Pour que la convolution de mesures soit une généralisation de la convolution de fonctions, on souhaite que $m \ast \mu = (f \ast g)\lambda_N$, lorsque $m = f\lambda_N$ et $g = g\lambda_N$ avec $f, g \in L^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$ (et donc $f \ast g \in L^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$). Noter que $m, \mu$ et $m \ast \mu$ sont des mesures signées. Soient $f, g \in L^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$. On pose $m = f\lambda_N$ et $g = g\lambda_N$. Pour toute fonction $\varphi$ borélienne bornée de $\mathbb{R}^N$ dans $\mathbb{R}$ (par exemple, $\varphi \in C_b(\mathbb{R}^N, \mathbb{R}))$,

$$ \int (f \ast g) \varphi d\lambda_N = \int_{\mathbb{R}^d} \left( \int_{\mathbb{R}^d} f(x-y)g(y)dy \right) \varphi(x)dx. $$

(On rappelle que $dx$ désigne $d\lambda_N(x)$). En utilisant le théorème de Fubini, qui s'applique bien ici car

$$ \iint |f(x-y)g(y)\varphi(x)|dxdy \le \|\varphi\|_{\infty} \|f\|_1 \|g\|_1, $$

et avec le changement de variable $z = x - y$ (pour $y$ fixé), on obtient :

$$ \begin{aligned} \int (f \ast g) \varphi d\lambda_N &= \int_{\mathbb{R}^d} \left( \int_{\mathbb{R}^d} f(x-y)\varphi(x)dx \right) g(y)dy \\ &= \int_{\mathbb{R}^d} \left( \int_{\mathbb{R}^d} f(z)\varphi(z+y)dz \right) g(y)dy. \end{aligned} $$

On a donc :

$$ \int (f \ast g) \varphi d\lambda_N = \int_{\mathbb{R}^N} \left( \int_{\mathbb{R}^N} \varphi(z+y)dm(z) \right) d\mu(y) = \int_{\mathbb{R}^{2N}} \varphi(y+z)d(m \otimes \mu)(z,y), \quad (7.8) $$

où la dernière égalité découle de la définition de $m \otimes \mu$. Plus précisément, si $m$ et $\mu$ sont des mesures finies (c'est-à-dire des applications $\sigma$-additives de $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ dans $\mathbb{R}^+$), la dernière égalité de 7.8 est donnée par le troisième item du théorème de Fubini (théorème 7.12). Si $m$ et $\mu$ sont des mesures signées, on se ramène au cas précédent avec la décomposition de Hahn (proposition 2.32) qui donne $m = m^+ - m^-$ et $\mu = \mu^+ - \mu^-$. La mesure $m \otimes \mu$ est alors définie à partir de $m^\pm \otimes \mu^\pm$.

On est ainsi amené naturellement à définir $m \ast \mu$ en utilisant le deuxième membre de (7.8) pour définir $\int \varphi d(m \ast \mu)$.

**Définition 7.26 (Convolution de mesures)** Soit $N \ge 1$ et $m, \mu$ des mesures signées sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$. On définit la mesure signée $\mu \ast \nu$ sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ par :

$$ m \ast \mu(A) = \int_{\mathcal{B}(\mathbb{R}^{2N})} 1_A(x+y)d(m \otimes \mu)(x,y) \text{ pour tout } A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N). $$

où $m \otimes \nu = m^+ \otimes \mu^+ + m^- \otimes \mu^- - m^- \otimes \mu^+ - m^+ \otimes \mu^- \text{ et } m^\pm \mu^\pm \text{ sont données par la décomposition de Hahn de } m \text{ et } \mu \text{ (proposition 2.32).}$
Le fait que $m \ast \mu$ est une mesure signée sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ est facile (la $\sigma$-additivité de $m \ast \mu$ découle, par exemple, du théorème de convergence dominée). On déduit de cette définition la proposition suivante.

**Proposition 7.27** Soit $N \ge 1$ et $m, \mu$ des mesures signées sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$.

1. On a alors, pour tout $\varphi$ borélienne bornée de $\mathbb{R}^N$ dans $\mathbb{R}$ (par exemple, $\varphi \in C_b(\mathbb{R}^N, \mathbb{R}))$ :

$$ \int_{\mathbb{R}^N} \varphi d(m \ast \mu) = \int_{\mathcal{B}(\mathbb{R}^{2N})} \varphi(x+y)d(m \otimes \mu)(x,y). $$

2. Si $m$ et $\mu$ sont des probabilités, la mesure $m \ast \mu$ est aussi une probabilité.

3. Si $f, g \in L^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$, $m = f \lambda_N$ et $\mu = g \lambda_N$, on a $m \ast \mu = (f \ast g)\lambda_N$.

**DÉMONSTRATION** – Le premier item se démontre, comme souvent, en considérant des fonctions étagées, puis en écrivant $\varphi$ comme limite de fonctions étagées (bornées par la borne supérieure de $|\varphi|$, exercice 7.22). Le deuxième item est immédiat en remarquant que $m \ast \mu(A) \ge 0$ si $m$ et $\mu$ sont des mesures (positives) et $m \ast \mu(\mathbb{R}^N) = m(\mathbb{R}^N)\mu(\mathbb{R}^N)$. Enfin, le troisième item a été vu avant la proposition 7.27. ■

**Remarque 7.28** Il aurait aussi été possible de définir $m \ast \mu$ grâce au théorème de Riesz dans $C_0(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ (théorème 5.16 pour $N \ge 1$). Si $m, \mu$ sont des mesures signées sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ (ou, directement, des formes linéaires continues sur $C_0(\mathbb{R}^N, \mathbb{R}))$. On définit, l'application $L$ de $C_0(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$ par :

$$ L(\varphi) = \int_{\mathbb{R}^N} \int_{\mathbb{R}^N} \varphi(x+y) dm(x) d\mu(y), \forall \varphi \in C_0(\mathbb{R}^N, \mathbb{R}). $$

L'application $L$ est une forme linéaire continue sur $C_0(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$. Par le théorème de Riesz, il existe donc une unique mesure de Radon, notée $\tau$ (c'est la mesure convoluee de $m$ et $\mu$) t.q. :

$$ L(\varphi) = \int \varphi(s) d\tau(s). $$

## 7.6 Formules de changement de variable

La proposition 7.21 donne un résultat sur les changements de variables “simples”. On donne maintenant une généralisation dans le cas où les intégrales portent sur des ouverts bornés de $\mathbb{R}^N$.
**Théorème 7.29 (Formules de changement de variable)** Soit $N \ge 1$, $U$ et $V$ des ouverts bornés de $\mathbb{R}^N$ et $\varphi$ un $C^1$-difféomorphisme de $U$ dans $V$ (i.e. $\varphi$ est une bijection de $U$ dans $V$, $\varphi \in C^1(U, V)$ et $\varphi^{-1} \in C^1(V, U)$). On note $D\varphi(y)$ la matrice jacobienne de $\varphi$ en $y$ et $\text{Det}(D\varphi)$ la fonction $y \mapsto \text{Det}(D\varphi(y))$.

1. Soit $f \in \mathcal{M}_+ = \mathcal{M}_+(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N))$. Alors,

$$(f \circ \varphi)|\text{Det}(D\varphi)|1_U \in \mathcal{M}_+ \text{ et } \int_V f(x)dx = \int_U f(\varphi(y))|\text{Det}(D\varphi(y))|dy.$$

2. Soit $f \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N))$ t.q. $f1_V \in \mathcal{L}^1 = \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$. Alors,

$$(f \circ \varphi)|\text{Det}(D\varphi)|1_U \in \mathcal{L}^1 \text{ et } \int_V f(x)dx = \int_U f(\varphi(y))|\text{Det}(D\varphi(y))|dy.$$

**DÉMONSTRATION –** Comme $\varphi$ est de classe $C^1$, la fonction $(f \circ \varphi)|\text{Det}(D\varphi)|1_U$ est mesurable si $f$ est mesurable. Il est plus difficile de montrer l'égalité donnée dans l'item 1 du théorème. Cette démonstration n'est pas faite ici. Elle consiste à se ramener par un procédé de localisation au cas de changements de variable affines.

Le deuxième item du théorème est une conséquence facile du premier. En effet, soit $f \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N))$ t.q. $f1_V \in \mathcal{L}^1$. En appliquant le premier item à la fonction $|f| \in \mathcal{M}_+$, on obtient que $(f \circ \varphi)|\text{Det}(D\varphi)|1_U \in \mathcal{L}^1$. Puis en appliquant le premier item à $f^+$ et $f^-$ et en faisant la différence, on obtient bien que $\int_V f(x)dx = \int_U f(\varphi(y))|\text{Det}(D\varphi(y))|dy$.

**Un exemple de changement de variable** On conclut cette section en donnant l'exemple des coordonnées polaires pour $N = 2$. Soit $f \in \mathcal{M}_+(\mathbb{R}^2, \mathcal{B}(\mathbb{R}^2))$ (ou $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}^2, \mathcal{B}(\mathbb{R}^2), \lambda_2)$). On veut calculer (par exemple) $\int_{B_1} f(x)dx$, où $B_1$ est la boule unité (ouverte) de $\mathbb{R}^2$, en passant en coordonnée polaires.

On a donc $B_1 = \{x \in \mathbb{R}^2; |x| < 1\}$, où $|\cdot|$ est la norme euclidienne dans $\mathbb{R}^2$, c'est-à-dire $|x|^2 = x_1^2 + x_2^2$ si $x = (x_1, x_2)^t \in \mathbb{R}^2$.

On pose $L = \{(x_1, 0)^t, x_1 \in [0, 1[\}$ et on remarque que $\lambda_2(L) = \lambda([0, 1[ \times \lambda(\{0\}) = 0$. Donc, en posant $V = B_1 \setminus L$, on a :

$$\int_{B_1} f(x)dx = \int_{B_1 \setminus L} f(x)dx = \int_V f(x)dx = \int_V f d\lambda_2.$$

On pose aussi $U =]0, 1[\times]0, 2\pi[$, de sorte que $U$ et $V$ sont de ouverts bornés de $\mathbb{R}^2$. L'application $\varphi : (r, \theta)^t \mapsto (r \cos \theta, r \sin \theta)^t$ est alors une bijection de $U$ dans $V$. Elle
est de classe $C^1$ et son inverse est de classe $C^1$ ($\varphi$ et $\varphi^{-1}$ sont même de classe $C^\infty$).
On peut calculer la matrice jacobienne de $\varphi$ et son déterminant :

$$
D\varphi(r, \theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{pmatrix}, \quad |\mathrm{Det}(D\varphi(r, \theta))| = r.
$$

On peut donc appliquer le théorème 7.29, il donne :

$$
\begin{align*}
\int_{B_1} f(x)dx &= \int_{V} f(x)dx = \int_{U} f(r \cos \theta, r \sin \theta)rd\lambda_2(r, \theta) \\
&= \int_{]0,1[x]0,2\pi[} f(r \cos \theta, r \sin \theta)rd\lambda_2(r, \theta)
\end{align*}
$$

En appliquant maintenant le théorème de Fubini-Tonelli pour évaluer la dernière intégrale (si $f \in L^1$ au lieu de $f \in M_+$, on raisonne d'abord sur $|f|$ puis on utilise le théorème de Fubini), on obtient :

$$
\int_{B_1} f(x) dx = \int_0^{2\pi} \left( \int_0^1 f(r \cos \theta, r \sin \theta) r dr \right) d\theta.
$$

Si $f(x)$ ne dépend que de $|x|$, c'est-à-dire s'il existe $\psi$ t.q. $f(x) = \psi(|x|)$, on obtient
alors :

$$
\int_{B_1} f(x)dx = 2\pi \int_{0}^{1} \psi(r)rdr.
$$

En particulier, on voit que $f 1_{B_1} \in L^1(\mathbb{R}^2)$ si et seulement si $g \in L^1_{\mathbb{R}}(]0, 1[, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$, avec $g$ définie par $g(r) = r\psi(r)$ pour $r \in ]0, 1[$.

Prenons toujours $f \in \mathcal{M}_+(\mathbb{R}^2, \mathcal{B}(\mathbb{R}^2))$ (ou bien $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}^2, \mathcal{B}(\mathbb{R}^2), \lambda_2)$). Le raisonne-
ment que nous venons de faire pour $B_1$ peut être fait pour $B_a = \{x \in \mathbb{R}^2; |x| < a\}$ avec
$a > 0$. On obtient alors, pour tout $a > 0$ :

$$
\int_{B_a} f(x) dx = \int_0^{2\pi} \left( \int_0^a f(r \cos \theta, r \sin \theta) r dr \right) d\theta. \quad (7.9)
$$

En prenant $a = n$, $n \in \mathbb{N}^*$, dans (7.9), on obtient aussi, quand $n \to +\infty$ (avec le théorème de convergence monotone si $f \in \mathcal{M}_+$ et en raisonnement avec $f^\pm$ si $f \in \mathcal{L}^1$) :

$$
\int f(x)dx = \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{\infty} f(r \cos \theta, r \sin \theta) rdr \right) d\theta. \quad (7.10)
$$
## 7.7 Exercices

### 7.7.1 Mesure produit

**Exercice 7.1 (Mesure borélienne sur $\mathbb{R}^n$)** Montrer que, pour tout $n \ge 2$, on a $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) = \mathcal{B}(\mathbb{R}^{n-1}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R})$. [S'inspirer de la démonstration faite pour $n = 2$ dans l'exercice 2.6.]

**Corrigé –** On note $T = \mathcal{B}(\mathbb{R}^{n-1}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R})$, c'est-à-dire la tribu (sur $\mathbb{R}^n$) engendrée par $\{A \times B; A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{n-1}), B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}$. On veut montrer que $T = \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$.

**Etape 1, $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \subset T$.**

Soit $O$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$. On va montrer que $O \in T$. On suppose $O \neq \emptyset$ (on sait déjà que $\emptyset \in T$). Pour tout $x = (x_1, \dots, x_n)^t \in O$, il existe $r > 0$ t.q. $\prod_{i=1}^n |x_i - r, x_i + r| \subset O$. Comme les rationnels sont denses dans $\mathbb{R}$, on peut trouver, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, $y_i \in \mathbb{Q} \cap |x_i - r, x_i + r| \text{ et } z_i \in \mathbb{Q} \cap |x_i, x_i + r|$. On a donc $x \in \prod_{i=1}^n |y_i, z_i| \subset O$.

On note alors $I = \{(y,z) \in \mathbb{Q}^{2n} ; \prod_{i=1}^n |y_i, z_i| \subset O\}$ (avec $y = (y_1, \dots, y_n)^t$ et $z = (z_1, \dots, z_n)^t$). Pour tout $x \in O$, il existe donc $(y,z) \in I$ t.q. $x \in \prod_{i=1}^n |y_i, z_i|$. On en déduit que $O = \bigcup_{(y,z) \in I} \prod_{i=1}^n |y_i, z_i|$.

L'ensemble $\prod_{i=1}^{n-1} |y_i, z_i|$ est un ouvert de $\mathbb{R}^{n-1}$, il appartient donc à $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n-1})$ (qui est la tribu engendrée par les ouverts de $\mathbb{R}^{n-1}$). L'ensemble $|y_n, z_n|$ appartient à $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Donc, $\prod_{i=1}^n |y_i, z_i| \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{n-1}) \times \mathcal{B}(\mathbb{R})$. Comme $I$ est au plus dénombrable (car $\mathbb{Q}^{2n}$ est dénombrable), on en déduit que $O \in T$. On a ainsi montré que $T$ est une tribu contenant tous les ouverts de $\mathbb{R}^n$, et donc contenant la tribu engendrée par les ouverts de $\mathbb{R}^n$ (c'est-à-dire $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$). Donc, $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \subset T$.

**Etape 2, $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \supset T$.**

On reprend ici aussi le même démarche que dans l'exercice 2.6.

1. Soit $A$ un ouvert de $\mathbb{R}^{n-1}$ et $T_1 = \{B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) ; A \times B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\}$. On montre d'abord que $T_1$ est une tribu (sur $\mathbb{R}$)

$$ - \emptyset \in T_1 \text{ car } A \times \emptyset = \emptyset \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n). $$

- On montre ici que $T_1$ est stable par passage au complémentaire. Soit $B \in T_1$, on a donc $B^c \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et $A \times B^c = A \times (\mathbb{R} \setminus B) = (A \times \mathbb{R}) \setminus (A \times B)$. Or, $(A \times \mathbb{R})$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$ (car $A$ est un ouvert de $\mathbb{R}^{n-1}$ et $\mathbb{R}$ est un ouvert de $\mathbb{R}$), on a donc $(A \times \mathbb{R}) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$. D'autre part, $(A \times B) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ (car $B \in T_1$). Donc, $A \times B^c = (A \times \mathbb{R}) \setminus (A \times B) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$. Ce qui prouve que $B^c \in T_1$ et donc que $T_1$ est stable par passage au complémentaire.

- Enfin, $T_1$ est stable par union dénombrable. En effet, si $(B_p)_{p \in \mathbb{N}} \subset T_1$, on a $A \times (\bigcup_{p \in \mathbb{N}} B_p) = \bigcup_{p \in \mathbb{N}} A \times B_p \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ (car $A \times B_p \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ pour tout $p \in \mathbb{N}$). Donc, $\bigcup_{p \in \mathbb{N}} B_p \in T_1$.

On a donc montré que $T_1$ est une tribu.

On montre maintenant que $T_1$ contient les ouverts de $\mathbb{R}$.
Soit $\mathbb{R}$ un ouvert de $\mathbb{R}$. On a donc $\mathbb{B}(\mathbb{R})$ et, comme $A \times B$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$, on $A \times B \in \mathbb{B}(\mathbb{R}^n)$. On a donc $B \in T_1$.

$T_1$ est donc une tribu contenant les ouverts de $\mathbb{R}$, donc contenant $\mathbb{B}(\mathbb{R})$. Donc, $T_1 = \mathbb{B}(\mathbb{R})$.

La conséquence de ce résultat est :

$$A \text{ ouvert de } \mathbb{R}^{n-1} \text{ et } B \in \mathbb{B}(\mathbb{R}) \Rightarrow A \times B \in \mathbb{B}(\mathbb{R}^n). \quad (7.11)$$

2. Soit $B \in \mathbb{B}(\mathbb{R})$ et $T_2 = \{A \in \mathbb{B}(\mathbb{R}^{n-1}); A \times B \in \mathbb{B}(\mathbb{R}^n)\}$. On va montrer que $T_2 = \mathbb{B}(\mathbb{R}^{n-1})$.

On commence par remarquer que (7.11) donne que $T_2$ contient les ouverts de $\mathbb{R}^{n-1}$. En effet, soit $A$ un ouvert de $\mathbb{R}^{n-1}$, la propriété (7.11) donne que $A \times B \in \mathbb{B}(\mathbb{R}^n)$, et donc $A \in T_2$.

On montre maintenant que $T_2$ est une tribu (on en déduira que $T_2 = \mathbb{B}(\mathbb{R}^{n-1})$).

$$- \emptyset \in T_2 \text{ car } \emptyset \times B = \emptyset \in \mathbb{B}(\mathbb{R}^n).$$

– On montre ici que $T_1$ est stable par passage au complémentaire. Soit $A \in T_2$, on a $A^c \in \mathbb{B}(\mathbb{R}^{n-1})$ et $A^c \times B = (\mathbb{R}^{n-1} \times B) \setminus (A \times B)$. La propriété (7.11) donne $(\mathbb{R}^{n-1} \times B) \in \mathbb{B}(\mathbb{R}^n)$ car $\mathbb{R}^{n-1}$ est un ouvert de $\mathbb{R}^{n-1}$. D'autre part, $(A \times B) \in \mathbb{B}(\mathbb{R}^n)$ (car $A \in T_2$). Donc, $A^c \times B \in \mathbb{B}(\mathbb{R}^n)$. Ce qui prouve que $A^c \in T_2$ et donc que $T_2$ est stable par passage au complémentaire.

– Enfin, $T_2$ est stable par union dénombrable. En effet, si $(A_p)_{p \in \mathbb{N}} \subset T_2$, on a $(\bigcup_{p \in \mathbb{N}} A_p) \times B = \bigcup_{p \in \mathbb{N}} (A_p \times B) \in \mathbb{B}(\mathbb{R}^n)$ (car $A_p \times B \in \mathbb{B}(\mathbb{R}^n)$ pour tout $p \in \mathbb{N}$). Donc, $\bigcup_{p \in \mathbb{N}} A_p \in T_2$.

$T_2$ est donc une tribu (sur $\mathbb{R}^{n-1}$) contenant les ouverts de $\mathbb{R}^{n-1}$, ce qui prouve que $T_2 \supset \mathbb{B}(\mathbb{R}^{n-1})$ et donc, finalement, $T_2 = \mathbb{B}(\mathbb{R}^{n-1})$.

On a donc obtenu le résultat suivant :

$$A \in \mathbb{B}(\mathbb{R}^{n-1}), B \in \mathbb{B}(\mathbb{R}) \Rightarrow A \times B \in \mathbb{B}(\mathbb{R}^n). \quad (7.12)$$

3. On montre maintenant que $T \subset \mathbb{B}(\mathbb{R}^n)$ (et donc que $T = \mathbb{B}(\mathbb{R}^n)$).

Grâce à (7.12), on a $\{A \times B; A \in \mathbb{B}(\mathbb{R}^{n-1}), B \in \mathbb{B}(\mathbb{R})\} \subset \mathbb{B}(\mathbb{R}^n)$. On en déduit que $T \subset \mathbb{B}(\mathbb{R}^n)$. On a donc bien, avec l'étape 1, $T = \mathbb{B}(\mathbb{R}^n)$.

**Exercice 7.2 (Algèbre engendrée par un produit de tribus)** Soient $E_1, E_2$ deux ensembles, $T_1$ une tribu sur $E_1$ et $T_2$ une tribu sur $E_2$. On note $E = E_1 \times E_2$ et on rappelle que $T_1 \times T_2 = \{A_1 \times A_2, A_1 \in T_1, A_2 \in T_2\}$.

Montrer que l'algèbre engendrée par $T_1 \times T_2$ est égale à l'ensemble des réunions finies disjointes d'éléments de $T_1 \times T_2$ c'est-à-dire que, pour tout $A \in \mathcal{P}(E)$, A appartient à l'algèbre engendrée par $T_1 \times T_2$ si et seulement si il existe $(A^{(p)})_{p=1,...,n} \subset T_1 \times T_2 \text{ t.q. } A^{(p)} \cap A^{(q)} = \emptyset \text{ si } p \neq q \text{ et } A = \bigcup_{p=1}^n A^{(p)}$.
**Corrigé** – On note $\mathcal{A}$ l'algèbre engendrée par $T_1 \times T_2$ et $\mathcal{B}$ l'ensemble des réunions finies disjointes d'éléments de $T_1 \times T_2$.

Comme $\mathcal{A}$ contient $T_1 \times T_2$ et que $\mathcal{A}$ est stable par union finie, il est immédiat que $\mathcal{B} \subset \mathcal{A}$.
Pour montrer que $\mathcal{B} = \mathcal{A}$, il suffit alors de montrer que que $\mathcal{B}$ est une algèbre (puisque
$\mathcal{A}$ est la plus petite algèbre contenant $T_1 \times T_2$ et que $\mathcal{B}$ contient $T_1 \times T_2$).

Pour montrer que $\mathcal{B}$ est une algèbre, on montre d'abord (étape 1) que $T_1 \times T_2$ est stable par intersection finie et que le complémentaire d'un élément de $T_1 \times T_2$ est la réunion de 2 éléments disjoints de $T_1 \times T_2$ (en fait, pour montrer que $\mathcal{B}$ est une algèbre, il suffirait de savoir que le complémentaire d'un élément de $T_1 \times T_2$ est une union finie disjointe d'éléments de $T_1 \times T_2$). Puis, on en déduit (étape 2) que $\mathcal{B}$ vérifie les propriétés (a) et (b) de la question 1 de l'exercice 2.9, ce qui donne que $\mathcal{B}$ est bien une algèbre.

**Etape 1.** Propriétés de $T_1 \times T_2$.

- Soient $A_1, B_1 \in T_1$ et $A_2, B_2 \in T_2$. On a clairement $(A_1 \times A_2) \cap (B_1 \times B_2) = (A_1 \cap A_2) \times (B_1 \cap B_2)$. Comme $T_1$ et $T_2$ sont stables par intersection finie, on en déduit que $(A_1 \times A_2) \cap (B_1 \times B_2) \in T_1 \times T_2$ et donc que $T_1 \times T_2$ est stable par intersection finie.

- Soient $A_1 \in T_1$ et $A_2 \in T_2$. On remarque que $(A_1 \times A_2)^c = (E_1 \times A_2^c) \cup (A_1^c \times A_2)$. Comme $(E_1 \times A_2^c) \in T_1 \times T_2$, $(A_1^c \times A_2) \in T_1 \times T_2$ et que $(E_1 \times A_2^c) \cap (A_1^c \times A_2) = \emptyset$, on a bien montré que le complémentaire d'un élément de $T_1 \times T_2$ est la réunion de 2 éléments disjoints $T_1 \times T_2$.

**Etape 2.** On montre maintenant que $\mathcal{B}$ vérifie les propriétés (a) et (b) de la question 1 de l'exercice 2.9. La propriété (a) est immédiate car $E = E_1 \times E_2 \in T_1 \times T_2 \subset \mathcal{B}$. Pour montrer (b), on montre d'abord que $\mathcal{B}$ est stable par passage au complémentaire.

Soit $\mathcal{B} \in \mathcal{B}$. Il existe $(\mathcal{B}^{(q)})_{q=1,...,m} \subset T_1 \times T_2 \text{ t.q. } \mathcal{B}^{(p)} \cap \mathcal{B}^{(q)} = \emptyset \text{ si } p \neq q \text{ et } \mathcal{B} = \bigcup_{q=1}^{m} \mathcal{B}^{(q)}$. On a alors $\mathcal{B}^c = \bigcap_{q=1}^{m} (\mathcal{B}^{(q)})^c$. Le complémentaire d'un élément de $T_1 \times T_2$ est la réunion de 2 éléments disjoints de $T_1 \times T_2$. Pour tout $q$, il existe donc $C_{q,1}, C_{q,2} \in T_1 \times T_2 \text{ t.q. } (\mathcal{B}^{(q)})^c = C_{q,1} \cup C_{q,2}$ et $C_{q,1} \cap C_{q,2} = \emptyset$. On a donc $\mathcal{B}^c = \bigcap_{q=1}^{m} (C_{q,1} \cup C_{q,2}) = \bigcup_{\varphi \in \mathcal{I}}(\bigcap_{q=1}^{m} C_{q,\varphi(q)})$ où $\mathcal{I}$ désigne l'ensemble des applications de $\{1,...,m\}$ dans $\{1,2\}$. Ceci prouve que $\mathcal{B}^c \in \mathcal{B}$. En effet, on remarque d'abord que, pour tout $\varphi \in \mathcal{I}$, on a $\bigcap_{q=1}^{m} C_{q,\varphi(q)} \in T_1 \times T_2 \text{ car } T_1 \times T_2$ est stable par intersection finie. Puis, pour $\varphi, \psi \in \mathcal{I}$ $\varphi \neq \psi$, il existe $k \in \{1,...,m\}$ t.q. $\varphi(k) \neq \psi(k)$. On a donc $(\bigcap_{q=1}^{m} C_{q,\varphi(q)}) \cap (\bigcap_{q=1}^{m} C_{q,\psi(q)}) = \emptyset \text{ car } \bigcap_{q=1}^{m} C_{q,\varphi(q)} \subset C_{k,\varphi(k)}, \bigcap_{q=1}^{m} C_{q,\psi(q)} \subset C_{k,\psi(k)} \text{ et } C_{k,\varphi(k)} \cap C_{k,\psi(k)} = \emptyset$. On a donc bien montré que $\mathcal{B}^c$ est une union finie disjointe d'éléments de $T_1 \times T_2$, c'est-à-dire que $\mathcal{B}^c \in \mathcal{B}$.

On montre maintenant que $\mathcal{B}$ vérifie la propriété (b) de la question 1 de l'exercice 2.9. Soit $A, B \in \mathcal{B}$. Comme on vient de voir que $\mathcal{B}^c \in \mathcal{B}$, Il existe $(A^{(p)})_{p=1,...,n} \subset T_1 \times T_2$ et $(C^{(q)})_{q=1,...,m} \subset T_1 \times T_2 \text{ t.q. } A^{(p)} \cap A^{(q)} = \emptyset \text{ si } p \neq q, C^{(p)} \cap C^{(q)} = \emptyset \text{ si } p \neq q, A = \bigcup_{p=1}^{n} A^{(p)} \text{ et } \mathcal{B}^c = \bigcup_{q=1}^{m} C^{(q)}$. On a alors $A \setminus B = A \cap \mathcal{B}^c = (\bigcup_{p=1}^{n} A^{(p)}) \cap (\bigcup_{q=1}^{m} C^{(q)}) = \bigcup_{p=1}^{n} \bigcup_{q=1}^{m} (A^{(p)} \cap C^{(q)})$. On en déduit que $A \setminus B \in \mathcal{B}$. En effet, $A^{(p)} \cap C^{(q)} \in T_1 \times T_2$ pour tout $p$ et tout $q$ (car $T_1 \times T_2$ est stable par intersection finie) et $(A^{(p_1)} \cap C^{(q_1)}) \cap (A^{(p_2)} \cap C^{(q_2)}) = \emptyset \text{ si } (p_1, q_1) \neq (p_2, q_2) \text{ (car } A^{(p_1)} \cap A^{(p_2)} = \emptyset \text{ si } p_1 \neq p_2 \text{ et } C^{(q_1)} \cap C^{(q_2)} = \emptyset \text{ si } q_1 \neq q_2)$.
On a donc montré que $\mathcal{B}$ vérifie les propriétés (a) et (b) de la question 1 de l'exercice 2.9, ce qui donne que $\mathcal{B}$ est bien une algèbre et donc que $\mathcal{B} = \mathcal{A}$.

**Exercice 7.3 (Exemple de mesure produit)** Soit $m_1$ et $m_2$ des mesures $\sigma$-finies, non nulles, sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ et t.q. $m_1 \otimes m_2(\mathbb{R}^2 \setminus D) = 0$, où $D = \{(x, x), x \in \mathbb{R}\}$. Montrer qu'il existe $a, \alpha, \beta \in \mathbb{R}$ t.q. $m_1 = \alpha \delta_a$ et $m_2 = \beta \delta_a$, où $\delta_a$ est la mesure de Dirac en $a$.

**Corrigé** – On remarque d'abord que $\mathbb{R}^2 \setminus D$ est un ouvert de $\mathbb{R}^2$, donc appartient à $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$. la quantité $m_1 \otimes m_2(\mathbb{R}^2 \setminus D)$ est donc bien définie.

La construction de la mesure $m_1 \otimes m_2$ donne (voir la démonstration du théorème 7.3) :

$$m_1 \otimes m_2(\mathbb{R}^2 \setminus D) = \int m_2(\mathbb{R} \setminus \{x\}) dm_1(x).$$

Cette égalité est aussi une conclusion du théorème de Fubini-Tonelli (théorème 7.7) avec $f = 1_A$, $A = \mathbb{R}^2 \setminus D$.

