* la représentation du savoir dans une ontologie et ses exploitations.

Ce texte se conclut par une réaction de Philippe R. Richard (Université de Montréal) et des perspectives de recherche.

# SEANCE 1 — CONCEPTION D'UN EIAH : ARTICULATION ENTRE DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES ET IA

La première séance du TD portait sur les choix de modélisation didactique réalisés pour la conception de la plateforme MindMath. Nous les présentons dans cette partie.

## 1. Éléments théoriques

La conception de la plateforme MindMath se situe dans la continuité des recherches menées autour du logiciel de diagnostic Pépite en algèbre (Delozanne et al., 2010 ; Grugeon-Allys et al., 2012). Nous présentons brièvement le cadre théorique et nous faisons évoluer les modèles construits dans ce cadre afin de pouvoir prendre en compte le domaine géométrique comme nous le verrons par la suite.

Nous nous plaçons dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique (Chevallard, 1999). Toute activité humaine peut être décrite à partir de tâches t qui relèvent de types de tâches T et qui sont résolues par au moins une technique τ, justifiée par un discours rationnel appelé technologie θ, lui-même justifié par une théorie Θ. Ces éléments forment une praxéologie [T ; τ ; θ ; Θ] dite ponctuelle.

Dans l'enseignement, les praxéologies ponctuelles ne fonctionnent pas seules, elles s'agrègent autour d'une même technologie pour former une praxéologie locale. Ces praxéologies locales peuvent à leur tour s'agréger autour d'une même théorie pour former une praxéologie régionale. Enfin, les praxéologies régionales peuvent s'agréger en une praxéologie globale qui forment une discipline (ici, les mathématiques).

### Modélisation didactique du savoir

L'élève apprend donc dans une institution dont les programmes fixent le savoir visé en termes de praxéologies, en particulier les technologies. De plus, un élève de collège a étudié dans plusieurs classes avec différents enseignants et s'est construit un rapport au savoir relativement aux différentes praxéologies mathématiques rencontrées. Bosch et Gascón (2005) en déduisent la nécessité de définir une praxéologie de référence pour analyser la transposition didactique. C'est ce que nous désignerons comme le Modèle Praxéologique de Référence (MPR).

Un MPR permet de décrire les aspects épistémologiques des objets de savoir d'un domaine mathématique et les praxéologies associées à un rapport idoine au savoir visé relativement aux institutions considérées. Ainsi, nous construisons un MPR pour chacun des domaines pris en compte dans la plateforme MindMath (algèbre et géométrie à ce jour), en enrichissant les aspects épistémologiques des objets de savoir à partir de résultats de travaux issus d'approches cognitive et sémiotique. Pour implémenter ces modèles du savoir dans le logiciel, nous travaillons dans le cadre T4TEL (Chaachoua, 2018) que nous exposerons dans la partie consacrée au modèle des tâches.
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>Figure 1. – Outil d’analyse de la transposition didactique (Bosch & Gascón, 2005).</figcaption></figure>

## Modélisation didactique de l’apprenant

Dans une institution donnée, à un temps donné, l’élève peut être confronté à un décalage entre son rapport personnel au savoir et le rapport au savoir attendu dans cette institution. Nous définissons ainsi les besoins d’apprentissage comme « ce qui est nécessaire de travailler pour faire évoluer son rapport personnel actuel vers un rapport personnel idoine au regard des attendus de l’institution » (Jolivet et al., 2021, p. 125). Les besoins d’apprentissage correspondent à ce qui est à travailler par l’élève pour favoriser, si besoin, la négociation de ruptures d’ordre épistémologique (Vergnaud, 1990) et pour poursuivre la construction d’éléments technologico-théoriques pour résoudre des tâches du domaine, de complexité variée, nécessitant pour leur résolution la convocation d’autres types de tâches (Castela, 2008 ; Robert, 2008).

<table><caption>Tableau 1. – Modes de justification en algèbre à la fin du cycle 4.</caption><thead><tr><td>Savoir</td><td>Mode ancien</td><td>Mode incomplet en construction</td><td>Mode attendu</td></tr></thead><tbody><tr><td>Repère scolaire</td><td>Cycle 3</td><td>5e</td><td>Fin cycle 4</td></tr><tr><td>Statut du signe égal</td><td>Annonce de résultat</td><td></td><td>Signe d'équivalence</td></tr><tr><td>Statut des lettres</td><td>Étiquettes, non prises en compte</td><td>Lettres évaluées, variables en construction</td><td>Variables, inconnues</td></tr><tr><td>Praxéologie Modéliser, Prouver</td><td>Démarche arithmétique</td><td>Généralisation, programmes de calcul</td><td>Modélisation via expressions, mise en équations</td></tr><tr><td>Praxéologie Représenter</td><td>Non cohérence entre énoncé et graphique ou écritures numériques abréviatives</td><td>Cohérence entre énoncé et écritures algébriques avec congruence sémiotique</td><td>Cohérence entre énoncé et écritures algébriques avec ou sans congruence sémiotique</td></tr><tr><td>Praxéologie Calculer</td><td>Calcul arithmétique (erreur : concaténation)</td><td>Substitution, distributivité simple pour développer (application directe)</td><td>Équivalence d'expressions, distributivité simple, pour développer, factoriser, distributivité double</td></tr></tbody></table>

Reprenant le travail de Grugeon-Allys (2016) sur les modes technologico-théoriques, nous définissons la notion de mode de justification. Un mode de justification caractérise la rationalité de l’élève à un moment donné de sa formation. Pour le déterminer, nous nous appuyons sur les technologies et théories régulièrement mises en œuvre par l’élève dans la résolution des tâches
d'une praxéologie locale ou régionale donnée. Nous définissons ainsi des modes de justification *a priori* pour une praxéologie donnée et à un niveau scolaire donné : un mode ancien, un mode attendu et un mode en cours de construction. En algèbre, nous définissons ces trois modes que nous caractérisons dans le Tableau 1.

Le modèle didactique de l'apprenant est ainsi constitué d'un *n*-uplet de modes de justification correspondant aux différentes praxéologies locales définies pour un domaine de savoir donné.

## 2. Hypothèse et questions de recherche

Nous faisons ainsi l'hypothèse que la prise en compte de différentes approches (épistémologique, institutionnelle et cognitive) permet de définir les conditions didactiques pour concevoir des parcours adaptés aux besoins d'apprentissage d'élèves sur une plateforme d'entraînement aux mathématiques.

Nous nous demandons donc comment modéliser didactiquement et informatiquement les tâches proposées aux élèves dans l'EIAH en prenant en compte ces trois approches

Pour répondre à ces questions, nous nous appuyons sur les éléments présentés auparavant qui constituent les modèles didactiques du savoir et de l'apprenant. Nous définissons à présent le modèle didactique des tâches et le modèle didactique des parcours.

## 3. Modèles didactiques construits pour la plateforme MindMath

### Modélisation didactique des tâches

Grapin et Grugeon-Allys (2018) caractérisent didactiquement une tâche par : les savoirs en jeu, sa conformité au curriculum, la ou les technique(s) permettant de la réaliser, les justifications associées et en particulier celles attendues à un niveau institutionnel donné, et sa complexité. Une telle caractérisation permet, en appui sur un modèle didactique du savoir et de l'apprenant, de positionner les tâches les unes par rapport aux autres au regard des programmes et d'identifier les justifications erronées ainsi que les classes d'erreurs.

Afin de l'implémenter, nous nous plaçons dans le cadre développé par Chaachoua (2018) puis Chaachoua et Bessot (2019) et qui étend le cadre de la TAD : T4TEL. Nous utilisons en particulier la notion de générateur de types de tâches définit par :

$$GT=[\text{Verbe d'action, Complément fixe ; Système de variables}].$$

Un exemple de générateur de types de tâches en algèbre est :

$$GT1=[\text{résoudre, une équation du 1er degré ; VT1, VT2}] \text{ avec VT1 la structure de l'équation } (ax + b = c ; ax + b = cx + d \text{ avec } a - c \neq 0, \text{ etc.}) \text{ et VT2 le nombre de solutions de l'équation (aucune, une, une infinité)}.$$

Nous commençons donc par décomposer un domaine de savoir en praxéologies régionales et locales. Pour l'algèbre, nous nous appuyons en particulier sur le processus d'algébrisation défini par Ruiz Munzón (2010). Chacune des praxéologies locales est ensuite décomposée en générateurs de types de tâches. Le choix des valeurs des variables de type de tâches (VT) permet de définir des types de tâches, rendant compte de l'agrégation de différentes technologies dans les praxéologies locales et régionales.

Pour construire et caractériser des tâches à partir de ces types de tâches, nous faisons évoluer le modèle T4TEL en introduisant des variables de tâches (Jolivet et al., 2021). Les variables de tâches et leurs valeurs ont ainsi une double fonction : caractériser la portée de certaines techniques (VtP) et caractériser la complexité des tâches (VtC). En instanciant les variables de tâches VtP et VtC, nous définissons des familles de tâches. Une famille de tâches est un ensemble de tâches que le choix des valeurs des variables nous amène à considérer comme
semblables à l'aléatoire de génération près. C'est le niveau de granularité le plus fin que nous définissons. En reprenant le générateur de types de tâches GT1 déjà défini, on peut ainsi construire plusieurs types de tâches en appui sur l'évolution du modèle T4TEL : GT1=[résoudre, une équation du 1er degré ; VT1, VT2, VtP, VtC]. Puis nous instancions la variable VtP « nature des solutions » (entière, rationnelle, etc.) et les variables VtC1 « nature des coefficients » et VtC2 « complexité de la réécriture » (réductions, factorisation, etc.) pour définir des familles de tâches. A partir du type de tâches « résoudre une équation de la forme $ax + b = cx + d$ avec $a - c \neq 0$», nous pouvons définir différentes familles de tâches, par exemple :

* famille de tâches $\text{Ft}_2 = \{\text{forme de l'équation } P(x) = Q(x) \text{ avec } d°(P), d°(Q) < 2, \text{ forme } ax + b = cx + d \text{ avec } a - c \neq 0 ; \text{ nombre de solutions : 1 ; nature des solutions : } Q \neq D ; \text{ nature des coefficients : } Z ; \text{ complexité de la réécriture : aucune réécriture nécessaire} \}$;

* famille de tâches $\text{Ft}_3 = \{\text{forme de l'équation } P(x) = Q(x) \text{ avec } d°(P) = d°(Q) = 2 \text{ et } d°(P-Q) = 1 ; \text{ nombre de solutions : 1 ; nature des solutions : } D ; \text{ nature des coefficients : } Z ; \text{ complexité de la réécriture : développement et réduction} \}$.

Pour conclure, nous reformulons l'hypothèse initiale : en quoi la modélisation praxéologique d'une tâche issue du cadre T4TEL, affinée par des variables didactiques de portée et de complexité, permet-elle la définition de famille de tâches, pour une praxéologie locale donnée, et in fine la génération d'exercices implémentables dans un EIAH ? Et en quoi une telle définition permet-elle de concevoir des parcours, en lien avec les besoins d'apprentissage de l'apprenant, implémentables dans un EIAH ?

## Modélisation didactique des parcours

Un parcours d'apprentissage est une suite organisée de tâches pour répondre à un objectif d'apprentissage en prenant en compte les modes de justification des élèves. C'est le jeu sur les valeurs de variables de types de tâches et de tâches qui permet de caractériser des exercices adaptés à cet objectif.

Lorsqu'un parcours d'apprentissage est créé, nous définissons d'abord des tâches cibles. Un élève, quel que soit son mode de justification, doit maîtriser la résolution de ces tâches pour considérer que l'objectif visé est acquis. Le reste du parcours s'adapte au mode de justification de l'élève relativement à la ou les praxéologie(s) locale(s) en jeu dans le parcours. Ainsi, si le mode de justification de l'élève relève du mode ancien, on pourra lui proposer des tâches pouvant d'abord être résolues par une procédure ancienne avant de lui proposer des tâches « pivot » pour négocier la rupture vers les procédures attendues à son niveau scolaire, puis les tâches cibles. Pour un élève dont le mode de justification relève déjà de ce qui est attendu, il est possible de proposer directement les tâches cibles puis des tâches plus complexes, faisant intervenir d'autres praxéologies.

## 4. Adaptation à la géométrie

Comme nous l'avons déjà vu, la plateforme MindMath propose un entraînement en algèbre et en géométrie à des élèves de collège (fin du cycle 3 pour la 6e et cycle 4). Les modèles présentés auparavant ont donc aussi été développés en géométrie.

Au cours du cycle 3, les programmes scolaires indiquent que l'objectif est déjà de passer d'une géométrie orientée par la perception ou les instruments à une géométrie orientée par le raisonnement sur les propriétés géométriques. Cependant, les propriétés et objets géométriques changent de statut du cycle 3 au cycle 4 sans que ce changement soit explicité (Lesnes-Cuisiniez, 2021). En effet, en CM2 et 6e, les propriétés des objets géométriques étudiées peuvent être juxtaposées les unes à côté des autres, sans hiérarchisation alors qu'au cycle 4, on commence à distinguer les propriétés nécessaires et suffisantes.
Comme en algèbre, la non prise en compte de cette double rupture entre la géométrie orientée par la perception ou les instruments et la géométrie du raisonnement peut amener des élèves à construire des rapports à la géométrie différents et non idoines. Nous définissons ainsi trois modes de justification en géométrie (à noter que nous nous situons dans le cadre de l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique) : ils sont présentés dans le Tableau 2.

