# Propriété limite de la dérivée transversale de la matrice du potentiel généralisé de simple couche relatif au système parabolique

par S. CĄKAŁA (Warszawa)

**1. Introduction.** A. Piskorek (v. [2], (21)) a démontré qu'une combinaison linéaire de dérivées partielles d'ordre $M \ge 2$ du potentiel de simple couche à densité continue, dite dérivée transversale, donnée par la formule:

$$ (1) \quad (D_{T_P}^{(M-1)} U(X, t))_a = \sum_{\beta=1}^{N} \sum_{j_1, \dots, j_M=1}^{n} A_{a\beta}^{j_1 \dots j_M}(X, t) \frac{\partial^{M-1} U_\beta(X, t)}{\partial x_{j_1} \dots \partial x_{j_{M-1}}} \cos(x_{j_M}, \bar{n}_P), $$
$$ a = 1, \dots, N $$

possède pour la variable du temps $t < \text{const}$, la limite suivante:

$$ (2) \quad \lim_{X \to P} D_{T_P}^{(M-1)}[U(X, t)] = -\frac{1}{2}\varphi(P, t) + \int_0^t \int_S \int D_{T_P}^{(M-1)}\Gamma(P, t; Q, \tau)\varphi(Q, \tau)dQ d\tau $$

en tout point $P$ de la surface $S$. Le point $X$ tend vers le point $P$ de la façon suivante:

$$ (2a) \quad \lim_{X \to P} \frac{|PP_X|^*}{|XP_X|^{(M-2)(n-1)}} = 0, \quad \text{pour } M > 2, $$

$\varkappa$ est l'exposant de Liapounoff (v. [2], (29)). $P_X$ est le point de la surface $S$ le plus rapproché du point $X = (x_1, \dots, x_n)$.

Dans la formule (1), les fonctions $A_{a\beta}^{j_1 \dots j_M}(X, t)$ désignent les coefficients du système parabolique:

$$ (3) \quad (\hat{\psi} u)_a = \sum_{\beta=1}^{N} \sum_{k=0}^{M} \sum_{j_1, \dots, j_k=1}^{n} A_{a\beta}^{j_1 \dots j_k}(X, t) \frac{\partial^k u_\beta}{\partial x_{j_1} \dots \partial x_{j_k}} - \frac{\partial u_\alpha}{\partial t} = 0 $$
où $\hat{\psi}$ désigne la matrice des opérateurs différentiels de ce système et $u$ la colonne des $N$ fonctions inconnues, c'est-à-dire:

$$ (3a) \quad \hat{\psi} = \left\{ \sum_{k=0}^{M} \sum_{j_1, \dots, j_k=1}^{n} A_{a\beta}^{j_1 \dots j_k}(X, t) \frac{\partial^k}{\partial x_{j_1} \dots \partial x_{j_k}} - \frac{\partial}{\partial t} E \right\}, \quad \alpha, \beta = 1, \dots, N, $$

$$ E = \{\delta_{a\beta}\}_{a,\beta=1,\dots,N}, \quad \delta_{a\beta} = \begin{cases} 1, & \alpha = \beta, \\ 0, & \alpha \neq \beta, \end{cases} \quad u = \{u_\alpha(X, t)\}_{\alpha=1,\dots,N}. $$

Le système (3) et ses coefficients vérifient les conditions (2)-(7), (v. [2], p. 171). D'après ces conditions les coefficients sont continus dans la couche $\Omega' \times [0 \times \infty]$, et ils sont soumis aux conditions de Hölder. Le système (3) est parabolique au sens de Petrowsky. La surface $S$ remplit les conditions de Liapounoff. $\Omega'$ est une région de $E_n$ contenant la région $\Omega$ avec son bord $S$. Dans la formule (1), $(x_{j_M}, \bar{n}_P)$ désigne l'angle entre l'axe $x_{j_M}$ et la normale $\bar{n}_P$ dirigée vers le domaine $\Omega'$, dans lequel est situé le point $X$.

