UN ISOMORPHISME MOTIVIQUE
ENTRE DEUX VARIÉTÉS HOMOGÈNES PROJECTIVES
SOUS L'ACTION D'UN GROUPE DE TYPE $G_2$

JEAN-PAUL BONNET

Received: July 7, 2003

Revised: September 12, 2003

Communicated by Ulf Rehmann

ABSTRACT. Dans tout cet article, on désigne par $k$ un corps de cactéristique différente de 2 et on appelle variété tout $k$-schéma séparé et de type fini.

L'objet du présent article est d'étudier $\mathcal{X}(\alpha_1)$ et $\mathcal{X}(\alpha_2)$, les variétés homogènes projectives associées à chacune des deux racines d'un groupe de type $G_2$. La première d'entre elles, $\mathcal{X}(\alpha_1)$, est une quadrique projective de dimension 5 associée à une voisine de Pfister et l'autre, $\mathcal{X}(\alpha_2)$, est une variété de Fano (de genre 10). Ces deux variétés ne sont pas isomorphes, pourtant elles le deviennent en tant qu'objets d'une catégorie plus large, à savoir la catégorie des correspondances (et par conséquent également dans la catégorie des motifs de Chow). Nous établissons que ce résultat est vrai que les variétés soient déployées ou non. En première partie, nous rappelons quelques résultats classiques sur les algèbres d'octonions et construisons un modèle d'algèbre d'octonions déployée. En seconde partie, étape importante de notre travail, nous construisons une structure cellulaire de $\mathcal{X}(\alpha_2)$ lorsqu'elle est déployée. C'est également dans cette partie que nous déterminons la structure de l'anneau de Chow déployé de la variété $\mathcal{X}(\alpha_2)$. Enfin, en troisième partie, après avoir introduit nos notations et rappelé les résultats nécessaires sur la catégorie des correspondances, nous établissons l'isomorphisme motivique en toute généralité.

2000 Mathematics Subject Classification: 14C15, 14C25, 20G15.

Keywords and Phrases: variétés homogènes projectives, correspondance, groupes de Chow
## PREMIÈRE PARTIE
RAPPELS SUR LES ALGÈBRES D'OCTONIONS

### 1 GÉNÉRALITÉS

Pour commencer, nous rappelons quelques propriétés sur les algèbres à composition en général et les octonions en particulier. Pour un exposé plus complet, on pourra consulter [SV] dont la plupart des résultats suivants sont tirés.

**DÉFINITION 1.** *Soit $C$ une algèbre unitaire d'unité 1, non nécessairement associative et telle qu'il existe, sur $C$, une forme quadratique $q$ non dégénérée qui permette la composition, i.e. telle que*

$$ \forall x, y \in C \quad q(xy) = q(x)q(y). $$

*Une telle algèbre $C$ est appelée ALGÈBRE À COMPOSITION.*

**REMARQUE 1.** *On verra plus loin (cf. corollaire 1) que la forme quadratique $q$ est unique.*

On désigne par $B_q(\cdot, \cdot)$ la forme bilinéaire symétrique associée à la forme quadratique $q$, i.e. définie par

$$ \forall x, y \in C, \quad B_q(x, y) = \frac{1}{2}(q(x + y) - q(x) - q(y)). $$

On définit également la forme linéaire suivante, appelée TRACE par

$$ \forall x \in C, \quad T(x) = 2B_q(x, 1). $$

Dans la suite, nous allons identifier le corps de base $k$ avec son image dans $C$ (et plus tard dans $O$) ainsi $q$, $B_q$ et $T$ seront considérées comme étant à valeurs dans $C$. Cet abus nous permet d'alléger significativement nos notations.

La donnée de la forme quadratique $q$ induit sur $C$ l'existence d'une involution.

**PROPOSITION 1.** *Soit $C$ une algèbre à composition. L'application*

$$ \begin{array}{ccc} \overline{\quad}: & C & \to C \\ x & \mapsto & \bar{x} = 2B_q(x, 1) - x \end{array} $$

*est un anti-automorphisme<fnref n="1" /> involutif de $C$.*

*Démonstration. Voir par exemple [Gar99, Lem. 2.3.6 p. 14].* ☐

Cette involution joue un rôle important car elle permet de retrouver la forme quadratique $q$ et par conséquent elle caractérise également $C$.

<footnote n="1">¹i.e. un automorphisme de l'espace vectoriel $C$ vérifiant $\forall x, y \in C \quad \bar{x}y = \bar{y}\bar{x}$.</footnote>
LEMME 1. Soit $x \in C$ on a

$$q(x) = x\bar{x}$$

et

$$T(x) = x + \bar{x}.$$

*Démonstration.* Voir [Gar99, Lem. 2.3.6 p. 6] pour le premier point ; le second est trivial. □

Ainsi, il existe dans la littérature des présentations des algèbres à composition à partir de la donnée d'une involution $\bar{\cdot}$ sur $C$ telle que $x\bar{x}$ soit une forme quadratique non-dégénérée et $x + \bar{x}$ une forme linéaire.

Ces deux constructions sont parfaitement équivalentes. En outre, cette involution permet parfois de simplifier certains calculs dans $C$ tout comme le résultat suivant :

PROPOSITION 2. Pour tout $x$ d'une algèbre à composition $C$, on a

$$x^2 - T(x)x + q(x) = 0 \qquad (1)$$

et pour tous $x, y \in C$, on a également

$$xy + yx - T(x)y - T(y)x + 2B_q(x, y) = 0. \qquad (2)$$

Si le sous-espace $k1 \oplus kx$ est de dimension 2 et non dégénéré, c'est une algèbre à composition. □

*Démonstration.* Voir [SV, Prop. 1.2.3 p. 6]. □

La formule (2) implique en particulier que $xy = -yx$ dès que $x, y \in \ker T$ et que $x$ et $y$ sont des vecteurs orthogonaux. Ce dernier point est primordial pour la suite. D'autre part, la proposition 2 a pour conséquence (voir encore une fois [SV]) les deux corollaires ci-dessous.

COROLLAIRE 1. La forme quadratique $q$ d'une algèbre à composition $C$ est déterminée de façon unique par l'algèbre $C$.

COROLLAIRE 2. Les algèbres à composition $C$ sont puissances-associatives, i.e. pour tout $x \in C$, la sous-algèbre $k[x]$ est associative.

Le premier de ces corollaires implique donc que la définition de $C$ posée au départ de ce texte est correcte. Le second est quant à lui un moyen très pratique de simplifier un grand nombre de calculs lorsque l'on travaille dans une telle algèbre.

Autre curiosité des algèbres à composition, ces dernières n'existent pas en toute dimension. De surcroît, plus la dimension est grande, plus on perd de bonnes propriétés de l'algèbre. Le résultat précis concernant ces derniers points est énoncé sous la forme du théorème suivant :
THÉORÈME 1. *Les dimensions possibles pour une algèbre à composition sont 1, 2, 4 et 8. Les algèbres à composition de dimension 1 ou 2 sont commutatives et associatives, celles de dimension 4 sont associatives mais non commutatives, et quant à celles de dimension 8 elles ne sont ni l'un ni l'autre.*

REMARQUE 2. *Les algèbres à composition de dimension 4 sont plus connues sous le nom d'algèbres de QUATERNIONS.*

Nous introduisons maintenant les algèbres d'octonions :

DÉFINITION 2. *Toute algèbre de composition $C$ de dimension 8 est appelée ALGÈBRE D'OCTONIONS ou encore ALGÈBRE DE CAYLEY.*

À partir de maintenant et jusqu'à la fin de ce texte, nous désignons les algèbres d'octonions par la lettre $O$.

DÉFINITION 3. *Soit $O$ une algèbre d'octonions. Si la forme quadratique $q$ est isotrope, on parlera d'algèbre d'octonions DÉPLOYÉE.*

REMARQUE 3. *Sur tout corps de base, il existe une unique (à isomorphisme près) algèbre d'octonions déployées. En revanche, sur un corps de base fixé, il peut exister de nombreuses algèbres d'octonions non-déployée. Toute algèbre non déployée se déploie sur une extension quadratique du corps de base. Pour plus de détails, voir par exemple [S, Chap. 3 §4] ou [SV, Théo. 1.8.1 p. 19].*

## 2 UN MODÈLE D'ALGÈBRE D'OCTONIONS DÉPLOYÉE

Nous allons maintenant construire $O$ une algèbre d'octonions déployée. De ce que nous avons dit en remarque 3, de telles algèbres sont uniques à isomorphisme près. Ainsi, sauf mention explicite du contraire, lorsque par la suite nous parlerons d'algèbre d'octonions déployée, nous désignerons le modèle d'algèbre que nous allons construire maintenant.

On se donne le $k$-espace vectoriel

$$O = \mathfrak{M}_2(k) \times \mathfrak{M}_2(k)$$

où $\mathfrak{M}_2(k)$ désigne l'algèbre des matrices $2 \times 2$ à coefficients dans le corps $k$ et on munit $O$ du produit

$$\forall x, y \in O \quad xy = (x_1, x_2)(y_1, y_2) = (x_1y_1 + \tilde{y}_2x_2, y_2x_1 + x_2\tilde{y}_1)$$

où

$$\tilde{y}_i = {}^t \text{co}(y_i),$$

$\text{co}(y_i)$ désignant la matrice constituée des cofacteurs de $y_i$.

De cette façon et comme signalé dans le corollaire 1, la forme quadratique $q$ sur $O$ est uniquement déterminée et s'exprime<fnref n="2" /> sous la forme suivante :

$$\forall x = (x_1, x_2) \in O, \quad q(x) = \det(x_1) - \det(x_2).$$

<footnote n="2">²Les relations et le produit dans $O$ étant connus, avec un peu d'algèbre linéaire le résultat se déduit facilement.</footnote>
Il est clair que $O$ est une algèbre unitaire d'unité $1 = (\mathrm{Id}, 0)$ et que la forme quadratique $q$ est isotrope. Par conséquent, pour prouver qu'il s'agit d'une algèbre d'octonions (déployée), il suffit de montrer que la forme quadratique $q$ permet la composition. Ce dernier point peut s'établir à la main moyennant quelques calculs fastidieux que nous ne reproduisons pas ici. Une autre façon de le voir serait de constater que l'algèbre ainsi construite est le résultat du procédé de duplication de Cayley-Dickson appliqué à l'algèbre $\mathfrak{M}_2(k)$. Des détails sur ces derniers points se trouvent, par exemple, dans [SV, §1.5 et §1.8] ou encore dans [Gar99, §2.3].

L'anti-automorphisme et la trace associés à $q$ sont, quant à eux, donnés par le lemme suivant :

LEMME 2. Pour tout $x \in C$,

$$ \bar{x} = (\tilde{x}_1, -x_2), \\ T(x) = (\mathrm{trace}(x_1), 0). $$

*Démonstration.* Là encore un calcul direct est possible, sinon le lecteur peut toujours se reporter à [SV, §1.8]. □

Nous considérons maintenant les vecteurs

$$ e_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad [0]; \qquad f_0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad [0] \qquad (3) $$

$$ e_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad [0]; \qquad f_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad [0] \qquad (4) $$

$$ e_2 = \begin{pmatrix} [0], & \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ [0] \end{pmatrix}; \qquad f_2 = \begin{pmatrix} [0], & \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ [0] \end{pmatrix} \qquad (5) $$

$$ e_3 = \begin{pmatrix} [0], & \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\ [0] \end{pmatrix}; \qquad f_3 = \begin{pmatrix} [0], & \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ [0] \end{pmatrix} \qquad (6) $$

où $[0]$ désigne la matrice nulle ; ces vecteurs forment une base de $O$ qui vérifie de nombreuses propriétés dont les plus importantes sont résumées dans le lemme 3 ci-dessous.