<table><caption>Tableau 2. – Modes de justification en géométrie à la fin du cycle 4.</caption><thead><tr><td>Critère</td><td>Mode ancien</td><td>Mode incomplet en construction</td><td>Mode attendu</td></tr></thead><tbody><tr><td>Repère scolaire</td><td>Cycle 3</td><td>6<sup>e</sup> - 5<sup>e</sup></td><td>Fin cycle 4</td></tr><tr><td>Type de construction</td><td>Au jugé</td><td>Construction molle au sens de Laborde (2005)</td><td>Construction robuste</td></tr><tr><td>Outils utilisés pour la construction</td><td>Outils de dessin</td><td>Utilisation combinatoire d'outils de construction</td><td>Utilisation réfléchie d'outils de construction</td></tr><tr><td>Schéma codé</td><td></td><td></td><td>Utilisation d'un schéma codé</td></tr><tr><td>Présence et nature du raisonnement</td><td>Pas de raisonnement construit</td><td>Raisonnement construit pour valider uniquement</td><td>Raisonnement préalable</td></tr><tr><td>Validation de la construction</td><td>Pas de validation, validation perceptive ou par les instruments de tracé</td><td>Validation par le déplacement</td><td>Validation par les propriétés géométriques</td></tr><tr><td>Propriétés mobilisées</td><td>Pas de propriétés ou propriétés spatior graphiques</td><td>Propriétés erronées ou utilisées hors de leur domaine de validité</td><td>Propriétés géométriques bien utilisées</td></tr><tr><td>Structure déductive du raisonnement</td><td>Argumentation incorrecte ou par juxtaposition</td><td>Argumentation incomplète (îlots déductifs)</td><td>Raisonnement déductif correct, démonstration</td></tr></tbody></table>

Une analyse épistémologique, institutionnelle et cognitive relative à la géométrie plane nous permet de définir un modèle du savoir sous la forme d'un MPR (Lesnes-Cuisiniez, 2021) et de définir des types de tâches pour favoriser l'entrée dans la géométrie théorique en prenant en compte des aspects épistémologiques relatifs aux figures géométriques, aux constructions et aux raisonnements. Pour la praxéologie locale de construction en particulier, l'objectif est de faire travailler les élèves sur des constructions qui nécessitent de déterminer la nature de la figure à partir de certaines de ses propriétés données dans l'énoncé, avant de pouvoir déterminer d'autres propriétés sur lesquelles s'appuiera la construction avec les instruments à disposition dans le milieu. Les élèves mettent alors en jeu une argumentation heuristique au sens de Duval (1993) et élaborent implicitement un programme de construction.

Nous définissons ainsi plusieurs générateurs de types de tâches permettant de couvrir la praxéologie locale de construction. En particulier, le générateur de types de tâches GT2=[construire, un triangle ; VT1, VT2] avec VT1 la nature du triangle à construire et VT2 les données de l'énoncé (deux côtés et un angle, un côté et deux angles, etc.). Une fois les types de tâches produits, nous définissons des variables de tâches VtP (VtP1 : éléments de la figure
déjà construits, VtP2 : instruments à disposition dans le milieu) et VtC (VtC1 : nombre de propriétés minimum à mobiliser dans la résolution, VtC2 : registre de représentation de l'énoncé et désignation du triangle).

La tâche présentée sur la figure 2, définie à partir du générateur GT2 par les valeurs de variables {VT1 : triangle équilatéral ; VT2 : un côté et un angle sur ce côté ; VtP1 : un côté non-base ; VtP2 : report de longueur (pas de rapporteur) ; VtC1 : 4 ; VtC2 : langage naturel, triangle désigné comme « isocèle »} nécessite pour sa résolution de montrer que le triangle à construire est équilatéral avant de pouvoir utiliser la définition d'un tel triangle pour construire la figure avec un outil de report de longueur (« cercle » ou « compas »).

<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>Figure 2. – Exercice « construis le triangle ABC ».</figcaption></figure>

Enfin, les parcours d'apprentissage sont construits de la même façon qu'en algèbre en jouant sur les variables de types de tâches et de tâches pour s'adapter au mode de justification de l'élève.

## SEANCE 2 - MES RETROACTIONS DANS MINDMATH

*Note :* cette section prend largement appui sur le texte de Jolivet et al. (2022), paru dans la revue STICEF.

D'une manière générale, les environnements numériques d'apprentissage (ENA) des mathématiques qui proposent des rétroactions épistémiques sont peu nombreux. L'un des enjeux du projet MindMath est précisément de proposer de telles rétroactions. Du point de vue de la plateforme, l'enjeu est double : produire les rétroactions et décider les rétroactions. Dans le cadre d'un ENA, les rétroactions proposées sont nécessairement relatives à la tâche prescrite, cependant le choix de la rétroaction doit aussi prendre en compte la part de l'activité de l'apprenant qui est perceptible par l'environnement. Du point de vue de la recherche cela se traduit par les défis suivants :

* proposer une modélisation des rétroactions qui permette leur production effective et qui soit exploitable pour leur décision ;

* construire un processus de décision qui prenne en compte le savoir travaillé, la réponse de l'apprenant et le profil de l'apprenant ;

* prendre en compte l'effet des rétroactions pour améliorer le processus de décision.

Ces différents défis s'adressent conjointement aux chercheurs en didactique et en informatique. Après une présentation rapide de quelques éléments de l'état de l'art, pour
répondre à ces défis, nous présentons un modèle de rétroactions puis un algorithme de décision des rétroactions, construits sur la base de l'expertise didactique.

Dans la section suivante, pour prendre en compte les incertitudes au moment de la décision de la rétroaction, nous présentons une deuxième approche de la décision s'appuyant sur l'intelligence artificielle.

## 1. Quelques éléments de l'état de l'art

S'il n'y a pas de consensus sur l'effet des rétroactions sur un apprenant, Wisniewski et al. (2020) signalent cependant, dans une revisite de l'article « The power of Feedback » (Hattie & Timperley, 2007), que les rétroactions ont un impact plus important sur l'apprentissage que sur la motivation et le comportement. Storbard (2018, p. 46) pointe le fait que l'impact de la rétroaction n'est pas le même selon le niveau, en termes de compétences et d'expérience de l'apprenant. Par ailleurs, des travaux tels que ceux de Brooks et al. (2019) et Small et Lin (2018) montrent l'importance de la prise en compte de l'erreur et les diverses formes de sa prise en compte.

Dans le domaine des mathématiques, il n'y a que peu de travaux de didactique qui se sont intéressés à l'effet des rétroactions dans un environnement numérique d'apprentissage. En géométrie on peut citer le travail de comparaison de onze « systèmes d'aide à la démonstration » réalisé par Tessier-Baillargeon et al. (2017). Ils relèvent en particulier que les rétroactions de type « aide à la prochaine étape » ne concernent que quatre systèmes sur les onze étudiés, et même parmi ceux-ci, trois sont basés sur une structuration assez rigide du raisonnement attendu de l'élève. Ce constat est confirmé par l'analyse de ce sur quoi portent les rétroactions : « tous les systèmes tutoriels analysés offrent une rétroaction sous forme d'une validation locale des inférences ou des énoncés soumis par l'élève, et on recense peu de validation globale de démonstrations [4 systèmes], et encore moins d'annotation des solutions [1 seul système] ou d'explication des erreurs [3 systèmes] » (Tessier-Baillargeon et al., 2017, pp. 113-114).

## 2. Modèle de rétroaction

Le modèle de rétroaction, qui est utilisé à la fois pour guider la production, permettre la description et est exploité pour la décision, est présenté **Figure 3**. Il est décrit et illustré de manière détaillée dans (Jolivet et al., 2022), nous présentons ici sa logique globale.

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>**Figure 3.** – Modèle de rétroaction.</figcaption></figure>
Dans un premier temps nous utilisons la modélisation du savoir sous forme de praxéologies pour définir le contenu principal de la rétroaction. Elle peut donc contenir une technologie et/ou une technique (dans le modèle présenté dans la figure 3, nous avons utilisé les termes justification et procédure à la place de technologie et technique pour éviter les confusions liées à la polysémie des termes dans un contexte interdisciplinaire). Ce contenu principal peut être enrichi d'une ou plusieurs annotations. Elles sont facultatives et vont permettre de préciser la rétroaction. Elles peuvent avoir plusieurs finalités :

* expliciter la fonction de la rétroaction ;

* détailler un aspect du contenu ;

* introduire des éléments relatifs à une erreur dans la rétroaction.

Nous revenons brièvement sur ces différentes finalités dans le cadre d'exemples commentés ci-dessous.

Enfin, le dernier élément de modèle de rétroaction permet de spécifier trois cas selon la manière dont la rétroaction est rédigée :

* utilisation de données numériques identiques à celles de l'énoncé (DNI) ;

* utilisation de données numériques qui ne sont pas celles de l'énoncé (DN) ;

* utilisation de données symboliques (DS).

L'exemple de gauche de la Figure 4 est une rétroaction qui porte essentiellement sur la technique de factorisation, chaque exemple est cependant enrichi de rappels technologiques. On utilise des données numériques qui ne sont pas nécessairement celles de l'énoncé. Dans l'exemple de droite de la Figure 4, la rétroaction porte sur des éléments technologiques (définitions et propriétés en lien avec les triangles isocèles), elle est rédigée en utilisant des données symboliques (il n'y a ni longueur de segment ni mesure d'angle utilisées pour rédiger la rétroaction).

<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>Figure 4. – deux exemple de rétroactions issues de la plateforme MindMath</figcaption></figure>

### 3. Décision des rétroactions

Décider une rétroaction revient à proposer une réponse à la question : dans un contexte donné, qui dépend de la tâche à réaliser, de la réponse de l'apprenant et de son profil, quelle rétroaction proposer à l'apprenant pour favoriser son apprentissage ?

Dans MindMath, pour fonder la décision, nous disposons des éléments suivants :

* le déclenchement de la rétroaction :

* demande d'aide (ou inaction prolongée de l'apprenant sur la plateforme), indépendamment d'une réponse de l'apprenant ;

* ou réponse de l'apprenant à une tâche.

* la réponse de l'apprenant ;

* le profil de l'apprenant ;

* ce que l'on sait des erreurs des autres apprenants par rapport à la tâche travaillée.

C'est sur la base de ces critères que nous avons construit l'arbre de décision présenté figure 5. Les différents parcours de cet arbre permettent de définir onze feuilles qui correspondent chacune à une situation dans notre environnement. Par exemple, la feuille 6 correspond à une
situation où l'apprenant a répondu à la tâche, sa réponse est incorrecte mais il n'y a pas d'erreur identifiée associée à sa réponse, son mode de justification est 0 ou 1¹, et enfin il existe une erreur identifiée qui est dominante parmi les autres utilisateurs ayant résolu une tâche de la famille de tâches traitée par l'apprenant.

<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>Figure 5. – Arbre de décision des rétroactions.</figcaption></figure>

À chaque feuille est associé un certain nombre de rétroactions. Il s'agit, parmi les rétroactions disponibles, de celles qui sont évaluées par les didacticiens et didacticiennes comme cohérentes par rapport au chemin parcouru pour aboutir à la feuille. Une même rétroaction peut être associée à plusieurs feuilles.

C'est la description de la rétroaction selon le modèle présenté dans la section précédente qui guide ce travail d'association rétroaction - feuille. Une fois celui-ci réalisé, au sein de chaque feuille, des pondérations sont associées à chaque rétroaction afin de pouvoir déterminer un ordre permettant de les décider<fnref n="2" />.

Une hypothèse forte globale peut être formulée de la manière suivante :

* un contenu relatif aux justifications sera *a priori* plus efficace pour un élève possédant un mode de justification élevé et favorise l'apprentissage ;

* un contenu portant sur les procédures sera *a priori* plus adapté pour un élève possédant un mode de justification faible et favorise la réussite de la tâche.

## 4. Décision et IA

La décision de la rétroaction se déroule dans un contexte caractérisé par de nombreuses incertitudes. Certaines sont fortement contingentes à l'ENA et à la qualité des informations que l'on peut obtenir :

* le diagnostic relatif à la réponse de l'apprenant ;

* la précision de la connaissance que l'on a du profil de l'apprenant en particulier lors des premiers temps d'utilisation de la plateforme par lui ;

* les rétroactions effectivement disponibles dans l'ENA ;

* la forme des rétroactions produites dans l'ENA MindMath.

D'autres incertitudes ont des origines extrinsèques aux qualités de l'ENA. Ainsi la qualité de la modélisation du savoir et de l'analyse *a priori* permettant d'identifier les erreurs possibles

<footnote n="1">¹ Par rapport au modèle didactique de l'apprenant, le mode de justification 0 correspond à un mode ancien, le mode de justification 1 à un mode en cours de construction et le mode de justification 2 à un mode attendu.</footnote>

<footnote n="2">² Un apprenant peut bénéficier de plusieurs rétroactions consécutives, la même feuille peut donc être obtenue plusieurs fois lors de la résolution d'une tâche. Dans la plateforme MindMath nous avons choisi de ne pas proposer deux fois la même rétroaction à un apprenant lors de la réalisation d'une tâche.</footnote>
impacte fortement la pertinence des informations dont dispose le système pour décider les rétroactions. Le faible nombre de travaux sur l'effet des rétroactions, en particulier dans un ENA, rend difficile d'étayer *a priori* les hypothèses présentées dans la section 3. De même, si l'effet de la rétroaction sur la réussite immédiate de la tâche est relativement aisé à déterminer, son effet sur l'apprentissage est nettement plus complexe à définir et observer, alors qu'il s'agit d'un élément crucial pour la décision de la rétroaction.

Enfin, comme le signale Rezat (2021), il est de toute façon difficile de déterminer l'usage et l'effet effectif fait par l'apprenant des rétroactions proposées : "no matter how carefully the tasks in e-textbooks and the feedback messages are designed, it is very likely that they still contain irrelevant information, which might become salient in students' solution processes. Therefore, tasks, feedback messages, and diagrams need to be designed very carefully and as unambiguously as possible" (Rezat, 2021, p. 1443).

