des seconds membres des 4 premières équations du système (7) satisfont à la condition de Hölder (cela résulte des considérations du travail [1]). Nous en tirons la conclusion que la fonction $[v^*z^* - u^*w^*]$ véritie la condition de Hölder dans tout domaine fermé $D^* \subset D$, et par conséquent la fonction $\psi^*(A, t)$ admet des dérivées secondes en tout point intérieur $A \in D$, donc elle vérifie l'équation donnée (1).

Nous pouvons ainsi énoncer le théorème suivant:

**TRÉORÈME.** Si les fonctions qui figurent dans l'équation (1) et la condition (3) vérifient les hypothèses II et III, si la courbe $C$ limitant le domaine $D$ vérifie la condition I et si l'intervalle de temps est suffisamment petit pour que les inégalités (23) soient satisfaites, il existe une fonction $\psi(A, t)$ qui satisfait à l'équation (1) en tout point intérieur $A \in D$ pour $0 \le t \le T$, qui vérifie la condition limite (2) en tout point $P \in C$, pour $0 < t \le T$, et qui vérifie la condition initiale (3) en tout point $A \in D + C$ et pour $t = 0$.

### Travaux cités

*Reçu par la Rédaction le 5.10.1957*

## La dérivée de Lie du comitant géométrique

par C. JANKIEWICZ (Wroclaw)

1. En 1931 W. Ślebodziński [4] a introduit la notion qui s'appelle maintenant dérivée de Lie. Cette dérivée est largement appliquée par les mathématiciens et de plus en plus utilisée par les physiciens. Pour ces derniers cependant, la dérivée de Lie du comitant géométrique présente beaucoup plus d'intérêt. Le but de cette note est l'étude de certaines propriétés de la dérivée de Lie d'un comitant géométrique.

2. Soit un espace analytique $X_n$ à $n$ dimensions des variables $x^a$, qui seront appelées les coordonnées d'un point de $X_n$ (ici, et ailleurs, les indices grecs prennent les valeurs $1, 2, ..., n$). Si à chaque point de $X_n$ correspond d'une façon univoque une suite de nombres $\Omega^A$ (l'indice $A$ prend les valeurs $1, 2, ..., N$), nous dirons que dans $X_n$ on a défini un champ de l'objet $\Omega^A$. Les nombres $\Omega^A$ sont appelés les composantes de cet objet par rapport aux coordonnées $x^a$. L'objet $\Omega^A$ sera dit objet géométrique de classe $p$, si les conditions suivantes sont satisfaites:

(i) Après un changement de coordonnées

$$ (1) \qquad x^{a'} = x^{a'}(x^a) \qquad (a' = 1, 2, \dots, n'), $$

où les fonctions $x^a(x^a)$ sont de classe $r \ge p$, les nouvelles composantes $\Omega^A(\Lambda' = 1, 2, ..., N')$ de l'objet $\Omega^A$ sont des fonctions de $\Omega^A$, de $x^a$, de $x^a$ et des dérivées de $x^{a'}$ par rapport à $x^a$ jusqu'à l'ordre $p$. Nous écrivons cette circonstance sous la forme

$$ (2) \qquad \Omega^{A'} = F^{A'}(\Omega^A, x^a, x^{a'}, \partial_{e_1} x^{a'}, \partial_{e_1} \partial_{e_2} x^{a'}, \dots, \partial_{e_1 e_2} \dots e_p x^{a'}), $$

où

$$ (3) \qquad \partial_{e_1 e_2 \dots e_i} = \frac{\partial}{\partial x_{e_1}} \cdot \frac{\partial}{\partial x_{e_2}} \dots \frac{\partial}{\partial x_{e_i}} $$

ou, tout court, comme il suit:

$$ (4) \qquad \Omega^{A'} = F^{A'}(\Omega^A, x^a, x^{a'}) $$

(ici, et ailleurs, les indices grecs avec accent prennent les valeurs $1', 2', ..., n'$, l'indice $\Lambda'$ prend les valeurs $1', 2', ..., N'$).