LEMME 3. Tout d'abord on a

$$ \begin{align*} e_0 + f_0 &= 1, & \bar{e}_0 &= f_0, & 2B_q(e_0, f_0) &= 1, \\ e_0^2 &= e_0, & f_0^2 &= f_0, & e_0 f_0 &= f_0 e_0 = 0 \end{align*} $$

et pour tout $i \in \{1, 2, 3\}$,

$$ \begin{align*} q(e_i) &= q(f_i) = 0, & 2B_q(e_i, f_j) &= \delta_{ij}, & e_i^2 &= 0, \\ f_i^2 &= 0, & \bar{e}_i &= -e_i, & \bar{f}_i &= -f_i, \\ f_0 e_i &= e_i e_0 = 0, & e_0 f_i &= f_i f_0 = 0, & e_0 e_i &= e_i f_0 = e_i, \\ f_0 f_i &= f_i e_0 = f_i, & e_i f_j &= -\delta_{ij} e_0, & f_i e_j &= -\delta_{ij} f_0, \end{align*} $$
$$e_i e_{i+1} = -e_{i+1} e_i = -f_{i+2}, \qquad f_i f_{i+1} = -f_{i+1} f_i = -e_{i+2}$$

ces deux dernières égalités étant vraies avec les indices $i+1$ et $i+2$ pris modulo 3 à valeur dans l'ensemble $\{1, 2, 3\}$.

*Démonstration.* Voir [Sch62, §1 p. 202]. □

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

En fait, il existe de nombreuses bases de $O$ vérifiant ces propriétés et c'est avec de telles bases que nous allons travailler. On énonce donc :

**DÉFINITION 4.** *Toute base de $O$ vérifiant les propriétés du lemme 3 est appelée base normale (cf. [Sch62, §1 p. 202]).*

**REMARQUE 4.** *La base utilisée dans [SV] n'est pas une base normale.*

Dans la suite de ce texte, nous travaillerons avec une base normale et comme certains résultats du lemme 3 nous serons très utiles, nous les avons résumés dans la figure 1 ci-dessous.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1 – Diagramme illustrant la multiplication dans $O$.</figcaption></figure>

Les traits pleins relient deux éléments dont le produit est nul. En pointillé le produit de ces deux éléments donne celui situé au-dessus du trait et la flèche indique la positivité. Par exemple $f_2 f_3 = -e_1$.

# DEUXIÈME PARTIE

## DÉCOMPOSITION CELLULAIRE DE $\mathcal{X}(\alpha_2)$

### 3 DÉFINITION DES VARIÉTÉS

Rappelons, tout d'abord, quelques résultats classiques concernant les groupes algébriques et les variétés homogènes projectives sous jacentes. À l'aide de ces
résultats, nous définissons les variétés $\mathcal{X}(\alpha_1)$ et $\mathcal{X}(\alpha_2)$ associées à un groupe de type $G_2$. Pour un exposé complet sur les groupes algébriques, nous vous conseillons la lecture de [B] et vous renvoyons à [MPW96] en ce qui concerne le choix de nos notations.

## 3.1 VARIÉTÉS HOMOGÈNES PROJECTIVES

Soient $G$ un groupe algébrique, $T$ un tore maximal de $G$ et $B$ un sous-groupe de Borel le contenant. Le choix de ce groupe de Borel fixe un ensemble $\Delta = \{\alpha_1, \dots, \alpha_n\}$ de racines simples de $G$ par rapport à $T$ et pour tout $\alpha_i$, il existe $U_{\alpha_i}$ un unique SOUS-GROUPE DE RACINE de $G$. On associe également à toute racine $\alpha_i$ un autre sous-groupe de $G$, son SOUS-GROUPE DE RACINE OPPOSÉ, noté $U_{-\alpha_i}$, qui est en fait le sous-groupe de racine associé à la racine $-\alpha_i$. Dès lors, à tout sous-ensemble $\Theta$ de $\Delta$, on associe $P_{\Theta}$, un SOUS-GROUPE PARABOLIQUE de $G$ défini par

$$P_{\Theta} = \operatorname{gr}(T, \{U_{\alpha} | \alpha \in \Delta\}, \{U_{-\alpha} | \alpha \notin \Theta\})$$

où $\operatorname{gr}(\mathcal{E})$ désigne le groupe engendré par l'ensemble $\mathcal{E}$. Par exemple, pour $\Theta = \Delta$, le sous-groupe parabolique associé est le sous-groupe de Borel $B$ et pour $\Theta = \emptyset$, c'est $G$ lui-même. On notera $P_{\alpha_i}$ le groupe $P_{\{\alpha_i\}}$ associé à une seule racine $\alpha_i$. Enfin, on associe à $\Theta$ la VARIÉTÉ PROJECTIVE $G/P_{\Theta}$, HOMOGÈNE sous l'action de $G$, que nous notons$^3 \mathcal{X}(\Theta)$. Une telle variété $\mathcal{X}(\Theta)$ est évidemment lisse et est définie sur $k$, si et seulement si $\Theta$ est stable sous l'action du groupe de Galois absolu de $k$.

Parallèlement, on peut associer à un groupe algébrique un certain ensemble $E$, classiquement appelé immeuble sphérique. En détail, cet ensemble peut être un $k$-espace vectoriel, un $k$-espace vectoriel quadratique, hermitien ou en-core une $k$-algèbre. Ainsi, lorsque les racines sont convenablement$^4$ numérotées, $\mathcal{X}(\alpha_i)$ est une variété constituée à partir de certains sous-espaces de $E$, de dimension $i$ sur $k$. Ensuite, on définit une relation d'incidence sur ces $i$-espaces particuliers et on obtient les variétés associées aux autres sous-ensembles de $\Delta$ à partir des variétés $\mathcal{X}(\alpha_i)$. Concrètement, la variété $\mathcal{X}(\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_l})$ associée au sous-ensemble $\{\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_l}\}$ de $\Delta$, a pour $k$-points l'ensemble :

$$ \{ (V_1, \dots, V_i) \in X(\alpha_{i_1})(k) \times \dots \times X(\alpha_{i_l})(k) \mid \begin{array}{l} V_i \text{ est incident à } V_j \\ \text{pour tout } 1 \le i, j \le l \end{array} \} $$

Dans le cadre de notre étude, $G$ est un groupe de type $G_2$. Un tel groupe peut se définir à l'aide d'une algèbre d'octonions comme cela nous est appris par le résultat suivant :

**THÉORÈME 2.** Le groupe $G$ des automorphismes d'une algèbre d'octonions $O$ est un $k$-groupe algébrique simple adjoint de type $G_2$. Tout groupe adjoint de ce type est obtenu de cette façon.

<footnote>$^3$Là encore, nous notons simplement $\mathcal{X}(\alpha_i)$ à la place de $\mathcal{X}(\{\alpha_i\})$.</footnote>

<footnote>$^4$C'est-à-dire comme nous l'avons fait ici.</footnote>
*Démonstration.* Voir [SV, Th. 2.3.5 p. 33] ou sans preuve [Car14, p. 298] et [Car52, p. 443]. □

Un groupe de type $G_2$ est un groupe de rang 2. Il possède par conséquent deux racines, notées $\alpha_1$ et $\alpha_2$ et son diagramme de Dynkin est donné par la figure 2 ci-dessous.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 2 – Diagramme de Dynkin de $G$.</figcaption></figure>

En dehors du point $\mathcal{X}(\emptyset)$, nous avons donc trois variétés $\mathcal{X}(\alpha_1)$, $\mathcal{X}(\alpha_2)$ et $\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2)$, cette dernière étant celle dont la dimension est la plus grande. L'ensemble que l'on associe à $G$ pour décrire ses variétés homogènes projectives est une algèbre d'octonions $O$ et la relation d'incidence est tout simplement l'inclusion. Les variétés $\mathcal{X}(\alpha_i)$ ($i \in \{1, 2\}$) sont constituées des sous-espaces $V_i$ de dimension $i$ de $O$ dont les éléments sont de trace nulle et tels que si $x$ et $y$ sont deux éléments de $V_i$ alors $xy = 0$.

Dans le cas présent, les variétés $\mathcal{X}(\alpha_i)$ ($i \in \{1, 2\}$) et $\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2)$, sont définies sur $k$ si et seulement si $O$ est déployée. Par extension, nous les qualifions alors de variétés DÉPLOYÉES.

Notre prochain objectif est d'exhiber la décomposition cellulaire de $\mathcal{X}(\alpha_2)$. Pour ce faire, le langage des foncteurs de points nous est apparu comme le plus indiqué. Toutefois, il nous semble, là encore, nécessaire de rappeler brièvement quelques notions essentielles avant de rentrer dans le vif du sujet.

## 3.2 FONCTEURS DE POINTS

On désigne par FONCTEUR DE POINTS, tout foncteur covariant de la catégorie Alg$_k$ des $k$-algèbres associatives, unitaires et commutatives, à valeurs dans la catégorie Ens des ensembles.

Un tel foncteur $\mathcal{F}$ est dit REPRÉSENTABLE s'il existe une $k$-variété $X$ telle que pour tout élément $R$ de Alg$_k$ on ait :

$$ \mathcal{F}(R) = \operatorname{Hom}_{k-\operatorname{Sch}}(\operatorname{Spec} R, X) $$

On dit aussi que le foncteur $\mathcal{F}$ est REPRÉSENTÉ par $X$. On remarque au passage que l'application $X \mapsto \operatorname{Hom}_{k-\operatorname{Sch}}(-, X)$ définit une transformation naturelle allant de la catégorie des $k$-variétés dans celle des foncteurs de points représentables qui est une équivalence de catégorie (cf [DG, Th. de comparaison p. 18]).

Un exemple de foncteur de points est donné par le FONCTEUR AFFINE $\operatorname{Spec} R$ associé à la $k$-algèbre $R$, défini pour tout élément $S$ de Alg$_k$ par
$$ \mathrm{Spec} R(S) = \mathrm{Hom}_{\mathfrak{Alg}_k}(R, S). $$

Ce foncteur est clairement représenté par la $k$-variété $\mathrm{Spec} R$ et c'est pour cette raison qu'il est noté de la même manière.

On dit que $\mathcal{G}$ est un SOUS-FONCTEUR de $\mathcal{F}$, si pour toute $k$-algèbre $R$, $\mathcal{G}(R)$ est un sous-ensemble de $\mathcal{F}(R)$ et si pour tout homomorphisme $\varphi \in \mathrm{Hom}_{\mathfrak{Alg}_k}(R, S)$ (où $S \in \mathfrak{Alg}_k$), l'application $\mathcal{G}(\varphi): \mathcal{G}(R) \to \mathcal{G}(S)$ est la restriction de $\mathcal{F}(\varphi)$.

On se donne maintenant un foncteur $\mathcal{F}$ représenté par une $k$-variété $X$. On dit alors qu'un sous-foncteur $\mathcal{G}$ de $\mathcal{F}$ est OUVERT (respectivement FERMÉ), s'il s'agit d'un sous-foncteur représentable de $\mathcal{F}$ qui est représenté par une sous-variété ouverte (respectivement fermée) de $X$.

