## 4) Diverses comparaisons

Nous nous sommes livrés à trois types de comparaisons : comparaisons de tâches proches pour un même enseignant, comparaison de tâches proches pour deux enseignants différents, et, à l'envers, recherches de tâches présentant des répartitions de discours proches, avec essai d'interprétation.

### a) Deux tâches analogues successives pour un même enseignant.

Le cas se produit deux fois dans la séance de R.

La première fois il s'agit de deviner, après une construction de représentants particuliers, la notation $2u$ et la deuxième fois c'est sur $1/2u$ que le problème se pose. Mais nous n'avons pas voulu comparer les deux épisodes car le premier est très court, et les répartitions correspondantes de ce fait moins fiables (effectifs trop petits).

Du coup nous avons comparé les épisodes 7 et 8, construction de $(-1/2)\overrightarrow{AB}$ et $(2/3)\overrightarrow{AB}$, caractérisation en termes de direction, sens et longueur des vecteurs obtenus.

L'analyse des tableaux (cf. ci-dessous) permet de constater les évolutions suivantes :

* la part de l'information diminue au bénéfice de celle de la structuration

* La part du discours direct diminue au bénéfice de celle du discours indirect

* La part du discours qui porte sur l'exercice en cours diminue au bénéfice de ce qui porte sur les liens "exercices<---->mathématiques".

L'analyse des croisements (tableaux en annexe) montre que, dans les deux épisodes, l'association habituelle de la structuration et du discours indirect fonctionne, ainsi que le "manque" de questions sur la structuration. Si dans les deux épisodes les mathématiques sont plus exprimées en discours indirect, c'est aussi le cas pour le lien entre math et exercices dans le premier épisode et seulement là. Les questions ne portent que sur l'activité en cours dans le premier épisode, elles sont plus diversifiées dans le second, enfin les phrases d'argumentation et de réflexion portent exclusivement sur l'exercice d'abord et exclusivement sur le lien entre exercices et mathématiques ensuite, alors que c'était dans la structuration qu'était privilégié ce lien dans le premier épisode...

Tout se passe comme si la répétition permettait de "s'éloigner" un peu de l'exercice, tant pour les questions, que pour le discours et son objet, ce qui présuppose que cette évolution est possible pour les élèves, qu'ils ont un peu retenu ce qui précède.

Tableaux de répartition des fonctions, teneurs et objets du discours dans les épisodes 7 et 8 les pourcentages sont calculés sur le total des phrases analysées de chaque épisode.

<table><thead><tr><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>7</td><td>76%</td><td>9%</td><td>15%</td><td>22%</td><td>43%</td><td>35%</td><td>87%</td><td>3%</td><td>10%</td><td>79%</td></tr><tr><td>8</td><td>70%</td><td>19%</td><td>11%</td><td>24%</td><td>35%</td><td>41%</td><td>45%</td><td>4%</td><td>51%</td><td>100%</td></tr></tbody></table>
## b) Deux tâches voisines, deux enseignants différents

Il s'agit de tracer des sommes de vecteurs donnés par leurs représentants sur un quadrillage et de travailler sur un représentant particulier de cette somme. Cette tâche (en partie de révision) est réussie dans les deux classes.

Les répartitions des différentes catégories analysées (tableaux ci-dessous) montrent des différences, notamment sur les fonctions (plus ou moins de structuration), les questions, et la part de ce qui porte sur les mathématiques décontextualisées. Cependant le résultat précédent, qui montre des évolutions entre les discours du même enseignant sur deux tâches analogues mais successives, amène à nuancer ces différences, en fonction de la place respective de chaque tâche dans l'ensemble de la séance.

Ceci nous amène à être très prudent sur ce type de comparaisons.

Ceci dit, les croisements indiquent plutôt des différences, mises à part l'association structuration et discours indirect et le peu de questions sur la structuration. Tous les liens entre exercices et mathématiques se passent en information chez R, contrairement à ce qui se passe chez B1. Struturation et argumentation concernent presque exclusivement les mathématiques chez R (c'est logique), alors que chez B l'argumentation porte plus que les liens et la structuration sur les exercices. Les questions portent plus sur l'argumentation chez R, cette dernière focntion n'étant même remplie qu'avec des questions, c'est beaucoup plus diversifié chez B. Le discours indirect porte de manière privilégiée sur les liens chez R, ce n'est pas le cas chez B.

## Tableaux de répartition des fonctions, teneurs et objets du discours dans les épisodes VR3 et VB1 8

les pourcentages sont calculés sur le total des phrases analysées de chaque épisode.

<table><thead><tr><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="11">Information Structuration Argumentation Questions Direct Indirect exercices math lien total(eff)</td></tr><tr><td>R3</td><td>82%</td><td>3%</td><td>15%</td><td>53%</td><td>38%</td><td>9%</td><td>44%</td><td>26%</td><td>29%</td><td>34%</td></tr><tr><td>B1 8</td><td>66%</td><td>17%</td><td>17%</td><td>42%</td><td>41%</td><td>17%</td><td>49%</td><td>2%</td><td>49%</td><td>100%</td></tr></tbody></table>
c) Des répartitions proches : trois tâches différentes, trois enseignants différents, mais trois situations dans la séance analogues, au sens où ces trois exercices sont proposés aux élèves tout de suite après un épisode où l'enseignant a donné des éléments nouveaux, qui sont justement à appliquer ici. On retrouve cette idée que tout se passe comme si les enseignants pensaient que ce qui vient d'être fait est en partie retenu.

Donnons tout de suite le tableau de répartition des fonctions, teneurs et objets du discours dans les épisodes VR6, B1V 10 et B2V 7.

les pourcentages sont calculés sur le total des phrases analysées de chaque épisode.

<table><thead><tr><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>VR6</td><td>69%</td><td>24%</td><td>7%</td><td>11%</td><td>29%</td><td>60%</td><td>66%</td><td>0%</td><td>34%</td><td>91%</td></tr><tr><td>B110</td><td>68%</td><td>24%</td><td>8%</td><td>15%</td><td>24%</td><td>60%</td><td>69%</td><td>4%</td><td>27%</td><td>78%</td></tr><tr><td>B27</td><td>64%</td><td>24%</td><td>11%</td><td>15%</td><td>60%</td><td>25%</td><td>72%</td><td>9%</td><td>19%</td><td>96%</td></tr></tbody></table>

Nous constatons que les différences les plus notables portent sur les discours direct et indirect, et correspondent à des différences générales qui ne sont pas réservées à ces seuls épisodes, et semblent caractériser plus ou moins les enseignants.

C'est la somme des phrases sur les math et sur le lien math et exercices qui est ici à peu près constante.

Enfin les croisements, sans être analogues, présentent aussi des points communs. Le fait qu'un des enseignants ne se place jamais en mathématiques rend la comparaison un peu plus délicate.

Les tableaux les plus comparables concernent le croisement des fonctions et de la teneur des discours : outre l'association privilégiée de la structuration et du discours indirect, et le manque de questions sur la structuration, il apparaît dans les trois cas une minoration du discours indirect dans les phrases portant sur l'argumentation, l'argumentation étant ici sans doute facile à faire puisqu'on rappelle ce qui vient d'être dit.

L'information utilise, elle, un peu plus le discours direct, ce qui n'est pas rare, notamment lors d'une tâche nouvelle, supposée non immédiate.

Autre point commun : l'argumentation porte massivement (plus que les autres fonctions) sur le lien entre les exercices et les mathématiques. Ceci est sans doute à mettre en rapport avec la place commune de ces trois épisodes, et avec l'enjeu commun que l'enseignant peut y mettre : illustrer ce qui vient d'être fait.
1) Des scénarios, des gestions et des discours qui traduisent bien les difficultés prévues

Nous avons dégagé au préalable des difficultés pour concevoir des activités préparant
"suffisamment" les nouveautés sur les vecteurs.

Nous constatons que les enseignants ressentent bien ces difficultés, tant au niveau des activités proposées, qui ne sont pas tout à fait des activités d'introduction comme on aimerait en présenter, qu'au niveau de la gestion et des discours : on ne laisse pas les élèves travailler seuls, sauf à la maison, et c'est lié à la nature des tâches, et, pour la même raison sans doute, on est amené à donner beaucoup d'informations pendant les exercices.

Un mot sur les analyses a posteriori que nous n'avons pas jointes ici : elles confirment encore ces constats, en montrant notamment que l'enseignant est vraiment obligé par la situation même de "tricher" à certains moments, en particulier en passant sous silence un point trop délicat pour être abordé avec les élèves.

Ce peut se faire par une stratégie que nous avons appelé "du journaliste", où une proposition, en fait hypothétique, est prise comme prémisse d'une implication, ce qui fait oublier son caractère non certain et déplacer les interrogations (sur la partie impliquée). Nous en avons évoqué des exemples dans les analyses de discours indirect (structuration indirecte).

Ce peut se faire par l'introduction implicite, non relevée par l'enseignant, d'éléments en fait essentiels, soit pendant les questions, discrètement transformées, voire fermées par l'enseignant, et du coup rendues abordables mais vidées de leur vrai contenu, soit dans le cours lui-même, en "catimini", sans en avoir l'air.

Ce peut se faire en évitant un problème, soit délibérenment a priori, par omission, soit en ignorant des questions ou une partie des questions posées par les élèves. Un des moyens pour ce faire que nous avons rencontrés est le fait de répondre systématiquement aux questions des élèves sur le mode du "comment" au lieu du mode du "pourquoi", voire même d'intervenir en dehors des questions plus souvent sur le mode du faire que sur le mode de l'argumentation.

La relativement faible part de l'argumentation dans les discours analysés tient peut-être justement à la nature particulière des activités qui entraîne ce type de stratégies.

Il faudrait maintenant comparer à d'autres séances, notamment sur des notions tout à fait différentes, pour confirmer ces corrélations.

2) Quelques tendances régulières dans les analyses locales.

Reprenons les résultats qui se sont présentés au fil de ces analyses.

D'abord le fait que la structuration, toujours plus représentée en discours indirect, n'est que peu objet de questions : tout se passe comme si structurer était l'affaire exclusive de l'enseignant, et du discours indirect d'ailleurs.

Serait-ce à mettre en rapport avec l'atomisation des connaissances que nous avons constatée et déplorée chez les étudiants préparant le capes ?

En revanche il existe des différences assez constantes entre les enseignants dans une séance
donnée, quelles que soient les activités en cours : certains posent moins de questions, voire parlent moins (dans le même temps), ou encore utilisent plus volontiers le discours direct.

Autre régularité possible : nous avons constaté à deux reprises que tout se passe comme si l'enseignant pensait que ce qui vient d'être fait peut avoir une influence sur la suite, est déjà en partie retenu par les élèves. Or si c'est certainement le cas pour les bons élèves, on sait que les élèves en difficulté ont du mal à retenir ce qui est fait, à concevoir que cela peut servir ailleurs que dans l'activité immédiate.

Autre conclusion encore hâtive, généralisant d'ailleurs ce qui précède : une donnée importante pour interpréter les variations du discours de l'enseignant selon les différentes tâches semblerait être la prévision que l'enseignant fait sur la tâche prescrite (par rapport aux tâches effectuées par les élèves), ce qu'il attend de cette tâche (l'enjeu qu'il y attache, ou la difficulté qu'il prévoit pour les élèves), plus que le déroulement réel (tâches effectuées). On a vu que, souvent, plus une tâche est considérée comme facile, plus l'enseignant se permet de s'en "éloigner" (plus de questions, plus de discours indirect, plus de lien entre exercices et mathématiques, plus d'argumentation...).

Dans ces conditions, il y a intérêt à bien prévoir ! Si par hasard il y a une trop grande distance entre ce qui est attendu par l'enseignant, et ce qui est effectif, on peut penser que le discours de l'enseignant va tomber à plat, encore plus que d'habitude (compte tenu de la non écoute permanente des élèves).

Autrement dit, dans les gestions didactiques, si on admet qu'il s'agit de rester dans la zone des connaissances où écouter l'enseignant, l'imiter peut être porteur d'apprentissage pour les élèves, il faut optimiser justement les prévisions, pour avoir le plus de chances possibles de parler sur ces connaissances-là.

Autre constat : une conclusion hâtive pourrait être que, si on ne se donne pas des moyens draconiens (se taire) pour gérer une activité, on ne pourra pas lui restituer ses qualités adidactiques, vu la part d'information qui y est donnée... Mais ce résultat est à nuancer grandement par la nature des activités en cours, et notamment la nature des notions introduites, qui peuvent amener à "dénaturer" les activités. Il y a là des suites à mener.

### 3) Comment parler de l'univers que les enseignants réservent à leurs élèves ?

Plusieurs niveaux peuvent être dégagés, nous semble-t-il, pour comprendre cet univers, et dont nous avons montré que nos analyses y donnent un accès : au premier niveau, existe-t-il des moments où l'enseignant laisse chercher les élèves seuls ? Sur quels types de tâches ?

Deuxième niveau : quel type de dialogue s'instaure entre les enseignants et les élèves ? En particulier dans quelle mesure et sur quoi les élèves sont sollicités, ou même sollicitent eux-mêmes les enseignants ? Sont-ils par exemple interrogés sur les argumentations, toujours, jamais ou pendant quelles tâches ?

Enfin, sur telle tâche, avec tel enjeu et telle place dans la séance, quelle est la répartition entre les différents objets du discours, autrement dit comment l'enseignant organise-t-il son projet de dialectique entre les exercices et les mathématiques plus décontextualisées ?
Quelle est la répartition entre les fonctions - quand l'enseignant se contente-t-il d'informer, quand pense-t-il aider en structurant ses informations, ou quand intervient-il sur la compréhension ?

Nous devons, pour terminer, répondre à la question que nous avons posée nous-même dans le titre. Y a-t-il lieu de tenir compte de ces analyses locales dans certaines recherches en didactique ?