<footnote>[1] J. Wolska-Bochenek, *Propriétés des intégrales d'une équation de l'hydro-dynamique d'un fluie visqueux*, ce volume, p. 141-171.</footnote>

<footnote>[2] J. Schauder, *Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen*, Studia Math. 2 (1930), p. 171-180.</footnote>
(ii) Les fonctions $F^A$ satisfont aux propriétés des groupes

$$F^{A''}[F^{A'}(\Omega^A, x^a, x^{a'}), x^{a'}, x^{a''}] = F^{A''}(\Omega^A, x^a, x^{a''}),$$

$$ (5) \qquad \begin{aligned} F^A[F^{A'}(\Omega^A, x^a, x^{a'}), x^{a'}, x^{a}] &= \Omega^A, \\ F^A(\Omega^A, x^a, x^{a}) &= \Omega^A \\ (\Lambda'' = 1'', 2'', \dots, N''; \alpha'' = 1'', 2'', \dots, n''). \end{aligned} $$

Considérons dans $X_n$ une transformation infiniment petite

$$ (6) \qquad \dot{x}^a = x^a + \omega^a \epsilon, $$

où $\omega^a(x^\gamma)$ est un champ de vecteurs contravariant, et $\epsilon$ une constante infinitésimale. La dérivée de Lie de l'objet $\Omega^A$ relativement au champ du vecteur $\omega^a$ ou à la transformation infinitésimale (6) correspondante est définie par

$$ (7) \qquad D\Omega^A = '\Omega^A(x^\gamma) - \Omega^A(x^\gamma), $$

où

$$ (8) \qquad '\Omega^A(x^\gamma) = F^A[\Omega^A(\dot{x}^a), \dot{x}^a, \dot{x}^a]. $$

K. Yano [5] a montré que la dérivée de Lie de l'objet géométrique $\Omega^A$ peut être écrite sous la forme

$$ (9) \qquad D\Omega^A = \left. \frac{d}{d\epsilon} (\Omega^A - F^A) \right|_{\epsilon=0} = \omega^\kappa \partial_\kappa \Omega^A - \sum_{i=0}^p F^\kappa \partial_i^\kappa \partial_{\epsilon_i} \omega^\kappa, $$

où

$$ \partial_{\epsilon_0} \omega^\kappa = \omega^\kappa, \quad \partial_{\epsilon_i} \omega^\kappa = \partial_{\epsilon_0 \dots \epsilon_i} \omega^\kappa, $$

$$ F^\kappa \partial_i^\kappa A = \left. \frac{\partial F^A}{\partial' \omega^\kappa} \right|_{\epsilon=0}, \quad F^\kappa \partial_i^\kappa A = \frac{\partial F^A}{\partial(\partial_{\epsilon_0 \dots \epsilon_i} \omega^\kappa)} \bigg|_{\epsilon=0}. $$

3. Considérons $M$ objets géométriques $\psi^{1/2}_{\kappa 1}$, $\psi^{1/2}_{\kappa 2}$, ..., $\psi^{M}_{\kappa M}$ où les indices prennent les valeurs $\Lambda_1 = 1, 2, \dots, N_1$; $\Lambda_2 = 1, 2, \dots, N_2$; ...; $\Lambda_M = 1, 2, \dots, N_M$. Supposons que les lois de transformation de ces objets soient:

$$ (10) \qquad \begin{aligned} \psi^{1/2}_{\kappa 1} &= F^{1/2}_{\kappa 1}(\psi^{1/2}_{\kappa 1}, x^a, x^{a'}) && (\Lambda_1' = 1', 2', \dots, N_1'), \\ \psi^{1/2}_{\kappa 2} &= F^{1/2}_{\kappa 2}(\psi^{1/2}_{\kappa 2}, x^a, x^{a'}) && (\Lambda_2' = 1', 2', \dots, N_2'), \end{aligned} $$

$$ (10) \qquad \begin{aligned} \psi^{1/2}_{\kappa 1} &= F^{1/2}_{\kappa 1}(\psi^{1/2}_{\kappa 1}, x^a, x^{a'}) && (\Lambda_1' = 1', 2', \dots, N_1'), \\ \psi^{1/2}_{\kappa 2} &= F^{1/2}_{\kappa 2}(\psi^{1/2}_{\kappa 2}, x^a, x^{a'}) && (\Lambda_2' = 1', 2', \dots, N_2'), \end{aligned} $$

$$ (10) \qquad \begin{aligned} \psi^{M}_{\kappa M} &= F^{M}_{\kappa M}(\psi^{M}_{\kappa M}, x^a, x^{a'}) && (\Lambda_M' = 1', 2', \dots, N_M'). \end{aligned} $$