À présent, nous allons définir les foncteurs de points GRASSMANNIENNES. Pour cela, on se donne un $k$-espace vectoriel $V$ de dimension finie $n$ et pour toute $k$-algèbre $R$, on pose $V_R = V \otimes_k R$.

**DÉFINITION 5.** Soit $i \in \{1, \dots, n\}$, le foncteur grassmannienne $\Gamma_i(V)$ des sous-espaces de dimension $i$ est défini par les données suivantes :

- pour toute $k$-algèbre $R$, l'ensemble $\Gamma_i(V)(R)$ est constitué des facteurs directs de rang $i$ de $V_R$, en d'autres termes, il s'agit des sous-modules projectifs $M$ de rang $i$ de $V_R$ tels que $V_R/M$ est également projectif;

- pour tout homomorphisme $\varphi \in \mathrm{Hom}_{\mathfrak{Alg}_k}(R, S)$, l'application $\Gamma_i(V)(R) \to \Gamma_i(V)(S)$ est définie par la tensorisation par $S$ sur $R$, i.e. par

$$ V_R \supset M \mapsto M \otimes_R S \subset V_S. $$

On pourra par exemple consulter [EH, Ex. VI-18 p. 261] pour vérifier qu'il s'agit bien du foncteur de points associé à la grassmannienne des $i$-sous-espaces de $V$.

Soit maintenant $f: V \times V \to W$ une application $k$-bilinéaire où $W$ est aussi un $k$-espace vectoriel de dimension fini. On définit alors un sous-foncteur $\Gamma_i(V, f)$ de $\Gamma_i(V)$, i.e. celui des sous-espaces totalement isotropes de dimension $i$ de $V$, en posant comme ensemble de ses $R$-points ($R \in \mathfrak{Alg}_k$) :

$$ \Gamma_i(V, f)(R) = \{M \in \Gamma_i(V)(R) \mid f_R(M, M) = 0\} $$

où $f_R$ est l'application $R$-bilinéaire induite par $f$. Ici nous utiliserons cette définition dans le cas où $V = W = O$ et où $f$ est la multiplication de l'algèbre. Pour plus de détails concernant ce formalisme et ces définitions nous renvoyons le lecteur à [Kar01, §9 p. 23].

Nous sommes maintenant en mesure de donner les définitions explicites de $\mathcal{X}(\alpha_1)$, $\mathcal{X}(\alpha_2)$ et $\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2)$ en terme de foncteurs de points. Ces définitions sont donc la version fonctorielle des définitions classiques que l'on peut par exemple consulter dans [Sch62, §6 p. 207].
### 3.3 LES FONCTEURS DE POINTS $\mathcal{X}(\alpha_1)$, $\mathcal{X}(\alpha_2)$ ET $\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2)$

Dans les définitions de $\mathcal{X}(\alpha_i)$ ($i \in \{1, 2\}$) et $\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2)$, les éléments mis en jeu sont tous de traces nulles, par conséquent nous pouvons nous restreindre à l'hyperplan $H = \ker T$ au lieu de travailler sur $O$ tout entier et ce, même si lorsqu'il s'agit d'effectuer le produit de deux éléments, le résultat est toujours vu dans $O$. Nous obtenons ainsi pour tout élément $R$ de $\mathfrak{Alg}_k$, les définitions allégées suivantes :

$$ \mathcal{X}(\alpha_1)(R) = \{D \in \Gamma_1(H)(R) \mid \forall u, v \in D, uv = 0\}, $$

$$ \mathcal{X}(\alpha_2)(R) = \{P \in \Gamma_2(H)(R) \mid \forall u, v \in P, uv = 0\} $$

et

$$ \mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2)(R) = \{(D, P) \in \mathcal{X}(\alpha_1)(R) \times \mathcal{X}(\alpha_2)(R) \mid D \subset P\} $$

où $\Gamma_1(H)$ et $\Gamma_2(H)$ désignent donc respectivement le foncteur grassmannienne des droites et des plans de $H$.

Regardons maintenant ces définitions d'un peu plus près. Nous avons déjà fait remarquer que tous les éléments $x$ de $O$ vérifient (1), i.e.

$$ x^2 - T(x)x + q(x) = 0. $$

Par conséquent la définition de $\mathcal{X}(\alpha_1)$ devient

$$ \mathcal{X}(\alpha_1)(R) = \{D \in \Gamma_1(H)(R) \mid \forall u \in D \ (q|_H)_R(u) = 0\} $$

où $(q|_H)_R$ désigne la forme quadratique $q$ restreinte à $H$ et étendue à $R$. Toujours pour alléger les notations, nous posons $q' = q|_H$. En effet, un module projectif de rang 1 définit un faisceau localement libre de rang 1. Par conséquent, localement la condition $uv = 0$ est équivalente à $su^2 = 0$ (puisque le module est libre de rang 1, il existe un scalaire $s$ tel que $v = su$) et donc équivalente à $q'(u) = 0$. Ce résultat étant vrai localement, il l'est également globalement. Ainsi, il devient clair que

$$ \mathcal{X}(\alpha_1) = \Gamma_1(H, q') $$

i.e. que $\mathcal{X}(\alpha_1)$ est le foncteur des droites isotropes de $H$ ou en d'autres termes, il s'agit d'une quadrique projective de dimension 5. Ce résultat a déjà été mis en évidence par M. Demazure (cf. [Dem77, §2 c)]), il s'agit d'un des quelques cas où des variétés homogènes projectives associées à deux groupes algébriques bien distincts sont isomorphes. En ce qui nous concerne, cet article présente aussi un autre intérêt ; si $G$ désigne encore une fois un groupe adjoint de type $G_2$, l'article de M. Demazure nous apprend que $\mathrm{Aut}(\mathcal{X}(\alpha_1)) \simeq \mathrm{SO}(q')$ et que $\mathrm{Aut}(\mathcal{X}(\alpha_2)) \simeq G$. Dès lors, les variétés $\mathcal{X}(\alpha_1)$ et $\mathcal{X}(\alpha_2)$ ont des groupes d'automorphismes différents et ne sont donc pas isomorphes en tant que variétés projectives lisses.
Concernant maintenant $\mathcal{X}(\alpha_2)$, nous constatons là encore que tout ses points sont des plans totalement isotropes. En effet, ils sont de traces nulles et le produit de deux éléments quelconques est également nul. Ainsi, en vertu des équations (1) et (2) que nous rappelons :

$$x^2 - T(x)x + q(x) = 0$$

et

$$xy + yx - T(x)y - T(y)x + 2B_q(x, y) = 0,$$

nous constatons que $q(x) = B_q(x, y) = 0$, i.e. que tous les éléments sont isotropes et orthogonaux deux à deux. En revanche, un plan totalement isotrope constitué d'éléments de trace nulle n'appartient pas nécessairement à $\mathcal{X}(\alpha_2)$. En effet, dans ce cas là les formules (1) et (2) nous indiquent juste que $x^2 = 0$ et $xy + yx = 0$ ce qui n'implique pas que $xy = yx = 0$. Par exemple, dans la base normale (3), le module libre engendré par $f_1$ et $f_2$ est bien isotrope et vérifie les conditions requises car $f_1f_2 = -f_2f_1$ mais $f_1f_2 = -e_3 \neq 0$. En conclusion, nous ne pouvons pas simplifier la définition de $\mathcal{X}(\alpha_2)$.

Nous allons maintenant donner la structure cellulaire de $\mathcal{X}(\alpha_2)$.

# 4 STRUCTURE CELLULAIRE DE $\mathcal{X}(\alpha_2)$

Dans toute cette sous-section, nous désignons par $\mathcal{O}$ une algèbre d'octonions déployée.

On rappelle que la STRUCTURE CELLULAIRE d'une variété algébrique $X$ (lisse et complète) est la donnée d'une filtration

$$X = X_n \supset X_{n-1} \supset \dots \supset X_0 \supset X_{-1} = \emptyset$$

constituée de sous-variétés fermées $X_i$ telles que les différences $X_i \setminus X_{i-1}$, avec $i \in \{0, \dots, n\}$, soient des espaces affines. Par la suite, on appelle ces différences des CELLULES.

D'après l'article de [Köc91], on sait que lorsque $\mathcal{X}(\alpha_2)$ est déployée, une telle filtration existe. Toutefois, nous voulons l'établir explicitement afin de prouver plus loin dans ce texte la rationnalité de certains cycles. Pour cela, nous allons partir d'une structure cellulaire de $\Gamma_2(H)$ et en prendre l'intersection avec $\mathcal{X}(\alpha_2)$ avant de raffiner la filtration en supprimant les termes redondants (i.e. ceux dont les cellules sont vides).

**REMARQUE 5.** En général, même lorsqu'une variété $X$ admet une structure cellulaire et que $Y$ est une sous-variété fermée de $X$, l'intersection de la structure cellulaire de $X$ avec $Y$ ne donne pas nécessairement une structure cellulaire pour $Y$ (considérez par exemple une quadrique projective anisotrope dans un espace projectif...). Le fait que cela fonctionne dans le cas présent est donc assez exceptionnel.
La construction d'une telle filtration pour $\Gamma_2(H)$ se fait à partir de ses VARIÉTÉS DE SCHUBERT (cf. ci-dessous), lesquelles se définissent à partir d'un drapeau de $H$. Dans le cas d'une grassmannienne cette construction ne dépend pas du choix du drapeau de départ. En revanche, ce choix est primordial si l'on veut être capable d'écrire explicitement le résultat de l'intersection de la structure cellulaire de $\Gamma_2(H)$ avec $\mathcal{X}(\alpha_2)$. En l'occurence, pour construire ce drapeau nous partons d'une base normale (cf. (3)) de $O$, notre algèbre d'octonions déployée et nous munissons $H$ d'une base qui s'en déduit. Concrètement nous avons

$$H = \mathrm{Vect}\{e_1, f_2, f_3, e = e_0 - f_0, e_3, e_2, f_1\}$$

et l'ordre dans lequel nous venons d'écrire les vecteurs qui engendrent $H$ est important. En effet, pour définir notre drapeau, nous prenons comme premier espace vectoriel (le plus grand), $V_7 = H$. Nous déduisons ensuite $V_i$, nouvel espace vectoriel de la filtration comme étant égal à $\mathrm{Vect}\{v_{j_1}, \dots, v_{j_7}\}$ où les $v_{j_k}$ sont les $i$ derniers vecteurs de l'ensemble $\{e_1, f_2, f_3, e = e_0 - f_0, e_3, e_2, f_1\}$ pris dans le même ordre. Par exemple, $V_6 = \mathrm{Vect}\{f_2, f_3, e, e_3, e_2, f_1\}$ et $V_3 = \mathrm{Vect}\{e_3, e_2, f_1\}$.

