# Structures rayonnantes périodiques bidimensionnelles : une approche différente du couplage dans les réseaux d'antennes microrubans

Robert Staraj, Edmond Cambiaggio, A. Papiernik

► To cite this version:

Robert Staraj, Edmond Cambiaggio, A. Papiernik. Structures rayonnantes périodiques bidimensionnelles : une approche différente du couplage dans les réseaux d'antennes microrubans. Journées Internationales de Nice sur les Antennes (JINA 90), Nov 1990, Nice, France. pp.450-454. hal-00987917

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Submitted on 19 Jan 2024

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abroad, or from public or private research centers.

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destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>
# Structures rayonnantes périodiques bidimensionnelles : une approche différente du couplage dans les réseaux d'antennes microrubans

Robert Staraj, Edmond Cambiaggio, A. Papiernik

► To cite this version:

Robert Staraj, Edmond Cambiaggio, A. Papiernik. Structures rayonnantes périodiques bidimensionnelles : une approche différente du couplage dans les réseaux d'antennes microrubans. Journées Internationales de Nice sur les Antennes (JINA 90), Nov 1990, Nice, France. pp.450-454. hal-00987917

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recherche français ou étrangers, des laboratoires
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# STRUCTURES RAYONNANTES PERIODIQUES BIDIMENSIONNELLES :
UNE APPROCHE DIFFERENTE DU COUPLAGE
DANS LES RESEAUX D'ANTÉNNES MICRORUBANS.

## BIPERIODIC BIDIMENSIONAL RADIATING STRUCTURES:
A DIFFERENT APPROACH OF COUPLING
IN MICROSTRIP ANTENNA ARRAYS.

R. STARAJ, E. CAMBIAGGIO, A. PAPIERNIK,

Université de Nice Sophia-Antipolis
Laboratoire d'Electronique - Unité de Recherche Associée CNRS
Rue Albert Einstein, 06560 Valbonne, France

## RESUME.

On présente une approche des couplages entre les éléments rayonnants d'un réseau d'antennes microrubans, ainsi que les effets de ces couplages sur le comportement global de l'antenne, à partir de l'étude du cas particulier constitué par un réseau bidimensionnel périodique infini. Les résultats obtenus dans ce cas particulier permettent alors de déduire le comportement des réseaux de dimensions finies, mais présentant un grand nombre de sources pouvant même être très proches les unes des autres.

## ABSTRACT.

The coupling effects between radiating elements of a microstrip antenna array are investigated from the study of an infinite biperiodic bidimensional array. The behavior of large arrays of finite dimensions is deduced from this particular case even when patches are very close one another.

## I) PRESENTATION DE LA STRUCTURE ETUDIEE.

Le réseau étudié est composé d'éléments microrubans identiques, disposés périodiquement sur l'une des faces d'une plaque diélectrique de dimensions infinies, l'autre face, conductrice, constituant un plan de masse. Chaque élément rayonnant est alimenté par une sonde coaxiale traversant le plan de masse et le diélectrique. Un gradient de phase est appliqué entre chaque alimentation afin d'obtenir un pointage du faisceau principal dans la direction désirée. La figure 1 schématise une portion du réseau.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1: Présentation de la structure étudiée.</figcaption></figure>

Les caractéristiques de ce réseau sont :

pour la plaque diélectrique:

épaisseur h,

constante diélectrique relative $ε_r$,

tangente de pertes tg δ

pour la géométrie:

éléments rayonnants rectangulaires

dimensions de l'élément: Wx selon x, Wy selon y

périodicité: a selon x, b selon y

position de l'alimentation $X_p, Y_p$.

les éléments sont indicés en m selon x, n selon y.

Une structure de ce type avait déjà été étudiée par Pozar [1] par le calcul d'une dyadique de Green périodique équivalente pour tout le réseau et en ne considérant plus qu'une seule cellule.

## II) APPROCHE PROPOSEE.

On considère le réseau comme une antenne unique présentant des discontinuités périodiques sur la face supérieure du diélectrique, et possédant un nombre infini de ports d'entrée (un par élément rayonnant). Ces ports d'entrée sont excités avec la même amplitude, et avec une phase qui varie linéairement avec la position selon les directions x et y. Le champ électrique total est en tout point la somme du champ électrique $E_{inc}$ créé par les courants dans les sondes d'alimentation et du champ $E_{ray}$ créé par les courants $J_{S'}$, existants sur les éléments conducteurs. En particulier, sur les éléments métalliques, $E_{inc} + E_{ray} = 0$, avec $E_{ray}(x,y,z)$ relié au courant de surface $J_{S'}$ par la relation :
# STRUCTURES RAYONNANTES PERIODIQUES BIDIMENSIONNELLES :
UNE APPROCHE DIFFERENTE DU COUPLAGE
DANS LES RESEAUX D'ANTÉNNES MICRORUBANS.

