hensélien et supposons que l'extension $\bar{K}/\bar{F}$ est séparable. Soit $D$ une algèbre simple centrale à division modérée sur $K$ admettant une $K/F$-involution.

Si $\mathrm{scd}_p(\bar{K}) \le 2$ pour chaque diviseur premier $p$ de $\mathrm{deg}(D)$, alors $\mathrm{USK}_1(D/F) = 1$.

**Démonstration.** La preuve suit les mêmes lignes que celles dans la preuve de Yanchevskii. En effet, si $D/K$ et $K/F$ sont non ramifiées, l'hypothèse sur la dimension séparable implique que $\mathrm{USK}_1(\bar{D}/\bar{F}) = 1$, par la Remarque 9(3)-(c). Vu le Théorème 10, on peut supposer que $\bar{D}$ est non commutative et que $K/F$ est non ramifiée.

Prenons les notations de la Scholie 11. On a $\mathrm{USK}_1(\bar{\tau}_2, \bar{D}) = 1$, par la Remarque 9(3)-(c). Selon la Proposition 12, il suffit de montrer que $\mathrm{PU}(\tau, D) = 1$.

Soient $\ell = Z(\bar{D})$ et $\ell_0 \le \ell$ le sous-corps fixé par $\bar{\tau}$. La Remarque 9(3)-(c) nous garantit aussi que $\Sigma_{\bar{\tau}}(\bar{D}) = \Sigma'_{\bar{\tau}}(\bar{D})$. En outre, $\mathrm{Nrd}_{\bar{D}}(\Sigma'_{\bar{\tau}}(\bar{D})) = \ell_0^*$ puisque $\mathrm{Nrd}_{\bar{D}}(\bar{D}^*) = \ell^*$ par la Scholie 7. D'où

$$ \frac{Z(\bar{D})^*}{\bar{K}^* \mathrm{Nrd}_{\bar{D}/Z(\bar{D})}(\Sigma_{\bar{\tau}}(\bar{D}))} = \frac{\ell^*}{\bar{K}^* \ell_0^*}. $$

Soit $a \in \ell^*$ un élément tel que $\sigma(a)/a = b/\bar{\tau}_2(b)$ pour un certain $b \in \ell^* = \mathrm{Nrd}_{\bar{D}}(\bar{D}^*)$. Notre but est de démontrer que $a \in \bar{K}^* \ell_0^*$.

En fait, on a

$$ \bar{\tau}_2 \sigma(a) \bar{\tau}_2(a)^{-1} \sigma(a) a^{-1} = \bar{\tau}_2 (\sigma(a) a^{-1}) \cdot (\sigma(a) a^{-1}) = \bar{\tau}_2 (b \bar{\tau}_2(b)^{-1}) \cdot b \bar{\tau}_2(b)^{-1} = 1. $$

Par définition, $\bar{\tau}_2\sigma = \bar{\tau}$ et $\bar{\tau}_2 = \sigma\bar{\tau}$. On obtient ainsi

$$ \sigma(a\bar{\tau}(a)^{-1}) \cdot (a\bar{\tau}(a)^{-1})^{-1} = \sigma(a)(\sigma\bar{\tau}(a))^{-1}\bar{\tau}(a)a^{-1} = \bar{\tau}(a)(\sigma\bar{\tau}(a))^{-1}\sigma(a)a^{-1} = 1. $$

Comme $\sigma$ est un générateur de $\mathrm{Gal}(\ell/\bar{K})$, il s'ensuit que $a\bar{\tau}(a)^{-1} \in \bar{K}^*$. D'autre part, comme $K/F$ est non ramifiée, $\bar{\tau}|_{\bar{K}}$ est l'unique élément non trivial du groupe $\mathrm{Gal}(\bar{K}/\bar{F})$. Donc,

$$ N_{\bar{K}/\bar{F}}(a\bar{\tau}(a)^{-1}) = a\bar{\tau}(a)^{-1} \cdot \bar{\tau}(a\bar{\tau}(a)^{-1}) = 1. $$

Cela implique que $a\bar{\tau}(a)^{-1} = \alpha\bar{\tau}(a)^{-1}$ pour un certain élément $\alpha \in \bar{K}^*$. Alors, l'élément $t := a\alpha^{-1} \in \ell^*$ est fixé par $\bar{\tau}$, c'est-à-dire, $t \in \ell_0^*$. Ainsi on voit que $a = \alpha t \in \bar{K}^* \ell_0^*$ comme désiré. $\square$
Dans le contexte du Théorème 13, Yanchevskii a également prouvé la trivialité du groupe USK₁(D/F) lorsque $\overline{K}$ est un corps de nombres [34, Corollary 4.17]. On généralise ce résultat au théorème suivant.

