CLAUDE LOBRY

La modélisation et la simulation numérique sont des outils intégrateurs indispensables à la compréhension de l'environnement planétaire et à la prévision de son évolution. Mais la complexité des modèles mis en œuvre, et la difficulté d'en quantifier, même partiellement, les incertitudes font de l'interprétation de leurs résultats une source permanente de controverses scientifiques. Le degré de "technicité" des modèles physiques et chimiques de l'environnement permet-il encore une approche scientifique des problèmes, dans une perspective nécessairement pluridisciplinaire ? Les concepts mis en jeu et leur formulation permettent-ils une lecture scientifique des idées par les autres communautés ? Le caractère pluridisciplinaire de ce débat ne fait qu'en souligner toute l'importance.

L'étude de l'environnement conduit à considérer des systèmes comportant des interactions multiples. L'exemple bien connu des problèmes soulevés par les gaz à effet de serre met en jeu des interactions entre l'océan et l'atmosphère, entre des systèmes vivants et la physico-chimie de l'atmosphère, etc. L'augmentation de la température peut

conduire, dans certaines conditions, à une augmentation de la nébulosité qui, en retour, entraînera une diminution de l'ensoleillement, donc une tendance au refroidissement... Ainsi on trouve chez Duplessy et Morel¹ : « Ces processus peuvent s'organiser en chaîne formant une boucle fermée, dite boucle de rétroaction, dont le résultat final est d'agir sur la cause même de la perturbation qui sollicite le système, pour s'y opposer ou au contraire l'amplifier. Dans le premier cas, on a affaire à une boucle de rétroaction négative (stabilisante) et dans le second cas une boucle de rétroaction positive (déstabilisante) ». Ou encore chez Le Treut et Kandel² : « Il s'agit alors d'une rétroaction négative, potentiellement très importante, comme l'ont montré en 1987 E. Roekner et ses collaborateurs à Hambourg. Mais pour les nuages hauts, une augmentation du contenu en eau ou en glace provoque une compétition entre une augmentation de l'effet de serre et une diminution du rayonnement solaire transmis vers le bas, qui peut au contraire donner lieu à une rétroaction positive ».

L'objet de cette courte note est de montrer que les expressions soulignées en gras n'ont pas de contenu scientifique réel. Soit on donne un sens précis à "rétroaction positive", et alors il est faux qu'une telle rétroaction soit stabilisante, soit on reste vague et alors une "rétroaction positive" peut être aussi bien stabilisante que déstabilisante. Pour éviter tout malentendu je tiens à dire que c'est la problématique environnementale qui m'a fait choisir ces deux citations. Je n'ai rien contre ces deux auteurs, d'autant moins que j'apprécie beaucoup leurs textes de vulgarisation, les seuls qui me soient accessibles, étant moi même spécialiste de théorie ses systèmes dynamiques appliquée à l'automatique. Je pourrais choisir d'autres exemples issus de disciplines différentes³ et, pour avoir tenté l'expérience sur plusieurs collègues, y compris mathématiciens, je peux témoigner que la croyance :

## Rétroaction négative = Stabilité

est largement répandue. Les seuls qui ne se laissent pas prendre sont les automaticiens, et pour cause, puisque ces questions sont abordés dans les cours élémentaires d'automatique. C'est donc à une tentative de vulgarisation de quelques notions d'automatique que vais me livrer.

## SUR LE FONCTIONNEMENT DE LA CHASSE D'EAU

La figure 1 représente le schéma d'un dispositif de rétroaction bien connu : celui qui gouverne le remplissage d'un réservoir (de chasse d'eau, ou encore une cuve de carbureteur). Comme l'indique la figure, plus le pointeau est haut, moins l'arrivée d'eau est forte et inversement. Pour rendre la discussion plus éclairante pour la suite j'ai supposé que le réservoir présentait une fuite dont le débit est très inférieur à celui de l'arrivée d'eau maximale. Il ne fait pas de doute que le niveau de l'eau va se stabiliser à une hauteur *h* pour laquelle le débit d'arrivée compensera exactement celui de la fuite. En effet : *Si*, à la suite d'une perturbation, le niveau monte au dessus de *h* le mécanisme fait que le débit
<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Figure 1 – Dispositif gouvernant le remplissage d'un réservoir.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 2 – Chaîne de trois réservoirs.</figcaption></figure>

d'arrivée est diminué et donc le niveau va baisser ; inversement le débit augmentera si le niveau baisse. « La cause de l'augmentation du niveau de l'eau (le débit d'arrivée) est diminuée quand le niveau est trop haut, il y a une rétroaction négative ». Et le processus est effectivement stabilisé, comme nous le savons tous !