Notre réponse n'est pas encore définitive, il manque des analyses analogues sur d'autres notions, d'autres élèves et peut-être encore d'autres enseignants.

Cependant nous avons constaté d'une part que ces analyses locales nous facilitaient les analyses a posteriori, notamment en ajoutant des points de vue qui pouvaient éclaircir les attentes des enseignants, leurs choix d'intervention et du coup déterminer mieux quoi regarder.

D'autre part les renseignements particuliers sur les discours, en termes de fonctions, teneurs et objets, croisés à la nature des tâches proposées, nous semblent enrichir à la fois la nature des enseignements, et la manière dont les élèves sont mis en contact avec ces enseignements, de manière complémentaire avec les seules descriptions en termes de situations (au sens large).

Admettons que le rapport au savoir des élèves est une des variables de leur apprentissage, en amont des strictes situations qui leur sont proposées ; admettons que ce que dit ou ne dit pas l'enseignant et la manière dont il le dit, notamment dans les moments didactiques, peut intervenir à la fois sur ces rapports au savoir et, compte-tenu de ces rapports au savoir, comme aides à l'apprentissage.

Alors on peut effectivement tenir compte de cet univers que nous reconstituerons en partie avec nos renseignements pour interpréter ce qui nous intéressera en premier lieu, les rapports enseignement/apprentissage d'un contenu donné pour des élèves donnés, dans une classe donnée.
<figure><img src="image_29.png" /></figure>
Bautier (1995) *Pratiques langagières, pratiques sociales*, L'Harmattan

Blanchard Laville (1996) Dans Pour une clinique du rapport au savoir, l'Harmattan

Bolon (1996) *Comment les enseignants tirent-ils parti des recherches faites en didactique des mathématiques ? Le cas de l'enseignement des décimaux à la charnière école-collège* Thèse de doctorat de l'Université Paris 5

Brousseau (1995) L'enseignant dans les théories didactiques, Actes de la 8ème Ecole d'été

Charlot B., Bautier E. et Rochex J.Y. (1992) *Ecole et savoir dans les banlieues et ailleurs*. Armand Colin

Chevallard Y. (1995) La fonction proefessorale : esquisse d'un modèle didactique, Actes de la 8ème Ecole d'été

Clot Y. (1995) *Le travail sans l'homme* ? Editions la découverte

C. Comiti, D. Grenier, C. Margolinas (1995) Niveaux de connaissance en jeu lors d'interactions en situation de classe et modélisation de phénomènes didactiques, Différents types de savoirs et leur articulation, Ed. Arsac, Gréa, grenier et Tiberghien, La pensée sauvage.

Coulon (1987) *L'ethnométhodologie*. PUF

Coulon (1993) *Ethnométhodologie et éducation*. PUF

Dorier J.L. ed (1997) *L'enseignement de l'algèbre linéaire en question*, La pensée sauvage

Margolinas (1995) La structuration du milieu et ses apports dans l'analyse à posteriori des situations in *Les débats en didactique des mathématiques*, ed. C. Margolinas, la pensée sauvage

Noirfalise A et R (1995) Visibilité et intelligibilité de l'action du professeur, Actes de la 8ème Ecole d'été

Pastré P., Samurcay R. et Bouthier D. (1995) Le développement des compétences, analyse du travail et didactique professionnelle, *Education permanente n°123*

Peltier M.L. (1995) *La formation initiale en mathématiques des professeurs d'école : entre conjoncture et éternité*, Thèse de doctorat, Université Paris 7.

Perrin MJ (1993) Questions didactiques soulevées à partir de l'enseignement des mathématiques dans les classes faibles, *RDM vol 13, 1.2*

Perrin M.J. (1995) Gestion didactique des moments adidactiques (enseignement de la valeur absolue en classe de seconde) Actes de la 8ème Ecole d'été

Robert A. et Robinet J. (1992) Représentations des enseignants et des élèves, repères IREM n°7

Robert A. (1995) Professeurs de mathématiques de lycée et collège : formation professionnelle initiale ou comment désaltérer qui n'a pas soif ? *Document de travail pour la formation des enseignants n°14*, Irem Paris 7

Robert A. (1995) Formation professionnelle initiale des futurs professeurs de mathématiques : les opinions des intéressés et de leurs tuteurs (formateurs sur le terrain). *Document reproduit par la MAFPEN de Versailles*.

Robert A. (1996) Une approche de la formation professionnelle initiale des futurs enseignants de lycée et collège en mathématiques, un essai de didactique professionnelle, Cahier de DIDIREM
n°26, Irem Paris 7.

Robert A. (1996) IUFM : Réflexion sur la formation professionnelle initiale des professeurs de mathématiques des lycées et collèges, *Repères IREM* n°23.

Rochex JY (1994) *L'expérience scolaire entre subjectivité et objectivité* PUF

Rogalski et Samurçay (1992) Formation aux activités de gestion d'environnements dynamiques : concepts et méthodes, *Education permanente* n°111

Vergnaud G. (1992) Qu'est-ce que la didactique ? En quoi peut-elle intéresser la formation d'adultes peu qualifiés ? *Education permanente* n°111

Vergnaud G. (1994) Le rôle de l'enseignant à la lumière des concepts de schème et de champ conceptuel, *Vingt ans de didactique des mathématiques en France*, La pensée sauvage
# ANNEXES

- Le cahier des charges des responsables video

- Un exemple de document d'accompagnement

- Exemples de transcriptions

- Les tableaux croisés sur chaque tâche
Responsable video (RV) - un planning indicatif des tâches...

Nous avons retenu pour nos observations 4 pôles

Sur chaque pôle, un ou deux responsables video sont chargés de l'ensemble du recueil des données, c'est à dire du tournage et du document d'accompagnement pour toutes les séances retenues. Nous donnons aux responsables video les coordonnées des professeurs volontaires sur l'établissement dont il a la charge.

En seconde, les chapitres à filmer sont à choisir si possible parmi les suivants : vectoriel, fonctions, homothéties. En collège au choix.

Pour chaque professeur, et pour une notion retenue, il nous semble intéressant de filmer plus particulièrement un des types de séances suivants (voire les trois) :

* introduction de la notion (avec "activités")

* cours (exposition des connaissances) avec une démonstration, ou un raisonnement

* correction d'exercices ou de devoirs sur la notion.

Toutefois, le choix des séances à filmer, le choix des traces élèves sont à l'initiative des responsables video, ainsi que toute autre chose oubliée dans nos prévisions et demandant une prise de décision.

Les trois premiers actes doivent se faire très rapidement, si possible la première ou la deuxième semaine de septembre :

**Premier acte** : le RV et le professeur déterminent les chapitres sur lesquels se feront les tournages.

**Deuxième acte** : le RV et le professeur déterminent les (premières) séances filmées et leurs dates précises.

**Troisième acte** : le RV prévient définitivement l'opérateur video (ou MC ou A) de ces dates.

Les actes suivants se passent au moment des tournages.

**Quatrième acte** : le RV prend rendez vous et rencontre le professeur avant le tournage et l'interroge sur ses intentions (cf. méthodologie de l'appel d'offres) - objectifs, place dans le cours, caractéristiques de la classe (et de l'établissement) pour le prof..

**Cinquième acte** : le RV vérifie la venue de l'opérateur.

**Sixième acte** : le tournage (si possible le RV assiste).

**Septième acte** : l'entrevue après la séance et les traces élèves éventuelles.

**Dernier acte** : le RV confectionne un document d'accompagnement pour chaque séance filmée (en regroupant l'entrevue avant, ses notes sur la séance s'il y a été, et l'entrevue après).

Il nous semble que pour deux ou trois heures de tournage (d'affilée), il faut compter une dizaine d'heures de travail pour le RV.
<figure><img src="image_30.png" /></figure>
DOSSIER D'ACCOMPAGNEMENT

DES

ENREGISTREMENTS

AU

LYCEE RICHELIEU

DE

RUEIL - MALMAISON

SEANCES DES

JEUDI 9 NOVEMBRE 1995

ET

MARDI 21 NOVEMBRE 1995

Nadine GERALD
# SOMMAIRE

## I INTRODUCTION GENERALE

### I A - L'ETABLISSEMENT

### I B - LA CLASSE ENREGISTREE

### I C - LA PROGRESSION ADOPTEE PAR LE PROFESSEUR

## II SUR LES VECTEURS

### II A - LA PROGRESSION SUIVIE

### II B - L'INTRODUCTION DES VECTEURS

#### II B 1 - Sous forme d'un devoir à la maison

#### II B 2 - Sous forme d'un polycopié distribué aux élèves

### II C - L'ENREGISTREMENT DU JEUDI 9 NOVEMBRE 1995

#### II C 1 - Introduction

#### II C 2 - Description de la séance

#### II C 3 - Ambiance

#### II C 4 - Remarques

### II D - L'APRES-SEANCE DU 9 NOVEMBRE 1995

#### II D 1 - Cours suivants

#### II D 2 - Contrôle n°8 du 16 novembre 1995

### II E - L'ENREGISTREMENT DU MARDI 21 NOVEMBRE 1995

#### II E 1 - Introduction

#### II E 2 - Description des 2 séances

#### II E 3 - Commentaires sur les différences entre les 2 séances

#### II E 4 - Ambiance des séances

#### II E 5 - Remarques

### II F - L'APRES-SEANCE DU 21 NOVEMBRE 1995

#### II F 1 - Cours suivant

#### II F 2 - Devoirs à la maison n°9 & n°10

#### II F 3 - Contrôle n°11 du 7 décembre 1995

## III SUR LES FONCTIONS (rédaction réservée)

** ** **
# I INTRODUCTION GENERALE

## I A - L'ETABLISSEMENT

Le lycée RICHELIEU de Rueil-Malmaison se trouve dans une cité scolaire comportant:

- le collège Jules VERNE: environ 800 élèves;

- le lycée RICHELIEU comportant des classes préparatoires: environ 1800 élèves;

- le lycée professionnel George SAND: environ 350 élèves.

## I B - LA CLASSE ENREGISTREE

La classe enregistrée est une classe de seconde de 32 élèves, allemand première langue, anglais seconde langue, comportant un tiers d'élèves latinistes et ayant choisi l'option informatique appliquée aux sciences physiques.

Mis à part un redoublant, né en 1979, tous les élèves sont nés en 1980. De même, hormis trois élèves, tous ont fait leur scolarité de premier cycle dans des collèges de RUEIL-MALMAISON. La classe est d'un bon niveau, motivée, vive, agréable et sérieuse; les élèves montrent une certaine curiosité intellectuelle.

## I C - LA PROGRESSION ADOPTEE PAR LE PROFESSEUR

Pour son cours le professeur a adopté la progression suivante:

- rappels sur les puissances, sous forme de catalogue, avec des démonstrations;

- inégalités, propriétés; inéquations; signe de ax+b; encadrements;

- valeurs absolues, définition, opérations et intervalles; approximations, valeurs approchées, arrondis, troncatures, incertitudes.

### Remarque:

Le professeur n'a pas encore fait de cours sur les fonctions, toutefois à l'occasion des devoirs les élèves sont amenés à construire des représentations graphiques point par point de fonctions inverses, de fonctions affines par intervalles, de paraboles et s'initient à des recherches d'extremum.
# II SUR LES VECTEURS

## II A - LA PROGRESSION SUIVIE

Dans ce cours sur les vecteurs la progression suivie par le professeur est:

- multiplication d'un vecteur par un nombre réel;

- énoncé vectoriel du théorème de Thalès;

- colinéarité de deux vecteurs; alignement de points;

- géométrie analytique; équation cartésienne d'une droite.

## II B - L'INTRODUCTION DES VECTEURS

### II B 1 - Sous forme d'un devoir à la maison
(voir annexe 1)

Pour ce devoir, le professeur avait d'une part remis en mémoire aux élèves la définition "naïve" des vecteurs et d'autre part introduit la signification et la notation de la norme. Cependant pour la norme du vecteur AB le professeur préfère l'emploi de l'expression "la distance de A à B" et de la notation AB.

Le premier exercice avait été retenu parce qu'il mettait en jeu la différence entre la somme des normes de vecteurs et la norme de la somme des vecteurs.

Le deuxième exercice était plus un exercice de recherche personnelle et de réflexion, il avait été tout particulièrement choisi pour ses aspects d'enchaînement des questions et de quantification.

Le jour de l'enregistrement, ce devoir avait été donné, corrigé et rendu aux élèves quelques séances auparavant.

### II B 2 - Sous forme d'un polycopié distribué aux élèves
(voir annexe 2)

Les questions du polycopié notées: A, B (I II III IV) avaient été étudiées au cours précédent la séance d'enregistrement. Ces questions avaient permis aux élèves de revoir la notion de vecteurs vue en collège et en particulier d'insister sur la notion d'égalité vectorielle. En outre, elles introduisaient quelques nouveautés à savoir:

- le mot "représente",

- le vecteur "nul".
# II C - L'ENREGISTREMENT DU JEUDI 9 NOVEMBRE 1995

## II C 1 - Introduction

La séance d'une heure trente réunit la classe complète. Le sujet traité est "Multiplication d'un vecteur par un réel".

Cette leçon constitue pour le professeur le véritable premier cours du chapitre sur les vecteurs en classe de seconde, alors que les séances précédentes sont vues comme des activités de révisions et surtout de mises au point.

Le plan adopté est le suivant:

Première partie:

- Correction des exercices partie B (V et VI) du polycopié;

Deuxième partie:

- Activité préparatoire pour introduire la définition de la multiplication d'un vecteur par un réel;

Troisième partie:

- Définition de la multiplication d'un vecteur par un réel.

