Points de hauteur bornée sur les hypersurfaces lisses des variétés toriques

par

TEDDY MIGNOT (Grenoble)

**1. Introduction.** La conjecture de Manin sur le comportement asymp-
totique du nombre de points de hauteur bornée des variétés algébriques a
récemment été démontrée par Schindler pour le cas des hypersurfaces des
espaces biprojectifs par des arguments généralisant la méthode du cercle
telle qu'elle a été utilisée par Birch pour le cas des hypersurfaces des espaces
projectifs. Une idée naturelle est alors de chercher à généraliser la méthode
de Schindler à des hypersurfaces de variétés toriques plus générales dont le
groupe de Picard a pour rang 2.

On considère une variété torique complète lisse $X = X(\Delta)$ de dimension $n$ définie par le réseau $N = \mathbb{Z}^n$ et un éventail $\Delta$ ayant $n+2$ arêtes engendrées par des vecteurs notés $v_0, v_1, \dots, v_n, v_{n+1} \in \mathbb{R}^n$. De telles variétés ont été classifiées par Kleinschmidt [K]. Nous supposerons par ailleurs que le groupe de Picard $\text{Pic}(X)$ et le cône effectif $C_{\text{Eff}}^1$ de $X$ sont engendrés par les classes de diviseurs associés aux arêtes de 2 vecteurs générateurs de l'éventail, disons $v_0$ et $v_{n+1}$. Pour des raisons pratiques, nous supposerons que

$$
v_0 = - \sum_{i=1}^{m} v_i \quad \text{et} \quad v_{n+1} = - \sum_{i=r+1}^{n} v_i,
$$

pour des entiers $r, m$ tels que $0 \le r \le m \le n$. On note $D_0$ et $D_{n+1}$ les diviseurs associés à $v_0$ et $v_{n+1}$, et $[D_0]$, $[D_{n+1}]$ leurs classes dans $\text{Pic}(X)$. On peut alors écrire

$$
\mathrm{Pic}(X) = \mathbb{Z}[D_0] \oplus \mathbb{Z}[D_{n+1}], \quad C_{\mathrm{Eff}}^{1} = \mathbb{R}^{+}[D_0] + \mathbb{R}^{+}[D_{n+1}],
$$

et la classe du diviseur anticanonique de $X$ est

$$
[-K_X] = (m+1)[D_0] + (n-r+1)[D_{n+1}].
$$

<footnote n="2010">2010 Mathematics Subject Classification: 11D45, 11D72, 11P55.</footnote>

<footnote>Key words and phrases: points of bounded height, hypersurfaces, toric varieties, circle method, major arcs, minor arcs.</footnote>

<footnote>Received 8 January 2015; revised 27 July 2015.</footnote>

<footnote>Published online 10 December 2015.</footnote>
D'autre part, pour $d_1, d_2 \in \mathbb{N}$ fixés considérons un diviseur de classe $d_1[D_0] + d_2[D_{n+1}]$ et une hypersurface $Y$ de dimension supposée supérieure ou égale à 3, définie par une section de ce diviseur. On supposera que l'hypersurface choisie est lisse. La classe du diviseur anticanonique de $Y$ est alors donnée par

$$[-K_Y] = (m + 1 - d_1)[\tilde{D}_0] + (n - r + 1 - d_2)[\tilde{D}_{n+1}],$$

où $\tilde{D}_0$ et $\tilde{D}_{n+1}$ désignent les diviseurs induits par $D_0$ et $D_{n+1}$ sur $Y$. En utilisant par exemple la construction décrite par Salberger [Sa, §10], on peut construire explicitement la hauteur $H$ sur $X$ associée à $(n_1 - d_1)[D_0] + (n_2 - d_2)[D_{n+1}]$. Elle induit une hauteur sur $Y$ qui est la hauteur associée à $[-K_Y]$, et que l'on notera encore $H$. L'objectif est alors de donner une formule asymptotique pour le nombre

$$\mathcal{N}_U(B) = \mathrm{card}\{P \in Y(\mathbb{Q}) \cap U \mid H(P) \leq B\},$$

pour un ouvert $U$ bien choisi. Plus précisément, nous allons montrer que $\mathcal{N}_U(B)$ vérifie la conjecture de Manin, i.e. que pour $r$ et $n-m$ assez grands (condition analogue à celle donnée par Birch [Bi] pour les hypersurfaces de l'espace projectif), ce cardinal est de la forme

$$\mathcal{N}_U(B) = C_H(Y)B \log(B) + O(B),$$

où $C_H(Y)$ est la constante conjecturée par Peyre.

La variété torique $X$ peut être définie comme le quotient de

$$X_1 = (\mathbb{A}^{r+1} \setminus \{0\}) \times ((\mathbb{A}^{m-r} \times \mathbb{A}^{n-m+1}) \setminus \{0\}) \subset \mathbb{A}^{n+2}$$

par l'action du tore $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*$ définie par

$$\forall (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in X_1, \forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*, \quad (\lambda, \mu) \cdot (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = (\lambda \mathbf{x}, \lambda \mu \mathbf{y}, \mu \mathbf{z}).$$

Notons $\pi: X_1 \to X$ la projection canonique. L'hypersurface $Y$ de $X$ est alors $\pi(Y_1)$ où $Y_1$ est l'hypersurface de $X_1$ donnée par une équation $F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0$, où $F$ est un polynôme homogène de degré $d_1$ (resp. $d_2$) en $(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ (resp. $(\mathbf{y}, \mathbf{z})$). En notant

$$(1.1) \quad V_1^* = \left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{A}^{n+2} \mid \begin{array}{l} \forall i \in \{0, \dots, r\}, \quad \frac{\partial F}{\partial x_i}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0, \\ \forall j \in \{r+1, \dots, m\}, \quad \frac{\partial F}{\partial y_j}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0 \end{array} \right\},$$

$$(1.2) \quad V_2^* = \left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{A}^{n+2} \mid \begin{array}{l} \forall j \in \{r+1, \dots, m\}, \quad \frac{\partial F}{\partial y_j}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0, \\ \forall k \in \{m+1, \dots, n+1\}, \quad \frac{\partial F}{\partial z_k}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0 \end{array} \right\},$$

nous démontrons le résultat ci-dessous :
### THÉORÈME 1.1. Pour $d_1 \ge 2$, $d_2 \ge 1$, pour tous $n, m, r$ tels que

$$n + 2 - \max\{\dim V_1^*, \dim V_2^*\} > 13d_2(d_1 + d_2)2^{d_1+d_2}$$

et $r \ge 6d_1 - 3$, il existe un ouvert $U$ tel que

$$\mathcal{N}_U(B) = C_H(Y)B \log(B) + O(B)$$

lorsque $B \to \infty$, où $C_H(Y)$ est la constante conjecturée par Peyre.

Pour la construction de l'ouvert $U$, nous renvoyons le lecteur à la formule (6.10). Remarquons que ce théorème implique en particulier que le principe de Hasse est vérifié par les hypersurfaces considérées.

Dans la section 2 nous fixons précisément le cadre de notre étude. Nous y décrivons entre autres les variétés toriques auxquelles nous nous intéresseons, l'expression de la hauteur, et la forme des équations définissant les hypersurfaces. Nous montrons que le calcul de $\mathcal{N}_U(B)$ peut se ramener à celui de

$$N_{d,U}(B) = \operatorname{card} \left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in (\mathbb{Z}^{r+1} \times \mathbb{Z}^{m-r} \times \mathbb{Z}^{n-m+1}) \cap U \;\middle|\; \mathbf{x} \neq \mathbf{0}, \right. \\ \left. (\mathbf{y}, \mathbf{z}) \neq (\mathbf{0}, \mathbf{0}), F(dx, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0, |\mathbf{x}|^{m+1-d_1} \max\left(\frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|}, |\mathbf{z}|\right)^{n-r+1-d_2} \le B \right\}.$$

La méthode utilisée pour évaluer les $N_{d,U}(B)$ est fortement inspirée de celle développée par Schindler [Sch2] pour traiter le cas des hypersurfaces des espaces biprojectifs. Cette méthode consiste dans un premier temps à donner une formule asymptotique pour le nombre $N_{d,U}(P_1, P_2)$ de points $(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$ de $U \cap \mathbb{Z}^{n+2}$ tels que $|\mathbf{x}| \le P_1$ et $\max(\frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|}, |\mathbf{z}|) \le P_2$ pour des bornes $P_1, P_2$ fixées.

Dans la section 3, en utilisant des arguments issus de la méthode du cercle, on établit une formule asymptotique pour $N_{d,U}(P_1, P_2)$ lorsque $P_1$ et $P_2$ sont « relativement proches » en un sens que nous préciserons. Dans la section 4 (resp. 5), pour un $\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^{r+1}$ (resp. $\mathbf{z} \in \mathbb{Z}^{n-m+1}$) fixé, on donne une formule asymptotique pour le nombre de points $(\mathbf{y}, \mathbf{z})$ (resp. $(\mathbf{x}, \mathbf{y})$) vérifiant $F(dx, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0$ tels que $\max(\frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|}, |\mathbf{z}|) \le P_2$ (resp. $|\mathbf{x}| \le P_1$), en utilisant à nouveau la méthode du cercle. Les résultats obtenus combinés avec ceux de la section 2 nous permettrons dans la section 6 d'établir une formule asymptotique pour $N_{d,U}(P_1, P_2)$ avec $P_1, P_2$ quelconques.

Dans la section 7, on utilise les résultats établis par Blomer et Brüdern [B-B] pour conclure quant à la valeur de $N_{d,U}(B)$ à partir des estimations obtenues dans les sections précédentes. Enfin, dans la section 8, on conclut en démontrant le théorème 1.1 donnant une formule asymptotique pour $\mathcal{N}_U(B)$. On vérifie en particulier que la constante obtenue est bien celle avancée par Peyre [Pe].
## 2. Préliminaires

### 2.1. Notations et premières propriétés.
Rappelons les définitions suivantes :

**DÉFINITION 2.1.** Étant donné un réseau $N$, un *éventail* est un ensemble $\Delta$ de cônes polyédrique de $N_{\mathbb{R}} = N \otimes \mathbb{R}$ vérifiant :

(1) pour tout cône $\sigma \in \Delta$, on a $0 \in \sigma$;

(2) toute face d'un cône de $\Delta$ est un cône de $\Delta$;

(3) l'intersection de deux cônes de $\Delta$ est une face de chacun de ces cônes.

On dit de plus que l'éventail est

*complet* si $\bigcup_{\sigma \in \Delta} \sigma = N_{\mathbb{R}}$,

*régulier* si chaque cône de $\Delta$ est engendré par une famille de vecteurs pouvant être complétée en une base de $N_{\mathbb{R}}$.

Pour tout éventail $\Delta$ nous noterons $\Delta_{\max}$ l'ensemble des cônes de dimension maximale, et pour tout cône $\sigma \in \Delta$, on notera $\sigma(1)$ l'ensemble des vecteurs générateurs des arêtes de $\sigma$. Pour un cône polyhédral $\sigma$ de $N_{\mathbb{R}}$ donné on définit le semi-groupe

$$S_{\sigma} = \sigma^{\vee} \cap N^{\vee},$$

où $\sigma^{\vee}$ (resp. $N^{\vee} = M$) désigne le cône (resp. réseau) dual de $\sigma$ (resp. $N$). La variété torique affine sur un corps $k$ associée à $\sigma$ est la variété affine

$$(2.1) \qquad U_{\sigma} = \text{Spec}(k[S_{\sigma}]).$$

On remarque que si $\sigma, \tau$ sont deux cônes de $N_{\mathbb{R}}$, alors

$$\tau \subset \sigma \Rightarrow U_{\tau} \subset U_{\sigma}.$$

Étant donné un réseau $N$ et un éventail $\Delta$, on définit une variété algébrique $X = X(\Delta)$ sur $k$ par recollement des ouverts $U_{\sigma}$ pour $\sigma \in \Delta$. Nous renvoyons le lecteur à [F, §§1–3] pour plus de détails sur les variétés toriques. Remarquons que la variété $X(\Delta)$ est lisse (resp. complète) si $\Delta$ est régulier (resp. complet).

Nous allons considérer une variété torique $X$ de dimension $n$ définie par un éventail $\Delta$ à $d = n + r$ arêtes dont les générateurs seront notés dans cette section $v_1, \dots, v_n, v_{n+1}, \dots, v_{n+r} \in \mathbb{Z}^n$, et un réseau $N = \mathbb{Z}^n$. On note $D_1, \dots, D_n, \dots, D_{n+r}$ les diviseurs associés aux vecteurs générateurs (voir [F, §3.3]). Rappelons que dans le cas où $X$ est lisse, le groupe de Picard de $X$ est de rang $r$. Pour simplifier nous allons imposer une première condition aux variétés toriques que nous considérerons : nous nous intéresserons exclusivement aux variétés toriques complètes lisses dont le cône effectif est simplicial et que tout diviseur effectif soit combinaison linéaire de $r$ diviseurs $D_i$, disons $[D_{n+1}], \dots, [D_{n+r}]$. Une première question naturelle est si ceci peut
se traduire en termes de propriétés sur les cônes de l'éventail. Nous allons répondre à cette question dans ce qui va suivre.

On souhaite donc avoir, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$,

$$[D_i] = \sum_{j=1}^{r} a_{i,j} [D_{n+j}]$$

avec $a_{i,j} \in \mathbb{N}$ pour tous $i, j$. Ceci équivaut à dire qu'il existe des entiers naturels $a_{i,j}$ tels que les diviseurs $D_i - \sum_{j=1}^r a_{i,j}D_{n+j}$ soient principaux pour tous $i \in \{1, \dots, n\}$. Rappelons que les diviseurs principaux de $X$ sont exactement les diviseurs $\text{div}(\chi^u)$ associés aux caractères $\chi^u$ du tore de $X$ (voir [F]) pour $u \in M = N^\vee = \mathbb{Z}^n$ définis par

$$\text{div}(\chi^u) = \sum_{k=1}^{n+r} \langle u, v_k \rangle D_k.$$

On cherche donc des vecteurs $u_1, \dots, u_n \in \mathbb{Z}^n$ tels que pour tous $i, j \in \{1, \dots, n\}$,

$$(2.2) \qquad \langle u_i, v_j \rangle = \delta_{i,j}$$

(i.e. $(u_1, \dots, u_n)$ est la base duale de $(v_1, \dots, v_n)$ au sens des espaces vectoriels) et

$$(2.3) \qquad \langle u_i, v_k \rangle \le 0$$

pour tout $k \in \{n+1, \dots, n+r\}$. Ceci implique en particulier que $(v_1, \dots, v_n)$ est une famille génératrice d'un cône maximal (i.e. de dimension $n$) de $\Delta$. En effet, puisque $\Delta$ est complet, si le cône $C\langle v_1, \dots, v_n \rangle$ engendré par $v_1, \dots, v_n$ n'est pas un cône maximal de $\Delta$, alors il existe $j \in \{1, \dots, n\}$ tel que $v_{n+j} \in C\langle v_1, \dots, v_n \rangle$, donc il existe des coefficients $\alpha_i \ge 0$ non tous nuls tels que $v_{n+j} = \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i$. Mais ceci implique

$$\forall k \in \{1, \dots, n\}, \quad \langle u_k, v_{n+j} \rangle = \langle u_k, \sum_{i=1}^{n} \alpha_i v_i \rangle = \alpha_k,$$

et donc d'après (2.3),

$$\forall k \in \{1, \dots, n\}, \quad \alpha_k \le 0,$$

d'où contradiction. Donc $C\langle v_1, \dots, v_n \rangle$ est bien un cône maximal de $\Delta$.

Puisque l'on a supposé que $X$ est lisse, $(v_1, \dots, v_n)$ est alors une base du réseau $\mathbb{Z}^n$ dont $(u_1, \dots, u_n)$ est la base duale (au sens des réseaux). La condition (2.3) impose d'autre part que pour cette base duale $(u_1, \dots, u_n)$,

$$\forall k \in \{n+1, \dots, n+r\}, \quad \langle u_i, v_k \rangle \le 0.$$

Une condition nécessaire et suffisante pour que ceci soit vérifié est que

$$v_{n+1}, \dots, v_{n+r} \in C\langle -v_1, \dots, -v_n \rangle$$

où $C\langle -v_1, \dots, -v_n \rangle$ désigne le cône de $\mathbb{R}^n$ engendré par $-v_1, \dots, -v_n$.
### REMARQUE 2.2. Si l'on note

$$ \forall k \in \{1, \dots, r\}, \quad v_{n+k} = - \sum_{i=1}^{n} a_{i,k} v_i, $$

avec $a_{i,k} \in \mathbb{N}$, on vérifie qu'alors

$$ \forall i \in \{1, \dots, n\}, \quad [D_i] = \sum_{k=1}^{r} a_{i,k} [D_{n+k}]. $$

## 2.2. Hauteurs sur les hypersurfaces de variétés toriques.
Étant donnée une variété torique complète lisse $X$ définie par un éventail $\Delta$ à $n+r$ arêtes et un réseau $N = \mathbb{Z}^n$, dont le groupe de Picard et le cône effectif sont engendrés par $[D_{n+1}]$, ..., $[D_{n+r}]$ (cf. section précédente), on considère la classe du diviseur anticanonique de $X$ qui sera de la forme

$$ [-K_X] = \sum_{i=1}^{n+r} [D_i] = \sum_{k=1}^{r} n_k [D_{n+k}] $$

avec $n_1, \dots, n_r \in \mathbb{N}$. On considère alors un diviseur de classe $\sum_{k=1}^r d_k [D_{n+k}]$ avec $d_1, \dots, d_r \in \mathbb{N}$. Une section globale $s$ du fibré en droites associé à ce diviseur sur $X$ permet de définir une hypersurface de $X$ que l'on notera $Y$. La classe du diviseur anticanonique sur $Y$ sera induite par la classe du diviseur

$$ (2.4) \qquad D_0 = \sum_{k=1}^{r} (n_k - d_k) D_{n+k}. $$

Nous allons donner une construction de la hauteur associée à $O(D_0)$ sur $X$. Pour cela, nous utiliserons la construction des hauteurs sur les variétés toriques décrite par Salberger [Sa].

Soit $\nu$ une place sur $\mathbb{Q}$, et $|\cdot|_{\nu} : \mathbb{Q}^* \to \mathbb{R}^+$ la valeur absolue associée. On pose, comme dans la section précédente, $N = \mathbb{Z}^n$, $M = N^\vee = \mathbb{Z}^n$ et $U(\mathbb{Q}_\nu)$ le tore $\text{Hom}(M, \mathbb{Q}_\nu^*)$ qui peut être identifié avec un ouvert dense de Zariski de $X(\mathbb{Q}_\nu)$ à condition de fixer un point de cet ouvert. L'application $\log|\cdot|_{\nu} : \mathbb{Q}_\nu^* \to \mathbb{R}$ induit un morphisme $L : U(\mathbb{Q}_\nu) \to N_{\mathbb{R}} = \mathbb{R}^n$. Pour tout $\sigma \in \Delta$, $L^{-1}(-\sigma)$ est un sous-ensemble fermé de $U(\mathbb{Q}_\nu)$. On note alors $C_{\sigma,\nu}$ l'adhérence de $L^{-1}(-\sigma)$ dans $X(\mathbb{Q}_\nu)$. On utilise ces ensembles $C_{\sigma,\nu}$ pour construire une norme $\|\cdot\|_{D,\nu}$ sur $O(D)$ pour tout diviseur de Weil $D$ sur $X$, via la proposition suivante :

**PROPOSITION 2.3 ([Sa, Proposition 9.2])**. Soit $D = \sum_{i=1}^{n+r} a_i D_i$ un diviseur de Weil sur $X$ et $s$ une section locale analytique de $O(D)$ définie en $P \in X(\mathbb{Q}_\nu)$. Le point $P \in X(\mathbb{Q}_\nu)$ appartient à $C_{\sigma,\nu}$ pour un certain $\sigma \in \Delta$. Soit $\chi^{u(\sigma)}$ un caractère sur $U$ représentant le diviseur de Cartier correspon-
dant à D sur $U_σ$ (i.e. $\langle u(σ), v_i \rangle = -a_i$ pour tout $v_i \in σ(1)$). On pose alors

$$ \|s(P)\|_{D,\nu} = |s(P)\chi^{u(\sigma)}(P)|_{\nu}, $$

et cette expression est indépendante du choix de $\sigma \in \Delta$ tel que $P \in C_{\sigma,\nu}$.

La proposition suivante nous sera utile par la suite.

**PROPOSITION 2.4** ([Sa, Proposition 9.8]). Soit $D = \sum_{i=1}^{n+r} a_i D_i$ un diviseur de Weil sur $X$ tel que $\mathcal{O}(D)$ est engendré par ses sections globales. Pour $\sigma \in \Delta_{\max}$, si $\chi^{-u(\sigma)}$ désigne l'unique caractère sur $U$ qui engendre $\mathcal{O}(D)$ sur $U_σ$ (i.e. $\langle u(σ), v_i \rangle = -a_i$ pour tout $v_i \in σ(1)$), alors $\chi^{-u(σ)}$ est une section globale de $\mathcal{O}(D)$ et $\chi^{-u(σ)}(P) \neq 0$ pour tout $P \in U_σ(Q_ν)$. Si $s$ est une section locale de $\mathcal{O}(D)$ définie en $P \in X(Q_ν)$, alors

$$ \|s(P)\|_{D,\nu} = \inf_{\sigma \in \Delta_{\max}} |s(P)\chi^{u(\sigma)}(P)|_{\nu}, $$

où $\Delta_{\max}$ désigne l'ensemble des cônes de $\Delta$ de dimension $n$. De plus, si $D$ est ample et $\sigma \in \Delta_{\max}$, alors $C_{\sigma,\nu}$ est l'ensemble des $P \in X(Q_ν)$ tels que $|\chi^{u(σ)-u(τ)}(P)|_ν \le 1$ pour tout $τ \in \Delta_{\max}$.

On peut alors définir la hauteur associée à un diviseur $D$. Si $D = \sum_{i=1}^{n+r} a_i D_i$ est un diviseur de Weil sur $X$ et $P \in X(Q)$, la hauteur associée à $D$ est l'application $H_D : X(Q) \to [0, \infty[$ définie par

$$ H_D(P) = \prod_{\nu \in \text{Val}(Q)} \|s(P)\|_{D,\nu}^{-1}, $$

où $\text{Val}(Q)$ désigne l'ensemble des places de $Q$, et $s$ une section locale de $\mathcal{O}(D)$ définie en $P$ telle que $s(P) \neq 0$.

**REMARQUE 2.5.** Comme on peut le voir dans [Sa, Proposition 10.12], pour tout $P \in U(Q)$, $H_D(P)$ ne dépend que de la classe de $D$ dans $\text{Pic}(X)$.

Par la suite, on notera $H$ la hauteur sur $X$ associée au diviseur $D_0$ défini par (2.4). Notre objectif sera alors d'évaluer

$$ \mathcal{N}_V(B) = \text{card}\{P \in V(Q) \cap Y(Q) \mid H(P) \le B\} $$

pour un certain ouvert dense $V \subset U$ de $X$. Pour évaluer cette quantité il est plus pratique de se ramener à compter le nombre de points de hauteur bornée sur un torseur universel (voir [Sa, §3] pour la définition) associé à $X$. Pour les variétés toriques, la construction du torseur universel est relativement simple et est donnée dans [Sa, §8]. Nous allons rappeler cette construction.

On considère le réseau $N_0 = \mathbb{Z}^{n+r}$ et $M_0 = N_0^\vee = \mathbb{Z}^{n+r}$. À tout générateur $v_i$ d'une arête du cône $\Delta$ on associe l'élément $e_{0,i}$ de la base canonique de $N_0 = \mathbb{Z}^{n+r}$. On pose alors $N_1 = N_0$ et on note $\Delta_1$ l'éventail constitué de tous les cônes engendrés par les $e_{0,i}$. La variété torique $X_1$ déterminée par $(N_1, \Delta_1)$ est alors l'espace affine $\mathbb{A}^{n+r}$. Pour tout $\sigma \in \Delta$, on note d'autre part $\sigma_0$ le
cône de $N_{0,\mathbb{R}}$ engendré par les $e_{0,i}$ pour $i$ tels que $v_i \in \sigma$. Les cônes $\sigma_0$ ainsi asso-
sociés forment alors un éventail régulier $\Delta_0$ de $N_{0,\mathbb{R}}$ (cf. [Sa, Proposition 8.4]),
et $(\Delta_0, N_0)$ définit une variété torique $X_0 \subset X_1$. Soit $U_{0,\sigma} = \text{Spec}(\mathbb{Q}[S_{\sigma_0}])$
où $S_{\sigma_0} = \sigma_0^{\vee} \cap M_0$. Les morphismes toriques $\pi_{\sigma}: U_{0,\sigma} \to U_{\sigma}$ définis par les
applications naturelles de $\sigma_0$ sur $\sigma$ se recollent en un morphisme $\pi: X_0 \to X$
qui est alors un torseur universel sur $X$ (cf. [Sa, Proposition 8.5]).

Étant donné que $X_0 \subset X_1 = \text{A}_{\mathbb{Q}}^{n+r}$, les points de $X_0$ s'écrivent sous forme
de $(n+r)$-uplets de coordonnées $\boldsymbol{x} = (x_1, \dots, x_n, x_{n+1}, \dots, x_{n+r})$. On notera
alors, pour tout diviseur $D = \sum_{i=1}^{n+r} a_i D_i$,

$$
\boldsymbol{x}^D = \prod_{i=1}^{n+r} x_i^{a_i}.
$$

REMARQUE 2.6. Si σ ∈ Δ, on note

$$
\underline{\sigma} = \sum_{i \mid v_i \notin \sigma(1)} D_i.
$$

Alors $U_{0,\sigma}$ est l'ouvert de $X_1$ déterminé par $\boldsymbol{x}^{\underline{\sigma}} \neq 0$, et donc $X_0$ est l'ouvert
de $X_1$ défini par

$$
\boldsymbol{x} \in X_0 \Leftrightarrow \exists \sigma \in \Delta_{\max}, \boldsymbol{x}^{\underline{\sigma}} \neq 0.
$$

En rappelant que $D_0 = \sum_{k=1}^{r} (n_k - d_k)D_{n+k}$, on définit alors les diviseurs $D(\sigma)$ associés :

DÉFinition 2.7. Soit $\sigma \in \Delta_{\max}$, et soit $\chi^{u(\sigma)}$ le caractère de $U$ tel que
$\chi^{-u(\sigma)}$ engendre $\mathcal{O}(D_0)$ sur $U_{\sigma}$. On pose alors

$$
D(\sigma) = D_0 + \sum_{v_i \in \sigma(1)} \langle -u(\sigma), v_i \rangle D_i.
$$

REMARQUE 2.8. Les diviseurs $D(\sigma)$ ne dépendent que de la classe de $D_0$
dans $\text{Pic}(X)$.

LEMME 2.9. Soit $\sigma \in \Delta_{\max}$. Si $\mathcal{O}(D_0)$ est engendré par ses section globales, alors $\chi^{-u(\sigma)}$ est une section globale de $\mathcal{O}(D_0)$, et $D(\sigma)$ est un diviseur effectif à support contenu dans $\bigcup_{v_i \notin \sigma(1)} D_i$.

Démonstration. Si $\mathcal{O}(D_0)$ est engendré par ses sections globales alors, pour tout $\sigma \in \Delta_{\max}$, il existe une section globale de $\mathcal{O}(D_0)$ qui engendre $\mathcal{O}(D_0)$ sur $U_{\sigma}$. Or, $U_{\sigma}$ est un espace affine, donc à multiplication par un scalaire près, il existe une unique section locale qui engendre $\mathcal{O}(D_0)$ sur $U_{\sigma}$. Donc la section locale $\chi^{-u(\sigma)}$ est en fait une section globale.

Par conséquent, d'après la description de $\Gamma(X, D_0)$ donnée dans [F, p. 68]
on a

$$
\langle -u(\sigma), v_i \rangle \geq -a_i
$$

où $a_i = 0$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et $a_{n+k} = n_k - d_k$ pour tout $k \in \{1, \dots, r\}$.
De plus, on a $\langle -u(\sigma), v_i \rangle = -a_i$ pour tout $i$ tel que $v_i \in \sigma(1)$. Donc $D(\sigma)$ est bien effectif et à support contenu dans $\cup_{v_i \notin \sigma(1)} D_i$. ■

Nous pouvons à présent définir une fonction hauteur $H_0$ sur $X_0(\mathbb{Q})$ en posant simplement $H_0 = H \circ \pi$.

**PROPOSITION 2.10.** On suppose que $\mathcal{O}(D_0)$ est engendré par ses sections globales. Avec les notation ci-dessus, on a

$$ \forall P_0 = \boldsymbol{x} \in X_0(\mathbb{Q}), \quad H_0(P_0) = \prod_{\nu \in \text{Val}(\mathbb{Q})} \sup_{\sigma \in \Delta_{\max}} |\boldsymbol{x}^{D(\sigma)}|_{\nu}. $$

*Démonstration.* La démonstration est directement inspirée de la preuve de [Sa, Proposition 10.14]. On considère un point $P_0 \in X_0(\mathbb{Q})$, $P = \pi(P_0)$, et $\tau \in \Delta_{\max}$ tel que $P \in U_{\tau}$. Alors $\chi^{-u(\tau)}$ est une section locale définie en $P \in U_{\tau}$, et $\|\chi^{-u(\tau)}(P)\|_{D_0, \nu} = \inf_{\sigma \in \Delta_{\max}} |\chi^{u(\sigma)-u(\tau)}|_{\nu}$.

Remarquons que puisque $P \in U_{\tau}$, d'après le lemme 2.9, $\boldsymbol{x}^{D(\tau)} \neq 0$ (étant donné que $D(\tau)$ est effectif à support contenu dans $\cup_{v_i \notin \sigma(1)} D_i$), et que

$$ \frac{\boldsymbol{x}^{D(\sigma)}}{\boldsymbol{x}^{D(\tau)}} = \chi^{u(\tau)-u(\sigma)}(P). $$

Par conséquent, si $s$ désigne la section locale $\chi^{-u(\tau)}$, on a

$$ \|s(P)\|_{D_0, \nu}^{-1} = \sup_{\sigma \in \Delta_{\max}} \left| \frac{\boldsymbol{x}^{D(\sigma)}}{\boldsymbol{x}^{D(\tau)}} \right|_{\nu}. $$

De plus, par la formule du produit, on a $\prod_{\nu \in \text{Val}(\mathbb{Q})} |\boldsymbol{x}^{D(\tau)}|_{\nu} = 1$, d'où le résultat. ■

De la même manière que nous avons construit $X_0$, on peut construire un $\mathbb{Z}$-torseur universel sur la variété $\tilde{X}$ sur $\mathbb{Z}$ obtenue à partir des ouverts affines $\tilde{U}_{\sigma} = \text{Spec}(\mathbb{Z}[S_{\sigma}])$ (voir [Sa, p. 207]). On notera ce torseur $\tilde{\pi} : \tilde{X}_0 \to \tilde{X}$. On considère alors la proposition suivante (issue de [Sa, Proposition 11.3]):

**PROPOSITION 2.11.** Soit $P_0 = \boldsymbol{x} \in X_0(\mathbb{Q})$ qui se relève en un $\mathbb{Z}$-point $\tilde{P}_0 = \tilde{\boldsymbol{x}}$ de $\tilde{X}_0$. Alors

$$ H_0(P_0) = \sup_{\sigma \in \Delta_{\max}} |\tilde{\boldsymbol{x}}^{D(\sigma)}|, $$

où $|\cdot|$ désigne la valeur absolue usuelle sur $\mathbb{R}$.

Plutôt que de compter les $\mathbb{Q}$-points de hauteur bornée de $X$, nous allons compter les $\mathbb{Z}$-points de $\tilde{X}_0$ en utilisant le lemme ci-dessous :

**LEMME 2.12** ([Sa, démonstration du Lemme 11.4a)]. Pour $m \in \mathbb{N}$, soient

$$ c(m) = \text{card}\{P \in U(\mathbb{Q}) \mid H(P) = m\}, $$

$$ c_0(m) = \text{card}\{P \in \tilde{X}_0 \cap U_0(\mathbb{Q}) \mid H_0(P_0) = m\}. $$

$$ \text{Alors } c(m) = c_0(m)/2^r. $$
Ainsi, étant donné un ouvert de Zariski $V$ de $X$, si l'on note

$$ \mathcal{N}_{0,V}(B) = \mathrm{card}\{P_0 \in \tilde{Y}_0(\mathbb{Z}) \cap U_0(\mathbb{Q}) \cap \pi^{-1}(V) \mid H_0(P_0) \le B\} $$

(où $\tilde{Y}_0$ est l'hypersurface de $\tilde{X}_0$ correspondant à l'hypersurface $Y$ de $X$), on a

$$ \mathcal{N}_V(B) = \mathcal{N}_{0,V}(B)/2^r. $$

Nous chercherons donc dorénavant à évaluer $\mathcal{N}_{0,V}(B)$. Nous allons le faire pour le cas des variétés toriques complètes lisses à $n+2$ générateurs (i.e. cas où $r=2$). Nous allons d'abord, dans la section suivante, décrire ces variétés, puis construire la hauteur sur les torseurs universels correspondants.

**2.3. Cas des variétés toriques à $n+2$ générateurs.** On considère $n+2$ vecteurs $v_0, v_1, \dots, v_n, v_{n+1} \in \mathbb{Z}^n$ tels que $(v_1, \dots, v_n)$ forme une base de $\mathbb{Z}^n$ et

$$ \left\{ \begin{array}{l} v_0 = - \sum_{i=1}^{r} v_i - \sum_{i=r+1}^{m} a_i v_i, \\ v_{n+1} = - \sum_{i=r+1}^{n} v_i, \end{array} \right. $$

où $1 \le r \le m \le n$, et $a_i \in \mathbb{Z}$. On pose $I = \{0, \dots, r\}$ et $J = \{r+1, \dots, n+1\}$. On considère l'éventail $\Delta$ défini par les cônes maximaux :

$$ \sigma_{i,j} = C \langle (v_k)_{k \in I, k \neq i}, (v_l)_{l \in J, l \neq j} \rangle $$

pour tous $i \in I$ et $j \in J$. D'après [K, Théorème 1], toute variété torique complète lisse dont l'éventail $\Delta$ admet $n+2$ arêtes est isomorphe à une variété torique de ce type pour un certain $(r, m, (a_i)_{i \in \{r+1, \dots, m\}})$ fixé.

Dans ce qui va suivre, nous nous intéresserons exclusivement à la sous-famille de ces variétés définies par $a_{r+1} = \dots = a_m = 1$ de sorte que $v_0 = - \sum_{i=1}^m v_i$. Pour cette sous-famille, les hypersurfaces considérées auront la particularité d'être définies par des polynômes homogènes en certaines variables, ce qui sera utile pour pouvoir appliquer les méthodes de différenciations utilisées par Schindler [Sch1], [Sch2].

Remarquons que dans ce cas précis, d'après les résultats obtenus dans la section 2.1, si, pour tout $i \in \{0, 1, \dots, n\}$, $D_i$ désigne le diviseur associé à $v_i$, on a

$$ \begin{align*} [D_1] &= [D_0], & [D_{r+1}] &= [D_0] + [D_{n+1}], & [D_{m+1}] &= [D_{n+1}], \\ [D_2] &= [D_0], & [D_{r+2}] &= [D_0] + [D_{n+1}], & [D_{m+2}] &= [D_{n+1}], \\ \dots & & \dots & & \dots \\ [D_r] &= [D_0], & [D_m] &= [D_0] + [D_{n+1}], & [D_n] &= [D_{n+1}]. \end{align*} $$

La classe du diviseur anticanonique de $X$ est alors donné par (cf. [F])

$$ [-K_X] = \sum_{i=0}^{n+1} [D_i] = (m+1)[D_0] + (n-r+1)[D_{n+1}]. $$
Considérons à présent une hypersurface $Y$ de $X$ donnée par une section globale $s$ de $\mathcal{O}(D)$ où $D$ désigne le diviseur $d_1D_0 + d_2D_{n+1}$. Le diviseur anticanonique de $Y$ est alors le diviseur induit par

$$ (m + 1 - d_1)[D_0] + (n - r + 1 - d_2)[D_{n+1}]. $$

### REMARQUE 2.13.
Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons que le diviseur anticanonique de $Y$ appartient à l'intérieur du cône effectif. Ceci revient à dire, d'après ce qui précède, que $m + 1 > d_1$ et $n - r + 1 > d_2$. Par ailleurs, pour des raisons pratiques quant à la définition de la hauteur, nous supposerons également que $m + r - n - d_1 + d_2 \ge 1$.

