# Contrôle optimal d'inéquations variationnelles avec observation de domaines

Christian Saguez

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

## To cite this version:

Christian Saguez. Contrôle optimal d'inéquations variationnelles avec observation de domaines. [Rapport de recherche] IRIA-RR-286, IRIA. 1978, pp.31. hal-04716540

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CONTRÔLE OPTIMAL
D'INÉQUATIONS VARIATIONNELLES
AVEC
OBSERVATION DE DOMAINES

Christian SAGUEZ

Rapport de Recherche N° 286

Mars 1978
# CONTRÔLE OPTIMAL D'INÉQUATIONS VARIATIONNELLES AVEC OBSERVATION DE DOMAINES

C. Saguez

Résumé :

Dans cet article, on s'intéresse au problème de contrôle optimal dans les inéquations variationnelles lorsque l'observation est la fonction caractéristique du domaine de contact. Après avoir démontré l'existence d'une solution à ce type de problèmes, nous proposons une méthode numérique de résolution. Enfin en dimension 2, des résultats numériques sont présentés.

Abstract :

In this paper, we study the optimal control problem of systems governed by variationnal inequa-
lities, when the observation is the characteristic function of the contact set. We prove the existence
of a solution and we propose a numerical method. In the two dimensional case, some numerical
results are presented.
## Introduction.

Lorsqu'on étudie un phénomène physique où apparaît une (ou plusieurs) frontière libre, une méthode efficace pour simuler le système est de se ramener, lorsque cela est possible, à la résolution d'une inéquation variationnelle. Quand on souhaite alors contrôler un tel phénomène, une observation essentielle est la frontière elle-même. Ainsi dans le cas de la solidification de l'acier en coulée continue, le contrôle de l'épaisseur sodifiée permet de limiter le risque de percée à la sortie de la lingotière. Suivant ces considérations, on étudie dans cet article les problèmes de contrôle optimal de systèmes gouvernés par des inéquations variationnelles avec observation de la frontière libre associée.

Nous nous plaçons dans le cas modèle suivant: le système est caractérisé par l'inéquation variationnelle

$$ egin{cases} 
\left(\frac{\partial y}{\partial t}, \xi - y\right) + a(y, \xi - y) \geq (f, \xi - y) \quad \forall \xi \in K(t) \\ 
y(x, 0) = 0 \\ 
\text{avec } K(t) = \{\varphi \mid \varphi \in H^1(\Omega), \varphi|_{\Gamma_2} = 0, \varphi|_{\Gamma_1} = v, \varphi \geq 0 \text{ p.p.}\} 
\end{cases} $$

et on étudie les problèmes de contrôle associés à des fonctionnelles du type:

$$ 
\begin{align*} 
J(v,f) &= \|\chi_F - \chi_{F_d}\|_{L^2(\Omega)}^2 \\ 
\text{avec } F &= \{(x,t) \mid y(x,t) = 0\} \\ 
\chi_F &\text{ la fonction caractéristique de F} \\ 
F_d &\text{ un sous-ensemble donné de } \Omega = \Omega \times ]0,T[. 
\end{align*} 
$$

Sous des hypothèses de régularité suffisantes, on démontre la continuité de $\chi_F$ par rapport à $v$ et $f$, ce qui permet d'obtenir l'existence d'une solution au problème de contrôle.

D'un point de vue numérique on approche la fonctionnelle $J(v,f)$ par

$$ J_{\varepsilon}(v,f) = \left\| \frac{\varepsilon}{y+\varepsilon} - \chi_{F_d} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 $$
On démontre alors l'existence d'un contrôle optimal et la convergence de celui-ci vers la solution du problème initial.

Une autre méthode consiste à approcher par pénalisation l'inéquation variationnelle. On obtient une équation aux dérivées partielles non linéaire. On démontre encore l'existence d'un contrôle optimal et sa convergence vers la solution du problème initial. Une telle méthode semble être une voie pour étudier les problèmes de controlabilité dans certaines inéquations variationnelles.

