# LES VARIABLES DE RECHERCHE : UN OUTIL POUR TRANSPOSER LA DIALECTIQUE PARTICULIER-GÉNÉRAL

GRAVIER<fnref n="1" /> Sylvain, TROUVÉ<fnref n="2" /> Thibaut

**Résumé** – Dans cette communication, on présente un type de variable didactique : la *variable de recherche*. Il s'agit d'une variable du problème dont l'enseignant dévolue à l'élève la responsabilité de faire évoluer la valeur. Leur introduction dans une situation didactique permet de transposer à la classe la dialectique particulier-général constamment mise en œuvre dans la recherche professionnelle.

**Mots-clés** : activité de recherche, résolution de problème, variable de recherche, dialectique particulier-général, généralisation.

À travers la Théorie des Situations Didactiques, Brousseau a rappelé l'importance des analyses épistémologique et mathématique en amont de la conception d'une situation d'apprentissage. Notre contribution s'inscrit dans cette perspective : il s'agit d'abord d'enrichir le modèle épistémologique proposé par Mason *et al.* (2010) décrivant la dialectique particulier-général. Notamment, on identifie les savoirs mathématiques en jeu dans cette dialectique. Enfin, on montre comment les variables de recherche permettent la transposition didactique de ces savoirs. Notre objectif est de fournir des outils pour mettre en place des analyses *a priori* de situations permettant aux élèves d'appréhender cette dialectique.

Dans la recherche professionnelle, la production de savoirs mathématiques nouveaux passe par la résolution de problèmes. Pour progresser dans la résolution d'un problème, le chercheur en mathématiques fait dialoguer le particulier et le général. En pratique, cela se traduit par l'étude de cas particuliers et la généralisation des résultats partiels obtenus. Cette *dialectique particulier-général* (abrégée DPG dans la suite) constitue une composante importante du *mathematical thinking* (Mason *et al.*, 2010). Dans les recherches en didactique des mathématiques le concept de *problème* n'est jamais défini. Dans cette communication, on réserve le terme problème pour désigner un *problème mathématique*. D'un point de vue syntaxique, un problème est décrit par une question portant sur un ensemble d'instances (Garey et Johnson, 1979).

Un des objectifs majeurs de Maths à Modeler<fnref n="3" /> est de déterminer des conditions favorables à la transposition, dans la classe, de l'activité du chercheur et, en particulier, la dialectique particulier-général, en se plaçant dans le cadre de la Théorie des Situations Didactiques. Dans sa thèse, Godot (2005) introduit le concept de *variable de recherche* permettant aux élèves d'appréhender en partie cette dialectique.

Dans la première partie de cette communication, on élargit et précise la définition de variable de recherche. Ceci nous amène à détailler les savoirs en jeu dans la DPG. En particulier, on revisite, par le biais de la dialectique outil-objet (Douady, 1986), le processus de généralisation décrit par Mason *et al.* (2010) et on raffine ce que ces auteurs nomment *généralisation théorique*. En conclusion, on donne des éléments de gestion permettant de mettre en œuvre les variables de recherche en classe.

<footnote n="1">¹ Institut Fourier & Maths à Modeler, Université Grenoble Alpes, CNRS – France – sylvain.gravier@univ-grenoble-alpes.fr</footnote>

<footnote n="2">² Institut Fourier & Maths à Modeler, Université Grenoble Alpes – France – thibaut.trouve@univ-grenoble-alpes.fr</footnote>

<footnote n="3">³ https://mathsamodeler.ujf-grenoble.fr/.</footnote>
LES VARIABLES DE RECHERCHE : UN OUTIL DE TRANSPOSITION

