De plus, $(u | v)^2 = (u | u)(v | v)$ si et seulement si $u$ et $v$ sont colinéaires.

2. Soit H un e.v. sur $\mathbb{C}$ muni d'un produit scalaire, noté $(\cdot|\cdot)$. Alors :

$$|(u | v)|^2 \leq (u | u)(v | v), \text{ pour tout } u, v \in H. \qquad (6.12)$$

De plus, $|(u | v)|^2 = (u | u)(v | v)$ si et seulement si $u$ et $v$ sont colinéaires.

### DÉMONSTRATION –

1. On suppose ici $K = \mathbb{R}$. Soit $u, v \in H$. Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, on pose

$$p(\alpha) = (u + \alpha v | u + \alpha v) = (v | v)\alpha^2 + 2\alpha(u | v) + (u | u).$$

Comme $p(\alpha) \geq 0$ pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, on doit avoir $\Delta = (u | v)^2 - (u | u)(v | v) \leq 0$, ce qui donne (6.11).

On s'intéresse maintenant au cas d'égalité dans (6.11).

Si $u = 0$ ou $v = 0$, on a égalité dans (6.11) (et $u$ et $v$ sont colinéaires).

Si $u \neq 0$ et $v \neq 0$, on a égalité dans (6.11) (c'est-à-dire $\Delta = 0$) si et seulement s'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $p(\alpha) = 0$. On a donc égalité dans (6.11) si et seulement s'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ t.q. $u = -\alpha v$. On en déduit bien que $(u | v)^2 = (u | u)(v | v)$ si et seulement si $u$ et $v$ sont colinéaires.

2. On suppose maintenant $K = \mathbb{C}$. Soient $u, v \in H$. Pour $\alpha \in \mathbb{C}$ on pose

$$p(\alpha) = (u + \alpha v | u + \alpha v) = \alpha \bar{\alpha}(v | v) + \alpha(v | u) + \bar{\alpha}(u | v) + (u | u).$$

On choisit de prendre $\alpha = \beta(u | v)$ avec $\beta \in \mathbb{R}$. On pose donc, pour tout $\beta \in \mathbb{R}$,

$$\varphi(\beta) = p(\beta(u | v)) = \beta^2|(u | v)|^2(v | v) + 2\beta|(u | v)|^2 + (u | u).$$

Ici encore, comme $\varphi(\beta) \in \mathbb{R}_+$ pour tout $\beta \in \mathbb{R}$, on doit avoir $\Delta = |(u | v)|^4 - |(u | v)|^2(v | v)(u | u) \leq 0$, ce qui donne (6.12).

On s'intéresse maintenant au cas d'égalité dans (6.12).

Si $u = 0$ ou $v = 0$, on a égalité dans (6.12) (et $u$ et $v$ sont colinéaires).

On suppose maintenant $u \neq 0$ et $v \neq 0$. On remarque d'abord que, si $(u | v) = 0$, on n'a pas égalité dans (6.12) et $u$ et $v$ ne sont pas colinéaires. On suppose donc maintenant que $(u | v) \neq 0$. On a alors égalité dans (6.12) si et seulement si $\Delta = 0$ et donc si et seulement s'il existe $\beta \in \mathbb{R}$ tel qu $\varphi(\beta) = 0$. Donc, on a égalité dans (6.12) si et seulement s'il existe $\beta \in \mathbb{R}$ tel que $u = -\beta(u | v)v$, et donc si et seulement s'il existe $\alpha \in \mathbb{C}$ tel que $u = -\alpha v$.

Finalement, on en déduit bien que $|(u | v)|^2 = (u | u)(v | v)$ si et seulement si $u$ et $v$ sont colinéaires.

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

**Proposition 6.33 (Norme induite par un produit scalaire)** Soit H un e.v. sur K, avec $K = \mathbb{R}$ ou $K = \mathbb{C}$, muni d'un produit scalaire, noté $(\cdot|\cdot)$. Pour tout $u \in H$, on pose $\|u\|_H = \sqrt{(u|u)}$. Alors, $\|\cdot\|_H$ est une norme sur H. On l'appelle norme induite par le produit scalaire $(\cdot|\cdot)$.
DÉMONSTRATION –

- Il est clair que $\|u\|_H \in \mathbb{R}_+$ pour tout $u \in H$ et que

$$ \|u\|_H = 0 \Leftrightarrow (u | u) = 0 \Leftrightarrow u = 0. $$

- On a bien $\|\alpha u\|_H = |\alpha|||u\|_H$ pour tout $\alpha \in K$ et tout $u \in H$.

- Enfin, pour montrer l'inégalité triangulaire, soit $u, v \in H$. On a $\|u+v\|_H = (u+v|u+v) = (u|u) + (v|v) + (u|v) + (v|u)$. Comme, par (6.11) ou (6.12), $|(u|v)| \le \sqrt{(u|u)}\sqrt{(v|v)} = \|u\|_H\|v\|_H$, on en déduit $\|u+v\|_H^2 \le (\|u\|_H + \|v\|_H)^2$.
Donc,

$$ \|u+v\|_H \le \|u\|_H + \|v\|_H. \quad \blacksquare $$

Définition 6.34 (Espace de Hilbert)

1. Un espace préhilbertien (réel ou complexe) est un espace vectoriel (sur $\mathbb{R}$ ou sur $\mathbb{C}$) normé dont la norme est induite par un produit scalaire.

2. Un espace de Hilbert (réel ou complexe) est un espace vectoriel (sur $\mathbb{R}$ ou sur $\mathbb{C}$) normé complet dont la norme est induite par un produit scalaire. C'est donc un espace de Banach dont la norme est induite par un produit scalaire.

Théorème 6.35 (L'espace $L^2$) Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré.

1. L'espace $L^2_{\mathbb{R}}(E, T, m)$, muni de la norme $\|\cdot\|_2$, est un espace de Hilbert (réel) et le produit scalaire associé à la norme est défini par :

$$ (f | g)_2 = \int fg \, dm. $$

2(a) Soit $f$ une application mesurable de $E$ dans $\mathbb{C}$ (donc $|f| \in M_+$). On dit que $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$ si $|f|^2 \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$. Pour $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$, on pose $\|f\|_2 = \sqrt{\|f\|^2_1}$. Alors, $\mathcal{L}_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{C}$ et $f \mapsto \|f\|_2$ est une semi-norme sur $\mathcal{L}_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$.

(b) On appelle $L_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$ l'espace $\mathcal{L}_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$ quotienté par la relation d'équivalence “= p.p.”. Pour $F \in L_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$, on pose $\|F\|_2 = \|f\|_2$ avec $f \in F$ (noter que $\|f\|_2$ ne dépend pas du choix de $f$ dans $F$). Alors $L_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$, muni de $\|\cdot\|_2$, est un espace de Banach (complexe).

(c) L'espace $L_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$, muni de la norme $\|\cdot\|_2$, est un espace de Hilbert (complexe) et le produit scalaire associé à la norme est défini par :

$$ (f | g)_2 = \int f \bar{g} \, dm. $$
**DÉMONSTRATION –** 1. On sait déjà que $L_{\mathbb{R}}^2(E, T, m)$, muni de la norme $\|\cdot\|_2$ est un espace de Banach (réel). Le lemme 6.5 pour $p=q=2$ donne que $fg \in L_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$ si $f,g \in L_{\mathbb{R}}^2(E, T, m)$. On peut donc poser $(f|g)_2 = \int fgdm$. Il est facile de voir que $(\cdot|\cdot)_2$ est un produit scalaire et que la norme induite par ce produit scalaire est bien la norme $\|\cdot\|_2$.

2. Soit $f : E \to \mathbb{C}$ mesurable. On rappelle (section 4.10) que les fonctions $\Re(f)$ et $\Im(f)$ sont mesurables de $E$ dans $\mathbb{R}$ (i.e. appartiennent à $M$). On a donc bien $|f| \in M_+$ et $|f|^2 = (\Re(f))^2 + (\Im(f))^2 \in M_+$.

Comme $|f|^2 = (\Re(f))^2 + (\Im(f))^2 \in M_+$, on remarque aussi que $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$ si et seulement si $\Re(f)$, $\Im(f) \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^2(E, T, m)$. Comme $\mathcal{L}_{\mathbb{R}}^2(E, T, m)$ est un e.v. (sur $\mathbb{R}$), il est alors immédiat de voir que $\mathcal{L}_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$ est un e.v. sur $\mathbb{C}$.

On quotiente maintenant $\mathcal{L}_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$ par la relation “= p.p.”. On obtient ainsi l’espace $L_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$ que l’on munit facilement d’une structure vectorielle sur $\mathbb{C}$. L’espace $L_{\mathbb{R}}^2(E, T, m)$ est donc un e.v. sur $\mathbb{C}$.

En utilisant le lemme 6.5, on montre facilement que $f\bar{g} \in L_{\mathbb{C}}^1(E, T, m)$ si $f,g \in L_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$ (on utilise le fait que les parties réelles et imaginaires de $f$ et $g$ sont dans $L_{\mathbb{R}}^2(E, T, m)$). On peut donc poser $(f|g)_2 = \int f\bar{g}dm$. Il est aussi facile de voir que $(\cdot|\cdot)_2$ est alors un produit scalaire sur $L_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$ et que la norme induite par ce produit scalaire est justement $\|\cdot\|_2$ (car $|f|^2 = f\bar{f}$ et donc $\int f\bar{f}dm = \|f\|_2^2$). On a, en particulier, ainsi montré que $f \mapsto \|f\|_2$ est bien une norme sur $L_{\mathbb{R}}^2(E, T, m)$. On en déduit aussi que $f \mapsto \|f\|_2$ est une semi-norme sur $\mathcal{L}_{\mathbb{R}}^2(E, T, m)$.

On a montré que l’espace $L_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$, muni de la norme $\|\cdot\|_2$, est un espace préhilbertien. il reste à montrer qu’il est complet (pour la norme $\|\cdot\|_2$). Ceci est facile. En effet, $\|f\|_2^2 = \|\Re(f)\|_2^2 + \|\Im(f)\|_2^2$ pour tout $f \in L_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$. Donc, une suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$ est de Cauchy si et seulement si les suites $(\Re(f_n))_{n \in \mathbb{N}}$ et $(\Im(f_n))_{n \in \mathbb{N}}$ sont de Cauchy dans $L_{\mathbb{R}}^2(E, T, m)$ et cette même suite converge dans $L_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$ si et seulement si les suites $(\Re(f_n))_{n \in \mathbb{N}}$ et $(\Im(f_n))_{n \in \mathbb{N}}$ convergent dans $L_{\mathbb{R}}^2(E, T, m)$. Le fait que $L_{\mathbb{C}}^2(E, T, m)$ soit complet découle alors du fait que $L_{\mathbb{R}}^2(E, T, m)$ est complet.

■

Remarquons que dans le cas $p=q=2$, l’inégalité de Hölder est en fait l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

**Proposition 6.36 (Continuité du produit scalaire)**

Soit $H$ un Banach réel ou complexe. Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset H$, $(v_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset H$ et $u, v \in H$ tels que $u_n \to u$ et $v_n \to v$ dans $H$, quand $n \to +\infty$. Alors, $(u_n|v_n) \to (u|v)$ quand $n \to +\infty$.
**DÉMONSTRATION –** Il suffit de remarquer que, grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz (inégalités (6.11) et (6.12)), on a :

$$ \begin{aligned} |(u_n | v_n) - (u | v)| &\le |(u_n | v_n) - (u_n | v)| + |(u_n | v) - (u | v)| \\ &\le \|u_n\|\|v_n - v\| + \|u_n - u\|\|v\|. \end{aligned} $$

On conclut en utilisant le fait que $u_n \to u$, $v_n \to v$ et en remarquant que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée car convergente. ■

**Définition 6.37 (Dual d'un espace de Banach)** Soit H un Banach réel ou complexe. On note $H'$ (ou $\mathcal{L}(H, K)$) l'ensemble des applications linéaires continues de H dans K (avec $K = \mathbb{R}$ pour un Banach réel et $K = \mathbb{C}$ pour un Banach complexe). Si $T \in H'$, on pose

$$ \|T\|_{H'} = \sup_{u \in H \setminus \{0\}} \frac{|T(u)|}{\|u\|_{H}}. $$

On rappelle que $\| \cdot \|_{H'}$ est bien une norme sur $H'$ et que $H'$, muni de cette norme, est aussi un espace de Banach (sur K).

Enfin, si $T \in H'$ et $u \in H$, on a $|T(u)| \le \|T\|_{H'} \|u\|_{H}$.

**Remarque 6.38** Soit H un espace de Hilbert (réel ou complexe). Pour $v \in H$, on pose $\varphi_v(u) = (u | v)$ pour tout $u \in H$. Grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz ((6.11) ou (6.12)), on voit que $\varphi_v \in H'$ et $\|\varphi_v\|_{H'} \le \|v\|_{H}$. Il est facile alors de voir que $\|\varphi_v\|_{H'} = \|v\|_{H}$. Ceci montre que $v \mapsto \varphi_v$ est une application injective de H dans $H'$. le théorème de représentation de Riesz (théorème 6.56), fondamental, montrera que cette application est surjective.

**Proposition 6.39**

*Soit H un espace de Hilbert (réel ou complexe). Alors, pour tout $u, v \in H$ On a*

$$ \|u + v\|_{H}^{2} + \|u - v\|_{H}^{2} = 2\|u\|_{H}^{2} + 2\|v\|_{H}^{2}. \quad (6.13) $$

*Cette identité s'appelle identité du parallélogramme.*

**DÉMONSTRATION –** Il suffit d'écrire $\|u + v\|_{H}^{2} + \|u - v\|_{H}^{2} = (u + v | u + v) + (u - v | u - v)$ et de développer les produits scalaires. ■

**Remarque 6.40**

1. On peut se demander si deux produits scalaires (sur un même espace vectoriel) peuvent induire la même norme. La réponse est non. En effet, le produit scalaire est entièrement déterminé par la norme qu'il induit. Par exemple, dans le cas d'un e.v. réel, si le produit scalaire $(\cdot | \cdot)$ induit la norme $\| \cdot \|$, on a, pour tout $u, v$, $(u | v) = \frac{1}{4}(\|u + v\|^2 - \|u - v\|^2)$.
2. On se donne maintenant un e.v.n. noté H. Comment savoir si la norme est induite ou non par un produit scalaire ? On peut montrer que la norme est induite par un produit scalaire si et seulement si l'identité du parallélogramme (6.13) est vraie pour tout $u, v \in H$. Ceci est surtout utile pour montrer qu'une norme n'est pas induite par un produit scalaire (on cherche $u, v \in H$ ne vérifiant pas (6.13)).

**Définition 6.41 (Orthogonal)** Soit H un espace de Hilbert (réel ou complexe).

1. Soit $u, v \in H$. On dit que $u$ et $v$ sont orthogonaux (et on note $u \perp v$) si $(u | v) = 0$.

2. Soit $A \subset H$. On appelle orthogonal de A l'ensemble $A^{\perp} = \{u \in H; (u | v) = 0 \text{ pour tout } v \in A\}$.

**Proposition 6.42** Soient H un espace de Hilbert (réel ou complexe) et $A \subset H$. Alors :

1. $A^{\perp}$ est un s.e.v. fermé de H,

2. $A^{\perp} = \bar{A}^{\perp}$,

3. $A \subset (A^{\perp})^{\perp}$ (que l'on note aussi $A^{\perp \perp}$).

DÉMONSTRATION – 1. Soit $u_1, u_2 \in A^{\perp}$ et $\alpha_1, \alpha_2 \in K$ ($K = \mathbb{R}$ ou $K = \mathbb{C}$ selon que H est un espace de Hilbert réel ou complexe). Pour tout $v \in A$, on a $(\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 | v) = \alpha_1(u_1 | v) + \alpha_2(u_2 | v) = 0$. Donc, $\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 \in A^{\perp}$, ce qui montre que $A^{\perp}$ est un s.e.v. de H.

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset A^{\perp}$ telle que $u_n \to u$ dans H, quand $n \to +\infty$. L'application $w \mapsto (w | v)$ est continue de H dans K (voir la remarque (6.38)) pour tout $v \in H$. Soit $v \in A$, de $(u_n | v) = 0$ on déduit donc que $(u | v) = 0$. Ce qui montre que $u \in A^{\perp}$ et donc que $A^{\perp}$ est fermé.

2. – Comme $A \subset \bar{A}$, on a $\bar{A}^{\perp} \subset A^{\perp}$.

– Soit maintenant $u \in A^{\perp}$. On veut montrer que $u \in \bar{A}^{\perp}$.

Soit $v \in \bar{A}$, il existe $(v_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset A$ t.q. $v_n \to v$ dans H quand $n \to +\infty$. Comme $(u | v_n) = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, on en déduit, par continuité de $w \mapsto (u | w)$, que $(u | v) = 0$. Donc $u \in \bar{A}^{\perp}$, ce qui donne $A^{\perp} \subset \bar{A}^{\perp}$.

Finalement, on a bien montré $A^{\perp} = \bar{A}^{\perp}$.

3. Soit $v \in A$. On a $(u | v) = 0$ pour tout $u \in A^{\perp}$, donc $(v | u) = 0$ pour tout $u \in A^{\perp}$, ce qui donne $v \in (A^{\perp})^{\perp}$

■

**Remarque 6.43** Dans le dernier item de la proposition précédente, on peut se demander si $A = A^{\perp \perp}$. On montrera, dans la section suivante que ceci est vrai si A est s.e.v. fermé (ce qui est aussi une condition nécessaire).
On termine cette section avec le théorème de Pythagore.

**Théorème 6.44 (Pythagore)** Soient H un espace de Hilbert (réel ou complexe) et $u_1, \dots, u_n \in H$ tels que $(u_i | u_j) = 0 \text{ si } i \neq j$. Alors :

$$ \left\| \sum_{i=1}^{n} u_i \right\|_{H}^{2} = \sum_{i=1}^{n} \|u_i\|_{H}^{2}. \qquad (6.14) $$

**DÉMONSTRATION** – La démonstration de ce résultat est immédiate, par récurrence sur $n$. L'égalité (6.14) est vraie pour $n = 1$ (et tout $u_1 \in H$). Soit $n \in \mathbb{N}$. On suppose que (6.14) est vraie (pour tout $u_1, \dots, u_n \in H$). Soit $u_1, \dots, u_{n+1} \in H$. On pose $y = \sum_{i=1}^{n} u_i$, de sorte que

$$ \begin{aligned} \left\| \sum_{i=1}^{n+1} u_i \right\|_{H}^{2} &= \|y + u_{n+1}\|_{H}^{2} = (y + u_{n+1} | y + u_{n+1}) \\ &= (y | y) + (y | u_{n+1}) + (u_{n+1} | y) + (u_{n+1} | u_{n+1}). \end{aligned} $$

Comme $(y | u_{n+1}) = 0 = (u_{n+1} | y)$, on en déduit, avec l'hypothèse de récurrence, que

$$ \left\| \sum_{i=1}^{n+1} u_i \right\|_{H}^{2} = \sum_{i=1}^{n+1} \|u_i\|_{H}^{2}. $$

■

### 6.2.2 Projection sur un convexe fermé non vide

**Remarque 6.45** Soit E un ensemble muni d'une distance, notée $d$ (E est alors un espace métrique). Soit $A \subset E$. On pose $d(x, A) = \inf_{y \in A} d(x, y)$. Il n'existe pas toujours de $x_0 \in A$ t.q. $d(x, x_0) = d(x, A)$ et, si un tel $x_0$ existe, il peut être non unique. Par exemple, dans le cas où A est compact (pour la topologie induite par $d$), $x_0$ existe mais peut être non unique.

Dans le cas où il existe un et un seul $x_0 \in A$ t.q. $d(x, x_0) = d(x, A)$, $x_0$ est appelé projection de $x$ sur A.

L'objectif de cette section est de montrer l'existence et l'unicité de $x_0$ dans le cas où A est une partie convexe fermée non vide d'un espace de Hilbert (et $d$ la distance induite par la norme de l'espace de Hilbert).

**Définition 6.46 (Partie convexe)** Soit E un e.v. sur K, avec $K = \mathbb{R}$ ou $K = \mathbb{C}$. Soit $C \subset E$. On dit que C est convexe si :

$$ u, v \in C, t \in [0, 1] \Rightarrow tu + (1-t)v \in C. $$
### Théorème 6.47 (Projection sur un convexe fermé non vide)

Soient $H$ un espace de Hilbert (réel ou complexe) et $C \subset H$ une partie convexe fermée non vide. Soit $x \in H$. Alors, il existe un et un seul $x_0 \in C$ t.q. $d(x, x_0) = d(x, C) = \inf_{y \in C} d(x, y)$ (avec $d(x, y) = \|x - y\|_H$). On note $x_0 = P_C(x)$. $P_C$ est donc une application de $H$ dans $H$ (dont l'image est égale à $C$). On écrit souvent $P_C x$ au lieu de $P_C(x)$.

#### DÉMONSTRATION – Existence de $x_0$.

On pose $d = d(x, C) = \inf_{y \in C} d(x, y)$. Comme $C \neq \emptyset$, il existe une suite $(y_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C$ t.q. $d(x, y_n) \to d$ quand $n \to +\infty$. On va montrer que $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de Cauchy en utilisant l'identité du parallélogramme (6.13) (ce qui utilise la structure hilbertienne de $H$) et la convexité de $C$. L'identité du parallélogramme donne

$$ \begin{aligned} \|y_n - y_m\|_H^2 &= \|(y_n - x) - (y_m - x)\|_H^2 \\ &= -\|(y_n - x) + (y_m - x)\|_H^2 + 2\|y_n - x\|_H^2 + 2\|y_m - x\|_H^2, \end{aligned} $$

et donc

$$ \|y_n - y_m\|_H^2 = -4 \frac{y_n + y_m}{2} - x\|_H^2 + 2\|y_n - x\|_H^2 + 2\|y_m - x\|_H^2. \quad (6.15) $$

Comme $C$ est convexe, on a $\frac{y_n+y_m}{2} \in C$ et donc $d \le \|\frac{y_n+y_m}{2} - x\|_H$. On déduit alors de (6.15) :

$$ \|y_n - y_m\|_H^2 \le -4d^2 + 2\|y_n - x\|_H^2 + 2\|y_m - x\|_H^2. \quad (6.16) $$

Comme $d(y_n, x) = \|y_n - x\|_H \to d$ quand $n \to +\infty$, on déduit de (6.16) que la suite $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est de Cauchy.

Comme $H$ est complet, il existe donc $x_0 \in H$ t.q. $y_n \to x_0$ quand $n \to +\infty$. Comme $C$ est fermée, on a $x_0 \in C$. Enfin, comme $\|x - y_n\|_H \to d$ quand $n \to +\infty$, on a, par continuité (dans $H$) de $z \mapsto \|z\|_H$, $d(x, x_0) = \|x - x_0\|_H = d = d(x, C)$, ce qui termine la partie existence.

**Unicité de $x_0$.** Soit $y_1, y_2 \in C$ t.q. $d(x, y_1) = d(x, y_2) = d(x, C) = d$. On utilise encore l'identité du parallélogramme. Elle donne (voir (6.15)) :

$$ \begin{aligned} \|y_1 - y_2\|_H^2 &= -4 \frac{y_1 + y_2}{2} - x\|_H^2 + 2\|y_1 - x\|_H^2 + 2\|y_2 - x\|_H^2 \\ &= -4 \left\| \frac{y_1 + y_2}{2} - x \right\|_H^2 + 4d^2. \end{aligned} $$

Comme $\frac{y_1+y_2}{2} \in C$ On a donc $d \le \|\frac{y_1+y_2}{2} - x\|_H$ et donc $\|y_1 - y_2\|_H^2 \le -4d^2 + 4d^2 = 0$. Donc $y_1 = y_2$. Ce qui termine la partie unicité. ■

**Remarque 6.48** Le théorème précédent est, en général, faux si on remplace “Hilbert” par “Banach”. Un exemple de non existence est donné à l’exercice 6.27 (et il est facile de trouver des exemples de non unicité).
On donne maintenant deux caractérisations importantes de la projection. La première est valable pour tout convexe fermé non vide alors que la deuxième ne concerne que les s.e.v. fermés.

**Proposition 6.49 (Première caractérisation de la projection)** Soient H un espace de Hilbert (réel ou complexe) et C ⊂ H une partie convexe fermée non vide. Soient $x \in H$ et $x_0 \in C$.

1. On suppose que H est un Hilbert réel. Alors :

$$x_0 = P_C x \Leftrightarrow (x - x_0 | x_0 - y) \ge 0, \text{ pour tout } y \in C. \quad (6.17)$$

2. On suppose que H est un Hilbert complexe. Alors :

$$x_0 = P_C x \Leftrightarrow \Re(x - x_0 | x_0 - y) \ge 0, \text{ pour tout } y \in C. \quad (6.18)$$

## DÉMONSTRATION –

### Cas d'un Hilbert réel

* **Sens** (⇒) On veut montrer que $(x - x_0 | x_0 - y) \ge 0$, pour tout $y \in C$. Comme $x_0 = P_C x$, on a $\|x - x_0\|_H^2 \le \|x - z\|_H^2$ pour tout $z \in C$. Soit $y \in C$. On prend $z = ty + (1 - t)x_0$ avec $t \in ]0, 1]$. Comme C est convexe, on a $z \in C$ et donc

$$\begin{aligned} \|x - x_0\|_H^2 &\le \|x - z\|_H^2 = (x - x_0 - t(y - x_0) | x - x_0 - t(y - x_0)) \\ &= \|x - x_0\|_H^2 + t^2 \|y - x_0\|_H^2 - 2t(x - x_0 | y - x_0). \end{aligned}$$

On en déduit

$$2t(x - x_0 | y - x_0) - t^2 \|y - x_0\|_H^2 \le 0.$$

On divise cette inégalité par $t$ (on rappelle que $t > 0$) pour obtenir

$$2(x - x_0 | y - x_0) - t \|y - x_0\|_H^2 \le 0,$$

ce qui donne, en faisant tendre $t$ vers 0 :

$$(x - x_0 | x_0 - y) \ge 0.$$

* **Sens** (⇔) On veut montrer que $x_0 = P_C x$, c'est-à-dire $\|x - x_0\|_H^2 \le \|x - y\|_H^2$ pour tout $y \in C$.

Soit $y \in C$, on a $\|x - y\|_H^2 = \|x - x_0 + x_0 - y\|_H^2 = \|x - x_0\|_H^2 + \|x_0 - y\|_H^2 + 2(x - x_0 | x_0 - y) \ge \|x - x_0\|_H^2 \text{ car } \|x_0 - y\|_H^2 \ge 0 \text{ et } 2(x - x_0 | x_0 - y) \ge 0$.

### Cas d'un Hilbert complexe

La démonstration est très voisine.

* **Sens** (⇒) On veut montrer que $\Re(x - x_0 | x_0 - y) \ge 0$, pour tout $y \in C$.
En reprenant les mêmes notations que dans le cas Hilbert réel et en suivant la même démarche, on obtient :

$$ \begin{aligned} \|x - x_0\|_{\mathrm{H}}^2 &\le \|x - z\|_{\mathrm{H}}^2 = (x - x_0 - t(y - x_0) \mid x - x_0 - t(y - x_0)) \\ &= \|x - x_0\|_{\mathrm{H}}^2 + t^2 \|y - x_0\|_{\mathrm{H}}^2 - 2t \Re c(x - x_0 \mid y - x_0). \end{aligned} $$

On en déduit

$$ 2t \Re c(x - x_0 \mid y - x_0) - t^2 \|y - x_0\|_{\mathrm{H}}^2 \le 0. $$

On divise cette inégalité par $t$ (on rappelle que $t > 0$) pour obtenir

$$ 2 \Re c(x - x_0 \mid y - x_0) - t \|y - x_0\|_{\mathrm{H}}^2 \le 0, $$

ce qui donne, en faisant tendre $t$ vers 0 :

$$ \Re c(x - x_0 \mid x_0 - y) \ge 0. $$

### • Sens (=$=$)

On veut montrer que $x_0 = P_C x$, c'est-à-dire $\|x - x_0\|_{\mathrm{H}}^2 \le \|x - y\|_{\mathrm{H}}^2$ pour tout $y \in C$.

Soit $y \in C$, on a $\|x-y\|_{\mathrm{H}}^2 = \|x-x_0+x_0-y\|_{\mathrm{H}}^2 = \|x-x_0\|_{\mathrm{H}}^2+\|x_0-y\|_{\mathrm{H}}^2+2\Re c(x-x_0 \mid x_0-y) \ge \|x-x_0\|_{\mathrm{H}}^2 \quad \text{car} \quad \|x_0-y\|_{\mathrm{H}}^2 \ge 0 \text{ et } 2\Re c(x-x_0 \mid x_0-y) \ge 0$.

■

**Remarque 6.50** On prend comme espace de Hilbert réel $H = L_{\mathbb{R}}^2(E, T, m)$ (avec $E \ne \emptyset$) et on prend $C = \{f \in H : f \ge 0 \text{ p.p.}\}$. On peut montrer que $C$ est une partie convexe fermée non vide et que $P_C f = f^+$ pour tout $f \in H$. Ceci est fait dans l'exercice 6.26.

Un s.e.v. fermé est, en particulier, un convexe fermé non vide. On peut donc définir la projection sur un s.e.v. fermé. On donne maintenant une caractérisation de la projection dans ce cas particulier.

**Proposition 6.51 (Deuxième caractérisation de la projection)** Soient $H$ un espace de Hilbert (réel ou complexe) et $F$ un s.e.v. fermé de $H$. Soient $x \in H$ et $x_0 \in F$. Alors :

$$ x_0 = P_F x \Leftrightarrow (x - x_0) \in F^{\perp}. \qquad (6.19) $$

### DÉMONSTRATION – Cas d'un Hilbert réel

#### – Sens ($=$)

On veut montrer que $x_0 = P_F x$. On utilise la première caractérisation. Soit $y \in F$. Comme $(x - x_0) \in F^{\perp}$, on a $(x - x_0 \mid x_0 - y) = 0 \ge 0$ (car $x_0 - y \in F$). Donc, la proposition 6.49 donne $x_0 = P_F x$.

#### – Sens ($\Rightarrow$)

On veut montrer que $(x-x_0) \in F^{\perp}$. La première caractérisation (proposition 6.49) donne $(x-x_0 \mid x_0-y) \ge 0$ pour tout $y \in F$. Soit $z \in F$. On choisit $y = x_0 + z \in F$ (car $F$ est un s.e.v.) pour obtenir $(x-x_0 \mid z) \le 0$ et $y = x_0 - z \in F$ pour obtenir $(x-x_0 \mid z) \ge 0$. On en déduit $(x-x_0 \mid z) = 0$, ce qui donne que $(x-x_0) \in F^{\perp}$.
Cas d'un Hilbert complexe

La démonstration est très voisine.

- Sens (iff)

On veut montrer que $x_0 = P_F x$. Soit $y \in F$. Comme $(x-x_0) \in F^{\perp}$, on a $(x-x_0 | x_0-y) = 0$ (car $x_0-y \in F$). On a donc $\Re(x-x_0 | x_0-y) = 0$. Donc, la proposition 6.49 donne $x_0 = P_F x$.

- Sens (⇒)

On veut montrer que $(x - x_0) \in F^{\perp}$. La première caractérisation (proposition 6.49) donne $\Re(x - x_0 | x_0 - y) \ge 0$ pour tout $y \in F$. Soit $z \in F$. On choisit $y = x_0 - \alpha z \in F$ (car $F$ est un s.e.v.) avec $\alpha = (x - x_0 | z)$ pour obtenir $\Re(x - x_0 | \alpha z) \le 0$. Mais $(x - x_0 | \alpha z) = \bar{\alpha}(x - x_0 | z) = |(x - x_0 | z)|^2$. Donc, $0 \ge \Re(x - x_0 | \alpha z) = |(x - x_0 | z)|^2$. On en déduit $(x - x_0 | z) = 0$, ce qui donne que $(x - x_0) \in F^{\perp}$.

