# Observations biométriques

Par

Dezydery Szymkiewicz

## VI. Les fonctions B de Charlier

L'astronome suédois Charlier a publié deux mémoires remarquables sur les fonctions servant à l'interpolation des fréquences des erreurs d'observation<fnref n="1" />. Ces fonctions peuvent être utiles aussi pour l'interpolation des différents autres matériaux statistiques. Le premier de ces mémoires s'occupe du cas, quand la courbe des fréquences est bilatérale. Pour ce problème, Charlier propose les fonctions „du type A“ qui sont une généralisation de la fonction normale de probabilité établie par de Moivre, indûment attribuée à Gauss. Dans le second mémoire, est considérée l'unilatérale distribution des fréquences. Pour ce cas, l'auteur propose les fonctions „du type B“ qui sont une généralisation de la fonction de Poisson, dont l'utilité pour la statistique a été mise en évidence dans le mémoire connu de Bortkiewicz „Das Gesetz der kleinen Zahlen“. Ces fonctions que j'appellerai simplement „fonctions B“ sont très utiles pour la statistique biologique. Leur application aux problèmes biométriques étant rare, il est nécessaire de s'en occuper davantage.

La fonction de Poisson qui est la base des fonctions B a la forme

$$ \psi_0(x) = \frac{\lambda^x}{x!} e^{-\lambda} $$

où $\lambda$ est une constante. Cette fonction est nulle pour les valeurs négatives de la variable indépendante et égale à $e^{-\lambda}$ pour $x=0$.

La fonction B de Charlier a la forme de la somme infinie

$$ \psi(x) = \psi_0(x) + \kappa_2 \Delta^2 \psi_0(x) + \kappa_3 \Delta^3 \psi_0(x) + \kappa_4 \Delta^4 \psi_0(x) + \dots $$

<footnote n="1">¹ Über das Fehlergesetz — Meddelanden från Lunds Astronomiska Observatorium N 25.</footnote>

<footnote>Die zweite Form des Fehlergesetzes. — 1. c. N 26.</footnote>
Dans cette somme figurent les différences finies de deuxième, troisième et supérieurs ordres définies par les équations:

$$ \Delta\psi_0(x) = \psi_0(x) - \psi_0(x-1) $$

$$ \Delta^2\psi_0(x) = \Delta\psi_0(x) - \Delta\psi_0(x-1) = \psi_0(x) - 2\psi_0(x-1) + \psi_0(x-2) $$

$$ \Delta^3\psi_0(x) = \Delta^2\psi_0(x) - \Delta^2\psi_0(x-1) = \psi_0(x) - 3\psi_0(x-1) + 3\psi_0(x-2) - \psi_0(x-3) $$

Les coefficients $\kappa_2, \kappa_3, ...$ sont des constantes.

Charlier n'a pris que deux premiers termes de cette série. Je vais montrer que dans beaucoup de cas le troisième terme est aussi indispensable.

Le problème considéré étant peu connu aux biologistes, je vais le traiter en entier. Je prends pour base ce principe fondamental de la théorie d'interpolation qu'on peut formuler de la manière suivante. La moyenne arithmétique des valeurs de la fonction servant à l'interpolation doit être égale à la moyenne des nombres à interpoler et en outre les moments par rapport à cette moyenne doivent être égaux pour les valeurs de la fonction et pour les nombres considérés. Il suffit ici de prendre le deuxième et le troisième moments.

La fonction de Poisson étant nulle pour les valeurs négatives de la variable indépendante, on n'en prend que la valeur zéro et les valeurs positives. Ces dernières dans le problème considéré sont des nombres entiers.

On a ainsi à considérer la série

$$ \psi(0), \psi(1), \psi(2), \psi(3),... $$

Il faut ici tout d'abord tenir compte de cette particularité de cette série que la somme de ses termes est égale à l'unité. En effet, on a

$$ \sum_{x=0}^{\infty} \psi(x) = \sum_{x=0}^{\infty} \psi_0(x) + \kappa_2 \sum_{x=0}^{\infty} \Delta^2\psi_0(x) + \kappa_3 \sum_{x=0}^{\infty} \Delta^3\psi_0(x) + ... $$

Or le premier terme de ce polynome est égal à l'unité, car

$$ \sum_{x=0}^{\infty} \psi_0(x) = e^{-\lambda} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{\lambda^x}{x!} = e^{-\lambda} e^{\lambda} = 1 $$

En même temps tous les autres sont nuls. Ainsi pour $\sum_{x=0}^{\infty} \Delta^2\psi_0(x)$ on obtient:
$$e_\lambda \Delta^2 \psi_0(x)$$

$$0 \quad \psi_0(0) - 2\psi_0(-1) + \psi_0(-2) = 1$$

$$1 \quad \psi_0(1) - 2\psi_0(0) + \psi_0(-1) = \lambda - 2$$

$$2 \quad \psi_0(2) - 2\psi_0(1) + \psi_0(0) = \frac{\lambda^2}{2!} - 2\lambda + 1$$

$$3 \quad \psi_0(3) - 2\psi_0(2) + \psi_0(1) = \frac{\lambda^3}{3!} - 2\frac{\lambda^2}{2!} + \lambda$$

$$4 \quad \psi_0(4) - 2\psi_0(3) + \psi_0(2) = \frac{\lambda^4}{4!} - 2\frac{\lambda^3}{3!} + \frac{\lambda^2}{2!}$$

En additionnant, on obtiendra pour la somme $e_\lambda \sum_{x=0}^\infty \Delta^2 \psi_0(x)$ un polynome dont les membres s'annulent successivement. Il en sera de même avec la somme $\sum_{x=0}^\infty \Delta^2 \psi_0(x)$ et toutes les autres.

