Dans certaines situations, on groupe certains modes pour que leurs variations fréquentielles soient liées. Par exemple, si l'on cherche à reproduire un signal rayonné par une corde, le signal reste harmonique et les composantes tonales varient proportionnellement aux variations de la fondamentale :

$$ \omega_i(n) = i \times \omega_1(n) \qquad (3.65) $$

Il faut ainsi que le coefficient soit identique pour tout le groupe des modes considérés, par exemple en considérant la somme des puissances au dessus du seuil sur le groupe (voir Fig.3.30) :

$$ \omega_i(n) = \omega_{0i} \left( 1 + \beta_{\omega} \sum_{j=1}^{N} [P_j(n) - p_j]_{+}^{\gamma_{\omega}} \right) \qquad (3.66) $$

<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>FIGURE 3.30 – Spectrogramme d'un son de corde dont les fréquences varient avec la somme des puissances excédant le seuil (Eq.(3.66)). $\beta_{\omega} = 0.0064$ et $\gamma_{\omega} = 2.\text{dB/s}$</figcaption></figure>

### 3.3.2 Objets pliés, flambage et non-linéarités matérielles

Si les modèles utilisés pour générer le corpus sonore nous permettent de générer une grande variété de sons correspondant à différents phénomènes, il existe des phénomènes non-linéaires pouvant rentrer dans le cadre de la thèse dont nous ne possédons pas de modèle analytique permettant une résolution par schéma aux différences finies de manière évidente. Nous proposons tout de même ici quelques pistes pour effectuer la synthèse de certains d'entre eux.
**Objets pliés.** Nous traitons également ici le cas particulier des objets dont la forme comporte une cassure plus ou moins nette (objets pliés et emboutis). Ces structures peuvent être modélisées comme plusieurs objets résonants se transférant de l'énergie. Un moyen efficace pour évoquer ce genre de phénomènes est d'utiliser des transferts proportionnels avec un seuil nul pour la plupart des modes et un coefficient de redistribution λ relativement faible (voir Fig.3.31). Il suffit d'exciter les modes correspondant à la facette impactée et à propager sur les modes correspondant aux autres éléments structurellement liés.

<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>FIGURE 3.31 – Spectrogramme d'un son généré à partir des fréquences modales d'une plaque. Les transferts avec un seuil nul peuvent évoquer le son rayonné par une structure fine emboutie impactée, comme un couvercle de boîte métallique circulaire fin. (听)</figcaption></figure>

De manière plus générale, les transmissions solidiennes de vibrations d'un objet à un autre peuvent être retranscrite par cette méthode. Ce type de comportement ne présente pas de non-linéarité mais le formalisme proposé dans la thèse peut être particulièrement adapté pour la synthèse du son rayonné par ce genre d'objet.

**Flambage et voilement.** Un objet en flambage ou voilement élastique est dans un état possédant plusieurs positions d'équilibre. Le passage d'une position d'équilibre à une autre peut se faire lors d'un impact ou d'une pression transversale et peut produire un son percussif. C'est par exemple le cas lorsqu'on appuie sur le côté bombé d'un couvercle métallique fin, d'une canette ou d'une bouteille en plastique. Ce son peut être simplement reproduit par un son d'impact amorti.

D'autre part, les variations de tension dans l'objet lors du voilage ou du flambage peuvent conduire à des variations de fréquence importantes.
**Objets souples et détendus.** Les objets très souples et détendus ont un comportement fortement non-linéaire et sont la source de sons très variés. Les feuilles de papier et d'aluminium produisent des sons brillants et courts lorsqu'ils sont impactés. Des transferts proportionnels sans seuil ($p_i = 0$) avec un coefficient de redistribution important permet de reproduire des sons ressemblants (voir Fig.3.32).

<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>FIGURE 3.32 – Spectrogramme d'un son généré à partir des fréquences modales d'une membrane. Les transferts avec un seuil nul pour un coefficient de redistribution important ($\lambda = 0.01$) peuvent évoquer le son rayonné par une feuille en aluminium impactée. ▶</figcaption></figure>

En revanche les textiles, les cordes et les membranes en peau détendus produisent des sons sourds à l'impact.

L'ensemble de ces objets produisent des sons complexes et variés lorsqu'on les secoue, tend, froisse... La conception d'un synthétiseur (processus de synthèse pour interface de contrôle) pour cette famille de sons pourrait faire l'objet d'investigations plus poussées.

**Déformations plastiques.** Lorsqu'un impact de trop forte intensité déforme plastiquement un objet, ses caractéristiques géométriques s'en retrouvent modifiées de façon irréversible. La structure ainsi tordue et contrainte présente des fréquences modales et des amortissements modaux plus élevés (voir Fig.3.33).

Le moment de la déformation plastique peut également produire des sons très reconnaissables. Les sons provoqués par l'écrasement de structure mince sont très caractéristiques. On peut penser à la canette en aluminium ou à la bouteille en plastique que l'on emboutit, ou à la feuille de papier ou le drap que l'on met en boule. Ces évènements sonores produisent une multitude de sons percussifs courts résultant du voilage de l'objet lors des plis (e.g. lorsqu'on appuie sur une partie
<figure><img src="image_67.png" /></figure>

FIGURE 3.33 – Spectrogramme d’un son généré à partir des fréquences modales d’une plaque dont les fréquences modales et amortissements modaux sont modifiés de façon durable pendant un temps court suivant l’impact pour évoquer l’emboutissement suivant un impact trop fort sur un matériau ductile. ▶

courbée de la bouteille ou de la canette avec son doigt), et du frottement entre les différentes parties qui compose l'objet.

Une méthode pour la synthèse de ce genre de son pourrait être de coupler une multitude d'objets correspondant à chacune des facettes. Nous pouvons également prendre en compte la variation de la taille de la cavité lorsqu'on emboutit des bouteilles ou des canettes avec un filtre résonant dont la fréquence augmente.

**Rupture.** Les sons liés à la rupture d'un objet sont très variés et la nature de la rupture dépend de plusieurs facteurs (géométrie, matériau, sollicitation). La diversité des configurations que l'on peut rencontrer rend complexe la modélisation des sons. Lors d'une rupture partielle (fissuration, déchirement, arrachement), le type de son produit au moment de la rupture ressemblera la plupart du temps à une suite d'impacts correspondant aux liaisons du matériau qui se brise.

Lorsqu’un objet déjà fissuré est impacté, on peut modéliser l’interaction entre les frontières de part et d’autre de la fissure comme des éléments cliquetant sur l’objet.

Lors d'une rupture totale, un objet se retrouve scindé en plusieurs morceaux. Le *crac* du moment de la rupture est souvent composé d'une suite d'impacts très rapprochés. Ce son est souvent suivi du bruit de la chute des différents morceaux sur le sol.
3.4 Conclusion

Dans ce chapitre nous proposons un modèle de synthèse permettant les transferts d'énergie entre des composantes tonales. Le principe du modèle repose sur la conservation de la somme des puissances de tous les modes.

Ce formalisme permet la synthèse de sons évoquant des phénomènes non-
linéaires dans la production sonore, comme la perturbation des vibrations par
des collisions ou le déferlement vers les hautes fréquences causé par les grandes
amplitudes de vibrations dans les structures minces. Divers exemples sonores sont
présentés pour illustrer les capacités du modèle.

L'enjeu est ensuite de proposer des stratégies pour un contrôle intuitif et haut-
niveau du modèle. Le prochain chapitre aborde ce sujet dans le cadre de la concep-
tion d'un synthétiseur de son d'environnement principalement adapté pour le design
sonore.

Ce modèle de synthèse offre également des possibilités d'exploitation pour une
utilisation dans un cadre musical avec la synthèse d'instruments de musique spéci-
fiques (tanpura, caisse claire) ou la synthèse sonore d'éléments abstraits avec une
 évolution contrôlée par les transferts d'énergie entre les modes.
<figure><img src="image_68.png" /></figure>
# Contrôle intuitif du modèle de synthèse : calibrations, validations et applications

## Sommaire

<table><tr><td>4.1 Interactions non-linéaires</td><td>100</td></tr><tr><td>4.1.1 Contrôle de l'excitation : Brillance et force d'impact perçue</td><td>100</td></tr><tr><td>4.1.2 Contrôle des perturbations d'un objet vibrant : Collisions entre une corde vibrante et un obstacle rigide non-résonant</td><td>101</td></tr><tr><td>4.2 Non-linéarités géométriques</td><td>113</td></tr><tr><td>4.2.1 Perception de la force d'impact et de la « souffrance » de l'objet dans le cas des plaques minces métalliques pour des grandes amplitudes de vibration</td><td>113</td></tr><tr><td>4.2.2 Calibration et validation du modèle de signal pour la synthèse de sons rayonnés par des plaques minces.</td><td>119</td></tr><tr><td>4.2.3 Non-linéarités géométriques et forme de l'objet</td><td>129</td></tr><tr><td>4.3 Proposition de contrôle perceptif</td><td>148</td></tr></table>

Les processus de synthèse sonore proposés dans le chapitre précédent permettent d'atteindre une grande diversité de comportements pour le signal sonore. L'enjeu de ce chapitre est de proposer des stratégies pour un contrôle intuitif de ces processus.

Le choix des paramètres de contrôle et les données recueillies à partir du geste de l'utilisateur dépend de l'usage de destination du synthétiseur. Nous nous plaçons dans cette étude dans le cadre de la synthèse écologique pour le design sonore, cependant des pistes sont proposées pour penser différemment le contrôle pour une utilisation dans un cadre musical par exemple.

L'objectif est d'identifier des paramètres de contrôle haut-niveau pour proposer un contrôle intuitif. En particulier, nous souhaitons calibrer les paramètres de synthèse pour permettre un mapping cohérent entre le geste de l'utilisateur et le son généré. La méthode suivie consiste à :

* Proposer une transcription des morphologies sonores grâce au modèle de signal et une description sémantique correspondante,

* évaluer et calibrer cette transcription à l'aide de tests d'écoute.

La première section concerne les interactions non-linéaires. Nous étudions dans un premier temps comment la durée d'excitation influe sur la force d'impact perçue,
puis nous cherchons à évaluer la pertinence perceptive de notre modèle d'interaction entre un objet vibrant et un obstacle rigide, en particulier dans le cas d'interactions « fortes ». Dans la seconde section, nous évaluons l'influence des morphologies so- nores caractéristiques des non-linéarités géométriques sur la perception des sons rayonnés par des plaques minces, puis nous évaluons et calibrons le modèle de si- gnal pour l'évocation de grandes amplitudes de vibrations pour différents cas de figure.

## 4.1 Interactions non-linéaires

Lors du contact entre plusieurs objets, différents phénomènes peuvent être res- ponsables de la génération ou de la modification d'un signal sonore (voir Sec.1.4.1.1). Dans la conception du modèle de signal pour la synthèse sonore de ce type d'évène- ments, nous proposons des processus différents lors de l'excitation d'un objet vibrant et lors des perturbations des vibrations de ce dernier. En effet, l'excitation par un impact ou par des phénomènes de friction est modélisé par un signal source transmis à l'objet modélisé par le filtre (voir la présentation du paradigme action-objet et des travaux de Conan et Thoret Sec.1.3.2 [Conan et al., 2014] [Thoret et al., 2013]) tandis que les perturbations redistribuent l'énergie déjà disponible dans les diffé- rents filtres. Cette distinction entre excitation et perturbation a également un sens d'un point de vue perceptif car il est simple de faire la différence entre les évène- ments correspondant à ces cas de figure à partir du signal sonore même si certains cas peuvent être considérés comme « hybrides » (lors d'interactions continues sur des objets déjà en vibration par exemple).

Les besoins en terme de contrôle de la synthèse sonore sont donc différents pour l'excitation et la perturbation. Nous proposons un modèle pour le contrôle de la source sonore correspondant à des impacts dans une première section, puis nous traitons le cas des perturbations d'un objet vibrant par un obstacle rigide.

### 4.1.1 Contrôle de l'excitation : Brillance et force d'impact perçue

Les deux caractéristiques distinctes permettant de reconnaître un impact sur un objet sont l'énergie transférée pendant le choc (dépendant de la masse et de la vitesse de l'impacteur) et la dureté du contact (dépendant de l'étendue du contact et des matériaux des objets). La dureté perçue est fortement corrélée à la durée du contact, car elle est facilement reconnaissable par le biais de la brillance du son lors de l'impact [Freed, 1990]. La quantité d'énergie transférée pendant le choc définit l'amplitude du profil de la force de contact.

Le modèle de Hertz [Hertz, 1881] établit une expression théorique pour la force résultant d'un impact ponctuel de la forme $F = K\delta^{\frac{3}{2}}$ avec K la raideur et $\delta$ l'enfoncement. La non-linéarité dans le modèle de contact introduit une dépendance entre la durée de l'impact et la vitesse de l'impact. Dans le cas où la dissipation est négligée, Chaigne et Dutaut [Chaigne et Doutaut, 1997] montrent que $\tau_e \propto v^{\frac{1}{5}}$. L'exposant non-linéaire du modèle de contact varie avec la forme
du contact et la composition des objets. Par exemple, un exposant égal à 2.8 est souvent utilisé pour fitter les données expérimentales correspondant à un marteau sur une corde de piano [Avanzini et Rocchesso, 2001].

Le modèle simplifié que nous utilisons pour les impacts dans le modèle physique et le modèle de signal (voir Sec.2.2.2.3&3.2.1) [Van Den Doel et al., 2001], est contrôlé par deux paramètres : l'amplitude d'excitation et la durée de l'impact. Nous devons introduire une relation entre la durée de l'impact et l'amplitude de l'excitation pour respecter la nature non-linéaire du contact.

Dans le cadre de son étude sur le roulement, Conan propose une loi de puissance [Conan, 2014, p39-43] :

$$ \tau_e \propto A_e^{-0.29} \qquad (4.1) $$

L'exposant est estimé à partir d'une série de simulation sur des impacts isolés d'une bille sur une surface plane suivant la loi de Hertz.

Dans tous les cas, les variations de durée de l'impact induites par les non-linéarités sont relativement faibles par rapport à l'amplitude des variations pouvant être atteintes en changeant d'impacteur. Néanmoins, le durcissement de l'impact pour des chocs plus puissants est perceptible, notamment dans le cas du marteau en feutre sur la corde de piano.

Nous proposons un mapping direct entre la vitesse du geste et l'amplitude d'excitation $0 < A_e \le 1$, et l'expression suivante pour la durée d'excitation :

$$ \tau_e = \frac{2}{f_e D A_e^{\gamma_e}} \qquad (4.2) $$

avec $0 < D \le 1$ le paramètre de dureté lié aux matériaux des objets en contact et $\gamma_e$ l'exposant de la loi de puissance lié au durcissement causé par la forme du contact. La valeur minimale pour la durée $\tau_e$ est égale à $\frac{2}{f_e}$. Pour cette valeur, l'excitation est équivalente à un dirac et toutes les composantes tonales sont excitées avec une amplitude initiale identique.

D'autre part, lors de contacts très durs, plusieurs impacts très rapprochés se produisent lors du choc. Nous pouvons les modéliser par un train d'impulsion apparaissant pour des temps d'impact très courts [Van Den Doel et al., 2001].

La mise en place et la calibration du contrôle doit faire l'objet de travaux futurs. Nous cherchons à lier les paramètres de contrôle $D$ et $\gamma_e$ à la dureté perçue et au durcissement de l'impacteur lors de son écrasement.

Le test d'écoute correspondant consisterait à évaluer la force d'impact perçue en fonction de différentes amplitudes d'excitation $A_e$ pour différents exposants $\gamma_e$ et différentes duretés de base $D$.

### 4.1.2 Contrôle des perturbations d'un objet vibrant : Collisions entre une corde vibrante et un obstacle rigide non-résonant

Les perturbations des vibrations d'un objet résonant par un obstacle rigide peut produire des sons très divers. Le contrôle intuitif de processus de synthèse générant
ce genre de sons nécessite de définir des paramètres de contrôle haut-niveau en
terme de geste et d'interface et le mapping correspondant.

Dans le cas où les perturbations sont perçues comme une suite d'impacts (les
paramètres modaux restent sensiblement les mêmes, couplage négligeable), il est
possible d'effectuer une étude similaire à celle menée par Conan [Conan, 2014] pour
les interactions frotter, gratter et rouler. Il s'agit d'effectuer l'évaluation statistique
de collisions correspondant à une description sémantique donnée à l'aide de simula-
tions, à la différence près que la description sémantique de ces phénomènes paraît
moins évidente. Les termes consacrés pourraient être *chatouiller, cliqueter, rebon-
dir, tinter...*, mais les sons évoqués par ces termes ne sont pas assez spécifiques et
se recoupent largement. De plus, ils ne sont pas spécifiques à la perturbation d'un
objet vibrant et pourraient correspondre à des cas limites de frottements ou de rou-
lements. Cette démarche peut s'appliquer à des cas particuliers comme le tanpura
ou la caisse claire dans un cadre de synthèse spécifique entièrement dédié à ces
instruments.

Le cas de figure des collisions entre une corde vibrante et un obstacle rigide présente des phénomènes de couplages lorsque l'obstacle est positionné très proche de la position d'équilibre de la corde. Ce couplage entraîne un signal rugueux et inharmonique dont nous avons proposé une transcription dans le modèle de signal (Sec.3.2.3.2). Nous étudions ici comment contrôler la transition entre le cas couplé et le cas non-couplé et ce que cela implique du point de vue de la perception de l'évènement sonore associé.

Dans cette section, nous décrivons l'évaluation perceptive de sons résultant des
collisions entre une corde vibrante et un obstacle rigide. En particulier, nous cher-
chons à apprécier notre capacité à retrouver la position d'un obstacle à partir de
l'écoute de sons, puis à évaluer la transcription du phénomène par le modèle de si-
gnal en fonction des paramètres de synthèse (xc, yc, P, cp). De plus nous cherchons
une description sémantique pertinente pour la définition de paramètres de contrôle
haut-niveau.

Dans ce but, nous comparons des sons générés par le modèle physique et le
modèle de signal dans le cadre d'un test d'écoute.

4.1.2.1 Hypothèses

Les hypothèses sont les suivantes :

— Nous sommes capables de retrouver la position d'un obstacle à partir du son rayonné par une corde en collision avec cet obstacle,

— Le modèle de signal retranscrit correctement le phénomène, incluant une transcription correcte de la position de l'obstacle.

4.1.2.2 Stimuli

Nous comparons des sons générés par le modèle physique et par le modèle de
signal pour évaluer la transcription du phénomène dans le modèle de signal.
**Synthèse par modèle physique** : Les stimuli de référence sont extraits du corpus généré à l'aide de synthèse par modèle physique. La synthèse est effectuée par l'intermédiaire de la résolution numérique par un schéma aux différences finies de l'équation de la corde raide et d'un algorithme de Newton-Raphson pour la résolution de l'équation au point de l'interaction avec l'obstacle rigide.

Équation de la corde raide (Eq.(2.23)) :

$$ \partial_t^2 u = \gamma^2 \partial_x^2 u - \kappa^2 \partial_x^4 u - 2\sigma_0 \partial_t u + 2\sigma_1 \partial_t \partial_x^2 u + \frac{1}{\rho S} (\delta(x - x_e)F_e(t) + \delta(x - x_c)F_c(t)) $$

Expression de la force résultant du contact avec l'obstacle (Eq.(2.24)) :

$$ F_c(t) = -H(t - t_0) \frac{d\Phi}{du} $$

Avec le potentiel $\Phi$ défini de la manière suivante :

$$ \Phi = \frac{K}{\alpha + 1} [u(x_c) - y_c]_{+}^{\alpha + 1} \geq 0 $$

Force d'excitation (modèle simplifié en cosinus surélevé pour une corde pincée, Eq.(2.22)) :

$$ F_e(t) = \begin{cases} A_e/2 \left(1 - \cos\left(\frac{2\pi t}{\tau_e}\right)\right) & 0 \le t < \tau_e \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$

Le modèle et le schéma de résolution numérique sont présentés plus en détail avec leurs références Sec.2.2.3.

Les seuls paramètres variables dans le modèle physique pour la synthèse des stimuli de référence sont les coordonnées de l'obstacle $x_c$ et $y_c$. Les valeurs de l'ensemble des paramètres du modèle pour la génération des stimuli sont présentées Table 4.1.

**Synthèse par modèle de signal** : Pour l'évaluation de la transcription du phé-nomène par le modèle de signal, nous générons des stimuli pour des fréquences et amortissements modaux identiques, puis nous cherchons à calibrer le modèle pour les interactions non-linéaires afin d'évoquer au mieux le comportement observé pour le modèle physique. En particulier, nous cherchons à faire apparaître un signal ru-gueux et inharmonique pour des valeurs de $y_0$ proche de 0.