Un drapeau de $H$ étant maintenant fixé, on peut définir de façon classique les VARIÉTÉS DE SCHUBERT (voir par exemple [M] ou [F]) de $\Gamma_2(H)$. Pour cela, à un couple $\lambda = (\lambda_1, \lambda_2)$ (avec $5 \ge \lambda_1 \ge \lambda_2 \ge 0$) on associe la variété dont les $R$-points $(R \in \mathfrak{Alg}_k)$ sont les suivants :

$$X_{\lambda}(R) = \{M \in \Gamma_{2}(V)(R) \mid \mathrm{rg}(M \cap (V_{5+i-\lambda_i})_{R}) \ge i, 1 \le i \le 2\}.$$

Ces variétés ne forment évidemment pas une filtration mais en prenant des réunions de variétés (et/ou de cellules) de Schubert, il est possible d’en fabriquer une. Nous n’en dirons pas plus ici sur les variétés de Schubert et nous ne reproduisons pas non plus la structure cellulaire de $\Gamma_2(H)$; nous nous contenons de donner la structure cellulaire qui en résulte pour $\mathcal{X}(\alpha_2)$ et dont les $R$-points $(R \in \mathfrak{Alg}_k)$ sont les suivants :

$$\mathcal{X}_5(R) = \mathcal{X}(\alpha_2)(R)$$

$$\mathcal{X}_4(R) = \{P \in \mathcal{X}(\alpha_2)(R) \mid \mathrm{rg}(P \cap (V_7)_R) \ge 2, \mathrm{rg}(P \cap (V_5)_R) \ge 1\}$$

$$\mathcal{X}_3(R) = \{P \in \mathcal{X}(\alpha_2)(R) \mid \mathrm{rg}(P \cap (V_6)_R) \ge 2, \mathrm{rg}(P \cap (V_3)_R) \ge 1\}$$

$$\mathcal{X}_2(R) = \{P \in \mathcal{X}(\alpha_2)(R) \mid \mathrm{rg}(P \cap (V_5)_R) \ge 2, \mathrm{rg}(P \cap (V_2)_R) \ge 1\}$$

$$\mathcal{X}_1(R) = \{P \in \mathcal{X}(\alpha_2)(R) \mid \mathrm{rg}(P \cap (V_3)_R) \ge 2, \mathrm{rg}(P \cap (V_1)_R) \ge 1\}$$

$$\mathcal{X}_0(R) = \{P \in \mathcal{X}(\alpha_2)(R) \mid \mathrm{rg}(P \cap (V_2)_R) \ge 2, \mathrm{rg}(P \cap (V_1)_R) \ge 1\}$$

Là encore, il n'est pas nécessaire de vérifier qu'il s'agit bien de sous-foncteurs fermés. Pour s'en convaincre on peut, par exemple, adapter les arguments donnés dans [Kar01, Lem. 9.7 p. 25].
Maintenant que nous avons une filtration, il nous faut vérifier que les cellules sont bien des espaces affines afin d'avoir effectivement une décomposition cellulaire. Tout d'abord, nous introduisons la notation suivante pour désigner les cellules :

$$ \forall i \in \{0, \dots, 5\} \quad \mathcal{X}_{(i \setminus i-1)} = \mathcal{X}_i \setminus \mathcal{X}_{i-1} $$

avec la convention $\mathcal{X}_{-1} = \emptyset$. Il ne nous reste maintenant plus qu'à établir le résultat suivant :

LEMME 4. $\forall i \in \{0, \dots, 5\}$,

$$ \mathcal{X}_{(i \setminus i-1)} \simeq \mathbb{A}^i $$

où $\mathbb{A}^i$ désigne le foncteur espace affine de dimension $i$.

Démonstration. Dans sa démarche, la preuve est la même pour toutes les cellules. Nous allons par conséquent nous limiter à celle de $\mathcal{X}_{(4\setminus 3)} \simeq \mathbb{A}^4$.

On se donne donc $R$ une $k$-algèbre et $P$ un $R$-point de $\mathcal{X}_{(4\setminus 3)}(R)$. Nous allons établir qu'il existe une bijection entre $\mathcal{X}_{(4\setminus 3)}(R)$ et $R^4$.

Soit $j: V_7 \to V_7/V_6$ la projection canonique. Dire que $P \in \mathcal{X}_{(4\setminus 3)}(R)$ est équivalent à dire que d'une part, l'application $j$ étendue à $R$ et restreinte à $P$, $(j_R)|_P$, est surjective, d'autre part que $\ker(j_R)|_P \subset (V_5)_R$ et enfin que $(V_5)_R \to (V_5/V_4)_R$ restreinte à $\ker(j_R)|_P$ est un isomorphisme. En conséquence, nous posons $i: (V_5/V_4)_R \hookrightarrow P$ l'application induite par l'isomorphisme $(V_5/V_4)_R \xrightarrow{\sim} \ker(j_R)|_P$. La situation peut donc se résumer à la suite exacte courte suivante :

$$ 0 \to (V_5/V_4)_R \xrightarrow{i} P \xrightarrow{(j_R)|_P} (V_7/V_6)_R \to 0. $$

Il en découle que

$$ P \simeq (V_5/V_4)_R \oplus (V_7/V_6)_R $$

où l'isomorphisme dépend de la donnée d'une section de $(j_R)|_P$. De cet isomorphisme nous déduisons que $P$ est en fait un module libre et par conséquent nous allons pouvoir raisonner à partir des bases des $V_i$. Comme $(V_7/V_6)_R$ est engendré par $\overline{e_1}$, classe de $e_1$ modulo $(V_6)_R$ et $(V_5/V_4)_R$ par $\overline{f_3}$, classe de $f_3$ modulo $(V_4)_R$, une façon générique de remonter ces éléments est de prendre

$$ m = m(a, b, c, d, g, h) = e_1 + a \cdot f_2 + b \cdot f_3 + c \cdot e + d \cdot e_3 + g \cdot e_2 + h \cdot f_1 $$

et

$$ n = n(w, x, y, z) = f_3 + w \cdot e + x \cdot e_3 + y \cdot e_2 + z \cdot f_1 $$

où $a, b, c, d, g, h, w, x, y$ et $z$ sont des scalaires. Ces deux éléments forment bien un module libre de rang 2. En fait, ce module est le même si nous remplaçons $m$ par $m - b \cdot n$ et ainsi nous éliminons un scalaire et réduisons le problème. En conséquence et quitte à renommer les scalaires restants nous pouvons travailler avec
$$m = m(a, c, d, g, h) = e_1 + a \cdot f_2 + c \cdot e + d \cdot e_3 + g \cdot e_2 + h \cdot f_1$$

au lieu de la précédente définition de $m$. Dans l'ensemble de tous les modules qu'il est possible de générer à partir de $m$ et $n$ en faisant varier la valeur des scalaires, nous nous intéressons au sous-ensemble des modules qui appartiennent à $\mathcal{X}_{(4\setminus 3)}(R)$. Par définition même, $m$ et $n$ sont dans $H$, il ne nous reste donc plus qu'à vérifier que $m \cdot n = 0$ et $m^2 = n^2 = 0$.

En effectuant les calculs, nous obtenons

$$m \cdot n = 0 \iff \left\{ \begin{array}{l} 0 = hw - cz - xg + yd \\ 0 = xc - dw + az \\ 0 = yc + h - gw \\ 0 = cw - z - d \\ 0 = cw - ya \\ 0 = x + aw \\ 0 = -w - a \\ 0 = -y - c \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} h = c^2 + gw \\ d = cw - z \\ x = w^2 \\ y = -c \\ a = -w \end{array} \right.$$

ce qui nous laisse déjà les variables $c, g, w$ et $z$ libres. Le calcul suivant nous donne

$$m^2 = 0 \iff 0 = c^2 - h - ag \iff h = c^2 - ag$$

qui est triviallement vérifié avec les précédentes relations. Enfin, le dernier calcul nous donne

$$n^2 = 0 \iff 0 = w^2 - x \iff x = w^2$$

qui est là encore une relation déjà présente dans le premier calcul.

Réciproquement, si nous considérons un module libre $P$ engendré par $m = m(-w, c, cw - z, g, c^2 + gw)$ et $n = n(w, w^2, -c, z)$, les calculs précédents montrent directement que $m^2 = n^2 = m \cdot n = 0$ et par conséquent que $P \in \mathcal{X}_{(4\setminus 3)}(R)$. Nous avons donc mis en bijection $\mathcal{X}_{(4\setminus 3)}(R)$ et l'ensemble des modules engendrés par $m = m(-w, c, cw - z, g, c^2 + gw)$ et $n = n(w, w^2, -c, z)$ qui est en bijection avec $R^4$. Comme annoncé, nous avons ainsi établi que

$$\mathcal{X}_{(4\setminus 3)} \simeq \mathbb{A}^4.$$

Le calcul des autres cellules se fait en procédant de la même façon et finalement, pour tout $i \in \{0, \dots, 5\}$, nous trouvons que

$$\mathcal{X}_{(i \setminus i - 1)} \simeq \mathbb{A}^i.$$

□
## 5 ANNEAU DE CHOW DE $\mathcal{X}(\alpha_2)$

On rappelle qu’à toute variété algébrique $X$ qui est lisse et complète, on associe son anneau de Chow $CH^*(X)$, engendré sur $\mathbb{Z}$ par les classes de cycles algébriques sur $X$ modulo l’équivalence rationnelle et gradué par la codimension des classes de cycles. On peut également considérer $CH_*(X)$, l’anneau gradué cette fois-ci par la dimension des classes de cycles et lorsque $X$ est irréductible, on a $CH^p(X) = CH_{d-p}(X)$ où $d = \dim X$. Bien que cela soit un abus de langage, nous parlerons souvent de cycles plutôt que de classes de cycles.

Le but de cette section est de déterminer, dans le cas déployé, la structure générale de l’anneau de Chow de $\mathcal{X}(\alpha_2)$. Pour cela, nous allons exposer les relations que vérifient les générateurs de $CH^*(\mathcal{X}(\alpha_2))$.

Lorsqu’une variété possède une structure cellulaire, nous savons (c.f. [F, Ex. 1.9.1 p. 23]) que son groupe de Chow est librement engendré par les classes pour l’équivalence rationnelle de l’adhérence des cellules. En conséquence, la construction de la structure cellulaire de $\mathcal{X}(\alpha_2)$ précédemment établie nous permet d’affirmer que $CH^*(\mathcal{X}(\alpha_2))$ possède un unique générateur libre par codimension. Ce qu’il nous faut maintenant comprendre, c’est comment ces générateurs se multiplient entre eux. Pour cela, nous allons utiliser le fait que $\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2)$ peut être vue comme une fibration projective au-dessus de $\mathcal{X}(\alpha_2)$ au moyen de l’application suivante :

$$ \begin{array}{ccc} \mathrm{pr}: \mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2) & \to & \mathcal{X}(\alpha_2) \\ (D, P) & \mapsto & P. \end{array} $$

Cette fibration induit alors par pull-back une application qui fait du groupe $CH^*(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2))$ un $CH^*(\mathcal{X}(\alpha_2))$-module libre de rang 2 (c.f. [F, Ex. 8.3.4 p. 141 et Th. 3.3 b) p. 64]). Nous allons utiliser cette structure de $CH^*(\mathcal{X}(\alpha_2))$-module pour calculer de deux façons différentes des invariants de $CH^*(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2))$. En comparant les résultats de ces deux calculs nous obtiendrons de façon presque complète la table de multiplication des générateurs de $CH^*(\mathcal{X}(\alpha_2))$. Nous verrons que ces relations sont suffisantes pour établir l’isomorphisme motivique. Pour commencer, il nous faut en apprendre d’avantage sur $CH^*(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2))$.