Considérons en outre $N$ fonctions de $M$ objets géométriques $\psi^{I}_{\kappa I}$, $I = 1, 2, \dots, M$, données sous la forme

$$ (11) \qquad \Omega^A = G^A(\psi^{1/2}_{\kappa 1}, \psi^{1/2}_{\kappa 2}, \dots, \psi^{M}_{\kappa M}). $$

Les nombres $\Omega^A$ sont appelés les composantes [1] du comitant géométrique des objets $\psi^{I}_{\kappa I}$, si dans la transformation des objets $\psi^{I}_{\kappa I}$ d'après (10), ces nombres se transforment d'après la formule

$$ (12) \qquad \Omega^{A'} = F^{A'}(\Omega^A, x^a, x^{a'}), $$

où les fonctions $F^A$ satisfont aux relations (5).

4. Nous étudierons maintenant la dérivée de Lie du comitant géométrique. Nous allons définir dans $X_n$ les objets $'\Omega^A$, $\psi^{I}_{\kappa I}$ au moyen des expressions

$$ (13) \qquad \Omega^A(\dot{x}^a) = F^A[\Omega^A(x^a), x^a, \dot{x}^a], $$

$$ (14) \qquad \psi^{1/2}_{\kappa 1}(\dot{x}^a) = F^{1/2}_{\kappa 1}[\psi^{1/2}_{\kappa 1}(x^a), x^a, \dot{x}^a], $$

$$ (14) \qquad \psi^{M}_{\kappa M}(\dot{x}^a) = F^{M}_{\kappa M}[\psi^{M}_{\kappa M}(x^a), x^a, \dot{x}^a]. $$

En vertu de (11), (12) et de (13) on a

$$ (15) \qquad \Omega^A(\dot{x}^a) = G^A[\psi^{1/2}_{\kappa 1}(\dot{x}^a), \psi^{1/2}_{\kappa 2}(\dot{x}^a), \dots, \psi^{M}_{\kappa M}(\dot{x}^a)], $$

$$ (16) \qquad \begin{aligned} F^A[\Omega^A(x^a), x^a, \dot{x}^a] \\ &= G^A\{F^{1/2}_{\kappa 1}[\psi^{1/2}_{\kappa 1}(x^a), x^a, \dot{x}^a], \dots, F^{M/2}_{\kappa M}[\psi^{M/2}_{\kappa M}(x^a), x^a, \dot{x}^a]\}. \end{aligned} $$

En développant en série de Taylor les expressions (15) et (16) on a

$$ (17) \qquad \begin{aligned} \Omega^A(\dot{x}^a) &= \Omega^A(x^a) + \left. \frac{d\Omega^A}{d\epsilon} \right|_{\epsilon=0} \cdot \epsilon + \dots \\ &= \Omega^A(x^a) + \sum_{I=1}^{M} \sum_{\Lambda_I=1}^{N_I} \left. \frac{\partial G^A}{\partial \psi^{I}_{\kappa I}} \cdot \frac{d\psi^{I}_{\kappa I}}{d\epsilon} \right|_{\epsilon=0} \cdot \epsilon + \dots, \end{aligned} $$

$$ (18) \qquad \begin{aligned} F^A[\Omega^A(x^a), x^a, \dot{x}^a] &= \Omega^A(x^a) + \left. \frac{dF^A}{d\epsilon} \right|_{\epsilon=0} \cdot \epsilon + \dots \\ &= \Omega^A(x^a) + \sum_{I=1}^{M} \sum_{\Lambda_I=1}^{N_I} \left. \frac{\partial G^A}{\partial F^{I}_{\kappa I}} \cdot \frac{dF^{I}_{\kappa I}}{d\epsilon} \right|_{\epsilon=0} \cdot \epsilon + \dots \end{aligned} $$
En tenant compte des relations

$$ (19) \qquad \left. \frac{\partial G^A}{\partial \psi^{A I}} \right|_{\epsilon=0} = \left. \frac{\partial G^A}{\partial \bar{F}^{A I}} \right|_{\epsilon=0} $$

et en vertu de (9) on a

$$ (20) \qquad D\Omega^A = \sum_{I=1}^{M} \sum_{\Lambda_I=1}^{N_I} \left. \frac{\partial G^A}{\partial \psi^{A I}} \right| D\psi^{A I}. $$

Les relations (20) expriment la dérivée de Lie du comitant géométrique par les dérivées de Lie des objets géométriques.

