<table><tr><td></td><td>Le prof commente l'écrit du tableau.<br>L'élève singe le premier modèle.<br>Il dicte le développement du déterminant en interaction avec la classe par des questions à un mot (motif : c'est ce qui semble poser le plus de problèmes)<br>Fausse question à un mot (demande le signe en le montrant)<br>Méta structuration a posteriori (« Voilà ce qu'on obtient en faisant ce genre de calcul).</td><td></td><td></td></tr><tr><td>20 Explication sur l'exploitation possible de l'équation</td><td>Question technique sur ce que représente l'équation.<br>Répond lui même.<br>Donne un exemple de point dont il faut voir si il est sur la droite.<br>Question technique de plus en plus simples « Quoi faire ? »<br>Validation d'une réponse par répétition et anticipation.<br>Interaction avec la classe.<br>TRICHE sur l'équivalence</td><td>L'élève recopie la correction en réécrivant sur son crayon de papier.<br>N'interagit pas sur ce qu'explique le prof.<br>Il efface le crayon sous l'encre<br>Aucune note sur l'interprétation de l'équation.</td><td></td></tr><tr><td>21 Rédaction de la conclusion en trois points</td><td>Le prof rédige les conclusions sous le même format que la première méthode.<br>Méta contrat (« comme tout à l'heure, sur le même modèle... »)<br>Emploi d'une autre équation donnée par un élève.<br>Question à un mot.<br>Validation par répétition.<br>Question technique.<br>Réponse ?<br>Explique pourquoi il a trouvé une différence. L'alternance du déterminant.</td><td>L'élève reprend le fil au moment de la rédaction.<br>Il continue d'effacer et de gérer sa présentation.</td><td></td></tr><tr><td>22 Passage à l'équation réduite et comparaison avec l'autre équation réduite.</td><td>Question à un mot sur une réduction de fraction.<br>Donne l'équation réduite en anticipant les réponses.<br>Question à un mot sur parallélisme.<br>Explique qu'elle sont strictement parallèles.<br>Expose des maths sur les équations cartésiennes.<br>Questions techniques.<br>Pas de réponses.<br>Pas d'interaction.<br>Fait les questions et les réponses.</td><td>Ecrit l'équation réduite avec une minute de retard.<br>Du coup, loupe le méta sur la comparaison des équations pour bonne partie.<br>Écoute la fin</td><td></td></tr></table>
23 Explication mathématique et introduction d'autres vecteurs directeurs de la droite.

Le prof expose des maths sur d'autres vecteurs directeurs. Questions à un mot.

Ne marque rien.
Il ne reste qu'une ligne d'emplacement.

Ecoute.

Peu d'élèves répondent.

L'élève rempli finalement la dernière ligne avec d'autres vecteurs directeurs de Delta.

Ne marque rien d'autre.
Deuxième tableau pour p3

<table><thead><tr><th>CONTENU DE LA SCENE</th><th>ACCOMPAGNEMENTS DE L'ENSEIGNANT</th><th>ACTIVITES DES ELEVES</th><th>QUI ECRIT ? MODALITE</th><th>ECRIT AU TABLEAU</th><th>RAPPORT DE L'ECRIT AU DISCOURS</th><th>FONCTION LOCALE DE L'ECRIT AU TABLEAU</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 Introduction de l'activité</td><td>Méta lien avant</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>2 Rappel de cours sur les équations réduites</td><td>Questionne (cours)<br>Validation<br>Questionne (cours)<br>Validation<br>Information avant<br>Questionne (à un mot)<br>Information avant (cours)</td><td>Répondent aux questions</td><td>Le prof</td><td>un élément mathématique, incomplet, inexploitable</td><td>Écrit = l'élément mathématique du discours</td><td>Participe à l'explication (support visuel)</td></tr><tr><td>3 Rappel sur des exercices antérieurs</td><td>Méta lien avant<br>Questionne (à un mot)<br>Validation<br>Information avant<br>Questionne (cours)</td><td>Répondent à la première question. Pas de réponse pour la deuxième.</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>4 Introduction de la séance</td><td>Méta lien avant</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>5 Cours dialogué sur équation définie par deux points</td><td>Questionne (technique)<br>Validation<br>Information avant<br>Engagement<br>Aide avant (dessin)<br>Méta lien avant<br>Information avant<br>Questionne (technique)<br>Information avant<br>Questionne (technique)<br>Information avant</td><td>Répondent aidés par la feuille.<br>Remplissent les cases avec un temps de retard</td><td>Le prof</td><td>Recopie sa feuille polycopiée en la complétant. Titre mathématique + symboles mathématiques et texte. Incomplet (les liens sont sur la feuille).</td><td>Lit ce qu'il écrit au moment où il l'écrit.</td><td>Aide visuelle pour compléter la feuille à l'identique (C'est la feuille qui jour le rôle du modèle)</td></tr><tr><td>6 Introduction d'une application à l'intérieur du cours. Cours dialogué.</td><td>Méta lien avant<br>Aide avant (dessin)<br>Engagement (fausse question)<br>Méta lien avant<br>Information<br>Engagement (question calcul)</td><td>Donnent des coordonnées et des composantes de vecteurs.<br>Remplissent les cases avec un temps</td><td>Le prof</td><td>Symboles mathématiques.</td><td>Lit ce qu'il écrit</td><td>idem</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>7 Suite du cours dialogué : Etape de l'utilisation du déterminant.</td><td>Questionne (à un mot)<br>Information avant<br>Question (technique)<br>Information avant<br>Question (à un mot)<br>Information avant<br>Question (à un mot)<br>Engagement (à dicter)</td><td>Dictent les éléments<br>dans la construction<br>du déterminant.<br>Recopient après le<br>prof (peur de salir).<br>Dictent le<br>développement du<br>déterminant.</td><td>Le prof</td><td>Texte français, rédigé<br>et complet sur le<br>rapport avec le<br>déterminant.<br>Eléments<br>mathématiques<br>(complet) (Un<br>déterminant à<br>calculer ; le<br>développement...)</td><td>Il lit ce qu'il écrit en<br>même temps.</td><td>Support visuel à recopier<br>à l'identique sur la feuille.</td></tr><tr><td>8 Suite :<br>Développement et la<br>réduction du<br>déterminant</td><td>Information avant<br>(Méta gestion de place)<br>Engagement (calcul)<br>Information avant pendant<br>(explications)<br>Question (à un mot)<br>Information avant</td><td>Question parasite<br>sur la place.<br>Répondent sur le<br>calcul (dictent au<br>prof le début)<br>Recopient après le<br>prof.</td><td>Le prof</td><td>Calcul<br>mathématiques</td><td>idem</td><td>idem</td></tr><tr><td>9 Rédaction de la<br>conclusion de cette<br>première activité.</td><td>Méta lien après</td><td></td><td>Le prof</td><td>Rédige la première<br>conclusion. Texte<br>français, rédigé et<br>complet</td><td>idem</td><td>idem</td></tr><tr><td>10 Cours dialogué<br>intégré dans l'exercice<br>(sur « les » équations<br>cartésiennes)</td><td>Information avant (cours)<br>Question (à un mot)<br>Validation<br>Information avant<br>Information avant (cours)<br>Question (à un mot)<br>Validation<br>Information avant (cours)</td><td>Dictent une autre<br>équation</td><td>Le prof</td><td>Deuxième conclusion<br>: Texte français,<br>rédigé et complet.</td><td></td><td></td></tr><tr><td>11 Introduction de<br>l'équation réduite.<br>Cours dialogué inséré<br>dans l'exercice.</td><td>Information avant<br>Question (technique)<br>Information avant<br>Engagement (dicter)<br>Information avant<br>Méta lien après</td><td>Répondent.<br>Dictent au prof.</td><td>Le prof</td><td>L'équation réduite<br>sous la dictée.<br>Puis rédige: texte<br>français complet.</td><td>idem</td><td>idem</td></tr><tr><td>12 Interprétation</td><td>Engagement (dessin)</td><td>Aucune possibilité</td><td>personne</td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
<table><tr><td>graphique du coefficient directeur.</td><td>Méta lien avant Question (à un mot) Information avant Question (technique) Information avant</td><td>de note sur l'interprétation graphique.</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>13 Interprétation graphique du deuxième coefficient.</td><td>Question (à un mot) Information avant</td><td>idem</td><td>personne</td><td></td><td>Montrer les coefficients dont on parle sur l'équation réduite qu'on vient de trouver.</td></tr><tr><td>14 Interprétation graphique des coefficients de l'équation cartésienne</td><td>Méta lien avant Information avant Question (à un mot) Validation Information avant Question (technique) Question (à un mot) Information avant</td><td>Anticipation d'un élève sur un mot («AB»)</td><td>Il souligne seulement l'équation cartésienne première.</td><td>Il s'appuie sur le dessin de la feuille (très peu) et montre les coefficients dont il parle dans les équations cartésiennes</td><td>Montrer des équations cartésiennes.</td></tr><tr><td>15 Explication sur coefficients directeurs et vecteurs directeurs.</td><td>Méta lien après Information avant</td><td></td><td>Le prof écrit une synthèse</td><td>Le prof. Une phrase pour donner deux vecteurs directeurs de la droite. Texte français, rédigé et complet.</td><td></td></tr><tr><td>15a Lien vecteur directeur / coefficient directeur (suite de l'explication)</td><td>Question (technique) Engagement (fausses questions) Méta gestion Question (technique) Information avant</td><td>Très peu d'interaction sauf au moment d'une intervention sur la place.</td><td>Rajoute un élément mathématique</td><td></td><td></td></tr><tr><td>16 Introduction du deuxième paragraphe de cours sous la forme d'un exercice à faire.</td><td>Méta lien avant Aide pendant (dessin) Information avant Engagement (dessin) Méta contrat Méta lien avant</td><td>?</td><td>Le prof</td><td>Remplit les cases. Incomplet, pas de liens. Maths et français.</td><td>Lit les phrases complétées qui doivent être sur la feuille. Ne marque que ce qu'il faut mettre dans les trous, au moment où il le dit.</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>Support visuel à recopier à l'identique sur la feuille.</td></tr></table>
<table><tr><td>17 Début de la correction au tableau en lien avec le polycopié</td><td>Méta contrat Information avant Questionne (à un mot) Question (technique) Information avant Méta contrat Information avant Méta contrat</td><td></td><td>Le prof</td><td>Remplit la case. Trace une autre case qu'il remplit après</td><td>écrit au bon endroit au moment où ça s'insère dans son discours.</td><td>idem</td></tr><tr><td>18 Temps de recherche</td><td>Circule Information avant Validation Engagement (dessin)</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>19 Suite de la correction</td><td>Engagement (envoie au tableau) Information avant Méta lien avant Circule Validation Engagement (à dicter) Engagement (fausse question) Méta lien après</td><td>Elève autonome pour les composantes du premier vecteur. Elle singe exactement la première méthode. Elle attend que le prof calcule avant d'écrire. Elle finit la réduction.</td><td>L'élève autonome puis sous la dictée. Elève autonome pour écrire le déterminant puis dirigé pour le calcul.</td><td>La correction sous la même forme que la première partie. Texte français rédigé complet avec un calcul mathématique</td><td></td><td>idem</td></tr><tr><td>20 Explication sur l'exploitation possible de l'équation</td><td>Question (technique) Question (technique) Validation Engagement (questions à un mot)</td><td></td><td>Le prof écrit l'exemple (- 5,2)</td><td>Un élément mathématique sans liens</td><td></td><td>Participe à l'explication</td></tr><tr><td>21 Rédaction de la conclusion en trois points.</td><td>Information avant Méta contrat Engagement (exploitation) Question à un mot Validation Question technique Information avant</td><td></td><td></td><td>Le prof</td><td>Texte français rédigé, sous le même format que la première méthode.</td><td>Aide visuelle : les élèves doivent recopier à l'identique pour compléter leur feuille</td></tr><tr><td>22 Passage à</td><td>Question à un mot</td><td>Un élève donne le</td><td>Le prof</td><td>Marque l'équation et</td><td></td><td>idem</td></tr></table>
<table><tr><td>l'équation réduite et comparaison avec l'autre équation.</td><td>Information avant Question à un mot Information avant Question technique Information avant</td><td>coefficient directeur.</td><td></td><td>rédige</td><td></td><td></td></tr><tr><td>23 Explication mathématique et introduction d'autres vecteurs directeurs de la droite.</td><td>Information avant Question à un mot</td><td></td><td>Le prof</td><td>Symbole mathématiques et texte rédigé</td><td>Écrit = Éléments mathématiques du discours + texte = postérieur au discours (redite)</td><td>Ce que les élèves doivent recopier</td></tr></table>
Annexe 5 : Les transcriptions

Transcript de p1 (première demi-séance)

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

**P.B.:** C'est bon on commence s'ils vous plaît. On commence, on travaille là à l'instant, on reprend exactement sur ce que je vous ai proposé hier. Je réécris ce qu'on avait mis au tableau hier. On avait donc dans le plan de repère orthonormal... Vous me redonnez les coordonnées de A et B. A c'est (-2;2) et de coordonnée (4;4). La question c'est chercher une équation de (A B).