### 5.1 RELATIONS DANS $CH^*(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2))$

En premier lieu, il est connu (voir par exemple [Mar76, Lem. 5.1.1 p. 237]) que $CH^*(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2))$ est un groupe libre engendré par un générateur libre en codimension 0 et 6 et deux générateurs libres dans les autres codimensions. Ainsi, nous désignons par $g^i$ et $h^i$ les générateurs de $CH^i(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2))$ pour $i$ dans $\{1, \dots, 5\}$ et par $g^0$ et $g^6$ ceux de $CH^0(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2))$ et $CH^6(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2))$ respectivement. En second lieu, le calcul du produit de n’importe quel élément de $CH^*(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2))$ avec un élément de codimension 1 peut être obtenu par une formule du type Pieri-Giambelli, la formule de Chevalley établie dans [Dem74, §4 Cor. 2 p. 78]. Grâce à cette formule, nous calculons la table de multiplication des générateurs de $CH^*(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2))$.
$$
\begin{align*}
(g^1)^2 &= 3g^2 & (h^1)^2 &= h^2 & h^1 g^2 &= g^3 + h^3 & g^1 h^2 &= g^3 + 3h^3 \\
(g^1)^3 &= 6g^3 & (h^1)^3 &= 2h^3 & h^1 g^3 &= 2g^4 + h^4 & g^1 h^3 &= g^4 + 2h^4 \\
(g^1)^4 &= 18g^4 & (h^1)^4 &= 2h^4 & h^1 g^4 &= g^5 + h^5 & g^1 h^4 &= g^5 + 3h^5 \\
(g^1)^5 &= 18g^5 & (h^1)^5 &= 2h^5 & h^1 g^5 &= g^6 & g^1 h^5 &= g^6 \\
(g^1)^6 &= 0 & (h^1)^6 &= 0 & h^1 g^1 &= h^2 + g^2
\end{align*}
$$

Comme précédemment annoncé, nous allons maintenant calculer les inva-
riants de CH*(X(α₁, α₂)).

5.2 CALCUL DES INVARIANTS DE CH*(X(α₁, α₂))

Nous désignons par $A$ le sous-anneau de $\mathrm{CH}^*(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2))$ engendré par les éléments du groupe $\mathrm{CH}^1(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2))$. Nous considèrons ensuite $A^i$ le groupe abélien constitué des éléments de codimension $i$ de $A$ (i.e. engendré par les polynômes homogènes de degré $i$ en $g^1$ et $h^1$). Par conséquent, après calculs nous obtenons que

$$
\begin{align*}
A^1 &= \operatorname{gr}(g^1, h^1) \\
A^2 &= \operatorname{gr}((g^1)^2, g^1 h^1, (h^1)^2) \\
&= \operatorname{gr}(3g^2, g^2 + h^2, h^2) \\
A^3 &= \operatorname{gr}((g^1)^3, (g^1)^2 h^1, g^1 (h^1)^2, (h^1)^3) \\
&= \operatorname{gr}(6g^3, 3(g^3 + h^3), g^3 + 3h^3, 2h^3) \\
A^4 &= \operatorname{gr}((g^1)^4, (g^1)^3 h^1, (g^1)^2 (h^1)^2, g^1 (h^1)^3, (h^1)^4) \\
&= \operatorname{gr}(18g^4, 12g^4 + 6h^4, 6(g^4 + h^4), 2g^4 + 4h^4, 2h^4) \\
A^5 &= \operatorname{gr}((g^1)^5, (g^1)^4 h^1, (g^1)^3 (h^1)^2, (g^1)^2 (h^1)^3, g^1 (h^1)^4, (h^1)^5) \\
&= \operatorname{gr}(18g^5, 18(g^5 + h^5), 12g^5 + 18h^5, 6g^5 + 12h^5, 2g^5 + 6h^5, 2h^5) \\
A^6 &= \operatorname{gr}((g^1)^6, (g^1)^5 h^1, (g^1)^4 (h^1)^2, (g^1)^3 (h^1)^3, (g^1)^2 (h^1)^4, g^1 (h^1)^5, (h^1)^6) \\
&= \operatorname{gr}(0, 2g^6, 6g^6, 12g^6, 18g^6, 18g^6, 0)
\end{align*}
$$

où là encore, nous désignons par gr(E) le groupe abélien libre engendré par les éléments de E sur Z.

Nous rappellons que pour tout $i$ dans $\{1, \dots, 5\}$, nous avons

$$
\mathrm{CH}^i(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2)) = \mathrm{gr}(g^i, h^i)
$$

et que

$$
\mathrm{CH}^6(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2)) = \mathrm{gr}(g^6).
$$
En calculant les différents quotients nous trouvons ainsi que :

$$(CH^1(X(\alpha_1, \alpha_2)) : A^1) = 1$$

$$(CH^2(X(\alpha_1, \alpha_2)) : A^2) = 1$$

$$(CH^3(X(\alpha_1, \alpha_2)) : A^3) = 2$$

$$(CH^4(X(\alpha_1, \alpha_2)) : A^4) = 4$$

$$(CH^5(X(\alpha_1, \alpha_2)) : A^5) = 4$$

$$(CH^6(X(\alpha_1, \alpha_2)) : A^6) = 2$$

où nous désignons par $(CH^i(X(\alpha_1, \alpha_2)) : A^i)$, l'indice du sous-groupe $A^i$ dans $CH^i(X(\alpha_1, \alpha_2))$.

Ces indices sont des invariants de l'anneau $CH^*(X(\alpha_1, \alpha_2))$ dont nous allons nous servir pour déterminer la structure d'anneau de $CH^*(X(\alpha_2))$. Pour cela, nous allons calculer une nouvelle fois ces indices en utilisant la structure de $CH^i(X(\alpha_2))$-module de $CH^i(X(\alpha_1, \alpha_2))$.

## 5.3 CALCUL DE LA STRUCTURE DE $CH^*(X(\alpha_2))$

Pour commencer, nous rappelons que le groupe $CH^*(X(\alpha_2))$ possède un seul générateur par codimension que nous notons $h_2^i$ ($i \in \{0, \dots, 5\}$). Ensuite, nous avons déjà signalé que $CH^*(X(\alpha_1, \alpha_2))$ est un $CH(X(\alpha_2))$-module libre de rang 2. Plus précisement, il admet pour base l'ensemble $\{1, \zeta\}$ où 1 désigne l'élément neutre et $\zeta$ est un élément qui vérifie

$$\zeta^2 - c_1 h_2^1 \zeta + c_2 h_2^2 = 0$$

et où $c_i$ désigne la $i^{ème}$ classe de Chern du fibré vectoriel associé au fibré projectif sur $X(\alpha_2)$ (voir [H, App. A §3]). Ainsi, pour $i$ à valeurs dans l'ensemble $\{1, \dots, 5\}$, les groupes $CH^i(X(\alpha_1, \alpha_2))$ correspondent à $\text{gr}(h_2^i, \zeta h_2^{i-1})$, et pour les indices 0 et 6, nous avons $CH^0(X(\alpha_1, \alpha_2)) \simeq CH^0(X(\alpha_2))$, et $CH^6(X(\alpha_1, \alpha_2)) \simeq CH^5(X(\alpha_2))\zeta$. Nous nous donnons ensuite quatre nombres entiers positifs $l, m, n$ et $p$ tels que

$$(h_2^1)^2 = lh_2^2, \quad (h_2^1)^3 = lmh_2^3, \quad (h_2^1)^4 = lmnh_2^4, \quad (h_2^1)^5 = lmnph_2^5.$$

Ceci étant posé, nous allons, là encore, considérer les sous-groupes $A^i$ ex-primés cette fois-ci en fonction de $(h_2^1)^i$ et $\zeta(h_2^1)^{i-1}$. Pour commencer,

$$A^1 = \text{gr}(h_2^1, \zeta)$$

nous avons donc bien

$$(CH^1(X(\alpha_1, \alpha_2)) : A^1) = 1.$$
Ensuite,

$$
\begin{align*}
A^2 &= \operatorname{gr}((h_2^1)^2, h_2^1\zeta, \zeta^2) \\
&= \operatorname{gr}(lh_2^2, h_2^1\zeta, c_1h_2^1\zeta - c_2h_2^2) \\
&= \operatorname{gr}(lh_2^2, c_2h_2^2, h_2^1\zeta)
\end{align*}
$$

et comme

$$
(\mathrm{CH}^2(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2)) : A^2) = 1
$$

nous en déduisons que les nombres $l$ et $c_2$ sont premiers entre eux. Ce
résultat sera très largement exploité dans les calculs suivants. Concernant le
groupe $A^3$, nous avons

$$
\begin{align*}
A^3 &= \operatorname{gr}((h_2^1)^3, (h_2^1)^2\zeta, h_2^1\zeta^2, \zeta^3) \\
&= \operatorname{gr}((lmh_2^3, lh_2^2\zeta, lc_1h_2^2\zeta - mc_2h_2^3, (lc_1^2 - c_2)h_2^2\zeta - mc_1c_2h_2^3) \\
&= \operatorname{gr}(mh_2^3, h_2^2\zeta)
\end{align*}
$$

d'où

$$
(\mathrm{CH}^3(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2)) : A^3) = m = 2.
$$

Nous calculons maintenant $A^4$,

$$
\begin{align*}
A^4 &= \operatorname{gr}((h_2^1)^4, (h_2^1)^3\zeta, (h_2^1)^2\zeta^3, h_2^1\zeta^3, \zeta^4) \\
&= \operatorname{gr}(2lnh_2^4, 2lh_2^3\zeta, 2lc_1h_2^3\zeta - 2nc_2h_2^4, 2(lc_1^2 - c_2)h_2^3\zeta - 2nc_1c_2h_2^4, \\
&\qquad 2c_1(lc_1^2 - 2c_2)h_2^3\zeta - \frac{2n}{l}(lc_1^2 - c_2)c_2h_2^4) \\
&= \operatorname{gr}(2nh_2^4, 2h_2^3\zeta, \frac{2n}{l}c_2^2h_2^4)
\end{align*}
$$

ainsi

$$
(\mathrm{CH}^4(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2)) : A^4) = 2 \operatorname{pgcd}(2n, \frac{2n}{l}c_2) = 4
$$

où $\text{pgcd}(2n, \frac{2n}{l}c_2)$ désigne le plus grand commun multiple de $\frac{2n}{l}c_2$ et $2n$.
Par suite, comme $\text{pgcd}(2n, \frac{2n}{l}c_2) = 2$, nécessairement $\text{pgcd}(n, \frac{n}{l}c_2) = 1$ et ainsi
$l = n$. Nous calculons maintenant

$$
\begin{align*}
A^5 &= \operatorname{gr}((h_2^1)^5, (h_2^1)^4\zeta, (h_2^1)^3\zeta^2, (h_2^1)^2\zeta^3, h_2^1\zeta^4, \zeta^5) \\
&= \operatorname{gr}(2l^2ph_2^5, 2l^2h_2^4\zeta, 2l^2c_1h_2^4\zeta - 2lpc_2h_2^5, 2l(lc_1^2 - c_2)h_2^4\zeta - 2lpc_1c_2h_2^5, \\
&\quad 2lc_1(lc_1^2 - 2c_2)h_2^4\zeta - 2pc_2(lc_1^2 - c_2)h_2^5, \\
&\quad (2l^2c_1^4 - 6lc_1^2c_2 + 2c_2^2)h_2^4\zeta - 2pc_1c_2(lc_1^2 - 2c_2)h_2^5) \\
&= \operatorname{gr}(2ph_2^5, 2h_2^4\zeta)
\end{align*}
$$
ainsi

$$ (\mathrm{CH}^5(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2)) : A^5) = 4p = 4 $$

d'où $p = 1$. Enfin, nous calculons

$$
\begin{align*}
A^6 &= \mathrm{gr}((h_2^1)^6, (h_2^1)^5\zeta, (h_2^1)^4\zeta^2, (h_2^1)^3\zeta^3, (h_2^1)^2\zeta^4, h_2^1\zeta^5, \zeta^6) \\
&= \mathrm{gr}(0, 2l^2h_2^5\zeta, 2l^2c_1h_2^5\zeta, 2l(lc_1^2 - c_2)h_2^5\zeta, 2lc_1(lc_1^2 - 2c_2)h_2^5\zeta, \\
&\qquad (2l^2c_1^4 - 6lc_1^2c_2 + 2c_2^2)h_2^5\zeta, (2l^2c_1^5 - 8lc_1^3c_2 + 6c_1c_2^2)h_2^5\zeta) \\
&= \mathrm{gr}(2h_2^5\zeta)
\end{align*}
$$

et nous trouvons bien que

$$ (\mathrm{CH}^6(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2)) : A^6) = 2. $$

