ANNALES
DE LA FACULTÉ
DES SCIENCES
DE TOULOUSE
Mathématiques

CHRISTIAN MIEBACH

Sur les quotients discrets de semi-groupes complexes

Tome XIX, n° 2 (2010), p. 269-276.

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© Université Paul Sabatier, Toulouse, 2010, tous droits réservés.

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# Sur les quotients discrets de semi-groupes complexes

CHRISTIAN MIEBACH(1)

**RÉSUMÉ.** — Soit $X = G/K$ un espace symétrique hermitien irréductible de type non-compact et soit $S \subset G^C$ le semi-groupe associé formé des compressions de $X$. Soit $\Gamma \subset G$ un sous-groupe discret. Nous donnons une condition suffisante pour que le quotient $\Gamma\backslash S$ soit une variété de Stein. En outre nous démontrons qu’en général $\Gamma\backslash S$ n’est pas de Stein ce qui réfute une conjecture de Achab, Betten et Krötz.

**ABSTRACT.** — Let $X = G/K$ be an irreducible Hermitian symmetric space of the non-compact type and let $S \subset G^C$ be the associated compression semigroup. Let $\Gamma \subset G$ be a discrete subgroup. We give a sufficient condition for $\Gamma\backslash S$ to be Stein. Moreover, we show that $\Gamma\backslash S$ is not Stein in general which disproves a conjecture by Achab, Betten and Krötz.

## 0. Introduction

Soit $X = G/K$ un espace symétrique hermitien irréductible de type non-compact et soit $S \subset G^C$ le semi-groupe associé consistant des compressions de $X$. On démontre dans [ABK04] que le quotient $\Gamma\backslash S$ est holomorphiquement séparable pour tout sous-groupe discret $\Gamma \subset G$. De plus, ils conjecturent que ce quotient est une variété de Stein et ils vérifient cette conjecture dans le cas où $G = SL(2, \mathbb{R})$ et $\Gamma \subset SL(2, \mathbb{Z})$.

Dans ce travail nous donnons une condition suffisante pour que $\Gamma\backslash S$ soit de Stein.

Fakultät für Mathematik, Ruhr-Universität Bochum, Universitätsstraße 150, D-44780 Bochum, Allemagne

christian.miebach@ruhr-uni-bochum.de

Adresse actuelle: Centre de Mathématiques et Informatique, UMR-CNRS 6632 (LATP), 39, rue Joliot-Curie, Université de Provence, 33453 Marseille Cedex 13 France.

<footnote>(*) Reçu le 19/06/2008, accepté le 14/12/2008</footnote>

<footnote>(1) L’auteur est soutenu par le SFB/TR 12 de la DFG</footnote>
THÉORÈME 2.4. — Soit $X = G/K$ un espace symétrique hermitien irré-
ducible de type non-compact et soit $S \in G^{\mathbb{C}}$ le semi-groupe associé formé
des compressions de $X$. Soit $\Gamma \subset G$ un sous-groupe discret qui agit librement
sur $X$. Si $X/\Gamma$ est une variété de Stein, alors $\Gamma\backslash S$ est de Stein aussi.

Après avoir présenté les fondements nécessaires de la théorie des espaces
symétriques hermitiens et des semi-groupes de compression dans la première
section, nous démontrons ce théorème. Notre preuve utilise essentiellement
le fibré $G^{\mathbb{C}} \to G^{\mathbb{C}}/K^{\mathbb{C}} \to Z$ (où nous notons par $Z$ le dual compact de $X$)
et des techniques qui ont été développées dans [Mie08]. Dans la dernière
section nous montrons que, si $G = SL(2, \mathbb{R})$ et si $G/\Gamma$ est compacte, alors
$\Gamma\backslash S$ n'est pas de Stein ce qui réfute la conjecture générale dans [ABK04].

Je remercie Karl Oeljeklaus pour l'intérêt et l'aide qu'il a apporté à ce
travail ainsi que pour l'invitation à LATP de l'Université de Provence où ce
travail a été effectué.

