## CONTEXTE

**Goniométrie** : estimation des directions d'arrivées $\theta_1, ..., \theta_M$ de sources à partir d'un réseau d'antennes

* Émetteurs : balises, radars, communications étatiques

* Applications : ✈ recherche de victimes, ✈ industrie 4.0, ✈ guerre électronique

### Application visée : la gamme HF

* Ondes de fréquences comprises entre 1 MHz et 30 MHz

* Canal HF **difficile** : propagation par réflexion, multi-trajets, corrélation temporelle, estimation 2D (azimuth $\theta$ et élévation $\Delta$), faible Rapport Signal sur Bruit (RSB), grand nombre de sources...

**Objectif** : développement d'algorithmes de goniométrie adaptés au canal HF traitant un grand nombre de sources

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## REPRÉSENTATION PARCIMONIEUSE DE L'OBSERVATION

Pour identifier + de sources : modèle de la covariance vectorisée [2]

$$ \mathbf{r} = \mathbf{B}_0\gamma_0 + \boldsymbol{\delta} $$

* Identification d'au plus $N^2 - 1$ vs. $N - 1$ sources avec le modèle classique

* Décomposition de l'observation $\mathbf{r} = \mathbf{B}_0\gamma_0 + \boldsymbol{\delta} = \mathbf{B}\gamma + \boldsymbol{\delta}$

* Les directions correspondent aux indices des composantes non nulles de $\gamma$

* Problème sous-déterminé : impossible d'utiliser les moindres carrés

* Ajout d'une pénalité $\Phi$ (norme $\ell_0$, CEL0 [3]) favorisant la parcimonie

$$ \hat{\gamma} = \arg\min_{\gamma} J_{\Phi}(\lambda, \gamma) \quad \text{avec} \quad J_{\Phi}(\lambda, \gamma) = \underbrace{\frac{1}{2} \|\mathbf{r} - \mathbf{B}\gamma\|_2^2}_{\text{Pénalité}} + \Phi(\lambda, \gamma) $$
Attache aux données

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## RÉGLAGE DU PARAMÈTRE $\lambda$

* $\lambda$ ajuste le poids de la pénalité $\Phi$ par rapport au terme d'at-tache aux données

**Objectif** : choisir $\lambda$ tel que l'argument $(\gamma_{MV})$ du min. du critère du max. de vraisemblance (MV) coïncide avec celui de $J_{\Phi}$

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* On montre que l'intervalle $[\lambda_-, \lambda_+]$ de Nikolova [4] et Delmer [5] permet d'obtenir ce résultat

* Proposition [6] d'un choix de $\lambda$ appartenant à l'intervalle exploitant la statistique du min. du critère MV

* Calcul de la statistique du min. du critère MV : asymptotiquement $\chi^2$ à $N^2 - M$ degrés de liberté

## PERFORMANCES

* Le choix de $\lambda$ proposé appartient à l'intervalle $[\lambda_-, \lambda_+]$

* La méthode parcimonieuse a les mêmes performances que le MV : les deux estimateurs sont équivalents

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Mise en œuvre à moindre coût du maximum de vraisemblance par les méthodes d'estimation parcimonieuses

[1] G. BIENVENU et L. KOPP, "Optimality of high resolution array processing using the eigensystem approach". In: IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing 31.5 (1983), p. 1235-1248.

[2] Joseph S. PICARD et Anthony J. WEISS, "Direction finding of multiple emitters by spatial sparsity and linear programming". In: 2009 9th International Symposium on Communications and Information Technology, 2009, p. 1258-1262.

[3] Emmanuel SOUBIES, Laure BLANC-FÉAUD et Gilles AUBERT, "A Continuous Exact 10 penalty (CEL0) for least squares regularized problem". In: SIAM Journal on Imaging Sciences 8.3 (juill. 2015), pp. 1607-1639 (33 pages).

[4] Mila NIKOLOVA, "Relationship between the optimal solutions of least squares regularized with $\ell_0$-norm and constrained by $k$-sparsity". In: Applied and Computational Harmonic Analysis 41.1 (2016), p. 237-265.

[5] Alice DELMER, Anne FERRÉOL et Pascal LARZABAL, "On regularization Parameter for L0-Sparse Covariance Fitting Based DOA Estimation". In: ICASSP 2020 - 2020 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP), 2020.

[6] Thomas AUSSAGUÈS et al. "Looking for Equivalence between Maximum Likelihood and Sparse DOA Estimators". In: 2024 32nd European Signal Processing Conference (EUSIPCO), 2024.