ANNALES

DE LA FACULTÉ
DES SCIENCES

DE
TOULOUSE
Mathématiques

DIDIER ARNAL, MOUNA CHAABOUNI ET MABROUKA HFAIEDH

Formalité linéaire analytique

Tome XXVIII, n° 1 (2019), p. 129-143.

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# Formalité linéaire analytique (*)

DIDIER ARNAL (1), MOUNA CHAABOUNI (2) ET MABROUKA HFAIEDH (3)

**RÉSUMÉ.** — Dans ce papier nous étudions la restriction de la formalité de Kontsevich à la sous-algèbre des tenseurs linéaires, dans l'algèbre de Lie des tenseurs sur $\mathbb{R}^d$. On établit que c'est une formalité analytique.

**ABSTRACT.** — In this paper, we study the restriction of the Kontsevich formality to the subalgebra of the linear polyvectors in the algebra of polyvector fields on $\mathbb{R}^d$. We prove that this formality is an analytic map.

## 1. Introduction

Notons $T_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$ l'algèbre de Lie différentielle graduée des multichamps de vecteurs munie de la différentielle nulle et du crochet de Schouten, et $D_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$ l'algèbre de Lie différentielle graduée des opérateurs polydifférentiels munie de la différentielle de Hochschild et du crochet de Gerstenhaber.

Les éléments de degré $n$ dans $T_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$ sont les $(n+1)$-champs de vecteurs, et les éléments de degré $m$ dans $D_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$ sont les opérateurs $(m+1)$-différentiels. Dans les espaces gradués décalés $T_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)[1]$ et $D_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)[1]$ ce sont les $(n+2)$-champs de vecteurs (resp. les opérateurs $(m+2)$-différentiels) qui sont de degré $n$ (resp. $m$).

<footnote>(*) Reçu le 8 février 2017, accepté le 15 mars 2017.</footnote>

<footnote>Classification Mathématique (2010) : 53D50, 53D55, 05C30.</footnote>

<footnote>(1) Institut de Mathématiques de Bourgogne, UMR 5584, Université de Bourgogne-Franche Comté UFR Sciences et Techniques BP 47870, F-21078 DIJON Cedex (France) — Didier.Arnal@u-bourgogne.fr</footnote>

<footnote>(2) Laboratoire de Mathématiques appliquées et d'Analyse Harmonique, LR/11/ES-52, Université de Sfax, Faculté des sciences de Sfax, route de Soukra, BP 1171, 3000 SFAX (Tunisia) — mounaelloumichaabouni@gmail.com</footnote>

<footnote>(3) Université de Sfax, Faculté des sciences de Sfax, route de Soukra, BP 1171, 3000 SFAX (Tunisia) — mabrouka_hfaiedh@yahoo.fr</footnote>

<footnote>Article proposé par Bertrand Toën.</footnote>
Toute algèbre de Lie différentielle graduée est une $L_\infty$-algèbre. Cela signifie en particulier que les structures d'algèbres de Lie différentielles graduées sur $T_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$ et $D_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$ induisent des codérivations $Q$ et $Q'$ de degré 1 sur les cogèbres $S^+(T_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)[1])$ et $S^+(D_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)[1])$, vérifiant toutes deux l'équation maîresse :

$$[Q, Q] = 0 \quad \text{et} \quad [Q', Q'] = 0.$$

Un $L_\infty$-morphisme de $T_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$ vers $D_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$ est par définition un morphisme de cogèbres

$$\mathcal{F}: S^+(T_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)[1]) \to S^+(D_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)[1])$$

de degré 0 et commutant aux codérivations, c'est à dire vérifiant l'équation :

$$\mathcal{F} \circ Q = Q' \circ \mathcal{F}.$$

Si la restriction de $\mathcal{F}$ à $T_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$ est un quasi-isomorphisme de complexes de $T_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$ dans $D_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$, on dira que $\mathcal{F}$ est une formalité.

M. Kontsevich a défini dans son article [7] une formalité qui est uniquement déterminée par ses coefficients de Taylor :

$$\mathcal{F}_n : S^n(T_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)[1]) \to D_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)[1].$$

Si les $\alpha_i$ sont des $k_i$-champs de vecteurs, alors $\mathcal{F}_n(\alpha_1 \dots \alpha_n)$ est d'ordre $k_1 + \dots + k_n - 2n$ dans $D_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)[1]$. C'est à dire un opérateur $m$-différentiel, avec

$$\sum_{i=1}^{n} k_i = 2n + m - 2. \qquad (1.1)$$

Les $\mathcal{F}_n$ sont construits à l'aide des graphes et des poids associés à ces graphes (pour les définitions voir les parties 2 et 3).

Soit $G_{n,m}$ l'ensemble des graphes admissibles à $n$ sommets aériens (numérotés) et $m$ sommets terrestres. Soit $\Gamma$ un graphe de $G_{n,m}$, et $k_i$ le nombre de flèches partant du sommet aérien $i$ dans $\Gamma$. A tout $n$-uplet de multi-champs de vecteurs $(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$, tel que chaque $\alpha_i$ soit un $k_i$-champ de vecteurs, on associe un opérateur $m$-différentiel $B_\Gamma(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$, où $m$ est donné par la relation 1.1. L'opérateur $B_\Gamma(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ dépend des dérivées des coefficients des tenseurs $\alpha_i$.

L'application $\mathcal{F}_n$ est alors donnée par la formule :

$$\mathcal{F}_n(\alpha_1 \dots \alpha_n) = \sum_{\Gamma \in G_{n,m}} w_{\Gamma} B_{\Gamma}(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$$

où le poids $w_\Gamma$ est un nombre réel dépendant uniquement de $\Gamma$.