On remarque également que ces méthodes permettent d'étudier des problèmes analogues pour des équations aux dérivées partielles.

On donne enfin des résultats numériques en dimension 2.

Le plan de l'étude est le suivant :

I. Position du problème

II. Résultats de continuité

III. Contrôle optimal

IV. Problème pénalisé

V. Résultats numériques.
I. Position du problème.

Soit Ω un ouvert de Rn de frontière régulière Γ₁ U Γ₂ avec
Γ₁ ∩ Γ₂ = ∅ (Figure 1).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 1</figcaption></figure>

On considère l'inéquation variationnelle :

$$
(1.1) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \left( \frac{\partial y}{\partial t} , \xi - y \right) + a(y, \xi - y) \geq (f, \xi - y) \quad \forall \xi \in K(t) \\ y(x, 0) = 0 \end{array} \right.
$$

$$
(1.2) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \int_{\Gamma_1} \varphi \, d\sigma \ge 0 \\
\displaystyle \int_{\Gamma_2} \varphi \, d\sigma = 0
\end{array}
\right.
$$

avec

$$
(1.3) \qquad K(t) = \{ \varphi | \varphi \in H^1(\Omega), \varphi|_{\Gamma_2} = 0, \varphi|_{\Gamma_1} = v(x,t), \varphi \ge 0 \text{ p.p.} \}
$$

$$
(1.4) \qquad
\begin{gather*}
a(y, \xi) = \int_{\Omega} \left( \sum_{i,j} a_{ij} \frac{\partial y}{\partial x_j} \frac{\partial \xi}{\partial x_i} + a_o y \xi \right) d\Omega \\
a_{ij} = a_{ji} ; a_{ij}, a_o \in C^1(\Omega), \sum_{i,j} a_{ij} \xi_i \xi_j \ge \alpha \sum_i \xi_i^2 \quad (\alpha > 0) \\
a_o \ge 0
\end{gather*}
$$

$$
(1.5) \qquad v(x,t) \in H^{3/2,3/4}(\Sigma_1); v(x,0) = 0; \quad v \ge 0
$$

$$
(1.6) \qquad f(x,t) \in L^2(\Omega)
$$

On fait d'autre part l'hypothèse suivante

$$
(1.7) \qquad \{ (x,t) | f(x,t) = 0 \} \text{ est de mesure de Lebesgue nulle.}
$$

Remarque 1.

Une inéquation variationnelle de ce type est obtenue pour le pro-
blème de Stéfan à une phase (J.L. Lions [5]).
Rappelons maintenant quelques résultats d'existence et de continuité par rapport aux données de la solution y.

**Proposition 1.**

Sous les hypothèses précédentes, l'inéquation (1.1)-(1.2) admet une solution unique y appartenant à $H^{2,1}(Q)$.

**Proposition 2.**

L'application qui à $(v,f)$ associe y solution de (1.1)-(1.2) est continue de $H^{3/2, 3/4} \left( \Sigma_1 \right)$ faible × $L^2(Q)$ faible dans $H^{2,1}(Q)$ faible et on a l'estimation à priori :

$$ (1.8) \qquad \|y\|_{H^{2,1}(Q)} \le c(\|f\|_{L^2(Q)} + \|v\|_{H^{3/2,3/4}(\Sigma_1)}) $$

■

On définit :

$$ (1.9) \qquad F = \{ (x,t) \mid y(x,t) = 0 \} $$

$$ (1.10) \qquad \chi_F \text{ la fonction caractéristique de } F. $$

On se propose d'étudier les problèmes de contrôle où l'observation est $\chi_F$. Dans une première étape on s'intéresse donc à la continuité de $\chi_F$ par rapport aux données v et f.