De l'hypothèse $m_1 \otimes m_2(\mathbb{R}^2 \setminus D) = 0$, on déduit donc que $m_2(\mathbb{R} \setminus \{x\}) = 0$ $m_1$-p.p..
Comme $m_1(\mathbb{R}) \neq 0$, il existe donc $a \in \mathbb{R}$ t.q. $m_2(\mathbb{R} \setminus \{a\}) = 0$. Ceci donne que $m_2 = \alpha \delta_a$
avec $\alpha = m_2(\{a\})$. Comme $m_2 \neq 0$, on a $\alpha > 0$.

Dans la construction de la mesure $m_1 \otimes m_2$ (démonstration du théorème 7.3), on aurait pu inverser les rôles de $m_1$ et $m_2$. On aurait obtenu la même mesure $m_1 \otimes m_2$ (grâce à la partie unicité du théorème 7.3). On a donc aussi :

$$m_1 \otimes m_2(\mathbb{R}^2 \setminus D) = \int m_1(\mathbb{R} \setminus \{x\}) dm_2(x).$$

(Cette égalité est aussi une conclusion du théorème de Fubini-Tonelli (théorème 7.7) avec $f = 1_A$, $A = \mathbb{R}^2 \setminus D$.)

Comme $m_2 = \alpha \delta_a$, on a donc $m_1 \otimes m_2(\mathbb{R}^2 \setminus D) = \alpha m_1(\mathbb{R} \setminus \{a\})$. De l'hypothèse $m_1 \otimes m_2(\mathbb{R}^2 \setminus D) = 0$, on déduit donc $m_1(\mathbb{R} \setminus \{a\}) = 0$, ce qui donne $m_1 = \beta \delta_a$ avec $\beta = m_1(\{a\})$. (On peut aussi remarquer que, comme $m_1 \neq 0$, on a $\beta > 0$.)

**Exercice 7.4 (Fonction dont les traces sont boréliennes)** Pour $B \subset \mathbb{R}^2$, on note $t(B)$ l'ensemble des $x_1 \in \mathbb{R}$ t.q. $(x_1, 0) \in B$. On pose $T = \{B \subset \mathbb{R}^2; t(B) \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}$.

Soit $\theta \in ]0, \frac{\pi}{2}]$. Pour $x = (x_1, x_2)^t \in \mathbb{R}^2$, on pose $g(x) = (x_1 \cos \theta - x_2 \sin \theta, x_1 \sin \theta + x_2 \cos \theta)^t$.

1. Montrer que $T$ est une tribu contenant $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$.

**Corrigé** – On montre assez facilement que $T$ est une tribu sur $\mathbb{R}^2$. En effet, on peut remarquer, par exemple, que $\mathbb{R}^2 \in T$ (car $t(\mathbb{R}^2) = \mathbb{R} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}))$, $T$ est stable par union dénombrable (si $B_n \in T$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $t(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n) = t(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} t(B_n)) \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ par stabilité de $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ par union dénombrable) et $T$ est stable par passage au complémentaire (si $B \in T$, on a $t(B^c) = t(B)^c \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ par stabilité de $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ par passage au complémentaire).

Pour montrer que $T \supset \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$, on pose

$$C = \{A_1 \times A_2, A_1, A_2 \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}.$$
On sait que $\mathcal{C}$ engendre $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$. On remarque maintenant que $\mathcal{C} \subset \mathbb{T}$ (car si $A_1, A_2 \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, on a $t(A_1 \times A_2) = A_1$ ou $\emptyset$ selon que $0 \in A_2$ ou $0 \notin A_2$). La tribu $\mathbb{T}$ contenant $\mathcal{C}$, elle contient nécessairement la tribu engendrée par $\mathcal{C}$, c'est-à-dire $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$.

2. Soit $A \subset \mathbb{R}$ t.q. $A \notin \mathcal{B}(\mathbb{R})$. On pose $B = A \times \{0\}$.

(a) Montrer que $B \notin \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$.

**Corrigé** – Comme $t(\mathcal{B}) = A \notin \mathcal{B}(\mathbb{R})$, on a $B \in \mathbb{T}$ et donc $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ car $\mathbb{T} \supset \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$.

(b) On pose $f = 1_B \circ g$. Montrer que la fonction $f$ n'est pas une fonction borélienne de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ mais que les fonctions $f(x_1, \cdot)$ et $f(\cdot, x_2)$ sont boréliennes de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, pour tout $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$.

**Corrigé** – La fonction $g$ est linéaire bijective de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$. On note h sa fonction réciproque. La fonction $h$ est donc aussi linéaire. La fonction $h$ est donc borélienne (car continue) et on a $1_B = f \circ h$. Comme $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$, la fonction $1_B$ n'est pas borélienne. On en déduit que $f$ n'est pas borélienne (si $f$ était borélienne, on aurait $1_B$ borélienne car composée de fonctions boréliennes).

Soit $x_1 \in \mathbb{R}$. On va montrer que la fonction $f(x_1, \cdot)$ est borélienne. On pose $x_2 = -x_1 \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$. On distingue alors deux cas possibles :

**Premier cas.** On suppose que $x_1 \cos \theta - x_2 \sin \theta \notin A$. La fonction $f(x_1, \cdot)$ est alors la fonction nulle (c'est-à-dire que $f(x_1, x) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$). La fonction $f(x_1, \cdot)$ est donc borélienne.

**Second cas.** On suppose que $x_1 \cos \theta - x_2 \sin \theta \in A$. La fonction $f(x_1, \cdot)$ est alors la fonction nulle partout sauf au point $x_2$ où elle vaut 1 (c'est-à-dire que $f(x_1, x) = 1_{\{x_2\}}(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$). La fonction $f(x_1, \cdot)$ est donc borélienne.

De manière analogue on peut montrer que $f(\cdot, x_2)$ est borélienne pour tout $x_2 \in \mathbb{R}$.

### 7.7.2 Fubini–Tonelli et Fubini

**Exercice 7.5 (Contre-exemple au théorème de Fubini)** Soit $L^1 = L_\mathbb{R}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. Pour $(x, y) \in \mathbb{R}^2$, on pose :

$$f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{(x+1)^2} & \text{si } x > 0 \text{ et } x < y \le 2x \\ -\frac{1}{(x+1)^2} & \text{si } x > 0 \text{ et } 2x < y \le 3x \\ 0 & \text{si } x > 0 \text{ et } y \notin ]x, 3x[ \\ 0 & \text{si } x \le 0. \end{cases}$$

1. Montrer que $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ est $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$-mesurable.
**Corrigé** – On pose $A = \{(x,y)^t \in \mathbb{R}^2 ; x > 0, x < y \le 2x\}$ et, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $A_n = \{(x,y)^t \in \mathbb{R}^2 ; x > 0, x < y < 2x + \frac{1}{n}\}$. $A_n$ est, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, un ouvert de $\mathbb{R}^2$, il appartient donc à $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$. On en déduit que $A = \bigcap_{n \in \mathbb{N}^*} A_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$.

De même, en posant $B = \{(x,y)^t \in \mathbb{R}^2 ; x > 0, 2x < y \le 3x\}$ et, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $B_n = \{(x,y)^t \in \mathbb{R}^2 ; x > 0, 2x < y < 3x + \frac{1}{n}\}$, on montre que $B = \bigcap_{n \in \mathbb{N}^*} B_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$.

On pose maintenant $g(x,y) = \frac{1}{(|x|+1)^2}$ pour $(x,y)^t \in \mathbb{R}^2$. La fonction $g$ est continue de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$, elle est donc mesurable $(\mathbb{R}^2 \text{ et } \mathbb{R} \text{ étant munis de la tribu borélienne})$.

On remarque maintenant que $f = g1_A - g1_B$. On en déduit que $f$ est mesurable (car $f$ est une somme de produits de fonctions mesurables).

2. Montrer que pour tout $y \in \mathbb{R}$, $f(.,y) \in L^1$ ; on pose $\phi(y) = \int f(x,y)d\lambda(x)$. Montrer que $\phi \in L^1$.

**Corrigé** – On note $\mathcal{L}^1 = \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$.

Soit $y \in \mathbb{R}$. La fonction $f(.,y)$ est mesurable de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ (voir la proposition 7.9). Elle appartient aussi à $\mathcal{L}^1$ (et donc à $L^1$ en confondant $f(.,y)$ avec sa classe dans $L^1$) car $\int |f(.,y)|d\lambda = 0$ si $y \le 0$ et $\int |f(.,y)|d\lambda \le y$ si $y > 0$ car $f(x,y) = 0$ si $x \notin [0,y]$ et $|f(x,y)| \le 1$ pour tout $x,y$. On peut définir $\phi(y)$.

Pour $y \le 0$, on a $\phi(y) = 0$ et pour $y > 0$, on a :

$$ 
\begin{align*}
\phi(y) = \int f(.,y)d\lambda &= -\int_{\frac{y}{3}}^{\frac{y}{2}} \frac{1}{(x+1)^2} dx + \int_{\frac{y}{2}}^{y} \frac{1}{(x+1)^2} dx \\
&= -\frac{3}{y+3} + \frac{4}{y+2} - \frac{1}{y+1} \\
&= \frac{2y}{(y+3)(y+2)(y+1)}
\end{align*}
$$

La fonction $\phi$ est continue donc mesurable de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. elle prend ses valeurs dans $\mathbb{R}_+$, on peut donc calculer son intégrale sur $\mathbb{R}$ :

$$ \int \phi d\lambda = \lim_{n \to +\infty} \int_0^n \left(-\frac{3}{y+3} + \frac{4}{y+2} - \frac{1}{y+1}\right) dy = -3\ln 3 + 4\ln(2). $$

Ceci donne bien, en particulier, $\phi \in L^1$ (en confondant $\phi$ avec sa classe dans $L^1$).

3. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x,.) \in L^1$ ; on pose $\psi(x) = \int f(x,y)d\lambda(y)$. Montrer que $\psi \in L^1$.

**Corrigé** – Soit $x \in \mathbb{R}$. La fonction $f(x,.)$ est mesurable de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ (voir la proposition 7.9). Elle appartient aussi à $\mathcal{L}^1$ (et donc à $L^1$ en confondant $f(x,.)$ avec sa classe dans $L^1$) car $\int |f(x,.)|d\lambda = 0$ si $x \le 0$ et $\int |f(x,.)|d\lambda \le 3x$ si $x > 0$ car $f(x,y) = 0$ si $y \in [0,3x]$ et $|f(x,y)| \le 1$ pour tout $x,y$. On peut donc définir $\psi(x)$.

Pour $x \le 0$, on a $\psi(x) = 0$ et pour $x > 0$, on a :

$$ \psi(x) = \int f(x,.)d\lambda = \int_{x}^{2x} \frac{1}{(x+1)^2} dy - \int_{2x}^{3x} \frac{1}{(x+1)^2} dy = 0 $$

On a donc $\psi \in L^1$ et $\int \psi(x)dx = 0$.
4. Montrer que $\int \phi d\lambda \neq \int \psi d\lambda$ ($\phi$ et $\psi$ sont définies dans les questions précédentes).

**Corrigé** – On a déjà montré que $\int \phi d\lambda = -3\ln 3 + 4\ln(2) \neq 0 = \int \psi d\lambda$.

5. Pourquoi le théorème de Fubini ne s'applique-t-il pas ici ?

**Corrigé** – Le théorème de Fubini ne s'applique pas ici car la fonction $f$ n'est pas intégrale pour la mesure produit, c'est-à-dire la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^2$, notée $\lambda_2$. On peut d'ailleurs le vérifier en remarquant (par le théorème de Fubini-Tonelli) que :

$$ \int |f| d\lambda_2 = \int \left( \int |f(x,y)| d\lambda(y) \right) d\lambda(x) = \int_0^\infty \frac{2x}{(x+1)^2} dx = \infty. $$

**Exercice 7.6 (Intégrale d'une fonction positive)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré $\sigma$-fini, et $f : E \to \mathbb{R}_+$ une application mesurable. On pose $F = 1_A$ avec $A = \{(t,x) \in \mathbb{R} \times E; 0 < t < f(x)\}$.

1. Montrer que $F$ est $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{T}$-mesurable

**Corrigé** – Comme $f \in M_+$, il existe $(f_n) \in \mathcal{E}_+$ t.q. $f_n \uparrow f$ quand $n \to +\infty$. On a alors $A = \cup_{n \in \mathbb{N}} A_n$ avec $A_n = \{(t,x) \in \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}; 0 < t < f_n(x)\}$. Pour montrer que $F$ est mesurable (c'est-à-dire que $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{T}$), il suffit donc de montrer que $A_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{T}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Soit donc $n \in \mathbb{N}$. Il existe $a_1, \dots, a_p \in \mathbb{R}_+^*$ et $B_1, \dots, B_p \in \mathcal{T}$ t.q. $B_i \cap B_j = \emptyset \text{ si } i \neq j$ et $f_n = \sum_{i=1}^p a_i 1_{B_i}$. On a donc $A_n = \cup_{i=1}^p ]0, a_i[ \times B_i \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{T} \text{ car } ]0, a_i[ \times B_i \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \times \mathcal{T} \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{T}$ pour tout $i$.

2. Montrer que $\int f dm = \int_0^{+\infty} m(\{x \in E; f(x) > t\}) dt$ et que $\int f dm = \int_0^{+\infty} m(\{x \in E; f(x) \geq t\}) dt$. [Utiliser le théorème de Fubini-Tonelli.]

**Corrigé** – On peut appliquer le théorème de Fubini-Tonelli (théorème 7.7) à la fonction $F$, il donne :

$$ \int \left( \int F(t,x) d\lambda(t) \right) dm(x) = \int \left( \int F(t,x) dm(x) \right) d\lambda(t). \quad (7.13) $$

$$ \text{Pour } x \in E, \int F(t,x) d\lambda(t) = \lambda(]0, f(x)[) = f(x). $$

$$ \text{Pour } t \in \mathbb{R}. \text{ Si } t \leq 0, \text{ on a } F(t, \cdot) = 0. \text{ Donc, } \int F(t,x) dm(x) = 0. \text{ Si } t > 0, \text{ on a } F(t, \cdot) = 1_{\{f>t\}}. \text{ Donc, } \int F(t,x) dm(x) = m(\{f > t\}). $$

On déduit donc de (7.13) :

$$ \int f(x) dm(x) = \int_{\mathbb{R}_+} m(\{f > t\}) d\lambda(t) = \int_0^\infty m(\{x \in E; f(x) > t\}) dt. $$

Pour avoir l'égalité avec $m(\{f \geq t\})$ au lieu de $m(\{f > t\})$, on reprend le même raisonnement en remplaçant $F$ par $G = 1_B$ avec $B = \{(t,x) \in \mathbb{R} \times E; 0 < t \leq f(x)\}$. On remarque d'abord que $B$ est $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{T}$-mesurable. En effet, on a $B = \bigcap_{n \in \mathbb{N}^*} B_n$ avec $B_n = \{(t,x) \in \mathbb{R} \times E; 0 < t < f_n(x)\}$ et $f_n = f + \frac{1}{n}$. Comme $f_n \in M_+$, la première
question donne $B_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{T}$. On en déduit que $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{T}$. On peut maintenant appliquer le théorème de Fubini-Tonelli à la fonction $G$, il donne :

$$ \int \left( \int G(t,x)d\lambda(t))dm(x) \right) = \left( \int G(t,x)dm(x))d\lambda(t). \quad (7.14) $$

$$ \text{Pour } x \in E, \int G(t,x)d\lambda(t) = \lambda([0, f(x)]) = f(x). $$

$$ \text{Pour } t \in \mathbb{R}. \text{ Si } t \le 0, \text{ on a } G(t, \cdot) = 0. \text{ Donc, } \int G(t,x)dm(x) = 0. \text{ Si } t > 0, \text{ on a } G(t, \cdot) = 1_{\{f \ge t\}}. \text{ Donc, } \int G(t,x)dm(x) = m(\{f \ge t\}). $$

On déduit donc de (7.14) :

$$ \int f(x)dm(x) = \int_0^\infty m(\{x \in E; f(x) \ge t\})dt. $$

**Exercice 7.7 (Une caractérisation de L<sup>p</sup>)** On munit $\mathbb{R}$ [resp. $\mathbb{R}^2$] de sa tribu borélienne, notée $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ [resp. $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$].

Soit $f$ une application mesurable de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Pour tout $y \in \mathbb{R}_+$, on pose $A_y = \{x \in \mathbb{R}; |f(x)| > y\}$. Pour tout $y \in \mathbb{R}^*$, on pose $A_y = \emptyset$.

1. Montrer que l'application $(x, y)^t \mapsto 1_{A_y}(x)$ est mesurable de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$. [On pourra commencer par montrer que $\{(x, y)^t \in \mathbb{R}^2; |f(x)| > y\}$ est un borélien de $\mathbb{R}^2$.]

**Corrigé** – On pose $B = \{(x, y)^t \in \mathbb{R}^2; |f(x)| > y\}$, de sorte que

$$ B = (F - G)^{-1}([0, \infty[) $$

où F et G sont définies par :

$$ F(x, y) = |f(x)|, \quad G(x, y) = y, \quad (x, y)^t \in \mathbb{R}^2. $$

La fonction $x \mapsto |f(x)|$ est mesurable (de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$) ainsi que l'application $y \mapsto 1(\text{application constante})$. La proposition 7.11 nous donne alors que F est mesurable de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ (puisque $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2) = \mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R}))$. La fonction G est aussi mesurable de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ (il suffit de remarquer qu'elle est continue, ou d'utiliser une nouvelle fois la proposition 7.11). La fonction F - G est donc mesurable de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$, ce qui prouve que $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$. La fonction $1_B$ est donc mesurable de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$.

On remarque maintenant que $1_B(x, y)1_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+}(x, y) = 1_{A_y}(x)$ pour tout $(x, y)^t \in \mathbb{R}^2$. L'application $(x, y)^t \mapsto 1_{A_y}(x)$ est donc mesurable de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ car elle est égale à un produit de fonctions mesurables.

Soit $p \in [1, \infty[$. Pour $y \in \mathbb{R}$, on pose $g_p(y) = |y|^{p-1} \lambda(A_y)$ (en convenant que $g_p(0) = 0$ si $\lambda(A_0) = \infty$).

2(a) Montrer que l'application $(x, y)^t \mapsto |y|^{p-1} 1_{A_y}(x)$ est mesurable positive de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$.

**Corrigé** – L'application $(x, y)^t \mapsto |y|^{p-1} 1_{A_y}(x)$ est mesurable comme produit de fonctions mesurables. Cette application est, bien sûr, à valeurs dans $\mathbb{R}_+$. Elle est donc mesurable positive de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$.
(b) Montrer que $g_p$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. [On pourra, par exemple, utiliser le théorème de Fubini-Tonelli.]

**Corrigé** – On pose $H(x,y) = |y|^{p-1} 1_{A_y}(x)$ pour $(x,y)^t \in \mathbb{R}^2$. La question pré-cédente donne que $H \in \mathcal{M}_+(\mathbb{R}^2, \mathcal{B}(\mathbb{R}^2))$. On peut donc appliquer le théorème de Fubini-Tonelli (théorème 7.7) à la fonction $H$, il donne :

$$ \int \left( \int H(x,y)d\lambda(x) \right) d\lambda(y) = \int \left( \int H(x,y)d\lambda(y) \right) d\lambda(x). \quad (7.15) $$

Pour $y \in \mathbb{R}$, on a $\int H(x,y)d\lambda(x) = |y|^{p-1} \lambda(A_y) = g_p(y)$ (en convenant que $g_p(0) = 0$ si $\lambda(A_0) = \infty$). Ceci donne, en particulier, que $g_p$ est mesurable de $\mathbb{R}$ dans $\bar{\mathbb{R}}_+$ (car l'une des conclusions du théorème 7.7 est que $y \mapsto \int H(x,y)d\lambda(x)$ est mesurable de $\mathbb{R}$ dans $\bar{\mathbb{R}}_+$).

Pour $x \in \mathbb{R}$, on a

$$ \begin{aligned} \int H(x,y)d\lambda(y) &= \int |y|^{p-1} 1_{[0,|f(x)|]}(y)d\lambda(y) = \int_0^{|f(x)|} |y|^{p-1} dy \\ &= \frac{1}{p} |f(x)|^p. \end{aligned} $$

L'égalité (7.15) donne alors :

$$ \int g_p d\lambda = \frac{1}{p} \int |f|^p d\lambda. \quad (7.16) $$

Si $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$, on remarque d'abord que $g_p$ prend ses valeurs dans $\bar{\mathbb{R}}_+$ car

$$ \lambda(A_y) \le \frac{1}{|y|^p} \int |f|^p d\lambda < \infty \text{ pour tout } y > 0. $$

La fonction $g_p$ est donc mesurable de $\mathbb{R}$ dans $\bar{\mathbb{R}}_+$ et (7.16) donne alors que $g_p \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$.

Réciproquement, si $g_p \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$, (7.16) donne que $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$.

On a donc bien montré :

$$ g_p \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda) \Leftrightarrow f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda). $$

### Exercice 7.8 (Mesure de boules de $\mathbb{R}^2$)

On considère ici l'espace mesuré $(\mathbb{R}^2, \mathcal{B}(\mathbb{R}^2), \lambda_2)$. Montrer que $\lambda_2(\{x \in \mathbb{R}^2; |x| < R\}) = \pi \mathbb{R}^2$ pour tout $R > 0$.

### Exercice 7.9 (À propos de Fubini)
Soit, pour $n \ge 1$, $I_n = [1 - 1/n, 1 - 1/(n+1)]$ ; on pose $\varphi_n = n(n+1)\chi_{I_n}$ et $f(x,y) = \sum_{n \ge 1} (\varphi_n(x) - \varphi_{n+1}(x))\varphi_n(y)$.

1. Montrer que $f : [0, 1]^2 \to \mathbb{R}$ est bien définie et mesurable,

2. Montrer que, pour tout $x \in [0, 1]$, $y \mapsto f(x, y)$ est intégrable sur $[0, 1]$ et que, pour tout $y \in [0, 1]$, $x \mapsto f(x, y)$ est intégrable sur $[0, 1]$,
3. Montrer que $F : x \mapsto \int_{[0,1]} f(x,y) dy$ et $G : y \mapsto \int_{[0,1]} f(x,y) dx$ sont intégrables sur $[0,1]$. Calculer alors $\int_{[0,1]} F(x) dx$ et $\int_{[0,1]} G(y) dy$. Peut on appliquer à $f$ le théorème de Fubini ?

**Exercice 7.10 (Intégrale de Dirichlet)**

1. Vérifier que si $n \ge 1$, $$ \int_0^n \frac{\sin x}{x} dx = \int_0^n \left( \int_0^\infty e^{-xt} dt \right) \sin x dx. $$

**Corrigé** – Soit $n \in \mathbb{N}$. En posant $\frac{\sin x}{x} = 1$ pour $x = 0$, la fonction $x \mapsto \frac{\sin x}{x}$ est continue sur $[0, n]$, elle est donc bien intégrable pour l'espace mesuré $([0, n], \mathcal{B}([0, n]), \lambda)$.

Pour tout $x > 0$, on a $e^{x^*} \in M_+(\mathbb{R}_+, \mathcal{B}(\mathbb{R}_+))$. Pour calculer $\int_0^\infty e^{-xt} dt$, on remarque que, pour tout $p \in \mathbb{N}$, on a $\int_0^p e^{-xt} dt = \left[ \frac{-e^{-xt}}{x} \right]_0^p = \frac{1}{x} - \frac{e^{-xp}}{x}$. Quand $p \to \infty$, on en déduit, avec le théorème de convergence monotone, que $\int_0^\infty e^{-xt} dt = \frac{1}{x}$. On obtient bien :

$$ \int_0^n \frac{\sin x}{x} dx = \int_0^n \left( \int_0^\infty e^{-xt} dt \right) \sin x dx. $$

2. Calculer $F_n(t) = \int_0^n e^{-xt} \sin x dx (t \ge 0)$.

**Corrigé** – Pour $t = 0$, on a $\int_0^n e^{-xt} \sin x dx = \int_0^n \sin x dx = 1 - \cos n$. On a donc $F_n(0) = 1 - \cos n$.

Soit maintenant $t > 0$. Comme les fonctions $x \mapsto e^{-xt}$ et $x \mapsto \sin x$ sont indéfiniment dérivables sur $\mathbb{R}$, on peut calculer $\int_0^n e^{-xt} \sin x dx$ en intégrant deux fois par parties :

$$ \begin{aligned} \int_0^n e^{-xt} \sin x dx &= - \int_0^n t e^{-xt} \cos x dx - \left[e^{-xt} \cos x\right]_0^n \\ &= - \int_0^n t^2 e^{-xt} \sin x dx - \left[te^{-xt} \sin x\right]_0^n - \left[e^{-xt} \cos x\right]_0^n. \end{aligned} $$

Ce qui donne :

$$ (t^2 + 1) \int_0^n e^{-xt} \sin x dx = 1 - t e^{-nt} \sin n - e^{-nt} \cos n. $$

et donc :

$$ F_n(t) = \int_0^n e^{-xt} \sin x dx = \frac{1 - t e^{-nt} \sin n - e^{-nt} \cos n}{t^2 + 1}. $$

3. Calculer $\lim_{n \to +\infty} \int_0^\infty F_n(t) dt$. ($F_n$ est définie à la question précédente.)

**Corrigé** – Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $F_n$ est continue de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}$, elle est donc mesurable de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}$.

On a, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $t \ge 0$, $te^{-nt} \le t e^{-t} \le 1/e$. On en déduit :

$$ |F_n(t)| \le (2 + \frac{1}{e}) \frac{1}{t^2 + 1} \quad \text{pour tout } t \in \mathbb{R}^+ \text{ et pour tout } n \in \mathbb{N}. $$
(en fait, on a même $0 \le F_n(t) \le \frac{1}{t^{2+1}}$.) Comme $t \mapsto \frac{1}{t^{2+1}}$ est intégrable pour la mesure de Lebesgue sur les boréliens de $\mathbb{R}_+$, ceci donne $F_n \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}_+, \mathcal{B}(\mathbb{R}_+), \lambda)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Enfin comme $F_n(t) \to \frac{1}{t^{2+1}}$ quand $n \to +\infty$, pour tout $t > 0$, on peut appliquer le théorème de convergence dominée à la suite $(F_n)_{n \in \mathbb{N}}$, il donne :

$$ \int_0^\infty F_n(t)dt \to \int_0^\infty \frac{1}{t^2+1}dt = \frac{\pi}{2}, \text{ quand } n \to +\infty. $$

4. En déduire que $\lim_{n \to +\infty} \int_0^n \frac{\sin x}{x}dx = \frac{\pi}{2}$.

**Corrigé** – Soit $n \in \mathbb{N}$. On définit $H$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ par

$$ H(x, t) = e^{-xt} \sin x 1_{[0,n]}(x) 1_{[0,\infty]}(t). $$

La fonction $H$ est $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$-mesurable et elle appartient à $\mathcal{L}^1(\mathbb{R}^2)$ car, par le théorème de Fubini-Tonelli :

$$ \int |H(x,t)| d\lambda_2(x,t) \le \int_0^n |\sin x| \left( \int_0^\infty e^{-xt} dt \right) dx = \int_0^n \frac{|\sin x|}{x} dx < \infty, $$

car la fonction $x \mapsto \frac{|\sin x|}{x}$ est continue que $[0, n]$ en posant $\frac{|\sin x|}{x} = 1$ pour $x = 0$, elle est donc bien intégrable pour l'espace mesuré $([0, n], \mathcal{B}([0, n]), \lambda)$.

On peut donc appliquer le théorème de Fubini à la fonction $H$, il donne, avec la première question :

$$ \int_0^n \frac{\sin x}{x} dx = \int_0^n \left( \int_0^\infty e^{-xt} dt \right) \sin x dx = \int_0^\infty \left( \int_0^n e^{-xt} \sin x dx \right) dt \\ = \int_0^\infty F_n(t) dt. $$

La question 3 donne alors $\lim_{n \to +\infty} \int_0^n \frac{\sin x}{x} dx = \lim_{n \to +\infty} \int_0^\infty F_n(t) dt = \frac{\pi}{2}$.

### 7.7.3 Mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$

**Exercice 7.11 (Propriétés élémentaires de $\lambda_N$)** Soit $N \ge 2$. On rappelle que $\lambda_N$ est la mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$.

1. Soit $A_1, \dots, A_N \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$.

Montrer que $\prod_{i=1}^N A_i \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ et $\lambda_N(\prod_{i=1}^N A_i) = \prod_{i=1}^N \lambda(A_i)$.

**Corrigé** – On va démontrer cette question en supposant tout d'abord que $\lambda(A_i) < \infty$ pour tout $i$. Le cas général s'obtient alors en utilisant $A_i \cap [-p, p]$ au lieu de $A_i$ et en faisant ensuite tendre $p$ vers l'infini. On obtient bien la propriété voulue (en convenant que $0 \times \infty = 0$). Cette méthode est décrite dans la remarque 7.5.

On démontre donc, par récurrence sur $\mathbb{N}$, la propriété suivante :

$$ A_1, \dots, A_N \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda(A_i) < \infty \text{ pour tout } i \Rightarrow \\ \prod_{i=1}^N A_i \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N) \text{ et } \lambda_N(\prod_{i=1}^N A_i) = \prod_{i=1}^N \lambda(A_i). \qquad (7.17) $$
La propriété (7.17) est vraie pour $N = 2$. En effet, on sait que $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2) = \mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R})$ (proposition 7.2) et que $\lambda_2 = \lambda \otimes \lambda$ (définition 7.15). On a donc bien (avec la définition d'une mesure produit, théorème 7.3) :

$$ 
\begin{aligned}
& A_1, A_2 \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda(A_1) < \infty, \lambda(A_2) < \infty \\
\Rightarrow \quad & A_1 \times A_2 \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2) \text{ et } \lambda_2(A_1 \times A_2) = \lambda(A_1)\lambda(A_2).
\end{aligned}
$$

On suppose maintenant que la propriété (7.17) est vraie pour un certain $N \ge 2$, et on la démontre pour $N + 1$.

Soit donc $A_1, \dots, A_{N+1} \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ t.q. $\lambda(A_i) < \infty$ pour tout $i$.

Par (7.17), on a $\prod_{i=1}^N A_i \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ et $\lambda_N(\prod_{i=1}^N A_i) = \prod_{i=1}^N \lambda(A_i)$. On rappelle que $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{N+1}) = \mathcal{B}(\mathbb{R}^N) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R})$ (proposition 7.2) et que $\lambda_{N+1} = \lambda_N \otimes \lambda$ (définition 7.15).

On en déduit que $\prod_{i=1}^{N+1} A_i = (\prod_{i=1}^N A_i) \times A_{N+1} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N) \times \mathcal{B}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^N) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R}) = \mathcal{B}(\mathbb{R}^{N+1})$ et

$$ \lambda_{N+1}(\prod_{i=1}^{N+1} A_i) = \lambda_N(\prod_{i=1}^N A_i)\lambda(A_{N+1}) = \prod_{i=1}^{N+1} \lambda(A_i). $$

ce qui donne bien (7.17) avec $N + 1$ au lieu de $N$ et termine donc la démonstration par récurrence.

