# L'ALGEBRE DANS L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE MAROCAIN : ANALYSE DE LA TRANSITION SECONDAIRE -SUPERIEUR

Abdelghani Salhi, Belkassem Seddoug

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Abdelghani Salhi, Belkassem Seddoug. L'ALGEBRE DANS L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE MAROCAIN : ANALYSE DE LA TRANSITION SECONDAIRE -SUPERIEUR. 2026. hal-05477648

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L'ALGEBRE DANS L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE
MAROCAIN : ANALYSE DE LA TRANSITION SECONDAIRE
– SUPERIEUR

Abdelghani Salhi*, Belkassem Seddoug**

ALGEBRA IN MOROCCAN SECONDARY EDUCATION: AN
ANALYSIS OF THE SECONDARY–TERTIARY TRANSITION

**Abstract** – This work offers a didactic analysis of the complex issue of the transition between secondary education and higher education in Morocco, specifically applied to the teaching of linear algebra. This transition constitutes a genuine teaching problem, sensitive to changes in both institutional and cognitive contexts. We draw on the Anthropological Theory of the Didactic (ATD), which models mathematical activity through the notion of praxeology (task, technique, technology, theory).

The study is based on rigorous field research, including the administration of a questionnaire to a sample of 180 first-year students. The analysis reveals a deep didactic gap, marked by the shift from an empirical register to a theoretical one. Secondary education is dominated by a utilitarian pragmatism focused on exam success and limited to the praxeological levels of tasks and techniques, reducing algebra to the mechanical application of procedures. Conversely, the university imposes a formal and abstract framework, requiring mastery of the logos (technology and theory) and greater student autonomy. This rupture in the didactic contract generates major difficulties in adaptation.

**Key words:** notions of ATD, praxeology, transition

EL ÁLGEBRA EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA MARROQUÍ: UN ANÁLISIS DE LA TRANSICIÓN ENTRE LA SECUNDARIA Y LA EDUCACIÓN SUPERIOR

**Resumen** – Este trabajo propone un análisis didáctico de la compleja problemática de la transición entre la educación secundaria y la educación superior en Marruecos, aplicado específicamente a la enseñanza del álgebra

<footnote>* Ecole Normale supérieure, University Mohammed V in Rabat. Abdelghani.salhi@ens.um5.ac.ma</footnote>

<footnote>** Centre Régional des Métiers de l'Éducation et de la Formation, Rabat. bseddoug@gmail.com</footnote>
lineal. Esta transición constituye un verdadero problema de enseñanza, sensible a los cambios de contexto institucional y cognitivo. Nos apoyamos en la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD), que modeliza la actividad matemática mediante la noción de praxología (tarea, técnica, tecnología, teoría).

El estudio se basa en una investigación de campo rigurosa, que incluye la administración de un cuestionario a una muestra de 180 estudiantes de primer año. El análisis revela una profunda fractura didáctica, marcada por el paso de un registro empírico a uno teórico. La educación secundaria está dominada por un pragmatismo utilitario centrado en el éxito en los exámenes y limitado a los niveles praxeológicos de tareas y técnicas, reduciendo el álgebra a la aplicación mecánica de procedimientos. Por el contrario, la universidad impone un marco formal y abstracto que exige el dominio del logos (tecnología y teoría) y una mayor autonomía del estudiante. Esta ruptura en el contrato didáctico genera importantes dificultades de adaptación.

**Palabras-claves:** nociones de TAD, praxeología, transición

## RESUME :

Ce travail propose une analyse didactique de la problématique complexe de la transition entre l'enseignement secondaire et l'enseignement supérieur au Maroc, spécifiquement appliquée à l'enseignement de l'algèbre linéaire. Cette transition constitue une véritable problématique d'enseignement, sensible aux changements de contexte institutionnel et cognitif. Nous mobilisons la Théorie Anthropologique du Didactique (TAD), qui modélise l'activité mathématique par la notion de praxéologie (tâche, technique, technologie, théorie). L'étude s'appuie sur une recherche de terrain rigoureuse, incluant l'administration d'un questionnaire à un échantillon de 180 étudiants de première année. L'analyse révèle une fracture didactique profonde, marquée par le passage d'un registre empirique à un registre théorique. L'enseignement secondaire est dominé par un pragmatisme utilitaire centré sur la réussite aux examens et se limite aux niveaux praxeologiques des tâches et techniques, réduisant l'algèbre à l'application mécanique d'opérations. Inversement, l'université impose un cadre formel et abstrait, exigeant la maîtrise du logos (technologie et théorie) et une autonomie accrue de l'étudiant. Cette rupture dans le contrat didactique génère des difficultés majeures d'adaptation.

Mots-Clés : notions de TAD, praxéologie, transition.

## INTRODUCTION

L'opération d'enseignement-apprentissage est particulièrement sensible aux changements de contexte, ce qui confère aux phénomènes didactiques liés à la transition entre le secondaire et le supérieur une complexité spécifique (Bessot, 2015). Cette transition
constitue une véritable problématique d'enseignement, largement traitée en didactique (Gueudet et al, 2022) (Doukhan, 2025) (Quéré, 2016). On distingue généralement deux formes principales de transition : la transition cognitive (passage d'un cadre de pensée ou de savoir à un autre) et la transition institutionnelle (changements de statut, de programmes et d'exigences pédagogiques) (Bessot, 2015).

C'est dans ce cadre général que s'inscrit le présent travail, qui propose une analyse de la problématique de la transition entre l'enseignement secondaire et l'enseignement supérieur au Maroc, appliquée au cas particulier de l'enseignement de l'algèbre linéaire. L'algèbre constitue un pilier fondamental de la formation mathématique (Kieran, 2016) (Bourbaki, 2007), son introduction se faisant de manière progressive dès le primaire pour préparer les apprenants à l'abstraction. Cependant, l'algèbre linéaire pose des difficultés aux étudiants en raison de son haut niveau d'abstraction et de la nécessité de jongler entre différentes représentations - géométrique, algébrique et matricielle - pour un même concept (Dorier et al., 1997).

