# ENSIM 4A Statique des poutres ( résistance des matériaux )

Jean-Michel Génevaux, Hugo Dujourdy, Antoine Sternberger, Rémi Mattéoli, Alan Geslain

► To cite this version:

Jean-Michel Génevaux, Hugo Dujourdy, Antoine Sternberger, Rémi Mattéoli, Alan Geslain. ENSIM 4A Statique des poutres ( résistance des matériaux ). École d'ingénieur. Statique des poutres, Le Mans Université, France. 2013. cel-00611692v18

HAL Id: cel-00611692

https://cel.hal.science/cel-00611692v18

Submitted on 10 Feb 2025 (v18), last revised 12 Jan 2026 (v19)

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>
ENSIM 4A

Mécanique :
Statique des poutres (résistance des matériaux)

"A quoi cela sert, la statiques des poutres ?"

La réponse est dans la vidéo 383, accessible via :
https://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=383

Jean-Michel Génevaux et les contributions de
Alan Geslin, Roger Serra, Rémi Mattéoli, Hugo Dujourdy, Charlène Lemasson, Antoine Sternb
avec les complicités des étudiant-e-s qui m'ont détecté
les trop nombreuses autant qu'originales fautes d'orthographe et de grammaire.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

*Chaque fois que je me plante, je pousse.*[1]

February 10, 2025
# Contents

<table><tbody><tr><td>1 Capacités, note.</td><td>4</td></tr><tr><td>1.1 Capacités</td><td>4</td></tr><tr><td>1.2 Des capacités à la note, aux savoir-faire, compétences et bloc de compétences</td><td>6</td></tr><tr><td>2 Méthode de travail</td><td>7</td></tr><tr><td>2.1 Modalités de formation</td><td>7</td></tr><tr><td>2.2 Conseils aux référentes</td><td>10</td></tr><tr><td>2.3 Modalités d'évaluation des capacités.</td><td>11</td></tr><tr><td>2.3.1 Évaluation par examen individuel</td><td>11</td></tr><tr><td>2.3.2 Évaluation par ceinture individuelle</td><td>12</td></tr><tr><td>2.4 Absence</td><td>15</td></tr><tr><td>3 Prérequis de mathématiques : capacité 011 : Utiliser à bon escient multiplication et division</td><td></td></tr><tr><td>3.1 Pourquoi ce chapitre</td><td>18</td></tr><tr><td>3.2 Brevets d'acquisition de connaissance</td><td>18</td></tr><tr><td>4 Prérequis de physique pour l'ingénieur : homogénéité, unités, dimensions et chiffres significatifs</td><td></td></tr><tr><td>4.1 Objectifs</td><td>22</td></tr><tr><td>4.2 Homogénéité, adimensionnalisation</td><td>22</td></tr><tr><td>4.3 Adimensionnalisation</td><td>23</td></tr><tr><td>4.4 Unités logarithmiques relatives ou absolues</td><td>23</td></tr><tr><td>4.5 Ordres de grandeurs</td><td>24</td></tr><tr><td>4.6 Chiffres significatifs</td><td>24</td></tr><tr><td>4.7 Brevets d'acquisition de connaissance</td><td>24</td></tr><tr><td>4.8 Brevets de vérification de connaissance (facultatifs)</td><td>26</td></tr><tr><td>5 Mécanique générale liaisons - chargement - isostaticité - hyperstaticité</td><td>28</td></tr><tr><td>5.1 Liaisons parfaites normalisée - torseur des efforts transmissibles</td><td>28</td></tr><tr><td>5.2 Torseurs de chargement</td><td>31</td></tr><tr><td>5.3 isostaticité - hyperstaticité</td><td>33</td></tr><tr><td>6 Prérequis de mécanique des solides déformables : Tracer un cercle de Mohr à partir des mesures</td><td></td></tr><tr><td>6.1 Calcul du tricercle de Mohr à partir d'une matrice des contraintes</td><td>42</td></tr><tr><td>6.2 Calcul du cercle de Mohr à partir de mesures faites avec une rosette</td><td>46</td></tr><tr><td>7 De l'élasticité à la théorie des poutres</td><td>55</td></tr><tr><td>7.1 Les Outils</td><td>58</td></tr><tr><td>7.1.1 Notion de poutre</td><td>58</td></tr><tr><td>7.1.2 Analyse à l'échelle locale 3D</td><td>66</td></tr><tr><td>7.1.3 Analyse à l'échelle 1D</td><td>67</td></tr><tr><td>7.1.4 Principes et lois</td><td>68</td></tr><tr><td>7.1.5 Cinématique d'un point de la fibre moyenne</td><td>69</td></tr><tr><td>7.1.6 Efforts intérieurs</td><td>70</td></tr><tr><td>7.1.7 Équations d'équilibre</td><td>76</td></tr><tr><td>7.1.8 Description de la section droite</td><td>78</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>7.1.9</td><td>Annexe 1</td><td>84</td></tr><tr><td>7.2</td><td>Lois de comportement de la poutre</td><td>84</td></tr><tr><td>7.2.1</td><td>Objectif</td><td>86</td></tr><tr><td>7.2.2</td><td>1ère cinématique</td><td>86</td></tr><tr><td>7.2.3</td><td>2nd cinématique</td><td>92</td></tr><tr><td>7.2.4</td><td>3ième cinématique</td><td>96</td></tr><tr><td>7.2.5</td><td>Exemple d'utilisation : sollicitation de traction</td><td>100</td></tr><tr><td>7.2.6</td><td>flexion simple autour de l'axe H&#773;</td><td>101</td></tr><tr><td>7.3</td><td>Dimensionnement</td><td>102</td></tr><tr><td>7.3.1</td><td>Cercle de Mohr des contraintes</td><td>102</td></tr><tr><td>7.3.2</td><td>Critères de limite d'élasticité</td><td>102</td></tr><tr><td>7.3.3</td><td>Méthode de calcul : détermination des limites d'élasticité</td><td>103</td></tr><tr><td>7.3.4</td><td>Exemple de calcul</td><td>105</td></tr><tr><td>7.3.5</td><td>Formules de Bresse</td><td>109</td></tr><tr><td>7.4</td><td>Résolutions de problèmes</td><td>115</td></tr><tr><td>7.4.1</td><td>Résolution par superposition</td><td>116</td></tr><tr><td>7.4.2</td><td>Méthodes énergétiques</td><td>119</td></tr><tr><td>7.4.3</td><td>Résolution de systèmes hyperstatiques</td><td>122</td></tr><tr><td>7.4.4</td><td>Systèmes articulé</td><td>133</td></tr><tr><td>7.5</td><td>Non linéarités géométriques (grands déplacements)</td><td>134</td></tr></table>
Si vous êtes l'une des 208 personnes qui téléchargent annuellement ce polycopié sur http://www.archives-ouvertes.fr, et que vous passez par Le Mans, venez m'offrir un café (sans sucre)... et on en profitera pour parler du contenu afin de l'améliorer.

Jean-Michel

Avant toutes choses, répondre à la question :

*A quoi sert la théorie des poutres ?*

me semble essentiel. La réponse est dans la vidéo 383 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=383. Regarde-la.
# Chapter 1

## Capacités, note.

### 1.1 Capacités

L'enchaînement des capacités est visible sur la figure 1.1.

Cet enseignement a quatre capacités prérequises,

* 011, cyan de terminale, 0 pts : Utiliser à bon escient multiplication et division dans un problème simple.

* 511, blanche de physique pour l'ingénieur, 0 pts : déterminer si une équation est homogène ou la dimension d'une variable à partir de l'homogénéité.

* 611, jaune de mécanique, 0 pts : déterminer si un système est isostatique, hypostatique ou hyperstatique de degré *n* et exprimer les réactions aux liaisons en fonction du chargement et des éventuelle inconnues hyperstatiques.

* 731, violette de mécanique des solides déformables, 0 pts : tracer un cercle de Mohr à partir des mesures faites avec une rosette à 45°.

et cinq capacités de statique des poutres,

* 811, orange, 4 pts : déterminer les composantes d'un torseur d'efforts intérieurs et les exprimer en fonction du chargement et des éventuelles inconnues hyperstatiques.

* 812, bleue, 4 pts : déterminer le chargement maximal admissible d'une structure isostatique.

* 813, verte 4 pts : déterminer un élément du torseur de déplacement d'un point d'une structure isostatique et les exprimer en fonction du chargement.

* 814, marron, 4 pts : résoudre un problème hyperstatique extérieurement.

* 815, noire, 4 pts : résoudre un problème hyperstatique intérieurement.

Les capacités blanches, jaunes et violette qui sont des prérequis de ce cours et que vous auriez dû valider les semestres précédents, ne rapportent pas de points. Par contre, il est obligatoire de détenir blanche et jaune pour accéder à la capacité orange et violette pour accéder à la capacité bleue de ce cours comme le montre la figure 1.1.

*Pourquoi les couleurs sont associées aux capacités ?* C'est plus sympa et facile à repérer que des numéros. Dans le graphe il n'y a que les numéros car le nombre de capacités est important. Chaque enseignant choisi d'associer une couleur à ses capacités, comme fait ci-dessus.

*Le cours de MSD n'a pas eu lieu cette année. Comment valider la violette ?* Vous aurez besoin du cercle de Mohr. Comme cela est fait en tp, je vais demander aux collègues qui encadrent les tp de me dire si chacun ou chacune le maîtrise.

*Quels sont les prérequis de ce cours ?* La 011, la 511 et la 611 pour la 811, car tu as besoin de savoir faire l'équilibre d'une structure et faire cela de façon homogène. La 711 pour la 812, car tu as besoin de maîtriser un cercle de Mohr.
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 1.1: Extrait de l'arbre des capacités de l'Ensim au 18 décembre 2024 (plus d'informations sur https://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=2619). Les capacités de ce cours sont les 811, 812, 813, 814 et 815. Les capacités prérequises sont les 511, 611 et 731.</figcaption></figure>
## 1.2 Des capacités à la note, aux savoir-faire, compétences et bloc de compétences

L'interfaçage avec les modalités de contrôle des connaissances nécessite, hélas, une note... (Relire l'invariant pédagogique 19 de Célestin Freinet [13]). Les points associés à chaque capacité sont choisis pas l'enseignant. Une capacité est attribuée en "tout ou rien" pour la modalité ceintures, mais de 0% à 100% par examen.

Pour la modalité ceinture, le cumul de vos points obtenus aux ceintures,

$$n_{sdp} = \left( \sum_{i=orange,bleue,verte,marron,noire} 4t_i \right). \qquad (1.1)$$

Nous transmettrons les capacités que chacun d'entre vous a validées, aux collègues des enseignements à venir qui ont comme prérequis des capacités de ce module.
# Chapter 2

# Méthode de travail

Avant toute chose, visionnez

https://www.youtube.com/watch?v=RVB3PBPxMWg,

pour mettre en place une méthode d'apprentissage qui vous fera rentabiliser au mieux 1 heure de travail personnel... ce qui vous laissera du temps pour aller au cinéma, lire un livre, organiser une fête, etc.

Après visionnage, il est temps de construire votre boite de Leitner et vos cartes mentales. Personnellement, j'utilise "anki" pour gérer ma boite de Leitner et je construis mes cartes mentales avec "freeplane".

https://apps.ankiweb.net/,
https://docs.freeplane.org/,

Nous vous souhaitons une bonne découverte, une intéressante confrontation des modèles que nous développerons lors de cette formation à la réalité des essais effectués en travaux pratiques, et bien sûr... une bonne coopération entre vous, sauf lors de la validation de capacités.

*Qu'est-ce que la boite de Leitner ?* C'est expliqué dans la vidéo indiquée ci-dessus à partir de la minute 17. Bon visionnage.

## 2.1 Modalités de formation

La formation se fera en mode CRAIES (Coopérons à notre Rythme d'Apprentissage Individualisé, Efficace et Sympathique) : travail sur polycopié de cours, visionnage de vidéos, questionnements, analyse des réponses de l'enseignant, travail sur exercices ciblés (brevets) en présence d'autres étudiantes travaillant sur le même exercice, positionnement de sa progression personnelle en terme de brevet par rapport à l'ensemble de la promotion. Elle mixe une école mutuelle et un apprentissage à son rythme.

Pour les AJAC, à partir de septembre 2023, la formation se fait obligatoirement par groupe d'au maximum 3 étudiantes sur un problème à résoudre pour chaque capacité.

Vous trouverez

* le polycopié de cours, dans lequel sont inclus des liens vers des vidéos à visionner et des suggestions d'exercices à faire, appelé brevets, https://cel.hal.science/cel-00611692,

* d'un graphe des étapes de formation (brevets) (Fig. ??),

* le polycopié de brevets, https://cel.hal.science/cel-00611694.
Il y a plusieurs vidéos qui ne nous concernent pas du tout et des pages auxquelles vous vous
référez qui ne sont pas les mêmes que dans notre poly... La réponse est dans la vidéo 317 disponible
sur
http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=317.

Regarde-la, puis évalue son intérêt en cochant une case à la dernière page du polycopié.

Doit-on connaître toutes les formules du poly ? La réponse est dans la vidéo 060 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=060.

Regarde-la, puis évalue son intérêt en entourant son numéro à la dernière page du poly si elle est intéressante, ou en la barrant si elle n'est pas intéressante.

A quelle vitesse doit-on avancer dans le polycopié, dans les exercices... ? La réponse est dans la vidéo 233 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=233.

Regarde-la, puis évalue son intérêt en entourant son numéro à la dernière page du poly si elle est intéressante, ou en la barrant si elle n'est pas intéressante.

Comment lier l'école mutuelle et l'apprentissage à son rythme La réponse est dans la vidéo 311 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=311.

Regarde-la, puis évalue son intérêt en entourant son numéro à la dernière page du poly si elle est intéressante, ou en la barrant si elle n'est pas intéressante.

Les phases de travail

Les séquences d'enseignement sont divisées en plusieurs parties :

1. Avant la séance, lecture de quelques pages du polycopié et visionnage des vidéos indiquées dans ces quelques pages. En tant que lectrice, cochez les paragraphes où vous avez une question et écrivez votre question dans la marge.

2. Une phase de questions/réponses est faite : l'enseignant demande à chaque étudiante si elle a une ou plusieurs questions et s'assure que ses réponses sont suffisamment explicites. Pendant cette phase, une étudiante prend le rôle de secrétaire pour noter la question et la réponse. A la fin de la phase de questions/réponses, elle fait relire sa prise de note par deux étudiantes qui modifient/complètent. L'enseignant intègre cette prise de note au sein du polycopié pour l'année suivante.

3. Parfois une activités de la forme 1-4-tous est animée par l'enseignant, soit à propos d'une structure réelle, soit à propos d'une méthodologie de résolution. Il vous est posé une question à laquelle vous répondrez en 3 temps : 3 minutes de réflexion personnelle, 3 minutes de confrontation d'idées par groupe de 4, puis mise en commun collective sous le format : "Nous pensons que ... et nos raisons sont les suivantes ...".

4. La salle est ensuite mise en configuration avec une zone de travail personnel et une zone de consultation des corrigés ou résultats. Afin que chacun puisse se concentrer sur son travail, si vous échangez avec vos voisines, merci de le faire en chuchotant. Une phase d'exercices (brevets) est alors faite, à votre rythme. Pour plus d'efficacité asseyez-vous avec les étudiantes qui font le même brevet. Une banque de brevets regroupe l'ensemble des exercices. Ils ont été écrits suite aux erreurs rencontrées les plus fréquemment dans les copies d'examen. Cette banque de brevets concerne l'ensemble des trois années de formation à l'ENSIM et certaines formations à l'UFR. Des leporello de différentes couleurs sont à votre disposition avec, sur chaque page, soit la correction du brevet, soit la réponse, et le prénom de la référente. Les brevets sont en effet de deux natures :

* avec correction accessible : la correction de l'enseignant est consultable dans la salle, dans une zone dédiée où smartphone et stylo sont interdits, afin que vous puissiez comparer à votre tentative de résolution, comprendre ce qu'il vous reste à faire, et retourner à votre place pour le faire.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 2.1: Parcours de formation en méthode CRAIES: les numéros représentent les brevets, les tuiles inclinées les ceintures/capacités, les briques rouges les positions de départ des étudiants dans l'apprentissage : pour la capacité blanche, vous commencez au brevet 224 (en haut à gauche), la jaune au brevet 31 (en haut milieu), la violette au brevet 302 (en bas au centre), la orange au brevet 78 (en haut à droite).</figcaption></figure>
* avec référente : l'enseignant sollicite les étudiantes qui ont réussi un brevet, pour que l'une d'elle accepte d'être référente. Une étudiante ne peut être référente que d'un seul brevet au cours de l'année scolaire. Pas d'inquiétude, il y aura un brevet pour chacune ;).

5. Les trois dernières minutes d'une séquence sont utilisées, pour compléter la fiche de feedback à propos de cette séance sur

https://sondage.univ-lemans.fr/limesurvey/index.php/928161?lang=fr

ou en flashant le qrcode en fin de polycopié avec votre smartphone. Vous serez autorisée à sortir de la salle si

* vous avez posé votre brique LEGO sur le graphe de progression à proximité de la tuile comportant le numéro du brevet sur lequel vous êtes en train de travailler. Ce plateau vous permet de savoir instantanément quelle est votre progression par rapport à celle de la promotion. Il permet aussi lors de la séance suivante à l'enseignant, de vous répartir dans la salle en fonction du brevet que vous travaillez.

* vous confirmez à l'enseignant que vous avez complété le quiz de feedback.

Est-ce que vous allez faire cours ? La réponse est dans la vidéo 062 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=062.
Regarde-la, puis évalue son intérêt en entourant son numéro à la dernière page du poly si elle est intéressante, ou en la barrant si elle n'est pas intéressante.

Je n'ai pas fini de lire le polycopié. Est-ce grave ? La réponse est dans la vidéo 073 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=073.

Regarde-la, puis évalue son intérêt en entourant son numéro à la dernière page du poly si elle est intéressante, ou en la barrant si elle n'est pas intéressante.

Existe-t-il un polycopié pour les brevets ? La réponse est dans la vidéo 273 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=273.
Regarde-la, puis évalue son intérêt en entourant son numéro à la dernière page du poly si elle est intéressante, ou en la barrant si elle n'est pas intéressante.

J'ai un problème de signe au brevet 179, est-ce normal ? La réponse est dans la vidéo 553 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=553.

Regarde-la, puis évalue son intérêt en entourant son numéro à la dernière page du poly si elle est intéressante, ou en la barrant si elle n'est pas intéressante.

Les capacités peuvent-elles être passées dans n'importe quel ordre ? La réponse est dans la vidéo 560 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=560.

Regarde-la, puis évalue son intérêt en entourant son numéro à la dernière page du poly si elle est intéressante, ou en la barrant si elle n'est pas intéressante.

Si je n'ai pas validé la compétence blanche, mais ai réussi chez moi les exercices correspondant à cette capacité, ai-je la possibilité de me mettre avec un groupe composé de membres rendu au stade des capacités jaunes ou dois-je rester avec mon équipe de capacités blanches ? La réponse est dans la vidéo 561 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=561.

Regarde-la, puis évalue son intérêt en entourant son numéro à la dernière page du poly si elle est intéressante, ou en la barrant si elle n'est pas intéressante.

## 2.2 Conseils aux référentes

Si vous êtes "référente", merci de veillez à respecter ces conseils. Si vous êtes "apprenante", merci de signaler à la référente qu'elle ne respecte pas ces conseils : vous l'aiderez à prendre la bonne
posture afin que vous appreniez le plus efficacement possible.

Quelques conseils à la référente :

* Commence par demander "Tu en es où ? Qu'est ce que tu as déjà fait ? A quoi ça te fait penser ? Raconte ce que tu as compris du problème.". Essaye de parler moins de 10% du temps. Cela permet de l'aider juste là où elle en a besoin.

* Fais écrire l'étudiante plutôt que de le faire à sa place.

* Si tu dois faire l'exercice car l'étudiante n'écrit pas, essaye de la faire travailler sur un exercice jumeau : changer les fonctions, les conditions aux limites, les valeurs numériques... Par exemple en math, si l'étudiante doit dériver $f(x) = 2x \cos(x)$, lui faire dériver $g(x) = 5x \sin(x)$.

* Quand tu as expliqué quelque chose, demande à l'étudiante de réexpliquer ce que tu viens de faire.

* Se taire quand elle ont redémarré pour la laisser faire.

Qu'est-ce qu'un étudiant référent d'un brevet ? La réponse est dans la vidéo 085 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=085.

Regarde-la, puis évalue son intérêt en entourant son numéro à la dernière page du poly si elle est intéressante, ou en la barrant si elle n'est pas intéressante.

## 2.3 Modalités d'évaluation des capacités.

Deux modalités d'évaluations des capacités sont proposées au choix de chaque étudiante :

* évaluation par un examen le jour J,

* évaluation par ceintures : demande de sujet de ceintures, rédaction individuelle de réponse en travail à la maison, rendu de copie, test d'antidopage par jet de dé, accès aux ceintures chaînées suivantes en cas de réussite suffisante.

Le choix de votre méthode d'évaluation se fait au cours de la première séance. Une fois le choix faits, vous ne pouvez plus le modifier.

L'évaluation est faite par la validation de capacités. Le chaînage des capacités testées est indiqué figure 1.1.Un taux de réussite $t_i$ est associé à chaque capacité $i$. Ce taux de réussite est le produit, et non la somme, de 5 taux de réussites décrits ci-dessous.

### 2.3.1 Évaluation par examen individuel

Si vous optez pour une évaluation par un examen classique de 1h30 officiellement (mais vous pourrez rester plus longtemps dans la salle), des sujets d'examens des années précédentes sont à votre disposition sur demande à l'enseignant.

L'examen comportera 4 questions, chacune testant une capacité :

* si tu ne détiens aucun des trois prérequis, les capacités testées sont blanche, jaune, violette, orange (tu ne peux donc valider que 5 points),

* si tu ne détiens pas deux des prérequis, les capacités testées sont les prérequis non détenus, orange, verte (tu ne peux donc valider que 10 points).

* si tu ne détiens pas un des prérequis, les capacités testées sont les prérequis non détenus, orange, bleu et verte (tu ne peux donc valider que 15 points).

* si tu détiens les trois prérequis, les capacités testées sont orange, bleue, verte, marron (tu peux valider 20 points),
Comment se passe l'examen final ? Quelles sont les différences entre la procédure des années précédentes et celle de 2024 ? La réponse est dans la vidéo 558 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=558.

Regarde-la, puis évalue son intérêt en entourant son numéro à la dernière page du poly si elle est intéressante, ou en la barrant si elle n'est pas intéressante.

## 2.3.2 Évaluation par ceinture individuelle

Une tentative de ceintures est associée à un taux de réussite $t_i$ est calculé à partir du produit de 5 valeurs

$$t_i = t_m t_r t_h t_u t_e \qquad (2.1)$$

telles que présentées dans le tableau figure 2.2

En fonction de $t_i$ l'accès aux capacités chaînées suivantes est ou non possible.

* Si $t_i \ge 0.75$, la capacité est acquise, vous ne pouvez pas la refaire pour améliorer votre score à cette capacité, vous accédez aux capacités chaînées suivantes.

* Si $0.75 < t_i \ge 0.50$, la capacité n'est pas acquise, vous pouvez tenter pendant une séance d'enseignement un "bon-sang-mais-c-est-bien-sûr" pour améliorer $t_i$. Vous expliquez oralement en moins de 3 minutes à l'évaluateur ou l'évaluatrice, "votre erreur", "ce qu'il fallait faire" et "les conséquences dans la suite de la copie", s'il ou elle est convaincu-e que vous avez bien compris votre erreur, il ou elle pourra alors augmenter $t_i$ au delà de 0.749. En cas d'échec, vous devez recomposer sur la tentative suivante de cette capacité.

* Si $0.5 > t_i$, la capacité n'est pas acquise, vous devez faire la tentative suivante de cette capacité.

Vous pouvez tenter d'obtenir une capacité lorsque vous vous sentez prête à le faire. Vous ne pouvez tenter qu'une capacité à la fois. Vous pouvez tenter une capacité au maximum 3 fois. Si au bout de 3 tentatives, vous ne la détenez pas, vous pouvez tenter la ou les capacités $n+1$ suivantes. L'obtention d'une capacité de niveau $n+1$ vous attribue alors la capacité de niveaux $n+1$ et la capacité $n$, mais cette dernière avec un $t_i$ de 0.75.

Le passage d'une ceinture en autonomie et le jet de dé antidopage, se fait à votre rythme, jusqu'au 4 avril 2025 12:00.

* Vous adressez à jean-michel.genevaux@univ-lemans.fr un courriel dont le titre est "sdpd,"sdp,couleur, numéro de tentative".

* L'enseignant vous envoi le sujet et la feuille de composition.

