ANNALES

DE LA FACULTÉ
DES SCIENCES

DE
TOULOUSE
Mathématiques

MOHA BOUTAT

Quasi-homogénéité des applications holomorphes propres d'un domaine quasi-disqué sur un domaine disqué

Tome XX, n° 4 (2011), p. 759-765.

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# Quasi-homogénéité des applications holomorphes propres d'un domaine quasi-disqué sur un domaine disqué

MOHA BOUTAT(1)

**RÉSUMÉ.** — Nous proposons une généralisation d'un résultat de F. Berteloot et G. Patrizio [1], aux cas des applications holomorphes propres entre domaines quasi-disqués et non nécessairement bornés.

**ABSTRACT.** — A result of F. Berteloot and G.Patrizio [1] states that if $f$ is a proper holomorphic map between two bounded complete circular domains $\Omega_1$ and $\Omega_2$ in $C^{n+1}(n \ge 1)$, such that $f^{-1}\{0\} = \{0\}$ and such that the principal part $f_p$ of the Taylor expansions of $f$ at the origine is nonde生成的 i.e $f_p^{-1}\{0\} = \{0\}$, then $f \equiv f_p$.

Here we propose to generalize their result in the case where $\Omega_1$ is a complete quasi-circular domain and $\Omega_2$ is a complete circular domain. Moreover this proof does not use the tools of projective dynamics of J. E. Fornaess and N. Sibony [3].

## 1. Introduction

On a le résultat suivant dû à F. Berteloot et G. Patrizio [1] : soit $f$ une application holomorphe propre d'un domaine disqué $\Omega_1$ de $C^{n+1}(n \ge 1)$ sur un autre domaine disqué $\Omega_2$ de $C^{n+1}(n \ge 1)$. Supposons $\Omega_1$ et $\Omega_2$ bornés, que $f$ est non-dégénérée i.e $f^{-1}\{0\} = \{0\}$ et de plus que la partie $f_p$ de plus petit degré du développement de Taylor de $f$ en 0 est non-dégénérée, alors on a : $f \equiv f_p$ c'est-à-dire que $f$ est homogène.

<footnote>(*) Reçu le 03/06/2010, accepté le 20/10/2011</footnote>

<footnote>(1) Université d'Angers, UMR 6093 LAREMA, 2 bd Lavoisier 49045 Angers cedex 01.
moha.boutat@univ-angers.fr</footnote>
Dans [2] j’ai présenté une généralisation partielle de ce résultat dans le cas $\Omega_1$ quasi-disqué, $\Omega_2$ disqué et $\Omega_1, \Omega_2$ non nécessairement bornés. J’ai montré que : $j_{\Omega_2} \circ f_p = (j_{\Omega_1})^p$ où $j_{\Omega_1}, j_{\Omega_2}$ sont les jauges respectives de $\Omega_1$ et $\Omega_2$.

On propose ici de traiter le cas où $\Omega_1$ est quasi-disqué et $\Omega_2$ est disqué. De plus, la preuve ne fait pas appel aux outils de la dynamique projective de J. E. Fornaess et N. Sibony [3]. Le résultat principal est le suivant :

**THÉORÈME.** — Soient $\Omega_1, \Omega_2$ deux domaines bornés de $\mathbf{C}^n$ tels que : $\Omega_1$ est quasi-disqué de type $d = (d_1, \dots, d_n)$ et $\Omega_2$ est disqué.

Soit $f : \Omega_1 \to \Omega_2$ une application holomorphe propre et non-dégénérée. Soit $f_p$ l'application quasi-homogène, de plus petit degré, obtenue dans le développement de $f$. Sous les conditions $f_p$ non-dégénérée et $\Omega_1$ ou $\Omega_2$ pseu-doconvexe, alors on a : $f \equiv f_p$.

Je remercie J.J. Loeb pour les nombreuses remarques et discussions que nous avons eues pendant l'élaboration de ce travail.

## 2. Préliminaires

Dans cet article, toutes les définitions se trouvent dans [2]. On rappelera seulement les notions et les résultats dont on aura besoin.

Soit $d = (d_1, \dots, d_n)$ un n-uplé de nombres naturels premiers entre eux. Pour $x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbf{C}^n$ et $t \in \mathbf{C}$. On pose $t^d x = (t^{d_1} x_1, \dots, t^{d_n} x_n)$.

