3. On suppose ici que $f \in L^1$, montrer que $f_n \to f$ dans $L^1$, lorsque $n \to +\infty$.

**Corrigé** – On utilise toujours la suite $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et la fonction $g$ construites à la première question.

Comme $f \in L_1^1(E, T, m)$ on a $g \in L_1^1(E, T, m)$ et la propriété (4.37) (ou la propriété (4.38)) donne $\int g_n dm \to \int g dm$ quand $n \to +\infty$ et donc

$$ \int |g_n - g|dm \to 0 \quad \text{quand} \quad n \to +\infty. $$

(On a utilisé ici le fait que $(g_n - g)$ a un signe constant et que $g \in L_1^1(E, T, m)$.)

Comme $\|f_n - f\|_1 = \int |g_n - g|dm$, on en déduit que $f_n \to f$ dans $L_1^1(E, T, m)$, quand $n \to +\infty$.

**Exercice 4.28 (Préliminaire pour le théorème de Vitali)**

Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré et soit $f \in L^1 (= L_1^1(E, T, m))$.

1. Montrer que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que :

$$ A \in T, m(A) \le \delta \Rightarrow \int_A |f|dm \le \varepsilon. $$

[Choisir un représentant de $f$ et introduire $f_n = \inf(|f|, n)$].

**Corrigé** – En choisissant un représentant de $f$, cette question est démontrée à la question 1 de l'exercice 4.14.

2. Soit $\varepsilon > 0$, montrer qu'il existe $C \in T$ t.q. $m(C) < +\infty$ et $\int_{C^c} |f|dm \le \varepsilon$.

[Choisir un représentant de $f$ et considérer $C_n = \{x \in E; \frac{1}{n} \le |f(x)|\}$.]

**Corrigé** – On choisit un représentant de $f$, encore noté $f$, et on pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $C_n = \{|f| \ge \frac{1}{n}\}$.

Comme $|f| \ge \frac{1}{n} 1_{C_n}$, on a, par monotonie de l'intégrale, $m(C_n) \le n \|f\|_1 < +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

On pose maintenant $g_n = |f| 1_{C_n^c}$. On remarque que $g_n(x) \to 0$ pour tout $x \in E$ et que $|g_n| \le |f|$. On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée à la suite $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ (ou la proposition préliminaire 4.29). Il donne que $\int g_n dm \to 0$ quand $n \to +\infty$.

Soit $\varepsilon > 0$, il existe donc $n_0 \in \mathbb{N}^*$ t.q. $\int g_n dm \le \varepsilon$. On prend alors $C = C_{n_0}$, on a bien $m(C) < +\infty$ et $\int_{C^c} |f|dm \le \varepsilon$.

**Exercice 4.29 (Théorème de Vitali)**

Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^1(= L_1^1(E, T, m))$ et $f : E \to \mathbb{R}$ t.q. $f_n \to f$ p.p..
1. On suppose $m(E) < +\infty$. Montrer que $f \in L^1$ et $f_n \to f$ dans $L^1$ lorsque $n \to +\infty$ si et seulement si $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est équi-intégrable i.e. : Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta$ t.q. $(A \in T, n \in \mathbb{N}, m(A) \le \delta) \Rightarrow \int_A |f_n| dm \le \varepsilon$.

[Pour montrer le sens $\Rightarrow$, utiliser la question 1 de l'exercice 4.28. Pour le sens $\Leftarrow$, remarquer que $\int |f_n - f| dm = \int_A |f_n - f| dm + \int_{A^c} |f_n - f| dm$, utiliser le théorème d'Egorov et le lemme de Fatou...]

**Corrigé – Sens(=$\Rightarrow$)** Soit $\varepsilon > 0$. D'après l'exercice 4.28 (première question), il existe, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\delta_n > 0$ t.q. :

$$A \in T, m(A) \le \delta_n \Rightarrow \int_A |f_n| dm \le \varepsilon. \quad (4.39)$$

On ne peut pas déduire de (4.39) l'équi-intégrabilité de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ car on peut avoir $\inf_{n \in \mathbb{N}} \delta_n = 0$.

Comme $f \in L^1$, il existe aussi $\delta > 0$ t.q. :

$$A \in T, m(A) \le \delta \Rightarrow \int_A |f| dm \le \varepsilon. \quad (4.40)$$

On va déduire l'équi-intégrabilité de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en utilisant (4.39) et (4.40).

Soit $A \in T$, on a :

$$\int_A |f_n| dm \le \int_A |f_n - f| dm + \int_A |f| dm \le \int_A |f_n - f| dm + \int_A |f| dm. \quad (4.41)$$

Comme $f_n \to f$ dans $L^1$ quand $n \to +\infty$, il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ t.q. $\|f_n - f\|_1 \le \varepsilon$ si $n > n_0$. Pour $n > n_0$ et $m(A) \le \delta$, (4.41) et (4.40) donne donc $\int_A |f_n| dm \le 2\varepsilon$. On choisit alors $\bar{\delta} = \min\{\delta_0, \dots, \delta_{n_0}, \delta\} > 0$ et on obtient, avec aussi (4.39) (pour tout $n \le n_0$) :

$$n \in \mathbb{N}, A \in T, m(A) \le \bar{\delta} \Rightarrow \int_A |f_n| dm \le 2\varepsilon.$$

Ce qui donne l'équi-intégrabilité de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

**Sens (=$\Leftarrow$)**

on veut montrer ici que $f \in L^1$ et $\|f_n - f\|_1 \to 0$ quand $n \to +\infty$.

Soit $\varepsilon > 0$. L'équi-intégrabilité de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ donne l'existence de $\delta > 0$ t.q. :

$$n \in \mathbb{N}, A \in T, m(A) \le \bar{\delta} \Rightarrow \int_A |f_n| dm \le 2\varepsilon. \quad (4.42)$$

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on choisit maintenant un représentant de $f_n$, encore noté $f_n$. Comme $f_n \to f$ p.p., il existe $B \in T$ t.q. $m(B) = 0$ et $f_n \to f$ sur $B^c$. En remplaçant f par $f 1_{B^c}$ (ce qui ne change f que sur un ensemble de mesure nulle, donc ne change pas les hypothèses du théorème), on a alors $f \in M$ car f est limite simple de la suite $(f_n 1_{B^c})_{n \in \mathbb{N}} \subset M$ (noter que f est bien à valeurs dans $\mathbb{R}$). Comme $m(E) < +\infty$, on peut utiliser le théorème d'Egorov (théorème 3.39); il donne l'existence de $A \in T$ t.q. $f_n \to f$ uniformément sur $A^c$, c'est-à-dire $\sup_{x \in A^c} |f_n(x) - f(x)| \to 0$ quand $n \to +\infty$. On a donc aussi, pour ce choix de A,

$$\int_{A^c} |f_n - f| dm \le m(E) \sup_{x \in A^c} |f_n(x) - f(x)| \to 0, \text{ quand } n \to +\infty.$$
Il existe donc $n_0(\varepsilon) \in \mathbb{N}$ t.q. $\int_{A^c} |f_n - f|dm \le \varepsilon$ pour tout $n \ge n_0(\varepsilon)$. Avec (4.42), on en déduit, pour tout $n \ge n_0(\varepsilon)$ :

$$ \int |f_n - f|dm \le \int_{A^c} |f_n - f|dm + \int_A |f_n|dm + \int_A |f|dm \le 2\varepsilon + \int_A |f|dm. $$

Pour majorer le dernier terme de l'inégalité précédente, on utilise le lemme de Fatou sur la suite $(|f_n|1_A)_{n \in \mathbb{N}}$ (qui est bien dans $M_+$). Comme $\liminf_{n \to +\infty} |f_n|1_A = |f|1_A$, il donne avec (4.42),

$$ \int_A |f|dm \le \liminf_{n \to +\infty} \int |f_n|1_A \le \varepsilon. $$

On a donc, finalement,

$$ n \ge n_0(\varepsilon) \Rightarrow \int |f_n - f|dm \le 3\varepsilon. \quad (4.43) $$

En choisissant $n = n_0(1)$, on déduit de (4.43) que $f_n - f \in L^1$ et donc que $f = (f - f_n) + f_n \in L^1$. Cette appartenance étant, comme d'habitude à prendre au sens où il existe $g \in L^1$ t.q. $f = g$ p.p. (en fait, ici, comme nous avons remplacé $f$ par $f1_{B^c}$ ci-dessus, on a même $f \in L^1$).

Puis, (4.43) étant vraie pour tout $\varepsilon > 0$, on a bien montré que $\|f_n - f\|_1 \to 0$ quand $n \to +\infty$.

2. On suppose maintenant $m(E) = +\infty$. Montrer que : $f \in L^1$ et $f_n \to f$ dans $L^1$ lorsque $n \to +\infty$ si et seulement si $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est équi-intégrable et vérifie : $\forall \varepsilon > 0, \exists C \in T, m(C) < +\infty$ et $\int_{C^c} |f_n|dm \le \varepsilon$ pour tout $n$.

[Pour montrer le sens $\Rightarrow$, utiliser l'exercice 4.28. Pour le sens $\Leftarrow$, utiliser l'exercice 4.28, le lemme de Fatou et le résultat de la question 1.]

**Corrigé – Sens ($\Rightarrow$)**

(a) L'hypothèse $m(E) < +\infty$ n'a pas été utilisée à la question précédente. La même démonstration donne donc ici l'équi-intégrabilité de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$

(b) On utilise maintenant la deuxième question de l'exercice 4.28.

Soit $\varepsilon > 0$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe $C_n \in T$ t.q. $m(C_n) < +\infty$ et $\int_{C_n^c} f_n dm \le \varepsilon$.

Comme $f \in L^1$, il existe aussi $D \in T$ t.q. $m(D) < +\infty$ et $\int_{D^c} f dm \le \varepsilon$. Enfin, comme $f_n \to f$ dans $L^1$ quand $n \to +\infty$, il existe $n_0$ t.q. $\|f_n - f\|_1 \le \varepsilon$ pour tout $n \ge n_0$.

On choisit maintenant $C = D \cup (\bigcup_{n=0}^{n_0} C_n)$, de sorte que

$$ m(C) < m(D) + \sum_{n=0}^{n_0} m(C_n) < +\infty, $$

$C^c \subset D^c$ et $C^c \subset C_n^c$ si $n \le n_0$. Ce choix de C nous donne, pour tout $n \ge n_0$,

$$ \int_{C^c} |f_n|dm \le \int_{D^c} |f|dm + \int_{D^c} |f_n - f|dm \le 2\varepsilon, $$
et, pour tout $n \le n_0$,

$$ \int_{C^c} |f_n| dm \le \int_{C_n^c} |f_n| dm \le \varepsilon. $$

On a donc $m(C) < +\infty$ et $\int_{C^c} |f_n| dm \le 2\varepsilon$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

**Sens (=$=$)**

on veut montrer ici que $f \in L^1$ et $\|f_n - f\|_1 \to 0$ quand $n \to +\infty$.

Soit $\varepsilon > 0$. La deuxième hypothèse donne l'existence de $C \in T$ t.q. $m(C) < +\infty$ et

$$ \int_{C^c} |f_n| dm \le \varepsilon \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}. \quad (4.44) $$

Comme dans la question précédente, on peut supposer (en changeant éventuellement $f$ sur un ensemble de mesure nulle) que $f \in M$. En appliquant le lemme de Fatou à la suite $(|f_n|1_{C^n})_{n \in \mathbb{N}} \subset M_+$, on déduit de (4.44) que

$$ \int_{C^c} |f| dm \le \varepsilon. \quad (4.45) $$

La première hypothèse (c'est-à-dire l'équi-intégrabilité de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$) donne l'existence de $\delta > 0$ t.q.

$$ n \in \mathbb{N}, A \in T, m(A) \le \delta \Rightarrow \int_A |f_n| dm \le \varepsilon. \quad (4.46) $$

On peut maintenant utiliser le théorème d'Egorov sur la suite $(f_{n|C})_{n \in \mathbb{N}}$ (qui converge p.p. vers $f_C$) dans l'espace mesurable $(C, T_C)$ où $T_C$ est la tribu $\{B \in T \; ; \; B \subset C\}$. Il donne l'existence de $A \subset C$, $A \in T$, t.q. $m(A) \le \delta$ et $f_n \to f$ uniformément sur $A^c \cap C$. On en déduit que

$$ \int_{A^c \cap C} |f_n - f| dm \le m(C) \sup_{x \in A^c \cap C} |f_n(x) - f(x)| \to 0 \text{ quand } n \to +\infty. $$

Il existe donc $n_0$ t.q.

$$ n \ge n_0 \Rightarrow \int_{A^c \cap C} |f_n - f| dm \le \varepsilon. \quad (4.47) $$

Enfin, en appliquant le lemme de Fatou à la suite $(|f_n|1_A)_{n \in \mathbb{N}} \subset M_+$, on déduit de (4.46) que

$$ \int_A |f| dm \le \varepsilon. \quad (4.48) $$

Il suffit maintenant de remarquer que

$$ \int |f_n - f| dm \le \int_{A^c \cap C} |f_n - f| dm + \int_A |f_n| dm + \int_A |f| dm \\ + \int_{C^c} |f_n| dm + \int_{C^c} |f| dm, $$

pour déduire de (4.47), (4.46), (4.48), (4.44) et (4.45) que

$$ n \ge n_0 \Rightarrow \int |f_n - f| dm \le 5\varepsilon. $$
On conclut comme à la question précédente. En prenant d'abord $\varepsilon = 1$, on montre que $f \in L^1$ puis, comme $\varepsilon > 0$ est arbitraire, on montre que $f_n \to f$ dans $L^1$ quand $n \to +\infty$.

3. Montrer que le théorème de convergence dominée de Lebesgue peut être vu comme une conséquence du théorème de Vitali.

**Corrigé** – Soient $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^1$ et $F \in L^1$ t.q. $|f_n| \le F$ p.p., pour tout $n \in \mathbb{N}$.

En utilisant l'exercice 4.28 sur F, on montre facilement l'équi-intégrabilité de la suite $(f_n)_n$ et l'existence, pour tout $\varepsilon > 0$, de $C \in T$ t.q. $m(C) < +\infty$ et $\int_{C^c} |f_n| dm \le \varepsilon$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ (noter que si $m(E) < +\infty$ cette propriété est immédiate en prenant $C = E$). Il est alors facile de montrer le théorème de convergence dominée à partir du théorème de Vitali.

**Exercice 4.30 (Théorème de “Vitali-mesure”)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré. On note $\mathcal{L}^1 = \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L}^1$ et $f \in \mathcal{M}(E, T)$.

1. On suppose que $m(E) < +\infty$. On se propose ici de montrer que $[f \in \mathcal{L}^1 \text{ et } \|f_n - f\|_1 \to 0 \text{ quand } n \to +\infty]$ si et seulement si on a les deux propriétés suivantes :

p1. $f_n \to f$ en mesure, quand $n \to +\infty$,

p2. La suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est équi-intégrable.

(a) Montrer le sens direct (c'est-à-dire que la convergence pour la norme de $L^1$ implique p1 et p2).

**Corrigé** – On montre tout d'abord la convergence en mesure. Soit $\eta > 0$. On a alors :

$$m(\{|f_n - f| \ge \eta\}) \le \frac{1}{\eta} \int |f_n - f| dm \to 0, \text{ quand } n \to +\infty.$$

Ce qui donne que $f_n \to f$ en mesure, quand $n \to +\infty$.

Pour montrer l'équi-intégrabilité, il suffit de remarquer que, pour tout $A \in T$, on a :

$$\int_A |f_n| dm \le \int |f_n - f| dm + \int_A |f| dm.$$

Soit $\varepsilon > 0$. Comme $f \in \mathcal{L}^1$, il existe (voir la proposition 4.50) $\delta > 0$ t.q.

$$m(A) \le \delta \Rightarrow \int_A |f| dm \le \varepsilon.$$

Comme $\|f_n - f\|_1 \to 0$, quand $n \to +\infty$, il existe $n_0$ t.q.

$$n \ge n_0 \Rightarrow \int |f_n - f| dm \le \varepsilon.$$

On en déduit :

$$(n \ge n_0 \text{ et } m(A) \le \delta) \Rightarrow \int_A |f_n| dm \le 2\varepsilon. \quad (4.49)$$

Puis, pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe (voir la proposition 4.50) $\delta_n > 0$ t.q.

$$m(A) \le \delta_n \Rightarrow \int_A |f_n| dm \le \varepsilon. \quad (4.50)$$
En posant $\bar{\delta} = \min\{\delta, \delta_0, \dots, \delta_n\}$ on a donc, avec (4.49) et (4.50) :

$$ (n \in \mathbb{N} \text{ et } m(A) \le \bar{\delta}) \Rightarrow \int_A |f_n| dm \le 2\epsilon. $$

Ce qui montre l'équi-intégrabilité de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

(b) Pour montrer la réciproque, on suppose maintenant que $f_n \to f$ en mesure, quand $n \to +\infty$, et que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est équi-intégrable.

i. Montrer que pour tout $\delta > 0$ et $\eta > 0$, il existe $n \in \mathbb{N}$ t.q. : $p, q \ge n \Rightarrow m(\{|f_p - f_q| \ge \eta\} \le \delta)$.

**Corrigé** – On remarque que, pour tout $p, q \in \mathbb{N}$ et tout $x \in E$, $|f_p - f|(x) \le \frac{\eta}{2}$ et $|f_q - f|(x) \le \frac{\eta}{2}$ implique $|f_p - f_q|(x) \le \eta$. On a donc $\{|f_p - f_q| \ge \eta\} \subset \{|f_p - f| \ge \frac{\eta}{2}\} \cup \{|f_p - f| \ge \frac{\eta}{2}\}$, ce qui donne :

$$ m(\{|f_p - f_q| \ge \eta\}) \le m(\{|f_p - f| \ge \frac{\eta}{2}\}) + \{|f_q - f| \ge \frac{\eta}{2}\}. $$

Comme $f_n \to f$ en mesure, il existe $n \in \mathbb{N}$ t.q. :

$$ p \ge n \Rightarrow m(\{|f_p - f| \ge \frac{\eta}{2}\}) \le \frac{\delta}{2}, $$

on en déduit :

$$ p, q \ge n \Rightarrow m(\{|f_p - f_q| \ge \eta\}) \le \delta. $$

ii. Montrer que la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est de Cauchy dans $L^1$.

**Corrigé** – Soit $p, q \in \mathbb{N}$ et $\eta > 0$, on a :

$$ \|f_p - f_q\|_1 = \int_{\{|f_p - f_q| \ge \eta\}} |f_p| dm + \int_{\{|f_p - f_q| \ge \eta\}} |f_q| dm + \eta m(E). \quad (4.51) $$

Soit $\epsilon > 0$. D'après l'équi-intégrabilité de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$, il existe $\delta > 0$ t.q.

$$ (A \in \mathcal{T}, m(A) \le \delta \text{ et } n \in \mathbb{N}) \Rightarrow \int_A |f_n| \le \epsilon. \quad (4.52) $$

On commence à choisir $\eta > 0$ t.q. $\eta m(E) \le \epsilon$. Puis, la question précédente donne l'existence de $n$ t.q. $m(\{|f_p - f_q| \ge \eta\}) \le \delta$ si $p, q \ge n$. On a donc, par (4.52) :

$$ \int_{\{|f_p - f_q| \ge \eta\}} |f_p| \le \epsilon \text{ et } \int_{\{|f_p - f_q| \ge \eta\}} |f_q| \le \epsilon \text{ si } p, q \ge n. $$

Finalement, (4.51) donne :

$$ p, q \ge n \Rightarrow \|f_p - f_q\|_1 \le 3\epsilon. $$

La suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est donc de Cauchy dans $L^1$.

iii. Montrer que $f \in \mathcal{L}^1$ et que $\|f_n - f\|_1 \to 0$ quand $n \to +\infty$.
**Corrigé** – Comme $L^1$ est complet, il existe $g \in L^1$ t.q. $f_n \to g$ dans $L^1$, quand $n \to +\infty$. On peut supposer $g \in L^1$ (en confondant g avec l'un de ses représentants). La question (a) donne alors que $f_n \to g$ en mesure, quand $n \to +\infty$. Comme $f_n \to f$ en mesure, on a donc nécessairement $f = g$ p.p., ce qui donne bien $f \in L^1$ et $\|f_n - f\|_1 = \|f_n - g\|_1 \to 0$, quand $n \to +\infty$.

2. On ne suppose plus que $m(E) < +\infty$. Montrer que “$f \in L^1$ et $\|f_n - f\|_1 \to 0$ quand $n \to +\infty$ si et seulement si on a les propriétés suivantes :

p1. $f_n \to f$ en mesure, quand $n \to +\infty$,

p2. la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est équi-intégrable,

p3. pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $A \in T$ t.q. $m(A) < +\infty$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\int_{A^c} |f_n| dm \le \varepsilon$.

**Corrigé – Étape 1 On montre tout d'abord le sens direct.**

Les propriétés p1 et p2 ont déjà été démontrées dans la question 1-(a) (car l'hypothèse $m(E) < +\infty$ n'avait pas été utilisée).

Pour démontrer la propriété p3, on utilise la proposition 4.50 du cours. Soit $\varepsilon > 0$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, Il existe $B_n \in T$ t.q. $m(B_n) < +\infty$ et

$$ \int_{B_n^c} |f_n| dm \le \varepsilon. \quad (4.53) $$

Il existe aussi $B \in T$ t.q. $m(B) < +\infty$ et

$$ \int_{B^c} |f| dm \le \varepsilon. \quad (4.54) $$

En remarquant que

$$ \int_{B^c} |f_n| dm \le \int |f_n - f| dm + \int_{B^c} |f| dm, $$

on obtient, en utilisant le fait que $\|f_n - f\|_1 \to 0$, quand $n \to +\infty$, et (4.54), l'existence de $n_0$ t.q.

$$ n \ge n_0 \Rightarrow \int_{B^c} |f_n| dm \le 2\varepsilon. $$

En prenant $A = B \cup (\bigcup_{p=0}^{n_0} B_p)$, on obtient alors (avec (4.53)) $m(A) < +\infty$ et :

$$ n \in \mathbb{N} \Rightarrow \int_{A^c} |f_n| dm \le 2\varepsilon. $$

**Étape 2 On montre maintenant la réciproque.**

On reprend la même méthode que dans le cas $m(E) < +\infty$.

On remarque tout d'abord que pour tout $\delta > 0$ et $\eta > 0$, il existe $n \in \mathbb{N}$ t.q. : $p, q \ge n \Rightarrow m(|f_p - f_q| \ge \eta) \le \delta$. La démonstration est la même que précédemment (l'hypothèse $m(E) < +\infty$ n'avait pas été utilisée).

On montre maintenant que la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est de Cauchy dans $L^1$. Soit $p, q \in \mathbb{N}$, $A \in T$ et $\eta > 0$, on a :
$$
\|f_p - f_q\|_1 \le \int_{A^c} (|f_p| + |f_q|) dm + \int_{\{|f_p - f_q| \ge \eta\}} (|f_p| + |f_q|) dm + \eta m(A). \quad (4.55)
$$

Soit $\varepsilon > 0$. D'après l'équi-intégrabilité de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$, il existe $\delta > 0$ t.q.

$$
(B \in \mathcal{T}, m(B) \le \delta \text{ et } n \in \mathbb{N}) \Rightarrow \int_{\mathbb{B}} |f_n| \le \varepsilon. \qquad (4.56)
$$

D'après la propriété p3, il existe $A \in \mathcal{T}$ t.q. $m(A) < +\infty$ et

$$
n \in \mathbb{N} \Rightarrow \int_{A^c} |f_n| dm \le \varepsilon. \qquad (4.57)
$$

On commence à choisir $\eta > 0$ t.q. $\eta m(A) \le \varepsilon$. Maintenant que $\delta$ et $\eta$ sont fixés, il existe $n \in \mathbb{N}$ t.q. $m(|f_p - f_q| \ge \eta) \le \delta$ si $p, q \ge n$. On a donc, par (4.56), $\int_{|f_p - f_q| \ge \eta} |f_p| \le \varepsilon$ et $\int_{|f_p - f_q| \ge \eta} |f_q| \le \varepsilon$ si $p, q \ge n$. Avec (4.55) et (4.57), on obtient alors :

$p, q \ge n \Rightarrow \|f_p - f_q\|_1 \le 5\varepsilon.$

La suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est donc de Cauchy dans $L^1$.

On conclut, comme dans le cas $m(E) < +\infty$, que $f \in \mathcal{L}^1$ et $\|f_n - f\|_1 \to 0$, quand $n \to +\infty$ (car l'hypothèse $m(E) < +\infty$ n'avait pas été utilisée pour cette partie).

**Exercice 4.31 (Convergence en mesure dominée)** Soit $(E, \mathcal{T}, m)$ un espace mesuré, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions intégrales de $E$ dans $\mathbb{R}$ et $f$ une fonction mesurable de $E$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que les conditions suivantes sont vérifiées :

$$
\bullet f_n \to f \text{ en mesure quand } n \to +\infty.
$$

* Il existe $g$, fonction intégrable de $E$ dans $\mathbb{R}$, t.q., pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|f_n| \le g$ p.p.,

1. Soit $p \in \mathbb{N}^*$. En remarquant que $|f| \le |f - f_n| + |f_n|$, montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$$
m(\{|f| - g \ge \frac{1}{p}\}) \le m(\{|f_n - f| \ge \frac{1}{p}\}).
$$

**Corrigé** – Soit $n \in \mathbb{N}$. Comme $|f_n| \le g$ p.p., on a

$$
|f| - g \le |f - f_n| + |f_n| - g \le |f - f_n| \text{ p.p.}.
$$

A un ensemble de mesure près, on a donc $\{|f| - g \ge \frac{1}{p}\}$ inclus dans $\{|f_n - f| \ge \frac{1}{p}\}$ et donc

$$
m(\{|f| - g \ge \frac{1}{p}\}) \le m(\{|f_n - f| \ge \frac{1}{p}\}). \quad (4.58)
$$

2. Soit $p \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $m(\{|f| - g \ge \frac{1}{p}\}) = 0$. En déduire que $|f| \le g$ p.p. et que $f$ est intégrable.
**Corrigé** – Comme $f_n \to f$ en mesure, on obtient, en passant à la limite dans (4.58) quand $n \to +\infty$, que $m(\{|f| - g \ge \frac{1}{p}\}) = 0$.

Comme $\{|f| - g > 0\} = \cup_{p \in \mathbb{N}^*} \{|f| - g \ge \frac{1}{p}\}$ et $m(\{|f| - g \ge \frac{1}{p}\}) = 0$ pour tout $p$, on obtient (par σ-additivité de $m$ ou par convergence croissante de $m$) que $m(\{|f| - g > 0\}) = 0$ et donc que $|f| \le g \text{ p.p.}$.

Comme $g$ est intégrable, on en déduit bien que $f$ est intégrable (et $\int |f| dm \le \int g dm$).

3. On suppose, dans cette question, que $m(E) < +\infty$.

(a) Soit $\eta > 0$. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$$ \int |f_n - f| dm \le \eta m(E) + \int_{\{|f_n - f| > \eta\}} 2g dm. $$

**Corrigé** – Comme $|f_n - f| \le |f_n| + |f| \le 2g \text{ p.p.}$, on a

$$ \begin{align*} \int |f_n - f| dm &= \int_{\{|f_n - f| \le \eta\}} |f_n - f| dm + \int_{\{|f_n - f| > \eta\}} |f_n - f| dm \\ &\le \eta m(\{|f_n - f| \le \eta\}) + \int_{\{|f_n - f| > \eta\}} 2g dm \\ &\le \eta m(E) + \int_{\{|f_n - f| > \eta\}} 2g dm. \end{align*} $$

(b) Montrer que $\lim_{n \to +\infty} \int |f_n - f| dm = 0$.

[On rappelle que si, $h$ est une fonction intégrable de $E$ dans $\mathbb{R}$, pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ t.q.

$$ A \in \mathbb{T}, m(A) \le \delta \Rightarrow \int_A |h| dm \le \varepsilon. $$

**Corrigé** – Soit $\varepsilon > 0$. D'après le rappel, il existe $\delta > 0$ t.q.

$$ A \in \mathbb{T}, m(A) \le \delta \Rightarrow \int_A 2g dm \le \varepsilon. \quad (4.59) $$

Pour majorer $\lim_{n \to +\infty} \int |f_n - f| dm$, on choisit d'abord $\eta > 0$ t.q. $\eta m(E) \le \varepsilon$. Puis, pour ce choix de $\eta$, la convergence en mesure de $f_n$ vers $f$ donne l'existence de $n_0 \in \mathbb{N}$ t.q.

$$ n \ge n_0 \Rightarrow m(\{|f_n - f| > \eta\}) \le \delta. $$

En utilisant l'inégalité montrée à la question 3(a), on obtient alors, grâce à (4.59),

$$ n \ge n_0 \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} \int |f_n - f| dm \le 2\varepsilon. $$

Ce qui montre bien que $\lim_{n \to +\infty} \int |f_n - f| dm = 0$.
4. On ne suppose plus que $m(E) < +\infty$. Montrer que $\lim_{n\to+\infty} \int |f_n - f|dm = 0$.
[On rappelle que si, $h$ est une fonction intégrable de $E$ dans $\mathbb{R}$, pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $C \in \mathbb{T}$ t.q. $m(C) < +\infty$ et $\int_{C^c} |h|dm \le \varepsilon$.]

**Corrigé** – On remarque d'abord que pour tout $C \in \mathbb{T}$, tout $\eta > 0$ et tout $n \in \mathbb{N}$, on a
$$ \int |f_n - f|dm \le \int_{C \cap \{|f_n - f| \le \eta\}} |f_n - f|dm + \int_{C^c} |f_n - f|dm + \int_{\{|f_n - f| > \eta\}} |f_n - f|dm \\ \le \eta m(C) + \int_{C^c} 2gdm + \int_{\{|f_n - f| > \eta\}} 2gdm. \quad (4.60) $$

Soit $\varepsilon > 0$. D'après le rappel, il existe $C \in \mathbb{T}$ t.q. $m(C) < +\infty$ et $\int_{C^c} 2gdm \le \varepsilon$. On choisit donc un tel ensemble $C$. On choisit maintenant $\eta > 0$ t.q. $\eta m(C) \le \varepsilon$ et on peut conclure comme à la question précédente, c'est-à-dire que la convergence en mesure de $f_n$ vers $f$ donne l'existence de $n_0 \in \mathbb{N}$ t.q.

$$n \ge n_0 \Rightarrow m(\{|f_n - f| > \eta\}) \le \delta,$$

avec $\delta$ satisfaisant (4.59). En utilisant l'inégalité (4.60), on obtient alors

$$n \ge n_0 \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} \int |f_n - f|dm \le 3\varepsilon,$$

ce qui montre bien que $\lim_{n \to +\infty} \int |f_n - f|dm = 0$.

**Exercice 4.32 (Continuité de $p \mapsto \|\cdot\|_p$)** Soient $(E, \mathbb{T}, m)$ un espace mesuré et $f \in \mathcal{M}(E, \mathbb{T})$.