* Sur cette copie, à coté de la déclaration suivante : "Je m'engage sur l'honneur à n'évoquer avec personne le contenu du sujet de passage de cette ceinture. Cependant, dans le cas où je ne réussirais pas à l'obtenir, j'ai compris pouvoir discuter de mon travail avec les étudiantes ayant acquis cette ceinture. Si l'enseignant à la preuve que je n'ai pas respecté mon engagement (j'ai admis le non-respect, je suis incapable de refaire la ceinture en mode surveillé...), un rapport de fraude est fait par l'enseignant et transmis au directeur de l'école qui transmets à la commission de discipline de l'université. L'enseignant y demandera que je ne puisse plus passer de ceintures en autonomie.", vous écrivez "lu et approuvé" et vous signez. Cela permet à vos camarades de faire une mesure "libre et non faussée" de leurs savoirs scientifiques et non de leur "capacité de mémorisation"... ou de (risquée) recopie.

* Vous composez de façon individuelle en dehors des séances d'enseignement.

* Vous photographiez le sujet et votre réponse, construisez un seul document pdf comportant les images dans cet ordre. Vous nommez votre pdf "couleur numéro-de-tentative prénom nom.pdf", et le déposez sur la page umtice de rendu de ceintures :

https://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php?id=10221
<table><caption>Figure 2.2: Grille critériée des cinq critères d'évaluation des capacités.</caption><tbody><tr><td>Modèle : $t_m$</td><td>2,5</td></tr><tr><td>la méthode est parfaite</td><td>1</td></tr><tr><td>il y a une imprécision ou erreur dans la méthode</td><td>0,8</td></tr><tr><td>il y des erreurs dans la méthode</td><td>0,5</td></tr><tr><td>la méthode n'est absolument pas maîtrisée</td><td>0,2</td></tr><tr><td>résultat : $t_r$</td><td>3,5</td></tr><tr><td>les résultats finaux sont corrects</td><td>1</td></tr><tr><td>l'un des résultats finaux présente un écart inférieur à 10% par rapport à la valeur correcte</td><td>0,8</td></tr><tr><td>l'un des résultats présente un écart supérieur à 10% par rapport à la valeur correcte et cette erreur est due à une erreur précédente</td><td>0,7</td></tr><tr><td>Le résultat final n'est pas quantifié</td><td>0,6</td></tr><tr><td>l'un des résultats présente un écart supérieur à 10% par rapport à la valeur correcte</td><td>0,2</td></tr><tr><td>Du calme sur les décimales !</td><td></td></tr><tr><td>homogénéité : $t_h$</td><td>1,5</td></tr><tr><td>je n'ai détecté aucune erreur d'homogénéité</td><td>1</td></tr><tr><td>J'ai détecté au moins une erreur d'homogénéité</td><td>0,5</td></tr><tr><td>unités : $t_u$</td><td>2,5</td></tr><tr><td>tous les résultats numériques finaux et intermédiaires sont suivis par des unités</td><td>1</td></tr><tr><td>tous les résultats numériques finaux sont suivis par des unités mais pas des résultats intermédiaires</td><td>0,8</td></tr><tr><td>un des résultats final n'est pas suivi par des unités</td><td>0,5</td></tr><tr><td>plusieurs des résultats numériques finaux et intermédiaires ne sont pas suivi par des unités</td><td>0</td></tr><tr><td>écriture : $t_e$</td><td>1,5</td></tr><tr><td>(tous les torseurs précisent le point et les axes) et (tous les vecteurs ou pseudo-vecteurs sont notés avec des flèches) et (tous les tenseurs sont notés avec des doubles barres)</td><td>1</td></tr><tr><td>(soit un des torseurs ne précise pas le point et les axes, soit, un des vecteurs ou pseudo-vecteurs est noté sans flèches, soit, un tenseurs n'est pas notés avec des doubles barres</td><td>0,5</td></tr></tbody></table>
Veillez à le déposer dans la bonne rubrique cours-couleur : cela classe les ceintures et permet à l'enseignant de corriger en rafale les mêmes ceintures et donc de vous donner un feedback plus rapide. Une copie déposée dans une mauvaise rubrique ne sera pas corrigée. Une copie qui ne respecte pas le nom "couleur numéro-de-tentative prénom nom.pdf" ne sera pas corrigée.

* L'enseignant ou l'enseignante, via la plateforme moodle vous donne accès à votre copie sur laquelle il ou elle a entouré les erreurs détectées et vous transmets les 5 taux ($t_m, t_r, t_h, t_u, t_e$).

* Pour que les points obtenus soient effectifs, vous devez faire le test d'antidopage à la séance suivante. Vous lancez un dé à 6 faces, si vous faites un chiffre différent de ceux indiqué à la couleur de capacité, votre copie est considérée comme faite par vos soins. Si vous faites l'un des chiffres associé à cette capacité, l'enseignant vous redonne le sujet et vous refaites une copie en mode surveillé. Tant que l'antidopage n'a pas été fait, les points ne sont pas associés à votre réussite de capacité.

**Des ceinture ? Des quoi ?** La réponse est dans la vidéo 540 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=540.

Regarde-la, puis évalue son intérêt en entourant son numéro à la dernière page du poly si elle est intéressante, ou en la barrant si elle n'est pas intéressante.

**Pourriez-vous nous renseigner sur l'utilisation de WXMaxima ? Et nous préciser si on peut l'utiliser dans le cadre des ceintures.** La réponse est dans la vidéo 306 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=306.

Regarde-la, puis évalue son intérêt en entourant son numéro à la dernière page du poly si elle est intéressante, ou en la barrant si elle n'est pas intéressante.

**Comment récupère-t-on les ceintures échouées et corrigées ?** La réponse est dans la vidéo 288 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=288.

Regarde-la, puis évalue son intérêt en entourant son numéro à la dernière page du poly si elle est intéressante, ou en la barrant si elle n'est pas intéressante.

**Après la dernière séance, où pourra-t-on jeter les dés ?** La réponse est dans la vidéo 503 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=503.

Regarde-la, puis évalue son intérêt.

**Y a-t-il une nouvelle date limite de rendu de ceinture ?** La réponse est dans la vidéo 548 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=548.

Regarde-la, puis évalue son intérêt.

**Est-ce que la difficulté de la ceinture blanche est la même que les ceintures individuelles si on choisit la méthode crabe ?** La réponse est dans la vidéo 549 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=549.

Regarde-la, puis évalue son intérêt.

Vos validations/échecs aux capacités vous seront transmises par courriel via la plateforme moodle. La validation débloquera le sujet des capacités chaînées suivantes, la non-validation, le sujet de la tentative suivante.

**Quelle est la cause de la mention "bof", pour la capacité "homogénéité des équations" ?** La réponse est dans la vidéo 272 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=272.

Regarde-la, puis évalue son intérêt en entourant son numéro à la dernière page du poly si elle est intéressante, ou en la barrant si elle n'est pas intéressante.

**Pour la formation à l'Ensim, si on échoue 3 fois à la compétence orange, et que l'on valide la compétence bleue, cela valide-t-il la compétence orange et donc on récupère les points de celle-ci ?** La réponse est dans la vidéo 290 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=290.
Regarde-la, puis évalue son intérêt en entourant son numéro à la dernière page du poly si elle est intéressante, ou en la barrant si elle n'est pas intéressante.

*Comment récupère-t-on les ceintures échouées et corrigées ?* La réponse est dans la vidéo 288 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=288.

Regarde-la, puis évalue son intérêt en entourant son numéro à la dernière page du poly si elle est intéressante, ou en la barrant si elle n'est pas intéressante.

*Est-ce que le nombre de tentatives ont un impact sur les notes ?* Non.

Être détenteur d'une capacité, implique qu'en tant qu'expert de celle-ci, tout comme l'enseignant, vous aidiez vos camarades à l'obtenir. Votre dialogue doit porter sur un exemple similaire proposé par le demandeur d'aide. Il ne doit pas porter sur l'exemple qu'il a à résoudre. Vous l'orientez sur les brevets afférents, en répondant à leur questions sur ces brevets, en insistant sur des points qui vous ont éventuellement fait rater cette capacité dans des tentatives précédentes. Vous ne dévoilez pas le contenu du sujet de la capacité ni les réponses.

"C'est arrivé près de chez vous" : L'exemple d'étudiants qui "travaillent à 3 pour résoudre un sujet de capacité, recopie chacun sur une feuille la réponse qu'ils ont élaborée collectivement, rendent le même jour à la même heure leur feuilles en espérant ne pas faire 6", ne respectent pas les règles. En cas de détection par l'enseignant, le passage par ceintures est arrêté pour eux et dans le reste de leur scolarité, ils feront des examens dans les modules à venir.

## 2.4 Absence

Le conseil d'administration a voté l'obligation d'être présent aux séances d'enseignement.

Il me semble plus pertinent que l'obtention des capacités de base soit obligatoire pour justifier les 14 000 euros par an que la nation verse pour vous former grâce aux impôts récoltés en France. Via la TVA, vous-même, payez des impôts.

Ne pas venir à une séance de 1h1/4, représente donc un gaspillage de 23 euros... sauf si vous travaillez à la maison et que vous atteignez les capacités de base.

Pour concrétiser ceci auprès des étudiantes non alternants, la méthode suivante est utilisée :

* en début de séance, une feuille d'émargement circule : le nombre de signatures doit correspondre au nombre de présents,

* l'enseignant compte le nombre d'absences de chaque étudiante,

* le jour du jury, les capacités acquises par chaque étudiante sont figées,

* pour une étudiante qui a été détectée absente et qui a les capacités de base (qui donnent une note supérieure à 10/20), elle a rempli son contrat... et je lui souhaite une agréable suite de formation.

* pour une étudiante qui a été détectée absente, mais qui n'a pas les capacités de base, elle est considérée comme n'ayant pas rempli son contrat. Pour rembourser les contribuables,... choisissons les contribuables étudiantes, je lui demande de verser 23 euros par absence à la cafétéria de l'Ensim ou de l'UFR, ce qui permettra que la cafétéria offre gratuitement, par absence remboursée, 57 cafés ou 19 café+viennoiserie à qui le demande (dont l'étudiante absente).

Je ne citerai que Bernard Friot : "C'est le salaire qui mérite travail.", France Culture, mardi 4 avril 2023, 7h40, https://www.radiofrance.fr/franceculture/podcasts/les-matins

*Je m'étonne que vous osiez demander de l'argent à un étudiant, par un chèque de 23 euros !*
La réponse est dans la vidéo 256 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=256.
Regarde-la, puis évalue son intérêt.
Bibliography

[1] Batoz,JL Dhatt,G *Modélisation des structures par éléments finis : volume 3: coques* Hermès, Paris, 1992

[2] Chevalier,L *Mécanique des milieux continus déformables*, Ellipse, 2004

[3] Dumontet *Exercices de mécanique des milieux continus*, Masson, Paris, 1994

[4] JM Génevaux, fichiers disponible sur le réseau sous *distrib doc etu / 2a modelisation / model jmg*

[5] JM Génevaux, fichiers disponible sur le réseau sous *distrib doc etu / 1a tdp / cinematiques*

[6] Lemaitre,J Chaboche,JL *Mécanique des matériaux solides*. Dunod, Paris, (cote 620.1 LEM à la BU)

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[9] Génevaux,JM *A propos des tenseurs*, cours Ensim 1A, 2005

[10] Zucchini,A Lourenco,PB *A micro-mechanical model for the homogenisation of masonry*, International Journal of Solids and Structures, **39**, Issue 12, June 2002, Pages 3233-3255.

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[13] Feodossiev

[14] Laroze Résistance des matériaux et structures (tome 2) éd. : Masson-Eyrolle

[15] Timoshenko

[16] Techniques de l'ingénieur, B5 I, 600,601, 5020, 5040 (concentrations de contraintes)

[17] Chevalier Mécanique des systèmes et des milieux déformables, ellipse, paris, 2004.

[18] Dumontet, Duvaut, Léné, Muller, Turbé, Exercices de mécanique des milieux continus, Masson, Paris 1994

[19] Salencon,

[20] Salencon, Mécanique des milieux continus, tome 2, Thermoélasticité, Editions de l'Ecole Polytechnique, Palaiseau, 2001

[21] Salencon, Mécanique des milieux continus, tome 3, Milieux curvilignes, Editions de l'Ecole Polytechnique, Palaiseau, 2001

[22] Axisa,F *Modélisation des systèmes mécaniques : systèmes continus* Hermès, Paris, 2001

[23] Batoz,JL Dhatt,G *Modélisation des structures par éléments finis : volume 2 : poutres et plaques* Hermès, Paris, 1990

[24] Chevalier,L *Mécanique des systèmes et des milieux déformables* Ellipses, Paris, 1996
Formation à la capacité cyan de mathématiques.
# Chapter 3

## Prérequis de mathématiques :
capacité 011 : Utiliser à bon
escient multiplication et division
dans un problème simple.

### 3.1 Pourquoi ce chapitre

Pour un problème simple, quelque soit la matière scientifique concernée, il est nécessaire de poser
le problème, sans doute à l'aide d'un schéma, de définir les grandeurs nécessaires à la résolution
du problème et d'élaborer le calcul qui est nécessaire pour répondre à la question posée.

Nous vous suggérons de faire les exercices suivants pour vérifier que vous en êtes capable, car
cette capacité est un prérequis de plusieurs enseignements à l'ENSIM.

Certains enseignements vérifieront que vous avez validé cette capacité, ou vous proposeront de
la valider.

### 3.2 Brevets d'acquisition de connaissance

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir les brevets de 238 à 245.

Si vous avez des difficultés, je vous invite à contacter le référent du brevet correspondant.

brevet 238 : capacité 011 : Allongement d'une barre.
auteur : S Durand et JM Génevaux ; ressource : terminale .

Soit une barre ABC constituée de 2 matériaux. La première partie AB
de longueur 1.2 [m] est en acier et elle subit une déformation de +3% en
longueur. La seconde BC est en aluminium, de longueur 0.8 [m], et elle
subit une déformation de +5% en longueur.

Quel est l'allongement total de la barre suite à ces déformations ?
brevet 239 : capacité 011 : cinématique et vitesse moyenne.
auteur : Samuel Gougeon ; ressource : terminale .

Une voiture rouge fait un trajet entre deux villes distantes de 134 [km]. La traversée des agglomérations à la vitesse moyenne de 43 [km/h] représente 32% de la distance. Le reste du trajet se fait sur routes départementales à la vitesse moyenne de 76 [km/h].

Quelle est la vitesse moyenne pendant l'ensemble du trajet ?

brevet 240 : capacité 011 : Les professeur·e·s détectent les pi-
peaux mal accordés.

auteur : T Vicente ; ressource : terminale .

Un élève prend soin d'accorder son pipeau à l'aide d'une note à 440 Hz et répète une dernière fois sa partition avant son audition. Lorsque que l'élève monte sur l'estrade et commence à jouer du pipeau; sa professeure lui fait alors remarquer qu'il n'est plus accordé. La même note du pipeau joue alors une fréquence de 447 Hz. On prendra comme approximation que la fréquence de la note jouée par le pipeau s'exprime de la manière suivante: $f = \frac{20*\sqrt{T}}{\lambda}$ avec T la température en Kelvin.

Quelle est la variation relative de la température à l'intérieur du pipeau?
(A exprimer en pourcentage, avec deux chiffres significatifs)

brevet 241 : capacité 011 : Temps de calcul en fonction du nombre de degrés de liberté dans un modèle élément finis.

auteur : N Joly ; ressource : terminale .

Pour obtenir la solution d'une modélisation en éléments finis, la dernière étape du calcul consiste à résoudre un système linéaire. Pour résoudre un système linéaire de dimension N (N = nombre d'inconnues du système linéaire = nombre de degrés de liberté [ddl] du modèle) le coût de calcul par une méthode directe (Gauss, LU, Cholesky,...) évolue comme N³. Ce coût de calcul est représentatif du nombre d'opérations à effectuer et du temps calcul.

Si, pour N = 10 000 ddl, la solution est obtenue après 2 minutes de calcul, combien de temps faudra-t-il attendre pour réaliser un calcul de 20 000 ddl ? pour 100 000 ddl ?

brevet 242 : capacité 011 : Un bon coup de pédale sur un vélo.

auteur : G Minko Mi Mvono; ressource : terminale .

Soit un cycliste se déplaçant sur un terrain plat. Pour un tour de pédale effectué, sa roue arrière de diamètre 700 [mm] tourne 2.5 fois grâce au système de transmission : chaîne, plateau et pignon.

1 - Quelle est la distance parcourue pour un tour de pédale (un développement) sachant qu'elle dépend du diamètre de la roue ?

2 - Combien de tours de pédale le cycliste doit-il effectuer pour parcourir 650 [m] ?
brevet 243 : capacité 011 : ...
auteur : A Aklouche; ressource : terminale .

...

Quel est ...

brevet 244 : capacité 011 : Calcul d'aire
auteur : J-M Génevaux; ressource : terminale .

Un tube creux en aluminium de longueur 4 [m], de section circulaire, a un diamètre externe de 23 [mm]. L'épaisseur de tube est de 3 [mm]. Le long d'une génératrice, une rainure est usinée avec une profondeur et une largeur de 2 [mm]. Le tube usiné est moins lourd que le tube non usiné.

Quel est le pourcentage de perte de masse entre la configuration non usinée et usinée ?

brevet 245 : capacité 011 : Calcul d'une probabilité
auteur : J-M Génevaux; ressource : terminale .

Dans l'enseignement de gestion des aléas, une étudiante qui vise une moyenne de 10/20 doit valider deux capacités. Comme elles sont faites par un travail à la maison, l'enseignant se doit de vérifier que l'étudiante est bien l'autrice du documents rendu. Pour ce faire, elle jette un dé et si le chiffre n'est pas parmi ceux associés à la capacité, elle n'a pas besoin de refaire sa copie en mode surveillé.

Pour la première capacité, jaune, les chiffres sont 5 et 6. Pour la seconde capacité, orange, les chiffres sont 4, 5 et 6.

Quel est la probabilité pour qu'une étudiante qui fait deux capacités, n'ai pas à recomposer une seule fois ?

brevet 246 : capacité 011 : Echantillonnage.
auteur : J-H Thomas; ressource : terminale .

Lors d'une acquisition...

Quel est ...
Formation à la capacité blanche de physique pour l'ingénieur.
# Chapter 4

## Prérequis de physique pour l'ingénieur : homogénéité, unités, dimensions et chiffres significatifs

Le polycopié d'enseignement de Physique pour l'ingénieur de Samuel Gougeon est disponible via le lien :

http://perso.univ-lemans.fr/~sgougeon/ens/physique_TC/1_Dimensions_unites_nombres.pdf

Vous pouvez aussi vous former à l'aide des sections suivantes rédigées par JM Génevaux.

### 4.1 Objectifs

* Homogénéité d'une relation

* Équation aux dimensions

* Unités adimensionnelles.

* Chiffres significatifs

Unités angulaires : radian = unité physique. minutes et secondes d'arc.

* Unités logarithmiques relatives ou absolues, dimensionnées ou adimensionnées : dB, dBm, dBm - dBm = dB, dB/km, pH, octave, magnitude et niveau (visuelle, sismique), etc ...

* Ordres de grandeurs, échelles : de taille ; de masse ; de temps ; de puissance acoustique ; de puissance lumineuse ; débit d'informations...

* Conversions des principales unités entre système métrique et système impérial

### 4.2 Homogénéité, adimensionalisation

Les grandeurs de part et d'autre d'une équation sont généralement de natures différentes. Par exemple, le principe fondamental de la dynamique en terme de résultante

$$ \vec{F} = m \vec{\Gamma}_{G,S/R_0}, \qquad (4.1) $$

exprime une relation entre un effort F, une masse m et l'accélération du centre de gravité d'un solide Γ (voir cours de "Mécanique Générale"). Cette écriture est intrinsèque : elle ne dépend pas du repère dans lequel les grandeurs sont exprimées (repère cartésien, cylindrique, sphérique, curviligne...). Vous vous devez de vérifier pour chaque loi, que l'équation est homogène : que
les dimensions sont les mêmes de part et d'autre d'un signe égalité. Dans l'exemple précédent, l'équation est homogène à une masse fois une longueur divisée par un temps au carré :

$$MLT^{-2}. \qquad (4.2)$$

Les équations sont donc indépendantes de l'unité prise pour chaque grandeur (pour la longueur $L$ : le mètre, le centimètre, le pouce...). Il suffit de choisir les mêmes unités de part et d'autre de l'équation. Lorsque vous sommez deux termes, ils doivent aussi être homogènes. Ajouter une carotte et un chou ne fera pas deux quelque chose, mais juste un début de pot-au-feu. Essayez d'additionner des km/h et des kg pour vous en convaincre. La norme internationale ISO 1000 (ICS 01 060) décrit les unités du Système International et les recommandations pour l'emploi de leurs multiples et de certaines autres unités. Le Système International compte sept unités de base : le mètre, le kilogramme, la seconde, l'ampère, le kelvin, la mole et la candela, censées quantifier des grandeurs physiques indépendantes.

Lorsqu'une grandeur est définie par une dérivée, une dérivée partielle ou une intégrale, l'équation aux dimensions est construite comme si les dérivées correspondaient à une division et l'intégrale à une multiplication. Par exemple,

* si $f(s) = \frac{dg(s)}{ds}$ avec $g(s)$ en m et $s$ en kg, alors $f(s)$ s'exprime en m/kg,

* si $k(t_1) = \int_{t_0}^{t_1} g(t)dt$ avec $g(t)$ en V et $t$ en s, alors $k(t_1)$ s'exprime en V.s.

## 4.3 Adimensionnalisation

Des grandeurs sont sans dimension. Vous n'ignorez pas que le périmètre d'un cercle de rayon $r$ est $p = 2\pi r$. Si on ne décrit qu'une partie du cercle une relation similaire lie la longueur de l'arc de cercle $c$ au rayon : $c = \alpha r$. L'angle est donc $\alpha = c/r$ un rapport de deux longueurs : l'angle, exprimé en radian est sans dimension. De même, l'écoulement d'un fluide visqueux dépend du rapport entre les effets dynamiques et les effets visqueux. Lorsque l'on souhaite faire une ma- quette à échelle réduite, il faut conserver ce rapport entre les différentes forces : on conservera le nombre de Reynolds $Re = \frac{vd}{\nu} = \frac{pvd}{\eta}$, avec $d$ une dimension caractéristique de l'écoulement, $v$ une vitesse caractéristique de l'écoulement, $\nu$ la viscosité cinématique, $\rho$ la masse volumique et $\eta$ la viscosité dynamique. L'adimensionnalisation des équations est très utilisée en mécanique des fluides, hélas beaucoup moins en mécanique des solides. Ceci n'est en fait dû qu'à des habi- tudes différentes au sein des deux communautés. Adimensionnaliser les équations a l'avantage de faire apparaître les groupements adimensionnels de paramètres qui régissent le comportement, mais présente l'inconvénient, en cas d'erreur de calcul par une omission d'un terme adimensionnel, de laisser l'équation homogène (ce ne sont que des multiplications/additions/divisions de nombres sans dimension), et donc enlève un moyen de vérifier le résultat final.

## 4.4 Unités logarithmiques relatives ou absolues

Des capteurs, comme nos oreilles par exemple, ne sont pas sensibles de façon linéaire au signal reçu, pour nos oreilles, au bruit. Il est donc intéressant de ne pas mesurer le niveau acoustique sur une échelle linéaire, mais logarithmique. De plus, prendre en compte le seuil d'audibilité pour définir l'échelle logarithmique amène à considérer un niveau de référence de pression de $P_{ref} = 2 \times 10^{-5}$ Pa.

On construit alors $L_p = 10 \log\left(\frac{p_{eff}}{p_{ref}}\right) = 20 \log\left(\frac{p_{eff}}{p_{ref}}\right)$ dont l'unité est alors le décibel noté dB, avec $p_{eff}$ la pression efficace en Pa. Le choix d'une échelle logarithmique dans la représentation graphique d'une relation entre deux grandeurs $a$ et $b$ peut être justifiée par :

* des répartitions des valeurs de $a$ ou $b$ de façon géométrique

* pour déterminer des coefficients lorsque la fonction liant $a$ et $b$ est non linéaire.

Prenons par exemple une relation théorique du type $b = a^{0.34}$. Si l'on cherche à vérifier expérimentalement l'exposant de cette relation, il est plus judicieux de tracer $\log b$ en fonction de $\log a$ : la fonction
théorique (log b = 0.34 log a) est une droite passant par l'origine, les points expérimentaux permettent de leur côté de déterminer la pente expérimentale (avec son incertitude) qui donne la valeur expérimentale du coefficient (avec son incertitude).

## 4.5 Ordres de grandeurs

Il ne suffit pas que votre mesure soit donnée dans des unités cohérentes, par exemple si votre capteur mesure la vitesse du cycliste en descente par la rupture de deux faisceaux lasers distants de 1 cm dans un intervalle de temps de 12.3 10⁻² s, encore faut-il que la valeur soit réaliste. Dans le cas de votre cycliste, il roule à 0.29 km/h ! On compte sur votre expérience.

## 4.6 Chiffres significatifs

*Pourquoi 1340 a trois chiffres significatifs alors que 13,40 en a quatre ?* La réponse est dans la vidéo 270 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=270. Regarde-la, puis évalue son intérêt en cochant une case à la dernière page du polycopié.

*Le nombre de chiffres significatifs sont ceux après la virgule ?* La réponse est dans la vidéo 543 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=??? . Regarde-la, puis évalue son intérêt.

