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# Sur le solide spiral de Pascal

Thierry Lambre

► To cite this version:

Thierry Lambre. Sur le solide spiral de Pascal. Courrier Blaise Pascal, 2023, 45, pp.91-120. 10.4000/cbp.1070. hal-04823422

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COURRIER
BLAISE
PASCAL

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

45

2023
# Sur le solide spiral de Pascal

Thierry Lambre<fnref n="1" />

## Des amarantes qui ne flétriront jamais

À propos des « idées infinitésimales » qui circulent au XVIIᵉ siècle, Nicolas Bourbaki s'exprime en ces termes :

> C'est bien au déroulement graduel et inévitable d'une symphonie, où le « Zeitgeist » à la fois compositeur et chef d'orchestre, tiendrait le bâton, que fait penser le développement du calcul infinitésimal au XVIIᵉ siècle : chacun y exécute sa partie avec son timbre propre, mais nul n'est maître des thèmes qu'il fait entendre, thèmes qu'un contrepoint savant a presque inextricablement enchevêtrés<fnref n="2" />.

Le vaste traité de « calcul par les indivisibles » que constitue la *Lettre de A. Dettonville à Monsieur de Carcavy*<fnref n="3" /> est accompagné de trois autres lettres de taille et de contenu beaucoup plus modeste. La *Lettre de A. Dettonville à Monsieur de Sluze*<fnref n="4" /> pourrait apparaître comme un texte mineur, constitué de trois parties faites de bric et de broc et composées chacune

<footnote n="1">1. Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal, Université Clermont Auvergne, UMR 6620, CNRS.</footnote>

<footnote n="2">2. Nicolas Bourbaki, *Éléments d'histoire des mathématiques*, Hermann, 1974, p. 215.</footnote>

<footnote n="3">3. Blaise Pascal, *Œuvres complètes*, éd. Jean Mesnard, vol. IV (en abrégé OC, IV), Desclée de Brouwer, 1992 p. 409-522.</footnote>

<footnote n="4">4. OC, IV, p. 537-539.</footnote>
d'environ deux pages : l'une traitant de la dimension et le centre de gravité de l'escalier, une seconde sur la dimension et le centre de gravité des triangles cylindriques et une dernière sur la dimension d'un solide formé par le moyen d'une spirale autour d'un cône, qui nous intéresse ici.

Dans ce texte, Blaise Pascal se propose de calculer à sa façon le volume d'un étrange solide spiral.

À première lecture, ce dernier texte est un peu déconcertant : il contient une description très concise du solide, une description très fragmentaire du calcul de son volume, et un résultat à peine énoncé, « *le solide proposé est en raison donnée de la sphère* », parfaitement exact et assez imprévisible.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

La « figure 45 » ci-dessus<fnref n="5" />, extraite de l'exemplaire de Clermont-Ferrand<fnref n="6" /> que nous solliciterons abondamment et qui accompagne le texte de Pascal est elle aussi, un modèle d'économie de moyens. Cette illustration<fnref n="7" /> comporte

<footnote n="5">5. *OC*, IV, p. 565.</footnote>

<footnote n="6">6. https://overnia.bibliothèques-clermont-métropole.eu/</footnote>

<footnote>Onglets successifs : Un provincial nommé Blaise Pascal, Œuvres de Blaise Pascal, Écrits scientifiques, Mathématiques, Géométrie, Cycloide, texte 10/10.</footnote>

<footnote n="7">7. Toutes les lettres utilisées dans ce texte pour désigner des points se réfèrent à cette *Figure 45* reproduite ci-dessus. Pour une meilleure lisibilité, nous utiliserons des lettres majuscules là où Pascal sur sa figure utilise des lettres minuscules (par exemple *PTHF* au lieu de *pthf*).</footnote>
la description du solide spiral et, simultanément, par la présence de deux rectangles cylindriques perpendiculaires au plan de la spirale, elle suggère également la description de la méthode de démonstration. Cette figure silencieuse contient presque à elle seule à la fois l'énoncé et la démonstration, à la manière des tablettes sacrées Sangaku japonaises, pour lesquelles un problème géométrique est posé par une simple figure sans aucun texte. Sans un mot, la figure montre le sentier géométrique inattendu choisi par Pascal pour établir son résultat.

*Figure porte absence et présence, plaisir et déplaisir.* (Laf. 265, Sel. 296)

Le titre retenu par Pascal (Lettre de A. Dettonville à M. de Sluze) mérite un commentaire.

Publier simultanément sous forme épistolaire et sous un pseudonyme ses propres découvertes mathématiques est un choix rarissime dans l'histoire des mathématiques du XVIIᵉ siècle. Il s'agit là d'un fait qui mérite sans doute d'être interrogé.

Les rares exemples de mémoires scientifiques publiés sous forme de lettres sont souvent de la part de leurs

auteurs le résultat d'une décision prise sous l'effet d'une forte contrainte et d'une urgence absolue<fnref n="8" />. Pascal n'est ici soumis à aucun impératif de ce type. Si les correspondances scientifiques sont courantes dans l'histoire des mathématiques<fnref n="9" />, la forme choisie par Pascal dans cette lettre à M. de Sluze possède un caractère littéraire qui a peu à voir avec une correspondance scientifique usuelle. Dans ses Lettres de A. Dettonville, Pascal inaugure un genre littéraire : la littérature épistolaire scientifique. Dominique Descotes souligne que Sainte-Beuve se posait déjà la question : « Pascal géomètre garde-t-il, en quelques manière, du cachet de l'écrivain ?<fnref n="10" /> ».

Il est encore plus exceptionnel pour un scientifique de publier ou d'annoncer ses résultats sous pseudonyme<fnref n="11" />. Les innombrables querelles de priorité montrent combien les scientifiques sont jaloux de leurs découvertes. Chez Pascal, ce recours au pseudonyme doit lui aussi être interprété comme une figure de style, car contrairement aux Provinciales, pour lesquelles l'anonymat était une mesure de prudence indispensable, il n'y a aucun danger à publier une démonstration de mathématique.

<footnote n="8">8. On songe à la lettre à Auguste Chevalier d'Évariste Galois, écrite à la veille d'un duel fatal, ou au pli cacheté envoyé à l'Académie des Sciences par Wolfgang Döblin, soldat durant la drôle de guerre, peu avant sa mort au combat.</footnote>

<footnote n="9">9. Exemples : correspondance de Pascal et Fermat, correspondance de Hermite, correspondance de Serre et Grothendieck.</footnote>

<footnote n="10">10. Dominique Descotes, *Blaise Pascal, Littérature et Géométrie*, Presses universitaires Blaise-Pascal, 2001, p. 9.</footnote>

<footnote n="11">11. Le pseudonyme M. Le Blanc utilisé par Sophie Germain (1776-1831), dans sa correspondance avec Lagrange ou Gauss, s'explique par l'interdiction faite aux femmes d'étudier les mathématiques. Le cas plus récent de Bourbaki est d'une autre nature : œuvre essentiellement collective et consacrée à de grandes réorganisations encyclopédiques de travaux déjà établis par d'autres.</footnote>
Ces *Lettres de A. Dettonville* qui, à
bien des égards, peuvent apparaître
comme le texte mathématique ma-
jeur de Pascal, sont donc une œuvre
plusieurs fois masquée : texte faus-
sement épistolaire d'un faux auteur,
qui se dénomme *L'anonyme*, puis
qui se démasque sous le faux nom
A. *Dettonville*. Démarche singulière
que l'on peut interpréter sous la
forme d'une délégation, par Pascal,
de la paternité de ses résultats mathé-
matiques à un pseudonyme, et volon-
té de mise à distance de l'auteur vis-à-
vis de l'homme que cet auteur est. Il
y a presque chez Pascal une forme de
dégoût du statut de l'auteur.

Il faut qu'on n'en puisse [dire] ni il
est mathématicien, ni prédicateur, ni
éloquent, mais il est honnête homme.
Cette qualité universelle me plaît seule.
Quand en voyant un homme on se
souvient de son livre, c'est mauvais
signe. (Laf. 647, Sel. 532)

Pour Pascal, ces deux contraintes
(littérature épistolaire et sous pseu-
donyme) dans le champ scientifique,
sont une façon pour lui de mettre
en scène de manière discrète les in-
cessantes interactions qu'il pratique
entre science et littérature.