Notons $A_{n,m}$ l'ensemble des graphes admissibles tels que sur chaque sommet aérien il arrive au plus une flèche. Dans cet article, le nombre d'éléments
de $G_{n,m}$ et de $A_{n,m}$ est d'abord majoré, puis une majoration du poids $w_Γ$ associé à $Γ$ est établie. Ces majorations sont des généralisations des résultats d'Andler, Dvorsky et Sahi dans [2].

Ensuite, on restreint la notion de formalité à l'espace des tenseurs linéaires c'est à dire à l'ensemble $T_{\text{poly}}^{(1)}(\mathbb{R}^d)$ des tenseurs $\alpha$ dont les coefficients $\alpha^{i_1 \dots i_k}$ sont des fonctions linéaires. En effet, cet espace est une sous-algèbre de $T_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$. On a donc une notion de formalité linéaire. La restriction $\mathcal{F}^{(1)}$ de la formalité de Kontsevich à $T_{\text{poly}}^{(1)}(\mathbb{R}^d)$ est un exemple de formalité linéaire.

On établit alors que $\mathcal{F}^{(1)}$ est analytique. Plus précisément il existe une suite $R_{n,m}$ de fonctions analytiques en 0 telle que, pour tous tenseurs $\alpha_1, \dots, \alpha_n$, tous vecteurs $a_1, \dots, a_m$, et $x$,

$$ \mathcal{F}_n^{(1)}(\alpha_1 \dots \alpha_n)(e^{a_1 x}, \dots, e^{a_m x}) = R_{n,m}(x, a_j, \alpha_i) e^{(a_1+\dots+a_m)x} $$

## 2. Graphes et opérateurs

### 2.1. Graphes admissibles

On se place sur $\mathbb{R}^d$, un vecteur $x \in \mathbb{R}^d$ est déterminé par ses coordonnées, si $a$ et $x$ sont des vecteurs, on pose $ax = \sum_i a^i x^i$. Un tenseur complètement antisymétrique, ou multi-champ de vecteurs $\alpha$ est donné par ses coordonnées $\alpha^{r_1, \dots, r_k}(x)$, complètement antisymétriques en les $r_s$ :

$$ \alpha = \sum_{r_1, \dots, r_k} \alpha^{r_1, \dots, r_k}(x) \partial_{r_1} \wedge \dots \wedge \partial_{r_k}, $$

$$ \text{où } \partial_r = \frac{\partial}{\partial x_r}. $$

Dans cette section et la suivante, on rappelle la construction de Kontsevich d'une formalité naturelle sur $\mathbb{R}^d$.

**DÉFinition 2.1.** — Un graphe orienté est une paire $(V_Γ, E_Γ)$ de deux ensembles finis ordonnés tels que $E_Γ$ est un sous-ensemble de $V_Γ \times V_Γ$.

Les éléments de $V_Γ$ sont les sommets de $Γ$ et les éléments de $E_Γ$ sont les flèches de $Γ$. Si $e = (v_1, v_2) \in E_Γ$ est une flèche, on dit que $e$ part de $v_1$ et arrive sur $v_2$ et on écrit $e = \overline{v_1 v_2}$.
On se restreint aux graphes *admissibles*, c'est à dire aux éléments des ensembles $G_{n,m}$ :

**DÉFinition 2.2.** — *Pour chaque couple de nombres naturels (n, m), on dit que le graphe orienté Γ appartient à G<sub>n,m</sub> si :*

1. Γ possède (n + m) sommets et 2n + m − 2 flèches.

2. L'ensemble des sommets $V_{\Gamma}$ est $\{1, \dots, n\} \cup \{\overline{1}, \dots, \overline{m}\}$, les sommets $1, \dots, n$ sont dits aériens, les sommets $\overline{1}, \dots, \overline{m}$ terrestres.

3. Les flèches $\overrightarrow{v_1v_2}$ partent toutes d'un sommet aérien. Leur ordre est compatible : les flèches issues du sommet $i$ précèdent les flèches issues du sommet $i + 1$.

4. Il n'y a pas de petites boucles : $\Gamma$ n'a pas de flèche de la forme $\overrightarrow{vb}$.

5. Il n'y a pas de flèches doubles : si $e = \overrightarrow{v_1v_2}$ et $e' = \overrightarrow{v_1v'_2}$ sont deux flèches de $\Gamma$, alors $v_2 \neq v'_2$.

Soit $\Gamma \in G_{n,m}$ un graphe admissible. De chaque sommet aérien $i$, il sort $k_i$ flèches notées : ($e_i^1, e_i^2, \dots, e_i^{k_i}$). Notons $\text{star}(i)$ l'ensemble de ces flèches. On notera $G_{n,m}(k_1, \dots, k_n)$ le sous-ensemble de $G_{n,m}$ formé des graphes tels que $|\text{star}(i)| = k_i$ pour tout $i$ (si $X$ est un ensemble, on note $|X|$ son cardinal).

*Exemple 2.3.* — L'ensemble $G_{0,2}$ a un seul élément : le graphe possèmant les sommets $\overline{1}$ et $\overline{2}$ et aucune flèche.

De même $|G_{1,2}| = 5$ : il y a un seul graphe sans flèche, deux avec une seule flèche et, en tenant compte de l'ordre des flèches, deux à deux flèches.

*Exemple 2.4.* — (voir [2]) Pour $m = 2$, et $k_i = 2$ pour tout $i$, $\Gamma$ a $n$ sommets aériens et deux sommets terrestres, de chaque sommet aérien sort deux flèches, pas de flèche sortant de $\overline{1}$ et $\overline{2}$. Comme il n'y a pas de boucles, ni de flèches doubles, pour chaque $\text{star}(i)$, il y a $(n+1)$ choix pour la première flèche $e_i^1$ et $n$ choix pour la deuxième flèche $e_i^2$. Donc il y a $n(n+1)$ manières de dessiner la paire de flèches partant d'un sommet $i$ et par suite $G_{n,2}(2, \dots, 2)$ est fini de cardinal $(n(n+1))^n$.

