# Verrouillage numérique dans le domaine des éléments finis plaques et coques

Olivier Polit

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Olivier Polit. Verrouillage numérique dans le domaine des éléments finis plaques et coques. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01504165

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Verrouillage numérique dans le domaine des
E.F plaques et coques

O. Polit

LMpX - EA3981 - Université Paris X - Nanterre
50 rue de Sèvre - 92410 Ville d'Avray, France

Olivier.Polit@u-paris10.fr

RESUME. Ce travail concerne les problèmes de verrouillage que l'on rencontre dans le cadre du développement d'E.F de plaques et de coques. Ces problèmes numériques sont étudiés depuis de nombreuses années et l'objectif ici est de mettre en évidence ces pathologies en utilisant différents E.F sur des tests numériques simples.

ABSTRACT. This work is about numerical locking in the field of plate and shell F.E. Those numerical pathologies are studied since a long time and the objectif of this paper is to show the effect of these lockings using different shell F.E on some simple numerical tests.

MOTS-CLES : modèle de coque, élément fini, verrouillage numérique, cisaillement transverse, membrane, tests statiques linéaires.

KEYWORDS: shell theory, finite element, numerical locking, transverse shear, membrane, linear static tests.
# 1. Introduction

La problématique du verrouillage numérique dans le cadre du développement d'E.F de plaque/coque est toujours d'actualité comme le prouve les travaux récents suivants : (Slimane et al., 2004, Koschnick et al., 2005, Lee et al., 2005, Niemi et al., 2007). Par ailleurs, des analyses mathématiques ont permis de montrer l'origine de ces pathologies et le lecteur pourra consulter par exemple (Chenais et al., 1994, Pitkaranta et al., 1997, Choi et al., 1998, Chapelle et al., 1998). Dans le domaine des coques, on identifie principalement le verrouillage en cisaillement transverse, déjà présent en plaque, et le verrouillage en membrane. Un E.F verrouille numériquement lorsque la convergence du modèle E.F n'est pas indépendante de l'épaisseur *e*. Il est donc aisé de vérifier le comportement d'un E.F en faisant varier l'élancement, à maillage constant. Si l'E.F verrouille, cela se traduisent par une rigidité excessive du modèle lorsque l'on fait tendre le paramètre épaisseur *e* vers 0. Enfin, les problèmes de verrouillage volumétrique et de sensibilité à la distorsion de maillage sont recensés dans la littérature mais ne sont pas liés au comportement asymptotique, *e* tendant vers 0.

Dans ce travail, on se bornera à présenter rapidement un modèle de coque général avant de parler des deux phénomènes de verrouillage les plus important : cisaillement transverse et membrane. L'objectif est de montrer quels tests simples effectuer et surtout d'imager en utilisant des E.F objets de précédents travaux (Polit et al., 1994, Polit et al., 1999, Polit et al., 2000, Dau et al., 2004) l'effet de ces pathologies si l'on ne prend pas de précaution et si l'on n'applique pas des traitements particulier au niveau de l'approximation E.F.

# 2. Modèles de coque

## Champs de déplacement

On considère une coque *C* caractérisée par sa surface moyenne *S* et son épaisseur supposée constante *e*. Pour avoir plus de détails sur les aspects de géométrie différentielle en coque omis ici, on pourra se reporter au livre de Bernadou (Bernadou, 1996). Les grandeurs utilisées par la suite seront dans la mesure du possible définies.

On convient de noter $u_i(\xi^1, \xi^2, \xi^3 = z, t)$, $i \in \{1, 2, 3\}$ les composantes curvilignes du champs de déplacement associées à la base contravariante $\vec{a}^i$.

On introduit alors un champs raffiné obtenu à partir des travaux de M. Touratier (Touratier, 1992, Béakou et al., 1993) utilisant l'hypothèse classique de contrainte normale transversale nulle $\sigma^{33} = 0$. Dans le cas d'une coque homogène, ce champs a pour expression :

