For $u \ge 0$, $M^{-1} = N$, yet $M$ satisfies the Bl* condition but $N$ does not. $N$ satisfies D, but $M$ does not; and $M$ satisfies I, but $N$ does not.

**EXAMPLE 3.** Let $M(u) = |u|^{1/2}$. $M$ satisfies both conditions C and D, but not condition I.

References

[1] T. Itô, *A generalization of Mazur-Orlicz theorem on function spaces*, J. Fac. Sci. Hokkaidô Univ. (I) 15 (1961), Nos. 3-4, p. 221-232.

[2] J. Musielak and W. Orlicz, *On generalized variations* (I), Studia Math. 18 (1959), p. 11-41.

[3] — *On modular spaces*, ibidem 18 (1959), p. 49-65.

[4] H. Nakano, *Modulared semi-ordered linear spaces*, Tokyo 1950.

SALEM STATE COLLEGE AND WAYNE STATE UNIVERSITY

Reçu par la Rédaction le 24. 4. 1967

Sur des théorèmes de S. Banach et de L. Schwartz concernant le graphe fermé

par

A. MARTINEAU (Nice)

Il s'agit ici d'une généralisation du théorème du graphe fermé dans la direction suggérée par A. Grothendieck dans sa thèse [6].

La première solution à ce problème a été fournie par W. Slowikowski [14] suivi de D. A. Raikov [11] une autre solution a été donnée par Laurent Schwartz [13] qui s'appuie sur sa théorie de l'intégration et un lemme de A. Douady, mais qui ne recouvre pas exactement la conjecture de Grothendieck. Le premier pas dans le sens de la conjecture de Grothendieck a été fait par M. Slowikowski, puis M. Raikov a donné une solution complète. L'énoncé de Schwartz est particulièrement suggestif et ma principale contribution [9] a été d'en fournir une nouvelle démonstration puisée dans l'ouvrage de Banach [1]. Je donne ici la plus grande extension possible à cette méthode.

**1. Remarques sur la théorie de la catégorie.** Dans la suite, sauf mention expresse du contraire, tous les espaces que je considère sont séparés (terminologie Bourbaki). Je suis généralement la terminologie et les notations de cet auteur.

Une partie Y d'un espace topologique X est dite rare si elle est incluse dans un fermé sans point intérieur; elle est maigre si elle est réunion dénombrable de parties rares (1-ère catégorie chez Baire et chez les Polonais). L'espace X est dit non maigre s'il n'est pas un sous-ensemble maigre de lui-même. L'espace X est dit espace de Baire si tout ouvert non vide de X est non maigre.

**THÉORÈME 1.** *Soit Y une partie de X. On désigne par D(Y) l'ensemble des points x de X tels que pour tout voisinage V de x l'ensemble V ∩ Y soit non maigre. On a:*

$$ (\alpha) D(Y) \subset \bar{Y}. $$

$$ (\beta) Si Y_1 \subset Y_2, D(Y_1) \subset D(Y_2). $$

$$ (\gamma) D(Y) \text{ est fermé.} $$

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

(δ) Pour que $O(Y) = \overline{D(Y)} = \emptyset$ il faut et il suffit que Y soit un ensemble maigre.
(ε) $Y \cap CD(Y)$ est un ensemble maigre.

(ζ) $O(Y)$ est le plus grand ouvert dont tout sous-ensemble ouvert ren-
contre Y suivant un ensemble non maigre.

(η) Si Y est réunion d'une suite de parties $Y_n$, $D(Y)$ contient $\bigcup_n D(Y_n)$ et en diffère au plus par un ensemble maigre.

Démonstration. Toutes ces propriétés sont connues. (Cf. par exemple Kuratowski [7], et [9] pour la propriété (η).)

2. Les espaces K-sousliniens.

A. Espaces polonais. Rappelons que selon N. Bourbaki, on dit qu'un espace P est polonais s'il est homéomorphe à un espace métrique complet de type dénombrable (séparable). Cette catégorie a les propriétés de stabilité suivantes:

(a) tout sous-espace fermé d'un espace polonais est un espace polonais;

(b) le produit d'une famille dénombrable d'espaces polonais est un espace polonais;

(c) la somme d'une famille dénombrable d'espaces polonais est un espace polonais;

(d) tout sous-espace ouvert d'un espace polonais est un espace polonais.

