permet de déformer à volonté le chemin d'intégration, pourvu qu'il ne croise aucune singularité de l'intégrande, voir la ligne rouge sur la figure 10. On pourrait croire que ceci suffit à rendre l'intégrale analytique en $\zeta/u$ dans la région comprise entre la ligne rouge et l'axe réel; il n'en est rien car, lorsque $\zeta/u$ entre dans cette région, la ligne de coupure (horizontale) qui lui est attachée croise nécessairement la ligne rouge. Il faut donc faire mieux, en déformant aussi les lignes de coupure de l'intégrande; le plus simple est d'introduire les nouvelles déterminations $z_0^{1/2} = \exp(i\theta/2)[\exp(-i\theta)z]^{1/2}$ de la racine carrée, paramétrées par l'angle $\theta \in [-\pi, \pi]$ dont on a fait tourner la ligne de coupure originelle (la demi-droite $\mathbb{R}^-$ étant envoyée sur $\exp(i\theta)\mathbb{R}^-$). Tant que les lignes de coupure, dans leur mouvement tournant, ne balaient pas le chemin d'intégration en rouge, l'intégrande ne change pas sur ce chemin et la valeur de l'intégrale est préservée. Nous décidons de faire tourner la ligne de coupure de $(x+\bar{q}^2/4)^{1/2}$ d'un angle arbitraire $\alpha \in ]0, \pi/2[$, et les deux autres d'un angle $\alpha - \pi \in [-\pi, -\pi/2[$ pour qu'elles soient parallèles mais de direction opposée à la première, voir les lignes en tireté sur la figure 10. Enfin, nous prenons comme chemin d'intégration définitif la demi-droite en bleu sur la figure 10, qui suit par endossous la nouvelle ligne de coupure de $(x + \bar{q}^2/4)^{1/2}$ <fnref n="63" />, et que nous paramétrons comme suit, $x = \exp(i\alpha)(-v - i0^+) - \bar{q}^2/4$, $v \in \mathbb{R}^+$. Alors

$$ 
\begin{aligned}
(x + \bar{q}^2/4)^{1/2} &= -ie^{i\alpha/2} \sqrt{v}; \quad (x - \zeta/u)^{1/2}_{\alpha-\pi} \\
&= -ie^{i\alpha/2} [v + e^{-i\alpha}(\bar{q}^2/4 + \zeta/u)]^{1/2}; \quad (x - i0^+)^{1/2}_{\alpha-\pi} = -ie^{i\alpha/2} (v + e^{-i\alpha}\bar{q}^2/4)^{1/2}
\end{aligned} 
\quad (113) $$

où tous les $i0^+$ ont pu être omis sans mal dans les seconds membres. On peut désormais faire descendre le nombre complexe $\zeta/u$ continûment dans le demi-plan inférieur en restant constamment à droite ou à gauche de la demi-droite bleue sans que cette dernière ne soit croisée par la ligne de coupure attachée à $\zeta/u$: on a bien prolongé analytiquement $\tilde{\Sigma}_{\bar{q}}^{(2,2)}(\zeta)$ à $\text{Im}\zeta < 0$. Il reste à poser $v = \bar{k}^2$, $\bar{k} \in \mathbb{R}^+$, pour arriver au résultat annoncé (45) avec $\phi = \alpha - \pi \in [-\pi, -\pi/2[$.

## Application

Maintenant que nous savons, au vu de l'équation (112), que $\tilde{\Sigma}_{\bar{q}}^{(2,2)}(\zeta)$ n'a pas de point de branchement en $\zeta = 0$, nous pouvons calculer sa valeur et sa dérivée en $\zeta = i0^+$. Pour sa valeur, le plus simple est faire tendre $\zeta$ vers zéro par parties imaginaires > 0 sous le signe intégral dans la forme (43); on intègre sur $\bar{k}$ après développement des nombres d'occupation en série entière de la variable $\exp(-\bar{k})$, ce qui fait apparaître des fonctions de Bose $g_\alpha(z)$ prises en $z = 1$ ou $z = \exp(-\bar{q})$, les secondes ayant le bon goût de se compenser dans le résultat final. Pour la dérivée, le plus simple est d'utiliser le prolongement analytique (45), dont l'intégrande ne présente aucune singularité sur le chemin d'intégration pour $\zeta = 0$; on peut alors dériver par rapport à $\zeta$ puis prendre la limite $\zeta \to 0$ sous le signe intégral<fnref n="64" />. Nous obtenons finalement

$$ \tilde{\Sigma}_{\bar{q}}^{(2,2)}(\zeta = i0^+) = \frac{1}{i} \left( \frac{\bar{q}^2}{12} + 2\zeta(2) \right) ; \quad \frac{d}{d\zeta} \tilde{\Sigma}_{\bar{q}}^{(2,2)}(\zeta = i0^+) = \frac{1}{u\bar{q}} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{i\bar{q}}{4} \right) \quad (114) $$

<footnote>dans (112), en rouge puis en bleu sur la figure 10, ne passent sur aucun de ces pôles aux conditions suivantes, supposées vérifiées dans la suite (elles assurent que le pôle le plus dangereux $x_{n=-1}$ reste à gauche de la demi-droite bleue d'angle $\alpha$) : (i) $-\bar{q}^2/4 > \text{Re } x_{-1} = -(2\pi)^2$ c'est-à-dire $\bar{q} < 4\pi$, (ii) $\tan \alpha > 2\pi\bar{q}/[(2\pi)^2 - \bar{q}^2/4]$.</footnote>

<footnote n="63">⁶³On a pu refermer par un arc de cercle de rayon $R \to +\infty$, de contribution $\to 0$ puisque l'intégrande y est exponentiellement petit en $\sqrt{R}$.</footnote>

