# Sur les “caractéristiques” des fonctionnelles additives

Paul-André Meyer

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Paul-André Meyer. Sur les “caractéristiques” des fonctionnelles additives. Annales de l’ISUP, 1967, XVI (1), pp.51-59. hal-04083878

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# SUR LES « CARACTÉRISTIQUES »
DES FONCTIONNELLES ADDITIVES

P.-A. MEYER

La classe des fonctionnelles additives $(A_t)$ d'un processus de Markov, positives, et telles que la fonction $E^o[A_\infty]$ soit partout finie, est maintenant très bien connue. Récemment, comme outil technique dans leurs articles sur les fonctionnelles additives de carré intégrable, M. Motoo et S. Watanabe (voir [1]) ont eu à utiliser des fonctionnelles additives positives $(A_t)$, ne satisfaisant pas à la condition précédente, mais telles que $E^x[A_t] < +\infty$ pour tout $x$ et tout $t$. Dans ce cas, la notion de *potentiel* de la fonctionnelle additive est remplacée par celle de *caractéristique*, due à Dynkin, et la théorie présente quelques difficultés supplémentaires. L'article [1] n'épuise pas tout à fait le sujet : par exemple, la correspondance entre caractéristiques et fonctionnelles additives n'est donnée que dans le cas des caractéristiques régulières, alors qu'on peut la traiter dans le cas général. Je me propose ici de redémontrer la plupart des résultats de Motoo et Watanabe concernant les caractéristiques, par une autre méthode (au moyen de la décomposition des surmartingales), qui permet aussi d'atteindre le cas des caractéristiques non régulières. Cela mis à part, on ne trouvera dans ce qui suit aucun résultat nouveau.

## 1. Définition et premières propriétés des caractéristiques

Nous utiliserons les notations qui sont universellement en usage (à de petites variantes près...) dans la théorie des processus de Markov. $(X_t)$ désigne ci-dessous un processus de Hunt, admettant comme espace d'états un espace localement compact à base dénombrable $E$, et un semi-groupe de transition $(P_t)^{(1)}$.

<footnote>(1) Nous supposerons le semi-groupe *markovien* pour simplifier. On sait que cela ne restreint pas la généralité.</footnote>
**DÉFINITION.** – On appelle caractéristique une famille $c = (c_t)_{t \in \mathbb{R}}$, de fonctions universellement mesurables positives définies sur $\mathbb{E}$, finies et satisfaisant aux deux propriétés suivantes

$$1/ \lim_{t \to 0+} c_t(x) = 0 \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{E}$$

$$2/ c_{s+t} = c_s + P_s c_t \quad \text{quels que soient } s, t \in \mathbb{R},$$

**EXEMPLES.** – a) Soit $f$ une fonction excessive finie ; on obtient une caractéristique en posant $c_t = f - P_t f$.

b) Soit $A = (A_t)_{t \in \mathbb{R}}$, une fonctionnelle additive, positive, telle que $E^x[A_t] < +\infty$ pour tout $x$ et tout $t$ (nous dirons dans la suite que $A$ est localement intégrable, ou appartient à la classe $\mathcal{L}\mathcal{Y}^+$). On obtient une caractéristique en posant

$$c_t(x) = E^x[A_t].$$

En effet, la propriété 1/ est une conséquence de la relation $A_0 = 0$, et du théorème de Lebesgue, et la propriété 2/ résulte de la relation $A_{s+t} = A_s + A_t \circ \theta_s$. On dira dans la suite que la caractéristique ainsi définie est la caractéristique de la fonctionnelle $A$.