On trouve en Nicolas Bourbaki un
grand admirateur du style des œuvres
de calcul différentiel de Pascal. À
propos de la *Lettre à M. de Carcavy*<fnref n="12" />,
celui-ci écrit<fnref n="13" /> : « On notera que
grâce au prestige d'une langue

incomparable, Pascal arrive à créer
l'illusion de la parfaite clarté » ; ou
encore<fnref n="14" /> : « Le langage de Pascal est
particulièrement clair et précis ; et,
si l'on ne comprend pas pourquoi
il s'est refusé l'usage des notations
algébriques, non seulement de
Descartes, mais même de Viète, on
ne peut qu'admirer le tour de force
qu'il accomplit, et dont sa maîtrise
de la langue l'a rendu capable. »
Bourbaki (en 1969) rejoint donc par
anticipation Domnique Descotes
qui, en 2001, a montré<fnref n="15" /> combien
il est nécessaire et fécond de lire
les textes mathématiques de Pascal
autant du point de vue littéraire que
mathématique.

Outre le refus de toute utilisation
de notations algébriques, une autre
caractéristique du style de cette
*lettre à Monsieur de Sluze* est sa très grande
concision. Pascal a sans doute estimé
que, pour donner à sa démonstration
tout le rythme nécessaire, celle-ci se
devait d'être brève. Peut-être veut-il
aussi montrer combien les indivi-
sibles permettent des démonstration
fécondes et économes.

Le solide spiral a pu être qualifié de
baroque<fnref n="16" />. La méthode proposée par
Pascal pour le calcul du volume du
solide spiral pourrait, elle aussi, être
qualifiée de baroque, car éloignée de
ce tout ce qu'on aurait pu attendre :
au lieu d'un calcul par tranches

<footnote n="12">12. *OC*, IV, p. 410-522.</footnote>

<footnote n="13">13. Nicolas Bourbaki, *Éléments d'histoire des mathématiques*, op. cit., p. 215.</footnote>

<footnote n="14">14. *Ibid*., p. 238.</footnote>

<footnote n="15">15. Dominique Descotes, *Blaise Pascal, Littérature et Géométrie*, op. cit.</footnote>

<footnote n="16">16. Claude Merker, « Pascal et la Dimension d'un solide formé par le moyen d'une spirale autour d'un cône », *Courrier du Centre International Blaise Pascal*, n° 31, 2009, p. 1.</footnote>
planes, on ne trouve aucune section plane dans la résolution de Pascal, mais un découpage constitué de rectangles cylindriques, du jamais vu dans un calcul de volume par découpages en tranches.

Dans cet écrit, virtuosité et rhétorique font bon ménage avec les mathématiques. L'extrême concision des arguments mathématiques, le refus des sections planes au profit de sections par des rectangles cylindriques sont des marqueurs du timbre proprement singulier de la méthode pascalienne au sein de la symphonie infinitésimale en cours au XVIIe siècle évoquée plus haut par Bourbaki. Dans une lettre à Pascal du 6 avril 1668, Sluze le dit aussi à sa manière : « vos solutions ne sont pas des fleurs printanières sujettes au changement des saisons, mais, étant cueillies dans les plus beaux parterres de la géométrie, ce sont plutôt des amarantes qui ne flétriront jamais17. »

La forme choisie par Pascal pour son discours est très proche des exigences actuelles de rédaction d'un article scientifique soumis à une revue professionnelle à comité de lecture : très grande concision, motivations absentes, aucun commentaire au lecteur, qui ne pourra reconstruire le cheminement de la pensée de l'auteur qu'au prix d'une lecture serrée, le crayon à la main. Ce choix de rédaction est très éloigné du style requis dans un chapitre d'ouvrage, où l'auteur peut parfois commenter son propre contenu scientifique. Rien de cela n'est présent dans cette lettre, qui doit être considérée comme un article scientifique à part entière.

Pour dégager l'architecture des raisonnements et expliquer les choix opérés par Pascal dans le cheminement de sa démonstration, nous proposons une transcription juxtalinéaire ligne à ligne la plus naïve possible de l'intégralité de ce texte bref, en usant du vocabulaire mathématique d'aujourd'hui, sans se préoccuper des anachronismes que cette démarche engendre, et sans véritablement étudier l'usage des indivisibles, si présents dans ce texte.

## Le solide spiral selon Pascal

> Dimension d'un solide spiral formé
> par le moyen d'une spirale autour
> d'un cône

> « Soit un cercle donné ABCD, dont A soit le centre, et AB un demi-diamètre ; soit BG perpendiculaire au plan du cercle de quelque grandeur que ce soit, par exemple égale à AB, et soit entendu, en un même temps, la ligne AB, se tourner uniformément à l'entour du centre A, et la ligne BG se porter en même temps et par un mouvement uniforme le long du demi-diamètre BA ; et soit encore entendu en même temps le point B monter uniformément vers G ; en sorte qu'en un même temps le point B, arrive à l'extrémité de la ligne BG, la ligne BG au centre A, et le demi-diamètre AB au point B d'où il était parti. Par ces mouvements la ligne BG décrira une spirale BIHA dans le plan du cercle ; et le point B, en montant décrira une espèce de spirale en l'air, ou autour d'un cône BFE, qui se terminera au point E, d'où la perpendiculaire AE est égale à BG. »

<footnote n="17">17. OC, IV, p. 121.</footnote>
## Description du solide spiral

Le solide spiral imaginé par Pascal ne comporte pas de symétries apparentes. Sa construction est néanmoins bien installée dans la tradition des objets mathématiques de référence de l'époque : spirale, cône, cylindre et sphère.

Au XVIIe siècle, les courbes construites cinématiquement par des mouvements composés ont fait l'objet d'études poussées, pour lesquelles Roberval, parmi d'autres, a proposé la construction de touchantes (= tangentes) par décomposition de ces mouvements composés<fnref n="18" />.

La plus célèbre de ces courbes mécaniques est la cycloïde, courbe plane qui résulte de la composition d'un mouvement rectiligne uniforme et d'un mouvement circulaire uniforme. Pour cette *Belle Hélène des Mathématiques*, comme elle fut nommée, l'Europe mathématique entière du XVIIe siècle a dépensé autant d'énergie à comprendre cette courbe qu'à polémiquer entre savants<fnref n="19" />.

La spirale d'Archimède est elle aussi une courbe plane construite par mouvements composés, car elle résulte de la composition d'un mouvement rectiligne uniforme sur une demi-droite mue d'un mouvement circulaire uniforme. Cette spirale plane est ici génératrice du socle du solide spiral.

La courbe que Pascal désigne par « *une espèce de spirale en l'air* », nécessite la composition d'un troisième mouvement rectiligne uniforme, de direction perpendiculaire au plan de la spirale d'Archimède. La courbe gauche<fnref n="20" /> qui en résulte, génératrice du solide spiral, est inscrite dans un cône.