D'autre part, les sections globales de $\mathcal{O}(D)$ sont données par (cf. [F, §3.4])

$$ \Gamma(X, \mathcal{O}(D)) = \bigoplus_{u \in P_D \cap \mathbb{Z}^n} \mathbb{C} \cdot \chi^u, $$

où $\chi^u$ est le caractère associé à $u$, et $P_D$ le polytope

$$ P_D = \{u \in \mathbb{Z}^n \mid \forall k \in \{1, \dots, n\}, \langle u, v_k \rangle \ge 0, \\ \langle u, v_0 \rangle \ge -d_1 \text{ et } \langle u, v_{n+1} \rangle \ge -d_2 \}. $$

Chaque section (à coefficients rationnels) $s = \sum_{u \in P_D \cap \mathbb{Z}^n} \alpha_u \chi^u$ où $\alpha_u \in \mathbb{Q}$ définit une hypersurface $Y$ (que l'on suppose lisse) de $X$, et se relève en une fonction $f: \tilde{X}_0 \to \mathbb{R}$ définie par, pour tous $(x, y, z) \in \mathbb{Q}^{n+2}$ tels que $x_0 \neq 0$ et $z_{n+1} \neq 0$,

$$ f(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = \sum_{u \in P_D \cap \mathbb{Z}^n} \alpha_u \prod_{i=0}^{r} x_i^{\langle u, v_i \rangle} \prod_{j=r+1}^{m} y_j^{\langle u, v_j \rangle} \prod_{k=m+1}^{n+1} z_k^{\langle u, v_k \rangle}. $$

L'hypersurface de $\tilde{X}_0$ définie par l'annulation de cette fonction correspond alors au torseur universel au-dessus de $Y$. Par conséquent, en utilisant le lemme 2.12, on a que les $\mathbb{Q}$-points de $Y$ correspondent (modulo l'action des points de torsion de $T_{\text{NS}}$) aux $\mathbb{Z}$-points $(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$ de $\tilde{X}_0$ tels que $F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0$ où $F$ est le polynôme

$$ F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = x_0^{d_1} z_{n+1}^{d_2} f(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}). $$

### REMARQUE 2.14.
On remarque que le polynôme ainsi défini est de degré homogène égal à $d_1$ en $(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ et de degré homogène $d_2$ en $(\mathbf{y}, \mathbf{z})$, c'est-à-dire, pour tous $\lambda, \mu \in \mathbb{C}$,

$$ F(\lambda \mathbf{x}, \lambda \mu \mathbf{y}, \mu \mathbf{z}) = \lambda^{d_1} \mu^{d_2} F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}). $$

En effet, le degré de chaque monôme en $(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ est

$$ d_1 + \langle u, v_0 \rangle + \sum_{i=1}^{m} \langle u, v_i \rangle = d_1, $$

car $v_0 = - \sum_{i=1}^{m} v_i$, et de même pour $(\mathbf{y}, \mathbf{z})$.
Réciproquement, on peut voir que tout polynôme en $(x, y, z)$ de degré homogène $d_1$ en $(x)$ et de degré homogène $d_2$ en $(y, z)$ est un polynôme correspondant à une unique section globale $s$ de $\mathcal{O}(D)$.

REMARQUE 2.15. Dans tout ce qui va suivre on supposera que l'hyper-surface $Y$ définie par $F(x, y, z) = 0$ est lisse. En fait, cette propriété est vraie pour un ouvert dense de Zariski de coefficients $(\alpha_u)_{u \in P_D \cap \mathbb{Z}^n}$. D'autre part, pour un ouvert dense de coefficients $(\alpha_u)_{u \in P_D \cap \mathbb{Z}^n}$, la variété $V_1^*$ (resp. $V_2^*$) définie par (1.1) (resp. (1.2)) est de dimension $n - m + 1$ (resp. $r + 1$).

Nous allons à présent construire la hauteur sur $X$ associée au diviseur $D_Y = (m + 1 - d_1)D_0 + (n - r + 1 - d_2)D_{n+1}$ (correspondant au diviseur anticanonique sur $Y$). Comme précédemment, d'après [F, §3.4], les sections globales de $\mathcal{O}(D_Y)$ sont données par

$$ \Gamma(X, \mathcal{O}(D_Y)) = \bigoplus_{u \in P_{D_Y} \cap \mathbb{Z}^n} \mathbb{C} \cdot \chi^u, $$

où $P_{D_Y}$ est le polytope

$$ P_{D_Y} = \{u \in \mathbb{Z}^n \mid \forall k \in \{1, \dots, n\}, \langle u, v_k \rangle \ge 0, \\ \langle u, v_0 \rangle \ge m + 1 - d_1 \text{ et } \langle u, v_{n+1} \rangle \ge n - r + 1 - d_2 \}. $$

Une base des sections globales est donc donnée par les $(\chi^u)_{u \in P_{D_Y}}$, qui se relèvent en des fonctions $(f_u)_{u \in P_{D_Y}}$ de $\tilde{X}_0$ dans $\mathbb{R}$ qui sont exactement les monômes en $(x, y, z)$ de degré $m+1-d_1$ en $(x, y)$ et de degré $n-r+1-d_2$ en $(y, z)$. La hauteur $H$ associée à $D_Y$ est donc définie sur $\tilde{X}_0(\mathbb{Z}) \subset \mathbb{Z}^{n+2}$ par, pour tout $q = (x, y, z) \in \tilde{X}_0(\mathbb{Z})$,

$$ \begin{align*} H_0(\boldsymbol{q}) &= \max_{\substack{\forall i,j,k, \alpha_i, \beta_j, \gamma_k \in \mathbb{N} \\ \sum_{i=0}^r \alpha_i + \sum_{j=r+1}^m \beta_j = m+1-d_1 \\ \sum_{j=r+1}^m \beta_j + \sum_{k=m+1}^{n+1} \gamma_k = n-r+1-d_2}} \prod_{i=0}^r |x_i|^{\alpha_i} \prod_{j=r+1}^m |y_j|^{\beta_j} \prod_{k=m+1}^{n+1} |z_k|^{\gamma_k} \\ &= \max_{\substack{\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N} \\ \alpha+\beta=m+1-d_1 \\ \beta+\gamma=n-r+1-d_2}} |\boldsymbol{x}|^{\alpha} |\boldsymbol{y}|^{\beta} |\boldsymbol{z}|^{\gamma} \\ &= \max\{|\boldsymbol{x}|^{m+1-d_1} |\boldsymbol{z}|^{n-r+1-d_2}, |\boldsymbol{x}|^{(m+1-d_1)-(n-r+1-d_2)} |\boldsymbol{y}|^{n-r+1-d_2}\} \\ &= |\boldsymbol{x}|^{m+1-d_1} \max(|\boldsymbol{y}|/|\boldsymbol{x}|, |\boldsymbol{z}|)^{n-r+1-d_2}. \end{align*} $$

Remarquons enfin que dans le cas présent, $\tilde{X}_0(\mathbb{Z}) \subset \mathbb{Z}^{n+2}$ peut être décrit comme l'ensemble des $(n+2)$-uplets d'entiers notés $\boldsymbol{q} = (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})$, avec $\boldsymbol{x} = (x_0, x_1, \dots, x_r)$, $\boldsymbol{y} = (y_{r+1}, \dots, y_m)$, $\boldsymbol{z} = (z_{m+1}, \dots, z_{n+1})$, tels que (cf. [Sa, 11.5])

$$ (2.5) \qquad \exists \sigma \in \Delta_{\max}, \quad \boldsymbol{q}^{\sigma} \neq \boldsymbol{0}, $$

$$ (2.6) \qquad \text{pgcd}_{\sigma \in \Delta_{\max}}(\boldsymbol{q}^{\sigma}) = 1, $$
Par la définition de $\Delta$ et des cônes maximaux $(\sigma_{i,j})_{(i,j)\in I\times J}$, on a

$$ \underline{q}^{\sigma_{i,j}} = \prod_{l \notin \sigma_{i,j}} q_l = q_i q_j. $$

Par conséquent, la condition (2.5) équivaut à

$$ (2.7) \qquad \mathbf{x} \neq \mathbf{0} \quad \text{et} \quad (\mathbf{y}, \mathbf{z}) \neq \mathbf{0}. $$

De même, on remarque que $\text{pgcd}_{\sigma \in \Delta_{\max}}(\underline{q}^{\sigma}) = \text{pgcd}(\mathbf{x}) \text{pgcd}(\mathbf{y}, \mathbf{z})$, et la condition (2.6) équivaut donc à

$$ (2.8) \qquad \text{pgcd}(\mathbf{x}) = 1 \quad \text{et} \quad \text{pgcd}(\mathbf{y}, \mathbf{z}) = 1. $$

Ainsi, calculer $N(B) = \text{card}\{P \in Y(\mathbb{Q}) \mid H(P) \le B\}$ revient à calculer le nombre de points de

$$ \{\mathbf{q} = (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \tilde{X}_0(\mathbb{Z}) \mid H(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \le B\}. $$

Par ailleurs, quitte à appliquer une inversion de Möbius (en un sens que nous préciserons ultérieurement), on peut se ramener au calcul de

$$ N_{d,U}(B) = \text{card}\{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}^{n+2} \cap U \mid \mathbf{x} \neq \mathbf{0}, (\mathbf{y}, \mathbf{z}) \neq (\mathbf{0}, \mathbf{0}), F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0, H_d(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \le B\} $$

pour un certain ouvert $U$ que nous préciserons ultérieurement, et pour tout $d \in \mathbb{N}^*$, avec

$$ (2.9) \qquad H_d(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = |\mathbf{x}|^{m+1-d_1} \max\left(\frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|}, |\mathbf{z}|\right)^{n-r+1-d_2}. $$

Nous allons donc chercher à obtenir une formule asymptotique pour $N_{d,U}(B)$.

**3. Première étape.** Nous allons établir une formule asymptotique pour $N_{U,d}(B)$, pour un $d \in \mathbb{N}^*$ fixé, en nous inspirant de la méthode décrite par Schindler [Sch1], [Sch2]. L'idée générale est de considérer la fonction $h_d : \mathbb{N}^2 \to [0, \infty[$ définie par

$$ (3.1) \qquad h_d(k,l) = \text{card}\left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}^{n+2} \cap U \;\middle|\; \begin{array}{l} |\mathbf{x}| = k, \\ \max\left(\left|\frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|}\right|, |\mathbf{z}|\right) = l \quad \text{et} \quad F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0 \end{array} \right\}. $$

(où $U$ est un ouvert de Zariski de $\mathbb{A}^{n+2}$ que nous préciserons ultérieurement), de donner des formules asymptotiques pour

$$ \sum_{k \le P_1} \sum_{l \le P_2} h_d(k,l), \quad \sum_{k \le P_1} h_d(k,l) \quad \text{et} \quad \sum_{l \le P_2} h_d(k,l), $$
afin de pouvoir appliquer un résultat de Blomer et Brüdern [B-B] pour en déduire une formule asymptotique pour

$$ \sum_{k^{m+1-d_1} l^{n-r+1-d_2} \le B} h_d(k, l) \sim_{B \to \infty} N_{U,d}(B). $$

Dans cette première partie, pour des réels $P_1, P_2 \ge 1$ fixés, nous allons chercher à calculer

$$ (3.2) \quad N_d(P_1, P_2) = \mathrm{card}\{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in (P_1\mathcal{B}_1 \times dP_1P_2\mathcal{B}_2 \times P_2\mathcal{B}_3) \cap \mathbb{Z}^{n+2} \mid |\mathbf{y}| \le d|\mathbf{x}|P_2 \text{ et } F(dx, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0\}, $$

où $\mathcal{B}_1 = [-1, 1]^{r+1}$, $\mathcal{B}_2 = [-1, 1]^{m-r}$, $\mathcal{B}_3 = [-1, 1]^{n-m+1}$. Plus précisément, nous allons montrer que pour $r$ et $n-m$ assez grands on a

$$ N_d(P_1, P_2) = \sigma_d P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2} + O(d^v P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2} \min\{P_1, P_2\}^{-\delta}), $$

où $\sigma_d$ est une constante (ne dépendant que de $d$), $\delta > 0$ un réel arbitrairement petit et $v$ un réel que nous préciserons. Ceci nous permettra plus tard d'obtenir une formule pour $\sum_{k \le P_1} \sum_{l \le P_2} h_d(k, l)$.

**3.1. Une inégalité de Weyl.** Dans toute cette partie nous allons poser $1 \le P_2 \le P_1$. On notera donc $P_1 = P_2^b$ avec $b \ge 1$. Nous allons évaluer $N_d(P_1, P_2)$ en nous inspirant de la méthode du cercle de Hardy-Littlewood. Pour cela, on introduit la fonction génératrice définie par

$$ (3.3) \quad S_d(\alpha) = \sum_{\substack{\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^{r+1} \\ |\mathbf{x}| \le P_1}} \sum_{\substack{\mathbf{y} \in \mathbb{Z}^{m-r} \\ |\mathbf{y}| \le d|\mathbf{x}|P_2}} \sum_{\substack{\mathbf{z} \in \mathbb{Z}^{n-m+1} \\ |\mathbf{z}| \le P_2}} e(\alpha F(dx, \mathbf{y}, \mathbf{z})). $$

pour $\alpha \in [0, 1]$, et où $e$ désigne la fonction $x \mapsto \exp(2i\pi x)$. On remarque alors que

$$ N_d(P_1, P_2) = \int_0^1 S_d(\alpha) \, d\alpha. $$

Étant donnés $\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^{r+1}$ et $\mathbf{y} \in \mathbb{Z}^{m-r}$, on constate que

$$ |\mathbf{y}| \le d|\mathbf{x}|P_2 \Leftrightarrow |\mathbf{x}| \ge \frac{|\mathbf{y}|}{dP_2} \Leftrightarrow |\mathbf{x}| \ge \left\lfloor \frac{|\mathbf{y}|}{dP_2} \right\rfloor. $$

En posant $N = \lfloor \frac{|\mathbf{y}|}{dP_2} \rfloor$ (ce qui équivaut à dire que $|\mathbf{y}| \in ]d(N-1)P_2, dNP_2]$), on remarque que $S(\alpha)$ peut être réexprimée sous la forme

$$ S_d(\alpha) = \sum_{N=1}^{P_1} S_{d,N}(\alpha), $$
où

$$
(3.4) \quad S_{d,N}(\alpha) = \sum_{N \le |\boldsymbol{x}| \le P_1} \sum_{d(N-1)P_2 < |\boldsymbol{y}| \le dNP_2} \sum_{|\boldsymbol{z}| \le P_2} e(\alpha F(d\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})).
$$

Si

$$
\mathcal{E}_N = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{Z}^{m-r} \mid d(N-1)P_2 < |\mathbf{y}| \le dNP_2 \},
$$

on remarque que

$$
\mathcal{E}_N = \bigcup_{\mathcal{I} \subset \{r+1, \dots, m\} \atop \mathcal{J} \subset \{r+1, \dots, m\} \atop \mathcal{J} \neq \emptyset} \bigcup_{\mathcal{J} \neq \emptyset} \mathcal{C}_{N, \mathcal{I}, \mathcal{J}}
$$

avec

$$
(3.5) \quad \mathcal{C}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}} = \left\{ \mathbf{y} \in \mathcal{E}_N \mid \begin{array}{@{}l@{}} \forall i \in \mathcal{I}, y_i \ge 0 \text{ et } \forall i \notin \mathcal{I}, y_i < 0, \\ \quad \forall j \in \mathcal{J}, |y_j| > d(N-1)P_2 \text{ et } \forall j \notin \mathcal{J}, |y_j| \le d(N-1)P_2 \end{array} \right\}.
$$

On a alors

$$
(3.6) \quad S_{d,N}(\alpha) \ll \sum_{\mathcal{I}, \mathcal{J} \subset \{r+1, \dots, m\} \atop \mathcal{J} \neq \emptyset} |S_{d,N,\mathcal{I},\mathcal{J}}(\alpha)|
$$

où

$$
(3.7) \quad S_{d,N,\mathcal{I},\mathcal{J}}(\alpha) = \sum_{|\boldsymbol{x}|\le P_1} \sum_{\boldsymbol{y}\in\mathcal{C}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}}} \sum_{|\boldsymbol{z}|\le P_2} e(\alpha F(d\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z})).
$$

Par une inégalité de Hölder on a, pour N fixé,

$$
(3.8) \quad |S_{d,N,\mathcal{I},\mathcal{J}}(\alpha)|^{2d_2-1} \ll P_1^{(r+1)(2d_2-1)-1} \sum_{|\boldsymbol{x}|\le P_1} |S_{d,N,\mathcal{I},\mathcal{J},\boldsymbol{x}}(\alpha)|^{2d_2-1},
$$

où l'on a noté

$$
(3.9) \quad S_{d,N,\mathcal{I},\mathcal{J},\boldsymbol{x}}(\alpha) = \sum_{\boldsymbol{y} \in \mathcal{C}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}}} \sum_{|\boldsymbol{z}| \le P_2} e(\alpha F(d\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})).
$$

Désormais, pour alléger les notations, on posera $\llbracket n \rrbracket = \{1, \dots, n\}$.

Nous allons chercher à « linéariser » le polynôme $F$ en appliquant un opérateur $\Delta$ défini de la façon suivante : pour tout polynôme $f$ à $N$ variables on pose, pour tous $\mathbf{t}_1, \mathbf{t}_2 \in \mathbb{R}^N$,

$$
\Delta_{\mathbf{t}_1} f(\mathbf{t}_2) = f(\mathbf{t}_1 + \mathbf{t}_2) - f(\mathbf{t}_1).
$$

Dans ce qui suit, nous appliquons $d_2 - 1$ fois l'opérateur $\Delta$ à $F$ en les variables $(\mathbf{y}, \mathbf{z})$, et nous obtenons un polynôme en $d_2(n - r + 1) + r + 1$ variables $(\mathbf{x}, \mathbf{y}^{(j)}, \mathbf{z}^{(j)})_{j \in \llbracket d_2 \rrbracket}$. Puis, en appliquant l'opérateur $\Delta$ $d_1 - 1$ fois à ce polynôme en les variables $(\mathbf{x}, \mathbf{y}^{(j)})_{j \in \llbracket d_2 \rrbracket}$, nous obtenons finalement un polynôme en $(r+1)d_1 + (m-r)d_1d_2 + (n-m+1)d_2$ variables du type
$(\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(j,i)}, \boldsymbol{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}$ de la forme

$$
\Gamma_d^{(1)}((\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(j,i)}, \boldsymbol{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) + G_1((\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(j,i)}, \boldsymbol{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) \\
+ G_2((\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(j,i)}, \boldsymbol{z}^{(j)})_{\llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket})
$$

où $G_1$ (resp. $G_2$) est indépendant de $(\boldsymbol{x}^{(d_1)}, \boldsymbol{y}^{(j,d_1)})_{j \in \llbracket d_2 \rrbracket}$ (resp. de $(\boldsymbol{y}^{(d_2,i)}, \boldsymbol{z}^{(d_2)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket}$), et $\Gamma_d^{(1)}$ est linéaire en $(\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(j,i)})_{j \in \llbracket d_2 \rrbracket}$ pour tout $i \in \llbracket d_1 \rrbracket$ et linéaire en $(\boldsymbol{y}^{(j,i)}, \boldsymbol{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket}$ pour tout $j \in \llbracket d_2 \rrbracket$.

Pour $N, \mathcal{I}, \mathcal{J}$ fixés, posons

$$
\mathcal{U}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}} = \mathcal{C}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}} \times P_2\mathcal{B}_3 \subset dP_1P_2\mathcal{B}_2 \times P_2\mathcal{B}_3, \quad \mathcal{U}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}}^D = \mathcal{U}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}} - \mathcal{U}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}},
$$

et

$$
\mathcal{U}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}}((\mathbf{y}^{(1)}, \mathbf{z}^{(1)}), \dots, (\mathbf{y}^{(t)}, \mathbf{z}^{(t)})) \\
= \bigcap_{(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_t) \in \{0,1\}^t} (\mathcal{U}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}} - \varepsilon_1(\mathbf{y}^{(1)}, \mathbf{z}^{(1)}) - \dots - \varepsilon_t(\mathbf{y}^{(t)}, \mathbf{z}^{(t)})).
$$

Si l'on note $\mathcal{F}(\mathbf{y}, \mathbf{z}) = \alpha F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$ (pour $\mathbf{x}$ fixé), et

$$
(3.10) \quad \mathcal{F}_t((\mathbf{y}^{(1)}, \mathbf{z}^{(1)}), \dots, (\mathbf{y}^{(t)}, \mathbf{z}^{(t)})) \\
\qquad = \sum_{(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_t) \in \{0,1\}^t} (-1)^{\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_t} \mathcal{F}(\varepsilon_1(\mathbf{y}^{(1)}, \mathbf{z}^{(1)})) + \dots + \varepsilon_t(\mathbf{y}^{(t)}, \mathbf{z}^{(t)}),
$$

en utilisant [Schm, (11.2)], on obtient la majoration

$$
|S_{d,N,\mathcal{I},\mathcal{J},\mathbf{x}}|^{2d_2-1} \ll |\mathcal{U}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}}^D|^{2d_2-1-d_2} \sum_{(\mathbf{y}^{(1)},\mathbf{z}^{(1)}) \in \mathcal{U}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}}^D} \dots \sum_{(\mathbf{y}^{(d_2-2)},\mathbf{z}^{(d_2-2)}) \in \mathcal{U}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}}^D} \\
\left| \sum_{(\mathbf{y}^{(d_2-1)},\mathbf{z}^{(d_2-1)}) \in \mathcal{U}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}}((\mathbf{y}^{(1)},\mathbf{z}^{(1)}), \dots, (\mathbf{y}^{(d_2-2)},\mathbf{z}^{(d_2-2)}))} e(\mathcal{F}_{d_2-1}((\mathbf{y}^{(1)},\mathbf{z}^{(1)}), \dots, (\mathbf{y}^{(d_2-1)},\mathbf{z}^{(d_2-1)}))) \right|^2,
$$

que l'on peut encore majorer par

$$
((dP_1P_2)^{m-r}P_2^{n-m+1})^{2d_2-1-d_2} \sum_{\substack{|\mathbf{y}^{(1)}| \le 2dP_1P_2 \\ |\mathbf{z}^{(1)}| \le 2P_2}} \dots \sum_{\substack{|\mathbf{y}^{(d_2-2)}| \le 2dP_1P_2 \\ |\mathbf{z}^{(d_2-2)}| \le 2P_2}} \\
\left| \sum_{(\mathbf{y}^{(d_2-1)}, \mathbf{z}^{(d_2-1)}) \in \mathcal{U}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}}((\mathbf{y}^{(1)}, \mathbf{z}^{(1)}), \dots, (\mathbf{y}^{(d_2-2)}, \mathbf{z}^{(d_2-2)}))} e(\mathcal{F}_{d_2-1}((\mathbf{y}^{(1)}, \mathbf{z}^{(1)}), \dots, (\mathbf{y}^{(d_2-1)}, \mathbf{z}^{(d_2-1)}))) \right|^2.
$$
Pour tous $(\mathbf{y}, \mathbf{z})$, $(\mathbf{y}', \mathbf{z}') \in \mathcal{U}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}}((\mathbf{y}^{(1)}, \mathbf{z}^{(1)}), \dots, (\mathbf{y}^{(d_2-2)}, \mathbf{z}^{(d_2-2)}))$ on a

$$ 
\begin{aligned}
& \mathcal{F}_{d_2-1}((\mathbf{y}^{(1)}, \mathbf{z}^{(1)}), \dots, (\mathbf{y}, \mathbf{z})) - \mathcal{F}_{d_2-1}((\mathbf{y}^{(1)}, \mathbf{z}^{(1)}), \dots, (\mathbf{y}', \mathbf{z}')) \\
& = \mathcal{F}_{d_2}((\mathbf{y}^{(1)}, \mathbf{z}^{(1)}), \dots, (\mathbf{y}^{(d_2)}, \mathbf{z}^{(d_2)}) - \mathcal{F}_{d_2-1}((\mathbf{y}^{(1)}, \mathbf{z}^{(1)}), \dots, (\mathbf{y}^{(d_2-1)}, \mathbf{z}^{(d_2-1)})),
\end{aligned}
$$

pour

$$ (\mathbf{y}^{(d_2-1)}, \mathbf{z}^{(d_2-1)}) \in \mathcal{U}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}}((\mathbf{y}^{(1)}, \mathbf{z}^{(1)}), \dots, (\mathbf{y}^{(d_2-2)}, \mathbf{z}^{(d_2-2)}))^{D} $$

et

$$ (\mathbf{y}^{(d_2)}, \mathbf{z}^{(d_2)}) \in \mathcal{U}_{N,\mathcal{I},\mathcal{J}}((\mathbf{y}^{(1)}, \mathbf{z}^{(1)}), \dots, (\mathbf{y}^{(d_2-1)}, \mathbf{z}^{(d_2-1)})) $$

donnés par

$$ (\mathbf{y}, \mathbf{z}) = (\mathbf{y}^{(d_2)}, \mathbf{z}^{(d_2)}), \quad (\mathbf{y}', \mathbf{z}') = (\mathbf{y}^{(d_2-1)} + \mathbf{y}^{(d_2)}, \mathbf{z}^{(d_2-1)} + \mathbf{z}^{(d_2)}). $$

On obtient donc

$$ 
\begin{aligned}
|S_{d,N,\mathcal{I},\mathcal{J},\mathbf{x}}(\alpha)|^{2d_2-1} & \ll (d^{m-r} P_1^{m-r} P_2^{n-r+1})^{2d_2-1-d_2} \sum_{\mathbf{y}^{(1)},\mathbf{z}^{(1)}} \dots \sum_{\mathbf{y}^{(d_2-2)},\mathbf{z}^{(d_2-2)}} \\
& \qquad \sum_{\mathbf{y}^{(d_2-1)},\mathbf{z}^{(d_2-1)}} \sum_{\mathbf{y}^{(d_2)},\mathbf{z}^{(d_2)}} e(\mathcal{F}_{d_2}((\mathbf{y}^{(1)},\mathbf{z}^{(1)}), \dots, (\mathbf{y}^{(d_2)},\mathbf{z}^{(d_2)})) \\
& \qquad - \mathcal{F}_{d_2-1}((\mathbf{y}^{(1)},\mathbf{z}^{(1)}), \dots, (\mathbf{y}^{(d_2-1)},\mathbf{z}^{(d_2-1)}))),
\end{aligned}
$$

où chaque $\mathbf{y}^{(i)}$ (resp. $\mathbf{z}^{(i)}$) appartient à une union de boîtes de taille au plus $dP_1P_2$ (resp. $P_2$).

D'après [Schm, Lemme 11.4],

$$ 
\begin{aligned}
& \mathcal{F}_{d_2}((\mathbf{y}^{(1)}, \mathbf{z}^{(1)}), \dots, (\mathbf{y}^{(d_2)}, \mathbf{z}^{(d_2)})) - \mathcal{F}_{d_2-1}((\mathbf{y}^{(1)}, \mathbf{z}^{(1)}), \dots, (\mathbf{y}^{(d_2-1)}, \mathbf{z}^{(d_2-1)})) \\
& = \alpha F_1(dx, \tilde{y}, \tilde{z}) + \alpha F_2(dx, \hat{y}, \hat{z}),
\end{aligned}
$$

où l'on a noté

$$ 
\begin{aligned}
\tilde{y} &= (\mathbf{y}^{(1)}, \dots, \mathbf{y}^{(d_2)}), & \tilde{z} &= (\mathbf{z}^{(1)}, \dots, \mathbf{z}^{(d_2)}), \\
\hat{y} &= (\mathbf{y}^{(1)}, \dots, \mathbf{y}^{(d_2-1)}), & \hat{z} &= (\mathbf{z}^{(1)}, \dots, \mathbf{z}^{(d_2-1)}),
\end{aligned}
$$

avec $F_i$ une forme multilinéaire en $(\tilde{y}, \tilde{z})$ de la forme

$$ \sum_{i=(i_1, \dots, i_{d_2}) \in \{r+1, \dots, n+1\}^{d_2}} E_i(dx) t_{i_1}^{(1)} \dots t_{i_{d_2}}^{(d_2)} $$

où

$$ t_i^{(j)} = \begin{cases} y_i^{(j)} & \text{si } i \in \{r+1, \dots, m\}, \\ z_i^{(j)} & \text{si } i \in \{m+1, \dots, n+1\} \end{cases} $$

pour tout $j \in [d_2]$, et $E_i(dx)$ symétrique en $i$. Remarquons par ailleurs que $F_1$ et $F_2$ sont homogènes de degré $d_1$ en $(\mathbf{x}, \tilde{y})$.
Pour $\tilde{z} \in [-P_2, P_2]^{d_2(n-m+1)}$ fixé, on note

$$S_{d,\tilde{z}}(\alpha) = \sum_{|\boldsymbol{x}| \le P_1} \sum_{\boldsymbol{y}^{(1)}, \dots, \boldsymbol{y}^{(d_2)}} e(\alpha F_1(d\boldsymbol{x}, \tilde{\boldsymbol{y}}, \tilde{\boldsymbol{z}}) + \alpha F_2(d\boldsymbol{x}, \hat{\boldsymbol{y}}, \hat{\boldsymbol{z}})),$$

et d'après ce qui précède, on a

$$|S_{d,N,\mathcal{I},\mathcal{J}}(\alpha)|^{2^{d_2-1}} \\ \ll (P_1^{r+1})^{2^{d_2-1}-1} ((dP_1P_2)^{m-r})^{2^{d_2-1}-d_2} (P_2^{n-m+1})^{2^{d_2-1}-d_2} \sum_{|\tilde{z}| \le P_2} |S_{d,\tilde{z}}(\alpha)|.$$

En élevant à la puissance $2^{d_1-1}$, puis en utilisant une inégalité de Hölder et en posant $\tilde{d} = d_1 + d_2 - 2$, cette dernière formule donne

$$(3.11) \quad |S_{d,N,\mathcal{I},\mathcal{J}}(\alpha)|^{2^{\tilde{d}}} \\ \ll (P_1^{r+1})^{2^{\tilde{d}}-2^{d_1-1}} ((dP_1P_2)^{m-r})^{2^{\tilde{d}}-d_22^{d_1-1}} (P_2^{n-m+1})^{2^{\tilde{d}}-d_2} \sum_{|\tilde{z}| \le P_2} |S_{d,\tilde{z}}(\alpha)|^{2^{d_1-1}}.$$

Par ailleurs, en appliquant le procédé de différenciation précédent à $S_{d,\tilde{z}}(\alpha)$, on obtient

$$|S_{d,\tilde{z}}(\alpha)|^{2^{d_1-1}} \ll (P_1^{r+1})^{2^{d_1-1}-d_1} ((dP_1P_2)^{d_2(m-r)})^{2^{d_1-1}-d_1} \\ \sum_{|\boldsymbol{x}^{(1)}| \le P_1} \sum_{|\boldsymbol{y}^{(1,1)}| \le dP_1 P_2} \dots \sum_{|\boldsymbol{y}^{(d_2,1)}| \le dP_1 P_2} \sum_{|\boldsymbol{x}^{(2)}| \le P_1} \\ \sum_{|\boldsymbol{y}^{(1,2)}| \le dP_1 P_2} \dots \sum_{|\boldsymbol{x}^{(d_1)}| \le P_1} \sum_{|\boldsymbol{y}^{(1,d_1)}| \le dP_1 P_2} \dots \sum_{|\boldsymbol{y}^{(d_2,d_1)}| \le dP_1 P_2} e\left(\sum_{i=1,2} \mathcal{F}_{d_1}^{(i)}((\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(j,i)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) - \mathcal{F}_{d_1-1}^{(i)}((\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(j,i)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket)\right),$$

où pour $i \in \{1,2\}$, $\mathcal{F}_k^{(i)}$ désigne la forme de (3.10) associée à $\mathcal{F}(\boldsymbol{x}, \tilde{\boldsymbol{y}}) = \alpha F_i(d\boldsymbol{x}, \tilde{\boldsymbol{y}}, \tilde{\boldsymbol{z}})$ pour un $\tilde{\boldsymbol{z}}$ fixé. On remarque que

$$\mathcal{F}_{d_1}^{(1)}((\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(j,i)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket) - \mathcal{F}_{d_1-1}^{(1)}((\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(j,i)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket) \\ = \Gamma_d^{(1)}((\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(j,i)}, \boldsymbol{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket) + g_d((\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(j,i)}, \boldsymbol{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket)$$

où $\Gamma_d^{(1)}$ est, rappelons-le, une forme linéaire en $(\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(j,i)})_{j \in \llbracket d_2 \rrbracket}$ pour chaque $i \in \llbracket d_1 \rrbracket$, de la forme

$$\alpha \sum_{i=(i_1, \dots, i_{d_1}) \in I^{d_1}} G_{d,i}(\tilde{z}) u_{i_1}^{(1)} \dots u_{i_{d_1}}^{(d_1)}$$
avec

$$
I = \{0, 1, \dots, r\} \cup \{(r+1, 1), \dots, (m, 1), \dots, (r+1, d_2), \dots, (m, d_2)\},
$$
$$
(3.12) \quad u_i^{(j)} = \begin{cases} x_i^{(j)} & \text{si } i \in \{0, 1, \dots, r\}, \\ y_k^{(l,j)} & \text{si } i = (k, l) \in \{r+1, \dots, m\} \times \{1, \dots, d_2\}, \end{cases}
$$

avec $G_{d,i}(\tilde{z}) \in \mathbb{Z}[d, \tilde{z}]$ symétrique en $i$ et dont le degré en $d$ est

$$
f_i = \mathrm{card}\{k \in \llbracket d_1 \rrbracket \mid i_k \in \{0, \dots, r\}\}.
$$

On peut donc écrire $G_{d,i}(\tilde{z}) = d^{f_i} G_i(\tilde{z})$ avec $G_i(\tilde{z})$ symétrique en $i$.

D'autre part, puisque $F_2$ ne dépendait que de $\mathbf{x}, \hat{\mathbf{y}}, \hat{\mathbf{z}}$, la partie

$$
\mathcal{F}_{d_1}^{(2)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) - \mathcal{F}_{d_1-1}^{(2)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket})
$$

est en fait un polynôme en $\tilde{x}, \hat{z}, (\mathbf{y}^{(j,i)})_{i \in [d_1], j \in [d_{2-1}]}$ de la forme

$$
\Gamma_d^{(2)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in [d_1], j \in [d_{2-1}]} + h_d((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in [d_1-1], j \in [d_{2-1}]})
$$

où $\Gamma_d^{(2)}$ est une forme linéaire en $(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)})_{j \in [d_2-1]}$ pour tout $i \in [d_1]$, de
la forme

$$
\alpha \sum_{\mathbf{i}=(i_1, \dots, i_{d_1}) \in (I')^{d_1}} H_{d, \mathbf{i}}(\tilde{z}) u_{i_1}^{(1)} \dots u_{i_{d_1}}^{(d_1)}
$$

avec $I' = \{0, 1, \dots, r\} \cup \{(r+1, 1), \dots, (m, 1), \dots, (r+1, d_2-1), \dots, (m, d_2-1)\}$.

On observe en particulier que $\Gamma_d^{(2)}$ est indépendant de $(\mathbf{y}^{(d_2,i)}, \mathbf{z}^{(d_2)})_{i \in [d_1]}$.

