# Remarque sur la stabilité dans le cas d'une équation linéaire à paramètre retardé avec une perturbation non linéaire

par Z. MIKOŁAJSKA (Kraków)

Résumé. Dans le cas de l'équation

$$ (1) \qquad y'(t) = ay(t) + by(t-h) + f(t, y_t(\cdot)) $$

la relation

$$ y(t) = y_0(t) + \int_0^t Y(t-\tau)f(\sigma, y_\tau(\cdot))d\tau \quad (où y_\tau(\theta) = y(\tau+\theta) \text{ pour } -h < \theta < 0), $$

$y_0^\sigma(t)$ est la solution de l'équation linéaire $u'(t) = au(t) + bu(t-h)$ et $Y(t)$ est la solution de la même équation avec la condition

$$ Y(t) = \begin{cases} 1 & \text{pour } t = 1, \\ 0 & \text{pour } t < 0 \end{cases} $$

satisfait pour chaque solution de l'équation (1), et la théorie de l'inégalité de la forme

$$ u(t) < O_1 + O_2 \int_0^t g_\sigma^\sigma(\delta, u(\delta)) d\delta $$

permettent d'obtenir une condition suffisante de stabilité de la solution banale de l'équation (1), plus générale que la condition du type de Poincaré-Liapounov ou Dini-Chukuchara (cf. [1]).

Envisageons l'équation différentielle

$$ (1) \qquad y'(t) = ay(t) + by(t-h) + f(t, y_t(\cdot)), $$

où par définition $y_t(\cdot)$ est la fonction $y(t+\theta)$ de la variable $\theta$ pour $\theta \in [-h, 0]$.

Supposons que

I. $f(t, \varphi(\cdot))$ est continue pour $t \in [0, \infty)$, $\varphi$ continue dans $[-h, 0]$.

II. Pour chaque fonction $g(t)$ continue dans l'intervalle $[0, h]$ il y a unité des solutions $y(t)$ de l'équation (1) avec la condition

$$ (2) \qquad y(t) = g(t), \quad \text{pour } 0 \le t \le h. $$
Remarque 1. Sous les hypothèses I, II la solution $y(t)$ a la forme suivante (cf. [1]):

$$
(3) \qquad y(t) = y_0(t) + \int_h^t Y(t-\tau)f(\tau, y_\tau(\cdot))d\tau \quad \text{pour } t \ge 0
$$

où $y_0$ est la solution de l'équation linéaire

$$
(4) \qquad u'(t) = au(t) + bu(t-h) \quad \text{pour } t \ge h
$$

avec la condition (2) et $Y(t)$ est la solution de l'équation (4) pour $t \ge 0$
telle que

$$
(5) \qquad Y(t) = \begin{cases} 1 & \text{pour } t = 0, \\ 0 & \text{pour } t \le 0. \end{cases}
$$

HYPOTHÈSES H. 1° Supposons qu'il existe une constante $\lambda > 0$ telle que chaque solution de l'équation (4) avec la condition (2) satisfait à l'inégalité

$$
(6) \qquad |u(t)| \le Oe^{-\lambda t} \quad \text{pour } t \ge h
$$

(où $C$ est une constante dépendant de $g(t)$).

2° Supposons que

$$
(7) \qquad |f(\tau, y_\tau(\cdot))| \le \omega (\tau, \|y_\tau(\cdot)\|)
$$

où

$$
(8) \qquad \|y_{\tau}(\cdot)\| = \sup_{-h \le \theta \le 0} |y(\tau + \theta)|.
$$

3° $\omega(t, u)$ est une fonction continue par rapport à $(t, u)$ pour $u \ge 0$, $t \ge 0$.

4° $\omega(t, u)$ est croissante par rapport à $u$.

5° Pour chaque $k \ge 0$ il existe une constante $\alpha_k \ge 0$ telle que chaque solution $v(t)$ de l'équation

$$
(9) \qquad v'(t) = k \omega(t, e^{-\lambda t} v(t)) \cdot e^{\lambda t}
$$

satisfait à l'inégalité

$$
(10) \qquad |v(t)| \le \gamma e^{\alpha_k t} \quad \text{pour } t \ge h.
$$

$(\gamma$ dépend de la condition initiale et de $k$).

