Par conséquent, on peut appliquer les propositions 5.15 et 5.24 et on a

$$
\begin{align*}
N_{d,1}^{(1)}(P_1, P_2) + \tilde{N}_{d,1}^{(2)}(P_1, P_2) & = \left( \sum_{z \in P_2 B_3 \cap A_1^\mu(\mathbb{Z})} \mathfrak{S}_{d,z} J_z |z|^{m-r} + \sum_{l=1}^{P_2} \sum_{\substack{z \in P_2 B_3 \cap A_1^\mu(\mathbb{Z}) \\ |z| \le l}} \mathfrak{S}_{d,z} J_{l,z} l^{m-r} \right) \\
& \qquad \times d^{m-r-d_1} P_1^{m+1-d_1} \\
& \qquad + O\left(d^{m-r} \max\left\{d^{\frac{(r+1)(d_1-1)}{2d_1-1}+\varepsilon}, d^{3-d_1}\right\} P_1^{m+1-d_1-\delta} P_2^{n-r+1-d_2}\right) \\
& = \sigma_d P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2} \\
& \qquad + O\left(d^{m-r} \max\left\{d^{\frac{(r+1)(d_1-1)}{2d_1-1}+\varepsilon}, d^{3-d_1}\right\} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2-\delta}\right)
\end{align*}
$$

par le lemme précédent. En utilisant l'égalité apparaissant dans (6.8), on a

$$
\tilde{N}_{d,1}(P_1, P_2) = \sigma_d P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2} \\
\qquad + O\left(d^{m-r} \max\left\{d^{\frac{(r+1)(d_1-1)}{2d_1-1}+\varepsilon}, d^{3-d_1}\right\} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2-\delta}\right).
$$

Si l'on suppose à présent $b < b_1$, on a

$$
K > \max\{b_1 d_1 + d_2, (5b_1 + 2)(\tilde{d} + 1) > \max\{bd_1 + d_2, (5b + 2)(\tilde{d} + 1)\}.
$$

Par la proposition 3.19, on a donc

$$
N_d(P_1, P_2) = \sigma_d P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2} \\
+ O\left(d^{m-r} \max\left\{d^{\frac{(r+1)(d_1-1)}{2d_1-1}+\varepsilon}, d^{3-d_1}\right\} P_1^{m+1-d_1-\delta} P_2^{n-r+1-d_2-\delta}\right).
$$

Or comme dans la démonstration du lemme 6.1,

$$
\tilde{N}_{d,1}(P_1, P_2) = N_d(P_1, P_2) \\
+ O\left(d^{m-r} \max\left\{d^{\frac{(r+1)(d_1-1)}{2d_1-1}+\varepsilon}, d^{3-d_1}\right\} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2-\delta}\right). \blacksquare
$$

Si l’on note

$$
(6.9) \quad \tilde{N}_{d,2}(P_1, P_2) = \operatorname{card} \left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}^{n+2} \mid \begin{array}{l} \mathbf{x} \in \mathcal{A}_2^\lambda(\mathbb{Z}), |\mathbf{x}| \le P_1, \\ \max\left(\left|\frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|}\right|, |\mathbf{z}|\right) \le P_2, F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0 \end{array} \right\}
$$

on a un résultat analogue :

PROPOSITION 6.5. Si $d_1, d_2 \ge 2$, $P_1 \le P_2$ et $n+2-\max\{\dim V_1^*, \dim V_2^*\}$
> **m**, alors

$$
\tilde{N}_{d,2}(P_1, P_2) = \sigma_d P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2} \\
+ O\left(d^{m-r} \max\left\{d^{\frac{(r+1)(r+1)}{2d_1+\delta}+\epsilon}, d^{\frac{5d_1}{2}}\right\} P_1^{m+1-d_1-\delta} P_2^{n-r+1-d_2}\right).
$$
Si $d_1 \ge 2$, $d_2 = 1$, $P_1 \le P_2$ et $n+2 - \max\{\dim V_1^*, \dim V_2^*\} > \mathfrak{m}'$, alors
$$ \tilde{N}_{d,2}(P_1, P_2) = \sigma_d P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r} + O\left(d^{m-r} \max\left\{d^{\frac{d_1(r+1)}{2^{d_1-1}} + \varepsilon}, d^{3-d_1}\right\} P_1^{m+1-d_1-\delta} P_2^{n-r}\right). $$

Considérons à présent l'ouvert de Zariski

$$ (6.10) \qquad U = \mathcal{A}_2^\lambda \times \mathbb{A}_C^{m-r} \times \mathcal{A}_1^\mu \subset \mathbb{A}_C^{n+2}. $$

On note alors

$$ (6.11) \quad \tilde{N}_{d,U}(P_1, P_2) = \mathrm{card} \left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}^{n+2} \cap U \;\middle|\; \begin{array}{l} |\mathbf{x}| \le P_1, \\ \max\left(\left\lfloor \frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|} \right\rfloor, |\mathbf{z}| \right) \le P_2, F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0 \end{array} \right\}, $$

On en déduit :

**PROPOSITION 6.6.** Si $d_1, d_2 \ge 2$ et $n+2 - \max\{\dim V_1^*, \dim V_2^*\} > \mathfrak{m}$, alors

$$ \tilde{N}_{d,U}(P_1, P_2) = \sigma_d P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2} + O_{\delta}\left(d^{m-r} \max\left\{d^{\frac{(r+1)(d_1-1)}{2^{d_1-1}} + \varepsilon}, d^{5d_1}\right\} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2} \min\{P_1, P_2\}^{-\delta}\right) $$

pour $\delta > 0$ arbitrairement petit. Pour $d_1 \ge 2$, $d_2 = 1$, $P_1 \le P_2$ et $n+2 - \max\{\dim V_1^*, \dim V_2^*\} > \mathfrak{m}'$, on a

$$ \tilde{N}_{d,U}(P_1, P_2) = \sigma_d P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r} + O_{\delta}\left(d^{m-r} \max\left\{d^{\frac{d_1(r+1)}{2^{d_1-1}} + \varepsilon}, d^{3-d_1}\right\} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r} \min\{P_1, P_2\}^{-\delta}\right). $$

*Démonstration.* On suppose $P_1 \ge P_2$. On évalue le terme d'erreur :

$$ |\tilde{N}_{d,U}(P_1, P_2) - \tilde{N}_{d,1}(P_1, P_2)| \ll d^{m-r} P_1^{m+1-d_1-\delta} P_2^{n-r+1-d_2} $$

car $u_1 \ge 1$. Si $P_1 \le P_2$, on obtient le même résultat pour $|\tilde{N}_{d,U}(P_1, P_2) - \tilde{N}_{d,2}(P_1, P_2)|$. ■

## 7. Cinquième étape

**7.1. Un résultat intermédiaire.** Nous allons à présent utiliser la formule obtenue pour $\tilde{N}_{d,U}(P_1, P_2)$ dans la proposition 6.6 pour trouver une formule asymptotique pour $N_{d,U}(B)$. Pour cela, nous allons appliquer une version légèrement modifiée (tenant compte de la dépendance en $d$ des fonctions de comptage) de la méthode développée par Blomer et Brüdern [B-B] pour le cas des hypersurfaces diagonales des espaces multiprojectifs, et reprise dans [Sch2, §9].
Pour tout $d \in \mathbb{N}^*$, on considère une fonction $f_d : \mathbb{N}^2 \to [0, \infty[$. Conformément aux notations de [B-B], on dira que $f_d$ est une $(\beta_1, \beta_2, C_d, D, \alpha, \upsilon, \delta)$-fonction si elle vérifie les conditions suivantes :

(1) On a

$$ \sum_{k \le K, l \le L} f_d(k, l) = C_d K^{\beta_1} L^{\beta_2} + O(d^\nu K^{\beta_1} L^{\beta_2} \min\{K, L\}^{-\delta}) $$

pour tous $K, L \ge 1$.

(2) Il existe des fonctions $c_{1,d}, c_{2,d} : \mathbb{N} \to [0, \infty[$ telles que

$$ \sum_{l \le L} f_d(k, l) = c_{d,1}(k) L^{\beta_2} + O(k^D d^\nu L^{\beta_2-\delta}) $$

uniformément pour tous $L \ge 1$ et $k \le d^{-1}L^\alpha$, et

$$ \sum_{k \le K} f_d(k, l) = c_{d,2}(l) K^{\beta_1} + O(l^D d^\nu K^{\beta_1-\delta}) $$

uniformément pour tous $K \ge 1$ et $l \le d^{-1}K^\alpha$.

