et Lucie apporte un « model *for* » (non assumé au départ)<fnref n="4" />. Sous l'influence de la formation,
l'enseignant Christian a dénaturé la tâche et rendu le modèle unique (ceci est repéré grâce aux
itinéraires de tâche dans l'ETM) (« model *for* » assumé). Chez Christian, nous avons noté une
tension entre sa gestion de classe et l'ouverture de la situation en termes de modèle décelée
grâce au cadre des ETM.

CONCLUSION GENERALE DES DEUX ATELIERS

Tout au long du cours, nous avons observé que le rôle des artefacts était central dans le travail
des élèves. Dans le cas du premier atelier, nous avons vu comment la nature des artefacts
conduit les élèves à différents types de réflexion et de processus cognitifs. Par exemple, les
artefacts matériels (balle attachée à une corde) amènent les élèves à exécuter le mouvement de
manière pragmatique, à utiliser leurs perceptions pour diriger le mouvement et à en obtenir des
représentations physiques. Avec Tracker l'abstraction du mouvement commence par une
approche physique, pour parvenir à des représentations de tableaux de valeurs et de graphiques
(en gardant une notation et une approche physiques) ce qui produit une transition du monde
réel vers le monde plus mathématique de la part des élèves. Le travail est validé à travers des
perceptions et des éléments du référentiel théorique des élèves venant du cours de cinématique.
Avec GeoGebra, l'abstraction est davantage dans le sens mathématique avec des équations
paramétriques et des développements algébriques où les variables physiques sont implicites et
les processus de pensée sont abstraits dans le sens mathématique. Le deuxième atelier a eu une
dynamique différente du premier, et nous avons vu comment l'artefact tableur amène les élèves
à des processus déductifs dans la situation du lièvre et la tortue. De plus, nous avons constaté
que l'enseignante a joué un rôle important au moment d'utiliser cet artefact provoquant
l'activation de certains plans par les élèves dans l'ETM idoine, ainsi que le modèle utilisé pour
résoudre la tâche.

Ainsi, nous pouvons parler des différents types de modèles obtenus à partir des artefacts de
différente nature comme la balle attachée à une corde, le logiciel Tracker, le logiciel GeoGebra,
le tableur. Cela a été mis en évidence dans l'atelier grâce aux outils théoriques permettant
d'analyser les activités proposées ainsi que de caractériser le travail des élèves mexicains et
français : l'ETC, l'ETM, le cycle de modélisation, les instruments utilisés par les participants à
l'atelier. De cette manière, les deux ateliers ont mis en avant le fait que la modélisation mobilise
des modèles émergents et implique une discussion sur des hypothèses simplificatrices.
Également, si nous avons mis une focale sur la dimension instrumentale des ETM, les deux
autres dimensions sémiotique et discursive seraient intéressantes également à questionner dans
nos futurs travaux de recherche en lien avec la modélisation.

Ce que nous avons constaté dans ces ateliers nous fait penser à compléter les analyses, dans
ces deux études avec les apports de la théorie des ETM par une analyse du travail développé en
lien avec la mathématisation horizontale précisée par la RME (Gravemeijer et Doorman, 1999).
Cela permettrait de passer d'une situation réelle vers une situation traitée avec des symboles
traitables dans le cadre des mathématiques (voir texte d'Alain Kuzniak).

<footnote n="4">⁴ Un « model *for* » est entendu comme un modèle construit d'une certaine réalité avec une dimension représentationnelle et instrumentale dérivée du « model *of* », où les représentations et les instruments appartiennent aux mathématiques : il devient un outil abstrait pour faire des mathématiques (Lagrange et al., 2022).</footnote>
RÉFÉRENCES

BLUM, W., & LEISS, D. (2007). How Do Students and Teachers Deal with Mathematical Modelling Problems? The Example Sugaloaf und the DISUM Project. In C. Haines, P. L. Galbraith, W. BLUM, & S. KHAN (Eds.), *Mathematical Modelling (ICTMA12)-Education, Engineering and Economics*. Horwood.

BOULEAU, N. (2014). *La modélisation critique*. Quae.

DUVAL, R. (1995). *Sémiosis et pensée humaine*. Éditions Peter Lang.

GRAVEMEIJER, K., & DOORMAN, M. (1999). Context problems in realistic mathematics education: A calculus course as an example. *Educational Studies in Mathematics*. 39, pp. 111–129. https://doi.org/10.1023/A:1003749919816

LAGRANGE, J.B., HUINCAHUE, J., & PSYCHARIS, G. (2022). Modeling in Education: New Perspectives Opened by the Theory of Mathematical Working Spaces. In A. Kuzniak, E. Montoya & P. Richard (Eds.). *Mathematical Work in Educational Context: The perspective of the Theory of Mathematical Working Spaces* (pp. 247-266). Springer.

MASSELIN, B., (2019). *Étude du travail de l'enseignant autour de la simulation en classe de troisième et seconde : métamorphose d'un problème au fil d'une formation en probabilité*. [Thèse de doctorat, Université Paris Diderot]. https://theses.hal.science/tel-02318669/file/MASSELIN_Blandine_vd2.pdf

MASSELIN, B. & FLORES GONZALEZ, M. (2020). Étude du travail idoine, le cas de la simulation en probabilité., In M. González Flores, A. Kuzniak, A. Nechache & L. Vivier (Eds), *Regards croisés sur le travail mathématique, Cahier du LDAR, 21* (pp.85-102), IREM Université de Paris

MASSELIN, B., ARTIGUE, M. & HARTMANN, F. (à paraître). Étude du rôle des facilitateurs en Lesson Study adapté. *Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, Numéro spécial*.

NECHACHE, A. (2016). *La validation dans l'enseignement des probabilités au niveau secondaire*. [Thèse de doctorat. Université Paris Diderot]. https://theses.hal.science/tel-01345747/file/Manuscrit-Assia-Nechache-IREM.pdf

NECHACHE, A. (2017). Les catégorisations des taches et du travailleur-sujet : un outil méthodologique pour l'étude du travail mathématique dans le domaine des probabilités. *Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 22*, pp. 67–90.

REYES-AVENDAÑO, C. (2020). *Enseignement et apprentissage des fonctions numériques dans un contexte de modélisation et de travail mathématique*. [Thèse de doctorat, Université de Paris]. https://theses.hal.science/tel-03211997/document
# ANNEXES

## Annexe 1 : Extrait de corpus situation Mouvement Circulaire Uniforme

### Autour du mouvement circulaire uniforme

Pour chacun des trois temps :

1. Indiquez les registres de représentation mobilisés par les élevés. Précisez de quelle façon, ils sont mobilisés.

2. Indiquez les différents artefacts utilisés par les élèves. Précisez de quelle façon, ils sont mis en œuvre.

3. Précisez les modèles qui apparaissent. Donnez les objets mathématiques ou physiques qui constituent ces modèles.

4. Décrivez le travail mathématique développé par les élevés à l'aide du diagramme. Précisez la circulation du travail.

### Premier temps

Les élèves devaient effectuer un mouvement circulaire, en essayant de rendre le mouvement le plus uniforme possible.

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>(a) Diabolo Chinois</figcaption></figure>

1. Les élèves ont choisi un diabolo chinois comme artefact matériel.

2. En utilisant le diabolo chinois, les élèves ont réussi à enregistrer le mouvement mais ils ont trouvé que le mouvement ne correspondait pas un MCU.

<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>(b) Balle attachée à une corde</figcaption></figure>

3. Les élèves décident de changer d'artefact matériel et choisissent une balle attachée à une corde

4. Avec cet artefact matériel, les élèves expliquent que le mouvement qu'ils ont effectué répond aux caractéristiques demandées.

Ils donnent l'explication suivante pour justifier leur choix : « Nous avons choisi un diabolo chinois, mais nous n'avons pas pu le centrer, alors nous avons opté pour une corde à laquelle est attachée une balle. Bien que le centre ne soit pas très précis, nous pensons avoir réussi à obtenir un MCU.»
Deuxième temps

La vidéo qu'ils ont obtenue du mouvement est analysée à l'aide du Tracker et ils observent que cela ressemble bien à un MCU. Les élèves utilisent Tracker pour obtenir des informations complémentaires sur le mouvement.

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

<figure><img src="image_45.png" /></figure>
# Troisième temps

## Annexe 2 : Extrait de corpus autour des probabilités, le « jeu du lièvre et de la tortue »

### Premier temps

**Production du groupe à la fin de la première heure**

On fait cette expérience un grand nombre de fois, alors on utilise la méthode fréquentiste.

On effectue 1000 fois le 1er lancer.

Puis on soustrait au nombre de lancers total (1000) le nombre de parties gagnées par le lièvre, soit

$1000-181=819$

On effectue 819 fois le 2e lancé, étant donné que 181 parties ont déjà été gagnées.

On répète cette expérience 6 fois.

$819 - 136 = 683$

$683 - 130 = 553$

$553 - 92 = 461$

$461 = $

### Deuxième temps (Script Vidéo Groupe de Gloria)

**Échange entre l'enseignante Lucie et le groupe (E1, E2 et E3)**

Lucie : Pour savoir vous avez mis un nombre Si, d'accord et ensuite pour savoir ce que vous avez fait ?

E1 : Ici sur la feuille on a fait le nombre de parties total puis on a fait « moins » par exemple, là, 160 vu que ce nombre de parties a déjà été gagné et on a pris le nombre de parties qu'il restait au total et on a refait exactement la même chose.

Lucie : D'accord donc là, vous avez fait une 2ème manche mais seulement pour les parties qui n'ont pas été gagnées par le lièvre. Donc au premier vous en aviez 820 qui n'avaient pas été gagnées par le lièvre donc vous en avez rejoué 820, enfin 819 quoi.

E1 : Oui

Lucie : D'accord et après pour toutes les parties qui n'ont pas été gagnées ni sur la première manche ni sur la deuxième manche, vous avez inventé une troisième manche.

E1 : C'est ça.

Lucie : Alors là vous êtes embêtés car du coup tout a bougé. Comment on va s'y prendre alors pour que justement j'ai un fichier qui résiste ?

E1 à E2 : Je ne sais pas

Lucie : Alors je peux vous donner le conseil de reprendre les 1000 parties à chaque fois, vous rejouez pour chacune des manches les 1000 parties. Même pour celles qui sont gagnées, ce n'est pas grave, vous rejouez quand même la deuxième manche même si elle a été gagnée dès la première manche. Ça ne vous coûte rien au niveau de coûts de calculs de l'ordinateur, on est d'accord ? Donc là sur les 136 parties qui vous manques, 136, vous allez combler le manque en rejouant les parties. Et plutôt que de regarder manche par manche pour savoir si la partie est gagnée par le lièvre, vous jouez les six parties et c'est à la fin des six parties que vous allez regarder si le lièvre a gagné ou pas gagné. D'accord, ça va ? Donc l'avantage c'est que je fais des manches qui ne me servent à rien car si effectivement si le lièvre gagne dès la première manche, toutes les autres, tout l'algorithme de calculs que je fais faire au tableur, je n'en avais pas besoin. Mais comme ça ne lui demande pas de temps, de toute façon ce n'est pas très grave.

E1 : Oui

Une fois que l'enseignante quitte le groupe.

E2 à E1 : Tu fais 1000 fois les six, tu fais six fois, tu fais six colonnes de 1000.

E1 : Donc là tu enlèves E2 : Elle ne t'a pas dit « fais étape par étape », elle a dit « On regarde à la fin si le ... » E1 : D'accord E2 : Et s'il ne gagne pas la première manche, on s'en fiche.

E1 : Pourquoi s'il gagne la première manche, on s'en fiche ? parce que s'il gagne la première manche, il gagne.

E2 : Oui mais elle a dit que ça ne nous coûte rien.

E1 : Oui mais par rapport aux résultats, ça nous coûte.

E2 : Et bien je ne sais pas. C'est ce qu'on voulait faire au début.
E1 : Pour moi ça ne va pas parce que s'il a gagné au premier, il n'y a plus besoin de faire
le reste. Si là il y a six les cinq autres plages, elles sont inutiles. Mais là, on ne va pas pouvoir
mettre NB.SI (6) parce qu'il aura déjà gagné ici.

E2 : Je ne sais pas, j'ai compris mais.

Troisième temps

Production du groupe à la fin de la deuxième heure

On utilise le tableur. On fait 6 colonnes dans lesquelles on fait 1000 fois l'expérience.

En entrant la formule « =alea.entre.bornes(1; 6) »

Puis on compte le nombre de 6 dans chaque ligne dans chaque ligne : « =nb.si(A2:F2;6) »

S'il est écrit 0, la tortue gagne.

Si le nombre est entre 1 et 6, le lièvre gagne.

On compte le nombre de 0. « =nb.si(H2:H1001;0) » Il y a environ 300 « 0 »

On calcule le nombre de parties gagnées par le lièvre : « =1000-J2 » ce qui donne environ 700.

On calcule la fréquence de chacun.

Tortue : « =J2/1000 » environ égal à 0,7

Lièvre : « =K2/1000 » environ égal à 0,3

Donc le lièvre a plus de chance de gagner.

Annexe 3 : Le « jeu du lièvre et de la tortue »

Une course se passe entre un lièvre et une tortue : on dispose d'un parcours à 6 cases en ligne. On lance un dé équilibré à 6 faces. Si le 6 sort, le lièvre gagne, sinon la tortue avance d'une case. La tortue gagne quand elle arrive sur la 6ème case.

Qui a le plus de chances de gagner ?

Annexe 4 : Poster sur la disparition du thon rouge en Méditerranée.

<figure><img src="image_46.png" /></figure>
Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
# DEPASSER LES PRAXEOLOGIES MUETTES DE MODELISATION :
UN PARCOURS D'ETUDE ET DE RECHERCHE POUR LA FORMATION
DES ENSEIGNANTS

Floriane Wozniak*, Berta Barquero**, Marianna Bosch**, Danielly Kaspary***

## RÉSUMÉ

De précédentes recherches en théorie anthropologique du didactique ont montré que les besoins de connaissances mathématiques et didactiques pour enseigner la modélisation génèrent des praxéologies muettes (Wozniak, 2012). Les enseignants dirigent l'étude vers le recours à des outils mathématiques pour construire des réponses à des problèmes, mais souvent le processus de modélisation n'est pas explicité. Il s'agit d'enseigner les réponses plutôt que les moyens de les produire. L'objet de ce texte est de présenter et interroger un parcours d'étude et de recherche pour la formation des enseignants autour de la modélisation (Barquero, Bosch & Wozniak, 2019) pour de futurs enseignants de l'école primaire à l'Université de Barcelone (Espagne). Nous montrons comment cette formation permet le développement de praxéologies didactiques qui fassent vivre pleinement le processus de modélisation.

Mots-clefs : modélisation, Théorie Anthropologique du Didactique, praxéologie muette, Parcours d'Etude et de Recherche pour la formation des enseignants

## ABSTRACT

Previous research in the anthropological theory of the didactic has shown that the mathematical and didactic knowledge requirements for teaching modelling generate silent praxeologies (Wozniak, 2012). Teachers direct the study towards using mathematical tools to construct answers to problems, but the modelling process is not often made explicit. It is a question of teaching the answers rather than the means to produce them. The purpose of this paper is to present and interrogate a study and research path for teacher education around modelling (Barquero, Bosch & Wozniak, 2019) for future primary school teachers at the University of Barcelona (Spain). We show how this training allows the development of didactic praxeologies that bring the modelling process to life.

Keywords: modelling, Anthropological Theory of Didactics, silent praxeology, Study and Research Path for Teacher Education

## INTRODUCTION

Dans son cours, Berta Barquero a présenté deux exemples de formations, l'une au lycée et l'autre à l'université, qui répondent au problème de l'enseignement de la modélisation didactique à partir des outils de la théorie anthropologique du didactique. Ces exemples montrent le lien entre la conception de la modélisation que propose cette approche (dimension *épistémologique*) et les stratégies didactiques que l'on peut mettre en place pour faire vivre les mathématiques en tant qu'activité de modélisation (dimension *économique*). Nous abordons ici un troisième exemple dans le cadre de la formation de futurs professeurs des écoles à l'enseignement de la modélisation.

Yves Chevallard (1989) propose de décrire le processus de modélisation comme trois pôles en interaction : la définition du système par l'identification des variables qui permettent de circonscrire la question étudiée ; la construction du modèle qui comprend des relations entre ces variables ; le travail du modèle qui permet de produire de nouvelles connaissances sur le système étudié. Nous considérons ainsi, de façon minimale, qu'un système est un découpage (arbitraire) de la réalité et qu'un modèle est tout ce qui contribue à apporter une information sur ce système, quels que soient son niveau de mathématisation et les types d'ostensifs utilisés. Cet auteur distingue le travail du modèle (ou *dans* le modèle) et le travail sur le modèle qui est « la construction de modèles successifs, mieux adaptés à l'étude » (*op. cit.*, p. 57). Le travail du modèle peut conduire en effet à redéfinir le système et conséquemment le modèle lui-même du fait de la possible réversibilité de la relation système/modèle : « Le rapport du système au

<footnote>* Université de Toulouse Jean Jaurès, EFTS.</footnote>

<footnote>** Universitat de Barcelona.</footnote>

<footnote>*** Université de Grenoble Alpes, LIG, MeTAH.</footnote>
modèle peut en effet s'inverser ; le système peut apparaître, à rebours, comme un modèle de son modèle. » (op. cit., p. 56). De cette articulation du système avec son modèle émerge la réponse au problème initial posé.

De précédents travaux (Wozniak, 2012) ont montré comment les enseignants de l'école primaire en France enseignent les solutions plutôt que les praxéologies de l'étude. L'enjeu didactique, révélé par les discours technologiques des praxéologies mathématiques mises en œuvre, n'est pas la démarche de modélisation, mais la consolidation d'objets de savoir mathématiques déjà institutionnalisés qu'il s'agit d'appliquer au contexte du problème. Il manque des mots, des ostensifs et des concepts aux professeurs pour que se révèle le processus de modélisation dans la classe. D'un point de vue théorique, ces observations ont conduit à catégoriser les praxéologies en fonction de la place et du rôle du discours technologique :

> Nous considérons qu'une praxéologie est muette lorsqu'elle se donne à voir uniquement au travers de sa composante praxis ; seule la technique mise en œuvre dans un rapport d'action est perceptible alors que la composante logos n'est pas audible, à moins qu'elle ne soit simplement tue. Une praxéologie faible laisse entrevoir la composante logos au travers des ostensifs associés à la technique mise en œuvre ; le discours technologique reste implicite ou limité à la seule description de la technique dans un rapport de formulation non encore abouti. Enfin, une praxéologie forte met en œuvre dialectiquement les deux composantes praxis et logos dans des rapports d'action, de formulation et de validation. (op. cit. 38-39).

Ce sont bien des praxéologies de modélisation muettes qui sont observées et un manque de connaissances mathématiques et didactiques sur les processus de modélisation qui est constaté. Ce texte présente et interroge une stratégie de formation à l'Université de Barcelone dont l'objectif est de fournir aux futurs professeurs d'école primaire les outils conceptuels qui nourriront leurs discours pour expliquer et analyser le processus de modélisation, par exemple :

- identification des variables de description du système, des observables, des données du système ;

- identification dialectique des différents modèles envisageables et des hypothèses qui les fondent ;

- choix d'un modèle sur la base d'une discussion sur le bien-fondé des hypothèses émises et clairement énoncées ;

- discussion de la portée du modèle, c'est-à-dire explicitation de son domaine de validité en évaluant le degré d'approximation de la réponse construite à l'aide du modèle par confrontation à la contingence du système.

Dans la première partie de ce texte, nous construisons un modèle praxéologique de référence pour l'analyse du processus de modélisation (MPR-Boîte du pâtissier) d'un problème dont l'étude a été expérimentée à l'école primaire, au collège et en formation d'enseignants du primaire en France et en Espagne. La nécessité d'élaborer un modèle praxéologique de référence est heuristique : c'est une mise au jour de la grille de lecture des situations par le didacticien qui est implicitement « toujours là ». Il s'élabore sur la base des praxéologies qui pourront vivre dans l'institution dont sont issues les situations qui seront analysées. Dans une seconde partie, nous examinons des productions de professeurs des écoles en formation initiale qui analysent ce problème. Le MPR-Boîte du pâtissier servira de grille d'analyse des praxéologies observées et sera, dans le même mouvement, mis à l'épreuve par cette confrontation à l'empirie. Enfin, dans la troisième partie, nous présentons le dispositif de formation de l'université de Barcelone et interrogeons la stratégie développée en lien avec les besoins praxéologiques des professeurs pour enseigner la modélisation. En particulier, nous revenons sur les parcours d'étude et de recherche pour la formation des enseignants et les cartes questions-réponses comme outil d'analyse de l'activité de modélisation mise en œuvre.
## ANALYSE A PRIORI DE LA SITUATION « LA BOITE DU PATISSIER »

La situation que nous considérons est inspirée d'une expérimentation en fin d'école primaire en France (Chappaz & Michon, 2003) : un pâtissier souhaite fabriquer différentes boîtes pour emballer ses gâteaux. Il envisage d'utiliser un mode de fabrication par pliage (figure 1). Comment peut-il s'assurer qu'avec le procédé choisi, il pourra effectivement emballer ses gâteaux ?

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>**Figure 1.** – Notice de pliage de la boîte (Chappaz & Michon, 2003, p. 32).</figcaption></figure>

L'étude de cette situation amène différentes questions comme : peut-on obtenir n'importe quelle boîte ? Quel type de boîtes peut-on obtenir ? Est-ce qu'il y un lien entre la forme de la boîte et la forme de la feuille ? Faut-il une feuille carrée pour obtenir une boîte carrée ? Que se passe-t-il si on plie la feuille dans le sens de la longueur ou dans le sens de la largeur ? Les réponses à ces questions se fondent sur l'élaboration de modèles et appellent de nouvelles questions. Ce faisant, une succession de modèles se construisent qui intègrent les modèles précédents.