## 4.7 Brevets d'acquisition de connaissance

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir le brevet 224, 99, 155, 211, 212, 228, 234 et 235.

Si vous avez des difficultés, je vous invite à contacter le référent du brevet correspondant.

brevet 224 : Détermination des dimensions d'un paramètre à partir de l'homogénéité

auteur : JM Génevaux ; ressource : bac +1 ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe "Homogénéité, adimensionnalisation" et de regarder les vidéos afférentes.

Le nombre de Reynolds $Re = \frac{vd}{\nu}$ est adimensionnel. Il relie d une longueur caractéristique de l'écoulement, $v$ une vitesse caractéristique de l'écoulement et $\nu$ la viscosité cinématique.

Quelle est la dimension de $\nu$, et ses unités dans le système international ?
brevet 099 : Nombre de chiffres significatifs
auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
"Homogénéité, adimensionnalisation" et de regarder les vidéos afférentes.

Quels sont le nombre de chiffres significatifs de a = 23.3 10⁵, b = 1230, c = 0.054, d = 34.70, e = a * c et f = d + c ?

brevet 155 : Homogénéité. Amortissement hystérétique.
auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] chapitre 2, 2.3, ; au-
toattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
"Homogénéité, adimensionnalisation" et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un solide de masse m = 2 kg guidé en translation dans la direction $\vec{x}$, relié par un ressort de rigidité k = 5 Nm$^{-1}$ et un amortisseur hystérétique de coefficient hystérétique $\beta = 1$ ?? . L'énergie dissipée $\Delta E$ pendant un cycle d'amplitude X de mouvement de la masse, est reliée au coefficient d'amortissement hystérétique par

$$
\Delta E = \pi k \beta X^2, \tag{4.3}
$$

Quelles sont les unités de mesures de $\beta$ dans le Système International ?

brevet 211 : Homogénéité d'une équation (version 1).
auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de physique de bac
+1 ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
"Homogénéité, adimensionnalisation" et de regarder les vidéos afférentes.

Soit F une force, g la pesanteur, m une masse, a et b des longueurs, l'équation,

$$
F = \frac{a + b 2m}{b} g, \tag{4.4}
$$

est-elle homogène ?

brevet 212 : Homogénéité d'une équation (version 2).
auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de physique de bac
+1 ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
"Homogénéité, adimensionnalisation" et de regarder les vidéos afférentes.

Soit F une force, g la pesanteur, m une masse, a et b des longueurs, l'équation,

$$
F = \frac{a + b^2}{b} 2mg, \quad (4.5)
$$

est-elle homogène ?
brevet 228 : Équation aux dimensions avec dérivée et intégrale.
auteur : JM Génevaux ; ressource : cours de math de bac +1 ;
autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
"Homogénéité, adimensionnalisation" et de regarder les vidéos afférentes.

Soit la grandeur g donnée par

$$
g(x, y) = \frac{\frac{\partial t(x,y)}{\partial x} c}{\int_{0}^{y} h(y_1) dy_1} \quad (4.6)
$$

avec $t$ en s, $x$ en V, $y$ en kg, $c$ en m et $h$ en V.

Quelle est la dimension de $g(x, y)$ exprimée dans les unités de base ?

brevet 234 : chiffres significatifs pour une addition.
auteur : JM Génevaux ; ressource : cours physique pour
l'ingénieur ; autoattribution .

Donnez le résultat des opérations suivantes en veillant au nombre de
chiffres significatifs du résultat.

$$
a = 23,56 + 5,3 + 0,004 = ?
$$

$$
b = 0,07 \, \text{m} + 51 \, \text{cm} + 41,34 \, \text{dam} = ?
$$

brevet 235 : chiffres significatifs pour une multiplication ou di-
vision.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours physique pour
l'ingénieur ; autoattribution .

Donnez le résultat des opérations suivantes en veillant au nombre de
chiffres significatifs du résultat.

$$
a = 23,56 * 5,3/0,004 = ?
$$

$$
b = 0,07 \text{ m} * 51 \text{ kg} * 41,34 \text{ s} = ?
$$

4.8 Brevets de vérification de connaissance (facultatifs)

Pour vérifier que vous savez réinvestir cette connaissance sur un autre cas, je vous invite à obtenir les brevets 213 et 224. Si vous avez des difficultés, je vous invite à contacter le référent du brevet correspondant.
Formation à la capacité jaune de mécanique générale.
# Chapter 5

## Mécanique générale liaisons -
chargement - isostaticité -
hyperstaticité

Ce chapitre concerne les étapes mises en gras dans le synopsis figure 5.1.

### 5.1 Liaisons parfaites normalisée - torseur des efforts transmissibles

Dans ce cours, la résultante du torseur des efforts transmissibles sera notée $\vec{R}$, le moment, qui est un pseudo-vecteur, sera noté $\vec{M}$.

*Qu'est-ce que le moment d'une force ?* La réponse est dans la vidéo 241 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=241. Regarde-la, puis évalue son intérêt en cochant une case à la dernière page du polycopié.

*Un torseur a une résultante et un moment... comment les utiliser ?* La réponse est dans la vidéo 250 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=250. Regarde-la, puis évalue son intérêt en cochant une case à la dernière page du polycopié.

*C'est quoi un pseudo-vecteur ?* La réponse est dans la vidéo 251 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=251. Regarde-la, puis évalue son intérêt en cochant une case à la dernière page du polycopié.

*Pourquoi parle-t-on de pseudo-vecteur, pour l'un des termes du torseur ?* La réponse est dans la vidéo 002 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=002. Regarde-la, puis évalue son intérêt en cochant une case à la dernière page du polycopié.

*Les couples sont représentés par des pseudo-vecteurs car ils n'obéissent pas aux m?mes règles en cas de plan de symétrie. La figure est peu claire pour le comprendre.* La réponse est dans la vidéo 019 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=019. Regarde-la, puis évalue son intérêt en cochant une case à la dernière page du polycopié.

La liaison étant considérée parfaite, la puissance développée dans cette liaison doit être nulle quels que soient les déplacements et rotations éventuels possibles. Ceci implique que le travail d'une liaison soit nul. Il est calculé par le *comoment* des deux vecteurs :

$$ \left\{ \begin{matrix} \vec{\omega} \\ \vec{u}_A \end{matrix} \right\}_A \otimes \left\{ \begin{matrix} \vec{R} \\ \vec{M}_A \end{matrix} \right\}_A = 0, \qquad (5.1) $$
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 5.1: Les concepts utiles à la détermination du degré d’hyperstatisme et des réactions aux liaisons.</figcaption></figure>

qui se développe en

$$ \dot{\omega} \cdot \dot{M}_A + \vec{u}_A \cdot \vec{R} = 0. \qquad (5.2) $$

Ci-dessous, sont donnés les torseurs d'efforts transmissibles. On peut les retrouver à partir des formules ci-dessus, en écrivant pour la liaison choisie le torseur cinématique associé (mouvements de translation et de rotation autorisés par la liaison), puis choisir un torseur d'inter-effort qui a a priori toutes les composantes en résultante et en moment, et écrire que le comoment est nul quelle que soit l'amplitude des mouvements possibles.

*Comment trouve-t-on les termes non nuls des liaisons d'inter-effort ?* La réponse est dans la vidéo 222 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=222. Regarde-la, puis évalue son intérêt en cochant une case à la dernière page du polycopié.

*Que signifie le fait que la puissance développée est nulle pour une liaison parfaite ?* La réponse est dans la vidéo 091 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=091. Regarde-la, puis évalue son intérêt en cochant une case à la dernière page du polycopié.

*Qu'est-ce que le principe des travaux virtuels ?* La réponse est dans la vidéo 238 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=238. Regarde-la, puis évalue son intérêt en cochant une case à la dernière page du polycopié.

Les liaisons associées à un problème tridimensionnel sont normalisées. La symbolique est donc la même que celle que vous utilisez pendant la formation de Technologie-Mécanique. Utilisez les dessins associés !

* liaison tridimensionnelle encastrement : $\{\tau\}_A = \left\{ \begin{array}{l} R_i \vec{i} + R_j \vec{j} + R_k \vec{k} \\ C_i \vec{i} + C_j \vec{j} + C_k \vec{k} \end{array} \right\}_A$,

* liaison tridimensionnelle pivot d'axe $A\vec{i}$ : $\{\tau\}_A = \left\{ \begin{array}{l} R_i \vec{i} + R_j \vec{j} + R_k \vec{k} \\ C_j \vec{j} + C_k \vec{k} \end{array} \right\}_A$,

* liaison tridimensionnelle glissière d'axe $A\vec{i}$ : $\{\tau\}_A = \left\{ \begin{array}{l} R_j \vec{j} + R_k \vec{k} \\ C_i \vec{i} + C_j \vec{j} + C_k \vec{k} \end{array} \right\}_A$,

* liaison tridimensionnelle hélicoïdale d'axe $A\vec{i}$ de pas $p$ : $\{\tau\}_A = \left\{ \begin{array}{l} -\frac{2\pi C_i \vec{i} + R_j \vec{j} + R_k \vec{k}}{p} \\ C_i \vec{i} + C_j \vec{j} + C_k \vec{k} \end{array} \right\}_A$,
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5.2: La symbolique des liaisons 2d utilisée dans ce cours (non normalisée) de gauche à droite : encastrement 2d, appui simple 2d, appui sur rouleau 2d, glissière 2d</figcaption></figure>

* liaison tridimensionnelle pivot glissant d'axe $A\vec{i}$ : $\{\tau\}_A = \begin{Bmatrix} R_j\vec{j} + R_k\vec{k} \\ C_j\vec{j} + C_k\vec{k} \end{Bmatrix}_A$,

* liaison tridimensionnelle sphérique à doigt d'axe $A\vec{i}$ et $A\vec{j}$ : $\{\tau\}_A = \begin{Bmatrix} R_i\vec{i} + R_j\vec{j} + R_k\vec{k} \\ C_k\vec{k} \end{Bmatrix}_A$,

* liaison tridimensionnelle sphérique en $A$ : $\{\tau\}_A = \begin{Bmatrix} R_i\vec{i} + R_j\vec{j} + R_k\vec{k} \\ 0 \end{Bmatrix}_A$,

* liaison tridimensionnelle appui plan de normale $A\vec{i}$ : $\{\tau\}_A = \begin{Bmatrix} R_i\vec{i} \\ C_j\vec{j} + C_k\vec{k} \end{Bmatrix}_A$,

* liaison tridimensionnelle linéaire rectiligne de normale $A\vec{j}$ de direction $A\vec{i}$ : $\{\tau\}_A = \begin{Bmatrix} R_j\vec{j} \\ C_k\vec{k} \end{Bmatrix}_A$,

* liaison tridimensionnelle linéaire annulaire d'axe $A\vec{i}$ : $\{\tau\}_A = \begin{Bmatrix} R_j\vec{j} + R_k\vec{k} \\ 0 \end{Bmatrix}_A$,

* liaison tridimensionnelle ponctuelle d'axe $A\vec{i}$ : $\{\tau\}_A = \begin{Bmatrix} R_i\vec{i} \\ 0 \end{Bmatrix}_A$.

Les liaisons associées à un problème bidimensionnel ne sont pas normalisées. Faites attention à la signification de chaque symbole en fonction de l'ouvrage. Pour notre part, la symbolique présentée dans la figure 5.2 sera utilisée. Pour un problème dans le plan ($A, \vec{i}, \vec{j}$) :

* liaison bidimensionnelle encastrement : $\{\tau\}_A = \begin{Bmatrix} R_i\vec{i} + R_j\vec{j} \\ C_k\vec{k} \end{Bmatrix}_A$,

* liaison bidimensionnelle appui simple : $\{\tau\}_A = \begin{Bmatrix} R_i\vec{i} + R_j\vec{j} \\ 0\vec{k} \end{Bmatrix}_A$,

* liaison bidimensionnelle appui sur rouleaux de normale $A\vec{j}$ : $\{\tau\}_A = \begin{Bmatrix} R_j\vec{j} \\ 0\vec{k} \end{Bmatrix}_A$,

* liaison bidimensionnelle glissière d'axe $A\vec{i}$ : $\{\tau\}_A = \begin{Bmatrix} R_j\vec{j} \\ C_k\vec{k} \end{Bmatrix}_A$.

Les torseurs sont écrits en certains points. A quel moment doit-on effectuer le changement de point et comment le choisir ? La réponse est dans la vidéo 221 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=221. Regarde-la, puis évalue son intérêt en cochant une case à la dernière page du polycopie.

* **Erreur classique** : Il ne faut pas, lorsque le problème est bidimensionnel, utiliser les liaisons tridimensionnelles (et inversement).

* **Erreur classique** : Lorsque 2 poutres (ou plus) de directions différentes se raccordent en un point B, il ne faut pas rajouter une liaison encastrement entre ce point B et le référentiel Galiléen
: le point B peut se déplacer, tourner... et toutes les poutres aboutissant à ce point B se déplacent et tournent au point B de la même valeur.

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir les brevets 031, 037 et 038. Si vous avez des difficultés, je vous invite à contacter le référent du brevet correspondant.

brevet 031 : torseur de déplacement d'un solide, formule de changement de point d'un torseur
auteur : JM Génevaux ; ressource : [?], Autoattribution .

Soient trois points A,B,C dans l'espace affine de base ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$), tels que $\vec{AB} = 12\vec{i}$ m et $\vec{BC} = 3\vec{j} - 6\vec{k}$ m. Soit un solide indéformable reliant les points A,B et C. Si le point A subit une translation $4\vec{j} - 4\vec{k}$ m et une rotation $2\vec{i}$ rad, quel est le torseur de déplacement de ce solide exprimée au point C ?

brevet 037 : Torseur transmissible par la liaison bidimensionnelle appuis sur rouleaux
auteur : JM Génevaux ; ressource : cours techno-mécanique ; autoattribution .

Soit pour un problème dans le plan $(A,\vec{x},\vec{y})$, une liaison appuis sur rouleau en un point B de normale $\vec{y}$.

Si la liaison est parfaite, quel est le torseur des efforts transmissibles ?
Vous l'exprimerez en B.

brevet 038: Torseur transmissible par la liaison tridimensionnelle hélicoidale
auteur : JM Génevaux ; ressource : cours techno-mécanique ; autoattribution .

Soit pour un problème dans l'espace $(A,\vec{x},\vec{y},\vec{z})$, une liaison hélicoidale d'axe $B\vec{y}$ de pas $p$.

Si la liaison est parfaite, quel est le torseur des efforts transmissibles ?
Vous l'exprimerez en B.

## 5.2 Torseurs de chargement

Dans ce cours, la résultante sera notée $\vec{F}$, le moment sera noté $\vec{C}$. Les différents torseurs de chargements sont :

* force concentrée au point A de direction $\vec{i}$

$$ \{\tau_1\} = \begin{Bmatrix} \vec{F} \\ \vec{0} \end{Bmatrix}_A, \qquad (5.3) $$

* couple concentré au point A de direction $\vec{i}$

$$ \{\tau_2\} = \begin{Bmatrix} \vec{0} \\ \vec{C} \end{Bmatrix}_A, \qquad (5.4) $$
* densité linéique de force $\vec{p}$ sur un segment de longueur $ds$ au point P

$$ \{d\tau_3\} = \left\{ \begin{matrix} \vec{p} \, ds \\ \vec{0} \end{matrix} \right\}_P, \qquad (5.5) $$

* densité linéique de couple $\vec{c}$ sur un segment de longueur $ds$ au point P

$$ \{d\tau_4\} = \left\{ \begin{matrix} \vec{0} \\ \vec{c} \, ds \end{matrix} \right\}_P, \qquad (5.6) $$

* torseur équivalent exprimé au point C, d'un chargement linéique sur un segment AB :

$$ \{\tau_5\} = \int_A^B \left\{ \begin{matrix} \vec{p} \, ds \\ \vec{c} \, ds \end{matrix} \right\}_P = \int_A^B \left\{ \begin{matrix} \vec{p} \, ds \\ \vec{c} \, ds + \vec{p} \, ds \wedge \vec{P} \, C \end{matrix} \right\}_C = \left\{ \begin{matrix} \int_A^B \vec{p} \, ds \\ \int_A^B (\vec{c} + \vec{p} \wedge \vec{P} \, C) \, ds \end{matrix} \right\}_C. \qquad (5.7) $$

Attention dans la dernière égalité ci-dessus d'avoir exprimé $\vec{p}$ et $\vec{c}$ dans une base fixe qui ne dépend pas de l'abscisse curviligne.

*Comment calculer la somme de charges réparties ?* La réponse est dans la vidéo 252 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=252. Regarde-la, puis évalue son intérêt en cochant une case à la dernière page du polycopié.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir les brevets 039 et 090. Si vous avez des difficultés, je vous invite à contacter le référent du brevet correspondant.

**brevet 039 : Chargement réparti de couples**
**auteur : JM Génevaux ; ressource : cours techno-mécanique ;**
**autoattribution .**

Soit une poutre droite AB de longueur $l = 2$ m d'axe $\vec{i}$, soumise tout son long à une répartition de couples par unité de longueur $\vec{c} = 0.1 \, \vec{j}$ en Nm/m.

Donnez l'expression de son torseur équivalent au point B.

**brevet 090 : Réalisation expérimentale de liaisons et de chargements**
**auteurs : JM Génevaux ; ressource : [?], paragraphe .**

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Le point A est encastré, le point B chargé par une force $-\vec{F} \, \vec{j}$ (avec $F > 0$).

Réalisez ce système à l'aide d'un spaghetti, deux parallélépipèdes et votre doigt.
## 5.3 isostaticité - hyperstaticité

Avant de rechercher les efforts intérieurs à une poutre, il est parfois nécessaire de calculer les réactions qui transitent par les liaisons qui maintiennent cette poutre en contact avec les autres solides voisins.

**démarche** La procédure suivante est à suivre

1. Isolement du solide. Pour ce faire :

* vous définissez le solide ou l'ensemble de solides que vous souhaitez isoler (pour nous ce sera la poutre considérée),

* par la pensée, vous entourez ce domaine isolé par une fine peau,

* à chaque endroit où cette fine peau intersecte une liaison, ou un chargement, un torseur doit être écrit

2. Bilan des actions. En chaque point où doit être écrit un torseur, vous écrivez : le point, le type de liaison (éventuellement précisez de quel axe), le torseur (d'effort transmissible ou de chargement). Vous rajoutez à cette liste les torseurs de chargement à distance (pesanteur, forces électromagnétiques, ...)

3. Principe fondamental de la statique. Si le domaine isolé est en équilibre, la somme de ces torseurs est nulle. En présence d'un chargement linéique ou surfacique, l'écriture de l'équilibre doit faire apparaître l'intégration de ce torseur sur le domaine d'intégration (intégrale simple ou double).

4. Écriture du système d'équations. Dans le cas d'un problème tridimensionnel, l'équilibre se traduit par l'écriture de 6 équations (trois de résultante, trois de moment). Dans le cas d'un problème bidimensionnel, l'équilibre se traduit par l'écriture de 3 équations (deux de résultante, une de moment autour d'un axe perpendiculaire au plan du problème).

5. Détermination du nombre d'inconnues hyperstatiques. Attention, **le calcul (nombre d'inconnues - nombre d'équations = degré d'hyperstatisme) est faux !** En effet, tout dépend comment les inconnues sont positionnées dans les équations. La méthode est la suivante :

* Vous entourez en rouge les chargements. Ce sont les données du problème.

* Parmi les réactions aux liaisons (les inconnues), vous entourez en bleu celles qui peuvent être déterminées en fonction des chargements.

* Si toutes les inconnues sont déterminées : le système est dit isostatique.

* Si toutes les inconnues ne peuvent pas être déterminées (deux inconnues sur une même équation, et qui n'apparaissent pas ailleurs par exemple), le système est hyperstatique vis-à-vis de ce degré de liberté. Vous choisissez l'une de ces inconnues que nous ap-pellerons *inconnue hyperstatique*, vous l'encadrez en vert, et vous la supposez connue (au même titre que les chargements en rouge) pour recherchez toutes les inconnues qui peuvent de ce fait être maintenant déterminées (vous les entourez en bleu). Vous pouvez être amené à choisir plusieurs inconnues hyperstatiques.

* Le degré d'hyperstatisme est le nombre minimal d'inconnues (entourées en vert) qui ont dues être choisies comme hyperstatiques.

6. Vous écrivez l'expression de chaque inconnue déterminée (en bleu), en fonction du chargement (en rouge) et des inconnues hyperstatiques (en vert). Dans la suite du problème, chaque fois qu'une inconnue bleu apparaît, elle sera remplacée par son expression rouge et verte.

le calcul du "nombre d'inconnus - nombre d'équations = degré d'hyperstatisme" est faux, pourquoi? Un exemple? La réponse est dans la vidéo 267 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=267. Regarde-la, puis évalue son intérêt en cochant une case à la dernière page du polycopié.
**Exemples** L'exemple de détermination du degré d'hyperstatisme d'un système tridimensionnel est présenté figure 5.3.

L'exemple de détermination du degré d'hyperstatisme d'un système bidimensionnel est présenté figure 5.4. On remarquera que l'équilibre est écrit au point D, mais qu'il aurait pu être écrit en un autre point, les équations qui auraient alors été obtenues seraient une combinaison linéaire des équations présentées dans l'exemple. L'inconnue hyperstatique choisie est l'inconnue $R_2$. Il aurait été possible de choisir $R_3$ ou $C_2$. Quelque soit ce choix, le nombre d'inconnues hyperstatique reste de 1.

**Quelle conséquence a le choix d'une inconnue hyperstatique ?** La réponse est dans la vidéo 237 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=237. Regarde-la, puis évalue son intérêt en cochant une case à la dernière page du polycopié.

**Lorsque l'on choisi une inconnue hyperstatique, on la considère connue... mais alors, comment peut-on la déterminer ?** La réponse est dans la vidéo 218 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=218. Regarde-la, puis évalue son intérêt en cochant une case à la dernière page du polycopié.

**Comment identifie-t-on une force dans une certaine direction, lorsque l'on choisi une inconnue hyperstatique ?** La réponse est dans la vidéo 220 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=220. Regarde-la, puis évalue son intérêt en cochant une case à la dernière page du polycopié.

**Système isostatique associé** On appelle système isostatique associé, le système identique géométriquement, mais dont les liaisons aux points où des inconnues hyperstatiques ont été choisies, doivent être modifiées :

1. si l'inconnue hyperstatique est une force dans la direction $\vec{i}$, le degré de liberté associé, la translation dans la direction $\vec{i}$, est libérée. La liaison est donc remplacée par la liaison qui bloque les mêmes degrés de liberté sauf ce degré de liberté. Par exemple, si le problème est tridimensionnel, une liaison encastrement, sera transformée en une liaison glissière d'axe $\vec{i}$. Si le problème dans le plan $(A, \vec{i}, \vec{j})$, une liaison appuis simple sera remplacée par une liaison appuis sur rouleau de normale $\vec{j}$.

2. si l'inconnue hyperstatique est un couple dans la direction $\vec{i}$, le degré de liberté associé, la rotation dans la direction $\vec{i}$, est libérée. La liaison est donc remplacée par la liaison qui bloque les mêmes degrés de liberté sauf ce degré de liberté. Par exemple, si le problème est tridimensionnel, une liaison encastrement, sera transformée en une liaison pivot d'axe $\vec{i}$.

Ce système isostatique associé est considéré comme chargé par

1. le même chargement extérieur que le système initial,

2. auquel on ajoute les inconnues hyperstatiques, qui sont alors considérées comme un chargement connu.

**Équation associée à une inconnue hyperstatique** Le problème isostatique associé peut donc être résolu complètement en fonction des données de chargement et des inconnues hyperstatiques. Appelons cette solution *solution 1*.

Pour retrouver le problème initial, l'inconnue hyperstatique assurait que le déplacement associé à celle-ci était nul. Il faut donc rajouter une équation cinématique par inconnue hyperstatique :

1. si l'inconnue hyperstatique est une force $R\vec{i}$ au point B, le déplacement dans cette direction en ce point doit être nul : $\vec{u}_B \cdot \vec{i} = 0$.

2. si l'inconnue hyperstatique est un couple $C\vec{i}$ au point B, la rotation dans cette direction en ce point doit être nulle : $\vec{\omega}_B \cdot \vec{i} = 0$.
<figure><img src="image_9.png" /></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 5.3: Détermination du degré d'hyperstatisme pour un système 3D. (Numérisation fournie par Nicolas Pajusco. Merci à lui.)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 5.4: Détermination du degré d'hyperstatisme pour un système 2D. (Numérisation fournie par Nicolas Pajusco. Merci à lui.)</figcaption></figure>
Ces équations supplémentaires, fournissent des relations entre les inconnues hyperstatiques et les chargements. Elle permettent donc de déterminer les inconnues hyperstatiques en fonction du chargement.

La solution complète du problème qui vérifie les conditions aux limites du problème de départ, exprimée en fonction uniquement du chargement du problème de départ, est alors connue en remplaçant les inconnues hyperstatiques par leur expressions en fonction du chargement dans la solution 1.

