Localisation

M.L.M. François

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M.L.M. François. Localisation. Master. Module XMS3PE713 Comportements dissipatifs Cours I/VI Localisation, Nantes, France. 2025, pp.58. hal-05457067

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>

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# Module XMS3PE713 Comportements dissipatifs
Cours I/VI Localisation

## M2 de Mécanique, parcours Mécanique et Fiabilité des Structures

### Faculté des Sciences et techniques, Nantes Université

Version du 20 octobre 2025
## Objectifs de ce cours

* Connaître les phénomène de localisation, de bifurcation et de perte d'unicité

* Comprendre l'origine des critères associés

* Savoir calculer une condition de localisation locale, en 1D, en 1,5D et en 3D

* Connaître les limites des modèles locaux usuellement utilisés

* Connaître l'existence de quelques modèles non locaux
## Plan

1. 1 Bandes de localisation fixes

* 1.1 Bandes de glissement dans les matériaux granulaires

* 1.2 Bandes de glissement adiabatique dans les métaux

* 1.3 Striction dans les métaux

2. 2 Bandes de localisation mobiles

3. 3 Remarques

4. 4 Les approches 1D

5. 5 Condition 3D de perte d'ellipticité de Hill

6. 6 Critère 3D de localisation de Mandel-Rice

7. 7 Dépendance au maillage de la largeur de bande

8. Bibliographie
# 1 Bandes de localisation fixes

## 1.1 Bandes de glissement dans les matériaux granulaires

À une certaine charge apparaissent des bandes de glissement. Le glissement le long de ces bandes produit un mécanisme de corp rigide accommodant le déplacement imposé.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Figure – Bandes de cisaillement en X dans une argile en compression (g) et mécanisme au niveau granulaire (d) (Wikipedia).
1.2 Bandes de glissement adiabatique dans les métaux

À haute vitesse de déformation, des bandes de glissement adiabatiques apparaissent dans les métaux. La déformation y est très intense et la chaleur produite, qui n'a pas le temps de s'évacuer, fait augmenter la température dans la bande, qui ramollit le matériau.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Figure – (g) acier AISI 4340 sous impact [Odeshi 2006], (d) copeau UGV de titane [Daymi et al., ICMaS 2006]
1.3 Striction dans les métaux

La striction (necking) est une localisation diffuse qui concerne les matériaux plastiques en traction. Elle apparaît au pic en force puis s'intensifie jusqu'à la rupture. La force de traction diminue à cause de la diminution de section.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Simulation : S. Forest.
# Plan

1

1. Bandes de localisation fixes

2

2. Bandes de localisation mobiles

* 2.1 Matériaux poreux en compression

* 2.2 Striction des polymères en traction

* 2.3 Bandes de Piobert-Lüders et plateau de plasticité

3

3. Remarques

4

4. Les approches 1D

5

5. Condition 3D de perte d'ellipticité de Hill

6

6. Critère 3D de localisation de Mandel-Rice

7

7. Dépendance au maillage de la largeur de bande

8

Bibliographie
# 2 Bandes de localisation mobiles

## 2.1 Matériaux poreux en compression

Dans un matériau poreux en compression (mousse, matériEU architecturé...) peut apparaître une bande de localisation en propagation, dans laquelle les cellules du matériau collapsent, induisant une grande déformation de compression.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

**Figure –** (g) Viot, Beani, Lataillade, J. of Mat. Sci. [2005], (d) Mousse de Noryl (Pradel et Aloui) [1998]
## 2.2 Striction des polymères en traction

Dans une barre de polymère en traction au delà de Tg (ex. : sac plastique) apparait, à une certaine force, des bandes de localisation en propagation. À leur passage, le polymère passe de l'état amorphe initial peu déformé à un état orienté (plus cristallin) très déformé. La section droite y est très réduite, entrainant un niveau de contraintes très élevé.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

bandes de localisation
en propagation

<figure><img src="image_10.png" /></figure>
## 2.3 Bandes de Piobert-Lüders et plateau de plasticité

Dans un métal ductile en traction apparaît, juste après la limite d'élasticité, une bande de Piobert-Lüders. Elle se propage dans la barre en générant une zone fortement déformée.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure – Cartes de température et source, H. Louche, Univ. Montpelier 2</figcaption></figure>

Une fois le domaine balayé par la bande, la plasticité est homogène et l'écrouissage se produit. video
<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Dans la bande s'opère un changement de phase, le passage d'une déformation $\varepsilon^{-}$ à $\varepsilon^{+}$). Il est le même quelque soit l'abscisse à laquelle il se produit, impliquant le plateau en contraintes.
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>**Figure** – Bandes de Piobert Lüders dans un aluminium en traction, déformation mesurée par corrélation d'image 3D depuis une tomographie X (T. F. Morgeneyer, T. Taillandier-Thomas, L. Helfen, T. Baumbach, I. Sinclair, S. Roux et F. Hild [2014])</figcaption></figure>
Remarque : les métaux adoucissants (aciers doux par exemple) présentent deux phénomènes de localisation en traction :