## SUR LE FONCTIONNEMENT D'UNE CHAÎNE DE RÉSERVOIRS

La figure 2 représente une chaîne de trois réservoirs, le débit d'alimentation des deux derniers étant contrôlé par la hauteur dans le réservoir précédent, de telle façon que plus le niveau est haut dans le réservoir précédent plus le débit est élevé.

Notons x, y et z les niveaux dans chacun des trois réservoirs, a, b, c les débits de sortie respectifs de chaque réservoir, U le débit de remplissage du premier et enfin r x et r y les

débits de remplissage des deux derniers. Toutes les constantes sont strictement positives. Pour simplifier j'ai supposé les débits de sortie constants (indépendants de la hauteur dans le réservoir) ce qui n'est pas très physique. On pourra supposer, soit que les variations de hauteur sont négligeables, soit qu'un dispositif adéquat maintient ce débit constant. La "cause" agissant sur le système, l"entrée" dans la terminologie de l'automatique, est le débit U.

* Si U est plus grand que a le niveau x monte, inversement il descend.

* Si r x est plus grand que b le niveau y monte, inversement il descend.

* Si r y est plus grand que d le niveau z monte, inversement il descend.

Donc si U est plus grand que a le niveau x monte et finit par dépasser b/r ce qui a pour effet de faire monter y qui finit par dépasser c/r ce qui a pour effet de faire monter le niveau z et inversement si U est plus

Claude Lobry : Observatoire Océanologique, Écologie du plancton marin, B.P. 28, 06230 Villefranche-sur-Mer.

<footnote n="1">1. Duplessy J.-C. et Morel P. (1990). Gros temps sur la planète, Odile Jacob, p. 143.</footnote>

<footnote n="2">2. Le Treut H. et Kandel R. (1992). Que nous apprennent les modèles du climat ?, La Recherche, n° 243.</footnote>

<footnote n="3">3. Sans me livrer à une étude bibliographique je peux citer :</footnote>

<footnote>– Un article : L. Stone and R.S.J. Weisburd (1992). *Positive Feedback in Aquatic Ecosystems*, Tree Vol. 7, n° 8, p. 263-267.</footnote>

<footnote>– Un chapitre d'un livre : J. Aracil, Introduction à la Dynamique des Systèmes, Presses Universitaires de Lyon, Chapitre II – Un livre entier : D. De Angelis, W. Post et C. Travis (1986). *Positive Feedback in Natural Systems*, Biomathematics, Vol. 15, Springer Verlag.</footnote>
petit que a. Supposons que nous voulions
maintenir z au niveau 1. Nous allons établir
une rétroaction négative de la forme :

$$
U = a - k(z - 1) \quad k > 0
$$

Comme cela si le niveau z est trop
élevé nous agissons sur la cause de manière à
faire diminuer z et inversement. « La cause de
l'augmentation du niveau de l'eau dans le
troisième réservoir (le débit d'arrivée dans le
premier réservoir) est diminuée quand le
niveau z est trop haut, il y a une rétroaction
négative ». C'est, mot pour mot, l'argumenta-
tion que nous avons employée dans le cas du
pointeau et, pourtant, il se trouve que ce dis-
positif ne fonctionne absolument pas !

Pour s'en convaincre il suffit de faire
un modèle mathématique de ce dispositif. Les
variations instantanées de hauteur dans les
réservoirs, soient les dérivées x', y' et z' sont
données par la différence entre les débits
d'entrée et les débits de sortie :

$$
\begin{align*}
x' &= U - a \\
y' &= r x - b \\
z' &= r y - c
\end{align*}
$$

Le système bouclé par la rétroaction
envisagée est donc :

$$
\begin{align*}
x' &= a - k(z-1) - a = -k(z-1) \\
y' &= r x - b \\
z' &= r y - c
\end{align*}
$$

On trouve sur la figure 3 trois simu-
lations pour k = 1, r = 0.1 et a = b = c = 0.1
correspondant à trois conditions initiales dif-
férentes, des variations de z au cours du temps.
On voit que le système est complètement
instable ! Comment expliquer qu'une argu-
mentation qui avait bien marché avec un
réservoir, et qui semblait encore très convain-
cante, soit prise en défaut ici avec trois réser-
voirs. Le point clé se trouve dans le verbe ci-
dessous en italique :

« Donc si U est plus grand que a le niveau x monte et fmit par dépasser b/r... » et qui ne figurait pas dans la première argum entation.