*Comment déterminer les inconnues hyperstatiques ?* La réponse est dans la vidéo 271 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/search/?q=271. Regarde-la, puis évalue son intérêt en cochant une case à la dernière page du polycopié.

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir les brevets 013, 014, 015, 016, 091 et 092. Si vous avez des difficultés, je vous invite à contacter le référent du brevet correspondant.

brevet 0013 : degré d'hyperstatisme d'une structure tridimensionnelle

auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *isostaticité - hyperstaticité* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre constituée d'un segment de droite AB, tel que $\vec{AB} = l_1\vec{i}$,
un segment de droite BC, tel que $\vec{BC} = l_2\vec{j}$, et un segment de droite CD,
tel que $\vec{CD} = l_3\vec{k}$. Cette structure est liée au référentiel extérieur

• en A par une glissière d'axe $\vec{A_i}$

• en B, par un appui ponctuel de normale $\vec{B_j}$

• en C, par un appui plan de normale $\vec{C_i}$.

Elle subit un torseur de chargement quelconque en B.

Quel est le degré d'hyperstatisme de cette structure ?
brevet 014 : degré d'hyperstatisme d'une structure plane
auteur : JM Génevaux ; ressource : cours genesdp ; autoattri-
bution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
isostaticité - hyperstaticité et de regarder les vidéos afférentes.

Soit le problème plan, formé par une poutre constituée d'un segment de
droite AB, tel que $\vec{AB} = l_1\vec{i}$, un segment de droite BC, tel que $\vec{BC} = l_2\vec{j}$.
Cette structure est liée au référentiel extérieur :

• en A un appui simple,

• en C, un appui sur rouleau de normale $C\vec{i}$.

Cette structure subie un chargement au point B :

• une force $\vec{F}$ dont la direction n'est pas précisée,

• un couple $C\vec{k}$.

Quel est le degré d'hyperstatisme de cette structure ?

brevet 015 : choix de l'équation permettant de déterminer
l'inconnue hyperstatique d'une structure plane.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours genesdp ; autoattri-
bution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
isostaticité - hyperstaticité et de regarder les vidéos afférentes.

Soit le problème plan, formé par une poutre constituée d'un segment de
droite AB, tel que $\vec{AB} = l_1\vec{i}$, un segment de droite BC, tel que $\vec{BC} = l_2\vec{j}$.
Cette structure est liée au référentiel extérieur :

• en A un encastrement,

• en C, un appui sur rouleau de normale $C\vec{i}$.

Soit un chargement au point B constitué d'un couple $C\vec{k}$. Le degré d'hyperstatisme de cette structure est 1.

Si l'on choisi comme inconnue hyperstatique la réaction en C, quelle est
l'équation cinématique qui permet d'obtenir une équation supplémentaire
permettant de déterminer l'inconnue hyperstatique ?
brevet 016 : détermination du système isostatique associé à un
système hyperstatique.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
isostaticité - hyperstaticité et de regarder les vidéos afférentes.

Soit le problème plan, formé par une poutre constituée d'un segment de
droite AB, tel que $\vec{AB} = l_1\vec{i}$, un segment de droite BC, tel que $\vec{BC} = l_2\vec{j}$.
Cette structure est liée au référentiel extérieur :

• en A un encastrement,

• en C, un appui sur rouleau de normale $C\vec{i}$.

Soit un chargement au point B constitué d'un couple $C\vec{k}$. Le degré d'hyperstatisme de cette structure est de 1.

• a) Si l'on choisi comme inconnue hyperstatique la réaction en C, quel est le système isostatique associé et le chargement qui lui est appliqué ?

• b) Si l'on choisi comme inconnue hyperstatique la réaction dans la direction $\vec{i}$ en A, quel est le système isostatique associé et le chargement qui lui est appliqué ?

brevet 091 : Détection expérimentale d'un système hyperstatique

auteurs : JM Génevaux ; ressource : [?], paragraphe .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
isostaticité - hyperstaticité et de regarder les vidéos afférentes.

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B, C et D,
qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0), (l/3,0,0), (2l/3,0,0) et
(l,0,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$). Les points A B et D sont
sur des appuis sur rouleau de normale $\vec{j}$, le point C chargé par une force
$-F\vec{j}$ (avec $F > 0$).

Réalisez ce système à l'aide d'un spaghetti, trois cylindres de diamètres différents et votre doigt. La pesanteur suffit-elle pour que le contact au point A, B et D ait lieu quelque soit la valeur de F ?
brevet 092 : Réalisation expérimentale d'un système isostatique associé à un système hyperstatique
auteurs : JM Génevaux ; ressource : [?], paragraphe .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
isostaticité - hyperstaticité et de regarder les vidéos afférentes.

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B, C et D,
qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0), (l/3,0,0), (2l/3,0,0) et
(l,0,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Les points A B et D sont
sur des appuis sur rouleau de normale $\vec{j}$, le point C chargé par une force
$-f\vec{j}$ (avec $F > 0$).

Si on considère la réaction au point A comme hyperstatique, réalisez
le système isostatique associé à l'aide d'un spagetti, deux cylindres de
diamètres différents et deux doigts.
Formation à la capacité violette de mécanique des solides déformables
# Chapter 6

## Prérequis de mécanique des solides déformables : Tracer un cercle de Mohr à partir des mesures faites avec une rosette à 45°.

Le tracé du cercle de Mohr est une représentation bidimensionnelle du tenseur des contraintes. Cette représentation peut être construite à partir

* de la connaissance d'un tenseur des contraintes en un point,

* de la mesure avec des jauges de déformation de l'état de contrainte en surface d'une pièce sollicitée.

### 6.1 Calcul du tricercle de Mohr à partir d'une matrice des contraintes

Nous vous proposons de travailler les sections 1.4 et 1.5 du polycopié de *mécanique des milieux continus* ; élasticité linéaire (version 1.6) E. Ringot, augmenté par des brevets concoctés par Jean-Michel Génevaux :

http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir le brevet 309, 313, 321, 324, 325, 326. Les numéros de brevet sont positionnés dans la marge, cerclé de rouge, en vis-à-vis du bas du paragraphe nécessaire pour les résoudre. Si vous avez des difficultés, je vous invite à contacter le référent du brevet correspondant, dont le mél est disponible sur le discord.
brevet 309 : directions principales de déformations
auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique
des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot
; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des déformations tel que,

$$
\bar{\epsilon} = 10^{-6} \begin{bmatrix} 30 & 0 & 100 \\ 0 & 200 & 0 \\ 100 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})\otimes(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} . \qquad (6.1)
$$

Quel sont les trois directions principales de déformations associées aux valeurs $\epsilon_{11}$, $\epsilon_{22}$ et $\epsilon_{33}$ trouvées au brevet 308 ?

brevet 313 : contrainte normale maximale
auteur : JM Génevaux ; ressource : "Mécanique", cours de
LPIAV ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des contraintes tel que,

$$
\bar{\sigma} = \begin{bmatrix} 0 & 50 & 0 \\ 50 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})} 10^6 \text{ Pa.} \qquad (6.2)
$$

Quelle est la normale $\vec{n}$ telle que la contrainte $\sigma_{nn}$ soit maximale ?
brevet 321 : Vecteur contrainte.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un solide élastique en acier (masse volumique ρ = 7800 kg.m⁻³) de longueur b = 0.240 m dans la direction ⃗z et dont la forme dans le plan (O,⃗x,⃗y) est un triangle isocèle de coté 2a = 0.300 m (Fig. 6.1). Cette pièce est dans un champs de gravité ⃗g = −9.81 m.s⁻² ⃗y et est posé sur une table dans la plan perpendiculaire à ⃗y.

Un étudiant (mais où va-t-il chercher tout cela ?) a écrit que au point P tel que $\vec{OP} = x_p\vec{x} + y_p\vec{y} + z_p\vec{z}$, le tenseur des contraintes est :

$$
\bar{\sigma} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -76518 \frac{9.7410^{-3} - 0.15y_p + 0.577y_p^2}{0.15 - 0.577y_p} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})} . \quad (6.3)
$$

1. Quelle sont les vecteurs contrainte au point P de coordonnées $\vec{OP} = (0.100\vec{x} + 0.100\vec{y} + 0.100\vec{z})$ m, $\vec{T}(P,\vec{x})$, $\vec{T}(P,\vec{y})$ et $\vec{T}(P,\vec{z})$ ?

2. Quelle est le vecteur contrainte au point P tel que $\vec{OP} = (0.100\vec{x} + 0.100\vec{y} + 0.100\vec{z})$ m, $\vec{T}(P,\vec{n}')$, avec $\vec{n}' = \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{x} + \frac{1}{2}\vec{y}$ ?

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 6.1: Une pièce posée sur un plan dans un champs de gravité.</figcaption></figure>
brevet 324 : Parties sphérique et déviatorique du tenseur des contraintes.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution.

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des contraintes :

$$ \bar{\sigma} = \begin{bmatrix} 0 & -0.032 & 0 \\ -0.032 & -0.040 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})} 10^6 \text{ Pa;} $$

Quels sont les tenseurs sphérique $\bar{\sigma}_S$ et déviatorique $\bar{\sigma}_D$ de ce tenseur ?

brevet 325 : Invariants de la partie déviatorique du tenseur des contraintes.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution.

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des contraintes :

$$ \bar{\sigma} = \begin{bmatrix} 0 & -0.032 & 0 \\ -0.032 & -0.040 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})} 10^6 \text{ Pa;} $$

Quels sont les 3 invariants $J_1$, $J_2$ et $J_3$ de la partie déviatorique $\bar{\sigma}_D$ de ce tenseur ?
brevet 326 : Conditions aux limites en déplacement en coordonnées carthésiennes.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution.

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un barrage poids tel le barrage de Serre-Ponçon, dont on ne considère que une tranche parrallèle à la vallée (Fig. ??), avec un angle $\alpha$ au sommet, un fluide de masse volumique $\rho$, une hauteur d'eau $h$ et un champs de pesanteur $g$, encastré à sa base.

Nous supposerons que le champs de déplacement est de la forme,

$$ \vec{u} = u_x \vec{x} + u_y \vec{y} + u_z \vec{z}, \qquad (6.4) $$

où chacune des fonctions $u$ est dépendante des coordonnées du point P $(x_p, y_p, z_p)$.

Des 4 surfaces $S_1$ à $S_4$, quelles sont celles où l'on peut écrire une condition aux limites en déplacement ? Quelles sont les conditions que doivent vérifier les composantes du champs de déplacement ?

## 6.2 Calcul du cercle de Mohr à partir de mesures faites avec une rosette

Nous proposons de travailler les sections 1.3, 1.4, 1.5 et 1.6 du polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire (version 1.6) E. Ringot, augmenté par des brevets concoctés par Jean-Michel Génevaux :

http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir le brevet 307, 308, 312, 316, 317. Les numéros de brevet sont positionnés dans la marge, cerclé de rouge, en vis-à-vis du bas du paragraphe nécessaire pour les résoudre. Si vous avez des difficultés, je vous invite à contacter le référent du brevet correspondant, dont le mél est disponible sur le discord.
brevet 307 : déformation mesurée par une jauge de déformation
auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique
des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot
; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des déformations tel que,

$$
\bar{\epsilon} = 10^{-6} \begin{bmatrix} 30 & 0 & 100 \\ 0 & 200 & 0 \\ 100 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z})} . \qquad (6.5)
$$

Quel est la déformation $\epsilon_{nn}$ qui peut être mesurée par une jauge de déformation collée dans une direction parallèle au vecteur $\vec{n}' = 1\vec{x}+1\vec{y}+1\vec{z}$ ? (la déformation $\epsilon_{nn}$ est notée $\epsilon_e$ dans le polycopié de cours de E. Ringot).

brevet 308 : déformations principales
auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique
des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot
; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des déformations tel que,

$$
\bar{\epsilon} = 10^{-6} \begin{bmatrix} 30 & 0 & 100 \\ 0 & 200 & 0 \\ 100 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})} . \qquad (6.6)
$$

Quel sont les trois valeurs de déformations principales $\epsilon_{11}$, $\epsilon_{22}$ et $\epsilon_{33}$ ?
brevet 312 : calcul du tenseur des déformations à partir de la mesure de trois jauges de déformation.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution.

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

En un point P, situé à la surface d'une pièce qui est non chargée sur sa surface au point P (l'action de l'air est négligeable par rapport aux chargements en d'autres points de la pièce), sont collées trois jauges de déformations dans les directions $\vec{a} = \vec{x}$, $\vec{b} = \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{x} + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{y}$ et $\vec{c} = \vec{y}$. Les déformations mesurées par ces trois jauges sont $\epsilon_{aa} = 30 \ 10^{-6}$, $\epsilon_{bb} = 50 \ 10^{-6}$, $\epsilon_{cc} = 50 \ 10^{-6}$.

Quel est le tenseur des déformations

$$ \bar{\epsilon} = \begin{bmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz} \end{bmatrix} (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \quad (6.7) $$

en ce point P ?

brevet 316 : Cercle de MOHR associé à un état de déformations auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution.

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des déformations tel que,

$$ \bar{\epsilon} = 10^{-6} \begin{bmatrix} -86.1 & 0 & 0 \\ 0 & 116.1 & 0 \\ 0 & 0 & 200 \end{bmatrix} (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) \otimes (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) \quad (6.8) $$

Tracez le demi-cercle de MORH lorsque le vecteur normal à la facette tourne

* de la direction principale $\vec{e}_1$ à la direction principale $\vec{e}_2$,

* de la direction principale $\vec{e}_2$ à la direction principale $-\vec{e}_1$.
brevet 317 : Tricercle de MOHR associé à un état de déformations

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des déformations tel que,

$$
\bar{\epsilon} = 10^{-6} \begin{bmatrix} -86.1 & 0 & 0 \\ 0 & 116.1 & 0 \\ 0 & 0 & 200 \end{bmatrix}_{(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) \otimes (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)} . \quad (6.9)
$$

Hachurez la zone qui peut être parcourue dans le plan de MORH par
l'extrémité du vecteur déformation, lorsque le vecteur normal à la facette
décrit toutes les directions de l'espace ?

Le dépassement de la limite d'élasticité est un critère local, en un point P de la matière.
Il est donc nécessaire d'utiliser la mécanique des solides déformables pour y répondre et plus
particulièrement :

• le tracé du tricercle de Mohr des contraintes,

• le choix du critère de limite d'élasticité (Von-Mises, Tresca, Drüker-Prager...)

• la vérification que le tricercle de Mohr reste dans la zone de comportement élastique.

Pour vous former à cela, nous vous mettons à disposition,

• Le polycopié d'enseignement de *mécanique des solides déformables* de Stéphane Durand :

http://perso.univ-lemans.fr/~sdurand/monjolipoly.pdf

* Le polycopié de *mécanique des milieux continus* ; élasticité linéaire (version 1.6) E. Ringot, augmenté par des brevets concoctés par Jean-Michel Génevaux :

http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir les brevets 306, 315, 329, 330, 331, 332 et 333.
brevet 306 : calcul d'un vecteur déformation
auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des déformations tel que,

$$
\bar{\epsilon} = 10^{-6} \begin{bmatrix} 30 & 0 & 100 \\ 0 & 200 & 0 \\ 100 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})} . \qquad (6.10)
$$

Quel est le vecteur déformation $\vec{\epsilon}(P, \vec{n})$ pour une facette dont la normale est parallèle au vecteur $\vec{n}' = 1\vec{x} + 1\vec{y} + 1\vec{z}$ ?

brevet 315 : Invariant d'un tenseur des déformations
auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des déformations tel que,

$$
\bar{\epsilon} = 10^{-6} \begin{bmatrix} -86.1 & 0 & 0 \\ 0 & 116.1 & 0 \\ 0 & 0 & 200 \end{bmatrix}_{(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) \otimes (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)} . \quad (6.11)
$$

Quelles sont les valeurs des trois invariants de ce tenseur des déformations ?
brevet 329 : Conditions aux limites en déplacement en coordonnées cylindriques.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopie de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopie http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un cylindre à base circulaire de rayon $r$ et de longueur $l$. Ce solide est chargé sur sa surface supérieure par une force $\vec{F} = -F\vec{z}$ et l'on supposera que la charge se répartie uniformément sur la surface S4 (Fig. 6.2).
Trois cas de conditions aux limites sont faites

* a) le cylindre est posé sur un plan parfaitement lubrifié et qui permet le glissement dans le plan $(O, \vec{x}, \vec{y})$,

* b) le cylindre est encastré sur le plan $(O, \vec{x}, \vec{y})$,

* c) le cylindre est inséré partiellement dans un alésage sans jeu parfaitement lubrifié.

Le champs de déplacement est noté

$$ \vec{u} = u_r\vec{e}_r + u_\theta\vec{e}_\theta + u_z\vec{z}, \qquad (6.12) $$

où chacune des fonctions $u$ est dépendante des coordonnées du point P $(x_p, y_p, z_p)$.

Des surfaces $S_1$ à $S_4$, quelles sont celles où l'on peut écrire une condition aux limites en déplacement ? Quelles sont les conditions que doivent vérifier les composantes du champs de déplacement ?

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure 6.2: Trois types de conditions aux limites pour un cylindre.</figcaption></figure>
brevet 330 : Conditions aux limites en contraintes en coordonnées cylindriques.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un cylindre à base circulaire de rayon $r$ et de longueur $l$. Ce solide est chargé sur sa surface supérieure par une force $\vec{F} = -F\vec{z}$ et l'on supposera que la charge se répartie uniformément sur la surface S4 (Fig. 6.2).
Trois cas de conditions aux limites sont faites :

* a) le cylindre est posé sur un plan parfaitement lubrifié et qui permet le glissement dans le plan $(O, \vec{x}, \vec{y})$,

* b) le cylindre est encastré sur le plan $(O, \vec{x}, \vec{y})$,

* c) le cylindre est inséré partiellement dans un alésage sans jeu parfaitement lubrifié.

Le tenseur des contraintes est noté :

$$ \bar{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{rr} & \sigma_{r\theta} & \sigma_{rz} \\ \sigma_{\theta r} & \sigma_{\theta\theta} & \sigma_{\theta z} \\ \sigma_{zr} & \sigma_{s\theta} & \sigma_{zz} \end{bmatrix} (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{z}) \otimes (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{z}) \quad (6.13) $$

où chacune des fonctions $\sigma$ est dépendante des coordonnées du point P $(x_p, y_p, z_p)$.

Des surfaces $S_1$ à $S_4$, quelles sont celles où l'on peut écrire une condition aux limites en contrainte ? Quelles sont les conditions que doivent vérifier les composantes du tenseur des contraintes ?
brevet 331 : Type de loi de comportement.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Solliciter plusieurs pièces.

a) Positionner une craie entre les deux machoires d'une pince multiple. Serrez jusqu'à l'obtention de la rupture.

b) Prendre un fil de fer entre vos deux mains. Fléchir ce fil très légèrement et relâcher. Observer. Fléchir ce fil fortement et relâcher. Observer. Obtenez la rupture en fléchissant alternativement le fil dans les deux sens. Observer.

c) Prendre un spaghetti entre vos deux mains. Fléchir ce spaghetti très légèrement et relâcher. Observer. Fléchir ce spaghetti fortement. Observer. Ne mangez pas le spaghetti : il n'est pas cuit.

Le comportement élastique est-il observable ? Le comportement plastique est-il observable ? La rupture est-elle fragile ou ductile ?

brevet 332 : Conditions aux limites en contraintes en coordonnées cartésiennes.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un barrage poids tel le barrage de Serre-Ponçon, dont on ne considère que une tranche parallèle à la vallée (Fig. ??), avec un angle $\alpha$ au sommet, un fluide de masse volumique $\rho$, une hauteur d'eau $h$ et un champs de pesanteur $g$, encastré à sa base.

Nous supposerons que le tenseur des contraintes est de la forme,

$$ \bar{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & 0 \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{zz} \end{bmatrix}_{(\vec{x},\vec{y},\vec{z}) \otimes (\vec{x},\vec{y},\vec{z})} \quad (6.14) $$

où chacune des fonctions $\sigma$ est dépendante des coordonnées du point P $(x_p, y_p, z_p)$.

Des 4 surfaces $S_1$ à $S_4$, quelles sont celles où l'on peut écrire une condition aux limites en contrainte ? Quelles sont les conditions que doivent vérifier les composantes du tenseur des contraintes ?
brevet 333 : Dépassement de la limite d'élasticité.

auteur : JM Génevaux ; ressource : "Polycopié de mécanique des milieux continus ; élasticité linéaire" (version 1.6) E. Ringot ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite, au sein du du polycopié http://perso.univ-lemans.fr/~jmgenev/ufr/mmc_general_jmg7.pdf, à lire le paragraphe qui précède l'apparition dans la marge de ce numéro de brevet et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un tenseur des contraintes :

$$
\bar{\bar{\sigma}} = \begin{bmatrix} 0 & -134 & 0 \\ -134 & -112 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 10^6 \text{ Pa.} \qquad (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})
$$

Si la limite d'élasticité en traction est σ^ce = 150 MPa et en compression σ^ce = -150 MPa,

* l'état de contraintes $\bar{\bar{\sigma}}$ est-il encore élastique vis-à-vis du critère de Von-Mises ?

* l'état de contraintes $\bar{\bar{\sigma}}$ est-il encore élastique vis-à-vis du critère de Tresca ?
Chapter 7

De l'élasticité à la théorie des
poutres
Bibliography

[1] M. Guez, *La communication non violente*, stage 1

[2] J.M. Génevaux, *Introduction aux tenseurs*, cours de l'Ensim niveau L3, http://www.archives-ouvertes.fr

[3] Albigès Résistance des matériaux

[4] Courbon

[5] Feodossiev

[6] Laroze Résistance des matériaux et structures (tome 2) éd. : Masson-Eyrolle

[7] Germain *Introduction à la mécanique des milieux continus* éd. : Masson

[8] Timoshenko

[9] Techniques de l'ingénieur, B5 I, 600,601, 5020, 5040 (concentrations de contraintes)

[10] JM Génevaux, *Base de l'acoustique*, cours de Licence Professionnelle Vibration Acoustique, http://www.archives-ouvertes.fr

[11] JM Génevaux, *Modélisation*, cours de 4ième année de L'École Nationale Supérieure d'Ingénieurs du Mans, http://www.archives-ouvertes.fr

[12] S Durand, *Mécanique des solides déformables*, cours de 4ième année de L'École Nationale Supérieure d'Ingénieurs du Mans

[13] J.M. Génevaux Atravail pr. Pelat, *Une pédagogie participative en école d'ingénieur (alias Freinet 5CH)*, formation pédagogique de l'Université du Maine, mars 2014, https://cel.archives-ouvertes.fr/???
Formation à la compétence orange de statique des poutres.

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Sur

http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=208,
vous pouvez visualiser une présentation des
cette compétence. Le fichier sont nommé 208
Compétence orange de statique des poutres :
détermination du torseur des efforts intérieurs..
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure 7.1: Les différents concepts nécessaires à la théorie des poutres.</figcaption></figure>

# 7.1 Les Outils

Le synopsis de la démarche associée à la théorie des poutres est présenté figure 7.1.

## 7.1.1 Notion de poutre

*Qu'est-ce qu'une poutre ?* La réponse est dans la vidéo 001 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=001. Regarde-la.

*Qu'est-ce que la fibre moyenne d'une poutre ?* Ce n'est pas clair pour le comprendre. La réponse est dans la vidéo 054 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=054. Regarde-la.

Nous travaillons ici,

* soit dans dans un repère global associé à l'ensemble de la poutre. Nous noterons les vecteurs de ce repère global $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$,

* soit dans dans un repère local à un point H. Nous noterons les vecteurs de ce repère local $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$. Le vecteur $\vec{x}$ sera toujours choisi parallèle à la fibre moyenne. Les vecteurs $\vec{y}$ et $\vec{z}$ orthogonaux à $\vec{x}$, seront dans les directions principales de la section droite (voir paragraphe 7.1.8).

* **Erreur classique** : Il ne faut pas oublier de préciser, pour tout torseur, dans quel repère il est exprimé.

La théorie des poutres est une simplification de la théorie de l'élasticité. Elle peut être envisagée lorsque le corps solide déformable possède une dimension bien plus grande que les deux autres. Un solide de ce type sera appelé *poutre*. Si l'on fait une section dans le plan des petites dimensions, le barycentre de cette section sera noté *H*. Si vous lisez d'autres livres de théorie des poutres, ce point est généralement appelé *G*. Pour éviter que vous ne le confondiez avec le centre de gravité de la poutre complète (erreur devenue classique ces dernières années, mais extrêmement énervante pour l'enseignant), nous choisirons de l'appeler par la lettre *H*. L'ensemble des barycentres de la poutre défini la *ligne moyenne*. Si la section est perpendiculaire à la ligne moyenne, elle sera appelée *section droite*. La position sur cette ligne moyenne est repérée par une abscisse *s*. Cette ligne moyenne peut être continue, discontinue, être continuement dérivable par rapport à la variable *s* ou non.
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure 7.2: Un exemple 2D de poutre avec un chargement, une liaison glissière 2D et un appui simple.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure 7.3: Exemple d'orientation de la poutre.</figcaption></figure>

Nous travaillons ici dans un repère local à un point. Nous noterons les vecteurs de ce repère local $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$.