**Elève:** De la médiatrice ?

**P.B.:** Oui ! chercher une équation de la médiatrice de (A B). On doit en être là, je vous laisse encore quelques secondes pour chercher ceci.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

**Elève:** Monsieur, pourquoi vous mettez une équation ? Il peut y en avoir qu'une de toute façon.

**P.B.:** Oui ! c'est une bonne question de me dire chercher une équation, par rapport à ce que l'on vous propose, cette année il n'y a que l'équation, c'est vrai ; mais on pourrait trouver d'autres équations, d'autres formules équivalentes. Alors comme il y a une suppression de programme par rapport à l'an dernier: l'an dernier il y avait plusieurs façons d'écrire une équation, donc j'ai tendance à écrire chercher une équation. Cela dit on en trouvera qu'une seule par rapport à ce qui nous intéresse cette année, mais la remarque est tout à fait juste.

**Dalila:** Vous nous rappelez... la médiatrice, qu'est-ce que vous connaissez comme définition?

**Elève:** C'est l'ensemble des points à égales distances de A et de B.

**P.B.:** L'ensemble des points à égales distances de A et de B, tout à fait correct comme définition. Est-ce qu'il y a autre chose?

**Elève:** Elle coupe (AB) en son milieu.

**P.B.:** Elle coupe (AB) en son milieu, ça c'est juste mais ce n'est pas suffisant. Elle est perpendiculaire à (AB). Vous constatez qu'ici on a donné "elle"... "elle" c'est une... Quand vous me dites "elle", c'est quoi "elle"?

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

**Elève:** Une droite.

**P.B.:** C'est une droite, bon. Donc vous constatez que vous avez donné deux définitions. Si vous avez donné deux définitions ça vous donne déjà deux pistes différentes. Il y en a qui ont très bien pu procéder parmi vous avec l'idée: c'est l'ensemble des points à égales distances des extrémités. Il y en qui ont pu procéder avec: c'est la droite qui passe par le milieu et qui est perpendiculaire au segment. Les deux procédés nous amènent à des résultats.

Laetitia au tableau! On a proposé deux idées tout à l'heure sur la médiatrice, l'ensemble des points à équidistance ou à équidistance des extrémités de A et de B. On a proposé la droite qui passe par le milieu et qui est perpendiculaire... vous préférez quelle idée?

**Elève:** Perpendiculaire.

**P.B.:** Alors perpendiculaire, c'est à dire la droite qui passe par le milieu et qui est perpendiculaire. De quoi vous avez besoin si vous pensez à cette idée là, de quoi vous avez besoin?

**Elève:** De l'équation de la droite (AB).

**P.B.:** On peut avoir besoin de l'équation de la droite (AB), oui; et vous en feriez quoi de l'équation de la droite (AB)? C'est pas la droite (AB) dont on cherche l'équation, mais on peut en avoir besoin, vous en feriez quoi?... L'équation de la droite (AB) ça vous apporterait quoi?

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

**Elève:** ?

**P.B.:** Si on l'équation de la droite (AB) je suis pas contre mais ça donnerait quoi? Ca donnerait, oui j'ai entendu, le coefficient directeur. Si vous avez déjà le coefficient directeur de la droite (AB) ça servirait à quoi? Qu'est-ce qu'on pourrait chercher à l'aide du coefficient directeur de la droite (AB)? Le coefficient directeur de la médiatrice, si on connaît le coefficient directeur de cette droite (AB), d'accord. On a vu hier une règle qui nous permet de trouver le coefficient directeur d'une droite perpendiculaire, ce serait déjà effectivement quelque chose d'utile. Est-ce qu'on va vraiment avoir besoin de entièrement l'équation de(AB) ou simplement de la? Alors vous allez écrire "on cherche le coefficient directeur de (AB)". Vous pouvez vous fier au dessin. Comment vous allez le trouver le coefficient directeur de (AB)?

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

**Elève:** C'est (-2).

**P.B.:** Le coefficient c'est pas (-2), non. Le coefficient directeur de la droite (AB).

Romain-Henri, le coefficient le coef. direct. de la droite (AB), comment on va trouver?... Faut que vous sachiez ça, on l'a vu les jours précédents. Julie?

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

**Elève:** Faut faire (XB-XA) sur (YB-YA).

**P.B.:** Vous m'avez dit (XB-XA) sur (YB-YA), on est d'accord?... C'est pas le contraire c'est l'inverse, donc c'est (YB-YA) sur (XB-XA). Vous mettez en-dessous c'est (YB-YA) sur (XB-XA). Vous mettez à la suite égale, ça ce simplifie un petit peu. Bien ça ne ce voyait pas également sur le dessins, ici est-ce qu'en prenant là-bas de la couleur je dois en avoir ici, on va prendre du bleu ici. Vous me remontrez sur le dessin ce coef. direct. que vous devez voir. Oui allez y. Vous pourriez le voir comme ça effectivement. Vous nous dites à l'aide du petit dessins que vous avez fait qu'est-ce qui permet de voir... cette hauteur là divisée par cette... avancée ici. Vous
pourriez aller de Avers B. De A vers B vous nous le montrez de A vers B également. Allez y. Mais plus loin, plus loin, plus loin. Si vous appelez H ce point là, ici, le coef. direct., c'est? Le (YB-YA) que vous aviez ici, c'est? La longueur (BH) divisé par la longueur (AH), ici avec des nombres positifs. Bien vous allez à votre place.

(Sophie) vous allez au tableau s'il vous plaît. On a trouvé que le coef. direct. de la droite (AB) c'est un tiers, on a dit tout à l'heure qu'on pouvait trouver le coef. direct. de la médiatrice... c'est un nombre. On va l'appeler comment ce nombre?

8

**Elève:** (a).

**P.B.:** Oui! Vous allez dire le coef. direct. de la médiatrice est (a) tel que ... alors tel que quoi? On a dit tout à l'heure...

**Elève:** Que (aa')...

**P.B.:** Alors (a') je ne sais pas ce que c'est, mais vous avez déjà le coef. direct. de la droite (AB), donc tel que?

9

**Elève:** A sur un tiers fois A est égal à (-?)

**P.B.:** Tout à fait. On trouve (a') égal... Bien vous vous poussez à gauche que tout le monde voie ceci. On a déjà le coef. direct. de la médiatrice, on a dit tout à l'heure ce qu'était la médiatrice, de quoi aurions-nous encore besoin qui n'a pas été dit tout à l'heure?

**Elève:** Un point.

10

**P.B.:** Un point, quel point?

**Elève:** ?

**P.B.:** Vous écrivez "on cherche les coordonnées du milieu " / Alors vous l'appelez comment ce milieu?

**Elève:** M.

11

**P.B.:** M, si vous voulez, de... On y va ? vous cherchez ça, les autres à leur place cherchent, vous pouvez les appeler XM YM.

Vous avez donc trouvé en abscisse 1, en ordonnée 3. Vous voyez que sur mon dessin c'est pas tout à fait parfait. Ici vous avez les coordonnées du milieu M, d'accord. Alors ça vous m'avez dit tout à l'heure que c'était un point de la médiatrice, oui et alors?

12

**Elève:** M.C. AB et M appartient à la médiatrice.

**P.B:** Oui et alors? Qu'est-ce que ça fait que M appartient à la médiatrice? Je vous pose la question autrement: vous cherchez une ou l'équation de la médiatrice ? elle est de quelle forme on l'a dit tout à l'heure, c'est de la forme?... Y=aX+b. Qu'est-ce qu'on connaît déjà?... On connaît le nombre (a), qu'est-ce qui nous manque?... Il nous manque (b). Qu'est-ce que vous pouvez faire pour récupérer (b)?

**Elève:** ?

**P.B.:** Vous appliquez ça. Mr M. vous n'attendez pas à votre place vous essayez de faire. Alors je vous stoppe vous avez écrit: Y=aX+b. Vous allez mettre "est l'équation cherchée de la médiatrice", d'accord? Pourquoi vous m'avez écrit 3=-3 fois 1+b, vous avez raison, mais pourquoi vous m'avez écrit ceci? Vous nous le redites.

**Elève:** ?

**P.B.:** Oui dans l'équation parce que le point M vous savez qu'il est...

**Elève:** Il appartient à la médiatrice.

**P.B.:** On va mettre ici "car M est sur la médiatrice". Tout à fait d'accord, vous poursuivez... Alors vous avez trouvé b=6, vous avez fini le travail ou pas, vous me dites: vous l'avez fini ou pas?

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**Elève:** Oui.

**P.B.:** Qu'est-ce qu'il faudrait faire encore?

**Elève:** Faudrait remplacer a et b par...

**P.B.:** Oui donc vous allez écrire la conclusion, c'est l'équation cherchée est?

**Elève:** Y=-3X+6.

**P.B.:** Vous écrivez ça, conclusion l'équation cherchée est... Je vous remercie vous allez à votre place. Lucie qu'est-ce qu'on fait après, une fois qu'on a trouvé ça? On a trouvé l'équation cherchée, qu'est-ce qu'on fait obligatoirement?

**Elève:** On vérifie sur le dessin.

**P.B.:** On vérifie sur le dessin c'est-à-dire qu'on fait quoi avec Y=-3X+6.

**Elève:** On trace la droite...

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**P.B.:** On trace la droite dont on a trouvé l'équation et à partir de là on va voir sur le dessin si ça marche bien ou si ça marche mal c'est-à-dire si on a l'impression d'avoir effectivement trouvé la médiatrice, allez exécuter.

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Ca va? Sur le dessin ça à l'air de coller? Ca vous donne une droite qui est effectivement médiatrice du segment (AB) oui? Allez Nadir, vous allez au tableau s'il vous plaît. Vous allez marquer autre méthode. Alors autre méthode tout à l'heure Dalila a dit la médiatrice c'est l'ensemble des points à égales distances de A et de B, on a dit ça d'accord. Là on va essayer de profiter de ça, pour essayer à nouveau de trouver l'équation cherchée de

16
14

la médiatrice de (AB) / Vous allez écrire soit delta cette médiatrice. Vous écrivez M(xy)le symbole d'appartenance après delta, vous pensez à ce qui a été dit, comment vous traduisez cette idée...un point sur la médiatrice, on a dit la médiatrice c'est l'ensemble des points à égale distance de A et de B. vous m'écrivez ça équivalent ... Alors vous m'avez dit (AL)=... oui c'est bien ce qu'il m'avait semblé entendre ... on est tous d'accord là dessus, ça ça signifie que le point M est égale distance de A et de B / On est en analytique, qu'est-ce que vous pouvez faire pour traduire AM=MB, vous mettez équivalent en-dessous. Eh oui! On y va.

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Vous vous poussez à droite s'il vous plaît que tout le monde lise ceci. / Vous avez une racine carrée à gauche vous avez une racine à droite.

**Elève:** On l'enlève.

décroissance

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**P.B.:** On l'enlève ça veut dire qu'à gauche et à droite... oui vous m'avez dit on l'enlève, c'est ça? Mais ça veut dire quelle type d'opération vous faites pour enlever à gauche et à droite les racines carrées comme vous dites.

**Elève:**?

**P.B.:** Ca veut dire qu'à gauche et à droite on... James...

**Elève:** On met au carré.

19

**P.B.:** On met le terme au carré à gauche et le terme au carré à droite. Vous avez deux nombres égaux ce sont des racines carrées. Ces deux nombres sont positifs puisque ce sont des racines carrées, donc dire que ces deux nombres sont égaux c'est synonyme de dire que leurs carrés sont égaux car il s'agit de nombres positifs, donc équivalents on vient de vous dire qu'on peut ... on dit enlever les racines carrées, enlever les racines carrées ça veut dire qu'on peut mettre carré. Alors le XM, moi je vous les appelé X, d'accord; le YM, que vous devez avoir là, je vous les appelé Y? d'accord. Et puis les coordonnées de A et de B elles sont marqués au-dessus.

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Ca va? Tout le monde est d'accord. Oui. Anne ça va? Je n'ai rien de mieux de vous proposer ici que développer à gauche et à droite. / Donc équivalent en-dessous, regardez bien il y a un petit truc qui est à corriger tout au bout c'est là. Donc ici rien de spécial comme astuce vous développez.

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Vous allez vous mettre par là tout en haut équivalent.

**Elève:** ?

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**P.B.:** Si vous voulez oui. On vient de voir X carré à gauche et à droite. On vient de voir Y carré à gauche et à droite. La formule se simplifie. Alors ça vous fait du $4X+8X-4Y+8Y$ équivalent... alors on aurait oublié quelque chose... Y a un 16 qui doit nous manquer. Alors ici vous aviez 4, ici vous aviez 4, ils sont passés de l'autre coté il me semble les 4, vous me les avez mis de l'autre coté. Donc si vous me les avez mis de l'autre coté ils ont changé de signes, d'accord. Bien ça vous fait donc 12X et après regardez bien... regardez bien les signes... oui si voulez... oui... Alors nous l'équation on la cherche sous la forme... Donc il va falloir que vous isoliez les Y.

23

Tout le monde a bien vu on a tout divisé par 4 à gauche et à droite, donc 24 divisé par 4 ça faisait le 6. -12 divisé par 4 ça fait le -3 dans le -3X, on a trouvé $Y=-3X+6$. J'avais fait exprès de la formule en bas, c'est exactement la même, on était sûr d'arriver au même résultat, de toutes façons les deux méthodes sont équivalentes pour définir une médiatrice. Une médiatrice c'est tout autant l'ensemble des points à égale distance des extrémités d'un segment, et c'est également la droite qui passe par le milieu et qui est perpendiculaire.