* la propagation des bandes de Piobert-Lüders lors du premier plateau en contrainte

* le phénomène de striction (sans propagation) qui commence près de la force maximum et voit ensuite la force baisser

<figure><img src="image_14.png" /></figure>
# Plan

1. 1 Bandes de localisation fixes

2. 2 Bandes de localisation mobiles

3. 3 Remarques
* 3.1 Importance industrielle
* 3.2 Localisation, perte d'unicité et brisure de symétrie

4. 4 Les approches 1D

5. 5 Condition 3D de perte d'ellipticité de Hill

6. 6 Critère 3D de localisation de Mandel-Rice

7. 7 Dépendance au maillage de la largeur de bande

8. Bibliographie
# 3 Remarques

## 3.1 Importance industrielle

L'impact industriel des phénomènes de localisation peut être important :

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

**Figure** – Gauche : défaut induit par des bandes de cisaillement dans une tôle laminée (CETIM) Droite : une courbe limite de formage (CLF) utilisée pour l'emboutissage (en déformations principales)
## 3.2 Localisation, perte d'unicité et brisure de symétrie

On observe, pour tout ces phénomènes, 3 aspects importants :

* La localisation peut se produire à différents endroits, le résultat est équivalent. En conséquence, il y a perte d'unicité de la solution.

* Le groupe de symétrie des conséquences ne contient plus celui des causes. Par exemple, une bande de Piobert-Lüders brise la symétrie isotrope transverse de l'essai de traction. Il y a brisure de symétrie<fnref n="1" />.

* Dans une bande en propagation, le changement de phase (de la phase peu déformée à la phase fortement déformée) requiert la même puissance quelque soit le lieu où il se produit. Elle se propage donc à force constante.

<footnote n="1">1. La perte d'unicité et la brisure de symétrie se retrouvent en flambement (de poutres, de coques, de structure...).</footnote>
## Plan

1. 1 Bandes de localisation fixes

2. 2 Bandes de localisation mobiles

3. 3 Remarques

4. 4 Les approches 1D

* 4.1 Cinématique de barre (1D)

* 4.2 Changement de phase et bande de localisation en propagation

* 4.3 Striction et critère de Considère (1,5D)

5. 5 Condition 3D de perte d'ellipticité de Hill

6. 6 Critère 3D de localisation de Mandel-Rice

7. 7 Dépendance au maillage de la largeur de bande

8. Bibliographie
# 4 Les approches 1D

## 4.1 Cinématique de barre (1D)

Une barre possède une variable d'espace $x$ et une section constante $S_0$. La bande de localisation est réduite au point d'abscisse $x_0$ qui sépare le domaine à petite déformation $\varepsilon^-$ du domaine à grande déformation $\varepsilon^+$.

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

On pose le saut de déformation :

$$ \begin{aligned} \llbracket \varepsilon \rrbracket &= \varepsilon^+ - \varepsilon^- \\ &= \varepsilon(x_0^+) - \varepsilon(x_0^-) \end{aligned} $$
La barre étant en équilibre, l'effort normal est constant : $N = F$ et donc la contrainte $\sigma = N/S_0$ est constante dans la barre, donc il n'y a pas de saut de contrainte dans la bande :

$$ \begin{aligned} \llbracket \sigma \rrbracket &= 0, \quad \forall t \\ \implies \llbracket \dot{\sigma} \rrbracket &= 0 \end{aligned} $$

où $\dot{\sigma}$ représente la dérivée temporelle. On introduit le module tangent :

$$ \begin{aligned} H &= \frac{d\sigma}{d\epsilon} \\ \iff H &= \frac{\dot{\sigma}}{\dot{\epsilon}} \end{aligned} $$

où $\sigma$ est la contrainte et $H$ la dérivée de la courbe de traction $\sigma(\epsilon)$ :

<figure><img src="image_17.png" /></figure>
De $\llbracket \dot{\sigma} \rrbracket = 0$, on déduit :

$$ \llbracket H \dot{\epsilon} \rrbracket = 0 \\ \implies H \llbracket \dot{\epsilon} \rrbracket = 0 $$

car, juste au moment de la localisation, le matériau est identique de part et d'autre de la bande. Comme la solution $\llbracket \dot{\epsilon} \rrbracket = 0$ entraine $\llbracket \epsilon \rrbracket = 0$ c'est à dire une absence de localisation, il reste $H = 0$.

La condition de localisation dans une barre est $H = 0$.

Comme $H(\epsilon = 0) = E > 0$, cela implique un comportement adoucissant, c'est à dire localement $H'' < 0$.