En regroupant les résultats obtenus on trouve

$$
(3.13) \quad \begin{aligned}[t]
|S_{d,N,\mathcal{I},\mathcal{J}}(\alpha)|^{2^d} &\ll (P_1^{r+1})^{2^d-d_1} ((dP_1P_2)^{m-r})^{2^d-d_1d_2} \\
&\quad \sum_{\tilde{z}} \sum_{(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)})_{i \in [d_1-1], j \in [d_2]} \atop \mathbf{x}^{(d_1)}, \mathbf{y}^{(1,d_1)}, \dots, \mathbf{y}^{(d_2,d_1)}} \left| \sum_{\mathbf{z}^{(d_2)}, \mathbf{y}^{(d_2,1)}, \dots, \mathbf{y}^{(d_2,d_1)}} \right. \\
&\qquad \left. e\left(\Gamma_d^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in [d_1], j \in [d_2]}\right) + \Gamma_d^{(2)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in [d_1], j \in [d_2-1]})\right).
\end{aligned}
$$

Avant d'aller plus loin, il convient de faire la remarque suivante :

REMARQUE 3.1. Si l’on avait différencié la forme $F$ en $(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ puis en $(\tilde{\mathbf{y}}, \mathbf{z})$ plutôt qu’en $(\mathbf{y}, \mathbf{z})$ puis en $(\mathbf{x}, \tilde{\mathbf{y}})$, on aurait obtenu

$$
(3.14) \quad |S_{d,N,\mathcal{I},\mathcal{J}}(\alpha)|^{2^d} \ll (P_1^{r+1})^{2^d-d_1} ((dP_1P_2)^{m-r})^{2^d-d_1d_2} \\
\qquad (P_2^{n-m+1})^{2^d-d_2} \sum_{\tilde{\mathbf{x}}} \sum_{(\mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in [d_1], j \in [d_{2-1}]} \atop \mathbf{z}^{(d_2)}, \mathbf{y}^{(d_2,1)}, \dots, \mathbf{y}^{(d_2,d_1)}} \left| \sum_{\mathbf{z}^{(d_2)}, \mathbf{y}^{(d_2,1)}, \dots, \mathbf{y}^{(d_2,d_1)}} \right. \\
\qquad \left. e\left(\Gamma_d^{(1)'}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in [d_1], j \in [d_2]}\right) + \Gamma_d^{(2)'}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in [d_1-1], j \in [d_2]}\right) \right| \\
e \text{ avec } \Gamma_d^{(1)'} = \Gamma_d^{(1)}.
$$

avec $\Gamma_d^{(1)'} = \Gamma_d^{(1)}$.
Démonstration. On pose

$$
F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = \sum_{\substack{m_1, m_2, m_3 \in \mathbb{N} \\ m_1+m_2=d_1 \\ m_2+m_3=d_2}} \sum_{\substack{i \in \{0, \dots, r\}^{m_1} \\ j \in \{r+1, \dots, m\}^{m_2} \\ k \in \{m+1, \dots, n+1\}^{m_3}}} \alpha_{i,j,k} x_{i_1} \dots x_{i_{m_1}} y_{j_1} \dots y_{j_{m_2}} z_{k_1} \dots z_{k_{m_3}}
$$

(avec $\alpha_{i,j,k}$ symétrique en $i, j, k$). La forme multilinéaire $F_1(dx, \tilde{y}, \tilde{z})$ précé-
dente est alors

$$
(-1)^{d_2} m_2! m_3! \sum_{\substack{m_1, m_2, m_3 \in \mathbb{N} \\ m_1+m_2=d_1 \\ m_2+m_3=d_2}} d^{m_1} \sum_{\substack{i \in \{0, \dots, r\}^{m_1} \\ j \in \{r+1, \dots, m\}^{m_2} \\ k \in \{m+1, \dots, n+1\}^{m_3}}} \alpha_{i,j,k} x_{i_1} \dots x_{i_{m_1}} \\
\times \sum_{\sigma \in \mathcal{M}(d_2, m_2)} y_{j_1}^{(\sigma(1))} \dots y_{j_{m_2}}^{(\sigma(m_2))} z_{k_1}^{(\sigma(m_2+1))} \dots z_{k_{m_3}}^{(\sigma(m_2+m_3))}
$$

où $\mathcal{M}(d_2, m_2)$ désigne l'ensemble des permutations $\sigma$ de $\llbracket d_2 \rrbracket$ telles que
$\sigma(1) < \dots < \sigma(m_2)$ et $\sigma(m_2+1) < \dots < \sigma(m_2+m_3) = \sigma(d_2)$. La forme
multilinéaire $\Gamma_d^{(1)}$ obtenue en différenciant en $(\mathbf{x}, \tilde{\mathbf{y}})$ est alors

$$
(-1)^{d_1+d_2} m_1! (m_2)^2! m_3! \sum_{\substack{m_1, m_2, m_3 \in \mathbb{N} \\ m_1+m_2=d_1 \\ m_2+m_3=d_2}} d^{m_1} \sum_{\substack{i \in \{0, \dots, r\}^{m_1} \\ j \in \{r+1, \dots, m\}^{m_2} \\ k \in \{m+1, \dots, n+1\}^{m_3}}} \alpha_{i,j,k} \sum_{\tau \in \mathcal{M}(d_1, m_1)} \sum_{\sigma \in \mathcal{M}(d_2, m_2)} \\
x_{i_1}^{(\tau(1))} \dots x_{i_{m_1}}^{(\tau(m_1))} y_{j_1}^{(\sigma(1), \tau(m_1+1))} \dots y_{j_{m_2}}^{(\sigma(m_2), \tau(m_1+m_2))} z_{k_1}^{(\sigma(m_2+1))} \dots z_{k_{m_3}}^{(\sigma(m_2+m_3))}
$$

Il est alors clair que l’on obtient le même résultat en différenciant en $(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ puis en $(\tilde{\mathbf{y}}, \mathbf{z})$. ■

Pour $\tilde{z}$ et $(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}$ fixés, si l'on note $\Gamma_d = \Gamma_d^{(1)} + \Gamma_d^{(2)}$, on a

$$
(3.15) \quad \left| \sum_{\mathbf{x}^{(d_1)}, \mathbf{y}^{(1,d_1)}, \dots, \mathbf{y}^{(d_2,d_1)}} e(\Gamma_d((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket))) \right| \\
= \prod_{i \in I^{d_1}} \left| \sum_{u_i^{(d_1)}} e\left(\alpha u_i^{(d_1)} \left( \sum_{i \in I | i_{d_1} = i} G_{d,i}(\tilde{z}) u_{i_1}^{(1)} \cdots u_{i_{d_1-1}}^{(d_1-1)} \right. \right. \right. \\
\left. \left. + \sum_{i' \in (I')^{d_1} | i'_{d_1} = i} H_{d,i}(\tilde{z}) u_{i_1}^{(1)} \cdots u_{i_{d_1-1}}^{(d_1-1)} \right) \right| \\
$$

où la somme sur $u_i^{(d_1)}$ porte sur $u_i^{(d_1)}$ appartenant à un intervalle de taille
$O(P_1)$ si $i \in \{0, \dots, r\}$ et de taille $O(dP_1P_2)$ pour

$$
i \in \{(r+1, 1), \dots, (m, 1), \dots, (r+1, d_2), \dots, (m, d_2)\}.
$$
Pour simplifier les notations on pose

$$
(3.16) \quad \gamma_{d,i}^{(1)}((\mathbf{x}^{(k)}, \mathbf{y}^{(j,k)}, \mathbf{z}^{(j)})_{k \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) \\
\qquad = \sum_{\mathbf{i} \in I^{d_1} | i_{d_1} = i} G_{d,i}(\tilde{z}) u_{i_1}^{(1)} \cdots u_{i_{d_1-1}}^{(d_1-1)},
$$

$$
(3.17) \quad \gamma_{d,i}^{(2)}((\mathbf{x}^{(k)}, \mathbf{y}^{(j,k)}, \mathbf{z}^{(j)})_{k \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) \\
\qquad = \sum_{\mathbf{i}' \in (I')^{d_1} | i'_{d_1} = i} H_{d,i}(\tilde{z}) u_{i_1}^{(1)} \cdots u_{i_{d_1-1}}^{(d_1-1)},
$$

où les $u_i^{(j)}$ sont les variables définies par (3.12), et

$$
(3.18) \qquad \gamma_{d,i} = \gamma_{d,i}^{(1)} + \gamma_{d,i}^{(2)}.
$$

En notant, pour tout réel $x$,

$$
\|x\| = \inf_{m \in \mathbb{Z}} |x - m|,
$$

on peut alors majorer (3.15) par

$$
\prod_{i \in I} \min(H_i, \|\alpha \gamma_{d,i}(\mathbf{x}^{(k)}, \mathbf{y}^{(j,k)}, \mathbf{z}^{(j)})_{k \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket} \|^{-1})
$$

où

$$
H_i = \begin{cases} P_1 & \text{si } i \in \{0, 1, \dots, r\}, \\ dP_1 P_2 & \text{si } i = (k, l) \in \{r+1, \dots, m\} \times \llbracket d_2 \rrbracket. \end{cases}
$$

Pour tout **r**=(rᵢ)ᵢ∈I ∈ ∏ᵢ∈I (ℝ∩[0, Hᵢ]), **X**=(**x**⁽ᵏ⁾, **y**⁽ᵏ,ᵢ⁾, **z**⁽ᵏ⁾)ᵢ∈[d₁−1], j∈[d₂−1]
fixés, on note 𝒜(**X**, **r**) l'ensemble des éléments **z**⁽ᵏ⁾, **y**⁽ᵏ,¹⁾, ..., **y**⁽ᵏ, d₁−¹⁾ tels
que |**z**⁽ᵏ⁾| ≤ P₂, |**y**⁽ᵏ,ᵏ⁾| ≤ dP₁P₂ pour tout k ∈ [d₁−1] et

$$
\forall i \in I, \quad r_i H_i^{-1} \le \{ \alpha \gamma_{d,i}((\mathbf{x}^{(k)}, \mathbf{y}^{(j,k)}, \mathbf{z}^{(j)})_{k \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) \} < (r_i + 1) H_i^{-1};
$$

on note $\mathcal{A}(\mathbf{X}, \mathbf{r})$ le cardinal de cet ensemble. On a alors l'estimation

$$
(3.19) \qquad \sum_{\mathbf{z}^{(d_2)}, \mathbf{y}^{(d_2,1)}, \dots, \mathbf{y}^{(d_2,d_1-1)}} \left| \sum_{\mathbf{x}^{(d_1)}, \mathbf{y}^{(1,d_1)}, \dots, \mathbf{y}^{(d_2,d_1)}} e(\Gamma_d((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)}))_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket})) \right| \\
\ll \sum_{\mathbf{r}} A(\mathbf{X}, \mathbf{r}) \prod_{i \in I} \min \left( H_i, \max \left( \frac{H_i}{r_i}, \frac{H_i}{H_i - r_i - 1} \right) \right).
$$

Par ailleurs, si

$$
(\mathbf{z}^{(d_2)}, (\mathbf{y}^{(d_2,i)})_{i \in [d_1-1]}, (\mathbf{z}'^{(d_2)}, (\mathbf{y}'^{(d_2,i)})_{i \in [d_1-1]})) \in \mathcal{A}(\mathbf{X}, \mathbf{r}),
$$
alors, pour tout $i \in I$,

$$
\begin{align*}
& \gamma_{d,i}(\mathbf{X}, \boldsymbol{z}^{(d_2)}, (\boldsymbol{y}^{(d_2,k)})_{k \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}) - \gamma_{d,i}(\mathbf{X}, \boldsymbol{z}'^{(d_2)}), (\boldsymbol{y}'^{(d_2,k)})_{k \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}) \\
&= \gamma_{d,i}^{(1)}(\mathbf{X}, \boldsymbol{z}^{(d_2)} - \boldsymbol{z}'^{(d_2)}), (\boldsymbol{y}^{(d_2,k)} - \boldsymbol{y}'^{(d_2,k)})_{k \in \llbracket d_1-1 \rrbracket})
\end{align*}
$$

(car $\gamma_{d,i}^{(2)}$ ne dépend pas de $(\boldsymbol{z}^{(d_2)}, (\boldsymbol{y}^{(d_2,k)})_{k \in \llbracket d_1-1 \rrbracket})$ et $\gamma_{d,i}^{(1)}$ est linéaire en $(\boldsymbol{z}^{(d_2)}, (\boldsymbol{y}^{(d_2,i)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket})$). En notant $N(\mathbf{X})$ le cardinal de l'ensemble des $\boldsymbol{z}^{(d_2)}$, $\boldsymbol{y}^{(d_2,1)}, \dots, \boldsymbol{y}^{(d_2,d_1-1)}$ tels que $|\boldsymbol{z}^{(d_2)}| \le P_1$, $|\boldsymbol{y}^{(d_2,j)}| \le dP_1P_2$ et

$$
\forall i \in I, \quad \| \alpha \gamma_{d,i}^{(1)} ((\boldsymbol{x}^{(k)}, \boldsymbol{y}^{(j,k)}, \boldsymbol{z}^{(j)})_{k \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket) \| < H_i^{-1},
$$

on a $A(\mathbf{X}, \mathbf{r}) \ll N(\mathbf{X})$, et donc (3.19) donne

$$
\begin{align*}
& \left| \sum_{\mathbf{z}^{(d_2)}, \mathbf{y}^{(d_2,1)}, \dots, \mathbf{y}^{(d_2,d_1-1)}} \left| \sum_{\mathbf{x}^{(d_1)}, \mathbf{y}^{(1,d_1)}, \dots, \mathbf{y}^{(d_2,d_1)}} e(\Gamma((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket))) \right| \right. \\
& \qquad \left. \ll N(\mathbf{X}) \sum_{\mathbf{r}} \prod_{i \in I} \min \left( H_i, \max \left( \frac{H_i}{r_i}, \frac{H_i}{H_i - r_i - 1} \right) \right) \right. \\
& \qquad \left. \ll N(\mathbf{X}) (P_1 \log P_1)^{r+1} (dP_1 P_2 \log(dP_1 P_2))^{d_2(m-r)}. \right.
\end{align*}
$$

En résumé, si, pour tous $H_1^{(i)}$, $H_2^{(i,j)}$, $H_3^{(j)} \ge 1$ et $B_1, B_2 \ge 1$,

$$
M(\alpha, (H_1^{(i)}, H_2^{(i,j)}, H_3^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket, B_1^{-1}, B_2^{-1})
$$

désigne le cardinal de l'ensemble des $(\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(j,i)}, \boldsymbol{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket$ tels que
$|\boldsymbol{x}^{(i)}| \le H_1^{(i)}, |\boldsymbol{y}^{(j,i)}| \le H_2^{(i,j)}, |\boldsymbol{z}^{(j)}| \le H_2^{(j)}$ pour tous $(i,j) \in \llbracket d_1-1 \rrbracket \times \llbracket d_2 \rrbracket$
et

$$
\forall k \in \{0, \dots, r\}, \quad \| \alpha \gamma_{d,k}^{(1)} ((\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(j,i)}, \boldsymbol{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket) \| < B_1^{-1},
$$

$$
\forall k \in \{r+1, \dots, m\} \times \llbracket d_2 \rrbracket, \quad \| \alpha \gamma_{d,k}^{(1)} ((\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(j,i)}, \boldsymbol{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket) \| < B_2^{-1},
$$

en reprenant la formule (3.14), on obtient (pour $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit)

$$
|S_{d,N,\mathcal{I},\mathcal{J}}(\alpha)|^{2^{\bar{d}}} \ll (P_1^{r+1})^{2^{\bar{d}}-(d_1-1)+\varepsilon} ((dP_1P_2)^{m-r})^{2^{\bar{d}}-(d_1-1)d_2+\varepsilon} (P_2^{n-m+1})^{2^{\bar{d}}-d_2} \\
\times M(\alpha, (P_1, dP_1P_2, P_2)_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket), P_1^{-1}, (dP_1P_2)^{-1}.
$$

On en déduit (en sommant sur $N \in \{0, \dots, P_1\}$ et sur les $\mathcal{I}, \mathcal{J} \subset \{r+1, \dots, m\}$) le lemme ci-dessous.

LEMME 3.2. Pour $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit, et pour $\kappa, P > 0$ des réels fixés, l'une au moins des assertions suivantes est vraie :

$$
(1) \quad |S_d(\alpha)| \ll d^{m-r+\varepsilon+d_1(r+1)/2^{\bar{d}}} P_1^{m+2+\varepsilon} P_2^{n-r+1+\varepsilon} P^{-\kappa},
$$

$$
(2) \quad M(\alpha, (P_1, dP_1P_2, P_2)_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket, P_1^{-1}, (dP_1P_2)^{-1})
$$

$$
\gg d^{d_1(r+1)} (P_1^{r+1})^{(d_1-1)} ((dP_1P_2)^{m-r})^{(d_1-1)d_2} (P_2^{n-m+1})^{d_2} P^{-2^{\bar{d}}\kappa}.
$$
### REMARQUE 3.3. Si $κ$ est petit, la condition (1) donne une majoration de $|S_d(\alpha)|$ plus grande que la majoration triviale,

$$|S_d(\alpha)| \ll d^{m-r} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1}$$

(ceci est dû à la sommation sur $N \le P_1$ qui induit un facteur $P_1$ supplémentaire) ; c'est pourquoi nous utiliserons uniquement cette majoration pour $P^\kappa > P_1^{d_1} P_2^{d_2}$.

## 3.2. Géométrie des nombres. Nous allons à présent établir des résultats de géométrie des nombres qui nous serons utiles pour la suite de cette section. Il s'agit en fait de généralisations de [Da, Lemme 12.6] et de [Sch1, Lemme 3.1].

### LEMME 3.4. Pour deux entiers $n_1, n_2 > 0$ et des réels $(\lambda_{i,j})_{i \in [n_1], j \in [n_2]}$, on considère les formes linéaires

$$\forall i \in [n_1], \forall \mathbf{u} = (u_1, \dots, u_{n_2}), \quad L_i(\mathbf{u}) = \sum_{j=1}^{n_2} \lambda_{i,j} u_j,$$

$$\forall j \in [n_2], \forall \mathbf{u} = (u_1, \dots, u_{n_1}), \quad L_j^t(\mathbf{u}) = \sum_{i=1}^{n_1} \lambda_{i,j} u_i.$$

Soient $a_1, \dots, a_{n_2}, b_1, \dots, b_{n_1} > 1$ des réels fixés. Pour tout $0 \le Z \le 1$, on note

$$U(Z) = \operatorname{card}\{(u_1, \dots, u_{n_2}, u_{n_2+1}, \dots, u_{n_2+n_1}) \in \mathbb{Z}^{n_1+n_2} \mid \forall j \in [n_2], |u_j| \le a_j Z \quad \text{et} \quad \forall i \in [n_1], |L_i(u_1, \dots, u_{n_2}) - u_{n_2+i}| \le b_i^{-1} Z\},$$

$$U^t(Z) = \operatorname{card}\{(u_1, \dots, u_{n_1}, u_{n_1+1}, \dots, u_{n_1+n_2}) \in \mathbb{Z}^{n_1+n_2} \mid \forall i \in [n_1], |u_i| \le b_i Z \quad \text{et} \quad \forall j \in [n_2], |L_j^t(u_1, \dots, u_{n_1}) - u_{n_1+i}| \le a_j^{-1} Z\}.$$

Si $0 < Z_1 \le Z_2 \le 1$, alors

$$U(Z_2) \ll_{n_1, n_2} \max \left( \left( \frac{Z_2}{Z_1} \right)^{n_2} U(Z_1), \frac{Z_2^{n_2} \prod_{j=1}^{n_2} a_j}{Z_1^{n_1} \prod_{i=1}^{n_1} b_i} U^t(Z_1) \right).$$

### REMARQUE 3.5. Le lemme 3.1 de [Sch1] présente uniquement le cas où $a_1 = \dots = a_{n_2} = a$ et $b_1 = \dots = b_{n_1} = b$. Cette généralisation aux $a_i$ et $b_i$ distincts permet de donner des estimations du nombre de points dans un réseau dont les coordonnées sont bornées par des bornes distinctes.

### Démonstration du lemme 3.4. On considère le réseau $\Lambda$ de $\mathbb{R}^{n_2+n_1}$ défini comme l'ensemble des points

$$(x_1, \dots, x_{n_2}, x_{n_2+1}, \dots, x_{n_2+n_1}) \in \mathbb{R}^{n_1+n_2}$$

tels qu'il existe $(u_1, \dots, u_{n_2}, u_{n_2+1}, \dots, u_{n_2+n_1}) \in \mathbb{Z}^{n_1+n_2}$ tels que
$$
\begin{align*}
& a_1 x_1 = u_1, \\
& \vdots \\
& a_{n_2} x_{n_2} = u_{n_2}, \\
& b_1^{-1} x_{n_2+1} = L_1(u_1, \dots, u_{n_2}) + u_{n_2+1}, \\
& \vdots \\
& b_{n_1}^{-1} x_{n_2+n_1} = L_{n_1}(u_1, \dots, u_{n_2}) + u_{n_2+n_1}.
\end{align*}
$$

Ce réseau est défini par la matrice (i.e. une base de ce réseau est donnée par les colonnes de la matrice)

$$
A = \begin{pmatrix}
a_1^{-1} & (0) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
(0) & a_{n_2}^{-1} & 0 & \cdots & 0 \\
b_1 \lambda_{1,1} & \cdots & b_1 \lambda_{1,n_2} & b_1 & (0) \\
\vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n_1} \lambda_{n_1,1} & \cdots & b_{n_1} \lambda_{n_1,n_2} & (0) & b_{n_1}
\end{pmatrix} .
$$

On remarque que $U(Z)$ est alors le nombre de points $(x_1, \dots, x_{n_1+n_2})$ de $\Lambda$
tels que $|x_i| \le Z$ pour tout $i \in [n_1+n_2]$. Par ailleurs,

$$
B = (A^t)^{-1} = \begin{pmatrix}
a_1 & (0) & -a_1\lambda_{1,1} & \cdots & -a_1\lambda_{n_1,1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
(0) & a_{n_2} & -a_{n_2}\lambda_{1,n_2} & \cdots & -a_{n_2}\lambda_{n_1,n_2} \\
0 & \cdots & 0 & b_1^{-1} & (0) \\
\vdots & \cdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & (0) & b_{n_1}^{-1}
\end{pmatrix} .
$$

défini un réseau $\Omega$ ayant les mêmes minima successifs que le réseau $\tilde{\Omega}$ défini
par la matrice

$$
\tilde{B} = \begin{pmatrix}
b_1^{-1} & (0) & 0 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
(0) & b_{n_1}^{-1} & 0 & \cdots \\
a_1 \lambda_{1,1} & \cdots & a_1 \lambda_{n_1,1} & a_1 & (0) \\
\vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n_2} \lambda_{1,n_2} & \cdots & a_{n_2} \lambda_{n_1,n_2} & (0) & a_{n_2}
\end{pmatrix} .
$$
On pose

$$c = \left( \frac{\prod_{j=1}^{n_2} a_j}{\prod_{i=1}^{n_1} b_i} \right)^{1/(n_1+n_2)}$$

et on note $\Lambda^{\text{nor}} = c\Lambda$, $\Omega^{\text{nor}} = c^{-1}\tilde{\Omega}$ les réseaux normalisés (i.e. de déterminant 1) associés à $\Lambda$ et $\Omega$. Par la démonstration de [Sch1, Lemme 3.1], on a alors

$$U(Z_2) \ll_{n_1, n_2} \max \left( \left( \frac{Z_2}{Z_1} \right)^{n_2} U(Z_1), \frac{Z_2^{n_2}}{Z_1^{n_1}} c^{n_1+n_2} U^t(Z_1) \right),$$

d'où le résultat. ■

En particulier, lorsque $n_1 = n_2 = n$, $a_i = b_i$ pour tout $i$ et $\lambda_{i,j} = \lambda_{j,i}$, on obtient le résultat suivant :

LEMME 3.6. Soit $n > 0$ un entier et $(\lambda_{i,j})_{1\le i,j\le n}$ des réels tels que $\lambda_{i,j} = \lambda_{j,i}$ pour tous $i, j$. Considérons des formes linéaires

$$\forall i \in \llbracket n \rrbracket, \forall \mathbf{u} = (u_1, \dots, u_n), \quad L_i(\mathbf{u}) = \sum_{j=1}^n \lambda_{i,j} u_j.$$

Soient $a_1, \dots, a_n > 1$ des réels fixés. Pour tout $0 \le Z \le 1$, on note

$$U(Z) = \mathrm{card}\{(u_1, \dots, u_n, u_{n+1}, \dots, u_{2n}) \mid \forall j \in \llbracket n \rrbracket, |u_j| \le a_j Z \\ \text{et } \forall i \in \llbracket n \rrbracket, |L_i(u_1, \dots, u_n) - u_{n+i}| \le a_i^{-1} Z\}.$$

Alors

$$U(Z_2) \ll_n (Z_2/Z_1)^n U(Z_1).$$

Revenons à présent à la situation de la section précédente, et considérons, pour $(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(i,j)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-2 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}$ fixés, les $N = (r+1)+d_2(m-r)$ formes linéaires en $(\mathbf{x}^{(d_1-1)}, \mathbf{y}^{(j,d_1-1)})_{j \in \llbracket d_2 \rrbracket}$ données par les $\alpha \gamma_{d,k}^{(1)}$ pour $k \in I$. Remarquons que d'après (3.16) on a, pour tout $k \in I$,

$$\begin{aligned} \gamma_{d,k}^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket) &= \sum_{i \in I^{d_1-1}} G_{d,i,k}(\tilde{z}) u_{i_1}^{(1)} \dots u_{i_{d_1-1}}^{(d_1-1)} \\ &= \sum_{i \in I^{d_1-1}} d^{f_{i,k}} G_{i,k}(\tilde{z}) u_{i_1}^{(1)} \dots u_{i_{d_1-1}}^{(d_1-1)} \end{aligned}$$

(où $\tilde{z} = (z^{(1)}, \dots, z^{(d_2)})$ et les $u_i^{(j)}$ sont donnés par (3.12)) et donc pour tous $k, l \in I$ le coefficient $\lambda_{k,l}$ en $u_l^{(d_1-1)}$ s'écrit

$$\lambda_{k,l} = \sum_{i \in I^{d_1-2}} d^{f_{i,l,k}} G_{i,l,k}(\tilde{z}) u_{i_1}^{(1)} \dots u_{i_{d_1-2}}^{(d_1-2)};$$

on observe que, puisque les $G_i(\tilde{z})$ sont symétriques en $i \in I^{d_1}$,

$$\lambda_{k,l} = \lambda_{l,k}.$$
Pour $P > 0$ fixé et $\theta \in [0, 1]$ supposés tels que $P^\theta \le P_2 \le P_1$, on pose $Z_2 = 1$, $Z_1 = (dP_1)^{-1}P^\theta$, $a_k = P_1$ pour tout $k \in I_1 = \{0, \dots, r\}$, et $a_k = dP_1P_2$ pour $k \in I_2 = \{r+1, \dots, m\} \times \llbracket d_2 \rrbracket$, de sorte que (en remarquant que $I = I_1 \cup I_2$)

$$
\begin{align*}
\forall k \in I_1, \quad a_k Z_2 &= P_1, & a_k Z_1 &= P^\theta / d, \\
\forall k \in I_2, \quad a_k Z_2 &= dP_1 P_2, & a_k Z_1 &= P_2 P^\theta, \\
\forall k \in I_1, \quad a_k^{-1} Z_2 &= P_1^{-1}, & a_k^{-1} Z_1 &= d^{-1} P_1^{-2} P^\theta, \\
\forall k \in I_2, \quad a_k^{-1} Z_2 &= (dP_1 P_2)^{-1}, & a_k^{-1} Z_1 &= (dP_1)^{-2} P_2^{-1} P^\theta.
\end{align*}
$$

En appliquant le lemme 3.6, on obtient

$$
U(Z_2) \ll (dP_1/P^\theta)^{r+1+d_2(m-r)} U(Z_1),
$$

avec

$$
U(Z_2) =
\begin{align*}
& \operatorname{card}\{(\mathbf{x}^{(d_1-1)}, (\mathbf{y}^{(j,d_1-1)})_{j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) \mid |\mathbf{x}^{(d_1-1)}| \le P_1, |\mathbf{y}^{(j,d_1-1)}| \le dP_1 P_2, \\
& \qquad \text{et } \forall k \in I_1, \|\alpha \gamma_{d,k}^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket)\| < P_1^{-1}, \\
& \qquad \forall k \in I_2, \|\alpha \gamma_{d,k}^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket)\| < (dP_1 P_2)^{-1} \}
\end{align*}
$$

et

$$
U(Z_1) =
\begin{align*}
& \operatorname{card}\{(\mathbf{x}^{(d_1-1)}, (\mathbf{y}^{(j,d_1-1)})_{j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) \mid \mathbf{x}^{(d_1-1)} \le P^\theta/d, |\mathbf{y}^{(j,d_1-1)}| \le P^\theta P_2, \\
& \quad \text{et } \forall k \in I_1, \|\alpha \gamma_{d,k}^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket)\| < d^{-1} P_1^{-2} P^\theta, \\
& \quad \forall k \in I_2, \|\alpha \gamma_{d,k}^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket)\| < d^{-2} P_1^{-2} P_2^{-1} P^\theta \}.
\end{align*}
$$

En sommant sur les $(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(i,j)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-2 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}$, on obtient alors

$$
M(\alpha, (B_1^{(i)}, B_2^{(j,i)}, B_3^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket, P_1^{-1}, (dP_1 P_2)^{-1}) \\
\ll \left( \frac{dP_1}{P^\theta} \right)^{r+1+d_2(m-r)} \\
\times M(\alpha, (H_1^{(i)}, H_2^{(j,i)}, H_3^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket, d^{-1}P_1^{-2}P^\theta, d^{-2}P_1^{-2}P_2^{-1}P^\theta)
$$

où

$$
\forall i \in \llbracket d_1 - 1 \rrbracket, B_1^{(i)} = P_1, \quad \forall i \in \llbracket d_1 - 1 \rrbracket, B_2^{(j,i)} = dP_1 P_2, \quad B_3^{(j)} = P_2,
$$

et

$$
H_1^{(i)} = \begin{cases} P_1 & \text{si } i \in \llbracket d_1 - 2 \rrbracket, \\ P^\theta/d & \text{si } i = d_1 - 1, \end{cases}
$$
$$
\begin{align*}
H_2^{(j,i)} &= \begin{cases} dP_1 P_2 & \text{si } i \in \llbracket d_1 - 2 \rrbracket, \\ P^\theta P_2 & \text{si } i = d_1 - 1, \end{cases} \\
H_3^{(j)} &= P_2.
\end{align*}
$$

Par la suite, on applique le lemme de la même manière en prenant
$(\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(j,i)}, \boldsymbol{z}^{(j)})_{i \notin \{d_1, d_1-l\}}$ fixés (pour $l$ variant de $1$ à $d_1-1$), et en considérant les $\alpha \gamma_{d,k}^{(1)}$ comme des formes linéaires en $(\boldsymbol{x}^{(d_1-l)}, \boldsymbol{y}^{(j,d_1-l)})_{j \in \llbracket d_2 \rrbracket}$, et en
choisissant $Z_2 = d^{-(l-1)/2} P_1^{-(l-1)/2} P^{(l-1)\theta/2}$, $Z_1 = d^{-(l+1)/2} P_1^{-(l+1)/2} P^{(l+1)\theta/2}$,
$a_k = d^{(l-1)/2} P_1^{(l+1)/2} P^{-(l-1)\theta/2}$ pour tout $k \in I_1$, et $a_k = d^{(l+1)/2} P_1^{(l+1)/2}$
$\times P_2 P^{-(l-1)\theta/2}$ pour $k \in I_2$, de sorte que

$$
\begin{align*}
\forall k \in I_1, \quad a_k Z_2 &= P_1, & a_k Z_1 &= P^\theta / d, \\
\forall k \in I_2, \quad a_k Z_2 &= d P_1 P_2, & a_k Z_1 &= P_2 P^\theta, \\
\forall k \in I_1, \quad a_k^{-1} Z_2 &= d^{-(l-1)} P_1^{-l} P^{(l-1)\theta}, & a_k^{-1} Z_1 &= d^{-(l+1)} P_1^{-(l+1)} P^{l\theta}, \\
\forall k \in I_2, \quad a_k^{-1} Z_2 &= d^{-l} P_1^{-l} P_2^{-1} P^{(l-1)\theta}, & a_k^{-1} Z_1 &= d^{-(l+1)} P_1^{-(l+1)} P_2^{-1} P^{l\theta}.
\end{align*}
$$

On obtient alors (à l'étape $l$) la majoration

$$
M(\alpha, (B_1^{(i)}, B_2^{(j,i)}, B_3^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}, d^{-(l-1)} P_1^{-l} P^{(l-1)\theta}, d^{-l} P_1^{-l} P_2^{-1} P^{(l-1)\theta}) \\
\ll \left( \frac{dP_1}{P^\theta} \right)^{r+1+d_2(m-r)} M(\alpha, (H_1^{(i)}, H_2^{(j,i)}, H_3^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}, \\
\qquad d^{-(l+1)} P_1^{-(l+1)} P^{l\theta}, d^{-(l+1)} P_1^{-(l+1)} P_2^{-1} P^{l\theta})
$$

où

$$
\begin{align*}
B_1^{(i)} &= \begin{cases} P_1 & \text{si } i \in \llbracket d_1 - l \rrbracket, \\ P^\theta / d & \text{si } i \in \{d_1 - l + 1, \dots, d_1 - 1\}, \end{cases} \\
B_2^{(j,i)} &= \begin{cases} dP_1 P_2 & \text{si } i \in \llbracket d_1 - l \rrbracket, \\ P^\theta P_2 & \text{si } i \in \{d_1 - l + 1, \dots, d_1 - 1\}, \end{cases} \\
B_3^{(j)} &= P_2,
\end{align*}
$$

et

$$
\begin{align*}
H_1^{(i)} &= \begin{cases} P_1 & \text{si } i \in \llbracket d_1 - l - 1 \rrbracket, \\ P^\theta / d & \text{si } i \in \{d_1 - l, \dots, d_1 - 1\}, \end{cases} \\
H_2^{(j,i)} &= \begin{cases} dP_1 P_2 & \text{si } i \in \llbracket d_1 - l - 1 \rrbracket, \\ P^\theta P_2 & \text{si } i \in \{d_1 - l, \dots, d_1 - 1\}, \end{cases} \\
H_3^{(j)} &= P_2.
\end{align*}
$$
Finalement, au rang $l = d_1 - 1$, on obtient

$$
(3.20) \quad M(\alpha, (P_1, dP_1 P_2, P_2)_{i \in [d_1-1]}, j \in [d_2]), P_1^{-1}, (dP_1 P_2)^{-1}) \\
\ll \left( \frac{dP_1}{P^\theta} \right)^{(r+1+d_2(m-r))(d_1-1)} M(\alpha, (P^\theta/d, P^\theta P_2, P_2)_{i \in [d_1-1]}, j \in [d_2]), \\
d^{-(d_1-1)} P_1^{-d_1} P^{(d_1-1)\theta}, d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-1} P^{(d_1-1)\theta}).
$$