## II. Résultats de continuité.

On note

$$ Ay = - \sum_{i,j} \frac{\partial}{\partial x_i} (a_{ij} \frac{\partial y}{\partial x_j}) + a_0 y. $$

On remarque alors que, sous l'hypothèse (1.7), et grâce à la régularité de y $\chi_F$ est définie par :

$$ (2.1) \qquad f \chi_F = f - \frac{\partial y}{\partial t} - Ay $$
**Proposition 3.**

L'application qui à v associe $\chi_F$ est continue de $H^{3/2,3/4}(\Sigma_1)$ faible dans $L^2(Q)$ fort.

Démonstration :

Soit $v_n$ une suite de $H^{3/2,3/4}(\Sigma_1)$ telle que
$$v_n \to v \text{ dans } H^{3/2,3/4}(\Sigma_1) \text{ faible.}$$

On note $y_n, F_n$ (resp. $y, F$) les solutions associées à $v_n$ (resp. $v$).
D'après la proposition 2 on a

$y_n \to y \text{ dans } H^{2,1}(Q) \text{ faible}$

De plus, comme $\chi_{F_n}$ est borné dans $L^2(Q)$ indépendamment de $n$, on peut extraire
une sous-suite telle que :

$\chi_{F_n} \to \ell \text{ dans } L^2(Q) \text{ faible.}$

D'après (2.1) $\chi_{F_n}$ vérifie :

$$
(2.2) \qquad f\chi_{F_n} = f - \frac{\partial y_n}{\partial t} - Ay_n
$$

et d'après les résultats précédents on peut passer à la limite dans (2.2). On
obtient :

$$
f\ell = f - \frac{\partial y}{\partial t} - Ay
$$

et donc
$$ \ell = \chi_F $$

Démontrons maintenant la convergence forte. On a

$$
\int_Q (\chi_F - \chi_F)^2 dxdt = \int_Q (\chi_F + \chi_F - 2\chi_F \chi_F) dxdt
$$

or

$$
\int_Q \chi_F \, dxdt \rightarrow \int_Q \chi_F \, dxdt
$$

$$
\int_Q \chi_F \chi_F \, dxdt \rightarrow \int_Q \chi_F \, dxdt
$$
et donc

$$
\int_Q (\chi_F - \chi_F)^2 dxdt \to 0
$$

ce qui termine la démonstration.

**Proposition 4.**

Si $f_n \to f$ dans $L^2(Q)$, fort avec $\{(x,t) | f(x,t) = 0\}$ de mesure de Lebesgue nulle, alors $\chi_F \to \chi_F$ dans $L^2(Q)$ fort.

La démonstration se fait comme pour la proposition 3.

Remarque 2.

On sait également (C. Moreno - C. Saguez [7]) que $F_n \to \tilde{F}$ au sens
de Hausdorff avec $F \Delta \tilde{F}$ de mesure de Lebesgue nulle. Mais il faut remarquer
que ces deux propriétés ne sont nullement équivalentes. En effet on peut
avoir :

i) $F_n \to \tilde{F}$ Hausdorff et $\chi_F \to \ell^2(Q)$ faible $\ell$ n'étant pas une fonction caractéristique (O. Pironneau - C. Saguez [9])

ii) $\chi_{F_n} \to \chi_F$ dans $L^2(Q)$ faible et $\mathrm{Mes}(F \Delta \tilde{F}) > 0$
$F_n \to \tilde{F}$ Hausdorff

Par exemple si on considère pour $F_n$ les domaines suivants :

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

(peigne avec des dents espacées
de $\frac{1}{n}$.)

L'équivalence entre les deux propriétés nécessitent de connaître
des régularités sur le domaine $F_n$ (Murat - Simon [8], G.A. Beer [1]).

Remarque 3.

Les démonstrations des deux propositions précédentes montrent la re-
lation entre la régularité de y et la continuité de l'application $(v,f) \to \chi_F$.
### Remarque 4.