Pour définir ce repère pour un problème donné (Fig. 7.2), la démarche à suivre est la suivante :

1. la poutre du début à la fin de celle-ci sans faire "demi-tour" (Fig. 7.3),

2. choisir un point Hi dans chaque tronçon de poutre (ne pas le dessiner au milieu du tronçon pour éviter les ambiguités) (Fig. 7.5),

3. dessiner le vecteur $\vec{x}$ tangent à cette poutre dans le sens de l'orientation de la poutre à chaque point Hi (Fig. 7.6),

4. dessiner les vecteurs $\vec{y}$ et $\vec{z}$ afin que le repère $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ soit direct (Fig. 7.7),

5. poser le paramétrage pour repérer les points Hi tel qu'il soit croissant dans le sens de la poutre (Fig. 7.7).

Si dans un problème, le paramétrage est donné, choisir l'orientation de la poutre telle que la dernière condition soit vérifiée.
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Figure 7.4: Définition d'un point Hi pour chaque segment.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Figure 7.5: Définition des vecteurs $\vec{x}$ pour chaque point Hi.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Figure 7.6: Définition des vecteurs $\vec{y}$ et $\vec{z}$ pour chaque point Hi.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Figure 7.7: Définition des paramétrages de chaque point Hi.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure 7.8: Une structure poutre, ses liaisons et son chargement.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir les brevets 840 et 841. Si vous avez des difficultés, je vous invite à contacter la référente du brevet correspondant.

brevet 840 : Repère local, repérage et parties aval et amont.
auteur : JM Génevaux ; ressource : cours techno-mécanique ;
autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
"Les Outils" et de regarder les vidéos afférentes.

Soit la structure formée d'une poutre connectée au repère global ($\vec{i}$, $\vec{vecy}$, $\vec{z}$) et subissant des chargements tels que représentés figure 7.8.

Si l'on oriente la poutre à partir de A, dessinez les repères ($\vec{x}_i, \vec{y}_i, \vec{z}_i$) en chaque point $H_i$ nécessaire sur la fibre moyenne. Définissez le paramétrage $s_i$ ou $\theta_i$ associé à chaque point $H_i$, puis dessinez la partie aval associée à chaque point $H_i$.

brevet 841 : Repère local, repérage et parties aval et amont.
auteur : JM Génevaux ; ressource : cours techno-mécanique ;
autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
"Les Outils" et de regarder les vidéos afférentes.

Soit la structure formée d'une poutre connectée au repère global ($\vec{i}$, $\vec{vecy}$, $\vec{z}$) et subissant des chargements tels que représentés figure 7.9.

Si l'on oriente la poutre à partir de A et G, dessinez le repère ($\vec{x}_5, \vec{y}_5, \vec{z}_5$) au point $H_5$ entre G et C. Définissez le paramétrage $s_5$ associé au point $H_5$. Dessinez la partie aval du point $H_5$.
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Figure 7.9: Une structure poutre, ses liaisons et son chargement.</figcaption></figure>

La théorie des poutres fournie des solutions en déplacement et contraintes qui ne sont pas nécessairement valables en tout point. Mais loin des points d'application des chargements, des liaisons (blocages cinématiques) et des variations brusques de section, elle est tout à fait suffisante. Ces conditions sont présentes en de nombreux points de ce type de structures.

Nous rappelons les grandeurs et relations utiles en élasticité tridimensionnelle : (voir tableau 7.1)

A quoi sert le tableau "équations de la mécanique..." ? Comment s'en sert-on ? La réponse est dans la vidéo 259 disponible sur
http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=259. Regarde-la.

Que signifient les 2 barres au dessus du terme epsilon ? La réponse est dans la vidéo 253 disponible sur
http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=253. Regarde-la.

Que représentent dans la table 3.1, les équations de compatibilité ? La réponse est dans la vidéo 015 disponible sur
http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=015. Regarde-la.

Qu'est-ce qu'un tenseur ? La réponse est dans la vidéo 003 disponible sur
http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=003. Regarde-la.

Peut-on avoir un cours sur les tenseurs ? La réponse est dans la vidéo 316 disponible sur
http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=316. Regarde-la.

Pour la déformation d'un solide, vous avez parlé de cisaillement, mais pas de torsion et de rotation. Pourquoi ? La réponse est dans la vidéo 254 disponible sur
http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=254. Regarde-la.

Comment différenciez-vous un tenseur et une matrice ? La réponse est dans la vidéo 258 disponible sur
http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=258. Regarde-la.

Le même jeu de relations est présent dans le cas de la théorie des poutres, seules les grandeurs utilisées sont décrites à l'aide d'objets que l'on appelle torseur. Ce sont les mêmes êtres mathématiques que ceux que vous avez utilisés en mécanique des solides indéformables pour décrire leur mouvement. Ils seront ici simplement associés aux déplacement et rotation d'une section droite, aux déformations d'une section droite et aux efforts généralisés (résultante et moment) sur cette section.

Que représente le module de Coulomb noté "G" ? La réponse est dans la vidéo 018 disponible sur
<table><caption>Table 7.1: Équations de la mécanique des solides déformables dans le cas d'une modélisation tridimensionnelle</caption><thead><tr><th></th><th>déplacements</th><th>déformations</th><th>contraintes</th></tr><tr><th></th><th>u&#773; = u&#773;<sub>d</sub> sur Γ<sub>u</sub></th><th>ε&#773;</th><th>σ&#773;</th></tr></thead><tbody><tr><th>condition aux limites en déplacement</th><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>passage déplacements</th><td>+ éq. compatibilité<br>ε<sub>ik,jl</sub> − ε<sub>kj,il</sub> =<br>ε<sub>il,jk</sub> − ε<sub>ij,ik</sub><br>pour i ≠ j et l ≠ k</td><td>ε&#773; = 1/2 (grad u&#773; + T grad u&#773;)</td><td>+ éq. compatibilité<br>(Beltrami)<br>(1 + ν)Δσ<sub>ij</sub> + ∂<sup>2</sup>(trace σ&#773;) = 0 si grad f&#773; = 0</td></tr><tr><th>déformations</th><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>loi de comportement</th><td></td><td>ε&#773; = 1/2(ε&#773; - 1/2 trace(σ&#773;))I&#773;<sub>d</sub></td><td>σ&#773; = 2με&#773; + λtrace(ε&#773;)I&#773;<sub>d</sub></td></tr><tr><th>équations d'équilibre (statique)</th><td>éq. de Navier: (λ + μ)grad(div u&#773;) + μdiv(grad u&#773;) + ρu&#773; = 0</td><td></td><td>div σ&#773; + ρf&#773; = 0<br>∂<sub>x</sub>σ&#773; + ∂<sub>y</sub>σ&#773; + ∂<sub>z</sub>σ&#773; + f<sub>x</sub> = 0<br>∂<sub>x</sub>σ&#773; + ∂<sub>y</sub>σ&#773; + ∂<sub>z</sub>σ&#773; + f<sub>y</sub> = 0<br>∂<sub>x</sub>σ&#773; + ∂<sub>y</sub>σ&#773; + ∂<sub>z</sub>σ&#773; + f<sub>z</sub> = 0</td></tr><tr><th>condition aux limites en contraintes</th><td></td><td></td><td>T&#773;(P, n&#773;) = σ&#773;n&#773; = F&#773;<sub>d</sub> sur Γ<sub>f</sub></td></tr><tr><th>passage contrainte torseur</th><td></td><td></td><td>N = ∫<sub>S</sub> σ<sub>x,x</sub>dS<br>T<sub>y</sub> = ∫<sub>S</sub> σ<sub>x,y</sub>dS<br>T<sub>z</sub> = ∫<sub>S</sub> σ<sub>x,z</sub>dS<br>M<sub>x</sub> = ∫<sub>S</sub> σ<sub>θ,x</sub>rdS<br>M<sub>y</sub> = ∫<sub>S</sub> σ<sub>x,x</sub>z dS<br>M<sub>fz</sub> = −∫<sub>S</sub> σ<sub>x,x</sub>ydS</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Table 7.2: Équations de la mécanique des solides déformables dans le cas d'une modélisation unidimensionnelle en cinématique 3.</caption><thead><tr><th></th><th>torseur des déplacements</th><th>torseur des déformations</th><th>torseur des efforts intérieurs</th></tr></thead><tbody><tr><td>condition aux limites en déplacement</td><td>{U} =<br> {ω} =<br> {u} =</td><td>{Def} =<br> {α<sub>x</sub>x + α<sub>y</sub>y + α<sub>z</sub>z} =<br> {ε<sub>x</sub>x + γ<sub>y</sub>y + γ<sub>z</sub>z} =</td><td>{τ<sub>int</sub>} =<br> {Nx + Ty + Tz} =<br> {Mx + My + Mz} =</td></tr><tr><td>passage déplacements déformations</td><td>formules de Bresse (fonction de ε<sub>x</sub>, γ<sub>y</sub>, ...)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>loi de comportement</td><td>formules de Bresse (fonction de N, T<sub>y</sub>, ...)</td><td>α<sub>x</sub> = M<sub>x</sub>/GI<sub>0</sub><br> α<sub>y</sub> = M<sub>fy</sub>/EI<sub>Hy</sub><br> α<sub>z</sub> = M<sub>fz</sub>/EI<sub>Hz</sub><br> ε<sub>x</sub> = N/ES<br> γ<sub>y</sub> = T<sub>y</sub>/GS<sub>y</sub><br> γ<sub>z</sub> = T<sub>z</sub>/GS<sub>y</sub></td><td>M<sub>x</sub> = α<sub>x</sub>GI<sub>0</sub><br> M<sub>fy</sub> = α<sub>y</sub>EI<sub>Hy</sub><br> M<sub>fz</sub> = α<sub>z</sub>EI<sub>Hz</sub><br> N = ε<sub>x</sub>ES<br> T<sub>y</sub> = γ<sub>y</sub>GS<sub>y</sub><br> T<sub>z</sub> = γ<sub>z</sub>GS<sub>z</sub></td></tr><tr><td>équations d'équilibre (poutre droite)</td><td></td><td></td><td>p<sub>x</sub> + <sup>dx</sup>&frasl;<sub>dx</sub> = 0<br> p<sub>y</sub> + <sup>dy</sup>&frasl;<sub>dy</sub> = 0<br> p<sub>z</sub> + <sup>dz</sup>&frasl;<sub>dz</sub> = 0<br> c<sub>x</sub> + <sup>M<sub>fx</sub></sup>&frasl;<sub>ds</sub> = 0<br> c<sub>y</sub> + <sup>M<sub>fy</sub></sup>&frasl;<sub>ds</sub> = 0<br> c<sub>z</sub> + <sup>M<sub>fz</sub></sup>&frasl;<sub>ds</sub> = 0</td></tr><tr><td>condition aux limites en chargement</td><td></td><td></td><td>-{τ<sub>s+</sub>} + {τ<sub>s-</sub>} = {τ<sub>d</sub>}</td></tr><tr><td>passage</td><td></td><td></td><td>σ<sub>xx</sub> = N<sup>2</sup>/S + <sup>M<sub>fx</sub>z</sup>&frasl;<sub>H<sub>z</sub>z</sub> - <sup>M<sub>fx</sub>y</sup>&frasl;<sub>H<sub>z</sub>z</sub></td></tr><tr><td>torseur contrainte</td><td></td><td></td><td>σ<sub>yx</sub> = <sup>T<sub>y</sub>g<sub>y</sub>(ỹ,z̃)</sup>&frasl;<sub>S</sub><br> σ<sub>zx</sub> = <sup>T<sub>z</sub>g<sub>z</sub>(ỹ,z̃)</sup>&frasl;<sub>S</sub><br> σ<sub>yy</sub> = 0<br> σ<sub>yz</sub> = 0<br> σ<sub>zz</sub> = 0<br> σ<sub>θx</sub> = <sup>M<sub>x</sub>T̃q<sub>θ</sub>(ỹ,z̃)</sup>&frasl;<sub>I<sub>0</sub></sub></td></tr></tbody></table>
http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=018. Regarde-la.

Que représentent dans la table 3.2, les formules de Bresse qui ne sont pas détaillées. Est-ce normal ? La réponse est dans la vidéo 017 disponible sur
http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=017. Regarde-la.

Le module de Young E peut aussi dépendre de s et quelle est la signification de la lettre S ? La réponse est dans la vidéo 320 disponible sur
http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=320. Regarde-la.

## 7.1.2 Analyse à l'échelle locale 3D

Nous ne rappellerons que quelques définitions de l'élasticité linéaire isotrope.

Qu'est ce qu'un matériau orthotrope ? La réponse est dans la vidéo 244 disponible sur
http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=244. Regarde-la.

* Les différentes possibilités de déformations d'un volume élémentaire (dx dy dz). On définit les 3 déformations d'allongement (ou de contraction) $\epsilon_{xx}$, $\epsilon_{yy}$, $\epsilon_{zz}$, ainsi que les 6 déformations de cisaillement $\epsilon_{xy}$, $\epsilon_{yz}$, $\epsilon_{zx}$, $\epsilon_{yx}$, $\epsilon_{zy}$, $\epsilon_{xz}$.

* Tenseur des déformations. Ces 9 composantes peuvent être ordonnées dans une matrice associée au tenseur des déformations $\bar{\epsilon}$. Ce tenseur est symétrique de part sa construction. Il y a donc 6 composantes indépendantes.

* Tenseur des contraintes. Il est associé aux contraintes agissant sur chaque facette d'un parallélépipède. La facette de normale $\vec{x}$ subit les contraintes $\sigma_{xx}$, $\sigma_{yx}$, $\sigma_{zx}$. Nous appellerons $E$ le module de Young du matériau (en Pa). Nous appellerons $\nu$ le coefficient de Poisson du matériau (sans unité). Nous appellerons $G = \frac{E}{2(1+\nu)}$ le module de Coulomb du matériau (en Pa). La loi de comportement permettant de passer du tenseur des déformations au tenseur des contraintes est,

$$ \bar{\epsilon} = \frac{1 + \nu}{E} \bar{\sigma} - \frac{\nu}{E} \text{trace}(\bar{\sigma}) \bar{I}_d, \quad (7.1) $$

ou

$$ \bar{\sigma} = 2\mu\bar{\epsilon} + \lambda\text{trace}(\bar{\epsilon})\bar{I}_d, \quad (7.2) $$

avec les deux coefficients de Lamé donnés par,

$$ \mu = \frac{E}{2(1+\nu)} = G, \quad (7.3) $$

$$ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}. \quad (7.4) $$

Qu'est-ce qu'un tenseur ? La réponse est dans la vidéo 058 disponible sur
http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=058. Regarde-la.

Pourquoi parle-t-on de tenseur ? La réponse est dans la vidéo 074 disponible sur
http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=074. Regarde-la.

On rappelle que la trace d'une matrice est la somme des termes sur la diagonale de celle-ci.

<caption>Tableau 1 : Caractéristiques de plusieurs matériaux.</caption>
<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Figure 7.10: Un vecteur et un pseudo-vecteur ne sont pas transformés de la même façon par un plan de symétrie.</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th>matériau</th><th>Mod. de Young<br>10<sup>9</sup> Pa</th><th>Coeff.<br>de Poisson</th><th>lim. élas. trac.<br>10<sup>6</sup> Pa</th><th>lim. élast. compr.<br>lim. élas. traction</th><th>masse vol.<br>kg/m<sup>3</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>acier</td><td>210</td><td>0.285</td><td>200 à 600</td><td>1</td><td>7800</td></tr><tr><td>aluminium AU4G</td><td>75</td><td>0.33</td><td>20 à 25</td><td>1</td><td>2800</td></tr><tr><td>béton</td><td>14 à 21</td><td>0.3</td><td>30</td><td>11</td><td>1900</td></tr><tr><td>bronze</td><td>100</td><td>0.31</td><td>126</td><td>3</td><td>8400</td></tr><tr><td>cuivre</td><td>100</td><td>0.33</td><td>180</td><td>1.3</td><td>8900</td></tr><tr><td>fonte</td><td>100</td><td>0.29</td><td>200 à 530</td><td>3.3</td><td>7100</td></tr><tr><td>laiton</td><td>92</td><td>0.33</td><td>50 à 290</td><td>1.4</td><td>7300</td></tr><tr><td>marbre</td><td>25</td><td>0.3</td><td>50</td><td>15</td><td>2800</td></tr><tr><td>plexiglass</td><td>2.9</td><td>0.4</td><td>8</td><td>1.2</td><td>1800</td></tr><tr><td>titane</td><td>100</td><td>0.34</td><td>100 à 225</td><td>1</td><td>4510</td></tr><tr><td>verre</td><td>60</td><td>à 0.3</td><td>50 à 80</td><td>10</td><td>2530</td></tr></tbody></table>

### 7.1.3 Analyse à l'échelle 1D

On doit définir des grandeurs "équivalentes" à celles utilisées en 3D, au point de la section droite appartenant à la fibre moyenne. Cette fibre moyenne est la ligne qui relie l'ensemble des barycentres des sections droites de la poutre. Une section droite est une coupure de la poutre dans le plan qui contient les deux plus petites dimension. Nous utiliserons des torseurs : torseur de chargement, de mouvement possible à une liaison, de déplacement, d'inter-effort, de déformation, d'effort intérieur. Un torseur est toujours composé d'un vecteur appelé résultante $\vec{R}$ et d'un pseudo-vecteur appelé moment $\vec{M}$, et il est exprimé nécessairement en un point A. Pour ceux qui ne se souviennent plus de ce qu'est un pseudo-vecteur, consultez le cours sur les tenseurs de 3A [2]. Dans le cas d'un torseur de chargement, la figure 7.10 illustre que les forces $F_i$ et les couples $C_i$ en un point A ne subissent pas les mêmes transformations par un plan de symétrie : la force est un vecteur, le couple, un pseudo-vecteur.

Pour changer d'un point A à un point B, la formule de changement de point d'un torseur est à connaître.

Pour un torseur de chargement, d'inter-effort ou d'effort intérieurs :

$$ \{\tau\} = \left\{ \begin{matrix} \vec{R} \\ \vec{M}_A \end{matrix} \right\}_A = \left\{ \begin{matrix} \vec{R} \\ \vec{M}_B \end{matrix} \right\}_B = \left\{ \begin{matrix} \vec{R} \\ \vec{M}_A + \vec{R} \wedge \vec{A}B \end{matrix} \right\}_B. \qquad (7.5) $$

Un moyen mnémotechnique pour retenir la formule de changement de point, est de vous souvenir de votre héro de jeunesse "BABAR" : $\vec{M}_B = \vec{M}_A + \vec{A}B \wedge \vec{R}$.

Pour un torseur de déplacement :

$$ \{ U \} = \left\{ \begin{matrix} \vec{\omega} \\ \vec{u}_A \end{matrix} \right\}_A = \left\{ \begin{matrix} \vec{\omega} \\ \vec{u}_B \end{matrix} \right\}_B = \left\{ \begin{matrix} \vec{\omega} \\ \vec{u}_A + \vec{\omega} \wedge \vec{A}B \end{matrix} \right\}_B. \qquad (7.6) $$
<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Figure 7.11: Un bureau plein d'objets manufacturés (pas de remarque sur le rangement... merci !)</figcaption></figure>

• **Erreur classique** : Il ne faut pas oublier de préciser, pour tout torseur, en quel point il est exprimé.

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir le brevet
078. Si vous avez des difficultés, je vous invite à contacter la référente du brevet correspondant.

brevet 0078 : Identification de poutres parmi des objets manu-
facturés
auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
*De l'élasticité à la théorie des poutres et de regarder les vidéos afférentes.*

Déterminez parmi les objets présents sur la figure 7.11, au moins 6 objets
qui soient modélisables par une poutre, ou dont une partie est modélisable
par une poutre.

7.1.4 Principes et lois

Nous développerons une théorie linéaire, donc nous vérifierons le principe de superposition : si un chargement 1 implique un champ de torseurs de déplacement 1, un chargement 2 implique une champ de torseurs de déplacement 2, alors appliquer la somme des deux chargements implique un champ de déplacement somme des deux champs précédents.

Le principe de St Venant, exprime que la solution de la théorie des poutres fournie est admissible
loin des points de chargement, de liaison, des discontinuités de fibre moyenne et de sa dérivée et
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>Figure 7.12: Les concepts à la description du mouvement de la fibre moyenne.</figcaption></figure>

des variations brusques de section.

Le mouvement d'un point M de la poutre sera associé au mouvement du point H de la section droite à laquelle il appartient. Il est donc nécessaire de définir le type de lien cinématique entre le point M et le point H. Différentes hypothèses de cinématique de section droite sont possibles :

* de Bernoulli : une section plane reste plane et normale à la fibre moyenne. Nous la nommerons plus tard, *cinématique numéro 2*,

* de Timoshenko : une section plane reste plane,

* de Bernoulli généralisée : une section plane peut se voiler. Nous la nommerons plus tard, *cinématique numéro 3*.

La rigidité équivalent de la section droite sera dépendante de la cinématique choisie.

### 7.1.5 Cinématique d'un point de la fibre moyenne

Ce paragraphe concerne les étapes mises en gras dans le synopsis figure 7.12.

* Le torseur des déplacements du barycentre d'une section peut être écrit

$$ \{U\} = \left\{ \begin{matrix} \tilde{\omega} \\ \tilde{u} \end{matrix} \right\}_H, \qquad (7.7) $$

avec $\tilde{\omega}$ l'angle dont à tourné la section droite, $\tilde{u}$ le déplacement du point H. Les unités S.I. de $\omega$ est le radian qui est sans dimension, celles de $u$ est le m.

*Qu'est-ce qu'un torseur des déplacements ?* La réponse est dans la vidéo 056 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=056. Regarde-la.

* Le torseur des déformations entre deux points $H(s)$ et $H(s + ds)$ éloignés l'un de l'autre de $ds$ qui peut être pris infiniment petit, est défini par :

$$ \{Def\}_H = \lim_{ds \to 0} \frac{1}{ds} \left( \{U\}_{H(s+ds)} - \{U\}_{H(s)} \right). \qquad (7.8) $$

Tout calculs faits (voir figure 7.13), on obtient,

$$ \{Def\}_H = \left\{ \begin{matrix} \frac{d\tilde{\omega}}{ds} \\ \frac{d\tilde{u}}{ds} - \tilde{\omega} \wedge \tilde{x} \end{matrix} \right\}_H. \qquad (7.9) $$
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>Figure 7.13: Démonstration de l’expression du torseur des déformations.</figcaption></figure>

Pour cette démonstration, vous noterez qu’est effectué un développement de Taylor des variables et que seuls les termes d’ordre 2 sont conservés. Si entre deux points $H$ et $H’$, le mouvement est celui d’un solide rigide, les deux torseurs sont reliés par la formule de changement de point, alors le torseur des déformations est nul.

Attention ! Dans ce cours,

• $\tilde{\omega}$ désigne un angle de rotation (en radian), et non une vitesse de rotation (dans le torseur cinématique d'un solide, elle était notée $\tilde{\Omega}_{S2/S1}$).

• $\vec{u}$ désigne un déplacement (en mètre)

• Ils sont donnés par rapport au repère global $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$

### 7.1.6 Efforts intérieurs

#### Calcul du torseur des efforts intérieurs

Ce paragraphe concerne les étapes mises en gras dans le synopsis figure 7.14.

Dans ce cours, pour le torseur des efforts intérieurs, la résultante sera notée $\vec{R}_{int}$, le moment sera noté $\vec{M}_{int}$.

On oriente la poutre. Soit le point $H$ d'abscisse $s$. On notera $seg+$ la demi poutre dont les abscisses sont supérieures à $s$. On notera $seg-$ la demi poutre dont les abscisses sont inférieures à $s$.
<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>Figure 7.14: Les concepts utiles à la détermination du degré d’hyperstatisme et des réactions aux liaisons.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>Figure 7.15: Définition du torseur des efforts intérieurs.</figcaption></figure>

Si le paramétrage est donné, on veillera pour la simplicité des calculs, à orienter la poutre dans le même sens que les paramètres sont croissants ($s$ croissants ou $\theta$ croissant).

Prenons comme définition que le torseur des efforts intérieur représente les actions de la partie $seg+$ sur la partie $seg-$ (voir figure 7.15).

