# Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques: preuve, modélisation et technologies numériques. Volume des ateliers des actes de la XXIe école d'été de didactique des mathématiques

Fabrice Vandebrouck, Fabien Emprin, Cécile Ouvrier-Buffet, Laurent Vivier

## ► To cite this version:

Fabrice Vandebrouck, Fabien Emprin, Cécile Ouvrier-Buffet, Laurent Vivier. Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques: preuve, modélisation et technologies numériques. Volume des ateliers des actes de la XXIe école d'été de didactique des mathématiques. IREM de Paris, 2023, 978-2-86612-407-6. hal-04352594

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NOUVELLES PERSPECTIVES
EN DIDACTIQUE DES
MATHEMATIQUES

PREUVE, MODÉLISATION ET
TECHNOLOGIES NUMÉRIQUES

XXle école d'été de didactique des mathématiques
SAINTE MARIE DE RÉ - DU 18 AU 24 OCTOBRE 2021

Volume des ateliers

Coordonné par
Fabrice Vandebrouck, Fabien Emprin,
Cécile Ouvrier-Buffet et Laurent Vivier

Avec la participation des membres du CSO
Lalina Coulange
Marie-Line Gardes
Sébastien Jolivet
Rahim Kouki
Sara Presutti
Avenilde Romo
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NOUVELLES PERSPECTIVES
EN DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES
PREUVE, MODÉLISATION ET TECHNOLOGIES NUMÉRIQUES

XXIe école d'été de didactique des mathématiques
SAINTE MARIE DE RÉ - DU 18 AU 24 OCTOBRE 2021

Volume des ateliers

Coordonné par

Fabrice Vandebrouck, Fabien Emprin,
Cécile Ouvrier-Buffet et Laurent Vivier

Avec la participation des membres du CSO

Lalina Coulange

Marie-Line Gardes

Sébastien Jolivet

Rahim Kouki

Sara Presutti

Avenilde Romo
Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
# INTRODUCTION

Fabrice Vandebrouck*, Fabien Emprin, Cécile Ouvrier-Buffet, Laurent Vivier

Depuis quarante ans, la communauté française de chercheurs en didactique de mathématiques organise tous les deux ans une école d'été. Cet ouvrage constitue les actes de la 21<sup>ème</sup> école d'été de didactique des mathématiques, organisée par l'Association pour la Recherche en Didactique des Mathématiques (ARDM). L'école s'est tenue au camping Les Grenettes, à Sainte Marie de Ré, sur l'Ile de Ré, du 18 au 24 octobre 2021.

Le comité scientifique et d'organisation (CSO) était constitué de :

* Fabrice Vandebrouck, Université Paris Cité, Faculté des Sciences, UFR de Mathématiques et IREM de Paris, LDAR

* Lalina Coulange, Université de Bordeaux, INSPE d'Aquitaine, Lab E3D

* Fabien Emprin, Université de Reims Champagne Ardenne, CEREP, INSPE de l'académie de Reims, IREM de Reims

* Marie-Line Gardes, Haute Ecole Pédagogique du canton de Vaud, Lausanne

* Sébastien Jolivet, Université de Genève

* Rahim Kouki, IPEIM, Université Tunis El Manar

* Cécile Ouvrier-Buffet, Université Paris-Est Créteil, INSPE de Créteil, LDAR

* Sara Presutti, Haute Ecole Pédagogique du canton de Vaud, Lausanne

* Avenilde Romo, Instituto Politécnico Nacional - CICATA, México

* Laurent Vivier, Université Paris Cité, Faculté des Sciences, UFR de Mathématiques et IREM de Paris, LDAR

L'école a regroupé, pendant 7 jours, 99 inscrits dont 83 de France, 5 de Suisse, 3 d'Espagne, 3 Tunisiens qui n'ont pas eu leur visa malgré toutes les démarches entreprises, 1 de Belgique, 1 du Canada, 1 de Hongrie, 1 d'Italie, 1 d'Uruguay.

Les trois thèmes de l'école étaient :

- La preuve

Cécile Ouvrier-Buffet, responsable pour le CSO

Viviane Durand-Guerrier, Université de Montpellier, en responsable externe
avec 2 cours et 3 TD/ateliers

- La modélisation

Laurent Vivier, responsable pour le CSO

Marianna Bosch, Université Ramon Llull, en responsable externe
avec 2 cours et 2 TD/ateliers

- Les technologies numériques

Fabien Emprin, responsable pour le CSO

Sophie Soury-Lavergne, Université Grenoble Alpes en responsable externe
avec 2 cours, 1 table ronde et 3 TD/ateliers.

Les textes scientifiques des cours associés à ces thèmes font l'objet de publications séparées. Dans ce volume, nous avons rassemblé les textes des TD/ateliers, ainsi que ceux de la table ronde. On utilise indistinctement les termes TD ou atelier selon les textes.

<footnote>* Université Paris Cité, LDAR</footnote>
Durant l'école un dispositif spécifique à destination des jeunes chercheurs a été mis en place, avec des demi-journées et plages spécifiques, sous la responsabilité de Lalina Coulange et Sarah Présutti, avec Mickaël Da Ronch (Université Grenoble Alpes) et Yahyaoui Zine el Abidine (Université de Tunis) en co responsables externes.
REMERCIEMENTS

L'ARDM et le comité d'organisation de l'école tiennent à remercier les institutions et organismes qui ont apporté des soutiens financiers, notamment la région Nouvelle Aquitaine, Texas Instrument, l'ED623 Savoirs Sciences Éducation, le LDAR, les projets de recherche Persévérons et MindMath.

21<sup>ème</sup> Ecole d'Eté de Didactique des Mathématiques

Ile de Ré, Camping Les Grenettes de Sainte Marie de Ré

18 au 24 octobre 2021

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La preuve, la modélisation, les technologies numériques - avec les cours de Maha Abboud, Nicolas Balacheff, Berta Barquero, Alain Kuzniak, Maria Alessandra Mariotti et Jana Trgalova. Interventions complémentaires de Ernesto Esposito, Philippe Richard et Vanda Luengo. Dispositif spécial pour les jeunes chercheurs avec Michèle Artigue et Nicolas Balacheff. Ateliers. Communications...

Inscriptions et informations complémentaires sur le site https://eedm21.sciencesconf.org/

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TEXAS
INSTRUMENTS

Ecole doctorale 623 | Savoirs, Sciences, Education

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RÉGION
Nouvelle-
Aquitaine

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Persévérons

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Mind Math
## SOMMAIRE DU VOLUME

Introduction 3

Fabrice Vandebrouck, Fabien Emprin, Cécile Ouvrier-Buffet, Laurent Vivier 3

Remerciements 5

Sommaire du volume 6

Croisements d'outils pour analyser les apprentissages des élèves sur la preuve 7

Marie-Line Gardes, Christophe Hache, Zoé Mesnil 7

Analyse didactique des raisonnements en classe de mathématiques par l'usage d'un modèle spécifique Exemples d'études de situations à différents niveaux de scolarité 29

Bloch I., Front M., Gibel P. 29

Portée et influence des artefacts dans le developpement du travail mathématique à l'aune de la Modelisation 53

Macarena Flores González, Blandine Masselin, Claudia G. Reyes Avendaño 53

Dépasser les praxéologies muettes de modélisation : Un parcours d'étude et de recherche pour la formation des enseignants 73

Floriane Wozniak, Berta Barquero, Marianna Bosch, Danielly Kaspary 73

Les technologies dans l'enseignement : activité de l'enseignant en classe et en formation 91

Maha Abboud, Fabien Emprin, Janine Rogalski, Fabrice Vandebrouck 91

Ressources numériques pour l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques 112

Xavier Nicolas, Christian Mercat, Sébastien Jolivet, Jana Trgalová 112

Mindmath : didactique des mathématiques et intelligence artificielle dans un eiah 133

Brigitte Grugeon-Allys, Sébastien Jolivet, Elann Lesnes, Vanda Luengo, Amel Yessad 133

Table ronde : l'intelligence artificielle 153

Fabien Emprin 153

Table ronde : intervention de philippe richard 161
# CROISEMENTS D'OUTILS POUR ANALYSER LES APPRENTISSAGES DES ELEVES SUR LA PREUVE

Marie-Line Gardes*, Christophe Hache**, Zoé Mesnil**

## RÉSUMÉ

La preuve présente de nombreux aspects qui font de sa pratique, de son enseignement et de son apprentissage des activités riches mais complexes. Dans le TD que nous avons proposé, nous nous sommes attachés particulièrement à l'articulation processus / produit (Gandit, 2011), et à l'articulation syntaxe / sémantique des preuves (Deloustal-Jorrand et al., 2020). Nous avions donc en toile de fond pour les trois séances du TD la question suivante : comment la manipulation des objets ou des énoncés mathématiques participe-t-elle à l'élaboration d'une preuve, de la recherche d'arguments convaincants à l'élaboration d'un texte répondant aux attendus de la communauté mathématique ? Les résultats présentés dans le TD sont issus d'anciennes recherches que nous avons menées, ou de données récoltées pour illustrer notre propos.

Mots-clefs : preuve, processus de recherche, dimensions syntaxique et sémantique, langage.

## ABSTRACT

Proof presents many aspects that transform its practice, its teaching and its learning into rich but complex activities. In the proposed working group, we focused particularly on the process / product articulation (Gandit, 2011), and the syntax / semantics articulation (Deloustal-Jorrand et al., 2020) of proofs. The background of this session was therefore the following question: how the manipulation of mathematical objects or statements participates in the elaboration of a proof, from the search for convincing arguments to the elaboration of a text that meets the expectations of the mathematical community. The results presented in this text come from previous research that we have conducted, or from data collected to illustrate our point.

Keywords: proof, proving, syntactic and semantic aspects, language.

## INTRODUCTION

Le thème de la preuve n'avait pas été traité à l'École d'Été de Didactique des Mathématiques depuis 1999. C'est pourtant un thème qui est important et riche en productions dans la recherche en didactique, comme en témoignent la 19ᵉ étude ICMI sur la preuve en 2008 (Hannah & De Villiers, 2012) et la synthèse des travaux du groupe sur la preuve des conférences CERME (Mariotti et al., 2018). Dans nos travaux respectifs, nous nous inspirons de travaux fondateurs, comme ceux de Balacheff (1987) et Durand-Guerrier (1996), et nous nous intéressons plus particulièrement à l'articulation processus / produit (Gandit, 2011) d'une part et à l'usage de la logique mathématique dans nos grilles d'analyse d'autre part (Barrier et al., 2019, Hache, 2015). Nous avons également en commun d'explorer les pratiques des mathématiciens et des mathématiciennes expertes : dans leurs processus d'élaboration de preuve (Gardes, 2017) et dans leurs pratiques langagières (Hache & Mesnil, 2015). Nous nous sommes retrouvé-es pour élaborer ce TD autour de la question suivante : comment la manipulation des objets ou des énoncés mathématiques participe-t-elle à l'élaboration d'une preuve, de la recherche d'arguments convaincants à l'élaboration d'un texte répondant aux attendus de la communauté mathématique ?

Dans la première séance du TD, nous avons plus particulièrement exploré l'articulation des dimensions syntaxique et sémantique de la preuve, à partir d'un travail sur des conjectures d'arithmétique. Dans la deuxième séance du TD, cette articulation syntaxe / sémantique a été mise en relation avec la dimension expérimentale dans l'élaboration d'une preuve, en utilisant notamment la notion de gestes de recherche pour analyser à une échelle plus fine des extraits de vidéos sur ces conjectures d'arithmétique. Dans la troisième séance du TD, nous avons plutôt

<footnote>* Haute Ecole Pédagogique du canton de Vaud, Lausanne</footnote>

<footnote>** Université Paris Cité, LDAR</footnote>
cherché à analyser le langage utilisé dans le texte écrit de la preuve, toujours en lien avec nos conjectures d'arithmétique. Nous avons présenté des outils de l'analyse logique qui permettent de faire des liens avec les pratiques langagières usuelles de la communauté mathématique.

## À PROPOS DES DIMENSIONS SYNTAXIQUE ET SÉMANTIQUE

Pour introduire les dimensions syntaxique et sémantique, nous avons repris un exemple proposé dans Durand-Guerrier et Mesnil (2022). L'énoncé $∀x \in \mathbb{R}, \exists h \in \mathbb{R}_+^* (|x| < h \Rightarrow x = 0)$ est écrit dans un registre symbolique qui permet de repérer sa structure très facilement : il s'agit d'une implication, précédée qu'une quantification existentielle sur une variable dont on peut remarquer qu'elle n'apparaît que dans la prémisse de l'implication, et d'une quantification universelle sur une variable qui apparaît dans la prémisse et dans la conclusion. Ce premier regard est d'ordre syntaxique. Adopter un regard sémantique consiste à se demander ce que signifie cet énoncé, et à se poser la question de sa valeur de vérité. Nous pouvons expliciter la signification des symboles et reformuler l'énoncé ainsi : « pour tout réel $x$, il existe un réel strictement positif $h$ tel que si valeur absolue de $x$ est strictement inférieur à $h$, alors $x$ est égal à 0 ». Cette reformulation n'est généralement pas suffisante pour que cet énoncé prenne sens et que nous puissions répondre à la question de sa valeur de vérité. Nous pouvons cependant, pour y réfléchir, essayer de le démontrer en nous laissant guider par sa structure : il commence par une quantification universelle, considérons alors un réel $x$. Avec notre habitude de la pratique des mathématiques, une telle action est automatisée, nous pouvons alors parler d'une démarche que nous qualifierons de syntaxique : pour démontrer un énoncé de la forme $∀x \in E, P[x]$, on considère un élément $x$ de $E$, et on démontre $P[x]$. Si l'on continue avec notre démarche syntaxique, il faudrait ensuite trouver un terme $t > 0$ pour lequel il resterait à prouver $|x| < t \Rightarrow x = 0$, ce que l'on fait généralement en supposant $|x| < t$ et en démontrant $x = 0$. Mais le fait que le terme $t$ intervienne dans la prémisse de l'implication et pas dans la conclusion créé un malaise : cela semble étrange de déterminer $t$ puis de faire une hypothèse dessus. Le malaise peut être levé en cherchant plutôt à montrer la contraposée $x \neq 0 \Rightarrow |x| \geq t$, démarche qui articule alors la syntaxe (règles pour former la contraposée) et la sémantique (équivalence entre une implication et sa contraposée). D'autres transformations syntaxiques de l'énoncé initial permettent de statuer plus rapidement sur sa valeur de vérité : par exemple, il est plus immédiat que sa négation, $∃x \in \mathbb{R}, ∀h \in \mathbb{R}_+^* (|x| < h \text{ et } x \neq 0)$, est fausse, ou encore plus immédiat que l'énoncé équivalent $∀x \in \mathbb{R} [ (∀h \in \mathbb{R}_+^* |x| < h) \Rightarrow x = 0]$ est vrai (mais les règles permettant de transformer l'énoncé initial en ce troisième énoncé sont moins connues). On peut donner du sens à ce dernier énoncé en le reformulant de la façon suivante : « 0 est le seul réel dont la valeur absolue est strictement inférieure à n'importe quel réel strictement positif ».

Cet exemple permet non seulement de voir ce qui relève de la syntaxe et ce qui relève de la sémantique, mais aussi de voir que l'expression « dimensions syntaxique et sémantique » recouvre finalement deux points de vue : la dimension syntaxique ou sémantique d'un énoncé mathématique (ou plus généralement d'un objet mathématique), la dimension syntaxique ou sémantique de la démarche effectuée par une personne en train de faire des mathématiques. Nous voyons aussi dans cet exemple que dans les deux cas ces deux dimensions sont à articuler au sein de l'activité mathématique.
# 1. Syntaxe et sémantique dans la logique mathématique

Pour continuer sur ces deux dimensions, reprenons comme l'a fait Durand-Guerrier (2005) la caractérisation de Eco (1980)<fnref n="1" /> :

> Sémantique : le signe est ici conçu dans sa relation à ce qu'il signifie ;

> Syntaxique : le signe est abordé en ce qu'il peut être inséré dans des séquences d'autre signes selon certaines règles de combinaisons ; (Eco, cité dans Durand-Guerrier, 2005, p. 114)

La logique mathématique modélise la « métamathématique naïve, qui s'occupe non pas des objets mathématiques mais de ce qu'on fait lorsque l'on traite des objets mathématiques » (Lacombe, 2007). Elle manipule ainsi notamment des formules qui modélisent les énoncés mathématiques, et des preuves formelles qui modélisent les preuves. Les signes des lettres de variables, des quantificateurs, du connecteur IMPLIQUE et du connecteur ÉQUIVAUT À, utilisés dans le modèle élaboré par les logiciens et logiciennes, sont également utilisés dans l'activité mathématique. La logique mathématique définit les règles d'utilisation de ces signes (par exemple en définissant ce qu'est une formule) et leur donne du sens (par exemple en définissant quand est-ce qu'une formule est vraie).

Depuis Aristote, les logiciens et les logiciennes cherchent à attester la validité des raisonnements en s'appuyant sur leur structure et celle des propositions qui y interviennent, c'est-à-dire par des arguments d'ordre syntaxique. Dans l'Organon, Aristote modélise les raisonnements sous forme de syllogismes, qui font intervenir trois propositions, deux prémisses et une conclusion, par exemple « Nul M n'est N, tout P est M donc nul P n'est N ». Ce syllogisme, décrit ici non pas comme le fait Aristote, mais comme cela a été fait plus tard au Moyen-Âge, fait partie de la première figure, il se distingue du syllogisme « Nul N n'est M, tout P est M donc nul P n'est N », qui fait partie de la deuxième figure, par la place des termes dans les prémisses. Voici comment Aristote justifie la validité de ce deuxième syllogisme :

> Soit, en effet, le terme M, qui n'est affirmé de nul N, mais est affirmé de tout. Puisque la négative est convertible, N n'appartiendra à nul M. Mais M était supposé appartenir à tout P. En conséquence, N n'appartiendra à nul P. Cela a déjà été démontré plus haut. (Aristote, 2007, pp.37-38)

Par la transformation de l'une des prémisses, Aristote se ramène à un syllogisme dont la validité a déjà été attestée. Nous pouvons faire un parallèle entre cette démarche et celle que nous mobilisons quand nous résolvons une équation à une inconnue $x$ : nous cherchons à transformer une égalité en une autre égalité de la forme $x = a$. Une telle démarche peut être mise en œuvre sans se soucier du sens des expressions (propositions ou égalité), mais seulement en appliquant des règles de transformation de celles-ci. Il faut souligner que les règles utilisées sont établies par des arguments de préservation de la vérité : dire par exemple que la négative est convertible, c'est dire que lorsque la proposition « Nul N n'est M » est vraie, alors la proposition « Nul M n'est N » est vraie. Lorsque l'on résout une équation, dans le cas où l'on peut raisonner par équivalence, les transformations que nous faisons sont celles qui transforment une égalité vérifiée par certaines valeurs en une autre égalité vérifiée exactement par les mêmes valeurs. Nous voyons ainsi apparaître ici des arguments d'ordre sémantique permettant un travail d'ordre syntaxique.

Bien sûr, une proposition obtenue comme conclusion d'un raisonnement valide dont les prémisses sont vraies doit nécessairement être vraie. C'est comme cela qu'Aristote établit la validité des syllogismes de la première figure :

> Si A est affirmé de tout B, et B de tout Γ, nécessairement A est affirmé de tout Γ [...] De même, si A n'est affirmé de nul B, et si B est affirmé de tout Γ, il en résulte que A n'appartiendra à nul Γ. (Aristote, 2007, p. 27)

<footnote n="1">¹ ECO, U. (1980). Segno. A. Mondatori. Le signe, 1988 pour la traduction française. Labor.</footnote>
Cette rapide présentation de la logique d'Aristote illustre comment dans les travaux des logiciens et des logiciennes, syntaxe et sémantique sont clairement distinguées mais ne se conçoivent pas l'une sans l'autre. L'articulation entre les deux dimensions se retrouvent dans tous les développements ultérieurs de la logique mathématique : la sémantique guide la syntaxe, la syntaxe permet d'enrichir la sémantique.

## 2. Syntaxe et sémantique dans l'activité mathématique et notamment dans la production de preuve.

Dans l'activité mathématique, nous ne sommes jamais complètement dans le monde des symboles vides de sens. Pour revenir à un exemple déjà utilisé, quand nous manipulons des expressions algébriques, par exemple quand nous écrivons $2(x + 1) = 2x + 2$, les symboles d'opération sont interprétés, les symboles de constante également et même si nous avons l'impression de seulement manipuler des lettres de variables, nous avons en tête un ensemble auquel elles sont astreintes (généralement R). Nous pouvons donner du sens à cette égalité en la reformulant ainsi : « ajouter 1 à x et prendre le double, c'est comme prendre le double de x et ajouter 2 », nous pouvons reconnaître l'application de la règle de distributivité de la multiplication sur l'addition. Kouki (2018) montre que des élèves de l'enseignement secondaire tunisien (élèves de 14 à 16 ans) sont capables de mobiliser et d'articuler des techniques syntaxiques et sémantiques dans le cas de la résolution de tâches élémentaires, mais que certains et certaines persistent dans des techniques syntaxiques alors même qu'elles sont inopérantes pour des tâches plus complexes. Ici, ce ne sont plus les objets mathématiques qui ont un aspect syntaxique ou sémantique, mais bien des démarches mises en œuvre par des élèves en train de résoudre des tâches mathématiques.

Lors de la première séance de TD, nous avons présenté l'article de Weber et Alcock (2004) dans lequel sont définies les deux dimensions syntaxique et sémantique pour caractériser la production de preuve :

> We define a syntactic proof production as one which is written solely by manipulating correctly stated definitions and other relevant facts in a logically permissible way. In a syntactic proof production, the prover does not make use of diagrams or other intuitive and non-formal representations of mathematical concepts. In the mathematics community, a syntactic proof production can be colloquially defined as a proof in which all one does is "unwrap the definitions" and "push symbols".

> We define a semantic proof production to be a proof of a statement in which the prover uses instantiation(s) of the mathematical object(s) to which the statement applies to suggest and guide the formal inferences that he or she draws. By an instantiation, we refer to a systematically repeatable way that an individual thinks about a mathematical object, which is internally meaningful to that individual. (Weber & Alcock, 2004, p. 210)

Dans cette définition que nous reprenons dans nos outils, il y a une ambiguïté sur ce que recouvre l'expression « proof production » : concerne-t-elle bien l'ensemble de la production, du processus au produit ? Cet article est commenté par Barrier (2016), qui confirme qu'il est bien question de regarder l'ensemble du processus d'élaboration d'une preuve, et qui parle plus largement d'approches syntaxique et sémantique, en intégrant d'autres activités liées à la preuve :

> Cette distinction est issue d'un travail portant sur les processus d'élaboration des démonstrations, les auteurs parlent donc de semantic (resp. syntactic) proof production mais il est possible d'étendre le domaine d'application de l'outil à des activités de lecture ou d'évaluation de preuve, c'est pourquoi je parle dans ce texte de manière plus large d'approches sémantique et syntaxique. Le critère de distinction entre les deux approches reste le même : y a-t-il ou non une contribution observable des objets mathématiques dans le processus ? (Barrier, 2016, p. 96)
Nous avons notamment proposé dans le TD un rapide aperçu de la deuxième expérimentation présentée dans l'article de Weber et Alcock (2004). Deux étudiants, qui suivent leur premier cours d'analyse dans une université du Royaume-Uni, sont invités à se prononcer sur des conjectures concernant la convergence de suites (Figure 1) :

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>**Figure 1.** – Énoncés proposés à Adam et Ben, extraits de Weber & Alcock (2004)</figcaption></figure>

Les deux étudiants sont rapidement d'accord sur l'énoncé qui est vrai, Adam a éliminé ceux qui sont faux par la production de contre-exemples. Ensuite, Ben donne l'argument qui est à l'origine de la preuve, en donnant tout de suite la définition (pour une suite qui converge vers 0) :

B : Right, (b)...is convergent. Right, our definition of convergence is that...well, there exists an *N* such that when *n* is greater than *N*, there...modulus of *a* is less than epsilon. So that leads to epsilon being a bound...plus or minus epsilon being a bound, about *a*. *a*<sub>*n*</sub>. Is it ? (Weber & Alcock, 2004, p. 223)

Adam élargit ensuite au cas de n'importe quelle suite convergente, puis Ben explique la preuve complète. S'ensuit une discussion avec l'interviewer, dans laquelle Adam dit faire une différence entre la définition formelle de la convergence et la façon dont il comprend le concept (qu'il décrit avec mots et gestes), alors que Ben dit ne pas voir un tel contraste entre les deux. Weber et Alcock concluent alors que Ben, qui semble penser à la convergence uniquement en termes de définition formelle, est engagé dans une production syntaxique de preuve, alors qu'Adam, qui rapporte qu'il pense à la convergence à la fois en termes de définition et en utilisant d'autres représentations intuitives, est engagé dans une production sémantique de preuve.