<footnote n="64">⁶⁴Si l'on s'en tient à la forme (43), on ne peut pas dériver sous le signe intégral sans faire apparaître une intégrale non absolument convergente. On peut procéder de manière hybride après le choix d'une coupure infrarouge infinitésimale $\kappa$ sur $\bar{k}$: dans la forme (43), limitée à $\bar{k} > \kappa$ dans chaque contribution, on dérive sous le signe intégral puis on fait tendre $\zeta$ vers 0; dans la forme (112), limitée à $-\kappa\bar{q} < x < \kappa\bar{q}$, on garde l'expression exacte du facteur $(x - i0^+)^{1/2}/(x - \zeta/u)^{1/2}$ mais on développe le reste de l'intégrande en puissances de $x$ (l'ordre zéro suffit en fait), et on calcule analytiquement l'intégrale résultante pour $\zeta = s + i0^+$, s réel (au besoin en termes de fonctions hypergéométriques) puis sa dérivée par rapport à $s$ en $s = 0$. Le résultat final est le même.</footnote>
La valeur de la fonction n'est qu'une réécriture du résultat (23) sous l'effet des changements de variable dans (42), (43). Sa dérivée intervient dans une condition de validité bien connue de la règle d'or [13], $|\text{Im}(d/d\zeta)\Sigma_q(\zeta = i0^+)| \ll 1$, qui s'écrit ici $1/(4u) \ll 1$ et impose, sans surprise, $u \gg 1$. Une condition plus précise exige que le résidu $Z$ de la fonction de Green, qui apparaît en facteur de l'exponentielle $\exp(-\tilde{\zeta}_{\tilde{q}} \tilde{t})$ dans l'expression exacte (115) du signal $s^{(2,2)}(t)$, soit très proche de la valeur un prise dans la règle d'or, ce qui ajoute la contrainte $|\text{Re}(d/d\zeta)\Sigma_q(\zeta = i0^+)| \ll 1$, ici $\tilde{q} \gg \pi/(2u)$. Comme le montre la figure 1d, sur laquelle $u \approx 18,14$, ces conditions ne sont pas suffisantes. Les sections 4.3 et 5 permettent de comprendre pourquoi (en substance, une singularité apparaît en $\zeta = i0^+$ dans la contribution $\Sigma_q^{(4)}(\zeta)$ d'ordre 4 en $H_3$, ce qui rend le présent calcul à l'ordre 2 non pertinent dans la limite $\epsilon \to 0$).

## Annexe B. Premier écart du signal à l'exponentielle de la règle d'or pour la théorie à l'ordre deux en $H_3$

Nous établissons ici le résultat (47) de la section 3.2, valable dans la limite d'interaction faible $u \to +\infty$ à $\tilde{t}$ et $Q = u^{1/2} \tilde{q}$ fixés comme dans (46), en partant de l'écriture (44) du signal. À cette fin, guidés par la figure 4b, nous appliquons d'abord le théorème des résidus au contour formé de la réunion du chemin $C_+$, des portions de cercle à l'infini et du lacet autour de la ligne de coupure $-Q^2/4 - e^{i(\phi+\pi)}\mathbb{R}^+$ : l'intégrale de $\exp(-i\tilde{\zeta}\tilde{t})\tilde{\zeta}^{(2,2)}(\tilde{\zeta})$ sur ce contour vaut $2i\pi$ fois le résidu en $\tilde{\zeta} = \tilde{\zeta}_{\tilde{q}}$, pôle de la fonction de Green prolongée analytiquement au demi-plan inférieur au moyen de (45). Le signal (44) s'écrit donc de manière exacte comme somme des contributions du pôle $\tilde{\zeta}_{\tilde{q}}$ et du lacet :

$$s^{(2,2)}(t) = \frac{\exp(-i\tilde{\zeta}_{\tilde{q}}\tilde{t})}{1 - \frac{d}{d\tilde{\zeta}}\tilde{\Sigma}_{\tilde{q}1}^{(2,2)}(\tilde{\zeta}_{\tilde{q}})} + e^{iQ^2\tilde{t}/4} \int_0^{e^{i(\phi+\pi)}(+\infty)} \frac{dz}{2i\pi} \frac{(\tilde{\Sigma}_- - \tilde{\Sigma}_+) \exp(iz\tilde{t})}{(-Q^2/4 - z - \tilde{\Sigma}_-)(-Q^2/4 - z - \tilde{\Sigma}_+)} \quad (115)$$

où la variable complexe $z$ va en ligne droite de 0 à $\exp[i(\phi + \pi)](+\infty)$ et l'on note $\tilde{\Sigma}_\pm \equiv \tilde{\Sigma}_{\tilde{q}1}^{(2,2)}(-Q^2/4 - z + e^{i(\phi+\pi)}i0^\pm)$ les valeurs du prolongement analytique (45) de la fonction énergie propre immédiatement à gauche (signe $+$) ou à droite (signe $-$) de la ligne de coupure. Nous faisons ensuite bon usage de la propriété fondamentale$^{65}$

$$\tilde{\Sigma}_{\tilde{q}1}^{(2,2)}(\tilde{\zeta}) - \tilde{\Sigma}_{\tilde{q}1}^{(2,2)}(0) \stackrel{\text{Qfixé}}{=} \frac{e^{i\phi/2}}{iu^{1/2}} \int_0^{+\infty} dK \left\{ \frac{(K^2 - e^{-i\phi}Q^2/4)^{1/2}}{[K^2 - e^{-i\phi}(\tilde{\zeta} + Q^2/4)]^{1/2}} - 1 \right\} + O(1/u) \quad (116)$$

Dans la contribution du lacet à (115), à l'ordre dominant en $u^{-1/2}$, nous pouvons ainsi remplacer au dénominateur $\tilde{\Sigma}_\pm$ par $\tilde{\Sigma}_{\tilde{q}1}^{(2,2)}(0) \to -2i\tilde{\zeta}(2) = -i\pi^2/3$ d'après (114), et au numérateur la différence $\tilde{\Sigma}_-$ et $\tilde{\Sigma}_+$ par son équivalent, qui s'écrit

$$\tilde{\Sigma}_{-} - \tilde{\Sigma}_{+} \stackrel{\text{Qfixé}}{\underset{u \to +\infty}{\sim}} \frac{e^{i\phi/2}}{iu^{1/2}} \int_{0}^{+\infty} dK (K^2 - e^{-i\phi}Q^2/4)^{1/2} \left[ \frac{1}{(K^2 - x + i0^{-})^{1/2}} - \frac{1}{(K^2 - x + i0^{+})^{1/2}} \right] \quad (117)$$

sachant que $z = e^{i(\phi+\pi)}x$, $x > 0$. L'intégrande dans (117) est non nul seulement pour $K < x^{1/2}$, ce qui incite à poser $K = x^{1/2}\sin\alpha$, $\alpha \in [0,\pi/2]$, d'autant plus que ceci fait disparaître les racines carrées au dénominateur : nous retrouvons $S_{lacet}(\tilde{t})$ dans (48). Dans l'équation implicite définissant le pôle, réécrite en mettant à part son approximation d'ordre zéro, $\tilde{\zeta}_{\tilde{q}} - \tilde{\Sigma}_{\tilde{q}1}^{(2,2)}(0) = \tilde{\Sigma}_{\tilde{q}1}^{(2,2)}(\tilde{\zeta}_{\tilde{q}}) - \tilde{\Sigma}_{\tilde{q}1}^{(2,2)}(0)$, il suffit au second membre d'utiliser (116) avec $\tilde{\zeta} = -i\pi^2/3$; le choix commode $\phi = (-\pi)^+$ (dont le résultat ne dépend pas) redonne $\delta\tilde{\zeta}_{\tilde{q}}$ dans (49). Enfin, pour obtenir le premier écart à un du résidu, il suffit de dériver (116) par rapport à $\tilde{\zeta}$ (sous le signe intégral au second membre), de remplacer $\tilde{\zeta}$ par $-i\pi^2/3$ puis de prendre $\phi = (-\pi)^+$ : on retrouve $\delta\tilde{Z}$ dans (49).