Entre le moment où l'ordre est donné
d'augmenter U et celui où cet ordre a un effet
sur la variation du niveau dans le troisième
cuve il s'écoule un délai. Pendant ce temps il

se pourrait que le niveau z ait augmenté et
même dépassé 1. L'ordre serait donc mauvais.
On conçoit qu'ici s'arrêtent les possibilités
d'une discussion littéraire, non formalisée.
Seules les mathématiques permettent d'y
voir clair et nous allons voir qu'aucune rétro-
action, positive ou négative du type précédent
n'est susceptible de stabiliser le système.

THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA
CHAÎNE DE TROIS RÉSERVOIRS

Nous avons affaire à un système dif-
férentiel linéaire

$$
\begin{align*}
x' &= -k(z-1) \\
y' &= r x - b \\
z' &= r y - c
\end{align*}
$$

qui s'écrit sous forme matricielle :

$$
\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -k \\ r & 0 & 0 \\ 0 & r & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} k \\ -b \\ -c \end{bmatrix}
$$

Il possède un unique état d'équilibre,
pour lequel les dérivées sont nulles. Il est
donc obtenu en résolvant le système :

$$
\begin{align*}
0 &= -k(z-1) \\
0 &= r x - b \\
0 &= r y - c
\end{align*}
$$

ce qui donne, $x = b/r$, $y = c/r$ et $z = 1$. Enfin
un théorème classique, enseigné dans les DEUG
science et structure de la matière des univer-
sités françaises (DEUG A), nous dit que cet
équilibre est stable, si et seulement si, les trois
valeurs propres de la matrice

$$
\begin{bmatrix}
0 & 0 & -k \\
r & 0 & 0 \\
0 & r & 0
\end{bmatrix}
$$

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 3 - Simulations
correspondant à trois
conditions initiales
différentes
z = niveau
t = temps.</figcaption></figure>

ont leurs parties réelles strictement négatives.
Il se trouve que pour cette matrice les valeurs
protres sont données par l'équation :

$$
\lambda^3 = -k r^2
$$

ce sont donc les racines cubiques de -1 multipliées par un certain coefficient (la racine cubique positive de $k r^3$, et il se trouve que deux de ces racines ont leur partie réelle strictement positive.

Ce théorème nous enseigne donc que,
quels que soient a, b, c et r, quelle que soit
l'amplitude k de la rétroaction envisagée, il est
impossible de stabiliser le niveau dans le troi-
sième réservoir par une rétroaction de z, qu'elle
soit positive ou négative ! On conviendra
que ce résultat qui repose sur la position dans
le plan complexe des racines cubiques de
l'unité échappe à une description dans la
langue naturelle. Il fait comprendre aussi que
la stabilité, qui est une affaire de nombres
complexes, ne peut pas se réduire à une ques-
tion de signe, puisque ces derniers n'ont pas de
signe.

DEUX MOTS D'HISTOIRE
ET DE THÉORIE

Le régulateur de Watt (cf. figure 4), est
un des premiers dispositifs de régulation basé
sur une rétroaction. Il remplissait convena-
blement ses fonctions à la fin du XVIIIe et au
début du XIXe siècle. Vers le milieu du
XIXe siècle, avec l'évolution des techniques, il
se mit à ne plus fonctionner. Indépendam-
ment, J.C. Maxwell (1868) et Vischnégradsky
(1876) firent une analyse mathématique du
dispositif¹. Le même théorème que celui invo-
qué plus haut leur permit de déterminer quels
étaient les paramètres à respecter pour obte-
nir une bonne régulation. Les mathématiques
allaient devenir un des outils de base de l'auto-
matique qui continue de nos jours à en faire un
usage important.