## Cadre Théorique : La Théorie Anthropologique du Didactique (TAD)

Nous adoptons une démarche de recherche fondée sur la Théorie Anthropologique du Didactique (TAD) (Chevallard, 1986), un cadre théorique qui étudie les phénomènes d'enseignement et d'apprentissage en modélisant l'activité mathématique par la notion de praxéologie (Chevallard, 1998). La praxéologie décompose toute activité en quatre composantes : la tâche (T), la technique (τ), la technologie (θ — le discours explicatif sur la technique), et la théorie (Θ — le cadre conceptuel plus large) (Chevallard, 2001). La TAD met en lumière les contraintes institutionnelles, les ruptures entre les niveaux d'enseignement, et les écarts liés à la transposition didactique. Notre travail se concentre spécifiquement sur les praxéologies en algèbre linéaire.

## Méthodologie et Problématique de la Rupture

Notre étude s'appuie sur une recherche de terrain visant à recueillir des données empiriques auprès des acteurs concernés. Un questionnaire structuré a été administré à un échantillon de 180 étudiants de première année inscrits dans diverses formations à dominante mathématique (École normale supérieure, Faculté des sciences, Ecole d'ingénieurs et classes préparatoires). Des inspecteurs et des enseignants de mathématiques ont également été interrogés, par un questionnaire administré par enquêteur, sur les pratiques de cours et d'évaluation dans le secondaire, ainsi que des professeurs de l'enseignement supérieur.

Le questionnaire destiné aux étudiants vise à recueillir leur **ressenti** sur l'enseignement de l'algèbre linéaire et plus largement
des mathématiques, en comparant le lycée et l'université. Il explore
les connaissances antérieures des apprenants, les méthodes
pédagogiques des enseignants dans les deux contextes, ainsi que le
degré de clarté et d'accompagnement perçu. Il s'intéresse
egalement aux difficultés rencontrées, aux stratégies mises en
œuvre pour les surmonter, et à l'expérience de la transition entre
le secondaire et le supérieur, en mettant en évidence les changements
ressentis et les éléments marquants de cette évolution. Le
questionnaire destiné aux enseignants et aux inspecteurs s'intéresse
aux pratiques enseignantes, aux pratiques d'apprentissage, au contrat
didactique ainsi qu'au dispositif didactique.

Une analyse de documents (manuels scolaires, fiches de cours préparées par les enseignants interrogés, cours partagés sur Internet, séries d'exercices, contrôles en classe ou à domicile, ainsi que les examens nationaux du baccalauréat des dernières années) a été menée afin de compléter les données issues des questionnaires et des entretiens. Cette analyse vise à identifier les choix didactiques et les pratiques effectives d'enseignement et d'apprentissage, à caractériser les praxéologies mathématiques institutionnelles mises en œuvre, et à mettre en évidence les continuités et les ruptures entre l'enseignement secondaire et l'enseignement universitaire, notamment en ce qui concerne les types de tâches proposées, les techniques mobilisées et les discours technologiques associés.

L'analyse des organisations mathématiques (OM) et des pratiques didactiques révèle que la transition ne relève pas d'une simple continuité, mais d'une véritable transformation. Au secondaire, l'approche est principalement opératoire et géométrique, se limitant aux niveaux praxéologiques des tâches et techniques (T, τ), sous l'effet d'un contrat didactique dominé par un pragmatisme utilitaire orienté vers la réussite aux examens<fnref n="1" />. À l'inverse, l'enseignement supérieur exige une capacité d'abstraction plus développée et focalise l'apprentissage sur le logos (technologies et théories, θ, Θ), nécessaire pour la formalisation et la production de raisonnements mathématiques rigoureux.

S'inscrivant dans cette logique, les nouveaux programmes des
CPGE marocaines (en vigueur depuis 2023) stipulent :

Une formation mathématique de qualité doit développer non
seulement la capacité à acquérir des connaissances et à les appliquer
à des problèmes préalablement répertoriés, mais aussi l'aptitude à

<footnote n="1">¹ D'après les entretiens menés avec les professeurs, les inspecteurs et les responsables des centres de soutien.</footnote>
étudier des problèmes plus globaux ou des questions issues de
situations réelles. Certaines situations nécessitent la conception
d'outils nouveaux pour les traiter. Ainsi, la réflexion sur les concepts
et les méthodes, la pratique du raisonnement et de la démarche
mathématique constituent des objectifs majeurs. (Programme de
Mathématiques des classes préparatoires MPSI-MP, 2023).

Cette **reconfiguration du rapport au savoir**, marquée par le passage d'un registre empirique à un registre théorique, constitue la rupture didactique principale. L'objectif de cet article est d'examiner cette rupture et de proposer des éléments de réflexion pour assurer une meilleure continuité didactique.

Plan de l'article

Après cette introduction, la Section 2 présente l'analyse détaillée
des programmes d'algèbre dans l'enseignement secondaire marocain.
La Section 3 est consacrée à la description des programmes d'algèbre
en première et deuxième année universitaire. La Section 4 constitue
le cœur de notre analyse, en comparant les organisations
mathématiques et en décryptant la nature du contrat didactique et des
pratiques institutionnelles qui accentuent la rupture entre les deux
niveaux d'enseignement. Nous conclurons en Section 5 par une
synthèse des défis et des perspectives de recherche.

L'ALGEBRE DANS LE PROGRAMME DE
MATHEMATIQUES DE L'ENSEIGNEMENT
SECONDAIRE

L'algèbre constitue un **fondement essentiel** de l'enseignement des mathématiques, dont l'initiation commence dès les premières années du primaire. Elle vise à préparer les élèves aux exigences de l'abstraction en leur offrant des outils de modélisation et de résolution de problèmes.

Au collège, l'enseignement algébrique se renforce autour d'une
approche ensembliste des nombres. L'étude des ensembles
numériques (N, Z et Q) est structurée progressivement, avec
l'introduction formelle de l'ensemble des réels (R) s'appuyant
notamment sur des besoins de modélisation géométrique.

En calcul numérique, la maîtrise des opérations sur les nombres décimaux relatifs, les nombres rationnels, les nombres irrationnels et les racines carrées, ainsi que la sensibilisation au calcul littéral (techniques de développement et de factorisation) et la résolution des équations et des inéquations. (Les programmes et les orientations pédagogiques relatifs à la matière des mathématiques dans le cycle de l'enseignement secondaire collégial).
## Tronc commun et la première année baccalauréat

Au niveau du tronc commun scientifique (première année de l'enseignement secondaire qualifiant), l'enseignement de l'algèbre se structure autour de l'étude des ensembles numériques usuels $N, Z, Q$ et $R$ en mettant en avant leur organisation interne<fnref n="2" />.

La géométrie analytique dans le plan et dans l'espace introduit intuitivement la notion d'espace vectoriel.