**Théorème 14.** Soit $K$ un corps de valuation discrète hensélien à corps résiduel $\overline{K}$. Supposons que $\text{car}(\overline{K}) = 0$, $\text{vcd}(\overline{K}) \le 2$ et $\overline{K}$ n'a qu'un nombre fini d'ordres.

Alors on a $\text{USK}_1(D/F) = 1$ pour chaque $K$-algèbre simple centrale à division $D$ qui a une $K/F$-involution unitaire.

**Démonstration.** On peut supposer que $\overline{K}$ est réel et que $\text{deg}(D)$ est une puissance de 2, car sinon le résultat est immédiat du Théorème 13. Comme on a vu dans la Remarque 9(3)-(d), l'hypothèse $\text{vcd}(\overline{K}) \le 2$ implique $\text{USK}_1(\theta, \overline{D}) = 1$ pour toute involution unitaire $\theta$ sur $\overline{D}$. Vu le Théorème 10, on peut d'ailleurs supposer que $K/F$ est non ramifiée, que $\overline{D}$ est non commutative et que $D/K$ est ramifiée

Prenons les notations de la Scholie 11. En vertu de la Proposition 12, il suffit de prouver $\text{PU}(\tau, D) = 1$.

On met $\ell := Z(\overline{D})$ et $\ell_0 := \{a \in \ell \mid \bar{\tau}(a) = a\}$. Si $\ell$ n'est pas réel, alors on a $\text{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{D}^*) = \ell^*$ et on peut raisonner comme dans la démonstration du Théorème 13.

Supposons $\ell$ réel et notons $S_0$ l'ensemble de tous les ordres de $\ell$ dont la clôture réelle ne déploie pas $\overline{D}$. Soit $S = \{ig \mid i \in S_0, g \in \text{Gal}(\ell/\overline{K})\}$. Comme dans la preuve du Théorème 2, on a

$$ \text{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{D}^*) = \ell_{S_0}^+ = \ell_S^+ = \{a \in \ell \mid i(a) > 0 \text{ pour tout } i \in S\}. $$

Soit $T_0$ l'ensemble des ordres de $\ell_0$ au dessous de $S$.

Nous savons déjà que $\text{USK}_1(\bar{\tau}, \overline{D}) = 1$, d'où $\Sigma_{\bar{\tau}}(\overline{D}) = \Sigma'_{\bar{\tau}}(\overline{D})$. Ainsi,

$$ \text{Nrd}_{\overline{D}}(\Sigma_{\bar{\tau}}(\overline{D})) = \text{Nrd}_{\overline{D}}(\Sigma'_{\bar{\tau}}(\overline{D})) = (\ell_0)^+_{T_0} = \{x \in \ell_0 \mid i(x) > 0 \text{ pour tout } i \in T_0\}. $$

Pour prouver la trivialité de $\text{PU}(\tau, D)$, on considère un élément $a \in \ell^*$ tel que $\sigma(a)a^{-1} = b\bar{\tau}_2(b)^{-1}$ pour un certain $b \in \text{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{D}^*)$. Il faut montrer $a \in \overline{K}^* \text{Nrd}_{\overline{D}}(\Sigma_{\bar{\tau}}(\overline{D})) = \overline{K}^*(\ell_0)^+_{T_0}$.

Comme dans la preuve du Théorème 13, on voit que $a \in \overline{K}^* \ell_0^*$. On peut donc supposer $a \in \ell_0^*$.

Maintenant, il suffit de trouver un élément $c \in \overline{F}^*$ tel que $ca \in \text{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{D}^*) = \ell_S^+$. En effet, cela implique que $ca \in \ell_S^+ \cap \ell_0 = (\ell_0)^+_{T_0}$, donc $a \in \overline{K}^*(\ell_0)^+_{T_0} = \overline{K}^* \text{Nrd}_{\overline{D}}(\Sigma_{\bar{\tau}}(\overline{D}))$.

Pour voir l'existence de $c$, soient $T$ l'ensemble des ordres de $\overline{F}$ au dessous de $T_0$ et $T^{(i)}$ l'ensemble des ordres de $\ell_0$ au dessus de $i$ pour chaque $i \in T$. On affirme que les éléments $j(a), j \in T^{(i)}$ ont tous le même signe.