Dans le cas de l'inéquation associée au problème de Stéfan à une phase, la proposition 3 traduit la continuité de la fonction caractéristique du domaine de glace par rapport à la température au bord et la proposition 4 la continuité par rapport aux conditions initiales.

## III. Contrôle optimal.

Soit la fonctionnelle

$$ (3.1) \qquad J(v) = \int_Q |\chi_F - \chi_d|^2 dxdt $$

avec $\chi_d$ fonction caractéristique d'un domaine donné de Q.
$u_{ad}$ désigne un convexe fermé borné de fonctions $v$ de $H^{3/2,3/4}(\Sigma_1)$ telles que $v(x,0) = 0; v \ge 0$.

On considère le problème de contrôle optimal :

$$ (3.2) \qquad \begin{cases} \text{Trouver } \bar{v} \in u_{ad} \text{ tel que} \\ J(\bar{v}) = \text{Min } J(v) \\ v \in u_{ad} \end{cases} $$

Grâce à la proposition 3, on a le résultat :

### Proposition 5.

Le problème de contrôle optimal (3.2) admet au moins une solution.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

### Remarque 5.

On peut également considérer le problème de contrôle optimal avec la fonctionnelle :

$$ J(v) = \| y - z_d \|_{L^2(Q)}^2 \qquad z_d \text{ donnée dans } L^2(Q) $$
et les contraintes

$F_d \subset F$ à un ensemble de mesure nulle près

Alors sous les hypothèses précédentes, on démontre de même que
ce problème admet au moins une solution. Pour la résolution numérique de ce
problème nous renvoyons à C. Gomez [3], C. Moreno - C. Saguez [7].

En vue d'une résolution numérique par une méthode de gradient, nous
approchons la fonctionnelle (3.1) par :

$$
(3.3) \qquad J_{\varepsilon}(v) = \int_Q \left| \frac{\varepsilon}{y+\varepsilon} - \chi_d \right|^2 dxdt, \quad \varepsilon > 0
$$

On considère le problème de contrôle optimal régularisé :

$$
(3.4) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\text{Trouver } \bar{v}_{\epsilon} \in u_{ad} \text{ tel que} & \\
\qquad J_{\epsilon}(\bar{v}_{\epsilon}) = \text{Min}_{v \in u_{ad}} J_{\epsilon}(v) & \\
\qquad \qquad v \in u_{ad}.
\end{array}
\right.
$$

Grâce à la proposition 2, le problème (3.4) admet au moins une solution $(\bar{v}_{\epsilon}, \bar{y}_{\epsilon})$. De plus on a le résultat de convergence :

Proposition 6.

Si $(\bar{v}, \bar{y})$ désigne la solution du problème (3.2) on a :

$$
\bar{v}_{\epsilon} \to \bar{v} \text{ dans } H^{3/2,3/4}(\Sigma_1) \text{ faible}
$$

$$
\bar{y}_{\epsilon} \to \bar{y} \text{ dans } H^{2,1}(Q) \text{ faible.}
$$

Démonstration :

$\bar{v}_{\epsilon}$ appartenant à un convexe fermé borné de $H^{3/2,3/4}(\Sigma_1)$, on peut extraire une sous-suite telle que :

$$
\bar{v}_{\epsilon} \to \tilde{v} \text{ dans } H^{3/2, 3/4}(\Sigma_1) \text{ faible.}
$$

et d'après la proposition 2, si $\bar{y}_\epsilon, \bar{F}_\epsilon$ (resp. $\tilde{y}, \tilde{F}$) désigne la solution associée à $\bar{v}_\epsilon$ (resp. $\tilde{v}$)
$\bar{y}_{\epsilon} \rightarrow \tilde{y}$ dans $H^{2,1}(Q)$ faible, $L^2(Q)$ fort.