## BIPERIODIC BIDIMENSIONAL RADIATING STRUCTURES:
A DIFFERENT APPROACH OF COUPLING
IN MICROSTRIP ANTENNA ARRAYS.

R. STARAJ, E. CAMBIAGGIO, A. PAPIERNIK,

Université de Nice Sophia-Antipolis
Laboratoire d'Electronique - Unité de Recherche Associée CNRS
Rue Albert Einstein, 06560 Valbonne, France

## RESUME.

On présente une approche des couplages entre les éléments rayonnants d'un réseau d'antennes microrubans, ainsi que les effets de ces couplages sur le comportement global de l'antenne, à partir de l'étude du cas particulier constitué par un réseau bidimensionnel périodique infini. Les résultats obtenus dans ce cas particulier permettent alors de déduire le comportement des réseaux de dimensions finies, mais présentant un grand nombre de sources pouvant même être très proches les unes des autres.

## ABSTRACT.

The coupling effects between radiating elements of a microstrip antenna array are investigated from the study of an infinite biperiodic bidimensional array. The behavior of large arrays of finite dimensions is deduced from this particular case even when patches are very close one another.

## I) PRESENTATION DE LA STRUCTURE ETUDIEE.

Le réseau étudié est composé d'éléments microrubans identiques, disposés périodiquement sur l'une des faces d'une plaque diélectrique de dimensions infinies, l'autre face, conductrice, constituant un plan de masse. Chaque élément rayonnant est alimenté par une sonde coaxiale traversant le plan de masse et le diélectrique. Un gradient de phase est appliqué entre chaque alimentation afin d'obtenir un pointage du faisceau principal dans la direction désirée. La figure 1 schématise une portion du réseau.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1: Présentation de la structure étudiée.</figcaption></figure>

Les caractéristiques de ce réseau sont :

pour la plaque diélectrique:

épaisseur h,

constante diélectrique relative $ε_r$,

tangente de pertes tg δ

pour la géométrie:

éléments rayonnants rectangulaires

dimensions de l'élément: Wx selon x, Wy selon y

périodicité: a selon x, b selon y

position de l'alimentation $X_p, Y_p$.

les éléments sont indicés en m selon x, n selon y.

Une structure de ce type avait déjà été étudiée par Pozar [1] par le calcul d'une dyadique de Green périodique équivalente pour tout le réseau et en ne considérant plus qu'une seule cellule.

## II) APPROCHE PROPOSEE.

On considère le réseau comme une antenne unique présentant des discontinuités périodiques sur la face supérieure du diélectrique, et possédant un nombre infini de ports d'entrée (un par élément rayonnant). Ces ports d'entrée sont excités avec la même amplitude, et avec une phase qui varie linéairement avec la position selon les directions x et y. Le champ électrique total est en tout point la somme du champ électrique $E_{inc}$ créé par les courants dans les sondes d'alimentation et du champ $E_{ray}$ créé par les courants $J_{S'}$, existants sur les éléments conducteurs. En particulier, sur les éléments métalliques, $E_{inc} + E_{ray} = 0$, avec $E_{ray}(x,y,z)$ relié au courant de surface $J_{S'}$ par la relation :
$$
\bar{E}_{ray}(x,y,z) = -\frac{j \cdot Z_o}{k_o} \int_{s'} \bar{G}(x,y,z/x', y', z') \bar{J}_s(x', y', z') dx'dy'
$$

où la surface s' représente l'ensemble discontinu des zones métallisées à z'=h constante, et G est la matrice des fonctions de Green.

Le caractère périodique et infini du réseau, ainsi que la linéarité de la phase d'alimentation avec la position nous permet de considérer que les interactions entre éléments rayonnants sont les mêmes pour tous à une constante de phase près. Ce même caractère périodique et infini nous permet aussi de dire, d'après le théorème de Floquet, que le courant de surface J<sub>s</sub>, comme toutes les autres grandeurs physiques du réseau, peut se décomposer en série de Fourier. Les coefficients de cette série seront donnés par le calcul de l'intégrale suivante sur une période:

$$
\bar{C}_{mn} = \frac{1}{ab} \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} \bar{J}_{s00}(x,y) e^{j k_{0} [(m \frac{\lambda_{0}}{a} + \alpha') x + (n \frac{\lambda_{0}}{b} + \beta') y]} dx dy
$$

α', β' caractérisent le déphasage des courants sur le réseau du au gradient de phase des alimentations, en vue d'un rayonnement maximal dans la direction définie par θ<sub>ray</sub>, φ<sub>ray</sub>. Pour cela, le déphasage doit être tel que:

$$
\alpha' = \sin \theta_{\text{ray}} \cdot \cos \phi_{\text{ray}}
$$

$$
\beta' = \sin \theta_{\text{ray}} \cdot \sin \phi_{\text{ray}}
$$

Le courant de l'élément indicé m,n s'écrit donc en fonction du courant sur l'élément de référence :

$$
\bar{J}_{mn} = \bar{J}_{00} \cdot e^{j \cdot k_0 \cdot (m\alpha' + n\beta')}
$$

On est ainsi en mesure de décrire le courant sur tout le réseau. Celui-ci peut alors être traité comme un élément unique discontinu, par la méthode des moments. La résolution du problème tiendra donc intrinsèquement compte des couplages qu'il peut exister dans la structure.