Ce qui distingue Adam et Ben dans cette résolution de tâche n'est pas à proprement parler l'utilisation d'objets, puisque dans la partie sur la preuve de l'énoncé vrai, aucune suite particulière n'est utilisée. Ce qui fonde la distinction syntaxe/sémantique c'est d'avoir une représentation du concept de convergence autre que la définition formelle. Mais quand au tout début Ben dit « so that leads epsilon being a bound », cela montre bien aussi une interprétation de la définition, il ne se contente pas d'une manipulation syntaxique mobilisant les règles de logiques pour passer d'un énoncé à un autre. Son premier geste, par contre, dérouler la définition (« unwrap the definition »), présenté comme un geste « qu'il faut faire », est propre, selon Weber et Alcock (2004), de la démarche syntaxique : c'est une action qui n'est pas guidée par ce que signifie l'énoncé à démontrer.

Cela pose la question de ce qu'on peut qualifier de syntaxique ou de sémantique, du niveau de granularité de l'analyse : doit-on se placer au niveau du geste, ou d'un comportement plus global (avec d'autres indicateurs que la somme des gestes) ?

Weber et Alcock (2004) terminent leur article par quelques commentaires sur les différences entre production syntaxique et sémantique de preuves, en reliant cette distinction avec d'autres catégories présentes dans la recherche sur la preuve. Weber et Alcock suggèrent que les compétences et connaissances nécessaires pour une production syntaxique de preuve sont
relativement modestes, là où celles nécessaires pour une production sémantique de preuve sont plus complexes. Pourtant, on sait depuis l'article de A. Selden et J. Selden (1995) la difficulté qu'ont les étudiants et les étudiantes à déplier la structure logique d'un énoncé, et à faire le lien entre structure d'un énoncé et structure d'une preuve de cet énoncé.

Weber et Alcock (2004) poursuivent la discussion en reliant la production syntaxique de preuve à la fonction de validation et au *concept définition*, et la production sémantique à la fonction d'explication (De Villiers, 1990), et au *concept image* (Tall & Vinner, 1981). Selon nous, Weber et Alcock n'insistent pas assez sur le fait que, comme dans ces autres recherches proposant différents aspects de la preuve, les dimensions syntaxique et sémantique de la production de preuve ne sont pas des catégories disjointes, l'activité de chacun et chacune se positionnant dans l'une ou dans l'autre, mais sont plutôt des aspects à articuler pour une activité de production de preuve féconde.

### 3. Appui sur des conjectures d'arithmétique pour alimenter les discussions

De notre côté, nous avons recueilli pour le TD de l'École d'Été des données autour de preuves d'arithmétique auprès d'élèves de Terminale option Maths expertes, d'élèves de classe préparatoire, d'étudiant·es de L1 Chimie, de collègues mathématicien·nes de l'Université de Paris. Pour les trois mathématicien·nes et les trois d'élèves de classe préparatoire, il s'agissait de discussions individuelles filmées (avec tableau noir pour les mathématicien·nes, feuille blanche pour les élèves), pour les étudiant·es de L1 chimie et les d'élèves de Terminale, il s'agissait de discussions avec tout le groupe (une dizaine d'étudiant·es de L1, une dizaine d'élèves de Terminale, une feuille précisant la propriété à prouver était donnée, sur laquelle nous leur demandions de noter leurs idées, leur recherche, et finalement, ils et elles devaient rédiger individuellement une démonstration dans une partie explicitement réservée à cet effet). Les conjectures proposées sont également étudiées dans l'article de Barrier (2016) déjà cité, qui emprunte quant à lui les données à Alcock et Inglis (2008).

Dans un premier temps de l'expérimentation, nous donnons les définitions de « nombre abondant » et de « nombre parfait » en laissant à chaque fois un temps de discussion et d'appropriation de ces définitions (Figure 2) :

**Définition 1** : un entier $n \in N^*$ est **abondant** lorsque la somme des diviseurs de $n$ est strictement supérieure à $2n$.

**Définition 2** : un entier $n \in N^*$ est **parfait** lorsque la somme des diviseurs de $n$ est égale à $2n$.

### **Figure 2.** – Définitions nombres abondants et parfaits

Nous avons également proposé pendant le TD aux collègues participant·es de prendre ce temps d'appropriation de ces définitions. Comme les collègues mathématicien·nes et comme les élèves ou étudiant·es, ce temps a été mis à profit pour explorer des exemples, avec en plus pour les collègues mathématicien·nes et certain·es collègues pendant le TD l'énonciation de certaines propriétés plus ou moins démontrées (par exemple, le fait qu'un nombre premier n'est ni parfait ni abondant). Durant cette phase, le travail est essentiellement sémantique.
Puis, dans un second temps de l'expérimentation, nous proposons de réfléchir à des énoncés concernant ces notions (Figure 3). Nous avons proposé des conjectures différentes selon le public : les mathématiciens et les élèves de classe préparatoire ont réfléchi aux conjectures 1, 2 et 3, lors d'entretiens individuels filmés, les élèves de Terminale option Maths expertes et les étudiant-es de L1 ont dû rédiger une démonstration de la conjecture 2bis après une discussion collective dans laquelle les arguments de la démonstration étaient élaborés.

**Conjecture 1** : un entier strictement positif est abondant si et seulement si c'est un multiple de 6.

**Conjecture 2** : pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$, si $n$ est parfait, alors pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $kn$ est abondant.

**Conjecture 2bis** : pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$, si $n$ est parfait, alors pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, si $k \ge 2$ alors $kn$ est abondant.

**Conjecture 3** : quels que soient les entiers $n, m \in \mathbb{N}^*$, si $n$ et $m$ sont abondants, alors $nm$ est abondant.

**Figure 3.** – Conjectures sur les nombres abondants et parfaits

Les participants et participantes au TD ont été invité-es à réfléchir aux conjectures 1, 2bis et 3. Comme dans les expérimentations effectuées préalablement au TD, dans ces temps de travail, nous avons pu constater une articulation des dimensions syntaxique et sémantique de l'activité : par exemple, à certains moments, nous observons juste une manipulation d'énoncés, de symboles, d'écritures, à d'autres moments, nous observons un retour aux exemples pour guider ou contrôler la recherche. Nous reviendrons plus loin et plus finement sur l'analyse de certaines productions montrant cette articulation. Cependant, si ces dimensions semblent bien pertinentes pour analyser l'activité de preuve, il est difficile de bien les séparer quand nous regardons non plus seulement les énoncés mathématiques mais aussi l'activité de celui ou celle qui les manipule, cherche à les démontrer ou à les infirmer.

Nous avons conclu la première séance du TD en montrant deux extraits des expérimentations.

Dans le premier extrait, M., maîtresse de conférence en mathématiques, explore la conjecture 2 bis. M. est chercheure en théorie des nombres, et les notions en jeu lui sont familières. Elle commence la résolution de la conjecture en disant « Je vais essayer de montrer que c'est vrai et on verra bien si on a un problème », ce qui peut être décrit comme caractéristique d'une démarche syntaxique : on va dérouler les définitions, les propriétés, et on verra si ça ne se fait pas facilement. Mais elle commente ensuite son travail en disant « je ne vais pas pouvoir calculer exactement la somme de ses diviseurs [elle a considéré un entier $n$ parfait et cherche à montrer que pour $k \ge 2$, $kn$ est abondant], mais j'ai bon espoir de la minorer ». Il est difficile de savoir ce qui lui permet d'affirmer ça : elle sait qu'une minoration est suffisante vue la forme de la définition d'un nombre abondant, mais l'espoir vient peut-être de quelques exemples explorés mentalement sans que nous n'ayons de trace de cette exploration. Tout au long de sa preuve, M. ne s'appuie pas sur des exemples, mais la rédaction de sa preuve semble guidée par des propriétés des nombres entiers qu'elle connaît.

Dans le deuxième extrait, A., élève de classe préparatoire, explore cette même conjecture 2 bis en prenant un temps d'exploration d'un exemple : « pour 6, moi j'aimerais bien me convaincre que ça marche pour 6 quand même », ce qui par contre est caractéristique d'une démarche sémantique. Dans son exploration, il cherche cependant une représentation des objets en jeu qu'il peut manipuler de façon syntaxique, notamment en utilisant des propriétés des sommes notée avec le symbole $\Sigma$.
Ces deux extraits et le travail des participant·es au TD, ainsi que la réflexion sur l'article de Weber et Alcock (2004), mettent en évidence la nécessité d'avoir d'autres outils d'analyse, nous permettant de décrire l'articulation entre les dimensions syntaxiques et sémantiques dans la production de preuve en prenant en compte non seulement la production, mais également à un niveau d'analyse plus fin, les gestes de la recherche.

## DES OUTILS POUR ANALYSER LE PROCESSUS D'ÉLABORATION DE PREUVE

La seconde séance du TD avait ainsi pour objectif d'analyser plus en détails l'articulation entre les dimensions syntaxique et sémantique dans le processus d'élaboration de preuves. Nous avons proposé d'effectuer cette analyse en utilisant une grille d'analyse s'appuyant sur deux outils, issus de nos travaux (Gardes, 2013, 2017) : la dimension expérimentale des mathématiques et les gestes de la recherche. Après les avoir présentés, nous avons proposé aux participant·es de les utiliser pour analyser deux processus d'élaboration de preuves, menés par un chercheur et par un étudiant, sur les conjectures sur les nombres parfaits et abondants (Figure 3).

Dans cette partie, nous rendons compte de cette séance de TD. Nous présentons tout d'abord les notions de dimension expérimentale et geste de la recherche puis nous explicitons en quoi ce sont des outils permettant de décrire et analyser le processus d'élaboration de preuve. Enfin, nous détaillons la grille d'analyse construite grâce à ces outils et nous la mettons à l'épreuve pour décrire et analyser le processus de recherche du chercheur et de l'étudiant.

### 1. Dimension expérimentale<fnref n="2" />

La question du caractère expérimental des mathématiques et son intérêt pour l'apprentissage a fait l'objet de plusieurs études didactiques (Bkouche, 1982, 2008 ; Chevallard, 1991 ; Dias, 2008 ; Durand-Guerrier, 2010 ; Gardes, 2013 ; Giroud, 2011 ; Perrin, 2007).

Bkouche (1982) reconnaît un caractère expérimental aux mathématiques dans la mesure où elles relèvent des sciences expérimentales qu'il définit selon deux principes : d'une part, l'origine empirique des objets étudiés et des concepts ainsi mis en jeu et d'autre part, la méthode (ou les méthodes) qui participe à la fois de l'observation empirique et du raisonnement rationnel. Il ajoute que « c'est l'articulation de l'empirique et du rationnel qui constitue la science expérimentale » (Ibid. p. 307).

Concernant le premier principe, en prenant l'exemple du concept de nombre (dont l'origine remonte aux pratiques de comptage dans l'Antiquité<fnref n="3" />), Bkouche (1982) met en évidence que certains concepts mathématiques naissent de la manipulation des objets conformément à une théorie, manipulation rendue possible par la représentation sous forme symbolique des objets mathématiques. On retrouve ici l'articulation entre les dimensions syntaxique et sémantique des objets mathématiques présentée plus haut.

D'un point de vue didactique, Durand-Guerrier caractérise cette élaboration spécifique de certains concepts mathématiques par la mise en œuvre d'une dimension expérimentale qu'elle définit par « un va-et-vient entre un travail avec les objets que l'on essaye de définir [...] et l'élaboration [...] d'une théorie, le plus souvent locale, visant à rendre compte des propriétés de ces objets » (Durand-Guerrier, 2010, p.1). Il s'agit donc d'une articulation entre expérience et théorie qui s'appuie également sur les dimensions syntaxique et sémantique des objets mathématiques en jeu grâce à des allers et retours entre des objets naturalisés et des objets en cours de conceptualisation.

<footnote n="2">² Cette partie du texte reprend des passages de (Gardes, 2018).</footnote>

<footnote n="3">³ Voir par exemple (Giusti, 2000).</footnote>
Concernant le second principe, Bkouche (1982) précise que ce qui fonde le caractère
expérimental d'une méthode, c'est la définition et le rôle de l'expérimentation. C'est en effet
elle qui est porteuse de l'articulation entre l'empirique et le théorique. En effet,
l'expérimentation s'appuie sur un double raisonnement, en amont pour élaborer une expérience
pertinente et en aval pour la lecture des résultats. Son rôle est de vérifier l'adéquation entre la
théorie et l'expérience dans le but de créer de nouveaux objets mathématiques. Perrin (2007)
définit l'expérimentation en mathématiques comme « une méthode d'investigation
systématique » qu'il n'hésite pas à « désigner sous le nom de méthode expérimentale » pour
résoudre des problèmes mathématiques. Pour cet auteur, l'adéquation entre théorie et
expérience se réalise dans un processus itératif composé de plusieurs étapes à renouveler
eventuellement :

Expérience, observation de l'expérience, formulation de conjectures, tentative de preuve, contre-
expérience, production éventuelle de contre-exemples, formulation de nouvelles conjectures,
nouvelles tentatives de preuve, etc. (Perrin, 2007, p.10).

Dans cette description de « la méthode expérimentale », l'expérimentation (faire une
expérience, observer l'expérience et en tirer des conclusions) s'articule avec des phases de
formulation de conjectures et de tentative de preuves. Dias (2008) prolonge cette idée en
pensant l'expérimentation comme un processus dialectique empirique/théorique qui n'a de sens
que par ses articulations avec la formulation et la validation. Nous définissons alors une
démarche de type expérimental de résolution de problèmes par des va-et-vient constants entre
la théorie et l'expérience se réalisant par des rétroactions de trois processus : expérimentation,
formulation et validation. Une démarche de type expérimental s'appuie donc sur la mise en
œuvre d'une dimension expérimentale portant sur les objets mathématiques en jeu (i.e. des
allers et retours entre des objets naturalisés et des objets en cours de conceptualisation) et
favorise ainsi les liens entre dimensions syntaxique et sémantique de l'activité de recherche,
notamment en permettant de pallier les limites de l'une ou de l'autre. De même, lorsque les
deux dimensions sont articulées, cela peut favoriser en retour la mise en œuvre d'une démarche
de type expérimental dans la recherche d'un problème.

2. Geste de la recherche<fnref n="4" />

Nous avons emprunté la notion de « geste » à la philosophie des mathématiques (Cavaillès, 1938, 1994 ; Châtelet, 1993, et Bailly & Longo, 2003) et nous l'avons développée pour analyser l'activité effective de recherche d'un problème mathématique. Dans les travaux de Cavaillès (1938), repris par Cassou-Noguès (2001), on trouve trois gestes de nature différente. Le geste naturel est une manipulation de signes mathématiques (par exemple, des chiffres, des symboles algébriques ou encore des figures géométriques). Lorsque ce geste s'effectue dans un milieu propre au travail mathématique, il devient un geste combinatoire, c'est-à-dire soumis à des règles d'emploi de ces signes. Il relève de la dimension syntaxique. Le geste opératoire, quant à lui, renvoie à l'acte de pensée associé au geste combinatoire. Il est défini comme un procédé ou une opération sur des objets mathématiques. Il relève de la dimension sémantique. Voici un exemple pour illustrer ces trois gestes : imaginons un enfant qui joue avec des magnets représentant des chiffres et les signes + et =. Par un geste naturel, l'enfant utilise ces magnets, sans intentionnalité mathématique, et juxtapose par exemple les signes 3 = 2 + . Le geste devient combinatoire si l'enfant respecte les règles d'utilisation des signes mathématiques, par exemple le signe + doit être complété à gauche et à droite, de même que le signe =. L'enfant peut alors écrire 2 + 3 = 7. Enfin, le geste est qualifié d'opératoire si la mise en relation des trois nombres par l'opération est correcte mathématiquement, ce qui conduit l'enfant à écrire 2 + 3 = 5.

<footnote n="4">⁴ Cette partie reprend des passages de (Gardes, 2013) et (Gardes, 2017).</footnote>
Cavaillès définit ensuite l'expérience comme un système de gestes et Cassou-Noguès précise alors que « l'expérience mathématique serait un double système de gestes : gestes combinatoires dans les espaces combinatoires, gestes opératoires dans les théories mathématiques » (Cassou-Noguès, 2001, p. 13). Ce ne sont pas deux actes distincts mais un seul acte qui se déploie comme combinatoire et opératoire. Cette double facette donnée au geste unifie et articule les dimensions sémantique et syntaxique de l'activité mathématique. Enfin, il met en évidence le pouvoir de créer de nouveaux objets mathématiques au moyen de l'expérience, donc au moyen de gestes.

Cette étude nous a amené à la notion de geste de la recherche que nous définissons comme suit : un geste est un acte de mise en relation d'objets mathématiques dans une intentionnalité. Il possède un pouvoir de créer (de nouveaux objets mathématiques) dans sa possibilité d'ouvrir le champ des possibles dans le travail mathématique, en saisissant l'intuition au moyen d'une expérience (Gardes, 2013, p.155). Dans nos travaux, nous avons identifié sept gestes de la recherche (Gardes, 2013, pp.162-165). Nous choisissons de présenter les trois gestes qui seront utilisés dans la suite des analyses :

- Désigner un objet, il s'agit de représenter cet objet par le langage ou par un signe. Ce geste permet d'articuler les dimensions syntaxique et sémantique d'un objet : en représentant un objet par un signe, on peut ensuite effectuer des opérations sur les signes sans toujours se référer aux objets qu'ils désignent ;

- Construire des exemples et les questionner, il s'agit de déterminer une méthode de construction des exemples à partir de manipulations des objets mathématiques et un questionnement de ces différents exemples dans le but d'en dégager des informations. Ce geste est porteur de l'articulation syntaxe/sémantique dans la mesure où le travail mathématique s'appuyant sur des exemples est un moyen de construire une syntaxe sur les objets ;

- Effectuer des contrôles locaux, il s'agit de vérifier les différentes étapes des manipulations et combinaisons de signes dans les écritures mathématiques. Ce geste favorise une articulation syntaxe/sémantique car il s'agit de faire référence aux objets désignés par les signes en les positionnant au premier plan.

### 3. Des outils pour décrire et analyser le processus d'élaboration de preuve

Nous étudions le processus d'élaboration de preuve dans le cadre d'une activité de recherche de problème. Il s'agit donc d'une partie du processus (plus global) de recherche de problème. La notion de dimension expérimentale est un outil permettant de décrire et analyser ce processus de recherche en montrant comment la preuve s'élabore en appui sur un travail sur les objets mathématiques en jeu. Il s'agit ici de mettre en évidence les allers et retours entre les manipulations sur les objets mathématiques en jeu et la mise au jour d'éléments théoriques rendant compte des propriétés de ces objets. La notion de geste de la recherche est un outil permettant, d'une part de caractériser la nature de l'activité mathématique relative aux manipulations d'objets et aux élaborations théoriques, et d'autre part d'identifier les éléments déclencheurs des allers et retours entre ces activités. Il permet ainsi de mettre en évidence les éléments moteurs dans l'avancée de la recherche du problème et l'élaboration de la preuve. Ces deux outils combinés donnent la grille d'analyse présentée en Figure 4.
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>**Figure 4.** – Grille d'analyse du processus d'élaboration de preuve combinant les deux outils : la dimension expérimentale et les gestes de la recherche</figcaption></figure>

## 4. Mise à l'épreuve de la grille d'analyse

Le corpus analysé est constitué d'un extrait vidéo de la recherche menée par un chercheur au tableau noir et d'un extrait vidéo de la recherche menée par un élève de classe préparatoire sur une feuille. Le recueil de données s'est effectué sous la forme d'un entretien semi-guidé individuel filmé, selon le déroulement décrit page 12 ci-dessus (les conjectures proposées sont les conjectures 1, 2 et 3, proposées dans trois phases successives). Pendant les différentes phases de recherche, nous avons parfois interagi avec le chercheur (respectivement l'étudiant), en posant des questions, reformulant ses propositions ou en lui confirmant qu'un nombre était bien parfait ou abondant.

### Analyse de la recherche du chercheur

L'extrait soumis à l'analyse des participant·es au TD concerne la première phase de la recherche, c'est-à-dire l'exploration et l'appropriation des définitions de nombres abondants et parfaits. Le chercheur cherche à se faire une représentation de ces nombres en commençant à les étudier. Il procède de manière structurée, avec un crible pour les nombres de 1 à 12. L'étude de chaque nombre l'amène à formuler des conjectures et parfois à les prouver (Figure 5).