## II C 2 - Description de la séance

Première partie:

Les questions posées dans le polycopié visent:

(i) à étudier, dans la relation de Chasles, des nouveautés par rapport à la classe de troisième:

- la somme de vecteurs opposés,

- la somme de trois vecteurs;

(ii) à éviter, dans la relation de Chasles, certaines confusions:

- avec les distances en révisant (sans prononcer l'expression) l'inégalité triangulaire,

- avec des vecteurs de même "origine";

(iii) à introduire la différence de deux vecteurs.
Deuxième partie:

Le professeur:

(i) insiste bien sur la nouveauté dans cette leçon:
l'association des mots multiplication et vecteur,

(ii) a choisi de donner comme titre à la leçon:
"Multiplication d'un nombre réel par un vecteur" pour
bien marquer que le réel prend place devant le
vecteur.

Dans l'activité préparatoire le professeur emploie le mot "figurer". C'est une convention entre lui et les élèves, un langage conventionnel précis qu'il a établi avec eux depuis le début de l'année: "figurer" veut dire dessiner sans justification, tandis que "construire" signifie faire la figure avec justification.

Or, dès le premier exercice, lorsque le professeur qui avait
demandé simplement de figurer le point B tel que MN+MN=AB, MN et
A étant donnés, est passé dans les rangs, il s'est aperçu que
deux élèves n'avaient pas su tracer le point B. Il a alors
demandé que l'on justifie la construction de B, puis des autres
points à construire dans la suite de l'activité, ce qu'il
n'avait pas prévu de faire au départ.

C'est le seul moment où le professeur a improvisé. Il considère
que cette nécessité de justification qu'il n'avait pas prévue
sera finalement très utile pour la suite, en particulier lors de
l'introduction de la notion de colinéarité.

A la question de savoir à quel moment la notation de la
multiplication d'un vecteur par un réel avec un point sera
abandonnée. le professeur répond: "Très vite, dès la prochaine
leçon". Et à celle de savoir pourquoi avoir introduit cette
notation uniquement pour la première leçon. le professeur
répond: "Pour marquer le coup!. Cette opération nécessite un
signe distinctif afin de bien attirer l'attention sur la
différence avec la multiplication des nombres".

Troisième partie:

Les exercices de l'activité préparatoire amènent progressivement
à la définition de la multiplication d'un vecteur par un réel,
définition qui s'énonce alors de façon naturelle. Elle a été
donnée dans la cas général (kFO et ABO), les autres cas seront
étudiés au cours suivant. Le professeur termine rapidement par
deux figures.
La cloche sonne, les élèves quittent le cours, en sachant que, puisque le professeur ne leur a pas donné de travail particulier, ils ont, par convention, à apprendre leur leçon pour le prochain cours.

## II C 3 - Ambiance

Pour cet enregistrement nous disposions de deux caméras et de deux opérateurs vidéo, ce qui ne pouvait que perturber les élèves.

Cependant le professeur a su dès le début détendre l'atmosphère de la classe, il a su rester naturel et faciliter la participation des élèves.

## II C 4 - Remarques

(i) Au deuxième exercice, le professeur a commis un lapsus, en confondant les vecteurs $\overline{AB}$ et $MN$, un moment après, un élève l'a signalé, ce fut rectifié et l'incident fut clos.

(ii) De temps en temps le professeur emploie encore l'expression du collège: "longueur d'un vecteur". Son souci est, d'une manière générale, de ne pas bouleverser brutalement les habitudes des élèves, mais au contraire de graduer leur acquisition des connaissances mathématiques du lycée.

(iii) Au cours de cette séance, le professeur n'envoie aucun élève au tableau, même pour corriger un exercice. A cela il avance plusieurs raisons:

- en premier, il n'est pas persuadé que cette démarche présente un réel intérêt pour le "groupe classe";

- en deuxième, l'élève du second cycle se trouvant en pleine adolescence, le fait d'être au tableau" peut le conduire à une certaine gêne vis-à-vis du "groupe classe";

- en troisième, si dialogue il y a, entre l'élève au tableau et son professeur, ce dialogue leur reste souvent circonscrit, or il y a tout aussi bien dialogue entre le professeur et l'élève à sa place, et cela sans en exclure la classe;

- enfin, dernière raison, de sa place l'élève est obligé de s'exprimer à haute voix et de préciser sa pensée dans un français correct avec un vocabulaire mathématique adéquat.
## II D - L'APRES-SEANCE DU 9 NOVEMBRE 1995

### II D 1 - Cours suivants

- Que compte faire le professeur au prochain cours?

- Un "tuilage", plus précisément les constructions d'un vecteur multiplié par les réels: -3, -1/2, -3/4.

- L'étude du cas où l'on n'a pas:

$$k \neq 0 \text{ et } \vec{AB} \neq \vec{0} \qquad (1).$$

Ici, le professeur en profitera pour introduire un peu de logique, sans le dire explicitement, avec une étude du "et" et du "ou", en faisant réfléchir les élèves sur la négation de l'expression (1).

- Puis l'introduction de la notation du type $\vec{u} = \vec{AB}$.

- Enfin la présentation des règles essentielles de calcul

$$(k+1) \vec{u} = k \vec{u} + \vec{1} \vec{u}$$

démontrée en TRAVAUX DIRIGES le samedi 18 novembre par disjonction des cas:

$$(k \vec{1}) \vec{u} = k (\vec{1} \vec{u})$$

relation admise en cours, et:

$$k (\vec{u} + \vec{v}) = k \vec{u} + k \vec{v}$$

relation démontrée en module à l'aide du théorème de Thalès, voir enregistrement du 21.11.95. En effet, si "au collège" il n'y a pas de connexion entre les vecteurs et le théorème de Thalès, cette connexion se fait au lycée, en classe de seconde.

### II D 2 - Contrôle n°8 du 16 novembre 1995

(voir annexes 3A à 3E)

Premier exercice:

**Objet:** Exercice sur les distances et les valeurs absolues, comportant une approche des fonctions.

**Commentaire:** les élèves ont fait surtout des fautes d'étourderie.
Deuxième exercice:

Objet: Utilisation du cours " multiplication d'un vecteur par un réel", en vue de l'approche du barycentre de trois points affectés des coefficients 1,1 & 2, et calcul de distances.

Commentaire: les élèves ont eu des difficultés pour déterminer D, plus généralement ils ont eu des difficultés pour appliquer le cours et prendre de la distance par rapport au problème; aucun élève n'a pensé à montrer que l'on obtenait le même point D par les deux méthodes.

Pour conclure:

Tous les élèves ont eu la moyenne, sauf six élèves qui ont eu entre 7 et 9, donc pas de notes catastrophiques! Le professeur a demandé à ces six élèves de refaire la correction complète chez eux.

Remarques:

(i) Les deux versions successives (annexes 3A et 3B) du deuxième exercice de ce contrôle permettent de voir la simplification que le professeur lui a finalement apportée pour tenir compte des difficultés rencontrées par les élèves lors d'une séance de module sur ce sujet.

(ii) Dans sa correction orale, d'une quarantaine de minutes, le professeur a privilégié la méthode.

(iii) La correction du contrôle, donnée par le professeur, est en annexes 3C & 3D, le barème ainsi que quelques commentaires sont en annexe 3E.

II E - L'ENREGISTREMENT DU MARDI 21 NOVEMBRE 1995

II E 1 - Introduction

Cet enregistrement couvre deux séances de travaux dirigés d'une heure chacune, réunissant 15 élèves pour la première heure et 12 élèves pour la seconde (les élèves absents participaient à une manifestation d'étudiants).

L'objectif de ces travaux dirigés est la démonstration de:

$$k ( \vec{u} + \vec{v} ) = k \vec{u} + k \vec{v}$$

en utilisant l'un des deux énoncés du théorème de Thalès étudiés au collège et en se plaçant dans le cas où k prend une valeur particulière, à savoir 3/2.
Dans cette séance les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. Le cas particulier de la colinéarité sera toutefois évoqué mais non étudié, le professeur considérant que ceci ferait double emploi avec la séance précédente pendant laquelle il a déjà manipulé avec les élèves des vecteurs colinéaires à propos de la démonstration de $(k+1)\vec{u} = k\vec{u} + l\vec{u}$.

La démonstration de la relation :

$$ \frac{3}{2} (\vec{u} + \vec{v}) = \frac{3}{2} \vec{u} + \frac{3}{2} \vec{v} $$

s'effectue en deux étapes.

Première étape:

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ étant des vecteurs donnés, représenter le vecteur

$$ \vec{AT} = \frac{3}{2} ( \vec{u} + \vec{v} ); $$

Deuxième étape:

prouver que ce vecteur $\vec{AT}$ peut s'écrire $\frac{3}{2}\vec{u} + \frac{3}{2}\vec{v}$.

Ici l'intention du professeur est de faire des projections puis d'utiliser l'énoncé direct du théorème de Thalès, tel qu'il est appris au collège.

## II E 2 - Description des 2 séances

Lors de la première séance, à la deuxième étape de la démonstration, une élève a trouvé une solution différente de la solution attendue. Cette élève, d'après le professeur, progresse régulièrement depuis le début de l'année. Elle a proposé de construire deux vecteurs par multiplication par $3/2$ des vecteurs donnés, puis d'utiliser non pas le théorème direct, mais le théorème réciproque de Thalès.

Lors de la seconde séance, le professeur, tenant compte de cette proposition a choisi de guider les élèves vers cette solution.

A la fin de chacune des deux séances le professeur a donné aux élèves la démonstration étudiée à travailler à la maison dans le cas général. Cela ne devrait pas leur poser de problème particulier, puisqu'ils ont déjà rencontré dans un cours précédent une démonstration par disjonction de cas à propos de l'étude de: $(k+1)\vec{u} = k\vec{u} + l\vec{u}$.
## II E 3 - Commentaires sur les différences entre les 2 séances

(i) Quel est l'avis du professeur sur les raisons ayant conduit l'élève à proposer une démonstration s'appuyant sur l'énoncé du théorème réciproque de Thalès?

Selon le professeur, cette construction a pu être proposée:

- ou bien, parce qu'elle réinvestit directement la leçon "multiplication d'un vecteur par un réel" qui vient d'être étudiée en classe;

- ou bien, parce que la pratique de la configuration de Thalès reste sans doute insuffisante au collège, en particulier pour ce qui concerne son application au tracé des points qui divisent un segment dans un rapport donné;

- ou bien enfin, parce que les projections sont toujours pour les élèves quelque chose de difficile à manipuler.

(ii) Pourquoi avoir changé d'intention et proposé aux élèves de la deuxième séance de suivre la démarche suggérée par une élève lors de la première séance?

A la seconde séance le professeur a adopté la démarche proposée par une élève lors de la première séance parce que, cette solution étant venue spontanément, il a pensé qu'elle devait être plus naturelle et donc plus facile à comprendre par les élèves.

(iii) Au sujet de cette affaire le professeur remarque que bien souvent il ne différentie pas l'énoncé direct de l'énoncé réciproque du théorème de Thalès, faisant simplement référence au "Théorème de Thalès".

## II E 4 - Ambiance des séances

L'enregistrement a eu lieu entre 15 h et 17 h, en novembre, dans une salle peu éclairée.

Pour cet enregistrement nous disposions de deux caméras mais d'un seul opérateur vidéo. Les élèves ont été pris par une caméra fixe, l'autre caméra, guidée par l'opérateur suivait le professeur et se trouvait au fond de la classe.

Les deux séances de travaux dirigés se sont passées dans une ambiance plutôt détendue.
## II E 5 - Remarques

Pour le professeur cette séance de travaux dirigés a permis:

- d'introduire une démonstration différente de celles déjà rencontrées;

- de faire de la méthodologie à propos de cette démonstration;

- de jeter, une fois encore, un pont entre les acquis du collège et les apprentissages du lycée dans le souci constant de ne pas laisser un sentiment de discontinuité entre les deux.

## II F - L'APRES-SEANCE DU 21 NOVEMBRE 1995

### II F 1 - Cours suivant

Le cours suivant est annoncé par le professeur à la fin de chacune des deux séances, il s'agit de l'"énoncé vectoriel du théorème de Thalès".

### II F 2 - Devoirs à la maison n°9 & n°10

(i) Devoir à la maison n°9 pour le 23 novembre (voir annexe 4)

A la fin de la deuxième séance d'enregistrement, le professeur donne quelques explications et la solution (x=2) de l'exercice 71, mais il ne donne pas la méthode pour y parvenir.

(ii) Devoir à la maison n°10 pour le 30 novembre (voir annexe 5)

Un problème de synthèse: calcul vectoriel, calcul d'aire et approche de fonctions.

### II F 3 - Contrôle n°11 du 7 décembre 1995 (voir annexe 6)

Ce contrôle a été donné après la leçon sur l'"énoncé vectoriel du théorème de Thalès".

Premier exercice:

Partie A : Approche de la colinéarité en vue de la leçon suivante.

Partie B : Exercice de géométrie pure, niveau collège.

Commentaire: seulement 2 élèves sur 32 ont traité cette partie B, l'un complètement, l'autre n'en a eu que l'idée.
Deuxième exercice:

Question 1: Utilisation du théorème de Thalès.

Commentaire: une moitié des élèves a utilisé l'énoncé du théorème de Thalès sous la forme vectorielle, l'autre sous celle du cours de troisième; le professeur a accepté les deux, toutefois nombre d'élèves sont passés à côté de la difficulté que constituait le signe de x dans le passage de:

$$ \overrightarrow{MN} = x \overrightarrow{CB} \quad \text{à} \quad MN = x CB. $$

Question 2a: Utilisation de la relation de Chasles et de la multiplication d'un vecteur par un réel.

Commentaire: la réponse à cette question n'a posé aucun problème aux élèves.

Question 2b: Calculs.

Commentaire:

Pour le premier calcul, un seul élève a pensé à utiliser celui du sinus d'un même angle dans deux triangles rectangles différents, les autres élèves n'ont pas su répondre à cette question, en particulier aucun n'a pensé à calculer l'aire du triangle rectangle ABC de deux manières différentes;

Pour le second calcul, même commentaire qu'à la question 1 avec x < 1.

