1. Soit $k \in \mathbb{N}^*$ et $f \in L^2$. Montrer que $T_k f \in L^2$ (plus précisément, $T_k f \in L^2$ et on confond alors, comme d'habitude, $T_k f$ avec $\{g \in L^2, g = T_k f \text{ p.p.}\}$) et que $\|T_k f\|_2 \le \|f\|_2$, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$.

**Corrigé** – Comme $f1]_k^{\frac{n}{k}, \frac{n+1}{k}} \in L^1$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $T_k(x)$ est bien définie pour tout $x \in \mathbb{R}$. On pose $c_n = k \int_{\frac{n}{k}}^{\frac{n+1}{k}} f(t)dt$, pour $n \in \mathbb{Z}$, de sorte que $T_k(x) = c_n$ pour tout $x \in [\frac{n}{k}, \frac{n+1}{k}]$.

$T_k f$ est mesurable car $(T_k f)^{-1}(A) = \cup_{n \in \mathbb{Z}, c_n \in A} [\frac{n}{k}, \frac{n+1}{k}] \in B(\mathbb{R})$, pour tout $A \subset \mathbb{R}$.

Pour $n \in \mathbb{Z}$ et $x \in [\frac{n}{k}, \frac{n+1}{k}]$, on a (en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz)

$$ (T_k(x))^2 = c_n^2 \le k \int_{\frac{n}{k}}^{\frac{n+1}{k}} f^2(t)dt.$$

On en déduit (on utilise ici le premier corollaire du théorème de convergence monotone, corollaire 4.18) :

$$ \int (T_k f)^2 d\lambda = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{k} c_n^2 \le \sum_{n \in \mathbb{Z}} \int_{\frac{n}{k}}^{\frac{n+1}{k}} f^2(t) dt = \int f^2 d\lambda. $$

On a donc $T_k f \in L^2$ et $\|T_k f\|_2 \le \|f\|_2$.

2. Soit $f \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ (i.e. $f$ continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et à support compact). Montrer que $T_k f \to f$ dans $L^2$ quand $k \to \infty$.

**Corrigé** – Soit $a > 0$ t.q. $f = 0$ sur $[-a, a]^c$. Comme $f$ est uniformément continue, on a $T_k f \to f$ uniformément (sur $\mathbb{R}$) quand $k \to \infty$. En remarquant que $T_k f = 0$ sur $[-a-1, a+1]^c$ pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, on en déduit

$$ \|T_k f - f\|_2^2 = \int (T_k f - f)^2 d\lambda \le 2(a+1)\|T_k f - f\|_{\infty}^2 \to 0, \text{ quand } k \to \infty. $$

3. Soit $f \in L^2$. Montrer que $T_k f \to f$ dans $L^2$ quand $k \to \infty$.

[On pourra utiliser la densité de $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ dans $L^2$, exercice 6.4.]

**Corrigé** – Soit $\varepsilon > 0$. Par densité de $C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ dans $L^2$, il existe $\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ t.q. $\|f - \varphi\|_2 \le \varepsilon$. Comme $T_k$ est un opérateur linéaire, on a, en utilisant la question 1 :

$$ \|T_k f - f\|_2 \le \|T_k f - T_k \varphi\|_2 + \|T_k \varphi - \varphi\|_2 + \|\varphi - f\|_2 \le 2\|\varphi - f\|_2 + \|T_k \varphi - \varphi\|_2. \quad (6.56) $$

La question 2 donne l'existence de $k_0 \in \mathbb{N}$ t.q. le dernier terme de (6.56) soit inférieur à $\varepsilon$ pour $k \ge k_0$. On a donc $\|T_k f - f\|_2 \le 3\varepsilon$ pour $k \ge k_0$, ce qui prouve que $T_k f \to f$, dans $L^2$, quand $k \to \infty$.
**Exercice 6.31 (Projections orthogonales)**

On pose $H = L_{\mathbb{R}}^2(]-1, +1[, \mathcal{B}(-1, +1[, \lambda)$. (On rappelle que $\mathcal{B}(-1, +1[$) est la tribu borélienne de $]-1, 1[$ et $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(-1, +1[$.) Soit $F = \{f \in H \text{ t.q. } \int_{]-1, +1[} f \, d\lambda = 0\}$. Soit $G = \{f \in H \text{ t.q. } \int_{]-1, 0[} f \, d\lambda = \int_{0, 1[} f \, d\lambda\}$.

1. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels fermés de $H$. Déterminer les sous-espaces $F^{\perp}$, $G^{\perp}$ et $F \cap G$.

**Corrigé** – Pour $f \in H$, on pose $T(f) = \int_{]-1,+1[} f \, d\lambda$ et $S(f) = \int_{]-1,0[} f \, d\lambda - \int_{]0,1[} f \, d\lambda$.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz entre $f$ et $1_{]-1, +1[}$, pour $T$, et $f$ et $(1_{]-1,0[} - 1)_{0,1[}$, pour $S$, montre que $T(f)$ et $S(f)$ sont bien définis pour tout $f \in H$ et que, pour tout $f \in H$ :

$$|T(f)| \le \sqrt{2}\|f\|_2, \quad |S(f)| \le \sqrt{2}\|f\|_2.$$

On en déduit que $T$ et $S$ sont des éléments de $H'$ et donc que $F = \text{Ker}T$ et $G = \text{Ker}S$ sont des s.e.v. fermés de $H$.

De plus, comme $T \ne 0$ et $S \ne 0$, on a $\dim(F^{\perp}) = \dim(G^{\perp}) = 1$. Pour s'en convaincre, il suffit de prendre $v \in F^{\perp}$, $v \ne 0$ (un tel $v$ existe car $T \ne 0$ et $H = F \oplus F^{\perp}$). Pour tout $w \in F^{\perp}$, on a alors $w = w - \frac{T(w)}{T(v)}v + \frac{T(w)}{T(v)}v$. On en déduit que $(w - \frac{T(w)}{T(v)}v) \in F \cap F^{\perp} = \{0\}$ et donc que $w \in \mathbb{R}v = \text{vect}\{v\}$, ce qui donne $F^{\perp} = \mathbb{R}v$ et donc $\dim(F^{\perp}) = 1$. Un raisonnement semblable donne $\dim(G^{\perp}) = 1$.

Soit $f$ l'élément de $H$ t.q. $f = 1$ p.p.. On a clairement $f \in F^{\perp}$ (car $(f|h)_2 = T(h) = 0$ pour tout $h \in F$) et donc, comme $\dim F^{\perp} = 1$, $F^{\perp} = \mathbb{R}f$.

Soit $g$ l'élément de $H$ t.q. $g = 1$ p.p. sur $]-1, 0[$ et $g = -1$ sur $]0, 1[$. On a clairement $g \in G^{\perp}$ (car $(g|h)_2 = S(h) = 0$ pour tout $h \in G$) et donc, comme $\dim G^{\perp} = 1$, $G^{\perp} = \mathbb{R}g$.

Il reste à déterminer $F \cap G$. Soit $h \in F \cap G$. On a donc $\int_{]-1,0[} h \, d\lambda = \int_{]0,1[} h \, d\lambda$, car $h \in G$, et donc, comme $h \in F$, $0 = \int_{]-1,+1[} f \, d\lambda = 2 \int_{]-1,0[} h \, d\lambda = 2 \int_{]0,1[} h \, d\lambda$, ce qui donne $\int_{]-1,0[} h \, d\lambda = \int_{]0,1[} h \, d\lambda = 0$.

Réciproquement, si $h \in H$ est t.q. $\int_{]-1,0[} h \, d\lambda = \int_{]0,1[} h \, d\lambda = 0$, on a bien $S(h) = T(h) = 0$ et donc $h \in F \cap G$. On a donc :

$$F \cap G = \{h \in H; \int_{]-1,0[} h \, d\lambda = \int_{]0,1[} h \, d\lambda = 0\}.$$

2. Calculer, pour $g \in H$, les projections orthogonales $P_F(g)$ et $P_G(g)$ de $g$ sur $F$ et $G$.

**Corrigé** – Soit $h \in H$. Comme $h - P_F h \in F^{\perp}$, il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ t.q. $h - P_F h = \alpha$ p.p..

Comme $P_F h \in F$, on a $T(P_F h) = 0$. On en déduit que $2\alpha = \int_{-1}^{1} h(t)dt$ et donc

$$P_F h = h - \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} h(t)dt \text{ p.p..}$$
Comme $h - P_G h \in G^{\perp}$, il existe $\beta \in \mathbb{R}$ t.q. $h - P_G h = \beta$ p.p. sur $]-1, 0[ \text{ et } h - P_G h = -\beta$ p.p. sur $[0, 1[$. Comme $P_G h \in G$, on a $S(P_G h) = 0$. On en déduit que $2\beta = \int_{-1}^{0} h(t)dt - \int_{0}^{1} h(t)dt$ et donc

$$ 
\begin{align*} 
P_G h &= h - \frac{1}{2} \left( \int_{-1}^{0} h(t)dt - \int_{0}^{1} h(t)dt \right) \text{ p.p. sur } ]-1, 0[, \\ 
P_G h &= h + \frac{1}{2} \left( \int_{-1}^{0} h(t)dt - \int_{0}^{1} h(t)dt \right) \text{ p.p. sur } ]1, 0[. 
\end{align*} 
$$

**Exercice 6.32 (Projection orthogonale dans $L^2$)** On pose $L^2 = L_{\mathbb{R}}^2(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ (muni de sa structure hilbertienne habituelle) et, pour $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ donnés, $\alpha < \beta$, $C = \{f \in L^2; \alpha \le f \le \beta \text{ p.p.}\}$.

1. Montrer que $C$ est vide si et seulement si $\alpha\beta > 0$.

**Corrigé** – Si $\alpha\beta > 0$ (c'est-à-dire $\alpha$ et $\beta$ non nuls et de même signe), on a alors pour tout $f \in C$, $f \ge \gamma = \min(|\alpha|, |\beta|) > 0$ p.p.. Donc, $\int f^2 d\lambda \ge \gamma^2 \lambda(\mathbb{R}) = \infty$, en contradiction avec $f \in L^2$. On a donc $C = \emptyset$.

– On suppose maintenant $\alpha\beta \le 0$. On a alors $\alpha \le 0 \le \beta$ et donc $0 \in C$, ce qui prouve que $C \neq \emptyset$.

2. On suppose maintenant que $\alpha\beta \le 0$. Montrer que $C$ est une partie convexe fermée non vide de $L^2$. Soit $f \in L^2$, montrer que $P_C f(x) = \max\{\min\{f(x), \beta\}, \alpha\}$ pour presque tout $x \in \mathbb{R}$. ($P_C f$ désigne la projection de $f$ sur $C$.)

**Corrigé** – (a) On sait déjà que $C \neq \emptyset$. On montre maintenant que $C$ est convexe. Soient $f, g \in C$ et $t \in [0, 1]$. On a $tf + (1-t)g \in L^2$ car $L^2$ est un e.v.. Puis, du fait que $\alpha \le f \le \beta$ p.p. et $\alpha \le g \le \beta$ p.p., on déduit immédiatement que $\alpha \le tf + (1-t)g \le \beta$ p.p.. Donc, $tf + (1-t)g \in C$.

Pour montrer que $C$ est fermée, soient $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset C$ et $f \in L^2$ t.q. $f_n \to f$ dans $L^2$, quand $n \to +\infty$. On peut montrer que $\alpha \le f \le \beta$ p.p. comme dans le corrigé 6.29 (question 2) ou (pour changer de méthode...) de la manière suivante :

D'après le théorème 6.11 (réciproque partielle de la convergence dominée), il existe une sous-suite de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ convergeant p.p. vers $f$, c'est-à-dire il existe $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ t.q. $\varphi(n) \to \infty$ quand $n \to +\infty$ et $f_{\varphi(n)} \to f$ p.p. quand $n \to +\infty$. Comme $\alpha \le f_{\varphi(n)} \le \beta$ p.p., on en déduit $\alpha \le f \le \beta$ p.p., et donc que $f \in C$, ce qui prouve que $C$ est fermée.

(b) On montre maintenant que $P_C f = \max\{\min\{f, \beta\}, \alpha\}$.

On confond comme d'habitude $f$ avec l'un de ses représentants, et on définit $g$ par

$$ g = \max\{\min\{f, \beta\}, \alpha\} = \alpha 1_{\{f < \alpha\}} + f 1_{\{\alpha \le f \le \beta\}} + \beta 1_{\{f > \beta\}}. $$

$g$ est donc une fonction mesurable de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Puis, comme $|g| \le |f|$ p.p., on a bien $g \in L^2$ (et donc $g \in L^2$ avec la confusion habituelle). Enfin, il est immédiat que $\alpha \le g \le \beta$ p.p.. Donc, $g \in C$.
Pour montrer que $g = P_C f$, on utilise la première caractérisation de la projection
(proposition 6.49). Soit $h \in C$, on a :

$$
\begin{align*}
(f - g | g - h)_2 &= \int (f - g)(g - h)d\lambda \\
&= \int (f - \alpha)(\alpha - h)1_{\{f<\alpha\}}d\lambda + \int (f - \beta)(\beta - h)1_{\{f>\beta\}}d\lambda \ge 0, \\
car \ \alpha \le h \le \beta \ p.p. \text{ On en déduit que } g = P_C f.
\end{align*}
$$

**Exercice 6.33 (L<sup>p</sup> n'est toujours pas un Hilbert...)** Soit (E, T, m) un espace mesuré et L<sup>p</sup> = L<sub>R</sub><sup>p</sup>(E, T, m).

1. On suppose ici qu'il existe A et B ∈ T t.q. A ∩ B = ∅, et 0 < m(B) < +∞, 0 < m(A) < +∞. Montrer que L<sup>p</sup> est un Hilbert si et seulement si p = 2. [On pourra utiliser l'identité du parallélogramme avec des fonctions de L<sup>p</sup> bien choisies.]

**Corrigé** – On sait déjà que $L^2$ est un espace de Hilbert.

On suppose maintenant que p ≠ 2 (et p ∈ [1, ∞]) et on va montrer que Lp n'est pas un espace de Hilbert. Pour cela, On pose f = 1A et g = 1B. On a bien f, g ∈ Lp. On va montrer que l'identité du parallélogramme n'est pas vérifiée pour ces deux fonctions. On distingue les cas p < ∞ et p = ∞.

**Premier cas** : p < ∞. On pose a = m(A) et b = m(B) (noter que a, b ∈]0, ∞[). On a :

$$
\frac{1}{2} ( \|f + g\|_p^2 + \|f - g\|_p^2 ) = (a + b)^{\frac{2}{p}}, \quad \|f\|_p^2 + \|g\|_p^2 = a^{\frac{2}{p}} + b^{\frac{2}{p}}.
$$

On en déduit $\frac{1}{2}(\|f + g\|_p^2 + \|f - g\|_p^2) - \|f\|_p^2 + \|g\|_p^2 = (a+b)^\alpha(1-h_a(t))$ avec $\alpha = \frac{2}{p}$ et $h_\alpha(t) = t^\alpha + (1-t)^\alpha, t = \frac{a}{a+b} \in ]0,1[$.

Un étude de la fonction $h_\alpha$ montre que :

- Si $\alpha \in ]0,1[$, on a $h_\alpha(t) > 1$ pour tout $t \in ]0,1[$,

- Si $\alpha \in ]1, \infty[$, on a $h_{\alpha}(t) < 1$ pour tout $t \in ]0, 1[$.

L'identité du parallèlogramme n'est donc pas vérifiée pour ces fonctions f et g, ce
qui prouve que la norme de Lp n'est pas induite pas un produit scalaire.

**Deuxième cas** : $p = \infty$. Dans ce cas, on a :

$$
\frac{1}{2} ( \|f + g\|_p^2 + \|f - g\|_p^2 ) = 1, \quad \|f\|_p^2 + \|g\|_p^2 = 2.
$$

On en déduit $\frac{1}{2}(\|f + g\|_p^2 + \|f - g\|_p^2) - \|f\|_p^2 + \|g\|_p^2 = -1 \neq 0$. L'identité du parallèlo-
gramme n'est donc pas vérifiée pour ces fonctions f et g, ce qui prouve que la norme
de L$^p$ n'est pas induite pas un produit scalaire.

2. Montrer que pour $m = \delta_0$ (mesure de Dirac en 0), $L_{\mathbb{R}}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m)$ est un Hilbert pour tout $p \in [1, +\infty]$.

**Corrigé** – Soit $f \in L_{\mathbb{R}}^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m)$. On a $\|f\|_p = |f(0)|$ (noter que tous les représentants de f ont la même valeur en 0 car $m(\{0\}) > 0$).
Il est facile de voir que la norme de L$^p$ est induite pas un produit scalaire, notée (·|·),
ce produit scalaire est défini par :

$$
(f | g) = f(0)g(0), \text{ pour } f, g \in L^p.
$$

L'espace L$^p$ est donc un espace de Hilbert.

**Exercice 6.34 (Espace l²)** On note *m* la mesure du dénombrement sur *P*(N), c'est-à-dire m(A) = card(A) si A est fini et m(A) = ∞ si A n'est pas fini.

On note $l^2 = L_{\mathbb{R}}^2(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), m)$.

1. Montrer que chaque élément de $l^2$ ne contient qu'un seul élément de l'espace $\mathcal{L}_{\mathbb{R}}^2(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), m)$.

**Corrigé** – (Noter d'abord que m est bien une mesure sur P(N).)

Soient $f, g \in \mathcal{L}^2 = \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^2(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), m)$ t.q. $f = g \text{ p.p.}$ Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $f(n) = g(n)$ car $m(\{n\}) = 1 > 0$. On en déduit que $f = g$. Ceci montre bien que chaque élément de $l^2$ ne contient qu'un seul élément de l'espace $\mathcal{L}^2$.

2. Montrer que l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur $l^2$ donne :

$$
\left(\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n b_n\right)^2 \leq \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n^2 \sum_{n \in \mathbb{N}} b_n^2
$$

pour toutes suites $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$, $(b_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}_+$ t.q. $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n^2 < \infty$ et $\sum_{n \in \mathbb{N}} b_n^2 < \infty$.

**Corrigé** – Soient $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$, $(b_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}_+$ t.q. $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n^2 < \infty$ et $\sum_{n \in \mathbb{N}} b_n^2 < \infty$ (on peut aussi prendre $a_n, b_n \in \mathbb{R}$ au lieu de $\mathbb{R}_+$).

On définit $f, g : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ par $f(n) = a_n$ et $g(n) = b_n$ pour $n \in \mathbb{N}$. Les fonctions $f$ et $g$ sont mesurables (toute fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ est mesurable car la tribu choisie sur $\mathbb{N}$ est $\mathcal{P}(\mathbb{N})$) et on a bien $f, g \in \mathcal{L}^2$ car :

$$
\int f^2 dm = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n^2 < \infty \quad \text{et} \quad \int g^2 dm = \sum_{n \in \mathbb{N}} b_n^2 < \infty. \qquad (6.57)
$$

En effet, pour montrer (6.57), il suffit, par exemple, de remarquer que

$$
f^2 = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n^2 1_{\{n\}} \text{ et } g^2 = \sum_{n \in \mathbb{N}} g_n^2 1_{\{n\}}
$$

et d'utiliser le premier corollaire du théorème de convergence monotone (corollaire 4.18).

L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne alors que $f, g \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), m)$, c'est-à-dire :

$$
\sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n b_n| < \infty,
$$

et que $(f | g)_2 \le \|f\|_2 \|g\|_2$. On en déduit :

$$
\left(\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n b_n\right)^2 \leq \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n^2 \sum_{n \in \mathbb{N}} b_n^2.
$$
3. Soit $\varphi : \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$, bijective. Montrer que $\sum_{n \in \mathbb{N}^*} \frac{\varphi(n)}{n^2} = \infty$. [On pourra commencer par montrer que $\sum_{p=1}^{n} \frac{1}{\varphi(p)} \le \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{p}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ puis utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz.]

**Corrigé** – Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On peut ordonner l'ensemble des $\varphi(p)$, $p \in \{1, \dots, n\}$, selon l'ordre croissant, c'est-à-dire : $\{\varphi(p), p \in \{1, \dots, n\}\} = \{p_1, \dots, p_n\}$ avec $p_i < p_{i+1}$ pour tout $i \in \{1, \dots, n-1\}$ (on utilise ici l'injectivité de $\varphi$). Comme $\varphi$ prend ses valeurs dans $\mathbb{N}^*$, on a $p_1 \ge 1$. On en déduit (par récurrence finie sur $i$) que $p_i \ge i$, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, et donc :

$$ \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{\varphi(p)} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{p_i} \le \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{p}. \qquad (6.58) $$

On utilise maintenant l'inégalité de Cauchy-Schwarz de la question précédente avec

$$ a_p = \frac{\sqrt{\varphi(p)}}{p}, \quad b_p = \frac{1}{\sqrt{\varphi(p)}} \quad \text{pour } p = 1, \dots, n \text{ et } a_p = b_p = 0 \quad \text{pour } p > n, \text{ on obtient :} $$

$$ \left(\sum_{p=1}^{n} \frac{1}{p}\right)^2 = \left(\sum_{p=1}^{n} a_p b_p\right)^2 \le \sum_{p=1}^{n} \frac{\varphi(p)}{p^2} \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{\varphi(p)}. $$

En utilisant (6.58), on en déduit :

$$ \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{p} \le \sum_{p=1}^{n} \frac{\varphi(p)}{p^2}, $$

$$ \text{et donc } \lim_{n \in \mathbb{N}} \sum_{p=1}^{n} \frac{\varphi(p)}{p^2} \ge \lim_{n \in \mathbb{N}} \sum_{p=1}^{n} \frac{1}{p} = \infty. $$

(Noter que cette démonstration reste vraie lorsque $\varphi$ est seulement injective.)

**Exercice 6.35 (Isométrie d'un espace de Hilbert avec $l^2$)** Soit H un espace de Hilbert réel, de dimension infinie et séparable. Soit $\{e_n, n \in \mathbb{N}\}$ une base hilbertienne de H (une telle base existe, cf. proposition 6.62).

Pour $u \in H$, on définit $a_u \in l^2$ ($l^2$ est défini à l'exercice 6.34) par $a_u(n) = (u | e_n)_H$, pour tout $n \in \mathbb{N}$. (On montrera tout d'abord que $a_u$ est bien un élément de $l^2$.)

Montrer que l'application $A : u \mapsto a_u$ (est linéaire et) est une isométrie de H dans $l^2$, c'est-à-dire que $\|a_u\|_{l^2} = \|u\|_H$ pour tout $u \in H$.

Montrer que $A$ est bijective (il faut donc montrer que, pour tout $a \in l^2$, il existe $u \in H$ t.q. $a = a_u$).

**Corrigé** – La fonction $a_u$ est mesurable de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ (toute fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ est mesurable car la tribu choisie sur $\mathbb{N}$ est $P(\mathbb{N}))$. En notant m la mesure du dénombrement sur $P(\mathbb{N})$ (voir l'exercice 6.34), on a $\int a_u^2 dm = \sum_{n \in \mathbb{N}} (u | e_n)_H^2$. L'égalité de Bessel (voir la proposition 6.63) donne alors que $a_u \in l^2$ et $\|a_u\|_{l^2} = \|u\|_H$.

Il est immédiat de voir que l'application $A : u \mapsto a_u$ est linéaire, l'application $A$ est donc une isométrie de $H$ dans $l^2$ (ceci donne, en particulier, que $A$ est injective). Il reste à montrer que $A$ est surjective.
Soit $a \in l^2$. On note $a_n = a(n)$ pour $n \in \mathbb{N}$, de sorte que $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ et $\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n^2 < \infty$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $f_n = \sum_{p=1}^n a_p e_p$. La suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est de Cauchy dans $H$ car, pour $m > n$, $\|f_m - f_n\|_{H}^2 = \sum_{p=n+1}^m a_p^2 \le \sum_{p=n+1}^\infty a_p^2 \to 0$ quand $n \to +\infty$. Il existe donc $u \in H$ t.q. $f_n \to u$, dans $H$, quand $n \to +\infty$. Le troisième item de la proposition 6.63 page 305 donne alors que $a = a_u$. Ceci montre bien que $A$ est surjective.

**Exercice 6.36 (Tribu et partition, suite et fin)** Cet exercice est la suite de l'exercice 3.34. Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $a$ une partition de $\Omega$. On note $T(a)$ la tribu engendrée par $a$ (voir l'exercice 3.34). On suppose que la partition $a$ est mesurable, c'est-à-dire que ses atomes sont des éléments de $\mathcal{A}$ (on a donc $T(a) \subset \mathcal{A}$). Donner une base hilbertienne de $L^2(\Omega, T(a), P)$ construite à partir des atomes de $a$. En déduire l'expression de la projection orthogonale d'une variable aléatoire $X$ appartenant à $L^2(\Omega, \mathcal{A}, P)$ sur le sous espace $L^2(\Omega, T(a), P)$.

**Exercice 6.37 (Convergence presque sûre et borne $L^2$ donne convergence $L^1$)** Cet exercice reprend l'exercice 6.18 (pour $q=2$ et $p=1$) avec les termes probabilistes et une méthode légèrement différente. Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a.r.. On suppose

- $X_n \to 0$ p.s., quand $n \to +\infty$.

- $E(X_n^2) \le 1$, pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. Soit $\varepsilon > 0$. Montrer que $E(|X_n|) \le \varepsilon + \sqrt{P(|X_n| > \varepsilon)}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

**Corrigé** – On obtient, avec Cauchy-Schwarz,

$$E(|X_n|) = \int_{|X_n| \le \varepsilon} |X_n| dP + \int_{|X_n| > \varepsilon} |X_n| dP \le \varepsilon + \sqrt{E(X_n^2) \sqrt{P(|X_n| > \varepsilon)}}.$$

2. Montrer que $X_n \to 0$ dans $L^1(\Omega, \mathcal{A}, P)$.

**Corrigé** – Soit $\varepsilon > 0$, la convergence p.s. implique la convergence en probabilité. Il existe donc $n_0 \in \mathbb{N}$ t.q.

$$n \ge n_0 \Rightarrow P(|X_n| > \varepsilon) \le \varepsilon^2.$$

Avec la question 1, on a donc

$$n \ge n_0 \Rightarrow E(|X_n|) \le 2\varepsilon.$$

Ce qui prouve que $X_n \to 0$ dans $L^1$.

3. Montrer, en donnant un exemple, que les hypothèses données au début de l'exercice n'entraînent pas les hypothèses du théorème de convergence dominée.

**Corrigé** – On peut prendre $(\Omega, \mathcal{A}, P) = (]0, 1[, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et $X_n = n1_{]1/(n+1), 1/n[}$ pour $n \ge 1$.
**Exercice 6.38 (Orthogonalité et v.a.r. indépendantes)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a.r. indépendantes. On suppose que $X_n$ est de carré intégrable pour tout $n \in \mathbb{N}$ et que $(X_n | X_m)_{2} = 0$ si $n \neq m$ (On note $L^2$ l'espace $L^2(\Omega, \mathcal{A}, P)$ et $(\cdot | \cdot)_{2}$ le produit scalaire dans $L^2$). On suppose enfin que $\sum_{n=0}^{\infty} \text{Var}(X_n) < +\infty$.

1. Montrer qu'il existe au plus un entier $n \ge 0$ t.q. $E(X_n) \neq 0$.

**Corrigé** – Soit $n \neq m$. Comme $X_n$ et $X_m$ sont deux v.a.r. indépendantes et intégrables, la proposition 4.59 (deuxième item) donne que $X_n X_m$ est intégrable et

$$E(X_n X_m) = E(X_n) E(X_m).$$

Comme $E(X_n X_m) = \int_{\Omega} X_n X_m dP = (X_n | X_m)_{2} = 0$, on en déduit qu'il est impossible que $E(X_n)$ et $E(X_m)$ soient tous les deux non nuls. On en déduit bien qu'il existe au plus un entier $n \ge 0$ t.q. $E(X_n) \neq 0$.

2. Montrer que la série $\sum_{n=0}^{\infty} X_n$ est convergente dans $L^2$.

**Corrigé** – Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $\text{Var}(X_n) = E(X_n^2) - E(X_n)^2$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ sauf éventuellement un seul, on a donc

$$\text{Var}(X_n) = E(X_n^2) = \int_{\Omega} X_n^2 dP = \|X_n\|_2^2.$$

La série $\sum_{n=0}^{+\infty} \|X_n\|_2^2$ est donc convergente. On en déduit que la série $\sum_{n=0}^{\infty} X_n$ est convergente dans $L^2$, comme cela est démontré dans l'exercice 6.23.

**Exercice 6.39 (Identités de Wald)**

Cet exercice est la suite de l'exercice 4.47. Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé, $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite v.a.r.i.i.d. et $N$ une v.a. à valeurs dans $\mathbb{N}^*$. On pose $S_N = X_1 + \dots + X_N$ (c'est-à-dire que, pour $\omega \in \Omega$, $S_N(\omega) = \sum_{n=1}^{N(\omega)} X_n(\omega)$).

1. On suppose, dans cette question, que les v.a.r. $N, X_1, \dots, X_n, \dots$ sont indépendantes. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $A_n = \{\omega \in \Omega, N(w) = n\}$ (on note, en général, $A_n = \{N = n\}$) et $Y_n = \sum_{p=1}^n X_p$.

(a) Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $1_{A_n}$ et $Y_n$ sont des v.a.r. indépendantes.

**Corrigé** – Cette question est corrigée dans l'exercice 4.47.

(b) On suppose aussi que $N$ et $X_1$ sont de carré intégrable. Montrer que $S_N$ est de carré intégrable et calculer sa variance en utilisant les variances et les espérances de $N$ et $X_1$.

**Corrigé** – On sait déjà, par l'exercice 4.47, que $S_N$ est intégrable et que $E(S_N) = E(N)E(X_1)$. On calcule maintenant $E(S_N^2)$.
Comme $S_N = \sum_{n=1}^{\infty} 1_{A_n} Y_n$ et que les $A_n$ sont disjoints deux à deux, on a $S_N^2 = \sum_{n=1}^{\infty} 1_{A_n} Y_n^2$ et donc

$$E(S_N^2) = \sum_{n=1}^{\infty} E(1_{A_n} Y_n^2).$$

Comme $1_{A_n}$ et $Y_n$ sont des v.a.r. indépendantes, on a donc

$$E(S_N^2) = \sum_{n=1}^{\infty} E(1_{A_n})E(Y_n^2) = \sum_{n=1}^{\infty} p(A_n)E(Y_n^2) = \sum_{n=1}^{\infty} p(\{N = n\})E(Y_n^2).$$

On utilise maintenant l'indépendance des $X_k$ et le fait que $E(X_k^2) = E(X_1^2)$ et $E(X_k) = E(X_1)$ (pour tout $k$), cela donne

$$E(Y_n^2) = E\left(\left(\sum_{p=1}^{n} X_p\right)^2\right) = E\left(\sum_{p,q=1}^{n} X_p X_q\right) = nE(X_1^2) + n(n-1)E(X_1)^2.$$

On en déduit

$$E(S_N^2) = \sum_{n=1}^{\infty} np(\{N = n\})E(X_1^2) + \sum_{n=1}^{\infty} (n^2 - n)p(\{N = n\})E(X_1)^2.$$

Comme $\sum_{n=1}^{\infty} np(\{N = n\}) = E(N)$ et $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 p(\{N = n\}) = E(N^2)$, on obtient
$$E(S_N^2) = E(N)E(X_1^2) + E(N^2)E(X_1)^2 - E(N)E(X_1)^2.$$

Comme $E(S_N) = E(N)E(X_1)$, on a, finalement,

$$\mathrm{Var}(S_N) = E(S_N^2) - E(S_N)^2 = E(N)E(X_1^2) + E(N^2)E(X_1)^2 - E(N)E(X_1)^2 - E(N)^2E(X_1)^2,$$

et donc

$$\mathrm{Var}(S_N) = E(N)\mathrm{Var}(X_1) + E(X_1)^2\mathrm{Var}(N).$$

2. On suppose maintenant que $\{N = n\} \in \sigma(X_1, \dots, X_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ (on rappelle que $\sigma(X_1, \dots, X_n)$ est la tribu engendrée par $X_1, \dots, X_n$). On suppose aussi que N et $X_1$ sont de carré intégrable et que $E(X_1) = 0$. Montrer que $S_N$ est de carré intégrable et calculer sa variance en utilisant la variance $X_1$ et l'espérance de N. [On pourra écrire $S_N = \sum_{n \in \mathbb{N}^*} 1_{\{N \ge n\}} X_n$ et utiliser l'exercice 6.23.]