De plus on a

$$
(3.5) \qquad \frac{\epsilon}{\bar{y}_{\epsilon} + \epsilon} \geq \chi_{\bar{F}}^{\epsilon}
$$

$$
\text{et} \quad \text{si} \quad \tilde{y} \neq 0 \quad \frac{\epsilon}{\bar{y}_{\epsilon} + \epsilon} \to 0 = \chi_{\bar{F}}^{\epsilon}
$$

$$
\text{si} \quad \tilde{y} = 0 \quad \frac{\epsilon}{\bar{y}_{\epsilon} + \epsilon} \rightarrow \ell \le \chi_{\bar{F}}^{\infty}
$$

Donc pour $\epsilon$ assez petit on a

$$
(3.6) \qquad \frac{\epsilon}{\bar{y}_{\epsilon} + \epsilon} \le \chi_{\bar{F}}^{\infty} \quad \text{p.p.}
$$

Alors grâce à (3.5)-(3.6) et au théorème de Lebesgue, on obtient
par passage à la limite

$$
(3.7) \qquad \frac{\epsilon}{\bar{y}_\epsilon + \epsilon} \to \chi_{\bar{F}}^\infty \text{ dans } L^2(Q) \text{ fort}
$$

Démontrons enfin que $\tilde{v}$ est contrôle optimal de (3.2). On a

$$
J_{\epsilon}(\bar{v}_{\epsilon}) \leq J_{\epsilon}(v) \quad \forall v \in u_{\text{ad}}
$$

grâce à (3.7), on en déduit par passage à la limite que

$$
J(\tilde{v}) \le J(v) \quad \forall v \in u_{\text{ad}}
$$

ce qui démontre le résultat.

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Nous approchons maintenant l'inéquation variationnelle par pénali-
sation. Nous sommes alors conduits à étudier les problèmes de contrôle optimal
associés à une équation aux dérivées partielles non linéaires.
#### IV. Problème pénalisé.

On introduit le problème suivant :

$$
\begin{array}{ll}
(4.1) & \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial y}{\partial t} - Ay - \frac{1}{\eta} y^{-} = f \\ y|_{\Sigma_1} = v \end{array} \right. \\[1.5ex]
(4.2) & y|_{\Sigma_2} = 0 \\[1.5ex]
(4.3) & y(x,0) = 0
\end{array}
$$

On a le résultat :

##### Proposition 7.

Le problème (4.1)-(4.4) admet une solution unique $y_\eta$ dans $H^{2,1}(Q)$ dépendant continument de $f$ et $v$ au sens de la proposition 2 et on a la convergence :

$y_\eta \to y$ dans $H^{2,1}(Q)$ faible, $y$ étant solution de l'inéquation variationnelle (1.1) – (1.2).

##### Lemme 1.

Sous l'hypothèse (1.7), l'ensemble $\{(x,t) | y_\eta(x,t) = 0\}$ est de mesure de Lebesgue nulle.

En effet comme $y_\eta \in H^{2,1}(Q)$, si $y_\eta = 0$ sur E de mesure strictement positive, on obtient

$$ \frac{\partial y_\eta}{\partial t} - Ay_\eta - \frac{1}{\eta} y_\eta^{-} = 0 \quad \text{sur } E, $$

ce qui est contraire à l'hypothèse (1.7).

On définit :

$$ (4.5) \qquad F_\eta = \{(x,t) | y_\eta(x,t) \le 0\} $$

$$ (4.6) \qquad \chi_\eta = \chi_{F_\eta} $$
On a alors le résultat suivant :

**Proposition 8.**

L'application qui à $v$ associe $\chi_\eta$ est continue de $H^{3/2,3/4}(\Sigma_1)$ faible dans $L^2(Q)$ fort.