**2.2. Majoration de** $|G_{n,m}(k_1, \dots, k_n)|$

Les graphes de $G_{n,m}$ ont $n$ sommets aériens et $m$ sommets terrestres. Pour estimer $|G_{n,m}|$, il suffit de compter le nombre des flèches aériennes (aboutissant sur un sommet aérien) et le nombre des flèches terrestres (aboutissant
sur un sommet terrestre) possibles du graphe Γ. Soit $i$ un sommet aérien. D'abord, on ne tient pas compte de l'ordre sur les flèches.

1. **Flèches aériennes arrivant sur $i$**

Soit aucune flèche n'arrive sur $i$ (1 choix), soit une seule flèche aérienne arrive sur $i$ ($n-1 = C_{n-1}^1$ choix), soit deux flèches aériennes arrivent sur $i$ ($C_{n-1}^2$ choix),..., soit $n-1$ flèches aériennes arrivent sur $i$ ($C_{n-1}^{n-1}$ choix). Il y a donc $1+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+...+C_{n-1}^{n-1} = 2^{n-1}$ choix possibles de flèches arrivant sur $i$.

2. **Flèches terrestres issues du point $i$**

Soit il n'y a aucune flèche terrestre (1 choix), soit il y a une seule flèche terrestre ($C_m^1$ choix), soit deux flèches terrestres ($C_m^2$ choix),..., soit $m$ flèches terrestres ($C_m^m$ choix).

Donc il y a : $1+C_m^1+C_m^2+...+C_m^m = 2^m$ choix possibles de flèches terrestres issues du point $i$.

Donc, sans tenir compte de leur ordre, il y a $2^{n-1+m}$ possibilités de choix de telles flèches pour chaque sommet $i$, ($1 \le i \le n$) et $(2^{n+m-1})^n$ choix de flèches au total. Il reste à fixer l'ordre compatible, parmi les $\prod_{i=1}^n k_i!$ possibilités, comme il y a une relation entre les $|\text{star}(i)|$ et le nombre des flèches énumérées ci-dessus, on n'obtient qu'une majoration :

LEMME 2.5. — Le nombre total $|G_{n,m}(k_1, \dots, k_n)|$ de graphes admissibles, ayant $n$ sommets aériens, $m$ sommets terrestres et, pour chaque $i$, $k_i$ flèches issues du sommet $i$ est majoré par :

$$|G_{n,m}(k_1, \dots, k_n)| \le (2^{n+m-1})^n \prod_{i=1}^n k_i!$$

Par exemple, si $m=2$ et $k_i=2$ pour chaque $i$, comme dans [2],

$$|G_{n,2}(2, \dots, 2)| \le 2^{n(n+2)}.$$

2.3. **Majoration de $|A_{n,m}(k_1, \dots, k_n)|$**

On note $A_{n,m}$ le sous ensemble des graphes admissibles de $G_{n,m}$ tels que sur chaque sommet aérien il arrive au plus une flèche, et $A_{n,m}(k_1, \dots, k_n)$
l'ensemble des graphes de $A_{n,m}$ tels que $|star(i)| = k_i$ pour tout $i$.

**LEMME 2.6.** — On a la majoration :

$$|A_{n,m}(k_1, \dots, k_n)| \le (2^m n)^n \prod_{i=1}^{n} k_i! \le (2^m e)^n n! \prod_{i=1}^{n} k_i!.$$

*Preuve.* — Pour décrire un graphe $\Gamma$ de $A_{n,m}$, il suffit de regarder les différentes situations pour chaque sommet aérien $i$.

1. **Flèches aériennes arrivant sur $i$**

En comptant le cas où il n'y a aucune flèche aboutissant à $i$, il y a $n$ choix possibles.

2. **Flèches terrestres issues du point $i$**

Comme ci-dessus, le sommet $i$ est relié soit à aucun sommet terrestre, soit 1, etc... Il y a $1 + C_m^1 + \dots + C_m^m = 2^m$ cas possibles.

Alors il y a au plus $2^m n$ choix pour chaque sommet $i$, et en tenant compte de l'orientation de l'ensemble des flèches sortant de chaque sommet, on obtient le résultat

$$|A_{n,m}(k_1, \dots, k_n)| \le (2^m n)^n \prod_{i=1}^{n} k_i!$$

D'autre part on sait que : $n^n \le n!e^n$, d'où

$$|A_{n,m}(k_1, \dots, k_n)| \le (2^m e)^n n! \prod_{i=1}^{n} k_i!.$$

□

## 2.4. L'opérateur $B_\Gamma(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$

A chaque graphe admissible $\Gamma$ de $G_{n,m}(k_1, \dots, k_n)$, on associe un opérateur multi-différentiel $B_\Gamma(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ nul sauf si chaque $\alpha_i$ est un $k_i$-tenseur.

Notons $|k| = \sum_i k_i$, et $\{\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_{|k|}\}$ l'ensemble des flèches de $\Gamma$, rangées dans leur ordre. A la $s^{ième}$ flèche $\vec{e}_s$, on associe un indice $r_s$, compris entre 1 et $d$.

Soit $a$ un sommet aérien ou terrestre de $\Gamma$. Si les flèches arrivant sur $a$ sont $\{\vec{e}_{s_1}, \dots, \vec{e}_{s_{l_a}}\}$ (l'ordre n'importe pas), on leur associe l'opérateur différentiel :

$$D_a = D_a(r_s) = \partial_{r_{s_1}} \dots \partial_{r_{s_{l_a}}}.$$
D'autre part, si on pose $K_i = k_1 + \dots + k_{i-1}$ pour tout $i \ge 2$ et $K_1 = 0$, les flèches issues du sommet $i$ sont (dans leur ordre) $\{\overrightarrow{e_{K_i+1}}, \dots, \overrightarrow{e_{K_i+k_i}}\}$.

