# Points algébriques sur une courbe hyperelliptique de Nils Bruin

El Hadji SOW, Moussa FALL, Oumar SALL

Laboratoire de Mathématiques et Applications (L.M.A.) Université Assane SECK Ziguinchor,
Senegal

**Email:** elpythasow@yahoo.fr(EL Hadji SOW), moussafalls@yahoo.fr (Moussa FALL), osall@univ-zig.sn (Oumar SALL)

**Abstract:** We give the set of algebraic points of degree $\le 5$ over $\mathbb{Q}$ on the hyperelliptic curve $C: y^2 = 6x(x^4 + 3)$. This result extends a previous result of Bruin of who described in [1] the set of $\mathbb{Q}$-rational points on this curve.

**Keywords:** Degree of algebraic points - Rational points - Algebraic extensions - Jacobian.

## I. INTRODUCTION

Soit $C$ une courbe algébrique lisse de genre $g \ge 2$ définie sur un corps de nombres $K$.

L'ensemble des points algébriques sur $C$ définis sur $K$ est noté $C(K)$ et $U_{[K:\mathbb{Q}]\le d} C(K)$ l'ensemble des points algébriques sur $C$ à coordonnées dans $K$ de degrés au-plus $d$ sur $\mathbb{Q}$. Le degré d'un point algébrique $R$ sur $\mathbb{Q}$ est le degré de son corps de définition sur $\mathbb{Q}$ ie $\deg(R) = [\mathbb{Q}(R): \mathbb{Q}]$.

Nous nous proposons d'étudier en détail les points algébriques de degrés au-plus 5 sur $\mathbb{Q}$ sur la courbe $C$ d'équation affine $y^2 = 6x(x^4 + 3)$.
Notons $P = (0, 0)$ et $\infty$ le point à l'infini, les points algébriques de degré 1 sur la même courbe $C$ décrit par Bruin dans [1].

En utilisant le théorème d'Abel Jacobi et l'étude des systèmes linéaires sur la courbe $C$, nous étendons ce résultat en donnant une description des points algébriques de degrés au-plus 5 sur $\mathbb{Q}$ sur $C$. Notre résultat principal s'énonce comme suit:

**Théorème principal:**

1) L'ensemble des points algébriques de degré 2 sur $C$ est donné par
$$S = \{(\alpha, \pm\sqrt{6\alpha(\alpha^4 + 3)}), \alpha \in \mathbb{Q}^*\}.$$

2) L'ensemble des points algébriques de degré 3 sur $C$ est vide.

3) L'ensemble des points algébriques de degré 4 sur $C$ est donné par $C_0 \cup C_1$ avec
$$C_0 = \{(x, \pm\sqrt{6x(x^4 + 3)}) \mid x \in \mathbb{Q}, [\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}] = 2\};$$

$$C_1 = \left\{ \begin{array}{l} (x, x(\alpha + \beta x)) \mid \alpha, \beta \in \mathbb{Q}^* \text{ et } x \text{ racine de} \\ \qquad F(x) = 6(x^4 + 3) - x(\alpha + \beta x)^2 \end{array} \right\}.$$

4) L'ensemble des points algébriques de degré 5 sur $C$ est donné par $\mathcal{D}_0 \cup \mathcal{D}_1$ avec
$$\mathcal{D}_0 = \left\{ (x, \alpha + \beta x + \gamma x^2) \mid \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Q}^* \text{ et } x \text{ racine de} \right\};$$

$$\mathcal{D}_1 = \left\{ \begin{array}{l} (x, \alpha x + \beta x^2 + \gamma x^3) \mid \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Q}^* \text{ et } x \text{ racine de} \\ \qquad H(x) = x(\alpha + \beta x + \gamma x^2)^2 - 6(x^4 + 3) \end{array} \right\}.$$
## II. PRELIMINAIRES

Pour un diviseur $D$ sur $C$ nous notons $\mathcal{L}(D)$ le $\overline{\mathbb{Q}}$-espace vectoriel des fonctions rationnelles $F$ sur $C$ telles que $F = 0$ ou $\mathrm{div}(F) \geq -D$ ; $l(D)$ désigne la $\overline{\mathbb{Q}}$-dimension de $\mathcal{L}(D)$.
On montre dans [1] que le groupe de Mordell-Weil de la jacobienne $J(\mathbb{Q})$ de $C$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

La courbe $C$ est hyperelliptique de genre $g = 2$ et de rang nul d'après [1].