A la place d'une norme, on muni $\mathbf{C}^n$ d'une quasi-norme, notée $\| \cdot \|_d$ et définie par : $\| x \|_d = \sum_{i=1}^n |x_i|^{\frac{1}{d_i}}$ pour $x \in \mathbf{C}^n$.

### 2.1. Jauge d'un domaine quasi-disqué

Soient $X$ un domaine (ouvert connexe) de $\mathbf{C}^n$ et $d = (d_1, \dots, d_n)$ un n-uplé de nombres naturels premiers entre eux.

**DÉFINITION 2.1.** — $X$ est quasi-disqué de type $d$ si :

$$ \forall x \in X, \quad t \in \mathbf{C}, \quad |t| \le 1 \quad : \quad t^d x \in X. $$

*Remarque.* — Si $d = (1, \dots, 1)$, on dit que $X$ est disqué.

Comme dans le cas disqué, on définit la notion de jauge de $X$.
Quasi-homogénéité des applications holomorphes propres d'un domaine quasi-disqué

DÉFINITION 2.2. — Soit $X \subset \mathbf{C}^n$ un domaine quasi-disqué de type d. La gauge $j_X$ de $X$ est définie par : $\forall x \in \mathbf{C}^n$, $j_X(x) = \inf\{t > 0 : (t^{-1})^d x \in X\}$.

Quelques propriétés de la fonction Jauge sont données par les propositions 2.3 et 2.4 suivantes. On trouve la preuve de la proposition 1 dans [2] et celle de la proposition 2 dans [5].

PROPOSITION 2.3. —

1) $\forall x \in \mathbf{C}^n, \forall t \in \mathbf{C}, |t| \le 1 : j_X(t^d x) = |t| j_X(x)$.

2) $X = \{x \in \mathbf{C}^n : j_X(x) \le 1\}$ et $j_X$ est semi-continue supérieurement.

3) $\exists C > 0 \text{ tel que } \forall x \in \mathbf{C}^n, j_X(x) \le C \|x\|_d$.

PROPOSITION 2.4. — On a les équivalences suivantes :

1) $X$ est pseudo-convexe.

2) $\ln(j_X)$ est psh (plurisousharmonique).

3) $j_X$ est psh.

## 2.2. Application quasi-homogène

Soient $\Omega_1, \Omega_2$ deux domaines de $\mathbf{C}^n$ tels que : $\Omega_1$ est quasi-disqué de type $d = (d_1, \dots, d_n)$ et $\Omega_2$ est disqué. Soit $k$ un entier naturel non nul et $f$ une application holomorphe propre de $\Omega_1$ dans $\Omega_2$.

DÉFINITION 2.5. — $f$ est dite quasi-homogène de type $d = (d_1, \dots, d_n)$ et de degré $k$ si : $\forall x \in \mathbf{C}^n, \forall t \in \mathbf{C} : f(t^d x) = t^k f(x)$.

La proposition suivante, est l'analogue de la décomposition de Taylor de $f$ en 0. Les détails de la preuve sont dans [2].

PROPOSITION 2.6. — Soient $\Omega_1, \Omega_2$ deux domaines de $\mathbf{C}^n$ tels que : $\Omega_1$ est quasi-disqué de type $d$, $\Omega_2$ est disqué et $f : \Omega_1 \to \Omega_2$ une application holomorphe non-dégénérée. Alors sur $\Omega_1$, on peut écrire : $f = \sum_{k \ge p} f_k$ où $f_k$ est une application quasi-homogène de type $d$, de degré $k$ et $p \in \mathbf{N}^*$.

En vue de la preuve du théorème principal, on utilise le lemme 2.7 suivant :

LEMME 2.7. — Soient $X$ un domaine borné de $\mathbf{C}^n$, $\varphi$ une fonction psh, positive, continue sur $\mathbf{C}^n$ et telle que $\varphi \ne 0$ sur $\partial X$, alors il existe $x_0 \in \partial X$ vérifiant les deux propriétés suivantes :
1) $\varphi(x_0) > 0$.

2) Il n'existe pas de disque holomorphe contenu dans $\partial X$ et passant par ce point $x_0$.

*Preuve.* — Posons $C = \sup_{x \in \partial X} \varphi(x)$ où $C$ est strictement positif.