### 1. Un premier modèle empirique-mesure

La construction de boîtes à partir de feuilles rectangulaires non-carrées permet de découvrir qu'on peut fabriquer deux boîtes différentes (figure 2) suivant que l'on plie dans le sens de sa longueur ou de sa largeur, alors qu'avec une feuille carrée, on ne peut fabriquer qu'une seule boîte (puisque largeur et longueur de la feuille se confondent).
<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>**Figure 2.** – Les deux boîtes fabriquées avec une même feuille A4.</figcaption></figure>

Si on mesure les dimensions de la boîte à partir de feuilles de différentes dimensions (voir tableau 1), de nouveaux constats peuvent être faits : avec une feuille carrée, on n'obtient pas une boîte à fond carré ; avec une feuille rectangulaire, on peut obtenir une boîte à fond carré ou rectangulaire. *In fine*, il n'y a pas de lien apparent entre la forme de la feuille et la forme du fond de boîte.

<table><caption>**Tableau 1.** – Mesures des dimensions d'une boîte à partir du pliage d'une feuille.</caption><thead><tr><th rowspan="2">Feuille</th><th colspan="3">Boîte</th></tr><tr><th>Longueur (cm)</th><th>Largeur (cm)</th><th>Hauteur (cm)</th></tr></thead><tbody><tr><td>24 cm × 24 cm</td><td>8</td><td>16</td><td>4</td></tr><tr><td>14 cm × 21 cm</td><td>7</td><td>7</td><td>3,5</td></tr><tr><td>14 cm × 21 cm</td><td>16,3</td><td>4,6</td><td>2,3</td></tr><tr><td>13 cm × 15 cm</td><td>8</td><td>5</td><td>2,5</td></tr><tr><td>13 cm × 24 cm</td><td>8</td><td>5</td><td>4</td></tr></tbody></table>

Les mesures des boîtes à partir de feuilles de dimensions différentes permettent néanmoins de constater que l'on peut obtenir deux boîtes ayant le même fond mais pas la même hauteur. Et, à regarder les données du tableau, il semble que la hauteur soit toujours la moitié d'une des deux dimensions du fond de la boîte. L'étude de cette question conduit à enrichir le système étudié feuille/boîte de ce premier modèle empirique-mesure et, ce faisant, à concevoir un nouveau modèle.

## 2. Un second modèle géométrico-numérique

En dépliant la feuille, une analyse géométrique des plis – dont certains représentent les dimensions de la boîte – devient possible et permet la recherche d'une relation entre leurs différentes longueurs. Ces analyses reposent sur la connaissance de propriétés géométriques élémentaires, notamment celles du carré (par exemple, ses diagonales sont des axes de symétrie), et sur la recherche de relations numériques entre les longueurs (voir figure 3).

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>**Figure 3.** – Chappaz & Michon (2008, p.27).</figcaption></figure>

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
Sur la figure 3, le fond de la boîte est hachuré, sa largeur mesure 8 cm et sa longueur 10 cm. Les plis forment 6 bandes verticales constituées de deux carrés et d'un rectangle. La longueur des côtés des 12 carrés présents sur la figure correspond à la largeur d'une bande. Ces observations qui s'appuient sur le procédé de pliage sont validées par les propriétés géométriques des figures ainsi construites. Elles permettent d'établir que la hauteur de la boîte est bien la moitié de sa largeur qui est égale au tiers de la longueur de la feuille tandis que la longueur de la boîte est égale à la largeur de la feuille moins deux hauteurs. Ces relations ainsi identifiées généralisent ce qui s'observait avec la fabrication des différentes boîtes et leurs mesures, faisant de ce deuxième modèle un enrichissement du premier. L'effort de généralisation se poursuit en considérant deux nouvelles questions : Quelle boîte peut-on fabriquer avec une feuille de dimension donnée ? Quelle feuille doit-on prévoir pour obtenir une boîte de dimensions données ?

### 3. Un modèle algébrique et un modèle fonctionnel

Nous l'avons vu avec la figure 2 : une feuille rectangulaire non-carrée permet de construire deux boîtes différentes selon le sens du pliage. En notant *l* et *L* respectivement la largeur et la longueur de la feuille (*L* > *l*), *x* et *y* les deux dimensions du fond de la boîte et *h* sa hauteur, on peut établir les relations algébriques qui lient les dimensions de la feuille et de la boîte selon les deux orientations des plis. Si les plis sont parallèles à la largeur (image de gauche dans la figure 4) : $x = L/3$, $h = x/2 = L/6$, $y = l - 2h = l - L/3$ ou $L = 3x = 6h$ et $l = y + x$. Si les plis sont parallèles à la longueur de la feuille (image de droite dans la figure 4) : $x = l/3$, $h = x/2 = l/6$, $y = L - 2h = L - l/3$ ou $l = 3x = 6h$ et $L = y + x$. Notons que dans le premier cas $2x > y$ et dans le second cas $2x < y$.

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>**Figure 4.** – Les dimensions de la feuille et de la boîte selon les deux orientations des plis.</figcaption></figure>

Lorsque la feuille est carrée, longueur *L* et largeur *l* sont égales et les dimensions de la boîte sont : $x = L/3 = l/3$, $h = x/2$ et $y = 2x$.

En revanche, pour fabriquer une boîte à fond carrée à partir de ce procédé de pliage (ce qui nécessite d'avoir la relation $x = y = 2h$), il faut une feuille rectangulaire de dimensions $l = 2x = 2y$ et $L = 3x = 3y$ et seul le premier cas de pliage est possible.

Poursuivant le travail de généralisation et de développement du modèle algébrique, pour traiter des problèmes de maximisation de volume par exemple, on peut construire un quatrième modèle fonctionnel. Ce faisant, on passe d'une modélisation en (*L*,*l*) à une modélisation plus symétrique en (*a*,*b*). En considérant le premier sens de pliage, la fonction $F_1$ associe aux dimensions (*a*, *b*) d'une feuille, les dimensions (*x*, *y*, *h*) de la boîte qu'on peut fabriquer et, en
sens inverse, la fonction $F_2$ associe aux dimensions d'une boîte de fond $(x, y)^1$, les dimensions de la feuille nécessaire pour la fabriquer selon ce procédé :

$$F_1 : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3; F_1(a, b) = (a/3; b - a/3; a/6);$$

$$F_2 : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2; F_2(x, y) = (3x; x + y).$$

Remarquons que, ces fonctions étant linéaires, on peut aussi les exprimer sous forme matricielle :

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1/3 & 0 \\ -1/3 & 1 \\ 1/6 & 0 \end{pmatrix}, M_2 = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Et l'on observe que leur composition donne :

$$M_1 \cdot M_2 = \begin{pmatrix} 1/3 & 0 \\ -1/3 & 1 \\ 1/6 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}$$

On retrouve que ce n'est pas n'importe quelle boîte qui peut être fabriquée par ce procédé, mais seulement des boîtes dont la hauteur est la moitié d'une des dimensions du fond de cette boîte. Le deuxième type de pliage (plis parallèles à la longueur) est représenté par les fonctions $G_1(a, b) = F_1(b, a)$ et $G_2(x, y) = (x + y, 3x)$, ce qui montre bien la symétrie de la construction.

Cette rapide analyse montre comment les organisations mathématiques s'enrichissent et se développent au fur et à mesure que de nouvelles questions émergent. Chaque modèle mathématique est motivé par de nouvelles questions et devient un élément du système sur lequel se construit le modèle mathématique suivant, comme l'illustre la figure 5.

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>**Figure 5.** – Bilan du processus de modélisation par le développement de modèles successifs.</figcaption></figure>

Ce modèle du processus de modélisation va maintenant servir de modèle praxéologique de référence pour analyser les praxéologies de modélisation pour l'étude de la situation de la boîte du pâtissier. Nous l'appellerons MPR-Boîte du pâtissier dans la suite.

## UN PARCOURS D'ÉTUDE ET DE RECHERCHE POUR LA FORMATION

La situation de la boîte du pâtissier est utilisée en formation initiale des professeurs des écoles à l'Université de Barcelone. Son étude se déroule selon huit séances de 2 heures avec un groupe de 40 étudiants, en troisième année (sur cinq années de formation). Bien que cette activité ait été expérimentée depuis l'année académique 2012-13, dans ce texte, nous nous concentrons sur

<footnote n="1">¹ Rappelons que la hauteur de la boîte est toujours la moitié d'une des dimensions du fond.</footnote>
sa mise en œuvre en 2019-20 où la formation s'est développée en anglais (au lieu du catalan qui est la langue courante d'usage). La conception du processus suit les trois premiers modules du dispositif de formation proposé par les parcours d'études et de recherche pour la formation des enseignants (PER-FE) (Barquero, Bosch & Romo, 2018).

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>**Figure 6.** – *Structure générale des PER-FE (Ruiz-Olarría, 2015 ; Barquero et al., 2018)*</figcaption></figure>

Dans le premier module, les étudiants (enseignants en formation initiale) sont confrontés aux questions suivantes : « Comment enseigner la modélisation à l'école primaire ? À travers quelles activités de modélisation ? ». Nous avions utilisé la situation de la recherche de la taille d'un géant dans un parc d'attractions (Wozniak, 2012) comme introduction, afin de les familiariser avec une activité de modélisation. Cette activité a également servi à établir un lexique commun : système, modèle, hypothèses, variables du système, résultats mathématiques, interprétation, validation du modèle, etc. Certains des principaux résultats décrits dans Wozniak (2012) ont été exposés aux étudiants.

Dans le deuxième module, trois séances ont été consacrées à la mise en œuvre de l'activité de la boîte du pâtissier (décrite dans la section précédente), où les futurs enseignants ont été invités à se mettre en position d'élève. L'objectif principal de ce module est de leur faire vivre une activité mathématique peu familière qui pourrait, sous certaines conditions, exister dans une classe ordinaire. Puis, par groupe, les étudiants doivent étudier la situation de modélisation et rédiger un rapport qui décrive les questions qu'ils se sont posées et les réponses qu'ils y ont apportées (voir Annexe 1). Le troisième module s'est étalé sur trois séances, au cours desquelles les étudiants ont analysé le processus de modélisation tel qu'il a été vécu. Des mises en commun des rapports des étudiants ont permis à la formatrice d'institutionnaliser les éléments du processus de modélisation ainsi que leur analyse (limitations des différents types de modèles, questions qu'ils permettent de poser, etc.). Les modules 4 et 5 n'ont pas été implémentés.

Dans la section suivante, nous présentons l'analyse des rapports des étudiants qui nous ont permis d'identifier les modèles qui se construisent successivement, l'évolution du système avec l'avancée du processus et le rôle de modèles préexistants (comme la règle de trois ou la proportionnalité) dans le milieu des étudiants (voir Annexe 2). Du fait de la réversibilité système/modèle, le modèle de référence que nous avons conçu pour analyser les praxéologies de modélisation peut devenir le système étudié selon une dialectique outil/objet. Ainsi, symétriquement, l'observation de praxéologies effectives joue le rôle de milieu pour mettre à l'épreuve notre modèle de référence. Cette confrontation à l'empirie pourrait alors nous conduire à compléter ou modifier notre MPR-Boîte-Pâtissier et/ou à reconsidérer sa
représentation graphique par emboîtements de modèles successifs si elle apparaissait mal
adaptée ou avec des limitations pour décrire les phénomènes didactiques identifiés.

ANALYSE DE PRAXEOLOGIES DE MODELISATION

Nous considérerons à présent le rapport de deux groupes d'étudiants que nous appellerons
groupe A et groupe B dans la suite. Ces rapports sont élaborés tout au long du module 2 du
PER-FE quand les enseignants en formation assument le rôle d'étudiants lors de l'activité de
modélisation de la boîte du pâtissier. L'annexe 2 inclut un résumé de ces deux rapports. La
situation est présentée ainsi :

Nous voulons aider un chef pâtissier qui a besoin d'aide pour emballer ses gâteaux dans des boîtes.
Elle veut utiliser le même type de boîtes qu'elle a déjà utilisé. Elle collecte actuellement toutes les
tailles des gâteaux et autres produits sucrés qu'elle vend dans sa pâtisserie pour nous en faire part
(très bientôt !). Mais, avant d'avoir cette information, nous devons nous familiariser avec le type de
boîtes qu'elle utilise pour emballer les gâteaux afin de pouvoir l'aider.

Une fois que les étudiants savent réaliser des boîtes, les questions génératrices de l'étude se
posent : Comment construire des boîtes pour aider le pâtissier à emballer la variété de gâteaux
qu'il propose ? Quelle relation existe-t-il entre les tailles des gâteaux, les tailles du matériau
initial (papier ou carton) que nous utilisons et les tailles des boîtes fabriquées ? À ce moment-
là, le système S₀ est fait de feuilles, de boîtes et de la méthode de pliage. L'étude est structurée
par trois phases, chacune associée à une question :

Q01 : Quelles sont les dimensions d'une boîte issue d'un papier dont les dimensions sont connues ?

Q02 : Quels sont les formats de papier initiaux dont nous avons besoin pour construire une boîte avec des dimensions spécifiques ?

Q03 : Comment construire les boîtes avec couvercles dont le pâtissier a besoin ?

Notons que le milieu de l'étude de la question Q03 s'enrichit de la donnée par le chef pâtissier des dimensions des boîtes requises pour emballer différents gâteaux de formes différentes, notamment le *Braç de gitano* (gâteau roulé) et le *Torró* (nougat) de forme allongée et un gâteau de forme arrondie. Le rapport, qui explicite comment les réponses se construisent dans chaque phase, doit contenir une lettre à adresser au chef pâtissier (Annexe 1). A l'issue de chaque phase, une mise en commun est réalisée, geste didactique qui permet d'enrichir le milieu des étudiants. Considérant la question Q01, le groupe A fabrique des boîtes avec des feuilles de dimensions différentes et mesure leurs dimensions. La réponse R01♥ est donnée sous la forme d'une liste de 10 mesures de dimensions du fond des boîtes (x, y) à partir des dimensions des feuilles (l, L), en tenant compte de l'orientation des plis ou de la possibilité matérielle de réaliser concrètement les boîtes. Le système défini par le groupe à cette étape est S<sub>Ph1</sub> = S<sub>0</sub> ∪ {l, L, x, y} et le modèle sur lequel se fonde la réponse R01♥ est le modèle M<sub>1</sub> (empirique-mesure) de notre MPR-Boîte-Pâtissier. En réponse à la question Q02, ce même groupe cherche une relation entre les dimensions en explorant un modèle proportionnel entre dimensions, finalement rejeté. Le groupe s'intéresse à l'aire du fond de boîte, sans succès, mobilisant un modèle qui complète le modèle M<sub>1</sub> de notre MPR-Boîte-Pâtissier, M<sub>1</sub><sup>#</sup> empirique-mesure-grandeurs et proportionnalité. En s'appuyant sur la mesure des feuilles dépliées, le groupe produit une description discursive de la relation entre les dimensions de la boîte (y compris sa hauteur) et celles de la feuille. Cette réponse R02♥ se construit sur un modèle M<sub>2</sub><sup>b</sup> géométrico-empirique, qui peut être vu comme une altération du modèle M<sub>2</sub> géométrico-numérique de notre MPR-Boîte-Pâtissier dans le sens où tous les plis ne sont pas considérés, seulement le fond de boîte et sa hauteur à partir d'une feuille dépliée, ce qu'illustre la comparaison des figures 3 et 7. Le système considéré dans cette phase intègre au système précédent, une nouvelle dimension (la hauteur de la boîte h), une nouvelle grandeur (l'aire du fond de boîte A), le modèle M<sub>1</sub> mobilisé précédemment : S<sub>Ph2</sub> = S<sub>Ph1</sub>

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
$\cup\{h, A, M_1\}$. L'étude de la question $Q_0$ amène le groupe à prendre en compte la place nécessaire pour les doigts quand on retire les gâteaux des boîtes (ajout arbitraire de 2 cm aux dimensions données) et à augmenter de 0,3 cm les dimensions du fond de boîte pour constituer le couvercle, comme l'illustre la figure 7 pour un gâteau de diamètre 6 cm.

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>**Figure 7.** – Extrait du rapport rédigé par le groupe A : calculs des dimensions d'une feuille.</figcaption></figure>

En revanche, le groupe envisage un patron de boîte alternative pour les gâteaux « Braç de gitano » et « Torró ». Dans cette phase, le système considéré intègre au système précédent les modèles mathématiques conçus au cours de la phase précédente et les dimensions des gâteaux pour lesquels il faut fabriquer des boîtes, $S_{Ph3} = S_{Ph2} \cup \{M_1^#, M_2^b, \text{gâteaux}\}$, tandis que le modèle mathématique sur lequel se construit la réponse reste le modèle $M_2^b$. Le rapport se conclut par une lettre au chef pâtissier contenant un tableau qui précise pour chaque catégorie de gâteaux les dimensions de la boîte, de son couvercle et des feuilles nécessaires pour les réaliser.

Considérant la question $Q_0$ le groupe B commence par envisager l'effet de l'orientation de la feuille au moment du pliage, puis fabrique et mesure les dimensions pour calculer l'aire du fond de la boîte avec des feuilles A3, A4, A5. Il s'agit alors de rechercher un modèle proportionnel entre les aires du fond des boîtes, d'une part et entre les aires des feuilles et des fonds de boîtes, d'autre part. Leur réponse $R_{01}^\star$ est qu'il y a proportionnalité entre aires en dépit des calculs réalisés du fait d'erreurs de mesure. Le système considéré par le groupe à cette étape est $S_{Ph1} = S_0 \cup \{\text{feuilles A3-A4-A5, l, L, x, y, A, orientations } \uparrow\to\}$ et le modèle sur lequel se fonde la réponse $R_{01}^\star$ est le modèle $M_1^\# \text{ empirique-mesure-grandeurs et proportionnalité. En réponse à la question } Q_0^2$, ce groupe utilise la hauteur de la boîte comme variable prépondérante après avoir découvert en fabriquant des boîtes qu'il n'était pas possible de construire avec ce procédé des boîtes de n'importe quelle hauteur. Le cœur de cette phase consiste à chercher les relations algébriques entre cette hauteur et les autres dimensions, en particulier une relation de proportionnalité. Dans cette phase, le système considéré inclut une nouvelle dimension, la hauteur de la boîte $h$, les modèles $M_1$ et $M_1^\# \text{ mobilisés précédemment, ainsi que les erreurs de mesure comme argument pour maintenir le modèle de proportionnalité comme référence } (M_1^\#)$ en dépit des calculs : $S_{Ph2} = S_{Ph1} \cup \{h, M_1, M_1^\#, \text{erreurs de mesure}\}$. Un nouveau modèle est mobilisé : $M_3$ qui intègre le modèle $M_2$ comme l'illustre la figure 8.
<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>**Figure 8.** – Extrait du rapport du groupe : relation algébrique entre les dimensions.</figcaption></figure>

L'étude de la question Q₀₃ commence par la prise en compte, comme le groupe précédent, de la place nécessaire pour les doigts pour retirer les gâteaux des boîtes et propose (arbitrairement) différentes valeurs suivant le nombre ou les types de gâteaux. Le travail mathématique ensuite repose sur une étude de la hauteur des boîtes en fonction de la hauteur des gâteaux. Lorsque les dimensions du fond de la boîte sont grandes, la hauteur l'est aussi. Contrairement au groupe précédent qui va chercher de nouveaux pliages, ce groupe propose d'adapter le pliage en modifiant la largeur des bandes qui vont former les bords de la boîte (voir figure 9).

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>**Figure 9.** – Extrait du rapport du groupe B : modification du procédé de construction.</figcaption></figure>

Dans cette phase, le système considéré intègre au système précédent les modèles mathématiques conçus au cours de la phase précédente et les dimensions des gâteaux pour lesquels il faut fabriquer des boîtes, $S_{Ph3} = S_{Ph2} \cup \{M_2, M_3, \text{gâteaux}\}$, sans mobiliser de nouveaux modèles que ceux déjà conçus.

Cette confrontation à l'empirie par l'observation de praxéologies de modélisation effectives conduit à interroger le modèle de référence MPR-Boîte-Pâtissier élaboré dans la première partie de ce texte qui ne rend pas visibles les différences entre les groupes A et B. Le groupe A ne recourt par à un modèle algébrique mais conçoit des modèles géométriques où la composante empirique est plus développée. Le groupe B de son côté développe tous les modèles jusqu'au modèle algébrique et un travail sur les grandeurs pour délimiter le système et le modéliser. Son rapport à l'empirie se caractérisant par le recourt à un argument sur les erreurs de mesure pour maintenir une hypothèse de proportionnalité en dépit des résultats des calculs. Notons enfin que le procédé de pliage fait partie du système et que les deux groupes choisissent soit de changer
de patron (*groupe A*), soit d'adapter le pliage (*groupe B*) pour mieux répondre aux besoins. La délimitation du système inclut les questions que l'on se pose à son propos.

Dès la première phase, le *groupe A* fabrique et mesure les dimensions de la boîte tandis que le *groupe B* fabrique et mesure les dimensions pour calculer les aires à la recherche d'un modèle proportionnel. Nous proposons donc d'inclure dans $M_1$ une composante « grandeur », en plus des composantes « empirique » et « mesure » en intégrant le modèle $M_1^#$ à $M_1$. Nous avons constaté aussi l'existence d'un modèle qui n'est plus $M_1$ mais pas complètement encore le modèle $M_2$ tel que nous l'avions défini. Par ailleurs, il existe un modèle intermédiaire $M_2^b$ dont la composante empirique s'exprime par le fait que la feuille n'est pas encore regardée comme une figure géométrique où tous les plis sont mis en relation avec ses dimensions (longueur et largeur). Au-delà des modèles construits, ce qui différencie le parcours des deux groupes, c'est la délimitation et l'évolution des systèmes et comment elle s'articule à l'évolution des modèles à partir des questions qui se posent pour l'étude. Ceci nous conduit à devoir proposer une autre représentation (figure 10) du processus de modélisation, où $M_1'$, $M_1''$ et $M_2'$ indiquent de possibles modèles intermédiaires entre $M_1$, $M_2$ et $M_3$.