Finalement, la table de multiplication partielle de $\mathrm{CH}^*(\mathcal{X}(\alpha_2))$ est

$$ (h_2^1)^2 = lh_2^2 $$

$$ (h_2^1)^3 = 2lh_2^3 $$

$$ (h_2^1)^4 = 2l^2h_2^4 $$

$$ (h_2^1)^5 = 2l^2h_2^5 $$

Malgré tous nos efforts, $l$ reste donc jusque là indéterminé. Toutefois, l'image de l'élément $h_2^1$ dans $\mathrm{CH}^*(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2))$ par l'application $\mathrm{pr}^*: \mathrm{CH}^*(\mathcal{X}(\alpha_2)) \to \mathrm{CH}^*(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2))$ induite par la fibration projective, est une combinaison de $g^1$ et $h^1$, i.e. $\mathrm{pr}^*(h_2^1) = ag^1 + bh^1$ avec $a$ et $b$ dans $\mathbb{Z}$, premiers entre eux (puisque $\mathrm{pr}^*(h_2^1)$ peut être choisis comme un des générateurs de $\mathrm{CH}^1(\mathcal{X}(\alpha_1, \alpha_2)))$. Or, nous avons

$$ l\mathrm{pr}^*(h_2^2) = (\mathrm{pr}^*(h_2^1))^2 = (3a^2 + 2ab)g^1 + (b^2 + 2ab)h^2 $$

ce qui impose donc à $a$ et $b$ d'être pairs si $l$ l'est. Ceci est en contradiction avec le fait que $a$ et $b$ sont premiers entre eux. Par conséquent, $l$ est nécessairement impair et ce fait est primordial pour établir l'isomorphisme motivique. En effet, bien que n'ayant pas totalement déterminé la structure de $\mathrm{CH}^*(\mathcal{X}(\alpha_2))$, nous verrons que les informations dont nous disposons seront suffisantes pour établir l'isomorphisme motivique entre $\mathcal{X}(\alpha_1)$ et $\mathcal{X}(\alpha_2)$.

## TROISIÈME PARTIE
### L'ISOMORPHISME MOTIVIQUE

Nous allons maintenant commencer par introduire la catégorie des correspondances sur laquelle nous allons travailler ainsi que les résultats accompagnant
cette théorie. Il s'agit de résultats classiques et la motivation principale n'est autre que l'introduction de nos notations.

## 6 CORRESPONDANCES ET MOTIFS

Nous désignerons par $\mathfrak{Var}_k$ la catégorie des $k$-variétés lisses, complètes mais non nécessairement connexes (on inclut également $\emptyset$ dans $\mathfrak{Var}_k$). Nous avons déjà signalé que pour $X$ dans $\mathfrak{Var}_k$, nous désignons par $\mathrm{CH}^*(X)$ l'anneau de Chow de $X$ et que bien que cela soit un abus de langage, nous parlons de cycles plutôt que de classes de cycles.

Une CORRESPONDANCE de$^5$ X dans Y, où X, Y sont dans $\mathfrak{Var}_k$, est par définition un cycle dans $\mathrm{CH}^*(X \times Y)$. La composition des correspondances se fait de la façon classique (voir par exemple [F, Défi. 16.1.1 p. 305]) suivante :

$$ \begin{array}{ccc} \mathrm{CH}^*(X \times Y) \times \mathrm{CH}^*(Y \times Z) & \to & \mathrm{CH}^*(X \times Z) \\ (f,g) & \mapsto & g \circ f = (\mathrm{pr}_{13})_*((f \times Z) \cdot (X \times g)) \end{array} $$

où $\cdot$ désigne la multiplication des cycles dans $\mathrm{CH}^*(X \times Y \times Z)$ et $(\mathrm{pr}_{13})_*$ le push-forward par rapport à la projection

$$ \mathrm{pr}_{13}: \begin{array}{ccc} X \times Y \times Z & \to & X \times Z \\ (x, y, z) & \mapsto & (x, z). \end{array} $$

Soient maintenant $X$ et $Y$ dans $\mathfrak{Var}_k$ avec $Y$ supposée connexe (ou d'une façon plus générale équidimensionnelle). On définit dans un premier temps une CORRESPONDANCE DE $X$ DANS $Y$ DE DEGRÉ $p$ comme étant un cycle homogène de $\mathrm{CH}^{\dim Y+p}(X \times Y)$. On étend ensuite cette définition au cas d'une variété $Y$ de $\mathfrak{Var}_k$ quelconque en désignant par correspondance de degré $p$, les cycles homogènes de $\oplus_i \mathrm{CH}^{\dim Y_i+p}(X \times Y_i)$ où les $Y_i$ désignent les composantes connexes de $Y$. Notez bien que l'on a

$$ \oplus_i \mathrm{CH}^{\dim Y_i+p}(X \times Y_i) = \oplus_j \mathrm{CH}_{\dim X_j-p}(X_j \times Y) $$

où les $X_j$ désignent les composantes connexes de $X$.

Lorsque l'on compose des correspondances, les degrés s'ajoutent ([F, Ex. 16.1.1 p. 308]), ainsi l'ensemble des correspondances de degré 0 est stable par composition et on définit par conséquent :

**DÉFINITION 6.** Soit $\mathrm{Cort}_k^0$ la catégorie additive dont les objets sont ceux de $\mathfrak{Var}_k$ et les groupes de morphismes sont les correspondances de degré 0.

Une démonstration du fait que $\mathrm{Cort}_k^0$ est bien une catégorie est consultable dans [F, §16.1 p. 305]. Nous signalons tout de même que l'application identité de $X$, $\mathrm{id}_X$, est donnée par la classe de l'application diagonale sur $X \times X$. Par ailleurs, nous désignerons par $\mathrm{End}(X)$ le groupe $\mathrm{Hom}(X, X)$.

<footnote>$^5$Si $Y = X$ on parle de correspondance sur $X$ tout court.</footnote>
Dans ce texte, nous ne composons que des correspondances décomposées et homogènes. Dans ce cas de figure, la composition de deux correspondances se calcule explicitemment grâce au lemme suivant :

LEMME 5. Soient $X, Y, Z \in \mathfrak{Var}_k$, $f \in \mathrm{CH}^*(X), g, g' \in \mathrm{CH}^*(Y)$ et $h \in \mathrm{CH}^*(Z)$. On suppose que la variété $Y$ est connexe (ou de façon plus générale équidimensionnelle) et que les cycles $g$ et $g'$ sont homogènes. Alors on a

$$ (g' \times h) \circ (f \times g) = (pr_{13})_*(f \times (g \cdot g') \times h) \\ = \begin{cases} \deg(g \cdot g')(f \times h) & \text{si codim}(g) + \mathrm{codim}(g') = \dim Y \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$

où $\deg(-)$ désigne le degré d'un 0-cycle (voir [F][Défi. 1.4 p. 13]).

D'autre part, on définit également la $\mathrm{TRANSPOSÉ}^t f = \tau_*(f)$ dans $\mathrm{Hom}(Y, X)$ d'une correspondance $f$ de $\mathrm{Hom}(X, Y)$ où $\tau: X \times Y \to Y \times X$ est la permutation des points, i.e. $\tau(x, y) = (y, x)$.

Enfin, si $X$ est une variété définie sur le corps de base $k$ et $\mathbb{L}/k$ est une extension de corps, on désigne par $X_{\mathbb{L}}$ la variété $X$ définie sur $\mathbb{L}$. On dit qu'un cycle $f$ de $\mathrm{CH}^*(X_{\mathbb{L}})$ est $\mathrm{DEFINI SUR} k$, si $f$ est dans l'image de l'homomorphisme de restriction $\mathrm{res}_{\mathbb{L}/k}: \mathrm{CH}^*(X) \to \mathrm{CH}^*(X_{\mathbb{L}})$. De même, on dit qu'une correspondance est définie sur $k$, si elle l'est en tant que cycle. De tels cycles ou correspondances sont qualifiés de RATIONNELS.

Ces préliminaires terminés, nous allons maintenant prouver que les variétés $\mathcal{X}(\alpha_1)$ et $\mathcal{X}(\alpha_2)$ sont isomorphes dans la catégorie $\mathrm{Corr}_k^0$ et qu'il s'agit par conséquent d'un isomorphisme motivique.

# 7 ISOMORPHISME

Nous allons maintenant nous employer à prouver l'isomorphisme. Pour cela nous allons procéder en trois étapes. Nous allons prouver qu'un tel isomorphisme existe lorsque les variétés $\mathcal{X}(\alpha_1)$ et $\mathcal{X}(\alpha_2)$ sont déployées. Ensuite, nous allons établir un théorème de nilpotence et enfin, grâce à ce théorème de nilpotence, nous prouverons l'isomorphisme en toute généralité.

## 7.1 CAS DÉPLOYÉ

Nous nous plaçons dans le cas où les variétés $\mathcal{X}(\alpha_1)$ et $\mathcal{X}(\alpha_2)$ sont déployées. On rappelle que cela signifie que l'algèbre d'octonions sur laquelle le groupe de type $G_2$ agit l'est, ou encore de façon équivalente que la forme quadratique $q$ définie sur l'algèbre des octonions est isotrope. Nous allons donc établir qu'il existe un cycle de degré 0 qui réalise un isomorphisme entre $\mathcal{X}(\alpha_1)$ et $\mathcal{X}(\alpha_2)$. Pour prouver cet isomorphisme il nous faut trouver deux correspondances $f$ et $g$, $f$ dans $\mathrm{Hom}(\mathcal{X}(\alpha_1), \mathcal{X}(\alpha_2))$ et $g$ dans $\mathrm{Hom}(\mathcal{X}(\alpha_2), \mathcal{X}(\alpha_1))$ telles que $g \circ f = \Delta_1$ et $f \circ g = \Delta_2$ où $\Delta_1$ et $\Delta_2$ désignent respectivement la classe de l'application
diagonale de $\mathcal{X}(\alpha_1)$ et $\mathcal{X}(\alpha_2)$. Si $\Delta_1$ est déjà connu, il va nous falloir expliciter $\Delta_2$.