Dans le cas où chaque $\alpha_i$ est un $k_i$-tenseur, $B_\Gamma(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ est un opérateur $m$-différentiel sur $\mathbb{R}^d$ dont la valeur sur les fonctions $f_1, \dots, f_m$ est :

$$B_{\Gamma}(\alpha_1, \dots, \alpha_n)(f_1, \dots, f_m) = \sum_{1 \le r_s \le d} \prod_i D_i \alpha_i^{r_{K_i+1}, \dots, r_{K_i+k_i}} \prod_j D_{\bar{j}} f_j. \quad (2.1)$$

Dans cette formule, les $\alpha_i^{r_{K_i+1}, \dots, r_{K_i+k_i}}$ sont les composantes du tenseur $\alpha_i$.

*Exemple 2.7.* — (voir [4]) Prenons $n=3$, $m=2$ et $k_i=2$ pour tout $i$, et choisissons le graphe $\Gamma$ de $G_{3,2}(2,2,2)$ suivant, où l'ordre des flèches est fixé par celui des indices $r_1, \dots, r_6$ :

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

L'opérateur $B_\Gamma(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ correspondant à ce graphe $\Gamma$ est :

$$(f_1, f_2) \mapsto \sum_{r_1, \dots, r_6} \alpha_1^{r_1 r_2} \alpha_2^{r_3 r_4} \partial_{r_3} \alpha_3^{r_5 r_6} \partial_{r_1 r_5} f_1 \partial_{r_2 r_4} f_2.$$

### 3. Espace de configuration et poids

Pour finir de définir la formalité de Kontsevich, il faut sommer les opérateurs $B_\Gamma(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ affectés d'un poids $w_\Gamma$.

**DÉFinition 3.1.** — Soit $\mathcal{H} = \{z \in \mathbb{C} : \mathfrak{Im}(z) > 0\}$ le demi-plan de Poincaré. L'espace de configuration $\text{Conf}_{n,m}$ est l'ensemble des nuages de n points $p_i$ dans $\mathcal{H}$ et m points réels $q_j$ :

$$\text{Conf}_{n,m} = \{ (p_1, \dots, p_n, q_1, \dots, q_m) : p_i \in \mathcal{H}, q_j \in \mathbb{R}, \\ p_i \neq p_{i'}, \ q_j \neq q_{j'} \text{ si } i \neq i', \ j \neq j' \}. $$
L'ensemble $Conf_{n,m}$ est une variété différentielle de dimension $2n + m$. Si $2n + m \ge 2$, le groupe $G$ des transformations affines :

$$G = \{z \mapsto az + b : a > 0, b \in \mathbb{R}\}$$

agit librement sur $Conf_{n,m}$. L'espace quotient $C_{n,m} = Conf_{n,m}/G$ est une variété de dimension $2n + m - 2$.

Les espaces $Conf_{n,m}$ et $C_{n,m}$ ont $m!$ composantes connexes, on note $Conf_{n,m}^+$ resp $C_{n,m}^+$ les composantes telles que $q_1 < \dots < q_m$.

On plonge l'espace de configuration $C_{n,m}^+$ dans une variété compacte de la façon suivante. Chaque fois que l'on prend deux points $a$ et $b$ de $\bar{H}$, on leur associe l'angle $Arg(b-a)$, à chaque triplet de points $(a, b, c)$ de $\mathbb{R}$, on associe l'élément $[a-b, b-c, c-a]$ de l'espace projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ qu'ils définissent. On définit ainsi une application $G$-invariante :

$$\tilde{\Phi} : Conf_{n,m}^+ \to K_{n,m} = \mathbb{T}^{(2n+m)(2n+m-1)} \times (\mathbb{P}^2(\mathbb{R}))^{(2n+m)(2n+m-1)(2n+m-2)}$$

En faisant le quotient par le groupe $G$, on obtient un plongement $\Phi$ de $C_{n,m}^+$ dans une variété compacte :

$$\Phi : C_{n,m}^+ \to K_{n,m}.$$

On définit le compactifié $\bar{C}_{n,m}^+$ de l'espace $C_{n,m}^+$ comme étant la fermeture dans $K_{n,m}$ de $\Phi(C_{n,m}^+)$. (Pour plus de détails voir [5]).

*Exemple 3.2.* — Puisqu'on peut par l'action de $G$, amener $p_1$ en $\sqrt{-1}$, ou $q_1$ en 0 et $q_2$ en $\pm 1$, on trouve, en petites dimensions :

$$\mathrm{Conf}_{1,0} = \mathcal{H}, \quad C_{1,0} \simeq \{\sqrt{-1}\}, \quad C_{0,2} = \mathrm{Conf}_{0,2}/\mathcal{H} \simeq \{-1, 1\}.$$

De même, en posant $t = q_2q_3$ dans la paramétrisation de $C_{0,3}$,

$$C_{1,1} = Conf_{1,1}/G \simeq \mathbb{R}, \quad C_{0,3} \simeq \{\pm 1\} \times (]-\infty, 0[\cup]0, 1[\cup]1, \infty[).$$

De même :

$$C_{2,0} = Conf_{2,0}/G \simeq \mathcal{H} \setminus \{\sqrt{-1}\}, \quad C_{1,2} \simeq \mathbb{R}^2 \setminus \{(t, t) : t \in \mathbb{R}\}.$$

### 3.1. Définition du poids

Le poids $w_{\Gamma}$ associé à $\Gamma \in G_{n,m}$ est défini par l'intégrale d'une forme sur l'espace de configuration $C_{n,m}^+$ (voir [7, 3]).
Si $c$ est un point de $C_{n,m}^+$, on trace le graphe $\Gamma$ sur un représentant $(p_i, q_j) \in Conf_{n,m}^+$ de $c$, en plaçant le sommet $i$ en $p_i$, le sommet $\bar{j}$ en $q_j$ et la flèche $ii'$ (resp. $\bar{ij}$) est dessinée comme l'arc du cercle passant par ces deux points et centré sur l'axe réel.