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>**Figure 10.** – Représentation du processus de modélisation.</figcaption></figure>

Dans cette analyse de praxéologies de modélisation de deux groupes d'étudiants, nous avons considéré l'évolution conjointe des systèmes et des modèles sans prendre en compte ce qui est le moteur de cette évolution : le jeu de questions-réponses qui alimente le processus de modélisation. Ensuite, nous allons présenter comment le parcours d'étude et de recherche pour la formation dont sont issus ces rapports fait vivre ce jeu de questions-réponses. Ceci permettra de discuter de la façon dont les cartes Q-R peuvent être un appui pour développer les discours technologiques des enseignants, condition de l'évolution de praxéologies de modélisation muettes vers des praxéologies fortes.

## UN OUTIL D'ANALYSE : LES CARTES DE QUESTIONS-REPONSES

Nous constatons que les modèles transitoires et leur évolution, ainsi que les modèles écartés tout au long de l'activité de recherche ont tendance à disparaître dans l'histoire de l'activité de modélisation. Ce qui reste est souvent le modèle considéré comme le plus performant, soumis généralement à une réduction ostensive importante. Nous faisons l'hypothèse que la prise de conscience de l'existence de différents modèles et de leurs corrélations est un aspect important dans l'étude de la modélisation et la formation des futurs enseignants. Une question se pose alors : Quel geste didactique mettre en place pour conserver le parcours d'étude et de recherche vécu ?

Dans le module 2, les enseignants en formation sont invités à analyser l'activité de modélisation qui a été expérimentée. Il leur est demandé d'endosser le rôle d'« analyste mathématique » et « analyste didactique » de l'activité vécue et de sa gestion dans la classe. L'ensemble des rapports remis par chaque groupe, les discussions en groupe-classe, les forums partagés et les présentations de la formatrice constituent un moyen partagé très riche pour recueillir des traces et des preuves empiriques de l'activité vécue.
Dans le rôle d'analystes mathématiques, les étudiants analysent l'activité mathématique réalisée. Pour ne pas réduire une telle analyse à une liste de contenus abordés ou à la simple correction des réponses, l'importance d'analyser la dynamique établie entre les questions abordées, les systèmes, les modèles et les réponses données est discutée collectivement. Cela conduit la formatrice à proposer l'utilisation des cartes questions-réponses (Winsløw, Matheron, & Mercier, 2013) comme outil principal d'analyse. Est ainsi présenté un premier schéma de carte avec la structure des phases, les questions les plus caractéristiques de chaque phase et les réponses qui ont été traitées. Il est demandé aux étudiants de le compléter, dans un premier temps, à partir de leurs rapports, puis d'étendre ou d'inclure d'autres questions, réponses, techniques du groupe classe. Des indications sont également données sous la forme de caractéristiques cartographiques de type questions-réponses (Q-R). La figure 11 illustre un exemple de carte de questions-réponses élaborée par l'un des groupes de travail de l'année 2015-16 (enseignement en catalan). Les principales questions abordées sont : Q₀ « Comment peut-on construire une boîte à partir d'une feuille pour y garder des gâteaux ? », Q₁ « Quelles sont les dimensions d'une boîte à partir d'une feuille donnée ? », Q₂ « Comment savoir les dimensions de la feuille utilisée pour construire une boîte donnée ? », Q₃ « Comment savoir les dimensions de la boîte à partir de celles de la feuille ? », Q₄ « Comment construire des boîtes qui s'encaissent les unes dans les autres ? ».

<figure><img src="image_57.png" /></figure>
<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>**Figure 11.** – Exemple d'une carte de questions-réponses (texte en catalan)</figcaption></figure>

On y voit comment les réponses révèlent les modèles construits, même si les systèmes ne sont pas explicités. Une fois la carte Q-R complétée, elle est utilisée comme outil d'analyse dans différentes activités proposées dans la formation, comme l'étude par tous les étudiants d'une même carte produite par un des groupes. Les cartes Q-R explicitant les trajectoires de modélisation suivies par les groupes, permettent de les décrire et de les évaluer. Les discussions sur ces trajectoires permettent aux groupes d'enrichir leurs propres cartes Q-R en incluant de nouvelles questions, réponses et stratégies négligées dans un premier moment et qui leur paraissent importantes à considérer. La figure 12 illustre comment un groupe analyse le travail d'un autre groupe. En vert, les étudiants superposent sur la carte Q-R de leur propre trajectoire de modélisation (figure 11) une autre trajectoire possible.

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>**Figure 12.** – Utilisation de la carte Q-R pour décrire les parcours de modélisation d'un autre groupe.</figcaption></figure>

Les cartes Q-R produisent une hiérarchisation des questions en rendant compte de la temporalité du processus de modélisation par la restitution de l'ordre des questions traitées et des réponses apportées. Elles matérialisent et laissent une trace de la construction progressive des modèles.
Elles sont un dispositif didactique qui permet l'analyse de la dynamique du processus de
modélisation et la conception de nouvelles trajectoires de modélisation. Leur expérimentation
en formation a montré qu'il s'agit d'un outil puissant pour alimenter les réflexions autour de la
modélisation mathématique des situations d'enseignement.

CONCLUSION

La modélisation est progressivement entrée dans les curriculums de différents pays en même
temps que la démarche d'investigation y devenait un élément structurant sous l'impulsion des
évaluations internationales comme TIMSS ou PISA (Barquero et al., 2018). Cette évolution
conduit les formateurs d'enseignants à se poser la question : quelle stratégie pour former à
l'enseignement de la modélisation ? Or des travaux attestent de la difficulté pour les
enseignants, notamment de l'école primaire, de percevoir ce qu'est un processus de
modélisation. Difficulté qui s'observe par la mise en œuvre de praxéologies muettes où la
solution d'un problème est enseignée plutôt que le processus qui permet de produire cette
solution. Ce texte présente donc la réponse apportée par l'Université de Barcelone en
considérant les outils didactiques qui peuvent être apportés aux enseignants pour dépasser cette
difficulté. Quel dispositif mettre en œuvre qui révèle les spécificités du processus de
modélisation et quel outil didactique peut-on doter les (futurs) enseignants pour analyser et
produire des situations d'enseignement ?

Le système initial sur lequel se construit cette réponse est fait du modèle des PER-FE (Ruiz-
Olarría, 2015 ; Barquero et al., 2018) et du modèle du processus de modélisation proposé par
Chevallard (1989). De façon à illustrer l'analyse didactique à conduire lors de l'élaboration
d'un tel PER-FE, nous avons présenté dans la première partie la construction a priori d'un
modèle praxéologique de référence pour l'étude d'une situation de modélisation largement
éprouvée, la boîte du pâtissier. Pour rendre compte de la modélisation comme un processus
évolutif, nous l'avons représenté comme un emboîtement de modèles associés à un système
qu'il s'agit lui aussi d'expliciter. Or l'élaboration d'un modèle vient enrichir la compréhension
d'une part de cette réalité modélisée. Cette nouvelle lecture du réel qu'offre le couple système-
modèle peut générer de nouvelles questions. Le modèle initial devient alors un élément
constitutif d'un nouveau système sur lequel se construit un nouveau modèle. C'est cette
dynamique que nous avons montré dans l'analyse a priori de la situation boîte du pâtissier. Si
l'on peut considérer un système comme le milieu sur lequel se construit un modèle, le système
n'est qu'une partie du milieu de la situation didactique (au sens de la théorie des situations
didactiques). Tout élément du milieu n'est pas nécessairement élément du système qui se définit
en considérant les variables supposées déterminantes pour répondre à la question. De ce fait,
l'emboîtement des modèles ne peut se confondre avec une structuration du milieu. Sur cette
base, un modèle praxéologique de référence du processus de modélisation MPR-boîte-pâtissier
est construit dans la première partie de ce texte. Le domaine de validité d'un modèle se mesure
à son adéquation avec la réalité qu'il modélise notamment par une confrontation à l'empirie,
c'est-à-dire ici, à des praxéologies de modélisation effectives. Cette confrontation, présentée à
travers l'étude de deux rapports d'étudiants, a conduit à intégrer de nouveaux éléments dans le
MPR-boîte-pâtissier. Nous faisons l'hypothèse qu'un modèle praxéologique d'une
modélisation mathématique n'a pas qu'une fonction heuristique pour le chercheur, il est aussi
une grille d'analyse didactique pour les enseignants lorsqu'ils observent les praxéologies mises
en œuvre par les élèves et permet de produire des connaissances didactiques sur les situations
d'enseignement. Cependant la représentation du MPR sous forme de modèles emboîtés masque
les questions qui sont le moteur du processus. Aussi est-il complété par les cartes questions-
réponses.

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
L'objectif de cet atelier était de présenter un dispositif de formation pour les enseignants d'école en forme de PER-FE centré sur les processus de modélisation. Les productions des étudiants ayant suivi cette formation ont servi à illustrer les différentes démarches du processus et à apporter quelques matériaux pour son analyse. Celle-ci reste néanmoins en grande partie à produire.

## RÉFÉRENCES

BARQUERO, B., BOSCH, M., ROMO, A. (2018). Mathematical modelling in teacher education: dealing with institutional constraints. *ZDM Mathematics Education*, 50(1-2), 31-43.

BARQUERO, B., BOSCH, M., WOZNIAK, F. (2019). Modelling praxeologies in teacher education: the cake box. Dans U.T. Jankvist, M. Van den Heuvel-Panhuizen, M. Veldhuis (Eds.), *Eleventh Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, Utrecht University, Utrecht, Netherlands*. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02408705

BARQUERO, B., FLORENSA, I., JESSEN, B., LUCAS, C., WOZNIAK, F. (2018). The external transposition of inquiry in mathematics education: impact on curriculum in different countries. *ICMI Studies* 24. School Mathematics Curriculum Reforms: Challenges, Changes and Opportunities. University of Tsukuba, Japan. (pp. 189-197).

CHAPPAZ, J., MICHON, F. (2003). La boîte du pâtissier. *Grand N* 72, 19-32.

CHEVALLARD, Y. (1989). Le passage de l'arithmétique à l'algèbre dans l'enseignement des mathématiques au collège. Deuxième partie, perspectives curriculaires : la notion de modélisation. *Petit x, 19*, 43-72.

CHEVALLARD, Y. (1999). L'analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologique du didactique. *Recherches en Didactique des Mathématiques, 19*(2), 221-265.

FLORENSA, I., BOSCH, M., GASCON, J. (2020). Question-answer maps as an epistemological tool in teacher education. *Journal of Mathematics Teacher Education*, 1-23.

OLARRIA, A. R. (2015). *La formación matemático-didáctica del profesorado de secundaria: De las matemáticas por enseñar a las matemáticas para la enseñanza* (Thèse de doctorat, Universidad Autónoma de Madrid).

WINSLØW, C., MATHERON, Y., & MERCIER, A. (2013). Study and research courses as an epistemological model for didactics. *Educational Studies in Mathematics*, *83*(2), 267-284.

WOZNIAK, F. (2012). Des professeurs des écoles face à un problème de modélisation : une question d'équipement praxéologique. *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 32(1), 7-55.
# ANNEXES

## Annexe 1

Nous présentons ici les questions posées aux étudiants et qui structurent le plan des rapports à présenter. En plus de faire le récit du parcours d'étude et de recherche, le rapport doit contenir la réponse au chef pâtissier. Celle-ci prend souvent la forme d'un tableau de mesures.

### INTRODUCTION

1. What do we have to do?

2. Initial question.

3. Instructions to build the box.

### PHASE 1: Building boxes and measuring their sizes

1. Which particular cases (paper sheets) and questions have you addressed? Which answers have you found out?

2. Which strategies did you follow?

3. How do you propose to follow your inquiry? New questions.

### PHASE 2: But, if what we know is the box we want ...

1. Which questions have you addressed?

2. Which answers have you found out and how?

3. How do you propose to follow your inquiry? New questions after Phase 2.

### PHASE 3: Let us give an answer to the pastry chef!

Specific sizes and patterns of construction.

1. Which questions have you addressed?

2. Which answers have you found out and how have you found them?

3. How do you propose to follow your inquiry? New questions after Phase3.
Annexe 2

Synthèse des rapports des groupes A et B pour l'étude du problème de la boîte du pâtissier : les systèmes, les questions, les réponses, les modèles.

<table><thead><tr><th></th><th>Groupe A</th><th>Groupe B</th></tr></thead><tbody><tr><td>Q01</td><td>S<sub>Ph1</sub> = S<sub>0</sub> ∪ {l, L, x, y}<br>M<sub>1</sub> empirique-mesure<br>R<sub>01</sub>♥: liste de 10 mesures de dimensions de fond de boîtes (x, y) pour différentes dimensions de feuille (l, L).</td><td>S<sub>Ph1</sub> = {feuilles A3-A4-A5, l, L, x, y, A, orientations ↑→}<br>Q<sub>1.1</sub>: effet de l'orientation des plis sur la boîte et l'aire des fonds de boîtes ?<br>→ R<sub>1.1</sub>♥: pas les mêmes boîtes.<br>M<sub>1</sub>: empirique-mesure<br>Q<sub>2</sub>: Proportionnalité des dimensions boîte/feuille ?<br>→ R<sub>1.2</sub>♥: oui, les sommets sont alignés sur une diagonale.<br>M<sub>1</sub># empirique-mesure-grandeurs et proportionnalité<br>Q<sub>3</sub>: proportionnalité entre les aires des bases ?<br>→ R<sub>1.3</sub>♥: proportionnalité malgré les calculs du fait d'erreurs de mesures.<br>M<sub>1</sub>#<br>Q<sub>4</sub>: connaissant les dimensions de la feuille, quelle est l'aire de la boîte ?<br>→ R<sub>1.4</sub>♥: oui mais il faut une référence<br>M<sub>1</sub>#</td></tr><tr><td>Q02</td><td>S<sub>Ph2</sub> = S<sub>Ph1</sub> ∪ {h, M<sub>1</sub>, A}<br>Q<sub>2.1</sub>: peut-on utiliser une règle de trois ?<br>→ R<sub>2.1</sub>♥: Non<br>M<sub>1</sub># empirique-mesure-grandeurs et proportionnalité<br>Q<sub>2.2</sub>: L'aire intervient ?<br>→ R<sub>2.2</sub>♥: Non.<br>M<sub>1</sub>#<br>Q<sub>2.3</sub>: quel lien entre l, L, h ?<br>→ R<sub>2.3</sub>♥: [description discursive]<br>M<sub>2</sub><sup>b</sup> géométrico-empirique (mesure sur feuille dépliée)</td><td>S<sub>Ph2</sub> = S<sub>Ph1</sub> ∪ {h, M<sub>1</sub>, M<sub>1</sub>#, erreurs de mesure}<br>Q<sub>2.1</sub>: Peut-on construire n'importe quelle boîte<sup>2</sup> ?<br>→ R<sub>2.1</sub>♥: non, h compte<br>M<sub>1</sub>: empirique-mesure<br>Q<sub>2.2</sub>: Relation entre h et (x, y) ?<br>→ R<sub>2.2</sub>♥: h = x/2<br>M<sub>2</sub>, M<sub>3</sub><br>Q<sub>2.3</sub>: proportionnalité entre la hauteur et les autres mesures ?<br>→ R<sub>2.3</sub>♥: h = L/6<br>M<sub>2</sub>, M<sub>3</sub><br>Q<sub>2.4</sub>: Différentes feuilles peuvent donner la même boîte ?<br>→ R<sub>2.3</sub>♥: Non, h ne sera pas la même<br>M<sub>3</sub> avec validation dans M<sub>1</sub><br>Q<sub>2.4</sub>: Règle de trois entre les dimensions feuille/boîte ?<br>→ R<sub>2.4</sub>♥: Non.<br>M<sub>3</sub></td></tr></tbody></table>

<footnote n="2">² Cette question est traitée d'emblée et reprise avec la liste des questions ensuite. Elle est placée ici sans être reprise dans la liste des questions ensuite. La numérotation des questions n'est donc pas la même que dans le rapport mais cela respecte mieux la chronologie du travail des étudiants.</footnote>
<table><tr><td>Q03</td><td>S<sub>Ph3</sub> = S<sub>Ph2</sub> ∪ {M<sub>1</sub><sup>#</sup>, M<sub>2</sub><sup>b</sup>, gâteaux}<br/>Q<sub>3.1</sub>: Quel espace laisser entre la boîte et les gâteaux ?<br/>→ R<sub>3.1</sub>*: 2 cm<br/>M<sub>1</sub><br/>Q<sub>3.2</sub>: Quel rapport entre la boîte et le couvercle ?<br/>→ R<sub>3.2</sub>*: ajout de 0,3 cm pour (x,y)<br/>M<sub>2</sub><sup>b</sup><br/>Q<sub>3.3</sub>: Quelles boîtes pour les « braç de gitano » ?<br/>→ R<sub>3.3</sub>*: Nouveaux patrons sans pliage</td><td>S<sub>Ph3</sub> = S<sub>Ph2</sub> ∪ {M<sub>2</sub>, M<sub>3</sub>, gâteaux}<br/>Q<sub>3.1</sub>: Quelles dimensions des boîtes en fonction des gâteaux ?<br/>→ R<sub>3.1</sub>*: ajout de 2 cm, 3 cm ou 4 cm suivant les cas pour toutes les dimensions.<br/>M<sub>1</sub><br/>Q<sub>3.2</sub>: Quelles dimensions de papier ?<br/>→ R<sub>3.2</sub>*: suivant les dimensions du fond, la hauteur de la boîte peut être trop haute pour le gâteau : modification du procédé de construction.<br/>M<sub>2</sub><br/>Q<sub>3.3</sub>: Quelles dimensions du couvercle ?<br/>→ R<sub>3.3</sub>*: ajout de 0,3 cm pour (x,y) et hauteur égale à la moitié de la hauteur de la boîte (avec nouveau procédé de construction).<br/>M<sub>2</sub><br/>Q<sub>3.4</sub>: Peut-on augmenter la base et maintenir la hauteur ?<br/>→ R<sub>3.2</sub>*: oui avec le nouveau procédé.<br/>M<sub>3</sub><br/>Q<sub>3.3</sub>: Quelles boîtes pour les « braç de gitano » et le « torró » ?<br/>→ R<sub>3.3</sub>*: Nouveau procédé<br/>M<sub>2</sub></td></tr></table>

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
# LES TECHNOLOGIES DANS L'ENSEIGNEMENT : ACTIVITE DE L'ENSEIGNANT EN CLASSE ET EN FORMATION

Maha Abboud*, Fabien Emprin**, Janine Rogalski***, Fabrice Vandebrouck***

## RÉSUMÉ

Ce texte s'appuie sur les considérations théoriques et méthodologiques présentées par Abboud dans son cours (volume des cours) et sur son approche de l'activité de l'enseignant dans des environnements technologiques. Il vise à développer plus en avant certains aspects de l'analyse des pratiques enseignantes réelles et de la formation de ces pratiques. Ceci est illustré travers trois études, les deux premières d'analyse d'activités en classe ordinaire et la troisième en formation via l'utilisation d'un simulateur de classe.

Mots-clefs : activité, enseignants, formation, régulations, ZPD, simulateurs

## ABSTRACT

This text builds on the theoretical and methodological considerations presented by Abboud and on her approach to teaching activity in technological environments. It aims at deepening certain features of the analysis of actual teaching practices and the training of these practices. This is illustrated by three studies, the first two analyzing activities in regular classrooms and the third in training sessions through the use of a classroom simulator.

Keywords: activity, teachers, teacher education, regulations, ZPD, simulators

## INTRODUCTION

Comprendre les pratiques enseignantes pendant la mise en place de séances intégrant les technologies est un enjeu important pour la recherche dans le domaine. Analyser l'activité de l'enseignant, non seulement dans sa préparation de tâches enrichies par les technologies mais aussi lors du déroulement effectif des séances correspondantes s'avère indispensable pour comprendre les difficultés, les tensions et les incertitudes auxquels il fait face et les choix explicites ou implicites qu'il fait pour les gérer en temps réel. Les outils conceptuels développés pour faire cette analyse peuvent en outre permettre l'identification de leviers de formation. Ce texte s'appuie sur les considérations théoriques et méthodologiques présentées par Abboud (volume 1) et sur son approche de l'activité de l'enseignant dans des environnements technologiques. Il vise à développer certains aspects de l'analyse des pratiques enseignantes réelles et de la formation de ces pratiques. C'est ce qui est illustré dans ce qui suit à travers trois études, les deux premières d'analyse d'activités en classe et la troisième en formation.

Le modèle de référence utilisé dans la première partie considère l'enseignement comme la gestion de situations dynamiques ouvertes. M. Abboud et J. Rogalski y proposent une analyse de l'activité de l'enseignant qui implique le diagnostic de l'activité mathématique des élèves, la gestion des incertitudes dues aux caractéristiques de la situation et à l'interaction avec la technologie, et la prise de décisions quant aux interventions didactiques appropriées.

La deuxième partie a pour but d'analyser les activités des élèves et de l'enseignant lorsque coexistent deux environnements de travail dans la classe : un classique papier-crayon et un innovant avec des tablettes. M. Abboud et F. Vandebrouck y présentent des outils théoriques autour de la notion de proximités — comprise dans une perspective vygotskienne — en s'intéressant aux zones que l'enseignant met en place pour soutenir l'apprentissage.

<footnote>* LDAR, Cergy Paris Université</footnote>

<footnote>** Université de Reims, CEREP, IREM de Reims</footnote>

<footnote>*** LDAR, Université Paris Cité</footnote>
La troisième partie propose d'ouvrir la réflexion sur la formation des enseignants à l'utilisation de la géométrie dynamique à travers des simulateurs de classe. F. Emprin et M. Abboud y adoptent un point de vue théorique et méthodologique des observations des stagiaires en activité, mobilisant conjointement l'approche instrumentale à la double approche ainsi que des cadres relatifs à la formation à travers la simulation de situations professionnelles.