## PREMIÈRES PROPRIÉTÉS.

a) La relation 2/ entraîne que $c_t$ croît avec $t$, et que la fonction $P_s c_t$ est finie quels que soient $s$ et $t$. Alors la relation 1/, et le théorème de Lebesgue, entraînent que $P_s c_t \to 0$ lorsque $t \to 0^+$. Revenant à 2/, on en déduit que la fonction $c_t(x)$ est continue à droite en $t$. En appliquant alors 2/ à nouveau, mais en faisant tendre $s$ vers $0$, on voit que $P_s c_t \to c_t$ lorsque $s \to 0^+$. La relation $P_s c_t \le c_{s+t}$ entraîne que la fonction $s \mapsto P_s c_t(x)$ est localement bornée, et on a donc aussi $\frac{1}{h} \int_0^h P_s c_t ds \to 0$ lorsque $h \to 0^+$ ; par conséquent, les fonctions $c_t$ sont presque-boréliennes.

b) Soit un $t > 0$ ; posons, pour $s \in [0, t]$

$$Y_s = c_{t-s} \circ X_s.$$

On a $E^x[Y_s] = P_s c_{t-s} < +\infty$ pour tout $x \in \mathbb{E}$ et, si $0 \le u < v \le t$

$$E[Y_v | \mathcal{F}_u] = E[c_{t-v} \circ X_v | \mathcal{F}_u] = P_{v-u} c_{t-v} \circ X_u = c_{t-u} \circ X_u - c_{v-u} \circ X_u \le c_{t-u} \circ X_u = Y_u$$

Autrement dit, le processus $(Y_s)_{s \in [0, t]}$ est une surmartingale positive. Le théorème suivant joue alors le rôle du célèbre théorème de Hunt sur le comportement des fonctions excessives.
### THÉORÈME 1. La surmartingale $(Y_s)$ est continue à droite.

### DÉMONSTRATION.
- Remarquons d'abord que le processus $(Y_s)$ est bien-mesurable par rapport à la famille $(\mathcal{F}_s)_{s \in [0, t]}$([2], chap. VIII, déf. 14). En effet, l'application $(s, \omega) \mapsto X_s(\omega)$ de $[0, t] \times \Omega$ (muni de la tribu des ensembles bien-mesurables) dans $(E, \mathcal{B}(E))$, est mesurable (chap. VIII, th. 16). On peut évidemment remplacer la tribu $\mathcal{B}(E)$ par la tribu $\mathcal{B}'$ des ensembles presque-boréliens. Par conséquent, l'application $(s, \omega) \mapsto (s, X_s(\omega))$ de $[0, t] \times \Omega$ dans $([0, t] \times E, \mathcal{B}([0, t]) \times \mathcal{B}')$, est mesurable. D'autre part, l'application $(s, x) \mapsto c_{t-s}(x)$ de $[0, t] \times E$ dans $\mathcal{R}$, est mesurable en vertu du caractère presque-borélien des fonctions $c_s$, et de la continuité à droite de la caractéristique (chap. IV, th. 47). Par composition, on en déduit que $(s, \omega) \mapsto c_{t-s} \circ X_s(\omega)$ est une application bien-mesurable.

Le processus $(Y_s)$ est une surmartingale positive. Posons $Z_t = Y_t$ et si $s < t$

$$Z_s(\omega) = \lim_{\substack{r \to s \\ r \text{ rationnel}}} Y_r(\omega),$$

si cette limite existe pour tout $s < t$ (événement presque sûr) ; dans le cas contraire, on posera $Z_s(\omega) = 0$ pour tout $s < t$. Le processus ainsi défini est continu à droite, donc bien-mesurable.

Pour montrer que l'on a, pour presque tout $\omega$, $Y_s(\omega) = Z_s(\omega)$ pour tout $s$, ce qui établira le théorème, il nous suffira donc ([2], chap. VIII, th. 21) de montrer que $Y_T = Z_T$ p.s. pour tout temps d'arrêt $T \le t$ et il suffit évidemment de traiter le cas où $T$ est majoré par une constante $t' < t$. Soit $T_n$ la n-ième approximation dyadique de $T$ ($T_n = k2^{-n}t$ si et seulement si $(k-1)2^{-n}t \le T < k2^{-n}t$)(1) ; comme on a évidemment $Y_{T_n} = Z_{T_n}$ p.s., il nous suffira de montrer que $Y_{T_n} \to Y_T$ p.s. lorsque $n \to \infty$. Posons $\lambda_n = T_n - T$ ; $\lambda_n$ est $\mathcal{F}_T$-mesurable, et $\lambda_n \le 2^{-n}$. Soit $\Omega'$ une copie de $\Omega$ ; posons sur $\Omega \times \Omega'$, muni de la tribu $\mathcal{F}_T \times \mathcal{F}'$

$$f(\omega, \omega') = c_{T-T_n}(\omega)(X_{\lambda_n}(\omega')).$$

L'application $(\omega, \omega') \mapsto (T_n(\omega), \lambda_n(\omega), \omega')$ de $\Omega \times \Omega'$ dans $[0, t] \times \mathbf{R} \times \Omega'$ est mesurable, ainsi que l'application

$$(u, v, \omega') \mapsto c_{t-u} \circ X_v(\omega') \text{ de } [0, t] \times \mathbf{R} \times \Omega' \text{ dans } \mathbf{R}.$$