Si l'on isole le segment $seg-$, celui-ci est sollicité par des torseurs extérieurs (de chargement ou de liaison) sur le segment $seg+$ et par le torseur des efforts intérieurs. Ce segment étant à l'équilibre, la somme des torseurs doit être nulle, donc on obtient l'égalité,

$$ \{\tau_{eff.int.}\} = - \sum_{seg-} \{\tau_{ext} \to seg-\}. \qquad (7.10) $$

Nous aurions aussi pu isoler le segment $seg +$. Celui-ci est sollicité par des torseurs extérieurs (de chargement ou de liaison) sur le segment $seg+$ et par un torseur qui est l'opposé du torseur des efforts intérieurs par le principe d'action et de réaction. Nous faisons ici l'hypothèse qu'au point de coupure $H$ il n'y a pas de force concentrée. Ce segment étant à l'équilibre, la somme des torseurs doit être nulle, donc on obtient l'égalité,

$$ \{\tau_{eff.int.}\} = \sum_{seg+} \{\tau_{ext} \to seg+\}. \qquad (7.11) $$

On note donc que nous disposons à chaque fois de deux manières de calculer le torseur des efforts intérieurs, en utilisant soit la partie $seg+$ soit la partie $seg-$. Les deux méthodes donnent le
même résultat, car la poutre, dans sa globalité seg+ U seg- est en équilibre. C'est à vous de choisir le segment qui implique le moins de calcul. Par exemple, si sur l'un des segments il y a des liaisons et des chargements, et sur l'autre que des chargements (par définition connus), c'est ce dernier segment qu'il faut utiliser car cela vous évite d'avoir à calculer les inconnues aux liaisons, et donc de faire l'équilibre global de la structure, déterminer son degré d'hyperstatisme, and so on....

En général, la connaissance du torseur des efforts intérieurs est nécessaire sur l'ensemble de la poutre. Plusieurs cas doivent être étudiés en faisant varier le point H, car lorsque s croît, à chaque passage d'un chargement, le torseur de chargement passe du segment seg+ au segment seg-.

Quelle est l'influence de l'orientation d'une poutre ? La réponse est dans la vidéo 535 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=535. Regarde-la, puis évalue son intérêt.

Dans la démarche pour trouver le torseur de cohésion, que faut-il faire après avoir fais le PFS ? Doit-on le ramener au point où on l'étudie ? La réponse est dans la vidéo 538 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=535. Regarde-la, puis évalue son intérêt.

Dans le cas de l'équilibre total de la poutre, doit-on prendre en compte la gravité en ne prenant en compte que la moitié de la poutre ? La réponse est dans la vidéo 539 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=535. Regarde-la, puis évalue son intérêt.

• **Erreur classique** : Si vous oubliez de définir l'orientation de la poutre par une phrase ("La poutre est orientée de A vers D") ou par une flèche sur le dessin du système, alors, le correcteur ne pourra être sûr que votre démarche est correcte : cela peut entraîner un échec à la tentative de ceinture.

**Exemple** Dans le premier exemple (figure 7.16, le calcul du torseur des efforts intérieurs ne nécessite pas la détermination des inconnues aux liaisons. On remarquera dans cet exemple que deux cas sont à étudier en fonction de la position du point H.

**Composantes du torseur des efforts intérieurs** La détermination du torseur des efforts intérieurs en un point H est généralement faite dans le repère global ($O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Son expression peut même être donnée en un point différent de H. Néanmoins, si le type de sollicitation vous est demandé, et c'est toujours le cas, il est nécessaire

1. d'exprimer ce torseur au point H

2. de l'exprimer dans le repère local au point H qui prenne en compte l'orientation locale de la poutre et de la forme de sa section droite.

En effet, si par exemple le torseur des efforts intérieur comporte une force $F\vec{j}$ la réponse en déformation de la poutre sera différente si la direction $\vec{j}$ est parallèle à la fibre moyenne ou perpendiculaire.

Soit ($H, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$) le repère local tel que,

• $H\vec{x}$ tangent à la fibre moyenne,

• $H\vec{y}$ et $H\vec{z}$ axes principaux de la section droite,

Pourquoi est-il indispensable de calculer le torseur des efforts intérieurs dans une base locale ? La réponse est dans la vidéo 303 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=303. Regarde-la.

$$ \{\tau_H\} = \begin{Bmatrix} \vec{R} \\ \vec{M} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} N\vec{x} + T_y\vec{y} + T_z\vec{z} \\ M_x\vec{x} + M f_y\vec{y} + M f_z\vec{z} \end{Bmatrix}_H, \qquad (7.12) $$
<figure><img src="image_36.png" /></figure>

* Calcul du torseur des efforts intérieurs en H₂

$$
\begin{align*}
\{ \mathcal{L}_{\text{eff int}} \}_{H_2} &= + \sum_{\text{seg}+} \{ \mathcal{L}_{\text{cent}} \} \\
&= \left\{ \begin{matrix} -F_1 \vec{t} \\ \vec{t} \end{matrix} \right\}_{E} \\
&= \left\{ \begin{matrix} -F_1 \vec{t} \\ \vec{t} + (-F_1 \vec{t}) \times \vec{E} H_2 \end{matrix} \right\}_{H_2} \\
&= \left\{ \begin{matrix} -F_1 \vec{t} \\ F_2 (l_2 - s_3) \vec{k} \end{matrix} \right\}_{H_2}
\end{align*}
$$

* calcul du torseur des efforts intérieurs en H₁

$$
\begin{align*}
\{ \mathcal{L}_{\text{eff int}} \}_{H_1} &= + \sum_{\text{seg}+} \{ \mathcal{L}_{\text{cent}} \} \\
&= \left\{ \begin{matrix} -F_1 \vec{t} \\ \vec{t} \end{matrix} \right\}_{E} + \left\{ \begin{matrix} F_2 \vec{j} \\ \vec{t} \end{matrix} \right\}_{B} \\
&= \left\{ \begin{matrix} -F_1 \vec{t} \\ -F_1 \vec{t} \times \vec{E} H_1 \end{matrix} \right\}_{H_1} + \left\{ \begin{matrix} F_2 \vec{j} \\ F_2 \vec{j} \times \vec{B} H_1 \end{matrix} \right\}_{H_1} \\
&= \left\{ \begin{matrix} -F_1 \vec{t} \\ F_1 l_2 \vec{k} \end{matrix} \right\}_{H_1} + \left\{ \begin{matrix} F_2 \vec{j} \\ F_2 (\frac{l_1}{2} - l_1) \vec{k} \end{matrix} \right\}_{H_1} \\
&= \left\{ \begin{matrix} -F_1 \vec{t} + F_2 \vec{j} \\ F_1 l_2 + F_2 (\frac{l_1}{2} - l_1) \vec{k} \end{matrix} \right\}_{H_1}
\end{align*}
$$

<caption>Figure 7.16: Exemple de détermination du torseur des efforts intérieurs pour un système 2D.</caption>
avec,

• $N$ : effort normal,

• $T_y$ : effort tranchant suivant la direction $\vec{y}$,

• $T_z$ : effort tranchant suivant la direction $\vec{z}$,

• $M_x$ : moment de torsion,

• $Mf_y$ : moment fléchissant autour de l'axe $H\vec{y}$,

• $Mf_z$ : moment fléchissant autour de l'axe $H\vec{z}$.

On écrira donc le torseur des efforts intérieurs, au point $H$ et dans ce repère local, afin de pouvoir identifier les types de sollicitation que la poutre subit.

**Exemple** Si l'on reprend le cas tridimensionnel précédemment traité, la détermination des composantes

• au point $H_1$ donne un effort normal $N_1 = -F_1$, un effort tranchant dans la direction $\vec{y}$, $T_{y1} = F_2$, et un moment fléchissant autour de l'axe $H\vec{z}$ $M_{fz1} = F_1(l_2) + F_2(l_1/2 - s_1)$. En effet, repère local et global sont confondus : $\vec{x} = \vec{i}, \vec{y} = \vec{j}$ et $\vec{z} = \vec{k}$.

• au point $H_2$ compris entre B et D, donne un effort normal $N_2 = -F_1$, et un moment fléchissant autour de l'axe $H\vec{z}$ $M_{fz2} = F_1 l_2$. En effet, repère local et global sont confondus.

• au point $H_2$ compris entre D et E, donne un effort tranchant dans la direction $\vec{y}$ $T_{y2} = F_1$, et un moment fléchissant autour de l'axe $H\vec{z}$ $M_{fz2} = F_1(l_2 - s_3)$. En effet, repère local et global ne sont plus confondus : $\vec{x} = \vec{j}, \vec{y} = -\vec{i}$ et $\vec{z} = \vec{k}$.

• **Erreur classique** : Pour déterminer les composantes d'un torseur des efforts intérieurs, il ne faut pas oublier avant identification, d'exprimer ce torseur dans le repère local au point $H$.

• **Erreur classique** : Il ne faut pas confondre le moment $M$ à une liaison, et un moment fléchissant $M_f$ ou de torsion $M_x$ : l'un traduit les efforts et moments transmissibles (qui peuvent être exprimés dans n'importe quel repère), l'autre des efforts et moments à l'intérieur de la poutre (qui ne peuvent être exprimés que dans le repère local au point $H$ de cette poutre.)

• **Erreur classique** : Les composantes du torseur des efforts intérieurs doivent être exprimées en fonction des chargements et des inconnues hyperstatiques. Si vous les laissez en fonction des inconnues aux liaisons, vous ne trouverez pas les contraintes, déplacements et rotations en fonction du chargement.

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir les brevets 002, 005, 018, 001 et 803. Si vous avez des difficultés, je vous invite à vous appuyer sur le "coup de pouce" qui décrit la démarche théorique à suivre, mais aussi à contacter le référent du brevet.
brevet 002 : choix du secteur aval ou amont à utiliser pour le calcul du torseur des efforts intérieurs
auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
*Efforts intérieurs* et de regarder les vidéos afférentes.

Soient les points A,B,C,D,E positionnés tels que $\vec{AB} = l\vec{i} + a\vec{j}$, $\vec{AC} = 2l\vec{i}$,
$\vec{AE} = 2.5\vec{i}$, $\vec{AD} = 3\vec{i}$. Soit une poutre formée par les lignes droites AB,
BC, CE et ED. Cette poutre est en appui simple en A et en appui sur
rouleau de normale $\vec{j}$ en C. Elle résiste vaillamment à une charge répartie
sur le segment ED de force linéique $d\vec{F} = p \, dx\vec{j}$. Soient ($H_1, H_2, H_3$)
les points courants des fibres moyennes AC, CE et ED. La poutre est
orientée de A vers D.

Donnez pour chaque point $H_1, H_2, H_3$, la définition du torseur des efforts intérieurs que vous utiliserez pour faire le moins de calculs possibles (vers l'aval ou vers l'amont ?).

brevet 005 : torseur des efforts intérieurs dans le cas d'un charge-
ment linéique.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
*Efforts intérieurs* et de regarder les vidéos afférentes.

Soient les points A,B positionnés tels que $\vec{AB} = l\vec{i}$. La poutre est formée
par une ligne moyenne rectiligne entre A et B. Elle est encastrée en A et
chargée aux points P du tronçon AB tel que $\vec{AP} = x_p\vec{i}$ par une charge
répartie $d\vec{F}_1 = a x_p dx_P \vec{j}$, et une charge concentrée en B : $\vec{F}_2 = -F_2\vec{j}$.

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points et les éventuels repères locaux.

Quel est le torseur des efforts intérieurs en un point H tel que $\vec{AH} = x_H \vec{i}$.
Application numérique : $F_2 = 100 \text{ N}$, $l = 0.200 \text{ m}$, $a = 200 \text{ N.m}^{-2}$,
$x_H = 0.100 \text{ m}$.

brevet 018 : torseur des efforts intérieurs et torseur de charge-
ment.

auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
*Efforts intérieurs* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit le problème plan, formé par une poutre constituée d'un segment de
droite AB, tel que $\vec{AB} = l_1\vec{i}$. Le point A est encastré. Soit un chargement
au point B constitué d'un couple $C\vec{k}$. Soit H un point courant compris
entre A et B. La poutre est orientée de B vers A.

Le torseur,

$$
\{\tau_1\} = \begin{Bmatrix} 0 \\ C \vec{k} \end{Bmatrix}_H \qquad (7.13)
$$

est-il un torseur des efforts intérieur ou un torseur de chargement ?
brevet 001 : orientation de fibre moyenne et repère local
auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
*Efforts intérieurs* et de regarder les vidéos afférentes.

Soient quatre points A,B,C,D positionnés tels que $\vec{BC} = l\vec{i}$, $\vec{BD} = -R\vec{j}$,
$\vec{BA} = -2R\vec{j}$. Soit une poutre de fibre moyenne AB (1/2 cercle de rayon
R de centre D) et BC (ligne droite). Au point B la ligne moyenne ne
fait pas de point anguleux. Soit un point $H_1$ de la fibre moyenne BC
repéré par $B\vec{H}_1 = x_{H1}\vec{i}$, et un point $H_2$ de la fibre moyenne AB repéré
par $D\vec{H}_2 = R\cos(\theta)\vec{j} - R\sin(\theta)\vec{i}$. La poutre est encastrée en C et en appui
sur rouleau de normale $\vec{j}$ en B.

Exprimez les repères locaux ($H_1, \vec{x_1}, \vec{y_1}, \vec{z_1}$) et ($H_2, \vec{x_2}, \vec{y_2}, \vec{z_2}$) en fonction
des vecteurs ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$) :

* si on oriente la poutre de A vers C

* si on oriente la poutre de C vers A

brevet 803 : Repère local associé à une fibre moyenne
auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
*Efforts intérieurs* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre en acier, de section circulaire de diamètre *d*, constituée d'un arc de cercle ABD de rayon *a* et d'un segment droit DE, dont les coordonnées des points A, B, D, E dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$) sont respectivement (-*a*,0,0), (0,*a*,0), (*a*,0,0) et (3*a*,0,0).

On notera $H_1$ un point courant de la poutre AD tel que $\vec{AH}_1 = a\vec{i} + a \cos \theta \vec{i} + a \sin \theta \vec{j}$.

On notera $H_2$ un point courant de la poutre DE tel que $\vec{DH}_2 = s_2\vec{i}$.

Donnez les relations entre le repère global ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$) et

* le repère local en $H_1$ : ($\vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1$),

* le repère local en $H_2$ : ($\vec{x}_2, \vec{y}_2, \vec{z}_2$),

ainsi que l'expression de *ds* par rapport aux paramètres *θ* et *s*₂.

7.1.7 Équations d'équilibre

Elles ne sont pas vues dans ce cours bien que figurant dans le second tableau du paragraphe 7.1.
Elles ne sont pas indispensables à la résolution de problème. Référez-vous à la bibliographie.
Formation à la compétence bleue de statique des poutres.

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

Sur

http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=210,
vous pouvez visualiser une présentation de
cette compétence. Le fichier est nommé 210
Compétence bleue de statique des poutres :
détermination du chargement maximal.
<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>Figure 7.17: Les concepts utiles à la détermination à venir de la loi de comportement de la fibre moyenne.</figcaption></figure>

### 7.1.8 Description de la section droite

Ce paragraphe concerne les étapes mises en gras dans le synopsis figure 7.17.

La théorie des poutres n'utilisant que la fibre moyenne, il est nécessaire d'associer à cette fibre moyenne des grandeurs décrivant la section droite.

* **Erreur classique** : Attention aux unités ! Les intégrales sont effectuées sur des surfaces et non des volumes (comme dans le cas du cours de mécanique générale), et la masse volumique n'apparaît pas (comme dans le cas du cours de mécanique générale).

#### Moment statique d'une aire plane

Si la section droite est notée $S$, et $\delta$ la distance entre un point $M$ de cette section droite et une droite $\Delta$ appartenant au plan de la section droite,

$$m_{\Delta} = \iint_{S} \delta dS. \qquad (7.14)$$

est le moment statique de cette section par rapport à la droite $\Delta$. Elle est homogène à une longueur³.

Un exemple de calcul de moment statique est fait figure 7.18.

#### Barycentre

Si $d_H$ est la distance entre le barycentre de la section droite et la droite $\Delta$ appartenant au plan de la section droite, et $S$ l'aire de la section droite, alors :

$$d_H = \frac{m_{\Delta}}{S}. \qquad (7.15)$$

Le distance est homogène à une longueur (Si! Si! N'est-ce pas formidable ?).

Un exemple de calcul du barycentre est fait figure 7.19.

* **Erreur classique** : Ne pas confondre le barycentre $H$ d'une section avec le centre de gravité $G$ de la poutre complète. Ils ne sont pas confondus pour une poutre faite en deux matériaux de masse volumique différentes dans l'épaisseur (par exemple un bilame).
<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>Figure 7.18: Exemple de détermination du moment statique d'une section droite triangulaire.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>Figure 7.19: Exemple de détermination du barycentre d'une section droite triangulaire.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>Figure 7.20: Exemples de définition de la distance δ pour chaque calcul de moment quadratique ou polaire.</figcaption></figure>

## Moment quadratique - rayon de giration - produit quadratique d'une aire plane

La figure 7.20 présente un exemple des différents axes autours desquels peuvent être calculés les moments quadratiques et polaire passant par le barycentre H d'une section droite.

Le moment quadratique par rapport à une droite Δ appartenant au plan de la section droite

$$I_{\Delta} = \iint_{S} \delta^{2} dS, \qquad (7.16)$$

est homogène à une longueur⁴. On peut donc l'écrire

* par rapport à l'axe $H\vec{y}$ :

$$I_{Hy} = \iint_{S} \tilde{z}^{2} dS, \qquad (7.17)$$

* par rapport à l'axe $H\vec{z}$ :

$$I_{Hz} = \iint_{S} \tilde{y}^{2} dS. \qquad (7.18)$$

Ce terme apparaîtra dans la loi de comportement en flexion : plus le point est éloigné de la fibre moyenne, plus il sera sollicité (proportionnalité à δ) et plus sa sollicitation créera un moment (à nouveau proportionnalité à δ) : d'où le terme en δ². A aire de section droite S constante, plus la matière est loin de la fibre moyenne, plus le moment quadratique est grand.

Si la section droite est notée S, δ la distance entre un point M de cette section droite et une droite Δ appartenant au plan de la section droite, et δ' la distance entre un point M de cette section droite et une droite Δ' appartenant au plan de la section droite, le produit quadratique de cette section par rapport aux deux axes δ et δ' est donné par

$$I_{\Delta\Delta'} = - \iint_{S} \delta \, \delta' \, dS, \qquad (7.19)$$

qui est homogène à une longueur⁴. Par exemple, par rapport aux axes $h\vec{y}$ et $H\vec{z}$ le produit quadratique s'écrit :

$$I_{Hyz} = - \iint_{S} \tilde{z} \, \tilde{y} \, dS. \qquad (7.20)$$
Quelle est la différence entre un moment quadratique et un produit quadratique... et avez-vous un exemple ? La réponse est dans la vidéo 534 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=534. Regarde-la, puis évalue son intérêt.

A l'aide de ces grandeurs, on peut construire le tenseur quadratique de la section droite. Par exemple, par rapport aux deux droites $H\vec{y}_1$ et $H\vec{z}_1$ avec $\vec{y}_1$ et $\vec{z}_1$ deux directions orthogonales entre elles, on obtient,

$$ \bar{\bar{I}}_H = \begin{bmatrix} I_{Hy_1} & I_{Hy_1 z_1} \\ I_{Hy_1 z_1} & I_{Hz_1} \end{bmatrix}_{(\vec{y}_1, \vec{z}_1) \otimes (\vec{y}_1, \vec{z}_1)}. \quad (7.21) $$

Les axes principaux d'une section droite, sont les deux axes $H\vec{y}$ et $H\vec{z}$ tels que les termes hors diagonale de ce tenseur sont nuls :

$$ \bar{\bar{I}}_H = \begin{bmatrix} I_{Hy} & 0 \\ 0 & I_{Hz} \end{bmatrix}_{(\vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{y}, \vec{z})}. \quad (7.22) $$

Pour la diagonalisation d'une matrice, veuillez consulter vos cours de math ou [10].

Qu'est ce physiquement qu'un moment quadratique ? La réponse est dans la vidéo 005 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=005. Regarde-la.

**Exemple** Les calculs d'un moment quadratique et d'un produit quadratique d'une section triangulaire par rapport à deux droites passant par son barycentre sont détaillés figures 7.21 et 7.22. Le calcul des directions principales et de l'expression du tenseur d'inertie dans cette base est donnée ci-dessous.

Si l'on prend comme dimensions de la section triangulaire $a = 3$ mm et $b = 2$ mm, le programme scilab (demo09.sce) suivant donne A la matrice associée au tenseur d'inertie dans la base $(\vec{y}_1, \vec{z}_1) \otimes (\vec{y}_1, \vec{z}_1)$, A2 la matrice associée au tenseur d'inertie dans la base $(\vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{y}, \vec{z})$ et X les vecteurs directeurs (en colonne) des deux directions principales.

//demo09.sce avec scilab

a=3;b=2;

iyy=a*b^3/36;izz=b*a^3/36;iyz=a^2*b^2/72;izy=iyz;

A=[iyy,iyz;izy,izz];

Ai

[A2,X]=bdiag(A);

A2

X

Ceci fournit les résultats :

$$ \bar{\bar{I}}_H = \begin{bmatrix} 0.67 & 0.5 \\ 0.5 & 1.5 \end{bmatrix}_{(\vec{y}_1, \vec{z}_1) \otimes (\vec{y}_1, \vec{z}_1)} \text{mm}^4. \quad (7.23) $$

$$ \bar{\bar{I}}_H = \begin{bmatrix} 0.43 & 0 \\ 0 & 1.73 \end{bmatrix}_{(\vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{y}, \vec{z})} \text{mm}^4. \quad (7.24) $$

$$ \vec{y} = -0.91\vec{y}_1 + 0.42\vec{z}_1, \quad (7.25) $$

$$ \vec{z} = -0.42\vec{y}_1 - 0.91\vec{z}_1. \quad (7.26) $$

Les deux vecteurs sont bien de norme 1. On remarquera dans ce cas que les directions principales ne sont pas parallèles à l'un des bords de la surface considérée. Les valeurs de moments quadratiques autour des deux axes principaux d'inertie sont les deux valeurs extrêmes (minimale et maximale) lorsque la base d'expression du tenseur d'inertie tourne autour de l'axe $H\vec{x}$.
<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>Figure 7.21: Exemple de détermination d'un moment quadratique d'une section droite triangulaire.</figcaption></figure>

$$
\begin{align*}
I_{H y_1 3_1} &= - \iint_S \vec{y} \cdot \vec{y} \, d\vec{y} \, d\vec{y} \\
&= - \int_{\vec{y}=-\frac{9}{3}}^{29/3} \left[ \int_{\vec{y}=-\frac{b}{3}}^{-\frac{b}{a}\vec{y} + \frac{b}{3}} \left( \vec{y} \cdot \vec{y} \right) d\vec{y} \right] d\vec{y} \\
&= \frac{a^2 b^2}{72} \quad (\text{muni minima!})
\end{align*}
$$

<caption>Figure 7.22: Exemple de détermination d'un produit quadratique d'une section droite triangulaire.</caption>
$$
\begin{align*}
I_0 &= \iint_S r^2 r dr d\theta \\
&= \int_{\theta=0}^{2\pi} \left[ \int_0^{d/2} r^3 dr \right] d\theta \\
&= \frac{d^4}{4 \cdot 2^4} \cdot 2 \pi^2 \\
&= \frac{\pi d^4}{32}
\end{align*}
$$

Figure 7.23: Exemple de détermination d'un moment polaire d'une section droite circulaire.

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir la
partie du brevet 006 associée au moment quadratique.

brevet 006 : Moment quadratique

auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] et cours "mécanique
générale" ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe
Moment quadratique - rayon de giration - produit quadratique d'une aire
plane et de regarder les vidéos afférentes.

Soit dans un repère global (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), un tube d'acier de masse volumique $\rho = 7800 \text{ kg.m}^{-3}$ de section circulaire de diamètre extérieur $d = 0.3 \text{ m}$, de diamètre intérieur $d_1 = 0.25 \text{ m}$, de longueur $l = 1.4 \text{ m}$, de centre d'inertie $G$, d'axe $G\vec{k}$.

Une section droite de ce cylindre, nécessite l'utilisation du repère local ($\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$), avec l'axe $\vec{x}$ parallèle à l'axe $\vec{k}$. Quel est le moment quadratique $I_{Hz}$ de la section droite passant par le point $H = G$ ?

moment polaire

Si la section droite est notée $S$, la normale à cette section $\vec{x}$ (tangent à la fibre moyenne), et $r$
la distance entre un point $M$ de cette section droite et la droite $H\vec{x}$, alors le moment polaire par
rapport à l'axe $H\vec{x}$

$$
I_0 = \iint_S r^2 dS. \tag{7.27}
$$

a la dimension d'une longueur⁴.

Quelles différences entre moment quadratique et moment polaire ? La réponse est dans la vidéo 007 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=007. Regarde-la.

**exemple** Le calcul du moment polaire d'une section circulaire est détaillé figure 7.23.

• **Erreur classique** : Ne pas confondre moment quadratique et moment d'inertie. Ils ne sont pas homogènes entre eux !
• **Érreur classique** : Ne pas confondre produit quadratique et produit d'inertie. Ils ne sont pas homogènes entre eux !

### 7.1.9 Annexe 1

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, nous vous invitons à obtenir les brevets 040 et 094. Si vous avez des difficultés, je vous invite à vous appuyer sur le "coup de pouce" qui décrit la démarche théorique à suivre, mais aussi à contacter le référent du brevet.

**brevet 040 : Moment polaire d'une section droite**

**auteur :** JM Génevaux ; **ressource :** cours techno-mécanique ;

**autoattribution** .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Moment quadratique - rayon de giration - produit quadratique d'une aire plane* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une section droite de section carré de coté $a = 10 \text{ mm}$, évidée en son centre par une section circulaire de diamètre $d = 5 \text{ mm}$.