« Par ces mouvements, la ligne BG décrira une spirale BIHA dans le plan du cercle ; et le point B en montant décrira une espèce de spirale en l'air, ou autour d'un cône BFE, qui se terminera au point E, d'où la perpendiculaire AE est égale à BG. »

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

« espèce de spirale en l'air autour d'un cône »

<footnote n="18">18. Roberval, *Observations sur la composition des mouvements et sur le moyen de trouver les touchantes des lignes courbes*, 1693, in *Divers ouvrages de M. de Roberval, publiés par l'Académie royale des sciences*, Gallica, règle générale, p. 80.</footnote>

<footnote n="19">19. Voir par exemple : Thierry Lambre, *La quadrature de la cycloïde*, https://www.youtube.com/watch?v=g-FUxJYDXQU.</footnote>

<footnote n="20">20. Une courbe est gauche si elle n'est pas contenue dans un plan.</footnote>
Reprenons sous forme visuelle la description proposée par Pascal des différents éléments de ce solide spiral.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>« La portion de surface conique bordée par la droite BE »</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>« Le triangle rectiligne BAE »</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>« La surface cylindracée »</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Vue sous deux angles distincts du solide spiral complet</figcaption></figure>
## La question posée par Pascal

La question posée par Pascal concernant son solide spiral est fort brève :

> « On demande la proportion de la sphère<fnref n="21" />, dont le cercle donné est un grand cercle avec le solide spiral décrit par ces mouvements et terminé par quatre surfaces, savoir : la spirale BIHA décrite dans le plan du cercle, la portion de surface conique bornée par la droite BE et par l'espèce de spirale BFE, le triangle rectiligne BAE, et la surface cylindracée décrite par BG portée autour de la spirale BHA. »

## Une analyse pas à pas du texte intégral de Pascal

Dans sa solution, qui ne comporte aucun usage de l'algèbre<fnref n="22" />, Pascal utilise des rectangles cylindriques inscrits à l'intérieur de son solide spiral. Cette partition du solide spiral par Pascal au moyen de rectangles cylindriques, inattendue dans un calcul de volume, est proche de ce qu'on nomme aujourd'hui un feuilletage d'une variété. Nous aurons à expliciter pourquoi Pascal privilégie ce découpage « curviligne ».

Gardons toutes les notations du paragraphe précédent, reprenons partiellement le raisonnement de Pascal, et suivant la suggestion de Bourbaki,

juxtaposons sans crime de lèse-ma-jesté au texte de Pascal (« en italique » et entre guillemets), une transcription libre (en caractère droit) sans nous priver du vocabulaire algébrique com-mode des formules de calcul intégral.

Une transcription en langage ma-thématique d'aujourd'hui présente un défaut épistémologique, souligné par Alexandre Koyré :

> Lorsque nous entreprenons l'étude des géomètres du XVIIᵉ siècle, Pascal entre autres, que faissons-nous ? Nous traduisons les raisonnements pascaliens en notre langage à nous, nous écrivons quelques formules algébriques, une intégrale ou deux – opération à laquelle Pascal se prête particulièrement bien ainsi que l'a remarqué Nicolas Bourbaki qui, à son génie mathématique, joint une connaissance très profonde de l'histoire de cette science – et nous avons l'impression de comprendre. En fait, il n'en est rien, car en traduisant Pascal en formules, nous déformons et même nous dénaturons profondément sa pensée, pensée qui se caractérise essentiellement par le refus des formules ; refus que Pascal paya assez cher en manquant de faire lui-même les deux grandes découvertes, celle de la formule du binôme qu'il laissa à Newton, et celle de la différen tielle qu'il laissa à Leibniz, découvertes qu'ils firent ainsi après lui et sans doute grâce à lui<fnref n="23" />.

<footnote n="21">21. Déterminer la proportion de la sphère signifie décider si le rapport entre le volume du solide spiral à sa sphère circonscrite est un nombre rationnel.</footnote>

<footnote n="22">22. L'absence d'emploi de formules algébriques dans la résolution proposée par Pascal a été soulignée par Bourbaki : « Wallis en 1655, et Pascal en 1658, se forgent, chacun à son usage, des langages de caractère algébrique, dans lesquels, sans écrire aucune formule, ils rédigent des énoncés qu'on peut immédiatement transcrire en formules de calcul intégral dès qu'on en a compris le mécanisme » (op. cit., p. 238).</footnote>

<footnote n="23">23. Alexandre Koyré, « Pascal savant », Études d'histoire de la pensée scientifique, p. 362-389, Gallimard, 1973, p. 364 ; repris de Blaise Pascal : L'homme et l'œuvre, Éd. de Minuit, 1956,</footnote>
Conscient des réels défauts de cette
méthode anachronique, si ferme-
ment décriée par Alexandre Koyré,
nous pensons néanmoins que pour
un texte aussi énigmatique que la spi-
rale autour d'un cône, la traduction pas
à pas ci-dessous permet de mieux
comprendre l'architecture du raison-
nement de Pascal.

Étape 1

Solution

« Soit coupée BA en un nombre in-
défini de parties égales aux points O ;
et soit le point T celui du milieu, d'où
soit mené le demi-cercle TH, qui
comme il est aisé de l'entendre, cou-
pera le diamètre prolongé en H au
même point où arrive la spirale. »

Tout, ou presque, dans cette phrase
mérite d'être interrogé : « en un nombre
indéfini », et non pas en un nombre in-
fini ; « aux points O », et non pas<fnref n="24" /> « au
point O »... Et comment un nombre
indéfini de parties peuvent-elles être
égales aux points O ?...

La réponse se trouve dans la Lettre
de A. Dettonville à Monsieur de Carcavy<fnref n="25" /> :
« Il me reste encore à vous dire que, dans la
suite de ce discours, je me servirai souvent de
cette expression, “une multitude indéfinie”,
ou “un nombre indéfini” de grandeurs, ou de
parties, etc., par où je n'entends autre chose,
sinon une multitude ou un nombre plus grand
qu'un nombre donné. »

Les indivisibles sont ici incon-
testablement présents, et plutôt de

manière souterraine. Nous ne rentre-
rons pas dans ces débats historiques
délicats concernant les indivisibles,
pour lesquels nous renvoyons à l'ou-
vrage de Dominique Descotes et
l'article de Claude Merker déjà ci-
tés. Dans l'ouvrage de Dominique
Descotes (chapitre III, p. 139-162),
on trouvera une analyse fouillée de
la rhétorique des indivisibles au sein
des Lettres de A. Dettonville ainsi qu'une
rapide description du raisonnement
tenu par Pascal (p. 317-322) dans
cette Lettre à Monsieur de Sluze qui nous
occupe ici. Pour une description plus
détaillée de l'emploi des indivisibles
dans ce texte, nous renvoyons à l'ar-
ticle de Claude Merker.

Il est aujourd'hui commode, mais
sans doute historiquement un peu
cavalier, de comprendre la première
phrase de la solution,

« Soit coupée BA en un nombre in-
défini de parties égales aux points O »,

comme le choix d'une variable réelle
x, abscisse du point O avec x ∈ [-r, 0]
où r est le rayon du cercle générateur
du cône circonscrit.

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

<footnote>« Cahiers de Royaumont. Philosophie », n° 1, 273-278. Nous remercions João Cortese pour cette référence.</footnote>

<footnote n="24">24. Ce choix subtil entre pluriel et singulier sera de nouveau présent, sous une autre forme, à l'étape 6.</footnote>

<footnote n="25">25. OC, IV, p. 440.</footnote>
## Étape 2

« Soit sur ce demi-cercle élevée la surface cylindrique TPFH, qui coupe les surfaces qui bornent le solide, et y donnent pour communes sections TPFH qui sera composée de quatre lignes, savoir : la ligne TP, qui se trouvera dans le plan BAE ; la ligne FH, dans la surface cylindracée égale à TP ; le demi-cercle PF dans la surface supérieure ; et le demi-cercle de la base TH, égal au précédent PF, comme tout cela est évident ; et ainsi la figure TPFH sera un rectangle cylindrique. »

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Pascal considère le rectangle cylindrique construit au milieu du rayon [BA] du cercle générateur de la spirale. Ce demi-cylindre fixe PTHF, en noir sur la figure ci-dessus, est en quelque sorte le rectangle cylindrique de référence, relativement auquel Pascal va effectuer toutes ses proportions.

## Étape 3

« Soit maintenant d'un des points O mené l'arc OI à l'entour du centre A, qui coupe la spirale en I, et soit élevé de même le rectangle cylindrique OY SI. Je dis (et cela sera incontinent démontré) que ce rectangle cylindrique OY SI, sera au premier PTHF, comme BO quarré en OA, à BT quarré en TA. »

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

À partir d'un arc de cercle $\overarc{OI}$ (construit à partir d'un point indéfini O sur le segment [BA] (en rouge) et d'un point I sur la spirale d'Archimède (en rouge), le tout situé dans le plan du disque de base (en pointillés), le rectangle cylindrique OY SI, ici dessiné en bleu, est élevé dans le plan perpendiculaire au disque de base. Ce rectangle cylindrique sera bientôt mobile puisque le point O est indéterminé sur le segment [BA].