1. Pour $p \in [1, +\infty[$, on pose $\|f\|_p = (\int |f|^p dm)^{\frac{1}{p}}$ (noter que $|f|^p \in \mathcal{M}_+$) et on dit que $f \in \mathcal{L}^p$ si $\|f\|_p < +\infty$. On pose $I = \{p \in [1, +\infty[, f \in \mathcal{L}^p\}$.

(a) Soient $p_1$ et $p_2 \in [1, +\infty[$, et $p \in [p_1, p_2]$. Montrer que si $f \in \mathcal{L}^{p_1} \cap \mathcal{L}^{p_2}$, alors $f \in \mathcal{L}^p$. En déduire que $I$ est un intervalle.

[On pourra introduire $A = \{x; |f(x)| \le 1\}$.]

**Corrigé** – Soit $\alpha \in \mathbb{R}_+^*$. On remarque que $\alpha^p \le \alpha^{p_2}$ si $1 \le \alpha$ et $\alpha^p \le \alpha^{p_1}$ si $\alpha \le 1$. On en déduit que $|f|^p \le |f|^{p_1} + |f|^{p_2}$ (en fait, on a $|f|^p \le |f|^{p_1}$ sur $A = \{|f| \le 1\}$ et $|f|^p \le |f|^{p_2}$ sur $A^c$) et donc que $f \in \mathcal{L}^p$ si $f \in \mathcal{L}^{p_1} \cap \mathcal{L}^{p_2}$.

On suppose que $I \ne \emptyset$. On pose $a = \inf I$ et $b = \sup I$. On a donc $1 \le a \le b \le \infty$ et $I \subset [a, b]$. On montre maintenant que $]a, b[ \subset I$ (ce qui donne que $I$ est bien un intervalle dont les bornes sont $a$ et $b$).

Soit $p \in]a, b[$. La définition de $a$ et $b$ permet d'affirmer qu'il existe $p_1 \in I$ t.q. $p_1 < p$ et qu'il existe $p_2 \in I$ t.q. $p_2 > p$. On a donc $f \in \mathcal{L}^{p_1} \cap \mathcal{L}^{p_2}$ et $p \in]p_1, p_2[$, d'où l'on déduit que $p \in I$. on a donc bien monté que $]a, b[ \subset I$ et donc que $I$ est un intervalle.

(b) On montre sur des exemples que les bornes de $I$ peuvent être ou ne pas être dans $I$. On prend pour cela : $(E, \mathbb{T}, m) = ([2, +\infty[, \mathcal{B}([2, \infty[), \lambda) (\lambda$ est ici la restriction à $[2, \infty[$ de la mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}))$. Calculer $I$ dans les deux cas suivants :
$$
\text{i. } f(x) = \frac{1}{x}, x \in [2, +\infty[.
$$

ii. $f(x) = \frac{1}{x(\ln x)^2}, x \in [2, +\infty[$.

Corrigé – i. $f(x) = \frac{1}{x}$, $x \in [2, +\infty[$. Soit $1 \le p < \infty$. Pour savoir si $f \in \mathcal{L}^p$ ou non, on utilise le théorème de convergence monotone et l’intégrale des fonctions continues sur un intervalle compact de $\mathbb{R}$.

Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $f_n = |f|^{1_{[2,n]}}$. On a donc $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{M}_+$ et $f_n \uparrow |f|^{1_{[2,n]}}$ ce qui donne, grâce au théorème de convergence monotone,

$$
\int f_n d\lambda \to \int |f|^p d\lambda, \text{ quand } n \to +\infty.
$$

Les intégrales ci-dessus sont des intégrales sur $[2, +\infty[$, muni de la mesure de Lebesgue sur les boréliens. La comparaison entre l’intégrale des fonctions continues et l’intégrale de Lebesgue (voir les exercices 4.4 et 4.5) donne que

$$
\int f_n d\lambda = \int_2^n \frac{1}{x^p} dx.
$$

On distingue maintenant les cas $p=1$ et $p>1$.

• Si $p > 1$, on a

$$
\int f_n d\lambda = \frac{1}{p-1} \left( \frac{1}{2^{p-1}} - \frac{1}{n^{p-1}} \right) \to \frac{1}{p-1} \frac{1}{2^{p-1}} < \infty \text{ quand } n \to +\infty.
$$

On a donc $f \in \mathcal{L}^p$.

• Si $p=1$, on a

$$
\int f_n d\lambda = \ln(n) - \ln(2) \to \infty \text{ quand } n \to +\infty.
$$

On a donc $f \notin \mathcal{L}^1$.

On a donc $I = ]1, \infty[$.

ii. $f(x) = \frac{1}{x(\ln x)^2}, x \in [2, +\infty[$. Pour $1 < p < \infty$, on a clairement $f \in \mathcal{L}^p$ car la fonction $f$ est positive et majorée par $\frac{1}{\ln(2)^2}g$ où $g$ est la fonction de l'exemple précédent, c'est-à-dire $g(x) = \frac{1}{x}$. Pour $p = 1$, on utilise la même méthode que pour l'exemple précédent :

Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $f_n = |f|1_{[2,n]}$, de sorte que $f_n \uparrow |f| = f$ et donc

$$
\int f_n d\lambda \to \int |f| d\lambda, \text{ quand } n \to +\infty.
$$

On a ici, quand $n \to +\infty$,

$$
\int f_n d\lambda = \int_2^n \frac{1}{x(\ln x)^2} dx = \ln(2)^{-1} - \ln(n)^{-1} \to \ln(2)^{-1} < \infty.
$$

On en déduit que $f \in \mathcal{L}^1$, donc $I = [1, \infty[$.

(c) Soit $(p_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset I$ et $p \in \bar{I}$, ($\bar{I}$ désigne l'adhérence de $I$ dans $\mathbb{R}$), t.q. $p_n \uparrow p$ (ou $p_n \downarrow p$). Montrer que $\int |f|^{p_n} dm \to \int |f|^p dm$ quand $n \to +\infty$.

[On pourra encore utiliser l'ensemble A.]
**Corrigé** – On utilise ici $A = \{|f| \le 1\} \in \mathcal{T}$.

(a) On suppose d'abord que $p_n \uparrow p$ quand $n \to +\infty$. On pose $g_n = |f|^{p_n} 1_A$ et $h_n = |f|^{p_n} 1_{A^c}$, de sorte que $g_n \in \mathcal{L}^1$, $h_n \in \mathcal{L}^1$ et

$$\int g_n dm + \int h_n dm = \int |f|^{p_n} dm.$$

On remarque alors que $h_n \uparrow h = |f|^{p_n} 1_{A^c}$, quand $n \to +\infty$. Comme $(h_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{M}_+$, le théorème de convergence monotone donne

$$\int h_n dm \to \int h dm, \text{ quand } n \to +\infty. \quad (4.61)$$

Noter que ceci est vrai même si $p \notin I$ (dans ce cas, on a, en fait, $\int h dm = \infty$).

On remarque maintenant que $g_n \to g = |f|^{p_n} 1_A$ p.p., quand $n \to +\infty$, et que $0 \le g_n \le |f|^{p_0}$ car la suite $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est ici décroissante. Comme $p_0 \in I$, on a $|f|^{p_0} \in \mathcal{L}^1$ et on peut appliquer le théorème de convergence dominée (ou la proposition 4.29). Il donne

$$\int g_n dm \to \int g dm, \text{ quand } n \to +\infty. \quad (4.62)$$

Avec (4.61) et (4.62) on obtient, quand $n \to +\infty$,

$$\int |f|^{p_n} dm = \int g_n dm + \int h_n dm \to \int g dm + \int h dm = \int |f|^{p_n} dm,$$

(b) On suppose maintenant que $p_n \downarrow p$ quand $n \to +\infty$ et on reprend la même méthode que ci-dessus. On pose $g_n = |f|^{p_n} 1_A$ et $h_n = |f|^{p_n} 1_{A^c}$, de sorte que $g_n \in \mathcal{L}^1$, $h_n \in \mathcal{L}^1$ et

$$\int g_n dm + \int h_n dm = \int |f|^{p_n} dm.$$

les rôles de $g_n$ et $h_n$ sont inversés par rapport au cas précédent : On remarque que $g_n \uparrow g = |f|^{p_n} 1_A$, quand $n \to +\infty$. Comme $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{M}_+$, le théorème de convergence monotone donne

$$\int g_n dm \to \int g dm, \text{ quand } n \to +\infty. \quad (4.63)$$

Ceci est vrai même si $p \notin I$ (dans ce cas, on a, en fait, $\int g dm = \infty$).

On remarque que $h_n \to h = |f|^{p_n} 1_{A^c}$ p.p., quand $n \to +\infty$, et que $0 \le h_n \le |f|^{p_0}$ car la suite $(h_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est ici décroissante. Comme $p_0 \in I$, on a $|f|^{p_0} \in \mathcal{L}^1$ et on peut appliquer le théorème de convergence dominée (ou la proposition 4.29). Il donne

$$\int h_n dm \to \int h dm, \text{ quand } n \to +\infty. \quad (4.64)$$

Avec (4.63) et (4.64) on obtient, quand $n \to +\infty$,

$$\int |f|^{p_n} dm = \int g_n dm + \int h_n dm \to \int g dm + \int h dm = \int |f|^{p_n} dm.$$

La conséquence de cette question est que l'application $p \mapsto \|f\|_p$ est continue de $\bar{I}$ dans $\bar{\mathbb{R}}_+$, où $\bar{I}$ est l'adhérence de $I$ dans $\mathbb{R}$. Dans la suite de l'exercice, on va introduire le cas $p = \infty$ et montrer la continuité de $p \mapsto \|f\|_p$ sur l'adhérence de $I$ dans $\bar{\mathbb{R}}_+$.
2. On dit que $f \in \mathcal{L}^{\infty}$ s'il existe $C \in \mathbb{R}$ t.q. $|f| < C$ p.p.. On note $\|f\|_{\infty} = \inf\{C \in \mathbb{R} \text{ t.q. } |f| < C \text{ p.p.}\}$. Si $f \notin \mathcal{L}^{\infty}$, on pose $\|f\|_{\infty} = +\infty$.

(a) Montrer que $f \le \|f\|_{\infty}$ p.p.. A-t-on $f < \|f\|_{\infty}$ p.p. ?

**Corrigé** – Si $\|f\|_{\infty} = +\infty$, on a, bien sûr, $f \le \|f\|_{\infty}$ p.p.. On suppose donc maintenant que $\|f\|_{\infty} < +\infty$. Par définition d'une borne inférieure, il existe $(C_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \{C \in \mathbb{R} \text{ t.q. } |f| < C \text{ p.p.}\} \text{ t.q. } C_n \downarrow \|f\|_{\infty} \text{ quand } n \to +\infty$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe $A_n \in \mathbb{T}$ t.q. $m(A_n) = 0$ et $|f| < C_n$ sur $A_n^c$.

On pose $A = \cup_{n \in \mathbb{N}} A_n$. On a donc $A \in \mathbb{T}$, $m(A) = 0$ et $|f(x)| < C_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $x \in A^c$. Comme $C_n \downarrow \|f\|_{\infty}$ quand $n \to +\infty$, on en déduit $|f| \le \|f\|_{\infty}$ sur $A^c$ et donc que $|f| \le \|f\|_{\infty}$ p.p..

En prenant $(E, \mathbb{T}, m) = (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et $f(x) = 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. On a $\|f\|_{\infty} = 1$ et l'assertion $f < \|f\|_{\infty}$ p.p. est fausse.

Noter aussi que $\|f\|_{\infty} = \inf\{C \in \mathbb{R} \text{ t.q. } |f| \le C \text{ p.p.}\}$.

On pose $J = \{p \in [1, +\infty] ; f \in \mathcal{L}^p\} \subset \bar{\mathbb{R}}_+$.

(b) Remarquer que $J = I$ ou $J = I \cup \{+\infty\}$. Montrer que si $p \in I$ et $+\infty \in J$, alors $[p, +\infty] \subset J$. En déduire que $J$ est un intervalle de $\bar{\mathbb{R}}_+$.

**Corrigé** – Soit $p \in I$ et on suppose que $\infty \in J$. Soit $q \in ]p, +\infty[$. Comme $|f| \le \|f\|_{\infty}$ p.p., On a $|f|^q \le \|f\|_{\infty}^{q-p} |f|^p$ p.p.. On en déduit que $f \in \mathcal{L}^q$, c'est-à-dire $q \in I$. On a ainsi montré que $]p, +\infty[ \subset I$ et donc $[p, \infty] \subset J$.

On raisonne maintenant comme dans la question 1. On pose $a = \inf J$ et $b = \sup J$, de sorte que $J \subset [a, b]$. Puis, soit $p$ t.q. $a < p < b$. On a nécessairement $a < \infty$ et il existe $p_1 \in I$ t.q. $p_1 < p$. On a $b \le \infty$ et il existe $p_2 \in J$ t.q. $p < p_2$. Si $p_2 \in I$, on utilise la question 1 pour montrer que $p \in I$ et si $p_2 = \infty$ la première partie de cette question donne que $p \in I$. On a bien ainsi montré que $]a, b[ \subset J$. J est donc un intervalle dont les bornes sont $a$ et $b$.

Noter aussi que $\inf I = \inf J$ et $\sup I = \sup J$.

(c) Soit $(p_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset I$ t.q. $p_n \uparrow +\infty$. On suppose que $\|f\|_{\infty} > 0$ (noter que $f = 0$ p.p. $\Leftrightarrow \|f\|_{\infty} = 0$).

i. Soit $0 < c < \|f\|_{\infty}$. Montrer que $\liminf_{n \to +\infty} \|f\|_{p_n} \ge c$. [On pourra remarquer que $\int |f|^p dm \ge c^p m(\{|f(x)| \ge c\})$]

**Corrigé** – Comme $|f|^p \ge c^p 1_{\{|f| \ge c\}}$, la monotonie de l'intégrale donne bien

$$\int |f|^p dm \ge c^p m(\{|f| \ge c\}),$$

et donc, comme $\int |f|^p dm \ne 0$,

$$\|f\|_p \ge c m(\{|f| \ge c\})^{\frac{1}{p}}. \quad (4.65)$$
Comme $c < \|f\|_{\infty}$, on a $m(|f| \ge c) > 0$, d'où l'on déduit que $m(|f| \ge c)^{1/p} \to 1$
quand $p \to \infty$ ($p \in [1, \infty[$).

En passant à la limite inférieure quand $n \to +\infty$ dans (4.65) pour $p = p_n$, on
obtient alors

$$
\liminf_{n \to +\infty} \|f\|_{p_n} \ge c.
$$

Comme c est arbitrairement proche de ||f||∞, on en déduit :

$$
\liminf_{n \to +\infty} \|f\|_{p_n} \ge \|f\|_{\infty}. \qquad (4.66)
$$

ii. On suppose que $\|f\|_{\infty} < +\infty$. Montrer que : $\limsup_{n \to +\infty} \|f\|_{p_n} \le \|f\|_{\infty}$. [On pourra considérer la suite $g_n = \left( \frac{|f|}{\|f\|_{\infty}} \right)^{p_n}$ et noter que $g_n \le g_0 p.p..$]

**Corrigé** – Comme $\frac{f}{\|f\|_{\infty}} \le 1$ p.p. et que $p_n \ge p_0$ (car la suite $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante), on a $g_n \le g_0$ p.p. et donc $\int g_n dm \le \int g_0 dm$, d'où l'on déduit (en notant que toutes les normes de $f$ sont non nulles) :

$$
\|f_n\|_{p_n} \le \|f\|_{\infty} \left( \int g_0 dm \right)^{\frac{1}{p_n}}.
$$

En remarquant que $\int g_0 dm \neq 0$, on obtient bien, en passant à la limite supérieure dans cette inégalité,

$$
\limsup_{n \to +\infty} \|f\|_{p_n} \le \|f\|_{\infty}. \qquad (4.67)
$$

iii. Déduire de (a) et (b) que $\|f\|_{p_n} \to \|f\|_{\infty}$ lorsque $n \to +\infty$.

**Corrigé** – On distingue deux cas :

Cas 1 On suppose ici que $\|f\|_{\infty} = \infty$. (4.66) donne alors que $\|f\|_{p_n} \to \infty$ et donc
$\|f\|_{p_n} \to \|f\|_{\infty}$ quand $n \to +\infty$.

Cas 2 On suppose ici que $\|f\|_{\infty} < \infty$, de sorte que $0 < \|f\|_{\infty} < \infty$. Les assertions (4.66) et (4.67) donnent alors

$$
\limsup_{n \to +\infty} \|f\|_{p_n} \le \|f\|_{\infty} \le \liminf_{n \to +\infty} \|f\|_{p_n} \\
\text{et donc } \|f\|_{p_n} \to \|f\|_{\infty} \text{ quand } n \to +\infty.
$$

3. Déduire des deux parties précédentes que $p \to \|f\|_p$ est continue de $\bar{J}$ dans $\bar{\mathbb{R}}_+$, où $\bar{J}$ désigne l'adhérence de $J$ dans $\bar{\mathbb{R}}$ (c'est-à-dire $\bar{J} = [a, b]$ si $J = |a, b|$, avec $1 \le a \le b \le +\infty$, et $|$ désigne $]$ ou $[$).

**Corrigé** – Si $f = 0$ p.p., on a $\bar{J} = \bar{J} = [1, \infty]$ et $\|f\|_p = 0$ pour tout $p \in J$. Donc, $p \to \|f\|_p$ est continue de $\bar{J}$ dans $\bar{\mathbb{R}}_+$.

On suppose maintenant que f n'est pas nulle presque partout. On a donc ||f||_p > 0 pour tout p ∈ [1, ∞].

On pose $\bar{J} = [a, b]$ (si $J \neq \emptyset$). On distingue 3 cas :
* Cas 1 – Soit $p \in ]a, b[$, de sorte que $p \in I$.

(a) Soit $(p_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset I$ t.q. $p_n \uparrow p$. La question 1-c donne que $\|f\|_{p_n}^{p_n} \to \|f\|_p^p$ quand $n \to +\infty$. On en déduit que $\|f\|_{p_n} \to \|f\|_p$ quand $n \to +\infty$ (pour s'en convaincre, on peut remarquer que $\ln(\|f\|_{p_n}) = \frac{1}{p_n}\ln(\|f\|_{p_n}^{p_n}) \to \frac{1}{p}\ln(\|f\|_p^p) = \ln(\|f\|_p)$). Ceci donne la continuité à gauche de $q \to \|f\|_q$ au point $p$.

(b) Soit $(p_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset I$ t.q. $p_n \downarrow p$. La question 1-c donne aussi $\|f\|_{p_n}^{p_n} \to \|f\|_p^p$ quand $n \to +\infty$ et on en déduit, comme précédemment, que $\|f\|_{p_n} \to \|f\|_p$ quand $n \to +\infty$. Ceci donne la continuité à droite de $q \to \|f\|_q$ au point $p$.

* Cas 2 – On prend ici $p = a$ et on suppose $a \neq \infty$ (sinon $a = b$ et ce cas est étudié au Cas 3). Soit $(p_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset I$ t.q. $p_n \downarrow a$.

(a) On suppose d'abord que $a \in I$. Ici encore, la question 1-c donne $\|f\|_{p_n}^{p_n} \to \|f\|_a^a$ quand $n \to +\infty$ et on en déduit que $\|f\|_{p_n} \to \|f\|_a$ quand $n \to +\infty$. Ceci donne la continuité à droite de $q \to \|f\|_q$ au point $a$.

(b) On suppose maintenant que $a \notin I$, de sorte que $\|f\|_a = \infty$. La question 1-c donne alors $\|f\|_{p_n}^{p_n} \to \infty$ quand $n \to +\infty$ et donc $\|f\|_{p_n} \to \infty$ quand $n \to +\infty$. Ceci donne la continuité à droite de $q \to \|f\|_q$ au point $a$.

* Cas 3 – On prend ici $p = b$. Soit $(p_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset I$ t.q. $p_n \uparrow a$.

(a) On suppose d'abord que $b \in I$. Ici encore, la question 1-c donne $\|f\|_{p_n}^{p_n} \to \|f\|_b^b$ quand $n \to +\infty$ et on en déduit que $\|f\|_{p_n} \to \|f\|_b$ quand $n \to +\infty$. Ceci donne la continuité à gauche de $q \to \|f\|_q$ au point $b$.

(b) On suppose maintenant que $b \notin I$.

Si $b \neq \infty$, on a donc $\|f\|_b = \infty$. La question 1-c donne alors $\|f\|_{p_n}^{p_n} \to \infty$ quand $n \to +\infty$ et donc $\|f\|_{p_n} \to \infty$ quand $n \to +\infty$. Ceci donne la continuité à gauche de $q \to \|f\|_q$ au point $b$.

Si $b = \infty$, la continuité à gauche de $q \to \|f\|_q$ au point $b$ a été démontré à la question 2-c-iii.

**Exercice 4.33 (Exemple de continuité et dérivabilité sous le signe $\int$)**

Soit $f: \mathbb{R} \times \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ définie par $f(t,x) = \text{ch}(t/(1+x)) - 1$.

1. Montrer que pour tout $t \in \mathbb{R}$, la fonction $f(t, \cdot)$ appartient à $L^1(\mathbb{R}_+, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$.

2. Pour $t \in \mathbb{R}$, on pose $F(t) = \int_{\mathbb{R}_+} f(t,x)dx$. Montrer que $F$ est continue, dérivable.
Donner une expression de $F'$.

**Exercice 4.34 (Contre-exemple à la continuité sous le signe $\int$)**

Soit $f$ de $]-1,1] \times [0,1]$ dans $\to \mathbb{R}_+$ définie par $f(t,x) = 0$ si $t \in ]-1,0]$, puis, pour $t \in ]0,1[$, par

$$f(t,x) = \begin{cases} \frac{4}{t^2}x \text{ si } x \in [0, \frac{t}{2}], \\ \frac{4}{t^2}(t-x) \text{ si } x \in ]\frac{t}{2}, t], \\ 0 \text{ si } x \in ]t, 1]. \end{cases}$$
1. Montrer que la fonction $f(t, \cdot)$ est continue sur $[0, 1]$ pour tout $t \in ]-1, 1[$.

$$ \text{Pour } t \in ]-1, 1[, \text{ on pose } F(t) = \int_{[0,1]} f(t, \cdot) d\lambda = \int_{0}^{1} f(t,x) dx. $$

2. Montrer que $f(t,x) \to 1$ lorsque $t \to 0$, pour tout $x \in [0, 1]$.

3. Montrer que $F(t) \not\to F(0)$ lorsque $t \to 0$, $t > 0$. Pourquoi ne peut on pas appliquer le théorème de continuité sous le signe $\int$ ?

**Exercice 4.35 (Continuité d'une application de L¹ dans L¹)** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré fini et soit $g$ une fonction continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ t.q. :

$$ \exists C \in \mathbb{R}_+^* ; |g(s)| \le C|s| + C, \forall s \in \mathbb{R}. \quad (4.68) $$

1. Soit $u \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$. Montrer que $g \circ u \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$.

**Corrigé** – $u$ est mesurable de $E$ (muni de la tribu $T$) dans $\mathbb{R}$ (muni de la tribu $\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ et $g$ est borélienne (c'est-à-dire mesurable de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, muni de la tribu $\mathcal{B}(\mathbb{R}))$. On en déduit que $g \circ u$ est mesurable (de $E$ dans $\mathbb{R}$).

Puis, comme $|g \circ u(x)| = |g(u(x))| \le C|u(x)| + C$ pour tout $x \in E$, on a

$$ \int |g \circ u| dm \le C \|u\|_1 + Cm(E). $$

Donc, $g \circ u \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$.

On pose $L^1 = \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$. Pour $u \in L^1$, on pose $G(u) = \{h \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(E, T, m); h = g \circ v \text{ p.p.}\} \in L^1$, avec $v \in u$.

2. Montrer que la définition précédente a bien un sens, c'est-à-dire que $G(u)$ ne dépend pas du choix de $v$ dans $u$.

**Corrigé** – Soient $v, w \in u$. Il existe $A \in T$ t.q. $m(A) = 0$ et $v = w$ sur $A^c$. On a donc aussi $g \circ v = g \circ w$ sur $A^c$ et donc $g \circ v = g \circ w \text{ p.p.}$. On en déduit que $\{h \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(E, T, m); h = g \circ v \text{ p.p.}\} = \{h \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(E, T, m); h = g \circ w \text{ p.p.}\}$.

$G(u)$ ne dépend donc pas du choix de $v$ dans $u$.

3. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^1$. On suppose que $u_n \to u$ p.p. et qu'il existe $F \in L^1$ t.q. $|u_n| \le F$ p.p., pour tout $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $G(u_n) \to G(u)$ dans $L^1$.

**Corrigé** – Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on choisit un représentant de $u_n$, encore notée $u_n$. On choisit aussi des représentants de $u$ et $F$, notés toujours $u$ et $F$. Comme $u_n \to u$ p.p. quand $n \to +\infty$ et que $g$ est continu, il est facile de voir que $g \circ u_n \to g \circ u$ p.p.. On a donc $G(u_n) \to G(u)$ p.p..

On remarque aussi que $|g \circ u_n| \le C|u_n| + C \le CF + C \text{ p.p.}$ et donc $|G(u_n)| \le CF + C \text{ p.p.}$, pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Comme $CF + C \in L^1$, on peut appliquer le théorème de convergence dominée, il donne que $G(u_n) \to G(u)$ dans $L^1$ quand $n \to +\infty$.
4. Montrer que $G$ est continue de $L^1$ dans $L^1$.

[On pourra utiliser la question 3. et le théorème appelé réciproque partielle de la convergence dominée.]

**Corrigé** – On raisonne par l'absurde. On suppose que $G$ n'est pas continue de $L^1$ dans $L^1$. Il existe donc $u \in L^1$ et $(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^1$ t.q. $u_n \to u$ dans $L^1$ et $G(u_n) \not\to G(u)$ dans $L^1$ quand $n \to +\infty$.

Comme $G(u_n) \not\to G(u)$, il existe $\varepsilon > 0$ et $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ t.q. $\varphi(n) \to +\infty$ quand $n \to +\infty$ et :

$$ \|G(u_{\varphi(n)}) - G(u)\|_1 \ge \varepsilon \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}. \qquad (4.69) $$

(La suite $(G(u_{\varphi(n)}))_{n \in \mathbb{N}}$ est une sous-suite de la suite $(G(u_n))_{n \in \mathbb{N}}$.)

Comme $u_{\varphi(n)} \to u$ dans $L^1$, on peut appliquer le théorème de réciproque partielle de la convergence dominée (théorème 4.49). Il donne l'existence de $\psi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ et de $F \in L^1$ t.q. $\psi(n) \to +\infty$ quand $n \to +\infty$, $u_{\varphi \circ \psi(n)} \to u$ p.p. et $|u_{\varphi \circ \psi(n)}| \le F$ p.p., pour tout $n \in \mathbb{N}$. (La suite $(u_{\varphi \circ \psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ est une sous-suite de la suite $(u_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$.)

On peut maintenant appliquer la question 3 à la suite $(u_{\varphi \circ \psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$. Elle donne que $G(u_{\varphi \circ \psi(n)}) \to G(u)$ dans $L^1$ quand $n \to +\infty$, ce qui est en contradiction avec (4.69).

### 4.11.3 Espérance et moments des variables aléatoires

**Exercice 4.36 (Espérance et variance de lois usuelles)** Soient $(E, T)$ un espace probabilisé et $X$ une variable aléatoire réelle, de loi de probabilité $p_X$. Calculer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $X$ dans les cas suivants :

1. $p_X$ est la loi uniforme sur $[a, b]$ $(a, b \in \mathbb{R}, a < b)$;

2. $p_X$ est la loi exponentielle;

3. $p_X$ est la loi de Gauss.

**Exercice 4.37 (Inégalité de Jensen)** Rappel : Une fonction $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est convexe si et seulement si pour tout $a \in \mathbb{R}$ il existe $c_a$ t.q. $f(x) - f(a) \ge c_a(x - a)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Soit $f$ une fonction convexe de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $X$ une v.a. sur un espace de probabilité $(\Omega, \mathcal{A}, P)$. On suppose que $X$ et $f(X)$ sont intégrables. Démontrer l'inégalité de Jensen qui s'écrit

$$ \int f(X)dP \ge f\left(\int XdP\right). $$

[Utiliser le rappel avec $a$ bien choisi.]

**Corrigé** – On utilise le rappel avec $a = E(X) = \int XdP$. On obtient pour tout $\omega \in \Omega$ $f(X(\omega)) - f(a) \ge X(\omega) - a$.
Comme les fonctions $f(X) - f(a)$ et $X - a$ sont intégrables, la monotonie de l'intégrale donne alors

$$ \int (f(X) - f(a))dP \geq \int (X - a)dP. $$

Comme $\int Xdp = a$, on en déduit $\int (f(X) - f(a))dP \geq 0$, ce qui donne le résultat demandé.

**Exercice 4.38 (Sur l'équi-intégrabilité)** Soit $(E, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a. (réelles). On rappelle que la suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est équi-intégrable si $\int_A |X_n|dP \to 0$, quand $P(A) \to 0$ (avec $A \in \mathcal{A}$), uniformément par rapport à $n \in \mathbb{N}$. Montrer l'équivalence entre les deux propriétés suivantes :

$$ 1. \limsup_{a \to \infty} \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{\{|X_n| > a\}} |X_n|dP = 0, $$

$$ 2. \sup_{n \in \mathbb{N}} \int |X_n|dP < +\infty \text{ et } (X_n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ équi-intégrable.} $$

**Corrigé –**

**Démonstration de** $1 \Rightarrow 2$

Pour montrer que la suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $L_\mathbb{R}^1(E, \mathcal{A}, P)$, on remarque simplement qu'il existe $a_0 \in \mathbb{R}_+$ t.q.

$$ \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{\{|X_n| > a_0\}} |X_n|dP \leq 1. $$

On a alors, pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$$ \int |X_n|dP = \int_{\{|X_n| > a_0\}} |X_n|dP + \int_{\{|X_n| \leq a_0\}} |X_n|dP \leq 1 + a_0. $$

Ce qui donne bien une borne pour $||X_n||_1$.