<footnote>$^{65}$Le terme dominant s'obtient en écrivant la différence au premier membre de (116) comme une seule intégrale sur $\tilde{k}$ au moyen de (45), en la multipliant par $u^{1/2}$, puis en faisant le changement de variable $\tilde{k} = K/u^{1/2}$ avant de passer à la limite $u \to +\infty$ sous le signe intégral.</footnote>
Annexe C. Les sommes doubles de Matsubara dans la théorie à l'ordre quatre en $H_3$

Nous calculons ici explicitement les sommes de Matsubara contribuant à (53), (62) dans la section 4.1 et montrons comment obtenir leurs formes simplifiées (54), (63) dans la limite des petits angles. Le calcul repose sur la généralisation de la relation (37) à un nombre quelconque $J$ de facteurs dans le sommande, qui se démontre comme dans la note 25 :

$$ \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{\prod_{j=1}^{J} (2i\pi n - \bar{\epsilon}_j)} = \sum_{\substack{j=1 \\ k \neq j}}^{J} \frac{-\bar{n}_{\epsilon_j}}{\prod_{\substack{k=1 \\ k \neq j}}^{J} (\bar{\epsilon}_j - \bar{\epsilon}_k)} \quad \forall J \ge 2 \quad (118) $$

Diagrammes à boucle interne

Écrivons la somme apparaissant dans (53) après sortie d'un facteur $(k_B T)^5$ au dénominateur (on a posé $\epsilon_{\mathbf{k}_j} = k_B T \bar{\epsilon}_j$) et élimination des énergies de Matsubara au profit des variables indépendantes $\omega = 2i\pi k_B T n$ et $\omega' = 2i\pi k_B T n'$ sur le modèle des équations (51), (52), pour une énergie complexe $z$ valant temporairement $\Omega = k_B T \bar{\Omega} \in 2i\pi k_B T \mathbb{Z}$:

$$ S_{B_i}(z) = (k_B T)^{-5} \sum_{n, n' \in \mathbb{Z}} \frac{1}{s_1(\bar{\Omega} - 2i\pi s_2 n) - \bar{\epsilon}_1} \frac{1}{2i\pi n - \bar{\epsilon}_2} \frac{1}{2i\pi n' - \bar{\epsilon}_3} \frac{1}{2i\pi s_4(s_2 n - s_3 n') - \bar{\epsilon}_4} \frac{1}{2i\pi s_2 s_5 n - \bar{\epsilon}_5} \quad (119) $$

Calculons au moyen de (37) la somme sur $n'$ du produit des deux facteurs qui en dépendent, puis faisons disparaître la variable $\bar{\Omega}$ des nombres d'occupation comme dans la première égalité de (38). Après le changement de variable astucieux $n \to s_2 n$, qui n'affecte pas le domaine de sommation puisque $s_2 = \pm 1$, il reste

$$ S_{B_i}(z) = (k_B T)^{-5} \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{s_1 s_2 s_4 s_5 (\bar{n}_{\epsilon_3} - \bar{n}_{-s_3 s_4 \epsilon_4})}{[2i\pi n - (\bar{\Omega} - s_1 \bar{\epsilon}_1)] (2i\pi n - s_2 \bar{\epsilon}_2) (2i\pi n - s_5 \bar{\epsilon}_5) [2i\pi n - (s_3 \bar{\epsilon}_3 + s_4 \bar{\epsilon}_4)]} \quad (120) $$

Nous avons pris soin de sortir tous les facteurs nécessaires pour mettre le résultat sous une forme simple, comme au premier membre de la relation (118), ce qui permet d'utiliser facilement cette dernière :

$$ S_{B_i}(z) = -(k_B T)^{-2} s_1 s_2 s_4 s_5 (\bar{n}_{\epsilon_3} - \bar{n}_{-s_3 s_4 \epsilon_4}) \left\{ \frac{1}{z-z_2} \left[ \frac{\bar{n}_{-s_1 \epsilon_1}}{(z-z_1)(z-z_3)} - \frac{\bar{n}_{s_3 \epsilon_3 + s_4 \epsilon_4}}{(z_2-z_1)(z_2-z_3)} \right] + \frac{1}{z_1-z_3} \left[ \frac{\bar{n}_{s_2 \epsilon_2}}{(z_1-z)(z_1-z_2)} - \frac{\bar{n}_{s_5 \epsilon_5}}{(z_3-z)(z_3-z_2)} \right] \right\} \quad (121) $$

À ce stade, nous avons prolongé analytiquement en la variable $z$ sur $C \setminus \mathbb{R}$ et introduit les énergies des trois états intermédiaires (repérés par les droites verticales rouges sur la partie gauche de la figure 7) comptées algébriquement, $z_1 = s_1 \epsilon_1 + s_2 \epsilon_2$, $z_2 = s_1 \epsilon_1 + s_3 \epsilon_3 + s_4 \epsilon_4$ et $z_3 = s_1 \epsilon_1 + s_5 \epsilon_5$. Dans le cas $s_2 = s_5$, on a aussi $\epsilon_2 = \epsilon_5$ et $z_1 = z_3$ puisque $\mathbf{k}_2$ est alors égal à $\mathbf{k}_5$; ceci fait apparaître une division par zéro dans la seconde contribution de (121) entre accolades, que nous prolongeons donc par continuité avec la règle de l'Hôpital. Après d'habiles réarrangements, il vient<fnref n="66" /> :

$$ S_{B_i}^{s_2=s_5}(z) = -(k_B T)^{-2} s_1 s_4 (\bar{n}_{\epsilon_3} - \bar{n}_{-s_3 s_4 \epsilon_4}) \left[ \frac{\bar{n}_{-s_1 \epsilon_1} - \bar{n}_{s_2 \epsilon_2}}{(z-z_1)^2(z-z_2)} + \frac{\bar{n}_{s_2 \epsilon_2} - \bar{n}_{s_3 \epsilon_3 + s_4 \epsilon_4}}{(z_2-z_1)^2(z-z_2)} + \frac{\bar{n}_{s_2 \epsilon_2} (1 + \bar{n}_{s_2 \epsilon_2})}{k_B T(z_2-z_1)(z_1-z)} \right] \quad (122) $$

<footnote n="66">⁶⁶Nous utilisons en particulier l'identité $(z_1 - z_2)^{-2}(z - z_2)^{-1} + (z_1 - z_2)^{-2}(z_1 - z)^{-1} + (z_1 - z)^{-2}(z_1 - z_2)^{-1} = (z - z_1)^{-2}(z - z_2)^{-1}$.</footnote>
Remarquons que le facteur global $(k_B T)^{-2}$ de (121), (122) se simplifie avec le facteur $(-k_B T)^2$ dans (53). Pour terminer, prenons la limite des petits angles $\epsilon \to 0$ dans (122), dans laquelle $z, z_1$ et $z_2$ s'écrivent $\epsilon_q + O(k_B T \epsilon^2)$. Entre les crochets, la deuxième contribution est sous-dominante parce que $s_3\epsilon_3 + s_4\epsilon_4 = s_2\epsilon_2 + z_2 - z_1 = s_2\epsilon_2 + O(k_B T \epsilon^2)$, si bien que son numérateur tend vers zéro; la troisième l'est aussi car son dénominateur est d'ordre $(k_B T)^3 \epsilon^4$ au lieu de $(k_B T)^3 \epsilon^6$ comme les autres. Nous retrouvons (54).