Question 3a: Exprimer...

Commentaire: la réponse à cette question n'a posé aucun problème aux élèves.

Question 3b: Conclure...

Commentaire: très peu d'élèves ont répondu correctement à cette question délicate.

Pour conclure:

Un contrôle difficile pour lequel les notes vont de 6 à 18 avec une moyenne de 11 sur 20 et un écart type de 3,2.

Remarques:

(i) Le professeur a utilisé la question A du premier exercice comme activité d'introduction à la colinéarité, en assurant ainsi une continuité dans son cours.

(ii) Le deuxième exercice constitue une contribution supplémentaire implicite à l'introduction des fonctions.
<figure><img src="image_31.png" /></figure>
MATH
2<sup>de</sup>

André ANTIBI
Raymond BARRA

avec
Christian DENUX
Bernard DESTAINVILLE
Roseline MARQUÉS

PROGRAMME 1990

NOUVEAU
TRANSMATH

10 Sur la figure, le point I est le milieu de [AB].

Les triangles BIC, ICD et AID sont équilatéraux de côté
3 cm. Calculez la norme de chacun des vecteurs suivants :

$$
\vec{AI} + \vec{IB} ; \vec{AI} + \vec{AD} ; \vec{AI} + \vec{BC} .
$$

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

19* ABC est un triangle, on note O le symétrique de B par rapport à A.

1. Montrez que pour tout point M du plan, $\vec{AB} + \vec{AM} = \vec{OM}$.

2. Déduisez-en l'ensemble des points M tels que :

$$
\| \vec{AB} + \vec{AM} \| = \| \vec{AB} + \vec{AC} \|.
$$

3. Déterminez les points P de la droite (AC) tels que :

$$
\| \vec{AB} + \vec{AP} \| = \| \vec{AB} + \vec{AC} \| .
$$
<figure><img src="image_33.png" /></figure>

* La **DIRECTION** de $\overrightarrow{AB}$ est celle de la droite (AB)

* Le **SENS** de $\overrightarrow{AB}$ est celui de A vers B sur la droite D

* La **NORME** de $\overrightarrow{AB}$ est la distance AB

## (B) Réponses et justifications BREVES

I. 1. Quand dit-on qu'un vecteur est nul ?

2. Le vecteur nul a-t-il une direction ? un sens ? une norme ?

II. Peut-on comparer les sens de deux vecteurs non nuls ayant des directions différentes ?

III. On suppose que A, B, C, D sont distincts et que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$

1. Sachant que A, B, C, D ne sont pas alignés, fane une figure

2. (AB) et (CD) sont-elles confondues ?

3. (AB) et (DC) ont-elles même direction ?

4. [AB] et [CD] sont-ils égaux ?

5. [AB] et [CD] ont-ils la même longueur ?

6. [AB] et [DC] ont-ils la même longueur ?

7. Qualifier le quadrilatère ABDC

8. AC et DB sont-ils égaux ?

9. Que peut-on dire des vecteurs AC et DB ?

IV. 1. Que signifie : $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{XY}$ sont égaux ?

2. que signifie : $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{FL}$ sont opposés ?

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

1. A-t-on $UV + VW = UW$ ?

2. Peut-on avoir $UV + VW = UW$ ? $U, V, W$ alignés dans cet ordre

3. que peut-on dire de la somme $UV + VU$ ? vecteur nul $w$

4. a) L'égalité $\overrightarrow{UV} + \overrightarrow{UW} = VW$ est-elle vraie ? mon

5. b) Figurez le point S tel que $\overrightarrow{UV} + \overrightarrow{UW} = \overrightarrow{US}$

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

L'axa a) Sur le quadrillage a-contre, figurer le point

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

K tel que $\overrightarrow{EK} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{GH} + \overrightarrow{IJ}$

b) Calculer $||\overrightarrow{EK}|| \cdot ||\overrightarrow{EF}|| \cdot ||\overrightarrow{GH}||$ et $||\overrightarrow{IJ}||$.
l'unité de longueur est-tant le côté d'un carré

A-t-on $\overrightarrow{EK} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{GH} + \overrightarrow{IJ}$ ? mon

V. 1. Comment peut-on définir la différence $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD}$ ? $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$

2. Représenter la différence $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$.
Premier exercice. Sur un axis de repère (0,0) on donne les points

A, B et C d'abscises respectives -4, 2 et 7

M est un point de l'axe d'abscisse z.

On pose $\vec{S} = \vec{AM} + \vec{BM} + \vec{CM}$

Le but de l'exercice est la détermination du point M tel que
s ait sa valeur minimale.

1. exprimer s en fonction de x en utilisant le symbole de valeur absolue.

2. On distinguant quatre intervalles, exprimer s en fonction de x sans utiliser ce symbole

3. Choisir un repère (Ω, I, J) orthogonal tel que $\vec{\Omega I} = 1\text{cm}$ et $\vec{\Omega J} = 0.5\text{cm}$

pour représenter graphiquement la variation de s quand x décrit l'ensemble $\mathbb{R}$.

4. Applications du dessin graphique

a) Attirer le but de l'exercice

b) Determiier les deux positions de M telles que $\vec{s} = 14$

Deuxième exercice :

ABC est un triangle rectangle de sommet G tel que CA = 4 et CB = 8
L'exercice propose de construire le point D tel que

$$
\vec{DC} = 3.\vec{DA} + 2.\vec{DB} \quad (e)
$$

par deux méthodes imposées.

I) Première méthode

1. Construire le point G tel que $3 \cdot \vec{GA} + 2 \cdot \vec{GB} = \vec{0}$

2. Démontrer que 3. $\vec{DA}$ + 2. $\vec{DB} = 5. \vec{DG}$

et en déduire la construction du point D qui
vérifie l'égalité (E).

II Deuxième méthode (Faire une deuxième figure)
1. On utilisant l'égalité (c) démontrer que

$$
\vec{CD} = \frac{3}{4} \vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{CB}
$$

2. Figures X et Y telo que $\vec{CX} = \frac{3}{4} \vec{CA}$ et $\vec{CY} = \frac{1}{2} \vec{CB}$

puis construire D

III Application (Facultative)

Calculer la distance GC

Première "idéale"
modifiée après une séance
de module sur ce thème
Deuxième exercice

d'unité de longueur est 1 cm

ABC est un triangle rectangle de sommet C tel que

$CA = 4 \text{ et } CB = 8$

L'exercice propose de construire le point D tel que

$$ \vec{DA} + \vec{DB} + 2\vec{DC} = \vec{o} \quad (e) $$

par deux méthodes imposées

① **Première méthode**

a) Déterminer le point E tel que $\vec{EA} + \vec{EB} = \vec{o}$

b) Démontrer que $\vec{DA} + \vec{DB} = 2 \vec{DE}$

On déduire la construction du point D qui vérifie l'égalité (e)

② **Deuxième méthode** (Faire une deuxième figure)

a) On utilisant l'égalité (e) démontrer que

$$ \vec{AD} = \frac{1}{4} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC} $$

b) Figurer les points X et Y tels que

$$ \vec{AX} = \frac{1}{4} \vec{AB} \text{ et } \vec{AY} = \frac{1}{2} \vec{AC} $$

Avec construire D

③ **Application** (Facultative)

Calculer les distances DA, DB et DC
Classe de 2<sub>12</sub>°. Contrôle n° 8

Annexe 3C

I

1. <u>Expression de s</u> ; $s = AM + BM + CM$

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

$$
s = |x + 4| + |x - 2| + |x - 7|
$$

2. <u>Autre expression de s</u>

$$
si x \in ]-\infty, -4], s = -x - 4 - x + 2 - x + 7
$$

$$
s = -3x + 5
$$

$$
si x \in [-4, 2], s = x + 4 - x + 2 - x + 7
$$

$$
s = -x + 13
$$

$$
si x \in [2, 7], s = x + 4 + x - 2 - x + 7
$$

$$
s = x + 9
$$

$$
si x \in [7, +\infty[; s = x + 4 + x - 2 + x - 7
$$

$$
s = 3x - 5
$$

3. Représentation

<figure><img src="image_38.png" /></figure>
Deuxième exercice

Annexe 3D

1. Première méthode

$$
a) E est le milieu de $[AB]$
$$

$$
b) \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EB} \\
= 2 \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB}
$$

$$
\text{donc} \quad \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{DE}
$$

On en déduit $2 \overrightarrow{DE} + 2 \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$

$$
2(\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{DC}) = \overrightarrow{0}
$$

$$
\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}
$$

$$
\text{Dest milieu de } [EC]
$$

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

2. Deuxième méthode

$$
a) \vec{DA} + (\vec{DA} + \vec{AB}) + 2(\vec{DA} + \vec{AC}) = \vec{0}
$$

$$
4 \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + 2 \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}
$$

$$
4 \vec{AB} = \vec{AB} + 2 \vec{AC}
$$

$$
\vec{AD} = \frac{1}{4} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}
$$

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

3. Distance

$$
DC = \frac{1}{2} CE
$$

$$
DC = \frac{1}{4} AB
$$

$$
\boxed{DC = \sqrt{5}}
$$

on en déduit $DH=1$

$$
déc[DB = \sqrt{37}]
$$

$$
DA^2 = DI^2 + IA^2
$$

$$
\boxed{DA = \sqrt{13}}
$$
Contrôle n°8
Feuille de correction

Annexe 3E

I

1. $s = |x+4| + |x-2| + |x-7|$ 1

2. Sur $]-\infty, -4]$, $s = -3x+5$ 1

Sur $[-4, 2]$, $s = -x+13$ 1

Sur $[2, 7]$, $s = x+9$ 1

Sur $[7, +\infty[$, $s = 3x-5$ 1

3. Représentation graphique 4

4. a) s est minimum lorsque s est en B ($x=2$) 1
Cette valeur est 11

b) $s = 14$ lorsque $x = -1$ ou $x = 5$ 2

12

II

1. a) E est le milieu de $[AB]$ 1

b) $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{DE}$ 1

Construction de D avec $\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{O}$ 2

2. a) $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ 2

b) figuration de X et Y 1

Construction de D 1

3. Application

$$DA = \sqrt{13}$$

$$DB = \sqrt{37}$$

$$DC = \sqrt{5}$$

$$||\vec{u} + \vec{v}|| \le ||\vec{u}|| + ||\vec{v}||$$

réinvestir l'égalité

Triangulaire

3

Très peu ont évolut

$$\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{O}$$

Anne BÉGOT a comparé, direction, sans longueur en élevant AD = $\frac{1}{4}AB + \frac{1}{2}AC$
# MATH

2<sup>de</sup>

André ANTIBI
Raymond BARRA

avec
Dijon DENUX
Barré D'ESTAINVILLE
Royaume MARQUÉS

PROGRAMME 1990

NOUVEAU
TRANSMATH

56 [AB] est un segment de longueur 10 cm.

1. Placez le point G tel que $2 \overrightarrow{GA} + 3 \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$.

2. M est un point non situé sur la droite (AB). Construisez le point S tel que $\overrightarrow{MS} = 2 \overrightarrow{MA} + 3 \overrightarrow{MB}$.

3. Prouvez que les points M, S et G sont alignés.

71 1. ABCD est un quadrilatère quelconque. Les points I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [CD].

Prouvez que $\vec{IJ} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$.

2. On suppose maintenant que ABCD est un trapèze tel que $\vec{BC} = x \vec{AD}$, où x est un nombre réel non nul. K et L sont les milieux respectifs de [AC] et de [BD].

a. Prouvez que $\vec{IL} = \vec{KJ} = \frac{1}{2} \vec{AD}$.

b. En utilisant le résultat du 1., prouvez que $\vec{IJ} = \frac{x+1}{2} \vec{AD}$.

c. Déterminez x pour que $\vec{IL} = \vec{LK} = \vec{KJ}$.
# MATH

## 2ᵉ

André ANTISI
Raymond BARRA

avoir
C. L. W. DENJX
B. L. D. E. S. A. N. L.
R. L. E. M. A. R. Q. L.

PROGRAMME 1990

NOUVEAU
TRANSMATH

## PROBLÈME
DE SYNTHÈSE

### 77. THÈMES : Théorème de Thalès. Calculs d'aires. Construction de courbes. Lectures graphiques. Étude d'un maximum.

ABCD est un trapèze rectangle de bases [AB] et [CD].

Les mesures, en dm, de AB, BC et CD sont respectivement 4, 5 et 1. Les points M, N et P sont des points des côtés [BC], [AD] et [AB] respectivement, tels que le quadrilatère BMNP est un rectangle. On note x la longueur, en dm, du segment [BM]. On se propose d'étudier, en fonction de x, l'aire du rectangle BMNP.

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

### A. Calculs vectoriels

On appelle E le projeté orthogonal de D sur la droite (AB).

1.a. Montrez que $\overrightarrow{BM} = \frac{x}{5}\overrightarrow{BC}$.

b. Déduisez-en que $\overrightarrow{AN} = \frac{x}{5}\overrightarrow{AD}$, puis que $\overrightarrow{AP} = \frac{x}{5}\overrightarrow{AE}$.

2.a. Montrez que $\overrightarrow{AE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$.

b. Déduisez-en que $\overrightarrow{BP} = (1 - \frac{3x}{20})\overrightarrow{BA}$, puis que :

$$BP = 4 - \frac{3x}{5}.$$

### B. De l'aire

On note $S(x)$ l'aire en $dm^2$ du rectangle BMNP.

1. Montrez que $S(x) = 4x - \frac{3}{5}x^2$.

Sur quel intervalle la fonction S est-elle définie ?

2.a. Recopiez et complétez le tableau suivant :

<table><tr><td>x</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>...</td><td>5</td></tr><tr><td>y = S(x)</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

b. Placez, dans un repère orthonormal, les points M(x ; y) pour x = 0, x = 1, ..., x = 5 (unité : 1 cm).

c. Tracez une courbe continue et régulière passant par ces six points.