Nous allons alors démontrer, en nous inspirant des arguments de [Sch2, §9], la proposition suivante qui est une adaptation de [B-B, Théorème 2.1] pour le cas d'une famille de fonctions dépendant d'un paramètre $d$ :

**PROPOSITION 7.1.** Si $(f_d)_{d \in \mathbb{N}^*}$ est une famille de $(\beta_1, \beta_2, C_d, D, \alpha, \upsilon, \delta)$-fonctions avec $(C_d)_{d \in \mathbb{N}^*}$ telle que $C_d \ll d^\nu$, alors, pour tout $d$,

$$ \sum_{k^{\beta_1} l^{\beta_2} \le P} f_d(k, l) = C_d P \log(P) + O(d^{\nu+\delta} \log(d)P). $$

On considère $(f_d)_{d \in \mathbb{N}^*}$ une famille de $(\beta_1, \beta_2, C_d, D, \alpha, \upsilon, \delta)$-fonctions avec $C_d \ll d^\nu$, et on définit

$$ F_d(K, L) = \sum_{k \le K} \sum_{l \le L} f_d(k, l). $$

**LEMME 7.2.** Pour tout $d \in \mathbb{N}^*$,

$$ \sum_{k \le K} c_{d,1}(k) = C_d K^{\beta_1} + O(d^\nu K^{\beta_1-\delta}), \quad \sum_{l \le L} c_{d,2}(l) = C_d L^{\beta_2} + O(d^\nu L^{\beta_2-\delta}). $$

*Démonstration.* D'après la condition (1),

$$ (7.1) \qquad F_d(K, L) = C_d K^{\beta_1} L^{\beta_2} + O(d^\nu K^{\beta_1} L^{\beta_2} \min\{K, L\}^{-\delta}). $$

Pour $L \ge 1$ et $K \le L^\alpha$, la condition (2) implique

$$ \begin{aligned} F_d(K, L) &= \sum_{k \le K} \left( \sum_{l \le L} f_d(k, l) \right) = \sum_{k \le K} (c_{d,1}(k) L^{\beta_2} + O(k^D d^\nu L^{\beta_2-\delta})) \\ &= L^{\beta_2} \sum_{k \le K} c_{d,1}(k) + O(d^\nu K^{D+1} L^{\beta_2-\delta}). \end{aligned} $$
En choisissant $L$ tel que $K \le L^\alpha$ et $K^{D+1}L^{-\delta} = O(K^{\beta_1-\delta})$, on obtient alors,
en utilisant la formule (7.1),

$$ \sum_{k \le K} c_{d,1}(k) = C_d K^{\beta_1} + O(d^\nu K^{\beta_1 - \delta}). \quad \blacksquare $$

**LEMME 7.3.** On fixe un réel $\mu$ tel que

$$ (7.2) \qquad 0 < \beta_1 \mu < 1/2, $$

$$ (7.3) \qquad \mu \left( 1 + \alpha \frac{\beta_1}{\beta_2} \right) \le \frac{\alpha}{\beta_2}, $$

$$ (7.4) \qquad \mu \left( D - \beta_1 + 1 + \delta \frac{\beta_1}{\beta_2} \right) < \frac{\delta}{2\beta_2}. $$

On pose

$$ T_{d,1} = \sum_{k \le d^{-1} P^{\mu}} \sum_{P^{1/2} < l^{\beta_2} \le P/k^{\beta_1}} f_d(k,l). $$

Alors

$$ T_{d,1} = \beta_1 \mu C_d P \log(P) + O(d^{\nu+\delta} \log(d)P). $$

*Démonstration.* On remarque dans un premier temps que

$$ T_{d,1} = \sum_{k \le d^{-1} P^{\mu}} \sum_{k^{\beta_1} l^{\beta_2} \le P} f_d(k,l) - F_d(d^{-1} P^{\mu}, P^{1/(2\beta_2)}) $$

avec

$$ F_d(d^{-1} P^{\mu}, P^{1/(2\beta_2)}) = O(d^{\nu} P^{\beta_1 \mu + 1/2}) = O(d^{\nu} P). $$

D'autre part, par l'hypothèse (7.3), pour tout $k \le d^{-1} P^{\mu}$,

$$ k^{1+\alpha\beta_1/\beta_2} \le d^{-(1+\alpha\beta_1/\beta_2)} P^{(1+\alpha\beta_1/\beta_2)\mu} \le d^{-1} P^{\alpha/\beta_2}, $$

et donc $k \le d^{-1}(P^{1/\beta_2}/k^{\beta_1/\beta_2})^\alpha$. La condition (2) donne alors

$$ \begin{align*} T_{d,1} &= \sum_{k \le d^{-1} P^{\mu}} \left( c_{d,1}(k) \left( P^{1/\beta_2}/k^{\beta_1/\beta_2} \right)^{\beta_2} + O \left( k^D d^{\nu} \left( P^{1/\beta_2}/k^{\beta_1/\beta_2} \right)^{\beta_2 - \delta} \right) \right) \\ &\quad + O(d^{\nu} P) \\ &= \left( \sum_{k \le d^{-1} P^{\mu}} \frac{c_{d,1}(k)}{k^{\beta_1}} \right) P + O \left( \left( \sum_{k \le d^{-1} P^{\mu}} k^{D-\beta_1+\delta\beta_1/\beta_2} \right) d^{\nu} P^{1-\delta/\beta_2} \right) \\ &\quad + O(d^{\nu} P) \\ &= \left( \sum_{k \le d^{-1} P^{\mu}} \frac{c_{d,1}(k)}{k^{\beta_1}} \right) P + O \left( P^{\mu(D-\beta_1+1+\delta\beta_1/\beta_2)} \right) d^{\nu} P^{1-\delta/\beta_2} \\ &\quad + O(d^{\nu} P) \\ &= \left( \sum_{k \le d^{-1} P^{\mu}} \frac{c_{d,1}(k)}{k^{\beta_1}} \right) P + O(d^{\nu} P). \end{align*} $$
Il nous faut à présent évaluer $\sum_{k \le d-1} P^\mu c_{d,1}(k)/k^{\beta_1}$. Par sommation par parties, et en utilisant le lemme précédent, on a

$$
\begin{align*}
\sum_{k \le d^{-1} P^{\mu}} \frac{c_{d,1}(k)}{k^{\beta_1}} &= d^{\beta_1} P^{-\mu\beta_1} \sum_{k \le d^{-1} P^{\mu}} c_{d,1}(k) + \beta_1 \int_1^{d^{-1} P^{\mu}} t^{-\beta_1-1} \sum_{k \le t} c_{d,1}(k) dt \\
&= d^{\beta_1} P^{-\mu\beta_1} (C_d d^{-\beta_1} P^{\mu\beta_1} + O(d^{\nu-\beta_1+\delta} P^{\mu\beta_1-\delta\mu})) \\
&\quad + \beta_1 \int_1^{d^{-1} P^{\mu}} t^{-\beta_1-1} (C_d t^{\beta_1} + O(d^{\nu} t^{\beta_1-\delta})) dt \\
&= C_d + O(d^{\nu+\delta} P^{-\delta\mu}) + \beta_1 C_d \log(P^{\mu}) + O(d^{\nu} \log(d)) \\
&= \beta_1 C_d \log(P^{\mu}) + O(d^{\nu+\delta}). \blacksquare
\end{align*}
$$

LEMME 7.4. On suppose $0 < \mu < \min\{\frac{1}{2\beta_1}, \frac{1}{2\beta_2}\}$, et on définit

$$
T_{d,2} = \sum_{d^{-1}P^{\mu} < k \le P^{1/(2\beta_1)}} \sum_{P^{1/2} < l^{\beta_2} \le P/k^{\beta_1}} f_d(k,l).
$$

Alors

$$
T_{d,2} = (1/2 - \beta_1 \mu) C_d P \log(P) + O(d^{\nu+\delta} \log(d) P).
$$

Démonstration. On fixe $d \in \mathbb{N}^*$. On considère un entier $J$ assez grand et on définit $\theta > 0$ via

$$
(1 + \theta)^J = d P^{1/(2\beta_1) - \mu}.
$$

On considère alors des réels $d^{-1}P^{\mu} \le K < K' \le P^{1/(2\beta_1)}$ avec $K' = K(1+\theta)$.
On définit

$$
V(K) = \sum_{K < k \le K'} \sum_{P^{1/2} < l^{\beta_2} \le P/k^{\beta_1}} f_d(k, l),
$$

$$
V_{-}(K) = \sum_{K < k \le K'} \sum_{P^{1/2} < l^{\beta_2} \le P/(K')^{\beta_1}} f_d(k, l),
$$

$$
V_{+}(K) = \sum_{K < k \le K'} \sum_{P^{1/2} < l^{\beta_2} \le P/K^{\beta_1}} f_d(k, l),
$$

et on remarque que

$$
V_{-}(K) \leq V(K) \leq V_{+}(K).
$$

Par ailleurs,

$$
V_{+}(K) = F_{d}(K', P^{1/\beta_{2}}/K^{\beta_{1}/\beta_{2}}) - F_{d}(K, P^{1/\beta_{2}}/K^{\beta_{1}/\beta_{2}}) \\
\qquad - F_{d}(K', P^{1/(2\beta_{2})}) + F_{d}(K, P^{1/(2\beta_{2})}).
$$
Or

$$
\begin{align*}
& F_d(K', P^{1/\beta_2}/K^{\beta_1/\beta_2}) - F_d(K, P^{1/\beta_2}/K^{\beta_1/\beta_2}) \\
&= C_d((K')^{\beta_1} - K^{\beta_1})PK^{-\beta_1} + O(d^\nu(K')^{\beta_1}PK^{-\beta_1} \min\{K', P^{1/\beta_2}K^{-\beta_1/\beta_2}\}^{-\delta}) \\
&= C_d((1+\theta)^{\beta_1} - 1)P + O(d^{\nu+\delta}(1+\theta)^{\beta_1}P^{1-\mu\delta}),
\end{align*}
$$

d'après (7.2). En remarquant que $(1+\theta)^{\beta_1} = 1 + \beta_1\theta + O(\theta^2)$, on obtient

$$
\begin{align*}
& F_d(K', P^{1/\beta_2}/K^{\beta_1/\beta_2}) - F_d(K, P^{1/\beta_2}/K^{\beta_1/\beta_2}) \\
&= C_d \beta_1 \theta P + O(d^{\nu+\delta} P^{1-\mu\delta}) + O(d^{\nu} \theta^2 P).
\end{align*}
$$