L'ensemble de ces incertitudes nous a amenés à réinterroger cette question de la décision par le moyen d'algorithmes d'intelligence artificielle. Nous détaillons dans Jolivet et al. (2022) les raisons qui nous ont conduits à considérer des algorithmes de type apprentissage par renforcement. Le principe général est qu'à un instant donné, le système dispose d'informations sur le triplet $<A|R|T>$ où A est l'état de l'apprenant, R la résolution proposée par l'apprenant et T les caractéristiques didactiques de la tâche travaillée. Comme évoqué précédemment, ces informations sont parcellaires ou incertaines. À partir des informations disponibles, le système va décider une rétroaction à l'instant $t$. Cette rétroaction va modifier l'état du triplet $<A|R|T>$ à l'instant $t+1$. C'est en fonction de cette modification que le système va évaluer la pertinence de la rétroaction décidée. Cette évaluation va permettre d'attribuer une récompense, positive ou négative, à la rétroaction décidée pour le contexte de décision. Le fonctionnement global du modèle d'apprentissage par renforcement est présenté dans la figure 6.

<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>**Figure 6.** – Modèle d'apprentissage d'un agent logiciel.</figcaption></figure>

Nous ne détaillons pas ici ce processus. Nous pointons uniquement les enjeux principaux à l'articulation entre didactique et informatique.

Premièrement, d'un point de vue informatique, suite à un grand nombre d'utilisations, le système va tendre vers une certaine stabilité et permettra ainsi de déterminer quelle est la meilleure rétroaction dans un contexte donné. Ceci étant, pour que cette stabilisation ait un sens, il est tout d'abord nécessaire que les rétroactions proposées soient mathématiquement et didactiquement pertinentes. Le travail de modélisation du savoir et des erreurs, réalisé en amont par les didacticiens et didacticiennes, est donc fondamental.

Deuxièmement c'est un gain important pour ce type d'algorithme que de pouvoir démarrer avec des premières données, permettant ainsi que les premières décisions ne relèvent pas uniquement de l'aléatoire (ce qui pourrait générer des situations potentiellement dépourvues de sens). Les hypothèses didactiques posées dans la section 3, en dépit de leur limite, permettent d'aider au démarrage de l'algorithme.

Enfin, le choix de la fonction qui calcule les récompenses après chaque décision, doit être significatif du point de vue des apprentissages. D'une manière caricaturale, il est presque assuré
qu'une rétroaction qui présente la solution intégrale de la tâche, avec un simple travail de recopiage par l'apprenant, va permettre d'obtenir de très bons résultats du point de vue de la résolution de la tâche à l'étape suivante. Cependant, il n'est pas pertinent d'attribuer une récompense forte à une telle rétroaction dont l'effet sur l'apprentissage est nettement plus incertain. À nouveau, l'articulation entre l'analyse didactique des rétroactions et les connaissances informatiques sur les fonctions de récompense dans d'autres situations doit permettre d'avancer plus rapidement vers la définition d'une fonction de récompense pertinente.

## 5. Conclusion et perspectives sur les rétroactions

Lors de cette deuxième séance du TD, nous avons donc présenté les enjeux relatifs à la mise en place de rétroactions épistémiques dans l'environnement MindMath.

En complément de tous les défis scientifiques abordés dans les sections précédentes, nous sommes confrontés à ce stade de notre travail à deux obstacles significatifs pour poursuivre l'avancée du travail : d'une part, les limites fonctionnelles de la plateforme ne nous permettent pas de déployer des expérimentations à grande échelle, pourtant nécessaires pour recueillir des données et faire fonctionner l'algorithme d'apprentissage par renforcement. D'autre part, il y a une réelle difficulté dans la production effective des rétroactions à partir du modèle avec des contraintes, à la fois éditoriales et techniques, qui émergent à l'occasion de cette étape. Ces contraintes, qui ne peuvent être gérées par les laboratoires de recherche dans le cadre d'un tel projet, ont amené à la production de rétroactions qui, d'un simple point de vue ergonomique, posent un certain nombre de problèmes (affichage non dynamique, volume d'informations dans une rétroaction trop important, juxtaposition impossible de la zone de travail élève avec la rétroaction...). D'un point de vue expérimental il sera donc nécessaire de questionner les effets qui relèvent des aspects ergonomiques et ceux qui sont effectivement liés au contenu des rétroactions elles-mêmes.

La principale perspective est maintenant de pouvoir mettre en place des expérimentations à la fois qualitatives pour travailler sur la réception et l'utilisation individuelle des rétroactions dans des contextes contrôlés, et quantitatives pour permettre d'exploiter et évaluer les deux algorithmes, fondé sur les hypothèses didactiques pour le premier et mobilisant des techniques d'IA pour le second.

# SEANCE 3 - MODELISATION DU SAVOIR DANS UNE ONTOLOGIE ET EXPLOITATIONS

Lors de cette troisième séance du TD, nous avons abordé un élément transversal au projet MindMath, dont les potentialités sont d'ailleurs plus vastes que celles exploitées à ce jour. En effet, dans le cadre du projet, nous avons conçu et implémenté une ontologie qui explicite la modélisation praxéologique. L'organisation hiérarchique des tâches, des familles de tâches, des types de tâches et des générateurs ainsi que des relations sémantiques entre les éléments de la modélisation praxéologique tels que les variables didactiques de portée et de complexité ont été explicitées et réifiées au sein de ce modèle ontologique. Ce troisième TD était l'occasion de présenter ce travail.

Notre conception des ontologies rejoint celle de Gruber (1993). En effet, nous avons conçu cette ontologie comme une description explicite de concepts d'une part permettant l'opérationnalisation du modèle praxéologique en vue de prises de décisions automatiques (adaptation de parcours, décision de rétroactions, etc.) et d'autre part, facilitant la communication entre les différents acteurs humains impliqués dans le projet. En effet, l'aspect formel et consensuel des ontologies permet à la fois la communication entre les différentes
applications composantes d'un EIAH mais aussi favorise la communication entre personnes issues de disciplines différentes (didacticiens, informaticiens cogniticiens, enseignants, etc.).

Le travail de conception avec les didacticiens a permis d'extraire les concepts les plus pertinents pour une représentation en machine. Des décisions de simplification du modèle praxéologique et parfois même de retrait de certains concepts ont été prises conjointement entre informaticiens et didacticiens. Néanmoins, des règles de design ontologique (Lima et al., 2010 ; Sure et al., 2002) ont été appliquées pour faire en sorte que l'ontologie obtenue soit aisément extensible en vue d'intégrer de nouveaux concepts le cas échéant.

Deux applications concrètes ont guidé ce travail de modélisation : l'aide à la décision des rétroactions (boucle courte) qui a été présentée lors de la séance 2 et la recommandation adaptative de tâches (boucle longue).

## 1. Modélisation du savoir et design ontologique

Comme nous l'avons illustré sur le cas de la géométrie et de l'algèbre lors de la première séance, nous avons réalisé une modélisation du savoir allant du niveau du domaine au niveau des familles de tâches. Cette modélisation contient les éléments hiérarchiquement reliés aux types de tâches tels que les domaines mathématiques, les générateurs de types de tâches, les genres de tâches mais aussi les variables caractérisant les familles de tâches (leurs portée et complexité) et celles caractérisant leurs types. Chaque famille de tâches et chaque type de tâches est décrit par une combinaison de variables qui peuvent être reliées entre elles. Ces liens servent à inférer, entre autres, des relations d'inclusion ou de complémentarité entre les familles de tâches, utiles lors de la recommandation adaptative des tâches aux apprenants.

D'autres concepts tels que les erreurs, les modes de justification des élèves, les techniques (procédures) et les technologies (justifications) ainsi que leur périmètre de validité ou d'invalidité ont été modélisés et reliés aux variables de tâches. Ces éléments sont, quant à eux, utiles lors du diagnostic des erreurs, à la fois pour la décision des rétroactions mais aussi pour la recommandation des tâches.

Plusieurs itérations ont été nécessaires pour trouver un modèle qui soit suffisamment simple à représenter en machine et suffisamment précis du point de vue de la modélisation didactique. La figure 7 est le modèle qui a été produit avant la phase d'implémentation.

<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>**Figure 7.** – Diagramme de classes en vue d'une opérationnalisation sous la forme d'une ontologie. Exemple dans le cas des équations du 1er degré.</figcaption></figure>
Une fois le modèle stabilisé, la phase d'implémentation du modèle en OWL<fnref n="3" /> a débuté. Cette phase a été très riche en échanges entre didacticiens et informaticiens qui ont fait évoluer davantage le modèle. Un travail de modélisation supplémentaire a été nécessaire pour enrichir les relations entre les concepts du modèle en vue des inférences souhaitées en lien avec les applications potentielles de l'ontologie. Comme exemple d'application on pourra citer la recherche de l'existence de techniques concurrentes (Kaspary et al., 2020) et ses applications (Vu & Tchounikine, 2020).

La Figure 8 est un extrait du diagramme de classes produit en vue de l'opérationnalisation du modèle praxéologique en mathématiques. Plusieurs versions de ce modèle conceptuel ont été produites et archivées dans un but de capitalisation et de maintenabilité de l'ontologie implémentée.

<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>**Figure 8.** – Extrait de l'ontologie modélisation le modèle praxéologique (implémentée dans l'environnement Protégé, https://protege.stanford.edu/).</figcaption></figure>

## 2. Exemples d'utilisations et d'extraction de connaissances ontologiques

Deux applications majeures ont guidé le travail de modélisation du modèle praxéologique :

* Aider à la décision des rétroactions (en boucle courte) : il s'agit de la sélection en ligne du contenu de la rétroaction en fonction de la tâche, du mode de justification de l'élève, de son erreur, etc. Le modèle des rétroactions décrit lors de la séance 2 combiné aux éléments de l'ontologie permet de décider le type et le contenu de la rétroaction la plus adaptée.

<footnote n="3">³ Web Ontology Language : langage permettant de définir des ontologies</footnote>
* Aider à la recommandation de tâches (en boucle longue) : il s'agit de sélectionner la prochaine tâche à soumettre à l'apprenant. Les liens explicités entre les familles de tâches et les types de tâches grâce aux variables didactiques permettent d'inférer un ordre partiel entre les tâches.

Dans le cadre de la troisième séance de TD, un outil a été développé pour nous permettre d'expliquer le potentiel d'une telle modélisation ontologique, et ceci au-delà du cas MindMath. Il s'agit d'un moteur de requêtes SPARQL qui permet d'extraire, d'inférer et d'afficher des connaissances répondant à un besoin explicité par des usagers sous forme de requêtes SPARQL. Cet outil pourrait être amélioré avec une interface homme-machine (IHM) adaptée à des utilisateurs non-initiés au langage SPARQL sous la forme d'un formulaire par exemple. La Figure 9 est une capture d'écran des résultats de deux requêtes formulées vis-à-vis de l'ontologie MindMath. Il s'agit (A) d'extraire à partir d'une famille de tâches donnée (ici factoriser une expression algébrique) les familles de tâches génériques et (B) d'extraire les techniques relatives à une famille de tâches donnée (ici développer le produit de deux polynômes) et leurs variables de tâches.

<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>Figure 9. – Deux exemples de requêtes en utilisant le moteur de requêtes SPARQL.</figcaption></figure>

### 3. Conclusion et perspectives sur la modélisation du savoir

Le travail présenté lors de cette troisième séance du TD avait comme objectif de présenter la réification du modèle didactique, présenté lors de la première séance du TD, à travers une ontologie. Nous avons également voulu montrer le potentiel d'une telle modélisation pour la mise en œuvre à terme d'un EIAH adaptatif.

Il est vrai que ce travail de design ontologique peut être considéré comme chronophage et éprouvant mais les bénéfices, en termes d'application et usages potentiels nous semblent sans commune mesure avec l'effort déployé. En outre, ce travail d'explicitation et de formalisation mené entre informaticiens et didacticiens est crucial pour instaurer une compréhension commune et un vocabulaire partagé, nécessaires au travail collaboratif entre disciplines.

Ce travail de modélisation évoluera certainement avec les usages qu'on voudra mettre en place dans l'EIAH mais le travail de design que nous avons suivi devrait rendre cette évolution maîtrisée en termes de temps et d'effort.

## CONCLUSION GENERALE DU TD

Le travail réalisé au sein du projet MindMath a permis de mettre en évidence la richesse, mais aussi les complexités, offerte par un contexte qui fait travailler ensemble des partenaires scientifiques et industriels. Nous concentrons ces quelques lignes de conclusion sur les aspects liés à la collaboration scientifique entre deux équipes de recherche, l'une en didactique, l'autre en informatique.

Comme nous avons pu le constater dans ce TD ce travail de collaboration a nécessité pour les deux partenaires, didacticiens et informaticiens, de faire des efforts d'explicitation et de
formalisation des concepts et objets manipulés. Ce travail a été rendu possible par une confiance réciproque, notamment construite lors de collaborations antérieures, et un respect du champ de compétences des différents partenaires. Il est aussi notable que chaque partenaire a avancé sur des questions de recherche propres à chaque domaine scientifique mais que cette collaboration a amené à la construction d'objets (modèle de rétroactions, ontologie par exemple) qui sont maintenant des objets communs aux deux champs.

Les perspectives ouvertes sont au moins aussi riches que les premiers résultats obtenus. A titre d'exemple l'utilisation de l'IA pour la décision des rétroactions mobilise l'expertise didactique pour aborder le problème de l'initialisation du processus, l'IA permettant ensuite d'aborder à une large échelle un problème complexe pour lequel les certitudes sont faibles en didactique et les résultats obtenus devraient permettre d'adresser de nouvelles questions à la recherche en didactique.