1. Le semi-groupe de compression associé à un espace symétrique hermitien

Dans cette section nous parcourons les parties de la théorie des espaces
symétriques hermitiens non-compacts $X$ dont nous avons besoin afin de
définir le semi-groupe de compression associé à $X$. Pour en savoir plus nous
prions le lecteur de s'adresser à [Hel01] et [HN93].

Soit $X = G/K$ un espace symétrique hermitien irréducible de type non-
compact. Nous pouvons supposer que $G$ est un groupe de Lie réel connexe
simple sans facteurs compacts qui est plongé dans sa complexification uni-
verselle $G^{\mathbb{C}}$ et que $K$ est un sous-groupe maximal compact de $G$ qui est
défini par l'involution de Cartan $\theta \in \text{Aut}(G)$. Nous dénotons par $g = k \oplus p$
la décomposition de l'algèbre de Lie $g$ de $G$ par rapport à $\theta_* \in \text{Aut}(g)$.
Puisque $X$ est une variété complexe sur laquelle $G$ agit par des transfor-
mations holomorphes, il y a une structure complexe $J$ sur $p$ invariante par
l'action adjointe de $K$. Nous étendons $J$ comme un opérateur $C$-linéaire à
$p^{\mathbb{C}}$. Puisque les valeurs propres de $J$ sont $\pm i$, on obtient la décomposition en
somme direct $p^{\mathbb{C}} = p^+ \oplus p^-$. On peut démontrer que $p^\pm$ est une sous-algèbre
commutative de $g^{\mathbb{C}}$ et $[k^{\mathbb{C}}, p^\pm] \subset p^\pm$.

Soient $K^{\mathbb{C}}$ et $P^{\pm}$ les sous-groupes analytiques de $G^{\mathbb{C}}$ dont l'algèbre de Lie est donnée par $k^{\mathbb{C}}$ et $p^{\pm}$. Alors $K^{\mathbb{C}}$ et $P^{\pm}$ sont des sous-groupes fermés et complexes de $G^{\mathbb{C}}$. De plus, l'ensemble $Q^{\pm} := K^{\mathbb{C}}P^{\pm}$ est un sous-groupe fermé complexe parabolique et isomorphe au produit semi-direct $K^{\mathbb{C}} \times P^{\pm}$. L'espace complexe homogène $Z := G^{\mathbb{C}}/Q^{-}$ peut être identifié au dual compact de $X$ et l'application $X \to Z$, $gK \mapsto gQ^{-}$, définit un plongement
holomorphe de $X$ comme un ouvert de $Z$. Ce plongement est connu comme
le plongement de Borel. Désormais nous regardons $X$ comme l'orbite ouverte
$G \cdot eQ^{-} \subset Z$.

DÉFINITION 1.1. — L’ensemble

$$
S := \{ g \in G^{\mathbb{C}} ; g(\bar{X}) \subset X \}
$$

s'appelle le semi-groupe ouvert complexe de compression associé à X.

Il suit immédiatement que $S$ est un sous-ensemble ouvert et $(G \times G)^{-}$ invariant de $G^{\mathbb{C}}$ où l'action de $G \times G$ est donnée par $z \mapsto g_1 z g_2^{-1}$. De plus, $S$ est stable par rapport à la multiplication de $G^{\mathbb{C}}$ et par conséquent un semi-groupe. Ce semi-groupe de compression est un cas particulier d'un semi-groupe d'Ol'shanskiï (comparer chapitre 8 dans [HN93]).

THÉORÈME 1.2 ([NEE00]). — Le semi-groupe de compression S est un domaine d'holomorphie hyperbolique au sens de Kobayashi dans G<sup>C</sup>. En particulier, le groupe G × G agit proprement sur S.

Le quotient $\Gamma\S$ est une variété complexe pour tout sous-groupe $\Gamma \subset G$
qui agit par multiplication de gauche sur $S$. Le théorème suivant est un cas
particulier d'un résultat plus général de Achab, Betten et Krötz ([ABK04]).