■

Définition 6.52 (Projection orthogonale et projecteurs algébriques)

1. Soient H un espace de Hilbert (réel ou complexe) et F ⊂ H un s.e.v. fermé de H. L'opérateur P_F s'appelle projecteur orthogonal sur F. Si u ∈ H, P_Fu s'appelle la projection orthogonale de u sur F.

2. (Rappel algébrique) Soit E un e.v. sur K (K = $\mathbb{R}$ ou K = $\mathbb{C}$). Soient F, G deux s.e.v. de E t.q. E = F ⊕ G. Pour x ∈ E, il existe donc un et un seul couple (y, z) ∈ F × G t.q. x = y + z. On pose y = Px et donc z = (I − P)x (où I est l'application identité). P et I − P sont les projecteurs associés à la décomposition E = F ⊕ G. Ce sont des applications linéaires de E dans E. L'image de P est égale à F et l'image de I − P est égale à G.

Dans le prochain théorème, on va comparer la projection orthogonale et des projec-
teurs algébriques particuliers.

**Théorème 6.53 (Projecteur orthogonal et projecteur algébrique)** *Soient H un espace de Hilbert (réel ou complexe) et F un s.e.v. fermé de H. Alors :*

1. H = F ⊕ F⊥,

2. P<sub>F</sub> (projecteur orthogonal sur F) est égal au projecteur algébrique sur F associé à la décomposition H = F ⊕ F⊥.

3. F = F⊥⊥.
DÉMONSTRATION – On rappelle que l'on a déjà vu que $F^\perp$ est un s.e.v. fermé.

1. Soit $u \in H$. On a $u = (u - P_F u) + P_F u$. La 2ème caractérisation (proposition 6.51) donne $(u - P_F u) \in F^\perp$. Comme $P_F u \in F$, on en déduit que $H = F + F^\perp$.

Soit maintenant $u \in F \cap F^\perp$. On doit donc avoir $(u | u) = 0$, ce qui donne $u = 0$ et donc $F \cap F^\perp = \{0\}$.

On a donc $H = F \oplus F^\perp$.

2. Soit $u \in H$. Comme $u = P_F u + (u - P_F u)$, avec $P_F u \in F$ et $(u - P_F u) \in F^\perp$, on voit que $P_F$ est égal au projecteur algébrique sur F associé à la décomposition $H = F \oplus F^\perp$. (Noter aussi que $(I - P_F)$ est égal au projecteur algébrique sur $F^\perp$ associé à la décomposition $H = F \oplus F^\perp$.)

3. Il reste à montrer que $F = F^{\perp\perp}$.

– On a déjà vu que $F \subset F^{\perp\perp}$.

– Soit $u \in F^{\perp\perp}$. On a $u = (u - P_F u) + P_F u$. La 2ème caractérisation (proposition 6.51) donne $(u - P_F u) \in F^\perp$ et on a aussi $(u - P_F u) \in F^{\perp\perp}$ car $u \in F^{\perp\perp}$ et $P_F u \in F \subset F^{\perp\perp}$. On a donc $(u - P_F u) \in F^\perp \cap F^{\perp\perp} = \{0\}$. Donc $u = P_F u \in F$. On a donc montré que $F^{\perp\perp} \subset F$.

Finalement, on a bien montré que $F = F^{\perp\perp}$.

■

Le théorème 6.53 a un corollaire très utile :

**Corollaire 6.54** Soient $H$ un espace de Hilbert (réel ou complexe) et $F$ un s.e.v. de $H$.

Alors :

$$ \bar{F} = H \Leftrightarrow F^{\perp} = \{0\}. $$

DÉMONSTRATION – $\bar{F}$ est un s.e.v. fermé de $H$. Le théorème 6.53 donne donc $H = \bar{F} \oplus (\bar{F})^\perp$. On a déjà vu que $(\bar{F})^\perp = F^\perp$, on a donc

$$ H = \bar{F} \oplus F^\perp, $$

d'où l'on déduit

$$ \bar{F} = H \Leftrightarrow F^{\perp} = \{0\}. $$

■

### 6.2.3 Théorème de Représentation de Riesz

**Remarque 6.55** On rappelle ici la définition 6.37 et la remarque 6.38. Soit $H$ un Banach réel ou complexe. On note $H'$ (ou $\mathcal{L}(H, K)$) l'ensemble des applications linéaires continues de $H$ dans $K$ (avec $K = \mathbb{R}$ pour un Banach réel et $K = \mathbb{C}$ pour un Banach complexe). On rappelle que $H^*$ est l'ensemble des applications linéaires de $H$ dans $K$. On a donc $H' \subset H^*$. Si $H$ est de dimension finie, on a $H' = H^*$, mais si $H$ est de dimension infinie, on peut montrer que $H' \neq H^*$.
1. Si $T \in H^*$, on rappelle que $T$ est continue si seulement s'il existe $k \in \mathbb{R}$ t.q. $|T(u)| \le k\|u\|_H$, pour tout $u \in H$.

2. Si $T \in H'$, on pose $\|T\|_{H'} = \sup_{u \in H \setminus \{0\}} \frac{|T(u)|}{\|u\|_H}$. On rappelle que $\| \cdot \|_{H'}$ est bien une norme sur $H'$ et que $H'$, muni de cette norme, est aussi un espace de Banach (sur K). Noter que $H'$, muni de cette norme, est un espace de Banach même si $H$ est un e.v.n. non complet. Noter aussi que, si $T \in H'$ et $u \in H$, on a $|T(u)| \le \|T\|_{H'} \|u\|_H$.

3. On suppose maintenant que $H$ un espace de Hilbert (réel ou complexe). Pour $v \in H$, on pose $\varphi_v(u) = (u | v)$ pour tout $u \in H$. Grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz ((6.11) ou (6.12)), on a $|\varphi_v(u)| \le \|u\|_H \|v\|_H$. On a donc $\varphi_v \in H'$ et $\|\varphi_v\|_{H'} \le \|v\|_H$. En remarquant que $\varphi_v(v) = \|v\|_{H'}^2$, on montre alors que $\|\varphi_v\|_{H'} = \|v\|_H$.

On considère maintenant l'application $\varphi : H \to H'$ définie par $\varphi(v) = \varphi_v$ pour tout $v \in H$.

- Si $K = \mathbb{R}$, $\varphi$ est une application linéaire de $H$ dans $H'$ car, pour tout $v, w \in H$ tout $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ et pour tout $u \in H$,

$$ \varphi_{\alpha v + \beta w}(u) = (u | \alpha v + \beta w) = \alpha(u | v) + \beta(u | w) = \alpha \varphi_v(u) + \beta \varphi_w(u), $$

ce qui donne $\varphi_{\alpha v + \beta w} = \alpha \varphi_v + \beta \varphi_w$. L'application $\varphi$ est donc une isométrie (linéaire) de $H$ sur $\text{Im}(\varphi) \subset H'$. (En particulier $\varphi$ est donc injective.)

- Si $K = \mathbb{C}$, $\varphi$ est une application anti-linéaire de $H$ dans $H'$ car, pour tout $v, w \in H$ tout $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ et pour tout $u \in H$

$$ \varphi_{\alpha v + \beta w}(u) = (u | \alpha v + \beta w) = \bar{\alpha}(u | v) + \bar{\beta}(u | w) = \bar{\alpha} \varphi_v(u) + \bar{\beta} \varphi_w(u), $$

ce qui donne $\varphi_{\alpha v + \beta w} = \bar{\alpha} \varphi_v + \bar{\beta} \varphi_w$. L'application $\varphi$ est donc une isométrie (anti-linéaire) de $H$ sur $\text{Im}(\varphi) \subset H'$. (En particulier $\varphi$ est donc, ici aussi, injective.)

L'objectif du théorème de représentation de Riesz (théorème 6.56) est de montrer que l'application $\varphi$ est surjective, c'est-à-dire que $\text{Im}(\varphi) = H'$.

**Théorème 6.56 (Représentation de Riesz)** Soit $H$ un espace de Hilbert (réel ou complexe). Soit $T \in H'$. Alors, il existe un et un seul élément $v \in H$ tel que

$$ T(u) = (u | v), \text{ pour tout } u \in H. \qquad (6.20) $$

L'application $\varphi$ définie dans la remarque 6.55 est donc surjective (le résultat ci-dessus donne $T = \varphi_v$).
### DÉMONSTRATION –

**Existence de v** On pose $F = \text{Ker}(T)$. Comme $T$ est linéaire et continue, $F$ est un s.e.v. fermé de $H$. Le théorème 6.53 donne donc $H = F \oplus F^{\perp}$. On distingue deux cas :

* **Cas 1.** On suppose ici que $T = 0$. On a alors $F = E$ et il suffit de prendre $v = 0$ pour avoir (6.20).

* **Cas 2.** On suppose maintenant que $T \neq 0$. On a donc $F \neq H$ et donc $F^{\perp} \neq \{0\}$ (car $H = F \oplus F^{\perp}$). Il existe donc $v_0 \in F^{\perp}$, $v_0 \neq 0$. Comme $v_0 \notin F$, on a $T(v_0) \neq 0$.

Pour $u \in H$, on a alors

$$ u = u - \frac{T(u)}{T(v_0)}v_0 + \frac{T(u)}{T(v_0)}v_0. \qquad (6.21) $$

On remarque que $u - \frac{T(u)}{T(v_0)}v_0 \in F^{\text{car}}$

$$ T(u - \frac{T(u)}{T(v_0)}v_0) = T(u) - \frac{T(u)}{T(v_0)}T(v_0) = 0. $$

Donc, comme $v_0 \in F^{\perp}$, on a $(u - \frac{T(u)}{T(v_0)}v_0 | v_0) = 0$ et (6.21) donne

$$ (u | v_0) = \left( \frac{T(u)}{T(v_0)} v_0 | v_0 \right) = \frac{T(u)}{T(v_0)} (v_0 | v_0), $$

d'où l'on déduit

$$ T(u) = \frac{T(v_0)}{(v_0 | v_0)}(u | v_0). $$

On pose $v = \frac{T(v_0)}{(v_0|v_0)}v_0$ si $K = \mathbb{R}$ et $v = \frac{T(v_0)}{(v_0|v_0)}v_0$ si $K = \mathbb{C}$. On a bien

$$ T(u) = (u | v), \text{ pour tout } u \in H, $$

c'est-à-dire $T = \varphi_v$ (avec les notations de la remarque 6.55).

Dans les deux cas on a bien trouvé $v \in H$ vérifiant (6.20).

**Unicité de v** Soient $v_1, v_2 \in H$ t.q. $T = \varphi_{v_1} = \varphi_{v_2}$ (avec les notations de la remarque 6.55). Comme $\varphi$ est linéaire (si $K = \mathbb{R}$) ou anti-linéaire (si $K = \mathbb{C}$), on en déduit $\varphi_{v_1 - v_2} = \varphi_{v_1} - \varphi_{v_2} = 0$. Comme $\varphi$ est une isométrie, on a donc $v_1 = v_2$, ce qui donne la partie unicité du théorème. ■

**Remarque 6.57 (Densité du noyau d'une forme linéaire non continue)** Soit $H$ un espace de Hilbert (réel ou complexe). Soit $T \in H^* \setminus H'$. $T$ est donc une application linéaire de $H$ dans $K(= \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C})$, non continue. On pose $F = \text{Ker}(T)$. La démonstration du théorème 6.56 permet alors de montrer que $F^{\perp} = \{0\}$ et donc $\bar{F} = H$ (dans un Hilbert $H$, le noyau d'une forme linéaire non continue est donc toujours dense dans $H$). En effet, on raisonne par l'absurde :

si $F^{\perp} \neq \{0\}$, il existe $v_0 \in F^{\perp}$, $v_0 \neq 0$. Le raisonnement fait pour démontrer le théorème 6.56 donne alors $T(u) = (u | v)$ pour tout $u \in H$, avec $v = \frac{T(v_0)}{(v_0|v_0)}v_0$ si $K = \mathbb{R}$ et $v = \frac{T(v_0)}{(v_0|v_0)}v_0$ si $K = \mathbb{C}$. On en déduit que $T$ est continu, contrairement à l'hypothèse de départ.
On a donc $F^{\perp} = \{0\}$ et donc $\bar{F}^{\perp} = F^{\perp} = \{0\}$. On en déduit, comme $H = \bar{F} \oplus \bar{F}^{\perp}$ (par le théorème 6.53, car $\bar{F}$ est toujours un s.e.v. fermé), que $H = \bar{F}$.

**Remarque 6.58 (Structure hilbertienne de H')** Soit H un espace de Hilbert (réel ou complexe). On sait déjà que $H'$ (avec la norme habituelle, voir la remarque 6.55) est un espace de Banach. Le théorème 6.56 permet aussi de montrer que $H'$ est un espace de Hilbert. En effet, en prenant les notations de la remarque 6.55, l'application $\varphi$ est un isométrie bijective, linéaire ou anti-linéaire de H dans $H'$. Cela suffit pour montrer que l'identité du parallélogramme (identité (6.13)) est vraie sur $H'$ et donc que $H'$ est une espace de Hilbert (voir la remarque 6.40). Mais on peut même construire le produit scalaire sur $H'$ (induisant la norme usuelle de $H'$) :

Soient $T_1, T_2 \in H'$. Par le théorème 6.56, il existe $v_1$ et $v_2 \in H$ tels que $T_1 = \varphi_{v_1}$ et $T_2 = \varphi_{v_2}$. On pose $(T_1 | T_2)_{H'} = (v_2 | v_1)_{H}$ (où $(\cdot | \cdot)_{H'}$ désigne ici le produit scalaire dans H). Il est facile de voir que $(\cdot | \cdot)_{H'}$ est un produit scalaire sur $H'$. Il induit bien la norme usuelle de $H'$ car $(T_1 | T_1)_{H'} = (v_1 | v_1)_{H} = \|v_1\|_{H}^2 = \|\varphi_{v_1}\|_{H'}^2 = \|T_1\|_{H'}^2$, car $\varphi$ est une isométrie.

### 6.2.4 Bases hilbertiennes

Soient E un e.v. sur K, $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $B = \{e_i, i \in I\} \subset E$ une famille d'éléments de E (l'ensemble I est quelconque, il peut être fini, dénombrable ou non dénombrable). On rappelle que $B = \{e_i, i \in I\} \subset E$ est une base (algébrique) de E si B vérifie les deux propriétés suivantes :

1. B est libre, c'est-à-dire :

$$ \left. \begin{array}{l} \sum_{i \in J} \alpha_i e_i = 0, \text{ avec} \\ J \subset I, \text{card}(J) < +\infty, \\ \alpha_i \in K \text{ pour tout } i \in J \end{array} \right\} \Rightarrow \alpha_i = 0 \text{ pour tout } i \in J, $$

2. B est génératrice, c'est-à-dire que pour tout $u \in E$, il existe $J \subset I$, $\text{card}(J) < +\infty$, et il existe $(\alpha_i)_{i \in J} \subset K$ t.q. $u = \sum_{i \in J} \alpha_i e_i$.

En notant $\text{vect}\{e_i, i \in I\}$ l'espace vectoriel engendré par la famille $\{e_i, i \in I\}$, le fait que B soit génératrice s'écrit donc : $E = \text{vect}\{e_i, i \in I\}$.

On rappelle aussi que tout espace vectoriel admet des bases (algébriques). Cette propriété se démontre à partir de l'axiome du choix.

Dans le cas d'un espace de Hilbert, on va définir maintenant une nouvelle notion de base : la notion de base hilbertienne.
**Définition 6.59 (Base hilbertienne)** Soient $H$ un espace de Hilbert sur $K$, $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $B = \{e_i, i \in I\} \subset H$ une famille d'éléments de $H$ (l'ensemble $I$ est quelconque). La famille $B$ est une base hilbertienne de $H$ si elle vérifie les deux propriétés suivantes :

$$1. (e_i | e_j) = \delta_{i,j} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j, \\ 0 & \text{si } i \neq j, \end{cases} \text{ pour tout } i, j \in I.$$

$$2. \mathrm{vect}\{e_i, i \in I\} = H. \text{ On rappelle que } \mathrm{vect}\{e_i, i \in I\} = \{\sum_{i \in J} \alpha_i e_i, J \subset I, \mathrm{card}(J) < +\infty, (\alpha_i)_{i \in J} \subset K\}.$$

**Remarque 6.60** Soit $H$ un espace de Hilbert sur $K$, $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

1. Si $H$ est de dimension finie, il existe des bases hilbertiennes (qui sont alors aussi des bases algébriques). Le cardinal d'une base hilbertienne est alors égal à la dimension de $H$ puisque, par définition, la dimension de $H$ est égal au cardinal d'une base algébrique (ce cardinal ne dépendant pas de la base choisie). La démonstration de l'existence de bases hilbertiennes suit celle de la proposition 6.62 (la récurrence dans la construction de la famille des $e_n$ s'arrête pour $n = \dim(H) - 1$, voir la preuve de la proposition 6.62).

2. Si $H$ est de dimension infinie et que $H$ est séparable (voir la définition 6.61), il existe des bases hilbertiennes dénombrables (voir la proposition 6.62).

3. Si $H$ est de dimension infinie et que $H$ est non séparable, il existe toujours des bases hilbertiennes (ceci se démontre avec l'axiome du choix), mais elles ne sont plus dénombrables.

**Définition 6.61 (Espace séparable)** *Soit $E$ un e.v.n. sur $K$, $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.* On dit que $E$ est séparable s'il existe $A \subset E$ t.q. $\bar{A} = E$ et $A$ au plus dénombrable.*

**Proposition 6.62 (Existence d'une base hilbertienne)** *Soit $H$ un espace de Hilbert sur $K$, $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, de dimension infinie. On suppose que $H$ est séparable. Alors, il existe une base hilbertienne $B = \{e_i, i \in \mathbb{N}\} \subset H$ de $H$.*

**DÉMONSTRATION** – Comme $H$ est séparable, il existe une famille $\{f_n, n \in \mathbb{N}\} \subset H$ dense dans $H$, c'est-à-dire t.q. $\{f_n, n \in \mathbb{N}\} = H$.

On va construire, par une récurrence sur $n$, une famille $\{e_n, n \in \mathbb{N}\}$ t.q. :

1. $(e_n | e_m) = \delta_{n,m}$ pour tout $n, m \in \mathbb{N}$,

2. $\{f_0, \dots, f_n\} \subset \mathrm{vect}\{e_0, \dots, e_n\}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
On aura alors trouvé une base hilbertienne car on aura $f_i \in \text{vect}\{e_n, n \in \mathbb{N}\}$, pour tout $i \in \mathbb{N}$, et donc $H = \overline{\{f_n, n \in \mathbb{N}\}} \subset \overline{\{e_n, n \in \mathbb{N}\}} \subset H$, d'où $H = \overline{\{e_n, n \in \mathbb{N}\}}$. Avec la propriété $(e_n | e_m) = \delta_{n,m}$ pour tout $n, m \in \mathbb{N}$, ceci donne bien que $\{e_n, n \in \mathbb{N}\}$ est une base hilbertienne de H.

On construit maintenant la famille $\{e_n, n \in \mathbb{N}\}$.

**Construction de $e_0$**

Soit $\varphi(0) = \min\{i \in \mathbb{N}; f_i \neq 0\}$ (les $f_i$ ne sont pas tous nuls car $H \neq \{0\}$). On prend
$$e_0 = \frac{f_{\varphi(0)}}{\|f_{\varphi(0)}\|}, \text{ de sorte que } (e_0 | e_0) = 1 \text{ et } f_0 \in \text{vect}\{e_0\} \text{ (car } f_0 = \|f_0\|e_0, \text{ même si } \\ \varphi(0) \neq 0).$$

**Construction de $e_{n+1}$**

Soit $n \in \mathbb{N}$. On suppose construits $e_0, \dots, e_n$ t.q.

- $(e_p | e_m) = \delta_{p,m}$ pour tout $p, m \in \{0, \dots, n\}$,

- $\{f_0, \dots, f_p\} \subset \text{vect}\{e_0, \dots, e_p\}$ pour tout $p \in \{0, \dots, n\}$.

(Ce qui est vérifié pour $n = 0$ grâce à la construction de $e_0$.)

On construit maintenant $e_{n+1}$ t.q. les deux assertions précédentes soient encore vraies avec $n+1$ au lieu de $n$.

Un sous espace vectoriel de dimension finie est toujours fermé, donc $\overline{\text{vect}\{e_0, \dots, e_n\}} = \overline{\text{vect}\{e_0, \dots, e_n\}}$. Si $f_i \in \text{vect}\{e_0, \dots, e_n\}$ pour tout $i \in \mathbb{N}$, on a alors $\{f_i, i \in \mathbb{N}\} \subset \text{vect}\{e_0, \dots, e_n\}$ et donc $H = \overline{\text{vect}\{f_i, i \in \mathbb{N}\}} \subset \overline{\text{vect}\{e_0, \dots, e_n\}} = \text{vect}\{e_0, \dots, e_n\}$. Ce qui prouve que $H$ est de dimension finie (et $\dim(H) = n+1$). Comme $H$ est de dimension infinie, il existe donc $i \in \mathbb{N}$ t.q. $f_i \notin \text{vect}\{e_0, \dots, e_n\}$ (dans le cas où $H$ est dimension finie, la construction de la famille des $e_n$ s'arrête pour $n = \dim(H) - 1$ et on obtient une base hilbertienne avec $\{e_0, \dots, e_n\}$). On pose alors $\varphi(n+1) = \min\{i \in \mathbb{N}; f_i \notin \text{vect}\{e_0, \dots, e_n\}\}$. On a donc, en particulier, $\varphi(n+1) \ge n+1$. En prenant $\tilde{e}_{n+1} = f_{\varphi(n+1)} - \sum_{i=0}^n \alpha_i e_i$ avec $\alpha_i = (f_{\varphi(n+1)} | e_i)$ pour tout $i \in \{0, \dots, n\}$, on remarque que $\tilde{e}_{n+1} \ne 0$ (car $f_{\varphi(n+1)} \notin \text{vect}\{e_0, \dots, e_n\}$) et que $(\tilde{e}_{n+1} | e_i) = 0$ pour tout $i \in \{0, \dots, n\}$. Il suffit alors de prendre $e_{n+1} = \frac{\tilde{e}_{n+1}}{\|\tilde{e}_{n+1}\|}$ pour avoir $(e_p | e_m) = \delta_{p,m}$ pour tout $p, m \in \{0, \dots, n+1\}$. Enfin, il est clair que $f_{n+1} \in \text{vect}\{e_0, \dots, e_{n+1}\}$ car on a $f_{n+1} = \|\tilde{e}_{n+1}\|e_{n+1} + \sum_{i=0}^n \alpha_i e_i \in \text{vect}\{e_0, \dots, e_{n+1}\}$ si $\varphi(n+1) = n+1$ et $f_{n+1} \in \text{vect}\{e_0, \dots, e_n\}$ si $\varphi(n+1) > n+1$.

On a donc bien trouvé $e_{n+1}$ t.q.

- $(e_p | e_m) = \delta_{p,m}$ pour tout $p, m \in \{0, \dots, n+1\}$,

- $\{f_0, \dots, f_p\} \subset \text{vect}\{e_0, \dots, e_p\}$ pour tout $p \in \{0, \dots, n+1\}$.

Ce qui conclut la construction de la famille $\{e_n, n \in \mathbb{N}\}$ vérifiant les deux assertions demandées. Comme cela a déjà été dit, la famille $\{e_n, n \in \mathbb{N}\}$ est alors une base hilbertienne de H. ■

La proposition 6.62 montre donc que tout espace de Hilbert séparable, et de dimension infinie, admet une base hilbertienne dénombrable. On peut aussi démontrer la réciproque de ce résultat, c'est-à-dire que tout espace de Hilbert admettant une base
hilbertienne dénombrable est séparable et de dimension infinie (cf. exercice 6.25). La proposition suivante s'adresse donc uniquement aux espaces de Hilbert séparables.

**Proposition 6.63** Soient $H$ un espace de Hilbert sur $K$, $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. et $\{e_n, n \in \mathbb{N}\}$ une base hilbertienne de $H$ (l'espace $H$ est donc séparable et de dimension infinie (cf. exercice 6.25) et, dans ce cas, une telle base existe d'après la proposition 6.62). Alors :

1. (Identité de Bessel) $\|u\|^2 = \sum_{n \in \mathbb{N}} |(u | e_n)|^2$, pour tout $u \in H$,

2. $u = \sum_{n \in \mathbb{N}} (u | e_n)e_n$, pour tout $u \in H$, c'est-à-dire $\sum_{i=0}^n (u | e_i)e_i \to u$ dans $H$, quand $n \to +\infty$,

3. soient $u \in H$ et $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset K$ t.q. $u = \sum_{n \in \mathbb{N}} \alpha_n e_n$ (c'est-à-dire $\sum_{i=0}^n \alpha_i e_i \to u$ dans $H$ quand $n \to +\infty$), alors $\alpha_i = (u | e_i)$ pour tout $i \in \mathbb{N}$,

4. (identité de Parseval) $(u | v) = \sum_{n \in \mathbb{N}} (u | e_n)(v | e_n)$, pour tout $u, v \in H$.

**DÉMONSTRATION –** Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $F_n = \text{vect}\{e_0, \dots, e_n\}$. $F_n$ est donc un s.e.v. fermé de $H$ (on a $\dim(F_n) = n + 1$ et on rappelle qu’un espace de dimension finie est toujours complet, $F_n$ est donc fermé dans $H$).

On remarque que $F_n \subset F_{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, que $\cup_{n \in \mathbb{N}} F_n = \text{vect}\{e_i, i \in \mathbb{N}\}$ et donc que $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} F_n = H$ (car $\{e_i, i \in \mathbb{N}\}$ est une base hilbertienne de $H$).

Soit $u \in H$. La suite $(d(u, F_n))_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante (car $F_n \subset F_{n+1}$), on a donc $d(u, F_n) \downarrow l$ quand $n \to +\infty$, avec $l \ge 0$. On va montrer que $l = 0$. En effet, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $v \in \cup_{n \in \mathbb{N}} F_n$ tel que $d(v, u) \le \varepsilon$ (car $\cup_{n \in \mathbb{N}} F_n = H$); il existe donc $n \in \mathbb{N}$ tel que $v \in F_n$. On a alors $d(u, F_n) \le \varepsilon$, ce qui prouve que $l \le \varepsilon$. Comme $\varepsilon > 0$ est arbitraire, on a bien montré que $l = 0$.

On utilise maintenant le théorème d'existence et d'unicité de la projection sur un convexe fermé non vide (théorème 6.47). Il donne l'existence (et l'unicité) de $u_n = P_{F_n} u \in F_n$ t.q. $d(u_n, u) = d(u, F_n)$, pour tout $n \in \mathbb{N}$. On a alors $u = (u - u_n) + u_n$ et la deuxième caractérisation de la projection (proposition 6.51) donne que $(u - u_n) \in F_n^\perp$. Le théorème de Pythagore (théorème 6.44) donne enfin que $\|u\|^2 = \|u_n\|^2 + \|u - u_n\|^2$. Comme $\|u - u_n\| = d(u, u_n) = d(u, F_n) \downarrow 0$ quand $n \to +\infty$, on en déduit que

$$ \|u_n\|^2 \to \|u\|^2, \text{ quand } n \to +\infty. \quad (6.22) $$

Soit $n \in \mathbb{N}$. Comme $u_n \in F_n = \text{vect}\{e_0, \dots, e_n\}$, on a $u_n = \sum_{i=0}^n \alpha_i e_i$ avec $\alpha_i = (u_n | e_i)$ pour tout $i \in \{0, \dots, n\}$ (car $(e_i | e_j) = \delta_{i,j}$ pour tout $i, j$). Puis, comme $(u - u_n) \in F_n^\perp$, on a $(u - u_n | e_i) = 0$ pour tout $i \in \{0, \dots, n\}$, d'où l'on déduit que $\alpha_i = (u | e_i)$ pour tout $i \in \{0, \dots, n\}$. On a donc montré que $u_n = \sum_{i=0}^n (u | e_i)e_i$, ce qui, avec le théorème de Pythagore, donne $\|u_n\|^2 = \sum_{i=0}^n |(u | e_i)|^2$. On obtient donc, avec (6.22) le premier item de la proposition, c'est-à-dire l'identité de Bessel.

On montre maintenant le deuxième item de la proposition. En reprenant les notations précédentes, on a, pour $u \in H$, $u = (u - u_n) + u_n$ et $(u - u_n) \to 0$ dans $H$ quand $n \to +\infty$ (car $\|u - u_n\| = d(u, F_n)$). On a donc $u_n \to u$ dans $H$ quand $n \to +\infty$. Ceci donne bien le deuxième item de la proposition car on a vu que $u_n = \sum_{i=0}^n (u | e_i)e_i$.
Pour montrer le troisième item de la proposition, on suppose que $(\alpha_i)_{i \in \mathbb{N}} \subset K$ est t.q. $\sum_{i=0}^n \alpha_i e_i \to u$ dans H quand $n \to +\infty$. Soit $j \in \mathbb{N}$. On remarque que $(\sum_{i=0}^n \alpha_i e_i | e_j) = \sum_{i=0}^n \alpha_i (e_i | e_j) = \alpha_j$ pour $n \ge j$. En utilisant la continuité du produit scalaire par rapport à son premier argument (ce qui est une conséquence simple de l'inégalité de Cauchy-Schwarz), on en déduit ( faisant $n \to +\infty$) que $(u | e_j) = \alpha_j$, ce qui prouve bien le troisième item de la proposition.

Enfin, pour montrer l'identité de Parseval, on utilise la continuité du produit scalaire par rapport à ses deux arguments (ce qui est aussi une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz), c'est-à-dire le fait que

$$ \left. \begin{array}{l} u_n \to u \text{ dans } H, \text{ quand } n \to +\infty, \\ v_n \to v \text{ dans } H, \text{ quand } n \to +\infty, \end{array} \right\} \Rightarrow (u_n | v_n) \to (u | v) \text{ quand } n \to +\infty. \qquad (6.23) $$

Pour $u, v \in H$, on utilise (6.23) avec $u_n = \sum_{i=0}^n (u | e_i)e_i$ et $v_n = \sum_{i=0}^n (v | e_i)e_i$. On a bien $u_n \to u$ et $v_n \to v$ (d'après le deuxième item) et on conclut en remarquant que $(u_n | v_n) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n (u | e_i)(v | e_j)(e_i | e_j) = \sum_{i=0}^n (u | e_i)(v | e_i)$. ■

**Remarque 6.64** Soit H un espace de Hilbert sur $K$, $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, séparable et de dimension infinie.

1. Soit $\{e_n, n \in \mathbb{N}\}$ une base hilbertienne de H et soit $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ bijective. On pose $\tilde{e}_n = e_{\varphi(n)}$. Comme $\{e_n, n \in \mathbb{N}\} = \{\tilde{e}_n, n \in \mathbb{N}\}$, la famille $\{\tilde{e}_n, n \in \mathbb{N}\}$ est donc aussi une base hilbertienne de H. On peut donc appliquer la proposition 6.63 avec la famille $\{e_n, n \in \mathbb{N}\}$ ou avec la famille $\{\tilde{e}_n, n \in \mathbb{N}\}$. Le deuxième item de la proposition 6.63 donne alors, pour tout $u \in H$,

$$ u = \sum_{n \in \mathbb{N}} (u | e_n)e_n = \sum_{n \in \mathbb{N}} (u | e_{\varphi(n)})e_{\varphi(n)}. $$

Ceci montre que la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} (u | e_n)e_n$ est commutativement convergente, c'est-à-dire qu'elle est convergente, dans H, quel que soit l'ordre dans lequel on prend les termes de la série et la somme de la série ne dépend pas de l'ordre dans lequel les termes ont été pris. Noter pourtant que cette série peut ne pas être absolument convergente. On peut remarquer, pour donner un exemple, que la suite $(\sum_{i=0}^n \frac{1}{i+1} e_i)_{n \in \mathbb{N}} \subset H$ est de Cauchy, donc converge, dans H, quand $n \to +\infty$, vers un certain $u$. Pour cet élément $u$ de H, on a $(u | e_i) = \frac{1}{i+1}$ pour tout $i \in \mathbb{N}$. La série $\sum_{n \in \mathbb{N}} (u | e_n)e_n$ est donc commutativement convergente mais n'est pas absolument convergente car $\sum_{n \in \mathbb{N}} \|(u | e_n)e_n\| = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{n+1} = +\infty$ (voir à ce propos l'exercice 6.23). L'exercice 6.35 complète cet exemple en construisant une isométrie bijective naturelle entre H et $l^2$.