## Étape 3.a

« Je dis que ce rectangle cylindrique OY SI sera au premier PTHF, comme BO quarré en OA, à BT quarré en TA. »

Pascal exprime le facteur de proportionnalité existant entre l'aire $A(x)$ du rectangle cylindrique « mobile » OY SI, en bleu sur la figure et l'aire A constante du rectangle cylindrique « de référence » TPFH, en noir sur la figure et qui lui, reste fixe.

<figure><img src="image_15.png" /></figure>
La relation énoncée par Pascal s'écrit :
$$ \frac{\mathcal{A}(x)}{\mathcal{A}} = \frac{BO^2 \times OA}{BT^2 \times TA'} $$

ce qu'on préfère écrire aujourd'hui
sous la forme équivalente :

$$ \mathcal{A}(x) = \frac{BO^2 \times OA}{BT^2 \times TA} \mathcal{A} $$

### Étape 3.b

Afin de ne pas parasiter le fil du subtil raisonnement par indivisibles en cours pour le calcul de volume, Pascal prend soin de renvoyer en fin de texte ce calcul auxiliaire et plus classique du facteur de proportionnalité ci-dessus entre les aires des différents rectangles cylindriques (« et cela sera in-continent démontré »).

Pascal poursuit son raisonnement de sommation en quelques lignes exceptionnellement denses.

> « Ce qui étant toujours véritable en quelque lieu que soit le point O, il s'ensuit que tous les rectangles cylindriques ensembles (c'est-à-dire le solide proposé) sera à celui du milieu PTFH pris autant de fois (c'est-à-dire au demi-cylindre qui a le cercle donné pour base, et pour hauteur TP, qui est la moitié du demi-diamètre) comme tous les BO quarré en OA, ensemble à BT quarré en TA, ou à BT cube pris autant de fois, c'est-à-dire comme la perle<fnref n="26" /> du troisième ordre au rectangle de l'axe et de l'ordonnée du milieu, laquelle raison Monsieur de Sluze a donnée, non seulement dans la perle du 3ᵉ ordre, mais encore dans celle de tous les ordres, où cette raison est toujours comme nombre donné à nombre donné. »

### Étape 4

> « Ce qui étant toujours véritable en quelque lieu que soit le point O ».

En termes anachroniques, Pascal assimile l'abscisse du point O à une variable. Lorsque le point O varie de B en A sur le segment $[BA]$, son abscisse $x \in [-r, 0]$ est une variable réelle de la fonction réelle $\mathcal{A}(x)$ de x

$$ \mathcal{A} : [-r, 0] \rightarrow \mathbb{R}, $$

où $\mathcal{A}(x)$ est l'aire du rectangle cylindrique bleu OYSI, qui devient ainsi mobile en fonction de l'abscisse du point O.

<footnote n="26">26. La terminologie « perle » est bien due à A. Dettonville. Dans une lettre à Huygens du 15 juillet 1659 (OC, IV, p. 647), Sluze précise : « J'ai aussi fait quelques inventions à propos des ellipsoïdes (Dettonville les appelle perles) ». Quant à Huygens, il les désigne sous le terme « *linea pyriformis* », lignes piriformes, en forme de poire (OC, IV, p. 118).</footnote>
## Étape 5

« il s'ensuit que tous les rectangles cylindriques ensemble (c'est-à-dire le solide proposé) »

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

### Le feuilletage de Pascal

Pascal fait la « somme » des aires $A(x) = A(OYSI)$ exprimées en fonction de l'abscisse $x \in [-r, 0]$ du point O, pour obtenir le volume du solide spiral. Il convient de souligner ici que pour Pascal, une somme d'aire constitue un volume. Ce que Dominique Descotes désigne comme une « synecdoque du genre de grandeur<fnref n="27" /> », qui semble rompre la règle d'homogénéité des dimensions, pour laquelle Pascal a tant polémiqué, notamment avec le P. Lalouvère, est soigneusement analysée par Dominique Descotes<fnref n="28" />.

Découpons cette phrase de l'étape 5 en deux temps :

### Étape 5.a

« Tous les rectangles cylindriques ensemble »

se transcrit aujourd'hui sous l'expression $\int_{-r}^{0} A(x)dx$ qui représente la somme d'un nombre infini d'aires $A(x)$ lorsque $x$ varie de $-r$ à $0$ ($-r \le x \le 0$). Cette expression moderne contient dans sa notation même, héritée de l'histoire, la somme infinie, via le symbole $\int$, et ne rompt pas la règle d'homogénéité, grâce à la multiplication de l'aire $A(x)$ par l'élément différentiel $dx$.

<footnote n="27">27. Dominique Descotes, *Blaise Pascal, Littérature et Géométrie*, op. cit., p. 145.</footnote>

<footnote n="28">28. *Ibid.*, p. 142-148.</footnote>
### Étape 5.b

« c'est-à-dire le solide proposé »

désigne l'inconnue $V$, volume recherché du solide spiral.

La phrase complète de l'étape 5 se transcrit donc par l'égalité

$$ \int_{-r}^{0} \mathcal{A}(x) dx = V. $$

### Étape 6

... « sera à celui du milieu PTFH pris autant de fois [...] comme tous les BO carré en OA ensemble à BT carré en TA, »

#### Étape 6.a

« à celui du milieu »

$\mathcal{A}$, qui est l'aire du rectangle cylindrique de référence PTFH;

#### Étape 6.b

« pris autant de fois »

encore une apparition du symbole $\int$ ; « autant » signifie ici « une infinité » mais ce vocabulaire est délibérément proscrit.

#### Étape 6.c

« tous les BO carré en OA ensemble à BT carré en TA »

avec un bel aplomb pour l'anachronisme, la présence du « tous » s'interprète aujourd'hui comme une apparition du symbole $dx : \frac{BO^2 \times OA}{BT^2 \times TA} dx$.

En résumé, la phrase (étapes 5 et 6)

« tous les rectangles cylindriques ensemble [...] sera à celui du milieu PTFH pris autant de fois [...] comme tous les BO carré en OA ensemble à BT carré en TA, »

se transcrit sous la forme mathématique actuelle suivante :

Puisque $\mathcal{A}(x) = \mathcal{A} \frac{BO^2 \times OA}{BT^2 \times TA}$, on a

$$ \int_{-r}^{0} \mathcal{A}(x) dx = \int_{-r}^{0} \mathcal{A} \frac{BO^2 \times OA}{BT^2 \times TA} dx = \mathcal{A} \times \int_{-r}^{0} \frac{BO^2 \times OA}{BT^2 \times TA} dx. $$
Soulignons encore une conjugaison soigneusement choisie par Pascal. Non pas : « tous les rectangles seront » mais « tous les rectangles sera ». On peut y voir une volonté de Pascal, déjà observée à l'étape 1, de la distinction entre indéfini (au singulier) et infini (qui devrait être au pluriel). De manière assez discrète, avec cette occurrence du singulier là où le pluriel était attendu, Pascal montre qu'il refuse en quelques sortes de nommer la sommation d'une infinité de termes. Mais il ne refuse pas de le faire...

### Étape 7 (incise aux étapes 4 et 5)

« (c'est-à-dire au demi-cylindre qui a le cercle donné pour base et pour hauteur TP, qui est la moitié du demi-diamètre) »

L'aire $\mathcal{A}$ du demi-cylindre $TPFH$ de référence est aisée à calculer : la hauteur $TP$ est égale à $r/2$, la base $TH$ est le demi-périmètre du cercle de rayon $r/2$, donc le demi-cylindre $TPFH$ est d'aire $\mathcal{A} = \pi r^2 / 4$.