Si l'on reconnaît le DPG comme un objectif d'apprentissage, on peut se questionner sur l'existence et les caractéristiques de situations permettant à un élève de se l'approprier. Comme cette dialectique apparaît lors de l'activité de recherche en mathématiques, il est naturel de s'orienter vers des dispositifs permettant de la mettre en œuvre. Dans sa thèse, Georget (2009) fait un état des lieux des dispositifs récemment développés en France visant à transposer l'activité du mathématicien à la sphère scolaire. Il mentionne notamment les *Situations de Recherche pour la Classe* (SiRC) (Grenier et Payan, 2006), le *débat scientifique* (Legrand, 1988), les *problèmes ouverts* (Arsac et Mante, 2007) et bien d'autres... À l'internationale, de tels dispositifs sont développés dans le cadre du *problem solving* avec la perspective d'appréhender le *mathematical thinking* (Mason *et al.*, 2010 ; Pólya, 2004 ; Shoenfeld, 1985). Dans le cadre des SiRC, Godot (2005) introduit le concept de *variable de recherche*. Il s'agit des variables du problème dont l'élève a à sa charge le choix des valeurs. Selon elle, ce type de variable « définit les différents sous-problèmes qui sont rattachés au problème ouvert et amène à des phases d'action et de formulation différentes » (ibid., 2005, p. 133). Plus généralement, la DPG s'exprime, dans la phase de recherche, à travers les changements de valeurs des variables du problème que l'on peut classer selon deux types :

* restriction des valeurs possibles ou spécification de la valeur pour s'intéresser à un cas particulier du problème considéré, ou

* extension des valeurs possibles pour envisager le problème considéré comme un sous problème d'un problème plus général.

Donc, pour favoriser l'émergence en classe de cette dialectique, l'enseignant peut, pour chaque variable du problème :

* laisser à la charge des élèves le choix de ses valeurs, on parlera de *variable non fixée*, ou bien

* autoriser les élèves à modifier sa valeur initialement fixée dans l'énoncé<fnref n="1" />, on la qualifiera alors de *variable fixée modifiable*.

Bien sûr, certaines variables du problème peuvent être fixées par l'enseignant qui ne souhaite pas que leur valeur soit modifiée par les élèves. Cela correspond à l'usage classique des variables didactiques liées au problème.

On propose d'étendre la définition de variable de recherche, initialement restreinte aux variables non fixées, au cas des variables fixées modifiables. Cela permet de considérer un problème plus général que celui proposé dans l'énoncé. De plus, l'enseignant peut proposer une valeur initiale qui aide, par exemple à la compréhension du problème, la dévolution de la situation, ou encore l'émergence de certaines stratégies de résolution.

On remarque que cette définition de variable de recherche est indépendante du cadre des SiRC. De plus, si l'on peut *a priori* penser que « les variables de recherche ne sont pas des variables didactiques » (Godot, 2005, p. 134), leur mise à disposition des élèves traduit bien une intentionnalité didactique : l'enseignant fait en sorte, lors du choix de l'énoncé à proposer, qu'il soit nécessaire que les élèves s'emparent de cette variable pour progresser dans la résolution du problème. Il s'agit précisément de la définition de *variable didactique* que l'on rappelle ici :
> un champ de problèmes peut être engendré à partir d'une situation par la modification des valeurs de certaines variables qui, à leur tour, font changer les caractéristiques des stratégies de solution (cout, validité, complexité... etc.) [...] Seules les modifications qui affectent la hiérarchie des stratégies sont

<footnote n="1">¹ Étant donné un problème, un énoncé est une formulation d'un sous-problème proposé aux élèves. En particulier, deux énoncés peuvent relever du même problème.</footnote>
à considérer (variables pertinentes) et parmi les variables pertinentes, celles que peut manipuler un
professeur sont particulièrement intéressantes : ce sont les variables didactiques (Brousseau, 1982,
p. 23).

DES SAVOIRS SPÉCIFIQUES EN JEU DANS LA DPG

Selon Mason et al. (2010), dans l'activité de recherche, la DPG est propre à la pensée mathématique et s'articule autour de deux processus :

SPECIALIZING [which] means choosing examples

* randomly, to get a feel for the question;

* systematically, to prepare the ground for generalizing;

* artfully, to test a generalization (ibid., p. 21)

et

GENERALIZING [which] means detecting a pattern leading to:

* WHAT seems likely to be true (a conjecture);

* WHY is it likely to be true (a justification); and

* WHERE it is likely to be true, that is a more general setting of the questions (another question!) (ibid., p. 22)

La DPG rend compte de démarches de recherche mathématique. Parmi ces démarches, on trouve notamment le traitement de cas particuliers dans la perspective de formulation de conjectures. Pour pouvoir formuler une conjecture suite au traitement d'exemples, il convient de repérer des éléments communs aux exemples examinés (WHAT). Ce type de raisonnement inductif produit des généralisations empiriques (ibid., p. 232).

