# Analyse numérique de tests expérimentaux à grandes vitesses de déformation

Pierre-Paul Jeunechamps, Jean-Philippe Ponthot, Salima Bouvier, Akihiro Uenishi

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Pierre-Paul Jeunechamps, Jean-Philippe Ponthot, Salima Bouvier, Akihiro Uenishi. Analyse numérique de tests expérimentaux à grandes vitesses de déformation. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01812965

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# Analyse numérique de tests expérimentaux à grandes vitesses de déformation.

Pierre-Paul Jeunechamps* — Jean-Philippe Ponthot* — Salima Bouvier** — Akihiro Uenishi***

*ASMA LTAS-MCT
Université de Liège - Bât B52
Chemin des Chevreuils - B.P. 121
B-4000 Liège Belgique
(ppjeunechamps, jp.ponthot)@ulg.ac.be

**LPMTM
Université Paris 13 - Institut Galilée
99 avenue J.B. Clément
F-93430 Villetaneuse

***Nippon Steel Research Laboratories, Nippon Steel Corp.
20-1 Shintomi
Futtsu-city, Chiba, 293-8511, Japan

RÉSUMÉ. Cette étude propose un protocole d'analyse de données expérimentales dans le cas de tests de traction à grandes vitesses de déformation sur des aciers TRIP et dual phase. Ce protocole est mis en oeuvre via une étude éléments finis (EF) permettant d'une part de valider les hypothèses expérimentales et d'autre part de modéliser le comportement du matériau par la conversion de données globales (forces-déplacements) en données locales (contraintes-déformations).

ABSTRACT. This study proposes a method of experimental data analysis for high strain rate tensile tests for TRIP and dual phase steels. This method is implemented by a finite element study that allows to validate experimental hypotheses and to model the material behaviour by the conversion of global data (forces-displacements) to local data (stress-strain).

MOTS-CLÉS : Modèle constitutif, identification, grande vitesse de déformation, Johnson-Cook, analyse éléments finis

KEYWORDS: Constitutive law, identification, high strain rate, Johnson-Cook, finite element analysis
# 1. Introduction

Les aciers à haute résistance, comme les aciers dual phase et les aciers TRIP (Transformation Induced Plasticity) connaissent un succès croissant notamment dans les applications automobiles car ils montrent une grande ductilité couplée à une grande résistance. Ils sont donc appropriés pour des applications telles que la résistance aux crashs. Par conséquent, la caractérisation des propriétés mécaniques de ces matériaux doit être menée dans le cadre d'une étude de la plasticité en grandes déformations dépendante de la vitesse de déformation.

# 2. Dispositif expérimental

Les propriétés des matériaux soumis à de grandes vitesses de déformation sont mesurées expérimentalement par la technique de la barre d'Hopkinson (voir [GIL 02] et [LEE 03]). Le montage expérimental est illustré à la Figure 1. Pour de grandes vitesses de déformation, le spécimen doit satisfaire un certain nombre de conditions (voir [UEN 03]) nécessitant une géométrie spéciale de l'éprouvette (voir Fig. 2) assez différente de celle utilisée pour des mesures de déformations à faibles vitesses. Un des désavantages des tests de traction à grandes vitesses de déformation est que les résultats concernent la réponse globale du spécimen et ne caractérisent pas directement le comportement du matériau dans la zone de traction.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1. Barre d'Hopkinson.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2. Géométrie de l'éprouvette.</figcaption></figure>

# 3. Etude éléments finis

## 3.1. But de l'étude

Le but de cette étude est l'utilisation de la méthode des éléments finis pour valider certaines hypothèses expérimentales permettant la conversion de données globales (forces, déplacements) en grandeurs locales (contraintes, déformations) pour des tests de traction à grande vitesse de déformation sur des aciers DP800 et TRIP800. Il s'agit d'abord d'identifier un modèle constitutif du matériau dépendant à la fois de la vitesse de déformation et de la température pour tenir compte de l'adoucissement thermique dû à la rapidité du phénomène. Ensuite, des analyses thermomécaniques sont menées
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 3. Modèle éléments finis**</figcaption></figure>

à partir des données expérimentales. Les principaux objectifs de ces simulations sont l'examen de l'hypothèse de traction uniaxiale et de l'homogénéité des déformations le long d'une section droite du spécimen.

## 3.2. Description du modèle éléments finis

Vu la symétrie du problème selon l'épaisseur et dans la direction de traction, seul un quart de la structure est modélisée (voir Fig. 3). Le modèle consiste en deux parties : le spécimen proprement dit et un renforcement percé d'un trou. La force de traction est appliquée via un anneau qui pénètre le renforcement par le trou. L'anneau est modélisé par un corps rigide et son mouvement contrôle le processus de déformation.