Par composition, on voit que $f$ est mesurable. D'après une forme

<footnote>(1) Noter que $T_n \le t$ pour $n$ assez grand.</footnote>
classique de la propriété de Markov forte, que nous rappelons plus
loin sous forme de lemme pour la commodité du lecteur, la fonc-
tion $F(\omega, x) = \mathbf{E}^x[f(\omega, .)] = P_{\lambda_n}(\omega)(x, c_{t-T_n}(\omega))$ est mesurable sur
$\Omega \times \mathcal{E}$ (muni de $\mathfrak{F} \times \mathcal{B}_u(E))$, et on a

$$
\mathbf{E}[f(\omega, \theta_T \omega) \mathfrak{F}_T] = F(\omega, X_T(\omega)) \text{ p.s.,}
$$

soit

$$
\mathbf{E}[Y_{T_n} | \mathfrak{F}_T] = c_{t-T}(\omega)(X_T(\omega)) - c_{\lambda_n}(\omega)(X(\omega)) \quad \text{p.s.}
$$

Faisons tendre $n$ vers $+\infty$ ; les variables aléatoires $Y_{T_n}$ sont
uniformément intégrables, et convergent p. s. vers une variable
aléatoire $\eta$ (d'après des théorèmes classiques de Doob sur les
surmartingales) ; $\eta$ est $\mathcal{F}_T$-mesurable, en vertu de la continuité
à droite de la famille $(\mathcal{F}_s)$. Donc $\mathbf{E}[Y_{T_n}|\mathcal{F}_T]$ converge faiblement
vers $\eta$. Comme $c_{\lambda_n}(x)$ tend vers 0 pour tout $x$ lorsque
$n \to +\infty$, puisque $\lambda_n(\omega) \le 2^{-n}$, la formule ci-dessus entraîne que
$\eta = c_{t-T}(X_T) = Y_T$, et le théorème est prouvé.

Voici le lemme que nous avons utilisé

LEMME. – Soit $f(t, \omega, \omega')$ une fonction positive mesurable par rapport à la suite $\mathcal{R}([0, \infty]) \times \mathfrak{F}_T \times \mathcal{F}$, où $T$ est un temps d'arrêt. Désignons par $\mathbf{F}$ la fonction $(t, \omega, x) \mapsto \mathbf{E}^x[f(t, \omega, .)]$ ; $\mathbf{F}$ est alors mesurable par rapport à $\mathcal{R}([0, \infty]) \times \mathfrak{F}_T \times \mathcal{B}_u(E)$, et on a

$$
\mathbf{E}[f(T(\omega), \omega, \theta_T \omega) | \mathfrak{F}_T] = \mathbf{F}(T(\omega), \omega, X_T(\omega)) \quad \text{p.s.}
$$

CONSEQUENCE DU THÉORÈME 1. – a) Soit $T$ un temps d’arrêt borné ; choisissons une constante $t \ge T$ ; et posons pour tout $x \in E$

$$
c_T(x) = c_t(x) - \mathbf{E}^x [ c_{t-T} \circ X_T ] .
$$

Il est facile de vérifier que cela ne dépend pas de $t$. Les pro-
priétés suivantes résultent aussitôt du théorème d’arrêt de Doob,
appliqué à la surmartingale $(Y_s)_{s \in [0, t]}$

$$
1 / S \leq T \Rightarrow c_S \leq c
$$

$$
2/ T_n \downarrow T \Rightarrow c_{T_n} \longrightarrow c_T .
$$

(REMARQUE . – Si c est de la forme

$$
(f - P_t f)_{t \in \mathbb{R}_+} , \text{ resp. } (\mathbf{E}^*[A_t])_{t \in \mathbb{R}_+} ,
$$