### C. Une étude de maximum

1. Montrez graphiquement que la fonction S admet un maximum $S(x_0)$ sur $[0 ; 5]$ et donnez une valeur approchée de $x_0$.

2. a. Montrez que pour tout x de $[0 ; 5]$ :

$$S(x) = -\frac{3}{5}\left(x - \frac{10}{3}\right)^2 + \frac{20}{3}.$$

b. Déduisez-en que le maximum de $S(x)$ est $S(x_0) = \frac{20}{3}$ et que $x_0 = \frac{10}{3}$.
Premier exercice .

ABCD est un parallèlelogramme. E est le milieu de [AB].
F est le point défini par $\vec{EF} = \frac{1}{3} \vec{ED}$.

F est le point défini par $\vec{EF} = \frac{1}{3} \vec{ED}$

Le but de l'exercice est de justifier l'alignement de A, F, et

① Méthode vectorielle On pose $\vec{AB} = \vec{u}$ et $\vec{AD} = \vec{v}$.

1. exprimer $\vec{ED}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$

2. exprimer $\vec{EF}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$

3. exprimer $\vec{AF}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$

Conclure

② Méthode non vectorielle (F = $\vec{a} + \vec{b}$)

On désigne par O le centre du parallèlelogramme.

Utiliser le point O pour retrouver l'alignement de A, F, et C.

Deuxième exercice . L'unité de longueur est 1 cm

ABC est un triangle rectangle en A et tel que $\vec{AB}=6$ et $\vec{AC}=9$

x désigne un nombre réel de l'intervalle $]0, 1[$

M est le point de [AC] tel que $\vec{AM} = x \cdot \vec{AC}$

La droite passant par M et parallèle à (BC) coupe (AB) en N

P, H et Q sont les projets orthogonaux de N, A et M sur (BC).

Le but de l'exercice est de prouver que l'aire du rectangle

MNPQ est maximale quand M est le milieu de [AC]

1. Démontrer que $MN = 10x$

2. a) exprimer $\vec{BN}$ en fonction de $x$ et de $\vec{BA}$

b) Démontrer que $AH = 4,8$ et en déduire

que $NP = 4,8 (1-x)$

3. On désigne par $a$ l'aire de MNPQ.

a) exprimer $12-a$ en fonction de $x$ et
écrire cette expression sous la forme $12b$
où $b$ désigne le carré d'un nombre de
la forme $ax + b$.

b) Conclure en atteignant le but de l'exercice
Adossé au bureau, regardant la classe avec une feuille de papier sans lunettes.

Les derniers exercices de la fiche que je vous avais proposée concernant les rappels ou tout au moins les choses essentielles sur les vecteurs vues au niveau du collège, donc c'était les exercices 5, 6 et 7 hein, ou 5 et 6, 5 et 6 bon.

les élèves sortent leur cahier et s'installent (bonne page)

Bon on va voir ça rapidement.

Ensuite, heu, on est mûr et vous êtes mûrs pour aborder le chapitre, alors qui est un chapitre où le mot vecteur intervient mais où, heu, un autre mot intervient le mot multiplication et c'est la conjonction des deux que vous ne connaissez pas c'est à dire multiplication d'un vecteur par un nombre, c'est quelque chose que en principe vous n'avez pas abordé au niveau du collège d'accord ? bien allez on regarde ça rapidement orazlement.

le prof prend une feuille met ses lunettes, les élèves ont l'air prêts, ils ont ouvert leur classeur et
relu vaginement

Les petites questions qui etaient proposées dans les exercices 5 et 6. Alors, chacun son tour, j'avais déjà commencé à vous regarder un petit peu quand même travailler la dessus, hein, mardi donc ca va aller assez vite. heu Alors il est question de la relation de Charles première question alors a-t-on heu Blaise (8) distance uv + distance vw = distance uw (regarde Blaise, les élèves aussi) à partir de la relation de Charles qui est écrit au-dessus ?

non (0)

non d'accord. Heu est-ce qu'on peut quand même l'avoir (3)

heu ben oui

oui (_change de regards_)

alors j'aimerais bien que tu me dises (pose la feuille sur le bureau, enlève les lunettes, regarde à sa droite puis re regarde l'élève) dans quelles circonstances on peut avoir distance uv + distance vw = distance uw ?

(0) Si la distance uv est égale à la distance uw (regarde son cahier)

tu répètes (monte sur l'estrade du côté de l'élève) (deux doigts se lèvent)

Si la distance uv est égale à la distance uv

si la distance uv est égale à la distance uw, tout le monde est d'accord avec sa réponse (cinq doigts levés) ?

non

non eh eh attendez chacun son tour (continue jusqu'au mur et se remet face à la classe) Mathieu

inaudible

non non, attends, bouge pas, Blaise a fait une réponse il s'agit de voir si tu es d'accord avec pour quoi, si tu n'es pas d'accord pourquoi.

alors blaise nous a dit uv + vw = uw si les distances sont égales en gros. C'est bien ce que tu nous a dit si les distances uv et vw sont égales (mouvement des mains) C'est bien ce que j'ai compris (c'est bien ce que j'ai compris)

tu n'es pas d'accord, tu n'es plus d'accord avec toi
alors on ne va pas insiter plus. Alors quelle est la bonne réponse Mathieu

si les points u v w sont alignés

deux doigts se lèvent dans le bon ordre

d'accord

ils sont alignés d'accord, et on te conteste sur ta droite
et Marie

faut qu'ils soient dans un certain ordre
et quel ordre

dans l'ordre où ils sont écrits

C'est à dire l'ordre u v w. Et pourquoi est-ce que la relation n'est pas vraie lorsque les points sont alignés mais dans un autre ordre ? donne moi un autre ordre par exemple (se dirige à grands pas chercher de la craie derrière le bureau et trace une droite au tableau) un autre, n'importe quel ordre (12) u, v et v (répète et trace sous la dictée) bon alors je reviens à mathieu dans cet ordre là pourquoi la relation que tu m'as donnée sur les distances n'est pas vraie ? (se déplace vers mathieu et revient au tableau)

qu'est ce que tu peux dire ici de la distance uv plus la distance vw par rapport à la distance uw ? (il écrit uv + vw uw)

quelle est la bonne relation à écrire Mathieu (montre l'espace entre les deux expressions) ?

dans cet exemple là, dans cet exemple là (retourne vers mathieu et montre le tableau du doigt) quelle est ici (au tableau le doigt sur l'espace) la relation à écrire entre cette somme là et cette distance là (le doigt dessus)

supérieure

elle est supérieure, elle est supérieure (il écrit > au bon endroit) dans ce cas là elle est supérieure (il pose la craie). Bien (soulagé il reprend sa feuille). On en avait parlé quand même lundi hein (il contourne le bureau).

Alors bien troisième question heu (regarde armelle) Armelle qu'est-ce que tu peux dire (retour à la position initiale, adossé au bureau) qu'est-ce que tu as dit de la somme vecteur uv plus vecteur vu (s'adresse à armelle, regardée par les autres)?

lorsqu'il attend il s'avance

uu

(3) oui tu as eu parfaitement raison (retour au bureau) heu heu quel un
tu sais ce qu'on a dit

vecteur uu

et le vecteur un tu le qualifions de
vecteur nul

vecteur nul d'accord

donc on peut dire que la somme vecteur UV plus vecteur VU est le vecteur nul d'accord

Exemple de retranscription (10 premières minutes de la séance R)
heu. Chloé alors on passe à la quatrième question ?

a) l'égalité vecteur UV + vecteur UW = vecteur VW est-elle vraie (4)? Tu la vois la dernière question ?

Non

Pardon ?

Non

J'ai pas entendu

Non, ce n'est pas vrai. Est-ce que tu vois pourquoi j'ai posé cette question ?

Heu

C'est un peu curieux. UV, vecteur UV plus vecteur UW égal vecteur VW (écrit en même temps tableau uv + uw = uw à la place de vw) alors on va mettre faux (écrit faux) j'ai mis UW (corrigé remplace uw par vw ) d'accord c'est faux. Alors est-ce que tu vois pourquoi j'ai posé cette question ? ou alors est-ce que quelqu'un voit pourquoi j'ai posé cette question ? (s'éloigne du tableau) Bastien

Pour voir si on confondait pas vecteur UV et vecteur VW

Bien, (revient au tableau) effectivement. Attention. (desine le panneau) Ne pas confondre alors mettez le petit commentaire (il écrit un panneau avec un point d'exclamation et ne pas confondre alors vecteur uv et vecteur vu) alors effectivement normalement on n'a pas à les confondre, on n'a pas à les confondre étant donné qu'on a dit avant, Alexandre, que ces deux vecteurs étaient, ces deux vecteurs-là, il ne faut pas les confondre parce que ils sont

ils sont vecteurs nuls

non non leur somme est nulle et si leur somme est nulle on a dit qu'ils étaient (3)

...

il y a un qualificatif pour ces deux vecteurs puisque leur somme est nulle (5). Lucie (a levé le doigt)?

opposés

opposés, ils sont opposés, donc il faut pas les confondre. De même qu'il ne faut pas confondre le nombre 4 et le nombre -4, ce sont des nombres opposés, d'accord ? Alors Bastien tu précises ta réponse comme il ne faut pas confondre ces deux vecteurs, qui sont malgré tout représentés par les mêmes points, mais dans l'ordre inverse, alors comme quelquefois on lit trop vite on confond les deux vecteurs, comme on confond les deux vecteurs, on remplace le vecteur UV par le vecteur VU, comme ça en ne faisant pas attention, et le vecteur VU plus le vecteur UW est bien égal au vecteur VW. Autrement dit ça c'est une erreur qu'on rencontre assez fréquemment. Alors si on..., si on fait cette confusion, si on fait cette confusion (notez bien ce commentaire) (écrit) on écrit, ben disons on pense à, on pense à vecteur vu plus vecteur uw. Effectivement si on remplace le vecteur UV mentalement par le vecteur VU on pense à ça, et si on pense à ça, ensuite on pense à la relation de Chasles et comme on pense à la relation de Chasles on écrit au bout VW. Donc vous voyez l'origine de l'erreur, ça c'est une erreur, bon que vous ne ferez peut-être jamais, mais attention on a quand même tendance à la faire. c'est à dire VW. Enfin vous voyez pourquoi j'ai posé la question (2) ? Isabelle, tu vois bien pourquoi ? ça va ? Bien on continue. Alors heu question b) heu figurez le point S tel que le vecteur UV plus

vecteur UW égal vecteur US. Alors Caroline si tu me téléphones ça sans que je te vois qu'est-ce que tu me réponds ? oui

[bonjour qu'est-ce qui t'arrive...(25)]

Alors Caroline, donc je ne te vois pas et je te demande au téléphone, comment tu me dis que tu dois ou que je dois figurer le point S qui vérifie vecteur UW plus vecteur UV plus vecteur UW égal vecteur US.

A toi Caroline

le point S est tel que UVSW soit un parallélogramme

Alors UVSW soit un parallélogramme. Alors je vais écrite ça donc il est question donc de UV plus UW vecteur égal US. Alors Caroline nous répond, tu me réponds dans quel ordre

Le point S est tel que (oui) le parallélogramme U (U) UVSW

est un parallélogramme. Voilà sa réponse. Alors est-ce que quelqu'un peut me dire si je suis toujours capable avec sa réponse de construire le point S ? Sachant que je ne vois pas Caroline, elle me téléphone. Alors si je pose la question c'est que je mets un petit peu en doute, je serais un peu gêné dans un certain cas.

Ouais si les points sont alignés

alors quels points sont alignés ?

...

Bon si les points U, V et U, W ne sont pas alignés, c'est à dire qu'on a cette figure là, pas de problème je sais construire parce que je suis fort le parallélogramme UVSW, ça ça ne pose pas de problème je sais le construire mais si les points U, V et W sont alignés (5), comment je vais faire mon parallélogramme ? ah problème !

Le point U et le point S sont confondus

le point U et le point S sont confondus.

Alors je je j'écris ce que Bastien me téléphone est-ce que tout le monde est d'accord non (quelques bras levés)

non chacun son tour. Paul (leve le doigt)

C'est le point W qui est confondu avec S.

non attendu, attendu, attends

Bastien m'a dit il met S en U alors je lui conteste sa réponse pourquoi

parce que US ne peut pas être nul parce que c'est d'après la reallon de Chasles c'est UV plus US

Oui, on est bien d'accord mais si Bastien tu mets S en U ton vecteur US, il est, il a quelle qualité il est nul

Il est nul. Or est-ce que le vecteur US est nul ? Est-ce qu'on sait que UV et UW sont opposés ?

...

non donc il n'y a aucune raison que S soit là. Alors Paul tu le mettrais où toi ?

W et S sont confondus

W et S ! Tu mettrais S ici c'est ça ? Nicolas
je le metrai plus à droite

Non, mais alors non pourquoi (5)? (iire) 5 doigts se lèvent

Lui, Nicolas il le met tout à droite, alors tout à droite je ne sais pas où c'est, la barre toute à droite, bref
Paul nous a dit ici, alors Nicolas conteste d'abord le fait que Paul mette S ici (6)

xxx 4 doigts levés

ben, heu regarde simplement, dans la fig, attends attends Nicolas, regarde simplement d'un point de vue, d'un point de vue longueur de vecteur, regarde, d'un point de vue longueur
US est égal à UV heu UW (trois doigts levés)
voilà,

ben US n'est pas égal à UW parce que si US était égal à UW qu'est-ce qu'on pourrait dire du vecteur UV il serait nul (10 voix) or il est pas nul. Alors tu m'as dit Nicolas je mets S tout à droite, explique moi ce que tu veux dire tout à droite

...

à droite ça veut dire quoi d'abord ?