## 3.3. Modélisation du comportement du matériau

La loi de comportement choisie est celle de Johnson-Cook (voir [HUH 02]) décrite à l'équation (1) tenant compte de la température et de la vitesse de déformation :

$$ \bar{\sigma}(\bar{\varepsilon}, \dot{\bar{\varepsilon}}, T) = (A + B\bar{\varepsilon}^n) \left(1 + C \ln\left(\frac{\dot{\bar{\varepsilon}}}{\bar{\varepsilon}_0}\right)\right) \left(1 - \left(\frac{T - T_{room}}{T_{melt} - T_{room}}\right)^m\right) \quad (1) $$

où $\bar{\sigma}$, $\bar{\varepsilon}$, $\dot{\bar{\varepsilon}}$ sont respectivement la contrainte de traction équivalente, la déformation de traction équivalente et la vitesse de déformation équivalente. T est la température absolue, $T_{room}$ la température ambiante et $T_{melt}$ la température de fusion. Les paramètres A, B, n, C et m sont les constantes du matériau à déterminer.

## 3.4. Identification des constantes du matériau

La première étape consiste en l'identification du paramètre C pour une valeur fixée de $\dot{\bar{\varepsilon}}_0$ de l'équation (1). Pour une valeur fixée de la déformation vraie équivalente $\bar{\varepsilon}$, la
valeur de la contrainte équivalente $\bar{\sigma}$ change avec celle de $\dot{\bar{\varepsilon}}$. Ainsi pour deux couples de valeurs $(\bar{\sigma}, \dot{\bar{\varepsilon}})$, on peut obtenir une relation entre $C$ et $\dot{\bar{\varepsilon}}_0$ et identifier la valeur de $C$ pour un choix de $\dot{\bar{\varepsilon}}_0$.

L'identification de $A$, $B$, $n$ et $m$ est ensuite réalisée par un procédé pseudo itératif. Avec les moyens de mesure utilisés, les paramètres $A$, $B$ et $n$ ne peuvent être identifiés qu'en utilisant un test de traction uniaxiale isotherme. Or, vu la rapidité de l'essai dynamique, le phénomène étudié est adiabatique. Les contraintes isothermes sont dès lors calculées à partir des contraintes vraies en utilisant une approche énergétique pour estimer l'échauffement adiabatique durant le processus (voir [UEN 03]). Pour un incrément de déformation, l'incrément de température associé est calculé par l'équation (2) où $\rho$ est la masse volumique et $C$ la chaleur spécifique.

$$ \Delta T = (\rho C)^{-1} \sigma_{i+1}(\varepsilon_{i+1} - \varepsilon_i) \quad (2) $$

Dans l'hypothèse d'une transformation isotherme à $T = T_{room}$, (1) s'écrit :

$$ \bar{\sigma}(\bar{\varepsilon}, \dot{\bar{\varepsilon}}, T) = (A + B\bar{\varepsilon}^n) \left( 1 + C \ln \left( \frac{\dot{\bar{\varepsilon}}}{\dot{\bar{\varepsilon}}_0} \right) \right) \quad (3) $$

Pour l'identification de $A$, $B$ et $n$, la contrainte isotherme expérimentale est estimée par l'équation (4) où la température est calculée par la formule (2).

$$ \bar{\sigma}_{isotherme,exp} = \frac{\bar{\sigma}_{vraie,exp}}{\left(1 - \left(\frac{T - T_{room}}{T_{melt} - T_{room}}\right)^m\right)} \quad (4) $$

A partir d'une valeur initiale de $m$, la courbe contrainte-déformation isotherme est calibrée par l'équation (3) par la méthode des moindres carrés. Un premier ensemble de valeurs pour $A$, $B$ et $n$ est alors obtenu et une simulation EF est menée pour vérifier l'accord entre la courbe expérimentale contrainte-déformation réelle et la loi de Johnson-Cook. Les valeurs des paramètres sont alors ajustées pour obtenir un bon calibrage de la courbe expérimentale (cf. Fig. 4). Les contraintes dans la direction de traction en fin de processus sont présentées à la Figure 5 pour l'acier TRIP. Un début de striction apparaît au centre du spécimen pour une valeur de déformation au centre de l'ordre de 40%. Pour ces valeurs de déformation, la contrainte atteint 1100 MPa. Mais la rupture intervient avant ces valeurs de déformation (cf. Fig. 4).