Passons maintenant à la moyenne arithmétique. Elle est égale au premier moment par rapport à zéro. Par suite, on aura en désignant par la lettre $\mu$ les moments par rapport au zéro:

$$m = \mu_1 = \frac{\sum x \psi(x)}{\sum \psi(x)}.$$

La somme $\Sigma \psi(x)$ étant égale à l'unité, on est dispensé ici et aussi dans le calcul des autres moments de la division par cette somme. On aura donc:

$$m = \mu_1 = \Sigma x \psi(x) = \Sigma x \psi_0(x) + \kappa_2 \Sigma x \Delta^2 \psi_0(x) + \kappa_3 \Sigma x \Delta^3 \psi_0(x) + \dots$$

On calcule facilement la première des sommes qui figurent ici.

$$x \quad e_\lambda^2 \psi_0(x) \quad xe_\lambda^2 \psi_0(x)$$

$$0 \quad 1 \quad 0$$

$$1 \quad \frac{\lambda}{1!} \quad \frac{\lambda}{1!}$$

$$2 \quad \frac{\lambda^2}{2!} \quad 2 \frac{\lambda^2}{2!}$$

$$3 \quad \frac{\lambda^3}{3!} \quad 3 \frac{\lambda^3}{3!}$$
$$e^2 \Sigma x \psi_0(x) = \lambda + \frac{\lambda^2}{1!} + \frac{\lambda^3}{2!} + \dots = \lambda \left( 1 + \frac{\lambda}{1!} + \frac{\lambda^2}{2!} + \dots \right) = \lambda e^\lambda$$

et par suite: $\Sigma x\psi_0(x) = \lambda$.

Toutes les autres sommes sont nulles. Par exemple pour la
deuxième somme on a:

$$\Sigma x \Delta^2 \psi_0(x) = \Sigma x \psi_0(x) - 2 \Sigma x \psi_0(x-1) + \Sigma x \psi_0(x-2)$$
$$x \quad e^2 \psi_0(x-1) \quad xe^2 \psi_0(x-1)$$

$$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} 2 & \frac{\lambda}{1!} & 2 \frac{\lambda}{1!} \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} 3 & \frac{\lambda^2}{2!} & 3 \frac{\lambda^2}{2!} \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} 4 & \frac{\lambda^3}{3!} & 4 \frac{\lambda^3}{3!} \end{matrix}$$

$$e^2 \Sigma x \psi_0(x-1) = 1 + \frac{\lambda}{1!} + \frac{\lambda^2}{2!} + \frac{\lambda^3}{3!} + \dots + \frac{\lambda}{1!} + 2 \frac{\lambda^2}{2!} + 3 \frac{\lambda^3}{3!} + \dots =$$

$$= e^2 + \lambda \left( 1 + \frac{\lambda}{1!} + \frac{\lambda^2}{2!} + \dots \right) = e^2 + \lambda e^2$$

$$\Sigma x \psi_0(x-1) = 1 + \lambda$$

$$x \quad e^2 \psi_0(x-2) \quad xe^2 \psi_0(x-2)$$

$$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} 2 & 1 & 2 \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} 3 & \frac{\lambda}{1!} & 3 \frac{\lambda}{1!} \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} 4 & \frac{\lambda^2}{2!} & 4 \frac{\lambda^2}{2!} \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} 5 & \frac{\lambda^3}{3!} & 5 \frac{\lambda^3}{3!} \end{matrix}$$
$$e^2 \Sigma x \psi_0(x-2) = 2 \left( 1 + \frac{\lambda}{1!} + \frac{\lambda^2}{2!} + \dots \right) + \frac{\lambda}{1!} + 2 \frac{\lambda^2}{2!} + 3 \frac{\lambda^3}{3!} + \dots = \\ = 2e^2 + \lambda \left( 1 + \frac{\lambda}{1!} + \frac{\lambda^2}{2!} + \dots \right) = 2e^2 + \lambda e^2 \\ \Sigma x \psi_0(x-2) = 2 + \lambda$$

et enfin:

$$\Sigma x \Delta^2 \psi_0(x) = \lambda - 2(1 + \lambda) + 2 + \lambda = 0$$

Par un raisonnement semblable on obtient:

$$\Sigma x \Delta^3 \psi_0(x) = 0, \Sigma x \Delta^4 \psi_0(x) = 0, \dots$$

et, en conséquence, la moyenne arithmetique des valeurs de la fonction $\psi(x)$ se trouve égale à $\lambda$.

Passons maintenant au deuxième moment qui est:

$$m_2 = \mu_2 - \mu_1^2$$

On a par la définition:

$$\mu_2 = \Sigma x^2 \psi(x) = \Sigma x^2 \psi_0(x) + \kappa_2 \Sigma x^2 \Delta^2 \psi_0(x) + \kappa_3 \Sigma x^2 \Delta^3 \psi_0(x) + \dots$$

Calculons les sommes qui figurent ici. Pour la première on obtient:

$$\begin{array}{ccccc}
x & e^2 \psi_0(x) & x^2 & x^2 e^2 \psi_0(x) \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & \frac{\lambda}{1!} & 1 & \frac{\lambda}{1!} \\
2 & \frac{\lambda^2}{2!} & 4 & \frac{\lambda^2}{2!} \\
3 & \frac{\lambda^3}{3!} & 9 & \frac{\lambda^3}{3!} \\
4 & \frac{\lambda^4}{4!} & 16 & \frac{\lambda^4}{4!} \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot
\end{array}$$