Ce courant sera aussi décomposé en fonctions de base $\bar{J}_j$. On aura :

$$
\bar{J}_s - \sum_j I_j \bar{J}_j
$$

On prend comme composantes des fonctions de base les expressions habituelles selon x et y sur l'élément central :

Selon x :

$$
J_j(x,y) = \sin\left[\frac{p_j \pi}{Wx}\left(x + \frac{Wx}{2}\right)\right] \cdot \cos\left[\frac{q_j \pi}{Wy}\left(y + \frac{Wy}{2}\right)\right]
$$

Selon y :

$$
J_{j,y}(x,y) = \sin\left[\frac{q'_j \pi}{Wy}\left(y + \frac{Wy}{2}\right)\right] \cdot \cos\left[\frac{p'_j \pi}{Wx}\left(x + \frac{Wx}{2}\right)\right]
$$

Pour chaque fonction de base $\bar{J}_j$ correspond un couple d'entiers $(p_j,q_j)$ pour la composante selon x et $(p'_j,q'_j)$ selon y. Ces composantes, nulles ailleurs que sur la partie métallique, deviennent dans notre cas des fonctions périodiques elles aussi décomposables en séries de Fourier, dont les coefficients seront :

$$
C_{Ix}^{mn} = \frac{1}{ab} \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} J_{Ix}(x,y) e^{j k_{0} [(m \frac{\lambda_{0}}{a} + \alpha') x + (n \frac{\lambda_{0}}{b} + \beta') y]} dx dy
$$

$$
C_{Iy}^{mn} = \frac{1}{ab} \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} \bar{J}_{Iy}(x,y) e^{j k_{0} [(m \frac{\lambda_{0}}{a} + \alpha') x + (n \frac{\lambda_{0}}{b} + \beta') y]} dx dy
$$

Calcul des transformées de Fourier des courants.

On calcule maintenant la transformée de Fourier du courant sur tout le réseau par l'expression :

$$
\bar{F}_j(\alpha, \beta) = \frac{1}{\lambda_0^2} \int_0^a \int_0^b \bar{J}_j(x,y) e^{j k_0 (\alpha x + \beta y)} dx dy
$$

avec:

$$
\bar{J}_j(x,y) = \sum_m \sum_n \bar{C}_j^{mn} \cdot e^{-j k_0 \left[ m \frac{\lambda_0}{a} + \alpha' \right] x + \left( n \frac{\lambda_0}{b} + \beta' \right) y}
$$

On obtient :

$$
\bar{F}_j(\alpha, \beta) = \sum_m \sum_n \bar{C}_j^{mn} \delta\left(\alpha - m \frac{\lambda_0}{a} - \alpha'\right) \delta\left(\beta - n \frac{\lambda_0}{b} - \beta'\right)
$$

Cette expression est équivalente à une convolution discrète.

On a donc :

$$
\bar{F}_j(\alpha, \beta) = \bar{C}_j^{mn}(\alpha, \beta)
$$

pour tout couple (α, β) tel que :

$$
\alpha = m \frac{\lambda_0}{a} + \alpha'
$$

$$
\beta = n \frac{\lambda_0}{b} + \beta'
$$

On a donc une transformée de Fourier du courant discrète.

Méthode des moments.

En exprimant la nullité de $\bar{E}_{tot}$ tangentiel au niveau des éléments conducteurs, on peut alors écrire :

$$
\bar{E}_{\text{inc}}^{\text{tg}}(x,y) + \bar{E}_{\text{ray}}^{\text{tg}}(x,y) = \bar{0}
$$

soit :

$$
- \bar{E}_{\text{ray}}^{\text{tg}}(x,y) = \frac{j Z_0}{k_0} \int_{s'} \bar{G}(x,y/x',y') \cdot \bar{J}_s(x',y') \, dx'dy' = \bar{E}_{\text{inc}}^{\text{tg}}(x,y)
$$

où s' représente la surface totale métallique référencée en x', y'
de la structure à z'=h. On a donc :

$$
- \bar{E}_{\text{ray}}^{\text{tg}}(x,y) = \frac{j Z_0}{k_0} \sum_i I_i \left[ \int_{s'} \bar{G}(x,y/x',y') \cdot \bar{J}_i(x',y') \, dx'dy' \right] = \bar{E}_{\text{inc}}^{\text{tg}}(x,y)
$$

On effectue le produit scalaire par un ensemble de fonctions tests $J_i$ de même nature que les fonctions de base. L'équation précédente se ramène au système :

$$
\sum_{i,j} I_j \cdot Z_{ij} = V_i^T
$$
$$
\bar{E}_{ray}(x,y,z) = -\frac{j \cdot Z_o}{k_o} \int_s^a \bar{G}(x,y,z/x',z',z') \bar{J}_s(x',y',z') dx'dy'
$$

où la surface s' représente l'ensemble discontinu des zones métallisées à z'=h constante, et G est la matrice des fonctions de Green.

