de la nature inélastique des collisions entre grains. Par conséquent, un état stationnaire a besoin d'un flux constant d'énergie extérieure. En outre, par analogie au gaz moléculaire, nous pouvons définir une "température granulaire" [186] proportionnelle à l'énergie cinétique moyenne des particules. Cette notion généralisé de température est introduite *a priori* par intérêt théorique car elle permet d'utiliser une analogie themodynamique pour les milieux granulaires.

Le développement d'une description statistique des systèmes granulaires implique de faire la moyenne sur les lois 'microscopiques' des mouvements des particules afin d'obtenir les équations 'macroscopiques' des champs hydrodynamiques. Une base pour la dérivation des équations hydrodynamiques granulaires (analogues aux équations de Navier-Stokes) et pour la dérivation des relations constitutives (les coefficients de transport) est fournie par la théorie cinétique des gaz, modifiée pour tenir compte de l'inélasticité des collisions binaires. Les lois de conservation pour un fluide granulaire sont obtenues à partir d'une équation cinétique de type champ moyen, comme l'équation de Boltzmann. Le seul terme "non classique" est le taux de dissipation par collisions inélastiques, par volume et par unité de temps, dû aux collisions inélastiques.

Jenkins et Mancini [122, 123] ont introduit une extension de la théorie cinétique des gaz pour un mélange granulaire binaire. Cet état stationnaire forcé par un apport constant d'énergie peut s'assimiler à une condition "*d'équilibre thermodynamique*". Dans le contexte de la théorie RET (Revised Enskog Theory) pour des mélanges complexes [150], ils ont dérivé des lois de conservation et des relations constitutives pour un mélange binaire dense de particules régulières et pratiquement élastiques en supposant une distribution maxwellienne des vitesses. Des modifications importantes dans ces modèles ont été introduites par Arnarson et Willits [12, 234] et plus récemment par Alam et al. [5].

La plupart des modèles cinétiques sont basés sur la supposition d'équipartition de l'énergie cinétique. Néanmoins, les systèmes granulaires sont dissipatifs et l'équipartition de l'énergie n'a généralement pas lieu d'être. [114, 160, 170].

Dans cette thèse nous montrerons comment la non-équipartition d'énergie est un ingrédient important pour la dynamique du processus de ségrégation.

## Hydrodynamique granulaire et phénomène de ségrégation

Récemment, Jenkins, Louge et Arnarson ont développé des théories cinétiques pour la ségrégation de particules dans le cadre d'écoulements collisionnels de matière granulaire sèche [1, 10, 119, 120, 119, 121]. Dans Refs. [120] et [11], la vitesse de diffusion de chaque espèce est calculée dans le contexte d'une procédure de type Chapman-Enskog. Ils ont obtenu la différence des équations de conservation de l'impulsion pour chaque espèce et les gradients de pression partielle et en ont déduit les expressions des forces entre particules.

Pour des mélanges binaires de sphères inélastiques en présence d'un gradient de température, Arnarson et Willits [12] ont trouvé que les particules les plus grosses et les plus denses avaient tendance à être concentrées dans les régions froides. Ce résultat a été confirmé par des simulations numériques [97, 157, 171]. Cependant, ce mécanisme de ségrégation est une conséquence naturelle du gradient de température imposé et n'est donc pas relié directement à la nature des grains [97].

Récemment, Jenkins and Yoon [127] ont travaillé sur la transition *montant- descendant* en utilisant les équations hydrodynamiques pour les mélanges binaires. Leur théorie est en
bon accord avec le diagramme de phase de la transition BNP/RBNP introduite dans [108]. Le mécanisme de ségrégation dans le cadre hydrodynamique semble être différent du problème de transition percolation-condensation.

Ces théories sont le coeur même de la structure de cette thèse.

## Suppositions principales de cette thèse

Maintenant nous introduisons les suppositions suivantes:

(A) Un état uniformément fluide peut être rendu compte quand le milieu granulaire est vibré dans la direction verticale. Le mouvement typique de vibration est $z_0(t) = A_0 \sin(\omega_0 t)$, avec $A_0$ l'amplitude et $\omega_0 = 2\pi f$ la fréquence. Le paramètre d'accélération normalisé Eq.(2.1) satisfait $\Gamma \gg 1$.

(B) La matière granulaire dans le régime fluide peut être décrite au niveau macroscopique par des équations hydrodynamiques modifiées pour tenir compte des effets de dissipation.

(C) Dans les systèmes hors équilibre, le concept de température peut être généralisé pour tenir compte des contributions cinétiques et configurationnelles. Cependant, nous restreignons notre discussion au cas de systèmes subissant de grandes forces et nous supposons que la température granulaire est définie comme étant proportionnelle à l'énergie cinétique moyenne. Par conséquent, le rôle des températures configurationnelles est secondaire dans notre approche.

(D) Nous supposons que le système est dans un régime où la convexion peut être négligée. Cependant, la description de l'hydrodynamique pourrait être généralisée en considérant le couplage entre le mouvement de l'intrus et le flux de convexion.

(E) Nous imposons des conditions aux limites horizontales périodiques pour rendre les équations analytiquement utilisables. Par conséquent, il y a des variations de champ hydrodynamique seulement dans la direction verticale.

## Résultats principaux de cette thèse

I. Nous avons montré qu'une théorie hydrodynamique granulaire donne une description qualitative correcte de la dépendance en taille de la vitesse ascendante de ségrégation. La preuve réside en un nouveau mécanisme de ségrégation basé sur des forces de flottabilité.

II. La dissipation inélastique détermine les régimes de BNP et RBNP.

III. Nous avons identifié de nouveaux types de forces de ségrégation: en plus de la force d'Archimède nous avons introduit une force analogue à la force thermique de flottabilité et deux forces géométriques dues à la différence de taille entre l'intrus et les plus petites particules.
# Dynamique d'un seul intrus lors de la ségrégation par taille

Dans le Chapitre 3 nous proposons un mécanisme de ségrégation basé sur la différence de densité entre différentes régions du système donnant ainsi origine à une force de flottabilité qui agit sur l'intrus. La différence de densité résulte de la différence entre l'énergie cinétique moyenne dans la région autour de l'intrus et l'énergie cinétique moyenne dans la région sans intrus. La nature dissipative des collisions entre particules est responsable de cette différence et modifie la mobilité des particules. Dans ce chapitre nous restreignons notre analyse au cas d'un seul intrus à deux et trois dimensions.

## Formulation en milieu continu

Avant de donner les résultats du Chapitre 3, quelques définitions et notations sont nécessaires.

Considérons une particule intruse de masse $m_I$ et de rayon $r_I$ immergée dans un milieu granulaire. Le milieu granulaire est formé de N particules monodisperses, chacune de masse $m_F$ et de rayon $r_F$. La densité massique de toutes les particules est supposée identique. Les particules sont modélisées par des disques durs inélastiques ($d = 2$) ou par des sphères ($d = 3$) dans un volume $d$-dimensionnel $V = L^d$ de taille $L$. Le rapport de taille est noté $\phi = r_I/r_F$. Les particules interagissent par des collisions binaires. L'inélasticité est spécifiée par un coefficient de restitution $e \le 1$. Ce coefficient est supposé constant, indépendant de la vitesse de l'impact et identique pour toutes les particules (fluide granulaire et intrus).

Une limite continue est envisageable lorsque $N \gg 1$, quand les petites particules peuvent être considérées comme formant un fluide granulaire [93]. Pour développer une étude analytique, nous supposons qu'un fluide granulaire uniformément chauffé peut être décrit par les équations d'hydrodynamique [93] dérivant des théories cinétiques pour les systèmes granulaires [83, 119, 124, 125, 143]. Dans cette étude, nous nous concentrons sur un état stationnaire sans courant macroscopique.