$$e^2 \Sigma x^2 \psi_0(x) = \lambda \left( 1 + 2 \frac{\lambda}{1!} + 3 \frac{\lambda^2}{2!} + 4 \frac{\lambda^3}{3!} + \dots \right) = \\
= \lambda \left( 1 + \frac{\lambda}{1!} + \frac{\lambda^2}{2!} + \frac{\lambda^3}{3!} + \dots + \frac{\lambda}{1!} + 2 \frac{\lambda^2}{2!} + 3 \frac{\lambda^3}{3!} + \dots \right) = \\
= \lambda \left[ e^2 + \lambda \left( 1 + \frac{\lambda}{1!} + \frac{\lambda^2}{2!} + \dots \right) \right] = \lambda [e^2 + \lambda e^4] = e^2(\lambda + \lambda^2) \\
\Sigma x^2 \psi_0(x) = \lambda + \lambda^2$$
Pour la deuxième somme on aura:

$$ \Sigma x^2 \Delta^2 \psi_0(x) = \Sigma x^2 \psi_0(x) - 2 \Sigma x^2 \psi_0(x-1) + \Sigma x^2 \psi_0(x-2) $$

$$ x \quad e^\lambda \psi_0(x-1) \quad x^2 \quad x^2 e^\lambda \psi_0(x-1) $$

$$ 0 \quad 0 \quad 0 \quad 0 $$

$$ 1 \quad 1 \quad 1 \quad 1 $$

$$ 2 \quad \frac{\lambda}{1!} \quad 4 \quad 4 \frac{\lambda}{1!} $$

$$ 3 \quad \frac{\lambda^2}{2!} \quad 9 \quad 9 \frac{\lambda^2}{2!} $$

$$ 4 \quad \frac{\lambda^3}{3!} \quad 16 \quad 16 \frac{\lambda^3}{3!} $$

$$ 5 \quad \frac{\lambda^4}{4!} \quad 25 \quad 25 \frac{\lambda^4}{4!} $$

$$ e^\lambda \Sigma x^2 \psi_0(x-1) = 1 + \frac{\lambda}{1!} + \frac{\lambda^2}{2!} + \dots + 3 \frac{\lambda}{1!} + 8 \frac{\lambda^2}{2!} + 15 \frac{\lambda^3}{3!} + 24 \frac{\lambda^4}{4!} + \dots = $$

$$ = e^\lambda + \lambda \left( 3 + 4 \frac{\lambda}{1!} + 5 \frac{\lambda^2}{2!} + 6 \frac{\lambda^3}{3!} + \dots \right) = $$

$$ = e^\lambda + \lambda \left( 3 + 3 \frac{\lambda}{1!} + 3 \frac{\lambda^2}{2!} + \dots + \frac{\lambda}{1!} + 2 \frac{\lambda^2}{2!} + 3 \frac{\lambda^3}{3!} + \dots \right) = $$

$$ = e^\lambda + 3\lambda e + \lambda^2 \left( 1 + \frac{\lambda}{1!} + 2 \frac{\lambda^2}{2!} + \dots \right) = e^\lambda + 3\lambda e^2 + \lambda^2 e^\lambda $$

$$ \Sigma x^2 \psi_0(x-1) = 1 + 3\lambda + \lambda^2 $$

$$ x \quad e^\lambda \psi_0(x-2) \quad x^2 \quad x^2 e^\lambda \psi_0(x-2) $$

$$ 0 \quad 0 \quad 0 \quad 0 $$

$$ 1 \quad 0 \quad 1 \quad 0 $$

$$ 2 \quad 1 \quad 4 \quad 4 $$

$$ 3 \quad \frac{\lambda}{1!} \quad 9 \quad 9 \frac{\lambda}{1!} $$

$$ 4 \quad \frac{\lambda^2}{2!} \quad 16 \quad 16 \frac{\lambda^2}{2!} $$

$$ 5 \quad \frac{\lambda^3}{3!} \quad 25 \quad 25 \frac{\lambda^3}{3!} $$

$$ 6 \quad \frac{\lambda^4}{4!} \quad 36 \quad 36 \frac{\lambda^4}{4!} $$
$$
\begin{align*}
e^2 \Sigma x^2 \psi_0(x-2) &= 4 + 4 \frac{\lambda}{1!} + 4 \frac{\lambda^2}{2!} + \dots + 5 \frac{\lambda}{1!} + 12 \frac{\lambda^2}{2!} + 21 \frac{\lambda^3}{3!} + 32 \frac{\lambda^4}{4!} + \dots \\
&= 4e^2 + \lambda \left( 5 + 6 \frac{\lambda}{1!} + 7 \frac{\lambda^2}{2!} + 8 \frac{\lambda^3}{3!} + \dots \right) = \\
&= 4e^2 + \lambda \left( 5 + 5 \frac{\lambda}{1!} + 5 \frac{\lambda^2}{2!} + \dots + \frac{\lambda}{1!} + 2 \frac{\lambda^2}{2!} + 3 \frac{\lambda^3}{3!} + \dots \right) = \\
&= 4e^2 + 5\lambda e^2 + \lambda^2 \left( 1 + \frac{\lambda}{1!} + \frac{\lambda^2}{2!} + \dots \right) = 4e^2 + 5\lambda e^2 + \lambda^2 e^2 \\
\Sigma x^2 \psi_0(x-2) &= 4 + 5\lambda + \lambda^2
\end{align*}
$$

Et enfin $\Sigma x^2 \Lambda^2 \psi_0(x) = \lambda + \lambda^2 - 2(1 + 3\lambda + \lambda^2) + 4 + 5\lambda + \lambda^2 = 2$.