Le caractère périodique et infini du réseau, ainsi que la linéarité de la phase d'alimentation avec la position nous permet de considérer que les interactions entre éléments rayonnants sont les mêmes pour tous à une constante de phase près. Ce même caractère périodique et infini nous permet aussi de dire, d'après le théorème de Floquet, que le courant de surface J<sub>s</sub>, comme toutes les autres grandeurs physiques du réseau, peut se décomposer en série de Fourier. Les coefficients de cette série seront donnés par le calcul de l'intégrale suivante sur une période:

$$
\bar{C}_{mn} = \frac{1}{ab} \int_0^a \int_0^b \bar{J}_{s00}(x,y) e^{j k_0 [(m \frac{\lambda_0}{a} + \alpha') x + (n \frac{\lambda_0}{b} + \beta') y]} dx dy
$$

α', β' caractérisent le déphasage des courants sur le réseau du au gradient de phase des alimentations, en vue d'un rayonnement maximal dans la direction définie par θ<sub>ray</sub>, φ<sub>ray</sub>. Pour cela, le déphasage doit être tel que:

$$
\alpha' = \sin \theta_{\text{ray}} \cdot \cos \phi_{\text{ray}}
$$

$$
\beta' = \sin \theta_{\text{ray}} \cdot \sin \phi_{\text{ray}}
$$

Le courant de l'élément indicé m,n s'écrit donc en fonction du courant sur l'élément de référence:

$$
\bar{J}_{mn} = \bar{J}_{00} \cdot e^{j \cdot k_0 \cdot (m\alpha' + n\beta')}
$$

On est ainsi en mesure de décrire le courant sur tout le réseau. Celui-ci peut alors être traité comme un élément unique discontinu, par la méthode des moments. La résolution du problème tiendra donc intrinsèquement compte des couplages qu'il peut exister dans la structure.

Ce courant sera aussi décomposé en fonctions de base $\bar{J}_j$. On aura:

$$
\bar{J}_s - \sum_j I_j \bar{J}_j
$$

On prend comme composantes des fonctions de base les expressions habituelles selon x et y sur l'élément central:

Selon x :

$$
J_j(x,y) = \sin\left[\frac{p_j}{Wx}\pi\left(x+\frac{Wx}{2}\right)\right] \cdot \cos\left[\frac{q_j}{Wy}\pi\left(y+\frac{Wy}{2}\right)\right]
$$

Selon y :

$$
J_{j,y}(x,y) = \sin\left[\frac{q'_j}{Wy}\pi\left(y+\frac{Wy}{2}\right)\right] \cdot \cos\left[\frac{p'_j}{Wx}\pi\left(x+\frac{Wx}{2}\right)\right]
$$

Pour chaque fonction de base $\bar{J}_j$ correspond un couple d'entiers $(p_j,q_j)$ pour la composante selon x et $(p'_j,q'_j)$ selon y. Ces composantes, nulles ailleurs que sur la partie métallique, deviennent dans notre cas des fonctions périodiques elles aussi décomposables en séries de Fourier, dont les coefficients seront:

$$
C_{Ix}^{mn} = \frac{1}{ab} \int_0^a \int_0^b J_{Ix}(x,y) e^{j k_0 \left[ \left(m \frac{\lambda_0}{a} + \alpha' \right) x + \left(n \frac{\lambda_0}{b} + \beta' \right) y \right]} dx dy
$$

$$
C_{Iy}^{mn} = \frac{1}{ab} \int_0^a \int_0^b J_{Iy}(x,y) e^{j k_0 \left[ \left(m \frac{\lambda_0}{a} + \alpha' \right) x + \left(n \frac{\lambda_0}{b} + \beta' \right) y \right]} dx dy
$$

Calcul des transformées de Fourier des courants.

On calcule maintenant la transformée de Fourier du courant sur tout le réseau par l'expression:

$$
\bar{F}_j(\alpha, \beta) = \frac{1}{\lambda_0^2} \int_0^a \int_0^b \bar{J}_j(x,y) e^{j k_0 (\alpha x + \beta y)} dx dy
$$

avec:

$$
\bar{J}_j(x,y) = \sum_m \sum_n \bar{C}_j^{mn} e^{j k_0 \left[ m \frac{\lambda_0}{a} + \alpha' \right] x + n \frac{\lambda_0}{b} + \beta'} y}
$$

On obtient :

$$
\bar{F}_j(\alpha, \beta) = \sum_m \sum_n \bar{C}_j^{mn} \delta\left(\alpha - m \frac{\lambda_0}{a} - \alpha'\right) \delta\left(\beta - n \frac{\lambda_0}{b} - \beta'\right)
$$

Cette expression est équivalente à une convolution discrète.
On a donc :

$$
\bar{F}_j(\alpha, \beta) = \bar{C}_j^{mn}(\alpha, \beta)
$$

pour tout couple (α, β) tel que :

$$
\alpha = m \frac{\lambda_0}{a} + \alpha'
$$

$$
\beta = n \frac{\lambda_0}{b} + \beta'
$$

On a donc une transformée de Fourier du courant discrète.

Méthode des moments.