US

non, mais d'abord d'abord le point S il est où par rapport aux trois points qui sont là ?

à leur droite

sur la droite, d'accord. Donc tu mets le point S sur la droite. OK. et où

ben à droite

A droite mais où de manière précise ? Alors je prends le compas et tu me dis avec mon compas ce que je dois faire (5) (4 doigts levés).

on prend la di... heu

C'est une question de distance. Alors Julien (levait le doigt parmi 6 autres)

telle que WS soit égale à UV
alors la distance (question du prof, Julien acquiesce), la distance WS égale distance UV, distance WS égale distance UV, donc WS égale distance UV égale distance WS (écrit en même temps). Tu peux justifier un petit peu quand même pourquoi ? C'est vrai. c'est juste

alors j'ai aligné les points dans cet ordre si c'est dans un autre ordre alors pourquoi a-t-on effectivement ici vecteur US égal vecteur UV plus vecteur UW ?

oui

bon c'est en gros c'est vrai, c'est à dire que pour dire que la distance US, la distance WS est égale à la
distance UV, il suffit de partir, bon je dis un petit peu ce qu'il m'a dit en catimini, de la distance UW
bon la distance UW il suffit de l'ajouter à la distance UV pour obtenir la distance US or la distance UW
ben elle est ici donc je reporte la distance UV à partir de W pour avoir US d'accord toute façon cette

position là est un peu particulière alors est-ce que certains d'entre vous au collège ont entendu parler de
parallélégramme aplati ?

oui oui tu as entendu parler heu vous levez le doigt ceux qui ont entendu parler de parallélégramme aplati ?

un petit sondage rapide comme ça un deux trois quatre cinq six bon alors c'est

c'est vrai que ça n'est pas interdit de dire que cette figure là est une certaine forme de parallélégramme
on dit qu'il est aplati moi j'aurais plutôt tendance à dire qu'il est dégénéré pourquoi parce que dans un
parallélégramme il y a quand même une propriété essentielle sur ce qu'on appelle les diagonales c'est à
dire les droites US et VW qui se coupent au centre du parallélégramme là or qu'est-ce qu'on peut
constater ici concernant les droite US et VW

elles sont confondues et est-ce qu'on peut dire que deux droites confondues se rencontrent en un point
non c'est à dire que ce parallélégramme là il a un peu tendance à avoir un centre qui est un petit peu
qui est même complètement mal défini tant et si bien que certains disent que effectivement
ici on a un parallélégramme aplati on ne le dira pas ensemble cette année

c'est une figure un peu particulière hein à cause du fait que c'est une figure qui n'a pas de centre quoi,
on y reviendra de toute façon (on y reviendra de toute façon) bien

bien alors question heu 6

a) alors sur le quadrillage que je vous donnais sur la figure il s'agissait de placer le point K heu c'était 5
a)

si Renan je te demande où tu as placé le point K qu'est-ce que tu me réponds

un carreau en dessous de E tout le monde est d'accord ? personne, si, non, n'a de difficulés personne eh
bien ca va très bien pas de problème, pas de problème, vous avez raison, il est un carreau en dessous,
enfin, en dessous tout le monde comprend hein. b) alors comment tu as calculé la norme du vecteur EK.
Renan norme de EK.

oui

oui alors on va pas dire un carreau on on sait de toute façon que le côté du carreau est l'unité de
longueur

donc ça fait 1 ça fait 1 tu continue norme de EF vecteur EF

tu as fait avec Pythagore tu veux nous dire les choses plus précisément qu'est-ce que tu as fait avec
Pythagore tu t'es anusé

non

non
<figure><img src="image_42.png" /></figure>
Tableaux croisés pour la séance B1 (6 premières)

vb1,1

<table><caption>Totaux, tableaux croisés</caption><thead><tr><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>61</td><td>39</td><td>14</td><td>8</td><td>0</td><td>47</td><td>14</td><td>8</td><td>29</td><td>24</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Pourcentages, tableaux croisés</caption><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><th>Info</th><td>7</td><td>27</td><td>5</td><td></td><td>0</td><td>25</td><td>14</td></tr><tr><th>Struc.</th><td>0</td><td>2</td><td>12</td><td></td><td>0</td><td>14</td><td>0</td></tr><tr><th>Argu.</th><td>1</td><td>0</td><td>7</td><td></td><td>0</td><td>8</td><td>0</td></tr><tr><th>Exo</th><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Math</th><td>4</td><td>19</td><td>24</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Lien</th><td>4</td><td>10</td><td>0</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>53%</td><td>100%</td><td>Info</td><td>64%</td><td>88%</td><td>93%</td><td>21%</td></tr><tr><td>30%</td><td>0%</td><td>Struc.</td><td>23%</td><td>Struc.</td><td>0%</td><td>7%</td><td>50%</td></tr><tr><td>17%</td><td>0%</td><td>Argu.</td><td>13%</td><td>Argu.</td><td>13%</td><td>0%</td><td>29%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><td>18%</td><td>0%</td><td>13%</td><td>13%</td><td>Quest.</td><td>###</td><td>9%</td><td>29%</td></tr><tr><td>69%</td><td>14%</td><td>0%</td><td>Direct</td><td>48%</td><td>Direct</td><td>###</td><td>40%</td><td>71%</td></tr><tr><td>13%</td><td>86%</td><td>88%</td><td>Indir.</td><td>39%</td><td>Indir.</td><td>###</td><td>51%</td><td>0%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0%</td><td>0%</td><td>0%</td><td>Exo</td><td>0%</td><td>0%</td><td>0%</td></tr><tr><td>50%</td><td>66%</td><td>100%</td><td>Math</td><td>77%</td><td>Math</td><td>64%</td><td>100%</td><td>100%</td></tr><tr><td>50%</td><td>34%</td><td>0%</td><td>Lien</td><td>23%</td><td>Lien</td><td>36%</td><td>0%</td><td>0%</td></tr></tbody></table>

vb1,3

<table><caption>Totaux, tableaux croisés</caption><thead><tr><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>69</td><td>35</td><td>11</td><td>23</td><td>32</td><td>23</td><td>14</td><td>15</td><td>27</td><td>27</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Pourcentages, tableaux croisés</caption><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><th>Info</th><td>8</td><td>19</td><td>8</td><td></td><td>22</td><td>6</td><td>7</td></tr><tr><th>Struc.</th><td>0</td><td>4</td><td>7</td><td></td><td>9</td><td>2</td><td>0</td></tr><tr><th>Argu.</th><td>7</td><td>4</td><td>12</td><td></td><td>1</td><td>15</td><td>7</td></tr><tr><th>Exo</th><td>6</td><td>12</td><td>14</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Math</th><td>4</td><td>6</td><td>13</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Lien</th><td>5</td><td>9</td><td>0</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>69%</td><td>26%</td><td>50%</td><td>Info</td><td>51%</td><td>53%</td><td>70%</td><td>30%</td></tr><tr><td>28%</td><td>9%</td><td>0%</td><td>Struc.</td><td>16%</td><td>Struc.</td><td>0%</td><td>15%</td><td>26%</td></tr><tr><td>3%</td><td>65%</td><td>50%</td><td>Argu.</td><td>33%</td><td>Argu.</td><td>47%</td><td>15%</td><td>44%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><td>23%</td><td>0%</td><td>30%</td><td>Quest.</td><td>22%</td><td>19%</td><td>17%</td><td>36%</td></tr><tr><td>54%</td><td>36%</td><td>17%</td><td>Direct</td><td>39%</td><td>Direct</td><td>38%</td><td>26%</td><td>64%</td></tr><tr><td>23%</td><td>64%</td><td>52%</td><td>Indir.</td><td>39%</td><td>Indir.</td><td>44%</td><td>57%</td><td>0%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><td>40%</td><td>44%</td><td>52%</td><td>Exo</td><td>46%</td><td>Exo</td><td>63%</td><td>82%</td><td>4%</td></tr><tr><td>27%</td><td>22%</td><td>48%</td><td>Math</td><td>33%</td><td>Math</td><td>17%</td><td>18%</td><td>65%</td></tr><tr><td>33%</td><td>33%</td><td>0%</td><td>Lien</td><td>20%</td><td>Lien</td><td>20%</td><td>0%</td><td>30%</td></tr></tbody></table>

vb1,5

<table><caption>Totaux, tableaux croisés</caption><thead><tr><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>66</td><td>54</td><td>12</td><td>2</td><td>23</td><td>0</td><td>45</td><td>15</td><td>29</td><td>24</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Pourcentages, tableaux croisés</caption><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><th>Info</th><td>13</td><td>29</td><td>12</td><td></td><td>17</td><td>0</td><td>37</td></tr><tr><th>Struc.</th><td>0</td><td>0</td><td>12</td><td></td><td>5</td><td>0</td><td>7</td></tr><tr><th>Argu.</th><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td></td><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><th>Exo</th><td>6</td><td>10</td><td>7</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Math</th><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Lien</th><td>9</td><td>19</td><td>17</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>74%</td><td>###</td><td>82%</td><td>Info</td><td>79%</td><td>87%</td><td>100%</td><td>50%</td></tr><tr><td>22%</td><td>###</td><td>16%</td><td>Struc.</td><td>18%</td><td>Struc.</td><td>0%</td><td>0%</td><td>50%</td></tr><tr><td>4%</td><td>###</td><td>2%</td><td>Argu.</td><td>3%</td><td>Argu.</td><td>13%</td><td>0%</td><td>0%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><td>24%</td><td>0%</td><td>100%</td><td>Quest.</td><td>22%</td><td>26%</td><td>###</td><td>20%</td></tr><tr><td>54%</td><td>0%</td><td>0%</td><td>Direct</td><td>43%</td><td>Direct</td><td>43%</td><td>42%</td></tr><tr><td>22%</td><td>100%</td><td>0%</td><td>Indir.</td><td>35%</td><td>Indir.</td><td>30%</td><td>###</td><td>38%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><td>40%</td><td>34%</td><td>29%</td><td>Exo</td><td>34%</td><td>Exo</td><td>31%</td><td>42%</td><td>50%</td></tr><tr><td>0%</td><td>0%</td><td>0%</td><td>Math</td><td>0%</td><td>Math</td><td>0%</td><td>0%</td><td>0%</td></tr><tr><td>60%</td><td>66%</td><td>71%</td><td>Lien</td><td>66%</td><td>Lien</td><td>69%</td><td>58%</td><td>50%</td></tr></tbody></table>

vb1,2

<table><caption>Totaux, tableaux croisés</caption><thead><tr><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>40</td><td>20</td><td>12</td><td>8</td><td>28</td><td>6</td><td>6</td><td>16</td><td>21</td><td>3</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Pourcentages, tableaux croisés</caption><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><th>Info</th><td>8</td><td>12</td><td>0</td><td></td><td>14</td><td>5</td><td>1</td></tr><tr><th>Struc.</th><td>0</td><td>9</td><td>3</td><td></td><td>9</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><th>Argu.</th><td>8</td><td>0</td><td>0</td><td></td><td>5</td><td>0</td><td>3</td></tr><tr><th>Exo</th><td>12</td><td>16</td><td>0</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Math</th><td>0</td><td>5</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Lien</th><td>4</td><td>0</td><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>50%</td><td>83%</td><td>17%</td><td>Info</td><td>50%</td><td>50%</td><td>57%</td><td>0%</td></tr><tr><td>32%</td><td>17%</td><td>33%</td><td>Struc.</td><td>30%</td><td>Struc.</td><td>0%</td><td>43%</td><td>100%</td></tr><tr><td>18%</td><td>0%</td><td>50%</td><td>Argu.</td><td>20%</td><td>Argu.</td><td>50%</td><td>0%</td><td>0%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>40%</td><td>0%</td><td>100%</td><td>Quest.</td><td>40%</td><td>43%</td><td>0%</td><td>67%</td></tr><tr><td>60%</td><td>75%</td><td>0%</td><td>Direct</td><td>53%</td><td>Direct</td><td>57%</td><td>83%</td><td>0%</td></tr><tr><td>0%</td><td>25%</td><td>0%</td><td>Indir.</td><td>8%</td><td>Indir.</td><td>0%</td><td>17%</td><td>33%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><td>75%</td><td>76%</td><td>0%</td><td>Exo</td><td>70%</td><td>Exo</td><td>70%</td><td>75%</td><td>63%</td></tr><tr><td>0%</td><td>24%</td><td>33%</td><td>Math</td><td>15%</td><td>Math</td><td>25%</td><td>8%</td><td>0%</td></tr><tr><td>25%</td><td>0%</td><td>67%</td><td>Lien</td><td>15%</td><td>Lien</td><td>5%</td><td>17%</td><td>38%</td></tr></tbody></table>

vb1,4

<table><caption>Totaux, tableaux croisés</caption><thead><tr><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>124</td><td>73</td><td>24</td><td>27</td><td>34</td><td>20</td><td>70</td><td>19</td><td>39</td><td>66</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Pourcentages, tableaux croisés</caption><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><th>Info</th><td>14</td><td>34</td><td>25</td><td></td><td>28</td><td>19</td><td>26</td></tr><tr><th>Struc.</th><td>2</td><td>4</td><td>18</td><td></td><td>5</td><td>1</td><td>18</td></tr><tr><th>Argu.</th><td>3</td><td>1</td><td>23</td><td></td><td>1</td><td>0</td><td>26</td></tr><tr><th>Exo</th><td>12</td><td>18</td><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Math</th><td>1</td><td>12</td><td>7</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Lien</th><td>6</td><td>9</td><td>55</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>82%</td><td>95%</td><td>37%</td><td>Info</td><td>59%</td><td>87%</td><td>38%</td></tr><tr><td>15%</td><td>5%</td><td>26%</td><td>Struc.</td><td>19%</td><td>Struc.</td><td>11%</td><td>10%</td><td>27%</td></tr><tr><td>3%</td><td>0%</td><td>37%</td><td>Argu.</td><td>22%</td><td>Argu.</td><td>16%</td><td>3%</td><td>35%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>19%</td><td>8%</td><td>11%</td><td>Quest.</td><td>15%</td><td>Quest.</td><td>35%</td><td>5%</td><td>9%</td></tr><tr><td>47%</td><td>17%</td><td>4%</td><td>Direct</td><td>31%</td><td>Direct</td><td>53%</td><td>60%</td><td>13%</td></tr><tr><td>34%</td><td>75%</td><td>85%</td><td>Indir.</td><td>53%</td><td>Indir.</td><td>12%</td><td>35%</td><td>79%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><td>63%</td><td>46%</td><td>6%</td><td>Exo</td><td>27%</td><td>Exo</td><td>38%</td><td>21%</td><td>4%</td></tr><tr><td>5%</td><td>31%</td><td>11%</td><td>Math</td><td>16%</td><td>Math</td><td>26%</td><td>4%</td><td>0%</td></tr><tr><td>32%</td><td>23%</td><td>83%</td><td>Lien</td><td>56%</td><td>Lien</td><td>36%</td><td>75%</td><td>96%</td></tr></tbody></table>