Nous allons commencer par fixer quelques notations. Soit $j$ un entier naturel de l'ensemble $\{0, \dots, 5\}$, nous appelons $h_1^j$ le générateur de $CH^j(\mathcal{X}(\alpha_1))$ et $h_2^j$ celui de $CH^j(\mathcal{X}(\alpha_2))$. Les relations multiplicatives entre ces générateurs sont désormais (presque totalement) déterminées (cf. sous-section 5.3). En outre, comme $\mathcal{X}(\alpha_1)$ et $\mathcal{X}(\alpha_2)$ ont toutes les deux$^6$ une structure cellulaire, $\mathcal{X}(\alpha_1) \times \mathcal{X}(\alpha_1)$, $\mathcal{X}(\alpha_1) \times \mathcal{X}(\alpha_2)$, $\mathcal{X}(\alpha_2) \times \mathcal{X}(\alpha_1)$ et $\mathcal{X}(\alpha_2) \times \mathcal{X}(\alpha_2)$ en ont également une que l'on déduit de celle de $\mathcal{X}(\alpha_1)$ et $\mathcal{X}(\alpha_2)$ (voir [Kar01, Défi. 7.2 p. 18]). Ceci nous permet d'établir le résultat suivant :

**LEMME 6.** *Les applications*

$$ \begin{array}{ccc} \mathrm{CH}^*(\mathcal{X}(\alpha_i)) \otimes \mathrm{CH}^*(\mathcal{X}(\alpha_j)) & \rightarrow & \mathrm{CH}^*(\mathcal{X}(\alpha_i) \times \mathcal{X}(\alpha_j)) \\ (f \otimes g) & \mapsto & f \times g \end{array} $$

où $i$ et $j$ parcourent $\{1, 2\}$, sont des isomorphismes.

En fait, ce résultat est plus général; il est vérifié dès que les deux variétés ont une structure cellulaire.

D'après le lemme 6, les générateurs de $CH^*(\mathcal{X}(\alpha_i) \times \mathcal{X}(\alpha_j))$ s'expriment en fonction de ceux de $CH^*(\mathcal{X}(\alpha_1))$ et $CH^*(\mathcal{X}(\alpha_2))$. En particulier, en tant qu'anneaux, ils sont sans torsion.

**REMARQUE 6.** *On retrouve de cette façon un résultat déjà établi dans [Köc91, Cor. 1.5 p. 365].*

Nous sommes maintenant en mesure d'en déduire l'expression de l'application diagonale de $\mathcal{X}(\alpha_2)$ :

**LEMME 7.**

$$ \Delta_2 = \sum_{i=0}^{5} h_2^i \times h_2^{5-i} $$

*Démonstration.* Tout ce qu'il y a faire ici, c'est de prouver que la correspondance $\sum_{i=0}^5 h_2^i \times h_2^{5-i}$ agit trivialment sur les générateurs de $\mathrm{End}(\mathcal{X}(\alpha_2)) = \mathrm{CH}^5(\mathcal{X}(\alpha_2) \times \mathcal{X}(\alpha_2))$. D'après le lemme 5 on a :

$$ (h_2^i \times h_2^{5-i}) \circ (h_2^j \times h_2^{5-j}) = \begin{cases} \deg(h_2^{5-j} \cdot h_2^i)(h_2^j \times h_2^{5-i}) & \text{si } i = j \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$

Si $i = j$, nous devons tout d'abord calculer $h_2^{5-i} \cdot h_2^i$ pour toutes les valeurs de $j$ possibles, à savoir 0, 1 et 2. Il est tout d'abord clair en vertu de ce que nous avons calculé que

<footnote>$^6$La structure cellulaire de $\mathcal{X}(\alpha_1)$ bien que non décrite ici est en fait classique et bien connue.</footnote>
$$h_2^0 \cdot h_2^5 = h_2^5 \cdot h_2^0 = h_2^5$$

et que

$$h_2^1 \cdot h_2^4 = h_2^4 \cdot h_2^1 = h_2^5.$$

Pour $j = 2$, nous calculons tout d'abord

$$\begin{aligned} 2h_2^2 \cdot h_2^3 &= (h_2^1)^2 \cdot h_2^3 \\ &= h_2^1 \cdot 2h_2^4 \\ &= 2h_2^5 \end{aligned}$$

et par conséquent nous avons

$$h_2^2 \cdot h_2^3 = h_2^3 \cdot h_2^2 = h_2^5,$$

en vertu de quoi nous concluons que

$$\deg(h_2^{5-j} \cdot h_2^j) = \deg(h_2^5) = 1$$

pour tout indice $j$ de l'ensemble $\{0, \dots, 5\}$ et de là, nous en déduisons que pour tout indice $j$,

$$(\sum_{i=0}^{5} h_2^i \times h_2^{5-i}) \circ (h_2^j \times h_2^{5-j}) = h_2^j \times h_2^{5-j}.$$

De l'unicité de l'élément neutre, nous concluons que

$$\Delta_2 = \sum_{i=0}^{5} h_2^i \times h_2^{5-i}.$$

□

Nous allons maintenant exprimer la correspondance réalisant l'isomorphisme motivique dans le cas déployé.

**PROPOSITION 3.** *Soit*

$$J = \sum_{i=0}^{5} h_1^i \times h_2^{5-i} \in \mathrm{CH}^5(\mathcal{X}(\alpha_1) \times \mathcal{X}(\alpha_2)),$$

$J$ réalise un isomorphisme motivique entre $\mathcal{X}(\alpha_1)$ et $\mathcal{X}(\alpha_2)$ dont l'inverse est la correspondance transposée $^t J$.
Démonstration. Nous pouvons nous contenter de prouver que $J \circ^t J = \Delta_2$. Pour cela nous utilisons une fois encore le lemme 5 pour calculer :

$$ (h_1^i \times h_2^{5-i}) \circ (h_2^j \times h_1^{5-j}) = \begin{cases} \deg(h_1^{5-j} \cdot h_1^i)(h_2^j \times h_2^{5-i}) & \text{si } i = j \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$

et là encore nous avons

$$ \deg(h_1^{5-j} \cdot h_1^i) = \deg(h_1^5) = 1 $$

puisque

$$ (h_1^1)^2 = h_1^2 $$

$$ (h_1^1)^3 = 2h_1^3 $$

$$ (h_1^1)^4 = 2h_1^4 $$

$$ (h_1^1)^5 = 2h_1^5 $$

comme on peut s'en assurer en consultant [Kar90]. Par conséquent, il vient tout naturellement en développant que

$$ J \circ^t J = \sum_{i=0}^{5} h_2^i \times h_2^{5-i} = \Delta_2. $$

Nous ne les reproduisons pas ici, mais le même type de calculs nous montre que $^tJ \circ J = \Delta_1$ et par conséquent, $J$ est donc bien un isomorphisme motivique entre $\mathcal{X}(\alpha_1)$ et $\mathcal{X}(\alpha_2)$ comme annoncé. $\square$

Nous prouvons maintenant un théorème de nilpotence pour $\mathcal{X}(\alpha_2)$ comme M. Rost l'a fait dans le cas des quadriques (voir [Bro03]).

## 7.2 THÉORÈME DE NILPOTENCE ET CONSÉQUENCE

En premier lieu, nous reproduisons ici quelques résultats établis par M. Rost. On désigne par $X$ et $B$ deux variétés algébriques lisses sur le corps de base $k$ et $\pi: B \times X \to B$ la première projection. Pour tout élément $b$ de $B$, $X_b = \text{Spec } k(b) \times_k X$ désigne la fibre au-dessus de $b$ et $k(b)$ le corps résiduel en $b$. Pour toute correspondance $f$ de $\text{End}(X)$, on note $f_b \in \text{End}_{\text{corr}^0(k(b))}(X_b)$ l'élément obtenu par changement de base.

Le résultat suivant est démontré dans [Bro03, Th. 3.1 p. 74].

**PROPOSITION 4.** *Soit $f \in \text{End}(X)$ et supposons que*

$$ (f_b)_* (\text{CH}_i(X_b)) = 0 $$

*pour tout $b \in B$ et tout $i \in \{0, \dots, \dim B\}$. Alors*
$$f^{(1+\dim B)} \circ \mathrm{Hom}(B, X) = 0.$$

### REMARQUE 7. La puissance de $f$ est prise dans l'anneau $\mathrm{End}(X)$.

Nous établissons maintenant le résultat suivant :

### LEMME 8. Si $\mathcal{X}(\alpha_2)$ est déployée, alors

$$\mathrm{End}(\mathcal{X}(\alpha_2)) = \bigoplus^i \mathrm{End}_Z (\mathrm{CH}^i(\mathcal{X}(\alpha_2))).$$

*Démonstration.* D'après [Ros90, Lem. 6 p. 7] ce résultat est vrai pour les quadriques déployées<fnref n="7" />. Il est donc vrai pour $\mathcal{X}(\alpha_1)$ lorsqu'elle l'est. Nous savons maintenant que dans ce cas $\mathcal{X}(\alpha_2)$ lui est isomorphe. Ce résultat est donc également vrai pour $\mathcal{X}(\alpha_2)$. □

Nous énonçons maintenant notre théorème de nilpotence.

### PROPOSITION 5 (THÉORÈME DE NILPOTENCE).
Soit $f \in \mathrm{End}(\mathcal{X}(\alpha_2))$ et $\mathbb{L}/k$ une extension quelconque du corps de base $k$. Si $f_{\mathbb{L}} = 0 \in \mathrm{End}_{\mathrm{Corr}_{\mathbb{L}}^0}(\mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{L}})$, alors il existe un entier $n$ tel que $f^n = 0$.

*Démonstration.* Dans le cas où $\mathcal{X}(\alpha_2)$ est déployée, comme

$$\mathrm{End}(\mathcal{X}(\alpha_2)) = \bigoplus_i \mathrm{End}_Z (\mathrm{CH}^i(\mathcal{X}(\alpha_2))),$$

le fait que $f_{\mathbb{L}} = 0$ implique nécessairement que $f = 0$ car $\mathrm{End}(\mathcal{X}(\alpha_2))$ est invariant par extension.

Si maintenant nous sommes dans le cas où $\mathcal{X}(\alpha_2)$ n'est pas déployée, on applique alors la propositon précédente avec $B = \mathcal{X}(\alpha_2)$. Nous allons également devoir utiliser, et donc prouver, le résultat suivant :

### LEMME 9. Pour tout $x \in \mathcal{X}(\alpha_2)$, la fibre $\mathcal{X}(\alpha_2)_x$ est déployée.

*Démonstration.* Il est clair que $\mathcal{X}(\alpha_2)_x$ a un point rationnel et en conséquence, il existe un plan $P$ de l'algèbre d'octonions $O$ tel que la trace restreinte à $P$ est identiquement nulle et que le produit de deux éléments quelconques de $P$ est lui aussi nul. Nous avons déja fait remarquer (cf. sous-section 3.3) que dans ce cas là, $P$ est totalement isotrope. Ainsi, la forme quadratique $q$ sur $O$ est également isotrope, d'où $O$ est déployée d'après le théorème 1.8.1 de [SV]. Par conséquent, $\mathcal{X}(\alpha_2)_x$ est déployée. □

La variété $\mathcal{X}(\alpha_2)_x$ étant totalement déployée, en utilisant ce que l'on a déjà dit en début de preuve, $(f_x)_{\mathbb{L}} = 0$ implique que $f_x = 0$. Dès lors, on peut appliquer la proposition précédente (la condition $(f_x)_*(\mathrm{CH}_i(\mathcal{X}(\alpha_2)_x)) = 0$ est trivalement vérifiée) et en déduire que

<footnote n="7">⁷Dans l'article de M. Rost, le résultat est établi sur les dimensions mais comme nous travaillons avec des variétés irréductibles nous pouvons passer à la codimension sans problème.</footnote>
$$f^6 = 0.$$

Le résultat est donc établi.