La démarche de recherche du chercheur est de type expérimental, il commence par manipuler les objets mathématiques en jeu (nombres, nombres abondants, nombres parfaits) pour essayer d'en dégager des propriétés. Le premier geste de la recherche qu'il effectue c'est de construire des exemples de nombres parfaits et/ou abondants en considérant les entiers un par un (1 et ses diviseurs, 2 et ses diviseurs, etc.). Rapidement, il questionne ces exemples, c'est-à-dire qu'il cherche à les mettre en relation entre eux pour en extraire des régularités ou des généralisations. Cela le conduit à formuler une première conjecture : les nombres premiers ne sont ni parfaits ni abondants. Ce résultat lui paraissant assez évident, il ne cherche pas à le prouver. Puis il continue son exploration des exemples, trouve un premier nombre parfait (6) puis s'arrête sur les puissances de 2 (via 8) et formule une seconde conjecture : les puissances de 2 ne sont ni des nombres parfaits ni des nombres abondants. Ici, il cherche à prouver cette conjecture. Il utilise alors un autre geste de la recherche, celui de désigner les objets. Il désigne les puissances de 2 par $2^n$ et leurs diviseurs par $2^i$ pour pouvoir opérer sur ces nombres, c'est-à-dire faire la somme des diviseurs et la comparer à $2^n$. Une fois ce résultat prouvé, il fait un bilan puis continue l'exploration des exemples et formule une nouvelle conjecture : les nombres parfaits et abondants ne sont pas une puissance d'un nombre premier. Il élabore ensuite la preuve de cette conjecture, en s'appuyant sur le même geste que dans la preuve précédente, désigner des objets. Il désigne ainsi les puissances d'un nombre premier par $p^n$ (p premier) et leurs diviseurs par $p^i$ pour en faire la somme et la comparer à $2p^n$. Nous pouvons ici identifier un nouveau geste de la recherche : dérouler les définitions (au sens de Weber et Alcock (2004))
comme mentionné p.5). Ce geste est d'ordre syntaxique mais émerge d'un travail sémantique. Ensuite, il termine cette phase de recherche en se donnant une caractéristique des nombres parfaits : « c'est le nombre de diviseurs mais aussi peut-être la variété des diviseurs » qui lui semble suffisante pour commencer à chercher les conjectures proposées ensuite.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>**Figure 5.** – Analyse du processus d'élaboration de preuve du chercheur</figcaption></figure>

## Analyse de la recherche de l'étudiant

L'extrait soumis à l'analyse des participant·es au TD concerne la première phase de la recherche (l'exploration et l'appropriation des définitions de nombres abondants et parfaits), ainsi que la seconde phase de la recherche, c'est-à-dire la recherche des conjectures 1 et 2. L'étudiant commence par s'approprier les définitions en cherchant des exemples de nombres abondants et parfaits. Pour cela, il procède de manière structurée, avec l'étude des nombres de 1 à 12. La démarche de recherche de l'étudiant est alors de type expérimental (Figure 6), il commence par manipuler les objets mathématiques en jeu (nombres, nombres abondants, nombres parfaits) pour essayer d'en dégager des propriétés. Le premier geste de la recherche qu'il effectue c'est de construire des exemples de nombres parfaits et/ou abondants en considérant les entiers un par un. Il trouvera ainsi que 6 est un nombre parfait et 12 un nombre abondant. En construisant ces exemples, il formule rapidement une première conjecture : les nombres premiers ne sont ni parfaits ni abondants. Ce résultat lui paraissant assez évident, il ne cherche pas à le prouver. Il cherche ensuite un autre nombre abondant, il propose 100 et montre rapidement qu'il est abondant. Cet exemple semble jouer le rôle d'une expérience cruciale (Balacheff, 1987) pour l'étudiant, pour se convaincre de sa compréhension des définitions et de sa première impression : « il n'y en a pas beaucoup » et « il faut beaucoup de diviseurs ».

Suite à l'étude des définitions, l'étudiant cherche à prouver la conjecture 1 (Figure 3). Il donne rapidement un contre-exemple (100) pour démontrer qu'un entier strictement positif abondant n'est pas nécessairement un multiple de 6. Il cherche ensuite un multiple de 6 non abondant et trouve 6. La preuve de cette conjecture s'appuie donc sur son exploration préalable des exemples. Suite à une question de notre part, il regarde si 12 et 18 - deux multiples de 6
(différents de 6) - sont abondants ou pas et il formule une nouvelle conjecture : « tout multiple de 6 sauf 6 est abondant ». Il ne cherche pas à la prouver mais donne l'argument suivant, utilisé pour 18 : « il y a tous les diviseurs de 6 et lui-même ». La seconde conjecture lui est ensuite présentée comme une généralisation de cette conjecture (Figure 3). L'étudiant énonce qu'il pense que la conjecture est vraie et propose l'argument suivant : « il y aura les diviseurs de $n$ et $k$ fois les diviseurs de $n$, pour ceux qui ne sont pas déjà comptés (i.e. dans les diviseurs de $n$) ». Pour vérifier cet argument, il effectue un geste de la recherche, un contrôle local, en revenant à l'étude d'un exemple : « pour 12, on aura 3 mais aussi 2×3 ». Il explique ainsi que pour $n = 6$ et $k = 2$, la liste des diviseurs de 12 s'obtient par la réunion de la liste des diviseurs de 6 et deux fois la liste des diviseurs de 6 non comptés. En effet, certains nombres peuvent se retrouver dans les deux listes, comme 6, qui est un diviseur de 6 et 2 fois un diviseur de 6 (car il est égal à 2×3 et 3 est un diviseur de 6). Mais il mentionne que certains nombres ne sont que dans l'une des deux listes, comme 12 (qui est égal à 2×6) ou 4 (qui est égal à 2×2). Il revient alors au cas général et essaie d'écrire une preuve. Il effectue alors deux autres gestes de la recherche : il désigne les diviseurs de $n$ par $\sigma(n)$ et déroule la définition d'un nombre parfait en écrivant $\sigma(n) = 2n$. Il cherche ensuite à écrire $\sigma(kn)$. Il propose alors de faire un raisonnement par récurrence sur $k$ et essaie de l'initialiser pour $k = 2$. Il cherche alors à démontrer que $\sigma(2n)$ est supérieur strict à $2n$. Il a $\sigma(2n) \ge \sigma(2) + 2n$. Il cherche donc un autre diviseur. Suite à une discussion avec nous, il parvient à passer de l'identification des diviseurs de $kn$ pour trouver leur nombre à l'identification (directe) du nombre (minimal) des diviseurs de $kn$ : c'est $k$ fois la liste des diviseurs de $n$ à laquelle on ajoute 1. Il écrit alors $\sigma(2kn) \ge k\sigma(n) + 1 > 2kn$.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>**Figure 6.** – Analyse du processus d'élaboration de preuve de l'étudiant</figcaption></figure>

L'analyse de ces deux processus de recherche met en évidence, tant chez le chercheur que chez l'étudiant, que les moments d'élaboration de preuve prennent ici naissance dans l'exploration et le questionnement des exemples. Ce geste de la recherche déclenche les allers et retours entre les manipulations d'objets mathématiques en jeu et l'élaboration d'éléments théoriques qui conduisent ensuite à la formulation de conjectures. Ce travail prend essentiellement appui sur la dimension sémantique des objets mathématiques dont ils cherchent à en comprendre le sens. L'articulation avec leur dimension syntaxique est rendue possible par l'utilisation de deux
autres gestes (désigner les objets et dérouler les définitions) lors de l'écriture de la preuve des conjectures. Notons également que ce qui différencie les processus de recherche du chercheur et de l'étudiant est le nombre d'allers et retours dans la mise en œuvre d'une dimension expérimentale d'une part, et le recours au geste de contrôle local d'autre part. En effet, le chercheur fait davantage d'allers et retours entre les manipulations d'objets et les élaborations théoriques, notamment grâce au questionnement systématique des exemples qu'il étudie. Cela est présent dans la recherche de l'étudiant mais moins fréquent. Un geste de la recherche est effectué par l'étudiant et pas chez le chercheur, celui d'effectuer des contrôles locaux. L'étudiant semble en avoir besoin pour contrôler ses élaborations théoriques par un retour sur les objets. Il y a là le recours à la dimension sémantique pour contrôler le travail syntaxique.

Ces analyses mettent en évidence l'apport des outils « dimension expérimentale » et « gestes de la recherche » pour décrire et analyser les processus de recherche et d'élaboration de preuves. Ils permettent une analyse fine de l'apport d'articuler les dimensions syntaxique et sémantique dans l'élaboration de preuve, tant chez le chercheur que chez l'étudiant, même si leurs processus sont différents.

## APPREHENDER L'OBJET « TEXTE DE DEMONSTRATION »

Lors de la troisième séance du TD nous avons étudié davantage le « produit » : la formulation des preuves. Après une présentation de la façon dont on peut analyser les formulations de preuves et les usages classiques de la langue dans ce contexte, nous retrouverons des préoccupations proches des précédentes en analysant d'une part des formulations de mathématiciens et mathématiciennes, et d'autre part des formulations d'élèves.

### 1. Formulation, formuler

L'apprentissage de la preuve en mathématiques passe aussi par l'apprentissage des usages en matière de rédaction et de formulation.

L'activité langagière est à la fois individuelle et sociale. Fondamentalement elle est individuelle : lors d'une production orale, une personne produit des bruits, des gestes avec son corps, mobilise des ressources cognitives. On ne peut séparer agir, parler et penser (par exemple Rebière, 2013).

Cette activité individuelle ne prend sens que socialement, il y a un auditoire (éventuellement potentiel ou imaginé), le sens attribué aux sons est partagé par un groupe social (langue commune, usages de la langue), il peut bien sûr ne pas être partagé, mais ce fait engendrera alors des réactions de l'auditoire et du locuteur ou de la locutrice, des interactions. De façon générale les réactions des acteurs et des actrices en situation participent également à la construction du sens.

Les activités sociales se stabilisent pour chaque groupe social en pratiques sociales, usages habituels en lente évolution. On se rend compte de ces pratiques en découvrant un groupe constitué : on peut par exemple imaginer un jeune chercheur venant pour la première fois à l'école d'été de didactique, il va entrer à la « cantine » pour son premier repas, certaines tables sont déjà en partie occupées, est-il attendu qu'il complète une telle table ? Ou au contraire doit-il s'installer sur une table encore vide ? Doit-il s'asseoir avec des « jeunes » ? Ou bien peut-il s'asseoir avec tel chercheur ou telle chercheuse expérimenté.e ? Est-ce sans importance pour les personnes concernées ? Ce type d'usage peut être non-dit (parfois même non pensé), ils sont aussi parfois explicites. Les groupes sociaux stabilisent ainsi leurs pratiques, il en va de même des pratiques langagières (le terme « jeune » ci-dessus a ainsi un sens très particulier dans cette communauté de recherche, il n'évoque pas un âge particulier, ou alors l'âge dans la recherche). On parle ainsi des pratiques langagières des mathématiciens et mathématiciennes.

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
De par ce caractère à la fois individuel, cognitif et social, l'activité langagière est donc une composante centrale des activités d'enseignement et d'apprentissage. Les mathématiciens et les mathématiciennes disent des mathématiques oralement ou par écrit, ils et elles sont amenées à évoquer divers objets mathématiques (conjectures, théorèmes, définition, preuves, etc.), nous allons nous centrer ici sur l'écriture de preuves. Nous l'avons vu dans les parties précédentes de ce TD (et dans les autres TD et cours de cette École d'Été), l'apprentissage de l'activité de preuve comporte énormément de dimensions, y compris cette entrée dans certaines pratiques langagières, cette intégration des façons d'écrire une démonstration (quels mots utilise-t-on ? Quelles expressions ? Quelle formulation est acceptable ? Ou originale ? Quelle formulation ne sera pas recevable ? etc.).

L'analyse de la dimension langagière de l'activité de preuve, et notamment des formulations des preuves, prend de cette façon toute son importance. Nous allons nous y pencher à partir de deux questions : comment décrire les pratiques langagières des mathématiciens et des mathématiciennes ? Comment les élèves s'approprient-ils ces pratiques ?

## 2. Analyse logique, déduction naturelle de Gentzen

Une première question concerne donc les pratiques langagières des mathématiciens et des mathématiciennes (en termes de preuve ici). Comment caractériser le fait qu'on a affaire à un texte de démonstration ? Quels sont les usages de la langue française dans une démonstration mathématique ?

Nous allons décrire un type d'analyse particulier : les analyses logiques. L'idée principale est de comparer les formulations produites, le texte, à un référent logique formel permettant de prendre une certaine distance avec la langue utilisée. Plusieurs chercheurs et chercheuses en didactique des mathématiques en France travaillent avec des analyses de ce type (Barrier, 2016 ; Durand Guerrier & Arsac, 2003 ; Hache, 2015 ; Hache & Mesnil, 2015). La comparaison avec un référent formel permet et facilite une distanciation entre le texte et une description du contenu évoqué par le texte.

Pour analyser les formulations de théorèmes, il est par exemple courant d'utiliser la logique des prédicats (exemple de référence pour la phrase « les nombres divisibles par 4 sont pairs » : $\forall x [4|x \Rightarrow x \text{ est pair}]$).

Nous allons ici utiliser la déduction naturelle de Gentzen<fnref n="5" />. Elle s'appuie sur la logique des prédicats. Les preuves sont décomposées en une succession de pas de déduction. Nous prenons ci-dessous trois exemples.

$$ \frac{P, Q}{P \wedge Q} /\wedge $$

<caption>Figure 7.</caption>

$$ \frac{P \lor Q \left[ \begin{array}{c} P \\ \vdots \\ R \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} Q \\ \vdots \\ R \end{array} \right] \vee /}{R} $$

<caption>Figure 8.</caption>

$$ \frac{\begin{array}{c} \circled{a} \\ \vdots \\ P(a) \\ \forall x P(x) \end{array}}{\forall} \vee / $$

<caption>Figure 9.</caption>

La Figure 7 représente le pas de déduction décrivant la preuve d'une conjonction. Il a deux niveaux séparés par une ligne horizontale, la partie haute énonce « ce que je sais prouver avant d'utiliser la règle », la partie basse énonce ce que cette règle permet de prouver (le petit symbole sur la droite rappelle juste que ce pas de déduction correspond à « l'introduction », la preuve ici, d'une conjonction).

<footnote n="5">⁵ Pour une présentation détaillée se reporter à (Hache & Mesnil, 2015).</footnote>
La preuve elle-même est donc un arbre. Cet arbre est en général difficile à représenter car très vite il occupe une très grande surface. En référence à la première partie, la formulation obtenue sous forme d'arbre est plutôt syntaxique, mais le signe a été conçu pour porter le sens.

Un autre exemple de règle, Figure 8, correspond à une preuve à partir d'un énoncé sous forme de disjonction ($P \lor Q$). C'est un pas de déduction appelé couramment « disjonction des cas » : on sait que $P \lor Q$ est vraie, si on suppose temporairement que $P$ est vrai on arrive à montrer $R$, si on suppose temporairement $Q$ vrai on sait également montrer $R$, on déduit de ces trois éléments que $R$ est vrai. Le caractère temporaire des preuves intermédiaires est symbolisé par les crochets (le petit symbole à droite rappelle que cette ligne horizontale correspond à la mise en œuvre d'une règle d'élimination d'une disjonction).

Enfin, nous indiquons en Figure 9 une troisième présentation de pas de déduction : la preuve d'une propriété universellement quantifiée (beaucoup de propriétés courantes sont de ce type, celle servant de support à l'exposé y compris : « *quel que soit n*, si *n* parfait alors, quel que soit *k*, *kn* abondant »). Cette preuve nécessite l'introduction d'une variable « fraîche » (non encore utilisée dans le contexte, on dit par exemple « Soient *k* et *n* deux entiers... »). Nous avons ajouté dans la notation de Gentzen l'introduction de cette variable (deux petits cercles concentriques) et l'endroit dans l'arbre de la preuve où cette variable est utilisée (pointillé entre son introduction et la conclusion du pas correspondant). On peut noter que, dans la conclusion $\forall x P(x)$, la variable $x$ est muette. Même si c'est ce qui est fait en général dans la rédaction d'un tel pas de déduction, il n'y a aucune raison d'écrire la conclusion $\forall a P(a)$, ce qui peut même compliquer la compréhension du statut de la variable $a$. Nous verrons que la conclusion d'un tel pas de déduction n'est souvent simplement pas formulée.

Le nombre de connecteurs dans la logique des prédicats est limité (conjonction, disjonction, implication, négation... disjonction et négation peuvent même suffire, les deux autres pouvant se construire à partir de ces deux-là), le nombre de quantificateurs également (existentiel, universel). Le nombre de pas de déduction élémentaires de la déduction naturelle est donc lui aussi limité (deux pas par connecteur ou quantificateur).

Avant de donner un exemple, nous allons présenter le pas de déduction correspondant à la preuve d'une implication. Les implications que nous rencontrons dans l'activité mathématique sont toujours quantifiées universellement, aussi plutôt que de considérer l'implication $P \Rightarrow Q$ (considérée par Gentzen par exemple), nous nous intéressons à l'implication quantifiée : $\forall x [P(x) \Rightarrow Q(x)]$.

Le pas de déduction est représenté ci-contre (Figure 10). Tous les éléments techniques ont été introduits ci-dessus : pour établir une preuve de $\forall x [P(x) \Rightarrow Q(x)]$ on introduit une variable $a$ et on suppose temporairement la propriété $P(a)$, si on a une preuve de $Q(a)$ sous cette hypothèse, alors on a une preuve de $\forall x [P(x) \Rightarrow Q(x)]$.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 10.</figcaption></figure>

Nous allons maintenant nous intéresser à la façon de représenter avec les éléments introduits la trame de preuve de la Figure 11a. Nous nous limiterons dans ce texte à une partie de la preuve. Globalement cette preuve est la preuve d'une implication (preuve de $\forall n [n \text{ parfait} \Rightarrow \forall k>1 kn \text{ abondant}]$). Une première ébauche de l'arbre de la preuve sera donc celle de la Figure 11b.
**Conjecture 2** : Pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$, si $n$ est parfait, alors pour tout $k \in \mathbb{N}$, si $k > 1$ alors $kn$ est abondant.

**Trame d'une preuve :**

Soit $n$ un entier, on suppose $n$ parfait, on liste ses diviseurs $d_i$. On a $\Sigma d_i = 2n$.

Soit $k$ un entier, parmi les diviseurs de $kn$ il y a 1 et tous les $kd_i$. Tous ces nombres sont distincts.

La somme des diviseurs de $kn$ est plus grande que $1 + \Sigma kd_i = 1 + k \Sigma d_i = 1 + k 2n > 2kn$. CQFD

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 11c.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 11b.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 11d.</figcaption></figure>

La partie de l'arbre représentée dans la Figure 11b par un pointillé vertical est une preuve de « $\forall k>1 ka$ abondant » qui est une abréviation de « $\forall k [k>1 \Rightarrow ka$ abondant] » (2e implication universellement quantifiée). Cette partie sera représentée par la Figure 11c.

On arrive ainsi à la Figure 11d. Cette figure ne représente qu'une petite partie de la preuve, mais faute de place nous nous en tiendrons à cette partie. Nous allons rechercher dans les preuves rédigées les formulations relatives en nous centrant sur deux parties (en général les premiers mots de la preuve et les derniers) :

* Premier focus : introductions de la variable $a$, hypothèse temporaire « $a$ parfait », introduction de la variable $b$, hypothèse temporaire « $b > 1$ »;

* Second focus : affirmation du fait que la propriété « *ba* abondant » a été prouvée, déduction de $\forall k>1 kn$ abondant (conclusion du pas de déduction représenté par la Figure 11c), déduction de $\forall n [n \text{ parfait} \Rightarrow \forall k>1 kn \text{ abondant}]$ (conclusion du pas de déduction représenté par la Figure 11b), et ainsi conclusion de la preuve.

Pendant l'atelier, les participants et les participantes ont travaillé sur les trois preuves de mathématiciens ou mathématiciennes, quatre preuves d'étudiants ou étudiantes volontaires parmi ceux de première année de licence de chimie, et trois copies d'élèves de terminale (trois copies sélectionnées sur une quinzaine rédigée lors d'une séance de travail spécifique avec l'enseignante de la classe, une sélection avait été faite pour les preuves de terminale, car peu d'élèves avait réussi dans le temps imparti à produire une preuve exploitable).

Notre méthode consiste donc à mettre en regard la description obtenue à l'aide de la déduction naturelle (Figure 11d) et les formulations correspondantes choisies par les personnes interrogées.

### 3. Textes de mathématiciens et mathématiciennes (M)

Concernant la gestion des variables, une première remarque est valable pour tous les textes M : le nom des variables est systématiquement celui suggéré par la consigne. Toutes les preuves parlent d'un nombre $n$ (le nombre qui est parfait), d'un nombre $k$ (on s'interroge sur les propriétés de $kn$). Il n'y a pas de distinction entre le nom des variables (muettes ici) de la
consigne, les variables fraîches introduites et les variables muettes utilisées pour énoncer les
propriétés évoquées dans la preuve. On sait que c'est un point délicat, il est souvent évoqué lors
de l'apprentissage de la preuve par récurrence par exemple (Grenier et al., 2016).

Dans tous les textes M, la première apparition d'une variable correspond à une présentation
(l'auteur·e annonce qu'il ou elle introduit une variable). Trois précisions :

* Les premiers mots de ces textes correspondent à une telle présentation, sauf pour un des textes qui commence par une phrase qui relève du commentaire explicatif « La propriété d'être abondant (ou parfait) se lit sur les diviseurs du nombre » avant de présenter les variables *n* et *k*. Quand ils et elles introduisent la variable *n* ils et elles utilisent la formulation « Soit *n* ».

* Les variables *n* et *k* peuvent être introduites en même temps (exemple « Soit *n* un nombre parfait, *k* ∈ N*, « Soit *n*, *k* ∈ N*») ou non (*k* étant alors introduit au moment de la preuve où sa présence est nécessaire), entre les deux introductions les rédacteurs et les rédactrices évoquent alors des propriétés connues de *n* et de ses diviseurs (exemple : « Soit *n* un nombre parfait, la somme de ses diviseurs est 2*n* (que l'on note *S*). Soit *k* ≥ 2 »),

* Les quatre textes M formulent dans la même expression la présentation de la variable (début de la preuve d'une propriété universellement quantifiée) et la propriété liée (supposition de la prémisse pour la preuve de l'implication). Exemple : « Soit *k* un entier strictement supérieur à 1 » (les citations précédentes illustrent aussi ce point).

Concernant la phase de conclusion des deux pas de déduction considérés, dans les quatre textes M, un calcul est fait pour montrer que la somme des diviseurs de *kn* est strictement supérieure à *2kn*. Après ce calcul, une seule phrase conclue la preuve : quatre fois le texte se termine par l'affirmation que *kn* est abondant (« ce qui montre que l'entier *kn* est abondant », « On en déduit que *kn* est abondant », et « donc *kn* abondant » qui apparaît deux fois).

On retrouve là un phénomène classique : les conclusions des pas de déduction liés aux implications (et aux quantifications liées) ne sont pas explicitement énoncées. C'est au lecteur ou à la lectrice de comprendre que la preuve de « *kn* abondant » permet de conclure à la preuve de l'implication « $\forall k [k>1 \Rightarrow *kn* \text{ abondant}]$ » (Figure 11b), et que cette dernière suffit à prouver la conjecture (Figure 11c).

Ce point concernant l'implicite des conclusions est très récurrent dans les analyses de formulations de preuve.

Ces constats rejoignent des résultats plus généraux sur l'écriture des preuves par les mathématiciens et les mathématiciennes : les formulations sont denses, souvent plusieurs éléments logiques sont agglomérés dans une seule formulation, c'est au lecteur ou à la lectrice de « déplier » ces formulations (Chesnais, 2018).

On retrouve également l'implicite connu relatif à la quantification universelle des implications : la quantification est souvent non-dite dans la formulation d'une implication (la formulation suivante de la conjecture 2 serait tout à fait acceptée dans un contexte arithmétique : « Si *n* est parfait, alors, si *k* > 1, *kn* est abondant »), elle l'est aussi dans la formulation de la preuve, ou tout au moins dans la formulation de la conclusion : dans les preuves observées ici, la seule trace du pas de déduction concernant les quantifications universelles présentes dans la conjecture est la présentation des variables en début de preuve.

## 4. Analyses de textes de preuves d'élèves (E et T)

Le statut des variables est bien moins clair dans les textes d'élèves (E et T) que dans les textes M. Nous allons pointer ici deux phénomènes :

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
* Les élèves peuvent considérer que l'utilisation d'une variable (même muette) dans la consigne vaut présentation de variable dans la preuve. Cela peut être lié à la propriété à prouver (formulée dans la consigne) : un des textes E commence ainsi par « On pose $\sum$ diviseurs de $n = D$ » sans présenter $n$ (de même, la première apparition de la variable $k$ dans ce texte vient deux lignes en dessous sans préalable : « $k \times 2n = k \times D$ »). Cela peut également être lié à une propriété énoncée par l'élève : un texte commence ainsi par « Nous savons que $\forall n \in \mathbb{N}$, si (...) alors $n$ est parfait » (la variable $n$ est muette), cette formulation de propriété est suivie de la formulation d'une autre propriété qui utilise la variable $n$ non quantifiée.<fnref n="6" />

* De même, le fait que la consigne demande de prouver une implication semble pouvoir sous-entendre pour certains élèves que la prémisse est vraie, ainsi un texte T commence par « Soit $(k,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$, tout d'abord on sait que », ce début de phrase est suivi par des affirmations sur les diviseurs de $n$ et $kn$, la dernière propriété ainsi énoncée est justifiée par « car $n$ est parfait » (affirmation dont la justification ne semble pouvoir être reliée à ce moment-là qu'à l'énoncé de la consigne). Un texte T précise « Montrons que si $n$ est parfait, alors $kn$ est abondant tel que $k \ge 2$ », l'élève utilise juste en dessous le fait que la somme des diviseurs de $n$ vaut $2n$.