Nous allons à présent chercher à établir des majorations analogues avec les
$n_2 = (m-r)(d_1-1) + (n-m+1)$-uplets de variables donnés par les
$(\mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in [d_1-1]}$ pour $j \in [d_2]$, en considérant toujours les formes linéaires
$\alpha \gamma_{d,k}^{(1)}$. Fixons donc $(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in [d_1-1], j \in [d_2-1]}$ vérifiant les $m-r$ iné-
galités

$$
(3.21) \quad \| \alpha \gamma_{d,(l,d_2)}^{(1)} ((\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(j,i)}, \boldsymbol{z}^{(j)}))_{i \in [d_1-1], j \in [d_2-1]} \|
< d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-1} P^{(d_1-1)\theta}
$$

pour $l \in \{r+1, \dots, m\}$ (les formes $\gamma_{d,(l,d_2)}^{(1)}$ ne dépendant pas des $\mathbf{y}^{(d_2,i)}$, $\mathbf{z}^{(d_2)}$).
On considère les variables $(\mathbf{y}^{(d_2,i)}, \mathbf{z}^{(d_2)})_{i \in [d_1-1]}$ et les $n_1 = (r+1)+(d_2-1)$
$\times (m-r)$ formes linéaires $\alpha\gamma_{d,k}^{(1)}$, $k \neq (l,d_2)$, correspondantes. On applique
le lemme 3.4 en choisissant $Z_2 = d^{-d_1/2} P_1^{-d_1/2} P_2^{1/2} P^{(d_1-1)\theta/2}$, $Z_1 = d^{-d_1/2}$
$\times P_1^{-d_1/2} P_2^{-1/2} P^{(d_1+1)\theta/2}$, $a_k = d^{d_1/2} P_1^{d_1/2} P_2^{1/2} P^{-(d_1-1)\theta/2}$ pour tout $k \in$
$J_1 = \{m+1, \dots, n+1\}$, $a_k = d^{d_1/2} P_1^{d_1/2} P_2^{1/2} P^{-(d_1-3)\theta/2}$ pour $k \in J_2 =$
$\{r+1, \dots, m\} \times [d_1-1]$, $b_k = d^{d_1/2-1} P_1^{d_1/2} P_2^{1/2} P^{-(d_1-1)\theta/2}$ pour $k \in I_1 =$
$\{0, \dots, r\}$ et $b_k = d^{d_1/2} P_1^{d_1/2} P_2^{3/2} P^{-(d_1-1)\theta/2}$ pour $k \in I_2' = \{r+1, \dots, m\}$
$\times [d_2-1]$ de sorte que

$$
\forall k \in J_1, \quad a_k Z_2 = P_2, \qquad a_k Z_1 = P^\theta,
$$

$$
\forall k \in J_2, \quad a_k Z_2 = P^\theta P_2, \qquad a_k Z_1 = P^{2\theta},
$$

$$
\forall k \in I_1, \quad b_k^{-1} Z_2 = d^{-(d_1-1)} P_1^{-d_1} P^{(d_1-1)\theta}, \quad b_k^{-1} Z_1 = d^{-(d_1-1)} P_1^{-d_1} P_2^{-1} P^{d_1\theta},
$$

$$
\forall k \in I'_2, \quad b_k^{-1} Z_2 = d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-1} P^{(d_1-1)\theta}, \quad b_k^{-1} Z_1 = d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-2} P^{d_1\theta}
$$

et de plus

$$
\forall k \in J_1, \quad a_k^{-1} Z_1 = d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-1} P^{d_1 \theta},
$$

$$
\forall k \in J_2, \quad a_k^{-1} Z_1 = d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-1} P^{(d_1-1)\theta},
$$

$$
\forall k \in I_1, \quad b_k Z_1 = P^\theta / d,
$$

$$
\forall k \in I'_2, \quad b_k Z_1 = P_2 P^\theta.
$$
On trouve alors

$$
U(Z_2) \ll \max \left( \left( \frac{P_2}{P^\theta} \right)^{n_2} U(Z_1), \frac{Z_2^{n_2}}{Z_1^{n_1}} \frac{\prod_{k \in J} a_k}{\prod_{k \in I_1 \cup I_2'} b_k} U^t(Z_1) \right),
$$

avec

$$
\frac{Z_2^{n_2}}{Z_1^{n_1}} \frac{\prod_{k \in J} a_k}{\prod_{k \in I_1 \cup I_2'} b_k} = \frac{\prod_{k \in J} a_k Z_2}{\prod_{k \in I_1 \cup I_2'} b_k Z_1} = d^{r+1} \frac{P_2^{n_2}}{P^{n_1 \theta}} \frac{P^{(d_1-1)(m-r)\theta}}{P_2^{(d_2-1)(m-r)}},
$$

où

$$
U(Z_2) = \operatorname{card}\{((\mathbf{y}^{(d_2,i)}, \mathbf{z}^{(d_2)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}) \mid |\mathbf{z}^{(d_2)}| \le P_2, |\mathbf{y}^{(d_2,i)}| \le P^\theta P_2, \\
\text{et } \forall k \in I_1, \|\alpha \gamma_{d,k}^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket)\| < d^{-(d_1-1)} P_1^{-d_1} P^{(d_1-1)\theta}, \\
\forall k \in I_2', \|\alpha \gamma_{d,k}^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket)\| < d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-1} P^{(d_1-1)\theta}\},
$$

$$
U(Z_1) = \operatorname{card}\{((\mathbf{y}^{(d_2,i)}), \mathbf{z}^{(d_2)}) \mid |\mathbf{z}^{(d_2)}| \le P^{\theta}, |\mathbf{y}^{(d_2,i)}| \le P^{2\theta}, \\
\text{et } \forall k \in I_1, \|\alpha \gamma_{d,k}^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket)\| < d^{-(d_1-1)} P_1^{-d_1} P_2^{-1} P^{d_1 \theta}, \\
\forall k \in I_2', \|\alpha \gamma_{d,k}^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket)\| < d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-2} P^{d_1 \theta}\},
$$

$$
U^t(Z_1) = \operatorname{card}\{(\mathbf{x}^{(d_1)}, (\mathbf{y}^{(j,d_1)})_{j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket}) \mid |\mathbf{x}^{(d_1)}| \le P^\theta/d, |\mathbf{y}^{(j,d_1)}| \le P^\theta P_2, \\
\text{et } \forall k \in J_1, \|\alpha(\gamma_{d,k}^{(1)})^t((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket)\| < d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-1} P^{d_1 \theta}, \\
\forall k \in J_2, \|\alpha(\gamma_{d,k}^{(1)})^t((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket)\| < d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-1} P^{(d_1-1)\theta}\}.
$$

Rappelons que

$$
\Gamma_d^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket) \\
= \sum_{k \in I} \gamma_{d,k}^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket) u_k^{(d_1)}.
$$

Or d'après la remarque 3.1, on a $\Gamma_d^{(1)} = \Gamma_d^{(1)'}$. On pose

$$
\Gamma_d^{(1)} = \sum_{\substack{k \in I_1 \cup I_2' \\ l \in J_1 \cup J_2}} \lambda_{k,l} t_l^{(d_2)} u_k^{(d_1)} + \sum_{j=r+1}^{m} \alpha_j y_j^{(d_1, d_2)}.
$$

Alors,

$$
\begin{align*}
\gamma_{d,k}^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket) &= \sum_{l \in J_1 \cup J_2} \lambda_{k,l} t_l^{(d_2)}, \\
(\gamma_{d,l}^{(1)})^t((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{k \in \llbracket d_1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket) &= \sum_{k \in I_1 \cup I_2'} \lambda_{k,l} u_k^{(d_1)}.
\end{align*}
$$

Par conséquent les formes linéaires $(\gamma_{d,k}^{(1)})^t$ sont exactement celles que l'on
aurait obtenu en différenciant en $(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ puis en $(\tilde{\mathbf{y}}, \mathbf{z})$ et en sommant ensuite
sur chaque $(z^{d_2}, y^{d_2, d_1})$. En particulier si l'on considère les formes

$$ (\gamma_{d,k}^{(1)})^t((x^{(i)}, y^{(j,i)}, z^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket}) $$

comme des formes en $(y^{j,i}, z^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}$ pour un certain $j \in \llbracket d_2 \rrbracket$, alors ces formes linéaires vérifient la condition de symétrie du lemme 3.6, et on peut alors appliquer ce lemme comme nous l'avions fait pour les formes en $(y^{j,i}, x^{(i)})_{j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket}$, pour finalement obtenir, en posant

$$ \begin{aligned} & M^t(\alpha, (H_1^{(i)}, H_2^{(j,i)}, H_3^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket}, B_1^{-1}, B_2^{-1}) \\ & = \mathrm{card}\{(x^{(i)}, y^{(j,i)}, z^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket} \mid \forall (i,j) \in \llbracket d_1 \rrbracket \times \llbracket d_2-1 \rrbracket, \\ & \qquad \qquad \qquad |x^{(i)}| \le H_1^{(i)}, |y^{(j,i)}| \le H_2^{(i,j)}, |z^{(j)}| \le H_2^{(j)} \\ & \text{et } \forall k \in \{r+1, \dots, m\}, \|\alpha\gamma_{d,k}^{(1)}((x^{(i)}, y^{(j,i)}, z^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket})\| < B_1^{-1}, \\ & \qquad \qquad \qquad \forall k \in \{m+1, \dots, n+1\} \times \llbracket d_1 \rrbracket, \|\alpha(\gamma_{d,k}^{(1)})^t((x^{(i)}, y^{(j,i)}, z^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket})\| < B_2^{-1}\}, \end{aligned} $$

et en choisissant

$$ H_2^{(j,i)} = P^\theta P_2, \quad H_1^{(i)} = P^\theta/d, \quad H_3^{(j)} = P_2, $$

la relation suivante :

$$ \begin{aligned} & \sum_{\substack{(x^{(i)}, y^{(j,i)}, z^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket} \\ \text{vérifiant (3.21)}}} \frac{Z_2^{n_2}}{Z_1^{n_1}} \frac{\prod_{k \in J} a_k}{\prod_{k \in I_1 \cup I_2'} b_k} U^t(Z_1) \\ & \ll d^{r+1} \frac{P_2^{n_2}}{P^{n_1 \theta}} \frac{P^{(d_1-1)(m-r)\theta}}{P_2^{(d_2-1)(m-r)}} \\ & \qquad \times M^t(\alpha, (H_1^{(i)}, H_2^{(j,i)}, H_3^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket}, d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-1} P^{d_1 \theta}, d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-1} P^{(d_1-1)\theta}) \\ & \ll d^{r+1} \frac{P_2^{n_2}}{P^{n_1 \theta}} \frac{P^{(d_1-1)(m-r)\theta}}{P_2^{(d_2-1)(m-r)}} \left(\frac{P_2}{P^\theta}\right)^{(n-m+1)(d_2-1)+(m-r)(d_2-1)d_1} \\ & \qquad \times M^t(\alpha, (P^\theta/d, P^{2\theta}, P^\theta)_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket}, d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-d_2} P^{(\bar{d}+1)\theta}, d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-d_2} P^{\bar{d}\theta}) \\ & = d^{r+1} \frac{P_2^{(n-m+1)d_2+(m-r)(d_1-1)d_2}}{P^{(n_2(d_2-1)+n_1+(d_2-d_1)(m-r))\theta}} \\ & \qquad \times M^t(\alpha, (P^\theta/d, P^{2\theta}, P^\theta)_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket}, d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-d_2} P^{(\bar{d}+1)\theta}, d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-d_2} P^{\bar{d}\theta}). \end{aligned} $$

En procédant de la même manière pour tous les $n_2$-uplets de variables $(y^{(j,i)}, z^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}$ pour $j \in \llbracket d_2 \rrbracket$, on obtient finalement
$$
(3.22) \quad M(\alpha, (P^\theta/d, P^\theta P_2, P_2)_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}, d^{-(d_1-1)} P_1^{-d_1} P^{(d_1-1)\theta}, \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-1} P^{(d_1-1)\theta}) \\
\ll \frac{P_2^{d_2 n_2}}{P^{\theta(d_2-1)n_2}} \max\{P^{-n_2\theta} M(\alpha, (P^\theta/d, P^{2\theta}, P^\theta)_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2 \rrbracket, H_2, H_1), \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad d^{r+1} P^{-(n_1+(m-r)(d_2-d_1))\theta} M^t(\alpha, (P^\theta/d, P^{2\theta}, P^\theta)_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket}, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket, H_1, H_1)\},
$$
où l'on a noté
$$H_1 = d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-d_2} P^{(\tilde{d}+1)\theta}, \quad H_2 = d^{-(d_1-1)} P_1^{-d_1} P_2^{-d_2} P^{(\tilde{d}+1)\theta}.$$

En regroupant le lemme 3.2 et les majorations (3.20) et (3.22), on obtient :

LEMME 3.7. Pour $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit, et pour $\kappa$, $P > 0$ des réels fixés, pour tout $\alpha \in [0, 1]$, l'une au moins des assertions suivantes est vraie :

$$
(1) \quad |S_d(\alpha)| \ll_{n,r,m,\varepsilon} d^{m-r+\varepsilon+d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}} P_1^{m+2+\varepsilon} P_2^{n-r+1+\varepsilon} P^{-\kappa},
$$

$$
(2) \quad M(\alpha, (P^\theta/d, P^{2\theta}, P^\theta)_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}, H_2, H_1) \\
\qquad \gg (P^\theta)^{(d_1-1)(r+1)+2(d_1-1)d_2(m-r)+d_2(n-m+1)}) P^{-2^{\tilde{d}}\kappa},
$$

$$
(3) \quad M^t(\alpha, (P^\theta/d, P^{2\theta}, P^\theta)_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket}, H_1, H_1) \\
\qquad \gg (P^\theta)^{(d_1(r+1)+2d_1(d_2-1)(m-r)+(d_2-1)(n-m+1)}) P^{-2^{\tilde{d}}\kappa}.
$$

Considérons à présent un élément $(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}$ compté
par $M(\alpha, (P^\theta/d, P^{2\theta}, P^\theta)_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}, H_2, H_1)$ et supposons qu’il existe
$k_0 \in I$ tel que

$$
\alpha \gamma_{d,k_0}^{(1)} ((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) \neq 0.
$$

On pose $q = \gamma_{d,k_0}^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket})$. Rappelons que d'après
(3.16),

$$
\begin{align*}
\gamma_{d,k_0}^{(1)}((\mathbf{x}^{(k)}, \mathbf{y}^{(j,k)}, \mathbf{z}^{(j)})_{k \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) &= \sum_{i \in I^{d_1-1}} G_{d,i,k_0}(\tilde{z}) u_{i_1}^{(1)} \cdots u_{i_{d_1-1}}^{(d_1-1)} \\
&= \sum_{i \in I^{d_1-1}} d^{f_{i,k_0}} G_{i,k_0}(\tilde{z}) u_{i_1}^{(1)} \cdots u_{i_{d_1-1}}^{(d_1-1)}.
\end{align*}
$$

Par conséquent, si $k_0 \in I_1$ alors $d$ divise $q$ et on a $q \ll dP^{(\tilde{d}+1)\theta}$ (car $|\mathbf{x}^{(i)}| \le P^\theta/d$, $|\mathbf{y}^{(j,i)}| \le P^{2\theta}$, $|\mathbf{z}^{(j)}| \le P^\theta$) et si $a$ est l'entier le plus proche de $\alpha q$,

$$
|\alpha q - a| \le d^{-(d_1-1)} P_1^{-d_1} P_2^{-d_2} P^{(\tilde{d}+1)\theta}.
$$

Dans le cas où $k_0 \in I_2$ on a $q \ll P^{(\tilde{d}+1)\theta}$, et si $a$ est l'entier le plus proche de $\alpha q$,

$$
|\alpha q - a| \le d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-d_2} P^{(\tilde{d}+1)\theta}.
$$
En procédant de même avec les éléments $(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket}$ comptés par $M^t(\alpha, (P^\theta, P^{2\theta}, P^\theta)_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket}, P_1^{-d_1} P_2^{-d_2} P^{(\tilde{d}+1)\theta})$, on voit que le lemme 3.7 implique :

**LEMME 3.8.** *Pour $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit, et pour $\kappa, P > 0$ des réels fixés, pour tout $\alpha \in [0, 1]$, l'une au moins des assertions suivantes est vraie :*

$$ (1) \quad |S_d(\alpha)| \ll_{n,r,m,\varepsilon} d^{m-r+\varepsilon+d_1(r+1)/2^\tilde{d}} P_1^{m+2+\varepsilon} P_2^{n-r+1+\varepsilon} P^{-\kappa}, $$

$$ (2) \quad \text{il existe } q \text{ et a tels que } d \mid q, 0 < q \le d P^{(\tilde{d}+1)\theta}, 0 \le a < q \text{ et} \\ |\alpha q - a| \le d^{-(d_1-1)} P_1^{-d_1} P_2^{-d_2} P^{(\tilde{d}+1)\theta}, $$

$$ (3) \quad \text{il existe } q \text{ et a tels que } 0 < q \le P^{(\tilde{d}+1)\theta}, 0 \le a < q, \text{pgcd}(a,q) = 1 \text{ et} \\ |\alpha q - a| \le d^{-d_1} P_1^{-d_1} P_2^{-d_2} P^{(\tilde{d}+1)\theta}, $$

$$ (4) \quad \text{card}\{(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket} \mid |\mathbf{x}^{(i)}| \le P^\theta/d, |\mathbf{y}^{(j,i)}| \le P^{2\theta}, \\ |\mathbf{z}^{(j)}| \le P^\theta \text{ et } \forall k \in I, \gamma_{d,k}^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) = 0\} \\ \gg (P^\theta)^{(d_1-1)(r+1)+2(d_1-1)d_2(m-r)+d_2(n-m+1)} P^{-2^\tilde{d}\kappa}, $$

$$ (5) \quad \text{card}\{(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket} \mid |\mathbf{x}^{(i)}| \le P^\theta/d, |\mathbf{y}^{(j,i)}| \le P^{2\theta}, \\ |\mathbf{z}^{(j)}| \le P^\theta \text{ et } \forall k \in J, (\gamma_{d,k}^{(1)})^t((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2-1 \rrbracket}) = 0\} \\ \gg (P^\theta)^{d_1(r+1)+2d_1(d_2-1)(m-r)+(d_2-1)(n-m+1)} P^{-2^\tilde{d}\kappa}. $$

Avant d'aller plus loin, nous introduisons le lemme ci-dessous qui sera utile à plusieurs reprises par la suite :

**LEMME 3.9.** *On considère $p, q, r \in \mathbb{N}$ et $(L_i)_{i \in \llbracket r \rrbracket}$ des formes linéaires à $p+q$ variables. Pour des constantes $A, B$ et $(C_i)_{i \in I}$ fixées on note*

$$ M(A, B, (C_i)_{i \in \llbracket r \rrbracket}) = \text{card}\{(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \in \mathbb{Z}^p \times \mathbb{Z}^q \mid |\mathbf{x}| \le A, |\mathbf{y}| \le B, \\ \forall i \in \llbracket r \rrbracket, \|L_i(\mathbf{x}, \mathbf{y})\| < C_i\}. $$

Alors pour tout $\xi \ge 1$,

$$ M(A, B, (C_i)_{i \in \llbracket r \rrbracket}) \le (2\xi)^q M(2A, B/\xi, (2C_i)_{i \in \llbracket r \rrbracket}). $$

*Démonstration.* On subdivise le cube $[-B, B]^q$ en $(2\xi)^q$ cubes de taille $B/\xi$. Prenons un tel cube $C$ et considérons

$$ E(C) = \text{card}\{(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \in \mathbb{Z}^p \times \mathbb{Z}^q \mid |\mathbf{x}| \le A, \mathbf{y} \in C, \forall i \in \llbracket r \rrbracket, \|L_i(\mathbf{x}, \mathbf{y})\| \le C_i\}. $$

$$ \text{Si } (\mathbf{x}, \mathbf{y}), (\mathbf{x}', \mathbf{y}') \text{ sont deux points de } E(C), \text{ alors} \\ |\mathbf{x} - \mathbf{x}'| \le 2A, \quad |\mathbf{y} - \mathbf{y}'| \le B/\xi, \\ \text{et pour tout } i \in \llbracket r \rrbracket, $$

$$ |L_i(\mathbf{x} - \mathbf{x}', \mathbf{y} - \mathbf{y}')| \le 2C_i. $$
On a donc

$$E(\mathcal{C}) \leq M(2A, B/\xi, (2C_i)_{i \in \llbracket r \rrbracket})$$

pour tout cube $\mathcal{C}$, d'où le résultat. ■

Considérons à présent le cas (4) du lemme 3.8. Remarquons avant tout qu'il est facile de voir, en appliquant $d_1 - 1$ fois le lemme 3.9 (avec $L_i = \gamma_{d,i}^{(1)}$, $C_i = 1/2^{d_1}$ et $\xi = P^\theta$) que le cardinal considéré peut être majoré, à une constante multiplicative près, par

$$(3.23) \quad (P^\theta)^{(d_1-1)d_2(m-r)} \operatorname{card}\{(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket} \mid |\mathbf{x}^{(i)}| \le 2P^\theta/d, \\ |\mathbf{y}^{(j,i)}| \le P^\theta, |\mathbf{z}^{(j)}| \le P^\theta \text{ et } \forall k \in I, \gamma_{d,k}^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) = 0\}.$$

Quitte à agrandir $\theta$, nous pouvons remplacer la borne $2P^\theta$ sur $\mathbf{x}^{(i)}$ par $P^\theta$. D'autre part, si l'on pose, pour tout $k \in I$,

$$\gamma_k^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) = \sum_{i \in I^{d_1-1}} G_{i,k}(\tilde{z}) u_{i_1}^{(1)} \dots u_{i_{d_1-1}}^{(d_1-1)},$$

alors

$$\gamma_{d,k}^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) = d\gamma_k^{(1)}((d\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket})$$
pour tout $k \in I_1$, et

$$\gamma_{d,k}^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) = \gamma_k^{(1)}((d\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket})$$
pour tout $k \in I_2$. Par conséquent,

$$(3.24) \quad \operatorname{card}\{(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket} \mid |\mathbf{x}^{(i)}| \le P^\theta/d, |\mathbf{y}^{(j,i)}| \le P^\theta, \\ |\mathbf{z}^{(j)}| \le P^\theta \text{ et } \forall k \in I, \gamma_{d,k}^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) = 0\} \\ \ll \operatorname{card}\{(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket} \mid |\mathbf{x}^{(i)}| \le P^\theta, |\mathbf{y}^{(j,i)}| \le P^\theta, \\ |\mathbf{z}^{(j)}| \le P^\theta \text{ et } \forall k \in I, \gamma_k^{(1)}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}) = 0\}.$$

On considère la variété affine $\mathcal{L}_1$ définie par l'ensemble des éléments $(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(j,i)}, \mathbf{z}^{(j)})_{i \in \llbracket d_1-1 \rrbracket, j \in \llbracket d_2 \rrbracket}$ de l'espace affine de dimension $(d_1 - 1)(r + 1) + (d_1 - 1)d_2(m - r) + d_2(n - m + 1)$ vérifiant les équations $\gamma_k^{(1)} = 0$ pour tout $k \in I$. En posant $\kappa = K\theta$, d'après (3.23), la condition (4) du lemme 3.8 implique (pour la démonstration voir [Br, Théorème 3.1])

$$\dim \mathcal{L}_1 \ge (d_1 - 1)(r + 1) + (d_1 - 1)d_2(m - r) + d_2(n - m + 1) - 2^d K.$$

On considère par ailleurs la sous-variété affine $V_1^*$ de $\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^{n+2}$ définie par les $(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{A}_{\mathbb{C}}^{n+2}$ tels que

$$\forall i \in \{0, \dots, r\}, \quad \frac{\partial F}{\partial x_i} = 0, \quad \forall j \in \{r+1, \dots, m\}, \quad \frac{\partial F}{\partial y_j} = 0.$$
Notons $\mathcal{D}$ le sous-espace de l'espace affine de dimension $(d_1 - 1)(r + 1) + (d_1 - 1)d_2(m - r) + d_2(n - m + 1)$ défini par les $(r + 1)(d_1 - 2) + (m - r) \times ((d_1 - 1)d_2 - 1) + (d_2 - 1)(n - m + 1)$ équations

$$
\begin{align*}
\boldsymbol{x}^{(1)} &= \dots = \boldsymbol{x}^{(d_1-1)}, \\
\forall (i,j) \in [d_1-1] \times [d_2], \quad \boldsymbol{y}^{(i,j)} &= \boldsymbol{y}^{(1,1)}, \\
\boldsymbol{z}^{(1)} &= \dots = \boldsymbol{z}^{(d_2)}.
\end{align*}
$$

On a alors

$$
\dim(\mathcal{L}_1 \cap \mathcal{D}) \ge \dim \mathcal{L}_1 - ((r+1)(d_1-2) + (m-r)((d_1-1)d_2-1) \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + (d_2-1)(n-m+1)) \ge n+2-2^{\tilde{d}}K.
$$

D'autre part, $\mathcal{L}_1 \cap \mathcal{D}$ est isomorphe à $V_1^*$. Donc, en résumé (4) implique

$$
\dim V_1^* \geq n + 2 - 2^{\tilde{d}}K.
$$

De la même manière, en notant $V_2^*$ la sous-variété de $A_{\mathbb{C}}^{n+2}$ définie par

$$
\forall i \in \{m+1, \dots, n+1\}, \quad \frac{\partial F}{\partial z_i} = 0, \quad \forall j \in \{r+1, \dots, m\}, \quad \frac{\partial F}{\partial y_j} = 0,
$$

on vérifie que la condition (5) implique

$$
\dim V_2^* \geq n + 2 - 2^{\tilde{d}}K.
$$

Par conséquent, on choisira

$$
(3.25) \qquad K = (n + 2 - \max\{\dim V_1^*, \dim V_2^*\} - \varepsilon) / 2^{\tilde{d}}
$$

(pour un $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit) de sorte que les assertions (4) et (5) ne
soient plus possibles. On posera par ailleurs

$$
(3.26) \qquad P = P_1^{d_1} P_2^{d_2}.
$$

Rappelons que l’on considère des réels $\theta$ tels que $P^\theta \le P_2 \le P_1$, et donc,
si $P_1 = P_2^b$, alors $\theta \le 1/(bd_1 + d_2)$. D’autre part, pour un tel $\theta$, pour $a, q$ tels
que $0 < q \le dP^{(\tilde{d}+1)\theta}$, $d \mid q$ et $0 \le a < q$, on définit les arcs majeurs

$$
(3.27) \quad \mathfrak{M}_{a,q}^{(1)}(\theta) = \{ \alpha \in [0,1] \mid |\alpha q - a| \le d^{-(d_1-1)} P^{-1+(\tilde{d}+1)\theta} \},
$$

$$
(3.28) \quad \mathfrak{M}^{(1)}(\theta) = \bigcup_{\substack{1 \le q \le d P^{(\tilde{d}+1)} \theta \\ d | q}} \bigcup_{0 \le a < q} \mathfrak{M}_{a,q}^{(1)}(\theta).
$$

De même, pour $a, q$ tels que $0 < q \le P^{(\tilde{d}+1)\theta}$ et $0 \le a < q$, on définit

$$
(3.29) \quad \mathfrak{M}_{a,q}^{(2)}(\theta) = \{ \alpha \in [0,1] \mid |\alpha q - a| \le d^{-d_1} P^{-1+(\tilde{d}+1)\theta} \},
$$

$$
(3.30) \quad \mathfrak{M}^{(2)}(\theta) = \bigcup_{\substack{1 \le q \le P^{(\tilde{d}+1)}\theta \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} \bigcup_{0 \le a < q} \mathfrak{M}_{a,q}^{(2)}(\theta).
$$
On notera $\mathfrak{m}(\theta) = [0, 1[ \setminus (\mathfrak{M}^{(1)}(\theta) \cup \mathfrak{M}^{(2)}(\theta))$ l'ensemble des arcs mineurs.
Avec ces notations, le lemme 3.8 devient :

LEMME 3.10. Pour $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit, pour tout $\alpha \in [0, 1]$, l'une
au moins des assertions suivantes est vraie :

$$
(1) \quad |S_d(\alpha)| \ll_{n,m,r,\varepsilon} d^{m-r+\varepsilon+d_1(r+1)/2^d} P_1^{m+2} P_2^{n-r+1} P^{-K\theta+\varepsilon},
$$

$$
(2) \text{ Le réel } \alpha \text{ appartient à } \mathfrak{M}(\theta) = \mathfrak{M}^{(1)}(\theta) \cup \mathfrak{M}^{(2)}(\theta).
$$

**3.3. Les arcs mineurs.** On considère à présent $\delta > 0$ arbitrairement petit $\theta_0 \le 1/(bd_1 + d_2)$ tels que

$$
(3.31) \qquad K - 2(\tilde{d} + 1) > \left( 2\delta + \frac{b}{bd_1 + d_2} \right) \theta_0^{-1},
$$

$$
(3.32) \qquad 1 > (bd_1 + d_2)(5(\tilde{d} + 1)\theta_0 + \delta).
$$

REMARQUE 3.11. Pour que les conditions (3.31) et (3.32) puissent être
vérifiées, il est nécessaire d'avoir

$$
K - 2(\tilde{d} + 1) > \frac{b}{bd_1 + d_2} (bd_1 + d_2) 5(\tilde{d} + 1) = 5b(\tilde{d} + 1).
$$

Soit encore

$K > (5b + 2)(\tilde{d} + 1),$

ce que nous supposerons dorénavant.

Avec ces conditions, on a le lemme suivant :

LEMME 3.12. On a la majoration

$$
\int_{\alpha \in \mathfrak{m}(\theta)} |S_d(\alpha)| d\alpha \ll d^{m-r+\varepsilon+d_1(r+1)/2^d} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} P^{-1-\delta}.
$$

Démonstration. On considère une suite $(\theta_i)_i$ telle que

$$
\theta_T > \theta_{T-1} > \dots > \theta_1 > \theta_0, \quad \theta_T \le \frac{1}{bd_1 + d_2}, \quad \theta_T K > 2\delta + 1 + \frac{b}{bd_1 + d_2},
$$

et

$$
\forall i \in \{0, \dots, T-1\}, \quad 2(\tilde{d}+1)(\theta_{i+1} - \theta_i) < \delta/2.
$$

Un tel choix de $\theta_T$ est possible, étant donné que

$$
\frac{K}{bd_1 + d_2} > 2\delta + 1 + \frac{b}{bd_1 + d_2} \iff K > (2\delta + 1)(bd_1 + d_2) + b,
$$

ce qui est assuré par la condition $K > (5b + 2)(\tilde{d} + 1)$ de la remarque 3.11.
Quitte à supposer $P$ assez grand, on suppose de plus que $T$ est tel que
$T \ll P^{\delta/2}$. Alors, d'après le lemme 3.10,

$$ \int_{\alpha \notin \mathfrak{M}(\theta_T)} |S_d(\alpha)| d\alpha \ll d^{m-r+\varepsilon+d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}} P_1^{m+2} P_2^{n-r+1} P^{-K\theta_T+\varepsilon} \\ \ll d^{m-r+\varepsilon+d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} P^{-1-\delta}. $$

Par ailleurs,

$$ \mathrm{Vol}(\mathfrak{M}^{(1)}(\theta_i)) \ll d^{-(d_1-1)} P^{-1+2(\tilde{d}+1)\theta_i}, $$

$$ \mathrm{Vol}(\mathfrak{M}^{(2)}(\theta_i)) \ll d^{-d_1} P^{-1+2(\tilde{d}+1)\theta_i}, $$

et donc

$$ \mathrm{Vol}(\mathfrak{M}(\theta_i)) \ll d^{-(d_1-1)} P^{-1+2(\tilde{d}+1)\theta_i}. $$

Par conséquent,

$$ \int_{\alpha \in \mathfrak{M}(\theta_{i+1}) \setminus \mathfrak{M}(\theta_i)} |S_d(\alpha)| d\alpha \ll d^{m-r+\varepsilon+d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}-(d_1-1)} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} P^{-1-3/2\delta}. $$

On obtient le résultat en sommant sur tous les $i \in \{0, \dots, T-1\}$ et $T \ll P^{\delta/2}$. ■

Ainsi, l'intégrale de $S(\alpha)$ sur les arcs mineurs donne une contribution négligeable par rapport à $d^{m-r+\varepsilon+d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} P^{-1}$. Nous allons à présent nous intéresser à la contribution des arcs majeurs.