On choisit $D > 0$ tel que $\sup_{x \in \partial X} D \|x\|^2 < C$ puis on considère la fonction continue $h$ définie par :

$$ \forall x \in \mathbf{C}^n, \quad h(x) = D \|x\|^2 + \varphi(x). $$

Soit $x_0 \in \partial X$ tel que : $h(x_0) = \sup_{x \in \partial X} h(x)$. Nécessairement $\varphi(x_0) > 0$, car : si $\varphi(x_0) = 0$, alors, on aurait : $\sup_{x \in \partial X} h(x) \le \sup_{x \in \partial X} D \|x\|^2 < C$, et donc $\sup_{x \in \partial X} h(x) < \sup_{x \in \partial X} \varphi(x)$. Ceci contredit le fait que : $\sup_{x \in \partial X} \varphi(x) \le \sup_{x \in \partial X} h(x)$.

Pour le deuxième point, on suppose qu'il existe un disque analytique non constant $\gamma : \Delta \to \partial X$ tel que $\gamma(0) = x_0$.

La fonction $h$ est strictement psh. Comme $(h \circ \gamma)(0) = h(x_0)$, la fonction $h \circ \gamma$ atteint son maximum à l'origine du disque unité et est donc constante sur $\Delta$. Ceci est impossible car $h$ est une fonction strictement psh.

### 3. Preuve du théorème

*Étape 1:* Soient $\Omega_1, \Omega_2$ deux domaines bornés de $\mathbf{C}^n$ avec : $\Omega_1$ est quasi-disqué de type $d = (d_1, \dots, d_n)$ et $\Omega_2$ est disqué. $f : \Omega_1 \to \Omega_2$ une application holomorphe propre et non-dégénérée. D'après la proposition 2.6, on peut écrire : $f = \sum_{k \ge p} f_k$ où $f_p$ est l'application quasi-homogène, de plus petit degré.

Considérons trois sous-ensembles $E, F$ et $G$ du bord $\partial \Omega_1$ de $\Omega_1$, définis par : $E = \{x \in \partial \Omega_1 : \frac{1}{t^p} f(t^d x) = f_p(x), \text{ pour } |t| < 1\}$,

$F = \{x \in \partial \Omega_1 : \cap_{k \ge p+1} \{f_k(x) = 0\}\}$. $G$ est l'ensemble des $x$ appartenant à $\partial \Omega_1$ tels que : Il n'existe pas de disque holomorphe, non constant, passant par $x$ et contenu dans $\partial \Omega_1$. Dans la suite par disque holomorphe, on désigne une application holomorphe, non constante, du disque unité $\Delta$ dans $\mathbf{C}^n$.

Le lemme suivant permet de comparer ces trois sous-ensembles du bord de $\Omega_1$.
LEMME 3.1. — On a :

1) $E = F$,

2) $G \subset E$.

Preuve. — Pour le point 1), montrons d'abord la première inclusion $F \subset E$.

Soient $x \in F$ et $k \ge p + 1$ un entier naturel. La quasi-homogénéité de $f_k$ nous permet d'écrire que : $f_k(t^d x) = t^k f_k(x)$ pour $|t| < 1$. Comme $f_k(x) = 0$, cette égalité implique que $f_k(t^d x) = 0$ pour $|t| < 1$.

Par conséquent, pour $0 < |t| < 1$, on a : $\frac{1}{t^p} f(t^d x) = \frac{1}{t^p} f_p(t^d x) = f_p(x)$, par la quasi-homogénéité de $f_p$. On en déduit alors que $x \in E$.

Il nous reste à montrer la deuxième inclusion $E \subset F$. Pour $x \in E$, on a d'une part : $f(t^d x) = t^p f_p(x)$ et d'autre part, par la décomposition de $f$, on a :

$$f(t^d x) = \sum_{k \ge p} f_k(t^d x) = \sum_{k \ge p} t^k f_k(x)$$

Par unicité du développement de Taylor, par rapport à $t$ en 0, on en déduit que $f_k \equiv 0$ pour $k \ge p + 1$. Par conséquent $E = F$.

Montrons le point 2) par l'absurde.

Prenons $x_0 \in G$ et supposons que $x_0 \notin E$.