La présence de l'intrus modifie la température locale du système à cause des collisions sur sa surface. Le nombre des collisions sur cette surface augmente avec la taille de la particule mais la densité locale d'énergie dissipée diminue. A partir de l'Eq.(3.5) nous pouvons calculer dans une sphère de rayon $r_0$ la valeur de la température dans le fluide granulaire en présence de l'intrus et la comparer avec la température du fluide granulaire sans intrus. Nous noterons dèsormais ces températures $T_1$ et $T_2$ respectivement (cf figure 3.1). Ceci est une méthode simple pour estimer la différence de température entre une région avec un intrus et une région sans, différence que l'on note $\Delta T_g = T_1 - T_2$. Dans la Section 3.3 nous dérivons une méthode heuristique pour estimer cette différence de température (cf Eqs.(3.41) et (3.53)).

A deux dimensions, nous avons:

$$ \Delta T_g = \left[ \left( \frac{\Theta_{AB} I_0(\lambda_F r_I) + K_0(\lambda_F r_I)}{\Theta_{AB} I_0(\lambda_F r_0) + K_0(\lambda_F r_0)} \right)^2 - \left( \frac{I_0(\lambda_F r_I)}{I_0(\lambda_F r_0)} \right)^2 \right] T_0 $$

Le facteur $\Theta_{AB}$ est obtenu à partir des conditions aux limites (cf Eq. (3.33)). Le facteur $\lambda_F$ (défini par Eq. (3.22)) couple la conductivité thermique (3.9) et le facteur de dissipation (3.13). $I_0$ et $K_0$ sont les fonctions de Bessel modifiées à l'ordre zéro.
A trois dimensions, nous avons

$$ \Delta T_g = \left[ \left( \frac{\Theta_{AB}i_0(\lambda_F r_I) + k_0(\lambda_F r_I)}{\Theta_{AB}i_0(\lambda_F r_0) + k_0(\lambda_F r_0)} \right)^2 - \left( \frac{i_0(\lambda_F r_I)}{i_0(\lambda_F r_0)} \right)^2 \right] T_0 $$

Dans ce cas, le facteur $\Theta_{AB}$ est défini par Eq. (3.48), $i_0$ et $k_0$ sont les fonctions de Bessel sphériques modifiées à l'ordre zéro.

Dans la Section 3.1.4, nous analysons la non-équipartition de l'énergie. Le rapport de température $\tau \equiv T_1/T_2$ entre la région avec intrus et la région sans est différent de 1. Dans le modèle présent cette absence d'équipartition est la conséquence d'une différence entre les taux de dissipation due aux collisions de particules de différentes tailles. Dans la limite élastique $e \to 1$ l'équipartition d'énergie est restorée ($\tau \to 1$). La figure 3.2 montre le comportement de $\tau$ en fonction du rapport de taille $\phi = r_I/r_F$ pour différentes valeurs du coefficient $e$. La différence de température granulaire augmente avec $\phi$ et dépend de $e$. Nous pouvons voir que $\tau$ est pratiquement constant et proche de 1 quand $e = 0.99$.

## Forces de ségrégation

Les résultats principaux du Chapitre 3 sont présentés dans la Section 3.3. Voici nos résultats:

Les forces de flottabilité proviennent des variations de densité dans un fluide soumis à la force de gravité. Dans notre modèle, la différence de densité est l'effet d'une différence de température granulaire entre les régions proches de l'intrus et les regions vides d'intrus. Nous affirmons que cette différence de densité conduit à une force de flottabilité $\mathbf{f}_b$ similaire à la poussée d'Archimède $\mathbf{f}_b = \Delta\rho V_I g$, $\Delta\rho = -\alpha\rho\Delta T_g$, $V_I = \frac{\Omega_d}{d} r_I^d$ est le volume d-dimensionnel de l'intrus et $g$ est le champ de gravité. Le coefficient de dilatation thermique $\alpha$ est obtenu dans la Section 3.2, Eqs. (3.57) et (3.61). L'intrus est aussi sujet à une force de traînée visqueuse de la part du fluide granulaire. Dans notre travail, la force de traînée $\mathbf{f}_d$ est supposée être une fonction linéaire de la vitesse de ségrégation $\mathbf{u}(t)$ de façon analogue à la force de traînée de Stokes $\mathbf{f}_d = -6\pi\mu r_I \mathbf{u}(t)$, où $\mu$ est le coefficient de viscosité du fluide granulaire (cf Eq. (3.64)). En conséquence la force totale de ségrégation est: $\mathbf{f}_{seg} = \mathbf{f}_b + \mathbf{f}_d$, et si nous prenons un repère positif dans le sens de la montée, l'évolution temporelle de la vitesse de ségrégation est donnée par:

$$ u(t) = \frac{\alpha \Delta T_g g t_0}{\phi^{1-d}} \left[ 1 - \exp \left( -\phi^{1-d} \frac{t}{t_0} \right) \right], $$

où l'échelle de temps $t_0$ est donnée par $t_0 \equiv \Omega_d \rho / (6\pi d \mu r_F^{1-d})$ et $\phi \equiv r_I / r_F$. La vitesse terminale vaut:

$$ u_s = \frac{\alpha \Delta T_g g t_0}{\phi^{1-d}}. $$

La loi horaire de la position verticale de l'intrus est donnée par:

$$ z(t) = \frac{\alpha \Delta T_g g t_0}{\phi^{1-d}} \left[ t - t_0 \phi \left( 1 - \exp \left( -\phi^{1-d} \frac{t}{t_0} \right) \right) \right]. $$

Pour estimer la température $T_0$ nous avons utilisé une propriété d'échelle entre la température granulaire et les paramètres expérimentaux $A_0$ et $\omega_0$ proposés par Sunthar et Kumaran pour les systèmes granulaires denses vibrofluidisés [220]:
$$T_0 = \frac{2\sqrt{2} m_F L (A_0 \omega_0)^2}{\pi N r_F (1 - e^2)}.$$

D'un point de vue qualitatif notre modèle reproduit assez bien la phénoménologie observée: un gros intrus migre vers le sommet de l'échantillon vibré, et la vitesse de montée augmente avec la taille de l'intrus. La vitesse de ségrégation de l'intrus $u(t)$ et la loi horaire de la hauteur $z(t)$ sont représentées dans Refs. [54, 65]. Cependant le modèle ne permet pas de décrire l'intermittence de l'ascension de l'intrus car seules les vitesses moyennes sont calculées.

La dépendence en taille de la ségrégation est explicite à partir de l'observation de la vitesse terminale $u_s$. Cette dernière est proportionnelle au rapport $\phi$ et à la différence de température $\Delta T_g$ qui dépend aussi du rapport de taille. Ceci est en accord avec les faits expérimentaux rapportés par Duran et al. [65], qui stipulent que plus l'intrus est gros plus l'ascension est rapide. La courbe de la solution $u_s$ (Fig. 3.5) décrit qualitativement les résultats expérimentaux de Ref. [65] pour $\phi > 4$. Dans cette expérience, Duran et al. affirment qu'il existe une taille seuil de ségrégation à $\phi_c = 3.3$ au-dessous de laquelle l'intrus ne montre pas de mouvement ascendant. L'aspect continue de notre modèle n'autorise pas l'existence d'un tel seuil. Nous pensons que cette contradiction est liée aux difficultés expérimentales des mesures dans ce régime.

## Conclusions

Nous avons dérivé une description phénoménologique continue de la ségrégation par taille d'un milieu granulaire. Nous proposons un mécanisme de ségrégation basé sur un transport dû à des forces de flottabilité provenant de la nature dissipative des collisions entre les grains. Le taux de dissipation collisionnel conduit naturellement à une différence de température entre les régions en présence d'un intrus et les régions vides d'intrus. Dans ce model, nous proposons que la présence d'un intrus induit un gradient de température dans le système, ce qui donne origine à une différence de densité. La différence de température est due au fait que la densité locale d'énergie dissipée diminue quand l'intrus grossit même si en apparence le nombre de collisions sur sa surface augmente. Par conséquent, la région autour de l'intrus est plus chaude que la région sans l'intrus. La variation de densité résultante induit à son tour une force de flottabilité responsable du mouvement ascendant de l'intrus.