De la même manière on trouve

$$
\begin{align*}
& F_d(K', P^{1/(2\beta_2)}) - F_d(K, P^{1/(2\beta_2)}) \\
&= C_d \beta_1 \theta K^{\beta_1} P^{1/2} + O(d^\nu P^{1-\mu\delta}) + O(d^\nu \theta^2 P).
\end{align*}
$$

On en déduit

$$
V_+(K) = C_d \beta_1 \theta P + C_d \beta_1 \theta K^{\beta_1} P^{1/2} + O(d^\nu P^{1-\mu\delta}) + O(d^\nu \theta^2 P).
$$

Par des arguments analogues, on obtient la même estimation pour $V_-(K)$, et donc

$$
V(K) = C_d \beta_1 \theta P + C_d \beta_1 \theta K^{\beta_1} P^{1/2} + O(d^{\nu+\delta} P^{1-\mu\delta}) + O(d^{\nu} \theta^2 P).
$$

On pose à présent, pour tout entier $j$ tel que $0 \le j < J$,

$$
K_j = d^{-1} P^{\mu} (1 + \theta)^j.
$$

Alors

$$
\begin{align*}
T_{d,2} &= \sum_{0 \le j < J} V(K_j) \\
&= C_d \beta_1 (J \theta) P + C_d \beta_1 \theta P^{1/2} \sum_{j=0}^{J-1} K_j^{\beta_1} + O(d^{\nu+\delta} J P^{1-\mu\delta}) + O(d^{\nu} J \theta^2 P).
\end{align*}
$$

Or

$$
\begin{align*}
\theta \sum_{j=0}^{J-1} K_j^{\beta_1} &= \theta d^{-\beta_1} P^{\beta_1 \mu} \frac{(1+\theta)^{J\beta_1} - 1}{(1+\theta)^{\beta_1} - 1} = d^{-\beta_1} P^{\beta_1 \mu} \frac{d^{\beta_1} P^{1/2 - \beta_1 \mu} - 1}{\beta_1 + O(\theta)} \\
&= \frac{1}{\beta_1} P^{1/2} + O(d^{-\beta_1} P^{\beta_1 \mu}) + O(P^{1/2} \theta).
\end{align*}
$$

On obtient alors

$$
\begin{align*}
T_{d,2} &= C_d \beta_1 (J\theta) P + C_d P + O(d^{\nu-\beta_1} P^{1/2+\beta_1\mu}) \\
&\quad + O(d^{\nu}\theta^2 P) + O(d^{\nu+\delta} J P^{1-\mu\delta}) + O(d^{\nu} J\theta^2 P) \\
&= C_d \beta_1 (J\theta) P + O(d^{\nu} J\theta^2 P) + O(d^{\nu} P) + O(d^{\nu+\delta} J P^{1-\mu\delta}).
\end{align*}
$$
On choisit à présent

$$J = \left\lfloor P^{\mu\delta/2} \left( \left( \frac{1}{2\beta_1} - \mu \right) \log(P) + \log(d) \right) \right\rfloor.$$

Par définition de $\theta$ on a

$$J \log(\theta + 1) = \left( \frac{1}{2\beta_1} - \mu \right) \log(P) + \log(d),$$

et donc

$$\theta = J^{-1} \left( \left( \frac{1}{2\beta_1} - \mu \right) \log(P) + \log(d) \right) + O \left( J^{-2} \left( \left( \frac{1}{2\beta_1} - \mu \right) \log(P) + \log(d) \right)^2 \right).$$

On en déduit

$$J\theta = \left( \left( \frac{1}{2\beta_1} - \mu \right) \log(P) + \log(d) \right) + O \left( P^{-\mu\delta/2} \left( \left( \frac{1}{2\beta_1} - \mu \right) \log(P) + \log(d) \right) \right).$$

Par conséquent

$$T_{d,2} = C_d \beta_1 \left( \frac{1}{2\beta_1} - \mu \right) P \log(P) + C_d \beta_1 \log(d) P + O(d^{\nu+\delta} \log(d) P^{1-\mu\delta/2} \log(P)) + O(d^{\nu+\delta} P),$$

et le lemme est démontré. ■

Démonstration de la proposition 7.1. On écrit

$$\sum_{k^{\beta_1} l^{\beta_2} \le P} f_d(k, l) = \sum_{\substack{k^{\beta_1} l^{\beta_2} \le P \\ P^{1/2} < l^{\beta_2}}} f_d(k, l) + \sum_{\substack{k^{\beta_1} l^{\beta_2} \le P \\ P^{1/2} < k^{\beta_1}}} f_d(k, l) - F_d(P^{1/(2\beta_1)}, P^{1/(2\beta_2)}) \\ = \sum_{\substack{k^{\beta_1} l^{\beta_2} \le P \\ P^{1/2} < l^{\beta_2}}} f_d(k, l) + \sum_{\substack{k^{\beta_1} l^{\beta_2} \le P \\ P^{1/2} < k^{\beta_1}}} f_d(k, l) + O(d^{\nu+\delta} P).$$

On remarque alors que

$$\sum_{\substack{k^{\beta_1} l^{\beta_2} \le P \\ P^{1/2} < l^{\beta_2}}} f_d(k, l) = T_{d,1} + T_{d,2} = \frac{1}{2} C_d P \log(P) + O(d^{\nu+\delta} \log(d) P),$$

d'après les deux lemmes précédents. Par symétrie, on obtient exactement le même résultat pour $\sum_{k^{\beta_1} l^{\beta_2} \le P, P^{1/2} < k^{\beta_1}} f_d(k, l)$, et la proposition est démontrée. ■
### REMARQUE 7.5. Par les mêmes arguments et sous les mêmes hypothèses,

$$ \sum_{k^{\beta_1}(l+1)^{\beta_2} \le P} f_d(k, l) = C_d P \log(P) + O(d^{\nu+\delta} \log(d)P). $$

Cette remarque nous sera utile dans ce qui va suivre.

## 7.2. Formule asymptotique pour $N_{d,U}(B)$.
L'idée est d'appliquer la proposition 7.1 à la fonction $h_d(k, l)$ définie en (3.1). Pour cela nous allons montrer que cette fonction est bien une $(\beta_1, \beta_2, C_d, D, \alpha, \upsilon, \delta)$-fonction (pour des constantes $C_d, \delta, \beta_1, \beta_2, \alpha, \upsilon, D$ que nous préciserons).

Remarquons avant tout que, d'après la proposition 6.6, la fonction $h$ vérifie bien la condition (1) avec $\beta_1 = m + 1 - d_1$, $\beta_2 = n - r + 1 - d_2$, $C_d = \sigma_d$ et $\upsilon = m - r + \max\{(r+1)(d_1-1)/2^{d_1-1} + \varepsilon, 5d_1\}$. D'autre part, par les corollaires 5.14 et 5.23, pour tout $z \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z})$ et $P_2 \le P_1$, on a

$$ N_{d,z}(P_1) = \mathfrak{S}_{d,z} J_z d^{m-r-d_1} l^{m-r} P_1^{m+1-d_1} + O(d^\nu l^{m-r+4d_2} P_1^{m+1-d_1-\delta}), $$

$$ N_{d,l,z}(P_1) = \mathfrak{S}_{d,z} J_{l,z} d^{m-r-d_1} l^{m-r} P_1^{m+1-d_1} + O(d^\nu l^{m-r+4d_2} P_1^{m+1-d_1-\delta}) $$

uniformément pour tout $z, l < P_1^{(d_1-1)/(2d_2)}$ et $z \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z})$. En notant

$$ (7.5) \quad \tilde{N}_{d,U,l}(P_1) = \mathrm{card} \left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}^{n+2} \cap U \;\middle|\; \begin{array}{@{}l@{}} F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0, |\mathbf{x}| \le P_1, \\ l = \max\left(\left|\frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|}\right|, |\mathbf{z}|\right) \end{array} \right\}, $$

on a alors

$$ \begin{align*} \tilde{N}_{d,U,l}(P_1) &= \sum_{k \le P_1} h_d(k,l) = \sum_{\substack{z \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z}) \\ |z| = l}} N_{d,z}(P_1) + \sum_{\substack{z \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z}) \\ |z| \le l}} N_{d,l,z}(P_1) \\ &\quad + O(d^{m-r} l^{n-r+1} P_1^{m+1-\lambda}) \\ &= \left( \sum_{z \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z}) \atop |z|=l} \mathfrak{S}_{d,z} J_z + \sum_{z \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z}) \atop |z| \le l} \mathfrak{S}_{d,z} J_{l,z} \right) l^{m-r} d^{m-r-d_1} P_1^{m+1-d_1} \\ &\quad + O(d^\nu l^{n-r+1+4d_2} P_1^{m+1-d_1-\delta}) \end{align*} $$

uniformément pour tout $l < P_1^{(d_1-1)/(2d_2)}$. De même, d'après le corollaire 4.15,