Soit N l'ensemble des nombres entiers naturels muni de sa topologie discrète. C'est un espace polonais, donc $N^N$ est aussi un espace polonais. On a la propriété:

(e) tout espace polonais est image continue de $N^N$. Les résultats (a) à (d) sont dans le texte de l'ouvrage de Bourbaki [3], le résultat (c) s'y trouve en exercice (cf. aussi Kuratowski [7], p. 348).

B. Espaces sousliniens. On appelle espace souslinien [8], [13] un espace topologique X image continue d'un espace polonais. On peut encore dire que X est image continue de $N^N$. Un sous-espace Y de X est dit souslinien s'il est un espace souslinien.

Des propriétés (a), (b), (c) et (d) résultent alors les propriétés de stabilité suivantes:

(0') l'image continue d'un espace souslinien est un espace souslinien;

(a') un sous-espace fermé d'un espace souslinien est souslinien;

(b') le produit d'une famille dénombrable d'espaces sousliniens est souslinien;

(c') la somme d'une famille dénombrable d'espaces sousliniens est souslinien;

(d') tout sous-espace ouvert d'un espace souslinien est souslinien.

Il résulte de la conjonction de tout ceci que si on désigne par *ensemble borélien* d'un espace X un élément de la plus petite tribu d'ensembles

stable par réunion dénombrable et par *passage au complémentaire*, contenant les fermés, que tout borélien d'un espace souslinien est souslinien.

Remarque. Le résultat de l'opération $\mathcal{A}$ sur une famille d'espaces sousliniens donne un espace souslinien (cf. [7]).

C. Espaces K-sousliniens. Notre définition est adaptée de celle de Frolik [5] et de Rogers [12]. Soient U et V deux espaces topologiques et $\varphi$ une application de U à valeurs dans $K(V)$ l'ensemble des compacts de V. Nous dirons que $\varphi$ est semi-continue si pour tout $u \in U$ et tout $\mathcal{V}$ ouvert contenant $\varphi(u)$ il existe un voisinage $\mathcal{W}$ de u tel que $w \in \mathcal{W}$ entraîne $\varphi(w) \subset \mathcal{V}$.

Un espace $X$ est dit *K-souslinien* s'il existe un espace polonais $P$, une application $\varphi$ de $P$ dans $K(X)$ semi-continuc, tels que

$$X = \bigcup_{p \in P} \varphi(p).$$

On vérifie aisément que les espaces $K$-analytiques de Choquet [4] sont $K$-sousliniens, et Rogers [12] montre que si $X$ est complètement régulier, c'est justement le cas qui nous intéresse dans la suite, cette notion équivaut à celle de Choquet.

La catégorie des espaces $K$-sousliniens jouit des propriétés suivantes:

(0') l'image continue d'un espace $K$-souslinien est un espace $K$-souslinien;

(a') un sous-espace fermé d'un espace $K$-souslinien est $K$-souslinien;

(b') le produit d'une famille dénombrable d'espaces $K$-sousliniens est $K$-souslinien.

(c') la somme d'une famille dénombrable d'espaces $K$-sousliniens est un espace $K$-souslinien.

Mais le (d') analogue de (d') n'est pas vrai en général car si $X$ est $K$-souslinien et si $Y$ est ouvert dans $X$ pour $F \in K(X)$, $F \cap Y \notin K(Y)$ en général. Pour avoir un exemple on prendra pour $Y$ un espace discret non dénombrable et pour $X$ le compactifié de $Y$. L'espace $X$ est $K$-souslinien mais son ouvert $Y$ ne l'est pas.

Désignons par ensemble $F$-borélien de $X$ tout élément de la plus petite tribu stable par réunion dénombrable, intersection dénombrable et contenant les fermés de $X$.

Alors il résulte des propriétés (0'), (a'), (b') et (c') que si $X$ est $K$-souslinien, tout sous-ensemble $F$-borélien de $X$ est $K$-souslinien.

Remarque. Plus généralement, on peut prouver que le résultat de l'opération $\mathcal{A}$ appliquée aux fermés de $X$ donne un ensemble $K$-souslinien.

Notons que tout espace souslinien est $K$-souslinien.

On a le résultat suivant qui généralise un théorème classique de Nikodym [10]:
**THÉORÈME 2.** *Soit Y K-souslinien dans X; alors Y diffère de D(Y) (done de O(Y)) par un ensemble maigre.*

**Démonstration.** Puisque Y est K-souslinien, il existe une application $\varphi$ de $N^N$ dans $K(X)$ semi-continue telle que $Y = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} \varphi(i)$.