**Corrigé** – On pose $V_n = 1_{\{N \ge n\}} X_n$ de sorte que $S_N = \sum_{n \in \mathbb{N}^*} V_n$ (pour chaque $\omega \in \Omega$ la série $\sum_{n \in \mathbb{N}^*} V_n(\omega)$ ne contient qu'un nombre fini de termes non nuls). Pour montrer que $S_N$ est de carré intégrable, il suffit de montrer (grâce à l'exercice 6.23) que $E(V_n V_m) = 0$ si $n \ne m$ et $\sum_{n \in \mathbb{N}^*} E(V_n^2) < +\infty$.

Soit $n, m \in \mathbb{N}^*$, $n \ne m$. On peut supposer $n < m$, on a alors $1_{\{N \ge n\}} 1_{\{N \ge m\}} = 1_{\{N \ge m\}}$ et donc

$$E(V_n V_m) = E(1_{\{N \ge n\}} X_n 1_{\{N \ge m\}} X_m) = E(X_n 1_{\{N \ge m\}} X_m).$$

La première hypothèse de cette question donne que

$$\{N = k\} \in \sigma(X_1, \dots, X_k) \subset \sigma(X_1, \dots, X_{m-1})$$

pour $1 \le k < m$. La v.a.r. $1_{\{N<m\}}$ est donc $\sigma(X_1, \dots, X_{m-1})$-mesurable. Comme $1_{\{N \ge m\}} = 1 - 1_{\{N<m\}}$, la v.a.r. $1_{\{N \ge m\}}$ est donc $\sigma(X_1, \dots, X_{m-1})$-mesurable, ainsi
que la v.a.r. $X_n$ (car $n < m$). Comme la tribu $\sigma(X_1, \dots, X_{m-1})$ est indépendante de la tribu $\sigma(X_m)$ (on utilise ici l'indépendance de $X_1, \dots, X_m$ et la proposition 2.58), les v.a.r. $X_n 1_{\{N \ge m\}}$ et $X_m$ sont indépendantes. Ceci donne (comme $E(X_m) = E(X_1) = 0$)

$$E(X_n 1_{\{N \ge m\}} X_m) = E(X_n 1_{\{N \ge m\}}) E(X_m) = 0.$$

On a donc bien $E(V_n V_m) = 0$.

Soit maintenant $n \in \mathbb{N}^*$.

On sait déjà que la v.a.r. $1_{\{N \ge n\}}$ est $\sigma(X_1, \dots, X_{n-1})$-mesurable. Les v.a.r. $1_{\{N \ge n\}}$ et $X_n$ sont donc indépendantes, ce qui donne

$$E(V_n^2) = E(1_{\{N \ge n\}} X_n^2) = E(1_{\{N \ge n\}}) E(X_n^2) = P(\{N \ge n\}) E(X_n^2) = P(\{N \ge n\}) E(X_1^2).$$

On a donc

$$\sum_{n=1}^{+\infty} E(V_N^2) = E(X_1^2) \sum_{n=1}^{+\infty} P(\{N \ge n\}) = E(X_1^2) \sum_{n=1}^{+\infty} n P(\{N = n\}) = E(X_1^2) E(N).$$

L'exercice 6.23 donne alors que la série $\sum_{n=1}^{+\infty} V_n$ converge dans $L^2(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$. On en déduit que $S_N$ est de carré intégrable et que la série $\sum_{n=1}^{+\infty} V_n$ converge dans $L^2(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ vers $S_N$. On a donc aussi (comme $E(V_n V_m) = 0 \text{ si } n \neq m$)

$$E(S_N^2) = \sum_{n=1}^{+\infty} E(V_n^2) = E(X_1^2) E(N) = E(N) \text{Var}(X_1).$$

N.B. : Le cas $E(X_1) \neq 0$ peut aussi être traité. Il se ramène au cas $E(X_1) = 0$ en considérant $Y_n = X_n - E(X_n)$.

### 6.5.3 Théorème de Radon-Nikodym et dualité dans $L^p$

**Exercice 6.40 (Fonctions absolument continues)** Soit $-\infty < a < b < +\infty$. On admet les 2 résultats suivants :

- Toute fonction monotone définie sur $[a, b]$, à valeurs dans $\mathbb{R}$, est dérivable en presque tout point de $]a, b[$.

- Soit $f \in L^1_{\mathbb{R}}(]a, b[, \mathcal{B}(]a, b[, \lambda)$. Pour $x \in [a, b]$, on pose $F(x) = \int f 1_{]a,x[} d\lambda$. La fonction F est alors dérivable en presque tout point de $]a, b[$ et on a $F' = f$ p.p..

1. (Fonctions monotones.) Soit $f$ une fonction monotone croissante définie sur $[a, b]$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$.

(a) Montrer que $f' \in L^1_{\mathbb{R}}(]a, b[, \mathcal{B}(]a, b[, \lambda)$ et que

$$\int f' 1_{]a,b[} d\lambda \le f(b) - f(a).$$

[On pourra poser $f(x) = f(b)$ pour $x > b$, considérer $f_n(x) = n(f(x + \frac{1}{n}) - f(x))$ et remarquer que $f_n \to f'$ p.p. sur $]a, b[$]
**Corrigé** – On remarque tout d'abord que $f$ est mesurable (de $]a, b[$, muni de la tribu borélienne, dans $\mathbb{R}$, muni de la tribu borélienne) car l'image réciproque par $f$ d'un intervalle de $\mathbb{R}$ est un intervalle de $]a, b[$. Comme $|f|$ est bornée (par $\max(|f(b)|, |f(a)|)$), on a aussi $f \in L_{\mathbb{R}}^1([a, b[, \mathcal{B}([a, b[, \lambda)$.

On pose $f(x) = f(b)$ pour $x > b$ (de sorte que $f$ est maintenant monotone croissante, et donc mesurable, de $]a, \infty[$ dans $\mathbb{R}$), et on définit pour $n \in \mathbb{N}^*$ la fonction $f_n$ par $f_n(x) = n(f(x + \frac{1}{n}) - f(x))$ pour $x \in ]a, b[$. Pour $n \in \mathbb{N}$, la fonction $f_n$ est donc mesurable (de $]a, b[$ dans $\mathbb{R}$) positive et (en notant que $f \in L_{\mathbb{R}}^1([a, b[, \mathcal{B}([a, b[, \lambda)$ et $f(\cdot + \frac{1}{n}) \in L_{\mathbb{R}}^1([a, b[, \mathcal{B}([a, b[, \lambda))$ on a :

$$ \int_{]a,b[} f_n d\lambda = f(b) - n \int_{]a,a+\frac{1}{n}[} f d\lambda \le f(b) - f(a) \quad (6.59) $$

Comme $f$ est dérivable p.p., on a $f_n \to f$ p.p. sur $]a, b[$, c'est-à-dire qu'il existe $A \in \mathcal{B}([a, b[)$ t.q. $\lambda([a, b[\setminus A) = 0$ et $f_n(x) \to f'(x)$ pour tout $x \in A$. On pose $g(x) = f'(x)$ si $x \in A$ et $g(x) = 0$ sinon. Le lemme de Fatou appliqué à la suite $f_n$ donne (par (6.59)) que $g$ est mesurable positive (de $]a, b[$ dans $\mathbb{R}_+$) et

$$ \int_{]a,b[} gd\lambda \le f(b) - f(a). $$

On a donc $f' \in L_{\mathbb{R}}^1([a, b[, \mathcal{B}([a, b[, \lambda)$ (au sens où l'on confond $f'$ et la classe de $g$ car $f' = g$ p.p.) et

$$ \int_{]a,b[} f'd\lambda \le f(b) - f(a). $$

(b) Donner un exemple pour lequel l'inégalité de la question précédente est stricte. (Les courageux pourront chercher un exemple pour lequel $f$ est continue...)

**Corrigé** – Un exemple facile est obtenu en prenant $f(x) = 0$ si $x \in [a, \frac{a+b}{2}]$ et $f(x) = 1$ si $x \in [\frac{a+b}{2}, b]$. On a alors $f' = 0$ p.p. et $f(b) - f(a) = 1$.

On peut obtenir un exemple avec $f$ continue en construisant $f$ à partir de l'ensemble de Cantor ($f$ est prise constante sur chacun des intervalles ouverts formant le complémentaire de l'ensemble de Cantor, on a ainsi $f' = 0$ p.p.).

## 2. (Fonctions absolument continues.)

Une fonction définie sur $[a, b]$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ est dite *absolument continue* si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que pour toute famille finie d'intervalles deux à deux disjoints $(]a_k, b_k[)_{1 \le k \le n}$ dont la somme des longueurs est inférieure à $\delta$, on a $\sum_{k=1}^n |f(b_k) - f(a_k)| < \varepsilon$.

(a) Montrer que l'absolue continuité implique l'uniforme continuité.

**Corrigé** – Il suffit de prendre $n = 1$, on remarque alors que :

$$ a \le a_1 < b_1 \le b, \ b_1 - a_1 \le \delta \Rightarrow |f(b_1) - f(a_1)| < \varepsilon. $$

Ce qui donne l'uniforme continuité de $f$.
(b) Montrer que l'ensemble des fonctions absolument continues sur $[a, b]$ forme un espace vectoriel.

**Corrigé** – Soit $f, g$ deux fonction absolument continues. Soit $\varepsilon > 0$, il existe $\delta_1 > 0$ [resp. $\delta_2 > 0$] t.q. pour toute famille finie d'intervalle deux à deux disjoints ($]a_k, b_k[$) $1 \le k \le n$ dont la somme des longueur est inférieure à $\delta_1$ [resp. $\delta_2$], on a $\sum_{k=1}^n |f(b_k) - f(a_k)| < \varepsilon$ [resp. $\sum_{k=1}^n |g(b_k) - g(a_k)| < \varepsilon$]. On en déduit que pour toute famille finie d'intervalle deux à deux disjoints ($]a_k, b_k[$) $1 \le k \le n$ dont la somme des longueur est inférieure à $\delta = \min(\delta_1, \delta_2) > 0$, on a

$$ \sum_{k=1}^{n} |(f+g)(b_k) - (f+g)(a_k)| < 2\varepsilon. $$

Ce qui prouve que $f + g$ est absolument continue.

Il est facile de voir que $\alpha f$ est absolument continue si $f$ est absolument continue et $\alpha \in \mathbb{R}$.

L'ensemble des fonctions absolument continues sur $[a, b]$ forme donc un espace vectoriel.

3. (Fonctions absolument continues et fonctions monotones.) Une fonction $f$ définie sur $[a, b]$ (et à valeurs dans $\mathbb{R}$) est dite à variation bornée s'il existe $C$ t.q. pour toute subdivision du segment $[a, b]$, $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$, on ait $\sum_{k=1}^n |f(x_k) - f(x_{k-1})| \le C$. Pour une fonction $f$ à variation bornée, on peut définir, pour $a < x \le b$, $V_a^x[f]$ par :

$$ V_a^x[f] = \sup\{\sum_{k=1}^{n} |f(x_k) - f(x_{k-1})|, a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = x, n \in \mathbb{N}^*\}. $$

On pose aussi $V_a^a[f] = 0$.

(a) Montrer que toute fonction absolument continue est à variation bornée.

(b) Montrer pour toute fonction $f$ (définie sur $[a, b]$ et) absolument continue, la fonction $x \mapsto V_a^x[f]$ est absolument continue sur $[a, b]$. En déduire que toute fonction absolument continue (définie sur $[a, b]$) est la différence de deux fonctions absolument continues monotones croissantes (et est donc dérivable en presque tout point de $]a, b[$).

**Corrigé** – La question 3 est admise.

4. Soit $f \in L_1^1(\mathbb{R})[a, b, \mathcal{B}(\mathbb{R})[a, b], \lambda)$. Pour $x \in [a, b]$, on pose $F(x) = \int f 1_{]a,x]} d\lambda$. Montrer que $F$ absolument continue.

**Corrigé** – Cette question est une conséquence de la proposition 4.50 du cours. Soit $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ t.q.

$$ (A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})[a, b], \lambda(A) \le \delta) \Rightarrow \int_A |f| d\lambda \le \varepsilon. $$
Si $()a_k, b_k()_{1\le k\le n}$ est une famille finie d'intervalles deux à deux disjoints dont la somme des longueurs est inférieure à $\delta$, on pose $A = \bigcup_{k=1}^n []a_k, b_k[]$. On a $\lambda(A) = \sum_{k=1}^n (b_k - a_k) \le \delta$ et donc $\int_A |f|d\lambda \le \varepsilon$. On en déduit le résultat désiré car :

$$ \sum_{k=1}^{n} |F(b_k) - F(a_k)| = \sum_{k=1}^{n} \left| \int_{]a_k, b_k[} f d\lambda \right| \le \sum_{k=1}^{n} \int_{]a_k, b_k[} |f| d\lambda = \int_A |f| d\lambda \le \varepsilon. $$

5. Soit F une fonction absolument continue et monotone croissante de $[a, b]$ dans $\mathbb{R}$. On prolonge cette fonction sur $\mathbb{R}$ en posant $F(x) = F(a)$ si $x < a$ et $F(x) = F(b)$ si $x > b$. Une version étendue du théorème de Carathéodory (cette version étendue est donnée par le théorème de Lebesgue-Stieltjes, théorème 2.61, pour ce résultat il suffit de F continue croissante) donne l'existence d'une (et une seule) mesure $m_F$ sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ t.q. $m_F()\alpha, \beta[] = F(\beta) - F(\alpha)$ pour tout $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, $\alpha < \beta$.

(a) Montrer que $m_F$ est absolument continue par rapport à $\lambda$. [Utiliser la régularité de $\lambda$ et l'absolue continuité de F.]

**Corrigé** – Soit $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ t.q. $\lambda(A) = 0$. On veut montrer que $m_F(A) = 0$ (ceci donnera bien que $m_F$ est absolument continue par rapport à $\lambda$).

Soit $\varepsilon > 0$. Comme F est absolument continue sur $[a, b]$, il existe $\delta > 0$ t.q. pour toute famille finie d'intervalles (de $[a, b]$) deux à deux disjoints $()a_k, b_k()_{1\le k\le n}$ dont la somme des longueurs est inférieure à $\delta$, on a $\sum_{k=1}^n |F(b_k) - F(a_k)| < \varepsilon$. Comme F est constante et égale à F(a) sur $]-\infty, a]$ et constante et égale à F(b) sur $[b, +\infty[$, cette propriété est aussi vrai si les intervalles sont des intervalles de $\mathbb{R}$ non nécessairement inclus dans $[a, b]$.

Par la régularité de $\lambda$, il existe un ouvert $O \supset A$ t.q. $\lambda(O) \le \delta$. Cet ouvert O peut s'écrire comme une réunion au plus dénombrable d'intervalles ouverts disjoints deux à deux, $O = \bigcup_{k=1}^\infty []a_k, b_k[]$ (avec éventuellement $a_k = b_k$ pour certaines valeurs de $k$). Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a $\sum_{k=1}^n (b_k - a_k) \le \sum_{k=1}^\infty (b_k - a_k) = \lambda(O) \le \delta$ et donc :

$$ m_F(\bigcup_{k=1}^n]a_k, b_k]) = \sum_{k=1}^n (F(b_k) - F(a_k)) \le \varepsilon. $$

En faisant tendre $n$ vers l'infini, la continuité croissante de $m_F$ donne :

$$ m_F(O) = \lim_{n \to +\infty} m_F(\bigcup_{k=1}^n]a_k, b_k]) \le \varepsilon, $$

et donc $m_F(A) \le \varepsilon$ (car $A \subset O$). Comme $\varepsilon > 0$ est arbitrairement petit, on en déduit bien $m_F(A) = 0$.

(b) Montrer qu'il existe $g \in L_1^-(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ t.q. $F(\beta) - F(\alpha) = \int g1|_{\alpha, \beta|} d\lambda$, pour tout $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, $\alpha < \beta$. Montrer que $g = F'$ p.p. sur $]a, b[$.

**Corrigé** – Comme $m_F$ est absolument continue par rapport à $\lambda$, le théorème de Radon-Nikodym (théorème 6.78)
donne l'existence de $g \in M_+(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ t.q. $m_F = g\lambda$. On a donc, pour tout $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, avec $\alpha < \beta$ :

$$F(\beta) - F(\alpha) = m_F(\beta) - m_F(\alpha) = \int g1_{\alpha,\beta}[d\lambda].$$

En faisant tendre $\alpha$ vers $-\infty$ et $\beta$ vers $+\infty$, on en déduit $\int g d\lambda = F(b) - F(a) < \infty$ et donc $g \in L^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), d\lambda)$ (au sens de la confusion habituelle, c'est-à-dire où il existe $h \in L^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), d\lambda)$ t.q. $g = h$ p.p.).

Pour tout $x \in [a, b]$, on a $F(x) = F(a) + \int g1_{[a,x]}[d\lambda]$. Le deuxième résultat admis donné au début de l'énoncé donne donc que $F$ est dérivable p.p. sur $]a, b[$ et $F' = g$ p.p. sur $]a, b[$.

6. Soit $F$ une fonction absolument continue de $[a, b]$ dans $\mathbb{R}$. Montrer que $F$ est dérivable en presque tout point de $]a, b[$, que $F' \in L^1_{\mathbb{R}}(]a, b[, \mathcal{B}([)a, b[, \lambda)$ et que pour tout $x \in [a, b]$ on a

$$F(x) - F(a) = \int F'1_{[a,x]}[d\lambda].$$

**Corrigé** – D'après la question 3-(b), la fonction $F$ est la différence de deux fonctions absolument continues monotones croissantes, notées $F_1$ et $F_2$. On peut alors appliquer la question 5-(b) à $F_1$ et $F_2$, elle donne que $F_1$ et $F_2$ sont dérivables p.p. sur $]a, b[$, que $F_1'(x), F_2'(x) \in L^1_{\mathbb{R}}(]a, b[, \mathcal{B}([)a, b[, \lambda)$ et que, pour tout $x \in [a, b]$ :

$$F_1(x) - F_1(a) = \int F'_1 1_{[a,x]}[d\lambda, F_2(x) - F_2(a) = \int F'_2 1_{[a,x]}[d\lambda.$$

Comme $F = F_1 - F_2$, on en déduit que $F$ est dérivable p.p. sur $]a, b[$, que $F' \in L^1_{\mathbb{R}}(]a, b[, \mathcal{B}([)a, b[, \lambda)$ et que, pour tout $x \in [a, b]$ :

$$F(x) - F(a) = \int F'1_{[a,x]}[d\lambda.$$

**Exercice 6.41 (Décomposition d'une mesure)** Soit $d > 1$ et $m$ une mesure sur les boréliens de $\mathbb{R}^d$. On suppose que $m(\mathbb{R}^d) < +\infty$. On note $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ l'ensemble des boréliens de $\mathbb{R}^d$ et $\lambda_d$ la mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$. On pose

$$\alpha = \sup\{m(C), C \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d) \text{ t.q. } \lambda_d(C) = 0\},$$

1. Montrer qu'il existe $C \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ t.q. $\lambda_d(C) = 0$ et $\alpha = m(C)$.

**Corrigé** – Soit $(C_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ t.q. $\lambda_d(C_n) = 0$ pour tout $n$ et

$$\sup_{n \in \mathbb{N}} m(C_n) = \alpha.$$

On pose $C = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} C_n$. On a donc $\lambda_d(C) = 0$ (par σ-sous additivité de $\lambda_d$) et $m(C) = \alpha$ (par monotonie de $m$ et définition de $\alpha$).
Soit $C \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ t.q. $\lambda_d(C) = 0$ et $\alpha = m(C)$.

Pour $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$, on pose $v(A) = m(A \cap C)$ et $\mu(A) = m(A \cap C^c)$.

2. Montrer que $\mu$ et $v$ sont des mesures sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ et que $v$ est étrangère à $\lambda_d$.

**Corrigé** – Comme $m(\emptyset) = 0$, on a aussi $v(\emptyset) = \mu(\emptyset) = 0$. La $\sigma$-additivité de $m$ donne la $\sigma$-additivité de $v$ et $\mu$. Ceci prouve que $\mu$ et $v$ sont des mesures.

Comme $\lambda_d(C) = 0$ et $v(C^c) = m(C \cap C^c) = 0$, les mesures $v$ et $\lambda_d$ sont étrangères.

3. Montrer que $\mu$ est absolument continue par rapport à $\lambda_d$. En déduire qu'il existe une fonction $f$ borélienne de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}_+$ t.q. $m = f\lambda_d + v$.

**Corrigé** – Soit $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ t.q. $\lambda_d(B) = 0$. On pose $D = C \cup (B \cap C^c)$. On a donc $0 \le \lambda_d(D) \le \lambda_d(C) + \lambda_d(B) = 0$ et donc $\alpha = m(C) \le m(D) \le \alpha$, ce qui prouve que $m(D) = \alpha$. Comme $m(D) = m(C) + m(B \cap C^c) = \alpha + m(B \cap C^c)$, on a donc $m(B \cap C^c) = 0$, c'est-à-dire $\mu(B) = 0$ (on a utilisé ici que fait que $\alpha < +\infty$, ce qui est dû au fait que $m$ est une mesure finie). On a ainsi montré que $\mu \ll \lambda_d$. On peut maintenant appliquer le théorème de Radon-Nikodym (théorème 6.78), il donne l'existence d'une fonction $f$ borélienne de $\mathbb{R}^d$ dans $\mathbb{R}_+$ t.q. $\mu = f\lambda_d$.

Pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$, on a $m(A) = m(A \cap C) + m(A \cap C^c) = v(A) + \mu(A)$. On a donc
$$m = \mu + v = f\lambda_d + v.$$

*N.B.* Dans ce corrigé, on a essentiellement repris la démonstration de la proposition 2.29 (qui considère un cas plus général) et utilisé pour conclure le théorème de Radon-Nikodym.

**Exercice 6.42 (Dualité $L^1-L^\infty$ par Radon-Nikodym)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré fini et $T \in (L_1^1(E, T, m))'$. On suppose que $T$ est positive, c'est-à-dire que, pour $f \in L_1^1(E, T, m)$, $f \ge 0$ p.p. implique $T(f) \ge 0$.

1. Pour $A \in T$, on pose $\mu(A) = T(1_A)$. Montrer que $\mu$ est bien définie et que $\mu$ est une mesure finie sur $T$.

Attention, il y a toujours cette confusion malheureuse de notations, la même lettre $T$ désigne la tribu sur $E$ et un élément de $(L_1^1(E, T, m))'$.

On note $L^r = L_\mathbb{R}^r(E, T, m)$ et $\mathcal{L}^r = \mathcal{L}_\mathbb{R}^r(E, T, m)$ (pour $r = 1$ et $r = \infty$).

**Corrigé** – Soit $A \in T$ (tribu sur $E$), comme $m$ est une mesure finie, on a $1_A \in \mathcal{L}^1$ (et donc $1_A \in L^1$ en confondant un élément de $\mathcal{L}^1$ avec sa classe dans $L^1$). On peut définir $\mu(A)$ par $T(1_A)$.

Pour montrer que $\mu$ est une mesure sur $T$, on remarque tout d'abord que $\mu(\emptyset) = T(1_\emptyset) = T(0) = 0$. Puis, soit $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$ t.q. $A_n \cap A_m = \emptyset \text{ si } n \ne m$. On pose $A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$. En utilisant le théorème de convergence dominée, on remarque que $\sum_{n=0}^N 1_{A_n} \to 1_A$ dans $L^1$ quand $N \to \infty$ (en effet, on a bien une convergence p.p. et une domination par $1_E$ qui est intégrable). Comme $T \in (L^1)'$, on a donc
$\sum_{n=0}^{N} T(1_{A_n}) = T(\sum_{n=0}^{N} 1_{A_n}) \to T(1_A) \text{ quand } N \to \infty$. Avec la définition de $\mu$, on en déduit :

$$ \sum_{n=0}^{N} \mu(A_n) \to \mu(A) \text{ quand } N \to \infty. $$

Ce qui montre bien que $\mu$ est une mesure sur T.

Pour montrer que $\mu$ est finie, il suffit de remarquer que $\mu(E) = T(1_E) \in \mathbb{R}$ (noter que $1_E \in \mathcal{L}^1$).

2. En utilisant le théorème de Radon-Nikodym, montrer qu'il existe $g \in \mathcal{M}_+$ t.q. $T(1_A) = \int g 1_A dm$ pour tout $A \in T$.

**Corrigé** – Soit $A \in T$ t.q. $m(A) = 0$. On a donc $1_A = 0$ p.p.. On en déduit que $\mu(A) = T(1_A) = 0$ (la fonction $1_A$ est un élément de la classe de 0 dans $\mathbb{L}^p$).

La mesure $\mu$ est donc absolument continue par rapport à la mesure $m$. On peut appliquer le théorème de Radon-Nikodym (théorème 6.78), il donne l'existence de $g \in \mathcal{M}_+$ t.q. :

$$ T(1_A) = \mu(A) = \int g 1_A dm \text{ pour tout } A \in T. \qquad (6.60) $$

3. Montrer que $g \in L_{\mathbb{R}}^{\infty}(E, T, m)$ (plus précisément, il existe $h \in L_{\mathbb{R}}^{\infty}(E, T, m)$ t.q. $h = g$ p.p.). [On pourra montrer que $\|g\|_{\infty} \le \|T\|_{(L^1)^c}$ en choisissant bien $A$ dans la formule trouvée à la question précédente.]

**Corrigé** – On prend $A = \{g > \|T\|_{(L^1)^c}\}$. Si $m(A) > 0$, on a, avec (6.60), en remarquant que $\|1_A\|_1 = m(A)$ :

$$ \|T\|_{(L^1)^c} m(A) < \int g 1_A dm = T(1_A) \le \|T\|_{(L^1)^c} m(A), $$

ce qui est impossible. On a donc $m(A) = 0$, ce qui prouve que $g = h$ p.p. avec $h$ définie par $h = g$ sur $A^c$ et $h = 0$ sur $A$. Comme $h \in L^{\infty}$, on a donc $g \in L^{\infty}$ (au sens où il existe $h \in L_{\mathbb{R}}^{\infty}(E, T, m)$ t.q. $h = g$ p.p.).

On a aussi montré que $\|g\|_{\infty} = \|h\|_{\infty} \le \|T\|_{(L^1)^c}$.

4. Montrer que $T(f) = \int g f dm$ pour tout $f \in L_{\mathbb{R}}^1(E, T, m)$.

**Corrigé** – Grâce à (6.60), on a, pour tout $f = 1_A$ avec $A \in T$ :

$$ T(f) = \int g f dm. \qquad (6.61) $$

Par linéarité de $T$ (sur $L^1$) et par linéarité de l'intégrale, on en déduit que (6.61) est encore vraie si $f \in \mathcal{E}_+ \cap \mathcal{L}^1$ (on confond encore $f$ et sa classe).

Puis, si $f \in \mathcal{M}_+ \cap \mathcal{L}^1$, il existe $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathcal{E}_+$ t.q. $f_n \uparrow f$ quand $n \to +\infty$. Comme $f \in \mathcal{L}^1$ et $gf \in \mathcal{L}^1$, le théorème de convergence dominée donne $f_n \to f$ dans $L^1$ et $gf_n \to gf$ dans $L^1$ quand $n \to +\infty$ (noter que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dominée par $f$ et $(gf_n)_{n \in \mathbb{N}}$
est dominée par $gf$). En écrivant (6.61) avec $f = f_n$ et en faisant $n \to +\infty$, on en déduit (6.61). L'égalité (6.61) est donc vraie pour tout $f \in \mathcal{M}_+ \cap \mathcal{L}^1$.

Soit enfin $f \in L^1$ (on confond $f$ avec l'un de ses représentants). On écrit alors (6.61) pour $f = f^+ \in \mathcal{M}_+ \cap \mathcal{L}^1$ et $f = f^- \in \mathcal{M}_+ \cap \mathcal{L}^1$. En faisant la différence on en déduit (6.61).

L'égalité (6.61) est donc vraie pour tout $f \in L^1$.

**Exercice 6.43 (Dualité L<sup>p</sup>-L<sup>q</sup> pour p < 2)** L'objet de cet exercice est de démontrer le théorème de dualité 6.70 dans le cas $p < 2$. Soit $(E, \mathcal{T}, m)$ un espace mesuré $\sigma$-fini et $1 \le p < 2$. On pose $q = p/(p-1)$ et on note $L^r$ l'espace $L_{\mathbb{R}}^r(E, \mathcal{T}, m)$ (pour $r = p$, $r = q$ et $r = 2$). Soit $T \in (L^p)'$.

1. On considère d'abord le cas où $m(E) < +\infty$.

(a) Montrer que $L^2 \subset L^p$ et que l'injection canonique<fnref n="1" /> de $L^2$ dans $L^p$ est continue.

**Corrigé** – Cette question est faite dans la proposition 6.25 page 285. En particulier, l'inégalité (6.9) donne $\|f\|_p \le C\|f\|_2$ pour tout $f \in L^2$ avec $C$ ne dépendant que de $p$ et $m(E)$. En fait, si $m(E) > 0$, le plus petit $C$ possible dans cette inégalité est $C = (m(E))^{\frac{1}{p} - \frac{1}{2}}$ (voir la remarque 6.27).

(b) Montrer qu'il existe $g \in L^2$ t.q. $T(f) = \int fgdm$ pour tout $f \in L^2$.

**Corrigé** – On appelle $S$ la restriction de $T$ à $L^2$. La question précédente montre que $S$ est bien défini est que $S \in (L^2)'$. Comme $L^2$ est un espace de Hilbert, le théorème de représentation de Riesz (théorème 6.56) donne l'existence (et l'unicité) de $g \in L^2$ t.q. $S(f) = (f|g)_2 = \int fgdm$ pour tout $f \in L^2$. Comme $S = T$ sur $L^2$, on a donc bien :

$$ T(f) = \int fgdm \text{ pour tout } f \in L^2. \qquad (6.62) $$

(c) Montrer que la fonction $g$, trouvée à la question précédente, appartient à $L^q$ [distinguer les cas $p > 1$ et $p = 1$. Dans le cas $p > 1$, on pourra considérer les fonctions $f_n = |g|^{(q-2)}g1_{\{|g| \le n\}}$. Dans le cas $p = 1$, prendre $f = sgn(g)1_A$ où $A = \{|g| > \|T\|_{(L^p)'}\}$.]

**Corrigé** – Dans toute la suite, on posera aussi $\mathcal{L}^r = \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^r(E, \mathcal{T}, m)$ (pour $r = p$, $r = q$ et $r = 2$).

**Cas** $p > 1$. Dans ce cas, on a $2 < q < \infty$. On confond, comme d'habitude, $g$ avec l'un de ses représentants, de sorte que $g \in \mathcal{L}^2$. On pose alors $f_n = |g|^{(q-2)}g1_{\{|g| \le n\}}$. La fonction $f_n$ est mesurable (comme produit de fonctions mesurables et bornée, on a donc $f_n \in \mathcal{L}^\infty \subset \mathcal{L}^2 \subset \mathcal{L}^p$).

