# Mesure, intégration, probabilités

Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin

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Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin. Mesure, intégration, probabilités. 2013, pp.600. cel-00637007v2

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Submitted on 19 Feb 2013

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MESURE, INTEGRATION, PROBABILITES

Thierry Gallouët

Raphaèle Herbin

3 février 2013
<figure><img src="image_2.png" /></figure>
# Avant-propos

L'objectif de ce livre est de donner une vue d'ensemble de la théorie de la mesure, de l'intégration et des probabilités correspondant à un niveau de troisième année de licence ou de première année de master (en mathématiques).

La lecture de ce livre requiert la connaissance des notions d'analyse réelle, d'algèbre linéaire et de calcul différentiel enseignées en première et deuxième année de licence de mathématiques dans la plupart des universités françaises.

Nous nous sommes attachés à introduire le vocabulaire de la théorie des probabilités en parallèle à celui de l'analyse. Nous espérons ainsi faciliter l'accès conjoint à des études ultérieures dans ces deux branches des mathématiques, ce qui semble devenir indispensable aux mathématiciens se formant en vue d'appliquer ces théories.

Nous attachons une importance considérable aux exercices : plus de 300 sont proposés dans ce livre, certains sont des applications directes du cours, d'autres contiennent des développements importants. Plus de 250 d'entre eux sont assortis d'un corrigé détaillé.

Ce livre, issu d'un polycopié de cours amélioré et complété sur plus de 20 ans, a bénéficié de nombreuses remarques ou questions de nos étudiants et de discussions avec nos collègues (en particulier probabilistes). Nous tenons à les en remercier chaleureusement.

Une liste d'errata sera régulièrement mise à jour sur les sites web des auteurs.

Thierry Gallouët et Raphaèle Herbin
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
# Table des matières

<table><tbody><tr><td><strong>1 Motivation et objectifs</strong></td><td style="text-align: right;"><strong>9</strong></td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">1.1 Intégrale des fonctions continues</td><td style="text-align: right;">9</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">1.2 Insuffisance de l'intégrale des fonctions continues</td><td style="text-align: right;">11</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">1.3 Les probabilités</td><td style="text-align: right;">14</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">1.4 Objectifs</td><td style="text-align: right;">15</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">1.5 Structure du cours</td><td style="text-align: right;">15</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">1.6 Exercices</td><td style="text-align: right;">16</td></tr><tr><td><strong>2 Tribus et mesures</strong></td><td style="text-align: right;"><strong>35</strong></td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">2.1 Introduction</td><td style="text-align: right;">35</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">2.2 Tribu ou σ-algèbre</td><td style="text-align: right;">36</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">2.3 Mesure, probabilité</td><td style="text-align: right;">41</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">2.4 Mesure signée</td><td style="text-align: right;">48</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">2.5 La mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens</td><td style="text-align: right;">52</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">2.6 Indépendance et probabilité conditionnelle</td><td style="text-align: right;">63</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">2.7 Exercices</td><td style="text-align: right;">69</td></tr><tr><td><strong>3 Fonctions mesurables, variables aléatoires</strong></td><td style="text-align: right;"><strong>109</strong></td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">3.1 Introduction, topologie sur ℝ<sub>+</sub></td><td style="text-align: right;">109</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">3.2 Fonctions étagées</td><td style="text-align: right;">111</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">3.3 Fonctions mesurables et variables aléatoires</td><td style="text-align: right;">113</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">3.4 Mesure image, loi d'une v.a., v.a. indépendantes</td><td style="text-align: right;">120</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">3.5 Convergence p.p., p.s., en mesure, en probabilité</td><td style="text-align: right;">123</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">3.6 Exercices</td><td style="text-align: right;">127</td></tr><tr><td><strong>4 Fonctions intégrables</strong></td><td style="text-align: right;"><strong>157</strong></td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">4.1 Intégrale d'une fonction étagée positive</td><td style="text-align: right;">158</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">4.2 Intégrale d'une fonction mesurable positive</td><td style="text-align: right;">160</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">4.3 Convergence monotone et lemme de Fatou</td><td style="text-align: right;">165</td></tr><tr><td style="padding-left: 2em;">4.4 Mesures et probabilités de densité</td><td style="text-align: right;">168</td></tr></tbody></table>
TABLE DES MATIÈRES

<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>4.5</td>
      <td>L'espace L<sup>1</sup> des fonctions intégrables</td>
      <td>170</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.6</td>
      <td>L'espace L<sup>1</sup></td>
      <td>174</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.7</td>
      <td>Théorèmes de convergence dans L<sup>1</sup></td>
      <td>177</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.8</td>
      <td>Continuité et dérivabilité sous le signe d'intégration</td>
      <td>183</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.9</td>
      <td>Espérance et moments des variables aléatoires</td>
      <td>185</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.10</td>
      <td>Espace L<sup>1</sup><sub>C</sub>(E, T, m) et espace L<sup>1</sup><sub>R<sup>N</sup></sub>(E, T, m)</td>
      <td>189</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.11</td>
      <td>Exercices</td>
      <td>192</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>5</b></td>
      <td><b>Intégrale sur les boréliens de R</b></td>
      <td><b>243</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1</td>
      <td>Intégrale de Lebesgue et intégrale des fonctions continues</td>
      <td>243</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2</td>
      <td>Mesures abstraites et mesures de Radon</td>
      <td>245</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3</td>
      <td>Changement de variable, densité et continuité</td>
      <td>252</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4</td>
      <td>Intégrales impropres des fonctions de R dans R</td>
      <td>256</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.5</td>
      <td>Exercices</td>
      <td>256</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>6</b></td>
      <td><b>Les espaces L<sup>p</sup></b></td>
      <td><b>275</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.1</td>
      <td>Définitions et premières propriétés</td>
      <td>275</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2</td>
      <td>Analyse hilbertienne et espace L<sup>2</sup></td>
      <td>288</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3</td>
      <td>Dualité dans les espaces L<sup>p</sup>, 1 ≤ p ≤ ∞</td>
      <td>310</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4</td>
      <td>Convergence faible, faible-*, étroite, en loi</td>
      <td>319</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.5</td>
      <td>Exercices</td>
      <td>330</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>7</b></td>
      <td><b>Produits d'espaces mesurés</b></td>
      <td><b>411</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1</td>
      <td>Motivation</td>
      <td>411</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2</td>
      <td>Mesure produit</td>
      <td>412</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3</td>
      <td>Théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini</td>
      <td>417</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.4</td>
      <td>Mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens de R<sup>N</sup></td>
      <td>422</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.5</td>
      <td>Convolution</td>
      <td>425</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.6</td>
      <td>Formules de changement de variable</td>
      <td>430</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.7</td>
      <td>Exercices</td>
      <td>433</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>8</b></td>
      <td><b>Densité, séparabilité et compacité</b></td>
      <td><b>465</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1</td>
      <td>Théorèmes de densité pour les espaces L<sup>p</sup>(Ω)</td>
      <td>465</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2</td>
      <td>Séparabilité de L<sup>p</sup>(Ω)</td>
      <td>470</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3</td>
      <td>Compacité dans les espaces L<sup>p</sup>(Ω)</td>
      <td>471</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.4</td>
      <td>Compacité faible-*</td>
      <td>472</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.5</td>
      <td>Exercices</td>
      <td>475</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>9</b></td>
      <td><b>Vecteurs aléatoires</b></td>
      <td><b>487</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1</td>
      <td>Définition, propriétés élémentaires</td>
      <td>487</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2</td>
      <td>Indépendance</td>
      <td>493</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
TABLE DES MATIÈRES

<table><tr><td>9.3 Vecteurs gaussiens</td><td>497</td></tr><tr><td>9.4 Exercices</td><td>498</td></tr><tr><td><b>10 Transformation de Fourier</b></td><td><b>513</b></td></tr><tr><td>10.1 Introduction et notations</td><td>513</td></tr><tr><td>10.2 Transformation de Fourier dans L<sup>1</sup></td><td>514</td></tr><tr><td>10.3 Transformée de Fourier d'une mesure signée</td><td>518</td></tr><tr><td>10.4 Transformation de Fourier dans L<sup>2</sup></td><td>521</td></tr><tr><td>10.5 Résolution d'une E.D.O ou d'une E.D.P</td><td>523</td></tr><tr><td>10.6 Fonction caractéristique d'un vecteur aléatoire</td><td>524</td></tr><tr><td>10.7 Exercices</td><td>531</td></tr><tr><td><b>11 Espérance conditionnelle et martingales</b></td><td><b>549</b></td></tr><tr><td>11.1 Espérance conditionnelle</td><td>549</td></tr><tr><td>11.2 Martingales</td><td>558</td></tr><tr><td>11.3 Exercices</td><td>561</td></tr><tr><td><b>Références</b></td><td><b>595</b></td></tr><tr><td><b>Index</b></td><td><b>596</b></td></tr></table>
<figure><img src="image_4.png" /></figure>
# Chapitre 1

# Motivation et objectifs

Nous commençons par donner ici un aperçu des motivations de la théorie de l'intégration, en montrant d'abord les limitations de l'intégrale des fonctions continues (sur un intervalle compact de $\mathbb{R}$). L'intégrale de Riemann possède essentiellement les mêmes limitations.

## 1.1 Intégrale des fonctions continues

Nous présentons ici quelques rappels sur l'intégrale des fonctions continues sur un intervalle compact de $\mathbb{R}$. Nous montrons pourquoi cette théorie de l'intégrale des fonctions continues semble insuffisante.

Nous nous limitons dans ce paragraphe à l'étude des fonctions définies sur l'intervalle $[0, 1]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$, par souci de simplicité des notations. Il va de soi que les notions introduites se généralisent à une intervalle $[a, b]$, $a, b \in \mathbb{R}$. Nous allons en fait définir l'intégrale des fonctions réglées (on appelle fonction réglée une fonction qui est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier). Ceci nous donnera l'intégrale des fonctions continues car toute fonction continue est réglée. La définition de l'intégrale des fonctions réglées (comme celle de l'intégrale de Riemann, qui est rappelée dans l'exercice 5.2, et celle de l'intégrale de Lebesgue, qui fait l'objet du chapitre 4) peut être vue en 3 étapes, que nous esquissons ici et qui sont étudiées en détail dans l'exercice 1.2 :

1. Mesurer les intervalles de $[0, 1]$. Pour $0 \le \alpha \le \beta \le 1$, on pose $m([]\alpha, \beta[) = \beta - \alpha$.

2. Intégrer les fonctions en escalier.

**Définition 1.1 (Fonction en escalier)** Soit $g$ une fonction de l'intervalle $[0, 1] \subset \mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$; on dit que $g$ est une fonction en escalier si il existe $p \in \mathbb{N}^*$, une famille
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 1.1 – Fonction en escalier</figcaption></figure>

$(x_i)_{i \in \{0, \dots, p\}}$, avec : $x_0 = 0$, $x_i < x_{i+1}$, pour tout $i \in \{0, \dots, p-1\}$, $x_p = 1$, et une famille $(a_i)_{i \in \{0, \dots, p-1\}} \subset \mathbb{R}$ tels que

$$g(x) = a_i, \quad \forall x \in ]x_i, x_{i+1}[, \quad \forall i \in \{0, \dots, p-1\}.$$

Avec les notations de cette définition, l’intégrale d’une fonction en escalier est alors

$$\int_{0}^{1} g(x) dx = \sum_{i=0}^{p-1} a_i m(i) x_i, x_{i+1}]. \quad (1.1)$$

On montre que la définition précédente est bien cohérente, au sens où l’intégrale de $g$ ne dépend que du choix de $g$ et non du choix des $x_i$.

3. **Passer à la limite.** Soit $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$, une fonction réglée, il existe une suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de fonctions en escalier convergeant uniformément vers $f$. On pose $I_n = \int_0^1 f_n(x) dx$. On peut montrer que la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est de Cauchy. On pose alors

$$\int_{0}^{1} f(x) dx = \lim_{n \to +\infty} I_{n}.$$

On montre que cette définition est cohérente car $\lim_{n \to +\infty} I_n$ ne dépend que de $f$ et non du choix de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

**Remarque 1.2 (Intégrale sur un espace de Banach)** Un des intérêts de la méthode présentée ci-dessus est qu'elle permet aussi de définir (sans travail supplémentaire) l'intégrale de fonctions continues de $[0, 1]$ (ou d'un intervalle compact de $\mathbb{R}$) dans
E, où E est un espace de Banach<fnref n="1" /> sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ (la méthode de construction utilise la structure d'espace de Banach de E, et il peut ne pas y avoir de relation d'ordre sur E). On remplace donc l'espace d'arrivée $\mathbb{R}$ des fonctions qu'on intègre par un espace de Banach E.

Les méthodes de Riemann (voir l'exercice 5.2) et de Lebesgue (présentée dans ce cours) sont limitées à des fonctions prenant leurs valeurs dans $\mathbb{R}$ car elles utilisent fortement la relation d'ordre dans $\mathbb{R}$ (elles redonnent, dans le cas de fonctions continues de $[0, 1]$ dans $\mathbb{R}$, la même intégrale que ci-dessus). Pour l'intégrale de Lebesgue, il faut alors un travail supplémentaire pour développer une théorie de l'intégration pour des fonctions prenant leurs valeurs dans un espace de Banach (on l'appelle souvent intégrale de Bochner). Plus précisément, ce travail supplémentaire est nécessaire lorsque cet espace est de dimension infinie. Le cas où l'espace est de dimension finie reste simple car on est alors amené à considérer un nombre fini d'intégrales à valeurs dans $\mathbb{R}$, [3, 4].

## 1.2 Insuffisance de l'intégrale des fonctions continues

Dans ce paragraphe, on note E l'ensemble $C([0, 1], \mathbb{R})$ des fonctions continues de $[0, 1]$ dans $\mathbb{R}$. On a défini dans le paragraphe précédent l'intégrale $\int_0^1 f(x)dx$ pour tout $f \in E$ (car l'ensemble des fonctions continues est contenu dans l'ensemble des fonctions réglées).

### Théorèmes de convergence.

Un inconvénient important de la théorie de l'intégration exposée ci-dessus est que les théorèmes "naturels" de convergence pour cette théorie sont peu efficaces. A vrai dire, le seul théorème simple est un résultat de convergence de l'intégrale sous hypothèse de convergence uniforme d'une suite de fonctions. Rappelons tout d'abord les notions de convergence simple et uniforme des suites de fonctions.

**Définition 1.3 (Convergence simple et uniforme)** *Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions de E,*

* $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement vers $f$ lorsque $n \to +\infty$ si :

$$ \forall \varepsilon > 0, \forall x \in [0, 1], \exists N(\varepsilon, x); n \ge N(\varepsilon, x) \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| \le \varepsilon; $$

* $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$ si :

$$ \forall \varepsilon > 0, \exists N(\varepsilon); n \ge N(\varepsilon), x \in [0, 1] \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| \le \varepsilon. $$

<footnote n="1">1. Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.</footnote>
Pour la convergence simple, l'entier N peut dépendre de x, alors que pour la convergence uniforme, il ne dépend que de ε, et pas de x. La suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de E définie par $f_n(x) = \frac{x}{n}$ tend simplement et uniformément (sur $[0, 1]$) vers 0. On donne à l'exercice 1.1 un exemple de suite qui converge simplement mais pas uniformément. On rappelle maintenant le théorème classique de convergence de l'intégrale des fonctions continues :

**Théorème 1.4 (Convergence de l'intégrale des fonctions continues)**

Soient $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset E$ et $f \in E$. On a alors :

$$[f_n \to f \text{ uniformément lorsque } n \to +\infty] \implies \left[ \int_0^1 f_n(x)dx \to \int_0^1 f(x)dx \text{ lorsque } n \to +\infty \right].$$

Ce théorème est assez faible, au sens où l'hypothèse de convergence uniforme est une hypothèse forte. Une conséquence de la théorie de l'intégrale de Lebesgue est le théorème suivant (beaucoup plus fort que le précédent, car il ne demande pas d'hypothèse de convergence uniforme) :

**Théorème 1.5 (Convergence dominée de l'intégrale des fonctions continues)**

Soient $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset E$, et $f \in E$. On suppose que

$$|f_n(x)| \le C, \forall x \in [0, 1], \forall n \in \mathbb{N},$$

où $C \in \mathbb{R}_+$ est fixé, et que $f_n$ tend simplement vers $f$ quand $n$ tend vers $+\infty$. On a alors :

$$\int_0^1 f_n(x)dx \to \int_0^1 f(x)dx \text{ quand } n \to +\infty. \quad (1.2)$$

Par exemple, la suite de fonctions $(f_n)_{n \ge 0}$ définie par

$$f_n(x) = \begin{cases} nx & \text{pour } x \in [0, \frac{1}{n}], \\ n(\frac{2}{n} - x) & \text{pour } x \in ]\frac{1}{n}, \frac{2}{n}], \\ 0 & \text{pour } x \in ]\frac{2}{n}, 1]. \end{cases} \quad (1.3)$$

(voir figure 1.2) converge simplement mais non uniformément. Elle est dominée par 1, et d'après le théorème 1.5, elle converge. On peut le vérifier à la main, car l'intégrale de $f_n$ est facile à calculer et vaut $\frac{1}{n}$. Par contre, la suite de fonctions $(g_n)_{n \ge 0}$ définie par $g_n(x) = nf_n(x)$ converge toujours simplement mais non uniformément, mais elle n'est plus "dominée". Et de fait, $g_n$ tend simplement vers 0, mais par contre, son intégrale vaut 1 et ne tend donc pas vers 0.
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 1.2 – Les fonctions $f_n$ et $g_n$</figcaption></figure>

Le théorème 1.5 est une conséquence immédiate du théorème de convergence dominée de Lebesgue, que nous verrons au chapitre 4, il peut être démontré directement, sans utiliser la théorie de l’intégrale de Lebesgue, mais cela est difficile : nous donnons une technique possible à l’exercice 1.10 ; l’idée essentielle est un passage à la limite sur des suites croissantes de fonctions, qui se retrouve également dans la construction de l’intégrale de Lebesgue. Dans l’exercice 1.10, on introduit des suites croissantes de fonctions continues, et on utilise l’intégrale

des fonctions continues. En revanche, Lebesgue utilise des suites croissantes de fonctions étagées (voir définition 3.5), ce qui permet également d’utiliser la définition de la mesure et donc de s’affranchir de la notion de topologie (voir définition 2.8) sur l’espace de départ pour construire l’intégrale.

### Espaces non complets.

Pour $f \in E$ on pose (en remarquant que $|f| \in E$ et $f^2 \in E)$ :

$$N_1(f) = \int_0^1 |f(x)|dx \text{ et } N_2(f) = \left( \int_0^1 (f(x))^2 dx \right)^{\frac{1}{2}}.$$

Les applications $N_1$ et $N_2$ sont des normes sur E (voir l'exercice 1.6). Malheureusement l'espace E muni de la norme $N_1$ (ou de la norme $N_2$) n'est pas vraiment intéressant en pratique, en particulier parce que cet espace n'est pas complet (c'est-à-dire qu'une suite de Cauchy n'est pas nécessairement convergente). Ce n'est pas un espace de Banach. La norme $N_2$ sur E est induite par un produit scalaire mais, muni de cette norme, E n'est pas un espace de Hilbert<fnref n="1" />, voir l'exercice 1.6. En fait l'espace vectoriel des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ est intéressant lorsqu'il est muni de la norme de la convergence uniforme, c'est-à-dire $||f||_u = \sup_{x \in [0,1]} |f(x)|$, avec laquelle il est complet : c'est donc alors un espace de Banach.

Si l'on travaille avec l'ensemble des fonctions réglées plutôt que l'ensemble des fonctions continues, on n'échappe pas vraiment aux inconvénients cités précédemment ($N_1$ et $N_2$ sont d'ailleurs alors des semi-normes). On peut aussi généraliser la définition de l'intégrale ci-dessus en améliorant un peu l'étape 3 (passage à la limite), cette généralisation se fait en introduisant les sommes de Darboux, alors que l'intégrale des fonctions continues peut être définie en utilisant seulement les sommes de Riemann).

<footnote n="1">1. Un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est induite par un produit scalaire.</footnote>
On obtient ainsi la définition de l’intégrale des fonctions dites Riemann-intégrables (voir l’exercice 5.2). En fait cette généralisation est assez peu intéressante, et les inconvénients sont les mêmes que pour l’intégrale des fonctions continues (ou des fonctions réglées).

L’intégrale de Lebesgue va nous permettre de construire des espaces de Banach avec les normes $N_1$ et $N_2$ (et même de Hilbert avec $N_2$). Dans le cas des fonctions de $[0, 1]$ dans $\mathbb{R}$, ceci pourrait être fait par un procédé de complétion de l’espace E muni de la norme $N_1$ ou $N_2$ à partir des suites de Cauchy pour $N_1$ ou $N_2$ (procédé semblable à celui qui est utilisé pour construire $\mathbb{R}$ à partir des suites de Cauchy de $\mathbb{Q}$). L’intégrale de Lebesgue va permettre de construire des espaces de Banach en utilisant seulement sur l’espace de départ une structure d’espace mesuré. Cette méthode est en particulier très intéressante pour la théorie des probabilités.

## 1.3 Les probabilités

La théorie des probabilités s’est développée dans le but de modéliser les phénomènes aléatoires, c’est-à-dire de développer un formalisme mathématique pour exprimer les problèmes posés par ces phénomènes. Le terme aléatoire vient du latin alea qui signifie en latin jeu de dé ou jeu de hasard ; il est employé pour désigner tous les phénomènes qui semblent être dus au hasard. Il s’oppose au terme déterministe, qui s’applique aux phénomènes dont on connaît l’issue. Le mot hasard vient lui même du mot arabe al-zhar qui veut dire dés, puis par extension chance. On utilisera également le mot stochastique (du grec stokhastikos, qui vise bien) qui est un synonyme d’aléatoire. En anglais, les termes utilisés en théorie des probabilités sont random (hasard, qui vient du français randonnée !) stochastic et aleatory.

Par exemple, la chute d'un corps est un phénomène déterministe : pour une position et une vitesse initiale données, on sait parfaitement quelle sera la trajectoire et la vitesse du corps soumis à son poids. Le lancer d'un dé est assimilable à la chute d'un corps, et pourtant, le résultat du lancement du dé est généralement perçu comme aléatoire : on ne sait pas avant l'expérience quel est le nombre entre 1 et 6 que l'on va obtenir, parce qu'on ne connaît pas vraiment les conditions initiales du lancement du dé (position, vitesse) et que, même si on les connaissait, on aurait du mal à calculer rapidement le résultat de ce lancement. Ainsi, de nombreux phénomènes physiques qui ont des causes déterministes sont modélisés à l'aide de modèles au moins en partie aléatoires (en météorologie par exemple). Il existe cependant des phénomènes physiques véritablement aléatoires comme l'interférence d'atomes dans un dispositif à deux fentes d'Young, et de manière plus générale, les phénomènes quantiques (voir à ce sujet le livre grand public [7]).

Une partie importante des phénomènes aléatoires est de nature discrète, c’est-à-dire qu’il existe une injection de l’ensemble des “cas possibles” dans $\mathbb{N}$. Lorsque de plus
l'ensemble des "cas possibles" ou des "éventualités" est fini, le calcul des probabilités se ramène à des problèmes de dénombrement. Par contre, lorsque l'ensemble des "éventualités" est de nature infinie non-dénombrable, on aura besoin, pour définir une probabilité, de la théorie de la mesure. Les liens qui existent entre la théorie des probabilités et la théorie de la mesure et de l'intégration sont nombreux, mais malheureusement, le vocabulaire est souvent différent. Nous essaierons ici de montrer clairement les liens entre les deux théories et de donner systématiquement les termes probabilistes et analystes employés pour les mêmes notions.

## 1.4 Objectifs

Du point de vue de l'intégration, l'objectif est de construire une théorie de l'intégration donnant des théorèmes de convergence efficaces et de bons espaces fonctionnels, c'est-à-dire des espaces vectoriels normés complets et des espaces hilbertiens. La démarche pour construire cette théorie est décrite au chapitre 4 ; elle est voisine de celle que l'on a utilisée pour l'intégrale des fonctions réglées (ou pour l'intégrale de Riemann, cf. Exercice 5.2).

La théorie de l'intégration que nous allons ainsi obtenir contient, pour les fonctions d'un intervalle compact de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, la théorie de l'intégrale de Riemann (cf. Exercice 5.2) qui contient elle-même la théorie de l'intégrale des fonctions réglées (et donc la théorie de l'intégrale des fonctions continues).

Du point de vue probabiliste, l'objectif est d'introduire les notions de base et de mettre en évidence les liens entre les outils d'analyse et les outils probabilistes.

## 1.5 Structure du cours

Ce cours est formé de 11 chapitres (y compris ce chapitre introductif), selon le découpage suivant :

- Le chapitre 2 est une introduction à la théorie de la mesure ; on y définit en particulier l'application $\lambda$ nécessaire pour mesurer les parties de $\mathbb{R}$. On y introduit aussi les premières notions de probabilités.

- Dans le chapitre 3, on introduit le concept de fonction mesurable, et son synonyme probabiliste, i.e. le concept de variable aléatoire, qui est une notion fondamentale pour le calcul des probabilités. On y définit les notions de convergence presque partout et son synonyme probabiliste presque sûre, et de convergence en mesure et son synonyme probabiliste convergence en probabilité.

- On définit au chapitre 4 l'intégrale sur un espace mesuré (suivant les étapes 1 à 3 définies plus haut), et l'espérance des variables aléatoires réelles en théorie
des probabilités. On définit également dans ce chapitre la notion de convergence en moyenne.

- On s'intéresse au chapitre 5 aux mesures définies sur les boréliens de $\mathbb{R}$ (c'est-à-dire les parties mesurables au sens de Borel, que l'on aura définie au chapitre 2) et aux propriétés particulières de l'intégrale définies sur $\mathbb{R}$. On y étudie les lois de probabilités de densité.

- On étudie au chapitre 6 les espaces $L^p$, ensembles des (classes de) fonctions mesurables de puissance $p$-ième intégrable, et plus particulièrement l'espace $L^2$, qui est un espace de Hilbert. On donne des résultats de dualité et on introduit les notions de convergence faible et de convergence étroite (pour les probabilités).

- Le chapitre 7 est consacré au produits d'espaces mesurés, à l'intégration de fonctions de plusieurs variables, au produit de convolution.

- Dans le chapitre 8, on revient sur l'étude des espaces $L^p$ dans le cas particulier de la mesure de Lebesgue sur les boréliens d'un ouvert de $\mathbb{R}^N$. On donne des résultats de densité, de séparabilité et de compatibilité.

- Le chapitre 9 est consacré aux vecteurs aléatoires. On y généralise des notions vues pour les variables aléatoires réelles.

- Le chapitre 10 est consacré à l'étude de la transformée de Fourier des fonctions de $L^1$ (classes de fonctions mesurables intégrables au sens de Lebesgue sur $\mathbb{R}^N$) et de $L^2$ (classes de fonctions mesurables de carré intégrable au sens de Lebesgue sur $\mathbb{R}^N$) et des mesures. On introduit la fonction caractéristique de la théorie des probabilités.

- Le chapitre 11 est consacré à l'espérance conditionnelle et aux martingales.

## 1.6 Exercices

**Exercice 1.1 (Convergences simple et uniforme)** Construire une suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C([0,1], \mathbb{R})$ et $f \in C([0,1], \mathbb{R})$ telles que $f_n \to f$ simplement, quand $n \to +\infty$, et $f_n \not\to f$ uniformément, quand $n \to +\infty$.

**Corrigé** – On prend la fonction définie par (1.3), voir figure 1.2, qu'on rappelle :

$$f_n(x) = \begin{cases} nx & \text{pour } x \in [0, \frac{1}{n}], \\ n(\frac{2}{n} - x) & \text{pour } x \in [\frac{1}{n}, \frac{2}{n}], \\ 0 & \text{pour } x \in x \in [\frac{2}{n}, 1]. \end{cases}$$

On a $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C([0,1], \mathbb{R})$. Pour tout $x \in [0,1]$, on a bien $f_n(x) \to 0$ quand $n \to +\infty$.

Enfin $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ne tend pas uniformément vers 0 car $\|f_n\|_u = \max\{|f_n(x)|; x \in [0,1]\} = 1 \not\to 0$, quand $n \to +\infty$.
**Exercice 1.2 (Intégrale d'une fonction continue)** Une fonction $g : [0,1] \to \mathbb{R}$ est dite "en escalier" s'il existe $n \ge 1$ et $x_0, \dots, x_n$ tels que $0 = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = 1$ et $g$ constante sur chaque intervalle $]x_i, x_{i+1}[$, $0 \le i \le n-1$. Pour $g$ en escalier et $x_0, \dots, x_n$ comme dans la définition ci-dessus, on pose

$$ \int_0^1 g(x)dx = \sum_{i=0}^{n-1} a_i(x_{i+1} - x_i), $$

où $a_i$ est la valeur prise par $g$ sur $]x_i, x_{i+1}[$.

1. Montrer que la définition précédente est bien cohérente, c'est-à-dire que l'intégrale de $g$ ne dépend que du choix de $g$ et non du choix des $x_i$. Montrer que l'application qui à $g$ associe l'intégrale de $g$ est linéaire de l'ensemble des fonctions en escalier dans $\mathbb{R}$.