Soient $x$ et $y$ les fonctions rationnelles définies sur $C$ par :

$$x(X, Y, Z) = \frac{X}{Z} \quad \text{et} \quad y(X, Y, Z) = \frac{Y}{Z}$$

L'équation projective de la courbe $C$ est :

$$C: Y^2Z^3 = 6X(X^4 + 3Z^4)$$

On désigne par $J$ la jacobienne de $C$ et par $j(P)$ la classe notée $[P - \infty]$ de $P - \infty$, c'est à dire que $j$ est le plongement jacobien $C \to J(\mathbb{Q})$.

Désignons par $C'$. $C$ le cycle d'intersection d'une courbe algébrique $C'$ définie sur $\mathbb{Q}$ et $C$.

**Lemme 1 :**

$$\bullet \quad \mathrm{div}(x) = 2P - 2\infty$$

$$\bullet \quad \mathrm{div}(y) = P + B_0 + B_1 + B_2 + B_3 - 5\infty$$

**Preuve :**

Il s'agit d'un calcul sans difficulté du type $\mathrm{div}(x - a) = (X - aZ = 0) \cdot C - (Z = 0) \cdot C$.

Par exemple, on a $\mathrm{div}(x) = \mathrm{div}(\frac{X}{Z}) = (X = 0) \cdot C - (Z = 0) \cdot C$.

On a $(X = 0) \cdot C = 2P - 3\infty$ et $(Z = 0) \cdot C = 5\infty$, d'où $\mathrm{div}(x) = 2P - 2\infty$.

**Lemme 2 :**

$$\bullet \quad \mathcal{L}(\infty) = \langle 1 \rangle$$

$$\bullet \quad \mathcal{L}(2\infty) = \langle 1, x \rangle = \mathcal{L}(3\infty)$$

$$\bullet \quad \mathcal{L}(4\infty) = \langle 1, x, x^2 \rangle$$
• $\mathcal{L}(5\infty) = \langle 1, x, x^2, y \rangle$

• $\mathcal{L}(6\infty) = \langle 1, x, x^2, y, x^3 \rangle$

**Preuve :** Résulte du lemme 1

**Lemme 3:** $J(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \langle 0, [(0,0) - \infty] \rangle = \{a[P - \infty], a \in \{0, 1\}\}$

**Preuve :** ( Voir [1] )

### III. DEMONSTRATION DU THEOREME PRINCIPAL

#### 1. Points quadratiques sur $\mathcal{C}$

L'ensemble des points quadratiques sur $\mathcal{C}$ est donné par

$$S = \{ (\alpha, \pm \sqrt{6\alpha(\alpha^4 + 3)}), \alpha \in \mathbb{Q}^* \}$$

**Preuve :**

Soit $R \in \mathcal{C}(\bar{\mathbb{Q}})$ avec $[\mathbb{Q}(R): \mathbb{Q}] = 2$. Notons $R_1$ et $R_2$ les conjugués de Galois de $R$. Travaillons avec $t = [R_1 + R_2 - 2\infty] \in J(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, d'où

$$t = [R_1 + R_2 - 2\infty] = aj(P) = - aj(P); 0 \le a \le 1 (*)$$

On remarque que $R \notin \{\infty, P\}$ et on a les deux cas suivants :

**Cas $a = 0$**

La relation (*) devient $[R_1 + R_2 - 2\infty]$. Le théorème d'Abel Jacobi entraine l'existence d'une fonction rationnelle $F$ sur $\mathbb{Q}$ telle que

$$\mathrm{div}(F) = R_1 + R_2 - 2\infty$$

Donc $F \in \mathcal{L}(2\infty)$, d'où $F(x) = a_1 + a_2x$ avec $a_2 \neq 0$. Aux points $R_i$, on a $a_1 + a_2x = 0$ donc $x = -\frac{a_1}{a_2} = \alpha$. En remplaçant $x$ par $\alpha$ dans la relation $y^2 = 6x(x^4 + 3)$, on a: $y^2 = 6\alpha(\alpha^4 + 3)$

et par suite on a:

$$y = \pm \sqrt{6\alpha(\alpha^4 + 3)}$$
On a ainsi une famille de points quadratiques

$$
S = \left\{ \left( \alpha, \pm \sqrt{6\alpha(\alpha^4 + 3)} \right), \alpha \in \mathbb{Q}^* \right\}
$$