# TENSIONS ET REGULATIONS DANS L'ACTIVITE EN CLASSE

## 1. Questions de recherche et outils théoriques mobilisés

Dans cette partie nous nous intéressons en particulier à l'étude de l'interaction enseignant-élève lorsque le premier diagnostique une difficulté chez le deuxième. Le modèle de référence utilisé considère l'enseignement comme la gestion d'un environnement dynamique ouvert (Rogalski, 2003) où l'activité de l'enseignant implique de faire un diagnostic de l'activité mathématique des élèves, de gérer des incertitudes dues aux caractéristiques de la situation — à l'interaction avec la technologie — et de prendre des décisions quant aux interventions didactiques appropriées.

En effet, lors de la préparation d'une séance, les enseignants se fixent un but quant aux mathématiques à rencontrer ou à pratiquer par les élèves. Des tâches sont données en ce sens aux élèves (i.e. *itinéraire cognitif prévu*), et les interventions enseignantes pendant la mise en place dépendent du cours de la réalisation de ces tâches. Ce qui se passe en classe est dynamique, et les enseignants en partagent la maîtrise avec la classe comme unité ou avec les élèves lors du travail individuel ou en petit groupe — ce qui est souvent le cas lors de l'usage des technologies. Les interventions enseignantes sont en interaction avec la dynamique propre du traitement de la tâche par l'élève ou les élèves, dynamique que les enseignants peuvent anticiper seulement globalement (Rogalski, 2003). Les enseignants sont souvent conscients de l'incertitude de leur diagnostic face aux difficultés des élèves et de la nécessité de faire des inférences pour choisir les aides appropriés. La conséquence d'un diagnostic inadéquat est que leur intervention se situe en dehors de la zone proximale de développement de l'élève (Vygotski, 1986), et peut entraver son travail au lieu de le soutenir. Des difficultés supplémentaires apparaissent quand les technologies sont utilisées : les retours fournis aux enseignants par les réactions de la classe sont dispersés sur les élèves travaillant via un logiciel ; il y a un rythme propre de traitement de la tâche par chaque groupe voire élève ; les actions des élèves sur les contenus mathématiques qui ont lieu via le logiciel ainsi que les retours de celui-ci ne laissent que peu de traces, voire aucune (Abboud-Blanchard, 2014). Si la prise d'information sur un élève ou groupe peut se faire « au plus près » de son activité (à la différence de la situation de classe, en général) elle ne peut pas avoir lieu de manière suivie, et plus important encore les contenus des rétroactions qu'a pu fournir le logiciel ont souvent été « opaques » aux élèves en difficulté (la cible des interventions).

En s'appuyant sur les éléments théoriques décrits dans le cours d'Abboud (Volume 1) pour l'étude des déroulements de séances intégrant les technologies, nous présentons ici un prolongement théorique qui cherche à caractériser la façon dont les enseignants diagnostiquent les difficultés de leurs élèves, et à examiner dans quelle mesure le traitement qu'ils en font répond aux besoins de leurs élèves. Nous essayons également de comprendre comment la gestion de ces moments est parfois source de tensions pour les enseignants, tensions qui peuvent évoluer vers des perturbations (Abboud & Rogalski, 2017).

Nous proposons un modèle adapté des travaux de Leplat (1997) en considérant que la gestion des activités des élèves en classe et ses interventions auprès d'eux peuvent se représenter comme des boucles successives de régulation. Nous considérons en particulier la boucle de
régulation réactive qui compare le résultat obtenu à l'attendu initial (Leplat, 2006). Un composant essentiel de la gestion est le diagnostic (et son composant temporel : le pronostic de ce qui peut s'ensuivre). Nous illustrons ces boucles selon le schéma de la figure 1.

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>Figure 1. – schéma de boucles de régulation successives en classe de mathématiques</figcaption></figure>

Ce schéma illustre que lorsqu'une difficulté de l'élève est repérée ou signalée, l'enseignant fait un diagnostic de l'état de la classe (ou des élèves singuliers) et repère l'état actuel de progression de l'activité de l'élève (ce diagnostic peut être réussi ou non). Il fait alors un pronostic sur l'évolution possible de cet état (basé sur les indices pris lors du diagnostic). La décision d'intervention de l'enseignant peut être de trois types : continuer l'intervention prévue en appliquant des routines (ou des actions anticipées) ; adapter des procédés didactiques connus (ou anticipés) ; résoudre le problème posé (à l'enseignant) par la situation (incompréhension, acquis non présents, la classe « décroche »...). Suite à l'intervention, il y a un contrôle de l'impact de l'action et une reprise (ou pas) vers le but à atteindre ou vers un but modifié (adapté...) ou nouveau (émergent).

Nous illustrons notre utilisation de ces outils théoriques et méthodologiques à travers l'étude de cas qui suit.

## 2. Étude de cas

Nous présentons l'analyse d'une interaction relativement longue (7 min) entre une enseignante (Marie) et une élève (Lisa) lors d'une séance de résolution de problème en salle informatique mise en place en classe de seconde dans un environnement de géométrie dynamique. Ce cas met en évidence les tensions qui affectent l'activité de l'enseignant tiraillé entre le besoin de diagnostiquer la difficulté de l'élève et l'avancée de la réalisation du travail mathématique jusqu'à l'objectif final visé.

Marie est une enseignante expérimentée qui a une utilisation régulière des outils technologiques dans son activité personnelle et qui fait travailler ses élèves souvent avec Geogebra™ et parfois avec Excel. Les interactions que nous présentons et analysons ici ont eu lieu lors de la deuxième séance d'un TP visant à : familiariser les élèves avec l'utilisation de l'environnement Geogebra™ pour des tâches mathématiques complexes, et revenir sur des généralités concernant les fonctions numériques (vues l'année scolaire précédente). L'énoncé du problème peut être résumé comme suit : ABC est un triangle rectangle en B avec AB = 3 et BC = 6. M est un point variable sur [AB]. N est un point sur [AC] et P sur [BC] tels que MNPB soit un rectangle. Pouvez-vous trouver des positions de M telles que l'aire du rectangle MNPB soit égale à la moitié de l'aire du triangle ABC ?

Lors de la première séance, l'enseignante avait guidé ses élèves dans l'utilisation de Geogebra™ pour construire la figue (cf. figure 2) à l'aide d'un document de travail qu'elle leur a fourni au début et qui détaille toutes les étapes de construction sur le logiciel (géométrique,
graphique et tableur). L'utilisation de Geogebra™ dans la deuxième séance vise à explorer la figure et à examiner l'aire du rectangle MNPB pour différentes positions du point M après avoir créé une feuille de calcul affichant les valeurs de la longueur AM et de l'aire du rectangle.

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>Figure 2. – Une capture d'écran de l'écran de Lisa au début de l'interaction observée.</figcaption></figure>

Dans ce qui suit, nous relevons deux phénomènes qui apparaissent dans l'activité de l'élève et que l'enseignante n'avait pas prévus

### 3. Un malentendu qui s'installe : des boucles de régulation en cascade

Dès le début de l'interaction une incompréhension apparaît sur l'objectif de la tâche pour l'élève. Lisa, se concentre sur ce qu'elle voit à l'écran dans la fenêtre géométrique (un rectangle dans un triangle), et comprend la hauteur MN du rectangle comme étant l'ordonnée y du point M. L'enseignante diagnostiquant cette incompréhension, essaye d'amener l'élève à identifier que l'ordonnée y correspond à la valeur de l'aire du rectangle AMNB, et est fonction de AM dans la fenêtre graphique.

P : à ton avis, la représentation graphique gauche est une représentation graphique d'une fonction ?

Lisa : oui, ouais [dubitative]

P : ah bon, c'est une fonction ça ? C'est que...

Lisa : non... à la base c'est un quadrillage

P : non, mais, c'est ce que tu as représenté ici ?

Lisa : ah ! un triangle

P : un triangle, dans dans quoi ? dans quel domaine ?

Lisa : la géométrie

P : voilà ! donc tu es en train de te rendre compte que visuellement sur ton dessin, ça, sur ta figure géométrique

Lisa : oui

P : tu peux finalement voir la valeur de l'aire

Lisa : oui [un « petit » oui, peu convaincu]

P : OK ! À quel endroit on pourrait éventuellement associer cette valeur de l'aire à une ordonnée ?

Lisa : mmm MN [geste sur le trait vertical, elle a mis son crayon parallèlement à ce trait]

P : à quel endroit de ta... de.. de.. de ton

Lisa : ah, euh

P : de ton ordinateur

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
Lisa : là

P : de ton ordinateur [insiste sur ce mot]

Lisa : ah

Réalisant que cette aide n'aboutit pas, l'enseignante va tenter de passer par la représentation
tableur, entamant ainsi une deuxième boucle de régulation.

P : ça, c'est quoi ? [geste sur une colonne du tableur à droite de l'écran]

Lisa : ça, c'est, euh c'est un tableur, qui représente les différentes variations quand on bouge MN,
AM, toutes les variations

P : d'accord, AM, OK. AM se lit où dans ton tableau ?

Lisa : euh, eh bé, dans mon tableau, y'a x

P : x c'est quoi ?

Lisa : AM

P : oui

Lisa : et yE c'est MN

P : c'est quoi, MN ?

Lisa : euh, c'est pas...

P : ah, ben non

P : qu'est-ce qu'on t'a demandé de calculer à chaque fois ?

Lisa : euh, je sais pas...

L'enseignante tente alors une autre approche en essayant de faire réaliser à Lisa l'objectif du
travail en cours

P : finalement, cet exercice, il te montre quoi ?

Lisa : il me montre qu'à partir d'une géométrie on peut avoir une fonction

P : non, ce n'est pas ça qu'il te montre. Qu'est-ce qu'il te montrait, là [P fait un geste qui tourne au-dessus du rectangle grisé MNPB]

Lisa : les différentes aires du carré en fonction de AM

P : c'est ça ! c'est-à-dire que l'aire du carré, enfin de la figure, du carré.. du rectangle.. du quadrilatère .. varie

Lisa : selon

P : selon la place de M sur AB, et donc selon AM

Lisa : oui

P : OK ! Est-ce qu'à ton avis, ici [début de geste sur le côté vertical MN, puis changement] la valeur que tu vois ici correspond au fameux y [geste sur le tableur], est-ce que abscisse/ordonnée répond [correspond] à ça ? ou est-ce que c'est abscisse/ordonnée d'autre chose ? Je ne sais pas si je suis claire...

[...]

Face à l'incertitude de Lisa, Marie tente une dernière approche en lui proposant de prendre des
exemples.

Lisa : si je mets mon aire à 4 et M à 1 on a bien 1 et 4

P : d'accord ! Donc qu'est-ce qu'on est en train de voir ? que y c'est...

Lisa : c'est l'aire

P : alors, ça peut pas être une ordonnée

Lisa : euh, ben on

P : alors à quel endroit on peut avoir abscisse/ordonnée ?

Lisa : ben abscisse c'est toujours AM, mais...

Tout au long de ces échanges, on observe donc une tension majeure qui s'installe et que
l'enseignante n'arrive pas à gérer. Lisa est complètement concentrée sur les sous-tâches locales
en réponse à certaines questions ponctuelles de l'enseignante, tandis que Marie suit l'itinéraire
cognitif prévu, qui vise à aider l'élève à comprendre les transitions entre les cadres de
représentation d'une fonction.
Ce premier phénomène est accentué par un deuxième que nous supposons que Marie avait du mal à diagnostiquer

## 4. Une tension cognitive due à une difficulté dans le diagnostic

L'élève semble avoir une conception erronée, selon laquelle l'ordonnée y est une ligne (qu'elle appelle trait) et non une valeur numérique, qui a été un obstacle à sa compréhension de la tâche. Cette notion a été travaillée au collège et elle est donc supposée acquise à l'entrée au lycée. Marie ne s'attendait par conséquent pas à ce que ce soit un problème pour Lisa. Ainsi dès le début de l'échange on relève ce qui suit :

* P : qu'est-ce qui te gêne ?

* Lisa : c'est que l'ordonnée c'est un carré au lieu d'être un trait

* P : parce que l'ordonnée c'est un trait ?

* Lisa : oui, c'est un trait perpendiculaire à l'axe des abscisses

Étant au début de l'échange avec Lisa et voulant diagnostiquer la difficulté qu'elle attribue au passage du cadre géométrique au cadre graphique, Marie ne prend pas en compte cette information (la définition de l'ordonnée) qui gênait Lisa. Cependant, plusieurs interactions plus tard, la même difficulté réapparaît quand Lisa fait un geste simulant un trait vertical avec son crayon en parlant de l'ordonnée (cf. premier extrait plus haut). Cette difficulté de diagnostic persiste d'autant plus que Marie est entièrement concentrée à guider Lisa à explorer les différentes fonctions du logiciel pour qu'elle arrive à concevoir l'aire du rectangle comme une fonction de l'abscisse de M alors que Lisa ne pouvait penser à l'ordonnée y autrement que comme une ligne verticale. Les régulations tentées par l'enseignante avaient de ce fait peu de chance d'aboutir ! Vers la fin de l'épisode on relève encore l'échange suivant :

* P : ouais, afficher la trace

* Lisa : [manipule...]

* P : mais non, c'est bon, qu'est-ce que tu voulais faire ?

* Lisa : je voulais un trait

* P : un trait, pour quoi faire ?

* Lisa : pour avoir une trace en trait(s)

À la fin de cet épisode, on observe que l'enseignante tente d'accélérer le rythme afin de gérer la tension temporelle dont elle a désormais conscience. Dès que Lisa parle d'une fonction (P : mais quand est-ce qu'on fait une courbe graphique ? Lisa : quand on a une fonction P : voilà, ça y est, on y est !), Marie valide son propos. Ici, l'enseignante avait besoin de croire que son élève a avancé vers l'objectif visé, même si elle ne l'a pas encore atteint (au moins elle est sur le bon chemin), pour pouvoir poursuivre le travail avec le reste de la classe.

## 5. Conclusion

Cette étude montre que le diagnostic, et les boucles de régulation associées, dans l'activité de l'enseignant deviennent plus complexes en situation d'utilisation des technologies puisqu'il faut démêler ce qui revient à une maîtrise insuffisante du logiciel et ce qui relève de difficultés proprement mathématiques. Le cas de Marie montre en particulier la difficulté parfois pour l'enseignant de poser un diagnostic efficace face à un problème que rencontre l'élève, notamment lorsqu'il se base sur des connaissances d'élèves supposées acquises. La situation est encore plus complexe pour l'enseignant lorsqu'à la fois, cet « amont » des acquisitions supposées est lointain, et indispensable pour s'engager dans une activité intégrant les technologies. La rapidité de prise de conscience d'un tel problème résistant est un facteur crucial pour que la tension temporelle due au retour sur le sens de ces notions n'évolue pas en véritable perturbation (cf. le cas de Daisy dans Abboud & Rogalski, 2021).

Notre approche peut sembler de prime abord non spécifique à une situation intégrant les technologies, mais nous pensons que la présence d'instrument technologique dans l'activité de

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
l'enseignant et dans celle de l'élève agit comme amplificateur des phénomènes que nous étudions. De plus, des phénomènes propres à l'utilisation des technologies compliquent les diagnostics enseignants sur les problèmes rencontrés par les élèves. Du fait de la « transposition informatique », dont Balacheff (1994) a souligné l'importance, les objets traités via le logiciel ne sont pas exactement les objets mathématiques « habituels » (par exemple, il n'y a que du discret et pas de continu, même en acte). Le logiciel rend visiblement réalisables des actions logiques, comme les liens entre les changements de valeurs d'une variable et ceux d'une fonction de cette variable, il peut aussi proposer un passage entre modes de représentation : géométriques avec mesures possibles, tableaux de valeurs de ces mesures, graphes de fonctions (comme dans le cas étudié ci-dessus). Toutefois, si ces apports avérés des technologies masquent pour l'enseignant les effets parfois inattendus de la transposition didactique sur l'activité de l'élève, les régulations que l'enseignant entreprend perdent de leur efficacité ou bien l'amènent à abandonner son projet initial (perturbations dans l'itinéraire cognitif prévu).

## PROXIMITÉS ET TENSIONS DANS UN ENVIRONNEMENT DOUBLE

### 1. *Questions de recherche et outils théoriques mobilisés*

Dans cette partie, les questions de recherche sont relatives à l'utilisation des tablettes en classe de mathématiques. Comment l'enseignant installe-t-il un environnement de travail intégrant les tablettes ? Quelle articulation des deux environnements (tablettes et papier-crayon) prévoit-il pendant la phase de préparation ? Quelles interactions entre les deux environnements sont à l'œuvre pendant le déroulement et quel rôle l'enseignant y joue (ou pas) afin d'atteindre les objectifs en termes d'apprentissages mathématiques ?

Pour traiter ces questions, nous utilisons la notion de tensions développée dans la partie précédente. De plus, nous faisons appel à la notion de zone proximale de développement (ZPD) (Vygotsky, 1986) ainsi qu'aux zone de libre mouvement et zone d'action promue (ZFM/ZPA) (Valsiner, 1987). Du point de vue de l'apprentissage, la ZPD désigne une zone de connaissances de l'élève qui inclut celles qui lui permettent de réaliser des tâches sans aides et celles qu'il est capable d'acquérir avec l'aide de l'enseignant. La ZPD représente donc un ensemble de possibilités de développement des connaissances. D'un point de vue pratique, l'enseignant met en place un environnement numérique de travail qui intègre des instruments pour soutenir la compréhension des notions mathématiques à apprendre par les élèves. Cette mise en place fait apparaître deux zones :

- la zone de libre mouvement (ZFM), qui structure la manière dont les élèves accèdent aux différentes zones de l'environnement de travail et interagissent avec les différents instruments de ces zones ;

- la zone d'action promue (ZPA), qui vise à faciliter l'acquisition des nouvelles connaissances visées.

Ce que l'enseignant fournit (dans la ZFM) et ce qu'il promeut (dans la ZPA) sont interdépendants et sont considérés simultanément, d'où la combinaison des deux en ZFM/ZPA dans les travaux qui y font appel (Blanton et al., 2005). Pour que l'apprentissage soit possible, la ZPA doit être compatible avec la capacité d'apprentissage de l'élève (ZPD), et pour que l'approche prévue de l'apprentissage ait une chance de réussir, la ZPA doit se situer dans une ZFM efficace.

En lien avec ces concepts de zones, nous développons également un concept introduit précédemment par Robert et Vandebrouck (2014) : les proximités cognitives discursives. Ce concept permet de traquer les moments où l'enseignant dans son discours tente d'opérer des rapprochements entre les connaissances déjà là, ce qui se fait ou a été fait en classe de la part des élèves et ce qu'il veut introduire. Ce concept a été introduit pour étudier les interventions
de l'enseignant dans des environnements papier-crayon. Dans notre travail actuel, nous l'étendons à des environnements enrichis par les technologies. En effet, les interventions de l'enseignant dans ces environnements ne se situent pas toujours ni au niveau des connaissances mathématiques (proximités cognitives) ni au niveau du discours (proximités discursives). Nous introduisons ainsi la notion de proximités pragmatiques qui peuvent être discursives ou non (actions au-delà des discours) et qui sont en particulier relatives à l'utilisation des instruments présents dans l'environnement. Les proximités pragmatiques renseignent sur les opportunités que les enseignants offrent à leurs élèves, sous forme d'une ZFM/ZPA mise en place pour les engager dans les apprentissages mathématiques.

Lors de l'analyse des données, nous distinguons les proximités *prévues* lors de la préparation et *effectives* lors du déroulement. Les proximités cognitives et pragmatiques sont (ou peuvent être) prévues lors de la mise en place de la ZFM/ZPA. Une intervention discursive ou non discursive peut être planifiée pour se rapprocher le plus possible de la ZPD des élèves. Les proximités effectives prennent deux formes : des actions planifiées qui sont effectivement réalisées ; des actions improvisées qui sont développées in situ. Ces dernières dépendent directement de ce que l'élève fait et visent à garantir que les actions soutenues par la ZPA soient possibles (ou atteignables) dans la ZPD. Dans le premier cas, l'enseignant peut supposer qu'il y a une proximité effective alors que ce n'est pas le cas ; cela contribue aux *tensions observées* dans la classe.

Nous illustrons notre utilisation de ces outils théoriques et méthodologiques à travers l'étude de cas qui suit.

## 2. Étude de cas

Nous présentons l'analyse d'une situation mise en place en classe de 6e dans un environnement où coexistent deux environnements : papier-crayon et tablette.

Le professeur, Roger, a une vingtaine d'années d'ancienneté dans le métier. Il enseigne dans un collège de banlieue d'une grande ville du nord de la France ; le niveau des élèves est hétérogène. Il utilise les technologies depuis plus de 10 ans. Il est très familier de Geogebra et l'utilise régulièrement dans ses classes. Il est membre d'un groupe IREM et membre de la commission inter IREM sur les TICE. Son établissement est équipé en tablettes qu'il distribue aux élèves lorsqu'il les utilise pendant une séance. Selon lui, les élèves peuvent éprouver du plaisir à simuler des situations réelles grâce aux technologies et c'est avec cet esprit qu'il a conçu sa situation des « monstres » pour ses élèves de 6e. Dans cette situation, l'enjeu est de remobiliser les connaissances opératoires des élèves à propos du cercle afin d'en institutionnaliser une définition comme ensemble de points équidistants du centre. Les élèves ont déjà abordé la notion de cercle à l'école primaire mais en ont une connaissance plutôt opératoire liée à un enjeu de construction, identifiant centre et rayon et utilisant le compas. Avant la séance observée, les élèves de Roger ont déjà manipulé GeoGebra pour construire sur une droite un point à une distance donnée d'un point fixe.