THÉORÈME 1.3. — *Soit $\Gamma$ un sous-groupe discret de $G$.*

1. La variété complexe $\Gamma\S$ est holomorphiquement séparable.

2. Si $G/\Gamma$ est compact, alors les fonctions holomorphes bornées séparent les points de $\Gamma\S$, i. e. $\Gamma\S$ est hyperbolique au sens de Caratheodory.

3. Si $G = SL(2, \mathbb{R})$ et si $\Gamma$ est contenu dans $SL(2, \mathbb{Z})$, alors $\Gamma\S$ est une variété de Stein.

La preuve de ce théorème utilise la théorie des représentations de $S$.

Enfin, nous notons l'observation suivante qui se trouve sans démonstration
dans [BR01]. Pour l'aise du lecteur nous en donnons une démonstration.
À l'egard de la théorie des ensembles réel-algébriques et semi-algébriques
nous renvoyons le lecteur à [BCR98].

LEMME 1.4. — *Le semi-groupe $S$ est un sous-ensemble semi-algébrique de $G^{\mathbb{C}}$.*
*Démonstration.* — Soit $A: G^C \times Z \to Z \times Z$ l'application $(g, z) \mapsto (g \cdot z, z)$ et soit $p_{G^C}: G^C \times Z \to G^C$ la projection sur la première composante. Il n'est pas difficile de montrer que l'on a :

$$G^C \setminus S = p_{G^C}(A^{-1}(Z \setminus X \times \bar{X})).$$

De plus il est bien connu que $G^C$ porte une unique structure de groupe linéaire-algébrique et que $G^C$ agit de façon algébrique sur la variété projective $Z$. Puisque $G$ est réel-algébrique dans $G^C$, le théorème de Tarski-Seidenberg implique que l'orbite $X = G \cdot eQ^-$ est semi-algébrique. Par conséquent, son complémentaire $Z \setminus X$ et son adhérence $\bar{X}$ sont également semi-algébriques, donc $A^{-1}(Z \setminus X \times \bar{X})$ est semi-algébrique. Enfin, le théorème de Tarski-Seidenberg implique que $G^C \setminus S$ et par conséquent $S$ sont semi-algébriques. $\square$

## 2. Une condition suffisante pour que $\Gamma \setminus S$ soit de Stein

Nous continuons la notation etablie dans la section précédente. La complexification de l'espace symétrique hermitien $X = G/K$ est par définition la variété complexe homogène $X^C := G^C/K^C$. Puisque $K^C$ est fermé dans $Q^- \cong K^C \times P^-$, l'application naturelle $p: G^C/K^C \to G^C/Q^-$ est un fibré holomorphe dont la fibre est donnée par $P^- \cong \mathbb{C}^{\dim X}$ et dont le groupe structural est le groupe complexe connexe $Q^-/I$ où $I$ est le sous-groupe maximal de $K^C$ qui est normal dans $Q^-$. □

Il est connu que l'application $gK^C \mapsto (gQ^-, gQ^+)$ est un plongement ouvert de $X^C$ dans $G^C/Q^- \times G^C/Q^+$. Il s'ensuit que nous obtenons que le diagramme

$$ \begin{array}{ccc} G^C/K^C & \longrightarrow & G^C/Q^- \times G^C/Q^+ \\ \downarrow & & \downarrow \\ G^C/Q^- & \longrightarrow & G^C/Q^- \end{array} $$

est commutatif.

Soit $\pi: G^C \to G^C/K^C$ le fibré principal de groupe structural $K^C$. Nous commençons par montrer que l'image $\pi(S)$ est une variété de Stein. Un théorème de Matsushima et Morimoto assure que $\pi(S)$ est de Stein si et seulment si $SK^C$ est de Stein.