**Corrigé** – Soit $n \ge 1$ et $x_0, \dots, x_n$ tels que $0 = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = 1$ et $g$ constante sur chaque intervalle $]x_i, x_{i+1}[$, $0 \le i \le n-1$. On note $a_i$ est la valeur prise par $g$ sur $]x_i, x_{i+1}[$.

Soit également $m \ge 1$ et $y_0, \dots, y_m$ tels que $0 = y_0 < y_1 < \dots < y_{m-1} < y_m = 1$ et $g$ constante sur chaque intervalle $]y_i, y_{i+1}[$, $0 \le i \le m-1$. On note $b_i$ est la valeur prise par $g$ sur $]y_i, y_{i+1}[$.

On doit montrer que

$$ \sum_{i=0}^{n-1} a_i(x_{i+1} - x_i) = \sum_{i=0}^{m-1} b_i(y_{i+1} - y_i). $$

On considère l'union des points $x_i$ et des points $y_i$, c'est-à-dire que $z_0, \dots, z_p$ sont tels que $0 = z_0 < z_1 < \dots < z_{p-1} < z_p = 1$ et $\{z_i, i \in \{0, \dots, p\}\} = \{x_i, i \in \{0, \dots, n\}\} \cup \{y_i, i \in \{0, \dots, m\}\}$ (on a donc, en particulier, $p \ge \max\{m, n\}$). On note $c_i$ est la valeur prise par $g$ sur $]z_i, z_{i+1}[$.

Pour tout $i \in \{0, \dots, n\}$, il existe $k_i \in \{0, \dots, p\}$ tel que $x_i = z_{k_i}$ (en particulier, $k_0 = 0$ et $k_n = p$) et on a donc

$$ x_{i+1} - x_i = \sum_{j=k_i}^{k_{i+1}-1} (z_{j+1} - z_j). $$

Comme $a_i = c_j$ si $k_i \le j \le k_{i+1} - 1$ (car $]z_j, z_{j+1}[$ $\subset$ $]x_i, x_{i+1}[$), on en déduit

$$ \sum_{i=0}^{n-1} a_i(x_{i+1} - x_i) = \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=k_i}^{k_{i+1}-1} c_j(z_{j+1} - z_j) = \sum_{i=0}^{p-1} c_i(z_{i+1} - z_i). $$

De la même manière, on a

$$ \sum_{i=0}^{m-1} b_i(y_{i+1} - y_i) = \sum_{i=0}^{p-1} c_i(z_{i+1} - z_i), $$

d'où l'on conclut

$$ \sum_{i=0}^{n-1} a_i(x_{i+1} - x_i) = \sum_{i=0}^{m-1} b_i(y_{i+1} - y_i). $$
On a bien montré que l’intégrale de g ne dépend que du choix de g et non du choix des $x_i$.

On montre maintenant que l'application qui à g associe l'intégrale de g est linéaire de l'ensemble des fonctions en escalier dans $\mathbb{R}$ (cet ensemble est bien un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$).

Soit $g$ et $h$ deux fonctions en escalier et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Soit $n \ge 1$ et $x_0, \dots, x_n$ tels que $0 = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = 1$ et $g$ constante sur chaque intervalle $]x_i, x_{i+1}]$, $0 \le i \le n-1$. Soit également $m \ge 1$ et $y_0, \dots, y_m$ tels que $0 = y_0 < y_1 < \dots < y_{m-1} < y_m = 1$ et $h$ constante sur chaque intervalle $]y_i, y_{i+1}]$, $0 \le i \le m-1$. On considère ici encore l'union des points $x_i$ et des points $y_i$, c'est-à-dire que $z_0, \dots, z_p$ sont tels que $0 = z_0 < z_1 < \dots < z_{p-1} < z_p = 1$ et $\{z_i, i \in \{0, \dots, p\}\} = \{x_i, i \in \{0, \dots, n\}\} \cup \{y_i, i \in \{0, \dots, m\}\}$. Les fonctions $g, h$ et $\alpha g + \beta h$ sont donc constantes sur chaque intervalle $]z_i, z_{i+1}]$ (ceci montre d'ailleurs que $\alpha g + \beta h$ est bien une fonction en escalier et donc que l'ensemble des fonctions en escalier est bien un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$). En notant $a_i$ la valeur de $g$ sur $]z_i, z_{i+1}]$ et $b_i$ la valeur de $h$ sur $]z_i, z_{i+1}]$, on obtient :

$$ \int_0^1 g(x)dx = \sum_{i=0}^{p-1} a_i(z_{i+1} - z_i), \quad \int_0^1 h(x)dx = \sum_{i=0}^{p-1} b_i(z_{i+1} - z_i). $$

On en déduit que

$$ \alpha \int_0^1 g(x)dx + \beta \int_0^1 h(x)dx = \sum_{i=0}^{p-1} (\alpha a_i + \beta b_i)(z_{i+1} - z_i) = \int_0^1 (\alpha g(x) + \beta h(x))dx $$

car $\alpha a_i + \beta b_i$ est la valeur de $\alpha g + \beta h$ sur $]z_i, z_{i+1}]$.

Ceci prouve bien que l'application qui à g associe l'intégrale de g est linéaire de l'ensemble des fonctions en escalier dans $\mathbb{R}$.

2. Soit $f \in C([0,1], \mathbb{R})$.

(a) Construire une suite de fonctions en escalier $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $f$ soit limite uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ lorsque $n \to +\infty$.

**Corrigé** – Pour $n \ge 1$, on choisit (par exemple) $f_n$ ainsi : $f_n(x) = f(\frac{i}{n})$, si $x \in [\frac{i}{n}, \frac{i+1}{n}]$, $i \in \{0, \dots, n-1\}$. Pour bien définir $f_n$ sur tout $[0,1]$, on prend aussi $f_n(1) = f(1)$.

La fonction $f_n$ est bien en escalier (elle est constante sur chaque intervalle $]\frac{i}{n}, \frac{i+1}{n}]$ pour $i \in \{0, \dots, n-1\}$). Elle converge uniformément vers $f$, quand $n \to +\infty$, car $f$ est uniformément continue. Plus précisément, on a $\|f_n - f\|_{u} = \max\{|f_n(x) - f(x)|, x \in [0,1]\} \le \max\{|f(x) - f(y)|, x, y \in [0,1]\}; |x-y| \le \frac{1}{n} \to 0$, quand $n \to +\infty$. Noter que, pour ce choix de $f_n$, on a

$$ \int_0^1 f_n(x)dx = \sum_{i=0}^{n-1} f(\frac{i}{n})\frac{1}{n}. $$

Cette somme est une somme de Riemann associée à $f$ et on va voir ci-après qu'elle converge vers $\int_0^1 f(x)dx$ quand $n \to +\infty$.
(b) Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions en escalier telle que $f$ soit limite uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ lorsque $n \to +\infty$. Montrer que la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$, où $I_n$ est l'intégrale de la fonction en escalier $f_n$, converge. Enfin, montrer que la limite $I = \lim_{n \to +\infty} I_n$ ne dépend que de $f$, et non de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$. On pose alors

$$ \int_0^1 f(x)dx = I. $$

**Corrigé** – Si $g$ est une fonction en escalier, il est clair que la fonction $|g|$ (définie par $|g|(x) = |g(x)|$) est aussi en escalier et que l'on a

$$ \left| \int_{0}^{1} g(x)dx \right| \leq \int_{0}^{1} |g(x)|dx \leq \|g\|_{u}. $$

On en déduit que

$$ \forall n, m \in \mathbb{N}, |I_n - I_m| = \left| \int_0^1 (f_n - f_m)dx \right| \leq \|f_n - f_m\|_u. $$

Comme la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge (vers $f$) pour la norme $\| \cdot \|_u$, c'est une suite de Cauchy pour cette norme. La suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est donc de Cauchy dans $\mathbb{R}$. La suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est donc convergente dans $\mathbb{R}$.

Soit maintenant une autre suite $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de fonctions en escalier telle que $f$ soit aussi limite uniforme de $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Soit $J_n$ l'intégrale de la fonction en escalier $g_n$. On remarque que $|I_n - J_n| \leq \|f_n - g_n\|_u$, d'où l'on déduit que $\lim_{n \to +\infty} I_n = \lim_{n \to +\infty} J_n$ car $\|f_n - g_n\|_u \leq \|f_n - f\|_u + \|g_n - f\|_u \to 0$, quand $n \to +\infty$. La limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ne dépend donc que de $f$, et non du choix de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

3. Montrer que l'application qui à $f$ associe l'intégrale de $f$ est linéaire de $C([0, 1], \mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$ et que, pour tout $f \in C([0, 1], \mathbb{R})$, on a

$$ \left| \int_{0}^{1} f(x)dx \right| \leq \int_{0}^{1} |f(x)|dx \leq \max_{x \in [0,1]} |f(x)|. $$

**Corrigé** – Soit $f, g \in C([0, 1], \mathbb{R})$ et soit $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. On choisit deux suites de fonctions en escalier, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$, convergeant uniformément vers $f$ et $g$. La suite $(\alpha f_n + \beta g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est donc une suite de fonction en escalier convergeant uniformément vers $\alpha f + \beta g$ (qui appartient bien à $C([0, 1], \mathbb{R})$). En passant à la limite, quand $n \to +\infty$ dans l'égalité

$$ \int_{0}^{1} (\alpha f_n + \beta g_n)(x)dx = \alpha \int_{0}^{1} f_n(x)dx + \beta \int_{0}^{1} g_n(x)dx $$

(qui est vraie grâce à la linéarité de l'intégrale sur l'ensemble des fonctions en escalier, démontrée à la question 1.), on obtient

$$ \int_{0}^{1} (\alpha f + \beta g)(x)dx = \alpha \int_{0}^{1} f(x)dx + \beta \int_{0}^{1} g(x)dx. $$

Enfin, si $f \in C([0, 1], \mathbb{R})$, on choisit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ suite de fonctions en escalier convergeant uniformément vers $f$. On a déjà vu que
$$ \left| \int_{0}^{1} f_{n}(x) dx \right| \leq \int_{0}^{1} |f_{n}(x)| dx \leq \|f_{n}\|_{u}. $$

On obtient les inégalités désirées en passant à la limite sur $n$, car $(|f_n|)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de fonctions en escalier convergeant uniformément vers $|f|$ et $\|f_n\|_u \to \|f\|_u$ quand $n \to +\infty$.

**Exercice 1.3 (Sur l'intégrale des fonctions continues)** Soit $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C([0,1], \mathbb{R})$ et $\varphi \in C([0,1], \mathbb{R})$. On suppose que $\varphi_n \to \varphi$ simplement quand $n \to +\infty$.

1. Montrer que si $\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 |\varphi_n(x) - \varphi(x)| dx \to 0$, on a alors

$$ \lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{1} \varphi_{n}(x) dx = \int_{0}^{1} \varphi(x) dx. $$

**Corrigé** – Ceci est une conséquence d'une inégalité vue dans l'exercice définissant l'intégrale d'une fonction continue :

$$ \left| \int_{0}^{1} (\varphi_{n}(x) - \varphi(x)) dx \right| \leq \int_{0}^{1} |\varphi_{n}(x) - \varphi(x)| dx. $$

2. Montrer que si $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $\varphi$, alors

$$ \lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{1} \varphi_{n}(x) dx = \int_{0}^{1} \varphi(x) dx. $$

**Corrigé** – Ceci est aussi une conséquence d'une inégalité vue dans l'exercice définissant l'intégrale d'une fonction continue :

$$ \left| \int_{0}^{1} (\varphi_{n}(x) - \varphi(x)) dx \right| \leq \|\varphi_{n} - \varphi\|_{u}. $$

3. Donner un exemple de suite $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge vers $\varphi$ simplement, mais non uniformément, telle que

$$ \lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{1} \varphi_{n}(x) dx = \int_{0}^{1} \varphi(x) dx. $$

**Corrigé** – On prend, pour $n \geq 2$ :

$\varphi_n(x) = nx$, pour $x \in [0, \frac{1}{n}]$, $\varphi_n(x) = n(\frac{2}{n} - x)$, pour $x \in [\frac{1}{n}, \frac{2}{n}]$, $\varphi_n(x) = 0$, pour $x \in [\frac{2}{n}, 1]$.

On a $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C([0,1], \mathbb{R})$. Pour tout $x \in [0,1]$, on a $\varphi_n(x) \to 0$ quand $n \to +\infty$. La suite $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge donc simplement vers 0. Elle ne converge pas uniformément vers 0, car $\|\varphi_n\|_u = 1 \not\to 0$. On a bien $\int_0^1 \varphi_n(x) dx = \frac{1}{n} \to 0$ quand $n \to +\infty$.
4. Donner un exemple de suite $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge simplement vers $\varphi$ telle que

$$ \lim_{n \to +\infty} \int_0^1 \varphi_n(x) dx \neq \int_0^1 \varphi(x) dx. $$

**Corrigé** – On prend, pour $n \geq 2$ :

$\varphi_n(x) = n^2 x$, pour $x \in [0, \frac{1}{n}]$, $\varphi_n(x) = n^2(\frac{2}{n} - x)$, pour $x \in [\frac{1}{n}, \frac{2}{n}]$, $\varphi_n(x) = 0$, pour $x \in [\frac{2}{n}, 1]$.

On a $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C([0, 1], \mathbb{R})$. Pour tout $x \in [0, 1]$, on a $\varphi_n(x) \to 0$ quand $n \to +\infty$.

La suite $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge donc simplement vers 0. Pourtant $\int_0^1 \varphi_n(x) dx = 1 \not\to 0$ quand $n \to +\infty$.

5. Montrer que sii la suite $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ satisfait les deux conditions :

(a) Pour tout $\varepsilon$, $0 < \varepsilon < 1$, $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $\varphi$ sur $[\varepsilon, 1]$,

(b) Les $\varphi_n$ sont à valeurs dans $[-1, +1]$,

alors on a÷

$$ \lim_{n \to +\infty} \int_0^1 \varphi_n(x) dx = \int_0^1 \varphi(x) dx. $$

**Corrigé** – Par la condition (a), la suite $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement vers $\varphi$ sur $[0, 1]$. La condition (b) donne alors $\varphi(x) \in [-1, 1]$ pour tout $x \in [0, 1]$ (et donc aussi pour tout $x \in [0, 1]$ car $\varphi$ est continue sur $[0, 1]$).

Soit $\varepsilon > 0$. On utilise maintenant le fait que $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^\varepsilon f(x) dx + \int_\varepsilon^1 f(x) dx$, pour tout $f \in C([0, 1], \mathbb{R})$, pour obtenir :

$$ \left| \int_{0}^{1} (\varphi_{n}(x) - \varphi(x)) dx \right| \leq 2\varepsilon + \max_{x \in [\varepsilon, 1]} \{|\varphi_{n}(x) - \varphi(x)|\}. $$

D'après (a), il existe $n_0$ tel que $\max_{x \in [\varepsilon, 1]} \{|\varphi_n(x) - \varphi(x)|\} \leq \varepsilon$ pour $n \geq n_0$. On a donc $\left| \int_0^1 (\varphi_n(x) - \varphi(x)) dx \right| \leq 3\varepsilon$ pour $n \geq n_0$, ce qui prouve que $\int_0^1 \varphi_n(x) \to \int_0^1 \varphi(x) dx$ quand $n \to +\infty$.

6. Vérifier que la suite de fonctions définies par $\varphi_n(x) = \frac{x\sqrt{n}}{1 + nx^2}$ satisfait les conditions énoncées à la question 5. Donner l'allure générale du graphe de ces fonctions pour des petites valeurs de $n$ ; que devient le graphe lorsque $n \to +\infty$ ?

**Corrigé** – On a bien $\varphi_n \in C([0, 1], \mathbb{R})$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Soit $\varepsilon > 0$. Pour tout $x \in [\varepsilon, 1]$ et tout $n \in \mathbb{N}$, on a $0 \leq \varphi_n(x) \leq \frac{\sqrt{n}}{n\varepsilon^2} \to 0$ quand $n \to +\infty$. La condition (a) de la question 5 est donc vérifiée. La condition (b) est également vérifiée en remarquant que $2x\sqrt{n} \leq 1 + nx^2$ pour tout $x \geq 0$ et $n \in \mathbb{N}$ (on a donc $\varphi_n(x) \in [0, \frac{1}{2}]$ pour tout $x \in [0, 1]$ et tout $n \in \mathbb{N}$). La question 5 donne donc que $\int_0^1 \varphi_n(x) dx \to 0$ quand $n \to +\infty$.
La fonction $\varphi_n$ est croissante pour $x \in [0, \frac{1}{\sqrt{n}}]$, elle atteint son maximum en $x = \frac{1}{\sqrt{n}}$, ce maximum vaut $\frac{1}{2}$ ($\varphi_n$ ne converge donc pas uniformément vers 0 quand $n \to +\infty$).
La fonction $\varphi_n$ est ensuite décroissante pour $x \in [\frac{1}{\sqrt{n}}, 1]$ et tend vers 0 pour tout $x$.

7. On suppose maintenant que la suite $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ vérifie l'hypothèse suivante :

$$ \lim_{n \to +\infty} \int_0^1 |\varphi_n(x) - \varphi(x)|^2 dx = 0. \quad (1.4) $$

A-t-on $\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 |\varphi_n(x) - \varphi(x)| dx = 0$ ? [On pourra par exemple utiliser (après l'avoir démontrée) l'inégalité suivante : pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $c_\varepsilon \ge 0$, ne dépendant que de $\varepsilon$, t. q. $a \le \varepsilon + c_\varepsilon a^2$.]

**Corrigé** – Soit $\varepsilon > 0$. On remarque que (pour $a \ge 0$) $a \le \varepsilon + \frac{a^2}{\varepsilon}$ (en fait, on a même $2a \le \varepsilon + \frac{a^2}{\varepsilon}$). Le plus facile, pour s'en convaincre, est de remarquer que $a \le \frac{a^2}{\varepsilon}$ si $a \ge \varepsilon$ (donc $a \le \max\{\varepsilon, \frac{a^2}{\varepsilon}\}$). On a donc

$$ \int_0^1 |\varphi_n(x) - \varphi(x)| dx \le \varepsilon + \frac{1}{\varepsilon} \int_0^1 (\varphi_n(x) - \varphi(x))^2 dx. $$

Par l'hypothèse (1.4), Il existe $n_0$ te que le dernier terme de l'inégalité précédente soit inférieur à $\varepsilon$ si $n \ge n_0$. On a donc $\int_0^1 |\varphi_n(x) - \varphi(x)| dx \le 2\varepsilon$ si $n \ge n_0$. On a bien montré que $\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 |\varphi_n(x) - \varphi(x)| dx dx = 0$.

8. Même question que ci-dessus en remplaçant l'hypothèse (1.4) par :

$$ \exists p > 1; \lim_{n \to +\infty} \int_0^1 |\varphi_n(x) - \varphi(x)|^p dx = 0. $$

**Corrigé** – la démonstration est identique à la précédente en remarquant que $a \le \varepsilon + \frac{a^p}{\varepsilon^{p-1}}$, pour tout $\varepsilon > 0$ et tout $a \ge 0$.

9. On suppose qu'il existe $C > 0$ tel que

$$ \int_0^1 |\varphi_n(x)|^2 dx \le C, \forall n \in \mathbb{N}, \quad (1.5) $$

et que la suite $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément sur $[\varepsilon, 1]$, pour tout $\varepsilon > 0$. Montrer

$$ \text{que } \lim_{n \to +\infty} \int_0^1 |\varphi_n(x) - \varphi(x)| dx = 0. $$

**Corrigé** – On utilise la même inégalité qu'à la question 7 avec $\varepsilon = \frac{1}{\delta}$, c'est-à-dire $a \le \frac{1}{\delta} + \delta a^2$. On a donc, pour tout $x \in [0, 1]$,

$$ |\varphi_n(x)| \le \frac{1}{\delta} + \delta |\varphi_n(x)|^2. $$
On en déduit, pour $\eta \in ]0, 1]$, en intégrant sur l'intervalle $[0, \eta]$ :

$$
\int_{0}^{\eta} |\varphi_{n}(x)| dx \leq \frac{\eta}{\delta} + \delta \int_{0}^{\eta} |\varphi_{n}(x)|^{2} dx,
$$

et donc, avec (1.5),

$$
\int_0^\eta |\varphi_n(x)| dx \le \frac{\eta}{\delta} + \delta C.
$$

De même, on a

$$
\int_{0}^{\eta} |\varphi(x)| dx \leq \frac{\eta}{\delta} + \delta \int_{0}^{1} \varphi^{2}(x) dx.
$$

Soit $\varepsilon > 0$, on choisit $\delta > 0$ pour avoir $\delta C \le \varepsilon$ et $\delta \int_0^1 \varphi^2(x)dx \le \varepsilon$, puis, on choisit $\eta > 0$ pour avoir $\frac{\eta}{\delta} \le \varepsilon$. On a alors, pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$$
\int_{0}^{1} |\varphi_{n}(x) - \varphi(x)| dx \leq \int_{\eta}^{1} |\varphi_{n}(x) - \varphi(x)| dx + 4\varepsilon.
$$

Comme $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $\varphi$ sur $[\eta, 1]$, il existe $n_0$ tel que $|\varphi_n(x) - \varphi(x)| \le \varepsilon$ pour tout $x \in [\eta, 1]$ et tout $n \ge n_0$. On en déduit $\int_0^1 |\varphi_n(x) - \varphi(x)|dx \le 5\varepsilon$ pour tout $n \ge n_0$. Ceci prouve que $\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 |\varphi_n(x) - \varphi(x)|dx = 0$.

10. Construire un exemple de suite $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui satisfait aux hypothèses de la question précédente et qui n'est pas bornée (donc qui ne satisfait pas aux hypothèses de la question 5).

**Corrigé** – On prend, pour $n \ge 2$ :

$$
\varphi_n(x) = \begin{cases} n\sqrt{n}x & \text{si } x \in [0, \frac{1}{n}], \\ n\sqrt{n}(\frac{2}{n}-x) & \text{si } x \in [\frac{1}{n}, \frac{2}{n}], \\ 0 & \text{si } x \in [\frac{2}{n}, 1]. \end{cases}
$$

On a $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C([0,1], \mathbb{R})$. De plus, pour tout $\varepsilon > 0$, $\varphi_n \to 0$ uniformément sur $[\varepsilon, 1]$ quand $n \to +\infty$. Enfin, $\int_0^1 |\varphi_n(x)|^2 dx \le 2 (\text{car } |\varphi_n(x)| \le \sqrt{n} \text{ pour } x \in [0, \frac{2}{n}])$.

11. Peut-on remplacer l'hypothèse (1.5) par :

Il existe $p > 1$ et $C > 0$ tels que $\int_0^1 |\varphi_n(x)|^p dx \le C$, pour tout $n \in \mathbb{N}$ ?

**Corrigé** – Oui, le raisonnement fait pour $p = 2$ s'adapte ici en remarquant que
$a \le \frac{1}{\delta} + \delta^{p-1} a^p$ (pour $\delta > 0$ et $a \ge 0$).

12. Peut-on remplacer l'hypothèse (1.5) par : il existe $C > 0$ tel que $\int_0^1 |\varphi_n(x)|dx \le C$, pour tout $n \in \mathbb{N}$ ?

**Corrigé** – Non, il suffit de reprendre comme contre-exemple les fonctions $\varphi_n$
construites à la question 4.
**Exercice 1.4 (Discontinuités d'une fonction croissante)** Soit $f$ une fonction croissante de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

1. Montrer que $f$ a une limite à droite et une limite à gauche en tout point. On note $f(x^+)$ et $f(x^-)$ ces limites au point $x$.

2. Montrer que l'ensemble des points de discontinuité de $f$ est au plus dénombrable. 
[On pourra considérer, pour $n \in \mathbb{N}$, les ensembles $A_n = \{x \in [0, 1], f(x^+) - f(x^-) \ge (f(1^+) - f(0^-))/n\}$.]

**Exercice 1.5 (Fonctions réglées)** Une fonction réelle définie sur $[a, b] (-\infty < a < b < +\infty)$ est dite réglée si elle est la limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier sur $[a, b]$.

1. Montrer que l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction réglée est au plus dénombrable.

2. Montrer qu'une fonction $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ est réglée sur $[a, b]$ si et seulement si elle admet des limites à droite et à gauche en tout point de $]a, b[$, à droite en $a$, à gauche en $b$.

**Exercice 1.6 (Normes définies par l'intégrale)**

Soit $E = C([-1, 1], \mathbb{R})$ l'espace des fonctions continues de $[-1, +1]$ dans $\mathbb{R}$. Pour $\varphi \in E$, on pose

$$ \|\varphi\|_1 = \int_{-1}^{+1} |\varphi(t)| dt \text{ et } \|\varphi\|_2 = \left( \int_{-1}^{+1} |\varphi(t)|^2 dt \right)^{\frac{1}{2}}. $$

1. Montrer que $(E, \|\cdot\|_1)$ est un espace normé.

**Corrigé** – Il est clair que $\|f\|_1 \in \mathbb{R}_+$ pour tout $f \in E$ et que $\|\alpha f\|_1 = |\alpha|\|f\|_1$, $\|f+g\|_1 \le \|f\|_1 + \|g\|_1$ pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, $f, g \in E$.

Il reste à vérifier que $\|f\|_1 = 0$ implique $f = 0$. Pour le montrer, il suffit de remarquer que si $f \ne 0$, il existe $t \in [-1, 1]$ tel que $a = f(t) \ne 0$ et donc, par continuité de $f$, il existe $\alpha, \beta \in [-1, 1]$, $\alpha < \beta$ et $f > \frac{\alpha}{2}$ sur $[\alpha, \beta]$. D'où l'on déduit $\|f\|_1 \ge \frac{\alpha}{2}(\beta - \alpha) > 0$.

2. Pour $n \in \mathbb{N}$, on définit $\varphi_n \in E$ par

$$ \varphi_n(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } -1 \le x \le 0 \\ nx & \text{si } 0 \le x \le \frac{1}{n} \\ 1 & \text{si } \frac{1}{n} \le x \le 1 \end{cases} $$

(a) Montrer que si $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $\varphi$ dans $(E, \|\cdot\|_1)$, alors $\varphi(x) = 0$ si $x < 0$ et $\varphi(x) = 1$ si $x > 0$.
**Corrigé** – On a $\int_{-1}^{0} |\varphi(x)|dx \le \|\varphi_n - \varphi\|_1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. En faisant tendre $n$ vers $+\infty$ on en déduit $\int_{-1}^{0} |\varphi(x)|dx = 0$ et donc (par continuité de $\varphi$) que $\varphi = 0$ sur $[-1, 0]$.

Soit $\varepsilon > 0$. On a aussi $\int_{\varepsilon}^{1} |\varphi(x) - 1|dx \le \|\varphi_n - \varphi\|_1$ pour tout $n$ tel que $\frac{1}{n} \le \varepsilon$. On en déduit, en faisant tendre $n$ vers $+\infty$ que $\int_{\varepsilon}^{0} |\varphi(x) - 1|dx = 0$ et donc $\varphi = 1$ sur $[\varepsilon, 1]$. Comme $\varepsilon$ est arbitraire, on a finalement $\varphi = 1$ sur $]0, 1]$. Noter que ceci est en contradiction avec $\varphi = 0$ sur $[-1, 0]$ et la continuité de $\varphi$ en 0. La suite $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ne converge donc pas dans $(E, \|\cdot\|_1)$.

(b) En déduire que $(E, \|\cdot\|_1)$ n'est pas complet.

**Corrigé** – La suite $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est de Cauchy dans $(E, \|\cdot\|_1)$ (il suffit pour s'en convaincre de remarquer que $\|\varphi_n - \varphi_m\|_1 \le \frac{1}{n}$ si $m \ge n$) et ne converge pas dans $(E, \|\cdot\|_1)$. L'espace $(E, \|\cdot\|_1)$ n'est donc pas complet.

3. Montrer que $(E, \|\cdot\|_2)$ est un espace préhilbertien (c'est-à-dire que sa norme est induite par un produit scalaire) mais n'est pas complet (ce n'est donc pas un espace de Hilbert).

**Corrigé** – Pour $f, g \in E$, on pose $(f|g)_2 = \int_{-1}^{1} f(x)g(x)dx$.

L'application $(f,g) \mapsto (f|g)_2$ est un produit scalaire sur E, c'est-à-dire que c'est une application bilinéaire de $E \times E$ dans $\mathbb{R}$, symétrique et telle que $(f|f)_2 = 0$ implique $f=0$.

Elle induit donc une norme sur E qui est justement le la norme $\|\cdot\|_2$, c'est-à-dire $\|f\|_2 = \sqrt{(f|f)_2}$. L'espace $(E, \|\cdot\|_2)$ est donc un espace préhilbertien (voir le paragraphe 6.2).

L'espace $(E, \|\cdot\|_2)$ n'est pas complet car la même suite qu'à la question précédente, $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$, est de Cauchy dans $(E, \|\cdot\|_2)$ (on a aussi $\|\varphi_n - \varphi_m\|_2 \le \frac{1}{n}$ si $m \ge n$) et ne converge pas dans $(E, \|\cdot\|_2)$ (un raisonnement analogue à celui de la question précédente montre que si $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $\varphi$ dans $(E, \|\cdot\|_2)$, alors $\varphi(x) = 0$ si $x < 0$ et $\varphi(x) = 1$ si $x > 0$, ce qui est en contradiction avec la continuité de $\varphi$ en 0).