## Diagrammes à pont

Nous procédons comme précédemment, avec les mêmes notations. La somme double dans (62) s'écrit

$$ S_{P_i}(z) = (k_B T)^{-5} \sum_{n, n' \in \mathbb{Z}} \frac{1}{2i\pi n - \tilde{\epsilon}_1} \frac{1}{s_2(\tilde{\Omega} - 2i\pi s_1 n) - \tilde{\epsilon}_2} \frac{1}{2i\pi n' - \tilde{\epsilon}_3} \frac{1}{s_4(\tilde{\Omega} - 2i\pi s_3 n') - \tilde{\epsilon}_4} \frac{1}{2i\pi s_5(s_1 n - s_3 n') - \tilde{\epsilon}_5} \quad (123) $$

Au moyen de la relation (118) avec $J = 3$, nous calculons la somme sur $n'$, décomposons le résultat en éléments simples pour la variable $2i\pi n$ puis effectuons le changement de variable $n \to s_1 n$, si bien que

$$ S_{P_i}(z) = \frac{(k_B T)^{-5} s_1 s_2 s_4 s_5}{\tilde{\Omega} - s_3 \tilde{\epsilon}_3 - s_4 \tilde{\epsilon}_4} \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(2i\pi n - s_1 \tilde{\epsilon}_1) [2i\pi n - (\tilde{\Omega} - s_2 \tilde{\epsilon}_2)]} \left[ \frac{\tilde{n}_{\epsilon_3} - \tilde{n}_{-s_3 s_5 \epsilon_5}}{2i\pi n - (s_3 \epsilon_3 + s_5 \epsilon_5)} + \frac{\tilde{n}_{-s_3 s_5 \epsilon_5} - \tilde{n}_{-s_3 s_4 \epsilon_4}}{2i\pi n - (\tilde{\Omega} + s_5 \epsilon_5 - s_4 \epsilon_4)} \right] \quad (124) $$

Nous utilisons à nouveau (118) puis prolongeons analytiquement sur $z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$; il y a deux termes entre les grands crochets de (124) donc deux contributions, dites de type I et de type II dans cet ordre :

$$ S_{P_i}^{\text{I}}(z) = \frac{(k_B T)^{-2} s_1 s_2 s_4 s_5 (\tilde{n}_{\epsilon_3} - \tilde{n}_{-s_3 s_5 \epsilon_5})}{z_2 - z} \left[ \frac{\tilde{n}_{s_1 \epsilon_1}}{(z_1 - z)(z_1 - z_4)} + \frac{\tilde{n}_{-s_2 \epsilon_2}}{(z - z_1)(z - z_4)} + \frac{\tilde{n}_{s_3 \epsilon_3 + s_5 \epsilon_5}}{(z_4 - z_1)(z_4 - z)} \right] \quad (125) $$

$$ S_{P_i}^{\text{II}}(z) = \frac{(k_B T)^{-2} s_1 s_2 s_4 s_5 (\tilde{n}_{-s_3 s_5 \epsilon_5} - \tilde{n}_{-s_3 s_4 \epsilon_4})}{z_2 - z} \left[ \frac{\tilde{n}_{s_1 \epsilon_1}}{(z_1 - z)(z_3 - z)} + \frac{\tilde{n}_{-s_2 \epsilon_2}}{(z - z_1)(z_3 - z_1)} + \frac{\tilde{n}_{s_5 \epsilon_5 - s_4 \epsilon_4}}{(z - z_3)(z_1 - z_3)} \right] \quad (126) $$

avec les énergies algébriques des états intermédiaires repérés par les droites rouges sur la partie droite de la figure 7, $z_1 = s_1 \epsilon_1 + s_2 \epsilon_2$ et $z_2 = s_3 \epsilon_3 + s_4 \epsilon_4$ communes aux deux types, $z_4 = s_2 \epsilon_2 + s_3 \epsilon_3 + s_5 \epsilon_5$ de type I et enfin $z_3 = s_1 \epsilon_1 + s_4 \epsilon_4 - s_5 \epsilon_5$ de type II. Ces variables ne sont pas indépendantes puisque $z_1 + z_2 = z_3 + z_4$. Il reste à prendre la limite des petits angles $\epsilon \to 0$, dans laquelle $z = \epsilon_q + O(k_B T \epsilon^2)$ et $z_j = \epsilon_q + O(k_B T \epsilon^2)$, $1 \le j \le 4$. Alors $s_3 \epsilon_3 + s_5 \epsilon_5 = s_1 \epsilon_1 + O(k_B T \epsilon^2)$ et l'on peut, à l'ordre dominant, remplacer $\tilde{n}_{s_3 \epsilon_3 + s_5 \epsilon_5}$ par $\tilde{n}_{s_1 \epsilon_1}$ dans (125); en regroupant par nombre d'occupation et en simplifiant, on retrouve la première contribution au second membre de (63). De même, on remplace $\tilde{n}_{s_5 \epsilon_5 - s_4 \epsilon_4}$ par $\tilde{n}_{-s_2 \epsilon_2}$ à l'ordre dominant dans (126), ce qui reproduit la seconde contribution à (63).
Annexe D. Une divergence linéaire de $\tilde{\Sigma}_{\tilde{q}}^{(4,2)}(\tilde{\zeta})$ en dehors de l'origine