Admettons cette affirmation pour l'instant. On peut alors définir le signe $\text{sgn}_i(a)$ de $a$ en $i \in T$ comme le signe $\text{sgn}(j(a))$ pour tout $j \in T^{(i)}$. Puisque par l'hypothèse $S$ est un ensemble fini, l'ensemble $T$ est fini aussi. Donc par l'approximation faible [7, Theorem 10.1.7], il existe un élément $c \in \overline{F}$ tel que $\text{sgn}(i(c)) = \text{sgn}_i(a)$ pour tout $i \in T$. Alors $ca \in \ell_S^+ = \text{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{D}^*)$, comme désiré.

Il reste à prouver notre affirmation concernant les signes des éléments $j(a)$, $j$ parcourant l'ensemble $T^{(i)}$ pour un $i \in T$ fixé.

Observons d'abord que les deux extensions (séparables) $\ell_0/\overline{F}$ et $\overline{K}/\overline{F}$ sont disjointes, car $\bar{\tau}|_{\overline{K}}$ est non trivial. Donc tout $\overline{F}$-plongement de $\ell_0$ dans une clôture algébrique de $\overline{F}$ s'étend en un $\overline{K}$-plongement de $\ell$. Soit $\overline{F}_i$ la clôture réelle de $\overline{F}$ en $i$, et soit $\overline{K}_i$ la clôture réelle de $\overline{K}$ en un ordre au dessus de $i$. Alors les éléments de $T^{(i)}$ correspondent aux $\overline{F}$-plongements de $\ell_0$ dans $\overline{F}_i$. On sait que tout $\overline{F}$-plongement de $\ell_0$ dans $\overline{F}_i$ est la restriction d'un $\overline{K}$-plongement de $\ell$ dans $\overline{K}_i$. Donc, si $j \in T^{(i)}$ correspond au générateur $\sigma \in \text{Gal}(\ell/\overline{K})$ (on rappelle que l'on a supposé $\ell$ réel), alors tout $j' \in T^{(i)}$ s'écrit $j' = j\sigma^r$ pour un entier $r \ge 1$. Or, $\sigma(a)a^{-1} = b\bar{\tau}_2(b)^{-1}$ pour un $b \in \text{Nrd}_{\overline{D}}(\overline{D}^*)$.
En particulier, $\sigma(a)a^{-1} \in \mathrm{Nrd}_{\bar{D}}(\bar{D}^*) = \ell_S^+$. Cela donne $\sigma^2(a)\sigma(a)^{-1} = \sigma(\sigma(a)a^{-1}) \in \ell_S^+$ et ainsi de suite. On en déduit

$$\sigma^r(a)a^{-1} = (\sigma^r(a)\sigma^{r-1}(a)^{-1}) \cdot (\sigma^{r-1}(a)\sigma^{r-2}(a)^{-1}) \cdots (\sigma(a)a^{-1}) \in \ell_S^+,$$

d'où

$$j'(a) = j(\sigma^r(a)) = j(\sigma^r(a)a^{-1})j(a) \in j(a)\ell_S^+.$$

Notre affirmation est ainsi démontrée. Ceci complète la démonstration du théorème. □

**Remarque 15.** Soit $k$ un corps. Alors $k$ ne possède qu'un nombre fini d'ordres s'il est un corps de nombres, ou si le sous-groupe des sommes non nulles de carrés dans $k^*$ est d'indice fini [18, Chapter VIII, Exercise 11]. Par exemple, le corps $\mathbb{R}((t_1))\cdots((t_n))$ n'a qu'un nombre fini d'ordres pour chaque $n \in \mathbb{N}$ (voir aussi [18, Proposition VIII.4.11] pour une assertion plus précise pour ce corps).

Par conséquent, dans le Théorème 14 le corps résiduel $\bar{K}$ peut être $\mathbb{R}((x))$ ou $\mathbb{R}((x))((y))$.

## 4. Propriétés d'approximation pour les groupes simplement connexes de type A

Dans cette section, soit $C$ une courbe affine irréductible normale sur un corps $k$ et soit $K = k(C)$ le corps des fonctions de $C$. Soit $\Omega$ l'ensemble des valuations discrètes de $K$ correspondant aux points fermés de $C$. Pour chaque $v \in \Omega$, soit $K_v$ le complété de $K$ en $v$ et soit $\mathcal{O}_v$ l'anneau de valuation de $K_v$. Si $D$ est une $K$-algèbre, on note $D_v := D \otimes_K K_v$ pour chaque $v \in \Omega$.