L'étude des transformations linéaires, ainsi que la résolution de systèmes linéaires à deux inconnues, fournit des exemples concrets et prépare l'élève à aborder l'algèbre linéaire de manière plus rigoureuse.

En première année du baccalauréat, option sciences mathématiques, l'élève approfondit les notions d'ensemble et d'application, tout en poursuivant l'étude de la géométrie vectorielle.

L'espace vectoriel du plan et de l'espace est abordé de manière implicite, notamment à travers les notions de direction, de combinaison linéaire et d'orthogonalité.

L'introduction du produit scalaire permet d'étudier ces espaces comme des espaces euclidiens, renforçant ainsi les liens entre algèbre linéaire et géométrie<fnref n="3" />.

## Deuxième année baccalauréat

C'est en deuxième année du baccalauréat (option sciences mathématiques) que le programme s'enrichit significativement. Les notions de **structure algébrique**, d'espace vectoriel et de morphisme sont introduites et explorées avec plus de rigueur, aux côtés de l'étude de l'ensemble des nombres complexes.

Selon les programmes officiels marocains, l'enseignement de l'algèbre linéaire porte sur :

- Les Espaces Vectoriels réels: définition d'un espace vectoriel réel, sous-espace vectoriel, et les règles de calcul associées.

- Les Bases et Dimension: combinaison linéaire, dépendance et indépendance des vecteurs, dimension et base d'un espace vectoriel réel.

- Les Structures Usuelles: insistance sur les sous-groupes et les sous-espaces vectoriels dans leur relation avec les groupes et les espaces vectoriels, illustrés par des exemples usuels.

<footnote n="2">² Les orientations pédagogiques pour l'enseignement des mathématiques dans le cycle de l'enseignement secondaire qualifiant (Maroc).</footnote>

<footnote n="3">³ Idem</footnote>
# Orientations Pédagogiques et Limites

L'orientation pédagogique de cette section met l'accent sur la maîtrise des techniques d'opérations sur les différentes structures usuelles.

Le programme, dans cette partie, se limite aux notions fondamentales figurant dans le contenu, et que les élèves doivent maîtriser durant l'ensemble de l'année scolaire, à partir des exemples qui sont vérifiés dans les différentes parties du programme (algèbre, géométrie, analyse). Il faut se limiter aux ensembles usuels mentionnés dans le programme uniquement, en plus des ensembles de transformations et des ensembles de matrices carrées (d'ordre 2 et 3). (Les orientations pédagogiques pour l'enseignement des mathématiques dans le cycle de l'enseignement secondaire qualifiant (Maroc), Traduction libre).

Le programme du secondaire est explicitement circonscrit à l'étude de situations courantes, et se limite aux exemples impliquant des matrices carrées d'ordre 2 ou 3 (voir, à titre d'exemple, l'exercice (Annexe ) figurant dans l'examen national du Baccalauréat 2025).

Bien que cette démarche vise à développer chez l'élève une rigueur intellectuelle et une capacité à formaliser des situations complexes, l'analyse des capacités attendues pour l'examen national (Baccalauréat) montre que l'enseignement repose essentiellement sur les connaissances acquises en géométrie plane et spatiale et que les compétences requises demeurent au niveau praxéologique des tâches et des techniques (T et τ), sans accéder aux niveaux théoriques (Θ) ou technologiques (θ). Le calcul matriciel, par exemple, y est surtout un champ d'exemples, et non une théorie fondamentale.

En conclusion, l'algèbre est intégrée de manière graduelle et cohérente dans le secondaire, allant des notions élémentaires aux concepts avancés de l'algèbre linéaire en terminale. Toutefois, cette introduction reste fortement orientée vers l'application et la manipulation dans des dimensions réduites, préparant l'élève à une approche opératoire et géométrique qui contrastera fortement avec l'approche formelle et abstraite du supérieur.

# LE PROGRAMME D'ALGEBRE EN PREMIERE ET EN DEUXIEME ANNEE UNIVERSITAIRE

L'enseignement supérieur au Maroc dédié aux mathématiques se caractérise par sa diversité. Il englobe à la fois les formations dispensées dans les facultés des sciences, les écoles d'ingénieurs avec classes préparatoires intégrées, ainsi que les classes préparatoires aux grandes écoles (CPGE) relevant du ministère
chargé de l'Éducation nationale. Certaines écoles d'ingénieurs sont affiliées directement aux universités, tandis que d'autres dépendent de différents ministères. Quant aux CPGE, elles proposent un cycle de deux années d'études intensives, avec un programme particulièrement riche et exigeant en mathématiques, conçu pour préparer les étudiants aux concours d'entrée aux grandes écoles d'ingénieurs nationales et internationales.

## Première année universitaire

Malgré cette variété institutionnelle, le programme d'algèbre en deux premières années est, dans ses fondements, généralement uniforme et constitue une base essentielle pour la suite des études scientifiques et mathématiques. Il est conçu pour inculquer aux étudiants la rigueur, l'abstraction et la maîtrise des structures algébriques.

Le programme d'algèbre comprend l'étude de l'arithmétique des entiers relatifs et des polynômes à une indéterminée, et celle des notions de base de l'algèbre linéaire pour laquelle un équilibre est réalisé entre les points de vue géométrique, algébrique et numérique. (Programme de mathématiques de la classe préparatoire MPSI (CPGE))

L'enseignement est structuré autour de modules complémentaires, dont trois principaux portent sur les fondements de l'algèbre :

### Algèbre 1 : Généralités et Structures Algébriques Usuelles

Ce premier module introduit le langage mathématique de base. Il couvre les notions fondamentales d'ensembles, d'applications et de relations. Le cœur du module réside dans l'étude des structures algébriques abstraites telles que les monoïdes, les groupes, les anneaux et les corps. Les axiomes de ces structures sont présentés formellement, appuyés par des exemples classiques comme les entiers relatifs et les matrices. L'objectif est de développer une compréhension conceptuelle des objets mathématiques et des lois qui les régissent.

### Algèbre 2 : Arithmétique, Polynômes et Fractions Rationnelles

Ce module se concentre sur des domaines essentiels à la manipulation algébrique complexe :

- L'arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs (Z): division euclidienne, théorème de Bézout et nombres premiers.

- Les polynômes sur un anneau et leurs propriétés (division euclidienne, PGCD, factorisation).