En exprimant la nullité de $\bar{E}_{tot}$ tangentiel au niveau des éléments conducteurs, on peut alors écrire :

$$
\bar{E}_{\text{inc}}^{\text{tg}}(x,y) + \bar{E}_{\text{ray}}^{\text{tg}}(x,y) = \bar{0}
$$

soit :

$$
- \bar{E}_{\text{ray}}^{\text{tg}}(x,y) = \frac{j Z_0}{k_0} \int_s^a \bar{G}(x,y/x',y') \cdot \bar{J}_s(x',y') \, dx'dy' = \bar{E}_{\text{inc}}^{\text{tg}}(x,y)
$$

où s' représente la surface totale métallique référencée en x', y'
de la structure à z'=h. On a donc :

$$
- \bar{E}_{\text{ray}}^{\text{tg}}(x,y) = \frac{j Z_0}{k_0} \sum_i I_i \left[ \int_{s'}^{a} \bar{G}(x,y/x',y') \cdot \bar{J}_j(x',y') \, dx'dy' \right] = \bar{E}_{\text{inc}}^{\text{tg}}(x,y)
$$

On effectue le produit scalaire par un ensemble de fonctions tests $J_j$ de même nature que les fonctions de base. L'équation précédente se ramène au système :

$$
\sum_{i,j} I_j \cdot Z_{ij} = V_i^T
$$
avec:

$$Z_{i,j} = \frac{j Z_0}{k_0} \iint_s \bar{J}_j(s) \bar{G}(s/s') \bar{J}_j(s') dsds'$$

et:

$$V_i^t = \int_s \bar{J}_j(s) \cdot \bar{E}_{inc}^{tg}(s) ds$$

On déduit ensuite le vecteur $I_j$ par la résolution de l'équation matricielle pour tout i :

$$[Z] \cdot [I] = [V]$$

L'impédance d'entrée de chaque port est définie par la relation :

$$Z_e = - \frac{1}{i_a^2} \int_0^h I_a \cdot \bar{z} \cdot \bar{E}_{ray}^{tg}(x_p, y_p, h) \cdot dz$$

où $I_a$ représente l'amplitude du courant d'alimentation. Le fait que le courant de surface soit exprimé sous forme de série de Fourier permet de réduire ces intégrales à des sommes discrètes autorisant de nombreuses simplifications de calcul.

### III) APPLICATIONS.

L'étude réalisée traitant ce type de réseau montre que la répartition des courants sur chaque élément est différente de celle du même élément étudié seul, et a donc une influence sur le diagramme de rayonnement.

En effet, on considère que le diagramme de rayonnement obtenu pour une direction $\vec{U}$ est le produit d'un facteur de réseau $R(\vec{U})$ par le diagramme de rayonnement propre de la source élémentaire $f(\vec{U})$. Dans le cas d'un réseau infini, ce facteur de réseau se réduit à un peigne de Dirac. En modifiant les gradients de phase, on peut obtenir pour toute direction $\vec{u}$, un rayonnement dont l'intensité est modélisée par le produit de $f(\vec{u})$ par le Dirac selon $\vec{u}$. Dans notre cas, l'effet des couplages va apporter une modification de la répartition des courants sur les éléments et par conséquent, du diagramme de rayonnement $f(\vec{u})$. Celui-ci devra donc être remplacé par le diagramme de rayonnement équivalent d'une source en présence des autres, $g(\vec{u})$.

Nous avons étudié l'influence sur l'impédance d'entrée et le diagramme de rayonnement des divers paramètres tels que l'épaisseur du substrat, la valeur de $E_r$, les dimensions de l'élément, la position de l'alimentation mais surtout, la période. En effet, notre étude concernant les couplages, l'écartement entre éléments joue un rôle prépondérant.

Nous présentons quelques unes de ces études et notamment celles mettant en évidence les ondes de surface.

#### 1°) Influence de l'écartement sur le comportement en fréquence.

Afin de mettre cette influence en évidence, on présente tout d'abord les figures 2 et 3 donnant le comportement en fréquence des parties réelle et imaginaire de l'impédance d'entrée d'un élément de la structure pour différentes périodes. Nous notons qu'il y a modification de la fréquence et de la valeur de la résonnance quand l'écartement varie.

Les caractéristiques de ce réseau pour ces courbes sont :

$$ 
\begin{array}{l}
W_x = Wy = 32 \text{ mm.} \\
E_r = 2.2 \\
\text{tg}\delta = 0.001 \\
\theta_{\text{ray}} = \phi_{\text{ray}} = 0
\end{array}
$$

Paramètres a,b

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2: Influence de l'écartement sur la partie réelle de Ze selon la fréquence.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3: Influence de l'écartement sur la partie imaginaire de Ze selon la fréquence.</figcaption></figure>

#### 2°) Influence de l'écartement sur l'impédance d'entrée et le champ rayonné.

Nous montrons pour cela, figures 4 et 5, le comportement de l'impédance d'entrée et du champ rayonné en fonction de la période de la structure. On distingue aisément les périodes pour lesquelles apparaissent des ondes de surface, caractérisées par le fait que Ze et E rayonné sont pratiquement nulx. Pour ces points, nous constatons qu'il y a disparition, sur la surface des éléments, des modes de courant rayonnants.

Etant donnée la faible épaisseur du substrat, le nombre d'onde de surface $\beta_{sw}$ [1] est voisin de $k_0$, il apparaît une onde de surface chaque fois qu'il y aura pour périodicité géométrique un multiple de $\lambda_0$. Celle-ci peut apparaître de façon évidente selon les axes Ox et Oy (directions D1 et D3), mais aussi de façon plus complexe comme par exemple entre sous réseaux linéaires inclinés à 45° et 30° (directions D2 et D4).