Pour ce travail, nous avons utilisé les outils de la théorie cinétique des gaz pour calculer la température granulaire. Nous avons observé que le principe d'équipartition de l'énergie n'était pas valable. Ceci est en bon accord avec d'autres expériences et modèles. D'une certaine façon notre théorie unifie les différents aspects observés dans le phénomène de ségrégation. Les solutions explicites de la vitesse et de la hauteur de l'intrus sont calculées. L'effet géométrique d'un seuil de ségrégation n'apparaît pas dans notre modèle alors que la dépendance en taille de l'intrus est naturelle.

Dans la plupart des expériences de ségrégation la convexion granulaire est inévitable [54, 65, 141, 146, 149, 179, 225]. Il faut noter que des changements dans les parois de côté du récipient peuvent induire une transition d'écoulement vers le bas dans le centre du récipient et vers le haut le long des côtés [88, 139]. Cette situation a été observée dans les expériences de Knight et al. [141] dans lesquelles la particule intruse a un mouvement descendant au milieu d'un récipient conique. Cependant, malgré la présence de cet écoulement convectif,
il n'y pas d'influence discernable de la part de cette convexion sur la dépendance en taille
au centre du lit [54, 61, 64, 65, 149, 210, 211, 225], et nous en concluons que la convexion est
sans effet dans ce régime sur le mouvement de l'intrus.

Très récemment, des expériences [232] et des simulations numériques [201] ont montré
que le phénomène de convexion dans les fluides granulaires provenait de l'effet de gradients
spontanés de température granulaire dus à la nature dissipative des collisions. Ces gradients
de température induisent des variations de densité. Les rouleaux de convexion sont le
résultat d'effets de flottabilité initiés par une augmentation de la dissipation sur les bords
et par une tendance des grains du centre à monter. Ainsi, ce mécanisme de ségrégation
pourrait faire l'objet d'une description hydrodynamique proposée dans notre travail avec
des conditions aux bords appropriées.

Dans le régime de convexion une force de trainée additionnelle devrait apparaître per-
mettant de coupler le mouvement de l'intrus et le courant de convexion. De nouvelles
études doivent être effectuées pour déduire les forces associées avec les forces de trainée
convectives et avec la géométrie du récipient.

Dans le Chapitre 3 nous avons seulement considéré le cas de la dépendance en taille
pour la ségrégation d'un unique intrus dans un milieu granulaire.
## Mouvement ascendant et descendant

Dans le Chapitre 4 nous explorons les dépendances en taille et densité de l'intrus pour la ségrégation dans le cadre du modèle hydrodynamique que nous avons introduit dans le Chapitre 3. Nous analysons la transition mouvement ascendant/mouvement descendant.

## Dynamique de la ségrégation: compétition entre forces de flottabilité et forces thermiques

Avant de donner les résultats du Chapitre 4, quelques définitions et notations sont nécessaires.

Considérons une particule intruse de densité massique $ρ_I$ différente de la densité massique $ρ_F$ du fluide granulaire. Le mécanisme de ségrégation doit inclure les forces suivantes:

1. La poussée d'Archimède $\mathbf{f}_A$: résultant de la différence de densité entre, d'une part, celle de l'intrus $ρ_I$ et, d'autre part, celle du fluide granulaire $ρ_F$, le tout en présence d'un champ gravitationnel $\mathbf{g}$,

$$ \mathbf{f}_A = (\rho_F - \rho_I)V_I\mathbf{g}. $$

2. La force de flottabilité thermique $\mathbf{f}_T$: elle est le résultat des variations de densité dues aux différences de "températures granulaires" locales $\Delta T_g$ (Eq. (3.62), Sec. 3.3),

$$ \mathbf{f}_T = \Delta\rho_F V_I \mathbf{g}, $$

avec $\Delta\rho_F = \rho'_F - \rho_F = -\alpha\rho_F\Delta T_g$ (où $\rho'_F = \rho_F(1 - \alpha\Delta T_g)$). $\Delta\rho_F$ est la variation de densité causée par le processus de dilatation thermique.

3. La force de traînée $\mathbf{f}_d$: nous la supposons être une fonction linéaire de la vitesse de ségrégation $\mathbf{u}(t)$ [6, 238]. Elle s'apparente à la force de traînée de Stokes (Eq. (3.63), Section 3.3),

$$ \mathbf{f}_d = -6\pi\mu r_I \mathbf{u}(t), $$

où $\mu$ est le coefficient de viscosité (cf Appendix A, Chapter 3.)

Si le repère est pris positif dans le sens de la montée, l'équation de mouvement qui gouverne le processus de ségrégation est:

$$ \frac{\Omega_d}{d} r_I^d \rho_I \frac{du(t)}{dt} = \frac{\Omega_d}{d} r_I^d [\rho_I - \rho_F(1 + \alpha\Delta T_g)] g - 6\pi\mu r_I u(t), $$

et l'évolution temporelle de la vitesse de ségrégation s'écrit:

$$ u(t) = t_0 g \left[ \frac{\rho_F}{\rho_I} (1 + \alpha \Delta T_g) - 1 \right] \left( 1 - e^{-t/t_0} \right). $$

L'échelle de temps $t_0$ vaut $t_0 \equiv \Omega_d \rho_I r_I^{d-1} / (6\pi d\mu)$. La force de traînée $\mathbf{f}_d$ agit toujours dans la direction opposée de la vitesse de l'intrus. Par conséquent, le mouvement ascendant/descendant de l'intrus est exclusivement dû aux forces de flottabilité. Nous définissons la vitesse terminale (i.e. quand $t/t_0 \gg 1$):

$$ u_s = t_0 g \left[ \frac{\rho_F}{\rho_I} (1 + \alpha \Delta T_g) - 1 \right]. $$
Quand $u_s > 0$ le mouvement est ascendant (BNP). Dans le cas opposé, si $u_s > 0$, le mouvement est descendant (RBNP). D'après notre analyse, l'intrus monte lorsque $(1 + \alpha\Delta T_g)\rho_F/\rho_I > 1$ et descend quand $(1 + \alpha\Delta T_g)\rho_F/\rho_I < 1$. Quand $u_s = 0$, il n'y a ni mouvement ascendant, ni mouvement descendant. Une description complète demande de connaître la dépendance du rapport $T_1/T_2$ en fonction du rapport de masse $m_I/m_F$. Pour ce faire, nous avons besoin des résultats suivants issus de la section 3.3 (i.e., Eqs. (3.54) and (3.55)):

A deux dimensions

$$ \frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{I_0(\lambda_F r_0)[\Theta_{AB} I_0(\lambda_F r_I) + K_0(\lambda_F r_I)]}{I_0(\lambda_F r_I)[\Theta_{AB} I_0(\lambda_F r_0) + K_0(\lambda_F r_0)]} \right)^2, $$

et à trois dimensions

$$ \frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{i_0(\lambda_F r_0)[\Theta_{AB} i_0(\lambda_F r_I) + k_0(\lambda_F r_I)]}{i_0(\lambda_F r_I)[\Theta_{AB} i_0(\lambda_F r_0) + k_0(\lambda_F r_0)]} \right)^2. $$

## Analyse de la température et de la vitesse terminale

Les résultats principaux du Chapitre 4 sont présentés dans la Section 4.2. Voici nos résultats:

Les températures des régions avec et sans intrus sont différentes. Si $T_1/T_2 > 1$ la force thermique de flottabilité favorise le mouvement ascendant alors qu'elle favorise le mouvement descendant lorsque $T_1/T_2 < 1$.