Le potentiel $U(X, t)$ de l'expression (2) est donné par l'intégrale:

$$ (4) \quad U(X, t) = \int_0^t \int_S \int \Gamma(X, t; Q, \tau) \varphi(Q, \tau) dQ d\tau, $$

$U(X, t)$ est la colonne de $N$ fonctions données par les intégrales de surface suivantes:

$$ (4a) \quad U_a(X, t) = \int_0^t \int_S \int \sum_{\beta=1}^N \Gamma_{a\beta}(X, t; Q, \tau) \varphi_{\beta}(Q, \tau) dQ d\tau. $$

Dans la formule (2) intervient $\Gamma(X, t; Q, \tau)$, la matrice des solutions fondamentales du système (3), dont les éléments figurent dans la formule (4a) sous le signe de l'intégrale. Les $N$ fonctions de la colonne $\varphi(Q, \tau) = \{\varphi_a(Q, \tau)\}_{a=1,\dots,N}$ dite densité de simple couche, sont déterminées, bornées et intégrables sur la surface $S$.

2. Nous allons examiner la limite de l'expression de la formule (2) pour $t \to \infty$. Dans ce but on admet que les limites:

$$ (5) \quad \lim_{t \to \infty} A_{a\beta}^{j_1 \dots j_k}(X, t) = \hat{A}_{a\beta}^{j_1 \dots j_k}(X), $$

$$ (6) \quad \lim_{t \to \infty} \varphi_{\beta}(X, t) = \hat{\varphi}_{\beta}(X) $$

existent uniformément dans $\Omega'$, et aussi on admet le domaine d'intégration $\Omega'$ et les coefficients du système (3) assujettis aux inégalités suivantes:
$$
(7) \quad \int_0^\theta \iiint_{\Omega'} \sum_{\beta=1}^N \dot{N}_{a\beta}(X, Y, \xi) dY d\xi \le b < 1,
$$
$$
\int_0^\theta \iiint_{\Omega'} \sum_{\beta=1}^N \dot{N}_{\beta a}(X, Y, \xi) dX d\xi \le b, \quad \alpha = 1, \dots, N,
$$

pour toutes les valeurs $\theta \ge 0$ et $X \in \Omega, Y \in \Omega'$.

On déduit de la formule (7) que la région Ω' ne peut pas être grande.
Les fonctions N̂<sub>αβ</sub>(X, Y, ξ) forment la matrice des dominantes de noyaux
d'un système d'équations intégrales de Volterra (v. [3], (2,2) et [1], (3,4)).

3. Etude des fonctions de la formule (2). Nous allons démontrer le
THÉORÈME. *Les hypothèses (2)-(7) de l'article [2] et les hypothèses (5)-(7)*
*étant admises, nous avons pour n > M :*

$$
(8) \quad \lim_{t \to \infty} \{ \lim_{X \to P} D_{T_P}^{(M-1)} [U(X,t)] \} = -\frac{1}{2} \hat{\varphi}(P) + \iint_S D_{T_P}^{(M-1)} \hat{\Gamma}(P,Q) \hat{\varphi}(Q) dQ
$$

où $\hat{\Gamma}(P, Q)$ est la matrice (v. [1], (1,7)), des solutions du système elliptique
limite des équations :

$$
(9) \quad (\hat{\psi} u)_a \equiv \sum_{\beta=1}^{N} \sum_{k=0}^{M} \sum_{j_1, \dots, j_k=1}^{n} \hat{A}_{a\beta}^{j_1 \dots j_k}(X) \frac{\partial^k u_\beta}{\partial x_{j_1} \dots \partial x_{j_k}} = 0.
$$

Démonstration. Soit $S_K$ la partie de la surface $S$ découpée par
la sphère $K$ de centre $P$ et de rayon $r_0$. Décomposons pour $t > T$ l'inté-
grale de la formule (2) en sommes de 3 intégrales:

$$
\begin{align*}
(10) \quad & \int_0^t \int_S \int \frac{d\Gamma(P, t; Q, \tau)}{dT_P} \varphi(Q, \tau) dQ d\tau = \int_0^{t-T} \int_S \int \frac{d\Gamma(P, t; Q, \tau)}{dT_P} \varphi(Q, \tau) dQ d\tau + \\
& + \int_{t-T}^t \int_S \int \frac{d\Gamma(P, t; Q, \tau)}{dT_P} \varphi(Q, \tau) dQ d\tau + \int_{t-T}^t \int_{S_K} \int \frac{d\Gamma(P, t; Q, \tau)}{dT_P} \varphi(Q, \tau) dQ d\tau \\
& \qquad \bullet \\
& = J_1(P, t) + J_2(P, t) + J_3(P, t), \quad \left( \frac{d}{dT_P} = D_{T_P}^{(M-1)} \right).
\end{align*}
$$