<figure><img src="image_18.png" /></figure>
Passé ce point, il y a perte d'unicité : pour un même niveau de contrainte $\sigma$ on peut avoir deux niveaux de déformations, ici $\varepsilon^-$ et $\varepsilon^+$.

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

La déformation moyenne $\bar{\varepsilon}$ s'écrit :

$$ \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{x_0}{L_0} \varepsilon^- + \frac{L_0 - x_0}{L_0} \varepsilon^+ \\ \implies \bar{\varepsilon} = (1 - f)\varepsilon^- + f\varepsilon^+ $$

où $f$ est la fraction linéique de matière à l'état $\varepsilon^+$.
Le niveau de contrainte post localisation est est-il unique ?

* Supposons, après localisation, une déformation moyenne $\bar{\epsilon}$ légèrement supérieure à $\epsilon^L$. Supposons de plus que la courbe $\sigma(\epsilon)$ est localement symétrique :

$$ \epsilon^+ = \epsilon^L + \Delta\epsilon $$

$$ \epsilon^- = \epsilon^L - \Delta\epsilon $$

L'équation précédente devient :

$$ \begin{gathered} \epsilon^L = (1-f)(\epsilon^L - \Delta\epsilon) + f(\epsilon^L + \Delta\epsilon) \\ \Rightarrow f = 1/2 \end{gathered} $$

* Si de plus le système cherche à minimiser la contrainte (afin de minimiser son énergie), alors il évoluera spontanément vers la contrainte minimale possible (C sur le dessin).

* Cela suppose que L est un maximum absolu en contrainte. C'est donc adapté pour la striction mais pas pour les bandes de Piobert-Lüders.
* Il y a aussi perte d'unicité car les domaines à grande et petite déformation peuvent de plus occuper diverses topologies :

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

Cependant n'avoir qu'une seule bande en 1D minimise l'énergie d'interface.
## 4.2 Changement de phase et bande de localisation en propagation

* En 1875, J.C. Maxwell a expliqué que les changements de phase se faisaient selon un plateau en pression (pour nous en contrainte).

* Cette approche a été développée pour les barres par Ericksen [1975] et Del Piero [2005]

* L'énergie $\rho\Psi$ n'est localement plus convexe (voir page suivante).

* Le changement de phase se fait instantanément entre les états A à l'état B, en suivant apparemment la droite de Maxwell AB (rouge), sans suivre la transformation AB réelle (bleue), non convexe.

* L'énergie $\Delta\rho\Psi$, au dessus de la droite est « prêtée » par le système pour la transformation AI, mais elle est compensée par l'énergie $-\Delta\rho\Psi$, « restituée » au système lors de la transformation IA.

* Un tel plateau est visible lors de l'ébullition de l'eau, tandis que le diagramme liquide-vapeur est en réalité non convexe. Voir la page Wikipedia sur le palier de Maxwell.
<figure><img src="image_21.png" /></figure>

<figure><img src="image_22.png" /></figure>
* Depuis $\sigma = \partial\rho\Psi/\partial\varepsilon$ (voir cours sur la TPI), l'énergie libre de Helmholtz est l'intégrale de la contrainte.

* Donc, les états A et B ayant même contrainte, ils ont même pente sur le graphe de $\rho\Psi$.

* La construction de Maxwell se fait en traçant la tangente en A et B ; cela défini les déformations correspondantes et donc la droite de Maxwell et le niveau de la contrainte $\sigma(A) = \sigma(B)$

* En dehors de l'approche de Maxwell, on comprend que la bande fait changer d'une phase $\varepsilon^-$ à une phase $\varepsilon^+$ et donc requiert la même force (contrainte) que ce soit au début ou à la fin de la bande, justifiant le plateau.

<figure><img src="image_23.png" /></figure>
Ce mécanisme décrit :

* les bandes et le plateau de Piobert-Lüders (2.3) à la contrainte seuil (ou *yield stress*, contrainte d'écoulement) $\sigma^y$.

* la localisation dans les polymères en traction (2.2)

* On observe souvent un *overshoot* en contrainte, en début de plateau, nécessaire pour amorcer le mécanisme

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Figure – Bandes de Piobert-Lüders, Mechanics of Materials, 4th Ed., by J.M. Gere and S.P. Timoshenko, PWS Publishing, 1997, pp. 835-42.</figcaption></figure>
## 4.3 Striction et critère de Considère (1,5D)

Approche 1,5D : barres en traction dont la section S est prise en compte à l'état actuel, en grandes transformations, ce qui le rendra adapté à prévoir la striction (planche 1.3). [Considère, 1885].