Seule la validation par la *preuve* fournit une justification (WHY) de la conjecture formulée. La résolution de cas particuliers peut aboutir à la résolution complète du problème si l'ensemble des cas particuliers recouvre toutes les instances possibles du problème. Ainsi, cette stratégie peut conduire à des *raisonnements par exhaustion de cas*. Inversement, un exemple particulier peut s'avérer être un *contre-exemple* d'une conjecture formulée précédemment (WHY). Lors de ces phases de recherche, la preuve est traitée comme un *outil* (Douady, 1986) de validation de conjecture.

La généralisation théorique (ibid., p. 232) est produite suite à des raisonnements déductifs (WHERE). La définition de problème comme un couple instance-question permet de préciser ce point. En effet, on identifie deux modalités de généralisation théorique.

La première est obtenue en répondant à la question suivante : quelles sont les instances pour lesquelles la preuve reste effective ? On procède ici à une généralisation du problème résolu avec la même preuve. Un moyen de répondre à cette question est de déterminer les propriétés de l'instance utilisées dans la preuve.

On approche ainsi un point de vue plus abstrait qui consiste à s'interroger sur la portée des arguments utilisés dans la preuve : quels sont les problèmes résolus par ce type de preuve ? On considère ici la preuve comme modèle de résolution d'une famille de problèmes. On parlera de modèle de preuve.

Par exemple, pour les problèmes d'optimisation combinatoire, la dualité entre deux problèmes permet d'obtenir des encadrements sur les valeurs optimales (Gravier et Ouvrier-Buffet, 2022) et constitue donc un modèle de preuve pour traiter ce type de problèmes.

Ces questions caractéristiques de la généralisation théorique portent sur l'objet (Douady, 1986) preuve.

On décrit maintenant comment l'utilisation de variables de recherche favorise la transposition, dans la classe, de la DPG.

La présence d'une variable non fixée impose à l'élève de répondre à la question du problème pour toutes les valeurs possibles de cette variable. Cela constitue un moyen d'apprentissage du quantificateur universel. Or, on sait que l'usage d'un élément générique (soit x...) constitue
une source de difficulté lors de l'apprentissage de la preuve (Durand-Guerrier et Arsac, 2003). Notamment, lorsque la variable n'est pas numérique, déterminer les propriétés d'un élément générique peut s'avérer difficile. L'élève est alors amené à étudier des cas particuliers. Si l'ensemble des valeurs possibles est petit, une preuve par exhaustion de cas peut être envisagée. En revanche, si cet ensemble est grand ou non fini, l'élève doit privilégier des exemples qui paraissent pertinents ou facilement résolubles. À ce stade, l'élève peut produire des conjectures. Il peut aussi essayer de déterminer dans quelle mesure les arguments utilisés pour traiter ces exemples sont applicables à d'autres valeurs, voire à toutes. Ici, c'est la généralisation du problème qui est en jeu, elle constitue un premier pas vers l'identification d'un modèle de preuve. S'il échoue à recouvrir l'ensemble des valeurs possibles, il peut entreprendre une étude ad-hoc des valeurs restantes.

La variable fixée et modifiable invite l'élève à considérer, dans un premier temps, un cas particulier pertinent en vue d'une généralisation. L'aspect modifiable de la variable n'a de sens que si les élèves ont accès au problème général que l'enseignant peut avoir exposé au préalable. C'est l'enseignant qui leur met à disposition un cas particulier pertinent du problème, choisi parce que son étude fait émerger une preuve qui peut être utilisée pour d'autres instances, voire qui repose sur un modèle permettant de résoudre d'autres problèmes. On retrouve ici les aspects formulés plus haut pour les variables non fixées. La différence majeure est que la recherche de cas particuliers pertinents est prise en charge par l'enseignant au lieu de l'élève, ce qui est intéressant notamment pour des problèmes pour lesquels ces valeurs sont difficiles à déterminer.

## CONCLUSION : UN POINT SUR LE CONTRAT DIDACTIQUE

L'introduction de variables de recherche dans une situation didactique constitue une rupture avec le contrat didactique ordinaire de la classe. Lorsqu'ils expérimentent une telle mise en situation pour la première fois, les élèves rencontrent des difficultés à s'emparer de ces variables. Il s'avère donc nécessaire de les désigner pour que les élèves fassent évoluer leur valeur au cours de la résolution. Ceci implique que les variables du problème qui ne sont pas désignées comme variables de recherche, sont les variables non modifiables.