**Exercice 1.7 (Rappels sur la convergence des suites réelles)** On rappelle que si $u = (u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite à valeurs dans $\mathbb{R}$,

$$ \limsup_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \sup_{p \ge n} u_p. $$

1. Soit $u = (u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite à valeurs dans $\mathbb{R}$. Montrer que $\limsup_{n \to +\infty} u_n$ est la plus grande valeur d'adhérence de u.

**Corrigé** – On note $a_n = \sup_{p \ge n} u_p \in \mathbb{R}$. La suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante donc convergente dans $\mathbb{R}$, ceci montre que $\limsup_{n \to +\infty} u_n$ est bien définie. On pose $a = \lim_{n \to +\infty} a_n = \limsup_{n \to +\infty} u_n$.
On montre tout d'abord que $a$ est une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$. On distingue trois cas :

**Cas 1** Il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $a_n = -\infty$.

On a alors $u_p = -\infty$ pour tout $p \ge n$ et donc $u_n \to -\infty$ et $a = -\infty$ est bien une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

**Cas 2** $a_n = +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $\sup_{p \ge n} u_p = +\infty$, il existe donc $\varphi(n) \ge n$ telle que $u_{\varphi(n)} \ge n$. La suite $(u_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ est donc une sous-suite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, elle converge vers $a = +\infty$, donc $a$ est bien une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

**Cas 3** $a_n > -\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et il existe $q \in \mathbb{N}$ tel que $a_q < +\infty$. Dans ce cas, on a $a_n \in \mathbb{R}$ pour tout $n \ge q$. Pour tout $n \ge q$, il existe $\varphi(n) \ge n$ telle que $a_n - \frac{1}{n} \le u_{\varphi(n)} \le a_n$ (par définition d'un sup). La suite $(u_{\varphi(n)})_{n \ge q}$ est donc une sous-suite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, elle converge vers $a = \lim_{n \to +\infty} a_n$, donc $a$ est bien une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Il reste à montrer que $a$ est supérieur ou égal à toutes les valeurs d'adhérence de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Soit $b$ une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Il existe donc $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ telle que $\varphi(n) \to +\infty$ et $u_{\varphi(n)} \to b$, quand $n \to +\infty$. Comme $a_{\varphi(n)} \ge u_{\varphi(n)}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a donc, en passant à limite quand $n \to +\infty$, $a \ge b$. $a$ est donc la plus grande valeur d'adhérence de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

2. Si $u = (u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite à valeurs dans $\bar{\mathbb{R}}$, on sait par la question précédente qu'il existe une suite extraite de $u$ qui converge vers $\lim \sup_{n \to +\infty} u_n$. Donner un exemple d'une suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telle que aucune sous-suite ne converge simplement vers $\lim \sup_{n \to +\infty} f_n$ (on rappelle que $(\lim \sup_{n \to +\infty} f_n)(x) = \lim \sup_{n \to +\infty} (f_n(x))$ pour tout $x \in \mathbb{R}$).

**Corrigé** – Comme $\text{card}(\mathcal{P}(\mathbb{N})) = \text{card}(\mathbb{R})$, il existe $\psi : \mathbb{R} \to \mathcal{P}(\mathbb{N})$ bijective. On définit maintenant $f_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Soit $x \in \mathbb{R}$,

- Si le cardinal de $\psi(x)$ est fini, on prend $f_n(x) = 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

- Si le cardinal de $\psi(x)$ est infini, on peut écrire $\psi(x) = \{\varphi_x(p), p \in \mathbb{N}\}$ où $\varphi_x$ est une fonction strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$. On prend alors $f_n(x) = 1$ si $n \notin \psi(x)$, $f_n(x) = 1$ si $n = \varphi_x(2q)$ avec $q \in \mathbb{N}$ et $f_n(x) = 0$ si $n = \varphi_x(2q + 1)$ avec $q \in \mathbb{N}$.

Avec ce choix de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$, $\lim \sup_{n \to +\infty} f_n$ est la fonction constante et égale à 1. On montre maintenant que aucune sous-suite de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ne converge simplement vers $\lim \sup_{n \to +\infty} f_n$. En effet, soit $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ telle que $\varphi(n) \to \infty$ quand $n \to +\infty$. Il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $\psi(x) = \text{Im}(\varphi)$ (car $\psi$ est surjective). Pour tout $p \in \mathbb{N}$, on peut trouver $n \ge p$ tel que $\varphi(n) = \varphi_x(2q+1)$ pour un certain $q \in \mathbb{N}$ (car $\{\varphi(0), \dots, \varphi(p-1)\}$ ne peut pas contenir $\{\varphi_x(2q+1), q \in \mathbb{N}\}$), on a donc $f_{\varphi(n)}(x) = 0$, ce qui montre que $f_{\varphi(n)}(x) \ne 1$ quand $n \to +\infty$. La sous-suite $(f_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ ne converge donc pas simplement vers $\lim \sup_{n \to +\infty} f_n$.
3. Trouver l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que :

$$
\liminf_{n \to +\infty} u_n = 0, \limsup_{n \to +\infty} u_n = 1 \text{ et } \lim_{n \to +\infty} |u_{n+1} - u_n| = 0.
$$

Donner un exemple d'une telle suite.

**Corrigé** – On note A l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
D'après la question 1 (et son analogue avec $\liminf$) on a $0,1 \in A$ et $A \subset [0,1]$. On
montre maintenant que $A = [0,1]$.

Soit $a \in ]0,1[$. Pour $n \in \mathbb{N}$, il existe $p \ge n$ tel que $u_p > a$ (car $\sup_{p \ge n} u_p \ge 1$). De même, il existe $q > p$ tel que $u_q < a$ (car $\inf_{q \ge p} u_q \le 0$). On pose $\varphi(n) = \min\{q > p; u_q < a\}$. On a donc $u_{\varphi(n)} < a \le u_{\varphi(n)-1}$ (noter que ceci est aussi vrai si $q = p+1$, grâce au choix de $p$). Comme $|u_{\varphi(n)} - u_{\varphi(n)-1}| \to 0$ quand $n \to +\infty$ (noter que $\varphi(n) \to \infty$ quand $n \to +\infty$ car $\varphi(n) > n$), on a $u_{\varphi(n)} \to a$ quand $n \to +\infty$ et donc $a \in A$. Ceci prouve que $A = [0,1]$.

On obtient un exemple d'une telle suite de la manière suivante :

Pour $n \in \mathbb{N}$ il existe un unique $(p, q)$ avec $p \in \mathbb{N}$, $0 \le q \le p$ tel que $n = \frac{p(p+1)}{2} + q$, on pose alors $u_n = \frac{q}{p+1}$ si $p = 2k$ avec $k \in \mathbb{N}$, et $u_n = \frac{p-q}{p+1}$ si $p = 2k+1$ avec $k \in \mathbb{N}$.

**Exercice 1.8 (Fonctions caractéristiques d'ensembles)**

Soit E un ensemble. Lorsque A est une partie de E, on définit 1_A : E → R par :

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathbf{1}_A(x) &= 1, \text{ si } x \in A, \\
\mathbf{1}_A(x) &= 0, \text{ si } x \notin A.
\end{aligned}
\tag{1.6}
\end{equation}
$$

La fonction **1**_A est appelée “fonction caractéristique de A” (elle est souvent aussi
notée χ_A).

1. Montrer que si A et B sont deux sous-ensembles disjoints de E, alors

$$
\mathbf{1}_{A \cup B} = \mathbf{1}_{A} + \mathbf{1}_{B}.
$$

En déduire que si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de sous-ensembles de E deux à deux disjoints, on a

$$
\sum_{n \in \mathbb{N}} \mathbf{1}_{A_n} = \mathbf{1} \cup_{n \in \mathbb{N}} A_n .
$$

(On précisera aussi le sens donné à “$\sum_{n \in \mathbb{N}} \mathbf{1}_{A_n}$”).

**Corrigé** – Si A et B sont 2 parties de E, il est facile de voir que **1**<sub>A∪B</sub>(x) est différent de **1**<sub>A</sub>(x) + **1**<sub>B</sub>(x) seulement si x ∈ A ∩ B. Si A et B sont deux parties disjointes de E, on a bien **1**<sub>A∪B</sub> = **1**<sub>A</sub> + **1**<sub>B</sub>.

Si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de parties de E, on définit, pour $x \in E$ :

$$
\sum_{n \in \mathbb{N}} \mathbf{1}_{A_n}(x) = \lim_{n \to +\infty} \sum_{p=0}^{n} \mathbf{1}_{A_n}(x),
$$
cette limite existe toujours dans $\overline{\mathbb{R}}_+$. Si les $(A_n)$ sont disjoints deux à deux, cette limite est égale à 0 si $x \in \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$ et est égale à 1 si $x \in \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$ (car $x$ appartient alors à un seul $A_n$).

2. Montrer que si $B \subset A \subset E$, on a $\mathbf{1}_{A \setminus B} = \mathbf{1}_A - \mathbf{1}_B$.

**Corrigé** – Si $x \in B$, on a $\mathbf{1}_{A \setminus B}(x) = \mathbf{1}_A(x) - \mathbf{1}_B(x) = 0$.

Si $x \in A \setminus B$, on a $\mathbf{1}_{A \setminus B}(x) = \mathbf{1}_A(x) - \mathbf{1}_B(x) = 1$.

Si $x \in A^c$, on a $\mathbf{1}_{A \setminus B}(x) = \mathbf{1}_A(x) - \mathbf{1}_B(x) = 0$.

Ceci donne bien $\mathbf{1}_{A \setminus B} = \mathbf{1}_A - \mathbf{1}_B$.

3. Montrer que, pour A et B sous-ensembles de E, on a $\mathbf{1}_{A \cap B} = \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B$.

**Corrigé** – Si $x \in A \cap B$, on a $\mathbf{1}_{A \cap B}(x) = \mathbf{1}_A(x)\mathbf{1}_B(x) = 1$.

Si $x \in (A \cap B)^c = A^c \cup B^c$, on a $\mathbf{1}_{A \cap B}(x) = \mathbf{1}_A(x)\mathbf{1}_B(x) = 0$.

Ceci donne bien $\mathbf{1}_{A \cap B} = \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B$.

4. Soit $f : E \to \mathbb{R}$ une fonction ne prenant qu'un nombre fini de valeurs. Montrer que $f$ s'écrit comme combinaison linéaire de fonctions caractéristiques.

**Corrigé** – Soit $a_1, \dots, a_n$ les valeurs prises par $f$ (noter que $a_i \neq a_j$ si $i \neq j$). On pose alors $A_i = \{x \in E ; f(x) = a_i\}$. On voit alors que $f = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{1}_{A_i}$.

**Exercice 1.9 (Limite uniforme dans $\mathbb{R}$)** Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}_+)$. On suppose que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$ (de sorte que $f \in C(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}_+)$).

1. On suppose que, pour $n \in \mathbb{N}$, $\lim_{a \to +\infty} \int_0^a f_n(x) dx$ existe dans $\mathbb{R}$.

On note $\int_0^{+\infty} f_n(x) dx$ cette limite.

Montrer, en donnant un exemple, que $\lim_{a \to +\infty} \int_0^a f(x) dx$ peut ne pas exister dans $\mathbb{R}$.

**Corrigé** – Pour $n \ge 1$, on définit $f_n$ par :
<figure><img src="image_7.png" /></figure>

La suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$ définie par :

$$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } 0 \le x < 1, \\ \frac{1}{x} & \text{si } 1 \le x \le n, \\ n + \frac{1}{n} - x & \text{si } n < x < n + \frac{1}{n}, \\ 0 & \text{si } x \ge n + \frac{1}{n}. \end{cases}$$

Plus précisément, on a $\|f_n - f\|_u \le \frac{1}{n} \to 0$ quand $n \to +\infty$.

D'autre part, pour $a \ge 1$, $\int_0^a f(x) dx = 1 + \log(a) \to \infty$ quand $a \to \infty$.

2. On suppose de plus que $\lim_{n \to \infty} \int_0^{+\infty} f_n(x) dx$ et $\lim_{a \to +\infty} \int_0^a f(x) dx$ existent dans $\mathbb{R}$.

On note alors $\int_0^{+\infty} f(x) dx$ cette dernière limite. L'égalité suivante

$$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{+\infty} f_{n}(x) dx = \int_{0}^{+\infty} f(x) dx.$$

est-elle satisfaite ?

**Corrigé** – Pour $n \ge 1$, on définit $f_n$ par :

$$f_n(x) = \begin{cases} \frac{1}{n} & \text{si } 0 \le x < n, \\ n + \frac{1}{n} - x & \text{si } n < x < n + \frac{1}{n}, \\ 0 & \text{si } x \ge n + \frac{1}{n}. \end{cases}$$

<figure><img src="image_8.png" /></figure>
La suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers 0 car $\|f_n\|_u = \frac{1}{n} \to 0$ quand $n \to +\infty$, mais $1 \le \int_0^{+\infty} f_n(x) dx \ne 0$ quand $n \to +\infty$.

**Exercice 1.10 (Convergence dominée et intégrale des fonctions continues)**

On note $E = C([0, 1], \mathbb{R})$ l'ensemble des fonctions continues sur $[0, 1]$ à valeurs réelles. Pour $f \in E$, on pose $\|f\|_{\infty} = \sup_{x \in [0,1]} |f(x)|$. Noter que l'application $f \mapsto \|f\|_{\infty}$ est bien une norme.

Pour $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$, on définit $f^+$ par $f^+(x) = \max(f(x), 0)$ (pour tout $x \in [0, 1]$), et $f^- = (-f)^+$ (de sorte que $f(x) = f^+(x) - f^-(x)$ et $|f(x)| = f^+(x) + f^-(x)$). Soient $f$ et $g$ deux applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ (ou dans $\mathbb{R} \cup \{+\infty\}$). On dit que $f \ge g$ si $f(x) \ge g(x)$ pour tout $x \in [0, 1]$. On désigne par 0 la fonction (définie sur $\mathbb{R}$) identiquement nulle. On pose $E^+ = \{f \in E, f \ge 0\}$. Soit $T : E \to \mathbb{R}$ une application linéaire. On dit que $T$ est positive si :

$$f \in E, f \ge 0 \Rightarrow T(f) \ge 0.$$

Soit $T : E \to \mathbb{R}$ une application linéaire positive.

1. Montrer que $T$ est continue de $(E, \|\cdot\|_{\infty})$ dans $\mathbb{R}$. [Indication : On pourra remarquer que, pour tout $f \in E$, $T(f) \le T(1)\|f\|_{\infty}$, où **1** désigne la fonction constante et égale à 1 sur $[0, 1]$.]

2. Soient $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset E$ et $f \in E$ telles que $f_{n+1} \ge f_n$, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et, pour tout $x \in [0, 1]$, $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = f(x)$. Montrer que $f_n$ tend vers $f$ uniformément sur $\mathbb{R}$.
[Indication : Soit $\varepsilon > 0$, on pourra introduire, pour $n \in \mathbb{N}$, $O_n = \{x \in [0, 1]; f(x) - f_n(x) < \varepsilon\}$ et utiliser la compacité de $[0, 1]$]
En déduire que $T(f_n) \to T(f)$, quand $n \to +\infty$.

3. Soient $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset E$ et $g \in E$ telles que $f_{n+1} \ge f_n$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, et $g(x) \le \lim_{n \to +\infty} f_n(x)$ ($x \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$), pour tout $x \in [0, 1]$.
Montrer que $T(g) \le \lim_{n \to +\infty} T(f_n)$.

4. Soit $f : [0, 1] \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$, on dit que $f \in A^+$ s'il existe une suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset E$ telle que $f_{n+1} \ge f_n$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = f(x)$, pour tout $x \in [0, 1]$ et $\lim_{n \to +\infty} T(f_n) < +\infty$.

5. Soit $f \in A^+$, montrer que $\sup_{g \in E, g \le f} (T(g)) < +\infty$.
On définit $T$ sur $A^+$ par $T(f) = \sup_{g \in E, g \le f} (T(g))$ (noter que ceci est compatible avec la définition de $T$ sur $E$.) Noter aussi que si $f, g \in A^+$, alors : $f \ge g \Rightarrow T(f) \ge T(g)$.

6. ("Convergence croissante") Soient $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset A^+$ et $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ telles que $f_{n+1} \ge f_n$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = f(x)$, pour tout $x \in [0, 1]$ et $\lim_{n \to +\infty} T(f_n) < +\infty$. Montrer que $f \in A^+$ et $T(f) = \lim_{n \to +\infty} T(f_n)$.
[Indication : Considérer $g_p = \sup_{0 \le n \le p} (f_{p,n})$, avec, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $(f_{p,n})_{p \in \mathbb{N}} \subset E$ tels que $f_{p+1,n} \ge f_{p,n}$, pour tout $p \in \mathbb{N}$, $\lim_{n \to +\infty} f_{p,n}(x) = f_n(x)$, pour tout $x \in [0,1]$.]

7. ("Convergence décroissante") Soient $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset A^+$ et $f \in E$ telles que $f_{n+1} \le f_n$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, et $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = f(x)$, pour tout $x \in [0,1]$. Montrer que $T(f) = \lim_{n \to +\infty} T(f_n)$.

[Indication : On pourra montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe $h_n \in A^+$ tel que $h_n \ge f_n - f_{n+1}$ et $T(h_n) \le T(f_n) - T(f_{n+1}) + \frac{\varepsilon}{2^n}$. Puis, en remarquant que $\sum_{n \in \mathbb{N}} h_n(x) \ge f_0(x) - f(x)$, pour tout $x \in [0,1]$, et en utilisant la question III 4, montrer que $T(f) \ge \lim_{n \to +\infty} T(f_n)$.]

8. ("Convergence dominée") Soient $(g_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset E$ et $g \in E$ telles que :

1. $g_n(x) \to g(x)$, quand $n \to +\infty$, pour tout $x \in [0,1]$.

2. $|g_n(x)| \le 1$, pour tout $x \in [0,1]$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Montrer que $T(g) = \lim_{n \to +\infty} T(g_n)$.

[Indication : On pourra utiliser la question III 5 avec $f_n = \sup_{p \ge n} g_p - \inf_{p \ge n} g_p$ et remarquer que $g - g_n \le f_n$ et $g_n - g \le f_n$.]

9. (Exemple.) En choisissant convenablement $T$, montrer le résultat suivant :

Soient $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset E$ et $f \in E$ telles que :

1. $f_n(x) \to f(x)$, quand $n \to +\infty$, pour tout $x \in [0,1]$.

2. $|f_n(x)| \le 1$, pour tout $x \in [0,1]$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$.

alors $\int_0^1 f_n(x)dx \to \int_0^1 f(x)dx$, quand $n \to +\infty$.

Donner un contre-exemple à ce résultat si la deuxième hypothèse n'est pas vérifiée.

**Exercice 1.11 (Théorème de Bernstein)** On veut démontrer ici le théorème suivant :

**Théorème 1.6 (Bernstein)** Soient $E$ et $F$ deux ensembles quelconques ; il existe une bijection de $E$ dans $F$ si et seulement s'il existe une injection de $E$ dans $F$ et une injection de $F$ dans $E$.

Bien sûr, l'existence d'une bijection de $E$ dans $F$ donne l'existence d'une injection de $E$ dans $F$ et d'une injection de $F$ dans $E$. Il s'agit maintenant de montrer la réciproque. On suppose donc qu'il existe une injection $E$ dans $F$, notée $f$, et une injection de $F$ dans $E$, notée $g$. A partir de $f$ et $g$, on va construire une bijection $h$ de $E$ dans $F$.

Soit $x \in E$ donné. Pour déterminer $h(x)$, on commence par considérer la suite des images de $x$ (alternativement par $f$ et $g$) et la suite des antécédents de $x$ (alternative-ment par $g$ et $f$). Bien sûr, la suite des images de $x$ est infinie. Par contre, lorsque
$f$ ou $g$ n'est pas surjective, la suite des antécédents de $x$ peut ne pas être infinie (si $x \notin \text{Im}(g)$ elle s'arrête tout de suite !). Le choix de $h(x)$ va être fait en fonction de cette suite des antécédents. Voici tout d'abord la construction de cette suite.

On pose $x_0 = x$.

**Construction de $x_k$ pour $k > 0$.** Soit $k > 0$. On suppose $x_{k-1}$ connu (ce qui est vrai pour $k = 1$).

- Si $k$ est impair, on prend $x_k = f(x_{k-1})$ (de sorte que $x_k \in \mathbb{F}$).

- Si $k$ est pair, on prend $x_k = g(x_{k-1})$ (de sorte que $x_k \in \mathbb{E}$).

**Construction de $x_k$ pour $k < 0$.** Soit $k < 0$, On suppose que $x_{k+1}$ existe (ce qui est vrai pour $k = -1$).

- Si $|k|$ est impair et si $x_{k+1} \notin \text{Im}(g)$, la suite des antécédents s'arrête.

On pose alors $N = k$ (et $x_N$ n'existe pas).

- Si $|k|$ est impair et si $x_{k+1} \in \text{Im}(g)$, on prend $x_k$ tel que $g(x_k) = x_{k+1}$ ($x_k$ est unique car $g$ est injective).

- Si $|k|$ est pair et si $x_{k+1} \notin \text{Im}(f)$, la suite des antécédents s'arrête.

On pose alors $N = k$ (et $x_N$ n'existe pas).

- Si $|k|$ est pair et si $x_{k+1} \in \text{Im}(f)$, on prend $x_k$ tel que $f(x_k) = x_{k+1}$ ($x_k$ est unique car $f$ est injective).

Enfin, si la suite des antécédents ne s'arrête jamais, on pose $N = -\infty$. On a ainsi construit une suite $(x_k)_{k>N}$

On définit maintenant $h(x)$ dans $\mathbb{F}$. On distingue trois cas.

Si $-N$ est impair, on prend $h(x) = f(x)$, c'est-à-dire $h(x) = x_1$,

Si $-N$ est pair, on prend $h(x) = y$, avec $g(y) = x$, c'est-à-dire $h(x) = x_{-1}$,

Si $N = -\infty$, on prend $h(x) = f(x)$.

Montrer que l'application $h$ ainsi définie est une bijection de $\mathbb{E}$ dans $\mathbb{F}$.

**Corrigé** – L'application $g$ est une bijection de $\mathbb{F}$ sur son image, notée $\text{Im}(g)$ (qui est une partie de $\mathbb{E}$). On note $\hat{g}$ l'application réciproque (qui est donc une bijection de $\text{Im}(g)$ dans $\mathbb{F}$). La construction de $h$ montre que pour tout $x \in \mathbb{E}$ on a $h(x) = f(x)$ ou $h(x) = \hat{g}(x)$.

On montre tout d'abord que $h$ est injective. Soit $x, z \in \mathbb{E}$ tels que $h(x) = h(z)$. On veut montrer que $x = z$. On distingue 3 cas.

**Cas 1 :** $h(x) = f(x), h(z) = f(z)$. Dans ce cas, comme $f$ est bijective, on a $x = z$.

**Cas 2 :** $h(x) = \hat{g}(x), h(z) = \hat{g}(z)$. Dans ce cas, comme $\hat{g}$ est bijective, on a $x = z$.

**Cas 3 :** $h(x) = f(x), h(z) = \hat{g}(z)$. On note $(x_k)_{k>N_x}$ et $(z_k)_{k>N_z}$ les suites associées à $x$ et $z$. Par définition de $h$, on a donc $h(x) = x_1$ et $h(z) = z_{-1}$. De plus, on a $N_z > -\infty$, $-N_x$ pair et $N_x = -\infty$ ou $-N_x$ impair.
De l'égalité $x_1 = z_{-1}$, on déduit que les antécédents de $x_1$ sont les mêmes que ceux de $z_{-1}$ et donc que $N_z = N_x - 2$, ce qui est impossible car $-N_z$ pair et $N_x = -\infty$ ou $-N_x$ impair. Ce cas est donc impossible.

Bien sûr, le cas $h(x) = \hat{g}(x)$ et $h(z) = f(z)$ est identique au cas 3. On a donc bien montré que $h$ est injective.

On montre maintenant que $h$ est surjective. Soit $y \in F$. On pose $x = g(y)$ et on considère la suite associée à $x$, notée $(x_k)_{k>\mathbb{N}}$, de sorte que $y = x_{-1}$. Ici aussi, on peut distinguer 3 cas.

**Cas 1 :** $N = -\infty$. Dans ce cas, la suite des antécédents de $x_{-2}$ est aussi infinie et on a donc $h(x_{-2}) = x_{-1} = y$. On a donc $y \in \text{Im}(h)$.

**Cas 2 :** $N > -\infty$ et $-N$ impair. Comme $x_{-1}$ existe (puisque $x_{-1} = y$), on a $N \le -3$ et donc $x_{-2}$ existe. La suite des antécédents de $x_{-2}$ est alors la même que la suite des antécédents de $x$ avec un décalage de 2, on a alors aussi $h(x_{-2}) = f(x_{-2}) = x_{-1} = y$. On a donc $y \in \text{Im}(h)$.

**Cas 3 :** $N > -\infty$ et $-N$ pair. On a alors $h(x) = x_{-1} = y$. On a donc $y \in \text{Im}(h)$.

Ceci termine la démonstration de la bijectivité de $h$.

**Exercice 1.12 (Limites sup et inf d'ensembles)** Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de parties d'un ensemble E. On note

$$ \liminf_{n \to +\infty} A_n = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \bigcap_{p \ge n} A_p \quad \text{et} \quad \limsup_{n \to +\infty} A_n = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \bigcup_{p \ge n} A_p. $$

1. On suppose la suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ monotone, c'est-à-dire que $A_n \subset A_{n+1}$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, ou que $A_{n+1} \subset A_n$, pour tout $n \in \mathbb{N}$. Exprimer $\liminf_{n \to +\infty} A_n$ et $\limsup_{n \to +\infty} A_n$ en fonction de $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$ et $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n$.

**Corrigé** – Si $A_n \subset A_{n+1}$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a alors

$$ \liminf_{n \to +\infty} A_n = \limsup_{n \to +\infty} A_n = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n. $$

Si $A_{n+1} \subset A_n$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a alors

$$ \liminf_{n \to +\infty} A_n = \limsup_{n \to +\infty} A_n = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n. $$

2. Même question que précédemment si la suite est définie par : $A_{2p} = A$ et $A_{2p+1} = B$, $p \in \mathbb{N}$, A et B étant deux parties données de E.

**Corrigé** – Dans ce cas, on a $\liminf_{n \to +\infty} A_n = A \cap B$ et $\limsup_{n \to +\infty} A_n = A \cup B$.
3. Montrer que :

$$1 \limsup_{n \to +\infty} A_n = \limsup_{n \to +\infty} 1_{A_n}$$

$$\liminf_{n \to +\infty} A_n \subset \limsup_{n \to +\infty} A_n$$

$$\liminf_{n \to +\infty} A_n = \{x \in E; \sum_{n=0}^{+\infty} 1_{A_n^c}(x) < \infty\}$$

$$\limsup_{n \to +\infty} A_n = \{x \in E; \sum_{n=0}^{+\infty} 1_{A_n}(x) = \infty\}.$$

**Corrigé** – On remarque d'abord que, si $(B_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset E$, $1_{\bigcap_{n \in \mathbb{N}} B_n} = \inf_{n \in \mathbb{N}} 1_{B_n}$ et $1_{\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n} = \sup_{n \in \mathbb{N}} 1_{B_n}$.

– Soit $x \in E$,

$$1 \limsup_{n \to +\infty} A_n(x) = 1_{\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \cup_{p \ge n} A_p}(x) = \inf_{n \in \mathbb{N}} 1_{\cup_{p \ge n} A_p}(x) = \inf\left(\sup_{n \in \mathbb{N}} 1_{A_p}(x)\right) \\ = \lim_{n \to +\infty} \left(\sup_{p \ge n} 1_{A_p}(x)\right) = \limsup_{n \to +\infty} 1_{A_p}(x).$$

$$\text{Donc } 1 \limsup_{n \to +\infty} A_n = \limsup_{n \to +\infty} 1_{A_n}.$$

De même, soit $x \in E$,

$$1 \liminf_{n \to +\infty} A_n(x) = 1_{\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \cap_{p \ge n} A_p}(x) = \sup_{n \in \mathbb{N}} 1_{\cap_{p \ge n} A_p}(x) = \sup\left(\inf_{n \in \mathbb{N}} 1_{A_p}(x)\right) \\ = \lim_{n \to +\infty} \left(\inf_{p \ge n} 1_{A_p}(x)\right) = \liminf_{n \to +\infty} 1_{A_p}(x).$$

$$\text{Donc } 1 \liminf_{n \to +\infty} A_n = \liminf_{n \to +\infty} 1_{A_n}.$$

– Si $x \in \liminf_{n \to +\infty} A_n$, il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $x \in \cap_{p \ge n} A_p$, on a donc $x \in \cup_{p \ge m} A_p$ pour tout $m \in \mathbb{N}$ (on a, par exemple, $x \in A_p$ avec $p = \max\{m, n\}$). On en déduit $x \in \cap_{m \in \mathbb{N}} \cup_{p \ge m} A_p = \limsup_{n \to +\infty} A_n$. Donc $\liminf_{n \to +\infty} A_n \subset \limsup_{n \to +\infty} A_n$.