$$ egin{cases} u_1(\xi^1, \xi^2, z, t) = \mu_1^\alpha v_\alpha(\xi^1, \xi^2, t) - z v_{3,1}(\xi^1, \xi^2, t) + F_1^\alpha(z) \gamma_\alpha^0(\xi^1, \xi^2, t) \\ u_2(\xi^1, \xi^2, z, t) = \mu_2^\alpha v_\alpha(\xi^1, \xi^2, t) - z v_{3,2}(\xi^1, \xi^2, t) + F_2^\alpha(z) \gamma_\alpha^0(\xi^1, \xi^2, t) \\ u_3(\xi^1, \xi^2, z, t) = v_3(\xi^1, \xi^2, t) \end{cases} $$
Dans Eq. [1], $v_i$ sont les composantes de déplacement d'un point quelconque de la surface moyenne alors que $\gamma_\alpha^0$ représente les composantes de déformation de cisaillement transverse pour $z = 0$, définies plus loin. De plus, $F_\beta^\alpha(z)$ sont des fonctions de la coordonnée normale transversale $z$ qui permettent de définir la distribution dans l'épaisseur des déformations et contraintes de cisaillement transverse.

Enfin, $t$ est le temps, et l'on définit $\mu_\alpha^\beta$, tenseur mixte associé au transport par la relation $\vec{g}_\alpha = (\delta_\alpha^\beta - \xi^3 b_\alpha^\beta)\vec{a}_\beta = \mu_\alpha^\beta \vec{a}_\beta$ où $b_\alpha^\beta$ (resp. $b_\alpha\beta$) est le tenseur mixte (resp. covariant) de courbure. On associe à ce dernier les grandeurs suivantes $H = \frac{1}{2}tr(b_\alpha^\beta)$ et $K = det(b_\alpha^\beta)$ que nous serons amené à utiliser.

Dans le cas homogène qui nous intéresse ici, on peut noter que :

$$F_1^{1(k)}(z) = f(z) \quad F_1^{2(k)}(z) = 0 \quad F_2^{1(k)}(z) = 0 \quad F_2^{2(k)}(z) = f(z) \quad [2]$$

A partir de Eq. [1], on peut retrouver les modèles de coque classiques en choisisant la valeur que l'on donne à la fonction $f(z)$ :

– modèle de coque classique, noté KL/K pour théorie de Kirchhoff-Love/Koïter (plaque/coque et CST dans la littérature),

$$f(z) = 0$$

– modèle de coque du premier ordre, noté RM/N pour théorie de Reissner-Mindlin/Naghdi (plaque/coque et FSDT dans la littérature),

$$f(z) = z$$

– modèle raffiné Sinus (Touratier, 1992), noté Sin, en posant

$$f(z) = \frac{e}{\pi} \sin \frac{\pi z}{e}$$

## Champs de déformation

On déduit à partir de Eq. [1] l'expression des composantes covariantes du tenseur de déformation par rapport à la base locale contravariante $\vec{a}^i$ sous la forme :

$$\epsilon = \epsilon_{ij}(a^i \otimes a^j) \quad \text{avec} \\ 2\epsilon_{\alpha\beta} = \frac{1}{\mu} \left( \epsilon^0_{\alpha\beta} + \epsilon^0_{\beta\alpha} + F^\nu_\alpha(z) \epsilon^1_{\nu\beta} + F^\nu_\beta(z) \epsilon^1_{\nu\alpha} + G^\nu_\alpha(z) \epsilon^2_{\nu\beta} + G^\nu_\beta(z) \epsilon^2_{\nu\alpha} \right. \\ \left. + z \left\{ (b^\lambda_\beta - 2H\delta^\lambda_\beta) (\epsilon^0_{\alpha\lambda} + F^\nu_\alpha(z) \epsilon^1_{\nu\lambda} + G^\nu_\alpha(z) \epsilon^2_{\nu\lambda}) + \right. \right. \\ \left. \left. (b^\lambda_\alpha - 2H\delta^\lambda_\alpha) (\epsilon^0_{\beta\lambda} + F^\nu_\beta(z) \epsilon^1_{\nu\lambda} + G^\nu_\beta(z) \epsilon^2_{\nu\lambda}) \right\} \right)$$

$$2\epsilon_{\alpha 3} = F_{\alpha}^{\nu'}(z) \gamma_{\nu}^{0} \quad [3]$$
où l'on a convenu de définir $G_{\alpha}^{\nu}(z) = F_{\alpha}^{\nu}(z) - \delta_{\alpha}^{\nu} z$.