vb1,6

<table><caption>Totaux, tableaux croisés</caption><thead><tr><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>59</td><td>37</td><td>22</td><td>0</td><td>16</td><td>20</td><td>23</td><td>8</td><td>30</td><td>21</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Pourcentages, tableaux croisés</caption><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><th>Info</th><td>8</td><td>23</td><td>6</td><td></td><td>16</td><td>8</td><td>13</td></tr><tr><th>Struc.</th><td>0</td><td>7</td><td>15</td><td></td><td>0</td><td>12</td><td>10</td></tr><tr><th>Argu.</th><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td></td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><th>Exo</th><td>5</td><td>10</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Math</th><td>0</td><td>11</td><td>9</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Lien</th><td>3</td><td>9</td><td>11</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>100%</td><td>40%</td><td>57%</td><td>Info</td><td>63%</td><td>Info</td><td>100%</td><td>77%</td><td>29%</td></tr><tr><td>0%</td><td>60%</td><td>43%</td><td>Struc.</td><td>37%</td><td>Struc.</td><td>0%</td><td>23%</td><td>71%</td></tr><tr><td>0%</td><td>0%</td><td>0%</td><td>Argu.</td><td>0%</td><td>Argu.</td><td>0%</td><td>0%</td><td>0%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>22%</td><td>0%</td><td>###</td><td>Quest.</td><td>14%</td><td>Quest.</td><td>31%</td><td>0%</td><td>13%</td></tr><tr><td>62%</td><td>32%</td><td>###</td><td>Direct</td><td>51%</td><td>Direct</td><td>63%</td><td>55%</td><td>39%</td></tr><tr><td>16%</td><td>68%</td><td>###</td><td>Indir.</td><td>36%</td><td>Indir.</td><td>6%</td><td>45%</td><td>48%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><td>63%</td><td>33%</td><td>5%</td><td>Exo</td><td>27%</td><td>Exo</td><td>43%</td><td>0%</td><td>###</td></tr><tr><td>0%</td><td>37%</td><td>43%</td><td>Math</td><td>34%</td><td>Math</td><td>22%</td><td>55%</td><td>###</td></tr><tr><td>38%</td><td>30%</td><td>52%</td><td>Lien</td><td>39%</td><td>Lien</td><td>35%</td><td>45%</td><td>###</td></tr></tbody></table>
Tableaux croisés pour la séance B2 (6 premières)

<caption>VB2,1</caption>

Totaux, tableaux croisés

<table><thead><tr><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>61</td><td>38</td><td>18</td><td>5</td><td>39</td><td>5</td><td>17</td><td>3</td><td>33</td><td>25</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><td>Info</td><td>3</td><td>24</td><td>11</td><td>26</td><td>3</td><td>9</td></tr><tr><td>Struc.</td><td>0</td><td>9</td><td>9</td><td>10</td><td>0</td><td>8</td></tr><tr><td>Argu.</td><td>0</td><td>0</td><td>5</td><td>3</td><td>2</td><td>0</td></tr><tr><td>Exo</td><td>3</td><td>31</td><td>5</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Math</td><td>0</td><td>0</td><td>5</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Lien</td><td>0</td><td>2</td><td>15</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Pourcentages, tableaux croisés

<table><thead><tr><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>67%</td><td>60%</td><td>53%</td><td>Info</td><td>62%</td><td>Info</td><td>100%</td><td>73%</td><td>44%</td></tr><tr><td>26%</td><td>0%</td><td>47%</td><td>Struc.</td><td>30%</td><td>Struc.</td><td>0%</td><td>27%</td><td>36%</td></tr><tr><td>8%</td><td>40%</td><td>0%</td><td>Argu.</td><td>8%</td><td>Argu.</td><td>0%</td><td>0%</td><td>20%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><td>8%</td><td>0%</td><td>0%</td><td>Quest.</td><td>5%</td><td>Quest.</td><td>0%</td><td>0%</td></tr><tr><td>63%</td><td>50%</td><td>0%</td><td>Direct</td><td>54%</td><td>Direct</td><td>79%</td><td>0%</td><td>12%</td></tr><tr><td>29%</td><td>50%</td><td>100%</td><td>Indir.</td><td>41%</td><td>Indir.</td><td>13%</td><td>100%</td><td>88%</td></tr></tbody></table>

<table><caption>VB2,3</caption><thead><tr><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><td>100%</td><td>94%</td><td>20%</td><td>Exo</td><td>64%</td><td>Exo</td><td>68%</td><td>56%</td><td>60%</td></tr><tr><td>0%</td><td>0%</td><td>20%</td><td>Math</td><td>8%</td><td>Math</td><td>8%</td><td>0%</td><td>40%</td></tr><tr><td>0%</td><td>6%</td><td>60%</td><td>Lien</td><td>28%</td><td>Lien</td><td>24%</td><td>44%</td><td>0%</td></tr></tbody></table>

Totaux, tableaux croisés

<table><thead><tr><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>82</td><td>51</td><td>18</td><td>13</td><td>47</td><td>6</td><td>29</td><td>19</td><td>40</td><td>23</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><td>Info</td><td>18</td><td>24</td><td>9</td><td>33</td><td>0</td><td>18</td></tr><tr><td>Struc.</td><td>0</td><td>9</td><td>9</td><td>12</td><td>6</td><td>0</td></tr><tr><td>Argu.</td><td>1</td><td>7</td><td>5</td><td>2</td><td>0</td><td>11</td></tr><tr><td>Exo</td><td>11</td><td>23</td><td>7</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Math</td><td>0</td><td>0</td><td>6</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Lien</td><td>8</td><td>11</td><td>10</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Pourcentages, tableaux croisés

<table><thead><tr><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>70%</td><td>0%</td><td>62%</td><td>Info</td><td>62%</td><td>Info</td><td>95%</td><td>60%</td><td>39%</td></tr><tr><td>26%</td><td>100%</td><td>0%</td><td>Struc.</td><td>22%</td><td>Struc.</td><td>0%</td><td>23%</td><td>39%</td></tr><tr><td>43%</td><td>0%</td><td>38%</td><td>Argu.</td><td>16%</td><td>Argu.</td><td>5%</td><td>18%</td><td>22%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><td>35%</td><td>0%</td><td>8%</td><td>Quest.</td><td>23%</td><td>Quest.</td><td>0%</td><td>28%</td></tr><tr><td>47%</td><td>50%</td><td>54%</td><td>Direct</td><td>49%</td><td>Direct</td><td>62%</td><td>0%</td><td>38%</td></tr><tr><td>18%</td><td>50%</td><td>38%</td><td>Indir.</td><td>28%</td><td>Indir.</td><td>15%</td><td>100%</td><td>34%</td></tr></tbody></table>

<table><caption>VB2,5</caption><thead><tr><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><td>58%</td><td>73%</td><td>30%</td><td>Exo</td><td>57%</td><td>Exo</td><td>65%</td><td>67%</td><td>15%</td></tr><tr><td>0%</td><td>0%</td><td>26%</td><td>Math</td><td>7%</td><td>Math</td><td>0%</td><td>33%</td><td>0%</td></tr><tr><td>42%</td><td>28%</td><td>43%</td><td>Lien</td><td>35%</td><td>Lien</td><td>35%</td><td>0%</td><td>85%</td></tr></tbody></table>

Totaux, tableaux croisés

<table><thead><tr><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>122</td><td>49</td><td>49</td><td>24</td><td>3</td><td>98</td><td>21</td><td>13</td><td>60</td><td>49</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><td>Info</td><td>10</td><td>39</td><td>0</td><td>0</td><td>34</td><td>15</td></tr><tr><td>Struc.</td><td>1</td><td>13</td><td>35</td><td>3</td><td>41</td><td>5</td></tr><tr><td>Argu.</td><td>2</td><td>8</td><td>14</td><td>0</td><td>23</td><td>1</td></tr><tr><td>Exo</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Math</td><td>9</td><td>44</td><td>45</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Lien</td><td>4</td><td>15</td><td>2</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Pourcentages, tableaux croisés

<table><thead><tr><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0%</td><td>35%</td><td>71%</td><td>Info</td><td>40%</td><td>Info</td><td>77%</td><td>65%</td><td>0%</td></tr><tr><td>100%</td><td>42%</td><td>24%</td><td>Struc.</td><td>40%</td><td>Struc.</td><td>8%</td><td>22%</td><td>71%</td></tr><tr><td>0%</td><td>23%</td><td>5%</td><td>Argu.</td><td>20%</td><td>Argu.</td><td>15%</td><td>13%</td><td>29%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><td>20%</td><td>2%</td><td>8%</td><td>Quest.</td><td>11%</td><td>Quest.</td><td>0%</td><td>19%</td></tr><tr><td>80%</td><td>27%</td><td>33%</td><td>Direct</td><td>49%</td><td>Direct</td><td>33%</td><td>45%</td><td>71%</td></tr><tr><td>0%</td><td>71%</td><td>58%</td><td>Indir.</td><td>40%</td><td>Indir.</td><td>67%</td><td>46%</td><td>10%</td></tr></tbody></table>

<table><caption>VB2,2</caption><thead><tr><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0%</td><td>2%</td><td>4%</td><td>Exo</td><td>2%</td><td>Exo</td><td>0%</td><td>6%</td><td>0%</td></tr><tr><td>69%</td><td>73%</td><td>92%</td><td>Math</td><td>80%</td><td>Math</td><td>69%</td><td>84%</td><td>96%</td></tr><tr><td>31%</td><td>25%</td><td>4%</td><td>Lien</td><td>17%</td><td>Lien</td><td>31%</td><td>10%</td><td>4%</td></tr></tbody></table>

Totaux, tableaux croisés

<table><thead><tr><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>55</td><td>29</td><td>13</td><td>13</td><td>43</td><td>0</td><td>12</td><td>7</td><td>44</td><td>4</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><td>Info</td><td>7</td><td>20</td><td>2</td><td>25</td><td>0</td><td>4</td></tr><tr><td>Struc.</td><td>0</td><td>11</td><td>2</td><td>13</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>Argu.</td><td>0</td><td>13</td><td>0</td><td>5</td><td>0</td><td>8</td></tr><tr><td>Exo</td><td>7</td><td>32</td><td>4</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Math</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Lien</td><td>0</td><td>12</td><td>0</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Pourcentages, tableaux croisés

<table><thead><tr><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>58%</td><td>###</td><td>33%</td><td>Info</td><td>53%</td><td>Info</td><td>100%</td><td>45%</td><td>50%</td></tr><tr><td>30%</td><td>###</td><td>0%</td><td>Struc.</td><td>24%</td><td>Struc.</td><td>0%</td><td>25%</td><td>50%</td></tr><tr><td>12%</td><td>###</td><td>67%</td><td>Argu.</td><td>24%</td><td>Argu.</td><td>0%</td><td>30%</td><td>0%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><td>24%</td><td>0%</td><td>0%</td><td>Quest.</td><td>13%</td><td>Quest.</td><td>16%</td><td>###</td><td>0%</td></tr><tr><td>69%</td><td>85%</td><td>100%</td><td>Direct</td><td>80%</td><td>Direct</td><td>74%</td><td>###</td><td>100%</td></tr><tr><td>7%</td><td>15%</td><td>0%</td><td>Indir.</td><td>7%</td><td>Indir.</td><td>9%</td><td>###</td><td>0%</td></tr></tbody></table>

<table><caption>VB2,4</caption><thead><tr><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><td>100%</td><td>73%</td><td>100%</td><td>Exo</td><td>78%</td><td>Exo</td><td>86%</td><td>100%</td><td>38%</td></tr><tr><td>0%</td><td>0%</td><td>0%</td><td>Math</td><td>0%</td><td>Math</td><td>0%</td><td>0%</td><td>0%</td></tr><tr><td>0%</td><td>27%</td><td>0%</td><td>Lien</td><td>22%</td><td>Lien</td><td>14%</td><td>0%</td><td>62%</td></tr></tbody></table>

Totaux, tableaux croisés

<table><thead><tr><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>35</td><td>23</td><td>8</td><td>4</td><td>24</td><td>4</td><td>7</td><td>1</td><td>19</td><td>15</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><td>Info</td><td>1</td><td>12</td><td>10</td><td>20</td><td>0</td><td>3</td></tr><tr><td>Struc.</td><td>0</td><td>5</td><td>3</td><td>4</td><td>4</td><td>0</td></tr><tr><td>Argu.</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>4</td></tr><tr><td>Exo</td><td>1</td><td>13</td><td>10</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Math</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Lien</td><td>0</td><td>4</td><td>3</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Pourcentages, tableaux croisés

