# Méthode d'homogénéisation des opérateurs à coefficients périodiques : étude des correcteurs provenant du développement asymptotique

Jean-François Bourgat, Alain Dervieux

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Jean-François Bourgat, Alain Dervieux. Méthode d'homogénéisation des opérateurs à coefficients périodiques : étude des correcteurs provenant du développement asymptotique. [Rapport de recherche] IRIA-RR-278, IRIA. 1978, pp.62. hal-04716557

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042808

MÉTHODE D'HOMOGÉNÉISATION
DES OPÉRATEURS À
COEFFICIENTS PÉRIODIQUES :
ÉTUDE DES CORRECTEURS
PROVENANT DU
DÉVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE

Jean-François BOURGAT
Alain DERVIEUX

Rapport de Recherche N° 278

Février 1978
# MÉTHODE D'HOMOGÉNÉISATION DES OPÉRATEURS A COEFFICIENTS PÉRIODIQUES : ÉTUDE DES CORRECTEURS PROVENANT DU DÉVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE

Jean-François Bourgat*, Alain Dervieux*

## Résumé :

La solution d'une équation aux dérivées partielles à coefficients périodiques peut être approchée à l'aide d'un développement asymptotique par rapport à la période. Dans le cas d'un problème elliptique, le terme d'ordre zéro, appelé solution homogénéisée, donne une bonne approximation de la solution lorsque le nombre des périodes est grand. Nous étudions ici la contribution des termes d'ordre 1 et 2 et notamment celle des termes périodiques, que nous appellerons correcteurs, et qui se révèlent particulièrement efficaces dans l'approximation des oscillations micro-périodiques de la solution lorsque le nombre des périodes n'est pas très grand.

## Abstract :

The solution of a partial differential equation with periodic coefficients can be approximated with the help of an asymptotic expansion with respect to the period. In the case of an elliptic problem, the zero order term, so called homogenized solution, gives a good approximation of the solution when the number of periods is large. We study here the contribution of the first and second order terms and specially the periodic ones, so called correctors, which appears to be particularly effective for the approximation of microperiodic oscillations of the solution when the number of periods is not very large.
# INTRODUCTION

La difficulté de résolution numérique d'un problème aux limites dépend pour une grande part de la variation de ses coefficients. Cela est bien évident, par exemple, dans les milieux physiques hétérogènes, lorsque le nombre des hétérogénéités est grand. La méthode d'homogénéisation permet d'approcher le milieu hétérogène par un milieu homogène "équivalent".

Lorsque les coefficients du problème sont périodiques la méthode repose alors sur un développement asymptotique par rapport à la période.

La solution du problème homogénéisé donne une bonne approximation de la solution réelle lorsque le nombre de cellules est grand. Nous étudions ici comment améliorer l'approximation des oscillations micropériodiques de la solution et comment obtenir une approximation raisonnable lorsque le nombre de cellules n'est pas très grand.

Pour cela on utilise les termes d'ordre 1 et 2 du développement asymptotique. Les termes utilisés, dans la mesure où ils sont aisément calculables, sont appelés "correcteurs".

Le cas des coefficients présentant certaines symétries a été étudié avec une attention particulière car c'est un cas fréquent dans les problèmes physiques et il nous a permis de séparer l'influence des différents correcteurs et de préciser leur type.

Dans le cas des coefficients présentant des variations de très forte amplitude, ce que l'on appelle "systèmes raides" dans la terminologie de J.L. LIONS [1] nous avons dégagé théoriquement et numériquement les correcteurs les plus utiles.

Le phénomène de couche limite est très délicat à traiter (cf. BENSOUSSAN-LIONS-PAPANICOLAU [2]) et nous avons préféré mettre en évidence des "contextes" où ce phénomène n'intervient pas ce qui nous a permis d'obtenir des estimations à l'ordre 2. On trouvera cependant à la fin de ce travail quelques essais numériques tentant de cerner l'influence de ce phénomène. Des résultats récents sur les aspects mathématiques de l'homogénéisation ont été donnés dans BABUSKA [2], [3], BENSOUSSAN-LIONS-PAPANICOLAU [1], [2], DE GIORGI-SPAGNOLO [1], SANCHEZ-PALENCIA [1], TARTAR [1].
Le plan est le suivant :

1. Rappels et précisions sur les termes correcteurs (Problème de Dirichlet)

1.1. Formulation du problème.

1.2. Développement asymptotique.

1.3. Estimations dans l'espace $C^0(\bar{\Omega})$.

1.4. Estimation du reste frontière.

1.5. Estimations dans l'espace $H^1(\Omega)$.

2. Rappels et précisions sur les termes correcteurs (Problème de Neumann).

2.1. Formulation du problème.

2.2. Estimation du reste frontière.

2.3. Estimations dans l'espace $H^1(\Omega)$.

3. Etude d'un contexte symétrique.

4. Correcteurs et problèmes raides.

4.1. Hypothèses et notations. Formulation du problème.

4.2. Etude du correcteur du 1er ordre.

4.3. Etude du correcteur du 2ème ordre.

5. Résultats Numériques dans un contexte symétrique.

5.1. Exemple étudié.

5.2. Eléments sur la méthode de résolution numérique.

5.3. Correcteur périodique du 1er ordre.

5.4. Correcteur périodique du 2ème ordre.

6. Etude Numérique du correcteur $\tilde{w}_1$.

7. Etude Numérique du reste frontière.
# 1. - RAPPELS ET PRECISIONS SUR LES TERMES CORRECTEURS (Problème de Dirichlet).

## 1.1. Formulation du problème.

Soient $a_{ij}$ des fonctions de $\mathbb{R}^N$ dans $\mathbb{R}$, périodiques de période $p_1, \dots, p_N$,
suffisamment régulières. Soit $Y$ le parallélotope des périodes

$$Y = \left[ \begin{bmatrix} 0 & p_i \end{bmatrix} \right].$$

On suppose que

$$ (1) \quad \sum_{i,j=1}^{N} a_{ij}(y) \xi_i \xi_j \ge \alpha \sum_{i=1}^{N} \xi_i^2, \quad \alpha > 0, \quad \forall \xi_i \in \mathbb{R}^N. $$

La matrice $a_{ij}$ n'est pas en général symétrique, le symbole $\Sigma$ sera sous entendu comme en mécanique (sommation sur l'indice répété)

$$ \sum_{i,j=1}^{N} a_{ij} \xi_i \xi_j = a_{ij} \xi_i \xi_j . $$

On considère l'équation

$$ (2) \quad \left\{ \begin{array}{l} A^{\epsilon} u_{\epsilon} = f \quad \text{dans } \Omega \\ u_{\epsilon} \in H_O^1(\Omega) \end{array} \right. $$

avec

$$ \Omega \text{ ouvert borné assez régulier de } \mathbb{R}^N, \\ f \in L^2(\Omega) $$

et

$$ (3) \quad A^{\epsilon} \phi = - \frac{\partial}{\partial x_i} \left( a_{ij} \left( \frac{x}{\epsilon} \right) \frac{\partial}{\partial x_j} \phi \right), \quad \epsilon > 0. $$

De tels problèmes aux limites interviennent dans la modélisation de milieux physiques présentant des propriétés de périodicité en espace. C'est le cas par exemple du problème de la torsion élastique d'une barre cylindrique renforcée par des fibres (cf. BOURGAT-LANCHON [1]). Les fibres sont réparties périodiquement (cf. fig. 1) dans une matrice d'une matière différente.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 1. Structure cellulaire et cellule représentative.</figcaption></figure>

## 1.2. Développement asymptotique.

On se propose de développer $u_\varepsilon$ en fonction de $\varepsilon$ quand ce paramètre tend vers 0.

Nous allons rappeler ici la méthode des échelles multiples utilisée dans BENSOUSSAN-LIONS-PAPANICOLAU [2]. Le principe de cette méthode consiste à faire le changement de variable

$$ \tilde{\phi}(x,y) = \phi(x+\varepsilon y) . $$

L'opérateur de dérivation est transformé ainsi :

$$ \frac{\partial}{\partial x_i} \rightsquigarrow \frac{\partial}{\partial x_i} + \frac{1}{\varepsilon} \frac{\partial}{\partial y_i} , \quad i=1, \dots, N , $$

et l'on peut écrire :

$$ (4) \qquad A = \varepsilon^{-2} A_1 + \varepsilon^{-1} A_2 + A_3 , $$

avec

$$ A_1 = - \frac{\partial}{\partial y_i} (a_{ij}(y) \frac{\partial}{\partial y_j}) , $$
$$A_2 = - \frac{\partial}{\partial y_i} (a_{ij}(y) \frac{\partial}{\partial x_j}) - a_{ij}(y) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial y_j}$$

$$A_3 = - a_{ij}(y) \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j}.$$

Il est naturel de chercher un développement de $u_{\epsilon}(x)$ sous la forme

$$u_{\epsilon}(x) = w_{0}(x,y) + \epsilon w_{1}(x,y) + \epsilon^{2} w_{2}(x,y) + \dots$$

$$\text{avec} \qquad y = \frac{x}{\epsilon}$$

et $w_j(x,y)$ Y-périodiques en $y$.

On peut alors écrire l'équation (2) sous la forme

$$(\epsilon^{-2}A_1 + \epsilon^{-1}A_2 + A_3)(w_0 + \epsilon w_1 + \epsilon^2 w_2 + \dots) = f$$

d'où par identification

$$(5) \qquad A_1 w_0 = 0$$

$$(6) \qquad A_1 w_1 + A_2 w_0 = 0$$

$$(7) \qquad A_1 w_2 + A_2 w_1 + A_3 w_0 = f$$

$$(8) \qquad A_1 w_3 + A_2 w_2 + A_3 w_1 = 0.$$

L'équation (5) a pour solution une fonction ne dépendant pas de $y$

$$w_0(x,y) = u(x).$$

L'équation (6) devient

$$A_1 w_1 = \frac{\partial}{\partial y_i} (a_{ij}(y)) \frac{\partial u}{\partial x_j}.$$

On introduit l'espace

$$(9) \quad W(Y) = \{ v \in H^1(Y) ; v \text{ périodique sur } Y, \text{i.e. prenant des valeurs } \\ \text{égales sur les faces opposées de } Y, \text{ et de moyenne nulle, i.e.} \\ \int_Y v(y) dy = 0 \}.$$
Le second membre étant orthogonal aux fonctions constantes, il existe
une solution (alternative de Fredholm) au système

$$
(10) \quad \left\{
\begin{array}{l}
A_l \chi^j = - \frac{\partial}{\partial y_i} a_{ij} \\[1em]
\chi^j \in W(Y) \text{ et } \frac{\partial \chi^j}{\partial y_i} \text{ prend des valeurs égales sur les faces opposées de } Y
\end{array}
\right.
$$

et l'on a

$$
(11) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
w_1(x,y) = \hat{w}_1(x,y) + \tilde{w}_1(x) \quad \text{avec} \\
\hat{w}_1(x,y) = - \chi^i(y) \frac{\partial u}{\partial x_i}(x) ; \quad \tilde{w}_1 \text{ indépendant de } y,
\end{array}
\right.
$$

La condition $\int_Y v(y)dy = 0$ introduite dans (9) permet de définir $\chi^j$ de façon unique et sera justifiée dans la suite.

Appliquons à nouveau l'alternative de Fredholm à l'équation (7)

$$
A_1 w_2 = f - A_2 w_1 - A_3 w_0
$$

On obtient la condition

$$
\int_Y (f - A_2 w_1 - A_3 w_o) \, dy = 0 \quad \forall x .
$$

Utilisant la périodicité de $a_{ij} \frac{\partial w_l}{\partial x_j}$ cette condition devient (on pose
$|Y| = \text{mes}(Y)) :

$$
|Y|f = \left[ \iint_Y a_{ik}(y) \frac{\partial \chi^j}{\partial y_k} dy \right] \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} - \left[ \iint_Y a_{ij}(y) dy \right] \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j},
$$

ce qui en introduisant les coefficients

$$
(12) \quad q_{ij} = \frac{1}{|Y|} \left[ \int_Y a_{ij}(y) - a_{ik}(y) \frac{\partial \chi^j}{\partial y_k} dy \right]
$$

devient

$$
(13) \quad - q_{ij} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} = f.
$$
L'opérateur

$$
\mathcal{A} = - q_{ij} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}
$$

est appelé "opérateur homogénéisé". On montre dans LIONS [2] que l'opérateur
$\mathcal{A}$ est elliptique, que $u$ est parfaitement déterminé si l'on ajoute, ce qui
est naturel, la condition au bord

$$
(14) \qquad u = 0 \text{ sur } \partial\Omega,
$$

et que

$$
u_{\varepsilon} \to u \text{ dans } H_o^1(\Omega) \text{ faible,}
$$

où $u_{\varepsilon}$ désigne la solution de l'équation (2). u est appelé "solution homogénéisée".