Par contre, on rappelle que, dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, une série est commutativement convergente si et seulement si elle est absolument convergente (voir l'exercice 2.34). On peut
d'ailleurs remarquer que la série donnée à l'item 4 de la proposition 6.63 est commutativement convergente (pour la même raison que pour la série de l'item 2, donnée ci-dessus) et est aussi absolument convergente. En effet, pour $u, v \in H$, on a $|(u | e_i)(v | e_i)| \le |(u | e_i)|^2 + |(v | e_i)|^2$ pour tout $i \in \mathbb{N}$, ce qui montre bien (grâce à l'identité de Bessel) que la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} (u | e_n)(v | e_n)$ est absolument convergente (dans K).

2. Soit I un ensemble dénombrable (un exemple intéressant pour la suite est $I = \mathbb{Z}$) et $\{e_i, i \in I\} \subset H$.

Soit $\varphi : \mathbb{N} \to I$ bijective. On pose, pour $n \in \mathbb{N}$, $\tilde{e}_n = e_{\varphi(n)}$. On a alors $\{e_i, i \in I\} = \{\tilde{e}_n, n \in \mathbb{N}\}$. La famille $\{e_i, i \in I\}$ est donc une base hilbertienne si et seulement si la famille $\{\tilde{e}_n, n \in \mathbb{N}\}$ est une base hilbertienne.

Si la famille $\{e_i, i \in I\}$ est une base hilbertienne, on peut donc appliquer la pro-
position 6.63 avec la famille $\{\tilde{e}_n, n \in \mathbb{N}\}$. On obtient, par exemple, que pour tout
$u \in H$ :

$$
u = \sum_{n \in \mathbb{N}} (u | e_{\varphi(n)}) e_{\varphi(n)}.
$$

La somme de la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} (u | e_{\varphi(n)}) e_{\varphi(n)}$ ne dépend donc pas du choix de la bijection $\varphi$ entre $\mathbb{N}$ et $I$ et il est alors légitime de la noter simplement $\sum_{i \in I} (u | e_i) e_i$. Ceci est détaillé dans la définition 6.65 et permet d'énoncer la proposition 6.66.

**Définition 6.65** Soient $H$ un espace de Hilbert (réel ou complexe) et $I$ un ensemble dénombrable. Soit $(u_i)_{i \in I} \subset H$. On dit que la série $\sum_{i \in I} u_i$ est commutativement convergente s'il existe $u \in H$ t.q., pour tout $\varphi : \mathbb{N} \to I$ bijective, on ait :

$$
\sum_{p=0}^{n} u_{\varphi(p)} \to u, \text{ quand } n \to +\infty.
$$

On note alors $u = \sum_{i \in I} u_i$.

**Proposition 6.66** Soit $H$ un espace de Hilbert sur $K$, $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soient $I$ dénombrable et $\{e_i, i \in I\}$ une base hilbertienne de $H$ (l'espace $H$ est donc séparable et de dimension infinie). Alors :

1. (Identité de Bessel) Pour tout $u \in H$, la série $\sum_{i \in I} |(u | e_i)|^2$ est commutativement convergente et $\|u\|^2 = \sum_{i \in I} |(u | e_i)|^2$,

2. Pour tout $u \in H$, la série $\sum_{i \in I} (u | e_i)e_i$ est commutativement convergente et $u = \sum_{i \in I} (u | e_i)e_i$,

3. soient $u \in H$ et $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset K$ tels que la série $\sum_{i \in I} \alpha_i e_i$ est commutativement convergente et $u = \sum_{i \in I} \alpha_i e_i$, alors $\alpha_i = (u | e_i)$ pour tout $i \in I$,
4. (identité de Parseval) Pour tous $u, v \in H$, la série $\sum_{i \in I} (u | e_i)(v | e_i)$ est commutativement convergente et $(u | v) = \sum_{i \in I} (u | e_i)(v | e_i)$.

DÉMONSTRATION – La démonstration est immédiate à partir de la proposition 6.63 et de la définition des séries commutativement convergentes (définition 6.65). Il suffit de remarquer que $\{e_{\varphi(n)}, n \in \mathbb{N}\}$ est une base hilbertienne de $H$ pour toute application $\varphi : \mathbb{N} \to I$ bijective (et d'appliquer la proposition 6.63), comme cela est indiqué dans la remarque 6.64 (deuxième item). ■

La proposition suivante donne une caractérisation très utile des bases hilbertiennes.

**Proposition 6.67 (Caractérisation des bases hilbertiennes)** Soit $H$ un espace de Hilbert réel ou complexe. Soit $\{e_i, i \in I\} \subset H$ t.q. $(e_i | e_j) = \delta_{i,j}$ pour tout $i, j \in I$. Alors, $\{e_i, i \in I\}$ est une base hilbertienne si et seulement si :

$$u \in H, (u | e_i) = 0 \quad \forall i \in I \Rightarrow u = 0.$$

DÉMONSTRATION – On pose $F = \text{vect}\{e_i, i \in I\}$. $F$ est s.e.v. de $H$.

On sait que $\{e_i, i \in I\}$ est une base hilbertienne si et seulement si $\bar{F} = H$. Or, on a déjà vu (proposition 6.54) que $\bar{F} = H \Leftrightarrow F^{\perp} = \{0\}$. Donc, $\{e_i, i \in I\}$ est une base hilbertienne si et seulement si

$$u \in H, u \in F^{\perp} \Rightarrow u = 0.$$

Comme $u \in F^{\perp}$ si et seulement si $(u | e_i) = 0$ pour tout $i \in I$, on en déduit que $\{e_i, i \in I\}$ est une base hilbertienne si et seulement si

$$u \in H, (u | e_i) = 0 \quad \forall i \in I \Rightarrow u = 0.$$

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

On donne maintenant un exemple de base hilbertienne, cet exemple donne un résultat de convergence de la série de Fourier d'une fonction périodique de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$.

Pour cet exemple, on prend $H = L_{\mathbb{C}}^2([0, 2\pi], \mathcal{B}([0, 2\pi]), \lambda)$, où $\lambda$ désigne la mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}([0, 2\pi])$. On rappelle que $H$ est un espace de Hilbert complexe et que le produit scalaire sur $H$ est donné par $(f | g)_2 = \int f \bar{g} d\lambda = \int_0^{2\pi} f(x) \bar{g}(x) dx$ pour $f, g \in H$.

Pour $n \in \mathbb{Z}$, on définit $e_n \in H$ par (en confondant $e_n$ avec son représentant continu) :

$$e_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(inx), x \in [0, 2\pi]. \qquad (6.24)$$

La convergence dans $H$ de la série de Fourier de $f \in H$ est alors donnée par la proposition suivante (noter que cette proposition ne donne pas de convergence ponctuelle de la série de Fourier, même si $f$ est continue).
**Proposition 6.68 (Séries de Fourier)** Soit $H = L^2(\mathbb{C})[0, 2\pi[, \mathcal{B}([0, 2\pi[, \lambda)$. Alors :

1. La famille $\{e_n, n \in \mathbb{Z}\}$, où $e_n$ est donnée par (6.24), est une base hilbertienne de $H$.

2. Pour tout $f \in H$, la série $\sum_{n \in \mathbb{Z}} (f | e_n)_2 e_n$ est commutativement convergente et

$$f = \sum_{n \in \mathbb{Z}} (f | e_n)_2 e_n.$$

En particulier, on a

$$\int_0^{2\pi} |f(x) - \sum_{p=-n}^{n} (f | e_p)_2 e_p(x)|^2 dx \to 0, \text{ quand } n \to +\infty.$$

**DÉMONSTRATION –** Pour démontrer que $\{e_n, n \in \mathbb{Z}\}$ est une base hilbertienne, on utilise la proposition 6.67. Il suffit donc de montrer :

1. $(e_n | e_m)_2 = \delta_{n,m}$ pour tout $n, m \in \mathbb{Z}$,

2. $f \in H$, $(f | e_n)_2 = 0 \quad \forall n \in \mathbb{Z} \Rightarrow f = 0$.

L'assertion 1 est immédiate car $(e_n | e_m)_2 = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2\pi} \exp(i(n-m)x)dx$. Ce qui donne bien 0 si $n \neq m$ et 1 si $n = m$.

Pour montrer l'assertion 2, soit $f \in H$ t.q. $(f | e_n)_2 = 0$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$. On va montrer que $f = 0$ (c'est-à-dire $f = 0$ p.p.) en raisonnant en plusieurs étapes.

**Étape 1.** On note $P = \text{vect}\{e_n, n \in \mathbb{Z}\}$ (P est donc l'ensemble des polynômes trigo-nométriques). Par anti-linéarité du produit scalaire de H par rapport à son deuxième argument, on a $(f | g) = 0$ pour tout $g \in P$.

**Étape 2.** On note $C_p = \{g \in C([0, 2\pi], \mathbb{C}) ; g(0) = g(2\pi)\}$. On peut montrer que P est dense dans $C_p$ pour la norme de la convergence uniforme (définie par $\|g\|_u = \max\{g(x), x \in [0, 2\pi]\}$). On admet ce résultat ici (c'est une conséquence du théorème de Stone-Weierstrass). Soit $g \in C_p$, il existe donc $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \in P$ t.q. $g_n \to g$ uniformément sur $[0, 2\pi]$. On a donc $\|g_n - g\|_u = \|g_n - g\|_\infty \to 0$ quand $n \to +\infty$. Comme $\lambda([0, 2\pi]) < +\infty$, on en déduit que $\|g_n - g\|_2 \to 0$ quand $n \to +\infty$. (Plus précisément, on a ici $\|\cdot\|_2 \le \sqrt{2\pi}\|\cdot\|_\infty$). Comme $(f | g)_2 = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ (par l'étape 1), on en déduit (avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz) que $(f | g)_2 = 0$. On a donc $(f | g)_2 = 0$ pour tout $g \in C_p$.

**Étape 3.** Soit $g \in C([0, 2\pi], \mathbb{C})$. Pour $n \in \mathbb{N}^*$ on définit $g_n$ par :

$$g_n(x) = g(x), \text{ si } x \in [\frac{1}{n}, 2\pi], \\ g_n(x) = g(2\pi) + (g(\frac{1}{n}) - g(2\pi))(nx), \text{ si } x \in [0, \frac{1}{n}],$$

de sorte que $g_n \in C_p$ (noter que $g_n$ est affine entre 0 et $\frac{1}{n}$ et vérifie $g_n(0) = g(2\pi)$ et $g_n(\frac{1}{n}) = g(\frac{1}{n})$).

Par l'étape 2, on a $(f | g)_2 = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. D'autre part, le théorème de convergence dominée dans $L^p$ donne que $g_n \to g$ dans $H$ quand $n \to +\infty$ (noter en effet que $g_n \to g$ p.p. et que $g_n \le \|g\|_\infty \in H$, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$). On en déduit donc que $(f | g)_2 = 0$. On a donc $(f | g)_2 = 0$ pour tout $g \in C([0, 2\pi], \mathbb{C})$.
**Etape 4.** On prend maintenant $g \in H = L_{\mathbb{C}}^2([0, 2\pi[, \mathcal{B}([0, 2\pi[, \lambda))$. On définit $\tilde{g}$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$ par $\tilde{g} = g \text{ sur } [0, 2\pi] \text{ et } \tilde{g} = 0 \text{ sur } \mathbb{R} \setminus [0, 2\pi]$. On obtient ainsi $g \in L_{\mathbb{C}}^2(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ (On a, comme d'habitude, confondu un élément de $L^2$ avec l'un de ses représentants ; et $\lambda$ désigne maintenant la mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$). On montre dans l'exercice (corrigé) 6.4 que $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ est dense dans $L_{\mathbb{R}}^2(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. On en déduit facilement que $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ est dense dans $L_{\mathbb{C}}^2(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. Il existe donc $(h_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C_c(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ t.q. $h_n \to \tilde{g}$ dans $L_{\mathbb{C}}^2(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$, quand $n \to +\infty$. On en déduit que

$$ \int_{0}^{2\pi} |h_n(x) - g(x)|^2 dx \le \int_{\mathbb{R}} |h_n(x) - \tilde{g}(x)|^2 dx \to 0, \text{ quand } n \to +\infty. $$

En posant $g_n = (h_n)_{|[0,2\pi]}$, on a donc $g_n \in C([0, 2\pi], \mathbb{C})$ et $g_n \to g$ dans $H$, quand $n \to +\infty$. Comme l'étape 3 donne $(f | g_n)_2 = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, on en déduit que $(f | g)_2 = 0$.

Pour conclure, il suffit maintenant de prendre $g = f$. On obtient $(f | f)_2 = 0$ et donc $f = 0$ p.p..

On a bien ainsi montré (grâce à la proposition 6.67) que $\{e_n, n \in \mathbb{Z}\}$ est une base hilbertienne de $H$.

On montre maintenant le deuxième item de la proposition.

Soit $f \in H$. La proposition 6.66 donne que la série $\sum_{n \in \mathbb{Z}} (f | e_n)_2 e_n$ est commutative-ment convergente et que

$$ f = \sum_{n \in \mathbb{Z}} (f | e_n)_2 e_n. $$

En utilisant la définition 6.65 et la bijection de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{Z}$ donnée par $\varphi(0) = 0$, et, pour $n \ge 1$, $\varphi(2n-1) = n$, $\varphi(2n) = -n$, on a donc, en particulier, $\sum_{i=0}^{m} (f | e_{\varphi(m)})_2 e_{\varphi(m)} \to f$, dans $H$, quand $m \to \infty$. en prenant $m = 2n$, ceci donne exactement

$$ \int_{0}^{2\pi} |f(x) - \sum_{p=-n}^{n} (f | e_p)e_p(x)|^2 dx \to 0, \text{ quand } n \to +\infty. $$

■

## 6.3 Dualité dans les espaces $L^p$, $1 \le p \le \infty$

### 6.3.1 Dualité pour $p = 2$

Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré. On note $H = L_K^2(E, T, m)$, avec $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

Soit $f \in L_K^2(E, T, m)$. On note $\varphi_f : H \to K$, l'application définie par $\varphi_f(g) = (g | f)_2$. On a déjà vu (remarque 6.38) que $\varphi_f \in H'$ (dual topologique de $H$). On remarque aussi que $\|\varphi_f\|_{H'} = \|f\|_{H} = \|f\|_2$. En effet $|\varphi_f(g)| \le \|f\|_{H}\|g\|_{H}$ (par l'inégalité de Cauchy-Schwarz) et $|\varphi_f(f)| \le \|f\|_{H}^2$. Donc :

$$ \|\varphi_f\|_{H'} = \sup\left\{\frac{|\varphi_f(g)|}{\|g\|_{H}}, g \in H \setminus \{0\}\right\} = \|f\|_{H}. $$
Le théorème de représentation de Riesz (théorème 6.56 page 300) appliqué à l'espace
de Hilbert $H = L_K^2(E, T, m)$ donne que pour tout $T \in H'$, il existe un et un seul $f \in H$
t.q. $T(g) = (g | f)_2$ pour tout $g \in H$, c'est-à-dire un et un seul $f \in H$ t.q. $T = \varphi_f$.

L'application $\varphi : f \mapsto \varphi_f$ est donc une isométrie bijective de $L_K^2(E, T, m)$ sur $L_K^2(E, T, m)$. (Noter que $\varphi$ est linéaire si $K = \mathbb{R}$ et antilinéaire si $K = \mathbb{C}$.)

Cette situation est spécifique au cas $p = 2$. Nous examinons ci-après le cas général
$1 \le p \le \infty$.

**6.3.2 Dualité pour 1 ≤ p ≤ ∞**

Soit (E, T, m) un espace mesuré. Soit $p \in [1, +\infty]$, on pose $q = \frac{p}{p-1} \in [1, +\infty]$ (de sorte que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, $q$ s'appelle le conjugué de $p$). Dans toute cette section, on note $L_K^r = L_K^r(E, T, m)$, avec $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ (et $r \in [1, \infty]$).

On cherche à caractériser le dual de $L_K^p$, de manière semblable à ce qui a été fait à la section précédente dans le cas $p = 2$.

Soit $f \in L_K^q$, on considère l'application :

$$
\varphi_f : g \mapsto \begin{cases} \int g f dm \quad \text{si } K = \mathbb{R}, \\ \int g \bar{f} dm \quad \text{si } K = \mathbb{C}. \end{cases} \tag{6.25}
$$

L'inégalité de Hölder (proposition 6.26) montre que $\varphi_f(g)$ est bien définie si $g \in L_K^p$
et que $\varphi_f \in (L_K^p)'$ (dual topologique de $L_K^p$). On peut aussi obtenir un majorant de la
norme de $\varphi_f$ car l'inégalité de Hölder donne

$$
|\varphi_f(g)| \le \|f\|_q \|g\|_p, \text{ pour tout } g \in L_K^p,
$$

d'où l'on déduit que

$$
\|\varphi_f\|_{(L_K^p)'} = \sup\{\frac{|\varphi_f(g)|}{\|g\|_p}, g \in L_K^p \setminus \{0\}\} \le \|f\|_q. \quad (6.26)
$$

On définit donc une application $\varphi : f \mapsto \varphi_f$ de $L_K^q$ dans $(L_K^p)'$. La définition de $\varphi_f$ (formule (6.25)) montre que cette application est linéaire dans le cas $K = \mathbb{R}$ et antilinéaire dans le cas $K = \mathbb{C}$. Elle est toujours continue, grâce à (6.26). On montre maintenant que c'est, en général, une isométrie.

**Proposition 6.69 (Injection de L<sup>q</sup> dans (L<sup>p</sup>)')**
Soit (E, T, m) un espace mesuré.
Soient p ∈ [1, +∞] et q = p/(p-1). Si p = 1, la mesure m est supposée de plus σ-finie.
L'application φ : f ↦ φ<sub>f</sub>, où φ<sub>f</sub> est définie par (6.25) est une application de L<sub>K</sub><sup>q</sup>
dans $(L_K^p)'$, linéaire dans le cas $K = \mathbb{R}$ et antilinéaire dans le cas $K = \mathbb{C}$. De plus, c'est une isométrie, c'est-à-dire que $\|\varphi_f\|_{(L_K^p)'} = \|f\|_q$ pour tout $f \in L_K^q$. (L'application $\varphi$ est donc nécessairement injective, mais pas forcément surjective.)

DÉMONSTRATION – on sait déjà que $\varphi$ est une application de $L_K^q$ dans $(L_K^p)'$, linéaire dans le cas $K = \mathbb{R}$ et antilinéaire dans le cas $K = \mathbb{C}$. On sait aussi que $\|\varphi_f\|_{(L_K^p)'} \le \|f\|_q$ pour tout $f \in L_K^q$ (voir (6.26)). Pour terminer la démonstration de cette proposition, Il suffit donc de montrer que, pour tout $f \in L_K^q$,

$$ \|\varphi_f\|_{(L_K^p)'} \ge \|f\|_q. \quad (6.27) $$

On se limite au cas $K = \mathbb{R}$ (les adaptations pour traiter le cas $K = \mathbb{C}$ sont faciles à deviner).

Soit $f \in L_K^q$. On suppose $f \ne 0$ (sinon (6.27) est immédiat). On confond $f$ avec l'un de ses représentants, de sorte que $f \in \mathcal{L}^q = \mathcal{L}_K^q(E, T, m)$. Pour montrer 6.27, on va chercher $g \in L_K^p \setminus \{0\}$ t.q. $\frac{|\varphi_f(g)|}{\|g\|_p} = \|f\|_q$.

On distingue maintenant trois cas.

**Cas 1 :** $1 < p < \infty$. On définit $g : E \to \mathbb{R}$ par $g(x) = |f(x)|^{q-1}\text{sign}(f(x))$ pour tout $x \in E$, avec la fonction sign : $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $\text{sign}(s) = -1$ si $s < 0$, $\text{sign}(s) = 1$ si $s > 0$ et (par exemple) $\text{sign}(0) = 0$. La fonction $g$ est mesurable (comme composée d'applications mesurables) et on a (en notant que $p = \frac{q}{q-1}$) :

$$ \int |g|^p dm = \int (|f|^{q-1})^{\frac{q}{q-1}} dm = \int |f|^q dm < \infty. $$

Donc, $g \in L_K^p$ (plus précisément, $g \in \mathcal{L}_K^p$) et $\|g\|_p = \|f\|_q^{\frac{q}{p}} \ne 0$. Pour ce choix de $g$, on a donc

$$ \frac{|\varphi_f(g)|}{\|g\|_p} = \frac{1}{\|f\|_q^p} \int f g dm = \frac{1}{\|f\|_q^p} \|f\|_q^q = \|f\|_q, $$

$$ \text{car } q - \frac{q}{p} = 1. $$

On en déduit que

$$ \|\varphi_f\|_{(L_K^p)'} = \sup\left\{\frac{|\varphi_f(h)|}{\|h\|_p}, h \in L_K^p \setminus \{0\}\right\} \ge \frac{|\varphi_f(g)|}{\|g\|_p} = \|f\|_q, $$

ce qui donne (6.27).

**Cas 2 :** $p = \infty$. On a, dans ce cas, $q = 1$. On prend, comme pour le premier cas, $g = \text{sign}(f)$. On a ici $g \in L_K^\infty$ et $\|g\|_\infty = 1$ (car $m(E) \ne 0$, sinon $L_K^1 = \{0\}$ et il n'y a pas de $f \in L_K^1, f \ne 0$). Pour ce choix de $g$, on a $\varphi_f(g) = \|f\|_1$, donc $\frac{|\varphi_f(g)|}{\|g\|_\infty} = \|f\|_1$ et, comme dans le premier cas, ceci donne (6.27).

**Cas 3 :** $p = 1$. On a, dans ce cas, $q = \infty$. Ce cas est un peu plus délicat que les précédents. On ne peut pas toujours trouver $g \in L_K^1 \setminus \{0\}$ t.q. $\frac{|\varphi_f(g)|}{\|g\|_1} = \|f\|_\infty$. En utilisant le caractère $\sigma$-fini de $m$, on va, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, trouver $g_n \in L_K^1 \setminus \{0\}$ t.q. $\frac{|\varphi_f(g_n)|}{\|g\|_1} \ge \|f\|_\infty - \frac{1}{n}$, ce qui permet aussi de montrer (6.27).
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On pose $\alpha_n = \|f\|_{\infty} - \frac{1}{n}$ et $A_n = \{|f| \ge \alpha_n\}$. On a $m(A_n) > 0$ (car $m(A_n) = 0$ donnerait $\|f\|_{\infty} \le \alpha_n$).

Si $m(A_n) < \infty$, on peut prendre $g_n = \text{sign}(f)1_{A_n}$ qui est mesurable (car $\text{sign}(f)$ et $1_{A_n}$ sont mesurables) et intégrable car $m(A_n) < \infty$. On a alors $g_n \in L_{\mathbb{R}}^1 \setminus \{0\}$, $\|g_n\|_1 = m(A_n)$ et $\varphi_f(g_n) = \int_{A_n} |f| dm \ge \alpha_n m(A_n)$. Donc :

$$ \|\varphi_f\|_{(L_K^1)'} \ge \frac{|\varphi_f(g_n)|}{\|g_n\|_1} \ge \alpha_n = \|f\|_{\infty} - \frac{1}{n}. $$

En faisant tendre $n$ vers l'infini, on en déduit (6.27).

Si $m(A_n) = \infty$, le choix de $g_n = \text{sign}(f)1_{A_n}$ ne convient pas car $\text{sign}(f)1_{A_n} \notin L_{\mathbb{R}}^1$. On utilise alors le fait que $m$ est $\sigma$-finie. Comme $m$ est $\sigma$-finie, il existe une suite $(E_p)_{p \in \mathbb{N}} \subset T$ t.q. $m(E_p) < \infty$, $E_p \subset E_{p+1}$, pour tout $p \in \mathbb{N}$, et $E = \bigcup_{p \in \mathbb{N}} E_p$. Par continuité croissante de $m$, on a donc $m(A_n \cap E_p) \uparrow m(A_n)$ quand $p \to \infty$. Comme $m(A_n) > 0$ il existe donc $p \in \mathbb{N}$ (dépendant de $n$, on ne note pas cette dépendance) t.q. $m(A_n \cap E_p) > 0$. On prend alors $g_n = \text{sign}(f)1_{A_n \cap E_p}$. On a bien alors $g_n \in L_{\mathbb{R}}^1 \setminus \{0\}$, $\|g_n\|_1 = m(A_n \cap E_p) \le m(E_p) < \infty$ et $\varphi_f(g_n) = \int_{A_n \cap E_p} |f| dm \ge \alpha_n m(A_n \cap E_p)$. Donc :

$$ \|\varphi_f\|_{(L_K^1)'} \ge \frac{|\varphi_f(g_n)|}{\|g_n\|_1} \ge \alpha_n = \|f\|_{\infty} - \frac{1}{n}. $$

En faisant tendre $n$ vers l'infini, on en déduit (6.27), ce qui conclut la preuve de la proposition. ■

La proposition 6.69 montre que l'application $\varphi : f \mapsto \varphi_f$, où $\varphi_f$ est définie par (6.25) est une application de $L_K^q$ dans $(L_K^p)'$, linéaire dans le cas $K = \mathbb{R}$ et antilinéaire dans le cas $K = \mathbb{C}$. De plus, c'est une isométrie, c'est-à-dire que $\|\varphi_f\|_{(L_K^p)'} = \|f\|_q$ pour tout $f \in L_K^q$. Comme cela a déjà été dit, l'application $\varphi$ est donc nécessairement injective car $\varphi_f = \varphi_h$ implique $\varphi_{f-h} = 0$ et donc $\|f-h\|_q = \|\varphi_{f-h}\|_{(L_K^p)'} = 0$, ce qui donne $f = h$ p.p.. Mais l'application $\varphi$ n'est pas forcément surjective. On sait qu'elle est surjective si $p = 2$ (c'est l'objet de la section précédente). Le théorème suivant montre qu'elle est surjective si $m$ est $\sigma$-finie et $p \in [1, +\infty[$ (de sorte qu'on identifie souvent, dans ce cas, $(L_K^p)'$ à $L_K^q$).

**Théorème 6.70 (Dualité $L^p - L^q$)** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré $\sigma$-fini, $1 \le p < +\infty$, $q = \frac{p}{p-1}$ et $T \in (L_K^p)'$. Alors, il existe un unique $f \in L_K^q$ t.q.

$$ T(g) = \begin{cases} \int g f dm & \text{si } K = \mathbb{R}, \\ \int g \bar{f} dm & \text{si } K = \mathbb{C}, \end{cases} $$

c'est-à-dire telle que $T = \varphi_f$ avec $\varphi$ donné par (6.25) (on a donc montré la surjectivité de l'application $\varphi : L_K^q \to (L_K^p)'$ définie par $\varphi(f) = \varphi_f$ pour $f \in L_K^q$).
**Remarque 6.71 (Dual de $L^\infty$)** Noter que le théorème précédent est, en général, faux pour $p = +\infty$. L'application $\varphi : f \mapsto \varphi_f$, où $\varphi_f$ est donnée par (6.25) est donc une isométrie (linéaire ou antilinéaire, selon que $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) de $L_K^1$ dans $(L_K^\infty)'$ mais l'image de $\varphi$ est, sauf cas très particuliers, différente de $(L_K^\infty)'$. L'application $\varphi$ ne permet donc pas d'identifier le dual de $L_K^\infty$ à $L_K^1$.

DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 6.70 La démonstration de ce théorème est faite dans l'exercice 6.44. Elle consiste essentiellement à se ramener directement à appliquer le théorème de représentation de Riesz (théorème 6.56) dans un espace $L^2$ approprié. Une autre démonstration, probablement plus classique, consiste à appliquer le théorème de Radon-Nikodym, qui lui-même se démontre en se ramenant au théorème de représentation de Riesz. Cette démonstration est donnée, dans le cas particulier $p = 1$, dans l'exercice 6.42. Nous verrons le théorème de Radon-Nikodym dans la section suivante, voir les théorèmes 6.78 et 6.79.

Enfin, on propose dans l'exercice 6.43 une autre démonstration de ce théorème dans le cas $p < 2$ (utilisant toujours le théorème de représentation de Riesz). ■

Une conséquence intéressante du théorème de dualité (théorème 6.70) est le caractère réflexif des espaces $L^p$ pour $1 < p < +\infty$, ce que l'on détaille maintenant.

Soit $F$ un espace de Banach réel (mais il est possible de traiter aussi les Banach complexes). On note $F'$ le dual (topologique) de $F$ et $F''$ le dual (topologique) de $F'$. On dit aussi que $F''$ est le bidual de $F$. Pour $u \in F$, on définit $J_u : F' \to \mathbb{R}$ par

$$J_u(T) = T(u) \text{ pour tout } T \in F'. \qquad (6.28)$$

Il est facile de voir que $J_u \in F''$ et $\|J_u\|_{F''} \le \|u\|_F$. On peut en fait montrer que $\|J_u\|_{F''} = \|u\|_F$ (c'est une conséquence du théorème de Hahn-Banach, non démontré ici). Comme l'application $J : u \mapsto J_u$ est linéaire, c'est donc une isométrie linéaire de $F$ dans $F''$. Il est alors immédiat que $J$ est injective. Par contre, $J$ n'est pas toujours surjective. L'application $J$ est souvent appelée injection canonique de $F$ dans $F''$, ce qui sous-entend une identification de $F$ comme sous-espace de $F''$. En fait, l'injection canonique d'un ensemble $A$ contenu dans un ensemble $B$ est l'application qui a tout élément de $A$ associe lui-même : c'est la restriction de l'identité à $A$, qui permet de voir l'inclusion en terme d'application.

**Définition 6.72 (Espace réflexif)** Soit $F$ un espace de Banach, $F'$ son dual (topologique) et $F''$ son bidual (c'est-à-dire le dual topologique de $F'$). Pour $u \in F$, on définit $J_u \in F''$ par (6.28). On dit que l'espace $F$ est réflexif si l'application $J : u \mapsto J_u$ (de $F$ dans $F''$) est surjective (l'application $J$ est toujours injective).
Un espace de Hilbert H est toujours réflexif car l'application J est alors simplement la composée des deux bijections de H dans H' et de H' dans H'' données par le théorème de représentation de Riesz (Théorème 6.56), ce qui montre que J est surjective. L'espace $L_R^2(E, T, m)$ est donc réflexif. Plus généralement, une conséquence directe du théorème 6.70 est que les espaces $L^p$, sont réflexifs pour $p \in ]1, +\infty[$.

**Proposition 6.73** *Soient (E, T, m) un espace mesuré et $1 < p < +\infty$. Alors, l'espace $L_R^p(E, T, m)$ est réflexif.*

DÉMONSTRATION – On pose $q = \frac{p}{p-1}$, $L^p = L_R^p(E, T, m)$ et $L^q = L_R^q(E, T, m)$.

On note $\Phi$ l'application de $L^p$ dans $(L^q)'$ définie par $\Phi(f) = \varphi_f$, où $\varphi_f$ est donnée par (6.25), et on note $\Psi$ l'application de $L^q$ dans $(L^p)'$ définie par $\Psi(f) = \varphi_f$.

Comme $p \neq +\infty$ et $q \neq +\infty$, le théorème 6.70 donne que $\Phi$ est une bijection de $L^p$ dans $(L^q)'$ et $\Psi$ est une bijection de $L^q$ dans $(L^p)'$. On rappelle aussi que $\Phi$ et $\Psi$ sont des isométries linéaires.