- L'introduction des fractions rationnelles, servant d'extension naturelle des polynômes.
Algèbre 3 : Espaces Vectoriels, Matrices et Déterminants

Ce module constitue le socle de l'algèbre linéaire et marque le véritable point de bascule didactique avec le secondaire. Il offre les concepts fondamentaux requis par les disciplines scientifiques et d'ingénierie. Le programme s'articule autour de plusieurs chapitres clés:

* Résolution de systèmes linéaires par la méthode de Gauss.

* Espaces Vectoriels: définition sur un corps quelconque (K), sous-espaces, bases, familles génératrices et libres.

* Applications linéaires: définition, noyau, image et théorème du rang.

* Dimension finie: propriétés spécifiques, rang d'un système de vecteurs et d'une application linéaire.

* Matrices: opérations, matrices inversibles, rang, représentation matricielle des applications linéaires, et changements de base.

* Déterminants: définition, propriétés algébriques, et applications (calcul du rang, inversion de matrice, résolution de systèmes linéaires).

Deuxième année universitaire

En deuxième année universitaire, le programme d'algèbre est entièrement consacré à l'algèbre linéaire avancée, une discipline centrale dans la formation mathématique, aussi bien théorique qu'appliquée. Il est structuré en deux modules complémentaires: Algèbre 4, qui traite de la réduction des endomorphismes et de leurs applications, et Algèbre 5, qui explore les notions de dualité, d'espaces euclidiens et hermitiens.

Algèbre 4 : Réduction des endomorphismes et applications

Ce module approfondit l'étude des endomorphismes d'espaces vectoriels et de leur représentation matricielle. Le programme porte sur les chapitres suivants:

* Chapitre I : Polynômes d'endomorphismes: Eléments propres, sous-espaces stables, polynôme caractéristique, théorème de Cayley-Hamilton, et lemme des noyaux.

* Chapitre II : Diagonalisation et trigonalisation: Diagonalisation et trigonalisation.

* Chapitre III : Décomposition de Jordan: Réduction de Jordan, décomposition de Dunford.
* Chapitre IV : Applications: Calcul des puissances d'une matrice, exponentielle, résolution de systèmes d'équations différentielles linéaires, et étude des suites récurrentes.

Algèbre 5 : Dualité, espaces euclidiens et espaces hermitiens

Ce second module élargit l'algèbre linéaire à des contextes plus géométriques et analytiques, en introduisant la dualité et les structures préhilbertiennes, réelles et complexes.

* Chapitre I: Dualité: Formes linéaires, hyperplans, base duale et de bidual, la transposée d'une application linéaire, et l'orthogonalité dans le cadre de la dualité.

* Chapitre II: Espaces préhilbertiens réels: Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques, l'orthogonalité, cônes isotropes, la réduction des formes quadratiques par la méthode de Gauss et théorème d'inertie de Sylvester.

* Chapitre III: Espaces euclidiens: Bases orthogonales et orthonormales, la méthode de Gram-Schmidt, les projections orthogonales, distance, endomorphismes orthogonaux et symétriques, et formes quadratiques.

* Chapitre IV: Espaces hermitiens: Formes hermitiennes, des produits scalaires complexes, et des adjoints, méthodes de réduction des formes quadratiques, le théorème d'inertie, et les endomorphismes auto-adjoints, unitaires et normaux.

En conclusion, le programme d'algèbre de première et deuxième année universitaire vise explicitement à fournir une base théorique solide et rigoureuse. Contrairement à l'approche opératoire du secondaire, ce niveau insiste sur la formalisation et le raisonnement logique à travers l'étude de structures abstraites et généralisées. Cette formation est essentielle pour préparer l'étudiant au programme d'algèbre linéaire avancée de deuxième année (Réduction des endomorphismes, Espaces euclidiens et hermitiens), qui est entièrement consacré à l'étude approfondie et structurale de la discipline. L'accent est mis sur la dimension praxéologique du logos (technologies et théories), en rupture claire avec l'approche centrée sur les techniques observée au lycée.

ANALYSE DE LA TRANSITION DES NOTIONS
ALGEBRIQUES DE SECONDAIRE AU SUPERIEUR

Cette section constitue le cœur de notre analyse, visant à décrypter la nature de la rupture didactique entre le secondaire et le supérieur en algèbre linéaire. Nous examinons l'évolution des organisations
mathématiques (OM), la nature du contrat didactique et les pratiques institutionnelles qui accentuent cette discontinuité.

## Contexte de la rupture: exigences d'abstraction et d'autonomie

### La Double Exigence de la Transition :

La transition secondaire-supérieur ne se limite pas à un changement de programme. Elle se manifeste par une évolution notable dans la nature des contenus, qui deviennent plus abstraits, formels et généralisés.

Le passage du lycée à l'université représente une rupture majeure dans le parcours de l'étudiant. Cette transition se traduit d'abord par une profonde évolution de la nature des savoirs enseignés. Là où le secondaire privilégie souvent des exemples concrets, des démarches fortement guidées et une approche pédagogique progressive, l'université fait entrer l'étudiant dans un univers de concepts plus abstraits, plus formels et plus généralisés. Les notions y sont traitées sous un angle résolument théorique, avec un degré de formalisme nettement supérieur, ce qui exige une capacité d'abstraction et une distanciation cognitive bien plus développées. Les objectifs pédagogiques de la filière MPSI dans les CPGE marocaines illustrent parfaitement cette exigence accrue.

> L'enseignement des mathématiques dans la filière Mathématiques et Physique (MP) a pour vocation d'apporter : - l'acquisition de connaissances et la maîtrise de techniques usuelles; - le développement simultané du sens de la rigueur et du goût du concret; - l'éveil de la curiosité intellectuelle et le développement de l'esprit critique, de recherche et de synthèse; - le développement de l'initiative, de l'autonomie et des capacités d'expression et de communication.

Parallèlement, les méthodes d'enseignement changent de manière significative. Le rapport au savoir n'est plus médiatisé par une forte présence de l'enseignant comme au lycée. À l'université, les cours magistraux dominent, et l'étudiant est supposé être autonome dans l'acquisition, la compréhension et l'appropriation des savoirs. Le suivi individualisé disparaît presque totalement, au profit d'une transmission frontale des connaissances. Cette évolution exige des étudiants qu'ils réorganisent leurs habitudes d'apprentissage: ils doivent prendre des notes, relire, rechercher des ressources complémentaires et construire eux-mêmes du sens autour des contenus.