2. Soit $\alpha_1, \dots, \alpha_N \in \mathbb{R}$ et $\beta_1, \dots, \beta_N \in \mathbb{R}$ t.q. $\alpha_i < \beta_i$ pour tout $i \in \{1, \dots, N\}$. Montrer que

$$ \lambda_N(\prod_{i=1}^N \alpha_i, \prod_{i=1}^N \beta_i) = \prod_{i=1}^N \lambda(\alpha_i, \beta_i). $$

**Corrigé** – Cette question est une conséquence immédiate de la précédente en prenant $A_i = ]\alpha_i, \beta_i[$.

3. Soit $K$ est un compact de $\mathbb{R}^N$ (noter que $K \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$). Montrer que $\lambda_N(K) < +\infty$.

**Corrigé** – Comme $K$ est compact, il est borné. Il existe donc $a \in \mathbb{R}_+^* \text{ t.q. } K \subset \prod_{i=1}^N a, a, a[$. On en déduit que $\lambda_N(K) \le \lambda_N(\prod_{i=1}^N a, a] = \prod_{i=1}^N \lambda(\lambda(\prod_{i=1}^N a, a]) = (2a)^N < \infty$.

4. Soit $O$ un ouvert non vide de $\mathbb{R}^N$. Montrer que $\lambda_N(O) > 0$.

**Corrigé** – Soit $x = (x_1, \dots, x_N)^t \in O$. Comme $O$ est ouvert, il existe $\varepsilon > 0$ t.q. $\prod_{i=1}^N |x_i - \varepsilon, x_i + \varepsilon| \subset O$. On a donc $\lambda_N(O) \ge \lambda_N(\prod_{i=1}^N |x_i - \varepsilon, x_i + \varepsilon|) = \prod_{i=1}^N \lambda(\lambda(\prod_{i=1}^N |x_i - \varepsilon, x_i + \varepsilon|) = (2\varepsilon)^N > 0$.

5. Soit $f, g \in C(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$. Montrer que $f = g$ p.p. (c'est-à-dire $\lambda_N$-p.p.) implique $f(x) = g(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}^N$.

**Corrigé** – Soit $O = \{f \ne g\} = \{x \in \mathbb{R}^N; f(x) \ne g(x)\}$. Comme $f$ et $g$ sont continues, $O$ est ouvert. Comme $f = g$ p.p., on a nécessairement $\lambda_N(O) = 0$. Enfin, la question précédente donne alors que $O = \emptyset$ et donc que $f(x) = g(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}^N$.
6. Montrer que $C_c(\mathbb{R}^N, \mathbb{R}) \subset \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$.

**Corrigé** – Soit $f \in C_c(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$. Comme $f$ est continue, on a $f$ mesurable de $\mathbb{R}^N$ dans $\mathbb{R}$ ($\mathbb{R}^N$ et $\mathbb{R}$ étant munis de leur tribu borélienne, on dit aussi que $f$ est borélienne). Comme $f$ est à support compact, il existe $a \in \mathbb{R}_+^*$ t.q. $f = 0$ sur $K^c$ avec $K = \prod_{i=1}^N [-a, a]$. Enfin, $f$ est bornée, il existe donc $M$ t.q. $|f(x)| \le M$ pour tout $x \in \mathbb{R}^N$. On en déduit que $\int |f| d\lambda_N \le M(2a)^N < \infty$ et donc que $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$.

**Exercice 7.12 (Régularité de $\lambda_N$)** Soit $m$ une mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ t.q. $m(K) < \infty$ pour tout compact $K$ de $\mathbb{R}^N$. (noter que ceci est vrai pour $m = \lambda_N$.)

1. Soient $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ et $\varepsilon > 0$. Montrer qu'il existe O ouvert de $\mathbb{R}^N$ et F fermé de $\mathbb{R}^N$ tels que :

$$F \subset A \subset O \text{ et } m(O \setminus F) \le \varepsilon.$$

**Corrigé** – On reprend ici la démonstration de la régularité d'une mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, finie sur les compacts (théorème 2.42).

On appelle $T$ l'ensemble des $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ t.q. pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $O$ ouvert et $F$ fermé vérifiant $F \subset A \subset O$ et $m(O \setminus F) \le \varepsilon$. On va montrer que $T$ est une tribu contenant $C = \{\prod_{i=1}^N a_i, b_i, [-\infty < a_i < b_i < \infty \text{ pour tout } i \in \{1, \dots, N\}}\}$. Comme $C$ engendre $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ (voir l'exercice 2.7, il est même démontré qu'on peut, dans la définition de $C$, se limiter au cas où les $a_i$ et $b_i$ sont dans $\mathbb{Q}$), ceci donnera $T = \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$.

On démontre tout d'abord que $C \subset T$. Soit $-\infty < a_i < b_i < \infty$ pour tout $i \in \{1, \dots, N\}$ et $A = \prod_{i=1}^N a_i, b_i$. [Soit $\varepsilon > 0$. On veut montrer qu'il existe $O$ ouvert et $F$ fermé t.q. $F \subset A \subset O$ et $m(O \setminus F) \le \varepsilon$.

Soit $n_0 \in \mathbb{N}$ t.q. $(2/n_0) < b_i - a_i$ pour tout $i \in \{1, \dots, N\}$. Pour $n \ge n_0$, on pose $F_n = \prod_{i=1}^N [a_i + (1/n), b_i - (1/n)]$ et $O = A$. On a bien $F_n$ fermé, $O$ ouvert et $F_n \subset A \subset O$. On remarque ensuite que $O \setminus F_n \subset C_n$ avec :

$$C_n = \bigcup_{q=1}^{N} C_{n,q}, \quad C_{n,q} = \prod_{i=1}^{N} I_{i,q}^{(n)}, \\ I_{i,q}^{(n)} =]a_i, b_i[ \text{ si } i \ne q, \quad I_{q,q}^{(n)} =]a_q, a_q + \frac{1}{n}[ \cup ]b_q - \frac{1}{n}, b_q[$.

Soit $q \in \{1, \dots, N\}$. On a $C_{n+1,q} \subset C_{n,q}$ (pour tout $n \ge n_0$), $\bigcap_{n \ge n_0} C_{n,q} = \emptyset$ et, comme $m$ est finie sur les compacts,

$$m(C_{n,q}) \le m(\prod_{i=1}^{N} [a_i, b_i]) < \infty.$$

On peut donc utiliser la propriété de continuité décroissante d'une mesure. On obtient $m(C_{n,q}) \to 0$ quand $n \to +\infty$. On a alors aussi $m(C_n) \le \sum_{q=1}^N m(C_{n,q}) \to 0$ quand $n \to +\infty$. Il existe donc $n$ t.q. $m(C_n) < \varepsilon$. On prenant $F = F_n$, on a bien alors $O$ ouvert, $F$ fermé et $m(O \setminus F) \le \varepsilon$, ce qui montre que $A \in T$ et donc que $C \subset T$.

On montre maintenant que $T$ est une tribu. On remarque tout d'abord que $\emptyset \in T$ (il suffit de prendre $F = O = \emptyset$) et que $T$ est stable par passage au complémentaire (car,
si $F \subset A \subset O$, on a $O^c \subset A^c \subset F^c$ et $F^c \setminus O^c = O \setminus F$. Il reste à montrer que $T$ est stable par union dénombrable.

Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$ et $A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$. On veut montrer que $A \in T$. On va commencer par traiter le cas (simple) où $m(A) < \infty$ puis le cas (plus difficile) où $m(A) = \infty$.

**Premier cas.** On suppose que $m(A) < \infty$. La démonstration est ici identique à celle faite pour $N = 1$. Soit $\varepsilon > 0$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe $O_n$ ouvert et $F_n$ fermé t.q. $F_n \subset A_n \subset O_n$ et $m(O_n \setminus F_n) \le (\varepsilon/2^n)$. On pose $O = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} O_n$ et $\tilde{F} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} F_n$. On a $\tilde{F} \subset A \subset O$, $m(O \setminus \tilde{F}) \le 2\varepsilon$, car $(O \setminus \tilde{F}) \subset \bigcup_{n \in \mathbb{N}} (O_n \setminus F_n)$, et $O$ ouvert mais $\tilde{F}$ n'est pas nécessairement fermé...

Cependant, puisque $m(A) < \infty$, on a aussi $m(\tilde{F}) < \infty$. Par continuité croissante de $m$ on a $m(\bigcup_{p=0}^n F_n) \to m(\tilde{F})$, quand $n \to \infty$, d'où (puisque $m(\tilde{F}) < \infty$) $m(\tilde{F}) - m(\bigcup_{p=0}^n F_n) \to 0$. On prend alors $F = \bigcup_{p=0}^n F_n$ avec $n$ assez grand pour que $m(\tilde{F}) - m(F) \le \varepsilon$. On a bien $F \subset A \subset O$, $O$ ouvert, $F$ fermé et $m(O \setminus F) \le 3\varepsilon$. Ceci prouve que $A \in T$.

**Deuxième cas.** On suppose maintenant que $m(A) = \infty$ (et le raisonnement précé-
dent n'est plus correct si $m(\tilde{F}) = \infty$). On raisonne en trois étapes, en adaptant la
démonstration faite pour $N = 1$ :

(a) Soit $p = (p_1, \dots, p_N) \in \mathbb{Z}^N$. On remarque d'abord que $A_n \cap \prod_{i=1}^N [p_i, p_i + 1] \in T$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. En effet, soit $n \in \mathbb{N}$ et $\varepsilon > 0$. Il existe $O$ ouvert et $F$ fermé t.q. $F \subset A_n \subset O$ et $m(O \setminus F) \le \varepsilon$. Pour $k \in \mathbb{N}^*$, on a donc

$$
\begin{align*}
F_k &= F \cap \left\lfloor \sum_{i=1}^{N} [p_i, p_i + 1 - \frac{1}{k}] \right\rfloor \subset A_n \cap \left\lfloor \sum_{i=1}^{N} [p_i, p_i + 1] \subset O_k \right. \\
&= O \cap \left\lfloor \sum_{i=1}^{N} p_i - \frac{1}{k} \right\rfloor, p_i + 1 [\cdot]
\end{align*}
$$

On a $F_k$ fermé, $O_k$ ouvert et $(O_k \setminus F_k) \subset (O \setminus F) \cup D_k$, avec :

$$
\begin{align*}
D_k &= \bigcup_{q=1}^{N} D_{k,q}, \quad D_{k,q} = \prod_{i=1}^{N} J_{i,q}^{(k)}, \\
J_{i,q}^{(k)} &= ]p_i - \frac{1}{k}, p_i + 1[ \text{ si } i \neq p, \\
J_{q,q}^{(k)} &= ]p_q - \frac{1}{k}, p_q[ \cup ]p_q + 1 - \frac{1}{k}, p_q + 1[.
\end{align*}
$$

En utilisant la continuité décroissante de $m$ et le fait que $m$ est finie sur les compacts (ce qui donne $m(D_k) \le m(\prod_{i=1}^N [p_i - 1, p_i + 1]) < \infty$), on démontre (comme pour les $C_n$ précédemment) que $m(D_k) \to 0$ quand $k \to \infty$. Il existe donc $k \in \mathbb{N}^*$ t.q. $m(D_k) \le \varepsilon$ et donc $m(O_k \setminus F_k) \le m(O \setminus F) + m(D_k) \le 2\varepsilon$. Ce qui donne bien que $A_n \cap \prod_{i=1}^N [p_i, p_i + 1] \in T$.

(b) Soit $p = (p_1, \dots, p_N) \in \mathbb{Z}^N$. Comme $m(A \cap \prod_{i=1}^N [p_i, p_i + 1]) < \infty$, on peut maintenir utiliser le premier cas avec $A \cap \prod_{i=1}^N [p_i, p_i + 1] = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} (A_n \cap \prod_{i=1}^N [p_i, p_i + 1])$. Il donne que $A \cap \prod_{i=1}^N [p_i, p_i + 1] \in T$ pour tout $p = (p_1, \dots, p_N) \in \mathbb{Z}^N$.

(c) On montre enfin que $A \in T$. Soit $\varepsilon > 0$. Pour tout $p = (p_1, \dots, p_N) \in \mathbb{Z}^N$, il existe un ouvert $O_p$ et un fermé $F_p$ t.q. $F_p \subset A \cap \prod_{i=1}^N [p_i, p_i + 1] \subset O_p$ et $m(O_p \setminus F_p) \le \varepsilon/(2^{|p|})$,
en posant $|p| = \sum_{i=1}^{N} |p_i|$. On prend $O = \cup_{p \in \mathbb{Z}^N} O_p$ et $F = \cup_{p \in \mathbb{Z}^N} F_p$. On obtient $F \subset A \subset O$, $m(O \setminus F) \le 3^N \varepsilon$ et O est ouvert. Il reste à montrer que F est fermé.

Soit $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset F$ t.q. $x_n \to x$ (dans $\mathbb{R}^N$) quand $n \to +\infty$. On veut montrer que $x \in F$. Il existe $p = (p_1, \dots, p_N) \in \mathbb{Z}^N$ t.q. $x \in \prod_{i=1}^N ]p_i - 1, p_i + 1[$. Il existe donc $n_0 \in \mathbb{N}$ t.q. $x_n \in \prod_{i=1}^N ]p_i - 1, p_i + 1[$ pour tout $n \ge n_0$. Comme $x_n \in \bigcup_{q \in \mathbb{Z}^N} F_q$ et que $F_q \subset \prod_{i=1}^N [q_i, q_i + 1[$ pour tout $q = (q_1, \dots, q_N)^t \in \mathbb{Z}^N$, on a donc $x_n \in \bigcup_{q \in E_p} F_q$, pour tout $n \ge n_0$, où $E_q = \{q = (q_1, \dots, q_N)^t \in \mathbb{Z}^N; q_i \in \{p_i, p_i - 1\} \text{ pour tout } i \in \{1, \dots, N\}$. Comme $E_q$ est de cardinal fini et que $F_q$ est fermé pour tout $q$, l'ensemble $\bigcup_{q \in E_p} F_q$ est donc aussi fermé, on en déduit que $x \in \bigcup_{q \in E_p} F_q \subset F$ et donc que F est fermé.

Ceci montre bien que $A \in T$ et termine la démonstration du fait que $T$ est une tribu. Comme cela a déjà été dit, on en déduit que $T = B(\mathbb{R}^N)$.

2. Soit $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$. Déduire de la question précédente que $m(A) = \inf\{m(O), O \text{ ouvert t.q. } A \subset O\}$.

**Corrigé** – Par monotonie de $m$ on a $m(A) \le m(O)$ si $A \subset O$, donc $m(A) \le \inf\{m(O), O \text{ ouvert t.q. } A \subset O\}$. Il reste donc à montrer que $m(A) \ge \inf\{m(O), O \text{ ouvert t.q. } A \subset O\}$.

Soit $\varepsilon > 0$, d'après la question précédente, il existe $O$ ouvert et $F$ fermé t.q $F \subset A \subset O$ et $m(O \setminus F) \le \varepsilon$. On a donc aussi $m(O \setminus A) \le \varepsilon$ et donc $m(O) = m(A) + m(O \setminus A) \le m(A) + \varepsilon$. Ceci montre bien que $\inf\{m(O), O \text{ ouvert t.q. } A \subset O\} \le m(A)$.

**Exercice 7.13 (Densité de $C_c$ dans $L^1(\mathbb{R}^N)$ pour la mesure de Lebesgue)**

Montrer que l'espace $C_c(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ ($N \ge 1$) est dense dans $L^1(\mathbb{R}^N)$ (c'est-à-dire que, pour tout $f \in L^1(\mathbb{R}^N)$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^N)$ t.q. $\|f - \varphi\|_1 \le \varepsilon$). [S'inspirer de la démonstration faite pour le cas $N = 1$, théorème 5.20.]

**Exercice 7.14 (Densité de $C_c$ et $C_c^\infty$ dans $L^1$ pour une mesure finie sur les compacts)**
Soit $d \ge 1$ et $\mu$ une mesure sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$. On suppose que $\mu$ vérifie les deux propriétés suivantes :

(p1) $\mu$ est finie sur les compacts de $\mathbb{R}^d$, c'est-à-dire que $\mu(K) < +\infty$ si $K$ est un compact de $\mathbb{R}^d$,

(p2) $\mu$ est régulière, c'est-à-dire que pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe $O$ ouvert et $F$ fermé t.q. $F \subset A \subset O$ et $\mu(O \setminus F) \le \varepsilon$.

En fait, la propriété (p1) entraîne la propriété (p2) (voir la proposition 7.17) mais cette démonstration n'est pas demandée ici.

On note $\mathcal{L}_\mu^1$ l'espace $\mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \mu)$. Pour $f \in \mathcal{L}_\mu^1$, on note $\|f\|_1 = \int |f| d\mu$. Enfin, pour $x \in \mathbb{R}^d$, on note $|x|$ la norme euclidienne de $x$.

1. Soit $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ (c'est-à-dire $\varphi$ continue de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$ et à support compact). Montrer que $\varphi \in \mathcal{L}_\mu^1$.
2. Soit $K$ un compact de $\mathbb{R}^d$ et $\eta > 0$. Pour $x \in \mathbb{R}^d$, on pose $\varphi(x) = \frac{(\eta-d(x,K))^{+}}{\eta}$ avec $d(x,K) = \inf\{|x-y|, y \in K\}$. Montrer que $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ et que $\varphi(x) = 1$ si $x \in K$.

3. Soit $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ t.q. $\mu(A) < +\infty$.

(a) Soit $\varepsilon > 0$, montrer qu'il existe $O$ ouvert et $K$ compact t.q. $K \subset A \subset O$ et $\mu(O \setminus K) \le \varepsilon$.

(b) Soit $\varepsilon > 0$. Montrer qu'il existe $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ t.q. $\|\varphi - 1_A\|_1 \le \varepsilon$.

4. Soit $f$ une fonction borélienne positive de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que $f \in \mathcal{L}_\mu^1$. Soit $\varepsilon > 0$. Montrer qu'il existe $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ t.q. $\|f - \varphi\|_1 \le \varepsilon$. [On pourra approcher $f$ par une fonction étagée.]

5. (Densité.) Soit $f \in \mathcal{L}_\mu^1$ et $\varepsilon > 0$.

(a) Montrer qu'il existe $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ t.q. $\|f - \varphi\|_1 \le \varepsilon$.

(b) Montrer qu'il existe $\psi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ t.q. $\|f - \psi\|_1 \le \varepsilon$. [On pourra montrer que, si $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$, on a $\|\varphi - \varphi_n\|_1 \to 0$, quand $n \to +\infty$, avec $\varphi_n = \varphi * \rho_n$ et $(\rho_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une famille régularisante, voir la définition 8.9.]

6. (Continuité en moyenne ?)

(a) Soit $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$. Montrer que $\|\varphi(\cdot + h) - \varphi\|_1 \to 0$ quand $h \to 0$.

(b) Montrer, en donnant un exemple (c'est-à-dire en choisissant convenablement $f$ et $\mu$) qu'on peut avoir $f \in \mathcal{L}_\mu^1$ et $\|f(\cdot + h) - f\|_1 \not\to 0$ quand $h \to 0$.

7. On suppose maintenant que $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{R}^d$ et que $\mu$ est une mesure sur les boréliens de $\Omega$, finie sur les sous ensembles compacts de $\Omega$. Indiquer brièvement comment on peut montrer la densité de $C_c(\Omega, \mathbb{R})$ et $C_c^\infty(\Omega, \mathbb{R})$ dans $L_\mathbb{R}^1(\Omega, \mathcal{B}(\Omega), \mu)$.

**Exercice 7.15 (Invariance par translation de $\lambda_N$)** Soient $N \ge 1$, $\alpha_1, \dots, \alpha_N \in \mathbb{R}^*$ et $\beta_1, \dots, \beta_N \in \mathbb{R}$. Pour $x = (x_1, \dots, x_N)^t \in \mathbb{R}^N$, on pose $\varphi(x) = (\alpha_1 x_1 + \beta_1, \dots, \alpha_N x_N + \beta_N)^t$, de sorte que $\varphi$ est une bijection de $\mathbb{R}^N$ dans $\mathbb{R}^N$.

1. Soit $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, montrer que $\varphi(A) = \{\varphi(x), x \in A\} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$.

**Corrigé** – On pose $T = \{A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N) \text{ t.q. } \varphi(A) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)\}$.

Comme $\varphi$ est bijective, il est facile de montrer que $T$ est une tribu. En effet, il suffit de remarquer que $\varphi(\mathbb{R}^N) = \mathbb{R}^N$, $\varphi(A^c) = (\varphi(A))^c$ et $\varphi(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \varphi(A_n)$.

Comme $\varphi$ est continue, $\varphi$ transforme les compacts en compacts. On note $C$ l'ensemble des compacts de $\mathbb{R}^N$, on a donc $C \subset T$ (on rappelle que les compacts sont des boréliens). Comme l'ensemble des compacts de $\mathbb{R}^N$ engendre $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ (noter que tout ouvert peut s'écrire comme une réunion dénombrable de compacts), on a donc $T = \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, ce qui donne bien $\varphi(A) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$.
2. Montrer que $\lambda_N(\varphi(A)) = \prod_{i=1}^N |\alpha_i|\lambda_N(A)$ pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$. [On pourra faire une récurrence sur $N$: la proposition 2.47 donne le résultat pour la mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, notée $\lambda$. On suppose que le résultat est vrai pour $\lambda_{N-1}$ (et pour toute famille $\alpha_1, \dots, \alpha_{N-1} \in \mathbb{R}^*$, $\beta_1, \dots, \beta_{N-1} \in \mathbb{R}$). On le démontre alors pour $\lambda_N$ en posant $m(A) = (\prod_{i=1}^N |\alpha_i|)^{-1} \lambda_N(\varphi(A))$ et en montrant que $m$ est une mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ égale à $\lambda_N$ sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{N-1}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R})$. On utilise pour conclure la partie unicité du théorème 7.3 sur la mesure produit.]

**Corrigé** – On procède par récurrence sur $N$. La proposition 2.47 donne le résultat pour la mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, c'est-à-dire pour $N=1$ en posant $\lambda_1 = \lambda$. On suppose maintenant que le résultat est vrai pour $N-1$ avec un certain $N \ge 2$, c'est-à-dire que $\lambda_{N-1}(\psi(\mathcal{B})) = \prod_{i=1}^{N-1} |\alpha_i| \lambda_{N-1}(\mathcal{B})$ pour tout $\mathcal{B} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{N-1})$, $\alpha_1, \dots, \alpha_{N-1} \in \mathbb{R}^*$, $\beta_1, \dots, \beta_{N-1} \in \mathbb{R}$ et $\psi$ définie par $\psi(y) = (\alpha_1 y_1 + \beta_1, \dots, \alpha_{N-1} y_{N-1} + \beta_{N-1})^t$ pour tout $y = (y_1, \dots, y_{N-1})^t \in \mathbb{R}^{N-1}$, et on démontre le résultat pour $N$.

Soit donc $\alpha_1, \dots, \alpha_N \in \mathbb{R}^*$, $\beta_1, \dots, \beta_N \in \mathbb{R}$ et $\varphi$ définie par

$$ \varphi(x) = (\alpha_1 x_1 + \beta_1, \dots, \alpha_N x_N + \beta_N)^t \text{ pour tout } x = (x_1, \dots, x_N)^t \in \mathbb{R}^N. $$

Pour $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, on pose $m(A) = (\prod_{i=1}^N |\alpha_i|)^{-1} \lambda_N(\varphi(A))$. On montre tout d'abord que $m$ est une mesure. On a bien $m(\emptyset) = 0$ car $\varphi(\emptyset) = \emptyset$. Puis, soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ avec $A_n \cap A_m = \emptyset \text{ si } n \neq m$. On a

$$ \varphi(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \varphi(A_n) \text{ avec } \varphi(A_n) \cap \varphi(A_m) = \emptyset \text{ si } n \neq m \text{ (car } \varphi \text{ est bijективe)}. $$

Donc, $\lambda_N(\varphi(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n)) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \lambda_N(\varphi(A_n))$ et donc $m(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n) = \sum_{n \in \mathbb{N}} m(A_n)$. Ce qui prouve la $\sigma$-additivité de $m$ et donc le fait que $m$ est une mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$.

On montre maintenant que $m(A_1 \times A_2) = \lambda_{N-1}(A_1)\lambda(A_2)$ pour tout $A_1 \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{N-1})$ et pour tout $A_2 \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ t.q. $\lambda_{N-1}(A_1) < \infty$ et $\lambda(A_2) < \infty$. Soit donc $A_1 \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{N-1})$ et $A_2 \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ t.q. $\lambda_{N-1}(A_1) < \infty$ et $\lambda(A_2) < \infty$. On a

$$ m(A_1 \times A_2) = (\prod_{i=1}^{N} |\alpha_i|)^{-1} \lambda_N(\varphi(A_1 \times A_2)). $$

On pose $\psi(y) = (\alpha_1 y_1 + \beta_1, \dots, \alpha_{N-1} y_{N-1} + \beta_{N-1})^t$, pour tout $y = (y_1, \dots, y_{N-1})^t \in \mathbb{R}^{N-1}$, et $\tau(z) = \alpha_N z + \beta_N$, pour tout $z \in \mathbb{R}$. On a donc $\varphi(A_1 \times A_2) = \psi(A_1) \times \tau(A_2)$. L'hypothèse de récurrence et la proposition 2.47 donne que $\lambda_{N-1}(\psi(A_1)) = \prod_{i=1}^{N-1} |\alpha_i| \lambda_{N-1}(A_1) < \infty$ et que $\lambda(\tau(A_2)) = \alpha_N \lambda(A_2) < \infty$. Comme $\lambda_N = \lambda_{N-1} \otimes \lambda$ (car c'est la définition de $\lambda_N$) on en déduit :

$$ \lambda_N(\varphi(A_1 \times A_2)) = \lambda_{N-1}(\psi(A_1))\lambda(\tau(A_2)) = \prod_{i=1}^{N-1} |\alpha_i| \lambda_{N-1}(A_1)\alpha_N \lambda(A_2), $$

et donc :

$$ m(A_1 \times A_2) = (\prod_{i=1}^{N} |\alpha_i|)^{-1} \lambda_N(\varphi(A_1 \times A_2)) = \lambda_{N-1}(A_1)\lambda(A_2). $$

On peut maintenant conclure. Comme $m$ est une mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N) = \mathcal{B}(\mathbb{R}^{N-1}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R})$ vérifiant $m(A_1 \times A_2) = \lambda_{N-1}(A_1)\lambda(A_2)$ pour tout $A_1 \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{N-1})$ et pour tout
$A_2 \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \text{ t.q. } \lambda_{N-1}(A_1) < \infty \text{ et } \lambda(A_2) < \infty, \text{ la partie unicité du théorème 7.3 donne que } m = \lambda_{N-1} \otimes \lambda, \text{ c'est-à-dire } m = \lambda_N. \text{ On a donc bien } \lambda_N(\varphi(A)) = \prod_{i=1}^N |\alpha_i| \lambda_N(A) \text{ pour tout } A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$.

**Exercice 7.16 (Changement de variable simple)** Soient $N \ge 1$, $\alpha_1, \dots, \alpha_N \in \mathbb{R}^*$ et $\beta_1, \dots, \beta_N \in \mathbb{R}$. Pour $x = (x_1, \dots, x_N)^t \in \mathbb{R}^N$. On pose $\varphi(x) = (\alpha_1 x_1 + \beta_1, \dots, \alpha_N x_N + \beta_N)^t$ (de sorte que $\varphi$ est une bijection de $\mathbb{R}^N$ dans $\mathbb{R}^N$).

1. Soit $f \in \mathcal{E}_+ = \mathcal{E}_+(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N))$, montrer que $f \circ \varphi \in \mathcal{E}_+$ et que

$$\int f d\lambda_N = \prod_{i=1}^{N} |\alpha_i| \int (f \circ \varphi) d\lambda_N.$$

[Utiliser l'exercice 7.15.]

**Corrigé** – Soit $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ et $f = 1_A$. On a alors $f \circ \varphi = 1_B$ avec $B = \varphi^{-1}(A)$. En appliquant l'exercice 7.15 à l'inverse de $\varphi$, noté $\psi$, on a donc $\lambda_N(B) = \lambda_N(\psi(A)) = (\prod_{i=1}^N |\alpha_i|)^{-1} \lambda_N(A)$, c'est-à-dire :

$$\int f d\lambda_N = \lambda_N(A) = (\prod_{i=1}^{N} |\alpha_i|)\lambda_N(B) = (\prod_{i=1}^{N} |\alpha_i|) \int f \circ \varphi d\lambda_N.$$

Soit maintenant $f \in \mathcal{E}_+ \setminus \{0\}$. Il existe donc $a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}^*$ et $A_1, \dots, A_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ t.q. $f = \sum_{i=1}^n a_i f_i$, avec $f_i = 1_{A_i}$. On a alors, par linéarité de l'intégrale :

$$\int f d\lambda_N = \sum_{i=1}^{n} a_i \int f_i d\lambda_N = (\prod_{i=1}^{N} |\alpha_i|) \sum_{i=1}^{n} a_i \int f_i \circ \varphi d\lambda_N \\ = (\prod_{i=1}^{N} |\alpha_i|) \int \sum_{i=1}^{n} a_i f_i \circ \varphi d\lambda_N = (\prod_{i=1}^{N} |\alpha_i|) \int f \circ \varphi d\lambda_N.$$

(Ce qui est, bien sûr, aussi vrai si $f = 0$.)

2. Soit $f \in \mathcal{M}_+ = \mathcal{M}_+(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N))$, montrer que $f \circ \varphi \in \mathcal{M}_+$ et que $\int f d\lambda_N = \prod_{i=1}^N |\alpha_i| \int (f \circ \varphi) d\lambda_N$.

**Corrigé** – Il existe $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{E}_+$ t.q. $f_n \uparrow f$ quand $n \to +\infty$. On a donc aussi $(f_n \circ \varphi)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{E}_+$ et $f_n \circ \varphi \uparrow f \circ \varphi$ quand $n \to +\infty$ (ce qui donne, en particulier que $f \circ \varphi \in \mathcal{M}_+$). La question précédente donne :

$$\int f_n d\lambda_N = (\prod_{i=1}^{N} |\alpha_i|) \int f_n \circ \varphi d\lambda_N.$$

La définition de l'intégrale sur $\mathcal{M}_+$ donne alors, quand $n \to +\infty$ :

$$\int f d\lambda_N = (\prod_{i=1}^{N} |\alpha_i|) \int f \circ \varphi d\lambda_N.$$
3. Soit $f \in \mathcal{L}^1 = \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$, montrer que $f \circ \varphi \in \mathcal{L}^1$ et que $\int f d\lambda_N = \prod_{i=1}^N |\alpha_i| \int (f \circ \varphi) d\lambda_N$.

**Corrigé** – Comme $f$ est mesurable de $\mathbb{R}^N$ dans $\mathbb{R}$ et $\varphi$ est mesurable de $\mathbb{R}^N$ dans $\mathbb{R}^N$ ($\mathbb{R}^N$ et $\mathbb{R}$ étant munis de leur tribu borélienne), on a bien $f \circ \varphi$ mesurable de $\mathbb{R}^N$ dans $\mathbb{R}$.