<footnote n="1">1. On rappelle que l'injection canonique d'un ensemble $G$ contenu dans un ensemble $F$ est la restriction de l'application identité à $G$. Pour montrer la continuité de l'injection d'un espace vectoriel $G$ muni d'une norme $\| \cdot \|_G$ inclus dans un espace vectoriel normé $F$ muni d'une norme $\| \cdot \|_F$, il suffit donc de montrer qu'il existe $C \ge 0$ tel que $\|u\|_F \le C\|u\|_G$ pour tout $u \in G$.</footnote>
On peut donc prendre $f = f_n$ dans (6.62), on obtient $\int f_n g dm = T(f_n)$ et donc, en notant $B_n = \{|g| \le n\}$ :

$$ \int_{B_n} |g|^q dm = T(f_n) \le \|T\|_{(L^p)^\gamma} \|f_n\|_p. $$

Comme $\|f_n\|_p^p = \int_{B_n} |g|^{p(q-1)} dm = \int_{B_n} |g|^q dm$, on en déduit :

$$ (\int_{B_n} |g|^q dm)^{\frac{1}{q}} \le \|T\|_{(L^p)^\gamma}. \qquad (6.63) $$

On remarque maintenant que $|g|^q 1_{B_n} \uparrow |g|^q$ quand $n \to +\infty$. On peut donc appliquer le théorème de convergence monotone à la suite $(|g|^q 1_{B_n})_{n \in \mathbb{N}}$, l'inégalité (6.63) donne alors :

$$ (\int |g|^q dm)^{\frac{1}{q}} \le \|T\|_{(L^p)^\gamma}. $$

On a donc $g \in L^q$ (et $g \in L^q$ en confondant $g$ avec sa classe d'équivalence dans $L^q$) et $\|g\|_q \le \|T\|_{(L^p)^\gamma}$.

**Cas p = 1.** Dans ce cas, on a $q = \infty$. On confond aussi $g$ avec l'un de ses représentants, de sorte que $g \in L^2$. On pose maintenant $A = \{|g| > \|T\|_{(L^1)^\gamma}\}$ et $f = \operatorname{sgn}(g) 1_A$. La fonction $f$ est donc étagée et on a $f \in L^\infty \subset L^2 \subset L^1$.

On obtient alors, avec (6.62) :

$$ \int_{A} |g| dm = \int f g dm = T(f) \le \|T\|_{(L^{1})^{\gamma}} \|f\|_{1} = \|T\|_{(L^{1})^{\gamma}} (m(A)). \qquad (6.64) $$

Or, si $m(A) > 0$, on a (par la définition de $A$), $\int_A |g| dm > \|T\|_{(L^1)^\gamma} m(A)$, en contraction avec (6.64). On a donc $m(A) = 0$, ce qui donne $g \in L^\infty$ (et $g \in L^\infty$ en confondant $g$ avec sa classe d'équivalence dans $L^\infty$) et $\|g\|_\infty \le \|T\|_{(L^1)^\gamma}$.

(d) Si $f \in L^p$, montrer que $f_n = f 1_{\{|f| \le n\}} \in L^2$. En déduire que il existe $g \in L^q$ t.q. $T(f) = \int f g dm$, pour tout $f \in L^p$.

**Corrigé** – La fonction $g$ recherchée est, bien sûr, celle trouvée dans les questions précédentes.

Soit $f \in L^p$. On confond $f$ avec l'un de ses représentants, de sorte que $f \in L^p$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $f_n = f 1_{\{|f| \le n\}}$. La fonction $f_n$ est donc mesurable (comme produit de fonctions mesurables) et bornée, donc $f_n \in L^\infty \subset L^2$. On peut donc prendre $f = f_n$ dans (6.62), on obtient :

$$ T(f_n) = \int f_n g dm \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}. \qquad (6.65) $$

Le théorème de convergence dominée dans $L^p$ (théorème 6.9) donne que $f_n \to f$ dans $L^p$ quand $n \to +\infty$ (la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge bien p.p. vers $f$ et est dominée par $|f| \in L^p$). Comme $T \in (L^p)^\gamma$, on a donc $T(f_n) \to T(f)$ quand $n \to +\infty$. D'autre part, comme $g \in L^q$, on a $\int f_n g dm \to \int f g dm$ quand $n \to +\infty$ (en effet, l'inégalité de Hölder donne $|\int f_n g dm - \int f g dm| \le \|f_n - f\|_p \|g\|_q$). On déduit donc de (6.65), quand $n \to +\infty$, que $T(f) = \int f g dm$.
2. On considère maintenant le cas où $m(E) = +\infty$. Comme $m$ est $\sigma$-finie, on peut écrire $E = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$, avec $A_n \subset A_{n+1}$, $A_n \in \mathcal{T}$ et $m(A_n) < +\infty$. On note $\mathcal{T}_n = \{A \in \mathcal{T}, A \subset A_n\}$, $m_n = m|_{\mathcal{T}_n}$ et $L^r(m_n) = L_{\mathbb{R}}^r(A_n, \mathcal{T}_n, m_n)$ ($r = p$ ou $q$).

(a) Soit $n \in \mathbb{N}$. Pour $f \in L^p(m_n)$, on pose $T_n(f) = T(\tilde{f})$ avec $\tilde{f} = f$ p.p. sur $A_n$ et $\tilde{f} = 0$ p.p. sur $(A_n)^c$. Montrer que $T_n \in (L^p(m_n))'$ et qu'il existe $g_n \in L^q(m_n)$ t.q. :

$$T_n(f) = \int f g_n dm_n, \forall f \in L^p(m_n).$$

**Corrigé** – On a déjà vu que $T_n$ est une tribu sur $A_n$ (tribu trace) et que $m_n$ est une mesure sur $\mathcal{T}_n$ (mesure trace, voir l'exercice 2.17 par exemple).

La définition de $T_n$ est cohérente car, si $f \in L^p(m_n)$, on confond $f$ avec l'un de ses représentants et la fonction $\tilde{f}$ est alors p.p. égale à $f$ prolongée par 0 hors de $A_n$, qui est bien un élément de $L^p$. On a donc $\tilde{f} \in L^p$ (avec la confusion habituelle) et $T(\tilde{f})$ est bien défini (il ne dépend pas du représentant choisi dans la classe de $f$).

On remarque aussi que $T_n$ est linéaire et que, pour $f \in L^p(m_n)$,

$$|T_n(f)| = |T(\tilde{f})| \le \|T\|_{(L^p)^{\prime}} \|\tilde{f}\|_{L^p} = \|T\|_{(L^p)^{\prime}} \|f\|_{L^p(m_n)}.$$

Donc, $T_n \in (L^p(m_n))'$ et $\|T_n\|_{(L^p(m_n))'} \le \|T\|_{(L^p)^{\prime}}$. Comme $m_n(A_n) = m(A_n) < \infty$, on peut alors utiliser la première partie, elle donne qu'il existe $g_n \in L^q(m_n)$ t.q. :

$$T_n(f) = \int f g_n dm_n, \forall f \in L^p(m_n).$$

La première partie donne aussi :

$$\|g_n\|_{L^q(m_n)} \le \|T_n\|_{(L^p(m_n))'} \le \|T\|_{(L^p(m_n))'}. \quad (6.66)$$

On utilise $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dans les questions suivantes.

(b) Montrer que si $m \ge n$, $g_n = g_m$ p.p. sur $A_n$.

**Corrigé** – Soit $f \in L^p = L_{\mathbb{R}}^p(E, \mathcal{T}, m)$ t.q. $f = 0$ p.p. sur $A_n^c$. On note $f_n$ la restriction de $f$ à $A_n$ et $f_m$ la restriction de $f$ à $A_m$. En confondant, comme d'habitude, un élément de $L^p$ avec l'un de ses représentants, on a $f_n \in L^p(m_n)$, $f_m \in L^p(m_m)$ et $T_n(f_n) = T_m(f_m) = T(f)$. Donc,

$$\int f_n g_n dm_n = \int f_m g_m dm_m.$$

Comme $f_n = f_m = f$ sur $A_n$ et que $m_n$ est aussi la restriction de $m_m$ sur $A_n$, on a donc :

$$\int f_n(g_n - g_m) dm_n = 0.$$

En prenant $f = \text{sign}(g_n - g_m)1_{\{g_n \ne g_m\}}$ sur $A_n$ et $f = 0$ sur $A_n^c$ (on a ici choisi des représentants pour $g_n$ et $g_m$), on en déduit $g_n = g_m$ $m_n$-p.p. sur $A_n$, c'est-à-dire
$g_n = g_m \text{ p.p. sur } A_n$, car $m_n$ est la restriction de $m$ sur $A_n$ (p.p. est alors pris au sens m-p.p.).

(c) On définit $g : E \to \mathbb{R}$ par $g = g_n$ sur $A_n$.

i. Montrer que $g \in L^q(E)$. (Distinguer les cas $q < +\infty$ et $q = +\infty$.)

**Corrigé** – Plus précisément, on peut choisir, pour tout $n \in \mathbb{N}$ un représentant de $g_n$ de manière à avoir $g_n = g_m$ sur tout $A_n$ pour $m \ge n$. On peut alors définir $g : E \to \mathbb{R}$ par $g = g_n$ sur $A_n$. La fonction $g$ est mesurable de $E$ dans $\mathbb{R}$ (car $g_n$ est mesurable de $A_n$ dans $\mathbb{R}$).

**Cas** $p > 1$. (c'est-à-dire $q < \infty$). Dans ce cas, on remarque que $h_n \uparrow |g|$ quand $n \to +\infty$ avec $h_n$ défini par $h_n = |g_n|$ sur $A_n$ et $h_n = 0$ sur $A_n^c$. Le théorème de convergence monotone donne alors :

$$ \int |g|^q dm = \lim_{n \to +\infty} \int h_n^q dm = \lim_{n \to +\infty} \int |g_n|^q dm_n. $$

Comme $\int |g_n|^q dm_n \le \|T\|_{(L^p)^\gamma}^q$ (d'après 6.66), on en déduit que $g \in L^q$ (et $\|g\|_q \le \|T\|_{(L^p)^\gamma}$). Donc, $g \in L^q$ (en confondant $g$ avec sa classe).

**Cas** $p = 1$. (c'est-à-dire $q = \infty$). Dans ce cas, on a, par (6.66), $\|g_n\|_{L^\infty(m_n)} \le \|T\|_{(L^1)^\gamma}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

On en déduit que $\|g\|_{\infty} \le \|T\|_{(L^1)^\gamma}$ (car $\{g > \|T\|_{(L^1)^\gamma}\} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{g_n > \|T\|_{(L^1)^\gamma}\}$). Donc, $g \in L^\infty$ (en confondant $g$ avec sa classe).

ii. Montrer que $T(f) = \int f g dm$, pour tout $f \in L^p$.

**Corrigé** – Soit $f \in L^p$, on pose $f_n = f 1_{A_n}$. D'après théorème de convergence dominé dans $L^p$ (théorème 6.9), on a $f_n \to f$ dans $L^p$ quand $n \to +\infty$. Donc :

$$ T(f_n) \to T(f) \text{ quand } n \to +\infty. \qquad (6.67) $$

Or, $T(f_n) = T_n(h_n)$, où $h_n$ est la restriction de $f_n$ à $A_n$. On remarque alors que

$$ T_n(h_n) = \int g_n h_n dm_n = \int g f_n dm. $$

Comme $g \in L^q$, l'inégalité de Hölder donne que $\int g f_n dm \to \int g f dm$ quand $n \to +\infty$ (car $\int g f_n dm - \int g f dm \le \|g\|_q \|f_n - f\|_p \to 0$ quand $n \to +\infty$).

On a donc $T(f_n) = T_n(h_n) \to \int g f dm$ quand $n \to +\infty$, ce qui, avec (6.67) donne $T(f) = \int f g dm$.

**Exercice 6.44 (Démonstration du théorème de dualité $L^p - L^q$)**

Soient $(E, \mathcal{T}, m)$ un espace mesuré $\sigma$-fini : il existe une famille dénombrable $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'ensembles $A_n$ qu'on peut prendre disjoints deux à deux, tels que

$$ A_n \in \mathcal{T}, m(A_n) < +\infty \text{ et } E = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n. $$
Soient $p \in [1, +\infty[$ et T une forme linéaire continue sur $L_{\mathbb{R}}^p(E, \mathcal{T}, m) = L^p$.

**Partie 1.** (Rappel du cours.) On considère d'abord le cas $p=2$, montrer qu'il existe un unique $g \in L^2$ t.q. $T(f) = \int fgdm, \forall f \in L^2$.

**Partie 2.** On s'intéresse maintenant au cas $p \in [1, 2]$

1. Soit $\psi$, une fonction mesurable de E dans $\mathbb{R}$. Montrer que si $\psi \in L^r$, où $r = 2p/(2-p)$, alors, pour toute fonction $f$ de $L^2$, la fonction $f\psi$ est dans $L^p$.

Montrer qu'il existe une fonction $\psi \in L^r$ de la forme : $\psi = \sum_{n \in \mathbb{N}} \alpha_n 1_{A_n}$, $\alpha_n > 0$.

Dans toute la suite, $\psi$ désignera une fonction particulière de la forme précédente.

2. Déduire des questions précédentes l'existence d'une unique fonction $G \in L^2$ t.q., pour toute fonction $f$ de $L^p$ t.q. $\frac{f}{\psi} \in L^2$, on a $T(f) = \int f \frac{G}{\psi} dm$.

3. Soient $p \in [1, 2[$, et $q$ tel que $(1/p) + (1/q) = 1$ ; on définit les fonctions $f_n$, de E dans $\mathbb{R}$, par :

$$f_n = |g|^{(q-2)} g 1_{\{|g| \le n\}} 1_{B_n} \quad \text{où } g = \frac{G}{\psi} \text{ et } B_n = \bigcup_{p=1}^{n} A_p.$$

(a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $f_n/\psi \in L^2$.

(b) En déduire que $g = G/\psi \in L^q$. [Il est conseillé d'utiliser la continuité de T de $L^p$ dans $\mathbb{R}$.]

4. Soient $p=1$ et $f \in L^1$. On définit : $f_n = \text{sgn}(g) 1_A 1_{B_n}$ où $A = \{|g| > \|T\|_{(L^p)^n}\}$.

(a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a $f_n/\psi \in L^2$.

(b) En déduire que $m(A \cap B_n) = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et que $g (= G/\psi) \in L^\infty$.

5. Soient $p \in [1, 2[$ et $f \in L^p$, on définit $f_n = f 1_{\{|f| \le n\}} 1_{B_n}$. Montrer que $f_n/\psi \in L^2$ et que $f_n$ tend vers $f$ dans $L^p$. En déduire que il existe $g \in L^q$ t.q. $T(f) = \int fgdm$ pour tout $f \in L^p$.

**Partie 3.** On s'intéresse maintenant au cas $p > 2$, et on suppose ici que $T \ge 0$, i.e. $T(f) \ge 0$ pour toute fonction $f$ t.q. $f \ge 0$ p.p.. Soit $q$ tel que $(1/p) + (1/q) = 1$.

1. On suppose dans cette question que la forme linéaire T est, de plus, continue pour la norme $\|\cdot\|_{L^1}$.

(a) Montrer qu'il existe $g \in L^\infty$ t.q. $T(f) = \int fgdm$ pour toute fonction $f \in L^1 \cap L^p$.

(b) Montrer que $g \in L^q$. [On pourra utiliser un raisonnement similaire à celui de la question 3 de la partie 2].
(c) En déduire qu'il existe $g \in L^q$ t.q. $T(f) = \int fg dm$ pour toute fonction $f \in L^p$ et que $||g||_{L^q} = ||T||_{(L^p)}$. [On pourra utiliser un raisonnement similaire à celui de la question 5 de la partie 2].

2. On suppose ici qu'il existe une suite $(T_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de formes linéaires sur $L^p$ vérifiant les quatre propriétés suivantes :

$$ \forall f \in L^p; f \ge 0 \text{ p.p., } \quad 0 \le T_n(f) \le T(f) \qquad (6.68) $$

$$ \forall f \in L^p; f \ge 0 \text{ p.p., } \quad T_n(f) \le T_{n+1}(f) \qquad (6.69) $$

$$ \forall f \in L^p; f \ge 0 \text{ p.p., } \quad T_n(f) \le n \int f dm \qquad (6.70) $$

$$ \forall f \in L^p; f \ge 0 \text{ p.p., } \quad T_n(f) \text{ converge vers } T(f) \text{ lorsque } n \to +\infty. \qquad (6.71) $$

(a) Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe $g_n \in L^q$ tel que $T_n(f) = \int g_n f dm$, pour tout $f \in L^p$. Montrer que $||g_n||_{L^q} \le ||T||_{(L^p)}$.

(b) Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le g_n \le n$ p.p. et $g_n \le g_{n+1}$ p.p..

(c) Montrer qu'il existe $g \in L^q$ t.q. $T(f) = \int g f dm$, pour toute fonction $f \in L^p$.

3. Soit $T_n$ l'application de $L^p$ dans $\mathbb{R}$ définie par :

$$ \text{Si } f \in L^p \text{ et } f \ge 0 \text{ p.p., } \quad T_n(f) = \inf_{\varphi \in L^p, 0 \le \varphi \le f} \left( T(\varphi) + n \int (f - \varphi) dm \right), \\ \text{puis, si } f \in L^p, \quad T_n(f) = T_n(f^+) - T_n(f^-). $$

Montrer que $T_n$ vérifie les propriétés de la question 2.

4. Montrer que $T_n$ est linéaire.

5. En déduire que, pour toute forme linéaire continue positive T sur $L^p$, il existe une fonction $g$ de $L^q$ t.q. $T(f) = \int fg dm$.

6. Montrer que, pour toute forme linéaire continue T sur $L^p$, il existe une fonction $g$ de $L^q$ t.q. $T(f) = \int fg dm$. [Décomposer T en une partie positive et une partie négative.]

### 6.5.4 Convergence faible, faible-, étroite, en loi...

**Exercice 6.45 (Convergence faible et convergence des normes) ⇒ convergence forte)** Soient $(E, T, m)$ un espace mesuré, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^2 = L^2(E, T, m)$ et $f \in L^2$ t.q. la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tende faiblement vers $f$ dans $L^2$, c'est-à-dire : $\int f_n \varphi dm \to \int f \varphi dm$ pour toute fonction $\varphi \in L^2$.
1. Montrer que $\|f\|_2 \le \liminf_{n \to +\infty} \|f_n\|_2$.

**Corrigé** – Comme $f_n \to f$ faiblement vers $f$ dans $L^2$ (quand $n \to +\infty$) et que $f \in L^2$, on a :

$$ \int f_n f dm \to \int f^2 dm = \|f\|_2^2 \text{ quand } n \to +\infty. $$

L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne $\int f_n f dm \le \|f_n\|_2 \|f\|_2$. On en déduit, en faisant tendre $n$ vers l'infini :

$$ \|f\|_2^2 = \lim_{n \to +\infty} \int f_n f dm = \lim \inf_{n \to +\infty} \int f_n f dm \le \lim \inf_{n \to +\infty} \|f_n\|_2 \|f\|_2^2 = \|f\|_2^2 \lim \inf_{n \to +\infty} \|f_n\|_2, $$

et donc $\|f\|_2 \le \liminf_{n \to +\infty} \|f_n\|_2$.

2. On suppose de plus que $\|f_n\|_2 \to \|f\|_2$ lorsque $n \to +\infty$. Montrer que la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend vers $f$ dans $L^2$.

**Corrigé** – On remarque que $\|f_n - f\|_2^2 = (f_n - f | f_n - f)_2 = \|f_n\|_2^2 + \|f\|_2^2 - 2 \int f_n f dm$. On a $\|f_n\|_2^2 \to \|f\|_2^2$ et, comme $f_n \to f$ faiblement dans $L^2$, on a aussi $\int f_n f dm \to \int f^2 dm = \|f\|_2^2$, quand $n \to +\infty$. On en déduit donc que $\|f_n - f\|_2 \to 0$ quand $n \to +\infty$.

**Exercice 6.46 (Convergence faible)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré $\sigma$-fini. Pour $1 \le r \le \infty$, on note $L^r$ l'espace $L^r_E(E, T, m)$. Soit $1 \le p < \infty$ et $q = p/(p-1)$. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^p$ et $f \in L^q$.

1. Montrer que $f_n \to f$ faiblement dans $L^p$ quand $n \to +\infty$ (voir la définition 6.80) si et seulement si

$$ \int f_n g dm \to \int f g dm, \forall g \in L^q. \qquad (6.72) $$

**Corrigé** – Le cours (théorème de dualité 6.70 page 313) donne que $\{\varphi_g, g \in L^q\} = (L^p)'$, avec $\varphi_g$ défini par $\varphi_g(f) = \int f g dm$ (pour $f \in L^p$). Ceci donne bien le résultat demandé (c'est-à-dire : $f_n \to f$ faiblement dans $L^p$ si et seulement si $\varphi_g(f_n) \to \varphi_g(f)$ pour tout $g \in L^q$).

2. Montrer que $\|f\|_p \le \liminf_{n \to +\infty} \|f_n\|_p$ si $f_n \to f$ faiblement dans $L^p$, quand $n \to +\infty$. [Utiliser (6.72) avec un choix convenable de $g$.]

**Corrigé** – Soient $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^p$ et $f \in L^p$ t.q. $f_n \to f$ faiblement dans $L^p$, quand $n \to +\infty$. On confond $f$ avec l'un de ses représentant et on pose $g = |f|^{p-1} \text{sign}(f)$. La fonction est mesurable (comme produit de fonctions mesurables). On a aussi $g \in L^q$ et, comme $q(p-1) = p$, $\|g\|_q^q = \|f\|_p^p$. On en déduit, par l'inégalité de Hölder :

$$ \int f_n g dm \le \|f_n\|_p \|g\|_q = \|f_n\|_p \left( \int |f|^p dm \right)^{1-\frac{1}{p}}. $$

Quand $n \to +\infty$, on obtient :

$$ \int |f|^p dm = \int f g dm = \lim_{n \to +\infty} \int f_n g dm \le \liminf_{n \to +\infty} \|f_n\|_p (\int |f|^p dm)^{1-\frac{1}{p}}, $$

et donc $\|f\|_p \le \liminf_{n \to +\infty} \|f_n\|_p$.
On suppose dans les questions suivantes (questions 3 à 7) que :

$$m(E) < \infty, f_n \to f \text{ p.p., } \exists C \text{ t.q. } \|f_n\|_p \le C, \forall n \in \mathbb{N}. \quad (6.73)$$

3. On suppose, dans cette question, que $p > 1$.

(a) Soit $N \in \mathbb{N}$ et $g \in L^q$ t.q. $g = 0$ p.p. sur $E_N^c$ avec $E_N = \bigcap_{n \ge N}\{x \in E; |f_n(x) - f(x)| \le 1\}$. Montrer que $\int f_n g dm \to \int fg dm$, quand $n \to +\infty$.

**Corrigé** – Pour définir $E_N$, on a, comme d'habitude, confondu les fonctions $f_n$ et $f$ avec l'un de leurs représentants.

On remarque que $g(f_n - f) \to 0$ p.p. et que, pour $n \ge N$, $|g(f_n - f)| \le |g| \text{ p.p.}$. Comme $g \in L^q \subset L^1$ (car $m(E) < \infty$), on peut appliquer le théorème de convergence dominée. Il donne que $g(f_n - f) \to 0$ dans $L^1$ et donc :

$$\int g f_n dm \to \int g f dm, \text{ quand } n \to +\infty.$$

(b) Montrer que $f_n \to f$ faiblement dans $L^p$. [Pour $g \in L^q$, introduire $g_N = g1_{E_N}$.]

**Corrigé** – Soit $g \in L^q$ (on confond $g$ avec l'un de ses représentants). On pose $g_N = g1_{E_N}$ avec $E_N = \bigcap_{n \ge N}\{x \in E; |f_n(x) - f(x)| \le 1\}$. On a alors :

$$\int f_n g dm - \int fg dm = \int f_n (g - g_N) dm + \int f_n g_N dm - \int fg_N dm + \int f (g_N - g) dm. \quad (6.74)$$

Comme $g_N \to g$ p.p. quand $N \to \infty$ (car $f_n \to f$ p.p. quand $n \to +\infty$), et que $|g_N| \le |g| \text{ p.p. (pour tout N), on peut appliquer le théorème de convergence dominée dans } L^q \text{ (théorème 6.9) car } g \in L^q \text{ et } q < \infty \text{ (on a besoin ici de l'hypothèse } p > 1\text{).}$
Il donne :

$$g_N \to g \text{ dans } L^q, \text{ quand } N \to \infty. \quad (6.75)$$

Soit $\varepsilon > 0$. En utilisant l'inégalité de Hölder, l'hypothèse $\|f_n\|_p \le C$ et (6.75), on peut donc choisir $N$ t.q. :

$$\left| \int f_n (g_N - g) dm \right| \le \|f_n\|_p \|g_N - g\|_q \le C \|g_N - g\|_q \le \varepsilon, \quad (6.76)$$

pour tout $n \in \mathbb{N}$ et :

$$\left| \int f (g_N - g) dm \right| \le \|f\|_p \|g_N - g\|_q \le \varepsilon, \quad (6.77)$$

Puis, N étant fixé, la question précédente nous donne, quand $n \to +\infty$,

$$\int f_n g_N dm \to \int fg_N dm.$$

Il existe donc $n(\varepsilon)$ t.q.

$$n \ge n(\varepsilon) \Rightarrow \left| \int f_n g_N dm - \int fg_N dm \right| \le \varepsilon. \quad (6.78)$$
Avec (6.76), (6.77) et (6.78), on déduit alors de (6.74) :

$$n \ge n(\varepsilon) \Rightarrow \left| \int f_n g dm - \int f g dm \right| \le 3\varepsilon.$$

Ce qui prouve bien la convergence faible de $f_n$ vers $f$ dans $L^p$.

(c) Donner un exemple avec (E, T, m) = ()0, 1[, B()0, 1[], λ) pour lequel $f_n \to f$ dans $L^p$.

**Corrigé** – On prend $f_n = n^{\frac{1}{p}} 1_{]0, \frac{1}{n}]}$. On a $\|f_n\|_p = 1$, $f_n \to 0$ p.p. et $f_n \to 0$ dans $L^p$ (quand $n \to +\infty$).

4. On suppose, dans cette question, que $p = 1$. Montrer que $\|f\|_1 \le \liminf_{n \to +\infty} \|f_n\|_1$. Donner un exemple avec (E, T, m) = ()0, 1[, B()0, 1[], λ) pour lequel $f_n \to f$ faiblement dans $L^1$, quand $n \to +\infty$.

**Corrigé** – Le fait que $\|f\|_1 \le \liminf_{n \to +\infty} \|f_n\|_1$ est une conséquence immédiate du lemme de Fatou, lemme 4.19 (en choisissant des représentants pour $f_n$ et $f$).

On peut prendre, comme exemple, $f_n = n1_{]0, \frac{1}{n}]}$. On a $f_n \to 0$ p.p., $\|f_n\|_1 = 1$ et $\int f_n \varphi dm \to 1 \ne 0$ si $\varphi = 1]_{0,1[}$ (donc $f_n \to 0$ faiblement dans $L^1$, quand $n \to +\infty$).

5. On suppose, dans cette question, que $p > 1$ et on prend $1 \le r < p$. Montrer que $f_n \to f$ dans $L^r$, quand $n \to +\infty$. [On pourra, par exemple, utiliser le théorème de Vitali pour la suite $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $g_n = |f_n - f|^r$.]

**Corrigé** – On pose $g_n = |f_n - f|^r$. On a $g_n \to 0$ p.p. et, pour tout $A \in T$, on obtient en utilisant l'inégalité de Hölder avec les fonctions $g_n$ et $1_A$ et les exposants $\frac{r}{p}$ et son conjugué :

$$\int_A g_n dm = \int_A |f_n - f|^r \le \left( \int_A |f_n - f|^p dm \right)^{\frac{r}{p}} (m(A))^{1-\frac{r}{p}} \\ \le \|f_n - f\|_p^r (m(A))^{1-\frac{r}{p}}.$$

On en déduit, comme $\|f_n\|_p \le C$ :

$$\int_A g_n dm \le (C + \|f\|_p)^r (m(A))^{1-\frac{r}{p}},$$

d'où l'on déduit que la suite $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est équi-intégrable. Le théorème de Vitali (théorème 4.51, voir aussi l'exercice 4.29) donne alors que $g_n \to 0$ dans $L^1$, d'où l'on conclut que $f_n \to f$ dans $L^r$, quand $n \to +\infty$.

6. Pour cette question, on retire dans (6.73) l'hypothèse $m(E) < \infty$ et on suppose que $p > 1$. Montrer que $f_n \to f$ faiblement dans $L^p$.

**Corrigé** – Il suffit ici de reprendre la même démonstration qu’à la question 3 avec $E_N$ remplacé par $\tilde{E}_N = E_N \cap A_N$ où $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$ est t.q. $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n = E$, $A_{n+1} \supset A_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $m(A_n) < \infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
7. Dans cette question, on conserve l'hypothèse (6.73) mais on ne suppose plus que $f \in L^p$. Montrer que $f$ appartient nécessairement à $L^p$.

**Corrigé** – Le fait que $f \in L^p$ est une conséquence immédiate du lemme de Fatou (appliqué à la suite $(|f_n|^p)_{n \in \mathbb{N}}$).

8. On prend maintenant (E, T, m) = ([0,1[, B([0,1[), λ) et on définit $f_n$, pour $n \in \mathbb{N}$ par $f_n = 1$ p.p. sur ]2k/n, (2k+1)/n[ pour $k \in \mathbb{N}$, (2k+1)/n ≤ 1 et $f_n = -1$ p.p. sur ]2k-1/n, 2k/n[ pour $k \in \mathbb{N}^*$, 2k/n ≤ 1. Montrer que $f_n \to 0$ faiblement dans $L^p$, pour tout $1 \le p < \infty$. [On pourra, par exemple, utiliser la densité de $C([0,1], \mathbb{R})$ dans $L^1$.]

**Corrigé** – On se limite à n pair (la démonstration pour n impair est similaire). On prend d'abord $\varphi \in C([0,1], \mathbb{R})$. On a alors :

$$ \int f_n \varphi d\lambda = \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \int_{\frac{2k}{n}}^{\frac{2k+1}{n}} (\varphi(x) - \varphi(x + \frac{1}{n}))dx. $$

On en déduit :

$$ \left| \int f_n \varphi d\lambda \right| \le \int_0^{1-\frac{1}{n}} \left| \varphi(x) - \varphi\left(x + \frac{1}{n}\right) \right| dx \to 0 \quad \text{quand } n \to +\infty. \quad (6.79) $$

Soit maintenant $\varphi \in L^1$. Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $\psi \in C([0,1], \mathbb{R})$ t.q. $\|\varphi - \psi\|_1 \le \varepsilon$. On a alors :

$$ \left| \int f_n \varphi d\lambda \right| \le \left| \int f_n \psi d\lambda \right| + \left| \int f_n (\psi - \varphi) d\lambda \right| \le \int_0^1 f_n \psi d\lambda \rvert + \varepsilon. $$

Comme $\psi \in C([0,1], \mathbb{R})$, on peut utiliser (6.79) (avec $\psi$ au lieu de $\varphi$). Il existe donc $n(\varepsilon)$ t.q. $\left| \int_0^1 f_n \psi d\lambda \right| \le \varepsilon$ pour $n \ge n(\varepsilon)$, et donc :

$$ n \ge n(\varepsilon) \Rightarrow \left| \int f_n \varphi d\lambda \right| \le 2\varepsilon, $$

ce qui donne bien $\int f_n \varphi d\lambda \to 0$, quand $n \to +\infty$, pour tout $\varphi \in L^1$.

On en déduit bien que $f_n \to 0$ faiblement dans $L^p$ pour tout $1 \le p < \infty$ en utilisant la question 1 et le fait que $L^q \subset L^1$ pour tout $q \ge 1$.

**Exercice 6.47 (Borne dans $L^1 \Leftrightarrow convergence faible)** Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite de fonctions de ]0,1[ dans $\mathbb{R}$ définie par $f_n(x) = (n - n^2x)^+$. On note $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur la tribu $B(\mathbb{R})$ des boréliens de ]0,1[, et $L^p = L_{\mathbb{R}}^p([0,1[, B(\mathbb{R}), \lambda)$ pour $p \in [1, +\infty[$.