Bref, cette transition didactique repose sur une double condition: d'une part, une augmentation du niveau d'abstraction des connaissances, d'autre part, une modification des rôles respectifs de l'enseignant et de l'apprenant. L'écart peut engendrer des problèmes
d'adaptation, en particulier pour les étudiants qui n'ont pas été préparés à cette nouvelle approche épistémique et méthodologique. D'après les étudiants interrogés, 75,5% ont constaté une grande disparité dans la façon d'enseigner entre le lycée et l'université. Le reste a ressenti quelques différences et personne n'a trouvé ces méthodes assez similaires.

Par ailleurs, les mathématiciens s'accordent sur les difficultés liées à l'enseignement et à l'apprentissage de l'algèbre à tous les niveaux, en particulier, l'algèbre linéaire (Adihou et al, 2015) (Gueudet et al, 2022). À l'issue d'une enquête par questionnaire menée auprès d'étudiants issus de différentes filières de l'enseignement supérieur, plusieurs obstacles majeurs ont été identifiés:

- le haut degré d'abstraction des concepts d'algèbre linéaire;

- les exigences élevées de rigueur dans la rédaction des démonstrations;

- la densité et la longueur exceptionnelle du programme;

- rythme de travail particulièrement soutenu.

## Transformation de la Posture Épistémique :

Le rapport au savoir change radicalement. L'étudiant doit passer d'un environnement d'enseignement guidé et médiatisé par l'enseignant (lycée) à un modèle de cours magistraux exigeant une autonomie accrue dans l'acquisition, la compréhension et l'appropriation des savoirs.

Les enseignants doivent accorder une attention continue à l'observation de leurs élèves et à la connaissance de leurs capacités, de leurs potentialités et de leurs inclinations, afin de les doter des compétences et habiletés nécessaires pour affronter la vie professionnelle ou intégrer la filière universitaire qui leur convient. À cela s'ajoute la nécessité de valoriser l'apprentissage personnel, qui mérite toute l'importance requise. (Les orientations pédagogiques pour l'enseignement des mathématiques dans le cycle de l'enseignement secondaire qualifiant (Maroc), Traduction libre).

L'analyse des résultats de l'enquête des étudiants par un questionnaire ne montre que 17,9% des interrogés ont senti qu'ils sont accompagnés dans leurs apprentissages au supérieur, par contre, au secondaire, 9,3% qui ont senti qu'ils ne sont pas accompagnés dans leurs apprentissages.

## Difficultés d'Adaptation :

Cette double rupture (élévation du niveau d'abstraction et transformation des rôles) est un facteur clé des difficultés d'adaptation des étudiants, qui n'ont pas été préparés à cette nouvelle posture méthodologique et cognitive (Nachit, 2021). D'autre part,
24,4% des étudiants, dans l'enquête, ont exprimé qu'ils ont bien vécu
le passage du lycée à l'université dans les cours de maths.

Problématique de l'Algèbre Linéaire:

L'algèbre linéaire est particulièrement sensible à cette rupture en raison de son haut niveau d'abstraction et de la difficulté à jongler entre différentes représentations (géométrique, algébrique et matricielle) (Dorier, 1997, Dorier, 1998) (Diana-Margarita et al, 2025) (Stewart et al, 2018).

Analyse Comparative des Organisations Mathématiques (OM)
par la TAD

En utilisant la Théorie Anthropologique du Didactique (TAD), nous comparons le statut épistémologique des notions fondamentales aux deux niveaux, révélant une véritable transformation des OM:

**Secondaire:** L'algèbre linéaire est principalement opératoire et géométrique, se concentrant sur les espaces réels en dimension 2 ou 3. Le programme de l'algèbre linéaire dans le programme officiel en deuxième baccalauréat au Maroc.

**Supérieur:** L'algèbre linéaire est une théorie complète et rigoureuse, abordant des espaces sur des corps quelconques ($K=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) et explorant des dimensions finies et infinies. Le statut des matrices est élevé au rang de théorie fondamentale. Dans la section 3, ci-dessus, on a présenté le programme de l'algèbre dans l'enseignement supérieur.

Rupture du Statut des Concepts :

**Espaces vectoriels:** Au secondaire, la notion d'espace vectoriel se limite aux espaces vectoriels sur le corps des réels $\mathbb{R}$. Les sous-espaces vectoriels y sont déterminés à l'aide de la caractérisation des sous-espaces vectoriels. Au supérieur, cette notion est étudiée dans un cadre plus général, sur un corps quelconque $K$. Les sous-espaces vectoriels y sont caractérisés à la fois par la caractérisation des sous-espaces vectoriels, par l'étude des noyaux et des images des applications linéaires et aussi par les sous-espaces engendrés par une famille de vecteurs.

**Bases et Dimension:** Au secondaire, la tâche se limite à caractériser une base donnée. Au supérieur, la construction d'une base nécessite la mobilisation de théorèmes fondamentaux et rigoureux comme le lemme d'échange de Steinitz, le théorème du rang et théorème de base incomplète.
**Applications linéaires:** Au secondaire, elles sont utilisées pour montrer que l'image d'un espace vectoriel par un homomorphisme est munie d'une structure d'espace vectoriel. Au supérieur, la notion d'application linéaire dépasse le simple rôle d'outil de vérification de la structure d'espace vectoriel pour devenir une théorie fondamentale de l'algèbre linéaire. La représentation matricielle des applications linéaires y est alors étudiée de manière approfondie.

**Calcul matriciel** y est une source d'exemple, et non une théorie fondamentale au secondaire. Il se restreint aux matrices carrées d'ordre 2 ou 3. Quant au supérieur, les matrices représentent une théorie compète qui introduit, étudie et applique cette notion pour déterminer le rang d'une matrice, les matrices inversibles, le déterminant et la résolution des systèmes par la méthode de Cramer.

> « Les deux premiers chapitres de cette partie sont organisés autour des axes suivants:
> - étudier les notions de base relatives aux espaces vectoriels, aux applications linéaires et à l'indépendance linéaire ;
> - définir la notion de dimension, qui interprète le nombre de degrés de liberté d'un problème linéaire. On insiste sur les méthodes pratiques de calcul de dimension en faisant apparaître qu'elles reposent sur deux types de représentations: paramétrisation linéaire d'un sous-'espace vectoriel, description d'un sous-'espace vectoriel par des équations linéaires;
> - présenter un certain nombre de notions de géométrie affine de manière à consolider et enrichir les acquis relatifs à la partie affine de la géométrie classique du plan et de l'espace. (Programme de Mathématiques de la classe préparatoire MPSI).