Grandes transformations en 1D :

* La déformation conventionnelle est $\varepsilon = \Delta L/L_0$, où $L_0$ est la longueur initiale, $L$ la longueur actuelle et $\Delta L = L - L_0$ l'allongement

* La déformation logarithmique $\varepsilon^L$ est définie par :

$$ 
\begin{align*} 
d\varepsilon^L &= \frac{dL}{L} \\ 
\Leftrightarrow \dot{\varepsilon}^L &= \frac{\dot{L}}{L} \\ 
\varepsilon^L &= \log\left(\frac{L}{L_0}\right) \\ 
\Rightarrow \varepsilon^L &= \log(1 + \varepsilon) 
\end{align*} 
$$
* La contrainte conventionnelle est $\sigma = F/S_0$, où $S_0$ est la section initiale

* La contrainte « vraie » est $\sigma^v = F/S$, où S est la section actuelle

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

Une transformation plastique est (quasiment) isochore. Le volume initial $S_0L_0$ égale le volume actuel $SL$ donc :

$$ \sigma^v = \frac{F S_0 L_0 L}{S_0 S L L_0} \\ \Rightarrow \sigma^v = \sigma \exp(\varepsilon^L) $$
Considère observe que localisation a lieu dès que la force F atteint un
plateau :

$$
\begin{align*}
\dot{F} &= 0 \\
\dot{\sigma} S + \sigma \dot{S} &= 0 \\
\frac{\dot{\sigma}}{\sigma} &= -\frac{\dot{S}}{S}
\end{align*}
$$

Comme en plasticité le volume $SL = S_0L_0$ est constant :

$$
\begin{align*}
\dot{S}L + S\dot{L} &= 0 \\
\implies \frac{\dot{S}}{S} &= -\frac{\dot{L}}{L} \\
\implies \frac{\dot{\sigma}^V}{\sigma^V} &= \frac{\dot{L}}{L} = \dot{\epsilon}^L \\
\iff \sigma^V &= \frac{\dot{\sigma}^V}{\dot{\epsilon}^L} = H^V
\end{align*}
$$

D'où on déduit :
La striction est un effet de localisation en grandes transformations, qui a lieu dès que le critère de Considère est atteint :

$$ \sigma^v = H^v $$

où $H^v$ est le module tangent en grandes transformations.

* Le module tangent $H^v(0) = E \gg \sigma^v$ en élasticité, doit diminuer jusqu'à atteindre $\sigma^v$. Cela implique une courbe contrainte-déformation concave, c'est à dire un comportement adoucissant.

* Le critère de Considère précède le critère 1D $H = 0$ ■ .

<figure><img src="image_26.png" /></figure>
* Une fois la striction amorcée, la force diminue (post-pic). Depuis l'équilibre, la force est homogène dans l'éprouvette (ce qui n'est plus le cas de la contrainte vraie car la section n'est plus constante).

* En post-pic, on a deux niveaux de déformation $\varepsilon^+$ dans la zone en striction et $\varepsilon^-$ en dehors.

* Ils sont associés aux niveaux de contrainte $\sigma^+ = F/S^+$ dans la striction et $\sigma^- = F/S^-$ en dehors.

* On n'a pas de changement brusque de section car cela générerai une grande énergie due au cisaillement. Cet effet 3D génère la forme douce que l'on observe.

<figure><img src="image_27.png" /></figure>
# Plan

1. Bandes de localisation fixes

2. Bandes de localisation mobiles

3. Remarques

4. Les approches 1D

5. Condition 3D de perte d'ellipticité de Hill
* 5.1 Approche énergétique
* 5.2 Le critère de Hill
* 5.3 Exemple

6. Critère 3D de localisation de Mandel-Rice

7. Dépendance au maillage de la largeur de bande

8. Bibliographie
# 5 Condition 3D de perte d'ellipticité de Hill

## 5.1 Approche énergétique

Drucker [1950, 56], Hill [1958, 62] et Rice [1976, 95] ont introduit un critère local d'unicité (condition suffisante) :

$$d^2 W^e = d\sigma : d\varepsilon > 0, \quad \forall d\varepsilon \neq 0$$

Ce qui revient à dire que travail des efforts extérieurs du second ordre, est positif. Le matériau ne restitue pas d'énergie.

On introduit le module tangent $\mathbb{H}$ :

$$d\sigma = \mathbb{H} : d\varepsilon$$

qui possède les deux petites symétries $H_{ijkl} = H_{jikl} = H_{ijkl}$ et, pour les modèles de comportement (plasticité, endommagement) étudiés cette année, la grande symétrie $H_{ijkl} = H_{klij}$.
La condition de stabilité devient

$$d\boldsymbol{\epsilon} : \mathbb{H} : d\boldsymbol{\epsilon} > 0, \quad \forall d\boldsymbol{\epsilon} \neq \mathbf{0}$$

soit, écrit dans une base de tenseurs (Bechterew), :

$$d\tilde{\boldsymbol{\epsilon}}_I \tilde{H}_{IJ} d\tilde{\boldsymbol{\epsilon}}_J > 0, \quad \forall d\tilde{\boldsymbol{\epsilon}} \neq \mathbf{0}$$

ce qui est équivalent à $H_{IJ}$ est défini positif, c'est à dire ait toutes ses valeurs propres positives, ce qui est caractéristique d'un problème elliptique.