Soit $s \in (L^p)''$. Pour montrer que $L^p$ est réflexif, il suffit de montrer qu'il existe $u \in L^p$ t.q. $J_u = s$ (où $J_u$ est défini par 6.28), c'est-à-dire t.q. $s(T) = T(u)$ pour tout $T \in (L^p)'$.

On va montrer que $u = \Phi^{-1}(s \circ \Psi)$ convient. En effet, soit $T \in (L^p)'$. On a :

$$T(u) = \int u \Psi^{-1}(T) dm,$$

et :

$$s(T) = (s \circ \Psi)(\Psi^{-1}(T)) = \Phi(u)(\Psi^{-1}(T)) = \int u \Psi^{-1}(T) dm = T(u).$$

On a donc bien montré que l'application $J : u \mapsto J_u$ (de $L^p$ dans $(L^p)''$) est surjective, c'est-à-dire que $L^p$ est réflexif.

On peut aussi noter que la démonstration de cette proposition donne en fait que $J_u = \Phi(u) \circ \Psi^{-1}$ pour tout $u \in L^p$. ■

### 6.3.3 Théorème de Radon-Nikodym

La définition 4.21 donnait la définition d'une mesure de densité. On reprend ici cette définition et on donne aussi la définition de mesure signée de densité.

**Définition 6.74 (Mesure de densité)** *Soit (E, T, m) un espace mesuré.*

1. Soit $\mu$ une mesure sur T. On dit que $\mu$ est une mesure de densité par rapport à m si il existe $f \in M_+$ t.q. $\mu(A) = \int_A f dm$, pour tout $A \in T$. On pose alors $\mu = fm$ (on dit aussi que f est la densité de $\mu$ par rapport à m).

2. Soit $\mu$ une mesure signée sur T. On dit que $\mu$ est une mesure signée de densité par rapport à m si il existe $f \in L_R^1(E, T, m)$ t.q. $\mu(A) = \int_A f dm$, pour tout $A \in T$. On pose alors $\mu = fm$ (on dit aussi que f est la densité de $\mu$ par rapport à m).
**Remarque 6.75 (Sur les mesures de densité)** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré et $\mu$ une mesure sur $T$.

1. (Unicité de la densité) Soit $f, g \in M_+$. On suppose que $\mu = fm$ et $\mu = gm$. On a alors $f = g$ m-p.p.. En effet, on doit avoir $\int_A f dm = \int_A g dm$ pour tout $A \in T$. En choisissant $A = \{f > g\}$ puis $A = \{f < g\}$, on en déduit que $\int_{\{f>g\}} (f-g)dm + \int_{\{f<g\}} (g-f)dm = 0$, ce qui donne $\int |f-g|dm = 0$ et donc $f = g$ m-p.p..

2. (Espace $L^1$ pour une mesure de densité) Soit $f \in M_+$ t.q. $\mu = fm$. Soit $g \in M$, l'exercice (corrigé) 4.21 donne alors les assertions suivantes :

$$ (a) g \in L_{\mathbb{R}}^{1}(E, T, \mu) \Leftrightarrow fg \in L_{\mathbb{R}}^{1}(E, T, m), $$

$$ (b) g \in L_{\mathbb{R}}^{1}(E, T, \mu) \Rightarrow \int g d\mu = \int f g dm. $$

3. (Absolue continuité d'une mesure de densité) Soit $f \in M_+$ t.q. $\mu = fm$. Soit $A \in T$ t.q. $m(A) = 0$. On a alors $f 1_A = 0$ m-p.p. et donc $\mu(A) = \int f 1_A dm = 0$. Selon la définition 6.76 ci-après, ceci montre que la mesure $\mu$ est absolument continue par rapport à la mesure $m$. L'objectif du théorème de Radon-Nikodym (théorème 6.78) sera de démontrer la réciproque de ce résultat (si $\mu$ est finie et $m$ est $\sigma$-finie).

Rappelons la définition d'une mesure absolument continue :

**Définition 6.76 (Mesure absolument continue)** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré et $\mu$ une mesure (positive ou signée) sur $T$. On dit que $\mu$ est absolument continue par rapport à $m$, et on note $\mu \ll m$, si :

$$ A \in T, m(A) = 0 \Rightarrow \mu(A) = 0. $$

**Remarque 6.77** On donne ici un exemple de mesure non absolument continue : on prend $(E, T, m) = (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et $\mu = \delta_0$ (mesure de Dirac en 0 sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$). Comme $\lambda(\{0\}) = 0$ et $\delta_0(\{0\}) = 1$, la mesure $\delta_0$ n'est pas absolument continue par rapport à $\lambda$.

On donne maintenant le théorème de Radon-Nikodym pour les mesures (positives).

**Théorème 6.78 (Radon-Nikodym)** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré $\sigma$-fini et $\mu$ une mesure finie sur $T$. Alors, $\mu$ est absolument continue par rapport à $m$ si et seulement si $\mu$ est une mesure de densité par rapport à $m$.
DÉMONSTRATION – **Sens** (=$\Leftarrow$). Ce sens a été montré dans le troisième item de la remarque 6.75 (et les hypothèses “μ finie” et “m σ-finie” sont inutiles. (Noter aussi que le premier item de cette même remarque donne l’unicité m-p.p. de la densité de μ par rapport à m.)

**Sens** (⇒). Pour toute mesure $v$ sur $T$ et pour tout $1 \le p \le +\infty$, on note $\mathcal{L}^p(v) = \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^p(E, T, v)$ et $\mathcal{L}^p(v) = L_{\mathbb{R}}^p(E, T, v)$.

Pour démontrer que $\mu$ est absolument continue par rapport à $m$, on va appliquer le théorème de représentation de Riesz (théorème 6.56) dans l'espace de Hilbert $H = L^2(\mu + m)$.

On rappelle d'abord que l'exercice (corrigé) 4.2 donne que $\mu + m$ est une mesure sur $T$ (définie par $(\mu + m)(A) = \mu(A) + m(A)$ pour tout $A \in T$) et que les deux propriétés suivantes sont vérifiées (questions 1 et 2 de l'exercice 4.2) :

$$ 
\begin{gather*}
g \in \mathcal{L}^1(\mu + m) \Leftrightarrow g \in \mathcal{L}^1(\mu) \cap \mathcal{L}^1(m), \\
g \in \mathcal{L}^1(\mu + m) \Rightarrow \int g d(\mu + m) = \int g d\mu + \int g dm. \tag{6.29}
\end{gather*}
$$

Il est aussi clair que $\int f d(\mu + m) = \int f d\mu + \int f dm$ pour tout $f \in \mathcal{M}_+$ (voir l'exercice 4.2). Pour $g \in \mathcal{M}$, on a donc $\int g^2 d(\mu + m) = \int g^2 d\mu + \int g^2 dm$, ce qui donne $\mathcal{L}^2(\mu + m) = \mathcal{L}^2(\mu) \cap \mathcal{L}^2(m)$.

Enfin, pour $A \in T$, on a $(\mu + m)(A) = 0$ si et seulement si $\mu(A) = m(A) = 0$. On a donc, pour $f, g : E \to \mathbb{R}$ :

$$ f = g (\mu + m)\text{-p.p.} \Leftrightarrow \begin{cases} f = g \text{ } \mu\text{-p.p.,} \\ f = g \text{ } m\text{-p.p.} \end{cases} $$

On décompose maintenant la démonstration en trois étapes.

**Etape 1.** Utilisation du théorème de Riesz.

On pose $H = L^2(\mu + m)$ (H est donc un espace de Hilbert). On veut définir $T : H \to \mathbb{R}$ par :

$$ T(g) = \int g d\mu \text{ pour tout } g \in H. \tag{6.30} $$

On montre tout d'abord que cette définition est correcte. Soit $g \in H = L^2(\mu + m)$. On choisit un représentant de $g$, encore noté $g$, de sorte que $g \in \mathcal{L}^2(\mu + m) = \mathcal{L}^2(\mu) \cap L^2(m)$. Comme $\mu$ est finie, on a $\mathcal{L}^2(\mu) \subset \mathcal{L}^1(\mu)$. Donc $g \in \mathcal{L}^1(\mu)$, $\int g d\mu$ existe et appartient à $\mathbb{R}$. Puis, on remarque que $\int g d\mu$ ne dépend pas du représentant choisi car $g_1 = g_2(\mu + m)\text{-p.p. implique } g_1 = g_2 \text{ } \mu\text{-p.p.}$. L'application $T$ est donc bien définie de $H$ dans $\mathbb{R}$ par (6.30).

On montre maintenant que $T \in H'$. Il est immédiat que $T$ est linéaire. On remarque ensuite que, pour tout $g \in H$, on a, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec $g$ et $1_{E}$, $|T(g)| = |\int g d\mu| \le \|g\|_{L^2(\mu)} \sqrt{\mu(E)} \le \|g\|_{L^2(\mu+m)} \sqrt{\mu(E)} = \|g\|_{H} \sqrt{\mu(E)}$. On a donc $T \in H'$ (et $\|T\|_{H'} \le \sqrt{\mu(E)}$).

On peut maintenant appliquer le théorème de représentation de Riesz (théorème 6.56). Il donne qu'il existe $\varphi \in H = L^2(\mu + m)$ t.q. $T(g) = \int g \varphi d(\mu + m)$ pour tout
$g \in L^2(\mu+m)$. On choisit un représentant de $\varphi$, encore noté $\varphi$. On a alors $\varphi \in L^2(\mu+m)$ et

$$ \int g d\mu = \int g \varphi d(\mu + m) \text{ pour tout } g \in L^2(\mu + m). \qquad (6.31) $$

Pour $g \in L^2(\mu+m)$, on a $g\varphi \in L^1(\mu+m)$ et donc $\int g\varphi d(\mu+m) = \int g\varphi d\mu + \int g\varphi dm$ (d'après (6.29)). On déduit donc de (6.31) :

$$ \int g(1-\varphi)d\mu = \int g\varphi dm, \text{ pour tout } g \in L^2(\mu+m). \qquad (6.32) $$

**Étape 2.** On cherche dans cette étape des bornes sur $\varphi$.

On montre tout d'abord que $\varphi \ge 0$ m-p.p. et $\mu$-p.p. (ce qui est équivalent a dire que $\varphi \ge 0$ $(\mu+m)$-p.p.).

Comme $m$ est $\sigma$-finie, il existe une suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$ t.q. $m(A_n) < \infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $E = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $B_n = \{\varphi < 0\} \cap A_n \in T$. Dans (6.32), on prend $g = 1_{B_n}$ (on a bien $g \in L^2(\mu+m)$ car $(\mu+m)(B_n) \le \mu(E) + m(A_n) < \infty$). On obtient

$$ \int (1-\varphi)1_{B_n} d\mu = \int \varphi 1_{B_n} dm. $$

Comme $(1-\varphi) > 0$ et $\varphi < 0$ sur $B_n$, on en déduit que $(1-\varphi)1_{B_n} = 0$ $\mu$-p.p. et $\varphi 1_{B_n} = 0$ m-p.p. et donc $\mu(B_n) = m(B_n) = 0$.

Par $\sigma$-additivité d'une mesure, comme $\{\varphi < 0\} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n$, on en déduit $(\mu+m)(\{\varphi < 0\}) \le \sum_{n \in \mathbb{N}} (\mu+m)(B_n) = 0$ et donc $\varphi \ge 0$ $(\mu+m)$-p.p..

On montre maintenant que $\varphi < 1$ $(\mu+m)$-p.p..

On prend dans (6.32) $g = 1_{C_n}$, avec $C_n = \{\varphi \ge 1\} \cap A_n$ (on a bien $g \in L^2(\mu+m)$ car $(\mu+m)(C_n) \le \mu(E) + m(A_n) < \infty$). On obtient

$$ \int (1-\varphi)1_{C_n} d\mu = \int \varphi 1_{C_n} dm. $$

Comme $(1-\varphi) \le 0$ et $\varphi > 0$ sur $C_n$, on en déduit que $(1-\varphi)1_{C_n} = 0$ $\mu$-p.p. et $\varphi 1_{C_n} = 0$ m-p.p. et donc $m(C_n) = 0$. Mais on ne peut en déduire $\mu(C_n) = 0$ (car on a seulement $(1-\varphi) \le 0$ sur $C_n$ et non $(1-\varphi) < 0$). C'est ici (et seulement ici) qu'on utilise l'hypothèse d'absolue continuité de $\mu$ par rapport à $m$. Comme $m(C_n) = 0$, l'hypothèse $\mu \ll m$ donne $\mu(C_n) = 0$. Comme $\{\varphi \ge 1\} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} C_n$, on en déduit $(\mu+m)(\{\varphi \ge 1\}) \le \sum_{n \in \mathbb{N}} (\mu+m)(C_n) = 0$ et donc $\varphi < 1$ $(\mu+m)$-p.p..

On a donc montré que $0 \le \varphi < 1$ $(\mu+m)$-p.p.. En changeant $\varphi$ sur un ensemble de mesure $(\mu+m)$ nulle, on peut donc supposer $0 \le \varphi(x) < 1$ pour tout $x \in E$. On a toujours $\varphi \in L^2(\mu+m)$ et (6.32) reste vraie.

**Étape 3.** On montre maintenant que $\mu = fm$ avec $f = \frac{\varphi}{1-\varphi}$.

On montre tout d'abord que (6.32) est vraie pour tout $g \in M_+$ :

- On remarque d'abord que (6.32) est vraie si $g = 1_A$ avec $A \in T$ t.q. $m(A) < \infty$ car, dans ce cas, $g \in L^2(\mu+m)$.

- On suppose maintenant que $A \in T$. Comme $m$ est $\sigma$-finie, il existe une suite $(E_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$ t.q. $m(E_n) < \infty$, $E_n \subset E_{n+1}$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, et $E = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} E_n$. On
prend $g_n = 1_{B_n}$ avec $B_n = A \cap E_n$, de sorte que $g_n \uparrow 1_A$ et donc $(1-\varphi)g_n \uparrow (1-\varphi)1_A$ et $\varphi g_n \uparrow \varphi 1_A$. Comme (6.32) est vraie pour $g = g_n$ (car $m(B_n) < \infty$), le théorème de convergence monotone (théorème 4.16) appliqué aux mesures $\mu$ et $m$ donne (6.32) pour $g = 1_A$.

- Si $g \in \mathcal{E}_+$, il est alors facile de montrer que (6.32) est vraie. C'est une conséquence immédiate de la linéarité positive de l'intégrale sur $M_+$.

- On prend enfin $g \in M_+$. Il existe $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathcal{E}_+$ t.q. $g_n \uparrow g$. On a donc $(1-\varphi)g_n \uparrow (1-\varphi)g$ et $\varphi g_n \uparrow \varphi g$. On écrit (6.32) pour $g_n$ au lieu de $g$. En passant à la limite quand $n \to +\infty$, le théorème de convergence monotone (théorème 4.16) appliqué aux mesures $\mu$ et $m$ donne (6.32) pour $g$.

On a donc maintenant $\varphi$ mesurable, $0 \le \varphi(x) < 1$ pour tout $x \in E$ et (6.32) pour tout $g \in M_+$.

Soit $h \in M_+$. On pose $g = \frac{h}{1-\varphi}$. On a $g \in M_+$ (car $0 \le \varphi(x) < 1$ pour tout $x \in E$). (6.32) donne alors

$$ \int h d\mu = \int h \frac{\varphi}{1-\varphi} dm. \qquad (6.33) $$

En posant $f = \frac{\varphi}{1-\varphi}$, on a $f \in M_+$ et (6.33) avec $h = 1_A$ donne $\mu(A) = \int f 1_A dm$ pour tout $A \in T$, c'est-à-dire $\mu = fm$. ■

**Théorème 6.79 (Radon-Nikodym, mesures signées)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré et soit $\mu$ une mesure signée sur $T$, alors :

$$ \mu \ll m \iff \exists f \in L_{\mathbb{R}}^1(E, T, m) \quad \mu = fm. $$

La démonstration n'est pas détaillée ici, elle consiste essentiellement à se ramener au théorème 6.78 en décomposant $\mu$ sous la forme $\mu = \mu_+ - \mu_-$ comme cela est fait dans la proposition 2.32.

# 6.4 Convergence faible, faible-, étroite, en loi

## 6.4.1 Convergence faible et faible-*

On limite ce paragraphe au cas des espaces de Banach réels. L'extension au cas des Banach complexes ne pose de difficulté importante.

On rappelle que si $F$ est un espace de Banach (réel) on note $F'$ son dual topologique ($F$ est donc l'ensemble des applications linéaires continues de $F$ dans $\mathbb{R}$). Si $\|\cdot\|_F$ est la norme dans $F$, l'ensemble $F'$ est aussi un espace de Banach avec la norme définie par

$$ \|T\|_{F'} = \sup \left\{ \frac{T(u)}{\|u\|_F}, u \in F \setminus \{0\} \right\}. $$
**Définition 6.80 (Convergence faible dans un espace de Banach)**
Soit F un espace de Banach (réel) et F' son dual topologique. On dit que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge faiblement vers u (dans F, quand $n \to +\infty$) si pour tout élément T de F', on a :

$$T(u_n) \to T(u) \text{ (dans } \mathbb{R}) \text{ quand } n \to +\infty.$$

Par le théorème 6.70, on a donc la proposition suivante sur la convergence faible dans $L_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$, pour $1 \le p < +\infty$ :

**Proposition 6.81 (Convergence faible dans $L^p$)**
Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré, $p \in [1, +\infty[$ et $q$ le conjugué de $p$, $L^p = L_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^p$ et $f \in L^p$. Alors, la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge faiblement vers $f$ si et seulement si on a,

$$\forall g \in L_{\mathbb{R}}^q(E, T, m), \quad \int f_n g dm \to \int f g dm \text{ quand } n \to +\infty.$$

**DÉMONSTRATION –** On note $\Phi$ l'application de $L^q$ dans $(L^p)'$ définie par $\Phi(f) = \varphi_f$, où $\varphi_f$ est donnée par (6.25), la démonstration de cette proposition est alors immédiate quand on remarque que le théorème 6.70 donne que $\Phi$ est une bijection de $L^q$ dans $(L^p)'$. ■

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

**Définition 6.82 (Convergence faible * dans le dual d'un espace de Banach)**
Soit F un espace de Banach (réel) et F' son dual topologique ; soit $(T_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset F'$ et $T \in F'$. On dit que la suite $(T_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers T *-faiblement dans F' si pour tout élément u de F on a : $T_n(u) \to T(u)$ (dans $\mathbb{R}$) quand $n \to +\infty$.

La proposition 8.19 du chapitre 8 montre que d'une suite bornée du dual d'un espace de Banach séparable on peut extraire une sous-suite *-faiblement convergente. De cette proposition 8.19, on peut alors déduire que de toute suite bornée du dual d'un espace de Hilbert, ou d'un espace de Banach réflexif, on peut extraire une sous-suite faiblement convergente.

**Remarque 6.83 (Convergence forte, faible et faible *)**
Soit F un espace de Banach (réel).

1. Soient $(T_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset F'$ et $T \in F'$. Les implications suivantes sont alors immédiates :

$$T_n \to T \Rightarrow T_n \to T \text{ faiblement} \Rightarrow T_n \to T \text{ *-faiblement}.$$

La deuxième implication est une conséquence de l' injection de F dans $F''$ (construite avec (6.28)).
2. Pour $u \in F$, on définit $J_u \in F''$ avec (6.28). Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset F$ et $u \in F$. On a alors :

$$
u_n \to u \text{ faiblement dans } F \Leftrightarrow J_{u_n} \to J_u \text{ *-faiblement dans } F''.
$$

Mais, si F n'est pas réflexif, l'application J : u ↦→ J_u, de F dans F'', n'est pas
surjective et on peut avoir une suite (u_n)_{n∈N} non faiblement convergente dans F
alors que la suite (J_{u_n})_{n∈N} est *-faiblement convergente dans F''. Dans ce cas, la
limite *-faible (dans F'') de (J_{u_n})_{n∈N} est un élément de F'' qui n'appartient pas à
l'image de J.

Dans le cas où F est un espace de Banach réflexif, l'application J : u ↦→ J_u est
surjective de F dans F'' et on a alors :

1. Soient $(T_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset F'$ et $T \in F'$. Alors :

$$
T_n \to T \text{ faiblement dans } F' \Leftrightarrow T_n \to T \text{ *-faiblement dans } F'.
$$

2. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset F$. La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est faiblement convergente dans F si et seulement si la suite $(J_{u_n})_{n \in \mathbb{N}}$ est *-faiblement convergente dans F''.

**Remarque 6.84 (Lemme de Mazur)** Soit E un espace de Banach réel, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de E et $u \in E$. Il est clair que la convergence de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dans E vers $u$ implique la convergence faible de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ vers $u$ dans E. La réciproque est vraie si E est de dimension finie. La réciproque est en générale fausse si E est de dimension infinie. Elle est vraie dans quelques cas, comme, par exemple, si E est l'ensemble des séries (indexées par $\mathbb{N}$) absolument convergentes. L'espace E étant alors muni de sa norme naturelle (voir l'exercice 6.51). Il est par contre parfois intéressant de savoir que si $u_n \to u$ faiblement dans E, il existe une suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ t.q.

1. $v_n \to u$ dans E,

2. pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n$ est une combinaison convexe de l'ensemble des $u_p$, $p \ge n$,
c'est-à-dire qu'il existe $N_n \in \mathbb{N}$ et $t_{n,i} \in [0,1]$ pour $i = 0, \dots, N_n$ t.q.

$$
v_n = \sum_{i=0}^{N_n} t_{n,i} u_{n+i}, \quad \text{et} \quad \sum_{i=0}^{N_n} t_{n,i} = 1.
$$

Soit $1 < p \le \infty$, donc $1 \le q = \frac{p}{p-1} < \infty$. On note $L^p = L_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$, $L^q = L_{\mathbb{R}}^q(E, T, m)$
et $\Phi$ l'application de $L^p$ dans $(L^q)'$ définie par $\Phi(f) = \varphi_f$, où $\varphi_f$ est donnée par
(6.25). Le théorème 6.70 donne que $\Phi$ est une bijection de $L^p$ dans $(L^q)'$. On confond
(ou on identifie) fréquemment $u \in L^p$ avec $\Phi(u) \in (L^q)'$. On a alors une notion
de convergence faible-* dans $L^p$. Si $1 < p < \infty$ (on a alors aussi $1 < q < \infty$), les
notions de convergente faible et faible-* dans $L^p$ sont équivalentes. Dans le cas de
$L^\infty$, que l'on identifie fréquemment avec le dual (topologique) de $L^1$, les notions de
convergente faible et faible-* sont différentes. La convergence faible est plus forte que la convergence faible-. On donne ci-dessous la définition de convergence faible-* quand on considère L$^\infty$ comme le dual de L$^1$.

**Définition 6.85 (Convergence faible * dans L$^\infty$)** Soient (E, T, m) un espace mesuré et L$^\infty$ = L$^\infty_R(E, T, m). Soient (f_n)_{n \in N} \subset L^\infty et f \in L^\infty. On dit que la suite (f_n)_{n \in N} converge *-faiblement vers f dans L$^\infty$ si pour tout élément g de L$^1_R(E, T, m)$, on a : $\int f_n g dm \to \int f g dm$.

### 6.4.2 Convergence étroite et convergence en loi

Si m est une mesure finie sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$, on note $L_m$ l'application de $C_b(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$ définie par $L_m(\varphi) = \int \varphi dm$ (cette application caractérise m, d'après la proposition 5.8). On a vu au chapitre 5 que $L_m \in C_b(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})'$. Soit $(m_n)_{n \in N}$ une suite de mesures finies sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$ ($d \ge 1$) et m une mesure finie sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$. La convergence faible-* dans $(C_b(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})')$ de $L_{m_n}$ vers $L_m$, quand $n \to +\infty$, signifie donc que $\lim_{n \to +\infty} \int \varphi dm_n = \int \varphi dm$, pour tout $\varphi \in C_b(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$. Ceci s'appelle la convergence étroite de $m_n$ vers m.

**Définition 6.86 (Convergence étroite et vague)** Soit $(m_n)_{n \in N}$ une suite de mesures finies sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$ ($d \ge 1$) et m une mesure finie sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$.

1. On dit que $m_n \to m$ étroitement, quand $n \to +\infty$, si :

$$ \int \varphi dm_n \to \int \varphi dm \text{ pour tout } \varphi \in C_b(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}). $$

2. On dit que $m_n \to m$ vaguement, quand $n \to +\infty$, si :

$$ \int \varphi dm_n \to \int \varphi dm \text{ pour tout } \varphi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}). $$

La proposition suivante montre que la convergence vague et la convergence des masses totales donnent la convergence étroite. Si m et les mesures $m_n$ sont des probabilités, la convergence étroite de $m_n$ vers m (quand $n \to +\infty$) est donc équivalente à la convergence vague.

**Proposition 6.87** Soit $(m_n)_{n \in N}$ une suite de mesures finies sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$ ($d \ge 1$) et m une mesure finie sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$. On suppose que $m_n \to m$
vaguement et que $m_n(\mathbb{R}) \to m(\mathbb{R})$ (quand $n \to +\infty$). On a alors $m_n \to m$ étroitement.
(La réciproque de cette proposition est immédiate.)

La démonstration de cette proposition est contenue dans l'exercice 5.14.

**Remarque 6.88** Dans la proposition 6.87, l'hypothèse de convergence des masses totales est cruciale. Sans cette hypothèse, la convergence vague n'implique pas la convergence étroite. Un exemple simple est possible en prenant $d = 1$, $m = 0$ et $m_n = \delta_n$ pour $n \in \mathbb{N}$.

La convergence en loi d'une suite de v.a.r. est définie par la convergence étroite (ou vague, puisque c'est équivalent pour des probabilités) des lois des v.a.r.

**Définition 6.89 (Convergence en loi)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ un espace probabilisé, $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a.r. et $X$ une v.a.r.. On dit que $X_n \to X$ en loi, quand $n \to +\infty$, si :

$$ \int \varphi(X_n) d\mathbf{P} \to \int \varphi(X) d\mathbf{P} \text{ pour tout } \varphi \in C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R}). $$

(Ceci est équivalent à dire que $P_{X_n} \to P_X$ étroitement.)

Noter qu'il est possible de définir la convergence en loi pour une suite de v.a.r. définies sur des espaces probabilisés différents (c'est-à-dire que $X_n$ est définie sur l'espace probabilisé $(\Omega_n, \mathcal{A}_n, P_n)$ dépendant de $n$, et $X$ est définie sur $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$). Nous utiliserons parfois implicitement cette définition plus générale.

Comme cela a déjà été dit ci-dessus, la proposition 6.87 donne une caractérisation intéressante de la convergence en loi en utilisant la convergence vague.

**Proposition 6.90 (Caractérisation de la convergence en loi)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ un espace probabilisé, $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a.r. et $X$ une v.a.r.. La suite $X_n$ tend vers $X$ en loi, quand $n \to +\infty$, si et seulement si :

$$ \int \varphi(X_n) d\mathbf{P} \to \int \varphi(X) d\mathbf{P} \text{ pour tout } \varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}). \quad (6.34) $$

**DÉMONSTRATION** – La condition (6.34) est évidemment nécessaire car $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \subset C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. D'après la proposition 6.87, la condition (6.34) est aussi suffisante. On redonne ici la démonstration du fait que (6.34) est suffisant pour avoir la convergence en loi de $X_n$ vers $X$. On note $m_n = P_{X_n}$ et $m = P_X$.

**Etap 1.** Pour $p \in \mathbb{N}^*$, on définit $\varphi_p \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ par

$$ \left\{ \begin{array}{l} \varphi_p(s) = 0 \text{ si } s \le -p-1, \\ \varphi_p(s) = s+p+1 \text{ si } -p-1 < s < -p, \\ \varphi_p(s) = 1 \text{ si } -p \le s \le p, \\ \varphi_p(s) = -s+p+1 \text{ si } p < s < p+1, \\ \varphi_p(s) = 0 \text{ si } p+1 < s. \end{array} \right. $$
Comme $(1-\varphi_p) \to 0$ simplement, quand $p \to \infty$, et que $0 \le (1-\varphi_p) \le 1$, le théorème de convergence dominée donne $\lim_{p \to \infty} \int (1-\varphi_p) dm = 0$. Soit $\varepsilon > 0$, il existe $p_0 \in \mathbb{N}^*$ t.q.

$$0 \le \int (1 - \varphi_{p_0}) dm \le \varepsilon.$$

On remarque maintenant que, comme $\varphi_{p_0} \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et que $m_n$ et $m$ sont des probabilités, on a, quand $n \to +\infty$,

$$0 \le \int (1 - \varphi_{p_0}) dm = 1 - \int \varphi_{p_0} dm_n \to 1 - \int \varphi_{p_0} dm = \int (1 - \varphi_{p_0}) dm \le \varepsilon.$$

Il existe $n_0$ t.q.

$$n \ge n_0 \Rightarrow 0 \le \int (1 - \varphi_{p_0}) dm_n \le 2\varepsilon. \quad (6.35)$$

**Étape 2.** Soit $\varphi \in C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Pour $n \in \mathbb{N}$ et $p \in \mathbb{N}^*$ on utilise l'égalité $\varphi = \varphi(1-\varphi_p) + \varphi\varphi_p$. Elle donne

$$\int \varphi dm_n - \int \varphi dm = \int \varphi(1-\varphi_p) dm_n - \int \varphi(1-\varphi_p) dm + \int \varphi \varphi_p dm_n - \int \varphi \varphi_p dm. \quad (6.36)$$

En posant $\|\varphi\|_u = \sup_{s \in \mathbb{R}} |\varphi(s)|$ on a

$$| \int \varphi(1-\varphi_p) dm_n - \int \varphi(1-\varphi_p) dm | \le \|\varphi\|_u \left( \int (1-\varphi_p) dm_n + \int (1-\varphi_p) dm \right).$$

Soit $\varepsilon > 0$. En utilisant l'étape 1, il existe donc $p_1 \in \mathbb{N}^*$ et $n_1 \in \mathbb{N}$ t.q.

$$n \ge n_1 \Rightarrow \left| \int \varphi(1 - \varphi_{p_1}) dm_n - \int \varphi(1 - \varphi_{p_1}) dm \right| \le \varepsilon.$$

Puis, comme $\varphi\varphi_{p_1} \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ il existe $n_2 \in \mathbb{N}$ t.q.

$$n \ge n_2 \Rightarrow \left| \int \varphi \varphi_{p_1} dm_n - \int \varphi \varphi_{p_1} dm \right| \le \varepsilon.$$

Finalement, l'égalité (6.36) avec $p = p_1$ donne alors

$$n \ge \max\{n_1, n_2\} \Rightarrow \left| \int \varphi dm_n - \int \varphi dm \right| \le 2\varepsilon.$$

Ce qui prouve bien la convergence étroite de $m_n$ vers $m$ et donc la convergence en loi de $X_n$ vers $X$.

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

Une autre caractérisation intéressante de la convergence en loi est donnée dans le théorème 10.21. Elle donne l'équivalence entre la convergence en loi et la convergence simple des fonctions caractéristiques. La fonction caractéristique d'une v.a.r. est construite avec la transformation de Fourier (qui sera étudiée au chapitre 10).

**Remarque 6.91** Un intérêt de la proposition 6.90 (ou du théorème 10.21) est qu'un élément de $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ (ou une fonction de la forme $s \mapsto e^{is}$) est nécessairement uniformément continue (alors qu'une fonction appartenant à $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ n'est pas toujours uniformément continue). Cela permet, par exemple, de démontrer facilement que la convergence en probabilité implique la convergence en loi (voir l'exercice 6.62).
Une propriété parfois intéressante d'une suite de mesures convergeant étroitement est la tension de cette suite, notion qu'on définit maintenant.

**Définition 6.92** Soit $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de mesures finies sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$ ($d \ge 1$). On dit que la suite $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est tendue si

$$ \lim_{a \to \infty} m_n(B_a^c) = 0, \text{ uniformément par rapport à } n, $$

avec $B_a = \{x \in \mathbb{R}^d, |x| \le a\}$. (On désigne toujours par $|\cdot|$ la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^d$.)