Passons à la troisième somme $\Sigma x^2 \Lambda^3 \psi_0(x)$. Par les développements semblables, on arrive facilement à la conclusion qu'elle est nulle. En effet on a

$$
\Sigma x^2 \Lambda^3 \psi_0(x) = \Sigma x^2 \psi_0(x) - 3 \Sigma x^2 \psi_0(x-1) + 3 \Sigma x^2 \psi_0(x-2) + \Sigma x^2 \psi_0(x-3)
$$

Par la même méthode qu'auparavant on obtient

$$
\Sigma x^2 \psi_0(x-3) = 9 + 7\lambda + \lambda^2
$$

et par suite :

$$
\Sigma x^2 \Lambda^3 \psi_0(x) = \lambda + \lambda^2 - 3(1 + 3\lambda + \lambda^2) + 3(4 + 5\lambda + \lambda^2) - (9 + 7\lambda + \lambda^2) = 0.
$$

Toutes les autres sommes

$$
\Sigma x^2 \Delta^4 \psi_0(x), \Sigma x^2 \Delta^5 \psi_0(x), \dots
$$

sont également nulles.

En fin des comptes on obtient pour le deuxième moment de
la fonction $\psi(x)$:

$$
\mu_2 = \lambda + \lambda^2 + 2\kappa_2
$$

$$
m_2 = \mu_2 - \mu_1^2 = \lambda + 2\kappa_2
$$

Passons enfin au calcul du troisième moment de la fonction
$\psi(x)$. Nous avons pour cela les équations :

$$
\mu_3 = \Sigma x^3 \psi(x) = \Sigma x^3 \psi_0(x) + \kappa_2 \Sigma x^3 \Delta^2 \psi_0(x) + \kappa_3 \Sigma x^3 \Delta^3 \psi_0(x) + \dots
$$

et

$$
m_3 = \mu_3 - 3\mu_1\mu_2 + 2\mu_1^3
$$
Calculons d'abord la somme $\Sigma x^3\psi_0(x)$

<table><thead><tr><th>x</th><th>e<sup>λ</sup>ψ<sub>0</sub>(x)</th><th>x<sup>3</sup></th><th>x<sup>3</sup>e<sup>λ</sup>ψ<sub>0</sub>(x)</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td><sup>λ</sup>&frasl;<sub>1!</sub></td><td>1</td><td><sup>λ</sup>&frasl;<sub>1!</sub></td></tr><tr><td>2</td><td><sup>λ<sup>2</sup></sup>&frasl;<sub>2!</sub></td><td>8</td><td>8<sup>λ<sup>2</sup></sup>&frasl;<sub>2!</sub></td></tr><tr><td>3</td><td><sup>λ<sup>3</sup></sup>&frasl;<sub>3!</sub></td><td>27</td><td>27<sup>λ<sup>3</sup></sup>&frasl;<sub>3!</sub></td></tr><tr><td>4</td><td><sup>λ<sup>4</sup></sup>&frasl;<sub>4!</sub></td><td>64</td><td>64<sup>λ<sup>4</sup></sup>&frasl;<sub>4!</sub></td></tr><tr><td>5</td><td><sup>λ<sup>5</sup></sup>&frasl;<sub>5!</sub></td><td>125</td><td>125<sup>λ<sup>5</sup></sup>&frasl;<sub>5!</sub></td></tr><tr><td>.</td><td>.</td><td>.</td><td>.</td></tr></tbody></table>

$$ 
\begin{aligned}
e^{\lambda} \Sigma x^3 \psi_0(x) &= \lambda \left( 1 + 4 \frac{\lambda}{1!} + 9 \frac{\lambda^2}{2!} + 16 \frac{\lambda^3}{3!} + 25 \frac{\lambda^4}{4!} + \dots \right) = \\
&= \lambda \left( 1 + \frac{\lambda}{1!} + \frac{\lambda^2}{2!} + \dots + 3 \frac{\lambda}{1!} + 8 \frac{\lambda^2}{2!} + 15 \frac{\lambda^3}{3!} + 24 \frac{\lambda^4}{4!} + \dots \right) = \\
&= \lambda e^{\lambda} + \lambda^2 \left( 3 + 4 \frac{\lambda}{1!} + 5 \frac{\lambda^2}{2!} + 6 \frac{\lambda^3}{3!} + \dots \right) = \\
&= \lambda e^{\lambda} + \lambda^2 \left( 3 + 3 \frac{\lambda}{1!} + 3 \frac{\lambda^2}{2!} + \dots + \frac{\lambda}{1!} + 2 \frac{\lambda^2}{2!} + 3 \frac{\lambda^3}{3!} + \dots \right) = \\
&= \lambda e^{\lambda} + 3 \lambda^2 e^{\lambda} + \lambda^3 \left( 1 + \frac{\lambda}{1!} + \frac{\lambda^2}{2!} + \dots \right) = \lambda e^{\lambda} + 3 \lambda^2 e^{\lambda} + \lambda^3 e^{\lambda} \\
\Sigma x^3 \psi_0(x) &= \lambda + 3 \lambda^2 + \lambda^3
\end{aligned}
$$

Pour les deux suivantes sommes de la fonction $\mu_3$ nous avons les équations:

$$ 
\begin{aligned}
\Sigma x^3 \Delta^2 \psi_0(x) &= \Sigma x^3 \psi_0(x) - 2 \Sigma x^3 \psi_0(x-1) + \Sigma x^3 \psi_0(x-2) \\
\Sigma x^3 \Delta^3 \psi_0(x) &= \Sigma x^3 \psi_0(x) - 3 \Sigma x^3 \psi_0(x-1) + 3 \Sigma x^3 \psi_0(x-2) - \Sigma x^3 \psi_0(x-3).
\end{aligned}
$$

Nous avons ainsi à calculer encore trois sommes. On les obtient toujours par la même méthode. Pour abréger, j'omettrai les détails et donnerai les résultats seulement:

$$ 
\begin{aligned}
\Sigma x^3 \psi_0(x-1) &= 1 + 7\lambda + 6\lambda^2 + \lambda^3 \\
\Sigma x^3 \psi_0(x-2) &= 8 + 19\lambda + 9\lambda^2 + \lambda^3 \\
\Sigma x^3 \psi_0(x-3) &= 27 + 37\lambda + 12\lambda^2 + \lambda^3
\end{aligned}
$$