On montre maintenant l'équi-intégrabilité. Soit $\varepsilon > 0$, il existe $a \in \mathbb{R}_+^* \text{ t.q.}$

$$ \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{\{|X_n| > a\}} |X_n|dP \leq \varepsilon. $$

On choisit $\delta = \varepsilon/a$, on a alors pour tout $A \in \mathcal{A}$ t.q. $P(A) \leq \delta$ et tout $n \in \mathbb{N}$,

$$ \int_A |X_n|dP = \int_{A \cap \{|X_n| > a\}} |X_n|dP + \int_{A \cap \{|X_n| \leq a\}} |X_n|dP \leq \varepsilon + a\delta = 2\varepsilon. $$

Ce qui prouve l'équi-intégrabilité de la suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

**Démonstration de** $2 \Rightarrow 1$

On pose $M = \sup_{n \in \mathbb{N}} \int |X_n|dP$. On a donc $M < +\infty$ et pour tout $a \in \mathbb{R}_+^*$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ (par (4.6)),

$$ P(\{|X_n| > a\}) \leq \frac{M}{a}. $$

Soit $\varepsilon > 0$. D'après l'équi-intégrabilité de la suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ il existe $\delta > 0$ tel que $n \in \mathbb{N}, A \in \mathcal{A}, P(A) \leq \delta \Rightarrow \int_A |X_n|dP \leq \varepsilon$. On choisit alors $a_0 = M/\delta$. On a pour tout
$a \ge a_0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $P(|X_n| > a) \le M/a \le \delta$, et donc

$$ \int_{\{|X_n|>a\}} |X_n|dP \le \varepsilon. $$

On a bien ainsi montré la propriété 1.

**Exercice 4.39 (Caractérisation de l'indépendance)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé, $n \ge 2$ et $X_1, X_2, \dots, X_n$, $n$ variables aléatoires réelles. Montrer que l'indépendance de $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ est équivalente à la propriété suivante :

$$ \forall (a_1, \dots, a_n) \in [-\infty, +\infty]^n, P[X_1 \le a_1, \dots, X_n \le a_n] = \prod_{i=1}^{n} P[X_i \le a_i]. \quad (4.70) $$

(La notation $P[X \le a]$ est identique à $P\{(X \le a)\}$, elle désigne la probabilité de l'ensemble $\{\omega \in \Omega, X(\omega) \le a\}$.)

**Corrigé** – Le fait que l'indépendance de $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ entraîne la propriété (4.70) est immédiat car l'ensemble $\{X_i \le a_i\}$ appartient à la tribu engendrée par $X_i$ (pour tout $a_i \in \mathbb{R}$ et $i \in \{1, \dots, n\}$).

On montre maintenant la réciproque, c'est-à-dire que (4.70) entraîne l'indépendance de $(X_1, X_2, \dots, X_n)$. On note $\mathcal{D} = \{]-\infty, a], a \in \mathbb{R}\}$ et $\mathcal{C} = \mathcal{D} \cup \{\mathbb{R}\}$ (on a donc $A \in \mathcal{C}$ si et seulement si $A \in \mathcal{D}$ ou $A = \mathbb{R}$). L'hypothèse (4.70) donne

$$ P\left(\bigcap_{i=1}^{n} \{X_i \in A_i\}\right) = \prod_{i=1}^{n} P\{(X_i \in A_i)\} \text{ pour tout } A_i \in \mathcal{D}. $$

Mais, comme $\mathbb{R} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}] -\infty, n]$ une conséquence facile de la continuité croissante de $P$ est que

$$ P\left(\bigcap_{i=1}^{n} \{X_i \in A_i\}\right) = \prod_{i=1}^{n} P\{(X_i \in A_i)\} \text{ pour tout } A_i \in \mathcal{C}. \quad (4.71) $$

Nous allons, à partir de (4.71), montrer, par récurrence sur $q$ ($q$ allant de $1$ à $n+1$), la propriété suivante :

$$ P\left(\bigcap_{i=1}^{n} \{X_i \in A_i\}\right) = \prod_{i=1}^{n} P\{(X_i \in A_i)\} \quad (4.72) $$
pour tout $A_i \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ t.q. $A_i \in \mathcal{C}$ si $i \ge q$.

Par définition de v.a.r. indépendantes (définition 3.29), la propriété (4.72) pour $q = n+1$ donne l'indépendance de $(X_1, X_2, \dots, X_n)$.

Pour $q = 1$, la propriété (4.72) est donnée par (4.71). Soit maintenant $q \in \{1, \dots, n\}$ t.q. (4.72) soit vraie. On montre maintenant que (4.72) est encore vraie pour $q+1$ au lieu de $q$ (ce qui termine la récurrence).

Soit $A_i \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ donnés pour $i \ne q$, avec $A_i \in \mathcal{C}$ si $i > q$. Pour tout $A_q \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, on définit $m(A_q)$ et $\mu(A_q)$ de la manière suivante :

$$ m(A_q) = P\left(\bigcap_{i=1}^{n} \{X_i \in A_i\}\right), \quad \mu(A_q) = \prod_{i=1}^{n} P\{(X_i \in A_i)\}. $$
La σ-additivité de P donne que m et μ sont des mesures sur $B(\mathbb{R})$. L'hypothèse de récurrence (c'est-à-dire le fait que (4.72) est vraie) donne que ces deux mesures sont égales sur C. On peut alors appliquer la proposition 2.30 (car C engendre $B(\mathbb{R})$, C est stable par intersection finie et $\mathbb{R} \in C$, $m(\mathbb{R}) < \infty$). Elle donne que $m = \mu$ (sur tout $B(\mathbb{R})$), ce qui montre que (4.72) est encore vraie pour $q + 1$ au lieu de q.

On a bien terminé la récurrence et montré ainsi l'indépendance de $(X_1, X_2, \dots, X_n)$.

N.B. Une démonstration (probablement plus directe) de cette dernière implication peut se faire en utilisant une généralisation de la proposition 2.30 à $\mathbb{R}^n$. Cette méthode permet d'éviter la récurrence sur $q$.

**Exercice 4.40 (Sign(X) et $|X|$ pour une gaussienne)** On définit la fonction signe par :

$$ \text{sign} : \mathbb{R} \to \{-1, 0, 1\}, \quad s \mapsto \text{sign}(s) = \begin{cases} 1 & \text{si } s > 0, \\ -1 & \text{si } s < 0 \\ 0 & \text{si } s = 0. \end{cases} \quad (4.73) $$

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et X une v.a.r. gaussienne centrée (c'est-à-dire $P_X = f \lambda$ avec, pour $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$, où $\sigma > 0$ est la racine carrée de la variance de X). Montrer que $\text{sign}(X)$ et $|X|$ sont indépendantes et préciser leurs lois. Même question avec $\text{sign}(X)$ et $X^2$.

**Corrigé –** On pose $Y = \text{sign}(X)$ et $Z = |X|$. Pour montrer que Y et Z sont indépendantes il suffit de montrer que $E(\varphi(Y)\psi(Z)) = E(\varphi(Y))E(\psi(Z))$ pour toutes fonctions $\varphi$ et $\psi$ boréliennes bornées de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ (en fait, par définition de l'indépendance, il suffit de considérer $\varphi = 1_A$ et $\psi = 1_B$ avec $A, B \in B(\mathbb{R})$).

Soit $\varphi, \psi$ boréliennes bornées de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. On a, en utilisant $f(-x) = f(x)$ :

$$ \begin{align*} E(\varphi(Y)\psi(Z)) &= \int_{\Omega} \varphi(\text{sign}(X))\psi(|X|)dP = \int_{\mathbb{R}} \varphi(\text{sign}(x))\psi(|x|)f(x)dx \\ &= \varphi(1) \int_{\mathbb{R}_+} \psi(x)f(x) + \varphi(-1) \int_{\mathbb{R}_-} \psi(-x)f(x)dx \\ &= (\varphi(1) + \varphi(-1)) \int_{\mathbb{R}_+} \psi(x)f(x)dx. \end{align*} $$

En prenant $\psi = 1_{\mathbb{R}}$, on a $E(\varphi(Y)) = \frac{1}{2}(\varphi(1) + \varphi(-1)) \text{car } \int_{\mathbb{R}_+} f(x)dx = \frac{1}{2}$.

En prenant $\varphi = 1_{\mathbb{R}}$, on a $E(\psi(Z)) = \int_{\mathbb{R}_+} \psi(x)2f(x)dx$.

On en déduit que $E(\varphi(Y)\psi(Z)) = E(\varphi(Y))E(\psi(Z))$ pour toutes fonctions $\varphi$ et $\psi$ boréliennes bornées de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et donc que Y et Z sont indépendantes. On obtient aussi que $P_Y = \frac{1}{2}(\delta_1 + \delta_{-1})$ et $P_Z = g\lambda$ avec $g = 2f1_{\mathbb{R}_+}$ (c'est-à-dire que $P_Z$ est la mesure de densité g par rapport à la mesure de Lebesgue). Noter que $E(\varphi(Y)) = \int_{\mathbb{R}} \varphi dP_Y$ et $E(\varphi(Z)) = \int_{\mathbb{R}} \varphi dP_Z$ si $\varphi$ est borélienne bornée de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, ce qui caractérise $P_Y$ et $P_Z$ (voir (4.11) ou le théorème 4.58, par exemple).
Pour montrer l'indépendance de sign(X) et X², on remarque que X² = Z². Comme Y et Z sont indépendantes, les v.a.r. Y et Z² sont aussi indépendantes (voir la proposition 3.30) et donc sign(X) et X² sont indépendantes.

Il reste à trouver la loi de X². On a, pour $\varphi$ borélienne bornée de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, en utilisant
$f(-x) = f(x)$,

$$
E(\varphi(X^2)) = \int_{\mathbb{R}} \varphi(x^2) f(x) dx = 2 \int_{\mathbb{R}_+} \varphi(x^2) f(x) dx = \int_{\mathbb{R}_+} \varphi(y) \frac{f(\sqrt{y})}{\sqrt{y}} dy.
$$

$$
\text{Ce qui donne } P_{X^2} = h\lambda \text{ avec } h(x) = \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \text{ pour } x > 0 \text{ et } h(x) = 0 \text{ pour } x \le 0.
$$

**Exercice 4.41 (V.a. gaussiennes dépendantes)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé, $\sigma_1 > 0$, $\sigma_2 > 0$ et $X_1, X_2$ deux variables aléatoires réelles indépendantes et telles que :

$X_1 \sim \mathcal{N}(0, \sigma_1^2) \text{ et } X_2 \sim \mathcal{N}(0, \sigma_2^2).$

(le signe “~” signifie “a pour loi”.) Construire deux v.a. $Y_1$ et $Y_2$ t.q. $X_1 \sim Y_1$, $X_2 \sim Y_2$ et $Y_1$ et $Y_2$ soient dépendantes.

**Exercice 4.42 (V.a. gaussiennes dépendantes, à covariance nulle)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ est un espace probabilisé et X, S deux v.a. réelles, indépendantes, t.q. $X \sim \mathcal{N}(0, 1)$ et S a pour loi $P_S = \frac{1}{2}\delta_1 + \frac{1}{2}\delta_{-1}$. (Il est possible de construire un espace de probabilités et des v.a. indépendantes ayant des lois prescrites, voir le Chapitre 7.)

1. Montrer que SX ~ N(0, 1).

**Corrigé** – Pour $x \in \mathbb{R}$, on pose $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}$ de sorte que la loi de X est de densité f par rapport à la mesure de Lebesgue. Soit $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, on note $-A = \{-x, x \in A\}$. Comme f est paire, on a :

$$
P(X \in (-A)) = \int_{-A} f(x) dx = \int_{A} f(-x) dx = \int_{A} f(x) dx = P(X \in A).
$$

On remarque maintenant que $P(SX \in A) = P(S = 1, X \in A) + P(S = -1, X \in (-A))$.
Comme S et X sont indépendantes, on a :

$$
P(S = 1, X \in A) = P(S = 1)P(X \in A) = \frac{1}{2}P(X \in A),
$$

$$
P(S = -1, X \in (-A)) = P(S = -1)P(X \in (-A)) = \frac{1}{2}P(X \in (-A)).
$$

Comme $P(X \in (-A)) = P(X \in A)$, on en déduit $P(SX \in A) = P(X \in A)$. Les v.a.r SX et X ont donc même loi, et donc SX ~ $\mathcal{N}(0, 1)$.

2. Montrer que SX et X sont dépendantes.

**Corrigé** – On raisonne par l’absurde. On suppose que SX et X sont indépendantes.
La proposition 4.59 donne alors $E(|SX||X|) = E(|SX|)E(|X|)$ (noter que la fonction $s \mapsto |s|$ est borélienne positive). Comme $|S| = 1$ p.s., on a donc :

$$
E(X^2) = E(|SX||X|) = E(|SX|)E(|X|) = E(|X|)^2.
$$
Comme $E(|X|) < +\infty$, on en déduit que $\mathrm{Var}(|X|) = 0$, ce qui est impossible car $|X|$ n'est pas égale p.s. à sa moyenne (sinon, la loi de $|X|$ serait une masse de Dirac et non pas une loi de densité par rapport à la mesure de Lebesgue).

3. Montrer que $\mathrm{Cov}(SX, X) = 0$.

**Corrigé** – Comme $SX \sim \mathcal{N}(0,1)$ et $X \sim \mathcal{N}(0,1)$, on a $E(SX) = E(X) = 0$. Comme $S$ et $X$ sont indépendantes (et $S$ et $X^2$ intégrables), on a (proposition 4.59) $SX^2$ intégrable et $E(SX^2) = E(S)E(X^2) = 0$. On en déduit $\mathrm{Cov}(SX, X) = E([SX - E(SX)][X - E(X)]) = E(SX^2) = E(S)E(X^2) = 0$.

4. (Question subsidiaire.) On ne suppose plus l'existence de $S$, mais on suppose qu'il existe $Y$ v.a. gaussienne indépendante de $X$. Montrer que si $Y \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$, avec $\sigma > 0$, il est possible d'utiliser $Y$ pour construire $S$, v.a. indépendante de $X$ et telle que $P_S = \frac{1}{2}\delta_1 + \frac{1}{2}\delta_{-1}$.

**Corrigé** – Il suffit de prendre $S = \mathrm{sign}(Y)$ où la fonction sign est définie par (4.73) ; noter que $\mathrm{sign}$ 'est une fonction borélienne de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Les variables aléatoires $X$ et $S$ sont indépendantes (par la proposition 3.30, mais la preuve est facile ici car la tribu engendrée par $\varphi(Y)$ est incluse dans celle engendrée par $Y$ dés que $\varphi$ est borélienne). Enfin, on a $P(S = 1) = P(Y > 0) = \frac{1}{2} = P(Y < 0) = P(S = -1)$, ce qui donne bien $P_S = \frac{1}{2}\delta_1 + \frac{1}{2}\delta_{-1}$.

**Exercice 4.43 (Limite p.s. et indépendance)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé, $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite v.a.r. et $X, Y$ deux v.a.r.. On suppose que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $X_n$ et $Y$ sont indépendantes et on suppose que $X_n \to X$ p.s., quand $n \to +\infty$. Montrer que $X$ et $Y$ sont indépendantes.

**Corrigé** – Soit $\phi, \psi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Comme $X_n$ et $Y$ sont indépendantes, on a (voir la proposition 4.59), pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,

$$E(\varphi(X_n)\psi(Y)) = E(\varphi(X_n))E(\psi(Y)). \quad (4.74)$$

Comme $\varphi$ est continue, on a $\varphi(X_n) \to \varphi(X)$ p.s. et $\varphi(X_n)\psi(Y) \to \varphi(X)\psi(Y)$ p.s.. les convergences sont dominées car $|\varphi(X_n)| \le \sup\{\varphi(x), x \in \mathbb{R}\}$ (et $|\psi(Y)| \le \sup\{\psi(x), x \in \mathbb{R}\}$). On peut donc utiliser le théorème de convergence dominée, il donne

$$\lim_{n \to +\infty} E(\varphi(X_n)\psi(Y)) = E(\varphi(X)\psi(Y)) \text{ et } \lim_{n \to +\infty} E(\varphi(X_n)) = E(\varphi(X)).$$

En passant à la limite dans (4.74), on en déduit que

$$E(\varphi(X)\psi(Y)) = E(\varphi(X))E(\psi(Y)).$$

La proposition 4.61 permet de conclure que $X$ et $Y$ sont indépendantes.

**Exercice 4.44 (Exponentielle d'une v.a. gaussienne)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $X$ une v.a.r. t.q. $X \sim \mathcal{N}(0,1)$. Soit $Y = \exp(X)$. Calculer la moyenne, la variance et la densité de $Y$.
**Exercice 4.45 (Loi du $\chi^2$)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $X$ une v.a.r. t.q. $X \sim \mathcal{N}(0, 1)$. Calculer l'espérance, la variance ainsi que la densité de la v.a.r. $X^2$. (Remarque : cette loi s'appelle loi du $\chi^2$ à 1 degré de liberté.)

**Exercice 4.46 (Conséquence du lemme de Borel-Cantelli)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de v.a.r.i.i.d. de loi normale centrée réduite (c'est-à-dire que la loi de $X_1$ est la mesure de densité $f$ par rapport à la mesure de Lebesgue avec $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(-\frac{x^2}{2})$ pour tout $x \in \mathbb{R}$).

1. Montrer que pour tout $x > 0$, $P(|X_n| > x) \le \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{x} \exp(-\frac{x^2}{2})$.

**Corrigé –** Soit $x > 0$, on a

$$xP(|X_n| > x) = 2x \int_x^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{t^2}{2}} dt \le \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_x^\infty t e^{-\frac{t^2}{2}} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}.$$

2. Montrer que $\limsup_{n \to +\infty} \frac{|X_n|}{\sqrt{2\ln(n)}} = 1$ p.s. ..

**Corrigé –** Soit $a \ge 1$. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $A_{n,a} = \{|X_n| > a\sqrt{2\ln(n)}\}$ et $A_a = \bigcap_{n \in \mathbb{N}^*} \bigcup_{k \ge n} A_{k,a}$. On va montrer les deux propriétés suivantes :

(p1) $P(A_a) = 0$ si $a > 1$.

(p2) $P(A_1) = 1$.

La propriété (p2) donne que $P(\limsup_{n \to +\infty} \frac{|X_n|}{\sqrt{2\ln(n)}} \ge 1) = 1$ car

$$A_1 \subset \limsup_{n \to +\infty} \frac{|X_n|}{\sqrt{2\ln(n)}} \ge 1.$$

La propriété (p1) donne que $P(\limsup_{n \to +\infty} \frac{|X_n|}{\sqrt{2\ln(n)}} > 1) = 0$ car

$$\{\limsup_{n \to +\infty} \frac{|X_n|}{\sqrt{2\ln(n)}} > 1\} \subset \bigcup_{p \in \mathbb{N}^*} A_{a+\frac{1}{p}},$$

et $P(\bigcup_{p \in \mathbb{N}^*} A_{a+\frac{1}{p}}) \le \sum_{p=1}^{\infty} P(A_{a+\frac{1}{p}}) = 0$. Il reste à montrer (p1) et (p2).

**Démonstration de (p1).** On a $P(\bigcup_{k \ge n} A_{k,a}) \le \sum_{k=n}^{\infty} P(A_{k,a})$. La 1ère question donne alors, avec $b = a^2 > 1$

$$P(\bigcup_{k \ge n} A_{k,a}) \le \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{a\sqrt{2\ln(k)}} \frac{1}{k^b} \to 0, \text{ quand } n \to +\infty,$$

car c'est le reste d'une série convergente. Par continuité décroissante de $P$ on a donc $P(A_a) = 0$.

**Démonstration de (p2).** On a

$$P(\bigcup_{k \ge n} A_{k,1}) = 1 - P(\bigcap_{k \ge n} A_{k,1}^c) = 1 - \lim_{m \to \infty} P(\bigcap_{k=n}^m A_{k,1}^c). \quad (4.75)$$
(On a utilisé ici la continuité décroissante de P). On utilise maintenant l'indépendance des $X_n$, on obtient, pour $m > n$,

$$b_{n,m} = P(\bigg\lfloor\bigg\rfloor_{k=n}^{m} (A_{k,1}^{c})) = \bigg\lfloor\bigg\rfloor_{k=n}^{m} P(A_{k,1}^{c}).$$

Si on montre que $\lim_{m \to \infty} b_{n,m} = 0$ (pour tout $n$), on aura, par (4.75),

$$P(\bigcup_{k \ge n} A_{k,1}) = 1$$

pour tout $n$ et donc, par continuité décroissante de P, $P(A_1)=1$, ce qui montre (p1).

Il reste donc à montrer que $\lim_{m \to \infty} b_{n,m} = 0$. Pour cela, on remarque que, si $b_{n,m} \ne 0$, on a

$$\ln(b_{n,m}) = \sum_{k=n}^{m} \ln(P(A_{k,1}^{c})) = \sum_{k=n}^{m} \ln(1 - P(A_{k,1})).$$

Comme $\ln(1-u) \le -u$ pour $u \in [0,1[$, on en déduit

$$\ln(b_{n,m}) \le -\sum_{k=n}^{m} P(A_{k,1}) \le -\sum_{k=n}^{m} \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{\sqrt{2\ln(k)}} \frac{1}{k}.$$

et donc $\ln(b_{n,m}) \to -\infty$ quand $m \to \infty$ car la série de terme général $1/(k\sqrt{\ln(k)})$ est divergente. On a donc finalement $\lim_{m \to \infty} b_{n,m} = 0$ ce qui termine la démonstration de (p1) (et termine l'exercice).

**Exercice 4.47 (Sur la somme de v.a.r.i.i.d. intégrables)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé, $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite v.a.r.i.i.d. et $N$ une v.a. à valeurs dans $\mathbb{N}^*$. On pose $S_N = X_1 + \dots + X_N$ (c'est-à-dire que, pour $\omega \in \Omega$, $S_N(\omega) = \sum_{n=1}^{N(\omega)} X_n(\omega)$). Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $A_n = \{\omega \in \Omega, N(w) = n\}$.

1. On suppose, dans cette question, que les v.a.r. $N, X_1, \dots, X_n, \dots$ sont indépendantes. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $Y_n = \sum_{p=1}^n X_p$ et $Z_n = \sum_{p=1}^n |X_p|$.

(a) Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $1_{A_n}$ et $Y_n$ sont des v.a.r. indépendantes et que $1_{A_n}$ et $Z_n$ sont des v.a.r. indépendantes. [On pourra utiliser la proposition 3.30.]

**Corrigé** – On utilise la proposition 3.30. Comme fonction borélienne de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ on choisit $\varphi = 1_{\{n\}}$ et comme fonction borélienne de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ on choisit $\psi(x_1, \dots, x_n) = \sum_{k=1}^n x_i$. La proposition 3.30 donne alors que $\varphi(N)$ et $\psi(X_1, \dots, X_n)$ sont des v.a.r. indépendantes. Ceci montre que $1_{A_n}$ et $Y_n$ sont indépendantes car $\varphi(N) = 1_{A_n}$ et $\psi(X_1, \dots, X_n) = Y_n$.

En prenant maintenant $\psi(x_1, \dots, x_n) = \sum_{k=1}^n |x_i|$, on montre aussi que $1_{A_n}$ et $Z_n$ sont indépendantes.

(b) On suppose que $N$ et $X_1$ sont intégrables. Montrer que $S_N$ est intégrable et calculer $E(S_N)$ en fonction de $E(N)$ et $E(X_1)$. [On pourra remarquer que $S_N = \sum_{n=1}^{\infty} 1_{A_n} Y_n$ et $|S_N| \le \sum_{n=1}^{\infty} 1_{A_n} Z_n|$]
**Corrigé** – $S_N$ est bien une v.a.r. ($S_N$ prend ses valeurs dans $\mathbb{R}$ et est mesurable comme limite de fonctions mesurables). Comme $|S_N| \le \sum_{n=1}^{\infty} 1_{A_n} Z_n$, on a grâce à l'indépendance de $1_{A_n}$ et $Z_n$ (et le théorème de convergence monotone)

$$E(|S_N|) = \sum_{n=1}^{\infty} E(1_{A_n})E(Z_n) = \sum_{n=1}^{\infty} nP(N=n)E(|X_1|) = E(N)E(|X_1|).$$

Ceci prouve que $S_N$ est intégrable. Cela prouve aussi que la série de terme général $1_{A_n}Y_n$ est absolument convergente dans $L_1(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$. Cette série est donc aussi convergente dans le même espace et on obtient ainsi (grâce à l'indépendance de $1_{A_n}$ et $Y_n$)

$$E(S_N) = \sum_{n=1}^{\infty} E(1_{A_n})E(Y_n) = \sum_{n=1}^{\infty} nP(N=n)E(X_1) = E(N)E(X_1).$$

2. On suppose maintenant que $A_n \in \sigma(X_1, \dots, X_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (où $\sigma(X_1, \dots, X_n)$ est la tribu engendrée par $X_1, \dots, X_n$).

(a) Montrer que $1_{\{n \le N\}}$ et $X_n$ sont des v.a.r. indépendantes.

**Corrigé** – On pose $B_n = \{N \ge n\}$. On a donc $B_n^c = \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k$. Comme $A_k \in \sigma(X_k) \subset \sigma(X_1, \dots, X_{n-1})$ pour $1 \le k \le n-1$, on a donc $B_n \in \sigma(X_1, \dots, X_{n-1})$ et donc $\sigma(1_{B_n}) \subset \sigma(X_1, \dots, X_{n-1})$.

Enfin, comme $\sigma(X_1), \dots, \sigma(X_n)$ sont des tribus indépendantes, la proposition 2.58 donne l'indépendance de $\sigma(X_n)$ et $\sigma(X_1, \dots, X_{n-1})$. On a donc l'indépendance de $\sigma(X_n)$ et $\sigma(1_{B_n})$, c'est-à-dire l'indépendance de $X_n$ et $1_{B_n}$.

(b) On suppose que $N$ et $X_1$ sont intégrables. Montrer que $S_N$ est intégrable et calculer $E(S_N)$ en fonction de $E(N)$ et $E(X_1)$. [On pourra écrire $S_N = \sum_{n=1}^{\infty} 1_{\{n \le N\}}X_n$.]

**Corrigé** – On reprend la démonstration de la question 1(b). On a

$$|S_N| \le \sum_{n=1}^{\infty} 1_{\{n \le N\}}|X_n|.$$

Avec le théorème de convergence monotone et l'indépendance de $1_{\{n \le N\}}$ et $|X_n|$, on a donc

$$E(|S_N|) \le \sum_{n=1}^{\infty} E(1_{\{n \le N\}})E(|X_n|) = \sum_{n=1}^{\infty} P(\{n \le N\})E(|X_1|) = E(N)E(|X_1|),$$

car $\sum_{n=1}^{\infty} P(\{n \le N\}) = \sum_{k=1}^{\infty} kP(N=k) = E(N)$. Comme à la question 1(b), ceci montre que $S_N$ est intégrale et que la série de terme générale $1_{\{n \le N\}}X_n$ est absolument convergente (et donc convergente) dans $L_1(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$. On obtient ainsi

$$E(S_N) = \sum_{n=1}^{\infty} E(1_{\{n \le N\}})E(X_n) = \sum_{n=1}^{\infty} P(\{n \le N\})E(X_1) = E(N)E(X_1).$$

**Exercice 4.48 (Dés pipés)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un espace probabilisé et X, Y deux v.a.r. indépendantes, bornées et prenant leurs valeurs dans $\mathbb{N}^*$.
1. Soit $t \in \mathbb{R}$. Montrer que

$$E(t^{X+Y}) = E(t^X)E(t^Y).$$

**Corrigé** – Comme X et Y sont des v.a.r. indépendantes, on a $E(\varphi(X)\psi(Y)) = E(\varphi(X))E(\psi(Y))$ pour toutes fonctions $\varphi$ et $\psi$ boréliennes bornées de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
On peut alors choisir $\varphi$ et $\psi$ t.q.

$$\varphi(s) = \psi(s) = t^s \text{ si } s \in \text{Im}(X) \cup \text{Im}(Y) \cup \text{Im}(X+Y)$$

et, par exemple, $\varphi(s) = \psi(s) = 0$ si $s \notin \text{Im}(X) \cup \text{Im}(Y) \cup \text{Im}(X+Y)$ (la fonction $\varphi$ est bien borélienne bornée de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$). On obtient alors pour tout $\omega \in \Omega$,

$$\varphi(X(\omega)) = t^{X(\omega)}, \quad \psi(Y(\omega)) = t^{Y(\omega)} \text{ et } \varphi(X(\omega))\psi(Y(\omega)) = t^{X(\omega)}t^{Y(\omega)} = t^{X(\omega)+Y(\omega)}.$$

On en déduit que

$$E(t^{X+Y}) = E(\varphi(X)\psi(Y)) = E(\varphi(X))E(\psi(Y)) = E(t^X)E(t^Y).$$

2. On suppose maintenant que $\text{Im}(X) = \text{Im}(Y) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ et que $P(\{X = i\}) = p_i > 0$, $P(\{Y = i\}) = q_i > 0$ pour $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

$$\text{On pose } P(\{X + Y = i\}) = r_i \text{ pour } i = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}.$$

Montrer qu'il est impossible que $r_i$ soit indépendant de $i$ (c'est-à-dire $r_i = 1/11$ pour tout $i$ entre 2 et 12). [On pourra raisonner par l'absurde et montrer que si $r_i = 1/11$ pour tout $i$ entre 2 et 12, on a alors $(1-t^{11}) = 11(1-t)(\sum_{i=0}^5 p_{i+1}t^i)(\sum_{i=0}^5 q_{i+1}t^i)$ pour tout $t \in \mathbb{R}$, ce qui est impossible...]

**Corrigé** – Comme $X + Y$ ne peut prendre que des valeurs entières comprises entre 1 et 12, on a bien sûr $\sum_{i=2}^{12} r_i = 1$. On suppose que $r_i$ ne dépend pas de $i$ (quand $i \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$). On a donc $r_i = 1/11$ pour tout $i \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$. On utilise alors la première question. Soit $t \in \mathbb{R}$, $t \neq 1$, on a

$$E(t^{X+Y}) = \sum_{i=2}^{12} r_i t^i = \sum_{i=2}^{12} \frac{1}{11} t^i = \frac{t^2}{11} \sum_{i=0}^{10} t^i = \frac{t^2(1-t^{11})}{11(1-t)},$$

$$E(t^X) = \sum_{i=1}^{6} p_i t^i = t \sum_{i=0}^{5} p_{i+1} t^i,$$

$$E(t^Y) = \sum_{i=1}^{6} q_i t^i = t \sum_{i=0}^{5} q_{i+1} t^i.$$

La première question donne alors

$$(1 - t^{11}) = 11(1 - t)(\sum_{i=0}^{5} p_{i+1} t^i)(\sum_{i=0}^{5} q_{i+1} t^i). \quad (4.76)$$

On a démontré (4.76) pour tout $t \neq 1$, mais elle aussi trivialement vraie pour $t = 1$. On a donc bien (4.76) pour tout $t \in \mathbb{R}$.

L'égalité (4.76) donne l'égalité de deux polynômes (de degré 11) sur $\mathbb{R}$. Mais, cette égalité est impossible. En effet, le polynôme au membre de gauche ne s'annule (dans $\mathbb{R}$) que pour $t = 1$. Or, $\sum_{i=0}^{5} p_{i+1} t^i$ est un polynôme de degré impair, il s'annule donc au moins une fois dans $\mathbb{R}$. On note $t_0$ un nombre réel annulant ce polynôme. On a $t_0 \neq 1$ car $\sum_{i=0}^{5} p_{i+1} = 1$. L'égalité (4.76) est donc impossible au point $t_0$.
# Chapitre 5

# Intégrale sur les boréliens de $\mathbb{R}$

## 5.1 Intégrale de Lebesgue et intégrale des fonctions continues

Nous commençons par comparer l’intégrale de Lebesgue (définie sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$) à l’intégrale classique des fonctions continues (et plus généralement des fonctions réglées).