Compte tenu de (13), il existe une solution au système (7) qui devient

$$
A_1 w_2 = - A_2 \tilde{w}_1 + \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} g_{ij}
$$

où l'on a posé

$$
(15) \qquad g_{ij} = - \frac{\partial}{\partial y_k} (a_{ki} \chi^j) - a_{ik} \frac{\partial \chi^j}{\partial y_k} + a_{ij} - q_{ij}.
$$

D'après (12) on a

$$
\int_Y g_{ij}(y) dy = 0.
$$

Il existe donc des solutions $\eta_{ij}$ aux systèmes

$$
(16) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\eta_{ij} \epsilon W(Y) \text{ et } \frac{\partial \eta_{ij}}{\partial y_k} \text{ prend des valeurs égales sur les faces opposées,} \\
\\
A_l \eta_{ij} = g_{ij},
\end{array}
\right.
$$

et la solution dans W(Y) de l'équation (7) a pour expression
$$
(17) \quad \left\{
\begin{aligned}
w_2(x,y) &= \hat{w}_2(x,y) + \tilde{w}_2(x) \\
\hat{w}_2(x,y) &= - \chi^i(y) \frac{\partial \tilde{w}_i}{\partial x_i}(x) + \eta_{ij}(y) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}(x) .
\end{aligned}
\right.
$$

On s'intéresse maintenant à l'équation (8). Dans ce qui suit, la
lettre z désigne un élément (pas toujours le même) de l'ensemble

$$
z = \{ v(x,y) ; \int_Y v(x,y) \, dy = 0 \} .
$$

On a

$$
\left\{
\begin{aligned}
A_2 w_2 &= A_2 \tilde{w}_2 - \frac{\partial^3 u}{\partial x_\ell \partial x_i \partial x_j} \left\{ \frac{\partial a_{k\ell}}{\partial y_k} \eta_{ij} + (a_{k\ell} + a_{\ell k}) \frac{\partial \eta_{ij}}{\partial y_k} \right\} \\
&\quad + \frac{\partial^2 \tilde{w}_1}{\partial x_j \partial x_\ell} \left\{ \chi^j \frac{\partial a_{k\ell}}{\partial y_k} + (a_{k\ell} + a_{\ell k}) \frac{\partial \chi^j}{\partial y_k} \right\} .
\end{aligned}
\right.
$$

Or

$A_2 \tilde{w}_2 \in \mathbb{Z},$

$$
\frac{\partial a_{k\ell}}{\partial y_k} \eta_{ij} + a_{k\ell} \frac{\partial \eta_{ij}}{\partial y_k} \in \mathbb{Z},
$$

$$
\frac{\partial a_{k\ell}}{\partial y_k} \chi^j + a_{k\ell} \frac{\partial \chi^j}{\partial y_k} \in \mathbb{Z},
$$

d'où

$$
A_2 w_2 = - a_{\ell k} \frac{\partial \eta_{ij}}{\partial y_k} \frac{\partial^3 u}{\partial x_\ell \partial x_i \partial x_j} + a_{\ell k} \frac{\partial \chi^j}{\partial y_k} \frac{\partial^2 \tilde{w}_1}{\partial x_j \partial x_\ell} + z .
$$

La condition de Fredholm s'écrit

$$
(18) \quad \int_Y (A_3 w_1 + A_2 w_2) \, dy = 0
$$

avec

$$
A_3 w_1 + A_2 w_2 = a_{ij} \chi^l \frac{\partial^3 u}{\partial x_\ell \partial x_i \partial x_j} - a_{lj} \frac{\partial^2 \tilde{w}_1}{\partial x_\ell \partial x_j} - a_{lk} \frac{\partial \eta_{ij}}{\partial y_k} \frac{\partial^3 u}{\partial x_\ell \partial x_i \partial x_j} + \\
+ a_{lk} \frac{\partial \chi^j}{\partial y_k} \frac{\partial^2 \tilde{w}_1}{\partial x_j \partial x_\ell} + z .
$$
On pose

$$
(19) \quad r_{ijl} = \frac{1}{|Y|} \int_Y \left[ a_{ij} \chi^l - a_{lk} \frac{\partial n_{ij}}{\partial y_k} \right] dy
$$

et on obtient l'équation en ˜w₁ (en échangeant l et i)

$$
(20) \quad - q_{ij} \frac{\partial^2 \tilde{w}_1}{\partial x_i \partial x_j} = - r_{ijl} \frac{\partial^3 u}{\partial x_i \partial x_j \partial x_l}
$$

à laquelle on ajoute naturellement

$$
(21) \quad \tilde{w}_1 = 0 \text{ sur } \partial\Omega.
$$

Lorsque (20) est vérifiée, il existe une solution w³ à l'équation (8).

On pose $y = \frac{x}{\epsilon}$, les fonctions $\chi^i$ et $\eta_{ij}$ étant prolongées par périodicité.
Nous avons obtenu le développement formel

$$
u_{\epsilon}(x) = w_0(x, \frac{x}{\epsilon}) + \epsilon w_1(x, \frac{x}{\epsilon}) + \epsilon^2 w_2(x, \frac{x}{\epsilon}) \dots
$$

avec (1) le terme en $\epsilon^0$

$$
w_0(x, \frac{x}{\epsilon}) = u(x),
$$

le terme en $\epsilon$

$$
w_1(x, \frac{x}{\epsilon}) = - \chi^i \left(\frac{x}{\epsilon}\right) \frac{\partial u}{\partial x_i}(x) + \tilde{w}_1(x)
$$

le terme en $\epsilon^2$

$$
w_2(x, \frac{x}{\epsilon}) = - \chi^i \left(\frac{x}{\epsilon}\right) \frac{\partial \tilde{w}_1}{\partial x_i}(x) + \eta_{ij} \left(\frac{x}{\epsilon}\right) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}(x) + \tilde{w}_2(x)
$$

On distingue deux parties dans les termes en $\epsilon$ et $\epsilon^2$ :

- Une partie indépendante de $\frac{x}{\epsilon}$ que nous appellerons correcteur macroscopique.

- Une partie dépendant de $\frac{x}{\epsilon}$ qui est donc de nature fortement oscillatoire et permet de rendre compte du comportement microscopique de la solution $u_{\epsilon}$.

<footnote>(1) Nous faisons abstraction des conditions au bord. Nous verrons plus loin dans quelle mesure cela est justifié.</footnote>
On voit donc que le développement asymptotique permet de découpler le phénomène macroscopique du phénomène microscopique ce qui va présenter de gros avantages du point de vue numérique.

**Remarque 1** : Le développement formel précédent peut être mené à un ordre quelconque (cf. BURGERS [1]).

**Orientation** : Nous allons maintenant nous intéresser aux estimations d'erreur que nous cherchons tout d'abord dans $C^0$. On verra qu'à chaque terme $w_i$ il conviendra en général d'ajouter un terme correspondant à un phénomène frontière.

### 1.3. Estimations dans $C^0(\bar{\Omega})$.

Introduisons le reste suivant :

$$ (22) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \theta_{\epsilon} \in H^1(\Omega) \\ A^{\epsilon} \theta_{\epsilon} = 0 \\ \theta_{\epsilon}|_{\partial\Omega} = \chi_i^i \left(\frac{x}{\epsilon}\right) \frac{\partial u}{\partial x_i} = -\hat{w}_i|_{\partial\Omega} \quad (\text{cf. (11)}} \end{array} \right. $$

On a le résultat suivant :

**Proposition 1** : On suppose que les coefficients $a_{ij}$ sont de classe $C^{1+\alpha}$ $(\alpha > 0)$, (cf. NECAS [1]), que l'ouvert $\Omega$ a une frontière $\partial\Omega$ de classe $C^{5+\alpha}(1)$ et que $f \in C^{5+\alpha}(\Omega)$, alors on a les estimations suivantes :

$$ (23) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \| u_{\epsilon} - u - \epsilon(w_1(x, \frac{x}{\epsilon}) + \theta_{\epsilon}) \|_{C^0(\bar{\Omega})} \le K \epsilon^2, \quad K \text{ indépendant de } \epsilon. \\ \\ \| \theta_{\epsilon} \|_{C^0(\bar{\Omega})} \le K, \end{array} \right. $$

où $u_{\epsilon}$ est défini en (2), $u$ en (13), $w_1$ est défini par (11), (20), (21) et $\theta_{\epsilon}$ par (22).

**Démonstration** : Appliquons les résultats classiques de régularité (cf. AGMON-DOUGLAS-NIRENBERG [1]). Pour le problème (13) nous avons

<footnote>(1) Plus précisément $\Omega$ est d'un seul côté de $\partial\Omega$, $\partial\Omega$ est une variété de classe $C^{5+\alpha}$ et de dimension $N-1$.</footnote>
$u \in C^{5+\alpha}(\bar{\Omega})$,

pour le problème (2) nous avons :

$u_{\varepsilon} \in C^{2+\alpha}(\bar{\Omega})$,

pour les problèmes périodiques (un prolongement par périodicité nous dispense des estimations au bord),

$\chi^i \in C^{2+\alpha}(\bar{Y}) \quad i=1, \dots, N.$

Donc :

$\theta^\varepsilon \in C^{2+\alpha}(\bar{\Omega}) \quad \text{car } u \in C^{3+\alpha}, \text{ cf. (22).}$

$\tilde{w}_1 \in C^{4+\alpha}(\bar{\Omega}) \quad \text{car } u \in C^{5+\alpha}, \text{ cf. (20), (21).}$

$\tilde{w}_1$ est le produit d'une fonction vectorielle de $C^{2+\alpha}(\bar{Y})$ par une fonction vectorielle de $C^{4+\alpha}(\bar{\Omega})$.

$g_{ij} \in C^{0+\alpha}(\bar{Y})$, cf. (15).

$\eta_{ij} \in C^{2+\alpha}(\bar{Y})$, cf. (16).

$\tilde{w}_2$ est le produit d'une fonction vectorielle de $C^{2+\alpha}(\bar{Y})$ par une fonction vectorielle de $C^{3+\alpha}(\bar{\Omega})$.

Soit $\tilde{w}_3$ une solution de classe $C^{2+\alpha}$ en x et y du système :

$$ (24) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \tilde{w}_3 \in W(Y) \text{ et } \frac{\partial \tilde{w}_3}{\partial x_k} \text{ prend des valeurs égales sur les faces opposées de } Y \\ A_1 \tilde{w}_3 = - A_2 \tilde{w}_2 - A_3 w_1. \end{array} \right. $$

Une telle solution existe : d'une part la condition de Fredholm se vérifie de la même façon que pour l'existence de $w_3$ (paragraphe précédent) et d'autre part le second membre de (24) est de classe $C^{2+\alpha}$ en x et $C^{1+\alpha}$ en y.
Posons

$$
v_{\epsilon} = u_{\epsilon} - u - \epsilon(w_1 + \theta_{\epsilon}) - \epsilon^2 \hat{w}_2 - \epsilon^3 \hat{w}_3 .
$$

Par construction (cf. (5), (6), (7), (24)) on a

$$
A^{\epsilon} v_{\epsilon} = \epsilon^2 (A_2 \bar{w}_3 + A_1 \hat{w}_2) + \epsilon^3 A_2 \bar{w}_3
$$

d'où

$$
\| A^{\epsilon} v_{\epsilon} \|_{C^{0}(\bar{\Omega})} = o(\epsilon^2) .
$$

Nous avons une estimation du même ordre pour la trace de $v_\epsilon$

$$
\| v_{\epsilon} \|_{C^0(\partial \Omega)} = \left\| \epsilon^2 \hat{w}_2 - \epsilon^3 \bar{w}_3 \right\|_{\partial \Omega} \| C^0(\partial \Omega) = o(\epsilon^2) .
$$

D'où, en appliquant le principe du maximum comme dans LIONS [2],

$$
\| v_{\epsilon} \|_{C^0(\bar{\Omega})} = o(\epsilon^2)
$$

d'où l'on déduit (23).

Remarque 2 : Naturellement il est possible d'établir par la même méthode des estimations à un ordre quelconque.

Orientation : On constate que dans le développement

$$
u_{\epsilon} = u + \epsilon w_1 + \epsilon \theta_{\epsilon}
$$

seul le terme en $\theta_{\epsilon}^n$ est pas aisément calculable (il est aussi difficile à calculer que $u_{\epsilon}$). En fait il faudrait remplacer $\theta_{\epsilon}$ par une couche limite (cf. BENSOUSSAN-LIONS-PAPANICOLAOU [2], BABUSKA [3] pour ce problème).

Nous nous contenterons ici de donner quelques estimations du reste θε qui
nous seront utiles par la suite.
### 1.4. Estimation du reste frontière.

Pour plus de détails sur les espaces introduits dans ce paragraphe, le lecteur pourra se référer à NECAS [1], LIONS-MAGENES [1].