## LE POINT DE VUE DE PHILIPPE R. RICHARD

*Note : Philippe R. Richard nous a fait le plaisir de participer aux trois séances du TD, il a accepté de nous livrer un texte relatif au regard qu'il a porté sur ce TD. Nous le reproduisons ici.*

Si l'enseignant de mathématique a la responsabilité de faire faire des mathématiques aux élèves, ce n'est pas parce qu'il transmet des connaissances prédéterminées comme on transmet des règles du code de la sécurité routière. On sait depuis longtemps que l'apprentissage des mathématiques passe essentiellement par la résolution de problèmes, car ce sont eux qui motivent l'apprentissage et qui permettent aux connaissances d'évoluer. Un projet comme MindMath se fonde sur cette idée en situant les problèmes dans des tâches qui se laissent évaluer et qui donnent, dans l'usage, de l'information pour accommoder des parcours d'apprentissage à chaque élève. À terme, le projet vise l'intelligence d'un système qui saurait s'adapter à un modèle d'apprentissage humain. Le défi est lancé.

Dans sa version actuelle, les tâches implémentées engagent des compétences mathématiques de premiers niveaux. On pourrait critiquer ce choix sur un plan proprement didactique. En effet, lorsqu'on veut concevoir un système d'apprentissage et d'évaluation qui s'adapte à l'élève, on souhaiterait (dans l'absolu) pouvoir se lancer dans des activités complexes. Cependant, dès qu'on veut obtenir des résultats concrets, il faut réussir une sorte de quadrature du cercle, c'est-à-dire trouver le moyen de joindre la pensée éclatée typique de la résolution de problèmes avec le déterministe incontournable de la programmation informatique. Comment alors y arriver, sans tomber dans le piège de la prescription de solutions prévues à l'avance ou de l'évaluation qui mesure un écart entre les opérations de l'élève et une solution idéale ? Le choix des types de tâches du projet MindMath offre une perspective éclairante qui rapproche le modèle didactique au modèle de l'apprenant à l'aide d'un outil diagnostique supporté par un modèle praxéologique de référence. La difficulté se déplace d'abord en amont : elle vient du choix des tâches particulières, car ce sont elles qui permettent aux connaissances d'évoluer et sur lesquels portera l'évaluation. Autrement dit, en appuyant sur la qualité de ces tâches, on peut contrôler d'entrée de jeu les conceptions de l'élève susceptibles de s'y développer, avec des indicateurs de progression bien balisés qui demeurent en relation avec les connaissances véhiculées par les problèmes.

Comment alors articuler les rétroactions d'un système informatique lorsque l'élève se trompe ou lorsqu'il rencontre un obstacle ? Le processus de décision peut s'engager dans une approche symbolique où la rétroaction évalue en quelque sorte la réussite par rapport à la tâche. Cette information est accessible dès qu'on s'intéresse aux éléments fins et à la mécanique précise de la tâche, ce qui permet d'encourager ou de sanctionner l'élève dans sa progression
en constatant un écart par rapport à un système de corrections prédéterminées ou en comparant
à un répertoire d'erreurs connues. En même temps, le processus de décision peut s'inscrire dans
une dynamique de choix, plus proche de la complexité et surtout compatible avec l'incertitude
typique de l'apprentissage humain. C'est un prolongement naturel qui accepte que la décision
ne soit pas complètement calculable, parce qu'on accepte l'implication d'un risque sous-jacent,
mais il s'agit quand même d'un risque calculé fondé sur l'action de l'élève. Le pari du projet
MindMath est de joindre les avantages du contrôle sur la tâche à la nécessité de rendre compte
de l'apprentissage sur deux plans, celui de la machine et surtout, celui de l'humain.

La qualité des rétroactions est fondamentale et dépend cruciallement du frottement entre les
modèles didactiques et informatiques. Par exemple, le caractère de généralité des rétroactions
a-t-il besoin de l'énoncé des tâches, du sens des actions ou des significations véhiculées au
cours de la résolution, ou s'agit d'invariants transposables d'un énoncé à l'autre, sinon des
catégories ? Comment s'assurer que les rétroactions informatiques ne donnent pas les réponses
en même temps que le questionnement supposé du point de vue de la connaissance visée à
travers le modèle didactique ? En ce moment, la rétroaction du modèle entre dans une
dynamique de récompenses, avec les facteurs de pondération, que l'on tente de faire converger
pour marquer l'apprentissage. On aurait ainsi un investissement en vue des nouvelles tâches sur
le plan d'un ensemble d'états qui donne de l'information sur la tâche en jeu, le processus de
résolution et sur le profil de l'apprenant. Dans le système informatique actuel, l'algorithme
d'apprentissage ne donne pas d'information à l'arbre de décision, ce sont les états de
l'apprenant qui nourrissent l'arbre. On suppose que la convergence a lieu d'entrée de jeu par la
génération de tâches similaires pour des problèmes voisins à partir d'un modèle coconstruit
entre didacticiens et informaticiens. Cette démarche est tout à fait naturelle, comme nous le
rappelle (Balacheff, 2005) :

> « Quand on s'intéresse non seulement aux théories didactiques, mais aussi à la construction des Environnements Informatiques pour l'Apprentissage Humain (EIAH), ces questions s'imposent d'une façon très concrète puisqu'il faut aboutir à des éléments calculables par une machine. Notamment, ce qui permet de reconnaître une connaissance et de l'opposer à une autre demande de comprendre ce qui, parmi les productions identifiables par la machine, peut-être considéré comme appartenant à un modèle donné a priori ; il faut, en quelque sorte, automatiser l'analyse a priori, composante classique de la didactique des mathématiques. Plus encore, les moyens d'observation et d'analyse du chercheur-observateur doivent être modélisés et implémentés pour qu'une machine, d'une certaine façon, joue son rôle dans l'interprétation des connaissances ».

Les rapports entre l'apprentissage et la décision demeurent toutefois l'avenue royale pour se
rapprocher de la complexité. Le projet MindMath permet certainement de tabler sur
l'information des états pour dynamiser l'algorithme de décision à partir de l'apprentissage. Ce
travail n'est pas encore fait, mais il est possible. Le véritable défi à venir est plutôt de profiter
conjointement de l'apprentissage de l'élève et celui de la machine avec les moyens offerts par
l'intelligence artificielle. Certaines techniques informatiques de l'IA sont maintenant bien
connues, mais elles oublient généralement en amont l'humain qui utilise la machine,
contrairement aux modèles de MindMath. S'il faut maintenant trouver le moyen de répondre à
comment l'intelligence artificielle peut servir l'apprentissage humain mathématique (Richard et
al., 2022), il est sûr que l'interaction humain-machine doit être au cœur de la problématique et
on ne doit surtout pas laisser les informaticiens agir seuls. Cela peut paraître une évidence, mais
dès qu'il s'agit de répartir des moyens sociaux pour développer des systèmes utiles, il semble
qu'un autoritarisme technologique s'installe au détriment du service pour tous à l'humain.
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Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
TABLE RONDE : L’INTELLIGENCE ARTIFICIELLE

Fabien Emprin*

RÉSUMÉ

L'intelligence artificielle (IA) est en fort développement dans la société : l'IA index (Zhang et al. 2022) de l'université de Stanford qui partage les données sur l'intelligence artificielle dans le monde annonce un investissement privé dans l'IA en 2021 d'environ 93,5 milliards de dollars. C'est plus du double de l'investissement privé total de 2020. Ces technologies liées au numérique, à la récolte et au traitement de données, aux algorithmes d'apprentissage (deep Learning, machine learning...) questionnent nécessairement le monde de l'enseignement. Si la didactique s'intéresse depuis longtemps aux questions liées à l'IA (Balacheff, 1994), ces dernières années ont changé la donne grâce à la combinaison de la puissance de calcul et la disponibilité de données massives. L'objectif de cette table ronde de l'EEDM est de questionner l'IA sous l'angle didactique en faisant dialoguer des chercheurs venant de différents horizons : didactique des mathématiques et informatique, français et nord-américains.

Mots-clefs : Intelligence artificielle, didactique des mathématiques

ABSTRACT

Artificial intelligence (AI) and learning analytics (LA) are growing rapidly in society: the AI Index (Zhang et al. 2022) from Stanford University, which shares data on artificial intelligence around the world, announces a private investment in AI in 2021 of about $93.5 billion. That's more than double the total private investment in 2020. These technologies linked to digital technology, to data collection and processing, to learning algorithms (deep learning, machine learning...) necessarily question the world of teaching. If didactics has long been interested in issues related to AI (Balacheff, 1994), these last years have changed the deal thanks to the combination of computing power and the availability of massive data. The objective of this EEDM round table is to question AI from a didactic point of view by bringing together researchers from different backgrounds: mathematics didactics and computer science, French and North American.

Keywords: artificial intelligence, learning analytics, mathematics education

INTRODUCTION

Dès l'émergence des technologies numériques, dans la société comme à l'école (dans les années 1970 en France), la question des relations entre recherche en informatique (notamment l'Intelligence Artificielle - IA) et la didactique (Balacheff, 1994) s'est posée. Définir et modéliser la connaissance y est central. Par ailleurs, la collecte et le traitement des réponses des élèves sont des tâches de l'enseignant qui prend des décisions en fonction des informations recueillies sur les apprentissages de l'élève de façon formelle ou informelle. Les technologies numériques permettent de collecter des traces de l'activité des élèves, à l'école comme en dehors, et ouvre la porte à une nouvelle forme d'analyse, assistée par l'ordinateur : les *learning analytics* (LA). Si la question n'est pas récente, ces dernières années ont changé la donne grâce à la combinaison de la puissance de calcul, la disponibilité de données massives due notamment à l'accès facilité aux technologies numériques (smartphone dans la poche des élèves, tablettes, ordinateurs...). En marge du travail du thème 3 sur les technologies numériques, nous avons voulu faire le point sur les questions vives liées à l'IA sous la forme d'une table ronde regroupant des chercheurs en didactique des mathématiques et en informatique travaillant sur ces questions en France et dans d'autres pays. Nous avons, alors, posé quatre questions à quatre chercheurs : d'abord, (1) qu'est-ce que l'IA pour vous, pour quoi et par qui ? Ensuite, (2) quelles sont les interactions et les « responsabilités » réciproques entre l'informatique et la didactique ? En troisième lieu, (3) quelle peut être la relation entre les savoirs / connaissances et l'IA ? Enfin, (4) quels cadres théoriques mobiliser ?

Ce compte rendu vise à donner un aperçu des échanges, sans en être une retranscription. Il est suivi d'un texte complémentaire fourni pas Philippe R. Richard permettant d'approfondir spécifiquement certains aspects.

<footnote>* Université de Reims Champagne Ardenne – URCA – CEREP – IREM de Reims</footnote>
# LES INTERVENANTS

Comme nous l'avons annoncé, notre intention est de mettre en dialogue des chercheurs travaillant en didactiques des mathématiques et en informatique.

Nicolas Balacheff est directeur de recherche émérite au CNRS, membre du Laboratoire d'Informatique de Grenoble (LIG). Chercheur en didactique des mathématiques, il travaille à l'interfaces de l'informatique et de la didactique sur la question des EIAH (Environnements Informatiques pour l'Apprentissage Humain). Il nous apporte un regard englobant sur la problématique grâce à l'expérience des collaborations avec les chercheurs en IA depuis la fin des années 1980.

Philippe R. Richard est Professeur titulaire à la Faculté des sciences de l'éducation - Département de didactique de l'université de Montréal. Il est éditeur et promoteur de l'ouvrage *Mathematics education in the digital area of artificial intelligence. How Artificial intelligence can serve Mathematical Human learning* (Richard, Vélez et Van Vaerenbergh, 2022). Cet ouvrage de synthèse permet de faire le point sur les rapports entre IA et didactique des mathématiques. Il nous permet d'avoir un point de vue extérieur, nord-américain, sur le système éducatif français qu'il connaît, de plus, très bien.

Ernesto Exposito est Professeur des Universités en Informatique à l'Université de Pau et des Pays de l'Adour. Il est responsable d'un *Work Package* dans le projet ANR Hype 13 (HYbrider et Partager les Enseignements) porté par un consortium de 12 universités françaises, lauréates de l'appel à projet « Hybridation des formations de l'enseignement supérieur » dans le cadre du Programme d'Investissement d'Avenir (PIA) de l'Agence Nationale de la Recherche (ANR). Sa contribution nous permet de mettre en dialogue les recherches en informatique et en didactique des mathématiques grâce à son expérience de pilotage d'un projet pluridisciplinaire.

Vanda Luengo, est Professeure des Universités en informatique et responsable de l'équipe MOCAH du laboratoire LIP6 à Sorbonne Université. Elle travaille dans le domaine de l'IA pour l'éducation, notamment en lien avec la chirurgie orthopédique (projet Teleos), l'apprentissage des connaissances non techniques en situation critique dans la conduite automobile, l'anesthésie et la gynécologie obstétrique (projet MacCoy Critical), l'apprentissage des mathématiques en primaire (Adaptiv'Math) ou au collège (MindMath). Ces nombreux projets en lien avec la didactique des mathématique et son parcours d'ingénieure puis de chercheure en informatique la place à l'interface entre les deux champs de recherche.

Les projets auxquels ces chercheurs et chercheuses ont contribué permettront d'illustrer le propos.

# INTRODUCTION ET GENERALITES SUR L'IA

## 1. Qu'est-ce que l'IA pour vous ? Pour qui ? Par qui ?

La question de l'IA est problématisée du point de vue de l'informatique et de l'apprentissage des mathématiques, depuis longtemps, au niveau international. Par exemple, les premiers tuteurs cognitifs (*cognitive tutors®*) de *Carnegie Learning* dans la décennie 80 ont été développés dans le domaine de la géométrie ou de l'algèbre (Anderson et al., 1995).

De quoi parle-t-on quand on évoque l'IA ? Est-ce un effet de mode (le fait que des travaux portent sur cette question depuis plusieurs dizaines d'année nous amène à répondre plutôt non) ? est-ce une histoire de machine ? un prolongement modélisé de l'humain ? un partenariat humain-machine ?