on a $c_T = f - P_T f$, resp. $\mathbf{E}^*[A_T]$).
b) Soit $T$ un temps d'arrêt borné, et soit $u$ une constante ;
$c_u \circ X_T$ est intégrable pour toute loi $\mathbf{P}^x$, et on a

$$ \mathbf{E}^x [c_u \circ X_T] = c_{T+u}(x) - c_T(x). $$

En effet, choisissons $t \ge T+u$ ; on a $c_u \circ X_T \le c_{t-T} \circ X_T = Y_T$, intégrable d'après le théorème d'arrêt de Doob. On a d'autre part, d'après a)

$$ c_{T+u}(x) - c_T(x) = \mathbf{E}^x [c_{t-T} \circ X_T - c_{t-T-u} \circ X_{T+u}] $$

Appliquons le lemme, en posant

$$ f(\omega, \omega') = c_{t-T(\omega)-t} \circ X_u(\omega'), \quad F(\omega, x) = P_u c_{t-T(\omega)-u} \circ X_T(x); $$

le second membre est transformé en

$$ \mathbf{E}^x [c_{t-T} \circ X_T - P_u c_{t-T-u} \circ X_T] = \mathbf{E}^x [c_t \circ X_T] $$

d'après l'identité qui définit les caractéristiques.

c) Il en résulte que pour toute suite $(T_n)$ de temps d'arrêt bornés qui tend vers 0 en décroissant, on a

$$ \lim_{n \to \infty} \mathbf{E}^x [c_u \circ X_{T_n}] = \lim_{n \to \infty} c_{T_n+u}(x) - \lim_{n \to \infty} c_{T_n}(x) = c_u(x) $$

pour tout $x \in E$. D'après un théorème de Dynkin, cela entraîne que la fonction $c_u$ est finement continue.

## 2. Utilisation de la décomposition des surmartingales

Rappelons (§1) que nous avons défini une fonctionnelle de la classe $\mathcal{F} \mathcal{F}^+$ (resp. $\mathcal{F} \mathcal{F}_c^+$) comme une fonctionnelle additive $\ge 0$ (resp. $\ge 0$ et continue) A, telle que $\mathbf{E}^x[A_t] < +\infty$ pour tout $x$ et tout $t$.

**DÉFINITION.**— Nous dirons qu'une caractéristique $c = (c_t)$ appartient à la classe (DL) si, pour tout $t \in \mathbb{R}$, la surmartingale continue à droite $(Y_s) = (c_{t-s} \circ X_s)$ appartient à la classe (D) sur l'intervalle $[0, t]$, pour toute loi $\mathbf{P}^x$ (cf. [2], chap. VI, déf. 17). Si de plus cette surmartingale est régulière (chap. VII, déf. 33), on dira que la caractéristique est régulière.

**THÉORÈME 2.**— Soit $c = (c_t)$ une caractéristique de la classe (DL) (resp. régulière de la classe (DL)) ; il existe alors une fonctionnelle
additive naturelle $A = (A_t)$, unique, appartenant à la classe $\mathcal{F} \mathcal{Y}_c^t$ (resp. $\mathcal{F} \mathcal{Y}_c^+$) et telle que $c_t = E^t [A_t]$ pour tout $t \in \mathbb{R}_+^{(1)}$.

DÉMONSTRATION. — Soit $\mathcal{M}$ l'ensemble des mesures positives bornées, telles que, pour tout $t > 0$, la surmartingale $(Y_s)_{s \in [0, t]}$ appartienne à la classe (D) pour la mesure $\mathbf{P}^\mu$. On a $\varepsilon_x \in \mathcal{M}$ pour tout $x \in E$.