On peut faire d'abord les remarques suivantes : dans l'espace $C^0(\partial\Omega)$ la norme de la trace $\theta_{\epsilon|\partial\Omega}$ est en général d'ordre 0 ; cette trace ne tend pas vers 0 en moyenne bien que ce soit le cas pour les fonctions $\chi(\frac{x}{\epsilon})$ dans $\Omega$ ; $\theta_{\epsilon}$ est nul si u vérifie la condition de compatibilité

$$ (25) \qquad \frac{\partial u}{\partial n}|_{\partial \Omega} = 0 $$

Les deux lemmes suivants sont consacrés à l'étude de $\theta_{\epsilon|\partial\Omega}$ dans les espaces de Sobolev :

**Lemme 1** : Sous les hypothèses de la proposition 1 on a

$$ (26) \qquad \left\| \theta_{\epsilon} \middle|_{\partial \Omega} \right\|_{W^{1-1/p}, P(\partial \Omega)} \le C \epsilon^{\frac{1}{p}-1} \quad 1<p<\infty. $$

**Démonstration** : nous allons construire une fonction $\bar{\theta}_{\epsilon}$ prolongeant $\theta_{\epsilon}|_{\partial\Omega}$ dans $\Omega$ et vérifiant

$$ (27) \qquad \left\| \bar{\theta}_{\epsilon} \right\|_{W^1, P(\Omega)} < C \epsilon^{\frac{1}{p}-1}. $$

Pour cela, suivant BABUSKA [2], on introduit pour tout $\epsilon$ strictement positif une fonction régulière $\phi^\epsilon$ telle que

$$ \phi^{\epsilon} = 1 \text{ au voisinage de } \partial\Omega, $$

$$ \phi^{\epsilon}(x) = 0 \text{ si } d(x, \partial\Omega) \ge 2\epsilon, $$

$$ \left\| \phi^{\epsilon} \right\|_{W^1, \infty(\mathbb{R}^n)} \le \frac{C}{\epsilon}, $$

et on pose

$$ \bar{\theta}_{\epsilon} = \phi^{\epsilon} \langle \chi, \nabla u \rangle \text{ dans } \Omega; $$

l'inégalité (27) est immédiate. ■
**Lemme 2** : Sous les hypothèses de la proposition 1 on a pour $0 \le t \le 1$

$$ (28) \qquad \left\| \theta_{\epsilon} \right\|_{H^t(\partial \Omega)} \le C \epsilon^{-t}. $$

**Démonstration** : On a bien évidemment

$$ |\langle \chi, \nabla u \rangle|_{L^\infty(\Omega)} < C \text{ et } |\langle \chi, \nabla u \rangle|_{W^{1,\infty}(\Omega)} < \frac{C}{\epsilon} $$

d'où

$$ |\theta_{\epsilon}|_{\partial\Omega} |L^2(\partial\Omega)| < C \text{ et } \left\| \theta_{\epsilon} \right\|_{H^1(\partial\Omega)} < \frac{C}{\epsilon} $$

d'où (28) en utilisant l'inégalité d'interpolation (cf. LIONS-MAGENES [1])

$$ \left\| \theta_{\epsilon} \right\|_{H^t} \le C \left\| \theta_{\epsilon} \right\|_{H^0}^{1-t} \left\| \theta_{\epsilon} \right\|_{H^1}^t . \quad \blacksquare $$

Les Lemmes précédents ont pour conséquence la proposition suivante :

**Proposition 2** : Sous les hypothèses de la proposition 1 on a

$$ (29) \qquad \left\| \theta_{\epsilon} \right\|_{H^1(\Omega)} \le C \epsilon^{-1/2} , \quad C \text{ indep. de } \epsilon. $$

**Démonstration** : Il existe une famille de relèvements $\bar{\theta}_{\epsilon}$ de $\theta_{\epsilon}|_{\partial\Omega}$ vérifiant

$$ (30) \qquad \left\| \bar{\theta}_{\epsilon} \right\|_{H^1(\Omega)} \le C \epsilon^{-1/2} . $$

On a

$$ \left\{ \begin{array}{l} \theta_{\epsilon} - \bar{\theta}_{\epsilon} \in H^1(\Omega) \\ a^{\epsilon}(\theta_{\epsilon} - \bar{\theta}_{\epsilon}, v) = - a^{\epsilon}(\bar{\theta}_{\epsilon}, v) \quad \forall v \in H^1(\Omega) \end{array} \right. $$

Prenons $v = \theta_{\epsilon} - \bar{\theta}_{\epsilon}$, alors

$$ a^{\epsilon}(\theta_{\epsilon} - \bar{\theta}_{\epsilon}, \theta_{\epsilon} - \bar{\theta}_{\epsilon}) = - a^{\epsilon}(\bar{\theta}_{\epsilon}, \theta_{\epsilon} - \bar{\theta}_{\epsilon}). $$
Or les propriétés de continuité et de coercivité de la forme bilinéaire
$\epsilon$ se traduisent par

$$
a_{\epsilon}(u,v) \leq M \|u\|_{H^1(\Omega)} \|v\|_{H^1(\Omega)} \quad \forall u,v \in H^1(\Omega)
$$

et

$$
a_{\epsilon}(v,v) \geq \alpha ||v||_{H^1(\Omega)}^2 \quad \forall v \in H_o^1(\Omega), \alpha > 0,
$$

d'où

$$
\alpha \| \theta_{\epsilon} - \bar{\theta}_{\epsilon} \|_{H^1(\Omega)}^2 \leq MC \epsilon^{-1/2} \| \theta_{\epsilon} - \bar{\theta}_{\epsilon} \|_{H^1(\Omega)}
$$

d'où la conclusion (29) compte tenu de (30). ■

Remarque 3 : Les majorations précédentes sont optimales. ■

On peut définir un reste d'ordre 2

$$
(31) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
A^{\epsilon} \zeta_{\epsilon} = 0 \\
\\
\zeta_{\epsilon} |_{\partial \Omega} = \hat{w}_2 |_{\partial \Omega} = w_2 - \tilde{w}_2 \quad \text{cf. (17)}
\end{array}
\right.
$$

et par les mêmes arguments que précédemment on a la majoration :

Proposition 3 : Sous les hypothèses de la proposition 1 on a

$$
(32) \quad \| \zeta_{\epsilon} \|_{H^1(\Omega)} \le C \epsilon^{-1/2}, \ C \ \text{indep. de } \epsilon. \blacksquare
$$

1.5. *Estimations dans l'espace H¹(Ω).*

Proposition 4 (¹) Sous les hypothèses de la proposition 1 on a les majorations

$$
(33) \quad \| u_{\epsilon} - u + \epsilon \chi_i^i \frac{\partial u}{\partial x_i} - \epsilon \theta_{\epsilon} \|_{H^1(\Omega)} \le C \epsilon ,
$$

$$
(34) \quad \| u_{\epsilon} - u + \epsilon \chi_i^i \frac{\partial u}{\partial x_i} \|_{H^1(\Omega)} \le C \epsilon^{1/2} .
$$

<footnote>(1) cf. LIONS [2] et BABUSKA [2] pour des résultats de ce type.</footnote>
**Démonstration** : Remarquons d'abord que d'après (23) et (31),

$$ w_{\varepsilon} = u_{\varepsilon} - u + \varepsilon \chi^{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} - \varepsilon \theta_{\varepsilon} - \varepsilon^{2} \hat{w}_{2} - \varepsilon^{2} \zeta_{\varepsilon} \in H_{0}^{1}(\Omega) . $$

D'autre part, d'après (29) et (32) nous avons

$$ \| \varepsilon \theta_{\varepsilon} \|_{H^1(\Omega)} = 0(\varepsilon^{1/2}) $$

$$ \| \varepsilon^2 \hat{w}_2 \|_{H^1(\Omega)} = 0(\varepsilon) $$

$$ \| \varepsilon^2 \zeta_{\varepsilon} \|_{H^1(\Omega)} = 0(\varepsilon^{3/2}) . $$

Compte tenu de la coercivité uniforme en $\varepsilon$ de la forme bilinéaire $a^\varepsilon$ associée à $A^\varepsilon$, il nous suffit de démontrer la majoration

$$ a^{\varepsilon}(w_{\varepsilon}, w_{\varepsilon}) = 0(\varepsilon^2) . $$

Or

$$ a^{\varepsilon}(w_{\varepsilon}, w_{\varepsilon}) = (A^{\varepsilon} w_{\varepsilon}, w_{\varepsilon})_{L^2(\Omega)} $$

et par une démonstration analogue à celle du § 1.3, compte tenu de (22) et (31), nous obtenons

$$ \| A^{\varepsilon} w_{\varepsilon} \|_{C^{0}(\bar{\Omega})} = \| A^{\varepsilon} [u_{\varepsilon} - u + \varepsilon \chi^{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} - \varepsilon^{2} \hat{w}_{2}] \| = 0(\varepsilon) . $$

On montre d'autre part, comme dans la proposition 1 que

$$ \| w_{\varepsilon} \|_{C^{0}(\bar{\Omega})} = 0(\varepsilon^2), $$

d'où

$$ a^{\varepsilon}(w_{\varepsilon}, w_{\varepsilon}) = 0(\varepsilon^3) . \blacksquare $$

**Remarque 4** : Comme pour la proposition 1, il est possible par la même méthode d'établir des estimations à un ordre quelconque.

**Remarque 5** : Les résultats précédents s'étendent sans difficulté au problème de Dirichlet non homogène.
## 2. - RAPPELS ET PRECISIONS SUR LES TERMES CORRECTEURS (Problème de Neumann)

### 2.1. Formulation du problème

On s'intéresse maintenant à l'étude asymptotique de l'équation suivante :

$$ (35) \quad \left\{ \begin{array}{l} A^\epsilon u_\epsilon = f \text{ dans } \Omega \\ \displaystyle\frac{\partial u_\epsilon}{\partial \nu} = g \text{ sur } \Gamma \\ A^\epsilon \end{array} \right. $$

où $A^\epsilon$, $f$ sont définis comme dans le paragraphe 1.1 et où $g$ est un élément de $H^{-1/2}(\Gamma)$.

On peut encore développer formellement $u_\epsilon$ comme dans le paragraphe 1.2, les fonctions $\chi_j$ et $\eta_{ij}$ sont identiques à celles du problème de Dirichlet tandis que la fonction homogénéisée $u$ est solution du système suivant :

$$ (36) \quad \left\{ \begin{array}{l} \mathcal{A}u = f \text{ dans } \Omega \\ \displaystyle\frac{\partial u}{\partial \nu} = g \text{ sur } \Gamma \end{array} \right. $$

où $\mathcal{A}$ est défini en (13) et la fonction $w_1$ (cf. (20)) est solution d'un problème de Neumann homogène.

Il n'y a pas à notre connaissance d'estimation dans l'espace $C^0(\bar{\Omega})$ pour ce problème, notre étude portera donc seulement sur les estimations dans l'espace $H^1(\Omega)$. Dans ce but nous introduisons le reste $\theta_\epsilon$ suivant :

$$ (37) \quad \left\{ \begin{array}{l} A^\epsilon \theta_\epsilon = 0 \text{ dans } \Omega \\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial \nu} \theta_\epsilon = - \frac{\partial}{\partial \nu} [u + \epsilon \hat{w}_1] + g \text{ sur } \Gamma, \end{array} \right. $$

où $\hat{w}_1 = -\chi^i \frac{\partial u}{\partial x_i}$ est défini comme dans le problème de Dirichlet (cf. (11)). Le paragraphe suivant est consacré à l'estimation de $\theta_\epsilon$ dans $H^1(\Omega)$.
## 2.2. Estimation du reste frontière.

**Proposition 5** : On suppose que

$$u \in H^4(\Omega) \cap W^2, \infty(\Omega)$$

$$\chi^j \in W^2, \infty(Y), \eta_{ij} \in W^2, \infty(Y),$$

alors on a l'estimation

$$(38) \quad \| \theta_{\epsilon} \|_{H^1(\Omega)} \le K_{\beta} \epsilon^{\delta}$$

avec

$$\delta = \frac{1}{3} \operatorname{Min} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{N}, 1-\beta \right)$$

$$\beta > 0$$

**Démonstration** : Nous utiliserons le lemme suivant

**Lemme 3** : On a l'estimation : $\forall \beta > 0$

$$\left\| \frac{\partial}{\partial v_{A\epsilon}} \theta_{\epsilon} \right\|_{H^{-3/2}(\Gamma)} \le K_{\beta} \epsilon^{3\delta}$$

**Démonstration du lemme 3** : Soit $v$ un élément de $H^2(\Omega)$; nous allons estimer l'intégrale

$$X_{\epsilon} = \int_{\Gamma} v \frac{\partial \theta_{\epsilon}}{\partial v_{A\epsilon}} d\sigma .$$

Introduisons la fonction $\hat{w}_2$ définie par (17).