24

On a déjà proposé deux méthodes, on pourrait encore faire d'autres choses ici. Peut-être que tout à l'heure je vous ferais faire un autre principe sur un autre exercice. On a déjà deux méthodes vous devez de vous même apprécier si vous préférez la première ou si vous préférez la seconde; je ne suis pas entrain de vous dire c'est mieux de faire tel principe ou mieux tel autre principe. On a travaillé plutôt sur le coef. direct. tout à l'heure. Ici on a travaillé sur des égalités de longueur, à vous de regarder un petit peu en le refaisant qu'est-ce qui vous paraît le plus rapide pour vous et qu'est-ce qui vous paraît le plus efficace pour vous, d'accord. Allez on passe à un autre exercice.

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Transcript de p1 (deuxième demi-séance)

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Dans le plan de repère orthonormal (O,i,j) on considère les points; alors on va mettre A de coordonnées (-2;2) il est bien, on va mettre B de coordonnées (3;2) et C de coordonnées (4;-2). Chercher les coordonnées de l'orthocentre du triangle ABC?

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

Alors on se dépêche un petit peu, l'exercice ne consiste pas seulement à faire la figure.

Annie l'orthocentre c'est quoi?

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

**Elève:** C'est l'intersection des trois hauteurs.

**P.B.:** L'intersection des trois hauteurs oui. Est-ce que vous pourriez être un peu plus efficace en me disant l'intersection des trois hauteurs ce qui est parfait, dites m'en un peu moins.

**Elève:** ?

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

**P.B.:** C'est l'intersection de deux hauteurs, on se contentera de deux hauteurs on est sûr que la troisième passe par le même point. Donc peut-être simplifier un petit peu le problème en se disant l'orthocentre c'est l'intersection de deux hauteurs du triangle. Alors je voudrais bien sur les dessins des véritables hauteurs, des hauteurs qui ne ressemblent pas trop à des médianes, qui ne ressemblent à des médiatrices, si on regarde les dessins il y a de tout, il y a vraiment n'importe quoi comme hauteurs. Faites des hauteurs qui ressemblent à des

<figure><img src="image_18.png" /></figure>
hauteurs et qui ne ressemblent pas à je ne sais quoi dans certains dessins. Michel une hauteur très simple dans le dessin.

**Elève:** ?

**P.B.:** Oui, vous trouvez que c'est simple. Ce n'est pas forcément le plus simple mais vous avez raison ç'en est une qui passe par B et qui est perpendiculaire à AC. je vous l'accorde ç'en est une. Je vais la tracer qui passe par B qui est perpendiculaire à C. Pour moi ce n'est pas la plus simple, mais enfin c'est un détail, je veux bien retenir celle là. Y en a pas une autre qui est très très simple moi que j'aime...

**Elève:** ?

**P.B.:** Qui passe par le point C qui est perpendiculaire à AB. Afhid vous allez me tracer ça en marron la hauteur qui passe par C qui est perpendiculaire à AB. On a effectivement tracé la hauteur qui passe par C qui est perpendiculaire à AB, finalement l'orthocentre il est où ?... Quelque part par là vous nous le mettez, on va l'appeler H ce point, voilà ce qu'on cherche, vous allez à votre place. Ce qu'on cherche c'est les coordonnées de l'orthocentre du triangle ABC.

A. est-ce que vous avez déjà une évidence sur ces coordonnées du point H, regardez bien la figure, regardez bien sur votre dessin: est-ce qu'il n'y a pas quelque chose qui relève de l'évidence. Regardez bien le dessin, regardez bien les données de l'exercice. N. une évidence...;

**Elève:** ?

**P.B.:** Les coordonnées sont positives, c'est vrai sur le dessin qu'on a l'air d'avoir les coordonnées positives mais ce n'est pas une information majeure. Oui Juliette...

**Elève:** L'abscisse de H c'est l'abscisse de C.

**P.B.:** Tout le monde a entendu ça. L'abscisse de H c'est bien sûr l'abscisse de C. C'est-à-dire ça fait combien?... L'abscisse de H c'est bien sûr le nombre 4. Je vais dire ça autrement, quelle est déjà l'équation de la droite CH, on a vu ça hier. La droite CH est d'équation $X=4$ car elle est parallèle à l'axe des ordonnées. Donc la hauteur CH est parallèle à l'axe des ordonnées bien entendu donc cette hauteur est d'équation $X=4$, et donc l'abscisse de H et l'abscisse de C c'est la même chose. Vous pouvez déjà noter ceci: la hauteur CH est parallèle à l'axe des ordonnées, son équation est petit $X=4$, on peut dire également que l'abscisse de H est la même que l'abscisse de C on sait déjà que $XH=4$. Mohamed qu'est-ce qui nous manque encore?

**Elève:** L'ordonnées de H.

**P.B.:** Il nous manque encore l'ordonnées de H qu'on notera YH.

S. qu'est-ce qu'on peut chercher pour trouver l'ordonnée de H. Qu'est-ce qui nous aiderait, sur le dessin on a déjà un petit peu incité à cela... On va chercher effectivement l'équation de la hauteur BH. Pour ce faire on peut chercher l'équation de la hauteur BH. Vous m'écoutez, je vous stoppe un petit peu, je vais vous imposer une méthode. Parce que vous pourriez très bien comme on a fait tout à l'heure. Première chose pour trouver l'équation de la médiatrice, on pourrait réutiliser un procédé semblable chercher le coef. direct. avec recherche du coef. direct. de la droite AC, et puis après la règle A fois $A' = -1$, on pourrait réappliquer la même méthode mais j'ai envie qu'on change de procédé. Donc on change de procédé, on va faire quelque chose qu'on a pas fait tout à l'heure sur la médiatrice donc c'est une autre idée qui n'est ni meilleur ni moins bonne. Je vous demande de penser à la chose suivante: un point M est sur la hauteur, ici, BH, ça revient à dire si le point M est sur la hauteur BH que les vecteurs BM et AC sont orthogonaux. Vous avez des formules analytiques pour exprimer l'orthogonalité. Avec des flèches sur les vecteurs... Oui mettez bien ce qui il y a avant aussi et ne mettez pas que la formule...

Allez Nora, au tableau s'il vous plaît. On reprend là ou on en est. Equivalent là... N'oubliez pas la condition.

**Elève:** ?

**P.B.:** Tout à fait, si on était plus correct on mettrait même ici sont ici c'est appartient c'est un verbe ici sont orthogonaux ici c'est égal tout ça c'est des verbes, vous continuez. Attention les coordonnées de BA je veux bien que vous me les calculiez mais ailleurs de ce côté là. Vous avez cette équation là, vous construisez sur le dessin pour voir si ça colle. Ceux qui ont déjà une équation vous regardez sur le dessin si le résultat que vous avez ça a l'air de donner une droite correcte ou si ça va pas.

Vous avez le vecteur BM ici il vous manque le vecteur AC si vous voulez. Alors le vecteur AC...à l'abscisse ça doit faire 6 si je ne me trompe pas ici ça fait 6. Et en ordonnée ça vous fait -4. Allez on applique ça ici. Equivalent... ici vous aviez donc parenthèse X-3... ici fois 6... plus parenthèse Y-2 fois -4 fermer la parenthèse égale zéro. Equivalent on développe on simplifie faite attention aux signes...-4 fois Y... On va terminer le calcul de l'équation là bas. Equivalent alors ça fait $6X - 4Y - 10 = 0$ équivalent alors je vous le dicte moi même ça fait $4Y = 6X - 10$. Et si je ne me trompe pas et ça fait $Y = 3/2X - 5/2$, est-ce que vous êtes d'accord? J'ai simplifié dix divisé par quatre c'est pareil que... ça va ça va pas... six divisé par quatre ça fait pas trois demi...

**Elève:** ?

FIN DE LA FACE A.
Transcript de p2 (première demi-séance)

**C.B.:** On démarre là. Alors, j'avais donné un exercice à faire qui est-ce qui veut passer au tableau? Toujours les mêmes je vois, dans cette classe qu'il y a beaucoup de volontaire; on va changer Jian.

**Elève:** Oh non! Ce n'est pas juste...

**C.B.:** ...de tout faire. Et alors aujourd'hui je vais vérifier si vous avez fait votre exercice parce que la dernière fois vous ne l'aviez pas fait, et ça n'a pas intérêt à se répéter....Ca ne fait rien que vous ayez pas fini si vous avez pas réussi. Et toi tu l'as pas fait....Tu fais d'abord effectivement la figure, oui. Vous pourriez s'il vous plaît être moins bruyants. Alors petit détail, parce que je vois que Jian elle a déjà effacé ses axes. Avant de placer ses axes qu'est-ce qu'il faut regarder, au tableau on est limité. Il faut regarder les coordonnées. Alors effectivement c'est pour ça qu'elle a effacé, Jian. B est de coordonnées (11;0), donc on besoin absolument jusqu'à 11 sur l'axe des ordonnées, et si on garde les abscisses elles vont de -1 à 11 et les ordonnées de -2 à 6...??...sur cet axe là....???....C'est bon là, oui c'est bon. Donc effectivement c'est une première chose ça évite de perdre du temps, vous qui vous reprocher toujours d'être lent, faut jamais se précipiter parce que si vous faites un dessin pour rien et que vous recommencez une deuxième fois vous avez perdu du temps. Bon alors là c'est fait les petits exercices. Si c'est pas fini ce n'est pas le problème vous ne savez pas forcément faire jusqu'au bout, mais que vous ayez au moins démarré

**C.B.:** Eh bien! C'est pas sérieux. Ca en fait déjà deux. Je note, vous n'avez pas intérêt à me faire ça une troisième fois. C'est très bien. Et toi c'est fait, oui. Et Laila c'est fait?

**Elève:** ?

**C.B.:** Tu as oublié de la prendre à la fin de l'heure, j'en ai plus sur moi je crois. Tu renoteras l'énoncé sur ta voisine. Et toi tu ne l'avais pas fait ça en fait déjà trois dans la classe. Si excuse moi, parce que je te vois réécrire après, si ton dessin est juste ne le refais pas, attends voir si c'est juste. Vous avez le reste, refais le dessin par contre quand même. Bon je vois qu'il y a de l'amélioration quand même, il n'y en a que trois qui n'ont pas fait leurs exercices. Parce qu'il faudrait reprendre de bonnes habitudes. Alors je relis ce qu'on avait demandé. Parce qu'il faudrait peut être quand même relire pour que tout le monde suive. Il fallait d'abord effectivement placer A, B et C, avec A de coordonnée (5;-2), B (11;0), C (-1;6). Et il y avait écrit après compléter la figure au fur et à mesure. Deuxième question: il faut montrer que A, B, et C sont des points qui ne sont pas alignés. Alors on ne calcule pas les vecteurs on calcule les coordonnées.

**Elève:** J'ai pris BC je ne sais pas si c'est bien.

**C.B.:** Ca n'a aucune importance. Alors comme Jian a été discrète vous n'avez pas entendu sa phrase. Elle vient de me dire "j'ai pris BC est-ce que c'est bien?". Je lui réponds ça n'a aucune importance, toi tu me réponds "j'ai calculé les coordonnées de AC", oui parce que pour former deux vecteurs à partir des trois points. Donc vous pouvez prendre AB et AC comme vecteurs ou prendre AB et BC c'est pas gênant ça. C'est pas interdit de parler au tableau.

**Elève:** Là on va calculer le déterminant de AB et BC pour voir si ils sont colinéaires. Si le déterminant de AB et BC est égal à zéro ils sont alignés, mais là comme ce ne sera pas le cas....???

**C.B.:** Alors donc ce que tu peux faire, on va ça parce que... voilà comme ça on partage....???. Au niveau présentation je vous signale qu'il vaut mieux peut-être pas écrire comme ça des = à coté d'un déterminant qu'on a écrit sous cette forme là, puisqu'on écrit = et en-dessous on devrait écrire = =, là c'est un gain de place sur le tableau mais c'est quand même pas très correct. Alors c'est différent de zéro, normalement ça aurait été mieux d'écrire "on a 60 différent de zéro" donc le déterminant est différent de zéro et donc les vecteurs sont voilà. Donc ça ce n'était rien de nouveau, parce que le restant de l'exercice effectivement on l'a pas encore fait en classe, il y a une partie qui fait appel à des choses que vous avez cherché dans le devoir sur feuille que vous m'avez rendu, mais on l'avait pas encore fait. Alors petite question, vous pouvez répondre tous, pourquoi j'ai posé cette première question. On peut le constater sur la figure d'ailleurs, mais pourquoi j'ai posé ça.

**Elève:** Pour voir...?????...

**C.B.:** Voilà, exactement c'est bien. Je répète ce qu'a dit Céline parce que je doute que toute la classe aie entendu. C'était pour savoir si c'était un triangle parce que si vous regardez la suite de l'énoncé après on considère une médiane une médiatrice dans un triangle. En conséquence il est bon de savoir si on a un vrai triangle ou pas. Donc effectivement la première question avait pour objectif de considérer qu'on a bien un triangle. Ce qu'on d'accord, mais voir n'est pas démontrer. Alors ensuite, troisième question on demande les coordonnées d'un milieu. Tu peux le faire là-bas oui. J'effacerai le tableau après quand tout le monde aura bien copié. Alors jusque là c'est des choses qu'on savait faire, qu'on a fait n fois, donc ça n'a pas posé de problème. Alors on rappelle effectivement toujours les formules utilisées, donc c'est ce qui est fait, la demi somme des coordonnées.
**Elève:** ?