Si $i \in N^N$, $i = (i_0, \dots, i_n, \dots)$, nous noterons par $i_{(N)}$ la suite $(i_0, \dots, i_N)$.
On pose:

$$B_{i_{(N)}} = \bigcup_{j} \varphi(j), \quad j_{(N)} = i_{(N)}.$$

$$\text{Je dis qu'on a } \varphi(i) = \bigcap_{N} \bar{B}_{i_{(N)}}.$$

En effet, pour tout ouvert $\mathcal{V}$ contenant $\varphi(i)$ il existe un $N$ tel que $j_{(N)} = i_{(N)}$ entraîne $\varphi(j) \subset \mathcal{V}$, donc

$$\bigcup_j \varphi(j) \subset \mathcal{V}, \quad j_{(N)} = i_{(N)}.$$

Et comme notre espace est séparé, que $\varphi(i)$ est compact, on a

$$\mathcal{V} \cap \overline{\mathcal{V}} = \varphi(i).$$

En conséquence, Y résulte de l'opération $\mathcal{A}$ effectuée sur les fermés de X. Or, il est connu (théorème de Nikodym [10]; cf. aussi [7]) que la propriété de Baire (c'est la propriété décrite par le théorème 2) est un invariant de l'opération $\mathcal{A}$, c.q.f.d.

**3. La somme de deux ensembles satisfaisant à la condition de Baire.**
On a la propriété suivante bien connue (cf. par exemple Bourbaki [3], exerc. 27, p. 119):

**PROPOSITION.** *Soit G un groupe topologique, A une partie de G non maire qui satisfait à la propriété de Baire. Alors G est un espace de Baire et $A \cdot A^{-1}$ est un voisinage de l'élément neutre.*

**Démonstration.** L'ouvert $O(A)$ est non maire et tel que tout ouvert inclus rencontre A suivant un ensemble non maire donc est non maire. Alors si $V$ est un voisinage ouvert arbitraire de l'élément neutre de G et si $y \in O(A)$, $V \cdot y \cap O(A)$ est non maire donc aussi V. En conséquence, tout ouvert de G est non maire ce qui démontre la première partie de la proposition. Soit $y_0 \in O(A) \cap A$; $O(A \cdot y_0^{-1}) = O(A) \cdot y_0^{-1}$. Si $z \in O(A) \cdot y_0^{-1}$, $z \cdot O(A) \cdot y_0^{-1} \cap O(A) \cdot y_0^{-1}$ est non maire. Mais $z \cdot O(A) \cdot y_0^{-1}$ diffère de $z \cdot A \cdot y_0^{-1}$ par un ensemble maire, et de même pour $O(A) \cdot y_0^{-1}$, donc $z \cdot A \cdot y_0^{-1} \cap A \cdot y_0^{-1} \neq \emptyset$. C'est-à-dire qu'il existe $x_1 \in A$, $x_2 \in A$ tels que $z \cdot x_1 \cdot y_0^{-1} = x_2 \cdot y_0^{-1}$ d'où $z = x_2 \cdot x_1^{-1}$. Ceci montre que $O(A) \cdot y_0^{-1} \subset A \cdot A^{-1}$, c.q.f.d.

**4. Application à des théorèmes du type du graphe fermé.** Dans la suite, nous considérons les catégories suivantes:

La catégorie [GT] des groupes topologiques avec comme morphismes, les homomorphismes algébraiques et continus.

La catégorie [EVTk] des espaces vectoriels topologiques sur un corps topologique k avec comme morphismes les applications linéaires continues.

La catégorie [EVTNk] des espaces vectoriels topologiques sur un corps topologique k dont la topologie peut être définie par une famille de semi-normes (ce qui impose des conditions à k). Un élément de cette dernière catégorie sera dit abusivement *espace localement convexe*.

Nous dirons qu'un groupe G est de type K·β s'il est limite induc- tive dans [GT] de groupes K-sousliniens et de Baire. C'est-à-dire que si $G_a$ est la famille de définition, $u_a$ le morphisme de $G_a$ dans G, une appli- cation u de G dans F autre groupe topologique est un morphisme si et seulement si $u \circ u_a$ est un morphisme pour tout a.