THÉORÈME 1. Sous les hypothèses I, II et H il existe une constante $\alpha^*$ telle que pour chaque fonction $g(t)$ continue dans $[0, h]$ on peut choisir une constante $M > 0$ de telle façon qu'on ait

$$
|y(t)| \le Me^{\alpha t} \quad \text{pour } t \ge 0,
$$

où $y(t)$ est la solution de l'équation (1) avec la condition initiale (2).
Démonstration. En vertu de la remarque 1 on a

$$y(t) = y_0(t) + \int_{h}^{t} Y(t-\tau)f(\tau, y_{\tau}(\cdot))d\tau$$

et par suite

$$|y(t)| \le |y_0(t)| + \int_{h}^{t} |Y(t-\tau)| |f(\tau, y_{\tau}(\cdot))| d\tau \\ \le c_1 e^{-\lambda t} + c_2 e^{-\lambda t} \int_{h}^{t} e^{\lambda \tau} \cdot \omega(\tau, \|y_{\tau}(\cdot)\|) d\tau .$$

d'où, en vertu de (8), on a

$$\|y_t(\cdot)\| \le c_1 e^{-\lambda(t-h)} + c_2 e^{-\lambda(t-h)} \int_{h}^{t} e^{\lambda\tau} \omega(\tau, \|y_{\tau}(\cdot)\|) d\tau.$$

Posons

$$\bar{C}_1 = e^{\lambda h} c_1, \quad \bar{C}_2 = e^{\lambda h} c_2, \quad \mu(t) = \|y_t(\cdot)\|e^{\lambda t}.$$

On a donc

$$(11) \qquad \mu(t) \le \bar{C}_1 + \bar{C}_2 \int_h^t e^{\lambda \tau} \omega(\tau, e^{-\lambda \tau} \mu(\tau)) d\tau.$$

Posons

$$w(t) = \bar{C}_1 + \bar{C}_2 \int_h^t e^{\lambda \tau} \omega(\tau, e^{-\lambda \tau} \mu(\tau)) d\tau.$$

On a, en vertu de (11),

$$w'(t) = e^{\lambda t} \bar{C}_2 \omega(t, e^{-\lambda t} \mu(t)) \le C_2 e^{\lambda t} \omega(t, e^{-\lambda t} w(t))$$

et par suite

$$(12) \qquad w(t) \le v(t) \quad \text{pour } t \ge 0$$

où $v(t)$ est la solution de l'équation (9) avec la condition

$$w(h) = v(h), \quad \text{et } h = \bar{C}_2.$$

En vertu de (10) il existe une constante $\gamma_0$ telle que

$$v(t) \le \gamma_0 e^{\alpha k t} \quad \text{pour } t \ge h$$

d'où, en vertu de (11) et (12), on a

$$\|y_t(\cdot)\|e^{\lambda t} = \mu(t) \le w(t) \le \gamma_0 e^{\alpha k t} \quad \text{pour } t \ge h$$

et par suite

$$\|y_t(\cdot)\| \le \gamma_0 e^{(\alpha k - \lambda)t} = \gamma_0 e^{\alpha t} \quad \text{pour } t \ge h.$$

Le théorème 1 est ainsi démontré.
**THÉORÈME 2.** Dans le cas où $f(t, 0) = 0$ et $a^* < 0$ (c'est-a-dire $a_k < \lambda$ pour $k = \bar{C}_2$) le théorème 1 entraîne la stabilité asymptotique de la solution $y = 0$ de l'équation (1).

**Remarque 2.** Dans le cas où

$$ (13) \qquad \left|f(t, y_t(\cdot))\right| \le e \|y_t(\cdot)\| $$
avec

$$ \varepsilon < \frac{\lambda}{c_2} e^{-\lambda h} $$

on a

$$ \omega(t, v) = \varepsilon v $$

et l'équation (9) a la forme

$$ v'(t) = \varepsilon kv(t), $$

donc

$$ v(t) = v(h)e^{-skh} \cdot e^{skt} \quad \text{pour } t \ge h, $$

$$ \gamma = v(h)e^{-\varepsilon kh}, \quad \alpha_k = \varepsilon k, $$

$$ v(h) = w(h) = \bar{C}_1, \quad k = \bar{C}_2 = c_2 e^{2h}, $$

$$ \varepsilon c_2 e^{2h} = \varepsilon k < \lambda $$

et par suite, pour

$$ \varepsilon < \frac{\lambda}{c_2} e^{-\lambda h} $$

on a

$$ \alpha_k < \lambda \quad \text{pour } k = \bar{C}_2 $$

donc il y a stabilité asymptotique.