Comme nous le montrons dans cette annexe, la composante $\tilde{\Sigma}_{\tilde{q}}^{(4,2)}(\tilde{\zeta})$ de la fonction énergie propre d'ordre quatre en $H_3$ et d'ordre deux en $\epsilon$, obtenue en sommant toutes les contributions (57), (65), (67) des diagrammes d'ordre quatre de la section 4.1, diverge linéairement lorsque $\tilde{\zeta} \to \tilde{\zeta}_0 \equiv -3\gamma \tilde{q}^3/32$ (ici par parties imaginaires positives) :

$$ \tilde{\Sigma}_{\tilde{q}}^{(4,2)}(\tilde{\zeta}) \stackrel{\text{Im}\tilde{\zeta}>0}{\underset{\tilde{\zeta}\to\tilde{\zeta}_0}{\sim}} \frac{\tilde{q}^3(\tilde{n}_{q/2}^{\text{lin}} + 1/2)}{24i\pi^2\gamma(\tilde{\zeta} - \tilde{\zeta}_0)} \left(\frac{9(1+\Lambda)^2}{8\rho\xi^2}\right)^2 \left[ \int_0^{\tilde{q}/2} d\tilde{k}' \tilde{k}'(\tilde{k}' - \tilde{q}/2) (\tilde{n}_{k'}^{\text{lin}} - \tilde{n}_{k'-q/2}^{\text{lin}}) + 2 \int_{\tilde{q}/2}^{\eta} d\tilde{k}' \tilde{k}'(\tilde{k}' - \tilde{q}/2) (\tilde{n}_{k'}^{\text{lin}} - \tilde{n}_{k'-q/2}^{\text{lin}}) \right] \quad (127) $$

Ceci résulte de deux phénomènes. (i) À nombre d'onde réduit $\tilde{k}$ fixé, l'intégrale angulaire (58) dans les diagrammes à boucle interne diverge en $\tilde{\zeta} = A_1^B$ avec un exposant 3/2 car, pour cette valeur de $\tilde{\zeta}$, le dénominateur de l'intégrande admet $\tilde{\theta} = 0$ comme racine quadruple. Pour le voir quantitativement, on peut utiliser l'identité $\int_{\mathbb{R}} d\tilde{\theta}/(z - \tilde{\theta}^2)^2 = -i\pi$ signe $(\text{Im } z)/(2z^{3/2})$, $\forall z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$, avec $z = (\tilde{\zeta} - A_1^B)/B_1^B$. (ii) Cette divergence en $(\tilde{\zeta} - A_1^B)^{-3/2}$ se produit à une position $A_1^B$ dépendant de $\tilde{k}$, comme le montre l'équation (59), donc elle est en général effacée par l'intégration sur $\tilde{k}$ à $\tilde{\zeta}$ fixé dans (57), sauf si $\tilde{\zeta}$ coïncide avec un extrémum parabolique de $A_1^B(\tilde{k})$ sur le domaine d'intégration $\mathcal{D}_1^B$. Pour le voir, choisissons un nombre d'onde réduit $\tilde{k}_0$ arbitraire dans $\mathcal{D}_1^B$, posons $\tilde{\zeta} = w + A_1^B(\tilde{k}_0)$ et passons à la limite $w \to 0$ par parties imaginaires positives dans (57) : le résultat ne peut diverger que si la valeur de l'intégrale

$$ \sigma_{\tilde{k}_0}(w) = \int_{\tilde{k}_0 - \varepsilon}^{\tilde{k}_0 + \varepsilon} \frac{d\tilde{k}}{[w + A_1^B(\tilde{k}_0) - A_1^B(\tilde{k})]^{3/2}} \quad (128) $$

diverge dans cette limite, où $\varepsilon > 0$ est fixé. Comme on peut prendre $\varepsilon$ aussi petit que l'on veut sans changer la conclusion, on peut remplacer $A_1^B(\tilde{k}) - A_1^B(\tilde{k}_0)$ dans (128) par son développement limité en $\tilde{k}_0$ à l'ordre dominant non nul. Si $(dA_1^B/d\tilde{k})(\tilde{k} = \tilde{k}_0) \neq 0$, un développement à l'ordre un suffit, et il n'y a pas de divergence car $\int_{\mathbb{R}} d\kappa/(w - \kappa)^{3/2} = 0.67$ Sinon, il faut développer à l'ordre deux, et il y a divergence linéaire $[\tilde{\zeta} - A_1^B(\tilde{k}_0)]^{-1}$ comme l'annonçait (127) car

$$ \int_{\mathbb{R}} \frac{d\kappa}{(w - \kappa^2)^{3/2}} = \frac{2}{i\omega} \quad \text{et} \quad \int_{\mathbb{R}} \frac{d\kappa}{(w + \kappa^2)^{3/2}} = \frac{2}{w} \quad \forall w \in \mathbb{C}, \text{ Im } w > 0 \quad (129) $$

Donnons plus de détails sur l'exemple du diagramme $B_1$ de la figure 6, dans lequel les signes $s_i$ des orientations des lignes internes valent tous 1, le domaine d'intégration sur $\tilde{k}$ vaut $\mathcal{D}_1^B = [0, \tilde{q}]$ et celui sur $\tilde{k}'$ à $\tilde{k}$ fixé vaut $\mathcal{D}_2^B(\tilde{k}) = [0, \tilde{k}]$. On remarque que $A_1^B(\tilde{k})$ atteint son minimum en $\tilde{k}_0 = \tilde{q}/2$, à l'intérieur de $\mathcal{D}_1^B$ donc avec une dérivée nulle, et que ce minimum vaut justement $\tilde{\zeta}_0 = -3\gamma \tilde{q}^3/32$ comme dans (127). Pour obtenir un équivalent de $\tilde{\Sigma}_{B_1}^{(4,2)}(\tilde{q}, \tilde{\zeta})$ lorsque $\tilde{\zeta} \to \tilde{\zeta}_0$, nous pouvons traiter $\tilde{\theta}^2$, $(\tilde{k} - \tilde{q}/2)^2$ et $w = \tilde{\zeta} - \tilde{\zeta}_0$ comme des infiniment petits du même ordre. Ainsi, dans l'intégrale angulaire (58), nous pouvons remplacer $\tilde{\zeta}$ par $\tilde{\zeta}_0 + i0^+$ et $\tilde{\theta}^2$ par 0 dans le second facteur au dénominateur, et remplacer partout $\tilde{k}$ par $\tilde{k}_0 = \tilde{q}/2$ sauf dans le coefficient $A_1^B(\tilde{k})$ que l'on écrit $A_1^B(\tilde{k}) = \tilde{\zeta}_0 + (3\gamma\tilde{q}/8)(\tilde{k} - \tilde{q}/2)^2$. Après calcul de l'intégrale sur $\phi$ puis sur $\tilde{\theta}$ par le théorème des résidus, il reste

$$ I(\tilde{k}, \tilde{k}') \sim \frac{-8\pi^2}{(6\gamma\tilde{q}^3)^{1/2} \tilde{k}' [w - (3\gamma/8)\tilde{q}(\tilde{k} - \tilde{q}/2)^2]^{3/2}} \quad (130) $$