Soit I un intervalle de $\mathbb{R}$ (borné ou non). On rappelle que $\mathcal{B}(I) = \{A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), A \subset I\}$. On peut donc considérer la restriction à $\mathcal{B}(I)$ de la mesure de Lebesgue définie sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. On notera en général (un peu incorrectement) aussi $\lambda$ cette mesure sur $\mathcal{B}(I)$.

**Proposition 5.1**

Soit $-\infty < a < b < +\infty$. Soit $f \in C([a,b], \mathbb{R})$. Alors, $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1([a,b], \mathcal{B}([a,b]), \lambda)$ et $\int f d\lambda = \int_a^b f(x)dx$ (cette dernière intégrale est à prendre au sens de l’intégrale des fonctions continues vue au Chapitre 1).

DÉMONSTRATION – La démonstration de cette proposition fait l’objet de l’exercice 4.5 page 197. En fait l’exercice 4.5 s’intéresse au cas $[0, 1]$ mais s’adapte facilement pour le cas général $[a, b]$. ■

**Remarque 5.2**

1. Si I est un intervalle de $\mathbb{R}$ dont les bornes sont $a, b \in \bar{\mathbb{R}}$ (I peut être fermé ou ouvert en a et b) et si $f \in \mathcal{L}^1(I, \mathcal{B}(I), \lambda)$ ou $L^1(I, \mathcal{B}(I), \lambda)$, on notera souvent :

$$ \int f d\lambda = \int f(x)d\lambda(x) = \int_a^b f(x)dx. $$
Cette notation est justifiée par la proposition précédente (proposition 5.1) car, si $I$ est compact, l’intégrale de Lebesgue contient l’intégrale des fonctions continues (et aussi l’intégrale des fonctions réglées et aussi l’intégrale de Riemann, voir l’exercice 5.2).

2. Soient $-\infty < a < b < +\infty$ et $f \in C([a, b], \mathbb{R})$.

La proposition 5.1 donne que $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{1}([a, b], \mathcal{B}([a, b]), \lambda)$. En fait, on écrira souvent que $f \in L_{\mathbb{R}}^{1}([a, b], \mathcal{B}([a, b]), \lambda)$, c’est-à-dire qu’on confondra $f$ avec sa classe dans $L_{\mathbb{R}}^{1}([a, b], \mathcal{B}([a, b]), \lambda)$, qui est l’ensemble $\{g \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{1}([a, b], \mathcal{B}([a, b]), \lambda) ; g = f \text{ p.p.}\}$. On peut d’ailleurs noter que $f$ est alors le seul élément continu de $\{g \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{1}([a, b], \mathcal{B}([a, b]), \lambda) ; g = f \text{ p.p.}\}$ comme le montre la proposition suivante (proposition 5.3).

**Proposition 5.3** Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ de longueur strictement positive et $f, g \in C(I, \mathbb{R})$. On suppose que $f = g$ λ-p.p.. On a alors $f(x) = g(x)$ pour tout $x \in I$.

Cette proposition est démontrée à l'exercice (corrigé) 3.10 page 131 pour $I = \mathbb{R}$. La démonstration pour $I$ quelconque est similaire.

**Proposition 5.4** Soit $f \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ (c’est-à-dire que $f$ est une fonction continue à support compact). Alors $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{1}(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. (Ici aussi, on écrira souvent $f \in L_{\mathbb{R}}^{1}(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$.)

De plus, si $a, b \in \mathbb{R}$ sont t.q. $a < b$ et $f = 0$ sur $[a, b]^c$ (de tels $a$ et $b$ existent). Alors, $\int f d\lambda = \int_a^b f(x) dx$ (cette dernière intégrale étant à prendre au sens de l’intégrale des fonctions continues vue au Chapitre 1).

**DÉMONSTRATION** – On remarque d'abord que $f$ est borélienne car continue. Puis, pour montrer que $f$ est intégrable, on utilise la proposition 5.1. Comme $f$ est à support compact, il existe $a, b \in \mathbb{R}$ t.q. $a < b$ et $f = 0$ sur $[a, b]^c$. On a alors, par la proposition 5.1,

$$f_{|[a,b]} \in C([a,b], \mathbb{R}) \subset \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{1}([a,b], \mathcal{B}([a,b]), \lambda).$$

On a donc

$$\int |f| d\lambda = \int |f_{|[a,b]}| d\lambda < \infty$$

et donc $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{1}(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. Enfin, la proposition 5.1 donne aussi :

$$\int f_{|[a,b]} d\lambda = \int_a^b f(x) dx.$$

D'où l'on conclut bien que $\int f d\lambda = \int_a^b f(x) dx$.

■

Le résultat précédent se généralise à l’intégrale de Riemann des fonctions Riemann-intégrables (construite à partir des sommes de Darboux). Ceci fait l’objet de l’exercice 5.2.
## 5.2 Mesures abstraites et mesures de Radon

**Remarque 5.5** Les propositions 5.1 et 5.4 donnent les résultats suivants :

1. Pour $f \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, on pose $L(f) = \int fd\lambda$. L'application $L$ est une application linéaire (de $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$) positive, c'est-à-dire que $f \ge 0 \Rightarrow L(f) \ge 0$. (On rappelle que $f \ge 0$ signifie que $f(x) \ge 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.)

Plus généralement, soit $m$ une mesure sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$, finie sur les compacts. Il est facile de voir que $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \subset L_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m)$ (en toute rigueur, on a plutôt $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \subset \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m)$). Pour $f \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, on pose $L(f) = \int fdm$. L'application $L$ est une application linéaire (de $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$) positive (ou encore une forme linéaire positive).

On peut montrer une réciproque de ce résultat (théorème 5.6).

2. Soit $-\infty < a < b < \infty$. Pour $f \in C([a, b], \mathbb{R})$, on pose $L(f) = \int fd\lambda$. L'application $L$ est une application linéaire (de $C([a, b], \mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$) positive.

Ici aussi, plus généralement, soit $m$ une mesure finie sur $([a, b], \mathcal{B}([a, b]))$. Il est facile de voir que $C([a, b], \mathbb{R}) \subset L_{\mathbb{R}}^1([a, b], \mathcal{B}([a, b]), m)$ (ou plutôt $C([a, b], \mathbb{R}) \subset \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1([a, b], \mathcal{B}([a, b]), m)$). Pour $f \in C([a, b], \mathbb{R})$, on pose $L(f) = \int fdm$. L'application $L$ est une application linéaire (de $C([a, b], \mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$) positive (ou encore une forme linéaire positive).

Ici aussi, on peut montrer une réciproque de ce résultat (voir la remarque 5.15).

On énonce maintenant des résultats, dus à F. Riesz, qui font le lien entre les applications linéaires (continues ou positives) sur des espaces de fonctions continues (applications que nous appellerons mesures de Radon) et les mesures abstraites sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ (c'est-à-dire les applications $\sigma$-additives sur les boréliens de $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\overline{\mathbb{R}}$, non identiquement égales à $+\infty$). Le théorème 5.6 donné ci après est parfois appelé “Théorème de représentation de Riesz en théorie de la mesure”. Dans ce livre, nous réservons l'appellation “Théorème de représentation de Riesz” pour le théorème 6.56 de représentation de Riesz dans les espaces de Hilbert.

**Théorème 5.6 (Riesz)** Soit $L$ une forme linéaire positive sur $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, c'est-à-dire une application linéaire positive de $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$. Alors il existe une unique mesure $m$ sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ t.q. :

$$ \forall f \in C_c, \quad L(f) = \int fdm. $$

De plus, $m$ est finie sur les compacts (c'est-à-dire $m(K) < +\infty$ pour tout compact $K$ de $\mathbb{R}$.)
DÉMONSTRATION – La partie unicité de cette démonstration est assez facile et est donnée dans la proposition 5.8. La partie existence est plus difficile, on en donne seulement le schéma général, sous forme d'exercice détaillé.

Soit L une forme linéaire positive sur $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

1. Montrer que L est continue au sens suivant : pour tout compact K de $\mathbb{R}$, il existe $C_K \in \mathbb{R}$ t.q. pour toute fonction continue à support dans K, $|L(f)| \le C_K \|f\|_{\infty}$.
[Considérer une fonction $\psi_K \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ t.q. $\psi_K(x) = 1$ si $x \in K$ et $\psi_K(x) \ge 0$ pour tout $x$.]

2. Montrer le lemme suivant :

**Lemme 5.7 (Dini)** Soient $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $f \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ t.q. $f_n \uparrow f$ ou $f_n \downarrow f$ lorsque $n \to +\infty$. Alors $f_n$ converge uniformément vers $f$.

3. Déduire des deux étapes précédentes que si $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $f \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ t.q. $f_n \uparrow f$ ou $f_n \downarrow f$ lorsque $n \to +\infty$, alors $L(f_n) \to L(f)$.

4. Soient $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ des suites telles que $f_n \uparrow f$ et $g_n \uparrow g$ (ou $f_n \downarrow f$ et $g_n \downarrow g$), où $f$ et $g$ sont des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\overline{\mathbb{R}}$. Montrer que si $f \le g$ alors $\lim_{n \to +\infty} L(f_n) \le \lim_{n \to +\infty} L(g_n)$ (et dans le cas particulier où $f = g$, $\lim_{n \to +\infty} L(f_n) = \lim_{n \to +\infty} L(g_n)$).

[On pourra, par exemple, considérer, pour $n$ fixé, $h_p = \inf(g_p, f_n)$ et remarquer que $h_p \uparrow f_n$.]

5. On définit :

$$A_+ = \{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ; \exists (f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}) ; f_n \uparrow f \text{ et } \lim_{n \to +\infty} L(f_n) < +\infty \}, (5.1)$$

$$A_- = \{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ; \exists (f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}) ; f_n \downarrow f \text{ et } \lim_{n \to +\infty} L(f_n) > -\infty \}, (5.2)$$

Si $f \in A^+$, on pose $L(f) = \lim_{n \to +\infty} L(f_n)$, où $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$; $f_n \uparrow f$.

Si $f \in A^-$, on pose $L(f) = \lim_{n \to +\infty} L(f_n)$, où $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$; $f_n \downarrow f$.

Vérifier que ces définitions sont cohérentes (c'est-à-dire qu'elles ne dépendent pas des suites choisies et que si $f \in A^+ \cap A^-$, les deux définitions coincident). Montrer les propriétés suivantes :

(a) Si $f \in A^+$ (resp. $A^-$) alors $-f \in A^-$ (resp. $A^+$) et $L(-f) = -L(f)$.

(b) Si $f, g \in A^+$ (resp. $A^-$) alors $f + g \in A^+$ (resp. $A^-$) et $L(f + g) = L(f) + L(g)$.

(c) Si $f \in A^+$ (resp. $A^-$) et $\alpha \in \mathbb{R}_+$ alors $\alpha f \in A^+$ (resp. $A^-$) et $L(\alpha f) = \alpha L(f)$.

(d) Si $f \in A^+$ (resp. $A^-$) et $g \in A^+$ alors $\sup(f, g) \in A^+$ et $\inf(f, g) \in A^+$.

(e) Si $f, g \in A^+$ (resp. $A^-$) et $f \ge g$, alors $L(f) \ge L(g)$.

(f) Si $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset A_+$ (resp. $A^-$) et $f_n \uparrow f \in A^+$ (resp. $f_n \downarrow f \in A^-$), alors $L(f_n) \ge L(f)$.

(g) Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset A_+$ (resp. $A^-$) t.q. $f_n \uparrow f$ (resp. $f_n \downarrow f$), où $f$ est une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\overline{\mathbb{R}}$.

Si $\lim_{n \to +\infty} L(f_n) < +\infty$, alors $f \in A^+$.

Remarquer aussi que $A^+$ contient toutes les fonctions caractéristiques des ouverts bornés et que $A^-$ contient toutes les fonctions caractéristiques des compacts.
6. On pose :

$$E = \{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; \forall \varepsilon > 0, \exists g \in A^+ \text{ et } h \in A^-; h \le f \le g \text{ et } L(g) - L(h) \le \varepsilon\}$$

et pour $f \in E$, on définit :

$$L(f) = \sup_{h \in A^{-}, h \le f} L(h) = \inf_{g \in A^{-}, g \ge f} L(g).$$

Montrer que cette définition a bien un sens, c'est-à-dire que d'une part :

$$\sup_{h \in A^{-}, h \le f} L(h) = \inf_{g \in A^{-}, g \ge f} L(g),$$

et d'autre part la définition de $L$ sur $E$ est compatible avec la définition sur $A^+$ et $A^-$ (après avoir remarqué que $A^+ \subset E$ et $A^- \subset E$). Montrer les propriétés suivantes sur $E$ :

(a) $E$ est un espace vectoriel et $L$ une forme linéaire positive sur $E$.

(b) $E$ est stable par passage à la limite croissante ou décroissante.

(c) $E$ est stable par inf et sup, i.e. si $f \in E$ et $g \in E$, alors $\sup(f,g) \in E$ et $\inf(f,g) \in E$.

7. Soit $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C_c$ t.q. $0 \le \varphi_n \le 1$ et $\varphi_n \uparrow 1$. On pose $T = \{A \in \mathcal{P}(\mathbb{R}); 1_A \varphi_n \in E \forall n \in \mathbb{N}\}$. Montrer que $T \supset \mathcal{B}(\mathbb{R})$.

8. Pour $A \in T$, on pose : $m(A) = \lim_{n \to +\infty} L(1_A \varphi_n) \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$. Montrer que $m$ est une mesure $\sigma$-finie.

9. Montrer que $L^1(\mathbb{R}, T, m) = E$ et que $\int f dm = L(f), \forall f \in E$.

■

**Proposition 5.8** Soit $d \ge 1$, $m$ et $\mu$ deux mesures sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$, finies sur les compacts. On suppose que $\int f dm = \int f d\mu$, pour tout $f \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$. Alors $m = \mu$.

La démonstration de cette proposition peut se faire en utilisant la proposition 2.30. Elle est faite pour $d = 1$ au chapitre 4 (proposition 4.60). Sa généralisation au cas $d > 1$ est laissée en exercice.

**Remarque 5.9** Le théorème 5.6 donne un autre moyen de construire la mesure de Lebesgue que celui vu au chapitre 2 :

Pour $f \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, on pose $L(f) = \int_a^b f(x)dx$, où $a, b \in \mathbb{R}$ sont choisis pour que $f = 0$ sur $[a, b]^c$ (on utilise ici l'intégrale des fonctions continues sur un compact de $\mathbb{R}$). L'application $L$ est clairement linéaire positive de $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$. Le théorème 5.6 donne donc l'existence d'une mesure $m$ sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ t.q. $\int f dm = L(f)$ pour tout $f \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Cette mesure est justement la mesure de Lebesgue (elle vérifie bien $m[a, b] = b - a$ pour tout $a, b \in \mathbb{R}, a < b$).
**Définition 5.10** On définit les espaces de fonctions continues (de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$) suivants :

$$C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R}) = \{f \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R}); \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x)| < +\infty\},$$

$$C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) = \{f \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R}); f(x) \to 0 \text{ quand } |x| \to +\infty\},$$

$$C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}) = \{f \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R}); \exists K \subset \mathbb{R}, K \text{ compact, } f = 0 \text{ sur } K^c\}.$$

Pour $f \in C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, on pose $\|f\|_u = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x)|$. La norme $\|\cdot\|_u$ s'appelle norme de la convergence uniforme (elle est aussi parfois appelée norme infinie.)

Il est clair que $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \subset C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \subset C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et on rappelle que $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ sont des espaces de Banach (e.v.n. complet) avec la norme $\|\cdot\|_u$. Ces espaces seront parfois notés, en abrégé, $C_c$, $C_0$ et $C_b$.

**Remarque 5.11** Soit $m$ une mesure finie sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, alors $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \subset L_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m)$ (en toute rigueur, on a plutôt $C_b \subset \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m)$). Pour $f \in C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, on pose $L(f) = \int f dm$. L'application $L$ est alors une application linéaire sur $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. On munit $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ de la norme de la convergence uniforme, L'application $L$ est alors continue (car $L(f) \le m(\mathbb{R})\|f\|_u$ pour tout $f \in C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$). L'application $L$ est aussi positive, c'est-à-dire que $f \ge 0 \Rightarrow L(f) \ge 0$. On donne ci-après des réciproques partielles de ces résultats.

**Théorème 5.12 (Riesz)** Soit $L$ une application linéaire positive de $C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$, alors il existe une unique mesure $m$ finie sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ t.q. :

$$\forall f \in C_0, \quad L(f) = \int f dm.$$

**DÉMONSTRATION** – La démonstration consiste d'abord à montrer que $L$ est continue (quand $C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ est muni de sa norme naturelle, c'est-à-dire de la norme $\|\cdot\|_u$). C'est la première étape ci-dessous. Puis à appliquer le théorème 5.6, c'est le deuxième étape.

### Étape 1

On montre, dans cette étape, que $L$ est continue.

On raisonne par l'absurde. Si $L$ n'est pas continue, il existe $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ suite de $C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ t.q. $L(f_n) \ge n$ et $\|f_n\|_u = 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. En posant $g_n = |f_n|/(n^2)$, on a $g_n \in C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et en utilisant la linéarité et la positivité de $L$, on obtient

$$L(g_n) = \frac{1}{n^2} L(|f_n|) \ge \frac{1}{n^2} L(f_n) \ge \frac{1}{n} \text{ et } \|g_n\|_u = \frac{1}{n^2}.$$
La série $\sum_{n=1}^{+\infty} g_n$ est absolument convergente dans $C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, elle est donc convergente (car $C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ est un espace de Banach). On note $g$ la somme de cette série. On a donc $g \in C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, et comme les fonctions $g_n$ sont positives,

$$L(g) \geq \sum_{p=1}^{n} L(g_p) \geq \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{p} \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}.$$

En passant à la limite quand $n \to +\infty$ on obtient $L(g) = +\infty$, ce qui est absurde. On a donc bien montré que $L$ est continue. Il existe donc $M$ t.q. $L(f) \leq M\|f\|_u$ pour tout $f \in C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

### Étape 2

La restriction de $L$ à $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ est linéaire positive. Le théorème 5.6 donne l'existence d'une mesure $m$ sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ t.q.

$$L(f) = \int f dm \text{ pour tout } f \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \qquad (5.3)$$

Pour $n \in \mathbb{N}^*$ on pose

$$\varphi_n = 1_{[-n,n]} + (x+n+1)1_{[-(n+1),-n]} + (n+1-x)1_{[n,n+1]}$$

et on prend $f = \varphi_n$ dans (5.3). On obtient $m([-n, n]) \leq L(\varphi_n) \leq M\|\varphi_n\|_u = M$. On a donc, en faisant $n \to +\infty$, $m(\mathbb{R}) \leq M$, ce qui prouve que $m$ est une mesure finie.

Enfin, si $f \in C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ on pose $f_n = f\varphi_n$. On remarque que $f_n$ tend vers $f$ dans $C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et est dominée par $|f|$. On a donc $\lim_{n \to +\infty} L(f_n) = L(f)$ car $L$ est continue et $\lim_{n \to +\infty} \int f_n dm = \int f dm$ par convergence dominée. Comme $L(f_n) = \int f_n dm$ (car $f_n \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$), on obtient finalement $L(f) = \int f dm$. ■

Le résultat du théorème 5.12 est faux si on remplace $C_0$ par $C_b$. On peut, par exemple, construire une application linéaire continue positive sur $C_b$, non identiquement nulle sur $C_b$ et nulle sur $C_0$. Si on note $L$ une telle application (nulle sur $C_0$ mais non identiquement nulle sur $C_b$) et si $m$ est une mesure finie sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ t.q. $L(f) = \int f dm$ pour $f \in C_b$, on montre facilement (en utilisant $\int f dm = 0$ pour tout $f \in C_0$) que $m = 0$ et donc $L(f) = 0$ pour tout $f \in C_b$, en contradiction avec le fait que $L$ n'est pas identiquement nulle sur $C_b$.

Pour construire une application linéaire continue positive sur $C_b$, non identiquement nulle et nulle sur $C_0$, on peut procéder de la manière décrite ci après. On note $F$ le sous espace vectoriel de $C_b$ formé des éléments de $C_b$ ayant une limite en $+\infty$. On a donc $f \in F$ si $f \in C_b$ et s'il existe $l \in \mathbb{R}$ t.q. $f(x) \to l$ quand $x \to +\infty$. Pour $f \in F$ on pose $\tilde{L}(f) = \lim_{x \to +\infty} f(x)$. On a ainsi défini une forme linéaire positive sur $F$ (car, pour $f \in F$, $f(x) \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ implique bien $\tilde{L}(f) \geq 0$). En utilisant le théorème 5.14 donné ci après, il existe donc $L$, forme linéaire positive sur $C_b$, t.q. $L = \tilde{L}$ sur $F$. L'application $L$ est donc linéaire continue positive sur $C_b$ (pour la continuité, on remarque que $|L(f)| \leq \|f\|_u$), elle est bien nulle sur $C_0$ (car $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ si
$f \in C_0 \subset F)$ et non identiquement nulle sur $C_b$ car $L(f) = 1$ si $f$ est la fonction constante, égale à 1 en tout point.

**Remarque 5.13** Soit E un espace de Banach réel, F un s.e.v. de E et T une application linéaire continue de F (muni de la norme de E) dans $\mathbb{R}$. Le théorème de Hahn-Banach [1] donne alors l'existence d'une application linéaire continue $\bar{T}$ de E dans $\mathbb{R}$ (i.e. $\bar{T} \in E'$) t.q. $\bar{T} = T$ sur F. (Si F est dense dans E, le théorème de Hahn-Banach est inutile et on peut montrer aussi l'unicité de $\bar{T}$. Si F n'est pas dense dans E, $\bar{T}$ n'est pas unique.) L'objectif du théorème 5.14 est de remplacer l'hypothèse de continuité de T par une propriété de positivité.

**Théorème 5.14 (Hahn-Banach positif)** Soit F un sous espace vectoriel de $C_b = \{f \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R}); \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x)| < +\infty\}$ et T une application linéaire de F dans $\mathbb{R}$. On suppose que F contient les fonctions constantes et que T est positive (c'est-à-dire que, pour $f \in F$, $f(x) \ge 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ implique $T(f) \ge 0$). Il existe alors $\bar{T}$, application linéaire positive sur $C_b$, t.q. $\bar{T} = T$ sur F.

**DÉMONSTRATION** – La démonstration n'est pas détaillée ici. Elle peut se faire en utilisant une technique très similaire à celle donnant la démonstration du théorème de Hahn-Banach (qui permet aussi de montrer le théorème de prolongement d'une application linéaire continue définie sur un sous espace vectoriel d'un espace de Banach). Elle peut aussi se faire en se ramenant à la version du théorème de Hahn-Banach donné, par exemple, dans le livre d'analyse fonctionnelle de H. Brezis [1].

Il est intéressant de noter que le résultat du théorème peut être faux si on retire l'hypothèse F contient les fonctions constantes. ■

On peut maintenant faire la remarque suivante :

**Remarque 5.15** Soit K une partie compacte de $\mathbb{R}$. On note $C(K, \mathbb{R}) = \{f|_K, f \in C_b\}$. Si $m$ est une mesure finie sur $(K, \mathcal{B}(K))$ l'espace fonctionnel $C(K, \mathbb{R})$ est inclus dans $L_1^+(K, \mathcal{B}(K), m)$, et l'application qui à $f \in C(K, \mathbb{R})$ associe $\int f dm$ est linéaire positive (et continue, si $C(K, \mathbb{R})$ est muni de la norme de la convergence uniforme). Réciproquement, soit L une application linéaire positive de $C(K, \mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$. Le théorème précédent permet de montrer qu'il existe une unique mesure finie, notée $m$, sur $(K, \mathcal{B}(K))$ t.q. :

$$L(f) = \int f dm, \forall f \in C(K, \mathbb{R}).$$
Considérons maintenant le cas des mesures signées : si $m$ est une mesure signée sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ (ou sur $(\mathbb{K}, \mathcal{B}(\mathbb{K}))$), l'application qui à $f \in C_0$ (ou $\in C(\mathbb{K})$, $\mathbb{K}$ étant une partie compacte de $\mathbb{R}$) associe $\int f dm$ est linéaire continue (pour la norme de la convergence uniforme). Réciproquement, on a aussi existence et unicité d'une mesure (signée) définie à partir d'une application linéaire continue de $C_0$ (ou de $C(\mathbb{K})$) dans $\mathbb{R}$ :

**Théorème 5.16 (Riesz, mesures signées)** Soit $L$ une application linéaire continue de $C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$ (ou de $C(\mathbb{K}, \mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$, où $\mathbb{K}$ est un compact de $\mathbb{R}$). Alors il existe une unique mesure signée, notée $m$, sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ (ou sur $\mathcal{B}(\mathbb{K})$) t.q. :

$$L(f) = \int f dm, \quad \forall f \in C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \text{ (ou } C(\mathbb{K}, \mathbb{R})\text{).}$$

Les éléments de $(C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R}))'$ (ou $(C(\mathbb{K}, \mathbb{R}))'$) sont appelés mesures de Radon sur $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{K}$). On rappelle que, pour un espace de Banach (réel) $E$, on note $E'$ son dual topologique, c'est-à-dire l'ensemble des applications linéaires continues de $E$ dans $\mathbb{R}$.

**DÉMONSTRATION** – Elle consiste à se ramener au théorème de Riesz pour des formes linéaires positives. Elle n'est pas détaillée ici. On rappelle seulement que si $m$ est une mesure signée sur $T$ (tribu sur un ensemble $E$). Il existe deux mesures finies $m^+$ et $m^-$ sur $T$, étrangères (c'est-à-dire qu'il existe $A \in T$ t.q. $m^+(A) = m^-(A^c) = 0$) et t.q. $m = m^+ - m^-$. On a alors (par définition)

$$\mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{1}(E, T, m) = \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{1}(E, T, m^{+}) \cap \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{1}(E, T, m^{-}), \\ \text{et, si } f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{1}(E, T, m),$$

$$\int f dm = \int f dm^{+} - \int f dm^{-}.$$

■

**Définition 5.17 (Mesure de Radon)** Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}$, alors on appelle mesure de Radon sur $\overline{\Omega}$ un élément de $(C(\overline{\Omega}, \mathbb{R}))'$, c'est-à-dire une application linéaire continue (pour la norme infinie) de $C(\overline{\Omega}, \mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$.

**Remarque 5.18** Soit $T$ une forme linéaire sur $C_c(\Omega, \mathbb{R})$.

1. Si $T$ est continue pour la norme $\|\cdot\|_{\infty}$, on peut montrer qu'il existe une et une seule mesure signée, notée $\mu$, sur les boréliens de $\Omega$ telle que

$$T(f) = \int f d\mu \text{ pour tout } f \in C_c(\Omega, \mathbb{R}).$$

Pour montrer l'existence de $\mu$, on peut commencer par se ramener au théorème 5.16 en prolongeant $T$ (de manière non unique) en une application linéaire continue sur $C(\overline{\Omega}, \mathbb{R})$ (ceci est possible par le théorème de Hahn-Banach). Le théorème 5.16 donne alors une (unique) mesure sur $\mathcal{B}(\overline{\Omega})$ correspondant à ce prolongement de $T$.
La restriction de cette mesure à $\mathcal{B}(\Omega)$ est la mesure $\mu$ recherchée. Il est intéressant de remarquer que cette mesure $\mu$ est unique, sans que celle donnée par le théorème 5.16 soit unique (car cette dernière dépend du prolongement choisi de $T$ à $C(\bar{\Omega}, \mathbb{R})$).

2. Si $T$ est continue pour la topologie naturelle de $C_c(\Omega, \mathbb{R})$, (c'est-à-dire que, pour tout compact $K \subset \Omega$, il existe $C_K \in \mathbb{R}$ tel que $T(f) \le C_K \|f\|_\infty$, pour tout $f \in C_c(\Omega, \mathbb{R})$ avec $f=0$ sur le complémentaire de $K$) alors le résultat donné dans le premier item (c'est-à-dire l'existence de $\mu$) peut être faux ; par contre on peut montrer qu'il existe deux mesures (positives) $\mu_1$ et $\mu_2$ sur les boréliens de $\Omega$ telles que

$$T(f) = \int f d\mu_1 - \int f d\mu_2, \forall f \in C_c(\Omega, \mathbb{R});$$

on peut noter que $\mu_1$ et $\mu_2$ peuvent prendre toutes les deux la valeur $+\infty$ (exemple : $N=1, \Omega =]-1, 1[$, $T(f) = \sum_{n \in \mathbb{N}^*} nf(1-\frac{1}{n}) - \sum_{n \in \mathbb{N}^*} nf(-1+\frac{1}{n}))$, et donc que $(\mu_1 - \mu_2)(\Omega)$ n'a pas toujours un sens.

Soit maintenant $T$ une forme linéaire sur $C_c^\infty(\Omega, \mathbb{R})$, continue pour la norme $\|\cdot\|_u$, alors il existe une et une seule mesure signée, notée $\mu$, sur les boréliens de $\Omega$ telle que

$$T(f) = \int f d\mu, \forall f \in C_c^\infty(\Omega, \mathbb{R}).$$

## 5.3 Changement de variable, densité et continuité

On montre dans cette section quelques propriétés importantes de l'espace $L_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$, $\lambda$) (et éventuellement de $L_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \mu)$ si $\mu$ est finie sur les compacts).

**Proposition 5.19 (Changement de variable affine)** Soient $\alpha \in \mathbb{R}^*$, $\beta \in \mathbb{R}$ et $f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. On définit

$$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ par } g(x) = f(\alpha x + \beta) \text{ pour } x \in \mathbb{R}.$$

Alors, $g \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et

$$\int g d\lambda = \frac{1}{|\alpha|} \int f d\lambda.$$

Le même résultat reste vrai en remplaçant $\mathcal{L}^1$ par $L^1$.

**DÉMONSTRATION** – 1. On pose $\varphi(x) = \alpha x + \beta$, pour tout $x \in \mathbb{R}$, de sorte que $g = f \circ \varphi$. Comme $f$ et $\varphi$ sont boréliennes (noter que $\varphi$ est même continue), $g$ est aussi borélienne, c'est-à-dire $g \in \mathcal{M}$.

2. Pour montrer que $g \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et

$$\int g d\lambda = \frac{1}{|\alpha|} \int f d\lambda, \qquad (5.4)$$

on raisonne en plusieurs étapes :
(a) On suppose que $f = 1_A$ avec $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ tel que $\lambda(A) < +\infty$. On a alors $g = 1_{\frac{1}{\alpha}A - \frac{\beta}{\alpha}}$ (avec $\frac{1}{\alpha}A - \frac{\beta}{\alpha} = \{\frac{1}{\alpha}x - \frac{\beta}{\alpha}, x \in A\}$). On a donc $g \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et (5.4) est vraie (car on a déjà vu que $\lambda(\frac{1}{\alpha}A - \frac{\beta}{\alpha}) = \frac{1}{|\alpha|}\lambda(A)$, dans la proposition 2.47).