Désignons par $A_s^{(h)}$ la fonctionnelle additive définie par

$$A_s^{(h)} = \frac{1}{h} \int_0^s c_h \circ X_s \, ds \quad (1)$$

Si $s < t - h$, on a $A_s^{(h)} = \frac{1}{h} \int_0^s (Y_u - E[Y_u | \mathcal{F}_u]) du$. Désignons par $\sigma_\mu$ la topologie faible $\sigma(L^1, L^\infty)$ associée à la mesure $\mathbf{P}^\mu$; si $\mu \in \mathcal{M}$, $A_s^{(h)}$ converge au sens de $\sigma_\mu$, lorsque $h \to 0$, vers une variable aléatoire $A_s^\mu$, définie à une équivalence près, et que nous pourrons donc supposer $\mathcal{F}$-mesurable et positive (cf. [2], chap. VII, th. 28-29). Le processus $(A_s^\mu + Y_s)_{s \in [0, t]}$ est une martingale pour la mesure $\mathbf{P}^\mu$, et on sait que le processus $(A_s^\mu)$ peut être régularisé en un processus croissant continu à droite - mais nous remettrons cela à plus tard. Nous écrirons simplement $A_s^x$ pour $A_s^{\epsilon_x}$.

Montrons ensuite que $\mu \in \mathcal{M}$ entraîne $\mu P_u \in \mathcal{M}$ pour tout $u \in \mathbb{R}_+$. Soit $t$ un nombre $> 0$, et soit $t' = t + u$ ; nous poserons $Y_s = c_{t-s} \circ X_s$, $Y_s' = c_{t'-s} \circ X_s$, et nous désignerons par $\mathcal{C}$ (resp. $\mathcal{C}'$) l'ensemble de tous les temps d'arrêt bornés par $t$ (resp. par $t'$). Les variables aléatoires $Y_s'$ ($S \in \mathcal{C}'$) sont uniformément intégrables pour la loi $\mathbf{P}^\mu$. Soit $T \in \mathcal{C}$ ; on a

$$E^{\mu} P u [Y_T I_{\{Y_T > n\}}] = E^{\mu} [(Y_T I_{\{Y_T > n\}}) \circ \theta_u],$$

Soit $S$ le temps d'arrêt $u + T \circ \theta_u \in \mathcal{C}'$ ; on a

$$Y_T \circ \theta_u = c_{t-T} \circ \theta_u (X_{T \circ \theta_u} (\theta_{u \circ})) = c_{t'-s} (X_s) = Y_s',$$

et le second membre de la relation ci-dessus vaut donc $E^\mu [Y_s' I_{\{Y_s' > n\}}]$, d'où le résultat annoncé.

Soit $\mu \in \mathcal{M}$ ; $A_s^{(h)}$ converge vers $A_s^{\mu P_u}$ dans la topologie $\sigma_{\mu P_u}$. Soit $f$ une fonction $\mathcal{F}$-mesurable bornée ; il existe une fonction $\mathcal{F}$-mesurable bornée $g$, telle que l'on ait $g \circ \theta_u = E^\mu [f | \theta_u^{-1}(\mathcal{F})]$. On a alors

<footnote>(1) Ce théorème comporte, comme d'habitude, une réciproque facile que nous n'énoncerons pas.</footnote>
$$
\begin{align*}
\mathbf{E}^{\mu}[A_s^{(h)} \circ \theta_u \cdot f] &= \mathbf{E}^{\mu}[A_s^{(h)} \circ \theta_u \cdot g \circ \theta_u] = \mathbf{E}^{\mu\mathbf{P}u}[A_s^{(h)} \cdot g]_{h \to 0} \to \mathbf{E}^{\mu\mathbf{P}u}[A_s^{\mu\mathbf{P}u} \cdot g] \\
&= \mathbf{E}^{\mu}[A_s^{\mu\mathbf{P}u} \circ \theta_u \cdot g \circ \theta_u] = \mathbf{E}^{\mu}[A_s^{\mu\mathbf{P}u} \circ \theta_u \cdot f]
\end{align*}
$$

Autrement dit, $A_s^{(h)} \circ \theta_u$ converge vers $A_s^{\mu\mathbf{P}u} \circ \theta_u$ dans la topologie $\sigma_\mu$ ; on en déduit aussitôt la relation

$$
A_{s+u}^{\mu} = A_{u}^{\mu} + A_{s}^{\mu P u} \circ \theta_{u} \quad \mathbf{P}^{\mu}\text{-p.s.} \qquad (2)
$$