Nous avons

$$| \mathrm{grad} \, \hat{w}_2 |_{L^1(\Omega)} \le \frac{K}{\epsilon}$$

d'où

$$\left| \frac{\partial \hat{w}_2}{\partial v_{A\epsilon}} \right|_{L^\infty(\Omega)} \le \frac{K}{\epsilon} .$$

Nous en tirons
$$ - X_{\varepsilon} = \int_{\Gamma} v \frac{\partial v}{\partial \nu} \varepsilon \, d\sigma + O(\varepsilon) \|v\|_{H^1(\Omega)} $$

avec

$$ v_{\varepsilon} = u^{\varepsilon} - u - \varepsilon \hat{w}_{1} - \varepsilon^{2} \hat{w}_{2} $$

Intégrant par parties (formule de Green) on obtient

$$ - X_{\varepsilon} = a^{\varepsilon}(v_{\varepsilon}, v) - \int_{\Omega} A^{\varepsilon} v_{\varepsilon} \, v \, dx + O(\varepsilon) \|v\|_{H^1(\Omega)} $$

Un raisonnement analogue à celui fait pour le problème de Dirichlet (cf. le lemme 1) nous donne la majoration

$$ \| A^{\varepsilon} v_{\varepsilon} \|_{1,2}^{2}(\Omega) = O(\varepsilon) $$

d'où

$$ - X_{\varepsilon} = - Y_{\varepsilon} + O(\varepsilon) \|v\|_{H^1(\Omega)} $$

avec

$$ Y_{\varepsilon} = a^{\varepsilon}(u+\varepsilon\hat{w}_{1}, v) - \int_{\Omega} fv \, dx - \int_{\Gamma} gv \, d\sigma. $$

Pour développer $Y_\epsilon$ nous remarquerons que

$$ \frac{\partial}{\partial x_j} (u + \varepsilon \hat{w}_1) = \frac{\partial u}{\partial x_j} + \frac{\partial u}{\partial x_\ell} \frac{\partial \chi_j^\ell}{\partial y_j} \left(\frac{x_j}{\varepsilon}\right) + R_\varepsilon^j $$

avec

$$ \| R_{\varepsilon}^{j} \|_{L^{2}(\Omega)} = \varepsilon \left\| \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{j} \partial x_{\ell}} \chi^{\ell} \left(\frac{x_{j}}{\varepsilon}\right) \right\|_{L^{2}(\Omega)} = O(\varepsilon) $$

d'où compte tenu de (36)

$$ Y_{\varepsilon} = \int_{\Omega} [a_{ij} - a_{il}] \frac{\partial \chi_j^j}{\partial y_\ell} - q_{ij}] \frac{\partial u}{\partial x_j} \frac{\partial v}{\partial x_\ell} \, dx + O(\varepsilon) \|v\|_{H^1(\Omega)} $$

Posons

$$ z_{j\ell} = \frac{\partial u}{\partial x_j} \frac{\partial v}{\partial x_\ell} \in H^1(\Omega). $$

Nous utiliserons le lemme suivant (évident)
**Lemme 4** : Soit $\phi$ une fonction de $H^1(\Omega)$ et soit $\hat{\phi}_{\varepsilon}$ la fonction en escalier égale à la moyenne de $\phi$ sur chaque cellule, alors pour toute réunion $\Omega_{\varepsilon}$ de cellules entières incluse dans $\Omega$ on a

$$ \|\phi - \hat{\phi}_{\varepsilon}\|_{L^2(\Omega_{\varepsilon})} \leq K_{\varepsilon} \|\phi\|_{H^1(\Omega_{\varepsilon})} \quad (\text{K indépendante de } \varepsilon). \blacksquare $$

on en déduit

$$ Y_{\varepsilon} - O(\varepsilon) \|v\|_{H^1(\Omega)} = \int_{\Omega-\Omega_{\varepsilon}} [a_{ij}-a_{i\ell} \frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{\ell}} - q_{ij}] z_{j\ell} + O(\varepsilon) \|z_{j\ell}\|_{H^1(\Omega)} $$

Mais

$$ \|z_{j\ell}\|_{L^q(\Omega)} \leq K \|z_{j\ell}\|_{H^1(\Omega)} \quad \forall q \text{ t.q. } \begin{cases} \text{si } N \neq 2 \\ \text{si } N = 2 \end{cases} \quad \frac{1}{q} = \frac{1}{2} - \frac{1}{N} \\ \frac{1}{q} > 0, $$

d'où

$$ \int_{\Omega-\Omega_{\varepsilon}} [a_{ij}-a_{i\ell} \frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{\ell}} - q_{ij}] z_{j\ell} \leq |[a_{ij}-a_{i\ell} \frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{\ell}} - q_{ij}]|_{L^{\infty}(\Omega)} \times \times \text{mes}(\Omega_{\varepsilon}-\Omega)^{1/p} \|z_{j\ell}\|_{H^1(\Omega)} $$

avec

$$ \frac{1}{p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{N} \quad \text{si } N \neq 2 $$

$$ 1-\beta \quad \text{si } N=2 \quad \forall \beta > 0 $$

d'où

$$ \int_{\Gamma} v \frac{\partial \theta_{\varepsilon}}{\partial v_{A\varepsilon}} d\sigma \leq K \varepsilon \quad \text{Min}(\frac{1}{2} + \frac{1}{N}, 1-\beta) \quad \|v\|_{H^2(\Omega)} \quad \forall \beta > 0 $$

et la conclusion du Lemme 3.

Fin de la démonstration de la proposition 5 : par interpolation, et compte tenu de la majoration
$$
\left\| \frac{\partial \theta}{\partial \nu_{A\epsilon}} \right\|_{L^2(\partial\Omega)} \leq K
$$

on déduit

$$
\left\| \frac{\partial \theta}{\partial \nu_{A\epsilon}} \right\|_{H^{1/2}(\partial \Omega)} \leq K \epsilon^{\delta}
$$

où l'on a posé

$$
\delta = \frac{1}{3} \operatorname{Min} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{N}, 1-\beta \right) .
$$

Mais

$$
a_{\epsilon}(\theta_{\epsilon}, \theta_{\epsilon}) = \int_{\Gamma} \theta_{\epsilon} \frac{\partial \theta_{\epsilon}}{\partial \nu_{A\epsilon}} = O(\epsilon^{\delta}) \|\theta_{\epsilon}\|_{H^1(\Omega)}
$$

d'où, grâce à la coercivité uniforme de a_ε, la conclusion de la proposition 5. ■

2.3. Estimations dans H¹(Ω).

Proposition 6 : Sous les hypothèses de la proposition 5 on a l'estimation

$$
(39) \quad \left\| u^{\epsilon} - u - \epsilon \hat{w}_{1} - \theta_{\epsilon} \right\|_{H^{1}(\Omega)} \leq K \epsilon
$$

et en particulier

$$
(40) \quad \left\| u^{\epsilon} - u - \epsilon \hat{w}_{1} \right\|_{H^1(\Omega)} \le K_{\beta} \epsilon^{\delta}
$$

où

$$
\delta = \frac{1}{3} \operatorname{Min} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{N}, 1-\beta \right)
$$

$$
\beta > 0.
$$

(L'estimation (39) n'est pas optimale, l'estimation (40) ne l'est vraisem-
blement pas non plus).
**Démonstration** : Il suffit d'après la proposition 5 de démontrer la première estimation ; en fait nous allons estimer

$$w_{\varepsilon} = u^{\varepsilon} - u - \varepsilon \hat{w}_{1} - \theta_{\varepsilon} - \varepsilon^{2} \hat{w}_{2} - \zeta_{\varepsilon}$$

où $\zeta_{\varepsilon}$ est la solution du système

$$\left\{ \begin{array}{l} A^{\varepsilon} \zeta_{\varepsilon} = 0 \\ \\ \frac{\partial}{\partial v} \zeta_{\varepsilon} = \varepsilon^2 \frac{\partial}{\partial A^{\varepsilon}} \hat{w}_2 . \end{array} \right.$$

On a évidemment

$$\| w_{\varepsilon} - (u^{\varepsilon} - u - \varepsilon \hat{w}_{1} - \theta_{\varepsilon}) \|_{H^1(\Omega)} = O(\varepsilon) .$$

D'autre part, la formule de Green nous donne

$$a_{\varepsilon}(w_{\varepsilon}, w_{\varepsilon}) = (A^{\varepsilon} w_{\varepsilon}, w_{\varepsilon})$$

avec, comme pour le problème de Dirichlet

$$|A^{\varepsilon} w_{\varepsilon}|_{L^2(\Omega)}^{2} = O(\varepsilon)$$

d'où

$$\| w_{\varepsilon} \|_{H^1(\Omega)} = O(\varepsilon) . \blacksquare$$

### 3. - ETUDE D'UN CONTEXTE SYMETRIQUE.

Dans de nombreux problèmes physiques (cf. par exemple BOURGAT-LANCHON [1]) les coefficients $a_{ij}$ possèdent des propriétés de symétrie qui permettent des simplifications importantes dans le développement de $u_{\varepsilon}$. Plus précisément on s'intéresse à des coefficients $a_{ij}$ vérifiant les propriétés suivantes

$$(41) \qquad a_{ij} = 0 \text{ si } i \neq j.$$
(42) Les coefficients $a_{ij}$ sont symétriques par rapport aux hyperplans médians $\Delta_i$ du parallélotope des périodes $Y = \prod_{k=1}^{N} [0, p_k]$ (cf. figure 2).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 2 : Hyperplans de symétrie pour N=2.</figcaption></figure>

**Proposition 7** : On se place dans le cadre du paragraphe 1 (problème de Dirichlet). Sous les hypothèses (41) et (42) sur les coefficients $a_{ij}$ on a

$$ (43) \qquad \tilde{w}_1 = 0 $$

$$ (44) \qquad \hat{w}_2 = \eta_{ij} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} . $$

Si de plus pour un $\epsilon$ le domaine $\Omega$ est réunion de cellules entières, alors pour cet $\epsilon$

$$ (45) \qquad \theta_{\epsilon} = 0, $$

si $u \in C^{5+\alpha}$ nous avons l'estimation

$$ (46) \qquad \left\| u_{\epsilon} - u + \epsilon \chi_i^i \frac{\partial u}{\partial x_i} \right\|_{C^o(\bar{\Omega})} \le K \epsilon^2 $$

et si $u \in C^{6+\alpha}$

$$ (47) \qquad \left\| u_{\epsilon} - u + \epsilon \chi_i^i \frac{\partial u}{\partial x_i} - \epsilon^2 \eta_{ij} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \right\|_{H^1(\Omega)} \le K \epsilon^{3/2}. $$
Avant de démontrer la proposition 7 on introduit quelques propriétés des fonctions définies sur Y et qui sont symétriques ou antisymétriques par rapport aux hyperplans médians de Y. Si s est un point de Y, on désigne par $s_i$ le symétrique par rapport à l'hyperplan médian $\Delta_i$. On définit l'ensemble $S_{\alpha_1, \dots, \alpha_N}$ par

$$S_{\alpha_1, \dots, \alpha_N} = \{ \phi \text{ définie sur Y, } \phi(s_i) = (-1)^{\alpha_i} \phi(s), i=1, \dots, N \ \forall s \in Y \}.$$

**Lemme 5** : Soit $\phi \in S_{\alpha_1, \dots, \alpha_N}$, alors

(i) Si $\xi \in S_{\beta_1, \dots, \beta_N}$ on a
$$ \phi\xi \in S_{\alpha_1+\beta_1, \dots, \alpha_N+\beta_N}. $$

(ii) $\frac{\partial \phi}{\partial y_i} \in S_{\alpha_1, \dots, \alpha_{i+1}, \dots, \alpha_N}$.

(iii) Si pour au moins un indice $i$, on a $\alpha_i$ impair alors

$$ \int_Y \phi \, dy = 0. $$

(iv) Si $\psi$ est solution du système

$$ \begin{cases} A_1\psi = \phi, & (A_1 \text{ défini en (4)}) \\ \psi \in W(Y) \text{ et } \frac{\partial \psi}{\partial n} \text{ prend des valeurs égales sur les faces opposées de Y} \end{cases} $$

alors

$$ \psi \in S_{\alpha_1, \dots, \alpha_N}. $$

La démonstration de (i), (ii), (iii) est évidente. Pour démontrer (iv) on définit $\tilde{\phi}_i$ par $\tilde{\phi}_i(s) = \phi(s_i)$.

On a donc

$$ \tilde{\phi}_i = (-1)^{\alpha_i} \phi. $$
D'autre part on introduit $\tilde{\psi}_i$ par $\tilde{\psi}_i(s) = \psi(s_i)$ et l'on cherche à montrer
que $\tilde{\psi}_i = (-1)^{\alpha_i} \psi$. Or $\psi \in W(Y)$ entraîne $\tilde{\psi}_i \in W(Y)$, donc $\tilde{\psi}_i$ est l'unique
solution de

$$
A_l \tilde{\psi}_i = \tilde{\phi}_i \text{ avec } \tilde{\psi}_i \in W(Y) , \text{ d'où } \tilde{\psi}_i = (-1)^{\alpha_i} \psi .
$$

Démonstration de la proposition 7.