(b) On suppose que $f \in \mathcal{E}_+ \cap \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$.
Il existe donc $a_1, \dots, a_n > 0$ et $A_1, \dots, A_n \in \mathbb{T}$ t.q. $f = \sum_{i=1}^n a_i 1_{A_i}$. Comme $f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$, on a aussi $\lambda(A_i) < +\infty$ pour tout $i$. On conclut alors que $g = \sum_{i=1}^n a_i 1_{\frac{1}{\alpha}A_i - \frac{\beta}{\alpha}}$, ce qui donne que $g \in \mathcal{E}_+ \cap \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et que (5.4) est vraie.

(c) On suppose que $f \in \mathcal{M}_+ \cap \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. Il existe une suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{E}_+ \cap \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ telle que $f_n \uparrow f$ quand $n \to +\infty$. On a donc $\int f_n d\lambda \uparrow \int fd\lambda$ quand $n \to +\infty$. On définit $g_n$ par $g_n(x) = \alpha x + \beta$, pour tout $x \in \mathbb{R}$. On a alors

$$g_n \in \mathcal{E}_+ \cap \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda), g_n \uparrow g \text{ et } \int g_n d\lambda \uparrow \int gd\lambda \text{ quand } n \to +\infty.$$

Comme (5.4) est vraie pour $f = f_n$ et $g = g_n$, on en déduit que $g \in \mathcal{M}_+ \cap \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et (5.4) est vraie.

(d) On suppose enfin seulement que $f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. Comme $f = f^+ - f^-$, avec $f^+ \in \mathcal{M}_+ \cap \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$, on peut utiliser l'étape précédente avec $f^+$ et on obtient que $g \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et que (5.4) est vraie.

3. Le résultat obtenu est encore vrai pour $L^1$ au lieu de $\mathcal{L}^1$. Il suffit de remarquer que
$$f_1 = f_2 \text{ p.p.} \Rightarrow g_1 = g_2 \text{ p.p.}, \text{ avec } g_i(\cdot) = f_i(\alpha + \beta), i = 1, 2.$$

En fait, lorsque $f$ décrit un élément de $L^1$ (qui est un ensemble d'éléments de $\mathcal{L}^1$), la fonction $g(\alpha + \beta)$ décrit alors un élément de $L^1$.

■

Le résultat de densité que nous énonçons à présent permet d'approcher une fonction de $L^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ aussi près que l'on veut par une fonction continue à support compact. Ce résultat est souvent utilisé pour démontrer certaines propriétés des fonctions de $L^1$: on montre la propriété pour les fonctions continues, ce qui s'avère en général plus facile, et on passe à la limite.

**Théorème 5.20 (Densité de $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ dans $L^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda))$** On note $L^1 = L^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. L'ensemble $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ des fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et à supports compacts, est dense dans $L^1$, c'est-à-dire :

$$\forall f \in L^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda), \forall \varepsilon > 0, \exists \varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}); \|f - \varphi\|_1 < \varepsilon.$$
**DÉMONSTRATION –** On a déjà vu que $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \subset \mathcal{L}^1$. En toute rigueur, on a plutôt $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \subset \mathcal{L}^1 = \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. L'objectif est donc de montrer que pour tout $f \in \mathcal{L}^1$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe $\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle que $\|f - \varphi\|_1 \le \varepsilon$. On va raisonner une nouvelle fois en plusieurs étapes (fonctions caractéristiques, $\mathcal{E}_+$, $M_+$ et enfin $\mathcal{L}^1$).

**Étape 1.** On suppose ici que $f = 1_A$ avec $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et $\lambda(A) < +\infty$.

Soit $\varepsilon > 0$. Comme $\lambda$ est une mesure régulière (proposition 2.42), il existe un ouvert $O$ et un fermé $F$ tels que $F \subset A \subset O$ et $\lambda(O \setminus F) \le \varepsilon$. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $F_n = F \cap [-n, n]$, de sorte que $F_n$ est compact (pour tout $n$) et $F = \cup_{n \in \mathbb{N}^*} F_n$. La continuité croissante de $\lambda$ donne alors $\lambda(F_n) \uparrow \lambda(F)$, quand $n \to +\infty$. Comme $\lambda(F) \le \lambda(A) < +\infty$, on a aussi $\lambda(F \setminus F_n) = \lambda(F) - \lambda(F_n) \to 0$ quand $n \to +\infty$. Il existe donc $n_0$ tel que $\lambda(F \setminus F_{n_0}) \le \varepsilon$.

On pose $K = F_{n_0}$ et on obtient donc $K \subset F \subset A \subset O$, ce qui donne

$$ \lambda(O \setminus K) \le \lambda(O \setminus F) + \lambda(F \setminus K) \le 2\varepsilon. $$

On a donc trouvé un compact $K$ et un ouvert $O$ tels que $K \subset A \subset O$ et $\lambda(O \setminus K) \le 2\varepsilon$. Ceci va nous permettre de construire $\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle que $\|f - \varphi\|_1 \le 2\varepsilon$.

On pose

$$ d = d(K, O^c) = \inf\{d(x, y), x \in K, y \in O^c\}. $$

On remarque que $d > 0$. En effet, il existe des suites $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset K$ et $(y_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset O^c$ telles que

$$ d(x_n, y_n) = |x_n - y_n| \to d \text{ quand } n \to +\infty. $$

Par compacité de $K$, on peut supposer (après extraction éventuelle d'une sous-suite) que $x_n \to x$, quand $n \to +\infty$. Si $d = 0$, on a alors aussi $y_n \to x$ quand $n \to +\infty$ et donc $x \in O^c \cap K$ (car $K$ et $O^c$ sont fermés), ce qui est impossible car $O^c \cap K = \emptyset$. On a donc bien montré $d > 0$.

On définit maintenant la fonction $\varphi$ par

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \varphi(x) = \frac{1}{d}(d - d(x, K))^{+} \text{ avec } d(x, K) = \inf\{d(x, y), y \in K\}. $$

La fonction $\varphi$ est continue car $x \mapsto d(x, K)$ est continue (cette fonction est même lipschitzienne, on peut montrer que $|d(x, K) - d(y, K)| \le |x - y|$). Elle est à support compact car il existe $A > 0$ tel que $K \subset [-A, A]$ et on remarque alors que $\varphi = 0$ sur $[-A - d, A + d]^c$. On a donc $\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Enfin, on remarque que $\varphi = 1$ sur $K$, $\varphi = 0$ sur $O^c$ et $0 \le \varphi \le 1$ (partout). On en déduit que $f - \varphi = 0$ sur $K \cup O^c$ et $0 \le |f - \varphi| \le 1$, ce qui donne

$$ \|f - \varphi\|_1 \le \lambda(O \setminus K) \le 2\varepsilon, $$

et termine donc la première (et principale) étape.

**Étape 2.** On suppose ici que $f \in \mathcal{E}_+ \cap \mathcal{L}^1$. Il existe donc $a_1, \dots, a_n > 0$ et $A_1, \dots, A_n \in \mathcal{T}$ tels que $f = \sum_{i=1}^n a_i 1_{A_i}$. Comme $f \in \mathcal{L}^1$, on a aussi $\lambda(A_i) < +\infty$ pour tout $i$.

Soit $\varepsilon > 0$, l'étape 1 donne, pour tout $i$, l'existence de $\varphi_i \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle que $\|1_{A_i} - \varphi_i\|_1 \le \varepsilon$. On pose

$$ \varphi = \sum_{i=1}^{n} a_i \varphi_i \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}) $$
et on obtient

$$
\|f - \varphi\|_{1} \le \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \varepsilon
$$

(ce qui est bien arbitrairement petit).

**Etape 3.** On suppose ici que $f \in M_+ \cap \mathcal{L}^1$.

Soit $\varepsilon > 0$. D'après la caractérisation de l'intégrale dans $M_+$ (lemme 4.9), il existe $g \in \mathcal{E}_+$ telle que $g \le f$ et

$$
\int f d\lambda - \varepsilon \le \int g dm \le \int f dm,
$$

de sorte que

$$
\|g - f\|_{1} = \int (f - g)d\lambda \le \varepsilon,
$$

L'étape 2 donne alors l'existence de $\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle que $\|g - \varphi\|_1 \le \varepsilon$. D'où l'on déduit

$$
\|f - \varphi\|_1 \le 2\varepsilon,
$$

ce qui termine l'étape 3.

**Etape 4.** On suppose enfin que $f \in \mathcal{L}^1$.

Soit $\varepsilon > 0$. Comme $f^+ \in M_+ \cap \mathcal{L}^1$, l'étape 3 donne qu'il existe $\varphi_1, \varphi_2 \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle
que

$$
\|f^+ - \varphi_1\|_1 \le \varepsilon \text{ et } \|f^- - \varphi_2\|_1 \le \varepsilon.
$$

On pose alors $\varphi = \varphi_1 - \varphi_2$. On a $\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $\|f - \varphi\|_1 \le 2\varepsilon$, ce qui prouve bien la densité de $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ dans $\mathbb{L}^1$. $\blacksquare$

Le résultat de densité que nous venons de démontrer n’est pas limité à la mesure de Lebesgue. Il est vrai pour toute mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, finie sur les compacts. Il est aussi vrai en remplaçant $C_c$ par $C_c^\infty$. Enfin, il n’est pas limité à $\mathbb{R}$, il est également vrai dans $\mathbb{R}^d$, $d \ge 1$. Tout ceci est montré dans l’exercice 7.14. Par contre, le résultat de continuité en moyenne que nous montrons maintenant n’est pas vrai pour toute mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, finie sur les compacts (voir l’exercice 7.14).

**Théorème 5.21 (Continuité en moyenne)** Soient $f \in L_1^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et $h \in \mathbb{R}$. On définit $f_h$ (translatée de $f$) par : $f_h(x) = f(x+h)$, pour presque tout $x \in \mathbb{R}$. Alors :

$$
\|f_h - f\|_1 = \int |f(x+h) - f(x)|dx \to 0 \text{ lorsque } h \to 0. \quad (5.5)
$$
**DÉMONSTRATION –** Soient $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et $h \in \mathbb{R}$. On remarque que $f_h = f(\cdot + h) \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ (d'après la proposition 5.19). D'autre part $f = g$ p.p. implique $f_h = g_h$ p.p.. On peut donc définir $f_h$ comme élément de $L_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ si $f \in L_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$.

La démonstration de (5.5) fait l'objet de l'exercice 5.10. ■

## 5.4 Intégrales impropres des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$

On considère ici des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, et l'espace mesuré $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$.

**Définition 5.22 (Intégrabilité à gauche)** Soient $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\alpha \in \mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$, $a > \alpha$ ; on suppose que $\forall \beta \in ]\alpha, a[$, $f1]_{\alpha,\beta} \in L^1(= L_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda))$. On dit que $f$ est intégrable à gauche en $a$ (ou encore que $\int^{a} \text{existe})$ si $\int f1]_{\alpha,\beta} d\lambda$ a une limite dans $\mathbb{R}$ lorsque $\beta \to a$. Cette limite est notée $\int_{\alpha}^{a} f(t)dt$.

**Remarque 5.23** Ceci ne veut pas dire que $f1]_{\alpha,a} \in L^1$. Il suffit pour s'en convaincre de prendre $a = +\infty$, $\alpha = 0$, considérer la fonction $f$ définie par $f(0) = 1$ et, pour $x > 0$, $f(x) = \frac{\sin x}{x}$.

Par contre, dès que la fonction $f$ considérée est de signe constant, on a équivalence entre les deux notions :

**Proposition 5.24** Soient $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+$, $\alpha \in \mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$, $a > \alpha$ ; on suppose que $\forall \beta \in ]\alpha, a[$, $f1]_{\alpha,\beta} \in L^1(= L_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda))$. Alors $f$ est intégrable à gauche en $a$ si et seulement si $f1]_{\alpha,a} \in L^1$.

**DÉMONSTRATION –** Ce résultat se déduit du théorème de convergence monotone en remarquant que $f1]_{\alpha,\beta}[ \uparrow f1]_{\alpha,a}[$ quand $\beta \uparrow a$. ■

## 5.5 Exercices

**Exercice 5.1 (La mesure de Dirac n'est pas une fonction...)** Soit $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite de fonctions de $]-1, 1[$ dans $\mathbb{R}$ définie par $\varphi_n(x) = (1 - n|x|)^+$. On note $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur la tribu $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ des boréliens de $]-1, 1[$, et $L^1 = L_{\mathbb{R}}^1([-1, 1[, \mathcal{B}([-1, 1[, $\lambda$). Soit $T$ l'application de $C([-1, 1], \mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$ définie par $T(\varphi) = \varphi(0)$.

1. Montrer que $T \in (C([-1, 1], \mathbb{R}))'$ (on rappelle que $(C([0, 1], \mathbb{R}))'$ est le dual de $C([0, 1], \mathbb{R})$, c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires continues sur $C([0, 1], \mathbb{R})$ muni de la norme uniforme).
2. Soit $\varphi \in C([-1, 1], \mathbb{R})$. Montrer que $\varphi \in L_{\mathbb{R}}^1([-1, 1], \mathcal{B}([-1, 1]), \delta_0)$, où $\delta_0$ est la mesure de Dirac en 0, et que $T(\varphi) = \int \varphi d\delta_0$.

3. Soient $g \in L^1$. Montrer que $\int g \varphi_n d\lambda \to 0$ lorsque $n \to +\infty$.

En déduire qu'il n'existe pas de fonction $g \in L^1$ telle qu'on ait, pour toute fonction $\varphi \in C([-1, 1], \mathbb{R})$, $T(\varphi) = \int g \varphi d\lambda$ (et donc que $\delta_0$ n'est pas une mesure de densité).

**Exercice 5.2 (Intégrale de Riemann)** Soient $a, b$ des réels, $a < b$ et $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction bornée, i.e. telle qu'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $|f(t)| \le M, \forall t \in [a, b]$. Soit $\Delta$ une subdivision de $[a, b]$, $\Delta = \{x_0, x_1, \dots, x_{N+1}\}$ avec $x_0 = a < x_1 < \dots < x_{N+1} = b$. On pose $S^\Delta = \sum_{i=0}^N (\sup_{x \in [x_i, x_{i+1}]} f(x))(x_{i+1} - x_i)$, et $S_\Delta = \sum_{i=0}^N (\inf_{x \in [x_i, x_{i+1}]} f(x))(x_{i+1} - x_i)$. On note A l'ensemble des subdivisions de $[a, b]$ et $S^* = \inf_{\Delta \in A} S^\Delta$, et $S_* = \sup_{\Delta \in A} S_\Delta$. On dit que $f$ est Riemann intégrable si $S^* = S_*$. On pose alors $R \int_a^b f(x)dx = S^*$.

1. Soient $\Delta_1$ et $\Delta_2 \in A$ tels que $\Delta_1 \subset \Delta_2$. Montrer que $S_{\Delta_1} \le S_{\Delta_2} \le S^{\Delta_2} \le S^{\Delta_1}$. En déduire que $S_{\Delta} \le S^{\Delta'}$ pour tous $\Delta, \Delta' \in A$, et donc que $S_* \le S^*$.

2. Montrer qu'il existe une suite de subdivisions $(\Delta_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $S_{\Delta_n} \to S_*$ et $S^{\Delta_n} \to S^*$ quand $n \to +\infty$.

3. Montrer que si $f$ est continue, $f$ est Riemann-intégrable.

4. On suppose maintenant que $f$ est Riemann-intégrable. Soit $(\Delta_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite telle que $S_{\Delta_n} \to S_*$ et $S^{\Delta_n} \to S^*$ quand $n \to +\infty$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $\Delta_n = \{x_0^{(n)}, \dots, x_{N+1}^{(n)}\}$ et on pose :

$$g_n(x) = \inf\{f(y), y \in [x_i^{(n)}, x_{i+1}^{(n)}]\}, x_i^{(n)} \le x < x_{i+1}^{(n)}, i = 0, \dots, N_n + 1 \quad (5.6)$$

$$h_n(x) = \sup\{f(y), y \in [x_i^{(n)}, x_{i+1}^{(n)}]\}, x_i^{(n)} \le x < x_{i+1}^{(n)}, i = 0, \dots, N_n + 1 \quad (5.7)$$

$$g_n(b) = h_n(b) = 0. \quad (5.8)$$

(a) On pose $M = \{([a, b], \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)\}$ et $L^1 = \mathcal{L}^1(([a, b], \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda))$. Montrer que $g_n, h_n \in M \cap L^1$ et que $\int (h_n - g_n)d\lambda \to 0$ quand $n \to +\infty$.

(b) Montrer que $g_n \le g_{n+1} \le f \le g_{n+1} \le h_n, \forall n \in \mathbb{N}$.

(c) On pose $g = \lim_{n \to +\infty} g_n$ et $h = \lim_{n \to +\infty} h_n$; montrer que $g = h$ p.p. . En déduire que $f \in L^1$ et que $\int f d\lambda = R \int_a^b f(x)dx$.

(d) Soit $f$ définie par :

$$f(x) = 1 \text{ si } x \in \mathbb{Q}, \quad (5.9)$$

$$f(x) = 0 \text{ si } x \notin \mathbb{Q}. \quad (5.10)$$

Montrer que $f$ n'est pas Riemann intégrable, mais que $f \in L_{\mathbb{R}}^1([a, b], \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$.
**Exercice 5.3 (Convergence de la dérivée)** Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C^1([0, 1[, \mathbb{R})$ convergeant simplement vers la fonction $f:]0, 1[\to \mathbb{R}$; on suppose que la suite $(f'_n)_{n \in \mathbb{N}}$ $(\subset C([0, 1[, \mathbb{R}))$ converge simplement vers la fonction constante et égale à 1.

1. A-t-on $f \in C^1([0, 1[, \mathbb{R})$ et $f' = 1$ ?

**Corrigé** – La réponse est non. La fonction $f$ peut même ne pas être continue, comme le montre l'exemple suivant :

Pour $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 4$, on définit $g_n$ de $[0, 1]$ dans $\mathbb{R}$ par

$$g_n(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } 0 \le x \le \frac{1}{2}, \\ 1 + n^2(x - \frac{1}{2}) & \text{si } \frac{1}{2} < x \le \frac{1}{2} + \frac{1}{n}, \\ 1 - n^2(x - \frac{1}{2} - \frac{2}{n}) & \text{si } \frac{1}{2} + \frac{1}{n} < x \le \frac{1}{2} + \frac{2}{n}, \\ 1 & \text{si } \frac{1}{2} + \frac{2}{n} < x \le 1. \end{cases}$$

Il est facile de voir que $g_n \in C([0, 1[, \mathbb{R})$ et que $g_n(x) \to 1$ pour tout $x \in [0, 1]$.

Pour $n \ge 4$, on définit $f_n$ par :

$$f_n(x) = \int_0^x g_n(t)dt, \text{ pour tout } x \in [0, 1[$,

de sorte que $f_n \in C^1([0, 1[, \mathbb{R})$ et $f'_n = g_n$ sur $]0, 1[$. On a donc bien que $(f'_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement vers la fonction constante et égale à 1. (On prend n'importe quelles fonctions $C^1$ pour $f_n$, $0 \le n \le 3$).

On remarque maintenant que, pour $n \ge 4$, $f_n(x) = x$ pour tout $x \in ]0, \frac{1}{2}]$ et que $f_n(x) = x + 1$ pour tout $x \in ]\frac{1}{2} + \frac{2}{n}, 1[$. On en déduit que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement vers la fonction $f:]0, 1[\to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x$ pour tout $x \in ]0, \frac{1}{2}]$ et $f_n(x) = x + 1$ pour tout $x \in ]\frac{1}{2}, 1[$. Cette fonction n'est pas continue en $\frac{1}{2}$, donc $f \notin C^1([0, 1[, \mathbb{R})$.

2. On suppose maintenant que la suite $(f'_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge dans $L^1_{\mathbb{R}}([0, 1[, \mathcal{B}([0, 1[, \lambda))$ vers la fonction constante et égale à 1. A-t-on $f \in C^1([0, 1[, \mathbb{R})$ et $f' = 1$ ?

**Corrigé** – La réponse maintenant est oui. En effet, soit $0 < x < 1$. Comme $f_n \in C^1([0, 1[, \mathbb{R})$, on a $f_n(x) = f_n(\frac{1}{2}) + \int_{\frac{1}{2}}^x f'_n(t)dt$, c'est-à-dire

$$f_n(x) = f_n(\frac{1}{2}) + s_x \int f'_n 1_{I_x} d\lambda, \quad (5.11)$$

avec $s_x = 1$ et $I_x = ]\frac{1}{2}, x[ \text{ si } x \ge \frac{1}{2}$, $s_x = -1$ et $I_x = ]x, \frac{1}{2}[ \text{ si } x < \frac{1}{2}$.

Quand $n \to +\infty$, on a

$$| \int f'_n 1_{I_x} d\lambda - \int 1_{I_x} d\lambda | \le \| f'_n - 1 \|_1 \to 0,$$

et $f_n(x) \to f(x)$ (ainsi que $f_n(\frac{1}{2}) \to f(\frac{1}{2})$). On déduit donc de (5.11), quand $n \to +\infty$,

$$f(x) = f(\frac{1}{2}) + s_x \int 1_{I_x} d\lambda,$$

c'est-à-dire $f(x) = f(\frac{1}{2}) + x - \frac{1}{2}$.

On a bien montré que $f \in C^1([0, 1[, \mathbb{R})$ et $f' = 1$.
**Exercice 5.4 (Intégrale impropre)** On définit l'application $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ par :

$$ 
\begin{aligned}
f(x) &= 0, \text{ si } x \le 0, \\
f(x) &= x^2 \sin \frac{1}{x^2}, \text{ si } x > 0.
\end{aligned}
 $$

1. Montrer que $f$ est continue et dérivable en tout point de $\mathbb{R}$.

**Corrigé** – La fonction $f$ est continue et dérivable en tout point de $\mathbb{R}^*$ et on a $f'(x) = 0$ pour $x < 0$ et $f'(x) = 2x \sin \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} \cos \frac{1}{x^2}$ si $x > 0$.

Pour montrer la continuité et la dérivabilité de $f$ en 0, il suffit de remarquer que, pour tout $x > 0$, on a $|f(x)| \le x^2$ et donc $|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}| \le x$. On en déduit que $f$ est continue et dérivable en 0 et que $f'(0) = 0$.

2. Soit $0 < a < b < +\infty$. Montrer que $f'_1]_{a,b} \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. On pose $\int_a^b f'(t)dt = \int f'_1]_{a,b} d\lambda$. Montrer que :

$$ f(b) - f(a) = \int_a^b f'(t)dt. $$

**Corrigé** – La fonction $f'$ est continue sur $]0, +\infty[$. La restriction de $f'$ à $[a, b]$ est donc continue (on utilise ici le fait que $a > 0$). On a donc, voir la proposition 5.1 (ou l'exercice 4.5) :

$$ f'_{\llbracket a,b \rrbracket} \in \mathcal{L}^1([a,b], \mathcal{B}([a,b]), \lambda_{[a,b]}), $$

où $\lambda_{[a,b]}$ désigne la mesure de Lebesgue sur les boréliens de $[a, b]$ (c'est-à-dire la restriction à $\mathcal{B}([a, b])$ de la mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$) et l'intégrale (de Lebesgue) de $f'_{\llbracket a,b \rrbracket}$ coïncide avec l'intégrale des fonctions continues, c'est-à-dire :

$$ \int f'_{\llbracket a,b \rrbracket} d\lambda_{[a,b)} = \int_a^b f'(x)dx. $$

Le terme de droite de l'égalité précédente est à prendre au sens de l'intégrale des fonctions continues. Comme $f$ est de classe $C^1$ sur un intervalle ouvert contenant $[a, b]$, il est alors classique que :

$$ \int_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a). $$

Pour se convaincre de cette dernière égalité, on rappelle que $f$ et $x \mapsto \int_a^x f'(t)dt$ sont deux primitives de $f'$, leur différence est donc constante sur $[a, b]$.

Enfin, comme $f'_{\llbracket a,b \rrbracket} \in \mathcal{L}^1([a,b], \mathcal{B}([a,b]), \lambda_{[a,b)})$, il est facile d'en déduire que $f'_1]_{a,b} \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et que

$$ \int f'_{\llbracket a,b \rrbracket} d\lambda_{[a,b)} = \int f'_1]_{a,b} d\lambda. $$

Plus précisément, on pose $f' = g$ et on considère d'abord le cas $g_{\llbracket a,b \rrbracket} \in \mathcal{E}_+([a,b], \mathcal{B}([a,b]))$ puis $g_{\llbracket a,b \rrbracket} \in \mathcal{M}_+([a,b], \mathcal{B}([a,b]))$ et enfin $g_{\llbracket a,b \rrbracket} \in \mathcal{L}^1([a,b], \mathcal{B}([a,b]), \lambda_{[a,b)})$, comme dans l'exercice 4.4. Ceci termine la question.
Un autre moyen de montrer $f'1]_{a,b[} \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ est de procéder de la manière suivante :

La fonction $f'$ est la limite simple, quand $n \to +\infty$, de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ où $f_n$ est définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :

$$f_n(x) = \frac{f(x + \frac{1}{n}) - f(x)}{\frac{1}{n}}, \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}.$$

La fonction $f$ est mesurable (c'est-à-dire borélienne car $\mathbb{R}$ est muni de la tribu de Borel). Grâce à la stabilité de l'ensemble des fonctions mesurables (voir la proposition 3.19), on en déduit que $f_n$ est mesurable pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et donc que $f'$ est mesurable (comme limite simple de fonctions mesurables). La fonction $f'1]_{a,b[}$ est donc aussi mesurable (comme produit de fonctions mesurables). La mesurabilité de $f'1]_{a,b[}$ est donc vraie pour tout $a, b \in \bar{\mathbb{R}}$ (noter cependant que $f'$ n'est pas continue en 0).

Pour montrer que $f'1]_{a,b[}$ est intégrable, il suffit de remarquer que $f'$ est bornée sur $]a, b[$, car $f'$ est continue sur $[a, b]$ (on utilise ici le fait que $a > 0$) et que $\lambda([a, b[) < +\infty$. On a donc bien montré que $f'1]_{a,b[} \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$.

### 3. Soit $a > 0$.

(a) Montrer $f'1]_{0,a[} \notin \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$.

**Corrigé** – La restriction de $f'$ à $]0, a[$ est continue, c'est donc une fonction mesurable (c'est-à-dire borélienne) de $]0, a[$ dans $\mathbb{R}$. On en déduit facilement que $f'1]_{0,a[}$ est borélienne de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. (On a aussi vu à la question précédente que $f'$ est borélienne. Ceci montre également que $f'1]_{0,a[}$ est borélienne.)

On a $f'1]_{0,a[} = g_1 1]_{0,a[} - g_2 1]_{0,a[}$, avec :

$$g_1(x) = 2x \sin \frac{1}{x^2} \text{ et } g_2(x) = \frac{2}{x} \cos \frac{1}{x^2} \text{ si } x \in ]0, a[$.$$

Il est clair que $g_1 1]_{0,a[} \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ (car $g_1$ est continue et bornée sur $]0, a[$).

Pour montrer que $f'1]_{0,a[} \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$, il suffit donc de montrer que $g_2 1]_{0,a[} \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. Pour cela, on remarque maintenant que :

$$|g_2(x)| \ge \sqrt{2} \sqrt{n\pi - \frac{\pi}{4}}, \quad \text{si} \quad \frac{1}{\sqrt{n\pi + \frac{\pi}{4}}} \le x \le \frac{1}{\sqrt{n\pi - \frac{\pi}{4}}}, \quad n \ge n_0, \quad (5.12)$$

avec $n_0 \in \mathbb{N}^*$ tel que $\frac{1}{\sqrt{n_0\pi - \frac{\pi}{4}}} \le a$. On déduit alors de (5.12), par monotonie de l'intégrale, que, pour tout $N \ge n_0$ :

$$\int |g_2| 1]_{0,a[} d\lambda \ge \sum_{n=n_0}^{N} \sqrt{2} \sqrt{n\pi - \frac{\pi}{4}} \left( \frac{1}{\sqrt{n\pi - \frac{\pi}{4}}} - \frac{1}{\sqrt{n\pi + \frac{\pi}{4}}} \right) \\ = \sum_{n=n_0}^{N} \sqrt{2} \frac{\sqrt{n\pi + \frac{\pi}{4}} - \sqrt{n\pi - \frac{\pi}{4}}}{\sqrt{n\pi + \frac{\pi}{4}}}$$
et donc :

$$
\begin{align*}
\int |g_2| 1|_{0,a[} d\lambda &\ge \sum_{n=n_0}^{N} \frac{\sqrt{2\pi}}{2\sqrt{n\pi + \frac{\pi}{4}}(\sqrt{n\pi + \frac{\pi}{4}} + \sqrt{n\pi - \frac{\pi}{4}})} \\
&\ge \sum_{n=n_0}^{N} \frac{\sqrt{2\pi}}{4(n\pi + \frac{\pi}{4})}.
\end{align*}
$$

En faisant tendre N vers +∞, on en déduit que $\int |g_2| 1|_{0,a[} d\lambda = +\infty$ et donc que $g_2 1|_{0,a[} \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$, $\lambda$ et $f' 1|_{0,a[} \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$, $\lambda$.

(b) Pour $0 < x < a$, on pose $g(x) = \int_x^a f'(t)dt$. Montrer que $g(x)$ a une limite (dans $\mathbb{R}$) quand $x \to 0$, avec $x > 0$, et que cette limite est égale à $f(a) - f(0)$. (Cette limite est aussi notée $\int_0^a f'(t)dt$, improprement... car $f' 1|_{0,a[} \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$, la restriction de $f'$ à $]0, a[$ n'est donc pas intégrable pour la mesure de Lebesgue sur $]0, a[$.)

**Corrigé** – On a $g(x) = f(a) - f(x)$, pour tout $x > 0$. Comme $f$ est continue en $0$, on en déduit bien que $g(x)$ a une limite (dans $\mathbb{R}$) quand $x \to 0$, avec $x > 0$, et que cette limite est égale à $f(a) - f(0)$.

**Exercice 5.5**

Soit $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. On définit $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ par : $F(x) = \int f 1_{[0,x]} d\lambda(= \int_0^x f(t)dt)$, pour $x \ge 0$, et $F(x) = - \int f 1_{[x,0]} d\lambda(= - \int_x^0 f(t)dt)$ pour $x < 0$. Montrer que $F$ est uniformément continue.