D'autre part, l'utilisation de la géométrie comme champ d'exemple est parfois mal exploitée au moment de la transition, privant l'étudiant d'un support visuel pour l'abstraction au supérieur<fnref n="4" />.

### Exemple d'analyse praxéologique

Nous consacrons cette partie à une analyse praxéologique des notions de base et de dimension, telles qu'elles apparaissent dans le programme de mathématiques de seconde séries scientifiques A et B, en comparaison avec celui de la première année universitaire. Nous examinons également des exemples tirés des manuels scolaires ainsi que des travaux d'élèves.

### Analyse praxéologique

Dans le chapitre *Structure algébrique* :

<footnote n="4">⁴ - Section 3 : Programme de deux premières années universitaires.</footnote>

<footnote>- Lecture de plusieurs polycopiés de cours d'algèbre linéaire.</footnote>
<table><thead><tr><td>Contenu du programme</td><td>Capacités attendues</td><td>Orientations pédagogiques</td></tr></thead><tbody><tr><td>- Combinaison linéaire d'une famille de vecteurs dans un espace vectoriel réel ;<br/>- Dépendance et indépendance linéaire ;<br/>- Base d'un espace vectoriel réel ;<br/>- Dimension d'un espace vectoriel réel.</td><td>- Maitrise des techniques des opérations sur les différentes structures ;<br/>- Utiliser les structures des ensembles usuels pour étudier les structures d'autres ensembles ;<br/>- Comparer deux structures algébriques, transposer une structure algébrique sur un autre en utilisant la notion de morphisme et d'isomorphisme.</td><td>- Il faut présenter toutes les définitions illustrées par des exemples usuels ;<br/>- On traitera les structures $(M_n(\mathbf{R}), +, \cdot)$ avec $n = 2 \text{ ou } 3$.</td></tr></tbody></table>

Nous menons une analyse praxéologique en prenant pour exemples les thèmes (Organisation Mathématique Locale au sens de la TAD) « Base d'un espace vectoriel réel » et « Dimension d'un espace vectoriel réel », notions étroitement liées.

On constate que le texte officiel ne précise aucun sujet (Organisation Mathématique Ponctuelle au sens de la TAD) pour ces deux thèmes; par conséquent, aucune tâche n'y est explicitement formulée. Afin de déterminer les contenus effectivement visés par l'enseignement de ces thèmes, nous avons analysé les cadres de référence des sujets de l'examen national du baccalauréat.

Pour appréhender ce qui est réellement enseigné en classe, nous avons également examiné des manuels scolaires, des polycopiés de cours élaborés par les enseignants interrogés, ainsi que des cours partagés sur des sites spécialisés.

Selon les cadres référentiels des sujets de l'examen national actuellement en vigueur, les tâches mises en valeur sont notamment les suivantes :

« 2.4.7. Reconnaître une famille libre, une famille génératrice et une base dans un espace vectoriel réel donné ;

2.4.8. Déterminer les coordonnées d'un vecteur par rapport à une base donnée dans un espace vectoriel. »
Le tableau suivant présente les niveaux de compétences exigés, conformément aux cadres référentiels, à l'examen national de mathématiques des filières Sciences Mathématiques A et B.

<table><caption>**Figure 1** : Extrait des cadres référentiels de l'examen national des mathématiques sur les niveaux d'habilité visés.</caption><thead><tr><td>Niveau d'habileté</td><td>Taux d'importance</td></tr></thead><tbody><tr><td>Application directe de connaissances (une définition, une propriété, un théorème, un algorithme, une formule, une technique, ...)</td><td>40%</td></tr><tr><td>Evoquer et appliquer des connaissances non explicites dans une question (définition ; propriété ; théorème ; algorithme ; expression ; technique ; règle...) dans une situation habituelle.</td><td>40%</td></tr><tr><td>Traiter des situations inhabituelles par synthèse de connaissances et de résultats.</td><td>20%</td></tr><tr><td>Total</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

L'étude des sujets proposés aux examens du baccalauréat, tant en session normale qu'en session de rattrapage, permet d'identifier les types de tâches (étroitement liées) qui sont privilégiées :

* T1 : déterminer une base d'un espace (ou sous-espace) vectoriel;

* T2 : vérifier qu'une famille donnée est une base ;

* T3 : déterminer les coordonnées d'un vecteur par rapport à une base donnée ;

* T4 : déterminer la dimension d'un espace vectoriel donné.

Pour ces différentes tâches, aucune **technique** (ni aucune **technologie**) n'est explicitée dans le texte officiel. En revanche, la théorie des espaces vectoriels réels constitue naturellement la **théorie** (au sens de la TAD) sous-jacente au programme. L'analyse des corrigés d'épreuves proposés par des enseignants permet toutefois d'identifier des techniques récurrentes.

Ainsi, la première tâche (T1) apparaît généralement dans le contexte des sous-espaces de $(M_2(\mathbb{R}), +, .)$ ou de $(M_3(\mathbb{R}), +, .)$, espaces des matrices carrées d'ordre 2 ou 3. La technique mobilisée pour déterminer une base consiste à exprimer les matrices de l'ensemble considéré sous forme paramétrée, puis à extraire une famille libre de matrices élémentaires correspondantes.

Pour la tâche (T2), vérifier qu'une famille est une base revient soit à montrer qu'elle est à la fois libre et génératrice, soit à établir que la matrice formée par les coordonnées de ces vecteurs (en lignes ou en colonnes) admet un déterminant non nul.

La tâche (T3) repose sur l'écriture d'un vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs d'une base donnée. Quant à la
tâche (T4), elle découle généralement de la résolution de la première ou de la deuxième tâche.

Dans l'enseignement supérieur, la notion de base d'un espace vectoriel s'appuie sur la théorie (Θ) des espaces vectoriels. Chaque technique (τ) y est justifiée par une technologie (Θ) spécifique.

Ainsi, la technologie de l'image et du noyau d'une application linéaire engendre des techniques permettant d'extraire, à partir d'une famille donnée, une famille libre, de déterminer une base et d'en déduire la dimension d'un sous-espace vectoriel. La notion de dimension permet également de déterminer une base en se limitant à montrer qu'une famille est génératrice ou libre, ou encore de prouver que deux sous-espaces vectoriels coïncident.