– Soit $x \in E$. On voit que $x \in \liminf_{n \to +\infty} A_n$ si et seulement s'il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $x \in A_p$ pour tout $p \ge n$, ce qui est équivalent à dire que $x$ n'appartient à $A_n^c$ que pour un nombre fini de $n$ ou encore que $\sum_{n=0}^{+\infty} 1_{A_n^c}(x) < \infty$. On a donc bien

$$\liminf_{n \to +\infty} A_n = \{x \in E; \sum_{n=0}^{+\infty} 1_{A_n^c}(x) < \infty\}.$$

– Soit $x \in E$. On voit que $x \in \limsup_{n \to +\infty} A_n$ si et seulement si, pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe $p \ge n$ tel que $x \in A_p$, ce qui est équivalent à dire que $x$ n'appartient à $A_n$ que pour un nombre infini de $n$ ou encore que $\sum_{n=0}^{+\infty} 1_{A_n}(x) = \infty$. On a donc bien

$$\limsup_{n \to +\infty} A_n = \{x \in E; \sum_{n=0}^{+\infty} 1_{A_n}(x) = \infty\}.$$
# Chapitre 2

## Tribus et mesures

### 2.1 Introduction

#### 2.1.1 Cas d'un problème “discret”

Pour introduire la série de définitions qui suivent, commençons par quelques exemples, tirés du calcul des probabilités. Le calcul des probabilités s'intéresse à mesurer la “chance” qu’un certain événement, résultat d’une expérience, a de se produire. Considérons par exemple l’expérience qui consiste à lancer un dé. On appelle éventualité associée à cette expérience un des résultats possibles de cette expérience, et univers des possibles l’ensemble E de ces éventualités. Dans notre exemple, les éventualités peuvent être 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 ; on pourrait choisir aussi comme éventualités les résultats correspondant au dé cassé. On peut donc tout de suite remarquer que l’ensemble E des univers du possible dépend de la modélisation, c’est-à-dire de la formalisation mathématique que l’on fait du problème. Notons qu’il est parfois difficile de définir l’ensemble E.

À partir des éventualités, qui sont donc les éléments de l'univers des possibles E, on définit les événements, qui forment un ensemble de parties de E. Dans notre exemple du lancer de dé, l'ensemble des événements est l'ensemble des parties de E, noté $P(E)$. Dans l'exemple du dé, la partie $\{2, 4, 6\}$ de E est l'événement : "le résultat du lancer est pair". On appelle événement élémentaire un singleton, par exemple $\{6\}$ dans notre exemple du lancer de dé, événement certain l'ensemble E tout entier, et l'événement vide l'ensemble vide $\emptyset$ (qui a donc une chance nulle de se réaliser). Pour mesurer la chance qu'a un événement de se réaliser, on va définir une application $p$ de l'ensemble des événements (donc de $P(E)$ dans notre exemple du lancer de dé) dans $[0, 1]$ avec certaines propriétés (qui semblent naturelles...). La chance (ou probabilité) pour un événement $A \subset E$ de se réaliser sera donc le nombre $p(A)$, appartenant à $[0, 1]$.

L'exemple du lancer de dé, que nous venons de considérer, est un problème discret fini, au sens ou l'ensemble E est fini. On peut aussi envisager des problèmes discrets
infinis, l'ensemble E est alors infini dénombrable (on rappelle qu'un ensemble I est dénombrable s'il existe une bijection de I dans $\mathbb{N}$, il est au plus dénombrable s'il existe une injection de I dans $\mathbb{N}$), ou des problèmes (parfois appelés continus) où E est infini non dénombrable.

## 2.1.2 Exemple continu

Considérons maintenant l'expérience qui consiste à lancer une balle de ping-pong sur une table de ping-pong. Soit E l'ensemble des points de la table de ping-pong, on peut voir E comme un sous-ensemble de $\mathbb{R}^2$, un événement élémentaire est alors un point $(x, y) \in E$ (le point d'impact de la balle), et un événement semble être une partie quelconque A de $\mathcal{P}(E)$. On suppose qu'on a effectué le lancer sans viser, c'est-à-dire en supposant que n'importe quel point de la table a une chance égale d'être atteint (les événements élémentaires sont dit équiprobables), et que la balle tombe forcément sur la table (on est très optimiste...). On se rend compte facilement que la probabilité pour chacun des points de E d'être atteint doit être nulle, puisque le nombre des points est infini. On peut aussi facilement deviner que la probabilité pour une partie A d'être atteinte (dans le modèle équiprobable) est le rapport entre la surface de A et la surface de E. La notion intuitive de surface correspond en fait à la notion mathématique de mesure que nous allons définir dans le prochain paragraphe. Malheureusement, comme on l'a dit dans le chapitre introductif, il ne nous sera pas mathématiquement possible de définir une application convenable, i.e. qui vérifie les propriétés (4.1)-(4.2), et qui mesure toutes les parties de $\mathbb{R}$ (au sens intuitif de longueur) ou $\mathbb{R}^2$ (au sens intuitif de surface), ou même du sous-ensemble E de $\mathbb{R}^2$ (voir à ce sujet l'exercice 2.28). On va donc définir un sous-ensemble de $\mathcal{P}(E)$ (qu'on appelle tribu) sur lequel on pourra définir une telle application. Dans le cas d'un ensemble fini, la tribu sera, en général, $\mathcal{P}(E)$ tout entier. Mais, dans le cas de la balle de ping-pong que vous venons de décrire, l'ensemble des événements sera une tribu strictement incluse dans $\mathcal{P}(E)$.

## 2.2 Tribu ou σ-algèbre

**Définition 2.1 (Tribu ou σ-algèbre)** Soient E un ensemble, T une famille de parties de E (i.e. $T \subset \mathcal{P}(E)$). La famille T est une tribu (on dit aussi une σ-algèbre) sur E si T vérifie :

1. $\emptyset \in T, E \in T,$

2. T est stable par union dénombrable, c'est-à-dire que pour toute famille dénombrable $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de T, on a $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in T.$

3. T est stable par intersection dénombrable, c'est-à-dire que pour toute famille dénombrable $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de T, on a $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n \in T.$
4. T est stable par passage au complémentaire, c'est-à-dire que pour tout $A \in T$, on a $A^c \in T$ (On rappelle que $A^c = E \setminus A$).

Il est clair que, pour montrer qu'une partie T de $\mathcal{P}(E)$ est une tribu, il est inutile de vérifier les propriétés 1-4 de la proposition précédente. Il suffit de vérifier par exemple $\emptyset \in T$ (ou $E \in T$), 2 (ou 3) et 4.

Exemples de tribus sur E : {$\emptyset$, E} et $\mathcal{P}(E)$ sont des tribus sur E.

**Définition 2.2 (Langage probabiliste)** Soient E un ensemble quelconque (parfois appelé l'univers des possibles) et T une tribu ; on appelle éventualités les éléments de E et événements les éléments de T. On appelle événement élémentaire un singleton appartenant à T. On dit que deux événements A, B ∈ T sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$.

**Proposition 2.3 (Stabilité par intersection des tribus)** Soient E et I deux ensembles. Pour tout $i \in I$, on se donne une tribu $T_i$ sur E. Alors, la famille (de parties de E)

$$ \bigcap_{i \in I} T_i = \{A \subset E; A \in T_i, \forall i \in I\} $$

est encore une tribu sur E.

DÉMONSTRATION – La démonstration de cette proposition fait l'objet de la première question de l'exercice 2.2. ■

Cette proposition nous permet de définir ci-après la notion de tribu engendrée.

**Définition 2.4 (Tribu engendrée)** Soient E un ensemble et $C \subset \mathcal{P}(E)$. On appelle tribu engendrée par $C$ la plus petite tribu contenant $C$, c'est-à-dire la tribu $T(C)$ intersection de toutes les tribus sur E contenant $C$ (cette intersection est non vide car $\mathcal{P}(E)$ est une tribu contenant $C$).

Il est parfois utile d'utiliser la notion d'algèbre, qui est identique à celle de tribu en remplaçant “dénombrable” par “finie”.

**Définition 2.5 (Algèbre)** Soient E un ensemble, $A$ une famille de parties de E (i.e. $A \subset \mathcal{P}(E)$). La famille $A$ est une algèbre sur E si $A$ vérifie :
1. $\emptyset \in \mathcal{A}, E \in \mathcal{A},$

2. $\mathcal{A}$ est stable par union finie, c'est-à-dire que pour tout $A, B \in \mathcal{A}$ on $A \cup B \in \mathcal{A}$.

3. $\mathcal{A}$ est stable par intersection finie, c'est-à-dire que pour tout $A, B \in \mathcal{A}$ on $A \cap B \in \mathcal{A}$.

4. $\mathcal{A}$ est stable par passage au complémentaire, c'est-à-dire que pour tout $A \in \mathcal{A}$, on $A^c \in \mathcal{A}$.

**Remarque 2.6 (Algèbre engendrée)** Soit E un ensemble et $C \subset \mathcal{P}(E)$. Comme pour les tribus, on peut définir l'algèbre engendrée par C. C'est la plus petite algèbre contenant C, c'est-à-dire l'intersection de toutes les algèbres contenant C (voir l'exercice 2.9).

Soit E un ensemble, $C \subset \mathcal{P}(E)$ et $T(C)$ la tribu engendrée par $C$ (voir la définition 2.4 et l'exercice 2.2). Il est important de remarquer que, contrairement à ce que l'on pourrait être tenté de croire, les éléments de la tribu engendrée par $C$ ne sont pas tous obtenus, à partir des éléments de $C$, en utilisant les opérations : intersection dénombrable, union dénombrable et passage au complémentaire. Plus précisément, on pose :

$$ \mathcal{R}^1(C) = \{A \subset E \text{ tel que } A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n, A_n \in C \text{ ou } A_n^c \in C\}, $$

$$ \mathcal{R}^2(C) = \{A \subset E \text{ tel que } A = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n, A_n \in C \text{ ou } A_n^c \in C\}, $$

$$ \mathcal{R}(C) = \mathcal{R}^1(C) \cup \mathcal{R}^2(C). $$

Prenons $E = \mathbb{R}$ et $C$ l'ensemble des ouverts de $\mathbb{R}$ (donc $T(C)$ est la tribu borélienne de $\mathbb{R}$, voir définition ci-après). Il est facile de voir que $\mathcal{R}(C) \subset T(C)$, mais que, par contre (et cela est moins facile à voir), $\mathcal{R}(C)$ n'est pas une tribu. En posant : $S_0 = C$, et $S_n = \mathcal{R}(S_{n-1})$, pour $n \ge 1$, on peut aussi montrer que $\bar{S} = \cup_{n \in \mathbb{N}} S_n$ n'est pas une tribu (et que $\bar{S} \subset T(C)$).

**Remarque 2.7** Soit E un ensemble et $C_1 \subset C_2 \subset \mathcal{P}(E)$. Il est alors facile de voir que $T(C_1) \subset T(C_2)$ (cf. Exercice 2.2).

La construction de la tribu de Borel s'appuie sur la topologie des ouverts de $\mathbb{R}$. Rappelons à toutes fins utiles qu'une topologie est précisément la donnée des ouverts :
**Définition 2.8 (Topologie)** Soit E un ensemble. Une topologie sur E est donnée par une famille de parties de E, appelées ouverts de E, contenant $\emptyset$ et E, stable par union (quelconque) et stable par intersection finie. L'ensemble E, muni de cette famille de parties, est alors un espace topologique.

**Définition 2.9 (Tribu borélienne)** Soit E un ensemble muni d'une topologie (un espace métrique, par exemple). On appelle tribu borélienne (ou tribu de Borel) la tribu engendrée par l'ensemble des ouverts de E, cette tribu sera notée $\mathcal{B}(E)$. Dans le cas $E = \mathbb{R}$, cette tribu est donc notée $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. On appelle borélien de $\mathbb{R}$ un élément de la tribu borélienne.

Un des objectifs principaux de ce chapitre est de construire une application $\lambda$ de la tribu $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}_+$ telle que :

1. $\lambda(\alpha, \beta] = \beta - \alpha$, pour tout $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ $\alpha < \beta$,

2. $\lambda(\cup_{n \in \mathbb{N}} A_n) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \lambda(A_n)$, pour toute suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{B}(\mathbb{R})$ telle que $A_n \cap A_m = \emptyset$ si $n \neq m$. (Noter que $\cup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ grâce à la stabilité d'une tribu par union dénombrable.)

C'est l'objet du paragraphe 2.5. Une question naturelle est de savoir si l'on peut prendre $\mathcal{B}(\mathbb{R}) = \mathcal{P}(\mathbb{R})$. La réponse est non (voir les exercices 2.28 et 2.29). On peut même démontrer que $\mathrm{card}(\mathcal{B}(\mathbb{R})) = \mathrm{card}(\mathbb{R})$ (alors que $\mathrm{card}(\mathcal{P}(\mathbb{R})) > \mathrm{card}(\mathbb{R}))$).
On donne maintenant un rappel rapide sur les cardinaux (sans entrer dans les aspects difficiles de la théorie des ensembles, et donc de manière peut-être un peu imprécise).
Soient A et B deux ensembles.

1. On dit que $\mathrm{card}(A) = \mathrm{card}(B)$ s'il existe une application bijective de A dans B. Pour montrer que deux ensembles ont même cardinaux, il est souvent très utile d'utiliser le théorème de Bernstein (voir l'exercice 1.11). Ce théorème dit que s'il existe une injection de A dans B et une injection de B dans A, alors il existe une bijection de A dans B (et donc $\mathrm{card}(A) = \mathrm{card}(B)$). Le théorème de Bernstein motive également la définition suivante.

2. On dit que $\mathrm{card}(A) \leq \mathrm{card}(B)$ s'il existe une application injective de A dans B.

3. Un autre théorème intéressant, dû à Cantor, donne que, pour tout ensemble X, on a $\mathrm{card}(X) < \mathrm{card}(\mathcal{P}(X))$ (c'est-à-dire $\mathrm{card}(X) \leq \mathrm{card}(\mathcal{P}(X))$ et $\mathrm{card}(X) \neq \mathrm{card}(\mathcal{P}(X)))$. On a donc, en particulier, $\mathrm{card}(\mathcal{P}(\mathbb{R})) > \mathrm{card}(\mathbb{R})$. La démonstration du théorème de Cantor est très simple. Soit $\varphi : X \to \mathcal{P}(X)$. On va montrer que $\varphi$ ne peut pas être surjective. On pose $A = \{x \in X ; x \notin \varphi(x)\}$ (A peut être l'ensemble vide). Supposons que $A \in \mathrm{Im}(\varphi)$. Soit alors $a \in X$ tel que $A = \varphi(a)$. Si $a \in A = \varphi(a)$,
alors $a \notin A$ par définition de $A$. Si $a \notin A = \varphi(a)$, alors $a \in A$ par définition de $A$. On a donc montré que $A$ ne peut pas avoir d'antécédent (par $\varphi$) et donc $\varphi$ n'est pas surjective.

**Proposition 2.10** On note $C_1$ l'ensemble des ouverts de $\mathbb{R}$, $C_2 = \{]a,b[$, $a,b \in \mathbb{R}$, $a < b\}$ et $C_3 = \{]a,\infty[$, $a \in \mathbb{R}$\}. Alors $T(C_1) = T(C_2) = T(C_3) = \mathcal{B}(\mathbb{R})$. (Noter que d'autres caractérisations de $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, semblables, sont possibles.)

**DÉMONSTRATION** – On a, par définition de $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, $T(C_1) = \mathcal{B}(\mathbb{R})$. On va démontrer ci-après que $T(C_1) = T(C_2)$ (le fait que $T(C_2) = T(C_3)$ est laissé au lecteur).

Comme $C_2 \subset C_1$, on a $T(C_2) \subset T(C_1)$. Il suffit donc de démontrer l'inclusion inverse. On va montrer que $C_1 \subset T(C_2)$, on aura alors que $T(C_1) \subset T(C_2)$.

Soit $O$ un ouvert de $\mathbb{R}$. On suppose $O \neq \emptyset$ (on sait déjà que $\emptyset \in T(C_2)$). Le lemme 2.11 ci-après nous donne l'existence d'une famille $(I_n)_{n \in A}$ d'intervalle ouverts telle que $A \subset \mathbb{N}$ et $O = \cup_{n \in A} I_n$. Noter qu'on a aussi $O = \cup_{n \in \mathbb{N}} I_n$ en posant $I_n = \emptyset$ si $n \in \mathbb{N} \setminus A$. Comme $I_n \in C_2 \subset T(C_2)$ pour tout $n \in A$ et $\emptyset \in T(C_2)$, on en déduit, par stabilité dénombrable d'une tribu, que $O \in T(C_2)$. Donc, $C_1 \subset T(C_2)$ et donc $T(C_1) \subset T(C_2)$. On a bien montré que $T(C_1) = T(C_2)$. ■

**Lemme 2.11** Tout ouvert non vide de $\mathbb{R}$ est réunion au plus dénombrable d'intervalle ouverts bornés.

**DÉMONSTRATION** – Soit $O$ un ouvert de $\mathbb{R}$, $O \neq \emptyset$. On pose $A = \{(\beta, \gamma) \in \mathbb{Q}^2 ; \beta < \gamma, \beta, \gamma \subset O\}$. On a donc $\cup_{(\beta,\gamma) \in A} \beta, \gamma \subset O$. On va montrer que $O \subset \cup_{(\beta,\gamma) \in A} \beta$, $\gamma$ (et donc que $O = \cup_{(\beta,\gamma) \in A} \beta, \gamma$).

Soit $x \in O$, il existe $\alpha_x > 0$ tel que $]x - \alpha_x, x + \alpha_x] \subset O$. En prenant $\beta_x \in \mathbb{Q} \cap ]x - \alpha_x, x + \alpha_x[$ et $\gamma_x \in \mathbb{Q} \cap ]x, x + \alpha_x[$ (de tels $\beta_x$ et $\gamma_x$ existent) on a donc $x \in ]\beta_x, \gamma_x[ \subset O$ et donc $(\beta_x, \gamma_x) \in A$. D'où $x \in ]\beta_x, \gamma_x[ \subset \cup_{(\beta,\gamma) \in A} \beta$, $\gamma$. On a bien montré que $O \subset \cup_{(\beta,\gamma) \in A} \beta$, $\gamma$ et donc que $O = \cup_{(\beta,\gamma) \in A} \beta$, $\gamma$. Comme $\mathbb{Q}^2$ est dénombrable, $A$ est au plus dénombrable et le lemme est démontré. ■

On peut aussi montrer que tout ouvert non vide est réunion au plus dénombrable d'intervalle ouverts disjoints deux à deux (cf. le lemme 2.43 page 60).

**Définition 2.12 (Espace et partie mesurable ou probabilisable)** Soient $E$ un ensemble et $T$ une tribu sur $E$. Le couple $(E, T)$ est appelé espace mesurable ou (en langage probabiliste !) espace probabilisable. Les parties de $E$ qui sont (resp. ne sont pas) des éléments de $T$ sont dites mesurables ou probabilisables (resp. non mesurables, non probabilisables).
## 2.3 Mesure, probabilité

**Définition 2.13 (Mesure)** Soit $(E, \mathcal{T})$ un espace mesurable. On appelle mesure une application $m: \mathbb{T} \to \bar{\mathbb{R}}_+$ (avec $\bar{\mathbb{R}}_+ = \mathbb{R}_+ \cup (+\infty))$ vérifiant :

1. $m(\emptyset) = 0$,

2. m est σ-additive, c'est-à-dire que pour toute famille $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de T disjoints deux à deux (i.e. tels que $A_n \cap A_m = \emptyset$, si $n \neq m$) on a :

$$m(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n) = \sum_{n \in \mathbb{N}} m(A_n). \qquad (2.1)$$

**Remarque 2.14**

1. Dans la définition précédente on a étendu à $\bar{\mathbb{R}}_+$ l'addition dans $\mathbb{R}_+$. On a simplement posé $x + (+\infty) = +\infty$, pour tout $x \in \bar{\mathbb{R}}_+$. Noter également que la somme de la série dans la définition précédente est à prendre dans $\bar{\mathbb{R}}_+$ et que, bien sûr, $a = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n$ signifie simplement que $\sum_{p=0}^{n} a_p \to a$ (dans $\bar{\mathbb{R}}_+$) quand $n \to +\infty$.

2. Soient $x, y, z \in \bar{\mathbb{R}}_+$. Remarquer que $x + y = x + z$ implique $y = z$ si $x \neq +\infty$.

3. Dans la définition précédente, la condition 1. peut être remplacée par la condition : $\exists A \in \mathcal{T}, m(A) < \infty$. La vérification de cette affirmation est laissée au lecteur attentif.

4. Il est intéressant de remarquer que, pour une série à termes positifs, l'ordre de sommation est sans importance. Plus précisément, si $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \bar{\mathbb{R}}_+$ et si $\varphi$ est une bijection de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$, on a $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_{\varphi(n)}$. C'est l'objet du lemme 2.15.

5. Une conséquence immédiate de la σ-additivité est l'additivité, c'est-à-dire que

$$m(\bigcup_{p=0}^{n} A_p) = \sum_{p=0}^{n} m(A_p)$$

pour toute famille finie $(A_p)_{p=0, \dots, n}$ d'éléments de T, disjoints deux à deux. L'additivité se démontre avec la σ-additivité en prenant $A_p = \emptyset$ pour $p > n$ dans (2.1).

6. Dans le cas $E = \mathbb{R}$ et $T = \mathcal{P}(\mathbb{R})$, il est facile de construire des mesures sur T, mais il n'existe pas de mesure sur T, notée $m$, telle que $m([)a, b[) = b - a$ pour tout $a, b \in \mathbb{R}$, $a < b$ (voir les exercices 2.29 et 2.28). Une telle mesure existe si on prend pour T la tribu borélienne de $\mathbb{R}$, c'est l'objet de la section 2.5.

**Lemme 2.15** Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \bar{\mathbb{R}}_+$ et soit $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ bijective ; alors

$$\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_{\varphi(n)}.$$
DÉMONSTRATION – On pose

$$
A = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n(= \lim_{n \to +\infty} \sum_{p=0}^{n} a_p) \text{ et } B = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_{\varphi(n)}(= \lim_{n \to +\infty} \sum_{p=0}^{n} a_{\varphi(p)}).
$$

Noter que A, B ∈ ℝ+. On veut montrer que A = B.

On montre d'abord que B ≤ A. Soit $n \in \mathbb{N}$. On pose $N = \max\{\varphi(0), \dots, \varphi(n)\}$. Comme $a_q \ge 0$ pour tout $q \in \mathbb{N}$, on a $\sum_{p=0}^{n} a_{\varphi(p)} \le \sum_{p=0}^{N} a_p \le A$. On en déduit, faisant tendre $n$ vers $\infty$ que $B \le A$.

En raisonnant avec l'inverse de $\varphi$ on a aussi $A \le B$ et finalement $A = B$.

■

**Définition 2.16 (Mesure finie et probabilité)** *Soit (E, T) un espace mesurable.*

1. On appelle mesure finie une mesure m sur T telle que m(E) < ∞.

2. On appelle probabilité une mesure p sur T telle que p(E) = 1.

**Définition 2.17 (Espace mesuré, espace probabilisé)** Soient (E, T) un espace mesurable, et m une mesure (resp. une probabilité) sur T. Le triplet (E, T, m) est appelé espace mesuré (resp. espace probabilisé).

**Définition 2.18 (Mesure σ-finie)** *Soit (E, T, m) un espace mesuré, on dit que m est σ-finie (ou que (E, T, m) est σ-fini) si :*

$$
\exists (A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T, m(A_n) < \infty, \forall n \in \mathbb{N}, \text{ et } E = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n.
$$

**Exemple 2.19 (Mesure de Dirac)** *Soient (E, T) un espace mesurable et a ∈ E. On définit sur T la mesure δ<sub>a</sub> par (pour A ∈ T) :*

$$
\delta_a(A) = \begin{cases} 0 & \text{si } a \notin A, \\ 1 & \text{si } a \in A. \end{cases} \tag{2.2}
$$

On peut remarquer que la mesure de Dirac est une probabilité.
**Remarque 2.20 (Comment choisir la probabilité)** Soit (E, T) un espace probabili-
sable, on peut évidemment définir plusieurs probabilités sur T. C'est tout l'art de la
modélisation que de choisir une probabilité qui rende compte du phénomène aléatoire
que l'on veut observer. On se base pour cela souvent sur la notion de fréquence, qui
est une notion expérimentale à l'origine. Soit A ∈ T un événement, dont on cherche à
evaluer la probabilité p(A). On effectue pour cela N fois l'expérience dont l'univers
des possibles est E, et on note N_A le nombre de fois où l'événement A est réalisé. A
N fixé, on définit alors la fréquence f_A(N) de l'événement A par :

$$
f_A(N) = \frac{N_A}{N}.
$$

Expérimentalement, il s'avère que $f_N(A)$ admet une limite lorsque $N \to +\infty$. C'est ce qu'on appelle la loi empirique des grands nombres. On peut donc définir expérimentalement $p(A) = \lim_{N \to +\infty} f_N(A)$. Cependant, on n'a pas ainsi démontré que $p$ est une probabilité : il ne s'agit pour l'instant que d'une approche intuitive. On donnera plus loin la loi forte des grands nombres (proposition 6.99), qui permettra de justifier mathématiquement la loi empirique. On peut remarquer que $f_N(E) = \frac{N}{N} = 1$.

**Exemple 2.21 (Le cas équiprobable)** Soit (E, T, p) un espace probabilisé. On suppose que tous les singletons appartiennent à la tribu et que les événements élémentaires sont équiprobables. On a alors : p({x}) = 1/|cardE| pour tout x ∈ E.

**Définition 2.22 (Mesure atomique)** *Soit (E, T, m) un espace mesuré tel que : {x} ∈ T pour tout x de E. On dit que m est portée par S ∈ T si m(S^c) = 0. Soit x ∈ E, on dit que x est un atome ponctuel de m si m({x}) ≠ 0. On dit que m est purement atomique si elle est portée par la partie de E formée par l'ensemble de ses atomes ponctuels.*

**Définition 2.23 (Mesure diffuse)** Soient (E, T) un espace mesurable et m une mesure sur T. On dit que m est diffuse si {x} ∈ T et m({x}) = 0 pour tout x ∈ E. (Cette définition est aussi valable pour une mesure signée sur T, définie dans la section 2.4.)

**Définition 2.24 (Partie négligeable)** Soient (E, T, m) un espace mesuré et A ⊂ E. On dit que A est négligeable s'il existe un ensemble B ∈ T tel que A ⊂ B et m(B) = 0.
**Définition 2.25 (Mesure complète)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré, on dit que $m$ est complète (ou que l'espace $(E, T, m)$ est complet) si toutes les parties négligeables sont mesurables, c'est-à-dire appartiennent à $T$.

La proposition suivante donne les principales propriétés d'une mesure.

**Proposition 2.26 (Propriétés des mesures)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré. La mesure $m$ vérifie les quatre propriétés suivantes :

1. Monotonie : Soit $A, B \in T, A \subset B$, alors

$$m(A) \leq m(B). \qquad (2.3)$$

2. $\sigma$-sous-additivité : Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$, alors

$$m(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n) \leq \sum_{n \in \mathbb{N}} m(A_n). \qquad (2.4)$$

3. Continuité croissante : Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$, telle que $A_n \subset A_{n+1}$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, alors

$$m(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n) = \lim_{n \to \infty} (m(A_n)) = \sup_{n \in \mathbb{N}} (m(A_n)). \qquad (2.5)$$

4. Continuité décroissante : Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$, telle que $A_{n+1} \subset A_n$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, et telle que il existe $n_0 \in \mathbb{N}$, $m(A_{n_0}) < \infty$, alors

$$m(\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n) = \lim_{n \to \infty} (m(A_n)) = \inf_{n \in \mathbb{N}} (m(A_n)). \qquad (2.6)$$

**DÉMONSTRATION –** La démonstration de ces propriétés est facile : elles découlent toutes du caractère positif et du caractère $\sigma$-additif de la mesure. Attention : ces propriétés ne sont pas vérifiées par les mesures signées que nous verrons à la section 2.4.

1. Monotonie. Soit $A, B \in T, A \subset B$. On a $B = A \cup (B \setminus A)$ et $A \cap (B \setminus A) = \emptyset$. Comme $A \in T$ et $B \setminus A = B \cap A^c \in T$, l'additivité de $m$ (voir la remarque 2.14) donne $m(B) = m(A) + m(B \setminus A) \geq m(A)$, car $m$ prend ses valeurs dans $\mathbb{R}_+$.

Noter aussi que $m(B \setminus A) = m(B) - m(A)$ si $0 \leq m(A) \leq m(B) < \infty$ (mais cette relation n'a pas de sens si $m(A) = m(B) = \infty$).