**Corrigé** – On remarque que, pour tout $x,y \in \mathbb{R}$, $x < y$,

$$
F(y) - F(x) = \int f 1_{[x,y[} d\lambda = \int_{[x,y[} f d\lambda.
$$

Soit $\varepsilon > 0$, comme $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{1}(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$, l'exercice 4.14 (ou l'exercice 4.28) montre qu'il existe $\delta > 0$ tel que

$$
A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda(A) \le \delta \Rightarrow \int_A |f| d\lambda \le \varepsilon.
$$

Soit $x, y \in \mathbb{R}$, $x < y$. On a donc, comme $\lambda([x, y[) = y - x$,

$$
|y - x| \le \delta \Rightarrow |F(y) - F(x)| \le \int_{[x, y[} |f| d\lambda \le \varepsilon,
$$

ce qui montre bien la continuité uniforme de F.

**Exercice 5.6 (Intégrabilité et limite à l'infini)** Soit $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{1}(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda) = \mathcal{L}^{1}$.

1. On suppose que $f(x)$ admet une limite quand $x \to +\infty$. Montrer que cette limite est nulle.
**Corrigé** – On pose $l = \lim_{x \to +\infty} f(x)$ et on suppose $l \neq 0$. Il existe alors $a \in \mathbb{R}$ tel que $|f(x)| \ge \frac{|l|}{2}$ pour tout $x > a$. On en déduit, par monotonie de l'intégrale sur $M_+$,

$$ \int |f| d\lambda \geq \int_{]a, +\infty[} \frac{|l|}{2} d\lambda = +\infty, $$

en contradiction avec l'hypothèse $f \in \mathcal{L}^1$.

2. On suppose que $f \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ ; a-t-on : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ ?

**Corrigé** –

La réponse est non, comme le montre l'exemple suivant. On définit, pour $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$, $f_n$ par :

$$ f_n(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \le n - \frac{1}{n^2}, \\ n^2(x - n + \frac{1}{n^2}) & \text{si } n - \frac{1}{n^2} < x \le n, \\ -n^2(x - n - \frac{1}{n^2}) & \text{si } n < x \le n + \frac{1}{n^2}, \\ 0 & \text{si } x > n + \frac{1}{n^2}. \end{cases} $$

Puis, on pose $f(x) = \sum_{n \ge 2} f_n(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. On remarque que, pour tout $x \in \mathbb{R}$,

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE 5.1 – La fonction $f_n$</figcaption></figure>

la série définissant $f(x)$ a au plus un terme non nul. Plus précisément, il existe $n$ (dépendant de $x$) tel que $f = f_n$ dans un voisinage de $x$. On en déduit que $f$ prend ses valeurs dans $\mathbb{R}$ et que $f$ est continue (car les $f_n$ sont continues). Comme $f_n \in M_+$ pour tout $n$, le premier corollaire du théorème de convergence monotone (corollaire 4.18) donne que $f \in M_+$ et

$$ \int f dm = \sum_{n \ge 2} \int f_n dm = \sum_{n \ge 2} \frac{1}{n^2} < +\infty. $$

On a donc $f \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \cap \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et $f(x) \not\to 0$ quand $x \to +\infty$ car $f_n(n) = 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$.

3. On suppose que $f$ est uniformément continue. A-t-on $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ ?

[On pourra commencer par montrer que, pour tout $\eta > 0$ et toute suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de réels telle que $\lim_{n \to +\infty} x_n = +\infty$, on a

$$ \lim_{n \to +\infty} \int_{x_n - \eta}^{x_n + \eta} |f(x)| d\lambda(x) = 0. ] $$
**Corrigé** – On commence par montrer le résultat préliminaire suggéré.

Soient $\eta > 0$ et $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ une suite telle que. $\lim_{n \to +\infty} x_n = +\infty$.

On pose $f_n = |f|1_{|x_n - \eta|, x_n + \eta|}$. On a, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f_n(x) \to 0$ quand $n \to +\infty$ (on a même $f_n(x) = 0$ pour $n$ tel que $x_n - \eta > x$). On a aussi $|f_n| \le |f| \in \mathcal{L}^1$. On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée (ou la proposition préliminaire 4.29). Il donne que $\int f_n dm \to 0$, c'est-à-dire :

$$ \int |f|1_{|x_n - \eta|, x_n + \eta|} d\lambda \to 0, \text{ quand } n \to +\infty. \quad (5.13) $$

On montre maintenant que $f(x) \to 0$ quand $x \to +\infty$.

On raisonne par l'absurde. On suppose que $f(x) \to 0$ quand $x \to +\infty$. Il existe donc $\varepsilon > 0$ et une suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ telle que $x_{n \to +\infty} \text{ quand } n \to +\infty$ et $|f(x_n)| \ge \varepsilon$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

La continuité uniforme de $f$ donne l'existence de $\eta > 0$ tel que

$$ x, y \in \mathbb{R}, |x - y| \le \eta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \le \frac{\varepsilon}{2}. $$

On a donc $|f(x)| \ge \frac{\varepsilon}{2}$ pour $x \in ]x_n - \eta, x_n + \eta|$ et tout $n \in \mathbb{N}$. On en déduit que $\int |f|1_{|x_n - \eta, x_n + \eta|} d\lambda \ge \varepsilon\eta > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, ce qui est en contradiction avec (5.13).

On a donc bien finalement montré que $f(x) \to 0$ quand $x \to +\infty$.

4. On suppose que $f \in C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $f' \in L^1$ ; a-t-on : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ ?

**Corrigé** – Comme $f \in C^1$, on a, pour $y > x$, $f(y) - f(x) = \int_y^x f'(t)dt = \int_{x,y} f'd\lambda$.

Comme $f' \in \mathcal{L}^1$, l'exercice 5.5 donne que $f$ est uniformément continue. La question précédente donne alors que $f(x) \to 0$ quand $x \to +\infty$ (c'est seulement pour ce dernier point qu'on utilise $f \in \mathcal{L}^1$).

Une autre démonstration possible est : Comme $f \in C^1$, on a $f(x) = f(0) + \int_{0,x} f'd\lambda$.

Comme $f' \in \mathcal{L}^1$, on en déduit que $f(x)$ a une limite (dans $\mathbb{R}$) quand $x \to +\infty$. En effet, le théorème de convergence dominée donne que $\int_{0,x} f'd\lambda \to \int_{0,+\infty} f'd\lambda$ (dans $\mathbb{R}$) quand $x \to +\infty$. Enfin, la première question donne que la limite de $f(x)$ quand $x \to +\infty$ est nécessairement $0$ (et ici aussi, c'est seulement pour ce dernier point qu'on utilise $f \in \mathcal{L}^1$).

**Exercice 5.7 (Intégrabilité de certaines fonctions)** On s'intéresse dans cet exercice à l'intégrabilité de fonctions classiques.

1. On considère l'espace mesuré (E, T, m) = []0, 1[, B []0, 1[, λ). Soit $0 < \alpha < +\infty$. On pose, pour $x \in ]0, 1[$, $f(x) = (\frac{1}{x})^\alpha$. Pour quelles valeurs de $\alpha$ a-t-on $f \in L^1_{\mathbb{R}}(E, T, m)$ ?

2. On considère l'espace mesuré (E, T, m) = (R_+^*, B(R_+^*), λ). Soit f définie, pour $x \in ]0, +\infty[$, par : $f(x) = \frac{\sin x}{x}$. Montrer que $f \notin L^1_{\mathbb{R}}(E, T, m)$. On pose $f_n = f 1_{]0,n[$.
Montrer que $f_n \in L_1^1(E, T, m)$, que $f_n \to f$ p.p. (et même uniformément) et que
$$ \int f_n dm \text{ a une limite dans } \mathbb{R} \text{ lorsque } n \to +\infty. $$

**Exercice 5.8 (Égalité presque partout de fonctions continues)** On munit $\mathbb{R}^N$ de la tribu borélienne $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ et de la mesure de Lebesgue $\lambda_N$. Cette mesure, dont l'existence sera prouvée au chapitre 7, vérifie :

$$ \lambda_N\left(\prod_{i=1}^{N} A_i\right) = \prod_{i=1}^{N} \lambda(A_i), \forall A_1, \dots, A_N \in \mathcal{B}(\mathbb{R}); \lambda(A_i) < +\infty, i = 1, \dots, N. $$

Soient $f$ et $g \in C(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ telles que $f = g$ p.p.. Montrer que $f = g$ partout. [On dira donc que $f \in L^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$ est continue s'il existe $g \in C(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ telle que $f = g$ p.p. (plus précisément on devrait écrire $g \in f$). Dans ce cas on identifie $f$ avec $g$.]

**Corrigé** – On raisonne par l'absurde. Soit $x = (x_1, \dots, x_N)^t \in \mathbb{R}^N$. On suppose que $f(x) \neq g(x)$. Comme $f$ et $g$ sont continues, il existe $\alpha > 0$ tel que $f(y) \neq g(y)$ pour tout $y \in \prod_{i=1}^N ]x_i - \alpha, x_i + \alpha[$. On en déduit que $\lambda_N(\{f \neq g\}) \geq \lambda_N(\prod_{i=1}^N ]x_i - \alpha, x_i + \alpha[) = (2\alpha)^N > 0$, en contradiction avec $f = g$ p.p..

**Exercice 5.9 (Un sous espace de $H^1(\mathbb{R})$)** (Notation : Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, on note $f^2$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par $f^2(x) = (f(x))^2$.)
On note $L^1$ l'espace $L_1^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. Soit $E = \{f \in C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}); f \in L^1 \text{ et } f' \in L^1\}$.
Pour $f \in E$, on définit $\|f\| = \int |f| d\lambda + (\int |f'|^2 d\lambda)^{\frac{1}{2}}$

1. Montrer que $(E, \|\cdot\|)$ est un espace vectoriel normé. E est-il un espace de Banach ?

2. Soient $a \in \mathbb{R}$ et $\delta \in \mathbb{R}_+^*$. Montrer que $a \le \delta a^2 + \frac{1}{\delta}$. En déduire que pour $f \in E$, $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ et $\delta \in \mathbb{R}_+^*$, on a $|f(x) - f(y)| \le \delta \int |f'|^2 d\lambda + \frac{1}{\delta}|x - y|$.

3. Soit $f \in E$. Montrer que $f$ est uniformément continue, bornée, et que $f^2 \in L^1$.

**Exercice 5.10 (Continuité en moyenne)** Pour $f \in L^1 = L_1^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et $h \in \mathbb{R}$, on définit $f_h$ (translatée de $f$) par : $f_h(x) = f(x+h)$, pour $x \in \mathbb{R}$. (noter que $f_h \in L^1$).

1. Soit $f \in C_c = C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, montrer que $\|f_h - f\|_1 \to 0$ lorsque $h \to 0$.

**Corrigé** – Comme $f \in C_c$, $f$ est uniformément continue, ce qui donne
$$ \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x+h) - f(x)| \to 0 \quad \text{quand } h \to 0. $$

Soit $a > 0$ tel que $f = 0$ sur $[-a, a]^c$. Pour $h \in \mathbb{R}$ tel que $|h| \le 1$, on a donc, comme $f(x+h) - f(x) = 0$ si $x \notin [-a-1, a+1]$,

$$ \int |f(x+h) - f(x)|dx \le (2a+2) \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x+h) - f(x)| \to 0, \quad \text{quand } h \to 0, $$
et donc que $\|f(\cdot + h) - f\|_1 \to 0 \quad \text{quand } h \to 0$.
2. Soit $f \in L^1$, montrer que $\|f_h - f\|_1 \to 0$ lorsque $h \to 0$.

**Corrigé** – L'invariance par translation de la mesure de Lebesgue donne que $f(\cdot + h) \in L^1$ pour tout $h \in \mathbb{R}$. On veut maintenant montrer que $\|f(\cdot + h) - f\|_1 \to 0$ quand $h \to 0$.

Soit $\varepsilon > 0$. D'après la densité de $C_c$ dans $L^1$ (théorème 5.20), il existe une fonction $\varphi \in C_c$ telle que $\|f - \varphi\|_1 \le \varepsilon$. L'invariance par translation de la mesure de Lebesgue donne $\|f(\cdot + h) - \varphi(\cdot + h)\|_1 = \|f - \varphi\|_1$. On a donc, pour tout $h \in \mathbb{R}$ :

$$ \|f(\cdot + h) - f\|_1 \le 2\|f - \varphi\|_1 + \|\varphi(\cdot + h) - \varphi\|_1 \le 2\varepsilon + \|\varphi(\cdot + h) - \varphi\|_1. $$

D'après la première question, il existe $\eta > 0$ t.q.

$$ |h| \le \eta \Rightarrow \|\varphi(\cdot + h) - \varphi\|_1 \le \varepsilon. $$

Donc,

$$ |h| \le \eta \Rightarrow \|f(\cdot + h) - f\|_1 \le 3\varepsilon. $$

Ce qui prouve bien que $f(\cdot + h) \to f$ dans $L^1$, quand $h \to 0$.

**Exercice 5.11 (Non existence de borélien "bien équilibré")**

On note $L^1 = L^1_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$.

1. Pour $f \in L^1$, $h \in \mathbb{R}_+^*$ et $x \in \mathbb{R}$, on définit

$$ f_h(x) = \frac{1}{\lambda(\mathcal{B}(0, h))} \int_{\mathcal{B}(x, h)} f(y)dy, $$

où $\mathcal{B}(x, h)$ désigne la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $h$. Montrer que $f_h$ est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$. Montrer que $f_h \in L^1$ et que $f_h \to f$ dans $L^1$ lorsque $h \to 0$. [On pourra, par exemple, utiliser le théorème de continuité en moyenne dans $L^1$.]

En déduire qu'il existe une suite $(h_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $h_n \to 0$, lorsque $n \to +\infty$ et $f_{h_n} \to f$ p.p. lorsque $n \to +\infty$.

Noter que ce résultat s'étend au cas $L^1 = L^1_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$, où $\lambda_N$ est la mesure de Lebesgue N-dimensionnelle, définie au chapitre 7.

2. Montrer qu'il n'existe pas de borélien A inclus dans $[0,1]$ et tel que $\lambda(I \cap A) = \lambda(I \cap A^c) = \frac{\lambda(I)}{2}$ pour tout intervalle I de $[0,1]$. [On pourra raisonner par l'absurde et utiliser la question précédente et f convenablement choisie. Cette question est aussi une conséquence de l'exercice 5.12.]

**Exercice 5.12 (Sur la concentration d'un borélien)** Soit $-\infty \le a < b \le +\infty$, $A \in \mathcal{B}([a, b[)$ et $\rho \in ]0, 1[$. On suppose que $\lambda(A \cap ]\alpha, \beta[) \le \rho(\beta - \alpha)$ pour tous $\alpha, \beta$ tels que $a \le \alpha < \beta \le b$. Montrer que $\lambda(A) = 0$. [On pourra, par exemple, commencer par montrer que $\lambda(A \cap O) \le \rho\lambda(O)$ pour tout ouvert O de $]a, b[$.

Conséquence de cet exercice : Si $A \in \mathcal{B}([a, b[)$ est tel que $\lambda(A) > 0$, alors, pour tout $\rho < 1$, il existe $\alpha, \beta$ tels que $a \le \alpha < \beta \le b$ et $\lambda(A \cap ]\alpha, \beta[) \ge \rho(\beta - \alpha)$.
**Corrigé** – Soit O un ouvert de ]a, b[. Comme O est un ouvert de $\mathbb{R}$, il peut s'écrire comme une réunion dénombrable d'intervalles ouverts disjoints deux à deux (lemme 2.43). On a donc $O = \cup_{n \in \mathbb{N}} I_n$ avec $I_n \cap I_m = \emptyset$ si $n \neq m$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $I_n =]a_n, b_n[$ avec $a \le a_n \le b_n \le b$. La $\sigma$-additivité de $\lambda$ et l'hypothèse $\lambda(A \cap]a, b[) \le \rho(\beta - \alpha)$ pour tout $\alpha, \beta$ tels que $a \le \alpha < \beta \le b$ donne alors :

$$ \lambda(A \cap O) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \lambda(A \cap]a_n, b_n[) \le \rho \sum_{n \in \mathbb{N}} (b_n - a_n) = \rho \sum_{n \in \mathbb{N}} \lambda ]a_n, b_n[) = \rho \lambda(O). \quad (5.14) $$

Soit maintenant $\varepsilon > 0$. D'après la régularité de $\lambda$ (et le fait que $A \in \mathcal{B} ]a, b[) \subset \mathcal{B}(\mathbb{R})$), il existe O ouvert de $\mathbb{R}$ tel que $A \subset O$ et $\lambda(O \setminus A) \le \varepsilon$. En remplaçant O par $O \cap ]a, b[$, on peut supposer que O est un ouvert de ]a, b[. En utilisant (5.14) et l'additivité de $\lambda$, on a donc :

$$ \lambda(A) = \lambda(A \cap O) \le \rho\lambda(O) = \rho(\lambda(A) + \lambda(O \setminus A)) \le \rho(\lambda(A) + \varepsilon). $$

Comme $\varepsilon > 0$ est arbitrairement petit, on en déduit $\lambda(A) \le \rho\lambda(A)$, ce qui n'est possible (comme $\rho < 1$) que si $\lambda(A) = 0$ ou si $\lambda(A) = +\infty$.

Il reste donc à montrer que le cas $\lambda(A) = +\infty$ est impossible. Pour cela, on pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $A_n = A \cap [-n, n]$. Soit $n \in \mathbb{N}$, la monotonie de $\lambda$ donne $\lambda(A_n \cap]a, b[) \le \lambda(A \cap]a, b[)$, on a donc aussi $\lambda(A_n \cap]a, b[) \le \rho(\beta - \alpha)$ pour tout $\alpha, \beta$ tels que $a \le \alpha < \beta \le b$. Comme $\lambda(A_n) < +\infty$, la démonstration précédente, appliquée à $A_n$ au lieu de A, donne $\lambda(A_n) = 0$. Enfin, comme $A = \cup_{n \in \mathbb{N}} A_n$, on en déduit $\lambda(A) = 0$.

**Exercice 5.13 (Points de Lebesgue)** On désigne par $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur les boréliens de $\mathbb{R}$, par $L^1$ l'espace $L^1(\mathbb{R}, B(\mathbb{R}), \lambda)$ et par $\mathcal{L}^1$ l'espace $\mathcal{L}^1(\mathbb{R}, B(\mathbb{R}), \lambda)$. On note $dt = d\lambda(t)$.

1. Soit $(I_1, \dots, I_n)$ des intervalles ouverts non vides de $\mathbb{R}$ tels que chaque intervalle n'est pas contenu dans la réunion des autres. On pose $I_k =]a_k, b_k[$ et on suppose que la suite $(a_k)_{k=1,\dots,n}$ est croissante. Montrer que la suite $(b_k)_{k=1,\dots,n}$ est croissante et que les intervalles d'indices impairs [resp. pairs] sont disjoints deux à deux.

**Corrigé** – Soit $k \in \{1, \dots, n\}$. Comme $a_k \le a_{k+1}$, on a $b_k < b_{k+1}$ (sinon $I_{k+1} \subset I_k$). La suite $(b_k)_{k \in \{1, \dots, n\}}$ est donc (strictement) croissante.

Soit $k \in \{1, \dots, n\}$. On a $b_k \le a_{k+2}$ (sinon $I_k \cup I_{k+2} =]a_k, b_{k+2}$ et donc $I_{k+1} \subset I_k \cup I_{k+2}$ car $a_k \le a_{k+1} < b_{k+1} \le b_{k+2}$). On a donc $I_k \cap I_{k+2} = \emptyset$. Ceci prouve (avec la croissance de $(a_k)_{k=1,\dots,n}$) que les intervalles d'indices impairs [resp. pairs] sont disjoints deux à deux.

2. Soit J une famille finie d'intervalles ouverts non vides de $\mathbb{R}$ dont la réunion est notée A. Montrer qu'il existe une sous-famille finie de J, notée $(I_1, \dots, I_m)$, formée d'intervalles disjoints deux à deux et tels que $\lambda(A) \le 2 \sum_{k=1}^m \lambda(I_k)$. [Utiliser la question 1.]

**Corrigé** – On commence par montrer la propriété suivante :

Pour toute famille finie J d'intervalles ouverts non vides de $\mathbb{R}$, il existe une sous-famille K telle que :
(a) chaque élément de K n'est pas contenu dans la réunion des autres éléments de K,

(b) la réunion des éléments de K est égale à la réunion des éléments de J.

Cette propriété se démontre par récurrence sur le nombre d'éléments de J. Elle est immédiate si J a un seul élément (on prend K= J). Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On suppose que la propriété est vraie pour toutes les familles de n éléments. Soit J une famille de (n + 1) éléments. Si chaque élément de J n'est pas contenu dans la réunion des autres éléments de J, on prend K= J. Sinon, on choisit un élément de J, noté I, contenu dans la réunion des autres éléments de J. On applique alors l'hypothèse de récurrence à la famille $J \setminus \{I\}$, on obtient une sous famille de $J \setminus \{I\}$ (et donc de J), notée K, vérifiant bien les assertions (a) et (b) (en effet, la réunion des éléments de $J \setminus \{I\}$ est égale à la réunion des éléments de J). Ceci termine la démonstration de la propriété désirée.

Soit maintenant J une famille finie d'intervalles ouverts non vides de $\mathbb{R}$ dont la réunion est notée A (remarquer que $A \in B(\mathbb{R})$). Grâce à la propriété démontrée ci-dessus, on peut supposer que chaque élément de J n'est pas contenu dans la réunion des autres éléments de J. On note $J_1, \dots, J_n$ les éléments de J, $J_i =]a_i, b_i[$, $i = 1, \dots, n$. En réordonnant, on peut aussi supposer que la suite $(a_k)_{k=1,...,n}$ est croissante. On peut alors appliquer la question 1, elle donne, en posant $\mathbb{P} = \{i = 1, \dots, n; i \text{ pair}\}$ et $\mathbb{I} = \{i = 1, \dots, n; i \text{ impair}\}$ que les familles $(J_i)_{i \in \mathbb{P}}$ et $(J_i)_{i \in \mathbb{I}}$ sont formées d'éléments disjoints deux à deux, de sorte que :

$$ \lambda(\bigcup_{i \in \mathbb{P}} J_i) = \sum_{i \in \mathbb{P}} \lambda(J_i), \quad \lambda(\bigcup_{i \in \mathbb{I}} J_i) = \sum_{i \in \mathbb{I}} \lambda(J_i). $$

Enfin, comme $A = \bigcup_{i=1}^n J_i$, la sous-additivité de $\lambda$ donne

$$ \lambda(A) \leq \sum_{i \in \mathbb{P}} \lambda(J_i) + \sum_{i \in \mathbb{I}} \lambda(J_i). $$

Une sous-famille de J satisfaisant les conditions demandées est alors $(J_i)_{i \in \mathbb{P}}$ si $\sum_{i \in \mathbb{P}} \lambda(J_i) \geq \sum_{i \in \mathbb{I}} \lambda(J_i)$ et $(J_i)_{i \in \mathbb{I}}$ si $\sum_{i \in \mathbb{I}} \lambda(J_i) > \sum_{i \in \mathbb{P}} \lambda(J_i)$.

On se donne maintenant $f \in L^1$ et on suppose qu'il existe $a > 0$ tel que $f = 0$ p.p. sur $[-a, a]^c$. Le but de l'exercice est de montrer que :

$$ \frac{n}{2} \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} f(x+t)dt \to f(x), \text{ pour presque tout } x \in \mathbb{R}, \text{ quand } n \to +\infty. \quad (5.15) $$

Pour $\varepsilon > 0$, on définit $f_{\varepsilon}^*$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ par :

$$ f_{\varepsilon}^{*}(x) = \sup_{h \geq \varepsilon} \frac{1}{2h} \int_{-h}^{h} |f(x+t)|dt. \quad (5.16) $$

3(a) Montrer que $f_{\varepsilon}^*$ est bornée.

**Corrigé** – Soit $x \in \mathbb{R}$. On a, pour $h \geq \varepsilon$, $\frac{1}{2h} \int_{-h}^{h} |f(x+t)|dt \leq \frac{1}{2\varepsilon} \|f\|_1$ donc $f_{\varepsilon}^*(x) \in \mathbb{R}$ et $|f_{\varepsilon}^*(x)| \leq \frac{1}{2\varepsilon} \|f\|_1$. La fonction $f_{\varepsilon}^*$ est donc bornée par $\frac{1}{2\varepsilon} \|f\|_1$.
(b) Montrer que $\lambda(B_{y,\epsilon}) \le \frac{2}{y}\|f\|_1$. [Utiliser la question 2.]

**Corrigé** – En appliquant la question 2 à la famille $\{I(x_i), i \in \{1, \dots, n\}\}$, il existe $E \subset \{1, \dots, n\}$ tel que $I(x_i) \cap I(x_j) = \emptyset$ si $i, j \in E$ i $\neq j$ et $\lambda(B_{y,\epsilon}) \le \lambda(\bigcup_{i=1}^n I(x_i)) \le 2\sum_{i \in E} \lambda(I(x_i))$. Comme $\lambda(I(x_i)) < \frac{1}{y} \int_{I(x_i)} |f(t)|dt$ et comme $I(x_i) \cap I(x_j) = \emptyset$, si $i, j \in E$, $i \neq j$, on a aussi $\sum_{i \in E} \lambda(I(x_i)) < \frac{1}{y} \int |f(t)|dt$ et donc $\lambda(B_{y,\epsilon}) \le \frac{2}{y}\|f\|_1$.

On définit maintenant $f^*$ de $\mathbb{R}$ dans $\bar{\mathbb{R}}_+$ par :

$$f^*(x) = \sup_{h>0} \frac{1}{2h} \int_{-h}^{h} |f(x+t)|dt. \qquad (5.17)$$

5. Montrer que $f^*$ est borélienne et que $\lambda(\{f^* > y\}) \le \frac{2}{y}\|f\|_1$, pour tout $y > 0$.

**Corrigé** – La fonction $f^*$ est borélienne (de $\mathbb{R}$ dans $\bar{\mathbb{R}}_+$) car c'est le supremum de fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

On remarque ensuite que $\{f^* > y\} = \{x \in \mathbb{R}, f^*(x) > y\} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}^*} B_{y, \frac{1}{n}}$ et que $B_{y, \frac{1}{n+1}}$ (car $f_{\frac{1}{n}}^* \le f_{\frac{1}{n+1}}^*$). Par continuité croissante de $\lambda$, on a donc $\lambda(\{f^* > y\}) = \lim_{n \to +\infty} \lambda(B_{y, \frac{1}{n}}) \le \frac{2}{y}\|f\|_1$.

6. Montrer (5.15) si $f$ admet un représentant continu. [Cette question n'utilise pas les questions précédentes.]

**Corrigé** – On confond $f$ (qui est dans $L^1$) avec ce représentant continu. On a alors $\frac{n}{2} \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} f(x+t)dt \to f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, quand $n \to +\infty$. En effet, pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $n \in \mathbb{N}^*$, par continuité de $f$, il existe $\Theta_{x,n} \in ]x - \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n}[$ tel que $\frac{n}{2} \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} f(x+t)dt = f(\Theta_{x,n})$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a bien $f(\Theta_{x,n}) \to f(x)$, quand $n \to +\infty$ (par continuité en $x$ de $f$).

7. Montrer (5.15). [Approcher $f$, dans $L^1$ et p.p., par une suite d'éléments de $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, notée $(f_p)_{p \in \mathbb{N}}$. On pourra utiliser $(f - f_p)^*$.]

**Corrigé** – On confond $f$ (qui est dans $L^1$) avec l'un de ses représentants (de sorte que $f \in L^1$). Par densité de $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ dans $L^1$, il existe une suite $(f_p)_{p \in \mathbb{N}} \subset C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle que $f_p \to f$ dans $L^1$ lorsque $p \to +\infty$. Après extraction éventuelle d'une sous-suite, on peut supposer aussi que $f_p \to f$ p.p..

Pour $x \in \mathbb{R}$, $n \in \mathbb{N}^*$ et $p \in \mathbb{N}$, on a :

$$ \begin{aligned} |f(x) - \frac{n}{2} \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} f(x+t)dt| & \le |f(x) - f_p(x)| \\ & + |f_p(x) - \frac{n}{2} \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} f_p(x+t)dt| + (f - f_p)^*(x). \end{aligned} \quad (5.18) $$
Pour $m \in \mathbb{N}^*$ et $p \in \mathbb{N}$, on pose :

$$A_{m,p} = \{(f - f_p)^* > \frac{1}{m}\}, B_{m,p} = \bigcap_{q \ge p} A_{m,q} \text{ et } B = \bigcup_{m \in \mathbb{N}^*} \left( \bigcup_{p \in \mathbb{N}} B_{m,p} \right).$$

On remarque que, par la question 5, $\lambda(A_{m,p}) \le 2m\|f - f_p\|_1 \to 0$ quand $p \to +\infty$ (avec m fixé). On a donc $\lambda(B_{m,p}) \le \inf_{q \ge p} \lambda(A_{m,q}) = 0$. On en déduit, par $\sigma$-sous-additivité de $\lambda$, que $\lambda(B) = 0$.

On choisit $C \in B(\mathbb{R})$ tel que $\lambda(C) = 0$ et $f_p(x) \to f(x)$ pour tout $x \in C^c$.

On va maintenant montrer (grâce à (5.18)) que $(f(x) - \frac{n}{2} \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} f(x+t)dt) \to 0$ pour tout $x \in (B \cup C)^c$ (ce qui permet de conclure car $\lambda(B \cup C) = 0$).

Soit donc $x \in (B \cup C)^c$ et soit $\eta > 0$. Comme $x \in C^c$, il existe $p_1 \in \mathbb{N}$ tel que $|f(x) - f_p(x)| \le \eta$ pour $p \ge p_1$. Comme $x \in B^c$, $x \in \bigcap_{m \in \mathbb{N}^*} (\bigcap_{p \in \mathbb{N}} B_{m,p}^c)$. On choisit $m \in \mathbb{N}^*$ tel que $\frac{1}{m} \le \eta$. On a

$$x \in \bigcap_{p \in \mathbb{N}} B_{m,p}^c = \bigcap_{p \in \mathbb{N}} \bigcup_{q \ge p} A_{m,q}^c \subset \bigcup_{q \ge p_1} A_{m,q}^c.$$

Il existe donc $p \ge p_1$ tel que $x \in A_{m,p}^c$, on en déduit $(f - f_p)^*(x) \le \frac{1}{m} \le \eta$. Enfin, $p$ étant maintenant fixé, la question 6 donne l'existence de $n_1 \in \mathbb{N}$ tel que $|f_p(x) - \frac{n}{2} \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} f_p(x+t)dt| \le \eta$ pour $n \ge n_1$. On a donc

$$|f(x) - \frac{n}{2} \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} f(x+t)dt| \le 3\eta \text{ pour } n \ge n_1,$$

ce qui termine la démonstration.

**Exercice 5.14 (Convergence vague et convergence étroite)** Soit $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de mesures (positives) finies sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ ($d \ge 1$) et $m$ une mesure (positive) finie sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$. On suppose que :

* $\int \varphi dm_n \to \int \varphi dm$, quand $n \to +\infty$, pour tout $\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$.

* $m_n(\mathbb{R}^d) \to m(\mathbb{R}^d)$ quand $n \to +\infty$.