En tous cas, parmi les questions, semblent apparaître celles des interactions (Homme $\leftarrow\rightarrow$ machine), celle de l'intelligence et de la modélisation (de la connaissance, des processus d'apprentissage, de l'élève...).

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
Des premières pistes sur la question de l'intelligence nous renvoient à la théorie des intelligences multiples (Gardner, 1983), à l'intelligence augmentée dans l'interaction (Engelbart, 1962) et à l'intelligence collective avec le succès de Sapiens (Henrich, 2021). Nous revenons, dans la suite du texte, sur les deux autres termes.

## 2. Du point de vue de l'informatique

L'IA peut être définie comme « L'étude et la conception de systèmes informatiques qui perçoivent leur environnement et agissent comme des êtres humains » McCarthy (Dartmouth Conference, 1956 dans McCarthy et al. 2006).

Cependant, il y a des multiples définitions de l'intelligence artificielle. Russel et Norvig proposent de tenir compte des deux dimensions : la pensée et l'action. Ainsi, pour eux, ils existent quatre grands types de système d'IA, comme décrit dans le tableau 1.

<table><caption>**Tableau 1.** – Tableau issu de (Russell & Norvig – Artificial Intelligence: A Modern Approach) En Français : Intelligence artificielle 3ème édition, 2010.</caption><thead><tr><th></th><th>Humain</th><th>Rationnel</th></tr></thead><tbody><tr><th>Pensée</th><td>Systèmes qui pensent comment les humain</td><td>Systèmes qui pensent rationnellement</td></tr><tr><th>Action</th><td>Systèmes qui agissent comme des humain</td><td>Systèmes qui agissent rationnellement</td></tr></tbody></table>

Cette différentiation proposée par les auteurs montre bien les aspects interdisciplinaires qui ont construit le domaine. Ainsi, par exemple, les systèmes « qui pensent comme un humain » font référence plus spécifiquement aux approches cognitives qui combinent les modèles informatiques de l'IA et les approches psychologiques. « Les systèmes qui agissent comme des humains » associent des nombreuses branches de l'IA tels que le traitement du langage naturel (TAL), la représentation des connaissances, le raisonnement automatisé, l'apprentissage automatique, la vision par ordinateur et la robotique et associent des domaines tels que la linguistique pour le TAL ou la mécanique pour la robotique.

L'interaction entre ces quatre types de systèmes d'IA et l'éducation existe depuis la naissance de l'IA. Le premier tuteur intelligent, nommé Scholar, est développé dans le cadre de la thèse de Carbonnell (1970), qui proposé un système générant des réponses adaptées à l'apprenant en navigant sur un réseau sémantique sur des connaissances en géographie. Un autre exemple emblématique est celui de Clancey (1987) qui propose un tuteur intelligent en médecine, nommé Guidon, en s'appuyant sur le système experte Mycin (Buchanan & Shortliffe, 1984) qui est un système de connaissances expertes pour le diagnostic en médecine et en rajoutant des règles

Ces travaux sont précurseurs de la communauté de l'IA en éducation, communauté qui traite les spécificités du domaine de l'éducation. Ainsi, à partir des travaux sur les tuteurs intelligents trois types des modèles sont étudiés (Wenger 1987) : le modèle du domaine à enseigner, le modèle de l'apprenant et le modèle pédagogique.

- Le modèle du domaine fait référence aux domaines de connaissances à enseigner, comme c'est le cas de Mycin dans le cas précédemment cité.

- Le modèle pédagogique fait référence aux connaissances et expertises d'enseigner (type d'interaction pédagogique, rétroactions, suivi).

- Le modèle de l'apprenant fait référence aux connaissances sur l'apprenant comme l'état de connaissances, ses réussites et difficultés, son état émotionnel ou méta cognitif.

Ces modèles restent d'actualité, les évolutions sont relatives à leurs représentations, leurs usage (comme le modèle ouvert de l'apprenant) ou les techniques de raisonnement (algorithmes) utilisant les modèles. Toutefois, l'évolution la plus importante est liée aux
méthodes et algorithmes s’appuyant sur les données, en particulier des données d’interaction entre les apprenants et des systèmes numériques (Luckin et al., 2016).

Dans tous ces systèmes nous pouvons donc distinguer trois types d’approches de
modélisation. Les approches d’IA symbolique basées sur des connaissances expertes, tels que
les modèles logiques, règles expertes ou ontologies ; les approches numériques basées sur des
données, tels que le clustering ou les techniques de deep learning et, enfin, les approches mixtes
combinant les deux, tels l’apprentissage des règles à partir des données combinées à des règles
expertes ou la conception d’un modèles de décision basé sur un algorithme par renforcement
utilisant des connaissances expertes et évoluant à partir des données.

Ainsi, l'IA pour l'éducation est une thématique de recherche spécifique qui se distingue de l'IA générale. Elle est développée depuis plus de 40 ans (https://iaied.org/) de recherches pluridisciplinaires avec les SHS, la psychologie, la didactique, la linguistique, la sociologie visant à construire des théories et des modèles. Cette approche pluridisciplinaire pose la question de la définition d'objets communs.

3. Du point de vue de la didactique

L'intelligence artificielle pose la question de la modélisation de la connaissance, de l'élève, des interactions didactiques et du raisonnement ce qui la distingue des points de vue des autres sciences de la connaissance et de l'apprentissage.

Dans ce contexte, on peut se demander :

4. Comment l'IA peut-elle aider l'enseignant ? à enseigner ? à se former ?

Quelle est la place de l'IA dans l'accompagnement et l'évaluation des étudiants ? Peut-elle être facteur d'individualisation, d'adaptation des apprentissages ?

Une piste de réponse vient du projet Hype 13 dont un des *Work package* porte vise une transformation durable des pratiques d'enseignement et d'apprentissage soutenue par l'intelligence artificielle au service de l'expérience humaine. Si la relation entre humains (professeurs et élèves) est primordiale et est d'ailleurs réaffirmée dans la conférence de consensus sur l'IA en éducation (ONU-UNESCO, 2019) quelle automatisation est permise par l'IA pour l'aide à la décision ? Nous l'avons vu, les tuteurs intelligents et l'individualisation sont au cœur des définitions et des concepts de l'IA en éducation ce qui apporte une première réponse à cette question.

L'hybridation des formations (notamment en raison de la crise du COVID 19), permet le
recueil et le traitement des traces d'apprentissage. Ces dernières sont présentes de façon non
homogène dans les plateformes d'enseignement à distance (LMS – *Learning Management System* type *Moodle*), les logiciels de visio conférence (type *Zoom*), les plateformes
d'interactions (type *Wooclap*). La présence de ces traces renvoie au *data mining*, au traitement
et à la visualisation mais aussi à la question de la formation des enseignants à l'usage de ces
outils. Le projet Hype13 allie développement d'outils et formation des enseignants
universitaires D'autres initiatives existent comme le MOOC « l'Intelligence Artificielle… avec
intelligence ! » de la Higuera (2020) propose un aperçu des questions clef sur la formation.

Nous abordons, à présent, la question des interactions entre les champs disciplinaires.

QUELLES SONT LES INTERACTIONS ET « RESPONSABILITES » RECIPROQUES
ENTRE INFORMATIQUE ET DIDACTIQUE ?

Pour aborder les échanges entre informatique et didactique, commençons par regarder les
implication côté machine et côté humain.

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
Côté machine, l'IA peut être la simulation de processus d'intelligence humaine par une phase d'apprentissage, c'est-à-dire l'acquisition d'information et ses règles d'utilisation, une phase de raisonnement, soit l'utilisation de règles pour tirer des conclusions approximatives ou définitives, et enfin une phase d'autocorrection.

Nous pouvons distinguer une approche symbolique où l'ordinateur agit en fonction de règles entrées par un Humain (possibilités de lien causal tout en posant le problème d'une résolution à croissance exponentielle) et une approche numérique qui s'appuie sur une analyse de données pour prendre des décisions (stratégie de résolution efficace, mais avec un effet boîte noire sur le fonctionnement interne).

Côté humain, il s'agit d'une question d'idonéité interactive : perspective du concepteur (dispositif didactique, informatique) et celle de l'usager (élève, enseignant, formateur)

Du point de vue de l'apprenant, cela renvoie au critère du degré d'initiative laissé à l'élève comme base de sa classification des EIAH (Environnements Informatiques pour l'Apprentissage Humain). Dans les systèmes tuteur, l'initiative de l'élève est contrôlée le logiciel en fonction de l'analyse réalisée et de la stratégie de tutorat et à l'opposé dans les micromondes l'élève a toute liberté de sa démarche et de ses choix pour atteindre le but.

Du point de vue de la conception, tel que déjà proposé par Balacheff (1994), c'est la connaissance qui est à la croisée de la didactique et de l'IA. Concernant les trois modèles cités précédemment, le modèle du domaine est au centre entre didactique et IA, mais la modélisation de l'apprenant et de la pédagogie fait émerger également des questions de recherche à l'intersection entre la didactique et l'IA. En effet, la modélisation appelée pédagogique peut tenir compte des dimensions didactiques comme la fonction d'étayage ou la production des rétroactions épistémiques (Luengo, 2009).

Dans les approches symboliques, l'informatique doit proposer des modèles et des représentations suffisamment utilisables pour que la connaissance experte issue de la didactique soit aisément réifiable. D'autre part, les connaissances didactiques nécessitent d'être calculables et de garantir la pertinence et couverture du domaine représenté pour le bon fonctionnement du système. La modélisation des conceptions de l'apprenant en géométrie à partir du modèle ckc et d'une approche multi agent émergent (Weber, Pesty & Balacheff, 2002) est un des premiers exemple Français. Le modèle ontoprax (Chaachoua, Ferraton & Desmoulins, 2017), qui a été testé en algèbre élémentaire, est également un bon exemple de ce type d'interaction, s'appuyant sur le cadre praxéologique et la représentation sous forme d'ontologies.

Pour les approches purement numériques, plusieurs interactions semblent intéressantes. Ainsi, pour les algorithmes d'IA non supervisée certaines connaissances résultantes (par exemple les ensembles résultants d'un clustering) peuvent être expliquées à travers des analyses didactiques. Un exemple d'application réel, qui pourrait proposer une interaction intéressante est le projet Adaptiv'Math où des résultats scientifiques ont conduite à la proposition d'activités de résolution des problèmes sur les 4 opérations et des activités de modélisation. Ce projet associe deux algorithmes d'intelligence artificielle : (1) pour des parcours individualisés (ZPDES [2]) et (2) pour synthétiser les expériences individuelles de chaque élève (Harrak & Bouchet, 2021).

Par ailleurs, pour les algorithmes d'IA supervisée, « la labélisation des données » ou connaissances de démarrages des algorithmes peuvent être guidés par des connaissances didactiques.

Enfin pour les approches mixtes, les modèles, théories et connaissances didactiques peuvent accompagner la modélisation informatique, les méthodes de raisonnement ou d'interaction. Ainsi, pour la modélisation informatique un exemple est le projet TELEOS où en le modèle ckc (Balacheff et Gaudin, 2003) est à la base de la structure du réseau bayésien (Chieu, Luengo, Vadcard et Tonetti, 2010) mais ensuite le système est capable d'évoluer à partir des données
d'interaction entre le système et l'apprenant (Toussaint et al., 2015). Aussi, les connaissances didactiques peuvent être utiles dans le raisonnement algorithmique pour atténuer le problème du démarrage à froid d'un l'algorithme d'IA, comme dans le cas du projet *MindMath* où les connaissances didactiques sur l'apprentissage d'algèbre élémentaire et la géométrie orientent deux algorithmes, l'un permettant la proposition des nouvelles situations d'apprentissage et l'autre permettant la prise de décisions afin de proposer des rétroactions épistémiques immédiates (Jolivet et al., 2021).

# 1. Des exemples de projets

Dans les projets pluridisciplinaires de recherche de type Hype 13 (Lamine Gueye et Exposito, 2022), les échanges entre les différents domaines de recherche apparaissent notamment au moment du développement d'outils. L'analyse du besoin et la définition du cahier des charges ne peut se faire qu'en interaction, au risque d'obtenir un outil techniquement fiable mais non adéquat. L'analyse des usages est aussi un moment extrêmement riche d'échanges entre les spécialités pour comprendre les détournements, les freins et les leviers à la diffusion d'un outil. Les phases de test permettent d'entrer dans une boucle d'adaptation et d'amélioration des outils.

Dans le projet QED-Tutrix associant notamment un doctorant en computer science et un chercheur en didactique, il s'agit d'équilibrer les interactions entre l'intelligence naturelle de l'utilisateur et l'intelligence artificielle du logiciel tuteur. On voit bien, ici, la nécessité d'interaction entre les domaines pour, plus spécifiquement, aborder « la problématique de la lisibilité et de l'accessibilité des preuves, et de l'adaptabilité des preuves aux raccourcis inférentiels. Cette exigence d'intégration des utilisateurs dès la conception du logiciel est cruciale » (Font et al., 2018, traduction libre). Par ailleurs, ce travail nécessite la mobilisation de cadres théoriques spécifiques à la didactique tels que la théorie des situations d'enseignement des mathématiques et plus particulièrement la notion de contrat didactique (Brousseau, 1990) et le modèle de l'espace de travail mathématique (ETM) (Kuzniak, 2011) mais aussi spécifiques aux sciences de l'informatique comme les études sur les preuves automatiques présentent dans GRAMY (Matsuda & Kurt, 2005) par exemple.

Dans *MindMath*, le concept de praxéologies de Chevallard (1999) permet une modélisation de l'apprenant vis-à-vis du savoir et ainsi raisonner sur le parcours d'apprentissage (Jolivet et al., 2021).