Dans la proposition précédente, la propriété importante est le caractère uniforme (par rapport à $n$) de la convergence vers 0 de $m_n(B_a^c)$. En effet, pour tout $n$ fixé, la continuité décroissante de la mesure $m_n$ donne que $\lim_{a \to +\infty} m_n(B_a^c) = 0$. On montre maintenant que la convergence étroite d'une suite implique sa tension.

**Proposition 6.93** Soit $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de mesures finies sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$ ($d \ge 1$) et $m$ une mesure finie sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$. On suppose que $m_n \to m$ étroitement. Alors la suite $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est tendue.

En particulier, soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P})$ un espace probabilisé, $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a.r. et $X$ une v.a.r.. On suppose que $X_n \to X$ en loi. La suite $(P_{X_n})_{n \in \mathbb{N}}$ est alors tendue, c'est-à-dire

$$ \lim_{a \to +\infty} P(|X_n| > a) = 0 \text{ uniformément par rapport à } n. $$

**DÉMONSTRATION** – La démonstration de cette proposition est ici aussi essentiellement contenue dans l'exercice 5.14. En effet, soit $\varepsilon > 0$, la question 3 de l'exercice 5.14 montre qu'il existe $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ telle que $0 \le \varphi(x) \le 1$, pour tout $x \in \mathbb{R}^d$, et $\int_{\mathbb{R}^d} (1 - \varphi)dm_n \le \varepsilon$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. En prenant $a > 0$ t.q. $\varphi = 0$ sur $B_a^c$ (c'est-à-dire que le support de $\varphi$ est inclus dans $B_a = \{x \in \mathbb{R}^d, |x| \le a\}$), on a donc, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $m_n(B_a^c) \le \varepsilon$. Ce qui montre bien que la suite $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est tendue. $\blacksquare$

On peut maintenant donner une nouvelle caractérisation de la convergence étroite (et donc de la convergence en loi).

**Proposition 6.94** Soit $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de mesures finies sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$ ($d \ge 1$) et $m$ une mesure finie sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$. On a alors l'équivalence entre les deux propriétés suivantes :

$$ 1. m_n \to m \text{ étroitement quand } n \to +\infty, $$
2. $m_n \to m$ vaguement quand $n \to +\infty$ et la suite $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est tendue.

DÉMONSTRATION – Le fait que la propriété 1 implique la propriété 2 a été vu dans la proposition 6.93. On montre maintenant la réciproque. Pour cela, on reprend la démonstration de la proposition 6.90.

Pour $p \in \mathbb{N}^*$, on définit $\varphi_p \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ par

$$ egin{cases} \varphi_p(x) = 0 & \text{si } |x| \ge p+1, \\ \varphi_p(x) = p+1-|x| & \text{si } p < |x| < p+1, \\ \varphi_p(s) = 1 & \text{si } |x| \le p. \end{cases} $$

Soit $\varphi \in C_b(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$. Pour $n \in \mathbb{N}$ et $p \in \mathbb{N}^*$ on utilise l'égalité $\varphi = \varphi(1-\varphi_p) + \varphi\varphi_p$.
Elle donne

$$ \int \varphi dm_n - \int \varphi dm = \int \varphi(1-\varphi_p) dm_n - \int \varphi(1-\varphi_p) dm + \int \varphi \varphi_p dm_n - \int \varphi \varphi_p dm. \quad (6.37) $$

En posant $\|\varphi\|_u = \sup_{s \in \mathbb{R}^d} |\varphi(s)|$ on a

$$ \left| \int \varphi(1-\varphi_p) dm_n - \int \varphi(1-\varphi_p) dm \right| \le \|\varphi\|_u \left( \int (1-\varphi_p) dm_n + \int (1-\varphi_p) dm \right). $$

Soit $\varepsilon > 0$. On pose $B_p = \{x \in \mathbb{R}^d, |x| \le p\}$. Comme $0 \le \int (1-\varphi_p) dm_n \le m_n(B_p^c)$ et $0 \le \int (1-\varphi_p) dm \le m(B_p^c)$, l'hypothèse de tension sur la suite $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ (et la continuité décroissante pour $m$) donne l'existence de $p_1$ t.q., pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$$ \|\varphi\|_u \int (1 - \varphi_{p_1}) dm_n \le \varepsilon \text{ et } \|\varphi\|_u \int (1 - \varphi_{p_1}) dm \le \varepsilon. $$

Puis, comme $\varphi\varphi_{p_1} \in C_c(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$, la convergence vague donne l'existence de $n_0 \in \mathbb{N}$ t.q.

$$ n \ge n_0 \Rightarrow \left| \int \varphi \varphi_{p_1} dm_n - \int \varphi \varphi_{p_1} dm \right| \le \varepsilon. $$

Finalement, l'égalité (6.37) avec $p = p_1$ donne alors

$$ n \ge n_0 \Rightarrow \left| \int \varphi dm_n - \int \varphi dm \right| \le 3\varepsilon. $$

Ce qui prouve bien la convergence étroite de $m_n$ vers $m$. ■

**Remarque 6.95** Voici une conséquence intéressante de la proposition 6.94 et de la proposition 8.19 du chapitre 8 (que l'on peut utiliser avec $C_0(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$ qui est un espace de Banach séparable, ce qui n'est pas le cas de $C_b(\mathbb{R}^d, \mathbb{R})$). Soit $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de probabilités sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$. On suppose que la suite $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est tendue. Il existe alors une sous-suite de la suite $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$, encore notée $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$, et il existe une probabilité $m$ sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$ t.q. $m_n \to m$ étroitement quand $n \to +\infty$. Cette remarque sera détaillée dans la proposition 8.22.

Enfin, on donne maintenant un lien entre convergence en loi et convergence des fonctions de répartition. En particulier, la convergence en loi donne la convergence
des fonctions de répartition en tout point de continuité de la fonction de répartition de la v.a.r. limite.

**Proposition 6.96** *Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé, $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a.r. et $X$ une v.a.r.*

1. On suppose que $X_n \to X$ en loi, quand $n \to +\infty$. Soit $a \in \mathbb{R}$ t.q. $P(\{X = a\}) = 0$ (c'est-à-dire que la fonction de répartition de $X$ est continue au point $a$). On a alors

$$ \lim_{n \to +\infty} P(\{X_n \ge a\}) = P(\{X \ge a\}) = P(\{X > a\}) = \lim_{n \to +\infty} P(\{X_n > a\}). $$

(La même propriété est vraie en remplaçant $>$ par $<$.)

2. On suppose que $\lim_{n \to +\infty} P(\{X_n \ge a\}) = P(\{X \ge a\})$ pour tout $a \in \mathbb{R}$ t.q. $P(\{X = a\}) = 0$. On a alors $X_n \to X$ en loi, quand $n \to +\infty$.

**DÉMONSTRATION** – Cette proposition se démontre en adaptant légèrement les corrigés des exercices 6.58 et 6.59. (en particulier, le premier item de la proposition 6.96 se démontre avec la première partie du corrigé de l'exercice 6.58). ■

### 6.4.3 Lois des grands nombres

Dans ce paragraphe, on donne des résultats de convergence (en probabilité, p.s., en loi) pour des sommes de v.a.r. indépendantes. Nous commençons ce paragraphe par un résultat (simple) sur la variance de la somme de v.a.r. indépendantes, dont on déduit la loi faible des grands nombre qui donne non seulement un résultat de convergence (en probabilité) mais aussi des estimations précises sur cette convergence. Puis, on donne la loi forte des grands nombres et on énonce, en remarque, le théorème central limite. On reviendra sur ce théorème central limite au chapitre 10 car on utilisera, pour sa démonstration, la transformation de Fourier (et la remarque 6.95).

**Proposition 6.97** *Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de v.a.r. indépendantes deux à deux et de carré intégrable. On a alors, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,*

$$ \mathrm{Var}(X_1 + \dots + X_n) = \mathrm{Var}(X_1) + \dots + \mathrm{Var}(X_n). $$

**DÉMONSTRATION** – On pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ et $E_i = E(X_i)$. On a alors, par linéarité de l'intégrale, $E(S_n) = \sum_{i=1}^n E_i$ et :

$$ \begin{align*} \mathrm{Var}(S_n) &= E\left((S_n - E(S_n))^2\right) = E\left(\sum_{i=1}^n (X_i - E_i) \sum_{j=1}^n (X_j - E_j)\right) \\ &= \sum_{i,j=1}^n E((X_i - E_i)(X_j - E_j)). \end{align*} $$
Pour $i \neq j$, on a, comme $X_i$ et $X_j$ sont indépendantes, $E((X_i - E_i)(X_j - E_j)) = E(X_i - E_i)E(X_j - E_j) = 0$. On en déduit :

$$ \mathrm{Var}(S_n) = \sum_{i=1}^{n} E((X_i - E_i)^2) = \sum_{i=1}^{n} \mathrm{Var}(X_i). $$

■

**Proposition 6.98 (Loi faible des grands nombres)** *Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de v.a.r. indépendantes deux à deux et de carré intégrable. On suppose que ces v.a.r. sont de même moyenne m et de même variance $\sigma^2$. On pose $Y_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ (ce sont les moyennes de Cesàro de la suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$), alors $Y_n$ converge en probabilité vers la v.a.r. constante et égale à m, c'est-à-dire que l'on a :*

$$ \forall \varepsilon > 0, P(|Y_n - m| > \varepsilon) \to 0 \text{ lorsque } n \to +\infty. $$

Plus précisément, on a pour tout $\varepsilon > 0$ et $n \in \mathbb{N}^*$,

$$ P(|Y_n - m| \ge \varepsilon) \le \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}. \qquad (6.38) $$

**DÉMONSTRATION –** Soit $\varepsilon > 0$ et $n \in \mathbb{N}^*$. En utilisant l'inégalité de Bienaymé Tchebychev (lemme 4.57), on a :

$$ P(|Y_n - m| \ge \varepsilon) = P((Y_n - m)^2 \ge \varepsilon^2) \le \frac{1}{\varepsilon^2} E((Y_n - m)^2). $$

Puis, en posant $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$, on a $E((Y_n - m)^2) = \frac{1}{n^2} E((S_n - nm)^2) = \frac{\mathrm{Var}(S_n)}{n^2}$. La proposition 6.97 donne $\mathrm{Var}(S_n) = n\mathrm{Var}(X_1) = n\sigma^2$. On en déduit finalement

$$ P(|Y_n - m| \ge \varepsilon) \le \frac{1}{\varepsilon^2} \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}. $$

■

On donne maintenant la loi forte des grands nombres. La loi forte des grands nombres donne une convergence p.s., ce qui est plus fort qu'une convergence en probabilité (donnée par la loi faible des grands nombres). D'autre part, le deuxième item de la proposition 6.99 (loi forte) ne demande que l'intégrabilité des v.a.r., ce qui est moins fort que de demander qu'elles soient de carré intégrable (hypothèse de la loi faible). La loi forte semble donc, à double titre (hypothèse moins forte et conclusion plus forte), meilleure que la loi faible. Ceci n'est pas tout à fait exact car l'intérêt de la loi faible est de donner une estimation sur la vitesse de convergence (inégalité (6.38)) ce que ne donne pas la loi forte.

On admettra la proposition suivante, qui donne la loi forte des grands nombres (voir par exemple [8, 10])
**Proposition 6.99 (Loi forte des grands nombres)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ un espace probabilisé et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de v.a.r. indépendantes.

1. On suppose ici que les $X_n$ sont de carré intégrable, que $E(X_n) = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et que

$$ \sum_{n \in \mathbb{N}^*} \frac{E(X_n^2)}{n^2} < +\infty. $$

On a alors :

$$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \to 0 \text{ p.s., quand } n \to +\infty. $$

2. On suppose ici que la suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est une suite de v.a.r.i.i.d. et que $E(|X_1|) < +\infty$.

Alors :

$$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \to E(X_1) \text{ p.s., quand } n \to +\infty. $$

3. On suppose ici simplement que la suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est une suite de v.a.r.i.i.d.. Alors, pour toute fonction $\varphi$ borélienne bornée de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, on a :

$$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \varphi(X_i) \to E(\varphi(X_1)) \text{ p.s., quand } n \to +\infty. $$

Le troisième item de la proposition 6.99 est une conséquence immédiate du deuxième car la suite $(\varphi(X_n))_{n \in \mathbb{N}^*}$ est une suite de v.a.r.i.i.d. et $E(|\varphi(X_1)|) < +\infty$. Il montre qu'il est possible en pratique d'avoir une idée de la loi d'une v.a.r. en faisant un grand nombre d'expériences indépendantes. (La même remarque s'applique avec la loi faible des grands nombres.)

**Remarque 6.100** Nous verrons au chapitre 10 (théorème 10.23) un résultat de convergence en loi lorsque que l'on s'intéresse à $\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n} X_i$ au lieu de $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ (comme dans les propositions 6.98 et 6.99). Nous énonçons ici ce résultat (connu sous le nom de théorème central limite).

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ un espace probabilisé et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de v.a.r.i.i.d. de carrés intégrables. On note $m = E(X_1)$ et $\sigma^2 = \text{Var}(X_1)$. On pose

$$ Y_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n} (X_i - m). $$

La suite $(Y_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge alors en loi vers toute v.a.r. Y dont la loi est la loi normale $N(0, \sigma^2)$ (la loi normale, ou loi de Gauss, $N(0, \sigma^2)$, est définie au chapitre 4 section 4.4 dans le cas $\sigma^2 \neq 0$ et $N(0, 0) = \delta_0$).
## 6.5 Exercices

### 6.5.1 Espaces $L^p$, $1 \le p \le \infty$

**Exercice 6.1 (Fonctions nulles p.p. sur un ensemble mesurable)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré, $p \in [1, \infty[$ et $A \in T$. On pose $F = \{f \in L_{\mathbb{R}}^p(E, T, m); f = 0 \text{ p.p. sur } A\}$. Montrer que $F$ est fermé (dans $L_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$).

**Corrigé –** Soient $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset F$ et $f \in L_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$ t.q. $f_n \to f$ dans $L_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$.

Grâce à l'inégalité de Hölder (inégalité (6.1) pour $1 < p < \infty$ ou inégalité (6.10) qui contient aussi le cas $p = 1$), on a, pour tout $g \in L_{\mathbb{R}}^q(E, T, m)$ avec $q = \frac{p}{p-1}$,

$$ \left| \int f_n g dm - \int fg dm \right| \le \int |(f_n - f)g| dm \le \|f_n - f\|_p \|g\|_q \to 0, \text{ quand } n \to +\infty, $$
et donc

$$ \int f_n g dm \to \int fg dm, \text{ quand } n \to +\infty. \quad (6.39) $$

On prend alors $g = (|f|)^{p-1} 1_{\{f>0\}} 1_A - (|f|)^{p-1} 1_{\{f<0\}} 1_A \in L_{\mathbb{R}}^q(E, T, m)$ si $p > 1$ et on prend $g = 1_{\{f>0\}} 1_A - 1_{\{f<0\}} 1_A \in L_{\mathbb{R}}^{\infty}(E, T, m)$ si $p = 1$.

Comme $f_n g = 0 \text{ p.p.}$, on déduit de (6.39) que $\int |f|^p 1_A dm = 0$ et donc que $f = 0 \text{ p.p.}$ sur A.

Un autre démonstration est possible en utilisant la réciproque partielle du théorème de convergence dominée (théorème 6.11).

**Exercice 6.2 (Fonctions positives ou nulles p.p.)** Soit $p \in [1, \infty[$ et $C = \{f \in L^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})), \lambda); f \ge 0 \text{ p.p.}\}$. Montrer que $C$ est d'intérieur vide pour $p < \infty$ et d'intérieur non vide pour $p = \infty$.

**Corrigé –** Cas $p < \infty$

Soit $f \in C$ et soit $\varepsilon > 0$. On va construire $g \in L^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})), \lambda)$, avec $g \notin C$ et $\|f - g\|_p \le \varepsilon$. Comme $\varepsilon$ est arbitraire, ceci montrera bien que $f$ ne peut pas être dans l'intérieur de $C$ et donc, comme $f$ est arbitraire, que $C$ est d'intérieur vide.

On choisit, comme d'habitude, un représentant de $f$. On pose $A_n = \{0 \le f \le n\} \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. La suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante et $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n = \{f \ge 0\}$. Par continuité croissante de $\lambda$, on a donc $\lambda(A_n) \to \lambda(\{f \ge 0\}) = \infty$ quand $n \to +\infty$. Il existe donc $n \in \mathbb{N}^*$ t.q. $\lambda(A_n) > 0$. On choisit cette valeur de $n$ et on pose $A = A_n$.

On prend maintenant $m > (\frac{n+1}{\varepsilon})^p$ (ce choix sera bientôt compréhensible...) et, pour $i \in \mathbb{Z}$, on pose $B_i = A \cap [\frac{i}{m}, \frac{i+1}{m}]$. Comme les $B_i$ sont disjoints deux à deux et que $\bigcup_{i \in \mathbb{Z}} B_i = A$, on a $\lambda(A) = \sum_{i \in \mathbb{Z}} \lambda(B_i)$. Il existe donc $i \in \mathbb{Z}$ tel que $\lambda(B_i) > 0$. On choisit cette valeur de $i$ et on pose $B = B_i$ (noter que $\lambda(B) \le 1/m$).

On construit maintenant $g$ en prenant $g(x) = f(x)$ si $x \in B^c$ et $g(x) = -1$ si $x \in B$. La fonction $g$ mesurable et :

$$ \int |g|^p dm = \int_{B^c} |g|^p dm + \int_B |g|^p dm \le \int |f|^p dm + \lambda(B) < \infty. $$
On a donc $g \in L^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ (et $g \in L^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ en confondant $g$ avec sa classe d'équivalence). On a aussi $g \notin C$ car $\lambda(\mathcal{B}) > 0$ et $g < 0$ sur B. Enfin $\|f - g\|_p^p \le (n+1)^p \lambda(\mathcal{B}) \le \frac{(n+1)^p}{m} \le \varepsilon^p$ (par le choix de $m$), donc $\|f - g\|_p \le \varepsilon$.

Ceci montre bien que C est d'intérieur vide.

Cas $p = \infty$

On prend $f = 1_{\mathbb{R}} \in L^\infty(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ (et donc $f \in L^\infty(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ en confondant $f$ avec sa classe d'équivalence). On note $B(f, 1)$ la boule (dans $L^\infty$) de centre $f$ et de rayon 1. Soit $g \in B(f, 1)$. On a $|1 - g| = |f - g| \le \|f - g\|_\infty \le 1$ p.p.. On en déduit que $g \ge 0$ p.p. et donc que $g \in C$. La fonction $f$ appartient donc à l'intérieur de C, ce qui prouve que C est d'intérieur non vide.

**Exercice 6.3 (Convergence essentiellement uniforme)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions mesurables de $E$ dans $\mathbb{R}$ et $f$ une fonction mesurable de $E$ dans $\mathbb{R}$.

Montrer que $\|f_n - f\|_\infty \to 0$, quand $n \to +\infty$, si et seulement s'il existe $A \in T$ t.q. $m(A) = 0$ et $f_n \to f$ uniformément sur $A^c$, quand $n \to +\infty$.

**Corrigé** – On suppose que $\|f_n - f\|_\infty \to 0$, quand $n \to +\infty$.

Soit $n \in \mathbb{N}$, on a $|f_n - f| \le \|f_n - f\|_\infty$ p.p. (voir, par exemple, l'exercice corrigé 4.32). Il existe donc $A_n \in T$ t.q. $m(A_n) = 0$ et $|(f_n - f)(x)| \le \|f_n - f\|_\infty$ pour tout $x \in A_n^c$.

On pose $A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$, on a alors, par $\sigma$-additivité de $m$, $m(A) = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$$ \sup_{x \in A^c} |f_n(x) - f(x)| \le \|f_n - f\|_\infty. $$

On en déduit que $f_n \to f$ uniformément sur $A^c$, quand $n \to +\infty$, ce qui donne la propriété désirée.

Réciproquement, on suppose maintenant qu'il existe $A \in T$ t.q. $m(A) = 0$ et $f_n \to f$ uniformément sur $A^c$, quand $n \to +\infty$.

Soit $n \in \mathbb{N}$, on a, pour tout $x \in A^c$, $|f_n(x) - f(x)| \le \sup_{y \in A^c} |f_n(y) - f(y)|$. Comme $m(A) = 0$, on en déduit :

$$ |f_n - f| \le \sup_{y \in A^c} |f_n(y) - f(y)| \text{ p.p.,} $$

et donc :

$$ \|f_n - f\|_\infty \le \sup_{y \in A^c} |f_n(y) - f(y)|. $$

Comme $f_n \to f$ uniformément sur $A^c$, quand $n \to +\infty$, ceci donne bien $\|f_n - f\|_\infty \to 0$, quand $n \to +\infty$.

**Exercice 6.4 (Densité et continuité en moyenne)** 1. Soit $p \in [1, \infty[$. Montrer que $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ est dense dans $L^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. Soit $f \in L^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$, montrer que $\|f - f(\cdot + h)\|_p \to 0$ quand $h \to 0$.
**Corrigé – Densité de $C_c$ dans $L^p$** On reprend ici la démonstration faite pour $p = 1$
(voir le théorème 5.20)

Il est clair que $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \subset \mathcal{L}^p = \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. En confondant un élément de $\mathcal{L}^p$
avec sa classe d'équivalence, on a donc aussi $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \subset L^p = L_{\mathbb{R}}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ (ceci
est aussi vrai pour $p = \infty$). L'objectif est donc de montrer que pour tout $f \in \mathcal{L}^p$ et
tout $\varepsilon > 0$, il existe $\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ t.q. $\|f - \varphi\|_p \le \varepsilon$. On va raisonner en plusieurs
étapes (fonctions caractéristiques, $\varepsilon_+$, $M_+$ et enfin $\mathcal{L}^p$).

(a) On suppose ici que $f = 1_A$ avec $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et $\lambda(A) < \infty$.

Soit $\varepsilon > 0$. On prend la même fonction $\varphi$ que pour $p = 1$ (démonstration du théorème 5.20). On a $\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, $\varphi = 1$ sur $K$, $\varphi = 0$ sur $O^c$ et $0 \le \varphi \le 1$ (partout). Les ensembles $K$ et $O$ sont $t.q. K \subset A \subset O$ et $\lambda(O \setminus K) \le 2\varepsilon$. On en déduit que $f - \varphi = 0$ sur $K \cup O^c$ et $0 \le |f - \varphi| \le 1$, ce qui donne

$$
\|f - \varphi\|_p^p \leq \lambda(O \setminus K) \leq 2\varepsilon,
$$

et donc

$$
\|f - \varphi\|_p \le (2\varepsilon)^{\frac{1}{p}}.
$$

Comme $\varepsilon$ est arbitrairement petit, ceci termine la première étape.

(b) On suppose ici que $f \in \varepsilon_+ \cap \mathcal{L}^p$. Comme $f \in \varepsilon_+$, il existe $a_1, \dots, a_n > 0$ et $A_1, \dots, A_n \in \mathbb{T}$ t.q. $f = \sum_{i=1}^n a_i 1_{A_i}$. Comme $f \in \mathcal{L}^p$, on a, pour tout $i$, $a_i^+ \lambda(A_i) \le \int |f|^p dm < \infty$. Donc, $\lambda(A_i) < \infty$.

Soit $\varepsilon > 0$, l'étape 1 donne, pour tout $i$, l'existence de $\varphi_i \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ t.q. $\|1_{A_i} - \varphi_i\|_p \le \varepsilon$. On pose $\varphi = \sum_{i=1}^n a_i \varphi_i \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et on obtient $\|f - \varphi\|_p \le (\sum_{i=1}^n a_i)\varepsilon$ (ce qui est bien arbitrairement petit).

(c) On suppose ici que $f \in \mathcal{M}_+ \cap \mathcal{L}^p$.

Soit $\varepsilon > 0$. Comme $f \in \mathcal{M}_+$, il existe une suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{E}_+$ t.q. $f_n \uparrow f$ quand $n \to +\infty$. La suite $(f - f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est donc dominée par $f \in \mathcal{L}^p$. Le théorème de convergence dominée donne alors que $(f - f_n) \to 0$ dans $L^p$ quand $n \to +\infty$. On peut donc choisir $g = f_n \in \mathcal{E}_+$ t.q. $\|f - g\|_p \le \varepsilon$.

L'étape 2 donne alors l'existence de $\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ t.q. $\|g - \varphi\|_p \le \varepsilon$. D'où l'on déduit $\|f - \varphi\|_p \le 2\varepsilon$, ce qui termine l'étape 3.

(d) On suppose enfin que $f \in \mathcal{L}^p$.

Soit $\varepsilon > 0$. Comme $f^{\pm} \in \mathcal{M}_{+} \cap \mathcal{L}^{p}$, l'étape 3 donne qu'il existe $\varphi_{1}$, $\varphi_{2} \in C_{c}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ t.q. $\|f^{+} - \varphi_{1}\|_{p} \le \varepsilon$ et $\|f^{-} - \varphi_{2}\|_{p} \le \varepsilon$. On pose alors $\varphi = \varphi_{1} - \varphi_{2}$. On a $\varphi \in C_{c}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $\|f - \varphi\|_{p} \le 2\varepsilon$, ce qui prouve bien la densité de $C_{c}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ dans $L^{p}$.

Continuité en moyenne

On raisonne ici en 2 étapes :

(a) Soit $\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. La fonction $\varphi$ est donc uniformément continue, ce qui donne

$$
\sup_{x \in \mathbb{R}} |\varphi(x+h) - \varphi(x)| \to 0 \quad \text{quand } h \to 0.
$$
Soit $a > 0$ t.q. $\varphi = 0$ sur $[-a, a]^c$. Pour $h \in \mathbb{R}$ t.q. $|h| \le 1$, on a donc, comme $\varphi(x+h) - \varphi(x) = 0$ si $x \in [-a-1, a+1]$,

$$ \int |\varphi(x+h) - \varphi(x)|^p dx \le (2a+2) \sup_{x \in \mathbb{R}} |\varphi(x+h) - \varphi(x)|^p \to 0, \text{ quand } h \to 0. $$

On en déduit que $\|\varphi(\cdot + h) - \varphi\|_p \to 0$ quand $h \to 0$.

(b) Soit $f \in L^p$. L'invariance par translation de la mesure de Lebesgue donne que $f(\cdot + h) \in L^p$ pour tout $h \in \mathbb{R}$. On veut maintenant montrer que $\|f(\cdot + h) - f\|_p \to 0$ quand $h \to 0$.

Soit $\varepsilon > 0$. D'après la densité de $C_c$ dans $L^p$, il existe $\varphi \in C_c$ t.q. $\|f - \varphi\|_p \le \varepsilon$. L'invariance par translation de la mesure de Lebesgue donne $\|f(\cdot + h) - \varphi(\cdot + h)\|_p = \|f - \varphi\|_p$. On a donc, pour tout $h \in \mathbb{R}$ :

$$ \|f(\cdot + h) - f\|_p \le 2\|f - \varphi\|_p + \|\varphi(\cdot + h) - \varphi\|_p \le 2\varepsilon + \|\varphi(\cdot + h) - \varphi\|_p. $$

D'après la première étape, il existe $\eta > 0$ t.q.

$$ |h| \le \eta \Rightarrow \|\varphi(\cdot + h) - \varphi\|_p \le \varepsilon. $$

Donc,

$$ |h| \le \eta \Rightarrow \|f(\cdot + h) - f\|_p \le 3\varepsilon. $$

Ce qui prouve bien que $f(\cdot + h) \to f$ dans $L^p$, quand $h \to 0$.

2. Les assertions précédentes sont-elles vraies pour $p = \infty$ ?

**Corrigé** – Les assertions précédentes sont fausses pour $p = \infty$, comme cela est montré dans l'exercice 8.3.

(a) On a bien $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \subset L^\infty(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})), \lambda)$ mais le résultat de densité est faux. On prend, par exemple, $f = 1|_{[0,1]}$. Il est facile de voir que $\|f - \varphi\|_\infty \ge \frac{1}{2}$, pour tout $\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

(b) On prend ici aussi $f = 1|_{[0,1]}$. Il est facile de voir que $\|f(\cdot + h) - f\|_\infty = 1$ pour tout $h \ne 0$.

**Exercice 6.5 (Sur la séparabilité)** 1. Montrer que $L_p^r(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ est séparable pour $p \in [1, \infty[$ et n'est pas séparable pour $p = \infty$.

2. On munit $C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ de la norme de la convergence uniforme. Montrer que $C_0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ est séparable et que $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ n'est pas séparable.

**Exercice 6.6** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré, et $f, g, h$ des fonctions mesurables de $E$ dans $\mathbb{R}$. Soient $p, q, r \in ]1, +\infty[$, tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = 1$, montrer que :

$$ \int |fgh| dm \le (\int |f|^p dm)^{\frac{1}{p}} (\int |g|^q dm)^{\frac{1}{q}} (\int |h|^r dm)^{\frac{1}{r}}. $$

(En convenant que $0 \times (+\infty) = 0$.)
**Exercice 6.7 (Produit L$^p$ - L$^q$)** Soient (E, T, m) un espace mesuré, p ∈ [1, +∞] et q le conjugué de p (i.e. q = p/(p-1)). Soient (f_n)_{n∈N} ⊂ L_R^p(E, T, m), (g_n)_{n∈N} ⊂ L_R^q(E, T, m), f ∈ L_R^p(E, T, m) et g ∈ L_R^q(E, T, m) t.q. f_n → f dans L_R^p(E, T, m) et g_n → g dans L_R^q(E, T, m). Montrer que $\int f_n g_n dm \to \int fg dm$ lorsque n → +∞.

**Corrigé** – On remarque d'abord que le lemme 6.5 (ou la proposition 6.26 pour avoir aussi le cas p = ∞ ou q = ∞) donne que $fg \in L_\mathbb{R}^1(E, T, m)$ et $f_n g_n \in L_\mathbb{R}^1(E, T, m)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Puis, on utilise l'inégalité de Hölder (lemme 6.5 et proposition 6.26) pour obtenir

$$ 
\begin{aligned}
\left| \int f_n g_n dm - \int fg dm \right| &\le \left| \int (f_n - f) g_n dm \right| + \left| \int f (g_n - g) dm \right| \\
&\le \|f_n - f\|_p \|g_n\|_q + \|f\|_p \|g - g_n\|_q \to 0, \text{ quand } n \to +\infty, \\
car \ \|f_n - f\|_p \to 0, \ \|g - g_n\|_q \to 0 \ (\text{quand } n \to +\infty) \text{ et la suite } (\|g_n\|_q)_{n \in \mathbb{N}} \text{ est bornée} \\
car la suite } (g_n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ est convergente dans } L^q.
\end{aligned}
$$

**Exercice 6.8 (Caractérisation de L$^p$)** Soit (E, T, m) un espace mesuré, p ∈ [1, ∞] et q = p/(p-1). On note Lr l'espace Lr_$(E, T, m)$ (pour r ∈ [1, ∞]).

Soit $f: E \to \mathbb{R}$ une application mesurable. On suppose que $fg \in L^1$ pour tout $g \in L^q$. Le but de l'exercice est de montrer que $f \in L^p$.

1. On suppose, dans cette question, que p = 1. Montrer que f ∈ L¹.

2. On suppose, dans cette question, que p = ∞. Pour montrer que f ∈ L∞, on raisonne par l'absurde en supposant que f ∉ L∞.

(a) Soit $\alpha \ge 0$. Montrer qu'il existe $\beta > \alpha$ t.q. $m(\{\alpha \le |f| < \beta\}) > 0$. En déduire qu'il existe une suite croissante $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ t.q. $\alpha_0 = 0$, $\alpha_n \ge n$ et $m(A_n) > 0$ avec $A_n = \{\alpha_n \le |f| < \alpha_{n+1}\}$ (pour tout $n \in \mathbb{N}$).