La séance est divisée en trois phases successives. Dans la première, la tâche est dévolue, avec la tablette du professeur projetée au tableau, mais les élèves n'ont à leur disposition que la fiche élève papier. Ils doivent développer un travail individuel. Dans la phase 2, il y a un changement d'environnement : la tâche est proposée sur la tablette où des feedback « gagné/perdu » sont possibles. Les élèves peuvent faire plusieurs essais. Un bilan intermédiaire est fait au tableau avec un élève et enfin, pendant la phase 3, les élèves font une production définitive sur leur fiche papier (les deux environnements coexistent) et doivent rédiger leur construction en utilisant un vocabulaire géométrique approprié.
### 3. La situation proposée et le relief sur l'enseignement de la notion en jeu

Il s'agit en fait d'une tâche papier-crayon que Roger a adaptée pour l'environnement tablette. L'enjeu de la situation papier-crayon est de faire mobiliser la notion de cercle comme outil pour répondre à la question « aide la petite fille à traverser la pièce ». L'énoncé de la tâche pour l'environnement papier-crayon se trouve en figure 3.

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>**Figure 3.** — Énoncé de la tâche proposée aux élèves (fiche élève).</figcaption></figure>

L'enseignant part ici de l'hypothèse que les élèves ont une connaissance du cercle défini par son centre et son rayon. Ce qui est visé dans cette nouvelle situation, c'est le cercle comme objet géométrique, ensemble de points équidistants de son centre, la distance étant le rayon (programme de fin de cycle 3, classe de 6e). Il s'agit donc d'un changement de niveau de conceptualisation de la notion de cercle.

La notion de ZPD est ainsi cruciale dans notre analyse. L'apprentissage des élèves va supposer, non seulement des activités mathématiques de leur part sur la tâche proposée<fnref n="1" />, mais aussi des proximités discursives à développer de la part du professeur (dans la ZPD) pour installer la connaissance nouvelle.

Deux ZFM vont être en jeu, l'une liée à la fiche élève papier et l'autre liée à la même tâche dans l'environnement tablette. Roger a prévu une première proximité pragmatique, pour faciliter le passage d'un environnement à l'autre en fournissant sur papier la capture d'écran de la tablette (ZFM). Dans les deux environnements, la tâche porte sur la petite fille (« aide la petite fille à traverser la pièce ») et donc les actions promues (ZPA) concernent a priori la petite fille.

### 4. Analyse de la tâche en environnement papier-crayon

Pour résoudre la tâche dans l'environnement papier-crayon, les connaissances à mettre en fonctionnement concernent la mesure, les comparaisons de mesure et les cercles tracés avec un compas. Ce sont des connaissances anciennes, qui vont être mobilisées comme outil pour résoudre la tâche. Du côté des activités mathématiques attendues, il y a en premier lieu la reconnaissance du cercle comme outil puis le traitement lié aux constructions successives. Cette reconnaissance nécessite un changement de point de vue pour passer d'une centration sur la

<footnote n="1">¹ Dans d'autres textes, on parle de la ZAP pour qualifier la zone d'activités (mathématiques) possibles des élèves compte tenu des tâches prescrites et du déroulement (en particulier les proximités). La ZAP étant bornée par les activités possibles *a minima* et les activités possibles *a maxima*. La ZAP dépend donc d'une part du complexe ZPA/ZFM organisé par l'enseignant et la ZAP est reliée d'autre part à la ZPD par les connaissances mises en fonctionnement dans la ZAP.</footnote>
petite fille à une centration sur les monstres et leurs zones de prédation. Si les élèves ne font pas ce changement de point de vue ou ne reconnaissent pas que le cercle et le compas vont leur être utiles, ils vont a minima procéder points par points en mesurant et comparant.

Nous avons déjà évoqué la ZPD plus haut. Si les élèves développent les activités mathématiques attendues, et dans la mesure où l'enseignant peut proposer des proximités discursives avec la notion de cercle, il peut y avoir un développement des connaissances des élèves. Mais du côté des ZFM/ZPA, on voit que les seules actions possibles des élèves concernent les essais de mesure de distance, les comparaisons, et des tracés de chemin de la petite fille. Seul le professeur peut valider ou invalider leurs constructions. Les monstres ne peuvent pas être déplacés sur la feuille et l'action de déplacer les monstres en « tirant » la corde pour délimiter des parties du plan qu'ils peuvent atteindre n'est pas dans la ZPA. Les élèves doivent donc dépasser cette ZPA restreinte et tracer d'eux-mêmes les parties du plan où les monstres peuvent agir en mobilisant la notion de cercle comme ligne frontière de ces parties de plan.

## 5. Analyse de la tâche en environnement tablette

Dans le nouvel environnement, les connaissances en jeu et les activités mathématiques attendues sont différentes (malgré la proximité pragmatique — instrumentale — prévue de garder le même visuel). La ZFM est enrichie par l'environnement tablette, avec la possibilité de déplacer les monstres et la petite fille, la possibilité de rétroaction et la possibilité de recommencer plusieurs fois. Cependant la ZPA est modifiée également et de façon plus subtile. Les actions promues sont encore de déplacer la petite fille mais plutôt comme dans un jeu. Si elle rentre dans la zone d'un monstre, il y a une rétroaction immédiate « perdu » et le monstre capture instantanément la petite fille (figure 4a). Les élèves peuvent déplacer la petite fille et gagner (figure 4 b) sans du tout mobiliser la notion de cercle et sans le changement de point de vue identifié dans la situation en papier-crayon.

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>Figure 4a et 4 b. — Environnement tablette.</figcaption></figure>

Le complexe ZFM/ZPA ne favorise donc pas plus qu'en papier-crayon la mobilisation de la notion de cercle dans la ZPD des élèves, de sorte que le professeur puisse développer des proximités (cognitives ou pragmatiques). Pire encore, le complexe ZFM/ZPA, avec les feedbacks et l'aspect jeu, peut conforter les élèves dans les procédures du type essai/erreur. On peut ainsi prévoir une tension instrumentale (cognitive et pragmatique liée à la tablette) qui ne favorise pas la progression des élèves vers la connaissance visée.
## 6. Analyse de déroulement

Durant la phase 1, même avec des rétroactions du professeur qui pointe auprès des élèves les constructions fausses, ceux-ci n'ont pas développé les activités attendues (le changement de point de vue et la mobilisation du compas et des cercles). Comme on l'a vu dans l'analyse a priori, la ZPA ne favorise pas naturellement ces adaptations à la charge des élèves. Les figures 5a et 5 b montrent des exemples emblématiques de productions d'élèves.

<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>Figure 5a et 5 b. — Productions d'élèves pendant la phase 1</figcaption></figure>

On s'intéresse au passage de la phase 1 à la phase 2. Le professeur identifie que le changement de point de vue est une étape fondamentale dans l'activité des élèves et il change la tâche, d'abord inconsciemment, au moment du changement d'environnement (ZFM).

Moi je vous encourage à utiliser votre tablette pour bien comprendre comment ça se passe. Oui. Vous pouvez — non c'est mieux comme ça avec la tablette — vous pouvez prendre les points avec votre doigt (...) Vous allez déplacer votre... Vous allez pouvoir tester un petit peu. En déplaçant la petite fille. Et puis c'est ça qui m'intéresse aussi (...) Essayez de déplacer les monstres pour voir à quel endroit ils peuvent aller. D'accord ? Pour voir à quels endroits la petite fille n'a surtout pas le droit d'aller. Ça marche ? Aller essayez de tester un petit peu comme ça (...) Vous avez réussi à sortir d'accord. Alors maintenant essayez de dessiner sur le papier tous les endroits qui sont accessibles par l'un des monstres c'est-à-dire tous les endroits qui sont interdits d'accès à la petite fille.

Dans le changement de ZFM, le professeur joue donc également sur la ZPA : le déplacement des monstres et donc le changement de point de vue font maintenant partie de la ZPA. Devenant conscient de ce changement, le professeur va répéter cette nouvelle consigne plusieurs fois car la ZPA est sensiblement différente de ce qui était promu en environnement papier-crayon. Le faisant, il suppose avoir opéré une proximité pragmatique permettant aux élèves de mobiliser leur connaissance sur les cercles.

Toutefois, la trace des monstres n'est pas activée sur les tablettes des élèves donc même s'ils déplacent les monstres en « tirant » sur la corde, les élèves peuvent à nouveau ne pas visualiser des cercles. En outre, on peut « tirer » sur la corde sans décrire un rayon constant autour du monstre, comme l'illustre la fille au tableau dans la figure 6a (où la fonction trace est activée). L'activité sur la tablette peut donc encore éloigner les élèves de l'idée attendue de cercle. C'est une deuxième tension instrumentale. Le projet de l'enseignant de présenter le cercle comme outil géométrique permettant la résolution du problème, peut ne pas du tout être dans la ZPD de ces élèves-là. D'ailleurs, dans la phase 3 (figure 6 b), de nombreuses constructions d'élèves sur leur feuille mettent bien en évidence que le changement de point de vue s'est produit mais ne donnent pas du tout à voir des cercles. Beaucoup en restent à des prises de mesures discrètes autour de chacun des monstres pour identifier un chemin possible pour la petite fille.
<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>Figure 6a et 6 b. — Synthèse et production d'un élève au moment du bilan</figcaption></figure>

À la fin de la phase 3, même quand les élèves ont été mis sur la voie des cercles dans le bilan synthétique au tableau (en fin de phase 2), le professeur doit encore passer auprès de nombre d'entre eux pour s'assurer que ces derniers ont identifié l'utilité d'avoir recours à la notion de cercle et tracent effectivement des cercles, en opérant des proximités pragmatiques successives.

C'est quel objet mathématique tu as créé. D'accord ? Quel objet mathématique as-tu construit. Est-ce que ce sont des segments que tu as construits ? (...) Bien bah là t'as compris t'as réussi. Tu as relié tous les autres points que tu m'as montrés tout à l'heure (...) T'as utilisé quel outil toi ? T'as utilisé quoi comme outil pour tracer tes limites ? Le crayon et puis c'est tout. Quel outil permet de tracer un cercle ? (compas) Et alors ? Pourquoi tu ne l'utilises pas ton compas ? Ah bah voilà si tu sais qu'il faut utiliser un compas il faut l'utiliser hein. Là est-ce que ce dessin-là il est précis ? Il est précis ton dessin ? Moi je veux un précis hein ? N'oublie pas que c'est la vie de la petite fille qui est en jeu. On ne prend pas de hein risque. Tu l'as ton compas ? Allez vas-y sors le.

## 7. Conclusion

Dans la migration de la situation papier-crayon à la situation tablette, le complexe ZFM/ZPA est modifié sensiblement et le professeur n'en est pas nécessairement conscient. Dans notre exemple, les feedbacks et l'aspect jeu confortent une ZPA au sein de laquelle la notion de cercle et l'idée du compas ne sont pas en jeu naturellement. Beaucoup d'élèves interagissent avec la tablette de façon perceptive, sans mettre en jeu des connaissances mathématiques (pas même la mesure et la comparaison qui étaient a minima dans l'environnement papier-crayon). Du coup il est compréhensible que les activités des élèves n'embarquent pas la notion de cercle pour la majorité d'entre eux. Les quelques élèves qui tracent spontanément des cercles dans la phase 3 sont déjà ceux qui les avaient identifiés dans la phase 1 (en « sortant » de la ZPA papier-crayon). On a donc un environnement qui favorise un complexe ZFM/ZPA qui conforte les élèves dans des procédures éloignées des connaissances en jeu (le cercle « outil » comme seule réponse pour le problème). Cela engendre une tension instrumentale dans l'activité de la classe dans la mesure où le professeur doit donner de nombreuses aides procédurales aux élèves pour installer la notion de cercle et pouvoir tenir ensuite son propos sur la définition nouvelle du cercle (avec des proximités discursives).
# FORMATION CONTINUE AVEC SIMULATEUR DE CLASSE

## 1. Former des enseignants par simulation informatique.

Dans cette dernière partie, nous analysons cette fois les pratiques de formation et nous accédons aux pratiques des enseignants à travers leur utilisation d'un logiciel de simulation informatique de classe et leurs interactions durant la formation.

Depuis 10 ans, nous développons et utilisons des simulateurs informatiques de classe pour former à enseigner les mathématiques (Emprin, 2011 ; 2018). À l'origine de ce travail se trouve l'analyse des pratiques existantes de formation aux usages du numérique pour l'enseignement des mathématiques (Abboud et Emprin, 2010) qui a mis en évidence des caractéristiques de ces pratiques. Se dégagent de ce travail plusieurs hypothèses pour la formation. En particulier, l'introduction d'une analyse réflexive dans les formations, notamment via l'analyse de vidéos de classes réelles est propice au questionnement et à la prise de conscience par les enseignants de leurs propres pratiques avec les technologies. De plus, faire questionner les composantes des pratiques au sens de la double approche didactique et ergonomique (Robert, 1999 ; 2003) permet d'accéder à une meilleure compréhension de ces pratiques en vue de participer à leur développement via la formation continue. Après avoir vérifié ces hypothèses dans le cadre d'une ingénierie didactique de formation (Abboud et Emprin, 2010) s'appuyant sur l'introduction de l'analyse de pratiques importées dans la formation grâce à l'utilisation de vidéos, nous avons voulu dépasser deux grandes difficultés identifiées par Robert et Rogalski (2015) :

> « On voit la justification d'un temps long pour cette formation, dans la mesure où chaque analyse a un caractère opportuniste, dépendant de ce qui sort dans la séance. Sur la durée, l'aléatoire des apports des participants amène à rencontrer suffisamment de thèmes pour donner matière aux participants pour les adaptations dont ils auront besoin [...] » (p 109).

L'usage de simulations informatiques de classe vise donc à augmenter le temps de confrontation à la pratique en formation (sans augmenter le temps de formation) et à mieux maîtriser le caractère opportuniste des connaissances et des savoirs qui y émergent.

Les simulateurs existants, teachLive (http://exceptionaleducation.buffalostate.edu/teach-live), Tprof (https://t-prof.fr), Simschool (https://www.simschool.org) ou encore Lesson Sketch (https://www.gripumich.org) ne remplissent pas les conditions que nous avons définies notamment ils ne permettent pas de questionner la dimension cognitive des pratiques. Un premier simulateur informatique de classe (SIC — Première version : https://s.421.fr/SIC, Version 2.0 : https://s.421.fr/SIC2) a été conçu spécifiquement et expérimenté pour vérifier qu'il corresponde bien aux attendus en termes de formation.

SIC simule la mise en œuvre d'une séance de classe (virtuelle) qui concerne la résolution d'un problème de mathématiques (figure 7) en utilisant un logiciel de géométrie dynamique pour construire le dessin, conjecturer, puis démontrer l'égalité des longueurs

### Énoncé groupe 1 :

Réalise le dessin ci-contre avec « l'atelier de géométrie ».

(Tu commenceras par le cercle, ses deux diamètres perpendiculaires puis tu placeras les points B et F et tu continueras la construction en respectant les codages)

Quel est le plus long des deux segments, [AC] ou [EG] ?

<caption>**Figure 7.** – Énoncé du problème à enseigner dans SIC</caption>

L'utilisateur fait des choix parmi une liste (figure 8) qui a été déterminée à partir d'observations de séances dans des classes réelles. Certains choix qui ont été proposés par les enseignants au fil des formations utilisant SIC, sans pour autant avoir été observés en classe, sont cachés au premier abord et peuvent être ajoutés par le formateur au fur et à mesure de la formation. Le temps est lui aussi simulé, chaque action coute un nombre de minutes données et fait avancer le temps de la séance.
<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>**Figure 8.** — Interface de la première version du logiciel SIC</figcaption></figure>

L'utilisateur peut voir le travail des élèves sur leurs écrans, les interroger ou aller voir plus en détail un groupe et interagir avec ce groupe (figure 9). Il dispose également d'un vumètre qui indique les niveaux d'agitation des binômes. Lorsque ces niveaux atteignent un certain seuil, cela déclenche l'arrêt de la séance, en quelque sorte un « game over ».

SIC - Simulateur Informatique de Classe

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>**Figure 9.** – Interactions avec un groupe dans la première version du logiciel SIC</figcaption></figure>

À la fin de la simulation, l'utilisateur récupère le bilan de sa séance constitué, pour chaque binôme, de l'état d'avancement des tâches de construction et de conjecture et ce que l'élève a retenu de la séance après une semaine c'est à dire la réponse à la question : « Qu'as-tu appris lors de la séance de la semaine dernière en salle informatique ? ». Cette réponse peut aller de « rien » à « les diagonales d'un rectangle sont isométriques et il fallait utiliser le fait que les diagonales étaient aussi des rayons du cercle... »

Dans la formation que nous rapportons ici, nous avons remplacé l'utilisation de la vidéo par celle de SIC. Le scénario de formation est de type :

* analyse du problème mathématique, anticipation par le formé de la séance qu'il aurait mis en place dans sa classe (préparation de séance) autour de ce problème avec identification des difficultés potentielles ;

* utilisation du simulateur de la classe virtuelle (plusieurs essais possibles) avec analyse de l'écart entre prévu et réalisé ;
* identification et formulation des grandes problématiques qui se dégagent de cette expérience (connaissances et savoir issus de la formation).

## 2. Quelle différence entre l'usage de la vidéo et la simulation ?

De quelles données dispose-t-on lors de l'utilisation de SIC en formation ? Tout d'abord, il faut noter que toutes les traces sont soumises au fait que l'utilisateur (ici, enseignant en formation) accepte de les transmettre. Il s'agit, premièrement des actions choisies par l'utilisateur tout au long du déroulement temporel de chacun des essais de la séance simulée (figure 10)

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>**Figure 10.** — Extrait des 6 premières minutes et de la 22ᵉ à la 25ᵉ minute du déroulement de trois séances simulées par Amélie.</figcaption></figure>

Deuxièmement nous avons accès à l'effet des actions de l'utilisateur sur les élèves virtuels : où ils en sont du travail ? Quelles conjectures ont-ils réalisées ? De quoi se souviennent-ils après une semaine ? (Figure 11).

Ces deux types de traces sont disponibles pour toutes les simulations réalisées par les formés, c'est-à-dire pour plusieurs séances réalisées sur des élèves et dans des conditions identiques (SIC est complètement réinitialisé à chaque relance). De fait, cette répétition des expériences est propice à l'analyse des invariants et des variations.

Troisièmement, comme pour toute séance de formation, nous avons filmé et enregistré la session de formation afin d'analyser les échanges entre formés et entre le formateur et les formés. De fait, nous avons trois sources de données au lieu d'une, la dernière, traditionnellement recueillie lors de l'utilisation de vidéos en formation

Notre hypothèse de chercheur-formateur est que ces traces peuvent contribuer à l'analyse des pratiques. Notre objectif est donc triple. Du point de vue du chercheur, nous analysons ces traces pour inférer les pratiques et caractériser les genèses instrumentales de l'artefact simulateur pour les formés. Du point de vue du formateur, nous utilisons ces traces comme outil de formation. Pour cela, nous mobilisons le cadre de la Double Approche adaptée aux Technologies (DAaT) développé par Abboud (Volume 1) avec les axes d'analyse (cognitif, pragmatique et temporel) et les déterminants (personnels, sociaux et institutionnels) de l'activité de l'enseignant utilisant les technologies numériques ainsi que l'approche instrumentale de Rabardel (1995).
<table><caption>Figure 11. — Bilan des séances de trois groupes de formés : Amélie, groupe 42 et Rudy</caption><thead><tr><th></th><th colspan="5">Amélia</th><th colspan="3">Gpe 42</th><th colspan="5">Rudy</th></tr><tr><th></th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th></tr></thead><tbody><tr><td>Construction / essai</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Construction sur le logiciel terminée</td><td>8</td><td>8</td><td>7</td><td>8</td><td>8</td><td>8</td><td>8</td><td>8</td><td>8</td><td>5</td><td>8</td><td>8</td><td></td></tr><tr><td>Construction sur le logiciel rectangles placés</td><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>4</td><td>3</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Construction sur le logiciel non commencée</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>4</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td colspan="14">État de la démonstration</td></tr><tr><td>Très faible avancement dans la tâche</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>3</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Pense que les longueurs sont différentes</td><td>5</td><td>5</td><td>4</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td></td><td>4</td><td></td><td>4</td><td>1</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Pense que les longueurs sont égales mais sans idée de la démonstration</td><td>3</td><td>1</td><td>1</td><td>3</td><td>2</td><td>6</td><td>4</td><td>2</td><td>4</td><td>3</td><td></td><td>3</td><td>3</td></tr><tr><td>Capable d'enchaîner les étapes de la démonstration</td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td></td><td>2</td><td>2</td><td></td><td>3</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>Pense que les longueurs sont égales et a repéré que la longueur des diagonales est le rayon du cercle</td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td></td><td>1</td><td>2</td><td></td><td>2</td><td></td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td>Pense que les longueurs sont égales et a repéré une égalité des diagonales du rectangle</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td colspan="14">A 1 semaine</td></tr><tr><td>Tâche trop incomplète pour avoir une trace à distance</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>3</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Ne reste quasiment rien</td><td>5</td><td>5</td><td>4</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td></td><td>4</td><td></td><td>4</td><td>1</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Les deux longueurs étaient égales</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>5</td><td></td><td>6</td><td>2</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td></td><td>5</td><td>3</td></tr><tr><td>Les diagonales d'un rectangle sont isométriques</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>3</td><td>2</td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td></tr><tr><td>Les diagonales d'un rectangle sont isométriques, quand il y a un cercle on peut s'en servir pour démontrer une égalité de longueurs</td><td>0</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td></td><td></td><td>3</td><td>2</td><td></td><td>4</td><td>1</td><td>2</td><td>4</td></tr></tbody></table>

### 3. Étude de cas : inférer les pratiques à partir des traces des séances simulées

La séance simulée met en scène une tâche à réaliser en Environnement de Géométrie Dynamique (EGD). Elle vise à mettre en évidence le fait qu'il y a, de fait, deux objectifs distincts : d'une part la construction d'une figure résistante (Laborde et al., 2006) en EGD et d'autre part la conjecture puis la démonstration en s'appuyant sur une construction correcte. Ces deux objectifs ne sont pas tenables en une séance de 55 minutes ce qui nécessite pour l'enseignant de faire des choix qui concernent l'axe temporel et l'axe cognitif.