# LA QUESTION DES SAVOIRS ET DES CONNAISSANCES

Le rôle des connaissances et des savoirs apparaît dans les rétroactions visant à donner une information qui permette d'accéder à une solution correcte à la connaissance experte. L'IA permet de dépasser les rétroactions normatives vers une rétroaction centrée sur les représentations, connaissances (éventuellement erronées) des élèves. On peut distinguer les rétroactions sous forme de boucles longues (comme dans le projet TELEOS), permettant de mobiliser des savoirs de plusieurs natures : procéduraux, psychomoteurs, déclaratif et de boucles courtes (projet *MindMath*), avec une rétroaction immédiate basée sur un modèle de décision.

L'IA peut également avoir un effet boîte noire, comme nous l'avons mis en évidence plus haut en décrivant les approches statistiques. Il n'y a pas d'accès aux règles de décisions qui sont prises sur des calculs statistiques réalisés sur des quantités de données non accessibles à un humain.

Une proposition mise en œuvre dans QED-Tutrix est de mettre, au cœur des décisions, la combinaison des deux approches : statistique et symbolique.
CADRES THEORIQUES ET CONCLUSION

Dans cette dernière partie a abordé les cadres théoriques permettant de questionner la
modélisation des connaissances, du raisonnement, de l'apprenant, la problématique de l'erreur
et de son traitement... Les traces, la mémoire et l'oubli par rapport à la biographie didactique
de l'élève, de l'enseignement posent également la question de l'éthique par rapport à l'IA ?

Les cadres mobilisés par les chercheurs ont déjà en partie été évoqués dans les exemples ; il
s'agit de la Théorie des situations didactiques en mathématique (TSDM) (Brousseau, 1998) et
Théorie des espaces de travail mathématique (ThETM) (Kuzniak et Richard, 2014), le modèle
cK¢ (Balacheff, 2011) mais aussi le modèle SMAR (Puentedura, 2012) permettant d'analyser
les usages de l'IA.

Les « nouvelles technologies » pour l'éducation ont souvent suscité des contraintes et de
grands espoirs (Emprin, 2018) et aucun des deux ne s'est complètement réalisé. La spécificité
de l'IA est que dans certains cas les méthodes sont des boites noires et dont les informations ou
connaissances produites sont difficiles à expliquer.

Cette table ronde permet de faire le point sur les relations entre didactique et IA ; on peut y
noter que les cadres théoriques anciens tels de la TSD (Brousseau, 1998) ou la TAD
(Chevallard, 1999) sont suffisamment robustes pour permettre des modélisations informatiques
même si d'autres cadres ont dû être développés pour accéder à certains aspects du processus
d'apprentissage avec les outils technologiques basés sur l'IA. Les projets qui y ont été présentés
montrent également la richesse de la dynamique de travail entre sciences de l'informatique et
didactiques. Les perspectives ouvertes sont nombreuses et montrent l'ampleur des travaux qui
peuvent encore être développés.

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# TABLE RONDE : INTERVENTION DE PHILIPPE RICHARD

## L'IA : POUR QUI ET PAR QUI ?

Lorsqu'on s'intéresse à l'origine de la faculté d'intelligence, on peut commencer avec un regard encyclopédique. Selon Richard (2022), l'intelligence représente la fonction par laquelle l'homme a essayé de se définir dans l'échelle des êtres, c'est-à-dire de se situer par rapport à son inférieur, l'animal, et par rapport à son supérieur, la divinité. Le phénomène de l'Intelligence Artificielle (IA) apparaît d'entrée de jeu comme un oxymore qui ne cesse d'intriguer. De quoi parle-t-on au juste ? Pour le grand public, l'IA fascine autant qu'elle inquiète, surtout pour ceux qui pensent que l'IA est une technologie qui va permettre aux ordinateurs de penser et d'agir comme des êtres humains. D'ailleurs, dans le magazine ISOfocus (2019) de l'Organisation internationale de normalisation, on tentait de démythifier les croyances à cet égard, comprenant que l'IA est sur toutes les lèvres dans le monde d'aujourd'hui. Dans la pratique, il s'agit d'un terme générique qui recouvre une constellation de technologies dont l'objet est de conférer une forme d'intelligence à des machines. Pour l'informaticien ordinaire, l'IA est un outil de plus dans le coffre à outils des spécialistes du domaine, une discipline scientifique qui vise la construction de programmes informatiques capables de résoudre des problèmes à l'instar des humains. Même s'il n'existe pas de définition universellement admise de l'IA (OCDÉ, 2019) et, sans entrer dans les aspects les plus techniques du concept, on retient généralement que l'IA reprend l'idée de simulation des processus cognitifs humains par des algorithmes, intégrés à un environnement assimilant des données dynamiques. Pour l'informaticien grassement subventionné par l'industrie ou par l'état, l'IA est une aubaine incroyable. Profitant du grand intérêt de l'IA dans la société, c'est aussi le sujet de l'heure.

Après la génomique des années 1990, les nanotechnologies des années 2000, l'IA ouvre les années 2010 avec l'apprentissage profond. Parce que l'IA effectue des travaux minutieux à grande vitesse, cela permet de gagner énormément de temps et de réduire les coûts en conséquence, faisant saliver le monde politico-administratif. Si au Québec la question de l'intérêt pour tous est posée, rien n'indique que la direction sera prise de façon équilibrée :

> Les gouvernements canadien et québécois n'ont pas hésité à accorder des sommes considérables pour développer un « écosystème » de l'IA et attirer à Montréal les grands joueurs de l'industrie des technologies de l'information (Facebook, Microsoft, Google, IBM, etc.). Mais les gouvernements agissent-ils de façon responsable en adoptant sans réserve ce nouveau créneau d'investissement ?
> 
> L'étude de la documentation portant sur le potentiel économique de l'IA au Québec montre des lacunes : les politiques publiques ne paraissent pas alignées directement sur l'intérêt collectif.
> 
> (Lomazzi, Lavoie-Moore, Gélinas & Hébert, 2019)

Pour le didacticien des mathématiques, l'IA est au service de l'humain qui apprend, qui développe des compétences intellectuelles et qui fait son travail de mathématicien à l'école. L'humain est encore la référence, mais ici le rapport humain/machine est inversé. Selon Balacheff (2022), l'IA est une propriété des machines qui présentent certains comportements qui frappent par leur intelligence, rappelant qu'il s'agit d'un jugement sous-tendu par une sorte d'empathie humaine. Autrement dit, l'intelligence ne vient pas de la machine, mais du regard humain qui la voit ou que se voit interagir avec elle. Peu importe la perspective, il semble que le lien commun entre l'IA et la didactique des mathématiques passe d'abord par l'intelligence, comme on peut le voir dans la carte mentale à la Figure 1. Dans cette structure arborescente, les sommets sont des articles encyclopédiques et les branches des liens de voisinage. Par rapport

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
à l'intelligence du centre, on remarque que l'IA et les sciences cognitives figurent dans son voisinage immédiat. On connaît bien les liens historiques entre la didactique des mathématiques et les sciences cognitives depuis les années 1980, voire les acquis de la psychologie cognitive et, en particulier, les apports théoriques plus anciens de l'épistémologie génétique de Jean Piaget.

<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>Figure 1. – Carte mentale de l'intelligence dans l'Encyclopædia Universalis (2022).</figcaption></figure>

Des points de vue précédents, on en tire que l'IA est à la fois une histoire de machine, un prolongement modélisé de l'humain et un partenariat humain-machine. Si l'on revient un peu sur la notion d'intelligence, l'idée originelle de faculté de comprendre, de connaître ou de saisir par la pensée demeure très orientée sur l'humain. Malgré cela, avec leur mémoire et leur capacité de calcul prodigieuses, certaines machines réussissent très bien à donner des réponses comme les humains les plus performants, à l'instar du Deep Blue d'IBM au jeu d'échecs ou du logiciel Seek d'iNaturalist pour explorer la faune et la flore qui nous entourent.

Dans la théorie des intelligences multiples d'Howard Gardner (2008), on y voit facilement une manifestation des intelligences logico-mathématique, spatiale et naturaliste. Cependant, dans quelle mesure une machine serait-elle capable d'imiter les autres types d'intelligence, comme les intelligences musicale, interpersonnelle ou existentielle ? Dans un contexte d'apprentissage ou d'utilisation de machines, la notion d'interaction avec un milieu semble incontournable, fût-il un milieu matériel, virtuel, social ou symbolique qui véhicule des connaissances mathématiques. On gagne alors à retenir de l'intelligence un sens issu traditionnellement de l'écologie, c'est-à-dire l'aptitude d'un être vivant, mais aussi d'un outil informatique, à s'adapter à une situation nouvelle, à comprendre et à résoudre certaines difficultés, à donner un sens aux choses qui l'entourent ou, notamment chez l'humain, à agir avec discernement. L'intelligence se décrit alors comme une faculté d'adaptation (apprentissage pour s'adapter au milieu) ou au contraire, une faculté de façonner le milieu pour l'adapter à ses propres besoins, dans une sorte de mutualisation de moyens. La notion d'intelligence augmentée dans l'interaction de Douglas Engelbart (1962) devient alors une référence de choix pour mettre en valeur l'apprentissage instrumenté ou le nouveau travail mathématique qui s'enrichit avec l'usage d'une grande variété d'artéfacts numériques.

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
L'augmentation de l'intelligence qui en résulterait serait caractéristique d'un système sujet-milieu en interaction, typique de celui que l'on retrouve dans la théorie des situations didactiques en mathématiques de Guy Brousseau (1998), alors que c'est le sujet qui prend l'initiative d'un questionnement avec un milieu « artificiel » partenaire dans la construction des connaissances. La machine pourra-t-elle un jour apprendre de cette intelligence augmentée en vue de se bonifier ? Enfin, que pouvons-nous dire de l'intelligence collective qui aurait fait le succès de Sapiens comparativement à notre cousin néandertalien. En effet, selon Joseph Henrich (2021) :

> La sélection naturelle a favorisé l'apprentissage culturel des individus les plus doués de notre espèce. Ce phénomène a lancé Homo sapiens sur une voie inédite de l'évolution, aucunement observée jusqu'alors dans la nature. (...) Au bout de plusieurs générations, ce processus nous a permis de nous doter de pratiques et de techniques qu'il n'aurait pas été possible d'élaborer individuellement en une seule vie, en comptant uniquement sur notre intelligence et notre expérience. C'est l'ensemble des connaissances que nous avons acquises qui constitue aujourd'hui notre intelligence collective.

Pour pasticher l'univers des personnages de bandes dessinées, on sait qu'en Amérique du Nord, les héros inspirés de l'univers Marvel sont souvent des self-made-man (autodidactes ?) qui ont leur force intérieure et physique, mais qui sont seuls avec ça (Lalonde, 2022). Quand ils impliquent quelqu'un, ils le mettent à risque. Pour le héros des mangas japonais, dès que celui-ci essaie de se séparer des autres et qu'il pense que seul, il va réussir, il devient soudainement le méchant... Bref, si l'on cherche à se débrouiller tout seul, on te dit que ce n'est pas comme ça que l'on va gagner, car on a besoin des autres. Bien entendu, la notion du collectif peut s'interpréter comme une recherche d'harmonie contre la mise en valeur individuelle, mais sa portée sous-entendue est bien plus forte. Dans la construction des connaissances, le milieu est aussi un milieu social, toute forme d'intelligence en a besoin pour se développer. Comment l'IA pourrait-elle intégrer, en temps réel, l'intelligence collective ? Si toute solution passe par un dialogue permanent entre la didactique et l'informatique en vue de la conception et de l'usage des machines, il semble plus facile pour l'humain d'arriver à un consensus que pour la machine.

## INTERACTIONS ET RESPONSABILITES MUTUELLES DANS LE RAPPORT INFORMATIQUE/DIDACTIQUE

À notre avis, pour être réellement intelligents, les systèmes de l'IA doivent d'abord rester suffisamment souples pour s'adapter à l'évolution naturelle du travail mathématique en classe, tout en laissant le paramétrage à l'enseignant ou au formateur. S'il est techniquement possible de concevoir des programmes qui ne sont pas complètement déterministes, comme les réseaux de neurones artificiels capables d'apprendre et d'autoévoluer, les machines ne se posent pas de question. Dans la quête d'une pensée artificielle, il faut certainement éviter de confondre modèle et objet du modèle : l'idée d'un partenariat humain-machine est bien plus intéressante que le développement d'une machine autonome. Par ailleurs, si l'on connaît suffisamment les ressources, les objectifs et les orientations d'une classe, on peut arriver à comprendre, expliquer et modéliser des actions et des décisions qui semblent inhabituelles ou anormales pour un œil extérieur. L'intelligence se révèle alors dans un processus itératif de convergence entre les effets a priori et les effets observés qui s'affinent progressivement à l'usage, en espérant libérer le côté lumineux de l'incertitude ou profiter des échecs au cours de l'interaction. Dans l'enseignement des mathématiques, il semble donc que l'IA ne peut être formulée uniquement sur le plan de la machine, mais bien en termes d'activité finalisée avec des humains et orientée vers ceux-ci. Si notre point de vue est déjà proche de la théorie des situations didactiques en mathématique, il est tout aussi proche de l'idonéisme de Ferdinand Gonseth par rapport à une double préoccupation de vérité et de réalité. Avec la notion d'espace de travail idoine qui figure
quelque part à mi-chemin entre l'espace du sujet et l'espace de référence, la théorie des espaces de travail mathématiques (Kuzniak, Montoya- Delgadillo et Richard, 2022) propose un modèle privilégié pour penser et interpréter l'interaction humain-machine au cours du travail mathématique potentiel ou réel à l'école.

<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>Graphique 1.6. Relation entre l'IA et l'apprentissage automatique</figcaption></figure>

Source : Fourni par le programme Internet Policy Research Initiative (IPRI) du Massachusetts Institute of Technology (MIT).