Nous allons démontrer que :

$$
(11a) \quad \lim_{T \to \infty} \lim_{t \to \infty} J_1(P, t) = 0,
$$

$$
(11b) \quad \lim_{r_0 \to 0} \lim_{T \to \infty} \lim_{t \to \infty} J_2(P, t) = \int_S \int \frac{d\hat{\Gamma}(P, Q)}{dT_P} \hat{\varphi}(Q) dQ,
$$

$$
(11c) \quad \lim_{r_0 \to 0} J_3(P, t) = 0.
$$
D'après les formules (25), (26), (69) et (72') de l'article [3], nous avons:

$$
\begin{align*}
(12) \quad J_1(P, t) & \\
&= \int_0^{t-T} \int_S \iint \left\{ \frac{d[W^{Q,\tau}(P, t; Q, \tau)]}{dT_P} + \int_{\tau}^t \int_{\Omega'} \iint \frac{d[W^{Z,\theta}(P, t; Z, \theta)]}{dT_P} \left( N(Z, \theta; Q, \tau) + \right. \right. \\
& \qquad \left. \left. + \int_{\tau}^{\theta} \int \iint_{\Omega'} \mathfrak{R}(Z, \theta; \Pi, \xi) N(\Pi, \xi; Q, \tau) d\Pi d\xi \right) dZ d\theta \right\} \varphi(Q, \tau) dQ d\tau \\
&= i_1(P, t) + i_2(P, t) + i_3(P, t),
\end{align*}
$$

$\mathfrak{R}(Z, \theta; \Pi, \xi)$ est la matrice des noyaux résolvants $\mathfrak{R}_{\alpha\beta}(Z, \theta; \Pi, \xi)$ déterminés dans le travail [3], p. 252. Les éléments $N_{\alpha\beta}(Z, \theta; Q, \tau)$ (v. [3], (72)), de la matrice $N(Z, \theta; Q, \tau)$ du système d'équations intégrales de Volterra (v. [3], (22)), vérifient les inégalités:

$$
\begin{align}
& |N_{\alpha\beta}(Z, \theta; Q, \tau)| < \frac{\text{const}}{(t-\tau)^{\mu_1} |ZQ|^{n+M(1-\mu_1)-h_1}}, \tag{13a} \\
& \qquad 1 - \frac{h_1}{M} < \mu_1 < 1; \quad t-\tau < T_0 = \text{const}, \nonumber
\end{align}
$$

$$
(13b) \quad |N_{\alpha\beta}(Z, \theta; Q, \tau)| > \frac{\text{const}}{(t-\tau)^{n/M}}, \quad t-\tau > T_0 \quad (\text{v. } [1], (12,2)).
$$

$|ZQ|$ désigne la distance euclidienne des points Z et Q.

Les éléments de la matrice de la dérivée transversale de la quasi-
solution admettent les limitations aux singularités faibles:

$$
(14a) \quad \left| \frac{d[W_{\alpha\beta}^{Q,\tau}(P, t; Q, \tau)]}{dT_P} \right| < \frac{\text{const}}{(t-\tau)^{\mu} |PQ|^{n+M-1-M\mu-\kappa}}, \quad \mu \in (1-\frac{\kappa^*}{M}, 1);
$$
(v. [2], (84)) et (v. [2], (22), (34)),

$$
(14b) \quad \left| \frac{d[W_{\alpha\beta}^{Q,\tau}(P, t; Q, \tau)]}{dT_P} \right| < \frac{\text{const}}{(t-\tau)^{(n+M-1)/M}}, \quad t-\tau > T_0.
$$