1. Montrer que la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $L^1$.

2. Montrer que la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ n'est pas bornée dans $L^p$ pour $p > 1$.

3. Y a-t'il convergence simple, convergence p.p., convergence uniforme, convergence en mesure, convergence dans $L^p$ ($p \in [1, +\infty[$) de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ (justifier vos réponses...) ?
4. Montrer que pour toute fonction $\varphi \in C([0, 1], \mathbb{R})$, on a $\int f_n \varphi d\lambda \to \varphi(0)$. En déduire que la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ne converge pas faiblement dans $L^1$ (utiliser le fait que la mesure de Dirac n'est pas une mesure de densité, cf exercice 5.1).

**Exercice 6.48 (Convergence forte contre convergence faible)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré. Pour $r \in [1, +\infty]$, on note $L^r$ l'espace $L^r(\mathbb{R}, (E, T, m))$.

Soit $p \in [1, \infty[$ et $q$ l'exposant conjugué de $p$. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^p$, $u \in L^p$, $(v_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^q$ et $v \in L^q$.

On suppose que $u_n \to u$ faiblement dans $L^p$ et $v_n \to v$ dans $L^q$, quand $n \to +\infty$. Montrer que $u_n v_n \to uv$ faiblement dans $L^1$, quand $n \to +\infty$.

**Exercice 6.49 (Convergence faible et non linéarité)** On désigne par $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur les boréliens de $]0, 1[$, par $L^p$ l'espace $L^p()0, 1[$, $B()0, 1[$, $\lambda$) et par $\mathcal{L}^p$ l'espace $\mathcal{L}^p()0, 1[$, $B()0, 1[$, $\lambda$).

1. (Unicité de la limite faible). Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^1$ et $u, v \in L^1$. On suppose que $u_n \to u$ faiblement dans $L^1$, quand $n \to +\infty$, (c'est-à-dire que $T(u_n) \to T(u)$ pour toute application T linéaire continue de $L^1$ dans $\mathbb{R}$) et que $u_n \to v$ faiblement dans $L^1$.

(a) Montrer que $\int (u - v) \varphi d\lambda = 0$, pour tout $\varphi \in L^\infty$.

**Corrigé** – Soit $\varphi \in L^\infty$. On sait que l'application $w \mapsto \int w \varphi d\lambda$ est une application T linéaire continue de $L^1$ dans $\mathbb{R}$ (voir la section 6.3). On a donc, quand $n \to +\infty$ :

$$ \int u_n \varphi d\lambda \to \int u \varphi d\lambda \text{ et } \int u_n \varphi d\lambda \to \int v \varphi d\lambda. $$

On en déduit bien que $\int u \varphi d\lambda = \int v \varphi d\lambda \text{ c'est-à-dire } \int (u - v) \varphi d\lambda = 0$.

(b) Montrer que $u = v$ p.p.. [Choisir convenablement $\varphi$ dans l'égalité précédente.]

**Corrigé** – On choisit des représentants de $u$ et $v$ et on prend $\varphi = \text{sign}(u - v)1\{u \neq v\}$. La fonction $\varphi$ est mesurable (et même étagée) et bornée, donc $\varphi \in \mathcal{L}^\infty$ (ou $\varphi \in L^\infty$ avec la confusion habituelle). Ce choix de $\varphi$ dans la question précédente donne alors $\|u - v\|_1 = 0$ et donc $u = v$ p.p..

2. (Convergence forte contre convergence faible) Soit $(v_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^\infty$ et $v \in L^\infty$. On suppose qu'il existe $C > 0$ t.q. $\|v_n\|_\infty \le C$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et que $v_n \to v$ p.p., quand $n \to +\infty$.

(a) Montrer que $v_n \to v$ dans $L^p$, quand $n \to +\infty$, pour tout $1 \le p < \infty$.

**Corrigé** – Ceci est une conséquence immédiate du théorème de convergence dominée dans $L^p$ (pour $1 \le p < \infty$, théorème 6.9). En effet, on a $v_n \to v$ p.p., $|v_n| \le C1_{]0,1[}$ p.p. (pour tout $n \in \mathbb{N}$) et la fonction $C1_{]0,1[}$ appartient à $L^p$.
(b) Donner un exemple pour lequel $v_n \not\to v$ dans $L^\infty$.

**Corrigé** – Il suffit de prendre $v_n = 1_{[0, \frac{1}{n}]}$ (plus précisément, $v_n$ est l’élément de $L^\infty$ donc $1_{[0, \frac{1}{n}]}$ est l’un des représentants) et $v = 0$. On a $(v_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^\infty$, $\|v_n\|_\infty = 1$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n \to 0 \text{ p.p. et } v_n \not\to 0$ dans $L^\infty$ (quand $n \to +\infty$),

(c) Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^1$ et $u \in L^1$. On suppose que $\|u_n\|_\infty \le C$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et que $u_n \to u$ faiblement dans $L^1$, quand $n \to +\infty$. Montrer que $\int u_n v_n d\lambda \to \int u v d\lambda$, quand $n \to +\infty$. [Écrire $v_n = v + (v_n - v)$.]

**Corrigé** – On remarque que

$$ \int u_n v_n d\lambda = \int u_n v d\lambda + \int u_n (v_n - v) d\lambda. \quad (6.80) $$

Comme $u_n \to u$ faiblement dans $L^1$, on a $\int u_n v d\lambda \to \int u v d\lambda$, quand $n \to +\infty$.

Le deuxième terme de (6.80) tend vers $0$ car $\left|\int u_n (v_n - v) d\lambda\right| \le \|u_n\|_\infty \|v_n - v\|_1 \le C \|v_n - v\|_1 \to 0$ quand $n \to +\infty$, puisqu'on a montré précédemment que $v_n \to v$ dans $L^1$.

On en déduit bien que $\int u_n v_n d\lambda \to \int u v d\lambda$, quand $n \to +\infty$.

On se donne maintenant une fonction $\varphi \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

3. Soit $u \in L^\infty$. Montrer que $\varphi \circ u \in L^\infty$.

**Corrigé** – Comme $\varphi \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, $\varphi$ est borélienne (c'est-à-dire mesurable de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}$ étant muni de la tribu de Borel). On en déduit que $\varphi \circ u$ est mesurable comme composée de fonctions mesurables.

– On note $M = \max\{|\varphi(s)|, |s| \le \|u\|_\infty\}$. On a $M < \infty$ (car $\varphi$ est continue sur le compact $[-\|u\|_\infty, \|u\|_\infty]$) et $|\varphi \circ u| \le M \text{ p.p. car } |u| \le \|u\|_\infty \text{ p.p.}$. On en déduit que $\varphi \circ u \in L^\infty$ et $\|\varphi \circ u\|_\infty \le M$.

4. Soit $u \in L^\infty$ et $v, w \in u$. Montrer que $\{h \in L^\infty ; h = \varphi \circ v \text{ p.p.}\} = \{h \in L^\infty ; h = \varphi \circ w \text{ p.p.}\}$.

**Corrigé** – On a $v = w \text{ p.p. et donc } \varphi \circ v = \varphi \circ w \text{ p.p.}$, puisque, pour $x \in ]0, 1[$, $u(x) = v(x)$ implique $\varphi(u(x)) = \varphi(v(x))$.

Si $h : ]0, 1[ \to \mathbb{R}$, on a donc :

$$ h = \varphi \circ u \text{ p.p.} \Leftrightarrow h = \varphi \circ v \text{ p.p.}, $$

ce qui donne bien $\{h \in L^\infty ; h = \varphi \circ v \text{ p.p.}\} = \{h \in L^\infty ; h = \varphi \circ w \text{ p.p.}\}$.

Grâce aux 2 questions précédentes, pour $u \in L^\infty$, on pose, si $v \in u$ :

$$ \varphi(u) = \{h \in L^\infty ; h = \varphi \circ v \text{ p.p.}\}, \text{ de sorte que } \varphi(u) \in L^\infty. $$

On se donne maintenant $(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^\infty$. On suppose qu'il existe $C > 0$ t.q. $\|u_n\|_\infty \le C$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et qu'il existe $u \in L^1$ et $f : ]0, 1[ \to \mathbb{R}$ t.q. :
$-u_n \to u$ faiblement dans $L^1$, quand $n \to +\infty,$

$-\varphi(u_n) \to f$ p.p., quand $n \to +\infty.$

Le but de l'exercice est de comparer $f$ et $\varphi(u)$.

5. Montrer que $|\int u_1 A d\lambda| \le C\lambda(A)$ pour tout $A \in B(]0, 1[)$. Montrer que $u \in L^\infty$ que $\|u\|_{\infty} \le C$.

**Corrigé** – Soit $A \in B(]0, 1[)$. De l'hypothèse $\|u_n\|_{\infty} \le C$, on déduit :

$$ \left| \int u_n 1_A d\lambda \right| \le \|u_n\|_{\infty} \|1_A\|_1 \le C\lambda(A). \qquad (6.81) $$

Comme $u_n \to u$ faiblement dans $L^1$ quand $n \to +\infty$, on a $\int u_n 1_A d\lambda \to \int u_1 1_A d\lambda$ quand $n \to +\infty$. On déduit donc de (6.81), quand $n \to +\infty$ :

$$ \left| \int u_1 A d\lambda \right| \le C\lambda(A). \qquad (6.82) $$

On choisit alors un représentant de $u$ et on prend dans (6.82), $A = A_+ = \{u > C\}$. Si $\lambda(A_+) > 0$, on a $\int u_1 A_+ d\lambda > C\lambda(A_+)$, en contradiction avec (6.82). Ce qui prouve que $\lambda(A_+) = 0$.

On prend ensuite $A = A_-$ = $\{u < -C\}$. Si $\lambda(A_-) > 0$, on a

$$ \left| \int u_1 A_- d\lambda \right| = \int (-u) 1_{A_-} d\lambda > C\lambda(A_-), $$

en contradiction avec (6.82). Ce qui prouve que $\lambda(A_-) = 0$.

On a donc $\lambda(\{|u| > C\}) = \lambda(A_+) + \lambda(A_-) = 0$, ce qui donne $u \in L^\infty$ et $\|u\|_{\infty} \le C$.

6. On suppose, dans cette question, que $\varphi$ est affine (c'est-à-dire qu'il existe $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ t.q. $\varphi(s) = \alpha s + \beta$ pour tout $s \in \mathbb{R}$). Montrer que $f = \varphi(u)$ p.p.. [Utiliser, en particulier, la question 1.]

**Corrigé** – On rappelle d'abord (voir la section 6.3) que si $(w_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^1$ et $w \in L^1$, la suite $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend vers $w$ faiblement dans $L^1$ (quand $n \to +\infty$) si et seulement $\int w_n \phi d\lambda \to \int w \phi d\lambda$ pour tout $\phi \in L^\infty$.

Soit $\phi \in L^\infty$, on a $\int \varphi(u_n) \phi d\lambda = \int (\alpha u_n + \beta) \phi d\lambda = \alpha \int u_n \phi d\lambda + \beta \int \phi d\lambda$. Comme $u_n \to u$ faiblement dans $L^1$, on en déduit que $\int \varphi(u_n) \phi d\lambda \to \alpha \int u \phi d\lambda + \beta \int \phi d\lambda = \int \varphi(u) \phi d\lambda$ (quand $n \to +\infty$). Ceci montre que $\varphi(u_n) \to \varphi(u)$ faiblement dans $L^1$ quand $n \to +\infty$.

On utilise maintenant le fait que $\varphi(u_n) \to f$ p.p.. En notant $M = \max\{|\varphi(s)|, |s| \le C\}$, on a $M < \infty$ et $|\varphi(u_n)| \le M$ p.p. (car $|u_n| \le C$ p.p.) pour tout $n \in \mathbb{N}$. On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée (car les fonctions constantes sont intégrables, sur $]0, 1[, B(]0, 1[, \lambda)$). Il donne $f \in L^1$ et $\varphi(u_n) \to f$ dans $L^1$ quand $n \to +\infty$. On en déduit alors aussi que $\varphi(u_n) \to f$ faiblement dans $L^1$ quand $n \to +\infty$ (il suffit de remarquer que $|\int \varphi(u_n) \phi d\lambda - \int f \phi d\lambda| \le \|\varphi(u_n) - f\|_1 \|\phi\|_{\infty} \to 0$, quand $n \to +\infty$, pour tout $\phi \in L^\infty$).
Par la question 1 (unicité de la limite faible), on peut donc conclure que $f = \varphi(u)$ p.p..

7. On suppose, dans cette question, que $\varphi$ est injective. Montrer qu'il existe $v \in L^\infty$ t.q. $u_n \to v$ p.p. quand $n \to +\infty$. En déduire que $v = u$ et $f = \varphi(u)$ p.p..

**Corrigé** – Pour chaque $n \in \mathbb{N}$, on choisit un représentant de $u_n$, encore noté $u_n$. Comme $|u_n| \le C$ p.p. (pour tout $n \in \mathbb{N}$) et $\varphi(u_n) \to f$ p.p., il existe $A \in B(]0, 1[)$ t.q. $\lambda(A) = 0$, $|u_n(x)| \le C$, pour tout $x \in A^c$ et tout $n \in \mathbb{N}$, et $\varphi(u_n(x)) \to f(x)$, quand $n \to +\infty$, pour tout $x \in A^c$.

Soit $x \in A^c$. La suite $(u_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ est incluse dans le compact $[-C, C]$. Soit a une valeur d'adhérence de cette suite (c'est-à-dire la limite d'une sous-suite convergente). Par continuité de $\varphi$, $\varphi(a)$ est alors une valeur d'adhérence de la suite $(\varphi(u_n(x)))_{n \in \mathbb{N}}$. Or, la suite $(\varphi(u_n(x)))_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $f(x)$. Donc, $\varphi(a) = f(x)$. Comme $\varphi$ est injective, ceci montre que la suite $(u_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ n'a qu'une seule valeur d'adhérence et donc qu'elle est convergente (on rappelle qu'une suite dans un compact, qui n'a qu'une seule valeur d'adhérence, est convergente). On pose alors $v(x) = \lim_{n \to +\infty} u_n(x)$.

On a ainsi défini $v$ p.p. (car $\lambda(A) = 0$), et on a $u_n \to v$ p.p.. On a aussi obtenu que $\varphi(v) = f$ p.p. (car $\varphi(v(x)) = f(x)$ pour tout $x \in A^c$).

Comme $|u_n| \le C$ p.p. (pour tout $n$), le théorème de convergence dominée donne que $u_n \to v$ dans $L^1$ (quand $n \to +\infty$). On en déduit, comme à la question précédente, que $u_n \to v$ faiblement dans $L^1$. La question 1 (unicité de la limite faible) donne alors $u = v$ p.p..

Enfin, on a déjà montré que $\varphi(v) = f$ p.p. et donc $\varphi(u) = f$ p.p..

8. (Astuce de Minty pour passer à la limite sur les non linéarités) On suppose, dans cette question, que $\varphi$ est croissante.

(a) Soit $v \in L^\infty$. Montrer que $\int (f - \varphi(v))(u-v)d\lambda \ge 0$. [Utiliser la croissance de $\varphi$ et la question 2 (c).]

**Corrigé** – Soit $v \in L^\infty$. Comme $\varphi$ est croissante, on a $(\varphi(u_n)-\varphi(v))(u_n-v) \ge 0$ p.p. et donc $\int (\varphi(u_n)-\varphi(v))(u_n-v)d\lambda \ge 0$.

On remarque maintenant que :

$$ - (\varphi(u_n) - \varphi(v)) \to (f - \varphi(v)) \text{ p.p. (quand } n \to +\infty\text{)} \text{ et } \|\varphi(u_n) - \varphi(v)\|_{\infty} \le \overline{M}_1 + \overline{M}_2 \text{ (pour tout } n \text{) avec } \overline{M}_1 = \max\{|\varphi(s)|, |s| \le C\} \text{ et } \overline{M}_2 = \max\{|\varphi(s)|, |s| \le \|v\|_{\infty}\} \text{ (pour tout } n \text{).} $$

$$ - (u_n - v) \to (u - v) \text{ faiblement dans } L^1 \text{ (quand } n \to +\infty \text{)} \text{ et } \|u_n - v\|_{\infty} \le C + \|v\|_{\infty}. $$

On peut utiliser la question 2 (c) et en déduire que $\int (\varphi(u_n) - \varphi(v))(u_n - v)d\lambda \to \int (f - \varphi(v))(u - v)d\lambda \text{ quand } n \to +\infty \text{ et donc :}$

$$ \int (f - \varphi(v))(u - v)d\lambda \ge 0. $$
(b) Soit $w \in L^\infty$. Montrer que $\int (f - \varphi(u)) w d\lambda \le 0$. [Utiliser la question précédente avec $v = u + (1/n)w$.]

**Corrigé** – La question précédente avec $v = u + (1/n)w$ donne :

$$ \int \left(f - \varphi\left(u + \frac{1}{n}w\right)\right) w d\lambda \le 0. $$

Comme $\varphi$ est continue, on a $\varphi(u + \frac{1}{n}w) \to \varphi(u)$ p.p. quand $n \to +\infty$. On a aussi $|\varphi(u + \frac{1}{n}w)| \le M$ p.p., pour tout $n \in \mathbb{N}$, avec $M = \max\{|\varphi(s)|, |s| \le \|u\|_\infty + \|w\|_\infty\}$. Le théorème de convergence dominée donne alors $(f - \varphi(u + \frac{1}{n}w)) \to (f - \varphi(u))$ dans $L^1$, quand $n \to +\infty$, et donc, comme $w \in L^\infty$ :

$$ \int (f - \varphi(u + \frac{1}{n}w)) w d\lambda \to \int (f - \varphi(u)) w d\lambda. $$

On en déduit que $\int (f - \varphi(u)) w d\lambda \le 0$.

(c) Montrer que $f = \varphi(u)$ p.p.:

**Corrigé** – On choisit des représentants de $f$ et $\varphi(u)$ et on pose :

$$ w = \operatorname{sign}(f - \varphi(u)) 1_{\{f \neq \varphi(u)\}}. $$

La question précédente donne alors, avec ce choix de $w$, $\|f - \varphi(u)\|_1 = 0$ et donc $f = \varphi(u)$ p.p.:

9. On définit $u_n$, pour $n \in \mathbb{N}$, par $u_n = 1$ p.p. sur $]2k/2n, (2k+1)/2n[$ pour $k \in \{0, \dots, n-1\}$, et $u_n = -1$ p.p. sur $]2k-1/2n, 2k/2n[$ pour $k \in \{1, \dots, n\}$.

(a) Montrer que $\int u_n \varphi d\lambda \to 0$, quand $n \to +\infty$, pour tout $\varphi \in C([0, 1], \mathbb{R})$.

**Corrigé** – Cette question et la suivante ont déjà faites dans l'exercice 6.46. On reprend la même démonstration.

Soit $\varphi \in C([0, 1], \mathbb{R})$. On a :

$$ \int u_n \varphi d\lambda = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} (\varphi(x) - \varphi(x + \frac{1}{2n})) dx. $$

On en déduit, grâce à la continuité uniforme de $\varphi$ :

$$ \left| \int u_n \varphi d\lambda \right| \le \int_0^{1-\frac{1}{2n}} \left| \varphi(x) - \varphi\left(x + \frac{1}{2n}\right) \right| dx \to 0 \quad \text{quand } n \to +\infty. \quad (6.83) $$

(b) Montrer que $u_n \to 0$ faiblement dans $L^1$, quand $n \to +\infty$. [On pourra, par exemple, utiliser la densité de $C([0, 1], \mathbb{R})$ dans $L^1$.] Montrer que $u_n \not\to 0$ dans $L^1$, quand $n \to +\infty$.
**Corrigé** – Soit $\phi \in L^1$. Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $\psi \in C([0, 1], \mathbb{R})$ t.q. $\|\phi - \psi\|_1 \le \varepsilon$. On a alors :

$$|\int u_n \phi d\lambda| \le |\int u_n \psi d\lambda| + |\int u_n (\psi - \phi) d\lambda| \le |\int_0^1 u_n \psi d\lambda| + \varepsilon.$$

Comme $\psi \in C([0, 1], \mathbb{R})$, on peut utiliser la question précédente. Il existe donc $n(\varepsilon)$ t.q. $|\int_0^1 u_n \psi d\lambda| \le \varepsilon$ pour $n \ge n(\varepsilon)$, et donc :

$$n \ge n(\varepsilon) \Rightarrow |\int u_n \phi d\lambda| \le 2\varepsilon.$$

Ceci donne que $\int u_n \phi d\lambda \to 0$, quand $n \to +\infty$, pour tout $\phi \in L^1$.

On en déduit bien que $u_n \to 0$ faiblement dans $L^1$ car $L^\infty \subset L^1$.

D'autre part, $u_n \not\to 0$ dans $L^1$, quand $n \to +\infty$, car $\|u_n\|_1 = 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

(c) Donner un exemple de fonction $\varphi \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ pour lequel $\varphi(u_n) \to f$ p.p. et $f \neq \varphi(0)$ p.p.. (et donc $\varphi$ n'est pas croissante et n'est pas injective).

**Corrigé** – Il suffit de prendre $\varphi(s) = s^2$ pour tout $s \in \mathbb{R}$. On a alors $\varphi(u_n) = 1$ p.p. pour tout $n \in \mathbb{N}$ et donc $\varphi(u_n) \to f$ p.p. avec $f = 1$ p.p. alors que $\varphi(0) = 0$ p.p..

(d) Donner un exemple de fonction $\varphi \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ croissante pour lequel $\varphi(u_n) \to f$ p.p. (et donc $f = \varphi(0)$ p.p., par la question 8, et $\varphi$ est non injective, par les questions 7 et 9 (b)).

**Corrigé** – Il suffit de prendre $\varphi(s) = 0$ pour tout $s \in \mathbb{R}$. On a alors $\varphi(u_n) = 0$ p.p. pour tout $n \in \mathbb{N}$ et donc $\varphi(u_n) \to f$ p.p. avec $f = \varphi(0) = 0$ p.p..

**Exercice 6.50 (Convergences faible et forte dans $L^1$)** Soit $(X, T, m)$ un espace mesuré fini. Pour $p \in [1, \infty]$, on note $L^p$ l'espace $L^p(X, T, m)$. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset L^1$, $f \in L^1$ et $C \in \mathbb{R}$. On suppose que

- $f_n \to f$ faiblement dans $L^1$, quand $n \to +\infty$ (c'est-à-dire que $\int f_n g dm \to \int f g dm$ pour tout $g \in L^\infty$).

- Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n \ge C$ p.p..

1. Montrer que $f \ge C$ p.p..

**Corrigé** – Comme d'habitude, on choisit des représentants pour $f$ et $f_n$, $n \in \mathbb{N}$. On pose $g = 1_A$ avec $A = \{f < C\}$. Comme $g \in L^\infty$, on a

$$\int f_n g dm \to \int f g dm, \text{ quand } n \to +\infty. \qquad (6.84)$$
Mais, comme $f_n \ge C \text{ p.p.}$, on a $\int f_n g dm = \int_A f_n dm \ge C m(A)$. on en déduit, grâce à (6.84),

$$ \int_A f dm = \int f g \ge C m(A) = \int_A C dm. $$

On a donc $\int (C - f) 1_A dm \le 0$. Comme $(C - f) 1_A \ge 0$, on a donc nécessairement $(C - f) 1_A = 0 \text{ p.p.}$. Enfin, comme $f < C$ sur $A$, on a donc $m(A) = 0$, ce qui donne $f \ge C \text{ p.p.}$.

2. On suppose maintenant que $f = C \text{ p.p.}$.

Montrer que $f_n \to f$ dans $L^1$ (c'est-à-dire $\lim_{n \to +\infty} \|f_n - f\|_1 = 0$).

**Corrigé** – En prenant $g = 1_X$, on a $\int f_n dm \to \int f dm$, quand $n \to +\infty$. On remarque maintenant que $f_n \ge C = f \text{ p.p.}$. On a donc

$$ \|f_n - f\|_1 = \int |f_n - f| dm = \int (f_n - f) dm \to 0, \text{ quand } n \to +\infty. $$

**Exercice 6.51 (Dans $l^1$, convergence faible = convergence forte)**

On pose

$$ l^{\infty} = \{x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}; \sup\{|x_n|, n \in \mathbb{N}\} < \infty\}, $$

$$ l^1 = \{x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}; \sum_{n=0}^{\infty} |x_n| < \infty\}. $$

Pour $x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in l^\infty$ on pose $\|x\|_\infty = \sup\{|x_n|, n \in \mathbb{N}\}$.

Pour $x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in l^1$ on pose $\|x\|_1 = \sum_{n=0}^{\infty} |x_n|$.

1. Montrer que $l^\infty$ et $l^1$ sont des espaces de Banach.

2. Soit $y = (y_n)_{n \in \mathbb{N}} \in l^\infty$.

On définit $T_y : l^1 \to \mathbb{R}$ par

$$ T_y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x_n y_n, \forall x \in l^1. $$

(Remarquer que la série $\sum_{n=0}^{\infty} x_n y_n$ est bien convergente, pour tout $x \in l^1$.)

Montrer que $T_y \in (l^1)'$, et que $\|T_y\|(l^1)' = \|y\|_\infty$.

3. Soit $T \in (l^1)'$. Montrer qu'il existe $y \in l^\infty$ tel que $T = T_y$.

[On pourra poser $y_n = T(e^{(n)}$), avec $e^{(n)} = (\delta_{n,i})_{i \in \mathbb{N}}$.]

4. Soit $(x^{(n)})_{n \in \mathbb{N}} \subset l^1$ une suite telle que

i) $x^{(n)} = (x_i^{(n)})_{i \in \mathbb{N}}$, $x_i^{(n)} \to 0$, quand $n \to \infty$, pour tout $i \in \mathbb{N}$.

ii) $\|x^{(n)}\|_1 = 1$, pour tout $n \in \mathbb{N}$.
a. Montrer que l'on peut extraire de la suite $(x^{(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ une sous suite $(x^{(n_k)})_{k \in \mathbb{N}}$ et trouver une suite $(\alpha_k)_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{N}$ telles que :

$$ \alpha_k < a_{k+1}, \sum_{i=0}^{\alpha_k} |x_i^{(n_k)}| \le \frac{1}{5}, \sum_{i=\alpha_k+1}^{\alpha_{k+1}} |x_i^{(n_k)}| \ge \frac{3}{5}, \sum_{i=\alpha_{k+1}+1}^{\infty} |x_i^{(n_k)}| \le \frac{1}{5}, \forall k \in \mathbb{N}. $$

b. Montrer qu'il existe $y \in l^\infty$ telle que $T_y(x^{(n_k)}) \ge \frac{1}{5}$, pour tout $k \in \mathbb{N}$ ($((x^{(n_k)})_{k \in \mathbb{N}})$ donnée en a.).

5. Soient $(x^{(n)})_{n \in \mathbb{N}} \subset l^1$ et $x \in l^1$. Montrer que $x^{(n)} \to x$ faiblement dans $l^1$ (c'est-à-dire $T(x^{(n)}) \to T(x)$ pour tout $T \in (l^1)^{'}$) si et seulement si $x^{(n)} \to x$ dans $l^1$.

**Exercice 6.52 (Convergence étroite de mesures)** Soit $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de mesures finies sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ (on rappelle que “$m_n$ finie” signifie que “$m_n(\mathbb{R}) < \infty$”) et $m$ une mesure finie sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. On rappelle que $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \subset \mathcal{L}^1_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m_n)$, pour tout $n \in \mathbb{N}$, et que $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \subset \mathcal{L}^1_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m)$.

On suppose que :

$$ \int g dm_n \to \int g dm, \text{ pour tout } g \in C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R}). $$

Soit $f \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. On ne suppose pas que $f$ est bornée, mais on suppose que $f \in \mathcal{L}^1_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. On pose $\alpha = \sup_{n \in \mathbb{N}} m_n(\mathbb{R})$. Montrer que $\alpha < \infty$.

**Corrigé** – La fonction constante et égale à 1 appartient à $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. L'hypothèse donne donc $m_n(\mathbb{R}) \to m(\mathbb{R})$, quand $n \to +\infty$. La suite $(m_n(\mathbb{R}))_{n \in \mathbb{N}}$ est donc bornée (car convergente dans $\mathbb{R}$), ce qui donne $\alpha < \infty$.

2. On suppose, dans cette question, que :

$$ \beta = \sup_{n \in \mathbb{N}} \int |f|^2 dm_n < \infty. $$

(a) Soit $\varphi$ une fonction continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, à support compact et t.q. $0 \le \varphi(x) \le 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Montrer qu'il existe $C \in \mathbb{R}$, ne dépendant que de $\alpha$ et $\beta$ (définis ci-dessus), t.q. :

$$ \int |f| \varphi dm \le C. $$
**Corrigé** – En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a :

$$ \int |f|\varphi dm_n \le (\int f^2 dm_n)^{\frac{1}{2}} (\int \varphi^2 dm_n)^{\frac{1}{2}} \le \beta^{\frac{1}{2}} m_n(\mathbb{R})^{\frac{1}{2}} \le (\alpha\beta)^{\frac{1}{2}}. $$

Comme $|f|\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \subset C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, l'hypothèse donne

$$ \int |f|\varphi dm = \lim_{n \to +\infty} \int |f|\varphi dm_n. $$

On déduit donc de la majoration précédente que $\int |f|\varphi dm \le (\alpha\beta)^{\frac{1}{2}}$.

(b) Montrer que $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m)$.

**Corrigé** – On définit $\varphi_1$ en posant :

$$ \begin{align*} \varphi_1(x) &= 1, \text{ si } 0 \le x \le 1, \\ \varphi_1(x) &= 2-x, \text{ si } 1 < x \le 2, \\ \varphi_1(x) &= 0, \text{ si } 2 < x, \\ \varphi_1(x) &= \varphi_1(-x), \text{ si } x < 0. \end{align*} $$

Puis, pour $p \ge 2$, $\varphi_p(x) = \varphi_1(\frac{x}{p})$ pour $x \in \mathbb{R}$.

La question précédente donne $\int |f|\varphi_p dm \le (\alpha\beta)^{\frac{1}{2}}$ pour tout $p \ge 1$. Comme la suite $(\varphi_p)_{p \ge 1}$ converge simplement et en croissant vers la fonction constante égale à 1, le théorème de convergence monotone donne que $\int |f| dm \le (\alpha\beta)^{\frac{1}{2}}$ et donc que $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m)$.

(c) Montrer que $\int f dm_n \to \int f dm$, quand $n \to +\infty$.

**Corrigé** – On utilise encore la suite $(\varphi_p)_{p \ge 1}$ définie à la question précédente et on remarque que, pour tout $p \ge 1$,

$$ \begin{aligned} \left| \int f dm_n - \int f dm \right| \le \int |f|(1 - \varphi_p) dm_n + \int |f|(1 - \varphi_p) dm \\ + \left| \int f \varphi_p dm_n - \int f \varphi_p dm \right|. \end{aligned} \quad (6.85) $$

Soit $\varepsilon > 0$. Pour tout $p \ge 1$, on a $|f|(1 - \varphi_p) \le |f|$ p.p.. Comme $(1 - \varphi_p) \to 0$ p.p. et $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m)$, on peut appliquer le théorème de convergence dominée. Il donne $\int |f|(1 - \varphi_p) dm \to 0$ quand $p \to \infty$. Il existe donc $p_0 \ge 1$ t.q.

$$ p \ge p_0 \Rightarrow \int |f|(1 - \varphi_p) dm \le \varepsilon. $$

En utilisant encore le théorème de convergence dominée (les constantes étant intégrables pour la mesure $m$), il existe aussi $p_1 \ge 1$ t.q.

$$ p \ge p_1 \Rightarrow \beta \int (1 - \varphi_p) dm < \varepsilon^2. $$

On choisit maintenant $p = \max(p_0, p_1)$. Comme $(1 - \varphi_p) \in C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, on a donc $\int (1 - \varphi_p) dm_n \to \int (1 - \varphi_p) dm$ quand $n \to +\infty$. Il existe donc $n_0$ t.q.

$$ n \ge n_0 \Rightarrow \beta \int (1 - \varphi_p) dm_n < \varepsilon^2. $$
En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz et le fait que $(1 - \varphi_p)^2 \le (1 - \varphi_p)$, on en déduit, pour $n \ge n_0$,

$$ \int |f|(1 - \varphi_p)dm_n \le \beta^{\frac{1}{2}} \left( \int (1 - \varphi_p)dm_n \right)^{\frac{1}{2}} \le \varepsilon. $$

Enfin, comme $f\varphi_p \in C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, on a $\int f\varphi_p dm_n \to \int f\varphi_p dm$ quand $n \to +\infty$. Il existe donc $n_1 > 0$ t.q.

$$ n \ge n_1 \Rightarrow \left| \int f \varphi_p dm_n - \int f \varphi_p dm \right| \le \varepsilon. $$

Finalement, avec ce choix de $p = \max(p_0, p_1)$, on déduit donc de (6.85) que

$$ n \ge \max(n_0, n_1) \Rightarrow \left| \int f dm_n - \int f dm \right| \le 3\varepsilon. $$

$$ \text{Ceci prouve bien que } \int f dm_n \to \int f dm, \text{ quand } n \to +\infty. $$

3. On ne suppose plus que $\sup_{n \in \mathbb{N}} \int |f|^2 dm_n < \infty$.

Montrer (en choisissant convenablement $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$, $m$ et $f$) que l'on peut avoir $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m)$.