<caption>**Figure 2.** – Les deux types d'approches dans la recherche en IA (OCDÉ, 2019).</caption>

Lorsqu'on regarde d'abord du côté machine, l'IA peut se concevoir comme la simulation de processus d'intelligence humaine par des artéfacts qui effectuent des tâches, et plus particulièrement, à l'aide de systèmes informatiques. Ces processus comprennent une phase d'apprentissage, c'est-à-dire l'acquisition d'information et ses règles d'utilisation, une phase de raisonnement, soit l'utilisation de règles pour tirer des conclusions approximatives ou définitives, et enfin une phase d'autocorrection. En guise d'exemples, l'IA est utile pour l'automatisation, l'apprentissage machine, la vision par ordinateur, le traitement du langage naturel, la robotique, la recherche d'invariants ou l'évaluation de risques par simulation et visualisation. Bien entendu, elle résulte souvent de combinaisons plus ou moins sophistiquées de ces techniques, comme pour le développement de voitures autonomes (vision par ordinateur, reconnaissance d'images, apprentissage profond, automatisation), ou pour le les diagnostics médicaux (reconnaissance d'images, apprentissage profond, reconnaissance vocale, formulation d'hypothèses et schéma de confiance). Dans la recherche en IA, on reconnaît deux types de démarches fondamentales (Fig. 2) : l'approche symbolique, qui préserve le lien causal, mais dont la résolution s'accompagne souvent d'un problème de temps de calcul exponentiel (algorithme en force brute), et l'approche statistique, pour laquelle la stratégie de résolution paraît plus efficace, mais qui engendre un effet boîte noire au cours du processus (apprentissage automatique profond). Ce qui fait qu'on ne connaît pas nécessairement la mécanique interne qui produit l'extrant à partir des intrants, contrairement à l'approche symbolique qui, théoriquement, peut être mise à plat. Cela soulève plusieurs questions en matière de contrôle et de validité des connaissances produites par la machine.

Avant d'introduire quelques enjeux qui concernent la didactique des mathématiques, allons-y d'une petite comparaison bien de saison au moment d'écrire ces lignes. Quiconque fait du patin à glace ou du ski de fond le sait : pratiquer un sport de glisse exige, pour avancer, d'accepter une perte de contrôle dans le mouvement. Mais on sait aussi que cette perte de
contrôle doit être maîtrisée pour éviter le dérapage et les chutes. Il s'en est de même en
intelligence artificielle avec l'effet boîte noire de l'approche statistique, dont une perte de
contrôle sous-jacente dans l'articulation des connaissances mathématiques et son potentiel de
créer des distorsions dans les réponses de la machine. Osons alors poser quelques questions
oratoires. Comment garantir la fiabilité ou le domaine de validité de l'extrant, c'est-à-dire
engendrer du vrai à partir du vrai ou s'assurer de la production de connaissances non
contradictoires ? Sommes-nous dans un processus de traduction ou de modélisation qui sous-
entendent une sorte de simplification par rapport à la réalité de l'intrant ? Bref, comment être
sûr que l'on participe encore au même mouvement ? Pour reprendre l'exemple des voitures
autonomes, on sait que l'IA est amenée devant certaines questions éthiques qui paraissent
insolubles. En effet, ces machines pourraient devoir décider qui vit et qui meurt en cas de
défaillance des freins ou de collision inévitable (Lajoie, 2019). En prévision d'un cas d'urgence,
dans quelle mesure pouvons-nous faire confiance aux réactions programmées ? Pouvons-nous
même nous mettre d'accord sur la manière dont ces véhicules devraient réagir ? Quant au
diagnostic médical, est-il acceptable de recevoir d'une machine un jugement sur l'évolution
future d'une maladie, comparativement au pronostic établi par un médecin assisté par l'IA ?

Lorsqu'on considère plutôt le côté humain, c'est l'apprentissage instrumenté qui nous touche. On pourrait prendre telles quelles les réalisations informatiques de l'IA, mais celles-ci n'ont pas été conçues à partir de modèles de connaissances ou de raisonnement issus de la didactique des mathématiques. C'est pourquoi il faut situer l'interaction humain-machine au coeur de la problématique et retenir l'idée d'idonéité interactive qui intègre à la fois la perspective du concepteur (dispositif didactique, informatique) et celle de l'usager (élève, enseignant, formateur) au cours d'un dialogue permanent entre modèles didactiques et informatiques. Dans l'ouvrage de Richard, Vélez & Van Vaerenbergh (2022), on souligne la contribution de l'IA à l'enseignement des mathématiques, notamment par la création de milieux d'IA pour la réalisation du travail mathématique à l'école. On traite aussi de l'apprentissage des mathématiques assisté par l'IA et on discute du développement des nouvelles mathématiques dans le monde contemporain, dont un regard de la recherche empirique en vue de mieux comprendre le présent et l'avenir de l'IA dans l'enseignement des mathématiques. On propose une classification des systèmes d'IA pour l'enseignement des mathématiques (Van Verenberg et Pérez-Suay, 2022), on montre l'utilité des outils de raisonnement automatisé avec GeoGebra (Kovács, Recio & Vélez, 2022) et on présente l'intelligence de QED-Tutrix comme un équilibre entre l'intelligence naturelle de l'usager qui est en interaction avec l'intelligence artificielle du système tuteur (Font, Gagnon, Leduc & Richard, 2022). Nous revenons sur ces systèmes à la section suivante.

LA QUESTION DU SAVOIR ET DES CONNAISSANCES : L'EXEMPLE DE LA GEOMETRIE

Dans un contexte scolaire, la géométrie porte en elle une spécificité aux accents sémiotiques
qui n'est pas nécessairement le cas de tous les signes mathématiques : les figures sont à la fois
la représentation d'une référence instituée (l'idéal ou le concept figural absent que l'on dessine)
et la signification d'un objet qui est son propre modèle, le dessin étant aussi une forme. Lorsque
la figure se pose à l'interface d'un dispositif de géométrie interactive, elle apparaît aussi comme
une situation que l'on peut manipuler, paramétrer ou interroger, le contrôle sur les propriétés
signifiées est typique de l'interaction entre un usager et un milieu. On peut parler de figure
dynamique opératoire (Coutat, Laborde et Richard, 2016), un idéal instrumenté qui émergent
dans les nouvelles mathématiques et qui se distingue des représentations sémiotiques ou
discursives standards. Si la modélisation des connaissances pour stimuler l'IA doit déjà se
réfléchir dès la conception des techniques informatiques mises en œuvre, il faut qu'elle
introduise les caractéristiques du travail mathématique d'aujourd'hui avec ses valences sémiotiques, discursives et instrumentales. Quant au savoir géométrique de référence, il dépend du référentiel, pour une personne ou pour une institution, autant sur le plan mathématique que scolaire. Ces questions sont habituelles dans la théorie des situations didactiques (Brousseau, 1998), la théorie anthropologique du didactique (Chevallard, 1992) et la théorie des espaces de travail mathématique (Kuzniak, Montoya-Delgadillo et Richard, 2022). Sans entrer dans le détail, nous pouvons mentionner que la notion de vigilance épistémologique rend compte d'un effort de cohérence nécessaire entre le travail du mathématicien et le travail mathématique dans un contexte scolaire. Dans une perspective instrumentée par l'IA, le savoir géométrique est aussi celui qui se crée dans l'usage avec un artéfact numérique, ce qui rapproche savoir et praxéologie à la manière de la théorie anthropologique du didactique.

Les Outils de Raisonnement Automatisée (ORA) dans Géogébra (GGB) et le système tuteur intelligent QED-Tutrix (QEDX) adoptent des approches symboliques. La principale différence entre ces systèmes est qu'avec les ORA de GGB, les connaissances géométriques sont modélisées par l'algèbre, alors que dans QEDX, elles restent dans l'univers géométrique. Depuis 2016, les objets dans GGB ont été redéfinis symboliquement, ce qui permet d'employer le calcul symbolique pour trouver des relations entre des éléments géométriques, tester la véracité ou la fausseté d'une affirmation, ou même découvrir des hypothèses supplémentaires afin qu'une affirmation donnée soit valable dans le contexte d'un problème. Par rapport aux logiciels de géométrie dynamique précédents, le passage vers le symbolique est un changement majeur pour lequel nous sommes loin d'en avoir exploré tous les bénéfices. Pour l'usager, la valeur épistémique des réponses qu'il reçoit de la machine vient de dépasser les approches numériques et ses limites dans la discrétisation du continu. Ainsi, lorsqu'un usager questionne un oracle (ex. les objets sont-ils parallèles et si oui, sous quelles conditions ?), l'effet boîte noire de la vérification par échantillonnage disparait au profit d'une réponse vraie ou fausse sous certaines conditions dans une logique modale. Cependant, avec sa puissance de calcul et la modélisation de la géométrie par l'algèbre, de nouveaux effets « indésirables » se produisent pour l'usager. Tandis qu'avec l'approche symbolique, on peut en principe détailler la mécanique interne qui produit la réponse, l'usager ne connaît pas cette mécanique qui lui est inaccessible. De plus, la réponse obtenue n'est pas toujours facilement interprétable dans la situation d'origine, le modèle géométrique de référence en 2D fonctionne dans $\mathbb{R}^2$, tandis que les opérateurs à l'interne travaillent dans le plan complexe. Malgré cela, il est incontestable que les outils de raisonnement automatisé impressionnent par l'amplitude du champ des problèmes qu'ils permettent déjà de résoudre.

Le système QEDX a été créé pour soutenir la résolution de problèmes complexes en géométrie. Développé conjointement en didactique et en génie informatique dans une perspective de travail mathématique, il a été conçu de façon à intégrer les utilisateurs, et ce très tôt dans le processus de conception. Ainsi, l'élève qui résout un problème de géométrie peut construire une figure dynamique, raisonner sur celle-ci, en dégager une conjecture, l'écrire, la démontrer ou la réfuter. Au besoin, un agent pédagogique virtuel répond aux difficultés de chaque élève par des messages sous forme de phrases ou de problèmes qui s'adaptent au comportement et à la stratégie de chacun. L'intelligence du système tuteur doit être capable de communiquer avec l'élève dans la logique du problème, avec son langage et ses contraintes, et anticiper des moments de blocages qui se lient aux connaissances en jeu. Par ses possibilités de messages discursifs (propositions verbales) et de messages cognitifs (problèmes connexes), le tuteur reste au sein du modèle géométrique de l'usager. Il s'agit d'un avantage dès qu'on cherche à produire l'articulation d'un raisonnement humain ou produire des preuves qui sont lisibles. Toutefois, l'approche symbolique du système sous forme de graphe inférentiel exige la production préalable de toutes les preuves possibles, ce qui soulève un enjeu combinatoire
bien connu en informatique. Pour mieux cerner les enjeux de l'évolution de la déduction automatique et des constructions dynamiques en géométrie, on peut se référer à la contribution de Quaresma (2022). En revanche, l'organisation déductive de QEDX permet d'engager les élèves dans des preuves instrumentales, bien au-delà des preuves discursives traditionnelles. En effet, pour certaines étapes de raisonnement, il est possible d'introduire un outil technologique en interaction en guise de justification de la déduction, prolongeant de ce fait la structure discursive du système, comme la construction d'une figure dynamique, l'exécution d'un algorithme ou la modélisation d'une situation réelle. Le fait de pouvoir agir au coeur des justifications est compatible avec un prolongement vers des approches statistiques (méthode mixte de recherche en IA).

<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>**Figure 3.** – Genèses virtuelles et enjeux principaux qui situent l'activité mathématique dans le système tuteur intelligent QED-Tutrix pour l'extraction de l'information de problèmes. Les besoins d'automatisation du processus répercutent sur l'identification et l'organisation des hypothèses, des conclusions et des graphes.</figcaption></figure>

À une époque d'automatisation de procédures routinières par des algorithmes, notre système d'éducation doit dépasser le traditionnel transfert de connaissances par une habileté à résoudre des problèmes difficiles et à concevoir des solutions, comme le font effectivement les scientifiques, les chercheurs, les médecins ou les ingénieurs. Des systèmes comme QED-Tutrix offrent des environnements sûrs pour expérimenter, échouer puis réessayer, et surtout, pour miser sur la réussite en résolution de problèmes complexes. Si l'on imagine un peu la suite, on peut facilement combiner l'approche discursive de QEDX avec celle des ORA de GGB. Par exemple, on sait que tout problème de preuve modélisé se calque sur la forme : « étant donné les hypothèses, démontrer la conclusion ». Puisque l'approche discursive permet la génération automatique de problèmes et de solutions, les ORA sont susceptibles d'intervenir à l'interne pour vérifier la cohérence de certaines inférences, participer à la simplification des graphes ou contrôler le passage d'une proposition figurale à une proposition discursive. De plus, elles
peuvent aider à l'extraction de l'information signifiante (propositions en instance discursive, Fig. 3) issue de problèmes dans des manuels scolaires, dans le but d'adapter le système tutoriel à la réalité d'un contrat didactique. Ces possibilités soulèvent de nouvelles questions, comme la pertinence des problèmes générés ou l'à-propos des raccourcis inférentiels selon les habitudes du contrat. En revanche, l'intérêt pour la recherche d'invariants dans la pertinence de problèmes ou au cours de la gestion des inférences d'une solution donnée est à noter, il s'agit même d'un avantage pour le forage exploratoire de données en IA ou la formation de catégories conceptualisantes en sciences humaines (Paillé et Mucchielli, 2021). Enfin, si l'on considère l'historique des processus de résolution de l'élève et que l'on applique des techniques d'apprentissage profond pour repérer des invariants dans le travail mathématique, on obtient soudainement de l'information sur le référentiel effectif de l'élève à travers ses conceptions. Cela complète, au besoin, ce que nous savons sur le référentiel potentiel ou présumé de l'enseignant à travers ses définitions mathématiques, propriétés caractéristiques, théorèmes et problèmes à résoudre.