L'analyse des séances simulées pour Rudy (annexe 1) montre l'entrecroisement des axes d'analyse et l'importance de la gestion de l'axe temporel. Au premier essai, Rudy a passé beaucoup de temps pour que les élèves réalisent la construction pour un résultat sur les élèves partiellement satisfaisant (figure 11) : la moitié des élèves ont à la fois la bonne construction, la bonne conjecture et se souviennent du résultat après une semaine. En revanche, aucun n'a repéré l'enjeu de la séance en termes d'apprentissage, i.e. l'isométrie des diagonales du rectangle qui combinée avec la présence de rayons d'un même cercle permet de déduire l'égalité des longueurs EG et AC. Au deuxième essai, il écourte la partie construction. Les élèves vont plus loin, quatre d'entre eux repèrent les propriétés attendues et s'en souviennent une semaine après. Au troisième essai, il se centre sur un seul élève. On peut penser qu'il a repéré dans les simulations antérieures que cet élève rencontre des difficultés systématiquement et qu'il essaie de voir s'il est possible de lui permettre de réussir. Au quatrième essai, et afin de gérer la tension temporelle, Rudy fait toute la construction à la place des élèves, mais les effets sont moindres, car il ne fait pas de mise en commun ce qui induit une moindre diffusion des connaissances dans le groupe. Le cinquième essai est caractérisé par le fait que les formés disposent de nouvelles options débloquées par le formateur à leur demande : il peut donner une construction partielle ou complète aux élèves. Cette option semble lui permettre de gérer d'une façon plus satisfaisante les tensions cognitive et temporelle puisqu'il choisit de l'utiliser au bout de 16

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
minutes afin de laisser plus de temps pour les tâches de conjecture et démonstration. Il laisse ainsi 31 minutes pour la conjecture et mène ensuite une mise en commun. Le dernier essai consiste à tester les limites du logiciel, voir ce qui se passe quand les élèves n'ont rien à faire, la séance est arrêtée par le logiciel au bout de 20 minutes, car les niveaux d'agitation des élèves sont trop élevés. Notre hypothèse est que le cinquième essai étant satisfaisant, Rudy utilise le temps qui lui reste pour découvrir le fonctionnement de SIC. Cela contribue également à la compréhension de la façon dont il est programmé.

L'analyse de ce déroulement fait émerger les tensions cognitives et temporelles que l'enseignant avait à gérer et aussi le processus d'instrumentalisation de SIC par Rudy. Ce processus est repérable par le nombre d'essais, le fait qu'il semble utiliser les essais antérieurs pour l'essai en cours et qu'il cherche à comprendre les hypothèses des formateurs grâce au fonctionnement du logiciel. On peut également adopter ici une autre entrée analytique en reprenant le concept de « régulation » de l'activité de l'enseignant développé dans la première partie de ce texte.

A titre de comparaison, une autre stagiaire, Amélia, fait 5 essais également. Alors que son premier essai est peu concluant en termes d'effets sur les élèves, elle reproduit cependant, sur chacun des essais suivants, les mêmes types d'interaction : elle regarde le travail de tous les élèves. Elle n'utilise donc pas le fait que les réactions des élèves sont prévisibles : les mêmes causes provoquent les mêmes effets d'un essai à l'autre, sans aspects aléatoires. Une forte stabilité de la composante médiative de ses pratiques se dégage donc de ses pratiques ainsi qu'un processus d'instrumentalisation qui n'exploite pas les potentialités de l'artefact.

## 4. Exploitation en formation

L'extrait suivant d'un échange enregistré pendant la formation illustre une tension liée à l'axe pragmatique. Les enseignants sont confrontés à un risque d'éclatement de la classe dû à un rythme hétérogène de l'avancement dans la réalisation de la tâche et cherchent à ramener tous les élèves au même rythme :

Formateur (F) : donc la consigne, ça vous pose pas de souci, la construction alors la conjecture maintenant

Enseignant (E) 4 : est-ce que là c'est possible, là de laisser ceux qui ont encore des problèmes avec la construction et puis demander aux autres de faire la conjecture

F : ça n'a pas été prévu non, de différencier comme ça

E4 : parce que là il y a un problème avec ceux qui ont terminé la figure et qui ont plus rien à faire du tout, parce qu'une fois que c'est fini y s'ont plus rien du tout à faire

E1 : et y s'énervent

[...]

F1 : donc du coup effectivement on pourrait proposer ça de laisser ceux qui ont à construire et de travailler avec ceux qui ont...

E4 : mais après ça crée l'écart encore plus

F1 : du coup oui

E4 : parce que là il y en a qui vont avoir fini de démontrer et tout et d'autres rien du tout, jamais

F : du coup est-ce que ce code-là il ne répond pas.

E4 : donner la correction à tous quoi

Le logiciel ne permet pas de faire passer un groupe à la phase de conjecture alors que d'autres groupes sont à la phase de construction, notamment parce que cela n'a pas été observé lors des expérimentations en classes réelles. On voit que les enseignants souhaiteraient, dans la simulation, proposer cela, mais qu'ils y renoncent au fil de l'échange pour ne pas « créer l'écart encore plus. » La solution proposée « donner la construction correcte aux élèves » permet d'abandonner, pour certains élèves, l'enjeu de construction pour remettre tous les élèves à la même tâche. Il semblerait que les enseignants instrumentalisent le simulateur pour prendre plus
de risque et que de fait, il ouvre au formateur la possibilité de dégager des problématiques pour
la dernière partie. Ici une problématique liée à l'axe pragmatique.

5. *Conclusion et perspectives liées à la simulation*

Pour conclure sur l'analyse des pratiques de formation avec simulateur de classe, les travaux réalisés mettent en évidence à la fois l'aspect prometteur de l'utilisation des traces pour le chercheur et l'adéquation du cadre de l'analyse en axes pragmatique, cognitif et temporel tout en questionnant sur la façon dont un formateur pourrait exploiter ces outils en formation.

En effet, comment un formateur peut-il exploiter les traces que nous avons présentées durant
sa formation ? Si le chercheur a le temps de compiler et analyser les séances simulées, il faudrait
inventer d'autres stratégies de formation, et probablement d'autres techniques, pour utiliser ces
éléments durant les séances de formation. Reste également à analyser ce que l'exploitation de
ces traces peut apporter durant la formation, par exemple si on imagine que l'on amène les
formés à analyser leurs pratiques par ce prisme.

CONCLUSION

Les trois parties de ce texte visaient à fournir des éclairages sur l'activité de l'enseignant lors
de la mise en place de tâches enrichies par les technologies et sur les difficultés, les tensions et
les incertitudes auxquels il fait face et les choix explicites ou implicites qu'il fait pour les gérer
en temps réel. Dans la dernière partie nous avons en plus montré comment les outils conceptuels
développés pour permettre cet éclairage représentent des leviers pour la formation. En fait, un
formateur outillé avec ces concepts est plus à même de réagir in situ et d'ajuster ses
interventions aux besoins et aux connaissances professionnelles des enseignants.

Les trois parties présentent également une cohérence au niveau du cadrage théorique et les
approches qui y sont présentées sont complémentaires. De plus, un élément méthodologique
fort est que les données recueillies sont relatives à des pratiques ordinaires de classe de
mathématiques. D'un côté, l'analyse de ces pratiques permet au chercheur de caractériser les
pratiques enseignantes en environnement technologique et ainsi mieux comprendre les
difficultés qu'éprouvent ces enseignants dans la vie quotidienne de la classe et les tensions
qu'ils arrivent à gérer (ou non). Régulations, prise en compte des ZPD des élèves (proximités)
et gestion de tensions afin d'assurer des apprentissages mathématiques jugés « satisfaisants »
par l'enseignant, nous renseignent aussi sur les genèses d'usage des technologies chez les
enseignants (Abboud-Blanchard & Vandebrouck, 2013). D'un autre côté, se baser sur ces
analyses permet de simuler des pratiques de classe utilisables en formation et d'accéder à une
analyse de l'activité de l'enseignant en formation, d'agir sur cette activité en visant son
enrichissement.

L'ensemble de ces travaux participent à un chantier en cours, les outils conceptuels continuent à être consolidés, d'autres outils restent à développer et des transferts vers la formation sont à renforcer et à inventer. Chantier mouvant, à la fois contraint et stimulé par des technologies éducatives en perpétuel développement...
RÉFÉRENCES

ABBOUD-BLANCHARD, M. (2014). Teachers and technologies: shared constraints, common responses. In A. Clark-Wilson, O. Robutti & N. Sinclair (Eds.), *The Mathematics Teacher in the Digital Era: An International Perspective on Technology Focused Professional Development* (pp. 297-318). Springer.

ABBOUD-BLANCHARD, M. & EMPRIN, F. (2010). Pour mieux comprendre les pratiques des formateurs et de formations TICE, *Recherche et Formation* (INRP), 62, 125-140.

ABBOUD-BLANCHARD, M. & VANDEBROUCK, F. (2013). De l'analyse d'usages des TICE à une articulation de cadres théoriques pour l'étude des pratiques enseignantes. In J.B. Lagrange (Ed.), *Les technologies numériques pour l'enseignement : usages dispositifs et genèses* (pp. 111-128). Octarès.

ABBOUD, M. & ROGALSKI, J. (2017). Des outils conceptuels pour analyser l'activité de l'enseignant « ordinaire » utilisant des technologies en classe. *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 37/2-3, 161-216.

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VYGOTSKI, L.-S. (1934/1986). *Thought and language*. MIT Press.
# ANNEXES

## Annexe 1 : séances simulées de Rudy

<table><thead><tr><th>min</th><th>Essai 1</th><th>Essai 2</th><th>Essai 3</th><th>Essai 4</th><th>Essai 5</th><th>Essai</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>donner la consigne</td><td>donner la consigne</td><td>donner la consigne</td><td>ne pas allumer</td><td>ne pas allumer</td><td>donner la consigne</td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td>donner la consigne</td><td>donner la consigne</td><td></td></tr><tr><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>4</td><td>redonne la consigne</td><td>construire</td><td>regarde élève n01</td><td></td><td></td><td>att</td></tr><tr><td>5</td><td>regarde élève n05</td><td></td><td>regarde élève n05</td><td>demande à tous résiste ?</td><td>interroge élève n01</td><td></td></tr><tr><td>6</td><td>regarde élève n04</td><td></td><td>regarde élève n04</td><td></td><td>interroge élève n05</td><td></td></tr><tr><td>7</td><td>regarde élève n03</td><td>attendre 3 minutes</td><td>faire à leur place</td><td>redonner la consigne</td><td>interroge élève n09</td><td>construire</td></tr><tr><td>8</td><td>regarde élève n03</td><td></td><td></td><td></td><td>redonne la consigne</td><td></td></tr><tr><td>9</td><td>regarde élève n01</td><td></td><td></td><td>demande à tous résiste ?</td><td>demande à tous résiste ?</td><td></td></tr><tr><td>10</td><td>regarde élève n01</td><td>regarde élève n01</td><td></td><td></td><td></td><td>att 3 min</td></tr><tr><td>11</td><td>regarde élève n02</td><td></td><td>regarde élève n07</td><td>regarde élève n03</td><td>regarde élève n01</td><td></td></tr><tr><td>12</td><td>regarde élève n02</td><td></td><td>demande à tous résiste ?</td><td>faire à leur place</td><td>regarde élève n02</td><td></td></tr><tr><td>13</td><td>regarde élève n06</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>att 3 min</td></tr><tr><td>14</td><td>faire à leur place</td><td>demande la conjecture</td><td>redonner la consigne</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>15</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>16</td><td></td><td>montrer une construction correcte</td><td></td><td>regarde élève n01</td><td>donne la construction de base et des points</td><td>att 3 min</td></tr><tr><td>17</td><td></td><td></td><td></td><td>faire à leur place</td><td></td><td></td></tr><tr><td>18</td><td>demande à tous résiste ?</td><td>regarde élève n01</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>19</td><td></td><td>faire à leur place</td><td>passer à la conjecture</td><td></td><td>attendre 3 minutes</td><td>att 3 min</td></tr><tr><td>20</td><td>redonner la consigne</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>21</td><td></td><td></td><td></td><td>regarde élève n02</td><td></td><td></td></tr><tr><td>22</td><td>regarde élève n07</td><td></td><td>demande à tous résiste ?</td><td>faire à leur place</td><td>passer à la conjecture</td><td></td></tr><tr><td>23</td><td>regarde élève n08</td><td>regarde élève n02</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>24</td><td>revient à l'arrière</td><td></td><td>dire de mesurer</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>25</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>demande à tous résiste ?</td><td>att 3 min</td></tr><tr><td>26</td><td></td><td>passer à la conjecture</td><td></td><td>regarde élève n04</td><td></td><td></td></tr><tr><td>27</td><td>regarde élève n01</td><td>demande à tous résiste ?</td><td>demande à tous résiste ?</td><td>faire à leur place</td><td>dire de mesurer</td><td></td></tr><tr><td>28</td><td>regarde élève n02</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>29</td><td>regarde élève n03</td><td>revient à l'arrière</td><td>montrer une construction correcte</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
<table><tr><td>30</td><td>regarde élève n04</td><td></td><td></td><td></td><td>demande la conjecture</td></tr><tr><td>31</td><td>regarde élève n05</td><td>passer à la demo</td><td>dire de mesurer</td><td>regarde élève n05</td><td></td></tr><tr><td>32</td><td>regarde élève n06</td><td>demande à tous mettre OB sur rayon</td><td></td><td></td><td>revient à l'arrière</td></tr><tr><td>33</td><td>regarde élève n07</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>34</td><td>regarde élève n08</td><td>redonner la consigne</td><td>demande la conjecture</td><td></td><td></td></tr><tr><td>35</td><td>regarde élève n09</td><td></td><td></td><td>passer à la conjecture</td><td>passer à la demo</td></tr><tr><td>36</td><td>regarde élève n08</td><td>redonner la consigne</td><td>revient à l'arrière</td><td></td><td></td></tr><tr><td>37</td><td>regarde élève n01</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>38</td><td></td><td>revient à l'arrière</td><td></td><td>dire de mesurer</td><td>redonner la consigne</td></tr><tr><td>39</td><td></td><td></td><td>demande à tous mettre OB sur rayon</td><td></td><td></td></tr><tr><td>40</td><td></td><td>passer à la conjecture</td><td></td><td></td><td>demande à tous mettre OB sur rayon</td></tr><tr><td>41</td><td></td><td>dire de mesurer</td><td>passer à la mise en commun</td><td>demande la conjecture</td><td></td></tr><tr><td>42</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>redonner la consigne</td></tr><tr><td>43</td><td></td><td></td><td>redonner la consigne</td><td>montrer une construction correcte</td><td></td></tr><tr><td>44</td><td>montrer une construction correcte</td><td>avis des élèves</td><td></td><td></td><td>revient à l'arrière</td></tr><tr><td>45</td><td></td><td></td><td>revient à l'arrière</td><td>demande la conjecture</td><td></td></tr><tr><td>46</td><td>demande la conjecture</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>47</td><td></td><td>note en trace écrite</td><td></td><td>revient à l'arrière</td><td>passer à la mise en commun</td></tr><tr><td>48</td><td>montrer une construction correcte</td><td></td><td>attendre 3 minutes</td><td></td><td></td></tr><tr><td>49</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>50</td><td>demande la conjecture</td><td>fin de session</td><td></td><td>demande à tous mettre OB sur rayon</td><td>avis des élèves</td></tr><tr><td>51</td><td></td><td></td><td>passer à la mise en commun</td><td></td><td></td></tr><tr><td>52</td><td>revient à l'arrière</td><td></td><td></td><td>redonner la consigne</td><td></td></tr><tr><td>53</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>note en trace écrite</td></tr><tr><td>54</td><td></td><td></td><td>note en trace écrite</td><td>revient à l'arrière</td><td></td></tr><tr><td>55</td><td>passer à la demo</td><td></td><td></td><td></td><td>fin de session</td></tr><tr><td>56</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>57</td><td>fin de session</td><td></td><td>fin de session</td><td>fin de session</td><td></td></tr><tr><td>58</td><td>fin de session</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
# RESSOURCES NUMERIQUES POUR L'ENSEIGNEMENT ET L'APPRENTISSAGE DES MATHEMATIQUES

Xavier Nicolas*, Christian Mercat**, Sébastien Jolivet***, Jana Trgalová**

## RÉSUMÉ

Les trois séances de ce TD abordent différents aspects liés aux ressources en général et aux ressources numériques en particulier. La première séance, animée par Xavier Nicolas, s'intéresse à la relation chercheur-praticien dans le cadre des problématiques didactiques de conception, évaluation et appropriation de ressources numériques, sur le fond de l'utilisation d'un environnement de réalité virtuelle. Durant la deuxième séance, Christian Mercat propose une réflexion sur la conception de ressources à partir d'un générateur de tâches proposé dans *MathCityMap*, un dispositif d'apprentissage de mathématiques innovant soutenu par la technologie mobile. La troisième séance, animée par Sébastien Jolivet, aborde la question de la description de ressources, en particulier lorsqu'il s'agit d'articuler les contraintes liées à la description d'un volume important de ressources dans des domaines mathématiques différents, tout en assurant une certaine qualité didactique à cette description. Les trois TD invitent les participants à porter un regard didactique sur ces diverses problématiques liées aux ressources numériques.

Mots-clefs : Ressource numérique, indexation, réalité virtuelle, rallye mathématique géolocalisé

## ABSTRACT

The three sessions of this workshop address different aspects related to resources in general and digital resources in particular. The first session, led by Xavier Nicolas, focuses on the researcher-practitioner relationship in the context of didactic issues of design, evaluation and appropriation of digital resources, with the background use of a virtual reality environment. During the second session, Christian Mercat offers a reflection on the design of resources using a task generator proposed in *MathCityMap*, an innovative mathematics learning device supported by mobile technology. The third session, moderated by Sébastien Jolivet, addresses the question of the description of resources, in particular when it comes to articulating the constraints linked to the description of a large number of resources in different mathematical fields, while ensuring a certain didactic quality to this description. The three sessions invite participants to take a didactic look at these various issues related to digital resources.

Keywords: Digital resource, indexation, virtual reality, geolocalized mathematical trail

## INTRODUCTION

Les trois séances de ce TD permettent d'aborder différents aspects liés aux ressources en général et aux ressources numériques en particulier.

Lors de la première séance, Xavier Nicolas propose aux participants de s'intéresser à la relation chercheur-praticien dans le cadre des problématiques didactiques de conception, évaluation et appropriation de ressources numériques pour l'enseignement et l'apprentissage en mathématiques. Il exploite pour cela l'approche « recherche orientée par la conception » (Sanchez et Monod-Ansaldi, 2015). Cette réflexion générale est appuyée sur le travail de réalisation effective d'une ressource pour l'enseignement de la géométrie dans l'espace à l'aide de la technologie, encore peu exploitée en classe, de la réalité virtuelle. Lors de l'atelier, les participants vivent une étape cruciale de la conception collaborative de ressources, celle de révision collective de la ressource qui vise l'identification d'éventuels points critiques (difficultés, implicites, imprécisions...). Ce travail est soutenu par la carte d'expérience (Sperano et al., 2019), outil méthodologique retraçant les divers aspects et choix de conception de la ressource.

Durant la deuxième séance, Christian Mercat propose une réflexion sur un dispositif d'apprentissage des mathématiques innovant soutenu par la technologie mobile. Le dispositif *MathCityMap* s'appuie d'une part sur une application web permettant aux enseignants de concevoir des tâches nécessitant une prise d'informations dans l'espace environnant, et d'autre part sur une application sur smartphone qui permet aux élèves de résoudre des tâches proposées

<footnote>* INSPE, Université Clermont Auvergne</footnote>

<footnote>** LDAR, Université de Paris & IUFE, Université de Genève</footnote>

<footnote>*** LDAR, Université de Paris et LIP6, Sorbonne Université</footnote>
dans un parcours géolocalisé. Les participants sont invités à porter un regard didactique sur le générateur de tâches sur le portail afin d'en analyser la qualité.

Lors de la troisième séance, Sébastien Jolivet aborde la question de la description des ressources, en particulier lorsqu'il s'agit d'articuler les contraintes liées à la description d'un volume important de ressources dans des domaines mathématiques différents, tout en assurant une certaine qualité didactique à cette description. Les participants sont d'abord invités à réfléchir sur des critères didactiques de description de ressources d'apprentissage (numériques ou non), ce qui suscite des questionnements sur ce qu'est une ressource, sur la finalité de leur description (pour qui, pour quoi faire). En guise de réponse à ces questions, Sébastien présente quelques réflexions sur les enjeux de descriptions de ressources et sur les approches qu'il a développées dans divers projets.

Ce TD, à travers les trois ateliers à la fois différents et complémentaires, a permis d'aborder et d'approfondir des questionnements relatifs aux ressources, numériques ou non : leur conception, description et évaluation.

## CONCEPTION, EVALUATION, APPROPRIATION D'UNE RESSOURCE MOBILISANT LA REALITE VIRTUELLE DEDIEE A L'ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE DANS L'ESPACE

### Séance de TD animée par Xavier Nicolas

L'exploration des potentialités offertes par des formes didactiques nouvelles, comme celle liés à l'intégration des technologies numériques, bénéficie d'approches de recherche pragmatiques et impliquant une forte dimension collaborative entre chercheur et praticiens. S'inscrivant dans le paradigme des recherches de faisabilité (Astolfi, 1993) et des recherches collaboratives (Desgagné, 1997), la recherche orientée par la conception (Sanchez & Monod-Ansaldi, 2015) place la conception, l'évaluation et l'appropriation de ressources numériques au cœur du processus de recherche et de collaboration. Dans cet atelier, nous proposons d'illustrer ces principes autour d'une phase de design d'une ressource dédiée à l'enseignement de la géométrie dans l'espace et mobilisant un environnement de réalité virtuelle.