$$ N_{d,x}(P_2) = \mathfrak{S}_{d,x} J_{d,x} d^{m-r} k^{m-r} P_2^{n-r+1-d_2} + O(d^\nu k^{m-r+4d_1} P_2^{n-r+1-d_2-\delta}) $$

uniformément pour tout $k < P_2^{(d_2-1)/(2d_1)}$ et $x \in \mathcal{A}_2^\lambda(\mathbb{Z})$. En notant

$$ (7.6) \quad \tilde{N}_{d,U,k}(P_2) = \mathrm{card} \left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}^{n+2} \cap U \;\middle|\; \begin{array}{@{}l@{}} F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0, |\mathbf{x}| = k, \\ \max\left(\left|\frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|}\right|, |\mathbf{z}|\right) \le P_2 \end{array} \right\}, $$
on voit que

$$
\begin{align*}
\tilde{N}_{d,U,k}(P_2) &= \sum_{l \le P_2} h_d(k, l) = \sum_{\substack{\mathbf{x} \in A_2^{\lambda}(\mathbb{Z}) \\ |\mathbf{x}|=k}} N_{d,\mathbf{x}}(P_2) + O(d^{m-r} k^{m+1} P_2^{n-r+1-\mu}) \\
&= \sum_{\substack{\mathbf{x} \in A_2^{\lambda}(\mathbb{Z}) \\ |\mathbf{x}|=k}} \mathfrak{S}_{d,\mathbf{x}} J_{d,\mathbf{x}} k^{m-r} d^{m-r} P_2^{n-r+1-d_2} \\
&\quad + O(d^\nu k^{m+1+4d_1} P_2^{n-r+1-d_2-\delta})
\end{align*}
$$

uniformément pour tout $k < d^{-1}P_2^{(d_2-1)/(2d_1)}$. Par conséquent, $h_d$ vérifie
bien la condition (2) avec

$$
\begin{align*}
c_{d,1}(k) &= \sum_{\substack{\mathbf{x} \in A_2^{\lambda}(\mathbb{Z}) \\ |\mathbf{x}|=k}} \mathfrak{S}_{d,\mathbf{x}} J_{d,\mathbf{x}} k^{m-r} d^{m-r}, \\
c_{d,2}(l) &= \left( \sum_{\substack{\mathbf{z} \in A_1^{\mu}(\mathbb{Z}) \\ |\mathbf{z}|=l}} \mathfrak{S}_{d,\mathbf{z}} J_{\mathbf{z}} + \sum_{\substack{\mathbf{z} \in A_1^{\mu}(\mathbb{Z}) \\ |\mathbf{z}| \le l}} \mathfrak{S}_{d,\mathbf{z}} J_{l,\mathbf{z}} \right) l^{m-r} d^{m-r-d_1}, \\
D &= \max\{m+1+4d_1, n-r+1+4d_2\}, \\
\alpha &= \min\left\{\frac{d_2-1}{2d_1}, \frac{d_1-1}{2d_2}\right\}.
\end{align*}
$$

On a donc montré que $h_d$ est une $(m+1-d_1, n-r+1-d_2, \sigma_d, D, \alpha, \nu, \delta)$-fonction, et donc en notant

$$
\tilde{N}_{d,U}^{(1)}(B) = \mathrm{card} \left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}^{n+2} \cap U \mid \mathbf{x} \neq \mathbf{0}, (\mathbf{y}, \mathbf{z}) \neq (\mathbf{0}, \mathbf{0}), \right. \\
\left. F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0, |\mathbf{x}|^{m+1-d_1} \max\left(\left\lfloor \frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|} \right\rfloor, |\mathbf{z}|\right)^{n-r+1-d_2} \le B \right\}
$$

et

$$
\tilde{N}_{d,U}^{(2)}(B) = \mathrm{card} \left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}^{n+2} \cap U \mid \mathbf{x} \neq \mathbf{0}, (\mathbf{y}, \mathbf{z}) \neq (\mathbf{0}, \mathbf{0}), \right. \\
\left. F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0, |\mathbf{x}|^{m+1-d_1} \max \left( \left\lfloor \frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|} \right\rfloor + 1, |\mathbf{z}| + 1 \right)^{n-r+1-d_2} \le B \right\},
$$

la proposition 7.1 et la remarque 7.5 donnent

$$
\tilde{N}_{d,U}^{(i)}(B) = \sigma_d B \log(B) + O(d^\nu \log(d) B)
$$

pour $i \in \{1, 2\}$. Par ailleurs, on observe que $\tilde{N}_{d,U}^{(2)}(B) \le N_{d,U}(B) \le \tilde{N}_{d,U}^{(1)}(B)$,
et on en déduit finalement :
**PROPOSITION 7.6.** Si $d_1, d_2 \ge 2$ et $n+2 - \max\{\dim V_1^*, \dim V_2^*\} > \mathfrak{m}$, ou si $d_1 \ge 2$, $d_2 = 1$ et $n+2 - \max\{\dim V_1^*, \dim V_2^*\} > \mathfrak{m}'$, alors pour tout $B \ge 1$, on a

$$N_{d,U}(B) = \sigma_d B \log(B) + O(d^{\nu+\delta} \log(d)B)$$

pour un certain $\delta > 0$ arbitrairement petit.

**REMARQUE 7.7.** Nous avons vu (dans (6.3)) que $\mathfrak{m} \le 13d_2(d_1+d_2)2^{d_1+d_2}$. De la même manière on montre que $\mathfrak{m}' \le 13d_2(d_1 + d_2)2^{d_1+d_2}$. Par conséquent, la formule asymptotique ci-dessus est en particulier vraie lorsque $n+2 - \max\{\dim V_1^*, \dim V_2^*\} > 13d_2(d_1 + d_2)2^{d_1+d_2}$.

**8. Conclusion et interprétation des constantes.** Nous sommes à présent en mesure de donner une formule asymptotique pour

$$\mathcal{N}_U(B) = \frac{1}{4} \operatorname{card}\{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in U \cap \mathbb{Z}^{n+2} \mid \operatorname{pgcd}(\mathbf{x}) = 1, \operatorname{pgcd}(\mathbf{y}, \mathbf{z}) = 1, \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0, H(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \le B\}.$$

On remarque en effet que si $N_{d,e}(B)$ désigne $\operatorname{card}\{(d\mathbf{x}, ey, ez) \in U \cap (d\mathbb{Z}^{r+1} \times e\mathbb{Z}^{n-r+1}) \mid F(d\mathbf{x}, ey, ez) = 0, H(d\mathbf{x}, ey, ez) \le B\}$
$$= \operatorname{card}\left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in U \cap (\mathbb{Z}^{r+1} \times \mathbb{Z}^{n-r+1}) \mid F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0, \right. \\ 
\left. |\mathbf{x}|^{m+1-d_1} \max\left\{\frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|}, |\mathbf{z}|\right\}^{n-r+1-d_2} \le B/(d^{m+1-d_1}e^{n-r+1-d_2}) \right\} \\ 
= N_{d,U}(B/(d^{m+1-d_1}e^{n-r+1-d_2}))$$

et

$$\tilde{N}_{k,l}(B) = \operatorname{card}\{(k\mathbf{x}, l\mathbf{y}, l\mathbf{z}) \in U \cap (k\mathbb{Z}^{r+1} \times l\mathbb{Z}^{m-r} \times l\mathbb{Z}^{n-m+1}) \mid \operatorname{pgcd}(\mathbf{x}) = 1, \\ \qquad \qquad \operatorname{pgcd}(\mathbf{y}, \mathbf{z}) = 1, F(k\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0, H(k\mathbf{x}, l\mathbf{y}, l\mathbf{z}) \le B\} \\ \text{(pour } d, e, k, l \in \mathbb{N}\text{), alors}$$

$$N_{d,e}(B) = \sum_{d|k} \sum_{e|l} \tilde{N}_{k,l}(B).$$

Par inversions de Möbius successives, et en utilisant la proposition 7.6, on obtient

$$\mathcal{N}_U(B) = \frac{1}{4} \tilde{N}_{1,1}(B) = \frac{1}{4} \sum_{d \in \mathbb{N}^*} \mu(d) \sum_{e \in \mathbb{N}^*} \mu(e) N_{d,e}(B) \\ = \frac{1}{4} \sum_{d,e \in \mathbb{N}^*} \mu(d) \mu(e) N_{d,U}(B/(d^{m+1-d_1} e^{n-r+1-d_2}))$$
$$
\begin{align*}
&= \frac{1}{4} \sum_{d,e \in \mathbb{N}^*} \frac{\mu(d)\mu(e)}{d^{m+1-d_1} e^{n-r+1-d_2}} \sigma_d B \log(B) \\
&\quad + O\left( \sum_{d,e \in \mathbb{N}^*} \frac{\mu(d)\mu(e)}{d^{m+1-d_1} e^{n-r+1-d_2}} d^{\nu+\delta} \log(d) B \right) \\
&= \frac{1}{4} \left( \sum_{e \in \mathbb{N}^*} \frac{\mu(e)}{e^{n-r+1-d_2}} \right) \left( \sum_{d \in \mathbb{N}^*} \frac{\mu(d)}{d^{m+1-d_1}} \sigma_d \right) B \log(B) + O(B),
\end{align*}
$$

car $v = m - r + \max\{(r+1)(d_1-1)/2^{d_1-1} + \varepsilon, 5d_1\} < (m+1-d_1)+2$, pour $r$ choisi assez grand, i.e. pour $r \ge 6d_1-3$. Par ailleurs on peut réécrire

$$
\sum_{e \in \mathbb{N}^*} \frac{\mu(e)}{e^{n-r+1-d_2}} = \prod_{p \in \mathcal{P}} \left(1 - \frac{1}{p^{n-r+1-d_2}}\right)
$$

et

$$
\sum_{d \in \mathbb{N}^*} \frac{\mu(d)}{d^{m+1-d_1}} \sigma_d = J \sum_{d \in \mathbb{N}^*} \frac{\mu(d)}{d^{m+1-d_1}} \mathfrak{S}_d d^{m-r-d_1} = J \mathfrak{S}
$$

pour

$$
(8.1) \qquad \mathfrak{S} = \sum_{d \in \mathbb{N}^*} \frac{\mu(d)}{d^{r+1}} \mathfrak{S}_d.
$$