**PROPOSITION 2.1.** — Le domaine $SK^C \subset G^C$ est de Stein. Par conséquent, $\pi(S) \subset G^C/K^C$ est de Stein.
*Démonstration.* — Puisque $S$ est invariant par rapport à la multiplication à droite de $K$, on obtient une action holomorphe locale par $K^{\mathbb{C}}$ sur $S$. Par [Hei91] il y a une variété de Stein $S^*$ munie d'une action holomorphe de $K^{\mathbb{C}}$ et un plongement ouvert holomorphe $K$-equivariant $\varphi: S \to S^*$ tel que $S^* = K^{\mathbb{C}} \cdot \varphi(S)$. De plus, $S^*$ est universel ce qui implique l'existence d'une application holomorphe $K^{\mathbb{C}}$-equivariante $\Phi: S^* \to SK^{\mathbb{C}}$ tel que $\Phi \circ \varphi$ coïncide avec l'inclusion $S \hookrightarrow SK^{\mathbb{C}}$. Il s'en suit que $\Phi$ est surjectif et localement biholomorphe. Donc il suffit de montrer que $\Phi$ est une application finie. Dans notre situation c'est le cas si et seulement si les fibres de $\Phi$ sont finies.

Pour $z_0 \in S$ nous définissons l'ensemble

$$K^{\mathbb{C}}[z_0] := \{k \in K^{\mathbb{C}}; z_0 k^{-1} \in S\}.$$

Or, $S$ est semi-algébrique par Lemme 1.4 et $K^{\mathbb{C}}$ est un groupe linéaire algébrique, donc $K^{\mathbb{C}}[z_0]$ est semi-algébrique. En particulier, le nombre de composantes connexes de $K^{\mathbb{C}}[z_0]$ est fini. Nous allons démontrer que $\#\Phi^{-1}(z_0)$ est borné par le nombre de composantes connexes de $K^{\mathbb{C}}[z_0]$.

Soit $z \in \Phi^{-1}(z_0)$. Alors il y a un élément $k \in K^{\mathbb{C}}$ tel que $k \cdot z \in \varphi(S)$. Par conséquent, nous avons $\Phi(k \cdot z) = k \cdot \Phi(z) = z_0 k^{-1} \in S$, i. e. $k \in K^{\mathbb{C}}[z_0]$. Comme $\Phi|_{\varphi(S)}: \varphi(S) \to S$ est biholomorphe, nous concluons $k \cdot z = \varphi(z_0 k^{-1})$, ce qui est équivalent à $z = k^{-1} \cdot \varphi(z_0 k^{-1})$. Comme réciproquement tout élément $z \in S^*$ de la forme $z = k^{-1} \cdot \varphi(z_0 k^{-1})$ avec $k \in K^{\mathbb{C}}[z_0]$ est contenu dans $\Phi^{-1}(z_0)$, nous obtenons une application surjective

$$K^{\mathbb{C}}[z_0] \to \Phi^{-1}(z_0), \quad k \mapsto k^{-1} \cdot \varphi(z_0 k^{-1}). \qquad (2.1)$$

Si $k \in K^{\mathbb{C}}[z_0]$ est contenu dans la composante connexe de l'élément neutre, nous avons $\varphi(z_0 k^{-1}) = k \cdot \varphi(z_0)$. Cette observation implique que l'application (2.1) est localement constante, ce qui montre la proposition. $\square$

*Remarque.* — La variété $S^*$ est la globalisation universelle de la $K^{\mathbb{C}}$-action locale sur $S$ au sens de [Pal57].

La proposition 2.1 nous permet de donner la condition equivalente suivante pour que $\Gamma\backslash S$ soit de Stein.

**PROPOSITION 2.2.** — Soit $\Gamma \subset G$ un sous-groupe discret. Alors $\Gamma\backslash S$ est de Stein si et seulement si $\Gamma\backslash\pi(S)$ est de Stein.