La condition d'ellipticité, de stabilité - et donc l'unicité - est perdue dans
le cas contraire.
## 5.2 Le critère de Hill

### Condition de perte d'ellipticité de Hill [1958]

Une perte d'unicité se produit dès que la matrice $\bar{H}_{ij}$, des composantes du module tangent $\mathbb{H}$ en base de tenseurs, possède une valeur propre nulle.

* Soit $d\boldsymbol{\epsilon}^* \neq 0$ un tenseur propre de $\mathbb{H}$ associé à une valeur propre nulle :

$$ \mathbb{H}: d\boldsymbol{\epsilon}^* = 0 = d\boldsymbol{\sigma}^* $$

L'évolution $d\boldsymbol{\epsilon}^*$ se produit à contrainte constante ($d\boldsymbol{\sigma}^* = 0$), c'est à dire de manière spontanée et imprévisible : il y a perte d'unicité.

* Initialement, en élasticité, $\mathbb{H} = \mathbb{C}$ le tenseur de Hooke qui est défini positif. Donc, pratiquement, on cherche le moment où la première valeur propre descend à 0, en général en calculant le moment ou $\det(\bar{H}_{ij}) = 0$
## 5.3 Exemple

Supposons un matériau élastique isotrope 2D qui possède le tenseur $d$-élasticité $C = \mathbb{H}$ suivant :

$$ \bar{C} = \begin{bmatrix} C_{111} & C_{112} & 0 \\ C_{111} & C_{111} & 0 \\ s & C_{111} - C_{112} & 0 \end{bmatrix} $$

avec $C_{111} > C_{112}$. Supposons maintenant qu'on le découpe en feuillets, comme un jeu de cartes. Il n'oppose alors aucune contrainte si on lui impose un cisaillement $\varepsilon_{12}$. Son module de cisaillement devient donc nul :

$$ \bar{C}' = \begin{bmatrix} C_{111} & C_{112} & 0 \\ C_{111} & C_{111} & 0 \\ s & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Son groupe de symétrie est maintenant tétragonal.
* Une valeur propre de $H = C'$ est nulle, le critère de Hill est satisfait, il y a perte d'unicité.

* La déformation peut se concentrer dans une bande, entre deux feuillets.

* plusieurs états sont possibles, on peut passer de l'un à l'autre avec une contrainte constante (ici nulle).

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

<figure><img src="image_29.png" /></figure>
## Plan

1. Bandes de localisation fixes

2. Bandes de localisation mobiles

3. Remarques

4. Les approches 1D

5. Condition 3D de perte d'ellipticité de Hill

6. Critère 3D de localisation de Mandel-Rice

* 6.1 Modélisation de la bande

* 6.2 Rappel sur les conditions de continuité à un interface

* 6.3 Condition de localisation de Mandel-Rice

* 6.4 Propriétés du tenseur acoustique

* 6.5 Lien entre les conditions de Mandel-Rice et de Hill

7. Dépendance au maillage de la largeur de bande

8. Bibliographie
# 6 Critère 3D de localisation de Mandel-Rice

## 6.1 Modélisation de la bande

* Les milieux 1 et 2 sont identiques avant localisation

* Après apparition de la bande de localisation, le milieu 1 est très déformé, tandis que le milieu 2 ne change pas

* Les calculs sont présentés en petites perturbations. Il est possible de les effectuer avec un formalisme de grandes transformations

<figure><img src="image_30.png" /></figure>
## 6.2 Rappel sur les conditions de continuité à un interface

On considère deux matériaux (quelconques) 1 et 2, en contact non glissant de normale **n**.

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

L'équilibre de l'interface implique que les vecteurs contrainte sont opposés :

$$ 
\begin{align*}
\boldsymbol{\sigma}_1 \cdot \mathbf{n} + \boldsymbol{\sigma}_2 \cdot (-\mathbf{n}) &= \mathbf{0} \\
\Rightarrow (\boldsymbol{\sigma}_1 - \boldsymbol{\sigma}_2) \cdot \mathbf{n} &= \mathbf{0} \\
\Leftrightarrow [\boldsymbol{\sigma}] \cdot \mathbf{n} &= \mathbf{0}
\end{align*}
$$
$$ \Leftrightarrow [[\boldsymbol{\sigma}]]= \begin{bmatrix} \bullet & \bullet & 0 \\ \bullet & 0 & 0 \\ s & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(t_1,t_2,n)} $$

où la base retenue ($\mathbf{t}_1, \mathbf{t}_2, \mathbf{n}$) est orthonormée avec $\mathbf{t}_\alpha$ dans le plan de l'interface et $\bullet$ une valeur quelconque.