Certaines formulations montrent également une grande confusion dans cette gestion des variables et des propriétés que l'on suppose vraies. Par exemple, un texte T commence par « $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $\forall k \in [[2, +\infty[[$, Soit $n$ un entier parfait ». Comment interpréter ces quantifications de $n$ et $k$ ? Les variables muettes utilisées dans la formulation d'une propriété peuvent être utilisées par la suite (en portant avec elles tout ou partie des propriétés énoncées). On perçoit également des difficultés quant au statut des propriétés formulées : une propriété qui apparaît dans la prémisse d'une implication à prouver, peut être considérée comme vraie sans commentaire.

Concernant les conclusions des deux pas de déduction considérés (la fin des textes), les choix sont plus variés que dans les textes M. On retrouve plusieurs fois l'enchaînement du calcul montrant que la somme des diviseurs de $kn$ est strictement supérieure à $2kn$ avec la phrase « donc $kn$ est abondant » qui termine le texte. Mais on peut également repérer plusieurs autres situations : un texte passe du calcul précédent à la propriété à prouver « Ainsi $\forall n \in \mathbb{N}^*$, si $n$ est parfait, alors $\forall k \in \mathbb{N}_{k \ge 2}$, $kn$ est abondant », un texte qui se termine par le calcul suivi de « CQFD ». Globalement on retrouve bien ici les usages constatés dans les textes M : le détail des conclusions intermédiaires concernant les implications et les quantifications n'est pas donné (tout juste trouve-t-on une allusion dans certaines productions).

## CONCLUSION

Reprenons la définition de démonstration de Balacheff (1987, p.148) : « suite d'énoncés organisée suivant des règles déterminées : un énoncé est connu comme étant vrai, ou bien est déduit de ceux qui le précèdent à l'aide d'une règle de déduction prise dans un ensemble de règles bien défini. ». Une telle définition pourrait amener à penser que la production de preuve peut se faire uniquement de façon syntaxique, les règles permettraient de manipuler les énoncés sans se poser la question de leur signification. L'article de Weber et Alcock (2004) présenté dans le TD montre bien qu'une telle démarche a rapidement des limites, et que ce n'est pas celle mobilisée par les mathématiciens et des mathématiciennes. Ce n'est pas non plus la démarche mise en œuvre par les participant·es, ni la démarche que nous souhaitons enseigner,

<footnote n="6">⁶ Ces confusions de statuts peuvent engendrer des difficultés de lecture et de compréhension. Un texte E utilise ainsi la lettre $k$ comme l'indice d'une notation $\sum$, plus loin comme indice maximal de la suite des diviseurs ($d_1, d_2, \dots d_k$), et comme nombre par lequel on multiplie le nombre $n$ (parfait).</footnote>
les travaux de Gandit (2011) ayant bien montré les risques d'une approche trop formelle de l'enseignement de la démonstration. L'interprétation des énoncés, la manipulation des objets en jeu, génériques ou singuliers, sont essentiels à la fois pour orienter et contrôler la preuve. Il est cependant parfois confortable d'agir en suivant des « règles » qui dépendent de la forme des énoncés et pas de leur sens : par exemple, confronté·es à la démonstration d'un énoncé de la forme « pour tout x de E, $P[x] \Rightarrow Q[x]$ », il est possible d'écrire « soit x dans E, supposons $P[x]$ » avant de se demander ce que signifie $P[x]$. Il s'agit alors d'un geste syntaxique, mais qui n'est pertinent que s'il ouvre des possibles représentations sur lesquelles on peut travailler.

Nous avons montré que ce qui est fécond pour la production de preuve c'est bien l'articulation des dimensions syntaxique et sémantique. En étudiant les gestes de recherche, nous avons pu analyser cette articulation à un niveau plus local, notamment lors du processus de recherche. En nous référant ensuite à une théorie de la démonstration comme la déduction naturelle, nous avons analysé les démonstrations comme produit, en décrivant certains gestes en lien avec la manipulation du langage, et avec les pratiques langagières.

Cette distinction des dimensions syntaxique et sémantique permet aussi d'enrichir la réflexion sur l'enseignement de la démonstration, et amène de nouvelles perspectives de recherche autour de la question suivante : comment amener les élèves et les étudiant·es à acquérir certains gestes, dont la maîtrise permettrait une approche parfois syntaxique, tout en ayant recours parfois à une démarche plus sémantique pour faire avancer les idées ?

## RÉFÉRENCES

ALCOCK, L., INGLIS, M. (2008). Doctoral students use of examples in evaluating and proving conjectures. *Educational Studies in Mathematics*, 69, 111-129.

ARISTOTE, (2007). *Organon. iii. Premiers Analytiques* (Traduit par J.Tricot). Vrin.

BAILLY, F., LONGO, G. (2003). *Incomplétude et incertitude en Mathématiques et en Physique*. Consulté le 29 octobre 2022 sur http://www.di.ens.fr/users/longo/files/PhilosophyAndCognition/incompl-incert.pdf

BALACHEFF, N. (1987). *Processus de preuve et situations de validation*. *Educational Studies in Mathematics*, 18, 147-176.

BARRIER, T. (2016). Les exemples dans l'élaboration des démonstrations mathématiques : une approche sémantique et dialogique. *Recherches en Éducation*, 27, 94-117.

BARRIER, T., DURAND-GUERRIER, V. ET MESNIL, Z. (2019). L'analyse logique comme outil pour les études didactiques en mathématiques. *Éducation et Didactique*, 13.1, 61-81.

BKOCHE, R. (1982). Les mathématiques comme science expérimentale. *Bulletin APMEP*, 333, 306-324.

BKOCHE, R. (2008). Du caractère expérimental des mathématiques. *Repères IREM*, 70, 33-76.

CASSOU-NOGUES, P. (2001). *De l'expérience mathématique. Essai sur la philosophie des sciences de J. Cavaillès*. Vrin.

CAVAILLES, J. (1938). *Méthode axiomatique et Formalisme*. Hermann.

CAVAILLES, J. (1994). *Œuvres complètes de philosophie des sciences*. Hermann.

CHATELET, G. (1993). *Les enjeux du mobile. Mathématique, physique, philosophie*. Seuil.

CHESNAIS A. (2018). *Un point de vue de didactique des mathématiques sur les inégalités scolaires et le rôle du langage dans l'apprentissage et l'enseignement*. Note de synthèse HdR. Université de Montpellier.

CHEVALLARD, Y. (1991). Le caractère expérimental de l'activité mathématique. *Petit x*, 30, 5-15.

DELOUSTAL-JORRAND, V., GANDIT, M., MESNIL, Z., DA RONCH, M. (2020). Utilisation de l'articulation entre les points de vue syntaxique et sémantique dans l'analyse d'un cours sur le raisonnement. Dans T. HAUSBERGER, M. BOSCH, ET F. CHELOUGHI (eds.), *Proceedings of the Third Conference of the International Network for Didactic Research in University Mathematics*, INDRUM 2020, 12-19 September 2020. Bizerte, Tunisia (pp. 378-387). University of Carthage and INDRUM.

DE VILLIERS, M. (1990). The role and function of proof in mathematics, *Pythagoras*, 24, 17-24.

DIAS, T. (2008). *La dimension expérimentale des mathématiques : un levier pour l'enseignement et l'apprentissage*. Thèse de doctorat, Université Claude Bernard Lyon 1.

DURAND-GUERRIER, V. (1996). *Logique et raisonnement mathématique. Défense et illustration de la pertinence du calcul des prédicats pour une approche didactique des difficultés liées à l'implication*. Thèse de doctorat, Université Claude Bernard Lyon 1.

DURAND-GUERRIER, V. (2005). *Recherches sur l'articulation entre la logique et le raisonnement mathématique dans une perspective didactique*. Note de synthèse, Université Claude Bernard Lyon 1.

DURAND-GUERRIER, V. (2010). La dimension expérimentale en mathématiques : Enjeux épistémologiques et didactiques. Dans *Expérimenter des problèmes de recherche innovants en mathématiques à l'école*. INRP.

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
DURAND-GUERRIER, V., ARSAC, G. (2003). Méthodes de raisonnement et leurs modélisations logiques. Spécificité de l'analyse. Quelles implications didactiques ? *Recherches en didactique des mathématiques*, 23(3), 295-342.

DURAND-GUERRIER, V., MESNIL, Z. (2022). Quelques pistes pour améliorer l'usage de l'implication mathématique en début d'université, *EpiDEMES*, 1.

GANDIT, M. (2011). Etude épistémologique et didactique de la preuve en mathématiques et de son enseignement. Une ingénierie de formation. Dans M. ABBOUD-BLANCHARD, A. FLÜCKIGER (eds.) *Actes du séminaire national de didactique des mathématiques, 2010* (pp. 175-197). IREM de Paris.

GARDES, M.-L. (2013). *Étude de processus de recherche de chercheurs, élèves et étudiants, engagés dans la recherche d'un problème non résolu en théorie des nombres*. Thèse de doctorat, Université de Lyon.

GARDES, M.-L. (2017). Une étude d'épistémologie contemporaine sur l'activité de recherche mathématique de chercheurs : intérêt pour l'étude didactique. Dans M. BÄCHOLD, V. DURAND-GUERRIER, V. MUNIER, *Epistémologie et Didactique, Synthèses et études de cas en mathématiques et en sciences expérimentales* (pp.177-192). Presses universitaires de Franche-Comté.

GARDES, M.-L. (2018). Démarches d'investigation et recherche de problèmes. Dans G. ALDON, *Le Rallye mathématique, un jeu très sérieux !* (pp. 73-96). Canopé Editions.

GIROUD, N. (2011). *Étude de la démarche expérimentale dans les situations de recherche pour la classe*. Thèse de doctorat, Université Joseph Fourier Grenoble.

GIUSTI, E. (2000). *La naissance des objets mathématiques*. Ellipses.

HACHE, C. (2015). Pratiques langagières des mathématiciens, une étude de cas avec « avec ». *Petit x*, 97, 27-43.

HACHE, C., MESNIL, Z. (2015) Pratiques Langagières et preuves. *Actes du 22e colloque de la CORFEM, Nîmes, juin 2015*. Adirem

HANNA, G. DE VILLIERS, M. (eds.) (2012). *Proof and proving in mathematics education*. Springer.

KOUKI, R. (2018). L'articulation des dimensions syntaxique et sémantique en algèbre du secondaire. *Recherches En Didactique Des Mathématiques*, 38(1), 43-78.

LACOMBE, D. (2007). Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur la logique et qu'on n'a jamais voulu vous révéler. Dans *Séminaire de l'IREM de Paris*. Vidéo en ligne. https://video.irem.univ-paris-diderot.fr/videos/watch/3cfc4823-71a2-4b78-b565-7b4e6199275b (consulté le 29 octobre 2022)

MARIOTTI, M., DURAND-GUERRIER, V., STYLIANIDES., G. (2018). Argumentation and proof. Dans T. DREYFUS, M. ARTIGUE, D. POTARI., S. PREDIGER, K. RUTHVEN (eds) *Developing research in mathematics education - twenty years of communication, cooperation and collaboration in Europe* (pp.75-89, 2018). Routledge.

PERRIN, D. (2007). L'expérimentation en mathématiques. *Petit x*, 7, 6-34.

REBIERE, M. (2013). S'intéresser au langage dans l'enseignement des mathématiques, pour quoi faire ? Présentation de quelques concepts développés par le groupe de didacticiens du français de Bordeaux, dans A. BRONNER et al. (2013) *Questionsvives en didactique des mathématiques : problèmes de la profession d'enseignant, rôle du langage*. La pensée Sauvage

SELDEN, A., SELDEN, J. (1995). Unpacking the logic of mathematical statements. *Educational Studies in Mathematics*, 29 (2), 123-151.

TALL, D., VINNER, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. *Educational Studies in Mathematics*, 12, 151-169.

WEBER, K., ALCOCK, L. (2004). Semantic and syntactic proof productions. *Educational Studies in Mathematics*, 56, 209-234.
Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
# ANALYSE DIDACTIQUE DES RAISONNEMENTS EN CLASSE DE MATHEMATIQUES PAR L'USAGE D'UN MODELE SPECIFIQUE
## EXEMPLES D'ETUDES DE SITUATIONS A DIFFERENTS NIVEAUX DE SCOLARITE

Bloch I.*, Front M.**, Gibel P.*

## RÉSUMÉ

En trois séances de deux heures, cet atelier/séance de travaux dirigés a proposé aux participants de découvrir, de s'approprier et de mettre en œuvre un modèle d'analyse des raisonnements des élèves, modèle basé sur la prise en compte de plusieurs dimensions : les conditions de l'élaboration d'un raisonnement en situation, les modalités et fonctions des raisonnements (justifier, expliquer, argumenter, prouver, démontrer, etc.) et leurs dimensions syntaxique et sémantique. Ce modèle a été appliqué dans trois contextes différents : les fonctions au début du lycée, les nombres au primaire, et les pavages du plan au secondaire.

Mots clefs : modélisation, raisonnement, argumentation, preuve.

## ABSTRACT

During three slots of two hours the participants were invited to discover and apply a model to analyse mathematical arguments in a classroom session where a problem is submitted to students. This model is based on different dimensions: conditions in which students elaborate reasoning when they solve in a situation, functions of reasoning (justify explain, argument, prove, demonstrate, etc.) and the syntactic and semantic dimensions. The model has been applied in three different contexts: the teaching of numeric functions at the beginning of secondary school, the numbers in primary school and the Archimedean tilings in secondary school.

Keywords : modeling, reasoning, argumentation, proof.

# ANALYSE DES SITUATIONS ET DES RAISONNEMENTS

La modalité choisie pour cet atelier est un travail d'étude de trois situations d'argumentation et de preuve relevant des niveaux de scolarité (primaire, secondaire et supérieur) pour lesquels nous mettrons à l'épreuve l'adéquation du modèle (Bloch et Gibel, 2011) à une analyse détaillée des différentes formes de raisonnements. Les situations à l'étude ont été choisies dans différents domaines des mathématiques : arithmétique, analyse et géométrie. Il s'agit d'étudier les raisonnements produits par les élèves, et la capacité de ceux-ci à résoudre le problème posé et à comprendre les concepts mathématiques en jeu dans la situation. Nous présentons brièvement ci-dessous notre modèle d'analyse des raisonnements en situation.

## 1. L'analyse des raisonnements

La méthodologie de l'analyse de la résolution de problèmes nous amène à prendre en compte la dimension sémiotique du raisonnement dans ses différentes formes : orale, écrite et formelle. Une attention particulière est portée aux différentes formes du langage permettant d'exprimer les mathématiques. Une première séance est donc consacrée à l'étude des raisonnements, et vise à justifier la nécessité de prendre en compte :

- L'identification de leurs différentes formes par le recours à une analyse sémiotique ;

- Les conditions d'utilisation en classe de mathématiques ;

- L'identification des différentes fonctions ;

- La complexité conceptuelle propre au contenu à enseigner (aspects historiques et épistémologiques).

Pour rendre compte des différentes formes de raisonnements en classe de mathématiques, nous avons choisi de définir le raisonnement en choisissant une définition plus large que celle utilisée habituellement en mathématiques :

<footnote>* Équipe E3D, laboratoire CHANGES, Université de Bordeaux</footnote>

<footnote>** Laboratoire S2HEP, Université de Lyon</footnote>
« Un raisonnement est un enchaînement, une combinaison ou une confrontation d'énoncés ou de représentations respectant des contraintes susceptibles d'être explicitées, et conduits en fonction d'un but. » (Oléron, 1977, p.9).

Notre travail de recherche, en amont, avait consisté à construire un cadre théorique afin de :

- Éclairer le raisonnement du point de vue de ses fonctions dans la situation et du statut des représentations sémiotiques produites ;

- Prendre en compte les raisonnements – valides et erronés – des élèves en précisant les conditions dans lesquelles ils ont été élaborés et le niveau de preuve associé ;

- Élaborer un modèle multidimensionnel qui permette une visibilité des différentes formes de raisonnements : schéma, langage oral, langage écrit,...

## 2. Différents types de justifications en situation de validation, de décision ou de preuve

Lors de la mise en œuvre de situations dans les classes, et plus généralement dans la pratique des mathématiques, nous observons les types suivants de justification :

- Justification syntaxique : l'argumentation se réfère à des règles formelles ; l'élève établit la validité du discours à l'aide des règles permises – c'est l'objectif final de l'apprentissage, afin que l'apprenant pratique des mathématiques de façon experte.

- Justification sémantique : argumentation de la pertinence et de la validité des modèles. Cette pertinence est établie en se référant aux objets mathématiques (via leurs représentations) pris en compte pour l'argumentation ;

- Justification pragmatique : justification de la validité et de l'intérêt de la procédure par référence à l'adéquation au modèle.

## 3. Les niveaux de milieux, une référence pour construire et étudier des situations

Rappelons que les situations adidactiques ou à dimension adidactique sont organisées suivant des niveaux de milieux : ces niveaux permettent un travail différent pour les élèves, à savoir, identification de la question posée (milieu matériel $M_2$) ; recherche pragmatique de solution (milieu objectif $M_1$) ; formalisation des résultats (milieu de référence $M_0$), puis, sous la responsabilité du professeur, synthèse et conclusion : institutionnalisation, apprentissage des savoirs associés (cf. Bloch et Gibel, 2011).

Dans l'article cité ci-dessus, nous avions proposé un tableau permettant de relier les raisonnements aux milieux, ces milieux décrivant les étapes de résolution de la situation. Ce tableau intègre la nature sémantique et/ou syntaxique des raisonnements.
<table><caption>Tableau 1. – milieux et raisonnements</caption><thead><tr><th></th><th>Milieu M-2</th><th>Milieu M-1</th><th>Milieu M0</th></tr></thead><tbody><tr><th>Fonctions des raisonnements</th><td>R1.1 SEM<br>- Intuition sur un dessin<br>- Décision de calcul<br>- Moyen heuristique<br>- Exhibition d'un exemple ou d'un contre-exemple</td><td>R1.2 SYNT/SEM<br>- Calculs génériques<br>- Formulation de conjectures étayées<br>- Décision sur un objet mathématique</td><td>R1.3 SYNT<br>- Formalisation des preuves dans la théorie mathématique requise (avec aide du P éventuellement)</td></tr><tr><th>Niveaux d'utilisation des symboles</th><td>R2.1 SEM<br>Icônes ou indices dépendant du contexte (schémas, intuitions...)</td><td>R2.2 SYNT/SEM<br>Arguments 'locaux' ou plus génériques : indices, calculs</td><td>R2.3 SYNT<br>Arguments formels spécifiques : ici symboles de l'Analyse</td></tr><tr><th>Niveau d'actualisation du répertoire</th><td>R3.1 SYNT/SEM<br>- Utilisation ponctuelle de connaissances anciennes<br>- Enrichissement au niveau heuristique : calculs, conjectures ponctuelles</td><td>R3.2 SYNT/SEM<br>Enrichissement au niveau argumentaire :<br>- des énoncés<br>- du système organisateur</td><td>R3.3 SYNT<br>- Formalisation des preuves<br>- Introduction d'ostensifs organisés<br>- Intégration des éléments théoriques du domaine mathématique</td></tr></tbody></table>

Ce tableau s'est révélé efficace pour étudier le pilotage de la situation proposée, et les fonctions des raisonnements mis en œuvre par les élèves ; il permet aussi de comprendre comment les raisonnements produits par les élèves en situation d'action et de formulation sont réutilisés en situation de validation ; il est possible d'identifier les connaissances et les savoirs mobilisés, valides et erronés, et leurs évolutions au cours de la séquence.

Le tableau donne accès à la nature, la modalité et la fonction des raisonnements utilisés en fonction de l'objectif de preuve. Les axes du tableau réfèrent à des niveaux de modélisation différents des raisonnements, soit une modélisation *globale* relative aux niveaux de milieux en lien avec les fonctions des raisonnements, soit une modélisation *locale* au niveau des arguments produits dans le travail et les échanges en classe. Signalons que les productions de signes (des élèves et de l'enseignant) peuvent être des énoncés « écrits », des éléments scripturaux (graphiques, schémas, dessins), et des calculs (liés aux différents domaines des mathématiques) ; mais aussi des énoncés « oraux », et des éléments gestuels.

Ce modèle doit permettre d'affiner et de prolonger l'analyse a priori de la situation en lien étroit avec les niveaux de milieux, d'identifier les situations de décision, de formulation ou validation, en les reliant aux phases didactiques et aux phases d'institutionnalisation lors de l'analyse a posteriori. Il doit aussi conduire à analyser les signes produits en situation et à les lier aux niveaux des raisonnements élaborés par les élèves et au répertoire didactique de la classe (répertoire de représentation).

Nous utilisons aussi une version « simplifiée » de la sémiotique de Peirce pour analyser le niveau des signes employés par les élèves, selon le milieu (pour une description de cet usage, voir Bloch et Gibel, 2011).

Ainsi, nous n'utilisons que de trois distinctions : icône, indice et symbole/argument :

- Une interprétation iconique est de l'ordre de l'intuition, éventuellement sur un schéma, une figure ;

- Un signe indiciel est de l'ordre d'une proposition ;

- Un symbole-argument est de l'ordre d'une preuve mathématique.
## LES SITUATIONS PRESENTEES ET LEUR ANALYSE A PRIORI

La Théorie des Situations Didactiques (TSD) et l'étude des situations comprennent une composante incontournable : c'est l'analyse a priori de la situation proposée, à un niveau donné, aux élèves. Cette analyse a priori se fait sur des critères également rigoureux, dont nous donnons un résumé ci-dessous. Ces éléments ont été transmis aux personnes assistant à l'atelier, et exemplifiés sur les trois situations présentées.

Ces éléments permettent d'avoir une anticipation du déroulement de la séance en classe, et ils permettent au professeur qui a fait cette analyse de réagir conformément aux attentes de la situation et du travail des élèves.

### 1. *Les situations présentées*

Durant la première séance, ce modèle a été exposé aux participants ; puis la situation « Graphiques et fonctions » leur a été donnée afin qu'ils effectuent l'analyse a priori et soient conscients des savoirs en jeu (voir Annexe 1 ; cf. aussi Bloch, 2002).

Des extraits d'échanges avec les élèves ont été présentés aux participants ; dans ces extraits, les élèves cherchent un critère pour pouvoir affirmer qu'un graphique est bien celui d'une fonction ; puis les notions de majorant, fonction bornée, etc. ont été discutées.

Nous avons débuté la deuxième séance par la présentation de la situation « Le nombre le plus grand » mise en œuvre au C.O.R.E.M. dans une classe de CM2. Après avoir construit l'analyse a priori de la situation, nous avons effectué avec les participants une analyse de différentes formes de raisonnements produits par les élèves et par l'enseignant au cours de différentes phases de la séquence (Gibel, 2015).