**C.B.:** C'était le milieu du segment AC. Alors attention, d'ailleurs Simone venait de le dire, je n'avais pas encore lu. Je répète, dans l'énoncé que vous avez normalement devant vous c'était I milieu du segment AC, donc effectivement c'est C. Alors on relit, on aurait dû les réécrire au tableau ça aurait évité les erreurs d'ailleurs. A et C donc c'est 5+(-1) sur 2 c'est juste, et là c'est -2+6 sur 2 et regarde -2+6=+4, voilà et 2 tu fermes la parenthèse. Qu'est-ce qu'on fait quand on a fait ça?...... Qu'est-ce qu'on doit faire, à chaque fois que vous êtes en géométrie analytique vous avez quoi?

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**Elève:** ?

**C.B.:** Voilà j'ai bien entendu mais le restant de la classe n'a pas l'air de réagir, y en a qu'une qui réagit. Et on vérifie si c'est juste. Alors est-ce que c'est juste? Tu traces même si ce n'est pas parfait au tableau sans règle. Est-ce que ça paraît juste? Ben oui! Ca vous fait une confirmation/ Bon on va peut-être changer de personne, parce que tu va pas tout faire l'exercice au tableau. Qui est-ce qui veut passer au tableau? Il y a toujours Céline qui voulait. Tu veux faire la suite ou pas Céline? Tu veux faire la question suivante, Stevens? Oui va au tableau.

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**Elève:** ?

**C.B.:** As-tu bien fait le bon segment?

**Elève:** C'est à dire le bon segment.

**C.B.:** C'est à Kathie que je réponds.

**Elève:** ....??.. Je vois pas comment 2 2 à droite..

**C.B.:** 2 et 2, c'est bon regarde... Eh 1, 2.

**Elève:** Ah en partant de là moi je pars de A et -3, 4.

**C.B.:** C'est I le milieu. 2, 2. Alors je relis, attends je vais te réexpliquer après/Troisièmement c'est fait, quatrièmement; t'écris quatrièmement s'il te plaît, quatrièmement dans le triangle ABC, on considère la médiane delta issue de B et puis la médiatrice delta prime/D'abord la première chose, est-ce que tu la traces? Tu me traces donc le triangle d'abord, puisqu'il est demandé de compléter la figure au fur et à mesure, et la médiane. C'est quoi la médiane. C'est la médiane issue de B.

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**Elève:** ?

**C.B.:** Alors la médiane, je rappelle pour ceux qui aurait oublié mais enfin apparemment, tout à l'heure j'ai regardé vos figures, vous le savez. La médiane issue de B c'est la droite qui passe par B et par le milieu du côté opposé au point B. Alors pour cette médiane, qui s'appelle delta, on demande de trouver une équation de cette droite en traduisant le fait que M de coordonnée (X;Y) appartient à cette droite./

**Elève:** .... un point imaginaire dans...

**C.B.:** Oui, est-ce que ce n'est pas écrit dans l'énoncé, regarde.....Il y avait écrit quoi.....chuuut vous faites trop de bruit. Je relis la question parce que Stevens vient de dire "je prends un point imaginaire". Ce n'est pas une mauvaise idée, on va peut-être préciser ce que veut dire imaginaire pour lui. Mais il y avait écrit dans l'énoncé dans le triangle ABC on considère la médiane delta issue donc du point B, l'objectif est de déterminer l'équation de delta. Alors: _a)_ soit M de coordonnée (X;Y), traduire analytiquement l'appartenance du point M à la droite delta, en utilisant deux points de delta.

Donc voilà ton point imaginaire pour toi, on prend un point quelconque, on l'appelle M. Donc on reprend l'énoncé, puisqu'il faut toujours reprendre ce qu'il y a dans l'énoncé: soit M de coordonnée (X;Y). Et on traduit que M appartient à delta./

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Alors pourquoi tu n'as pas réussi toi?

**Elève:** Moi ça marche A (-3;4).

**C.B.:** Mais c'est pas A qu'on cherche c'est I milieu du segment AC. Regardes. Tu lis les coordonnées 2 et 2.

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**Elève:** .......si on trouve I ça fait bien -3 ; 4 .

**C.B:** Mais non. Tu ne sais plus lire les coordonnées. Les coordonnées ont les lit comment. On projette sur l'axe des abscisses et on projette sur l'axe des ordonnées. Ce que tu es en train de me lire c'est les coordonnées de A. Moi je lit les coordonnées de I.

**Elève:** Mais les coordonnées .. ah c'est (5;-2).

**C.B.:** Oui mais....regardes tu me dis 3 combien...

**Elève:** -3;4.

**C.B.:** Alors regardes (-3;4) c'est ou... c'est là.

**Elève:** Donc faut pas calculer en fonction de A.

**C.B.:** Mais si regardes ce qu'il y a au tableau, reprends XA+XC...mélanges pas les points. Réécris bien ce qui est là. C'est appliquer une formule. Pourtant tu la savais celle-là. Tu vois bien sur le dessin tu es d'accord avec moi, ça fait bien (2;2)./

Alors soit la droite delta définit un point B de coordonnée (11;0) et de vecteur directeur ....pourquoi pas d'ailleurs. Je laisse écrire on commentera après, vous avez pu présenter autrement...... Tu peux nous parler en même temps, parce que c'est plus vivant tu vois. Attendez on laisse écrire Stevens on commente après et vous proposz si vous avez fait autrement....??.. comme tu as déjà mis un début on va commenter.

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<figure><img src="image_19.png" /></figure>

**Elève:** Oui, oui d'accord allez-y.

**C.B.:** Votre droite delta elle passe bien B et le point I. Alors si on prend sa phrase est-ce que ça correspond à des choses qu'on a vu? On a parlé effectivement de vecteur directeur de droite. Première chose d'ailleurs, est-ce qu'on dit un vecteur ou le vecteur?

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

**Elève:** Le vecteur... un vecteur.

**C.B.:** Oui, pourquoi?

**Elève:** ...????...

**C.B.:** Voilà, parce que si on en connaît un, les autres ils sont comment?

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

**Elève:** ...????...

**C.B.:** Colinéaires. Parallèles, c'est un vocabulaire pour les droites et colinéaire pour les vecteurs. Donc effectivement ce que Stevens a écrit au tableau c'est vecteur BI. Vecteur BI c'est bien un vecteur qui dirige votre droite delta. Il est formé à partir deux points qui sont distincts, or quand vous avez une droite qui s'appelle BI, un vecteur directeur...c'est le vecteur BI. Alors on pouvait l'écrire autrement. Donc le vecteur BI, par contre il faut vérifier si les coordonnées sont bien justes.

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

**Elève:** ?

**C.B.:** Mais attendez, il faut faire preuve un petit peu de patience. Alors première chose, premier commentaire, paraît-il, on va vérifier ensemble, que ce vecteur là les coordonnées sont fausses. Alors on va l'écrire au-dessus. Le point B il avait pour coordonnée combien? (1;0). Le point I il a pour coordonnées (2;2). On va voir si vous vous êtes trompé ou pas. Le vecteur BI, on fait les coordonnées de I moins celle de B. Donc 2-11 et 2-0 donc ça vous fait combien. Ca fait donc juste une inversion... Alors on corrige, voilà. Alors ensuite, et je vais reprendre après ce que tu as fait comme commentaire Emilie. On traduit effectivement, on peut le faire par équivalence c'est vrai...?... dans les deux sens. Le fait qu'un point M appartient à la droite delta ça signifie en fait d'une manière plus simple que les points M, I et B sont alignés, donc que les vecteurs, par exemple, MI et BI sont colinéaires. Alors Emilie avait proposé quoi?

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

**Elève:** ?

**C.B.:** Voilà alors au lieu de mettre cette phrase là, elle proposait de mettre vecteur BM et vecteur BI colinéaires. Est-ce que c'est différent comme raisonnement? Ben non! Parce que c'est formé toujours pareil deux vecteurs colinéaires, à partir des trois points on veut être aligné. Donc on peut effectivement avoir différentes traductions donc c'est juste aussi y a pas de problème, tu as formé deux vecteurs à partir des B, M et I alignés. Alors maintenant on continue vas-y. D'ailleurs la faute qu'a faite Stevens au tableau là, petite faute d'étourderie, en fait qu'est-ce qu'il aurait dû faire de lui-même. Ce que moi j'ai rajouté en haut même si ça ne fait pas très joli comme présentation, c'est-à-dire de détailler le calcul des coordonnées, ça t'aurais évité de faire une étourderie soit en recopiant... Alors on traduit de la même façon que tout à l'heure effectivement à partir du déterminant. Et alors c'est important faut mettre, comme il vient de faire, égal à zéro, puisqu'on traduit par équivalence. Le point appartient à delta, on sait que les points doivent être alignés ...???... donc les vecteurs doivent être colinéaires, donc on sait que le déterminant est égal à zéro. On pourrait l'écrire dans les deux sens. Si on a le déterminant égal zéro les vecteurs sont colinéaires et les points sont alignés, et donc le point L appartient à delta.

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

**Elève:** Madame? ...???...

**C.B.:** Aucune importance. Vanessa vient de me poser comme question, je le dis pour tout le monde y en a peut-être un ou deux dans la classe qui se posent la même question, Emilie donc avait proposé deux autres vecteurs, on peut effectivement changer l'ordre des vecteurs. Ca ne changera rien au niveau du résultat final. Vous aurez par contre, on va le voir tout à l'heure un résultat intermédiaire qui sera pas forcément le même. On y reviendra après. Alors on aboutit, ça fait très joli comme ça, c'est pas grave. On va effacer le tableau de gauche comme ça tu pourra écrire après. Alors comme là tu as abandonné l'équivalence on va mettre un petit on a et après on reprendra puisqu'il faudra peut-être pas l'oublier. Qu'est-ce qui faudrait écrire entre les deux: un petit égal. Ecris égal... le fait qu'on est présenté comme ça c'est pas très clair après.

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

**Elève:** Madame, est-ce qu'on était obligé de calculer ce vecteur là on aurait pas pu laisser M(X;Y) tout simplement.

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

**C.B.:** Si tu peux mettre (X;Y) d'ailleurs moi j'avais mis (X;Y), oui bien sur. Astrid avais posé une question, tu as en partie la réponse, d'ailleurs regarde, Astrid, au tableau. Et faudrait peut-être quand même expliquer, c'est qu'au départ il a remis Stevens la formule générale apprise dans le cours, la différence des coordonnées, mais comme dans le texte au départ on a pris M de coordonnée (X;Y), il a remplacé XM par X et YM par Y. Donc là c'est la formulation du cours et après l'application avec les coordonnées qu'on s'est fixé et qu'on a appelé (X;Y). Pour toi ça répondait à ta question, en fait. Maintenant il s'agirait de représenter comme il faut tu vas passer au tableau de gauche, il faudrait peut-être revenir à la phrase que tu avais écrite là. Tu avais écrit par équivalence, donc réécrit M appartient à delta équivaut à quoi, faut pas l'oublier sinon après vous avez quelque chose qui ne va pas au niveau conclusion.

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

**Elève:** Est-ce que le zéro on le remet, là ou pas?

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

**C.B.:** Si tu mets par équivalence tu es obligé de présenter avec une seule égalité. Tu peux faire comme on a écrit là, c'est pour ça que moi j'ai rajouté la petite phrase "on a", parce que on va faire un petit calcul

<figure><img src="image_31.png" /></figure>
intermédiaire, et là je fais réécrire par équivalence clairement parce que le déterminant effectivement doit être égal à zéro. Alors soit tu veux présenter comme ça, un intermédiaire déterminant égale égal, et après tu remets M appartient à delta équivaut égal à zéro. N'écrit pas zéro là parce que c'est écrit là deux égalités consécutives, donc ce qui n'est pas correct.

Qu'est-ce qui manque? Alors c'est là qu'on va répondre, entre autre à ce qu'avait posé comme question Vanessa, si n'avez forcement obtenu ça, pas forcement tout à fait. Vous êtes pas partie avec les même vecteurs, par exemple Emilie n'est pas partie avec les mêmes. Donc qu'est-ce que tu trouves toi par exemple?

**Elève:** ...2X+9Y-22...

**C.B.:** Donc Emilie elle a trouvé puis y en a d'autre 2X+9Y-22=0. Quelle est le lien entre ces deux équations? Au besoin on va la réécrire. Alors donc on réécrit l'équation que vous avez trouvée. Alors j'ai entendu une personne qu'elle est... comment on passe de l'une à l'autre.