Cette propriété s'exprime de manière intrinsèque :

$$ [[\sigma_{i3}]]= 0 $$

$$ [[\sigma_{ij}]\delta_{j3}]= 0 $$

$$ [[\boldsymbol{\sigma}] \cdot \mathbf{n}]= \mathbf{0} $$

et, étant vraie au cours du temps, elle se dérive en :

$$ [[\dot{\boldsymbol{\sigma}}]] \cdot \mathbf{n}= \mathbf{0} $$
L'interface est un milieu 2D dans lequel la déformation plane $\boldsymbol{\epsilon}^{\text{plane}}$ est la même pour les milieux 1 et 2. On l'obtient par projection dans le plan $\mathbf{n}^{\perp}$ (voir cours calcul tensoriel) :

$$ 
\begin{align*}
\mathbf{P} &= \mathbf{I} - \mathbf{n} \otimes \mathbf{n} \\
\Leftrightarrow \mathbf{P} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(t_1, t_2, \mathbf{n})} \\
\boldsymbol{\epsilon}_{ij}^{\text{plane}} &= P_{ip} P_{jq} \boldsymbol{\epsilon}_{pq} \\
\Leftrightarrow \boldsymbol{\epsilon}^{\text{plane}} &= \mathbf{P} \cdot \boldsymbol{\epsilon} \cdot \mathbf{P}^{\text{T}} \\
&= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
\end{align*}
$$
$$ \boldsymbol{\epsilon}^{\text{plane}} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & 0 \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(t_1, t_2, n)} $$

que l'on pouvait trouver directement.

Cette partie du tenseur des déformations, appartenant au plan d'interface, est commune aux matériaux 1 et 2. Le saut de déformation au travers d'une interface non glissante s'écrit :

$$ [[\boldsymbol{\epsilon}]] = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \bullet \\ 0 & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & 0 \end{bmatrix}_{(t_1, t_2, n)} $$

On remarque la dualité entre les conditions de saut à l'interface en contrainte et en déformation.
Le terme de saut s'écrit, de manière intrinsèque, comme :

$$ \llbracket \boldsymbol{\epsilon} \rrbracket = \frac{1}{2} (\boldsymbol{g} \otimes \boldsymbol{n} + \boldsymbol{n} \otimes \boldsymbol{g}) $$

où $\boldsymbol{g}$ est a priori quelconque.

Preuve :

* on se place dans la base $(\mathbf{t}_1, \mathbf{t}_2, \mathbf{n})$. On a $\mathbf{g}(g_1, g_2, g_3)$ et $\mathbf{n} = (0, 0, 1)$ :

$$ \llbracket \boldsymbol{\epsilon} \rrbracket = \begin{bmatrix} 0 & 0 & g_1/2 \\ 0 & 0 & g_2/2 \\ g_1/2 & g_2/2 & g_3 \end{bmatrix}_{(t_1, t_2, n)} $$

ce qui est bien la forme attendue (à trois degrés de liberté).

* La forme en vitesse est triviale :

$$ \llbracket \dot{\boldsymbol{\epsilon}} \rrbracket = \frac{1}{2} (\dot{\boldsymbol{g}} \otimes \boldsymbol{n} + \boldsymbol{n} \otimes \dot{\boldsymbol{g}}) $$
## 6.3 Condition de localisation de Mandel-Rice

Juste avant la localisation, les milieux 1 et 2 sont encore identiques. Le module tangent $\mathbb{H}$ relie les incréments de contrainte et de déformation. En vitesse, cela s'écrit $\dot{\sigma} = \mathbb{H} : \dot{\boldsymbol{\epsilon}}$.

On applique la propriété du saut de contrainte (planche 6.42) :

$$ \begin{gathered} [[\dot{\sigma}]] \cdot \mathbf{n} = \mathbf{0} \\ \Rightarrow [[\mathbb{H}] : \dot{\boldsymbol{\epsilon}}]] \cdot \mathbf{n} = \mathbf{0} \end{gathered} $$

Comme on est juste avant la localisation, les matériaux 1 et 2 sont encore identiques, avec le même $\mathbb{H}$ donc :

$$ \mathbb{H} : [[\dot{\boldsymbol{\epsilon}}]] \cdot \mathbf{n} = \mathbf{0} $$

Depuis l'allure du saut de déformation planche précédente :

$$ \mathbb{H} : (\dot{\mathbf{g}} \otimes \mathbf{n} + \mathbf{n} \otimes \dot{\mathbf{g}}) \cdot \mathbf{n} = \mathbf{0} $$
Le vecteur $\dot{\mathbf{g}}$ est un vecteur propre de $\mathbf{n} \cdot \mathbf{H} \cdot \mathbf{n}$, avec une valeur propre nulle, car :

$$ 
\begin{align*}
\frac{1}{2} H_{ijkl} (\dot{g}_k n_l + n_k \dot{g}_l) n_j &= 0 \\
\Leftrightarrow H_{ijkl} \dot{g}_k n_l n_j &= 0 \\
\Leftrightarrow H_{ijkl} \dot{g}_k n_l n_i &= 0 \\
\Leftrightarrow n_i H_{ijkl} n_l \dot{g}_k &= 0 \\
\Leftrightarrow (\mathbf{n} \cdot \mathbf{H} \cdot \mathbf{n}) \cdot \dot{\mathbf{g}} &= \mathbf{0}
\end{align*}
$$