Nous pouvons déduire la valeur des fréquences $f_i$ et des amortissements $\alpha_i$ des modes de la corde à partir de la modélisation physique. L'expression pour les amor-tissements modaux est obtenue pour des faibles valeurs de $\sigma_0$ et $\sigma_1$ [Bilbao, 2009, p. 177-179] :

$$ f_i = \frac{\gamma i}{2L} \sqrt{1 + \frac{\kappa^2 \pi^2 i^2}{\gamma^2 L^2}} \qquad \alpha_i = \sigma_0 + \sigma_1 \frac{\pi^2 i^2}{L^2} \qquad (4.3) $$
<table><caption>TABLE 4.1 – Valeurs des paramètres pour le modèle physique, incluant les paramètres de la corde, de l'excitation et des collisions.</caption><thead><tr><th>Paramètre</th><th>Valeur</th></tr></thead><tbody><tr><td>x<sub>c</sub></td><td>variable</td></tr><tr><td>y<sub>c</sub></td><td>variable</td></tr><tr><td>γ</td><td>404.02 m·s<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>κ</td><td>1.297 m<sup>2</sup>·s<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>σ<sub>0</sub></td><td>0.05 s<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>σ<sub>1</sub></td><td>0.002 m<sup>2</sup>·s<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>ρ</td><td>7.8×10<sup>3</sup> kg·m<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>S</td><td>7.85 × 10<sup>-7</sup>m<sup>2</sup></td></tr><tr><td>L</td><td>0.4927 m</td></tr><tr><td>x<sub>1</sub></td><td>3L/20 m</td></tr><tr><td>A<sub>1</sub></td><td>100 N</td></tr><tr><td>τ<sub>e</sub></td><td>1 ms</td></tr><tr><td>K</td><td>5 × 10<sup>10</sup>N·m<sup>-α</sup></td></tr><tr><td>α</td><td>1.4</td></tr><tr><td>t<sub>0</sub></td><td>0.5s</td></tr></tbody></table>

La valeur de l'amplitude initiale de chaque mode $A_{0(i)}$ est mesurée sur une transformée de Fourier du début du signal généré par le modèle physique. Les paramètres modaux sont calculés pour les modes dont la fréquence n'excède pas 20kHz.

A partir de l'apparition de l'obstacle ($t = t_0$), le signal est reproduit avec le modèle de collision (transferts proportionnels avec seuil, décrit Sec.3.2.2). Les valeurs des seuils sont calculées à partir de la position de l'obstacle correspondant ($x_c, y_c$), comme proposé Eq.(3.47)&(3.48).

$$p_i = \frac{\hat{A}_i^2}{2}$$

avec :

$$\hat{A}_i = \begin{cases} \frac{y_c}{\sin(\frac{i\pi}{L}x_c)} & \sin(\frac{i\pi}{L}x_c) \neq 0 \\ 10^{10} & \sin(\frac{i\pi}{L}x_c) = 0 \end{cases}$$

Pour la matrice de redistribution (voir Eq.(3.51)), les coefficients $a_{ij}$ sont calculés pour la durée de collision minimale de 2 échantillons. Dans ce cas, le modèle pour l'impact est un dirac dont la transformée de Fourier est identique quelque soit la fréquence. Cette valeur constante et fixée à 1 est multipliée par le coefficient $\zeta_i$ qui pondère la contribution de l'interaction par rapport à la position de l'obstacle sur la corde :
$$a_{ij} = \zeta_i \times 1 \qquad (4.4)$$

avec $\zeta_i = |\sin(\frac{i\pi}{L}x_c)|$ (voir Eq.(3.46)).

Le modèle d'interaction « forte » (Sec.3.2.3.2) est utilisé pour la génération d'un signal rugueux et inharmonique pour les faibles valeurs de $y_c$. L'apparition des composantes tonales supplémentaires et les variations fréquentielles des modes sont contrôlées par la fonction $C_i(n)$, comprise entre 0 et 1, définie Eq.(3.55) :

$$C_i(n) = \zeta_i \left[ 1 - \exp \left( -c_p \left( \sum_{i=1}^{N} [P_i(n) - p_i]_+ - \hat{P} \right) \right) \right]_+$$

Le paramètre $\hat{P}$ définit la valeur de puissance à redistribuer à partir de laquelle $C_i$ devient différent de 0. Le paramètre $c_p$ contrôle la vitesse à laquelle $C_i$ se rapproche de 1.

Pour que l'expérience soit reproductible, nous générons des signaux déterministes.

Les paramètres du modèle de signal pour la synthèse des stimuli sont présentés Tables 4.2&4.3.

<table><caption>TABLE 4.2 – Valeurs des paramètres de synthèse pour le modèle de signal.</caption><thead><tr><td>Paramètre</td><td>Valeur</td></tr></thead><tbody><tr><td>$x_c$</td><td>variable</td></tr><tr><td>$y_c$</td><td>variable</td></tr><tr><td>$\hat{P}$</td><td>variable</td></tr><tr><td>$c_p$</td><td>variable</td></tr><tr><td>$t_0$</td><td>0.5s</td></tr><tr><td>$\lambda$</td><td>1/800</td></tr><tr><td>$\eta$</td><td>1</td></tr></tbody></table>

### 4.1.2.3 Plan d'expérience

Le plan d'expérience est un plan factoriel complet. Nous étudions l'influence de trois facteurs sur la position de l'obstacle perçue. Le $j$ème niveau du facteur $\zeta$ est noté $\zeta_j$. Les trois facteurs ($M, X, Y$) sont décrits ci-dessous :

* $M$ (3 niveaux) correspond au modèle utilisé pour générer le son : le modèle physique et le modèle de signal pour 2 différents contrôles du signal pendant l'interaction.

* $X$ (3 niveaux) correspond à la position longitudinale de l'obstacle.
<table><caption>TABLE 4.3 – Valeurs des paramètres modaux pour le modèle de signal.</caption><thead><tr><th>i</th><th>fréquence f<sub>i</sub> (Hz)</th><th>amortissement α<sub>i</sub> (s<sup>-1</sup>)</th><th>Amplitude initiale A<sub>0(i)</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>410.1</td><td>0.140</td><td>210.0</td></tr><tr><td>2</td><td>820.7</td><td>0.486</td><td>146.2</td></tr><tr><td>3</td><td>1232</td><td>1.061</td><td>38.09</td></tr><tr><td>4</td><td>1646</td><td>1.867</td><td>16.01</td></tr><tr><td>5</td><td>2061</td><td>2.903</td><td>26.89</td></tr><tr><td>6</td><td>2478</td><td>4.169</td><td>13.06</td></tr><tr><td>7</td><td>2899</td><td>5.666</td><td>1.810</td></tr><tr><td>8</td><td>3324</td><td>7.393</td><td>3.425</td></tr><tr><td>9</td><td>3752</td><td>9.350</td><td>0.881</td></tr><tr><td>10</td><td>4185</td><td>11.53</td><td>0.953</td></tr><tr><td>11</td><td>6423</td><td>13.95</td><td>1.008</td></tr><tr><td>12</td><td>5066</td><td>16.60</td><td>3.289</td></tr><tr><td>13</td><td>5516</td><td>19.48</td><td>2.966</td></tr><tr><td>14</td><td>5971</td><td>22.59</td><td>0.767</td></tr><tr><td>15</td><td>6434</td><td>25.93</td><td>1.657</td></tr><tr><td>16</td><td>6903</td><td>29.50</td><td>1.949</td></tr><tr><td>17</td><td>7380</td><td>33.30</td><td>0.678</td></tr><tr><td>18</td><td>7865</td><td>37.32</td><td>0.308</td></tr><tr><td>19</td><td>8358</td><td>41.58</td><td>0.338</td></tr><tr><td>20</td><td>8860</td><td>46.07</td><td>0.413</td></tr><tr><td>21</td><td>9372</td><td>50.79</td><td>0.713</td></tr><tr><td>22</td><td>9892</td><td>55.74</td><td>0.321</td></tr><tr><td>23</td><td>10423</td><td>60.92</td><td>0.734</td></tr><tr><td>24</td><td>10963</td><td>66.33</td><td>1.249</td></tr><tr><td>25</td><td>11514</td><td>71.98</td><td>0.685</td></tr><tr><td>26</td><td>12076</td><td>77.85</td><td>0.250</td></tr><tr><td>27</td><td>12648</td><td>83.95</td><td>0.545</td></tr><tr><td>28</td><td>13232</td><td>90.28</td><td>0.276</td></tr><tr><td>29</td><td>13827</td><td>96.84</td><td>0.240</td></tr><tr><td>30</td><td>14434</td><td>103.6</td><td>0.145</td></tr><tr><td>31</td><td>15053</td><td>110.7</td><td>0.268</td></tr><tr><td>32</td><td>15685</td><td>117.9</td><td>0.680</td></tr><tr><td>33</td><td>16328</td><td>125.4</td><td>0.690</td></tr><tr><td>34</td><td>16984</td><td>133.1</td><td>0.229</td></tr><tr><td>35</td><td>17653</td><td>141.1</td><td>0.295</td></tr><tr><td>36</td><td>18336</td><td>149.2</td><td>0.717</td></tr><tr><td>37</td><td>19031</td><td>157.6</td><td>0.806</td></tr><tr><td>38</td><td>19739</td><td>166.3</td><td>0.297</td></tr></tbody></table>
• Y (9 niveaux) correspond à la position transversale de l'obstacle. Nous avons effectué une calibration informelle (test d'écoute préliminaire) pour définir des valeurs des 9 niveaux décrivant une évolution perceptivement linéaire de $y_c$ pour le modèle physique et le modèle de signal. Cette calibration prend en compte le fait que des petites variations de $y_c$ près des extrémités engendre de grandes variations sur la perception du phénomène.

<table><caption>TABLE 4.4 – Niveaux des facteurs *M*, *X* et *Y*.</caption><thead><tr><th colspan="2">Facteur M</th></tr><tr><th>Niveau</th><th>Description</th></tr></thead><tbody><tr><td>M<sub>1</sub></td><td>modèle physique</td></tr><tr><td>M<sub>2</sub></td><td>modèle de signal : c<sub>p</sub> = 6 × 10<sup>-4</sup>, P&#x0302; = 340</td></tr><tr><td>M<sub>3</sub></td><td>modèle de signal : c<sub>p</sub> = 1 × 10<sup>-4</sup>, P&#x0302; = 4000</td></tr></tbody><thead><tr><th colspan="2">Facteur X</th></tr><tr><th>Niveau</th><th>Valeur de x<sub>c</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>X<sub>1</sub></td><td>L/2</td></tr><tr><td>X<sub>2</sub></td><td>L/3</td></tr><tr><td>X<sub>3</sub></td><td>5L/12</td></tr></tbody><thead><tr><th colspan="2">Facteur Y</th></tr><tr><th>Niveau</th><th>y<sub>c</sub>/U(x<sub>c</sub>,t<sub>0</sub>) pour M<sub>1</sub></th><th>y<sub>c</sub>/[sin(πx<sub>c</sub>/L)] pour M<sub>2</sub>, M<sub>3</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>Y<sub>1</sub></td><td>0.0065</td><td>0.005</td></tr><tr><td>Y<sub>2</sub></td><td>0.013</td><td>0.01</td></tr><tr><td>Y<sub>3</sub></td><td>0.13</td><td>0.1</td></tr><tr><td>Y<sub>4</sub></td><td>0.315</td><td>0.26</td></tr><tr><td>Y<sub>5</sub></td><td>0.49</td><td>0.58</td></tr><tr><td>Y<sub>6</sub></td><td>0.675</td><td>0.74</td></tr><tr><td>Y<sub>7</sub></td><td>0.875</td><td>0.9</td></tr><tr><td>Y<sub>8</sub></td><td>0.921</td><td>0.99</td></tr><tr><td>Y<sub>9</sub></td><td>0.985</td><td>0.995</td></tr></tbody></table>

La fonction $C_i$ est définie différemment pour $M_2$ et $M_3$. La Fig. 4.1 présente la variation fréquentielle du mode supérieur au début de l'interaction pour différents niveaux de Y pour les différentes fonctions $C_i$ (correspondant à $M_2$ et $M_3$). Le signal généré est rugueux et inharmonique lorsque la variation fréquentielle est supérieure à 0 (pour les niveaux $Y_{j \le 8}$ pour $M_2$ et $Y_{j \le 7}$ pour $M_3$). De plus, la fréquence de la composante supérieure décroît plus progressivement et la durée du signal rugueux est plus courte pour $M_3$ que pour $M_2$.

Deux sons de corde sans obstacle sont ajoutés aux stimuli comme son test pour vérifier que la consigne est bien comprise.

En résumé, un total de 83 stimuli (= 3 × 3 × 9 + 2) sont générés pour le test d'écoute.
<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIGURE 4.1 – Représentation de la variation fréquentielle $\Delta f = C_i f_1/3$ au début de l'interaction des modes engagés dans le processus de redistribution pour les différents niveaux de Y.</figcaption></figure>

#### 4.1.2.4 Participants

22 participants (9 femmes) ont pris part au test. Six d'entre eux pratiquaient régulièrement un instrument à corde, dix travaillaient dans les métiers du son comme chercheur ou technicien. Leur âge était compris entre 22 et 67 ans (pour une moyenne de 32 ans). Aucun d'entre eux n'avait de problème auditif (testé avec un audiomètre calibré).

#### 4.1.2.5 Procédure

Le test s'est déroulé dans une pièce isolée et calme avec un casque d'écoute fermé (Sennheiser HD280pro). Les 83 stimuli ont été présentés aux participants dans un ordre aléatoire. Pour chaque son, les participants devaient retrouver la position de l'obstacle et l'indiquer sur une représentation visuelle de la corde vibrante et de l'obstacle. La représentation visuelle était interactive et deux curseurs permettaient de régler la position longitudinale et la position transversale de l'obstacle, respectivement notées $R_x$ et $R_y$. $R_y$ était évaluée sur une échelle allant de 0 à 100, où 0 correspondait à la position d'équilibre de la corde et 100 l'amplitude maximale de vibration de la corde à $x = x_c$. $R_x$ était évaluée sur une échelle allant de 0 à $L/2$. Trois repères permettaient de localiser certaines positions sur l'axe x ($L/2, L/3, L/4$). Les participants pouvaient cocher une case comportant le libellé « aucune idée » s'ils n'étaient pas capables de localiser l'obstacle sur l'axe x.

Par ailleurs, il était proposé aux participants de donner une courte description sémantique de l'action évoquée par chaque son par le biais d'un verbe et/ou d'un adverbe. Ce retour était optionnel.

La durée totale des tests d'écoute a été comprise entre 35 et 75 minutes par
participant.

4.1.2.6 Résultats

**Perception de la position transversale R<sub>y</sub>.** Nous avons effectué une Analyse de la Variance à mesures répétées (ANOVA) sur les valeurs recueillies pour R<sub>y</sub> en fonction des facteurs *M* et *Y*. Les résultats sont présentés Fig. 4.2. Nous observons une courbe strictement croissante des valeurs moyennes de R<sub>y</sub> en fonction des niveaux du facteur *Y* pour tous les modèles (*M*<sub>1</sub>, *M*<sub>2</sub>, *M*<sub>3</sub>).

<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>FIGURE 4.2 – Effets combinés des facteurs *Y* et *M* sur la réponse *R*<sub>*y*</sub> (*F*(18,378) = 7.7548, *p* < 0.0001). Les barres verticales représentent l’erreur standard. Test Post Hoc DSH de Tukey : ** = *p* < 0.01, *** = *p* < 0.001.</figcaption></figure>

Lorsque nous comparons les résultats entre les modèles, les réponses ne varient pas de façon significative pour les quatre premiers et deux derniers niveaux de *Y* (pas de variation significative pour *Y*<sub>1</sub>, *Y*<sub>2</sub>, *Y*<sub>3</sub>, *Y*<sub>4</sub>, *Y*<sub>8</sub>, *Y*<sub>9</sub>, *p* > 0.937). En revanche, des différences significatives peuvent être observées entre les modèles pour les niveaux moyens de *Y* (*Y*<sub>5</sub>-*Y*<sub>7</sub>). Ces écarts peuvent être directement reliés aux paramètres choisis pour le contrôle du modèle de signal pendant l'interaction. En effet, *R*<sub>*y*</sub> varie fortement entre les niveaux 7 et 8 (resp. 6 et 7) pour *M*<sub>2</sub> (resp. *M*<sub>3</sub>), ce qui correspond à la transition entre les cas dont le signal devient rugueux et inharmonique pendant l'interaction et les cas dont la variation fréquentielle des modes reste nulle (voir Fig. 4.1).

Ainsi, ce résultat montre que l’aspect rugueux et inharmonique du signal a un
fort impact sur la perception de la position transversale de l’obstacle R<sub>y</sub>.

D'autre part, les descriptions sémantiques les plus proposées par les participants sont les suivantes :

• pour les hauts niveaux de *Y* :
- verbes - effleurer, frôler, toucher,

- adverbes - légèrement, faiblement, doucement.

* Pour les bas niveaux de Y :

- verbes - étouffer, appuyer, toucher,

- adverbes - fortement.

Les mots proposés sont tous liés à la position transversale de l'obstacle, qui est associée à une notion d'intensité ou de force de l'interaction. Nous touchons la corde doucement ou fortement en fonction du niveau de la position tranversale de l'obstacle Y.

**Perception de la position longitudinale Rₓ.** Afin d'évaluer la capacité des participants à identifier la position longitudinale de l'obstacle, nous calculons la distance à la cible $d = |Rₓ - X_j|$ pour les cas où la case « aucune idée » n'est pas cochée. Si $d \le L/30$, la réponse $Rₓ$ est considérée correcte, ce qui correspond à une marge d'erreur d'un cran de chaque côté du repère placé sur l'axe x. Par ailleurs, nous examinons les réponses autour des points particuliers correspondant aux noeuds de vibration des premiers modes de la corde pour chacun des cas : L/2, L/3, et L/4. En effet, comme les modifications du son en fonction de $x_c$ suivent une logique particulière (les modifications concernent principalement les harmoniques présentes après l'interaction, voir Sec.2.2.3.2), les sons qui permettent de reconnaître la position longitudinale se situent forcément sur ces points, comme lors d'une harmonique naturelle jouée sur une guitare. Pour les autres valeurs de $x_c$, le son est entièrement dissipé pendant l'interaction, ne laissant pas la possibilité de retrouver la position longitudinale à partir des harmoniques restantes après l'interaction. Par exemple, il n'y a plus de son après l'interaction pour $x_c = 5L/12$ et $y_c = 0$ car la 12ième harmonique de la corde est déjà dissipée à $t = t_0$. Par ailleurs, il est plus difficile de distinguer les harmoniques plus fortes après l'interaction quand $y_c$ augmente.

Dans un premier temps, nous examinons les résultats pour le modèle physique $M_1$. Nous observons que le score d'identification est faible. Les participants n'ont « aucune idée » dans 38.72% des cas (case cochée) et la réponse n'est correcte que dans 8.08% des cas. Pour les trois premiers niveaux de Y, les participants n'ont toujours « aucune idée » dans 28.79% des cas et leur réponse n'est correcte que dans 9.09%, 16.67%, et 6.06% des cas pour respectivement $X_1, X_2$ et $X_3$.

Nous en déduisons que la position longitudinale est généralement difficile à reconnaître, même pour les niveaux où les indices acoustiques sont plus évidents.

Si l'on se concentre sur les participants pratiquant régulièrement un instrument à corde (i.e. 6 participants) et sur les niveaux $X_1$ et $X_2$ dont les stimuli correspondant comportent des indices acoustiques permettant la reconnaissance de ces positions, nous observons une amélioration significative des résultats. Pour les trois premiers niveaux de Y, ces participants n'ont « aucune idée » que dans 16.67% des cas et le taux de réponses correctes devient respectivement 22.22%, 50%, et 5.56% pour
$X_1, X_2$ et $X_3$. De plus, nous observons que ces participants répondent $R_x = L/4$ pour $X_1$ ($x_c = L/2$) dans 38.89% des cas. Cette confusion est due au fait que les harmoniques restantes après l'interaction pour $x_c = L/4$ ont une fréquence double des harmoniques restantes pour $x_c = L/2$. Après l'interaction, ces deux sons sont perceptivement proches car ils sont simplement séparés d'une octave (octave-equivalence effect).

Nous pouvons en déduire que ces participants ont mis en place une stratégie de réponse cohérente avec les indices acoustiques à leur disposition.