La nature non linéaire de $T_1/T_2$ ne nous permet pas de calculer analytiquement la dépendance explicite du rapport de masse $m_I/m_F$ et du rapport de taille $\phi = r_I/r_F$. Par conséquent, nous avons déterminé numériquement le rapport de température $T_1/T_2$ en fonction du rapport de masse $m_I/m_F$ pour différentes valeurs de $\phi$. Nous avons pris $N = 5 \times 10^3$ particules avec une fraction volumique $\nu = 0.75$ et un coefficient de restitution $e = 0.95$, et $r_0 = L/2$. Nous avons considéré alors des petites particules de masse unitaire $m_F = 1$ et nous avons fait varier la masse de l'intrus suivant $m_I =xm_F$ avec $x$ allant de $x \simeq 0$ ($m_I \ll m_F$) à $x = 2$. La figure 4.1 représente la dépendance du rapport de température en fonction du rapport de masse à deux et trois dimensions. Cette figure nous permet de conclure qu'invariablement $T_1 > T_2$ et que la transition entre mouvement ascendant et mouvement descendant est simplement contrôlé par la poussée d'Archimède.

Grâce à la vitesse terminale $u_s$ nous avons la possibilité d'analyser la dépendance en rapports de taille, et de densité. Pour estimer la température granulaire $T_0$ nous utilisons la même relation d'échelle que celle de la Section 3.3: $T_0 = 2\sqrt{2m_F L(A_0\omega_0)^2/(\pi N r_F(1 - e^2))}$ et dans le cas tridimensionnel nous estimons la température granulaire comme $T_0 \sim m_F(A_0\omega_0)^2$.

Nous utilisons les paramètres suivant du modèle pour le calcul de $u_s$: $\rho_F = 2.7$, $r_F = 0.1$ cm, $e = 0.9$, $\nu = 0.75$, $N = 5 \times 10^3$, $g = 100$ cms$^{-2}$, $r_0 = L/2$, $A_0 = 2r_F$ cm, $\omega_0 = 5.81\sqrt{g/A_0}$ dans le cas bidimensionnel et $\omega_0 = 0.7\sqrt{g/A_0}$ dans le cas tridimensionnel. La figure 4.2 regroupe les résultats de nos calculs à deux et trois dimensions pour des rapports de taille allant de 1 à 10.

Ces résultats nous disent que la ségrégation est rapide dans des systèmes pour lesquels les petites particules sont plus denses que l'intrus. Pour des valeurs constantes de $\phi$, la
vitesse diminue quand le rapport de densité augmente., ce qui implique une augmentation du temps de montée. Enfin, lorsque la densité de l'intrus est plus grande que celle des petites particules, l'intrus s'enfonce $u_s < 0$. A rapport de densité fixé le taux de ségrégation augmente avec le rapport de taille. Ces résultats montrent les conditions de passage entre mouvement descendant et ascendant de l'intrus.

Le diagramme de phase pour la transition BNP/RBNP (cf Fig. 4.3.) est obtenu grâce à la dépendance de la vitesse de ségrégation $u_s$ vis à vis des rapports de masse et de taille.

## Discussion

D'un point de vue qualitatif, notre modèle est en accord avec la phénoménologie expérimentale décrite dans Refs. [2, 204]: plus la densité de l'intrus est grande plus sa tendance à monter est faible. A partir de Fig. (4.2) nous pouvons dire que la vitesse de ségrégation diminue quand la densité des particules augmente, le tout pour $ρ_I/ρ_F < 1$, ce qui a pour effet d'augmenter le temps de montée. De façon générale une particule légère monte plus rapidement qu'une particule lourde de même taille lorsque $ρ_I/ρ_F < 1$. Lorsque $ρ_I/ρ_F > 1$ l'intrus s'enfonce et dans ce cas la vitesse descendante de ségrégation augmente avec la densité et la taille. Notre modèle est aussi en accord avec le comportement qualitatif rapporté dans Ref.[219]: à temps égaux, la hauteur de l'intrus diminue lorsque le rapport de densité augmente. Dans ce cas, pour $ρ_I/ρ_F < 1$, à temps égaux la hauteur d'une particule légère est plus grande que celle d'une particule plus lourde mais de même taille. C'est la conséquence d'une plus grande vitesse de la particule légère.

En accord avec les résultats théoriques de Refs. [108, 127] et les simulations numériques de Ref. [108, 219], notre modèle prédit que l'intrus s'enfoncera si le rapport de densité augmente.

Nous ne pouvons pas faire une étude comparative avec les expériences réalisées dans Ref. [179] car ces expériences étudient l'effet de densité de l'intrus en présence de convexion et d'air interstitiel. Il est aussi difficile de faire des comparaisons avec Refs. [149, 217] où le rôle de l'inertie et de l'air intersitiel est aussi très important. Il est important de rappeler que les expériences réalisées par Shinbrot et Muzzio [217] ne correspondent pas aux conditions expérimentales typiques de l'effet de la noix du Brésil. Dans leurs expériences, les intrus sont placés à la surface du lit de sable vibré. Ils ont rapporté qu'un intrus lourd restait à la surface alors qu'un intrus plus léger s'enfonçait. Les conditions de bords pour un intrus dans ce protocole expérimental sont à la fois différentes et plus compliquées que celles d'un intrus immergé dans un milieu granulaire. Par conséquent, nous ne pouvons pas faire le rapprochement avec la transition de mouvement descendant/ascendant considéré dans Ref.[108].

Dans les expériences réalisées par Liffman et al. [149] le temps total de montée de l'intrus est inversement proportionnel à la densité de l'intrus. Ceci est, a priori, contraire à nos résultats. En effet, dans notre cas, comme la vitesse de ségrégation décroît avec la densité de l'intrus le temps de montée augmente. Cette contradiction apparente peut être comprise à partir de l'analyse de la procédure suivie par Liffman et al. pour changer la densité de l'intrus. Ils ont étudié le mouvement de disques placés à la base d'un lit granulaire vibré. Ils ont fait varier la densité des disques de même taille en perçant des trous dans ceux-ci. Les disques sont alors "transformés" en anneaux. L'inertie de ces deux objets et, plus important, le phénomène de dissipation d'énergie sont différents. Comme
l'énergie est dissipée pendant les collisions dues, entre autres, à l'excitation des modes internes de l'objet, le coefficient de restitution doit être différent. Dans le cadre de notre modèle, basé sur le concept de température granulaire, la densité d'énergie dissipée devrait être plus grande pour un anneau que pour un disque si bien que le disque est “plus chaud” que l'anneau. Les forces résultantes de flottabilité favorisent alors le mouvement ascendant dans le cas de l'anneau.
# Un nouveau mécanisme: Compétition entre flottabilité et forces géométriques

Dans le chapitre 6, à partir des équations hydrodynamiques de mélanges granulaires bi- naires, nous dérivons une équation d'évolution pour la vitesse relative des intrus. Nous montrons que cette dernière est couplée à l'inertie des petites particules. L'apparition du phénomène de ségrégation des noix du Brésil est expliquée comme le résultat de la compétition entre, d'une part, les forces de flottabilité, i.e. la poussée d'Archimède et une force de flottabilité due à la différence d'énergie des deux espèces granulaires, et, d'autre part, les forces géométriques, une de compression et l'autre de traction due à la différence de taille. Nous montrons que la dissipation inélastique affecte fortement le diagramme de phase du phénomène des noix du Brésil.