Lors de la troisième séance, la situation des pavages archimédiens du plan (voir annexe 3 et Front, 2015) a été travaillée et les remarques des participants prises en compte dans la conclusion.

## LES RAISONNEMENTS OBSERVES EN SITUATION

### 1. *Les fonctions*

Cette première situation donne à voir une alternative à dimension adidactique pour l'introduction des fonctions 'quelconques' au lycée. Pour les détails de la situation, et les schémas qui la composent, voir l'Annexe 1. La situation est détaillée dans l'article Bloch (2002) accessible sur le site de la revue *Petit x*.

L'introduction d'un concept par une situation à dimension adidactique vise à articuler connaissances des élèves, et savoirs mathématiques. Ainsi que le dit F. Conne :

> « Enseigner, c'est travailler le savoir, pour induire dans un cadre situationnel choisi, un processus cognitif supportant l'apprentissage, dont le produit sera en retour institué en savoir » (Conne, 1992)

Or, l'évolution de l'enseignement des mathématiques a montré des modifications de programmes souvent peu pertinentes, ainsi :

> — les années 70 tentaient d'organiser l'enseignement autour de la présentation formelle du savoir (les « mathématiques modernes »), en supposant ce savoir suffisant pour traiter les problèmes qui en relèveraient, et en négligeant la construction nécessaire de connaissances relatives à ces problèmes ;

> — l'enseignement des années 80, quant à lui, présentait des problèmes à traiter avec très peu de savoirs institués, mais chaque cas nouveau nécessitait la mise en œuvre de connaissances importantes relatives à l'algèbre et aux majorations ; ces connaissances se sont révélées trop
locales pour être instituées facilement afin de pouvoir être ensuite décontextualisées et
 réinvesties, donc le temps didactique ne pouvait avancer de façon raisonnable ;

— l’enseignement du début des années 2000, sous couleur de baser l’approche de l’analyse sur l’intuition graphique, ne donnait à l’élève aucun outil lui permettant de traiter des cas différents de ceux qui lui étaient présentés. On pourrait dire qu’il tentait de se baser sur des connaissances, mais ces connaissances, si elles se construisent effectivement (ce qui resterait à prouver) sont de l’ordre des connaissances privées et non opérationnelles dans le travail mathématique : un enseignement uniquement ostensif ne permet pas aux élèves de travailler sur des critères mathématiques ;

— les programmes de 2019 ont institué une version assez satisfaisante et ont corrigé ces défauts de conception ; de ce fait, la situation *Graphiques et Fonctions* est très compatible avec la philosophie de ces nouveaux programmes.

Il s'agit de construire une situation comportant un milieu propice à la construction de connaissances sur les fonctions, mais aussi permettant l'institutionnalisation de savoirs et la validation des propriétés. Cette situation doit favoriser le raisonnement sur les fonctions, et pas uniquement des connaissances ponctuelles isolées.

La situation « Graphiques et Chemins » vise à introduire les propriétés des fonctions, notamment autres que les fonctions affines, en se basant sur des constructions par les élèves de RGC (Représentations Graphiques Cartésiennes), en identifiant les fonctions et leurs propriétés, et en construisant des fonctions 'quelconques' définies avec des relations par exemple numériques ou algébriques. Ceci définit un milieu d'apprentissage initiant les concepts visés en Analyse.

Dans Bloch (2002), le milieu est analysé comme suit :

« Un préalable à la construction d'un tel milieu est l'étude des caractéristiques des registres disponibles pour les notions d'analyse, et des possibilités de construire des tâches accessibles dans ces différents registres.

Les registres disponibles sont a priori :

— Le registre numérique (tableaux de valeurs)

— Le registre algébrique (équations de droites, de fonctions)

— Le registre géométrique (grandeurs géométriques variables)

— Le registre graphique (courbes dans un repère)

— Le registre formel (notations *f*, *f*', *fog*, *f(x)*, etc...)

L'infini, et les représentations qui lui sont liées, ont un statut à part, ils sont utilisés pour l'heuristique, mais pas pour valider au niveau du début de l'enseignement secondaire.

Non seulement ces registres n'ont pas tous les mêmes fonctionnalités de représentation, mais ils n'outillent pas de la même manière pour valider et ils ne "montrent" pas les mêmes propriétés des fonctions. On dira qu'un ostensif pris dans un registre donné est un *représentant* d'un objet mathématique, et il en rend manifeste ou non certaines propriétés. »

La construction de ce milieu suppose aussi que l'on s'interroge sur les outils de validation possibles ; à ce niveau, on ne dispose pas du système de validation de l'Analyse. On accepte donc des outils pragmatiques, lesquels fourniront des arguments 'locaux' ensuite basculés vers des théorèmes plus généraux. Les tâches proposées aux élèves sont décrites dans Bloch (2002) : « Ainsi dans le registre graphique :

— trouver des images et des antécédents, et valider ainsi des propriétés ;

— élargir la fenêtre ou faire un zoom ;

— changer le repère et savoir ce qui est préservé ou non ;

— changer d'échelle, reconnaître que la concavité est préservée, etc...

C'est dans la conversion entre registres (pour une même fonction, changer de représentant) que l'on voit surtout apparaître des tâches non routinières dans l'enseignement secondaire, ainsi :
— Trouver sur une courbe des informations sur les propriétés d'une (classe de) fonction ;

— Reconstituer l'équation algébrique à partir de données graphiques, numériques, et d'une typologie (fonction de degré 2 ou 3, ou...);

— Construire des courbes sous contraintes (fonction bornée ou non, racines données...);

— Interpréter des équations comme celles de fonctions composées ;

— Composer des fonctions données par leur graphique ; trouver des réciproques ;

— Déduire d'un graphique des propriétés générales des fonctions, et les écrire sous forme de chaînes de symboles formels. »

L'originalité de cette situation est que le graphique y est utilisé comme un outil de raisonnement, de preuve et de construction, et non seulement comme une 'image' de fonction ; et, ce graphique est traité de façon globale – pour les propriétés – et non simplement ponctuelle. Ainsi les élèves sont en mesure de raisonner sur des graphiques comme étant des représentants de fonctions, d'en déduire des propriétés de ces fonctions – ils sont donc aux niveaux R1.2 et R2.2 du tableau des raisonnements, dans le milieu M₁.

Des extraits de transcription de la situation ont été proposés aux participants à l'atelier. Ainsi, l'on a pu observer les discussions sur le fait qu'un graphique représente une fonction ou non (« Un cercle n'est pas une fonction ! Il faut qu'il y ait une seule image... ») ; sur la nature des fonctions (« Le produit de deux fonctions affines est une fonction affine ? »), sur la fonction réciproque d'une fonction donnée, son existence et son unicité, etc. (voir le détail dans l'article de Petit x).

Le graphique n'est alors plus le but rituel d'un travail qui se passe dans un autre registre. Il est devenu outil de preuve dans un questionnement où les objets problématiques sont des concepts : fonctions et propriétés des fonctions. Cette situation contribue à créer un milieu fonctionnel pour poser des questions d'analyse, un "herbier" de fonctions plus riche que les fonctions de référence algébriques (fonctions affines, carré, cube, inverse...).

Cet apport au niveau de l'organisation d'une notion et des raisonnements s'avère essentiel : en effet, dans l'organisation classique de l'enseignement sur les fonctions, les connaissances associées aux savoirs de l'analyse sont parfois manquantes dans l'enseignement secondaire, et donc les professeurs de niveau post-bac n'ont d'autre ressource que d'introduire simultanément les objets de la théorie, les modes de raisonnement, les preuves et le formalisme, et les questions sur la validité des énoncés : d'où un échec massif des étudiants, encore constaté aujourd'hui. L'expérimentation menée a prouvé qu'il existe des situations permettant de faire travailler, dans le secondaire, les connaissances et les raisonnements nécessaires à la transition avec le supérieur : la situation "Graphiques et chemins" donne des possibilités pour ce travail, sans aborder directement le formalisme, mais en construisant des outils pour l'entrée dans ce type de validation, et en s'appuyant sur des connaissances des élèves.

## 2. La situation « Le Nombre le plus grand »

Lors de la deuxième séance, nous avons pris comme objet d'étude les raisonnements élaborés par les élèves et l'enseignant au cours d'une séquence " Le nombre le plus grand ", proposée en CM2 au Centre d'Observation et de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (C.O.R.E.M.). La mise en œuvre de cette séquence est liée à la rencontre de Brousseau et de Glaeser. Le problème de mathématiques a été initialement proposé par Glaeser (1999), l'énoncé est le suivant :

> Soient cinq nombres naturels quelconques a, b, c, d, e. Quel est le nombre le plus grand que l'on peut obtenir à partir des quatre opérations élémentaires {+ ; - ; × ; :} appliquées à ces nombres qui ne seront pris dans le calcul qu'une seule fois, une même opération pouvant être utilisée plusieurs fois.
L'idée de G. Brousseau est de faire débattre les élèves sur des déclarations mathématiques suivant des règles qui les conduisent à produire des preuves, plus précisément leur faire chercher des contre-exemples.

La situation d'argumentation, telle qu'elle a été conçue par Brousseau, est une situation à dimension adidactique : en effet il est possible et même probable que l'enseignant sera conduit à intervenir de manière à assurer le maintien de l'engagement des élèves dans le processus de preuve. La situation de validation est assimilable à une situation à dimension adidactique (Bloch, 1999) ; afin de pallier l'absence d'arguments produits par les élèves pour valider ou invalider une méthode permettant de gagner, l'enseignant sera amené à confronter les élèves à un nouveau jeu dans le but d'éprouver la validité de la méthode objet d'étude. Par conséquent l'analyse de cette séquence, à partir de notre modèle, devrait nous permettre d'apporter des éléments de réponse aux questions suivantes :

Quelles sont les différentes formes de raisonnements qui apparaissent lors des différentes phases de cette séquence ? Quelles fonctions recouvrent-ils ? À quel(s) niveau(x) de milieu(x) réfèrent-ils ? Comment évolue, au cours de la séance, le répertoire didactique de la classe ?

Nous souhaitons effectuer une analyse en théorie des situations de la complexité didactique des raisonnements produits ; pour cela nous allons utiliser le schéma de la structuration du milieu didactique, afin d'explicitier d'une part les différentes formes et les différentes fonctions des raisonnements, d'autre part les conditions qui définissent chacune des situations dans laquelle les élèves ont produit les raisonnements.

L'utilisation de notre modèle au cours de l'atelier a eu pour finalités :

1) d'approfondir l'analyse *a priori* de la séquence, en explicitant, pour chacune des situations emboîtées du schéma, les différentes formes de raisonnements susceptibles d'apparaître dans la relation didactique en regard des principaux objectifs de l'enseignant et des conditions qui définissent la situation.

2) D'analyser *a posteriori* dans la séquence « Le nombre le plus grand »

- les raisonnements produits par les élèves en situation d'action,

- les conditions dans lesquelles ils ont été élaborés,

- les transformations de ces mêmes raisonnements lorsque les élèves sont conduits à les utiliser en situation de formulation ou de validation.

L'un des principaux objectifs de cette séquence est de permettre aux élèves de passer progressivement, au cours des différentes phases de la séquence, de raisonnements arithmétiques à l'élaboration et à l'étude d'énoncés généraux, que nous nommerons *méthode*, illustrant d'une certaine façon l'entrée dans l'Algèbre.

Ce qui est visé dans cette séquence, outre la mise en œuvre des propriétés des opérations, c'est principalement l'enseignement des règles du jeu de la preuve : il s'agit d'une leçon sur le vrai et le faux, mais également sur la manière de l'établir. L'objectif principal de la séquence est de mettre les élèves en situation de débattre des méthodes permettant d'obtenir le nombre le plus grand, quelle que soit la suite de nombres proposée.

Pour qu'il soit envisageable de demander aux élèves d'élaborer des méthodes, il faut dans un premier temps envisager des répétitions de calculs, c'est-à-dire plusieurs jeux successifs sur des 5-uplets donnés par l'enseignant afin que les élèves élaborent des programmes de calcul. Pour qu'une mise en débat de la validité des méthodes soit envisageable, c'est-à-dire pour que la situation de validation puisse être à dimension adidactique, il est nécessaire que : les méthodes étudiées aient été produites par les élèves, et donc qu'elles résultent d'un travail fondé sur l'écriture de méthode ; qu'elles aient fait l'objet d'une reconnaissance formelle par l'enseignant et appartiennent ainsi au *répertoire didactique* de la classe, de sorte qu'elles soient utilisables par les élèves ; qu'ils parviennent à se les approprier, c'est-à-dire à faire le lien entre leurs formulations et leurs usages en situation de jeu ; qu'elles soient assimilables à des assertions dans le sens où elles sont correctement formées et consistantes.
La première étape de l'élaboration du modèle d'analyse des raisonnements associé à l'analyse de la situation a conduit les participants de l'atelier à effectuer l'analyse a priori de cette situation et ensuite à identifier chacun des niveaux de milieux.

* ✓ La situation objective : l'acteur objectif et le milieu matériel

La situation objective, objet de notre étude, est fondée sur le problème de mathématiques proposé par G. Glaeser. C'est donc une situation de jeu pour un 5-uplet donné. Le milieu matériel est constitué par les entiers naturels. Les connaissances du répertoire didactique, que les élèves vont devoir utiliser, relèvent principalement des opérations sur les entiers et de leurs propriétés.

* ✓ La situation de référence : l'élève agissant et le milieu objectif

Les élèves doivent décider de la suite de calculs à effectuer afin de produire le nombre le plus grand à partir du 5-uplet proposé. Ils doivent choisir les opérations arithmétiques à appliquer aux nombres proposés en respectant la règle : chacun des nombres ne peut être utilisé qu'une seule fois. Les élèves doivent ensuite formuler le nombre obtenu et sa justification, autrement dit le programme de calcul associé. La validité du programme de calcul est examinée par les élèves, sous couvert de l'enseignant, du point de vue de la validité des calculs effectués et du point de vue du respect des règles du jeu.

* ✓ La situation d'apprentissage : l'élève apprenant et le milieu de référence

L'élève en situation d'apprentissage est amené à produire des formulations de méthodes générales et à s'interroger sur la validité de chacune d'elles. Les situations de formulation et de validation sont étroitement liées ; en effet l'étude de la validité d'une méthode repose sur la capacité des élèves à construire un contre-exemple.

* ✓ L'élève apprenant en situation de formulation d'une méthode

L'élève apprenant doit prendre en compte les objets, les règles, mais également les conditions dans lesquelles chacun des programmes de calcul ont été produits. L'élève considère maintenant ses actions sur les objets en regard des conditions nécessaires ou suffisantes à la réussite. Pour le dire autrement, il ne s'agit plus de jouer au jeu du « nombre le plus grand » pour gagner, mais de savoir pourquoi et à quelles conditions on est sûr de gagner. Les élèves doivent relever le défi consistant à élaborer une méthode dont le domaine de validité soit le plus étendu possible.

La phase de formulation des méthodes vise à permettre aux élèves une prise de position sur l'action, et donc une prise de conscience des décisions sur lesquelles reposent leurs actions, afin qu'ils puissent produire des procédures dont la validité pourra être mise en débat. En situation de formulation, les élèves doivent écrire une méthode permettant d'obtenir le nombre le plus grand quelle que soit la suite de nombres proposée.

* ✓ L'élève apprenant en situation de validation

Le domaine de validité d'une méthode est lié aux connaissances des conditions dans lesquelles son usage s'avère adéquat. La prise de conscience par le sujet du domaine de validité du raisonnement produit, permet d'envisager l'usage de ce raisonnement dans des situations d'argumentation et de preuve. Les élèves se positionnent en tant que « proposant » ou « opposant » et débattent de la validité des méthodes proposées par les différents groupes.

L'élève en situation de validation, ayant le statut d'opposant ou de proposant, arrive avec une culture, des connaissances étroitement liées au répertoire didactique dont il dispose, et peut éventuellement, en situation de débat, formuler des exigences ou des interrogations qui ne sont pas nécessairement celles de la situation de preuve telle qu'elle a été conçue initialement par Brousseau.

* ✓ La situation didactique : L'élève et la situation d'apprentissage

La situation didactique repose d'une part sur la reconnaissance par l'enseignant du statut des énoncés proposés en tant que méthode et d'autre part sur la reconnaissance par l'enseignant, si
cela s'avère nécessaire, de la validité des arguments produits par un élève ou un groupe d'élève dans le but d'invalider une méthode.

La deuxième étape de l'étude a amené les participants à prendre en compte, pour chaque niveau de milieu M-2, M-1, M0, définis précédemment les trois dimensions (fonctions des raisonnements ; niveaux d'utilisation des signes : icône, indice, symbole-argument ; répertoire didactique), nous parvenons au tableau présenté ci-dessous. Les niveaux matriciels indiqués (R1.1, R1.2, R1.3, etc.) servent de référence lors de l'analyse du corpus : la progression des indices matriciels va en principe de pair avec la sophistication et la formalisation croissantes des raisonnements et des signes.

Le tableau ci-dessous indique pour chacun des niveaux de milieu M-2, M-1 et M0 les formes de raisonnement susceptibles d'être produites par les élèves en spécifiant leurs fonctions, les niveaux d'utilisation des signes et l'évolution du répertoire de représentation (en précisant l'usage et l'actualisation des connaissances et des savoirs).

<table><caption>**Tableau 2.** – Les axes de l'analyse des raisonnements en fonction des niveaux de milieux associés à la situation « Le nombre le plus grand »</caption><thead><tr><th></th><th>Milieu M-2</th><th>Milieu M-1</th><th>Milieu M0</th></tr></thead><tbody><tr><th>Fonctions des raisonnements</th><td>R1.1 SEM<br>- Décision de calcul<br>- Moyen heuristique<br>- Exhibition d'un exemple ou d'un contre-exemple</td><td>R1.2 SYNT/SEM<br>- Calculs génériques<br>- Formulation de conjectures étayées<br>- Décision sur un objet mathématique<br>- Comparaison de méthodes<br>- Élaboration de contre-exemple</td><td>R1.3 SYNT<br>- Explications, justifications visant à définir les règles du jeu de la preuve et leurs usages.</td></tr><tr><th>Niveaux d'utilisation des signes</th><td>R2.1 SEM<br>Icônes ou indices dépendant du contexte (schémas, intuitions, modèle implicite d'action,...)</td><td>R2.2 SYNT/SEM<br>Symboles-arguments « locaux » ou génériques</td><td>R2.3 SYNT<br>Symboles-arguments formels</td></tr><tr><th>Usage et actualisation du répertoire didactique</th><td>R3.1 SYNT/SEM<br>- Utilisation ponctuelle de connaissances anciennes<br>- Enrichissement au niveau heuristique : calculs, conjectures ponctuelles.</td><td>R3.2 SYNT/SEM<br>Enrichissement des énoncés au niveau argumentaire</td><td>R3.3 SYNT<br>Formulation de preuve(s)</td></tr></tbody></table>

En utilisant le modèle d'analyse des raisonnements définis précédemment, lors de la troisième étape de l'atelier, nous avons proposé aux participants d'effectuer une analyse de plusieurs épisodes de la phase de validation. Certains des épisodes, analysés au cours de l'atelier, sont proposés en Annexe 2.

L'analyse de la séquence, réalisée à partir du modèle, a permis de mettre en évidence la production de nombreux raisonnements dans des fonctions très diverses telles que : prendre des décisions afin de produire une réponse, justifier la validité d'un programme de calcul, élaborer une méthode générale lors de la situation de formulation, produire des conjectures, organiser les tâches au sein d'un groupe, argumenter, débattre de la validité des méthodes, de manière à formuler une méthode dont le domaine de validité soit le plus étendu possible. De plus elle a permis d'étudier la nature des raisonnements et de mettre en évidence la capacité des élèves de primaire à produire des raisonnements sous la forme de raisonnements par disjonction de cas.

Le modèle met en évidence la richesse des raisonnements produits en les reliant aux connaissances et aux savoirs antérieurs du répertoire didactique concernant les opérations élémentaires et les propriétés de la multiplication (commutativité, élément neutre et distributivité de la multiplication sur l'addition). Du point de vue des formulations, le modèle donne à voir l'évolution des énoncés en lien avec les différentes situations : on passe de la formulation de suites de calculs arithmétiques à la rédaction de méthodes générales, de nature algébrique, pour parvenir à la production d'arguments sémantiques et syntaxiques.
Cette évolution est observable en situation de formulation et en situation de validation. L'analyse sémiotique montre également le décalage effectif entre le formalisme introduit par l'enseignant et le répertoire didactique effectivement mobilisé par les élèves tout au long de la séquence. Ceci conforte l'analyse a priori : la situation « finale » étant algébrique, il était difficile pour les élèves de ce niveau de parvenir à une formulation de cette nature.

Nous avons souhaité mettre en évidence la robustesse de notre modèle pour analyser les différentes formes de raisonnements, en situation à dimension adidactique, en illustrant son utilisation à un niveau d'enseignement (CM2) assez éloigné de celui illustré initialement en classe de Première scientifique (Bloch et Gibel, 2011). L'intérêt du modèle est lié au fait qu'il permet l'étude du raisonnement produit, qu'il soit ou non valide, de différents points de vue : la fonction du raisonnement en lien avec le niveau de milieu correspondant, la nature et le statut du raisonnement produit d'un point de vue sémiotique et qu'il permet également de déterminer l'usage et le niveau d'actualisation du répertoire didactique. Cette étude, selon les trois axes définis précédemment, permet de déterminer l'efficacité des situations du point de vue de la pratique du raisonnement, mais aussi du point de vue de l'utilisation du répertoire de connaissances de l'élève. Cette étude très fine des raisonnements permet également d'envisager un aménagement de l'ingénierie dans le but de permettre aux élèves de concevoir les mathématiques, et plus précisément les situations de validation, comme un moyen d'étudier précisément le domaine de validité des énoncés.

### 3. Pavages archimédiens

Le troisième temps proposé, en appui sur la situation « Pavages archimédiens du plan » (cf. annexe 3), interroge particulièrement l'identification et l'étude des raisonnements dans les phases adidactiques. Le modèle d'analyse des raisonnements mobilisé doit là encore mettre en évidence le potentiel de la situation pour l'émergence de sémioses, l'élaboration des raisonnements, en identifiant les différentes formes et les fonctions.

Le problème proposé est la recherche des pavages archimédiens du plan, c'est-à-dire des recouvrements du plan par des polygones réguliers satisfaisant aux conditions suivantes :

- si deux polygones du recouvrement ont un point commun unique, il est sommet de l'un et de l'autre (un tel point sera dit un nœud du pavage);

- si deux polygones du recouvrement ont plus d'un point commun, leur intersection est un côté de l'un et de l'autre;

- la configuration locale en chaque nœud est la même à une symétrie près.

Dans la situation didactique proposée, il s'agit de faire entrer les élèves dans un jeu où le projet commun de l'enseignant et des élèves est avant tout l'engagement dans la résolution du problème proposé et l'élaboration de résultats au moins partiels, la genèse de savoirs sur des objets mathématiques nouveaux.

Les élèves confrontés au problème produisent des exemples nombreux (Front, 2015), formulent des conjectures étayées, sont amenés à prendre des décisions sur les objets explorés. Ces résultats partiels sont en lien avec plusieurs conditions nécessaires, mais non suffisantes des pavages archimédiens, dont :

* Les côtés des polygones du pavage ont même longueur

* La somme des angles autour d'un nœud est égal à 4 droits

* On ne peut assembler autour d'un nœud moins de 3 et plus de 6 polygones réguliers.