Nous aurons besoin des remarques suivantes : soit $\mu \in \mathcal{M}$ ; comme $\mathbf{E}^{\mu}[Y_0] < +\infty$, on a $< \mu, c_t > < +\infty$. D'autre part, le processus $(A_s^\mu + Y_s)$ est une martingale sur $[0, t]$ ; on a donc $\mathbf{E}^{\mu}[A_s^\mu + Y_s] = \mathbf{E}^{\mu}[Y_0]$, d'où

$$
\mathbf{E}^{\mu}[A_{s}^{\mu}] = \langle \mu, c_{t} - P_{s}c_{t-s} \rangle = \langle \mu, c_{s} \rangle. \quad (3)
$$

Nous avons de plus

$$
\begin{align*}
\mathbf{E}^x[A_s^{(h)}] &= \frac{1}{h} \int_0^s P_u c_h(x) \, du = \frac{1}{h} \int_0^s (c_{u+h}(x) - c_u(x)) \, du = \frac{1}{h} \int_s^{s+h} c_u(x) \, du \\
&\quad - \frac{1}{h} \int_0^h c_u(x) \, du .
\end{align*}
$$

Lorsque $h \to 0$, la fonction $\mathbf{E}^x[A_s^{(h)}]$ tend donc vers $c_s$ et, si $h \le 1$, elle reste majorée par la fonction $\mu$-intégrable $c_{s+1}$.

Passons maintenant à la "régularisation" des $A_s$. Soit $\mathcal{F}^\circ$ la tribu engendrée par les variables aléatoires $X_s$, sans complé- tion d'aucune sorte ; cette tribu est évidemment séparable. Si $f$ est $\mathcal{F}^\circ$-mesurable et bornée, la fonction $\mathbf{E}^\circ[f \cdot A_s^{(h)}]$ est $\mathcal{R}_u$-mesurable sur $\mathcal{E}$ ; il en est donc de même de sa limite, $x \mapsto \mathbf{E}^x[f \cdot A_s^x]$. La famille des mesures $A_s^x$. d$\mathbf{P}^x$ sur $\mathcal{F}^\circ$ est donc universelle- ment mesurable, et il existe donc une fonction $(x, \omega) \mapsto A_s^x(x, \omega)$, positive, mesurable par rapport à $\mathcal{R}_u(\mathcal{E}) \times \mathcal{F}^\circ$, telle que l'on ait pour tout $x$

$$
A_s^x(\omega) = A_s'(x, \omega) \quad \mathbf{P}^x \text{- p. s.}
$$

(voir [2], chap. VIII, n° 10). Posons maintenant $A_s'(\omega) = A_s'(X_0(\omega), \omega)$ ; cette fonction est $\mathcal{F}$-mesurable, et on a $A_s^x = A_s' \mathbf{P}^x$ - p. s. pour tout $x$. Soit $f$ une fonction $\mathcal{F}$-mesurable bornée, et soit $\mu \in \mathcal{M}$ ; nous avons vu que

$$
\mathbf{E}^x[f \cdot A_s^{(h)}] \xrightarrow{h \to 0} \mathbf{E}^x[f \cdot A_s']
$$
et que la fonction $E^*[A_s^{(h)}]$ reste majorée par une fonction $\mu$-intégrable fixe ; on peut donc appliquer le théorème de Lebesgue, et il vient

$$E^{\mu}[f \cdot A_s^{(h)}] \xrightarrow{h \to 0} E^{\mu}[f \cdot A_s']$$

Par conséquent, on a $A_s' = A_s^\mu P^\mu$ - p.s. pour toute mesure $\mu \in \mathcal{M}$.
En appliquant cela à $\mu P_u$, on voit que

$$P^{\mu}\{A_s^{\mu P_u} \circ \theta_u \neq A_s' \circ \theta_u\} = P^{\mu P_u}\{A_s^{\mu P_u} \neq A_s'\} = 0,$$

et par conséquent (2) devient

$$A_{s+u}' = A_u' + A_s' \circ \theta_u \qquad P^{\mu} - \text{p.s.} \qquad (4)$$

Il ne reste plus maintenant qu'à rendre le processus $(A_s')$ continu à droite pour obtenir une fonctionnelle additive $(A_t)$. La relation $c_s(x) = E^X[A_s]$ provient de (3). Nous n'insisterons pas sur le reste de la démonstration (caractère naturel de la fonctionnelle, unicité...) qui est à peu près évident.