De même, les notations suivantes ont été introduites dans Eq. [3] pour caractériser les effets mécaniques :

**déformation de membrane :**

$$ \epsilon_{\alpha\beta}^{0} = v_{\alpha|\beta} - b_{\alpha\beta}v_{3} \quad [4] $$

**déformation de flexion 1 :**

$$ \epsilon_{\alpha\beta}^{1} = \beta_{\alpha|\beta} \quad [5] $$

**déformation de flexion 2 :**

$$ \epsilon_{\alpha\beta}^{2} = b_{\alpha}^{\lambda}v_{\lambda|\beta} + b_{\alpha|\beta}^{\lambda}v_{\lambda} + v_{3|\alpha\beta} \quad [6] $$

**déformation de cisaillement transverse :**

$$ \gamma_{\alpha}^{0} = \beta_{\alpha} + b_{\alpha}^{\beta}v_{\beta} + v_{3,\alpha} \quad [7] $$

où $|\beta$ représente la dérivation covariante par rapport à la coordonnée curviligne $\xi^{\beta}$.

Il est à noter que dans le cas des modèles de coques classiques, on retrouve les expressions des déformations de flexion suivantes :

**KL/K :** pour lequel $F_{\beta}^{\alpha}(z) = 0$ et $G_{\beta}^{\alpha}(z) = -\delta_{\alpha}^{\nu} z$; ce sont les composantes de déformations $\epsilon_{\alpha\beta}^{2}$, cf Eq. [6], qui interviennent;

**RM/N :** pour lequel $F_{\beta}^{\alpha}(z) = \delta_{\alpha}^{\nu} z$ et $G_{\beta}^{\alpha}(z) = 0$; ce sont les composantes de déformations $\epsilon_{\alpha\beta}^{1}$, cf Eq. [5], qui restent présentes.

### 3. Approximations éléments finis

Nous présentons succinctement les différentes approximations E.F utilisées dans les différentes évaluations numériques.

Dans le cadre d'une méthode conforme d'approximation numérique, et pour les modèles KL/K et Sin, il faut choisir une approximation E.F C¹ pour le déplacement transversal $v_3$ introduit Eq. [1]. Pour les autres déplacements $v_{\alpha}$ et les rotations $\beta_{\alpha}$, cf. Eq. [5] et Eq. [7], une approximation C⁰ est suffisante pour garantir la conformité. Par contre, le choix du modèle RM/N permet de s'affranchir de cette difficulté et la conformité est assurée en utilisant une approximation C⁰ pour tous les déplacements généralisés.

Les approximations E.F que nous allons utiliser par la suite sont les suivantes :

- E.F à 6 noeuds ; approximation de Lagrange (P₂, C⁰);

- E.F à 8 noeuds ; approximation de Serendip (P₂, C⁰);

- E.F à 6 noeuds ; approximation de Ganev (P₄, semi-C¹), notée G;

- E.F à 6 noeuds ; approximation de Ganev (P₅, C¹), notée A.
## 4. Verrouillages numériques

Le plus violent est le verrouillage en cisaillement transverse qui apparaît déjà en plaque et est indépendant des CL. Il a été largement étudié et un certain nombre de techniques permettent de l'éviter ou tout au moins d'en limiter les effets (intégration réduite, DSG, ANS, EAS méthode, ...). Ensuite, vient le verrouillage en membrane qui est fonction des CL puisqu'il apparaît lorsque l'on modélise un problème de type flexion inextensionnel, flexion pure ou flexion non-inhibée.

La matrice de rigidité d'un EF de coque peut être considérée comme la somme des matrices associées aux termes de membrane, de flexion, de couplage membrane-flexion (nulle sous certaines hypothèses) et de cisaillement transverse. On convient de noter son expression, en faisant apparaître la dépendance d'ordre un en $e$, sous la forme :

$$[K] = e [K_m] + e [K_c] + e^2 [K_{mf}] + e^3 [K_f] \quad [8]$$

### En cisaillement transverse

Pour le cas du cisaillement transverse, on considère tout simplement un problème de plaque en flexion et le modèle RM/N. L'Eq. [8] devient alors :

$$[K] = e [K_c] + e^3 [K_f]$$

et il est alors évident qu'il faut que $[K_c]$ tende vers 0 quand $e$ tend vers 0 afin d'éviter que le terme cisaillement transverse devienne prépondérant dans l'expression de la rigidité. Dans le cas contraire, le verrouillage apparaît de par la dépendance par rapport à $e$ des matrices.