Quelle est la valeur de son moment polaire $I_0$ par rapport à son axe $H\vec{x}$, avec $H$ son barycentre et $\vec{x}$ le vecteur normal à cette surface.

**brevet 094 : Comparaison expérimentale des moments polaires de deux poutres**

**auteurs :** JM Génevaux ; **ressource :** [?], **paragraphe** .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Moment quadratique - rayon de giration - produit quadratique d'une aire plane* et de regarder les vidéos afférentes.

Le problème est plan. Soit deux poutres de fibres moyennes reliant les points A et B, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Le point A est encastré et le point B est soumis à un couple $C\vec{i}$ (avec $C > 0$).

La première poutre est réalisée par le collage le long de leur génératrice de 7 spaguettis, tel que la section droite est représentée figure ??a. La seconde poutre est réalisée par le collage le long de leur génératrice de 6 spaguettis, tel que la section droite est représentée figure ??b. Pour les fabriquer, nous vous suggérons aux deux extrémités de la poutre, d'insérer un petit bout de spaguetti au centre tel que la longueur soit très inférieure à l : cela permettra de positionner les spaguettis.

L'encastrement et le couple sont appliqués à l'aide de vos mains.

## 7.2 Lois de comportement de la poutre

Ce paragraphe concerne les étapes mises en gras dans le synopsis figure 7.25.
<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>Figure 7.24: Un exemple de caractéristiques d'une section droite.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>Figure 7.25: Les concepts utiles à la détermination à venir de la loi de comportement de la fibre moyenne.</figcaption></figure>

## 7.2.1 Objectif

En l'état actuel, vous savez calculer le torseur des efforts intérieurs en tout point d'une poutre en fonction du chargement et d'éventuelles inconnues hyperstatiques. Deux types de démarche peuvent alors vous être demandées :

1. calculer les déplacements et rotations de sections droite en certains points de la poutre

2. calculer les contraintes maximales dans la poutre pour déterminer si les limites d'élasticité du matériau constitutif de la poutre ne sont pas dépassées.

La première démarche nécessite à partir des torseurs d'efforts intérieurs, de calculer les torseurs de déformation, puis le champs de déplacement et de rotation des points de la fibre moyenne. Ces calculs peuvent être fait en restant dans une description 1D si l'on connaît la relation entre les composantes du torseur des déformations et les composantes du torseur des efforts intérieurs. Pour démontrer ces relations il faut passer (voir figure 7.25) par une description locale 3D des déformations et contraintes engendrées en un point P de la section droite distant du point H de la fibre moyenne par un vecteur tel que $\vec{HP} = \tilde{y}\vec{y} + \tilde{z}\vec{z}$. Ces relations appelées *loi de comportement de la poutre* dépendent des hypothèses de cinématique prises dans la section droite. C'est pourquoi, nous étudierons 3 cas. Ces trois cas sont illustrés sur une poutre en flexion représentée figure 7.26.

Pouvez vous expliquer pourquoi il y a 3 cinématiques ? La réponse est dans la vidéo 536 disponible sur

http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=536. Regarde-la, puis évalue son intérêt.

## 7.2.2 1ère cinématique

### description de la cinématique

Le plan normal suit le torseur en H' sans se déformer dans le plan. On peut alors calculer le déplacement du point P' par rapport au point P (voir figure 7.27). On considère le torseur des déformations connu. La section droite passant par H' subit un mouvement de corps solide, donc les torseurs de déplacement sont les mêmes pour tous les points de la section droite.

### déformations

On calcule le tenseur des déformations du parallélépipède entre P et P' de cotés dŷ, dź, ds (voir figure 7.28). On évalue dans un premier temps le gradient de ū, en notant que $dx = ds$, $dy = dŷ$
<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>Figure 7.26: Les trois cinématiques des sections droites envisagées, illustrées dans le cas d'une poutre de section droite rectangulaire, sollicitée en flexion et effort tranchant.</figcaption></figure>

$$ \text{et } dz = d\tilde{z}. $$

### contraintes

On calcule le tenseur des contraintes nécessaire à l'obtention de ce tenseur des déformations (voir figure 7.29). On utilise pour cela la loi de comportement de l'élasticité tridimensionnelle, qui utilise les coefficients de Lamé $\mu$ et $\lambda$.

### torseur des efforts intérieurs

L'ensemble des contraintes sur les facettes de normale $\vec{x}$ aux points $P'$ de la section droite passant par $H'$, en se cumulant, réalisent les actions du segment seg+ sur le segment seg-. Elles doivent donc être équivalentes au torseur des efforts intérieurs. Il faut donc faire des intégrales sur la section droite (voir figure 7.30). Comme le point $H'$ est le barycentre de la section droite, les moments statiques sur l'ensemble de la section sont nuls : ceci fait disparaître quelques intégrales. D'autre part, $ds$ pouvant être pris infiniment petit, d'autres intégrales sont négligeables. Pour les termes de moment, apparaissent les moments quadratiques, le moment polaire et les produits quadratiques de la section droite. Ces derniers sont nuls si les axes $\vec{y}$ et $\vec{z}$ sont les directions principales de la section droite : c'est ce qui est choisi.

### écriture matricielle

Les 6 équations précédentes peuvent être écrites sous forme matricielles en faisant apparaître le module de Young $E$ et le coefficient de poisson $\nu$, grâce aux relations 7.3 les liants aux coefficients
<figure><img src="image_49.png" /></figure>

Mouvement de $P'$ :

$$
\begin{align*}
\{U\}_{P'} &= \{U\}_{H'} \\
&= \{\text{Def}\}_{H} \mathrm{d}s \\
&= \left\{ \begin{aligned} &\alpha_x \mathrm{d}\vec{x} + \alpha_y \mathrm{d}\vec{y} + \alpha_z \mathrm{d}\vec{z} \\ &\varepsilon_x \mathrm{d}s\vec{x} + \gamma_y \mathrm{d}s\vec{y} + \gamma_z \mathrm{d}s\vec{z} \end{aligned} \right\}_H \\
&= \left\{ \begin{aligned} &\alpha_x \mathrm{d}\vec{x} + \alpha_y \mathrm{d}\vec{y} + \alpha_z \mathrm{d}\vec{z} \\ &\varepsilon_x \mathrm{d}s\vec{x} + \gamma_y \mathrm{d}s\vec{y} + \gamma_z \mathrm{d}s\vec{z} \\ &+ (\alpha_x \mathrm{d}\vec{x} + \alpha_y \mathrm{d}\vec{y} + \alpha_z \mathrm{d}\vec{z}) \wedge (\tilde{y}\vec{y} + \tilde{z}\vec{z}) \end{aligned} \right\}_P \\
&= \left\{ \begin{aligned} &\alpha_x \mathrm{d}\vec{x} + \alpha_y \mathrm{d}\vec{y} + \alpha_z \mathrm{d}\vec{z} \\ &+ (\varepsilon_x \mathrm{d}s + \alpha_y \mathrm{d}s - \alpha_z \mathrm{d}s)\vec{x} \\ &+ (\gamma_y \mathrm{d}s - \alpha_x \mathrm{d}s\tilde{z})\vec{y} \\ &+ (\gamma_z \mathrm{d}s + \alpha_x \mathrm{d}s\tilde{y})\vec{z} \end{aligned} \right\}_P ,
\end{align*}
$$

d'où :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{u}_{P'} \cdot \vec{x} = \varepsilon_x \mathrm{d}s + \alpha_y \mathrm{d}s\tilde{z} - \alpha_z \mathrm{d}s\tilde{y} = u_x \\
\vec{u}_{P'} \cdot \vec{y} = \gamma_y \mathrm{d}s - \alpha_x \mathrm{d}s\tilde{z} = u_y \\
\vec{u}_{P'} \cdot \vec{z} = \gamma_z \mathrm{d}s + \alpha_x \mathrm{d}s\tilde{y} = u_z
\end{array}
\right.
$$

<caption>Figure 7.27: Calcul du déplacement relatif du point $P'$ par rapport au point $P$.</caption>
$$
\overline{\overline{\text{grad} \, u}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} & \frac{\partial u_x}{\partial z} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} & \frac{\partial u_y}{\partial z} \\ \frac{\partial u_z}{\partial x} & \frac{\partial u_z}{\partial y} & \frac{\partial u_z}{\partial z} \end{bmatrix} (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \\
= \begin{bmatrix} \varepsilon_x + \alpha_y \tilde{z} - \alpha_z \tilde{y} & -\alpha_z \text{d}s & \alpha_y \text{d}s \\ \gamma_y - \alpha_x \tilde{z} & 0 & -\alpha_x \text{d}s \\ \gamma_z + \alpha_x \tilde{y} & \alpha_x \text{d}s & 0 \end{bmatrix} (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})
$$

$$
\bar{\bar{\epsilon}} = \frac{1}{2} (\overline{\overline{\text{grad} \, u}} + {}^T \overline{\overline{\text{grad} \, u}})
$$
$$
= \begin{bmatrix}
\epsilon_x + \alpha_y \tilde{z} - \alpha_z \tilde{y} & & & (\text{sym}) \\
\frac{1}{2}(\gamma_y - \alpha_x \tilde{z} - \alpha_z \text{d}s) & 0 & & \\
\frac{1}{2}(\gamma_z + \alpha_x \tilde{y} + \alpha_y \text{d}s) & 0 & & \\
& & & (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})
\end{bmatrix}
$$

<caption>Figure 7.28: Calcul du tenseur des déformations pour la cinématique 1.</caption>

$$
\bar{\bar{\sigma}} = 2\mu\bar{\bar{\epsilon}} + \lambda \operatorname{trace}(\bar{\bar{\epsilon}})\mathrm{Id}
$$
$$
= \begin{bmatrix}
(2\lambda + \mu)(\varepsilon_x + \alpha_y \tilde{z} - \alpha_z \tilde{y}) & & & (\mathrm{sym}) \\
\mu(\gamma_y - \alpha_x \tilde{z} - \alpha_z \mathrm{d}s) & \lambda(\varepsilon_x + \alpha_y \tilde{z} - \alpha_z \tilde{y}) & & \\
\mu(\gamma_z + \alpha_x \tilde{y} + \alpha_y \mathrm{d}s) & 0 & \lambda(\varepsilon_x + \alpha_y \tilde{z} - \alpha_z \tilde{y}) & (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \otimes (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})
\end{bmatrix}
$$

<caption>Figure 7.29: Calcul du tenseur des contraintes pour la cinématique 1..</caption>
$$
\begin{align*}
N &= \int_{\tilde{y}} \int_{\tilde{z}} \sigma_{xx} \, d\tilde{y} \, d\tilde{z} \\
&= (2\mu + \lambda) \left[ \varepsilon_x \iint d\tilde{y} \, d\tilde{z} + \alpha_y \iint \tilde{z} \, d\tilde{y} \, d\tilde{z} - \alpha_z \iint \tilde{y} \, d\tilde{y} \, d\tilde{z} \right] \\
&= (2\mu + \lambda) \varepsilon_x S
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
T_y &= \int_{\tilde{y}} \int_{\tilde{z}} \sigma_{yx} \, d\tilde{y} \, d\tilde{z} \\
&= \mu \left[ \gamma_y \iint d\tilde{y} \, d\tilde{z} - \alpha_x \iint \tilde{z} \, d\tilde{y} \, d\tilde{z} - \lim_{ds \to 0} \left( \alpha_z \, ds \iint d\tilde{y} \, d\tilde{z} \right) \right] \\
&= \mu \gamma_y S
\end{align*}
$$

$T_z = \mu \gamma_z S$

$$
\begin{align*}
M_x &= \int_{\tilde{y}} \int_{\tilde{z}} -\sigma_{yx} \tilde{z} \, d\tilde{y} \, d\tilde{z} + \int_{\tilde{y}} \int_{\tilde{z}} \sigma_{zx} \tilde{y} \, d\tilde{y} \, d\tilde{z} \\
&= \alpha_x \iint \tilde{z}^2 \, d\tilde{y} \, d\tilde{z} + \alpha_x \iint \tilde{y}^2 \, d\tilde{y} \, d\tilde{z} \\
&= \alpha_x \iint \tilde{r}^2 \, d\tilde{y} \, d\tilde{z} \qquad \text{avec } \tilde{r}^2 = \tilde{y}^2 + \tilde{z}^2 \\
&= \alpha_x I_0
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
M_{fy} &= \int_{\tilde{y}} \int_{\tilde{z}} \sigma_{xx} \tilde{z} \, d\tilde{y} \, d\tilde{z} \\
&= (2\mu + \lambda) \left[ \alpha_y \iint \tilde{z}^2 \, d\tilde{y} \, d\tilde{z} - \alpha_z \iint \tilde{z} \tilde{y} \, d\tilde{y} \, d\tilde{z} \right] \\
&= (2\mu + \lambda) \alpha_y I_{Hy}
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
M_{fz} &= - \int_{\tilde{y}} \int_{\tilde{z}} \sigma_{xx} \tilde{y} \, d\tilde{y} \, d\tilde{z} \\
&= (2\mu + \lambda) \alpha_z I_{Hz}
\end{align*}
$$

Figure 7.30: Calcul du composantes du torseur des efforts intérieurs la cinématique 1..
de Lamé.

$$ \begin{bmatrix} N \\ T_y \\ T_z \\ M_x \\ M_{fy} \\ M_{fz} \end{bmatrix} = \dots \qquad (7.28) $$

$$ \dots \quad \begin{bmatrix} \frac{ES(-1+\nu)}{(1+\nu)(-1+2\nu)} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{ES}{2(1+\nu)} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ES}{2(1+\nu)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{Ebh(b^2+h^2)}{2(1+\nu)12} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{Ebh^3(-1+\nu)}{12(1+\nu)(-1+2\nu)} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{Ebh^3(-1+\nu)}{12(1+\nu)(-1+2\nu)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \epsilon_x \\ \gamma_y \\ \gamma_z \\ \alpha_x \\ \alpha_y \\ \alpha_z \end{bmatrix} \quad (7.29) $$

## incompatibilité

Cette cinématique implique que les contraintes $\sigma_{yy}$ et $\sigma_{zz}$ ne sont pas nulles dans la section droite, donc à fortiori sur les surface latérales de la poutre. Or, sur ces surfaces non chargées, les contraintes exercées par l'air sur la poutre sont nulles. Il y a donc contradiction entre la réalité et le modèle associé à la cinématique 1. Prenons l'exemple d'un torseur des déformations ne comportant que le terme $\epsilon_x$. Tous les petits parallélépipèdes entre les points P et P' s'allongent de la valeur $\epsilon_x ds$. De part l'effet Poisson, ils souhaitent se contracter dans les directions $\vec{y}$ et $\vec{z}$. Or la cinématique 1 choisie, d'un mouvement en bloc rigide d'une section droite les en empêche. Cette cinématique n'est pas réaliste pour une poutres non bloquée sur toutes ses surfaces latérales.

Il nous faut chercher une cinématique telles que sur les surfaces latérales les contraintes $\sigma_{yy}$ et $\sigma_{zz}$ soient nulles. C'est l'objet de la seconde cinématique.

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir le brevet 809. Si vous avez des difficultés, je vous invite à vous appuyer sur le "coup de pouce" qui décrit la démarche théorique à suivre, mais aussi à contacter le référent du brevet.
$$
\left\{
\begin{aligned}
\vec{u}_{P'} \cdot \vec{u} &= E_{\alpha} du + \alpha_{\beta} du \tilde{u}_{\beta} - \alpha_{\gamma} du \tilde{u}_{\gamma} + \\
\vec{u}_{P'} \cdot \vec{v}_{\beta} &= \delta_{\beta} du - \alpha_{\alpha} du \tilde{u}_{\beta} + \tilde{u}_{\alpha} (\tilde{u}_{\beta}, \tilde{u}_{\beta}) \\
\vec{u}_{P'} \cdot \vec{v}_{\gamma} &= \delta_{\gamma} du + \alpha_{\alpha} du \tilde{u}_{\gamma} + \tilde{u}_{\alpha} (\tilde{u}_{\gamma}, \tilde{u}_{\gamma})
\end{aligned}
\right.
$$

Figure 7.31: Calcul du déplacement relatif du point P' par rapport au point P pour la cinématique 2.

brevet 094 : Comparaison expérimentale des moments polaires
de deux poutres
auteurs : JM Génevaux ; ressource : [?], paragraphe .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Moment quadratique - rayon de giration - produit quadratique d'une aire plane* et de regarder les vidéos afférentes.

Le problème est plan. Soit deux poutres de fibres moyennes reliant les points A et B, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Le point A est encastré et le point B est soumis à un couple $C\vec{i}$ (avec $C > 0$). La première poutre est réalisée par le collage le long de leur génératrice de 7 spaguettis, tel que la section droite est représentée figure ??a. La seconde poutre est réalisée par le collage le long de leur génératrice de 6 spaguettis, tel que la section droite est représentée figure ??b. Pour les fabriquer, nous vous suggérons aux deux extrémités de la poutre, d'insérer un petit bout de spaguetti au centre tel que la longueur soit très inférieure à l : cela permettra de positionner les spaguettis.

L'encastrement et le couple sont appliqués à l'aide de vos mains.

7.2.3 2nd cinématique

Le plan normal peut se déformer dans le plan tel que $\sigma_{yy}$ et $\sigma_{zz}$ restent nuls.

description de la cinématique

Le torseur des déformations est choisi identique à celui de la cinématique 1, mais un mouvement du point P' dans le plan $\tilde{u}_y(\tilde{y}, \tilde{z})\tilde{y} + \tilde{u}_z(\tilde{y}, \tilde{z})\tilde{z}$, mouvement pour l'instant inconnu, est rajouté (voir figure 7.31.

déformations

Le tenseur des déformations est aussi modifié par la présence de ces deux fonctions (voir figure 7.32).

contraintes

On peut donc en déduire par la loi de l'élasticité, le tenseur des contraintes (voir figure 7.33). Si la
poutre n'est pas chargée sur ses faces de normale $\vec{y}$ et $\vec{z}$, les $\sigma_{yy}$, $\sigma_{zz}$, et $\sigma_{yz}$ doivent être nulles sur
ces faces. Recherchons une solution telles qu'elles soient nulles dans toute la poutre, cela impose
une relation sur les fonctions inconnues. Si l'on réécrit ces conditions en terme de déformation, le
coefficient de poisson $\nu$ entre les déformations apparaît (voir figure 7.34). On peut alors en déduire
les champs de déplacement complémentaires pour assurer que les contraintes soient nulles sur les
faces latérales de la poutre. On remarquera que cela implique en tout point de la section droite,
que les contraintes $\sigma_{yy}$, $\sigma_{zz}$, et $\sigma_{yz}$ sont toutes nulles.
<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>Figure 7.32: Calcul du tenseur des déformations pour la cinématique 2.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>Figure 7.33: Calcul du tenseur des contraintes pour la cinématique 2 et des conditions de surfaces libres de contrainte.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>Figure 7.34: Relation entre les déformations pour la cinématique 2 et les champs de déplacement complémentaires.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>Figure 7.35: Expression des composantes du torseur des efforts intérieurs pour la cinématique 2.</figcaption></figure>

## torseur des efforts intérieurs

Par la même démarche que pour la cinématique 1, il faut donc faire des intégrales sur la section droite (voir figure 7.35) pour obtenir les composantes du torseur des efforts intérieurs. Dans les calculs présentés la nullité des moments statiques par rapport à H est utilisée.

### écriture matricielle

Les 6 équations précédentes peuvent être écrites sous forme matricielles.

$$ \begin{bmatrix} N \\ T_y \\ T_z \\ M_x \\ M_{fy} \\ M_{fz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ES & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & GS & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & GS & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & GI_0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & EI_{Hy} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & EI_{Hz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \epsilon_x \\ \gamma_y \\ \gamma_z \\ \alpha_x \\ \alpha_y \\ \alpha_z \end{bmatrix}, \quad (7.30) $$

avec G le module de Coulomb,

$$ G = \frac{E}{2(1 + \nu)}. \quad (7.31) $$

### incompatibilité

Cette cinématique implique que les contraintes $\sigma_{yx}$ et $\sigma_{zx}$ sont constantes dans l'épaisseur de la poutre, donc sur les surfaces extérieures latérales. Du fait de la symétrie du tenseur des contraintes, cela implique sur la surface de normale $\vec{y}$ que la contrainte $\sigma_{yx}$ soit non nulle. Or elle doit être égale
à la contrainte exercée par l'extérieur sur cette surface. Si cette surface est libre, cette contrainte extérieure est nulle. Il y a donc contradiction entre la réalité et le modèle.

Il nous faut chercher une cinématique telles que la répartition des contraintes $\sigma_{yx}$ et $\sigma_{zx}$ soient des fontions de $\tilde{y}$ et $\tilde{z}$ et nulles sur les bords de la section droite. C'est l'objet de la troisième cinématique qui implique un voilement de la section en présence d'un effort tranchant.

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir le brevet 810 et 076. Si vous avez des difficultés, je vous invite à vous appuyer sur le "coup de pouce" qui décrit la démarche théorique à suivre, mais aussi à contacter le référent du brevet.

**brevet 810 : Contraintes dans un plot en compression posé sur un plan parfaitement lubrifié**

auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *2nd cinématique* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un cylindre de direction $\vec{j}$, de section droite circulaire de diamètre $d = 10$ [mm], en aluminium AU4G, de longueur $l = 50$ [mm]. Ce plot est soumis à une force $\vec{F} = -200\vec{j}$ [N] sur sa surface supérieure. Sa surface inférieure est bloquée en translation dans la direction $\vec{j}$ par une surface parfaitement lubrifiée. Sous cette charge, la surface supérieure se déplace d'une valeur $\vec{u} = -\vec{u}\vec{j}$.

Quelles sont les contraintes dans ce plot ? Quelle est la force maximale pour ne pas dépasser la limite d'élasticité ?

**brevet 076 : Démarche générale de résolution d'un problème de contrainte en théorie des poutres**

auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Méthode de calcul : détermination des limites d'élasticité* et de regarder les vidéos afférentes.

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *2nd cinématique* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un crochet fixé au plafond, représenté par une poutre en acier de diamètre $d$, composé d'un segment droit reliant les points A et B, puis d'un segment d'arc de cercle de rayon $r$ reliant les points B et D de C. On appellera $O$ le centre du cercle. Les coordonnées des points dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ sont $A(0, r+l), B(0, r), C(0, -r), D(-r, 0)$. Une force $\vec{F} = -F\vec{j}$ est exercée en C.

Donnez la démarche pour calculer le point le plus sollicité entre A et D (ne pas faire les calculs).

### 7.2.4 3ième cinématique

Le plan normal se déforme dans le plan tel que $\sigma_{yy}$ et $\sigma_{zz}$ restent nuls, et tel que les contraintes $\sigma_{yx}$ et $\sigma_{zx}$ soient nulles sur les bords de la section droite. Cette cinématique (Fig. 7.26) sera
<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>Figure 7.36: Répartition des contraintes de cisaillement dues à une sollicitation de torsion, en fonction de la forme de la section droite et de la cinématique choisie.</figcaption></figure>

étudiée plus avant dans le cours de modélisation [11]. Nous y obtiendrons des facteurs correctifs du moment polaire et des sections équivalentes sous effort tranchant. Ces facteurs correctifs sont détaillés dans les tableaux (et non pas les équations) des figures 7.37 et 7.38. Il en est de même pour la sollicitation de torsion pour laquelle la proportionnalité de la contrainte de cisaillement avec la distance au point H n'est vérifiée que dans le cas d'une poutre de section droite circulaire (Fig. 7.36).

$$ \begin{bmatrix} N \\ T_y \\ T_z \\ M_x \\ M_{fy} \\ M_{fz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ES & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & GS_y & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & GS_z & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & GI_0^c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & EI_{Hy} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & EI_{Hz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \epsilon_x \\ \gamma_y \\ \gamma_z \\ \alpha_x \\ \alpha_y \\ \alpha_z \end{bmatrix}, \quad (7.32) $$

On rappelle ci-dessous la loi de comportement pour la cinématique 2, qui ne diffère de la loi de comportement de la cinématique 3 que par trois termes, sur les lignes 2, 3 et 4 :

$$ \begin{bmatrix} N \\ T_y \\ T_z \\ M_x \\ M_{fy} \\ M_{fz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ES & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & GS & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & GS & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & GI_0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & EI_{Hy} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & EI_{Hz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \epsilon_x \\ \gamma_y \\ \gamma_z \\ \alpha_x \\ \alpha_y \\ \alpha_z \end{bmatrix}, \quad (7.33) $$

• **Erreur classique** : Ne pas confondre dans la notation ci-dessus, G le module de Coulomb exprimé en Pa, le centre de gravité de l'ensemble de la poutre G (c'est un point, cela n'a pas d'unité), et le barycentre d'une section droite H (c'est un point, cela n'a pas d'unité).