Démonstration :

Grâce au lemme 1, on remarque que $\chi_\eta$ est définie par

$$ (4.7) \qquad y_{\eta} \chi_{\eta} = -y_{\eta}^{-} $$

Si on note $v_n$ une suite de $H^{3/2,3/4}(\Sigma_1)$ telle que

$$ v_n \to v \text{ dans } H^{3/2,3/4}(\Sigma_1) \text{ faible} $$

et si $y_\eta^n(\text{resp. } y_\eta)$ désigne la solution de (4.1)-(4.4) associée à $v_n(\text{resp. } v)$, d'après la proposition 7 on a

$$ \begin{cases} y_{\eta}^{n} \to y_{\eta} & \text{dans } L^{2}(Q) \text{ fort} \\ y_{\eta}^{n-} \to y_{\eta}^{-} & \text{dans } L^{2}(Q) \text{ fort.} \end{cases} $$

De plus on peut extraire une sous-suite telle que

$$ \chi_{\eta}^{n} \to \ell \text{ dans } L^{2}(Q) \text{ faible} $$

Par passage à la limite dans (4.7) on obtient

$$ y_{\eta} \ell = - y_{\eta}^{-} $$

et donc

$$ \ell = \chi_{\eta} $$

On démontre enfin la convergence forte comme à la proposition 3.

**Remarque 6.**

On a de même un résultat de continuité par rapport à $f$, analogue à la proposition 4.
On introduit le problème de contrôle optimal :

$$
(4.8) \qquad J_{\eta}(v) = \|\chi_{\eta}(v) - \chi_{d}\|_{L^2(Q)}^2
$$

$$
(4.9) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\text{Trouver } \bar{v}_{\eta} \in u_{ad} \text{ tel que} \\
J_{\eta}(\bar{v}_{\eta}) = \text{Min}_{v \in u_{ad}} J_{\eta}(v) \\
v \in u_{ad}
\end{array}
\right.
$$

Grâce à la proposition 8, on a le résultat :

Proposition 9.

Le problème de contrôle optimal (4.9) admet au moins une solution
$(\bar{v}_\eta, \bar{y}_\eta)$.

On a le résultat de convergence :

Proposition 10.

$$
\bar{v}_{\eta} \to \bar{v} \quad \text{dans } H^{3/2,3/4}(\Sigma_1) \text{ faible}
$$

$$
\bar{y}_{\eta} \to \bar{y} \quad \text{dans } H^{2,1}(Q) \text{ faible}
$$

avec $(\bar{v}, \bar{y})$ solution du problème (3.2)

Démonstration :

$\bar{v}_\eta$ appartenant à un convexe fermé borné de $H^{3/2,3/4}(\Sigma_1)$, on
peut extraire une sous-suite telle que

$$
\bar{v}_{\eta} \to \tilde{v} \text{ dans } H^{3/2, 3/4}(\Sigma_1) \text{ faible}
$$

et d'après la proposition 7 on a :

$$
\bar{y}_{\eta} \to \tilde{y} \equiv y(\tilde{v}) \text{ dans } L^2(Q) \text{ fort.}
$$

D'après un résultat de F. Mignot - J.P Puel [6], on a

$$
y_{\eta}(\bar{v}_{\eta}) \leq y(\bar{v}_{\eta})
$$

Donc, si on note $\tilde{F}_{\eta} = \{(x,t) | y(\bar{v}_{\eta})(x,t) = 0\}$
$$
\text{et} \quad F_{\eta} = \{(x,t) | y_{\eta}(\bar{v}_{\eta})(x,t) \le 0\}
$$

$$
\text{on a} \quad \tilde{F}_{\eta} \subset F_{\eta} \quad \text{soit} \quad \chi_{\tilde{F}_{\eta}} \le \chi_{F_{\eta}}
$$

D'autre part on peut extraire de $\chi_F$ une sous-suite telle que
$\chi_F \to \ell$ dans $L^2(Q)$ faible

$$
\chi_{\tilde{F}} \to \ell \text{ dans } L^2(Q) \text{ faible}
$$

Alors d'après la proposition 3 on obtient

$$
(4.10) \quad \chi_{\tilde{F}} \le \ell \text{ avec } \tilde{F} = \{(x,t) | y(\tilde{v})(x,t) = 0\}
$$