Il est évident qu'il suffit de supposer l'inégalité (13) pour $\|y_t\|$ suffisamment petite.

**Remarque 3.** De la condition

$$ (13') \qquad \lim_{\|\varphi\| \to 0} \frac{\left|f(t, \varphi(\cdot))\right|}{\|\varphi(\cdot)\|} = 0 $$

uniformément par rapport à $t$ résulte la condition (13) pour $\|\varphi\|$ suffisamment petite, et par suite du théorème 2 résulte le théorème de Poincaré-Liapounov (cf. par exemple [1]).

**Remarque 4.** Le théorème du type de Dini-Chukuchara, c'est-à-dire le cas où

$$ (13'') \qquad \left|f(t, \varphi(\cdot))\right| \le \psi(t) \|\varphi(\cdot)\|, \quad \int_0^\infty \psi(\tau) d\tau < \infty $$
est aussi un cas particulaire du théorème 2. Dans le cas envisagé on a

$$\omega(t, u) = \psi(t) \cdot u.$$

L'équation (9) a la forme

$$(9'') \quad u'(t) = k\psi(t)u(t), \quad u(t) = u(0)e^{\int_0^t \psi(\tau)d\tau}, \quad \int_0^t \psi(\tau)d\tau \le O < \infty$$

et par suite

$$|u(t)| \le |u_0|e^{kC} \le \gamma e^{\alpha k t}$$

pour chaque $\alpha_k \ge 0$, $\gamma = |u_0|e^{kC}$.

Remarque 6. Posons

$$\omega(t, v) = Me^{at} \cdot v^{1+\beta}.$$

L'équation (9) a donc la forme

$$u'(t) = kMe^{at}(e^{-\lambda t} u)^{1+\beta}e^{\lambda t},$$

c'est-à-dire

$$u'(t) = kMe^{(\alpha-\beta\lambda)t}u^{1+\beta}.$$

Dans le cas où $\alpha - \beta\lambda < 0$ la solution $u(t)$ a pour

$$0 < u_0 < \left( \frac{kM\beta}{\lambda\beta - \alpha} \right)^{-1/\beta}$$

la forme

$$u(t) = \left\{ u_0^{-\beta} - \frac{kM\beta}{\lambda\beta - \alpha} (1 - e^{(\alpha - \lambda\beta)t}) \right\}^{-1/\beta} \le \left[ u_0^{-\beta} - \frac{kM\beta}{\lambda\beta - \alpha} \right]^{-1/\beta} = \gamma$$

et par suite en vertu du théorème 2 il y a stabilité asymptotique de la solution $y(t) = 0$ de l'équation (1). Le théorème ainsi obtenu est analogue au théorème bien connu de Ramarkischna dans le cas des équations différentielles sans retard (cf. par exemple [2]).

Remarque 7. Il est évident qu'on peut remplacer l'inégalité

$$|f(t, y_t(\cdot))| \le Me^{at} \|y_t(\cdot)\|^{1+\beta} \quad \alpha - \beta\lambda < 0$$

par l'inégalité

$$|f(t, \varphi(\cdot))| \le \psi(t) |\varphi(\cdot)|^{1+\beta}$$

où

$$\int_0^t \psi(s) e^{-\beta\lambda s} ds \le O < \infty \quad \text{pour } 0 \le t < \infty.$$

Dans le cas envisagé de l'équation

$$(9) \qquad u'(t) = k\psi(t)e^{-\beta\lambda t}u^{1+\beta}$$
on obtient

$$u^{-\beta}(t) = u_0^{-\beta} - k \int_0^t \psi(s) e^{-\beta \lambda s} ds \ge u_0^{-\beta} - kC \quad \text{pour } \dot{0} \le t < \infty$$

et par suite, pour $0 < u \le [kC]^{-1/\beta}$, on a

$$u(t) = [u_0^{-\beta} - k \int_0^t \psi(s) e^{-\beta \lambda s} ds]^{-1/\beta} \le [u_0^{-\beta} - kC]^{-1/\beta} = \gamma.$$

### Travaux cités

[1] Bellman Cooke, *Differential-difference equation*, Academic Press, New York, London 1963.

[2] Б. П. Демидович, *Лекции по математической теории устойчивости*, Издат. „Наука“, Москва 1967.

Reçu par la Réaction le 5. 6. 1975