5. Un comitant géométrique est dit *différentiel* quand ses composantes sont fonctions non seulement de $\psi^{A I}$, mais aussi des dérivées de $\psi^{A I}$ par rapport à $x^a$ relativement jusqu'à l'ordre $p_I$. En vertu de cette définition on a

$$ (21) \qquad \Omega^A = G^A(\psi^{A I}, \partial_{\epsilon_1} \psi^{A I}, \dots, \partial_{\epsilon_{1q_2 \dots q_{p_I}}}) \psi^{A I}. $$

Les dérivées $\partial_{\epsilon_1} \psi^{A I}$, ..., $\partial_{\epsilon_{1q_2 \dots q_{p_I}}'} \psi^{A I}$ ne forment pas en général d'objet géométrique, mais l'ensemble de ces dérivées forme un objet géométrique avec les lois de transformation

$$ (22) \qquad \psi^{A I} = \bar{F}^{A I}(\psi^{A I}', x^{a'}, x^a), $$

$$ \partial_{\epsilon_1} \psi^{A I} = \bar{F}^{A I}_{\epsilon_1}(\psi^{A I}', \partial_{\epsilon_1'} \psi^{A I}, x^{a'}, x^a), $$

$$ (23) \qquad \partial_{\epsilon_{1q_2 \dots q_{p_I}}} \psi^{A I} = \bar{F}^{A I}_{\epsilon_1}(\psi^{A I}', \dots, \partial_{\epsilon_{1q_2 \dots q_{p_I}}} \psi^{A I}', x^{a'}, \dots, x^a). $$

Les fonctions $\bar{F}^{A I}_{\epsilon_1}$, ..., $\bar{F}^{A I}_{\epsilon_{1q_2 \dots q_{p_I}}}$ sont obtenues par la *différentiation* des expressions (22) (l'indice *I* dans les parenthèses prend une valeur fixe). Définissons les nouveaux objets par les expressions

$$ (24) \qquad [\psi^{A I}(x^a)] = \bar{F}^{A I}[\psi^{A I}(x^a), x^a, x^a], $$

$$ [\partial_{\epsilon_1} \psi^{A I}(x^a)] = \bar{F}^{A I}_{\epsilon_1}[\psi^{A I}(x^a), \partial_{\epsilon_1} \psi^{A I}(x^a), x^a, x^a], $$

$$ [\partial_{\epsilon_{1q_2 \dots q_{p_I}}} \psi^{A I}(x^a)] = \bar{F}^{A I}_{\epsilon_{1q_2 \dots q_{p_I}}}[\psi^{A I}(x^a), \dots, \partial_{\epsilon_{1q_1 \dots q_{p_I}}} \psi^{A I}(x^a), x^a, x^a]. $$

En vertu de (23) on a

$$ (25) \qquad \begin{aligned} \bar{F}^{A I}(\psi^{A I}') &= \partial_{\epsilon_1}(\bar{F}^{A I}(\psi^{A I})), \\ \partial_{\epsilon_{1q_2 \dots q_{p_I}}} \psi^{A I}' &= \partial_{\epsilon_{1q_1 \dots q_{p_I}}} \psi^{A I}' \end{aligned} $$

On en déduit que

$$ (26) \qquad \begin{aligned} D(\partial_{\epsilon_1} \psi^{A I}) &= \partial_{\epsilon_1}(D\psi^{A I}), \\ \partial_{\epsilon_{1q_2 \dots q_{p_I}}} \psi^{A I}' &= \partial_{\epsilon_{1q_1 \dots q_{p_I}}} \psi^{A I}' \end{aligned} $$

En tenant compte de (20) et de (26) on a finalement

$$ (27) \qquad D\Omega^A = \sum_{I=1}^{M} \sum_{\Lambda_I=1}^{N_I} \sum_{s_I=0}^{p_I} \left. \frac{\partial G^A}{\partial (\partial_{\epsilon_0 \dots \epsilon_{s_I}} \psi^{A I})} \right|_{\epsilon_0 \dots \epsilon_{s_I}} D\psi^{A I}, $$

où

$$ (28) \qquad \partial_{\epsilon_0} \psi^{A I} = \psi^{A I}, \quad \partial_{\epsilon_0} D\psi^{A I} = D\psi^{A I}. $$

Les relations (27) expriment la dérivée de Lie du comitant géométrique différentiel $\Omega^A$ par les dérivées de Lie des objets géométriques $\psi^{A I}$.