**Définition 16.** Soit $X$ une variété algébrique sur $K$. L'espace adélique $X(\mathbf{A}_K)$ est l'espace produit restreint des espaces topologiques $v$-adiques $X(K_v)$, $v \in \Omega$ par rapport aux sous-espaces ouverts $X(\mathcal{O}_v)$ définis pour presque toute $v \in \Omega$.

On dit que $X$ satisfait l'approximation forte (resp. l'approximation faible) si $X(K)$ est dense dans l'espace adélique $X(\mathbf{A}_K)$ (resp. dans l'espace produit $\prod_{v \in \Omega} X(K_v)$).

On peut utiliser la même méthode de [5, Theorem 4.7] pour montrer que les groupes de type $A$ satisfont l'approximation faible.

**Proposition 17.** Soit $D$ une algèbre simple centrale à division sur $K = k(C)$ et $n \ge 1$. Supposons que $\mathrm{SK}_1(D_v) = 1$ pour toute $v \in \Omega$. Alors le groupe $G := \mathrm{SL}_n(D)$ satisfait l'approximation faible. Si $n \ge 2$, alors $G$ satisfait l'approximation forte.

**Démonstration.** Soient $S \subset \Omega$ un sous-ensemble fini, $B = M_n(D)$ et $(g_v) \in \prod_{v \in S} G(K_v) = \prod_{v \in S} \mathrm{SL}_1(B_v)$. Par hypothèse, pour toute $v \in S$ on a $\mathrm{SK}_1(B_v) = 1$, donc chaque $g_v$ est un produit fini de commutateurs dans $B_v^*$. Mais l'ensemble $S$ est fini, alors on peut supposer que

$$g_v = (a_{v,1}b_{v,1}a_{v,1}^{-1}b_{v,1}^{-1}) \cdots (a_{v,m}b_{v,m}a_{v,m}^{-1}b_{v,m}^{-1}) \text{ avec } a_{v,i}, b_{v,i} \in B_v^* \text{ en toute } v \in S,$$

pour un entier $m \ge 1$ indépendant de $v$. L'ensemble $B^*$, vu comme l'ensemble des $K$-points d'un ouvert de Zariski dans un espace affine sur $K$, est dense dans $\prod_{v \in S} B_v^*$. En choisissant des éléments $a_i, b_i \in B^*$ assez proches de $a_{v,i}, b_{v,i}$ en toute $v \in S$, on obtient un point $g = (a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}) \cdots (a_m b_m a_m^{-1} b_m^{-1}) \in G(K)$, approchant de $g_v$ en toute $v \in S$. Cela montre que $G(K)$ est dense dans $\prod_{v \in S} G(K_v)$.

Pour l'approximation forte, on prend une famille $(g_v) \in G(\mathbf{A}_K)$ et un sous-ensemble fini (assez grand) $S \subset \Omega$. On cherche un point $g \in G(K)$ qui est suffisamment proche de $g_v$ en toute $v \in S$ et tel que $g \in G(\mathcal{O}_v)$ pour toute $v \notin S$. Comme la multiplication est continue, on peut supposer que pour une certaine place $w \in S$, $g_v \in G(K_v) = \mathrm{SL}_1(M_n(D_v))$ est la matrice identitié $I_n$ pour toute $v \in S$ sauf $v = w$. Pour $n \ge 2$, le groupe $G(K_w) = \mathrm{SL}_1(M_n(D_w))$ est engendré par des matrices élémentaires de la forme $I_n + \lambda_w E_{ij}$ [6, Section 20, Theorem 3], où $\lambda_w \in D_w$, $1 \le i \ne j \le n$, et $E_{ij}$ désigne la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf que celui à
la position $(i, j)$ vaut 1. Encore par la continuité de la multiplication, on peut donc supposer $g_w = I_n + \lambda_w E_{ij}$ pour un certain $\lambda_w \in D_w$. En identifiant $D$ avec l'ensemble des $K$-points d'un espace affine sur $K$, on est ramené à voir qu'un espace affine sur $K$ vérifie l'approximation forte. Cette dernière assertion revient au lemme chinois pour des anneaux de Dedekind [26, Section I.3, Approximation Lemma]. $\square$

La combinaison de la Proposition 17 avec les résultats discutés dans la Section 2 donne plusieurs exemples où $G = \text{SL}_n(D)$ satisfait l'approximation faible ou forte. En particulier, on obtient :

**Théorème 18.** *Soit $D$ une algèbre simple centrale à division sur $K = k(C)$. Supposons $n \ge 2$ et $\text{car}(k) = 0$. Alors le groupe $G = \text{SL}_n(D)$ satisfait l'approximation forte dans les deux cas suivants :*

(1) $\text{vcd}(k) \le 2$;

(2) $k = k_0((t))$ pour un corps $k_0$ tel que $\text{vcd}(k_0) = 2$, et $D$ est non ramifiée sur $C$ (c'est-à-dire, non ramifiée en toute $v \in \Omega$).