Nous dirons que G est de type β si les $G_a$ sont sousliniens et de Baire.

Nous dirons qu'un espace vectoriel topologique E est K-ultrabornolo- gique s'il existe une topologie de type K·β sur E, et si la topologie de E est la plus fine des topologies du type [EVTNk] moins fine que cette topologie. Une limite inductивe dans [EVTNk] d'espaces $E_a$ K-sousliniens et de Baire est, en particulier, K-ultrabornologique.

L'espace E est ultrabornologique si chacun des $E_a$ est souslinien.

Pour travailler sur un corps quelconque ou dans le cas de [GT], j'ai besoin d'une information supplémentaire dans les espaces K-sousli- niens, information inutile dans le cas de [EVTk] si k est valué non discret.

On dit qu'un espace X est un espace de Lindelöf si de tout recouv- rement ouvert de X, on peut extraire un sous-recouvrement dénombrable. Un espace polonais est un espace de Lindelöf.

**PROPOSITION 2.** *Tout espace K-souslinien X est un espace de Lindelöf [12].*

**Démonstration.** L'espace X est défini par $\varphi: P \to K(X)$, P étant un espace polonais convenable. Soit $\omega_a$, $a \in A$, un recouvrement quel- conque de X. Pour chaque $p \in P$, $\varphi(p)$ est compact. Donc, il existe une partie finie $F(p)$ de A telle que $\varphi(p) \subset \Omega_p$, où $\Omega_p = \bigcup_{a \in F(p)} \omega_a$.

Il existe un voisinage $\mathcal{V}(p)$ de p dans P tel que $q \in \mathcal{V}(p)$ entraîne $\varphi(p) \subset \Omega_p$. Du recouvrement de P par les $\mathcal{V}(p)$ on extraira un recouvre- ment dénombrable $\mathcal{V}(p_1), \dots, \mathcal{V}(p_n), \dots$ et $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} F(p_n)$ est une partie dénombrable de A qui répond à la question, c.q.f.d.

On peut alors étendre un théorème de Banach [1], p. 230.
**THÉORÈME 3.** Soient $G_1$ et $G_2$ deux groupes topologiques $G_1$ de type $K \cdot \beta$, $G_2$ K-souslinien.

(a) Si $u$ est un homomorphisme algébrique de $G_1$ dans $G_2$, de graphe $F$-borélien, alors $u$ est continu.

(b) Soit $v$ un homomorphisme algébrique continu de $G_2$ sur $G_1$; alors $v$ est un homomorphisme topologique.

**Démonstration.** (a) Soit $V$ un voisinage de l'élément neutre de $G_2$. On peut supposer $V$ fermé et $V = V^{-1}$.

Nos hypothèses entraînent, si $G_a, a \in A$, est une famille de définition de $G_1$, que pour tout $a, (u \circ u_a)^{-1}(V)$ est K-souslinien dans $G_a$. En effet, l'application $u_a$ étant continue, l'image par $(u_a, Identité)^{-1}$ d'un fermé de $G_1 \times G_2$ dans $G_a \times G_2$ est fermée, donc l'image d'un $F$-borélien est un $F$-borélien dans $G_a \times G_2$, comme en outre les images réciproques commutent aux intersections et réunions.

En conséquence, le graphe $\Gamma_a$ de $u \circ u_a$ dans $G_a \times G_2$ est $F$-borélien. Soit $Y = (u \circ u_a)^{-1}(V)$. Cet ensemble est la projection sur $G_a$ de $X = (E_a \times V) \cap \Gamma_a$. Par hypothèse, $G_a$ est K-souslinien donc $G_a \times G_2$ aussi, donc aussi le sous-ensemble $F$-borélien $X$ de $G_a \times G_2$, donc aussi enfin la projection $Y$ de $X$ sur $G_a$.

Maintenant, soit $W$ symétrique ($W = W^{-1}$) fermé tel que $W \cdot W \subset V$.