En appliquant la question précédente à la fonction $|f|$ on obtient que $\int |f| \circ \varphi d\lambda_N = \int |f \circ \varphi| d\lambda_N < \infty$ car $\int |f| d\lambda_N < \infty$. On a donc $f \circ \varphi \in \mathcal{L}^1$.

Enfin, en remarquant que $(f \circ \varphi)^+ = f^+ \circ \varphi$ et $(f \circ \varphi)^- = f^- \circ \varphi$ et en utilisant la question précédente avec $f^+$ et $f^-$, on obtient :

$$ \int f^+ d\lambda_N = \left( \prod_{i=1}^N |\alpha_i| \right) \int f^+ \circ \varphi d\lambda_N, $$

$$ \int f^- d\lambda_N = \left( \prod_{i=1}^N |\alpha_i| \right) \int f^- \circ \varphi d\lambda_N. $$

En faisant la différence, on en déduit :

$$ \int f d\lambda_N = \left( \prod_{i=1}^N |\alpha_i| \right) \int f \circ \varphi d\lambda_N. $$

**Exercice 7.17 (Primitives de fonctions L^p)**

Soit $p \in [1, \infty[$. On note $L^p = L_{\mathbb{R}}^p()0, 1[, \mathcal{B}()0, 1[, \lambda)$. Soit $f, g \in L^p$. On définit $F$ et $G$ de $[0, 1]$ dans $\mathbb{R}$ par, pour $x \in [0, 1]$,

$$ F(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt (= \int_{0,x[} fd\lambda), \quad G(x) = \int_{0}^{x} g(t)dt (= \int_{0,x[} gd\lambda). $$

1. Montrer que $F$ et $G$ sont des fonctions continues et qu'il existe $C \in \mathbb{R}$ t.q. $|F(y) - F(x)| \le C|y-x|^{1-1/p}$ et $|G(y) - G(x)| \le C|y-x|^{1-1/p}$, pour tous $x, y \in [0, 1]$, $x < y$.

**Corrigé** – On note $L^1 = L_{\mathbb{R}}^1()0, 1[, \mathcal{B}()0, 1[, \lambda)$. $F$ et $G$ sont bien définies partout sur $[0, 1]$ car $f1_{[0,x]} \in L^1$ (et $g1_{[0,x]} \in L^1$) pour tout $x \in [0, 1]$ (on confond, comme d'habitude, un élément de $L^1$ ou $L^p$ avec l'un de ses représentants).

Soit $x, y \in [0, 1]$, $x < y$. En utilisant l'inégalité de Hölder avec $f$ et $1_{[x,y]}$, on obtient, avec $q = p/(p-1)$ :

$$ |F(y) - F(x)| = \left| \int f1_{[x,y]} d\lambda \right| \le \|f\|_p \|1_{[x,y]}\|_q \le \|f\|_p |y-x|^{1-\frac{1}{p}}. \quad (7.18) $$

On a de même :

$$ |G(y) - G(x)| \le \|g\|_p |y-x|^{1-\frac{1}{p}}. \quad (7.19) $$

Ce qui donne les inégalités demandées en prenant $C = \max(\|f\|_p, \|g\|_p)$.

Les inégalités (7.18) et (7.19) donnent aussi la continuité (uniforme) de $F$ et $G$ lorsque $p > 1$ (et donc $1 - (1/p) > 0$), mais pas pour $p = 1$.
Pour $p = 1$, on montre la continuité de $F$ (et de $G$ par un raisonnement semblable) en remarquant que, pour $x, y \in [0, 1]$, $x < y$ :

$$|F(y) - F(x)| \le \int |f| 1_{[x,y]} d\lambda \to 0, \text{ quand } \lambda([x,y]) = y - x \to 0,$$

ceci découle de l'exercice 4.14 et donne même la continuité uniforme de $F$ comme
cela a été démontré dans l'exercice 5.5.

2. On suppose $p > 1$. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $k \in \{0, \dots, n-1\}$. Montrer que, pour tout $x \in [\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}]$, on a $(F(x), G(x)) \in A_{n,k} \times B_{n,k}$, où $A_{n,k}$ et $B_{n,k}$ sont des intervalles de $\mathbb{R}$ (indépendants de $x$) dont les longueurs tendent vers 0 quand $n \to +\infty$. [Utiliser la question 1.]

**Corrigé** – On pose toujours $C = \max(\|f\|_p, \|g\|_p)$. Pour $x \in [\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}]$, on a, avec $\frac{1}{q} = 1 - \frac{1}{p} > 0$ :

$$|F(x) - F(\frac{k}{n})| \le C(\frac{1}{n})^{\frac{1}{q}}, \quad |G(x) - G(\frac{k}{n})| \le C(\frac{1}{n})^{\frac{1}{q}}.$$

On en déduit que $(F(x), G(x)) \in A_{n,k} \times B_{n,k}$ avec :

$$A_{n,k} = [F(\frac{k}{n}) - C(\frac{1}{n})^{\frac{1}{q}}, F(\frac{k}{n}) + C(\frac{1}{n})^{\frac{1}{q}}],$$

$$B_{n,k} = [G(\frac{k}{n}) - C(\frac{1}{n})^{\frac{1}{q}}, G(\frac{k}{n}) + C(\frac{1}{n})^{\frac{1}{q}}].$$

On a bien $\lambda(A_{n,k}) = \lambda(B_{n,k}) = 2C(\frac{1}{n})^{\frac{1}{q}} \to 0$ quand $n \to +\infty$.

3. On suppose $p > 2$. Montrer que $E = \{(F(x), G(x)); x \in [0, 1]\}$ est une partie négligeable de $\mathbb{R}^2$ (muni de la mesure de Lebesgue sur les boréliens de $\mathbb{R}^2$). [En utilisant une majoration convenable des longueurs de $A_{n,k}$ et $B_{n,k}$, inclure $E$ (pour tout $n \in \mathbb{N}$) dans une partie de $\mathbb{R}^2$ dont la mesure de Lebesgue tend vers 0 quand $n \to +\infty$.]

**Corrigé** – Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose

$$H_n = \bigcup_{k=0}^{n-1} A_{n,k} \times B_{n,k} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2) = \mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R}).$$

La question précédente donne $E \subset H_n$. On en déduit que

$$E \subset H = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} H_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2).$$

On utilise maintenant l'hypothèse $p > 2$ pour montrer que $\lambda_2(H) = 0$ (et donc que $E$ est négligeable). En effet, on a, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :

$$\lambda_2(H) \le \lambda_2(H_n) \le \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_2(A_{n,k} \times B_{n,k}) = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda(A_{n,k})\lambda(B_{n,k}) \le n4C^2 \frac{1}{n^{2/q}} = 4C^2 n^{1-\frac{2}{q}},$$

avec $C = \max(\|f\|_p, \|g\|_p)$ et $\frac{1}{q} = 1 - \frac{1}{p}$. Comme $p > 2$, on a $q < 2$ et donc $n^{1-\frac{2}{q}} \to 0$ quand $n \to +\infty$. Ceci donne que $\lambda_2(H_n) \to 0$ quand $n \to +\infty$ et donc que $\lambda_2(H) = 0$.
### 7.7.4 Convolution

**Exercice 7.18 (Propriétés élémentaires de la convolution)** Soit $f, g \in L^1(\mathbb{R}^N) = L^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$.

1. Montrer que $f * g = g * f$ p.p.. [Utiliser l'invariance par translation de la mesure de Lebesgue et sa conséquence pour les changements de variable simples (propositions 7.20 et 7.21).]

**Corrigé** – On confond, comme d'habitude $f$ (et $g$) avec l'un de ses représentants, et on choisit comme représentant de $f * g$ (qui est définie comme un élément de $L^1(\mathbb{R}^N)$) la fonction définie par

$$f * g(x) = \int f(y)g(x-y)d\lambda_N(y) \text{ si } f(\cdot)g(x-\cdot) \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N).$$

On sait que cette fonction est définie p.p. car $f(\cdot)g(x-\cdot) \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N)$ pour presque tout $x \in \mathbb{R}^N$. On choisit de manière analogue comme représentant de $g * f$ la fonction définie par

$$g * f(x) = \int g(y)f(x-y)d\lambda_N(y) \text{ si } g(\cdot)f(x-\cdot) \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N).$$

Soit $x \in \mathbb{R}^N$ un point pour lequel $f * g$ est définie. On a donc $f(\cdot)g(x-\cdot) \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N)$. On pose $h(\cdot) = f(\cdot)g(x-\cdot)$. On utilise alors la proposition 7.21 (changement de variable simple) avec $\varphi$ définie par $\varphi(y) = -y + x$ pour tout $y \in \mathbb{R}^N$. Elle donne $h \circ \varphi \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N)$ et :

$$\int h(\varphi(y))d\lambda_N(y) = \int h(y)d\lambda_N(y).$$

Comme $h(\varphi(y)) = f(\varphi(y))g(x - \varphi(y)) = f(x - y)g(y)$, on en déduit que $g * f$ est définie au point $x$ et que $g * f(x) = f * g(x)$. Ceci montre bien que $f * g = g * f$ p.p..

2. On suppose que $f$ et $g$ sont à support compact ($f$ à support compact signifie qu'il existe $K$, compact de $\mathbb{R}^N$, t.q. $f = 0$ p.p. sur $K^c$). Montrer que la fonction $f * g$ est alors aussi à support compact. [On désigne par $B(0, \alpha)$ la boule ouverte de centre $0$ et de rayon $\alpha$. Comme $f$ et $g$ sont à support compact, il existe $a$ et $b \in \mathbb{R}_+$ tels que $f = 0$ p.p. sur $B(0, a)^c$ et $g = 0$ p.p. sur $B(0, b)^c$. Montrer que $f * g = 0$ p.p. sur $B(0, a + b)^c$.]

**Corrigé** – Comme pour la question précédente, on confond $f$ (et $g$) avec l'un de ses représentants, et on choisit comme représentant de $f * g$ la fonction définie par $f * g(x) = \int f(y)g(x-y)d\lambda_N(y)$ si $f(\cdot)g(x-\cdot) \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N)$.

Soit $a, b \in \mathbb{R}_+$ t.q. $f = 0$ p.p. sur $B(0, a)^c$ et $g = 0$ p.p. sur $B(0, b)^c$. ($\mathbb{R}^N$ est muni d'une norme, notée $\|\cdot\|$.) Soit $x \in B(0, a + b)^c$. On va montrer que $f(\cdot)g(x-\cdot) = 0$ p.p. (et donc que $f * g(x) = 0$, noter aussi que $f(\cdot)g(x-\cdot)$ est mesurable car $f$ et $g$ le sont).

Comme $f = 0$ p.p. sur $B(0, a)^c$, on a aussi $f(\cdot)g(x-\cdot) = 0$ p.p. sur $B(0, a)^c$. Comme $g = 0$ p.p. sur $B(0, b)^c$, on a $f(\cdot)g(x-\cdot) = 0$ p.p. sur $B(x, b)^c$ (car $y \in B(x, b)^c \iff$
$(x - y) \in \mathbf{B}(0, b)^c)$. On a donc :

$$f(\cdot)g(x-\cdot) = 0 \text{ p.p. sur } \mathbf{B}(0, a)^c \cup \mathbf{B}(x, b)^c. \quad (7.20)$$

Or $\mathbf{B}(0, a) \cap \mathbf{B}(x, b) = \emptyset$ car $y \in \mathbf{B}(0, a) \cap \mathbf{B}(x, b)$ implique $\|y\| < a$ et $\|x - y\| < b$ et donc $\|x\| = \|x - y + y\| < a + b$, ce qui contredit $x \in \mathbf{B}(0, a + b)^c$. On a donc $\mathbf{B}(0, a)^c \cup \mathbf{B}(x, b)^c = (\mathbf{B}(0, a) \cap \mathbf{B}(x, b))^c = \mathbb{R}^N$ et (7.20) donne alors $f(\cdot)g(x - \cdot) = 0$ p.p. et donc $f * g$ est définie au point $x$ et $f * g(x) = 0$.

On a bien montré que $f * g = 0$ p.p. sur $\mathbf{B}(0, a + b)^c$ et donc que $f * g$ est à support compact.

### Exercice 7.19 (Convolution $L^p - C_c^\infty$)

Soit $1 \le p \le \infty$. Soit $f \in L^p(\mathbb{R}^N) = L^p_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^N, \mathbf{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$ (ou $f \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N)$) et $\rho \in C_c^\infty(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$. On pourra se limiter au cas $N = 1$.

1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^N$, la fonction $f(\cdot)\rho(x - \cdot)$ appartient à $L^1(\mathbb{R}^N)$. On pose alors

$$f * \rho(x) = \int f(\cdot)\rho(x-\cdot)d\lambda_N.$$

**Corrigé** – On rappelle que $f \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N)$ si $f \in \mathcal{M} = \mathcal{M}(\mathbb{R}^N, \mathbf{B}(\mathbb{R}^N))$ et $f 1_K \in L^1(\mathbb{R}^N)$ pour tout compact $K$ de $\mathbb{R}^N$. On a donc $L^p(\mathbb{R}^N) \subset L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N)$ (pour tout $1 \le p \le \infty$) car si $f \in L^p(\mathbb{R}^N)$, on a bien $f \in \mathcal{M}$ et, grâce à l'inégalité de Hölder, $f 1_K \in L^1(\mathbb{R}^N)$ (et $\|f 1_K\|_1 \le \|f\|_p \|1_K\|_q < \infty$, avec $q = p/(p-1)$).

On suppose donc dans la suite de ce corrigé que $f \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N)$ car cette hypothèse est plus générale que $f \in L^p(\mathbb{R}^N)$. Pour simplifier la rédaction, on se limite au cas $N = 1$.

Soit $x \in \mathbb{R}$. La fonction $f(\cdot)\rho(x - \cdot)$ est mesurable (c'est-à-dire ici borélienne car $\mathbb{R}$ est muni de sa tribu de Borel) car $f$ est mesurable et $\rho(x - \cdot)$ est mesurable (car continue). Comme $\rho$ est à support compact, il existe $a \in \mathbb{R}_+$ t.q. $\rho = 0$ sur $[-a, a]^c$. On a donc $\rho(x - \cdot) = 0$ sur $K_x^c$ avec $K_x = [x - a, x + a]$, ce qui permet de montrer que $f(\cdot)\rho(x - \cdot) \in L^1(\mathbb{R})$ car $|f(\cdot)\rho(x - \cdot)| \le |f 1_{K_x}| \|\rho\|_u$, avec $\|\rho\|_u = \max\{|\rho(z)|, z \in \mathbb{R}\} < \infty$, et $f 1_{K_x} \in L^1(\mathbb{R})$.

La fonction $f * \rho$ est donc définie sur tout $\mathbb{R}$.

2. Montrer que $f * \rho \in C^\infty(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$.

**Corrigé** – Comme dans la question précédente, on va utiliser $a \in \mathbb{R}_+$ t.q. $\rho = 0$ sur $[-a, a]^c$ et $\|\rho\|_u = \max\{|\rho(z)|, z \in \mathbb{R}\}$ (on va aussi utiliser les normes des dérivées de $\rho$, $\|\rho^{(k)}\|_u$). On raisonne maintenant en trois étapes.

**Etape 1.** On commence par montrer que $f * \rho$ est continue en tout point de $\mathbb{R}$. Soit $x_0 \in \mathbb{R}$. La continuité de $f * \rho$ en $x_0$ découle du théorème de continuité sous le signe $\int$, théorème 4.52. En effet, on pose, pour $x, y \in \mathbb{R}$ :

$$F(x, y) = f(y)\rho(x - y).$$

On a $F(x, \cdot) \in L^1(\mathbb{R})$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $f * \rho(x) = \int F(x, \cdot)d\lambda$. La fonction F vérifie alors les 2 hypothèses suivantes :
(a) $x \mapsto F(x,y)$ est continue en $x_0$, pour tout $y \in \mathbb{R}$,

(b) $|F(x,y)| \le G(y)$ pour tout $x \in ]x_0 - 1, x_0 + 1[$ et pour tout $y \in \mathbb{R}$, en prenant $G = |f1_K||\rho||_u$ avec $K = [x_0 - 1 - a, x_0 + 1 + a]$.

Comme $K$ est compact, on a $G \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ et le théorème 4.52 donne bien la continuité de $f * \rho$ en $x_0$.

**Étape 2.** On montre maintenant que $f * \rho$ est dérivable en tout point et que $(f * \rho)' = f * \rho'$. Soit $x_0 \in \mathbb{R}$. Pour montrer la dérivabilité de $f * \rho$ en $x_0$, on utilise le théorème de dérivabilité sous le signe $\int$, théorème 4.53. On reprend la même fonction $F$ que dans l'étape 1, elle vérifie les 2 hypothèses suivantes :

(a) $x \mapsto F(x,y)$ est dérivable pour tout $x \in ]x_0 - 1, x_0 + 1[$ et pour tout $y \in \mathbb{R}$,

(b) $|\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)| = |f(y)\rho'(x-y)| \le H(y)$ pour tout $x \in ]x_0 - 1, x_0 + 1[$ et pour tout $y \in \mathbb{R}$, en prenant $H = |f1_K||\rho'|_u$ avec $K = [x_0 - 1 - a, x_0 + 1 + a]$.

Comme $K$ est compact, on a $H \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ et le théorème 4.53 donne bien la dérivabilité de $f * \rho$ en $x_0$ et le fait que $(f * \rho)'(x_0) = f * \rho'(x_0)$.

**Étape 3.** On montre enfin que $f * \rho \in C^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Pour cela, on va montrer, par récurrence sur $k$, que $f * \rho \in C^k(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $(f * \rho)^{(k)} = f * \rho^{(k)}$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ (ce qui donne bien $f * \rho \in C^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$).

L'étape 1 montre que $f * \rho \in C^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ (et on a bien $(f * \rho)^{(0)} = f * \rho = f * \rho^{(0)}$). On suppose maintenant que $f * \rho \in C^k(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $(f * \rho)^{(k)} = f * \rho^{(k)}$ pour un certain $k \in \mathbb{N}$. L'étape 2 appliquée à $\rho^{(k)}$ (qui appartient aussi à $C_c^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$) au lieu de $\rho$ donne alors que $f * \rho^{(k)}$ est dérivable et que sa dérivée est $f * \rho^{(k+1)}$. L'étape 1 appliquée à $\rho^{(k+1)}$ donne que $f * \rho^{(k+1)} \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. On a donc bien finalement montré que $f * \rho \in C^{k+1}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $(f * \rho)^{(k+1)} = f * \rho^{(k+1)}$, ce qui termine la récurrence.

3. On suppose maintenant que $f$ est à support compact, c'est-à-dire qu'il existe un compact de $\mathbb{R}$, noté $K$, t.q. $f = 0$ p.p. sur $K^c$, montrer que $f * \rho$ est aussi à support compact.

**Corrigé** – Comme $f$ et $\rho$ sont à support compact, on démontre que $f * \rho$ est aussi à support compact, comme cela a été fait dans l'exercice 7.18. Plus précisément, si $f = 0$ p.p. sur $B(0, a)^c$ et $\rho = 0$ sur $B(0, b)^c$, on a $f * \rho = 0$ sur $B(0, a + b)^c$ (voir l'exercice 7.18).

**Exercice 7.20 (Inégalité de Young)** Soient $1 < p < +\infty$, $f \in L_\mathbb{R}^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_\mathbb{N})$ et $g \in L_\mathbb{R}^p(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_\mathbb{N})$. Montrer que $f * g$ est définie p.p., que $f * g \in L_\mathbb{R}^p(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_\mathbb{N})$ et que $\|f * g\|_p \le \|f\|_1 \|g\|_p$. [Écrire

$$ \int \left( \int |f(x-y)g(y)| dy \right)^p dx = \int \left( \int |f(x-y)|^{\frac{1}{q}} |f(x-y)|^{\frac{1}{p}} |g(y)| dy \right)^p dx, $$

avec $q = p/(p-1)$. Appliquer l'inégalité de Hölder puis le théorème de Fubini-Tonelli.]
**Corrigé** – Pour simplifier les notations, on ne traite ici que le cas $N = 1$. On suppose aussi que $f$ et $g$ ne sont pas nulles p.p. (sinon, il est immédiat que $f * g$ est définie partout et $f * g(x) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$).

On confond $f$ et $g$ avec l'un de leurs représentants.

Pour $x, y \in \mathbb{R}$, on pose $H(x, y) = g(y)f(x - y)$. La première partie de la démonstration de la proposition sur la convolution (proposition 7.22) montre que $H$, et donc $|H|$, est $B(\mathbb{R}^2)$-mesurable. On peut alors utiliser les deux premières conclusions du théorème de Fubini-Tonelli (théorème 7.7) pour affirmer que $|g(\cdot)f(x - \cdot)| \in M_+(\mathbb{R}, B(\mathbb{R}))$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et que $\varphi \in M_+(\mathbb{R}, B(\mathbb{R}))$ avec $\varphi$ définie par $\varphi(x) = \int |g(\cdot)f(x - \cdot)|d\lambda$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Par composition de fonctions mesurables, on a donc aussi $\varphi^p \in M_+(\mathbb{R}, B(\mathbb{R}))$.

Soit $x \in \mathbb{R}$. Les fonctions $|f(x - \cdot)|^{\frac{1}{q}}$ et $|f(x - \cdot)|^{\frac{1}{p}}|g(\cdot)|$ sont aussi mesurables. On peut alors utiliser l'inégalité de Hölder avec $q = p/(p - 1)$. elle donne :

$$ 
\begin{align} 
(\varphi(x))^p &= \left( \int |f(x - \cdot)|^{\frac{1}{q}} |f(x - \cdot)|^{\frac{1}{p}} |g(\cdot)| |d\lambda| \right)^p \nonumber \\
&\le \left( \int |f(x - \cdot)| |d\lambda| \right)^{\frac{p}{q}} \left( \int |f(x - \cdot)| |g(\cdot)|^p |d\lambda| \right) \tag{7.21} \\
&\le \|f\|_1^{\frac{p}{q}} \left( \int |f(x - \cdot)| |g(\cdot)|^p |d\lambda| \right). \nonumber
\end{align} 
$$

Noter que (7.21) est vraie si $|f(x - \cdot)||g(\cdot)|^p \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ et si $|f(x - \cdot)||g(\cdot)|^p \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$. Dans ce dernier cas on obtient seulement $\varphi(x)^p \le \infty$. On a aussi utilisé la proposition 7.21 pour dire que $\int |f(x - \cdot)|d\lambda = \int |f|d\lambda = \|f\|_1$.

On peut maintenant utiliser le théorème de Fubini-Tonelli (théorème 7.7) avec les fonctions $|f|$ et $|g|^p$. Il donne :

$$ 
\begin{align} 
\int \varphi(x)^p d\lambda(x) &\le \|f\|_1^{\frac{p}{q}} \int \left( \int |f(x - \cdot)||g(\cdot)|^p d\lambda \right) d\lambda(x) \nonumber \\
&\le \|f\|_1^{\frac{p}{q}} \int \left( \int |f(x - y)||g(y)|^p d\lambda(x) \right) d\lambda(y) \tag{7.22} \\
&\le \|f\|_1^{\frac{p}{q}} \|f\|_1 \|g\|_p^p = \|f\|_1^p \|g\|_p^p. \nonumber
\end{align} 
$$

Ceci donne que $\varphi \in \mathcal{L}^p(\mathbb{R})$ et, en particulier que $\varphi(x) < \infty$ p.p., c'est-à-dire $\lambda(A) = 0$ avec $A = \{\varphi = \infty\}$ (noter que $A \in B(\mathbb{R})$ puisque $\varphi \in M_+^c$). Pour tout $x \in A^c$, on a donc $g(\cdot)f(x - \cdot) \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ et on peut définir $g * f(x)$ par $g * f(x) = \int g(y)f(x - y)d\lambda(y)$.

La fonction $g * f$ est donc définie p.p.. On remarque maintenant qu'elle est égale p.p. à une fonction mesurable. En effet, les fonctions $H^+$ et $H^-$ sont $B(\mathbb{R}^2)$-mesurables (d'après la première partie de la démonstration de la proposition 7.22, on rappelle que $H(x, y) = g(y)f(x - y)$). Les deux premières conclusions du théorème 7.7 donnent alors $(g(\cdot)f(x - \cdot))^+ \in M_+(\mathbb{R}, B(\mathbb{R}))$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et que $\varphi_1, \varphi_2 \in M_+(\mathbb{R}, B(\mathbb{R}))$ avec $\varphi_1$ et $\varphi_2$ définies par, pour $x \in \mathbb{R}$,

$$ \varphi_1(x) = \int (g(\cdot)f(x - \cdot))^+ d\lambda, \quad \varphi_2(x) = \int (g(\cdot)f(x - \cdot))^{-} d\lambda. $$

On pose alors $h = \varphi_1 - \varphi_2$ sur $A^c$ et $h = 0$ sur $A$. On a bien que $h$ est mesurable (de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$) et $h = g * f$ p.p..
On remarque enfin que $h \in L^p(\mathbb{R})$ car $|h| \le \varphi$ p.p. et $\varphi \in L^p(\mathbb{R})$. On en déduit bien que $g * f \in L^p(\mathbb{R})$ (avec la confusion habituelle entre $g * f$ et la classe de $h$ dans $L^p(\mathbb{R})$).

Le fait que $\|g * f\|_p \le \|f\|_1 \|g\|_p$ est conséquence immédiate de (7.22) puisque $g * f \le \varphi$ p.p..

Enfin, le raisonnement fait dans la première question de l'exercice (7.18) montre que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(\cdot)g(x - \cdot) \in L^1(\mathbb{R}^N)$ si et seulement $f(x - \cdot)g(\cdot) \in L^1(\mathbb{R}^N)$ et que ces deux fonctions ont alors même intégrale. Ceci permet de montrer que $f * g$ est aussi définie p.p. et que $f * g = g * f$ p.p.

**Exercice 7.21 (Itérations de convolution)** Soient $L^1 = L^1_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et $f \in L^1$ t.q. $f = 0$ p.p. sur $\mathbb{R}_-$. On définit, pour $n \in \mathbb{N}^*, f^{*n}$ par :

$$f^{*1} = f \text{ et } f^{*n} = f^{*(n-1)} * f \text{ pour } n \ge 1.$$

Pour $\lambda \ge 0$, on pose : $g(\alpha) = \int_0^{+\infty} e^{-\alpha t} |f(t)| dt$.

1(a) Montrer que $f^{*n}$ est bien définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, et que $f^{*n} = 0$ sur $\mathbb{R}_-$.

(b) Montrer, par récurrence sur n, que $\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t} |f^{*n}(t)| dt \le (g(\alpha))^n$, pour tout $\alpha \ge 0$ et tout $n \ge 1$.

(c) En déduire que $\int_0^x |f^{*n}(t)| dt \le e^{\alpha x} (g(\alpha))^n$, pour tout $\alpha \ge 0$ tout $n \ge 1$ et tout $x \ge 0$.

2. Soit $h \in C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Montrer que $h * f(x)$ est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ et que $h * f \in C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Remarquer de même que $h * f^{*n} \in C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. On suppose maintenant que, $h = 0$ sur $\mathbb{R}_-$ ; montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $h * f^{*n}(x) \to 0$ quand $n \to +\infty$.

**Exercice 7.22** Soient $\mu$ et $\nu$ des mesures sur l'espace mesurable $(\mathbb{R}, \mathcal{T})$. On rappelle que $\mu * \nu$ est défini par :

$$\mu * \nu(A) = \int_{\mathbb{R}^2} 1_A(x+y)d\mu(x)d\nu(y).$$

1. Montrer que $\mu * \nu$ est une mesure.

2. Montrer que si $\mu$ et $\nu$ sont des probabilités, alors $\mu * \nu$ est une probabilité.

3. Montrer que si $\mu$ et $\nu$ sont des mesures de densités respectives $f$ et $g$ (par rapport à Lebesgue), alors $\mu * \nu$ est une mesure de densité $f * g$.

### 7.7.5 Changement de variable

**Exercice 7.23 (Coordonnées polaires)**

1. Calculer $\int_{(\mathbb{R}^+)^2} e^{-(x^2+y^2)} dx dy$ (on rappelle que $dx dy$ désigne $d\lambda_2(x,y)$).

[On pourra utiliser le passage en coordonnées polaires.]
**Corrigé** – Pour $x,y \in \mathbb{R}$, on pose $f(x,y) = e^{-(x^2+y^2)}1_{\mathbb{R}_+}(x)1_{\mathbb{R}_+}(y)$. On a $f \in \mathcal{M}_+(\mathbb{R}^2, \mathcal{B}(\mathbb{R}^2))$ (noter que $f$ est le produit de fonctions mesurables). On peut donc lui appliquer la formule (7.10) :

$$ \int f(x,y)d\lambda_2(x,y) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \int_0^{\infty} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r dr \right) d\theta. $$

On a donc :

$$ \int_{(\mathbb{R}^+)^2} e^{-(x^2+y^2)} d\lambda_2(x,y) = \frac{\pi}{2} \int_0^\infty e^{-r^2} r dr. $$

Puis, comme $\int_0^n e^{-r^2} r dr = \frac{1}{2}(1 - e^{-n^2})$ et que, par le théorème de convergence monotone,

$$ \lim_{n \to +\infty} \int_0^n e^{-r^2} r dr = \int_0^\infty e^{-r^2} r dr, $$

on en déduit $\int_0^\infty e^{-r^2} r dr = \frac{1}{2}$ et donc

$$ \int_{(\mathbb{R}^+)^2} e^{-(x^2+y^2)} d\lambda_2(x,y) = \frac{\pi}{4}. $$

2. Calculer $\int_{\mathbb{R}^+} e^{-x^2} dx$.

**Corrigé** – On applique le théorème de Fubini-Tonelli (théorème 7.7) à la fonction $f$ définie à la question précédente. Il donne :

$$ \int f(x,y)d\lambda_2(x,y) = \int_{\mathbb{R}} \left( \int_{\mathbb{R}} f(x,y)dy \right) dx, $$

et donc

$$ \frac{\pi}{4} = \int_{(\mathbb{R}^+)^2} e^{-(x^2+y^2)} d\lambda_2(x,y) = \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-y^2} dy \right) e^{-x^2} dx = \left( \int_0^\infty e^{-x^2} dx \right)^2. $$

On en déduit que $\int_0^\infty e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

**Exercice 7.24 (Cordonnées polaires dans $\mathbb{R}^N$)** On note $\mathbb{S}^{N-1}$ la sphère de centre 0 et rayon 1 dans $\mathbb{R}^N$ (i.e. $\mathbb{S}^{N-1} = \{x \in \mathbb{R}^N \mid |x| = 1\}$, où $|\cdot|$ désigne la norme euclidienne usuelle). Pour $A \subset \mathbb{S}^{N-1}$, on pose $\tilde{A} = \{tx, t \in [0,1], x \in A\}$. Montrer que si $A$ est un borélien de $\mathbb{S}^{N-1}$, alors $\tilde{A}$ est un borélien de $\mathbb{R}^N$.

On définit alors, quand $A$ est un borélien de $\mathbb{S}^{N-1}$, $\sigma(A) = N\lambda_N(\tilde{A})$. Montrer que $\sigma$ définit une mesure sur les borélien de $\mathbb{S}^{N-1}$.