**Démonstration.** Par la Proposition 17, il suffit de vérifier que $\text{SK}_1(D_v) = 1$ pour toute $v \in \Omega$. Le premier cas est évident par le Théorème 2, et le second cas suit en combinant le Théorème 2 avec la Remarque 4 sur le cas non ramifié. $\square$

**Exemple 19.** Le corps $k$ dans le premier cas du Théorème 18 peut être une extension finie de l'un des corps suivants : $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}(t)$, $\mathbb{R}((t))$, $\mathbb{R}(x, y)$, $\mathbb{R}((x))(y)$, $\mathbb{R}((x, y)))$, $\mathbb{Q}_p$, etc. Il en est de même du corps $k_0$ dans le deuxième cas du Théorème 18.

**Remarque 20.** On montre dans un autre article avec J. Liu [15] que pour une certaine algèbre des quaternions $\mathbb{Q}$, le groupe $\text{SL}_1(\mathbb{Q})$ ne satisfait pas l'approximation forte.

**Proposition 21.** *Soit $D$ une algèbre simple centrale à division sur une extension séparable quadra-tique $L$ de $K = k(C)$. Soient $\sigma$ une $L/K$-involution unitaire sur $D$ et $(V, h)$ une forme hermitienne non dégénérée sur $(D, \sigma)$. Supposons que $\text{USK}_1(D_v/K_v) = 1$ pour toute $v \in \Omega$.*

Alors le groupe $G := \text{SU}(D, h)$ satisfait l'approximation faible. Si de plus $h$ est isotrope, alors $G$ satisfait l'approximation forte.

**Démonstration.** Pour l'approximation faible, considérons la suite exacte

$$1 \to H \to R_{L|K} \text{GL}_{1,D} \xrightarrow{\alpha} R_{L|K}^1 \text{G}_m \to 1,$$

où la flèche $\alpha$ est donnée par $x \mapsto \text{Nrd}(x)/\sigma(\text{Nrd}(x))$. Selon [3, Proposition 5.7], le groupe $H$ est stablement birationnel à $G$ sur $K$. Il suffit de montrer que $H$ satisfait l'approximation faible. Par la construction de $H$, on a $H(K) = \{x \in D^* \mid \sigma(\text{Nrd}(x)) = \text{Nrd}(x)\}$. On note

$$\Sigma := \langle x \in D^* \mid \sigma(x) = x \rangle \subset H(K) \quad \text{et} \quad \Sigma_v := \langle x \in D_v^* \mid \sigma(x) = x \rangle.$$

Par ailleurs, l'hypothèse $\text{USK}_1(D_v/K_v) = 1$ implique $H(K_v) = \Sigma_v$. Soit $S \subset \Omega$ un sous-ensemble fini, et soit $(h_v) \in \prod_{v \in S} H(K_v)$. On peut choisir un entier $m \ge 1$, indépendant de $v \in S$, tel que $h_v \in H(K_v)$ est un produit de précisément $m$ éléments $\sigma$-invariants de $D_v^*$ pour toute $v \in S$. Utilisant un argument similaire à celui dans la preuve de la Proposition 17, de la densité de $D^*$ dans $\prod_{v \in S} D_v^*$ on peut déduire que $H(K)$ est dense dans $\prod_{v \in S} H(K_v)$.

Pour l'approximation forte, l'hypothèse que $h$ est isotrope signifie que le groupe $G$ est iso-trope. Pour chaque $v \in \Omega$, on note $G(K_v)^+ = \text{le sous-groupe de } G(K_v) \text{ engendré par les éléments unipotents. D'après [31, Theorem 1], on a } G(K_v)/G(K_v)^+ \simeq \text{USK}_1(D_v/K_v)$. Donc, par hypothèse on a $G(K_v)^+ = G(K_v)$ pour chaque $v \in \Omega$. Par conséquent, le groupe $G$ satisfait l'approximation forte par [10, Lemme 5.6(2)]. $\square$
**Théorème 22.** Soit $D$ une algèbre simple centrale à division sur une extension séparable quadra-tique $L$ de $K = k(C)$. Soient $\sigma$ une $L/K$-involution unitaire sur $D$ et $(V, h)$ une forme hermitienne non dégénérée sur $(D, \sigma)$. Supposons que $\text{car}(k) = 0$ et que $h$ est isotrope.