**Elève:** ...????...

**C.B.:** Tu m'avais dit plus et c'est bien effectivement moins. On passe de l'une à l'autre.

**Elève:** ...????...

**C.B.:** Ce qui veut dire que ces deux équations sont comment?

**Elève:** Equivalentes.

**C.B.:** Equivalentes, très bien. Finalement ces deux équations sont équivalentes, donc est-ce que ça pose problème que vous ne trouvez pas la même réponse. Bah non!... J'aurais dû serrer parce que ce tableau il est bien petit, je ne peux pas écrire. Je recommence. Donc les deux équations sont équivalentes, donc effectivement c'est pas gênant. Alors ça revient d'ailleurs à ce que l'on avait parlé l'autre jour. Il y en a certains qui avaient posé la question entre autre les redoublant, l'année dernière vous utilisiez ces formes là, qu'on appelait des équations cartésiennes. Ca s'appelle toujours comme ça, mais vous n'avez pas besoin de les utiliser.

**Elève:** ...????...

**C.B.:** ...corriges... Voilà. Quel est notre objectif? On a dit qu'on revenait à des équations qu'on a mis sous forme réduite, d'ailleurs on a dit l'équation réduite. Donc tu vas la réécrire sous la forme que vous connaissez tous du collège, et à ce moment là vous avez tous la même, attention. Peu importe avec quel vecteur vous êtes partis, dans quel sens vous avez pris le déterminant parce que si vous changez l'ordre des deux vecteurs qui sont ici vous ne tombez pas sur la même équation. Puisque vous faites ça fois ça moins ça fois ça dans un cas et dans l'autre cas c'est dans l'autre sens, donc vous obtenez en fait les opposés. Ca c'est qu'on appelait l'année dernière, et qui n'est plus au programme cette année, une équation cartésienne. Cette équation cartésienne on peut la réécrire sous forme "équation réduite". Quelqu'un peut-il me rappeler qu'est-ce qu'on a appelé l'équation.

**Elève:** ...????...

**C.B.:** Alors, est-ce qu'il n'y a uniquement que Y=MX+P.

**Elève:** ...????...

**C.B.:** Voilà, X = constante. Je vous rappelle que sous forme équation réduite, on dit à ce moment là l'équation réduite, donc il y en a une et une seule. Il y a l'écriture, quelle est l'écriture que vous avez beaucoup utilisée au collège, Y=MX+P. Ca concerne les droites qui sont comment?

**Elève:** ...????... sont pas parallèles.

**C.B.:** Voilà très bien, elles ne sont pas parallèles à l'axe des ordonnées.

**Elève:** ...????...

**C.B.:** Elles peuvent passer ou pas passer par l'origine, on n'a pas dit que M est P, mais P peut-être nul c'est pas gênant ça. Chuuut toutes les deux là. On demande on ne parle pas en même temps que moi, mais deux minutes un peu de patience. Et l'autre forme équation réduite c'est X= constante pour les droites parallèles à l'axe des ordonnées. Alors écrit le sous cette forme là. Est-ce que ça va être de la forme X= constante...non! D'autre part est-ce qu'on le voit déjà sur tableau?...oui. Et sans voir le sur le tableau est-ce qu'on peut savoir à l'avance pourquoi cette droite là n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.

**Elève:** ...????...

**C.B.:** Alors pourquoi il y en a un? Mais très simplement B et I. On l'a vu sur un exemple l'autre fois d'ailleurs.

**Elève:** ...????...

**C.B.:** Alors je repose ma question et tout le monde suit, ça n'empêche que je t'oublie pas Delphine j'irai te voir. Comment peut on reconnaître à partir des coordonnées de deux points que la droite passant par ces deux points n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées...???...

**Elève:** ...????...

**C.B.:** Oui les mêmes abscisses. Puisque les droites c'est d'équation X = constante, les droite parallèles à l'axe des ordonnées. Donc vous devez effectivement le voir et le lire simplement en lisant les abscisses des points. Or les points B et I n'ont pas la même abscisse donc cette droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. Alors on arrive à nos fins, là. Vous êtes tous d'accord. Tout ceci pourrait être écrit par équivalence donc en fait ici M appartient à delta, ça équivaut à ça, là on a plus beaucoup de place. Et donc on peut conclure par l'équation réduite de delta est Y=-2/3X+22/9. Est-ce qu'on était obligé de conclure comme ça d'après ce qui est écrit dans
l'énoncé, relisez la phrase. Parce que je vous l'ai toujours dit quand on a fini une question on voit si on répondu ou pas en relisant. Il y avait marqué déterminer une équation de delta. Donc est-ce qu'on était obligé de répondre comme ça?

**Elève:** ...???...

**C.B.:** Attendez je corrige. 2/9

**Elève:** Madame, je comprend pas comment on peut passer de...???...

**C.B.:** Alors tu peux partir de celle-ci ou de celle-là, là c'était un commentaire par rapport à vos résultats, peu importe. Après qu'est-ce qu'on a fait? Stevens est parti de celle-ci: -9Y a été changé de membre c'est-à-dire qu'on a ajouté 9Y à chaque membre donc c'est devenu effectivement +9Y. Le +22 n'a pas bougé et le -2X n'a pas bougé. Ensuite qu'est-ce qu'on a fait?

**Elève:** ...???...

**C.B.:** Est-ce que vous pourriez par hasard ne pas être un peu moins impatient et écouter jusqu'au bout ce que je vous dis.

**Elève:** ...???...

**C.B.:** Vous n'écoutez même pas jusqu'au bout alors vous pouvez pas comprendre, après vous reposerez votre question. Je répète, et sans m'interrompre s'il vous plaît. Alors -2X-9Y+22=0 est-ce que vous êtes d'accord que vous avez tous ça, soit celle-là, soit celle-là. Peu importe que vous partiez de celle-ci ou de celle-là, on arrivera à la même forme qui est Y=MX+P. Et là il y a une réponse et une seule. Si je pars de celle-ci, ce qu'a fait Stevens, qu'est-ce qu'il a fait? -9Y il a changé de membre, il l'a mis à droite, c'est donc devenu + 9Y; c'est le travail que vous faites en algèbre qu'on a fait avec les équations et les inéquations. Ensuite il est resté -2X et +22, on est bien d'accord jusque là. Ensuite, ça bouge pas ça et ça. Après qu'est-ce qui a été fait du passage de là à là, on a divisé par quoi?

**Elève:** 9!

**C.B.:** Par 9, la seule chose au niveau présentation qu'a fait Stevens, au lieu de mettre ça à droite il a écrit à gauche, regardez ne lisez pas ça, on divise par 9 de chaque côté ou on multiplie par 1/9 de chaque côté. Donc 9Y devient Y, -2X devient -2/9 et 22 devient 22/9. Le Y qui est là en fait se retrouve à gauche, on pourrait l'écrire =Y là pour avoir exactement la même écriture et on passe de là à là en multipliant par 1/9 chaque membre de l'équation. C'est pas plus compliqué. Donc vous obtenez une équation réduite qu'on dit l'équation, la qu'une et une seule. Vous devez avoir tous la même réponse. Par contre d'après le texte, du coup vous ne m'avez pas répondu à ma question. Moi j'avais demandé une équation, donc vous n'étiez pas obligé effectivement de conclure sous cette forme là, surtout pour ceux qui ont déjà fait une classe de seconde vous pouviez conclure sous cette forme là ou sous celle-ci. Ce sont des équations représentant une droite.

Question suivante, avant d'ailleurs de passer à la question suivante est-ce qu'on n'aurait pas pu faire une autre méthode pour trouver cette équation.

**Elève:** Un système.

**C.B.:** Un système, oui. Et on aurait fait quoi? On va juste écrire le début, sans le faire en entier. Est-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer quelle est l'autre méthode pour trouver, qu'on peut faire...

**Elève:** Avec l'aide d'un point.

**C.B.:** Très bien avec deux points. Donc on va indiquer l'autre méthode. C'est effectivement avec un système qui traduit l'appartenance de deux points à la droite. Mais que faut-il faire comme préliminaire pour justement écrire que notre droite va avoir pour équation Y=MX+P. Préliminaire d'ailleurs qu'on a dit oralement tout à l'heure.

**Elève:** Que cette droite n'est pas parallèle à....

**C.B.:** Voilà. La droite BI, je ne vous l'a fait pas jusqu' au bout la méthode on a dit que le démarrage, n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées B et I n'ont pas la même abscisse. Donc votre droite BI a pour équation réduite quelque chose de la forme MX+P. Et maintenant on reprend l'idée qu'a proposée Céline, plus d'autre personne, on traduit l'appartenance du point B appartenant à cette...

**Elève:** ...???...

**C.B.:** Voilà. B appartient à BI avec B qui a pour coordonnées (11;0). Ca équivaut à dire quoi? Le X vaut 11 et le Y vaut 0, c'est bien, donc 11M+P. Ensuite on peut faire l'appartient à la droite BI le point I ayant pour coordonnées (2;2), donc ça veut dire que 2 =..

**Elève:** ...???...

**C.B.:** Voilà. Et puis après qu'est-ce qu'il reste vous reste à faire pour finir? On résout quel système?

**Elève:** ...???...

**C.B.:** Voilà. On reviendra d'ailleurs à la résolution des systèmes dans un petit chapitre après. Je mets quelque chose je ne sait plus d'ailleurs si on l'a déjà vu ou pas ça. Est-ce que vous connaissiez ce que j'allais faire là?

**Elève:** ...???...

**C.B.:** R au carré, oui mais ça signifie quoi? C'est ce qu'on lit d'accord. Et c'est effectivement réel, pourquoi on écrit...???... de là? Parce qui il y a combien d'inconnues là. Deux. Et en fait qu'est-ce qu'on cherche,
on cherche pas une inconnue on cherche deux inconnues, mais en fait plus précisément on cherche un couple d'inconnues ou la première représente ici m et la deuxième b. C'est pour ça qu'on écrit R au carré, ça veut dire en fait R fois R, ça veut dire qu'on cherche des couples de réels. On reviendra à cette notation plus tard. Donc ça c'est une méthode Il existe aussi une autre méthode qui est un peu similaire à celle-là, est-ce que vous n'auriez pas une autre idée...???...c'est basé disons un peu sur la même idée avec la traduction de deux points. Est-ce qu'il y en a qui savent, parce que on l'a pas revu encore on l'écrira dans le cours une prochaine, comment on peut calculer M?

**Elève:** ...???...

**C.B.:** Alors ça c'est lire sur lire sur le dessin; lire n'est pas une démonstration. Effectivement l'autre fois on l'a vu qu'on pouvait le coefficient directeur.

**Elève:** ...???... le rapport entre...

**C.B.:** Voilà, alors on le réécrira dans le cours parce qu'on l'a pas écrit. Effectivement on pourrait une variante par rapport à ces démonstrations. Sachant déjà ça, que la droite s'écrit avec une équation de ce type là, le m représente le rapport suivant: si on connaît deux points B et I de coordonnées (XB;YB) (XI;YI), le coefficient directeur c'est le rapport (YB-YI)/(XB-XI). Donc on peut faire comme variante, celle-ci. C'est une variante parce que on repart de deux points en fait. Alors on utilise m=(YB-YI)...(chut. Alors je vous signale je mets variante parce que à ce moment là on est pas obligé de faire un système, on calcule m après on traduit 1 point et on trouve la réponse. Mais quel est le préliminaire qu'il faut dire? La même chose parce que si on parle de m on parle d'un coef. direct. on parle de ça. Donc vous êtes obligés une fois de plus de préciser que la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.

<figure><img src="image_32.png" /></figure>
Transcript de p2 (deuxième demi-séance)

Alors maintenant passons à la question suivante qui est de trouver cette fois-ci trouver une équation de la médiatrice. Allez-y Franck.

Elève: ...???...

C.B.: Non je ne finis pas, c'est à vous de finir. Pour le prochain vous pouvez finir et voir si vous y arrivez, je ne finis pas. J'ai marqué simplement la trame de la démonstration.

Elève: Il y a quelque chose que je comprends pas en fait, j'ai compris la démarche mais je comprends pas pourquoi...????

C.B.: C'est parce que tu as appris au collège, déjà les fonctions affines à X on associe AX+B. Et tu as appris que la conversion graphique de cette fonction là c'était des droites, donc ...???... contredit c'est dans l'autre sens toutes droites a une expression du type F(X)=AX+B. Et F(X) on l'appelle Y parce que Y il désigne quoi? L'ordonnée. Quand tu traces une droite tu cherches d'abord un point avec son abscisse qui est le X et le Y. Quand tu veux faire...???...graphique d'une fonction, donc tu traces une courbe, tu traces des points de coordonnées X f(X), et le f(X) désigne Y donc tu retrouves l'écriture, tout simplement, Y=AX+B Y=f(X). Et quand on donne une équation de droite, quand elle est pas parallèle à l'axe des ordonnées, tu la mets sous cette forme là. Et ça correspond aussi à ce que tu a appris sur les fonctions affines.

Elève: ...???...

C.B.: Pardon? Pour trouver le P on utilise un point, soit le point B soit le point I. Comme on a fait avec la petite équation de tout à l'heure. Je vous propose pour la prochaine fois, parce que là j'ai laissé ...???... méthode qui ne sont pas finies, on a proposé d'autres méthodes la deuxième il y en a plusieurs qui y avaient pensé, vous pouvez les finir pour le prochain cours pour voir si vous y arrivez en utilisant et pour voir la rédaction. C'est mercredi le prochain cours.

Alors soit, tu as mis un point Z pourquoi pas, est la médiatrice de AC donc elle coupe AC en son milieu et perpendiculairement.

Elève: Madame...???... au carré.