**Corrigé** – On peut prendre, par exemple, $m_0 = 0$ et, pour $n \ge 1$, $m_n = \sum_{p=1}^n \frac{1}{p^2} \delta_p$ (où $\delta_p$ est la masse de Dirac en $p$). On prend $f$ définie par $f(x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Les hypothèses sur la suite $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $m$ sont bien vérifiées avec $m = \sum_{p=1}^\infty \frac{1}{p^2} \delta_p$.

On a bien $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^2(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m_n) \subset \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ mais $f \notin \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), m)$.

**Exercice 6.53 (Convergence faible et convexité)** Dans cet exercice $(E, T, m)$ est un espace mesuré et on suppose que la mesure $m$ est $\sigma$-finie.. Pour tout $1 \le r \le \infty$, on note $L^r$ l'espace $L^r(E, T, m)$ (et $\mathcal{L}^r$ l'espace $\mathcal{L}^r(E, T, m)$). Soit $1 \le p < \infty$, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite bornée de $L^p$ et $u \in L^p$ t.q. $u_n \to u$ faiblement dans $L^p$ quand $n \to +\infty$ (on rappelle que ceci signifie $T(u_n) \to T(u)$, quand $n \to +\infty$, pour tout $T$ dans $(L^p)'$, c'est-à-dire dans le dual topologique de $L^p$).

1. On pose $r = p/(p-1)$ si $p > 1$ et $r = \infty$, si $p = 1$. Montrer que, pour tout $v \in L^r$ :

$$ \int u_n v dm \to \int uv dm. $$

**Corrigé** – Soit $v \in L^r$. Pour tout $w \in L^p$, on pose $T(w) = \int w v dm$. Comme cela a été vu en cours, l'inégalité de Hölder (proposition 6.26) donne que $T \in (L^p)'$, on a donc $T(u) = \lim_{n \to +\infty} T(u_n)$.
Soit $\varphi \in C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. On suppose que $\varphi$ est strictement convexe (ce qui est équivalent à dire que $\varphi'$ est strictement croissante).

2. Soit $a \in \mathbb{R}$. Pour $x \in \mathbb{R}$, on pose $h_a(x) = \varphi(x) - \varphi(a) - \varphi'(a)(x-a)$.

(a) Montrer que $h_a(x) > 0$ si $x \neq a$.

**Corrigé** – Soit $x \neq a$. Le théorème des accroissements finis donne qu'il existe $y \in ]a, x[$, si $x > a$, ou $y \in ]x, a[$, si $x < a$, t.q. $\varphi(x) - \varphi(a) = \varphi'(y)(x-a)$. On a donc $h_a(x) = (\varphi'(y) - \varphi'(a))(x-a) > 0$.

(b) Montrer que $h_a$ est décroissante sur $]-\infty, a[$ et croissante sur $]a, \infty[$.

**Corrigé** – La fonction $h_a$ est de classe $C^1$ et, pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $h'_a(x) = \varphi'(x) - \varphi'(a)$. On a donc $h'_a(x) < 0$ si $x < a$ et $h'_a(x) > 0$ si $x > a$.

Soit $1 \le q < \infty$. On suppose maintenant que la suite $(\varphi(u_n))_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $L^q$ et qu'elle converge faiblement dans $L^q$, quand $n \to +\infty$, vers une (classe de) fonction(s) $\bar{\varphi} \in L^q$.

**Précision de notation** : On choisit un représentant pour $u_n$. On désigne alors par $\varphi(u_n)$ la fonction (de E dans $\mathbb{R}$) $x \mapsto \varphi(u_n(x))$. Cette fonction est supposée être dans $L^q$ et on l'identifie, comme d'habitude, avec l'élément de $L^q$ qu'elle représente.

Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $f_n = [\varphi(u_n) - \varphi(u) - \varphi'(u)(u_n - u)]$.

**Précision de notation** : Ici aussi, pour définir $f_n$, on choisit un représentant pour $u$. On désigne alors par $\varphi(u)$ et $\varphi'(u)$ les fonctions $x \mapsto \varphi(u(x))$ et $x \mapsto \varphi'(u(x))$.

3. Soit $k \in \mathbb{R}_+^*$ et $B \in \mathbb{T}$ t.q. $m(B) < \infty$. On pose $A_k = \{|u| \le k\}$ (c'est-à-dire $A_k = \{x \in \mathbb{E} \text{ t.q. } |u(x)| \le k\}$).

Montrer que $\int f_n 1_{A_k} 1_B dm \to \int (\bar{\varphi} - \varphi(u)) 1_{A_k} 1_B dm$, quand $n \to +\infty$.

**Corrigé** – la fonction $\varphi'$ est continue sur $\mathbb{R}$. Elle est donc bornée sur $[-k, k]$. On en déduit que $\varphi'(u) 1_{A_k} \in L^\infty$. Comme $m(B) < \infty$, on a donc $\varphi'(u) 1_{A_k} 1_B \in L^r$ pour tout $r \in [1, \infty]$ en particulier si $r$ est le conjugué de $p$ (c'est-à-dire $r = p/(p-1)$ si $p > 1$ et $r = \infty$, si $p = 1$). La question 1 donne donc :

$$ \int \varphi'(u) 1_{A_k} 1_B(u_n - u) dm \to 0, \text{ quand } n \to +\infty. $$

Puis, comme $\varphi(u_n) \to \bar{\varphi}$ faiblement dans $L^q$ et que $1_{A_k} 1_B \in L^r$ où $r$ est maintenant le conjugué de $q$, on a aussi :

$$ \int \varphi(u_n) 1_{A_k} 1_B dm \to \int \bar{\varphi} 1_{A_k} 1_B dm, \text{ quand } n \to +\infty. $$

Enfin, on remarque que $\varphi(u) 1_{A_k} 1_B \in L^1$ (car $m(B) < \infty$ et $\varphi$ bornée sur $[-k, k]$), ce qui donne finalement que $f_n 1_{A_k} 1_B \in L^1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et que $\int f_n 1_{A_k} 1_B dm \to \int (\bar{\varphi} - \varphi(u)) 1_{A_k} 1_B dm$, quand $n \to +\infty$.
4. Montrer $\bar{\varphi} \ge \varphi(u)$ p.p.. [Utiliser les questions 2(a) et 3.]

**Corrigé** – La question 2(a) donne que $f_n \ge 0$ p.p.. On a donc, grâce à la question 3, avec les notations de la question 3 :

$$ \int (\bar{\varphi} - \varphi(u)) 1_{A_k} 1_B dm \ge 0, \quad (6.86) $$

pour tout $k \in \mathbb{R}_+^*$ et tout $B \in \mathcal{T}$ t.q. $m(B) < \infty$.

On va déduire de (6.86) que $\bar{\varphi} \ge \varphi(u)$ p.p.. Pour cela, On choisit des représentants de $u$ et $\bar{\varphi}$ et on pose $N = \{\bar{\varphi} - \varphi(u) < 0\} = \{x \in E ; \bar{\varphi}(x) - \varphi(u(x)) < 0\}$.

Comme $m$ est $\sigma$-finie, il existe une suite $(E_p)_{p \in \mathbb{N}^*} \subset \mathcal{T}$ t.q. $E = \cup_{p \in \mathbb{N}^*} E_p$, $m(E_p) < \infty$ et $E_p \subset E_{p+1}$ pour tout $p \in \mathbb{N}^*$. Comme $u$ prend ses valeurs dans $\mathbb{R}$, on a donc aussi $E = \cup_{p \in \mathbb{N}^*} (E_p \cap A_p)$ et finalement $N = \cup_{p \in \mathbb{N}^*} N_p$, avec $N_p = N \cap E_p \cap A_p$.

Soit $p \in \mathbb{N}^*$, on prend $k = p$ et $B = E_p \cap N$ dans (6.86), de sorte que $A_k \cap B = A_p \cap E_p \cap N = N_p$. Comme $\bar{\varphi} - \varphi(u) < 0$ sur $N_p$, on obtient que $(\bar{\varphi} - \varphi(u)) 1_{N_p} = 0$ p.p. et donc $m(N_p) = 0$. Comme $N = \cup_{p \in \mathbb{N}^*} N_p$, on a finalement $m(N) = 0$ et donc $\bar{\varphi} \ge \varphi(u)$ p.p..

On suppose maintenant que $\bar{\varphi} = \varphi(u)$ p.p..

5. Soit $B \in \mathcal{T}$ t.q. $m(B) < \infty$, $k \in \mathbb{R}_+^*$ et $A_k = \{|u| \le k\}$. Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une sous-suite convergeant p.p. vers 0 sur $A_k \cap B$.

**Corrigé** – La question 2(a) donne $f_n \ge 0$ p.p. (pour tout $n$) et la question 3 donne que $f_n 1_{A_k \cap B} = f_n 1_{A_k} 1_B \in L^1$ et $\|f_n 1_{A_k} 1_B\|_1 = \int f_n 1_{A_k} 1_B dm \to 0$, quand $n \to +\infty$. D'après la réciproque partielle de convergence dominée (théorème 4.49), la suite $(f_n 1_{A_k} 1_B)_{n \in \mathbb{N}}$ admet donc une sous-suite convergeant p.p. vers 0. Autrement dit, il existe une application strictement croissante $\psi$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ t.q. $(f_{\psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge p.p. vers 0 sur $A_k \cap B$.

6. (Question plus difficile.) Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une sous-suite convergeant p.p. vers 0 sur E. [Utiliser le fait que la mesure m est $\sigma$-finie et un procédé diagonal.]

**Corrigé** – On reprend la suite $(E_p)_{p \in \mathbb{N}^*}$ introduite à la question 4 (c'est-à-dire $(E_p)_{p \in \mathbb{N}^*} \subset \mathcal{T}$ t.q. $E = \cup_{p \in \mathbb{N}^*} E_p$, $m(E_p) < \infty$ et $E_p \subset E_{p+1}$ pour tout $p \in \mathbb{N}^*$).

La question 5 donne que pour tout $p \in \mathbb{N}^*$, la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une sous-suite convergeant p.p. vers 0 sur $A_p \cap E_p$. Plus précisément, le raisonnement de la question 5 donne que de toute sous-suite de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ on peut extraire une sous-suite convergeant p.p. vers 0 sur $A_p \cap E_p$. Comme $E = \cup_{p \in \mathbb{N}^*} (A_p \cap E_p)$, le procédé diagonal va nous permettre ci après de construire une sous-suite de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ convergeant p.p. vers 0 sur E.

Dans une première étape, on montre par récurrence l'existence d'une suite d'applications strictement croissantes $(\psi_p)_{p \in \mathbb{N}^*}$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ t.q., pour tout $p \in \mathbb{N}^*$, la suite $(f_{\psi_1 \circ \dots \circ \psi_p(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge p.p. vers 0 sur $A_p \cap E_p$.

L'existence de $\psi_1$ découle de la question 5 avec $k = 1$ et $B = E_1$. Puis, pour $p \ge 1$, en supposant $\psi_1, \dots, \psi_p$ construits, on utilise le raisonnement de la question 5 avec la
suite $(f_{\psi_1 \circ \dots \circ \psi_p(n)})_{n \in \mathbb{N}}$, $k = p+1$ et $B = E_{p+1}$. On obtient l'existence d'une application strictement croissante $\psi_{p+1}$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ t.q. la suite $(f_{\psi_1 \circ \dots \circ \psi_{p+1}(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge p.p. vers 0 sur $A_{p+1} \cap E_{p+1}$, ce qui termine la récurrence.

La deuxième étape (procédé diagonal) consiste à définir $\psi$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ en posant

$$ \psi(n) = \psi_1 \circ \dots \circ \psi_n(n), \text{ pour } n \in \mathbb{N}. $$

La fonction $\psi$ est strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ et on va montrer que la suite $(f_{\psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge p.p. vers 0 (sur E). En effet, soit $p \in \mathbb{N}^*$. Pour $n > p$, on a :

$$ \psi(n) = \psi_1 \circ \dots \circ \psi_p(\psi_{p+1} \circ \dots \circ \psi_n(n)). $$

La suite $(f_{\psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ est donc extraite, à partir de $n = p$, de la suite $(f_{\psi_1 \circ \dots \circ \psi_p(n)})_{n \in \mathbb{N}}$. Ceci prouve que $(f_{\psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge p.p. vers 0 sur $A_p \cap E_p$. Comme $E = \bigcup_{p \in \mathbb{N}^*} (A_p \cap E_p)$, on en déduit bien que la suite $(f_{\psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge p.p. vers 0 (sur E).

7. Soit $x \in E$ t.q. $f_n(x) \to 0$, montrer que $u_n(x) \to u(x)$. [Soit $b \in \mathbb{R}$, limite d'une sous-suite de la suite $(u_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$. Utiliser la question 2 pour montrer que $b = u(x)$.]

**Corrigé** – Le point $x$ est ici fixé. On pose $a = u(x)$. On remarque alors que $f_n(x) = h_a(u_n(x))$ (avec $h_a$ défini à la question 2).

Si la suite $(u_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ est non bornée, on peut supposer, après extraction éventuelle d'une sous suite, que $u_n(x) \in [a-1, a+1]$ pour tout $n$ (on peut même supposer que $|u_n(x)| \to +\infty$ quand $n \to +\infty$). On a donc, grâce à la question 2 :

$$ f_n(x) = h_a(u_n(x)) \geq \min(h_a(a+1), h_a(a-1)) > 0, $$

en contradiction avec $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = 0$. La suite $(u_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ est donc bornée.

Si $b$ est une valeur d'adhérence de la suite $(u_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$, il existe une sous suite de la suite $(u_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$, encore notée $(u_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$, t.q. $b = \lim_{n \to +\infty} u_n(x)$. On a donc $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = h_a(b)$. Comme $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = 0$, la question 2(a) donne $b = a$. On a ainsi montré que $u(x)$ est la seule valeur d'adhérence de la suite bornée $(u_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$, ce qui prouve que $u(x) = \lim_{n \to +\infty} u_n(x)$.

8. Montrer que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une sous-suite convergeant p.p. vers $u$.

**Corrigé** – La question 6 montre que la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une sous-suite convergeant p.p. vers 0. Il existe donc $\psi$ strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ t.q. la suite $(f_{\psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge p.p. vers 0. Le raisonnement de la question 7 montre que

$$ x \in E, \lim_{n \to +\infty} f_{\psi(n)}(x) = 0 \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} u_n(x) = u(x). $$

On en déduit que $(u_{\psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge p.p. vers $u$.

9. On suppose ici que $p > 1$. Montrer que $u_n 1_B \to u 1_B$ dans $L^r$ pour tout $r \in [1, p[$ et tout $B \in T$ t.q. $m(B) < \infty$. [Utiliser l'exercice 6.18.]

**Corrigé** – On raisonne par l'absurde. On suppose qu'il existe $r \in [1, p[$ et $B \in T$ t.q. $m(B) < \infty$ et $u_n 1_B \not\to u 1_B$ dans $L^r$. Il existe alors $\varepsilon > 0$ et une sous-suite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, notée $(u_{g(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ (avec $g$ strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$), t.q.

$$ n \in \mathbb{N} \Rightarrow \|u_{g(n)} 1_B - u 1_B\|_r \geq \varepsilon. \quad (6.87) $$
La suite $(u_{g(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ vérifie les mêmes propriétés que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Par la question 8, on peut donc extraire de $(u_{g(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ une sous-suite convergeant p.p. vers $u$. Cette sous-suite, notée $(u_{g \circ \psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ (avec $\psi$ strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$), étant bornée dans $L^p$, la compacité $L^p \cdot L^q$ (exercice 6.18) donne que $u_{g \circ \psi(n)} 1_B \to u 1_B$ dans $L^r$, en contradiction avec (6.87).

10. En prenant $(E, T, m) = (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ et $\varphi(s) = s^2$, donner un exemple pour lequel $u_n \not\to u$ p.p. sur $E$ (toutefois, d'après la question 8, $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une sous-suite convergeant p.p. vers $u$).

**Corrigé** – Il suffit de reprendre l'exemple vu en cours pour montrer que la convergence $L^1$ n'entraîne pas la convergence p.p.

Pour $n \in \mathbb{N}$, il existe un unique $m \in \mathbb{N}^*$ t.q. $n \in \{\frac{m(m-1)}{2}, \dots, \frac{m(m+1)}{2} - 1\}$ et on a :

$$n = \frac{m(m-1)}{2} + k \text{ avec } k \in \{0, \dots, m-1\}.$$

On prend alors $u_n = 1_{\lfloor \frac{k}{m} \rfloor, \lfloor \frac{k+1}{m} \rfloor}$.

On remarque que $\|u_n\|_p^p = \frac{1}{m}$ pour $n \in \{\frac{m(m-1)}{2}, \dots, \frac{m(m+1)}{2} - 1\}$ et donc $u_n \to 0$ dans $L^p$ quand $n \to +\infty$. Comme $\varphi(u_n) = u_n$, on a aussi $\varphi(u_n) \to 0$ dans $L^q$ quand $n \to +\infty$ (et donc $\bar{\varphi} = \varphi(u)$). Enfin, pour cet exemple, $u_n \not\to 0$ p.p.

**Exercice 6.54 (Produit de convergences faibles)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré fini. Pour $p \in [1, \infty]$, on note $L_p^r(E, T, m)$. Soit $\alpha, \beta > 0$. Pour $a \in \mathbb{R}_+$, on définit $\psi_a$ de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}$ par $\psi_a(t) = (t^\alpha - a^\alpha)(t^\beta - a^\beta)$.

1. Soit $a \in \mathbb{R}_+$. Montrer que $\psi_a(t) > 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}_+$, $t \neq a$.

**Corrigé** – Les fonctions $t \mapsto t^\alpha$ et $t \mapsto t^\beta$ sont strictement croissantes de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}$. On en déduit bien que $\psi_a(t) > 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}_+$, $t \neq a$.

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions positives appartenant à $L^\infty$ et $l_\alpha, l_\beta, l_{\alpha+\beta} \in L^\infty$.

On suppose que la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $L^\infty$ et que $f_n^\gamma \to l_\gamma$ *-faiblement dans $L^\infty$, quand $n \to +\infty$, pour $\gamma = \alpha, \beta$ et $\gamma = \alpha + \beta$.

On rappelle que $f_n^\gamma \to l_\gamma$ *-faiblement dans $L^\infty$ signifie que $\int f_n^\gamma \varphi dm \to \int l_\gamma \varphi dm$, quand $n \to +\infty$, pour tout $\varphi \in L^1$.

2. Soit $\varphi \in L^1$ t.q. $\varphi \ge 0$ p.p.. Montrer que $\int l_\alpha \varphi dm \ge 0$.

**Corrigé** – Comme $f_n \ge 0$ p.p., et $\varphi \ge 0$ p.p., on a $\int f_n^\alpha \varphi dm \ge 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Comme $f_n^\alpha \to l_\alpha$ *-faiblement dans $L^\infty$, on en déduit

$$\int l_{\alpha} \varphi dm = \lim_{n \to +\infty} \int f_{n}^{\alpha} \varphi dm \geq 0.$$

3. Montrer que $l_\alpha \ge 0$ p.p..
**Corrigé** – On pose $A = \{l_\alpha < 0\}$ (ceci sous entend qu'on a choisi un représentant de $l_\alpha$, on a ainsi $l_\alpha \in L^\infty$) et $\varphi = 1_A$ (de sorte que $\varphi \in L^1$ et $\varphi \ge 0 \text{ p.p.}$). La question précédente donne alors

$$\int_A l_\alpha dm = \int l_\alpha \varphi dm \ge 0.$$

Comme $l_\alpha < 0$ sur A, on en déduit que $m(A) = 0$ et donc $l_\alpha \ge 0 \text{ p.p.}$.

(Le même raisonnement donne, bien sûr, $l_\beta \ge 0 \text{ p.p.}$ et $l_{\alpha+\beta} \ge 0 \text{ p.p.}$.)

4. Montrer que $l_{\alpha+\beta} \ge l_\alpha l_\beta \text{ p.p.}$ [On pourra utiliser } \psi_a(t) \ge 0 \text{ avec } t = f_n(x) \text{ et } a = (l_\alpha(x))^{\frac{1}{\alpha}}.$

**Corrigé** – Grâce à la question précédente, on peut choisir un représentant de $l_\alpha$ de sorte que $l_\alpha(x) \ge 0$ pour tout $x \in E$. On peut aussi supposer que $f_n(x) \ge 0$ pour tout $x \in E$. En prenant $t = f_n(x)$ et $a = (l_\alpha(x))^{\frac{1}{\alpha}}$, on obtient comme $\psi(t) \ge 0$, pour tout $x \in E$,

$$(f_n^\alpha(x) - l_\alpha(x))(f_n^\beta(x) - l_\alpha^\beta(x)) \ge 0.$$

Ce qui peut s'écrire

$$f_n^{\alpha+\beta}(x) + l_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{\alpha}}(x) \ge l_{\alpha}(x)f_n^{\beta}(x) + f_n^{\alpha}(x)l_{\alpha}^{\frac{\beta}{\alpha}}(x).$$

Soit $\varphi \in L^1$, $\varphi \ge 0 \text{ p.p.}$. L'inégalité précédente nous donne

$$\int f_n^{\alpha+\beta} \varphi dm + \int l_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{\alpha}} \varphi dm \ge \int f_n^{\beta} l_{\alpha} \varphi dm + \int f_n^{\alpha} l_{\alpha}^{\frac{\beta}{\alpha}} \varphi dm.$$

En passant à la limite quand $n \to +\infty$ on obtient donc

$$\int l_{\alpha+\beta} \varphi dm + \int l_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{\alpha}} \varphi dm \ge \int l_{\beta} l_{\alpha} \varphi dm + \int l_{\alpha} l_{\alpha}^{\frac{\beta}{\alpha}} \varphi dm,$$

et donc

$$\int (l_{\alpha+\beta} - l_{\beta} l_{\alpha}) \varphi dm \ge 0.$$

En prenant $\varphi = 1_A$ avec $A = \{l_{\alpha+\beta} - l_\beta l_\alpha < 0\}$ on en déduit que $m(A) = 0$ et donc $l_{\alpha+\beta} - l_\beta l_\alpha \ge 0 \text{ p.p.}$.

5. On suppose maintenant que $l_{\alpha+\beta} = l_\alpha l_\beta \text{ p.p.}$. On pose $f = l_\alpha^{\frac{1}{\alpha}}$ et $g_n = (f_n^\alpha - f^\alpha)(f_n^\beta - f^\beta)$.

(a) Montrer que $g_n \to 0$ dans $L^1$, quand $n \to +\infty$.

**Corrigé** – On remarque que

$$0 \le \int g_n dm = \int f_n^{\alpha+\beta} dm + \int f^\alpha f^\beta dm - \int f_n^\beta f^\alpha dm - \int f_n^\alpha f^\beta dm.$$

Quand $n \to +\infty$, le terme de droite de cette égalité tend vers I avec

$$I = \int l_{\alpha+\beta} dm + \int f^\alpha f^\beta dm - \int l_\beta f^\alpha dm - \int l_\alpha f^\beta dm.$$
Comme $f = l_{\alpha}^{1}$ et $l_{\alpha+\beta} = l_{\alpha}l_{\beta}$ p.p., on a $I = 0$. On en déduit bien que

$$ \lim_{n \to +\infty} \int g_n dm = 0 $$

et donc (comme $g_n \ge 0$ p.p.) que $g_n \to 0$ dans $L^1$.

(b) Montrer qu'il existe $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante t.q. $g_{\varphi(n)} \to 0$ p.p., quand $n \to +\infty$. Montrer que $f_{\varphi(n)} \to f$ p.p., quand $n \to +\infty$. [Utiliser la question 1.]

**Corrigé** – Comme $g_n \to 0$ dans $L^1$, la suite $(g_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une sous-suite qui converge p.p. vers 0. Il existe donc $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante t.q. $g_{\varphi(n)} \to 0$ p.p., quand $n \to +\infty$. En choisissant des représentants des fonctions composant $g_n$, il existe donc $A \in T$ t.q. $m(A) = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} g_{\varphi(n)}(x) = 0$ pour tout $x \in A^c$.

Soit $x \in A^c$, on a donc

$$ \lim_{n \to +\infty} (f_{\varphi(n)}^{\alpha}(x) - f^{\alpha}(x))(f_{\varphi(n)}^{\beta}(x) - f^{\beta}(x)) = 0. \quad (6.88) $$

On en déduit tout d'abord que la suite $(f_{\varphi(n)}(x))_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée. Puis, si $\eta$ est une valeur d'adhérence de la suite $(f_{\varphi(n)}(x))_{n \in \mathbb{N}}$, on doit avoir, grâce à (6.88),

$$ \psi_{f(x)}(\eta) = (\eta^{\alpha} - f^{\alpha}(x))(\eta^{\beta} - f^{\beta}(x)) = 0, $$

ce qui n'est possible que si $\eta = f(x)$ (d'après la question 1). On en déduit que $f(x)$ est la seule valeur d'adhérence de la suite bornée $(f_{\varphi(n)}(x))_{n \in \mathbb{N}}$ et donc que

$$ \lim_{n \to +\infty} f_{\varphi(n)}(x) = f(x). $$

Ce qui donne bien $f_{\varphi(n)} \to f$ p.p..

(Noter que, de cette convergence p.p., on déduit, par convergence dominée, une convergence de $(f_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ vers $f$ dans $L^q$ pour tout $q \in [1, +\infty[$.)

(c) Montrer que $f_n \to f$ dans $L^q$, quand $n \to +\infty$, pour tout $q \in [1, \infty[$.

**Corrigé** – Soit $q \in [1, +\infty[$. Si $f_n \not\to f$ dans $L^q$, il existe $\varepsilon > 0$ et une sous-suite, encore notée $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ (pour ne pas alourdir la rédaction), t.q.

$$ \|f_n - f\|_q \ge \varepsilon \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}. \quad (6.89) $$

En utilisant le raisonnement de la question précédente, on peut alors extraire de cette sous-suite une nouvelle sous-suite, toujours notée $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ t.q. $f_n \to f$ p.p.. Par convergence dominée, on en déduit alors que $f_n \to f$ dans $L^q$, en contradiction avec (6.89).

**Exercice 6.55 (Produit de convergences faibles et non-linéarité)** Soit $(X, T, m)$ un espace mesuré fini (c'est-à-dire $m(X) < +\infty$). On note $L^2$ l'espace $L^2(\mathbb{R}; X, T, m)$. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites bornées de $L^2$ et $u, v \in L^2$. On suppose que les suites $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ convergent faiblement dans $L^2$ vers $u$ et $v$. On rappelle que ceci signifie que

$$ \lim_{n \to +\infty} \int u_n w \, dm = \int u w \, dm \text{ et } \lim_{n \to +\infty} \int v_n w \, dm = \int v w \, dm \text{ pour tout } w \in L^2. $$
1. On suppose, dans cette question seulement, que $v_n = u_n$ p.p., pour tout $n \in \mathbb{N}$ (et donc $u = v$ p.p.). Montrer que $u_n \to u$ dans $L^2$ (quand $n \to +\infty$) si et seulement si $\int u_n^2 dm \to \int u^2 dm$ (quand $n \to +\infty$).

**Corrigé** – On remarque que

$$ \|u_n - u\|_2^2 = \int u_n^2 dm + \int u^2 dm - 2 \int u_n u dm. \quad (6.90) $$

Comme $u_n \to u$ faiblement dans $L^2$, on a $\lim_{n \to +\infty} \int u_n u dm = \int u^2 dm$. On déduit alors facilement de (6.90) que $u_n \to u$ dans $L^2$ si et seulement si $\lim_{n \to +\infty} \int u_n^2 dm = \int u^2 dm$.

On suppose pour toute la suite de l'exercice que $\int u_n v_n dm \to \int uv dm$ (quand $n \to +\infty$) et qu'il existe une fonction $\varphi$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ t.q.

$-\varphi$ continue et il existe $C \in \mathbb{R}$ t.q. $\varphi(s) \le C + C|s|$ pour tout $s \in \mathbb{R}$.

$-v_n = \varphi(u_n)$ p.p., pour tout $n \in \mathbb{N}$.

2. Soit $w \in L^2$, montrer que, quand $n \to +\infty$,

$$ \int (\varphi(u_n) - \varphi(w))(u_n - w) dm \to \int (v - \varphi(w))(u - w) dm. \quad (6.91) $$

**Corrigé** – On commence par remarquer que $\varphi(w) \in L^2$ (grâce aux hypothèses sur $\varphi$ et $m(X) < +\infty$). On a alors

$$ \int (\varphi(u_n) - \varphi(w))(u_n - w) = \int (v_n u_n - v_n w - \varphi(w)u_n + \varphi(w)w) dm. $$

Les convergences faibles de $u_n$ et $v_n$ vers $u$ et $v$ donnent

$$ \lim_{n \to +\infty} \int u_n \varphi(w) dm = \int u \varphi(w) dm \text{ et } \lim_{n \to +\infty} \int v_n w dm = \int vw dm. $$

Enfin on a, par hypothèse, $\lim_{n \to +\infty} \int u_n v_n dm = \int uv dm$. On en déduit que bien que

$$ \lim_{n \to +\infty} (\varphi(u_n) - \varphi(w))(u_n - w) dm = \int (v - \varphi(w))(u - w) dm. $$

3. On suppose que $\varphi$ est croissante.

(a) Soit $\bar{w} \in L^2$ et $t \in \mathbb{R}$. Montrer que

$$ \int (v - \varphi(u + t\bar{w}))t\bar{w} \, dm \le 0. $$

[Utiliser (6.91).] En déduire que $\int (v - \varphi(u))\bar{w} \, dm = 0$.
**Corrigé** – On utilise ici (6.91) avec $w = u + t\bar{w}$. On obtient, quand $n \to +\infty$,

$$ \int (\varphi(u_n) - \varphi(u + t\bar{w}))(u_n - u - t\bar{w}) dm \to - \int (v - \varphi(u + t\bar{w}))t\bar{w} dm. $$

Comme $\varphi$ est croissante, on a $(\varphi(u_n) - \varphi(u + t\bar{w}))(u_n - u - t\bar{w}) \ge 0 \text{ p.p. et donc } \int (\varphi(u_n) - \varphi(u + t\bar{w}))(u_n - u - t\bar{w}) dm \ge 0$. On en déduit, quand $n \to +\infty$, $\int (v - \varphi(u + t\bar{w}))t\bar{w} dm \le 0$.