Montrer que, pour tout $f: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$ mesurable positive ou intégrable on a

$$ \int_{\mathbb{R}^N} f(x) dx = \int_0^\infty \left( \int_{\mathbb{S}^{N-1}} f(\rho\xi) d\sigma(\xi) \right) \rho^{N-1} d\rho. $$

Trouver alors les $\alpha \in \mathbb{R}$ tels que $x \to |x|^\alpha$ soit intégrable sur $\mathbb{R}^N \setminus B_1$ ou sur $B_1$, avec $B_1 = \{x \in \mathbb{R}^N : |x| \le 1\}$.
**Corrigé –** Pour $R \in \mathbb{R}_+$, on note $B_R = \{x \in \mathbb{R}^N : |x| \le R\}$.

1. On montre tout d'abord que $\tilde{A}$ est un borélien de $\mathbb{R}^N$ si $A$ est un borélien de $S^{N-1}$.
Pour cela, on pose $T = \{A \in \mathcal{B}(S^{N-1}) ; \tilde{A} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)\}$.

On montre que $T$ est une tribu. En effet, $\tilde{A} = \emptyset \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ si $A = \emptyset$ et donc $\emptyset \in T$. Puis,
on remarque que $T$ est stable par complémentaire car, pour $A \in T$, $S^{N-1} \setminus A = B_1 \setminus \tilde{A} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, ce qui montre que $S^{N-1} \setminus A \in T$. Enfin, il est facile de voir que $T$ est stable par union dénombrable car, pour $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$, on a $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \tilde{A}_n = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \tilde{A}_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ et donc $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in T$. On a bien montré que $T$ est une tribu.

Soit $C$ l'ensemble des fermés de $S^{N-1}$. Si $A \in C$, on voit que $\tilde{A}$ est un fermé de $\mathbb{R}^N$.
En effet, si $(t_n, x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset [0, 1] \times A$ est t.q. $t_n x_n \to y$ dans $\mathbb{R}^N$, on peut supposer,
par compacité de $[0, 1]$ et de $S^{N-1}$, après extraction d'une sous-suite encore notée
$(t_n, x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, que $t_n \to t \in [0, 1] \text{ et } x_n \to x \in S^{N-1}$ quand $n \to +\infty$. On en déduit que
$y = tx \in A$, ce qui prouve que $\tilde{A}$ est fermé. Comme les fermés sont des boréliens, on
a donc $C \subset T$.

Pour conclure, il suffit de remarquer que la tribu engendrée par $C$ (sur $S^{N-1}$) est $\mathcal{B}(S^{N-1})$. On en déduit bien que $\mathcal{B}(S^{N-1}) = T$.

2. Il est facile de montrer que $\sigma$ est une mesure. Il suffit en effet de remarquer que $\tilde{\emptyset} = \emptyset$ (et donc $\sigma(\emptyset) = 0$) et que, pour $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$ t.q. $A_n \cap A_m = \emptyset$ si $n \neq m$, on a, avec $A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$, $\tilde{A} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \tilde{A}_n$ et $\tilde{A}_n \cap \tilde{A}_m = \emptyset$ si $n \neq m$. On déduit alors la $\sigma$-additivité de $\sigma$ de la $\sigma$-additivité de $\lambda_N$.

3. On va montrer maintenant :

$$
\int_{\mathbb{R}^N} f(x) dx = \int_0^\infty \left( \int_{S^{N-1}} f(\rho\xi) d\sigma(\xi) \right) \rho^{N-1} d\rho, \quad (7.23)
$$

pour tout $f = 1_E$ avec $E \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$. Cette démonstration est difficile (le reste de la démonstration sera plus facile). On raisonne en trois étapes.

**Etape 1.** Pour $A \in \mathcal{B}(S^{N-1})$ et pour $0 \le r < R < \infty$, on pose $A_{r,R} = \{\rho\xi, \rho \in [r, R], \xi \in A\}$. Dans cette étape, on prend $f = 1_E$ avec $E = A_{r,R}$ et on montre alors que les deux membres de (7.23) sont bien définis et sont égaux.

Pour montrer que $A_{r,R} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, il suffit de remarquer que $A_{r,R} = A_R \setminus A_r$ avec

$$
A_a = \bigcup_{t \in \mathbb{Q}_a} t \tilde{A} \text{ où } \mathbb{Q}_a = \{t \in \mathbb{Q}^*, t < a\} \text{ si } a > 0, \text{ et } A_0 = \emptyset.
$$

Comme $\tilde{A} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, on a $t\tilde{A} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ pour tout $t > 0$ (voir la proposition 7.20) et donc $A_a \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ pour tout $a \ge 0$. On en déduit que $A_{r,R} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$.

On calcule maintenant $\lambda_N(A_{r,R})$ (qui est le membre de gauche de (7.23)). D'après la proposition 7.21, on a $\lambda_N(t\tilde{A}) = t^N\lambda_N(\tilde{A})$ pour tout $t > 0$. la continuité croissante d'une mesure donne alors $\lambda_N(A_a) = a^N\lambda_N(\tilde{A})$ pour tout $a > 0$ et donc :

$$
\lambda_N(A_{r,R}) = \lambda_N(A_R \setminus A_r) = \lambda_N(A_R) - \lambda_N(A_r) = (\mathbb{R}^N - r^N)\lambda_N(\tilde{A}) = \frac{\mathbb{R}^N - r^N}{N} \sigma(A).
$$

Soit $\rho > 0$.
• Si $\rho \in [r, R[$, on a $f(r\xi) = 0$ pour tout $\xi \in S^{N-1}$. On a donc

$$f(\rho \cdot) = 1_{\emptyset} \in \mathcal{M}_{+}(S^{N-1}, \mathcal{B}(S^{N-1})) \text{ et } \int f(\rho \cdot) d\sigma = 0.$$

• Si $\rho \in [r, R[$, on a $f(r\xi) = 1$ pour tout $\xi \in A$ et $f(r\xi) = 0$ pour tout $\xi \in S^{N-1} \setminus A$.
On a donc

$$f(\rho \cdot) = 1_A \in \mathcal{M}_+(S^{N-1}, \mathcal{B}(S^{N-1})) \text{ et } \int f(\rho \cdot) d\sigma = \sigma(A).$$

On en déduit que la fonction $\rho \mapsto \int f(\rho \cdot) d\sigma$ est égale à $\sigma(A)1_{[r,R]}$, elle appartient donc à $\mathcal{M}_+(R_+^*, \mathcal{B}(R_+^*), \lambda)$ et on a :

$$\begin{align*}
\int_0^\infty \left( \int_{S^{N-1}} f(\rho\xi) d\sigma(\xi) \right) \rho^{N-1} d\rho &= \int_{\mathbb{R}_+^*} \sigma(A) 1_{[r,R]}(\rho) \rho^{N-1} d\rho \\
&= \sigma(A) \int_r^R \rho^{N-1} d\rho \\
&= \sigma(A) \frac{\mathbb{R}^N - r^N}{N}.
\end{align*}$$

On a bien montré que les deux membres de (7.23) étaient bien définis et étaient égaux.

**Etape 2.** On pose $\mathcal{D} = \{A_{r,R}, 0 \le r < R < \infty, A \in \mathcal{B}(S^{N-1})\}$. On montre ici que $\mathcal{D}$ engendre $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$.

On a déjà vu que $\mathcal{D} \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$. Donc, $T(\mathcal{D}) \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$. Pour montrer l'inclusion inverse, on va montrer que tout ouvert de $\mathbb{R}^N$ peut s'écrire comme une union au plus dénombrable d'éléments de $\mathcal{D}$.

On commence par remarquer qu'il existe une partie dénombrable de $S^{N-1}$, dense dans $S^{N-1}$ (ceci découle de la séparabilité de $\mathbb{R}^N$). Soit S une telle partie. On peut alors démontrer (on ne détaille pas ici cette démonstration, assez simple) que si $x \in O$, O ouvert de $\mathbb{R}^N$, il existe une boule ouverte de $S^{N-1}$ dont le centre est dans S et donc le rayon est rationnel, on note A cette boule, et il existe $r, R \in \mathbb{Q}$ t.q. $x \in A_{r,R} \subset O$. On en déduit facilement que O est une union au plus dénombrable d'éléments de $\mathcal{D}$ (voir l'exercice 2.7 pour des résultats semblables). Ce résultat montre que les ouverts de $\mathbb{R}^N$ sont dans $T(\mathcal{D})$ et donc que $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N) \subset T(\mathcal{D})$.

On a bien finalement $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N) = T(\mathcal{D})$.

**Etape 3.** On montre dans cette étape que (7.23) est vraie pour tout $f = 1_E$ avec $E \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$.

En admettant que le deuxième membre de (7.23) est bien défini pour tout $E \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, on peut définir une mesure m sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ en posant

$$m(E) = \int_{0}^{\infty} \left( \int_{S^{N-1}} 1_{E}(\rho\xi) d\sigma(\xi) \right) \rho^{N-1} d\rho.$$

On a montré que $m = \lambda_N$ sur $\mathcal{D}$ (Etape 1) et que $\mathcal{D}$ engendre $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ (Etape 2). Le fait que deux mesures sur une tribu T soient égales sur une famille engendrant T est insuffisant pour dire qu'elles sont égales sur T (voir exercice 2.21), mais cela est suffisant si cette famille est une semi-algèbre (une famille C est une semi-algèbre si $\emptyset, \emptyset^c \in C$, C est stable par intersection finie, et le complémentaire de tout élément de
C est une réunion finie disjointe d'éléments de C), et si les mesures sont finies. C'est ainsi que nous allons montrer que (7.23) est vraie pour tout $f = 1_E$ avec $E \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$.

Soit $R > 0$. On note $\mathcal{D}_R = \{E \in \mathcal{D} ; E \subset B_R\}$ et $B_R = \mathcal{B}(B_R) = \{A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N) ; A \subset B_R\}$. L'étape 2 donne que la tribu engendrée (sur $B_R$) par $\mathcal{D}_R$, notée $T(\mathcal{D}_R)$, est égale à $B_R$.

On remarque tout d'abord que si $C \in \mathcal{D}_R$, $(B_R \setminus C)$ est la réunion disjointe d'au plus 3 éléments de $\mathcal{D}_R$. On en déduit, comme dans l'exercice 7.2, que l'algèbre engendrée par $\mathcal{D}_R$ sur $B_R$ (voir la définition 2.5 pour la définition d'une algèbre), notée $A_R$, est l'ensemble des réunions finies disjointes d'éléments de $\mathcal{D}_R$. Soit $E \in A_R$. Il est alors facile de montrer (par linéarité de l'intégrale et avec l'étape 1) que les deux membres de (7.23) sont bien définis et égaux si $f = 1_E$.

On note $M_R$ l'ensemble des éléments $E \in \mathcal{B}(B_R)$ t.q. les deux membres de (7.23) soient bien définis et égaux si $f = 1_E$. Une application facile du théorème de convergence monotone donne que $M_R$ est une classe monotone. (en fait, si $(E_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset M_R$ est une suite décroissante, on applique le théorème de convergence monotone à la suite $1_{B_R} - 1_{E_n}$ alors que si $(E_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset M_R$ est une suite croissante, on applique le théorème de convergence monotone à la suite $1_{E_n}$). $M_R$ est donc une classe monotone qui contient $A_R$, $M_R$ contient donc la classe monotone engendrée par $A_R$, or, le lemme sur les classes monotones (exercice 2.13) montre que cette classe monotone est égale à la tribu engendrée par $A_R$, elle même égale à la tribu engendrée par $\mathcal{D}_R$. Ceci montre que $M_R = \mathcal{B}(B_R)$ et donc que les deux membres de (7.23) sont bien définis et égaux si $f = 1_E$ avec $E \in \mathcal{B}(B_R)$.

En appliquant une nouvelle fois le théorème de convergence monotone, il est alors facile de conclure que les deux membres de (7.23) sont bien définis et égaux si $f = 1_E$ avec $E \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$.

4. La fin de la démonstration est maintenant facile (elle utilise un raisonnement souvent utilisé dans des exercices précédents). Par linéarité de l'intégrale, on montre que les deux membres de (7.23) sont bien définis et égaux si $f \in \mathcal{E}_+(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N))$, puis, par convergence monotone, si $f \in \mathcal{M}_+(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N))$. Enfin, on traite le cas $f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N)$ en décomposant $f = f^+ - f^-$.

5. Comme application simple de (7.23) pour $f \in \mathcal{M}_+(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N))$, on trouve que $x \to |x|^\alpha$ est intégrable sur $\mathbb{R}^N \setminus B_1$ si et seulement si $\alpha + N - 1 < -1$ et est intégrable sur $B_1$ si et seulement si $\alpha + N - 1 > -1$.

**Exercice 7.25 (Changement de variable W<sup>1,1</sup> croissant)** Soit $f \in \mathcal{L}_R^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ t.q. $f > 0$ p.p.. Pour $x \in \mathbb{R}$, on pose $\varphi(x) = \int_{-\infty}^x f(t)dt$. (On rappelle que, pour $a < b$, $\int_a^b f(t)dt$ désigne $\int_{[a,b]} f d\lambda$.)

1. Montrer que $\varphi \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et que $\varphi$ est strictement croissante.

**Corrigé** – Pour $x, y \in \mathbb{R}$, $x < y$, on a $\varphi(y) - \varphi(x) = \int_x^y f(t)dt$. On en déduit que $\varphi$ est continue (sur $\mathbb{R}$) et même uniformément continue en utilisant la proposition 4.50. On en déduit aussi que $\varphi$ est strictement croissante car $f > 0$ p.p..
On note $I_m$ l'image de $\varphi$ ($I_m$ est donc un intervalle dont les bornes sont 0 et $\int f d\lambda$) et on note $\psi: I_m \to \mathbb{R}$ la fonction réciproque de $\varphi$. La fonction $\psi$ est donc continue de $I_m$ dans $\mathbb{R}$ et on a $\varphi(\psi(s)) = s$ pour tout $s \in I_m$ et $\psi(\varphi(s)) = s$ pour tout $s \in \mathbb{R}$.

On rappelle que si $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ et $\mathcal{B}(I)$ est sa tribu borélienne, on a
$\mathcal{B}(I) = \mathcal{P}(I) \cap \mathcal{B}(\mathbb{R})$.

Pour $A \subset \mathbb{R}$, on note $\varphi(A) = \{\varphi(x), x \in A\}$. Pour $A \subset I_m$, on note $\psi(A) = \{\psi(x), x \in A\}$.

2. Montrer que $\{\varphi(A), A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\} = \mathcal{B}(I_m)$ et que $\{\psi(A), A \in \mathcal{B}(I_m)\} = \mathcal{B}(\mathbb{R})$.

**Corrigé** – Les fonctions $\varphi$ et $\psi$ sont continues, elles sont donc boréliennes (c'est-à-dire que l'image réciproque, par $\varphi$ ou $\psi$, d'un borélien est un borélien).

Soit $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, Comme $\varphi(A) = \psi^{-1}(A)$ et que $\psi$ est borélienne, on a donc $\varphi(A) \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. Puis, comme $\mathrm{Im}(\varphi) = I_m$ on a $\varphi(A) \subset I_m$ et donc $\varphi(A) \in \mathcal{B}(I_m)$. Réciproquement, si $C \in \mathcal{B}(I_m)$, on a $C = \varphi(\varphi^{-1}(C))$ et donc $C = \varphi(A)$ avec $A = \varphi^{-1}(C)$. Comme $\varphi$ est borélienne, on a $A = \varphi^{-1}(C) \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et donc $C \in \{\varphi(A), A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}$. On a bien montré que $\{\varphi(A), A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\} = \mathcal{B}(I_m)$.

De manière semblable on montre que $\{\psi(A), A \in \mathcal{B}(I_m)\} = \mathcal{B}(\mathbb{R})$.

3. Soit I un intervalle de $\mathbb{R}$. Montrer que $\lambda(\varphi(I)) = \int_I f d\lambda$.

**Corrigé** – Soit $a, b$ les bornes de $I$, avec $a \le b$. L'ensemble $\varphi(I)$ est alors un intervalle dont les bornes sont $\varphi(a)$ et $\varphi(b)$. On a donc, en utilisant aussi la définition de $\varphi$,

$$
\lambda(\varphi(I)) = \varphi(b) - \varphi(a) = \int_a^b f d\lambda = \int_I f d\lambda
$$

4. Soit O un ouvert de $\mathbb{R}$. Montrer que $\lambda(\varphi(O)) = \int_{\bigcup O} f d\lambda$. En déduire que, pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ t.q. :

O ouvert, $\lambda(O) \le \delta \Rightarrow \lambda(\varphi(O)) \le \varepsilon$.

$$
O \text{ ouvert, } \lambda(O) \le \delta \Rightarrow \lambda(\varphi(O)) \le \varepsilon.
$$

**Corrigé** – L’ouvert O est une union dénombrable d’intervalles ouverts disjoints deux à deux (lemme 2.43). Il existe donc une suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d’intervalles ouverts disjoints deux à deux t.q. $O = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} I_n$ (noter que certains intervalles ouverts peuvent être vides). On a alors $\varphi(O) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \varphi(I_n)$ et les $\varphi(I_n)$ sont aussi disjoints deux à deux (par injectivité de $\varphi$). On a donc, par $\sigma$-additivité de $\lambda$ et par la question précédente,

$$
\lambda(\varphi(O)) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \lambda(\varphi(I_n)) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \int_{I_n} f d\lambda = \int_{\bigcup_{n \in \mathbb{N}} I_n} f d\lambda = \int_{O} f d\lambda.
$$

On utilise maintenant la proposition 4.50. Soit $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ t.q. :

$$
A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda(A) \le \delta \Rightarrow \int_A f d\lambda \le \varepsilon \quad (7.24)
$$

On en déduit, en particulier, que si O est un ouvert et que $\lambda(O) \le \delta$, on a alors
$\int_O f d\lambda \le \varepsilon$ et donc $\lambda(\varphi(O)) \le \varepsilon$.
5. Soit $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. Montrer que $\lambda(\varphi(A)) = \int_A f d\lambda$. [On pourra, par exemple, utiliser la régularité de $\lambda$ et la question précédente.]

**Corrigé** – On commence par remarquer que $\varphi(A) \subset I_m$ et donc $\lambda(\varphi(A) \le \lambda(I_m) = \int f d\lambda < +\infty$. On a aussi $0 \le \int_A f d\lambda \le \int f d\lambda < +\infty$.

Soit $\varepsilon > 0$. On va montrer que $|\lambda(\varphi(A)) - \int_A f d\lambda| \le 2\varepsilon$. Pour cela, on utilise $\delta$ donné par (7.24). La régularité de $\lambda$ donne l'existence de $O$ ouvert contenant $A$ et $F$ fermé inclus dans $A$ t.q. $\lambda(O \setminus F) \le \delta$. On en déduit, grâce à (7.24), en remarquant que $O \setminus F$ est un ouvert,

$$0 \le \lambda(\varphi(O)) - \lambda(\varphi(A)) = \lambda(\varphi(O \setminus A)) \le \lambda(\varphi(O \setminus F)) = \int_{O \setminus F} f d\lambda \le \varepsilon.$$

On a aussi, toujours, grâce à (7.24),

$$0 \le \int_O f d\lambda - \int_A f d\lambda = \int_{O \setminus A} f d\lambda \le \varepsilon.$$

Comme la question précédente donne $\lambda(\varphi(O)) = \int_O f d\lambda$, on en déduit que

$$|\lambda(\varphi(A)) - \int_A f d\lambda| \le 2\varepsilon.$$

Il reste à remarquer que $\varepsilon > 0$ est arbitraire pour conclure que $\lambda(\varphi(A)) - \int_A f d\lambda$.

6. Soit $a, b \in \mathbb{R}$ t.q. $a < b$.

(a) Soit $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. On pose $g = 1_B$. Montrer que :

$$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} g(t) dt = \int_{a}^{b} g(\varphi(s)) f(s) ds. \quad (7.25)$$

[Prendre $A = \psi(B \cap I_m) \cap a, b$ et utiliser la question précédente.]

**Corrigé** – Puisque $g = 1_B$, on a

$$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} g(t) dt = \int_{B \cap \varphi(a), \varphi(b)} d\lambda = \lambda(B \cap)\varphi(a), \varphi(b)].$$

Comme $\mathrm{Im}(\varphi) = I_m$, on a

$$B \cap \varphi(a), \varphi(b)] = (B \cap I_m) \cap \varphi(a), \varphi(b].$$

Puis, comme $\varphi \circ \psi$ est l'identité sur $I_m$ on en déduit, avec $A = \psi(B \cap I_m) \cap a, b$,

$$(B \cap I_m) \cap \varphi(a), \varphi(b) = \varphi(\psi((B \cap I_m) \cap)\varphi(a), \varphi(b)) = \varphi(\psi(B \cap I_m) \cap \psi(\varphi(a), \varphi(b))) = \varphi(A).$$

On a donc, avec la question précédente et la définition de $A$,

$$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} g(t) dt = \lambda(\varphi(A)) = \int_{A} f d\lambda = \int_{\psi(B \cap I_m) \cap a, b} f d\lambda \\ = \int_{a}^{b} 1_{\psi(B \cap I_m)}(s) f(s) ds.$$
Pour conclure, il reste à remarquer que $s \in \psi(B \cap I_m)$ si et seulement si $\varphi(s) \in B$. On obtient bien ainsi

$$ \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} g(t)dt = \int_{a}^{b} 1_{B}(\varphi(s))f(s)ds = \int_{a}^{b} g(\varphi(s))f(s)ds. $$

(b) Montrer que (7.25) est encore vraie si $g$ appartient à $\mathcal{E}_+(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$, puis si $g$ appartient à $M_+(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$.

**Corrigé** – Si $g \in \mathcal{E}_+(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$, il existe $n \in \mathbb{N}^*$, $a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}_+^*$ et $B_1, \dots, B_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ t.q.

$$ g = \sum_{i=1}^{n} a_i 1_{B_i}. $$

Pour chaque $i$, la question précédente donne

$$ \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} g_i(t)dt = \int_{a}^{b} g_i(\varphi(s))f(s)ds. $$

On multiplie les termes de cette égalité par $a_i$, on somme sur $i$ et on obtient bien (7.25).

Soit maintenant $g \in M_+(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$. Il existe une suite $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $\mathcal{E}_+(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ t.q. $g_n \uparrow g$ (convergence simple en croissant). Par convergence monotone on peut passer à la limite quand $n \to +\infty$ dans (7.25) écrit avec $g_n$ au lieu de $g$. On obtient bien ainsi (7.25).

(c) Soit $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mesurable. On suppose que $g1_{]\varphi(a),\varphi(b]} \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. Montrer $g \circ \varphi f 1_{]a,b[} \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et que (7.25) est vraie.

**Corrigé** – On applique la question précédente à $g^+$ et $g^-$ (parties positive et négative de $g$), c'est-à-dire qu'on écrit (7.25) avec $g^+$ et $g^-$. On en déduit que les fonctions $g^{\pm 1}_{]\varphi(a),\varphi(b]}[f$ sont intégrables et donc que leur différence est intégrable. Ceci donne que $g1_{]\varphi(a),\varphi(b]}[f$ est intégrable (pour $\lambda$). Puis en faisant la différence de (7.25) avec $g^+$ avec (7.25) avec $g^-$, on obtient bien (7.25) avec $g$.

N.B. On peut montrer que $\varphi$ est dérivable p.p. et que $\varphi' = f$ p.p.. La formule (7.25) est alors la formule habituelle de changement de variable. Noter aussi que la fonction $\varphi$, restreinte à l'intervalle $]a, b[$, appartient à un espace appelé $W^{1,1}()a, b[$) (ce qui explique le titre de l'exercice).
# Chapitre 8

## Densité, séparabilité et compacité

Ce chapitre est consacré en majeure partie aux espaces $L_{\mathbb{R}}^p(\Omega, \mathcal{B}(\Omega), \lambda_N)$ où $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^N$, $N \ge 1$, $\mathcal{B}(\Omega)$ est la tribu borélienne de $\Omega$, $\lambda_N$ désigne la restriction à $\mathcal{B}(\Omega)$ de la mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ (aussi notée $\lambda_N$) et $1 \le p \le \infty$.

On notera toujours $L^p(\Omega) = L_{\mathbb{R}}^p(\Omega, \mathcal{B}(\Omega), \lambda_N)$.

### 8.1 Théorèmes de densité pour les espaces $L^p(\Omega)$

Nous avons vu au chapitre précédent que les espaces $L^p$ sont très intéressants car ils sont en particulier complets. Cependant, les éléments de ces espaces sont des objets avec lesquels il est malaisé de travailler. Pour démontrer des propriétés sur ces objets, on travaille très souvent par densité : on travaille sur des fonctions régulières, qui sont faciles à manipuler, et on passe ensuite à la limite, à condition d'avoir établi au préalable un résultat de densité, qui nous permet justement ce passage à la limite.

#### 8.1.1 Densité des fonctions $C_c(\Omega, \mathbb{R})$ dans $L^p(\Omega)$

**Définition 8.1 (Fonction à support compact)** Soient $N \ge 1$, $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^N$ et $f$ une fonction définie de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$. On dit que $f$ est à support compact (dans $\Omega$) s'il existe un compact $K \subset \Omega$ tel que $f = 0$ sur $\Omega \setminus K$.

On note souvent $\text{supp}(f)$ l'adhérence dans $\Omega$ de l'ensemble des $x \in \Omega$ t.q. $f(x) \ne 0$. On peut montrer que $f$ est à support compact si et seulement si $\text{supp}(f)$ est compact.
**Définition 8.2** ($C_c^\infty(\Omega, \mathbb{R})$) Soient $N \ge 1$, $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^N$ et $f$ une fonction définie de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$. On dit que $f \in C_c^\infty(\Omega, \mathbb{R})$ si

- $f$ est de classe $C^\infty$ (de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$).

- $f$ est à support compact (dans $\Omega$).

On note aussi $\mathcal{D}(\Omega) = C_c^\infty(\Omega, \mathbb{R})$.

**Remarque 8.3** Si $N = 1$ et $\Omega =]0, 1[$, la fonction $f$ définie par $f(x) = x(x-1)$ est de classe $C^\infty$ sur $\Omega$, mais elle n'est pas à support compact. En effet, il n'existe pas de compact inclus dans $]0, 1[$ t.q. $f$ soit nulle en dehors de ce compact.

Par contre, si $f$ est de classe $C^\infty$ sur $]0, 1[$ et s'il existe $\varepsilon > 0$ tel que $f(x) = 0$ pour $x \in]0, \varepsilon[$ et pour $x \in]1 - \varepsilon, 1[$, alors $f \in C_c^\infty(\Omega, \mathbb{R})$.

**Théorème 8.4 (Densité de $C_c(\Omega, \mathbb{R})$ dans $L^p(\Omega)$)** Soient $N \ge 1$, $p \in [1, +\infty[$ et $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^N$ (par exemple, $\Omega = \mathbb{R}^N$). Alors :

$C_c(\Omega, \mathbb{R})$ est dense dans $L^p(\Omega)$ c'est-à-dire :

$$ \forall f \in L^p(\Omega), \forall \varepsilon > 0, \exists \varphi \in C_c(\Omega, \mathbb{R}) \text{ t.q. } \|f - \varphi\|_p \le \varepsilon. $$

**DÉMONSTRATION** – La démonstration de ce résultat est faite dans l'exercice 6.4 pour le cas $\Omega = \mathbb{R}$. La généralisation donnée ici se démontre de manière très voisine (grâce au résultat de régularité, proposition 7.17), voir l'exercice 8.1. ■

Une conséquence importante du théorème 8.4 est la continuité en moyenne que l'on donne maintenant.

**Théorème 8.5 (Continuité en moyenne)** Soient $N \ge 1$, $p \in [1, +\infty[$, et $f \in L^p(\mathbb{R}^N)$. Alors, $\|f(\cdot + h) - f\|_p \to 0$ quand $h \to 0$, c'est-à-dire :

$$ \int |f(x + h) - f(x)|^p dx \to 0, \text{ quand } h \to 0. $$

La démonstration est ici encore très similaire à la démonstration vue pour $N = 1$ dans l'exercice 6.4, elle est proposée dans l'exercice 8.2.
**Remarque 8.6 (Attention à $L^\infty$!)** Les deux résultats précédents sont faux dans $L^\infty$. Considérer par exemple le cas $N = 1$ et la fonction $f = 1_{\mathbb{R}_+}$ (qui appartient à $L^\infty(\mathbb{R})$, en confondant $f$ avec sa classe). On peut montrer que (voir l'exercice 8.3) :

$$ \forall \varphi \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \quad \|f - \varphi\|_{\infty} \ge \frac{1}{2}, $$

$$ \forall h > 0, \quad \|f(\cdot + h) - f\|_{\infty} = 1. $$

### 8.1.2 Régularisation par convolution

Si $a \in \mathbb{R}_+$, on note $B_a$ la boule fermée de centre 0 et de rayon $a$ de $\mathbb{R}^N$.

**Définition 8.7 (L¹ᵢₐ**et** L**) Soient $N \ge 1$ et $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^N$. Soit $f : \Omega \to \mathbb{R}$. On définit que $f$ est localement intégrable sur $\Omega$ si $f1_K \in L^1(\Omega)$ (au sens "il existe $g \in L^1(\Omega)$ t.q. $f = g$ p.p. sur $K$") pour tout compact $K \in \Omega$.

On note $L_{\text{loc}}^1(\Omega) (= L_{\text{loc}}^1(\Omega, \mathcal{B}(\Omega), \lambda_N))$ l'ensemble des fonctions localement intégrables sur $\Omega$.

**Remarque 8.8** Soient $N \ge 1$ et $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^N$. Pour tout $p$ tel que $1 \le p \le +\infty$, on a $L^p(\Omega) \subset L_{\text{loc}}^1(\Omega)$ (ceci est une conséquence immédiate du résultat d'inclusion entre les espaces $L^p$, proposition 6.25).

**Définition 8.9 (Famille régularisante)** Soit $N \ge 1$ et soit $\rho \in C_c^\infty(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ t.q. $\rho \ge 0$, $\{x \in \mathbb{R}^N ; \rho(x) \ne 0\} \subset B_1$ et $\int \rho(x)dx = 1$. On appelle famille régularisante (ou famille de noyaux régularisants) la famille de fonctions $(\rho_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \subset C_c^\infty(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ définie par : $\rho_n(x) = n^N \rho(nx), x \in \mathbb{R}^N, n \in \mathbb{N}^*$.

**Remarque 8.10** Dans la définition précédente, il est facile de vérifier que

$$ \{x \in \mathbb{R}^N ; \rho_n(x) \neq 0\} \subset B_{\frac{1}{n}} \text{ et } \int \rho_n(x)dx = 1. $$

Notons qu'il existe bien des fonctions vérifiant les propriétés demandées pour $\rho$ dans la définition 8.9. Pour $N = 1$, par exemple, il suffit de prendre

$$ \rho(x) = \begin{cases} \alpha \exp(\frac{1}{x^2-1}) & \text{si } x \in ]-1, 1[, \\ 0 & \text{si } x \notin ]-1, 1[, \end{cases} $$

avec $\alpha > 0$ choisi pour avoir $\int \rho(x)dx = 1$.
**Lemme 8.11 (Régularisation par convolution)** Soient $N \ge 1$, $(\rho_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une famille régularisante et $f \in L_{\text{loc}}^1(\mathbb{R}^N)$. Alors, $f * \rho_n$ est définie partout sur $\mathbb{R}^N$ et $f * \rho_n \in C^\infty(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$. De plus, s'il existe $a > 0$ t.q. $f = 0$ p.p. sur $B_a^c$, on a alors $f * \rho_n = 0$ sur $B_{a+\frac{1}{n}}^c$ ($f * \rho_n$ est donc à support compact).