A chacune de ces flèches $e$, on associe l'angle $\Phi_e$ entre $e$ et l'axe vertical issu de $p_i$ vers $+\infty$ :

$$ \Phi_e(p, q) = \operatorname{Arg} \left( \frac{p_i' - p_i}{p_i' - \bar{p}_i} \right), \quad \text{ou} \quad \operatorname{Arg} \left( \frac{q_j - p_i}{q_j - \bar{p}_i} \right) $$

Cet angle ne dépend pas du choix du représentant de $c$, on a donc une application $\Phi_\Gamma : C_{n,m}^+ \to \mathbb{T}^{|k|}$, $\Phi_\Gamma(c) = (\Phi_{e_1}(c), \dots, \Phi_{e_{|k|}}(c))$, et une $|k|$-forme sur $C_{n,m}^+$ :

$$ \omega_\Gamma = \frac{1}{(2\pi)^{|k|}} \frac{1}{k!} d\Phi_{e_1} \wedge \dots \wedge d\Phi_{e_{|k|}}, $$

où $k! = \prod_{i=1}^n k_i!$. Le poids $w_\Gamma$ est l'intégrale de cette forme sur la variété $C_{n,m}^+$ :

$$ w_\Gamma = \int_{C_{n,m}^+} \omega_\Gamma. $$

On a donc $w_\Gamma = 0$ sauf si les $k_i$ satisfont la relation 1.1. Dans ce cas, on montre que $w_\Gamma$ est fini.

## 3.2. Majoration du Poids $|w_\Gamma|$

Le poids $w_\Gamma$ a été majoré par Andler, Dvorsky et Sahi dans [2] si $m=2$. De même, on a pour les graphes de $A_{n,m}$ :

LEMME 3.3. — Pour tout graphe $\Gamma$ de $A_{n,m}(k_1, \dots, k_n)$, on a

$$ |w_\Gamma| \le \frac{2^{2n+m-2}}{k!}. $$

Preuve. — On ne considère que le cas $|k| = 2n + m - 2$, et $n > 0$, le cas $n = 0$ étant trivial. On a vu que $\omega_\Gamma$ est l'image réciproque de la forme volume du tore $\mathbb{T}^{2n+m-2}$ sous l'application $\Phi_\Gamma : C_{n,m}^+ \to \mathbb{T}^{2n+m-2}$. Un point $c$ de $C_{n,m}^+$ est donné par son représentant $(p_i, q_j)$ tel que $p_1 = \sqrt{-1}$. Si $\phi = (\phi_s) \in \Phi(C_{n,m}^+)$, ses antécédents sont les $c$ tels que pour chaque
s, si $e_s = \vec{ii'}$ (resp. $e_s = \vec{i\bar{j}}$), ($p_i, p_{i'}$) (resp. ($p_i, q_j$)) sont les solutions des équations quadratiques :

$$ (z' - z)(\bar{z}' - \bar{z}) = e^{2\sqrt{-1}\phi_s} (\bar{z}' - \bar{z})(z' - \bar{z}) \quad (3.1) $$

Il y a ainsi $2n + m - 2$ équations quadratiques dans $\mathbb{C}$ de type 3.1 dont les variables sont $p_2, \dots, p_n, q_1, \dots, q_m$, ou les $2n + m - 2$ variables réelles $(\Re(p_i), \Im(p_i), q_j, 2 \le i \le n, 1 \le j \le m)$.

Génériquement, chaque équation 3.1 a deux racines, chaque point $\phi$ d'un ouvert dense de $\Phi_\Gamma(C_{n,m}^+)$ a donc $2^{2n+m-2}$ antécédents. Donc si $V$ est le volume du tore $\mathbb{T}^{2n+m-2}$, on a :

$$ |w_\Gamma| \le \frac{2^{2n+m-2} V}{(2\pi)^{2n+m-2} k!} \le \frac{2^{2n+m-2}}{k!}. \quad \square $$

# 4. Formalité

## 4.1. La formalité de Kontsevich

L'espace $T_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$ possède une structure d'algèbre de Lie graduée différentielle lorsqu'on le munit du degré $\deg(\alpha) = k - 1$ si $\alpha$ est un $k$-tenseur, de la différentielle nulle et du crochet de Schouten :

$$ \begin{aligned} (-1)^{(k-1)(k'-1)}[\xi_1 \wedge \dots \wedge \xi_k, \eta_1 \wedge \dots \wedge \eta_{k'}] &= \\ &= \sum_{i,j} (-1)^{i+j} [\xi_i, \eta_j] \wedge \xi_1 \wedge \dots \wedge \tilde{\xi}_i \wedge \dots \wedge \xi_k \wedge \eta_1 \wedge \dots \wedge \tilde{\eta}_j \wedge \dots \wedge \eta_{k'}. \end{aligned} \quad (\text{La notation } \tilde{\xi}_i \text{ signifie que le terme } \xi_i \text{ est omis.}) $$

De même l'espace $D_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$ est une algèbre de Lie différentielle graduée lorsqu'on le munit du degré $\deg(D) = m - 1$ si $D$ est un opérateur $m$-différentiel, de la différentielle donnée par l'opérateur de cobord de Hochschild :

$$ \begin{aligned} (-1)^{m+1} dD(f_0, \dots, f_m) = f_0 D(f_1, \dots, f_m) + \\ + \sum_{1 \le l \le m} (-1)^l D(f_0, \dots, f_{l-1} f_l, \dots, f_m) + (-1)^{m+1} D(f_0, \dots, f_{m-1}) f_m, \end{aligned} $$
et du crochet de Gerstenhaber, antisymétrisé de la composition :

$$
\begin{align*}
(D \circ D')(f_1, \dots, f_{m+m'-1}) &= \\
&= \sum_{\ell=0}^{m-1} (-1)^{\ell(m'-1)} D(f_1, \dots, f_\ell, D'(f_{\ell+1}, \dots, f_{\ell+m'}), \dots, f_{m+m'-1}).
\end{align*}
$$