Du lemme 5 nous déduisons immédiatement

$$
(48) \quad \chi^i \in S_{o, \dots, o, \frac{i}{l}, o, \dots, o}
$$

$$
(49) \quad \frac{\partial \chi^i}{\partial y_j} \in \begin{cases} S_{o, \dots, o} & \text{si } i=j \\ S_{o, \dots, \frac{i}{l}, \dots, \frac{j}{l}, \dots, o} & \text{si } i \neq j \end{cases}
$$

$$
\frac{\partial a_{ii}}{\partial y_j} \in S_{i, \dots, \frac{j}{l}, \dots, o} .
$$

On a, d'après (15) et (41),

$$
g_{11} = - \chi^1 \frac{\partial a_{11}}{\partial y_1} - a_{11} \left[ 2 \frac{\partial \chi^1}{\partial y_1} + 1 \right] - q_{11},
$$

d'où

$$
g_{ii} \in S_{o, \dots, o} \quad i=1, \dots, N .
$$

De même

$$
g_{12} = - \chi^2 \frac{\partial a_{11}}{\partial y_1} - 2a_{11} \frac{\partial \chi^2}{\partial y_1} + a_{12}
$$

or $q_{ij}=0$ si $i \neq j$ car d'après (12)

$$
q_{ij} = \frac{1}{|Y|} \int_Y a_{ij}(y) - a_{ik}(y) \frac{\partial \chi^j}{\partial y_k} dy = - \frac{1}{|Y|} \int_Y a_{ii} \frac{\partial \chi^j}{\partial y_i} = 0 .
$$

D'où $g_{ij} \in S_{o, \dots, \frac{i}{l}, \dots, \frac{i}{l}, \dots, o}$

On déduit de (ii) les mêmes propriétés pour les solutions $\eta_{ij}$ du système
(16),
$$ \eta_{ii} \in S_{o,...,o} $$

$$ \eta_{ij} \in S_{o,...,\overline{i},...\overline{j},o} $$

Nous allons en déduire que les termes $r_{ijl}$ (cf. (19)) sont nuls.

En effet

$$ r_{ijl} = \frac{1}{|Y|} \int_Y s_{ijl}(y)dy $$

avec

$$ s_{ijl} = a_{ij} \chi^l - a_{ll} \frac{\partial \eta_{ij}}{\partial y_l} $$

Mais

$$ s_{il} \in S_{o,...,\overline{l},...\overline{o}} $$

et si $i \neq j$

$$ s_{ijl} \in S_{o,...,\overline{i},...\overline{j},o} $$

où

$$ \alpha_i = \begin{cases} 0 & \text{si } i=l \\ 1 & \text{si } i \neq l. \end{cases} $$

Dons d'après (iii)

$$ r_{ijl} = 0 \quad \forall i,j,l, $$

et par conséquent on en déduit (43) et (44) d'après (20), (21) et (17).

Pour démontrer (45), il suffit de démontrer que

$$ \chi^1 \left( \frac{x}{\epsilon} \right) \frac{\partial u}{\partial x_l} = 0 \quad \text{sur } \Gamma. $$

Sur les côtés $\{x_j = \text{constante}\}$ avec $j \neq 1$, la dérivée $\frac{\partial u}{\partial x_j}$ est une dérivée tangentielle, elle est donc nulle d'après les conditions de Dirichlet vérifiées par $u$.
Sur le côté $\{x_1 = \text{constante}\}$ on a

$$ \chi^1(p_1, y_2, \dots, y_N) = 0 $$

$$ \text{et} \quad \chi^1(0, y_2, \dots, y_N) = 0 $$

En effet on a

$$ \chi^1 \in S_{1,o,\dots,o} \Rightarrow \chi^1(0,y_2,\dots,y_N) = -\chi^1(p_1,y_2,\dots,y_N), $$

$$ \chi^1 \in W(Y) \Rightarrow \chi^1(0, y_2, \dots, y_N) = \chi^1(p_1, y_2, \dots, y_N). $$

**Remarque 6** : L'hypothèse $\eta(\chi^i) = 0$ est ici essentielle.

**Remarque 7** : *Cas d'une cellule hexagonale.*

On se place en dimension 2 ($N=2$) et on considère le cas des cellulles qui sont des hexagones réguliers. On suppose que les coefficients $a_{ij}$ possèdent la propriété (41) et sont de plus symétriques par rapport aux axes de symétrie de l'hexagone).

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure 3** : Cas de cellules hexagonales.</figcaption></figure>

On se ramène au cas précédent en choisissant une cellule de base ABCD rectangulaire (cf. fig. 3). Les résultats (43) et (44) proviennent de la proposition 7 et pour démontrer (45) il suffit de remarquer que $\chi^1$ est nul sur les segments de $\partial\Omega$ parallèles au côté AB. La conclusion suit par invariance des $\chi^i$ par rotation d'angle $\frac{2\pi}{6}$.
Remarque 8 : Contexte symétrique décalé

Supposons encore que l'hypothèse (41) soit vérifiée et que $a_{ij}$ ($i=1,...,N$) soit la restriction d'une fonction périodique possèdant toutes les symétries (42) mais sans supposer que le centre de la cellule élémentaire est confondu avec un centre de symétrie (le "motif" est "décalé" ; voir la figure 4).

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 4 : Cellules décalées</figcaption></figure>

Dans ce cas les coefficients $q_{ij}$ sont identiques à ceux du contexte "non décalé" et les propriétés (43) et (44) sont encore vraies ; par contre la propriété (45) est fausse (cf. § 7).

Remarque 9 : Termes correcteurs d'ordre 2.

On peut se demander si aux propriétés (43), (45), qui à première vue sont déduites de propriétés de symétrie, correspondent des propriétés équivalentes pour les termes d'ordre 2. Avons nous, sous les mêmes hypothèses
$$
\tilde{w}_2 = 0 ?
$$

$$
\zeta_{\epsilon} = 0 ?
$$

Le calcul de ces termes montre que cela est faux et que pour démontrer
les résultats (43), (45) la parité de l'ordre du correcteur intervient.

4. - CORRECTEURS ET PROBLEMES RAIDES.

Les résultats précédents ont été obtenus sous des hypothèses de régularité
assez fortes. En fait les estimations dans H¹(Ω) du paragraphe 1.5 sont
vraisemblablement encore vraies pour des coefficients aᵢⱼ bornés seulement
(cf. LIONS [2], BABUSKA [2], et TARTAR [1] pour des résultats dans ce
contexte plus général).

Ce paragraphe est consacré à l'étude des termes correcteurs lorsque les
coefficients, que nous prendrons discontinus, prennent des valeurs très
différentes. Nous mettrons ainsi en évidence des relations entre la
"raideur" au sens de LIONS [1] du problème initial et l'efficacité des
différents correcteurs.

4.1. Hypothèses et notations – formulation du problème.

On conserve les hypothèses et notations du paragraphe 1 sauf en ce qui
concerne la régularité des coefficients a_{ij}, puisque l'on pose

(50) \qquad a_{ij} = \delta_{ij} (\phi_{Y_o} + \lambda \phi_{Y_l}) \quad \lambda > 0, \delta_{ij} \text{ symbole de Kronecker,}

où $\phi_{Y_i}$ est la fonction caractéristique de l'ouvert $Y_i$ avec

$Y_i$ ouvert , $Y = \bar{Y}_o \cup \bar{Y}_l$ , $Y_o \cap Y_l = \emptyset$ ; (cf. fig. 5).

Pour interpréter les différents problèmes nous faisons l'hypothèse suivante

$$
\Sigma = \partial Y_l \text{ est une variété de classe } C^1 \text{ de dimension } n-1
$$

$\Sigma \cap \partial Y = \emptyset .$
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 5</figcaption></figure>

On introduit la forme bilinéaire $\alpha^\lambda(u,v)$ définie par

$$ (51) \quad \left\{ \begin{aligned} \alpha^\lambda(u,v) &= \alpha_o(u,v) + \lambda \alpha_l(u,v) \\ &= \int_Y a_{ij}(y) \frac{\partial u}{\partial y_j} \frac{\partial v}{\partial y_i} dy . \end{aligned} \right. $$

Le problème supplémentaire est de voir ce qui se passe lorsque le paramètre $\lambda$ est très petit ; dans chaque cellule homothétique à Y la solution $u_\varepsilon$ du problème direct présentera des "pics" (voir par exemple la Figure 12) ; les coefficients homogénéisés étant constants ce ne sera pas le cas ni pour $u$ ni pour $\tilde{w}_1$ et il est bien évident que c'est en ajoutant des correcteurs dépendant de $x/\varepsilon$ que nous pourrons retrouver ces "pics". D'où l'intérêt d'étudier les équations "raides" vérifiées par ces correcteurs.

## 4.2. Etude du correcteur du 1er ordre

Pour ne pas alourdir les notations on pose désormais

$$ \chi = \chi^1. $$
**Proposition 8**

(i) **Soit $\chi_o$ la solution du système**

$$
\[
(52) \qquad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\displaystyle \Delta\chi_o = \Delta y_1 \text{ dans } Y_o \text{ et dans } Y_1, \\[1em]
\displaystyle \frac{\partial}{\partial n} (\chi_{o|_{Y_1}}) = \frac{\partial}{\partial n} y_1 \text{ sur } \Sigma \\[1em]
\chi_{o|_{Y_1}} = \chi_{o|_{Y_o}} \text{ sur } \Sigma \\[1em]
\chi_o \text{ et } \frac{\partial \chi_o}{\partial n} \text{ égales sur les faces opposées de } Y,
\end{array}
\right.
\]
$$

alors, lorsque $\lambda \to 0$, on a

$$
\|x - \chi_o\|_{W(Y)} \leq K \lambda, \text{ K indépendant de } \lambda.
$$

(ii) Introduisons $q_{ij}^*$ par

$$
(53) \quad q_{ij}^* = \frac{1}{|Y|} \int_{Y_o} [\delta_{ij} - \delta_{ik} \frac{\partial \chi_o^j}{\partial y_k}] dy
$$

alors

$$
|q_{ij} - q_{ij}^*| < K \lambda, \text{ K indépendant de } \lambda.
$$

**Démonstration** : La fonction $\chi$ est solution du système suivant

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\chi \in W(Y) \\
\\
\alpha^{\lambda}(\chi, \psi) = \alpha^{\lambda}(y_1, \psi) \quad \forall \psi \in W(Y)
\end{array}
\right.
$$

posons comme dans LIONS [3]

$$
\chi = \lambda^{-1} \chi_{-1} + \chi_o + \lambda \chi_1 + \lambda^2 e_{\lambda}
$$

par identification on obtient
$$
(54) \quad \alpha_o(\chi_{-1}, v) = 0 \quad \forall v \in W(Y)
$$

$$
(55) \quad \alpha_o(\chi_o, v) + \alpha_l(\chi_{-1}, v) = \alpha_o(y_l, v)
$$

$$
(56) \quad \alpha_o(\chi_1, v) + \alpha_l(\chi_o, v) = \alpha_l(y_1, v)
$$

$$
(57) \quad \alpha_o(e_\lambda, v) + \alpha_l(\chi_1, v) = 0
$$

de (54) on déduit

$$
(58) \quad \chi_{-1}|_{Y_o} = 0 ;
$$

Prenons dans (55)

$$
v|_{Y_o} = 0
$$

alors

$$
\alpha_l(\chi_{-1}, v) = 0
$$

d'où, compte tenu de (58)

$$
(59) \quad \chi_{-1} = 0 .
$$

L'équation (55) devient

$$
(60) \quad \alpha_o(\chi_o, v) = \alpha_o(y_l, v) \quad \forall v \in W(Y)
$$

et s'interprète ainsi

$$
(61) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\Delta\chi_o = \Delta y_l \quad \text{'dans } Y_o \\[1em]
\displaystyle\frac{\partial}{\partial n}\chi_o = \frac{\partial}{\partial n}y_l \quad \text{sur } \Sigma \quad (\vec{n} : \text{normale extérieure à } \Omega_l) \\[1em]
\text{et des conditions de périodicité sur } \partial Y.
\end{array}
\right.
$$
Posons dans (56)

$$v|_{Y_o} = 0$$

alors

$$\alpha_1(\chi_o, v) = \alpha_1(y_1, v).$$

Ce système s'interprète ainsi :

$$ (62) \quad \begin{cases} \Delta\chi_o = \Delta y_1 \quad \text{dans } Y_1 \\ \chi_{o|_\Sigma} \quad \text{est défini via (61).} \end{cases} $$