C.B.: Ca désigne des couples de réel. Couple ça veut dire qu'il y a...???...le premier (m) est un réel, (p) est un réel ça veut dire en fait qu'on cherche un couple de réel. C'est parce qu'il y a deux inconnues mais qui ont un nom précis. La première inconnue on l'appellera m la deuxième p on dit qu'on cherche le couple mp. C'est pour ça qu'on dit résout dans R2 parce qu'on recherche deux inconnues en fait, et qui forme un couple parce que il y a un ordre précis l'un s'appelle m l'autre p et qu'on met par convention m en premier et p en second. On y reviendra de tout façon à un chapitre supplémentaire avec les systèmes d'équations.

C'est pas interdit de parler Franck si les profs faisaient...euh Franck excuse moi je te dit Franck en plus, désolée j'ai rien dit. Surtout que Franck il ne dit jamais rien il ne parle pas ...???...effectivement son style. Si les profs on faisaient comme vous on disait rien au tableau mais vous vous ennuierez.

Elève: Non.

C.B.: Non, non. Alors qu'est-ce que tu vas traduire...ce qui est là effectivement, mais attention ça fait très français ça "on sait assez"

Elève: ...???...

C.B.: Ca serait déjà mieux. En attendant on va corriger cette phrase. Tu peux te pousser un peu. Alors pour la médiatrice il faut trouver un moyen de traduire le fait qu'un point appartient à cette médiatrice. Vous avez deux façons de caractériser une médiatrice soit effectivement parce que vient d'écrire...???... au tableau. C'est la
droite qui est perpendiculaire et qui passe par le milieu du segment effectivement. Donc on peut traduire par des vecteurs orthogonaux. Le vecteur AC étant dans ...???. on le voit sur le dessin, tu peux la construire la médiatrice. Elle passe par le point I et perpendiculairement. Alors effectivement ça se traduit par les vecteurs AC et ZI qui sont orthogonaux. Donc de la même façon que tout à l'heure pour être sûr d'avoir quelque chose qui définit et caractérise parfaitement notre droite tu peux écrire Z appartient à delta prime équivaut à AC orthogonale à Z ! Est-ce que quelqu'un pourrait me signaler une autre façon de procéder, mais qui serait beaucoup moins simple au niveau démonstration, pour trouver en fait une équation de cette médiatrice. Est-ce qu'il y a une autre façon de caractériser la médiatrice?

La médiatrice c'est la droite perpendiculaire au segment et passant par le milieu mais c'est aussi quoi la médiatrice d'un segment AC.

**Elève:** ...???

**C.B.:** Voilà très bien, c'est l'ensemble des points à égale distance. Donc on pourrait choisir un point Z aussi quelconque et dire que Z appartient à la médiatrice ça signifie que la longueur ZC est égale à la longueur ZA. Ca serait un peu plus compliqué, on pourra le faire si voulez mais ça sera plus difficile ! Alors tu vas me faire ça jusqu'au bout parce que là c'est la méthode simple et qu'il faut retenir. Jusqu'à présent j'ai fait attention mais...

Et on s'active un peu là. On se dépêche un peu. Ce n'est pas parce qu'on fait un exercice on dit plein de choses oralement qui sont importante qu'on écoute pas. Caroline on se calme sinon tu sors dehors. Parce que ce n'est pas en étant inattentif cinq minutes sur dix qu'on arrive à bien suivre.

Alors tu avais écrit les deux vecteurs c'est bon. Ca c'est la traduction, je vous le rappelle, de l'orthogonalité; traduction analytique. C'est le produit des premières coordonnées plus le produit des deuxièmes.

**Elève:** ...???

**C.B.:** Qui est-ce qui est équivalent enfin c'est cette phrase là que tu aurais du écrire, ça va pas te tuer d'écrire ça quand même. Equivaut comme maintenant je vous autorise à utiliser ce symbole. Non il s'appelle Z.

**Elève:** Mais après madame il faut mettre...

**C.B.:** ...??... puis tu développes.

**Elève:** ...???

**C.B.:** Oui si c'est pour traduire si on ne l'écrit pas sur une ligne c'est pas dramatique donc on l'écrit à la fin. Non n'écrit pas un implique parce que implique ce n'est pas pareil. C'est un symbole d'ailleurs qu'on a pas appris. On ne connaît que l'équivalence. Ce qui veut dire que la phrase peut se lire dans les deux sens. Tu peux dire en même temps...???. une fois de plus. Emilie et Hélène... Puis alors là avec tes YZ qui sont à la même hauteur moi aussi j'écris mal mais là quand même. Ca fait un peu bizarre on a l'impression de lire deux inconnues Y et Z. C'est un peu gênant. Alors tu la remets pour que tout le monde reconnaisse ces formes de collège sous la forme équation réduite. Tu es obligé de parler en même temps au tableau parce que comme tu te mets face au tableau pour le moment personne ne peut suivre.

Alors ça fait Y égale quoi?

**Elève:** Egal... je ne sais pas.

**C.B.:** 8 oui c'est ça.

**Elève:** ...???. avec des virgules...???

**C.B.:** Non mets des fractions c'est aussi bien. -6/8... Alors je vous signale qu'il a fait une transformation mais qui n'est pas gênante. XZ est devenue X et après faut se... quand on écrit une équation générale on écrit en général avec des X et des Y, ça c'est pas un problème. Ensuite la proposition que tu étais en train de faire c'était mettre sous forme décimale. Méfiez vous des formes décimales, il faut que se soit une forme... non mais justement c'est important. Vous pouvez l'écrire sous forme décimale si la valeur elle est effectivement bien exact, ici il y a un égale... bon normalement on met un égale devant le trait de fraction ça serait plus jolie. Quand on met égale il faut absolument des valeurs exacts, donc ne vous permettez pas de transformer par exemple il y aurait un 1/3 en nombre 0,3 c'est faux. On n'a pas le droit d'écrire 1/3 en 0,3 c'est pas égale c'est environ. Donc parfois il faut laisser les formes fractionnaires. Aci on peut mettre sous forme décimale ou fractionnaire, ça n'a pas d'importance. Ca fait quoi donc. -3/4X + ½.

**Elève:** Madame ...???

**Elève:** Madame je peux mettre moi en équation décimale.

**C.B.:** Non tu la laisses comme ça, ça suffira c'est pas un problème. Tu peux aller à ta place. Alors on va voir si il n'y a pas d'erreur déjà parce que Emilie n'est pas d'accord. Mais attendez je vérifie avec vous. Mais vous êtes un peu pénibles. J'ai pas dit que c'était juste. Mais attends on va tout vérifier. Là tu as mis +4, là t'as mis - c'est pour ça que j'ai corrigé, c'est toi j'ai rien corrigé là moi. Alors - 6X + 8Y = 4.

**Elève:** Ca va trop vite de là à là, de cette ligne à cette ligne.

**C.B.:** Alors on peut faire une ligne de plus c'est pas interdit. Alors si on fait une ligne de plus ça nous permettra de voir d'ailleurs si il y a une erreur ou pas. Ca fait 8Y=4+6X et on appelé je ne peux pas l'écrire au tableau il n'y a pas de place XZ=X et YZ=Y. Alors vous êtes d'accord c'est la même chose ça. Ensuite on divise 8Y par 8. On multiplie chaque membre par 1/8, donc ça fait Y 4/8 et là c'est pas moins c'est ?
**Elève:** C'est plus

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

**C.B.:** D'autre part quelle est le moyen graphiquement de savoir pourquoi c'était même faux ça.

**Elève:** ...???...

**C.B.:** Non mais très rapidement en deux secondes.

**Elève:** ...???...

**C.B.:** Cette droite là elle a un coefficient directeur de quelle signe?

**Elève:** Positif.

**C.B.:** Positif. En conséquence regardez on pouvait pas trouver -3/4 donc toujours un moyen simple faire une vérification. On aura été très lentement alors vous pouvez noter pour le prochain cours, vous allez me faire une question complémentaire. Vous allez me trouver une équation de la hauteur issue de B. Vous avez différentes méthodes possibles, utilisez la figure. Commencez d'ailleurs d'abord par tracer la hauteur issue de B. Et après trouvez une équation.

**Elève:** Une équation de quoi?

**C.B.:** Une équation ou l'équation réduite, je vous laisse le choix vous pouvez faire ce que vous voulez comme réponse, de la hauteur du triangle ABC issue de B. Et vous pouvez aussi reprendre les deux méthodes qu'on a pas fini pour savoir si vous savez le faire... Et je vous prierais au prochain cours d'être plus attentifs et d'être patients à chaque fois il y en a trois qui posent une question je peux pas répondre à trois élèves en même temps.

**FIN DE CASSETTE.**
Transcript de p3 (première demi-séance)

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

P.J.: ...???... je vais vous faire passer la petite feuille comme d'habitude qu'on va commencer à compléter ensemble. Et ensuite on appliquera tout ça dans des exercices. Voilà faites passer. Donc les deux tests c'est les équations de droite et les systèmes linéaires. Les équations de droite jusqu'à présent on les a déjà rencontrées, d'abord sous une forme que vous connaissez sous le nom d'équation... du type y = ax+b. Donc on appelle ça de quelle façon ? une équation réduite de droite. Est-ce que d'abord toutes les droites possèdent une équation réduite y = ax+b ? Non, lesquelles ne possèdent pas d'équations de ce type là ?

Elève: Les parallèles aux axes.

P.J.: Les parallèles aux axes, alors précisons. Lorsque la droite est parallèle à l'axe des abscisses, son équation est de quelle type? y = ... alors dans le y = ax+b ça correspondrait à quel cas la droite parallèle à l'axe des abscisses?

Elève: y = b.

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

P.J.: y = b c'est à dire qu'en fait on aurait a qui serait égal à zéro, donc le terme en x il s'enlève. On aurait y = b ça fait une droite qui est donc un ensemble de points qui ont tous la même ordonnée et donc droite parallèle à l'axe des abscisses. Malgré tout ça, ça peut se rattacher indirectement au modèle y = ax+b c'est un cas particulier où a, qui s'appelle le coefficient directeur, est égal à zéro. Il y a d'autres droites parallèles, cette fois-ci, à l'axe des ordonnées qui elles ont des équations de quel type, équations réduites? x égal constante, x = p c'est ça. Celle-là évidemment il n'y a pas d'équation en y égal quelque chose, la valeur de y est quelconque. C'est un ensemble de points qui ont tous la même abscisse, donc droite parallèle à l'axe des ordonnées. Et puis à l'occasion de quelques exercices on a déjà rencontré des équations de droite qui n'était pas sous cette forme là mais qu'on ramenait par une transformation d'écriture à cette forme là. Et on avait déjà employé le mot je sais pas si vous l'avez retenu on avait parlé d'équation cartésienne, je vois qu'il y en a qui ont retenu. Vous vous souvenez à quoi ça ressemblait un petit peu les équations cartésiennes. Non, bon on va les retrouver ensemble donc de toutes façons. C'est-à-dire qu'on va expliquer comment on obtient ce type d'équation, qu'on appelle équation cartésienne, et puis voir ensuite comment elle se ramène aux équations réduites et comparer les différents types d'équations qu'on obtient, les types de droites, et ensuite chercher donc à l'aide d'un système à déterminer les coordonnées de points d'intersections de droites. Une droite géométriquement ça peut être défini de plusieurs façons. Quelle est la façon la plus simple de définir une droite? En faisant quoi? ... Deux points, donc c'est la première chose qu'on va noter. Premier titre le 1,1 droite définie par deux points. Donc deux points disons A et B, on les aura sur le dessin que j'ai préparé en haut à droite de la feuille. Et on va chercher à quelle condition un point quelconque disons M appartient à la droite AB, de façon à ensuite à obtenir une équation. On va traduire ça vectoriellement. Des points alignés ça se traduit comment vectoriellement? Par des vecteurs colinéaires. Citez moi deux vecteurs qui sont susceptibles d'être colinéaires. AB et puis un vecteur déterminé par le point M et puis disons par exemple AB là ça serait un différent. Donc on va dire par exemple que dire que le point M appartient à la droite AB c'est équivalent à dire que les vecteurs AM et AB sont colinéaires. On va tout de suite mettre ça en application pour voir à quel calcul ça nous emmène et de quelle façon est-ce qu'on va aboutir à une équation de droite. Sur le dessin que je vous est présenté je vous ai placé un point A, un point B donc on peut lire les coordonnées. A(4,3) B(-2,-1) d'accord. On va traduire ce qu'on a écrit au-dessus. On prend un point M, a priori c'est un point quelconque, donc on ne connaît pas particulièrement ses coordonnées. On va les désigner comme on désigne habituellement les coordonnées, l'abscisse x, l'ordonnée y, et on va chercher une condition pour que ce point M soit un point de la droite AB. Donc on va écrire ça. M est un point de AB et on va essayer de déterminer quand est-ce que c'est réalisé. D'après ce que l'on a dit au-dessus il faut que les vecteurs AM et AB soient colinéaires. On va donc écrire les composantes du vecteur AM, celles du vecteur AB et voir à quelles conditions sur ces composantes les vecteurs sont colinéaires. Alors comment vous obtenez les composantes du vecteur AM? xM donc x -xA -4. Et en ordonnée y-3. Voilà le premier vecteur AM. Le second qui est en jeu c'est AB...-6 en abscisse, -4 en ordonnée et je veux que ces deux vecteurs soient colinéaires. Bien que les vecteurs sont colinéaires ça impose quelle propriété? C'est équivalent à quelle propriété de la composante? Leurs composantes sont comment? Il y a quelque chose qui est égal à zéro. Ce quelque chose qui est égal à zéro on l'appelle le déterminant, et ça traduit quelle propriété des composantes le fait que le déterminant soit égal à zéro? ... Les composantes sont proportionnelles. Elles peuvent être opposées c'est un cas particulier. Deux vecteurs opposés sont automatiquement colinéaires bien entendu, mais c'est un cas très particulier. De manière générale dire que les vecteurs sont colinéaires c'est dire que leurs composantes sont proportionnelles et ça se traduit par un calcul qu'on appelle déterminant qui doit être égal à zéro. C'est-à-dire que leur déterminant est nul. On va le calculer. Vous vous souvenez, on place dans un tableau les composantes de chaque vecteur. Alors dans la première colonne on va placer quoi? Les composantes de A et M. Sur la

3

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première ligne l'abscisse x-4. Sur la deuxième ligne y-3 son ordonnée. Dans la deuxième colonne en face des composantes du vecteur AB (-6; -4). Dire que les nombres qui compose ce tableau sont proportionnelles, c'est dire que la différence des produits qu'on fait comment?...