Sur ces premières courbes, nous notons aussi l'influence importante du couplage de proximité sur l'impédance d'entrée (zone 1). Le maximum à la fin de cette zone peut s'expliquer par le fait que pour cette disposition, l'onde de fuite est maximale pour la structure. Ce couplage a moins d'influence sur la valeur du champ rayonné (fig 5). On notera toutefois l'affaiblissement du rayonnement dans la direction principale chaque fois qu'apparaissent des directions d'ambiguïté dans le domaine visible, pour la même puissance unitaire d'alimentation.
avec:

$$
Z_{i,j} = \frac{j Z_0}{k_0} \iint_S \bar{J}_j(s) \bar{G}(s/s') \bar{J}_j(s') ds ds'
$$

et:

$$
V_i^t = \int_S \bar{J}_j(s) \cdot \bar{E}_{inc}^{tg}(s) ds
$$

On déduit ensuite le vecteur $\mathbf{l}_j$ par la résolution de l'équation matricielle pour tout $i$:

$$
[Z] \cdot [I] = [V]
$$

L'impédance d'entrée de chaque port est définie par la relation :

$$
Z_e = - \frac{1}{i_a^2} \int_0^h I_a \cdot \bar{z} \cdot \bar{E}_{\text{ray}}^{\text{tg}}(x_p, y_p, h) \cdot dz
$$

où $I_a$ représente l'amplitude du courant d'alimentation.

Le fait que le courant de surface soit exprimé sous forme de série de Fourier permet de réduire ces intégrales à des sommes discrètes autorisant de nombreuses simplifications de calcul.

### III) APPLICATIONS.

L'étude réalisée traitant ce type de réseau montre que la répartition des courants sur chaque élément est différente de celle du même élément étudié seul, et a donc une influence sur le diagramme de rayonnement.

En effet, on considère que le diagramme de rayonnement obtenu pour une direction $\vec{U}$ est le produit d'un facteur de réseau $R(\vec{U})$ par le diagramme de rayonnement propre de la source élémentaire $f(\vec{U})$. Dans le cas d'un réseau infini, ce facteur de réseau se réduit à un peigne de Dirac. En modifiant les gradients de phase, on peut obtenir pour toute direction $\vec{u}$, un rayonnement dont l'intensité est modélisée par le produit de $f(\vec{u})$ par le Dirac selon $\vec{u}$. Dans notre cas, l'effet des couplages va apporter une modification de la répartition des courants sur les éléments et par conséquent, du diagramme de rayonnement $f(\vec{u})$. Celui-ci devra donc être remplacé par le diagramme de rayonnement équivalent d'une source en présence des autres, $g(\vec{u})$.

Nous avons étudié l'influence sur l'impédance d'entrée et le diagramme de rayonnement des divers paramètres tels que l'épaisseur du substrat, la valeur de $\bar{E}_r$, les dimensions de l'élément, la position de l'alimentation mais surtout, la période. En effet, notre étude concernant les couplages, l'écartement entre éléments joue un rôle prépondérant.

Nous présentons quelques unes de ces études et notamment celles mettant en évidence les ondes de surface.

#### 1°) Influence de l'écartement sur le comportement en fréquence.

Afin de mettre cette influence en évidence, on présente tout d'abord les figures 2 et 3 donnant le comportement en fréquence des parties réelle et imaginaire de l'impédance d'entrée d'un élément de la structure pour différentes périodes. Nous notons qu'il y a modification de la fréquence et de la valeur de la résonnance quand l'écartement varie.

Les caractéristiques de ce réseau pour ces courbes sont :

$W_x=W_y=32 \text{ mm. } h=1.6 \text{ mm. } X_p=15 \text{ mm. } Y_p=0 \text{ mm.}$

$\bar{E}_r=2.2$

$\operatorname{tg}\delta=0.001$

$\theta_{\text{ray}}=\phi_{\text{ray}}=0$

Paramètres a,b

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2: Influence de l'écartement sur la partie réelle de $Z_e$ selon la fréquence.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3: Influence de l'écartement sur la partie imaginaire de $Z_e$ selon la fréquence.</figcaption></figure>

#### 2°) Influence de l'écartement sur l'impédance d'entrée et le champ rayonné.

Nous montrons pour cela, figures 4 et 5, le comportement de l'impédance d'entrée et du champ rayonné en fonction de la période de la structure. On distingue aisément les périodes pour lesquelles apparaissent des ondes de surface, caractérisées par le fait que $Z_e$ et $E$ rayonné sont pratiquement nuls. Pour ces points, nous constatons qu'il y a disparition, sur la surface des éléments, des modes de courant rayonnants.

Etant donnée la faible épaisseur du substrat, le nombre d'onde de surface $\beta_{sw}$ [1] est voisin de $k_0$, il apparaît une onde de surface chaque fois qu'il y aura pour périodicité géométrique un multiple de $\lambda_0$. Celle-ci peut apparaître de façon évidente selon les axes Ox et Oy (directions D1 et D3), mais aussi de façon plus complexe comme par exemple entre sous réseaux linéaires inclinés à 45° et 30° (directions D2 et D4).