Une algèbre de Lie différentielle graduée $(\mathfrak{g}, d, [\cdot, \cdot])$ est une $L_\infty$-algèbre (pour cette construction, voir par exemple [1]). On considère d'abord son décalé $\mathfrak{g}[1]$, muni du degré $|x| = \mathrm{deg}(x)-1$, puis l'algèbre graduée symétrique $S^+(\mathfrak{g}[1])$ avec :

$$
x \cdot x' = (-1)^{|x'||x|} x' \cdot x = \varepsilon \begin{pmatrix} x', x \\ x, x' \end{pmatrix} x' \cdot x.
$$

On munit cette algèbre de la déconcaténation :

$$
\Delta(x_1 \dots x_n) = \sum_{\substack{I \sqcup J = \{1, \dots, n\} \\ n > |I| > 0}} \varepsilon \begin{pmatrix} x_1, \dots, x_n \\ x_I x_J \end{pmatrix} x_I \otimes x_J.
$$

(Si $I = \{i_1, \dots, i_k\}$, $x_I = x_{i_1} \dots x_{i_k}$, le signe est celui de la permutation $(x_1, \dots, x_n)_{x_I x_J}$ en tenant compte des degrés des $x_i$). On pose alors $Q_1(x) = dx$, $Q_2(x, y) = (-1)^{\mathrm{deg}(x)} [x, y]$. Ces applications ont chacune un seul prolongement en des codérivations de $\Delta$ :

$$
Q_1(x_1 \cdots x_n) = \sum_i \varepsilon \begin{pmatrix} x_1 \cdots x_n \\ x_i x_1 \cdots \hat{x_i} \cdots x_n \end{pmatrix} Q_1(x_i) \cdots \hat{x_i} \cdots x_n.
$$

$$
Q_2(x_1 \cdots x_n) = \sum_{i<j} \varepsilon \begin{pmatrix} x_1 \cdots x_n \\ x_i x_j x_1 \cdots \hat{x_i} \cdots \hat{x_j} \cdots x_n \end{pmatrix} Q_2(x_i, x_j) \cdots \hat{x_i} \cdots \hat{x_j} \cdots x_n.
$$

Alors $Q = Q_1 + Q_2$ est une codérivation de $\Delta$ qui satisfait l'équation maî-
tresse $[Q, Q] = 0$.

Soient $(S^+(\mathfrak{g}[1]), Q)$, $(S^+(\mathfrak{g}'[1]), Q')$ deux $L_\infty$-algèbres, un morphisme $\mathcal{F}$
de $L_\infty$-algèbres entre elles est donné par une suite d'applications linéaires
$\mathcal{F}_n : S^n(\mathfrak{g}[1]) \to \mathfrak{g}'[1]$, de degrés 0, prolongée en un morphisme des déconca-
ténations en posant :

$$
\mathcal{F}(x_1 \cdots x_n) = \sum_{j>0} \frac{1}{j!} \sum_{\substack{I_1 \sqcup \cdots \sqcup I_j = \{1, \dots, n\} \\ I_1 \cdots I_j \neq \emptyset}} \varepsilon \begin{pmatrix} x_1 \cdots x_n \\ x_{I_1} \cdots x_{I_j} \end{pmatrix} \mathcal{F}_{|I_1|}(x_{I_1}) \cdots \mathcal{F}_{|I_j|}(x_{I_j}),
$$

et telle que $\mathcal{F} \circ Q = Q' \circ \mathcal{F}$.
Dans le cas $\mathfrak{g} = T_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$, $\mathfrak{g}' = D_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$, cette relation se réduit à :

$$ 
\begin{aligned}
& Q'_1(\mathcal{F}_n(\alpha_1 \cdots \alpha_n)) + \frac{1}{2} \sum_{\substack{I \sqcup J = \{1, \dots, n\} \\ I, J \neq \emptyset}} \varepsilon(\alpha_{I, \alpha_J}^{\alpha_1 \cdots \alpha_n}) Q'_2(\mathcal{F}_{|I|}(\alpha_I) \cdot \mathcal{F}_{|J|}(\alpha_J)) = \\
& \qquad = \frac{1}{2} \sum_{k \neq \ell} \varepsilon(\alpha_{\{k, \ell\}}, \alpha_{\{1, \dots, k, \ell, \dots, n\}}^{\alpha_1 \cdots \alpha_n}) \mathcal{F}_{n-1}(Q_2(\alpha_k \cdot \alpha_\ell) \cdot \alpha_1 \cdots \widehat{\alpha_k} \cdots \widehat{\alpha_\ell} \cdots \alpha_n).
\end{aligned}
$$

**DÉFinition 4.1.** — Soit $\mathfrak{g} = T_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$, $\mathfrak{g}' = D_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$. Une formalité est un $L_\infty$-morphisme $\mathcal{F}$ de $S^+(\mathfrak{g}[1])$ vers $S^+(\mathfrak{g}'[1])$ dont le terme linéaire $\mathcal{F}_1$ est l'identification canonique des tenseurs à des opérateurs poly-différentiels d'ordre $1, \dots, 1$ :

$$ \mathcal{F}_1(\alpha)(f_1, \dots, f_k) = \langle \alpha, df_1 \wedge \dots \wedge df_k \rangle. $$

Cette notion est due à M. Kontsevich qui a montré que l'application $\mathcal{F}$ définie par :

$$ \mathcal{F}_n(\alpha_1, \dots, \alpha_n) = \sum_m \sum_{\Gamma \in G_{n,m}} w_{\Gamma} B_{\Gamma}(\alpha_1, \dots, \alpha_n) $$

est une formalité. En particulier, il a montré que la relation de Stokes sur les diverses formes $\omega_\Gamma$ définies sur chaque $C_{n,m}^+$ et les faces de son bord implique que $\mathcal{F}$ est un $L_\infty$-morphisme (voir [7, 3]).