On reprend (57) avec $v$ quelconque et on interprète :

$$ \int_{Y_o} -\Delta\chi_1 \, v \, dy + \int_{\partial Y} \frac{\partial\chi_1}{\partial n} \, v \, d\sigma + \int_{\Sigma} -\frac{\partial\chi_1}{\partial n} \, v \, d\sigma \\ + \int_{Y_1} -\Delta\chi_o \, v \, dy + \int_{\Sigma} \frac{\partial}{\partial n} [\chi_o|_{Y_1}] \, v \, d\sigma = \\ \int_{Y_1} -\Delta y_1 \, v \, dy + \int_{\Sigma} \frac{\partial y_1}{\partial n} \, v \, d\sigma ; $$

d'où

$$ (63) \quad \begin{cases} \Delta\chi_1 = 0 \quad \text{dans } Y_o \\ \frac{\partial\chi_1}{\partial n} = \frac{\partial}{\partial n} [y_1 - \chi_o|_{Y_1}] \quad \text{sur } \Sigma \text{ et des conditions de périodicité sur } \partial Y. \end{cases} $$

Enfin l'équation (57), avec :

$$v|_{Y_o} = 0$$

s'interprète ainsi :

$$ (64) \quad \begin{cases} \Delta\chi_1 = 0 \quad \text{dans } Y_1 \\ \chi_1|_{\Sigma} \quad \text{donné par (63).} \end{cases} $$
Nous avons donc montré l'existence de fonctions $\chi_{-1}, \chi_0, \chi_1$ vérifiant
les égalités (54), (55), (56). Ces égalités vont nous permettre
d'évaluer le reste $e_\lambda$. On a

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\alpha_o (\lambda^2 e_\lambda, v) + \lambda \alpha_l (\lambda^2 e_\lambda, v) = - \lambda^2 \alpha_l (\chi_1, v) \\
\forall v \in W(Y) \text{ et } e_\lambda \in W(Y).
\end{array}
\right.
$$

On peut prendre,

$v = e_\lambda$

et, en utilisant la coercivité de $\alpha_o$ et $\alpha_l$ on obtient

$$
\| \nabla (\lambda^2 e_{\lambda}) \|_{L^2(Y)} \leq C_{\lambda} \| \nabla \chi^1 \|_{L^2(Y)},
$$

ce qui permet de conclure

$$
(65) \quad \chi = \chi_o + O(\lambda) \text{ dans } W(Y) \text{ quand } \lambda \to 0.
$$

(ii) se déduit immédiatement de ce qui précède. ■

**Remarque 10** : Le procédé s'itère et permet d'obtenir un développement
à un ordre quelconque.

**CONCLUSION** : Le développement de $\chi$ ne comporte pas de termes en $1/\lambda$ ;
le correcteur périodique $\chi^i \frac{\partial u}{\partial x_i}$ ne permettra pas d'obtenir les pics
observés sur la solution directe. Il sera donc intéressant de chercher
ces pics dans les termes périodiques d'ordre supérieur.
### 4.3. Etude du correcteur du 2ème ordre
On rappelle l'expression de $w_2$

$$ (66) \qquad w_2 = \eta_{ij} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} - \chi^j \frac{\partial \tilde{w}_1}{\partial x_j} + \tilde{w}_2(x) . $$

D'après ce qui précède, seul le terme en $\eta_{ij}$ peut comporter une partie singulière en $1/\lambda$ dans son développement asymptotique quand $\lambda$ tend vers 0. Cette remarque est confirmée par le résultat suivant.

**Proposition 9** : La fonction $\eta_{ij}$ admet le développement asymptotique suivant lorsque $\lambda$ tend vers 0.

$$ \left\{ \begin{array}{l} \eta_{ij} = \lambda^{-1} \eta_{ij}^{-1} + \eta_{ij}^{0} + R(\lambda) \\[1em] |R(\lambda)|_{W(Y)} = O(\lambda) \end{array} \right. $$

où le coefficient $\eta_{ij}^{-1}$ de la partie singulière est la solution, non nulle en général, du système

$$ (67) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \eta_{ij}^{-1} \in W(Y), \eta_{ij}^{-1}|_{Y_o} = 0, \\[1em] \int_{Y_l} \langle \operatorname{grad} \eta_{ij}^{-1} , \operatorname{grad} v \rangle dy = q_{ij}^* \int_{Y_l} v dy, \forall v \in H_o^1(Y_l) \end{array} \right. $$

**Démonstration** : On rapelle que $\eta_{ij}$ est solution du système

$$ \left\{ \begin{array}{l} \eta_{ij} \in W(Y) \\ \alpha^l(\eta_{ij}, v) = L_\lambda(v), \forall v \in W(Y) \end{array} \right. $$

avec

$$ L_{\lambda}(v) = \int_{Y} \left\{ a_{ki} \chi^{j} \frac{\partial v}{\partial y_{k}} - a_{ik} \frac{\partial \chi^{j}}{\partial y_{k}} v + a_{ij} v - q_{ij} v \right\} dy; $$

remplaçons les $a_{ij}$ par leurs valeurs

$$ L_{\lambda}(v) = - \int_{Y} q_{ij} v \, dy + \int_{Y_o} \left\{ \delta_{ki} \chi^j \frac{\partial v}{\partial y_k} - \delta_{ik} \frac{\partial \chi^j}{\partial y_k} v + \delta_{ij} v \right\} dy \\ + \lambda \int_{Y_l} \left\{ \delta_{ki} \chi^j \frac{\partial v}{\partial y_k} - \delta_{ik} \frac{\partial \chi^j}{\partial y_k} v + \delta_{ij} v \right\} dy . $$
Utilisons le développement de $\chi^j$ (cf. remarque 10)

$$ \chi^j = \chi_o^j + \lambda \chi_1^j + R_{\lambda} $$

où $R_{\lambda}$ est un reste vérifiant

$$ \|R_{\lambda}\|_{W(Y)} \leq C \lambda^2 . $$

Cela nous permet de développer $L_{\lambda}$ comme suit

$$ L_{\lambda}(v) = L_{o}(v) + \lambda L_{1}(v) + (S_{\lambda}, v)(W(Y)) $$

où $S_{\lambda}$ est un reste vérifiant

$$ |S_{\lambda}|_{W(Y)} \leq C \lambda^2 $$

et

$$ L_o(v) = - \int_{Y_1} q_{ij}^* v dy \quad \forall v \in W(Y) \quad \text{t.q. } v|_{Y_o} = 0 . $$

Ce développement joint à (55) nous donne la conclusion de la proposition. ■

**Corollaire 1** : Les pics de la solution exacte $u_{\epsilon}$ sont retrouvés dans la solution homogénéisée corrigée par le terme périodique d'ordre 2.

**Démonstration** : Nous allons comparer la partie singulière de $\hat{w}_2$ avec la partie singulière de $u_{\epsilon}$ calculée dans LIONS [3].

On a

$$ \hat{w}_2 = \frac{1}{\lambda} \hat{w}_2^{-1} + O(1) $$

avec

$$ (68) \qquad \hat{w}_2^{-1}(x) = \eta_{ii}^{-1} \left(\frac{x}{\epsilon}\right) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}(x) = s\left(\frac{x}{\epsilon}\right) f(x) $$

où $s \in W(Y)$ est solution du système
$$
(69) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \int_{Y_1} \frac{\partial s}{\partial x_i} \frac{\partial v}{\partial x_i} dy = \int_{Y_1} v dy, \quad \forall v \in H_o^1(Y_o), \\
\\
s|_{Y_o} = 0,
\end{array}
\right.
$$

ce qui est bien identique au correcteur calculé dans LIONS [3].
Le problème raide particulier que nous avons étudié dans ce paragraphe
a mis en évidence le fait suivant : *le correcteur d'ordre 2 est suscep-
tible d'apporter une correction aussi importante que le correcteur
d'ordre 1*. Ce fait est confirmé dans les essais numériques décrits au
paragraphe 5 où nous obtenons des résultats comparables à ceux de
LIONS [3]. Il est intéressant de préciser ce qui distingue les deux
méthodes. La méthode exposée dans LIONS [3] repose sur un développement
en $\lambda$ de la solution directe. Par contre l'utilisation du correcteur $\hat{w}_2$
ne sous-entend pas a priori un développement en $\lambda$, c'est donc une méthode
encore justifiée lorsque $\lambda$ n'est pas très petit. On peut encore mettre cette
deuxième méthode en oeuvre lorsque les coefficients ne sont pas des fonc-
tions en escalier tandis que le développement en $\lambda$ est malaisé si ce n'est
impossible.

Remarque 11 : Il est possible de trouver d'autres exemples de problèmes
raides où ce phénomène a lieu. On peut ainsi considérer le problème
pénalisé

$$
(70) \quad A_{\lambda}^{\epsilon} w_{\epsilon, \lambda} = f, \quad w_{\epsilon, \lambda} |_{\partial \Omega} = 0,
$$

avec

$$
(71) \quad a_{ij}(y) = \left( \frac{1}{\lambda} \phi_{Y_1} + \phi_{Y_o} \right) \delta_{ij} .
$$

On se ramène à un problème très proche de celui défini en 4.1 par le
changement d'inconnue

$$
u_{\epsilon, \lambda} = \frac{1}{\lambda} w_{\epsilon, \lambda} .
$$
## 5. - RESULTATS NUMERIQUES DANS UN CONTEXTE SYMETRIQUE.

On se place dans le cadre du paragraphe 3, c'est à dire que l'on considère des coefficients $a_{ij}$ vérifiant les hypothèses de symétrie (41) et (42) et un domaine $\Omega$ réunion de cellules entières.

### 5.1. Exemple étudié

Nous avons choisi pour cellule représentative la cellule unité représentée sur la figure 6, pour coefficients $a_{ij}$ :

$$ (72) \quad a_{ij}(y) = \begin{cases} a_{ijo} = \delta_{ij} & (\text{symbole de Kronecker) sur } Y_o \\ a_{ij1} = \lambda \delta_{ij} & , \lambda = \text{constante sur } Y_l \end{cases} $$

Nous étudions l'approximation, par la méthode d'homogénéisation, de l'équation (2)

$$ \left\{ \begin{array}{l} A^{\epsilon} u_{\epsilon} = f \text{ dans } \Omega \\ u_{\epsilon} \in H_o^1(\Omega) \end{array} \right. $$

avec

$$ \Omega = ]0,1[ \times ]0,1[ $$

$$ f = 10. $$

$$ \epsilon = 1/2, 1/4, 1/8. $$

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 6 : Cellule représentative</figcaption></figure>

La figure 7 permet de se rendre compte de la périodicité des coefficients $a_{ij}$ dans $\Omega$ pour $\epsilon = 1/8$.

Ce problème modélise, par exemple, la torsion élastique d'une barre cylindrique renforcée par des fibres réparties périodiquement (cf. J.F. BOURGAT-H. LANCHON [1]). $\Omega$ étant la section de la barre, $Y_l$ la section de la fibre, $Y_o$ celle de la matrice, $\lambda = \frac{\mu_l}{\mu_o}$ le rapport des modules de cisaillement de la fibre et de la matrice, $u_{\epsilon}$ la fonction de contraintes qui permet la détermination du tenseur des contraintes."$\epsilon \to 0"$ signifie que l'on augmente le nombre de fibres tout en conservant leur volume global.
## 5.2. Éléments sur la méthode de résolution numérique

Nous désignons par

$u_{\epsilon}$ la solution "réelle". C'est la solution du problème (2).

$u$ la solution "homogénéisée". C'est la solution du problème (13).

$u_1$ la solution homogénéisée corrigée par le terme en $\epsilon$ du développement asymptotique qui dans le contexte symétrique, avec $\Omega$ réunion de cellules entières, se réduit au terme périodique $\hat{w}_1$,

$$ (73) \qquad u_1(x) = u(x) + \epsilon w_1(x, \frac{x}{\epsilon}) = u(x) - \epsilon \chi^i \left(\frac{x}{\epsilon}\right) \frac{\partial u}{\partial x_i}(x), $$

$u_2$ la solution homogénéisée corrigée par le terme en $\epsilon$ et par le terme en $\epsilon^2$ périodique

$$ (74) \qquad u_2(x) = u(x) + \epsilon \hat{w}_1(x, \frac{x}{\epsilon}) + \epsilon^2 \hat{w}_2(x, \frac{x}{\epsilon}) = u(x) - \epsilon \chi^i \left(\frac{x}{\epsilon}\right) \frac{\partial u}{\partial x_i}(x) + \epsilon^2 \eta_{ij} \left(\frac{x}{\epsilon}\right) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}(x). $$

Pour résoudre les problèmes aux limites (2), (10), (13), (16), permettant le calcul de $u_{\epsilon}$, $u$, $u_1$, $u_2$, nous utilisons la méthode des éléments finis avec des éléments de Lagrange de degré 1 sur des triangles.