Cas a = 1

La relation ( *) devient $[R_1 + R_2 + P - 3\infty] = j(P) = -j(P)$. Le théorème d'Abel Jacobi entraine l'existence d'une fonction rationnelle $F$ sur $\mathbb{Q}$ telle que $div(F) = R_1 + R_2 + P - 3\infty$.

Donc $F \in \mathcal{L}(3\infty)$ et comme $\mathcal{L}(3\infty) = \mathcal{L}(2\infty)$ un des $R_i$ devrait être égal à $\infty$ ; ce qui est absurde.

**Conclusion:** L'ensemble des points quadratiques sur $C$ est donné par

$$
S = \left\{ \left( \alpha, \pm \sqrt{6\alpha(\alpha^4 + 3)} \right), \alpha \in \mathbb{Q}^* \right\}
$$

2. Points cubiques sur C

L'ensemble des points cubiques sur $C$ est vide.

Preuve :

Soit $R \in \mathcal{C}(\bar{\mathbb{Q}})$ avec $[\mathbb{Q}(R):\mathbb{Q}] = 3$. Notons $R_1, R_2, R_3$ les conjugués de Galois de $R$. Travaillons avec $t = [R_1 + R_2 + R_3 - 3\infty] \in \mathcal{J}(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, d'où

$$
t = [R_1 + R_2 + R_3 - 3\infty] = aj(P) = -aj(P); 0 \le a \le 1 \text{ (\textbf{**})}.
$$

On remarque que $R \notin \{\infty, P\}$ et on a les deux cas suivants:

Cas a = 0

La relation ( ** ) devient $R_1 + R_2 + R_3 - 3\infty = 0$. Le théorème d'Abel Jacobi entraine
l'existence d'une fonction rationnelle $F$ sur $\mathbb{Q}$ telle que $div(F) = R_1 + R_2 + R_3 - 3\infty$.

Donc $F \in \mathcal{L}(3\infty)$ et comme $\mathcal{L}(3\infty) = \mathcal{L}(2\infty)$, un des $R_i$ devrait être égal à $\infty$ ; ce qui est
absurde

Cas a = 1

La relation (**) devient $[R_1 + R_2 + R_3 - 3\infty] = j(P) = -j(P)$. Le théorème d'Abel Jacobi entraine l'existence d'une fonction rationnelle $F$ sur $\mathbb{Q}$ telle que
$$ div(F) = R_1 + R_2 + R_3 + P - 4\infty. $$

Donc $F \in \mathcal{L}(4\infty)$ d'où $F(x) = a_1 + a_2x + a_3x^2$ avec $a_3 \neq 0$.

Au point $P$, on a $F(P) = 0$ donc $a_1 = 0$ d'où $F(x) = x(a_2 + a_3x)$. Aux points $R_i$, on doit avoir $x(a_2 + a_3x) = 0$, donc $x \in \mathbb{Q}$ et par conséquent les $R_i$ devraient être de degré $\le 2$.

**Conclusion:** L'ensemble des points cubiques sur $\mathbb{C}$ est vide.

### 3. Points quartiques sur $\mathbb{C}$

L'ensemble des points quartiques sur $\mathbb{C}$ est donné par $C_0 \cup C_1$ avec

$$ C_0 = \left\{ \left(x, \pm\sqrt{6x(x^4 + 3)}\right) \mid x \in \mathbb{Q}, [\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}] = 2 \right\} $$

$$ C_1 = \left\{ \begin{array}{l} \left(x, x(\alpha + \beta x)\right) \mid \alpha, \beta \in \mathbb{Q}^* \text{ et } x \text{ racine de} \\ \qquad F(x) = 6(x^4 + 3) - x(\alpha + \beta x)^2 \end{array} \right\} $$

**Preuve :**

Soit $R \in C(\bar{\mathbb{Q}})$ avec $[\mathbb{Q}(R):\mathbb{Q}] = 4$. Notons $R_1, R_2, R_3, R_4$ les conjugués de Galois de $R$. Travaillons avec $t = [R_1 + R_2 + R_3 + R_4 - 4\infty] \in J(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, d'où $t = [R_1 + R_2 + R_3 + R_4 - 4\infty] = aj(P) = -aj(P); 0 \le a \le 2$ ($\cdots$).