L'automatique a mis en évidence les
notions fondamentales d'entrée (input), de
sortie (output) et la notion essentielle de
variable d'état, notions à partir desquelles se
construisent celles de contrôlabilité (ou com-
mandabilité suivant les auteurs), d'observabilité,
d'identifiabilité. On le voit, la notion de rétro-
action n'est pas la première dans la théorie,
même si historiquement elle a été une des
premières à émerger.

La différence essentielle entre le réser-
voir simple et la cascade de trois réservoirs ou
le régulateur de Watt tient à ce que dans le
premier cas il y a une seule variable d'état
alors que dans les deux autres il y en a trois. Les
variables d'état, ce sont les variables mini-
males nécessaires pour spécifier l'état présent
du système et qui seront suffisantes dans les cas
déterministes pour prédire le futur. Pour les
trois réservoirs il est assez clair qu'il faut
connaître la hauteur dans chacun. Pour le
régulateur de Watt il s'agit de stabiliser la
vitesse de rotation de la machine ; la connais-
sance de la vitesse de rotation du support des
boules, de l'angle fait par les boules avec ce
dernier, mais aussi la vitesse angulaire sont
nécessaires (car les boules sont soumises aux
lois de la mécaniques, donc à une équation dif-
férentielle du second ordre, faisant intervenir
la vitesse). Dans le cas d'une seule variable
d'état, la matrice régissant la stabilité du sys-
tème est une matrice 1 x 1, son unique valeur

propre est la matrice elle-même et son signe est
positif si la rétroaction est positive, négatif
sinon. C'est le seul cas où le concept de signe
d'une rétroaction est pertinent. Autrement dit,
la rétroaction négative est effectivement sta-
bilisante lorsque la chaîne entre la cause et
l'effet est réduite à un maillon³.

Dès la dimension deux les valeurs
propres de la matrice du système bouclé ne
peuvent plus être toutes simultanément négá-
tives, sauf si la rétroaction fait intervenir
toutes les variables d'état. Si ces dernières sont
mesurées il n'y a pas de problème. Sinon il fau-
dra s'assurer que le système est observable et
procéder à une reconstruction de l'état. Il
arrive aussi que l'état soit de "dimension infi-
nie" lorsque le système est à paramètres dis-
tribués<fnref n="6" />. C'est le cas si par exemple on s'inté-
resse à la régulation de la température dans un
milieu non homogène ou à la diffusion passive
de plancton dans l'océan.

La théorie qui explique le fonction-
nement des régulateurs à boules est bien plus
 intéressante que ma petite “théorie” des
chasses d'eau emboîtées. J'aurais pu l'exposer
ici. Si j'ai préféré illustrer mon propos par une
question de réservoirs qui fuient, c'est pour
deux raisons.

■ La première est que, même si elles restent accessibles à un bon étudiant de seconde année de DEUG sciences et structure de la matière, les équations plus compliquées de la théorie du régulateur de Watt auraient détourné l'attention du point essentiel : la dimension de l'espace d'état. En particulier on aurait pu croire que la non linéarité des équations était en cause.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 4 – Régulateur
de Watt.</figcaption></figure>

<footnote n="4">4. Pontriaguine L. S. (1969). Équations différentielles ordinaires, Ed. MIR, le chapitre 27 de ce livre est consacré au régulateur de Watt. On y trouvera les éléments d'histoire évoqués ainsi qu'une théorie mathématique.</footnote>

<footnote n="5">5. D'autres cas existent, où une rétroaction négative est stabilisée. Par exemple, sous certaines hypothèses, lorsque les variations imposées à la cause sont très lentes. Une discussion sérieuse nécessite des développements de théorie des systèmes qui sortent du cadre de cet article.</footnote>

<footnote n="6">6. Lions J.-L. (1990). *El planeta tierra*, el papel de las matematicas y de los super ordenadores, Instituto de Espana 1990. Ce livre est un "état de l'art" sur la modélisation des systèmes à paramètres distribués écrit pour des non spécialistes.</footnote>
La seconde raison est que les biologistes et écologues qui sont entraînés à faire des bilans (de matière, d'énergie...) seront peut-être plus sensibles à des problèmes de "baignoires avec fuites" qu'à des questions de mécanique rationnelle qui peuvent leur paraître appartenir à un autre domaine de la science. Il n'est d'ailleurs pas difficile d'imaginer une dynamique de population pour laquelle le phénomène de déstabilisation ci-dessus pourrait se produire.