En prenant $t = \frac{1}{m}$ ($m \in \mathbb{N}^*$), on a donc $\int (v - \varphi(u + \frac{\bar{w}}{m}))\bar{w} \le 0$. En appliquant le théorème de convergence dominée (remarquer que $|(v - \varphi(u + \frac{\bar{w}}{m}))\bar{w}| \le F \text{ p.p. avec } F = (|v| + C + C|u| + C|\bar{w}|)|\bar{w}| \in L^1$), on obtient, quand $m \to \infty$,

$$ \int (v - \varphi(u)) \bar{w} dm \le 0. $$

De même, en prenant $t = -\frac{1}{m}$, on montre $\int (v - \varphi(u))\bar{w} dm \ge 0$. On a donc $\int (v - \varphi(u))\bar{w} dm = 0$.

(b) Montrer que $v = \varphi(u)$ p.p.:

**Corrigé** – On choisit $\bar{w} = 1_A - 1_{A^c}$, avec $A = \{v - \varphi(u) \ge 0\}$. La question précédente donne alors $\int |v - \varphi(u)| dm = 0$ et donc $v = \varphi(u)$ p.p. ..

4. On suppose que $\varphi$ strictement croissante. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $G_n = (\varphi(u_n) - \varphi(u))(u_n - u)$.

(a) Montrer que $G_n \to 0$ dans $L^1$ quand $n \to +\infty$ (utiliser (6.91)).

**Corrigé** – En prenant $w = u$ dans (6.91), on obtient $\lim_{n \to +\infty} \int G_n dm = 0$. Comme $\varphi$ est croissante, on a $G_n \ge 0 \text{ p.p.}$, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et donc $||G_n||_1 = \int G_n dm$. On en déduit bien que $G_n \to 0$ dans $L^1$.

(b) Montrer qu'il existe une sous-suite de la suite $(G_n)_{n \in \mathbb{N}}$, notée $(G_{\psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ (avec $\psi$ strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$) t.q. $G_{\psi(n)} \to 0 \text{ p.p.}$. En déduire que $u_{\psi(n)} \to u$ p.p. (utiliser la croissance stricte de $\varphi$).

**Corrigé** – Comme $G_n \to 0$ dans $L^1$, il existe une sous-suite de la suite $(G_n)_{n \in \mathbb{N}}$, notée $(G_{\psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ (avec $\psi$ strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$) t.q. $G_{\psi(n)} \to 0 \text{ p.p.}$ (c'est la réciproque partielle du théorème de convergence dominée). Il existe donc $A \in \mathbb{T}$ t.q. $m(A) = 0$ et $G_{\psi(n)}(x) \to 0$ (quand $n \to +\infty$) si $x \in A^c$.

Soit $x \in A^c$. On pose $a = u(s)$. Pour $s \in \mathbb{R}$, on pose $f(s) = (\varphi(s) - \varphi(a))|s - a|$. Comme $\varphi$ est strictement croissante continue, la fonction $f$ est aussi strictement croissante continue. Elle admet donc une fonction réciproque, notée $g$, qui est continue. Comme $|f(u_{\psi(n)}(x)| = G_{\psi(n)}(x) \to 0$, on a $f(u_{\psi(n)}(x)) \to 0$ et donc $u_{\psi(n)}(x) = g(f(u_{\psi(n)}(x)) \to g(0) = a$. On a donc $\lim_{n \to +\infty} u_{\psi(n)}(x) = u(x)$ pour tout $x \in A^c$, ce qui prouve bien que $u_{\psi(n)} \to u$ p.p. ..

(c) Montrer que $u_n \to u$ dans $L^p$ pour tout $p \in [1, 2[$.
**Corrigé** – On montre que $u_n \to u$ dans $L^p$ pour tout $p \in [1,2[$ en raisonnant pas l'absurde. On suppose qu'il existe $p \in [1,2[$ t.q. $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ne converge par vers $u$ dans $L^p$. Il existe alors $\varepsilon > 0$ et une sous-suite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui reste en dehors de la boule (de $L^p$) de centre $u$ et de rayon $\varepsilon$. Par le raisonnement de la question précédente, de cette sous-suite, un peut extraire une sous-suite, notée $(u_n)_{\psi(n)}$ qui converge p.p. vers $u$. Comme la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $L^2$, on peut alors montrer que cette sous-suite converge dans $L^p$ vers $u$ (c'est une conséquence, vue en exercice, du théorème de Vitali). En contradiction avec le fait que cette sous-suite reste en dehors de la boule (de $L^p$) de centre $u$ et de rayon $\varepsilon$. On a ainsi montré que $u_n \to u$ dans $L^p$ pour tout $p \in [1,2[$.

**Exercice 6.56 (Convergence faible contre convergence forte)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré. On suppose que $m$ est $\sigma$-finie. Pour $r \in [1, \infty]$, on note $L^r$ l'espace $L^r(E, T, m)$ (et $L^r$ est muni de sa norme usuelle). Soit $p, q \in [1, \infty]$ t.q. $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite bornée de $L^p$ et $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite bornée de $L^q$.

1. On suppose ici que $p \in [1, \infty[$ (et donc $q \in ]1, \infty]$), $\varphi_n \to \varphi$ dans $L^q$, quand $n \to +\infty$, et $f_n \to f$ faiblement dans $L^p$, quand $n \to +\infty$ (c'est-à-dire que $T(f_n) \to T(f)$ pour toute application linéaire continue $T$ de $L^p$ dans $\mathbb{R}$).

(a) Montrer que $\int f_n \psi dm \to \int f \psi dm$, pour tout $\psi \in L^q$.

(b) Montrer que $\int f_n \varphi_n dm \to \int f \varphi dm$.

2. On suppose ici que $p = \infty$ (et donc $q = 1$), $\varphi_n \to \varphi$ dans $L^1$, quand $n \to +\infty$, et $f_n \to f$ *-faiblement dans $L^\infty$, quand $n \to +\infty$ (c'est-à-dire que $\int f_n \psi dm \to \int f \psi dm$ pour tout $\psi \in L^1$). Montrer que $\int f_n \varphi_n dm \to \int f \varphi dm$.

On suppose pour la suite de l'exercice que $p = 1$ (et donc $q = \infty$) et $m(E) < \infty$.

3. Montrer que $\varphi_n \to \varphi$ dans $L^\infty$, quand $n \to +\infty$, implique :

(p1) $\varphi_n \to \varphi$ p.p. quand $n \to +\infty$.

4. Montrer, en prenant (par exemple) $(E, T, m) = ()[0,1[, \mathcal{B}()[]0,1[, \lambda)$ que (p1) n'implique pas $\varphi_n \to \varphi$ dans $L^\infty$ quand $n \to +\infty$. [Il faut donc trouver une suite $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ bornée de $L^\infty$ et $\varphi \in L^\infty$ t.q. $\varphi_n \to \varphi$ p.p., quand $n \to +\infty$, et $\|\varphi_n - \varphi\|_\infty \not\to 0$, quand $n \to +\infty$.]

On suppose maintenant que la suite $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ vérifie (p1) et que :

(p2) $f_n \to f$ faiblement dans $L^1$, quand $n \to +\infty$,

5. Montrer que $\varphi \in L^\infty$ (au sens “il existe $\bar{\varphi} \in \mathcal{L}^\infty(E, T, m)$ t.q. $\varphi = \bar{\varphi}$ p.p.”). [On rappelle que la suite $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est, par hypothèse, bornée dans $L^\infty$.]

6. On admet que (p2) implique l'équi-intégrabilité de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$, c'est-à-dire :

$$ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ t.q. } A \in \mathcal{T}, m(A) \le \delta, n \in \mathbb{N} \Rightarrow \int_A |f_n| dm \le \varepsilon. $$

Montrer que $\int f_n \varphi_n dm \to \int f \varphi dm$. [On pourra utiliser le théorème d'Egorov.]
**Exercice 6.57 (Théorème de Dunford-Pettis)** Soit $(E, T, m)$ un espace mesuré fini. On note $L^1(E, T, m)$. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite bornée de $L^1$. On suppose que la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est équi-intégrable, c'est-à-dire que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta$ t.q.

$$A \in T, n \in \mathbb{N}, m(A) \le \delta \Rightarrow \int_A |f_n| dm \le \varepsilon.$$

Le but de cet exercice est de démontrer que la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une sous-suite faiblement convergente dans $L^1$.

1. Montrer que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $M \in \mathbb{R}$ t.q., pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$$\int_{\{|f_n| \ge M\}} |f_n| dm \le \varepsilon.$$

On suppose maintenant, pour les deux questions suivantes, que $f_n \ge 0$ p.p. pour tout $n \in \mathbb{N}$. Pour $M \in \mathbb{N}^*$, on pose $f_{n,M} = \min\{f_n, M\}$.

2. Soit $M \in \mathbb{N}^*$. Montrer que la suite $(f_{n,M})_{n \in \mathbb{N}}$ admet une sous-suite faiblement convergente dans $L^1$.

3. Montrer qu'il existe une sous-suite de la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$, encore notée $(g_M)_{M \in \mathbb{N}^*}$ de $L^1$ t.q., pour tout $M \in \mathbb{N}^*$

$$f_{n,M} \to g_M \text{ faiblement dans } L^1 \text{ quand } n \to +\infty.$$

[Utiliser le procédé diagonal, décrit, par exemple, dans la proposition 8.19.]

(a) Montrer que la suite $(g_M)_{M \in \mathbb{N}^*}$ est convergente dans $L^1$.

(b) On note $g$ la limite (dans $L^1$) de la suite $(g_M)_{M \in \mathbb{N}^*}$. Montrer que $f_n \to f$ faiblement dans $L^1$ quand $n \to +\infty$.

4. On ne suppose que les fonctions sont positives p.p.. Montrer que la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une sous-suite faiblement convergente dans $L^1$.

**Exercice 6.58 (Convergence étroite et mesures des intervalles)** Soit $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de mesures sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ et $m$ une mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. On suppose que $m_n \to m$ étroitement, quand $n \to +\infty$, et que $m$ est diffuse (c'est-à-dire que $m(\{x\}) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$). Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, montrer que $m_n(I) \to m(I)$ quand $n \to +\infty$. Montrer (en donnant un contre-exemple) que cette propriété peut être fausse si $m$ n'est pas diffuse.

**Corrigé** – On remarque tout d'abord que $m_n(I) \to m(I)$ si $I = \mathbb{R}$, car $\int_1^1 dm_n \to \int_1^1 dm$.
Soit maintenant $a \in \mathbb{R}$, on va montrer que $m_n(I) \to m(I)$ si $I = ]-\infty, a]$ ou $I = ]-\infty, a]$.
Pour cela, on définit, pour $p \in \mathbb{N}^*$, $\varphi_p, \psi_p \in C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ en posant :

$$
\begin{align*}
\varphi_p(x) &= 1 \quad \text{si } x \le a - \frac{1}{p}, \\
\varphi_p(x) &= -p(x-a) \quad \text{si } a - \frac{1}{p} < x < a, \\
\varphi_p(x) &= 0 \quad \text{si } a \le x, \\
\psi_p(x) &= \varphi_p(x - \frac{1}{p}) \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}.
\end{align*}
$$

Comme $\varphi_p \le 1_I \le \psi_p$ on a $\int \varphi_p dm_n \le m_n(I) \le \int \psi_p dm_n$ pour tout p, $n \in \mathbb{N}$. En passant à la limite quand $n \to +\infty$, on a donc, pour tout $p \in \mathbb{R}$ :

$$
\int \varphi_p dm \le \liminf_{n \to +\infty} m_n(I) \le \limsup_{n \to +\infty} m_n(I) \le \int \psi_p dm.
$$

Le théorème de convergence dominée donne

$$
\lim_{p \to \infty} \int \varphi_p dm = m(-\infty, a] \text{ et } \lim_{p \to \infty} \int \psi_p dm = m([\infty, a)).
$$

On en déduit

$$
m(-\infty, a] \le \liminf_{n \to +\infty} m_n(I) \le \limsup_{n \to +\infty} m_n(I) \le m(-\infty, a]).
$$

Comme $m(-\infty, a]) = m(-\infty, a[) + m([a}) = m(-\infty, a[) = m(I)$, on a, finalement,

$$
m(I) \le \liminf_{n \to +\infty} m_n(I) \le \limsup_{n \to +\infty} m_n(I) \le m(I),
$$

c'est-à-dire $\lim_{n \to +\infty} m_n(I) = m(I)$.

En écrivant que $m_n(J) = m(\mathbb{R}) - m(J^c)$, il est facile de voir que l'on a aussi $m_n(J) \to m(J)$
pour tout intervalle J de la forme $[a, +\infty[ \text{ ou } ]a, +\infty[$. Enfin, si $a, b \in \mathbb{R}$, $a < b$, un
intervalle, noté K, dont les bornes sont a et b peut s'écrire comme différence de deux
intervalles dont les bornes supérieures sont a et b et dont la borne inférieure est $-\infty$.
On en déduit alors facilement que $m_n(K) \to m(K)$, ce qui termine la démonstration.

La propriété démontré peut être fausse si m n'est pas diffuse. Pour le voir, il suffit
de prendre, par exemple, m = δ₀ et m_n = δ₁/n pour tout n ∈ N*. On a bien m_n → m
étroitement et pour I = ]-∞, 0] (par exemple) on a lim_{n→+∞} m_n(I) = 0 ≠ 1 = m(I).

**Exercice 6.59 (Convergence en loi et fonction de répartition)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé, $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a.r. et $X$ une v.a.r.. On note $m_n$ la loi de $X_n$ (pour tout $n \in \mathbb{N}$) et $m$ la loi de $X$.

1. Soit A une partie dense dans $\mathbb{R}$. On suppose, dans cette question, que $P(\{X_n \le a\}) \to P(\{X \le a\})$, quand $n \to +\infty$, pour tout $a \in A$.

(a) Montrer que $m_n([a, b]) \to m([a, b])$, quand $n \to +\infty$, pour tout $a, b \in A$, $a < b$.

(b) Soit $p \in \mathbb{N}^*$, $\alpha_1, \dots, \alpha_p \in \mathbb{R}$ et $a_0, \dots, a_p \in A$ t.q. $a_0 < \dots < a_p$. Soit $\varphi = \sum_{i=1}^p \alpha_i 1_{[a_{i-1}, a_i]}$. Montrer que

$$
\int_{\mathbb{R}} \varphi dm_n \to \int_{\mathbb{R}} \varphi dm, \text{ quand } n \to +\infty.
$$
(c) Soit $\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Montrer que $\int_{\mathbb{R}} \varphi dm_n \to \int_{\mathbb{R}} \varphi dm$.

(d) Déduire de la question précédente que $X_n \to X$ en loi, quand $n \to +\infty$.

2. On suppose, dans cette question, que $X_n \to X$ en loi, quand $n \to +\infty$. Pour $a \in \mathbb{R}$ on pose $F(a) = P\{X \le a\}$ (c'est donc la fonction de répartition de X). On note A l'ensemble des points de continuité de F.

(a) Montrer que A est dense dans $\mathbb{R}$.

(b) En partant de la définition de convergence en loi (c'est-à-dire $E(\varphi(X_n)) \to E(\varphi(X))$ pour tout $\varphi \in C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$), montrer que $P\{X_n \le a\} \to P\{X \le a\}$ pour tout $a \in A$.

(c) Donner un exemple pour lequel, pour tout $a \in \mathbb{N}$, $P\{X_n \le a\} \not\to P\{X \le a\}$, quand $n \to +\infty$ (alors que l'on a toujours $X_n \to X$ en loi, quand $n \to +\infty$).

**Exercice 6.60 (Convergence en loi)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et X une v.a. réelle de loi uniforme sur $[-1, 1]$.

1. Montrer que $-X$ est une v.a. de même loi que $X$.

**Corrigé** – On pose $Y = -X$ et on cherche à déterminer la loi de la v.a.r. Y. Soit $\varphi$ une fonction borélienne bornée de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ (il suffit en fait de prendre pour $\varphi$ la fonction caractéristique d'un borélien de $\mathbb{R}$). En posant $\psi(x) = \varphi(-x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, On remarque que $\int_{\Omega} \varphi(Y)dP = \int_{\Omega} \varphi(-X)dP = \int_{\Omega} \psi(X)dP = \int_{\mathbb{R}} \psi(x)dP_X(x) = \int_{\mathbb{R}} \varphi(-x)dP_X(x)$. Comme $X \sim U(-1, 1)$, on a donc :

$$ \int_{\Omega} \varphi(Y)dP = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \varphi(-x)dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \varphi(x)dx, $$

ce qui prouve que $Y \sim U(-1, 1)$.

2. Donner un exemple de suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de v.a. t.q. :

(a) $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge en loi vers X,

(b) $(X_n - X)_{n \in \mathbb{N}}$ ne converge pas en loi vers 0.

**Corrigé** – On prend $X_n = -X$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. On a donc $P_{X_n} = P_X$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, ce qui donne bien la convergence en loi de $X_n$ vers X quand $n \to +\infty$. Mais, $X_n - X = -2X$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, et donc $X_n - X$ ne converge pas en loi vers 0 car $P_0 = \delta_0$ et $P_{-2X} \neq \delta_0$. (Il est facile de voir, en raisonnant comme à la première question, que $-2X \sim U(-2, 2)$.)

3. Donner un exemple de trois v.a.X, Y, Z t.q. X et Y aient la même loi, mais sans que XZ et YZ aient la même loi.
**Corrigé** – On prend $Y = -X$ (toujours avec $X \sim U(-1, 1))$ et $Z = X$. les v.a.r. $X$ et $Y$ ont donc même loi. Mais, on va montrer que $XZ$ et $YZ$ n'ont pas la même loi. En effet, soit $\varphi$ une fonction borélienne bornée de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. On a :

$$ 
\begin{aligned}
\int_{\Omega} \varphi(XZ) dP &= \int_{\Omega} \varphi(X^2) dP = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \varphi(x^2) dx \\
&= \int_{0}^{1} \varphi(x^2) dx = \int_{0}^{1} \varphi(s) \frac{1}{2\sqrt{s}} ds.
\end{aligned}
$$

Ce qui prouve que $P_{XZ} = g\lambda$ avec $g(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x \in ]0, 1[$ et $g(x) = 0$ si $x \notin ]0, 1[$.

Comme $XY = -XZ$, on a $P_{XY} = h\lambda$ avec $h(x) = g(-x)$ pour $x \in \mathbb{R}$. On en déduit que $P_{XZ} \neq P_{XY}$.

**Exercice 6.61 (Convergence en loi + convergence en probabilité)** Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ est un espace probabilisé, $X$ une v.a. réelle et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$, $(Y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux suites de v.a. réelles telles que :

$$ X_n \to X \text{ en loi, } Y_n \to 0 \text{ en probabilité, quand } n \to +\infty. $$

Montrer que

$$ X_n + Y_n \to X \text{ en loi, quand } n \to +\infty. $$

[On pourra utiliser la convergence vague.]

**Corrigé** – D'après la proposition 6.87, il suffit de démontrer la convergence vague de $P_{X_n+Y_n}$ vers $P_X$ quand $n \to +\infty$, c'est-à-dire que $\lim_{n \to +\infty} \int_{\Omega} \varphi(X_n + Y_n)dP = \int_{\Omega} \varphi(X)dP$ pour tout $\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

Soit $\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. On a $\int_{\Omega} \varphi(X_n + Y_n)dP - \int_{\Omega} \varphi(X)dP = A_n + B_n$ avec :

$$ A_n = \int_{\Omega} \varphi(X_n + Y_n)dP - \int_{\Omega} \varphi(X_n)dP, \quad B_n = \int_{\Omega} \varphi(X_n)dP - \int_{\Omega} \varphi(X)dP. $$

On sait déjà que $\lim_{n \to +\infty} B_n = 0$ (car $X_n \to X$ en loi). Il suffit donc de montrer que $\lim_{n \to +\infty} A_n = 0$.

Soit $\eta > 0$. Comme $\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, $\varphi$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$ (on rappelle, par contre, que $\varphi \in C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \neq \varphi$ uniformément continue), il existe donc $\varepsilon > 0$ tel que :

$$ x, y \in \mathbb{R}, |x - y| \le \varepsilon \Rightarrow |\varphi(x) - \varphi(y)| \le \eta. $$

On en déduit, pour tout $n \in \mathbb{N}$, avec $\|\varphi\|_u = \max_{x \in \mathbb{R}} |\varphi(x)| (< \infty)$ :

$$ 
\begin{aligned}
|A_n| &\le \int_{|Y_n| \le \varepsilon} |\varphi(X_n + Y_n) - \varphi(X_n)| dP + \int_{|Y_n| > \varepsilon} |\varphi(X_n + Y_n) - \varphi(X_n)| dP \\
&\le \eta + 2 \|\varphi\|_u P(|Y_n| > \varepsilon).
\end{aligned}
$$

Comme $Y_n \to 0$ en probabilité, il existe $n_0$ (dépendant seulement de $\varepsilon$ et donc de $\eta$ et $\varphi$) tel que :

$$ n \ge n_0 \Rightarrow 2\|\varphi\|_u P(|Y_n| > \varepsilon] \le \eta, $$

et donc :

$$ n \ge n_0 \Rightarrow |A_n| \le 2\eta. $$

Ce qui prouve que $\lim_{n \to +\infty} A_n = 0$ et termine la démonstration.
**Exercice 6.62 (Convergence en loi versus convergence en probabilité)**

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathcal{P})$ un espace probabilisé, X une v.a. réelle et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de v.a. réelles.

1. On suppose, dans cette question, que $X_n \to X$ en probabilité, quand $n \to +\infty$. Montrer que :

$$X_n \to X \text{ en loi, quand } n \to +\infty.$$

[Remarquer qu'il suffit de démontrer une convergence vague de $P_{X_n}$ vers $P_X$.]

**Corrigé** – Soit $\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Nous allons montrer que

$$\int_{\Omega} \varphi(X_n) dP \to \int_{\Omega} \varphi(X) dP,$$

quand $n \to +\infty$ (ce qui prouve la convergence vague de $P_{X_n}$ vers $P_X$, quand $n \to +\infty$, voir la définition 6.86).

Soit $\varepsilon > 0$. Comme $\varphi \in C_c(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, $\varphi$ est uniformément continue (ceci serait faux si on prenant $\varphi$ arbitrairement dans $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Il existe donc $\eta > 0$ tel que :

$$x, y \in \mathbb{R}, |x - y| \le \eta \Rightarrow \varphi(x) - \varphi(y) \le \varepsilon.$$

On en déduit que

$$\left|\int_{\Omega} \varphi(X_n) - \varphi(X) dP\right| \le \int_{|X_n - X| \le \eta} |\varphi(X_n) - \varphi(X)| dP \\ + \int_{|X_n - X| > \eta} |\varphi(X_n) - \varphi(X)| dP \le \varepsilon + 2 \|\varphi\|_u P(|X_n - X| > \eta),$$

avec $\|\varphi\|_u = \max\{|\varphi(s)|, s \in \mathbb{R}\} < \infty$. Comme $X_n \to X$ en probabilité, quand $n \to +\infty$, il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que :

$$n \ge n_0 \Rightarrow 2 \|\varphi\|_u P(|X_n - X| > \eta) \le \varepsilon.$$

On a donc finalement

$$n \ge n_0 \Rightarrow \left| \int_{\Omega} \varphi(X_n) - \varphi(X) dP \right| \le 2\varepsilon,$$

ce qui prouve bien que $\int_{\Omega} \varphi(X_n) dP \to \int_{\Omega} \varphi(X) dP$, quand $n \to +\infty$.

Pour conclure, on utilise la proposition 6.87 (qui donne que si $(m_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $m$ sont des probabilités sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, la convergence étroite de $m_n$ vers $m$, quand $n \to +\infty$, est équivalente à la convergence vague de $m_n$ vers $m$). On obtient ainsi la convergence étroite de $P_{X_n}$ vers $P_X$ c'est-à-dire la convergence en loi de $X_n$ vers X, quand $n \to +\infty$.

2. On suppose qu'il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $X = a$ p.s.. On suppose aussi que $X_n \to X$ en loi, quand $n \to +\infty$. Montrer que :

$$X_n \to X \text{ en probabilité, quand } n \to +\infty.$$

**Corrigé** – Soit $\eta > 0$, on va montrer que $P(|X_n - X| > \eta) \to 0$, quand $n \to +\infty$. Pour cela, on choisit une fonction $\varphi$ continue bornée de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et telle que
$\varphi(x) = 1 \text{ si } |x-a| \ge \eta$, $\varphi(a) = 0 \text{ et } 0 \le \varphi(x) \le 1 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}$. (Une telle fonction est facile à construire, il suffit de la prendre affine par morceaux). Comme $\varphi \in C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, on a $\int_{\Omega} \varphi(X_n)dP \to \int_{\Omega} \varphi(X)dP$, quand $n \to +\infty$. Comme $X = a \text{ p.s.}$ et $\varphi(a) = 0$, on a $\int_{\Omega} \varphi(X)dP = 0$. Enfin, comme $\varphi(x) = 1 \text{ si } |x-a| \ge \eta$ et $\varphi \ge 0$, on a $\int_{\Omega} \varphi(X_n)dP \ge P(|X_n - X| > \eta)$. On en déduit finalement que $P(|X_n - X| > \eta) \to 0$ quand $n \to +\infty$ et donc que $X_n \to X$ en probabilité quand $n \to +\infty$.

**Exercice 6.63 (Convergence $L^\infty$-faible, p.p. et $L^1$)**

Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}$. On note $L^p$ l'espace $L^p(\Omega, \mathcal{B}(\Omega), \lambda)$.

Pour $x \in \Omega$ et $h > 0$, on pose $B(x, h) = \{y \in \Omega \text{ t.q. } |x - y| < h\}$ et on désigne par $|B(x, h)|$ la mesure de Lebesgue de $B(x, h)$. Pour $f \in L^1$, $x \in \Omega$ et $h > 0$, on pose

$$f_h(x) = \frac{1}{|B(x,h)|} \int_{B(x,h)} f(y)dy.$$

On dit que $x$ est un point de Lebesgue de $f$ si $f_h(x)$ a une limite dans $\mathbb{R}$ quand $h \to 0$. Si $x \in \Omega$, on pose $F_x = \{f \in L^\infty \text{ tel que } x \text{ est un point de Lebesgue de } f\}$.

1. Soit $x \in \Omega$. Pour $f \in F_x$ on pose $T_x(f) = \lim_{h \to 0} f_h(x)$. Montrer que $F_x$ est un sous espace vectoriel de $L^\infty$ et que $T_x$ est une application linéaire continue de $F_x$, muni de la norme de $L^\infty$, dans $\mathbb{R}$. En déduire qu'il existe $\bar{T}_x \in (L^\infty)'$ telle que $\bar{T}_x(f) = T_x(f)$ pour tout $f \in F_x$. [On pourra utiliser la conséquence du théorème de Hahn-Banach rappelée dans la remarque 5.13.]

Pour la suite de cet exercice, on rappelle que, si $f \in L^1$, presque tout point $x$ de $\Omega$ est un point de Lebesgue de $f$ et on a, pour presque tout $x \in \Omega$, $\lim_{h \to 0} f_h(x) = f(x)$ (ceci est démontré dans l'exercice 5.13).

Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite bornée de $L^\infty$ et $f \in L^\infty$. On suppose que $f_n \to f$ faiblement dans $L^\infty$, quand $n \to +\infty$.

2. Montrer que $f_n \to f$ p.p.,

3. Montrer que $f_n \to f$ dans $L^1$.

4. Soit $1 < p < \infty$. Montrer que $f_n \to f$ dans $L^p$.

*N.B.* : Le même exercice peut se faire avec un ouvert borné de $\mathbb{R}^N$ ($N > 1$), noté $\Omega$, et $f \in L^1(\Omega, \mathcal{B}(\Omega), \lambda_N)$ où $\lambda_N$ est la mesure de Lebesgue sur les boréliens de $\Omega$. Cette mesure $\lambda_N$ sera définie au chapitre 7.
# Chapitre 7

## Produits d'espaces mesurés

### 7.1 Motivation

Au chapitre 2, on a introduit la mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens de $\mathbb{R}$ (notée $\mathcal{B}(\mathbb{R})$), ce qui nous a permis d'exprimer la notion de longueur d'une partie (borélienne) de $\mathbb{R}$. On peut se poser la question de savoir s'il existe une mesure sur une tribu convenable de $\mathbb{R}^2$ qui exprimerait la notion de surface (et une mesure sur une tribu convenable de $\mathbb{R}^3$ qui exprimerait la notion de volume...).

La question est donc : existe-t-il une mesure $\lambda_2$ sur une tribu de $\mathbb{R}^2$ contenant $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \times \mathcal{B}(\mathbb{R})$, vérifiant :

$$ \lambda_2(A \times B) = \lambda(A)\lambda(B), \forall A, B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})? $$

La tribu $T_2$, sur laquelle on veut définir $\lambda_2$, doit donc contenir $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \times \mathcal{B}(\mathbb{R})$. On remarque tout d'abord que $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \times \mathcal{B}(\mathbb{R}) = \{A \times B, A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\}$ n'est pas une tribu. En effet, $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \times \mathcal{B}(\mathbb{R})$ n'est pas stable par passage au complémentaire ni par union (par contre, $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \times \mathcal{B}(\mathbb{R})$ est stable par intersection dénombrable). On définit alors $T_2$ comme la tribu engendrée par $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \times \mathcal{B}(\mathbb{R})$, qu'on note $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R})$.

On cherche alors une mesure $\lambda_2 : T_2 \to \bar{\mathbb{R}}_+$ telle que $\lambda_2(A \times B) = \lambda(A)\lambda(B)$ pour tout $A, B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. On peut montrer l'existence et l'unicité de la mesure $\lambda_2$ (voir le théorème 7.3). On peut aussi montrer que la tribu $T_2$ est la tribu borélienne sur $\mathbb{R}^2$, c'est-à-dire la tribu engendrée par les ouverts de $\mathbb{R}^2$ (voir la proposition 7.2).

Une autre question qu'on abordera dans ce chapitre concerne l'intégration des fonctions à plusieurs variables. Considérons par exemple une fonction $f$ définie de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$. Sous quelles hypothèses (faciles à vérifier...) peut-on écrire :

$$ \int \left( \int f(x,y)dy \right) dx = \int \left( \int f(x,y)dx \right) dy ? $$

Une réponse à cette question est apportée par le théorème de Fubini, que nous verrons dans ce chapitre.
On introduira aussi le produit de convolution de deux fonctions, qui sera utile, par exemple, pour démontrer des théorèmes de densité. Mais la convolution est une notion utile pour beaucoup d'autres raisons (elle est utile, par exemple, en théorie du signal).

## 7.2 Mesure produit

On rappelle ici qu'un espace mesuré $(E, T, m)$ est $\sigma$-fini (on dit aussi que $m$ est $\sigma$-finie) s'il existe une famille $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T$ telle que $E = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n$ et $m(A_n) < +\infty$, pour tout $n \in \mathbb{N}$. L'espace mesuré $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ est $\sigma$-fini (prendre, par exemple, $A_n = [-n, n]$). Il existe par contre des mesures non $\sigma$-finies. L'exemple le plus simple sur $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ consiste à prendre $m(A) = +\infty$ pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, $A \neq \emptyset$. Un exemple plus intéressant (intervenant pour certains problèmes) consiste à se donner un borélien non vide $B$ de $\mathbb{R}$ (B peut être, par exemple, réduit à un point) et à définir $m_B$ par $m_B(A) = +\infty$ si $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et $A \cap B \neq \emptyset$ et $m_B(A) = 0$ si $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et $A \cap B = \emptyset$.

**Définition 7.1 (Tribu produit)** *Soient $(E_1, T_1)$ et $(E_2, T_2)$ des espaces mesurables. On pose $E = E_1 \times E_2$. On appelle tribu produit la tribu sur $E$ engendrée par $T_1 \times T_2 = \{A_1 \times A_2, A_1 \in T_1, A_2 \in T_2\}$. Cette tribu produit est notée $T_1 \otimes T_2$.*

Un exemple fondamental est $(E_1, T_1) = (E_2, T_2) = (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$. On va montrer que, dans ce cas, $\mathcal{B}(\mathbb{R}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R}) = \mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$.