Dans le travail [1], (v. (11,4) et (9,4)), H. Milicer-Grużewska a dé-
montré les propriétés suivantes des intégrales de la matrice des noyaux
résolvants:

L'intégrale

$$
(15a) \quad \int_0^{t-T} d\theta' \iint_{\Omega'} \sum_{\beta=1}^{N} |\mathfrak{R}_{\alpha\beta}(X, t; Y, \theta')| dY, \quad X \in \Omega, t > T, 0 < \tau < t-T
$$
converge vers zéro avec $1/T$, et l'intégrale

$$ (15\text{b}) \quad \int_{\tau}^{t} d\theta' \iint_{\Omega'} \sum_{\beta=1}^{N} |\Re_{\alpha\beta}(X, t; Y, \theta')| dY, \quad X \in \Omega, t-\tau = \theta \ge 0 $$

existe uniformément pour chaque $\theta \ge 0$, $\alpha = 1, 2, ..., N$.

En profitant des limitations (13a)-(15b), nous allons démontrer la propriété (11a). Grâce à la limitation (14b) nous avons:

$$ (16) \quad |i_1(P, t)| < \text{const} \int_0^{t-T} \frac{d\tau}{(t-\tau)^{(n+M-1)/M}} \iint_S dQ \to 0; \quad t, T \to \infty. $$

En décomposant l'intervalle d'intégration de la variable $\theta$ en deux intervalles: de $\tau$ à $(t+\tau)/2$ et de $(t+\tau)/2$ à $t$, et en tenant compte des limitations (13a)-(14b) nous avons:

$$ (17) \quad |i_2(P, t)| < \text{const} \int_0^{t-T} \frac{d\tau}{(t-\tau)^{(n+M-1)/M}} \iint_S dQ \int_{\tau}^{(t+\tau)/2} \frac{d\theta}{(\theta-\tau)^{\mu_1}} \times \\ \qquad \times \iint_{\Omega'} \int_0^{t-T} \frac{dZ}{(t-\tau)^{n/M}} \iint_S dQ \int_{(t+\tau)/2}^t \frac{d\theta}{(t-\theta)^\mu} \times \\ \qquad \times \iint_{\Omega'} \frac{dZ}{|PZ|^{n-1+M(1-\mu)-(\mu-\mu_1)}} \to 0, \quad \text{pour } t, T \to \infty. $$

Nous avons alors:

$$ (18) \quad \lim_{T \to \infty} \lim_{t \to \infty} i_1(P, t) = 0, $$

$$ (19) \quad \lim_{T \to \infty} \lim_{t \to \infty} i_2(P, t) = 0. $$

En décomposant dans la fonction $i_3(P, t)$ l'intervalle d'intégration par rapport à $\theta$ en deux intervalles: de $\tau$ à $(t+\tau)/2$ et de $(t+\tau)/2$ à $t$, et l'intervalle d'intégration par rapport à $\xi$ en deux intervalles: de $\tau$ à $(\theta+\tau)/2$ et de $(\theta+\tau)/2$ à $\theta$, nous avons alors:

$$ (20) \quad i_3(P, t) = \int_0^{t-T} \iint_S \left\{ \int_{\tau}^{(t+\tau)/2} d\theta \iint_{\Omega'} \frac{d[\mathcal{W}^{Z,\theta}(P, t; Z, \theta)]}{dT_P} dZ \int_{\tau}^{\theta} d\xi \right. \times \\ \qquad \left. \times \iint_{\Omega'} \mathfrak{R}(Z, \theta; \Pi, \xi) N(\Pi, \xi; Q, \tau) d\Pi + \right. \\ \qquad \left. + \int_{(t+\tau)/2}^t d\theta \iint_{\Omega'} \frac{d[\mathcal{W}^{Z,\theta}(P, t; Z, \theta)]}{dT_P} dZ \left( \int_0^{(\tau+\theta)/2} + \int_{(\tau+\theta)/2}^{\theta} \right) d\xi \iint_{\Omega'} \mathfrak{R}(Z, \theta; \Pi, \xi) \times \right. \\ \qquad \left. \times N(\Pi, \xi; Q, \tau) d\Pi \right\} \varphi(Q, \tau) dQ d\tau = j_1(P, t) + j_2(P, t) + j_3(P, t). $$
Après avoir changé l'ordre des intégrations par rapport aux variables $\xi$ et $\theta$, resp. $\Pi$ et $Z$, dans la fonction $j_1(P, t)$ et en tenant compte de (14b) nous avons:

$$ (21) \quad \begin{aligned} |j_1(P, t)| < & \text{const} \int_0^{t-T} \frac{d\tau}{(t-\tau)^{(n+M-1)/M}} \int_S \int dQ \int_{\tau}^{(t+\tau)/2} d\xi \times \\ & \int_{\Omega'} \int \int |N(\Pi, \xi; Q, \tau)| d\Pi \int_{\xi}^{(t+\tau)/2} d\theta \int \int \int |\Re(Z, \theta; \Pi, \xi)| dZ. \end{aligned} $$

Grâce à (15b) l'intégrale du noyau résolvant existe. En tenant compte de l'inégalité (13a) et après avoir intégré la variable $\tau$ on a:

$$ (22) \qquad \lim_{T \to \infty} \lim_{t \to \infty} j_1(P, t) = 0. $$

Dans la fonction $j_3(P, t)$ l'accroissement des paramètres $\xi-\tau$ de la fonction $N(\Pi, \xi; Q, \tau)$ est:

$$ \xi - \tau > \frac{\theta + \tau}{2} - \tau > \frac{t - \tau}{4} > \frac{T}{4}. $$

D'après (13b), $\xi - \tau > T/4$, on a:

$$ (23) \quad \begin{aligned} |j_3(P, t)| < & \text{const} \int_0^{t-T} \frac{d\tau}{(t-\tau)^{n/M}} \int_S \int dQ \int_{(t+\tau)/2}^t d\theta \times \\ & \int_{\Omega'} \int \int \left| \frac{d[W^{Z,\theta}(P, t; Z, \theta)]}{dT_P} \right| dZ \int_{(\theta+\tau)/2}^\theta d\xi \int \int \int |\Re(Z, \theta; \Pi, \xi)| d\Pi. \end{aligned} $$

Comme dans la formule (22) nous avons:

$$ (24) \qquad \lim_{T \to \infty} \lim_{t \to \infty} j_3(P, t) = 0. $$

Pour $j_2(P, t)$ on a la décomposition:

$$ (25) \quad j_2(P, t) = & \int_0^{t-T} \int_S \int_{(t+\tau)/2}^t \int_{\Omega'} \int \int \frac{d[W^{Z,\theta}(P, t; Z, \theta)]}{dT_p} \times \\ & \times \left\{ \int_{\tau}^{(t+3\tau)/4} + \int_{(t+3\tau)/4}^{(\tau+\theta)/2} \right\} \int \int \int_{\Omega'} \Re(Z, \theta; \Pi, \xi) N(\Pi, \xi; Q, \tau) d\Pi d\xi dZ d\theta \varphi(Q, \tau) dQ d\tau \\ = & R_1(P, t) + R_2(P, t). $$

L'accroissement $\xi-\tau$ dans la fonction $R_2(P, t)$ est $\xi-\tau > (t-\tau)/4 > T/4$.
On a donc:

$$
(26) \quad |R_2(P, t)| < \text{const} \int_0^{t-T} \frac{d\tau}{(t-\tau)^{n/M}} \iint_S \int_{(t+\tau)/2}^t dQ \int_{(t+\tau)/2}^t d\theta \times \\
\qquad \times \int_{\Omega'} \int \int \left| \frac{d[W^{Z,\theta}(P, t; Z, \theta)]}{dT_P} \right| dZ \int_{(t+3\tau)/4}^{(\tau+\theta)/2} d\xi \int \int \int_{\Omega'} |\mathfrak{R}(Z, \theta; \Pi, \xi)| d\Pi.
$$