* On ne peut assembler autour d'un nœud des polygones de plus de 3 types distincts.

Les registres mobilisés sont le registre géométrique, le registre numérique (mesures des angles des polygones réguliers), le registre algébrique en particulier dans l'élaboration et l'étude

<figure><img src="image_15.png" /></figure>
des relations entre les mesures des angles des polygones réguliers et les nombres de côtés des
polygones.

Le troisième moment de l’atelier de cette école d’été a permis de travailler particulièrement
deux corpus pour observer le changement de niveau de milieux, l’évolution des fonctions des
raisonnements, l’évolution des niveaux d’utilisation des symboles, l’évolution de la
conceptualisation de l’objet à savoir. Nous reprenons ici les éléments produits à partir de
quelques extraits du corpus.

Exemple 1 : Timothée : de l'icône au symbole-argument

L’analyse de la production de Timothée (cf. annexe 3) amène à observer un sujet apprenant
en phase d’action (M-2), mobilisant des connaissances anciennes pour matérialiser une intuition
(tout d’abord geste de la main dessinant un nœud de pavage), exhiber des exemples puis
formulant une conjecture plus ou moins étayée. L’avancée vers M-1 se poursuit avec une
évolution du signe. Initialement icone, puis possible questionné (présence d’un point
d’interrogation dans le cahier de recherche), le signe Σ angl = 360° (la somme des angles vaut
360°) devient tour à tour indice puis symbole-argument. La valeur de vérité du signe se fixe et
le signe devient le cadre potentiel d’une action sur les objets familiers. Plus précisément,
l’action, s’inscrit dans la théorie portée par le signe, et peut être régie par ce signe. Il est notable
que dans cette dimension de recherche du sens, la syntaxe soit initialement mixte et non encore
complètement mathématique. Le signe prend sa dimension formelle sous la forme α n = 360 et
devient outil théorique de prise de décision pour la recherche des pavages réguliers (avec un
raisonnement en partie erroné).

Exemple 2 : Romain : l’élève apprenant en situation de formulation pour la minoration du nombre de polygones autour d’un nœud.

Après la production d'exemples de plusieurs pavages régulier, Romain et un camarade
échangent sur le nombre minimal de polygones réguliers autour d'un nœud. On observe un
exchange entre un sujet proposant (Romain) et un sujet opposant. Le passage de M-2 à M-1 se
traduit par une décision sur un objet mathématique :

392 : Romain : ... parce que genre tu peux pas mettre que 2 tr... que deux figures à côté pour remplir. T'es obligé d'en mettre 3 minimum.

395 : Ben non, c'est juste qu'il faut au moins trois côtés pour faire un polygone.

396 : Romain : non, mais c'est pas ça. C'est là r'garde, ici, t'es obligé d'avoir une deux trois figures. Une deux trois. Pour pas qu'il y ait de trou au milieu.

397 : Tu peux pas remplir en même temps que ... ?

398 : Romain : non tu peux pas.

On observe ainsi le passage d'un usage indiciel de la propriété à une dimension d'argument
local avec enrichissement du répertoire au niveau des arguments, des énoncés, du système
organisateur

Exemple 3 : L’élève apprenant en situation de validation ... assembler localement ne suffit pas (1)

Dans un débat de validation d'une proposition de pavage (3,4,6,4) deux élèves sont
confrontés à la contingence :

* E5 : Donc là du coup ça voudrait dire ... Ouais non, mais attends, en gros, là faut remettre un carré, et là si on fait notre hexagone ...
* E15 : Faut regarder si ... 1, 2, 3, 4, 5. 1, 2, 3, 4. Ça va pas.

* E5 : Pourquoi ?

* E15 : Ici, on a 1, 2, 3, 4, 5 polygones sur un point. Et là, si tu regardes ici, t'en as 1, 2, 3, 4, sur point aussi. Et il faut qu'il y ait le même nombre de polygones.

* E5 : Ah ça [ ?]. J'avais oublié ce détail. Heu, mais ...

* [ ?]

* E5 : J'avais oublié ce détail en fait. Du coup ça fait chier.

Le candidat pavage est écarté, la condition « locale » sur la somme des angles autour d'un nœud se révèle insuffisante. Nous observons, à partir de la production d'un contre-exemple dans le milieu heuristique, la décision sur un objet mathématique,

Exemple 4 : L'élève apprenant en situation de validation ... assembler localement ne suffit pas (2)

(E15) échange cette fois avec (E5) et (E8) sur le candidat pavage (5,5,10) :

* E5 : tu mets 10 ... Là tu seras obligé d'mettre un 5, et après ...

* E8 : Tu mets un 10

* E5 : Ça va laisser un trou ...

* E5 : Là y'a un trou, et donc là ça, si tu ren... Ça marchera pas.

* E15 : Donc notre condition, elle est nécessaire, mais pas suffisante.

* E8 : C'est-à-dire ?

* E15 : Ben faut qu'il y ait ça d'validé pour que ça fonctionne, mais si y'a ça d'validé ça fonctionne pas à tous les coups.

* E8 : Ahaha.

Un échange tripartite qui permet à nouveau la décision sur un objet (candidat pavage 5,5,10) et la formulation d'une proposition au niveau du groupe. Le système organisateur s'étoffe.

Ce travail dans le groupe de Timothée permettra une institutionnalisation dans le milieu d'apprentissage (M0), avec P, l'enseignante :

* P : Alors l'équation on peut supposer que vous l'avez vérifiée comme il faut, chacun, donc la somme de tous les angles fait bien 360 pour ceux-ci. Qu'est-ce qui reste à vérifier ? Timothée ?

* Timothée ...

* Un élève du groupe C : la longueur des côtés

* P : Pour être sûr que ce soit un pavage archimédien, qu'est-ce qui reste à vérifier ?

* Le même élève du groupe C : Faut pas que ça se superpose

* Timothée : Que ça puisse se continuer

* P : Que ça puisse se continuer à l'infini, parce que rien ne dit que puisque ça marche bien autour d'un sommet quand on veut l'étendre ça fonctionne bien donc d'ailleurs, vous nous en avez pas parlé, mais vous aviez fait un dessin qui posait un problème à ce niveau-là ...

Les analyses suivantes montrent l'enrichissement du répertoire quand explorant au-delà du cas des pavages réguliers, les élèves mobilisent le registre algébrique et introduisent d'autres degrés de liberté. Les premières expressions, très ancrées dans la dimension sémantique permettront à E15 et E5 d'initier une étude systématique, dépassant le cadre des exemples « tests ».

De nature tout d'abord indicielle les expressions de type $\alpha x + \alpha'x' = 360$ ou $360 - \alpha x = \alpha'x$ passe au statut d'argument structurant le système organisateur. Elles traduisent à nouveau une évolution du signe et de la fonction des raisonnements, tour à tour exemple, moyen heuristique, élément de la formalisation des preuves.

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

<figure><img src="image_17.png" /></figure>
Le travail lors de l'atelier a permis une sensibilisation aux différents potentiels de la situation, autant mathématiques, que du point de vue des raisonnements. La mobilisation du système d'analyse précise l'évolution de la situation, la progression du répertoire, les ajouts de briques dans le système organisateur. De l'intuition à la formalisation de preuve, du geste de la main, icône du nœud d'un pavage, aux arguments formalisés permettant de déterminer des candidats pavage, l'étude de la situation des pavages archimédiens du plan permet d'illustrer l'intérêt d'une analyse des raisonnements dans la compréhension de l'évolution du concept en construction.

## CONCLUSION

Le travail effectué dans cet atelier a permis aux participants de découvrir et d'utiliser les outils d'analyse des situations et des raisonnements, et de voir que les situations présentées permettaient d'aboutir à des savoirs mathématiques structurés, en accord avec les attentes du programme au niveau concerné. En bref, cela signifie que ces situations débouchent sur des éléments de preuve mathématique des propriétés des concepts en jeu, et des outils sur lesquels s'appuyer, ceci visant à favoriser les démonstrations de problèmes faisant intervenir les mêmes notions (fonctions, géométrie, nombres entiers...). Nous pouvons aussi noter que l'analyse des situations a permis de mettre en évidence la robustesse du modèle pour des usages relevant de différents domaines des mathématiques et à des niveaux de scolarité variés. Ainsi les participants ont pu se confronter aux savoirs de ces niveaux différents, et comprendre le modèle de situations qui permet de construire pour les élèves des questions pertinentes relatives à ces savoirs. En faisant connaitre ces situations, nous insistons sur la nécessité de permettre aux élèves de se confronter à des recherches sur des objets et des questions mathématiques, avant de recevoir un enseignement formalisé des savoirs. Cette étape est essentielle pour la compréhension de ces concepts, mais aussi pour que les élèves se motivent en mathématiques.

Il faut noter qu'une large variété de situations existe actuellement pour tous les domaines des mathématiques et pour tous les niveaux d'enseignement, de la maternelle à l'université !<fnref n="1" /> La TSD a d'abord été construite pour l'enseignement primaire, mais depuis les années 1980-1990 cette théorie, et les situations qui en dépendent, ont diffusé à tous les niveaux. Des situations de transition entre le secondaire et l'université pour les concepts de limite et d'intégrale, par exemple, ont ainsi été expérimentées ; certaines sont disponibles dans Bloch & Gibel (2019).

L'objectif de cet atelier était donc de former les participants afin qu'ils puissent accéder ensuite à la maitrise des situations, au niveau qu'ils visent dans leur travail de recherche.

## RÉFÉRENCES

* BLOCH, I. (2002). Un milieu graphique pour l'étude de la notion de fonction au lycée. *Petit x*, 58, 25-46.

* BLOCH, I. (2005). *Didactique des mathématiques et théories sémiotiques : Vers une analyse des processus de production et d'interprétation des signes mathématiques dans les situations d'apprentissage*, SFIDA 24 (Séminaire Franco-Italien de Didactique de l'Algèbre) : Université de Turin.

* BLOCH, I., & GIBEL, P. (2019). A model to analyse the complexity of calculus knowledge at the beginning of University course - presentation and examples, *Annales de didactique et de sciences cognitives*, 24, 183-205.

* BLOCH, I., & GIBEL, P. (2011). Un modèle d'analyse des raisonnements dans les situations didactiques : étude des niveaux de preuves dans une situation d'enseignement de la notion de limite. *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 31(2), 191-227.

* BROUSSEAU, G., & GIBEL, P. (2005). Didactical Handling of Students' Reasoning Processes in Problem Solving Situations. *Educational Studies in Mathematics*, 59, 13-58.

* CONNE F., (1992). Savoir et connaissance dans la perspective de la transposition didactique, *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 12(2/3), 221-270.

* FRONT, M., & LEGRAND, P. (2010). Pavages semi-réguliers du plan. *Bulletin vert de l'APMEP*, 486, 60-66.

<footnote n="1">¹ On trouve ces situations dans les revues de didactique et dans les actes des colloques et écoles d'été, notamment.</footnote>
FRONT, M. (2015). *Émergence et évolution des objets mathématiques en Situation Didactique de Recherche de Problème : le cas des pavages archimédiens du plan*. Thèse de doctorat en didactique des mathématiques. Université de Lyon. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01312266

GARDES, M.-L. (2013). *Étude de processus de recherche de chercheurs, élèves et étudiants, engagés dans la recherche d'un problème non résolu en théorie des nombres*. Thèse de doctorat, Université de Lyon.

GIBEL, P. (2020). Analyse en théorie des situations didactiques d'une ingénierie visant une première approche de la notion de limite finie d'une suite. *Revue Québécoise De Didactique Des Mathématiques, 1*, 153-189.

GIBEL, P. (2018). *Elaboration et usages d'un modèle multidimensionnel d'analyse des raisonnements en classe de mathématiques*. Note de synthèse de l'Habilitation à Diriger les Recherches soutenue à l'Université de Pau et des Pays de l'Adour. https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01919188

GIBEL, P. (2015). Mise en œuvre d'un modèle d'analyse des raisonnements en classe de mathématiques à l'école primaire. *Éducation et Didactique, 9*(2), 51-72.

OLERON, P. (1977) *Le raisonnement*. Paris, PUF, coll. « Que sais-je ? » (no1671).
# ANNEXES

## Annexe 1 : situation graphiques et fonctions

Devant les difficultés d'enseignement du début de l'analyse et des fonctions, les situations construites tentent de prendre en compte les trois niveaux d'organisation du savoir : action / connaissances, formulation / ostensifs, validation / savoir. Elles tentent aussi de pointer ce qu'il est nécessaire de modifier, si l'on veut parvenir à faire exister ces différents niveaux dans les activités présentées aux élèves sur les fonctions, et à activer les connaissances que les élèves sont invités à prendre en charge dans l'ingénierie expérimentale.

Dans les années 90, (et globalement jusqu'à maintenant) l'enseignement organise le travail en conformité sur des objets supposés représentatifs : il s'agit pour l'élève de réaliser une tâche standard (déjà réalisée en classe sous la conduite du professeur), avec des outils immuables (par exemple un tableau de variations d'une fonction) dont la fonctionnalité n'est que peu interrogée. Ainsi les propriétés sont illustrées par un calcul, un graphique, un tableau numérique, "données à voir" sans justification de leur nécessité ni outils de validation ou d'invalidation, et à reproduire à l'identique pour l'élève.

Cette illustration des propriétés est supposée s'appuyer sur l'intuition graphique. Elle questionne peu le rapport graphique / fonction, supposé transparent : les élèves étaient supposés voir dans le dessin - graphique ce qu'y voyait le professeur. Or un graphique n'est pas une fonction, et donc il est important de questionner la définition de ce qu'est une fonction, et de ce qui se voit – ou pas – sur le graphique.

Cependant le nouveau programme de Seconde 2019 invite à questionner les représentations, et les rapports entre registres de représentation des objets mathématiques. Il propose aussi des fonctions autres qu'affines – carré, cube – ce qui va enrichir les représentations des élèves. Ceci se poursuit en Première et Terminale, avec un travail sur la nature des fonctions (p ex $e^x$) leurs réciproques, etc.

Il s'agit donc de construire une situation qui propose à l'élève des questions, questions qu'il résoudra dans un milieu de représentations fonctionnelles : des ostensifs de fonctions. Ces questions doivent être fortement liées à des objets de l'analyse (fonctions diverses, et leurs propriétés), et l'élève doit pouvoir interagir avec le milieu proposé : ce milieu doit pouvoir offrir des rétroactions, c'est-à-dire que le travail de l'élève doit recevoir des validations pertinentes.

De plus cette construction obéit à des impératifs relatifs au savoir :

- il est nécessaire de pouvoir instituer en savoir le produit des interactions dans la situation

- il faut que l'action, les connaissances produites et formulées soient intelligibles et utilisables pour le savoir (du professeur).

Au niveau envisagé (élèves de 16-17 ans) le milieu comporte déjà des représentations des objets mathématiques ; comment les choisir et les organiser ?

Le programme 2019 propose de faire chercher aux élèves des fonctions dans la modélisation de phénomènes, ce qui est un progrès manifeste.

Des tâches peuvent être investies par l'enseignement secondaire actuellement, par exemple dans l'utilisation d'outils numériques. GeoGebra est un outil qui peut être utilisé sans limites. Ainsi dans le registre graphique :

- trouver des images et des antécédents, et valider ainsi des propriétés ;

- élargir la fenêtre ou faire un zoom ;

- changer le repère et savoir ce qui est préservé ou non ;

- changer d'échelle, reconnaître que la concavité est préservée, etc...

On peut lister des tâches non routinières dans l'enseignement secondaire, comme :

- Trouver sur une courbe des informations sur les propriétés d'une (classe de) fonction ;

- Reconstituer l'équation algébrique à partir de données graphiques, numériques, et d'une typologie (fonction de degré 2 ou 3, ou...) ;
— Construire des courbes sous contraintes (fonction bornée ou non, racines données...);

— Interpréter des équations comme celles de fonctions composées;

— Composer des fonctions données par leur graphique ; trouver des réciproques ;

— Déduire d'un graphique des propriétés générales des fonctions, et les écrire sous forme de chaînes de symboles formels

Le but est que le registre graphique offre des possibilités de tâches portant sur les fonctions comme objets, et sur les propriétés des fonctions, c'est ce qui a amené à choisir un milieu graphique pour la conception et l'expérimentation d'une ingénierie didactique sur la notion de fonction en Seconde et en Première (élèves de 17 ans). Couplé au registre formel, d'une façon qui apparaîtra dans l'ingénierie, il permet un large éventail de tâches pertinentes de l'analyse. Ces tâches visent à instaurer des *raisonnements* – pragmatiques, plus génériques, ou des décisions globales.

## *Les chemins, outils de construction et de décision*

Suivant l'axe dont on part, un chemin est un chemin *aller* ou *retour*. La figure ci-dessous représente les trois chemins fondamentaux :

1. Aller 2. Retour 3. Bissectrice

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Un chemin *aller* permet d'identifier un nombre et son image ; il est noté par le point de départ et le point auquel il aboutit, à savoir $(x, f(x))$.

Un chemin *retour* permet d'identifier un nombre et son antécédent ; il est codé : $(y, f^{-1}(y))$.

Un chemin qui passe par la bissectrice est particulier en ce sens que les chemins *aller*, *retour* ne se distinguent que par le sens de parcours, ils sont codés h ou k et correspondent aux trajets : (h, h) ou (k, k) dans les deux sens.

Le but du jeu est de :

- Disposer d'un certain nombre de représentations graphiques cartésiennes (RGC) de fonctions, et pouvoir dire si ces fonctions possèdent, ou non, certaines propriétés.

- Construire un 'stock' de fonctions sur lesquelles tester les propriétés énoncées.

- Ce stock de fonctions sera assimilé, dans le milieu prévu, à un stock de RGC, ce qui permettra de le faire en grande partie construire par les élèves.

- Les élèves devront alors vérifier les propriétés dans d'autres registres : numérique, algébrique.

- Le professeur institutionnalisera les résultats trouvés graphiquement et vérifiés.
## RGC sous contraintes : exemples

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

$$ \begin{array}{l} f(-1) = 1 \ ; f(0) > 0 \\ f(1) < 0 \end{array} $$

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

$$ f(a) < f(c) < f(b) $$

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

$$ f(c) < f(b) < f(a) $$

Les moyens de la validation sont :

— des moyens graphiques / formels avec les RGC et les chemins ;

— éventuellement des moyens numériques, algébriques si les données (le choix des variables) le permettent.

La situation comporte une dimension adidactique si :

— des questions nouvelles, sur les fonctions, ou sur les contraintes, peuvent émerger à partir des contraintes identifiées

— le milieu fournit une rétroaction à ces questions

— il y a interaction de connaissances : élève / milieu et professeur / élève

On propose ensuite la recherche de fonctions sous contrainte d'inégalités, puis de tracer directement le graphique d'une somme et d'un produit de fonctions, et d'une fonction réciproque.

Pour le détail des tâches proposées aux élèves, des graphiques avec les consignes, et des connaissances visées, voir l'article Bloch (2002) sur le site de Petit x :

https://irem.univ-grenoble-alpes.fr/revues/petit-x/consultation/numero-58-petit-x/numero-058-petit-x-2002--451950.kjsp?RH=1541685528129

## Annexe 2 : situation le nombre le plus grand

Nous avons analysé les raisonnements apparaissant dans plusieurs épisodes de la séquence « Le nombre le plus grand » en indiquant les différentes phases de la séance dont ils sont extraits. Notre modèle d'analyse nous a permis d'étudier les différentes formes de raisonnements en relation avec le niveau de milieu correspondant en spécifiant (a) leur(s) fonction(s), (b) en analysant la nature des signes (langagiers et scripturaux), pour cela nous nous référerons (c) au répertoire didactique utilisé par les élèves afin d'identifier les connaissances et les savoirs mobilisés.

Pour une analyse plus complète des épisodes le lecteur pourra se référer à Gibel (2015).

**Épisode 1** extrait de la phase 4 de la séance 1. Les élèves présentent le nombre le plus grand obtenu à partir de la suite 3-4-5-7-8 et justifient la validité de la procédure ayant permis de l'obtenir. L'enseignant interroge Myriam sur son résultat et sur la manière dont elle l'a obtenu.

(1.1) M : (en désignant Myriam) : A toi.

(1.2) Myriam : Moi j'ai trouvé 3360 !

(1.3) E : Moi, aussi !

(1.4) E : Non pas moi, j'ai trouvé plus grand.

(1.5) M : 3360, tu expliques. Attention, je t'écoute.

0.09.00

(1.6) Myriam : 8 fois 7, 56

(1.7) M : Alors, tu as fait 8 fois 7, oui.

(1.8) Myriam : Après j'ai fait 5 fois 4, ça fait 20

La maîtresse écrit au tableau 3360.

L'enseignant écrit au tableau le programme de calcul au fur et à mesure
<table><tr><td>(1.9)</td><td>M : Hum ! (ton approbateur)</td><td>que l'élève lui dicte</td></tr><tr><td>(1.10)<br>0.09.20</td><td>Myriam : Après j'ai additionné 56 et ...</td><td>(8×7)×(5×4)×3<br>(1) (2)</td></tr><tr><td>(1.11)<br>0.09.22</td><td>E : Additionné ?</td><td>56 × 20<br>(3)</td></tr><tr><td>(1.12)</td><td>Myriam : Non multiplié ; 56 fois 20</td><td>1120<br>(4)</td></tr><tr><td>(1.13)<br>0.09.27</td><td>M : C'est-à-dire tu as multiplié ces deux-là !</td><td>3360</td></tr><tr><td>(1.14)</td><td>Myriam : 56 fois 20, 1120 et après j'ai fait fois 3 et j'ai trouvé<br>3360</td><td></td></tr><tr><td>(1.15)<br>0.09.40</td><td>M : Et après tu as fait fois 3 pour trouver 3360.</td><td></td></tr></table>

L'analyse détaillée de la phase 4, séance 1 montre que les élèves ont produit des raisonnements en situation d'action. La diversité des programmes de calcul, produits par les élèves, illustre les choix auxquels les élèves ont été confrontés, tant du point de vue des opérations utilisées que du point de vue de l'ordre dans lequel ils les ont effectuées. Les actions effectives des élèves sont reliées à des décisions de calculs (R1.1) en référence au tableau 2.

Identification du niveau de milieu correspondant : L'épisode ci-dessus relève de la situation de référence (S-2). Il est associé à la description d'un programme de calcul suite à la confrontation du sujet agissant, Myriam, au milieu objectif (M-2).

(a) Du point de vue des fonctions des raisonnements : Dans cet épisode l'enseignant traduit la dénotation des calculs de Myriam par l'écriture d'un arbre de calculs, rédigé par paliers successifs de (1.6) à (1.14), comme schématisé ci-dessus. Chaque étape de la formulation de Myriam peut être considérée comme une assertion dont la validité par rapport au calcul, mais également par rapport aux règles du jeu, est examinée par les élèves. Myriam parvient ainsi à produire, par la dénotation de son programme de calcul, le résultat annoncé (3360). L'enseignant et l'ensemble des élèves de la classe valident le résultat proposé du point de vue de sa conformité aux règles du jeu, mais aussi du point de vue de la validité des calculs. La présentation de son programme a pour fonction d'apporter la preuve de la validité de son résultat.

(b) Du point de vue de l'analyse sémiotique : Le programme de calcul rédigé par Myriam s'apparente à un indice (R2.1), en effet le modèle implicite d'action (M.I.A) qui sous-tend son programme de calcul est : le produit de deux nombres (strictement supérieur à 1) est supérieur à la somme de ces 2 nombres. L'analyse sémiotique nous conduit ici à analyser les observables du point de vue de leur nature et ainsi à identifier le M.I.A correspondant basé sur l'expérience, le fait observé donc assimilable à un indice.