Ensuite, nous conduisons une ANOVA uni-variée de facteur *M* afin de comparer le taux de réponses correctes pour les différents modèles dans les conditions les plus favorables (3 premiers niveaux de *Y* pour les participants jouant d'un instrument à corde). Le taux de réponses correctes ne varie pas significativement avec le facteur *M* ($F(2, 4) = 0.181, p = 0.84$).

Ce résultat nous pousse à conclure que le modèle de signal permet de reconnaître la position longitudinale de façon aussi efficace que le modèle physique. Il faut tout de même noter ici que ce résultat a été obtenu sur un échantillon statistique réduit de 6 personnes. Une étude plus poussée pourrait être conduite avec des participants experts, ou avec une phase d'entraînement pour évaluer plus précisément notre capacité à reconnaître ce phénomène et les capacités du modèle de signal à le reproduire correctement.

Néanmoins, cette étude montre que la reconnaissance de la position longitudinale demande un apprentissage particulier, ce qui veut dire qu'un contrôle intuitif et précis de cette dimension n'est potentiellement utile que pour les utilisateurs experts.

### 4.1.2.7 Discussion

Les résultats du test d'écoute sont intéressants pour la conception d'un contrôle intuitif du modèle de signal. Nous pouvons concevoir le contrôle de la perturbation correspondant à $y_c$ comme un paramètre d'intensité de l'interaction allant de « doux » à « fort ». Ce contrôle peut également être assigné à un capteur de pression comme, par exemple, une tablette tactile. La transition vers l'interaction forte est contrôlée par le paramètre $\hat{P}$ et l'évolution de la fréquence pendant l'interaction « forte » par le paramètre $c_p$. L'interaction devient « forte » à partir du moment où le signal pendant l'interaction devient rugueux et inharmonique. À l'inverse, l'interaction est « douce » lorsque les fréquences modales du résonateur restent inchangées.

La comparaison avec le modèle physique nous permet de calibrer les paramètres du modèle de signal pour s'approcher d'un continuum correspondant à notre perception du phénomène. Dans l'ensemble, le paramètre de position transversale du modèle de signal a des effets du même ordre que le paramètre physique correspondant (en particulier de grandes variations perceptives pour les faibles valeurs de $y_c$). C'est principalement le paramètre $\hat{P}$ qui doit être fixé pour que
la transition ait lieu entre $Y_4$ et $Y_5$ pour approcher au mieux le phénomène physique.

Pour un rendu plus réaliste et plus riche, les interactions « douces » peuvent être ponctuées de plusieurs impacts distincts. Comme décrit Sec.3.2.2, le contrôle du déclenchement des collisions est un enjeu pour la génération de ce type de sons. En particulier, il s'agit de déterminer un espace sémantique pour décrire l'interaction (par exemple cliqueter, rebondir, effleurer, appuyer) et un modèle associé de distribution temporelle et spatiale des collisions.

D'autre part, la reconnaissance de la position de l'obstacle le long de la corde est complexe et demande une expertise. Le contrôle perceptif de ce paramètre n'a pas d'intérêt particulier pour les utilisateurs naïfs et la transcription du phénomène est satisfaisante en l'état pour les utilisateurs experts (un contrôle direct de $x_c$ pourrait convenir pour ces utilisateurs). Un contrôle relatif à l'étendue de l'obstacle pourrait être plus simple à appréhender pour un utilisateur naïf (si l'interaction est forte, le nombre de partiels restants après l'interaction décroît si l'obstacle s'étend). Une expérience similaire pourrait être mise en place pour différents types de résonateurs.

Un aspect important du contrôle qui n'a pas été traité dans cette expérience concerne le contrôle des caractéristiques matérielles de l'interaction. En effet, la rigidité et la dissipation du contact, que nous pouvons contrôler avec les paramètres du modèle de signal $\tau_c$ et $\eta$, ont une influence certaine sur le son. Nous avons le choix entre une description de l'obstacle avec un contrôle de son matériau ou une description de l'interaction avec un contrôle de la dureté et de la dissipation. Le contrôle des caractéristiques de l'obstacle est plus adapté dans le cas d'un environnement modulaire où l'obstacle deviendrait un objet résonant à son tour. À l'inverse, la description de l'interaction est axée vers un environnement centré sur un résonateur unique soumis à des interactions contrôlées par le geste de l'utilisateur. La pertinence de ces hypothèses et la calibration des paramètres de contrôle haut-niveaux retenus pourraient être l'objet d'un prochain test d'écoute.
## 4.2 Non-linéarités géométriques

Les morphologies sonores relatives aux non-linéarités géométriques sont caractérisées par des modifications du son rayonné par les objets lorsque leur amplitude de vibration augmente. On peut ainsi voir apparaître des modes dont la fréquence n'est pas constante, du signal bruité et des transferts d'énergie entre les modes pour des grandes amplitudes de vibrations élastiques (voir Sec.2.3.2). Différents éléments sont essentiels pour pouvoir atteindre de grandes déformations élastiques :

* une amplitude d'excitation suffisamment importante,

* un matériau dont la ductilité permet des déformations importantes,

* une structure fine et relativement souple.

L'amplitude d'excitation, le matériau et la forme de l'objet résonant ont une influence prépondérante sur l'apparition des phénomènes non-linéaires et le contrôle du modèle de signal, pour être transparent et intuitif, doit être cohérent avec ces relations si elles transparaissent dans notre perception des sons.

Afin de mettre en place une stratégie pour contrôler l'apparition des morphologies sonores correspondant aux non-linéarités géométriques dans le modèle de signal, nous étudions notre perception du phénomène pour différentes forces d'excitation sur des plaques de différentes épaisseurs dans un premier test d'écoute. Ensuite, nous évaluons et calibrons la transcription du phénomène par le modèle de signal pour les plaques minces. Enfin, nous étudions l'impact des morphologies sonores correspondant aux non-linéarités géométriques pour des distributions de fréquences modales différentes dans le but de proposer un contrôle cohérent de non-linéarités pour des objets résonants de différentes formes.

### 4.2.1 Perception de la force d'impact et de la « souffrance » de l'objet dans le cas des plaques minces métalliques pour des grandes amplitudes de vibration

Le rapport entre la force d'excitation et la capacité du résonateur à résister à l'excitation détermine l'apparition des phénomènes non-linéaires. Nous pouvons donc percevoir ces attributs de la source sonore à travers les morphologies sonores caractéristiques des non-linéarités géométriques. Or, les paramètres modaux (fréquence et amortissement) nous informent également sur les paramètres géométriques (longueur, largeur, épaisseur) et matériaux (module d'Young, densité) du résonateur, ce qui nous informe sur la solidité de l'objet résonant. Différentes études montrent que nous sommes capables de reconnaître certaines géométries, en particulier des ratios de taille entre les différentes dimensions de l'objet résonant [Lakatos et al., 1997] [Kunkler-Peck et Turvey, 2000] [Rakovec et al., 2013], et le matériau [Wildes et Richards, 1988] [Lutfi et Oh, 1997] [Aramaki et al., 2011] d'un objet résonant pour des sons « linéaires » et proposent des stratégies pour la synthèse et le contrôle de ces sons.
Dans cette étude, notre objectif est d'évaluer notre capacité à déduire l'amplitude d'excitation et la résistance de l'objet résonant à partir de l'apparition des morphologies sonores liées aux non-linéarités géométriques.

Pour cela, nous avons demandé aux participants d'un test d'écoute d'évaluer la force de l'impact et la « souffrance » de l'objet pour des sons du corpus sonore correspondant à des plaques métalliques de différentes épaisseurs. La « souffrance » de l'objet était définie comme étant la difficulté de l'objet impacté à supporter les déformations provoquées par l'excitation.

### 4.2.1.1 Hypothèses

Les hypothèses testées sont les suivantes :

* la « souffrance » de l'objet est corrélée à l'apparition des morphologies sonores liées aux non-linéarités géométriques.

* la perception de la force d'impact est corrélée à l'apparition des morphologies sonores liées aux non-linéarités géométriques et à la perception de la rigidité de l'objet résonant qui transparaît dans la distribution fréquentielle de ses modes de vibration.

Nous pensons pouvoir remonter à la perception de la rigidité de l'objet en faisant le rapport entre l'évaluation de la perception de la force d'impact et de la « souffrance » de l'objet.

### 4.2.1.2 Stimuli

Les stimuli sont générés par la résolution numérique du système de Von Karman. Ces sons sont extraits du corpus présenté Sec.2.3.1. Le système de Von Karman est rappelé ci-dessous (voir Eq.(2.32a) pour une description des éléments composant le système) :

$$u_{tt} = -\frac{D}{\rho e}\Delta\Delta u + \frac{1}{\rho e}\mathcal{L}(\phi, u) - 2\sigma_0 u_t + 2\sigma_1 \Delta u_t + \frac{\delta(x - x_1, y - y_1)}{\rho e}F(t) \quad (4.5a)$$

$$\Delta\Delta\phi = -\frac{Ee}{2}\mathcal{L}(u, u) \qquad (4.5b)$$

Les conditions aux limites sont libres sur deux côtés pour $x = 0$ and $x = L_x$

$$u_{xx} + \nu u_{yy} = u_{xxx} + (2 - \nu)u_{xyy} = 0, \qquad (4.6)$$

et simplement appuyées sur deux côtés pour $y = 0$ and $y = L_y$

$$u = u_{yy} = 0. \qquad (4.7)$$

Nous utilisons le modèle d'impact en cosinus surélevé (voir Sec.2.2.2.3) avec une durée d'impact constante quelque soit l'amplitude de l'impact afin de ne pas donner d'indices acoustiques aux participants concernant la force d'impact perçue à partir
de l'excitation. Ainsi, l'influence des non-linéarités géométriques peut être évaluée sans que le comportement non-linéaire de l'impacteur n'interfère dans la mesure.

Les paramètres variables pour la synthèse des stimuli de référence sont les paramètres correspondant aux facteurs de l'expérience : l'épaisseur de la plaque *e* et l'amplitude de l'impact *A*<sub>e</sub>. Les autres valeurs de l'ensemble des paramètres du modèle pour la génération des stimuli sont présentées Table 4.5. Les paramètres matériaux correspondent aux valeurs habituelles pour l'acier.

<table><caption>TABLE 4.5 – Valeurs des paramètres pour le modèle physique, incluant les paramètres de la plaque et de l'excitation.</caption><thead><tr><th>Paramètre</th><th>Valeur</th></tr></thead><tbody><tr><td><i>e</i></td><td>variable</td></tr><tr><td><i>A</i><sub>e</sub></td><td>variable</td></tr><tr><td><i>E</i></td><td>210 GPa</td></tr><tr><td><i>ν</i></td><td>0.3</td></tr><tr><td><i>ρ</i></td><td>7.8×10<sup>3</sup> kg·m<sup>-3</sup></td></tr><tr><td><i>σ</i><sub>0</sub></td><td>0.1 rad·s<sup>-1</sup></td></tr><tr><td><i>σ</i><sub>1</sub></td><td>0.001 m<sup>2</sup>·s<sup>-1</sup></td></tr><tr><td><i>L</i><sub>x</sub></td><td>0.6 m</td></tr><tr><td><i>L</i><sub>y</sub></td><td>0.7 m</td></tr><tr><td><i>x</i><sub>e</sub></td><td><i>L</i><sub>x</sub>/2</td></tr><tr><td><i>y</i><sub>e</sub></td><td><i>L</i><sub>y</sub>/2</td></tr><tr><td><i>τ</i><sub>e</sub></td><td>2 ms</td></tr></tbody></table>

### 4.2.1.3 Plan d'expérience

Le plan d'expérience est un plan factoriel complet. Nous étudions l'influence de deux facteurs sur l'évaluation perceptive de la force d'impact et de la « souffrance » de l'objet résonant. Les deux facteurs (*H*, *A*) sont décrits ci-dessous (voir Table 4.6) :

* *H* (3 niveaux) correspond à l'épaisseur de la plaque.

* *A* (10 niveaux) correspond à l'amplitude de l'impact.

Nous choisissons l'épaisseur comme facteur pour faire varier la rigidité de la plaque car c'est le paramètre le plus influent (la raideur en flexion varie avec le cube de l'épaisseur).

Un total de 30 stimuli sont générés pour ce test d'écoute (3 × 10).

**Égalisation en sonie.** L'intensité sonore a une influence sur la perception de la force d'impact. Pour limiter l'influence des variations de sonie entre les stimuli sur les évaluations perceptives, nous procédons à une égalisation en sonie.
<table><caption>TABLE 4.6 – Niveaux des facteurs *H* et *A*.
Facteur *H*</caption><thead><tr><td>Niveau</td><td>Valeur de l'épaisseur e</td></tr></thead><tbody><tr><td>H<sub>1</sub></td><td>1 mm</td></tr><tr><td>H<sub>2</sub></td><td>2 mm</td></tr><tr><td>H<sub>3</sub></td><td>3 mm</td></tr></tbody></table>

Facteur *A*

<table><thead><tr><td>Niveau</td><td>Valeur de A<sub>e</sub></td></tr></thead><tbody><tr><td>A<sub>1</sub></td><td>100N</td></tr><tr><td>A<sub>2</sub></td><td>200N</td></tr><tr><td>A<sub>3</sub></td><td>300N</td></tr><tr><td>A<sub>4</sub></td><td>400N</td></tr><tr><td>A<sub>5</sub></td><td>500N</td></tr><tr><td>A<sub>6</sub></td><td>600N</td></tr><tr><td>A<sub>7</sub></td><td>700N</td></tr><tr><td>A<sub>8</sub></td><td>800N</td></tr><tr><td>A<sub>9</sub></td><td>900N</td></tr><tr><td>A<sub>10</sub></td><td>1000N</td></tr></tbody></table>

Il n'y a pas de modèle générique pour la sonie des sons complexes, il est nécessaire d'interroger la perception à l'aide de comparaisons par paire. La comparaison de toutes les paires avec une procédure adaptative nous aurait demandé trop de temps pour un pré-test (environ une minute de test par paire pour 435 paires soit plus de 7h de test). Nous avons utilisé une procédure simplifiée consistant à régler le volume sonore de chaque stimulus pour que sa sonie soit égale à la sonie du stimulus « médian » ($H_2$, $A_5$).

Nous avons été trois personnes du laboratoire à effectuer la comparaison des 29 paires pour égaliser en sonie les stimuli. Nous n'avons ensuite pas participé au test d'écoute en raison de notre connaissance des stimuli.

### 4.2.1.4 Participants

Quatorze participants (3 femmes, 11 hommes), agés de 22 à 50 ans, ont pris part au test. Aucun d'entre eux n'avait de problème auditif.

### 4.2.1.5 Procédure

Les participants doivent évaluer la force de l'impact $R_F$ et la souffrance de l'objet $R_S$ pour chaque stimulus en déplaçant deux curseurs sans repère allant de « nulle » (à gauche) à « forte » (à droite). Les données recueillies pour les réponses $R_F$ et $R_S$ sont des entiers naturels compris entre 0 (curseur en butée à gauche) et 100 (curseur en butée à droite).

Les 30 stimuli ont été présentés dans un ordre aléatoire à l'aide d'un casque
audio (Sennheiser HD650) dans un environnement calme.

### 4.2.1.6 Résultats

Nous effectuons des ANOVA à mesures répétées sur les réponses $R_F$ et $R_S$ en fonction des facteurs *H* et *A*. Les résultats sont présentés Fig. 4.3&4.4.

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>FIGURE 4.3 – Effets combinés des facteurs *A* et *H* sur la réponse pour la force d'impact perçue $R_F$ ($F(18, 224) = 6.8101$, $p < 0.00001$). Les barres verticales représentent l'erreur standard.</figcaption></figure>

Nous observons une corrélation directe entre la perception de la force d'impact et de la « souffrance » de l'objet. Leurs évaluations sont quasi identiques, en moyenne, pour tous les stimuli, même si la force d'impact perçue est généralement légèrement supérieure. Ce résultat est confirmé par les retours oraux des participants dont la plupart disaient qu'ils avaient répondu la même chose pour l'évaluation de la force et de la souffrance pour la plupart des sons. D'autre part, la tendance de l'évolution de chaque courbe prise séparément est proche d'une évolution linéaire.

Une observation plus fine des courbes, notamment concernant les évolutions en fonction de l'épaisseur, révèle que le seul indice perceptif utilisé par les participants pour l'évaluation des deux grandeurs $R_F$ et $R_S$ est l'apparition des phénomènes non-linéaires. En effet, les réponses pour la plaque la plus épaisse ($H_3$) sont relativement constantes et faibles et les sons correspondant présentent peu de morphologies sonores correspondant aux non-linéarités géométriques. Les courbes correspondant aux plaques moins épaisse ($H_1$ et $H_2$) montrent une évolution de la force perçue avec le niveau d'amplitude qui coïncide avec l'augmentation de l'intensité des phénomènes non-linéaires. Nous pouvons également observer que les phénomènes
<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>FIGURE 4.4 – Effets combinés des facteurs *A* et *H* sur la réponse pour la souffrance de l’objet perçue $R_S (F(18, 224) = 5.0622, p < 0.00001)$. Les barres verticales représentent l’erreur standard.</figcaption></figure>

non-linéaires ne sont pas audibles pour le premier niveau d'amplitude de la plaque moyenne ($H_2, A_1$) et que le niveau de force et de « souffrance » perçue n'est pas significativement différent entre ce cas et le premier niveau d'amplitude de la plaque plus épaisse ($H_3, A_1$), tandis qu'il est significativement différent du premier niveau d'amplitude de la plaque plus fine ($H_1, A_1$) qui présente des phénomènes non-linéaires audibles.

Par ailleurs, la partie de l'échelle supérieure à 70 n'a pas été utilisée par la plupart des participants. Plusieurs ont déclaré qu'ils s'attendaient à ce que des impacts de plus grande amplitude soient présentés qui pourraient endommager ou casser la plaque. Ces attentes sont probablement la conséquence de l'utilisation du terme « souffrance » qui réfèrent à des dommages subits par l'objet.

### 4.2.1.7 Discussion

La corrélation entre la perception de la « souffrance » de l'objet résonant et l'apparition des morphologies sonores correspondant aux phénomènes non-linéaires est cohérente avec le phénomène physique et correspond à nos attentes. Nous pouvons en conclure que nous estimons la capacité d'un objet à résister à l'excitation à laquelle il est soumis à partir des non-linéarités géométriques, qui représentent un indice acoustique correspondant à de grandes amplitudes de vibration.

En revanche, la corrélation entre l'évaluation de la force d'impact et de la « souffrance » de l'objet nous montre que nous ne sommes pas capables d'évaluer correc-
tement la force d'impact en l'absence d'autre indice perceptif que les morphologies sonores relatives aux non-linéarités géométriques et à la distribution fréquentielle des modes (impact non-linéaire, variation de la sonie). Autrement dit, nous ne sommes pas capables d'estimer la rigidité ou la solidité de ces plaques à partir de leurs fréquences modales.

Ce résultat est cohérent avec plusieurs études concluant que nous ne sommes pas très performants pour reconnaître les caractéristiques structurelles d'objets à partir de sons d'impact, en particulier lors d'une écoute hors des conditions écologiques [Tucker et Brown, 2002]. En revanche, d'autres études montrent que nous sommes capables de discriminer des grandes familles d'objets et de matériaux [Rakovec et al., 2013].

Dans le cadre de la reproduction de ce genre de phénomène avec la synthèse par modèle de signal, ce résultat nous conduit à lier directement l'apparition des morphologies sonores à l'amplitude d'excitation dans le cas des plaques minces. Une évaluation/calibration perceptive de la synthèse de sons de plaque pour des grandes amplitudes de vibration avec le modèle de signal est présentée dans la prochaine section.

### 4.2.2 Calibration et validation du modèle de signal pour la synthèse de sons rayonnés par des plaques minces.

Nous proposons une méthode pour reproduire le déferlement caractéristique observé dans le cas des plaques minces pour des grandes amplitudes de vibration avec le modèle de signal (voir Sec.3.3). Cette méthode se base sur des transferts d'énergie entre composantes tonales, des variations fréquentielles et l'apparition de signal bruité au voisinage des composantes se transférant de l'énergie. Nous cherchons dans cette section à évaluer la pertinence de notre modèle pour évoquer des plaques métalliques impactées à des intensités variables. Nous cherchons également à calibrer le contrôle de notre modèle.

Un test d'écoute est conçu à partir de stimuli de référence extraits du corpus et des stimuli générés avec le modèle de signal.

#### 4.2.2.1 Hypothèse

L'hypothèse principale testée suppose que le modèle de signal retranscrit correctement le son rayonné par des impacts induisant de grandes amplitudes de vibration dans des plaques minces. Cette hypothèse suggère que la perception de la force d'impact est corrélée à l'apparition de phénomènes non-linéaires (voir test précédent Sec.4.2.1), et que la modélisation de ces phénomènes permet de retranscrire les caractéristiques importantes du signal pour la reconnaissance du phénomène.