**DÉMONSTRATION –** La démonstration du fait que $f * \rho_n \in C^\infty(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ est donnée dans l'exercice 7.19. La seconde partie est donnée dans les exercices 7.19 et 7.18. L'indication de la seconde question de l'exercice 7.18 donne le support indiqué ici pour $f * \rho_n$.

**Proposition 8.12** *Soit $N \ge 1$, $(\rho_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une famille régularisante. Soient $p \in [1, +\infty[$ et $f \in L^p(\mathbb{R}^N)$. Alors,*

$$f * \rho_n \to f \text{ dans } L^p(\mathbb{R}^N) \text{ lorsque } n \to +\infty.$$

**DÉMONSTRATION –** La démonstration est une conséquence du théorème de continuité en moyenne (théorème 8.5). On choisit un représentant de $f$, encore noté $f$. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $f_n = f * \rho_n$. Pour $x \in \mathbb{R}^N$, on a :

$$ \begin{aligned} f_n(x) - f(x) &= \int f(x-y)\rho_n(y)dy - f(x)\int \rho_n(y))dy \\ &= \int (f(x-y) - f(x))\rho_n(y)dy, \end{aligned} $$

et donc :

$$|f_n(x) - f(x)|^p \le \left( \int |f(x-y) - f(x)| \rho_n(y) dy \right)^p.$$

Pour $p > 1$, on utilise l'inégalité de Höder en écrivant $\rho_n = \rho_n^{\frac{1}{p}} \rho_n^{\frac{1}{q}}$ (avec $q = p/(p-1)$) et on obtient (ce qui est aussi immédiatement vrai pour $p = 1$) :

$$|f_n(x) - f(x)|^p \le \int |f(x-y) - f(x)|^p \rho_n(y) dy \left( \int \rho_n(y) dy \right)^{\frac{p}{q}} \quad (8.1)$$

$$\le \int |f(x-y) - f(x)|^p \rho_n(y) dy. \quad (8.2)$$

On remarque maintenant que l'application $(x, y)^t \mapsto (f(y) - f(x))$ est mesurable de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ (munis de leurs tribus boréliennes respectives) ; ceci est une conséquence (par exemple) de la proposition 7.11 et de la mesurabilité de la somme d'applications mesurables. L'application $(x, y)^t \mapsto (x, x-y)$ est mesurable de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ (car continue). Par composition, l'application $(x, y)^t \mapsto (f(x - y) - f(x))$ est donc mesurable de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$. On en déduit, en utilisant une nouvelle fois la mesurabilité de la composée d'applications mesurables (et du produit d'applications mesurables), que $(x, y)^t \mapsto |f(x - y) - f(x)|^p \rho_n(y)$ est mesurable (positive) de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$. On peut donc appliquer le théorème de Fubini-Tonelli pour déduire de (8.2) que :
$$
\begin{align}
\int |f_n(x) - f(x)|^p dx &\le \int \left( \int |f(x-y) - f(x)|^p \rho_n(y) dy \right) dx \nonumber \\
&= \int \left( \int |f(x-y) - f(x)|^p \rho_n(y) dx \right) dy \tag{8.3} \\
&= \int_{\mathbb{R}_{\frac{1}{n}}^p} \|f(\cdot - y) - f\|_p^p \rho_n(y) dy. \nonumber
\end{align}
$$

On utilise maintenant le théorème 8.5. Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $\eta > 0$ t.q. :

$$
h \in \mathbb{R}^N, |h| \le \eta \Rightarrow \|f(\cdot - h) - f\|_p \le \varepsilon.
$$

On déduit donc de (8.3) que :

$$
\frac{1}{n} \le \eta \Rightarrow \|f_n - f\|_p \le \varepsilon.
$$

Ce qui termine la démonstration.

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

Les deux résultats précédents permettent de démontrer le théorème de densité suivant :

**Théorème 8.13 (Densité de $C_c^\infty(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ dans $L^p(\mathbb{R}^N)$)** Soient $N \ge 1$ et $p \in [1, +\infty[$, $C_c^\infty(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ est dense dans $L^p(\mathbb{R}^N)$.

DÉMONSTRATION – La démonstration proposée ici utilise une méthode dite de
troncature et régularisation.

Pour $f \in L^p(\mathbb{R}^N)$, on dit que $f$ est à support compact s'il existe $K$ compact de $\mathbb{R}^N$ t.q.
$f = 0$ p.p. sur $K^c$. On note A l'ensemble des fonctions $f \in L^p(\mathbb{R}^N)$ à support compact.

**Etape 1.** On montre dans cette étape que A est dense dans $L^p(\mathbb{R}^N)$. Soit $f \in L^p(\mathbb{R}^N)$.
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $f_n = f 1_{B_n}$. Comme $f_n \to f$ p.p. quand $n \to +\infty$ et $|f_n| \le |f|$ p.p.
(pour tout $n \in \mathbb{N}$), on peut appliquer le théorème de convergence dominée dans $L^p$
(on utilise ici le fait que $p < \infty$). Il donne que $f_n \to f$ dans $L^p(\mathbb{R}^N)$ quand $n \to +\infty$.
Comme $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset A$, on a bien montré la densité de A dans $L^p(\mathbb{R}^N)$.

**Etape 2.** Soit maintenant $f \in A$. Pour conclure la démonstration, il suffit de montrer qu'il existe une suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \subset C_c^\infty(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ t.q. $f_n \to f$ dans $L^p(\mathbb{R}^N)$ quand $n \to +\infty$. Or cette suite est donnée avec $f_n = f * \rho_n$ où $(\rho_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est une famille régularisante. En effet, le lemme 8.11 donne que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \subset C_c^\infty(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ et la proposition 8.12 donne que $f_n \to f$ dans $L^p(\mathbb{R}^N)$ quand $n \to +\infty$. ■

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

On rappelle (remarque 8.6) que $C_c(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ (et donc aussi $C_c^\infty(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$) n'est pas
dense dans $L^\infty(\mathbb{R}^N)$. Il est intéressant aussi de remarquer que le théorème précédent
(théorème 8.13) est encore vrai si on remplace la mesure de Lebesgue par une mesure
sur les boréliens de $\mathbb{R}^N$ ($N \ge 1$), finie sur les compacts. Toutefois la démonstration
donnée ici doit alors être modifiée. Ceci est fait dans l'exercice 7.14 pour $p = 1$ (et la
généralisation pour traiter tous les cas $p \in [1, \infty[$ est assez simple).
### 8.1.3 Densité de $C_c^\infty(\Omega, \mathbb{R})$ dans $L^p(\Omega)$

On a aussi un résultat de densité pour les fonctions définies sur un ouvert de $\mathbb{R}^N$.

**Théorème 8.14 (Densité de $D(\Omega)$ dans $L^p(\Omega)$)** Soient $N \ge 1$, $p \in [1, +\infty[$ et $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^N$. Alors, $D(\Omega) = C_c^\infty(\Omega, \mathbb{R})$ est dense dans $L^p(\Omega)$.

DÉMONSTRATION – Pour $\Omega \neq \mathbb{R}^N$, on pose $K_n = \{x \in \mathbb{R}^N ; d(x, \Omega^c) \geq \frac{1}{n}\} \cap B_n$ si $n \in \mathbb{N}^*$.

Soient $f \in L^p(\Omega)$ et $\varepsilon > 0$. On remarque d'abord (en utilisant, comme pour le théorème précédent, le théorème de convergence dominée dans $L^p$) que $f1_{K_n} \to f$ dans $L^p(\Omega)$ quand $n \to +\infty$. On peut donc choisir $n_0 \in \mathbb{N}^*$ t.q. $\|f - f_{n_0}\|_p \le \varepsilon$.

On pose maintenant $g = f_{n_0}$. On peut considérer que $g \in L^p(\mathbb{R}^N)$ et on a $g = 0$ p.p. sur $K^c$ avec $K = K_{n_0}$. En prenant une famille régularisante, $(\rho_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$, le lemme 8.11 et la proposition 8.12 donnent que $g * \rho_n \to g$ dans $L^p(\mathbb{R}^N)$ quand $n \to +\infty$ et $(g * \rho_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \subset C_c^\infty(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$. Il suffit alors de remarquer que la restriction de $g * \rho_n$ à $\Omega$ est à support compact dans $\Omega$ dès que $n > n_0$ pour conclure la démonstration.

■

Ici aussi, le théorème 8.14 est encore vrai si on remplace la mesure de Lebesgue par une mesure sur les boréliens de $\Omega$, finie sur les compacts. La démonstration donnée ici doit alors être modifiée (voir l'exercice 7.14).

## 8.2 Séparabilité de $L^p(\Omega)$

**Proposition 8.15** Soient $N \ge 1$, $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^N$ et $p$ tel que $1 \le p < +\infty$. Alors, l'espace $L^p(\Omega)$ est séparable.

La démonstration fait l'objet de l'exercice 8.4 (et de 6.5 pour le car $\Omega = \mathbb{R}$).

Les espaces du type $L^\infty$ ne sont, en général, pas séparables. L'exercice 8.5 montre que, par exemple, $L^\infty(\mathbb{R}, T, \lambda)$ n'est pas séparable. Une adaptation simple de la démonstration de l'exercice 8.5 montre aussi que l'espace $C_b(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ (ensemble des fonctions continues bornées de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$), muni de la norme de la convergence uniforme, n'est pas séparable. Par contre l'espace $C_0(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ (ensemble des fonctions continues de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$ tendant vers 0 quand le norme de la variable tend vers l'infini), muni de la même norme, est séparable. Ceci est une conséquence des deux premières questions de l'exercice 8.4 (car $C_c$ est dense dans $C_0$).
## 8.3 Compacité dans les espaces $L^p(\Omega)$

Soit E un espace vectoriel normé et A une partie de E; on rappelle que A est (séquen-
tiellement) compact si de toute suite d'éléments de A on peut extraire une sous-suite
qui converge. Notons que cette notion de compacité séquentielle est équivalente à
la notion de compacité de Borel -Lebesgue (i.e. de tout recouvrement de A par des
ouverts on peut extraire un sous-recouvrement fini) dès que E est un espace métrique
(ce qui est notre cas, car E est un espace vectoriel normé).

Une partie A de E est dite relativement compacte si son adhérence est compacte (ou encore s'il existe un compact K de E tel que $A \subset K$).

Dans le cas où E est un espace de dimension finie, A est compacte si et seulement si A est fermée bornée, et A est relativement compacte si et seulement si A est bornée.

Ces deux caractérisations sont fausses si $dim(E) = +\infty$. On sait par un théorème de Riesz (différent des deux théorèmes de Riesz donnés dans ce livre !) que la boule unité fermée d'un e.v.n. E est compacte si et seulement si la dimension de E est finie.

On s'intéresse ici au cas $E = L^p(\Omega)$ ($\Omega$ ouvert non vide de $\mathbb{R}^N$), espace vectoriel normé de dimension infinie, et on voudrait caractériser les parties relativement compactes ; en particulier, étant donnée une suite de fonctions de $L^p(\Omega)$, sous quelles hypothèses peut-on en extraire une sous-suite qui converge ? Une condition nécessaire évidente est que la partie considérée soit bornée (une partie relativement compacte est toujours bornée). La deuxième condition est, pour $1 \le p < +\infty$ et $\Omega$ bornée, que la partie soit équicontinue en moyenne, au sens précisé dans le théorème suivant :

**Théorème 8.16 (Kolmogorov)** Soit $\Omega \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ et $1 \le p < +\infty$; on considère ici l'espace mesuré $(E, T, m) = (\Omega, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$. Soit $A \subset L^p(\Omega)$; A est relativement compacte si et seulement si :

1. Il existe $C \in \mathbb{R}$ t.q. $\|f\|_p \le C$ pour tout $f \in A$,

2. la partie A est équicontinue en moyenne, c'est-à-dire que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ t.q. :

$$ \text{pour tout } f \in A, \quad |h| \le \delta \Rightarrow \|\tilde{f}(\cdot + h) - \tilde{f}\|_p \le \varepsilon, $$

3. la partie A est équi-petite à l'infini, c'est-à-dire que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $a \in \mathbb{R}_+$, t.q.

$$ \int_{B_a^c} |\tilde{f}|^p dm \le \varepsilon \text{ pour tout } f \in A, $$

où $\tilde{f}$ est la prolongée de f par 0 en dehors de $\Omega$.
**DÉMONSTRATION** – La démonstration de ce théorème se fait en utilisant la densité de l'espace de fonctions $C_c(\Omega, \mathbb{R})$ dans $L^p(\Omega)$ et le théorème d'Ascoli que nous rappelons ci après (théorème 8.17). Elle est laissée à titre d'exercice, le cas $p = 1$ et $\Omega = ]0, 1[$ est donné dans l'exercice 8.8. ■

Dans le cas où $\Omega$ est un intervalle borné de $\mathbb{R}$, le théorème 8.16 peut s'énoncer plus simplement sans introduire $\tilde{f}$. Ceci est développé dans l'exercice 8.9.

**Théorème 8.17 (Ascoli)** Soient $K$ une partie compacte de $\mathbb{R}$ et $A$ une partie de l'espace vectoriel $C(K, \mathbb{R})$ muni de la norme uniforme ; $A$ est relativement compacte si et seulement si $A$ est bornée et uniformément équicontinue, i.e.

$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 ; \forall x, y \in K, |x - y| \le \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \le \varepsilon, \forall f \in A.$

**Corollaire 8.18** Soient $\Omega \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, $1 \le p < +\infty$ et $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^p(\Omega)$. On suppose que la famille $A = \{f_n, n \in \mathbb{N}\}$ vérifie les conditions 1, 2 et 3 du théorème de Kolmogorov. On peut alors extraire de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une sous-suite, notée $(f_{\phi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$, et il existe $f \in L^p(\Omega)$ t.q. $f_{\phi(n)} \to f$ dans $L^p(\Omega)$ quand $n \to +\infty$.

## 8.4 Compacité faible-*

On a introduit au chapitre 6 la convergence faible-* dans le dual d'un espace de Banach. On a une propriété de compacité très utile lorsque l'espace de Banach considéré est séparable :

**Proposition 8.19 (Compacité faible-* séq. des bornés de E' si E est séparable)**

Soit $F$ un espace de Banach séparable et $F'$ son dual topologique. Soit $(T_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite bornée de $F'$. Alors, il existe une sous-suite $(T_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ et $T \in F'$ t.q. la sous-suite $(T_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers $T$*-faiblement dans $F'$ (i.e. $T_{n_k}(u) \to T(u)$ (dans $\mathbb{R}$) pour tout élément $u$ de $F'$)

**DÉMONSTRATION** – La démonstration va se faire en trois étapes. L'étape principale est probablement la deuxième étape (qui décrit le procédé diagonal).

On commence par remarquer que, comme $F$ est séparable, il existe une partie $A$ de $F$, dénombrable et dense. Comme $A$ est dénombrable, il existe uns suite $(f_p)_{p \in \mathbb{N}^*}$ t.q. $A = \{f_p, p \in \mathbb{N}^*\}$. On note aussi $C = \sup_{n \in \mathbb{N}} \|T_n\|_{F'}$ (on a $C < +\infty$ car la suite $(T_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $F'$).

**Etaple 1.** Dans cette première étape, on montre, par récurrence, l'existence d'une suite $d$ applications strictement croissantes $(\psi_p)_{p \in \mathbb{N}^*}$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ t.q., pour tout $p \in \mathbb{N}^*$, la suite $(T_{\psi_1 \circ \dots \circ \psi_p(n)}(f_p))_{n \in \mathbb{N}}$ converge dans $\mathbb{R}$.
L'existence de $\psi_1$ découle du fait que la suite $(T_n(f_1))_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $\mathbb{R}$ (en effet, on a $|T_n(f_1)| \le C\|f_1\|_{\mathbb{F}}$). Puis, pour $p \ge 1$, en supposant $\psi_1, \dots, \psi_p$ construits, on utilise le fait que la suite $(T_{\psi_1 \circ \dots \circ \psi_p(n)}(f_{p+1}))_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $\mathbb{R}$. On obtient l'existence d'une application strictement croissante $\psi_{p+1}$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ t.q. la suite $(T_{\psi_1 \circ \dots \circ \psi_{p+1}}(n)(f_{p+1}))_{n \in \mathbb{N}}$ converge dans $\mathbb{R}$.

**Etape 2 (procédé diagonal).** On note $\varphi_n$ l'application $\psi_1 \circ \dots \circ \psi_n$. La deuxième étape consiste à définir $\psi$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ en posant

$$ \psi(n) = \varphi_n(n), \text{ pour } n \in \mathbb{N}. $$

La fonction $\psi$ est strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$. On va montrer que, pour tout $p \in \mathbb{N}^*$, la suite $(T_{\psi(n)}(f_p))_{n \in \mathbb{N}}$ converge dans $\mathbb{R}$. En effet, soit $p \in \mathbb{N}^*$. Pour $n > p$, on a :

$$ \psi(n) = \psi_1 \circ \dots \circ \psi_p (\psi_{p+1} \circ \dots \circ \psi_n(n)) = \varphi_p (\psi_{p+1} \circ \dots \circ \psi_n(n)). $$

La suite $(T_{\psi(n)}(f_p))_{n \in \mathbb{N}}$ est donc extraite de la suite $(T_{\varphi_p(n)}(f_p))_{n \in \mathbb{N}}$ à partir de $n = p$. Ceci prouve que $(T_{\psi(n)}(f_p))_{n \in \mathbb{N}}$ converge dans $\mathbb{R}$.

**Etape 3.** On utilise maintenant la densité de $\mathbb{A}$ dans $\mathbb{F}$. L'étape 2 nous donne, pour tout $g \in \mathbb{A}$, la convergence dans $\mathbb{R}$ de la suite $(T_{\psi(n)}(g))_{n \in \mathbb{N}}$. La densité de $\mathbb{A}$ dans $\mathbb{F}$ et le fait que la suite $(T_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $\mathbb{F}'$ nous permet d'en déduire que la suite $(T_{\psi(n)}(f))_{n \in \mathbb{N}}$ converge dans $\mathbb{R}$ pour tout $f \in \mathbb{F}$. En effet, soit $f \in \mathbb{F}$. Pour tout $g \in \mathbb{A}$ et tout $m, n \in \mathbb{N}$, on a

$$ |T_{\psi(n)}(f) - T_{\psi(m)}(f)| \le 2C\|f - g\|_{\mathbb{F}} + |T_{\psi(n)}(g) - T_{\psi(m)}(g)|. $$

On en déduit facilement que la suite $(T_{\psi(n)}(f))_{n \in \mathbb{N}}$ est de Cauchy dans $\mathbb{R}$ et donc est convergente.

Pour tout $f \in \mathbb{F}$, on note $T(f)$ la limite (dans $\mathbb{R}$) de la suite $(T_{\psi(n)}(f))_{n \in \mathbb{N}}$. Comme les applications $T_n$ sont linéaires, l'application $T$ est aussi linéaire (de $\mathbb{F}$ dans $\mathbb{R}$). Puis, comme $\|T_n\|_{\mathbb{F}'} \le C$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a aussi $|T(f)| \le C\|f\|_{\mathbb{F}}$ pour tout $f \in \mathbb{F}$. On a donc $T \in \mathbb{F}'$ et, finalement, $T_{\psi(n)} \to T$ *-faiblement dans $\mathbb{F}'$, quand $n \to +\infty$. Ce qui termine la démonstration. ■

La proposition 8.19 s'applique aux suites bornées de $L^\infty(\Omega)$. En effet, grâce au théorème 6.70 et à la proposition 8.15, l'espace $L^\infty(\Omega)$ peut être identifié au dual de l'espace $L^1(\Omega)$, qui est un espace séparable $(\Omega$ est ici un borélien de $\mathbb{R}^N)$. On a donc, par exemple, le résultat suivant :

**Proposition 8.20 (Compacité faible-* séquentielle des bornés de $L^\infty$)** Soit $d \ge 1$. On note $L^\infty$ l'espace $L^\infty(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \lambda_d)$. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite bornée de $L^\infty$, i.e. telle qu'il existe $M \in \mathbb{R}_+$ t.q. $\|u_n\|_\infty \le M$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Alors, il existe une sous-suite, encore notée $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, et il existe $u \in L^\infty$ t.q. $u_n \to u$ *-faiblement dans $L^\infty$.

Dans le cas $p \in ]1, +\infty[$, on peut écrire une propriété de compacité faible :

**Proposition 8.21 (Compacité faible séquentielle des bornés de $L^p$)** Soit $d \ge 1$ et soit $p \in ]1, +\infty[$. On note $L^p$ l'espace $L^p(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \lambda_d)$. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite
bornée de $L^p$, i.e. telle qu'il existe $M \in \mathbb{R}_+$ t.q. $\|u_n\|_p \le M$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Alors, il existe une sous-suite, encore notée $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, et il existe $u \in L^p$ t.q. $u_n \to u$ faiblement dans $L^p$, c'est-à-dire t.q. $\int (u_n v - uv) dm \to 0$ pour tout $v \in L^q$, où $q = \frac{p}{p-1}$.

On donne maintenant une conséquence, très utile pour les probabilités, de la proposition 8.19. Cette conséquence a déjà été évoquée dans la remarque 6.95.

**Proposition 8.22 (Convergence étroite d'une suite tendue)** Soit $d \ge 1$ et $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de mesures finies sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$. On suppose que $\sup_{n \in \mathbb{N}} m_n(\mathbb{R}^d) < +\infty$. Il existe alors une sous-suite, encore notée $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$, et une mesure finie sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ notée $m$ t.q.

$$ \int \varphi dm_n \to \int \varphi dm \text{ pour tout } \varphi \in C_0(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}). $$

De plus, si la suite $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est tendue, on a alors $m_n \to m$ étroitement. (Ce dernier résultat est aussi vrai si on remplace l'hypothèse "$(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est tendue" par "$m_n(\mathbb{R}^d) \to m(\mathbb{R}^d)$").

**DÉMONSTRATION –** On rappelle que $C_0(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}) = \{\varphi \in C(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}), \varphi(x) \to 0 \text{ quand } |x| \to \infty\}$. On munit $C_0(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ de la norme de la convergence uniforme, c'est-à-dire $\|\varphi\|_u = \sup\{|\varphi(x)|, x \in \mathbb{R}^d\}$. L'espace $C_0(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$, muni de cette norme, est un espace de Banach séparable (alors que l'espace $C_b(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ muni de cette même norme n'est pas séparable).

On note E l'espace $C_0(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ (muni de la norme de la convergence uniforme). Pour $n \in \mathbb{N}$ et $\varphi \in E$, on pose $L_n(\varphi) = \int \varphi dm_n$. La suite $(L_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est donc bornée dans $E'$, car on a

$$ \|L_n\|_{E'} \le m_n(\mathbb{R}^d). $$

Il existe donc une sous-suite de la suite $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$, encore notée $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$, et il existe $L \in E'$ t.q.

$$ \int \varphi dm_n \to L(\varphi) \text{ pour tout } \varphi \in E. $$

L'application $L$ est donc une application linéaire positive (c'est-à-dire $\varphi \ge 0 \Rightarrow L(\varphi) \ge 0$) de $E$ dans $\mathbb{R}$. D'après le chapitre 5, il existe alors une mesure finie $m$ sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$ t.q. $L(\varphi) = \int \varphi dm$ pour tout $\varphi \in E$ (en fait le théorème 5.12 donne ce résultat pour $d=1$, la démonstration est semblable pour $d > 1$). Ceci donne bien le résultat annoncé, c'est-à-dire

$$ \int \varphi dm_n \to \int \varphi dm \text{ pour tout } \varphi \in C_0(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}). $$

Il est intéressant de noter que si $m_n$ est pour tout $n \in \mathbb{N}$ une probabilité, la mesure $m$ n'est pas forcément une probabilité et la suite $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ peut ne pas converger étroitement vers $m$. (Un exemple pour $d=1$ consiste à prendre $m_n = \delta_n$ et $m = 0$.)

Toutefois, si on suppose que la suite $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est tendue (ou si on suppose que $m_n(\mathbb{R}^d) \to m(\mathbb{R})$), la proposition 6.94 (ou la proposition 6.87 pour le cas $m_n(\mathbb{R}^d) \to$
$m(\mathbb{R})$ donne la convergence étroite de $m_n$ vers $m$, c'est-à-dire

$$ \int \varphi dm_n \rightarrow \int \varphi dm \text{ pour tout } \varphi \in C_b(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}). $$

■

Du point de vue des probabilités, la conséquence de la proposition 8.22 est que si $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de v.a.r. dont la suite des lois est tendue, il existe alors une v.a.r. X et une sous-suite de la suite $X_n$ telle que cette sous-suite converge en loi vers X (cf. proposition 9.21 pour le cas de vecteurs aléatoires).

## 8.5 Exercices

**Exercice 8.1 (Densité de $C_c(\Omega, \mathbb{R})$ dans $L^p(\Omega)$)** Soient, $N \ge 1$, $p \in [1, +\infty[$ et $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^N$. Montrer que $C_c(\Omega, \mathbb{R})$ est dense dans $L^p(\Omega)$, c'est-à-dire que pour tout $f \in L^p(\Omega)$ et pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\varphi \in C_c(\Omega, \mathbb{R})$ t.q. $\|f - \varphi\|_p \le \varepsilon$. [Reprendre la démonstration de l'exercice 6.4 qui traite le cas $\Omega = \mathbb{R}$. Utiliser le résultat de régularité, proposition 7.17.]

**Exercice 8.2 (Continuité en moyenne)** Soient $N \ge 1$, $p \in [1, +\infty[$ et $f \in L^p(\mathbb{R}^N)$. Montrer que $\|f(\cdot + h) - f\|_p \to 0$ quand $h \to 0$. [Reprendre la démonstration vue pour $N = 1$ dans l'exercice 6.4]

**Exercice 8.3 (Non densité de $C_c$ dans $L^\infty$)** On considère $f = 1_{\mathbb{R}_+}$ (qui appartient à $L^\infty(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$, en confondant $f$ avec sa classe).

1. Montrer que $\|f - \varphi\|_\infty \ge \frac{1}{2}$ pour tout $\varphi \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

**Corrigé –** Soit $\varphi \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. On va montrer que $\|f - \varphi\|_\infty \ge \frac{1}{2} - \varepsilon$ pour tout $0 < \varepsilon < \frac{1}{2}$ (ce qui donne bien finalement $\|f - \varphi\|_\infty \ge \frac{1}{2}$). fdecc
Soit donc $0 < \varepsilon < \frac{1}{2}$.

On suppose tout d'abord que $\varphi(0) \ge \frac{1}{2}$. Il existe alors, par continuité de $\varphi$, $\delta > 0$ t.q. $\varphi(x) \ge \frac{1}{2} - \varepsilon$ pour tout $x \in [-\delta, 0]$. On a donc $\varphi(x) - f(x) \ge \frac{1}{2} - \varepsilon$ pour presque tout $x \in [-\delta, 0]$, ce qui prouve que $\lambda(\{|\varphi - f| \ge \frac{1}{2} - \varepsilon\}) \ge \lambda([-\delta, 0]) = \delta > 0$. On a donc $\|f - \varphi\|_\infty \ge \frac{1}{2} - \varepsilon$.

On suppose maintenant que $\varphi(0) \le \frac{1}{2}$. De manière analogue, il existe $\delta > 0$ t.q. $\varphi(x) \le \frac{1}{2} + \varepsilon$ pour tout $x \in [0, \delta]$. On a alors $f(x) - \varphi(x) \ge \frac{1}{2} - \varepsilon$ pour presque tout $x \in [0, \delta]$, ce qui prouve que $\lambda(\{|f - \varphi| \ge \frac{1}{2} - \varepsilon\}) \ge \lambda([0, \delta]) = \delta > 0$. On a donc aussi $\|f - \varphi\|_\infty \ge \frac{1}{2} - \varepsilon$.

Comme $\varepsilon > 0$ est arbitrairement petit, on a bien montré que $\|f - \varphi\|_\infty \ge \frac{1}{2}$.

2. Montrer que $\|f(\cdot + h) - f\|_\infty = 1$ pour tout $h \in \mathbb{R}^*$.
**Corrigé** – Pour $h > 0$, on a $|f(\cdot + h) - f(\cdot)| = 1$ p.p. sur $[-h, 0]$ et donc $\lambda(|f(\cdot + h) - f(\cdot)| \ge 1)) \ge \lambda([-h, 0]) = h > 0$, ce qui prouve que $\|f(\cdot + h) - f\|_{\infty} \ge 1$. Comme il est clair que $|f(\cdot + h) - f(\cdot)| \le 1$ p.p., on a finalement $\|f(\cdot + h) - f\|_{\infty} = 1$.

Pour $h < 0$, on a $|f(\cdot + h) - f(\cdot)|_{\infty} = 1$ p.p. sur $[0, -h]$ et donc $\lambda(|f(\cdot + h) - f(\cdot)| \ge 1)) \ge \lambda([0, -h]) = -h > 0$, ce qui prouve que $\|f(\cdot + h) - f\|_{\infty} \ge 1$. Comme il est clair aussi que $|f(\cdot + h) - f(\cdot)| \le 1$ p.p., on a finalement $\|f(\cdot + h) - f\|_{\infty} = 1$.

**Exercice 8.4 (Séparabilité de L<sup>p</sup>(Ω), 1 ≤ p < +∞)** Soient $N \ge 1$, Ω un ouvert de $\mathbb{R}^N$ et $p$ tel que $1 \le p < +\infty$. Montrer que l'espace L<sup>p</sup>(Ω) est séparable.

On pourra se limiter au cas $\Omega = \mathbb{R}$ et raisonner ainsi : Soit $n \in \mathbb{N}^*$, pour $q = 0, 1, \dots, 2n^2 - 1$, on note : $I_q^n = [-n + \frac{q}{n}, -n + \frac{q+1}{n}]$. On pose : $A_n = \{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; f|_{I_q^n} = r$, où $r \in \mathbb{Q}$, et $f = 0$ sur $[-n, n]^c$. On pose $A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}^*} A_n$.

1. Montrer que A est dénombrable.

**Corrigé** – Soit $n \in \mathbb{N}^*$. A $f \in A_n$, on associe l'ensemble des valeurs prises par $f$ sur les intervalles $I_q^n$, $q = 0, 1, \dots, 2n^2 - 1$. On construit ainsi une bijection de $A_n$ dans $\mathbb{Q}^{2n^2}$, ce qui prouve que $A_n$ est dénombrable car $\mathbb{Q}^{2n^2}$ est dénombrable.

On en déduit que A est dénombrable comme union dénombrable d'ensembles dénombrables.

2. Montrer que, pour tout $f \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $g \in A$ t.q. $\|f - g\|_p \le \varepsilon$.

**Corrigé** – Soit $f \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et soit $\varepsilon > 0$.

Comme $f$ est à support compact, il existe $a \in \mathbb{R}_+$ t.q. $f = 0$ sur $[-a, a]^c$.