L'utilisation d'une technique isoparamétrique ne permet pas aux déformations de cisaillement transverse Eq. [7] (avec $b_\alpha^\beta = 0$) de devenir négligeable puisque la flèche et les rotations sont approximées dans le même espace polynomial. La notion de compatibilité de champs introduite en (Polit et al., 1994) et utilisée aussi dans (Polit et al., 1997) est une technique efficace pour éviter le verrouillage en cisaillement transverse.

### En membrane

En coque et en considérant un problème de flexion pure, la même constatation peut être faite. On considère alors le modèle KL/K négligeant les déformations de cisaillement transverse. L'Eq. [8] devient alors :

$$[K] = e [K_m] + e^2 [K_{mf}] + e^3 [K_f]$$

Si les déformations de membrane définies Eq. [4] ne sont pas négligeables, alors le comportement asymptotique de $[K]$ sera dominé par les termes de membrane alors que c'est un problème de flexion. On aura alors verrouillage de par la dépendance en $e$.
Le test, introduit par les travaux de Choi (Choi et al., 1998) et par Chapelle (Chapelle et al., 1998) concerne un paraboloide hyperbolique encastré sur un coté et soumis à une pression uniforme. Dans ces travaux, Choi montre que toute approximation polynomiale par morceaux verrouille sur ce type de test. Il est à noter que l'utilisation de la compatibilité de champs aux déformations de membrane permet d'en limiter les effets.

## 5. Bibliographie

Béakou A., Touratier M., « A rectangular finite element for analysing composite multilayered shallow shells in statics, vibration and buckling », *Int. J. Num. Meth. Eng.*, vol. 36, p. 627-653, 1993.

Bernadou M., *Finite Element Methods for Thin Shell Problems*, John Wiley & Sons, 1996.

Chapelle D., Bathe K., « Fundamental considerations for the finite element analysis of shell structures », *Comput. Struct.*, vol. 66, n. 1, p. 19-36, 1998.

Chenais D., Paumier J., « On the locking phenomenon for a class of elliptic problems », *Numer. Math.*, vol. 67, p. 427-440, 1994.

Choi D., Palma F., Sanchez-Palencia E., Vilarino M., « Remarks on membrane locking in the finite element computation of very thin elastic shells », *Mod. Math. & Ana. Num.*, vol. 32, n. 2, p. 131-152, 1998.

Dau F., Polit O., Touratier M., « An efficient $C^1$ finite element with continuity requirements for multilayered/sandwich shell structures », *Comput. Struct.*, vol. 82, p. 1889-1899, 2004.

Koschnick F., Bischoff M., Camprubi N., Bletzinger K., « The discrete strain gap method and membrane locking », *Comput. Methods Appl. Mech. Eng.*, vol. 194, p. 2444-2463, 2005.

Lee P., Bathe K., « Insight into finite element shell discretizations by use of the "basic shell mathematical model" », *Comput. Struct.*, vol. 83, p. 69-90, 2005.

Niemi A., Pitkaranka J., HAkula H., « Benchmark computations on point-loaded shallow shells : Fourier vs. FEM », *Comput. Methods Appl. Mech. Eng.*, vol. 196, p. 894-907, 2007.

Pitkaranta J., Sanchez-Palencia E., « On the asymptotic behaviour of sensitive shells with small thickness », *C. R. Acad. Sci. Paris*, vol. 325, p. 127-134, 1997.

Polit O., Touratier M., « A new laminated triangular finite element assuring interface continuity for displacements and stresses », *Compos. Struct.*, vol. 38, n. 1-4, p. 37-44, 1997.

Polit O., Touratier M., « A $c^0$ eight node finite element based on the semi-thick doubly curved shell theory : comparison with the degenerated approach », *Revue E. des Eléments Finis*, vol. 8, n. 2, p. 111-134, 1999.

Polit O., Touratier M., « Analyse non linéaire géométrique de plaques multicouches : un nouvel élément fini $c^1$ », *Revue E. des Eléments Finis*, vol. 9, n. 1-2-3, p. 295-314, 2000.

Polit O., Touratier M., Lory P., « A new eight-node quadrilateral shear-bending plate finite element », *Int. J. Num. Meth. Eng.*, vol. 37, p. 387-411, 1994.

Slimane L., Renard Y., « The treatment of the locking phenomenon for a class of variational inequalities », vol. 170, p. 121-143, 2004.

Touratier M., « A refined theory of laminated shallow shells », *Int. J. Solids Struct.*, vol. 29, n. 11, p. 1401-1415, 1992.