## Hydrodynamique des milieux granulaires

*Avant de donner les résultats du Chapitre 6, quelques définitions et notations sont nécessaires.*

Considérons un mélange binaire de particules régulières (disques/sphères), légèrement inélastiques, de rayons $r_i$ ($i = l, s$, où $l$ signifie gros (large) et $s$ petit (small)), de masses $m_i$ et de densités en nombre $n_i$. La densité massique d'espèce est $\rho_i(\mathbf{x}, t) = m_i n_i = \rho_i \phi_i$, où $\rho_i$ est la densité massique de l'espèce $i$ et $\phi_i$ sa fraction volumique. La densité massique totale, $\rho(\mathbf{x}, t)$, et la densité totale en nombre, $n(\mathbf{x}, t)$, sont simplement la somme sur les valeurs respectives de chaque espèce. La nature dissipative des collisions est prise en compte dans le coefficient normal de restitution $e_{ij}$, avec $e_{ij} = e_{ji}$ et $0 \le e_{ij} \le 1$.

En supposant un écoulement unidirectionnel ($\mathbf{u}_i = (0, u_i(y, t), 0)$; $\partial/\partial x = 0$, $\partial/\partial z = 0$ et $\partial/\partial y \neq 0$) et en négligeant les contraintes de viscosité, l'équation de conservation de l'impulsion pour chaque espèce $i$ peut se réduire à [122]:

$$ \rho_i \frac{\partial u_i}{\partial t} = - \frac{\partial p_i}{\partial y} - \rho_i g + \Gamma_i, $$

(remarquons que les équations de conservation de la masse satisfont les mêmes équations lors d'un écoulement unidirectionnel.) $p_i$ est la pression partielle de l'espèce $i$ et $g$ l'accélération gravitationnelle agissant le long de l'axe $y$ négatif. $\Gamma_i$ est le terme de source impulsionnelle qui provient uniquement des interactions entre particules de différentes espèces et $\sum_{i=l,s} \Gamma_i = 0$ [122]. L'hypothèse de contraintes visqueuses négligeables est justifiée s'il n'y a pas d'écoulement d'ensemble du système ou si les variations spatiales de $u_i(y, t)$ sont petites.

Pour obtenir des relations constitutives des pressions partielles nous prenons en compte la non-équipartition d'énergie entre les deux espèces (dans l'équation d'état) comme on peut le voir dans plusieurs études théoriques et numériques récentes [4, 19, 122] et qui est confirmé dans des expériences de vibrofluidisation [75]. Nous supposons que la fonction de distribution de vitesse d'une seule particule de l'espèce $i$ est une maxwellienne, $f_i(\mathbf{c}, \mathbf{z}, t) = n_i (m_i/(2\pi T_i))^{d/2} \exp(-m_i(\mathbf{c} - \mathbf{u}_i)^2/(2T_i))$, avec une température granulaire propre $T_i = \frac{m_i}{d} < \mathbf{C}_i \cdot \mathbf{C}_i >$ où $d = 2$ pour des disques et $d = 3$ pour des sphères. $\mathbf{C}_i = \mathbf{c}_i - \mathbf{u}$ est la vitesse particulière, $\mathbf{c}_i$ la vitesse instantanée particulière et $\mathbf{u} = \rho^{-1} \sum_{i=l,s} \rho_i \mathbf{u}_i$ la
vitesse du mélange. L'équation d'état pour la pression partielle de l'espèce i donne [122]
pᵢ = nᵢZᵢTᵢ, où Zᵢ := (1 + Σⱼ=1,ₙ Kᵢⱼ) est le facteur de compressibilité de l'espèce i, et
Kᵢⱼ := φⱼgᵢⱼ (1 + Rᵢⱼ)ᵈ/₂, où gᵢⱼ est la fonction de distribution radiale et Rᵢⱼ = rᵢ/rⱼ le
rapport de taille. Remarquons que les Kᵢⱼ sont reliés à la partie collisionnelle de la pression
partielle, et Zᵢ → 1 dans la limite diluée φ → 0.

Après quelques manipulations algébriques avec les équations de conservation de l'impulsion et l'équation d'état, nous obtenons l'équation d'évolution pour la vitesse relative des plus grosses particules, $u_l^r = u_l - u_s$:

$$
\varrho_l \frac{\partial u_l^r}{\partial t} = n_l \left[ m_s \left( \frac{Z_l}{Z_s} \frac{T_l}{T_s} \right) - m_l \right] g + \left[ 1 + \frac{p_l}{p_s} \right] \Gamma_l + p_l \frac{\partial}{\partial y} \left[ \ln \left( \frac{p_s}{p_l} \right) \right] - \varrho_s \left( \frac{\varrho_l}{\varrho_s} - \frac{p_l}{p_s} \right) \frac{\partial u_s}{\partial t}.
$$

Une expression explicite pour le terme de source impulsionnelle, Γ_l, s'obtient en utilisant une fonction de distribution maxwellienne des vitesses [122] (cf Eq. (6.7)). Avec l'hypothèse supplémentaire de faibles gradients en densité de nombre d'espèces et en énergie granulaire, et en retenant seulement les termes de même ordre dans la limite d'un seul intrus n_l << n_s, l'équation d'évolution se simplifie considérablement:

$$
m_l \frac{du_l^r}{dt} = \left[ m_s \left( \frac{Z_l}{Z_s} \frac{T_l}{T_s} \right) - m_l \right] g - \frac{4K_{ls}T}{r_{ls}} \left( \frac{2m_l m_s}{\pi m_{ls} T} \right)^{1/2} + \left[ m_s \left( \frac{Z_l}{Z_s} \frac{T_l}{T_s} \right) - m_l \right] \frac{du_s}{dt},
$$

où $T := n^{-1} \sum_{i=l,s} n_i T_i = \sum_{i=l,s} \xi_i T_i$ est l'énergie du *mélange* granulaire, $\xi_i := n_i/n$ la
fraction en nombre de l'espèce $i$, $m_{ls} := m_l + m_s$ et $r_{ls} := r_l + r_s$. Le premier terme
du membre de droite de l'équation est la force nette de gravitation agissant sur l'intrus,
le second est une force de traînée à la Stokes et le troisième représente un couplage de
l'intrus avec l'inertie des plus petites particules. Ainsi, dans les situations classiques où
l'on peut négliger le dernier terme (e.g. si l'intrus est plus lourd que les petites particules),
nous obtenons l'équation d'évolution familière où l'inertie de l'intrus est contrebalancé par
la force nette de gravitation et la force de traînée. C'est seulement dans cette situation
que le jeu entre la force de gravitation et la force de traînée décidera éventuellement du
sens du mouvement de l'intrus. Dans cette analyse, nous sommes seulement intéressés par
la solution stationnaire de l'équation ci-dessus, et nous allons voir plus bas que le terme
de couplage n'influence pas l'apparition de la ségrégation. Après avoir négligé les effets
transitoires, la vitesse stationnaire relative de l'intrus prend la forme suivante:

$$
u_l^r = \frac{r_{ls} g}{4 K_{ls}} \left( \frac{\pi m_{ls}}{2 m_l m_s T} \right)^{1/2} \left[ m_s \left( \frac{Z_l}{Z_s} \frac{T_l}{T_s} \right) - m_l \right].
$$

En imposant cette vitesse égale à zéro, nous obtenons le critère pour la transition BNP/RBNP: $(Z_l/Z_s)(T_l/T_s) = m_l/m_s$, ce qui est en accord avec l'expression de Jenkins et Yoon [127] pour le cas d'énergies granulaires identiques ($T_l = T_s$), i.e, $m_s(Z_l/Z_s) - m_l = 0$.