## 4.2. Formalité linéaire analytique

Dans toute la suite on se restreint à l'espace $T_{\text{poly}}^{(1)}(\mathbb{R}^d)$ des tenseurs linéaires, plus précisément les coefficients des tenseurs $\alpha$ sont des fonctions linéaires. Pour tous $r_1, \dots, r_k$, il existe des vecteurs $\alpha^{r_1, \dots, r_k} \in \mathbb{R}^d$ tels que :

$$ \alpha(x) = \sum_{r_1, \dots, r_k} (\alpha^{r_1, \dots, r_k} x) \partial_{r_1} \wedge \dots \wedge \partial_{r_k}. $$

Par définition du crochet de Schouten, $T_{\text{poly}}^{(1)}(\mathbb{R}^d)$ est une sous algèbre de Lie différentielle graduée de $T_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$. On a donc une notion de $L_\infty$-morphisme et de formalité linéaire.

**DÉFinition 4.2.** — On dira qu’un $L_\infty$-morphisme $\mathcal{F} = \sum_n \mathcal{F}_n$ de $T_{\text{poly}}^{(1)}(\mathbb{R}^d)$ dans $D_{\text{poly}}(\mathbb{R}^d)$ est une formalité linéaire si $\mathcal{F}_1$ est l'identification canonique d'un tenseur linéaire à un opérateur poly-différentiel d'ordre $1, \dots, 1$.
Bien entendu, la restriction $\mathcal{F}^{(1)}$ de la formalité de Kontsevich à $T_{\text{poly}}^{(1)}(\mathbb{R}^d)$ est une formalité linéaire.

Considérons maintenant $\mathcal{F}^{(1)}$ comme une application (non linéaire) sur $T_{\text{poly}}^{(1)}(\mathbb{R}^d)$. Pour étudier l'analyticité de cette fonction, on se restreint à l'espace $T_k^{(1)}$ des tenseurs linéaires d'ordre au plus $k$. Un tel tenseur s'écrit :

$$ \alpha = \sum_i \alpha_i, \quad \text{avec} \quad \deg(\alpha_i) = k_i - 1 \le k - 1. $$

On écrit alors formellement $e^{\alpha} - 1 = \sum_{n \ge 1} \frac{\alpha^n}{n!}$, et on considère l'application :

$$ \alpha \mapsto \mathcal{F}^{(1)}(e^{\alpha} - 1) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!} \sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} \mathcal{F}_n^{(1)}(\alpha_{i_1} \dots \alpha_{i_n}). $$

Son image $\mathcal{F}^{(1)}(e^{\alpha} - 1)$ est un opérateur multidifférentiel formel :

$$ \begin{aligned} \mathcal{F}^{(1)}(e^{\alpha} - 1) &= \sum_m D_m(\alpha) \\ &= \sum_m \sum_{\beta_1, \dots, \beta_m} E_m(x, \alpha_i)_{\beta_1 \dots \beta_m} \partial^{\beta_1} \otimes \dots \otimes \partial^{\beta_m}. \end{aligned} \quad (4.1) $$

On dira que $\mathcal{F}^{(1)}$ est analytique si pour chaque $m$ la fonction symbole $(x, \alpha_i, \xi_j) \mapsto \sum_{\beta_1, \dots, \beta_m} E_m(x, \alpha_i)_{\beta_1 \dots \beta_m} \xi_1^{\beta_1} \dots \xi_m^{\beta_m}$ de $D_m(\alpha)$ est analytique.
De façon équivalente,

**DÉFINITION 4.3.** — Une formalité linéaire $\mathcal{F}$, qu'on écrit $\mathcal{F}(e^{\alpha} - 1) = \sum_m D_m(\alpha)$, est dite *analytique* si, pour chaque $k$, il existe une suite de fonctions analytiques en 0 :

$$ R_m : \mathbb{R}^d \times T_k^{(1)} \times (\mathbb{R}^d)^m \to \mathbb{R} $$

telle que pour tout $\alpha = \sum_i \alpha_i$ de $T_k^{(1)}$, pour tout $(a_1, \dots, a_m)$ de $(\mathbb{R}^d)^m$,

$$ D_m(\alpha)(e^{a_1 x}, \dots, e^{a_m x}) = R_m(x, \alpha_i, a_j) e^{(a_1 + \dots + a_m)x}. $$

Avec cette définition,

**THÉORÈME 4.4.** — La formalité linéaire de Kontsevich $\mathcal{F}^{(1)}$ est analytique.
Preuve. — Par définition de $A_{n,m}$, si $\Gamma$ est un graphe de $G_{n,m} \setminus A_{n,m}$, l'opérateur $B_\Gamma(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ s'annule sur $(T_{\text{poly}}^{(1)}(\mathbb{R}^d))^n$. La restriction de la formalité de Kontsevich à $T_{\text{poly}}^{(1)}(\mathbb{R}^d)$ est donc :

$$ \mathcal{F}_n^{(1)}(\alpha_1, \dots, \alpha_n) = \sum_m \sum_{\Gamma \in A_{n,m}} w_\Gamma B_\Gamma(\alpha_1, \dots, \alpha_n). $$