2. $\sigma$-sous additivité. Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$. On veut montrer que

$$m(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n) \leq \sum_{n \in \mathbb{N}} m(A_n).$$
On pose $B_0 = A_0$ et, par récurrence sur $n$, $B_n = A_n \setminus (\bigcup_{i=0}^{n-1} B_i)$ pour $n \ge 1$. Par récurrence sur $n$ on montre que $B_n \in \mathcal{T}$ pour tout $n$ en remarquant que, pour $n > 1$, $B_n = A_n \cap (\bigcap_{i=0}^{n-1} B_i^c)$. La construction des $B_n$ assure que

$$B_n \cap B_m = \emptyset \text{ si } n \neq m \text{ et } \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n.$$

Pour vérifier cette dernière propriété, on remarque que

$$B_n \subset A_n \text{ et donc } \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n \subset \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n.$$

Puis, si $x \in A_n$ et $x \notin \bigcup_{i=0}^{n-1} B_i$, on a alors

$$x \in A_n \cap (\bigcap_{i=0}^{n-1} B_i^c) = B_n.$$

Ceci prouve que

$$\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \subset \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n$$

et donc, finalement,

$$\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n.$$

On utilise maintenant la $\sigma$-additivité de $m$ et la monotonie de $m$ (car $B_n \subset A_n$) pour écrire que

$$m(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n) = m(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n) = \sum_{n \in \mathbb{N}} m(B_n) \le \sum_{n \in \mathbb{N}} m(A_n).$$

3. **Continuité croissante.** Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{T}$, telle que $A_n \subset A_{n+1}$, pour tout $n \in \mathbb{N}$. Par monotonie de $m$, on a

$$m(A_{n+1}) \ge m(A_n), \text{ pour tout } n \in \mathbb{N},$$

et donc

$$\lim_{n \to +\infty} m(A_n) = \sup_{n \in \mathbb{N}} m(A_n) \in \bar{\mathbb{R}}_+.$$

On pose $A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$ et on définit la suite $(B_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par

$$B_0 = A_0 \text{ et } B_n = A_n \setminus A_{n-1} \text{ pour tout } n \ge 1$$

(noter que $A_{n-1} \subset A_n$). On a

$$A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n, B_n \in \mathcal{T} \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} \text{ et } B_n \cap B_m = \emptyset \text{ si } n \neq m.$$

La $\sigma$-additivité de $m$ nous donne

$$m(A) = m(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n) = \sum_{n \in \mathbb{N}} m(B_n) = \lim_{n \to +\infty} \sum_{p=0}^{n} m(B_p).$$

Puis, comme $A_n = \bigcup_{p=0}^{n} B_p$, l'additivité de $m$ (qui se déduit de la $\sigma$-additivité) nous donne

$$\sum_{p=0}^{n} m(B_p) = m(A_n) \text{ et donc } m(A) = \lim_{n \to +\infty} m(A_n).$$
4. Continuité décroissante. Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$, telle que $A_{n+1} \subset A_n$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, et telle qu'il existe $n_0 \in \mathbb{N}$, $m(A_{n_0}) < \infty$.

Par monotonie, on a $m(A_{n+1}) \le m(A_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et donc

$$ \lim_{n \to +\infty} m(A_n) = \inf_{n \in \mathbb{N}} m(A_n) \in \bar{\mathbb{R}}_+. $$

On a aussi, par monotonie,

$$ m(A) \le m(A_n), \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}, \text{ avec } A = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n. $$

Comme $m(A_{n_0}) < \infty$, on a aussi

$$ m(A_n) < \infty \text{ pour tout } n \ge n_0 \text{ et } m(A) < \infty. $$

On pose $B_n = A_{n_0} \setminus A_n = A_{n_0} \cap A_n^c \in T$, pour tout $n \ge n_0$. La suite $(B_n)_{n \ge n_0}$ est croissante $(B_n \subset B_{n+1}$ pour tout $n \ge n_0)$ et

$$ B = \bigcup_{n \ge 0} B_n = \bigcup_{n \ge n_0} (A_{n_0} \setminus A_n) = A_{n_0} \setminus \bigcap_{n \ge n_0} A_n = A_{n_0} \setminus A. $$

La continuité croissante donne

$$ m(A_{n_0} \setminus A) = m(B) = \lim_{n \to +\infty} m(B_n) = \lim_{n \to +\infty} m(A_{n_0} \setminus A_{n_0}). \quad (2.7) $$

Comme $A \subset A_{n_0}$, on a $m(A_{n_0} \setminus A) = m(A_{n_0}) - m(A)$ (car $m(A) \le m(A_{n_0}) < \infty$, on utilise ici la remarque à la fin de la preuve de la monotonie). De même, comme $A_n \subset A_{n_0}$ (pour $n \ge n_0$), on a $m(A_{n_0} \setminus A_n) = m(A_{n_0}) - m(A_n)$ (car $m(A_n) \le m(A_{n_0}) < \infty$). En utilisant une nouvelle fois que $m(A_{n_0}) < \infty$, on déduit de (2.7) que $m(A) = \lim_{n \to +\infty} m(A_n)$.

■

**Théorème 2.27 (Mesure complétée)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré, on note $N_m$ l'ensemble des parties négligeables. On pose $\bar{T} = \{A \cup N, A \in T, N \in N_m\}$. Alors $\bar{T}$ est une tribu, et il existe une et une seule mesure, notée $\bar{m}$, sur $\bar{T}$, égale à $m$ sur $T$. De plus, une partie de $E$ est négligeable pour $(E, \bar{T}, \bar{m})$ si et seulement si elle est négligeable pour $(E, T, m)$. la mesure $\bar{m}$ est complète et l'espace mesuré $(E, \bar{T}, \bar{m})$ s'appelle le complété de $(E, T, m)$. La mesure $\bar{m}$ s'appelle la mesure complétée de la mesure $m$.

La démonstration de ce théorème fait l'objet de l'exercice 2.33.

## Définition 2.28 (Mesure absolument continue, mesure étrangère)

Soient $(E, T)$ un espace mesurable, et $m$ et $\mu$ des mesures (positives) sur $T$.

1. On dit que la mesure $\mu$ est absolument continue par rapport à la mesure $m$ (et on note $\mu \ll m$) si pour tout $A \in T$ tel que $m(A) = 0$, alors $\mu(A) = 0$.
2. On dit que la mesure $\mu$ est étrangère à la mesure $m$ (et note $\mu \perp m$) s'il existe $A \in T$ tel que $m(A) = 0$ et $\mu(A^c) = 0$.

**Proposition 2.29** *Soient (E, T) un espace mesurable, et m et μ des mesures (positives) sur T ; on suppose de plus que la mesure μ est σ-finie. Alors il existe une mesure μ<sub>a</sub> absolument continue par rapport à m et une mesure μ<sub>e</sub> étrangère à m (et à μ<sub>a</sub>) telle que μ = μ<sub>a</sub> + μ<sub>e</sub>.*

DÉMONSTRATION – On suppose tout d'abord que $\mu$ est une mesure finie. On pose
$\alpha = \sup\{\mu(A); A \in T, m(A) = 0\}$. Il existe donc une suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$ telle que
$m(A_n) = 0$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, et $\mu(A_n) \to \alpha$, quand $n \to +\infty$. On pose alors $C = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$.

On a $C \in T$, $0 \le m(C) \le \sum_{n \in \mathbb{N}} m(A_n) = 0$ (par σ-sous additivité de $m$), $\mu(C) \ge \mu(A_n)$
pour tout $n \in \mathbb{N}$ (par monotonie de $\mu$) et donc, en passant à la limite quand $n \to +\infty$,
$\mu(C) \ge \alpha$. Enfin, la définition de $\alpha$ donne alors $\mu(C) = \alpha$. On a donc trouvé $C \in T$ tel
que $m(C) = 0$ et $\mu(C) = \alpha$.

Pour $A \in T$, on pose $\mu_e(A) = \mu(A \cap C)$ et $\mu_a(A) = \mu(A \cap C^c)$.

Il est clair que $\mu_e$ et $\mu_a$ sont des mesures sur T et que $\mu = \mu_e + \mu_a$. Comme $\mu_e(C^c) = 0$
et $\mu_a(C) = 0$, les mesures $\mu_a$ et $\mu_e$ sont étrangères. Comme $m(C) = 0$ et $\mu_e(C^c) = 0$,
les mesures $\mu_e$ et $m$ sont aussi étrangères. Il reste à montrer que $\mu_a$ est absolument
continue par rapport à $m$.

Soit $B \in T$ tel que $m(B) = 0$. On veut montrer que $\mu_a(B) = 0$, c'est-à-dire que $\mu(B \cap C^c) = 0$. On pose $D = B \cap C^c$ et $F = C \cup D$. Comme $D \cap C = \emptyset$, on a

$$
m(F) = m(C) + m(D) \leq m(C) + m(B) = 0 \text{ et } m(u(F) = \mu(C) + \mu(D) = \alpha + \mu(D).
$$

Comme $m(F) = 0$, la définition de $\alpha$ donne que $\mu(F) \le \alpha$. On a donc $\alpha + \mu(D) \le \alpha$, d'où l'on déduit, comme $\alpha \in \mathbb{R}$ (et c'est ici que l'on utilise le fait que $\mu$ est une mesure finie), que $\mu(D) = 0$, c'est-à-dire $\mu_a(B) = 0$. On a bien ainsi montré que $\mu_a$ est absolument continue par rapport à $m$.

On considère maintenant le cas général où $\mu$ est $\sigma$-finie. Il existe une suite $(E_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$
telle que $E = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} E_n$, $\mu(E_n) < \infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $E_n \cup E_m = \emptyset$ si $n \neq m$.

Pour $n \in \mathbb{N}$ et $A \in T$, on pose

$$
\mu^{(n)}(A) = \mu(A \cap E_n).
$$

La mesure $\mu^{(n)}$ est donc finie sur T. Le raisonnement précédent donne donc l'existence
de $\mu_a^{(n)}$ absolument continue par rapport à $m$ et de $\mu_e^{(n)}$ étrangère à $m$ (et à $\mu_a^{(n)}$) telle
que $\mu^{(n)} = \mu_a^{(n)} + \mu_e^{(n)}$. On pose alors, pour $A \in T$ :

$$
\mu_e(A) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \mu_e^{(n)}(A); \mu_a(A) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \mu_a^{(n)}(A).
$$

$\mu_e$ et $\mu_a$ sont bien des mesures sur T (voir l'exercice 4.2) et il est clair que $\mu = \mu_e + \mu_a$,
$\mu_a$ absolument continue par rapport à $m$ et $\mu_e$ étrangère à $m$ (et à $\mu_a$). $\blacksquare$
Il est parfois utile (surtout en théorie des probabilités, mais une telle question apparaît aussi dans le section 2.5 et dans le chapitre 7) de montrer l'unicité d'une mesure ayant des propriétés données. La proposition suivante donne une méthode pour montrer une telle unicité (d'autres méthodes sont possibles, voir, par exemple, la proposition 5.8 dans le chapitre 5).

**Proposition 2.30** *Soit (E, T) un espace mesurable et m, μ deux mesures sur T. On suppose qu'il existe C ⊂ T tel que*

1. C engendre T,

2. C est stable par intersection finie (c'est-à-dire A, B ∈ C ⇒ A ∩ B ∈ C),

3. Il existe une suite $(E_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C$ telle que $E_n \cap E_m = \emptyset$ si $n \neq m$, $m(E_n) < \infty$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, et $E = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} E_n$,

4. $m(A) = \mu(A)$ pour tout $A \in C$.

On a alors $m = \mu$ (c'est-à-dire $m(A) = \mu(A)$ pour tout $A \in T$).

La démonstration de cette proposition fait l'objet de l'exercice 2.22.

## 2.4 Mesure signée

**Définition 2.31 (Mesure signée)** *Soit (E, T) un espace mesurable. On appelle mesure signée (sur T) une application $m: T \to \mathbb{R}$ vérifiant la propriété de σ-additivité, c'est-à-dire telle que pour toute famille $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$, telle que $A_n \cap A_m = \emptyset$, si $n \neq m$,*

$$m(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n) = \sum_{n \in \mathbb{N}} m(A_n). \qquad (2.8)$$

Noter qu'une mesure signée prend ses valeurs dans $\mathbb{R}$. En prenant $A_n = \emptyset$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ dans (2.8), on en déduit que $m(\emptyset) = 0$.

On peut aussi considérer des mesures à valeurs complexes (c'est-à-dire dans $\mathbb{C}$). Dans ce cas, les parties réelles et imaginaires de ces mesures à valeurs complexes sont des mesures signées.

Dans toute la suite du cours, les mesures considérées seront en général positives, c'est-à-dire (cf. définition 2.13) à valeurs dans $\overline{\mathbb{R}}_+$. Lorsque l'on s'intéressera à des mesures prenant leurs valeurs dans $\mathbb{R}$, on précisera qu'il s'agit de mesures signées. Noter que les mesures signées ne vérifient pas, en général, les propriétés (2.3) et (2.4). Pour avoir un contre-exemple, il suffit de considérer une mesure signée $m$ (non nulle) telle que $-m$ soit une mesure (positive).
**Proposition 2.32 (Décomposition de Hahn d'une mesure signée)** Soient $(E, T)$ un espace mesurable et $m$ une mesure signée sur $T$. Alors, il existe deux mesures (positives) finies, notées $m^+$ et $m^-$, telles que :

1. $m(A) = m^+(A) - m^-(A)$, pour tout $A \in T$.

2. Les mesures $m^+$ et $m^-$ sont étrangères, c'est-à-dire qu'il existe $C \in T$ tel que $m^+(C) = 0$, et $m^-(E \setminus C) = 0$.

Une conséquence des propriétés ci-dessus est que $m^-(A) = -m(A \cap C)$ et $m^+(A) = m(A \cap C^c)$ pour tout $A \in T$.

De plus, la décomposition de $m$ en différence de deux mesures (positives) finies étrangères est unique. Elle s'appelle décomposition de Hahn de $m$.

**DÉMONSTRATION** — La démonstration d'existence de $m^+$ et $m^-$ est décomposée en trois étapes. Dans la première étape, on va montrer que, si $A \in T$, il existe $\tilde{A} \in T$ tel que $\tilde{A} \subset A$, $m(\tilde{A}) \ge m(A)$ et :

$$B \in T, B \subset \tilde{A} \Rightarrow m(B) \ge 0.$$

Cette première étape nous permettra, dans l'étape 2, de montrer l'existence de $C \in T$ tel que $m(C) = \sup\{m(A), A \in T\}$ (ceci montre, en particulier que $\sup\{m(A), A \in T\} < \infty$).

Enfin, dans l'étape 3, on pose $m^+(A) = m(A \cap C)$ et $m^-(A) = -m(A \cap C^c)$ (pour tout $A \in T$) et on remarque que $m^+$ et $m^-$ sont des mesures finies, étrangères et telles que $m = m^+ - m^-$.

**Étape 1.** Soit $A \in T$, on montre, dans cette étape, qu'il existe $\tilde{A} \in T$ tel que $\tilde{A} \subset A$, $m(\tilde{A}) \ge m(A)$ et :

$$B \in T, B \subset \tilde{A} \Rightarrow m(B) \ge 0. \qquad (2.9)$$

On commence par montrer, par récurrence sur $n$, l'existence d'une suite $(B_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $T$ tels que :

1. $B_0 = A$,

2. $B_{n+1} \subset B_n$, pour tout $n \in \mathbb{N}$,

3. $m(B_n \setminus B_{n+1}) \le \beta_n = \max\{\frac{\alpha_n}{2}, -1\}$ où $\alpha_n = \inf\{m(C), C \in T, C \subset B_n\}$.

On prend $B_0 = A$. Soit maintenant $n \in \mathbb{N}$, on suppose $B_p$ connu pour $p \le n$. On a

$$\alpha_n = \inf\{m(C), C \subset B_n\} \le 0$$

(car $\emptyset \subset B_n$). Si $\alpha_n = -\infty$, il existe $C_n \in T$ tel que

$$C_n \subset B_n \text{ et } m(C_n) \le \beta_n = -1.$$

Si $-\infty < \alpha_n < 0$, on a $\beta_n > \alpha_n$, il existe donc $C_n \in T$ tel que

$$C_n \subset B_n \text{ et } m(C_n) \le \beta_n.$$

Si $\alpha_n = 0$, on prend $C_n = \emptyset$. Enfin, on prend $B_{n+1} = B_n \setminus C_n$ et on obtient bien les propriétés désirées en remarquant que $C_n = B_n \setminus B_{n+1}$.
La suite $(B_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante (c'est-à-dire $B_{n+1} \subset B_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$). Pour $m > n$, on a donc $C_m \subset B_m \subset B_{n+1}$ et donc $C_m \cap C_n = \emptyset$ (car $B_{n+1} = B_n \setminus C_n$). Par $\sigma$-additivité de $m$, on en déduit

$$m(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} C_n) = \sum_{n \in \mathbb{N}} m(C_n).$$

Comme $m(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} C_n) \in \mathbb{R}$, la série de terme général $m(C_n)$ est convergente. On a donc
$$m(C_n) \to 0 \quad \text{quand } n \to +\infty \text{ et donc } \beta_n \to 0 \quad \text{quand } n \to +\infty$$
(car $m(C_n) \le \beta_n \le 0$) et, finalement,

$$\alpha_n \to 0 \quad \text{quand } n \to +\infty.$$

On pose maintenant

$$\tilde{A} = A \setminus \bigcup_{n \in \mathbb{N}} C_n = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} B_n.$$

On a, bien sûr, $\tilde{A} \in T$ et $\tilde{A} \subset A$. On montre maintenant que $\tilde{A}$ vérifie (2.9). Soit $C \in T$, $C \subset \tilde{A}$. On a, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $C \subset B_n$ et donc $m(C) \ge \alpha_n$. Quand $n \to +\infty$, on en déduit que $m(C) \ge 0$. ce qui donne bien (2.9).

Il reste à montrer que $m(\tilde{A}) \ge m(A)$. Comme $A = \tilde{A} \cup (\bigcup_{n \in \mathbb{N}} C_n)$ (et que cette union est “disjointe”), la $\sigma$-additivité de $m$ donne que $m(A) = m(\tilde{A}) + \sum_{n \in \mathbb{N}} m(C_n) \le m(\tilde{A})$. Ce qui termine la première étape.

**Étape 2.** On pose $\alpha = \sup\{m(A), A \in T\}$ et on montre, dans cette étape, qu'il existe $C \in T$ tel que $m(C) = \alpha$.

Par définition d'une borne supérieure, il existe une suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $T$ telle que $m(A_n) \to \alpha$ quand $n \to +\infty$. Grâce à l'étape 1, on peut supposer (quitte à remplacer $A_n$ par $\tilde{A}_n$ construit comme dans l'étape 1) que $A_n$ vérifie (2.9), c'est-à-dire que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$$B \in T, B \subset A_n \Rightarrow m(B) \ge 0. \qquad (2.10)$$

On pose $C = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$. On commence par montrer que $m(C) \ge m(A_m)$, pour tout $m \in \mathbb{N}$.

Soit $m \in \mathbb{N}$. On peut écrire $C$ comme une union “disjointe” :

$$C = A_m \cup (\bigcup_{n \neq m} C_{n,m}),$$

avec $C_{n,m} \in T$ et $C_{n,m} \subset A_n$ pour tout $m \neq n$. En effet, il suffit pour cela de construire par récurrence (sur $n$) la suite des $C_{n,m}$ en prenant pour $C_{n,m}$ l'intersection de $C$ avec $A_n$ à laquelle on retranche $A_m$ et les $C_{n,m}$ précédemment construits.

Par $\sigma$-additivité de $m$, on a

$$m(C) = m(A_m) + \sum_{n \neq m} m(C_{n,m})$$

puis, comme $C_{n,m} \subset A_n$, on a, par (2.10), $m(C_{n,m}) \ge 0$. On en déduit $m(C) \ge m(A_m)$.

En faisant tendre $m$ vers $\infty$, on a alors $m(C) \ge \alpha$ et donc, finalement $m(C) = \alpha$.

**Étape 3.** Construction de $m^+$ et $m^-$.
Pour construire $m^+$ et $m^-$, on utilise un élément C de T tel que $m(C) = \alpha = \sup\{m(A), A \in T\}$ (l'existence de C a été montré à l'étape 2). Pour $A \in T$, on pose :

$$m^+(A) = m(A \cap C), m^-(A) = -m(A \cap C^c).$$

On a $m^+(\emptyset) = m^-(\emptyset) = 0$ (car $m(\emptyset) = 0$) et les applications $m^+$ et $m^-$ sont des applications $\sigma$-additives de T dans $\mathbb{R}$ (car $m$ est $\sigma$-additive). Pour montrer que $m^+$ et $m^-$ sont des mesures finies, il suffit de montrer qu'elles prennent leurs valeurs dans $\mathbb{R}_+$, ce que l'on montre maintenant.

Soit $A \in T$, on a, par additivité de $m$ et grâce à la définition de $\alpha$,

$$\alpha = m(C) = m(A \cap C) + m(A^c \cap C) \leq m(A \cap C) + \alpha.$$

On en déduit $m(A \cap C) \geq 0$, ce qui prouve bien que $m^+(A) \in \mathbb{R}_+$. On a aussi, encore une fois par additivité de $m$ et grâce à la définition de $\alpha$,

$$\alpha \geq m(C) + m(A \cap C^c) = \alpha + m(A \cap C^c).$$

On en déduit $m(A \cap C^c) \leq 0$ et donc $m^-(A) \in \mathbb{R}_+$.

Les applications $m^+$ et $m^-$ sont des mesures finies (noter que $m^+(E) = m(E \cap C) < \infty$ et $m^-(E) = m(E \cap C^c) < \infty$). Elles sont étrangères car

$$+^c(C^c) = m(C^c \cap C) = m(\emptyset) = 0 \text{ et } -m^-(C) = -m(C \cap C^c) = 0.$$

Enfin, pour tout $A \in T$, on a, par $\sigma$-additivité de $m$ :

$$m(A) = m(A \cap C) + m(A \cap C^c) = m^+(A) - m^-(A).$$

Ceci termine la démonstration de l'existence de $m^+$ et $m^-$.

Pour montrer l'unicité de cette décomposition de $m$, on suppose que $\mu$ et $\nu$ sont deux mesures finies étrangères telles que $m = \mu - \nu$. Comme elle sont étrangères, il existe $D \in T$ tel que $\mu(D^c) = \nu(D) = 0$. On montre alors que, pour tout $A \in T$, on a nécessairement :

$$\mu(A) = \sup\{m(B); B \in T, B \subset A\}. \qquad (2.11)$$

En effet, si $A \in T$ et $B \in T$, $B \subset A$, on a $m(B) = \mu(B) - \nu(B) \leq \mu(B) \leq \mu(A)$ (par positivité de $\nu$ et monotonie de $\mu$). Puis, en prenant $B = A \cap D$, on a

$$m(B) = m(A \cap D) = \mu(A \cap D) - \nu(A \cap D) = \mu(A \cap D) = \mu(A) - \mu(A \cap D^c) = \mu(A).$$

Ceci prouve bien que (2.11) est vraie (et prouve que le sup est atteint pour $B = A \cap D$). L'égalité (2.11) donne donc de manière unique $\mu$ en fonction de $m$. L'unicité de $\nu$ découle alors du fait que $\nu = \mu - m$. ■

**Remarque 2.33** Une conséquence de la proposition 2.32 est que la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} m(A_n)$ apparaissant dans (2.8) est absolument convergente car (pour toute famille $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$ telle que $A_n \cap A_m = \emptyset$, si $n \neq m$) on a

$$\sum_{p=0}^{n} |m(A_p)| \leq \sum_{p=0}^{n} m^{+}(A_p) + \sum_{p=0}^{n} m^{-}(A_p) \leq m^{+}(E) + m^{-}(E) < \infty.$$

En fait, la définition 2.31 donne directement que la série $\sum_{n \in \mathbb{N}} m(A_n)$ apparaissant dans (2.8) est commutativement convergente (c'est-à-dire qu'elle est convergente, dans
R, quel que soit l'ordre dans lequel on prend les termes de la série et la somme de la série ne dépend pas de l'ordre dans lequel les termes ont été pris). Elle est donc absolument convergente (voir l'exercice 2.34). Nous verrons plus loin que cette équivalence entre les séries absolument convergentes et les séries commutativement convergentes est fausse pour des séries à valeurs dans un espace de Banach de dimension infinie.

## 2.5 La mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens

Il serait bien agréable, pour la suite du cours, de montrer l'existence d'une application $\lambda$, définie sur tout $P(\mathbb{R})$ et à valeurs dans $\overline{\mathbb{R}}_+$, telle que l'image par $\lambda$ d'un intervalle de $\mathbb{R}$ soit la longueur de cet intervalle, et qui vérifie les propriétés (4.1) et (4.2). Malheureusement, on peut montrer qu'une telle application n'existe pas (voir les exercices 2.29 et 2.28). Le théorème suivant donne l'existence d'une telle application définie seulement sur la tribu des boréliens de $\mathbb{R}$, notée $B(\mathbb{R})$ (l'exercice 2.29 donne alors que $B(\mathbb{R}) \neq P(\mathbb{R}))$. Cette application s'appelle la mesure de Lebesgue.

**Théorème 2.34 (Carathéodory)** Il existe une et une seule mesure sur $B(\mathbb{R})$, notée $\lambda$ et appelée mesure de Lebesgue sur les boréliens, telle que $\lambda(\alpha, \beta] = \beta - \alpha$, pour tout $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ telle que $-\infty < \alpha < \beta < +\infty$.

Il y a plusieurs démonstrations possibles de ce théorème. Pour la partie “existence” de ce théorème, nous donnons dans cette section une démonstration due à Carathéodory. Soit $A \subset \mathbb{R}$. On définit $\lambda^*(A)$ par :

$$ \lambda^*(A) = \inf_{(A_i)_{i \in \mathbb{N}} \in E_A} \sum_{i=1}^{n} \ell(A_i), $$

où $E_A$ est l'ensemble des familles dénombrables d'intervalles ouverts dont l'union contient $A$, et $\ell(A_i)$ représente la longueur de l'intervalle $A_i$. On peut montrer (voir l'exercice 2.28) que l'application $\lambda^*$ ainsi définie de $P(\mathbb{R})$ dans $\overline{\mathbb{R}}_+$ n'est pas $\sigma$-additive (ce n'est donc pas une mesure).

On montre par contre dans cette section que la restriction de $\lambda^*$ à $B(\mathbb{R})$ est une mesure, qu'on note $\lambda$, mesure de Lebesgue. L'existence de la mesure de Lebesgue peut aussi être démontrée en utilisant un théorème plus général (de F. Riesz) que nous verrons dans un chapitre ultérieur (théorème 5.6.245).

Après la définition de $\lambda^*$ et la démonstration de propriétés de $\lambda^*$, on donne la démonstration de la partie existence du théorème de Carathéodory (voir page 57). La partie unicité du théorème de Carathéodory (voir page 61) peut être démontrée en utilisant la régularité des mesures sur $B(\mathbb{R})$ (Théorème 2.42, très utile dans la suite du cours)
et d'un lemme classique sur les ouverts de $\mathbb{R}$ (lemme 2.43). Cette partie "unicité" peut aussi être démontrée, plus directement, en utilisant la proposition 2.30.

**Définition 2.35 (Définition de $\lambda^*$)** Soit $A \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$. On pose

$$ \lambda^*(A) = \inf\left\{\sum_{n \in \mathbb{N}} \ell(I_n); (I_n)_{n \in \mathbb{N}} \in E_A\right\}, $$

avec $E_A = \{(I_n)_{n \in \mathbb{N}}; I_n =]a_n, b_n[, -\infty < a_n \le b_n < +\infty, \forall n \in \mathbb{N}, A \subset \bigcup_{n \in \mathbb{N}} I_n\}$ et $\ell(I) = b - a \text{ si } I =]a, b[, -\infty < a \le b < +\infty$.

**Proposition 2.36 (Propriétés de $\lambda^*$)** L'application $\lambda^* : \mathcal{P}(\mathbb{R}) \to \bar{\mathbb{R}}_+$ (définie dans la définition 2.35) vérifie les propriétés suivantes :

$$ 1. \lambda^*(\emptyset) = 0, $$

$$ 2. (\text{Monotonie}) \quad \lambda^*(A) \le \lambda^*(B), \text{ pour tout } A, B \in \mathcal{P}(\mathbb{R}) \text{ tel que } A \subset B, $$

$$ 3. (\sigma\text{-sous additivité}) \quad \text{Soit } (A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{P}(\mathbb{R}) \text{ et } A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n, \text{ alors} $$

$$ \lambda^*(A) \le \sum_{n \in \mathbb{N}} \lambda^*(A_n), $$

$$ 4. \lambda^*(]a, b[) = b - a \text{ pour tout } (a, b) \in \mathbb{R}^2 \text{ tel que } -\infty < a < b < +\infty. $$

**DÉMONSTRATION –** On remarque tout d'abord que $\lambda^*(A) \in \bar{\mathbb{R}}_+$ pour tout $A \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$ (car $\lambda^*(A)$ est la borne inférieure d'une partie de $\bar{\mathbb{R}}_+$).

**Propriété 1.** Pour montrer que $\lambda^*(\emptyset) = 0$, il suffit de remarquer que $(I_n)_{n \in \mathbb{N}} \in E_\emptyset$ avec $I_n = \emptyset$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, et donc $0 \le \lambda^*(\emptyset) \le \sum_{n \in \mathbb{N}} \ell(I_n) = 0$.

**Propriété 2.** Soit $A, B \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$ tels que $A \subset B$. On a $E_B \subset E_A$ et donc $\lambda^*(A) \le \lambda^*(B)$.

**Propriété 3.** Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{P}(\mathbb{R})$ et $A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$. Il suffit de considérer le cas où $\lambda^*(A_n) < +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ (sinon, l'inégalité est immédiate).