**3.4. Les arcs majeurs.** Pour des raisons pratiques, nous allons introduire de nouveaux arcs majeurs. Pour tout $\theta \in [0, 1]$, $a, q \in \mathbb{Z}$, on pose

$$ (3.33) \qquad \mathfrak{M}'_{a,q}(\theta) = \{\alpha \in [0,1] \mid |\alpha q - a| \le q d^{-d_1} P^{-1+(\tilde{d}+1)\theta}\}, $$

$$ (3.34) \qquad \mathfrak{M}'(\theta) = \bigcup_{\substack{q \le d P^{(\tilde{d}+1)\theta} \\ 0 \le a < q \\ \mathrm{pgcd}(a,q)=1}} \mathfrak{M}'_{a,q}(\theta). $$

Remarquons que ce nouvel ensemble $\mathfrak{M}'(\theta)$ contient $\mathfrak{M}(\theta)$. Par ailleurs, si $\theta_0 \in [0, 1]$ vérifie les conditions (3.31) et (3.32), on a le lemme suivant :

**LEMME 3.13.** *Pour $d_1 \ge 2$, les ensembles $\mathfrak{M}'_{a,q}(\theta_0)$ sont disjoints deux à deux.*

*Démonstration.* Supposons qu'il existe $\alpha \in \mathfrak{M}'_{a,q}(\theta_0) \cap \mathfrak{M}'_{a',q'}(\theta_0)$ avec $(a, q) \ne (a', q')$. On a alors (puisque $\mathrm{pgcd}(a, q) = \mathrm{pgcd}(a', q') = 1$)

$$ \frac{1}{qq'} \le \left| \frac{a}{q} - \frac{a'}{q'} \right| \le \left| \frac{a}{q} - \alpha \right| + \left| \alpha - \frac{a'}{q'} \right| \le 2d^{-d_1} P^{-1+(\tilde{d}+1)\theta_0}. $$

On aurait donc

$$ 1 \le 2qq'd^{-d_1} P^{-1+(\tilde{d}+1)\theta_0} \le 2d^2 d^{-d_1} P^{-1+3(\tilde{d}+1)\theta_0} \le 2P^{-1+3(\tilde{d}+1)\theta_0}, $$
ce qui est absurde car d'après (3.32),

$$ \theta_0 < \frac{1}{5(\tilde{d} + 1)(bd_1 + d_2)} < \frac{1}{3(\tilde{d} + 1)}. \blacksquare $$

Puisque $\mathfrak{M}(\theta_0) \subset \mathfrak{M}'(\theta_0)$, le lemme 3.12 implique le résultat suivant :

LEMME 3.14. On a

$$ N_d(P_1, P_2) = \sum_{1 \le q \le d} \sum_{\substack{0 \le a < q \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} \int S_d(\alpha) d\alpha + O(d^{m-r+\varepsilon+d_1(r+1)/2^\tilde{d}} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} P^{-1-\delta}). $$

Par la suite, étant donné $\alpha \in \mathfrak{M}'_{a,q}(\theta_0)$, on pose $\alpha = a/q + \beta$ avec $|\beta| \le d^{-d_1} P^{-1+(\tilde{d}+1)\theta_0}$, et on note

$$ (3.35) \quad S_{a,q,d} = \sum_{\mathbf{b}_1 \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{r+1}} \sum_{\mathbf{b}_2 \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{m-r}} \sum_{\mathbf{b}_3 \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{n-m+1}} e\left(\frac{a}{q}F(d\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3)\right), $$

$$ (3.36) \quad I(\beta) = \int_{(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) \in \mathcal{B}_1 \times \mathcal{B}_2 \times \mathcal{B}_3 \mid |\mathbf{v}| \le |\mathbf{u}|} e(\beta F(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})) \, d\mathbf{u} \, d\mathbf{v} \, d\mathbf{w}. $$

On établit alors le lemme suivant :

LEMME 3.15. Soit $\alpha \in \mathfrak{M}'_{a,q}(\theta_0)$. Alors

$$ S_d(\alpha) = d^{m-r} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} q^{-(n+2)} S_{a,q,d} I(d^{d_1} P \beta) + O(d^{m-r+1} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} P^{2(\tilde{d}+1)\theta_0} P_2^{-1}). $$

Démonstration. On remarque dans un premier temps que

$$ (3.37) \quad S_d(\alpha) = \sum_{\mathbf{b}_1 \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{r+1}} \sum_{\mathbf{b}_2 \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{m-r}} \sum_{\mathbf{b}_3 \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{n-m+1}} e\left(\frac{a}{q}F(d\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3)\right) S_3(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3) $$

où

$$ S_3(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3) = \sum_{\substack{\mathbf{x} \equiv \mathbf{b}_1(q) \\ |\mathbf{x}| \le P_1}} \sum_{\substack{\mathbf{y} \equiv \mathbf{b}_2(q) \\ |\mathbf{y}| \le d|\mathbf{x}|P_2}} \sum_{\substack{\mathbf{z} \equiv \mathbf{b}_2(q) \\ |\mathbf{z}| \le P_2}} e(\beta F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})). $$

Soient $(\mathbf{x}'\mathbf{y}', \mathbf{z}')$ et $(\mathbf{x}''\mathbf{y}'', \mathbf{z}'')$ tels que

$$ \begin{align*} & (q\mathbf{x}' + \mathbf{b}_1, q\mathbf{y}' + \mathbf{b}_2, q\mathbf{z}' + \mathbf{b}_3) \in P_1\mathcal{B}_1 \times dP_1P_2\mathcal{B}_2 \times P_2\mathcal{B}_3 \\ & \text{et } |q\mathbf{y}' + \mathbf{b}_2| \le d|q\mathbf{x}' + \mathbf{b}_1|P_2, \\ & (q\mathbf{x}'' + \mathbf{b}_1, q\mathbf{y}'' + \mathbf{b}_2, q\mathbf{z}'' + \mathbf{b}_3) \in P_1\mathcal{B}_1 \times dP_1P_2\mathcal{B}_2 \times P_2\mathcal{B}_3 \\ & \text{et } |q\mathbf{y}'' + \mathbf{b}_2| \le d|q\mathbf{x}'' + \mathbf{b}_1|P_2, \\ & |\mathbf{x}' - \mathbf{x}''| \le 2, \quad |\mathbf{y}' - \mathbf{y}''| \le 2, \quad |\mathbf{z}' - \mathbf{z}''| \le 2, \end{align*} $$
Dans ce cas,

$$
\begin{align*}
& |F(q\boldsymbol{x}' + \boldsymbol{b}_1, q\boldsymbol{y}' + \boldsymbol{b}_2, q\boldsymbol{z}' + \boldsymbol{b}_3) - F(q\boldsymbol{x}'' + \boldsymbol{b}_1, q\boldsymbol{y}'' + \boldsymbol{b}_2, q\boldsymbol{z}'' + \boldsymbol{b}_3)| \\
& \quad \ll q d_1^{d_1-1} P_1^{d_1-1} P_2^{d_2} + q d_1^{d_1-1} P_1^{d_1-1} P_2^{d_2-1} + q d_1^{d_1} P_1^{d_1} P_2^{d_2-1} \ll q d_1^{d_1} P_1^{d_1} P_2^{d_2-1}.
\end{align*}
$$

Remarquons que lorsque $q > P_2$, l'égalité du lemme est triviale. On suppose donc que $P_2 \ge q$. En remplaçant $S_3$ par une intégrale on obtient

$$
\begin{align*}
S_3(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3) = & \iint_{|q\tilde{u}|\le P_1} \iint_{|q\tilde{v}|\le d|q\tilde{u}|P_2} \iint_{|q\tilde{w}|\le P_2} e(\beta F(dq\tilde{u}, q\tilde{v}, q\tilde{w})) d\tilde{u} d\tilde{v} d\tilde{w} \\
& + O\left(q|\beta| d^{d_1} P_1^{d_1} P_2^{(d_2-1)} \left(\frac{P_1}{q}\right)^{r+1} \left(\frac{dP_1 P_2}{q}\right)^{m-r} \left(\frac{P_2}{q}\right)^{n-m+1}\right) \\
& + O\left(\left(\frac{P_1}{q}\right)^{r+1} \left(\frac{dP_1 P_2}{q}\right)^{m-r} \left(\frac{P_2}{q}\right)^{n-m}\right).
\end{align*}
$$

En rappelant que $|\beta| \le d^{-d_1} P^{-1+(\tilde{d}+1)\theta_0}$, et en effectuant le changement de variables

$$
\boldsymbol{u} = qP_1^{-1}\tilde{\boldsymbol{u}}, \quad \boldsymbol{v} = q(dP_1P_2)^{-1}\tilde{\boldsymbol{v}}, \quad \boldsymbol{w} = qP_2^{-1}\tilde{\boldsymbol{w}},
$$

on trouve (puisque $P = P_1^{d_1} P_2^{d_2}$)

$$
\begin{align*}
S_3(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3) &= d^{m-r} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} q^{-(n+2)} \\
&\quad \times \iint_{|\mathbf{u}|\le 1} \iint_{|\mathbf{v}|\le |\mathbf{u}|} \iint_{|\mathbf{w}|\le 1} e(\beta F(dP_1\mathbf{u}, dP_1P_2\mathbf{v}, P_2\mathbf{w})) d\mathbf{u} d\mathbf{v} d\mathbf{w} \\
&\quad + O\left(q|\beta| d^{d_1} P_1^{d_1} P_2^{(d_2-1)} \left(\frac{P_1}{q}\right)^{r+1} \left(\frac{dP_1 P_2}{q}\right)^{m-r} \left(\frac{P_2}{q}\right)^{n-m+1}\right) \\
&\quad + O\left(\left(\frac{P_1}{q}\right)^{r+1} \left(\frac{dP_1 P_2}{q}\right)^{m-r} \left(\frac{P_2}{q}\right)^{n-m}\right) \\
&= d^{m-r} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} q^{-(n+2)} I(d^{d_1} P \beta) \\
&\quad + O(d^{m-r+1} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} P_2^{-1} q^{-(n+2)} P^{2(\tilde{d}+1)\theta_0}).
\end{align*}
$$

Puis, en remplaçant $S_3$ par cette expression dans (3.37), on obtient le résultat. ■

En regroupant les lemmes 3.14 et 3.15, on trouve

$$
\begin{align*}
N_d(P_1, P_2) ={}& d^{m-r} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} \sum_{1 \le q \le d P^{(\tilde{d}+1)\theta_0}} q^{-(n+2)} \\
& \times \sum_{\substack{0 \le a < q \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} S_{a,q,d} \int_{|\beta| \le d^{-d_1} P^{-1+(\tilde{d}+1)\theta_0}} I(d^{d_1} P \beta) \, d\beta
\end{align*}
$$
$$ 
\begin{aligned}
&+ O(d^{m-r+1} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} P^{2(\tilde{d}+1)\theta_0} P_2^{-1} \operatorname{Vol}(\mathfrak{M}'(\theta_0))) \\
&+ O(d^{m-r+\varepsilon+d_1(r+1)/2\tilde{d}} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} P^{-1-\delta}).
\end{aligned}
$$

En remarquant que

$$ 
\begin{aligned}
\operatorname{Vol}(\mathfrak{M}'(\theta_0)) &\ll \sum_{1 \le q \le d} \sum_{\substack{P^{\tilde{d}(\tilde{d}+1)\theta_0} \\ \operatorname{pgcd}(a,q)=1}} d^{-d_1} P^{-1+(\tilde{d}+1)\theta_0} \\
&\ll d^{2-d_1} P^{-1+3(\tilde{d}+1)\theta_0},
\end{aligned}
$$

et que

$$ \int_{|\beta| \le d^{-d_1} P^{-1+(\tilde{d}+1)\theta_0}} I(d^{d_1} P\beta) \, d\beta = d^{-d_1} P^{-1} \quad \int_{|\beta| \le P^{(\tilde{d}+1)\theta_0}} I(\beta) \, d\beta, $$

et en notant

$$ (3.38) \qquad \mathfrak{S}_d(Q) = \sum_{1 \le q \le Q} q^{-(n+2)} \sum_{\substack{0 \le a < q \\ \operatorname{pgcd}(a,q)=1}} S_{a,q,d}, $$

$$ (3.39) \qquad J(\phi) = \int_{|\beta| \le \phi} I(\beta) \, d\beta, $$

on a

$$ (3.40) \qquad N_d(P_1, P_2) = d^{m-r-d_1} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2} \mathfrak{S}_d(dP^{(\tilde{d}+1)\theta_0}) J(P^{(\tilde{d}+1)\theta_0}) \\ 
\qquad\qquad + O(d^{m-r+3-d_1} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} P^{-1+5(\tilde{d}+1)\theta_0} P_2^{-1}) \\ 
\qquad\qquad + O(d^{m-r+\varepsilon+d_1(r+1)/2\tilde{d}} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} P^{-1-\delta}). $$

Or, d'après (3.32) on a supposé $5(\tilde{d}+1)\theta_0 + \delta < 1/(bd_1 + d_2)$, donc
$$ d^{m-r+3-d_1} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} P^{-1+5(\tilde{d}+1)\theta_0} P_2^{-1} \ll d^{m-r+3-d_1} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} P^{-1-\delta}. $$

On définit à présent

$$ (3.41) \qquad \mathfrak{S}_d = \sum_{q=1}^{\infty} \sum_{\substack{0 \le a < q \\ \operatorname{pgcd}(a,q)=1}} q^{-(n+2)} S_{a,q,d}, $$

$$ (3.42) \qquad J = \int_{\beta \in \mathbb{R}} I(\beta) \, d\beta. $$

Afin de pouvoir remplacer $J(P^{(\tilde{d}+1)\theta_0})$ par $J$ dans (3.40), nous allons établir :

LEMME 3.16. *L'intégrale J est absolument convergente, et pour tout $\phi$ assez grand,*

$$ |J - J(\phi)| \ll \phi^{-1}. $$

*Démonstration.* On choisit $\theta \in [0, 1]$ vérifiant les mêmes conditions (3.31) et (3.32) que $\theta_0$. Soit $\beta$ tel que $|\beta| > \phi$; on considère $P_1, P_2, P$ tels que
$2|\beta| = P^{(\tilde{d}+1)\theta}$ et on prend $d = 1$. Alors $P^{-1}\beta \in \mathfrak{M}_{0,1}(\theta)$, et d'après le lemme 3.15,

$$ (3.43) \quad S_1(P^{-1}\beta) = P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} I(\beta) + O(P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} P^{2(\tilde{d}+1)\theta} P_2^{-1}). $$

D'autre part, $P^{-1}\beta$ appartient au bord de $\mathfrak{M}_{0,1}(\theta)$, donc, puisque les $\mathfrak{M}_{a,q}(\theta)$ sont disjoints, pour tout $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit, par le lemme 3.10 appliqué à $d=1$ on a

$$ (3.44) \quad S_1(P^{-1}\beta) \ll P_1^{m+2} P_2^{n-r+1} P^{-K\theta+\varepsilon}. $$

Par conséquent, en regroupant (3.43) et (3.44), on trouve

$$ \begin{aligned} |I(\beta)| &\ll P_1 P^{-K\theta+\varepsilon} + O(P_2^{-1} P^{2(\tilde{d}+1)\theta}) \\ &= P^{\frac{b}{bd_1+d_2}-K\theta+\varepsilon} + O(P^{-\frac{1}{bd_1+d_2}+2(\tilde{d}+1)\theta}). \end{aligned} $$

Or, d'après (3.32),

$$ \frac{1}{bd_1 + d_2} - 2(\tilde{d} + 1)\theta > 3(\tilde{d} + 1)\theta + \delta, $$

donc

$$ P^{-\frac{1}{bd_1+d_2}+2(\tilde{d}+1)\theta} \ll P^{-3(\tilde{d}+1)\theta-\delta} \ll |\beta|^{-3}. $$

Par ailleurs, d'après (3.31),

$$ K\theta - 2(\tilde{d} + 1)\theta > 2\delta + \frac{b}{bd_1 + d_2}, $$

et donc

$$ P^{\frac{b}{bd_1+d_2}-K\theta+\varepsilon} \ll P^{-2(\tilde{d}+1)\theta} \ll |\beta|^{-2}. $$

On en déduit $\int_{|\beta|>\phi} |I(\beta)| d\beta \ll \phi^{-1}$, d'où le résultat du lemme. ■

De même, pour pouvoir remplaçer $\mathfrak{S}_d(dP^{(\tilde{d}+1)\theta_0})$ par $\mathfrak{S}_d$ dans (3.40), on établit :

LEMME 3.17. Pour $d_1 \ge 2$, la série $\mathfrak{S}_d$ est absolument convergente, et pour tout $Q \ge d$ assez grand, on a

$$ |\mathfrak{S}_d - \mathfrak{S}_d(Q)| \ll \max\{d^{d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}+\varepsilon}, d\}Q^{-\delta} $$

pour $\delta > 0$ arbitrairement petit.

Démonstration. On choisit $\theta \in [0,1]$ vérifiant (3.31) et (3.32). Soit $q > Q \ge d$ quelconque et $a$ tel que $0 \le a < q$ et $\text{pgcd}(a,q) = 1$. On choisit $P_1, P_2 \ge 1$ tels que $q = dP^{(\tilde{d}+1)\theta}$ avec $P = P_1^{d_1} P_2^{d_2}$. D'après le lemme 3.15, si $\alpha = a/q$, on a

$$ \begin{aligned} |S_d(\alpha)| &= d^{m-r} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} q^{-(n+2)} S_{a,q,d} I(0) \\ &\quad + O(d^{m-r+1} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} P^{2(\tilde{d}+1)\theta} P_2^{-1}). \end{aligned} $$
Par ailleurs, si l'on pose $\theta' = \theta - \nu$ avec $\nu > 0$ arbitrairement petit, on voit que $\alpha = a/q \notin \mathfrak{M}(\theta')$. En effet, supposons qu'il existe $a', q'$ tels que $d|q'$, $q' \le dP^{(\tilde{d}+1)\theta'} < dP^{(\tilde{d}+1)\theta} = q$, $0 \le a' < q'$, et $\alpha \in \mathfrak{M}_{a',q'}^{(1)}(\theta')$. Si $aq' = qa'$, on a donc, puisque $\text{pgcd}(a, q) = 1$, $a|a'$ et donc si $a' \ne 0$, on a $q' = (a'/a)q$, ce qui est absurde car $q > q'$; et si $a = a' = 0$, alors $q = 1$, ce qui contredit encore $q > q'$. Alors

$$1 \le |aq' - a'q| \le qd^{-(d_1-1)}P^{-1+(\tilde{d}+1)\theta'} < d^{2-d_1}P^{-1+2(\tilde{d}+1)\theta},$$

ce qui est absurde car $\theta < 1/(2(\tilde{d}+1))$ d'après (3.32). De la même manière, s'il existe $a', q'$ tels que $q' \le P^{(\tilde{d}+1)\theta'} < dP^{(\tilde{d}+1)\theta} = q$, $0 \le a' < q'$, $\text{pgcd}(a', q') = 1$ et $\alpha \in \mathfrak{M}_{a',q'}^{(2)}(\theta')$,

$$1 \le |aq' - a'q| \le qd^{-d_1}P^{-1+(\tilde{d}+1)\theta'} < d^{1-d_1}P^{-1+2(\tilde{d}+1)\theta}.$$

Par conséquent, d'après le lemme 3.10,

$$|S_d(\alpha)| \ll d^{m-r+\varepsilon+d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}} P_1^{m+2} P_2^{n-r+1} P^{-K\theta'+\varepsilon}$$

et on obtient (étant donné que $I(0) \asymp 1$), pour $\nu$ assez petit,

$$|S_{a,q,d}| \ll q^{n+2} d^{d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}+\varepsilon} P_1 P^{-K\theta'+\varepsilon} + (dq^{n+2} P^{2(\tilde{d}+1)\theta} P_2^{-1}) \\ \ll d^{d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}+\varepsilon} q^{n+2} P^{\frac{b}{bd_1+d_2}-K\theta+2\varepsilon} + (dq^{n+2} P^{2(\tilde{d}+1)\theta-\frac{1}{bd_1+d_2}}).$$

Or, par les conditions (3.31) et (3.32), pour $\delta = \delta'(\tilde{d} + 1)$,

$$P^{\frac{b}{bd_1+d_2}-K\theta+2\varepsilon} \ll P^{-2(\tilde{d}+1)\theta-\delta'(\tilde{d}+1)\theta} = q^{-2-\delta'} \\ P^{2(\tilde{d}+1)\theta-\frac{1}{bd_1+d_2}} \ll P^{-3(\tilde{d}+1)\theta-\delta} \ll q^{-3}.$$

Donc

$$q^{-(n+2)}|S_{a,q,d}| \ll d^{d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}+\varepsilon}q^{-2-\delta'} + dq^{-3}$$

et ainsi

$$|\mathfrak{S}_d - \mathfrak{S}_d(Q)| \ll \sum_{q>Q} \sum_{\substack{0 \le a < q \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} q^{-(n+2)} |S_{a,q,d}| \\ \ll \max\{d^{d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}+\varepsilon}, d\} \sum_{q>Q} \sum_{\substack{0 \le a < q \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} q^{-2-\delta'} \\ \ll \max\{d^{d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}+\varepsilon}, d\} Q^{-\delta'}. \blacksquare$$

REMARQUE 3.18. Observons que $\mathfrak{S}_d(d) \ll d^2$, et donc le lemme précé-
dent nous donne

$$|\mathfrak{S}_d| \ll d^2 + \max\{d^{d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}+\varepsilon}, d\} d^{-\delta} \ll \max\{d^{d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}}, d^2\}.$$
En utilisant les lemmes 3.17 et 3.16, et en notant

$$
(3.45) \qquad \sigma_d = d^{m-r-d_1} \mathfrak{G}_d J,
$$

on obtient finalement le résultat suivant :

PROPOSITION 3.19. *Pour P₁ = P₂ᵇ avec b ≥ 1, si d₁ ≥ 2 et si l'on suppose que K = (n + 2 − max{dim V₁*, dim V₂*} − ε)/2ᵈ est tel que*

$$
K > \max\{bd_1 + d_2, (5b + 2)(d_1 + d_2 - 1)\},
$$

alors

$$
N_d(P_1, P_2) = \sigma_d P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2} \\
\qquad + O(d^{m-r} \max\{d^{d_1(r+1)/2^d + \varepsilon}, d^{3-d_1}\} P_1^{m+1-d_1-\delta} P_2^{n-r+1-d_2-\delta})
$$

pour un réel $\delta > 0$ arbitrairement petit.

REMARQUE 3.20. Remarquons que dans le cas où $P_1 \le P_2$ et $P_2 = P_1^u$,
on obtient exactement la même estimation de $N_d(P_1, P_2)$ lorsque

$$
K > \max\{d_1 + u d_2, 7(d_1 + d_2 - 1)\}.
$$

4. Deuxième étape. Dans cette section nous allons établir, pour un
$x \in \mathbb{Z}^{r+1}$ fixé, en notant $k = |x|$, une formule asymptotique pour

$$
N_{d,x}(P_2) = \mathrm{card}\{(\mathbf{y}, \mathbf{z}) \in (dkP_2\mathcal{B}_2 \times P_2\mathcal{B}_3) \cap \mathbb{Z}^{n-r+1} \mid F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0\}
$$

lorsque $\boldsymbol{x}$ appartient à un ensemble ouvert particulier que nous préciserons.
À cette fin on pose

$$
(4.1) \qquad S_{d,\mathbf{x}}(\alpha) = \sum_{\substack{\mathbf{y} \in \mathbb{Z}^{m-r} \\ |\mathbf{y}| \le dkP_2}} \sum_{\substack{\mathbf{z} \in \mathbb{Z}^{n-m+1} \\ |\mathbf{z}| \le P_2}} e(\alpha F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})),
$$

et on remarque que

$$
N_{d,x}(P_2) = \int_{0}^{1} S_{d,x}(\alpha) \, d\alpha.
$$

4.1. Somme d'exponentielles. En appliquant le même procédé que dans la section 3.1, on a, pour $\boldsymbol{x}$ fixé,

$$
\begin{align*}
|S_{d,\mathbf{x}}(\alpha)|^{2^{d_2}-1} &\ll ((dkP_2)^{m-r})^{2^{d_2}-1-d_2} (P_2^{n-m+1})^{2^{d_2}-1-d_2} \\
&\quad \times \sum_{\substack{\mathbf{y}^{(1)},\mathbf{z}^{(1)} \\ |\mathbf{y}^{(1)}| \le dkP_2 \\ |\mathbf{z}^{(1)}| \le P_2}} \dots \sum_{\substack{\mathbf{y}^{(d_2-1)},\mathbf{z}^{(d_2-1)} \\ |\mathbf{y}^{(d_2-1)}| \le dkP_2 \\ |\mathbf{z}^{(d_2-1)}| \le P_2}} \prod_{j=r+1}^{n+1} \min\{H_j, \|\alpha \gamma_{d,\mathbf{x},j}((\mathbf{y}^{(i)},\mathbf{z}^{(i)})_{i \in \{1,\dots,d_2-1\}})\|^{-1}\}
\end{align*}
$$

avec

$$
H_j = \begin{cases} dkP_2 & \text{si } j \in \{r+1, \dots, m\}, \\ P_2 & \text{si } j \in \{m+1, \dots, n+1\}, \end{cases}
$$
et

$$
\gamma_{d,\mathbf{x},j}((\mathbf{y}^{(i)}, \mathbf{z}^{(i)})_{i \in [d_2-1]}) = \sum_{\mathbf{i}=(i_1, \dots, i_{d_2-1}) \in \{r+1, \dots, n+1\}^{d_2-1}} F_{d\mathbf{x},\mathbf{i},j} u_{i_1}^{(1)} \dots u_{i_{d_2-1}}^{(d_2-1)},
$$

où

$$
u_i = \begin{cases} y_i & \text{si } i \in \{r+1, \dots, m\}, \\ z_i & \text{si } i \in \{m+1, \dots, n+1\} \end{cases}
$$

et les coefficients $F_{d\mathbf{x},i,j}$ sont symétriques en $(\mathbf{i},j) \in \{r+1, \dots, n+1\}^{d_2}$.
À partir de là, on montre comme dans la section 3.1 que

$$
|S_{d,\mathbf{x}}(\alpha)|^{2d_2-1} \ll ((dkP_2)^{m-r+\varepsilon})^{2d_2-1-d_2+1} (P_2^{n-m+1+\varepsilon})^{2d_2-1-d_2+1} \\
\qquad \times M_{d,\mathbf{x}}(\alpha, dkP_2, P_2, (dkP_2)^{-1}, P_2^{-1}),
$$

où l'on a noté, pour tous réels strictement positifs $H_1, H_2, B_1, B_2$,

$$
M_{d,\mathbf{x}}(\alpha, H_1, H_2, B_1^{-1}, B_2^{-1}) = \mathrm{card}\{(\mathbf{y}^{(1)}, \mathbf{z}^{(1)}, \dots, \mathbf{y}^{(d_2-1)}, \mathbf{z}^{(d_2-1)}) \mid |\mathbf{y}^{(i)}| \le H_1, \\
|\mathbf{z}^{(i)}| \le H_2 \text{ et } \forall j \in \{r+1, \dots, m\}, \|\alpha \gamma_{d,\mathbf{x},j}((\mathbf{y}^{(i)}, \mathbf{z}^{(i)})_{i \in [d_2-1]})\| \le B_1^{-1}, \\
\forall j \in \{m+1, \dots, n+1\}, \|\alpha \gamma_{d,\mathbf{x},j}((\mathbf{y}^{(i)}, \mathbf{z}^{(i)})_{i \in [d_2-1]})\| \le B_2^{-1}\}.
$$

On en déduit :

LEMME 4.1. Si $P > 1$, $\kappa > 0$ et $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit, l'une au
moins des assertions suivantes est vérifiée :

$$
(1) |S_{d,\mathbf{x}}(\alpha)| \ll (dk)^{m-r+\varepsilon} P_2^{n+1-r+\varepsilon} P^{-\kappa},
$$

$$
(2) M_{d,\mathbf{x}}(\alpha, dkP_2, P_2, (dkP_2)^{-1}, P_2^{-1}) \\
\qquad \gg ((dkP_2)^{m-r})^{d_2-1} (P_2^{n-m+1})^{d_2-1} P^{-2d_2-1\kappa}.
$$

Or pour $(\mathbf{y}^{(i)}, \mathbf{z}^{(i)})_{i \in [d_2-2]}$ fixés, le réseau défini par les $(\mathbf{y}^{(d_2-1)}, \mathbf{z}^{(d_2-1)})$
et les formes linéaires $\alpha \gamma_{d,\mathbf{x},j}$ est symétrique (c'est-à-dire si $\gamma_{d,\mathbf{x},j}(\mathbf{u}) =$
$\sum_{l \in \{r+1, \dots, n+1\}} \lambda_{j,l} u_l$, alors $\lambda_{j,l} = \lambda_{l,j}$). On peut donc appliquer le lemme
3.6, avec des paramètres $a_j, Z, Z'$ bien choisis. Par des arguments analogues
à ceux employés dans la section 3.2 on obtient alors

$$
M_{d,\mathbf{x}}(\alpha, dkP_2, P_2, (dkP_2)^{-1}, P_2^{-1}) \\
\ll \left(\frac{P_2}{P^{\theta}}\right)^{(d_2-1)(n-r+1)} M_{d,\mathbf{x}}(\alpha, dkP^{\theta}, P^{\theta}, (dk)^{-1}P_2^{-d_2}P^{(d_2-1)^{\theta}}, P_2^{-d_2}P^{(d_2-1)^{\theta}}).
$$

On remarque par ailleurs (en utilisant le lemme 3.9) que

$$
M_{d,\mathbf{x}}(\alpha, dkP^{\theta}, P^{\theta}, (dk)^{-1}P_2^{-d_2}P^{(d_2-1)^{\theta}}, P_2^{-d_2}P^{(d_2-1)^{\theta}}) \\
\ll (dk)^{(d_2-1)(m-r)} M_{d,\mathbf{x}}(\alpha, P^{\theta}, P^{\theta}, (dk)^{-1}P_2^{-d_2}P^{(d_2-1)^{\theta}}, P_2^{-d_2}P^{(d_2-1)^{\theta}}).
$$

On a donc le lemme suivant :
LEMME 4.2. Si $P > 1$, $\kappa > 0$ et $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit, l'une au moins des assertions suivantes est vérifiée :

$$
(1) \quad |S_{d,\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{\alpha})| \ll (dk)^{m-r+\varepsilon} P_2^{n+1-r+\varepsilon} P^{-\kappa},
$$

$$
(2) \quad M_{d,\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{\alpha}, P^{\theta}, P^{\theta}, (dk)^{-1} P_2^{-d_2} P^{(d_2-1)\theta}, P_2^{-d_2} P^{(d_2-1)\theta}) \\
\qquad \gg (P^{\theta})^{(n-r+1)(d_2-1)} P^{-2^{d_2-1}\kappa}.
$$

Remarquons à présent que s’il existe $j_0 \in \{r+1, \dots, n+1\}$ tel que $\gamma_{d,x,j_0}((\mathbf{y}^{(i)}, \mathbf{z}^{(i)})_{i \in \llbracket d_2-1 \rrbracket}) \neq 0$ pour un certain $(\mathbf{y}^{(i)}, \mathbf{z}^{(i)})_{i \in \llbracket d_2-1 \rrbracket}$ tel que $|\mathbf{y}^{(i)}| \le P^{\theta}, |\mathbf{z}^{(i)}| \le P^{\theta}$ pour tout $i \in \llbracket d_2-1 \rrbracket$, et

$$
\| \alpha \gamma_{d, \mathbf{x}, j_0}((\mathbf{y}^{(i)}, \mathbf{z}^{(i)})_{i \in \llbracket d_2-1 \rrbracket}) \| \le P_2^{-d_2} P^{(d_2-1)\theta},
$$

alors en posant $q = \gamma_{d,x,j_0}((\mathbf{y}^{(i)}, \mathbf{z}^{(i)})_{i \in \llbracket d_2-1 \rrbracket})$, on a $q \ll d^{d_1} k^{d_1} P^{(d_2-1)\theta}$ et il existe $a$ tel que

$$
|\alpha q - a| \leq P_2^{-d_2} P^{(d_2-1)\theta}.
$$

Quitte à changer $\theta$, on peut supposer $q \le d^{d_1} k^{d_1} P^{(d_2-1)\theta}$, $0 \le a < q$ et $\text{pgcd}(a,q) = 1$. Dans ce qui suit, on posera

$$
(4.2) \quad \mathfrak{M}_{a,q}^{d,x}(\theta) = \{ \alpha \in [0,1[ \mid |2|\alpha q - a| \le P_2^{-d_2} P^{(d_2-1)\theta} \},
$$

$$
(4.3) \quad \mathfrak{M}^{d,x}(\theta) = \bigcup_{\substack{q \le d^{d_1} k^{d_1} P^{(d_2-1)} \theta \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} \bigcup_{0 \le a < q} \mathfrak{M}_{a,q}^{d,x}(\theta).
$$

On en déduit :

LEMME 4.3. Si $P > 1$, $\kappa > 0$ et $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit, l'une au
moins des assertions suivantes est vérifiée :

$$
(1) \quad |S_{d,\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{\alpha})| \ll (dk)^{m-r+\varepsilon} P_2^{n+1-r+\varepsilon} P^{-\kappa},
$$

$$
(2) \quad \alpha \in \mathfrak{M}^{d,x}(\theta),
$$

$$
(3) \quad \text{card}\{(\mathbf{y}^{(i)}, \mathbf{z}^{(i)})_{i \in \llbracket d_2-1 \rrbracket} \mid |\mathbf{y}^{(i)}| \le P^{\theta}, |\mathbf{z}^{(i)}| \le P^{\theta}, \\
\qquad \text{et } \forall j \in \{r+1, \dots, n+1\}, \gamma_{d,x,j}((\mathbf{y}^{(i)}, \mathbf{z}^{(i)})_{i \in \llbracket d_2-1 \rrbracket}) = 0\} \\
\qquad \gg (P^{\theta})^{(n-r+1)(d_2-1)} P^{-2^{d_2-1}\kappa}.
$$

On définit, pour $\boldsymbol{x}$ fixé,

$$
(4.4) \quad V_{2,\boldsymbol{x}}^* = \left\{ (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) \in \mathbb{C}^{n-r+1} \mid \begin{array}{l} \forall j \in \{r+1, \dots, m\}, \quad \frac{\partial F}{\partial y_j}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) = 0 \\ \text{et } \forall k \in \{m+1, \dots, n+1\}, \quad \frac{\partial F}{\partial z_k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) = 0 \end{array} \right\}.
$$

Remarquons que $\dim V_{2,d\boldsymbol{x}}^* = \dim V_{2,\boldsymbol{x}}^* \text{ pour tout } d \ge 1$. On note

$$
(4.5) \quad \mathcal{A}_2^\lambda = \{ \boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^{r+1} \mid \dim V_{2,\boldsymbol{x}}^* < \dim V_2^* - (r+1) + \lambda \},
$$
où $\lambda \in \mathbb{N}$ est un paramètre que nous préciserons ultérieurement. Par abus de langage on notera

$$ \mathcal{A}_2^{\lambda}(\mathbb{Z}) = \mathcal{A}_2^{\lambda} \cap \mathbb{Z}^{r+1}. $$

Supposons à présent que $\boldsymbol{x} \in \mathcal{A}_2^{\lambda}(\mathbb{Z})$ et que l'assertion (3) du lemme 4.3 est vérifiée. Posons par ailleurs $K_2 = \kappa/\theta$. Si $\mathcal{L}_{2,d,\boldsymbol{x}}$ est la sous-variété affine de $\mathcal{A}^{(n-r+1)(d_2-1)}$ définie par les équations

$$ \gamma_{d,x,j}((\boldsymbol{y}^{(i)}, \boldsymbol{z}^{(i)})_{i \in [d_2-1]}) = 0, $$

alors, d'après la démonstration de [Br, Théorème 3.1],

$$ \dim \mathcal{L}_{2,d,x} \geq (n-r+1)(d_2-1) - 2^{d_2-1} K_2. $$

On considère d'autre part l'intersection avec la diagonale

$$ \mathcal{D}_2 : \begin{cases} \boldsymbol{y}^{(1)} = \dots = \boldsymbol{y}^{(d_2-1)}, \\ \boldsymbol{z}^{(1)} = \dots = \boldsymbol{z}^{(d_2-1)}. \end{cases} $$

On a

$$ \dim(\mathcal{L}_{2,d,x} \cap \mathcal{D}_2) \geq \dim \mathcal{L}_{2,d,x} - (n-r+1)(d_2-2) \geq n-r+1 - 2^{d_2-1} K_2. $$

Par ailleurs, $\mathcal{L}_{2,d,x} \cap \mathcal{D}_2$ est isomorphe à $V_{2,d,x}^*$, et donc, puisque $\boldsymbol{x} \in \mathcal{A}_2^{\lambda}(\mathbb{Z})$ et $\dim V_{2,d,x}^* = \dim V_{2,x}^*$, on obtient

$$ 2^{d_2-1} K_2 \geq n - r + 1 - \dim V_{2,x}^* > n + 2 - \dim V_2^* - \lambda. $$

On posera donc dorénavant

$$ (4.6) \qquad K_2 = (n + 2 - \dim V_2^* - \lambda) / 2^{d_2-1}, $$

et le lemme 4.3 devient alors :

LEMME 4.4. Soit $\boldsymbol{x} \in \mathcal{A}_2^{\lambda}(\mathbb{Z})$. Si $\varepsilon > 0$ est un réel arbitrairement petit, l'une au moins des assertions suivantes est vérifiée :

$$ (1) \quad |S_{d,\boldsymbol{x}}(\boldsymbol{\alpha})| \ll (dk)^{m-r+\varepsilon} P_2^{n+1-r+\varepsilon} P^{-K_2\theta}, $$

$$ (2) \quad \alpha \in \mathfrak{M}^{d,\boldsymbol{x}}(\theta). $$

Pour tout le reste de cette section on fixera $P = P_2$. Avant d'aller plus loin, nous établissons une propriété de l'ensemble $\mathcal{A}_2^{\lambda}$ :

PROPOSITION 4.5. L'ensemble $\mathcal{A}_2^{\lambda}$ est un ouvert de Zariski de $\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^{r+1}$, et de plus,

$$ \mathrm{card}\{[-P_1, P_1]^{r+1} \cap (\mathcal{A}_2^{\lambda})^c \cap \mathbb{Z}^{r+1}\} \ll P_1^{r+1-\lambda}. $$

Démonstration. On commence par montrer que $\{\boldsymbol{x} \in \mathbb{A}_{\mathbb{C}}^{r+1} \mid \dim V_{2,\boldsymbol{x}}^* \geq \lambda\}$ est un fermé de Zariski de $\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^{r+1}$.
Notons $Y$ le fermé de $A_{\mathbb{C}}^{r+1} \times \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^{n-r}$ définit par

$$
Y = \left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in A_{\mathbb{C}}^{r+1} \times \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^{n-r} \mid \begin{array}{l} \forall j \in \{m+1, \dots, n+1\}, \quad \displaystyle\frac{\partial F}{\partial y_j}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0 \\ \text{et } \forall k \in \{m+1, \dots, n+1\}, \quad \displaystyle\frac{\partial F}{\partial z_k}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0 \end{array} \right\}.
$$

La projection canonique $\pi : Y \subset A_{\mathbb{C}}^{r+1} \times \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^{n-r} \to A_{\mathbb{C}}^{r+1}$ est un morphisme projectif, donc fermé. Par conséquent, d'après [G-D, Corollaire 13.1.5],

$$
\{ \boldsymbol{x} \in A_{\mathbb{C}}^{r+1} \mid \dim Y_{\boldsymbol{x}} \geq \lambda - 1 \}
$$

est un fermé, et puisque $\dim Y_{\boldsymbol{x}} = \dim V_{2,\boldsymbol{x}}^* - 1$, l'ensemble

$$
\{ \boldsymbol{x} \in A_{\mathbb{C}}^{r+1} \mid \dim V_{2, \boldsymbol{x}}^* \geq \lambda \}
$$

est un fermé de Zariski de $A_{\mathbb{C}}^{r+1}$.

On remarque à présent que

$$
Y \cap ((A_2^\lambda)^c \times \mathbb{P}_\mathbb{C}^{n-r}) = \bigsqcup_{\mathbf{x} \in (A_2^\lambda)^c} \pi^{-1}(\mathbf{x}),
$$

donc

$$
\dim (A_2^\lambda)^c + \dim V_2^* - (r+1) + \lambda - 1 \le \dim Y = \dim V_2^* - 1,
$$

ce qui implique $\dim (\mathcal{A}_2^\lambda)^c \le r+1-\lambda$, et donc

$$
\mathrm{card}\{\boldsymbol{x} \in [-P_1, P_1]^{r+1} \cap (\mathcal{A}_2^\lambda)^c(\mathbb{Z})\} \ll P_1^{r+1-\lambda}
$$

(cf. démonstration de [Br, Théorème 3.1]).