<footnote>$^{67}$Si $\tilde{k}_0$ se trouve au bord de $\mathcal{D}_1^B$, le voisinage de $\tilde{k}_0$ se réduit à $[\tilde{k}_0, \tilde{k}_0 + \varepsilon]$ ou $[\tilde{k}_0 - \varepsilon, \tilde{k}_0]$ et il y a divergence en racine carrée car $\int_0^+ d\kappa/(w - \kappa)^{3/2} = -2/w^{1/2}$. Cette divergence est sous-dominante et ignorée ici.</footnote>
ce que l'on peut reporter dans l'intégrande de (57), en remplaçant de plus $\bar{k}$ par $\bar{k}_0 = \bar{q}/2$ dans tous les autres facteurs et dans la borne supérieure d'intégration sur $\bar{k}'$. On change ensuite l'ordre d'intégration. Dans l'intégrale maintenant intérieure sur $\bar{k}$ à $\bar{k}'$ fixé, il ne reste plus que

$$ \int_0^{\bar{q}} \frac{d\bar{k}}{[w - (3\gamma/8)\bar{q}(\bar{k} - \bar{q}/2)^2]^{3/2}} \sim \left(\frac{8}{3\gamma\bar{q}}\right)^{1/2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d\kappa}{(w - \kappa^2)^{3/2}} = \left(\frac{8}{3\gamma\bar{q}}\right)^{1/2} \frac{2}{i\bar{w}} \quad (131) $$

où nous avons effectué le changement de variable $\bar{k} = \bar{q}/2 + [8/(3\gamma\bar{q})]^{1/2}\kappa$, étendu les bornes d'intégration sur $\kappa$ à $\pm\infty$ sans changer le comportement dominant et utilisé l'équation (129). Nous obtenons finalement la partie divergente du diagramme $B_1$ :

$$ \tilde{\Sigma}_{B_1}^{(4,2)}(\bar{q}, \tilde{\zeta}) \stackrel{\text{Im}\tilde{\zeta} > 0}{\sim}_{\tilde{\zeta} \to \tilde{\zeta}_0} \frac{\bar{q}^3 (\bar{n}_{q/2}^{\text{lin}} + 1/2)}{24i\pi^2 \gamma(\tilde{\zeta} - \tilde{\zeta}_0)} \left(\frac{9(1+\Lambda)^2}{8\rho\xi^2}\right)^2 \int_0^{\bar{q}/2} d\bar{k}' \bar{k}'(\bar{k}' - \bar{q}/2) (\bar{n}_{\bar{k}'}^{\text{lin}} - \bar{n}_{\bar{k}'-\bar{q}/2}^{\text{lin}}) \quad (132) $$

Le diagramme $B_2$ se traite de la même façon et donne une contribution divergente similaire (avec un préfacteur double et l'intégrale sur $\bar{k}'$ allant de $\bar{q}/2$ à $\eta$). Les diagrammes $B_3$ et $B_4$ sont sous-dominants en $\epsilon$ car $s_5 \neq s_2$ et doivent être omis ici. Les diagrammes $B_5$ et $B_6$ conduisent à un coefficient $A_1^B(\bar{k}) = (3\gamma/8)\bar{q}\bar{k}(\bar{k}+\bar{q})$ strictement croissant sur l'intervalle d'intégration $\bar{k} \in [0, \eta-\bar{q}]$ donc ne peuvent contribuer à la divergence linéaire (127). Les diagrammes $B_7$ et $B_8$ ont le même problème, avec $A_1^B(\bar{k}) = (3\gamma/8)\bar{q}\bar{k}(\bar{k}-\bar{q})$ et $\mathcal{D}_1^B = [\bar{q}, \eta] > \bar{q}/2$. Il reste à regrouper les contributions de $B_1$ et $B_2$ pour obtenir (127), dont l'expression entre crochets dans le cas du champ quantique tend vers $-\bar{q}(16\pi^2 + \bar{q}^2)/48$ lorsque $\eta \to +\infty$.

Pour terminer, expliquons pourquoi les diagrammes à pont ne contribuent pas à la divergence linéaire (127) sur l'exemple du diagramme $P_1$ (tous les $s_i = 1$, $\mathcal{D}_1^P = [0, \bar{q}]$ et $\mathcal{D}_2^P(\bar{k}) = [0, \bar{k}]$, type II). Comme l'avait remarqué la section 4.3, l'intégrale angulaire (68) diverge linéairement en un certain $\tilde{\zeta} = X_0(\bar{k}, \bar{k}')$ si les lieux d'annulation des trois facteurs au dénominateur de (68) se croisent en un même point dans le plan $(\tilde{\theta}, \tilde{\theta}')$. La condition de triple intersection dans le cas général $X_0 \neq 0$ s'obtient en remplaçant tous les coefficients $A_i^P$ par $A_i^P - X_0$ dans (87); l'équation du second degré sur $X_0$ qui en résulte admet la solution nulle évidente, à laquelle s'était implicitement limitée la section 4.3, et une deuxième racine réelle, $X_0(\bar{k}, \bar{k}') = -3\gamma\bar{k}(\bar{k}-\bar{q})\bar{k}'(\bar{k}'-\bar{q})/(2\bar{q})$; cette dernière conduit à une triple intersection dans le plan $(\tilde{\theta}, \tilde{\theta}')$, aux points de coordonnées $\pm[\sqrt{3\gamma}/(2\bar{q})]((\bar{q}-\bar{k})(\bar{q}-2\bar{k}'), -(\bar{q}-2\bar{k})(\bar{q}-\bar{k}'))$, si on ajoute les contraintes $\bar{k} > \bar{q}/2$ et $\bar{k}' < \bar{q}/2$ pour avoir les bons signes dans les coefficients des petits écarts $(\tau, \tau')$ à ces points (sans quoi, comme dans (88), il n'y a pas de divergence). Alors, en procédant comme dans (88), on obtient la partie divergente de l'intégrale angulaire (pour $\tilde{\zeta} \to X_0$ par parties imaginaires positives),

$$ K_{\text{div}}(\bar{k}, \bar{k}') = \frac{-32\pi^2}{3\gamma\bar{q}\bar{k}\bar{k}'(\bar{k}-\bar{k}') [\tilde{\zeta}-X_0(\bar{k}, \bar{k}')]} \quad (133) $$