On obtient donc finalement

PROPOSITION 8.1. Pour $d_1 \ge 2$, $d_2 \ge 1$, $n+2-\max\{\dim V_1^*, \dim V_2^*\} > 13d_2(d_1+d_2)2^{d_1+d_2}$ et $r \ge 6d_1-3$, on a

$$
\mathcal{N}_U(B) = \sigma B \log(B) + O(B)
$$

lorsque $B \to \infty$, où l'on a noté $\sigma = \frac{1}{4} J \mathfrak{S} \prod_{p \in \mathcal{P}} (1 - 1/p^{n-r+1-d_2})$.

Nous allons à présent donner une interprétation des constantes intro-
duites, et démontrer que l’expression obtenue est bien en accord avec les for-
mules conjecturées par Peyre [Pe]; nous aurons ainsi démontré le théorème 1.1.

Rappelons que l’on a noté $\pi : X_0 \to X$ la projection du torseur universel $X_0 = (\mathbb{A}^{r+1} \setminus \{0\}) \times (\mathbb{A}^{n-r+1} \setminus \{0\})$ sur la variété torique ambiante $X$. On considère un point $(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in Y_0$ tel que $\frac{\partial F}{\partial t_j}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \neq \mathbf{0}$, où

$$
t_j = \begin{cases} x_j & \text{si } j \in \{0, \dots, r\}, \\ y_j & \text{si } j \in \{r+1, \dots, m\}, \\ z_j & \text{si } j \in \{m+1, \dots, n+1\}, \end{cases}
$$

et on note $P = \pi(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$. La forme de Leray $\omega_L$ sur un voisinage de $(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$ sur lequel $\frac{\partial F}{\partial t_j} \neq \mathbf{0}$ est alors donnée par

$$
\omega_L(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{x}) = \frac{(-1)^{n+2-j}}{\frac{\partial F}{\partial t_j}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})} dt_0 \wedge \cdots \wedge \widehat{dt_j} \wedge \cdots \wedge dt_{n+1}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}).
$$

Pour toute place $\nu \in \text{Val}(\mathbb{Q})$ la forme de Leray induit une mesure locale $\omega_{L,\nu}$.
On suppose à présent que le point $(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$ est tel que, par exemple, $x_0 \neq 0$, $z_{m+1} \neq 0$ et $\frac{\partial F}{\partial z_{n+1}}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \neq 0$. Pour toute place $\nu$ de $\mathbb{Q}$, on considère le morphisme

$$ \rho : X_{\mathbb{Q}_{\nu}} \to \mathbb{A}_{\mathbb{Q}_{\nu}}^{n-1}, \\ \pi(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \mapsto \left( \frac{x_1}{x_0}, \dots, \frac{x_r}{x_0}, \frac{y_{r+1}}{x_0 z_{m+1}}, \dots, \frac{y_m}{x_0 z_{m+1}}, \frac{z_{m+2}}{z_{m+1}}, \dots, \frac{z_n}{z_{m+1}} \right). $$

Par le théorème d'inversion locale, il existe un voisinage ouvert de $P$, noté $V$, sur lequel $\rho$ est bien défini et induit un difféomorphisme analytique sur $\rho(V)$. On pose $W = \pi^{-1}(V)$. Si l'on note

$$ \mathbf{u} = (1, u_1, \dots, u_r), \quad \mathbf{v} = (v_{r+1}, \dots, v_m), \quad \mathbf{w} = (1, w_{m+2}, \dots, w_{n+1}), $$

la mesure de Tamagawa $\omega_{\nu}$ est définie par

$$ \rho_{*}\omega_{\nu} = \frac{du_{1,\nu} \dots du_{r,\nu} dv_{r+1,\nu} \dots dv_{m,\nu} dw_{m+2,\nu} \dots dw_{n,\nu}}{h_{\nu}(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) |\frac{\partial F}{\partial z_{n+1}}(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})|_{\nu}}, $$

où $w_{n+1}$ est implicitement défini par $F(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) = 0$, et

$$ h_{\nu}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = h_{\nu}^{(1)}(\mathbf{u}) h_{\nu}^{(2)}(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) $$

pour

$$ h_{\nu}^{(1)}(\mathbf{u}) = |\mathbf{u}|_{\nu}^{m+1-d_1}, \quad h_{\nu}^{(2)}(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) = \max\left(\frac{|\mathbf{v}|_{\nu}}{|\mathbf{u}|_{\nu}}, |\mathbf{w}|_{\nu}\right)^{n-r+1-d_2}, $$

où pour tout vecteur $\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_N)$,

$$ |\mathbf{x}|_{\nu} = \max_{1 \le i \le N} |x_i|_{\nu}. $$

**8.1. Étude de l’intégrale singulière J.** Rappelons que l’intégrale $J$ est définie par

$$ J = \int_{\mathbb{R}} \int_{\substack{|\mathbf{y}| \le |\mathbf{x}| \le 1 \\ |\mathbf{z}| \le 1}} e(\beta F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})) \, d\mathbf{x} \, d\mathbf{y} \, d\mathbf{z} \, d\beta $$

et cette intégrale est absolument convergente. Nous allons montrer que $J$ coïncide avec

$$ \sigma_{\infty}(Y) = \int_{\pi^{-1}(Y) \cap \{|\mathbf{y}| \le |\mathbf{x}| \le 1, |\mathbf{z}| \le 1\}} \omega_{L, \infty}. $$

Il nous suffit de le vérifier localement, i.e. de montrer que pour tout ou-
vert $V'$ de $\{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \mid |\mathbf{y}| \le |\mathbf{x}| \le 1, |\mathbf{z}| \le 1\}$ sur lequel, par exemple,
$\frac{\partial F}{\partial z_{n+1}}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \neq 0$, l'intégrale

$$ \int_{V' \cap \pi^{-1}(Y)} \omega_{L, \infty} = \int_{V' \cap \pi^{-1}(Y)} \frac{1}{|\frac{\partial F}{\partial z_{n+1}}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})|} \, d\mathbf{x} \, d\mathbf{y} \, d\hat{\mathbf{z}} $$
(avec $d\hat{z} = dz_{m+1} \cdots dz_n$) coïncide avec

$$J_{V'} = \int_{\mathbb{R}} \int_{V'} e(\beta F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})) d\mathbf{x} \, d\mathbf{y} \, d\mathbf{z} \, d\beta.$$

Considérons donc un tel ouvert $V'$. On note $t = F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$, et $z_{n+1}$ est alors défini implicitement par $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \hat{\mathbf{z}}, t$ sur $V'$. On note $z_{n+1} = g(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \hat{\mathbf{z}}, t)$. Par changement de variables, on a alors

$$J_{V'} = \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} \int_{[-1,1]^{n+1}} \frac{\chi(t, \mathbf{x}, \mathbf{y}, \hat{\mathbf{z}})e(\beta t)}{|\frac{\partial F}{\partial z_{n+1}}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, g(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \hat{\mathbf{z}}, t))|} d\mathbf{x} \, d\mathbf{y} \, d\hat{\mathbf{z}} \, dt \, d\beta$$

où

$$\chi(t, \mathbf{x}, \mathbf{y}, \hat{\mathbf{z}}) = \begin{cases} 1 & \text{si } (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \hat{\mathbf{z}}, g(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \hat{\mathbf{z}}, t)) \in V', \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$$

La fonction $t \mapsto \chi(t, \mathbf{x}, \mathbf{y}, \hat{\mathbf{z}})e(\beta t)/|\frac{\partial F}{\partial z_{n+1}}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, g(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \hat{\mathbf{z}}, t))|$ est à variations bornées, donc, par application des résultats d'analyse de Fourier (voir [W-W, 9.43]) on a

$$J_{V'} = \int_{[-1,1]^{n+1}} \frac{\chi(0, \mathbf{x}, \mathbf{y}, \hat{\mathbf{z}})}{|\frac{\partial F}{\partial z_{n+1}}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, g(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \hat{\mathbf{z}}, 0))|} d\mathbf{x} \, d\mathbf{y} \, d\hat{\mathbf{z}} = \int_{V' \cap \pi^{-1}(Y)} \omega_{L,\infty}.$$

Remarquons que ces calculs constituent un équivalent du travail effectué par Igusa [Ig, §IV.6] pour le cas des intégrales de fonctions indicatrices.