**Proposition 7.2 (Tribu $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$)** *Pour tout $N \ge 2$, on a $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{N-1}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R}) = \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$.*

**DÉMONSTRATION –** La démonstration est faite pour $N = 2$ dans l'exercice 2.6). Elle s'adapte facilement pour traiter aussi le cas $N > 2$ (exercice 7.1). ■

**Théorème 7.3 (Mesure produit)** *Soient $(E_1, T_1, m_1)$ et $(E_2, T_2, m_2)$ deux espaces mesurés $\sigma$-finis, $E = E_1 \times E_2$ et $T = T_1 \times T_2$. Alors, il existe une et une seule mesure $m$ sur $T$ vérifiant :*

$$m(A_1 \times A_2) = m_1(A_1)m_2(A_2), \forall (A_1, A_2) \in T_1 \times T_2; m_i(A_i) < \infty, i = 1, 2. \quad (7.1)$$

*Cette mesure est notée $m = m_1 \otimes m_2$. De plus, $m$ est $\sigma$-finie.*
DÉMONSTRATION –

**Existence de m.** On va construire une mesure m sur T vérifiant (7.1).

Soit $A \in T$. On va montrer, à l'étape 1, que, pour tout $x_1 \in E_1$, on a $1_A(x_1, \cdot) \in \mathcal{M}_+(E_2, T_2)$. On pourra donc poser $f_A(x_1) = \int 1_A(x_1, \cdot)dm_2$, pour tout $x_1 \in E_1$. L'application $f_A$ sera donc une application de $E_1$ dans $\bar{\mathbb{R}}_+$. On va montrer, à l'étape 2, que $f_A \in \mathcal{M}_+(E_1, T_1)$. On posera alors $m(A) = \int f_A dm_1$. Enfin, il restera à l'étape 3 à montrer que m est bien une mesure vérifiant (7.1) et que m est $\sigma$-finie.

**Étape 1.** Pour $A \in \mathcal{P}(E)$ et $x_1 \in E_1$, on note $S(x_1, A) = \{x_2 \in E_2 ; (x_1, x_2) \in A\} \subset E_2$, de sorte que $1_A(x_1, \cdot) = 1_{S(x_1, A)}$.

Soit $x_1 \in E_1$. On pose $\Theta = \{A \in \mathcal{P}(E) ; S(x_1, A) \in T_2\}$.

On remarque tout d'abord que $\Theta \supset T_1 \times T_2$. En effet, si $A = A_1 \times A_2$ avec $A_1 \in T_1$ et $A_2 \in T_2$, on a $S(x_1, A) = A_2 \in T_2$ si $x_1 \in A_1$ et $S(x_1, A) = \emptyset \in T_2$ si $x_1 \notin A_1$.

On remarque ensuite que $\Theta$ est une tribu. En effet :

* $\emptyset \in \Theta$ car $S(x_1, \emptyset) = \emptyset \in T_2$,

* $\Theta$ est stable par passage au complémentaire. En effet : $S(x_1, A^c) = (S(x_1, A))^c$ (c'est-à-dire $S(x_1, E \setminus A) = E_2 \setminus S(x_1, A)$). On a donc $S(x_1, A^c) \in T_2$ si $A \in \Theta$, ce qui prouve que $A^c \in \Theta$.

* $\Theta$ est stable par union dénombrable. Il suffit de remarquer que : $S(x_1, \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A^{(n)}) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} S(x_1, A^{(n)}) \in T_2$ si $(A^{(n)})_{n \in \mathbb{N}} \subset \Theta$.

L'ensemble $\Theta$ est donc une tribu contenant $T_1 \times T_2$, et contient donc $T_1 \otimes T_2 = T$, tribu engendrée par $T_1 \times T_2$. On a donc $S(x_1, A) \in T_2$ pour tout $A \in T$.

Pour tout $A \in T$, on peut donc définir une application $f_A$ de $E_1$ dans $\bar{\mathbb{R}}_+$ en posant, pour $x_1 \in E_1$,

$$f_A(x_1) = m_2(S(x_1, A)) = \int 1_{S(x_1, A)} dm_2 = \int 1_A(x_1, \cdot) dm_2 \in \bar{\mathbb{R}}_+. \quad (7.2)$$

**Étape 2.** Dans cette étape, on démontre que $f_A \in \mathcal{M}_+(E_1, T_1)$ pour tout $A \in T$. Cette étape est plus difficile que la précédente.

On note $\Sigma = \{A \in T ; f_A \in \mathcal{M}_+(E_1, T_1)\}$ et on va montrer que $\Sigma \supset T$ et donc que $\Sigma = T$.

On suppose d'abord que $m_2$ est finie.

Il est facile de voir que $\Sigma$ contient $T_1 \times T_2$. En effet, si $A = A_1 \times A_2$ avec $A_1 \in T_1$ et $A_2 \in T_2$, on a alors $f_A = m_2(A_2)1_{A_1} \in \mathcal{E}_+(E_1, T_1) \subset \mathcal{M}_+(E_1, T_1)$.

On note maintenant $\mathcal{A}$ l'ensemble des réunions finies disjointes d'éléments de $T_1 \times T_2$ ($\mathcal{A}$ s'appelle l'algèbre engendrée par $T_1 \times T_2$, voir l'exercice 7.2). Si $A \in \mathcal{A}$, il existe donc $(A^{(p)})_{p=1,...,n} \subset T_1 \times T_2$ tel que $A^{(p)} \cap A^{(q)} = \emptyset$ si $p \neq q$ et $A = \bigcup_{p=1}^n A^{(p)}$. On a alors $f_A(x_1) = m_2(S(x_1, A)) = \sum_{p=1}^n m_2(S(x_1, A^{(p)})) = \sum_{p=1}^n f_{A^{(p)}} \in \mathcal{M}_+(E_1, T_1)$ car $A^{(p)} \in T_1 \times T_2 \subset \Sigma$. On a donc $\mathcal{A} \subset \Sigma$.

On montre maintenant que $\Sigma$ est une classe monotone, c'est-à-dire que :

$$(A^{(n)})_{n \in \mathbb{N}} \subset \Sigma, A^{(n)} \subset A^{(n+1)} \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A^{(n)} \in \Sigma \quad (7.3)$$
et

$$ (A^{(n)})_{n \in \mathbb{N}} \subset \Sigma, A^{(n)} \supset A^{(n+1)} \quad \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A^{(n)} \in \Sigma. \quad (7.4) $$

Pour démontrer (7.3), on considère une suite $(A^{(n)})_{n \in \mathbb{N}} \subset \Sigma$ telle que $A^{(n)} \subset A^{(n+1)}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. On pose $A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A^{(n)}$. Soit $x_1 \in E_1$ ; on a $(S(x_1, A^{(n)}))_{n \in \mathbb{N}} \subset T_2$ (par l'étape 1, car $\Sigma \subset T$), $S(x_1, A^{(n)}) \subset S(x_1, A^{(n+1)})$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et

$$ S(x_1, \cup_{n \in \mathbb{N}} A^{(n)}) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} S(x_1, A^{(n)}). $$

On en déduit, par continuité croissante de $m_2$, que

$$ m_2(S(x_1, A)) = \sup_{n \in \mathbb{N}} m_2(S(x_1, A^{(n)})) $$

et donc que $f_A = \sup_{n \in \mathbb{N}} f_{A^{(n)}}$, ce qui prouve que $f_A \in \mathcal{M}_+(E_1, T_1)$ car $f_{A^{(n)}} \in \mathcal{M}_+(E_1, T_1)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. On a donc $A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A^{(n)} \in \Sigma$.

La démonstration de (7.4) est similaire, il faut utiliser la continuité décroissante de $m_2$ au lieu de la continuité croissante. C'est pour utiliser la continuité décroissante de $m_2$ qu'on a besoin du fait que $m_2$ est finie.

On a ainsi montré que $\Sigma$ est une classe monotone contenant l'algèbre $\mathcal{A}$. On peut en déduire (cela fait l'objet de l'exercice 2.13) que $\Sigma$ contient la tribu engendrée par $\mathcal{A}$ et donc aussi la tribu engendrée par $T_1 \times T_2$ (car $T_1 \times T_2 \subset \mathcal{A}$), c'est-à-dire que $\Sigma$ contient $T = T_1 \otimes T_2$. On a bien montré, finalement, que $\Sigma = T$.

Il reste maintenant à montrer que $\Sigma = T$ sans l'hypothèse $m_2$ finie. Comme $m_2$ est $\sigma$-finie, on peut construire une suite $(F_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T_2$ telle que $F_n \subset F_{n+1}$ et $m_2(F_n) < \infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on définit alors la mesure $m_2^{(n)}$ par $m_2^{(n)}(A_2) = m_2(A_2 \cap F_n)$ pour tout $A_2 \in T_2$. La mesure $m_2^{(n)}$ est finie, l'étape 1 et la première partie de l'étape 2 donne donc que, pour tout $A \in T$, $f_A^{(n)} \in \mathcal{M}_+(E_1, T_1)$ où $f_A^{(n)}$ est définie par 7.2 avec $m_2^{(n)}$ au lieu de $m_2$ (c'est-à-dire $f_A^{(n)}(x_1) = m_2^{(n)}(S(x_1, A))$ pour tout $x_1 \in E_1$). On conclut alors en remarquant que $f_A^{(n)} \uparrow f_A$ quand $n \to +\infty$, ce qui donne que $f_A \in \mathcal{M}_+(E_1, T_1)$.

On a donc montré que $f_A \in \mathcal{M}_+(E_1, T_1)$ pour tout $A \in T$. Ceci nous permet de définir $m : T \to \mathbb{R}_+$ par :

$$ m(A) = \int f_A dm_1, \text{ pour tout } A \in T. \quad (7.5) $$

**Etape 3.** Dans cette étape, on montre que $m$, définie par (7.5), est une mesure sur $T$ et que $m$ vérifie (7.1) et est $\sigma$-finie.

On montre d'abord que $m$ est bien une mesure sur $T$ :

$$ \bullet m(\emptyset) = 0 \text{ car } f_\emptyset(x_1) = m_2(S(x_1, \emptyset)) = m_2(\emptyset) = 0. $$

$$ \bullet (\sigma-\text{additivité de } m) \text{ Soit } (A^{(n)})_{n \in \mathbb{N}} \subset T \text{ telle que } A^{(n)} \cap A^{(m)} = \emptyset \text{ si } n \neq m. \text{ On pose } A = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A^{(n)}. \text{ Pour } x_1 \in E_1, \text{ on a :} $$

$$ S(x_1, A) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} S(x_1, A^{(n)}) \text{ et } S(x_1, A^{(m)}) \cap S(x_1, A^{(n)}) = \emptyset \text{ si } n \neq m. $$
La $\sigma$-additivité de $m_2$ donne alors $m_2(S(x_1, A)) = \sum_{n \in \mathbb{N}} m_2(S(x_1, A^{(n)}))$, c'est-à-dire

$$f_A(x_1) = \sum_{n \in \mathbb{N}} f_{A^{(n)}}(x_1).$$

Le premier corollaire du théorème de convergence monotone (corollaire 4.18) donne alors :

$$m(A) = \int f_A dm_1 = \sum_{n \in \mathbb{N}} \int f_{A^{(n)}} dm_1 = \sum_{n \in \mathbb{N}} m(A^{(n)}),$$

ce qui donne la $\sigma$-additivité de $m$.

On montre maintenant que $m$ vérifie (7.1). Soient $A_1 \in T_1$ et $A_2 \in T_2$ tels que $m_1(A_1) < \infty$ et $m(A_2) < \infty$. On pose $A = A_1 \times A_2$. On a alors $f_A = m_2(A_2)1_{A_1}$ et donc $m(A) = \int f_A dm_1 = m_2(A_2)m_1(A_1)$.

Il reste à vérifier que $m$ est $\sigma$-finie. Comme $m_1$ et $m_2$ sont $\sigma$-finies, il existe $(B_1^{(n)})_{n \in \mathbb{N}} \subset T_1$ et $(B_2^{(n)})_{n \in \mathbb{N}} \subset T_2$ tels que $E_1 = \cup_{n \in \mathbb{N}} B_1^{(n)}$, $E_2 = \cup_{n \in \mathbb{N}} B_2^{(n)}$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $m_1(B_1^{(n)}) < \infty$ et $m_2(B_2^{(n)}) < \infty$. Pour $(n, m) \in \mathbb{N}^2$, on pose $C_{n,m} = B_1^{(n)} \times B_2^{(m)}$, de sorte que $E = \cup_{(n,m) \in \mathbb{N}^2} C_{n,m}$ et $m(C_{n,m}) = m_1(B_1^{(n)}) \times m_2(B_2^{(m)}) < \infty$. Comme $\mathbb{N}^2$ est dénombrable, on en déduit que $m$ est $\sigma$-finie.

### Unicité de $m$.

La partie existence de la démonstration donne une mesure $m$ sur $T$ vérifiant (7.1). La partie unicité du théorème peut se montrer avec la proposition 2.30 ; nous développons cette méthode ci-après, ou avec le lemme des classes monotones (exercice 2.13) comme cela est expliqué dans la remarque 7.4.

Soit $m$ et $\mu$ deux mesures sur $T$ vérifiant (7.1). Pour montrer que $m = \mu$, on va appliquer la proposition 2.30. On pose :

$$C = \{A_1 \times A_2, A_1 \in T_1, A_2 \in T_2, m_1(A_1) < \infty, m_2(A_2) < \infty\}.$$

Comme $m_1$ et $m_2$ sont $\sigma$-finies, il est facile de montrer que tout élément de $T_1 \times T_2$ est une réunion dénombrable d'éléments de $C$. On en déduit que $C$ engendre $T$. Il est clair que $C$ est stable par intersection finie et, par (7.1), on a $m = \mu$ sur $C$. Puis, comme $m_1$ et $m_2$ sont $\sigma$-finies, il existe deux suites $(E_{1,n})_{n \in \mathbb{N}} \subset T_1$ et $(E_{2,n})_{n \in \mathbb{N}} \subset T_2$ d'éléments de $T_1$ et $T_2$, disjoints deux à deux et t.q. $E_1 = \cup_{n \in \mathbb{N}} E_{1,n}$, $E_2 = \cup_{n \in \mathbb{N}} E_{2,n}$ et $m_i(E_{i,n}) < \infty$ pour tout $i \in \{1, 2\}$ et tout $n \in \mathbb{N}$. Pour $n, m \in \mathbb{N}$, on pose $F_{n,m} = E_{1,n} \times E_{2,m}$. La famille $(F_{n,m})_{n,m \in \mathbb{N}}$ est une famille dénombrable d'éléments de $C$, disjoints deux à deux et t.q. $E = \cup_{n,m \in \mathbb{N}} F_{n,m}$ et $m(F_{n,m}) = m_1(E_{1,n})m_2(E_{1,m}) < \infty$. On peut alors utiliser la Proposition 2.30. Elle donne $m = \mu$ sur $T$ et termine la démonstration du théorème.

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

**Remarque 7.4** Comme cela a été dit, un autre moyen de montrer la partie unicité du théorème précédent est d'utiliser le lemme des classes monotones (exercice 2.13). Supposons tout d'abord que $m_1$ et $m_2$ sont finies. On a alors (par (7.1)) :

$$m(E) = \mu(E) = m_1(E_1)m_2(E_2) < \infty.$$
La condition (7.1) donne également que $m = \mu$ sur $T_1 \times T_2$. On a alors aussi $m = \mu$ sur l'algèbre engendrée par $T_1 \times T_2$, notée $\mathcal{A}$ (cette algèbre a été définie dans la partie existence de la démonstration). En effet, si $A \in \mathcal{A}$, il existe $(A^{(p)})_{p=1,...,n} \subset T_1 \times T_2$ t.q. $A^{(p)} \cap A^{(q)} = \emptyset$ si $p \neq q$ et $A = \cup_{p=1}^n A^{(p)}$. On a alors, par additivité de $m$ et $\mu$, $m(A) = \sum_{n \in \mathbb{N}} m(A^{(n)}) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \mu(A^{(n)}) = \mu(A)$.

On pose maintenant $\Sigma = \{A \in T ; m(A) = \mu(A)\}$. On vient de montrer que $\Sigma \supset \mathcal{A}$. Il est d'autre part facile de voir que $\Sigma$ est une classe monotone. En effet, les propriétés de continuité croissante et de continuité décroissante appliquées à $m$ et $\mu$ permettent facilement de vérifier (7.3) et (7.4) (on utilise ici, pour montrer (7.4), que $m$ et $\mu$ sont des mesures finies). Comme dans la partie existence de la démonstration, l'exercice 2.13 donne alors que $\Sigma$ contient la tribu engendrée par $\mathcal{A}$ et donc que $\Sigma$ contient $T = T_1 \otimes T_2$, ce qui donne $\Sigma = T$ et donc $m = \mu$.

Dans le cas où $m_1$ et $m_2$ ne sont pas finies, mais $\sigma$-finies, il existe $(B_1^{(n)})_{n \in \mathbb{N}} \subset T_1$ et $(B_2^{(n)})_{n \in \mathbb{N}} \subset T_2$ t.q. $E_1 = \cup_{n \in \mathbb{N}} B_1^{(n)}$, $E_2 = \cup_{n \in \mathbb{N}} B_2^{(n)}$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $m_1(B_1^{(n)}) < \infty$ et $m_2(B_2^{(n)}) < \infty$. On peut également supposer que $B_1^{(n)} \subset B_1^{(n+1)}$ et $B_2^{(n)} \subset B_2^{(n+1)}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ (il suffit, par exemple, de remplacer $B_i^{(n)}$ par $\cup_{p=0}^n B_i^{(p)}$). Par un raisonnement analogue à celui fait dans le cas où $m_1$ et $m_2$ sont finies, on peut montrer que $m = \mu$ sur $\{A \in T ; A \subset B_1^{(n)} \times B_2^{(n)}\}$. On conclut alors, en utilisant la propriété de continuité croissante, que $m = \mu$ sur T.

**Remarque 7.5** Dans le théorème précédent (théorème 7.3), on peut aussi remarquer que :

1. $m(A_1 \times A_2) = m_1(A_1)m_2(A_2) = \infty$ si $A_1 \in T_1$ et $A_2 \in T_2$ avec $m_1(A_1) \neq 0$ et $m(A_2) = \infty$ (ou avec $m_1(A_1) = \infty$ et $m_2(A_2) \neq 0$),

2. $m(A_1 \times A_2) = 0$ si $A_1 \in T_1$ et $A_2 \in T_2$ avec $m_1(A_1) = 0$ et $m(A_2) = \infty$ (ou avec $m_1(A_1) = \infty$ et $m_2(A_2) = 0$).

En effet, on suppose par exemple que $m_1(A_1) = 0$ et $m(A_2) = \infty$. Comme $m_2$ est $\sigma$-finie, on peut construire une suite $(F_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset T_2$ t.q. $F_n \subset F_{n+1}$ et $m_2(F_n) < \infty$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. On a alors, par continuité croissante de $m$, $m(A_1 \times A_2) = \lim_{n \to +\infty} m(A_1 \times (A_2 \cap F_n)) = \lim_{n \to +\infty} m_1(A_1)m_2(A_2 \cap F_n) = 0$ (on a d'ailleurs aussi $m_2(A_2 \cap F_n) \uparrow \infty$, ce qui permet de conclure si $0 < m_1(A_1) < \infty$ que $m(A_1 \times A_2) = \infty$). Les autres cas se traitent de manière analogue.

## Définition 7.6 (Espace produit)

L'espace $(E, T, m)$, construit dans le théorème 7.3, s'appelle l'espace (mesuré) produit des espaces $(E_1, T_1, m_1)$ et $(E_2, T_2, m_2)$.
Un exemple fondamental d'espace produit est l'espace $(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$ pour $N \ge 2$
que nous verrons dans la section 7.4.

7.3 Théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini

**Théorème 7.7 (Fubini-Tonelli)** Soient $(E_1, T_1, m_1)$ et $(E_2, T_2, m_2)$ des espaces mesurés $\sigma$-finis. On note $(E, T, m)$ l'espace produit (donc, $T = T_1 \otimes T_2$ et $m = m_1 \otimes m_2$).
Soit $f : E \to \bar{\mathbb{R}}_+$ une fonction mesurable positive (i.e. T-mesurable positive). Alors :

1. $f(x_1, \cdot) \in \mathcal{M}_+(E_2, T_2)$ pour tout $x_1 \in E_1$,
on pose

$$
\varphi_f(x_1) = \int f(x_1, \cdot) dm_2 = \int f(x_1, x_2) dm_2(x_2) \text{ pour tout } x_1 \in E_1,
$$

de sorte que $\varphi_f : E_1 \to \bar{\mathbb{R}}_+$,

2. $\varphi_f \in \mathcal{M}_+(E_1, T_1)$,

$$
3. \int f dm = \int \varphi_f dm_1 = \int \left( \int f(x_1, x_2) dm_2(x_2) \right) dm_1(x_1),
$$

4. les mêmes résultats sont vrais en inversant les rôles de $m_1$ et $m_2$, de sorte que :

$$
\int \left( \int f(x_1, x_2) dm_2(x_2) \right) dm_1(x_1) = \int \left( \int f(x_1, x_2) dm_1(x_1) \right) dm_2(x_2).
$$

DÉMONSTRATION – la démonstration se fait en plusieurs étapes.

**Etape 1.** Soit $f = 1_A$, $A \in T$. La partie existence de $m$ de la démonstration du théorème 7.3 donne alors que $\int f dm = m(A) = \int \varphi_f dm_1$.

Plus précisément, on a, pour tout $x_1 \in E_1$, $f(x_1, \cdot) = 1_A(x_1, \cdot) = 1_{S(x_1,A)}$, avec

$$
S(x_1, A) = \{x_2 \in E_2 \text{ t.q. } (x_1, x_2) \in A\} \subset E_2
$$

(comme dans la démonstration du théorème 7.3). L'étape 1 de la démonstration (de la
partie existence) du théorème 7.3 donne que $S(x_1, A) \in T_2$ pour tout $x_1 \in E_1$, et donc
$f(x_1, \cdot) \in \mathcal{M}_+(E_2, T_2)$. Ceci donne le premier item (pour $f = 1_A$) de la conclusion du
théorème 7.7.

On pose $\varphi_f(x_1) = \int f(x_1, \cdot) dm_2 = m_2(S(x_1, A))$ pour tout $x_1 \in E_1$. (Cette fonction $\varphi_f$ est notée $f_A$ dans la démonstration du théorème 7.3). L'étape 2 de la démonstration du théorème 7.3 donne que $\varphi_f \in \mathcal{M}_+(E_1, T_1)$. Ceci donne le deuxième item (pour $f = 1_A$) de la conclusion du théorème 7.7.

On a alors posé, dans la démonstration du théorème 7.3, $m(A) = \int \varphi_f dm_1$ et l'étape 3
a montré que $m$ est une mesure sur $T$ vérifiant (7.1) (et la seule mesure sur $T$ vérifiant
(7.1), d'après la partie unicité de la démonstration du théorème 7.3). Ceci donne le troisième item (pour $f = 1_A$) de la conclusion du théorème 7.7.

Pour avoir le quatrième item (pour $f = 1_A$) de la conclusion du théorème 7.7, il suffit de remarquer que l'on peut inverser les rôles de $m_1$ et $m_2$ dans la démonstration du théorème 7.7. On obtient ainsi que $f(\cdot, x_2) \in \mathcal{M}_+(E_1, T_1)$ pour tout $x_2 \in E_2$. On pose alors $\psi_f(x_2) = \int f(\cdot, x_2)dm_1$. On obtient que $\psi_f \in \mathcal{M}_+(E_2, T_2)$. Enfin, on pose $\tilde{m}(A) = \int \psi_f dm_2$ et on obtient que $\tilde{m}$ est une mesure sur $T$ vérifiant (7.1). La partie unicité de la démonstration du théorème 7.3 donne alors que $m = \tilde{m}$, ce qui est exactement le quatrième item (pour $f = 1_A$) de la conclusion du théorème 7.7.

**Étape 2.** On prend maintenant $f \in \mathcal{E}_+(E, T)$.

Il existe donc $a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}_+^*$ et $A_1, \dots, A_n \in T$ t.q. $f = \sum_{i=1}^n a_i 1_{A_i}$.

On a alors, pour tout $x_1 \in E_1$, $f(x_1, \cdot) = \sum_{i=1}^n a_i 1_{A_i}(x_1, \cdot) \in \mathcal{M}_+(E_2, T_2)$ car l'étape 1 donne $1_{A_i}(x_1, \cdot) \in \mathcal{M}_+(E_2, T_2)$ pour tout $i$. Ce qui donne le premier item de la conclusion du théorème 7.7.

On pose $\varphi_f(x_1) = \int f(x_1, \cdot) dm_2$ pour tout $x_1 \in E_1$. On a $\varphi_f \in \mathcal{M}_+(E_1, T_1)$ car $\varphi_f = \sum_{i=1}^n a_i \varphi_{1_{A_i}}$ et que $\varphi_{1_{A_i}} \in \mathcal{M}_+(E_1, T_1)$ pour tout $i$ (d'après l'étape 1), ce qui donne le deuxième item de la conclusion du théorème 7.7.

Enfin, on utilise la linéarité de l'intégrale et l'étape 1 pour $f = 1_{A_i}$, on obtient :

$$ 
\begin{align*}
\int f dm &= \sum_{i=1}^{n} a_i m(A_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i \int \varphi_{1_{A_i}} dm_1 = \int \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \varphi_{1_{A_i}} \right) dm_1 \\
&= \int \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \int 1_{A_i}(x_1, \cdot) dm_2 \right) dm_1(x_1) = \int \left( \int f(x_1, \cdot) dm_2 \right) dm_1(x_1) \\
&= \int \varphi_f dm_1.
\end{align*}
$$

Ce qui donne le troisième item de la conclusion du théorème 7.7.

Pour avoir le quatrième item de la conclusion du théorème 7.7, il suffit de changer les rôles de $m_1$ et $m_2$.

**Étape 3.** On peut enfin prendre $f \in \mathcal{M}_+(E, T)$. Il existe une suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathcal{E}_+(E, T)$ t.q. $f_n \uparrow f$ quand $n \to +\infty$.

On a donc, pour tout $x_1 \in E_1$, $f_n(x_1, \cdot) \uparrow f(x_1, \cdot)$ quand $n \to +\infty$. On en déduit que $f(x_1, \cdot) \in \mathcal{M}_+(E_2, T_2)$ car (d'après l'étape 2) $f_n(x_1, \cdot) \in \mathcal{M}_+(E_2, T_2)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ (ce qui donne le premier item).

Le théorème de convergence monotone (pour $m_2$) donne que

$$ \varphi_{f_n}(x_1) = \int f_n(x_1, \cdot) dm_2 \uparrow \int f(x_1, \cdot) dm_2 = \varphi_f(x_1) $$

pour tout $x_1 \in E_1$. Donc, $\varphi_{f_n} \uparrow \varphi_f$. Comme $\varphi_{f_n} \in \mathcal{M}_+(E_1, T_1)$ (d'après l'étape 2), on en déduit que $\varphi_f \in \mathcal{M}_+(E_1, T_1)$ (ce qui donne le deuxième item).
On applique maintenant le théorème de convergence monotone pour $m_1$ et pour $m$, ils donnent :

$$ \int \varphi_{f_n} dm_1 \uparrow \int \varphi_f dm_1 \text{ et } \int f_n dm \uparrow \int f dm \text{ quand } n \to +\infty. $$

L'étape 2 donne $\int f_n dm = \int \varphi_{f_n} dm_1$, on en déduit donc que $\int f dm = \int \varphi_f dm_1$, ce qui donne le troisième item de la conclusion du théorème 7.7.

Enfin, ici encore, pour avoir le quatrième item de la conclusion du théorème 7.7, il suffit de changer les rôles de $m_1$ et $m_2$. ■

**Corollaire 7.8** Soient $(E_1, T_1, m_1)$ et $(E_2, T_2, m_2)$ des espaces mesurés $\sigma$-finis. On note $(E,T,m)$ l'espace produit. Soit $f: E \to \mathbb{R}$ une fonction T-mesurable. Alors :

$$ f \in \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^{1}(E, T, m) \Leftrightarrow \int \left( \int |f| dm_2 \right) dm_1 < +\infty \Leftrightarrow \int \left( \int |f| dm_1 \right) dm_2 < +\infty. \quad (7.6) $$

**DÉMONSTRATION** – Le corollaire découle immédiatement du théorème 7.7 appliqué à la fonction $|f|$ qui appartient à $M_+(E, T)$. Dans (7.6), la notation $(\int |f| dm_2) dm_1$ signifie :

$$ \left( \int |f(x_1, x_2)| dm_2(x_2) \right) dm_1(x_1). $$

La notation est similaire en inversant les rôles de $m_1$ et $m_2$. ■

Voici une conséquence immédiate du théorème 7.7 pour la mesurabilité :

**Proposition 7.9** Soient $(E_1, T_1)$ et $(E_2, T_2)$ deux espaces mesurables. On pose $E = E_1 \times E_2$ et $T = T_1 \otimes T_2$. Soit $f \in \mathcal{M}(E, T)$ (c'est-à-dire $f: E \to \mathbb{R}$, T-mesurable). Alors :

1. $f(x_1, \cdot) \in \mathcal{M}(E_2, T_2)$, pour tout $x_1 \in E_1$,

2. $f(\cdot, x_2) \in \mathcal{M}(E_1, T_1)$, pour tout $x_2 \in E_2$.

**DÉMONSTRATION** – La démonstration est facile, il suffit de remarquer que $f = f^+ - f^-$ et que $f^+, f^- \in M_+(E, T)$. Le premier item de la conclusion du théorème 7.7 donne alors, pour tout $x_1 \in E_1$, $f^+(x_1, \cdot) \in M_+(E_2, T_2)$ et $f^-(x_1, \cdot) \in M_+(E_2, T_2)$. Comme $f(x_1, \cdot) = f^+(x_1, \cdot) - f^-(x_1, \cdot)$, on en déduit que $f(x_1, \cdot) \in \mathcal{M}(E_2, T_2)$. En changeant les rôles de $(E_1, T_1)$ et $(E_2, T_2)$, on montre aussi que $f(\cdot, x_2) \in \mathcal{M}(E_1, T_1)$, pour tout $x_2 \in E_2$. ■

**Remarque 7.10** La réciproque de la proposition précédente est fausse. Soient $(E_1, T_1)$ et $(E_2, T_2)$ deux espaces mesurables, $E = E_1 \times E_2$ et $T = T_1 \otimes T_2$. Soit $f: E \to \mathbb{R}$ t.q.

1. $f(x_1, \cdot) \in \mathcal{M}(E_2, T_2)$, pour tout $x_1 \in E_1$,
2. $f(\cdot, x_2) \in \mathcal{M}(E_1, T_1)$, pour tout $x_2 \in E_2$.

Alors, $f$ n'est pas forcément T-mesurable. Un exemple est donné dans l'exercice 7.4. Un cas particulier intéressant pour laquelle cette réciproque est vraie est donné par la proposition 7.11.

**Proposition 7.11** *Soient $(E_1, T_1)$ et $(E_2, T_2)$ deux espaces mesurables. On pose $E = E_1 \times E_2$ et $T = T_1 \times T_2$. Soient $F_1 \in \mathcal{M}(E_1, T_1)$ et $F_2 \in \mathcal{M}(E_2, T_2)$. On définit $f : E \to \mathbb{R}$ par $f(x_1, x_2) = F_1(x_1)F_2(x_2)$ pour tout $(x_1, x_2) \in E$. Alors $f$ est T-mesurable (c'est-à-dire $f \in \mathcal{M}(E, T)$).*

**DÉMONSTRATION –** On procède en trois étapes.

**Etape 1.** On prend d'abord $F_1 = 1_{A_1}$ et $F_2 = 1_{A_2}$ avec $A_1 \in T_1$ et $A_2 \in T_2$. On a alors $f = 1_{A_1 \times A_2} \in \mathcal{M}(E, T)$ car $A_1 \times A_2 \in T_1 \times T_2 \subset T_1 \otimes T_2 = T$.