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir le brevet 049. Si vous avez des difficultés, je vous invite à vous appuyer sur le "coup de pouce" qui décrit la démarche théorique à suivre, mais aussi à contacter le référent du brevet.
TABLEAU II. — EFFORT TRANCHANT - CONTRAINTES DE CISAILLEMENT

TABLEAU II, 2. — SECTIONS USUELLES - CONTRAINTES DE CISAILLEMENT ET DÉFORMATION DUES A L'EFFORT TRANCHANT - FORMULES APPROCHÉES

Les formules approchées, donnant pour les sections usuelles les valeurs des contraintes de cisaillement et la valeur de la section réduite $S_1$ (intervenant dans le calcul des déformations), ont été déterminées à partir des hypothèses mentionnées dans le tableau II, 1 et des hypothèses supplémentaires suivantes :

a) Cas des sections pleines.

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

Le long d'une ligne parallèle à l'axe d'inertie Gz d'ordonnée y, coupant le contour de la section aux deux points a et b :

1. les contraintes de cisaillement, t, passent toutes par le point de concours des deux tangentes en a et b au contour de la section.

2. la composante $t_y$ suivant Gy des contraintes de cisaillement t est constante.

b) Cas des sections minces (termées ou ouvertes).

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

La contrainte de cisaillement est tangente en chaque point à la ligne moyenne du profil.

<table><caption>Figure 7.37: Effet du cisaillement pl</caption><thead><tr><th rowspan="2">SECTION</th><th rowspan="2">CROQUIS</th><th colspan="4">CONTRAINTE DE CISAILLEMENT</th><th rowspan="2">DÉFORMATION<br>Valeur<br>de S<sub>1</sub></th></tr><tr><th>Hypothèses</th><th>Valeur générale</th><th>Contrainte maximale</th><th>Diagramme</th></tr></thead><tbody><tr><td>Triangle isocèle</td><td></td><td></td><td>$t_y = \frac{6T}{S}(\frac{1}{3} + \frac{y}{h})(\frac{2}{3} - \frac{y}{h})$<br>$S = \frac{bh}{2}$</td><td>$t_y = 1,5 \frac{T}{S}$<br>pour y = $\frac{h}{t_y}$</td><td>G</td><td></td></tr><tr><td>Rectangle</td><td></td><td></td><td>$t_y = \frac{3}{2} \frac{T}{S} \left[1 - \frac{y^2}{h^2}\right]$<br>$S = bh$</td><td>$t_y = \frac{3}{2} \frac{T}{S}$<br>pour y = 0</td><td>G</td><td>$S_1 = \frac{5}{6} S$</td></tr><tr><td>Lossange</td><td></td><td></td><td>$t_y = \frac{T}{S} \left[1 + \frac{y}{h} - \frac{2y^2}{h^2}\right]$<br>$t_A = t_y \sqrt{1 + \frac{a^2}{4h^2}}$<br>$S = a \cdot h$</td><td>$t_y = \frac{9}{8} \frac{T}{S}$<br>pour y = $\frac{h}{4}$</td><td>G</td><td>$S_1 = \frac{30}{31} S$</td></tr><tr><td>Carré évidé</td><td></td><td></td><td></td><td>$t_y = \frac{3}{2} \frac{T}{S} \frac{1+h+h^2}{1+h^2}$<br>pour mm</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
brevet 049 : Contrainte de cisaillement maximale dans une section droite ?
auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Soit une poutre droite de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.1$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.2$ m dans la direction $\vec{y}$. Dans une section droite l'effort tranchant est $T_y = 1000$ N.

Faites un dessin de la structure.
Quelle est la contrainte de cisaillement $\sigma_{yx}$ maximale dans la section droite en utilisant la cinématique 3 (avec voilement de la section droite car les contraintes sont non constantes dans la section droite) ? Diffère-t-elle de la contrainte de cisaillement que vous obtenez avec l'hypothèse de la cinématique 2 (sans voilement de section droite, car les contraintes sont constantes dans la section droite) ?

### 7.2.5 Exemple d'utilisation : sollicitation de traction

Pour une poutre sollicitée en traction-compression, seul l'effort normal $N$ est différent de 0. La loi de comportement de la fibre moyenne 7.32 fournie donc,

$$ \begin{bmatrix} \epsilon_x \\ \gamma_y \\ \gamma_z \\ \alpha_x \\ \alpha_y \\ \alpha_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} N/ES \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}. \qquad (7.34) $$

Les composantes du tenseur des déformations $\bar{\epsilon}$ en un point $P$ à la distance $y_1$ et $z_1$ de la fibre moyenne, sont alors données par,

$$ \begin{aligned} \epsilon_{xx} &= N/ES, \\ \epsilon_{yy} &= -\nu\epsilon_{xx}, \\ \epsilon_{zz} &= -\nu\epsilon_{xx}, \\ \epsilon_{xy} &= 0, \\ \epsilon_{yz} &= 0, \\ \epsilon_{zx} &= 0. \end{aligned} \qquad (7.35) $$

Les composantes du tenseur des contraintes $\bar{\sigma}$ sont alors données par,

$$ \begin{aligned} \sigma_{xx} &= N/S, \\ \sigma_{yy} &= 0, \\ \sigma_{zz} &= 0, \\ \sigma_{xy} &= 0, \\ \sigma_{yz} &= 0, \\ \sigma_{zx} &= 0. \end{aligned} \qquad (7.36) $$

On note dans ce cas particulier que les tenseurs des contraintes et des déformations ne dépendent pas de la position du point $P$ par rapport au point $H$.

<figure><img src="image_60.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir le brevet 054. Si vous avez des difficultés, je vous invite à vous appuyer sur le "coup de pouce" qui décrit la démarche théorique à suivre, mais aussi à contacter le référent du brevet.
brevet 054 : Déformation mesurée sur une poutre en traction
auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution.

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un
point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.015$
m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02(s + 1)$ m dans la direction
$\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les
repères locaux $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ et global $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré,
et une force à l'extrémité B implique que l'effort normal dans toute la
poutre est $N = 1000$ N. Le module de Young du matériau est $E = 2.110^{11}$
Pa, son coefficient de Poisson est $\nu = 0.3$.

Si une jauge de déformation est collée sur la surface libre de normale $+\vec{j}$ dans la section droite du point H d'abscisse $s = 0.2$ m, quelle est la déformation mesurée si la jauge est collée dans la direction $\vec{i}$ ? Même question si elle est collée dans la direction $\vec{k}$ ?

### 7.2.6 flexion simple autour de l'axe $H\vec{z}$

Une poutre est sollicitée en flexion simple autour de l'axe $H\vec{z}$ lorsque $M_{fz}$ et $T_y$ sont différents de 0. La loi de comportement de la fibre moyenne 7.32 fournie donc,

$$ \begin{bmatrix} \epsilon_x \\ \gamma_y \\ \gamma_z \\ \alpha_x \\ \alpha_y \\ \alpha_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ T_y/GS_y \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ M_{fz}/EI_{Hz} \end{bmatrix}. \qquad (7.37) $$

Les composantes du tenseur des déformations $\bar{\bar{\epsilon}}$ en un point $P$ à la distance $y_1$ et $z_1$ de la fibre moyenne, sont alors données par,

$$ \begin{align} \epsilon_{xx}(y_1, z_1) &= -\frac{M f_z}{EI_{Hz}} y_1, \notag \\ \epsilon_{yy}(y_1, z_1) &= -\nu \epsilon_{xx}, \notag \\ \epsilon_{zz}(y_1, z_1) &= -\nu \epsilon_{xx}, \notag \\ \epsilon_{xy}(y_1, z_1) &= \frac{T_y}{GS} g(y_1), \tag{7.38} \\ \epsilon_{yz} &= 0, \notag \\ \epsilon_{zx} &= 0. \notag \end{align} $$

La répartition des déformations dans l'épaisseur de la poutre n'est pas constante (cinématique 3). La fonction $g(y_1)$ peut être calculée (voir cours de 2ième année à venir). C'est la raison pour laquelle il faut corriger la section en cisaillement ($S_y$) dans la loi de comportement. Des exemples de ces fonctions sont fournies dans les tableaux joints (figures 7.37 7.38).

Les composantes du tenseur des contraintes $\bar{\bar{\sigma}}$ sont alors données par,

$$ \begin{align} \sigma_{xx}(y_1, z_1) &= -\frac{M f_z}{EI_{Hz}} y_1, \notag \\ \sigma_{yy} &= 0, \notag \\ \sigma_{zz} &= 0, \notag \\ \sigma_{xy}(y_1, z_1) &= \frac{T_y}{S} g(y_1), \tag{7.39} \\ \sigma_{yz} &= 0, \notag \\ \sigma_{zx} &= 0, \notag \end{align} $$

avec $\sigma_{xy}(y_1, z_1) = t_y$ du tableai précédent.

On note dans ce cas particulier que les tenseurs des contraintes et des déformations dépendent de la position du point $P$ par rapport au point $H$.
<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>Figure 7.39: Les concepts utiles au passage direct du torseur des efforts intérieurs au torseur de déplacement.</figcaption></figure>

## 7.3 Dimensionnement

Ce paragraphe concerne les étapes mises en gras dans le synopsis figure 7.39.

### 7.3.1 Cercle de Mohr des contraintes

Voir le cours de Mécanique des solides déformables [12].

### 7.3.2 Critères de limite d'élasticité

#### Rappels

Nous ne rappelons ici que quelques définitions.

* Contraintes principales Le tenseur des contraintes exprimé dans la une base $(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)$ correspondant aux directions principales a pour forme

$$ \overline{\overline{\sigma}} = \begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_2 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_3 \end{bmatrix}_{(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) \otimes (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)} . \qquad (7.40) $$

* Les invariants de ce tenseur sont

$$ I_1(\overline{\overline{\sigma}}) = \text{trace}(\overline{\overline{\sigma}}) = \sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3, \qquad (7.41) $$

$$ I_2(\overline{\overline{\sigma}}) = (\text{trace}(\overline{\overline{\sigma}}))^2 - \text{trace}(\overline{\overline{\sigma}}^2) = \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2\sigma_3 + \sigma_3\sigma_1, \qquad (7.42) $$

$$ I_3(\overline{\overline{\sigma}}) = \det(s) = \sigma_1\sigma_2\sigma_3. \qquad (7.43) $$

* Les parties sphérique $\overline{\overline{S}}$ et déviatorique $\overline{\overline{D}}$ peuvent aussi être calculées :

$$ \overline{\overline{S}} = \frac{1}{3} \text{trace}(\overline{\overline{\sigma}}) \overline{\overline{Id}}, \qquad (7.44) $$

$$ \overline{\overline{D}} = \overline{\overline{\sigma}} - \overline{\overline{S}}, \qquad (7.45) $$

avec $\overline{\overline{Id}}$ le tenseur identité constitué de 1 sur la diagonale.
## Critère de Von-Mises

Le critère de Von-Mises est lié à la partie déviatorique du tenseur des contraintes

$$-I_2(\overline{D}) < g^2, \qquad (7.46)$$

soit

$$(\sigma_{xx} - \sigma_{yy})^2 + (\sigma_{yy} - \sigma_{zz})^2 + (\sigma_{zz} - \sigma_{xx})^2 + 6(\sigma_{xy} + \sigma_{yz} + \sigma_{zx})^2 < g^2, \quad (7.47)$$

avec g la valeur de contrainte à ne pas dépasser. Dans un espace engendré par les contraintes $(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$, la limite de Von Mises est un cylindre d'axe (1,1,1) et de section circulaire de rayon g.

## Critère de Tresca

Le vecteur contrainte tangentielle a un module inférieur à une valeur $\tau$. Dans un espace engendré par les contraintes $(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$, la limite de Tresca est un cylindre d'axe (1,1,1) et de section hexagonal de coté $\tau$.

*Comment choisir entre Tresca et Von Mises, pour dimensionner une structure ?* La réponse est dans la vidéo 010 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=010. Regarde-la.

### 7.3.3 Méthode de calcul : détermination des limites d'élasticité

Lors des travaux pratiques, les charges maximales à appliquer à la structure doivent absolument être calculée avant de faire les essais. L'enseignant, ne vous donnera l'autorisation de charger cette structure que lorsque vous lui aurez fourni les valeurs que vous ne dépasserez pas.

La démarche à suivre est la suivante :

* bilan des actions

* calcul du torseur des efforts intérieurs

* détermination des évolutions de ses composantes le long de la poutre (avec l'abscisse curviligne $s$) :

- effort normal : $N(s) =$

- effort tranchant dans la direction $\vec{y}$ : $T_y(s) =$

- effort tranchant dans la direction $\vec{z}$ : $T_z(s) =$

- moment de torsion : $M_x(s) =$

- moment de flexion autour de l'axe $H\vec{y}$ : $M_{fy}(s) =$

- moment de flexion autour de l'axe $H\vec{z}$ : $M_{fz}(s) =$

* recherche du point le plus sollicité : Les critères de limite d'élasticité s'écrivant en élasticité, il faudrait calculer le tenseur des contraintes en tout point P est lui appliquer un critère (par exemple de Von-Mises pour de l'acier). On peut simplifier le critère dans quelques cas particuliers :

- si la poutre est soumise à de la flexion $M_{fz}$, de l'effort tranchant $T_y$ et de l'effort normal $N$, la contrainte en un point P de la section droite tel que $\overline{HP} = \hat{y}\vec{y}+\hat{z}\vec{z}$ est donnée par :

$$\sigma_{xx}(s, \hat{y}) = \frac{N(s)}{S(s)} - \frac{M_{fz}(s)\hat{y}}{I_{Hz}(s)}. \qquad (7.48)$$
- si la poutre est soumise à de la flexion $M_{fy}$, de l'effort tranchant $T_z$ et de l'effort normal $N$, la contrainte en un point P de la section droite tel que $\overline{HP} = \hat{y}\vec{y}+\hat{z}\vec{z}$ est donnée par :

$$ \sigma_{xx}(s, \hat{z}) = \frac{N(s)}{S(s)} + \frac{M_{fy}(s)\hat{z}}{I_{Hy}(s)}. \qquad (7.49) $$

Attention à l'inversion de signe dans le calcul de la contrainte qui est simplement dû au fait que le repère local est direct.

Il faut rechercher le maximum et le minimum de $\sigma_{xx}$ qui se situent sur une fibre appartenant à la surface latérale de la poutre. On considérera donc les demie-épaisseurs de la poutre $\hat{y}_{maxi} = h(s)/2$ ou $\hat{y}_{maxi} = -h(s)/2$.

Dans le cas où les limites d'élasticité en traction et compression sont les mêmes, par exemple,

- pour de l'acier à $-240 \text{ MPa} < \sigma_{xx} < 240 \text{ MPa}$

- pour de l'aluminium et ses alliages à $-80 \text{ MPa} < \sigma_{xx} < 80 \text{ MPa}$,

il est possible de vérifier que la valeur absolue de $\sigma_{xx}$ reste inférieure à la limite d'élasticité $\sigma_{ce}$.

Dans le cas où les limites d'élasticité en traction et compression sont différentes, par exemple,

- pour du béton à $-18 \text{ MPa} < \sigma_{xx} < 18/11 \text{ MPa}$,

- pour du bois dans le sens des fibres (direction longitudinale du tronc) à $-20 \text{ MPa} < \sigma_{xx} < 50 \text{ MPa}$,

il faut vérifier les contraintes sur la fibre supérieure et la fibre inférieure en tenant compte du signe. Le lieu où la contrainte atteint en premier sa limite d'élasticité indique si la rupture apparaît d'abord en compression ou en traction.

Pour les autres matériaux, consultez les tableaux affichés en salle tp.

*Où sont les fibres supérieure et inférieure ?* La réponse est dans la vidéo 291 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=291. Regarde-la.

*Pourquoi dans la capacité bleue, on a besoin d'une fibre supérieure et d'une fibre inférieure ?* La réponse est dans la vidéo 541 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=291. Regarde-la.

si la poutre est soumise à de la torsion pure $M_x$, et que la section est circulaire de rayon $r(s)$, alors la contrainte est une contrainte de cisaillement. Elle est donnée en un point P de la section droite tel que $\overline{HP} = \hat{r}\vec{e}_r$ par,

$$ \sigma_{x\theta}(s, \hat{r}) = \frac{M_x(s)\hat{r}}{I_0(s)}. \qquad (7.50) $$

Sa valeur maximale est donnée pour $\hat{r} = r(s)$. On se limitera :

- pour de l'acier à $-240/2 \text{ MPa} < \sigma_{x\theta} < 240/2 \text{ MPa}$,

- pour de l'aluminium et ses alliages $-80/2 \text{ MPa} < \sigma_{x\theta} < 80/2 \text{ MPa}$,

Pour les autres matériaux, consultez les tableaux affichés en salle tp.

*Comment chercher le point le plus sollicité ?* La réponse est dans la vidéo 265 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=265. Regarde-la.
La charge maximale en torsion est différente si la section est carrée. Pourquoi ? La réponse est dans la vidéo 304 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=304. Regarde-la.

dans le cas où en un point est présent une contrainte normale $\sigma_{xx}$ et une contrainte de cisaillement $\sigma_{x\theta}$, alors on calculera une contrainte équivalente (de Tresca),

$$ \sigma_{\text{equiv}} = \sqrt{\sigma_{xx}^2 + 4\sigma_{x\theta}^2}. \qquad (7.51) $$

Sa valeur doit être telle que :

* pour de l'acier $\sigma_{\text{equiv}} < 240 \text{ MPa}$,

* pour de l'aluminium $\sigma_{\text{equiv}} < 30 \text{ MPa}$,

### 7.3.4 Exemple de calcul

Soit une poutre droite $AB = l\vec{i}$ (avec $l = 0.2 \text{ m}$), encastrée au point A et chargée par un effort $F\vec{j}$ en B, de section circulaire de rayon $r = 0.005 \text{ m}$, en acier. Calculez la force $F$ maximale admissible par la structure.

* bilan des actions :

une liaison encastrement en A $\left\{ \begin{array}{c} \vec{R}_1 \\ \vec{M}_1 \end{array} \right\}_A$;

un torseur de chargement $\left\{ \begin{array}{c} F\vec{j} \\ \vec{0} \end{array} \right\}_B$

* calcul du torseur des efforts intérieurs : on oriente la poutre de A vers B. Le torseur des efforts intérieurs en $H(s)$ tel que $A\vec{H} = s\vec{i}$, se calcule en fonction de la partie aval :

$$ \{\tau_H\} = \left\{ \begin{array}{c} F\vec{j} \\ \vec{0} \end{array} \right\}_B = \left\{ \begin{array}{c} F\vec{j} \\ F(l-s)\vec{k} \end{array} \right\}_H = \left\{ \begin{array}{c} F\vec{y} \\ F(l-s)\vec{z} \end{array} \right\}_H, \qquad (7.52) $$

avec $(H, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ le repère local en $H$.

* détermination des évolutions de ses composantes le long de la poutre (avec l'abscisse $s$) :

- effort normal : $N(s) = 0$

- effort tranchant dans la direction $\vec{y} : T_y(s) = F$

- effort tranchant dans la direction $\vec{z} : T_z(s) = 0$

- moment de torsion : $M_x(s) = 0$

- moment de flexion autour de l'axe $H\vec{y} : M_{fy}(s) = 0$

- moment de flexion autour de l'axe $H\vec{z} : M_{fz}(s) = F(l-s)$
<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>Figure 7.40: Le viaduc de Millau.</figcaption></figure>

* recherche du point le plus sollicité :

La poutre est soumise à de la flexion $M_{fz}$ de l'effort tranchant $T_y$, la contrainte en un point P de la section droite tel que $\dot{H}\dot{P} = \hat{y}\hat{y} + \hat{z}\hat{z}$ est donnée par :

$$ \sigma_{xx}(s, \hat{y}) = -\frac{F(l-s)\hat{y}}{\pi r^4 / 4}. \qquad (7.53) $$

Il faut rechercher le maximum et le minimum de $\sigma_{xx}$. On considérera donc les demie-épaisseurs de la poutre $\hat{y}_{maxi} = r$ ou $\hat{y}_{maxi} = -r$. On obtient donc :

$$ \sigma_{xx}(0, -r) = \frac{Flr}{\pi r^4 / 4} = \frac{4Fl}{\pi r^3}, \qquad (7.54) $$

d'où,

$$ F < \frac{240 \ 10^6 \ Pa\pi r^3}{4l}. \qquad (7.55) $$

Soit pour une poutre de rayon $r = 0.005$ m et une longueur de $l = 0.2$ m, une force maximale admissible de $F = 118$ N.

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir le brevet 821, 822. Si vous avez des difficultés, je vous invite à vous appuyer sur le "coup de pouce" qui décrit la démarche théorique à suivre, mais aussi à contacter le référent du brevet.

brevet 821 : Est-ce une sollicitation de traction/compression ?

Sur le viaduc de Millau, on s'intéresse au tablier entre deux poteaux.

On considérera la structure lors de sa construction, donc quand le poteau vertical est construit, que de part et d'autre de ce poteau, de chaque coté et symétriquement, les tabliers sont installés par tronçons en étant soutenu par les câbles.

Le tablier est-il sollicité en traction/compression ? Est-ce la seule sollicitation ?
brevet 822 : Est-ce une sollicitation de traction/compression ?

Sur le viaduc de Millau, on s'intéresse à la flèche au dessus du poteau qui débute au niveau du tablier.

La flèche est-elle sollicitée en traction/compression ? Est-ce la seule sollicitation ?

Pourrait-on avoir un exemple de rédaction d'un brevet du même type que le 821 ? (notamment avec le calcul du torseur des efforts intérieurs). J'ai des difficultés à formaliser mon résonnement.

Merci. La réponse est dans la vidéo 329 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=329. Regarde-la.
## Formation à la compétence verte de statique des poutres.

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

Sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=209, vous pouvez visualiser une présentation de cette compétence. Le fichier est nommé *209 Compétence verte de statique des poutres : détermination du torseur de déplacement en un point*.
<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>Figure 7.41: Les concepts utiles au passage direct du torseur des efforts intérieurs au torseur de déplacement.</figcaption></figure>

### 7.3.5 Formules de Bresse

Ce paragraphe concerne les étapes mises en gras dans le synopsis figure 7.41.

Utilité : L'utilisation des Formules de Bresse, permet de résoudre des problèmes :

* dans l'espace tridimensionnel,

* pour des poutres dont la ligne moyenne n'est pas rectiligne.

C'est leur généralité qui leur donne toute leur force. Elles sont donc étudiées dans ce cours plutôt que se limiter aux méthodes associées uniquement aux poutres droites qui utilisent des formules du type $EI_{Hz} \frac{d^2y}{dx^2} = M_{fz}$. Ces formules ne sont pas valables dans le cas de chargement tridimensionnels.

Les formules de Bresse peuvent être construite par approche successive. Soit une poutre reliant un point A à un point B, orientée de A vers B, le point courant étant noté H.

* Supposons que cette poutre soit infiniment rigide. Si le point A subit un torseur de déplacement composé d'un angle de rotation $\tilde{\omega}_A$ et d'une translation $\vec{u}_A$, alors le torseur de déplacement au point B est obtenu par la formule de changement de point.

$$ \tilde{\omega}_B = \tilde{\omega}_A, \qquad (7.56) $$

$$ \vec{u}_B = \vec{u}_A + \tilde{\omega}_A \wedge \vec{AB}. \qquad (7.57) $$

* Supposons cette fois que le point A est immobile mais que seul se déforme un petit tronçon HH'de longueur $ds$ à partir du point H. Le torseur de déplacement de H' est composé de $\tilde{\omega}_{H'} = (\alpha_x \tilde{x} + \alpha_y \tilde{y} + \alpha_z \tilde{z})ds$ et d'une translation $\vec{u}_{H'} = (\epsilon_x \vec{x} + \gamma_y \vec{y} + \gamma_z \vec{z})ds$. La déformation de ce petit segment implique un torseur de déplacement au point B :

$$ \tilde{\omega}_B = (\alpha_x \tilde{x} + \alpha_y \tilde{y} + \alpha_z \tilde{z})ds, \qquad (7.58) $$

$$ \vec{u}_B = (\epsilon_x \vec{x} + \gamma_y \vec{y} + \gamma_z \vec{z})ds + (\alpha_x \tilde{x} + \alpha_y \tilde{y} + \alpha_z \tilde{z})ds \wedge \vec{HB}. \qquad (7.59) $$

* Supposons cette fois que le point A est mobile et que toute la poutre se déforme. Il suffit de faire la somme des torseurs : du premier et du second que l'on aura intégré le long de toute la poutre AB. On obtient les formules de Bresse ci-dessous.

Soit une poutre dont l'orientation de la fibre moyenne est de $P_{deb}$ à $P_{fin}$, si le torseur des déformations est noté,

$$ \{Def_H\} = \left\{ \begin{matrix} \alpha_x \tilde{x} + \alpha_y \tilde{y} + \alpha_z \tilde{z} \\ \epsilon_x \vec{x} + \gamma_y \vec{y} + \gamma_z \vec{z} \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} M_x/GI_0^c \tilde{x} + M f_y/EI_{Hy} \tilde{y} + M f_z/EI_{Hz} \tilde{z} \\ N/ES \vec{x} + T_y/GS_y \vec{y} + T_z/GS_z \vec{z} \end{matrix} \right\}_{H}, \qquad (7.60) $$