Définissons le disque holomorphe $\gamma_{f_p(x_0)}$, passant par $f_p(x_0)$, par :

$$\gamma_{f_p(x_0)}(t) = \begin{cases} \frac{f(t^d x_0)}{t^p} & \text{si } 0 < |t| < 1 \\ f_p(x_0) & \text{si } t = 0 \end{cases}$$

$\gamma_{f_p(x_0)}$ est holomorphe et non constante puisqu'on suppose que $x_0 \notin E$. Vérifions que $\gamma_{f_p(x_0)}(t) \in \partial\Omega_2$ pour $0 \le |t| < 1$, c'est-à-dire $j_{\Omega_2}(\gamma_{f_p(x_0)}(t)) = 1$.

On a montré dans [2] que : $j_{\Omega_2} \circ f_p = (j_{\Omega_1})^p$. Par conséquent, si $x_0 \in \partial\Omega_1$ alors $f_p(x_0) \in \partial\Omega_2$. On a même : $f_p^{-1}(\partial\Omega_2) = \partial\Omega_1$.

Pour $0 < |t| < 1$, on a :

$$\begin{align*} j_{\Omega_2}\left(\frac{f(t^d x_0)}{t^p}\right) &= \frac{1}{|t|^p} j_{\Omega_2}(f(t^d x_0)) = \frac{1}{|t|^p} (j_{\Omega_2} \circ f)(t^d x_0) \\ &= \frac{1}{|t|^p} (j_{\Omega_1}(t^d x_0))^p = \frac{1}{|t|^p} |t|^p (j_{\Omega_1}(x_0))^p = 1 \end{align*}$$
Par conséquent $\gamma_{f_p}(x_0)(\Delta) \subset \partial\Omega_2$ (la preuve n'est pas terminée).

Dans la suite, en appliquant le théorème de Remmert sur l'image d'une
application holomorphe propre et le théorème sur la structure locale des
ensembles analytiques irréductibles de dimension 1, on va montrer qu'il
existe une application holomorphe $\tilde{\gamma}_{x_0} : \Delta \to \partial\Omega_1$ tel que $\tilde{\gamma}_{x_0}(0) = x_0$.
En gros, puisque $f_p^{-1}(\partial\Omega_2) = \partial\Omega_1$, on va "relever" par l'application $f_p$
le disque holomorphe $\gamma_{f_p(x_0)}$ passant par $f_p(x_0)$, pour obtenir un disque
holomorphe passant par $x_0$. En admettant l'existence de $\tilde{\gamma}_{x_0}$, cela conduit à
une contradiction car $x_0 \in G$. Finalement $x_0 \in E$, ce qui termine la preuve
du point 2) du lemme 3.1, soit $G \subset E$.

*Étape 2 :* On va admettre certains résultats sur les ensembles anlytiques. Pour les énoncés exacts et les preuves complètes, on peut se référer, par exemple, à [5].

La proposition suivante nous place dans les hypothèses du théorème de
Remmert. C'est un résultat commun dont on omettra la preuve.

PROPOSITION 3.2. — *Soit $g : \Delta \to \mathbf{C}^n$ une application holomorphe non constante telle que $g(0) = a$. Alors il existe un voisinage $U$ de $0$ et un voisinage $V$ de $a$ tels que : $g : U \to V$ est une application holomorphe propre.*

Revenons à l'existence d'un disque holomorphe passant par $x_0$.

Appliquons la proposition 3.2 à l'application holomorphe $\gamma_{f_p(x_0)}$.

Soit $U$ un tel ouvert et choisissons $U$ contenant un disque $\Delta_{r_0}$ de rayon $r_0 \in]0, 1[$. Puisque la restriction de $\gamma_{f_p(x_0)}$ à $\Delta_{r_0}$ est aussi propre, par le théorème de Remmert, l'image $\gamma_{f_p(x_0)}(\Delta_{r_0})$ de $\Delta_{r_0}$ est un ensemble analytique dans $V$, irréductible et de dimension 1.