Au final, la localisation a lieu si le tenseur acoustique (ou de Christoffel) $\Gamma$ défini par :

$$ \Gamma = \mathbf{n} \cdot \mathbf{H} \cdot \mathbf{n} $$

possède un vecteur propre $\dot{\mathbf{g}}$ associé à une valeur propre nulle.
Revenons sur la nature du saut de déformation :

$$ \llbracket \boldsymbol{\epsilon} \rrbracket = \begin{bmatrix} 0 & 0 & g_{1/2} \\ 0 & 0 & g_{2/2} \\ g_{1/2} & g_{2/2} & g_{3} \end{bmatrix}_{(t_1, t_2, n)} $$

Alors $\text{trace}(\llbracket \boldsymbol{\epsilon} \rrbracket) = g_3$ et les valeurs propres de $\llbracket \boldsymbol{\epsilon} \rrbracket$ sont :

$$ \lambda_1 = \frac{1}{2} \left( g_3 - \sqrt{g_1^2 + g_2^2 + g_3^2} \right) \le 0 $$

$$ \lambda_2 = 0 $$

$$ \lambda_3 = \frac{1}{2} \left( g_3 + \sqrt{g_1^2 + g_2^2 + g_3^2} \right) \ge 0 $$
* Si $g_3 = 0$ alors la bande génère à son passage un cisaillement pur, isochore, selon $(\mathbf{n} \otimes \mathbf{t} + \mathbf{t} \otimes \mathbf{n})/2$ où $\mathbf{t} = \cos(\theta)\mathbf{t}_1 + \sin(\theta)\mathbf{t}_2$. Cela correspond aux bandes de glissements.

$$g = \pm\sqrt{g_1^2 + g_2^2}, \quad \tan(\theta) = g_2/g_1$$
$$[[\boldsymbol{\epsilon}]] = \begin{bmatrix} 0 & 0 & g \\ 0 & 0 & 0 \\ g & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(t, \bullet, n)}$$

* si $g_1 = g_2 = 0$ et $g_3 \neq 0$, la bande génère à son passage une extension ou un raccourcissement selon $\mathbf{n}$, avec un changement de volume. Cela décrit la localisation dans les matériaux poreux.

$$[[\boldsymbol{\epsilon}]] = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & g_3 \end{bmatrix}_{(t_1, t_2, n)}$$

* Les autres possibilités décrivent une composition de ces deux cas.
En résumé :

## Critère de localisation de Mandel [1966]-Rice [1976]

Une bande de localisation de normale **n** se produit dès que :

$$ \det(\Gamma) = 0 \\ \Gamma = n \cdot H \cdot n $$

où $H$ est le module tangent et $\Gamma$ le tenseur acoustique (ou tenseur de Christoffel), symétrique et défini positif. Le saut de déformation est de la forme :

$$ [[\epsilon]] = \frac{1}{2}(g \otimes n + n \otimes g) $$

où $g$ est proportionnel au vecteur propre associé à la valeur propre nulle.
## 6.4 Propriétés du tenseur acoustique

* $\Gamma$ est un tenseur symétrique si $\mathbb{H}$ possède la grande symétrie (il possède systématiquement les petites). Preuve :

$$ 
\begin{align*}
\Gamma_{kj} &= n_i H_{ikjl} n_l \\
&= n_i H_{jlik} n_l \\
&= n_l H_{ljki} n_i \\
&= \Gamma_{jk}
\end{align*}
$$

* $\Gamma$ est défini positif si $\mathbb{H}$ l'est. Preuve :

$$ 
\begin{align*}
& \forall \boldsymbol{\epsilon}, \quad \boldsymbol{\epsilon} : \mathbb{H} : \boldsymbol{\epsilon} > 0 \\
& \forall \mathbf{g}, \quad \exists \boldsymbol{\epsilon} = (\mathbf{g} \otimes \mathbf{n})^s \\
& \implies \forall \mathbf{g}, \quad g_j n_i H_{ijkl} n_l g_k > 0 \\
& \implies g_j \Gamma_{jk} g_k > 0 \\
& \implies \forall \mathbf{g}, \quad \mathbf{g} \cdot \Gamma \cdot \mathbf{g} > 0
\end{align*}
$$
* Le tenseur acoustique sert aussi dans les équations de propagation des ondes (d'où son nom).