### Étape 8

« c'est-à-dire comme la perle du troisième ordre au rectangle de l'axe et de l'ordonnée du milieu ; »

Pour un lecteur d'aujourd'hui, un calcul algébrique est soigneusement caché dans cette affirmation de Pascal : puisque $BO^2 \times OA = x(x+r)^2$ et $BT^2 \times TA = r^3/8$, on obtient :

$$ \mathcal{A}(x) = \mathcal{A} \times \frac{BO^2 \times OA}{BT^2 \times TA} = \frac{\pi r^2}{4} \times \frac{8x(x+r)^2}{r^3} = -\frac{2\pi}{r} x(x+r)^2, (-r \le x \le 0). $$

Dans la terminologie de Pascal, cette expression $-\frac{2\pi}{r}x(x+r)^2$ est une perle du troisième ordre. Pour les lecteurs d'aujourd'hui, il s'agit d'une fonction polynôme de degré 3.

### Étape 9 (le coup de grâce)

#### Étape 9.a

« laquelle raison Monsieur de Sluze a donnée »

Cette phrase se traduit aujourd'hui sous la forme :

Sluze sait calculer l'intégrale $\int_{-r}^{0} -\frac{2\pi}{r}x(x+r)^2dx$, qui a pour valeur $\frac{\pi r^3}{6}$. Il s'agit là d'un calcul algébrique, nœud de la collaboration entre le « géomètre Pascal » et l'algébriste « de Sluze ».
Pascal a pu asséner ce coup de grâce qu'est cette intégration, car il a reconnu dans cette fonction une « ligne en perles », dont, grâce à Sluze, Pascal connaissait les primitives<fnref n="29" />. Sans cette égalité essentielle, il aurait été impossible d'achever la démonstration. Pascal se contente pourtant de l'énigmatique et lapidaire formule « laquelle raison Monsieur de Sluze a donnée... ».

### Étape 9.b

« c'est-à-dire comme la perle du troisième ordre au rectangle de l'axe et de l'ordonnée du milieu, laquelle raison Monsieur de Sluze a donnée, non seulement la Perle du troisième ordre, »

Pascal donne ici quelques maigres informations supplémentaires sur cette perle de Sluze, dont il précise qu'elle est du troisième ordre, comme primitive d'une fonction polynôme de degré 3.

### Étape 9.c

« mais encore dans celle de tous les ordres, où cette raison est toujours comme nombre donné à nombre donné. »

Cette phrase, qui n'est pas nécessaire au calcul du volume spiral, fait allusion à des calculs qu'il serait possible d'envi-sager en dimensions supérieures sur lesquels Pascal revien-dra (voir le post-scriptum ci-dessous) sans jamais les détail-ler. Nous donnons plus bas d'autres détails sur ces calculs « en perles ». Nous ferons apparaître ces « perles » le plus explicitement possible, mais aussi le plus géométriquement possible également.

Achevons auparavant la transcription de la *solution* de Pascal.

### Étape 10 (Coda et tombé de rideau)

« Donc le solide proposé est au demi-cylindre du cercle donné et de la hauteur TP en raison donné ; donc il est aussi en raison donnée au cylindre entier de même base et de la hauteur quadruple, savoir du diamètre entier BD, et par conséquent à la sphère qui est les deux-tiers du cylindre. Ce qu'il fallait démontrer. »

<footnote n="29">29. Pascal a tout fait, mais aussi tout caché, pour que cette perle (autre-ment dit que cette intégrale) apparaisse.</footnote>
L'expression « *en raison donnée* » qu'on trouve ici plusieurs fois est une expression aujourd'hui hors d'usage et dont le sens est précisé dans la Lettre à M. de Carcavy<fnref n="30" /> : « Dans ce discours j'appelle un “espace donné” ou “connu”, celui qui a raison donnée à un carré connu ; et de même j'appelle un “solide donné” ou “connu”, celui qui a raison donnée à un parallélépipède connu. Et j'appelle “raison donnée” ou “connue” la raison de nombre connu à nombre connu. » Remarquons le souci, classique au XVIIᵉ siècle, d'homogénéité des dimensions des grandeurs comparées (ici les volumes du solide spiral et de la sphère) déjà rencontré plus haut dans l'étape 5. Une traduction, possible en termes d'aujourd'hui des expressions « *en raison donnée* » et « *raison de nombre connu à nombre connu* », est la suivante : deux grandeurs de même nature et de mesures respectives *V* et *V'*, sont en *en raison donnée* si le rapport *V/V'*, de ces deux grandeurs est un nombre rationnel : *V/V' = p/q* ∈ Q, où les entiers *p* et *q* sont connus.

Une fois que le solide spiral est en raison donnée du demi-cylindre, il est très facile de conclure. Pourtant, une petite rupture de ton apparaît. Pascal, d'ordinaire si économe de ses arguments subtils, se montre ici prolixe en multipliant *a piacere* les détails faciles sur les solides « usuels » successifs (dans l'ordre demi-cylindre, cylindre, sphère). Il y a dans cette chute de rideau une intention rhétorique où Pascal s'amuse un peu, sans doute grisé par sa propre virtuosité, petit péché d'orgueil si fréquent chez lui lorsqu'il se consacre aux mathématiques...

Détaillons ces calculs faciles de compositions des raisons, dans l'ordre d'apparition choisi par Pascal : demi-cylindre, cylindre, sphère.

* Le demi-cylindre de base le cercle de rayon $BA = r$ et de hauteur $TP = r/2$ est de volume $V' = \frac{1}{2} \times \frac{\pi r^3}{2}$, ce qui montre que le volume $V = \frac{\pi r^3}{6}$ du solide spiral est en raison donnée du volume de ce demi-cylindre : $V/V' = 2/3$. La raison donnée vaut ici $2/3$ : comme annoncé par Pascal, le solide spiral est en raison $2/3$ du demi-cylindre.

* Le cylindre entier de base le cercle de rayon $BA = r$ et de hauteur $BD = 2r$ est de volume $V_C = 2\pi r^3$. Le volume

<footnote n="30">30. OC, IV, p. 440.</footnote>
spiral est également raison donnée du volume de ce
cylindre : $V/V_C = 1/12$. La raison donnée vaut ici 1/12.
Le solide spiral est en raison 1/12 du cylindre.

* Pascal rappelle que le volume de $V_S = \frac{4}{3}\pi r^3$ la sphère de rayon $r$ est les deux-tiers du volume $V_C$ du cylindre ci-dessus : $V_S/V_C = 2/3$.

* Le volume $V$ du solide spiral est donc en raison donnée du volume de la sphère :

$$ \frac{V}{V_S} = \frac{V}{V_C} \times \frac{V_C}{V_S} = \frac{1}{12} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{8}, $$

La raison donnée vaut ici 1/8.

Au-delà de ces digressions presqu'espiègles, la seule
conclusion qui importe est finalement :

> « Donc le solide proposé... est en raison donnée... à la sphère. Ce qu'il fallait démontrer. »

Ce qu'on pourrait transcrire sous la forme suivante :
puisque le volume $V$ du solide spiral $\mathcal{S}$ est égal à $\frac{\pi r^3}{6}$ (étape 10), ce volume est le huitième du volume de $\frac{6}{5}\pi r^3$
la sphère circonscrite, ce qu'a affirmé Pascal sans qu'il ait
trouvé nécessaire de préciser ni la valeur de ce volume, ni
ce stupéfiant rapport d'un huitième.