Les formulations variationnelles des problèmes (2), (10), (13), (16) sont respectivement

Trouver $u_{\epsilon} \in H_o^1(\Omega)$ tel que

$$ (75) \qquad \int_{\Omega} a_{ij} \left(\frac{x}{\epsilon}\right) \frac{\partial u}{\partial x_j} \frac{\partial v}{\partial x_i} dx = \int_{\Omega} fv dx \quad \forall v \in H_o^1(\Omega). $$

Trouver $\chi^i \in W(Y)$ tel que

$$ (76) \qquad \int_{Y} a_{kl}(y) \frac{\partial \chi^i}{\partial y_l} \frac{\partial \phi}{\partial y_k} dy = \int_{Y} a_{ki}(y) \frac{\partial \phi}{\partial y_k} dy \quad \forall \phi \in W(Y). $$

Trouver $u \in H_o^1(\Omega)$ tel que

$$ (77) \qquad q_{ij} \int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial x_j} \frac{\partial v}{\partial x_i} dx = \int_{\Omega} fv dx \quad \forall v \in H_o^1(\Omega). $$

Trouver $\eta_{ij} \in W(Y)$ tel que

$$ (78) \qquad \int_{Y} a_{kl}(y) \frac{\partial \eta_{ij}}{\partial y_l} \frac{\partial \phi}{\partial y_k} dy = \int_{Y} \left[ -\frac{\partial}{\partial y_k} (a_{ki} \chi^j) - a_{ik} \frac{\partial \chi^j}{\partial y_k} + a_{ij} q_{ij} \right] \phi dy \quad \forall \phi \in W(Y). $$
Dans le second membre de l'équation (78), le terme

$$ \int_Y - \frac{\partial}{\partial y_k} (a_{ki} \chi^j) \phi \ dy $$

ne peut être calculé tel quel car les coefficients $a_{ki}$ sont constants par morceaux et donc discontinus. La formule de Green nous donne

$$ - \int_Y \frac{\partial}{\partial y_k} (a_{ki} \chi^j) \phi \ dy = \int_Y a_{ki} \chi^j \frac{\partial \phi}{\partial y_k} \ dy - \int_{\partial Y} a_{ki} \chi^j \phi \cos(\vec{n}, \vec{y}_k) d\vec{\gamma} $$

or les termes $a_{ki}$, $\chi^j$, $\phi$ sont Y-périodiques et $\cos(\vec{n}, \vec{y}_k)$ prend des valeurs opposées sur les faces opposées de Y et par conséquent

$$ (79) \quad - \int_Y \frac{\partial}{\partial y_k} (a_{ki} \chi^j) \phi \ dy = \int_Y a_{ki} \chi^j \frac{\partial \phi}{\partial y_k} \ dy . $$

La triangulation du domaine $\Omega$ pour le calcul de la solution réelle $u_\varepsilon$ nécessite d'autant plus de triangles que $\varepsilon$ est petit. Nous avons représenté sur la figure 7 la triangulation de $\Omega$ pour $\varepsilon = \frac{1}{8}$.

Le nombre total de triangles est 4608 et dans chaque zone correspondant à la région $Y_1$ de la cellule de référence (zones hachurées) le nombre de triangles est seulement de 8, ce qui est un minimum pour approcher la solution dans ces régions.

Il a été nécessaire dans certains cas, pour obtenir une bonne comparaison entre la solution réelle et les solutions homogénéisées corrigées, de prendre 32 triangles dans chacune des zones hachurées mais nous nous sommes ramenés, grâce aux symétries, à un quart de domaine divisé en 4608 triangles, ce qui correspond à une triangulation globale de 18432 triangles. On constate donc, qu'avec seulement 64 hétérogénéitées, on atteint la limite des possibilités de résolution du problème (75) par ordinateur.

Par contre pour calculer la solution homogénéisée $u$, solution de l'équation à coefficients constants (77) une triangulation de $\Omega$ en 288 triangles peut suffire mais la présence des termes $\frac{\partial u}{\partial x_i}$ et $\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}$ dans le calcul des solutions $u_1$ et $u_2$ impose une précision plus grande. Nous avons utilisé 1152 triangles. Les triangles étant tous égaux et la solution $u$ régulière (coefficients constants, second membre régulier) nous avons
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 7 - Triangulation de Ω pour ε = 1/8. 4608 triangles.
Les zones correspondant à Y₁ sont hachurées.</figcaption></figure>
approché les dérivées $\frac{\partial u}{\partial x_i}$, pour le calcul des formules (73) et (74), par

$$ (80) \quad \frac{\partial u}{\partial x_i} (M) = \frac{1}{N_{v(M)}} \sum_{T \in v(M)} \left[ \frac{\partial u}{\partial x_i} \right]_T, $$

où M est un sommet de triangle,

$v(M)$ l'ensemble des triangles qui ont M pour sommet,

$N_{v(M)}$ le nombre de triangles dont M est un sommet,

$\left[ \frac{\partial u}{\partial x_i} \right]_T$ la valeur de $\frac{\partial u}{\partial x_i}$ sur le triangle T.

Le calcul des fonctions $\chi^i$ solutions de (76) ne nécessite pas a priori une discrétisation très fine, cependant si l'on tient compte du fait que les coefficients homogénéisés $q_{ij}$ (cf. (12)) sont calculés à partir des dérivées premières des fonctions $\chi^i$ cela impose de prendre une triangulation assez fine de Y. Nous avons pris 1152 triangles. Il faut cependant noter qu'avec 288 triangles seulement nous avons obtenus des résultats très convenables pour $q_{ij}$ puisque ne différant que de 1% environ.

Pour le calcul des fonctions $\eta_{ij}$ on doit utiliser la même triangulation de Y que pour le calcul des fonctions $\chi^i$. En effet les équations donnant $\chi^i$ et $\eta_{ij}$ ne diffèrent que par le second membre et celui de $\eta_{ij}$ fait appel aux fonctions $\chi^i$. Dans tous les cas les triangulations ont été choisies de façon que les lignes de discontinuité des coefficients $a_{ij}$ coïncident avec des côtés de triangles.

L'espace $H_0^1(\Omega)$ est approché par

$$ (81) \quad V_h = \{v \in C^0(\Omega), v \text{ polynôme de degré } \le 1 \text{ sur chaque triangle,} \\ \qquad v=0 \text{ sur } \partial\Omega\} $$

et l'espace $W(Y)$ est approché par

$$ (82) \quad W_h = \{w \in C^0(Y), w \text{ polynôme de degré } \le 1 \text{ sur chaque triangle,} \\ \qquad w \text{ est Y-périodique i.e. prend des valeurs égales sur} \\ \qquad \text{les faces opposées de Y, w de moyenne nulle i.e.} \\ \qquad \int_Y w(y) dy = 0\}. $$
Les systèmes linéaires obtenus sont résolus par la méthode de surrelaxation avec paramètre optimal. Pour le calcul des fonctions $\chi^i$ et $\eta_{ij}$ cette méthode est plus intéressante que les méthodes directes car les conditions de périodicité perturbent la structure de bande de la matrice.

### 5.3. Correcteur périodique du 1er ordre

Toutes les coupes des solutions $u_\epsilon$, $u$, $u_1$, $u_2$ qui sont représentées sur les figures qui suivent sont des coupes suivant une diagonale du domaine $\Omega$ (cf. fig. 8). Ainsi, pour tout $\epsilon$, des zones correspondant à $Y_1$ sont traversées par la coupe.

Dans l'exemple que nous traitons le résultat (33) s'écrit

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 8 : Axe de coupe des solutions</figcaption></figure>

$$ (83) \qquad \|u_{\epsilon}-u_1\|_{H^1(\Omega)} \le C \epsilon. $$

Nous allons vérifier (83) dans deux cas très différents qui correspondent l'un à $\lambda > 1$, l'autre à $\lambda < 1$.

Pour étudier le premier cas nous avons pris $\lambda = 10$, les coefficients homogénéisés obtenus sont

$$ q_{11} = q_{22} = 1.217 $$

$$ q_{12} = q_{21} = 0. $$

Sur les figures 9 et 10 nous avons représenté les coupes des fonctions $u_\epsilon$, $u$, $u_1$ pour $\epsilon = 1/2$ (fig. 9) et $\epsilon = 1/4$ (fig. 10). Il apparaît nettement sur ces courbes que le correcteur périodique du 1er ordre améliore l'approximation des pentes de $u_\epsilon$, c'est à dire de son gradient. De façon plus précise nous avons représenté dans le tableau 1 la convergence de $u_\epsilon-u$ et celle de $u_\epsilon-u_1$ en fonction de $\epsilon$ pour les normes des espaces
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 9 - Coupes de $u_\epsilon$, $u$, $u_1$ pour $\epsilon = 1/2$, $\lambda = 10$.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 10 - Coupes de $u_\varepsilon$, $u$, $u_1$ pour $\varepsilon = 1/4$, $\lambda = 10$.</figcaption></figure>
$L^\infty(\Omega)$, $L^2(\Omega)$, $H_0^1(\Omega)$, $H^1(\Omega)$. Pour les trois dernières c'est la décroissance de l'erreur relative que nous avons représenté, on a ainsi directement une idée de la précision.

<table><thead><tr><th>ε</th><th>sup|u<sub>ε</sub>-u|</th><th>||u<sub>ε</sub>-u||<sub>L<sup>2</sup></sub> / ||u||<sub>L<sup>2</sup></sub></th><th>||u<sub>ε</sub>-u||<sub>H<sub>0</sub><sup>1</sup></sub> / ||u||<sub>H<sub>0</sub><sup>1</sup></sub></th><th>sup|u<sub>ε</sub>-u<sub>1</sub>|</th><th>||u<sub>ε</sub>-u<sub>1</sub>||<sub>L<sup>2</sup></sub> / ||u<sub>1</sub>||<sub>L<sup>2</sup></sub></th><th>||u<sub>ε</sub>-u<sub>1</sub>||<sub>H<sup>1</sup></sub> / ||u<sub>1</sub>||<sub>H<sup>1</sup></sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1/2</td><td>0.128</td><td>0.1</td><td>0.310</td><td>0.020</td><td>0.032</td><td>0.085</td></tr><tr><td>1/4</td><td>0.072</td><td>0.054</td><td>0.357</td><td>0.0097</td><td>0.012</td><td>0.050</td></tr><tr><td>1/8</td><td>0.040</td><td>0.028</td><td>0.376</td><td>0.0033</td><td>0.004</td><td>0.033</td></tr></tbody></table>

Tableau 1 : Convergence de $u_ε-u$ et $u_ε-u_1$ pour $λ=10$.

On retrouve bien dans le tableau 1 la convergence de $u_ε$ vers $u_1$ dans $H^1(\Omega)$ et la non convergence de $u_ε$ vers $u$ dans $H^1(\Omega)$. On constate aussi une très nette amélioration en norme $L^\infty(\Omega)$ lorsque l'on approche $u_ε$ par $u_1$ au lieu de $u$.

Sur la figure 11 nous avons mis en évidence la convergence linéaire en $ε$ de

$$ ||u_{\epsilon}-u||_{L^{\infty}(\Omega)} \ , ||u_{\epsilon}-u||_{L^{2}(\Omega)} \ , ||u_{\epsilon}-u_{1}||_{H^{1}(\Omega)} $$

Les droites ne passent pas par 0 à cause des erreurs d'approximation sur $u_ε, u, u_1$.

Nous étudions maintenant le cas $λ < 1$. Nous avons pris $λ = \frac{1}{114}$ et les coefficients obtenus pour l'opérateur homogénéisé sont

$$ q_{11} = q_{22} = 0.793 $$

$$ q_{12} = q_{21} = 0. $$
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 11 - Convergence linéaire en $\epsilon$ de $|||u_{\epsilon}-u|||_{L^{\infty}(\Omega)}$, $|||u_{\epsilon}-u|||_{L^{2}(\Omega)}$, $|||u_{\epsilon}-u_{1}|||_{H^{1}(\Omega)}$.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 12 : Coupes de $u_e$, $u$, $u_1$ pour $\epsilon = 1/4$, $\lambda = \frac{1}{114}$.</figcaption></figure>
Sur la figure 12 nous avons représenté les coupes des fonctions $u_\epsilon$, $u$, $u_1$ pour $\epsilon = 1/4$ et l'on constate que la solution $u_\epsilon$ présente des pics dans les régions correspondant à $Y_1$. La comparaison des figures 10 et 12 montre bien, pour un même $\epsilon$, que l'on obtient des "plats" pour $\lambda > 1$ et des "pics" pour $\lambda < 1$ et que la solution $u_1$ contenant le correcteur périodique en $\epsilon$ approche bien les "plats" mais n'approche pas les "pics".

Nous avons représenté dans le tableau 2 la convergence de $u_\epsilon-u$ et $u_\epsilon-u_1$ en fonction de $\epsilon$. On constate que l'erreur est nettement plus forte que dans le cas $\lambda < 1$ bien que la convergence semble plus rapide.