* Le calcul présenté a été originellement développé en mécanique des fluides pour prédire le cône de Mach

* Cette approche prédit l'apparition des bandes et leur orientation. Elle ne détermine pas l'épaisseur des bandes fixes (granulaires, striction).

* Pour une transformation élastique $H = C$ (voir le T.D.) et, comme $C$ est défini positif, $Γ$ l'est aussi, ses valeurs propres sont positives, donc il ne peut pas y avoir de localisation en élasticité (isotrope ou non) tant qu'aucun module de Kelvin n'est nul.
## 6.5 Lien entre les conditions de de Mandel-Rice et de Hill

Supposons la condition de Mandel-Rice satisfaite et $\mathbb{H}$ est symétrique :

$$ \exists \mathbf{g} \neq \mathbf{0} \quad / \quad \mathbf{\Gamma} \cdot \mathbf{g} = \mathbf{0} $$

$$ \Rightarrow \mathbf{g} \cdot \mathbf{\Gamma} \cdot \mathbf{g} = 0 $$

$$ \Leftrightarrow \mathbf{g} \otimes \mathbf{n} : \mathbb{H} : \mathbf{n} \otimes \mathbf{g} = 0 $$

$$ \Leftrightarrow (\mathbf{g} \otimes \mathbf{n} + \mathbf{n} \otimes \mathbf{g}) : \mathbb{H} : (\mathbf{n} \otimes \mathbf{g} + \mathbf{g} \otimes \mathbf{n}) = 0 $$

$$ \Rightarrow \exists \boldsymbol{\epsilon} = \mathbf{g} \otimes \mathbf{n} + \mathbf{n} \otimes \mathbf{g} \quad / \quad \boldsymbol{\epsilon} : \mathbb{H} : \boldsymbol{\epsilon} = 0 $$

$$ \Rightarrow \det(H_{IJ}) = 0 $$

alors le critère de Hill est satisfait aussi.
# Plan

1. 1 Bandes de localisation fixes

2. 2 Bandes de localisation mobiles

3. 3 Remarques

4. 4 Les approches 1D

5. 5 Condition 3D de perte d'ellipticité de Hill

6. 6 Critère 3D de localisation de Mandel-Rice

7. 7 Dépendance au maillage de la largeur de bande

● 7.1 Problèmes numériques

● 7.2 Solutions

8. Bibliographie
# 7 Dépendance au maillage de la largeur de bande

## 7.1 Problèmes numériques

Dès 1992, Sluys a observé que, dans une simulation numérique avec un modèle adoucissant classique, si une bande de localisation apparaît bien, la largeur de bande dépendait du maillage. Or, cela est impossible puisque le maillage n'a pas de réalité physique.

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>[Sluys 92]</figcaption></figure>
## 7.2 Solutions

Afin de palier à ce problème, on utilise maintenant des modèles enrichis.

* Milieux micromorphes de Cosserat [1909] : transmission de moments au niveau différentiel. Complexes à mettre en œuvre, surtout au niveau des conditions aux limites.

* Milieux du second gradient (Germain [1973]) : utilisent $u_{i,jk}$ dans la cinématique. Beaucoup de constantes non identifiables, CL difficiles à appliquer.

* Modèles non-locaux (Pijaudier-Cabot and Bažant [1987]). Variables non locales, longueur interne. Physique discutable.

* Modèles à gradient (Mulhaus [1989], De Borst [1991], Belytchko and Lasry [1988]). Physique discutable.

* Modèles à discontinuité (Ortiz et al. [1990], Belytschko et al. [1991], Simo et al. [1994], Oliver [1996], Jirasek [2001]). Physique spécifique dans la bande. Approche numérienne, physique discutable.
# Plan

1. 1 Bandes de localisation fixes

2. 2 Bandes de localisation mobiles

3. 3 Remarques

4. 4 Les approches 1D

5. 5 Condition 3D de perte d'ellipticité de Hill

6. 6 Critère 3D de localisation de Mandel-Rice

7. 7 Dépendance au maillage de la largeur de bande

8. Bibiliographie
Biblographie

* Hill R. *A general theory of uniqueness and stability in elastic-plastic solids*. J. of the Mech. and Phys. of Solids, 6:239-249, 1958.

* Mandel J., *Conditions de stabilité et postulat de Drucker*. Rheology and Soil Mechanics, J. Kravtchenko and P. M. Sirieys (eds), Springer, Berlin:58-68, 1966.

* Rice J.R., *The localization of plastic deformation*. Theoretical and applied mechanics, W.T. Koiter ed, North-Holland publishing Company: 207-220, 1976.

* Servant G., Darve F., Desrues J. and Georgopoulos I.O., *Diffuse modes of failure in geomaterials*. In Di Benedetto, editor, Deformation characteristics of geomaterials. Swets & Zeitlinger, 2004.