(b) Soit $(b_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$. On pose $g = \sum_{n \in \mathbb{N}} b_n 1_{A_n}$ (les $A_n$ étant définis à la question précédente). Montrer qu'un choix convenable de $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ donne $g \in L^1$ et $fg \notin L^1$.

(c) Conclure.

3. On suppose, dans cette question, que $p \in ]1, \infty[$ et que $m(E) < \infty$. Pour montrer que $f \in L^p$, on raisonne une nouvelle fois par l'absurde en supposant que $f \notin L^p$.

(a) Soit $\alpha \ge 0$. Montrer qu'il existe $\beta > \alpha$ t.q. $1 \le \int_A |f|^p dm < \infty$ avec $A = \{\alpha \le |f| < \beta\}$. En déduire qu'il existe une suite croissante $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ t.q. $\alpha_0 = 0$ et $1 \le \int_{A_n} |f|^p dm < \infty$ avec $A_n = \{\alpha_n \le |f| < \alpha_{n+1}\}$ (pour tout $n \in \mathbb{N}$).

(b) Soit $(b_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$. On pose $g = \sum_{n \in \mathbb{N}} b_n |f|^{p-1} 1_{A_n}$ (les $A_n$ étant définis à la question précédente). Montrer qu'un choix convenable de $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ donne $g \in L^q$ et $fg \notin L^1$.
(c) Conclure.

4. On suppose, dans cette question, que $p \in ]1, +\infty[$ et que $m$ est $\sigma$-finie. Montrer que $f \in \mathcal{L}^p$.

**Exercice 6.9 (Une fonction $L^p$ est “mieux” que $L^p$?)** Soit $(X, T, m)$ un mesure mesuré, $1 \le p < +\infty$ et $f \in L^p$ (avec $L^p = L_{\mathbb{R}}^p(X, T, m)$). L'exercice consiste à montrer qu'il existe $\varphi \in C(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}_+)$ t.q. $\lim_{s \to +\infty} \varphi(s)/s = +\infty$ et $\varphi(|f|) \in L^p$.

1. (Question préliminaire) Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de nombres positifs t.q. $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n < +\infty$. Montrer qu'il existe $\psi \in C(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}_+)$ croissante t.q. $\lim_{s \to +\infty} \psi(s) = +\infty$ et $\sum_{n=1}^{+\infty} \psi(n)a_n < +\infty$.

2. Montrer qu'il existe $\varphi \in C(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}_+)$ t.q. $\lim_{s \to +\infty} \varphi(s)/s = +\infty$ et $\varphi(|f|) \in L^p$.

**Exercice 6.10 (Convergence de $\|\cdot\|_p$ quand $p \to +\infty$)** Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, continue à support compact. Montrer que $\|f\|_p \to \|f\|_\infty$ lorsque $p \to +\infty$.

**Exercice 6.11 (Convergence de l'intégrale du produit de fonctions)**

Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$, $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L_{\mathbb{R}}^{\infty}(E, T, m)$, $f \in L_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$ et $g \in L_{\mathbb{R}}^{\infty}(E, T, m)$. On suppose que $f_n \to f$ dans $L_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$.

1. On suppose que $g_n \to g$ dans $L_{\mathbb{R}}^{\infty}(E, T, m)$. Montrer que $f_n g_n \to fg$ dans $L_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$.

**Corrigé** – Cette question a été faite dans l'exercice 6.7.

2. On suppose maintenant que $g_n \to g$ p.p.. Montrer par un contre-exemple qu'on peut ne pas avoir $f_n g_n \to fg$ dans $L_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$.

**Corrigé** – On prend $(E, T, m) = (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$, $\lambda$. On prend $f = g = 0$ et, pour $n \in \mathbb{N}^*$,
$$f_n = g_n = \sqrt{n} \mathbf{1}_{]0, \frac{1}{n}[}.$$

On a bien $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$, $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L_{\mathbb{R}}^{\infty}(E, T, m)$, $f \in L_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$ et $g \in L_{\mathbb{R}}^{\infty}(E, T, m)$ (comme d'habitude, on confond un élément de $\mathcal{L}^p$ avec sa classe d'équivalence).

On a aussi $f_n \to 0$ dans $L_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$ (car $\|f_n\|_1 = \frac{1}{\sqrt{n}}$), $g_n \to 0$ p.p. et $f_n g_n \to 0$ dans $L_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$ car $\|f_n g_n\|_1 = 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

3. On suppose maintenant que $g_n \to g$ p.p. et qu'il existe $M \in \mathbb{R}$ t.q. $\|g_n\|_\infty \le M$. Montrer qu'on a alors $f_n g_n \to fg$ dans $L_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$.

**Corrigé** – On remarque d'abord que $fg \in L_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$ et $f_n g_n \in L_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ (voir la proposition 6.26). Puis, on écrit

$$\left| \int f_n g_n dm - \int fg dm \right| \le \int |f_n - f| \|g_n\|_m dm + \int |f| \|g_n - g\|_m dm. \quad (6.40)$$

Le premier terme du membre de droite de cette inégalité tend vers 0 car il est majoré par $M \|f_n - f\|_1$ qui tend vers 0 quand $n \to +\infty$.
Pour montrer que le deuxième terme de cette inégalité tend aussi vers 0, on pose $h_n = |f||g_n - g|$. On a $h_n \to 0$ p.p. car $g_n \to g$ p.p., quand $n \to +\infty$. On a aussi $0 \le h_n \le 2M|f| \in L_\mathbb{R}^1(E, T, m)$ (en effet, comme $g_n \to g$ p.p. et $|g_n| \le M$ p.p., on a aussi $|g| \le M$ p.p.). On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée. Il donne que $\int h_n dm \to 0$. On en déduit que le deuxième terme de (6.40) tend vers 0 quand $n \to +\infty$ et donc que $f_n g_n \to fg$ dans $L_\mathbb{R}^1(E, T, m)$ quand $n \to +\infty$.

**Exercice 6.12 (Mesure de densité)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré et $\mu$ une mesure de densité $f \in \mathcal{M}_+$ par rapport à $m$, montrer que :

$$
(i) \quad \int g d\mu = \int f g \, dm, \quad \forall g \in \mathcal{M}_+
$$

$$
\begin{array}{l}
\text{(ii)} \quad \text{Soit } g \in \mathcal{M}, \text{ alors } g \in L^1(\mu) \Leftrightarrow f g \in L^1(m), \\
\text{et si } g \in L^1(\mu), \text{ alors } \displaystyle\int g d\mu = \displaystyle\int f g \, dm
\end{array}
$$

**Exercice 6.13 (Opérateur à noyau)** Soit $K : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_+$ une fonction mesurable (on a donc $K \in \mathcal{M}_+(\mathbb{R}^2, \mathcal{B}(\mathbb{R}^2))$). On suppose qu'il existe $M \in \mathbb{R}_+$ t.q. $\int K(x,t)dt \le M$, pour tout $x \in \mathbb{R}$, et $\int K(t,y)dt \le M$, pour tout $y \in \mathbb{R}$.

Pour tout $1 \le p \le \infty$, on note $\mathcal{L}^p$ l'espace $\mathcal{L}_R^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et $\mathcal{L}^p$ l'espace $\mathcal{L}_R^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$.

Si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est une fonction mesurable, on pose, pour tout $x \in \mathbb{R}$ t.q. $K(x, \cdot) f(\cdot) \in \mathcal{L}^1$, $T(f)(x) = \int K(x, t) f(t) dt$.

Soit $1 \le p \le \infty$. [On conseille de considérer séparément les cas $p = 1, p = \infty$ et $1 < p < \infty$.]

1. Soit $f \in L^p$ (on identifie $f$, comme d'habitude, avec l'un de ses représentants, on a donc $f \in \mathcal{L}^p$). Montrer que $T(f)(x)$ est définie pour presque tout $x \in \mathbb{R}$. Montrer que $T(f) \in L^p$ (au sens "il existe $g \in \mathcal{L}^p$ t.q. $T(f) = g$ p.p.").

2. Montrer que $T$ est une application linéaire continue de $L^p$ dans $L^p$.

**Exercice 6.14 (Inégalité de Hardy)** Soit $p \in ]1, \infty[$. On note $\mathcal{L}^p$ l'espace $\mathcal{L}_R^p(]0, \infty[$, $\mathcal{B}([0, \infty[$), $\lambda$) ($\lambda$ est donc ici la mesure de Lebesgue sur les boréliens de $]0, \infty[$).

Soit $f \in \mathcal{L}^p$. Pour $x \in ]0, \infty[$, on pose $F(x) = \frac{1}{x} \int f 1_{]0,x[} d\lambda$. Le but de l'exercice est de montrer que $F \in \mathcal{L}^p$ et $\|F\|_p \le \frac{p}{p-1} \|f\|_p$.

1. On suppose, dans cette question, que $f \in C_c([0, \infty[)$ (c'est-à-dire que $f$ est continue et à support compact dans $]0, \infty[$).

(a) Montrer $F \in C^1([0, \infty[) \cap \mathcal{L}^p$. Montrer que $x F'(x) = -F(x) + f(x)$ pour tout $x > 0$.

**Corrigé** – On pose $G(x) = \int f 1_{]0,x[} d\lambda$ pour $x \in ]0, \infty[$. Comme $f$ est continue, la fonction $g$ est de classe $C^1$ sur $]0, \infty[$ (et $G' = f$). On en déduit que $F$ est aussi de classe $C^1$ sur $]0, \infty[$.
Comme $f$ est à support compact dans $]0, \infty[$, il existe $a, A \in ]0, \infty[$, $a \le A$, t.q. $f(x) = 0$ si $x < a$ ou $x > A$. La fonction $f$ est bornée (car continue sur le compact $[a, A]$ et nulle en dehors de ce compact), on note $M = \sup\{|f(x)|; x \in [a, A]\}$. On a alors $|F(x)| \le \frac{M(A-a)}{x}1_{[a,\infty[}(x)$ pour tout $x \in ]0, \infty[$. On en déduit que $F \in \mathcal{L}^p$ car $p > 1$ (et on aussi $F \in \mathcal{L}^\infty$).

Comme $xF(x) = G(x)$, on a bien $xF'(x) + F(x) = G'(x) = f(x)$ pour tout $x \in ]0, \infty[$.

(b) On suppose, dans cette question, que $f(x) \ge 0$ pour tout $x \in ]0, \infty[$.

Montrer que $\int_0^\infty F^p(x)dx = \frac{p}{p-1}\int_0^\infty F^{p-1}(x)f(x)dx$. [On pourra utiliser une intégration par parties.]

Montrer que $\|F\|_p \le \frac{p}{p-1}\|f\|_p$.

**Corrigé** – Soit $n \in \mathbb{N}^*$. En intégrant par parties (entre $F^p$ et 1) sur $]0, n[$, on obtient :

$$ \int_0^n F^p(x)dx = - \int_0^n pF^{p-1}F'(x)xdx + F^p(n)n \\ = \int_0^n pF^p(x)dx - \int_0^n pF^{p-1}f(x)dx + F^p(n)n, $$

et donc :

$$ (p-1) \int_0^n F^p(x)dx = \int_0^n pF^{p-1}f(x)dx - F^p(n)n. $$

Comme $0 \le F^p(n)n \le \frac{1}{n^{p-1}}M(A-a) \to 0$, quand $n \to +\infty$ (où $a, A, M$ sont définis à la question précédente) et que $F, f \in \mathcal{L}^p$, on en déduit :

$$ \int_0^\infty F^p(x)dx = \frac{p}{p-1} \int_0^\infty F^{p-1}(x)f(x)dx. $$

En utilisant l'inégalité de Hölder (entre $f \in \mathcal{L}^p$ et $F^{p-1} \in \mathcal{L}^{\frac{p}{p-1}}$) on déduit de la précédente inégalité :

$$ \int_0^\infty F^p(x)dx \le \frac{p}{p-1}\|f\|_p \left( \int_0^\infty F^p(x)dx \right)^{\frac{p-1}{p}}, $$

et donc (comme $F \in \mathcal{L}^p$) $\|F\|_p \le \frac{p}{p-1}\|f\|_p$.

(c) Monter que $\|F\|_p \le \frac{p}{p-1}\|f\|_p$ (on ne suppose plus que $f(x) \ge 0$ pour tout $x \in ]0, \infty[$).

**Corrigé** – Il suffit de considérer $H(x) = \frac{1}{x} \int |f|1_{]0,x|}d\lambda$ pour $x > 0$. La question précédente donne que $H \in \mathcal{L}^p$ et $\|H\|_p \le \frac{p}{p-1}\|f\|_p$. Comme $|F(x)| \le H(x)$ pour tout $x > 0$, on a donc $\|F\|_p \le \|H\|_p \le \frac{p}{p-1}\|f\|_p$.

2. On ne suppose plus que $f \in C_c(]0, \infty[$).
(a) Montrer qu'il existe $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C_c(]0, \infty[)$ t.q. $\|f_n - f\|_p \to 0$ quand $n \to +\infty$. [On pourra utiliser la densité de $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ dans $L_{\mathbb{R}}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$, exercice 6.4.]

**Corrigé** – On définit $g$ par $g = f \text{ sur } ]0, \infty[ \text{ et } g = 0 \text{ sur } ]-\infty, 0]$. On a donc $g \in \mathcal{L}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. il existe donc $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ t.q. $g_n \to g$ dans $\mathcal{L}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ quand $n \to +\infty$. On note $\bar{g}_n$ la restriction de la fonction $g_n$ à $]0, \infty[$. La suite $(\bar{g}_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge donc vers $f$ dans $\mathcal{L}^p$, mais les fonctions $\bar{g}_n$ ne sont pas nécessairement à support compact dans $]0, \infty[$. Il faut donc les modifier légèrement.

On se donne une fonction $\varphi \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ t.q. $\varphi = 0 \text{ sur } ]-1, 1[ \text{ et } \varphi = 1 \text{ sur } ]-2, 2[$. On pose $\varphi_m(x) = \varphi(mx)$ pour $x \in \mathbb{R}$ et $m \in \mathbb{N}^*$. Le théorème de convergence dominée donne alors que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $\varphi_m \bar{g}_n \to \bar{g}_n$ dans $\mathcal{L}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ quand $m \to \infty$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on peut donc choisir $m_n \in \mathbb{N}^*$ t.q. $\|\varphi_{m_n} \bar{g}_n - \bar{g}_n\|_p \le \frac{1}{n+1}$. On pose $f_n = \varphi_{m_n} \bar{g}_n$, on a bien $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C_c(]0, \infty[)$ et $\|f_n - f\|_p \to 0$ quand $n \to +\infty$.

(b) Montrer que $F \in C(]0, \infty[) \cap \mathcal{L}^p$ et que $\|F\|_p \le \frac{p}{p-1} \|f\|_p$.

**Corrigé** – On pose $G(x) = \int f 1_{]0,x[} d\lambda$ pour $x \in ]0, \infty[$. On remarque que $G \in C(]0, \infty[)$ car si $0 < x < y < \infty$, on a (en utilisant l'inégalité de Hölder) $|G(x) - G(y)| \le \int |f| 1_{]x,y[} d\lambda \le \|f\|_p (y-x)^{1-1/p}$. On a donc aussi $F \in C(]0, \infty[$).

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C_c(]0, \infty[)$ t.q. $\|f_n - f\|_p \to 0$ quand $n \to +\infty$. On pose $F_n(x) = \frac{1}{x} \int f_n 1_{]0,x[} d\lambda$. On a donc $F_n \in \mathcal{L}^p$ et

$$ \|F_n\|_p \le \frac{p}{p-1} \|f_n\|_p. \qquad (6.41) $$

Pour $x \in ]0, \infty[$, on a (en utilisant l'inégalité de Hölder) $|F_n(x) - F(x)| \le \frac{1}{x} \|f_n - f\|_p x^{1-1/p}$. On en déduit que $F_n \to F$ p.p.. Il suffit alors d'appliquer le lemme de Fatou à la suite $(|F_n|^p)_{n \in \mathbb{N}}$ pour déduire de (6.41) que $F \in \mathcal{L}^p$ et $\|F\|_p \le \frac{p}{p-1} \|f\|_p$.

3. Montrer que $\sup\{\frac{\|F\|_p}{\|f\|_p}, f \in \mathcal{L}^p, \|f\|_p \ne 0\} = \frac{p}{p-1}$ (dans cette formule, F est donné comme précédemment à partir de $f$). [On pourra considérer la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par $f_n(t) = t^{-\frac{1}{p}} 1_{]1,n[}(t)$ pour $t \in ]0, \infty[$.]

**Corrigé** – Soit $n \ge 2$ et $f_n$ définie par $f_n(t) = t^{-\frac{1}{p}} 1_{]1,n[}(t)$ pour $t \in ]0, \infty[$. On a $f_n \in \mathcal{L}^p$ et $\|f_n\|_p = (\log n)^{\frac{1}{p}}$.

On pose $F_n(x) = \frac{1}{x} \int f_n 1_{]0,x[} d\lambda$ et on cherche maintenant à minorer $\|F_n\|_p$. On remarque que $F_n(x) \ge 0$ pour tout $x \in ]0, \infty[$ et :

$$ F_n(x) = \frac{p}{p-1} \frac{1}{x} \left(x^{\frac{p-1}{p}} - 1\right), \text{ pour } x \in [1, n]. \qquad (6.42) $$

Soit $\eta > 0$. Il existe $A > 1$ t.q. :

$$ x > A \Rightarrow x^{\frac{p-1}{p}} - 1 \ge (1 - \eta)x^{\frac{p-1}{p}}, $$
et donc, en utilisant (6.42), on obtient :

$$n > A \Rightarrow \|F_n\|_p \ge \frac{p}{p-1}(1-\eta)\left(\int_A \frac{1}{x}dx\right)^{\frac{1}{p}} = \frac{p}{p-1}(1-\eta)(\log n - \log A)^{\frac{1}{p}}.$$

Comme $\|f_n\|_p = (\log n)^{\frac{1}{p}}$, on en déduit que $\limsup_{n \to +\infty} \frac{\|F_n\|_p}{\|f_n\|_p} \ge \frac{p}{p-1}(1-\eta)$. Comme $\eta > 0$ est arbitrairement petit, on a donc $\limsup_{n \to +\infty} \frac{\|F_n\|_p}{\|f_n\|_p} \ge \frac{p}{p-1}$, ce qui donne :

$$\sup\left\{\frac{\|F\|_p}{\|f\|_p}, f \in \mathcal{L}^p, \|f\|_p \neq 0\right\} \ge \frac{p}{p-1}.$$

La majoration donnée à la question 3 permet de conclure :

$$\sup\left\{\frac{\|F\|_p}{\|f\|_p}, f \in \mathcal{L}^p, \|f\|_p \neq 0\right\} = \frac{p}{p-1}.$$

**Exercice 6.15 (Continuité d'une application de $L^p$ dans $L^q$)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré fini, $p, q \in [1, \infty[$ et $g$ une application continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ t.q. :

$$\exists C \in \mathbb{R}_+^*; |g(s)| \le C|s|^{\frac{p}{q}} + C, \forall s \in \mathbb{R}. \quad (6.43)$$

1. Soit $u \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$. Montrer que $g \circ u \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^q(E, T, m)$.

**Corrigé** – Cet exercice est très voisin de l'exercice 4.35 correspondant au cas $p = q = 1$, le corrigé des 3 premières questions va donc suivre essentiellement le corrigé de l'exercice 4.35.

La fonction $u$ est mesurable de $E$ (muni de la tribu $T$) dans $\mathbb{R}$ (muni de la tribu $\mathcal{B}(\mathbb{R})$) et $g$ est borélienne (c'est-à-dire mesurable de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, muni de la tribu $\mathcal{B}(\mathbb{R})$). On en déduit, par composition, que $g \circ u$ est mesurable (de $E$ dans $\mathbb{R}$).

Pour $s \in [-1, 1]$, on a $|g(s)| \le 2C$ et donc $|g(s)|^q \le 2^q C^q$. Pour $s \in \mathbb{R} \setminus [-1, 1]$, on a $|g(s)| \le 2C|s|^{\frac{p}{q}}$ et donc $|g(s)|^q \le 2^q C^q|s|^p$. On a donc, pour tout $s \in \mathbb{R}$, $|g(s)|^q \le 2^q C^q + 2^q C^q|s|^p$. On en déduit que, pour tout $x \in E$, $|g \circ u(x)|^q = |g(u(x))|^q \le 2^q C^q + 2^q C^q|u(x)|^p$, et donc :

$$\int |g \circ u|^q dm \le 2^q C^q \|u\|_p^p + 2^q C^q m(E),$$

ce qui donne $g \circ u \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^q(E, T, m)$.

On pose $L^r = L_{\mathbb{R}}^r(E, T, m)$, pour $r = p$ et $r = q$. Pour $u \in L^p$, on pose $G(u) = \{h \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^q(E, T, m); h = g \circ v \text{ p.p.}\}$, avec $v \in u$. On a donc $G(u) \in L^q$ et cette définition a bien un sens, c'est-à-dire que $G(u)$ ne dépend pas du choix de $v$ dans $u$.

**Corrigé** – La démonstration du fait que cette définition a bien un sens est essentiellement identique à celle du cas $p = q = 1$ (exercice 4.35). Elle n'est pas demandée ici.

2. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^p$. On suppose que $u_n \to u$ p.p., quand $n \to +\infty$, et qu'il existe $F \in L^p$ t.q. $|u_n| \le F$ p.p., pour tout $n \in \mathbb{N}$. Montrer que $G(u_n) \to G(u)$ dans $L^q$.
**Corrigé** – Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on choisit un représentant de $u_n$, encore notée $u_n$. On choisit aussi des représentants de $u$ et $F$, notés toujours $u$ et $F$. Comme $u_n \to u$ p.p. quand $n \to +\infty$ et que $g$ est continu, il est facile de voir que $g \circ u_n \to g \circ u$ p.p.. On a donc $G(u_n) \to G(u)$ p.p..

On remarque aussi que $|g \circ u_n| \le C|u_n|^q + C \le C|F|^q + C \text{ p.p. et donc } |G(u_n)| \le C|F|^q + C \text{ p.p., pour tout } n \in \mathbb{N}$.

Comme $F \in F^p$, on a $|F|^q \in L^q$. Les fonctions constantes sont aussi dans $L^q$ (car $m(E) < \infty$). On a donc $C|F|^q + C \in L^q$. On peut alors appliquer le théorème de convergence dominée dans $L^q$ (théorème 6.9), il donne que $G(u_n) \to G(u)$ dans $L^q$ quand $n \to +\infty$.

### 3. Montrer que G est continue de $L^p$ dans $L^q$.

**Corrigé** – On raisonne par l'absurde. On suppose que G n'est pas continue de $L^p$ dans $L^q$. Il existe donc $u \in L^p$ et $(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^p \text{ t.q. } u_n \to u \text{ dans } L^p \text{ et } G(u_n) \not\to G(u) \text{ dans } L^q \text{ quand } n \to +\infty$.

Comme $G(u_n) \not\to G(u)$, il existe $\varepsilon > 0$ et $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \text{ t.q. } \varphi(n) \to \infty \text{ quand } n \to +\infty$ et :

$$ \|G(u_{\varphi(n)}) - G(u)\|_q \ge \varepsilon \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}. \quad (6.44) $$

(La suite $(G(u_{\varphi(n)}))_{n \in \mathbb{N}}$ est une sous-suite de la suite $(G(u_n))_{n \in \mathbb{N}}$.)

Comme $u_{\varphi(n)} \to u$ dans $L^p$, on peut appliquer le théorème 6.11 (réciproque partielle de la convergence dominée dans $L^q$). Il donne l'existence de $\psi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ et de $F \in L^p$ t.q. $\psi(n) \to \infty$ quand $n \to +\infty$, $u_{\varphi \circ \psi(n)} \to u$ p.p. et $|u_{\varphi \circ \psi(n)}| \le F \text{ p.p., pour tout } n \in \mathbb{N}$. (La suite $(u_{\varphi \circ \psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ est une sous-suite de la suite $(u_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$.)

On peut maintenant appliquer la question 2 à la suite $(u_{\varphi \circ \psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$. Elle donne que $G(u_{\varphi \circ \psi(n)}) \to G(u)$ dans $L^q$ quand $n \to +\infty$, ce qui est en contradiction avec (6.44).

### 4. On considère ici $(E, T, m) = ([0, 1], \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et on prend $p = q = 1$. On suppose que $g$ ne vérifie pas (6.43). On va construire $u \in L^1$ t.q. $G(u) \notin L^1$.

(a) Soit $n \in \mathbb{N}^*$, montrer qu'il existe $\alpha_n \in \mathbb{R}$ tel que : $|g(\alpha_n)| \ge n|\alpha_n|$ et $|\alpha_n| \ge n$.

**Corrigé** – On raisonne par l'absurde. On suppose que $|g(s)| < n|s|$ pour tout $s$ t.q. $|s| \ge n$. On pose $M = \max\{|g(s)|, s \in [-n, n]\}$. On a $M < \infty$ car $g$ est continue sur le compact $[-n, n]$ (noter que $n$ est fixé). en posant $C = \max\{n, M\}$, on a donc :

$$ |g(s)| \le C|s| + C, \text{ pour tout } s \in \mathbb{R}, $$

en contradiction avec l'hypothèse que $g$ ne vérifie pas (6.43).

Il existe donc $s$, t.q. $|s| \ge n$ et $|g(s)| \ge n|s|$. Ceci prouve l'existence de $\alpha_n$.

(b) On choisit une suite $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ vérifiant les conditions données à la question précédente. Montrer qu'il existe $\alpha > 0$ t.q.

$$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\alpha}{|\alpha_n|n^2} = 1. $$
**Corrigé** – Comme $\alpha_n \ge n$, on a $\frac{1}{|\alpha_n|n^2} \le \frac{1}{n^3}$ et donc :

$$0 < \beta = \sum_{n \in \mathbb{N}^*} \frac{1}{|\alpha_n|n^2} < \infty.$$

On choisit alors $\alpha = \frac{1}{\beta}$.

(c) Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite définie par : $a_1 = 1$ et $a_{n+1} = a_n - \frac{\alpha}{|\alpha_n|n^2}$ (où $\alpha_n$ et $\alpha$ sont définies dans les 2 questions précédentes). On pose $u = \sum_{n=1}^{+\infty} \alpha_n 1_{[a_{n+1}, a_n]}$. Montrer que $u \in L^1$ et $G(u) \notin L^1$.

**Corrigé** – Pour $n \ge 2$, on a $a_n = 1 - \sum_{p=1}^{n-1} \frac{\alpha}{|\alpha_p|p^2}$.

Grâce au choix de $\alpha$, on a donc $a_n > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, et $a_n \downarrow 0$, quand $n \to +\infty$.

La fonction $u$ est bien mesurable et, par le théorème de convergence monotone (plus précisément, on utilise sa première conséquence, le corollaire 4.18) :

$$\int |u| d\lambda = \sum_{n \in \mathbb{N}^*} |\alpha_n|(a_n - a_{n+1}) = \sum_{n \in \mathbb{N}^*} \frac{\alpha}{n^2} < \infty.$$

Donc, $u \in L^1$ et aussi $u \in L^1$ en confondant, comme d'habitude, $u$ avec sa classe.

on remarque ensuite que $g \circ u = \sum_{n=1}^{+\infty} g(\alpha_n) 1_{[a_{n+1}, a_n]}$. On a donc :

$$\int |g \circ u| d\lambda = \sum_{n \in \mathbb{N}^*} |g(\alpha_n)|(a_n - a_{n+1}) \ge \sum_{n \in \mathbb{N}^*} \frac{\alpha}{n} = \infty.$$

ceci montre que $g \circ u \notin L^1$ et donc $G(u) \notin L^1$.

**Exercice 6.16 (Convergence presque partout et convergence des normes, par Egorov)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré et $1 \le p \le \infty$. On note $L^p$ l'espace $L^p(E, T, m)$. Soit $(f_n)_n$ une suite d'éléments de $L^p$ et $f \in L^p$. On suppose que $f_n \to f$ p.p., quand $n \to +\infty$.

1. Montrer que $\|f\|_p \le \liminf_{n \to +\infty} \|f_n\|_p$. [Traiter séparément le cas $1 \le p < \infty$ et $p = \infty$.]

**Corrigé** – On suppose que $\liminf_{n \to +\infty} \|f_n\|_p < \infty$ (sinon, l'inégalité à démontrer est immédiate). Comme d'habitude, on choisit des représentants de $f_n$ et de $f$ (qui sont donc dans $L^p$).

Pour $p < \infty$, on utilise le lemme de Fatou (lemme 4.19) à la suite $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où $g_n = |f_n|^p$. Comme $g_n \to |f|^p$ p.p., Il donne :

$$\int |f|^p dm \le \liminf_{n \to +\infty} \int |f_n|^p dm.$$

On en déduit que $\|f\|_p \le \liminf_{n \to +\infty} \|f_n\|_p$.

Pour $p = \infty$, il existe $A \in T$ t.q. $m(A^c) = 0$ et $f_n(x) \to f(x)$, quand $n \to +\infty$, pour tout $x \in A$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe $A_n \in T$ t.q. $m(A_n^c) = 0$ et $f_n(x) \le \|f_n\|_\infty$ pour
tout $x \in A_n$. On pose $B = A \cap (\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n)$, de sorte que $B \in T$ et $m(B^c) = 0$. Pour $x \in B$, on a :

$$f(x) = \lim_{n \to +\infty} f_n(x) = \liminf_{n \to +\infty} f_n(x) \le \liminf_{n \to +\infty} \|f\|_{\infty}.$$

On en déduit que $\|f\|_{\infty} \le \liminf_{n \to +\infty} \|f_n\|_{\infty}$.

2. En prenant $(E, T, m) = (]0, 1[, \mathcal{B}([0, 1[), \lambda)$ (où $\lambda$ est la mesure de Lebesgue sur les boréliens de $]0, 1[$), donner un exemple pour lequel la suite $(\|f_n\|_p)_{n \in \mathbb{N}}$ converge dans $\mathbb{R}$ et $\|f\|_p < \lim_{n \in \mathbb{N}} \|f_n\|_p$. [On pourra aussi traiter séparément les cas $1 \le p < \infty$ et $p = \infty$.]

**Corrigé** – Pour $p < \infty$, on peut prendre $f_n = n^{\frac{1}{p}} 1_{]0, \frac{1}{n}[}$ (et $f = 0$ p.p.).

Pour $p = \infty$, on peut prendre $f_n = 1_{]0, \frac{1}{n}[}$ (et $f = 0$ p.p.).

Pour la suite de l'exercice, on suppose que $\|f_n\|_p \to \|f\|_p$, quand $n \to +\infty$.

3. Dans cette question, on suppose que $p = 1$.

(a) On suppose que $m(E) < \infty$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on choisit un représentant de $f_n$, encore noté $f_n$. On choisit aussi un représentant de $f$, encore noté $f$. Soit $A \in T$ et $\varepsilon > 0$. On suppose que $f_n \to f$ uniformément sur $A^c$. Montrer qu'il existe $n_0$ t.q. :

$$n \ge n_0 \Rightarrow \int_A |f_n| dm \le \varepsilon + \int_A |f| dm.$$

**Corrigé** – Pour $n \in \mathbb{N}$, on a :

$$\begin{align}
\int_A |f_n| dm &= \int_A |f| dm + \int_A (|f_n| - |f|) dm \tag{6.45} \\
&= \int_A |f| dm + \|f_n\|_1 - \|f\|_1 + \int_{A^c} (|f| - |f_n|) dm. \nonumber
\end{align}$$

Soit $\varepsilon > 0$. Par convergence uniforme de $f_n$ vers $f$ sur $A^c$ (qui est de mesure finie car $m(E) < \infty$), il existe $n_1$ t.q.

$$n \ge n_1 \Rightarrow \int_{A^c} (|f| - |f_n|) dm \le \int_{A^c} |f_n - f| dm \le \varepsilon.$$

Comme $\|f_n\|_1 \to \|f\|_1$, quand $n \to +\infty$, il existe $n_2$ t.q. $n \ge n_2 \Rightarrow \|f_n\|_1 - \|f\|_1 \le \varepsilon$.