Nous cherchons également à tester l'importance relative des différents éléments caractéristiques du signal identifié pour ce type de phénomènes :
* les transferts d'énergie entre les modes,

* l'apparition de signal bruité,

* les variations fréquentielles des modes.

### 4.2.2.2 Stimuli

Nous réutilisons 10 stimuli du test précédent générés par la résolution numérique du système de Von Karman pour une épaisseur de plaque $e = 2mm$. Ces stimuli servent de référence pour ce test d'écoute.

Les autres stimuli sont générés par le modèle de signal pour des paramètres modaux correspondant aux stimuli de référence. Le modèle de synthèse est présenté dans la section 3.3.1.

**Identification des paramètres modaux.** Les paramètres modaux sont identifiés sur le spectrogramme d'un son du corpus correspondant au modèle de plaque utilisé pour les stimuli de référence dans un cas sans phénomène non-linéaire audible ($max(|u(x, y, t)|) << h$). Dans ce cas, le signal peut être modélisé comme une somme de composantes sinusoïdales amorties :

$$s(n) = \sum_{i=1}^{N} \underbrace{A_{0(i)} e^{-\alpha_i n / f_s}}_{A_i(n)} \sin(2\pi f_i n / f_s) \quad (4.8)$$

Nous identifions les fréquences modales $f_i$, les amortissements modaux $\alpha_i$, et les valeurs d'amplitudes initiales $A_{0(i)}$. Les valeurs d'amplitudes initiales sont normalisées :

$$\tilde{A}_{0(i)} = \underbrace{\frac{A_{0(i)}}{\max_{i=1,...,N}(A_{0(i)})}}_{A_i(n)} \quad (4.9)$$

D'autres composantes tonales sont identifiées sur le spectrogramme du son de référence de plus grande amplitude ($e = 2mm$, $A_e = 1000N$). Ces composantes, dont l'apparition est retardée et soutenue, correspondent à la manifestation des non-linéarités géométriques dans le signal (déferlement vers les hautes fréquences). Les amortissements modaux correspondants sont interpolés à partir des amortissements modaux mesurés dans le cas linéaire et leur amplitude initiale est fixé à 0.

Nous introduisons le paramètre de contrôle correspondant à l'amplitude d'excitation $A_e^*$. La puissance initiale associée à chaque mode est définie de la manière suivante :

$$P_i(0) = \frac{(A_e^* \tilde{A}_{0(i)})^2}{2} \quad (4.10)$$
**Modèle de redistribution.** La redistribution d'énergie est réalisée par des transferts proportionnels avec seuil. Nous fixons la valeur des seuils de la manière suivante :

$$p_i = \frac{\tilde{A}_{0(i)}^2}{2} + \frac{1}{2000} \qquad (4.11)$$

Ces valeurs de seuil permettent de limiter les transferts d'énergie au cas où l'amplitude des modes dépassent la valeur observée dans le cas linéaire $\tilde{A}_{0(i)}$. D'autre part, nous ajoutons une valeur constante relativement faible égale à 1/2000 pour que l'ensemble des seuils soient différents de 0.

La loi de redistribution entre les modes est définie de la manière suivante (voir Fig.3.26) :

$$a_{ij} = \begin{cases} \left[1 - \frac{f_j - f_i}{\Delta f}\right]_+ & f_i \le f_j \\ \left[1 - \frac{f_i - f_j}{\Delta f}\right]_+ & f_i > f_j \end{cases}$$

avec $\Delta f = 600$ Hz.

**Apparition de signal bruité** La proportion de signal bruité $Q(n)$ est liée à la puissance redistribuée sur l'ensemble des modes par l'expression suivante (voir Eq.(3.63)) :

$$Q(n) = \Gamma(n)\beta_b \left(\sum_{i=1}^{N} [P_i(n) - p_i]_+\right)^{\gamma_b} \qquad (4.12)$$

L'exposant $\gamma_b$ permet de contrôler la dynamique de l'évolution de la quantité de bruit au cours du temps et est fixé à $\gamma_b = 0.5$.

Pour fixer la valeur du paramètre $\beta_b$, nous posons la proportion de signal bruité à 1 pour une quantité de puissance redistribuée correspondant à la puissance pour une amplitude d'excitation $A_e^* = 2$ au premier pas de temps. Le coefficient $\beta_b$ devient :

$$\beta_b \left( \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{(2\tilde{A}_{0(i)})^2}{2} - \frac{\tilde{A}_{0(i)}^2}{2} - \frac{1}{2000} \right] \right)^{\frac{1}{2}} = 1 \qquad (4.13a)$$

$$\iff \beta_b = \frac{1}{\left(\sum_{i=1}^{N} \left[\frac{3\tilde{A}_{0(i)}^2}{2} - \frac{1}{2000}\right]\right)^{\frac{1}{2}}} \qquad (4.13b)$$

D'autre part, nous choisissons de préserver l'attaque en limitant la quantité de bruit au tout début du signal en raison de l'importance du *clic* pour la perception de l'intensité de l'impact. Ainsi, $Q(n)$ est proportionnel à un paramètre $\Gamma(n)$ défini de la manière suivante :

$$\Gamma(n) = 1 - 10^{-10n/f_s} \qquad (4.14)$$
**Variation fréquentielle des modes** On définit la pulsation variable de chaque composante tonale comme suit :

$$ \omega_i(n) = 2\pi (f_i + \beta_f [P_i(n) - p_i]^{\gamma_f}) \quad (4.15) $$

La variation de la fréquence du mode *i* est indexée à la quantité de puissance excédant le seuil. L'exposant $\gamma_f$ contrôle la dynamique de l'évolution de la fréquence des modes en fonction de leur puissance et est fixé à 0.5. On pose une variation fréquentielle maximale de 40Hz pour $A_e^* = 2$. Le coefficient $\beta_f$ devient :

$$ \beta_f \left[ \frac{2^2}{2} - \left(1 + \frac{1}{2000}\right) \right]^{\frac{1}{2}} = 40 \Leftrightarrow \beta_f = \frac{40}{\sqrt{0.9995}} \quad (4.16) $$

Les paramètres de synthèse et leurs valeurs sont regroupés dans les Tables 4.7&4.8.

<table><caption>TABLE 4.7 – Paramètres pour le contrôle des morphologies sonores liées aux non-linéarités géométriques dans le modèle de signal.</caption><thead><tr><th>Paramètre</th><th>Description</th><th>Valeur</th></tr></thead><tbody><tr><td>A<sub>e</sub><sup>*</sup></td><td>Amplitude d'excitation</td><td>variable</td></tr><tr><td>Δf</td><td>différence maximale de fréquence pour le calcul de a<sub>ij</sub></td><td>600Hz</td></tr><tr><td>β<sub>f</sub></td><td>coefficient pour le calcul des variations fréquentielles</td><td>40.01</td></tr><tr><td>γ<sub>f</sub></td><td>exposant pour le calcul des variations fréquentielles</td><td>1/2</td></tr><tr><td>β<sub>b</sub></td><td>coefficient pour le calcul de la proportion de bruit</td><td>0.5020</td></tr><tr><td>γ<sub>b</sub></td><td>exposant pour le calcul de la proportion de bruit</td><td>1/2</td></tr><tr><td>α<sub>b</sub></td><td>amortissement pour la synthèse du bruit filtré (3.61)</td><td>15</td></tr><tr><td>λ</td><td>proportion de puissance redistribuée</td><td>0.001</td></tr><tr><td>η</td><td>« rendement » de la redistribution</td><td>0.92</td></tr></tbody></table>

### 4.2.2.3 Plan d'expérience

Le plan d'expérience mis en place est un plan factoriel complet. On étudie l'influence de trois facteurs sur la force d'impact perçue. On note $\zeta_j$ le *j*ième niveau du facteur $\zeta$. Les trois facteurs ($N, F, A$) sont décrits ci-dessous :

* $N$ (2 niveaux) correspond à l'apparition de bruit filtré dans le signal.

* $F$ (2 niveaux) correspond à la variation fréquentielle des modes.

* $A$ (10 niveaux) définit la valeur du paramètre d'excitation $A_e^*$. Ce paramètre contrôle la quantité de puissance transférée entre les modes. Les valeurs pour les niveaux ont été choisies pour approcher un continuum perceptivement linéaire entre le cas sans redistribution ($A_e^* = 1$) et le niveau d'excitation maximum
<caption>TABLE 4.8 – Valeurs des paramètres modaux pour la synthèse de stimuli correspondant à des plaques pour des grandes amplitudes de vibration avec le modèle de signal.</caption>

### Paramètres modaux

<table><thead><tr><th>i</th><th>f<sub>i</sub> (Hz)</th><th>α<sub>i</sub> (s<sup>-1</sup>)</th><th>Â<sub>0(i)</sub></th><th>i</th><th>f<sub>i</sub> (Hz)</th><th>α<sub>i</sub> (s<sup>-1</sup>)</th><th>Â<sub>0(i)</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>43.69</td><td>0.311</td><td>0.9108</td><td>31</td><td>857.4</td><td>1.663</td><td>0.0010</td></tr><tr><td>2</td><td>91.25</td><td>0.311</td><td>1</td><td>32</td><td>864.7</td><td>1.677</td><td>0.0010</td></tr><tr><td>3</td><td>132.8</td><td>0.313</td><td>0.7355</td><td>33</td><td>878.1</td><td>1.697</td><td>0.0008</td></tr><tr><td>4</td><td>173.1</td><td>0.380</td><td>0.1772</td><td>34</td><td>899.2</td><td>1.730</td><td>0.0042</td></tr><tr><td>5</td><td>200.2</td><td>0.450</td><td>0</td><td>35</td><td>925.1</td><td>1.820</td><td>0.0010</td></tr><tr><td>6</td><td>244.6</td><td>0.564</td><td>0.3096</td><td>36</td><td>982.6</td><td>1.893</td><td>0.0010</td></tr><tr><td>7</td><td>262.2</td><td>0.544</td><td>0.1954</td><td>37</td><td>1012</td><td>1.986</td><td>0.0009</td></tr><tr><td>8</td><td>292.9</td><td>0.613</td><td>0.2761</td><td>38</td><td>1050</td><td>2.015</td><td>0.0006</td></tr><tr><td>9</td><td>319.6</td><td>0.655</td><td>0.0032</td><td>39</td><td>1078</td><td>2.089</td><td>0.0006</td></tr><tr><td>10</td><td>367.0</td><td>0.731</td><td>0.0021</td><td>40</td><td>1102</td><td>2.153</td><td>0.0006</td></tr><tr><td>11</td><td>404.1</td><td>0.815</td><td>0.1115</td><td>41</td><td>1111</td><td>2.175</td><td>0.0006</td></tr><tr><td>12</td><td>431.6</td><td>0.850</td><td>0.0793</td><td>42</td><td>1137</td><td>2.239</td><td>0.0009</td></tr><tr><td>13</td><td>453.1</td><td>0.913</td><td>0.0012</td><td>43</td><td>1185</td><td>2.390</td><td>0.0009</td></tr><tr><td>14</td><td>478.0</td><td>0.990</td><td>0.0336</td><td>44</td><td>1206</td><td>2.312</td><td>0.0013</td></tr><tr><td>15</td><td>491.6</td><td>0.976</td><td>0.1674</td><td>45</td><td>1244</td><td>1.856</td><td>0.0008</td></tr><tr><td>16</td><td>520.4</td><td>1.060</td><td>0.0326</td><td>46</td><td>1266</td><td>2.019</td><td>0.0005</td></tr><tr><td>17</td><td>533.9</td><td>1.041</td><td>0.0104</td><td>47</td><td>1275</td><td>2.085</td><td>0.0005</td></tr><tr><td>18</td><td>556.4</td><td>1.098</td><td>0.0019</td><td>48</td><td>1340</td><td>2.581</td><td>0</td></tr><tr><td>19</td><td>586.3</td><td>0.868</td><td>0.0010</td><td>49</td><td>1400</td><td>2.712</td><td>0</td></tr><tr><td>20</td><td>603.8</td><td>0.990</td><td>0.0010</td><td>50</td><td>1541</td><td>2.926</td><td>0</td></tr><tr><td>21</td><td>611.9</td><td>1.051</td><td>0.0010</td><td>51</td><td>1580</td><td>3.031</td><td>0</td></tr><tr><td>22</td><td>640.8</td><td>1.265</td><td>0.0006</td><td>52</td><td>1600</td><td>3.124</td><td>0</td></tr><tr><td>23</td><td>659.6</td><td>1.254</td><td>0.0612</td><td>53</td><td>1710</td><td>3.399</td><td>0</td></tr><tr><td>24</td><td>694.2</td><td>1.354</td><td>0.0010</td><td>54</td><td>1749</td><td>3.170</td><td>0</td></tr><tr><td>25</td><td>702.3</td><td>1.379</td><td>0.0011</td><td>55</td><td>1879</td><td>3.642</td><td>0</td></tr><tr><td>26</td><td>728.3</td><td>1.454</td><td>0.0142</td><td>56</td><td>1900</td><td>3.673</td><td>0</td></tr><tr><td>27</td><td>775.7</td><td>1.558</td><td>0.0059</td><td>57</td><td>2001</td><td>3.066</td><td>0</td></tr><tr><td>28</td><td>805.1</td><td>1.603</td><td>0.0038</td><td>58</td><td>2250</td><td>4.147</td><td>0</td></tr><tr><td>29</td><td>818.6</td><td>1.603</td><td>0.0154</td><td>59</td><td>2330</td><td>3.443</td><td>0</td></tr><tr><td>30</td><td>843.4</td><td>1.643</td><td>0.0008</td><td>60</td><td>2419</td><td>4.807</td><td>0</td></tr></tbody></table>
$(A_e^* = 2).$

Les niveaux des facteurs sont détaillés dans la Table 4.9.

<table><caption>TABLE 4.9 – Description des facteurs N, F et A.</caption><thead><tr><th colspan="2">Facteur N</th></tr><tr><th>Niveau</th><th>Description</th></tr></thead><tbody><tr><td>N<sub>1</sub></td><td>Pas de signal bruité : Q(n) = 0</td></tr><tr><td>N<sub>2</sub></td><td>Apparition de signal bruité Eq.(4.12)</td></tr></tbody><thead><tr><th colspan="2">Facteur F</th></tr><tr><th>Niveau</th><th>Description</th></tr></thead><tbody><tr><td>F<sub>1</sub></td><td>Pas de variations fréquentielles des modes ω<sub>i</sub>(n) = 2πf<sub>i</sub></td></tr><tr><td>F<sub>2</sub></td><td>Variations fréquentielles des modes Eq.(4.15)</td></tr></tbody><thead><tr><th colspan="2">Facteur A</th></tr><tr><th>Niveau</th><th>Valeur de A<sub>e</sub><sup>*</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>A<sub>1</sub></td><td>1 + 1.6<sup>-9</sup></td></tr><tr><td>A<sub>2</sub></td><td>1 + 1.6<sup>-8</sup></td></tr><tr><td>A<sub>3</sub></td><td>1 + 1.6<sup>-7</sup></td></tr><tr><td>A<sub>4</sub></td><td>1 + 1.6<sup>-6</sup></td></tr><tr><td>A<sub>5</sub></td><td>1 + 1.6<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>A<sub>6</sub></td><td>1 + 1.6<sup>-4</sup></td></tr><tr><td>A<sub>7</sub></td><td>1 + 1.6<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>A<sub>8</sub></td><td>1 + 1.6<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>A<sub>9</sub></td><td>1 + 1.6<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>A<sub>10</sub></td><td>1 + 1.6<sup>0</sup> = 2</td></tr></tbody></table>

10 sons de référence extraits du corpus sont ajoutés aux stimuli du test ($e = 2mm, A_e = \{100, 200, ..., 1000\}N$). Un total de 50 stimuli ($2 \times 2 \times 10 + 10$) ont été générés pour ce test d'écoute.

### 4.2.2.4 Participants

21 participants (quatre femmes) ont pris part à l'expérience. 10 d'entre eux étaient musiciens ou travaillaient dans un domaine lié à l'audio (comme chercheur ou technicien). Leur âge était compris entre 19 et 68 ans pour une moyenne de 33 ans.

### 4.2.2.5 Procédure

Après une courte phase d'entraînement dans laquelle les participants écoutaient deux stimuli de référence (pour $A_e = 100N$ et $A_e = 1000N$), les participants devaient évaluer la force de l'impact ($R$) en déplaçant un curseur allant de « faible » à « fort »
pour les 50 stimuli présentés dans un ordre aléatoire. Les données recueillies pour les réponses sont des entiers naturels allant de 0 pour « faible » à 100 pour « fort ».

Le test a duré entre 8 et 49 minutes par participant (15 minutes en moyenne).

### 4.2.2.6 Résultats

On note :

- $R_{ijl}$ le résultat de l'évaluation moyenné sur tous les participants pour $N_i, F_j$ et $A_l$,

- $R_{Rl}$ le résultat de l'évaluation moyenné sur tous les participants pour les stimuli de référence ($A_e = l * 100N$).

En première analyse, nous avons étudié la corrélation entre les niveaux du facteur A et les réponses pour chacune des 5 séries de 10 stimuli incluant les stimuli de référence ($R_{11l}, R_{12l}, R_{21l}, R_{22l}, R_{Rl}$, pour $l = 1, \dots, 10$). Nous avons calculé le coefficient de corrélation de Pearson (PCC) entre l'évaluation de la force d'impact et le niveau de l'amplitude d'excitation pour chaque série (voir Table 4.10). Nous observons une corrélation linéaire importante pour toutes les séries. En particulier, la série correspondant au modèle complet (avec variation fréquentielle et apparition du signal bruité) présente la meilleure corrélation linéaire. À l'inverse, le PCC est le plus faible dans le cas des stimuli de référence (synthèse par modèle physique). Ces résultats confirment que l'évolution de l'amplitude d'excitation pour les niveaux du facteur A génère une évolution linéaire de la force d'impact perçue. De plus, comme nous pouvons le voir sur la Fig.4.5, les réponses correspondant aux stimuli générés par le modèle de signal sont cohérentes et couvrent un intervalle de force perçue plus important que pour les stimuli de référence.

Ces résultats nous permettent de conclure que le modèle de signal retranscrit correctement le phénomène (avec ou sans le bruit et les variations fréquentielles) sur des plages de variation plus importantes que celles atteintes par le modèle physique.

<table><caption>TABLE 4.10 – Coefficient de corrélation linéaire de Pearson (PCC) entre l'évaluation de la force d'impact moyennée $R_{ijl}$ et le niveau $l$ du facteur $A_l$ pour les différentes séries de données.</caption><thead><tr><td>Série de données</td><td>PCC</td><td>p-value</td></tr></thead><tbody><tr><td>R<sub>22l</sub> || A<sub>l</sub></td><td>0.9939</td><td>6.1 &middot; 10<sup>-9</sup></td></tr><tr><td>R<sub>21l</sub> || A<sub>l</sub></td><td>0.9820</td><td>4.5 &middot; 10<sup>-7</sup></td></tr><tr><td>R<sub>12l</sub> || A<sub>l</sub></td><td>0.9817</td><td>4.7 &middot; 10<sup>-7</sup></td></tr><tr><td>R<sub>11l</sub> || A<sub>l</sub></td><td>0.9483</td><td>2.9 &middot; 10<sup>-5</sup></td></tr><tr><td>R<sub>Rl</sub> || A<sub>e</sub></td><td>0.8497</td><td>0.0019</td></tr></tbody></table>

Nous cherchons ensuite à déterminer l'influence des facteurs correspondant à l'apparition de signal bruité et à la variation fréquentielle des modes sur les réponses. Nous avons effectué une ANOVA à mesures répétées sur les réponses en fonction
<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>FIGURE 4.5 – Représentation graphique des séries de données $R_{22l}$, $R_{21l}$, $R_{12l}$, $R_{11l}$, $R_{Rl}$ en fonction du niveau $l$ du facteur $A_l$.</figcaption></figure>

des facteurs N, F et A. Nous gardons A en facteur pour l'analyse car nous voulons être capables d'observer si les facteurs N et F interagissent avec A, ce qui devrait être le cas car l'apparition de signal bruité et la variation fréquentielle des modes est proportionnelle à la puissance redistribuée qui est fortement liée à l'amplitude d'excitation.

Une vue d'ensemble des effets des facteurs est proposée Table 4.11.