Force de ségrégation

Les résultats principaux du Chapitre 6 sont présentés dans la Section 6.3. Voici
nos résultats:
Pour comprendre l'origine de la ségrégation dans le cadre présent, nous devons décomposer la force nette de gravitation pour un unique intrus de la manière suivante:

$$F = g \left[ (\rho_s - \rho_l)V_l + m_s \left(\frac{T_l}{T_s} - 1\right) \frac{Z_l}{Z_s} + m_s \left(1 - \frac{V_l}{V_s}\right) + m_s \left(\frac{Z_l}{Z_s} - 1\right) \right],$$

où $V_l$ est le volume d'une particule de l'espèce i. Le premier terme, $F_B^A := V_l(\rho_s - \rho_l)g$, est la poussée effective d'Archimède résultant du volume déplacé de l'intrus ($V_l$). Le second terme, $F_B^T \propto (T_l - T_s)$, représente la force de flottabilité due à la différence entre les énergies des deux espèces granulaires (forces pseudo-thermiques de flottabilité). Le troisième terme est défini négatif, et s'annule si l'intrus et les petites particules ont la même taille. Remarquons que $\epsilon_v^{st} := (V_l/V_s - 1)$ est la déformation volumique. Ainsi, $F_{ge}^{st} := -m_s g \epsilon_v^{st}$ est une force statique de compression qui permet de surmonter la déformation volumique de compression provenant de la disparité de taille entre l'intrus et les particules plus petites. Le quatrième terme $\propto (Z_l/Z_s - 1)$ s'annule dans la limite diluée $\phi \to 0$. Nous pouvons montrer que $(Z_l/Z_s - 1)$ s'annule aussi indépendemment de la fraction totale de volume, dans la condition que les particules soient de même taille. Par conséquent, l'origine de cette force est aussi liée à la disparité de taille comme pour le troisième terme $F_{ge}^{st}$. Nous pouvons faire une interessante interprétation physique dans la limite dense avec un unique intrus ($\phi_l \ll \phi_s$): $(Z_l/Z_s - 1) \propto R_{ls}^d$ pour $R_{ls} \gg 1$. Dans ce cas, $\epsilon_v^{dyn} := (Z_l/Z_s - 1) \ge 0$ peut être associé à une déformation volumique de traction. Ainsi, $F_{ge}^{dyn} := m_s g \epsilon_v^{dyn}$ est une force de traction dynamique qui résulte de l'excès de différence de pression dû au caractère non idéal (collisionnel) des interactions entre l'intrus et les plus petites particules déplacées.

En conséquence, les effets géométriques dus à la disparité de taille contribuent à deux nouveaux types de force de ségrégation:

$$F_{ge} = F_{ge}^{st} + F_{ge}^{dyn} = -m_s \left( \epsilon_v^{st} - \epsilon_v^{dyn} \right) g.$$

La première est une force statique de compression et la dernière une force dynamique de traction. Dans l'ensemble, les interactions collisionnelles aident à réduire la force nette de compression que l'intrus doit surmonter.

Pour clarifier notre mécanisme de ségrégation, nous montrons en Fig. 6.1. les variations des différentes forces de ségrégation en fonction du rapport de taille dans le cas bidimensionnel d'un système de particules de densités égales ($\rho_l = \rho_s$), dans la limite d'un unique intrus ($\phi_l/\phi_s = 10^{-8}$), avec une fraction totale de solide $\phi = 0.7$ et un coefficient de restitution pris égal à 0.9. Dans ce cas, la poussée d'Archimède est nulle et la force totale géométrique reste négative comme on peut le voir dans le cadre inséré supérieur de la Fig. 6.1. La force pseudo-thermique de flottabilité est, elle, positive. Par conséquent, la compétition entre force de flottabilité pseudo-thermique et forces géométriques mène à un rapport de taille critique au-dessus duquel, dans ce cas, l'intrus montera. (Concernant le cas correspondant purement élastique ($e = 1$ et $F_B^T = 0$), la force nette vaut $F = F_{ge} < 0$ donc la grosse particule s'enfoncera). Ce mécanisme vaut pour le cas plus général ($\rho_l \neq \rho_s$ et $F_B^A \neq 0$) pour lequel la force totale de flottabilité ($F_B = F_B^A + F_B^T$) est en compétition avec les forces géométriques ($F_{ge} = F_{ge}^{st} + F_{ge}^{dyn}$) lors de la transition BNP/RBNP; l'introduction de la dissipation change simplement le lieu du point de transition.
## Diagramme de phase

Fig. 6.2 montre un diagramme de phase typique dans la limite d'un unique intrus ($\phi_l/\phi_s = 10^{-8}$), délimitant les régimes entre BNP et RBNP, dans le cas bidimensionnel et avec d'autres paramètres que ceux de Fig. 6.1. (les caractéristiques qualitatives du diagramme de phase correspondant pour le cas tridimensionnel sont similaires). Si nous nous concentrons sur le cas purement élastique ($e = 1$), nous remarquons qu'une transition BNP/RBNP peut prendre deux chemins (décrits par deux flèches), une suivant un *rapport de masse constant* et une diminution du rapport de taille, et l'autre suivant un *rapport de taille constant* et une augmentation du rapport de masse. Dans les deux cas, la poussée d'Archimède équilibre les forces géométriques nettes au point de transition.

La comparaison entre les cas élastiques ($e = 1$) et inélastiques ($e = 0.9$) dans Fig. 6.2 montre clairement que la non-équipartition de l'énergie granulaire, responsable de la force pseudo-thermique de flottabilité $F_B^T$, a un effet important dans la réduction du régime de RBNP, et diminuer la valeur de $e$ réduit l'extension de ce régime. Dans le cas de mélange équivolumique ($\phi_l = \phi_s$), cependant, le régime de RBNP est beaucoup plus étendu que celui du cadre inséré gauche de la figure 6.2. Cette observation est en acord qualitatif avec les résulats expérimentaux récents de Breu *et al.* [33] qui ont trouvé que l'effet inverse des noix du Brésil est complètement détruit si $\phi_s \gg \phi_l$'.

Le cadre inséré droit de Fig. 6.2 montre que l'extension du régime RBNP augmente aussi lorsque la fraction volumique globale diminue. Puisque, lors des expériences de lit vibré, augmenter l'amplitude des secousses est équivalent à réduire la fraction volumique d'ensemble, notre observation explique un autre résultat intéressant de Breu *et al.* [33] qui dit que pour un mélange donné avec des rapports de taille et de masse spécifiés, l'état final est celui de RBNP à suffisamment grandes accélération (cf Fig. 6.2 dans Ref.[33]).

Pour comparer notre mécanisme de ségrégation avec d'autres, nous avons remarqué que la loi d'échelle des forces géométriques ($\propto R_{ls}^d$) suggérait qu'elles puissent être comparées à la force effective de percolation de Rosato *et al.* [211], et donc qu'il y ait compétition entre force de flottabilité et force de percolation. Dans le mécanisme de percolation-condensation de Hong *et al.* [108], le phénomène de condensation est contrôlé par la différence de température de condensation des deux espèces.

## Conclusion

Dans le chapitre 6 nous avons identifié quatre types de force de ségrégation: mis à part la poussée d'Archimède et une force analogue à la force thermique de flottabilité, deux forces s'ajoutent, leur origine commune étant liée à la disparité de taille entre l'intrus et les plus petites particules. Nous avons démontré que la compétition entre les forces de flottabilité et les forces géométriques détermine l'apparition de la ségrégation dans le scénario présent. En outre, l'introduction de la force pseudo-thermique de flottabilité (due à la dissipation inélastique) favorise la possibilité de BNP, alors que la possibilité de RBNP est plutôt limitée dans la limite d'un unique intrus, même à des niveaux modérés de dissipation. L'augmentation de la fraction volumique relative des intrus ou la diminution de la fraction volumique moyenne augmente sa probabilité comme le montre bien les expériences de Breu *et al.* [33].
Conclusions générales

Cette thèse fournit une description théorique et phénoménologique de la dynamique
de ségrégation dans les milieux granulaires. Une de nos motivations était de savoir si
la description hydrodynamique des milieux granulaires était utilisable pour obtenir des
équations d'évolution temporelle de la vitesse de ségrégation d'un intrus unique. Le prin-
cipal message résultant de notre analyse est que l'effet de dissipation (qui est la signa-
ture majeure d'un fluide granulaire) a des conséquences essentielles sur la dynamique de
ségrégation. En particulier, les forces de flottabilité et la dissipation sont les ingrédients
essentiels qui contrôlent, d'une part, la vitesse de montée d'une particule intruse et, d'autre
part, le diagramme de phase de la transition BNP/RBNP. Notre théorie explique quali-
tativement plusieurs observations expérimentales. Cependant, l'introduction des effets de
convexion et des conditions de bord demande un travail supplémentaire.