Mais on a également

$$
\bar{y}_{\eta} \chi_{F_{\eta}} = - y_{\eta}
$$

et par passage à la limite

$$
\tilde{y} \ell = - \tilde{y}
$$

Donc $\text{Supp} \ell \subset \tilde{F}$ et comme $\ell \le 1$ on en déduit :

$$
(4.11) \qquad \ell \le \chi_{\tilde{F}}
$$

De (4.10)-(4.11) on a $\ell = \chi_{\tilde{F}}$

La convergence **forte** se démontre comme à la proposition 3.
Démontrons maintenant que $(\tilde{v}, \tilde{y})$ est solution du problème (3.2). Si on
note

$$
F_{\eta}^{*} = \{(x,t) | y_{\eta}(v)(x,t) \le 0\}
$$

et

$$
F^* = \{(x,t) | y(v)(x,t) = 0\}
$$

en opérant comme précédemment on montre que

$$
\chi_{F^*} \to \chi_{F^*} \text{ dans } L^2(Q) \text{ fort}
$$

Par définition de $\bar{v}_\eta$ on a :
$$
(4.12) \qquad J_{\eta}^{(\bar{v})} \le J_{\eta}^{(v)} \quad \forall v \in u_{ad}.
$$

D'après les résultats précédents on peut passer à la limite dans
(4.12), on obtient :

$$
J(\tilde{v}) \le J(v) \quad \forall v \in u_{ad}
$$

ce qui démontre le résultat.

Remarque 7.

D'un point de vue numérique, on pourra résoudre le problème (4.9) au lieu de (3.2), plus précisément on régularisera la fonctionnelle comme en (3.3). On obtient des résultats de convergence analogues à ceux de la pro-position 6.

Remarque 8.

Tous les résultats précédents restent vrais si, au lieu de consi-
dérer v, on prend f comme variable de contrôle.

Remarque 9.

La méthode précédente peut s'appliquer au cas où le système est
gouverné par une équation aux dérivées partielles. Considérons par exemple
le problème suivant :

L'état y est solution du système

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial t} - \Delta y = f & \text{avec } f \in L^2(Q), v \in H^{3/2,3/4}(\Sigma) \\
\\
\displaystyle y\big|_{\Sigma} = v & \text{et } \eta(\{(x,t) | f(x,t) = 0\}) = 0 \\
\\
\displaystyle y(x,0) = 0
\end{array}
\right.
$$

On définit
$$ F = \{(x,t) | y(x,t) \le 0\} $$

On considère le problème de contrôle optimal

$$
J(v) = \|x_F - x_d\|_{L^2(Q)}^2
$$
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\text{Trouver } \bar{v} \in u_{ad} \text{ tel que} \\
J(\bar{v}) = \inf J(v) \\
v \in u_{ad}.
\end{array}
\right.
$$

On peut alors démontrer, comme dans ce paragraphe, l'existence
d'une solution au problème précédent, la démonstration étant analogue.

V. Résultats numériques.

Nous nous plaçons dans le cas de la dimension 2, avec les données
suivantes :

$$
a_{ij} = a_{ji} = \delta_{ij} ; a_o = 0
$$

$f(x,t) = -80$

Ω couronne circulaire déterminée par les cercles Γ₁ et Γ₂
de rayon R₁ = 0,37, R₂ = 0,77 (Voir Figure 1).

Numériquement on a résolu le problème pénalisé, ce qui permet
une détermination plus précise de la frontière libre.

Le problème a été approché par des éléments finis P₁. (La triangu-
lation est donnée figure 2). Il a été résolu par une méthode de gradient.