La formulation produite par Myriam, sur sa feuille, est une suite de calculs rédigés linéairement sur le mode « machine » (mode opératoire).

$$7x8=56 \quad 5x4=20 \quad 56x20=1120 \quad 1120x3=3360$$

Les calculs rédigés par l'enseignant au tableau sont très éloignés du formalisme initialement utilisé par les élèves. L'enseignant essaie, par ce biais, d'introduire un formalisme basé sur l'utilisation des parenthèses pour rendre compte des étapes.

(c) Du point de vue de l'usage du répertoire didactique : Myriam s'est appuyée sur ses connaissances antérieures afin de décider d'utiliser exclusivement la multiplication ; ceci s'apparente à une conjecture ponctuelle (R3.1) pour produire le nombre le plus grand à partir du 5-uplet. Cette élève a utilisé ses connaissances des tables de multiplication, la règle des zéros ainsi que l'algorithme de la multiplication pour effectuer les différentes opérations. Il traduit l'usage de connaissances anciennes (R3.1).

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
## Présentation des méthodes produites à l'issue de la séance 1

L'enseignant, à l'issue de la séance 1, a noté au tableau les méthodes proposées par différents groupes d'élèves :

**Méthode 1 (groupe d'Hélène)** : Je prends les deux plus grands nombres et je les multiplie. Après je refais pareil avec les deux plus petits. Le dernier nombre, qui me reste, je le multiplie.

**Méthode 2 (groupe de David et Marc)** : On multiplie les deux plus grands nombres, on multiplie les deux plus petits ensemble. On multiplie les résultats entre eux et on multiplie avec celui qui reste.

La méthode suivante a été approuvée par plusieurs groupes à l'issue de la séance 1, l'enseignant a choisi de la nommer « Méthode d'Aline et les douze »

**Méthode 3 (Méthode d'Aline et les douze)** : On multiplie tous les nombres entre eux.

Ces énoncés, élaborés par les différents groupes d'élèves, font l'objet d'une reconnaissance par l'enseignant et ils font désormais partie du répertoire didactique de la classe.

## Épisode 2 : Discussion sur la formulation d'une nouvelle méthode

Cet épisode est extrait de la séance 2, phase 2.

Les trois énoncés produits à l'issue de la séance 1 correspondent à des méthodes équivalentes à la Méthode d'Aline et les douze. Des élèves s'interrogent sur la validité des méthodes proposées précédemment dans le cas où la suite de nombres comporte un 0 ou un 1.

(2.1) Sylvie: Si tu multiplies 5 par 0 ça fait 0, si tu fais 5 plus 0 ça fait 5.

(2.2) Anne: Eh 0 je ne crois pas qu'elle le mettrait dans les chiffres !

(2.3) Sylvie: Et Aline, elle disait que quand on avait les numéros il fallait tous les multiplier. Et si on fait 1 fois 5, ça fait 5 et si tu fais 1 plus cinq ça fait 6.

(2.4) Anne: Bon ça c'est ce que j'avais dit la dernière fois. Bon eh bien la méthode à Aline, ça ne marche pas !

Identification du (des) niveau(x) de milieu correspondant(s) : Cet épisode s'inscrit dans le cadre de la situation d'apprentissage, il met principalement en lumière la confrontation du sujet apprenant au milieu de référence. Le sujet apprenant, Sylvie, effectue une comparaison de deux méthodes dans un cas particulier où la suite, réduite à 2 nombres, comporte un zéro. On constate ici que Sylvie, pour comparer les deux méthodes, revient au niveau (M-2) en effectuant les calculs arithmétiques correspondants (situation d'action). Ceci permet d'illustrer le caractère emboîté des situations de référence et d'apprentissage.

(a) Du point de vue des fonctions des raisonnements : Son raisonnement vise à invalider la méthode d'Aline et les douze - « Le nombre le plus grand est obtenu en effectuant le produit de tous les nombres » - institutionnalisée précédemment. Ce contre-exemple est refusé par Anne ; selon cette dernière, la présence d'un 0 dans la suite de nombres n'est pas envisageable. Le raisonnement produit ne remplit pas la fonction souhaitée par son auteure. Sylvie propose alors une suite, réduite à deux nombres et comportant un 1, elle apporte la preuve de la non validité de la méthode d'Aline par une comparaison des méthodes et emporte l'adhésion de l'ensemble des élèves du groupe d'Anne. Les propositions de Sylvie contribuent à l'enrichissement du milieu (M-1). La production par Sylvie d'une suite de nombres et d'une nouvelle procédure, non encore répertoriée, s'apparente à la production d'une conjecture ponctuelle étayée (R1.2).

(b) Du point de vue de la nature des signes : Son énoncé s'apparente à la production d'un symbole-argument, il s'agit d'un argument local (R2.2). L'élève fait ici référence à des suites restreintes (comportant seulement deux termes) particulières dans le sens où la première proposition de suite comporte un 0 et la deuxième proposition de suite comporte un 1. Cependant cette conjecture étayée pourrait jouer un rôle décisif dans l'avancée de la situation en effet l'enrichissement du milieu (M-1) permet à présent d'envisager l'élaboration d'une nouvelle méthode prenant en compte le cas particulier d'une suite comportant un 1.

(c) Du point de vue de l'utilisation du répertoire didactique : on constate la mise en œuvre implicite des propriétés « 0 est un élément absorbant » et l'utilisation de la propriété « 1 est
élément neutre pour la multiplication » qui illustre l'utilisation de connaissances anciennes (R3.1).

## Suite de l'épisode 2

(2.5) Une élève : Qu'est-ce qu'on fait comme méthode ?

(2.6) Anne: Il faut multiplier tous les nombres sauf quand il y a des 1, on les additionne.

(2.7) Anne : Cédric tu fais la méthode d'Aline, toi aussi et nous on fait la méthode celle-là pour voir ceux qui ont la mieux.

(2.8) Anne : Alors 5,8,1,2,6 allez 5,8,1,2,6...5,8,1,2,6 ; Alors vous deux vous faites la méthode d'Aline et toi tu fais ma méthode, il faut trouver le nombre le plus grand avec cette méthode.

(2.9) M : Alors vous faites des essais.

(2.10) Une élève : Oui on fait des essais

(2.11) Anne : Eux ils font la méthode d'Aline et nous ma méthode.

Identification du niveau de milieu correspondant : Cet épisode transcrit de (2.5) à (2.11) relève aussi de la situation d'apprentissage, il illustre la confrontation du sujet apprenant au milieu de référence.

Cet épisode met en lumière la proposition d'un contre-exemple sous la forme de l'énonciation d'une nouvelle méthode d'un 5-uplet (5,8,1,2,6). La formulation de cette nouvelle méthode (2.8) est en partie implicite puisque l'auteure, Anne, ne précise pas à quel nombre il faut ajouter le 1.

Anne, en proposant une nouvelle méthode dans le cas où la suite comporte un 1, contribue à l'enrichissement du milieu (M-1). Sa proposition apparaît comme un prolongement de la proposition de Sylvie formulée précédemment en (2.5).

(a) Les fonctions des raisonnements : La suite produite par Anne est en adéquation avec son projet visant à mettre en défaut la méthode d'Aline : établir la preuve de la validité de sa méthode (R1.2) par l'expérimentation dans le cas particulier d'une suite de nombres comportant un 1.

L'épisode donne aussi à voir un raisonnement d'organisation des tâches ; il vise à définir une répartition des rôles au sein du groupe afin de confronter les résultats obtenus par les 2 méthodes. Il s'agit là très clairement d'une mise en projet dont la finalité est explicitée : établir par le calcul l'obtention, par la nouvelle méthode, d'un nombre plus grand que celui obtenu par la méthode d'Aline.

L'épisode étudié illustre précisément la définition du raisonnement (Oléron, 1977, p.10) énoncée dans la première section de cet écrit. En effet cet épisode révèle une confrontation de méthodes, respectant des contraintes, et conduite en fonction d'un but qui n'est autre que l'écriture d'une nouvelle méthode dont la validité doit être prouvée dans un domaine plus étendu, celui des 5-uplets comportant un 1, que celui lié aux précédentes méthodes.

## Annexe 3 : situation « Pavages archimédiens du plan »

### Éléments pour une étude a priori des milieux épistémologique et expérimental

En dehors des pavages réguliers bien connus que l'on obtient à partir d'un carré, d'un triangle équilatéral ou d'un hexagone régulier, il en existe une très grande variété à base de polygones réguliers. La situation didactique envisagée ici s'appuie sur la détermination des pavages archimédiens du plan (Front & Legrand, 2010).

Il apparaît que les pavages archimédiens du plan, aussi simples apparaissent-ils aujourd'hui, ont eu une vie mathématique mouvementée. L'étude des travaux des quelques mathématiciens qui se sont penchés sur la question, Kepler, Badoureau, Lévy, Sommerville, ... montrent la difficulté des genèses successives. Il est par ailleurs à noter que le fait qu'il existe 11 pavages archimédiens du plan est un résultat peu connu de la communauté des enseignants de l'Éducation Nationale. Ce résultat mathématique n'a pas su trouver, jusqu'à ce jour, sa « niche

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
écologique », au sens de Chevallard, dans l'enseignement mathématique secondaire. Avec des représentations par différents registres l'objet pavages archimédiens du plan est pourtant un bon candidat pour l'élaboration de situations didactiques propices aux apprentissages.

**La situation didactique proposée** : il s'agit d'engager les élèves dans un jeu où le projet commun de l'enseignant et des élèves est avant tout l'engagement dans la résolution du problème proposé et l'élaboration de résultats au moins partiels, la genèse de savoirs sur des objets mathématiques nouveaux, où la dimension expérimentale est fortement présente (Gardes, 2013). Dans ce projet le problème est l'essence et non le moyen. Il n'est pas construit dans une visée d'apprentissage. Il est, comme témoin d'un questionnement régulier dans les mathématiques en élaboration dans l'exploration des pavages du plan. Pour autant l'activité qu'il génère doit permettre le développement de connaissances, l'émergence de raisonnements et de savoirs mathématiques.

**Le scénario** : il doit permettre la construction de la tâche, du problème, les phases d'actions, de formulations, de validations, les institutionnalisations. Il comprend donc :

Des temps de dévolution individuelle et collective des enjeux et du problème. Ces temps doivent permettre a minima la dévolution des concepts de pavages réguliers et archimédiens.

Des phases adidactiques nombreuses et longues favorisées par la robustesse du problème (pour des actants du secondaire et du supérieur) et la possibilité de s'appuyer sur la dimension expérimentale des mathématiques

Des temps de formulation et de validation des raisonnements, d'institutionnalisation des savoirs nouveaux.

**Les objets potentiellement en jeu** : A l'interface entre différents registres de représentation, registres géométrique, numérique et algébrique l'objet pavage archimédien du plan a de nombreuses potentialités pour la mise en œuvre de situations de recherche de problème visant le développement de connaissances sur les polygones réguliers ou non, les angles, les nombres entiers, décimaux, fractionnaires, les suites de nombres entiers, les assemblages de polygones, les pavages. Il est à noter que certains objets ont un statut singulier (pentagone par exemple) et que les relations entretenues par les élèves peuvent être aussi bien des obstacles que des leviers dans la construction des théories.

**Le milieu** : il doit pouvoir offrir des rétroactions, c'est-à-dire que le travail de l'élève doit pouvoir recevoir des validations pertinentes. Il favorise la réalisation et le recueil des productions qui permettent de caractériser les raisonnements grâce à leurs manifestations tangibles. Il contient initialement :

- Papier, règle, crayon, compas, rapporteur, calculatrice, ciseaux

- Un énoncé initiant la dévolution

- Un ensemble de connaissances naturalisées sur les polygones, les angles, les nombres

- Eventuellement des polygones en papier facilitant la manipulation des objets concrets

Il s'agit de s'assurer de la mise en place d'un milieu objectif fertile, d'un champ d'expérience fécond. Si nécessaire, il peut être enrichi (en étant vigilant à la préservation des enjeux essentiels de la situation) pour permettre l'évolution des raisonnements, par des questions, des apports d'informations maitrisés. Un apport possible, après un temps de recherche suffisant, consiste en la mise à disposition de planches d'A. Dürer (cf. Front, 2015) et permettant l'étude de propositions de l'artiste dont la validité est à discuter au regard des contraintes retenues.

**Premières anticipations des actions sur les objets et des raisonnements** :

La situation permet les indispensables recherches initiales sous forme de dessins, d'esquisses, de croquis éventuellement mentaux pour les élèves les plus familiers avec les pavages. C'est le premier temps de l'intuition des objets nouveaux qui peuvent être d'ordre très divers. Le sujet peut aisément prendre conscience que l'on peut assembler des polygones réguliers, bords à bords. Se pose alors rapidement la question des trous et celle plus complexe des nœuds. Plus globalement les élèves vont questionner la portée et la

<figure><img src="image_22.png" /></figure>
validation des faits expérimentaux, étudier des cas limites, formuler des lemmes, des conjectures, des sous problèmes :

Congruence des longueurs des côtés des polygones.

Somme des angles des polygones autour d'un nœud, qui vaut un plein.

Valeur des angles des polygones et éventuelle divisibilité de 360.

Nombre de pavages réguliers

Nombre de polygones possible autour d'un nœud

Nombre de types de polygone possible autour d'un nœud

Des premières propositions dans l'élaboration des théories permettant de réduire le problème

Etude des pavages réguliers

Encadrement du nombre n de polygones autour d'un nœud (2<n<7)

Encadrement du nombre e de types de polygones autour d'un nœud (0<e<4)

Etude locale des nœuds vs validité pour l'ensemble du plan

Elaboration d'expressions ; $\sum_{i=1}^{k} \alpha_i = 2\pi$ ; $\alpha_i = (1 - \frac{2}{n})\pi$ ; $\sum_{i=1}^{k} \frac{1}{n} = \frac{k}{2}$ ... où $n_i$ est le nombre de côtés du polygone régulier $P_i$ , $\alpha_i$ l'angle de ce polygone, $k$ l'ordre d'un nœud c'est-à-dire le nombre de polygones du pavage l'ayant pour sommet.

**Enrichissement du répertoire** : notion de pavages, notion de nœud, de type d'un nœud (liste des nombres de côtés des polygones l'ayant pour sommet, énumérés en tournant autour de ce nœud dans le sens direct ou dans le sens rétrograde, par exemple $(m,n,p,q)$), d'ordre d'un nœud (nombre de polygones du pavage l'ayant pour sommet), ordre et type du pavage, ...

Il sera ainsi possible d'observer lors des phases de formulation et de validation :

La production d'exemples (pavages réguliers, pavages avec deux types de polygones, ...) pour prouver une existence

La production de contre-exemples pour préciser un domaine de validité (assemblage autour d'un nœud qui ne peut s'étendre à l'infini)

L'élaboration de conditions nécessaires (il y a au moins trois polygones autour d'un nœud, ...) pour décider d'une stratégie

La production de conjectures (la somme des angles autour d'un nœud est égal à un plein, il existe 3 pavages réguliers, on ne peut associer plus de 3 types de polygones, ...)

L'apparition des premiers symboles (dessin d'un nœud, dessins d'assemblages de polygones réguliers, « formule » exprimant que la somme des angles autour d'un nœud vaut un angle plein, formule algébrique représentant des assemblages de deux types de polygone, ...)

L'émergence de preuves pragmatiques

L'émergence de preuves syntaxiques

La fonction des symboles dans les raisonnements (traduction d'une intuition, support pour argumenter, pour prouver, ...) et leur niveau d'utilisation

L'évolution du répertoire de représentation (lexique mieux maitrisé, notations précisées, ...)

- ...
## Production de Timothée (E15)

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

Productions de l'ensemble des membres du groupe et d'autres groupes dans (Front, 2015)

<figure><img src="image_24.png" /></figure>
Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
# PORTEE ET INFLUENCE DES ARTEFACTS DANS LE DEVELOPPEMENT DU TRAVAIL MATHEMATIQUE A L'AUNE DE LA MODELISATION

Macarena Flores González*, Blandine Masselin**, Claudia G. Reyes Avendaño***

## RÉSUMÉ

Deux ateliers ont été associés au cours d'Alain Kuzniak. Le premier est dédié à l'étude d'une situation de modélisation, issue du travail de thèse de Reyes Avendaño (2020), concernant le mouvement circulaire uniforme (MCU) avec l'utilisation d'artefacts technologiques. Cette situation a été expérimentée avec des élèves mexicains susceptibles de poursuivre une licence scientifique. Dans cet atelier nous avons analysé le travail des élèves : les processus de modélisation et les éléments cognitifs et épistémologiques qui intervenaient. Aussi, nous avons introduit l'Espace de Travail en Cinématique (ETC) en lien avec le cycle de modélisation de Blum et Leiss (2007), deux outils qui permettent une analyse fine des situations de modélisation avec l'utilisation d'artefacts technologiques. Le second atelier est issu d'un extrait de corpus de la thèse de Masselin (2019) sur la modélisation en probabilité. Nous nous sommes focalisés sur l'influence d'une enseignante sur le travail de modélisation lors de la résolution d'une tâche mathématique. Notre étude a permis de dégager des outils méthodologiques permettant l'étude d'ETM idoines intégrant le travail d'élèves en groupe. Après un questionnement sur le cycle de modélisation, nous avons abordé la modélisation dans le cadre de la formation des enseignants. À partir d'un retour d'expérimentation en classe décrite par un enseignant en formation, nous avons dégagé des éléments de son ETM personnel qui conditionnent la prise en charge de la modélisation.

Mots-clefs : modélisation, Espace de Travail Mathématique, cycle de modélisation, mouvement circulaire uniforme, probabilité.

## ABSTRACT

Two workshops were assigned to Alain Kuzniak's lecture. The first one was dedicated to the study of a modeling situation, from the thesis work of Reyes Avendaño (2020), concerning the uniform circular motion (UCM) with the use of technological artifacts. This situation has been experimented with Mexican students who are likely to pursue a science degree. In this workshop we analyzed the work of the students: the processes of modeling and the cognitive and epistemological elements that were involved. Also, we introduced the Cinematic Workspace (CWS) in connection with the modeling cycle of Blum and Leiss (2007) that allow a complete analysis of modeling situations with the use of technological artifacts. The second workshop is from a corpus extracted from Masselin's (2019) thesis, on modeling in probability. We focused on the influence of a teacher on the modeling work when solving the task called "the hare and the tortoise". Our study allowed us to identify methodological tools for the study of suitable MTEs integrating students' work in groups. After questioning the modeling cycle, we addressed modeling in the context of teacher training. Based on feedback from a classroom experiment described by a teacher in training, we have identified elements of his personal MTE that condition the assumption of responsibility for modeling.

Keywords: modelling, Mathematical Working Space, modelling cycle, uniform circular motion, probability.

## INTRODUCTION

La recherche en didactique des mathématiques s'intéresse aux situations de modélisation du point de vue de l'enseignement et de l'apprentissage. L'analyse des processus sous-jacents lors de la réalisation de tâches de modélisation est devenue l'un des points centraux de l'analyse. En effet, ces processus sont complexes car ils impliquent des éléments épistémologiques propres des mathématiques en lien avec ceux d'autres disciplines, l'utilisation d'artefacts (matériels, symboliques et/ou technologiques), différentes représentations, des processus de construction, de visualisation, et différents types de preuves. Ainsi, une analyse précise des situations de modélisation peut devenir très complexe. Les ateliers que nous présentons ont pour but de proposer des analyses aussi complètes que possible, en lien avec le cours proposé par A. Kuzniak. Ces ateliers s'appuient sur les travaux doctoraux de Claudia Reyes Avendaño (2020) et de Blandine Masselin (2019). La première thèse porte sur l'enseignement et apprentissages des fonctions numériques dans un contexte de modélisation et de travail

<footnote>* Macarena Flores González, CY Cergy Paris Université, Université Paris Cité, Univ Paris Est Créteil, UNIROUEN, Univ. Lille, LDAR, 95000 Cergy, France</footnote>

<footnote>** Blandine Masselin, Académie de Normandie, IREM de Rouen, LDAR, Université Paris Cité, France</footnote>

<footnote>*** Claudia Gabriela Reyes Avendaño, Instituto de Física, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chili</footnote>
mathématique et s'intéresse au mouvement circulaire uniforme en cinématique. La seconde thèse porte sur l'étude du travail de l'enseignant autour de la simulation en probabilité, en classe de troisième et de seconde, et la tâche à analyser est la situation « Le lièvre et la tortue ».

Les ateliers prennent appui sur deux situations impliquant la modélisation avec le point de vue de la théorie des Espaces de Travail Mathématique (ETM). Ainsi, les objectifs des ateliers sont de décrire, caractériser et construire le travail mathématique autour de la modélisation grâce à des outils en lien avec la théorie des ETM. Il s'agit également de partager des outils théoriques de recherche produits par nos études qui permettent de caractériser le travail mathématique entourant la modélisation. Pour ce faire, les ateliers ont été conçus avec des données variées : l'extrait d'un corpus de production d'étudiants mexicains, le corpus du travail d'une enseignante avec ses élèves dans le but de préparer une formation, et celui d'un enseignant ayant vécu la formation.

Deux points de vue sont abordés en rapport avec le thème de la modélisation : celui du travail des élèves et le travail de référence à travers de l'analyse de l'Espace de Travail Cinématique - ETC (Reyes Avendaño) et celui des enseignants à travers l'ETM idoine (Masselin). Les deux ateliers traitent de l'importance et de l'influence des artefacts dans le développement du travail mathématique.

# PREMIER ATELIER : MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME

## 1. Étude des ETC personnels des élèves avec des artefacts technologiques

Dans ce premier atelier, nous avons travaillé avec des productions d'élèves mexicains en fin d'école secondaire (entre 17 et 18 ans) qui visaient à suivre des études en ingénierie ou en sciences. Ces élèves ont participé à un atelier de modélisation de trois mois où ils ont étudié le mouvement rectiligne uniforme (MRU), le mouvement circulaire uniforme (MCU) et aussi une combinaison d'un MRU et d'un MCU (cycloïde), à l'aide de situations différentes. Au moment d'étudier le MRU, comme il s'agissait d'un mouvement maitrisé par les élèves, ils ont pu se familiariser avec les sept phases du cycle de modélisation proposé par Blum et Leiss (2007) avec l'utilisation du logiciel Tracker (souvent utilisé dans les cours de physique pour analyser des mouvements enregistrés en vidéo) et GeoGebra. En ce qui concerne le MCU et la situation que nous avons analysée dans cet atelier, il s'agit d'un mouvement identifié par les élèves, mais ils connaissent seulement les formules de vitesse centripète et d'accélération (car elles sont utilisées dans les cours de physique). Cette situation avait pour but d'approfondir le processus de mathématisation du mouvement grâce aux deux mêmes logiciels. Enfin, le troisième mouvement (que nous n'analysons pas ici) n'était pas connu des élèves.

Les données à utiliser par les participants de l'atelier sont composées des captures d'images effectuées par un groupe d'élèves lors de :

- effectuer le choix d'un artefact matériel pour réaliser un MCU (temps 1) ;

- l'utilisation du logiciel Tracker pour analyser le MCU effectué (temps 2) ;

- l'utilisation du logiciel GeoGebra après l'utilisation de Tracker (temps 3).