### 3.5. Validation par éléments finis des hypothèses expérimentales

Les deux principales hypothèses expérimentales sont les hypothèses de traction uniaxiale et d'homogénéité de la déformation le long de l'éprouvette de traction. Pour une traction uniaxiale, on évalue le changement de longueur de la partie de l'éprouvette de section constante et la force de chargement dans la direction de traction et de là, moyennant ces deux hypothèses, on calcule la déformation et la contrainte vraies. La Figure 6 montre la distribution longitudinale des composantes du tenseur de Cauchy obtenue par une simulation éléments finis au milieu de l'épaisseur de l'éprouvette
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 4.** Acier TRIP : Calibrage de la courbe expérimentale</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure 5.** Acier TRIP : $\sigma_{11}$ en fin de test ($\epsilon_{11,centre} = 42\%$)</figcaption></figure>

pour l'acier TRIP. La distribution de contraintes est uniforme dans la partie centrale de l'éprouvette et la traction est uniaxiale jusqu'à une valeur de 20% de déformation longitudinale au centre de l'éprouvette. L'hypothèse d'homogénéité de la déformation longitudinale est quant à elle vérifiée pour autant que la valeur de la déformation n'excède pas 20% au centre de l'éprouvette (voir Fig. 7).

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>**Figure 6.** Acier TRIP : Contraintes de Cauchy pour $\epsilon_{11,centre} = 20\%$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>**Figure 7.** Acier TRIP : Valeur de $\epsilon_{11}$ pour différentes valeurs du déplacement de l'anneau</figcaption></figure>

### 3.6. Influence de la température

La Figure 8 montre une comparaison entre la température calculée à partir des données expérimentales par la formule (2) et l'évolution de la température au centre de l'éprouvette. L'accord entre les deux méthodes est très bon et confirme le bien-fondé de la méthode énergétique adoptée et l'hypothèse d'une transformation adiabatique. L'adoucissement thermique dû à la grande vitesse de déformation est quantifié par la formule (4). Les courbes contraintes-déformations expérimentales et calculées par éléments finis, avec et sans correction thermique sont tracées à la Figure 9. Pour une déformation de 20%, la différence entre les contraintes vraie et isotherme atteint 20%.
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>**Figure 8.** Acier TRIP : Comparaison entre $T_{exp}$ et $T_{EF}$ pour $\dot{\epsilon} = 800s^{-1}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>**Figure 9.** Acier TRIP : Comparaison entre $\sigma_{vraie}$ et $\sigma_{isotherme}$ pour $\dot{\epsilon} = 800s^{-1}$</figcaption></figure>

**4. Conclusions**

Tout d'abord, une identification des paramètres de la loi constitutive de Johnson-Cook a été réalisée par un va et vient entre simulations EF et données expérimentales pour obtenir des paramètres de la loi en adéquation avec la courbe expérimentale contraintes-déformations. Ensuite, l'analyse EF a permis la validation des hypothèses de traction uniaxiale et d'homogénéité de la déformation le long de l'éprouvette de traction. Une zone utile de l'échantillon a été définie où ces hypothèses sont vérifiées. L'analyse thermomécanique a aussi permis de quantifier l'adoucissement thermique dans le cas de phénomènes adiabatiques tels qu'étudié ici et de valider la méthode de calcul de l'élévation de la température à l'intérieur du matériau à partir des données expérimentales. Le modèle mathématique choisi ici est relativement simple et ne permet pas de capter le pic de contraintes en début de test, la rupture ou la diminution de la contrainte due à l'apparition de striction. Pour cela, une loi constitutive plus élaborée doit être utilisée (voir p. ex. [TEO 95]). C'est l'objet de travaux futurs.

**5. Bibliographie**

[GIL 02] GILAT A., CHANG, « Modeling torsional split Hopkinson bar tests at strain rates above 10,000 s⁻¹ », *Int. J. Plas.*, vol. 18, 2002, p. 787-799.

[HUH 02] HUH H., KANG W., « Crash-worthiness assessment of thin-walled structures with the high-strength steel sheet », *Int. J. Veh. Des.*, vol. 30, 2002, p. 1-21.

[LEE 03] LEE O., KIM M., « Dynamic material property characterization by using split Hopkinson pressure bar (SHPB) technique », *Nuc. Eng. Des.*, vol. 226, 2003, p. 119-125.

[TEO 95] TEODOSIU C., HU Z., « Evolution of the intragranular microstructure at moderate and large strains : modelling and computational significance », SHEN E. S., DAWSON P., Eds., *Proc. NUMIFORM 95*, 1995, p. 173-182.

[UEN 03] UENISHI A., « Thermodynamical behaviour of solution hardened interstitial free steels at high strain rates », PhD thesis, Université Paris 13, France, 2003.