Soit $\varepsilon > 0$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe $(I_{n,m})_{m \in \mathbb{N}} \in E_{A_n}$ telle que

$$ \sum_{m \in \mathbb{N}} \ell(I_{n,m}) \le \lambda^*(A_n) + \frac{\varepsilon}{2^n}. $$

On remarque alors que $(I_{n,m})_{(n,m) \in \mathbb{N}^2}$ est un recouvrement de $A$ par des intervalles ouverts et donc que :

$$ \lambda^*(A) \le \sum_{(n,m) \in \mathbb{N}^2} \ell(I_{n,m}). $$

Noter que $\sum_{(n,m) \in \mathbb{N}^2} \ell(I_{n,m}) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \ell(I_{\varphi(n)})$, où $\varphi$ est une bijection de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}^2$ (cette somme ne dépend pas de la bijection choisie, voir le lemme 2.15 page 41). Avec le lemme 2.37 ci-dessous, on en déduit :

$$ \lambda^*(A) \le \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( \sum_{m \in \mathbb{N}} \ell(I_{n,m}) \right) \le \sum_{n \in \mathbb{N}} \lambda^*(A_n) + 2\varepsilon, $$
ce qui donne bien, en faisant tendre $\epsilon$ vers 0 :

$$ \lambda^*(A) \leq \sum_{n \in \mathbb{N}} \lambda^*(A_n). $$

**Propriété 4.** Pour montrer la quatrième propriété, on commence par montrer que

$$ \lambda^*([a, b]) = b - a, \forall a, b \in \mathbb{R}, a < b. \qquad (2.12) $$

Soit donc $a, b \in \mathbb{R}, a < b$.

Comme $[a, b] \subset ]a - \epsilon, b + \epsilon[$, pour tout $\epsilon > 0$, on a $\lambda^*([a, b]) \leq b - a + 2\epsilon$. On en déduit $\lambda^*([a, b]) \leq b - a$.

Pour démontrer l'inégalité inverse, soit $(I_n)_{n \in \mathbb{N}} \in E_{[a,b]}$. Par compacité de $[a, b]$, il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $[a, b] \subset \cup_{p=0}^n I_p$. On peut alors construire (par récurrence) $i_0, i_1, \dots, i_q \in \{0, \dots, n\}$ tels que $a_{i_0} < a, a_{i_{p+1}} < b_{i_p}$ pour tout $p \in \{0, \dots, q-1\}, b < b_{i_q}$. On en déduit que

$$ b - a < \sum_{p=0}^{q} b_{i_p} - a_{i_p} \leq \sum_{n \in \mathbb{N}} \ell(I_n) \text{ et donc } b - a \leq \lambda^*([a, b]). $$

Ceci donne bien (2.12).

En remarquant que $[a + \epsilon, b - \epsilon] \subset ]a, b[$ pour tout $a, b \in \mathbb{R}, a < b$, et $0 < \epsilon < (b-a)/2$, la monotonie de $\lambda^*$ donne (avec (2.12)) que $\lambda^*([a, b]) = b - a$ pour tout $a, b \in \mathbb{R}, a < b$. La monotonie de $\lambda^*$ donne alors aussi que

$$ \lambda^*([a, b]) = \lambda^*([a, b]) = \lambda^*([a, b]) = b - a \text{ pour tout } a, b \in \mathbb{R}, a < b $$

, et enfin que

$$ l^*(-\infty, a] = \lambda^*(-\infty, a] = \lambda^*([a, +\infty)) = \lambda^*([a, +\infty)) = +\infty \text{ pour tout } a \in \mathbb{R}. $$

■

**Lemme 2.37 (Double série à termes positifs)** Soit $(a_{n,m})_{(n,m) \in \mathbb{N}^2} \subset \mathbb{R}_+$. Alors on a :

$$ \sum_{(n,m) \in \mathbb{N}^2} a_{n,m} = \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( \sum_{m \in \mathbb{N}} a_{n,m} \right). $$

**DÉMONSTRATION –** On pose

$$ A = \sum_{(n,m) \in \mathbb{N}^2} a_{n,m} \text{ et } B = \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( \sum_{m \in \mathbb{N}} a_{n,m} \right), $$

Soit $\varphi$ une bijection de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}^2$. On rappelle que $\sum_{(n,m) \in \mathbb{N}^2} a_{n,m} = \sum_{p \in \mathbb{N}} a_{\varphi(p)}$.

Pour tout $i, j \in \mathbb{N}$, il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $\{0, \dots, i\} \times \{0, \dots, j\} \subset \{\varphi(0), \dots, \varphi(n)\}$. Comme $a_{n,m} \geq 0$ pour tout $(n, m)$, on en déduit que

$$ A \geq \sum_{p=0}^{n} a_{\varphi(p)} \geq \sum_{n=0}^{i} \left( \sum_{m=0}^{j} a_{n,m} \right) $$
et donc, en faisant tendre $j$ puis $i$ vers $+\infty$, que $A \ge B$. Un raisonnement similaire donne que $B \ge A$ et donc $A = B$.

On introduit maintenant la tribu de Lebesgue, sur laquelle on montrera que $\lambda^*$ est une mesure.

**Définition 2.38 (Tribu de Lebesgue)** On pose $\mathcal{L} = \{E \in \mathcal{P}(\mathbb{R}) \text{ tel que } \lambda^*(A) = \lambda^*(A \cap E) + \lambda^*(A \cap E^c) \text{ pour tout } A \in \mathcal{P}(\mathbb{R})\}$. On rappelle que $\lambda^*$ est définie dans la définition 2.35 (et que $E^c = \mathbb{R} \setminus E$). Cet ensemble de parties de $\mathbb{R}$ noté $\mathcal{L}$ s'appelle tribu de Lebesgue (on montre dans la proposition 2.41 que $\mathcal{L}$ est bien une tribu).

**Remarque 2.39** On peut avoir une première idée de l'intérêt de la définition 2.38 en remarquant qu'elle donne immédiatement l'additivité de $\lambda^*$ sur $\mathcal{L}$. En effet, soit $E_1, E_2 \subset \mathbb{R}$ tels que $E_1 \cap E_2 = \emptyset$ et soit $A \subset \mathbb{R}$. On suppose que $E_1 \in \mathcal{L}$ et on utilise la définition de $\mathcal{L}$ avec $A \cap (E_1 \cup E_2)$, on obtient (car $E_1 \cap E_2 = \emptyset$) :

$$ 
\begin{aligned}
\lambda^*(A \cap (E_1 \cup E_2)) &= \lambda^*(A \cap (E_1 \cup E_2) \cap E_1) + \lambda^*(A \cap (E_1 \cup E_2) \cap E_1^c) \\
&= \lambda^*(A \cap E_1) + \lambda^*(A \cap E_2).
\end{aligned}
$$

Par récurrence sur $n$, on a donc aussi

$$ \lambda^*(A \cap (\bigcup_{i=1}^n E_i)) = \sum_{i=1}^n \lambda^*(A \cap E_i), $$

dès que $E_1, \dots, E_{n-1} \in \mathcal{L}$, $A, E_n \subset \mathbb{R}$ et $E_i \cap E_j = \emptyset$ si $i \neq j$, $i, j \in \{1, \dots, n\}$.

En particulier, en prenant $A = \mathbb{R}$, on obtient l'additivité de $\lambda^*$ sur $\mathcal{L}$, c'est-à-dire

$$ \lambda^*(\bigcup_{i=1}^n E_i) = \sum_{i=1}^n \lambda^*(E_i), $$

si $E_1, \dots, E_{n-1} \in \mathcal{L}$ et $E_i \cap E_j = \emptyset$ si $i \neq j$, $i, j \in \{1, \dots, n\}$.

**Remarque 2.40** Pour tout $E$, $A \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$, on a, par $\sigma$-sous additivité de $\lambda^*$,

$$ \lambda^*(A) \le \lambda^*(A \cap E) + \lambda^*(A \cap E^c). $$

Pour montrer que $E \in \mathcal{L}$ (définie dans la définition 2.38), il suffit donc de montrer que

$$ \lambda^*(A) \ge \lambda^*(A \cap E) + \lambda^*(A \cap E^c), \text{ pour tout } A \in \mathcal{P}(\mathbb{R}). $$
**Proposition 2.41 (Propriétés de $\mathcal{L}$)** *L est une tribu sur $\mathbb{R}$ et $\lambda_{\mathcal{L}}^*$ est une mesure. $\mathcal{L}$ et $\lambda^*$ sont définies dans les définitions 2.35 et 2.38.*

DÉMONSTRATION – Il est immédiat que $\emptyset \in \mathcal{L}$ et que $\mathcal{L}$ est stable par “passage au complémentaire”. On sait aussi que $\lambda^*(\emptyset) = 0$. Il reste donc à démontrer que $\mathcal{L}$ est stable par union dénombrable et que la restriction de $\lambda^*$ à $\mathcal{L}$ est une mesure. Ceci se fait en deux étapes décrites ci-après.

**Étape 1.** On montre, dans cette étape, que $\mathcal{L}$ est stable par union finie et que, si $n \ge 2$ et $(E_i)_{i=1,...,n} \subset \mathcal{L}$ est telle que $E_i \cap E_j = \emptyset$ si $i \neq j$, alors on a :

$$ \lambda^*(A \cap (\bigcup_{i=1}^n E_i)) = \sum_{i=1}^n \lambda^*(A \cap E_i), \forall A \in \mathcal{P}(\mathbb{R}). \quad (2.13) $$

(Cette dernière propriété donne l'additivité de $\lambda^*$ sur $\mathcal{L}$ en prenant $A = \mathbb{R}$, cette propriété d'additivité a déjà été signalée dans la remarque 2.39.)

Par une récurrence facile, il suffit de montrer que $E_1 \cup E_2 \in \mathcal{L}$ si $E_1, E_2 \in \mathcal{L}$ et de montrer la propriété (2.13) pour $n = 2$. Soit donc $E_1, E_2 \in \mathcal{L}$. On pose $E = E_1 \cup E_2$. Pour montrer que $E \in \mathcal{L}$, il suffit de montrer (voir la remarque 2.40) que

$$ \lambda^*(A) \ge \lambda^*(A \cap E) + \lambda^*(A \cap E^c), \text{ pour tout } A \in \mathcal{P}(\mathbb{R}). $$

Soit $A \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$. Par $\sigma$-sous additivité de $\lambda^*$ on a

$$ \lambda^*(A \cap (E_1 \cup E_2)) = \lambda^*((A \cap E_1) \cup (A \cap E_1^c \cap E_2)) \le \lambda^*(A \cap E_1) + \lambda^*(A \cap E_1^c \cap E_2), \\ \text{et donc} $$

$$ \lambda^*(A \cap (E_1 \cup E_2)) + \lambda^*(A \cap (E_1 \cup E_2)^c) \le \lambda^*(A \cap E_1) + \lambda^*(A \cap E_1^c \cap E_2) + \lambda^*(A \cap E_1^c \cap E_2^c). $$

Comme $E_2 \in \mathcal{L}$, on a

$$ \lambda^*(A \cap E_1^c) = \lambda^*(A \cap E_1^c \cap E_2) + \lambda^*(A \cap E_1^c \cap E_2^c). $$

Puis, comme $E_1 \in \mathcal{L}$, on a

$$ \lambda^*(A) = \lambda^*(A \cap E_1) + \lambda^*(A \cap E_1^c). $$

On en déduit

$$ \lambda^*(A \cap (E_1 \cup E_2)) + \lambda^*(A \cap (E_1 \cup E_2)^c) \le \lambda^*(A). $$

Ce qui prouve que $E \in \mathcal{L}$.

Pour montrer (2.13) avec $n = 2$ si $E_1, E_2 \in \mathcal{L}$ avec $E_1 \cap E_2 = \emptyset$, il suffit de remarquer que (pour tout $A \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$)

$$ \begin{align*} \lambda^*(A \cap (E_1 \cup E_2)) &= \lambda^*((A \cap E_1) \cup (A \cap E_2)) \\ &= \lambda^*([((A \cap E_1) \cup (A \cap E_2)] \cap E_1) + \lambda^*([((A \cap E_1) \cup (A \cap E_2)] \cap E_1^c) \\ &= \lambda^*(A \cap E_1) + \lambda^*(A \cap E_2). \end{align*} $$

(On a utilisé le fait que $E_1 \in \mathcal{L}$.) Ceci termine l'étape 1.

Une conséquence de cette étape (et du fait que $\mathcal{L}$ est stable par passage au complémentaire) est que $\mathcal{L}$ est stable par intersection finie.
**Étape 2.** On montre, dans cette étape, que $\mathcal{L}$ est stable par union dénombrable et la restriction de $\lambda^*$ à $\mathcal{L}$ est une mesure (ce qui termine la démonstration de la proposition 2.41).

Soit $(E_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L}$ et $E = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} E_n$. On veut montrer que $E \in \mathcal{L}$. On commence par remarquer que $E = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} F_n$ avec $F_0 = E_0$ et, par récurrence, pour $n \ge 1$, $F_n = E_n \setminus \bigcup_{p=0}^{n-1} F_p$. L'étape 1 nous donne que $(F_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L}$ et, comme $F_n \cap F_m = \emptyset$ si $n \ne m$, on peut utiliser (2.13). Pour tout $A \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$, on a donc :

$$ \lambda^*(A) = \lambda^*(A \cap (\bigcup_{p=0}^{n} F_p)) + \lambda^*(A \cap (\bigcup_{p=0}^{n} F_p)^c) \quad (2.14) $$

$$ = \sum_{p=0}^{n} \lambda^*(A \cap F_p) + \lambda^*(A \cap (\bigcup_{p=0}^{n} F_p)^c). \quad (2.15) $$

En utilisant le fait que $E^c \subset (\bigcup_{p=0}^{n} F_p)^c$ et la monotonie de $\lambda^*$, on a

$$ \lambda^*(A \cap (\bigcup_{p=0}^{n} F_p)^c) \ge \lambda^*(A \cap E^c). $$

En faisant tendre $n$ vers $+\infty$ dans (2.15) et en utilisant la $\sigma$-sous additivité de $\lambda^*$, on en déduit alors que

$$ \lambda^*(A) \ge \lambda^*(A \cap E) + \lambda^*(A \cap E^c). $$

Ceci prouve que $E \in \mathcal{L}$ (voir remarque 2.40) et donc que $\mathcal{L}$ est une tribu.

Il reste à montrer que $\lambda^*$ est une mesure sur $\mathcal{L}$. Soit $(E_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L}$ telle que $E_i \cap E_j = \emptyset$ si $i \ne j$ et $E = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} E_n$. Par monotonie de $\lambda^*$ on a, pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$$ \lambda^*(\bigcup_{p=0}^{n} E_p) \le \lambda^*(E) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}, $$

et donc, en utilisant l'additivité de $\lambda^*$ sur $\mathcal{L}$ (démontrée à l'étape 1, voir (2.13) avec $A = E$), $\sum_{p=0}^{n} \lambda^*(E_p) \le \lambda^*(E)$. En passant à limite quand $n \to +\infty$, on obtient que

$$ \sum_{p=0}^{+\infty} \lambda^*(E_p) \le \lambda^*(E). $$

D'autre part, $\lambda^*(E) \le \sum_{p=0}^{+\infty} \lambda^*(E_p)$, par $\sigma$-sous additivité de $\lambda^*$. On a donc

$$ \lambda^*(E) = \sum_{p=0}^{+\infty} \lambda^*(E_p). $$

Ceci prouve que $\lambda^*|_{\mathcal{L}}$ est une mesure. ■

**DÉMONSTRATION DE LA PARTIE “EXISTENCE” DU THÉORÈME 2.34** Pour montrer la partie “existence” du théorème 2.34, il suffit, grâce aux propositions 2.36 et 2.41, de montrer que $\mathcal{L}$ (définie dans la définition 2.38) contient $B(\mathbb{R})$. Pour cela, il suffit de montrer que $]a, +\infty[ \subset \mathcal{L}$ pour tout $a \in \mathbb{R}$ (car $]a, +\infty[$, $a \in \mathbb{R}$] engendre $B(\mathbb{R})$). Soit donc $a \in \mathbb{R}$ et $E =]a, +\infty[$ et $A \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$, on veut montrer que

$$ \lambda^*(A) \ge \lambda^*(A \cap E) + \lambda^*(A \cap E^c). $$
On peut supposer que $\lambda^*(A) < +\infty$ (sinon l'inégalité est immédiate).

Soit $\varepsilon > 0$. Par la définition de $\lambda^*(A)$, il existe $(I_n)_{n \in \mathbb{N}} \in E_A$ telle que $\lambda^*(A) \ge \sum_{n \in \mathbb{N}} \ell(I_n) - \varepsilon$. Comme $A \cap E \subset (\bigcup_{n \in \mathbb{N}}(I_n \cap E))$ et $A \cap E^c \subset (\bigcup_{n \in \mathbb{N}}(I_n \cap E^c))$, la $\sigma$-sous additivité de $\lambda^*$ donne

$$ \lambda^*(A \cap E) \le \sum_{n \in \mathbb{N}} \lambda^*(I_n \cap E) \quad \text{et} \quad \lambda^*(A \cap E^c) \le \sum_{n \in \mathbb{N}} \lambda^*(I_n \cap E^c). $$

Comme $I_n \cap E$ et $I_n \cap E^c$ sont des intervalles, la fin de la démonstration de la proposition 2.36 donne $\lambda^*(I_n \cap E) = \ell(I_n \cap E)$ et $\lambda^*(I_n \cap E^c) = \ell(I_n \cap E^c)$. On en déduit

$$ \lambda^*(A \cap E) + \lambda^*(A \cap E^c) \le \sum_{n \in \mathbb{N}} (\ell(I_n \cap E) + \ell(I_n \cap E^c)) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \ell(I_n) $$

(car $\ell(I_n \cap E) + \ell(I_n \cap E^c) = \ell(I_n)$) et donc $\lambda^*(A \cap E) + \lambda^*(A \cap E^c) \le \lambda^*(A) + \varepsilon$. Quand $\varepsilon \to 0$ on trouve l'inégalité recherchée. On a bien montré que $E \in \mathcal{L}$. ■

On va maintenant démontrer un théorème important dont on peut déduire, en particulier, la partie “unicité” du théorème 2.34.

**Théorème 2.42 (Régularité d'une mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, finie sur les compacts)**
Soit $m$ une mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. On suppose que $m$ est finie sur les compacts, c'est-à-dire que $m(K) < +\infty$ pour tout compact $K$ de $\mathbb{R}$ (noter qu'un compact est nécessairement dans $\mathcal{B}(\mathbb{R})$). Alors, pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe un ouvert $O$ et un fermé $F$ tel que $F \subset A \subset O$ et $m(O \setminus F) \le \varepsilon$. En particulier, on a donc, pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, $m(A) = \inf\{m(O), O$ ouvert contenant $A\} \text{ et } m(A) = \sup\{m(K), K \text{ compact inclus dans } A\}$.

**DÉMONSTRATION** – On appelle $T$ l'ensemble des $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ tel que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $O$ ouvert et $F$ fermé vérifiant $F \subset A \subset O$ et $m(O \setminus F) \le \varepsilon$. On va montrer que $T$ est une tribu contenant $C = \{]a, b[, -\infty < a < b < +\infty\}$. Comme $C$ engendre $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, ceci donnera $T = \mathcal{B}(\mathbb{R})$.

On montre tout d'abord que $C \subset T$. Soit $-\infty < a < b < +\infty$ et $A =]a, b[$.

Pour tout $n \ge n_0$ avec $n_0$ tel que $(2/n_0) < b - a$ on a :

$$ [a + \frac{1}{n}, b - \frac{1}{n}] \subset A \subset ]a, b[. $$

Pour $n \ge n_0$, on pose $B_n =]a, a+(1/n)[\cup]b-(1/n), b[$. La suite $(B_n)_{n \ge n_0}$ est une suite décroissante et $\cap_{n \ge n_0} B_n = \emptyset$. Comme $m$ est finie sur les compacts, on a $m(B_n) \le m([a, b]) < +\infty$. En utilisant la continuité décroissante de $m$ (proposition 2.26), on a donc :

$$ m(a, b[\setminus[a+(\frac{1}{n}), b-\frac{1}{n}))) = m(a, a+\frac{1}{n})[\cup]b-\frac{1}{n}, b[ = m(B_n) \to 0, \text{ lorsque } n \to +\infty. $$

Soit maintenant $\varepsilon > 0$ en prenant $n$ assez grand on a $m(B_n) \le \varepsilon$. En prenant $O = A$ et $F = [a+(1/n), b-(1/n)]$, on a bien $O$ ouvert, $F$ fermé, $F \subset A \subset O$ et $m(O \setminus F) \le \varepsilon$, ce qui prouve que $]a, b[ \in T$.
On montre maintenant que $T$ est une tribu. On remarque tout d'abord que $\emptyset \in T$ (il suffit de prendre $F = O = \emptyset$) et que $T$ est stable par passage au complémentaire (car, si $F \subset A \subset O$, on a $O^c \subset A^c \subset F^c$ et $F^c \setminus O^c = O \setminus F$). Il reste à montrer que $T$ est stable par union dénombrable.

Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$ et $A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$. On veut montrer que $A \in T$. On va commencer par traiter le cas (simple) où $m(A) < +\infty$ puis le cas (plus difficile) où $m(A) = +\infty$.

**Premier cas.** On suppose que $m(A) < +\infty$.

Soit $\varepsilon > 0$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe $O_n$ ouvert et $F_n$ fermé tel que $F_n \subset A_n \subset O_n$ et $m(O_n \setminus F_n) \le (\varepsilon/2^n)$. On pose

$$O = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} O_n \text{ et } \tilde{F} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \tilde{F}_n.$$

On a $\tilde{F} \subset A \subset O$, $m(O \setminus \tilde{F}) \le 2\varepsilon$, car $(O \setminus \tilde{F}) \subset \bigcup_{n \in \mathbb{N}} (O_n \setminus F_n)$, et $O$ ouvert mais $\tilde{F}$ n'est pas nécessairement fermé...

Cependant, puisque $m(A) < +\infty$, on a aussi $m(\tilde{F}) < +\infty$. Par continuité croissante de $m$ (appliquée à la suite $(\bigcup_{p=0}^n F_p)_{n \in \mathbb{N}}$), on a $m(\bigcup_{p=0}^n F_p) \to m(\tilde{F})$, quand $n \to +\infty$, d'où (puisque $m(\tilde{F}) < +\infty$) $m(\tilde{F}) - m(\bigcup_{p=0}^n F_p) \to 0$. On prend alors $F = \bigcup_{p=0}^N F_p$ avec $N$ assez grand pour que $m(\tilde{F} \setminus F) = m(\tilde{F}) - m(F) \le \varepsilon$. On a bien $F \subset A \subset O$, $O$ ouvert, $F$ fermé et, comme $(O \setminus F) = (O \setminus \tilde{F}) \cup (\tilde{F} \setminus F)$, on a $m(O \setminus F) = m(O \setminus \tilde{F}) + m(\tilde{F} \setminus F) \le 3\varepsilon$, ce qui prouve que $A \in T$.

**Deuxième cas.** On suppose maintenant que $m(A) = +\infty$ (et le raisonnement précédent n'est plus correct si $m(\tilde{F}) = +\infty$). On raisonne en trois étapes :

1. Soit $p \in \mathbb{Z}$. On remarque d'abord que $A_n \cap [p, p+1] \in T$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. En effet, soit $n \in \mathbb{N}$ et $\varepsilon > 0$. Il existe $O$ ouvert et $F$ fermé tel que $F \subset A_n \subset O$ et $m(O \setminus F) \le \varepsilon$. Pour $k \in \mathbb{N}^*$, on a donc :

$$F_k = F \cap [p, p+1-\frac{1}{k}] \subset A_n \cap [p, p+1 \subset O_k = O \cap ]p - \frac{1}{k}, p+1[.$$

On a $F_k$ fermé, $O_k$ ouvert et $(O_k \setminus F_k) \subset (O \setminus F) \cup ]p - \frac{1}{k}, p[)p + 1 - \frac{1}{k}, p+1[$. On en déduit :

$$m(O_k \setminus F_k) \le \varepsilon + m(p) \frac{1}{k}, p[)p + 1 - \frac{1}{k}, p+1[.$$

Or la continuité décroissante de $m$ donne que $m([p - \frac{1}{k}, p[)p + 1 - \frac{1}{k}, p+1] \to 0$ quand $k \to +\infty$ (on utilise ici le fait que $m([p-1, p+1]) < +\infty$ car $m$ est finie sur les compacts). Il existe donc $k \in \mathbb{N}^*$ tel que $m(O_k \setminus F_k) \le 2\varepsilon$, ce qui donne bien que $A_n \cap [p, p+1] \in T$.

2. Comme $m(A \cap [p, p+1]) < +\infty$, on peut maintenant utiliser le premier cas avec $A \cap [p, p+1] = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} (A_n \cap [p, p+1])$. Il donne que $A \cap [p, p+1] \in T$ pour tout $p \in \mathbb{Z}$.

3. On montre enfin que $A \in T$. Soit $\varepsilon > 0$. Pour tout $p \in \mathbb{Z}$, il existe un ouvert $O_p$ et un fermé $G_p$ tel que $G_p \subset A \cap [p, p+1] \subset O_p$ et $m(O_p \setminus G_p) \le \varepsilon/(2^{|p|})$. On prend $O = \bigcup_{p \in \mathbb{Z}} O_p$ et $F = \bigcup_{p \in \mathbb{Z}} G_p$. On obtient $F \subset A \subset O$, $m(O \setminus F) \le 3\varepsilon$ et $O$ est ouvert. Il reste à montrer que $F$ est fermé.

Soit $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset F$ tel que $x_n \to x$ (dans $\mathbb{R}$) quand $n \to +\infty$. On veut montrer que $x \in F$. Il existe $p \in \mathbb{Z}$ tel que $x \in ]p-1, p+1[$. Il existe donc $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que
$x_n \in ]p-1, p+1[$ pour tout $n \ge n_0$. Comme $x_n \in \bigcup_{q \in \mathbb{Z}} G_q$ et que $G_q \subset [q, q+1[$ pour tout $q$, on a donc $x_n \in G_p \cup G_{p-1}$ pour tout $n \ge n_0$. Comme $G_p \cup G_{p-1}$ est fermé, on en déduit que $x \in G_p \cup G_{p-1} \subset F$ et donc que $F$ est fermé.

Ceci montre bien que $A \in T$ et termine la démonstration du fait que $T$ est une tribu. Comme cela a déjà été dit, on en déduit que $T = \mathcal{B}(\mathbb{R})$.

On a donc bien montré que pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $O$ ouvert et $F$ fermé vérifiant $F \subset A \subset O$ et $m(O \setminus F) \le \varepsilon$.

On montre maintenant que $m(A) = \inf\{m(O), O$ ouvert contenant $A\}$ pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. Soit $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. On remarque d'abord que la monotonie d'une mesure donne

$$m(A) \le \inf\{m(O), O \text{ ouvert contenant } A\}.$$

Puis, l'inégalité inverse est immédiate si $m(A) = +\infty$. Enfin, si $m(A) < +\infty$, pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $O$ ouvert et $F$ fermé vérifiant $F \subset A \subset O$ et $m(O \setminus F) \le \varepsilon$. On a donc $O \setminus A \subset O \setminus F$ et donc (par monotonie de $m$)

$$m(O \setminus A) \le \varepsilon \text{ et } m(O) = m(A) + m(O \setminus A) \le m(A) + \varepsilon.$$

On a donc trouvé un ouvert $O$ contenant $A$ tel que $m(O) - \varepsilon \le m(A)$. On en déduit que $\inf\{m(O), O$ ouvert contenant $A\} \le m(A)$ et finalement que $m(A) = \inf\{m(O), O$ ouvert contenant $A\}$.

De manière semblable, on montre aussi que $m(A) = \sup\{m(K), K$ compact, $K \subset A\}$ pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. En effet, soit $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. Ici aussi, on commence par remarquer que la monotonie d'une mesure donne

$$m(A) \ge \sup\{m(K), K \text{ compact, } K \subset A\}.$$

On montre maintenant l'inégalité inverse. Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $F$ fermé tel que $F \subset A$ et $m(A \setminus F) \le \varepsilon$. Si $m(A) = +\infty$, on en déduit que $m(F) = +\infty$ et donc que $m(K_n) \uparrow +\infty$ quand $n \to +\infty$ (par continuité croissante de $m$) avec $K_n = F \cap [-n, n]$. Comme $K_n$ est compact pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a donc

$$\sup\{m(K), K \text{ compact inclus dans } A\} = +\infty = m(A).$$

Si $m(A) < +\infty$, on a $m(A) \ge m(F) \ge m(A) - \varepsilon$ et donc, pour $n$ assez grand (toujours par continuité croissante de $m$),

$$m(K_n) \ge m(F) - \varepsilon \ge m(A) - 2\varepsilon \text{ avec } K_n = F \cap [-n, n].$$

Comme $K_n$ est compact pour tout $n \in \mathbb{N}$ et que $\varepsilon$ est arbitraire, on en déduit que $\sup\{m(K), K$ compact inclus dans $A\} \ge m(A)$ et donc, finalement,

$$m(A) = \sup\{m(K), K \text{ compact, } K \subset A\}.$$

■

Pour démontrer la partie “unicité” du théorème 2.34 avec le théorème 2.42 on a aussi besoin du petit lemme suivant (qui précise le lemme 2.11 car contrairement au lemme 2.11, on ne demande plus ici que les ouverts soient disjoints).