### 1. L'approche méthodologique Recherche Orientée par la Conception

La recherche orientée par la conception (ROC) est la dénomination dans le monde francophone proposée par Sanchez & Monod-Ansaldi (2015) pour Design-Based Research (DBR). Né au début des années deux mille, le collectif Design-Based Research Collective (2003) développe une vision de la recherche en éducation considérée comme une recherche appliquée et propose une synthèse de différents courants méthodologiques qui ont en commun d'afficher leurs visées pragmatiques et collaboratives :

> "We define design-based research as a systematic but flexible methodology aimed to improve educational practices through iterative analysis, design, development, and implementation, based on collaboration among researchers and practitioners in real-world settings, and leading to contextually-sensitive design principles and theories. The five basic characteristics: (a) pragmatic ; (b) grounded ; (c) interactive, iterative, and flexible ; (d) integrative ; and (e) contextual" (Wang & Hannafin, 2005, p. 6-7).

Les approches DBR partagent de nombreux points communs avec l'ingénierie didactique (Artigue, 2020) mais dans la DBR le rôle du design est plus équilibré entre l'objectif de production de ressources pour faire évoluer l'enseignement et celui de production de connaissances, entre recherche fondamentale et développement. En effet si les visées de la ROC sont bien pragmatiques, car il s'agit de concevoir un dispositif techno-pédagogique, de produire des résultats pouvant éclairer la pratique, elles sont surtout heuristiques, car les
expérimentations qui sont conduites visent à éprouver les modèles théoriques élaborés par la recherche, à les raffiner et, éventuellement, à en construire de nouveaux. (Sanchez & Monod-Ansaldi, 2015). Un des enjeux pour la ROC est de parvenir à s'abstraire des contextes étudiés et à permettre une généralisation des résultats en identifiant des invariants et en s'assurant de la validité externe des résultats produits.

Une des caractéristiques principales de la ROC est sa dimension itérative et flexible. Le modèle SAM (Allen & Sites, 2012), met en relief ces itérations à plusieurs niveaux : au sein d'une même phase et entre les phases (Figure 1).

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>Figure 1. — Le modèle SAM (Successive Approximation Model) de Allen et Sites (2012)</figcaption></figure>

## La relation chercheur-praticien dans la ROC

La ROC permet de combiner les visées éducatives du praticien avec les moyens que le chercheur se donne pour comprendre les conditions de leur réalisation.

Le travail de conception, de mise en œuvre et d'analyse est de nature à permettre une évolution des praxéologies des chercheurs et des praticiens. Pour les chercheurs, le gain consisterait alors dans une meilleure compréhension théorique basée sur des travaux empiriques, dans une évolution de sa pratique de recherche ainsi que des avancées d'un point de vue méthodologique. Pour le praticien, les apports consistent dans une évolution de sa pratique ainsi que dans une meilleure compréhension des effets de cette pratique. Cela se traduirait donc par un développement professionnel. Le dispositif de recherche collaborative offre alors la possibilité de construire un espace interprétatif partagé dans lequel s'élabore progressivement un problème d'enseignement aux prises avec des enjeux de savoir et des contraintes de mise en œuvre qu'il s'agit justement de partager. Ce partage nécessite que les deux communautés : chercheurs et praticiens puissent s'accorder sur l'idée que certains objets leurs sont communs et qu'ils puissent développer un discours tant pratique que théorique sur ces objets. Le concept d'objet frontière (Trompette & Vinck, 2009) définit des « objets, abstraits ou concrets, dont la structure est suffisamment commune à plusieurs mondes sociaux pour qu'elle assure un minimum d'identité au niveau de l'intersection tout en étant suffisamment souple pour s'adapter aux besoins et contraintes spécifiques de chacun de ces mondes ». On retrouve cette idée dans l'objet biface (Marlot et al., 2017) qui organise la co-activité des enseignants et des chercheurs. Dans ces approches, le passage de frontières culturelles nécessite la médiation d'une personne appartenant aux deux communautés : le broker. Son rôle consiste alors à identifier les objets frontières, les différences de sens qu'ils portent, et à en informer le collectif pour faciliter la construction d'un sens partagé (Aldon et al., 2013).
## 2. Cadre théorique associé à la ressource mobilisée

Dans cet atelier, nous mobilisons une ressource numérique en réalité virtuelle dans le contexte des enseignements de la géométrie dans l'espace. Initialement cette ressource a été conçue pour développer chez les élèves une vision non iconique des représentations en perspective cavalière des prismes et des pyramides en développant des techniques de construction inédites de ces solides : la « construction dimensionnelle » (Nicolas & Trgalová, 2017). Nous nommons « construction dimensionnelle », le fait de générer un objet géométrique de dimension N à partir d'un objet de dimension N-1. Cette génération prend la forme d'un étirement d'une figure dans l'espace. Un segment peut être généré par l'étirement d'un point. Un prisme peut être généré par l'étirement d'un polygone.

Le design proposé dans l'atelier est la remobilisation de la technique de construction dimensionnelle des prismes et des pyramides dans le contexte des apprentissages du calcul du volume en 5ème et 4ème du collège. En effet, si les formules mathématiques nécessaires à ces calculs sont simples, leur mise en œuvre peut être problématique du fait de devoir identifier la base et la hauteur dans des représentations graphiques en perspectives cavalières. L'hypothèse des concepteurs de la ressource est que la construction dimensionnelle facilite l'identification des bases et de la hauteur des prismes et des pyramides et qu'elle participe également à la perception du concept de volume.

D'un point de vue scientifique, nous considérons l'environnement de réalité virtuel comme un espace graphique (Perrin-Glorian et al., 2013) qui a la particularité d'être perçu comme un espace sensible par le sujet. En effet l'immersion et l'interaction pseudo naturelle des dispositifs de réalité virtuelle permettent l'émergence du sentiment de présence chez l'utilisateur, le sentiment authentique d'exister dans un monde autre que le monde physique où notre corps se trouve. L'utilisation du corps, comme principal moyen d'interaction dans les environnements de réalité virtuelle invite à considérer de manière central le rôle des expériences corporelles et kinesthésiques dans l'apprentissage des mathématiques (Arzarello & Robutti, 2008 ; de Freitas & Sinclair, 2014 ; Nemirovsky et al., 2004 ; Radford, 2009). En conclusion les environnements de réalité virtuelle nous amènent à considérer l'ensemble des ressources ou modalités mobilisés dans le processus d'apprentissage : communication symbolique orale et écrite, dessin, geste, manipulation d'artefacts matériels et numériques, mouvements du corps.

## 3. Mise en œuvre de l'atelier et analyses

Dans cet atelier, nous avons souhaité faire vivre aux participants un moment clé de la ROC, la phase design itératif (Figure 1) et plus particulièrement l'étape de *review*, c'est-à-dire l'évaluation du design. C'est en effet dans cette phase que les échanges entre chercheurs et praticiens sont particulièrement riches. Compte tenu des contraintes de temps de l'atelier, nous avons proposé aux participants de travailler à partir d'un design (scénario pédagogique et prototype de l'environnement virtuel dédié) conçu précédemment par des enseignants de mathématiques lors de cycle antérieur de design itératif. Les objectifs de l'atelier sont de :

* Permettre aux participants de s'approprier une technologie nouvelle à partir d'un design ayant déjà connu plusieurs cycles d'itération ;

* Faire émerger des points de friction concernant l'utilité, l'utilisabilité et l'acceptabilité du design en bénéficiant d'un regard neuf sur le design ;

* Favoriser l'émergence de discussions autour d'objets frontières.
## Le dispositif

L'environnement virtuel est une scène 3D, construite avec l'application *Gravity Sketch*, un environnement de Conception Assistée par Ordinateur grand public et gratuit (Figure 2). L'environnement est accessible par un dispositif de réalité virtuelle (RV) immersif de type casque autonome. Nous avons utilisé le casque *Meta Quest 2* qui possède deux contrôleurs (un pour chaque main) et permet une manipulation et des déplacements dans une zone de 7m x 7m. L'ensemble des mouvements (tête, corps, mains) est capté par le casque (pas de dispositif externe de tracking) et retranscrit en temps réel dans l'environnement virtuel. La vision utilisateur est partagée sur un écran d'ordinateur pour un consultation par les observateurs extérieurs.

<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>**Figure 2.** – Le prototype d'environnement virtuel dans l'application Gravity Sketch</figcaption></figure>

Le scénario du design prend la forme d'une carte d'expérience. Une carte d'expérience est une représentation graphique et textuelle qui permet de décrire une expérience dans le temps avec un produit, un système ou un service (Kalbach, 2016). Elle peut être utilisée *a posteriori* pour analyser le réalisé ou de manière prospective pour la conception d'une situation ou d'une ressource. La carte est fournie aux groupes sous forme numérique, les participants peuvent interagir avec son contenu : modifier, ajouter des éléments.

<figure><img src="image_71.png" /></figure>
<caption>**Figure 3.** — Extrait de la carte d'expérience (voir ici la version complète)</caption>

Les participants sont répartis en trois groupes et disposent d'un dispositif de RV, d'une zone de manipulation de 3mx3m et de la carte d'expérience interactive au format numérique (Figure 4). Les consignes suivantes sont données aux participants :

> « Vous devez tester une ressource (scénario + artefact) proposée à une classe de 4ème collège dans le cadre de l'enseignement du calcul du volume du prisme. Vous disposez d'une carte d'expérience décrivant l'ensemble du scénario. Vous rendrez compte dans cette carte d'expérience d'éventuels points de friction ; questionnements, difficultés, remarques autour des objets de savoir, des tâches, émergents de la mise en œuvre de la ressource. »

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>**Figure 4.** — Disposition matérielle dans un groupe</figcaption></figure>

## Synthèse des productions sur les cartes et des discussions dans les groupes

Le tableau 1 recense les points de friction déposés sur les cartes d'expérience par les groupes. Une version en ligne de la carte est disponible en cliquant sur ce lien. Malheureusement un problème technique a limité le recueil de données, certains groupes ayant perdu leurs annotations en rafraîchissant l'affichage de l'ordinateur. Nous avons choisi de trier les points de friction disponibles en trois catégories. Celles relevant de l'utilité : permettre d'atteindre les objectifs pédagogiques, celles relevant de l'utilisabilité : les problèmes liés à l'usage du dispositif et enfin celles relevant de l'acceptabilité : la conformité aux savoirs mathématiques, aux pratiques institutionnelles.

<table><caption>**Tableau 1.** — Recueil des points de friction proposés par les participants</caption><thead><tr><td>Utilité</td><td>Utilisabilité</td><td>Acceptabilité</td></tr></thead><tbody><tr><td>Comment mettre en relief la notion de hauteur (manque de transparence des objets)</td><td>Limiter les fonctionnalités accessibles aux utilisateurs (élèves)</td><td>Pas de validation à part la comparaison directe de volume par inclusion d'un solide dans l'autre</td></tr><tr><td>Prolongement sur d'autres solides ?</td><td>Manque de précision (pas de mesures disponibles : coordonnées, grandeurs)</td><td>Quelle signification mathématique pour la technique de construction dimensionnelle ?</td></tr><tr><td>Faire du lien avec les patrons : assemblages de faces</td><td>Retour haptique du moment d'inertie : vibration des contrôleurs</td><td></td></tr><tr><td>Ajouter différents mécanismes pour créer plus de réflexions de la part des élèves</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
## Discussion autour de l'objet frontière construction dimensionnelle

Comme évoqué dans les potentialités de la ROC, l'activité des participants a fait émerger des questionnements autour d'un objet frontière. Ici les discussions ont porté sur la justification mathématique, la technologie au sens de Chevallard, de la technique de construction dimensionnelle pour générer des volumes.

Les discussions se sont orientées vers la notion d'intégrale. En effet certaines grandeurs physiques sont des résultats d'intégrale. L'étirement d'un polygone invite à considérer le solide généré comme l'intégrale d'une aire selon une différence de hauteur. Si S(z) désigne l'aire de la surface découpée du solide par le plan de côte z dont la hauteur varie de a à b, le volume V du solide peut s'écrire :

$$V = \int_{a}^{b} S(z) \cdot dz$$

En conséquence on retrouve bien pour le prisme, V = base x hauteur (l'aire étant constante) et pour la pyramide V = Base x hauteur /3.

Bien que cette justification mathématique ne soit pas accessible à des élèves de 4ème, il est assez inattendu et intéressant pour la suite d'explorer la construction dimensionnelle comme une représentation graphique et kinesthésique de l'intégration.

## CONCEPTION ET EVALUATION D'UN RALLYE MATHEMATIQUE GEOLOCALISE

### Séance de TD animée par Christian Mercat

En direction d'une mathématique plus située et plus réaliste que celle enseignée en classe habituelle, les rallyes mathématiques invitent à visiter un endroit (une école, une ville...) en ouvrant un œil scientifique et ludique sur le monde autour de soi (Aldon, 2018 ; Blane & Clarke, 1984 ; English et al., 2010). L'idée est de se voir poser des questions, à un endroit précis, nécessitant de prendre des informations dans son environnement, mesurer ou estimer une grandeur (longueur, angle, durée...) ou simplement se placer physiquement à un endroit donné (milieu de deux points, centre d'un cercle...), lire une pancarte, vérifier un alignement...

Le projet *MathCityMap* facilite l'ingénierie de tels rallyes au travers d'une plateforme numérique en ligne d'édition de tâches et de parcours, et d'une application sur smartphone et tablette pour la conduite des rallyes, individuellement ou en groupes (Cahyono & Ludwig, 2019). Cette application non seulement vous pose la question mais vous aide à la localiser (à l'aide du GPS), vous propose des indices, valide, invalide et évalue la précision de votre réponse (vous gagnez des points) et vous propose une correction (Gurjanow et al., 2019). En version connectée synchrone, elle vous permet aussi de communiquer avec votre enseignant qui peut vous localiser et suivre votre activité.

Dans cet atelier, nous proposons de prendre en main l'outil, de faire l'expérience du dispositif, de concevoir des tâches et de faire l'étude qualité de tâches données.

### 1. L'intérêt de la technologie pour les rallyes mathématiques

Les rallyes mathématiques donnent l'occasion aux élèves de faire l'expérience d'apprentissages situés dans l'espace, utilisant leur corps pour évaluer (de Freitas & Sinclair, 2012 ; Mercat & Berger, 2020), et l'opportunité de résoudre des problèmes de modélisation pouvant être significatifs (Blum et al., 2006).

Suivant le modèle SAMR (substitution-augmentation-modification-redéfinition) (Hamilton et al., 2016), la technologie permet ici de faciliter la production et la gestion des rallyes en se substituant à une gestion papier, mais permet d'augmenter l'expérience, par exemple en

Vandebrouck, F., Emprin, F., Ouvrier-Buffet, C. & Vivier, L. (dir.) (2023). Nouvelles perspectives en didactique des mathématiques - Preuve, Modélisation et Technologies Numériques. Volume des ateliers des actes de EE21.
facilitant la localisation des tâches et l'identification des objets (zoom sur l'image), *modifie* également l'évaluation, en donnant une rétroaction immédiate aux essais, en proposant des indices, et *redéfinit* les tâches mêmes, par exemple celle dont la réponse est une géolocalisation fournie par l'appareil.

Une redéfinition est à l'œuvre également dans la *conception* des tâches, spécialement dans l'utilisation de l'assistant d'épreuves génériques. Cet outil peut se comprendre comme une prise en main technique du logiciel mais également comme une initiation didactique des auteurs à ce qui est attendu, tant du point de vue du contenu que de la philosophie des parcours et de la modélisation en général.

Enfin, la version en test actuellement intègre aussi des éléments de *réalité augmentée*, permettant d'interagir avec des objets virtuels et d'augmenter les informations visibles dans une scène (Cahyono et al., 2020).

D'autre part, le *portail web*<fnref n="1" /> sur lequel s'administrent les épreuves possède un processus d'évaluation par des experts qui valident ou invalident les épreuves suivant différents critères. La technologie permet donc également de participer à l'évaluation de la qualité des ressources produites.

La question centrale de la modélisation offre en général une belle illustration de l'effet Dunning-Kruger (Kruger & Dunning, 1999) : les enseignants débutants ont tendance à être trop confiants, d'une part ils surestiment leur précision et celle des élèves, ils introduisent souvent des implicites (comme l'unité de mesure ou le type de modélisation) et d'autre part ils n'envisagent pas spontanément qu'il puisse en être autrement. Le point crucial est de comprendre ce qu'est réellement une mesure réalisée à l'aide d'un instrument : ce n'est pas un nombre mais une *distribution*, qu'on modélise le plus souvent par une courbe gaussienne, qui peut être caractérisée par sa moyenne et son écart-type. L'interface aide à comprendre ce fait en proposant, pour les résultats numériques, non pas seulement la réponse exacte, mais un encadrement par quatre valeurs : deux valeurs vertes définissant la réponse correcte (entre les deux écarts-type) et deux oranges, plus larges, définissant une plage acceptable mais moins précise (voir la Figure 4). Dans le processus de validation (voir section suivante), obtenir des enseignants d'accepter de mettre une marge d'erreur de plus de 2% pour une longueur nécessite souvent des explications. La technologie, en imposant un format d'entrée des résultats attendus par la plateforme, est en soi un élément déclencheur de la réflexion, particulièrement dans sa version d'assistant d'épreuve proposant un intervalle par défaut.

<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>**Figure 4.** — Intervalles corrects et acceptables</figcaption></figure>

<footnote n="1">¹ http://mathcitymap.eu</footnote>
## 2. Une évaluation de la qualité des tâches

Le type de réponses par excellence d'un rallye est un nombre, issu de mesures, évaluant une certaine grandeur, masse d'un rocher, hauteur d'une tour, débit d'un robinet, aire d'un toit, âge d'un arbre... Fabriquer de telles questions n'est pas forcément aisé pour un enseignant et la participation au projet *MathCityMap* est également comprise comme contribuant à une formation continue sur la modélisation, médiée par la technologie. Par exemple, du côté de l'outil de création d'épreuve, un *assistant d'épreuve* permet de créer rapidement de telles questions génériques et autorise l'enseignant à se poser les bonnes questions, nous l'avons abordé dans la section précédente, sur l'idée d'une mesure comme une distribution et non pas comme un nombre isolé.

Le mouvement *Realistic Math Education* (Freudenthal, 1968) pose un horizon difficile à atteindre. Il nous enjoint de partir du réel pour explorer, manipuler, chercher, analyser, créer, évaluer, résumer et finalement intégrer ! Au contraire, bien des tâches proposées dans les rallyes sont en fait conçues par l'auteur comme des outils d'enseignement d'une notion, avant d'être des problèmes réels dont la notion mathématique serait la clef de résolution. Elles sont souvent simplement des exercices typiques, contextualisés en extérieur. Cette ludification de surface ne dure qu'un temps mais n'est pas à négliger dans la motivation des élèves. Cependant, le critère de qualité numéro 1 d'une tâche est son authenticité.

Voici les autres critères proposés à l'évaluation :

- Univoque : Le lieu, l'objet et le résultat attendu sont non ambigus (image, coordonnées GPS, mention de l'unité de mesure).

- Située et active : La résolution de l'épreuve nécessite de se rendre au lieu indiqué et de procéder à des observations/mesures et un calcul/raisonnement.

- Ouverte : Plusieurs procédures sont envisagées pour la résolution.

- Aidée : Au moins deux indices permettent de se lancer dans la résolution (sans donner la réponse).

- Au format adapté : Valeur exacte, intervalle avec marges d'erreur, question à choix multiple, phrase à compléter, vecteur de nombres, géolocalisation(s)...

- Documentée : Les éléments de solution indiquent le(s) modèle(s) choisi(s), la stratégie de résolution, les mesures effectuées et les calculs intermédiaires, le résultat final.

- Culturelle : Le champ « à propos de cet objet » apporte des informations sur l'intérêt pratique de l'épreuve et/ou sur l'intérêt artistique ou historique du lieu ou de l'objet.

Le système aide les rapporteurs à préparer leur rapport et propose différents types de messages génériques: sujet trop peu clair, artificiel, sans unité explicite (très courant), formule mal typographiée (il y a un éditeur de formule et on peut écrire également en LaTeX), la résolution peut se faire sans aller sur place ; sur la solution : l'explication est incorrecte, trop courte, l'intervalle donné est trop étroit (c'est le plus courant), trop large, alternative entre réponse exacte et intervalle ; sur les indices : trop explicites, trop généraux ou difficiles à comprendre.

## 3. L'expérience utilisateur

Dans le cadre qui est le nôtre, notre modèle d'utilisateur sera un groupe d'élèves d'une classe, accompagné de son enseignant ; mais ce pourra être un groupe d'amis, une famille de touristes, des visiteurs sur un site industriel... L'utilisateur télécharge et installe depuis le *store* Apple ou Android l'application *MathCityMap* (Figure 5). L'application (Figure 5.1) lui permet de localiser des parcours publics autour de soi à l'aide d'une carte interactive (Figure 5.2), dans une liste (Figure 5.3) ou bien d'entrer un code communiqué par l'auteur (Figure 5.4). Une brève présentation du parcours est proposée (Figure 5.5-7). On télécharge le parcours et on peut le
jouer hors ligne, hormis si on participe à une *classe numérique* synchronisée. On voit alors l'ensemble des épreuves ou seulement l'épreuve suivante, dans le cas où la progression est fixée par l'enseignant. On peut positionner le parcours dans un univers narratif tel que *les pirates* (Comparez Figure 5.9-10). Pour chaque épreuve, une photo, une localisation et un descriptif définissent la tâche à accomplir (Figure 5.11-12). Des indices (Figure 5.13) éclairent sur la voie à suivre, la réponse apportée peut être juste ou seulement acceptable (Figure 5.14-15). Une fois la question résolue, des éléments de solution permettent de comprendre ce qui était attendu (Figure 5.16). En mode *classe numérique*, on peut voir le nombre de points des équipes immédiatement au-dessus et en dessous de notre score. On peut aussi dialoguer avec l'enseignant.