1. Soit $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$. Montrer que $\int \varphi dm_n \to \int \varphi dm$, quand $n \to +\infty$. [On pourra utiliser le fait que $\varphi$ est limite uniforme d'une suite d'éléments de $C_c^\infty(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$.]

**Corrigé** – Soit $\rho \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ telle que $\rho \ge 0$, $\int_{\mathbb{R}^d} \rho(x)dx = 1$ et $\rho(x) = 0$ si $|x| \ge 1$. Pour $p \in \mathbb{N}^*$, on définit $\rho_p$ par $\rho_p(x) = p^d \rho(px)$ pour $x \in \mathbb{R}^d$, de sorte que $\int_{\mathbb{R}^d} \rho_p(x)dx = 1$ et $\rho(x) = 0$ si $|x| \ge 1/p$. La suite $(\rho_p)_{p \in \mathbb{N}^*}$ s'appelle suite régulière (ou suite de noyaux régularisants).

Soit $\psi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$, on définit la suite $(\psi_p)_{p \in \mathbb{N}^*}$ en posant $\psi_p(x) = \int \psi(y)\rho_p(x-y)dy$, pour tout $x \in \mathbb{R}^d$. Comme $\rho_p$ et $\psi$ sont des fonctions à support compact, il est clair que $\psi_p$ est aussi une fonction à support compact. Grâce au théorème de dérivabilité sous le signe intégral (théorème 4.53), il est assez facile de voir que $\psi_p$ est indéfiniment
dérivable. On a donc $(\psi_p)_{p \in \mathbb{N}^*} \subset C_c^\infty(\mathbb{R}^p, \mathbb{R})$. Enfin, du fait que $\psi$ est uniformément continue, on déduit que $\psi_p$ converge uniformément (sur $\mathbb{R}^d$) vers $\psi$ quand $p \to +\infty$. Plus précisément, en notant $\|\cdot\|_u$ la norme de la convergence uniforme, on a, pour tout $p \in \mathbb{N}^*$,

$$ \|\psi_p - \psi\|_u \le \sup_{z \in \mathbb{R}^d, |z| \le 1/p} \|\psi(\cdot + z) - \psi\|_u, $$

dont on déduit bien $\|\psi_p - \psi\|_u \to 0$ quand $p \to +\infty$.

Soit $\varepsilon > 0$. On remarque maintenant que, pour $p \in \mathbb{N}^*$ et tout $n \in \mathbb{N}$,

$$ \int \psi dm_n - \int \psi dm = \int (\psi - \psi_p) dm_n + \int \psi_p dm_n - \int \psi_p dm + \int (\psi_p - \psi) dm, $$
on a donc

$$ \left| \int \psi dm_n - \int \psi dm \right| \le \|\psi_p - \psi\|_u (\sup_{n \in \mathbb{N}} m_n(\mathbb{R}^d) + m(\mathbb{R}^d)) \\ + \left| \int \psi_p dm_n - \int \psi_p dm \right|. $$

Comme $\sup_{n \in \mathbb{N}} m_n(\mathbb{R}^d) + m(\mathbb{R}^d) < +\infty$ (car $\lim_{n \to +\infty} m_n(\mathbb{R}^d) = m(\mathbb{R}^d)$), il existe donc $p_0 \in \mathbb{N}^*$ tel que, pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$$ \left| \int \psi dm_n - \int \psi dm \right| \le \varepsilon + \left| \int \psi_{p_0} dm_n - \int \psi_{p_0} dm \right|. $$

Comme $\psi_{p_0} \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$, la première hypothèse sur la suite $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ donne qu'il existe $n_0$ t.q. $n \ge n_0$ implique $|\int \psi_{p_0} dm_n - \int \psi_{p_0} dm| \le \varepsilon$. On a donc finalement

$$ n \ge n_0 \Rightarrow \left| \int \psi dm_n - \int \psi dm \right| \le 2\varepsilon. $$

Ce qui prouve bien que $\int \psi dm_n \to \int \psi dm$, quand $n \to +\infty$, pour tout $\psi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$.

2. Pour $p \in \mathbb{N}^*$, on note $B_p$ la boule fermée de centre 0 et de rayon $p$ (pour la norme euclidienne de $\mathbb{R}^d$). Montrer qu'il existe une suite $(\varphi_p)_{p \in \mathbb{N}^*} \subset C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ telle que, pour tout $p \in \mathbb{N}^*$, $0 \le \varphi_p \le 1$, $\varphi_p = 1$ sur $B_p$ et $\varphi_p \le \varphi_{p+1}$. On utilise cette suite $(\varphi_p)_{p \in \mathbb{N}^*}$ dans les questions suivantes.

**Corrigé** – Il suffit de prendre $\varphi_p$ définie ainsi :

$$ \varphi_p(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in B_p, \\ \varphi_p(x) = p + 1 - |x| & \text{si } x \in B_{p+1} \setminus B_p, \\ \varphi_p(x) = 0 & \text{si } x \notin B_{p+1}. \end{cases} $$

3. Soit $\varepsilon > 0$.

(a) Montrer qu'il existe $p_0 \in \mathbb{N}^*$ tel que : $p \ge p_0 \Rightarrow \int (1 - \varphi_p) dm \le \varepsilon$.
**Corrigé** – On utilise ici le théorème de convergence dominée, la suite $(1-\varphi_p)_{p\in\mathbb{N}^*}$ converge p.p. vers 0 et est dominée par la fonction constante et égale à 1 (qui est bien une fonction intégrable pour la mesure m). On a donc $\lim_{p\to+\infty} \int (1-\varphi_p)dm = 0$, ce qui donne le résultat demandé.

(b) Montrer que, pour tout $p \in \mathbb{N}^*$, $\int (1-\varphi_p)dm_n \to \int (1-\varphi_p)dm$ quand $n \to +\infty$.

**Corrigé** – On a $\int (1-\varphi_p)dm_n = m_n(\mathbb{R}^d) - \int \varphi_p dm_n$. Comme $\varphi_p \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$, on a $\int \varphi_p dm_n \to \int \varphi_p dm$ (quand $n \to +\infty$). D'autre part, on a $\lim_{n\to+\infty} m_n(\mathbb{R}^d) = m(\mathbb{R}^d)$. On a donc finalement, quand $n \to +\infty$,

$$ \int (1-\varphi_p)dm_n \to m(\mathbb{R}^d) - \int \varphi_p dm = \int (1-\varphi_p)dm. $$

(c) Montrer qu'il existe $p_1 \in \mathbb{N}^*$ tel que : $n \in \mathbb{N}$, $p \ge p_1 \Rightarrow \int (1-\varphi_p)dm_n \le \varepsilon$.

**Corrigé** – D'après a), il existe $p_2$ tel que $\int (1-\varphi_{p_2})dm \le \varepsilon/2$. D'après b), il existe $n_0$ tel que

$$ n \ge n_0 \Rightarrow \int (1-\varphi_{p_2})dm_n \le \int (1-\varphi_{p_2})dm + \varepsilon/2. $$

On a donc

$$ n \ge n_0 \Rightarrow \int (1-\varphi_{p_2})dm_n \le \varepsilon. $$

Comme $(1-\varphi_p) \le (1-\varphi_{p_2})$ si $p \ge p_2$, on a aussi

$$ n \ge n_0, p \ge p_2 \Rightarrow \int (1-\varphi_p)dm_n \le \varepsilon. $$

D'autre part, le théorème de convergence dominée donne (comme en a) que, pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$$ \lim_{p \to +\infty} \int (1-\varphi_p)dm_n = 0. $$

Pour tout $n \in 0, \dots, n_0$, il existe donc $p_{2,n}$ tel que

$$ p \ge p_{2,n} \Rightarrow \int (1-\varphi_p)dm_n \le \varepsilon. $$

On choisit donc $p_1 = \max\{p_2, \max_{n=0,\dots,n_0} p_{2,n}\}$ et on obtient bien $p \in \mathbb{N}^*$ et :

$$ n \in \mathbb{N}, p \ge p_1 \Rightarrow \int (1-\varphi_p)dm_n \le \varepsilon. $$

4. Montrer que $\int \varphi dm_n \to \int \varphi dm$, quand $n \to +\infty$, pour tout $\varphi \in C_b(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ (on dit alors que la suite $(m_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge étroitement vers $m$).
**Corrigé** – Soit $\varphi \in C_b[\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ et $\varepsilon > 0$. En écrivant que $\varphi = \varphi\varphi_p + \varphi(1 - \varphi_p)$, on a, pour tout $p \in \mathbb{N}^*$,

$$ \left| \int \varphi dm_n - \int \varphi dm \right| \le \left| \int \varphi \varphi_p dm_n - \int \varphi \varphi_p dm \right| + \|\varphi\|_u \int (1 - \varphi_p) dm_n + \|\varphi\|_u \int (1 - \varphi_p) dm. $$

Les questions 2a) et 2c) permettent de trouver $p_0 \in \mathbb{N}^*$ et $n_0 \in \mathbb{N}$ tels que les deux derniers termes de la précédente inégalité soient inférieurs à $\varepsilon$ pour $p = p_0$ et $n \ge n_0$. Puis, comme $\varphi\varphi_{p_0} \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$, il existe $n_1$ tel que le premier terme du membre de droite de la précédente inégalité soit inférieur à $\varepsilon$ pour $p = p_0$ et $n \ge n_1$. On a donc finalement

$$ n \ge \max\{n_0, n_1\} \Rightarrow \left| \int \varphi dm_n - \int \varphi dm \right| \le 3\varepsilon. $$

Ce qui prouve la convergence étroite de $m_n$ vers $m$ (quand $n \to +\infty$).

5. Indiquer brièvement comment obtenir le même résultat (c’est-à-dire le résultat de la question 4) si on remplace $\mathbb{R}^d$ (dans les hypothèses et dans la question 4) par “$\Omega$ ouvert de $\mathbb{R}^d$”.

**Corrigé** – Pour la question 1, on remarque que toute fonction de $C_c(\Omega, \mathbb{R})$ est limite uniforme de fonctions appartenant à $C_c^\infty(\Omega, \mathbb{R})$ (la démonstration, semblable au cas $\Omega = \mathbb{R}^d$ utilise le fait que, si $\varphi \in C_c(\Omega, \mathbb{R})$, la distance entre le support de $\varphi$, qui est compact, et le complémentaire de $\Omega$, qui est ouvert, est strictement positive. On rappelle que le support de $\varphi$ est l’adhérence de l’ensemble des points où $\varphi$ est non nulle).

Pour la question 2, on construit (avec la fonction distance) une suite $\varphi_p$ comme demandée en remplaçant simplement $B_p$ par $B_p \cap \{x \in \Omega, d(x, \Omega^c) \ge 1/p\}$, avec $d(x, \Omega^c) = \max\{|x - y|, y \in \Omega^c\}$.

Pour les questions 3 et 4, on remplace simplement $\mathbb{R}^d$ par $\Omega$.

**Exercice 5.15 (Unicité avec $C_c^\infty$)** Soit $m$ et $\mu$ deux mesures finies sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$ ($d \ge 1$). on suppose que $\int \varphi dm = \int \varphi d\mu$ pour tout $\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$. Montrer que $m = \mu$.

**Exercice 5.16 (Densité de $C_c$ et $C_c^\infty$ dans $L^1$)** Soit $d \ge 1$ et $\mu$ une mesure sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$. On suppose que $\mu$ vérifie les deux propriétés suivantes :

(p1) $\mu$ est finie sur les compacts de $\mathbb{R}^d$, c'est-à-dire que $\mu(K) < +\infty$ si $K$ est un compact de $\mathbb{R}^d$,

(p2) $\mu$ est régulière, c'est-à-dire que pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe $O$ ouvert et $F$ fermé tels que $F \subset A \subset O$ et $\mu(O \setminus F) \le \varepsilon$.

En fait, la propriété (p1) entraîne la propriété (p2) (cela est démontré au chapitre 7, proposition 7.17) mais cette démonstration n'est pas demandée ici.
On note $\mathcal{L}_{\mu}^{1}$ l'espace $\mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{1}(\mathbb{R}^{d}, \mathcal{B}(\mathbb{R}^{d}), \mu)$. Pour $f \in \mathcal{L}_{\mu}^{1}$, on note $\|f\|_{1} = \int |f| d\mu$. Enfin, pour $x \in \mathbb{R}^{d}$, on note $|x|$ la norme euclidienne de $x$.

1. Soit $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ (c'est-à-dire $\varphi$ continue de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$ et à support compact). Montrer que $\varphi \in \mathcal{L}_{\mu}^{1}$.

2. Soit $K$ un compact de $\mathbb{R}^d$ et $\eta > 0$. Pour $x \in \mathbb{R}^d$, on pose $\varphi(x) = \frac{(\eta-d(x,K))^{+}}{\eta}$ avec $d(x,K) = \inf\{|x-y|, y \in K\}$. Montrer que $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ et que $\varphi(x) = 1$ si $x \in K$.

3. Soit $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ tel que $\mu(A) < +\infty$.

(a) Soit $\varepsilon > 0$, montrer qu'il existe $O$ ouvert et $K$ compact tels que $K \subset A \subset O$ et $\mu(O \setminus K) \le \varepsilon$.

(b) Soit $\varepsilon > 0$. Montrer qu'il existe $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ telle que $\|\varphi - 1_A\|_1 \le \varepsilon$.

4. Soit $f$ une fonction borélienne positive de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que $f \in \mathcal{L}_{\mu}^{1}$. Soit $\varepsilon > 0$. Montrer qu'il existe $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ telle que $\|f - \varphi\|_1 \le \varepsilon$. [On pourra approcher $f$ par une fonction étagée.]

5. (Densité.) Soit $f \in \mathcal{L}_{\mu}^{1}$ et $\varepsilon > 0$.

(a) Montrer qu'il existe $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ telle que $\|f - \varphi\|_1 \le \varepsilon$.

(b) Montrer qu'il existe $\psi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ telle que $\|f - \psi\|_1 \le \varepsilon$. [On pourra montrer que, si $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$, on a $\|\varphi - \varphi_n\|_1 \to 0$, quand $n \to +\infty$, avec $\varphi_n = \varphi * \rho_n$ et $(\rho_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une famille régularisante, voir la définition 8.4. du polycopié de cours].]

6. (Continuité en moyenne ?)

(a) Soit $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$. Montrer que $\|\varphi(\cdot + h) - \varphi\|_1 \to 0$ quand $h \to 0$.

(b) Montrer, en donnant un exemple (c'est-à-dire en choisissant convenablement $f$ et $\mu$) qu'on peut avoir $f \in \mathcal{L}_{\mu}^{1}$ et $\|f(\cdot + h) - f\|_{1} \ne 0$ quand $h \to 0$.

7. On suppose maintenant que $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{R}^d$ et que $\mu$ est une mesure sur les boréliens de $\Omega$, finie sur les sous ensembles compacts de $\Omega$. Indiquer brièvement comment on peut montrer la densité de $C_c(\Omega, \mathbb{R})$ et $C_c^{\infty}(\Omega, \mathbb{R})$ dans $L_{\mathbb{R}}^{1}(\Omega, \mathcal{B}(\Omega), \mu)$.

**Exercice 5.17 (Loi d'une fonction linéaire de X)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un espace probabili-sé et X une v.a.. On suppose que la loi de X a une densité par rapport à Lebesgue et on note $g$ cette densité.

Soit $a \in \mathbb{R}^*$, $b \in \mathbb{R}$, montrer que la v.a. $aX + b$ a une densité par rapport à la mesure de Lebesgue et donner cette densité en fonction de $g$, $a$ et $b$.
# Chapitre 6

## Les espaces $L^p$

### 6.1 Définitions et premières propriétés

#### 6.1.1 Les espaces $L^p$, avec $1 \le p < +\infty$

Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré, $1 \le p < +\infty$ et $f \in \mathcal{M} = \mathcal{M}(E, T)$ (c'est-à-dire $f : E \to \mathbb{R}$, mesurable). On remarque que $|f|^p \in \mathcal{M}_+$, car $|f|^p = \varphi \circ f$ où $\varphi$ est la fonction continue (donc borélienne) définie par $\varphi(s) = |s|^p$ pour tout $s \in \mathbb{R}$. La quantité $\int |f|^p dm$ est donc bien définie et appartient à $\mathbb{R}_+$. Ceci va nous permette de définir les espaces de fonctions de puissance p-ième intégrable. On retrouve, pour $p = 1$, la définition de l'espace des fonctions intégrables.

**Définition 6.1 (Les espaces $L^p$)** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré, $1 \le p < +\infty$ et $f$ une fonction définie de $E$ dans $\mathbb{R}$, mesurable. (On a donc $|f|^p \in \mathcal{M}_+$.)

1. On dit que $f \in L^p = \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$ si $\int |f|^p dm < +\infty$. On pose alors :

$$ \|f\|_p = \left( \int |f|^p dm \right)^{\frac{1}{p}}. $$

2. On dit que $f \notin L^p = \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$ si $\int |f|^p dm = +\infty$ et on pose alors $\|f\|_p = +\infty$.

De manière analogue au cas $p = 1$ on quotiente les espaces $L^p$ par la relation d'équivalence “= p.p.” afin que l'application $f \mapsto \|f\|_p$ définisse une norme sur l'espace vectoriel des classes d'équivalence (voir section 4.5).
**Définition 6.2 (Les espaces $L^p$)** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré et $1 \le p < +\infty$.

1. On définit l'espace $L_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$ comme l'ensemble des classes d'équivalence des fonctions de $\mathcal{L}^p$ pour la relation d'équivalence (= pp). En l'absence d'ambiguïté on notera $L^p$ l'espace $L_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$.

2. Soit $F \in L_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$. On pose $\|F\|_p = \|f\|_p$ si $f \in F$. (Cette définition est cohérente car ne dépend pas du choix de $f$ dans $F$. On rappelle aussi que $F = \tilde{f} = \{g \in \mathcal{L}^p ; g = f \text{ p.p.}\}$.)

**Proposition 6.3** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré et $1 \le p < +\infty$. Alors :

1. $L_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$.

2. $L_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$.

**DÉMONSTRATION** – 1. – Soit $\alpha \in \mathbb{R}$, $f \in \mathcal{L}^p$. On a $\alpha f \in \mathcal{M}$ (car $\mathcal{M}$ est un espace vectoriel) et $\int |\alpha f|^p dm = |\alpha|^p \int |f|^p dm < +\infty$. Donc, $\alpha f \in \mathcal{L}^p$.

– Soit $f, g \in \mathcal{L}^p$. On veut montrer que $f + g \in \mathcal{L}^p$. On sait que $f + g \in \mathcal{M}$ (car $\mathcal{M}$ est un espace vectoriel) et on remarque que, pour tout $x \in E$,

$$|f(x) + g(x)|^p \le 2^p |f(x)|^p + 2^p |g(x)|^p,$$

et donc

$$\int |f+g|^p dm \le 2^p \int |f|^p dm + 2^p \int |g|^p dm < +\infty,$$

ce qui montre que $f + g \in \mathcal{L}^p$.

2. La structure vectorielle de $L^p$ s'obtient comme pour $p = 1$. Soit $F, G \in L^p$ et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. On choisit $f \in F$ et $g \in G$ et on définit $\alpha F + \beta G$ comme étant la classe d'équivalence de $\alpha f + \beta g$. Comme d'habitude, cette définition est cohérente car la classe d'équivalence de $\alpha f + \beta g$ ne dépend pas des choix de $f$ et $g$ dans $F$ et $G$.

■

On va montrer maintenant que $f \mapsto \|f\|_p$ est une semi-norme sur $\mathcal{L}^p$ et une norme sur $L^p$.

**Lemme 6.4 (Inégalité de Young)** Soient $a, b \in \mathbb{R}_+$ et $p, q \in ]1, +\infty[$ tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} =$

1. Alors :

$$ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.$$

**DÉMONSTRATION** – La fonction exponentielle $\theta \mapsto \exp(\theta)$ est convexe (de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$). On a donc, pour tout $\theta_1, \theta_2 \in \mathbb{R}$ et tout $t \in [0, 1]$,

$$\exp(t\theta_1 + (1-t)\theta_2) \le t\exp(\theta_1) + (1-t)\exp(\theta_2).$$
Soit $a, b > 0$ (les autres cas sont triviaux). On prend $t = \frac{1}{p}$ (de sorte que $(1-t) = \frac{1}{q}$),
$\theta_1 = p \ln(a)$ et $\theta_2 = q \ln(b)$. On obtient bien $ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$. ■

**Lemme 6.5 (Inégalité de Hölder)** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré et $p, q \in ]1, +\infty[$ tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Soient $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$ et $g \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^q(E, T, m)$. Alors, $fg \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$ et

$$
\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q. \tag{6.1}
$$

Le même résultat est vrai avec $L^p$, $L^q$ et $L^1$ au lieu de $\mathcal{L}^p$, $\mathcal{L}^q$ et $\mathcal{L}^1$.

DÉMONSTRATION – On remarque d’abord que $fg \in \mathcal{M}$ car $f, g \in \mathcal{M}$ (voir la pro-
position 3.19).

L'inégalité de Young donne $|f(x)g(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g(x)|^q}{q}$ pour tout $x \in E$. On en déduit,
en intégrant :

$$
\int |fg| dm \le \frac{1}{p} \int |f|^p dm + \frac{1}{q} \int |g|^q dm < +\infty. \quad (6.2)
$$

Donc, $fg \in \mathcal{L}^1$.

Pour montrer (6.1), on distingue maintenant 3 cas :

Cas 1. On suppose $\|f\|_p = 0$ ou $\|g\|_q = 0$. On a alors $f = 0$ p.p. ou $g = 0$ p.p.. On en déduit $fg = 0$ p.p., donc $\|fg\|_1 = 0$ et (6.1) est vraie.

Cas 2. On suppose $\|f\|_p = 1$ et $\|g\|_q = 1$. On a alors, avec (6.2),

$$
\|fg\|_1 = \int |fg| dm \le \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 = \|f\|_p \|g\|_q.
$$

L'inégalité (6.1) est donc vraie.

Cas 3. On suppose $\|f\|_p > 0$ et $\|g\|_q > 0$. On pose alors $f_1 = \frac{f}{\|f\|_p}$ et $g_1 = \frac{g}{\|g\|_q}$, de sorte que
$$
\|f_1\|_p = \|g_1\|_q = 1$. Le cas 2 donne alors

$$
\frac{\|fg\|_1}{\|f\|_p \|g\|_q} = \|f_1 g_1\|_{\le} 1.
$$

Ce qui donne (6.1).

Dans le cas où $f \in L^p$ et $g \in L^q$, on confond les classes $f$ et $g$ avec des représentants,
encore notés $f$ et $g$. Le résultat précédent donne $fg \in \mathcal{L}^1$ et (6.1). On a alors $fg \in L^1$
au sens de la confusion habituelle, c'est-à-dire "il existe $h \in \mathcal{L}^1$ telle que $fg = h$ p.p."
.et $fg$ ne dépend pas des représentants choisis), et (6.1) est vérifiée. ■
**Lemme 6.6 (Inégalité de Minkowski)** Soit (E, T, m) un espace mesuré et $1 \le p < +\infty$. Soit $f, g \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$. Alors, $f + g \in \mathcal{L}^p$ et :

$$ \|f + g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p. \qquad (6.3) $$

Le même résultat est vrai avec $L^p$ au lieu de $\mathcal{L}^p$.

**DÉMONSTRATION –** Le cas $p = 1$ à déjà été fait. On suppose donc $p > 1$. On a aussi déjà vu que $f + g \in \mathcal{L}^p$ (proposition 6.3). Il reste donc à montrer (6.3). On peut supposer que $\|f + g\|_p \ne 0$ (sinon (6.3) est trivial).

On remarque que

$$ |f + g|^p \le \mathrm{FH} + \mathrm{GH}, \qquad (6.4) $$

avec $F = |f|$, $G = |g|$ et $H = |f + g|^{p-1}$.

On pose $q = \frac{p}{p-1}$, de sorte que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, $F \in \mathcal{L}^p$, $G \in \mathcal{L}^p$ et $H \in \mathcal{L}^q$ (car $f + g \in \mathcal{L}^p$).

On peut donc appliquer l'inégalité de Hölder (6.1), elle donne

$$ \|\mathrm{FH}\|_1 \le \|\mathrm{F}\|_p \|\mathrm{H}\|_q, \quad \|\mathrm{GH}\|_1 \le \|\mathrm{G}\|_p \|\mathrm{H}\|_q. $$

On en déduit, avec (6.4),

$$ \int |f + g|^p dm \le (\|f\|_p + \|g\|_p)(\int |f + g|^p dm)^{1-\frac{1}{p}}, $$

D'où l'on déduit (6.3).

Il est clair que le lemme est vrai avec $L^p$ au lieu de $\mathcal{L}^p$. ■

On en déduit la propriété suivante :

**Proposition 6.7** Soient (E, T, m) un espace mesuré et $1 \le p < +\infty$.

1. L'application $f \mapsto \|f\|_p$ est une semi-norme sur $\mathcal{L}^p$.

2. L'application $f \mapsto \|f\|_p$ est une norme sur $L^p$. $L^p$, muni de cette norme, est donc une espace vectoriel (sur $\mathbb{R}$) normé.

**DÉMONSTRATION –**

- On a bien $\|f\|_p \in \mathbb{R}_+$ pour tout $f \in \mathcal{L}^p$.

- On a déjà vu que $\|\alpha f\|_p = |\alpha||f\|_p$, pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ et tout $f \in \mathcal{L}^p$.

- L'inégalité (6.3) donne $\|f + g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p$ pour tout $f, g \in \mathcal{L}^p$.

L'application $f \mapsto \|f\|_p$ est donc une semi-norme sur $\mathcal{L}^p$. On remarque que, si $f \in \mathcal{L}^p$, on a

$$ \|f\|_p = 0 \Leftrightarrow f = 0 \text{ p.p.} $$

Cette équivalence donne que l'application $f \mapsto \|f\|_p$ est une norme sur $L^p$. ■
**Remarque 6.8** On reprend ici la remarque 4.40. Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré et $1 \le p < +\infty$. On confondra dans la suite un élément $F$ de $L^p$ avec un représentant $f$ de $F$, c'est-à-dire avec un élément $f \in L^p$ telle que $f \in F$. De manière plus générale, soit $A \subset E$ t.q. $A^c$ soit négligeable (c'est-à-dire $A^c \subset B$ avec $B \in T$ et $m(B) = 0$). On dira qu'une fonction $f$, définie de $A$ dans $\mathbb{R}$, est un élément de $L^p$ s'il existe une fonction $g \in L^p$ t.q. $f = g$ p.p.. On confond donc, en fait, la fonction $f$ avec la classe d'équivalence de $g$, c'est-à-dire avec $\tilde{g} = \{h \in L^p ; h = g \text{ p.p.}\}$. D'ailleurs, cet ensemble est aussi égal à $\{h \in L^p ; h = f \text{ p.p.}\}$.

Avec cette confusion, si $f$ et $g$ sont des éléments de $L^p$, $f = g$ signifie en fait $f = g$ p.p..

**Théorème 6.9 (Convergence dominée dans $L^p$)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré et $1 \le p < +\infty$. On note $L^p$ l'espace $L^p(\mathbb{R}, E, T, m)$. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $L^p$ telle que :

$$1. f_n \to f \text{ p.p.,}$$

$$2. \exists F \in L^p \text{ telle que } |f_n| \le F \text{ p.p. pour tout } n \in \mathbb{N}.$$

$$\text{Alors } f_n \to f \text{ dans } L^p \text{ (c'est-à-dire } \int |f_n - f|^p dm \to 0 \text{ quand } n \to +\infty).$$

**DÉMONSTRATION –** On se ramène au cas $p = 1$.

On peut choisir des représentants des $f_n$ (encore notés $f_n$) de manière à ce que la suite $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ soit convergente dans $\mathbb{R}$ pour tout $x \in E$. On pose $g(x) = \lim_{n \to +\infty} f_n(x)$. On a donc $g \in \mathcal{M}$ et $|g| \le F$ p.p., ce qui montre que $g \in L^p$. On a donc $f \in L^p$ (au sens $f = g$ p.p. avec $g \in L^p$).

Puis, on remarque que

$$0 \le h_n = |f_n - f|^p \le (|f_n| + |f|)^p \le 2^p F^p \text{ p.p.,}$$

pour tout $n \in \mathbb{N}$, et que $h_n \to 0$ p.p. quand $n \to +\infty$. Comme $F^p \in L^1$, on peut appliquer le théorème de convergence dominée, il donne $h_n \to 0$ dans $L^1$, c'est-à-dire $f_n \to f$ dans $L^p$. ■

Dans le théorème 6.9, l'hypothèse de domination sur la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ (l'hypothèse 2) implique que la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $L^p$. La réciproque de cette implication est fausse, c'est-à-dire que le fait que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ soit bornée dans $L^p$ ne donne pas l'hypothèse 2 du théorème 6.9. Toutefois, le théorème 6.10 ci-dessous donne un résultat de convergence intéressant sous l'hypothèse “$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ bornée dans $L^p$” (on pourrait appeler cette hypothèse domination en norme) au lieu de l'hypothèse 2 du théorème 6.9.
**Théorème 6.10 (Convergence “dominée en norme”, mesure finie)** *Soit (E, T, m) un espace mesuré fini (c'est-à-dire $m(E) < +\infty$) et $1 < p < +\infty$. On note $L^r$ l'espace $L^r(E, T, m)$ (pour tout $1 \le r < +\infty$). Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $L^p$ telle que :*

1. $f_n \to f$ p.p.,

2. la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $L^p$.

Alors, $f \in L^p$ et $f_n \to f$ dans $L^q$ pour tout $q \in [1, p[$ (c'est-à-dire $\int |f_n - f|^q dm \to 0$, quand $n \to +\infty$, pour tout $1 \le q < p$).

Ce théorème est aussi vrai dans le cas $p = +\infty$, l'espace $L^\infty$ sera défini dans la section 6.1.2.

**DÉMONSTRATION** – Le fait que $f \in L^p$ est conséquence immédiate du lemme de Fatou (Lemme 4.19) appliqué à la suite $\{ |f_n|^p \}_{n \in \mathbb{N}}$. Le fait que $f_n \to f$ dans $L^q$ pour tout $q \in [1, p[$ peut se faire avec le théorème de Vitali (théorème 4.51). Ceci est démontré dans l'exercice 6.18. Une généralisation avec $m(E) = +\infty$ est étudiée dans l'exercice 6.19.
■

On donne maintenant une réciproque partielle au théorème de convergence dominée, comme dans le cas $p = 1$.

**Théorème 6.11 (Réciproque partielle de la convergence dominée)**

Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré, $1 \le p < +\infty$, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^p$ et $f \in L^p$. On suppose que $f_n \to f$ dans $L^p$ quand $n \to +\infty$. Alors il existe une sous-suite $(f_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ telle que :

- $f_{n_k} \to f$ p.p. lorsque $k \to +\infty$,

- $\exists$ F \in L^p$ telle que $|f_{n_k}| \le F$ p.p., pour tout $k \in \mathbb{N}$.