Soit $\Gamma \in A_{n,m}(k_1, \dots, k_n)$, en utilisant la relation 2.1 :

$$ B_{\Gamma}(\alpha_1, \dots, \alpha_n)(f_1, \dots, f_m) = \sum_{1 \le r_s \le d} \prod_i D_i \alpha_i^{r_{K_i+1}, \dots, r_{K_i+k_i}} \prod_j D_j^{-} f_j, $$

on a avec les notations de 4.1 :

$$
\begin{align}
B_{\Gamma}(\alpha_1, \dots, \alpha_n)(e^{a_1 x}, \dots, e^{a_m x}) &= \sum_{\beta_1, \dots, \beta_m} E_{\Gamma}(x, \alpha_i)_{\beta_1 \dots \beta_m} \prod_j \partial^{\beta_j} e^{a_j x} \nonumber \\
&= \left( \sum_{\beta, \gamma} \sum_{s,r} \prod_i \alpha_{i,s_i}^{r_{K_i+1}, \dots, r_{K_i+k_i}} x^{\gamma} \prod_j a_j^{\beta_j} \right) e^{(a_1 + \dots + a_m)x} \tag{4.2} \\
&= \left( \sum_{\delta, \beta, \gamma} C_{\delta, \gamma, \beta}^{\Gamma} \prod_{i,r,j} (\alpha_i^r)^{\delta_{i,r}} x^{\gamma} a_j^{\beta_j} \right) e^{(a_1 + \dots + a_m)x}. \nonumber
\end{align}
$$

Ici $\alpha_{i,s_i}^{r_{K_i+1}, \dots, r_{K_i+k_i}}$ est la coordonnée $s_i$ du vecteur $\alpha_i^r = \alpha_i^{r_{K_i+1}, \dots, r_{K_i+k_i}}$, $\delta = (\delta_{i,r})$ est un multi-indice tel que $\sum_r \delta_{i,r} = 1$. Comme la somme dans 2.1 contient $d^{2n+m-2}$ termes,

$$ |C_{\delta, \gamma, \beta}^{\Gamma}| \le d^{2n+m-2}. $$

Mais le nombre de flèches terrestres de $\Gamma$ est $|\beta| = \sum_j |\beta_j|$, donc celui des flèches aériennes est $A = 2n + m - 2 - |\beta|$. Bien sûr, $|\gamma| = n - A = |\beta| + 2 - m - n$, donc le degré des monômes qui apparaissent dans 4.2 est :

$$ n + |\gamma| + \sum_j |\beta_j| = 2n + m - 2 + 2|\gamma| \ge 2n + m - 2. $$

Donc $e^{-x} \sum a_j D_m(\alpha)(e^{a_1 x}, \dots, e^{a_m x})$ est une série entière en les coordonnées des vecteurs $\alpha_i^r, x$ et $a_j$ dont le coefficient du terme

$$ \prod_{i,r,j} (\alpha_i^r)^{\delta_{i,r}} x^{\gamma} a_j^{\beta_j} $$

est, si on pose $n = \sum |\delta_{i,r}|$, et si chaque $\alpha_i$ est un $k_i$-tenseur,

$$ C_{\delta, \gamma, \beta} = \frac{1}{n!} \sum_{\Gamma \in A_{n,m}(k)} w_{\Gamma} C_{\delta, \gamma, \beta}^{\Gamma}. $$
On a donc :

$$
\begin{align*}
|C_{\delta,\gamma,\beta}| &\le \frac{1}{n!} |A_{n,m}(k)| \sup_{\Gamma \in A_{n,m}(k)} |w_{\Gamma}||C_{\delta,\gamma,\beta}^{\Gamma}| \\
&\le \frac{1}{n!} (2^m e)^n n! \prod_i k_i! \frac{2^{2n+m-2}}{\prod_i k_i!} d^{2n+m-2} \\
&\le (2^{m+1}ed)^{2m+n-2} \le (2^{m+1}ed) \sum^{\left|\delta_{i,r}\right|+\left|\gamma\right|+\sum_{j}^{\left|\beta_j\right|}}
\end{align*}
$$

Finalement, $R_m(x, \alpha_i, a_j)$ est la somme de cette série entière. Si on pose

$$
|x| = \sup_s |x_s|, \quad |\alpha_i| = \sup_{r_1, \dots, r_{k_i}, s} |\alpha_{i,s}^{r_1, \dots, r_{k_i}}|, \quad \text{et} \quad \|(x, \alpha_i, a_j)\| = \sup\{|x|, |\alpha_i|, |a_j|\},
$$

$R_m$ est analytique sur la boule de centre 0 et de rayon $\frac{1}{2^{m+1}ed}$ (voir par exemple [6]).

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Bibliographie

[1] W. ALOULOU, D. ARNAL & R. CHATBOURI, « Algèbres et cogèbres de Gerstenhaber et cohomologie de Chevalley-Harrison », Bull. Sci. Math. **133** (2009), n° 1, p. 1-50.

[2] M. ANDLER, A. DVORSKY & S. SAHI, « Kontsevich quantization and invariant distributions on Lie groups », Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. **35** (2002), n° 3, p. 371-390.

[3] D. ARNAL, D. MANCHON & M. MASMOUDI, « Choix des signes pour la formalité de M. Kontsevich », Pac. J. Math. **203** (2002), n° 1, p. 23-66.

[4] N. BEN AMAR, M. CHAABOUNI & M. HFAIEDH, « Kontsevich deformation quantization on Lie algebras », Boll. Unione Mat. Ital. Sez. B Artic. Ric. Mat. (8) **10** (2007), n° 2, p. 365-379.

[5] W. FULTON & R. MACPHERSON, « A compactification of configuration spaces », Ann. Math. **139** (1994), n° 1, p. 183-225.

[6] R. C. GUNNING & H. ROSSI, Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1965.

[7] M. KONTSEVICH, « Deformation quantization of Poisson manifolds », Lett. Math. Phys. **66** (2003), n° 3, p. 157-216.