Dans les Chapitres 3 et 4 nous avons exploité l'idée d'un mécanisme de ségrégation in-
duit par des forces de flottabilité et nous avons analysé l'effet de la dissipation sur la vitesse
de ségrégation par taille. Le modèle explique qualitativement l'augmentation de la vitesse
de ségrégation avec la taille de la particule intruse. D'un autre côté, nous avons étudié
la transition entre mouvement descendant et mouvement ascendant en tenant compte des
différences de densité entre la particule intruse et les particules du fluide granulaire. En
plus des données expérimentales analysées dans Sec. 3.3, Chap. 3, les expériences récentes
de Geromichalos et al. [86] s'appuient sur une approche hydrodynamique introduite dans
ce chapitre. Ces auteurs ont montré que la méthode introduite dans Sec. 3.1.2 pour le
calcul des différences de températures locales d'un milieu granulaire en présence d'une
particule intruse permet d'estimer qualitativement l'effet de taille sur la ségrégation (dans
un régime sec). D'autre part, ils ont trouvé que le régime BNP est réduit à cause d'une
modification du taux de dissipation lorsque du liquide est ajouté.

Des simulations numériques adéquates devraient confirmer le processus de dilatation
thermique ainsi que la présence des forces de flottabilité. Une étude plus profonde est
nécessaire pour déduire les forces associées aux phénomènes de convexion et de traînée
exercée par le fluide.

Dans le Chapitre 6 nous avons introduit un nouveau mécanisme pour expliquer la ségrégation. Nous avons montré explicitement que l'apparition de la ségrégation peut être expliquée comme une compétition entre les forces de flottabilité et les forces géométriques:

* La poussée d'Archimède égal au poids du volume déplacé par l'intrus.

* La force de flottabilité thermique résultant de la différence de températures granulaires des deux espèces.

* La force de compression statique résultant de la déformation volumique de compression provenant de la disparité de taille entre l'intrus et les petites particules.

* La force de traction dynamique provenant de la différence de pression due aux interactions entre l'intrus et les petites particules.

Jusqu'à maintenant, il n'y a pas de preuves expérimentales pour un tel mécanisme, mais la description théorique introduite dans Chap. 6 suggère des expériences importantes à réaliser dans le futur. Toutes les forces de ségrégation sont mesurables dans un montage classique de lit vibré, et par conséquent elles sont directement vérifiables. Par exemple, la force de flottabilité thermique ($F_B^T$) peut être déterminée par la mesure des énergies granulaires des espèces ($T_l$ et $T_s$) à partir de photographies successives de la configuration des
particules. Ces photographies peuvent être utilisées pour mesurer la fonction de corrélation de paire ($g_{ij}$ et par là-même le facteur de compressibilité $Z_i$) et la force géométrique dynamique ($F_{ge}^{dyn}$). Les autres deux forces ($F_B^A$ et $F_{ge}^{st}$) sont alors facilement obtenues. Ainsi, à partir de cette mesure expérimentale des forces, nous pourrions construire chaque terme de notre calcul de façon indépendante.

Dans le chapitre 6, nous avons analysé le diagramme de phase BNP/RBNP avec des résultats en bon accord avec les expériences de Breu *et al.* [33]. A cet égard, nos résultats concordent avec les travaux remarquables de Hong, Quinn et Luding [108] et de Jenkins et Yoon [127]. Cependant, à la différence de leurs travaux, la nature dissipative du milieu granulaire est l'ingrédient indispensable de notre travail. Dans ce chapitre nous avons calculé le rapport $T_l/T_s$ en utilisant la méthode de Barrat et Trizac [19] qui reproduit les données de $T_l/T_s$ des expériences de lits vibrofluidisés menées par Feitosa et Menon [75]. Il est important de noter que les expériences de ségrégation sont habituellement réalisées avec de fortes vibrations ce qui conduit à des gradients verticaux de densité et d'énergie. Cependant, la question des conditions de bords appropriées pour un mélange granulaire binaire verticalement vibré en présence d'un champ de gravité reste sans réponse. C'est un sujet à part entière et d'une grande importance qui met en jeu des questions et des scénarios similaires à ceux que nous avons considéré ici. En effet, en calculant le couplage entre l'intrus et l'inertie des petites particules et les variations spatiales de la température granulaire des espèces (cf Eq.(6.12)), il est possible d'entrevoir la question de la détermination de l'effet de flottabilité inverse [217]. Il sera important de déterminer la dépendance fréquentielle du phénomène de ségrégation. Comme il est montré dans [2, 54, 80, 149, 195, 219, 225] le taux de ségrégation dépend du paramètre d'accélération $\Gamma$. D'autre part, l'expérience [33] montre que l'état final est toujours RBNP lorsque $\Gamma \gg 1$. Pour dériver l'expression analytique du critère de ségrégation, il est nécessaire d'incorporer les conditions de bord adéquates pour le fond du récipient (qui est l'origine de la dépendance fréquentielle).

Dans l'analyse présentée dans le chapitre 6 nous avons fait l'hypothèse maxwellienne d'une fonction de distribution des vitesses. Remarquons que la solution à l'ordre dominant de l'équation cinétique de Boltzmann-Enskog pour des mélanges granulaires est une maxwellienne (cf Ref.[122]), et les termes de correction non gaussiens restent relativement petits. Par conséquent, notre mécanisme de ségrégation et les caractéristiques qualitatives du diagramme de phase BNP/RBNP restent intactes. En outre, le pousée d'Archimède ($F_B^A$) et la force géométrique statique ($F_{ge}^{st}$) ne dépendent pas de la fonction de distribution, et la correction non gaussienne n'a pas d'effet sur la force géométrique ($F_{ge}^{dyn}$). Seule la force thermique de flottabilité ($F_B^T$) peut s'exprimer en terme de la fonction de distribution des vitesses.

## Au delà de BNP

Il y a définitivement d'autres problèmes généraux, au delà de l'étude essentielle du phénomène de ségrégation, qui doivent faire l'objet d'études dans l'esprit que nous avons discuté tout au long de cette thèse. Par exemple:

* Une description précise de la fonction de distribution de paire $g_{ij}$ demande de prendre en compte la nature inélastique du milieu granulaire (par exemple, Ref. [158] présente une discussion détaillée sur le refroidissement homogène des fluides granulaires.)
* Les propriétés dynamiques des mélanges granulaires fluidisés sont un sujet actif de la recherche. L'effort pour dériver autocohéremment des équations hydrodynamiques pour les mélanges granulaires binaires est relativement récent (e.g., Ref. [85]).

* Une question importante, qui n'est pas encore complètement comprise, est la non-équipartition d'énergie cinétique [3, 19, 20, 75, 160, 229]. D'autre part, comment décrire d'un point de vue théorique le comportement qualitatif du fluide granulaire dans de telles situations?[3]. Un intérêt particulier doit être porté sur les récentes simulations numériques réalisées par Paolotti et al. [194] sur un mélange granulaire binaire verticalement vibré en présence du champ de gravité.

* Il serait intéressant, dans des études plus proches de la réalité où la polydispersité intervient, d'étendre la théorie cinétique actuelle aux mélanges complexes de plus de deux espèces [237] en prenant en compte l'énergie cinétique de chaque espèce.