**DÉMONSTRATION** – Comme dans le cas $p = 1$, Ce théorème est une conséquence de la proposition suivante sur les séries absolument convergentes.
■

**Proposition 6.12 (Séries absolument convergentes dans $L^p$)**

Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré, $1 \le p < +\infty$ et $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^p$.

On suppose que $\sum_{n \in \mathbb{N}} \|f_n\|_p < +\infty$. Alors :

1. $\sum_{n=0}^{+\infty} |f_n(x)| < +\infty$ pour presque tout $x \in E$. On pose $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)$ (la fonction $f$ est donc définie p.p.).
2. $f \in L^p$ (au sens "il existe $g \in L^p$ telle que $f = g$ p.p.").

3. $\sum_{k=0}^{n} f_k(x) \to f$ p.p. et dans $L^p$, lorsque $n \to +\infty$. De plus, il existe $F \in L^p$ telle que $|\sum_{k=0}^{n} f_k(x)| \le F$ p.p., pour tout $n \in \mathbb{N}$.

DÉMONSTRATION – Pour chaque $n \in \mathbb{N}$, on choisit un représentant de $f_n$, encore noté $f_n$.

On pose, pour tout $x \in E$, $g_n(x) = \sum_{k=0}^{n} |f_k(x)|$. On a $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{M}_+$. Comme la suite est croissante, il existe $F \in \mathcal{M}_+$ telle que $g_n \uparrow F$, quand $n \to +\infty$. On a donc aussi $g_n^p \uparrow F^p$ quand $n \to +\infty$ et le théorème de convergence monotone donne

$$ \int g_n^p dm \to \int F^p dm, \text{ quand } n \to +\infty. \quad (6.5) $$

On remarque maintenant que $\|g_n\|_p \le \sum_{k=0}^{n} \|f_k\|_p \le \sum_{k=0}^{+\infty} \|f_k\|_p = A < +\infty$. Donc $\|g_n\|_p^p \le A^p$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et (6.5) donne alors

$$ \int F^p dm \le A^p < +\infty. \quad (6.6) $$

L'inégalité (6.6) donne que $F < +\infty$ p.p.. Il existe donc $B \in T$ tel que $m(B) = 0$ et $F(x) < +\infty$ pour tout $x \in B^c$. Pour tout $x \in B^c$, la série de terme général $f_n(x)$ est donc absolument convergente dans $\mathbb{R}$. Elle est donc convergente dans $\mathbb{R}$ et on peut définir, pour tout $x \in B^c$, $f(x) \in \mathbb{R}$ par

$$ f(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x) = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^{n} f_k(x). $$

La fonction $f$ n'est pas forcément dans $\mathcal{M}$, mais elle est $m$-mesurable (voir la définition 4.13 page 164), il existe donc $g \in \mathcal{M}$ telle que $f = g$ p.p.. Puis, comme $|g| \le F$ p.p. (car $|\sum_{k=0}^{n} f_k(x)| \le g_n \le F$ p.p. et $\sum_{k=0}^{n} f_k(x) \to g$ p.p.) on a, grâce à (6.6), $g \in L^p$, ce qui donne bien $f \in L^p$ (au sens "il existe $g \in L^p$ telle que $f = g$ p.p.").

Enfin, pour montrer le dernier item de la proposition, il suffit d'appliquer le théorème de convergence dominée dans $L^p$ car $\sum_{k=0}^{n} f_k(x) \to f$ p.p. et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|\sum_{k=0}^{n} f_k(x)| \le g_n \le F$ p.p. avec $\int F^p dm < +\infty$. On obtient bien que $\sum_{k=0}^{n} f_k(x) \to f$ dans $L^p$. ■

Toute série absolument convergente de $L^p$ est donc convergente dans $L^p$. On en déduit le résultat suivant :

**Théorème 6.13 (L'espace $L^p$ est complet)** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré et $1 \le p < +\infty$. L'espace vectoriel normé $(L^p, \|\cdot\|_p)$ est complet.

On peut maintenant se demander si les espaces $L^p$ sont des espaces de Hilbert. Ceci est vrai pour $p = 2$, et, en général, faux pour $p \neq 2$ (voir à ce propos l'exercice 6.33). Le cas de $L^2$ sera étudié en détail dans la section 6.2.
En général, les espaces $L^p$, avec $1 < p < +\infty$, autres que $L^2$ ne sont pas des espaces de Hilbert, mais nous verrons ultérieurement (section 6.3) que ce sont des espaces de Banach réflexifs (c'est-à-dire que l'injection canonique entre l'espace et son bi-dual est une bijection, voir Définition 6.72). Les espaces $L^1$ et $L^\infty$ (que nous verrons au paragraphe suivant) sont des espaces de Banach non réflexifs (sauf cas particuliers).

**Remarque 6.14** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré et $1 < p < +\infty$. On peut aussi définir $L_{\mathbb{C}}^p(E, T, m)$ et $L_{\mathbb{R}^N}^p(E, T, m)$ (avec $N > 1$) comme on a fait pour $p = 1$ (voir la section 4.10). On obtient aussi des espaces de Banach (complexes ou réels). Le cas $L_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$ est particulièrement intéressant. Il sera muni d'une structure hilbertienne (voir le théorème 6.35).

### 6.1.2 L'espace $L^\infty$

**Définition 6.15 (L'espace $L^\infty$)** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré et $f$ une fonction mesurable (de $E$ dans $\mathbb{R}$);

1. on dit que $f$ est essentiellement bornée, ou encore que $f \in L^\infty = L_{\mathbb{R}}^\infty(E, T, m)$ s'il existe $C \in \mathbb{R}_+$ tel que $|f| \le C \text{ p.p.}$;

2. si $f \in L^\infty$, on pose $\|f\|_\infty = \inf\{C \in \mathbb{R}_+ ; |f| \le C \text{ p.p.}\}$,

3. si $f \notin L^\infty$, on pose $\|f\|_\infty = +\infty$.

**Remarque 6.16 (Rappels sur la définition de l'inf)** Soit $A \subset \mathbb{R}$, $A \neq \emptyset$. On rappelle que $A$ est borné inférieurement s'il existe un minorant de $A$, c'est-à-dire s'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $x \ge \alpha$ pour tout $x \in A$. Si $A$ est borné inférieurement, on définit la borne inférieure de $A$ comme le plus grand des minorants : $\bar{x} = \inf\{A\} = \max\{\alpha; \alpha \le x$ pour tout $x \in A\}$. Si $A$ n'est pas borné inférieurement, on pose $\inf A = -\infty$. Dans les manipulations sur les inf (et sur les sup) il est utile de connaître le résultat suivant :

$$ \bar{x} = \inf A \Rightarrow \exists (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset A; x_n \downarrow \bar{x} \text{ quand } n \to +\infty. $$

Ceci se démontre très facilement en distinguant deux cas :

1. Si $A$ est non borné inférieurement, alors, pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe $y_n \in A$ tel que $y_n \le -n$. En choisissant $x_0 = y_0$ et, par récurrence, $x_n = \min(x_{n-1}, y_n)$, on a donc $x_n \downarrow -\infty = \inf A$.

2. Si $A$ est borné inférieurement, soit $\bar{x} = \inf A$. Alors, $\bar{x} + \frac{1}{n}$ n'est pas un minorant de $A$ et donc, pour $n \in \mathbb{N}^*$, il existe $y_n \in A$ tel que $\bar{x} \le y_n \le \bar{x} + \frac{1}{n}$. En choisissant $x_0 = y_0$ et, par récurrence, $x_n = \min(x_{n-1}, y_n)$, on a clairement : $x_n \downarrow \bar{x}$ lorsque $n \to +\infty$.
Le petit lemme suivant (dont la démonstration est immédiate en écrivant la définition de $\|f\|_{\infty}$, voir l'exercice corrigé 4.32) est parfois bien utile.

**Lemme 6.17** Si $f \in \mathcal{L}^{\infty}$, alors $|f| \le \|f\|_{\infty}$ p.p..

La démonstration de ce lemme fait l'objet de l'exercice corrigé 4.32.

On a égalité entre le sup essentiel et le sup pour les fonctions continues :

**Proposition 6.18** Si $(E, T, m) = (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et $f \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, alors

$$ \|f\|_u = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x)| = \|f\|_{\infty}. $$

**DÉMONSTRATION –** On distingue 2 cas :

**Cas 1.** On suppose ici que $|f|$ est non bornée, c'est-à-dire $\|f\|_u = +\infty$. Soit $\alpha \in \mathbb{R}_+$. Comme $|f|$ est non bornée, il existe $x \in \mathbb{R}$ t.q. $|f(x)| > \alpha$. Par continuité de $f$, il existe alors $\varepsilon > 0$ t.q. $|f(y)| > \alpha$ pour tout $y \in [x - \varepsilon, x + \varepsilon]$. On a donc $\{|f| > \alpha\} \supset [x - \varepsilon, x + \varepsilon]$ et donc $\lambda(\{|f| > \alpha\}) \ge 2\varepsilon$. Donc, $|f|$ n'est pas inférieure ou égale à $\alpha$ p.p.. On a donc $\{C \in \mathbb{R}_+ ; |f| \le C \text{ p.p.} \} = \emptyset$, donc $\|f\|_{\infty} = +\infty = \|f\|_u$.

**Cas 2.** On suppose maintenant que $\|f\|_u < +\infty$. On a $|f(x)| \le \|f\|_u$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $\|f\|_{\infty} \le \|f\|_u$.

D'autre part, on sait que $|f| \le \|f\|_{\infty}$ p.p.. On a donc $\lambda(\{|f| > \|f\|_{\infty}\}) = 0$. Or $\{|f| > \|f\|_{\infty}\}$ est ouvert (car $f$ est continue), c'est donc un ouvert de mesure nulle, on a donc $\{|f| > \|f\|_{\infty}\} = \emptyset$ (la mesure de Lebesgue d'un ouvert non vide est toujours strictement positive), ce qui prouve $|f(x)| \le \|f\|_{\infty}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et donc $\|f\|_u \le \|f\|_{\infty}$.

On obtient bien finalement $\|f\|_u = \|f\|_{\infty}$. ■

**Définition 6.19** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré et $\mathcal{L}^{\infty} = \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{\infty}(E, T, m)$.

1. On définit $L^{\infty} = L_{\mathbb{R}}^{\infty}(E, T, m)$ comme l'ensemble des classes d'équivalence sur $\mathcal{L}^{\infty}$ pour la relation d'équivalence “= p.p.”.

2. Soit $F \in L^{\infty}$. On pose $\|F\|_{\infty} = \|f\|_{\infty}$ avec $f \in F$, de sorte que $F = \{g \in \mathcal{L}^{\infty} ; g = f \text{ p.p.}\}$. (Cette définition est cohérente car $\|f\|_{\infty}$ ne dépend pas du choix de $f$ dans $F$.)

**Proposition 6.20** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré, $\mathcal{L}^{\infty} = \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{\infty}(E, T, m)$ et $L^{\infty} = L_{\mathbb{R}}^{\infty}(E, T, m)$. Alors :

1. $\mathcal{L}^{\infty}$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ et l'application définie de $\mathcal{L}^{\infty}$ dans $\mathbb{R}$ par $f \mapsto \|f\|_{\infty}$ est une semi-norme sur $\mathcal{L}^{\infty}$.

2. $L^{\infty}$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ et l'application définie de $L^{\infty}$ dans $\mathbb{R}$ par $f \mapsto \|f\|_{\infty}$ est une norme sur $L^{\infty}$. $L^{\infty}$ est donc un espace espace vectoriel normé (réel).
**DÉMONSTRATION –** 1. – Si $\alpha \in \mathbb{R}$ et $f \in \mathcal{L}^{\infty}$, il est clair que $\alpha f \in \mathcal{L}^{\infty}$ et que $\|\alpha f\|_{\infty} = |\alpha||f\|_{\infty}$.

– Soit $f, g \in \mathcal{L}^{\infty}$. Comme $|f| \le \|f\|_{\infty}$ p.p. et $|g| \le \|g\|_{\infty}$ p.p., on montre facilement que $|f+g| \le |f| + |g| \le \|f\|_{\infty} + \|g\|_{\infty}$ p.p., ce qui prouve que $(f+g) \in \mathcal{L}^{\infty}$ et que $\|f+g\|_{\infty} \le \|f\|_{\infty} + \|g\|_{\infty}$.

On a bien montré que $\mathcal{L}^{\infty}$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ et comme $\|f\|_{\infty} \in \mathbb{R}_{+}$ pour tout $f \in \mathcal{L}^{\infty}$, l'application $f \mapsto \|f\|_{\infty}$ est bien une semi-norme sur $\mathcal{L}^{\infty}$.

2. la structure vectorielle de $\mathcal{L}^{\infty}$ s'obtient comme celle de $\mathbb{L}^p$ ($p < +\infty$) et le fait que $f \mapsto \|f\|_{\infty}$ soit une norme découle du fait que

$$f = 0 \text{ p.p.} \Leftrightarrow \|f\|_{\infty} = 0.$$

■

**Proposition 6.21** *Soit (E, T, m) un espace mesuré. L'espace $L_{\mathbb{R}}^{\infty}(E, T, m)$ est un espace de Banach (réel), c'est-à-dire un e.v.n. complet.*

**DÉMONSTRATION –** On sait déjà que $\mathcal{L}^{\infty}$ est un e.v.n.. Le fait qu'il soit complet est la conséquence du fait que toute série absolument convergente dans $\mathcal{L}^{\infty}$ est convergente dans $\mathcal{L}^{\infty}$, ce qui est une conséquence de la proposition suivante sur les séries absolument convergentes.

■

**Proposition 6.22 (Séries absolument convergentes dans $\mathcal{L}^{\infty}$) Soient (E, T, m) un espace mesuré et $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L_{\mathbb{R}}^{\infty}(E, T, m)$. On suppose que $\sum_{n=0}^{+\infty} \|f_n\|_{\infty} < +\infty$. Alors :**

1. Il existe $C \in \mathbb{R}_{+}$ t.q., pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\sum_{k=0}^{n} |f_k| < C$ p.p..

2. La série de terme général $f_n(x)$ est, pour presque tout $x \in E$, absolument convergente dans $\mathbb{R}$. On définit, pour presque tout $x$, $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)$.

3. On a $f \in \mathcal{L}^{\infty}$ (au sens "il existe $g \in \mathcal{L}^{\infty}$ t.q. $f = g$ p.p.) et $\|\sum_{k=0}^{n} f_k - f\|_{\infty} \to 0$ lorsque $n \to +\infty$.

**DÉMONSTRATION –** Pour chaque $n \in \mathbb{N}$, on choisit un représentant de $f_n$, encore noté $f_n$. Comme $|f_n| \le \|f_n\|_{\infty}$ p.p., il existe $A_n \in \mathbb{T}$ t.q. $m(A_n) = 0$ et $|f_n| \le \|f_n\|_{\infty}$ sur $A_n$. On pose $A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathbb{T}$. On a $m(A) = 0$ (par σ-sous additivité de $m$) et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $x \in A^c$, $|f_n(x)| \le \|f_n\|_{\infty}$.

Pour tout $x \in A^c$, on a donc

$$\sum_{k=0}^{n} |f_k(x)| \le \sum_{k=0}^{n} \|f_k\|_{\infty} \le \sum_{k=0}^{\infty} \|f_k\|_{\infty} = C < \infty. \quad (6.7)$$

Comme $m(A) = 0$, ceci montre le premier item.

Pour tout $x \in A^c$, la série de terme général $f_n(x)$ est absolument convergente dans $\mathbb{R}$, donc convergente. On pose donc

$$f(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} f_k(x) = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^{n} f_k(x) \in \mathbb{R}.$$
f est donc définie p.p., elle est $m$-mesurable (voir la définition 4.13) car limite p.p. de fonctions mesurables. Il existe donc $g \in \mathcal{M}$ t.q. $f = g$ p.p. et (6.7) donne $|g| \le C$ p.p.. On a donc $g \in \mathcal{L}^\infty$ et donc $f \in \mathcal{L}^\infty$ (au sens “il existe $g \in \mathcal{L}^\infty$ t.q. $f = g$ p.p.”).

Il reste à montrer que $\sum_{k=0}^{n} f_k \to f$ dans $\mathcal{L}^\infty$.

On remarque que, pour tout $x \in A^c$,

$$ \left| \sum_{k=0}^{n} f_k(x) - f(x) \right| = \left| \sum_{k=n+1}^{\infty} f_k(x) \right| \le \sum_{k=n+1}^{\infty} |f_k(x)| \le \sum_{k=n+1}^{\infty} \|f_k\|_{\infty} \to 0, $$

quand $n \to +\infty$. Comme $m(A) = 0$, on en déduit

$$ \left\| \sum_{k=0}^{n} f_k - f \right\|_{\infty} \le \sup_{x \in A^c} \left| \sum_{k=0}^{n} f_k(x) - f(x) \right| \le \sum_{k=n+1}^{\infty} \|f_k\|_{\infty} \to 0, \text{ quand } n \to +\infty. $$

et donc $\sum_{k=0}^{n} f_k \to f$ dans $\mathcal{L}^\infty$, quand $n \to +\infty$. ■

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

La proposition 6.22 permet de montrer que $\mathcal{L}^\infty$ est complet (théorème 6.21). Elle permet aussi de montrer ce que nous avons appelé précédemment (dans le cas $p < \infty$) réciproque partielle du théorème de convergence dominée. Il est important par contre de savoir que le théorème de convergence dominée peut être faux dans $\mathcal{L}^\infty$, comme le montre la remarque suivante.

**Remarque 6.23 (Sur la convergence dominée)** Le résultat de convergence dominée qu'on a démontré pour les suites de fonctions de $\mathcal{L}^p$, $1 \le p < +\infty$, est *faux* pour les suites de fonctions de $\mathcal{L}^\infty$. Il suffit pour s'en convaincre de considérer l'exemple suivant : $(E, T, m) = ([0, 1], \mathcal{B}([0, 1]), \lambda)$, $f_n = 1_{[0, \frac{1}{n}]}$, pour $n \in \mathbb{N}^*$. On a bien

$$ (f_n)_{n \in \mathbb{N}^*} \subset \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{\infty}([0, 1], \mathcal{B}([0, 1]), \lambda), \quad f_n \to 0 \text{ p.p. quand } n \to +\infty, \\ f_n \le 1_{[0,1]} \text{ p.p., pour tout } n \in \mathbb{N}^*, \quad 1_{[0,1]} \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{\infty}([0, 1], \mathcal{B}([0, 1]), \lambda). $$

Pourtant, $\|f_n\|_{\infty} = 1 \not\to 0$, quand $n \to +\infty$.

Par contre, le résultat de réciproque partielle de la convergence dominée est vrai, comme conséquence du résultat que toute suite absolument convergente dans $\mathcal{L}^\infty$ est convergente (dans $\mathcal{L}^\infty$, proposition 6.22). La démonstration est similaire à la démonstration du théorème 4.49.

**Remarque 6.24** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré. On peut aussi définir $\mathcal{L}_{\mathbb{C}}^{\infty}(E, T, m)$ et $\mathcal{L}_{\mathbb{R}^N}^{\infty}(E, T, m)$ (avec $N > 1$) comme on a fait pour $p = 1$ (voir la section 4.10). On obtient aussi des espaces de Banach (complexe ou réels).

### 6.1.3 Quelques propriétés des espaces $L^p$, $1 \le p \le +\infty$

**Proposition 6.25 (Comparaison entre les espaces $L^p$)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré fini, i.e. $m(E) < +\infty$. Soient $p, q \in \mathbb{R}_+$ tels que $1 \le p < q \le +\infty$. Alors,
$L_{\mathbb{R}}^q(E, T, m) \subset L_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$. De plus, il existe $C$, ne dépendant que de $p, q$ et $m(E)$, tel que $\|f\|_p \le C\|f\|_q$ pour tout $f \in L_{\mathbb{R}}^q(E, T, m)$ ( Ceci montre que l'injective de $L^q$ dans $L^p$ est continue).

**DÉMONSTRATION –** On distingue les cas $q < \infty$ et $q = \infty$.

**Cas** $q < \infty$. On suppose ici que $1 \le p < q < +\infty$.

Soit $f \in L^q$. On choisit un représentant de $f$, encore noté $f$. Pour tout $x \in E$, on a $|f(x)|^p \le |f(x)|^q$ si $|f(x)| \ge 1$. On a donc $|f(x)|^p \le |f(x)|^q + 1$, pour tout $x \in E$. Ce qui donne, par monotonie de l'intégrale,

$$ \int |f|^p dm \le m(E) + \int |f|^q dm < \infty, \qquad (6.8) $$

et donc que $f \in L^p$. On a ainsi montré $L^q \subset L^p$.

On veut montrer maintenant qu'il existe $C$, ne dépendant que de $p, q$ et $m(E)$, t.q., pour tout $f \in L_{\mathbb{R}}^q(E, T, m)$,

$$ \|f\|_p \le C\|f\|_q. \qquad (6.9) $$

En utilisant (6.8), on remarque que (6.9) est vraie avec $C = (m(E)+1)^{\frac{1}{p}}$, si $\|f\|_q = 1$.

Ceci est suffisant pour dire que (6.9) est vraie avec $C = (m(E)+1)^{\frac{1}{p}}$ pour tout $f \in L^q$. En effet, (6.9) est triviallement vraie pour $\|f\|_q = 0$ (car on a alors $f = 0$ p.p. et $\|f\|_p = 0$).

Puis, si $\|f\|_q > 0$, on pose $f_1 = \frac{f}{\|f\|_q}$ de sorte que $\|f_1\|_q = 1$. On peut donc utiliser (6.9) avec $f_1$. On obtient $\frac{1}{\|f\|_q} \|f\|_p = \|f_1\|_p \le C$, ce qui donne bien $\|f\|_p \le C\|f\|_q$.

On a donc montré (6.9) avec un $C$ ne dépendant que $p$ et $m(E)$ (et non de $q$). Toutefois, le meilleur $C$ possible dans (6.9) dépend de $p, q$ et $m(E)$. Ce meilleur $C$ peut être obtenu en utilisant l'inégalité de Hölder généralisée (proposition 6.26). Elle donne $\|f\|_p \le C\|f\|_q$ avec $C = (m(E))^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}$ (voir la remarque 6.27).

**Cas** $q = \infty$. On suppose ici que $1 \le p < q = +\infty$.

Soit $f \in L^\infty$. On choisit un représentant de $f$, encore noté $f$. On a $|f| \le \|f\|_\infty$ p.p.. On en déduit $|f|^p \le \|f\|_\infty^p$ p.p. et donc

$$ \int |f|^p dm \le m(E) \|f\|_\infty^p < \infty. $$

Ce qui donne $f \in L^p$ et $\|f\|_p \le C\|f\|_\infty$ avec $C = (m(E))^{\frac{1}{p}}$.

On voit ici qu'on a obtenu le meilleur $C$ possible (si $m(E) > 0$) car $\|f\|_p = (m(E))^{\frac{1}{p}} = (m(E))^{\frac{1}{p}} \|f\|_\infty$ si $f = 1_E$.

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

**Proposition 6.26 (Inégalité de Hölder généralisée)** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré et $p, q, r \in [1, +\infty]$ tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r}$. Soient $f \in L_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$ et $g \in L_{\mathbb{R}}^q(E, T, m)$. Alors, $fg \in L_{\mathbb{R}}^r(E, T, m)$ et

$$ \|fg\|_r \le \|f\|_p \|g\|_q. \qquad (6.10) $$
**DÉMONSTRATION** – Comme d'habitude, on confond un élément de $L^s$ ($s = p, q$ ou $r$) avec un de ses représentants. On travaille donc avec $L^s$ au lieu de $L^s$. On suppose donc que $f \in L^p$ et $g \in L^q$ et on veut montrer que $fg \in L^r$ et que (6.10) est vraie. On remarque d'abord que $fg \in \mathcal{M}$.

Ici encore, on distingue plusieurs cas.

**Cas 1.** On suppose ici $1 \le p, q, r < \infty$.

On pose $f_1 = |f|^r$ et $g_1 = |g|^r$ de sorte que $f_1 \in L^p$ et $g_1 \in L^q$. Comme $\frac{r}{p} + \frac{r}{q} = 1$, on peut appliquer le lemme 6.5 (donnant l'inégalité de Hölder) avec $f_1, g_1$ (au lieu de $f, g$) et $\frac{p}{r}, \frac{q}{r}$ (au lieu de $p, q$). Il donne que $f_1 g_1 \in L^1$ et $\|f_1 g_1\|_1 \le \|f_1\|_p^r \|g_1\|_q^r$. On en déduit que $fg \in L^r$ et

$$ \int |fg|^r dm \le ( \int |f|^p dm )^{\frac{r}{p}} ( \int |g|^q dm )^{\frac{r}{q}}, $$

ce qui donne (6.10)

**Cas 2.** On suppose ici $q = \infty$ et $r = p < \infty$.

Comme $|g| \le \|g\|_\infty$ p.p., On a $|fg|^p \le |f|^p \|g\|_\infty^p$ p.p. et donc

$$ \int |fg|^p dm \le \|g\|_\infty^p \int |f|^p dm, $$

ce qui donne $fg \in L^p$ et (6.10).

**Cas 3.** On suppose ici $p = q = r = \infty$.

Comme $|f| \le \|f\|_\infty$ p.p. et $|g| \le \|g\|_\infty$ p.p., on a $|fg| \le \|f\|_\infty \|g\|_\infty$ p.p., ce qui donne $fg \in L^\infty$ et (6.10). ■

### Remarque 6.27

1. Par une récurrence facile sur $n \in \mathbb{N}^*$, on peut encore généraliser la proposition 6.26. Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré, $p_1, \dots, p_n \in [1, \infty]$ et $r \in [1, \infty]$ t.q. $\frac{1}{r} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{p_i}$. Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, soit $f_i \in L_{\mathbb{R}}^{p_i}(E, T, m)$. Alors, $\prod_{i=1}^n f_i \in L_{\mathbb{R}}^r(E, T, m)$ et $\|\prod_{i=1}^n f_i\|_r \le \prod_{i=1}^n \|f_i\|_{p_i}$.

2. L'inégalité (6.10) permet aussi de trouver le meilleur C possible dans la proposition 6.25 (Inégalité (6.9)) :

Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré fini. Soient $p, q \in \mathbb{R}_+$ tels que $1 \le p < q < +\infty$. Soit $f \in L_{\mathbb{R}}^q(E, T, m)$. Comme $1 \le p < q < \infty$, il existe $r \in [1, \infty[$ t.q. $\frac{1}{p} = \frac{1}{q} + \frac{1}{r}$. On peut alors utiliser la proposition 6.26 avec $f \in L^q$ et $1_E \in L^r$. Elle donne que $f \in L^p$ et $\|f\|_p \le C \|f\|_q$ avec $C = (m(E))^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}}$. Cette valeur de C est la meilleure possible (si $m(E) > 0$) dans (6.9) car si $f = 1_E$ on obtient $\|f\|_p \le (m(E))^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \|f\|_q$.

**Remarque 6.28** Les espaces $L^p, p \in ]0, 1[$ (que l'on peut définir comme dans le cas $1 \le p < \infty$) sont des espaces vectoriels, mais l'application $f \mapsto (\int |f|^p dm)^{\frac{1}{p}}$ n'est pas une norme sur $L^p$ si $p \in ]0, 1[$ (sauf cas particulier).
**Remarque 6.29** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré, et $f \in \mathcal{M}(E, T)$. L'ensemble $J = \{p \in [1, +\infty], f \in \mathcal{L}^p\}$ est un intervalle de $[1, +\infty]$. L'application définie de $\bar{J}$ dans $\bar{\mathbb{R}}_+$ par $p \mapsto \|f\|_p$ est continue, voir à ce propos l'exercice 4.32, et dans le cas particulier des fonctions continues à support compact, l'exercice 6.10. En particulier, lorsque $p \in J$, $p \to +\infty$ on a $\|f\|_p \to \|f\|_\infty$. On en déduit le résultat suivant : s'il existe $p_0 < +\infty$ tel que $f \in \mathcal{L}^p$ pour tout $p$ tel que $p_0 \le p < +\infty$, et s'il existe $C$ t.q. $\|f\|_p \le C$, pour tout $p \in [p_0, +\infty[$, alors $f \in \mathcal{L}^\infty$ et $\|f\|_\infty \le C$.

## 6.2 Analyse hilbertienne et espace $L^2$

### 6.2.1 Définitions et propriétés élémentaires

**Définition 6.30 (Produit scalaire)**

1. Soit $H$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$. On appelle produit scalaire sur $H$ une application de $H \times H \to \mathbb{R}$, notée $(\cdot | \cdot)$ ou $(\cdot | \cdot)_H$ t.q.

$$ (\mathbf{ps1}) \quad (u | u) > 0 \text{ pour tout } u \in H \setminus \{0\}, $$

$$ (\mathbf{ps2}) \quad (u | v) = (v | u) \text{ pour tout } u, v \in H, $$

$$ (\mathbf{ps3}) \quad u \mapsto (u | v) \text{ est une application linéaire de } H \text{ dans } \mathbb{R}, \text{ pour tout } v \in H. $$

2. Soit $H$ un espace vectoriel sur $\mathbb{C}$. On appelle produit scalaire sur $H$ une application de $H \times H \to \mathbb{C}$, notée $(\cdot | \cdot)$ ou $(\cdot | \cdot)_H$ telle que

$$ (\mathbf{ps1}) \quad (u | u) \in \mathbb{R}_+^* \text{ pour tout } u \in H \setminus \{0\}, $$

$$ (\mathbf{ps2}) \quad (u | u) = (\overline{v | u}) \text{ pour tout } u, v \in H, $$

$$ (\mathbf{ps3}) \quad u \mapsto (u | v) \text{ est une application linéaire de } H \text{ dans } \mathbb{R}, \text{ pour tout } v \in H. $$

**Remarque 6.31 (Exemple fondamental)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré.

1. On prend $H = L_{\mathbb{R}}^2(E, T, m)$. $H$ est un e.v. sur $\mathbb{R}$. On rappelle que $fg \in L_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$ si $f, g \in L_{\mathbb{R}}^2(E, T, m)$ (lemme 6.5 pour $p = q = 2$). L'application $(f,g) \mapsto \int fgdm$ est un produit scalaire sur $H$.

2. On prend $H = L_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$ (voir le théorème 6.35 ci après). $H$ est un e.v. sur $\mathbb{C}$. En utilisant le lemme 6.5, on montre facilement que $f\bar{g} \in L_{\mathbb{C}}^1(E, T, m)$ si $f, g \in L_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$ (lemme 6.5 pour $p = q = 2$). L'application $(f,g) \mapsto \int f\bar{g}dm$ est un produit scalaire sur $H$.

**Proposition 6.32 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)**

1. Soit $H$ un e.v. sur $\mathbb{R}$ muni d'un produit scalaire, noté $(\cdot | \cdot)$. Alors :

$$ (u | v)^2 \le (u | u)(v | v), \text{ pour tout } u, v \in H. \quad (6.11) $$