<table><caption>Tableau 2 : Convergence de $u_\epsilon-u$ et $u_\epsilon-u_1$ pour $\lambda = \frac{1}{114}$</caption><thead><tr><th>ε</th><th>sup|u<sub>ε</sub>-u|</th><th>||u<sub>ε</sub>-u||<sub>L<sup>2</sup></sub><br>||u||<sub>L<sup>2</sup></sub></th><th>||u<sub>ε</sub>-u||<sub>H<sub>0</sub><sup>1</sup></sub><br>||u||<sub>H<sub>0</sub><sup>1</sup></sub></th><th>sup|u<sub>ε</sub>-u<sub>1</sub>|</th><th>||u<sub>ε</sub>-u<sub>1</sub>||<sub>L<sup>2</sup></sub><br>||u<sub>1</sub>||<sub>L<sup>2</sup></sub></th><th>||u<sub>ε</sub>-u<sub>1</sub>||<sub>H<sup>1</sup></sub><br>||u<sub>1</sub>||<sub>H<sup>1</sup></sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1/2</td><td>2.24</td><td>0.56</td><td>0.973</td><td>2.24</td><td>0.56</td><td>0.95</td></tr><tr><td>1/4</td><td>0.554</td><td>0.187</td><td>0.92</td><td>0.554</td><td>0.183</td><td>0.88</td></tr><tr><td>1/8</td><td>0.133</td><td>0.049</td><td>0.77</td><td>0.133</td><td>0.042</td><td>0.70</td></tr></tbody></table>

### 5.4. Correcteur périodique du 2ème ordre.

On se place dans le cas $\lambda < 1$. Pour trois valeurs de $\epsilon$: $\epsilon = 1/2, 1/4, 1/8$ on vérifie graphiquement que la décroissance des pics des solutions réelles $u_\epsilon$ est en $\epsilon^2$. Nous avons prouvé dans le corollaire 1 que c'est le terme périodique en $\epsilon^2$ du développement asymptotique qui permet d'approcher les pics, nous allons maintenant le vérifier numériquement.

Nous avons représenté sur les figures 13 et 14, pour $\lambda = \frac{1}{114}$, les coupes des fonctions $u_\epsilon$, $u$, $u_2$ pour $\epsilon = 1/4$ et $1/8$. En comparant les figures 12 et 13 on voit que le terme périodique en $\epsilon^2$: $\eta_{ij}(\frac{x}{\epsilon}) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}$ (x)
apporte à lui seul la correction nécessaire pour approcher les pics.
On pourra comparer ces courbes à celles représentées dans LIONS [3],
obtenues par une méthode directe d'approximation des pics, et remarquer
qu'on obtient la même correction.

Dans le tableau 3 on indique des résultats sur l'approximation de la
solution réelle $u_\epsilon$ par la solution homogénéisée corrigée $u_2$.

<table><caption>Tableau 3 : Approximation de $u_\epsilon$ par $u_2$ pour $\lambda = \frac{1}{114}$</caption><thead><tr><th>ε</th><th>sup |u<sub>ε</sub> - u<sub>2</sub>|</th><th>||u<sub>ε</sub> - u<sub>2</sub>||<sub>L<sup>2</sup></sub> / ||u<sub>2</sub>||<sub>L<sup>2</sup></sub></th><th>||u<sub>ε</sub> - u<sub>2</sub>||<sub>H<sup>1</sup></sub> / ||u<sub>2</sub>||<sub>H<sup>1</sup></sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1/2</td><td>0.181</td><td>0.031</td><td>0.181</td></tr><tr><td>1/4</td><td>0.011</td><td>0.012</td><td>0.012</td></tr><tr><td>1/8</td><td>0.013</td><td>0.012</td><td>0.034</td></tr></tbody></table>

En comparant les résultats des tableaux 2 et 3 on constate l'amélioration
importante apportée par $u_2$ dans l'approximation de $u_\epsilon$. On remarque, dans
le tableau 3, que les résultats pour $\epsilon = 1/8$ sont moins bons que pour
$\epsilon = 1/4$ et que $u_\epsilon - u_2$ n'a pas l'air de bien converger vers 0. Ceci est
dû à l'erreur d'approximation commise sur $u_\epsilon$. En effet la convergence
des solutions approchées $u_{\epsilon,h}$, en fonction du pas de discrétisation $h$,
est très lente à cause du faible nombre de triangle sur chaque zone
correspondant à $Y_1$ et à cause des angles droits que présentent ces
zones (cf. BABUSKA | 1 | 1). Ainsi au centre d'une région où $\lambda = \frac{1}{114}$ on
obtient les valeurs suivantes de $u_{\epsilon,h}$ pour $\epsilon = 1/8$.

Pour 1152 triangles
" 4608 "
" 18432 "
$u_{\epsilon,h_1}$ = 0.839
$u_{\epsilon,h_2}$ = 0.996
$u_{\epsilon,h_3}$ = 1.029.

Or en ce point la solution $u_2$ prend la valeur 1.042 qui semble assez
proche de la limite des valeurs précédentes. Par conséquent, pour $\epsilon$.
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 13 - Coupes de $u_1, u, u_2$ pour $\epsilon = 1/4, \lambda = \frac{1}{114}$.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure 14 - Coupes de $u_1, u, u_2$ pour $\epsilon = 1/8, \lambda = \frac{1}{114}$.</figcaption></figure>
petit et $\lambda \ll 1$, même si de puissants moyens de calcul permettent
d'obtenir directement $u_\varepsilon$, il est préférable d'approcher $u_\varepsilon$ par la
solution homogénéisée avec correcteurs d'ordre 1 et 2.

6. - ÉTUDE NUMÉRIQUE DU CORRECTEUR $\tilde{w}_1$.

Nous étudions ici la correction apportée à l'approximation de la solu-
tion réelle $u_\epsilon$ par le terme $\tilde{w}_1$ défini en (11). L'équation (20) qui
permet de calculer $\tilde{w}_1$ est une équation elliptique à coefficients constants
qui présente deux difficultés. D'une part, le calcul des coefficients
$r_{ij\ell}$ définis en (19) nécessite la résolution préalable de quatre
équations sur la cellule de référence donnant les fonctions $\eta_{ij}$,
d'autre part les approximations de $u, \chi^i, \eta_{ij}$ doivent être faites
avec une grande précision car les dérivées premières et secondes de
ces fonctions interviennent dans plusieurs calculs. En ce qui concerne
la dérivée d'ordre 3 de la solution homogénéisée $u$ qui apparaît dans
le second membre de l'équation (20), elle se ramène à une dérivée
d'ordre 2 en utilisant la formule de Green.

$$
(84) \quad \int_{\Omega} -r_{ij\ell} \frac{\partial^3 u}{\partial x_i \partial x_j \partial x_\ell} \phi \,dx = \int_{\Omega} r_{ij\ell} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \frac{\partial \phi}{\partial x_\ell} \,dx - \int_{\Gamma} r_{ij\ell} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \phi \cos(\vec{n} \cdot \vec{x}_\ell) \,d\Gamma.
$$

Nous avons montré dans un contexte symétrique ainsi que dans un contexte
symétrique décalé (cf. Remarque 8) que $\tilde{w}_1 = 0$ si, dans l'équation (10)
qui définit $\chi^i$ à une constante près, on choisit cette constante telle
que $\eta(\chi^i) = 0$. Dans le cas général, l'utilisation du terme correcteur
$\tilde{w}_1$ compense le choix de la constante déterminant $\chi^i$ car la fonction
$u+\epsilon[-\chi^i(\frac{x}{\epsilon})\frac{\partial u}{\partial x_i}(x) + \tilde{w}_1(x)]$ ne dépend pas de cette constante. Cependant
on vérifie numériquement (fig. 16) que, si l'on détermine $\chi^i$ par $\eta(\chi^i)=0$,
on obtient une fonction $\tilde{w}_1$ petite. Ceci prouve que, déterminer $\chi^i$ par
$\eta(\chi^i) = 0$, dans le cas général est encore un bon choix surtout si l'on
ne veut pas calculer $\tilde{w}_1$.
Sur la figure 16 nous avons représenté des coupes diagonales des fonctions $\tilde{w}_1$ obtenues pour différents choix de la constante déterminant $\chi_i^i$ :

$$ \mathcal{M}(\chi_i^i) = 0, $$

$\chi_i^i = 0$ aux coins de la cellule représentative,

$$ \mathcal{M}(\chi_1^1) = 1 \text{ et } \mathcal{M}(\chi_2^2) = 0, $$

ceci pour la cellule représentative de la figure 15, avec les coefficients

$$ a_{i11} = 10 \quad a_{121} = 8 \quad a_{211} = 0. $$

$$ a_{i00} = 1 \quad a_{120} = 0 \quad a_{210} = 1, $$

et un second membre $f$ choisi

de façon que $u = (1-\cos 2\pi x_1)(1-\cos 2\pi x_2)$ pour annuler le terme $\theta_\epsilon$.

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 15</figcaption></figure>

Cellule de référence pour l'étude de $\tilde{w}_1$.

On remarque que les trois courbes de la figure 16 sont affines l'une de l'autre et que par conséquent il est possible de déterminer a posteriori la valeur que doit prendre $\mathcal{M}(\chi_i^i)$ pour minimiser $\tilde{w}_1$.

En conclusion le terme $\tilde{w}_1$ est un correcteur global assez difficile à calculer et dont il est préférable de se passer en déterminant les fonctions $\chi_i^i$ par $\mathcal{M}(\chi_i^i) = 0$.
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure 16 - Comparaison des fonctions $\tilde{w}_1$ pour différentes déterminations des $\chi^i$.</figcaption></figure>
## 7. - ÉTUDE NUMERIQUE DU RESTE FRONTIERE $\theta_{\varepsilon}$.

L'équation (22) qui permet de calculer $\theta_{\varepsilon}$ a le même opérateur $A^{\varepsilon}$ que l'équation (2) qui donne la solution réelle, elle pose donc les mêmes difficultés de résolution lorsque $\varepsilon \to 0$. Par conséquent il est inutile d'utiliser $\theta_{\varepsilon}$ pour approcher $u_{\varepsilon}$, en d'autres termes $\theta_{\varepsilon}$ n'est pas un correcteur, mais cependant il est intéressant d'avoir une idée de sa contribution.

Pour étudier numériquement le terme $\theta_{\varepsilon}$ nous considérons un cas où $\tilde{w}_1 = 0$, par exemple le cas du contexte symétrique décalé décrit dans la remarque 8.

La cellule représentative est celle de la figure 17 et les coefficients de l'opérateur

$$a_{i11} = 10 \quad a_{121} = 0 \quad a_{211} = 0$$

$$a_{i20} = 1 \quad a_{120} = 0 \quad a_{210} = 0.$$

Nous avons représenté sur la figure 18 les coupes des fonctions $u_{\varepsilon}$, $u$, $u-\varepsilon \chi_i^i \frac{\partial u}{\partial x_i}$, $u+\varepsilon[-\chi_i^i \frac{\partial u}{\partial x_i} + \theta_{\varepsilon}]$.

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure 17 : Cellule représentative pour l'étude de $\theta_{\varepsilon}$.</figcaption></figure>

On remarque que le terme $\theta_{\varepsilon}$ améliore l'approximation de $u_{\varepsilon}$ dans tout le domaine mais principalement au bord. Ceci est mis en évidence sur la figure 19 où sont représentées les coupes des fonctions $\theta_{\varepsilon}$ pour $\varepsilon = \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}$. La figure 19 montre bien que $\theta_{\varepsilon}$ ne converge pas vers 0 lorsque $\varepsilon \to 0$ et que, par conséquent, (23) est la meilleure estimation possible,

$$|\theta_{\varepsilon}| < K \quad C^0(\Omega)$$
<figure><img src="image_21.png" /></figure>

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Figure 18 - Contribution du terme $O_c$ pour $\epsilon = 1/2$</figcaption></figure>
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Figure 19 - Coupes de θ<sub>ε</sub> •</figcaption></figure>
## CONCLUSION

Nous avons mis en évidence l'utilité et l'efficacité des correcteurs périodiques. L'utilisation de ces correcteurs permet une résolution économique de problèmes où le nombre de cellules n'est pas très grand car le calcul direct nécessite une triangulation très fine et devient rapidement peu précis.

Nous avons montré que ces correcteurs agissaient de façon assez spécifique suivant que les coefficients prennent en certains points des valeurs très grandes ou très petites. Dans le premier cas le correcteur périodique du 1er ordre est très efficace, dans le second il faut utiliser le correcteur périodique d'ordre 2.

Ces propriétés ont été établies théoriquement et vérifiées numériquement sur une famille d'exemples satisfaisant certaines propriétés de symétrie et que l'on rencontre souvent dans les problèmes physiques.

Nous avons enfin délimité l'utilité et l'efficacité des termes non périodiques d'ordre 1 du développement asymptotique et précisé par quelques exemples numériques leur rôle et leur importance.

Bien entendu l'utilisation des correcteurs s'avère encore plus utile en dimension 3 où tout calcul direct devient rapidement impossible lorsque le nombre de cellules augmente.
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