REMARQUE .— On a effectué la régularisation des $A_s^\mu$ directement, sans passer par les fonctionnelles multiplicatives et les semi-groupes subordonnés.

Nous établirons enfin un résultat très utile de Motoo et Watanabe. Ce résultat leur sert en particulier à démontrer le théorème 2, mais nous le déduirons ici de ce théorème. On dira que la caractéristique $c = (c_t)$ est quasi-bornée si $c_t$ est une fonction bornée sur $E$ pour tout $t \in \mathbb{R}_+$. Il suffit pour cela que $c$ soit bornée. Toute caractéristique quasi-bornée appartient à la classe (DL), et la fonctionnelle additive associée admet un $\lambda$-potentiel borné pour tout $\lambda > 0$.

PROPOSITION 1.— Soit $(c_t)$ une caractéristique de la classe (DL); $(c_t)$ est alors somme d'une série de caractéristiques quasi-bornées.

DÉMONSTRATION.— Soit $(A_t)$ la fonctionnelle additive associée à $(c_t)$ par le théorème 2. Désignons par $n$ un entier, par $D$ l'ensemble $\{c_1 \leq n\}$; comme $c_1$ est finement continue, $D$ est finement fermé. Soit $T$ le temps d'entrée dans $D$; nous définirons des temps d'arrêt $T_k$ par récurrence en posant $T_1 = T$, $T_{k+1} = T_k + T \circ \theta_{T_k}$. Posons

$$B_t = \int_0^t I_D \circ X_s \, dA_s - \sum_{T_k \leq t} \Delta A_{T_k};$$
(B_t) est une fonctionnelle additive $\ge 0$, fortement majorée par
(A_t). Soit S le temps d'entrée dans E \ D; on a

$$
A_t - B_t \le \int_{[S_{\Lambda t}, t]} dA_s ,
$$

de sorte que (S tendant vers l'infini avec n) B_t est arbitraire-
ment voisin de A_t dès que n est assez grand. Montrons que la
caractéristique (d_t) de B est quasi-bornée : on a $\int_{[0, T_A 1]} dB_s = 0$,
donc aussi $\int_{[0, T_A 1]} dB_s = 0$ puisque B n'a pas de saut à l'instant T.
Donc

$$
d_1(x) = \mathbf{E}^x \left[ \int_0^1 dB_s \right] = \mathbf{E}^x \left[ \int_{T_A 1}^1 dB_s \right] \le \mathbf{E}^x \left[ \int_{T_A 1}^{(T_A 1)+1} dB_s \right] = \\
= P_T(x, d_1) \le P_T(x, c_1) \le n
$$

puisque $c_1 \le n$ sur l'ensemble finement fermé D. Pour construire
la série de caractéristiques quasi-bornées cherchées, on procède
alors de la manière suivante : on effectue l'opération qui vient d'être
décrite sur (A_t), avec n = 1, ce qui donne une fonctionnelle (B_t^2),
et on pose (A_t^2) = (A_t - B_t); on recommence l'opération sur (A_t^2),
avec n = 2, ce qui donne une fonctionnelle (B_t^2), et on pose
(A_t^1 - B_t^2) = (A_t^2); on recommence sur (A_t^2) avec n = 3, etc.

Bibliographie

[1] MOTOO (M.) & WATANABE (S). - On a class of additive functionals of Markov processes, J. Math. Kyoto Univ., 4 (1965), 429-469.

[2] MEYER (P. A). - *Probabilités et Potentiels*. Blaisdell Publ. Co, Boston (1966) ; Hermann, Paris (1966).

Reçu le 24 décembre 1966

Institut de Recherche Mathématique
(Laboratoire associé au CNRS)

Université de Strasbourg

67 -Strasbourg, France.
IMPRIMERIE LOUIS-JEAN

Ouvrages scientifiques

TYPO-OFFSET

GAP (Hautes-Alpes)

Dépôt légal 307

1967