<table><caption>TABLE 4.11 – Effets des facteurs N, F et A.</caption><thead><tr><th>Facteur</th><th>SS</th><th>DDL</th><th>MS</th><th>F</th><th>p-value</th></tr></thead><tbody><tr><td>N</td><td>1619</td><td>1</td><td>1619</td><td>5.72</td><td><strong>0.027</strong></td></tr><tr><td>F</td><td>446</td><td>1</td><td>446</td><td>2.21</td><td>0.152</td></tr><tr><td>A</td><td>254000</td><td>9</td><td>28300</td><td>77.05</td><td><strong>&lt; 0.001</strong></td></tr><tr><td>N × F</td><td>153</td><td>1</td><td>153</td><td>0.87</td><td>0.361</td></tr><tr><td>N × A</td><td>6360</td><td>9</td><td>707</td><td>3.08</td><td><strong>0.002</strong></td></tr><tr><td>F × A</td><td>3002</td><td>9</td><td>334</td><td>1.94</td><td><strong>0.049</strong></td></tr><tr><td>N × F × A</td><td>1453</td><td>9</td><td>161</td><td>0.98</td><td>0.455</td></tr></tbody></table>

Nous observons que la variation fréquentielle des modes (facteur F) n'a pas d'effet significatif sur les réponses. La richesse spectrale des stimuli et le fait que toutes les composantes spectrales ont une amplitude similaire rendent difficile de
discerner les variations fréquentielles des modes. Nous observons un effet significatif de l'interaction $F \times A$ mais cet effet est difficile à comprendre car les différences significatives se situent sur les niveaux correspondant à de faibles amplitudes d'excitation où les variations fréquentielles des modes sont inaudibles.

À l'inverse, l'apparition de signal bruité a un effet significatif sur la force d'impact perçue (voir Fig.4.6). Cet effet n'est audible que pour les fortes amplitudes d'excitation, ce qui rend l'effet de l'interaction $N \times A$ plus significative que l'effet du facteur $N$. Nous observons que la différence n'est significative que pour le niveau d'amplitude maximum $A_{10}$ (voir Fig.4.7).

<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>FIGURE 4.6 – Effet du facteur $N$ sur la réponse $R(F(1, 20) = .7237, p = 0.02667)$. Les barres verticales représentent l'erreur standard. \* = $p < 0.05$.</figcaption></figure>

### 4.2.2.7 Discussion

Le contrôle de l'apparition du déferlement par l'amplitude d'excitation dans le cadre de l'expérience est concluant : l'évocation du phénomène est cohérente et la force perçue évolue linéairement avec le niveau du facteur d'amplitude. Nous rappelons ici que la valeur de l'amplitude d'excitation évolue avec la loi de puissance suivante $A_e^* = 1 + 1.6^{10-l}$ (avec $l$ le niveau du facteur $A$) et que les stimuli sont normalisés (la valeur maximum de chaque son est fixée à 0.99).

Dans le cadre du contrôle du modèle de signal, nous souhaitons que l'intensité sonore évolue également avec l'amplitude d'excitation et nous souhaitons un mapping linéaire entre la vitesse du geste de l'utilisateur et l'amplitude d'excitation $A_e$.
<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>FIGURE 4.7 – Effets combinés des facteurs *N* et *A* sur la réponse *R* (*F*(9, 180) = 3.0782, *p* = 0.00185). Les barres verticales représentent l’erreur standard. Test Post Hoc DSH de Tukey : ** = *p* < 0.01.</figcaption></figure>

(qui détermine l'amplitude initiale des modes). Nous avons donc des besoins dif-
férents lors du contrôle de l'amplitude d'excitation pour la variation de l'intensité
sonore et pour les transferts d'énergie entre les modes.

Nous proposons deux solutions pour que le contrôle soit cohérent pour l'intensité
sonore du signal et les transferts d'énergie :

* La première solution consiste à utiliser deux variables différentes pour l'amplitude d'excitation. Le paramètre $A_e$ est proportionnel à la vitesse du geste de l'utilisateur et est compris entre 0 et 1. C'est ce paramètre qui est utilisé pour calculer la durée de l'impact (voir Sec.4.1.1) et qui multiplie l'ensemble du signal pour contrôler l'intensité sonore résultante. Le paramètre $A_e^*$ est utilisé pour le calcul des puissances et est lié au paramètre $A_e$ de la manière suivante :

$$
\begin{equation}
\begin{cases}
A_e^* = 1 & \text{si } A_e \le q \\
A_e^* = 1 + 1.6^{10(A_e-1)/q} & \text{sinon}
\end{cases}
\tag{4.17}
\end{equation}
$$

avec $0 \le q \le 1$ la valeur minimale de $A_e$ pour laquelle les transferts d'énergie
apparaissent.

Il est également nécessaire de compenser l'augmentation d'intensité sonore
induite par l'augmentation de $A_e^*$ dans le modèle de signal en divisant le
signal résultant par $A_e^*$.

Cette solution fonctionne, mais elle demande d'introduire de nouveaux para-
mètres aux fonctions redondantes ($A_e, A_e^*$; $q, p_i$) agissant sur différents niveaux du contrôle du modèle de signal, ce qui peut être source de confusion. Nous perdons ici l'intérêt d'avoir conçu un modèle de synthèse s'adaptant à la puissance des modes en agissant sur le gain du signal de façon non cohérente avec le cadre conceptuel.

* la deuxième solution consiste à modifier le modèle de redistribution pour qu'il prenne en compte cette évolution non-linéaire de la perception de la force d'impact en fonction de la puissance à redistribuer :

$$ \underline{T}(n) = \underline{M} [\underline{P}(n) - \underline{p}]_+^{\gamma_A} \quad (4.18) $$

avec $\gamma_A > 1$ contrôlant la dynamique de l'évolution des phénomènes non-linéaires.

Cette solution est plus satisfaisante d'un point de vue conceptuel. En revanche, elle est susceptible d'augmenter le temps de calcul et nécessite une calibration de la valeur de $\gamma_A$.

D'autre part, nous avons pu observer que l'apparition de signal bruité et les variations fréquentielles des modes n'avaient que peu d'influence sur la perception du phénomène. Leur contrôle est principalement esthétique et contribue tout de même à améliorer le réalisme des sons générés pour des évolutions cohérentes avec la réalité. L'apparition de signal bruité à son niveau maximum renforce tout de même l'effet d'augmentation de la force perçue et le contrôle de cette modalité peut également avoir cette fonction.

Si les variations fréquentielles n'ont pas d'effet significatif sur la perception de la force d'impact dans le cas d'une grande plaque mince, nous pouvons supposer que ce pourrait être le cas pour les cordes, membranes et certaines coques car les variations de tension dans les cordes et membranes entraînent un glissendo et certaines coques présentent des variations fréquentielles spectaculaires (e.g. gong xiaoluo). De manière générale, les morphologies sonores liées aux grandes amplitudes de vibration sont très variables selon les caractéristiques structurelles de l'objet résonant. Nous explorons l'influence de l'interaction entre la forme de l'objet et ces morphologies sonores sur la perception des sons dans la prochaine section.

### 4.2.3 Non-linéarités géométriques et forme de l'objet

Le comportement d'un objet pour de grandes amplitudes de vibrations élastiques dépend fortement de sa forme. Les morphologies sonores en sont largement affectées :

* les modifications de tension induite par les déplacements transversaux de grandes amplitudes dans les cordes et membranes provoquent la variation fréquentielle des modes,
* le cas des plaques minces, traité dans les sections précédentes, présente un déferlement caractéristique dont l'intensité varie fortement avec l'épaisseur,

* les objets très souples non tendus (e.g. une feuille d'aluminium) présentent des comportements sonores complexes et peu résonants.

Notre objectif est de contrôler l'apparition des morphologies sonores liées aux grandes déformations pour que l'évocation de la forme de l'objet et de la force de l'impact restent cohérentes. Pour répondre à cet objectif, nous avons conçu une expérience pour étudier comment l'interaction entre les morphologies sonores relatives aux non-linéarités géométriques et les fréquences modales influence notre perception de la force d'impact. Dans cette expérience, nous cherchons également à évaluer l'effet de ces morphologies sonores sur notre perception de la forme d'un objet.

Nous concentrons notre étude sur quatre familles d'objets pour lesquelles nous avons des solutions analytiques pour déterminer les fréquences modales : les cordes, les barres, les membranes et les plaques.

### 4.2.3.1 Hypothèses

Nous avons pu voir dans les tests précédents que les morphologies sonores relatives aux non-linéarités géométriques dans les structures minces, en particulier le déferlement vers les hautes fréquences, avaient une influence significative sur la perception de la force d'impact. Nous faisons ici l'hypothèse que cette influence varie en fonction de la distribution fréquentielle des modes de l'objet résonant. En particulier, nous pensons que si la morphologie sonore n'est pas cohérente avec le comportement physique de la forme évoquée par les fréquences modales, son influence pourrait être réduite. Nous nous interrogeons ici sur l'effet du déferlement dans le cas d'une corde ou d'une membrane, sur l'effet du bruit avec ou sans déferlement pour les différentes formes, et sur l'effet de variations fréquentielles incohérente (création d'inharmonicité dans la corde par exemple). À l'inverse, nous pensons que l'effet est renforcé si la morphologie est cohérente avec le système physique correspondant.

D'autre part, les indices acoustiques principaux nous informant sur la forme de l'objet résident dans la distribution des fréquences modales (en tout cas pour un comportement linéaire du résonateur). C'est en se basant sur ce principe que Kac propose une étude intitulée « can one hear the shape of a drum » dès les années 60 dans laquelle il cherche à calculer les fréquences des modes propres de membranes de différentes formes [Kac, 1966]. Nous faisons l'hypothèse que les morphologies sonores précédemment décrites ont également un effet sur la perception de la forme de l'objet résonant car l'évolution du son pour de grandes amplitudes de vibrations informe sur les caractéristiques structurelles de l'objet résonant.
### 4.2.3.2 Stimuli

L'ensemble des stimuli sont générés par le modèle de signal en utilisant la même configuration que pour le test présenté en section précédente : transferts proportionnels avec seuils et coefficients de redistribution entre deux modes proportionnels à leur différence fréquentielle.

**Fréquences modales.** Pour le calcul des fréquences modales, nous nous ap-
puyons sur des modèles physiques utilisés, entre autres, pour la synthèse sonore. Ces
modèles sont détaillés et étudiés dans de nombreux ouvrages, articles et cours de
vibrations [Bilbao, 2009] [Fletcher et Rossing, 2012]. Nous utilisons les expressions
analytiques des fréquences modales et nous les exprimons en fonction du premier
partiel que nous notons $f_0$.

* Les vibrations transversales dans une corde peuvent être modélisées par l'équation d'onde unidimensionnelle suivante :

$$u_{tt} = c^2 u_{xx} \qquad (4.19)$$

avec $u(x,t)$ le déplacement transversal de la corde et $c$ la célérité de l'onde dans la corde dépendant de la tension de la densité et de la section de la corde.

Les fréquences modales pour des conditions aux limites simplement appuyée sur ses extrémités sont harmoniques :

$$f_i = \frac{c}{2L} \times i \quad \text{soit} \quad f_i = f_0 \times i \qquad (4.20)$$

* Les vibrations de flexion dans les poutres (ou barres) sont solutions de l'équation aux dérivées partielles suivante :

$$u_{tt} = -\kappa^2 u_{xxxx} \qquad (4.21)$$

avec $u(x,t)$ le déplacement transversal de la poutre et $\kappa$ le paramètre de raideur dépendant du module d'Young, de l'inertie de section, de la densité et de la section de la poutre.

Les fréquences modales pour des conditions aux limites simplement appuyée sur ses extrémités sont les suivantes :

$$f_i = \frac{\kappa\pi}{2L^2} \times i^2 \quad \text{soit} \quad f_i = f_0 \times i^2 \qquad (4.22)$$

* Le modèle pour les vibrations transversales dans les membranes est le suivant :

$$u_{tt} = c'^2 \Delta u \qquad (4.23)$$

avec $u(x, y, t)$ le déplacement transversal de la membrane et $c'$ le paramètre de célérité des ondes dépendant de la tension et de la masse surfacique de la membrane.
Soit les fréquences modales suivantes pour des conditions aux limites simplement appuyée sur tous ses côtés :

$$f_{lm} = c'\pi\sqrt{\frac{l^2}{L_x^2} + \frac{m^2}{L_y^2}} \quad \text{soit} \quad f_{lm} = f_0\sqrt{k^2 + \nu'l^2} \quad (4.24)$$

avec $\nu' = L_x^2/L_y^2$ fixé à 1.32 pour l'ensemble des stimuli (on évite les nombres entiers $\nu'$ car cela induit des fréquences modales identiques et on pose une valeur supérieure à 1 pour que $f_0$ soit bien la fréquence la plus basse).

* Le modèle pour les vibrations de flexion dans les plaques (Kirchoff-Love) est le suivant :

$$u_{tt} = \kappa'^2 \Delta^2 u \quad (4.25)$$

avec $u(x, y, t)$ le déplacement transversal de la plaque et $\kappa'$ le paramètre de raideur dépendant du module d'Young, de l'épaisseur, de la densité et du coefficient de poisson.

Soit les fréquences modales suivantes pour des conditions aux limites simplement appuyée sur tous ses côtés :

$$f_{lm} = \frac{\kappa'\pi}{2} \left( \frac{l^2}{L_x^2} + \frac{m^2}{L_y^2} \right) \quad \text{soit} \quad f_{lm} = f_0 \left( l^2 + \nu' m^2 \right) \quad (4.26)$$

Pour les objets en 2D, les fréquences sont calculées en fonction des deux variables d'itération puis rangées en ordre croissant. Ainsi, on associe un indice *i* pour chaque couple (*l*, *m*).

**Amortissements modaux.** Pour calculer les amortissements modaux, nous utilisons le modèle développé par Aramaki pour un contrôle perceptif du matériau [Aramaki et al., 2011] (voir Sec.1.3.2.1) :

$$\alpha_i = e^{\alpha_G + 2\pi f_i \alpha_R} \quad (4.27)$$

Nous utilisons les valeurs correspondant au métal :

$$\alpha_G = 0.33220 \quad \text{et} \quad \alpha_R = 0.00004 \quad (4.28)$$

**Amplitudes et puissances initiales.** Les amplitudes initiales normalisées des différents modes sont déterminées par le modèle d'impact en cosinus surélevé (voir Sec.3.2.1) normalisé pour une durée $\tau_e = 2ms$ :

$$\tilde{A}_{0(i)} = \zeta_i \left( \text{sinc}(f_i \tau_e) + \frac{1}{2} [\text{sinc}(f_i \tau_e - 1) + \text{sinc}(f_i \tau_e + 1)] \right) \quad (4.29)$$

Les coefficients $\zeta_i$ sont calculés avec les expressions suivantes :

* pour la corde et la barre ($x_e = 0.41 \times L$) :

$$\zeta_i = \left| \sin\left(\frac{i\pi}{L}x_e\right) \right| = \left| \sin(0.41 \times i\pi) \right| \quad (4.30)$$
* pour la membrane et la plaque ($x_e = 0.41 \times L_x$ et $y_e = 0.41 \times L_y$) :

$$ \zeta_i = \left| \sin\left(\frac{l\pi}{L_x}x_e\right) \sin\left(\frac{m\pi}{L_y}y_e\right) \right| = \left| \sin(0.41 \times l\pi) \sin(0.41 \times m\pi) \right| \quad (4.31) $$

avec le couple $(l,m)$ correspondant à l'indice $i$ après avoir trié les modes par ordre croissant de leur fréquence.

La position est choisie pour qu'un maximum de modes soient excités. On évite de se placer sur les noeuds de vibration.

Les seuils pour le modèle de redistribution sont calculés à partir des valeurs d'amplitude correspondant à l'impact normalisé de manière identique aux stimuli du test précédent :

$$ p_i = \frac{\tilde{A}_{0(i)}^2}{2} + \frac{1}{2000} \quad (4.32) $$

Ces valeurs sont multipliées par une constante égale à 2 correspondant à l'amplitude d'excitation maximale dans le plan d'expérience précédent pour le calcul de la puissance initiale des modes :

$$ P_i(0) = \frac{(2\tilde{A}_{0(i)})^2}{2} \quad (4.33) $$

**Apparition de signal bruité.** La proportion de signal bruité $Q(n)$ est calculée de façon similaire au cas précédent. Elle prend des expressions différentes en fonction du niveau du facteur correspondant (voir le plan d'expérience dans la sous-section suivante) :

$$ Q_1(n) = 0 \quad (4.34a) $$

$$ Q_2(n) = \Gamma(n)\beta_b \left( \sum_{i=1}^{N} [P_i(n) - p_i]_+ \right)^{\gamma_b} \quad (4.34b) $$

$$ Q_3(n) = \beta_b \left( \sum_{i=1}^{N} [P_i(n) - p_i]_+ \right)^{\gamma_b} \quad (4.34c) $$

La valeur de $\beta_b$, calculée avec l'expression Eq.(4.13b), est différente pour chaque distribution fréquentielle car elle dépend des amplitudes initiales normalisées $\tilde{A}_{0(i)}$.

**Variation fréquentielle des modes.** La variation fréquentielle est calculée de façon identique au cas précédent quelque soit la distribution de fréquences modales. Chaque fréquence modale varie indépendamment des autres en fonction de sa puissance modale associée :

$$ \omega_i(n) = 2\pi (f_i + \beta_f [P_i(n) - p_i]^{\gamma_f}) \quad (4.35) $$

Les valeurs des paramètres de synthèse sont présentées dans la Table 4.12.
<table><caption>TABLE 4.12 – Valeurs des paramètres de contrôle du modèle de signal pour la synthèse des stimuli.</caption><thead><tr><th>Paramètre</th><th>Valeur</th></tr></thead><tbody><tr><td>f<sub>0</sub></td><td>variable</td></tr><tr><td>ν'</td><td>1.32</td></tr><tr><td>α<sub>G</sub></td><td>0.33220</td></tr><tr><td>α<sub>R</sub></td><td>0.00004</td></tr><tr><td>τ<sub>e</sub></td><td>2ms</td></tr><tr><td>A<sub>e</sub></td><td>2</td></tr><tr><td>β<sub>f</sub></td><td>variable</td></tr><tr><td>Δf</td><td>1200Hz</td></tr><tr><td>γ<sub>f</sub></td><td>1/2</td></tr><tr><td>β<sub>b</sub></td><td>1/(∑<sup>N</sup><sub>i=1</sub> [3Ã<sup>2</sup><sub>0(i)</sub>/2 - 1/2000])<sup>γb</sup></td></tr><tr><td>γ<sub>b</sub></td><td>1/2</td></tr><tr><td>α<sub>b</sub></td><td>15</td></tr><tr><td>λ</td><td>variable</td></tr><tr><td>η</td><td>1</td></tr></tbody></table>

### 4.2.3.3 Plan d'expérience

Le plan d'expérience est un plan factoriel complet. Nous étudions l'influence de cinq facteurs sur l'évaluation perceptive de la force d'impact et de la forme de l'objet résonant. Les cinq facteurs (N, D, F, S, L) sont décrits ci-dessous (voir Table 4.13) :

* N (3 niveaux) correspond au paramétrage de l'apparition du signal bruité. Nous proposons un niveau sans signal bruité ($Q(n) = Q_1(n)$), un niveau où le signal bruité apparaît de façon retardée pour préserver l'impact (comme pour le test précédent, $Q(n) = Q_2(n)$), et un niveau où le signal bruité apparaît dès le début du signal ($Q(n) = Q_3(n)$).

* D (2 niveaux) correspond à la redistribution entre les modes (avec/sans).

* F (2 niveaux) correspond à la variation fréquentielle des modes (avec/sans).

* S (4 niveaux) correspond au modèle utilisé pour le calcul des fréquences modales.

* L (2 niveaux) correspond au premier partiel du signal $f_0$.