On remarque que $R \notin \{\infty, P\}$ et on a les deux cas suivants:

**Cas $a = 0$**

La relation ($\cdots$) devient $R_1 + R_2 + R_3 + R_4 - 4\infty = 0$. Le théorème d'Abel Jacobi entraîne l'existence d'une fonction rationnelle $F$ sur $\mathbb{Q}$ telle que

$$ div(F) = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 - 4\infty $$

Donc $F \in \mathcal{L}(4\infty)$. Donc $F \in \mathcal{L}(4\infty)$ d'où $F(x) = a_1 + a_2x + a_3x^2$ avec $a_3 \neq 0$.

Aux points $R_i$, on a $a_1 + a_2x + a_3x^2 = 0$. La relation $y^2 = 6x(x^4 + 3)$ donne $y = \pm \sqrt{6x(x^4 + 3)}$.

On obtient une famille de point quartiques

$$ C_0 = \left\{ \left(x, \pm\sqrt{6x(x^4 + 3)}\right) \mid x \in \mathbb{Q}, [\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}] = 2 \right\} $$
### Cas $a = 1$

La relation (*** ) devient $[R_1 + R_2 + R_3 + R_4 - 4\infty] = j(P) = -j(P)$. Le théorème d'Abel Jacobi entraine l'existence d'une fonction rationnelle $F$ sur $\mathbb{Q}$ telle que

$$ \mathrm{div}(F) = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + P - 5\infty. $$

Donc $F \in \mathcal{L}(5\infty)$ d'où $F(x) = a_1 + a_2x + a_3x^2 + a_4y$ avec $a_4 \neq 0$. Au point $P$, on a $F(P) = 0$ donc $a_1 = 0$ d'où $F(x) = x(a_2 + a_3x) + a_4y$. Aux points $R_i$, on a $x(a_2 + a_3x) + a_4y = 0$, d'où

$$ y = -\frac{a_2}{a_4}x - \frac{a_3}{a_4}x^2 = -\frac{a_3}{a_4}x\left(x + \frac{a_2}{a_3}\right). \text{ On voit que } y \text{ est de la forme } y = \alpha x(x + \beta) \text{ avec } \alpha \text{ et } \beta \in \mathbb{Q}^*; \text{ et par suite on a } y^2 = 6x(x^4 + 3) \Leftrightarrow 6x(x^4 + 3) - (\alpha x(x + \beta))^2 = 0 $$

$$ x(6(x^4 + 3) - x(\alpha(x + \beta))^2) = 0 $$

On doit avoir $x \neq 0$ et $\alpha, \beta \in \mathbb{Q}^*$, on obtient une famille de points quartiques

$$ C_1 = \left\{ \begin{array}{l} (x, x(\alpha + \beta x)) \mid \alpha, \beta \in \mathbb{Q}^* \text{ et } x \text{ racine de} \\ \qquad F(x) = 6(x^4 + 3) - x(\alpha + \beta x)^2 \end{array} \right\} $$

**Conclusion:** L'ensemble des points quartiques sur $C$ est donné par $C_0 \cup C_1$.

## 4. Points quintiques sur $C$

L'ensemble des points quintiques sur $C$ est donné par $\mathcal{D}_0 \cup \mathcal{D}_1$ avec

$$ \mathcal{D}_0 = \left\{ \begin{array}{l} (x, \alpha + \beta x + \gamma x^2) \mid \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Q}^* \text{ et } x \text{ racine de} \\ \qquad G(x) = (\alpha + \beta x + \gamma x^2)^2 - 6x(x^4 + 3) \end{array} \right\} $$

### Preuve :

Soit $R \in C(\bar{\mathbb{Q}})$ avec $[\mathbb{Q}(R):\mathbb{Q}] = 5$. Notons $R_1, R_2, R_3, R_4, R_5$ les conjugués de Galois de $R$. Travaillons avec $t = [R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 - 5\infty] \in J(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, d'où $t = [R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 - 5\infty] = aj(P) = -aj(P); 0 \le a \le 1$ (****).