**Elève:** ...???...

**P.J.:** ...la description comment on les fait les produits... en croix. Et la différence de ces produits en croix doit être égale à zéro. Ca dire que c'est égale à zéro ça équivaut à ce que l'on obtient donc quand on développe le déterminant et qu'on fait la différence des produits en croix. Alors dictez moi on commence par faire x-4 fois -4 y-3 fois -6 et entre les deux moins on souhait... On va développer réduire.

**Elève:** On a plus de place.

**P.J.:** Mais si. Vous avez des lignes en-dessous, non? Jusqu'à la conclusion vous avez la place. Vous manquez pas d'espace vitale tout de même. Si vous avez place d'écrire à cotés vous écrivez en-dessous vous avez quand même la place jusqu'à arriver à la conclusion. On y est, il n'y a plus qu'une étape à faire avant la conclusion celle qu'on va écrire là. Alors quand on développe qu'est-ce que ça donne?

**Elève:** -4x.

**P.J.:** -4x. On va avoir -4x, ça c'est sur. Des termes en y qu'est-ce qu'on va avoir?

**Elève:** 6.

**P.J.:** Alors quelle signe? +6y tout le monde voit bien pourquoi le plus. -y multiplié par -6, +6y. Et puis il y a des termes ou il n'y a ni x ni y. 16 qui provient du produit -4 par -4. -18 qui provient du produit -3 par -6. Donc 16 - 18 = -2. Et tout ceci doit être égale à zéro. J'efface ça et on écrit notre conclusion. Vous voyez qu'on n'a pas manqué de place. Ce que l'on vient d'obtenir là c'est ce que l'on appelle précisément une équation cartésienne de la droite AB. ...???... on pourrait écrire comme première conclusion. Et puis comme certains d'entre vous aviez retenue le mot cartésienne, est-ce que vous avez cherché d'ou ça venait ce que ça vouloit dire. Ca vient de monsieur Descartes oui. Mathématiciens de quelle époque? Vous avez du en entendre parler en français, 17ᵉ siècle voilà. C'est un de ceux qui ont introduit le calcul de coordonnées dans la géométrie. Donc le nom donné à ce type d'équation en hommage à ce grand homme. Donc ça c'est une équation cartésienne. Vous remarquerez que j'emploie l'article une, article indéfini... Quand on emploie l'article une au lieu de l'article la ça laisse sous entendre quoi? Qu'il peut y en avoir d'autres, qu'il y en a plusieurs. On a déjà cette équation là, comment est-ce qu'on pourrait en obtenir une autre en la simplifiant.

**Elève:** ...???...

**P.J.:** Voilà donc en simplifiant par deux. Si on simplifie par deux $-2x+3y-1$ ça sera toujours égale à zéro. Si une quantité est égale à zéro $\frac{1}{2}$ de cette quantité c'est toujours égale à zéro, ça dit bien exactement la même chose. Donc ça c'est aussi, c'est une autre équation cartésienne de la même droite. On pourrait en trouver combien des équations cartésiennes de la droite AB? Une infinité... en faisant quelles opérations? En multipliant les termes de cette équation par une quantité quelconque. On peut multiplier par n'importe quelle nombre? Qu'est-ce qui ne donnerait pas une équation cartésienne de la droite?

**Elève:** Zéro.

**P.J.:** Par zéro on obtiendrait 0=0 et ça serait plus une équation de rien du tout. Donc si on multiplie une équation cartésienne qu'on a obtenue par exemple par ce procédé par n'importe quelle nombre réel non nul, on obtiendra une autre équation cartésienne et de la même droite. Donc si on veut employer l'article définie l'équation ça sera l'équation réduite et ça on peut l'obtenir aussi à partir d'une équation cartésienne en faisant quelle travaille?

**Elève:** ...???...

**P.J.:** Quelle travaille pour obtenir l'équation réduite?

**Elève:** En isolant y.

**P.J.:** En isolant y oui. Alors ça va donner...

**Elève:** ...???...

**P.J.:** Alors ça fera $3y = 2x + 1$ donc Y lui même sera égale à $2/3x + 1/3$ ça c'est l'équation réduite de la droite AB. Et là j'emploie l'article définie équation réduite il n'y en a pas plusieurs il y en a une et une seule. Alors sur le dessin qui est à droite encadré vous pouvez déjà encadrer la droite AB. Et puis on rappeler ensemble comment est-ce que sur le graphique que vous venez de compléter on lit l'équation réduite. Le y = $2/3x + 1/3$ il y a deux nombres là dedans $2/3$ et $1/3$ on peut les lire sur le graphique $2/3$ d'abord ça s'appelle, on l'a rappeler tout à l'heure, coefficient directeur ou encore la pente. Ca se lit comment sur le graphique? On avance en abscisse, à partir d'un point quelconque de la droite, d'une unité et ça représente la variation de l'ordonné. Ici le fait qu'il soit positif ça veut dire que quand on avance vers la droite on monte, et on monte de $2/3$ d'une unité en ordonné pour se déplacer d'une unité en abscisse. Le $1/3$ ça vous indique quoi? L'endroit ou la droite coupe l'axe des ordonnées. Donc c'est deux choses différentes, ce premier nombre il vous indique la direction de la droite...???... le coefficient directeur et celui là la position de la droite dans le plan. Selon qu'elle passe au-dessus ou en-dessous de l'origine au niveau de l'axe des ordonnées.

Maintenant on va voir si on retrouver aussi par lecture graphique certains des éléments des équations cartésiennes. L'équation cartésienne que l'on a obtenue $-4x + 6y - 2 = 0$ donc elle comporte trois nombres en réel,
qui pourrait être remplacé, on l'a dit, par n'importe quelle nombre réel qui leur serait proportionnelle. De ces trois nombres réels il y en a deux qui sont présent dans les données du problème, les coefficients de x et de y. A peu de chose près vous les retrouvez au départ dans les données du problème. Dans le vecteur AB. Vous voyez les composantes du vecteur AB (-6;-4) et puis là vous retrouvez -4 et +6. Donc il y a un lien entre les éléments, les coefficients de x et de y dans l'équation cartésienne et les composantes du vecteur directeur. C'est un lien qu'on précisera un peu plus tard. On peut déjà observer que le coefficient de x c'est -4, c'est-à-dire pour le vecteur AB sa composante en y, en ordonnée. Donc le coefficient des abscisses dans l'équation cartésienne c'est la composante en ordonnée d'un vecteur directeur et là c'est l'opposé de la composante en abscisse, d'accord. Le 6 ici coefficient de y des ordonnées dans l'équation cartésienne dans cette équation cartésienne là c'est l'opposé du -6 composante en abscisse du vecteur AB qui nous a servis de déterminer la direction de la droite qu'on va appeler le vecteur directeur de la droite, c'est un mot qu'on a déjà du employer ensemble plusieurs fois. Est-ce qu'on peut dire la même chose avec ces nombres là. En faisant la même transformation. Ca correspondrait a un vecteur qui aurait quelle composante le -2x + 3y -1 en utilisant la même idée. -3 l'opposé du coefficient de y en abscisse et -2 le coefficient de x en ordonnée. -3 -2 est-ce que c'est aussi un vecteur directeur de la droite AB. Regardez sur votre dessin. Partez de A par exemple. Observez le vecteur d'abscisse -3 et d'ordonnée -2. Est-ce qu'il correspond à la direction de la droite AB ou pas. Qu'est-ce qu'il représente par rapport à AB ce vecteur, le vecteur de composante (-3;-2), vous pouvez facilement le représenter sur votre dessin. Vous partez de A vous appliquez -3 en abscisse, -2 en ordonnée vous arrivez ou? Sur le point qui est précisément sur la droite qui est même le milieu de AB. Pourquoi ce milieu, que représente ce vecteur de composante (-3;-2) par rapport au vecteur AB. La moitié, c'est ½ de AB. Pourquoi la moitié parce que ici on a simplifié l'équation en divisant par deux. Si on avait divisé par trois on aurait obtenue les composantes d'un vecteur qui aurait été 1/3 de AB. Si on avait multiplié par -4 on aurait obtenue les composantes d'un vecteur qui aurait été égalent à -4 AB. Donc résumons notre vecteur AB ici c'est un vecteur directeur de la droite, il est déterminé par deux points de la droite. N'importe quelle vecteur colinéaire à AB a la même direction donc c'est aussi un vecteur directeur de la droite et ses composantes sont proportionnelles. N'importe quelle paire de nombre proportionnelle à -6;-4 n'importe quelle couple définira aussi un autre vecteur directeur de la même droite. Donc on va déjà noter ça en remarque. On dit que AB vecteur de composante (-6;-4) est un vecteur directeur de la droite AB ainsi que le vecteur de composante (-3;-2) on va l'appeler U. Maintenant est-ce qu'on pourrait trouver un vecteur directeur qui nous donne en même temps le coefficient directeur puisque ce sont deux choses qui nous donne la direction de la droite. Le coefficient directeur il traduit la variation de l'ordonné lorsque l'abscisse augmente d'une unité. Si vous êtes sur la droite ça veut dire que si vous avancez d'une unité donc vers la droite en abscisse dans le sens des abscisses croissantes vous allez monter de 2/3 en ordonné. Ca veut dire que vous allez avoir un vecteur pour aller du point de départ au point d'arrivée qui va avoir quelle composante. En abscisse vous avancez d'une unité donc 1, en ordonné vous montez de 2/3 donc ça va faire un vecteur de composante en abscisse 1 en ordonné 2/3. Voilà un nouveau vecteur directeur de la même droite.

**Elève:** ...???...

P.J.: Là vous n'avez plus de place alors vous descendez un petit peu en-dessous. Vous mordez sur la ligne inférieur c'est pas méchant. Vous êtes perfectionnistes. Alors ce vecteur à partir du vecteur AB on l'obtient avec quelle coefficient de proportionnalité. Comment on passe du vecteur AB au vecteur b que je viens d'écrire ici.

**Elève:** ...???...

P.J.: -1/6 de AB. Et par rapport au vecteur U, -1/3 de U. Et donc vous remarquerez que lorsque l'on a un vecteur directeur dont l'abscisse est égale à 1 sa composante en ordonné c'est la même chose que le coefficient directeur de la droite, d'accord. Ca traduit le fait que le coefficient directeur ça représente la variation de l'ordonné, lorsqu'on avance d'une unité en abscisse, lorsque l'abscisse augmente d'une unité de la droite. D'accord ces choses là sont bien remises en mémoire. Alors on va les appliquer en allant un petit peu plus vite maintenant.
Dans le deuxième sous paragraphe ou on va voir une autre façon de définir une droite. Une droite on peut la définir par deux point la droite AB comme on l'a fait. Et puis une fois qu'on a une droite qui est ainsi définie on connaît sa direction sa position. On peut trouver d'autre droite qui ont la même direction mais des positions différentes. En disant par exemple sur graphique la droite passant par C et parallèle à AB. On pourrait aussi donner une droite passant par C et perpendiculaire à AB, par exemple. Donc on peut aussi déterminer une droite non pas en fixant deux points mais en fixant un point et sa direction. Et ça va se prêter au même genre de calcul. Donc dans le 1,2 on va étudier le cas d'une droite qui est définie par un point et une direction. On va définir et vous allez tracer la droite delta. Delta la droite parallèle à AB issue de C. On va donner ensemble la condition puis vous allez faire seul les calculs pour voir à quelle condition comment est-ce qu'on va obtenir une équation cartésienne de la droite delta? Donc comme tout à l'heure on prend un point M quelconque on veut qu'il appartienne à delta. Et on va traduire ça par des vecteurs, comme c'est une droite parallèle, des vecteurs colinéaires. Si ça avait été une droite perpendiculaire on aurait traduit ça par des vecteurs orthogonaux. Alors à quelle condition est-ce que le point M appartient à la droite delta sachant que delta c'est la parallèle à AB issue de C. Quelle vont être les vecteurs colinéaires? AB qui va donner la direction et puis un vecteur directeur de delta il doit être donné par deux points de delta, C et M. Donc CM et AB sont colinéaires. Vous avez le module
<figure><img src="image_36.png" /></figure>

au-dessus du type de calcul à faire, prenez un point N de coordonnés (x;y) vous écrivez les composantes des vecteurs dont vous voulez qu'ils soient colinéaires, vous annulez leurs déterminants et vous trouvez ainsi une équation cartésienne de la droite delta. Je vous laisse chercher une ou deux minutes et puis ensuite quelqu'un va allé nous faire ça au tableau.
Pas de raison que je sois le seul à passer à la télé, n'est-ce pas.