### 4.2.3.4 Participants

14 participants (cinq femmes) ont pris part à l'expérience. Treize d'entre eux sont musiciens ou travaillent dans un domaine lié à l'audio (comme chercheur ou technicien). Leur âge est compris entre 21 et 53 ans pour une moyenne de 29 ans.
<table><caption>TABLE 4.13 – Niveaux des facteurs N, D, F, S, et L.</caption><thead><tr><th>Niveau</th><th>Description</th></tr></thead><tbody><tr><td>N<sub>1</sub></td><td>Q(n) = Q<sub>1</sub>(n) Eq.(4.34a)</td></tr><tr><td>N<sub>2</sub></td><td>Q(n) = Q<sub>2</sub>(n) Eq.(4.34b)</td></tr><tr><td>N<sub>3</sub></td><td>Q(n) = Q<sub>3</sub>(n) Eq.(4.34c)</td></tr></tbody></table><table><thead><tr><th colspan="2">Facteur D</th></tr><tr><th>Niveau</th><th>Description</th></tr></thead><tbody><tr><td>D<sub>1</sub></td><td>pas de redistribution : λ = 0</td></tr><tr><td>D<sub>2</sub></td><td>redistribution : λ = 0.002</td></tr></tbody></table><table><thead><tr><th colspan="2">Facteur F</th></tr><tr><th>Niveau</th><th>Description</th></tr></thead><tbody><tr><td>F<sub>1</sub></td><td>pas de variation fréquentielle : β<sub>f</sub> = 0</td></tr><tr><td>F<sub>2</sub></td><td>variations fréquentielles : β<sub>f</sub> = f<sub>0</sub>/3</td></tr></tbody></table><table><thead><tr><th colspan="2">Facteur S</th></tr><tr><th>Niveau</th><th>Calcul des fréquences modales</th></tr></thead><tbody><tr><td>S<sub>1</sub></td><td>Corde : Eq.(4.20)</td></tr><tr><td>S<sub>2</sub></td><td>Membrane : Eq.(4.24)</td></tr><tr><td>S<sub>3</sub></td><td>Barre : Eq.(4.22)</td></tr><tr><td>S<sub>4</sub></td><td>Plaque : Eq.(4.26)</td></tr></tbody></table><table><thead><tr><th colspan="2">Facteur L</th></tr><tr><th>Niveau</th><th>valeur de f<sub>0</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>L<sub>1</sub></td><td>f<sub>0</sub> = 60</td></tr><tr><td>L<sub>2</sub></td><td>f<sub>0</sub> = 180</td></tr></tbody></table>
### 4.2.3.5 Procédure

Après une courte phase d'entraînement dans laquelle les participants écoutent quatre stimuli ($N_1D_1F_1S_3L_1$, $N_1D_2F_1S_2L_1$, $N_1D_2F_2S_1L_1$, $N_3D_2F_1S_2L_1$), les participants doivent répondre à deux parties présentées dans un ordre aléatoire.

Dans une des deux parties, les participants doivent évaluer la force de l'impact ($R_F$) en déplaçant un curseur allant de « faible » à « fort » pour les 96 stimuli présentés dans un ordre aléatoire. Les données recueillies pour les réponses sont des entiers naturels allant de 0 pour « faible » à 100 pour « fort ».

Dans l'autre partie, les participants doivent choisir une catégorie parmi « corde »/« barre »/« membrane »/« plaque »/« autre » pour les 96 stimuli présentés dans un ordre aléatoire.

Le test a duré entre 12 et 27 minutes par participant (19 minutes en moyenne).

### 4.2.3.6 Résultats

**Évaluation de la force d'impact.** Nous avons effectué une ANOVA à mesures répétées sur les réponses de l'évaluation de la force d'impact $R_F$ en fonction des facteurs *N*, *D*, *F*, *S* et *L*. Un résumé des effets des différents facteurs est proposé Table 4.14.

L'effet du facteur *S* est significatif : la force perçue augmente avec le nombre de fréquences modales. Seule la différence entre la barre $S_3$, qui présente la densité spectrale la plus faible, et la membrane $S_2$, qui possède la densité spectrale la plus importante, est significative (voir Fig.4.8). Pourtant, la sonie a tendance à baisser lorsque le nombre de modes augmente car le pic au moment de l'impact est plus important dans ce cas et l'ensemble du signal est atténué lors de la normalisation. Ainsi, l'augmentation de la force d'impact perçue pour la membrane $S_2$ ne peut pas être expliquée par une augmentation de sonie à priori.

D'autre part, comme observé dans le test précédent pour le cas de la plaque, la redistribution *D* a un effet significatif sur la perception de la force d'impact (*p* < 0.00001, voir Fig.4.9). Cet effet est significatif quelque soit le niveau du facteur *S*. Cependant, nous observons que l'influence de la redistribution est significativement plus importante pour les niveaux $S_2$ et $S_4$ (membrane et plaque) que pour les niveaux $S_1$ et $S_3$ (corde et barre), ce qui induit un effet significatif de l'interaction $D \times S$. En effet, seule la différence entre $S_2$ et $S_3$ est significative pour $D_1$ (*), tandis que les différences entre $S_1$ et $S_2$ (**), $S_2$ et $S_3$ (***), $S_3$ et $S_4$ (****), sont significatives pour $D_2$ (voir Fig.4.10).

Les variations fréquentielles telles qu'elles sont implémentées dans le modèle de signal (facteur *F*) n'influencent pas la force d'impact, et ce quelque soit la forme *S*. Cependant, l'interaction entre ce facteur et la redistribution est significative :
<table><caption>TABLE 4.14 – Effets des facteurs N, D, F, S et L jusqu’aux interactions d’ordre 3.</caption><thead><tr><th>Effet</th><th>SS</th><th>DDL</th><th>MS</th><th>F</th><th>p-value</th></tr></thead><tbody><tr><td>N</td><td>4548</td><td>2</td><td>2274</td><td>1</td><td>0.382</td></tr><tr><td>D</td><td>129000</td><td>1</td><td>129000</td><td>86.95</td><td>&lt; 0.001</td></tr><tr><td>F</td><td>22</td><td>1</td><td>22</td><td>0.05</td><td>0.831</td></tr><tr><td>S</td><td>30600</td><td>3</td><td>10200</td><td>4.26</td><td>0.011</td></tr><tr><td>L</td><td>2300</td><td>1</td><td>2300</td><td>0.85</td><td>0.374</td></tr><tr><td>N × D</td><td>141</td><td>2</td><td>71</td><td>0.20</td><td>0.818</td></tr><tr><td>N × F</td><td>406</td><td>2</td><td>203</td><td>0.73</td><td>0.492</td></tr><tr><td>D × F</td><td>2703</td><td>1</td><td>2703</td><td>7.45</td><td>0.017</td></tr><tr><td>N × S</td><td>19800</td><td>6</td><td>3306</td><td>12.75</td><td>&lt; 0.001</td></tr><tr><td>D × S</td><td>6079</td><td>3</td><td>2026</td><td>3.62</td><td>0.021</td></tr><tr><td>F × S</td><td>571</td><td>3</td><td>190</td><td>0.56</td><td>0.643</td></tr><tr><td>N × L</td><td>3034</td><td>2</td><td>1517</td><td>5.99</td><td>0.007</td></tr><tr><td>D × L</td><td>167</td><td>1</td><td>197</td><td>0.81</td><td>0.385</td></tr><tr><td>F × L</td><td>96</td><td>1</td><td>96</td><td>0.80</td><td>0.387</td></tr><tr><td>S × L</td><td>6639</td><td>3</td><td>2213</td><td>5.96</td><td>0.002</td></tr><tr><td>N × D × F</td><td>40</td><td>2</td><td>20</td><td>11</td><td>0.894</td></tr><tr><td>N × D × S</td><td>4400</td><td>6</td><td>733</td><td>4.46</td><td>0.001</td></tr><tr><td>N × F × S</td><td>2318</td><td>6</td><td>386</td><td>2.06</td><td>0.068</td></tr><tr><td>D × F × S</td><td>815</td><td>3</td><td>272</td><td>1.78</td><td>0.166</td></tr><tr><td>N × D × L</td><td>396</td><td>2</td><td>198</td><td>1.16</td><td>0.329</td></tr><tr><td>N × F × L</td><td>258</td><td>2</td><td>129</td><td>0.49</td><td>0.617</td></tr><tr><td>D × F × L</td><td>471</td><td>1</td><td>471</td><td>0.93</td><td>0.353</td></tr><tr><td>N × S × L</td><td>3244</td><td>6</td><td>541</td><td>2.91</td><td>0.013</td></tr><tr><td>D × S × L</td><td>3729</td><td>3</td><td>1243</td><td>5.31</td><td>0.004</td></tr><tr><td>F × S × L</td><td>4046</td><td>3</td><td>1349</td><td>8.55</td><td>&lt; 0.001</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>FIGURE 4.8 – Effet du facteur *S* sur la réponse *R*<sub>*F*</sub> (*F*(3, 39) = 4.2628, *p* = 0.01070). Les barres verticales représentent l’erreur standard. Test Post Hoc DSH de Tukey : ** = *p* < 0.01.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>FIGURE 4.9 – Effet du facteur *D* sur la réponse *R*<sub>*F*</sub> (*F*(1, 13) = 86.947, *p* < 0.0001). Les barres verticales représentent l’erreur standard. *** = *p* < 0.001.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>FIGURE 4.10 – Effets combinés des facteurs *D* et *S* sur la réponse *R*<sub>*F*</sub> (*F*(3, 39) = 3.6234, *p* < 0.02122). Les barres verticales représentent l’erreur standard. Test Post Hoc DSH de Tukey : * = *p* < 0.05, ** = *p* < 0.01, *** = *p* < 0.001.</figcaption></figure>

les variations fréquentielles atténuent légèrement l'effet de la redistribution (voir Fig.4.11). En tout cas, les variations fréquentielles n'ont pas l'effet escompté sur la perception de la force d'impact.

L'apparition de signal bruité (facteur *N*) n'influence généralement pas la force d'impact perçue, même associée à la redistribution comme nous avions pu l'observer dans le cas de la plaque (test précédent). Nous pouvons tout de même apercevoir des effets particuliers pour le cas $N_3$ (cas où le bruit est maximum dès $t = 0s$ et atténue l'attaque du son). Dans ce cas, la perception de la force d'impact est généralement réduite sauf dans le cas de la membrane ($S_2$) où elle est significativement accrue. En observant l'interaction $N \times S \times L$, on s'aperçoit que c'est pour la membrane basse fréquence ($S_2$, $L_1$) que cet effet est particulièrement significatif (voir Fig.4.12). Les sons associés à cette condition ont la particularité d'avoir une grande richesse spectrale, renforcée par le bruit et la condition $N_3$, pour laquelle l'impact est légèrement gommé. Lors de l'écoute des stimuli correspondant à la condition $N_3S_2L_1$, nous pouvons observer une augmentation de la sonie pour ce stimuli qui cause probablement l'augmentation de la force perçue. Cette augmentation de la sonie est induite par le fait que la condition $N_3$ réduit le pic de l'impact et la normalisation réduit ainsi moins le signal. Cependant, il est étonnant de ne pas observer ce phénomène pour les autres niveaux de *S*.
<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>FIGURE 4.11 – Effets combinés des facteurs *D* et *F* sur la réponse *R*<sub>*F*</sub> (*F*(1, 13) = 7.4550, *p* = 0.01717). Les barres verticales représentent l'erreur standard.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>FIGURE 4.12 – Effets combinés des facteurs *N*, *S* et *L* sur la réponse *R*<sub>*F*</sub> (*F*(6, 78) = 2.9056, *p* = 0.01309). Les barres verticales représentent l'erreur standard.</figcaption></figure>
**Catégorisation de la forme de l'objet résonant.** Pour l'exploitation des résultats de l'expérience de catégorisation, nous calculons les scores pour les 5 catégories (« corde »/« barre »/« membrane »/« plaque »/« autre ») en comptant le nombre de fois où la catégorie est choisie pour chaque condition.

Nous effectuons ensuite un test binomial pour chaque condition pour vérifier si les choix des participants s'écartent significativement du hasard. La probabilité de choisir une catégorie au hasard est de $p = 1/5$ et le nombre de tirage pour une condition donnée où les niveaux de tous les facteurs sont fixés correspond au nombre de participants. L'intervalle de confiance à 95% correspondant au hasard ($p = 0.2$) sur 14 tirages est compris entre 0 et 5, bornes incluses. Dans ce cas, on peut considérer que les réponses des participants étaient motivées pour une catégorie particulière à partir d'un score supérieur ou égal à 6.

Pour affiner les résultats nous regroupons les stimuli par niveau de facteur en fonction de l'effet que nous souhaitons observer.

### Analyse des résultats pour la catégorie « corde » :

Nous pouvons observer un score supérieur ou égal à 6 pour 9 stimuli différents : les 6 stimuli correspondant à la condition $S_1D_1F_1$ et les 3 stimuli correspondant à la condition $S_1D_1F_2L_2$.

En d'autres termes, les participants reconnaissent une corde pour les fréquences modales correspondant au modèle d'une corde ($S_1$) dans les cas sans redistribution ($D_1$) et sans variations fréquentielles ($F_1$). L'évocation est plus incertaine avec redistribution et avec variations fréquentielles.

En regardant les scores par niveau du facteur $S$, nous observons les scores présentés Table 4.15.

<table><caption>TABLE 4.15 – Score pour la catégorie « corde » en fonction du facteur $S$. 
Nombre d'échantillons par niveau : 336 
Intervalle de confiance à 95% pour 336 tirages aléatoires : $53 \le X \le 81$.</caption><tr><td>S<sub>1</sub></td><td>S<sub>2</sub></td><td>S<sub>3</sub></td><td>S<sub>4</sub></td></tr><tr><td>112</td><td>1</td><td>4</td><td>3</td></tr></table>

Dans ce cas le nombre de tirages correspond au nombre de stimuli correspondant à la condition $S_i$ multiplié par le nombre de sujets soit $24 \times 14 = 336$. L'intervalle de confiance correspondant à un tirage aléatoire dans ce cas est compris entre 53 et 81. Tout les résultats présentés ici sont donc en dehors de cet intervalle, $S_2$, $S_3$ et $S_4$ sont largement en-dessous (il est très rare qu'une distribution fréquentielle différente du modèle $S_1$ évoque une corde) tandis que $S_1$ est nettement au-dessus. Cependant, le score pour $S_1$ reste relativement mauvais (choisi 112 fois sur 336 tirages, soit une chance sur trois).

Comme les résultats observés sur chaque stimulus peuvent l'indiquer, c'est la redistribution et les variations fréquentielles qui induisent une mauvaise re-
connaissance de la corde. Dans les cas $S_1F_2$ et $S_1D_2$, l'incertitude des réponses est comparable à une réponse aléatoire (les scores font partis de l'intervalle de confiance à 95%, voir Table 4.16).

TABLE 4.16 – Scores pour la catégorie « corde » en fonction des facteurs D, F, L et N pour $S_1$.

Nombre de tirages par condition $S_1D_i$, $S_1F_i$ ou $S_1L_i$ : 166

Intervalle de confiance à 95% pour 166 tirages aléatoires : $24 \le X \le 43$.

Nombre de tirages par condition $S_1N_i$ : 112

Intervalle de confiance à 95% pour 112 tirages aléatoires : $14 \le X \le 30$.

<table><thead><tr><th>S<sub>1</sub>D<sub>1</sub></th><th>S<sub>1</sub>D<sub>2</sub></th><th>S<sub>1</sub>F<sub>1</sub></th><th>S<sub>1</sub>F<sub>2</sub></th><th>S<sub>1</sub>L<sub>1</sub></th><th>S<sub>1</sub>L<sub>2</sub></th><th>S<sub>1</sub>N<sub>1</sub></th><th>S<sub>1</sub>N<sub>2</sub></th><th>S<sub>1</sub>N<sub>3</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>81</td><td>31</td><td>70</td><td>42</td><td>58</td><td>54</td><td>46</td><td>36</td><td>30</td></tr></tbody></table>

• Analyse des résultats pour la catégorie « barre » :

Nous observons un score supérieur ou égal à 6 pour 20 stimuli générés pour les fréquences modales de barre $S_3$ (sur les 24 stimuli correspondant à ce niveau de facteur). Ce résultat tend à montrer que l'évocation des sons utilisant les fréquences modales associées au modèle de barre est cohérente.

En regroupant les résultats par facteur nous pouvons observer que la catégorie « barre » est choisie quasi-exclusivement pour $S_3$ (voir Table 4.17). Les autres facteurs n'ont pas une influence déterminante sur le choix de cette catégorie (voir Table 4.18). Nous pouvons tout de même noter que la catégorie est moins choisie avec les variations fréquentielles des modes $F_2$.

TABLE 4.17 – Score pour la catégorie « barre » en fonction du facteur S.

Nombre d'échantillons par niveau : 336

Intervalle de confiance à 95% pour 336 tirages aléatoires : $53 \le X \le 81$.

<table><thead><tr><th>S<sub>1</sub></th><th>S<sub>2</sub></th><th>S<sub>3</sub></th><th>S<sub>4</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>5</td><td>4</td><td>174</td><td>28</td></tr></tbody></table>

TABLE 4.18 – Scores pour la catégorie « barre » en fonction des facteurs D, F, L et N pour $S_1$.

Nombre de tirages par condition $S_3D_i$, $S_3F_i$ ou $S_3L_i$ : 166

Intervalle de confiance à 95% pour 166 tirages aléatoires : $24 \le X \le 43$.

Nombre de tirages par condition $S_3N_i$ : 112

Intervalle de confiance à 95% pour 112 tirages aléatoires : $14 \le X \le 30$.

<table><thead><tr><th>S<sub>3</sub>D<sub>1</sub></th><th>S<sub>3</sub>D<sub>2</sub></th><th>S<sub>3</sub>F<sub>1</sub></th><th>S<sub>3</sub>F<sub>2</sub></th><th>S<sub>3</sub>L<sub>1</sub></th><th>S<sub>3</sub>L<sub>2</sub></th><th>S<sub>3</sub>N<sub>1</sub></th><th>S<sub>3</sub>N<sub>2</sub></th><th>S<sub>3</sub>N<sub>3</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>81</td><td>93</td><td>100</td><td>74</td><td>81</td><td>93</td><td>56</td><td>67</td><td>51</td></tr></tbody></table>

• Analyse des résultats pour la catégorie « membrane » :
Concernant le choix de la catégorie « membrane », seuls 3 stimuli ont un score de 6 ou plus ($S_2N_2D_2F_1L_1$, $S_2N_2D_2F_2L_2$, $S_4N_1D_1F_2L_2$). Les sons proposés n'évoquent que peu des sons rayonnés par des membranes.

En regroupant les scores par niveau du facteur *S*, nous observons une tendance qui va dans le sens d'une reconnaissance de la membrane pour $S_2$, qui correspond au modèle physique de membrane, mais le score reste relativement faible (voir Table 4.19). L'analyse des interactions entre $S_2$ et les autres facteurs n'apportent pas plus d'information. Le choix de cette catégorie est indifféremment faible quelque soit le niveau des autres facteurs (voir Table 4.20).

<table><caption>TABLE 4.19 – Score pour la catégorie « membrane » en fonction du facteur *S*.
Nombre d'échantillons par niveau : 336
Intervalle de confiance à 95% pour 336 tirages aléatoires : $53 \le X \le 81$.</caption><tr><td>S<sub>1</sub></td><td>S<sub>2</sub></td><td>S<sub>3</sub></td><td>S<sub>4</sub></td></tr><tr><td>23</td><td>88</td><td>11</td><td>39</td></tr></table>

<table><caption>TABLE 4.20 – Scores pour la catégorie « membrane » en fonction des facteurs *D*, *F*, *L* et *N* pour $S_1$.
Nombre de tirages par condition $S_1D_i$, $S_1F_i$ ou $S_1L_i$ : 166
Intervalle de confiance à 95% pour 166 tirages aléatoires : $24 \le X \le 43$.
Nombre de tirages par condition $S_1N_i$ : 112
Intervalle de confiance à 95% pour 112 tirages aléatoires : $14 \le X \le 30$.</caption><tr><td>S<sub>2</sub>D<sub>1</sub></td><td>S<sub>2</sub>D<sub>2</sub></td><td>S<sub>2</sub>F<sub>1</sub></td><td>S<sub>2</sub>F<sub>2</sub></td><td>S<sub>2</sub>L<sub>1</sub></td><td>S<sub>2</sub>L<sub>2</sub></td><td>S<sub>2</sub>N<sub>1</sub></td><td>S<sub>2</sub>N<sub>2</sub></td><td>S<sub>2</sub>N<sub>3</sub></td></tr><tr><td>46</td><td>42</td><td>41</td><td>47</td><td>42</td><td>46</td><td>30</td><td>35</td><td>23</td></tr></table>

On note aussi la confusion pouvant apparaître avec les sons du modèle de plaques qui sont régulièrement catégorisés comme des sons de membrane. Il est intéressant de noter que la présence de variations fréquentielles a tendance à augmenter la confusion tandis que la présence de redistribution la réduit ($S_4D_1$ : 24; $S_4D_2$ : 15; $S_4F_1$ : 14; $S_4F_2$ : 25).

### Analyse des résultats pour la catégorie « plaque» :

La catégorie « plaque» est la plus choisie : 45 stimuli ont un score supérieur ou égal à 6 dont 20 sur 24 pour le niveau $S_4$ et 23 sur 24 pour le niveau $S_2$. Les sons correspondant au modèle de membrane sont donc catégorisés « plaque» beaucoup plus souvent que «membrane».