Sur ces premières courbes, nous notons aussi l'influence importante du couplage de proximité sur l'impédance d'entrée (zone 1). Le maximum à la fin de cette zone peut s'expliquer par le fait que pour cette disposition, l'onde de fuite est maximale pour la structure. Ce couplage a moins d'influence sur la valeur du champ rayonné (fig 5). On notera toutefois l'affaiblissement du rayonnement dans la direction principale chaque fois qu'apparaissent des directions d'ambiguïté dans le domaine visible, pour la même puissance unitaire d'alimentation.
Les caractéristiques de ce réseau pour les courbes 4 et 5 sont les suivantes:

$$ W_x=W_y=32 \text{ mm. } h=1.6 \text{ mm. } X_p=15 \text{ mm. } Y_p=0 \text{ mm. } \\ \varepsilon_r=2.2 \quad \operatorname{tg}\delta=0.001 \quad f=3 \text{ Ghz. } \theta_{\text{ray}}=\phi_{\text{ray}}=0 $$

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4 : Influence de l'écartement sur l'impédance d'entrée Ze.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5: Influence de l'écartement sur le rayonnement.</figcaption></figure>

### 3°) Influence de la position d'alimentation sur Ze en fonction du couplage.

Pour mettre en évidence ce couplage, on présente sur la figure 6 suivante deux courbes montrant la partie réelle de l'impédance d'entrée en fonction de la position de la sonde d'alimentation. Chacune d'entre elle est réalisée pour un écartement différent.

Nous remarquons que plus les éléments sont éloignés et plus l'impédance est forte pour une même position d'alimentation, phénomène déjà constaté figures 2 et 3. Cet effet est d'autant plus sensible que l'élément se trouve alimenté en son bord. Lorsque les éléments sont très proches et donc fortement couplés, la répartition des lignes de champ s'en trouve fortement modifiée. Ze étant proportionnelle au champ selon z, celle-ci est donc faible au bord dans le cas d'un fort couplage.

Les caractéristiques du réseau pour cette étude sont :

$$ W_x=W_y=32 \text{ mm. } h=16 \text{ mm. } Y_p=0 \text{ mm. } \\ \varepsilon_r=2.2 \quad \operatorname{tg}\delta=0.001 \quad f=3 \text{ Ghz. } \theta_{\text{ray}}=\phi_{\text{ray}}=0 \\ \text{Paramètres a,b} $$

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 6 : Influence de l'écartement sur l'impédance d'entrée Ze selon la position d'alimentation.</figcaption></figure>

### 4°) Influence de l'écartement sur le diagramme de rayonnement angulaire.

Sur les courbes suivantes (figure 7), nous pouvons voir comment la période peut influencer le diagramme angulaire de rayonnement g(u), grâce à la comparaison avec celui d'un élément isolé f(u) (figure 8). Ces figures sont obtenues pour :

$$ W_x=W_y=32 \text{ mm. } h=1.6 \text{ mm. } X_p=4.8 \text{ mm. } Y_p=0 \text{ mm. } \\ \varepsilon_r=2.2 \quad \operatorname{tg}\delta=0.001 \quad f=3 \text{ Ghz. } a=b=75 \text{ mm.} $$

Nous voyons que celui-ci est fortement modifié, notamment par l'apparition de directions aveuglées. Les positions de celles-ci sont directement liées à l'écartement et vont donc conditionner la zone angulaire utilisable. Obtenu pour toutes les directions, g(u) représente donc le diagramme de rayonnement d'un élément en présence des autres.

## V) CONCLUSION.

Cette approche a permis l'étude du comportement d'antennes microrubans soumises à de forts couplages, dus à la présence d'éléments identiques très rapprochés. L'influence des divers paramètres de la structure ont été étudiés, et l'on retrouve d'ailleurs, lorsque l'écartement entre éléments dépasse quelques longueurs d'ondes, les résultats relatifs à un élément seul. On envisage de l'appliquer à des réseaux de très grandes dimensions mais néanmoins finis, puisqu'on arrive à obtenir le diagramme de rayonnement g(u) d'une source en présence des autres. On considérera que les éléments rayonnnants se conduisent comme s'ils étaient en présence d'un réseau infini, et que les effets de bord dus aux dimensions limitées restent négligeables.

## VI) BIBLIOGRAPHIE.

[1] D. M. Pozar and D. H. Schaubert, "Analysis of an infinite array of rectangular microstrip patches with idealized probe feeds,"

IEEE Trans.Antennas Propagat. vol. AP-32, pp 1101-1107, October 84.