**4.2. Méthode du cercle.** On fixe un réel $\theta \in [0, 1]$. On suppose que

$$
(4.7) \qquad K_2 > 2(d_2 - 1).
$$

On notera

$$
(4.8) \qquad \phi(d, k, \theta) = (dk)^{d_1} P_2^{(d_2-1)\theta},
$$

$$
(4.9) \qquad \Delta_2(\theta, K_2) = \theta(K_2 - 2(d_2 - 1)).
$$

Comme dans la section précédente, nous allons séparer l'intégrale sur $[0,1]$ de $S(\alpha)$ en intégrales sur les arcs majeurs et les arcs mineurs. Commençons par traiter le cas des arcs mineurs.

En utilisant le lemme 4.4, par des arguments analogues à ceux employés
par Birch pour la démonstration de [Bi, Lemme 4.4] on obtient :

LEMME 4.6. Pour tout $x \in A_2^\lambda(\mathbb{Z})$, on a

$$
\int_{\alpha \notin \mathfrak{M}^{d, \alpha}(\theta)} |S_{d, \alpha}(\alpha)| d\alpha \ll (dk)^{d_1+m-r+\varepsilon} P_2^{n+1-r-d_2-\Delta_2(\theta, K_2)+\varepsilon}.
$$
Soit $\boldsymbol{x} \in \mathcal{A}_2^{\lambda}(\mathbb{Z})$. Définissons la nouvelle famille d'arcs majeurs :

$$
(4.10) \quad \mathfrak{M}_{a,q}^{d,x}(\theta) = \{ \alpha \in [0,1] \mid |2|\alpha q - a| \le q P_2^{-d_2} P^{(d_2-1)\theta} \},
$$

$$
(4.11) \quad \mathfrak{M}^{d,x}(\theta) = \bigcup_{\substack{q \le (dk)^{d_1} P^{(d_2-1)\theta} \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} \bigcup_{\substack{0 \le a < q \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} \mathfrak{M}_{a,q}^{d,x}(\theta).
$$

LEMME 4.7. Si $(dk)^{2d_1} P_2^{-d_2+3\theta(d_2-1)} < 1$, alors les arcs majeurs $\mathfrak{M}_{a,q}^{x'}(\theta)$ sont disjoints deux à deux.

Démonstration. Supposons qu'il existe $\alpha \in \mathfrak{M}_{a,q}^{d,x}(\theta) \cap \mathfrak{M}_{a',q'}^{d,x}(\theta)$ pour $(a,q) \neq (a',q')$, $q, q' \le \phi(d,k,\theta)$, $0 \le a < q$, $0 \le a' < q'$ et $\text{pgcd}(a,q) = \text{pgcd}(a',q') = 1$. Alors

$$
\frac{1}{qq'} \leq \left| \frac{a}{q} - \frac{a'}{q'} \right| \leq P_2^{-d_2+\theta(d_2-1)}
$$

et donc

$$
1 \leqq qq' P_2^{-d_2 + \theta(d_2 - 1)} \leqq (dk)^{2d_1} P_2^{-d_2 + 3\theta(d_2 - 1)},
$$

d'où le résultat. ■

Remarquons que puisque $\mathfrak{M}^{d,x}(\theta) \subset \mathfrak{M}^{d,x}(\theta)$, d'après le lemme 4.6, on a :

LEMME 4.8. *Soit* $\boldsymbol{x} \in \mathcal{A}_2^{\lambda}(\mathbb{Z})$. *Alors*

$$
N_{d,\boldsymbol{x}}(P_2) = \sum_{q \le \phi(d,k,\theta)} \sum_{\substack{0 \le a < q \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} \int_{\alpha \in \mathfrak{M}_{a,q}^{d,\boldsymbol{x}}(\theta)} S_{d,\boldsymbol{x}}(\alpha) d\alpha \\
+ O((dk)^{d_1+m-r+\varepsilon} P_2^{n+1-r-d_2-\Delta_2(\theta,K_2)+\varepsilon}).
$$

On considère à présent $\boldsymbol{x} \in \mathbb{Z}^{r+1}$ quelconque, et on suppose $\alpha \in \mathfrak{M}_{a,q}^{d,x}(\theta)$.
On pose $\beta = \alpha - a/q$ et donc $|\beta| \le \frac{1}{2} P_2^{-d_2+(d_2-1)\theta}$.

LEMME 4.9. On a

$$
S_{d,\boldsymbol{x}}(\alpha) = (dk)^{m-r} P_2^{n-r+1} q^{-(n-r+1)} S_{a,q,d}(\boldsymbol{x}) I_{\boldsymbol{x}}(d^{d_1} P_2^{d_2} \beta) \\
\qquad + O((dk)^{2d_1+m-r} P_2^{n-r+2\theta(d_2-1)}),
$$

avec

$$
(4.12) \quad S_{a,q,d}(\boldsymbol{x}) = \sum_{(\boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3) \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{m-r} \times (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{n-m+1}} e\left(\frac{a}{q} F(d\boldsymbol{x}, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3)\right),
$$

$$
(4.13) \quad I_{\boldsymbol{x}}(\beta) = \int_{(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}) \in [-1,1]^{m-r} \times [-1,1]^{n-m+1}} e(\beta F(\boldsymbol{x}, k\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})) d\boldsymbol{v} d\boldsymbol{w}.
$$

Démonstration. Lorsque $P_2 < q$, l'égalité est trivialment vérifiée. Nous supposerons donc que $P_2 > q$. On peut écrire
$$
(4.14) \quad S_{d,x}(\alpha) = \sum_{(\mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3) \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{m-r} \times (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{n-m+1}} e\left(\frac{a}{q}F(d\mathbf{x}, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3)\right) S_3(\mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3),
$$

où

$$
S_3(\mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3) = \sum_{\substack{\mathbf{y} \equiv \mathbf{b}_2 \pmod{q} \\ |\mathbf{y}| \le dk P_2}} \sum_{\substack{\mathbf{z} \equiv \mathbf{b}_3 \pmod{q} \\ |\mathbf{z}| \le P_2}} e(\beta F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{y})).
$$

Si $q\mathbf{y}' + \mathbf{b}_2, q\mathbf{y}'' + \mathbf{b}_2 \in [-dkP_2, dkP_2]$ et $q\mathbf{z}' + \mathbf{b}_3, q\mathbf{z}'' + \mathbf{b}_3 \in [-P_2, P_2]$ avec

$$
|\mathbf{y}' - \mathbf{y}''| \ll 1, \quad |\mathbf{z}' - \mathbf{z}''| \ll 1,
$$

on a

$$
|F(d\mathbf{x}, q\mathbf{y}' + \mathbf{b}_2, q\mathbf{z}' + \mathbf{b}_3) - F(d\mathbf{x}, q\mathbf{y}'' + \mathbf{b}_2, q\mathbf{z}'' + \mathbf{b}_3)| \ll q(dk)^{d_1} P_2^{d_2-1}.
$$

Ainsi,

$$
S_3(\mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3) = \int_{\substack{q\tilde{v} \in [-dkP_2, dkP_2]^{m-r} \\ q\tilde{w} \in [-P_2, P_2]^{n-m+1}}} e(\beta F(d\mathbf{x}, q\tilde{v}, q\tilde{w})) d\tilde{v} d\tilde{w} \\
+ O\left(q|\beta|(dk)^{d_1} P_2^{d_2-1} (dkP_2/q)^{m-r} (P_2/q)^{n-m+1}\right) \\
+ O\left((dkP_2/q)^{m-r} (P_2/q)^{n-m}\right).
$$

En rappelant que $|\beta| \le \frac{1}{2} P_2^{-d_2+(d_2-1)\theta}$, $q \le \phi(d, k, \theta) = (dk)^{d_1} P^{(d_2-1)\theta}$ et en considérant le changement de variables $q\tilde{v} = dkP_2v$, $q\tilde{w} = P_2w$ on trouve

$$
S_3(\mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3) = (dk)^{m-r} P_2^{n-r+1} q^{-(n-r+1)} I_{\mathbf{x}}(d^{d_1} P_2^{d_2} \beta) \\
+ O(q^{-(n-r)} (dk)^{m-r+d_1} P_2^{n-r+(d_2-1)\theta}).
$$

En remplaçant $S_3$ par cette nouvelle expression dans (4.14), on obtient le
résultat. ■

On pose dorénavant

$$
(4.15) \qquad \tilde{\phi}(P_2, \theta) = \frac{1}{2} P_2^{\theta(d_2-1)},
$$

$$
(4.16) \qquad \eta(\theta) = 1 - 5\theta(d_2 - 1).
$$

LEMME 4.10. Pour $\boldsymbol{x} \in \mathcal{A}_2^\lambda(\mathbb{Z})$, et $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit, on a
$$N_{d,\boldsymbol{x}}(P_2) = (dk)^{m-r} P_2^{n-r+1-d_2} \mathfrak{S}_{d,\boldsymbol{x}}(\phi(d,k,\theta)) J_{d,\boldsymbol{x}}(\tilde{\phi}(P_2,\theta))$$
$$+ O((dk)^{d_1+m-r+\varepsilon} P_2^{n-r+1-d_2-\Delta_2(\theta,K_2)+\varepsilon}) + O((dk)^{4d_1+m-r} P_2^{n-r+1-d_2-\eta(\theta)}),$$
où

$$
(4.17) \quad \mathfrak{S}_{d,\mathbf{x}}(\phi(d, k, \theta)) = \sum_{q \le \phi(d, k, \theta)} q^{-(n-r+1)} \sum_{\substack{0 \le a < q \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} S_{a,q,d}(\mathbf{x}),
$$

$$
(4.18) \quad J_{d,\mathbf{x}}(\tilde{\phi}(P_2,\theta)) = \int_{|\beta| \le \tilde{\phi}(\theta)} I_{\mathbf{x}}(d^{d_1}\beta) \, d\beta.
$$
Démonstration. On notera

$$
\begin{align*}
E_1 &= (dk)^{d_1+m-r+\varepsilon} P_2^{n-r+1-d_2-\Delta_2(\theta,K_2)+\varepsilon}, \\
E_2 &= (dk)^{2d_1+m-r} P_2^{n-r+2\theta(d_2-1)} \mathrm{Vol}(\mathfrak{M}^{d,x}(\theta)).
\end{align*}
$$

D'après les lemmes 4.9 et 4.8,

$$
\begin{align*}
N_{d,\boldsymbol{x}}(P_2) = (dk)^{m-r} P_2^{n-r+1} & \sum_{q \le \phi(d,k,\theta)} q^{-(n-r+1)} \sum_{\substack{0 \le a < q \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} S_{a,q,d}(\boldsymbol{x}) \\
& \times \int_{|\beta| \le P_2^{-d_2} \tilde{\phi}(P_2,\theta)} I_{\boldsymbol{x}}(d^{d_1} P_2^{d_2} \beta) \, d\beta + O(E_1) + O(E_2).
\end{align*}
$$

Par un changement de variable, on a

$$
\int_{|\beta| \le P_2^{-d_2} \tilde{\phi}(P_2, \theta)} I_{\mathbf{x}}(d^{d_1} P_2^{d_2} \beta) \, d\beta = P_2^{-d_2} \int_{|\beta| \le \tilde{\phi}(P_2, \theta)} I_{\mathbf{x}}(d^{d_1} \beta) \, d\beta = P_2^{-d_2} J_{d,\mathbf{x}}(\tilde{\phi}(P_2, \theta)).
$$

On remarque par ailleurs que

$$
\mathrm{Vol}(\mathfrak{M}^{\prime \boldsymbol{x}}(\theta)) \ll \sum_{q \le \phi(d, k, \theta)} \sum_{0 \le a < q \text{ pgcd}(a, q)=1} P_2^{-d_2+(d_2-1)\theta} \ll (dk)^{2d_1} P_2^{-d_2+3(d_2-1)\theta},
$$

et donc

$$
E_2 \ll (dk)^{4d_1+m-r} P_2^{n-r-d_2+5\theta(d_2-1)} = (dk)^{4d_1+m-r} P_2^{n-r+1-d_2-\eta(\theta)},
$$

ce qui clôt la démonstration du lemme. ■

Par la suite, on pose

$$
(4.19) \qquad \mathcal{S}_{d,x} = \sum_{q=1}^{\infty} q^{-(n-r+1)} \sum_{\substack{0 \le a < q \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} S_{a,q}(\mathbf{x}),
$$

$$
(4.20) \qquad J_{d,x} = \int_{\mathbb{R}} I_{\mathbf{x}}(d^{d_1} \beta) \, d\beta.
$$

LEMME 4.11. *Soit* $\boldsymbol{x} \in \mathcal{A}_2^\lambda(\mathbb{Z})$, et $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit. Si $d_2 \ge 2$,
*alors l'intégrale* $J_{d,\boldsymbol{x}}$ *est absolument convergente, et*

$$
|J_{d,x}(\tilde{\phi}(P_2, \theta)) - J_{d,x}| \ll P_2^{\theta((d_2-1)-K_2)} \max\{P_2^{\varepsilon}, (dk)^{\varepsilon}\}.
$$

De plus, $|J_{d,x}| \ll (dk)^{\epsilon}$.

Démonstration. On considère $\beta$ tel que $|\beta| \ge \tilde{\phi}(\theta)$. On choisit alors des
paramètres $P$ et $\theta'$ tels que

$$
(4.21) \qquad |\beta| = \frac{1}{2} P^{\theta'(d_2-1)},
$$

$$
(4.22) \qquad P^{-K_2\theta'} = P^{-1+2\theta'(d_2-1)}(dk)^{2d_1}.
$$
Ces deux égalités impliquent

$$ (4.23) \qquad \theta' = \frac{\log(2|\beta|)}{(d_2 - 1)\left(\left(2 + \frac{K_2}{d_2-1}\right) \log(2|\beta|) + 2d_1 \log(dk)\right)}, $$

donc en particulier

$$ (4.24) \qquad \theta' \gg \min\left\{1, \frac{\log(2|\beta|)}{\log(dk)}\right\}. $$

Par ailleurs, l'égalité (4.22) implique

$$ P^{-2+4\theta'(d_2-1)}(dk)^{4d_1} < 1, $$

donc, pour $d_2 \ge 2$,

$$ P^{-d_2+3\theta'(d_2-1)}(dk)^{2d_1} < 1, $$

et ainsi, d'après le lemme 4.7, les arcs majeurs $\mathfrak{M}_{a,q}^{d,x}(\theta')$ correspondant à $P$ et $\theta'$ sont disjoints deux à deux. Le réel $P^{-d_2}\beta$ appartient au bord de $\mathfrak{M}_{0,1}(\theta')$, et donc par le lemme 4.4, on a l'estimation

$$ |S_{d,x}(P^{-d_2}\beta)| \ll (dk)^{m-r} P^{n-r+1-K_2\theta'+\varepsilon}. $$

D'autre part, le lemme 4.9 donne

$$ S_{d,x}(P^{-d_2}\beta) = (dk)^{m-r} P^{n-r+1} I(d^{d_1}\beta) + O((dk)^{m-r+2d_1} P^{n-r+2\theta'(d_2-1)}). $$

On a ainsi

$$ \begin{aligned} |I(d^{d_1}\beta)| &\ll P^{-K_2\theta'+\varepsilon} + (dk)^{2d_1} P^{-1+2\theta'(d_2-1)} \ll P^{-K_2\theta'+\varepsilon} \\ &\ll |\beta|^{-\frac{K_2}{d_2-1}+\frac{\varepsilon}{\theta'(d_2-1)}}. \end{aligned} $$

Remarquons que, puisque $\theta' \gg \min\{1, \frac{\log(2|\beta|)}{\log(dk)}\}$,

$$ |\beta|^{\frac{\varepsilon}{\theta'(d_2-1)}} \ll \max\{|\beta|^{\varepsilon'}, (dk)^{\varepsilon'}\} $$

pour $\varepsilon' > 0$ arbitrairement petit. On a donc

$$ \begin{aligned} |J_{d,x}(\tilde{\phi}(\theta)) - J_{d,x}| &\ll \int_{|\beta| > \phi(\tilde{\theta})} |\beta|^{-\frac{K_2}{d_2-1}} \max\{|\beta|^{\varepsilon'}, (dk)^{\varepsilon'}\} d\beta \\ &\ll \tilde{\phi}(\theta)^{1-\frac{K_2}{d_2-1}} \max\{\tilde{\phi}(\theta)^{\varepsilon'}, (dk)^{\varepsilon'}\} \\ &\ll P_2^{\theta(d_2-1-K_2)} \max\{P_2^{\varepsilon''}, (dk)^{\varepsilon''}\}, \end{aligned} $$

avec $\varepsilon''$ arbitrairement petit. D'autre part, en choisissant $P_2 \ll 1$, cette inégalité donne

$$ |J_{d,x}(\tilde{\phi}(\theta)) - J_{d,x}| \ll (dk)^{\varepsilon''}, $$

et puisque $|J_{d,x}(\tilde{\phi}(\theta))| \ll 1$ lorsque $P_2 \ll 1$, on a immédiatement

$$ |J_{d,x}| \ll (dk)^{\varepsilon''}. \quad \blacksquare $$
LEMME 4.12. Soit $\boldsymbol{x} \in \mathcal{A}_2^\lambda(\mathbb{Z})$, et $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit. Si $d_2 \ge 2$, alors la série $\mathfrak{S}_{\boldsymbol{x}}$ est absolument convergente, et

$$|\mathfrak{S}_{d,\boldsymbol{x}}(\phi(d,k,\theta)) - \mathfrak{S}_{d,\boldsymbol{x}}| \ll (dk)^{2d_1+\varepsilon} P_2^{\theta(2(d_2-1)-K_2)}.$$

De plus, $|\mathfrak{S}_{d,\boldsymbol{x}}| \ll (dk)^{2d_1+\varepsilon}$.

Pour démontrer ce lemme on introduit pour $\boldsymbol{x}$ fixé et $P \ge 1$ la nouvelle série génératrice

$$S'_{d,\boldsymbol{x}}(\alpha) = \sum_{|\boldsymbol{y}|\le P} \sum_{|\boldsymbol{z}|\le P} e(\alpha F(d\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})).$$

De la même manière que pour le lemme 4.4, on établit :

LEMME 4.13. Si $\varepsilon > 0$ est un réel arbitrairement petit, l'une au moins des assertions suivantes est vérifiée :

$$(1) \quad |S'_{d,\boldsymbol{x}}(\alpha)| \ll P^{n+1-r+\varepsilon-K_2\theta},$$

$$(2) \quad \alpha \in \mathfrak{M}^{d,\boldsymbol{x}}(\theta).$$

Démonstration du lemme 4.12. Soit $q > \phi(d, k, \theta)$ et $\alpha = a/q$ avec $0 \le a < q$ et $\text{pgcd}(a, q) = 1$. On a donc $S_{a,q,d}(\boldsymbol{x}) = S'_{d,\boldsymbol{x}}(\alpha)$ avec $P = q$. On considère $\theta'$ tel que $q = (dk)^{d_1} q^{(d_2-1)\theta'$. Si $\theta'' = \theta' - \nu$ pour $\nu > 0$ arbitrairement petit, alors $\alpha \notin \mathfrak{M}^{d,\boldsymbol{x}}(\theta'')$. En effet, s'il existait $a', q' \in \mathbb{Z}$ tels que $0 \le a' < q'$, $\text{pgcd}(a', q') = 1$, $q' \le (dk)^{d_1} q^{\theta''(d_2-1)} < q$ et $\alpha \in \mathfrak{M}_{a',q'}^{d,\boldsymbol{x}}(\theta'')$, on aurait

$$1 \le |aq' - a'q| < q^{1-d_2+\theta'(d_2-1)},$$

ce qui est absurde pour $d_2 \ge 2$. Donc, d'après le lemme précédent,

$$|S_{a,q,d}(\boldsymbol{x})| \ll q^{n+1-r+\varepsilon-K_2\theta'}.$$

Par conséquent,

$$\begin{align*}
|\mathfrak{S}_{d,\boldsymbol{x}}(\phi(d, k, \theta)) - \mathfrak{S}_{d,\boldsymbol{x}}| & \ll \sum_{q>\phi(d,k,\theta)} q^{-(n-r+1)} \sum_{0 \le a < q} |S_{a,q,d}(\boldsymbol{x})| \\
& \ll \sum_{q>\phi(d,k,\theta)} q^{-(n-r+1)} \sum_{0 \le a < q} q^{n+1-r+\varepsilon-K_2\theta'} \\
& \ll \sum_{q>\phi(d,k,\theta)} q^{-K_2/(d_2-1)+1+\varepsilon} (dk)^{d_1 K_2/(d_2-1)} \\
& \ll (dk)^{d_1 K_2/(d_2-1)} \phi(d, k, \theta)^{-K_2/(d_2-1)+2+\varepsilon} \\
& \ll (dk)^{2d_1+\varepsilon} P_2^{\theta(2(d_2-1)-K_2)+\varepsilon}.
\end{align*}$$

Par ailleurs, en prenant $P_2 \ll 1$ cette majoration donne

$$|\mathfrak{S}_{d,\boldsymbol{x}}(\phi(d, k, \theta)) - \mathfrak{S}_{d,\boldsymbol{x}}| \ll (dk)^{2d_1+\varepsilon},$$
et en considérant la majoration triviale $|\mathfrak{S}_{d,x}(\phi(d, k, \theta))| \ll (dk)^{2d_1}$, on trouve finalement $|\mathfrak{S}_{d,x}| \ll (dk)^{2d_1+\varepsilon}$. ■

On déduit des lemmes 4.12 et 4.11 le résultat suivant :

**LEMME 4.14.** *Soit $\boldsymbol{x} \in \mathcal{A}_2^\lambda(\mathbb{Z})$, $\theta \in [0, 1]$ et $P_2 \ge 1$ tels que*
$$ (dk)^{2d_1} P_2^{-d_2+3\theta(d_2-1)} < 1. $$

*Si $K_2 > 2(d_2 - 1)$, alors*

$$ N_{d,x}(P_2) = \mathfrak{S}_{d,x} J_{d,x}(dk)^{m-r} P_2^{n-r+1-d_2} + O(E_2) + O(E_3) $$

*avec*

$$ E_2 = (dk)^{4d_1+m-r} P_2^{n-r+1-d_2-\eta(\theta)}, $$

$$ E_3 = (dk)^{2d_1+m-r+\varepsilon} P_2^{n-r+1-d_2-\Delta_2(\theta,K_2)+\varepsilon}, $$

*et $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit.*

*Démonstration.* Nous avons déjà vu, avec le lemme 4.10,

$$ N_{d,x}(P_2) = (dk)^{m-r} P_2^{n-r+1-d_2} \mathfrak{S}_{d,x}(\phi(d, k, \theta)) J_{d,x}(\tilde{\phi}(\theta)) + O(E_1) + O(E_2), $$
*où*

$$ E_1 = (dk)^{d_1+m-r+\varepsilon} P_2^{n-r+1-d_2-\Delta_2(\theta,K_2)+\varepsilon} \ll E_3. $$

Par ailleurs, d'après les lemmes 4.12 et 4.11, on a

$$ \begin{aligned} & |\mathfrak{S}_{d,x}(\phi(d, k, \theta)) J_{d,x}(\tilde{\phi}(\theta)) - \mathfrak{S}_{d,x} J_{d,x}| \\ & \le |\mathfrak{S}_{d,x}(\phi(d, k, \theta)) - \mathfrak{S}_{d,x}| |J_{d,x}| + |\mathfrak{S}_{d,x}(\phi(d, k, \theta))| |J_{d,x}(\tilde{\phi}(\theta)) - J_{d,x}| \\ & \ll (dk)^{2d_1+2\varepsilon} P_2^{\theta(2(d_2-1)-K_2)} + (dk)^{2d_1+\varepsilon} P_2^{\theta((d_2-1)-K_2)} \max\{P_2^{\varepsilon}, (dk)^{\varepsilon}\} \end{aligned} $$

et en multipliant par $(dk)^{m-r} P_2^{n-r+1-d_2}$ on obtient un terme d'erreur

$$ (dk)^{2d_1+m-r+\varepsilon} P_2^{n-r+1-d_2-\Delta_2(\theta,K_2)+\varepsilon} = E_3, $$

d'où le résultat. ■

En fixant $\theta > 0$ tel que $\theta < \frac{1}{5(d_2-1)}$ (de sorte que $\eta(\theta) > 0$), on obtient :

**COROLLAIRE 4.15.** *Soit $\boldsymbol{x} \in \mathcal{A}_2^\lambda(\mathbb{Z})$. Si $K_2 > 2(d_2 - 1)$, il existe un réel $\delta > 0$ arbitrairement petit tel que*

$$ N_{d,x}(P_2) = \mathfrak{S}_{d,x} J_{d,x}(dk)^{m-r} P_2^{n-r+1-d_2} + O((dk)^{m-r+4d_1} P_2^{n-r+1-d_2-\delta}) $$
*uniformément pour tout $k < d^{-1} P_2^{(d_2-1)/(2d_1)}$.*

**REMARQUE 4.16.** La condition d'uniformité $k < d^{-1}P_2^{(d_2-1)/(2d_1)}$ dé-
coule de la condition $(dk)^{2d_1} P_2^{-d_2+3\theta(d_2-1)} < 1$ du lemme 4.14.

Dans ce qui va suivre, pour $P_2 = P_1^u$ avec $u \ge 1$, on introduit la fonction
(4.25) $$ g_2(u, \delta) = (1 - 5d_1/u - \delta)^{-1} (3d_1/u + 2\delta), $$
ainsi que

$$
(4.26) \quad N_{d,2}(P_1, P_2) = \mathrm{card}\{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}^{n+2} \mid \mathbf{x} \in \mathcal{A}_2^{\lambda}(\mathbb{Z}), |\mathbf{x}| \le P_1, \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad |\mathbf{y}| \le d|\mathbf{x}|P_2, |\mathbf{z}| \le P_2, F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0\}.
$$

On a alors le résultat ci-dessous :

PROPOSITION 4.17. Si $K_2 > 2(d_2 - 1)$, $d_2 \ge 2$, $P_2 = P_1^u$ avec $u > 5d_1$, et de plus

$$
K_2 - 2(d_2 - 1) > g_2(u, \delta),
$$

alors

$$
N_{d,2}(P_1, P_2) = \left( \sum_{\mathbf{x} \in P_1 B_1 \cap \mathcal{A}_2^{\lambda}(\mathbb{Z})} \mathfrak{S}_{\mathbf{x}} J_{\mathbf{x}} d^{m-r} |\mathbf{x}|^{m-r} \right) P_2^{n-r+1-d_2} \\
\qquad + O(d^{m-r+5d_1} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2-\delta})
$$

pour $\delta > 0$ arbitrairement petit.

Démonstration. La propriété est triviale lorsque $d^{2d_1} > PP_2^{-3/5-\delta}$, puis-
que dans ce cas, d'une part en utilisant les lemmes 4.12 et 4.11 on a

$$
\left( \sum_{\mathbf{x} \in P_1 B_1 \cap \mathcal{A}_2^{\lambda}(\mathbb{Z})} \mathfrak{S}_{\mathbf{x}} J_{\mathbf{x}} d^{m-r} |\mathbf{x}|^{m-r} \right) P_2^{n-r+1-d_2}
\begin{align*}
&\ll d^{m-r+2d_1+2\varepsilon} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1-d_2} \\
&\ll d^{m-r+5d_1} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1-d_2} d^{-2d_1} \\
&\ll d^{m-r+5d_1} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2-\delta},
\end{align*}
$$

et d'autre part,

$$
\begin{align*}
N_{d,2}(P_1, P_2) &\ll d^{m-r} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} \\
&\ll d^{m-r+5d_1} P_1^{m+1} P_2^{n-r+1} P^{-5/2} P_2^{3/2+5\delta/2} \\
&\ll d^{m-r+5d_1} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2-\delta}.
\end{align*}
$$

Supposons à présent que $d^{2d_1} \le PP_2^{-3/5-\delta}$. Si $\theta$ est tel que

$$
(4.27) \qquad d^{2d_1} P_1^{2d_1} P_2^{-d_2+3\theta(d_2-1)} < 1,
$$

alors d'après le lemme 4.14,

$$
N_{d,2}(P_1, P_2) = \left( \sum_{\mathbf{x} \in P_1 B_1 \cap \mathcal{A}_2^{\lambda}(\mathbb{Z})} \mathfrak{S}_{\mathbf{x}} J_{\mathbf{x}} d^{m-r} |\mathbf{x}|^{m-r} \right) P_2^{n-r+1-d_2} + O(\mathcal{E}_2) + O(\mathcal{E}_3)
$$

avec

$$
\begin{align*}
\mathcal{E}_2 &= \sum_{\mathbf{x} \in P_1 B_1 \cap \mathcal{A}_2^{\lambda}(\mathbb{Z})} (d|\mathbf{x}|)^{4d_1+m-r} P_2^{n-r+1-d_2-\eta(\theta)} \\
&\ll d^{4d_1+m-r} P_1^{4d_1+m+1} P_2^{n-r+1-d_2-\eta(\theta)} \\
&= d^{4d_1+m-r} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1+5d_1/u-d_2-\eta(\theta)},
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\mathcal{E}_3 &= \sum_{\substack{x \in P_1 B_1 \cap A_2^\lambda(\mathbb{Z}) \\ |x|=k}} (dk)^{2d_1+m-r+\varepsilon} P_2^{n-r+1-d_2-\Delta_2(\theta,K_2)+\varepsilon} \\
&\ll d^{2d_1+m-r+\varepsilon} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2+3d_1/u-\Delta_2(\theta,K_2)+2\varepsilon}.
\end{align*}
$$

Rappelons que $\eta(\theta) = 1 - 5\theta(d_2 - 1)$. On choisit alors

$$
\theta = \frac{1}{5(d_2 - 1)} (1 - 5d_1/u - \delta),
$$

de sorte que d'une part, en utilisant l'inégalité $d^{2d_1} \le PP_2^{-3/5+\delta}$, on a

$$
d^{2d_2} P_1^{2d_1} P_2^{-d_2+3\theta(d_2-1)} = d^{2d_2} P_1^{2d_1} P_2^{-d_2+3(1-(5d_1)/u)/5} = d^{2d_2} P^{-1} P_2^{3/5} \le P^{-\delta},
$$

la condition (4.27) est donc satisfaite, et de plus

$$
5d_1/u - \eta(\theta) = -\delta.
$$

Par ailleurs, puisque $K_2 - 2(d_2 - 1) > g_2(u, \delta)$, on voit que

$$
K_2 - 2(d_2 - 1) > \theta^{-1}(3d_1/u + 2\delta),
$$

et donc $\Delta_2(\theta, K_2) - 3d_1/u > 2\delta$, d'où le résultat. $\blacksquare$

**4.3. Le cas $d_2 = 1$.** Lorsque $d_2 = 1$, on peut obtenir des résultats semblables à ceux du corollaire 4.15 et de la proposition 4.17 en utilisant des résultats de géométrie des réseaux. On introduit la définition suivante issue de [Wi, Definition 2.1] :

DÉFinition 4.18. Soit $S$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$, et soit $c$ un entier tel que $0 \le c \le n$. Pour $M \in \mathbb{N}$ et $L > 0$, on dit que $S$ appartient à $\text{Lip}(n, c, M, L)$ s'il existe $M$ applications $\phi : [0, 1]^{n-c} \to \mathbb{R}^n$ vérifiant

$$
\|\phi(\mathbf{x}) - \phi(\mathbf{y})\|_2 \le L \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|_2,
$$

$\|\cdot\|_2$ désignant la norme euclidienne, telles que $S$ soit recouvert par les images
de ces applications.

On a le résultat suivant (cf. [M-V, Lemme 2]) :

LEMME 4.19. *Soit $S \subset \mathbb{R}^n$ un ensemble bordé dont le bord $\partial S$ appartient à \text{Lip}(n, 1, M, L). L'ensemble $S$ est alors mesurable et si $\Lambda$ est un réseau de $\mathbb{R}^n$ de premier minimum successif $\lambda_1$, on a*

$$
\left| \text{card}(S \cap \Lambda) - \frac{\text{Vol}(S)}{\det(\Lambda)} \right| \le c(n) M \left( \frac{L}{\lambda_1} + 1 \right)^{n-1},
$$

où $c(n)$ est une constante ne dépendant que de $n$.

Soit $\boldsymbol{x} \in A_2^\lambda(\mathbb{Z})$ fixé de norme $|\boldsymbol{x}| = k$. Puisque $d_2 = 1$, le polynôme $F(\boldsymbol{d}\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})$ est une forme linéaire en $(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})$ que l'on peut réécrire
$$F(dx, y, z) = \sum_{j=r+1}^{m} A_j(dx)y_j + \sum_{j=m+1}^{n+1} B_j(dx)z_j$$

avec $A_j(dx)$ ou $B_j(dx)$ non tous nuls (car $x \in \mathcal{A}_2^\lambda(\mathbb{Z})$). On note alors $H_{d,x}$ l'hyperplan de $\mathbb{R}^{n-r+1}$ défini par $F(dx, y, z) = 0$. On note $C_{d,x}$ le corps convexe $\mathcal{B}_{d,x} \cap H_{d,x}$ où

$$\mathcal{B}_{d,x} = \{(y, z) \mid |y| \le dk, |z| \le 1\},$$

et $\Lambda_{d,x}$ le réseau $\mathbb{Z}^{n-r+1} \cap H_{d,x}$. Nous allons appliquer le lemme 4.19 à $S = P_2C_{d,x}$ et $\Lambda = \Lambda_{d,x}$ vus respectivement comme un sous-ensemble et un réseau de $H_{d,x}$ que l'on identifiera à $\mathbb{R}^{n-r}$. Pour cela nous allons montrer que $\partial C_{d,x} \in \text{Lip}(n-r, 1, 2^{n-r+1}(dk)^{m-r}, (n-r-1)\sqrt{n-r+1})$.