Nous allons à présent interpréter cette constante $J$ en termes de mesures de Tamagawa. Plus précisément, en notant $\tau_\infty = \omega_\infty$, nous allons démontrer :

LEMME 8.2. On a

$$\tau_{\infty} = \frac{(m + 1 - d_1)(n - r + 1 - d_2)}{4} \sigma_{\infty}.$$

*Démonstration.* Il nous suffit de montrer que par exemple pour l'ouvert $V$ défini précédemment on a $\tau_\infty(V) = \frac{1}{4}(m+1-d_1)(n-r+1-d_2)\sigma_\infty(V)$. Par définition de la mesure de Leray,

$$\sigma_{\infty}(V) = \int_{\pi^{-1}(V) \cap \{|\mathbf{x}| \le 1, |\mathbf{y}| \le |\mathbf{x}|, |\mathbf{z}| \le 1\}} \frac{d\mathbf{x} \, d\mathbf{y} \, d\hat{\mathbf{z}}}{|\frac{\partial F}{\partial z_{n+1}}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})|}.$$

On remarque que

$$\max_i |x_i| \le 1 \Leftrightarrow |x_0| \le \left( \max_i \frac{|x_i|}{|x_0|} \right)^{-1}.$$

On applique alors les changements de variables $x_i = x_0 u_i$, $y_j = z_{m+1} x_0 v_j$ et $z_k = z_{m+1} w_k$ dans l'intégrale ci-dessus. On voit que
$$
\left\{
\begin{array}{l}
|\mathbf{y}| \le |\mathbf{x}| \le 1 \\
|\mathbf{z}| \le 1
\end{array}
\right.
\quad \Leftrightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
|x_0| \le (|\mathbf{u}|)^{-1} \\
|z_{m+1}||\mathbf{v}| \le |\mathbf{u}| \\
|z_{m+1}| \le |\mathbf{w}|^{-1}
\end{array}
\right.
\\[1em]
\quad \Leftrightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
|x_0|^{m+1-d_1} \le h_{\infty}^{(1)}(\mathbf{u})^{-1} \\
|z_{m+1}|^{n-r+1-d_2} \le h_{\infty}^{(2)}(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})^{-1}.
\end{array}
\right.
$$

Donc

$$
\begin{align*}
\sigma_{\infty}(V) &= \int_V \frac{1}{|\frac{\partial F}{\partial z_{n+1}}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})|} \\
&\quad \times \int_{|x_0|^{m-d_1} |z_{m+1}|^{n-r-d_2} \le h_{\infty}^{(1)}(\mathbf{u})^{-1} \\
&\quad \qquad |z_{m+1}|^{n-r+1} \le h_{\infty}^{(2)}(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})^{-1}} |x_0|^{m-d_1} |z_{m+1}|^{n-r-d_2} dx_0 dz_{m+1} du dv d\hat{w} \\
&= \frac{4}{(m+1-d_1)(n-r+1-d_2)} \int_{\rho(V)} \frac{du dv d\hat{w}}{h_{\infty}(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) |\frac{\partial F}{\partial z_{n+1}}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})|} \\
&= \frac{4}{(m+1-d_1)(n-r+1-d_2)} \int_V \omega_{\infty} \cdot \d\omega.
\end{align*}
$$

8.2. Étude de la série singulière ℋ. Rappelons que ℋ est définie par

$$
\mathcal{S} = \sum_{d \in \mathbb{N}^*} \frac{\mu(d)}{d^{r+1}} \mathcal{S}_d \quad \text{avec} \quad \mathcal{S}_d = \sum_{q=1}^{\infty} A_d(q)
$$

où

$$
A_d(q) = q^{-(n+2)} \sum_{a \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^*} \sum_{(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3) \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{n+2}} e\left(\frac{a}{q} F(d\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3)\right).
$$

Nous avons le résultat classique ci-dessous :

LEMME 8.3. *Pour tout $d \in \mathbb{N}^*$, la fonction $A_d$ est multiplicative.*

Puisque $\mathfrak{S}_d$ est de plus absolument convergente (cf. lemme 3.17), on a

$$
\mathfrak{S}_d = \prod_{p \in \mathcal{P}} \sigma_{d,p} \quad \text{où} \quad \sigma_{d,p} = \sum_{k=0}^{\infty} A_d(p^k).
$$

On remarque par ailleurs que pour tous $d, k \in \mathbb{N}^*$

$$
\sum_{(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3) \in (\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^{n+2}} e\left(\frac{a}{p^k} F(d\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3)\right) \\
= \sum_{(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3) \in (\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^{n+2}} e\left(\frac{a}{p^k} F(p^{v_p(d)}\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3)\right)
$$
et donc

$$A_d(p^k) = A_{p^{vp(d)}}(p^k).$$

Par conséquent, pour tout $d \in \mathbb{N}^*$, on a

$$\frac{\mu(d)}{d^{r+1}} \mathfrak{G}_d = \prod_{p \in \mathcal{P}} B_{p^{vp(d)}}$$

où pour tout $\nu \in \mathbb{N}^*$,

$$B_{p^{\nu}} = \frac{\mu(p^{\nu})}{p^{\nu(r+1)}} \sum_{k=0}^{\infty} A_{p^{\nu}}(p^k).$$

Remarquons que $B_{p^{\nu}} = 0$ pour tout $\nu \ge 2$. La série $\sum_{d \in \mathbb{N}^*} \frac{\mu(d)}{d^{r+1}} \mathfrak{G}_d$ étant absolument convergente, on a alors

$$\sum_{d \in \mathbb{N}^*} \frac{\mu(d)}{d^{r+1}} \mathfrak{G}_d = \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( \sum_{\nu=0}^{\infty} B_{p^{\nu}} \right) = \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( \sum_{\nu=0}^{1} B_{p^{\nu}} \right) \\ = \prod_{p \in \mathcal{P}} \underbrace{\left( \sum_{k=0}^{\infty} \left( A_1(p^k) - \frac{A_p(p^k)}{p^{r+1}} \right) \right)}_{\sigma'_p}.$$

Notons à présent

$$ (8.2) \quad M_p(k) = \mathrm{card}\{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in (\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^{n+2} \mid \mathbf{x} \neq \mathbf{0} (p), \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0 (p^k)\}. $$

**LEMME 8.4.** *Pour tout entier $N > 0$, on a*

$$\sum_{k=0}^{N} \left( A_{1}(p^{k}) - \frac{A_{p}(p^{k})}{p^{r+1}} \right) = \frac{M_{p}(N)}{p^{N(n+1)}},$$

et donc

$$\sigma'_{p} = \lim_{N \to \infty} \frac{M_{p}(N)}{p^{N(n+1)}}.$$

*Démonstration.* On pose $q = p^N$. Il est immédiat que

$$q^{-1} \sum_{t=0}^{q-1} \sum_{(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3) \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{n+2}} e\left(\frac{t}{q}F(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3)\right) \\ = \mathrm{card}\{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{n+2} \mid F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0 (q)\},$$
et de même

$$ q^{-1} \sum_{t=0}^{q-1} \sum_{(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3) \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{n+2}} e\left(\frac{t}{q} F(p\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3)\right) \\ = p^{r+1} \operatorname{card}\{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{n+2} \mid \mathbf{x} \equiv \mathbf{0} (p), F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \equiv 0 (q)\}. $$

On a donc

$$ M_p(N) = q^{-1} \sum_{t=0}^{q-1} \sum_{(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3) \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{n+2}} \left( e\left(\frac{t}{q} F(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3)\right) - \frac{1}{p^{r+1}} e\left(\frac{t}{q} F(p\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3)\right) \right) \\ = q^{-1} \sum_{q_1|q} \sum_{0 \le a < q_1 \text{ pgcd}(a, q_1)=1} \sum_{(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3) \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{n+2}} \left( e\left(\frac{a}{q_1} F(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3)\right) - \frac{1}{p^{r+1}} e\left(\frac{a}{q_1} F(p\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3)\right) \right) \\ = p^{-N} \sum_{k=1}^{N} \frac{p^{N(n+2)}}{p^{k(n+2)}} \sum_{a \in (\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^*} \sum_{(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3) \in (\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})^{n+2}} \left( e\left(\frac{a}{p^k} F(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3)\right) - \frac{1}{p^{r+1}} e\left(\frac{a}{p^k} F(p\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3)\right) \right) \\ = p^{N(n+1)} \sum_{k=0}^{N} \left( A_1(p^k) - \frac{A_p(p^k)}{p^{r+1}} \right). \blacksquare $$

Nous allons à présent interpréter les constantes $\sigma'_p$ en termes de mesures de Tamagawa $\tau_p$ définies par

$$ \tau_p = \left(1 - \frac{1}{p}\right)^2 \omega_p. $$

Pour cela nous commençons par établir deux lemmes intermédiaires :

LEMME 8.5. Pour tout $N \in \mathbb{N}^*$, on note

$$ W_p^*(N) = \{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in (\mathbb{Z}_p/p^N)^{n+2} \mid \mathbf{x} \not\equiv \mathbf{0} (p), (\mathbf{y}, \mathbf{z}) \not\equiv \mathbf{0} (p), F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \equiv 0 (p^r)\} $$

ainsi que $M_p^*(N) = \operatorname{card} W_p^*(N)$. Il existe alors un entier $N_0$ tel que pour tout $N \ge N_0$,

$$ \int_{\substack{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}_p^{n+2} \\ \mathbf{x} \neq \mathbf{0}(p), (\mathbf{y}, \mathbf{z}) \neq \mathbf{0}(p) \\ F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0}} \omega_{L,p} = \frac{M_p^*(N)}{p^{N(n+1)}}. $$
Démonstration. Soit $(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}_p^{n+2}$. On note

$$[\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}]_N = (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \bmod p^N.$$