L'observation des résultats pour chaque niveau de *S* confirme que les modèles de plaque et de membrane ($S_2$ et $S_4$) sont placés dans la catégorie « plaque» dans la grande majorité des cas. Nous pouvons également noter que le modèle de barre $S_3$ est catégorisé comme étant une plaque à un niveau correspondant à une
réponse aléatoire (voir Table 4.21).

<table><caption>TABLE 4.21 – Score pour la catégorie « plaque» en fonction du facteur S.
Nombre d'échantillons par niveau : 336
Intervalle de confiance à 95% pour 336 tirages aléatoires : 53 ≤ X ≤ 81.</caption><tr><td>S<sub>1</sub></td><td>S<sub>2</sub></td><td>S<sub>3</sub></td><td>S<sub>4</sub></td></tr><tr><td>15</td><td>184</td><td>62</td><td>202</td></tr></table>

Les interactions avec les facteurs *D* et *F* montrent des tendances inverses à celles observées dans le cas de la catégorie « membrane » : la redistribution augmente sensiblement le score de la catégorie « plaque» tandis que les variations fréquentielles le réduisent légèrement (voir Table 4.22).

<table><caption>TABLE 4.22 – Scores pour la catégorie « plaque» en fonction des facteurs *D*, *F*, *L* et *N* pour *S*<sub>2</sub> et *S*<sub>4</sub>.
Nombre de tirages par condition *S*<sub>i</sub>*D*<sub>j</sub>, *S*<sub>i</sub>*F*<sub>j</sub> ou *S*<sub>i</sub>*L*<sub>j</sub> : 166
Intervalle de confiance à 95% pour 166 tirages aléatoires : 24 ≤ *X* ≤ 43.
Nombre de tirages par condition *S*<sub>i</sub>*N*<sub>j</sub> : 112
Intervalle de confiance à 95% pour 112 tirages aléatoires : 14 ≤ *X* ≤ 30.</caption><tr><td>S<sub>2</sub>D<sub>1</sub></td><td>S<sub>2</sub>D<sub>2</sub></td><td>S<sub>2</sub>F<sub>1</sub></td><td>S<sub>2</sub>F<sub>2</sub></td><td>S<sub>2</sub>L<sub>1</sub></td><td>S<sub>2</sub>L<sub>2</sub></td><td>S<sub>2</sub>N<sub>1</sub></td><td>S<sub>2</sub>N<sub>2</sub></td><td>S<sub>2</sub>N<sub>3</sub></td></tr><tr><td>84</td><td>100</td><td>98</td><td>86</td><td>90</td><td>94</td><td>62</td><td>56</td><td>66</td></tr><tr><td>S<sub>4</sub>D<sub>1</sub></td><td>S<sub>4</sub>D<sub>2</sub></td><td>S<sub>4</sub>F<sub>1</sub></td><td>S<sub>4</sub>F<sub>2</sub></td><td>S<sub>4</sub>L<sub>1</sub></td><td>S<sub>4</sub>L<sub>2</sub></td><td>S<sub>4</sub>N<sub>1</sub></td><td>S<sub>4</sub>N<sub>2</sub></td><td>S<sub>4</sub>N<sub>3</sub></td></tr><tr><td>79</td><td>123</td><td>107</td><td>95</td><td>113</td><td>89</td><td>67</td><td>68</td><td>67</td></tr></table>

• Analyse des résultats pour la catégorie « autre » :

Parmi les 18 stimuli dont le score pour la catégorie « autre » est supérieur à 6, 16 ont été générés pour le niveau *S*<sub>1</sub> correspondant aux fréquences modales d'une corde.

Ce résultat est confirmé par le regroupement des stimuli par niveau du facteur *S* (voir Table 4.23). Nous observons également un score non négligeable pour les autres facteurs, notamment pour le niveau *S*<sub>3</sub> correspondant aux fréquences modales d'une barre.

<table><caption>TABLE 4.23 – Score pour la catégorie « autre » en fonction du facteur *S*.
Nombre d'échantillons par niveau : 336
Intervalle de confiance à 95% pour 336 tirages aléatoires : 53 ≤ *X* ≤ 81.</caption><tr><td>S<sub>1</sub></td><td>S<sub>2</sub></td><td>S<sub>3</sub></td><td>S<sub>4</sub></td></tr><tr><td>157</td><td>35</td><td>61</td><td>40</td></tr></table>

L'interaction entre *S* et *D* nous montre que le déferlement associé à des fré-
quences modales de corde n'évoque pas le son rayonné par un objet des autres catégories proposées. Inversement, la redistribution réduit légèrement le score de la catégorie « autre » pour tous les autres niveaux de S (voir Table 4.24).

Le facteur correspondant aux variations fréquentielles n'a pas un effet déterminant, il augmente légèrement le choix de la catégorie « autre » pour tous les niveaux de S.

<caption>TABLE 4.24 – Scores pour la catégorie « autre » en fonction des facteurs *D*, *F*, *L* et *N* pour *S*₁, *S*₂, *S*₃ et *S*₄.</caption>

Nombre de tirages par condition *S*ᵢ*D*ⱼ, *S*ᵢ*F*ⱼ ou *S*ᵢ*L*ⱼ : 166
Intervalle de confiance à 95% pour 166 tirages aléatoires : 24 ≤ *X* ≤ 43.
Nombre de tirages par condition *S*ᵢ*N*ⱼ : 112
Intervalle de confiance à 95% pour 112 tirages aléatoires : 14 ≤ *X* ≤ 30.

<table><thead><tr><th>S<sub>1</sub>D<sub>1</sub></th><th>S<sub>1</sub>D<sub>2</sub></th><th>S<sub>1</sub>F<sub>1</sub></th><th>S<sub>1</sub>F<sub>2</sub></th><th>S<sub>1</sub>L<sub>1</sub></th><th>S<sub>1</sub>L<sub>2</sub></th><th>S<sub>1</sub>N<sub>1</sub></th><th>S<sub>1</sub>N<sub>2</sub></th><th>S<sub>1</sub>N<sub>3</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>48</td><td>109</td><td>72</td><td>85</td><td>82</td><td>75</td><td>48</td><td>47</td><td>62</td></tr><tr><td>S<sub>2</sub>D<sub>1</sub></td><td>S<sub>2</sub>D<sub>2</sub></td><td>S<sub>2</sub>F<sub>1</sub></td><td>S<sub>2</sub>F<sub>2</sub></td><td>S<sub>2</sub>L<sub>1</sub></td><td>S<sub>2</sub>L<sub>2</sub></td><td>S<sub>2</sub>N<sub>1</sub></td><td>S<sub>2</sub>N<sub>2</sub></td><td>S<sub>2</sub>N<sub>3</sub></td></tr><tr><td>21</td><td>14</td><td>15</td><td>20</td><td>23</td><td>12</td><td>12</td><td>10</td><td>13</td></tr><tr><td>S<sub>3</sub>D<sub>1</sub></td><td>S<sub>3</sub>D<sub>2</sub></td><td>S<sub>3</sub>F<sub>1</sub></td><td>S<sub>3</sub>F<sub>2</sub></td><td>S<sub>3</sub>L<sub>1</sub></td><td>S<sub>3</sub>L<sub>2</sub></td><td>S<sub>3</sub>N<sub>1</sub></td><td>S<sub>3</sub>N<sub>2</sub></td><td>S<sub>3</sub>N<sub>3</sub></td></tr><tr><td>39</td><td>22</td><td>22</td><td>39</td><td>27</td><td>34</td><td>17</td><td>20</td><td>24</td></tr><tr><td>S<sub>4</sub>D<sub>1</sub></td><td>S<sub>4</sub>D<sub>2</sub></td><td>S<sub>4</sub>F<sub>1</sub></td><td>S<sub>4</sub>F<sub>2</sub></td><td>S<sub>4</sub>L<sub>1</sub></td><td>S<sub>4</sub>L<sub>2</sub></td><td>S<sub>4</sub>N<sub>1</sub></td><td>S<sub>4</sub>N<sub>2</sub></td><td>S<sub>4</sub>N<sub>3</sub></td></tr><tr><td>25</td><td>15</td><td>13</td><td>27</td><td>13</td><td>27</td><td>11</td><td>13</td><td>16</td></tr></tbody></table>

### 4.2.3.7 Discussion

Les résultats de l'expérience nous apportent des éléments de compréhension sur la perception des morphologies sonores relatives aux non-linéarités géométriques, ce qui nous permet de faire des propositions pour un contrôle de l'apparition de ces morphologies cohérent avec l'évocation de la forme de l'objet.

**Contrôle de la redistribution entre les modes pour différentes formes d'objet résonant.** Comme dans le cas des plaques minces, la redistribution entre les modes a une influence significative sur la force d'impact perçue : l'apparition retardée et soutenue de composantes hautes fréquences évoque de grandes amplitudes de vibration quelque soit le modèle utilisé pour calculer les fréquences modales. En revanche, cette morphologie sonore modifie considérablement notre perception de la forme de l'objet. En particulier, elle perturbe fortement la reconnaissance des cordes et augmente notre tendance naturelle à choisir la catégorie « plaque».

Ainsi, l'association incohérente entre un spectre correspondant à une corde et le déferlement vers les hautes fréquences, qui n'apparaît pas dans un cas écologique, apporte deux informations contradictoires. Dans le cadre d'un synthétiseur de sons écologiques proposant un contrôle de la forme de l'objet résonant, il est essentiel
de proposer un résultat cohérent avec les contrôles que l'on propose. Il est donc plus prudent de limiter l'apparition du déferlement au cas spécifique des plaques.

En revanche, dans un contexte de design sonore plus général, il est possible de proposer ce genre d'association. Ce cadre peut être celui des métaphores sonores et de la synthèse de sons inouïs. Les paramètres de contrôle peuvent être moins spécifiques qu'une description directe de la forme d'un objet qui induit un comportement précis. Nous pouvons proposer des paramètres qui décrivent la structure comme l'élancement, l'épaisseur, la rigidité, et les associer à un contrôle de son comportement. Dans ce cadre, nous pouvons proposer un contrôle plus direct des morphologies sonores, par exemple un paramètre déferlement ou turbulences d'onde (dans un onglet comportement pour de grandes amplitudes de vibration) lié au coefficient de redistribution λ. À cela, il faut ajouter un contrôle de la solidité, souplesse ou ductilité pour définir la dynamique proposée en fonction des amplitudes d'excitation.

**Contrôle de l'apparition de signal bruité.** L'apparition du signal bruité n'a pas d'effet déterminant sur la perception de la force d'impact, et ce quelque soit la forme de l'objet. Nous observons tout de même des effets variables selon la forme dans le cas où le signal bruité est maximum au départ du son et vient gommer l'aspect brutal de l'impact ($N_3$). Dans ce cas, l'interaction paraît plus complexe qu'un impact court (évocation de rebonds très rapprochés) mais la sensation d'impact est moins forte, sauf dans le cas du modèle de membrane plus grave ($S_2L_1$). Il est nécessaire de préserver le moment de l'impact pour garantir l'évocation d'un choc bref.

D'autre part, la présence de bruit n'a pas d'influence sur la perception de la forme de l'objet. Nous pouvons considérer que l'utilisation de bruit pour l'évocation des non-linéarités géométriques est principalement utile pour des préoccupations de réalisme et d'esthétique.

**Contrôle de la variation fréquentielle des modes.** Les variations fréquentielles des modes telles qu'elles sont modélisées pour cette expérience n'évoquent pas d'augmentation des amplitudes de vibration et perturbent fortement l'évocation de la forme. En particulier, la création d'inharmonicité (car chaque fréquence varie de façon indépendante en fonction de son amplitude) pour les modèles de corde et de barre induit une confusion dans la reconnaissance des catégories correspondantes. La catégorie « membrane » semble être la seule pour laquelle la reconnaissance semble être améliorée avec ce modèle de variations fréquentielles des modes.

Le modèle pour les variations fréquentielles, calculées de façon indépendante en fonction de l'amplitude du mode, ne convient pas. Nous devons conduire une étude approfondie pour déterminer une relation entre la fréquence des modes et
l'amplitude de vibration de l'objet résonant dans différentes configurations.

Par exemple, dans le cas de la corde, ce sont les variations de tension qui induisent une variation fréquentielle des modes [Tolonen et al., 2000]. La variation de fréquence est proportionnellement identique pour tous les modes et le signal rayonné reste harmonique. Pour le cas de la membrane, il pourrait être intéressant d'observer comment les variations de tension dans certaines directions privilégiées induites par de grandes amplitudes de vibration modifient les fréquences modales de façon analogue à la corde. Nous pouvons également penser au cas du steel drum, qui a déjà fait l'objet d'études vibratoires [Fletcher et Rossing, 1998] [Monteil et al., 2015], dont le timbre spécifique est largement induit par des non-linéarités géométriques et des variations fréquentielles spécifiques informant sur la dynamique du jeu de l'instrumentiste.

**Vers un contrôle plus fin de la forme et des morphologies sonores associées.** Pour aller plus loin sur le contrôle de la forme d'un objet et de son comportement dans le cadre de la synthèse sonore, nous avons besoin de modèles pour les fréquences modales permettant de générer des continua perceptifs entre les différentes formes afin d'étudier notre capacité à catégoriser la forme de la source. Cela peut nous guider sur la pertinence d'un contrôle par catégorie de forme ou par propriété de la structure, puis à calibrer les paramètres de contrôle haut-niveau en fonction du comportement non-linéaire évoqué par le modèle de signal.

Nous avons à notre disposition deux modèles analytiques permettant de lier le modèle de corde au modèle de barre et le modèle de membrane au modèle de plaque :

* Le modèle de la corde raide (ou vibrations transversales dans une poutre soumise à une contrainte de traction) :

$$f_i = \sqrt{\left(\frac{ci}{2L}\right)^2 + \left(\frac{\kappa\pi i^2}{4L^2}\right)^2} \quad (4.36)$$

* Le modèle de plaque en vibrations transversales en ajoutant de la tension (équivalent d'une membrane avec une raideur de flexion) :

$$f_{lm} = \sqrt{c'^2\pi^2 \left(\frac{l^2}{L_x^2} + \frac{m^2}{L_y^2}\right) + \kappa'\pi^2 \left(\frac{l^2}{L_x^2} + \frac{m^2}{L_y^2}\right)^2} \quad (4.37)$$

Ces modèles peuvent être écrits de manière compacte sur une expression avec seulement 3 paramètres indépendants :

$$f_{lm} = \sqrt{(f_0^2 - \Xi^2)(l^2 + \nu'm^2) + \Xi^2(l^2 + \nu'm^2)^2} \quad (4.38)$$

avec :

* $f_0$ la valeur en fréquence du premier partiel du spectre (pour $l = 1$ et $m = 0$),
* $0 \le \Xi \le f_0$ un paramètre correspondant à la rigidité en flexion de l'objet,

* $\nu' = L_x^2/L_y^2$ le rapport de la longueur et la largeur de l'objet. Pour que $f_0$ soit le premier partiel, on a $L_x \ge L_y$ avec $\nu'$ qui tend vers l'infini lorsqu'on tend vers le cas de la corde et de la barre.

Ce modèle nous permet d'effectuer des transitions continues entre le spectre har-
monique d'une corde et le spectre correspondant au modèle de barre pour $m = 0$
($\Xi = 0$ : corde, $\Xi = f_0$ : barre), et des transitions continues entre le spectre corres-
pondant à une membrane et une plaque pour $n \in \mathbb{N}$ ($\Xi = 0$ : membrane, $\Xi = f_0$ :
plaque).

Nous pouvons ainsi réaliser des tests de catégorisation sur ces continua et éva-
luer l'influence des morphologies sonores sur la catégorisation. Par exemple, nous
pouvons étudier l'influence du déferlement sur la catégorisation du continuum mem-
brane/plaque.

4.3 Proposition de contrôle perceptif

Dans ce chapitre nous avons évalué notre perception des phénomènes non-
linéaires dans la production des sons solidiens et la capacité du modèle de signal
à retranscrire ces phénomènes à l'aide de tests d'écoute. Nous avons également
cherché à définir et calibrer un contrôle du modèle de synthèse sonore de façon
cohérente avec la perception des sons écologiques.

Pour les non-linéarités géométriques, nous cherchons à contrôler les morpholo-
gies sonores relatives à l'amplitude de vibration d'un objet résonant : le déferlement
vers les hautes fréquences, le signal bruité qui l'accompagne et les variations fré-
quentielles des modes.

Une première expérience sur des stimuli du corpus nous a permis de conclure que les morphologies sonores associées aux non-linéarités géométriques nous informaient sur la force de l'excitation et sur la capacité de l'objet résonant à résister à cette force.

Nous avons ensuite évalué les capacités du modèle de signal à évoquer des vibra-
tions de plus ou moins grandes amplitudes dans le cas des plaques minces et nous
avons calibré les paramètres de contrôle. Nous avons observé que le déferlement fré-
quentiel seul suffisait à évoquer de grandes forces d'impact dans ce cas. L'apparition
de signal bruité renforce l'effet pour les hauts niveaux du déferlement tandis que les
variations fréquentielles des modes n'apportent pas d'information supplémentaire.

Enfin, nous avons proposé une expérience pour évaluer comment l'influence de
ces morphologies sonores évoluaient lorsque les fréquences modales n'étaient plus
celles d'une plaque mince. Les résultats du test nous montrent que le comportement
non-linéaire de l'objet résonant et les morphologies sonores qui lui sont associées a
une influence sur la perception de la forme de l'objet. En effet, lorsque les morpholo-
gies sonores caractéristiques d'une plaque en grandes déformations sont appliquées
à un spectre correspondant à une corde, le stimulus n'est plus catégorisé comme
étant rayonné par une corde. En revanche, le déferlement évoque systématiquement
des forces d'impact de grandes amplitudes même lorsque le stimulus est incohérent
d'un point de vue écologique (comme pour le déferlement sur le spectre de corde).

Ces éléments nous ont menés à deux propositions différentes pour le contrôle de
ces morphologies sonores :

* La première proposition consiste à définir un comportement non-linéaire de l'objet (solidité et types de morphologies) compris dans la définition de la forme de l'objet et à lier l'apparition des morphologies sonores à l'amplitude d'excitation,

* La seconde proposition est un contrôle direct du comportement non-linéaire de l'objet avec la possibilité de contrôler la dynamique et le type des morphologies sonores quelque soit le contrôle de la forme, quitte à se retrouver dans des cas ne correspondant pas à des situations possibles d'un point de vue physique. Cette proposition ouvre la voie vers la synthèse de métaphores sonores (déferlement d'un liquide, déferlement d'un souffle).

Nous pensons effectuer des expériences complémentaires pour évaluer la pertinence
de ces propositions, définir et calibrer l'espace de contrôle.

La première proposition nécessite d'étudier si la perception de la forme est caté-
gorielle, de définir des catégories pertinentes le cas échéant, et d'évaluer l'influence
des morphologies sonores sur la catégorisation. Par exemple, nous pouvons établir
un continuum entre les fréquences modales d'une plaque et celles d'une membrane,
évaluer la perception catégorielle sur ce continuum, puis évaluer l'influence du défer-
lement sur cette catégorisation. Ce travail devra s'accompagner d'une étude concer-
nant l'influence des morphologies sonores liées aux non-linéarités géométriques sur
la perception du matériau. Par exemple, il paraît incohérent d'associer des morpho-
logies sonores évoquant des grandes amplitudes de vibration pour des matériaux
fragiles comme le verre.

Pour la seconde proposition, nous pouvons nous appuyer sur des paramètres de contrôle moins précis qu'une description de la forme dans sa globalité. Nous pouvons par exemple nous inspirer du travail de Bourachot sur la définition d'un espace de contrôle des caractéristiques géométriques d'un objet résonant, par exemple la courbure et l'épaisseur [Bourachot et al., 2019] [Bourachot, 2021], et ajouter des paramètres de contrôle correspondant au comportement non-linéaire.

Le comportement non-linéaire des objets ne se limite pas aux non linéarités
géométriques et des travaux futurs pourront étendre ces études pour des cas de
déformations plastiques ou de ruptures d'objets résonants.

Concernant les interactions non-linéaires, nous avons traité l'excitation d'un
objet résonant par un impact puis la perturbation des vibrations d'un objet par un
obstacle rigide.

L'aspect non-linéaire de l'excitation d'un résonateur par un impact est retrans-
crit par la dépendance de la durée d'excitation à l'amplitude d'excitation. Nous
avons proposé un contrôle de la durée d'excitation dérivé du modèle d'impact pro-
posé par Conan [Conan, 2014], qui est calibré par des simulations d'un contact hertzien entre une bille et une plaque. Nous souhaitons calibrer le modèle d'un point de vue perceptif pour différents types de contact lors de travaux futurs.