Par ses effets « boite noire », il est sûr qu'un défi de taille attend l'IA pour le contrôle des connaissances lorsqu'on s'intéresse aux approches symboliques modélisées ou aux approches statistiques. Malgré cela, une nuance s'impose puisqu'un même type de problème survient dès qu'il est question d'implicites, une réalité incontournable en classe de mathématique. On retrouve des effets similaires avec : la notion de contrat didactique et les responsabilités réciproques dans les rapports enseignant/élèves au savoir; les objets mathématiques non ou mal définis en permanence, à l'exemple de la conduite des nombres réels qui renferment de «mystérieux» processus jamais clarifiés par l'enseignant; les propriétés mathématiques en usage dont la démonstration semble inaccessible pour toujours; les inévitables obstacles didactiques ou épistémologiques constitutifs de la connaissance; le niveau de granularité des étapes de résolution d'expressions mathématiques supposées efficaces, mais dont la gestion appartient au destinateur dans une relation de communication; le domaine de validité des conceptions de l'apprenant après la dévolution de nouveaux problèmes; les réponses «raisonnées» d'un artéfact numérique dans le style de l'oracle qui changent de modèle en cours de route, etc. Tout cela et bien plus encore fait qu'en classe de mathématique, on doit forcément accepter une perte de contrôle, tout comme dans un sport de glisse, encore faut-il que cette perte soit comprise, acceptée ou traitée d'une façon ou d'une autre par les protagonistes. Dans la théorie des situations didactiques : « les connaissances sont les moyens transmissibles (par imitation, initiation, communication, etc.), mais non nécessairement explicitables, de contrôler une situation, et d'y obtenir un certain résultat conformément à une attente et à une exigence sociale.» (Brousseau et Centeno, 1991). On en retient qu'à la limite, on retrouve des effets boîte noire inhérents à toute connaissance mathématique et à son rôle de contrôle d'une situation en classe. Quant au lien avec le savoir, puisqu'« [il] est une connaissance qui contrôle une situation et ses transformations, elles-mêmes inductrices de connaissances» (Conne, 1992), on en revient ici à la question du référentiel que nous avons évoqué un peu plus haut et à la problématique de trouver des façons d'intégrer toutes ces mathématiques que l'on ne saurait voir, pour suivre les traces de Molière, dans le développement des techniques de l'IA adaptées à la didactique.

## LES THEORIES QUI NOUS GUIDENT

Jusqu'ici, nous avons insisté sur trois théories issues de la culture didactique. La relation étroite et singulière qui lie la Théorie des Situations Didactiques (TSD) et la Théorie Anthropologique du Didactique (TAD) est bien connue, tandis la plus récente Théorie des Espaces de Travail Mathématique (ThETM) est déjà vue comme une fille aînée de la TSD (Radford, 2017). Il faut souligner l'intérêt particulier de la ThETM pour la manière dont les artefacts influencent et

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
transforment le travail mathématique. Après quelques considérations historiques sur le travail mathématique lorsque des outils symboliques ou mécaniques, et des méthodes algorithmiques sont utilisés, Flores-Salazar, Gaona et Richard (2022) définissent le nouveau travail mathématique en réfléchissant à l'interaction entre les humains et les machines. L'adaptation dans un processus d'idonéité entre le projet d'enseignement et le projet d'apprentissage, ainsi qu'entre l'intention du concepteur et le travail effectué par l'utilisateur sont discutés. La notion de genèse instrumentale, déjà introduite par Vérillon et Rabardel (1995) en ergonomie cognitive ou, si l'on veut, en psychologie du travail, prend un sens didactique émergent dans la ThETM.
À ce propos :

> As for the instrumental genesis in the ThMWS, it is first an objective entity, linking tangible artifacts and observable processes of construction. Because it also comprises a conceptual dimension transforming both the user and the mathematical knowledge, it is compatible with Vérillon and Rabardel's idea of instrumental mediation. However, instrumental genesis in the theory of MWS is based on different choices compared to Vérillon and Rabardel's notion: on the one hand it is part of a theorization of mathematical work in educational settings not limited to the use of instruments, and on the other hand it does not theorize about the transformation occurring in the instrumental genesis. The two complementary viewpoints, psychological and institutional (one providing insight into the cognitive work, the other into how techniques are understood and implemented), derived from the works of Vérillon and Rabardel, and of Chevallard, can therefore help to "flesh out" an analysis of the instrumental genesis in a particular MWS, on the condition of being cautious not to merge or confuse ideas drawn from different theoretical perspectives. (Lagrange et Richard, 2022, p.226)

Avec sa danse des genèses sémiotiques, discursives et instrumentales qui s'entrelacent et qui rythment un travail proprement mathématique, la ThETM se rattache facilement à l'IA dans la poursuite de la TSD (Fig. 4 et Fig. 5). Déjà, la ThETM est particulièrement utile pour la conception d'un dispositif didactique ou informatique qui se fonde sur l'idée d'interaction entre un sujet épistémique et un milieu épistémologique ; que ce soit depuis la conception du dispositif jusqu'à l'évaluation de l'activité mathématique, en passant par le raffinement progressif du dispositif dans l'usage avec des sujets. De façon plus fine, si l'on reprend l'idée des deux systèmes en interaction dans la TSD, conjointement au modèle de Balacheff et Margolinas (2005) pour raisonner sur les conceptions des élèves (connaissances personnelles), on peut étudier les interactions principales de la classe en matière d'interactions didactiques et a-didactiques (Fig. 4). Bien que la conception de l'élève est caractéristique d'un système élève-milieu en évolution, c'est l'élève qui conserve l'initiative du questionnement, même lorsque des réponses sont apportées par une machine avec une certaine autonomie par rapport aux connaissances l'élève. Toutefois, les conceptions instrumentées sont souvent différentes des conceptions traditionnelles, comme s'il fallait avoir une petite machine avec soi pour la révéler lorsque nous en avons besoin. À cause des effets boîtes noires de l'IA et en dépit du fait que le questionnement demeure chez l'élève, certaines rétroactions de la machine peuvent soudainement changer la valeur épistémique de la connaissance en jeu. Elles peuvent même la modifier à la baisse, entretenant l'illusion de préserver un même niveau de conviction ou une même valeur de vérité. Il est alors possible de traiter les interactions par rapport à deux milieux, un milieu nécessaire à la conception instrumentée et un milieu qui lui est contingent. Cela permet de mieux comprendre le domaine de validité de la conception supposée ou d'anticiper sur quoi devrait porter l'action tutrice, à l'égal de certains systèmes tuteurs intelligents comme QED-Tutrix (Fig. 6).
<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>**Figure 4.** – Concepts clefs dans la TDS. Au centre, le diagramme de Brousseau (1998, p. 92) montre que l'enseignant S interagit principalement avec un système élève-milieu lui-même en interaction. L'enseignant ici joue deux rôles principaux et, pour les assumer, il dispose de deux leviers. Le a privatif pour qualifier l'interaction en jaune signifie qu'il s'agit d'un milieu pour lequel l'enseignant a réussi à faire disparaître sa volonté, ses interventions, en tant que renseignements déterminants qui pourraient influencer l'acquisition des connaissances.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>**Figure 5.** – Situation élémentaire pour illustrer l'articulation des interactions entre la TSD et la ThETM. Le diagramme de Brousseau (Fig. 3) est placé à la gauche du modèle des espaces de travail mathématique, alors que les plans verticaux se lient à différentes phases du travail mathématique comme la découverte, le raisonnement et la communication. Les genèses activées sont tramées de la même couleur que les observables didactiques et a-didactiques.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>**Figure 6.** – Dans un système tuteur intelligent comme QED-Tutrix, des interactions didactiques et adidactiques sont aussi encapsulées dans le milieu. En intégrant un milieu virtuel dans le milieu didactique traditionnel, on peut distinguer l’action du tuteur de l’action de l’enseignant sur des systèmes qui se distinguent eux-mêmes selon la nature du milieu en jeu et la recherche d’un équilibre entre l’intelligence naturelle des sujets et l’intelligence artificielle de la machine.</figcaption></figure>

Le lien historique et naturel entre l'IA et la didactique des mathématiques est bien établi. On peut prendre en exemple l'ouvrage Didactique et intelligence artificielle (Balacheff, 1994), publié il y a aura bientôt 30 ans, qui indiquait en quelque sorte que les progrès de l'IA avaient ouvert la voie à un courant de recherche vigoureux pour le développement d'environnements informatiques pour l'apprentissage humain. Mais à la suite d'une première période d'enthousiasme, où l'on s'imaginait qu'on arriverait très vite à faire des choses incroyables, on est passé par une période un peu plus sombre de désillusion où l'on a constaté qu'on avait un peu sous-estimé les difficultés. Aujourd'hui, par un retour de situation paradoxale, il semble que l'IA rejoint la didactique avec ses approches par la résolution de problèmes non routiniers, lesquelles passent par des phases d'apprentissage, de modélisation et de prédiction qui évoquent aussi bien le travail mathématique que la conception de solutions par des spécialistes. Si l'IA a un rôle à jouer pour favoriser la réussite scolaire et apporter un soutien au professeur dans le suivi des acquis, une collaboration effective entre un enseignant et un tuteur ne peut s'engager sans l'éclairage de la didactique des mathématiques. Le tuteur doit comprendre les besoins didactiques de l'enseignant pour se mettre à son service : c'est au système à s'adapter à l'humain et non pas le contraire. L'intégration du « penser machine » au « penser humain » en faisant appel à l'intelligence artificielle est une question antérieure au développement d'outils numériques par des informaticiens seuls. En étudiant les phénomènes d'enseignement et d'apprentissage humain sous l'exigence du travail mathématique, la didactique continue d'être intimement liée à la découverte, à la résolution de problèmes, au raisonnement et à la communication à l'aide de langages, avec ou sans moyens technologiques, avec ou sans l'aide de l'IA. Si l'on reprend l'idée fondamentale et commune comme quoi le seul moyen de faire des mathématiques est de chercher et résoudre certains problèmes spécifiques et, à ce propos, de poser de nouvelles questions, il en découle qu'en étant indispensable au travail mathématique, chaque problème représente une occasion d'apprentissage. Pour peu que l'élève en accepte la responsabilité, le processus de résolution nous informe sur l'apprentissage même, aussi bien au moment d'un blocage, du dépassement d'un obstacle ou de la simple réussite du
problème. Puisqu'avec ses techniques traditionnelles, l'IA est déjà utile, elle gagne à se développer conjointement en didactique et en génie informatique dans une perspective de travail mathématique et à se concevoir de façon à intégrer les utilisateurs, et ce très tôt dans le processus de conception.

L'étude sur les systèmes d'intelligence artificielle de Van Verenberg et Pérez-Suay (2022) est déjà éloquente pour préparer l'avenir. Le texte part des nouvelles générations de calculatrices et des tuteurs intelligents pilotés par des données, pour s'ouvrir sur une taxonomie des techniques d'IA pour l'enseignement des mathématiques. Ils distinguent les extracteurs d'information des moteurs de raisonnement, en passant par les « explicateurs », qui traduisent les solutions machines en en une suite d'étapes logiques, lisibles et compréhensibles pour l'humain, de même que le guidage de données provenant de sources différentes pour en déduire des modèles qui peuvent y aller de prédictions. Lorsqu'ils revisitent le présent, c'est pour aborder la question des calculatrices fondées sur l'IA et les systèmes tuteurs émergents, avec quelques commentaires sur « modélisation étroite » des élèves que l'on retrouve encore trop souvent dans systèmes actuels et souligner quelques enjeux liés à l'exploration, la créativité et l'aléatoire en classe de mathématique. On sait bien que la modélisation de l'apprenant et de la situation didactique en général est en soi un objectif très ambitieux. Mais il est aussi nécessaire, non seulement parce qu'on veut profiter du mouvement de l'IA et de la recherche pour l'intérêt collectif, mais surtout parce que la relation naturelle qui uni mathématique, didactique et informatique nous y invite pressément. Si la grande contribution de l'intelligence artificielle à l'enseignement des mathématiques passe par des environnements plus technologiques, plus personnels et plus stimulants, c'est certainement parce qu'ils auront été conçus pour développer les compétences professionnelles de l'enseignant, et surtout parce qu'elle favorisera le travail, l'acquisition de connaissances et le développement des compétences mathématiques, scientifiques et culturelles de l'élève.

## RÉFÉRENCES

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TITRE :

Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques : preuve modélisation et technologies numériques – Volumes des ateliers

COORDINATION :

Fabrice Vandebrouck, Fabien Emprin, Cécile Ouvrier-Buffet & Laurent Vivier

RÉSUMÉ :

Cette brochure constitue le volume des ateliers de la 21ème école d'été de didactique des mathématiques qui s'est tenue du 18 au 24 octobre 2021 à Sainte Marie de Ré. L'école d'été est un lieu important de constitution de la communauté des didacticiens des mathématiques et de la définition de son activité. Elle offre aux participants une possibilité d'intervenir à différents niveaux (TD, séminaires, posters). Dans ce volume sont regroupés les textes des 7 ateliers et de la table ronde qui ont été présentés à l'école 2021.

Le document est destiné aux chercheurs en didactique des mathématiques, pour lesquels il constitue un outil de travail. Il permet d'étudier (ou du moins de commencer l'étude) de travaux innovants produits par des collègues. Cela peut également contribuer à l'ouverture de nouveaux terrains ou de nouvelles questions de recherche.

MOTS- CLÉS :

Didactique des Mathématiques

Éditeur: IREM de Paris

Responsable de la publication: C.Hache
IREM de Paris - Case 7018
Université Paris Cité
75205 Paris cedex 13

irem_de_paris@univ-paris-diderot.fr

https://irem.u-paris.fr/

Dépôt légal : 2023

ISBN : 978-2-86612-407-6