On peut montrer en outre que les sommes

$\Sigma x^3 \Delta^4 \psi_0(x), \Sigma x^3 \Delta^5 \psi_0(x), \dots$ sont nulles.
Par conséquent, le troisième moment par rapport au zéro a la forme:

$$
\begin{align*}
\mu_3 &= \lambda + 3\lambda^2 + \lambda^3 + \kappa_2[\lambda + 3\lambda^2 + \lambda^3 - 2(1 + 7\lambda + 6\lambda^2 + \lambda^3) + \\
&\quad + 8 + 19\lambda + 9\lambda^2 + \lambda^3] + \kappa_3[\lambda + 3\lambda + \lambda^3 - 3(1 + 7\lambda + 6\lambda^2 + \lambda^3) + \\
&\quad + 3(8 + 19\lambda + 9\lambda^2 + \lambda^3) - (27 + 37\lambda + 12\lambda^2 + \lambda^3)] = \\
&= \lambda + 3\lambda^2 + \lambda^3 + \kappa_2(6 + 6\lambda) - 6\kappa_3
\end{align*}
$$

On obtient enfin le même moment par rapport à la moyenne:

$$
\begin{align*}
m_3 &= \lambda + 3\lambda^2 + \lambda^3 + \kappa_2(6 + 6\lambda) - 6\kappa_3 - 3\lambda(\lambda + \lambda^2 + 2\kappa_2) + 2\lambda^3 = \\
    &= \lambda + 6\kappa_2 - 6\kappa_3.
\end{align*}
$$

On a, en somme, les caractéristiques suivantes pour la fonction
$\psi(x) = \psi_0(x) + \kappa_2 \Delta^2 \psi_0(x) + \kappa_3 \Delta^3 \psi_0(x) + \dots$

$$
\begin{align*}
m &= \lambda \\
m_2 &= \lambda + 2\kappa_2 \\
m_3 &= \lambda + 6\kappa_2 - 6\kappa_3
\end{align*}
$$

On en déduit les formules pour le calcul des coefficients:

$$
\begin{align*}
\lambda &= m \\
\kappa_2 &= \frac{m_2 - m}{2} \\
\kappa_3 &= \frac{3m_2 - m_3 - 2m}{6}
\end{align*}
$$

Appliquons les résultats de ces considérations aux matériaux
biométriques. Je prendrai d'abord les nombres de pétales dans les
fleurs terminales de *Ranunculus repens* d'après les plantes des en-
vironnements de Lwów. Les 413 exemplaires examinés ont donné les fré-
quences des différents nombres de pétales:

Pétales 5 6 7 8 9 10
Fréquences 314 56 26 13 3 1

Pour appliquer ici la fonction $\psi(x)$, il faut considérer non les
nombres de pétales, mais leurs déviations du nombre normal qui
est 5. En outre, il faut calculer les fréquences relatives, pour que leur
somme soit égale à l'unité. On aura ainsi:

x 0 1 2 3 4 5
Frequences en 7599 1375 606 320 86 13
dixmillièmes

Les caractéristiques dans le cas considéré sont les suivantes:
m = 0.3971, m₂ = 0.6898, m₃ = 1.3721. On en déduit e⁻λ = 0.6723,
κ₂ = +0.1463, κ₃ = -0.0161. Dans la table I sont donnés les dé-
tails des calculs.
<table><caption>TABLE I
*Ranunculus repens*</caption><thead><tr><th>x</th><th>ψ<sub>0</sub></th><th>Δψ<sub>0</sub></th><th>Δ<sup>2</sup>ψ<sub>0</sub></th><th>Δ<sup>3</sup>ψ<sub>0</sub></th><th>z<sub>2</sub>Δ<sup>2</sup>ψ<sub>0</sub></th><th>z<sub>3</sub>Δ<sup>3</sup>ψ<sub>0</sub></th><th>ψ</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>6723</td><td>+ 6723</td><td>+ 6723</td><td>+ 6723</td><td>+ 984</td><td>- 108</td><td>7599</td></tr><tr><td>1</td><td>2670</td><td>- 4053</td><td>- 10776</td><td>- 17499</td><td>- 1577</td><td>+ 282</td><td>1375</td></tr><tr><td>2</td><td>530</td><td>- 2140</td><td>+ 1913</td><td>+ 12689</td><td>+ 280</td><td>- 204</td><td>606</td></tr><tr><td>3</td><td>70</td><td>- 460</td><td>+ 1680</td><td>- 233</td><td>+ 246</td><td>+ 4</td><td>320</td></tr><tr><td>4</td><td>7</td><td>- 63</td><td>+ 397</td><td>- 1283</td><td>+ 58</td><td>+ 21</td><td>86</td></tr><tr><td>5</td><td>0</td><td>- 7</td><td>+ 56</td><td>- 341</td><td>+ 8</td><td>+ 5</td><td>13</td></tr><tr><td>Σ</td><td>10000</td><td></td><td></td><td></td><td>- 1577</td><td>- 312</td><td>9999</td></tr></tbody></table>

La table II présente la comparaison des fréquences calculées et observées. Leur concordance est parfaite.

<table><caption>TABLE II
*Ranunculus repens*</caption><thead><tr><th rowspan="2">Nombres de pétales</th><th colspan="2">Leurs fréquences</th></tr><tr><th>calculées</th><th>observées</th></tr></thead><tbody><tr><td>5</td><td>313.8</td><td>314</td></tr><tr><td>6</td><td>56.8</td><td>56</td></tr><tr><td>7</td><td>25.0</td><td>26</td></tr><tr><td>8</td><td>13.2</td><td>13</td></tr><tr><td>9</td><td>3.6</td><td>3</td></tr><tr><td>10</td><td>0.5</td><td>1</td></tr><tr><td>Sommes</td><td>412.9</td><td>413</td></tr></tbody></table>

Dans certains cas, il faut prendre de la fonction $\psi(x)$ les deux premiers termes seulement, le troisième produisant une discordance entre les fréquences calculées et observées.