## CONCLUSION

Toutes ces notions, issues de la théorie des systèmes, sont nécessaires pour aborder la modélisation de systèmes naturels complexes. Cela était fort bien rappelé par Pavé et Barbault². J'insiste avec vigueur ici pour qu'elles soient impérativement accompagnées de leur formalisation mathématique, sous peine de n'être que des métaphores plus dangereuses qu'utiles. J'insiste d'autant plus que l'opinion que les mathématiques ne sont d'aucune utilité dans les sciences de la vie est assez répandue. Le texte suivant de C. Allègre³ me semble assez représentatif de l'idée que beaucoup se font de l'utilité des mathématiques dans les sciences de la nature. « Les tendances à une mathématisation outrancière (tendances qui, heureusement, s'estompent) éloignaient des sciences naturelles les jeunes chercheurs sortis des grandes écoles. Le retournement actuel est net : les mathématiques fournissent des outils mais ne sont pas les structures de pensée fondamentale : en biologie, en recherche pharmaceutique, en informatique, ce sont les éléments de combinatoire et la logique, plus que les synthèse bourbachiques qui ont aidé le développement de ces sciences. »

Je peux suivre volontiers C. Allègre dans sa critique, d'autant mieux que j'ai été amené à critiquer moi aussi, certains aspects du fonctionnement de la communauté mathématique en France⁴. Mais il se trompe gravement sur ce que sont les mathématiques utiles. Peut-être quelques éléments de combinatoire et de logique suffisent-ils aux besoins actuels du biochimiste ou du biologiste moléculaire,

mais la connaissance des mécanismes du monde vivant ne peut pas se réduire à l'identification de molécules. Ceux qui voudront comprendre les mécanismes et la dynamique des processus auront aussi besoin, pour structurer leur pensée, d'algèbre linéaire, de calcul différentiel, d'équations différentielles et bien d'autres choses... Les mathématiques ne sauraient être réduites aux grandes synthèses abstraites et à la combinatoire et nul ne peut prétendre savoir, aujourd'hui, quelles seront les mathématiques utiles demain !

Pour finir le message que je tente de faire passer est donc le suivant : dès qu'une chaîne de causes et d'effets a plus de deux maillons l'intuition est totalement insuffisante pour maîtriser les effets d'une rétroaction et plus généralement d'une interaction. Seule une modélisation sérieuse du phénomène, suivie d'une analyse mathématique, pouvant nécessiter des techniques sophistiquées, peut éventuellement permettre de prévoir le résultat.

Il n'est pas question de demander au géophysicien, au chimiste de l'atmosphère, au spécialiste du plancton et plus généralement à tous les scientifiques qui s'occupent de l'environnement de devenir de fins spécialistes du calcul des valeurs propres d'une matrice et de la théorie des systèmes dynamiques ! Mais des jeunes existent, qui ont une formation en mathématiques ou en automatique. Il devient urgent d'en embaucher quelques uns dans des lieux où il n'est pas traditionnel de faire appel à leurs services !

<footnote n="7">7. Pavé A. et Barbault R. (1992). *Ecosystèmes et environnement*, Lettre de l'environnement n° 7. On retrouvera également ce point de vue dans Jollivet M. et Pavé A. (1992). *Natures, Sciences, Sociétés, Vol. 1, n° 1*.</footnote>

<footnote n="8">8. Allegre C. (1991). *Point de vue, Pour la Science* n° 162.</footnote>

<footnote n="9">9. Il y a un demi-siècle, un groupe de mathématiciens Français s'est donné le nom collectif de Bourbaki. Il a été à l'origine d'une école de pensée, dite "école formaliste", qui a joué un rôle considérable dans le développement des mathématiques en France et à l'étranger. Inévitablement, le succès de cette école a engendré quelques excès, comme ce qu'il est convenu d'appeler les "mathématiques modernes". Il ne faudrait pas que la réaction, justifiée, contre ces excès entraîne le rejet de la "méthode formaliste" qui est un des acquis essentiels des mathématiques de ce siècle. J'ai été amené à polémiquer dans un petit livre (Et pourtant... Ils ne remplissent pas N, Aleas Éditeur, 15 quai Lassagne, Lyon) sur le thème du formalisme en mathématiques.</footnote>