Nous avons traité quatre exemples :

La fonction caractéristique χ_d était la fonction caractéristique
des domaines suivants :

Exemple 1. .
$$ 
\{ (\rho, \theta) \mid \rho \le R1 + t(R2-R1) \}
$$

Exemple 2. .
$$ 
\{ (\rho, \theta) \mid \rho \le R1 + t(R2-R1)(|\cos\theta| + 1)/2 \}
$$

Exemple 3. .
$$ 
\{ (\rho, \theta) \mid \rho \le R1 + t(R2-R1)(\cos\theta+1)/2 \}
$$

Exemple 4. .
$$ 
\{ (\rho, \theta) \mid \rho \le R1 + t(R2-R1) |\cos\theta| \}
$$
La convergence est obtenue en 8 itérations pour un temps de calcul
d'environ 2mm 20s sur IBM 370-168. Les résultats obtenus sont présentés figu-
res 3 à 14.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 2
Triangulation</figcaption></figure>

728 triangles

432 noeuds
Exemple 1

$f(x,t) = - 80$

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 3</figcaption></figure>

Frontière désirée $\rho_d = R1+t(R2-R1)$
Exemple 1

$$f(x,t) = -80$$

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 4</figcaption></figure>

Frontière libre obtenue
Dans ce cas le contrôle optimal est constant sur le bord Γ₁.

Son évolution au cours du temps est donnée par :

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 5</figcaption></figure>

Contrôle optimal
Exemple 2

$$f(x,t) = -80$$

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 6</figcaption></figure>

Frontière désirée

$$\rho_d = R1+t(R2-R1)(|\cos\theta|+1)/2$$
Exemple 2

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 7</figcaption></figure>

Frontière libre obtenue
Exemple 2

$$f(x,t) = - 80$$

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 8</figcaption></figure>

Contrôle optimal calculé le long de Γ₁
Exemple 3

$$f(x,t) = 80$$

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 9</figcaption></figure>

Frontière désirée $\rho_d = R1+t(R2-R1)(\cos\theta+1)/2$
Exemple 3

$$f(x,t) = -80$$

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 10</figcaption></figure>

Frontière libre obtenue
Exemple 3

$$f(x,t) = -80$$

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 11</figcaption></figure>

Contrôle optimal calculé le long de Γ₁
Exemple 4

$$f(x,t) = -80$$

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure 12</figcaption></figure>

Frontière désirée $$\rho_d = R1+t(R2-R1)|\cos\theta|$$
Exemple 4

$$f(x,t) = -80$$

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Figure 13

Frontière libre obtenue
Exemple 4

$$f(x,t) = -80$$

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure 14</figcaption></figure>
Bibliographie

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[2] H. Brezis - D. Kinderlehrer : The smoothness of solutions to variational inequalities (Indiana Un. Math. J. Vol. 23, n°9 1974).

[3] C. Gomez : Contrôle optimal de problèmes à frontière libre (Rapport de Stage, Ecole centrale 1977).

[4] J.L. Lions : *Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires* (Dunod - Gauthier Villars 1969).

[5] J.L. Lions : Introduction to some aspects of free surface problems (Colloque SYNSPADE Maryland 1975).

[6] F. Mignot - J.P. Puel : Solution maximum de certaines inéquations d'évolution paraboliques et inéquations quasi-variationnelles paraboliques (C.R.A.S. 3 Fevr. 1975).

[7] C. Moreno - C. Saguez : Dépendance par rapport aux données de la frontière libre associée à certaines inéquations variationnelles d'évolution. Application au contrôle optimal. (Rapport Laboria à paraître).

[8] F. Murat - J. Simon : Contrôle par un domaine géométrique (Paris VI, 1976).

[9] O. Pironneau - C. Saguez : Asymptotic behavior, with respect to the domain, of solutions of partial differential equations, (Rapport Laboria, 1977).

[10] J.P. Yvon : Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des inéquations variationnelles (Rapport Laboria, Février 1974).