Une face du polytope $C_{d,x}$ est obtenue en prenant l'intersection d'une face $\mathcal{F}$ du polytope $\mathcal{B}_{d,x}$ avec $H_{d,x}$. Considérons par exemple l'intersection (supposée non vide) de la face $\mathcal{F} = \{z \in \mathcal{B}_{d,x} | z_{n+1} = 1\}$ avec $H_{d,x}$. Pour simplifier les notations, on pose

$$\left\{ \begin{array}{ll} \alpha_j = A_j(dx) & \text{pour } j \in \{r+1, \dots, m\}, \\ \beta_j = B_j(dx) & \text{pour } j \in \{m+1, \dots, n+1\}, \end{array} \right.$$

de sorte que $H_{d,x}$ a pour équation $\alpha_{r+1}y_{r+1} + \dots + \alpha_m y_m + \beta_{m+1}z_{m+1} + \dots + \beta_{n+1}z_{n+1} = 0$ (les $\alpha_k$ ou les $\beta_k$ étant non tous nuls). Par ailleurs, on peut subdiviser $C_{d,x}$ en une union de $2^{n-r+1}(dk)^{m-r}$ polytopes $C_{d,x,a,\varepsilon}$ plus petits en posant

$$C_{d,x} = \bigcup_{\mathbf{a}=(a_{r+1}, \dots, a_m) \in \{-dk, \dots, dk-1\}^{m-r}} \bigcup_{\mathbf{\varepsilon}=(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n) \in \{-1, 0\}^{n-m+1}} C_{d, \mathbf{x}, \mathbf{a}, \mathbf{\varepsilon}}, \\ C_{d, \mathbf{x}, \mathbf{a}, \mathbf{\varepsilon}} = H_{d, \mathbf{x}} \cap \left( \left( \prod_{j=r+1}^{m} [a_j, a_j+1] \right) \times \left( \prod_{j=m+1}^{n+1} [\varepsilon_j, \varepsilon_j+1] \right) \right).$$

On peut par conséquent subdiviser chaque face $\mathcal{F} \cap H_{d,x}$ en considérant $\mathcal{F} \cap C_{d,x,a,\varepsilon}$ pour tout $(\mathbf{a}, \mathbf{\varepsilon})$. Pour un couple $(\mathbf{a}, \mathbf{\varepsilon})$ fixé, et pour tout $\mathbf{z} \in \mathcal{F} \cap C_{d,x,a,\mathbf{\varepsilon}}$, on a alors

$$\alpha_{r+1}y_{r+1} + \dots + \alpha_m y_m + \beta_{m+1}z_{m+1} + \dots + \beta_n z_n + \beta_{n+1} = 0$$

avec $\max\{\max_{r+1 \le j \le m} |\alpha_j|, \max_{m+1 \le j \le n} |\beta_j|\} \ne 0$ puisque $\mathcal{F} \cap H_{d,x} \ne \emptyset$. Supposons, par exemple, que

$$\max\left\{\max_{r+1 \le j \le m} |\alpha_j|, \max_{m+1 \le j \le n} |\beta_j|\right\} = |\beta_n|;$$

alors

$$z_n = -\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} - \sum_{j=r+1}^{m} \frac{\alpha_j}{\beta_n} y_j - \sum_{j=m+1}^{n-1} \frac{\beta_j}{\beta_n} z_j,$$
et on peut définir l'application $\phi_{\mathcal{F},a,\varepsilon} : [0,1]^{n-1} \to C_{d,x,a,\varepsilon} \subset \mathbb{R}^{n-r+1}$ par

$$ \phi_{\mathcal{F},a,\varepsilon}(t_{r+1}, \dots, t_{n-1}) = \left( a_{r+1} + t_{r+1}, \dots, a_m + t_m, \varepsilon_{m+1} + t_{m+1}, \dots, \varepsilon_{n-1} + t_{n-1}, \right. \\ \left. - \frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} - \sum_{j=r+1}^{m} \frac{\alpha_j}{\beta_n}(a_j + t_j) - \sum_{j=m+1}^{n-1} \frac{\beta_j}{\beta_n}(\varepsilon_j + t_j), 1 \right). $$

On remarque que $\mathcal{F} \cap C_{d,x,a,\varepsilon} \cap H_{d,x} \subset \phi_{\mathcal{F},a,\varepsilon}([0,1]^{n-1})$ et que

$$ \begin{aligned} \|\phi_{\mathcal{F},a,\varepsilon}(\mathbf{t}) - \phi_{\mathcal{F},a,\varepsilon}(\mathbf{t}')\|_2 &\le \sqrt{n-r+1} \|\phi_{\mathcal{F},a,\varepsilon}(\mathbf{t}) - \phi_{\mathcal{F},a,\varepsilon}(\mathbf{t}')\|_{\infty} \\ &\le \sqrt{n-r+1} \max\left(1, \sum_{j=r+1}^{m} \frac{|\alpha_j|}{|\beta_n|} + \sum_{j=m+1}^{n-1} \frac{|\beta_j|}{|\beta_n|}\right) \|\mathbf{t} - \mathbf{t}'\|_{\infty} \\ &\le (n-r-1)\sqrt{n-r+1} \|\mathbf{t} - \mathbf{t}'\|_2. \end{aligned} $$

Donc $\partial C_{d,x} \in \text{Lip}(n-r, 1, 2^{n-r+1}(dk)^{m-r}, (n-r-1)\sqrt{n-r+1})$ et par conséquent

$$ \partial P_2 C_{d,x} \in \text{Lip}(n, 1, 2^{n-r+1}(dk)^{m-r}, (n-r-1)\sqrt{n-r+1} P_2). $$

De plus, puisque $\Lambda_{d,x} \subset \mathbb{Z}^{n-r+1}$, le premier minimum successif de ce réseau est supérieur ou égal à 1. Ainsi, puisque

$$ \begin{aligned} (4.28) \qquad N_{d,x}(P_2) &= \{(\mathbf{y}, \mathbf{z}) \in P_2 \mathcal{B}_{d,x} \cap \mathbb{Z}^{n-r+1} \mid F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0\} \\ &= \text{card}(\Lambda_{d,x} \cap P_2 C_{d,x}), \end{aligned} $$

le lemme 4.19 nous donne un analogue du corollaire 4.15 :

**LEMME 4.20.** On a

$$ (4.29) \qquad N_{d,x}(P_2) = \frac{\text{Vol}(C_{d,x})}{\det(\Lambda_{d,x})} P_2^{n-r} + O((dk)^{m-r} P_2^{n-r-1}), $$

uniformément pour tout $\mathbf{x}$ tel que $|\mathbf{x}| = k$.

En sommant sur les $\mathbf{x} \in P_1 \mathcal{B}_1 \cap \mathcal{A}_2^\lambda(\mathbb{Z})$, on déduit alors de ce lemme un résultat analogue à la proposition 4.17 :

**PROPOSITION 4.21.** Si $d_2 = 1$, $P_2 = P_1^u$ et $u > d_1$, alors

$$ N_{d,2}(P_1, P_2) = \left( \sum_{\mathbf{x} \in P_1 \mathcal{B}_1 \cap \mathcal{A}_2^\lambda(\mathbb{Z})} \frac{\text{Vol}(C_{d,\mathbf{x}})}{\det(\Lambda_{d,\mathbf{x}})} \right) P_2^{n-r} + O(d^{m-r} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r-d}) $$

pour un certain $\delta > 0$ arbitrairement petit.

Les résultats des propositions 4.17 et 4.21 se révéleront cruciaux pour donner plus tard des estimations de $N_{d,2}(P_1, P_2)$ indépendamment de $u$. Mais avant cela, nous allons, dans la prochaine section, chercher à établir des résultats analogues à ceux obtenus plus haut pour $\mathbf{z}$ fixé.
**5. Troisième étape.** Nous allons à présent chercher à évaluer, pour $l \in \mathbb{N}^*$ fixé, la somme

$$ \sum_{k \le P_1} h_d(k, l), $$

où $h_d$ est la fonction définie par (3.1). On fixe donc

$$ l = \max\left(\left\lfloor \frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|} \right\rfloor, |\mathbf{z}|\right). $$

Il sera alors nécessaire de distinguer les cas $\lfloor \frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|} \rfloor < |\mathbf{z}|$ et $\lfloor \frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|} \rfloor \ge |\mathbf{z}|$.

**5.1. Premier cas.** On suppose ici $\lfloor \frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|} \rfloor < |\mathbf{z}| = l$. On choisira donc de fixer $\mathbf{z}$ de norme $|\mathbf{z}| = l$. Plutôt que calculer directement $\sum_{k \le P_1} h_d(k, l)$, nous allons, dans un premier temps, chercher à évaluer

$$ (5.1) \quad N_{d,z}(P_1) = \mathrm{card}\{(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \in \mathbb{Z}^{m+1} \mid |\mathbf{x}| \le P_1, |\mathbf{y}| < dl|\mathbf{x}|, F(dx, y, z) = 0\}. $$

On introduit la série génératrice

$$ (5.2) \quad S_{d,z}(\alpha) = \sum_{|\mathbf{x}|\le P_1} \sum_{|\mathbf{y}|\le dl|\mathbf{x}|} e(\alpha F(dx, y, z)). $$

Alors comme précédemment $N_{d,z}(P_1) = \int_0^1 S_{d,z}(\alpha) d\alpha$.

**5.1.1. Sommes d'exponentielles.** Comme dans les sections précédentes, on commence par établir une inégalité de type Weyl. À cette fin, on remarque que

$$ |\mathbf{y}| < d|\mathbf{x}|l \Leftrightarrow |\mathbf{x}| > \frac{|\mathbf{y}|}{dl} \Leftrightarrow |\mathbf{x}| \ge \left\lfloor \frac{|\mathbf{y}|}{dl} \right\rfloor + 1. $$

On pose $N = \lfloor \frac{|\mathbf{y}|}{dl} \rfloor$ (ce qui équivaut à $|\mathbf{y}| \in [d(N-1)l, dNl[$), et on remarque que

$$ S_{d,z}(\alpha) = \sum_{N=0}^{P_1-1} S_{d,z,N}(\alpha), $$

où

$$ (5.3) \quad S_{d,z,N}(\alpha) = \sum_{N+1 \le |\mathbf{x}| \le P_1} \sum_{d(N-1)l \le |\mathbf{y}| < dNl} e(\alpha F(dx, y, z)). $$

Comme dans la section 3.1, étant donné que le polynôme $F(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$ est homogène de degré $d_1$ en $(\mathbf{x}, \mathbf{y})$, on obtient sans difficulté la majoration

$$ \begin{aligned} |S_{d,z,N}(\alpha)|^{2^{d_1-1}} &\ll (P_1^{r+1})^{2^{d_1-1}-d_1} ((dlP_1)^{m-r})^{2^{d_1-1}-d_1} \\ &\times \sum_{\substack{\mathbf{x}^{(1)}, \mathbf{y}^{(1)} \\ |\mathbf{x}^{(1)}| \le P_1 \\ |\mathbf{y}^{(1)}| \le dlP_1}} \cdots \sum_{\substack{\mathbf{x}^{(d_1-1)}, \mathbf{y}^{(d_1-1)} \\ |\mathbf{x}^{(d_2-1)}| \le P_1 \\ |\mathbf{y}^{(d_1-1)}| \le dlP_1}} \prod_{j=0}^{m} \min\{H_j, \|\alpha \gamma_{d,z,j}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(i)})_{i \in \lfloor d_1-1 \rfloor})\|^{-1}\} \end{aligned} $$
avec

$$
H_j = \begin{cases} P_1 & \text{si } j \in \{0, \dots, r\}, \\ dlP_1 & \text{si } j \in \{r+1, \dots, m\}, \end{cases}
$$

ainsi que

$$
\gamma_{d,z,j}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(i)})_{i \in [d_1-1]}) = \sum_{i=(i_1, \dots, i_{d_1-1}) \in \{0, \dots, m\}^{d_1-1}} F_{d,z,i,j} u_{i_1}^{(1)} \dots u_{i_{d_1-1}}^{(d_1-1)},
$$

où

$$
u_i = \begin{cases} x_i & \text{si } i \in \{0, \dots, r\}, \\ y_i & \text{si } i \in \{r+1, \dots, m\}, \end{cases}
$$

et les coefficients $F_{d,z,i,j}$ sont symétriques en $(i_1, \dots, i_{d_1-1}, j) \in \{0, \dots, m\}^{d_2}$.
Remarquons que l'on peut écrire

$F_{d,z,i,j} = d^{f_{i,j}} F_{z,i,j}$

avec

$$
f_{i,j} = \mathrm{card}\{k \in [d_1] \mid i_k \in \{0, \dots, r\}\}
$$

(en posant $i_{d_1} = j$). À partir de là, on montre, comme dans la section 3.1
que

$$
|S_{d,z,N}(\alpha)|^{2d_1-1} \ll (P_1^{r+1+\epsilon})^{2d_1-1-d_1+1} ((dlP_1)^{m-r+\epsilon})^{2d_1-1-d_1+1} \\
\qquad \times M_{d,z}(\alpha, P_1, dlP_1, P_1^{-1}, (dlP_1)^{-1}),
$$

où pour tous réels strictement positifs $H_1, H_2, B_1, B_2$,

$$
(5.4) \quad
\begin{aligned}[t]
& M_{d,z}(\alpha, H_1, H_2, B_1^{-1}, B_2^{-1}) \\
& = \operatorname{card}\{(\boldsymbol{x}^{(1)}, \boldsymbol{y}^{(1)}, \dots, \boldsymbol{x}^{(d_1-1)}, \boldsymbol{y}^{(d_2-1)}) \mid \forall i \in [d_1-1], |\boldsymbol{x}^{(i)}| \le H_1, \\
& \qquad |\boldsymbol{y}^{(i)}| \le H_2 \text{ et } \forall j \in \{0, \dots, r\}, \|\alpha \gamma_{d,z,j}((\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(i)})_{i \in [d_2-1]})\| \le B_1^{-1}, \\
& \qquad \text{ et } \forall j \in \{r+1, \dots, m\}, \|\alpha \gamma_{z,j}((\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(i)})_{i \in [d_1-1]})\| \le B_2^{-1}\}.
\end{aligned}
$$

On en déduit, en sommant sur N, le lemme ci-dessous :

LEMME 5.1. *Pour tous P > 1, κ > 0 et pour tout ε > 0 arbitrairement petit, l'une au moins des assertions suivantes est vérifiée :*

$$
(1) \quad |S_{d,z}(\alpha)| \ll d^{\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} P_1^{m+2+\varepsilon} (dl)^{m-r+\varepsilon} P^{-\kappa},
$$

$$
(2) \quad M_{d,z}(\alpha, P_1, dlP_1, P_1^{-1}, (dlP_1)^{-1}) \\
\qquad \gg d^{(d_1-1)(r+1)} (P_1^{r+1})^{d_1-1} ((dlP_1)^{m-r})^{d_1-1} P^{-2^{d_1-1}\kappa}.
$$

On fixe alors $(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(i)})_{i \in [d_2-2]}$ et on applique le lemme 3.6 avec les vari-
ables $\mathbf{x}^{(d_1-1)}, \mathbf{y}^{(d_1-1)}$ et les formes linéaires $\alpha \gamma_{d,z,j}$ pour $j \in \{0, \dots, m\}$, et
en choisissant $Z_2 = 1$, $Z_1 = d^{-1} P_1^{-1} P^{\theta}$, $a_j = P_1$ pour tout $j \in \{0, \dots, r\}$, et
$a_j = dlP_1$ pour $j \in \{r+1, \dots, m\}$, de sorte que
$$ \forall j \in \{0, \dots, r\}, \quad a_j Z_2 = P_1, \quad a_j Z_1 = P^\theta / d, $$

$$ \forall j \in \{r+1, \dots, m\}, \quad a_j Z_2 = dlP_1, \quad a_j Z_1 = lP^\theta, $$

$$ \forall j \in \{0, \dots, m\}, \quad a_j^{-1} Z_2 = P_1^{-1}, \quad a_j^{-1} Z_1 = d^{-1} P_1^{-2} P^\theta, $$

$$ \forall j \in \{r+1, \dots, m\}, \quad a_j^{-1} Z_2 = (dlP_1)^{-1}, \quad a_j^{-1} Z_1 = d^{-2} P_1^{-2} l^{-1} P^\theta, $$

avec $P > 0$ fixé, et $\theta \in [0, 1]$ tel que $P^\theta \le P_1$. En appliquant ce procédé aux autres familles de variables $\boldsymbol{x}^{(i)}, \boldsymbol{y}^{(i)}$, on obtient finalement

$$ M_{d,z}(\alpha, P_1, dlP_1, P_1^{-1}, (dlP_1)^{-1}) \ll \left( \frac{dP_1}{P^\theta} \right)^{(d_1-1)(m+1)} \times M_{d,z}(\alpha, P^\theta/d, lP^\theta, d^{-(d_1-1)}P_1^{-d_1}P^{(d_1-1)\theta}, d^{-d_1}l^{-1}P_1^{-d_1}P^{(d_1-1)\theta}). $$

En appliquant le lemme 3.9, on a par ailleurs

$$ M_{d,z}(\alpha, P^\theta/d, lP^\theta, d^{-(d_1-1)}P_1^{-d_1}P^{(d_1-1)\theta}, d^{-d_1}l^{-1}P_1^{-d_1}P^{(d_1-1)\theta}) \ll l^{(d_1-1)(m-r)} M_{d,z}(\alpha, P^\theta/d, P^\theta, d^{-(d_1-1)}P_1^{-d_1}P^{(d_1-1)\theta}, d^{-d_1}l^{-1}P_1^{-d_1}P^{(d_1-1)\theta}). $$

On a donc le lemme suivant :

LEMME 5.2. Pour tous $P > 1$, $\kappa > 0$ et tout $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit, l'une au moins des assertions suivantes est vérifiée :

$$ (1) \quad |S_{d,z}(\alpha)| \ll d^{m-r+\varepsilon+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} l^{m-r+\varepsilon} P_1^{m+2+\varepsilon} P^{-\kappa}, $$

$$ (2) \quad M_{d,z}(\alpha, P^\theta/d, P^\theta, d^{-(d_1-1)}P_1^{-d_1}P^{(d_1-1)\theta}, d^{-d_1}P_1^{-d_1}P^{(d_1-1)\theta}) \gg (P^\theta)^{(m+1)(d_1-1)} P^{-2d_1^{-1}\kappa}. $$

On introduit à présent les nouvelles familles d'arcs majeurs :

$$ (5.5) \quad \mathfrak{M}_{a,q}^{(1),z}(\theta) = \{\alpha \in [0, 1[ \mid 2|\alpha q - a| \le d^{-(d_1-1)} P_1^{-d_1} P^{(d_1-1)\theta}\}, $$

$$ (5.6) \quad \mathfrak{M}^{(1),z}(\theta) = \bigcup_{\substack{q \le d l^{d_2} P^{(d_1-1)\theta} \\ d|q}} \bigcup_{0 \le a < q} \mathfrak{M}_{a,q}^{(1),z}(\theta), $$

$$ (5.7) \quad \mathfrak{M}_{a,q}^{(2),z}(\theta) = \{\alpha \in [0, 1[ \mid 2|\alpha q - a| \le d^{-d_1} P_1^{-d_1} P^{(d_1-1)\theta}\}, $$

$$ (5.8) \quad \mathfrak{M}^{(2),z}(\theta) = \bigcup_{\substack{q \le l^{d_2} P^{(d_1-1)\theta} \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} \bigcup_{0 \le a < q} \mathfrak{M}_{a,q}^{(2),z}(\theta), $$

$$ (5.9) \quad \mathfrak{M}^z(\theta) = \mathfrak{M}^{(1),z}(\theta) \cup \mathfrak{M}^{(2),z}(\theta). $$

On a alors comme dans les sections précédentes :

LEMME 5.3. Si $P > 1$, $\kappa > 0$, et $\varepsilon > 0$ est arbitrairement petit, l'une au moins des assertions suivantes est vérifiée :
$$
(1) \quad |S_{d,z}(\alpha)| \ll d^{m-r+\varepsilon+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} |m-r+\varepsilon| P_1^{m+2+\varepsilon} P^{-\kappa},
$$

$$
(2) \alpha \in \mathfrak{M}^z(\theta),
$$

$$
(3) \quad \mathrm{card}\{(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(i)})_{i \in [d_1-1]} \mid |\mathbf{x}^{(i)}| \le P^{\theta}/d, |\mathbf{y}^{(i)}| \le P^{\theta}, \\
\phantom{(3) \quad \mathrm{card}\{(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(i)})_{i \in [d_1-1]} \mid } et \forall j \in \{r+1, \dots, n+1\}, \gamma_{d,z,j}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(i)})_{i \in [d_1-1]}) = 0\} \\
\qquad \gg (P^{\theta})^{(m+1)(d_1-1)} P^{-2^{d_1-1}\kappa}.
$$

Pour un $z$ fixé, on définit

$$
(5.10) \quad V_{1,z}^* = \left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}) \in \mathbb{C}^{m+1} \middle| \begin{array}{l} \forall i \in \{0, \dots, r\}, \quad \frac{\partial F}{\partial x_i}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0 \\ \text{et } \forall j \in \{r+1, \dots, m\}, \quad \frac{\partial F}{\partial y_j}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0 \end{array} \right\}.
$$

On note par ailleurs

$$
(5.11) \quad \mathcal{A}_1^\mu = \{z \in \mathbb{C}^{n-m+1} \mid \dim V_{1,z}^* < \dim V_{1,z}^* - (n-m+1) + \mu\},
$$

où $\mu \in \mathbb{N}$ est un paramètre que nous préciserons ultérieurement. Par abus
de langage on note

$$
\mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z}) = \mathcal{A}_1^\mu \cap \mathbb{Z}^{n-m+1}.
$$

On a alors une propriété analogue à la proposition 4.5 :

PROPOSITION 5.4. *L'ensemble* $\mathcal{A}_1^\mu$ *est un ouvert de Zariski de* $\mathrm{A}_{\mathbb{C}}^{n-m+1}$,
*et de plus,*

$$
\mathrm{card}\{z \in [-P_2, P_2]^{n-m+1} \cap (\mathcal{A}_1^\mu)^c \cap \mathbb{Z}^{n-m+1}\} \ll P_2^{n-m+1-\mu}.
$$

On commence par remarquer que le cardinal de la condition (3) peut être
majoré par

$$
\operatorname{card}\{(\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(i)})_{i \in [d_1-1]} \mid |\mathbf{x}^{(i)}| \le P^{\theta}, |\mathbf{y}^{(i)}| \le P^{\theta}, \\
\text{et } \forall j \in \{r+1, \dots, n+1\}, \gamma_{\mathbf{z},j}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(i)})_{i \in [d_1-1]}) = 0\},
$$

où

$$
\gamma_{\mathbf{z},j}((\mathbf{x}^{(i)}, \mathbf{y}^{(i)})_{i \in [d_1-1]}) = \sum_{i=(i_1, \dots, i_{d_1-1}) \in \{0, \dots, m\}^{d_1-1}} F_{\mathbf{z},i,j} u_{i_1}^{(1)} \dots u_{i_{d_1-1}}^{(d_1-1)}.
$$

Puis, comme dans la section précédente, en choisissant $\kappa = K_1\theta$ avec

$$
(5.12) \qquad K_1 = \frac{(n + 2 - \dim V_1^* - \mu)}{2^{d_1-1}}
$$

on déduit du lemme 5.3 :

LEMME 5.5. *Soit $z \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z})$. Si $\varepsilon > 0$ est un réel arbitrairement petit, l'une au moins des assertions suivantes est vérifiée :*

$$
(1) \quad |S_{d,z}(\alpha)| \ll d^{m-r+\varepsilon+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} |m-r+\varepsilon| P_1^{m+2+\varepsilon} P^{-K_1\theta},
$$

$$
(2) \alpha \in \mathfrak{M}^z(\theta).
$$

Pour tout le reste de cette section, on fixera $P = P_1$.
**5.1.2. Méthode du cercle.** On fixe un réel $\theta \in [0, 1]$. On suppose de plus que

$$ (5.13) \qquad K_1 > 2(d_1 - 1). $$

On notera

$$ (5.14) \qquad \phi_1(d, l, \theta) = dl^{d_2} P_1^{(d_1-1)\theta}, $$

$$ (5.15) \qquad \Delta_1(\theta, K_1) = \theta(K_1 - 2(d_1 - 1)). $$

On supposera de plus que $\theta$ est tel que

$$ \Delta_1(\theta, K_1) > 1. $$

Comme précédemment, nous allons vérifier que les arcs mineurs fournissent bien un terme d'erreur.

**LEMME 5.6.** *Pour tout $z \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z})$, et si $d_1 \ge 2$, on a*

$$ \int_{\alpha \notin \mathfrak{M}^z(\theta)} |S_z(\alpha)| d\alpha \ll d^{m-r+\varepsilon+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} l^{d_2+m-r+\varepsilon} P_1^{m+2-d_1-\Delta_1(\theta, K_1)+\varepsilon}. $$

*Démonstration. Considérons une suite*

$$ 0 < \theta = \theta_0 < \theta_1 < \dots < \theta_{T-1} < \theta_T = 1 $$

telle que

$$ (5.16) \qquad 2(\theta_{i+1} - \theta_i)(d_1 - 1) < \varepsilon $$

et $T \ll P_1^\varepsilon$ pour $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit (et $P_1$ assez grand). Puisque $z \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z})$, par le lemme 5.5 on a

$$ \int_{\alpha \notin \mathfrak{M}^z(\theta_T)} |S_{d,\mathfrak{x}}(\alpha)| d\alpha \ll d^{m-r+\varepsilon+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} l^{m-r+\varepsilon} P_1^{m+2-K_1\theta_T+\varepsilon} \\ \ll d^{m-r+\varepsilon+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} l^{m-r+\varepsilon} P_1^{m+2-d_1-\Delta_1(\theta, K_1)+\varepsilon}. $$

Par ailleurs, on remarque que

$$ \begin{aligned} \mathrm{Vol}(\mathfrak{M}^z(\theta)) &\ll \mathrm{Vol}(\mathfrak{M}^{(1),z}(\theta)) + \mathrm{Vol}(\mathfrak{M}^{(2),z}(\theta)) \\ &\ll \sum_{q \le dl^{d_2}} \sum_{P_1^{(d_1-1)\theta} \le a < q} q^{-1} d^{-(d_1-1)} P_1^{-d_1+(d_1-1)\theta} \\ &\quad + \sum_{q \le dl^{d_2}} \sum_{P_1^{(d_1-1)\theta} \le a < q \atop \mathrm{pgcd}(a,q)=1} q^{-1} d^{-d_1} P_1^{-d_1+(d_1-1)\theta} \\ &\ll d^{(2-d_1)} l^{d_2} P_1^{-d_1+2(d_1-1)\theta}. \end{aligned} $$
On a alors, pour tout $i \in \{0, \dots, T-1\}$,

$$
\begin{align*}
& \int_{\alpha \in \mathfrak{M}^z(\theta_{i+1}) \setminus \mathfrak{M}^z(\theta_i)} |S_{d,z}(\alpha)| d\alpha \\
& \ll d^{m-r+\varepsilon+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} l^{m-r+\varepsilon} P_1^{m+2-K_1\theta_i+\varepsilon} \operatorname{Vol}(\mathfrak{M}^z(\theta_{i+1})) \\
& \ll d^{m-r+\varepsilon+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}+(2-d_1)} l^{m-r+d_2+\varepsilon} P_1^{m+2-K_1\theta_i+\varepsilon-d_1+2(d_1-1)\theta_{i+1}} \\
& \ll d^{m-r+\varepsilon+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}+(2-d_1)} l^{m-r+d_2+\varepsilon} P_1^{m+2-d_1-\Delta_1(\theta,K_1)+\varepsilon}
\end{align*}
$$

et on obtient le résultat souhaité en sommant sur les $i \in \{0, \dots, T-1\}$. ■

On introduit une nouvelle famille d'arcs majeurs :

$$
(5.17) \quad \mathfrak{M}_{a,q}^{d,z}(\theta) = \{ \alpha \in [0,1] \mid 2|\alpha q - a| \le q d^{-d_1} P_1^{-d_1} P^{(d_1-1)\theta} \},
$$

$$
(5.18) \quad \mathfrak{M}^{d,z}(\theta) = \bigcup_{\substack{q \le \phi_1(d,l,\theta) \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} \bigcup_{\substack{0 \le a < q \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} \mathfrak{M}^{d,z}_{a,q}(\theta),
$$

et on vérifie que $\mathfrak{M}^{d,z}(\theta) \subset \mathfrak{M}^{d,z}(\theta)$. On a alors le résultat analogue au
lemme 4.7 :

LEMME 5.7. Si $d_1 \ge 2$ et $l^{2d_2} P_1^{-d_1+3\theta(d_1-1)} < 1$, alors les arcs majeurs $\mathfrak{M}_{a,q}^{d,z}(\theta)$ sont disjoints deux à deux.

Démonstration. Supposons qu’il existe $\alpha \in \mathfrak{M}_{a,q}^{d,z}(\theta) \cap \mathfrak{M}_{a',q'}^{d,z}(\theta)$ pour $(a,q) \ne (a',q')$, $q,q' \le \phi_1(d,l,\theta)$, $0 \le a < q$, $0 \le a' < q'$ et $\text{pgcd}(a,q) = \text{pgcd}(a',q') = 1$. Alors

$$
1 \le qq'd^{-d_1} P_1^{-d_1+\theta(d_1-1)} \le d^{2-d_1} l^{2d_2} P_1^{-d_1+3\theta(d_1-1)} \le l^{2d_2} P_1^{-d_1+3\theta(d_1-1)}, \\
\text{d'où le résultat.} \blacksquare
$$

Comme précédemment, on déduit des lemmes 5.7 et 5.6 que

$$
(5.19) \quad N_{d,z}(P_1) = \sum_{q \le \phi_1(d,l,\theta)} \sum_{\substack{0 \le a < q \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} \int_{\alpha \in \mathfrak{M}_{a,q}^{d,z}(\theta)} S_{d,z}(\alpha) \, d\alpha \\
\qquad + O\left(d^{m-r+\varepsilon+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} l^{d_2+m-r+\varepsilon} P_1^{m+2-d_1-\Delta_1(\theta,K_1)+\varepsilon}\right).
$$

On considère $\alpha \in \mathfrak{M}_{a,q}^{d,z}(\theta)$. On pose $\beta = \alpha - a/q$ et donc on a $|\beta| \le$
$d^{-d_1} P_1^{-d_1+(d_1-1)\theta}$. De la même manière que nous avons établi le lemme 4.9,
on démontre :

LEMME 5.8. On a

$$
S_{d,z}(\alpha) = d^{m-r} l^{m-r} P_1^{m+1} q^{-(m+1)} S_{a,q,d}(z) I_z(d^{d_1} P_1^{d_1} \beta) \\
\qquad + O(d^{m-r+1} l^{2d_2+m-r} P_1^{m+2\theta(d_1-1)})
$$
avec

$$
(5.20) \quad S_{a,q,d}(\mathbf{z}) = \sum_{(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2) \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{r+1} \times (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{m-r}} e\left(\frac{a}{q}F(d\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{z})\right),
$$

$$
(5.21) \quad I_{\mathbf{z}}(\beta) = \int_{(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \in [-1,1]^{r+1} \times [-1,1]^{m-r} \mid |\mathbf{v}| < |\mathbf{u}|} e(\beta F(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{z})) \, d\mathbf{u} \, d\mathbf{v}.
$$

Par ailleurs, en posant

$$
(5.22) \qquad \tilde{\phi}_1(\theta) = \frac{1}{2} P_1^{\theta(d_1-1)},
$$

$$
(5.23) \qquad \eta_1(\theta) = 1 - 5\theta(d_1 - 1),
$$

on démontre un analogue du lemme 4.10 :

LEMME 5.9. Pour $z \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z})$, et $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit, on a

$$
\begin{align*}
N_{d,z}(P_1) = d^{m-r-d_1} l^{m-r} P_1^{m+1-d_1} \mathfrak{S}_{d,z}(\phi_1(d,l,\theta)) J_z(\tilde{\phi}_1(\theta)) & \\
& + O\left(d^{m-r+\varepsilon+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} l^{d_2+m-r+\varepsilon} P_1^{m+2-d_1-\Delta_1(\theta,K_1)+\varepsilon}\right) \\
& + O\left(d^{m-r+3-d_1} l^{4d_2+m-r} P_1^{m+1-d_1-\eta(\theta)}\right),
\end{align*}
$$

où

$$
(5.24) \quad \mathfrak{S}_{d,z}(\phi(d,l,\theta)) = \sum_{q \le \phi(d,l,\theta)} q^{-(m+1)} \sum_{\substack{0 \le a < q \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} S_{a,q,d}(z),
$$

$$
(5.25) \quad J_z(\tilde{\phi}(\theta)) = \int_{|\beta| \le \tilde{\phi}(\theta)} I_z(\beta) \, d\beta.
$$

On pose à présent

$$
(5.26) \quad \mathfrak{S}_{d,z} = \sum_{q=1}^{\infty} q^{-(m+1)} \sum_{\substack{0 \le a < q \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} S_{a,q,d}(z),
$$

$$
(5.27) \qquad J_z = \int_{\mathbb{R}} I_z(\beta) \, d\beta.
$$

LEMME 5.10. Soit $z \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z})$ et $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit. Si $d_1 \ge 2$ et $\theta < \frac{1}{2(d_1-1)}$, alors l'intégrale $J_z$ est absolument convergente, et

$$
|J_z(\tilde{\phi}(\theta)) - J_z| \ll l^{d_2+\varepsilon} P_1^{-K_1\theta/2+2\theta(d_1-1)}.
$$

De plus, $|J_z| \ll l^{d_2+\varepsilon}$.