De plus, il y a un véritable enjeu de gestion de la situation lié aux variables de recherche pour amener les élèves à faire évoluer par eux-mêmes leurs valeurs. Pour conclure, on propose quelques possibilités de gestion, sans détailler leurs modalités qui restent propres à chaque dispositif.

D'une part, il semble nécessaire d'exposer un problème général aux élèves avant de proposer l'énoncé sur lequel il est demandé de travailler. Cela leur permet d'identifier les variables fixées (dans l'énoncé) et modifiables (selon le problème général donné).

D'autre part, les énoncés comportant des variables non fixées peuvent être difficiles à appréhender. L'enseignant amènera alors les élèves à voir la nécessité de spécifier la valeur de ces variables pour progresser dans la résolution. Certains choix s'avéreront pertinents alors que d'autres mèneront à des sous-problèmes difficiles voire insolubles, ce qui remettra en cause ces choix. En pratique, les élèves ont tendance à choisir des valeurs pour lesquelles la résolution n'est pas évidente. Il s'agit d'un effet de contrat : ils rejettent les exemples simples qui ne leur paraissent pas conforme à la demande de l'enseignant. Ainsi, ils sont souvent confrontés à un problème encore trop difficile. L'enseignant pourra alors les inciter à étudier des exemples plus simples (souvent les petits cas).

Après ces phases d'appropriation des variables de recherche, il est important de pointer l'intérêt de leur utilisation dans la résolution du problème. Par exemple, l'enseignant interrogera l'intérêt
de l'étude des cas particuliers abordés pour résoudre le problème. Il incitera ainsi à la généralisation empirique et/ou théorique.

Après plusieurs expériences, les élèves s'approprient plus spontanément les variables de recherche ce qui témoigne d'une acquisition de la DPG pour la résolution de problème.

## RÉFÉRENCES

Arsac, G., & Mante, M. (2007). *Les pratiques du problème ouvert*. CRDP de l'académie de Lyon.

Brousseau, G. (1982). Les objets de la Didactique des Mathématiques. *Contributions à la seconde école d'été de didactique des mathématiques*, 10-60.

Douady, R. (1986). Jeux de cadres et dialectique outil-objet. *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 7(2), 5-31.

Durand-Guerrier, V., & Arsac, G. (2003). Méthodes de raisonnement et leurs modélisations logiques. Spécificité de l'analyse. Quelles implications didactiques? *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 23(3), 295-342.

Garey, M. R., & Johnson, D. S. (1979). *Computers and intracability: a guide to the theory of NP-completeness*. Freeman.

Georget, J.-P. (2009). *Activités de recherche et de preuve entre pairs à l'école élémentaire : Perspectives ouvertes par les communautés de pratique d'enseignants* [Thèse de doctorat]. Université Paris Diderot.

Godot, K. (2005). *Situations recherche et jeux mathématiques pour la formation et la vulgarisation. Exemple de la roue aux couleurs* [Thèse de doctorat]. Université Joseph-Fourier -- Grenoble I.

Gravier, S., & Ouvrier-Buffet, C. (2022). The mathematical background of proving processes in discrete optimization – Exemplification with Research Situations for the Classroom. *ZDM – Mathematics Education*, 54, 925-940. https://doi.org/10.1007/s11858-022-01400-3

Grenier, D., & Payan, C. (2006). Des « situations recherche » pour l'apprentissage des savoirs transversaux. In N. Bednarz & C. Mary (Éds.), *L'enseignement des mathématiques face aux défis de l'école et des communautés*.

Legrand, M. (1988). Rationalité et démonstration mathématiques, le rapport de la classe à une communauté scientifique. *Recherches en Didactique des Mathématiques*, 9(3), 365-406.

Mason, J., Burton, L., & Stacey, K. (2010). *Thinking mathematically*. Pearson Education Limited.

Pólya, G. (2004). *How to solve it: a new aspect of mathematical method*. Princeton University Press.

Schoenfeld, A. H. (1985). *Mathematical Problem Solving*. Academic Press.