**Lemme 2.43 (Ouverts de $\mathbb{R}$)** Soit $O$ un ouvert de $\mathbb{R}$, alors $O$ est une union dénombrable d'intervalles ouverts disjoints deux à deux, c'est-à-dire qu'il existe $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $I_n$ est un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, $I_n \cap I_m = \emptyset$ si $n \ne m$ et $O = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} I_n$.
### DÉMONSTRATION – Pour $x \in O$ on pose

$$O_x = \{y \in O; I(x, y) \subset O\}, \text{ avec } I(x, y) = \{tx + (1-t)y, t \in [0, 1]\}$$

(on a donc $I(x, y) = [x, y]$ ou $[y, x]$). On remarque que $O = \bigcup_{x \in O} O_x$ et que $O_x$ est, pour tout $x \in O$, un intervalle ouvert (c'est l'intervalle $\inf O_x$, $\sup O_x$[, avec $\inf O_x$, $\sup O_x \in \mathbb{R}$). Il est aussi facile de voir que, pour tous $x, y \in O$, $O_x \cap O_y \neq \emptyset$ implique que $O_x = O_y$. On peut trouver $A \subset O$ tel que $O = \bigcup_{x \in A} O_x$ et $O_x \cap O_y = \emptyset$ si $x, y \in A$, $x \neq y$. Comme $O_x \neq \emptyset$ pour tout $x \in A$, on peut donc construire une application de $A$ dans $\mathbb{Q}$ en choisissant pour chaque $x \in A$ un rationnel de $O_x$ (ce qui est possible car tout ouvert non vide de $\mathbb{R}$ contient un rationnel). Cette application est injective car

$$O_x \cap O_y = \emptyset \text{ si } x, y \in A, x \neq y.$$

L'ensemble $A$ est donc au plus dénombrable, ce qui termine la démonstration du lemme. ■

**Remarque 2.44** Dans la démonstration du lemme 2.43, $O_x$ est la composante connexe de $x$. Le lemme 2.43 consiste donc à remarquer qu'un ouvert est réunion de ses composantes connexes, que celles-ci sont disjointes deux à deux et sont des ouverts connexes et donc des intervalles ouverts (car un connexe dans $\mathbb{R}$ est nécessairement un intervalle).

### DÉMONSTRATION DE LA PARTIE “UNICITÉ” DU THÉORÈME 2.34

On a construit une mesure, notée $\lambda$, sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ telle que $\lambda([a, b]) = b - a$ pour tout $a, b \in \mathbb{R}, a < b$. Supposons que $m$ soit aussi une mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ telle que $m(a, b] = b-a$ pour tout $a, b \in \mathbb{R}, a < b$. On veut montrer que $\lambda = m$ (sur tout $\mathcal{B}(\mathbb{R})$). Nous le montrons ici avec deux méthodes différentes, utilisant le théorème 2.42 ou la proposition 2.30.

**Première méthode, avec le théorème 2.42.** En utilisant le fait que tout ouvert est réunion dénombrable d'intervalle ouverts disjoints deux à deux (lemme 2.43) et les propriétés de $\sigma$-additivité de $\lambda$ et de $m$, on montre que $\lambda(O) = m(O)$ pour tout ouvert $O$ de $\mathbb{R}$. Puis, en utilisant la dernière assertion du théorème de régularité (qui s'applique pour $m$ et pour $\lambda$, car $m$ et $\lambda$ sont des mesures sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, finies sur les compacts), on obtient $\lambda(A) = m(A)$ pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, i.e. $m = \lambda$.

**Deuxième méthode, avec la proposition 2.30.** On utilise la proposition 2.30 avec (E, T) = $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ et $C = \{[a, b], a, b \in \mathbb{R}, a \leq b\}$. On sait que $C$ engendre $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, et il est clair que $C$ est stable par intersection finie. On prend maintenant $F_n = \{n, n+1\}$ pour $n \in \mathbb{Z}$. La famille $(F_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ est donc une famille dénombrable d'éléments de $C$, disjoints deux à deux et telle que $\mathbb{R} = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} F_n$. Pour $a, b \in \mathbb{R}, a \leq b$, on a, par continuité décroissante de $m$,

$$ \begin{align*} m([a, b]) &= \lim_{p \to +\infty} m(a, b + \frac{1}{p}[]) \\ &= \lim_{p \to +\infty} (b - a + \frac{1}{p}) \\ &= b - a \\ &= \lambda([a, b]). \end{align*} $$
On a donc $m = \lambda$ sur $\mathcal{C}$ (et $m(F_n) < +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$). On peut donc appliquer la proposition 2.30. Elle donne $\lambda = m$ sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. ■

**Remarque 2.45** Nous avons vu que la mesure de Lebesgue, notée $\lambda$, est régulière. Ceci ne donne pas, pour $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, l'égalité de la mesure de A avec la mesure de son intérieur ou de son adhérence. Il suffit, pour s'en convaincre, de prendre, par exemple, $A = \mathbb{Q}$. On a alors $\lambda(A) = 0$ (voir la remarque 2.48) et $\lambda(\bar{A}) = +\infty$.

**Remarque 2.46** Nous avons donc, dans cette section, construit une application, notée $\lambda^*$, de $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ dans $\bar{\mathbb{R}}_+$. Cette application n'est pas une mesure mais nous avons montré que la restriction de $\lambda^*$ à la tribu de Lebesgue, notée $\mathcal{L}$, est une mesure. Puis, nous avons démontré que $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{L}$ et obtenu ainsi, en prenant la restriction de $\lambda^*$ à $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ la mesure que nous cherchions. On peut se demander toutefois quelle est la différence entre $\mathcal{L}$ et $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Du point de vue des cardinaux, cette différence est considérable car $\text{card}(\mathcal{L}) = \text{card}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))$ alors que $\text{card}(\mathcal{B}(\mathbb{R})) = \text{card}(\mathbb{R})$ mais du point de vue de l'intégration, la différence est dérisoire, comme nous pourrons le voir avec l'exercice 4.17 (plus complet que l'exercice 2.33) car l'espace mesuré $(\mathbb{R}, \mathcal{L}, \lambda_{\mathcal{L}}^*)$ est simplement le complété de $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda_{\mathcal{B}(\mathbb{R})}^*)$.

On donne maintenant une propriété, spécifique à la mesure de Lebesgue, qui est à la base de toutes les formules de changement de variable pour l'intégrale de Lebesgue.

**Proposition 2.47 (Invariance par translation “généralisée”)** Soit $\alpha \in \mathbb{R}^*$ et $\beta \in \mathbb{R}$. Pour $A \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$, on note $\alpha A + \beta = \{\alpha x + \beta, x \in A\}$. On a alors :

1. $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ implique $\alpha A + \beta \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$,

2. $\lambda(\alpha A + \beta) = |\alpha|\lambda(A)$ pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$.

Pour $\alpha = 1$, cette propriété s'appelle "invariance par translation de $\lambda$".

**DÉMONSTRATION –** Pour la première partie de la proposition, on pose $T = \{A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}); \alpha A + \beta \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}$. On montre facilement que $T$ est une tribu contenant les intervalles ouverts, on en déduit que $T = \mathcal{B}(\mathbb{R})$.

Pour la deuxième partie, on pose, pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, $m_1(A) = \lambda(\alpha A + \beta)$ et $m_2(A) = |\alpha|\lambda(A)$. Il est facile de voir que $m_1$ et $m_2$ sont des mesures sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, finies sur les bornés, et qu'elles sont égales sur l'ensemble des intervalles ouverts. On raisonne alors comme dans la démonstration de la partie "unicité" du théorème 2.34, en utilisant le théorème 2.42 ou la proposition 2.30. Par exemple, en utilisant le lemme 2.43 et les propriétés de $\sigma$-additivité de $m_1$ et de $m_2$, on montre que $m_1(\mathbb{O}) = m_2(\mathbb{O})$ pour tout ouvert $\mathbb{O}$ de $\mathbb{R}$. Puis, en utilisant la dernière assertion du théorème de régularité (qui s'applique pour $m_1$ et pour $m_2$), on obtient $m_1(A) = m_2(A)$ pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. On a donc $\lambda(\alpha A + \beta) = |\alpha|\lambda(A)$ pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. ■
**Remarque 2.48** La mesure de Lebesgue est diffuse (c'est-à-dire que $\lambda(\{x\}) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$). Donc, si D est une partie dénombrable de $\mathbb{R}$, on a $\lambda(D) = 0$. Ainsi,

$$ \lambda(\mathbb{N}) = \lambda(\mathbb{Z}) = \lambda(\mathbb{Q}) = 0. $$

La réciproque est fausse. On construit par exemple un ensemble (dit “ensemble de Cantor”, K, qui est une partie compacte non dénombrable de $[0,1]$, vérifiant $\lambda(K) = 0$, voir exercice 2.32).

**Définition 2.49 (Mesure de Lebesgue sur un borélien de $\mathbb{R}$)** Soit I un intervalle de $\mathbb{R}$ (ou, plus généralement, $I \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$) et $T = \{B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}); B \subset I\}$ (on peut montrer que $T = \mathcal{B}(I)$, où I est muni de la topologie induite par celle de $\mathbb{R}$, voir l'exercice 2.3 page 71). Il est facile de voir que $T$ est une tribu sur I et que la restriction de $\lambda$ (définie dans le théorème 2.34) à $T$ est une mesure sur $T$, donc sur les boréliens de I (voir 2.17 page 86). On note toujours par $\lambda$ cette mesure.

# 2.6 Indépendance et probabilité conditionnelle

## 2.6.1 Probabilité conditionnelle

Commençons par expliquer la notion de probabilité conditionnelle sur l'exemple du lancer de dé. On se place dans le modèle équiprobable : soient $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $T = \mathcal{P}(E)$ et $p$ la probabilité définie par $p(\{x\}) = \frac{1}{6}$, $\forall x \in E$. La probabilité de l'événement A “obtenir 6” est $\frac{1}{6}$. Supposons maintenant que l'on veuille évaluer la chance d'obtenir un 6, alors que l'on sait déjà que le résultat est pair (événement $B = \{2, 4, 6\}$). Intuitivement, on a envie de dire que la “chance” d'obtenir un 6 est alors $\frac{1}{\text{card}B} = \frac{1}{3}$.

**Définition 2.50 (Probabilité conditionnelle)** Soient $(E, T, p)$ un espace probabilisé et $A, B \in T$.

* Si $p(B) \neq 0$ la probabilité conditionnelle de A par rapport à B (on dit aussi probabilité de A par rapport à B), notée $p(A|B)$, est définie par $p(A|B) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}$.

* Si $p(B) = 0$ la probabilité conditionnelle de A par rapport à B, notée $p(A|B)$, n'est pas définie. C'est un nombre arbitraire entre 0 et 1.

De cette définition on déduit la formule de Bayes : soient $(E, T, p)$ un espace probabilisé et $A, B \in T$, alors :

$$ p(B)p(A|B) = p(A \cap B) \qquad (2.16) $$
**Remarque 2.51** Soient (E, T, p) un espace probabilisé et A un événement tel que $p(A) \neq 0$. Alors l'application $p_A : T \to [0, 1]$ définie par :

$$p_A(B) = p(B|A) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}, \forall B \in T$$

est une probabilité sur T. On dit que “la masse de $p_A$ est concentrée en A” : on a en effet : $p_A(B) = 0$, pour tout $B \in T$ tel que $A \cap B = \emptyset$. On a aussi $p_A(A) = 1$.

**Remarque 2.52** Voici un corollaire immédiat de la relation 2.16. Soit (E, T, p) est un espace probabilisé et $(C_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$ une partition de E telle que $p(C_n) \neq 0$. On a alors, pour tout $A \in T$,

$$p(A) = \sum_{n \in \mathbb{N}} p(C_n)p(A|C_n).$$

## 2.6.2 Événements indépendants, tribus indépendantes

**Définition 2.53 (Indépendance de deux événements)** Soient (E, T, p) un espace probabilisé. On dit que deux événements A et B sont indépendants si $p(A)p(B) = p(A \cap B)$.

**Remarque 2.54** Lors de la modélisation d'un phénomène aléatoire, il y a des événements qui semblent *a priori* indépendants, c'est-à-dire que la réalisation de l'un semble n'avoir aucune influence sur la réalisation de l'autre. On choisira alors, pour le modèle probabiliste, une probabilité qui respecte cette indépendance. Attention toutefois, pour une probabilité p donnée, deux événements peuvent être indépendants alors qu'ils ne paraissent pas intuitivement indépendants, voir à ce sujet l'exercice 9.14 page 509 sur les variables aléatoires indépendantes.

**Exemple 2.55** Prenons comme exemple le lancer simultané de deux dés : *a priori*, il parait raisonnable de supposer que les résultats obtenus pour chacun des deux dés n'influent pas l'un sur l'autre, et on va donc chercher une probabilité qui respecte cette indépendance. L'univers des possibles est ici

$$E = \{(i, j), 1 \le i \le 6, 1 \le j \le 6\}.$$

Les résultats de chaque lancer simultané des deux dés étant équiproables, on a donc envie de définir, pour $A \in \mathcal{P}(E)$, $p(A) = \frac{\text{card}A}{36}$. Voyons maintenant si deux événements *a priori* indépendants sont indépendants pour cette probabilité. Considérons par exemple l'événement A : “obtenir un double 6”; on peut écrire : $A = B \cap C$, où B est l'événement “obtenir un 6 sur le premier dé” et C l'événement “obtenir un 6 sur le
deuxième dé”. On doit donc vérifier que : $p(A) = p(B)p(C)$. Or $B = \{(6, j), 1 \le j \le 6\}$ et $C = \{(i, 6), 1 \le i \le 6\}$. On a donc $p(B) = p(C) = \frac{1}{6}$, et on a bien $p(A) = p(B)p(C)(= \frac{1}{36})$.

On généralise la notion d'indépendance de deux événements en introduisant la notion d'indépendance de tribus.

**Définition 2.56 (Indépendance des tribus)** *Soit (E, T, p) un espace probabilisé et $(T_k)_{k \in \mathbb{N}^*$. une suite de tribus incluses dans T.*

1. Soit $N > 1$. On dit que les N tribus $T_k$, $k = 1, ..., N$, sont indépendantes (on dit aussi que la suite $T_1, ..., T_N$ est indépendante) si pour toute famille $(A_1, ..., A_N)$ d'événements tels que $A_k \in T_k$ pour $k = 1, ..., N$ on a : $p(\bigcap_{k=1}^{N} A_k) = p(A_1)p(A_2) ... p(A_N)$.

2. On dit que la suite $(T_k)_{k \in \mathbb{N}^*.$ est indépendante (ou que les tribus $T_1, ..., T_n, ...$ sont indépendantes) si pour tout $N \ge 1$, les N tribus $T_k$, $k = 1, ..., N$, sont indépendantes.

On peut facilement remarquer que si A et B sont deux événements d'un espace probabilisé (E, T, p), ils sont indépendants (au sens de la définition 2.53) si et seulement si les tribus $T_A = \{\emptyset, E, A, A^c\}$ et $T_B = \{\emptyset, E, B, B^c\}$ sont indépendantes (voir l'exercice 3.17). On en déduit la généralisation de la définition d'indépendance à plusieurs événements :

**Définition 2.57 (Evénements indépendants)** *Soient (E, T, p) un espace probabilisé et $(A_k)_{k=1,...,N}$ des événements, on dit que les N événements $(A_k)_{k=1,...,N}$ sont indépendants si les N tribus engendrées par les événements $A_k$, $k = 1..., N$ (c'est-à-dire les N tribus définies par $T_k = \{A_k, A_k^c, E, \emptyset\}$ pour $k = 1..., N$) sont indépendantes.*

Sous les hypothèses de la définition précédente, on peut remarquer que les événements $A_1, ..., A_N$ sont indépendants, c'est-à-dire que les tribus engendrées par $A_1, ..., A_N$ sont indépendantes) si et seulement si

$$P(\bigcap_{i \in I} A_i) = \prod_{i \in I} P(A_i) \text{ pour tout } I \subset \{1, \dots, N\},$$

voir l'exercice 3.17. Nous terminons ce paragraphe par une proposition sur les tribus indépendantes :

**Proposition 2.58** *Soit (E, T, p) un espace probabilisé.*

1. Soit $N > 1$ et $(T_k)_{k \in \{0,...,N\}}$ une suite indépendante de tribus incluses dans T. La tribu $T_0$ est alors indépendante de la tribu engendrée par les tribus $T_1,...,T_N$.
2. (Généralisation) Soit $N > 1$, $q > 1$, $n_0, \dots, n_q$ tel que $n_0 = 0$, $n_i \le n_{i+1}$ (pour $i = 0, \dots, q-1$), $n_q = N$ et $(T_k)_{k \in \{0, \dots, N\}}$ une suite indépendante de tribus incluses dans $T$. Pour $i = 1, \dots, q$, on note $\tau_i$ la tribu engendrée par les tribus $T_n$ pour $n = n_{i-1}, \dots, n_i$. Alors, les tribus $\tau_1, \dots, \tau_q$ sont indépendantes.

DÉMONSTRATION – On montre tout d'abord le premier item de la proposition. On note $S$ la tribu engendrée par les tribus $T_1, \dots, T_N$. Comme $S$ est la plus petite tribu contenant les tribus $T_k$ ($k = 1, \dots, N$), elle est incluse dans $T$. On veut montrer que $T_0$ et $S$ sont indépendantes, c'est-à-dire que $p(A \cap B) = p(A)p(B)$ pour tout $A \in T_0$ et tout $B \in S$. Pour le montrer, on va utiliser la proposition 2.30 (donnant l'unicité d'une mesure). Soit $A \in T_0$, on définit les mesures $m$ et $\mu$ sur $T$ en posant :

$$m(B) = p(A \cap B), \mu(B) = p(A)p(B), \text{ pour } B \in T,$$

et on pose :

$$C = \left\{ \bigcap_{k=1}^{N} A_k, A_k \in T_k \text{ pour } k = 1, \dots, N \right\}.$$

Pour $B \in C$, on a $B = \bigcap_{k=1}^{N} A_k$ avec $A_k \in T_k$ avec $k = 1, \dots, N$. On a donc, en utilisant l'indépendance des tribus $T_0, T_1, \dots, T_N$,

$$m(B) = p(A \cap B) = p(A)p(A_1)p(A_2)\dots p(A_N) = p(A)p(B) = \mu(B).$$

On a donc $m = \mu$ sur $C$. Comme $C$ est stable par intersection et que $E \in C$, la proposition 2.30 nous donne $m = \mu$ sur la tribu engendrée par $C$. Comme cette tribu contient toutes les tribus $T_k$ ($k = 1, \dots, N$), elle contient aussi $S$ (en fait, elle est égale à $S$). On a donc bien montré que $p(A \cap B) = p(A)p(B)$ pour tout $B \in S$ et pour tout $A \in T_0$.

Pour montrer le deuxième item (qui est une généralisation du premier), il suffit de faire une récurrence finie de $q$ étapes et d'utiliser la technique précédente. Par exemple, pour $q = 2$ la technique précédente donne :

$$p\left(\left(\bigcap_{k=0}^{n_1} A_k\right) \cap B_2\right) = p\left(\bigcap_{k=0}^{n_1} A_k\right) p(B_2),$$

pour $A_k \in T_k$, $k = 0, \dots, n_1$ et $B_2 \in \tau_2$. Puis en reprenant la technique précédente, on montre $p(B_1 \cap B_2) = p(B_1)p(B_2)$ pour $B_1 \in \tau_1$ et $B_2 \in \tau_2$, ce qui donne bien l'indépendance de $\tau_1$ et $\tau_2$. ■

### 2.6.3 Probabilités sur les boréliens de $\mathbb{R}$

Une probabilité est définie sur un espace probabilisable. Très souvent, on ne connaît du problème aléatoire que l'on cherche à modéliser ni l'ensemble $E$ ("univers des possibles") ni la tribu $T$ (ensemble des événements) ni la probabilité $p$. Par contre, on connaît une "image" de la probabilité $p$ par une application (dite mesurable, voir chapitre suivant) $X$ de $E$ dans $\mathbb{R}$. On travaille alors avec l'espace beaucoup plus sympathique (car mieux défini...) $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), p_X)$, ou $p_X$ est une probabilité sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$,
que les probabilistes appellent “loi de probabilité” (elle dépend de $p$ et de l’application $X$).

Nous donnons maintenant quelques notions propres aux lois de probabilités (ou probabilités définies sur les boréliens de $\mathbb{R}$), ainsi que quelques exemples concrets utilisés dans la représentation de phénomènes aléatoires.

**Théorème 2.59 (Fonction de répartition)** Soit $p$ une probabilité sur les boréliens de $\mathbb{R}$. On appelle fonction de répartition de la probabilité $p$ la fonction $F$, définie de $\mathbb{R}$ dans $[0,1]$ par : $F(t) = p([-\infty, t])$.

La fonction $F$ est croissante et continue à droite. De plus, on a $\lim_{t \to -\infty} F(t) = 0$ et $\lim_{t \to +\infty} F(t) = 1$.

**DÉMONSTRATION** – La croissance de $F$ est une conséquence de la monotonie de $p$ (proposition 2.26). En effet, soit $a, b \in \mathbb{R}$, $a < b$. On a $]-\infty, a[ \subset ]-\infty, b[$ et donc, par monotonie de $p$, $F(a) = p([-\infty, a[) \le p([-\infty, b[) = F(b)$, ce qui montre bien la croissance de $F$.

Pour montrer que $F$ est continue à droite, on utilise la continuité décroissante de $p$ (proposition 2.26). Soit $a \in \mathbb{R}$ et $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ telle que $a_n \downarrow a$ (c’est-à-dire $a_{n+1} \le a_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $\lim_{n \to +\infty} a_n = a$). On remarque que

$$ ]-\infty, a] = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} ]-\infty, a_n], ]-\infty, a_{n+1}] \subset ]-\infty, a_n] \text{ et } p([)-\infty, a_n]) < +\infty $$

pour tout $n \in \mathbb{N}$. La continuité décroissante de $p$ donne alors

$$ F(a_n) = p([-\infty, a_n]) \to p([-\infty, a]) = F(a) \text{ lorsque } n \to +\infty. $$

Ceci montre la continuité à droite de $F$.

Pour montrer que $\lim_{a \to +\infty} F(a) = 1$, on utilise la continuité croissante de $p$. Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ telle que $a_n \uparrow +\infty$ (c’est-à-dire $a_{n+1} \ge a_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $a_n \to +\infty$). On pose $A_n = ]-\infty, a_n]$. On a $A_n \subset A_{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $\cup_{n \in \mathbb{N}} A_n = \mathbb{R}$. Par continuité croissante de $p$ (Proposition 2.26), on a donc

$$ F(a_n) = p(A_n) \to p(\mathbb{R}) = 1 \text{ lorsque } n \to +\infty. $$

Ceci prouve que $\lim_{a \to +\infty} F(a) = 1$.

Pour montrer que $\lim_{a \to -\infty} F(a) = 0$, on utilise la continuité décroissante de $p$. Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ telle que $a_n \downarrow -\infty$ (c’est-à-dire $a_{n+1} \le a_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $\lim_{n \to -\infty} a_n = -\infty$). On pose $B_n = ]-\infty, a_n]$. On a $B_{n+1} \subset B_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, $p(B_n) < +\infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $\cap_{n \in \mathbb{N}} B_n = \emptyset$. Par continuité décroissante de $p$ (Proposition 2.26), on a donc

$$ F(a_n) = p(B_n) \to p(\emptyset) \text{ lorsque } n \to +\infty. $$

Ceci prouve que $\lim_{a \to -\infty} F(a) = 0$.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Le théorème 2.59 a une réciproque que nous énonçons dans le théorème 2.60.
**Théorème 2.60 (Fonction de répartition et probabilité)** Soit F une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, croissante, continue à droite et telle que

$$ \lim_{t \to -\infty} F(t) = 0 \text{ et } \lim_{t \to +\infty} F(t) = 1. $$

Alors, il existe une unique probabilité p sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ telle que F soit la fonction de répartition de p.

La démonstration du théorème 2.60 n'est pas faite ici car ce théorème est essentiellement contenu dans le théorème 2.61 que nous donnons maintenant.

**Théorème 2.61 (Lebesgue-Stieltjes)**

1. Soit $m$ une mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, finie sur les compacts (on dit "localement finie").
Soit $a \in \mathbb{R}$, on définit la fonction $F$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ par : $F(t) = m([a,t])$ si $t \ge a$ et $F(t) = -m([t,a])$ si $t \le a$. Alors, la fonction $F$ est continue à droite et croissante.

2. Réciproquement, soit F une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, croissante et continue à droite.
Alors, il existe une unique mesure $m$ sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ telle que pour tout $a, b \in \mathbb{R}$ avec $a \le b$, on ait $m([a,b]) = F(b) - F(a)$. Cette mesure s'appelle la mesure de Lebesgue-Stieltjes associée à F.

**DÉMONSTRATION** – La démonstration du premier item est essentiellement la même que celle de la proposition 2.59. Elle n'est pas détaillée ici.

Pour démontrer le deuxième item, on introduit $l$, application définie de l'ensemble des intervalles de $\mathbb{R}$ de la forme $[a, b]$ dans $\mathbb{R}$ ($a < b$) par : $l([a, b]) = F(b) - F(a)$. La démonstration du fait qu'il existe un prolongement unique de cette application en une mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ est très voisine à celle du théorème de Carathéodory (théorème 2.34). Elle n'est pas détaillée ici. ■

Donnons, pour clore ce chapitre, quelques exemples de lois de probabilités, c'est-à-dire de probabilités sur les boréliens de $\mathbb{R}$, et leurs fonctions de répartition associées.

**Définition 2.62 (Loi de probabilité discrète)** Soit $p$ une loi de probabilité. On dit que $p$ est discrète si elle est purement atomique. L'ensemble de ses atomes $\mathcal{A}$ est nécessairement dénombrable (voir l'exercice 2.22). La probabilité $p$ s'écrit alors

$$ p = \sum_{a \in \mathcal{A}} p(\{a\}) \delta_a, $$
où $\delta_a$ désigne la mesure de Dirac en a., définie par (2.2) La fonction de répartition de la probabilité $p$ est définie par :

$$F(t) = \sum_{a \in A, a \le t} p(a).$$

**Exemple 2.63 (Exemples de lois discrètes)** Donnons quelques exemples de probabilités discrètes, $p$, sur $B(\mathbb{R})$ et de $A$ l'ensemble (dénombrable) de leurs atomes.

- La loi uniforme discrète : $N \in \mathbb{N}^*$, $A = \{a_1, \dots, a_N\}$, $p(\{a_i\}) = \frac{1}{N}$

- La loi binomiale : $N \in \mathbb{N}^*$, $A = \{1, \dots, N\}$, $P \in ]0, 1[$, $p(\{k\}) = C_N^k P^k (1-P)^{N-k}$

- La loi de Pascal : $A = \mathbb{N}$, $P \in ]0, 1[$, $p(\{k\}) = P(1-P)^{k-1}$

- La loi de Poisson à paramètre $\lambda : A = \mathbb{N}$, $\lambda > 0$, $p(\{k\}) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}$

**Définition 2.64 (Loi continue)** Soit $p$ une probabilité sur les boréliens de $\mathbb{R}$. On dit que $p$ est continue si sa fonction de répartition est continue.

**Exemple 2.65 (Exemple de loi continue)** La plupart des exemples de probabilités continues provient de ce qu'on appelle les mesures de densité par rapport à la mesure de Lebesgue, pour lesquelles on a besoin de la notion d'intégrale de Lebesgue qu'on n'a pas encore introduite. On peut toutefois déjà citer l'exemple de la loi uniforme sur un intervalle $[a, b]$ de $\mathbb{R}$ : Soient $-\infty < a < b < +\infty$ ; pour $A \in B(\mathbb{R})$, on pose

$$p(A) = \frac{\lambda(A \cap [a, b])}{b - a}.$$

On vérifie facilement que $p$ est une probabilité appelée probabilité uniforme sur $[a, b]$.

## 2.7 Exercices

### 2.7.1 Tribus

**Exercice 2.1 (Caractérisation d'une tribu)** Soit E un ensemble.

1. Soit $T$ une partie de $\mathcal{P}(E)$ stable par union dénombrable, stable par passage au complémentaire et telle que $\emptyset \in T$. Montrer que $T$ est une tribu, c'est-à-dire qu'elle vérifie aussi $E \in T$ et qu'elle est stable par intersection dénombrable.
**Corrigé** – On a bien $E \in T$ car $E = \emptyset^c$ et T stable par passage au complémentaire. Il reste à montrer que T est stable par intersection dénombrable. Soit $(A_n) \subset T$, on a $(\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n)^c = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n^c \in T$ (car T est stable par passage au complémentaire et par union dénombrable) et donc $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n \in T$ (car T est stable par passage au complémentaire).

2. L'ensemble des parties finies de E est-il une tribu ?

**Corrigé** – Si E est fini, l'ensemble des parties finies de E est une tribu, c'est la tribu $P(E)$.

Si E est infini, l'ensemble des parties finies de E n'est pas une tribu, car il n'est pas stable par passage au complémentaire (le complémentaire d'une partie finie est infinie...).