Démonstration. On considère $\beta$ tel que $|\beta| \ge \tilde{\phi}(\theta)$. On choisit alors des paramètres $P$ et $\theta'$ tels que
$$
(5.28) \qquad |\beta| = \frac{1}{2} P^{\theta'(d_1-1)},
$$

$$
(5.29) \qquad P^{1-K_1\theta'} = P^{-1+2\theta'(d_1-1)}l^{2d_2}.
$$

Ces deux égalités impliquent

$$
(5.30) \qquad \theta' = \frac{2(d_1 - 1)^{-1} \log(2|\beta|)}{\left(2 + \frac{K_1}{d_1-1}\right) \log(2|\beta|) + 2d_2 \log(l)},
$$

donc en particulier

$$
(5.31) \qquad \theta' \gg \min \left\{ 1, \frac{\log(|\beta|)}{\log(l)} \right\}.
$$

Par ailleurs, d'après (5.29) on a

$$
P^{-2+3\theta'(d_1-1)}l^{2d_2} = P^{\theta'(d_1-1-K_1)} < 1,
$$

donc, pour $d_1 \ge 2$,

$P^{-d_1+3\theta'(d_1-1)}l^{2d_2} < 1,$

et ainsi, d'après le lemme 4.7, les arcs majeurs $\mathfrak{M}_{a,q}(\theta')$ correspondant à $P$ et $\theta'$ sont disjoints deux à deux. Le réel $P^{-d_1}\beta$ appartient au bord de $\mathfrak{M}_{0,1}(\theta')$, et donc par le lemme 5.5 appliqué à $d=1$, on a

$$
|S_{1,z}(P^{-d_1}\beta)| \ll l^{m-r+\varepsilon} P^{m+2-K_1\theta'+\varepsilon}.
$$

Par le lemme 5.8,

$$
S_{1,z}(P^{-d_1}\beta) = l^{m-r} P^{m+1} I_z(\beta) + O(l^{m-r+2d_2} P^{m+2\theta'(d_1-1)}).
$$

On a ainsi

$$
\begin{align*}
|I_z(\beta)| &\ll l^\varepsilon P^{1-K_1\theta'+\varepsilon} + l^{2d_2} P^{-1+2\theta'(d_1-1)} \\
&\ll l^\varepsilon P^{1-K_1\theta'+\varepsilon} \\
&\ll l^\varepsilon |\beta|^{\frac{1}{\theta'(d_1-1)} - \frac{K_1}{(d_1-1)} + \frac{\varepsilon}{\theta'(d_1-1)}}.
\end{align*}
$$

Étant donné que $\theta' \gg \min\{1, \frac{\log(|\beta|)}{\log(l)}\}$, on en déduit que

$$
|\beta|^{\frac{\epsilon}{\theta'(d_1-1)}} \ll \max\{|\beta|^{\epsilon'}, l^{\epsilon'}\}
$$

pour $\epsilon' > 0$ arbitrairement petit. D'autre part, d'après (5.30),

$$
|\beta|^{\frac{1}{\theta'(d_1-1)} - \frac{K_1}{(d_1-1)}} \ll |\beta|^{1-\frac{K_1}{2(d_1-1)}} |\beta|^{\frac{\log(l^{d_2})}{\log(2|\beta|)}} \ll l^{d_2} |\beta|^{1-\frac{K_1}{2(d_1-1)}}.
$$

On a ainsi

$$
\begin{align*}
|J_z(\tilde{\phi}(\theta)) - J_z| &\ll l^{d_2+\varepsilon} \int_{|\beta|>\tilde{\phi}(\theta)} |\beta|^{\left(1-\frac{K_1}{2(d_1-1)}\right)+\varepsilon} d\beta \\
&\ll l^{d_2+\varepsilon} \tilde{\phi}(\theta)^{2-\frac{K_1}{2(d_1-1)}+\varepsilon} \ll l^{d_2+\varepsilon} P_1^{2\theta(d_1-1)-K_1\theta/2+\varepsilon}
\end{align*}
$$

avec $\varepsilon$ arbitrairement petit. D'autre part, en choisissant $P_1 \ll 1$, cette iné-
galité donne

$$
|J_z(\tilde{\phi}(\theta)) - J_z| \ll l^{d_2 + \varepsilon},
$$
et puisque $|J_z(\tilde{\phi}(\theta))| \ll 1$ lorsque $P_1 \ll 1$, on a immédiatement

$$|J_z| \ll l^{d_2+\varepsilon}. \blacksquare$$

On introduit pour $z$ fixé et $P \ge 1$ la nouvelle série génératrice

$$S'_{d,z}(\alpha) = \sum_{|x| \le P} \sum_{|y| \le P} e(\alpha F(dx, y, z)).$$

De la même manière que pour le lemme 5.5, on établit :

**LEMME 5.11.** Si $\varepsilon > 0$ est un réel arbitrairement petit, l'une au moins des assertions suivantes est vérifiée :

$$(1) \quad |S'_{d,z}(\alpha)| \ll d^{\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} P^{m+1+\varepsilon-K_1\theta},$$

$$(2) \quad \alpha \in \bigcup_{q \le dl^{d_2}} P^{(d_1-1)\theta} \bigcup_{0 \le a < q, \text{pgcd}(a,q)=1} \mathfrak{M}_{a,q}^{z}(\theta).$$

De la même manière que pour le lemme 4.12, on en déduit :

**LEMME 5.12.** Soit $z \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z})$ et $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit. Si $d_1 \ge 2$, alors la série $\mathfrak{S}_z$ est absolument convergente, et

$$|\mathfrak{S}_{d,z}(\phi_1(d, l, \theta)) - \mathfrak{S}_{d,z}(\theta)| \ll d^{\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1} + 2+\varepsilon} l^{2d_2+\varepsilon} P_1^{\theta(2(d_1-1)-K_1)}.$$

$$\text{De plus, } |\mathfrak{S}_z| \ll d^{\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1} + 2+\varepsilon} l^{2d_2+\varepsilon}.$$

**Démonstration.** On considère $q > \phi(d, k, \theta)$, $\alpha = a/q$ avec $0 \le a < q$ et pgcd$(a, q) = 1$. Alors $S_{a,q,d}(z) = S'_{d,z}(\alpha)$ avec $P = q$. On considère $\theta'$ tel que $q = dl^{d_2}q^{(d_1-1)\theta'$. Si $\theta'' = \theta' - \nu$ pour $\nu > 0$ arbitrairement petit, et s'il existait $a'$, $q' \in \mathbb{Z}$ tels que $0 \le a' < q'$, pgcd$(a', q') = 1$, $q' \le dl^{d_2}q^{\theta''(d_1-1)} < q$ et $\alpha \in \mathfrak{M}_{a',q'}^z(\theta'')$, on aurait

$$1 \le |aq' - a'q| \le q^{1-d_1+\theta'(d_1-1)},$$

ce qui est absurde pour $d_1 \ge 2$. Donc, par le lemme précédent,

$$|S_{a,q,d}(z)| \ll d^{\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} q^{m+1+\varepsilon-K_1\theta'}.$$

Par conséquent,

$$\begin{align*}
|\mathfrak{S}_{d,z}(\phi_1(d, l, \theta)) - \mathfrak{S}_{d,z}(\theta)| & \ll \sum_{q>\phi_1(d,l,\theta)} q^{-(m+1)} \sum_{0 \le a < q} |S_{a,q,d}(z)| \\
& \ll d^{\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} \sum_{q>\phi_1(d,l,\theta)} q^{-(m+1)} \sum_{0 \le a < q} q^{m+1+\varepsilon-K_1\theta'} \\
& \ll d^{\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} \sum_{q>\phi(d,l,\theta)} q^{-\frac{K_1}{d_1-1}+1+\varepsilon} l^{\frac{d_2K_1}{d_1-1}} d^{\frac{K_1}{d_1-1}} \\
& \ll d^{\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}+2+\varepsilon} l^{2d_2+\varepsilon} P_1^{\theta(2(d_1-1)-K_1)+\varepsilon}.
\end{align*}$$
En prenant $P_1 \ll 1$ cette majoration donne

$$|\mathfrak{S}_{d,z}(\phi_1(d, l, \theta)) - \mathfrak{S}_{d,z}| \ll d^{\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1} + 2+\varepsilon} l^{2d_2+\varepsilon},$$

et en vue de la majoration triviale $|\mathfrak{S}_{d,z}(\phi_1(d, l, \theta))| \ll d^2 l^{2d_2}$, on trouve finalement

$$|\mathfrak{S}_{d,z}| \ll d^{\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1} + 2+\varepsilon} l^{2d_2+\varepsilon}. \quad \blacksquare$$

On déduit des lemmes 5.12 et 5.10 :

**LEMME 5.13.** *Soit $z \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z})$, $\theta \in [0, 1]$ et $P_1 \ge 1$ tels que $l^{2d_2} P_1^{-d_1+3\theta(d_1-1)} < 1$. Si de plus $K_1 > 4(d_1-1)$ et $d_1 \ge 2$, alors*

$$N_{d,z}(P_1) = \mathfrak{S}_{d,z} J_z d^{m-r-d_1} l^{m-r} P_1^{m+1-d_1} + O(E_2) + O(E_3)$$

avec

$$E_2 = d^{m-r+3-d_1} l^{4d_2+m-r} P^{m+1-d_1-\eta(\theta)},$$

$$E_3 = d^{m-r+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} + \varepsilon l^{3d_2+m-r+\varepsilon} P_1^{m+1-d_1+2\theta(d_1-1)-K_1\theta/2+\varepsilon}$$

et $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit.

*Démonstration.* Par le lemme 5.9,

$$N_{d,z}(P_1) = d^{m-r-d_1} l^{m-r} P_1^{m+1-d_1} \mathfrak{S}_{d,z}(\phi_1(d, l, \theta)) J_z(\tilde{\phi}_1(\theta)) + O(E_1) + O(E_2),$$
où

$$E_1 = d^{m-r+\varepsilon+(d_1-1)(r+1)/2^{d_1-1}} l^{d_2+m-r+\varepsilon} P_1^{m+1-d_1-\Delta_1(\theta,K_1)+\varepsilon} \ll E_3.$$

Par ailleurs, d'après les lemmes 5.12 et 5.10,

$$\begin{aligned} & |\mathfrak{S}_{d,z}(\phi_1(d, l, \theta)) J_z(\tilde{\phi}_1(\theta)) - \mathfrak{S}_{d,z} J_z| \\ & \le |\mathfrak{S}_{d,z}(\phi_1(d, l, \theta)) - \mathfrak{S}_{d,z}| |J_z| + |\mathfrak{S}_{d,z}(\phi_1(d, l, \theta))| |J_z(\tilde{\phi}_1(\theta)) - J_z| \\ & \ll d^{\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1} + 2+\varepsilon} l^{3d_2+2\varepsilon} P_1^{\theta(2(d_1-1)-K_1)} + d^2 l^{3d_2+2\varepsilon} P_1^{\theta(2(d_1-1)-K_1/2)+\varepsilon}, \end{aligned}$$

et en multipliant par $d^{m-r-d_1} l^{m-r} P_1^{m+1-d_1}$, on obtient un terme d'erreur

$$d^{m-r-d_1+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}+2+\varepsilon} l^{3d_2+2\varepsilon} P_1^{m+1-d_1+2\theta(d_1-1)-K_1\theta/2+\varepsilon},$$

d'où le résultat. ■

En fixant $\theta > 0$ tel que $\theta < \frac{1}{5(d_1-1)}$, on obtient le corollaire suivant :

**COROLLAIRE 5.14.** *Soit $z \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z})$. Si $K_1 > 4(d_1-1)$ et $d_1 \ge 2$, il existe un réel $\delta > 0$ arbitrairement petit tel que*

$$N_{d,z}(P_1) = \mathfrak{S}_{d,z} J_z d^{m-r-d_1} l^{m-r} P_1^{m+1-d_1} + O\left(d^{m-r} \max\left\{d^{\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} + \varepsilon, d^{3-d_1} \right\} l^{m-r+4d_2} P_1^{m+1-d_1-\delta}\right),$$

uniformément pour tout $l < P_1^{(d_1-1)/(2d_2)}$.
On pose à présent $P_1 = P_2^b$ avec $b \ge 1$, et on introduit la fonction

$$
(5.32) \qquad g_1(b, \delta) = \left(1 - \frac{5d_2}{b} - \delta\right)^{-1} 5(d_1 - 1) \left(\frac{4d_2}{b} + 2\delta\right),
$$

ainsi que le nombre

$$
\begin{equation} \tag{5.33}
\begin{aligned}
\tilde{N}_{d,1}^{(1)}(P_1, P_2) &= \mathrm{card}\{(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}^{n+2} \mid \mathbf{z} \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z}), |\mathbf{x}| \le P_1, \\
& \phantom{=} |\mathbf{y}| < d|\mathbf{x}|P_2, |\mathbf{z}| \le P_2, |\mathbf{y}| \le d|\mathbf{x}| |\mathbf{z}|, F(dx, y, z) = 0\} \\
&= \mathrm{card}\left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}^{n+2} \middle| \mathbf{z} \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z}), |\mathbf{x}| \le P_1, \right. \\
& \phantom{= \mathrm{card}\left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}^{n+2} \middle| \mathbf{z} \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z}), } \left. |\mathbf{y}| < d|\mathbf{x}|P_2, |\mathbf{z}| \le P_2, \left\lfloor \frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|} \right\rfloor < |\mathbf{z}|, F(dx, y, z) = 0 \right\}.
\end{aligned}
\end{equation}
$$

On a alors la proposition suivante qui est l'analogue de la proposition 4.17 :

PROPOSITION 5.15. Si $K_1 > 4(d_1 - 1)$, $P_1 = P_2^b$ et

$$
K_1/2 - 2(d_1 - 1) > g_1(b, \delta),
$$

alors

$$
\tilde{N}_{d,1}^{(1)}(P_1, P_2) = \left( \sum_{z \in P_2 B_3 \cap A_1^\mu(\mathbb{Z})} \mathfrak{S}_{d,z} J_z |z|^{m-r} \right) d^{m-r-d_1} P_1^{m+1-d_1} \\
\qquad + O\left( d^{m-r} \max\left\{d^{\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} + \varepsilon, d^{3-d_1} \right\} P_1^{m+1-d_1-\delta} P_2^{n-r+1-d_2} \right),
$$

pour $\delta > 0$ arbitrairement petit.

Démonstration. On sait d'après le lemme 5.13 que

$$
\tilde{N}_{d,1}^{(1)}(P_1, P_2) = \left( \sum_{z \in P_2 B_3 \cap A_1^\mu(\mathbb{Z})} \mathfrak{S}_{d,z} J_z |z|^{m-r} \right) d^{m-r-d_1} P_1^{m+1-d_1} + O(\mathcal{E}_2) + O(\mathcal{E}_3)
$$

avec

$$
\begin{align*}
\mathcal{E}_2 &= d^{m-r+3-d_1} \sum_{l=1}^{P_2} \sum_{\substack{z \in P_2 B_3 \cap A_1^\mu(\mathbb{Z}) \\ |z|=l}} l^{4d_2+m-r} P_1^{m+1-d_1-\eta(\theta)} \\
&\ll d^{m-r+3-d_1} P_1^{m+1-d_1-\eta(\theta)} P_2^{4d_2+n-r+1} \\
&= d^{m-r+3-d_1} P_1^{m+1-d_1+5d_2/b-\eta(\theta)} P_2^{n-r+1-d_2}
\end{align*}
$$
et

$$
\begin{align*}
\mathcal{E}_3 &= d^{m-r+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}+\varepsilon} \\
&\quad \times \sum_{l=1}^{P_2} \sum_{\substack{z \in P_1 B_1 \cap A_1^\mu(\mathbb{Z}) \\ |z|=l}} l^{3d_2+m-r+\varepsilon} P_1^{n-r+1-d_1+2\theta(d_1-1)-K_1\theta/2+\varepsilon} \\
&\ll d^{m-r+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}+\varepsilon} P_1^{m+1-d_1+2\theta(d_1-1)-K_1\theta/2+4d_2/b+2\varepsilon} P_2^{n-r+1-d_2}.
\end{align*}
$$

Rappelons que $\eta(\theta) = 1 - 5\theta(d_1 - 1)$. On choisit alors

$$
\theta = \frac{1}{5(d_1 - 1)} \left( 1 - \frac{5d_2}{b} - \delta \right),
$$

de sorte que

$$
\frac{5d_2}{b} - \eta(\theta) = -\delta.
$$

Puisque $K_1/2 - 2(d_1 - 1) > g_1(b, \delta)$, on a

$$
-2\theta(d_1 - 1) + \frac{K_1\theta}{2} > \frac{4d_2}{b} + 2\delta,
$$

d'où le résultat. ■

**5.2. Deuxième cas.** On suppose à présent $l = \lfloor \frac{|y|}{d|\mathbf{x}|} \rfloor \ge |z|$. Dans cette partie nous fixerons l'entier $l$ et $z$ de norme $|z| \le l$, et nous allons évaluer

$$
(5.34) \quad N_{d,l,z}(P_1) = \mathrm{card}\{(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \in \mathbb{Z}^{m+1} \mid |\mathbf{x}| \le P_1, \\
\qquad \qquad \qquad dl|\mathbf{x}| \le |\mathbf{y}| < d(l+1)|\mathbf{x}|, F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0\}.
$$

Pour cela on introduit la série génératrice

$$
(5.35) \quad S_{d,l,z}(\alpha) = \sum_{|\mathbf{x}|\le P_1} \sum_{dl|\mathbf{x}|\le |\mathbf{y}|<d(l+1)|\mathbf{x}|} e(\alpha F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})),
$$

de sorte que $N_{d,l,z}(P_1) = \int_0^1 S_{d,l,z}(\alpha) \, d\alpha$.

Les résultats que nous obtiendrons dans cette section seront sensiblement
identiques à ceux de la section précédente, à quelques modifications près.

5.2.1. Somme d'exponentielles. Pour un **y** donné, on note $N = \lfloor \frac{|y|}{dl} \rfloor$ et
$M = \lfloor \frac{|y|}{d(l+1)} \rfloor$. Alors

$$
dl|\mathbf{x}| \le |\mathbf{y}| < d(l+1)|\mathbf{x}| \Leftrightarrow M < |\mathbf{x}| \le N.
$$

On note aussi, pour $N, M \in \{0, \dots, P_1\}$,

$$
(5.36) \quad S_{d,N,M,l,z}(\alpha) = \sum_{M < |\mathbf{x}| \le N} \sum_{\substack{dNl \le |\mathbf{y}| < d(N+1)l \\ dM(l+1) \le |\mathbf{y}| < d(M+1)(l+1)}} e(\alpha F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})),
$$
et on a

$$
(5.37) \qquad S_{d,l,z}(\alpha) = \sum_{N=1}^{P_1} \sum_{M=1}^{P_1} S_{d,N,M,l,z}(\alpha).
$$

En appliquant la méthode de différenciation de Weyl des sections précé-
dentes on montre que

$$
|S_{d,N,M,l,z}(\alpha)|^{2^{d_1}-1} \ll (P_1^{r+1+\epsilon})^{2^{d_1}-d_1+1} ((dlP_1)^{m-r+\epsilon})^{2^{d_1}-d_1+1} \\
\times M_{d,z}(\alpha, P_1, dlP_1, P_1^{-1}, (dlP_1)^{-1}),
$$

où $M_{d,z}(\alpha, P_1, dlP_1, P_1^{-1}, (dlP_1)^{-1})$ a été défini dans (5.4). Puis, en sommant
sur $M$ et $N$, on en déduit :

LEMME 5.16. *Pour tous P > 1, κ > 0 et tout ε > 0 arbitrairement petit, l'une au moins des assertions suivantes est vérifiée :*

$$
(1) \left| S_{d,l,z}(\alpha) \right| \ll d^{m-r+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} + \varepsilon P_1^{m+3+\varepsilon} l^{m-r+\varepsilon} P^{-\kappa},
$$

$$
(2) M_{d,z}(\alpha, P_1, dlP_1, P_1^{-1}, (dlP_1)^{-1}) \\
\gg (P_1^{r+1})^{d_1-1} ((dlP_1)^{m-r})^{d_1-1} P^{-2^{d_1-1}\kappa}.
$$

Par les mêmes arguments que ceux employés dans la section précédente,
on en déduit l'équivalent du lemme 5.5 :

LEMME 5.17. *Si ε > 0 est un réel arbitrairement petit, et si z ∈ Aµ₁(Z), l'une au moins des assertions suivantes est vérifiée :*

$$
(1) \left| S_{d,l,z}(\alpha) \right| \ll d^{m-r+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} + \varepsilon l^{m-r+\varepsilon} P_1^{m+3+\varepsilon} P^{-K_1\theta},
$$

$$
(2) \alpha \in \mathfrak{M}^l(\theta),
$$

où l'on a noté

$$
(5.38) \qquad \mathfrak{M}^l(\theta) = \mathfrak{M}^{(1),l}(\theta) \cup \mathfrak{M}^{(2),l}(\theta),
$$

$$
(5.39) \qquad \mathfrak{M}_{a,q}^{(1),l}(\theta) = \{ \alpha \in [0,1[ \mid 2|\alpha q - a| \le d^{-(d_1-1)} P_1^{-d_1} P^{(d_1-1)\theta} \},
$$

$$
(5.40) \quad \mathfrak{M}^{(1),l}(\theta) = \bigcup_{\substack{q \le d l^{d_2} P^{(d_1-1)\theta} \\ d | q}} \bigcup_{0 \le a < q} \mathfrak{M}_{a,q}^{(1),l}(\theta),
$$

$$
(5.41) \quad \mathfrak{M}_{a,q}^{(2),l}(\theta) = \{ \alpha \in [0,1[ \mid 2|\alpha q - a| \le d^{-d_1} P_1^{-d_1} P^{(d_1-1)\theta} \},
$$

$$
(5.42) \quad \mathfrak{M}^{(2),l}(\theta) = \bigcup_{\substack{q \le l^{d_2} P^{(d_1-1)\theta} \\ \text{pgcd}(a,q)=1}} \bigcup_{0 \le a < q} \mathfrak{M}_{a,q}^{(2),l}(\theta).
$$

À partir d'ici, on fixe à nouveau $P = P_1$.

**5.2.2. Méthode du cercle.** Pour les arcs mineurs, les calculs effectués pour établir le lemme 5.6 donnent aussi
LEMME 5.18. Pour tout $\mathbf{z} \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z})$, on a

$$ \int_{\alpha \notin \mathfrak{M}^l(\theta)} |S_{d,l,z}(\alpha)| d\alpha \ll d^{m-r+\varepsilon+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} l^{d_2+m-r+\varepsilon} P_1^{m+3-d_1-\Delta_1(\theta,K_1)+\varepsilon}. $$

Pour les arcs majeurs, on a les équivalents des lemmes 5.8 et 5.9 :

LEMME 5.19. On a

$$ S_{d,l,z}(\alpha) = d^{m-r} l^{m-r} P_1^{m+1} q^{-(m+1)} S_{a,q,d}(\mathbf{z}) I_{l,\mathbf{z}}(d^{d_1} P_1^{d_1} \beta) + O(d^{m-r+1} l^{2d_2+m-r} P_1^{m+2\theta(d_1-1)}) $$

avec

$$ (5.43) \qquad S_{d,a,q}(\mathbf{z}) = \sum_{(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2) \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{r+1} \times (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{m-r}} e\left(\frac{a}{q}F(d\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{z})\right), $$

$$ (5.44) \qquad I_{l,z}(\beta) = \int_{\substack{(\mathbf{u},\mathbf{v}) \in [-1,1]^{r+1} \times [-1,1]^{m-r} \\ |\mathbf{u}| \le |\mathbf{v}| < (1+1/l)|\mathbf{u}|}} e(\beta F(\mathbf{u}, l\mathbf{v}, \mathbf{z})) d\mathbf{u} d\mathbf{v}. $$

LEMME 5.20. Pour $\mathbf{z} \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z})$ et $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit, on a

$$ N_{d,l,z}(P_1) = d^{m-r-d_1} l^{m-r} P_1^{m+1-d_1} \mathfrak{S}_{d,z}(\phi_1(d,l,\theta)) J_{l,z}(\tilde{\phi}_1(\theta)) \\ + O\left(d^{m-r+\varepsilon+\frac{(d_1-1)(r+1)}{2d_1-1}} l^{d_2+m-r+\varepsilon} P_1^{m+3-d_1-\Delta_1(\theta,K_1)+\varepsilon}\right) \\ + O\left(d^{m-r+3-d_1} l^{4d_2+m-r} P_1^{m+1-d_1-\eta(\theta)}\right), $$

où

$$ (5.45) \qquad \mathfrak{S}_{d,z}(\phi(d,l,\theta)) = \sum_{q \le \phi(d,l,\theta)} q^{-(m+1)} \sum_{\substack{0 \le a < q \\ \gcd(a,q)=1}} S_{a,q,d}(\mathbf{z}), $$

$$ (5.46) \qquad J_{l,z}(\tilde{\phi}(\theta)) = \int_{|\beta| \le \tilde{\phi}(\theta)} I_{l,z}(\beta) d\beta. $$

Si l'on note

$$ (5.47) \qquad J_{l,z} = \int_{\mathbb{R}} I_{l,z}(\beta) d\beta, $$

on montre comme pour le lemme 5.10 :

LEMME 5.21. Soit $\mathbf{z} \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z})$ et $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit. Si $d_1 \ge 2$, alors l'intégrale $J_{l,z}$ est absolument convergente, et

$$ |J_{l,z}(\tilde{\phi}(\theta)) - J_{l,z}| \ll l^{4d_2/3+\varepsilon} P_1^{-K_1\theta/3+7\theta(d_1-1)/3+\varepsilon}. $$

$$ \text{De plus, } |J_{\mathbf{z}}| \ll l^{4d_2/3+\varepsilon}. $$
Des lemmes 5.20, 5.21 et 5.12 on déduit

LEMME 5.22. Soit $z \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z})$, $\theta \in [0,1]$ et $P_1 \ge 1$ tels que $l^{2d_2} P_1^{-d_1+3\theta(d_1-1)} < 1$. Si de plus $K_1 > 7(d_1-1)$ et $d_1 \ge 2$, alors

$$N_{d,l,z}(P_1) = \mathfrak{S}_{d,z} J_{l,z} d^{m-r-d_1} l^{m-r} P_1^{m+1-d_1} + O(E_2) + O(E_3)$$

avec

$$E_2 = d^{m-r+3-d_1} l^{4d_2+m-r} P^{m+1-d_1-\eta(\theta)},$$

$$E_3 = d^{m-r+(d_1-1)(r+1)/2^{d_1-1}+\varepsilon} l^{10d_2/3+m-r+\varepsilon} P_1^{m+1-d_1+7\theta(d_1-1)/3-K_1\theta/3+\varepsilon}$$

et $\varepsilon > 0$ arbitrairement petit.

COROLLAIRE 5.23. Soit $z \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z})$. Si $K_1 > 7(d_1-1)$ et $d_1 \ge 2$, il existe un réel $\delta > 0$ arbitrairement petit tel que

$$N_{d,l,z}(P_1) = \mathfrak{S}_{d,z} J_{l,z} d^{m-r-d_1} l^{m-r} P_1^{m+1-d_1} + O(d^{m-r} \max\{d^{\frac{(d_1-1)(r+1)}{2^{d_1-1}}+\varepsilon}, d^{3-d_1}\} l^{m-r+4d_2} P_1^{m+1-d_1-\delta})$$
uniformément pour tout $l < P_1^{(d_1-1)/(2d_2)}$.

On pose à présent $P_1 = P_2^b$ avec $b \ge 1$, et on introduit la fonction

$$(5.48) \qquad g'_1(b, \delta) = \left(1 - \frac{5d_2}{b} - \delta\right)^{-1} 5(d_1 - 1) \left(\frac{10d_2}{3b} + 2\delta\right),$$

ainsi que

$$(5.49) \quad \tilde{N}_{d,1}^{(2)}(P_1, P_2) = \mathrm{card} \left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}^{n+2} \mid \begin{array}{l} \mathbf{z} \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z}), |\mathbf{x}| \le P_1, \\ |\mathbf{y}| \le d|\mathbf{x}|P_2, |\mathbf{z}| \le P_2, \left\lfloor \frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|} \right\rfloor \ge |\mathbf{z}|, F(dx, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0 \end{array} \right\}.$$

On a alors la proposition suivante qui est l'analogue de la proposition 5.15 :

PROPOSITION 5.24. Si $K_1 > 7(d_1 - 1)$, $d_1 \ge 2$, $P_1 = P_2^b$ et $K_1/3 - \frac{7}{3}(d_1 - 1) > g'_1(b, \delta)$,

alors

$$\tilde{N}_{d,1}^{(2)}(P_1, P_2) = d^{m-r-d_1} \left( \sum_{l=1}^{P_2} \sum_{\substack{\mathbf{z} \in P_2 B_3 \cap \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z}) \\ |\mathbf{z}| \le l}} \mathfrak{S}_z J_{l,z} l^{m-r} \right) P_1^{m+1-d_1} + O\left(d^{m-r} \max\left\{d^{\frac{(d_1-1)(r+1)}{2^{d_1-1}}+\varepsilon}, d^{3-d_1}\right\} P_1^{m+1-d_1-\delta} P_2^{n-r+1-d_2}\right)$$

pour $\delta > 0$ arbitrairement petit.
**6. Quatrième étape.** L'objectif est à présent de regrouper les résultats obtenus pour en déduire une formule asymptotique pour $N_d(P_1, P_2)$ avec $n$ assez grand et $P_1, P_2$ quelconques.

On définit dans un premier temps $b_1$ comme le réel minimisant la fonction

$$ (6.1) \qquad b \mapsto \max\{2^{\tilde{d}}(bd_1 + d_2), 2^{\tilde{d}}(5b + 2)(\tilde{d} + 1), \\ \qquad \qquad \qquad 2^{d_1-1}(4(d_1 - 1) + 2g_1(b, \delta) + \lceil bd_1 + d_2 + \delta \rceil) \\ \qquad \qquad \qquad \times 2^{d_1-1}(7(d_1 - 1) + 3g'_1(b, \delta) + \lceil bd_1 + d_2 + \delta \rceil)\} $$

et on notera $\mathfrak{m}_1$ le minimum correspondant. On définit de même $u_1$ le réel minimisant

$$ (6.2) \qquad u \mapsto \max\{2^{\tilde{d}}(d_1 + ud_2), 7.2^{\tilde{d}}(\tilde{d} + 1), \\ \qquad \qquad \qquad 2^{d_2-1}(2(d_2 - 1) + g_2(u, \delta) + \lceil d_1 + ud_2 + \delta \rceil)\} $$

et $\mathfrak{m}_2$ le minimum correspondant. On note $\mathfrak{m} = \max\{\mathfrak{m}_1, \mathfrak{m}_2\}$. Un calcul en $b = 10d_2$ et $u = 10d_1$ montre que

$$ (6.3) \qquad 2^{d_1+d_2} \le \mathfrak{m} \le 13d_2(d_1+d_2)2^{d_1+d_2}. $$

À partir d'ici on fixe

$$ (6.4) \qquad \mu = \lceil b_1d_1 + d_2 + \delta \rceil, \quad \lambda = \lceil d_1 + u_1d_2 + \delta \rceil. $$

On commence par établir le lemme suivant :

**LEMME 6.1.** Si $n+2-\max\{\dim V_1^*, \dim V_2^*\} > \mathfrak{m}$, alors pour tout $P_2 \ge 1$,

$$ \sum_{z \in P_2 B_3 \cap A_1^\mu(\mathbb{Z})} \mathfrak{S}_{d,z} J_z d^{m-r-d_1} |z|^{m-r} + \sum_{\substack{l=1 \\ |z| \le l}}^{P_2} \sum_{z \in P_2 B_3 \cap A_1^\mu(\mathbb{Z})} \mathfrak{S}_{d,z} J_{l,z} d^{m-r-d_1} l^{m-r} \\ = d^{m-r-d_1} \mathfrak{S}_d J P_2^{n-r+1-d_2} + O\left(d^{m-r} \max\left\{d^{\frac{(r+1)(d_1-1)}{2d_1-1}} + \varepsilon, d^{3-d_1}\right\} P_2^{n-r+1-d_2-\delta}\right). $$

**Démonstration.** On choisit $P_1$ tel que $P_1 = P_2^{b_1}$. D'après les propositions 5.15 et 5.24, on a

$$ (6.5) \qquad \begin{aligned} & \tilde{N}_{d,1}^{(1)}(P_1, P_2) + \tilde{N}_{d,1}^{(2)}(P_1, P_2) \\ & = \left( \sum_{z \in P_2 B_3 \cap A_1^\mu(\mathbb{Z})} \mathfrak{S}_{d,z} J_z |z|^{m-r} + \sum_{\substack{l=1 \\ |z| \le l}}^{P_2} \sum_{z \in P_2 B_3 \cap A_1^\mu(\mathbb{Z})} \mathfrak{S}_{d,z} J_{l,z} l^{m-r} \right) \\ & \qquad \times d^{m-r-d_1} P_1^{m+1-d_1} \\ & \qquad + O\left(d^{m-r} \max\left\{d^{\frac{(r+1)(d_1-1)}{2d_1-1}} + \varepsilon, d^{3-d_1}\right\} P_1^{m+1-d_1-\delta} P_2^{n-r+1-d_2}\right). \end{aligned} $$
Notons à présent

$$
(6.6) \quad \tilde{N}_{d,1}(P_1, P_2) = \mathrm{card} \left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}^{n+2} \middle| \begin{array}{l} \mathbf{z} \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z}), |\mathbf{x}| \le P_1, \\ \max\left(\left\lfloor \frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|} \right\rfloor, |\mathbf{z}| \right) \le P_2, F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0 \end{array} \right\}
$$

et

$$
(6.7) \quad N_{d,1}(P_1, P_2) = \mathrm{card} \left\{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in \mathbb{Z}^{n+2} \middle| \begin{array}{l} \mathbf{z} \in \mathcal{A}_1^\mu(\mathbb{Z}), |\mathbf{x}| \le P_1, \\ \max\left(\frac{|\mathbf{y}|}{d|\mathbf{x}|}, |\mathbf{z}| \right) \le P_2, F(d\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) = 0 \end{array} \right\}.
$$

On remarque d'une part que

$$
(6.8) \quad
\begin{aligned}
N_{d,1}(P_1, P_2) &\le \tilde{N}_{d,1}^{(1)}(P_1, P_2) + \tilde{N}_{d,1}^{(2)}(P_1, P_2) = \tilde{N}_{d,1}(P_1, P_2) \\
&\le N_{d,1}(P_1, P_2 + 1),
\end{aligned}
$$

et d'autre part, en utilisant la proposition 5.4,

$$
\begin{align*}
N_{d,1}(P_1, P_2) &= N_d(P_1, P_2) + O\left(\sum_{\mathbf{z} \in P_2 \mathcal{B}_3 \cap (\mathcal{A}_1^\mu)^c(\mathbb{Z})} d^{m-r} P_1^{m+1} P_2^{m-r}\right) \\
&= N_d(P_1, P_2) + O(d^{m-r} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2-\delta}),
\end{align*}
$$

par définition de $\mu$.

Par ailleurs, comme $n + 2 - \max\{\dim V_1^*, \dim V_2^*\} > 2^{\tilde{d}}(5b_1 + 2)(\tilde{d} + 1)$,
la proposition 3.19 donne

$$
N_d(P_1, P_2) = \sigma_d d^{m-r-d_1} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2} \\
\qquad + O(d^{m-r} \max\{d^{d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}+\varepsilon}, d^{3-d_1}\} P_1^{m+1-d_1-\delta} P_2^{n-r+1-d_2-\delta}).
$$

On a donc

$$
\begin{align*}
& |\tilde{N}_{d,1}^{(1)}(P_1, P_2) + \tilde{N}_{d,1}^{(2)}(P_1, P_2) - N_d(P_1, P_2)| \\
&\quad \ll N_d(P_1, P_2 + 1) - N_d(P_1, P_2) + O(d^{m-r} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2-\delta}) \\
&\quad \ll \sigma_d P_1^{m+1-d_1} ((P_2+1)^{n-r+1-d_2} - P_2^{n-r+1-d_2}) \\
&\quad \phantom{\ll \sigma_d P_1^{m+1-d_1} ((} + O(d^{m-r} \max\{d^{d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}+\varepsilon}, d^{3-d_1}\} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2-\delta}) \\
&\quad \ll d^{m-r} \max\{d^{d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}+\varepsilon}, d^{3-d_1}\} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2-\delta},
\end{align*}
$$

étant donné que $\sigma_d = d^{m-r-d_1} \mathfrak{S}_d J \ll d^{m-r-d_1} \max\{d^{d_1(r+1)/2^{\tilde{d}}}, d^2\}$, d'après
la remarque 3.18.
Par conséquent,

$$
\begin{align*}
& \left( \sum_{z \in P_2 B_3 \cap A_1^\mu(\mathbb{Z})} \mathfrak{S}_{d,z} J_z |z|^{m-r} + \sum_{l=1}^{P_2} \sum_{\substack{z \in P_2 B_3 \cap A_1^\mu(\mathbb{Z}) \\ |z| \le l}} \mathfrak{S}_{d,z} J_{l,z} l^{m-r} \right) d^{m-r-d_1} P_1^{m+1-d_1} \\
&= \sigma_d P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2} \\
&\quad + O\left( d^{m-r} \max\left\{d^{\frac{(r+1)(d_1-1)}{2d_1-1} + \varepsilon}, d^{3-d_1}\right\} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2-\delta} \right)
\end{align*}
$$

et en simplifiant par $P_1^{m+1-d_1}$ on obtient le résultat. ■

On démontre de même :

LEMME 6.2. $\mathrm{Si } n+2-\max\{\dim V_1^*, \dim V_2^*\} > \mathfrak{m}, \mathrm{ alors } \mathrm{ pour } \mathrm{ tout } P_1 \ge 1$ et $d_2 \ge 2$,

$$
\sum_{x \in P_1 B_1 \cap A_2^\lambda(\mathbb{Z})} \mathfrak{S}_{d,x} J_{d,x} d^{m-r} |x|^{m-r} \\
= \sigma_d P_1^{m+1-d_1} + O\left(d^{m-r} \max\left\{d^{d_1(r+1)/2^{d_1} + \varepsilon}, d^{3-d_1}\right\} P_1^{m+1-d_1-\delta}\right).
$$

Pour le cas $d_2 = 1$, en notant $u'_1 = d_1 + \delta$, $\mathfrak{m}'_2 = 7d_12^{d_1-1}$ et $\lambda' = \lceil d_1 + u'_1 + \delta \rceil$ on trouve :

LEMME 6.3. $\mathrm{Si } n + 2 - \max\{\dim V_1^*, \dim V_2^*\} > \mathfrak{m}' = \max\{\mathfrak{m}_1, \mathfrak{m}'_2\},$
$d_2 = 1 \text{ et } P_1 \ge 1, \text{ alors}$

$$
\sum_{x \in P_1 B_1 \cap A_2^{\lambda}(\mathbb{Z})} \frac{\mathrm{Vol}(C_{d,x})}{\det(\Lambda_{d,x})} \\
= \sigma_d P_1^{m+1-d_1} + O\left(d^{m-r} \max\left\{d^{d_1(r+1)/2^{d_1-1} + \varepsilon}, d^{3-d_1}\right\} P_1^{m+1-d_1-\delta}\right).
$$

Nous sommes en mesure de démontrer la proposition suivante :

PROPOSITION 6.4. Si $d_1 \ge 2$, $P_1 \ge P_2$ et $n+2 - \max\{\dim V_1^*, \dim V_2^*\} > \mathfrak{m}$, alors

$$
\tilde{N}_{d,1}(P_1, P_2) = \sigma_d P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2} \\
\qquad + O\left(d^{m-r} \max\left\{d^{\frac{(r+1)(d_1-1)}{2d_1-1} + \varepsilon}, d^{3-d_1}\right\} P_1^{m+1-d_1} P_2^{n-r+1-d_2-\delta}\right).
$$

Démonstration. On suppose dans un premier temps que $b \ge b_1$. Alors, puisque $n + 2 - \max\{\dim V_1^*, \dim V_2^*\} > \mathfrak{m}$ et puisque les fonctions $g_1$ et $g'_1$ sont décroissantes en $b$,

$$
K_1/2 - 2(d_1 - 1) > g_1(b_1, \delta) > g_1(b, \delta),
$$

$$
K_1/3 - \frac{7}{3}(d_1 - 1) > g'_1(b_1, \delta) > g'_1(b, \delta).
$$