Alors le groupe $G = SU(D, h)$ satisfait l'approximation forte dans chacun des cas suivants :

(1) ind$(D)$ est sans facteurs carrés;

(2) vcd$(k) \le 1$;

(3) $K$ n'est pas réel et $vcd(k) = 2$;

(4) $K$ n'est pas réel, $k = k_0((t))$ pour un corps $k_0$ tel que $vcd(k_0) = 2$, et $D$ est non ramifiée sur $C$ (c'est-à-dire, pour toute $v \in \Omega$, $D_v := D \otimes_K K_v$ est non ramifiée sur $K_v$);

(5) $K$ est réel et $k = \mathbb{R}((x))((y))$.

**Démonstration.** D'après la Proposition 21, il suffit de vérifier que les groupes de Whitehead uni-taires réduits locaux sont triviaux. Les cas (1) et (2) sont des conséquences de la Remarque 9(3). Pour les cas (3) et (4), on peut utiliser le Théorème 10. Le cas (5) est valable en vertu du Théo-rème 14. $\square$

**Exemple 23.** Le corps $k$ dans le cas (3) du Théorème 22 peut être une extension finie de l'un des corps : $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}(t)$, $\mathbb{R}((t))$, $\mathbb{R}(x, y)$, $\mathbb{R}((x))(y)$, $\mathbb{R}((x, y))$, $\mathbb{Q}_p$, etc. Il en est de même du corps $k_0$ dans le cas (4) du Théorème 22.

**Remarque 24.** Soit $G$ un groupe simplement connexe absolument presque simple sur $K$. Rappe-lons que $G$ satisfait l'approximation forte s'il est isotrope et $K$-rationnel, par [10, Corollaire 5.11].

Supposons que $K = k(C)$ n'est pas réel. Si $k$ est une extension finie de $\mathbb{R}((t))$, on peut utiliser [5, Theorem 4.3] pour voir que $G$ est isotrope et $K$-rationnel s'il n'est pas de type $A$. Il en va de même si $k$ est une extension finie de $\mathbb{R}(t)$ et $G$ n'est pas de type $A$ ou $E_8$. (Ici, on utilise [2, Theorem 0.12] pour vérifier la condition période-indice dans [5, Theorem 4.3].) Pour ces deux types de corps $k$, les Théorèmes 18 et 22 couvrent le cas où $G$ est isotrope de type $A$.

Lorsque $k$ est un corps $p$-adique, le groupe $G$ est $K$-rationnel s'il est isotrope et de type $B, C$, ou $D$ classique (cf. [10, Théorème 6.1]). Pour le type $D$ classique, notons que toute algèbre à division centrale sur $K$ admettant une involution orthogonale est de degré $\le 4$, d'après un théorème de Saltman [25] (voir [23] dans le cas $p = 2$).

**Remarque 25.** Dans les Propositions 17 et 21, l'assertion sur l'approximation faible a été re-marquée indépendamment par V. Suresh. Notons aussi que pour l'approximation faible on peut agrandir l'ensemble $\Omega$ en y rajoutant toutes les valuations discrètes $v$ (non seulement celles pro-venant de la courbe $C$) telles que les groups $SK_1$ ou $USK_1$ en $v$ sont triviaux.

Par exemple, si $k = \mathbb{Q}_p$ et $p \nmid \text{deg}(D)$, on peut mettre dans $\Omega$ les valuations de $K$ correspondant aux points de codimension 1 des modèles réguliers de $C$ sur $\mathbb{Z}_p$.

**Remerciements**

Nous remercions Ting-Yu Lee pour des discussions utiles, et les rapporteurs pour des commen-taires qui nous aident à améliorer l'article.

**Déclaration d’intérêts**

Les auteurs ne travaillent pas, ne conseillent pas, ne possèdent pas de parts, ne reçoivent pas de fonds d'une organisation qui pourrait tirer profit de cet article, et n'ont déclaré aucune autre affiliation que leurs organismes de recherche.
Références

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