En tenant compte de (15b) nous voyons que l'intégrale du noyau
résolvant existe. A cause de l'inégalité (14a) les autres intégrales exi-
stent. Après avoir intégré par rapport à la variable τ nous avons:

$$
(27) \quad \lim_{T \to \infty} \lim_{t \to \infty} R_2(P, t) = 0.
$$

En changeant dans la fonction $R_1(P, t)$ l'ordre des intégrations par
rapport aux variables $\tau$ et $\theta$, et ensuite par rapport à $Q$ et $Z$, nous avons:

$$
(28) \quad R_1(P, t) = \int_{t/2}^{t-T/2} d\theta \iint_{\Omega'} \left( \frac{d[W^{Z,\theta}(P, t; Z, \theta)]}{dT_P} \right) dZ \times \\
\qquad \times \int_0^{20-t} \int_S \int_{\tau}^{(t+3\tau)/4} \iint_{\Omega'} \mathfrak{R}(Z, \theta; \Pi, \xi) N(\Pi, \xi; Q, \tau) d\Pi d\xi \varphi(Q, \tau) dQ d\tau + \\
\qquad + \int_{t-T/2}^t d\theta \iint_{\Omega'} \left( \frac{d[W^{Z,\theta}(P, t; Z, \theta)]}{dT_P} \right) dZ \int_0^{t-T} \int_S \int_{\tau}^{(t+3\tau)/4} \iint_{\Omega'} \mathfrak{R}(Z, \theta; \Pi, \xi) \times \\
\qquad \times N(\Pi, \xi; Q, \tau) d\Pi d\xi \varphi(Q, \tau) dQ d\tau = R_{1,1}(P, t) + R_{1,2}(P, t).
$$

Changeons dans $R_{1,1}(P, t)$ l'ordre des intégrations par rapport à $\tau$ et $\xi$,
et aussi par rapport à $\Pi$ et $Q$. D'après (13a), (14b) et (15b) nous avons:

$$
(29) \quad \lim_{T \to \infty} \lim_{t \to \infty} R_{1,1}(P, t) = 0.
$$

En changeant dans la fonction $R_{1,2}(P, t)$ l'ordre des intégrations
par rapport à $\xi$ et $\tau$, et aussi par rapport à $Q$ et $\Pi$, on obtient:

$$
(30) \quad |R_{1,2}(P, t)| < \text{const} \int_{t-T/2}^{t} d\theta \iint_{\Omega'} \left| \frac{d[W^{Z,\theta}(P, t; Z, \theta)]}{dT_P} \right| dZ \times \\
\qquad \times \left\{ \begin{aligned}
& \int_0^{t/4} d\xi \iint_{\Omega'} \left| \mathfrak{R}(Z, \theta; \Pi, \xi) \right| d\Pi \int_0^{\xi} d\tau \int_S \int_{(4\xi-t)/3} |N(\Pi, \xi; Q, \tau)| dQ + \\
& + \int_{t/4}^{t-T} d\xi \iint_{\Omega'} \left| \mathfrak{R}(Z, \theta; \Pi, \xi) \right| d\Pi \int_{(4\xi-t)/3}^{\xi} d\tau \int_S \int_{(4\xi-t)/3} |N(\Pi, \xi; Q, \tau)| dQ + \\
& + \int_{t-T}^{t-3/4} d\xi \iint_{\Omega'} \left| \mathfrak{R}(Z, \theta; \Pi, \xi) \right| d\Pi \int_{(4\xi-t)/3}^{t-T} d\tau \int_S \int_{(4\xi-t)/3} |N(\Pi, \xi; Q, \tau)| dQ
\end{aligned} \right\} .
$$
En tenant compte de (13a)-(14b) et (15a), $\theta - \xi > T/4$, nous obtenons:

$$ (31) \qquad \lim_{T \to \infty} \lim_{t \to \infty} R_{1,2}(P, t) = 0. $$

En vertu de la décomposition (28) et des formules (29) et (31) on a:

$$ (32) \qquad \lim_{T \to \infty} \lim_{t \to \infty} R_1(P, t) = 0. $$

Les formules (27) et (32) donnent:

$$ (33) \qquad \lim_{T \to \infty} \lim_{t \to \infty} j_2(P, t) = 0. $$

La décomposition (20) et les formules (22), (24) et (33) donnent:

$$ (34) \qquad \lim_{T \to \infty} \lim_{t \to \infty} i_3(P, t) = 0. $$

En tenant compte de (12), (18), (19) et (34) on obtient:

$$ (35) \qquad \lim_{T \to \infty} \lim_{t \to \infty} J_1(P, t) = 0. $$

Nous allons étudier la fonction $J_3(P, t)$ (v. (10)). En admettant $T > T_0 = \text{const}$, on décompose l'intervalle d'intégration de la variable $\tau$, de $t-T$ à $t-T_0$ et de $t-T_0$ à $t$. Alors on obtient les intégrales $J_{3,1}(P, t)$ et $J_{3,2}(P, t)$. Dans la fonction $J_{3,2}(P, t)$ l'accroissement des paramètres $t-\tau < T_0$. On a (v. [2], p. 84), donc:

$$ (36) \qquad \begin{gathered} |J_{3,2}(P, t)| < \text{const} \int_{t-T_0}^{t} \frac{d\tau}{(t-\tau)^{\mu_*}} \iint_{S_k} \frac{dQ}{|PQ|^{n-1+M(1-\mu_*)-\kappa^*}} \to 0, \\ \text{pour } r_0 \to 0. \end{gathered} $$

L'étude de l'intégrale $J_{3,1}(P, t)$ est analogue à la preuve de la formule (11a). L'intégrale $J_{3,1}(P, t)$ existe et converge vers zéro avec $r_0 \to 0$, car $t-\tau > T_0$. A cause de cela et de la formule (36) on a:

$$ (37) \qquad \lim_{r_0 \to 0} J_3(P, t) = 0. $$

Enfin nous allons étudier la fonction $J_2(P, t)$ de la formule (10). En posant $t-\tau = \theta$, $-d\tau = d\theta$, nous constatons que la variable $\theta$ est finie. La variable du temps $t$ intervient seulement dans les coefficients de la solution $\Gamma$ et dans la fonction $\varphi(Q, \tau)$. C'est pourquoi on peut passer à la limite pour $t \to \infty$ sous le signe de l'intégrale et aussi sous le signe de la dérivée transversale.
Alors

$$
\begin{align*}
(38) \quad \lim_{T \to \infty} \lim_{t \to \infty} J_2(P, t) &= \lim_{T \to \infty} \int_0^T \int_{S-S_K} \frac{d[\hat{\Gamma}(P, Q, \theta)]}{dT_P} \hat{\varphi}(Q) \, dQ \, d\theta \\
&= \iint_{S-S_K} \frac{d}{dT_P} \left[ \int_0^\infty \hat{\Gamma}(P, Q, \theta) \, d\theta \right] \hat{\varphi}(Q) \, dQ \\
&= \int_{S-S_K} \frac{d[\hat{\Gamma}(P, Q)]}{dT_P} \hat{\varphi}(Q) \, dQ
\end{align*}
$$

en vertu des résultats du travail [1], (v. (1,7)).

Pour obtenir la formule (11b), il faut passer à la limite pour $r_0 \to 0$
(v. [1], (3,3)). On a alors:

$$
(39) \quad \lim_{r_0 \to 0} \lim_{T \to \infty} \lim_{t \to \infty} J_2(P, t) = \int_S \int \frac{d[\hat{\Gamma}(P, Q)]}{dT_P} \hat{\varphi}(Q) \, dQ .
$$

Les résultats (35), (37), (39) et (6) donnent la formule (8), c.q.f.d.

Travaux cités

[1] H. Milicer-Grużewska, *Propriété de la matrice du potentiel généralisé de simple couche du système parabolique d'équations*, Rend. Circ. Mat. Palermo, Serie II, 11 (1962), p. 1-25.

[2] A. Piskorek, *Propriété limite de la dérivée transversale du potentiel de simple couche relatif au système parabolique*, Ricerche di Mat. 11 (1962), p. 170-191.

[3] W. Pogorzelski, *Propriétés des solutions du système parabolique d'équations aux dérivées partielles*, Math. Scand. 6 (1958), p. 237-262.

Reçu par la Rédaction le 5. 7. 1963