* Dans l'esprit de la théorie présentée dans cette thèse, l'idée de particules non sphériques et de températures granulaires anisotropiques pourrait être développée dans le but d'expliquer les résultats d'expériences réalisées avec des intrus en forme d'oeuf. Ces résultats sont rapportés par Shinbrot et Muzzio [217].

* La force de traînée exercée par le milieu granulaire sur l'intrus doit faire l'objet de plus amples études expérimentales.

* Enfin, le processus de dilatation d'un milieu granulaire fluidisé et la détermination du coefficient de dilatation thermique restent des sujets inexplorés.

Pour conclure, nous avons vu que l'hydrodynamique granulaire permettait de décrire précisément plusieurs propriétés de la dynamique de ségrégation. Nos résultats ne sont pas seulement techniques. Ils sont en effet très proches de la phénoménologie des résultats expérimentaux. Cette thèse a la beauté particulière que les forces obtenues théoriquement sont mesurables grâce à des simulations numériques ou/et des protocoles expérimentaux classiques.
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Communications

Publications

1. Hydrodynamic model for particle size segregation in granular media
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2. A note on the upward and downward intruder segregation in granular media
L. Trujillo and H. J. Herrmann,
Granular Matter **5** (2003) 85-89.

3. Segregation in a Fluidized Binary Granular Mixture: Competition between Buoyancy and Geometric Forces
L. Trujillo, M. Alam and H. J. Herrmann,
Europhysics Letters **64** (2003) 190-196.

Oral Presentations

- Modelo teorico para la segregacion en medios granulares
III Congreso Venezolano de Física,
Caracas, Venezuela December 10-14 (2001).

- Theoretical model for particle size segregation in granular media
27th Conference of the Middle European Cooperation in Statisitcal Physics, MECO-27
Sopron, Hungary 7-9 March (2002)

- Modele theorique pour la segregation dans les milieux granulaires vibres
XXIII Journées de Physique Statistique,
Paris, France 30-31 January (2003).

Talks

- Segregación en medios granulares
Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela,
Caracas, Venezuela 18 December (2001).

- Hydrodynamic model for particle size segregation in granular media
Oberseminar, Institut für Computeranwendungen, Universität Stuttgart,
Stuttgart, Germany 28 January (2002).
Photographs and pictures acknowledgments

Fig. 2.2 From Schlumberger Excellence in Educational Development (SEED) © 2003
Schlumberger Limited

Fig. 2.3 Kindly supplied by Prof. G. Gutiérrez, Condensed Matter Group, Universidad Simón Bolívar, Caracas–Venezuela

Fig. 2.4 From Methods of Experimental Physics Laboratory, University of Minnesota, USA. © 2002

Fig. 2.5 From Ref. [64]

Fig. 2.6 From Ref. [141]

Fig. 2.7 From Ref. [65]

Fig. 2.8 From Ref. [37]

Fig. 2.9 From Ref. [90]

Fig. 2.10 From Ref. [33]

Fig. 2.11 From H. J. Herrmann ICA–1 University of Stuttgart, Germany (see Ref. [80])

Fig. 2.12 From H. A. Makse Department of Physics, City College of New York, USA
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Index

acceleration parameter Γ, 6

accelerometer, 6

air pressure effect, 12

algorithm

steepest descent, 14

amplitude, 5

Archimedes, 11

arching, 15

effect, 15

balance equation, 63

barycentric velocity, 61

binary mixtures, 59

BNP, 7

BNP/RBNP, 17

criterion, 74

phase diagram, 77

transition, 74

Boltzmann kinetic theory, 59

Boltzmann–Enskog

collision operator, 61

equation, 61

Boltzmann–Lorentz kinetic equation, 60

Brazil nut

computer simulations, 13

experiment, 4, 5

2 dimensions, 6

3 dimensions, 6

home made, 5

setup, 6

historical classification, 8

phenomenon

reverse, 11, 15

problem, 3

simulation

cylindrical cell, 14

buoyancy

forces, 39

collisional

flux integral, 62

source integral, 62

compaction, 16

compressibility, 32, 72

compressive strain, 75

computer

applications, 4

computer simulations, 13

cellular automata, 13

Molecular Dynamics, 13

Monte Carlo method, 13

condensation, 17

configurational temperatures, 18

continuum limit, 28

convection, 4, 15

critical size ratio, 14

density waves, 4

depletion, 17

diffusion, 16

diffusion velocity, 61

dissipation factor, 30

drag force, 40

dynamics

particulate systems, 4

Edwards' approach, 18

elastic modulus, 5

electromagnetic shaker, 6

energy balance, 63

equilibrium, 21

fluidization, 4

foodstuffs, 19

geometric effects, 76

granular fluid, 21

granular hydrodynamics, 21

granular matter, 3

hard disk packings, 18

heaping, 4

Hele–Shaw cell, 9

industrial, 19

inelastic dissipation, 66

inertia, 17

interstitial effect, 17

kinetic theory, 59

local temperature difference, 31

Médanos de Coro, 4

Maxwellian distribution, 63, 72

mixture temperature, 61

Molecular Dynamics (MD), 13

Event Drive (ED), 13
molecular gas, 21

momentum balance equation, 72

momentum source term, 72, 73

Monte Carlo (MC), 13

direct simulation (DSMC), 13

movement

downward, 51

movement upward, 51

Navier-Stokes, 22

non-sequential dynamics, 14

partial pressure, 72

particle shape, 5

patter formation, 4

peculiar velocity, 61

percolation, 15

percolation-condensation transition, 17

pharmaceutical pill, 19

radial distribution, 73

radial segregation, 10

random deposition model, 14

RBNP, 11

Reverse Brazil nut phenomenon, 11, 15

reverse buoyancy, 12

rise velocity, 73

segregation

mechanisms, 15

size, 15

threshold, 15

upward, 15

vibration-induced, 4

segregation forces, 39

segregation mechanism

percolation, 15

single intruder, 27

size and density ratio, 53

size disparity, 76

size distribution, 5

species granular temperature, 61

Stokes law, 41

temperature difference, 35, 36

temperature ratio, 66

tensile force, 76

theory for segregation, 21

thermal conductivity, 28

thermal expansion, 32, 38

coefficient, 39

thermodynamic formulation, 21

thermodynamic temperature, 21

transition

upward/downward, 17

vibration

amplitude, 5

frequency, 5

volumetric strain, 75

walls effect, 5

whale effect, 15
# Sur le problème de la ségrégation des milieux granulaires vibrés

## Étude théorique et phénoménologique

Un système granulaire réel est toujours caractérisé par ses degrés de polydispersité en taille, en masse et en forme, lesquels mènent souvent à une ségrégation non désirée.

La ségrégation est un processus dans lequel un mélange homogène de particules d'espèces différentes devient spatialement non-uniforme. Il y a alors séparation des espèces suivant leur taille ou leur masse. Ce phénomène est omniprésent dans l'industrie lors du transport et de la manipulation des mélanges granulaires.

Le phénomène des noix du Brésil (BNP) –où les particules les plus grosses montent jusqu'au sommet de l'échantillon lorsqu'elles sont soumises à de fortes secousses verticales– est devenu un des problèmes les plus curieux de la recherche dans les materiaux granulaires. Récemment il a été découvert que le mouvement descendant d'un intrus peut se produire, comportement baptisé phénomène des noix du Brésil inverse (RBNP). Des mécanismes différents ont été proposés pour expliquer ces phénomènes: la percolation, l'effet d'arche, la convexion, l'inertie, la condensation, la flottabilité, etc.

Cette thèse fournit une description théorique et phénoménologique de la dynamique de ségrégation dans les milieux granulaires. Nous présentons une nouvelle interprétation des observations expérimentales des BNP et RBNP, basée sur un formalisme hydrodynamique, et ceci pour des particules inélastiques. Notre théorie explique qualitativement plusieurs observations expérimentales.