Nous appellerons dérivée partielle de Lie relativement à l'objet $\psi^{A I}$ l'expression

$$ (29) \qquad D_I \Omega^A = \sum_{\Lambda_I=1}^{N_I} \sum_{s_I=0}^{p_I} \left. \frac{\partial G^A}{\partial (\partial_{\epsilon_0 \dots \epsilon_{s_I}} \psi^{A I})} \right|_{\epsilon_0 \dots \epsilon_{s_I}} D_I \psi^{A I}. $$

En vertu de (27) on peut écrire les relations (27) brièvement

$$ (30) \qquad D\Omega^A = \sum_{I=1}^{M} D_I \Omega^A. $$

6. En intégrant les équations (27) on a

$$ (31) \qquad \int D\Omega^A(dx) = \int \sum_{I=1}^{M} \sum_{\Lambda_I=1}^{N_I} \sum_{s_I=0}^{p_I} \left. \frac{\partial G^A}{\partial (\partial_{\epsilon_0 \dots \epsilon_{s_I}} \psi^{A I})} \right|_{\epsilon_0 \dots \epsilon_{s_I}} D_I \psi^{A I}(dx), $$

où $(dx)$ est un élément de volume de $X_n$. Les termes sous le signe d'intégrale peuvent être écrits
$$s_I = 0, \quad \frac{\partial G^A}{\partial (\partial_{\theta_0} \psi^{A_I})} \partial_{\theta_0} D \psi^{I A_I} = \frac{\partial G^A}{\partial \psi^{A_I}} D \psi^{I A_I},$$

$$s_I = 1, \quad \frac{\partial G^A}{\partial (\partial_{\theta_1} \psi^{A_I})} \partial_{\theta_1} D \psi^{I A_I} = - \left[ \partial_{\theta_1} \frac{\partial G^A}{\partial (\partial_{\theta_1} \psi^{A_I})} D \psi^{I A_I} \right] +$$

$$(32) \quad + \partial_{\theta_1} \left[ \frac{\partial G^A}{\partial (\partial_{\theta_1} \psi^{A_I})} D \psi^{I A_I} \right] = (-1)^I \left[ \partial_{\theta_1} \frac{\partial G^A}{\partial (\partial_{\theta_1} \psi^{A_I})} D \psi^{I A_I} + \partial_{\theta_1} \theta_{\theta_1}^{A \theta_1} \right],$$

$$s_I = p_I, \quad \frac{\partial G^A}{\partial (\partial_{\theta_1 \dots \theta_{p_I}} \psi^{A_I})} \partial_{\theta_1 \dots \theta_{p_I}} D \psi^{I A_I}$$

$$= (-1)^{p_I} \left[ \partial_{\theta_1 \dots \theta_{p_I}} \frac{\partial G^A}{\partial (\partial_{\theta_1 \dots \theta_{p_I}} \psi^{I A_I})} \right] D \psi^{I A_I} + \partial_{\theta_1} (\wp I) \theta_{\theta_1}^{A \theta_1}.$$

Posons

$$(33) \quad \hat{H}_{\Lambda_I}^A = -(-1)^{s_I} \sum_{s_I=0}^{p_I} \partial_{\theta_0} \dots \partial_{s_I} \frac{\partial G^A}{\partial (\partial_{\theta_0 \dots \theta_{s_I}} \psi^{I A_I})},$$

$$(34) \quad \theta_{\Lambda_I}^{A \alpha} = \sum_{s_I=1}^{p_I} (s_I) \theta_{\Lambda_I}^{A \alpha}.$$

Nous appellerons l'objet $\hat{H}_{\Lambda_I}^A$ dérivée de Hamilton. Dans le cas particulier où l'objet $\Omega^A$ est une densité scalaire de poids (+1), l'objet $\hat{H}_{\Lambda_I}^A$ représente une dérivée ordinaire de Hamilton (v. p. ex. [3]). En utilisant (33), (34) et en vertu de (19) on a

$$(35) \quad \int D\Omega^A(dx) = - \int \sum_{I=1}^{M} \sum_{\Lambda_I=1}^{N_I} (\hat{H}_{\Lambda_I}^I D \psi^{I A_I} - \partial_\alpha \theta_{\Lambda_I}^{A \alpha})(dx).$$