<figure><img src="image_74.png" /></figure>
<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>Figure 5. – L’application MathCityMap</figcaption></figure>

4. L'interface auteur

Pour créer des épreuves et les rassembler dans un parcours, il faut créer un compte utilisateur sur la plateforme http://mathcitymap.eu (conforme aux RGPD) et entrer dans le portail (Figure 6.1) où on peut administrer ses parcours et ses épreuves (Figure 6.2-3) ainsi que suivre les progrès des équipes en classe numérique (Figure 6.4-5).
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>**Figure 6.** – Gestion des parcours, épreuves et classes numériques sur le portail MathCityMap</figcaption></figure>

Pour créer un élément, on clique sur le bouton + en haut à droite de la colonne de gauche (Fig. 7). Si un parcours rassemble simplement des épreuves dans un certain ordre, les épreuves elles-mêmes peuvent être créées au travers de l’assistant d’épreuve (Fig. 7) ou bien en partant de rien. Les types de réponses possibles sont l’intervalle, la valeur exacte, le questionnaire à choix multiples, la phrase à trous, le vecteur de valeurs, exactes ou encadrées, un ensemble non ordonné et des données GPS, accessibles elles uniquement par l’assistant d’épreuve.

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>**Figure 7.** – Création d'épreuves par l'assistant. Il suffit de contextualiser avec un titre, une image, une géolocalisation et des mesures minimales</figcaption></figure>
## 5. Conclusion

Le système *MathCityMap* comprend une interface auteur en ligne et une application sur smartphone/tablette. Il permet de mettre en place des rallyes mathématiques géolocalisés. Pour l'enseignant, la construction d'un rallye peut se comprendre comme participant à une formation continue autour de la modélisation, médiée par la technologie. En effet, il faut se poser les bonnes questions, particulièrement sur ce qu'est une mesure, ce qu'est une épreuve de qualité, mettre en lumière les implicites, tenter d'identifier des problèmes authentiques et réalistes plutôt que de contextualiser en surface des concepts scolaires.

Ce système a été créé par l'Université Goethe de Francfort autour de Matthias Ludwig. Deux projets européens, MoMaTrE et Masce3, ont permis de créer du contenu et de former des enseignants. Un MOOC, organisé par l'Université de Catania en Italie a rassemblé, de mars à avril 2021, une grande communauté d'enseignants de toute l'Europe, 236 enseignants ont été actifs et 39% ont finalisé la formation, ce qui est un très bon taux.

# DESCRIPTION DIDACTIQUE DE RESSOURCES D'ENSEIGNEMENT : POLE ONTOLOGIQUE ET MODELE PRAXEOLOGIQUE DE REFERENCE

Séance de TD animée par Sébastien Jolivet

## 1. Introduction

Dans ce texte nous revenons sur la description didactique de ressources d'apprentissage. La séance de TD a débuté par une mise en situation durant laquelle il a été demandé aux participants de décrire des ressources présentées dans les deux séances précédentes par Xavier Nicola (apprentissage de la géométrie dans un environnement de réalité virtuelle) et Christian Mercat (dispositif *MathCityMap*). Il n'a, volontairement, été donné aucune précision ou consigne particulière ni sur la manière de procéder, ni sur le résultat attendu, à l'exception du fait que c'est une description *didactique* qui est demandée. Cette mise en situation introductive a permis d'identifier quelques questions : qu'est-ce exactement que la ressource ? de quels aspects veut-on rendre compte ? pourquoi ? à qui est destinée la description ?

Dans le prolongement de cette introduction, un temps d'activité a été organisé pour de la description de ressources plus « usuelles » du type exercices de mathématiques, autour des descripteurs de ressources présentés dans (Jolivet, 2018a).

Ces deux temps ont permis de (re)mettre en évidence quelques éléments relatifs aux difficultés posées par la description didactique de ressources : le besoin de lier la ressource à un ou des curriculums ; la tendance forte à décrire la ressource selon son adéquation, supposée, à un ou des usages ; l'absence d'outils ou de référentiels partagés pour procéder à une telle description au-delà des informations de type bibliothécaire (auteur, type de document, date de production, version, etc.).

Dans cette contribution nous revenons sur la manière dont nous abordons ces grands enjeux en nous appuyant sur trois exemples issus de nos travaux : la description d'exercices de mathématiques et leur mise en relation avec une intention didactique (Jolivet, 2018b) ; la production d'exercices de mathématiques et leur organisation dans des parcours d'apprentissage pour la plateforme d'apprentissage MindMath (Jolivet et al., 2021) ; la conception et la recommandation de rétroactions épistémiques pour un environnement numérique d'apprentissage (Jolivet et al., 2022b).

Pour ces trois situations nous avons mis en œuvre une approche qui présente deux caractéristiques communes : la première est de commencer par décrire ce qu'est la ressource pour ensuite envisager ce à quoi elle peut servir. Cette approche, inspirée par les travaux de Le
Moigne (2006) relatifs à la description d'un objet, est motivée et précisée plus bas. La seconde caractéristique est d'appuyer la description sur une modélisation du savoir. Dans nos travaux elle est réalisée à l'aide de modèles praxéologiques de référence construits en exploitant le cadre T4-TEL (Chaachoua, 2018), cette modélisation pouvant éventuellement être représentée informatiquement dans une ontologie (Gruber, 1993) comme présenté dans le TD consacré à MindMath lors de cette université d'été (Grugeon-Allys et al., 2023). Dans ce texte nous ne (re)présentons pas le cadre théorique de la TAD et l'approche praxéologique développée en son sein, ni le prolongement de cette approche praxéologique qu'est T4-TEL, le lecteur qui n'est pas familier avec ces éléments pourra se référer aux diverses références qui orientent à la fois vers les fondements théoriques et vers des cas d'usages.

## 2. Enjeux liés à la description didactique d'une ressource

Dans le support de soutenance de son HDR, Trgalová (2020) a présenté le diagramme repris dans la Figure 8. Il permet d'identifier deux grandes approches relatives aux ressources numériques (et plus largement de ressources d'enseignement) : une première qualifiée d'approche e-learning que l'on pourrait aussi qualifier d'approche bibliothécaire et une seconde nommée approche didactique. Dans nos différents travaux le défi a été de se placer à l'intersection de ces deux approches en articulant à la fois des enjeux liés à la description d'un volume significatif de ressources tout assurant une qualité didactique de la description permettant ensuite de lier description de la ressource et usages possibles.

Deux autres éléments sont fondamentaux lorsqu'il s'agit de décrire des ressources éducatives. D'une part la description produite ne doit pas être dépendante de la personne réalisant cette description (appelée annotateur ensuite), d'autre part elle doit permettre de préciser l'adéquation, ou non, de la ressource décrite à un ou plusieurs curriculums. Concernant la dépendance à l'annotateur nous avons constaté dans (Jolivet, 2018b) l'absence d'une base partagée de descripteurs, que l'on pourrait qualifier de didactiques, et qui pourrait servir de référence lors de la description de ressources (élément nécessaire mais non suffisant, pour s'assurer de la similarité de la description quelle que soit la personne réalisant cette description). Ce constat nous a amené à proposer une liste de descripteurs didactiques de ressources éducatives en mathématiques (Jolivet, 2018a) qui a été exploitée dans la première partie du TD. Par ailleurs, le modèle praxéologique de référence permet de fournir une référence, à la fois externe à l'annotateur et non assujettie à une institution particulière, lors du processus de description.

<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>**Figure 8.** – Extrait support de soutenance HDR (Trgalová, 2020)</figcaption></figure>
### 3. Description didactique d'une ressource, principaux enjeux

Les grands enjeux liés à la description didactique d'une ressource sur lesquels nous revenons sont : 1) les informations didactiques contenues dans la description, 2) l'adéquation que la description permet d'établir entre la ressource et différents curriculums, 3) la possibilité de caractériser des usages potentiels de la ressource à partir de sa description, 4) la représentation et l'exploitation informatique possible des ressources décrites. Ils sont motivés et positionnés au regard de l'état de l'art dans (Jolivet et al., 2022a).

Le deuxième enjeu est un facteur important de la pérennité de la description de la ressource dans la mesure où il participe largement au coût de son actualisation en cas de modification d'un curriculum, nous revenons brièvement dessus dans la section suivante. Les enjeux un, trois et quatre influent directement sur l'utilité de la description et la diversité des utilisations qui peuvent en être faite. Dans la section suivante nous présentons l'approche que nous mettons en œuvre pour aborder le travail de description des ressources.

### 4. Décrire une ressource selon son pôle ontologique

Comme constaté dans l'introduction au travers de l'activité donnée aux participants au TD, et d'une manière plus générale, lorsque l'on demande à quelqu'un de décrire une ressource d'apprentissage, la première réponse porte fréquemment sur les usages possibles, et même le plus souvent sur l'adéquation de la ressource à l'usage qui correspond aux préoccupations du moment de la personne interrogée. Or cette approche « fige » la description de la ressource et ne permet pas d'appréhender la diversité des usages qui peuvent lui être associés. Ainsi sur la Figure 9 on peut décrire l'objet « chaise » soit comme un objet composé de quatre pieds, d'une assise et d'un dossier, soit par un ou plusieurs des divers usages que l'on peut lui associer (jouer aux chaises musicales, faire du sport, s'asseoir ou monter une barricade). Or, si la première description, qui répond à la question « qu'est cet objet ? », permet d'envisager et justifier l'adéquation de l'objet aux différentes fonctions envisagées ensuite, l'entrée par un usage donné a tendance à enfermer la description, et donc l'objet, dans cet usage.

<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>Figure 9. – Chaise, nature et fonctions</figcaption></figure>

D'une manière générale, Le Moigne (2006) propose de définir un objet selon trois pôles : ontologique, fonctionnel et génétique. Le premier permet de dire ce que l'objet « est », le second ses usages possibles et le troisième ce qu'il devient. Dans nos travaux nous nous intéressons essentiellement aux deux premiers et avons fait le choix de commencer par décrire la ressource selon son pôle ontologique pour ensuite envisager une ou plusieurs fonctions possibles pour la ressource.
## 5. Description didactique d'une ressource, quelques propositions

Dans cette section nous illustrons les réponses apportées aux quatre enjeux évoqués précédemment.

## 6. Description d'une ressource et adéquation au curriculum

Un premier élément permettant de proposer une description didactique d'une ressource est la caractérisation du ou des savoirs mobilisés dans cette ressource. Pour cela nous avons, dans les trois projets évoqués, exploité des modèles praxéologiques de référence (MPR, Bosch & Gascón, 2005), créés ou adaptés de modèles déjà existants, en mobilisant en particulier la notion de variable introduite par Chaachoua et Bessot (Chaachoua & Bessot, 2019). Cette approche nous permet aussi de gérer la question de la relation avec un ou des curriculums. En effet, la description d'une ressource est un processus coûteux (en temps, en expertise...) et doit notamment permettre de définir son adéquation à un ou plusieurs curriculums. Pour cela Van Assche (2007) propose différentes approches. De notre côté nous avons retenu celle où il existe un pivot entre les différents curriculums, ce rôle de pivot étant attribué au modèle praxéologique de référence. Le principe est que chaque élément du MPR (type de tâches, technique, élément du logos) est associé à un ou plusieurs curriculums. Concernant les types de tâches, qui sont décrits à l'aide d'un système de variables et valeurs de variables conformément au modèle T4-TEL, c'est chaque valeur de variable qui est associée à un ou plusieurs curriculums (l'utilisation de ce système pour calculer la conformité d'un type de tâches donné à un curriculum est détaillé dans (Jolivet et al., 2021). Si le coût d'initialisation est significatif, il permet de prendre en compte une évolution de curriculum pour un coût modéré puisqu'il ne faut pas redécrire chaque ressource mais « simplement » actualiser dans le MPR à partir duquel les ressources sont décrites. Nous détaillons cette approche dans (Jolivet et al., 2022a). Nous revenons dans la partie suivante sur les exploitations du modèle praxéologique de référence dans différents contextes et objectifs.

## 7. Description d'une ressource, rôle donné au modèle praxéologique de référence

La description didactique d'une ressource peut s'inscrire dans deux grandes situations : décrire des ressources déjà existantes ou décrire des ressources en vue de permettre leur production. La première situation est celle que nous avons explorée dans notre thèse en décrivant des exercices de mathématiques issus de manuels scolaire, la seconde est celle mise en œuvre dans le projet MindMath pour permettre d'une part la production d'exercices et d'autre part de rétroactions épistémiques. Dans tous les cas nous avons exploité des modèles praxéologiques de référence représentés à l'aide du cadre T4-TEL. Cette approche présente différents intérêts :

* Fournir une référence commune, aux annotateurs dans le cas de la description des exercices, aux différents acteurs de la production des exercices dans le cas de la génération de ressources.

* Disposer d'une référence fondée épistémologiquement qui permet de décrire les savoirs mis en jeu dans les ressources.

Plus précisément, dans le cadre du travail de thèse, le MPR fournissait un référentiel de description des savoirs en jeu dans les ressources. Afin de préciser la manière dont l'annotateur devait relier tâche et MPR, nous avons introduit la notion de type de tâches optimum, dans le sens du type de tâches le plus « précis » contenu dans le MPR et auquel la tâche appartient.

Dans le cadre du travail réalisé dans le projet MindMath plusieurs potentialités des MPR représentés par T4-TEL ont été exploitées et d'autres ajoutées. Tout d'abord, en accord avec les perspectives introduites par Chaachoua et Bessot lors de l'introduction des variables dans le modèle praxéologique, certaines variables se sont vu attribuer des fonctions particulières, en
particulier rendre compte de la complexité d'une tâche. Deuxièmement, comme il s'agissait de rendre fonctionnel le modèle pour permettre la génération effective d'exercices, nous avons introduit la notion de famille de tâches comme étant un type de tâches au sein duquel les tâches sont générées à de l'aléatoire près au sein d'un ensemble de valeurs (valeurs des coefficients d'une équation, position d'une figure en géométrie...). Troisièmement, afin de pouvoir mettre en relation les ressources et l'activité des élèves avec ces ressources, le MPR a été enrichi par des technologies erronées.

Les éléments contenus dans le MPR ont aussi été exploités comme moyen de décrire, une partie, du contenu de rétroactions épistémiques proposées dans un environnement numérique d'apprentissage. Un apport significatif de l'exploitation d'un même moyen pour décrire des ressources différentes (exercices et rétroactions) dans un même cadre est de pouvoir opérer plus aisément des liens entre ces ressources.

Dans cette section nous avons brièvement présenté l'utilisation d'un MPR pour décrire des ressources, que ce soit des ressources déjà existantes ou des ressources à produire. Dans la section suivante nous évoquons l'utilisation de cette description du pôle ontologique pour aller vers le pôle fonctionnel des ressources.

## 8. Du pôle ontologique au pôle fonctionnel de la ressource

Dans nos travaux nous avons étudié trois situations mettant en jeu des pôles fonctionnels répondant à différents besoins d'utilisation des ressources. Nous revenons brièvement sur deux d'entre elles.

## 9. Exercices de mathématiques et intentions didactiques

Dans le cadre de notre travail de thèse nous avons considéré, comme contexte d'utilisation des ressources décrites, un enseignant devant sélectionner des exercices pour une situation d'enseignement. Pour spécifier les caractéristiques auxquelles la ressource doit répondre, nous avons précisé la notion d'intention didactique d'un enseignant (Jolivet et al., 2022a). Dans cette situation nous exploitons la description de la ressource qui permet à la fois de préciser les savoirs en jeu dans la ressource mais aussi la présence dans la ressource de relations entre les tâches de l'exercice (de type étayage).

## 10. Rétroactions épistémiques et décisions

La décision des rétroactions dans un environnement numérique d'apprentissage est un processus qui se réalise dans un contexte présentant de très nombreuses incertitudes : la connaissance de l'apprenant, de son rapport au savoir travaillé, de la nature et de la cause de son/ses erreurs, etc. La didactique ne fournit pas non plus de réponse précise à une question du type « quelle est la bonne rétroaction pour un élève donné dans un contexte donné ? ». Dans le cadre de nos travaux (Jolivet et al., 2022b) nous avons articulé l'expertise humaine des didacticiens et l'intelligence artificielle (IA). Dans ce cadre la description ontologique de la rétroaction permet de caractériser la nature du contenu de la rétroaction, notamment comme appartenant au bloc praxique ou au bloc du logos. Diverses hypothèses didactiques, qui mettent en relation un contenu de rétroaction, fondée sur la description du pôle ontologique, et une situation donnée (profil de l'apprenant, erreur, etc.), permettent d'aider à l'initialisation des algorithmes d'IA.
## 11. Conclusion

Dans ce texte nous avons explicité une approche relative à la description didactique de ressources d'apprentissage de deux types : exercices de mathématiques et rétroactions épistémiques. Elle est fondée sur le choix de décrire tout d'abord le pôle ontologique, pour ensuite envisager le pôle fonctionnel de la ressource. Cette approche a été instanciée sur trois contextes différents permettant d'explorer à la fois la question de la description de ressources déjà existantes, et celle de la description en vue de produire des ressources. Disposer d'un modèle praxéologique de référence joue un rôle crucial dans ce processus de description. Il permet à la fois d'intégrer les différents résultats issus des travaux de la didactique, de fournir une référence externe pour l'annotateur des ressources et de définir un élément pivot entre les différents curriculums au regard desquels il est pertinent de positionner la ressource.

La description de la ressource est ensuite exploitée pour déterminer la pertinence de la ressource par rapport à une intention didactique d'un enseignant, pour concevoir des parcours d'apprentissage et pour aider à la décision de rétroactions dans un environnement d'apprentissage.

Pour chacune de ces situations, les travaux engagés peuvent être poursuivis et approfondis. Un enjeu transversal est de parvenir à la définition de processus permettant de rendre plus efficace la production des MPR, d'homogénéiser les choix pour les représenter à l'aide de T4-TEL afin notamment de permettre leur représentation informatique dans des ontologies et d'augmenter ainsi les potentialités offertes par leur exploitation.
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# MINDMATH : DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES ET INTELLIGENCE ARTIFICIELLE DANS UN EIAH

Brigitte Grugeon-Allys *, Sébastien Jolivet **, Elann Lesnes ***, Vanda Luengo ****, Amel Yessad***

## RÉSUMÉ

Ce TD s'inscrit dans la thématique "technologies numériques" de l'école d'été, il est le fruit de la collaboration de chercheurs et chercheuses en didactique des mathématiques et en informatique. Les trois séances portent sur le projet MindMath qui vise l'élaboration d'un EIAH à destination d'élèves de collège en algèbre et en géométrie. Lors de la première séance, nous avons présenté les modèles didactiques construits pour représenter le savoir, l'apprenant, les tâches et les parcours d'apprentissage dans l'EIAH. Il a été proposé aux participants d'exploiter ces modèles pour concevoir des parcours. Lors de la deuxième séance, le travail a porté sur le modèle informatique et didactique des rétroactions envoyées à l'apprenant travaillant dans l'EIAH MindMath. Les participants ont eu l'occasion de tester le modèle de description des rétroactions. La troisième séance a été l'occasion de présenter l'ontologie construite pour articuler les différents objets créés dans la perspective de faire évoluer la plateforme et de communiquer entre les différents partenaires du projet. Enfin, Philippe R. Richard a proposé son regard sur ce travail relativement à son expérience et à son approche théorique.

Mots clefs : EIAH, modélisation didactique, modélisation informatique, rétroactions, parcours d'apprentissage

## ABSTRACT

This TD is part of the "digital technologies" theme of the summer school and is the result of the collaboration of researchers in mathematics education and computer science. The three sessions focus on the MindMath project which aims at developing a learning environment for middle school students in algebra and geometry. In the first session, we presented the didactic models built to model the knowledge, the learner, tasks and learning paths in the learning environment. It was proposed to the participants to exploit these models to design learning paths. In the second session, the work focused on the computational and didactic model of the feedback given to the learner working in MindMath. Participants had the opportunity to test the feedback description model. The third session was the opportunity to present the ontology built to articulate the different objects created in the perspective of evolving the platform and communicating between the different project partners. Finally, Philippe R. Richard proposed his point of view on this work in relation to his experience and his theoretical approach.

Key words: Technology Enhanced-Learning, didactic modeling, computer modeling, feedbacks, learning path

## INTRODUCTION

Ce TD s'inscrit dans la thématique "technologies numériques" de l'école d'été et plus précisément dans le cadre d'une réflexion sur l'articulation entre la didactique des mathématiques et l'informatique, notamment l'intelligence artificielle (IA), pour la conception d'un EIAH (Environnement Informatique pour l'Apprentissage Humain). La délimitation de la part de l'apprentissage qui peut être laissée à un tel environnement n'est pas simple à déterminer, elle est par exemple discutée dans (Jolivet & Grugeon-Allys, 2022). Dans ce texte nous qualifierons MindMath d'EIAH ou d'ENA (Environnement Numérique pour l'Apprentissage) de manière indistincte, essentiellement pour limiter les répétitions.

Il s'agit, au travers du cas d'étude MindMath, d'étudier divers aspects liés à la conception d'un EIAH du type plateforme d'entraînement aux mathématiques (algèbre et géométrie) au collège, qui ne remplace pas un enseignement visant la régulation des apprentissages des élèves.

Nous nous concentrons sur trois aspects fondamentaux dans le projet MindMath :

* les fondements didactiques d'un tel environnement, nécessaires pour aborder la conception des exercices, leur organisation en parcours d'apprentissage et le contenu de rétroactions adaptatives ;

* la modélisation et la décision des rétroactions avec les apports potentiels de l'IA, apprentissage par renforcement, pour cette décision ;

<footnote>* LDAR, Université Paris-Est Créteil</footnote>

<footnote>** LDAR, Université de Paris et LIP6, Sorbonne Université</footnote>

<footnote>*** LDAR, Université de Rouen Normandie</footnote>

<footnote>**** LIP6, Sorbonne Université</footnote>