☐

De ce résultat nous déduisons un théorème d'isomorphisme :

COROLLAIRE 3 (THÉORÈME D'ISOMORPHISME). *Sous les hypothèses de la pro-
position 5, si $f_{\mathbb{L}}$ est un isomorphisme alors $f$ en est un.*

Démonstration. Si $\mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{L}}$ n'est pas déployée, elle l'est sur une extension plus grande. En conséquence, quitte à passer sur une autre extension, nous pouvons supposer que $\mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{L}}$ est déployée. En utilisant le lemme 8, nous constatons que

$$ \mathrm{End}(\mathcal{X}(\alpha_2)) = \bigoplus_{i=0}^{5} \mathrm{End}_{\mathbb{Z}}(\mathrm{CH}^i(\mathcal{X}(\alpha_2))) $$

et ainsi la correspondance $f_{\mathbb{L}}$ est totalement déterminée par son action sur les groupes $\mathrm{CH}^i(\mathcal{X}(\alpha_2)) \simeq \mathbb{Z}$. D'où $f_{\mathbb{L}}$ satisfait l'équation $t^2 - 1 = 0$. Ainsi, $f_{\mathbb{L}}^2 = (\Delta_2)_{\mathbb{L}}$ et d'après la proposition 5, nous en déduisons que $f^2 = \Delta_2 + g$, où $g$ est un élément nilpotent. En conclusion, $f$ est un automorphisme. ☐

REMARQUE 8. V. Chernousov, S. Gille et A. Merkurjev ont depuis généralisé
ce résultat (et le théorème de nilpotence 5) dans leur preprint [CGM03, Th.
7.4 p. 13].

Nous allons maintenant établir que le cycle $J$ est rationnel et ainsi être en mesure de conclure que l'isomorphisme motivique est aussi réalisé dans le cas anisotrope.

## 7.3 CAS ANISOTROPE

Nous supposons à présent que les variétés $\mathcal{X}(\alpha_1)$ et $\mathcal{X}(\alpha_2)$ sont anisotropes sur le corps de base $k$. Nous considérons alors $\mathbb{K}$ une clôture algébrique de $k$ et les variétés $\mathcal{X}(\alpha_1)_{\mathbb{K}}$ et $\mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{K}}$ sont, elles, clairement déployées. Comme précédemment, nous désignons alors par, $h_1^i$ et $h_2^i$ les générateurs respectifs de $\mathrm{CH}^i(\mathcal{X}(\alpha_1)_{\mathbb{K}})$ et $\mathrm{CH}^i(\mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{K}})$. Nous annonçons maintenant :

PROPOSITION 6. La correspondance

$$ J = \sum_{i=0}^{5} h_{1}^{i} \times h_{2}^{5-i} \in \mathrm{CH}^{5}(\mathcal{X}(\alpha_{1})_{\mathbb{K}} \times \mathcal{X}(\alpha_{2})_{\mathbb{K}}) $$

est rationnelle.

Démonstration. Sur $\mathbb{K}$, les variétés $\mathcal{X}(\alpha_1)_{\mathbb{K}}$ et $\mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{K}}$ sont déployées et admettent une structure cellulaire. Par conséquent, comme nous l'avons déjà fait remarquer
$$CH^*(\mathcal{X}(\alpha_1)_{\mathbb{K}}) \otimes CH^*(\mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{K}}) \simeq CH^*(\mathcal{X}(\alpha_1)_{\mathbb{K}} \times \mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{K}})$$

et donc $CH^*(\mathcal{X}(\alpha_1)_{\mathbb{K}} \times \mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{K}})$ est engendré par les $h_1^i \times h_2^j$. Pour prouver la rationnalité de $J$, nous allons procéder en plusieurs étapes et pour cela démontrer les deux lemmes suivants :

**LEMME 10.** *Le cycle $h_2^1 \in CH^1(\mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{K}})$ est rationnel.*

*Démonstration.* Lorsque nous avons calculé la structure cellulaire de $\mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{K}}$ (cf. section 4) nous avons trouvé que le premier terme de la filtration admettait pour $R$-points $(R \in \mathfrak{Alg}_k)$ :

$$\mathcal{X}_4(R) = \{P \in \mathcal{X}(\alpha_2)(R) \mid \mathrm{rg}(P \cap (V_7)_R) \ge 2, \mathrm{rg}(P \cap (V_5)_R) \ge 1\}$$

Par ailleurs, le groupe de Chow de la grassmannienne $\Gamma_2(H)_{\mathbb{K}}$ a également un seul générateur en codimension 1 et ce générateur est la classe de l'adhérence de la cellule de Schubert associée à la variété dont les $R$-points sont

$$(\Gamma_2(H)_{\mathbb{K}})_{(1,0)}(R) = \{P \in \Gamma_2(H)(R) \mid \mathrm{rg}(P \cap (V_7)_R) \ge 2, \mathrm{rg}(P \cap (V_5)_R) \ge 1\}.$$

Nous constatons ainsi que $\mathcal{X}_4(R) = \mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{K}}(R) \cap (\Gamma_2(H)_{\mathbb{K}})_{(1,0)}(R)$ et comme nous avons de plus

$$\mathrm{codim}_{\mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{K}}} \mathcal{X}_4 = \mathrm{codim}_{\Gamma_2(H)_{\mathbb{K}}} \mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{K}} \cap (\Gamma_2(H)_{\mathbb{K}})_{(0,1)},$$

l'image du générateur libre de $CH^1(\Gamma_2(H)_{\mathbb{K}})$ par le pull-back de l'application $\mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{K}} \to \Gamma_2(H)_{\mathbb{K}}$ est exactement $h_2^1 = [\mathcal{X}_4]$. Nous considérons alors les pull-backs des extensions des scalaires

$$\mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{K}} \to \mathcal{X}(\alpha_2) \quad \text{et} \quad \Gamma_2(H)_{\mathbb{K}} \to \Gamma_2(H)$$

c'est-à-dire les applications

$$\mathrm{res}_{\mathbb{K}/k}: \mathrm{CH}^1(\mathcal{X}(\alpha_2)) \to \mathrm{CH}^1(\mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{K}})$$

et

$$\mathrm{res}_{\mathbb{K}/k}: \mathrm{CH}^1(\Gamma_2(H)) \to \mathrm{CH}^1(\Gamma_2(H)_{\mathbb{K}}).$$

Il est maintenant entendu qu'une base normale n'existe pas sur le corps de base $k$, toutefois comme nous l'avons déjà signalé, n'importe quelle base permet de définir toutes les variétés de Schubert d'une grassmannienne et les classes modulo équivalence rationnelle de ces variétés forment un système de générateurs libres de $CH^*(\Gamma_2(H))$. Dès lors, il est bien clair que
Et comme $(id_{X(\alpha_1)_{\mathbb{K}}} \times p_{\mathbb{K}})^*(d) = (h_1^3)_{\mathbb{K}}(X(\alpha_2)_{\mathbb{K}})$, il s'ensuit que

$$d = h_1^3 \times h_2^0 + \sum_{i=1}^{2} a_i h_1^i \times h_2^{3-i} + ah_1^0 \times h_2^3$$

pour $a_1, a_2$ et $a$ dans $\mathbb{Z}$. Nous savons que $h_2^1$ est rationnel d'après le lemme 10 donc $(h_2^1)^2 = lh_2^2$ l'est. D'autre part, par un argument de transfert, $2h_2^2$ est aussi rationnel et comme $l$ est impair (comme nous l'avons prouvé à la fin de la sous-section 5.3), $h_2^2$ est rationnel. D'autre part, $h_1^1$ est aussi un cycle rationnel, ce résultat classique relève du même argument que pour $h_2^1$ et enfin, comme $h_1^2 = (h_1^1)^2$, c'est aussi un cycle rationnel. De là, nous déduisons que $h_1^1 \times h_2^2$ et $h_1^2 \times h_2^1$ sont rationnels. De la même façon, $h_1^0 \times h_2^1$ et $h_1^0 \times h_2^2$ sont aussi rationnels et comme nous pouvons écrire que

$$2h_1^0 \times h_2^3 = (h_1^0 \times h_2^1) \cdot (h_1^0 \times h_2^2),$$

il s'ensuit que le cycle $2h_1^0 \times h_2^3$ est lui aussi rationnel. Dès lors en soustrayant des multiples de ces cycles à $d$, il en découle que selon la parité de $a$, soit $h_1^3 \times h_2^0$ est rationnel, soit $h_1^3 \times h_2^0 + h_1^0 \times h_2^3$ l'est. Dans ce dernier cas, la preuve est terminée. Dans l'autre cas, nous devons refaire exactement le même raisonnement avec $X(\alpha_2)_{\mathbb{K}}(X(\alpha_1)_{\mathbb{K}})$ au lieu de $X(\alpha_1)_{\mathbb{K}}(X(\alpha_2)_{\mathbb{K}})$, avec l'hypothèse que $h_1^3 \times h_2^0$ est rationnel, pour en déduire que $h_1^0 \times h_2^3$ l'est aussi. Dans tous les cas, nous pouvons conclure que

$$c = h_1^3 \times h_2^0 + h_1^0 \times h_2^3$$

est un cycle rationnel.

□

Les arguments précédents, nous montrent que les cycles $h_1^1 \times h_2^1$ et $h_1^2 \times h_2^0$ sont rationnels. Par conséquent, les correspondances

$$(h_1^0 \times h_2^2) \cdot c = h_1^3 \times h_2^2 + h_1^0 \times h_2^5$$

$$(h_1^1 \times h_2^1) \cdot c = h_1^4 \times h_2^1 + lh_1^1 \times h_2^4$$

$$(h_1^2 \times h_2^0) \cdot c = h_1^5 \times h_2^0 + h_1^2 \times h_2^3$$

sont également rationnelles. D'autre part, par un argument de transfert, $2h_1^1 \times h_2^4 = h_1^1 \times 2h_2^4$ est rationnel et comme $l$ est impair,

$$h_1^1 \times h_2^4 + h_1^4 \times h_2^1$$

est rationnel. Le cycle $J$ étant égal à la somme des trois cycles, $h_1^3 \times h_2^2 + h_1^0 \times h_2^5$, $h_1^1 \times h_2^4 + h_1^4 \times h_2^1$ et $h_1^5 \times h_2^0 + h_1^2 \times h_2^3$, il est par voie de conséquence rationnel. □

Le fait que $J$ soit une correspondance rationnelle signifie qu'il existe une correspondance $f$ telle que $f_{\mathbb{K}} = J$. Nous avons établi dans la proposition 3 que $J$ induit un isomorphisme entre $X(\alpha_1)_{\mathbb{K}}$ et $X(\alpha_2)_{\mathbb{K}}$. De même, $^tJ$ induit
un isomorphisme entre $\mathcal{X}(\alpha_2)_{\mathbb{K}}$ et $\mathcal{X}(\alpha_1)_{\mathbb{K}}$ et est également rationnelle comme transposé d'une correspondance rationnelle. Ainsi, d'après le théorème d'isomorphisme (cf. corollaire 3), $f \circ^t f$ et $^t f \circ f$ sont des automorphismes motiviques de $\mathcal{X}(\alpha_2)$ et $\mathcal{X}(\alpha_1)$ respectivement. Par conséquent, $f$ réalise un isomorphisme motivique de $\mathcal{X}(\alpha_1)$ dans $\mathcal{X}(\alpha_2)$.

Nous avons donc prouvé que les variétés $\mathcal{X}(\alpha_1)$ et $\mathcal{X}(\alpha_2)$ bien que non isomorphes en tant que variétés algébriques lisses sont motiviquement isomorphes.

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Jean-Paul Bonnet
U.S.T.L.
UFR de Mathématiques
Bâtiment M2
59655 Villeneuve d'Ascq Cédex
bonnet@agat.univ-lille1.fr