Alors

$$ \begin{aligned} \omega_{L,p} &= \sum_{\substack{(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}) \in \mathbb{Z}_p^{n+2}, \mathbf{x} \neq \mathbf{0}(p) \\ (\mathbf{y},\mathbf{z}) \neq \mathbf{0}(p), F(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})=0}} \int \omega_{L,p}(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) \\ &= \sum_{\substack{(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}) \in W_p^*(N) \\ [\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]_N = (\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}) \\ F(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w})=0}} \int \omega_{L,p}(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}). \end{aligned} $$

Puisque $Y$ est lisse, il existe un $N > 0$ assez grand tel que, pour tout $(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in (\mathbb{Z}_p/p^N)^{n+2}$ tel que $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}(p)$, $(\mathbf{y}, \mathbf{z}) \neq \mathbf{0}(p)$, et $F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0$,

$$c = \inf_{i,j,k} \left\{ v_p\left(\frac{\partial F}{\partial x_i}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})\right), v_p\left(\frac{\partial F}{\partial y_j}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})\right), v_p\left(\frac{\partial F}{\partial z_k}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})\right) \right\}$$

soit non nul et constant sur la classe définie par $(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$. On peut supposer que $N > c$ et que $c = v_p(\frac{\partial F}{\partial z_{n+1}}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}))$. On considère $(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) \in \mathbb{Z}_p^{n+2}$ tel que $[\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}]_N = (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$, et $(\mathbf{u}', \mathbf{v}', \mathbf{w}') \in \mathbb{Z}_p^{n+2}$ quelconque. On a alors

$$ \begin{aligned} F(\mathbf{u} + \mathbf{u}', \mathbf{v} + \mathbf{v}', \mathbf{w} + \mathbf{w}') = F(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) &+ \sum_{i=0}^{r} \frac{\partial F}{\partial x_i}(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) u_i' \\ &+ \sum_{j=r+1}^{m} \frac{\partial F}{\partial y_j}(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) v_j' + \sum_{k=m+1}^{n+1} \frac{\partial F}{\partial z_k}(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) w_k' + G(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{u}', \mathbf{v}', \mathbf{w}'), \end{aligned} $$

où $G(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{u}', \mathbf{v}', \mathbf{w}')$ est une somme de termes contenant au moins deux facteurs $u_i'$, $v_j'$ ou $w_k'$. Donc, si $(\mathbf{u}', \mathbf{v}', \mathbf{w}') \in (p^N \mathbb{Z}_p)^{n+2}$,

$$F(\mathbf{u} + \mathbf{u}', \mathbf{v} + \mathbf{v}', \mathbf{w} + \mathbf{w}') \equiv F(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) (p^{N+c}).$$

Par conséquent, l'image de $F(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})$ dans $\mathbb{Z}_p/p^{N+c}$ dépend uniquement de $(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) \bmod p^N = (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$; on note alors $F^*(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$ cette image.

Si $F^*(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \neq 0$, alors l'intégrale

$$ \int_{\substack{(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}) \in \mathbb{Z}_p^{n+2} \\ [\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]_N = (\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}) \\ F(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w})=0}} \omega_{L,p}(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}) $$

est nulle, et l'ensemble

$$\{(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) \bmod p^{N+c} \mid [\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}]_N = (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}), F(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) \equiv 0 \pmod{p^{N+c}}\}$$

est vide.
Si $F^*(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0$, par le lemme de Hensel, les applications coordonnées $X_0, \dots, X_r, Y_{r+1}, \dots, Y_m, Z_{m+1}, \dots, Z_n$ définissent un difféomorphisme de

$$ \{(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) \in \mathbb{Z}_p^{n+2} \mid [\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}]_N = (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}), F(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) = 0\} $$

sur $(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \hat{\mathbf{z}}) + (p^N \mathbb{Z}_p)^{n+1}$, où $\hat{\mathbf{z}} = (z_{m+1}, \dots, z_n)$. Par conséquent,

$$ \begin{align*} & \int_{(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) \in \mathbb{Z}_p^{n+2} \\ & \phantom{=} [\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}]_N = (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \\ & \phantom{=} F(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) = 0} \omega_{L,p}(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) \\ &= \int_{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \hat{\mathbf{z}}) + (p^N \mathbb{Z}_p)^{n+1}} p^c du_{0,p} \cdots du_{r,p} dv_{r+1,p} \cdots dv_{m,p} dw_{m+1,p} \cdots dw_{n,p} \\ &= p^{c-N(n+1)}. \end{align*} $$

D'autre part, puisque $F(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) \bmod p^{N+c}$ ne dépend que de $(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$,

$$ p^{-(N+c)(n+1)} \mathrm{card}\{(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) \bmod p^{N+c} \mid [\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}]_N = (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}), F(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) \equiv 0 (p^{N+c})\} = p^{-(N+c)(n+1)} p^{(n+1)c} = p^{c-N(n+1)}. $$

Finalement

$$ \begin{align*} \int_{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}_p^{n+2}, \mathbf{x} \neq \mathbf{0}(p) \\ (\mathbf{y}, \mathbf{z}) \neq \mathbf{0}(p), F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0} \omega_{L,p} &= \sum_{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in W_p^*(N) \\ F^*(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0} p^{c-N(n+1)} \\ &= \sum_{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in W_p^*(N)} p^{-(N+c)(n+1)} \mathrm{card}\{(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) \bmod p^{N+c} \mid \\ & \phantom{=} [\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}]_N = (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}), F(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) \equiv 0 (p^{N+c})\} \\ &= \frac{M_p^*(N+c)}{p^{(N+c)(n+1)}}, \end{align*} $$

d'où le résultat. ■

LEMME 8.6. On a

$$ \begin{gather*} \int_{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}_p^{n+2} \\ \mathbf{x} \neq \mathbf{0}(p), (\mathbf{y}, \mathbf{z}) \neq \mathbf{0}(p) \\ F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0} \omega_{L,p} = \left(1 - \frac{1}{p^{n-r+1-d_2}}\right) \int_{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}_p^{n+2} \\ \mathbf{x} \neq \mathbf{0}(p), F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0} \omega_{L,p}, \\ \int_{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}_p^{n+2} \mid [\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}]_N = (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}), F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \equiv 0 (p^{N+c})\} = p^{-(N+c)(n+1)} p^{(n+1)c} = p^{c-N(n+1)}. \end{gather*} $$

et d'autre part

$$ \lim_{N \to \infty} \frac{M_p^*(N)}{p^{N(n+1)}} = \left(1 - \frac{1}{p^{n-r+1-d_2}}\right) \sigma'_p. $$

Démonstration. La première partie du lemme résulte du fait que

$$ \omega_{L,p}(\mathbf{x}, p\mathbf{y}, p\mathbf{z}) = p^{-(n-r+1-d_2)} \omega_{L,p}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}). $$
Pour la deuxième partie, on considère un entier $j$ tel que $N \ge j d_2 + 1$ et on considère l'ensemble

$$ \tilde{N}(j) = \mathrm{card}\{\boldsymbol{x} \in (\mathbb{Z}_p/p^N\mathbb{Z}_p)^{r+1}, (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) \in (p^j\mathbb{Z}_p/p^N\mathbb{Z}_p)^{n-r+1} \mid \boldsymbol{x} \not\equiv \mathbf{0} (p), \\ (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) \not\equiv \mathbf{0} (p^{j+1}), F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) \equiv 0 (p^N)\}. $$

On remarque que, pour tout $N > j d_2$,

$$ \tilde{N}(j) = \mathrm{card}\{\boldsymbol{x} \in (\mathbb{Z}/p^N\mathbb{Z})^{r+1}, (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) \in (\mathbb{Z}/p^{N-j}\mathbb{Z})^{n-r+1} \mid \boldsymbol{x} \not\equiv \mathbf{0} (p), \\ (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) \not\equiv \mathbf{0} (p), F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) \equiv 0 (p^{N-jd_2})\} \\ = p^{(r+1)jd_2+(n-r+1)(jd_2-j)}M^*(N-jd_2). $$

Soit $N_0$ comme dans le lemme précédent, et soit $j_0 = \lceil (N - N_0)/d_2 \rceil$. Alors

$$ \begin{aligned} M_p(N) &= \sum_{0 \le j d_2 \le N - N_0} \tilde{N}(j) + O(\mathrm{card}\{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) \in (\mathbb{Z}/p^N\mathbb{Z})^{n+2} \mid (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) \equiv \mathbf{0} (p^{j_0})\}) \\ &= \sum_{0 \le j d_2 \le N - N_0} p^{(r+1)jd_2+(n-r+1)(jd_2-j)} M_p^*(N - jd_2) + O(p^{N(n+2)-j_0(n-r+1)}). \end{aligned} $$