Tel est le cas du nombre de petales chez *Anemone Hepatica*. J'ai observé cette plante aux environs de Lwów et j'ai trouvé les fréquences suivantes, en prenant une seule fleur de chacun de 439 exemplaires

Pétales 6 7 8 9 10 11
Fréquences 204 139 61 24 9 2

Les caractéristiques étaient: $m=0.8633$, $m_2=1.0611$, d'où, $e^{-2}=0.4218$, $\kappa_2=+0.0989$.

La concordance des fréquences calculées et observées s'est trouvée également parfaite (table II)
<table><caption>TABLE III
Anemone Hepatica</caption><thead><tr><th rowspan="2">Nombres<br>de pétales</th><th colspan="2">Leurs fréquences</th></tr><tr><th>calculées</th><th>observées</th></tr></thead><tbody><tr><td>6</td><td>203.5</td><td>204</td></tr><tr><td>7</td><td>139.1</td><td>139</td></tr><tr><td>8</td><td>62.5</td><td>61</td></tr><tr><td>9</td><td>24.0</td><td>24</td></tr><tr><td>10</td><td>7.6</td><td>9</td></tr><tr><td>11</td><td>1.9</td><td>2</td></tr><tr><td>Sommes</td><td>438.5</td><td>439</td></tr></tbody></table>

J'ai examiné, dans les environs de Lwów, encore trois espèces de *Ranunculus*: *R. Flammula*, *R. polyanthemos* et *R. acer*. Je prenais toujours des fleurs terminales. Ceci est très important, car comme j'ai démontré dans la première de ces „Observations“ les fleurs latérales présentent des différences notables. En outre, j'ai pris soin de ne prendre qu'une seule fleur de chaque individu, ce qui est surtout important dans le cas de *R. repens* exposé plus haut, car cette plante se propage au moyen des stolons.

Pour *R. Flammula* j'ai obtenu les caractéristiques:

$$m = 0.3172, \quad m_2 = 0.4097, \quad m_3 = 0.5574, \\ e^{-\lambda} = 0.7282, \quad \lambda_2 = +0.0462, \quad \lambda_3 = +0.0062.$$

La table IV expose les résultats qui sont suffisamment con-
cordants.

<table><caption>TABLE IV
*Ranunculus Flammula*</caption><thead><tr><th rowspan="2">Nombre<br>des petales</th><th colspan="2">Leurs fréquences</th></tr><tr><th>calculées</th><th>observées</th></tr></thead><tbody><tr><td>5</td><td>111.4</td><td>111</td></tr><tr><td>6</td><td>23.5</td><td>24</td></tr><tr><td>7</td><td>8.7</td><td>8</td></tr><tr><td>8</td><td>1.4</td><td>2</td></tr><tr><td>Sommes</td><td>145.0</td><td>145</td></tr></tbody></table>

Très intéressant s'est montré *R. polyanthemos*. J'ai trouvé
pour lui: *m* = 0.05140, *m*₂ = 0.08148, *m*₃ = 0.19293, *e*⁻² = 0.9499,
*λ*₂ = +0.01504, *λ*₃ = -0.00855. Ces valeurs ont donné un résultat
abérrant (tab. V), contenant une fréquence négative!
<table><caption>TABLE V
*Ranunculus polyanthemos*</caption><thead><tr><th rowspan="2">Nombres de pétales</th><th colspan="2">Leurs fréquences</th></tr><tr><th>calculées</th><th>observées</th></tr></thead><tbody><tr><td>5</td><td>409·2</td><td>410</td></tr><tr><td>6</td><td>19·2</td><td>16</td></tr><tr><td>7</td><td>-4·3</td><td>1</td></tr><tr><td>8</td><td>3·3</td><td>0</td></tr><tr><td>9</td><td>0·2</td><td>1</td></tr></tbody><tfoot><tr><td>Sommes</td><td>427·6</td><td>428</td></tr></tfoot></table>

Ce résultat étrange est causé par la rencontre de l'individu exceptionnel à 9 pétales. En effet, quand on l'omet, on arrive à une parfaite concordance des fréquences calculées et observées. On a alors: $m=0.04215$, $m_2=0.04502$, $m_3=0.05044$, $e^{-\lambda}=0.9585$, $\kappa_2=+0.00143$, $\kappa_3=+0.00005$ (table VI).

<table><caption>TABLE VI
*Ranunculus polyanthemos*</caption><thead><tr><th rowspan="2">Nombres de pétales</th><th colspan="2">Leurs fréquences</th></tr><tr><th>calculées</th><th>observées</th></tr></thead><tbody><tr><td>5</td><td>409·9</td><td>410</td></tr><tr><td>6</td><td>16·1</td><td>16</td></tr><tr><td>7</td><td>1·0</td><td>1</td></tr></tbody><tfoot><tr><td>Sommes</td><td>427·0</td><td>427</td></tr></tfoot></table>

Nous arrivons enfin à la dernière espèce *R. acer*. Ici on obtient une concordance qui laisse beaucoup à désirer (table VII). Les caractéristiques sont les suivantes: $m=0.1525$, $e^{-\lambda}=0.8586$, $m_2=0.2373$, $m_3=0.4921$, $\kappa_2=+0.0424$, $\kappa_3=-0.0142$.