**Exercice 2.2 (Tribu engendrée)** Soit E un ensemble.

1. Montrer qu'une intersection quelconque de tribus sur E est une tribu sur E.

**Corrigé** – Soit $(T_i)_{i \in I}$ une famille de tribus sur I (I est un ensemble quelconque). On pose $T = \{A \subset E ; A \in T_i \text{ pour tout } i \in I\}$ (T est bien l'intersection des tribus $T_i$, $i \in I$). On montre que T est une tribu :

(a) On a $\emptyset \in T$ car $\emptyset \in T_i \text{ pour tout } i \in I$.

(b) On remarque que T est stable par passage au complémentaire car, si $A \subset T$, on a $A \in T_i \text{ pour tout } i \in I$, et donc $A^c \in T_i \text{ pour tout } i \in I$ (car $T_i$ est stable par passage au complémentaire), donc $A^c \in T$.

(c) On remarque enfin que T est stable par union dénombrable car, si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$, on a $A_n \in T_i \text{ pour tout } i \in I \text{ et tout } n \in \mathbb{N} \text{ donc } \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in T_i \text{ pour tout } i \in I \text{ et tout } n \in \mathbb{N} \text{ (car } T_i \text{ est stable par union dénombrable), donc } \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in T$.

D'après l'exercice 2.1, on en déduit que T est une tribu.

2. Soit $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(E)$. On note $T_A$ l'intersection de toutes les tribus sur E contenant $\mathcal{A}$ (une partie de E appartient donc à $T_A$ si et seulement si elle appartient à toutes les tribus contenant $\mathcal{A}$, on remarquera qu'il y a toujours au moins une tribu contenant $\mathcal{A}$, c'est la tribu $\mathcal{P}(E)$). Montrer que $T_A$ est la plus petite des tribus contenant $\mathcal{A}$ (c'est la tribu engendrée par $\mathcal{A}$).

**Corrigé** – D'après la question précédente, $T_A$ est bien une tribu. La définition de $T_A$ donne que toute tribu contenant $\mathcal{A}$ doit contenir $T_A$. $T_A$ est donc la plus petite tribu contenant $\mathcal{A}$.

3. Soient $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B} \subset \mathcal{P}(E)$ et $T_A, T_B$ les tribus engendrées par $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$. Montrer que si $\mathcal{A} \subset \mathcal{B}$ alors $T_A \subset T_B$.

**Corrigé** – $T_B$ est une tribu contenant $\mathcal{B}$, donc contenant $\mathcal{A}$. Donc $T_A \subset T_B$.
### Exercice 2.3 (Exemples de tribus)

#### 1. Tribu trace

(a) Soit $\mathcal{T}$ une tribu sur un ensemble E et F $\subset E$. Montrer que $\mathcal{T}_F = \{A \cap F, A \in \mathcal{T}\}$ est une tribu sur F (tribu trace de $\mathcal{T}$ sur F).

**Corrigé** –

i. $\emptyset \in \mathcal{T}_F$ car $\emptyset = \emptyset \cap F$ et $\emptyset \in \mathcal{T}$.

ii. Soit $A \in \mathcal{T}_F$. Il existe $B \in \mathcal{T}$ tel que $A = B \cap F$. On a donc $F \setminus A = (E \setminus B) \cap F \in \mathcal{T}_F$ car $E \setminus B \in \mathcal{T}$. $\mathcal{T}_F$ est donc stable par passage au complémentaire.

iii. Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{T}_F$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe $B_n \in \mathcal{T}$ tel que $A_n = B_n \cap F$. On a donc

$$ \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n = \left( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n \right) \cap F \in \mathcal{T}_F $$

car $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n \in \mathcal{T}$. $\mathcal{T}_F$ est donc stable par union dénombrable.

Ceci est suffisant pour dire que $\mathcal{T}_F$ est une tribu sur F.

(b) Si E est un espace topologique et $\mathcal{T} = \mathcal{B}(E)$ ($\mathcal{B}(E)$ est la tribu borélienne de E), montrer que la tribu trace sur F, notée $\mathcal{T}_F$, est la tribu engendrée par la topologie trace sur F (tribu borélienne de F, notée $\mathcal{B}(F)$). [Montrer que $\mathcal{B}(F) \subset \mathcal{T}_F$. Pour montrer que $\mathcal{T}_F \subset \mathcal{B}(F)$, considérer $\mathcal{C} = \{A \in \mathcal{P}(E); A \cap F \in \mathcal{B}(F)\}$ et montrer que $\mathcal{C}$ est une tribu (sur E) contenant les ouverts de E.] Si F est un borélien de E, montrer que $\mathcal{T}_F$ est égale à l'ensemble des boréliens de E contenus dans F.

**Corrigé** – On note $\mathcal{O}_F$ l'ensemble des ouverts de F, et $\mathcal{O}_E$ l'ensemble des ouverts de E. Par définition de la topologie trace, $\mathcal{O}_F = \{O \cap F, O \in \mathcal{O}_E\}$.

Comme $\mathcal{O}_E \subset \mathcal{B}(E)$, on a $\mathcal{O}_F \subset \mathcal{T}_F = \{B \cap F, B \in \mathcal{B}(E)\}$ (Noter que $\mathcal{T}_F = \mathcal{B}(E)_{\mathcal{F}}$, avec les notations de la question précédente). On en déduit que $\mathcal{B}(F) \subset \mathcal{T}_F$ car $\mathcal{T}_F$ est une tribu sur F contenant $\mathcal{O}_F$ qui engendre $\mathcal{B}(F)$.

On montre maintenant que $\mathcal{T}_F \subset \mathcal{B}(F)$. On pose $\mathcal{C} = \{A \in \mathcal{P}(E); A \cap F \in \mathcal{B}(F)\}$. $\emptyset \in \mathcal{C}$ car $\emptyset \cap F = \emptyset \in \mathcal{B}(F)$. $\mathcal{C}$ est stable par passage au complémentaire car, si $A \in \mathcal{C}$, on a $(E \setminus A) \cap F = F \setminus A = F \setminus (A \cap F) \in \mathcal{B}(F)$, donc $(E \setminus A) \in \mathcal{C}$. Enfin, pour montrer que $\mathcal{C}$ est stable par union dénombrable, soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{C}$, on a $(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n) \cap F = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} (A_n \cap F) \in \mathcal{B}(F)$, ce qui donne $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{C}$ et la stabilité de $\mathcal{C}$ par union dénombrable. $\mathcal{C}$ est donc une tribu. Il est clair que $\mathcal{O}_E \subset \mathcal{C}$ car si $O \in \mathcal{O}_E$, on a $O \cap F \in \mathcal{O}_F \subset \mathcal{B}(F)$. La tribu $\mathcal{C}$ contient $\mathcal{O}_E$, ce qui prouve que $\mathcal{C}$ contient $\mathcal{B}(E)$ et donc que $A \cap F \in \mathcal{B}(F)$ pour tout $A \in \mathcal{B}(E)$. Ceci donne exactement $\mathcal{T}_F \subset \mathcal{B}(F)$. On a bien montré finalement que $\mathcal{T}_F = \mathcal{B}(F)$ (on rappelle que $\mathcal{T}_F = \mathcal{B}(E)_{\mathcal{F}}$, avec les notations de la question précédente).

On suppose maintenant que F est un borélien de E, c'est-à-dire que $F \in \mathcal{B}(E)$. On a alors $\mathcal{T}_F \subset \mathcal{B}(E)$ (car $A \cap F \in \mathcal{B}(E)$ si $A \in \mathcal{B}(E)$). Puis, soit $A \subset F$ tel que $A \in \mathcal{B}(E)$, on peut écrire $A = A \cap F$, donc $A \in \mathcal{T}_F$. On a bien montré que $\mathcal{T}_F = \{A \subset F; A \in \mathcal{B}(E)\}$.
2. Soit E un ensemble infini et S = {{x}, x ∈ E}. Déterminer la tribu engendrée par S (distinguer les cas E dénombrable et non dénombrable).

**Corrigé** – On note $T(S)$ la tribu engendrée par $S$.

On suppose que E est au plus dénombrable (c'est-à-dire dire fini ou dénombrable).
D'après la stabilité de T(S) par union dénombrable, la tribu T(S) doit contenir toutes les parties au plus dénombrables. Comme toutes les parties de E sont au plus dénombrables, on en déduit T(S) = P(E).

On suppose maintenant que E est infini non dénombrable. On note $\mathcal{A}$ l'ensemble des parties de E au plus dénombrables et $\mathcal{B} = \{A^c, A \in \mathcal{A}\}$. D'après la stabilité de T(S) par union dénombrable, la tribu $T(S)$ doit contenir $\mathcal{A}$. Par stabilité de T(S) par passage au complémentaire, $T(S)$ doit aussi contenir $\mathcal{B}$.

on va montrer maintenant que $\mathcal{A} \cup \mathcal{B}$ est une tribu (on en déduit que $T(S) = \mathcal{A} \cup \mathcal{B}$).
On a $\emptyset \in \mathcal{A} \subset \mathcal{A} \cup \mathcal{B}$ et il est clair que $\mathcal{A} \cup \mathcal{B}$ est stable par passage au complémentaire (car $A \in \mathcal{A}$ implique $A^c \in \mathcal{B}$ et $A \in \mathcal{B}$ implique $A^c \in \mathcal{A}$). Enfin, si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{A} \cup \mathcal{B}$, on distingue 2 cas :

1er cas. Si $A_n \in \mathcal{A}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a alors $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{A} \subset \mathcal{A} \cup \mathcal{B}$.

2ème cas. Si il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $A_n \in \mathcal{B}$ on a alors $A_n^c \in \mathcal{A}$, donc $A_n^c$ est au plus dénombrable et $(\bigcup_{p \in \mathbb{N}} A_p)^c = \bigcap_{p \in \mathbb{N}} A_p^c \subset A_n^c$ est aussi au plus dénombrable,ce qui donne $(\bigcup_{p \in \mathbb{N}} A_p)^c \in \mathcal{A}$ et $\bigcup_{p \in \mathbb{N}} A_p \in \mathcal{B} \subset \mathcal{A} \cup \mathcal{B}$.

On a bien montré que $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{A} \cup \mathcal{B}$, ce qui prouve la stabilité par union dénom-
brable de $\mathcal{A} \cup \mathcal{B}$. Finalement, $\mathcal{A} \cup \mathcal{B}$ est donc une tribu contenant S et contenu dans
$T(S)$, ceci donne $T(S) = \mathcal{A} \cup \mathcal{B}$.

**Exercice 2.4 (Tribus images)** Soient E et F des ensembles. Pour $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(E)$ (resp. $\mathcal{P}(F)$) on note $T(\mathcal{A})$ la tribu de E (resp. F) engendrée par $\mathcal{A}$.
Soit $f : E \to F$ une application.

1. Soit $\mathcal{T}'$ une tribu sur F. On pose $f^{-1}(\mathcal{T}') = \{f^{-1}(B); B \in \mathcal{T}'\}$. Montrer que $f^{-1}(\mathcal{T}')$ est une tribu sur E (c'est la tribu image réciproque de $\mathcal{T}'$ par $f$).

**Corrigé** – On démontre que $f^{-1}(\mathcal{T}')$ est une tribu sur E en remarquant que $f^{-1}(\emptyset) = \emptyset$, $E \setminus f^{-1}(A) = f^{-1}(F \setminus A)$ (pour tout $A \subset F$) et que

$$
\forall (A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{P}(F), f^{-1}(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} f^{-1}(A_n).
$$

2. Soit $\mathcal{T}$ une tribu sur E. On pose $\mathcal{T}' = \{B \subset F; f^{-1}(B) \in \mathcal{T}\}$. Montrer que $\mathcal{T}'$ est une tribu sur F (c'est la tribu image directe de T par $f$).

**Corrigé** – Ici aussi, on montre que $\mathcal{T}'$ est une tribu sur F en remarquant que $f^{-1}(\emptyset) = \emptyset$, $f^{-1}(F \setminus A) = E \setminus f^{-1}(A)$ (pour tout $A \subset F$) et que,

$$
\forall (A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{P}(F), f^{-1}(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} f^{-1}(A_n).
$$

Noter que, en général, $\{f(B), B \in \mathcal{T}\}$ n'est pas une tribu sur F (par exemple, si $f$ est non surjective, $F \notin \{f(B), B \in \mathcal{T}\}$).
3. Soit $\mathcal{C}$ un ensemble de parties de $F$. On pose $f^{-1}(\mathcal{C}) = \{f^{-1}(B); B \in \mathcal{C}\}$. Montrer que $T(f^{-1}(\mathcal{C})) = f^{-1}(T(\mathcal{C}))$. [On pourra montrer d'abord que $T(f^{-1}(\mathcal{C})) \subset f^{-1}(T(\mathcal{C}))$. Puis, pour montrer que $f^{-1}(T(\mathcal{C})) \subset T(f^{-1}(\mathcal{C}))$, montrer que $T = \{G \subset F; f^{-1}(G) \in T(f^{-1}(\mathcal{C}))\}$ est une tribu contenant $\mathcal{C}$.]

**Corrigé** – $f^{-1}(T(\mathcal{C}))$ est une tribu sur $\mathbb{E}$ (d'après la première question) contenant $f^{-1}(\mathcal{C})$ (car $T(\mathcal{C}) \supset \mathcal{C}$), elle contient donc $T(f^{-1}(\mathcal{C}))$, ce qui donne $f^{-1}(T(\mathcal{C})) \supset T(f^{-1}(\mathcal{C}))$.

Pour montrer l'inclusion inverse, c'est-à-dire $f^{-1}(T(\mathcal{C})) \subset T(f^{-1}(\mathcal{C}))$. On pose $T = \{G \subset F; f^{-1}(G) \in T(f^{-1}(\mathcal{C}))\}$. On montre d'abord que $T$ est une tribu :

(a) $\emptyset \in T \text{ car } f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in T(f^{-1}(\mathcal{C}))$

(b) $T$ est stable par passage au complémentaire car, si $A \in T$, on a $f^{-1}(A) \in T(f^{-1}(\mathcal{C}))$ et $f^{-1}(F \setminus A) = E \setminus f^{-1}(A) \in T(f^{-1}(\mathcal{C}))$, donc $(F \setminus A) \in T$.

(c) $T$ est stable par union dénombrable. En effet : Si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$, on a $f^{-1}(A_n) \in T(f^{-1}(\mathcal{C}))$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $f^{-1}(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} f^{-1}(A_n) \in T(f^{-1}(\mathcal{C}))$, donc $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in T$.

On a bien montré que $T$ est une tribu. Il est immédiat que $T \supset \mathcal{C}$ (car $f^{-1}(B) \in T(f^{-1}(\mathcal{C}))$ pour tout $B \in \mathcal{C}$). On en déduit que $T$ contient $T(\mathcal{C})$, c'est-à-dire que $f^{-1}(B) \in T(f^{-1}(\mathcal{C}))$ pour tout $B \in T(\mathcal{C})$. Ceci signifie exactement que $f^{-1}(T(\mathcal{C})) \subset T(f^{-1}(\mathcal{C}))$.

Les 2 inclusions nous donnent bien $f^{-1}(T(\mathcal{C})) = T(f^{-1}(\mathcal{C}))$.

**Exercice 2.5 (π-système, λ-système)** Soit $\Omega$ un ensemble et $\mathcal{F} \subset \mathcal{P}(\Omega)$.

1. Montrer que $\mathcal{F}$ est une tribu si et seulement si $\mathcal{F}$ est un π-système (c'est-à-dire stable par intersection finie) et un λ-système (c'est-à-dire que $\mathcal{F}$ est stable par union dénombrable croissante, $\Omega \in \mathcal{F}$ et $A \setminus B \in \mathcal{F}$ si $A, B \in \mathcal{F}$ avec $B \subset A$).

**Corrigé** – Si $\mathcal{F}$ est une tribu, il est immédiat que $\mathcal{F}$ est un π-système et un λ-système. La question consiste à démontrer la réciproque.

On suppose donc $\mathcal{F}$ est un π-système et un λ-système. Pour montrer que $\mathcal{F}$ est une tribu, il suffit de démontrer que $\mathcal{F}$ possède les trois propriétés suivantes :

(p1) $\Omega \in \mathcal{F}$,

(p2) $\mathcal{F}$ est stable par passage au complémentaire,

(p3) $\mathcal{F}$ est stable par union dénombrable.

La propriété (p1) est immédiate car elle est dans la définition de λ-système.

La propriété (p2) est aussi assez simple. En effet, soit $A \in \mathcal{F}$, Comme $\Omega \in \mathcal{F}$ et $A \subset \Omega$, la troisième propriété des λ-systèmes donne $A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal{F}$. Ceci prouve bien (p2).

On prouve maintenant (p3). Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite telle que $A_n \in \mathcal{F}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. On pose $A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$ et on veut montrer que $A \in \mathcal{F}$. On commence par remarquer
que $A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n$, avec

$$B_n = \bigcup_{p=0}^{n} A_p.$$

Comme $B_n \subset B_{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et que $\mathcal{F}$ est stable par union dénombrable croissante, il suffit de montrer que $B_n \in \mathcal{F}$ (pour tout $n \in \mathbb{N}$) pour avoir $A \in \mathcal{F}$.

Soit $n \in \mathbb{N}$, on a $B_n^c = (\bigcup_{p=0}^n A_p)^c = \bigcap_{p=0}^n A_p^c$. Pour tout $p$, on a $A_p \in \mathcal{F}$, on a donc $A_p^c \in \mathcal{F}$ (car $\mathcal{F}$ vérifie (p2)) et donc $\bigcap_{p=0}^n A_p^c \in \mathcal{F}$ (car $\mathcal{F}$ est un $\pi$-système). On a ainsi montré que $B_n^c \in \mathcal{F}$. Enfin, comme $\mathcal{F}$ vérifie (p2), on a bien $B_n \in \mathcal{F}$. On en déduit que $A \in \mathcal{F}$ et donc que $\mathcal{F}$ vérifie (p3), ce qui termine cette question.

2. On suppose que $\mathcal{F}$ est un $\lambda$-système. Soit $C \in \mathcal{F}$. On pose $\mathcal{G} = \{B \subset \Omega \text{ tel que } C \cap B \in \mathcal{F}\}$. Montrer que $\mathcal{G}$ est un $\lambda$-système.

**Corrigé** – On va montrer que $\mathcal{G}$ vérifie les trois propriétés définissant un $\lambda$-système.

(1) **On montre la stabilité de $\mathcal{G}$ par union dénombrable croissante – Soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de parties de $\Omega$ telle que $A_n \subset A_{n+1}$ et $A_n \in \mathcal{G}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. On veut montrer que $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{G}$. Pour cela on remarque que**

$$C \cap (\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} (C \cap A_n).$$

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $A_n \in \mathcal{G}$ et donc $C \cap A_n \in \mathcal{F}$. Comme $(C \cap A_n) \subset (C \cap A_{n+1})$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et que $\mathcal{F}$ est stable par union dénombrable croissante, on a donc $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} (C \cap A_n) \in \mathcal{F}$, ce qui donne bien que $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in \mathcal{G}$.

(2) **On montre que $\Omega \in \mathcal{G}$ – Cette propriété de $\mathcal{G}$ est due au fait que $C \in \mathcal{F}$ (et donc $C \cap \Omega = C \in \mathcal{F}$).**

(3) **On montre que $A \setminus B \in \mathcal{G}$ si $A, B \in \mathcal{G}$ avec $B \subset A$ – Soit $A, B \in \mathcal{G}$ avec $B \subset A$. On remarque que $C \cap (A \setminus B) = (C \cap A) \setminus (C \cap B)$. Comme $B \cap C, A \cap C \in \mathcal{F}$ et $(B \cap C) \subset (A \cap C)$, on a $(C \cap A) \setminus (C \cap B) \in \mathcal{F}$. On a donc $C \cap (A \setminus B) \in \mathcal{F}$, ce qui donne bien $(A \setminus B) \in \mathcal{G}$. On a ainsi montré que $\mathcal{G}$ est un $\lambda$-système.**

**Exercice 2.6 (Tribu borélienne sur $\mathbb{R}^2$)** On note T la tribu (sur $\mathbb{R}^2$) engendrée par $\{A \times B; A, B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}$. On va montrer ici que $T = \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$.

1. Montrer que tout ouvert de $\mathbb{R}^2$ est réunion au plus dénombrable de produits d'intervalles ouverts de $\mathbb{R}$. [S'inspirer d'une démonstration analogue faite pour $\mathbb{R}$ au lieu de $\mathbb{R}^2$.] En déduire que $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2) \subset T$.

**Corrigé** – On s'inspire ici de la démonstration du lemme 2.11 (une autre méthode est donnée à l'exercice 2.7).

Soit O un ouvert de $\mathbb{R}^2$. Pour tout $x = (x_1, x_2)^t \in O$, il existe $r > 0$ tel que $]x_1 - r, x_1 + r[x_1 - r, x_2 + r[ \subset O$. Comme les rationnels sont denses dans $\mathbb{R}$, on peut trouver $y_1 \in \mathbb{Q} \cap ]x_1 - r, x_1 + r[$, $y_2 \in \mathbb{Q} \cap ]x_1, x_1 + r[$, $y_2 \in \mathbb{Q} \cap ]x_2 - r, x_2[$ et $z_2 \in \mathbb{Q} \cap ]x_2, x_2 + r[$. On a donc $x \in ]y_1, z_1[x[y_2, z_2[ \subset O$.
On note alors $I = \{(y_1, z_1, y_2, z_2) \in \mathbb{Q}^4; ]y_1, z_1[ \times ]y_2, z_2[) \subset O\}$. Pour tout $x \in O$, il existe donc $(y_1, z_1, y_2, z_2) \in I$ tel que $x \in ]y_1, z_1[ \times ]y_2, z_2[$. On en déduit que

$$O = \bigcup_{(y_1, z_1, y_2, z_2) \in I} ]y_1, z_1[ \times ]y_2, z_2[.$$

Comme $I$ est au plus dénombrable (car $\mathbb{Q}^4$ est dénombrable), on en déduit que $O \in T$. On a ainsi montré que $T$ est une tribu contenant tous les ouverts de $\mathbb{R}^2$, et donc contenant la tribu engendrée par les ouverts de $\mathbb{R}^2$ (c'est-à-dire $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$). Donc, $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2) \subset T$.

2. Soit $A$ un ouvert de $\mathbb{R}$ et $T_1 = \{B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}); A \times B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\}$. Montrer que $T_1$ est une tribu (sur $\mathbb{R}$) contenant les ouverts (de $\mathbb{R}$). En déduire que $T_1 = \mathcal{B}(\mathbb{R})$.

$$ \textbf{Corrigé} - \emptyset \in T_1 \text{ car } A \times \emptyset = \emptyset \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2). $$

- On montre ici que $T_1$ est stable par passage au complémentaire.

Soit $B \in T_1$, on a donc $B^c \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et $A \times B^c = A \times (\mathbb{R} \setminus B) = (A \times \mathbb{R}) \setminus (A \times B)$. Or, $(A \times \mathbb{R})$ est un ouvert de $\mathbb{R}^2$ (car $A$ et $\mathbb{R}$ sont des ouverts de $\mathbb{R}$), on a donc $(A \times \mathbb{R}) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$. D'autre part, $(A \times B) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ (car $B \in T_1$). Donc, $A \times B^c = (A \times \mathbb{R}) \setminus (A \times B) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$. Ce qui prouve que $B^c \in T_1$ et donc que $T_1$ est stable par passage au complémentaire.

- Enfin, $T_1$ est stable par union dénombrable. En effet, si $(B_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T_1$, on a $A \times (\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A \times B_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ (car $A \times B_n \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$). Donc, $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n \in T_1$.

On a donc montré que $T_1$ est une tribu, il reste à montrer que $T_1$ contient les ouverts de $\mathbb{R}$.

Soit $B$ un ouvert de $\mathbb{R}$. On a donc $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et, comme $A \times B$ est un ouvert de $\mathbb{R}^2$, on a $A \times B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$. On a donc $B \in T_1$.

$T_1$ est donc une tribu contenant les ouverts de $\mathbb{R}$, donc contenant $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Donc, $T_1 = \mathcal{B}(\mathbb{R})$.

La conséquence de cette question est donc :

$$ A \text{ ouvert de } \mathbb{R} \text{ et } B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \Rightarrow A \times B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2). \quad (2.17) $$

3. Soit $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et $T_2 = \{A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}); A \times B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\}$. Montrer que $T_2 = \mathcal{B}(\mathbb{R})$.

**Corrigé** – On commence par remarquer que la question précédente donne que $T_2$ contient les ouverts de $\mathbb{R}$. En effet, soit $A$ un ouvert de $\mathbb{R}$, la propriété (2.17) donne $A \times B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$, et donc $A \in T_2$.

On montre maintenant que $T_2$ est une tribu (on en déduira que $T_2 = \mathcal{B}(\mathbb{R})$).

$$ (a) \emptyset \in T_2 \text{ car } \emptyset \times B = \emptyset \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2). $$

(b) On montre ici que $T_2$ est stable par passage au complémentaire.

Soit $A \in T_2$, on a $A^c \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et $A^c \times B = (\mathbb{R} \times B) \setminus (A \times B)$. La propriété (2.17) donne $(\mathbb{R} \times B) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ car $\mathbb{R}$ est un ouvert de $\mathbb{R}$. D'autre part, $(A \times B) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ (car $A \in T_2$). Donc, $A^c \times B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$. Ce qui prouve que $A^c \in T_2$ et donc que $T_2$ est stable par passage au complémentaire.
(c) Enfin, $T_2$ est stable par union dénombrable. En effet, si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T_2$, on a
$(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n) \times B = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} (A_n \times B) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ (car $A_n \times B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$).
Donc, $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in T_2$.

$T_2$ est donc une tribu (sur $\mathbb{R}$) contenant les ouverts de $\mathbb{R}$, ce qui prouve que $T_2 \supset \mathcal{B}(\mathbb{R})$
et donc, finalement, $T_2 = \mathcal{B}(\mathbb{R})$.

4. Montrer que $T \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ (et donc que $T = \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$).

**Corrigé** – La question précédente donne :

$$
A, B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \Rightarrow A \times B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^2).
$$

On a donc $\{A \times B; A, B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\} \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$. On en déduit $T \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$. Avec la question 1, on a finalement $T = \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$.

**Exercice 2.7 (Tribu borélienne sur $\mathbb{R}^N$)**

1. Montrer que la tribu borélienne de $\mathbb{R}^N$ est égale à celle engendrée par l'ensemble de toutes les boules ouvertes de $\mathbb{R}^N$. [On pourra montrer d'abord que tout ouvert de $\mathbb{R}^N$ est réunion dénombrable de boules ouvertes de $\mathbb{R}^N$.]

**Corrigé** –

Soit $T$ la tribu engendrée par l'ensemble de toutes les boules ouvertes de $\mathbb{R}^N$. Comme les boules ouvertes sont des ouverts, on a $T \subset \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$.

On montre maintenant l'inclusion inverse, c'est-à-dire $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N) \subset T$. Soit $O$ un ouvert de $\mathbb{R}^N$. Pour tout $x \in O$, il existe $r > 0$ tel que $B(x,r) \subset O$ (où $B(x,r)$ désigne la boule ouverte de centre $x$ et rayon $r$). Comme $Q$ est dense dans $\mathbb{R}$, on peut donc trouver $y \in Q^N$ et $s \in Q_+^* = \{t \in Q; t > 0\}$, tel que $x \in B(y,s) \subset O$. On note alors $I = \{(y,s) \in Q^N \times Q_+^*; B(y,s) \subset O\}$. On a alors $O = \bigcup_{(y,s) \in I} B(y,s)$. Comme $I$ est au plus dénombrable (car $Q^{N+1}$ est dénombrable), on en déduit que $O \in T$ et donc que $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N) \subset T$ (car $T$ est une tribu contenant tous les ouverts).

Le raisonnement précédent montre même que $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ est aussi la tribu engendrée par l'ensemble des boules ouvertes dont le rayon est rationnel et dont le centre a des coordonnées rationnelles.

2. Montrer que la tribu borélienne de $\mathbb{R}^N$ est égale à celle engendrée par l'ensemble des produits d'intervalles ouverts à extrémités rationnelles.

**Corrigé** – On reprend le même raisonnement que dans la question précédente en remplaçant $\mathcal{B}(x,r)$ par $P(x,r) = \prod_{i=1}^{N} x_i - r, x_i + r$, avec $x = (x_1, \dots, x_N)^t$.

3. Montrer que la tribu borélienne de $\mathbb{R}$ est engendrée par les intervalles $]a, b]$ où $a, b \in \mathbb{R}$, $a < b$.

**Corrigé** – Soit $C = \{]a, b], a, b \in \mathbb{R}, a < b\}$ et $T(C)$ la tribu engendrée par $C$. Comme $]a, b] = \bigcap_{n>0} ]a, b + \frac{1}{n}[$, on voit que $]a, b] \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ pour tout $a, b \in \mathbb{R}, a < b$. Donc, on $a \in C \subset \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et donc $T(C) \subset \mathcal{B}(\mathbb{R})$.

On montre maintenant l'inclusion inverse, c'est-à-dire $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \subset T(C)$. Soit $I =]a, b[$ avec $a, b \in \mathbb{R}$, $a < b$. On peut écrire $I = \bigcup_{n \ge n_0} ]a, b - \frac{1}{n}]$, avec $n_0$ tel que $\frac{1}{n_0} < b - a$.