Puisque $f_p$ est propre, fixons des voisinages $V$ de $f_p(x_0)$ et $W$ de $x_0$
tels que $f_p^{-1}(f_p(x_0)) \cap \bar{W} = f_p^{-1}(f_p(x_0)) \cap W = \{x_0\}$. On peut supposer
que $f_p(W) = V$ car $f_p$ est une application ouverte. Supposons aussi $V$ est
suffisamment petit pour avoir $\Gamma := \gamma_{f_p(x_0)}(\Delta_{r_0})$ analytique dans $V$. Comme
$f_p$ est holomorphe, on a : $f_p^{-1}(\Gamma) := X \subset W$ est un ensemble analytique, de
dimension pure 1, dans $W$. Comme $\Gamma \subset \partial\Omega_2$, on a $X \subset f_p^{-1}(\partial\Omega_2) = \partial\Omega_1$.

On choisit une composante irréductible $A$ de la décomposition du germe
de $X$ au point $x_0$ en germes analytiques irréductibles, contenant $x_0$.
Alors $\mathcal{A}$ est l'image du disque unité par une application holomorphe, notée $\tilde{\gamma}_{x_0}$, dont on peut supposer $\tilde{\gamma}_{x_0}(0) = x_0$. L'existence de $\tilde{\gamma}_{x_0}$ résulte du théorème sur la structure locale des ensembles analytiques irréductibles de dimension 1. C'est un résultat qu'on peut trouver, par exemple, dans [5].

*Étape 3 : Avant de vérifier que $f \equiv f_p$ sur $\Omega_1$, montrons d'abord que $\partial\Omega_1 = \mathcal{E}$.*

Supposons qu'il existe $z_0$ tel que $z_0 \in \partial\Omega_1$ et $z_0 \notin \mathcal{E}$. Alors il existe $k_0 \ge p+1$ tel que $f_{k_0}(z_0) \ne 0$. Pour $x \in \mathbf{C}^n$, définissons la fonction psh continue $\varphi$, par : $\varphi(x) = \| f_{k_0}(x) \|^2$.

On applique le Lemme 2.7 à $\varphi$, alors il existe $x_0 \in \partial\Omega_1$ tel que : $\varphi(x_0) > 0$ et de plus, il n'existe pas de disque holomorphe passant par ce point $x_0$. La première affirmation implique que $x_0 \notin \mathcal{F}$ puisque $f_{k_0}(x_0) \ne 0$. Ceci implique que $x_0 \notin \mathcal{E}$, car $\mathcal{E} = \mathcal{F}$. La deuxième affirmation implique que $x_0 \in \mathcal{G}$. Ce qui aboutit à une contradiction puisque $\mathcal{G} \subset \mathcal{E}$, d'après le Lemme 3.1. On conclut alors à l'égalité $\partial\Omega_1 = \mathcal{E}$.

Vérifions que $f \equiv f_p$ sur $\Omega_1$. Pour $x=0$, on a $f(0) = f_p(0) = 0$. Pour $x \ne 0$, on a : $0 < j_{\Omega_1}(x) < 1$ et $(\frac{1}{j_{\Omega_1}(x)})^d x \in \partial\Omega_1$ puisque $j_{\Omega_1}((\frac{1}{j_{\Omega_1}(x)})^d x) = 1$. En posant $t = j_{\Omega_1}(x)$, on a : $f(x) = f(t^d(\frac{1}{t})^d x) = t^p f_p((\frac{1}{t})^d x) = t^p \frac{1}{tp} f_p(x) = f_p(x)$.

Ceci termine la preuve du théorème.

## Bibliographie

[1] BERTELOOT (F.) and PATRIZIO (G.). — A Cartan theorem for proper holomorphic mappings of complete circular domains, Advances in math 153, p. 342-352 (2000).

[2] BOUTAT (M.). — Applications holomorphes propres d'un domaine quasi-disqué sur un domaine disqué, Bulletin des Sciences Mathématiques Volume 133, Issue 4, May p. 335-347 (2009).

[3] FORNAESS (J. E.) and SIBONY (N.). — Complex dynamics in higher dimensions, in “Complex Pluripotential theory,” NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C. Math. Phys. Sci., Vol. 439, pp. 131-186, Kluwer Academic, Dordrecht (1994).

[4] BARTH (T.). — The Kobayashi indicatrix at the center of a circular domain, Proc. Amer. Math. Soc. 88, p. 527-530 (1983).

[5] CHIRKA (E.M.), DELBEAULT (P.), KHENKIN (G.M.), VITUSHKIN (A.G.). — Introduction to complex analysis, Springer-Verlag (1997).