<table><caption>TABLE VII
*Ranunculus acer*</caption><thead><tr><th rowspan="2">Nombres de pétales</th><th colspan="2">Leurs fréquences</th></tr><tr><th>calculées</th><th>observées</th></tr></thead><tbody><tr><td>5</td><td>457·3</td><td>458</td></tr><tr><td>6</td><td>51·8</td><td>48</td></tr><tr><td>7</td><td>2·4</td><td>7</td></tr><tr><td>8</td><td>6·3</td><td>3</td></tr><tr><td>9</td><td>2·8</td><td>2</td></tr></tbody><tfoot><tr><td>Sommes</td><td>520·6</td><td>518</td></tr></tfoot></table>
La cause de ce désaccord réside visiblement dans la fréquence des cas extrêmes qui s'est trouvée excessive par le jeu de hasard. En effet, prenons la fréquence de 9 pétales égale à 1 au lieu de 2. Nous aurons alors: $m=0.1451$, $m_2=0.2092$, $m_3=0.3876$, $e^{-\lambda}=0.8649$, $\kappa_2=+0.0320$, $\kappa_3=-0.0084$.

Avec ces valeurs on obtient une assez bonne concordance des fréquences calculées et observées (table VIII).

<table><caption>TABLE VIII
*Ranunculus acer*</caption><thead><tr><th rowspan="2">Nombres de pétales</th><th colspan="2">Leurs fréquences</th></tr><tr><th>calculées</th><th>observées</th></tr></thead><tbody><tr><td>5</td><td>457.7</td><td>458</td></tr><tr><td>6</td><td>49.1</td><td>48</td></tr><tr><td>7</td><td>5.3</td><td>7</td></tr><tr><td>8</td><td>4.1</td><td>3</td></tr><tr><td>9</td><td>0.6</td><td>1</td></tr><tr><td>Sommes</td><td>516.8</td><td>517</td></tr></tbody></table>

Les fonctions *B* de Charlier trouvent encore une application importante, à savoir pour l'interpolation des séries statistiques bila- térales, lorsque la fréquence de la valeur la plus fréquente surpasse de beaucoup celles des toutes les autres valeurs. De tel'es séries sont surtout fréquentes chez les plantes. On les trouve souvent, en exami- nant les fleurs ligulées et les involucres des capitules des *Composées*.

Par exemple, les cultures du Jardin Botanique de Dublany ont donné pour les nombres de fleurs ligulées dans les capitules termi- naux de *Senecio sarracenicus* la série suivante:

<table><tr><td>Fleurs ligulées</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr><tr><td>Fréquences</td><td>1</td><td>14</td><td>43</td><td>113</td><td>4</td><td>1</td></tr></table>

On peut admettre que cette forme de la variabilité est produite par trois causes. La première agit constamment et plus fortement que les autres, produisant l'effet qui est le plus fréquent. Les deux autres causes n'agissent que rarement, en reduissant ou augmentant l'effet de la première. Par consequent, on peut décomposer la série en deux, de manière à caractériser séparément l'action de l'une et de l'autre de ces deux dernières causes. Les nouvelles séries qu'on ob-
tient ainsi seront unilatérales et on peut appliquer à elles la fonction B de Charlier.

Appliquons ces raisonnements à *Senecio sarracenicus*. Etablissons d'abord la série en question pour la cause qui diminue le nombre de ligules. Elle n'agit pas dans tous les cas, dans lesquels ce nombre est de 8 et davantage, c'est-à-dire dans 118 cas. Dans 43 cas, elle agit faiblement, en diminuant le nombre de ligules de 1. Dans 14 cas son action est 2 fois plus forte, en abaissant le nombre de ligules à 6. Enfin dans un cas cette action est 3 fois plus forte, en ne permettant que la production de 5 ligules seulement.

On obtient ainsi la série

<table><tr><td>Actions de la cause</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>Leurs fréquences</td><td>118</td><td>43</td><td>14</td><td>1</td></tr></table>

D'une manière semblable on obtient pour la cause qui favorise la production des ligules

<table><tr><td>Actions de la cause</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>Leurs fréquences</td><td>171</td><td>4</td><td>1</td></tr></table>

Pour la cause abaissant la production des ligules nous avons les caractéristiques: $m=0.4205$, $e^{-2}=0.6567$, $m_2=0.4368$, $m_3=0.4087$, $z_2=+0.0081$, $z_3=+0.0101$. La concordance des fréquences calculées et observées se trouve suffisante (table IX).

<caption>TABLE IX
*Senecio sarracenicus*</caption>

Cause abaissant la production des ligules

<table><thead><tr><th rowspan="2">Actions de la cause</th><th colspan="2">Leurs fréquences</th></tr><tr><th>calculées</th><th>observées</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>117·5</td><td>118</td></tr><tr><td>1</td><td>44·1</td><td>43</td></tr><tr><td>2</td><td>12·6</td><td>14</td></tr><tr><td>3</td><td>1·7</td><td>1</td></tr><tr><td>Sommes</td><td>176·0</td><td>176</td></tr></tbody></table>

Pour l'action de la cause favorisant la production des ligules on a les caractéristiques: $m=0.03409$, $e^{-2}=0.9665$, $m_2=0.04429$, $m_3=0.06361$, $z_2=+0.00510$, $z_3=+0.00018$. La concordance est parfaite (table X).
<table><caption>TABLE X
*Serecio sarracenicus*
Cause favoritant la production des ligules</caption><thead><tr><th rowspan="2">Actions<br>de la cause</th><th colspan="2">Leurs fréquences</th></tr><tr><th>calculées</th><th>observées</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>171.0</td><td>171</td></tr><tr><td>1</td><td>4.0</td><td>4</td></tr><tr><td>2</td><td>1.0</td><td>1</td></tr><tr><td>Sommes</td><td>176.0</td><td>176</td></tr></tbody></table>