On remarque que $R \notin \{\infty, P\}$ et on a les deux cas suivants:
### Cas $a = 0$

La relation (****) devient $[R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 - 5\infty] = 0$. Le théorème d'Abel Jacobi entraine l'existence d'une fonction rationnelle $F$ sur $\mathbb{Q}$ telle que

$$ \mathrm{div}(F) = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 - 5\infty. $$

Donc $F \in \mathcal{L}(5\infty)$ d'où

$F(x) = a_1 + a_2x + a_3x^2 + a_4y \text{ avec } a_4 \neq 0$. Aux points $R_i$, on a $a_1 + a_2x + a_3x^2 + a_4y = 0$, d'où

On voit que $y$ est de la forme $y = \alpha + \beta x + \gamma x^2$ avec $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Q}^*$; et par suite on a

$$ y^2 = 3x(x^4 + 3) \Leftrightarrow (\alpha + \beta x + \gamma x^2)^2 = 6x(x^4 + 3). $$

$$ (\alpha + \beta x + \gamma x^2)^2 - 6x(x^4 + 3) = 0 $$

On obtient une famille de points quintiques

$$ \mathcal{D}_0 = \left\{ \begin{array}{l} (x, \alpha + \beta x + \gamma x^2) \mid \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Q}^* \text{ et } x \text{ racine de} \\ G(x) = (\alpha + \beta x + \gamma x^2)^2 - 6x(x^4 + 3) \end{array} \right\} $$

### Cas $a = 1$

La relation (****) devient $[R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 - 5\infty] = j(P) = -j(P)$. Le théorème d'Abel Jacobi entraine l'existence d'une fonction rationnelle $F$ sur $\mathbb{Q}$ telle que

$$ \mathrm{div}(F) = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 + P - 6\infty $$

Donc $F \in \mathcal{L}(6\infty)$ d'où

$F(x) = a_1 + a_2x + a_3x^2 + a_4y + a_5x^3 \text{ avec } a_5 \neq 0$.

Au point $P$, on a $F(P) = 0$ donc $a_1 = 0$, d'où $F(x) = a_2x + a_3x^2 + a_4y + a_5x^3$. Ensuite aux points $R_i$, on a $a_2x + a_3x^2 + a_4y + a_5x^3 = 0$.

Donc on voit que $y$ est de la forme $y = \alpha x + \beta x^2 + \gamma x^3$ avec $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Q}^*$; et par suite on a

$$ x(\alpha + \beta x + \gamma x^2)^2 - 6(x^4 + 3) = 0 $$

On doit avoir $x \neq 0$ et $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Q}^*$, on obtient une famille de points quintiques

$$ \mathcal{D}_1 = \left\{ \begin{array}{l} (x, \alpha x + \beta x^2 + \gamma x^3) \mid \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Q}^* \text{ et } x \text{ racine de} \\ H(x) = x(\alpha + \beta x + \gamma x^2)^2 - 6(x^4 + 3) \end{array} \right\} $$
Références

[1] N. Bruin, On powers as sums of two cubes, International Algorithmic Number Theory Symposium. Springer, Berlin, Heidelberg, 2000.

[2] P. A. Griffiths, Introduction to algebraic curves, Translations of mathematical monographs volume 76. American Mathematical Society, Providence, 1989.

[3] M. Hindry and J. H. Silverman, Diophantine geometry, an introduction, springer verlage, 2000.

[4] J. TH. Mulholland, Elliptic curves with rational 2-torsion and related ternary Diophantine equations. ProQuest LLC. Ann Arbor, MI, 2006.

[5] E. H. Sow, M. Fall, O. Sall, Points algébriques de degrésau-plus 5 sur la courbe d'équation affine $y^2 = 4x^5 + 1$, SCIREA Journal of Mathematics, Volume 6, Issue 6, 2021.