L'image $Z_a$ de $G_a$ dans $G_2$ par $u \circ u_a$ est la projection sur $G_a \cap \Gamma_a$ donc est un ensemble K-souslinien. Donc $Z_a$ est un espace de Lindelöf. Les ensembles $g \cdot (\tilde{W} \cap Z_a)$, $g$ parcourant $Z_a$, forment un recouvrement ouvert de $Z_a$. Donc, on peut en extraire un sous-recouvrement dénombrable soit $(g_n \cdot (\tilde{W} \cap Z_a))_{n=1,2,...}$. Si

$$T_n = (u \circ u_a)^{-1}(g_n \cdot (W \cap Z_a)), \bigcup_n T_n = G_a,$$

donc l'un des $T_n$ est non maigre. Mais ils sont tous égaux donc $T = (u \circ u_a)^{-1}(W)$ est non maigre souslinien; $T \cdot T^{-1}$ est donc un voisinage de l'élément neutre et $Y$ aussi, c.q.f.d.

(b) Soit $N$ le noyau de $v$. L'application $v^{-1}$ de $G_1$ dans $G_2/N$ a un graphe fermé. $G_2/N$ est K-souslinien comme quotient d'un K-souslinien donc $v$ est continue, c.q.f.d.

En exemple des hypothèses, le théorème s'applique à $G_1$ localement compact, $G_2$ localement compact et dénombrable à l'infini. Pour voir que $G_1$ est dans la classe $K \cdot \beta$ on remarquera que le sous-groupe $N_W$ engendré par un voisinage compact $W$ de l'élément neutre de $G_1$ est dénombrable à l'infini et ouvert et fermé. Alors $G_1/N_{W}$ est un espace discret.

Si $F$ est une partie finie de $G_1/N_{W}$, le sous-groupe engendré par $N_W$ et des représentants de $F$ dans $G_1$ est un sous-groupe $G_F$ de $G_1$, localement

compact et dénombrable à l'infini. On a alors $G_1 = \lim_{\tilde{F}} G_F$. On remarquera en outre que, dans ce cas, les hypothèses sont les meilleures possibles en prenant pour $G_1$ un groupe compact non discret et pour $G_2$ le groupe $G_1$ muni de la topologie discrète.

**THÉORÈME 4.** (Variante). $G_1$ est de type $\beta$, $G_2$ souslinien, alors, si $u: G_1 \to G_2$ a un graphe borélien, $u$ est continu.

**Démonstration.** Comme précédemment, on voit que $\Gamma_a$ est borélien dans $G_a \times G_2$, mais nos espaces sont sousliniens donc $\Gamma_a$ est souslinien. On achève comme dans le théorème 3. Ce résultat s'applique par exemple au cas considéré par Banach.

Le théorème 3 s'applique en particulier de façon utile au cas des espaces vectoriels topologiques sur tout corps valué complet séparable en particulier au cas où le corps est localement compact.

**THÉORÈME 5.** (Du graphe borélien de Schwartz [13]). $E_1$ et $E_2$ sont deux espaces localement convexes sur $k$, $E_1$ est ultrabornologique, $E_2$ est souslinien, alors:

(a) si $u$ est linéaire de $E_1$ dans $E_2$ et de graphe borélien, elle est continue;

(b) si $v$ est linéaire surjective de $E_2$ sur $E_1$, c'est un homomorphisme.

**Démonstration.** Je tiens à souligner que cet énoncé de Schwartz est la source de tout ce travail.

Vu la définition de la topologie de $E_1$, il suffit de vérifier que $u$ est continue de $E_1$ muni de sa topologie $\beta$ dans $E_2$ et cela résulte du théorème 4. Le point (b) résulte de (a) comme dans le théorème 3 car le quotient de $E_2$ par le noyau $N$ de $v$ est un élément de la catégorie [EVTN k], c.q.f.d.

On remarquera que ce théorème, lorsqu'il n'est pas vide, impose des conditions à $k$.

Maintenant, nous supposons que $k = \mathbb{R}$ ou $k = \mathbb{C}$. Dans un vrai espace vectoriel topologique, localement convexe $H$ nous disons qu'un ensemble $X$ est $C$-borélien s'il appartient à la plus petite tribu d'ensembles stable par réunion dénombrable, intersection dénombrable, engendrée par les convexes fermés. Par exemple, si $H$ est un espace de Banach séparable, on a:

$$\text{boréliens} = F\text{-boréliens} = C\text{-boréliens}.$$

Pour vérifier cela, il me suffit de confronter les deux extrêmes, or tout ouvert est réunion dénombrable de boules fermées.