**Elève:** ...???... elle m'a dit ...

**P.J.:** Au lieu de parler je préférerais te voir travailler toi un petit peu.

**Elève:** C'est ce que je fais.

**P.J.:** Toujours un métro de retard

Vous les appelez xy comme dans l'exemple précédent du point M. Les coordonnées du point C vous les lisez sur le graphique, n'est-ce pas. Et le point N, c'est le point quelconque de la droite celui-ci. Et tu cherches à quelle condition sur x et y c'est ce qui va t'amener à l'équation que tu vas trouver. Est-ce que le point N de coordonnées (x;y) appartient à la droite delta cette fois ci.

**Elève:** ...???... c'est x-(-3).

**P.J.:** Oui et le ...???... ordonné c'est un moins ou un plus.

**Elève:** Non c'est un moins mais la j'ai...

**P.J.:** Oui d'accord je voyais pas bien. Surtout que après si tu vois plus bien toi même tu risque de te tromper toi même dans ton calcul.

**Elève:** On n'a pas...???...

**P.J.:** Vous le lisez sur le graphique les coordonnées du point. C'est comme tout à l'heure on a lu graphiquement les coordonnées de AU.

**Elève:** ...???...

**P.J.:** Si puisque l'on sait quelle est parallèle à AB. Donc c'est le vecteur AB qui va te donner la direction.

Je vous rappelle quand même qu'on est entrain de faire un exercice de géométrie et j'en vois qui n'ont même pas complété les figures. Ca fait une demie heure qu'on parle de droite et y en a qui n'ont pas encore tracé une droite, c'est quand même un petit peu fâcheux. Ca peut être utile de temps en temps de visualiser les choses.

Non il y a un petit problème de calcul parce que ça ne s'annule pas normalement.

**Elève:** Monsieur ...???... par exemple ici on mettrait x-3 ou x+3?

**P.J.:** Alors quelle est l'abscisse de C?

**Elève:** C'est -3.

**P.J.:** -3 donc x-(-3) ça te fais bien x+3.

**Elève:** Monsieur...???...

**P.J.:** Je comprends pas comment de là tu passe à ça. Déjà quand tu développes là x multiplié par -4 ça fait pas 3x.

Là aussi je ne vois pas comment en partant de x-3 multiplié par -4 tu obtiens -3x.

**Elève:** ...???...

**P.J.:** x-4 multiplié -4 ça va faire du -4x. Ne mélange pas la soustraction x-4 avec la multiplication par -4.

**Elève:** -4 ...???...

**P.J.:** Voilà c'est ça on développe.

**Elève:** Mais tout à l'heure j'ai pas compris comment on avait fait pour trouver ...???... là on a trouvé -4

**P.J.:** Oui, le -4 multiplié par x, x multiplié par -4 ça fait -4x. Et -4 multiplié par -4 ça fait +16 qui après avec le -3 multiplié par -6 -18 ça c'est réduit en -2.

**Elève:** Attendez là vous avez fait x multiplié par -4 et ...

**P.J.:** Tout le contenue de la première parenthèse est multiplié par -4 et tout le contenue de la seconde est multiplié par -6.

Petit problème de signe là, alors attend qu'est-ce qui ne va pas ... là les douze ne s'annulent pas. -(-4) multiplié par +3 ça ne fait pas -12, ça fait +12.

**Elève:** ...???...

**P.J.:** Attends j'arrive.

**Elève:** ...???...

**P.J.:** Voilà, oui...???... Attends pourquoi y-3

**Elève:** Non je me suis trompée...

**P.J.:** C'est y-2.

**Elève:** Après sinon c'est bon si ...???...

**P.J.:** Voilà, donc le +12 et le +12 là tu peux les additionner.

**Elève:** Ca fait 24...???...

**P.J.:** Bravo... On va réexpliquer ça, on va refaire le même genre de remarque pour la droite...

**Elève:** ...???... pour trouver ça

**P.J.:** Ca c'est une équation cartésienne de la droite delta.

**Elève:** ...???...
<figure><img src="image_37.png" /></figure>

**P.J.:** C'est une équation de la droite qui passe par C et qui est parallèle à AB.

**Elève:** Comment vous faites pour rapidement là direct pour ça.

**P.J.:** On multiplie les x par -4, les y par -6 et le reste on fait la multiplication 3 fois -4 moins -2 fois...

**Elève:** On a toujours pas trouvé comment vous avez fait de là à là

**P.J.:** On multiplie tout le contenue de la première parenthèse par -4 et tout le contenue de la deuxième parenthèse par -6.

**Elève:** ...???... ça fait 16.

**P.J.:** Oui 16 et puis là -3 fois -6 ça fait 18. On a 16-18...???...-2.

**Elève:** ...???...

**P.J.:** Bah! x multiplié par -4.

**Elève:** ...???... x multiplié par -4.

**P.J.:** Oui d'ou le contenue de la première parenthèse le x et le -4.

**Elève:** ...???...

**P.J.:** -y multiplié par -6... Oui très bien.

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

**Elève:** ...???...

**P.J.:** Bien! Tu viens le faire au tableau. Donc, vas-y prends la craie sur le grands tableau là. Tu prends un points N de coordonnées (x;y) et tu dis que c'est un point de delta.

**Elève:** Monsieur qu'est-ce que c'est exactement cartésien

**P.J.:** C'est parce que ça a été créé plus ou moins par un mathématicien qui s'appelle Descartes, donc voilà c'est en hommage.

Donc lorsque, rédiges et tu cites les vecteurs qui vont être colinéaires avec leurs composantes. Donc CN. On a lu graphiquement que l'abscisse de C était -3 et son ordonnée 2. Donc les composantes de CN x-(-3),x+3 et y-2. Et AB c'est le même que tout à l'heure(-6;-4)... sont colinéaires. C'est-à-dire donc lorsque le déterminant est nul on va le calculer c'est ça qui va nous emmener à cette équation cartésienne. Non ça ne s'annule pas à la fin il reste un quelque chose il y a une petite erreur de signe. Moins par moins ça fait plus. Donc on écrit le déterminant. On dit qu'il est égale à zéro. On le développe. Et c'est là ou l'étape, apparemment, qui vous pose le plus de problème Harif c'est quand on le...???...

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

**Elève:** Monsieur,...???...

**P.J.:** Voilà c'est là ou il faut bien suivre tu vas détailler encore plus que ce que j'ai fais tout à l'heure puisque c'est là ou ça vous pose des problèmes. Vous y êtes s'il vous plaît. Donc le développement du déterminant et sa réduction c'est ça qui vous embrouille le plus dans les calculs, donc on va bien détailler le développement. On multiplie tout le contenue de la première parenthèse ici par le contenue de la seconde parenthèse là. Le premier produit x+3 multiplié par -4. C'est-à-dire x multiplié par -4, -4x plus -12 le produit de 3 par -4. Donc -4x -12. Ensuite on continue avec le deuxième produit qui lui est précédé d'un signe moins donc bien faire attention -y multiplié par -6 donc +6y. Et enfin -(-2) multiplié par -6 c'est-à-dire -12 égale zéro. On termine en réduisant définitivement après avoir tout développé. On met en premier le terme en x en deuxième le terme en y, ça c'est l'habitude la tradition en quelque sorte, les mathématiques sont fait de traditions. Et on réduit le dernier terme constant -24 =0, merci Donc voilà ce que l'on atteint en faisant ce type de calcul. Que représente cette équation. Ca représente la condition pour qu'un point de coordonnées (x;y) appartienne à la droite delta. Si on vous donne un point avec son abscisse et son ordonnée vous chercher à savoir si il appartient à la droite delta qu'est-ce que vous allez faire? Je vous le point (-5;2) et je vous demande si il appartient à la droite delta, comme apparemment vous faites de la géométrie sans faire de dessin qu'est-ce que vous faites? Je vous donne (-5;2) et puis je vous demande ce point là il est sur delta ou il est pas sur delta, justifiez. Vous remplacez x par -5, y par 2 et vous regardez si c'est égale à zéro ou pas. Si c'est égale à zéro ça veut dire qu'il est sur delta, si c'est différent de zéro qu'il n'est pas sur delta. Donc c'est une condition nécessaire et suffisante, c'est une équivalence concernant les coordonnées d'un point pour dire si il appartient ou n'appartient pas à la droite On va noter la conclusion en trois points comme tout à l'heure. D'abord le fait que ce qu'on vient de trouver c'est une équation cartésienne de delta. On va en donner une autre.

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

**Elève:** ...???...

**P.J.:** Alors ah oui très bien. Oui. Alors vas-y, tu as trouvé toi

**Elève:** On a trouvé 4x-6y...???...

**P.J.:** Alors je l'écris. Est-ce que c'est aussi une équation cartésienne de delta? Oui puisque je passe de l'une à l'autre en multipliant par -1, donc c'est une autre équation cartésienne de delta. Quelle est la différence qu'il y a dans votre calcul qui vous amenez à trouver cette équation et pas celle que Sabrina a trouvé.

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

**Elève:** On a fait...???...

**P.J.:** Voilà vous avez pris dans la première colonne les composantes de AB et dans la deuxième colonne les composantes de CM. Et donc au lieu de calculer le déterminant de CM AB vous avez calculez le déterminant de AB CM. Ce qui vous fait apparaître cette propriété du déterminant quand on permute l'ordre des vecteurs le déterminant change de signe. C'est la même valeur absolue mais c'est le signe opposé. Puisqu'on fait une différence, dans un cas on fait une quantité moins une autre, dans l'autre cas on fait la différence entre le
deuxième moins le premier, ça change le signe de la différence mais pas sa valeur absolue. Donc c'est tout aussi valable c'est équivalent, bien entendu. Et puis on va donner l'équation réduite 4/6 que vous allez réduire sans hésiter à 2/3 de x plus 4, ça c'est l'équation réduite de delta. Cette équation réduite si vous la comparez à l'équation réduite de l'équation de la droite AB qu'est-ce que vous constatez comme similitude et comme différence? Même coefficient directeur ce qui traduit cette propriété le parallélisme des deux droites. Et la différence c'est les ordonnées à l'origine ce qui traduit qu'elle sont strictement parallèle et pas confondue. Elles ont même direction mais pas la même position dans le plan, d'accord. Maintenant si vous comparez les équations cartésiennes la première qu'on a trouvé ici sur delta et la première qu'on avait trouvé tout à l'heure sur AB, qu'est-ce qu'il y a de commun qu'est-ce qu'il y a de différent?

**Elève:** Les x et y....

**P.J.:** Les coefficient de x et de y sont identiques ça aussi ça traduit le fait que les droites ont la même direction, donc un même vecteur directeur. Par contre le troisième terme lui il est différent lui il traduit la position différente des droites dans le plan. Donc dans l'équation réduite le coefficient directeur ça vous indique comme son nom le précise la direction, l'ordonnée à l'origine la position. Dans une équation cartésienne ce qui définie la direction ce sont les coefficients de x et de y et la position ce terme là. Maintenant on voit qu'on peut obtenir bien sur plusieurs équations cartésiennes pour une même droite mais une seule équation réduite. On doit donner une petite remarque à nouveau en parlant de vecteur directeur. La droite delta elle a été définie comme parallèle à AB, donc immédiatement on s'est servit.........

FIN DE LA FACE.
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IREM Université Paris 7
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TITRE :

Recherches sur l'utilisation du tableau par des enseignants de mathématiques de seconde pendant des séances d'exercices (rapport de réponse à l'appel d'offres de l'IUFM de Versailles de 99-00)

AUTEUR (S) :

A. Robert, F. Vandebrouck, avec la collaboration de P. Beziaud et D. Dumortier

RESUME :

Nous étudions ce qui caractérise pour nous l'utilisation du tableau noir en classe, du point de vue des apprentissages potentiels des élèves et du point de vue strict du métier d'enseignant. Trois séances d'exercices sur les équations de droites en seconde sont analysées (issues de trois classes de seconde du même établissement, avec trois enseignants différents). Nous indiquons une méthode précise d'étude de ce qui figure au tableau, tenant compte de la gestion correspondante. Cela nous a menés à mettre en évidence deux grands pôles d'utilisation (routines) – le tableau lieu de savoir et le tableau lieu de travail. Les utilisations correspondantes s'inscrivent, avec des nuances, dans des gestions globales cohérentes du même type.

MOTS CLES :

didactique des mathématiques - tableau noir - pratiques d'enseignants en classe - routines - classe de seconde

Editeur : IREM

Université PARIS 7-Denis Diderot

Directeur responsable de la

publication : R. CORI

Case 7018 - 2 Place Jussieu

75251 PARIS Cedex 05

Dépôt légal : Mars 2001

ISBN : 2-86612-208-9