L'évocation des perturbations d'un objet vibrant, en particulier pour des interactions « fortes », passe par une augmentation du nombre de composantes tonales pour accroître la sensation de rugosité et un transfert d'énergie brutal. Le contrôle de cette morphologie sonore permet de passer continûment de ce type de signal à une perturbation de type collision (impact simple). L'évaluation perceptive du phénomène et la calibration du modèle nous permet de conclure sur le contrôle de certains aspects de l'interaction :

* La position transversale de l'impact $y_c$ évoque une notion d'intensité de l'interaction et la définition du paramètre $C_i(n)$ permet de contrôler le niveau du passage d'une interaction « douce » à une interaction « forte ».

* La position longitudinale $x_c$ est généralement mal perçue, même lorsque des indices acoustiques permettent sa reconnaissance. Les participants possédant une expertise (pratique d'un instrument à corde) ont de bien meilleurs résultats et le contrôle de cette modalité dans le modèle de signal convient en l'état. Un paramètre de contrôle haut niveau lié à l'aspect ponctuel ou étendu de l'obstacle pourrait être proposé et calibré à partir de la définition des seuils pour la redistribution $p_i$ (dont le calcul dépend de $x_c$ pour le cas ponctuel).

D'autres aspects du contrôle des interactions non-linéaires n'ont pas été traités. Nous pensons au contrôle de la dureté et de l'amortissement de l'interaction, et à la définition d'un espace sémantique pour contrôler la distribution temporelle des collisions (comme Conan l'avait fait pour l'espace frotter/gratter/rouler [Conan et al., 2014]). Par exemple, le *chatouillement* pourrait concerner des suites d'impacts rapprochés de faibles intensités, proche du *chuintement* (tanpura, caisse claire), quand les *rebonds* pourraient regrouper une famille de sons plus large de collisions de moins en moins espacées dont l'amplitude décroît au cours du temps, parfois de façon irrégulière (chutes d'objets de différentes formes, rebonds d'une règle appuyée sur un bord de table). Le *cliquettement* pourrait se situer entre les deux.

Nous envisageons l'extension du modèle pour des objets à deux dimensions principales (plaques, membranes) et l'utilisation d'un contrôle gestuel pour cette modalité. La position du doigt d'un utilisateur sur une tablette tactile contrôlerait la position de l'obstacle dans le plan de l'objet résonant et la pression serait liée à l'intensité de l'interaction. Ce type de contrôle est particulièrement adapté à un usage centré sur un objet résonant avec lequel un utilisateur pourrait interagir de différentes manières (cadre défini par le paradigme action/objet).

Une autre vision considère différents objets interagissant entre eux de part leurs positionnements respectifs et leurs liaisons. Ce cadre nous mène vers la conception d'un environnement de synthèse modulaire et permet d'envisager la définition de systèmes complexes comme des machines ou réverbérations non-linéaires.

Ces deux stratégies de contrôle ne sont pas incompatibles : elles sont complé-
mentaires sous condition de ressources de calcul disponibles. Par exemple, nous pouvons concevoir un système { membrane + obstacles rigides }, composé de plusieurs objets résonants liés, servant de résonateur non-linéaire (comme la peau de résonance et le timbre d'une caisse claire). Ce système pourrait ensuite être contrôlé dans un cadre permettant des interactions diverses (impacts, frottement, étouffement, sourdine ...) liées au geste de l'utilisateur.

Ces résultats nous conduisent à une proposition pour le contrôle du modèle de synthèse. Les transferts entre les modes peuvent être induits par le déferlement lié aux grandes amplitudes de vibrations de l'objet, ou par la perturbation des vibrations de l'objet par l'utilisateur ou par un objet de son environnement. Le terme de transfert peut être séparé en trois termes distincts correspondant aux différentes contributions :

$$ \underline{\mathbf{P}}(n+1) = (\underline{\mathbf{P}}(n) + \underline{\mathbf{T}}(n)) \cdot \underline{\mathbf{D}} \quad \text{avec} \quad \underline{\mathbf{T}}(n) = \underline{\mathbf{T}}_{\text{NLG}}(n) + \underline{\mathbf{T}}_{\text{PERT}}(n) + \underline{\mathbf{T}}_{\text{ENV}}(n) \quad (4.39) $$

avec le vecteur $\underline{\mathbf{P}}(n)$ contenant les valeurs de puissance au pas de temps $n$ pour tous les modes de vibration. Le terme d'amortissement est contenu dans le vecteur $\underline{\mathbf{D}}$, dont les éléments sont définis de la manière suivante $0 \le D_i = e^{-\alpha_i/f_e} \le 1$. $\underline{\mathbf{T}}_{\text{NLG}}(n)$ correspond à la contribution des non-linéarités géométriques sur les transferts, $\underline{\mathbf{T}}_{\text{PERT}}(n)$ à la contribution de la perturbation contrôlée par l'utilisateur et $\underline{\mathbf{T}}_{\text{ENV}}(n)$ aux contributions des contacts avec les objets de l'environnement proche. On note ici, que le terme source $u(n)$ intervient également dans le calcul de $P(n)$ (voir Sec.3.1.6).

Nous pouvons résumer les contributions de la manière suivante :

* Le geste de l'utilisateur détermine l'action, qui peut être du type « excitation » ou « perturbation ». Dans le cas d'une perturbation, l'utilisateur doit contrôler la position et l'intensité de l'interaction qui influent sur les valeurs des seuils pour le calcul de $\underline{\mathbf{T}}_{\text{PERT}}(n)$ et sur les fréquences des filtres couplés pour les interactions fortes. Dans le cas d'une excitation, le contrôle, défini par Conan et Thoret, permet d'évoquer divers évènements (frottement, grattement, roulement, couinement, auto-oscillation et impact) à partir d'un signal source $u$ constitué d'une série d'impulsions ou d'un signal harmonique en dents de scie.

* L'objet, constitué d'un banc de filtres couplés, résonne lorsqu'il est soumis à une excitation et le déferlement apparaît lorsque les amplitudes des modes dépassent les seuils utilisés pour le calcul de $\underline{\mathbf{T}}_{\text{NLG}}(n)$. Plus les seuils sont élevés, plus l'objet paraît rigide.

* Il est également possible de définir des interactions avec d'autres objets de l'environnement. Par exemple, un obstacle peut être positionné à une distance $y$ de l'objet résonant, ce qui produira des collisions si l'amplitude de vibration dépasse cette valeur. Dans ce cas, certains éléments de $\underline{\mathbf{T}}_{\text{ENV}}(n)$ deviennent non nuls et de l'énergie est transféré suite aux collisions. Ces
transferts peuvent être propagés à d'autres modes correspondant aux modes
de vibration de l'obstacle si l'on considère que l'intensité sonore qu'il rayonne
est non-négligeable.

Nous proposons en Fig.4.13&4.14 une représentation des deux cas élémentaires (action de l'utilisateur sur un objet et interaction entre deux objets) pouvant être combinés pour définir des systèmes plus complexes. Pour une question de lisibilité, nous représentons les filtres non-linéaires par un bloc représentant les transferts d'énergie précédant un bloc représentant le filtrage linéaire résonant sur le schéma de principe du modèle de synthèse. En réalité, ces blocs ne peuvent pas être séparés de façon triviale (le schéma bloc d'un filtre non-linéaire est présenté Fig.3.12 et le banc de filtres non-linéaire constituant l'objet est présenté Fig.3.13).

<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>FIGURE 4.13 – Représentation conceptuelle et modèle de synthèse de l’action d’un utilisateur sur un objet.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>FIGURE 4.14 – Représentation conceptuelle et modèle de synthèse de l’interaction entre deux objets.</figcaption></figure>
Ainsi, pour décrire l'évènement correspondant à l'utilisation d'une caisse claire « je tape fort sur une membrane qui transmet ses vibrations à une autre membrane qui interagit elle-même avec le timbre », je peux utiliser la représentation conceptuelle présentée Fig.4.15. En revanche, pour un modèle de synthèse plus simple et plus efficace, il convient d'identifier les éléments importants pour la production sonore, et de limiter le système à ces éléments. Dans le cas de la caisse claire, un utilisateur agissant sur un système {membrane+timbre} produit déjà des résultats satisfaisants (voir les sons générés dans le chapitre 3, par exemple Fig.3.19).

Description sémantique : Caisse claire

<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>FIGURE 4.15 – Représentation conceptuelle et modèle de synthèse de l'interaction entre deux objets.</figcaption></figure>

Ce cadre ouvre des applications dans le domaine musical. Plus particulièrement, nous pouvons penser à la conception d'instruments de musique virtuels. Ces instruments virtuels peuvent être inspirés d'instruments réels (caisse claire, tanpura) ou peuvent être déconnectés de la réalité physique. Cependant, ce type d'usage demande de repenser les paramètres de contrôle haut-niveau en intégrant des descripteurs plus utiles aux musiciens et un contrôle fin permettant de moduler le rendu d'un point de vue esthétique (vers un contrôle du timbre).
# Conclusions & perspectives

## Sommaire

<table><tr><td>5.1 Conclusions</td><td>155</td></tr><tr><td>5.2 Perspectives</td><td>157</td></tr></table>

Afin de conclure, nous rappelons les principaux résultats concernant les travaux effectués au cours de cette thèse, puis nous proposons différentes perspectives pour les poursuivre.

## 5.1 Conclusions

Au cours de cette thèse, notre objectif était de déterminer puis de modéliser les morphologies sonores (ou invariants morphologiques) correspondant aux phénomènes non-linéaires intervenant dans la modélisation physique des sources sonores afin de concevoir un modèle de synthèse sonore simplifié qui soit dynamique et cohérent avec notre perception des sons du quotidien.

Notre démarche a consisté à générer un corpus de sons à partir de la modélisation physique de cas particuliers représentatifs des phénomènes étudiés et à déterminer les morphologies sonores correspondantes pour différentes configurations (chapitre 2), puis à proposer un modèle de signal (chapitre 3) qui est ensuite évalué à l'aide de tests d'écoute (chapitre 4).

Pour l'étude des interactions non-linéaires, nous avons modélisé l'interaction entre une corde raide et un obstacle rigide. Le son rayonné par un tel système est caractérisé par l'apparition simultanée de nombreuses composantes fréquentielles au moment des collisions dont la répartition dépend de la position de l'obstacle et des paramètres du contact.

Dans le cas des non-linéarités géométriques, nous simulons la vibration de plaques minces pour de grandes amplitudes de vibrations élastiques. Nous observons une apparition retardée et soutenue de composantes fréquentielles dont la fréquence est de plus en plus élevée suite à des couplages successifs entre les modes. Ce comportement s'accentue lorsque l'amplitude d'excitation augmente ou lorsque la rigidité de flexion de l'objet diminue.
Les morphologies sonores correspondant aux interactions non-linéaires et aux non-linéarités géométriques comportent des transferts d'énergie entre des composantes fréquentielles. Nous avons proposé un modèle commun pour la synthèse de ces deux catégories de phénomènes non-linéaires permettant, avec le même formalisme, des transferts d'énergie simultanés entre de nombreuses composantes fréquentielles pour simuler les interactions non-linéaires et des transferts d'énergie progressifs pour reproduire le déferlement caractéristique observé dans le cas des structures minces comme les gongs.

Enfin, nous avons évalué la transcription des phénomènes par le modèle de signal à l'aide de tests d'écoute. Ces tests ont également permis d'évaluer comment certains attributs de la source sonore étaient retranscrits et affectés par les phénomènes non-linéaires, ce qui nous a conduit à proposer des stratégies pour le contrôle intuitif des processus de synthèse et à procéder à la calibration des paramètres de contrôle.

Concernant la perturbation des vibrations d'un objet vibrant par un obstacle rigide, nous avons pu observer que le rapport entre les amplitudes de vibrations de l'objet et la distance à l'obstacle pouvait être lié à l'évocation de l'intensité de l'interaction. De plus, le couplage entre l'objet vibrant et l'obstacle induisant un signal rugueux et inharmonique pendant l'interaction augmente significativement l'intensité perçue et permet de passer d'une interaction « douce » à une interaction « forte ». Il serait congruent de contrôler la distance normale entre l'obstacle et la corde par un capteur de pression, par exemple sur une tablette tactile. D'un autre côté, la position longitudinale de l'obstacle est généralement mal reconnue malgré la présence d'indices acoustiques, mais la transcription par le modèle de signal est suffisante pour assurer une reconnaissance du phénomène chez les participants experts.

Les morphologies sonores correspondant aux non-linéarités géométriques nous informent sur l'amplitude de la force d'excitation et sur la capacité de l'objet résonant à résister à cette force. Le modèle de signal permet de retranscrire correctement le phénomène. En particulier, nous observons que le déferlement (apparition retardée et soutenue de composantes hautes fréquences) suffit pour évoquer une force d'excitation de grande amplitude quelque soit la distribution fréquentielle des modes de vibration. En revanche, ce type de morphologie perturbe la perception de la forme de l'objet évoqué et ne peut pas être utilisé indépendamment de cet aspect dans le contexte d'un synthétiseur permettant de contrôler certains attributs structuraux de la source sonore (dimensionnalité et rigidité).

Ces résultats ont conduit à une proposition pour le contrôle du modèle de synthèse dans le cadre du paradigme *action-objet étendu*. Ce contrôle permet à l'utilisateur d'exciter ou de perturber un objet dont le comportement est non-linéaire, et interagissant lui-même avec d'autres objets. Cette proposition permet d'envisager l'utilisation du modèle dans un environnement interactif modulaire dans lequel différents objets interagissent simultanément.
### 5.2 Perspectives

Le cadre conceptuel décrit par le paradigme *action-objet étendu* et la méthodologie proposée dans cette thèse ouvre la voie à la description de nombreux phénomènes qui permettent d'étudier notre perception des sons rayonnés par les objets du quotidien et de proposer des modèles de synthèse cohérents avec notre perception.

Dans le prolongement direct des travaux présentés dans cette thèse, les modèles développés peuvent nous permettre d'explorer la dépendance entre la perception des attributs structurels et l'apparition de phénomènes non-linéaires liés aux grandes déformations élastiques. Dans la continuité de la dernière expérience, il serait intéressant d'explorer des continuums perceptifs entre membrane et plaque ou entre matériau métallique et verre dont l'évocation serait contrôlée par les paramètres modaux $\alpha_i$, $\omega_i$ et les transferts d'énergie (qui informent sur le comportement de l'objet pour de grandes amplitudes de vibration). Cela pourrait conduire à la définition de paramètres pour le contrôle haut-niveau des attributs de l'objet concernant ses caractéristiques structurelles et son comportement face à des excitations de différentes intensités.

D'autre part, le modèle pour les interactions permet de simuler des collisions en redistribuant l'énergie des modes en vibration aux autres modes sous la forme d'impacts (transferts simultanés sur un grand nombre de composantes). L'enjeu est maintenant de contrôler la répartition temporelle des collisions pour évoquer tel ou tel type d'interaction, comme Conan l'a fait pour les interactions continues gratter, frotter et rouler [Conan et al., 2014]. Il s'agit de définir une sémantique pour décrire les interactions non-linéaires et de la lier à une distribution temporelle de collisions.

La mise en place, la calibration du contrôle gestuel et une implémentation en temps-réel pour une utilisation dans un environnement interactif sont également une perspective d'évolution pour les travaux proposés aussi bien sur les interactions non-linéaires que sur les non-linéarités géométriques. La modélisation de phénomènes non-linéaires pour la synthèse sonore, notamment lorsque l'amplitude de vibration augmente (non-linéarité géométrique, collision avec un obstacle fixe ou modèle non-linéaire pour une excitation percussive), permet de créer des moteurs de synthèse dynamiques maximisant les capacités expressives des utilisateurs.

Le développement de ce moteur de synthèse sonore permettrait d'étudier la perception de la solidité d'un objet à travers des expériences interactives, par exemple en proposant la possibilité d'impacter l'objet virtuel plus ou moins fort par l'intermédiaire d'un contrôleur MIDI. De plus, cela ouvrirait la possibilité d'étudier la perception multimodale de ces phénomènes, principalement pour les interactions entre les modalités auditives, tactiles et visuelles.

Dans ce cadre, il parait également important d'envisager la modélisation d'autres phénomènes non-linéaires pour permettre d'augmenter les possibilités d'interaction avec l'environnement de synthèse. On peut penser ici à la possibilité de tordre, plier, froisser ou casser les objets, nécessitant la modélisation des morphologies sonores
correspondant aux déformations plastiques et à la rupture.

Il pourrait également être intéressant de développer un outil d'analyse-synthèse avec le formalisme utilisé pour les transferts d'énergie pour les sons de plaques et les collisions pour créer, par exemple, des modèles dynamiques de gongs, de cymbales ou de caisses claires. Skare et Abel proposent ce type d'outils en utilisant des GPU pour permettre de générer un grand nombre de composantes sinusoïdales [Skare et Abel, 2019]. Une approche consisterait à extraire les paramètres modaux avec un modèle sinusoïdal sur un cas linéaire de référence puis à calculer les paramètres de la redistribution pour passer à un cas non-linéaire en posant un problème de minimisation sous contrainte dans le plan temps-fréquence. Pour pouvoir extraire les paramètres du cas linéaire directement à partir d'un son correspondant à un cas non-linéaire, Meynard et Torrésani proposent un modèle pour extraire la partie stationnaire d'un signal [Meynard et Torrésani, 2018].

Enfin, dans l'optique de la conception d'un *langage des sons* pour le design sonore, il convient de se questionner sur les possibilités que nous avons pour utiliser et combiner ces morphologies sonores pour créer des sons nouveaux ou « inouïs » qui portent sens.
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Résumé :

Le travail effectué dans cette thèse a pour objectif de concevoir un modèle pour
la synthèse de son d'environnement prenant en compte les phénomènes non-linéaires
intervenant dans la modélisation physique des sources sonores. Nous cherchons à
proposer un modèle simplifié du signal sonore en adéquation avec la perception
humaine. La méthodologie suivie consiste à : générer un corpus par la simulation
physique de sources sonores dont le comportement non-linéaire est représentatif de
percepts sonores préalablement classifiés ; déterminer les morphologies sonores cor-
respondantes à partir de l'analyse des signaux non-stationnaires du corpus ; conce-
voir un modèle de signal simplifié cohérent avec la perception ; évaluer et calibrer
la transcription du phénomène dans le modèle de signal à l'aide de tests d'écoute.

Après avoir précisé le contexte et les enjeux de ce sujet, nous présentons la géné-
ration d'un corpus de sons et les déterminations des morphologies sonores associées
pour deux cas de figures caractéristiques des phénomènes non-linéaires dans la pro-
duction des sons solidiens : la perturbation des vibrations d'une corde raide par un
obstacle rigide et les vibrations d'une plaque mince pour de grandes amplitudes de
vibrations élastiques. Nous en avons déduit qu'un aspect commun à ces deux cas
de figure était les transferts d'énergie vers les hautes fréquences.

Nous proposons ensuite un modèle de signal pour les transferts d'énergie entre
les modes pour la synthèse de sons correspondant à des phénomènes non-linéaires
et nous évaluons la transcription des phénomènes par le modèle de signal à l'aide
de tests d'écoute.

Mots clés : Synthèse sonore, Contrôle, Collisions, Turbulence d'onde.
Physical nonlinearity and auditory perception

**Abstract** : The objective of the research work presented in this thesis is to design a model for environmental sound synthesis that takes into account the non-linear phenomena involved in the physical modelling of sound sources. We aim to propose a simplified model of the sound signal consistent with human perception. The methodology followed consists of : generating a corpus by the physical simulation of sound sources whose non-linear behaviour is representative of previously classified sound percepts ; determining the corresponding sound morphologies from the analysis of the non-stationary signals of the corpus ; design a simplified signal model consistent with the perception ; evaluate and calibrate the transcription of the phenomenon in the signal model using listening tests.

After having specified the context and the challenges of this subject, we present
the generation of a corpus of sounds and the determinations of the associated sound
morphologies for two typical cases of non-linear phenomena in the production of
solid sounds : the perturbation of the vibrations of a stiff string by a rigid obstacle
and the vibrations of a thin plate for large amplitudes of elastic vibrations. We
deduce that one aspect common to these two cases is the energy transfers towards
high frequency components.

We then propose a signal model for the energy transfers between frequency
components for the synthesis of sounds corresponding to non-linear phenomena
and we evaluate the transcription of the phenomena by the signal model using
listening tests.

**Keywords** : Sound-synthesis, Control, Collisions, Wave-turbulence.