*Démonstration.* — Si $\Gamma\backslash S$ est de Stein, alors la globalisation universelle $\Gamma\backslash S^*$ de la $K^{\mathbb{C}}$-action locale sur $\Gamma\backslash S$ est aussi de Stein. Comme $K^{\mathbb{C}}[\Gamma g] = K^{\mathbb{C}}[g]$ pour tout $g \in S$, le même argument qu'au-dessus implique que $\Gamma\backslash SK^{\mathbb{C}}$ est de Stein, ce qui montre que $\Gamma\backslash\pi(S)$ est de Stein.
Réciproquement, si $\Gamma\pi(S)$ est de Stein, alors $\Gamma\SK^C$ est aussi de Stein. Puisque $\Gamma\S$ est plongé comme ouvert dans $\Gamma\SK^C$ et localement de Stein, l'affirmation découle d'un argument à la Docquier-Grauert (comparer Proposition 4.7 dans [Mie08]). $\square$

Soit $p:G^C/K^C \to G^C/Q^-$ le fibré holomorphe et considérons $X \subset G^C/Q^-$.

LEMME 2.3. — On a $\pi(S) \subset p^{-1}(X)$.

*Démonstration*. — Soit $g \in S$. Comme les applications $\pi$ and $p$ sont $G^C$-equivariantes, nous en déduisons que $p \circ \pi(g) = g \cdot p \circ \pi(e) = g \cdot eQ^-$. À cause de $eQ^- \in X$, la définition de $S$ implique que $gQ^- \in X$. $\square$

La restriction $p: p^{-1}(X) \to X$ est un fibré holomorphe de fibre $P^-$ et de groupe structural complexe connexe $Q^-$. De plus, le groupe $G$ agit par des automorphismes de fibré sur $p^{-1}(X)$.

Le théorème suivant donne une condition suffisante pour que $\Gamma\S$ soit de Stein.

THÉORÈME 2.4. — *Soit $\Gamma \subset G$ un sous-group discret qui agit librement sur $X$. Si $X/\Gamma$ est de Stein, alors $\Gamma\S$ est également de Stein.*

*Démonstration*. — Comme le groupe $\Gamma$ agit par automorphismes de fibré, nous obtenons le fibré holomorphe $\Gamma\backslash p^{-1}(X) \to X/\Gamma$ (comparer Proposition 6.1 dans [Mie08]). Comme $X/\Gamma$ est de Stein, la fibre $P^-$ est de Stein, et le groupe structural de ce fibré est complexe connexe, nous en déduisons que $\Gamma\backslash p^{-1}(X)$ est de Stein. Puisque $\pi(S)$ est de Stein et $\Gamma\backslash\pi(S)$ est un ouvert dans $\Gamma\backslash p^{-1}(X)$, nous concluons que $\Gamma\backslash\pi(S)$ est de Stein et donc que $\Gamma\S$ est de Stein. $\square$

*Exemple*. —

1. Soit $G = SL(2, \mathbb{R})$ et soit $\Gamma \subset G$ un sous-groupe discret qui agit librement sur le demi-plan supérieur $\mathbb{H}$ tel que la surface de Riemann $R := \mathbb{H}/\Gamma$ est non-compacte. Dans ce cas $R$ est de Stein, donc le quotient $\Gamma\S$ est de Stein aussi. Cette observation donne une nouvelle démonstration du Théorème 1.3 (3).

2. Si $X = G/K$ est un espace symétrique hermitien quelconque de type non-compact et si $\Gamma \subset G$ et cyclique, alors $X/\Gamma$ et donc $\Gamma\S$ sont de Stein par [Mie08].
### 3. Un contre-exemple

Dans cette section nous considérons l'exemple explicit du disque $X = \Delta = \{z \in \mathbb{C}; z < 1\}$. Le dual compact de $X$ est donné par $Z = \mathbb{P}_1$ et nous avons

$$ \Delta \cong \{[z_0 : z_1] \in \mathbb{P}_1; z_0^2 - z_1^2 < 0\} \cong G/K \quad (3.2) $$

$$ \text{pour } G = \text{SU}(1, 1) \text{ et } K = \left\{ \begin{pmatrix} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{-it} \end{pmatrix}; t \in \mathbb{R} \right\} \cong S^1. $$