Soit $H_1 \times H_2$ un produit de deux espaces localement convexes sur $k = \mathbb{R}$ ou $k = \mathbb{C}$. Notons par $\mathcal{T}_1$ et $\mathcal{T}_2$ les topologies de $H_1$ et de $H_2$. Les $C$-boréliens pour $\mathcal{T}_1 \times \mathcal{T}_2$ sont aussi les $C$-boréliens pour $\mathcal{T}_1 \times \sigma(H_2, H_2^c)$ car toute forme linéaire continue sur $H_1 \times H_2$ pour $\mathcal{T}_1 \times \mathcal{T}_2$ est continue sur $H_1 \times H_2$ pour $\mathcal{T}_1 \times \sigma(H_2, H_2^c)$.
Si $u_3$ est une application linéaire continue de $H_3$ dans $H_1$, où $H_3$ est un troisième espace localement convexe, l'image réciproque d'un ensemble C-borélien de $H_1 \times H_2$ par $(u_3, \text{identité})^{-1}$ dans $H_3 \times H_2$ est clairement C-borélienne dans $H_3 \times H_2$ donc C-borélienne pour $(\mathcal{T}_3, \sigma(H_2, H_2'))$.

### THÉORÈME 6. $E_1$ et $E_2$ sont définis sur $k = \mathbf{R}$ ou $k = \mathbf{C}$ localement convexes; $E_1$ est $K$-ultrabornologique et $E_2$ est $K$-souslinien pour sa topologie affaiblie; alors:

(a) si $u$ est linéaire de $E_1$ dans $E_2$ et de graphe $C$-borélien, $u$ est continue;

(b) toute application linéaire continue $v$ surjective de $E_2$ sur $E_1$ est un homomorphisme.

### Démonstration.
Elle est complètement analogue. On peut prendre $V$ convexe fermé. Le graphe $\Gamma_a$ est $C$-borélien dans chaque $E_a \times E_2$, donc $(E_a \times V) \cap \Gamma_a$ est $C$-borélien dans $E_a \times E_2$ donc $C$-borélien dans $E_a \times E_2$ pour la topologie $(\mathcal{T}_a, \sigma(E_2, E_2'))$ donc $F$-borélien pour cette topologie en conséquence $K$-souslinien, donc $(u \circ u_a)^{-1}(V)$ est $K$-souslinien convexe et on achève comme précédemment.

Remarque. On peut affaiblir encore l'hypothèse sur le graphe en remplaçant les opérations d'intersections dénombrables et réunions dénombrables par l'opération $\mathcal{A}$.

Remarquons que le résultat de stabilité obtenu est nettement plus fort que celui proposé par A. Grothendieck, du moins dans le cas séparable. Nous espérons revenir prochainement sur ces questions.

### Travaux cités

[1] S. Banach, *Théorie des opérations linéaires*, Warszawa 1932.

[2] N. Bourbaki, *Topologie générale*, Chap. 3. *Groupes topologiques*; Chap. 4, *Nombres réels*, Paris 1960.

[3] — *Topologie générale*, Chap. 9, *Utilisation des nombres réels en topologie générale*, Paris 1958.

[4] G. Choquet, *Theory of capacities*, Ann. Inst. Fourier 5 (1953), p. 131-295.

[5] Z. Frolik, *On the descriptive theory of sets*, Czech. Math. J. 13 (88) (1963), p. 335-359.

[6] A. Grothendieck, *Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires*, *Memoirs of A. M.* S. 16 (1955).

[7] C. Kuratowski, *Topologie I*, Warszawa 1952.

[8] N. Lusin, *Les ensembles analytiques*, Paris 1930.

[9] A. Martineau, *Sur le théorème du graphe fermé*, C. R. Acad. Sc. Paris 263, série A, p. 870-871.

[10] O. Nikodym, *Sur une propriété de l'opération A*, Fund. Math. 7 (1925), p. 149-154.

[11] Д. А. Гайков, *Двусторонняя теорема о замкнутом графике для топологических линейных пространства*, Сибирский мат. ж. 7 (1966), p. 353-372.

[12] C. A. Rogers, *Analytic sets in Hausdorff spaces*, Mathematika 11, part june (1964), p. 1-8.

[13] L. Schwartz, *Sur le théorème du graphe fermé*, C. R. Acad. Sc. Paris 263, série A, p. 602-605.

[14] W. Słowikowski, *On continuity of inverse operators*, Bull. Amer. Math. Soc. 67. no. 5, p. 467-470.

UNIVERSITÉ DE NICE

Reçu par la Rédaction le 29. 4. 1967