à intégrer sur $(\bar{k}, \bar{k}') \in [\bar{q}/2, \bar{q}] \times [0, \bar{q}/2]$ après multiplication par la même fonction de $(\bar{k}, \bar{k}')$ que dans (67). Or $X_0(\bar{k}, \bar{k}')$ admet un minimum parabolique, situé en $(\bar{k}, \bar{k}') = (\bar{q}/2, \bar{q}/2)$ et valant précisément $\tilde{\zeta}_0!$ La singularité (133) survivra donc à l'intégration sur les nombres d'onde si $\tilde{\zeta} \to \tilde{\zeta}_0$ comme dans (127). Effectuons alors le changement de variables $(\bar{k} = \kappa + \bar{q}/2, \bar{k}' = -\kappa' + \bar{q}/2)$ et traitons $w = \tilde{\zeta} - \tilde{\zeta}_0, \kappa^2$ et $\kappa'^2$ comme des infiniment petits du même ordre. En écrivant la fonction en facteur de $[\tilde{\zeta} - X_0(\bar{k}, \bar{k}')]^{-1}$ à l'ordre dominant en $\kappa$ et $\kappa'$ et en remplaçant le pôle $X_0(\bar{k}, \bar{k}')$ par son approximation quadratique en $\kappa$ et $\kappa'$ près du minimum, nous obtenons l'équivalent

$$ \tilde{\Sigma}_{P_1}^{(4,2)}(\bar{q}, \tilde{\zeta}) \stackrel{\text{Im}\,w > 0}{\sim}_{w \to 0} (\bar{q}/2)^4 \left(\frac{9(1+\Lambda)^2}{8\rho\xi^2}\right)^2 \left(2\bar{n}_{q/2}^{\text{lin}} + 1\right) \frac{(-32\pi^2)}{3\gamma(2\pi)^4} \int_0^{\bar{q}/2} d\bar{k} \int_0^{\bar{q}/2} d\kappa' \frac{1}{\kappa + \kappa'} \frac{1}{w - (3\gamma\bar{q}/8)(\kappa^2 + \kappa'^2)} \quad (134) $$

On peut étendre les bornes d'intégration $\bar{q}/2$ à $+\infty$ sans perdre l'équivalence. L'intégrale double se calcule alors facilement en coordonnées polaires $(K, \alpha)$ où $K = (\kappa^2 + \kappa'^2)^{1/2}$ décrit $\mathbb{R}^+$ et $\alpha$ décrit
[0, π/2]. On trouve finalement une divergence en racine carrée, ∝ (ζ̃ − ζ̃₀)⁻¹/², sous-dominante dans (127).

**Annexe E. Le signal aux temps longs dans la limite $(\rho\xi^2)^{-1} \to 0$ des théories non perturbatives**

Nous obtenons ici le comportement asymptotique (111) du signal associé à la fonction énergie propre $\tilde{\Sigma}_{\text{corr}\infty}^{(2,2)}(\bar{q}, \zeta)$ de l'équation (107). À cette fin, nous appliquons la technique de l'annexe B en rabattant le chemin d'intégration $C_+$ dans (6) sur la ligne de coupure de $\tilde{\Sigma}_{\text{corr}\infty}^{(2,2)}(\bar{q}, \zeta)$ située sur $i\mathbb{R}^-$ et décrite paramétriquement par $\zeta = -i\hat{y}$, $\hat{y} \ge 0$ (cette ligne de coupure est l'ensemble des valeurs de $\zeta$ annulant le dénominateur de l'intégrande dans (107)). En transposant l'équation (115) au présent cas, nous obtenons

$$
\begin{equation}
\begin{split}
s_{\text{corr}\infty}^{(2,2)}(t) \underset{\tilde{t} \to +\infty}{\sim} \int_0^{+\infty} \frac{d\tilde{y}}{2\pi} \frac{\delta\sigma_{\tilde{q}}(\tilde{y}) \exp(-\tilde{y}\tilde{t})}{\left[\tilde{\Sigma}_{\text{corr}\infty}^{(2,2)}(\tilde{q}, 0)\right]^2} \\
\text{où } \delta\sigma_{\tilde{q}}(\tilde{y}) = \tilde{\Sigma}_{\text{corr}\infty}^{(2,2)}(\tilde{q}, 0^+ - i\hat{y}) - \tilde{\Sigma}_{\text{corr}\infty}^{(2,2)}(\tilde{q}, 0^- - i\hat{y}) \quad (135)
\end{split}
\end{equation}
$$

est la discontinuité de la fonction énergie propre à travers sa ligne de coupure à la distance $\hat{y}$ de l'origine. L'identité au sens des distributions $1/(\hat{y} + i0^+) = \text{v.p.}(1/\hat{y}) - i\pi\delta(\hat{y})$ conduit à

$$
\begin{equation}
\begin{split}
\delta\sigma_{\bar{q}}(\hat{y}) = -\frac{4\pi}{\bar{q}^2} \int_{\bar{q}}^{\eta} d\bar{k} \int_{0}^{\eta-\bar{k}} d\bar{k}' \\
\qquad \bar{k}\bar{k}'(\bar{k}-\bar{q})(\bar{k}'+\bar{q})(\bar{n}_{k'+q}^{\text{lin}}-\bar{n}_{k'+k}^{\text{lin}})(\bar{n}_{k-q}^{\text{lin}}-\bar{n}_{k}^{\text{lin}})\delta\left(\hat{y}-\bar{k}'(\bar{k}-\bar{q})\frac{\tilde{\Gamma}_{\bar{k}-\bar{q}}+\tilde{\Gamma}_{\bar{k}'}}{2\bar{q}(\bar{k}+\bar{k}')}\right)
\end{split}
\tag{136}
\end{equation}
$$

Dans la limite $\tilde{t} \to +\infty$, la fonction exponentielle dans (135) limite l'intégrale à des valeurs arbitrairement faibles de $\hat{y}$ et il suffit de connaître le comportement dominant de $\delta\sigma_{\bar{q}}(\hat{y})$ lorsque $\hat{y} \to 0^+$. Comme les taux réduits $\tilde{\Gamma}_{\bar{k}}$ ne peuvent pas tendre vers zéro, l'argument du Dirac dans (136) ne peut s'annuler dans la limite $\hat{y} \to 0$ que si $\bar{k}'$ ou $\bar{k} - \bar{q}$ est infinitésimal. Pour un choix arbitraire d'une borne $\varepsilon$ non infinitésimale mais $\ll 1$, on peut donc limiter le domaine d'intégration sur $\bar{k}$ et $\bar{k}'$ aux deux parties, (i) $\bar{k} \in [\bar{q}, \bar{q} + \varepsilon]$, $\bar{k}' \in [0, \eta - \bar{k}]$ et (ii) $\bar{k} \in [\bar{q} + \varepsilon, \eta - \varepsilon]$, $\bar{k}' \in [0, \varepsilon]^6$. Dans la partie (i) du domaine d'intégration, on a $\bar{k} - \bar{q} \le \varepsilon \ll 1$ donc on peut remplacer les différentes quantités dépendant de $\bar{k}$ dans (136) par leur développement limité en $\bar{k} = \bar{q}$ à l'ordre dominant, par exemple $(\bar{k} - \bar{q})(\bar{n}_{k-q}^{\text{lin}} - \bar{n}_{k}^{\text{lin}}) \approx 1$, $\bar{n}_{k'+q}^{\text{lin}} - \bar{n}_{k'+k}^{\text{lin}} \approx (\bar{k} - \bar{q})(-d/d\bar{k}')\bar{n}_{k'+q}^{\text{lin}}$ ou $\tilde{\Gamma}_{\bar{k}-\bar{q}} \approx \tilde{\Gamma}_0$ et la borne supérieure d'intégration sur $\bar{k}'$ peut être remplacée par $\eta - \bar{q}$. L'argument du Dirac dans (136) devient une fonction affine de $\bar{k} - \bar{q}$ ce qui permet d'intégrer facilement sur $\bar{k}$ :