Enfin, la technologie de la somme (ou somme directe) de sous-espaces vectoriels conduit à la construction de bases à partir du théorème de la base incomplète, de la formule de Grassmann et de la notion de base adaptée à une somme directe de sous-espaces vectoriels ou à un sous-espace supplémentaire.

## Exemples

Cet exemple est tiré de polycopié de cours et exercices proposés et préparé par un professeur de seconde baccalauréat sciences mathématiques.

### Exercice 6

Dans $M_2(\mathbb{R})$ on considère les matrices : $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ et $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
on pose $E = \{M(a, b) = \begin{pmatrix} a+b & b \\ -b & a-b \end{pmatrix} / (a, b) \in \mathbb{R}^2\}$

1) Démontrer que $(E, +, \cdot)$ Est un espace vectoriel réel.

2) Démontrer que la famille $B = (I, A)$ est une base de E puis déduire $dimE$.

La correction proposée à la question 2 est la suivante :

On a

$$M(a, b) = \begin{pmatrix} a+b & b \\ -b & a-b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b & b \\ -b & -b \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = a \cdot I + b \cdot A.$$

Donc $B$ engendre $E$.
On démontre que $B$ est libre.

Pour tous $\alpha$ et $\beta$ dans $\mathbb{R}$ tel que $\alpha.1 + \beta.A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, on a

$$ \alpha.1 + \beta.A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} \alpha + \beta & \beta \\ -\beta & \alpha - \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} \alpha + \beta = 0 \\ \beta = 0 \\ \alpha - \beta = 0 \end{cases} \Rightarrow \alpha = \beta = 0. $$

$B$ est libre.

$B$ est libre et engendre $E$, donc $B$ est une base.

On remarque que de l'expression de définition des matrices de l'ensemble $E$, on a extrait une famille libre de matrices élémentaires correspondantes et après, on a montré que la famille est libre.

Pour l'enseignement supérieur, nous avons extrait un exercice du site **BibMath** (https://www.bibmath.net/), qui porte également sur la notion de base<fnref n="5" />.

### Exercice 2

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

- Base+coordonnées

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

[Signaler une erreur] [A]outer à ma feuille d'exos]

Enoncé v

Montrer que les vecteurs $u_1 = (0, 1, 1)$, $u_2 = (1, 0, 1)$ et $u_3 = (1, 1, 0)$ forment une base de $\mathbb{R}^3$. Trouver dans cette base les coordonnées du vecteur $u = (1, 1, 1)$.

Indication >

Corrigé v

Puisque $(u_1, u_2, u_3)$ est une famille de trois vecteurs dans un espace de dimension 3, à savoir $\mathbb{R}^3$, il suffit de prouver qu'elle est libre. L'équation $au_1 + bu_2 + cu_3 = 0$ est équivalente successivement aux systèmes :

$$ \begin{cases} b+c=0 \\ a+c=0 \\ a+b=0 \end{cases} \iff \begin{cases} b+c=0 \\ a+c=0 \\ a-c=0 \end{cases} \quad (L3)-(L1) \rightarrow (L3) $$

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

$$ \iff \begin{cases} b+c=0 \\ a+c=0 \\ 2a=0 \end{cases} \quad (L3)+(L2) \rightarrow (L3) \quad \iff a=b=c=0. $$

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

La famille est libre.

La connaissance de la dimension permet de se restreindre à l'étude de la liberté de la famille pour conclure qu'elle constitue une base, une démarche qui n'est pas utilisée dans l'enseignement secondaire.

<footnote n="5">⁵ En général, de tels site sont utiles aux enseignants de supérieur pour élaborer des cours et des exercices.</footnote>
Contraste Institutionnel: Contrats Didactiques et Orientations
Curriculaires

L'étude des textes officiels et des pratiques d'évaluation révèle des
contrats didactiques opposés, accentuant la fracture.

Dominance des Praxéologies de Tâches/Techniques (T, τ) dans le
Secondaire

**Contraintes Officielles:** Les orientations pédagogiques limitent l'algèbre linéaire à l'étude de situations courantes et aux exemples impliquant des matrices carrées d'ordre 2 ou 3.

**Pragmatisme Utilitaire:** L'évaluation nationale (Baccalauréat) est orientée par des cadres de référence qui exigent principalement la maîtrise des techniques des opérations et la reconnaissance des structures usuelles. Les compétences requises demeurent au niveau praxéologique des tâches et techniques (T, τ), sans accéder aux niveaux théoriques (Θ).

**Illustration par l'Examen:** L'analyse d'un exercice type du Baccalauréat (similaire à celui de 2025) confirme que les élèves sont habitués à exécuter des exercices d'algèbre linéaire de manière mécanique, sans que les fondements théoriques soient réellement interrogés. Cette pratique rend l'enseignement utilitariste et centré sur la réussite.

L'analyse de l'exercice issu de l'examen national du baccalauréat 2025 (voir annexe) montre que les compétences mobilisées relèvent principalement des niveaux praxéologiques des tâches et des techniques : L'exercice se compose de six questions. Les trois premières portent sur les opérations élémentaires sur les matrices d'ordre 3, notamment l'addition et la multiplication. La quatrième question invite l'élève à vérifier qu'un ensemble muni d'une opération donnée constitue bien un groupe. La cinquième aborde la notion d'homomorphisme, en particulier la propriété selon laquelle l'image d'un groupe par un homomorphisme est elle-même un groupe. Enfin, la sixième question propose une synthèse des résultats obtenus dans les questions précédentes et conduit à conclure sur la structure de corps.

Ainsi, la référence à l'algèbre linéaire demeure essentiellement centrée sur le calcul matriciel, utilisé ici comme support pour illustrer les notions de structure de groupe et de corps.

**Illustration par les Pratiques de Classe :** Cette stratégie d'optimisation des résultats se traduit par l'utilisation de fichiers synthétiques résumant le cours dès le début de l'année scolaire. Cette
pratique a été confirmée par les inspecteurs et les enseignants de mathématiques du secondaire interrogés. De plus, 45% des étudiants ayant répondu au questionnaire de notre étude ont également validé cette observation. Cette organisation du travail affaiblit la dimension formatrice des apprentissages, notamment en matière de conceptualisation<fnref n="6" />.

*Le Contrat Didactique Universitaire : Exigence du Logos (θ, Θ)*

**Objectifs de Formalisation:** L'université vise à fournir une base théorique solide et rigoureuse. Les objectifs d'apprentissage incluent la compréhension des notions sur un corps quelconque, la diagonalisation, le théorème du rang et la mise en œuvre de la dualité.