Pour $n_0 = \max(n_1, n_2)$, on a donc :

$$n \ge n_0 \Rightarrow \int_A |f_n| dm \le \int_A |f| dm + 2\varepsilon.$$

ce qui donne le résultat demandé.

(b) On suppose que $m(E) < \infty$. Montrer que $f_n \to f$ dans $L^1$, quand $n \to +\infty$. [On pourra utiliser le théorème d'Egorov.]
**Corrigé** – Soit $\varepsilon > 0$. D'après la proposition 4.50 page 182, il existe $\delta > 0$ t.q.

$$ (A \in T, m(A) \le \delta) \Rightarrow \int_A |f|dm \le \varepsilon. $$

Le théorème d'Egorov (théorème 3.39) donne l'existence de $A \in T$ t.q. $m(A) \le \delta$ et $f_n \to f$ uniformément sur $A^c$. On a donc :

$$ \int |f_n - f|dm \le \int_{A^c} |f_n - f|dm + \int_A |f_n|dm + \int_A |f|dm. $$

On a $\int_A |f|dm \le \varepsilon$. Par la question précédente, il existe $n_0$ t.q.

$$ n \ge n_0 \Rightarrow \int_A |f_n|dm \le \int_A |f|dm + 2\varepsilon \le 3\varepsilon. $$

Par convergence uniforme de $f_n$ vers $f$ sur $A^c$, il existe $n_1$ t.q.

$$ n \ge n_1 \Rightarrow \int_{A^c} |f_n - f|dm \le m(E) \sup_{A^c} |f_n - f| \le \varepsilon. $$

On a donc finalement :

$$ n \ge \max(n_0, n_1) \Rightarrow \int |f_n - f|dm \le 5\varepsilon. $$

Ce qui prouve que $f_n \to f$ dans $L^1$, quand $n \to +\infty$.

(c) On suppose que $m(E) = \infty$. Soit $\varepsilon > 0$. Montrer qu'il existe $C \in T$ t.q. :

$$ m(C) < \infty \text{ et } \int_{C^c} |f|dm \le \varepsilon. $$

**Corrigé** – Cette question est résolue dans la proposition 4.50 page 182.

(d) On suppose que $m(E) = \infty$. Montrer que $f_n \to f$ dans $L^1$, quand $n \to +\infty$.

**Corrigé** – Soit $\varepsilon > 0$. La question précédente donne l'existence de $C \in T$ t.q. $m(C) < \infty$ et $\int_{C^c} |f|dm \le \varepsilon$.

La proposition 4.50 donne ici aussi l'existence de $\delta > 0$ t.q. ($A \in T, m(A) \le \delta$) $\Rightarrow \int_A |f|dm \le \varepsilon$.

Le théorème d'Egorov (appliqué à la mesure définie par $m_C(B) = m(B \cap C)$ pour $B \in T$, qui est bien une mesure finie sur $T$) donne l'existence de $A \in T$ t.q. $m(A \cap C) \le \delta$ et $f_n \to f$ uniformément sur $A^c$. On a donc :

$$ \int |f_n - f|dm \le \int_{A^c \cap C} |f_n - f|dm + \int_{A \cup C^c} |f_n|dm + \int_{A \cup C^c} |f|dm. $$

Par le choix de A et de C, on a $\int_{A \cup C^c} |f|dm = \int_{(A \cap C) \cup C^c} |f|dm \le \int_{A \cap C} |f|dm + \int_{C^c} |f|dm \le 2\varepsilon$.
En reprenant la question 3a, on remarque que l'hypothèse $m(E) < \infty$ n'a été utilisée que pour dire que $m(A^c) < \infty$. Ici, comme $m(A^c \cap C) < \infty$, la même démonstration donne donc qu'il existe $n_0$ t.q.

$$n \ge n_0 \Rightarrow \int_{A \cup C^c} |f_n| dm \le \int_{A \cup C^c} |f| dm + 2\epsilon \le 4\epsilon.$$

Enfin, par convergence uniforme de $f_n$ vers $f$ sur $A^c$, il existe $n_1$ t.q.

$$n \ge n_1 \Rightarrow \int_{A^c \cap C} |f_n - f| dm \le m(C) \sup_{A^c} |f_n - f| \le \epsilon.$$

On a donc :

$$n \ge \max(n_0, n_1) \Rightarrow \int |f_n - f| dm \le 7\epsilon.$$

Ce qui prouve que $f_n \to f$ dans $L^1$, quand $n \to +\infty$.

4. Dans cette question, on suppose que $1 < p < \infty$. Montrer que $f_n \to f$ dans $L^p$, quand $n \to +\infty$. [S'inspirer de la méthode suggérée pour le cas $p = 1$.]

**Corrigé** – On traite directement le cas général (c'est-à-dire $m(E) \le \infty$). Soit $\epsilon > 0$. Comme $|f|^p \in L^1$, La proposition 4.50 donne l'existence de $C \in T$ t.q. $m(C) < \infty$ et $\int_{C^c} |f|^p dm \le \epsilon$. Elle donne ici aussi l'existence de $\delta > 0$ t.q. ($A \in T$, $m(A) \le \delta$) $\Rightarrow \int_A |f|^p dm \le \epsilon$.

On applique maintenant le théorème d'Egorov avec la mesure $m_C$ (comme à la question précédente) et pour les suites $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(|f_n|^p)_{n \in \mathbb{N}}$. On obtient (en prenant l'union des ensembles donnés par le théorème pour ces deux suites) l'existence de $A \in T$ t.q. $m(A \cap C) \le \delta$, $f_n \to f$ uniformément sur $A^c$ et $|f_n|^p \to |f|^p$ uniformément sur $A^c$. On a :

$$\int |f_n - f|^p dm \le \int_{A^c \cap C} |f_n - f|^p dm + 2^p \int_{A \cup C^c} |f_n|^p dm + 2^p \int_{A \cup C^c} |f|^p dm.$$

$$\text{Par le choix de } A \text{ et de } C, \text{ on a } \int_{A \cup C^c} |f|^p dm = \int_{(A \cap C) \cup C^c} |f|^p dm \le \int_{A \cap C} |f|^p dm + \int_{C^c} |f|^p dm \le 2\epsilon.$$

Comme à la question précédente, en reprenant la question 3a, on obtient qu'il existe $n_0$ t.q.

$$n \ge n_0 \Rightarrow \int_{A \cup C^c} |f_n|^p dm \le \int_{A \cup C^c} |f|^p dm + 2\epsilon \le 4\epsilon.$$

En fait, pour montrer cette inégalité avec la question 3a, on remplace (6.45) par :

$$\int_{A \cup C^c} |f_n|^p dm = \int_{A \cup C^c} |f|^p dm + \int_{A \cup C^c} (|f_n|^p - |f|^p) dm \\ = \int_{A \cup C^c} |f|^p dm + \|f_n\|_p^p - \|f\|_p^p + \int_{A^c \cap C} (|f|^p - |f_n|^p) dm,$$

et on utilise la convergence de $\|f_n\|_p^p$ vers $\|f\|_p^p$, la convergence uniforme de $|f_n|^p$ vers $|f|^p$ et le fait que $m(C) < \infty$.
Enfin, par convergence uniforme de $f_n$ vers $f$ sur $A^c$, il existe $n_1$ t.q.

$$n \ge n_1 \Rightarrow \int_{A^c \cap C} |f_n - f|^p dm \le m(C) \sup_{A^c} |f_n - f|^p \le \varepsilon.$$

On a donc :

$$n \ge \max(n_0, n_1) \Rightarrow \int |f_n - f|^p dm \le 2^p (7\varepsilon).$$

Ce qui prouve que $f_n \to f$ dans $L^p$, quand $n \to +\infty$.

5. Dans cette question, on suppose que $p = \infty$ et que $(E, T, m) = (]0, 1[, \mathcal{B}([0, 1[), \lambda)$. Donner un exemple pour lequel $f_n \not\to f$ dans $L^\infty$, quand $n \to +\infty$.

**Corrigé** – Pour $n \ge 2$, on pose $f = 1]_{\frac{1}{2},1[}$ et on définit $f_n$ ainsi :

$$f_n(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \le x \le \frac{1}{2}, \\ n(x - \frac{1}{2}) & \text{si } \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2} + \frac{1}{n}, \\ 1 & \text{si } \frac{1}{2} + \frac{1}{n} \le x \le 1. \end{cases}$$

On a bien, quand $n \to +\infty$, $f_n \to f$ p.p., $\|f_n\|_\infty \to \|f\|_\infty$ et $f_n \not\to f$ dans $L^\infty$ (car $\|f_n - f\|_\infty = 1$ pour tout $n \ge 2$).

**Exercice 6.17 (Convergence presque partout et convergence des normes, par Fatou)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré. Pour $p \in [1, \infty]$, on note $L_{\mathbb{R}}^p(E, T, m)$.

Soit $p \in [1, \infty[$, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $L^p$ et $f \in L^p$. On suppose que $f_n \to f$ p.p. et que $\|f_n\|_p \to \|f\|_p$, quand $n \to +\infty$.

1. On suppose que $p = 1$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $g_n = |f_n| + |f| - |f_n - f|$ (en ayant choisi des représentants de $f_n$ et $f$). Montrer que $g_n \ge 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. En utilisant le lemme de Fatou, montrer que $f_n \to f$ dans $L^1$.

**Corrigé** – Comme $|f - f_n| \le |f| + |f_n|$, on a bien $g_n \ge 0$. Comme $g_n$ tend p.p. vers $2|f|$, le lemme de Fatou (lemme 4.19) donne :

$$\int 2|f|dm \le \liminf_{n \to +\infty} \int g_n dm.$$

Comme $\|f_n\|_1 \to \|f\|_1$, on a $\liminf_{n \to +\infty} \int g_n dm = 2 \int |f|dm - \limsup_{n \to +\infty} \int |f - f_n|dm$. On a donc :

$$\int 2|f|dm \le 2 \int |f|dm - \limsup_{n \to +\infty} \int |f - f_n|dm.$$

On en déduit que $\limsup_{n \to +\infty} \int |f - f_n|dm \le 0$, et donc que $f_n \to f$ dans $L^1$.

2. On suppose maintenant que $p \in ]1, \infty[$. En utilisant le lemme de Fatou pour une suite convenable, montrer que $f_n \to f$ dans $L^p$.
**Corrigé** – On prend maintenant $g_n = 2^p|f_n|^p + 2^p|f|^p - |f_n - f|^p$. Comme $|f - f_n| \le |f| + |f_n| \le 2\max\{|f_n|,|f|\}$, on a $|f - f_n|^p \le 2^p \max\{|f_n|,|f|\}|^p \le 2^p|f_n|^p + 2^p|f|^p$. On a donc $g_n \ge 0$. Comme $g_n$ tend p.p. vers $2^{p+1}|f|^p$, le lemme de Fatou (lemme 4.19) donne :

$$ \int 2^{p+1} |f|^p dm \le \liminf_{n \to +\infty} \int g_n dm. $$

Comme $||f_n||_p \to ||f||_p$, on a

$$ \liminf_{n \to +\infty} \int g_n dm = 2^{p+1} \int |f|^p dm - \limsup_{n \to +\infty} \int |f - f_n|^p dm. $$

On a donc

$$ \int 2^{p+1} |f|^p dm \le 2^{p+1} \int |f|^p dm - \limsup_{n \to +\infty} \int |f - f_n|^p dm. $$

On en déduit que $\limsup_{n \to +\infty} \int |f - f_n|^p dm \le 0$, et donc que $f_n \to f$ dans $L^p$.

**Exercice 6.18 (Compacité $L^p - L^q$)** Dans cet exercice, $(E, T, m)$ est un espace mesuré. Pour tout $1 \le r \le \infty$, on note $L^r$ l'espace $L^r_E(E, T, m)$ (et $L^r$ l'espace $L^r_E(E, T, m)$).

1. Soit $r > 1$ et $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite bornée de $L^r$. Montrer que la suite $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est équi-intégrable, c'est-à-dire que :

$$ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ t.q. } n \in \mathbb{N}, A \in T, m(A) \le \delta \Rightarrow \int_A |g_n| dm \le \varepsilon. $$

[Utiliser l'inégalité de Hölder.]

**Corrigé** – En utilisant l'inégalité de Hölder (inégalité (6.1)) entre $r \in ]1, \infty]$ et son conjugué et les fonctions $g_n$ et $1_A$, on obtient, pour tout $A \in T$ de mesure finie :

$$ \int_A |g_n| dm \le ||g_n||_r m(A)^{1-\frac{1}{r}}. $$

Si $C$ est un majorant de $\{||g_n||_r, n \in \mathbb{N}\}$, il suffit donc de prendre $\delta > 0$ t.q. $C\delta^{1-\frac{1}{r}} \le \varepsilon$ (ce qui est possible car $r > 1$) pour avoir le résultat demandé.

Soit $1 \le p < q \le \infty$ et $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite bornée de $L^q$. On suppose dans toute la suite que $f_n \to f$ p.p. quand $n \to +\infty$.

2. (Compacité $L^p - L^q$.) On suppose que $m(E) < \infty$.

(a) Montrer que $f \in L^q$ (au sens où il existe $g \in L^q$ t.q. $f = g$ p.p.).

**Corrigé** – Pour chaque $n \in \mathbb{N}$, on choisit un représentant de $f_n$, encore noté $f_n$. Il existe $A \in T$ t.q. $m(A) = 0$ et $f_n(x) \to f(x)$, quand $n \to +\infty$, pour tout $x \in A^c$. On pose $g(x) = f(x)$ pour $x \in A^c$ et $g(x) = 0$ pour $x \in A$, de sorte que $g = f$ p.p. et $g(x) = \lim_{n \to +\infty} f_n 1_{A^c}(x)$ pour tout $x \in E$.

Si $q < \infty$, on applique le lemme de Fatou à la suite $(|f_n|^q)_{n \in \mathbb{N}}$. Il donne :

$$ \int |g|^q dm \le \liminf_{n \to +\infty} \int |f_n|^q dm \le C^q, $$
où C est un majorant de $\{\|f_n\|_q, n \in \mathbb{N}\}$. On a donc $g \in L^q$ et donc $f \in L^q$ (au sens demandé).

Si $q = \infty$, comme $|f_n| \le \|f_n\|_\infty$ p.p., on déduit de $g(x) = \lim_{n \to +\infty} f_n 1_{A^c}(x)$ pour tout $x \in E$ le fait que $\|g\|_\infty \le C \text{ p.p.}$, où C est un majorant de $\{\|f_n\|_\infty, n \in \mathbb{N}\}$. On a donc, ici aussi, $g \in L^\infty$ et donc $f \in L^\infty$ (au sens demandé).

(b) Montrer que $f_n \to f$ dans $L^p$ quand $n \to +\infty$. [Utiliser la question 1 avec $g_n = |f_n - f|^p$ et un théorème du cours.]

**Corrigé** – La suite $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $L^r$, avec $r = \frac{q}{p} > 1$. Elle est donc équicontégrable (par la question 1). Comme elle converge p.p. vers 0 et que $m(E) < \infty$, le théorème de Vitali (théorème 4.51) donne que la suite $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers 0 dans $L^1$ et donc que $f_n \to f$ dans $L^p$ quand $n \to +\infty$.

3. On suppose que $m(E) = \infty$.

(a) Soit $B \in \mathcal{T}$ t.q. $m(B) < \infty$. Montrer que $f_n 1_B \to f 1_B$ dans $L^p$ quand $n \to +\infty$.

**Corrigé** – On définit la mesure $m_B$ sur $\mathcal{T}$ en posant $m(A) = m(A \cap B)$ pour tout $A \in \mathcal{T}$. La mesure $m_B$ est finie. On peut donc appliquer la question 2 avec cette mesure. On obtient que $f_n \to f$, quand $n \to +\infty$, dans l'espace $L^p(E, \mathcal{T}, m_B)$. Ceci qui donne que $f_n 1_B \to f 1_B$ dans $L^p$ quand $n \to +\infty$ (car, $\int |f_n - f|^p 1_B dm = \int |f_n - f|^p dm_B$).

(b) On prend ici $(E, \mathcal{T}, m) = (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$, $q = 2$, $p = 1$, $f = 0$. Donner un exemple pour lequel $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^1$, $f_n \not\to 0$ dans $L^1$ quand $n \to +\infty$ (et $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ bornée dans $L^2$, $f_n \to 0$ p.p. quand $n \to +\infty$).

**Corrigé** – On peut prendre, par exemple, $f_n = 1_{]n, n+1[$.

**Exercice 6.19 (Convergence “dominée en norme”, mesure non finie)** Pour tout $s \in [1, \infty]$, on note $L^s$ l'espace $L_s^s(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. Soit $r, p, q \in \bar{\mathbb{R}}$ t.q. $1 \le r < p < q \le +\infty$, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions mesurables de E dans $\mathbb{R}$ et f une fonction mesurable de E dans $\mathbb{R}$. On suppose que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et f vérifient les trois conditions suivantes :

- $f_n \to f$ p.p., quand $n \to +\infty$,

- la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $L^r$ et dans $L^q$,

- $f_n(x) \to 0$ quand $x \to \pm\infty$, uniformément par rapport à $n \in \mathbb{N}$.

1. Montrer que $f \in L^r \cap L^q$ (distinguer les cas $q < +\infty$ et $q = +\infty$).

2. Soit $\varepsilon > 0$, montrer qu'il existe $\delta > 0$ t.q.

$$A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), n \in \mathbb{N}, \lambda(A) \le \delta \Rightarrow \int_A |f_n|^p d\lambda \le \varepsilon.$$
3. Soit $\varepsilon > 0$, montrer qu'il existe $C \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ t.q. $\lambda(C) < +\infty$ et

$$n \in \mathbb{N} \Rightarrow \int_{C^c} |f_n|^p d\lambda \le \varepsilon.$$

4. Montrer que $f_n \to f$ dans $L^p$. [Utiliser le théorème de Vitali, donné dans le cours.]

5. On suppose de plus que $f_n(x) = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $x \in \mathbb{R}$ t.q. $|x| \ge 1$. Montrer que $f_n \to f$ dans $L^s$ pour tout $s \in [1, q[$ et donner un exemple pour lequel $f_n \not\to f$ dans $L^q$ (distinguer les cas $q < +\infty$ et $q = +\infty$).

**Exercice 6.20 (Sur les suites convergentes en mesure et bornées dans $L^p$)** Soit (E, T, m) un espace mesuré fini. Pour $r \in [1, +\infty]$, on note $L^r$ l'espace $L^r(E, T, m)$. Soit $p \in [1, +\infty]$, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite bornée de $L^p$ (c'est-à-dire $\sup_{n \in \mathbb{N}} \|f_n\|_p < +\infty$) et f une fonction mesurable de E dans $\mathbb{R}$. On suppose que $f_n \to f$ en mesure quand $n \to +\infty$.

1. Montrer que $f \in L^p$. [On rappelle que, comme $f_n \to f$ en mesure, il existe une sous-suite de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge p.p. vers f.]

**Corrigé** – On note $M = \sup_{n \in \mathbb{N}} \|f_n\|_p$. Il existe une sous-suite de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge p.p. vers f. On note $(f_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ (avec $\varphi$ strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$) une telle sous-suite.

Si $p < +\infty$, on applique alors le lemme de Fatou à la suite $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $g_n = |f_{\varphi(n)}|^p$. Comme $g_n \to |f|^p$ p.p., on en déduit que

$$\int |f|^p dm \le \liminf_{n \to +\infty} \int g_n dm \le M^p < +\infty.$$

Ce qui prouve que $f \in L^p$. (Ce résultat est aussi vrai si $p = 1$.)

Si $p = \infty$, comme $|f_{\varphi(n)}| \le M$ p.p., on en déduit que $|f| \le M$ p.p. et donc que $f \in L^\infty$.

2. Soit $q \in [1, p[$. Montrer que $\|f_n - f\|_q \to 0$ quand $n \to +\infty$. [Pour $\varepsilon > 0$, on pourra utiliser, avec $A_{n,\varepsilon} = \{|f_n - f| \le \varepsilon\}$, l'égalité suivante :

$$\int |f_n - f|^q dm = \int_{A_{n,\varepsilon}} |f_n - f|^q dm + \int_{A_{n,\varepsilon}^c} |f_n - f|^q dm.$$

**Corrigé** – Pour tout $\varepsilon > 0$ et $n \in \mathbb{N}$, on a

$$\int |f_n - f|^q dm = \int_{A_{n,\varepsilon}} |f_n - f|^q dm + \int_{A_{n,\varepsilon}^c} |f_n - f|^q dm \le \varepsilon^q m(E) + \int |f_n - f|^q 1_{A_{n,\varepsilon}^c} dm. \quad (6.46)$$

On suppose tout d'abord $p < +\infty$. En appliquant l'inégalité de Hölder à la dernière intégrale (avec l'exposant p/q et son conjugué), on obtient

$$\int |f_n - f|^q dm \le \varepsilon^q m(E) + \left( \int |f_n - f|^p dm \right)^{\frac{q}{p}} m(A_{n,\varepsilon}^c)^{1-\frac{q}{p}}.$$

Comme $\|f_n\|_p \le M$ et $\|f\|_p \le M$, on en déduit

$$\int |f_n - f|^q dm \le \varepsilon^q m(E) + (2^{p+1} M^p)^{\frac{q}{p}} m(A_{n,\varepsilon}^c)^{1-\frac{q}{p}}.$$
Soit maintenant $\eta > 0$. On choisit tout d'abord $\varepsilon > 0$ t.q. $\varepsilon^q m(E) \le \eta$. Puis, comme $f_n \to f$ en mesure, on a $\lim_{n \to +\infty} m(A_{n,\varepsilon}^c) = 0$. Il existe donc $n_0 \in \mathbb{N}$ t.q.

$$n \ge n_0 \Rightarrow (2^{p+1} M^p)^{\frac{q}{p}} m(A_{n,\varepsilon}^c)^{1-\frac{q}{p}} \le \eta$$

et donc

$$n \ge n_0 \Rightarrow \int |f_n - f|^q dm \le 2\eta.$$

Ce qui montre bien que $\|f_n - f\|_q \to 0$ quand $n \to +\infty$.

On suppose maintenant que $p = \infty$. Comme $|f_n| \le M \text{ p.p. et } |f| \le M \text{ p.p.}$, l'inégalité 6.46 donne

$$\int |f_n - f|^q dm \le \varepsilon^q m(E) + 2^q M^q m(A_{n,\varepsilon}^c).$$

On conclut alors, comme dans le cas $p < +\infty$, que $\|f_n - f\|_q \to 0$ quand $n \to +\infty$.

3. (Question plus difficile.) Donner un exemple pour lequel $\|f_n - f\|_p \to 0$ quand $n \to +\infty$.

**Corrigé** – Pour cet exemple, on prend $(E, T, m) = (]0, 1[, \mathcal{B}([0, 1[), \lambda)$ et $p = 2$. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on définit $f_n$ par

$$f_n(x) = \sqrt{n} \text{ si } 0 < x < \frac{1}{n} \text{ et } f_n(x) = 0 \text{ si } \frac{1}{n} < x < 1.$$

Avec ce choix, la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est bornée dans $\mathcal{L}^2$, elle converge en mesure vers la fonction nulle mais $\|f_n\|_2 \to 0$ quand $n \to +\infty$.

**Exercice 6.21 (Caractérisation de $\mathcal{L}^\infty$)** Soit $(X, T, m)$ un espace mesuré. Pour $p \in [1, \infty]$, on note $\mathcal{L}^p$ l'espace $\mathcal{L}_R^p(X, T, m)$. Soit $f$ une application de $X$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ il existe $f_n \in \mathcal{L}^\infty$ et $g_n \in \mathcal{L}^1$ t.q. $f = f_n + g_n$, $\|f_n\|_\infty \le 1$ et $\|g_n\|_1 \le \frac{1}{n}$. Montrer que $f \in \mathcal{L}^\infty$ et $\|f\|_\infty \le 1$.

**Corrigé** – On remarque d'abord que $f$ est mesurable car $f_1$ et $g_1$ sont mesurables. Puis, pour montrer que $f \in \mathcal{L}^\infty$, on peut, par exemple, procéder de la manière suivante.

Soit $\varepsilon > 0$. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Comme $|f_n| \le 1 \text{ p.p.}$, on a $|f| \le 1 + |g_n| \text{ p.p. et donc}$

$$m(|f| \ge 1 + \varepsilon)) \le m(|g_n| \ge \varepsilon)).$$

Puis, comme $m(|g_n| \ge \varepsilon)) \le \frac{1}{\varepsilon} \int |g_n| dm \le \frac{1}{n\varepsilon}$, on en déduit (quand $n \to +\infty$) $m(|f| \ge 1 + \varepsilon)) = 0$.

Finalement, comme $\{|f| > 1\} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}^*} \{|f| \ge 1 + \frac{1}{n}\}$, la $\sigma$-additivité de $m$ donne $m(\{|f| > 1\}) = 0$ et donc $|f| \le 1 \text{ p.p.}$. Ceci donne bien $f \in \mathcal{L}^\infty$ et $\|f\|_\infty \le 1$.

N.B. Une autre méthode consiste à utiliser le théorème 6.11. Il donne que, après extraction éventuelle d'une sous-suite, on a $g_n \to 0 \text{ p.p. (quand } n \to +\infty)$. On a donc $f_n \to f \text{ p.p.}$. De $\|f_n\|_\infty \le 1$, on déduit alors $\|f\|_\infty \le 1$.

**Exercice 6.22 (Exemples de v.a. appartenant à $\mathcal{L}^q$)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $X$ une v.a. (réelle). Dans les trois cas suivants, donner les valeurs de $q \in [1, \infty]$ pour lesquels la variable aléatoire $X$ appartient à l'espace $\mathcal{L}^q(\Omega, \mathcal{A}, P)$ :
1. X suit une loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$ ($\lambda > 0$) (c'est-à-dire que la loi de X a une densité $f$ par rapport à la mesure de Lebesgue, avec $f(x) = \lambda \exp(-\lambda x) 1_{]0,+\infty[}$ pour $x \in \mathbb{R}$).

**Corrigé** – Soit $q \in [1, \infty[$, on a :

$$ \int_{\Omega} |X|^q dP = \int_{\mathbb{R}} |x|^q dP_X(x) = \int_{0}^{\infty} x^q \lambda \exp(-\lambda x) dx < \infty, $$

car la fonction $x \mapsto |x|^q \lambda \exp(-\lambda x)$ est intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^+$. On a donc $X \in L^q(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$.

Soit maintenant $q = \infty$. Pour tout $a > 0$, on a, avec $A = ]a, \infty[$ :

$$ P[X > a] = \int_{\Omega} 1_{A}(X)dP = \int_{\mathbb{R}} 1_{A}(x)dP_{X}(x) = \int_{a}^{\infty} \lambda \exp(-\lambda x) dx > 0, $$

car $\lambda \exp(-\lambda x) > 0$ pour tout $x > a$. Donc $X \notin L^{\infty}(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$.

2. X suit une loi de Cauchy de paramètre $c > 0$ (la loi de X a une densité $f$ par rapport à la mesure de Lebesgue, avec $f(x) = \frac{1}{\pi} \frac{c}{x^2+c^2}$ pour $x \in \mathbb{R}$).

**Corrigé** – Il suffit ici de considérer le cas $q = 1$. On a :

$$ \int_{\Omega} |X| dP = \int_{\mathbb{R}} |x| dP_X(x) \geq \frac{c}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{x}{x^2 + c^2} dx \geq \frac{c}{\pi} \int_{c}^{\infty} \frac{1}{2x} dx = \infty. $$

On a donc $X \in L^1(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$, ce qui donne aussi $X \in L^q(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ pour tout $q \in [1, \infty[$ (car $L^q(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}) \subset L^1(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ pour $q > 1$).

3. X suit une loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ ($p \in ]0, 1[$) (c'est-à-dire que $P(\{X = k\}) = p(1-p)^{k-1}$, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$).

**Corrigé** – On note $A_k = \{X = k\} = \{\omega \in \Omega, X(\omega) = k\}$ et $A = \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k$. Par $\sigma$-additivité de $P$, on a $P(A) = \sum_{k=1}^{\infty} P(A_k) = \sum_{k=1}^{\infty} p(1-p)^{k-1} = 1$. On a donc $P(A^c) = 0$.

Soit $q \in [1, \infty[$, on a :

$$ \int_{\Omega} |X|^q dP = \int_{A} |X|^q dP = \sum_{k=1}^{\infty} \int_{A_k} |X|^q dP = \sum_{k=1}^{\infty} k^q p(1-p)^{k-1} < \infty, $$

car la série de terme général $k^q p(1-p)^{k-1}$ est convergente (pour le voir, il suffit, par exemple, de remarquer que

$$ \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)^q p(1-p)^k}{k^q p(1-p)^{k-1}} = \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)^q (1-p)}{k^q} = 1 - p < 1. $$

On a donc $X \in L^q(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$.

Soit maintenant $q = \infty$. Pour tout $a > 0$, on a $P[X > a] \geq P(A_k) > 0$ si $k > a$. On a donc $X \notin L^{\infty}(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$.
6.5.2 Espaces de Hilbert, Espace L²

**Exercice 6.23 (Séries orthogonales dans L²)** Soit (E, T, m) un espace mesuré et $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $L_{\mathbb{R}}^2(E, T, m)$ deux à deux orthogonaux. Montrer que la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} f_n$ converge (dans L²) si et seulement si $\sum_{n \in \mathbb{N}} \|f_n\|_2^2$ est convergente (dans $\mathbb{R}$).

**Corrigé** – Comme $L_{\mathbb{R}}^2(E, T, m)$ est un espace complet, la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} f_n$ est convergente dans $L_{\mathbb{R}}^2(E, T, m)$ si et seulement la suite des sommes partielles, $(\sum_{k=0}^n f_k)_{n \in \mathbb{N}}$, est de Cauchy (dans L²). Cette suite des sommes partielles est de Cauchy si et seulement si elle vérifie :

$$ \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \text{ t.q. } m \ge n \ge n_0 \Rightarrow \left\| \sum_{k=n}^{m} f_k \right\|_2^2 \le \varepsilon. \quad (6.47) $$

Le fait que les $f_n$ soient deux à deux orthogonaux nous donne (théorème de Pythagore) que

$$ \left\| \sum_{k=n}^{m} f_k \right\|_2^2 = \sum_{k=n}^{m} \|f_k\|_2^2. $$

L'assertion 6.47 est donc équivalente à dire que la suite $(\sum_{k=0}^n \|f_k\|_2^2)_{n \in \mathbb{N}}$ est de Cauchy (dans $\mathbb{R}$), ce qui est équivalent à dire que la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} \|f_n\|_2^2$ est convergente (dans $\mathbb{R}$).

**Exercice 6.24 (L<sup>p</sup> n'est pas un espace de Hilbert si p ≠ 2)** Montrer que $L_{\mathbb{R}}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ (muni de sa norme usuelle) n'est pas un espace de Hilbert si $1 \le p \le \infty$, $p \ne 2$. [Pour $p \ne 2$, chercher des fonctions $f$ et $g$ mettant en défaut l'identité du parallélogramme, c'est-à-dire l'identité (6.13) page 292.]

**Corrigé** – On prend $f = 1]_0,1[$ et $g = 1]1,2[$, de sorte que $f \in L_{\mathbb{R}}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$, $g \in L_{\mathbb{R}}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ (avec la confusion habituelle entre une classe et l'un de ses représentants) et que :

$$ \|f\|_p = \|g\|_p = 1, \quad \|f + g\|_p = \|f - g\|_p = 2^{\frac{1}{p}}. $$

Pour $p \ne 2$, on a donc $\|f + g\|_p^2 + \|f - g\|_p^2 = 2(2^{\frac{2}{p}}) \ne 4 = 2\|f\|_p^2 + 2\|g\|_p^2$.