Je vais encore appliquer la méthode exposée plus haut aux nombres de folioles internes de l'involucre dans les capitules d'Apo- *seris foetida* examinés aux environs de Lwów. Les folioles en question sont disposées en verticilles. Les observations ont été portées sur un seul capitule de chacun de 300 individus. Elles ont donné:

<table><tr><td>Nombres de folioles:</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td></tr><tr><td>Leurs fréquentes:</td><td>1</td><td>10</td><td>234</td><td>42</td><td>10</td><td>3</td></tr></table>

Pour la cause abaissant la production des folioles nous avons i ci la série

<table><tr><td>Actions de la cause:</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>Leurs fréquentes:</td><td>289</td><td>10</td><td>1</td></tr></table>

Les caractéristiques sont les suivantes: $m=0.0400$, $e^{-\lambda}=0.9608$, $m_2=0.0541$, $m_3=0.0547$, $\kappa_2=+0.0025$, $\kappa_3=+0.0001$. La concordance est parfaite (table XI).

<table><caption>TABLE XI
*Aposeris foetida*
Cause abaissant la production des folioles</caption><thead><tr><th rowspan="2">Actions<br>de la cause</th><th colspan="2">Leurs fréquences</th></tr><tr><th>calculées</th><th>observées</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>289.0</td><td>289</td></tr><tr><td>1</td><td>10.0</td><td>10</td></tr><tr><td>2</td><td>1.0</td><td>1</td></tr><tr><td>Sommes</td><td>300.0</td><td>300</td></tr></tbody></table>

Pour la casue favorisant la production des folioles, on a la série

<table><tr><td>Actions de la cause:</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>Leurs fréquentes:</td><td>245</td><td>42</td><td>10</td><td>3</td></tr></table>
Pour cette série on obtient: $m=0.2367$, $e^{-\lambda}=0.7892$, $m_2=0.3073$, $\kappa_2=+0.0353$, Deux termes de la fonction $\psi(x)$ donnent ici meilleure concordance des fréquences que ne le font trois. Cette concordance est suffisante (table XII).

<table><caption>TABLE XII
*Aposeris foctida*
Cause favorisant la production des solioles</caption><thead><tr><th rowspan="2">Actions<br>de la cause</th><th colspan="2">Leurs fréquences</th></tr><tr><th>calculées</th><th>observées</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>245·1</td><td>245</td></tr><tr><td>1</td><td>41·3</td><td>42</td></tr><tr><td>2</td><td>11·3</td><td>10</td></tr><tr><td>3</td><td>1·8</td><td>3</td></tr><tr><td>Sommes</td><td>299·5</td><td>300</td></tr></tbody></table>

Je donnerai enfin un example zoologique: les nombres de rayons de la méduse *Pseudoclytia pentata*, examinée par A. G. Mayer.

<table><tr><td>Nombres de rayons:</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td></tr><tr><td>Leurs fréquences:</td><td>1</td><td>8</td><td>56</td><td>860</td><td>64</td><td>6</td><td>1</td></tr></table>

Pour l'action de la cause abaissant la production des rayons on a ici la série:

<table><tr><td>Actions:</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>Fréquences:</td><td>931</td><td>56</td><td>8</td><td>1</td></tr></table>

On prends deux termes de la fonction $\psi(x)$. Les caractéristiques: $m=0.0753$, $e^{-\lambda}=0.9275$, $m_2=0.0917$, $\kappa_2=0.0082$. La concordance des fréquences est suffisante (table XIII).

<table><caption>TABLE XIII
*Pseudoclytia pentata*
Cause abaissant la production des rayons</caption><thead><tr><th rowspan="2">Actions<br>de la cause</th><th colspan="2">Leurs fréquences</th></tr><tr><th>calculées</th><th>observées</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>931·4</td><td>931</td></tr><tr><td>1</td><td>55·0</td><td>56</td></tr><tr><td>2</td><td>9·1</td><td>8</td></tr><tr><td>3</td><td>0·6</td><td>1</td></tr><tr><td>Sommes</td><td>996·1</td><td>996</td></tr></tbody></table>
Pour la cause favorisant la production des rayons on a la série:

<table><tr><td>Actions de la cause:</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>Leurs fréquences:</td><td>925</td><td>64</td><td>6</td><td>1</td></tr></table>

Les caractéristiques: $m = 0.0793$, $e^{-2} = 0.9238$, $m_2 = 0.0911$, $m_3 = 0.1170$, $\kappa_2 = +0.0059$, $\kappa_3 = -0.0004$. La concordance est bonne (table XIV).

<caption>TABLE XIV</caption>

*Pseudoclytia pentata*. Cause favorisant la production des rayons

<table><thead><tr><th rowspan="2">Actions de la cause</th><th colspan="2">Leurs fréquences</th></tr><tr><th>calculées</th><th>observées</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>925·3</td><td>925</td></tr><tr><td>1</td><td>63·7</td><td>64</td></tr><tr><td>2</td><td>6·2</td><td>6</td></tr><tr><td>3</td><td>0·1</td><td>1</td></tr><tr><td>Sommes</td><td>995·3</td><td>996</td></tr></tbody></table>

## VII. Parastiques chez les Dipsacacées

Comme on le sait, les nombres de parastiques sont ceux de la série de Fibonacci:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...

En particulier, dans les calatides d*Helianthus annus*, on observe les termes élevés de cette série: 34, 55, 89.

Or chez les *Dipsacacées* j'ai constaté un fait abérrant: les nombres de parastiques dans les inflorescences de *Knautia arvensis* et *Succisa pratensis* sont doubles. A savoir, j'ai trouvé 10 et 16 au lieu de 5 et 8. Le premier de ces nombres se rapporte aux parastiques faiblement ascendants, le second — aux parastiques fortement ascendants.

Laboratoire de botanique de l'Ecole Polytechnique de Lwów.