En supposant que le vecteur $\omega^a$ et ses dérivées par rapport à $\omega^a$ sont nulles sur le bord du domaine d'intégration, le relations précédentes deviennent

$$(36) \quad \int D\Omega^A(dx) = - \int \sum_{I=1}^{M} \sum_{\Lambda_I=1}^{N_I} \hat{H}_{\Lambda_I}^I D \psi^{I A_I}(dx).$$

En tenant compte de (9) et en intégrant (36) on a

$$(37) \quad \int \{ \partial_{\mu} \Omega^{A} \omega^{*} - F_{\mu}^{A} \omega^{*} + \sum_{s=1}^{p} (\partial_{\theta_1} \dots \partial_{\theta_s} F_{\theta_1}^{\theta_1} \dots \partial_{\theta_s} \omega^{*}) \} (dx) \\ = \int \sum_{I=1}^{M} \sum_{\Lambda_I=1}^{N_I} \{ \hat{H}_{\Lambda_I}^A (\partial_{\mu} \psi^{A_I}) \omega^{*} - \hat{H}_{\Lambda_I}^A \hat{F}_{\theta_1}^{A_I} \omega^{*} + \\ + \sum_{s=1}^{p_I} (\partial_{\theta_1} \dots \partial_{\theta_s} \hat{H}_{\Lambda_I}^A \hat{F}_{\theta_1}^{A_I} \dots \partial_{\theta_s} \omega^{*}) \} (dx).$$

Posons

$$(38) \quad T_{I\nu}^{A\mu} = \sum_{\Lambda_I=1}^{N_I} \sum_{s_I=2}^{p_I} \partial_{c_2 \dots c_s} (\hat{H}_{\Lambda_I}^A \hat{F}_{\nu}^{I c_2 \dots c_s} \partial_{c_1 \dots c_s} \theta_{\Lambda_I}^{A c_1}),$$

$$(39) \quad J_{I\nu}^A = \sum_{\Lambda_I=1}^{N_I} \hat{H}_{\Lambda_I}^I (\hat{F}_{\nu}^{I A_I} - \partial_{\nu} \psi^{A_I}),$$

$$(40) \quad t_{\nu}^{A\mu} = \sum_{s=2}^{p} \partial_{c_2 \dots c_s} \hat{F}_{\nu}^{c_2 \dots c_s} \theta_{\Lambda_I}^{A\alpha},$$

$$(41) \quad j_{\nu}^{A} = F_{\nu}^{A} - \partial_{\nu} \Omega^{A}.$$

En vertu de (38)-(40) la relation (37) devient

$$(42) \quad \int (\partial_{\mu} t_{\nu}^{A\mu} - j_{\nu}^{A}) \omega^{*}(dx) = \int \sum_{I=1}^{M} (\partial_{\mu} T_{I\nu}^{A\mu} - J_{I\nu}^{A}) \omega^{*}(dx).$$

Le vecteur $\omega^*$ étant arbitraire, on a finalement

$$(43) \quad \partial_{\mu} t_{\nu}^{A\mu} - j_{\nu}^{A} = \sum_{I=1}^{M} (\partial_{\mu} T_{I\nu}^{A\mu} - J_{I\nu}^{A}).$$

Les expressions (43) représentent $n \cdot N$ relations pour un comitant différentiel. Dans le cas particulier où $\Omega^A$ est une densité scalaire de poids (+1), on en déduit facilement les identités de E. Noether [2].

L'auteur remercie M. W. Ślebodziński de ses précieuses remarques au sujet de cette note.

### Travaux cités

[1] S. Golab, Ann. Soc. Pol. Math., 17 (2) (1938).

[2] E. Noether, Nachr. Ges., Göttingen, 235 (1918).

[3] J. A. Schouten und D. J. Struik, Einführung in die neueren Methoden der Differentialgeometrie I, Groningen 1935.

[4] W. Ślebodziński, Bull. Acad. Roy. Belg. 17 (5) (1931).

[5] K. Yano, The theory of Lie derivatives and its applications, Groningen 1955.

Reçu par la Rédaction le 1. 6. 1958