Comme $f$ est uniformément continue, il existe $\delta > 0$ t.q. $|x - y| \le \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \le \varepsilon$.

On choisit maintenant $n \in \mathbb{N}^*$ t.q. $n \ge a$ et $1/n \le \delta$. On construit alors $g \in A_n$ de la manière suivante :

$$g(x) = 0, \text{ si } x \in [-n, n]^c,$$

$$g(x) = r_q, \text{ si } x \in [-n + \frac{q}{n}, -n + \frac{q+1}{n}], \quad q \in \{0, 1, \dots, 2n^2 - 1\},$$

avec $r_q \in \mathbb{Q}$ t.q. $|f(-n + \frac{q}{n}) - r_q| \le \varepsilon$ et $r_q = 0$ si $f(-n + \frac{q}{n}) = 0$.

On a $g \in A$ (car $g \in A_n$), $|g(x) - f(x)| \le 2\varepsilon$ pour tout $x$ et $|g(x) - f(x)| = 0$ si $x \in [-a - 1, a + 1]^c$. On en déduit :

$$\int |g(x) - f(x)|^p dx \le 2(a + 1)2^p \varepsilon^p.$$

On peut donc trouver $g \in A$ arbitrairement proche de $f$ en norme L<sup>p</sup>.

3. Conclure par la densité de $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ dans L<sup>p</sup>(\mathbb{R}, ) (théorème 8.4).

**Corrigé** – Soit $f \in L^p(\mathbb{R})$ et soit $\varepsilon > 0$. Par le théorème 8.4, il existe $g \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ t.q. $\|g - f\|_p \le \varepsilon$. Par la question précédente, il existe $h \in A$ t.q. $\|g - h\|_p \le \varepsilon$. On a donc $\|f - h\|_p \le 2\varepsilon$. Ce qui prouve que A est dense dans L<sup>p</sup>(\mathbb{R}). Comme A est dénombrable, on en déduit que L<sup>p</sup>(\mathbb{R}) est séparable.
**Exercice 8.5 (Non séparabilité de $L_\mathbb{R}^\infty(\mathbb{R}, T, \lambda)$)** On note B l'ensemble des $f$ appartenant à $L^\infty(\mathbb{R}, T, \lambda)$ t.q., pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f = 0$ p.p. sur $]n, n+1[$ ou $f = 1$ p.p. sur $]n, n+1[$.

1. Montrer que B est non dénombrable. [Construire une injection de l'ensemble des parties de $\mathbb{N}$ dans B.]

**Corrigé** – Soit P une partie $\mathbb{N}$. On construit $\varphi(P) \in B$ en prenant $\varphi(P) = 1$ p.p. sur $]n, n+1[$ si $n \in P$, $\varphi(P) = 0$ p.p. sur $]n, n+1[$ si $n \notin P$ et $\varphi(P) = 0$ p.p. sur $\mathbb{R}_-$.

$\varphi$ est bien injective car, si P, Q ∈ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$, P ≠ Q, il existe $n \in P$ t.q. $n \notin Q$ (ou il existe $n \in Q$ t.q. $n \notin \mathcal{P}$). On a alors $\varphi(P) = 1$ p.p. sur $]n, n+1[$ et $\varphi(Q) = 0$ p.p. sur $]n, n+1[$ (ou $\varphi(P) = 0$ p.p. sur $]n, n+1[$ et $\varphi(Q) = 1$ p.p. sur $]n, n+1[$). On en déduit que $\|\varphi(P) - \varphi(Q)\|_\infty \ge 1$ car $\lambda(n, n+1] > 0$, et donc $\varphi(P) \ne \varphi(Q)$.

Comme $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ est non dénombrable (et non fini), l'ensemble B est aussi non dénombrable (et non fini).

2. Soit A une partie dense de $L_\mathbb{R}^\infty(\mathbb{R}, T, \lambda)$. Montrer que pour tout $f \in B$, il existe $g \in A$ t.q. $\|f - g\|_\infty \le \frac{1}{4}$. En déduire qu'on peut construire une application injective de B dans A.

**Corrigé** – Soit $f \in B$. Par densité de A dans $L_\mathbb{R}^\infty(\mathbb{R}, T, \lambda)$, il existe $g \in A$ t.q. $\|f - g\|_\infty \le \frac{1}{4}$. On peut donc construire (grâce à l'axiome du choix) une application $\psi$ de B dans A t.q. $\|f - \psi(f)\|_\infty \le \frac{1}{4}$ pour tout $f \in B$.

On monte maintenant que $\psi$ est injective. En effet, soit $f_1, f_2 \in B$ t.q. $\psi(f_1) = \psi(f_2)$. On a alors, avec $g = \psi(f_1) = \psi(f_2)$, $\|f_1 - f_2\|_\infty \le \|f_1 - g\|_\infty + \|f_2 - g\|_\infty \le \frac{1}{2}$. Ceci prouve que $f_1 = f_2$ car $\|f_1 - f_2\|_\infty \ge 1$ si $f_1 \ne f_2$ (il suffit de remarquer qu'il existe $n \in \mathbb{N}$ t.q. $|f_1 - f_2| = 1$ p.p. sur $]n, n+1[$).

3. Montrer que $L_\mathbb{R}^\infty(\mathbb{R}, T, \lambda)$ n'est pas séparable.

**Corrigé** – Si $L_\mathbb{R}^\infty(\mathbb{R}, T, \lambda)$ est séparable, il existe A (au plus) dénombrable, dense dans $L_\mathbb{R}^\infty(\mathbb{R}, T, \lambda)$. La question précédente permet de construire une injection de B de A, ce qui est en contradiction avec le fait que B est non dénombrable (et non fini).

**Exercice 8.6 (Convolution $L^p - L^q$)** Pour $1 \le p \le \infty$, on note $\mathcal{L}^p = \mathcal{L}_\mathbb{R}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et $L^p = L_\mathbb{R}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$.

1. Soit $1 < p < +\infty$, $q = \frac{p}{p-1}$, $f \in \mathcal{L}^p$ et $g \in \mathcal{L}^q$.

(a) Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, l'application $f(\cdot)g(x \cdot - \cdot)$ est intégrable.

**Corrigé** – Soit $x \in \mathbb{R}$. L'application $f(\cdot)g(x \cdot - \cdot)$ est mesurable car les applications $f$ et $g(x \cdot - \cdot)$ sont mesurables. Puis, on déduit de l'inégalité de Hölder (inégalité (6.1)) que $f(\cdot)g(x \cdot - \cdot) \in \mathcal{L}^1$ et :

$$ \|f(\cdot)g(x \cdot - \cdot)\|_{1} \le \|f\|_{p}\|g(x \cdot - \cdot)\|_{q} = \|f\|_{p}\|g\|_{q}. $$
On peut donc définir $(f * g)(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

(b) Montrer que $|(f * g)(x)| \le \|f\|_p \|g\|_q$, pour tout $x \in \mathbb{R}$.

**Corrigé** – Soit $x \in \mathbb{R}$. On a $|(f * g)(x)| = |\int f(\cdot)g(x-\cdot)d\lambda| \le \int |f(\cdot)g(x-\cdot)|d\lambda = \|f(\cdot)g(x-\cdot)\|_1$. En utilisant l'inégalité montrée dans la question précédente, on a donc :

$$|(f * g)(x)| \le \|f\|_p \|g\|_q.$$

(c) Montrer que $f * g$ est continue sur $\mathbb{R}$.

**Corrigé** – Soit $x, h \in \mathbb{R}$. On a :

$$ \begin{aligned} |f * g(x+h) - f * g(x)| &\le \int |f(\cdot)g(x+h-\cdot) - f(\cdot)g(x-\cdot)|d\lambda \\ &\le \|f\|_p \|g(x+h-\cdot) - g(x-\cdot)\|_q = \|f\|_p \|g(\cdot - h) - g\|_q. \end{aligned} $$

Le théorème de continuité en moyenne dans $L^q$ (voir exercice 6.4., le cas général de la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^N$ est donné dans le théorème 8.5) donne que $\|g(\cdot - h) - g\|_q \to 0$, quand $h \to 0$. Ceci prouve la continuité (et même la continuité uniforme) de $f * g$ sur $\mathbb{R}$.

2. Soit $1 < p < +\infty$, $q = \frac{p}{p-1}$.

(a) Soit $F \in L^p$ et $G \in L^q$. Montrer qu'on peut définir $F*G$ sur $\mathbb{R}$ en posant $F*G = f*g$, avec $f \in F$ et $g \in G$. [Il suffit donc de démontrer que $f*g$ ne dépend pas du choix de $f$ dans $F$ et $g$ dans $G$.]

**Corrigé** – Soit $f_1, f_2 \in F$ et $g_1, g_2 \in G$. Comme $f_1 = f_2$ p.p. et $g_1 = g_2$ p.p., on a aussi, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f_1(\cdot)g_1(x-\cdot) = f_2(\cdot)g_2(x-\cdot)$ p.p. et donc $f_1*g_1(x) = f_2*g_2(x)$.

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on peut donc définir $F*G(x)$ en posant $F*G(x) = f*g(x)$, avec $f \in F$ et $g \in G$ (car $f*g(x)$ ne dépend pas du choix de $f$ et $g$ dans $F$ et $G$).

(b) Montrer que l'application $(F, G) \mapsto F * G$ est bilinéaire continue de $L^p \times L^q$ dans $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ (on rappelle que $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ est l'ensemble des fonctions continues bornées de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, muni de la norme de la convergence uniforme).

**Corrigé** – On note $\|\cdot\|_u$ la norme de la convergence uniforme (on rappelle que, sur $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, elle coïncide avec la norme $\|\cdot\|_{\infty}$).

Soit $F \in L^p$ et $G \in L^q$. Si $f \in F$, $g \in G$, on a déjà vu que, pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$$|F * G(x)| = |f * g(x)| \le \|f\|_p \|g\|_q = \|F\|_p \|G\|_q.$$

On en déduit $\|F * G\|_u = \sup\{|F * G(x)|, x \in \mathbb{R}\} \le \|F\|_p \|G\|_q$, ce qui prouve bien la continuité de la forme bilinéaire $(F, G) \mapsto F * G$ de $L^p \times L^q$ dans $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

(c) Soit $F \in L^p$ et $G \in L^q$. Montrer que $F * G \in C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ (c'est-à-dire que la fonction $F * G$ est continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et que $(F * G)(x) \to 0$ quand $x \to \pm\infty$).
**Corrigé** – On considère tout d'abord le cas $f \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $g \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. On sait déjà que $f \ast g$ est continue (par exemple, parce que $f \in \mathcal{L}^p$ et $g \in \mathcal{L}^q$). D'autre part, comme $f$ et $g$ sont à support compact, il existe $a > 0$ et $b > 0$ t.q. $f = 0$ sur $\mathbb{R}^c(0, a)$ et $g = 0$ sur $\mathbb{R}^c(0, b)$. On en déduit que $f \ast g = 0$ sur $\mathbb{R}^c(0, a+b)$ (ceci est démontré, par exemple, dans l'exercice 7.18). On a donc $f \ast g \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \subset C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

Soit maintenant $F \in \mathcal{L}^p$ et $G \in \mathcal{L}^q$. Le théorème de densité dans les espaces $\mathcal{L}^p$ (exercice 6.4, ou encore théorème 8.4 pour un cas plus général) donne l'existence de deux suites $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ t.q. $f_n \to F$ dans $\mathcal{L}^p$ et $g_n \to G$ dans $\mathcal{L}^q$, quand $n \to +\infty$. La continuité de la forme bilinéaire $(F, G) \mapsto F \ast G$ de $\mathcal{L}^p \times \mathcal{L}^q$ dans $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ montre alors que $f_n \ast g_n \to F \ast G$ dans $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ (c'est-à-dire uniformément), quand $n \to +\infty$. Or $f_n \ast g_n \in C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, et $C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ est fermé dans $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, on a donc $F \ast G \in C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

3. On prend maintenant $p = 1$ et $q = +\infty$.

(a) Soit $f \in \mathcal{L}^1$ et $g \in \mathcal{L}^\infty$. Montrer que $(f \ast g)(x)$ est bien définie pour tout $x \in \mathbb{R}$. Montrer que $f \ast g \in C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

**Corrigé** – On procède ici comme dans le cas $1 < p, q < \infty$.

Soit $x \in \mathbb{R}$. L'application $f(\cdot)g(x - \cdot)$ est mesurable car produit d'applications mesurables. Puis, l'inégalité de Hölder pour le cas $p = 1$, $q = \infty$ (proposition (6.26)) donne $f(\cdot)g(x - \cdot) \in \mathcal{L}^1$ et :

$$ \|f(\cdot)g(x - \cdot)\|_{1} \le \|f\|_{1} \|g(x - \cdot)\|_{\infty} = \|f\|_{1} \|g\|_{\infty}. $$

On peut donc définir $(f \ast g)(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et on a $|(f \ast g)(x)| \le \|f\|_1 \|g\|_\infty$. Ceci donne $\sup\{|(f \ast g)(x)|, x \in \mathbb{R}\} \le \|f\|_1 \|g\|_\infty$ et donc que $f$ est bornée.

Pour montrer que $f \ast g$ est continue sur $\mathbb{R}$, on utilise l'invariance par translation de la mesure de Lebesgue pour écrire, pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$$ f \ast g(x) = \int f(x - \cdot)g(\cdot)d\lambda. $$

Soit $x, h \in \mathbb{R}$. On a donc :

$$ \begin{aligned} |f \ast g(x+h) - f \ast g(x)| &\le \int |f(x+h-\cdot)g(\cdot) - f(x-\cdot)g(\cdot)|d\lambda \\ &\le \|f(x+h-\cdot) - f(x-\cdot)\|_1 \|g\|_\infty = \|f(\cdot-h) - f\|_1 \|g\|_\infty. \end{aligned} $$

Le théorème de continuité en moyenne dans $\mathcal{L}^1$ (théorème 5.21) donne que $\|f(\cdot - h) - f\|_1 \to 0$, quand $h \to 0$. Ceci prouve la continuité (et même la continuité uniforme) de $f \ast g$ sur $\mathbb{R}$.

On a donc bien $f \ast g$ continue et bornée, c'est-à-dire $f \ast g \in C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

(b) Soit $F \in \mathcal{L}^1$ et $G \in \mathcal{L}^\infty$. Montrer que $(F \ast G)(x)$ est bien définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ en posant $F \ast G = f \ast g$, avec $f \in F$ et $g \in G$.

**Corrigé** – La démonstration est identique à celle du cas $1 < p, q < \infty$. Elle n'est pas redonnée ici.
(c) L'application $(F,G) \mapsto F \ast G$ est-elle continue de $L^1 \times L^\infty$ dans $C_b$ ?

**Corrigé** – La réponse est oui car nous avons vu que $\|f \ast g\|_u = \sup\{|\langle f \ast g \rangle(x)|, x \in \mathbb{R}\} \le \|f\|_1 \|g\|_\infty$.

(d) A-t-on $F \ast G \in C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, pour tout $F \in L^1$ et $G \in L^\infty$ ?

**Corrigé** – La réponse est non. On prend, par exemple, $G = 1$ p.p. et $F \in L^1$, $F \ne 0$. On a alors $F \ast G(x) = \int F d\lambda$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc, $F \ast G(x) \ne 0$, quand $x \to \pm\infty$, et $F \ast G \notin C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

**Exercice 8.7 (Caractérisation d'une fonction par son action sur $C_c^\infty$)** Soit $d \in \mathbb{N}^*$. On rappelle que $\lambda_d$ est la mesure de Lebesgue sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$ et que l'élément d'intégration par rapport à $\lambda_d$ est noté $dx$ (au lieu de $d\lambda_d(x)$). On rappelle aussi que $|\cdot|$ dénote la norme euclidienne dans $\mathbb{R}^d$. On se donne une fonction $\rho \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ t.q. :

- $\rho(x) = 0$ si $x \in \mathbb{R}^d$, $|x| \ge 1$,

- $\rho(x) \ge 0$ si $x \in \mathbb{R}^d$,

- $\int \rho(x) dx = 1$.

Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note $\rho_n$ la fonction définie par $\rho_n(x) = n^d \rho(nx)$, de sorte que $(\rho_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est une famille de noyaux régularisants (voir le chapitre 8 du cours).

1. Soit $f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \lambda_d)$.

(a) Soit $\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$. Montrer que $f\varphi \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \lambda_d)$.

**Corrigé** – La fonction $f\varphi$ est mesurable car produit de fonctions mesurables. Elle est intégrable car on a

$|f(x)\varphi(x)| \le |f(x)||\varphi||_u,$
pour tout $x \in \mathbb{R}^d$ (avec $\|\varphi\|_u = \max\{|\varphi(x)|, x \in \mathbb{R}\} < \infty$ car $C_c^\infty(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ est inclus dans $C_b(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$) et donc :

$$ \int |f(x)\varphi(x)|dx \le \|f\|_1 \|\varphi\|_\infty < \infty. $$

Ce qui donne bien $f\varphi \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \lambda_d)$.

On suppose maintenant que $\int f(x)\varphi(x)dx = 0$ pour tout $\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$.

(b) Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer $f \ast \rho_n(x)$ est bien défini pour tout $x \in \mathbb{R}^d$ et que $f \ast \rho_n(x) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}^d$.

**Corrigé** – Soit $x \in \mathbb{R}^d$. On pose $\varphi(y) = \rho_n(x-y)$ pour $y \in \mathbb{R}^d$ (n est fixé). On a donc $\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ (car $\rho_n \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$) et $f\varphi = f(\cdot)\rho_n(x-\cdot)$.

La première question donne $f(\cdot)\rho_n(x-\cdot) = f\varphi \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \lambda_d)$ et $f \ast \rho_n(x)$ est donc bien défini. De plus, l'hypothèse satisfaite par $f$ donne :

$$ f \ast \rho_n(x) = \int f(y)\rho_n(x-y)dy = \int f(y)\varphi(y)dy = 0 $$
(c) Montrer que $f = 0$ p.p.:

**Corrigé** – La proposition 8.12 donne $f * \rho_n \to f$ dans $L^1(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \lambda_d)$ quand $n \to +\infty$. Comme $f_n = 0$ p.p., on en déduit que $f = 0$ p.p.

2. Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^d$ et $g \in \mathcal{L}_{\text{loc}}^1(\Omega)$ (c'est-à-dire que $g$ est une fonction de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$ t.q. $g1_K \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \lambda_d)$ pour tout compact $K$ de $\Omega$).

(a) Soit $\varphi \in C_c^\infty(\Omega, \mathbb{R})$. Montrer que $g\varphi \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \lambda_d)$. (La fonction $\varphi$ est prolongée par 0 hors de $\Omega$.)

**Corrigé** – Soit $K$ un compact de $\Omega$ t.q. $\varphi = 0$ sur $K^c$. On a alors $g\varphi = g1_K\varphi$.

Comme $g1_K \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \lambda_d)$, la question 1(a) donne $g\varphi \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \lambda_d)$.

On suppose maintenant que $\int g(x)\varphi(x)dx = 0$ pour tout $\varphi \in C_c^\infty(\Omega, \mathbb{R})$.

(b) Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $\Omega_n$ l'ensemble des $x \in \Omega$ t.q. $|x-y| > \frac{1}{n}$ pour tout $y \in \Omega^c$. Montrer $g * \rho_n(x)$ est bien définie pour tout $x \in \Omega_n$ et que $g * \rho_n(x) = 0$ pour tout $x \in \Omega_n$.

**Corrigé** – Soit $x \in \Omega_n$. On pose $\varphi(y) = \rho_n(x-y)$ pour $y \in \mathbb{R}^d$ (n et x sont fixés). On a donc $\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$; comme $\rho_n(z) = 0$ si $|z| \ge 1/n$, on a $\varphi = 0$ sur $K^c$ où $K$ est la boule fermée de centre $x$ et de rayon $1/n$, c'est-à-dire $K = \bar{B}(x, 1/n)$. Comme $x \in \Omega_n$, on a $K \subset \Omega$. La fonction $\varphi$ (ou, plus précisément, la restriction de $\varphi$ à $\Omega$) appartient donc à $C_c^\infty(\Omega, \mathbb{R})$).

On a $g\varphi = g(\cdot)\rho_n(x-\cdot)$. On conclut comme dans la question 1(b) :

La question 2(a) donne $g(\cdot)\rho_n(x-\cdot) = g\varphi \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \lambda_d)$ et $g * \rho_n(x)$ est donc bien défini. De plus, l'hypothèse satisfaite par $g$ donne :

$$g * \rho_n(x) = \int g(y)\rho_n(x-y)dy = \int g(y)\varphi(y)dy = 0$$

(c) Soit $K$ un compact de $\Omega$, montrer que $g1_K = 0$ p.p.. En déduire que $g = 0$ p.p. sur $\Omega$.

**Corrigé** – On note $\alpha$ la distance de $K$ à $\Omega^c$, c'est-à-dire $\alpha = \inf\{|y-z|, y \in K, z \in \Omega^c\}$. Cette distance est strictement positive car $K$ est compact, $\Omega^c$ est fermé et $K \cap \Omega^c = \emptyset$ (le fait que cette distance est strictement positive est démontré, par exemple, dans la démonstration du théorème 5.20). Soit $n_0 \in \mathbb{N}^*$ t.q. $1/n_0 < \alpha$, de sorte que $K \subset \Omega_n$ pour tout $n \ge n_0$ (avec $\Omega_n$ défini dans la question 2(b)).

La question 2(b) donne alors que, pour tout $n \ge n_0$, $g * \rho_n$ est bien défini sur $K$ et $g * \rho_n = 0$ sur $K$.

Pour passer à limite sur $n$ (et montrer que $g = 0$ p.p. sur $K$), on pose $\tilde{K} = \{z \in \mathbb{R}^d; d(z, K) \le 1/n_0\}$ (où $d(z, K)$ est la distance de $z$ à $K$, c'est-à-dire $d(z, K) = \inf\{|z -$
$y|, y \in K\}$. $\tilde{K}$ est un compact de $\mathbb{R}^d$ et comme $1/n_0 < \alpha$, on a $\tilde{K} \subset \Omega$. On en déduit :

$$g1_{\tilde{K}} \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \lambda_d).$$

La proposition 8.12 donne alors $g1_{\tilde{K}} * \rho_n \to g1_{\tilde{K}}$ dans $L^1(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \lambda_d)$, quand $n \to +\infty$. On a donc aussi, en prenant la restriction à K de ces fonctions :

$$(g1_{\tilde{K}} * \rho_n)|_{K} \to g|_{K} \text{ dans } L^1(K, \mathcal{B}(K), \lambda_d), \text{ quand } n \to +\infty. \quad (8.4)$$

Soit $n \ge n_0$. On remarque que $g1_{\tilde{K}} * \rho_n = g * \rho_n$ sur K. En effet, pour $x \in K$ et $y \in \tilde{K}$, on a $|x - y| > 1/n_0 \ge 1/n$ et donc $\rho_n(x - y) = 0$. On en déduit, pour tout $x \in K$,

$$g1_{\tilde{K}} * \rho_n(x) = \int g1_{\tilde{K}}(x)\rho_n(x-y)dy = \int g(x)\rho_n(x-y)dy = g * \rho_n(x).$$

On a bien montré que $g1_{\tilde{K}} * \rho_n = g * \rho_n$ sur K. Comme $g * \rho_n = 0$ sur K (question 2(b)), on déduit de (8.4) que $g = 0$ p.p. sur K.

Pour montrer que $g = 0$ p.p. sur $\Omega$, on remarque que $\Omega = \bigcup_{n \in \mathbb{N}^*} K_n$, avec $K_n = \overline{\Omega}_n \cap B_n$ (où $\overline{\Omega}_n$ est l'adhérence de $\Omega_n$ et $B_n$ est la boule fermée de centre 0 et de rayon $n$). Comme $K_n$ est un compact de $\Omega$, la démonstration précédente donne $g = 0$ p.p. sur $K_n$, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. On en déduit que $g = 0$ p.p. sur $\Omega$.

### Exercice 8.8 (Théorème de compatibilité dans $L^1$, Kolmogorov)

On pose $L^1(]0, 1[) = L^1_{\mathbb{R}}(]0, 1[, \mathcal{B}(]0, 1[), \lambda)$ et $L^1(\mathbb{R}) = L^1_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ (où $\lambda$ désigne la mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ ou sa trace sur $\mathcal{B}(]0, 1[)$). Pour $f \in L^1(]0, 1[[$), on identifie $f$ avec l'un de ses représentants et on note $\tilde{f}$ la fonction définie par $\tilde{f} = f$ sur $]0, 1[$ et $\tilde{f} = 0$ sur $\mathbb{R}\setminus]0, 1[$.

Soit $\mathcal{A}$ une partie de $L^1(]0, 1[$).

On rappelle que $\mathcal{A}$ est relativement compacte dans $L^1(]0, 1[$) si et seulement si $\mathcal{A}$ est précompacte (c'est-à-dire que pour $\varepsilon > 0$ il existe $p \in \mathbb{N}^*$ et $f_1, \dots, f_p \in \mathcal{A}$ t.q. $\mathcal{A} \subset \bigcup_{i=1}^p B(f_i, \varepsilon)$, où $B(f, \varepsilon)$ désigne la boule ouverte dans $L^1(]0, 1[$) de centre $f$ et de rayon $\varepsilon$).

**Partie I (Condition suffisante).** On suppose, dans cette partie, que $\mathcal{A}$ est relativement compacte dans $L^1(]0, 1[$).

1. Montrer que $\mathcal{A}$ est une partie bornée de $L^1(]0, 1[$).

**Corrigé** – On utilise la précompatibilité pour $\varepsilon = 1$. Il existe $f_1, \dots, f_p \in \mathcal{A}$ t.q.

$$\mathcal{A} \subset \bigcup_{i=1}^{p} B(f_i, 1).$$

En posant $M = \max\{\|f_i\|_1, i = 1, \dots, p\}$ on a donc $\|f\|_1 \le M$ pour tout $f \in \mathcal{A}$, ce qui prouve que $\mathcal{A}$ est une partie bornée de $L^1(]0, 1[$).

2. Soit $\varepsilon > 0$. Montrer qu'il existe $\alpha > 0$ t.q. :

$$h \in \mathbb{R}, |h| \le \alpha, f \in \mathcal{A} \Rightarrow \|\tilde{f}(\cdot + h) - \tilde{f}\|_1 \le \varepsilon. \quad (8.5)$$
**Corrigé** – On utilise encore la précompacité, il existe $p \in \mathbb{N}^*$ et $f_1, \dots, f_p \in \mathcal{A}$ t.q.
$\mathcal{A} \subset \bigcup_{i=1}^p \mathbf{B}(f_i, \varepsilon)$.

Le théorème de continuité en moyenne (théorème 5.21) donne que pour $i \in \{1, \dots, p\}$
il existe $\alpha_i > 0$ t.q.

$$
h \in \mathbb{R}, |h| \le \alpha_i \Rightarrow \|\tilde{f}_i(\cdot + h) - \tilde{f}_i\|_1 \le \varepsilon.
$$

On pose $\alpha = \min\{\alpha_i, i = 1, \dots, p\}$. On a bien $\alpha > 0$ et pour tout $f \in \mathcal{A}$, il existe $i \in \{1, \dots, p\}$ t.q. $f \in \mathbf{B}(f_i, \varepsilon)$. On a alors

$$
\begin{align*}
\|\tilde{f}(\cdot + h) - \tilde{f}\|_{1} &\le \|\tilde{f}(\cdot + h) - \tilde{f}_{i}(\cdot + h)\|_{1} + \|\tilde{f}_{i}(\cdot + h) - \tilde{f}_{i}\|_{1} + \|\tilde{f}_{i} - \tilde{f}\|_{1} \\
&= \|\tilde{f}_{i}(\cdot + h) - \tilde{f}_{i}\|_{1} + 2\|f - f_{i}\|_{1}.
\end{align*}
$$

On en déduit que

$$
h \in \mathbb{R}, |h| \le \alpha \Rightarrow \|\tilde{f}(\cdot + h) - \tilde{f}\|_{1} \le 3\varepsilon,
$$

ce qui termine cette question.

**Partie II (Condition nécessaire).** On suppose, dans cette partie, que $\mathcal{A}$ une partie bornée de $L^1(]0, 1[)$ et que pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\alpha > 0$ vérifiant (8.5).

Soit $\rho \in C_c^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ t.q. $\rho \ge 0$, $\rho(x) = 0$ si $|x| \ge 1$ et $\int \rho(x)dx = 1$. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on définit $\rho_n$ par $\rho_n(x) = n\rho(nx)$ si $x \in \mathbb{R}$.

1. Soit $\varepsilon > 0$. Montrer qu'il existe $n_0 \in \mathbb{N}^*$ t.q. :

$$
n \in \mathbb{N}^*, n \ge n_0, f \in \mathcal{A} \Rightarrow \| \tilde{f} * \rho_n - \tilde{f} \|_1 \le \varepsilon. \quad (8.6)
$$

$$
[\text{On pourra remarquer que } \tilde{f} * \rho_n(x) - \tilde{f}(x) = \int (\tilde{f}(x - \frac{y}{n}) - \tilde{f}(x))\rho(y)dy.]
$$

**Corrigé** – Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $f \in \mathcal{A}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ on a (avec le changement de variable $z = ny$)

$$
\tilde{f} * \rho_n(x) = \int \tilde{f}(x-y)\rho_n(y)dy = \int \tilde{f}(x-y)n\rho(ny)dy = \int \tilde{f}(x-\frac{z}{n})\rho(z)dz.
$$

Ce qui donne bien, comme $\int \rho(x)dx = 1$, $\tilde{f} * \rho_n(x) - \tilde{f}(x) = \int (\tilde{f}(x - \frac{y}{n}) - \tilde{f}(x))\rho(y)dy$
et donc

$$
|\tilde{f} * \rho_n(x) - \tilde{f}(x)| \le \int |\tilde{f}(x - \frac{y}{n}) - \tilde{f}(x)| \rho(y) dy.
$$

L'application $(x, y) \mapsto \tilde{f}(x - y/n)$ est borélienne de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ (car c'est la composée de $(x, y) \mapsto x - y/n$ qui est continue donc borélienne et de $s \mapsto \tilde{f}(s)$ qui est borélienne). Par stabilité de l'ensemble des fonctions boréliennes, l'application $(x, y) \mapsto |\tilde{f}(x - \frac{y}{n}) - \tilde{f}(x)|\rho(y)$ est donc aussi borélienne de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$. La mesure de Lebesgue étant $\sigma$-finie, on peut donc appliquer le théorème de Fubini-Tonelli pour obtenir

$$
\begin{align*}
\|\tilde{f} * \rho_n - \tilde{f}\|_1 &\le \int_{\mathbb{R}} \left( \int_{\mathbb{R}} \left| \tilde{f}\left(x - \frac{y}{n}\right) - \tilde{f}(x) \right| \rho(y) dy \right) dx \\
&= \int_{-1}^{1} \left( \int_{\mathbb{R}} \left| \tilde{f}\left(x - \frac{y}{n}\right) - \tilde{f}(x) \right| dx \right) \rho(y) dy.
\end{align*}
$$

En prenant $n_0 \ge 1/\alpha$, où $\alpha$ est donné par (8.5), on obtient (8.6).
2. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour $f \in \mathcal{A}$, on note $f_n$ la restriction à $[0,1]$ de la fonction $\tilde{f} * \rho_n$.