On vérifie que $P^{-} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \mathbb{C} & 1 \end{pmatrix}$ et $P^{+} = \begin{pmatrix} 1 & \mathbb{C} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Donc, nous pouvons identifier $G^{\mathbb{C}}/Q^{-} \times G^{\mathbb{C}}/Q^{+}$ avec $\mathbb{P}_{1} \times \mathbb{P}_{1}$ où le point $(eQ^{-}, eQ^{+})$ correspond à $([0:1], [1:0])$. De plus, nous identifions la complexification $X^{\mathbb{C}} = G^{\mathbb{C}}/K^{\mathbb{C}}$ avec la $G^{\mathbb{C}}$-orbite ouverte de $(eQ^{-}, eQ^{+})$, i. e. avec $(\mathbb{P}_{1} \times \mathbb{P}_{1}) \setminus D$ où nous notons par $D$ la diagonale dans $\mathbb{P}_{1} \times \mathbb{P}_{1}$. Par conséquent, $p^{-1}(\Delta) = (\Delta \times \mathbb{P}_{1}) \setminus D$ contient les domaines $G$-invariants $(\Delta \times \Delta) \setminus D$ et $\Delta \times (\mathbb{P}_{1} \setminus \bar{\Delta})$ qui sont de Stein tous les deux. Le groupe $G$ agit librement et transitivement sur leur frontière $F := \Delta \times S^1$ qui est alors une hypersurface Levi-plate dans $p^{-1}(\Delta)$.

**LEMME 3.1.** — Le domaine $\pi(S)$ contient l'hypersurface Levi-plate $F$.

*Démonstration.* — On vérifie directement que pour $t > 0$ l'élément $\begin{pmatrix} e^{-t} & 0 \\ 0 & e^t \end{pmatrix}$ est contenu dans $S \cap K^{\mathbb{C}}$. Comme la matrice $\begin{pmatrix} 1+ix & -ix \\ ix & 1-ix \end{pmatrix}$ se trouve dans $G = \text{SU}(1, 1)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, leur produit est contenu dans $S$. L'orbite par ce produit du point $([0:1], [1:0])$ est donnée par

$$ ([-ie^{-t}x : e^t(1-ix)], [e^{-t}(1+ix) : ie^t x]). \quad (3.3) $$

Un calcul simple montre que pour le choix $x = 1$ et $t = \frac{1}{4} \log(2)$ cet élément est contenu dans $F$. En utilisant la multiplication à gauche par $G$ l'affirmation est démontrée. $\square$

**PROPOSITION 3.2.** — Si $G/\Gamma$ est compact, alors le quotient $\Gamma\backslash S$ n'est pas de Stein.

*Démonstration.* — Par la proposition 2.2 le quotient $\Gamma\backslash S$ est de Stein si et seulement si $\Gamma\backslash\pi(S)$ est de Stein. Nous avons vu que $\pi(S)$ contient une hypersurface $G$-invariante Levi-plate $F$ ce qui implique que $\Gamma\backslash\pi(S)$ contient l'hypersurface compacte Levi-plate $\Gamma\backslash F$. Soit $f$ une fonction holomorphe quelconque sur $\Gamma\backslash\pi(S)$ et soit $z \in \Gamma\backslash F$ un point dans lequel la norme absolue de la restriction de $f$ sur $\Gamma\backslash F$ prend son maximum. Comme $\Gamma\backslash F$
est Levi-plate, il y a une feuille holomorphe qui passe par $z$. Le principe du maximum implique que $f$ doit être constante sur cette feuille. Nous en déduisons que les points de cette feuille ne peuvent pas être séparés par les fonctions holomorphes, i. e. que $\Gamma\pi(S)$ n'est pas holomorphiquement séparable, et en particulier, pas de Stein. $\square$

Bibliographie

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