**Dominance du Logos:** L'enseignement supérieur met l'accent sur la dimension praxéologique du logos, c'est-à-dire l'ensemble des technologies et théories (θ, Θ) structuré autour de justifications associées. L'étudiant doit conceptualiser, relier les notions et produire un raisonnement rigoureux, ce qui rompt avec l'approche technique du lycée.

## Conséquences de la Rupture sur les Étudiants et les Pratiques Pédagogiques

**La Logique de Réussite:** La forte valeur symbolique du baccalauréat et la sélection rigoureuse post-bac poussent les élèves à adopter une logique de réussite et des stratégies d'optimisation des résultats. L'algèbre, en particulier l'algèbre linéaire, est la première victime de cette stratégie, car l'enseignement se réduit à l'application mécanique de techniques opératoires sans que les fondements théoriques ne soient réellement interrogés.

**Le Déficit Conceptuel à l'Université:** Les observations issues de notre enquête auprès des enseignants du supérieur confirment que les étudiants manquent de bases conceptuelles solides, ont des difficultés à formaliser et à justifier leurs démarches. L'algèbre linéaire est perçue par les apprenants comme un obstacle redouté.

**Résistance à l'Abstraction:** Habitués à des tâches formatées et à des réponses attendues, les apprenants peinent à entrer dans une logique de problématisation et de construction théorique. Ce changement brutal de cadre (rupture du contrat didactique) déstabilise bon nombre d'étudiants. Dans (Hanane & al, 2025), une étude des manuels de mathématiques du secondaire met en évidence plusieurs

<footnote n="6">⁶ Le pourcentage d'étudiants ayant validé l'observation peut s'expliquer par leur difficulté à distinguer un cours véritablement structuré d'un cours présenté sous forme de simple résumé.</footnote>
constats concernant le contenu et les difficultés que posent certaines pratiques d'enseignement pour l'apprentissage des élèves. De leur côté, les auteurs de (Langbroek, 2024) analysent ce même phénomène dans un autre contexte, ce qui confirme le caractère universel des effets produits par les pratiques pédagogiques au niveau secondaire.

## CONCLUSION

L'analyse des approches curriculaires et des pratiques pédagogiques en algèbre linéaire, menée à travers le prisme de la Théorie Anthropologique du Didactique (TAD), met en évidence une fracture profonde entre les logiques d'enseignement propres au secondaire et au supérieur.

Au lycée, l'enseignement de l'algèbre est dominé par une orientation utilitariste centrée sur la réussite aux examens. Les pratiques pédagogiques, orientées par la pression des cadres de référence nationaux, privilégient la maîtrise de techniques opératoires et un entraînement aux exercices types. Cette approche contraint les élèves à rester aux niveaux praxéologiques des tâches et techniques (τ), souvent au détriment de la compréhension conceptuelle et de la construction théorique. L'algèbre linéaire se trouve ainsi réduite à une série de procédures à mémoriser.

À l'université, en revanche, l'enseignement s'inscrit dans une logique différente et plus exigeante. Il est fondé sur l'abstraction, la rigueur et la formalisation. Les contenus sont plus denses, la progression est rapide, et le cadre d'apprentissage suppose une autonomie accrue de la part des étudiants. La dimension praxéologique du logos (technologies et théories, θ, Θ) devient centrale, exigeant une capacité à conceptualiser, à relier les notions, et à produire des raisonnements structurés.

Ce changement de contrat didactique brutal est source de déstabilisation pour les étudiants, car il rompt avec leurs habitudes acquises au secondaire. Les résultats de notre enquête de terrain confirment ce déficit conceptuel: les enseignants du supérieur constatent que les étudiants manquent de bases solides pour la formalisation et la justification des démarches. Dans certains cas, il a été observé que plus de 90% des étudiants n'arrivent pas à répondre aux questions portant sur les fondements théoriques des concepts. L'algèbre linéaire, au lieu d'être perçue comme un outil puissant, devient un obstacle redouté.

L'écart entre les attentes institutionnelles du supérieur et les pratiques effectives du secondaire soulève une question centrale: **comment penser une continuité didactique qui permette aux**
élèves d'entrer progressivement dans la conceptualisation, sans rupture brutale ?

Cette problématique constitue un enjeu majeur pour toute réflexion visant à améliorer l'enseignement de l'algèbre linéaire et à assurer une véritable formation mathématique. Par ailleurs, cette étude fournit une base solide pour une investigation plus approfondie du phénomène de transition entre l'enseignement secondaire et l'enseignement supérieur.
# ANNEXE

## Exercice 4 : (3,5 points)

On rappelle que $(M_3(R), +, \times)$ est un anneau unitaire et non commutatif de zéro la matrice

$$0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ et d'unité la matrice } I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \text{ et que } (M_3(R), +, \times) \text{ est un espace vectoriel réel.}$$

Soient la matrice $A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ et l'ensemble $E = \{M(x) = I + xA : x \in \mathbb{R}\}$

1. a) Vérifier que : $A^2 = -2A$.

b) En déduire que : $\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2; M(x) \times M(y) = M(x + y - 2xy)$.

2. a) Calculer $M(\frac{1}{2}) \times \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

b) En déduire que la matrice $M(\frac{1}{2})$ n'est pas inversible dans $(M_3(R), \times)$.

3. Montrer que : $E - \{M(\frac{1}{2})\}$ est stable pour la multiplication dans $M_3(R)$ (on pourra utiliser l'identité : $(x - \frac{1}{2})(y - \frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}(x + y - 2xy - \frac{1}{2})$).

4. Montrer que : $(E - \{M(\frac{1}{2})\}, \times)$ est un groupe commutatif.

5. On munit $E$ de la loi de composition interne $T$ définie par :

$$\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2; M(x)TM(y) = M\left(x + y - \frac{1}{2}\right)$$

et on considère l'application $\varphi$ définie de $R$ vers $E$ par : $\forall x \in \mathbb{R}; \varphi(x) = M(\frac{1-x}{2})$.

a) Montrer que $\varphi$ est un homomorphisme de $(R, +)$ vers $(E, T)$ et que $\varphi(R) = E$.

b) En déduire que $(E, T)$ est un groupe commutatif.

6. Montrer que $(E, T, \times)$ est un corps commutatif.
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