Ces élèves savaient dériver, ils s'étaient déjà confrontés au processus de modélisation de manière pragmatique grâce à la réalisation d'autres activités de modélisation qu'ils ont effectué auparavant<fnref n="2" />, et ils savaient utiliser les deux logiciels Tracker et GeoGebra. Aussi, les élèves étaient libres de choisir l'artefact matériel pour réaliser le MCU ; ils devaient enregistrer les mouvements obtenus et choisir celui qui était le plus adapté ; ils devaient analyser la vidéo avec Tracker pour obtenir la table de valeurs et les graphiques du mouvement ; utiliser les données

<footnote n="2">² Cela sans connaître le cycle à sept phases qui a été utilisé pour caractériser du point de vue théorique le travail en cinématique effectué par eux.</footnote>
obtenues avec Tracker et les importer dans GeoGebra pour avoir des ajustements avec de
nouveaux graphiques et des équations. Ils devaient ensuite donner une signification à chacune
des représentations obtenues.

2. Travail demandé aux participants de l'atelier

Les trois temps de cet atelier correspondent aux processus de modélisation observés dans l'expérimentation réalisée par les élèves. Ainsi, à partir des productions des élèves comme données proposées (voir Annexe 1), les participants doivent répondre, pour chacun des temps, aux indications suivantes :

1. Indiquez les registres de représentation mobilisés par les élèves. Précisez de quelle façon ils sont mobilisés.

2. Indiquez les différents artefacts utilisés par les élèves. Précisez de quelle façon ils sont mis en œuvre.

3. Précisez les modèles qui apparaissent. Donnez les objets mathématiques ou physiques qui constituent ces modèles.

4. Décrivez le travail mathématique développé par les élèves à l'aide du diagramme.
Précisez la circulation du travail.

3. Mise en commun temps 1

Dans ce premier temps, les participants ont analysé les données proposées en Annexe 1 (premier temps). Nous avons explicité aux participants de l'atelier que les élèves ont choisi le diabolo chinois comme première option d'artefact matériel pour réaliser un MCU. Au moment de réaliser le mouvement, les élèves se sont rendu compte que l'artefact ne restait pas centré au moment de le faire tourner. Pour cette raison, ils ont changé cet artefact par une balle attachée à une corde, ce qui leur a permis de réaliser un MCU qu'ils ont considéré plus adéquat.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Figure 1. – élève avec le diabolo chinois</figcaption></figure>

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure 2. – élève avec la balle attachée à une corde</figcaption></figure>

La mise en commun des quatre indications données a permis une discussion autour de la façon dont les élèves ont fait leur choix d'artefact et les raisons de rejeter le diabolo chinois pour réaliser un MCU. En effet, les élèves n'ont pas réussi à obtenir les caractéristiques du MCU en cohérence avec leur référentiel théorique.
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>**Figure 3.** – Diagrammes de l'ETC pour le travail avec le diabolo chinois (gauche) et pour celui d'une balle attachée à une corde (droite).</figcaption></figure>

À l'aide du diagramme de l'ETC (voir figure 3), les participants ont mentionné qu'ils observaient l'activation de la dimension instrumentale au moment d'utiliser le diabolo chinois (artefact matériel). Cette activation permettait la construction du mouvement à l'aide de leur perception en lien avec le référentiel théorique, ce qui permettait enfin de dire si la représentation obtenue était en cohérence avec les caractéristiques d'un MCU (voir figure 4).

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>**Figure 4.** – Production d'un groupe de participants à l'ateliers lors du premier temps</figcaption></figure>

Dans le cas du mouvement réalisé avec le diabolo chinois, les participants de l'atelier étaient d'accord sur le fait que les élèves ont rejeté ce mouvement car la représentation obtenue n'est pas cohérente avec le référentiel théorique des élèves, ce qui motive le changement d'artefact matériel par une balle attachée à une corde. Sur ce dernier point, les participants affirment que ce deuxième artefact permet de percevoir la représentation du MCU, ce qui est maintenant en cohérence avec le référentiel théorique des élèves et, donc, ils peuvent poursuivre avec l'analyse sur Tracker.

Lors de cette mise en commun, plusieurs réflexions quant aux registres de représentation sémiotique ont émergé. Selon R. Duval, les registres sémiotiques sont bien définis en mathématiques. Or, dans cette situation avec des artefacts matériels pour réaliser un MCU, on obtient une représentation physique qui n'a pas nécessairement toutes les caractéristiques d'un registre de représentation dans le sens de Duval (1995). Néanmoins, la représentation physique d'un MCU amène de façon implicite la relation des variables de positions horizontale et verticale par rapport au temps, lesquelles sont d'abord perçues par les sens et après elles sont transformées en représentations (en accord avec la définition utilisée par Duval).
## 4. Mise en commun temps 2

Dans ce deuxième temps, les participants ont analysé les résultats obtenus par les élèves lors de l'analyse de la vidéo du MCU avec l'utilisation de Tracker<fnref n="3" /> (voir Annexe 1, deuxième temps). La figure 5 montre une vue générale de la fenêtre principale du logiciel Tracker avec la vidéo analysée, les quatre graphiques (x en fonction de t, y en fonction de t, x en fonction de θ et y en fonction de θ) et la table de valeurs.

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>**Figure 5.** – Fenêtre principal logiciel Tracker</figcaption></figure>

Les données analysées par les participants montrent les réponses des élèves quant à la signification des variables données par Tracker dans la table de valeurs, les raisons du changement des signes x et y, et la différence des quatre graphiques x vs t, y vs t, x vs θ et y vs θ.

Lors de la mise en commun nous avons discuté (comme dans le temps 1) sur les quatre indications données aux participants de l'atelier. En ce qui concerne les registres de représentation observées dans les données, les participants ont mentionné que l'on pouvait dégager clairement la table de valeurs, ainsi que les quatre graphiques. À cet effet, l'un des participants de l'atelier a remarqué que c'est l'artefact technologique Tracker qui fait mobiliser cette phase de modélisation, en activant la dimension instrumentale vers la dimension sémiotique de l'ETC (voir figures 6 et 7). Nous remarquons que le schéma d'ETC amène les participants de l'atelier à caractériser le travail des élèves, c'est-à-dire, ils écrivent, sur le schéma, que Tracker aide les élèves à établir une relation entre le MCU et ses variables (telles que la position et la vitesse par exemple). De plus, ils interprètent que les élèves perçoivent le mouvement physique (à partir du film) qui mène finalement aux représentations graphiques et aux valeurs du tableau dans Tracker. Cette reproduction des participants nous amène à penser que le dispositif permet de caractériser le travail des élèves qu'ils observent dans les activités proposées.

<footnote n="3">³ Tracker est un logiciel utilisé principalement en physique pour analyser des mouvements enregistrés en vidéo. Il est capable de compter la quantité de pixels et faire une conversion dans les unités de mesure souhaitées. Autrement dit, il permet de générer des représentations telles que la table de valeurs et son graphique à partir d'une représentation physique.</footnote>
<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>**Figure 6.** – Analyse de participants de l'atelier dans le temps 2.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>**Figure 7.** – Plan sémiotico-instrumental de l'ETC activé lors de l'utilisation de Tracker (extrait de diapositive de l'atelier).</figcaption></figure>

Dans la même discussion, les participants de l'atelier remarquent que le côté discursif est induit par le type des questions posées aux élèves dans la situation proposée. En effet, ces questions font réfléchir les élèves sur les représentations graphiques, les variables de la table de valeurs, et les paramètres temporel et angulaire. Il est mentionné aussi que c'est peut-être grâce à ces questions et réflexions que les élèves pensent aux différents modèles du mouvement tel que le numérique et graphique, car chacun de ces modèles peut donner des informations différentes du même mouvement.

## 5. Mise en commun temps 3

Dans cette dernière partie, nous avons travaillé avec les mêmes types de questions que dans les deux temps précédents, mais cette fois à partir des productions des élèves avec l'utilisation du logiciel GeoGebra (voir Annexe 1, troisième temps).

Du point de vue des élèves, cette situation avait pour but d'introduire le processus de mathématisation du mouvement physique MCU. Cette introduction amenait l'utilisation d'une notation et des procédures algébriques plus formelles tout en gardant la signification du MCU. Dans les données analysées, les élèves ont dû transposer la table de valeurs obtenue grâce à Tracker vers GeoGebra, pour générer une liste de points et des ajustements sinusoïdaux aux points expérimentaux, pour obtenir des représentations graphiques et algébriques (figure 8).

Lors de la mise en commun, les participants de l'atelier ont remarqué plusieurs éléments importants. Le premier est un questionnement sur l'usage des artefacts technologiques : pourquoi utiliser les deux artefacts si seul Tracker peut aussi faire des ajustements ? La réponse à cette question est directement liée à la nature de chacun de ces deux artefacts et à l'objectif cherché à travers la situation proposée aux élèves. En effet, Tracker est un logiciel souvent utilisée en physique qui utilise des variables physiques directement liées au mouvement
physique. Dans la fenêtre principale (voir par exemple la figure 5), nous pouvons observer que dans la vidéo, la table de valeurs et les graphiques sont en fonction du temps et des positions horizontales et verticales. Par ailleurs, GeoGebra utilise une notation mathématique : des graphiques et des représentations algébriques d'abscisse *x* et d'ordonnée *y*, ce qui induit les élèves vers un travail plus abstrait et l'obtention de différents modèles tout au long du processus de modélisation.

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>**Figure 8.** – Exemple représentations obtenues avec GeoGebra</figcaption></figure>

Enfin, le collectif des participants a discuté autour d'une analyse d'un des participants de l'atelier montrée dans la figure 9 :

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>**Figure 9.** – Analyse de participants de l'atelier dans le temps 3</figcaption></figure>

Cette analyse montre que c'est GeoGebra l'artefact technologique qui déclenche le travail mathématique dans cette phase. Cela se fait à travers la construction des ajustements des points expérimentaux lors de l'activation de la dimension instrumentale. En effet, ces ajustements activent un processus de visualisation des graphiques sinusoïdaux.

D'autre part, le collectif de participants était d'accord quant aux registres de représentation : il s'agit des graphiques produits par GeoGebra qui ont une nature différente des graphiques de Tracker et des représentations algébriques. Par ailleurs les participants ont discuté sur l'activation de la dimension discursive grâce au référentiel théorique mobilisé, qui a servi pour arriver à l'équation du cercle avec des équations paramétriques $x(t)$ et $y(t)$, ce qui valide l'équation de trajectoire à l'aide de GeoGebra (voir figure 10).

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>**Figure 10.** – Diagramme de l'ETC pour le travail avec GeoGebra (extrait de diapositive de l'atelier)</figcaption></figure>

Enfin, les participants ont noté que, tout au long de l'atelier et dans les trois temps, les dimensions sémiotique, instrumentale et discursive ont été activées de façon différente : au fur
et à mesure que les élèves avançaient dans les phases de modélisation de la situation proposée, l'utilisation des artefacts et les processus cognitifs sous-jacents étaient chaque fois plus complexes et avec des bases épistémologiques plus solides du point de vue mathématique. Cela a fait apparaître la notion de paradigme à l'intérieur des ETM. En même temps, on a pu remarquer que les ETM sont un modèle théorique pertinent permettant d'analyser les processus cognitifs impliqués dans les processus de modélisation.

## SECOND ATELIER : PROBABILITE ET FORMATION

### 1. Étude de l'ETM idoine de la situation proposée par Lucie enseignante experte

Les données sur la situation « le lièvre et la tortue » proposées en atelier sont précisées en annexe 2. Elles sont issues d'un groupe de trois élèves (G6) constitué par l'enseignante Lucie dans sa classe de troisième du cursus français (élèves de 14-15 ans).

Les données proposées en atelier sont composées de :

- la production collective du groupe d'élèves à la fin de la première heure de travail sur la situation (temps 1) ;

- d'un extrait vidéo (temps 2) et son script. Cet extrait correspond au début de la seconde heure de travail sur la situation. Les élèves appellent l'enseignante après avoir rallumé l'ordinateur ;

- la production collective (temps 3) du groupe d'élèves à la fin de la seconde heure.

Les élèves de Lucie avaient à disposition des dés, un ordinateur, et pouvaient choisir de réaliser une simulation (à partir d'un fichier tableur vierge) s'ils le souhaitaient.

### 2. Le travail demandé aux participants de l'atelier

A partir de ces données, les participants ont travaillé avec les deux consignes suivantes :

- Question 1 : Quels sont les modèles qui émergent ? Et quelles sont les conséquences sur le travail mathématique des élèves ?

- Question 2 : Décrire chronologiquement le travail mathématique développé dans la classe entre professeur et élèves (ETM idoine effectif). On pourra utiliser les plans verticaux du diagramme des ETM.

#### Mise en commun

Lors de la mise en commun de la question 1, les participants repèrent deux modèles émergents dans la classe : celui de la loi géométrique tronquée ainsi que celui de la loi binomiale (ces modèles sont identifiés par l'enseignante de la classe). Les participants identifient dans la première production la mobilisation par les élèves du théorème en acte de la loi faible des grands nombres quand les élèves mentionnent dès le début la méthode fréquentiste. Ici, la simulation contient une part de modélisation qui agit comme un système avec un premier modèle (la loi géométrique tronquée) plutôt descriptif et congruent sémantiquement à la règle du jeu. Un des participants précise que Varenne parle à ce propos de modèle algorithmique et il distingue deux cas :

- une simulation assumée sans modèle mathématique ;

- un algorithme qui s'appuie sur un modèle mathématique.

Avec le tableur, un premier choix de modèle peut être fait avec une simulation proche de l'expérience aléatoire (modèle implicite de la loi géométrique tronquée).
<table><caption>Figure 11.</caption><thead><tr><th>A</th><th>B</th><th>C</th><th>D</th><th>E</th><th>F</th><th>G</th><th>H</th><th>I</th></tr><tr><th>course</th><th>1er lancer</th><th>2e éventuel</th><th>3e éventuel</th><th>4e éventuel</th><th>5e éventuel</th><th>6e éventuel</th><th>gagnant</th><th>fréquence L</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>4</td><td>1</td><td>6</td><td></td><td></td><td></td><td>lièvre</td><td>1</td></tr><tr><td>2</td><td>3</td><td>5</td><td>6</td><td></td><td></td><td></td><td>lièvre</td><td>1</td></tr><tr><td>3</td><td>1</td><td>3</td><td>4</td><td>2</td><td>1</td><td>6</td><td>lièvre</td><td>1</td></tr><tr><td>4</td><td>6</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>lièvre</td><td>1</td></tr><tr><td>5</td><td>1</td><td>4</td><td>2</td><td>5</td><td>5</td><td>5</td><td>tortue</td><td>0,8</td></tr><tr><td>6</td><td>1</td><td>3</td><td>6</td><td></td><td></td><td></td><td>lièvre</td><td>0,8333333</td></tr><tr><td>7</td><td>6</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>lièvre</td><td>0,85714286</td></tr><tr><td>8</td><td>5</td><td>6</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>lièvre</td><td>0,875</td></tr></tbody></table>

Chaque course nécessite au maximum 6 lancers et s’arrête dès qu’un six apparaît, et donc un test d’arrêt à chaque lancer avec la condition « A-t-on obtenu 6 ? » de type =SI(A3<6;ALEA.ENTRE.BORNES(1;6); « »).

Un second choix de modèle est la loi binomiale. L’expérience aléatoire suit alors la loi binomiale avec des lancers pour rien. L’implémentation de formules est facilitée par la saisie de six fois =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6).

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>Figure 12.</figcaption></figure>

Les élèves ne comprennent pas que ce modèle différent puisse prétendre donner une solution au problème posé.

Concernant la deuxième partie de la question 1, les participants de l'atelier ont également indiqué que ces deux choix de modèles possibles pouvaient avoir des conséquences sur le travail mathématique des élèves. Ils ont également repéré que si le modèle de la loi géométrique est le plus congruent à l'énoncé de la règle du jeu, pour autant aucun des deux modèles probabilistes n'est dans l'ETM de référence des élèves de ce niveau de classe. De plus, un autre participant pense qu'un des obstacles peut venir de l'indépendance des lancers supposées dans le modèle binomial. La question de changement de modèle n'est pas expliquée par l'enseignante au groupe d'élèves. Les élèves, lors du troisième temps, deviennent tâcherons au sens de Nechache (2017) et se questionnent entre eux sur le modèle imposé par l'enseignante. Un glissement vers un travail algorithmique s'opère.

S'agissant de la question 2, les participants ont tenté de décrire chronologiquement le travail mathématique développé dans la classe entre professeur et élèves (ETM idoine effectif). Pour cela, ils pouvaient utiliser les plans verticaux du diagramme des ETM.

Lors de la mise en commun, nous avons distingué deux niveaux d'activation des plans : les plans activés par l'enseignant (en bas : plan [Sem-Ins], dimension Instrumentale, puis plan [Ins-Dis]) et ceux par les groupes d'élèves lors du travail mathématique développé en classe (en haut : plan [Sem-Ins], plan [Ins-Dis] puis plan [Sem-Ins]), et ce, durant le temps 2 (extrait-vidéo et script, voir figure 13).

Les participants de l'atelier ont enrichi l'analyse en identifiant comme élément déclencheur du travail des élèves la méthode fréquentiste située sur la dimension discursive dans le plan [Sem-Ins].
<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>Figure 13. – Extrait du diaporama projeté lors de l'atelier 2 (Diapositive 17)</figcaption></figure>

Concernant la conséquence sur le travail mathématique des élèves du changement de modèle suggéré par l'enseignante Lucie, nous avons indiqué le repérage de moments critiques dans la circulation du travail mathématique quand les élèves travaillent en groupe.

Nous avons partagé de nouveaux apports théoriques comme les concepts de blocage et de rebond (Masselin, 2019, p.95). Un blocage dans l'ETM idoine est la manifestation d'un arrêt de la circulation du travail sur une tâche par l'élève empêché de le poursuivre. Un rebond est le développement nouveau du travail d'un individu ou d'un collectif après un arrêt momentané. En cela il permet d'éviter que l'arrêt ne se transforme en blocage. L'extrait-vidéo du corpus de l'atelier illustre un blocage lié au fichier tableur dont les valeurs ont changé après relance de l'ordinateur (suite à la pause repas), puis un rebond dans l'ETM idoine pour le groupe, impulsé par l'enseignant lors de sa demande de faire six lancers systématiques pour chaque course.

Ensuite, une des participants à l'atelier a alors questionné la gestion des modèles par l'enseignante dans les autres groupes d'élèves de la classe. Pour y répondre, nous avons présenté un chronogramme (figure 14) qui permet de considérer le travail dans son ensemble et pas uniquement pour un groupe d'élèves. Les huit groupes ont chacun une ligne horizontale en pointillé. Les segments en trait plein correspondent aux interventions de l'enseignante dans chacun des groupes. Leur longueur est proportionnelle au temps passé également. Cet outil méthodologique permet d'interroger la circulation du travail mathématique dans chaque groupe d'élèves et de mieux comprendre ainsi le travail de l'enseignant et les ajustements des modèles qu'elle entreprend de manière répétée dans plusieurs des groupes.

Nous avons ainsi mis en évidence ce que nous avons défini comme un *monitoring* didactique indirect (Masselin, 2019, p.340) du modèle exercé par l'enseignant qui modifie le travail des élèves.
<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>**Figure 14.** – Rebonds, Chronogramme, 1ère et 2e heure, Lucie, (Masselin, 2019, p. 129, Figure 3.24)</figcaption></figure>

Pour conclure, nous avons donné des éléments sur l'ETM idoine potentiel de Lucie car il permet de mieux comprendre le changement de modèle probabiliste qu'elle effectue. Les trois fichiers de simulation tableur préparés par l'enseignante en amont de sa séance de classe sont quasi identiques et comportent tous le modèle binomial. Les fichiers présentent systématiquement six lancers de dé pour chaque course même si un six est sorti (figure 15).

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>**Figure 15.** – Tableur 3, Lucie, 09/05/2016 (Masselin, 2019, Fig. 3.20, p.127)</figcaption></figure>

### 3. Un premier bilan concernant Lucie

Les modèles émergents créent des blocages et rebonds dans l'ETM idoine, mais aussi des confinements (Masselin, 2019, p.95). Le choix de l'artefact, ici le tableur, a influencé le choix du modèle envisagé dans l'ETM idoine. Il nous paraît nécessaire d'étudier d'autres types d'ETM idoines de plusieurs enseignants.

La relation entre la simulation et la modélisation est complexe et notre atelier a permis d'avancer sur cette question.

### 4. La question de la validation mathématique

Un autre cycle de modélisation, alternatif au cycle de Blum & Leiss (2007), a été ensuite présenté dans l'atelier. Il est issu des travaux de Nechache (2016) et Lagrange (2022). Ce cycle fait figurer une validation externe.

Le débat en atelier a alors porté sur la question de la formation des enseignants sur, et par, la modélisation et de la question du temps nécessaire de formation.
<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>Figure 16. – A modeling cycle, (Lagrange, 2022, Fig. 1, p. 249) d'après Nechache (2016)</figcaption></figure>

## 5. La modélisation en formation des enseignants : enseigner la modélisation ou par la modélisation ?

Pour essayer de répondre à cette question, nous sommes revenus sur la tâche du jeu du lièvre et de la tortue (Annexe 3). Nous avons indiqué dans l'atelier avoir mené une double analyse *a priori* :

- l'analyse épistémologique de la situation ;

- la description d'un ETM idoine qui pourrait être attendu avec ce que nous avons appelés des itinéraires épistémologico-cognitifs d'une tâche dans l'ETM.

Un itinéraire épistémologico-cognitif d'une tâche est défini par un ensemble de phases visant à résoudre cette tâche et permettant de la traiter. Il correspond à une organisation prévue dans l'ETM par l'enseignant (pour une classe ou effective dans une classe) avec une visée d'apprentissage. L'enseignant possède de multiples choix dans l'organisation de différentes phases de travail sur une tâche. Ces choix impactent les plans de circulation dans l'ETM idoine de la classe. La diapositive en figure 20 reprend les différentes phases possibles de ces itinéraires.

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>Figure 17. – Description des phases de l'ETM attendu, diapositive 29, atelier 2.</figcaption></figure>
## 6. Le cas de l'enseignant Christian

Christian est un enseignant ayant suivi une formation de type *lesson study* avec Lucie comme formatrice. La situation proposée en formation était le « jeu du lièvre et de la tortue » dont l'énoncé était celui présenté en annexe 3.

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>**Figure 18.** – Trajectoire en trois boucles du dispositif LSa (adaptée de Masselin, 2019, Masselin & al., à paraître)</figcaption></figure>

Nous avons précisé aux participants que Christian, lors de la formation, avait découvert l'extrait-vidéo du groupe G6 étudié dans l'atelier 2, montrant des blocages et rebonds autour du modèle lors de la simulation. Nous avons ensuite partagé l'énoncé que l'enseignant Christian a proposé à ses élèves (figure 22) après avoir vécu la formation.

Je lance cinq fois un dé à six faces.

• Si je n'obtiens pas de « six », alors j'ai gagné.

• Si j'obtiens au moins un « six », alors j'ai perdu.

Ai-je plus de chances de gagner ou de perdre ?

<caption>**Figure 19.** – Énoncé de Christian</caption>

Des données complémentaires en appui, et partagées rapidement faute de temps, montrent que Christian est un enseignant qui veut tout contrôler. Il anticipe tous les blocages éventuels, dont celui du choix de modèle et privilégie la dimension instrumentale dans l'ETM idoine.

## 7. Pour conclure sur Lucie et Christian

Lors de la simulation, l'artefact numérique couplé aux interventions de Lucie uniformisent le modèle en finissant par imposer la loi binomiale. Les élèves de Lucie élaborent un « model of »