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

Le solide spiral occupe un huitième du volume
de la sphère circonscrite

### Aparté à l'étape 3

Nous avons signalé plus haut que, pour la clarté de sa
démonstration, Pascal a rejeté en fin de texte (« et cela sera incontinent démontré ») la détermination du facteur de proportionnalité « BO quarré en OA, à BT quarré en TA », $\frac{BO^2 \times OA}{BT^2 \times TA}$, détaillé dans l'étape 3.a lui permettant
d'exprimer l'aire d'un rectangle cylindrique *OYSL* en fonction du rectangle cylindrique de référence *TPFH*. Ce calcul de rapport d'aires ne présente ni difficulté majeure de compréhension, ni idée vraiment novatrice<fnref n="31" />. Ce paragraphe du texte de Pascal, depuis « *Or que le rectangle cylindrique... *» jusqu'à « ...*Donc, etc. ce qu'il fallait démontrer *» ne nécessite aucun commentaire de notre part. Il n'en est pas de même des deux dernières lignes du texte de Pascal :

*Post-scriptum*

« Les solides des autres spirales des ordres supérieurs se trouveront de même par le moyen des lignes en perle des ordres supérieurs. »

Pascal nous laisse entendre qu'il dispose d'un calcul plus général, sans doute en dimension $n > 3$. Dans la terminologie d'aujourd'hui, les perles d'ordres supérieurs de Pascal et de Sluze sont les intégrales $\int_{-r}^{0} x(x+r)^n dx$, $n \ge 3$, que Sluze sait calculer :

$$ \int_{-r}^{0} x(x+r)^n dx = - \frac{r^{n+2}}{(n+1)(n+2)}. $$

Pascal affirme disposer d'une interprétation géométrique de ces intégrales de perles, sous la forme de solides spirals de dimensions supérieures. Mais n'ayant pas une idée précise de ce que Pascal entend par *solides des autres spirales des ordres supérieurs*, il me semble prudent d'arrêter là cette lecture guidée. Ce texte nous réserve encore bien des surprises !

## Les lignes en perles de Pascal

Une question reste en suspens : d'où sort cette solution si imprévisible, avec sa sommation d'aires de rectangles cylindriques<fnref n="32" /> ? La réponse à cette question se trouve dans la correspondance Sluze-Pascal<fnref n="33" />.

<footnote n="31">31. D'autres chemins sont possibles pour calculer l'aire $A(x) = -\frac{2\pi}{l}x(x+r)^2$ d'un rectangle cylindrique sans passer par l'aire du rectangle cylindrique de référence (voir paragraphe 7).</footnote>

<footnote n="32">32. Ce découpage d'un solide en section par des surfaces gauches (c'est-à-dire non planes, ici des rectangles cylindriques) rappelle les feuilles-tages de variétés différentiables, introduits au XXe siècle.</footnote>

<footnote n="33">33. *OC*, IV, p. 89-129.</footnote>
Avant d'entrer dans cette correspondance, il nous faut comprendre ce que sont ces perles auxquelles Pascal fait allusion dans l'étape essentielle de sa solution.

## L'analyse spécieuse des perles

L'analyse spécieuse est la terminologie consacrée au XVIIe siècle pour ce que nous nommons aujourd'hui l'algèbre.

Pour $n \ge 1$ entier, une ligne en perle de degré $n+1$ est la courbe d'équation $y = kx^n(b \pm x)/b^n$, où $k$ et $b$ sont deux constantes réelles<fnref n="34" />. Pour obtenir la demi-perle, on considère la restriction de cette courbe à l'intervalle compris entre les deux racines $x = 0$ et $x = \mp b$. L'aire de cette demi-perle est l'aire déterminée par la courbe et l'axe des abscisses. Par goût de symétrie, sans doute, on introduit la figure complétée par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, qui explique le nom « perle », mais dans ses démonstrations, Sluze raisonne toujours sur la « demi-perle ».

Pascal s'intéresse à ces lignes en perles car il sait en trouver des primitives en tous degrés (en degré 2 ou 3, cela revient à calculer des aires ou des volumes).

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

La perle utilisée $y = -\frac{2\pi}{r}x(x+r)^2$ dans la solution de Pascal

Ces perles étant définies, on ne voit absolument pas leur signification géométrique dans le solide spiral. Pour un lector d'aujourd'hui, cette perle apparaît à l'étape 9, à la suite de divers tours de passe-passe algébriques.

<footnote n="34">34. OC, IV, p. 119. On a déjà souligné qu'on ne trouve aucune trace d'utilisation de notation algébrique dans le texte de Pascal consacré au solide spiral. Son contemporain, de Sluze (OC, IV, p. 126) utilise la notation algébrique suivante : $\frac{ba-aa}{b} = e$, $\frac{baa-aa^3}{bb} = e$, etc.</footnote>
Interprétation géométrique des lignes en perles de Pascal

Pour comprendre combien *a posteriori* les rectangles cylindriques sont natu-
rels dans la démarche de Pascal, plusieurs arguments essentiels sont très expli-
citement énoncés dans une lettre de Sluze à Pascal du 29 juin 1658³⁵.

Rectification d'un arc de cercle inscrit dans la spirale

En premier lieu, Pascal et Sluze transforment des segments inscrits dans une
parabole en arcs de cercles isométriques inscrits dans la spirale.

« J'avais bien remarqué que des perles on en pouvait faire des spirales en tournant leurs appliquées en arc de cercle. » (Sluze à Pascal, 29 juin 1658)

En langage d'aujourd'hui, la remarque de Sluze consiste à dire que les
segments rectilignes inscrits dans la perle (i. e. la parabole) sont de même
longueur que les arcs de cercles de même origine inscrits dans la spirale.
Dans la figure ci-dessous, le segment vert $[OJ]$ et l'arc de cercle bleu $\text{OI}$
de même origine $O$ sont isométriques. Autrement dit, on a rectifié chaque arc
de cercle bleu inscrit à l'intérieur de la spirale en un segment rectiligne vert
inscrit à l'intérieur de la parabole.

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Par sommation de lignes de longueurs égales (les arcs de cercle bleus et les
segments verts de la figure ci-dessus), un argument d'indivisibles conduit à une
égalité d'aire : l'aire de la spirale coïncide avec l'aire de la portion de parabole.
Ce résultat est exact mais sans grand intérêt, car on sait calculer ces deux aires
depuis Archimède par une tout autre méthode, la méthode d'exhaustion<fnref n="36" />.

Étant donnée la spirale, il est facile de déterminer l'équation de la portion de
parabole qui satisfait ces conditions. Gardons les notations déjà introduites. Soit
$x$ l'abscisse du point $O$ situé sur le rayon $[BA]$, avec $x \in [-r, 0]$. La longueur $y$
de l'arc $\text{OI}$ est $y = -\frac{2\pi}{r}x(x+r)$, le point $J$ est donc de coordonnées $(x, y)$, ce qui

<footnote n="35">35. OC, IV, p. 124-125.</footnote>

<footnote n="36">36. Mais quand même, quelle hardiesse dans ce raisonnement, implicitement présent dans le texte de Pascal : une famille infinie d'arc de cercles recouvre la spirale d'Archimède ; connaissant la longueur de chacun de ces arcs de cercles, on fait une somme de longueurs de lignes courbes qui devient l'aire de la spirale. Pour ne pas rompre l'homogénéité des dimensions, il ne manque que l'élément différentiel $dx$ cher à Leibniz, et qui occupera longuement Pascal-Dettonville dans la lettre à Carcavy.</footnote>
montre que l'arc de parabole est la restriction au segment $[-r, 0]$ de la parabole d'équation $y = -\frac{2\pi}{r}x(x+r)$. Lorsque le point $O$ varie de $B$ à $A$ sur le segment $[BA]$, le point $I$ varie sur l'arc de spirale $\overarc{BA}$ (en rouge sur la figure), le point $J$ varie sur l'arc de parabole $\overarc{BA}$ (en vert sur la figure), la longueur du segment $[OJ]$ étant égale à la longueur de l'arc de cercle $\overarc{OI}$.

Sluze énonce son résultat dans le sens de l'enroulement d'une parabole en spirale alors que Pascal dans sa *solution* va procéder à rebours en déroulant une spirale en parabole. Nous commençons enfin à voir l'envers du décor : Pascal a construit son solide spiral à partir de ses perles pour que le calcul du volume de ce solide nécessite l'intervention de ces perles.

Comme nous allons le voir, l'intérêt du déroulement de la spirale en parabole n'est pas pour les aires mais pour les volumes.

## La rectification d'un rectangle cylindrique

Pour obtenir la perle d'ordre 3, il faut passer du plan à l'espace. On se souvient que le solide spiral est construit par trois mouvements composés. Il est temps d'exploiter le troisième mouvement de l'espère de spirale en l'air. Sluze reconnaît là qu'il s'agit d'une idée due à Pascal.