Or, d'après le lemme précédent,

$$ \frac{M_p^*(N - jd_2)}{p^{(N-jd_2)(n+1)}} = \frac{M_p^*(N)}{p^{N(n+1)}}, $$

donc

$$ \begin{aligned} M_p(N) &= \sum_{0 \le j \le N - N_0} p^{-j(n-r+1)+jd_2} M_p^*(N) + O(p^{N(n+2)-j_0(n-r+1)}) \\ &= M_p^*(N) \frac{1 - p^{-(N-N_0+1)(n-r+1-d_2)}}{1 - p^{-(n-r+1-d_2)}} + O(p^{N(n+2)-j_0(n-r+1)}), \end{aligned} $$

et puisque $\sigma'_p = \lim_{N \to \infty} M_p(N)/p^{N(n+1)}$, on obtient le résultat. ■

On déduit des lemmes 8.5 et 8.6 que

$$ (8.3) \qquad \sigma'_p = \int_{\substack{(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}) \in \mathbb{Z}_p^{n+2} \\ \boldsymbol{x} \not\equiv \mathbf{0}(p), F(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}) = 0}} \omega_{L,p}. $$

On conclut alors en utilisant le lemme ci-dessous :

**LEMME 8.7. On pose**

$$ a(p) = \left(1 - \frac{1}{p}\right)^2 \left(1 - \frac{1}{p^{n-r+1-d_2}}\right)^{-1}. $$
Alors

$$
\begin{align*}
\int_{\substack{(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}) \in \mathbb{Z}_p^{n+2} \\ \mathbf{x} \neq \mathbf{0}(p), F(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})=0}} \omega_{L,p} &= \int_{Y_0(\mathbb{Q}_p) \cap \{|\mathbf{x}|_p=1, h_p^2(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}) \le 1\}} \omega_{L,p}(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}) \\
&= a(p)\omega_p(Y(\mathbb{Q}_p)).
\end{align*}
$$

Démonstration. Il suffit de montrer que pour tout ouvert $V$ de $\mathbb{A}_{\mathbb{Q}_p}^{n-1} \subset X(\mathbb{Q}_p)$ tel que pour tout $P = \pi(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in V$ on a (par exemple) $x_0z_{m+1} \neq 0$ et $\frac{\partial F}{\partial z_{n+1}}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \neq 0$ (les autres cas se traitant de façon analogue), l'égalité

$$
\int_{\substack{\pi^{-1}(V) \cap \pi^{-1}(Y) \\ \cap \{|\mathbf{x}|_p = 1, h_p^2(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \le 1\}}} \omega_{L,p}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = a(p)\omega_p(V \cap Y)
$$

est vérifiée. Remarquons que, pour un tel ouvert $V$,

$$
\left(1 - \frac{1}{p}\right) \omega_p(V \cap Y) \\
= \left(1 - \frac{1}{p}\right) \int_{V \cap Y} \frac{du_{1,p} \dots du_{r,p} \, dv_{r+1,p} \dots dv_{m,p} \, dw_{m+2,p} \dots dw_{n,p}}{\left|\frac{\partial F}{\partial z_{n+1}}(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})\right|_p h_p^1(\mathbf{u}) h_p^2(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})}.
$$

En appliquant deux fois le lemme 5.4.5 de [Pe], on obtient alors

$$
\begin{align*}
& \left(1 - \frac{1}{p}\right)^2 \left(1 - \frac{1}{p^{m+1-d_1}}\right)^{-1} \left(1 - \frac{1}{p^{n-r+1-d_2}}\right)^{-1} \omega_p(V) \\
&= \int_{\substack{\pi^{-1}(V) \cap \pi^{-1}(Y) \\ \cap \{h_p^{(1)}(\mathbf{x}) \le 1, h_p^2(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \le 1\}}} \frac{d\mathbf{x} \, d\mathbf{y} \, d\hat{\mathbf{z}}}{\left|\frac{\partial F}{\partial z_{n+1}}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})\right|_p} \\
&= \int_{\substack{\pi^{-1}(V) \cap \pi^{-1}(Y) \\ \cap \{h_p^{(1)}(\mathbf{x}) \le 1, h_p^2(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \le 1\}}} \omega_{L,p}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}).
\end{align*}
$$

Or, étant donné que $\omega_{L,p}(p\mathbf{x}, p\mathbf{y}, \mathbf{z}) = p^{-(m+1-d_1)}\omega_{L,p}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$, on a

$$
\int_{\substack{(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}) \in \pi^{-1}(V) \cap \pi^{-1}(Y) \\ \cap \{h_p^{(1)}(\mathbf{x}) \le 1, h_p^2(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}) \le 1\}}} \omega_{L,p} \\
= \left(1 - \frac{1}{p^{m+1-d_1}}\right)^{-1} \int_{\substack{X_0(\mathbb{Q}_p) \cap \pi^{-1}(Y) \\ \cap \{|\mathbf{x}|_p = 1, h_p^2(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}) \le 1\}}} \omega_{L,p}(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}),
$$

et on obtient le résultat souhaité. ■
On déduit de ce lemme et de la formule (8.3) que

$$ \left(1 - \frac{1}{p^{n-r+1-d_2}}\right) \sigma'_p = \left(1 - \frac{1}{p}\right)^2 \omega_p(Y(\mathbb{Q}_p)) = \tau_p(Y(\mathbb{Q}_p)). $$

**8.3. Conclusion.** Rappelons que la formule asymptotique conjecturée par Peyre [Pe], dans sa version corrigée par Batyrev et Tschinkel [B-T], pour le nombre $N_U(B)$ de points de hauteur bornée par $B$ sur l'ouvert $U$ de Zariski de la variété $Y$ (pour la hauteur associée au fibré anticanonique $\omega_Y^{-1}$) est

$$ \alpha(Y)\beta(Y)\tau_H(Y)B \log(B)^{\mathrm{rg}(\mathrm{Pic}(Y))-1} $$

où

$$ \alpha(Y) = \frac{1}{(\mathrm{rg}(\mathrm{Pic}(Y)) - 1)!} \int_{\Lambda_{\mathrm{eff}}^{1}(Y)^{\vee}} e^{-\langle \omega_{Y}^{-1}, y \rangle} dy, $$
$$ \Lambda_{\mathrm{eff}}^{1}(Y)^{\vee} = \{y \in \mathrm{Pic}(Y) \otimes \mathbb{R}^{\vee} \mid \forall x \in \Lambda_{\mathrm{eff}}^{1}(Y), \langle x, y \rangle \geq 0\}, $$
$$ \beta(Y) = \mathrm{card}(H^{1}(\mathbb{Q}, \mathrm{Pic}(\bar{Y}))), $$
$$ \tau_{H}(Y) = \prod_{\nu \in \mathrm{Val}(\mathbb{Q})} \tau_{\nu}(Y(\mathbb{Q}_{\nu})). $$

Dans le cas présent on a

$$ \mathrm{Pic}(Y) = \mathbb{Z}[\tilde{D}_0] \oplus \mathbb{Z}[\tilde{D}_{n+1}] \simeq \mathbb{Z}^2, \quad \mathrm{rg}(\mathrm{Pic}(Y)) = 2, $$
$$ -[K_Y] = (m + 1 - d_1)[\tilde{D}_0] + (n - r + 1 - d_2)[\tilde{D}_{n+1}], $$
$$ \Lambda_{\mathrm{eff}}^{1}(Y) = \mathbb{R}^{+}[\tilde{D}_0] + \mathbb{R}^{+}[\tilde{D}_{n+1}] \simeq (\mathbb{R}^{+})^2. $$

Par conséquent,

$$ \alpha(Y) = \int_{[0, \infty]^2} e^{-(m+1-d_1)t_1 - (n-r+1-d_2)t_2} dt_1 dt_2 \\ = \frac{1}{(m+1-d_1)(n-r+1-d_2)}. $$

D'autre part, $\mathrm{Pic}(\bar{Y}) \simeq \mathbb{Z}^2$, et le groupe de Galois $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ agit trivialment sur $\mathrm{Pic}(\bar{Y})$, donc

$$ \beta(Y) = 1. $$

Par ailleurs, d'après ce qui a été vu dans les sections précédentes,

$$ \prod_{p \in \mathcal{P}} \tau_p(Y(\mathbb{Q}_p)) = \mathfrak{S} \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( 1 - \frac{1}{p^{n-r+1-d_2}} \right) $$

et

$$ \tau_{\infty}(Y(\mathbb{R})) = \frac{(m+1-d_1)(n-r+1-d_2)}{4} J. $$
Ainsi,

$$ \alpha(Y)\beta(Y)\tau_H(Y)B \log(B)^{\text{rg}(\text{Pic}(Y))-1} = \frac{1}{4} \mathfrak{S}J \prod_{p \in \mathcal{P}} \left(1 - \frac{1}{p^{n-r+1-d_2}}\right) B \log(B), $$

et on retrouve bien la formule de la proposition 8.1. Nous avons donc démontré le théorème 1.1.

**Remerciements.** Je tiens à remercier vivement Emmanuel Peyre, mon directeur de thèse, pour ses remarques et ses conseils avisés qui ont été d'une aide précieuse pour la rédaction de cet article.

Références

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Teddy Mignot

Institut Fourier, UMR 5582

UFR de Mathématiques, Université de Grenoble I

BP 74, 38402 Saint-Martin d'Hères Cedex, France

E-mail: teddy.mignot@ujf-grenoble.fr
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