$$
\begin{align}
\delta\sigma_{\bar{q}}^{(i)}(\hat{y}) &\approx -16\pi\bar{q}\hat{y} \int_0^{\eta-\bar{q}} d\bar{k}' \frac{(\bar{k}'+\bar{q})^3}{(\tilde{\Gamma}_0 + \tilde{\Gamma}_{\bar{k}'})^2} \left(-\frac{d}{d\bar{k}'} \bar{n}_{\bar{k}'+q}^{\text{lin}}\right) Y\left(\varepsilon - \frac{2(\bar{k}'+\bar{q})\bar{q}\hat{y}}{\bar{k}'(\tilde{\Gamma}_0 + \tilde{\Gamma}_{\bar{k}'})}\right) \tag{137} \\
&\approx -16\pi\bar{q}\hat{y} \int_{\bar{q}^2\hat{y}/\varepsilon\tilde{\Gamma}_0}^{\eta-\bar{q}} \frac{d\bar{k}'}{\bar{k}'} \frac{(\bar{k}'+\bar{q})^3}{(\tilde{\Gamma}_0 + \tilde{\Gamma}_{\bar{k}'})^2} \left(-\frac{d}{d\bar{k}'} \bar{n}_{\bar{k}'+q}^{\text{lin}}\right) \nonumber
\end{align}
$$

La forme du troisième membre de (137) repose sur le raisonnement suivant : si $\hat{y} \to 0$ à $\varepsilon$ fixé, l'argument de la fonction de Heaviside $Y$ au second membre est strictement positif, sauf si $\bar{k}' \to 0$; au bord du support de cette fonction $Y$, on a donc $\bar{k}' \ll 1$, ce qui autorise à remplacer dans son argument le deuxième terme par son approximation d'ordre dominant en $\bar{k}'$; ceci fait apparaître $Y(\varepsilon - \bar{q}^2\hat{y}/\bar{k}'\tilde{\Gamma}_0)$, d'où la borne inférieure annoncée dans l'intégration sur $\bar{k}'$. Dans la

<footnote>$^{68}$On remarque dans la partie (ii) que, si $\bar{k} \le \eta - \varepsilon$, on a $\varepsilon \le \eta - \bar{k}$ donc $\bar{k}'$, qui doit rester $\le \eta - \bar{k}$, peut effectivement aller jusqu'à $\varepsilon$. On vérifie par ailleurs que le « bout manquant » $\bar{k} \in [\eta - \varepsilon, \eta]$, $\bar{k}' \in [0, \varepsilon]$ donne une contribution en $O(\hat{y}\varepsilon)$ négligeable à $\delta\sigma_{\bar{q}}(\hat{y})$.</footnote>
partie (ii) du domaine d'intégration, on procède de même : comme $\bar{k}' \le \varepsilon \ll 1$, on remplace les différentes quantités dans (136) par leur ordre dominant en $\bar{k}'$. L'argument du Dirac devenant une fonction affine de $\bar{k}'$, on intègre sur cette variable; la fonction

$$Y \left( \varepsilon - \frac{2 \bar{q} \bar{k} \bar{y}}{(\bar{k} - \bar{q}) (\bar{\Gamma}_{\bar{k}-\bar{q}} + \bar{\Gamma}_0)} \right)$$

qui en résulte est inopérante lorsque $\dot{y} \to 0$ car $\bar{k} - \bar{q}$ est ici $\ge \varepsilon$, d'où

$$\delta\sigma_{\bar{q}}^{(ii)}(\dot{y}) \approx -16\pi\bar{q}\dot{y} \int_{\bar{q}+\varepsilon}^{\eta-\varepsilon} \frac{d\bar{k}}{\bar{k}-\bar{q}} \frac{\bar{k}^3}{(\bar{\Gamma}_{\bar{k}-\bar{q}} + \bar{\Gamma}_0)^2} (\bar{n}_q^{\text{lin}} - \bar{n}_k^{\text{lin}}) (\bar{n}_{k-q}^{\text{lin}} - \bar{n}_k^{\text{lin}}) \quad (138)$$

Il reste à passer à la limite $\varepsilon \to 0$ dans les résultats (137), (138). Pour cela, on sépare chaque intégrande en sa partie divergente infrarouge $\propto 1/\bar{k}'$ ou $\propto 1/(\bar{k} - \bar{q})$ et sa partie régulière$^{69}$. Dans l'intégrale des parties régulières, on peut faire tendre sans dommage $\varepsilon$ vers zéro dans les bornes. Dans l'intégrale des parties divergentes, faire de même donne naissance à des contributions dangereuses $\pm \ln \varepsilon$, mais qui ont le bon goût de se compenser exactement dans la somme des parties (i) et (ii). Finalement

$$\delta\sigma_{\bar{q}}(\dot{y}) = \frac{4\pi\bar{q}^4}{\dot{y}^{\bar{q}+1}} \left( -\frac{d}{d\bar{q}} \bar{n}_q^{\text{lin}} \right) \dot{y} \ln \dot{y} + C_{\bar{q}} \dot{y} + O(\dot{y}^2 \ln \dot{y}) \quad (139)$$

Pour alléger, nous ne donnons pas l'expression du coefficient $C_{\bar{q}}$ de la partie linéaire dans (139), auquel notre méthode donne pourtant accès. La forme du $O(\dots)$ dans (139) a en revanche été obtenue numériquement. Le report du terme dominant $\propto \dot{y} \ln \dot{y}$ dans (135) conduit au résultat annoncé (111).

## Déclaration d'intérêts

Les auteurs ne travaillent pas, ne conseillent pas, ne possèdent pas de parts, ne reçoivent pas de fonds d'une organisation qui pourrait tirer profit de cet article, et n'ont déclaré aucune autre affiliation que leurs organismes de recherche.

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$$\lim_{\bar{k} \to \bar{q}} (\bar{n}_q^{\text{lin}} - \bar{n}_k^{\text{lin}}) (\bar{n}_{k-q}^{\text{lin}} - \bar{n}_k^{\text{lin}}) = (-d/d\bar{q}) \bar{n}_q^{\text{lin}}.$$

<footnote>$^{69}$Pour calculer le coefficient de la partie divergente $1/(\bar{k} - \bar{q})$, on utilise le fait que</footnote>
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