(a) Montrer qu'il existe $C_1, C_2 > 0$ ne dépendant que de $n$, $\rho$ et de la borne de $\mathcal{A}$ dans $L^1([0,1[) \text{ t.q. :}$

$$x \in [0,1], f \in \mathcal{A} \Rightarrow |f_n(x)| \le C_1,$$

$$x, y \in [0,1], f \in \mathcal{A} \Rightarrow |f_n(x) - f_n(y)| \le C_2|x - y|.$$

En déduire que l'ensemble $\{f_n, f \in \mathcal{A}\}$ est relativement compact dans $C([0,1], \mathbb{R})$ [Utiliser le théorème d'Ascoli (théorème 8.17).]

**Corrigé** – Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $|\tilde{f} * \rho_n(x)| \le n \|f\|_1 \|\rho\|_\infty$. On peut donc prendre $C_1 = n \|\rho\|_\infty \sup_{f \in \mathcal{A}} \|f\|_1$.

Pour tout $x, y \in \mathbb{R}$, on a $\tilde{f} * \rho_n(x) - \tilde{f} * \rho_n(y) = \int_{\mathbb{R}} \tilde{f}(z)n(\rho(nx-nz) - \rho(ny-nz))dz$ et donc, avec le théorème des accroissements finis appliqué à $\rho$,

$$|\tilde{f} * \rho_n(x) - \tilde{f} * \rho_n(y)| \le \|f\|_1 n^2 \|\rho'\|_\infty |x - y|.$$

On peut donc prendre $C_2 = n^2 \|\rho'\|_\infty \sup_{f \in \mathcal{A}} \|f\|_1$.

L'ensemble $\{f_n, f \in \mathcal{A}\}$ est donc borné dans $C([0,1], \mathbb{R})$ et est composé de fonctions uniformément équicontinues. Le théorème d'Ascoli donne alors sa compacité dans $C([0,1], \mathbb{R})$.

(b) Montrer que l'ensemble $\{f_n, f \in \mathcal{A}\}$ est relativement compact dans $L^1([0,1[)$.

**Corrigé** – Il suffit ici d'utiliser la caractérisation de la relative compacité par la précompacité et le fait que pour toute fonction bornée sur $[0,1]$, on a $\|g\|_1 \le \|g\|_\infty$.

3. Montrer que la partie $\mathcal{A}$ est relativement compacte dans $L^1([0,1[)$.

**Corrigé** – On utilise encore la caractérisation de la relative compacité par la précompacité. Soit $\varepsilon > 0$. D'après (8.6), il existe $n \in \mathbb{N}^*$ t.q. $\|f_n - f\|_1 \le \varepsilon$ pour tout $f \in \mathcal{A}$ (où $f_n$ est la restriction à $[0,1]$ de $\tilde{f} * \rho_n$). Puis, comme l'ensemble $\{f_n, f \in \mathcal{A}\}$ est relativement compact dans $L^1([0,1[)$, il existe $p \in \mathbb{N}^*$ et $f^{(1)}, \dots, f^{(p)} \in \mathcal{A}$ t.q. $\{f_n, f \in \mathcal{A}\} \subset \cup_{i=1}^p \mathbb{B}(f_n^{(i)}, \varepsilon)$.

Soit $f \in \mathcal{A}$, il existe $i \in \{1, \dots, p\}$ tel que $f_n \in \mathbb{B}(f_n^{(i)}, \varepsilon)$, on a alors

$$\|f - f^{(i)}\|_1 \le \|f - f_n\|_1 + \|f_n - f_n^{(i)}\|_1 + \|f_n^{(i)} - f^{(i)}\|_1 \le 3\varepsilon.$$

Ce qui prouve que $\mathcal{A} \subset \cup_{i=1}^p \mathbb{B}(f^{(i)}, 3\varepsilon)$ et donc que $\mathcal{A}$ est relativement compacte dans $L^1([0,1[)$.

**Exercice 8.9 (Théorème de Kolmogorov, autre énoncé)** Soit $T > 0$. On note $L^1$ l'espace $L^1(\mathbb{R}; [0,T, \mathcal{B}(); [0,T[, \lambda)$. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite bornée de $L^1$ (on a donc $\sup_{n \in \mathbb{N}} \|u_n\|_1 < +\infty$).
On suppose que pour tout $h \in ]0, T[$ et tout $n \in \mathbb{N}$ on a

$$ \int_{0}^{T-h} |u_{n}(t+h) - u_{n}(t)|dt \leq \eta(h), $$

où $\eta$ est une fonction croissante de $]0, T[$ dans $\mathbb{R}_{+}$ t.q. $\lim_{h \to 0^{+}} \eta(h) = 0$. L'objectif de l'exercice est de démontrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est relativement compact dans $L^1$.

1. Soit $d, h \in ]0, T[$ t.q. $d + h \leq T$. Montrer que

$$ \int_{0}^{d} |u_{n}(t)|dt \leq \int_{0}^{d} |u_{n}(t+h)|dt + \int_{0}^{d} |u_{n}(t+h) - u_{n}(t)|dt. \quad (8.7) $$

**Corrigé** – Pour tout $t \in ]0, d[$ on a $|u_n(t)| \le |u_n(t+h)| + |u_n(t+h) - u_n(t)|$. En intégrant cette inégalité entre 0 et d, on obtient bien (8.7).

2. Soit $h_0 \in ]0, T[$ et $d \in ]0, T - h_0[$, montrer que

$$ h_0 \int_0^d |u_n(t)| dt \leq d \|u_n\|_1 + h_0 \eta(h_0). \quad (8.8) $$

**Corrigé** – Comme d'habitude, on choisit pour $u_n$ l'un de représentants, de sorte que $u_n \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(]0, T[, \mathcal{B}([0, T[, \lambda)$ (pour tout $n \in \mathbb{N}$).

L'inégalité (8.7) est vraie pour tout $h \in ]0, h_0[$. En intégrant (8.7) entre 0 et $h_0$ et en remarquant que $\int_0^d |u_n(t+h) - u_n(t)|dt \le \eta(h) \le \eta(h_0)$ (car $h \le h_0$ et $d \le T - h_0 \le T - h$) on obtient

$$ \begin{aligned} h_0 \int_0^d |u_n(t)| dt &\le \int_0^{h_0} \left( \int_0^d |u_n(t+h)| dt \right) dh + \int_0^{h_0} \left( \int_0^d |u_n(t+h) - u_n(t)| dt \right) dh \\ &\le \int_0^{h_0} \left( \int_0^d |u_n(t+h)| dt \right) dh + h_0 \eta(h_0). \end{aligned} $$

La mesure de Lebesgue est $\sigma$-finie et l'application $(t, h) \mapsto u_n(t+h)$ est borélienne de $]0, d[x]0, h_0[$ dans $\mathbb{R}$ (car c'est la composée de $(t, h) \mapsto t+h$ qui est continue donc borélienne et de $s \mapsto u_n(s)$ qui est borélienne). On peut donc appliquer le théorème de Fubini-Tonelli pour obtenir que

$$ \begin{aligned} \int_0^{h_0} \left( \int_0^d |u_n(t+h)| dt \right) dh &= \int_0^d \left( \int_0^{h_0} |u_n(t+h)| dh \right) dt \\ &\le \int_0^d \left( \int_0^T |u_n(s)| ds \right) \le d \|u_n\|_1. \end{aligned} $$

On en déduit (8.8).
3. Montrer que $\int_0^d |u_n(t)|dt \to 0$ quand $d \to 0^+$, uniformément par rapport à $n$.

**Corrigé** – Soit $\varepsilon > 0$. On choisit d'abord $h_0 \in ]0, T[$ (t.q. $\eta(h_0) \le \varepsilon$. Puis, avec $C = \sup_{n \in \mathbb{N}} \|u_n\|_1$, on pose $\delta = \min\{T - h_0, \varepsilon h_0/C\}$. On obtient alors, pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$$0 \le d \le \delta \Rightarrow \int_0^d |u_n(t)|dt \le 2\varepsilon.$$

On a donc $\int_0^d |u_n(t)|dt \to 0$ quand $d \to 0^+$, uniformément par rapport à $n$.

Une démonstration analogue donne aussi que $\int_{T-d}^T |u_n(t)|dt \to 0$ quand $d \to 0^+$, uniformément par rapport à $n$ (il suffit de raisonner avec $v_n(t) = u_n(T-t)$).

4. Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est relativement compacte dans $L^1$.

[Appliquer le théorème de Kolmogorov, théorème 8.16, qui utilise le prolongement de $u_n$ par 0.]

**Corrigé** – On prolonge $u_n$ par 0 hors de $]0, T[$ (et on note toujours $u_n$ la fonction prolongée). Pour appliquer le théorème 8.16, il suffit de montrer que

$$\int_{\mathbb{R}} |u_n(t+h) - u_n(t)|dt \to 0 \text{ quand } h \to 0^+ \text{, uniformément par rapport à } n \in \mathbb{N}.$$

Pour cela, on remarque que pour $h > 0$ et $n \in \mathbb{N}$,

$$\begin{align*}
\int_{\mathbb{R}} |u_n(t+h) - u_n(t)|dt & \le \int_{-h}^{0} |u_n(t+h)|dt + \int_{0}^{T-h} |u_n(t+h) - u_n(t)|dt + \int_{T-h}^{T} |u_n(t)|dt \\
& = \int_{0}^{h} |u_n(t)|dt + \int_{0}^{T-h} |u_n(t+h) - u_n(t)|dt + \int_{T-h}^{T} |u_n(t)|dt.
\end{align*}$$

Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $h_1 > 0$ t.q. $\eta(h_1) \le \varepsilon$. Puis, avec la question précédente, il existe $h_2 > 0$ t.q. (pour tout $n \in \mathbb{N}$)

$$0 \le h \le h_2 \Rightarrow \int_0^h |u_n(t)|dt \le \varepsilon \quad \text{et} \quad \int_{T-h}^T |u_n(t)|dt \le \varepsilon.$$

Avec $h_3 = \min\{h_1, h_2\}$, on a donc (pour tout $n \in \mathbb{N}$)

$$0 \le h \le h_3 \Rightarrow \int_{\mathbb{R}} |u_n(t+h) - u_n(t)|dt \le 3\varepsilon.$$

Ceci termine la question.
# Chapitre 9

## Vecteurs aléatoires

### 9.1 Définition, propriétés élémentaires

**Définition 9.1 (Vecteur aléatoire)** Soit $d \ge 1$ et $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace probabilisable. On appelle vecteur aléatoire (souvent noté v.a.) de dimension $d$ une application mesurable de $\Omega$ dans $\mathbb{R}^d$ (où $\mathbb{R}^d$ est muni de la tribu borélienne).

Noter que la notation “v.a.” signifie indifféremment “variable(s) aléatoire(s)” ou “vecteur(s) aléatoire(s)”.

**Proposition 9.2** Soit $d > 1$ et $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace probabilisable. Soit $X$ une application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}^d$. On note $X_1, \dots, X_d$ les composantes de $X$ (de sorte de $X = (X_1, \dots, X_d)^t$). On note $\sigma(X)$ la tribu engendrée par $X$ (et $\sigma(X_i)$, pour $i = 1, \dots, d$ la tribu engendrée par $X_i$). On a alors :

1. $\sigma(X)$ est la plus petite tribu contenant les tribus $\sigma(X_1), \dots, \sigma(X_d)$.

2. $X$ est un v.a. si et seulement si $X_i$ est, pour tout $i \in \{1, \dots, d\}$, une v.a.r.

**DÉMONSTRATION** – On rappelle que $\sigma(X) = \{X^{-1}(B), B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\}$ et que, pour tout $i$, $\sigma(X_i) = \{X_i^{-1}(A), A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}$. On note $\mathcal{C} = \{\prod_{i=1}^d A_i, A_i \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \text{ pour tout } i\}$. On rappelle que $\mathcal{C} \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ (voir l'exercice 7.11) et que $\mathcal{C}$ engendre $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ (c'est même encore vrai si on se limite à prendre pour $A_i$ des intervalles, ouverts, voir l'exercice 2.7).

On note $T$ la plus petite tribu contenant les tribus $\sigma(X_1), \dots, \sigma(X_d)$. Soit $i \in \{1, \dots, d\}$ et $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. En prenant $B = \prod_{j=1}^d A_j$ avec $A_j = \mathbb{R}$ si $j \neq i$ et $A_i = A$, on a $X^{-1}(B) \in \sigma(X)$ (car $B \in \mathcal{C} \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$) et $X^{-1}(B) = X_i^{-1}(A)$. On en déduit $X_i^{-1}(A) \in \sigma(X)$ et donc $\sigma(X_i) \subset \sigma(X)$ pour tout $i \in \{1, \dots, d\}$. Comme $\sigma(X)$ est une tribu, on a donc $T \subset \sigma(X)$.
On montre maintenant l'inclusion inverse (c'est-à-dire $T \supset \sigma(X)$). On remarque que, si $B \in \mathcal{C}$ on a $B = \bigcap_{i=1}^d A_i$ avec des $A_i$ appartenant à $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. On a donc $X^{-1}(B) = \bigcap_{i=1}^d X_i^{-1}(A_i) \in T$ (car $X_i^{-1}(A_i) \in \sigma(X_i) \subset T$). Or, il est facile de voir que $\{B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \text{t.q. } X^{-1}(B) \in T\}$ est une tribu. Cette tribu contient $\mathcal{C}$, elle contient donc la tribu engendrée par $\mathcal{C}$, c'est-à-dire $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$. On vient donc de montrer que $\{B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \text{t.q. } X^{-1}(B) \in T\} = \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$, c'est-à-dire que $X^{-1}(B) \in T$ pour tout $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$, ou encore que $\sigma(X) \subset T$. On a bien, finalement, $\sigma(X) = T$, ce qui donne le premier item de la proposition.

Le deuxième item est un conséquence facile du premier. En effet, si X est un v.a., on a pour tout i, $\sigma(X_i) \subset \sigma(X) \subset \mathcal{A}$ et donc $X_i$ est une v.a.r.. Réciproquement ; si $X_i$ est, pour tout i, une v.a.r., on a $\sigma(X_i) \subset \mathcal{A}$ pour tout i. Comme $\mathcal{A}$ est une tribu, on a donc $\mathcal{A} \supset T$ et comme $T = \sigma(X)$ on en déduit que X est un v.a..

La démonstration de la proposition 9.2 n'utilise pas vraiment le fait que les $X_i$ soient des applications à valeurs dans $\mathbb{R}$. Elle se généralise donc facilement au cas où les $X_i$ sont des applications à valeurs dans $\mathbb{R}^{d_i}$.

**Proposition 9.3** Soit $p \in \mathbb{N}$, $p \ge 2$, $d_1, \dots, d_p \in \mathbb{N}^*$. soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace probabilisable et, pour tout $i \in \{1, \dots, p\}$, $X_i$ une application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}^{d_i}$. On note $X = (X_1, \dots, X_d)^t$, de sorte que $X$ est une application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}^d$ avec $d = d_1 + \dots + d_p$. Soit $d \ge 1$ et $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace probabilisable. Soit $X$ une application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}^d$. On note $\sigma(X)$ la tribu engendrée par $X$ (et $\sigma(X_i)$, pour $i=1, \dots, p$ la tribu engendrée par $X_i$). On a alors :

1. $\sigma(X)$ est la plus petite tribu contenant les tribus $\sigma(X_1), \dots, \sigma(X_p)$.

2. X est un v.a. (de dimension d) si et seulement si $X_i$ est, pour tout $i \in \{1, \dots, p\}$, un v.a. (de dimension $d_i$).

**Définition 9.4 (Loi d'un v.a.)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé, $d \ge 1$ et $X$ un v.a. de dimension $d$. On appelle loi de probabilité de $X$, et on note cette loi $P_X$, la probabilité sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ image par $X$ de $P$ (c'est-à-dire $P_X(A) = P(X^{-1}(A)) = P(X \in A)$) pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$. Si $(X_1, \dots, X_d)$ sont les composantes de $X$, La probabilité $P_X$ est aussi appelée loi conjointe de $(X_1, \dots, X_d)$.

Un exemple important est la loi normale multidimensionnelle.

**Définition 9.5 (Loi normale multidimensionnelle)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé, $d \ge 1$ et $X$ un v.a. de dimension $d$. Soit $m \in \mathbb{R}^d$ et $D$ une matrice (à coefficients
réels, de taille $d \times d$) s.d.p. (c'est-à-dire symétrique définie positive). Le v.a. X a pour loi $N(m, D)$ (loi normale de paramètre $m$ et $D$) si $P_X = f \lambda_d$ avec :

$$f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2} \sqrt{\det(D)}} \exp\left(-\frac{1}{2}(x-m)^t D^{-1} (x-m)\right) \text{ pour } x \in \mathbb{R}^d.$$

Si $D$ est seulement semi-définie positive (c'est-à-dire $Du \cdot u \ge 0$ pour tout $u \in \mathbb{R}^d$) au lieu d'être définie positive (c'est-à-dire $Du \cdot u > 0$ pour tout $u \in \mathbb{R}^d$, $u \ne 0$), la loi normale $N(0, D)$ est aussi définie, voir la proposition 9.33, mais ce n'est pas une loi de densité (par rapport à la mesure de Lebesgue), voir l'exercice 10.12 (et l'exercice 9.15 qui donne un exemple de loi normale bidimensionnelle qui n'est pas de densité).

Nous verrons dans la section 9.3 que si X est un v.a. suivant une loi normale multidimensionnelle, X est un v.a. gaussien. L'extension de la définition de la loi normale multidimensionnelle au cas $D$ non inversible permettra alors de dire que les v.a. gaussiens sont exactement ceux qui suivent une loi normale multidimensionnelle (proposition 9.33).

Le fait que les composantes du v.a. X suivent une loi normale ne donne pas que X suit une loi normale multidimensionnelle (voir, par exemple, l'exercice 10.13). Mais, si les composantes du v.a. X suivent une loi normale et sont indépendantes, le v.a. X suit alors une loi normale multidimensionnelle (cf. l'exercice 9.9 ou l'exercice 10.13).

**Définition 9.6 (I-ème projecteur)** Soit $d \ge 1$. On appelle i-ème projecteur de $\mathbb{R}^d$ l'application $\pi_i$, de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$, qui a un vecteur de $\mathbb{R}^d$ fait correspondre sa i-ème composante dans la base canonique de $\mathbb{R}^d$.

**Définition 9.7 (Probabilité marginale)** Soit $d > 1$.

1. Soit $p$ une probabilité sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$ et $i \in \{1, \dots, d\}$. On appelle i-ème probabilité marginale de $p$, la probabilité sur les boréliens de $\mathbb{R}$ défini par $p_i(B) = p(\pi_i^{-1}(B))$ pour tout $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. (On a donc, par exemple, $p_1(B) = p(B \times \mathbb{R}^{d-1})$.)

2. Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P})$ un espace probabilisé et X un vecteur aléatoire de dimension $d$. On appelle i-ème loi de probabilité marginale du vecteur aléatoire X (ou i-ème probabilité marginale du vecteur aléatoire X) la probabilité marginale de $P_X$ (c'est donc aussi la mesure image de $P_X$ par le i-ème projecteur $\pi_i$). La remarque suivante montre que cette probabilité marginale est en fait la loi de $X_i$ notée $P_{X_i}$.
**Remarque 9.8** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ espace probabilisé, $d \ge 1$ et $X = (X_1, \dots, X_d)^t$ un vecteur aléatoire de dimension $d$. On note $q_i$ la i-ème probabilité marginale du vecteur aléatoire $X$. Soit $B \in \mathbf{T}$, par définition de la loi marginale, on a :

$$q_i(B) = P_X(\pi_i^{-1}(B)) = P(X^{-1}(\pi_i^{-1}(B))).$$

Comme $X_i = \pi_i \circ X$, on a donc :

$$q_i(B) = P(X_i^{-1}(B)).$$

La probabilité $q_i$ est donc aussi la loi de la variable aléatoire $X_i$.

**Remarque 9.9** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ espace probabilisé, $d > 1$ et $X = (X_1, \dots, X_d)^t$ un vecteur aléatoire de dimension $d$. La connaissance de $P_X$ entraîne la connaissance des $P_{X_i}$. La réciproque est en général fausse.

On définit la densité d'une loi de manière analogue au cas scalaire.

**Définition 9.10 (Loi de densité)** Soit $p$ une probabilité sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ ($d \ge 1$), on dit que $p$ est une probabilité de densité (par rapport à la mesure de Lebesgue) s'il existe une application borélienne $f$ de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}_+$ t.q. $p = f \lambda_d$.

De même que dans le cas scalaire, on a un théorème qui donne la correspondance entre l'intégrale par rapport à la probabilité $P$ d'une fonction de la v.a.r. $X$ et l'intégrale de cette fonction par rapport à la probabilité $P_X$ :

**Théorème 9.11 (Loi image)** Soit $d \ge 1$, $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ un espace probabilisé, $X$ un v.a. de dimension $d$ et $P_X$ la loi de $X$. Soit $\varphi$ une application borélienne de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$. On a alors (On rappelle que $\varphi(X)$ désigne $\varphi \circ X$) :

1. $\varphi(X) \in L_{\mathbb{R}}^1(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ si et seulement si $\varphi \in L_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}^d, \mathcal{B}(\mathbb{R}^d), P_X)$,

2. L'égalité

$$\int_{\Omega} \varphi(X) dP = \int_{\mathbb{R}^d} \varphi dP_X,$$

est vraie si $\varphi$ prend ses valeurs dans $\mathbb{R}_+$, ou si $\varphi$ est bornée ou encore si $\varphi(X) \in L_{\mathbb{R}}^1(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$.
**Définition 9.12 (Fonction de répartition)**

Soit $d \ge 1$, $(\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P})$ un espace probabilisé, $X = (X_1, \dots, X_d)^t$ un v.a. de dimension $d$ et $P_X$ la loi de $X$. On appelle fonction de répartition du vecteur aléatoire $X$ la fonction définie de $\mathbb{R}^d$ dans $[0,1]$ par : $F_X(t_1, \dots, t_d) = P\{X_1 \le t_1, \dots, X_d \le t_d\}$.

**Proposition 9.13** *Soit $d \ge 1$, $(\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P})$ un espace probabilisé et $X$ un v.a. de dimension $d$ de fonction de répartition $F_X$. Alors :*

1. $0 \le F_X(t) \le 1$ pour tout $t \in \mathbb{R}^d$;

2. Si $t, t' \in \mathbb{R}^d$, $t \le t'$ (i.e. $t_i \le t'_i$, pour tout $i = 1, \dots, d$), $F_X(t) \le F_X(t')$;

3. $F_X$ est continue à droite en tout point;

4. $F_X(t_1, \dots, t_d) \to 1$ lorsque $(t_1, \dots, t_d) \to (+\infty, \dots, +\infty)$;

5. $F_X(t_1, \dots, t_d) \to 0$ lorsque $t_i \to -\infty$ (à i fixé).

La démonstration découle facilement des propriétés d'une mesure (monotonie, continuité croissante et continuité décroissante).

**Proposition 9.14** *Soit $d \ge 1$, $(\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P})$ un espace probabilisé et $X$ un v.a. de dimension $d$ de fonction de répartition $F_X$. Si $F_X \in C^d(\mathbb{R}^d, [0,1])$, alors $p_X$ est une probabilité de densité (par rapport à Lebesgue) et cette densité, notée $f_X$, vérifie*

$$f_X = \frac{\partial^d F_X}{\partial x_1 \dots \partial x_d} \quad \lambda_d \cdot p \cdot p \quad (9.1)$$

**DÉMONSTRATION –** On suppose que $d=1$. Pour tout $a, b \in \mathbb{R}$, $a < b$, la définition de $F_X$ donne $P_X([a, b]) = F_X(b) - F_X(a)$. Mais, comme $F_X$ est de classe $C^1$, on a $F_X(b) - F_X(a) = \int_a^b F_X'(t)dt$. En notant $m$ la mesure de densité $F_X'$ par rapport à $\lambda$, on a donc $P_X([a, b]) = m([a, b])$ pour tout $a, b \in \mathbb{R}$, $a < b$, ce qui est suffisant pour dire que $P_X = m$ (en utilisant, par exemple, la proposition 2.30).

Pour $d > 1$, on note $m$ la mesure de densité $\partial^d F_X / \partial x_1 \dots \partial x_d$ par rapport à $\lambda_d$. Un raisonnement voisin du précédent donne $m(\prod_{i=1}^d [a_i, b_i]) = P_X(\prod_{i=1}^d [a_i, b_i])$ pour tout $a_i, b_i \in \mathbb{R}$, $a_i < b_i$, $i = 1, \dots, d$. On en déduit $m = P_X$ avec la proposition 2.30. ■

**Définition 9.15 (Espérance)** *Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P})$ un espace probabilisé, $d > 1$ et $X = (X_1, \dots, X_d)^t$ un vecteur aléatoire de dimension $d$. On suppose que $E(|X_i|) < \infty$ pour tout $i \in \{1, \dots, d\}$. L'espérance de $X$, notée $E(X)$, est alors le vecteur de $\mathbb{R}^d$ dont les composantes sont les espérances des $X_i$, c'est-à-dire $E(X) = (E(X_1), \dots, E(X_d))^t$.*
**Remarque 9.16** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé, $d > 1$ et $X = (X_1, \dots, X_d)^t$ un vecteur aléatoire de dimension $d$ t.q. $E(|X_i|) < \infty$ pour tout $i \in \{1, \dots, d\}$. Soit $u \in \mathbb{R}^d$. L'application $u \cdot X$ (qui à $\omega \in \Omega$ associe $u \cdot X(\omega)$, on rappelle que $\xi \cdot \eta$ est le produit scalaire canonique de $\xi$ et $\eta$ dans $\mathbb{R}^d$) est une v.a.r. intégrable et il est clair que $E(u \cdot X) = u \cdot E(X)$. L'application $u \mapsto E(u \cdot X)$ est donc l'application linéaire sur $\mathbb{R}^d$ représentée par $E(X)$.

**Définition 9.17 (Variance, covariance)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé, $d > 1$ et $X = (X_1, \dots, X_d)^t$ un vecteur aléatoire de dimension $d$. On suppose que $E(X_i^2) < \infty$ pour tout $i \in \{1, \dots, d\}$. On définit alors la matrice de covariance de $X$, notée $\text{Cov}(X)$, comme la matrice dont le coefficient $i, j$ est donné par :

$$ \text{Cov}(X)_{i,j} = E((X_i - \text{E}(X_i))(X_j - \text{E}(X_j))) \text{ pour tout } i, j \in \{1, \dots, d\}. $$

On a donc $C_{i,i} = \text{Var}(X_i)$ et $C_{i,j} = \text{Cov}(X_i, X_j)$ (noter d'ailleurs que $\text{Cov}(X_i, X_j) = \text{Var}(X_i)$). Enfin, on peut aussi noter que $\text{Cov}(X)$ est l'espérance de la matrice $(X - \text{E}(X))(X - \text{E}(X))^t$.

**Remarque 9.18** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé, $d > 1$ et $X = (X_1, \dots, X_d)^t$ un vecteur aléatoire de dimension $d$ t.q. $E(X_i^2) < \infty$ pour tout $i \in \{1, \dots, d\}$. Pour tout $u \in \mathbb{R}^d$, on a donc $E((u \cdot X)^2) < \infty$ et il est facile de voir (voir l'exercice 9.5) que $\text{Var}(u \cdot X) = u^t \text{Cov}(X) u$. La matrice $\text{Cov}(X)$ est donc la matrice de la forme quadratique $u \mapsto \text{Var}(u \cdot X)$, définie sur $\mathbb{R}^d$. Cette matrice est donc symétrique et semi-définie positive. On peut aussi noter que, pour tout $u, v \in \mathbb{R}^d$, on a $u^t \text{Cov}(X) v = E((u \cdot X)(v \cdot X))$.

Comme dans le cas des v.a.r., on définit la convergence en loi de v.a. à partir de la convergence étroite (ou vague, puisque c'est équivalent pour des probabilités) des lois des v.a.. La convergence étroite est définie dans la définition 6.86.

**Définition 9.19 (Convergence en loi de v.a.)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé, $d \ge 1$, $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a. de dimension $d$ et $X$ un v.a. de dimension $d$. On dit que $X_n \to X$ en loi, quand $n \to +\infty$, si :

$$ \int_{\Omega} \varphi(X_n) dP \to \int_{\Omega} \varphi(X) dP \text{ pour tout } \varphi \in C_b(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}). $$

(Ce que est équivalent à dire que $P_{X_n} \to P_X$ étroitement.)

Comme pour les v.a.r., il est possible de définir la convergence en loi pour une suite de v.a. définies sur des espaces probabilisés différents (c'est-à-dire que $X_n$ est définie
sur l'espace probabilisé $(\Omega_n, \mathcal{A}_n, P_n)$ dépendant de $n$, et $X$ est définie sur $(\Omega, \mathcal{A}, P))$. Il suffit que tous les v.a. aient même dimension. Nous utiliserons parfois implicitement cette définition plus générale.

Ici, comme dans le cas des v.a.r., on remarque que la convergence en loi donne la tension de la suite des lois. Ceci est donné dans la proposition 9.20.

**Proposition 9.20** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé, $d \ge 1$, $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a. de dimension $d$ et $X$ un v.a. de dimension $d$. On suppose que $X_n \to X$ en loi. La suite $(P_{X_n})_{n \in \mathbb{N}}$ est alors tendue, c'est-à-dire

$$ \lim_{a \to +\infty} P(|X_n| > a) = 0 \text{ uniformément par rapport à } n. $$

DÉMONSTRATION – Le résultat est donnée par proposition 6.93 en prenant $m_n = P_{X_n}$. ■

La proposition 9.20 admet une réciproque partielle qui est due à la proposition 8.22. Nous donnons maintenant cette réciproque (partielle).

**Proposition 9.21** Soit $d \ge 1$, $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a. de dimension $d$. On suppose que la suite des lois des $X_n$ est tendue. Il existe alors un v.a. $X$ (de dimension $d$) et une sous-suite de la suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que cette sous-suite converge en loi vers $X$.

DÉMONSTRATION – Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $m_n$ la loi de $X_n$. Comme $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite tendue de probabilités sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$, la proposition 8.22 donne l'existence d'une probabilité $m$ sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ t.q. $m_n \to m$ étroitement. En prenant un v.a. $X$ t.q. $P_X = m$ ($X$ n'est pas nécessairement défini sur le même espace probabilisé), on a donc la convergence en loi de $X_n$ vers $X$. ■

## 9.2 Indépendance

**Définition 9.22** Soit $p \in \mathbb{N}$, $p \ge 2$, $d_1, \dots, d_p \in \mathbb{N}^*$. soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace probabilisable et, pour tout $i \in \{1, \dots, p\}$, $X_i$ un v.a. de dimension $d_i$. Les v.a. $X_1, \dots, X_p$ sont dits indépendants si les tribus $\sigma(X_1), \dots, \sigma(X_p)$ (engendrées par $X_1, \dots, X_p$) sont indépendantes (cf définition 2.56, p. 65)

La proposition suivante donne des opérations possibles sur l'indépendance.