> Mais je n'avais jamais eu la pensée d'y joindre un troisième mouvement perpendiculaire pour composer le solide dont vous avez si doctement démontré la mesure. (Sluze à Pascal, 29 juin 1658)

Dans ce troisième mouvement composé, le rectangle cylindrique $OYSI$ (bleu sur la figure) se redresse en un rectangle plan $OXJ'J$ (vert sur la figure) du plan $OXJ$, comme on peut le comprendre à l'aide la figure suivante :

<figure><img src="image_20.png" /></figure>
L'arc de cercle $\widehat{OI}$ étant isométrique au segment [OJ], les aires du rectangle cylindriques bleu OY SI et du rectangle plan vert sont égales. Le découpage par rectangles cylindriques est donc enfin réduit à un découpage par rectangles plans verticaux.

### La rectification du solide spiral

La rectification de tous les rectangles cylindriques conduit à la construction d'un autre solide de même volume que le solide spiral. Ce solide, Pascal l'ignore délibérément car une fois arrivé à la perle de degré trois, il ne raisonne plus géométriquement mais algébriquement puisqu'il sait intégrer les perles de Sluze, donc trouver algébriquement le volume du solide spiral, qu'il exprime en rai-son du volume de la sphère.

Pour la curiosité du lecteur, voici l'allure de ce solide que Pascal a soignement occulté. Sa base est bien sûr la parabole du second degré de Sluze, il est ensuite construit par élévation dans l'axe Oz le long de cette parabole de manière rigoureusement analogue à la construction de *l'espèce de spirale en l'air* qui engendre le solide spiral construit par Pascal à partir de la spirale plane d'Archimède.

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

Le volume de cet étrange solide parabolique, qui est celui du solide spiral, est donné par une primitive de la parabole cubique de Sluze rencontrée plus haut et d'équation $y = -\frac{2\pi}{r}x(x+r)^2$.
<figure><img src="image_22.png" /></figure>

Voici donc enfin complètement détaillée l'énigmatique étape 10 : laquelle raison Monsieur de Sluze a donnée.

## La solution de Pascal dans le vocabulaire d'aujourd'hui

Gardons les notations de la figure de Pascal : $\mathcal{A}$ est le centre du cercle générateur et $\mathcal{B}$ l'extrémité d'un rayon de ce cercle. Gardons aussi l'idée de Pascal de calculer l'aire du rectangle cylindrique $OYSI$ puis d'en faire la somme pour obtenir le volume $V$ du solide spiral. En termes d'aujourd'hui, la solution de Pascal se résume aux trois égalités ci-dessous.

$$V = \int_{-r}^{0} \mathcal{A}(x) dx = \int_{-r}^{0} -\frac{2\pi}{r} x(x+r)^2 dx = \frac{\pi r^3}{6}.$$

• L'égalité (1) résulte des indivisibles, découpage du solide spiral en une infinité de rectangles cylindriques. C'est une utilisation d'un théorème à la *Fubini* avant l'heure (étape 5 ci-dessus).

• L'égalité (2) est un simple calcul de proportionnalité (addentum à l'étape 3 ci-dessus) joint à la linéarité de l'intégrale, car pour Pascal, l'aire $\mathcal{A}(x)$ d'un rectangle cylindrique $OYSI$ s'exprime à partir de l'aire $\mathcal{A}$ du rectangle cylindrique de base $TPFH$ :

$$\mathcal{A}(x) = \mathcal{A} \times \frac{BO^2 \times OA}{BT^2 \times TA} = -\frac{2\pi}{r} x(x+r)^2.$$

Aujourd'hui, le calcul serait plutôt le suivant : l'aire $\mathcal{A}(x)$ est le produit de la longueur $L$ de la base $\overline{OI}$ du rectangle par sa hauteur $h = OY$. Or on a
$$L = -\frac{r}{2\pi} x(x+r) \text{ et } h = OY = OB = x + r \text{ d'où } \mathcal{A}(x) = Lh = -\frac{2\pi}{r} x(x+r)^2.$$

• L'égalité (3) provient du fait que la fonction aire $\mathcal{A}(x) = -\frac{2\pi}{r} x(x+r)^2$ est une fonction polynôme de degré 3 en la variable $x$, que Pascal sait intégrer grâce aux perles de Sluze.
## Conclusion

La remarque de Sluze déjà citée « des perles on en pouvait faire de spirales » montre bien que ce n'est pas le calcul d'un volume au moyen de perles qui a motivé Pascal en rédigeant ce texte mais comment construire un solide nécessitant l'intervention des perles pour déterminer son volume. Voulant montrer l'intérêt de ses perles<fnref n="37" />, Pascal les a enroulées sur des spirales, puis compris comment à partir de ces enroulements sur des spirales, à l'aide d'un troisième mouvement composé, construire son solide spiral dont le calcul du volume nécessitera miraculeusement ce deus ex machina que constitue le déroulement des spirales du solide en perles de Sluze. Le faussaire est enfin démasqué, mais quelle virtuosité ! Chapeau bas.

## APPENDICE : UNE SYMÉTRIE CACHÉE DÉBUSQUÉE PAR L'ALGÈBRE

Quittons à présent Pascal, ses enroulements de perles et son texte, mais non son solide. La méthode de Pascal, par découpages en rectangles cylindriques, n'appartient qu'à lui. Nous avons expliqué plus haut pourquoi des sections planes n'ont pas été choisies par Pascal pour ce solide spiral. Les calculs qui suivent montrent que des sections planes horizontales permettent de mener à son terme le calcul du volume spiral. Ces sections planes fournissent de plus une belle symétrie inattendue que l'algèbre révèle aisément.

### Calcul par tranches

Nous disposons aujourd'hui d'un théorème de calcul par tranche<fnref n="38" /> dont l'énoncé peut prendre la forme suivante :

> Soit $\mathcal{C}$ un volume de l'espace compris entre les plans d'équation $z = a$ et $z = b$ avec $a < b$. On suppose que la section $\mathcal{C}_t$ de $\mathcal{C}$ par le plan $P_t$ d'équation $z = t$ est d'aire $f(t)$ où $f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ est une fonction continue. Alors le solide $\mathcal{C}$ a pour volume $V = \int_a^b f(t) dt$.

<footnote n="37">37. Dans l'introduction à la lettre complète à M. de Sluze, Pascal précise : « C'est une solution que j'aime, parce que j'y suis arrivé par le moyen de vos lignes en perle » (OC, IV, p. 532).</footnote>

<footnote n="38">38. C'est un cas particulier d'un théorème de Fubini.</footnote>
## Coloriage des tranches du solide spiral

Dans les images ci-dessous, dont on ne trouvera nulle trace dans le texte de Pascal, nous allons faire émerger deux parties de même volume à l'aide de sections du solide spiral par des plans perpendiculaires à l'axe du cône. Ainsi, au sein de ce solide sans symétrie apparente, ces calculs mettent en évidence une symétrie cachée.

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

Si l'on peint le chapeau conique du solide spiral en rouge et les bords de la surface cylindracée en bleu, on voit apparaître un découpage du bord du solide spiral en deux parties. Prolongeons ce coloriage à l'intérieur du solide spiral à l'aide de sections planes.

## Section du solide spiral par un plan perpendiculaire à l'axe du cône

La section du solide spiral de Pascal $\mathcal{S}$ par un plan $\mathcal{P}$ perpendiculaire à l'axe du cône circonscrit est assez facile à décrire géométriquement.

Les figures ci-dessous montrent que la section $\mathcal{S} \cap \mathcal{P}$ du solide spiral par ce plan se découpe en deux parties : un secteur circulaire (rouge) et un secteur de spirale d'Archimède (bleu).

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Section par un plan $\mathcal{P}$ vue en perspective...</figcaption></figure>

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>... et vue de dessus</figcaption></figure>
Une infinité de tranches

Imaginons un instant qu'on rassemble les différents secteurs circulaires rouges dans un mille-feuille dont chaque feuille serait parallèle au plan de coupe.

Par un passage à la limite, on obtient alors la « calotte conique » $C_1$ ci-dessous.