[2] J-P. Damiano, "Computation of input impédance in microstrip antennas. Graphic representation and numerical integration of oscillating functions,"

IEE Proceedings, Vol. 134, Pt. H, No. 5, October 1987

[3] J. C. Sumerot, "Application de la méthode des moments au calcul des caractéristiques d'un réseau d'antennes microruban,"

DEA Automatique et traitement du signal Laboratoire d'Electronique de l'Université de Nice. Juillet 86.
Les caractéristiques de ce réseau pour les courbes 4 et 5 sont les suivantes:

$$ W_x=W_y=32 \text{ mm. } h=1.6 \text{ mm. } X_p=15 \text{ mm. } Y_p=0 \text{ mm. } \\ \varepsilon_r=2.2 \quad \operatorname{tg}\delta=0.001 \quad f=3 \text{ Ghz. } \theta_{\text{ray}}=\phi_{\text{ray}}=0 $$

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4 : Influence de l'écartement sur l'impédance d'entrée Ze.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5: Influence de l'écartement sur le rayonnement.</figcaption></figure>

### 3°) Influence de la position d'alimentation sur Ze en fonction du couplage.

Pour mettre en évidence ce couplage, on présente sur la figure 6 suivante deux courbes montrant la partie réelle de l'impédance d'entrée en fonction de la position de la sonde d'alimentation. Chacune d'entre elle est réalisée pour un écartement différent.

Nous remarquons que plus les éléments sont éloignés et plus l'impédance est forte pour une même position d'alimentation, phénomène déjà constaté figures 2 et 3. Cet effet est d'autant plus sensible que l'élément se trouve alimenté en son bord. Lorsque les éléments sont très proches et donc fortement couplés, la répartition des lignes de champ s'en trouve fortement modifiée. Ze étant proportionnelle au champ selon z, celle-ci est donc faible au bord dans le cas d'un fort couplage.

Les caractéristiques du réseau pour cette étude sont :

$$ W_x=W_y=32 \text{ mm. } h=16 \text{ mm. } Y_p=0 \text{ mm. } \\ \varepsilon_r=2.2 \quad \operatorname{tg}\delta=0.001 \quad f=3 \text{ Ghz. } \theta_{\text{ray}}=\phi_{\text{ray}}=0 \\ \text{Paramètres a,b} $$

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 6 : Influence de l'écartement sur l'impédance d'entrée Ze selon la position d'alimentation.</figcaption></figure>

### 4°) Influence de l'écartement sur le diagramme de rayonnement angulaire.

Sur les courbes suivantes (figure 7), nous pouvons voir comment la période peut influencer le diagramme angulaire de rayonnement g(u), grâce à la comparaison avec celui d'un élément isolé f(u) (figure 8). Ces figures sont obtenues pour :

$$ W_x=W_y=32 \text{ mm. } h=1.6 \text{ mm. } X_p=4.8 \text{ mm. } Y_p=0 \text{ mm. } \\ \varepsilon_r=2.2 \quad \operatorname{tg}\delta=0.001 \quad f=3 \text{ Ghz. } a=b=75 \text{ mm.} $$

Nous voyons que celui-ci est fortement modifié, notamment par l'apparition de directions aveuglées. Les positions de celles-ci sont directement liées à l'écartement et vont donc conditionner la zone angulaire utilisable. Obtenu pour toutes les directions, g(u) représente donc le diagramme de rayonnement d'un élément en présence des autres.

## V) CONCLUSION.

Cette approche a permis l'étude du comportement d'antennes microrubans soumises à de forts couplages, dus à la présence d'éléments identiques très rapprochés. L'influence des divers paramètres de la structure ont été étudiés, et l'on retrouve d'ailleurs, lorsque l'écartement entre éléments dépasse quelques longueurs d'ondes, les résultats relatifs à un élément seul. On envisage de l'appliquer à des réseaux de très grandes dimensions mais néanmoins finis, puisqu'on arrive à obtenir le diagramme de rayonnement g(u) d'une source en présence des autres. On considérera que les éléments rayonnnants se conduisent comme s'ils étaient en présence d'un réseau infini, et que les effets de bord dus aux dimensions limitées restent négligeables.

## VI) BIBLIOGRAPHIE.

[1] D. M. Pozar and D. H. Schaubert, "Analysis of an infinite array of rectangular microstrip patches with idealized probe feeds,"

IEEE Trans.Antennas Propagat. vol. AP-32, pp 1101-1107, October 84.

[2] J-P. Damiano, "Computation of input impédance in microstrip antennas. Graphic representation and numerical integration of oscillating functions,"

IEE Proceedings, Vol. 134, Pt. H, No. 5, October 1987

[3] J. C. Sumerot, "Application de la méthode des moments au calcul des caractéristiques d'un réseau d'antennes microruban,"

DEA Automatique et traitement du signal Laboratoire d'Electronique de l'Université de Nice. Juillet 86.
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 7 a)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 7 b)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 7 c)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 7 d)</figcaption></figure>

Figure 7 : Lieu d'impédance en fonction de la fréquence et diagramme de rayonnement d'un élément en présence des autres g(u).

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 8 a)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 8 b)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 8 c)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 8 d)</figcaption></figure>

Figure 8 : Lieu d'impédance en fonction de la fréquence et diagramme de rayonnement d'un élément isolé f(u).
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 7 a)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 7 b)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 7 c)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 7 d)</figcaption></figure>

Figure 7 : Lieu d'impédance en fonction de la fréquence et diagramme de rayonnement d'un élément en présence des autres g(u).

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 8 a)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 8 b)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 8 c)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 8 d)</figcaption></figure>

Figure 8 : Lieu d'impédance en fonction de la fréquence et diagramme de rayonnement d'un élément isolé f(u).