**Etape 2.** On prend maintenant $F_1 \in \mathcal{E}(E_1, T_1)$ et $F_2 \in \mathcal{E}(E_2, T_2)$.

Il existe alors $a_1^{(1)}, \dots, a_n^{(1)} \in \mathbb{R}$, $A_1^{(1)}, \dots, A_n^{(1)} \in T_1$, $a_1^{(2)}, \dots, a_m^{(2)} \in \mathbb{R}$ et $A_1^{(2)}, \dots, A_m^{(2)} \in T_2$ t.q. :

$$F_1 = \sum_{i=1}^{n} a_i^{(1)} A_i^{(1)} \text{ et } A_i^{(1)} \cap A_k^{(1)} = \emptyset \text{ si } i \neq k,$$

$$F_2 = \sum_{j=1}^{m} a_j^{(2)} A_j^{(2)} \text{ et } A_j^{(2)} \cap A_k^{(1)} = \emptyset \text{ si } j \neq k.$$

On a alors $f = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_i^{(1)} a_j^{(2)} 1_{A_i^{(1)} \times A_j^{(2)}} \in \mathcal{E}(E, T) \subset \mathcal{M}(E, T)$.

**Etape 3.** On prend enfin $F_1 \in \mathcal{M}(E_1, T_1)$ et $F_2 \in \mathcal{M}(E_2, T_2)$. Il existe $(F_n^{(1)})_{n \in \mathbb{N}}$ suite de $\mathcal{E}(E_1, T_1)$ et $(F_n^{(2)})_{n \in \mathbb{N}}$ suite de $\mathcal{E}(E_2, T_2)$ t.q. $F_n^{(1)}(x_1) \to F_1(x_1)$ pour tout $x_1 \in E_1$ et $F_n^{(2)}(x_2) \to F_2(x_2)$ pour tout $x_2 \in E_2$. On en déduit que $f_n(x_1, x_2) = F_n^{(1)}(x_1)F_n^{(2)}(x_2) \to f(x_1, x_2)$ pour tout $(x_1, x_2) \in E$ et donc que $f \in \mathcal{M}(E, T)$ car $f_n \in \mathcal{M}(E, T)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ (étape 2). ■

**Théorème 7.12 (Fubini)** *Soient $(E_1, T_1, m_1)$ et $(E_2, T_2, m_2)$ des espaces mesurés σ-finis. On note $(E, T, m)$ l'espace produit. Soit $f$ une fonction T-mesurable de $E$ dans $\mathbb{R}$ (c'est-à-dire $f \in \mathcal{M}(E, T)$) et intégrable pour la mesure $m$, c'est-à-dire $f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, (E, T, m))$. Alors :*

1. $f(x_1, \cdot) \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, E_2, T_2, m_2)$ pour presque tout $x_1 \in E_1$,
on pose $\varphi_f(x_1) = \int f(x_1, \cdot) dm_2$ pour $x_1 \in E_1$ t.q. $f(x_1, \cdot) \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, E_2, T_2, m_2)$. La fonction $\varphi_f$ est donc définie p.p. sur $E_1$ (et à valeurs dans $\mathbb{R}$).

2. $\varphi_f \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, E_1, T_1, m_1)$ (au sens : il existe $g \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, E_1, T_1, m_1)$ t.q. $f = g$ p.p.).
$$3. \iint f dm = \iint \varphi_f dm_1 = \iint \left( \iint f(x_1, x_2) dm_2(x_2) \right) dm_1(x_1),$$

4. les mêmes résultats sont vrais en inversant les rôles de $m_1$ et $m_2$, de sorte que :

$$\iint \left( \iint f(x_1, x_2) dm_2(x_2) \right) dm_1(x_1) = \iint \left( \iint f(x_1, x_2) dm_1(x_1) \right) dm_2(x_2).$$

DÉMONSTRATION – Comme $f \in \mathcal{M}(E, T)$, on a $f^+, f^- \in \mathcal{M}_+(E, T)$. On peut donc appliquer le théorème de Fubini-Tonelli (théorème 7.7) à $f^+$ et $f^-$. Il donne :

$$1. f^+(x_1, \cdot), f^-(x_1, \cdot) \in \mathcal{M}_+(E_2, T_2), \text{ pour tout } x_1 \in E_1,$$

$$2. \varphi_{f^+}, \varphi_{f^-} \in \mathcal{M}_+(E_1, T_1) \text{ avec } \varphi_{f^\pm}(x_1) = \int f^\pm(x_1, \cdot) dm_2 \text{ pour tout } x_1 \in E_1.$$

$$3. \int f^\pm dm = \int \varphi_{f^\pm} dm_1.$$

Le premier item donne que $f(x_1, \cdot) = f^+(x_1, \cdot) - f^-(x_1, \cdot) \in \mathcal{M}(E_2, T_2)$ (noter que $f, f^+$ et $f^-$ sont à valeurs dans $\mathbb{R}$).

Comme $\int f^+ dm < \infty$ et $\int f^- dm < \infty$ (car $f \in \mathcal{L}^1_{\mathbb{R}}(E, T, m)$), le troisième item donne que $\varphi_{f^+} < \infty$ p.p. (sur $E_1$) et que $\varphi_{f^-} < \infty$ p.p. (sur $E_1$). On a donc $f^+(x_1, \cdot) \in \mathcal{L}^1_{\mathbb{R}}(E_2, T_2, m_2)$ et $f^-(x_1, \cdot) \in \mathcal{L}^1_{\mathbb{R}}(E_2, T_2, m_2)$ pour presque tout $x_1 \in E_1$. On en déduit donc que $f(x_1, \cdot) = f^+(x_1, \cdot) - f^-(x_1, \cdot) \in \mathcal{L}^1_{\mathbb{R}}(E_2, T_2, m_2)$ pour presque tout $x_1 \in E_1$. Ce qui donne le premier item de la conclusion.

La fonction $\varphi_f$ est donc définie p.p. sur $E_1$ et on a $\varphi_f = \varphi_{f^+} - \varphi_{f^-}$ p.p. (on a $\varphi_f(x_1) = \varphi_{f^+}(x_1) - \varphi_{f^-}(x_1)$ en tout point $x_1$ t.q. $\varphi_{f^+}(x_1) < \infty$ et $\varphi_{f^-}(x_1) < \infty$). Comme $\varphi_{f^+} < \infty$ et $\varphi_{f^-} < \infty$ p.p, on peut trouver $A \in T_1$ t.q. $m_1(A) = 0$ et $\varphi_{f^+} < \infty$ et $\varphi_{f^-} < \infty$ sur $A^c = E_1 \setminus A$. En posant $g = \varphi_{f^+} - \varphi_{f^-}$ sur $A^c$ et $g = 0$ sur $A$, on a donc $g \in \mathcal{M}(E_1, T_1)$, $g = \varphi_f$ p.p. et $g \in \mathcal{L}^1_{\mathbb{R}}(E_1, T_1, m_1)$ car $\int |g| dm_1 \le \int \varphi_{f^+} dm_1 + \int \varphi_{f^-} dm_1 < \infty$. Ceci donne le deuxième item de la conclusion (le fait que $\varphi_f$ appartienne à $\mathcal{L}^1_{\mathbb{R}}(E_1, T_1, m_1)$) et donne aussi le troisième item car :

$$\begin{align*}
\int \varphi_f dm_1 &= \int g dm_1 = \int \varphi_{f^+} dm_1 - \int \varphi_{f^-} dm_1 \\
&= \int f^+ dm - \int f^- dm = \int f dm.
\end{align*}$$

Enfin, comme pour le théorème de Fubini-Tonelli, le quatrième item de la conclusion s'obtient en changeant les rôles de $m_1$ et $m_2$. ■

Le théorème de Fubini est souvent utilisé sous la forme du corollaire suivant :

**Corollaire 7.13** *Soit $(E_1, T_1, m_1)$ et $(E_2, T_2, m_2)$ des espaces mesurés $\sigma$-finis, $(E, T, m)$ l'espace produit et $f : E \to \mathbb{R}$ une fonction T-mesurable t.q. :*

$$\int \left( \iint |f(x_1, x_2)| dm_2(x_2) \right) dm_1(x_1) < +\infty$$
ou

$$ \int \left( \int |f(x_1, x_2)| dm_1(x_1) \right) dm_2(x_2) < +\infty. $$

Alors :

$$ \int \left( \int f(x_1, x_2) dm_2(x_2) \right) dm_1(x_1) = \int \left( \int f(x_1, x_2) dm_1(x_1) \right) dm_2(x_2). $$

(Toutes les intégrales ayant bien un sens.)

DÉMONSTRATION – Le corollaire est une conséquence immédiate du théorème 7.12 et de l'équivalence (7.6). ■

**Remarque 7.14 (Contre-exemple lié au théorème de Fubini)** On cherche ici à construire une fonction pour laquelle la conclusion du théorème de Fubini n'est pas vérifiée. Soit $a$ une fonction (continue) de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(x,y) = a(x)$ si $x \ge 0$ et $x \le y < 2x$, $f(x,y) = -a(x)$ si $x \ge 0$ et $2x \le y < 3x$, $f(x,y) = 0$ si $x < 0$ ou $x \ge 0$ et $y \notin [x, 3x]$. On pose $b(x) = xa(x)$. On peut montrer que les hypothèses du théorème de Fubini ne sont vérifiées que si $b \in L_1^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. En prenant par exemple $a(x) = 1/(1+x)^2$, on montre que $\int (\int f(x,y)dy)dx \neq \int (\int f(x,y)dx)dy$ (voir l'exercice 7.5).

## 7.4 Mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens de $\mathbb{R}^N$

On a déjà vu que $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N) = \mathcal{B}(\mathbb{R}^{N-1}) \otimes \mathcal{B}(\mathbb{R})$ pour tout $N \ge 1$ (exercice 2.6 pour $N=2$ et exercice 7.1). Le paragraphe précédent permet alors de définir la mesure de Lebesgue sur les boréliens de $\mathbb{R}^N$ (c'est-à-dire sur la tribu $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, engendrée par les ouverts de $\mathbb{R}^N$) pour tout $N \ge 1$.

**Définition 7.15 (Mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$)**

1. La mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ est la mesure $\lambda \otimes \lambda$, on la note $\lambda_2$.

2. Par récurrence sur $N$, la mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, $N \ge 3$, est la mesure $\lambda_{N-1} \otimes \lambda$, on la note $\lambda_N$.

On note $L^1(\mathbb{R}^N)$ l'espace $L_1^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$, et pour $f \in L^1(\mathbb{R}^N)$, on note

$$ \int f(x)d\lambda_N(x) = \int f(x)dx. $$

On donne maintenant quelques propriétés de la mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$. Il s'agit de propriétés élémentaires ou de généralisations simples de propriétés vues pour la mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Les démonstrations seront proposées en exercices.
**Proposition 7.16 (Propriétés élémentaires de $\lambda_N$)**

Soit $N \ge 2$. On rappelle que $\lambda_N$ est la mesure de Lebesgue sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$.

1. La mesure $\lambda_N$ est $\sigma$-finie.

2. Soit $A_1, \dots, A_N \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. Alors, $\prod_{i=1}^N A_i \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ et

$$ \lambda_N(\prod_{i=1}^N A_i) = \prod_{i=1}^N \lambda(A_i). $$

3. Soit $\alpha_1, \dots, \alpha_N \in \mathbb{R}$ et $\beta_1, \dots, \beta_N \in \mathbb{R}$ t.q. $\alpha_i < \beta_i$ pour tout $i \in \{1, \dots, N\}$. Alors :

$$ \lambda_N(\prod_{i=1}^N |\alpha_i - \beta_i|) = \prod_{i=1}^N \lambda(|\alpha_i - \beta_i|) = \prod_{i=1}^N (\beta_i - \alpha_i). $$

4. Soit $K$ un compact de $\mathbb{R}^N$ (noter que $K \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$). Alors, $\lambda_N(K) < +\infty$.

5. Soit $O$ un ouvert non vide de $\mathbb{R}^N$. Alors, $\lambda_N(O) > 0$.

6. Soit $f, g \in C(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$. Alors $f = g$ p.p. (c'est-à-dire $\lambda_N$-p.p.) implique $f(x) = g(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}^N$.

7. $C_c(\mathbb{R}^N, \mathbb{R}) \subset \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$. (En confondant $f$ avec sa classe, on écrira donc souvent $C_c(\mathbb{R}^N, \mathbb{R}) \subset \mathbb{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}^N)$.)

**DÉMONSTRATION –** Comme $\lambda_N$ est une mesure produit, le fait que $\lambda_N$ est $\sigma$-finie est (par récurrence sur $N$) une conséquence du théorème donnant l'existence (et l'unicité) de la mesure produit (théorème 7.3) car ce théorème donne que le produit de mesures $\sigma$-finies est $\sigma$-finie.

La démonstration des autres propriétés fait l'objet de l'exercice 7.11. ■

Une propriété très importante de $\lambda_N$ est sa régularité, c'est-à-dire que pour tout élément $A$ de $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ et pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $O$ ouvert de $\mathbb{R}^N$ et $F$ fermé de $\mathbb{R}^N$ tels que

$$ F \subset A \subset O \text{ et } \lambda_N(O \setminus F) \le \varepsilon. $$

Cette propriété est une conséquence du fait que toute mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, finie sur les compacts, est régulière (proposition 7.17).

**Proposition 7.17 (Régularité d'une mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, finie sur les compacts)**

Soit $m$ une mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ t.q. $m(K) < \infty$ pour tout compact $K$ de $\mathbb{R}^N$. (Noter que ceci est vrai pour $m = \lambda_N$.) Alors :

1. Pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ et pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $O$ ouvert de $\mathbb{R}^N$ et $F$ fermé de $\mathbb{R}^N$ tels que :

$$ F \subset A \subset O \text{ et } m(O \setminus F) \le \varepsilon. $$
2. Pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, on a $m(A) = \inf\{m(O), O \text{ ouvert t.q. } A \subset O\}$.

DÉMONSTRATION – Cette proposition fait l'objet de l'exercice 7.12. ■

On donne maintenant des généralisations au cas de $\lambda_N$ de propriétés déjà vues pour $\lambda$.

**Proposition 7.18 (Densité de $C_c$ dans $L^1(\mathbb{R}^N)$)** *Pour tout* $N \ge 1$, *l'espace* $C_c(\mathbb{R}^N$, $\mathbb{R}$) est dense dans $L^1(\mathbb{R}^N)$ (c'est-à-dire que, pour tout $f \in L^1(\mathbb{R}^N)$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ t.q. $\|f - \varphi\|_1 \le \varepsilon)$.

DÉMONSTRATION – La démonstration de cette proposition fait l'objet de l'exercice 7.13, elle découle essentiellement de la régularité de $\lambda_N$. Cette démonstration est très voisine de celle faite pour le cas $N = 1$, théorème 5.20. ■

Comme cela a déjà été dit après le théorème 5.20, le résultat de densité que nous venons d'énoncer n'est pas limité à la mesure de Lebesgue. Il est vrai pour toute mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, finie sur les compacts. Il est aussi vrai en remplaçant $C_c$ par $C_c^\infty$. On obtient donc le théorème suivant :

**Théorème 7.19 (Densité de $C_c^\infty$ dans $L^1(\mathbb{R}^N)$)** *Soit* $N \ge 1$ *et* $\mu$ *sur une mesure sur* $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, *finie sur les compacts*. Alors, l'espace $C_c^\infty(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ est dense dans $L^1(\mathbb{R}^N$, $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, $\mu$) (c'est-à-dire que, pour tout $f \in L^1(\mathbb{R}^N$, $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, $\mu$) et tout $\varepsilon > 0$, il existe $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ t.q. $\|f - \varphi\|_1 \le \varepsilon)$.

La démonstration de ce théorème fait l'objet de l'exercice 7.14.

**Proposition 7.20 (Invariance par translation)** *Soient* $N \ge 1$, $\alpha_1, \dots, \alpha_N \in \mathbb{R}^*$ et $\beta_1, \dots, \beta_N \in \mathbb{R}$.

Pour $x = (x_1, \dots, x_N)^t \in \mathbb{R}^N$, on pose $\varphi(x) = (\alpha_1 x_1 + \beta_1, \dots, \alpha_N x_N + \beta_N)^t$ (noter que $\varphi$ est une bijection de $\mathbb{R}^N$ dans $\mathbb{R}^N$). Pour tout $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, on alors $\varphi(A) = \{\varphi(x), x \in A\} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ et $\lambda_N(\varphi(A)) = \prod_{i=1}^N |\alpha_i|\lambda_N(A)$.

Pour $\alpha_i = 1$ pour tout $i$, cette propriété s'appelle invariance par translation de $\lambda_N$.

DÉMONSTRATION – Cette proposition a déjà été vue pour $N = 1$, proposition 2.47. La démonstration de la proposition 2.47 utilisait, par exemple, le fait que tout ouvert est réunion dénombrable d'intervalles ouverts disjoints deux à deux (et la régularité de $\lambda$). La démonstration proposée ici pour $N \ge 1$ utilise une récurrence sur $N$ et la partie unicité du théorème 7.3 sur la mesure produit. Elle fait l'objet de l'exercice 7.15.

On peut aussi noter que la partie unicité du théorème 7.3 peut être faite (voir la remarque 7.4) avec le lemme des classes monotones (exercice 2.13). Ce lemme pourrait
aussi être utilisé pour démontrer la proposition 2.47 (au lieu du théorème de régularité et du fait que tout ouvert est réunion dénombrable d'intervalle ouverts disjoints deux à deux).

**Proposition 7.21 (Changement de variables simple)**

Soient $N \ge 1$, $\alpha_1, \dots, \alpha_N \in \mathbb{R}^*$ et $\beta_1, \dots, \beta_N \in \mathbb{R}$.

Pour $x = (x_1, \dots, x_N)^t \in \mathbb{R}^N$, on pose $\varphi(x) = (\alpha_1 x_1 + \beta_1, \dots, \alpha_N x_N + \beta_N)^t$ (de sorte que $\varphi$ est une bijection de $\mathbb{R}^N$ dans $\mathbb{R}^N$). Alors :

1. Pour tout $f \in \mathcal{M}_+ = \mathcal{M}_+(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N))$, on a $f \circ \varphi \in \mathcal{M}_+$ et :

$$ \int f d\lambda_N = \prod_{i=1}^{N} |\alpha_i| \int (f \circ \varphi) d\lambda_N. $$

2. Pour tout $f \in \mathcal{L}^1 = \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$, on a $f \circ \varphi \in \mathcal{L}^1$ et :

$$ \int f d\lambda_N = \prod_{i=1}^{N} |\alpha_i| \int (f \circ \varphi) d\lambda_N. $$

**DÉMONSTRATION –** La démonstration est une conséquence simple de la proposition 7.20. Elle fait l'objet de l'exercice 7.16.

Noter aussi que $\prod_{i=1}^N |\alpha_i|$ est la valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne de $\varphi$ au point $x$. Cette matrice est notée $D\varphi(x)$, elle ne dépend pas de $x$ pour les applications considérées dans cette proposition. Cette proposition sera généralisée au théorème 7.29. ■

**7.5 Convolution**

On rappelle que $L^1(\mathbb{R}^N) = L_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$ et que, pour $f \in L^1(\mathbb{R}^N)$, $\int f d\lambda_N = \int f(x)d\lambda_N(x) = \int f(x)dx$ (c'est-à-dire que $dx$ signifie toujours $d\lambda_N(x)$).

On note aussi $\mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N) = \mathcal{L}_{\mathbb{R}}^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$.

Soient $f, g \in L^1(\mathbb{R}^N)$. On souhaite définir la fonction convoluee de $f$ et $g$, c'est-à-dire définir $f * g$ par :

$$ f * g(x) = \int f(t)g(x-t)dt. $$

La définition de cette fonction nécessite les deux conditions suivantes :

1. Il faut que la définition ne dépende pas des représentants choisis pour $f$ et $g$.
2. Il faut que, ayant choisi des représentants pour $f$ et $g$, encore notés $f$ et $g$, la fonction $g(x-\cdot)f(\cdot)$ appartienne à $L^1(\mathbb{R}^N)$ (au sens “il existe $h \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N)$ t.q. $g(x-\cdot)f(\cdot) = h$ p.p.”). Ceci n’est pas immédiat car, en général, le produit deux fonctions intégrables n’est pas une fonction intégrable.

La condition 1 est satisfaite, car, pour $x \in \mathbb{R}^N$, si $f, f_1, g$ et $g_1$ sont des fonctions de $\mathbb{R}^N$ dans $\mathbb{R}$, on a :

$$f = f_1 \text{ p.p., } g = g_1 \text{ p.p.} \Rightarrow f(\cdot)g(x-\cdot) = f_1(\cdot)g_1(x-\cdot) \text{ p.p..} \quad (7.7)$$

(p.p. signifiant ici $\lambda_N$-p.p..) En effet, il suffit de remarquer que si $f = f_1$ p.p. et $g = g_1$ p.p., il existe $A, B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$ t.q. $\lambda_N(A) = \lambda_N(B) = 0$, $f = f_1$ sur $A^c$ et $g = g_1$ sur $B^c$. Pour $x \in \mathbb{R}^N$, on a alors $f(\cdot)g(x-\cdot) = f_1(\cdot)g_1(x-\cdot)$ sur $A^c \cap B_x^c = (A \cup B_x)^c$ avec $B_x = \{x-z, z \in B\}$. On en déduit bien $f(\cdot)g(x-\cdot) = f_1(\cdot)g_1(x-\cdot)$ p.p. car $\lambda_N(A \cup B_x) \le \lambda_N(A) + \lambda_N(B_x) = \lambda_N(A) + \lambda_N(B) = 0$ (on utilise ici la propriété d'invariance par translation donnée dans la proposition 7.20).

On en déduit que, si $f$ et $f_1$ [resp. $g$ et $g_1$] sont des représentants d'un même élément de $L^1(\mathbb{R}^N)$, on a $f(\cdot)g(x-\cdot) \in L^1(\mathbb{R}^N)$ si et seulement si $f_1(\cdot)g_1(x-\cdot) \in L^1(\mathbb{R}^N)$ et, si $f(\cdot)g(x-\cdot) \in L^1(\mathbb{R}^N)$, on a $\int f(t)g(x-t)dt = \int f_1(t)g_1(x-t)dt$.

On montre dans la proposition suivante que la condition 2 est satisfaite pour presque tout $x \in \mathbb{R}^N$.

**Proposition 7.22 (Convolution)** Soient $f, g \in L^1(\mathbb{R}^N)$ (que l'on confond avec l'un de leurs représentants). Alors :

* Pour presque tout $x \in \mathbb{R}^N$, la fonction $g(x-\cdot)f(\cdot)$ appartient à $L^1(\mathbb{R}^N)$ (en la confondant avec sa classe). On pose donc : $f * g(x) = \int f(t)g(x-t)dt$. La fonction $f * g$ est donc définie p.p. sur $\mathbb{R}^N$.

* $f * g \in L^1(\mathbb{R}^N)$ (au sens “il existe $h \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^N)$ t.q. $f * g = h$ p.p.”).

* $\|f * g\|_1 \le \|f\|_1 \|g\|_1$.

**DÉMONSTRATION** – On donne la démonstration pour $N = 1$ (le cas $N > 1$ est similaire, en ayant d'abord montré que $\lambda_{2N} = \lambda_N \otimes \lambda_N$).

On choisit des représentants de $f$ et $g$, de sorte que $f, g \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}) = \mathcal{L}^1(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$. On souhaite appliquer le théorème de Fubini (théorème 7.12) à $H : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, définie par $H(x, y) = f(y)g(x-y)$, avec les espaces mesurés $(E_i, T_i, m_i) = (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ pour $i = 1, 2$.

Comme $\lambda$ est $\sigma$-finie, pour appliquer le théorème de Fubini, il suffit de vérifier que $H$ est $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$-mesurable et que $\int (\int |H(x, y)|dx)dy < \infty$.

On montre d'abord que $H$ est $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$-mesurable. On a $H = H_1 \circ \psi$ avec :

$$H_1 : (x, y) \mapsto f(x)g(y), \quad \psi : (x, y) \mapsto (y, x-y).$$
La fonction $H_1$ est mesurable de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ (car $f$ et $g$ sont mesurables de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, on applique ici la proposition 7.11) et $\psi$ est mesurable de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ car continue ($\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^2$ sont toujours munis de leur tribu borélienne). La fonction $H$ est donc mesurable de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ comme composée de fonctions mesurables. On peut maintenant calculer l'intégrale de $|H|$ :

$$ \int \left( \int |H(x,y)|dx dy \right) = \int \left( \int |f(y)g(x-y)|dx dy \right) = \int |f(y)| \left( \int |g(x-y)|dx dy \right). $$

La proposition 7.21 donne $\int |g(x-y)|dx = \int |g(x)|dx = \|g\|_1$, Donc :

$$ \int \left( \int |H(x,y)|dx dy \right) = \|g\|_1 \int |f(y)|dy = \|g\|_1 \|f\|_1 < \infty. $$

Le théorème de Fubini peut donc s'appliquer. Il donne que $H(x, \cdot) \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ pour presque tout $x \in \mathbb{R}$. Donc, $g(x - \cdot)f(\cdot) \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ pour presque tout $x \in \mathbb{R}$. Ceci montre bien que $f * g$ est définie p.p.. Le théorème de Fubini donne alors aussi que $f * g \in L^1(\mathbb{R})$ (au sens “il existe $h \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$ t.q. $f * g = h$ p.p.”).

Enfin pour montrer que $\|f * g\|_1 \le \|f\|_1 \|g\|_1$, il suffit de remarquer que :

$$ \|f * g\|_1 = \int |\int f(y)g(x-y)dy|dx \le \int (\int |H(x,y)|dx)dy = \|g\|_1 \|f\|_1. $$

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**Remarque 7.23** On a vu précédemment que $L^1(\mathbb{R}^N)$ muni de l'addition (loi de composition interne), de la multiplication par un scalaire (loi de composition externe) et de la norme $\| \cdot \|_1$ est un espace de Banach. L'ajout de la convolution (loi de composition interne) confère à $L^1(\mathbb{R}^N)$ la structure d'algèbre de Banach.

On sait aussi que $C_b(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ muni de l'addition, de la multiplication interne, de la multiplication par un scalaire et de la norme de la convergence uniforme $\| \cdot \|_u$ est aussi une algèbre de Banach. En fait, nous montrerons par la suite qu'il existe un isomorphisme d'algèbre, appelé transformation de Fourier, entre $L^1(\mathbb{R}^N)$ et son image (par cette transformation) dans $C_b(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$.

**Remarque 7.24** On donne ici quelques propriétés supplémentaires de la convolution.
Soit $N \ge 1$. Pour $p \in [1, \infty]$, on pose $L^p(\mathbb{R}^N) = L^p(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$.

1. Soit $f, g \in L^1(\mathbb{R}^N)$. On a alors $f * g = g * f$ p.p.. Ceci découle de l'invariance par translation de la mesure de Lebesgue (propositions 7.20 et 7.21) et est démontré dans l'exercice 7.18.

2. Soit $1 < p < \infty$. Soient $f \in L^p(\mathbb{R}^N)$ et $g \in L^1(\mathbb{R}^N)$. Alors, $f * g$ est définie p.p. sur $\mathbb{R}^N$, $f * g \in L^p(\mathbb{R}^N)$ et $\|f * g\|_p \le \|f\|_p \|g\|_1$. Cette propriété fait l'objet de l'exercice 7.20.

3. Soit $p, q \in [1, \infty]$ t.q. $(1/p) + (1/q) = 1$. Soient $f \in L^p(\mathbb{R}^N)$ et $g \in L^q(\mathbb{R}^N)$. Alors, $f * g$ est définie partout sur $\mathbb{R}^N$ et $f * g \in C_b(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$, voir l'exercice 8.6.
4. Soit $p \in [1, \infty]$. Soient $f \in L^p(\mathbb{R}^N)$ et $g \in C_c^\infty(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$. Alors, $f \ast g$ est définie partout sur $\mathbb{R}^N$ et $f \ast g \in C^\infty(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$, voir l'exercice 7.19.

5. (Régularisation par convolution) Soit $f : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$. On dit que $f \in L_{\text{loc}}^1(\mathbb{R}^N)$ si $f1_K \in L^1(\mathbb{R}^N)$ pour tout compact K de $\mathbb{R}^N$. On suppose que $f \in L_{\text{loc}}^1(\mathbb{R}^N)$. Soit $k \in \mathbb{N}$ et $g \in C_c^k(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$. Alors, $f \ast g$ est définie partout sur $\mathbb{R}^N$ et $f \ast g \in C^k(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ (voir l'exercice 7.19, noter que $L^p(\mathbb{R}^N) \subset L_{\text{loc}}^1(\mathbb{R}^N)$).

6. Soit $f,g \in L^1(\mathbb{R}^N)$. On suppose que $f$ et $g$ sont à support compact ($f$ à support compact signifie qu'il existe $K$, compact de $\mathbb{R}^N$ t.q. $f=0$ p.p. sur $K^c$). Alors, la fonction $f \ast g$ est aussi à support compact. Ceci fait partie de l'exercice 7.18.

La convolution est un outil très utile pour “régulariser” des fonctions. Elle est à la base de résultats de densité fondamentaux que nous verrons dans le chapitre suivant (densité de $C_c^\infty(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ dans $L^p(\mathbb{R}^N)$ pour $p < \infty$, par exemple).

Il est aussi intéressant de généraliser la convolution de fonctions en convolution de mesures. On commence par remarquer qu'une fonction $f$ dans $L_{\text{loc}}^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$ (voir la remarque 7.24) est entièrement déterminée par la mesure qu'elle induit sur $\mathcal{B}(\mathbb{R}^N)$, c'est-à-dire par la mesure $m$ définie par $m = f\lambda_N$. Ceci est précisé dans le lemme suivant (en remarquant que $\int \varphi dm = \int \varphi f d\lambda_N$ pour tout $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$).

**Lemme 7.25** Soit $N \ge 1$ et $f,g \in L_{\text{loc}}^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$ t.q. $\int f \varphi d\lambda_N = \int g \varphi d\lambda_N$, pour tout $\varphi \in C_c(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$. Alors, $f = g$ p.p..

**DÉMONSTRATION –** Soit $M \in \mathbb{N}^*$. On note $B_M$ la boule (fermée) de centre 0 et rayon M dans $\mathbb{R}^N$ et $h_M$ la fonction définie par :

$$h_M(x) = \begin{cases} f(x) - g(x) & \text{si } x \in B_M \text{ et } |f(x) - g(x)| \le M, \\ 0 & \text{si } x \notin B_M \text{ ou } |f(x) - g(x)| > M, \end{cases}$$

On a $h_M \in L^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$ (car $B_M$ est un compact de $\mathbb{R}^N$). Comme $C_c(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ est dense dans $L^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$ (théorème 5.20 pour $d=1$ et théorème 7.18 pour $N \ge 1$), il existe une suite $(\varphi_n)_{n \in \mathbb{N}}$ t.q. $\varphi_n \to h_M$ dans $L^1(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}(\mathbb{R}^N), \lambda_N)$ quand $n \to +\infty$. On peut aussi supposer (quitte à extraire une sous-suite) que $\varphi_n \to h_M$ p.p. (théorème 6.11). Enfin, en remplaçant $\varphi_n$ par $\max(\min(\varphi_n, M), -M)$ on obtient :

$$\varphi_n \in C_c(\mathbb{R}^N, \mathbb{R}) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N},$$

$$\varphi_n \to h_M \text{ p.p.,}$$

$$|\varphi_n| \le M \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}.$$

Comme $\varphi_n \in C_c(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})$, on a $\int (f-g)\varphi_n d\lambda_N = 0$. Le théorème de convergence dominée (la domination est par $M1_{B_M}|f-g|$) donne alors $\int h_M(f-g)d\lambda_N = 0$. En faisant maintenant tendre M vers l'infini, le théorème de convergence monotone donne $\int |f-g|d\lambda_N = 0$, et donc $f = g$ p.p.

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