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

La calotte conique $C_1$

Imaginons de manière analogue qu'on rassemble les différents secteurs spiralés bleus dans un mille-feuille dont chaque feuille serait parallèle au plan de coupe.

Par le même passage à la limite, on obtient alors le « toboggan spiral » $C_2$ ci-dessous.

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

Le toboggan spiral $C_2$

La réunion $C_1 \cup C_2$ de ces deux solides est un découpage du solide spiral $S$
de Pascal. Si l'on désigne par $V$ le volume du solide spiral de Pascal, et par $V_1$
et $V_2$ les volumes des solides $C_1$ (rouge) et $C_2$ (bleu), on a $V = V_1 + V_2$.
<figure><img src="image_28.png" /></figure>

Le solide spiral découpé en deux morceaux $C_1$ et $C_2$ de même volume

## Calcul du volume de chacun des solides $C_1$ et $C_2$

Après ces nombreuses images, qui montrent plus qu'elles ne démontrent, il est temps de faire quelques calculs. Les volumes $V_1$ et $V_2$ de la calotte conique $C_1$ et du toboggan spiral $C_2$ sont aisés à obtenir. Il faut pour cela quelques notations anachroniques, mais familières aux lycéens d'aujourd'hui.

La projection sur le plan d'équation $z = 0$ de la section plane du solide spiralé par le plan de cote $z$ se découpe en deux parts, le secteur circulaire $\overarc{OAI}$ (en rouge), le secteur de spirale d'Archimède d'arête $AI$ (en bleu).

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

Le secteur circulaire $\overarc{OAI}$ en rouge est l'intersection du plan avec la calotte conique $C_1$ et le secteur de spirale d'Archimède d'arête $AI$ (en bleu) est l'intersection du plan avec le toboggan spiral.
Le disque de base du cône circonscrit aux deux solides $C_1$ et $C_2$ est situé dans le plan $(xOy)$ de cote $z = 0$. Soit $r > 0$ un réel et soient $A$ et $B$ les points de coordonnées respectives $(0, 0)$, $(-r, 0)$. La distance $AB = r$ est le rayon du disque de base du solide spiralé de Pascal. Désignons par $x$ l'abscisse du point $O$, avec $-r \le x \le 0$.

Soit $z$ la cote du plan de coupe $\mathscr{P}$ avec $0 \le z \le r$. L'aire de la section $\mathscr{S} \cap \mathscr{P}$ représentée ci-dessus, s'exprime en fonction de $z$ sous la forme

$$A(z) = A_1(z) + A_2(z)$$

où $A_1(z)$ désigne l'aire de la partie circulaire rouge, tandis que $A_2(z)$ désigne l'aire de la partie spiralée bleue. Le volume $V$ du solide spiralé de Pascal est donc

$$V = V_1 + V_2 \text{ avec } V_1 = \int_0^r A_1(z) dz \text{ et } V_2 = \int_0^r A_2(z) dz.$$

Pour exprimer ces aires en fonction de $z$, on remarque que l'on a la relation $z = r + x$, $0 \le z \le r$. L'angle orienté de vecteurs $\theta = (\vec{AO}, \vec{AI})$ est égal $\theta(z) = \frac{2\pi}{r}x + 2\pi = \frac{2\pi}{r}z$ tandis que le rayon du cercle considéré est $OA = r - z$.

## Calcul du volume $V_1$ de la calotte conique $C_1$

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

Pour $0 \le z \le r$, le secteur circulaire $\overarc{OA}_z$, en rouge sur la figure ci-contre, d'angle $\theta = \frac{2\pi z}{r}$ et de rayon $AO = -x = r - z$ a pour aire :

$$A_1(z) = \frac{\theta \cdot OA^2}{2} = \frac{\pi}{r}z(r-z)^2.$$

Le volume $V_1$ de la calotte conique $C_1$ est donc :

$$V_1 = \int_{z=0}^{z=r} A_1(z) dz = \frac{\pi r^3}{12}.$$

## Calcul du volume $V_2$ du toboggan spiral $C_2$

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

On sait depuis Archimède que l'aire d'un secteur de spirale est le tiers du secteur circulaire contenant cette spirale. Ce secteur est représenté en noir sur la figure ci-contre.

L'angle orienté de vecteurs $\varphi = (\vec{AI}, \vec{AO})$ est égal à $2\pi - \theta = \frac{2\pi}{r}(r-z)$.

Le rayon du secteur circulaire contenant ce morceau de spirale est $AI = AO = -x = r - z$.
Par conséquent

$$A_2(z) = \frac{1 \varphi \cdot OA^2}{3 2} = \frac{\pi}{3r} (r-z)^3$$

Le volume $V_2$ du toboggan cylindrique $C_2$ est donc

$$V_2 = \int_{z=0}^{z=r} A_2(z) dz = \frac{\pi r^3}{12}$$

Les deux volumes $V_1$ et $V_2$ ont été calculés à l'aide du théorème de calcul de volume par tranches. Nous devons également remarquer que pour achever le calcul du solide spiral, il nous a fallu, tout comme Pascal avec ses rectangles cylindriques et ses perles, savoir calculer des primitives de fonctions polynomiales de degré 3.

Le volume $V$ du solide spiral de Pascal est donc $V = V_1 + V_2 = \frac{\pi r^3}{6} = \frac{1}{8}(\frac{4}{3}\pi r^3)$, c'est-à-dire le huitième du volume de la sphère de même rayon, résultat déjà trouvé par Pascal à l'aide de sa méthode des rectangles cylindriques.

Mais ici, les calculs ci-dessus fournissent de plus $V_1 = V_2 = \frac{\pi r^3}{12}$. Le découpage en deux parties $C_1 \cup C_2$ (rouge et bleue sur les figures, calotte co-nique et toboggan spiral) du solide spiral $S$ de Pascal, est tel que ces deux parties sont de même volume, chacune ayant pour volume un seizième du volume de la sphère de même rayon. Cette égalité de volume, aussi peu pré-visible que le rapport d'un huitième établi par Pascal montre une nouvelle et étonnante symétrie cachée du solide spiral de Pascal.

C'est bien l'algèbre, si absente du texte de Pascal, qui fournit cette symétrie inattendue et imprévisible<fnref n="39" />. En effet, les surfaces rouges et bleues $A_1(z)$ et $A_2(z)$, découpage de l'intersection du plan de cote $z$ avec le solide spiral ne sont jamais égales<fnref n="40" />, mais les intégrales de ces aires respectives coïncident.

Dans son texte, Pascal ne fait nulle part allusion à cette symétrie. Cela ne si-gnifie pas qu'il l'ignorait<fnref n="41" />. Pascal a-t-il réalisé le calcul du volume par tranches planes ci-dessus ? Rien ne permet de l'affirmer à la lecture du texte mais rien ne permet non plus de réfuter cette hypothèse. Aurait-il fait ces calculs et dé-couvert cette symétrie, il aurait pu délibérément ne pas signaler cette symétrie

<footnote n="39">39. L'auteur de ces lignes reconnaît bien volontiers qu'il n'avait pas anticipé cette égalité avant d'entamer ses calculs !</footnote>

<footnote n="40">40. Sauf pour $z = r/4$ : le rapport $A_1(z)/A_2(z)$ est égal à $3z/(r-z)$, l'une des aires croît tandis que l'autre décroît et les deux aires coïncident uniquement pour $z = r/4$, c'est-à-dire au quart inférieur du solide spiral.</footnote>

<footnote n="41">41. Dans son introduction à la lettre à M. de Sluze, Pascal nous apprend que Roberval revendi-quait de savoir calculer ce volume. On ignore tout des méthodes de Roberval, qui ne les a pas communiquées. Il est tout aussi impossible de décider si Roberval avait repéré cette symétrie.</footnote>
un peu hors de propos pour lui, car la méthode qu’il a choisie, le calcul par tranches de rectangles *cylindriques*, avait des vertus autrement plus importantes que cette symétrie : montrer la puissance de la méthode des indivisibles, rendre hommage à Sluze en utilisant des enroulements de perles de Sluze et utiliser les formules d’intégration des perles de Sluze.