L'identité du parallélogramme, c'est-à-dire l'identité (6.13) page 292, n'est donc pas satisfaite (pour $p \ne 2$), ce qui prouve que, pour $p \ne 2$, la norme $\|\cdot\|_p$ (sur $L_{\mathbb{R}}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$) n'est pas induite par un produit scalaire.

**Exercice 6.25 (Caractérisation des espaces de Hilbert séparables)** Soit E un espace de Hilbert (réel) de dimension infinie. Montrer que E est séparable si et seulement s'il existe une base hilbertienne dénombrable de E [l'une des implications a déjà été vue].

**Exercice 6.26 (projection sur le cône positif de L²)** Soit $(X, T, m)$ un espace mesuré et $E = L_{\mathbb{R}}^2(X, T, m)$. On pose $C = \{f \in E, f \ge 0 \text{ p.p.}\}$.
1. Montrer que $\mathbb{C}$ est une partie convexe fermée non vide de $\mathbb{E}$.

**Corrigé** – $\mathbb{L}^2$ est un e.v., et $tf + (1-t)g \ge 0$ p.p.. On a donc $tf + (1-t)g \in \mathbb{C}$, ce qui prouve que $\mathbb{C}$ est convexe.

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C}$ t.q. $f_n \to f$ dans $\mathbb{L}^2$ quand $n \to +\infty$. On veut montrer que $f \in \mathbb{C}$ (pour en déduire que $\mathbb{C}$ est fermée).

Pour tout $\varphi \in \mathbb{L}^2$, on a $\int f_n \varphi dm \to \int f \varphi dm (\text{car } |\int f_n \varphi dm - \int f \varphi dm| \le \|f_n - f\|_2 \|\varphi\|_2)$.

On choisit $\varphi = f^- \in \mathbb{L}^2$. Comme $f_n f^- \ge 0$ p.p., on en déduit $-\int (f^-)^2 dm = \int f f^- dm \ge 0$, ce qui prouve que $f^- = 0$ p.p. et donc que $f \ge 0$ p.p.. On a donc montré que $f \in \mathbb{C}$ et donc que $\mathbb{C}$ est fermée.

Pour montrer que $\mathbb{C}$ est fermée, il est aussi possible d'utiliser la réciproque partielle du théorème de convergence dominée (théorème 6.11).

2. Soit $f \in \mathbb{E}$. Montrer que $P_{\mathbb{C}}f = f^+$.

**Corrigé** – On a $f^+ \in \mathbb{C}$. Pour montrer que $P_{\mathbb{C}}f = f^+$, on utilise la première caractérisation de la projection (proposition 6.49).

Soit $g \in \mathbb{C}$, on a $(f - f^+ | f^+ - g)_2 = -(f^- | f^+ - g)_2 = \int f^- g dm \ge 0$ (on a utilisé ici le fait que $f^- f^+ = 0$ p.p.). La proposition 6.49 donne alors $P_{\mathbb{C}}f = f^+$.

**Exercice 6.27 (Exemple de non existence de la projection)** Dans cet exercice, construit un espace de Banach réel $\mathbb{E}$, un sous espace vectoriel fermé $\mathbb{F}$ de $\mathbb{E}$, $g \in \mathbb{E} \setminus \mathbb{F}$ (et donc $d(g, \mathbb{F}) = \inf\{\|g - f\|_{\mathbb{E}}, f \in \mathbb{F}\} > 0 \dots$) tels qu'il n'existe pas d'élément $f \in \mathbb{E}$ t.q. $d(g, \mathbb{F}) = \|g - f\|_{\mathbb{E}}$.

On prend $\mathbb{E} = \mathbb{C}([0,1], \mathbb{R})$, on munit $\mathbb{E}$ de la norme habituelle, $\|f\|_{\mathbb{E}} = \max\{|f(x)|, x \in [0,1]\}$. On pose $\mathbb{F} = \{f \in \mathbb{E}; f(0) = 0, \int_0^1 f(x)dx = 0\}$. Enfin, on prend $g \in \mathbb{E}$ défini par $g(x) = x$, pour tout $x \in [0,1]$.

1. Montrer que $\mathbb{E}$ est un espace de Banach (réel).

**Corrigé** – Il est clair que $\mathbb{E}$ est un e.v. sur $\mathbb{R}$ et que $\| \cdot \|_{\mathbb{E}}$ est une norme sur $\mathbb{E}$, c'est la norme associée à la convergence uniforme. On montre maintenant que $\mathbb{E}$ est complet.

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy de $\mathbb{E}$. Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe donc $n(\varepsilon)$ t.q. :

$$x \in [0,1], n, m \ge n(\varepsilon) \Rightarrow |f_n(x) - f_m(x)| \le \varepsilon. \quad (6.48)$$

De (6.48) on déduit que, pour tout $x \in [0,1]$, la suite $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ est de Cauchy. Il existe donc $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ t.q. $f_n(x) \to f(x)$ quand $n \to +\infty$, pour tout $x \in [0,1]$. Pour montrer que la convergence de $f_n$ vers $f$ est uniforme, il suffit de reprendre (6.48) avec un $x$ fixé et un $n$ fixé ($n \ge n(\varepsilon)$) et de faire tendre $m$ verts $\infty$, on obtient :

$$x \in [0,1], n \ge n(\varepsilon) \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| \le \varepsilon, \quad (6.49)$$

ce qui donne bien la convergence uniforme de $f_n$ vers $f$. Comme les $f_n$ sont continues, on en déduit que $f$ est continue (comme limite uniforme de fonctions continues),
c'est-à-dire $f \in E$. Enfin, (6.49) donne $\|f_n - f\|_E \le \varepsilon$ si $n \ge n(\varepsilon)$ et donc $f_n \to f$ dans $E$, quand $n \to +\infty$, ce qui prouve que $E$ est complet.

2. Montrer que F est un sous espace vectoriel fermé de E.

**Corrigé** – On note T et S les applications de E dans $\mathbb{R}$ définies par $T(f) = f(0)$ et $S(f) = \int_0^1 f(x)dx$. Il s'agit donc d'applications linéaires de E dans $\mathbb{R}$. Elles sont également continues car $|T(f)| \le \|f\|_E$ et $|S(f)| \le \|f\|_E$ pour tout $f \in E$.

On en déduit que F est un s.e.v. fermé de E en remarquant que $F = \text{Ker}T \cap \text{Ker}S$.

3. Soit $f \in F$. Montrer que $\|g - f\|_E \ge 1/2$. [On pourra remarquer que $\int_0^1 |(g - f)(x)|dx \ge \int_0^1 (g - f)(x)dx = 1/2$.]

**Corrigé** – Comme $(g - f)(x) \le |(g - f)(x)|$ pour tout $x \in [0, 1]$, on a bien

$$ \int_{0}^{1} (g-f)(x)dx \le \int_{0}^{1} |(g-f)(x)|dx. $$

On remarque ensuite que, puisque $f \in F$, on a $\int_0^1 (g-f)(x)dx = \int_0^1 g(x)dx = \int_0^1 xdx = \frac{1}{2}$. Et donc :

$$ \frac{1}{2} \le \int_{0}^{1} |(g - f)(x)| dx. $$

Puis, comme $\int_0^1 |(g - f)(x)|dx \le \|g - f\|_E$, on en déduit que $\|g - f\|_E \ge 1/2$.

4. Montrer qu'il n'existe pas d'élément $f \in F$ t.q. $\|g - f\|_E = 1/2$.

**Corrigé** – Dans le raisonnement de la question précédente, on remarque que les $\|g - f\|_E > 1/2$ sauf si $\int_0^1 |(g - f)(x)|dx = \|g - f\|_E$ et $\int_0^1 (g - f)(x)dx = \int_0^1 |(g - f)(x)|dx$.

Soit $f \in F$ t.q. $\|g - f\|_E = 1/2$. On a donc $\int_0^1 (g - f)(x)dx = \int_0^1 |(g - f)(x)|dx$ et $\int_0^1 |(g - f)(x)|dx = \|g - f\|_E$. On en déduit que $(g - f)(x) = |(g - f)(x)| = \|g - f\|_E = 1/2$ pour tout $x \in [0, 1]$. En effet, s'il existe, par exemple, $x_0 \in [0, 1]$ t.q. $(g - f)(x_0) < |(g - f)(x_0)|$, on peut alors trouver (par continuité de $g - f$) un intervalle ouvert non vide sur lequel $(g - f) < |(g - f)|$ et on en déduit $\int_0^1 (g - f)(x)dx < \int_0^1 |(g - f)(x)|dx$ (un raisonnement analogue donne $|(g - f)(x)| = \|g - f\|_E$ pour tout $x \in [0, 1]$).

On a donc montré que $f(x) = g(x) - \frac{1}{2} = x - \frac{1}{2}$ pour tout $x \in [0, 1]$ ce qui est en contradiction avec $f(0) = 0$.

5. Montrer que $d(g, F) = 1/2$. [On pourra, par exemple, montrer que $\|g - f_n\|_E \to 1/2$, avec $f_n$ défini par $f_n(x) = -\beta_n x$, pour $x \in [0, 1/n]$, $f_n(x) = (x - 1/n) - \beta_n/n$, pour $x \in [1/n, 1]$, et $\beta_n$ choisi pour que $f_n \in F$.]
**Corrigé** – Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $f_n$ définie par $f_n(x) = -\beta_n x$, pour $x \in [0, 1/n]$, $f_n(x) = (x - 1/n) - \beta_n/n$, pour $x \in [1/n, 1]$.

En prenant $\beta_n = (n-1)^2/(2n-1)$ on a $\int_0^1 f_n(x)dx = 0$ et donc $f_n \in \mathbb{F}$. On remarque ensuite que $\|f_n-g\|_{\mathbb{F}} = 1/n - \beta_n/n \to 1/2$ quand $n \to +\infty$. On en déduit que $d(g, \mathbb{F}) = 1/2$.

**Exercice 6.28 (Lemme de Lax-Milgram)** Soit $E$ est un espace de Hilbert réel et $a$ une application bilinéaire de $E \times E$ dans $\mathbb{R}$. On note $(\cdot|\cdot)$ le produit scalaire dans $E$ et $\|\cdot\|$ la norme dans $E$. On suppose qu'il existe $C \in \mathbb{R}$ et $\alpha > 0$ t.q. :

$$|a(u,v)| \le C \|u\| \|v\|, \quad \forall u,v \in E \text{ (continuité de } a),$$

$$a(u, u) \geq \alpha \|u\|^2, \quad \forall u \in E \text{ (coercivité de } a).$$

Soit $T \in E'$. On va montrer, dans cet exercice, qu'il existe un et un seul $u \in E$ t.q. $T(v) = a(u, v)$ pour tout $v \in E$ (ceci est le lemme de Lax-Milgram).

1. On suppose, dans cette question, que $a$ est symétrique. On définit une application bilinéaire, notée $(\cdot|\cdot)_a$ de $E \times E$ dans $\mathbb{R}$ par $(u|v)_a = a(u,v)$. Montrer que $(\cdot|\cdot)_a$ est un produit scalaire sur $E$ et que la norme induite par ce produit scalaire est équivalente à la norme $\|\cdot\|$. En déduire qu'il existe un et un seul $u \in E$ t.q. $T(v) = a(u,v)$ pour tout $v \in E$. [Utiliser le théorème de représentation de Riesz.]

**Corrigé** – L'application $(\cdot|\cdot)_a : E \times E \to \mathbb{R}$ est symétrique, linéaire par rapport à son premier argument, et $(u|v)_a > 0$ pour $u \in E \setminus \{0\}$ (grâce à la coercivité de $a$). C'est donc un produit scalaire sur $E$.

La norme induite par ce produit scalaire est équivalente à la norme sur $E$, notée $\|\cdot\|$. En effet, les hypothèses de continuité et coercivité de $a$ donnent

$$\sqrt{\alpha} \|u\| \le \|u\|_a \le \sqrt{C} \|u\|, \quad \forall u \in E.$$

Comme $T$ est dans $E'$, c'est-à-dire linéaire et continu pour la norme $\|\cdot\|$, $T$ est aussi linéaire et continu pour la norme $\|\cdot\|_a$. Or, $E$ muni de la norme $\|\cdot\|_a$ est un espace de Hilbert car la norme $\|\cdot\|_a$ est induite par un produit scalaire et $E$ est complet avec cette norme car il est complet avec la norme $\|\cdot\|$ qui est équivalente. On peut donc appliquer le théorème de représentation de Riesz (théorème 6.56) avec $E$ muni de la norme $\|\cdot\|_a$. Il donne qu'il existe un et seul $u \in E$ t.q. $T(v) = (u|v)_a$ pour tout $v \in E$, c'est-à-dire qu'il existe un et un seul $u \in E$ t.q. :

$$T(v) = a(u, v) \text{ pour tout } v \in E.$$

2. On ne suppose plus que $a$ est symétrique.

(a) Soit $u \in E$, Montrer que l'application $v \mapsto a(u,v)$ est un élément de $E'$. En déduire qu'il existe un et un seul élément de $E$, notée $Au$, t.q. $(Au|v) = a(u,v)$ pour tout $v \in E$.
**Corrigé** – L'application $\psi_u : E \to \mathbb{R}$, définie par $\psi_u(v) = a(u, v)$ pour tout $v \in E$, est bien linéaire de E dans $\mathbb{R}$. Elle est aussi continue car $|\psi_u(v)| = |a(u, v)| \le C||u||||v||$ pour tout $v$ dans E. On a donc $\psi_u \in E'$ (et $||\psi_u||_{E'} \le C||u||$).

Comme $\psi_u \in E'$, le théorème de représentation de Riesz (théorème 6.56) donne qu'il existe un élément de E, noté $\text{Au t.q.}$. ($\text{Au} | v) = \psi_u(v)$ pour tout $v \in E$, c'est-à-dire :

$$ (\text{Au} | v) = a(u, v) \text{ pour tout } v \in E. $$

On note, dans la suite A l'application qui à $u \in E$ associe $\text{Au} \in E$.

(b) Montrer que A est linéaire continue de E dans E.

**Corrigé** – Soit $u_1, u_2 \in E$, $\alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}$. On note $w = \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2$. Comme a est linéaire par rapport à son premier argument, on a :

$$ a(w, v) = \alpha_1 a(u_1, v) + \alpha_2 a(u_2, v) \text{ pour tout } v \in E, $$

et donc $(\text{Aw} | v) = \alpha_1(\text{Au}_1 | v) + \alpha_2(\text{Au}_2 | v)$ pour tout $v \in E$, ou encore

$$ (\text{Aw} - \alpha_1 \text{Au}_1 - \alpha_2 \text{Au}_2 | v) = 0 \text{ pour tout } v \in E. $$

On en déduit que $\text{Aw} = \alpha_1 \text{Au}_1 - \alpha_2 \text{Au}_2$ (il suffit de prendre $v = \text{Aw} - \alpha_1 \text{Au}_1 - \alpha_2 \text{Au}_2$ dans l'égalité précédente) et donc que A est une application linéaire de E dans E.

Pour montrer la continuité de A, on remarque que (pour tout $u \in E) |(\text{Au} | v)| = |a(u, v)| \le C||u||||v||$ pour tout $v \in E$. D'où l'on déduit, en prenant $v = \text{Au}$, que $||\text{Au}|| \le C||u||$.

L'application A est donc linéaire continue de E dans E.

Il est important, pour la suite, de remarquer que la coercivité de a donne :

$$ \alpha||u||^2 \le a(u, u) = (\text{Au} | u) \le ||\text{Au}||||u||, \text{ pour tout } u \in E, $$

et donc :

$$ ||u|| \le \frac{1}{\alpha} ||\text{Au}||, \text{ pour tout } u \in E. \qquad (6.50) $$

(c) Montrer que $\text{Im}(A)$ est fermé.

**Corrigé** – Soient $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \text{Im}(A)$ et $f \in E$ t.q. $f_n \to f$ dans E quand $n \to +\infty$. On veut montrer que $f \in \text{Im}(A)$.

Comme $f_n \in \text{Im}(A)$, il existe, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \in E$ t.q. $\text{Au}_n = f_n$. L'inégalité (6.50) donne alors, pour tout $n, m \in \mathbb{N}$,

$$ ||u_n - u_m|| \le \frac{1}{\alpha} ||f_n - f_m||. $$

La suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ étant de Cauchy (car convergente), on en déduit que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est de Cauchy et donc convergente (car E est complet).

Il existe donc $u \in E$ t.q. $u_n \to u$ (dans E) quand $n \to +\infty$. D'où l'on déduit, comme A est continue, que $f_n = \text{Au}_n \to \text{Au}$ (dans E) quand $n \to +\infty$. On a donc $f = \text{Au}$, ce qui prouve que $f \in \text{Im}(A)$ et donc que $\text{Im}(A)$ est fermé.
(d) Montrer que $(\mathrm{Im}(A))^{\perp} = \{0\}$.

**Corrigé** – Soit $u \in (\mathrm{Im}(A))^{\perp}$. On a donc $(Av|u) = 0$ pour tout $v \in E$. On prend $v = u$, on obtient, grâce à la coercivité de $a$ :

$$ \alpha\|u\|^2 \le a(u, u) = (Au|u) = 0, $$

et donc $u = 0$. Ceci prouve bien que $(\mathrm{Im}(A))^{\perp} = \{0\}$.

(e) Montrer que $A$ est bijective et en déduire qu'il existe un et un seul $u \in E$ t.q. $T(v) = a(u, v)$ pour tout $v \in E$.

**Corrigé** – L'inégalité (6.50) donne l'injectivité de $A$. Pour montrer la surjectivité de $A$, on remarque que $\mathrm{Im}(A)$ est un s.e.v. fermé de $E$, on a donc $E = \mathrm{Im}(A) \oplus (\mathrm{Im}(A))^{\perp}$ (cf. théorème 6.53). Comme $(\mathrm{Im}(A))^{\perp} = \{0\}$, on a donc $E = \mathrm{Im}(A)$, c'est-à-dire $A$ surjective.

On a bien bien montré que $A$ est bijective.

Le théorème de représentation de Riesz (théorème 6.56) donne l'existence d'un et un seul $z \in E$ t.q.

$$ T(v) = (z|v), \forall v \in E. $$

D'autre part, la définition de $A$ donne :

$$ a(u, v) = (Au|v), \forall v \in E. $$

Pour $u \in E$, on a donc :

$$ (T(v) = a(u, v), \forall v \in E) \Leftrightarrow (z = Au). $$

La bijection de $A$ donne l'existence d'un et d'un seul $u \in E$ tel que $Au = z$. On a donc un et un seul $u \in E$ tel que $T(v) = a(u, v)$ pour tout $v \in E$.

**Exercice 6.29 (Exemple de projection dans $L^2$)** On désigne par $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur les boréliens de $]0, 1[, \text{par } L^p \text{ l'espace } L_R^p []0, 1[, B []0, 1[]), $\lambda$) et par $\mathcal{L}^p$ l'espace $\mathcal{L}_R^p []0, 1[, B []0, 1[]), \lambda)$.

Soit $g \in L^2$.

1. Soit $v \in L^2$ et $\phi \in C_c^{\infty} []0, 1[, \mathbb{R})$ (on rappelle que $\phi \in C_c^{\infty} []0, 1[, \mathbb{R}$) signifie que $\phi$ est une application de $]0, 1[$ dans $\mathbb{R}$, de classe $C^{\infty}$, et qu'il existe $K \subset ]0, 1[$, K compact, t.q. $\phi(x) = 0$ pour tout $x \in ]0, 1[ \setminus K)$. Montrer que $vg\phi' \in L^1$.

**Corrigé** – Comme d'habitude, on va confondre un élément de $L^p$ avec l'un de ses représentants.

Comme $g, v \in L^2$, on a $vg \in L^1$ (d'après le lemme 6.5).

Puis, comme $\phi' \in C_c^{\infty} []0, 1[, \mathbb{R})$, on a $\phi' \in L^{\infty}$ et donc (par la proposition 6.26) $vg\phi' \in L^1$.

On pose $\mathcal{C} = \{v \in L^2 ; v \le 1 \text{ p.p.}, \int v g \phi' d\lambda \le \int \phi d\lambda, \text{ pour tout } \phi \in C_c^{\infty} []0, 1[, \mathbb{R})$, $\phi \ge 0\}$. (On rappelle que $\phi \ge 0$ signifie $\phi(x) \ge 0$ pour tout $x \in ]0, 1[$.)
2. Montrer que $\mathcal{C}$ est un convexe fermé non vide de $L^2$.

**Corrigé** – $-C \neq \emptyset \text{ car } 0 \in \mathcal{C}$.

- On montre la convexité de $\mathcal{C}$. Soient $v, w \in \mathcal{C}$ et $t \in [0, 1]$. On a $tv+(1-t)w \in L^2$ (car $L^2$ est un e.v.). Du fait que $v \le 1$ p.p. et $w \le 1$ p.p., on déduit immédiatement (comme $t \ge 0$ et $(1-t) \ge 0$) que $tv+(1-t)w \le t+(1-t) = 1$ p.p.. Enfin, soit $\phi \in C_c^\infty(]0, 1[, \mathbb{R})$, $\phi \ge 0$. Comme $t \ge 0$ et $(1-t) \ge 0$, on remarque que

$$t \int v g \phi' d\lambda \le t \int \phi d\lambda, \\ (1-t) \int w g \phi' d\lambda \le (1-t) \int \phi d\lambda.$$

Ce qui donne, en additionnant,

$$\int (tv + (1-t)w)g\phi'd\lambda \le \int \phi d\lambda.$$

On en déduit que $(tv + (1-t)w) \in \mathcal{C}$ et donc que $\mathcal{C}$ est convexe.

- On montre enfin que $\mathcal{C}$ est fermée. Soient $(v_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{C}$ et $v \in L^2$ t.q. $v_n \to v$ dans $L^2$ quand $n \to +\infty$. On veut montrer que $v \in \mathcal{C}$.

On remarque tout d'abord que, grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz (inégalité (6.11)), on a :

$$\int v_n w d\lambda \to \int vw d\lambda, \text{ quand } n \to +\infty, \forall w \in L^2. \quad (6.51)$$

On prend $w = v1_{v>1} \in L^2$ dans (6.51). Comme $v_n w \le w$ p.p., on a $\int v_n w d\lambda \le \int w d\lambda$. On déduit alors de (6.51) que $\int vw d\lambda \le \int w d\lambda$ et donc que $\int (v-1)v1_{v>1}d\lambda \le 0$. Comme $v(v-1)1_{v>1} \ge 0$ p.p., on a donc nécessairement $v(v-1)1_{v>1} = 0$ p.p. et donc $\lambda(\{v>1\}) = 0$, c'est-à-dire $v \le 1$ p.p..

Soit maintenant $\phi \in C_c^\infty(]0, 1[, \mathbb{R})$, $\phi \ge 0$. Par les inégalités de Cauchy-Schwarz et Hölder, on a :

$$\int v_n g \phi' d\lambda \to \int v g \phi' d\lambda, \text{ quand } n \to +\infty.$$

En effet,

$$\left| \int v_n g \phi' d\lambda - \int v g \phi' d\lambda \right| \le \|\phi'\|_{\infty} \int |v_n - v| g |d\lambda| \\ \le \|\phi'\|_{\infty} \|v_n - v\|_2 \|g\|_2 \to 0,$$

quand $n \to +\infty$.

Du fait que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\int v_n g \phi' d\lambda \le \int \phi d\lambda$, on obtient donc, passant à limite quand $n \to +\infty$, que $\int v g \phi' d\lambda \le \int \phi d\lambda$, ce qui montre bien que $v \in \mathcal{C}$.

On a bien montré que $\mathcal{C}$ est fermée.

3. On désigne par **1** la fonction constante et égale à 1 sur $]0, 1[$. Soit $u \in \mathcal{C}$. Montrer que :

$$(\|u - \mathbf{1}\|_2 \le \|v - \mathbf{1}\|_2 \text{ pour tout } v \in \mathcal{C}) \iff (\int (\mathbf{1} - u)(u - v)d\lambda \ge 0 \text{ pour tout } v \in \mathcal{C}).$$

**Corrigé** – On remarque d'abord que

$$(\|u - \mathbf{1}\|_2 \le \|v - \mathbf{1}\|_2 \text{ pour tout } v \in \mathcal{C}) \iff u = P_{\mathcal{C}} \mathbf{1}.$$
On utilise maintenant la première caractérisation de la projection (proposition 6.49),
elle donne que

$$
u = P_C \mathbf{1} \Leftrightarrow ((1-u) | u-v)_2 \ge 0 \text{ pour tout } v \in \mathcal{C}),
$$

et donc que

$$
u = P_C \mathbf{1} \Leftrightarrow \left( \int (\mathbf{1} - u)(u-v) d\lambda \geq 0 \text{ pour tout } v \in C \right). \quad (6.52)
$$

4. Soit $u \in C$ t.q. $\|u - \mathbf{1}\|_2 \le \|v - \mathbf{1}\|_2$ pour tout $v \in C$. On suppose que $u, g \in C^1(]0, 1[, \mathbb{R})$.

(a) Montrer que (ug)'(x) ≥ -1 pour tout x ∈ ]0, 1[.

**Corrigé** – On raisonne par l’absurde. On suppose qu’il existe $c \in ]0,1[$ t.q. (ug)'(c) < -1. Par continuité de (ug)' en c, il existe donc a, b t.q. $0 < a < c < b < 1$ et (ug)'(x) < -1 pour tout $x \in ]a,b[$.

On peut construire $\varphi \in C_c^\infty(]0,1[; \mathbb{R})$ t.q. $\varphi \ge 0$, $\varphi(c) > 0$ et $\varphi = 0$ sur $]a,b[$. une telle fonction $\varphi$ est obtenue, par exemple, en prenant :

$$
\varphi(x) = \varphi_0\left(\frac{2y - (a + b)}{b - a}\right), x \in ]0, 1[, \quad (6.53)
$$

avec :

$$
\begin{align}
\varphi_0(x) &= \exp \frac{1}{x^2-1}, x \in ]-1, 1[; \nonumber \\
\varphi_0(x) &= 0, x \in \mathbb{R} \setminus ]-1, 1[. \tag{6.54}
\end{align}
$$

Comme $u \in C$, on a, d'après la définition de $C$ (car $\varphi$ est un choix possible pour $\varphi$) :

$$
\int_a^b u(x)g(x)\varphi'(x)dx = \int ug\varphi'd\lambda \le \int \varphi d\lambda = \int_a^b \varphi(x)dx.
$$

Comme ug est de classe C¹ sur [a, b], on peut intégrer par parties sur [a, b] pour
obtenir (noter que φ(a) = φ(b) = 0) ∫ₐᵇ - (ug)'(x)φ(x)dx ≤ ∫ₐᵇ φ(x)dx, ou encore :

$$
\int_a^b ((ug)'(x) + 1)\varphi(x)dx \ge 0.
$$

Ce qui impossible car ((ug)' + 1)φ est une fonction continue négative, non identi-
quement nulle sur [a, b] (car non nulle au point c).

(b) Soit $x \in ]0,1[$ t.q. $u(x) < 1$. Montrer que $(ug)'(x) = -1$.

**Corrigé** – On raisonne encore par l’absurde. On suppose donc qu’il existe $c \in ]0,1[$ t.q. $u(c) < 1$ et $(ug)'(c) \neq -1$. Comme on sait déjà que $(ug)'(x) \geq -1$ pour tout $x \in ]0,1[$, on a donc $(ug)'(c) > -1$.

Par continuité de $u$ et $(ug)'$ en $c$, il existe donc $a, b$, avec $0 < a < c < b < 1$, et $\delta > 0$
t.q. $u(x) \le 1 - \delta$ et $(ug)'(x) > -1 + \delta$ pour tout $x \in ]a, b[$.

On utilise la même fonction $\varphi$ qu’à la question précédente, c’est-à-dire donnée, par exemple, par (6.53) et (6.54). La propriété importante est que $\varphi \in C_c^\infty(]0,1[, \mathbb{R})$ soit t.q. $\varphi \ge 0$, $\varphi(c) > 0$ et $\varphi = 0$ sur $]a,b[$.
On va montrer que pour $\varepsilon > 0$ assez petit, on a $u + \varepsilon\varphi \in \mathcal{C}$.

On remarque d'abord que $u + \varepsilon\varphi \in L^2$ (pour tout $\varepsilon > 0$). Puis, en prenant $0 < \varepsilon \le \varepsilon_1 = \frac{\delta}{\|\varphi\|_\infty}$, on a $u + \varepsilon\varphi \le 1$ p.p.. Enfin, soit $\varphi \in C_c^\infty(\mathbb{R})$, $\varphi \ge 0$. On a, en utilisant une intégration par parties sur un intervalle compact de $]0, 1[$ contenant le support de $\varphi$ :

$$ \int ((u + \varepsilon\varphi)g)\varphi'd\lambda = - \int (ug)'\varphi d\lambda - \varepsilon \int (\varphi g)'\varphi d\lambda. $$

En utilisant le fait que $(ug)' \ge -1$ (partout) et $(ug)' > -1 + \delta$ sur $]a, b[$, on en déduit

$$ \int ((u + \varepsilon\varphi)g)\varphi'd\lambda \le \int \varphi d\lambda - \delta \int_a^b \varphi(x)dx - \varepsilon \int_a^b (\varphi g)'\varphi d\lambda \le \int \varphi d\lambda, $$

si $0 < \varepsilon \le \frac{\delta}{M}$, avec $M = \max_{x \in [a, b]} |(\varphi g)'(x)| < \infty$ car $(\varphi g)'$ est continue sur $]a, b]$.

En prenant $\varepsilon = \min(\varepsilon_1, \varepsilon_2) > 0$, on obtient donc $u + \varepsilon\varphi \in \mathcal{C}$. Comme $u = P_C 1$, on peut maintenant prendre $v = u + \varepsilon\varphi$ dans la caractérisation de $P_C 1$, on obtient, comme $\varepsilon > 0$ :

$$ \int_a^b (1 - u(x))\varphi(x)dx = \int (1 - u)\varphi d\lambda \le 0. $$

Ce qui est impossible car $(1-u)\varphi$ est une fonction continue positive, non identiquement nulle sur $]a, b[$ (car non nulle en $c$).

(c) Montrer que $u$ est solution du problème suivant :

$(ug)'(x) \ge -1$, pour tout $x \in ]0, 1[$,

$u(x) \le 1$, pour tout $x \in ]0, 1[$,

$(1 + (ug)'(x))(u(x) - 1) = 0$, pour tout $x \in ]0, 1[$.

**Corrigé** – Cette question est immédiate. On a déjà vu que $(ug)'(x) \ge -1$, pour tout $x \in ]0, 1[$. Comme $u \in \mathcal{C}$, on a $u \le 1$ p.p.. Mais, comme $u$ est continue sur $]0, 1[$, l'ensemble $\{u > 1\}$ est un ouvert, cet ensemble est donc vide (car un ouvert de mesure de Lebesgue nulle est toujours vide). On a donc $u \le 1$ partout. Enfin, le fait que $(1 + (ug)'(x))(u(x) - 1) = 0$, pour tout $x \in ]0, 1[$, découle de la question précédente qui montre justement que $(1 + (ug)'(x)) = 0$ si $u(x) < 1$.

**Exercice 6.30 (Approximation dans $L^2$)** On désigne par $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur les boréliens de $\mathbb{R}$, par $L^p$ l'espace $L_{\mathbb{R}}^p(\mathbb{R}, B(\mathbb{R}))$, $\lambda$ et par $\mathcal{L}^p$ l'espace $\mathcal{L}_{\mathbb{R}}^p(\mathbb{R}, B(\mathbb{R}))$, $\lambda$. On note $dt = d\lambda(t)$.

Pour $f \in L^2$ et $k \in \mathbb{N}^*$, on définit $T_k f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ par :

$$ T_k f(x) = k \int_{\frac{n(x)}{k}}^{\frac{n(x)+1}{k}} f(t)dt, \qquad (6.55) $$

où $n(x)$ est l'entier de $\mathbb{Z}$ tel que $\frac{n(x)}{k} \le x < \frac{n(x)+1}{k}$ (l'entier $n$ dépend donc de $x$).