<table><thead><tr><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>83%</td><td>0%</td><td>43%</td><td>Info</td><td>66%</td><td>Info</td><td>100%</td><td>63%</td><td>67%</td></tr><tr><td>17%</td><td>100%</td><td>0%</td><td>Struc.</td><td>23%</td><td>Struc.</td><td>0%</td><td>26%</td><td>20%</td></tr><tr><td>0%</td><td>0%</td><td>57%</td><td>Argu.</td><td>11%</td><td>Argu.</td><td>0%</td><td>11%</td><td>13%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><td>4%</td><td>0%</td><td>0%</td><td>Quest.</td><td>3%</td><td>Quest.</td><td>4%</td><td>0%</td><td>0%</td></tr><tr><td>52%</td><td>63%</td><td>50%</td><td>Direct</td><td>54%</td><td>Direct</td><td>54%</td><td>50%</td><td>57%</td></tr><tr><td>43%</td><td>38%</td><td>50%</td><td>Indir.</td><td>43%</td><td>Indir.</td><td>42%</td><td>50%</td><td>43%</td></tr></tbody></table>

<table><caption>VB2,6</caption><thead><tr><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><td>100%</td><td>68%</td><td>67%</td><td>Exo</td><td>69%</td><td>Exo</td><td>87%</td><td>50%</td><td>0%</td></tr><tr><td>0%</td><td>11%</td><td>13%</td><td>Math</td><td>11%</td><td>Math</td><td>0%</td><td>50%</td><td>0%</td></tr><tr><td>0%</td><td>21%</td><td>20%</td><td>Lien</td><td>20%</td><td>Lien</td><td>13%</td><td>0%</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

Totaux, tableaux croisés

<table><thead><tr><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>56</td><td>21</td><td>28</td><td>7</td><td>0</td><td>56</td><td>0</td><td>1</td><td>31</td><td>24</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><td>Info</td><td>1</td><td>19</td><td>1</td><td>0</td><td>21</td><td>0</td></tr><tr><td>Struc.</td><td>0</td><td>12</td><td>16</td><td>0</td><td>28</td><td>0</td></tr><tr><td>Argu.</td><td>0</td><td>0</td><td>7</td><td>0</td><td>7</td><td>0</td></tr><tr><td>Exo</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Math</td><td>1</td><td>31</td><td>24</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Lien</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Pourcentages, tableaux croisés

<table><thead><tr><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><td>###</td><td>38%</td><td>###</td><td>Info</td><td>38%</td><td>Info</td><td>100%</td><td>61%</td><td>4%</td></tr><tr><td>###</td><td>50%</td><td>###</td><td>Struc.</td><td>50%</td><td>Struc.</td><td>0%</td><td>39%</td><td>67%</td></tr><tr><td>###</td><td>13%</td><td>###</td><td>Argu.</td><td>13%</td><td>Argu.</td><td>0%</td><td>0%</td><td>29%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><td>5%</td><td>0%</td><td>0%</td><td>Quest.</td><td>2%</td><td>Quest.</td><td>###</td><td>2%</td><td>###</td></tr><tr><td>90%</td><td>43%</td><td>0%</td><td>Direct</td><td>55%</td><td>Direct</td><td>###</td><td>55%</td><td>###</td></tr><tr><td>5%</td><td>57%</td><td>100%</td><td>Indir.</td><td>43%</td><td>Indir.</td><td>###</td><td>43%</td><td>###</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><td>0%</td><td>0%</td><td>0%</td><td>Exo</td><td>0%</td><td>Exo</td><td>0%</td><td>0%</td><td>0%</td></tr><tr><td>0%</td><td>100%</td><td>100%</td><td>Math</td><td>100%</td><td>Math</td><td>0%</td><td>100%</td><td>100%</td></tr><tr><td>0%</td><td>0%</td><td>0%</td><td>Lien</td><td>0%</td><td>Lien</td><td>0%</td><td>0%</td><td>0%</td></tr></tbody></table>
Tableaux croisés pour la séance R (6 premiers)

<table><caption>vt,1</caption><thead><tr><th></th><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>effectif</th><td>104</td><td>36</td><td>54</td><td>14</td><td>49</td><td>28</td><td>27</td><td>31</td><td>21</td><td>52</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Pourcentages, tableaux croisés</caption><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><th>Info</th><td>19</td><td>16</td><td>1</td><td></td><td>27</td><td>1</td><td>8</td></tr><tr><th>Struc.</th><td>0</td><td>5</td><td>49</td><td></td><td>21</td><td>27</td><td>6</td></tr><tr><th>Argu.</th><td>12</td><td>0</td><td>2</td><td></td><td>1</td><td>0</td><td>13</td></tr><tr><th></th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Exo</th><td>16</td><td>15</td><td>18</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Math</th><td>0</td><td>2</td><td>26</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Lien</th><td>15</td><td>4</td><td>8</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>55%</th><td>44%</td><td>30%</td><td>Info</td><td>35%</td><td>61%</td><td>76%</td><td>2%</td></tr><tr><th>43%</th><td>96%</td><td>22%</td><td>Struc.</td><td>52%</td><td>0%</td><td>24%</td><td>94%</td></tr><tr><th>2%</th><td>0%</td><td>48%</td><td>Argu.</td><td>13%</td><td>39%</td><td>0%</td><td>4%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>53%</th><td>0%</td><td>86%</td><td>Quest.</td><td>30%</td><td>33%</td><td>0%</td><td>56%</td></tr><tr><th>44%</th><td>9%</td><td>0%</td><td>Direct</td><td>20%</td><td>31%</td><td>7%</td><td>15%</td></tr><tr><th>3%</th><td>91%</td><td>14%</td><td>Indir.</td><td>50%</td><td>37%</td><td>93%</td><td>30%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><th>52%</th><td>71%</td><td>35%</td><td>Exo</td><td>47%</td><td>Exo</td><td>75%</td><td>39%</td><td>7%</td></tr><tr><th>0%</th><td>10%</td><td>50%</td><td>Math</td><td>27%</td><td>Math</td><td>3%</td><td>50%</td><td>0%</td></tr><tr><th>48%</th><td>19%</td><td>15%</td><td>Lien</td><td>26%</td><td>Lien</td><td>22%</td><td>11%</td><td>93%</td></tr></tbody></table>

<table><caption>vt,3</caption><thead><tr><th></th><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>effectif</th><td>34</td><td>28</td><td>1</td><td>5</td><td>15</td><td>9</td><td>10</td><td>18</td><td>13</td><td>3</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Pourcentages, tableaux croisés</caption><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><th>Info</th><td>13</td><td>13</td><td>2</td><td></td><td>14</td><td>4</td><td>10</td></tr><tr><th>Struc.</th><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td></td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><th>Argu.</th><td>5</td><td>0</td><td>0</td><td></td><td>1</td><td>4</td><td>0</td></tr><tr><th></th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Exo</th><td>9</td><td>6</td><td>0</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Math</th><td>5</td><td>3</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Lien</th><td>4</td><td>4</td><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>93%</th><td>44%</td><td>100%</td><td>Info</td><td>82%</td><td>72%</td><td>100%</td><td>67%</td></tr><tr><th>0%</th><td>11%</td><td>0%</td><td>Struc.</td><td>3%</td><td>Struc.</td><td>0%</td><td>33%</td></tr><tr><th>7%</th><td>44%</td><td>0%</td><td>Argu.</td><td>15%</td><td>Argu.</td><td>28%</td><td>0%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>46%</th><td>0%</td><td>100%</td><td>Quest.</td><td>53%</td><td>Quest.</td><td>60%</td><td>56%</td></tr><tr><th>46%</th><td>0%</td><td>0%</td><td>Direct</td><td>38%</td><td>Direct</td><td>40%</td><td>33%</td></tr><tr><th>7%</th><td>100%</td><td>0%</td><td>Indir.</td><td>9%</td><td>Indir.</td><td>0%</td><td>11%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><th>50%</th><td>46%</td><td>0%</td><td>Exo</td><td>44%</td><td>Exo</td><td>50%</td><td>0%</td><td>20%</td></tr><tr><th>28%</th><td>23%</td><td>33%</td><td>Math</td><td>26%</td><td>Math</td><td>14%</td><td>100%</td><td>80%</td></tr><tr><th>22%</th><td>31%</td><td>67%</td><td>Lien</td><td>29%</td><td>Lien</td><td>36%</td><td>0%</td><td>0%</td></tr></tbody></table>

<table><caption>vt,5</caption><thead><tr><th></th><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>effectif</th><td>137</td><td>72</td><td>56</td><td>9</td><td>73</td><td>33</td><td>31</td><td>22</td><td>16</td><td>99</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Pourcentages, tableaux croisés</caption><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><th>Info</th><td>15</td><td>16</td><td>41</td><td></td><td>56</td><td>0</td><td>16</td></tr><tr><th>Struc.</th><td>0</td><td>0</td><td>56</td><td></td><td>17</td><td>33</td><td>6</td></tr><tr><th>Argu.</th><td>7</td><td>0</td><td>2</td><td></td><td>0</td><td>0</td><td>9</td></tr><tr><th></th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Exo</th><td>14</td><td>11</td><td>48</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Math</th><td>0</td><td>0</td><td>33</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Lien</th><td>8</td><td>5</td><td>18</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>77%</th><td>0%</td><td>52%</td><td>Info</td><td>53%</td><td>Info</td><td>68%</td><td>100%</td><td>41%</td></tr><tr><th>23%</th><td>100%</td><td>19%</td><td>Struc.</td><td>41%</td><td>Struc.</td><td>0%</td><td>0%</td><td>57%</td></tr><tr><th>0%</th><td>0%</td><td>29%</td><td>Argu.</td><td>7%</td><td>Argu.</td><td>32%</td><td>0%</td><td>2%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>21%</th><td>0%</td><td>78%</td><td>Quest.</td><td>16%</td><td>Quest.</td><td>19%</td><td>0%</td><td>26%</td></tr><tr><th>22%</th><td>0%</td><td>0%</td><td>Direct</td><td>12%</td><td>Direct</td><td>15%</td><td>0%</td><td>16%</td></tr><tr><th>57%</th><td>100%</td><td>22%</td><td>Indir.</td><td>72%</td><td>Indir.</td><td>66%</td><td>100%</td><td>58%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><th>64%</th><td>69%</td><td>48%</td><td>Exo</td><td>53%</td><td>Exo</td><td>78%</td><td>30%</td><td>0%</td></tr><tr><th>0%</th><td>0%</td><td>33%</td><td>Math</td><td>24%</td><td>Math</td><td>0%</td><td>59%</td><td>0%</td></tr><tr><th>36%</th><td>31%</td><td>18%</td><td>Lien</td><td>23%</td><td>Lien</td><td>22%</td><td>11%</td><td>100%</td></tr></tbody></table>

<table><caption>vt,2</caption><thead><tr><th></th><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>effectif</th><td>98</td><td>64</td><td>18</td><td>16</td><td>44</td><td>13</td><td>41</td><td>36</td><td>19</td><td>43</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Pourcentages, tableaux croisés</caption><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><th>Info</th><td>26</td><td>16</td><td>22</td><td></td><td>35</td><td>13</td><td>16</td></tr><tr><th>Struc.</th><td>2</td><td>2</td><td>14</td><td></td><td>8</td><td>0</td><td>10</td></tr><tr><th>Argu.</th><td>8</td><td>1</td><td>7</td><td></td><td>1</td><td>0</td><td>15</td></tr><tr><th></th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Exo</th><td>14</td><td>17</td><td>13</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Math</th><td>3</td><td>0</td><td>10</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Lien</th><td>19</td><td>2</td><td>20</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>80%</th><td>100%</td><td>39%</td><td>Info</td><td>65%</td><td>72%</td><td>84%</td><td>51%</td></tr><tr><th>18%</th><td>0%</td><td>24%</td><td>Struc.</td><td>18%</td><td>6%</td><td>11%</td><td>33%</td></tr><tr><th>2%</th><td>0%</td><td>37%</td><td>Argu.</td><td>16%</td><td>Argu.</td><td>22%</td><td>5%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>41%</th><td>11%</td><td>50%</td><td>Quest.</td><td>37%</td><td>Quest.</td><td>32%</td><td>23%</td></tr><tr><th>25%</th><td>11%</td><td>6%</td><td>Direct</td><td>19%</td><td>Direct</td><td>39%</td><td>0%</td></tr><tr><th>34%</th><td>78%</td><td>44%</td><td>Indir.</td><td>44%</td><td>Indir.</td><td>30%</td><td>77%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><th>39%</th><td>89%</td><td>30%</td><td>Exo</td><td>45%</td><td>Exo</td><td>55%</td><td>44%</td><td>6%</td></tr><tr><th>8%</th><td>0%</td><td>23%</td><td>Math</td><td>13%</td><td>Math</td><td>20%</td><td>0%</td><td>0%</td></tr><tr><th>53%</th><td>11%</td><td>47%</td><td>Lien</td><td>42%</td><td>Lien</td><td>25%</td><td>56%</td><td>94%</td></tr></tbody></table>

<table><caption>vt,4</caption><thead><tr><th></th><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>effectif</th><td>76</td><td>34</td><td>20</td><td>22</td><td>11</td><td>26</td><td>39</td><td>23</td><td>19</td><td>34</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Pourcentages, tableaux croisés</caption><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><th>Info</th><td>12</td><td>11</td><td>11</td><td></td><td>8</td><td>14</td><td>12</td></tr><tr><th>Struc.</th><td>1</td><td>3</td><td>16</td><td></td><td>2</td><td>4</td><td>14</td></tr><tr><th>Argu.</th><td>10</td><td>5</td><td>7</td><td></td><td>1</td><td>8</td><td>13</td></tr><tr><th></th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Exo</th><td>4</td><td>6</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Math</th><td>10</td><td>8</td><td>8</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Lien</th><td>9</td><td>5</td><td>25</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>73%</th><td>54%</td><td>31%</td><td>Info</td><td>45%</td><td>52%</td><td>58%</td><td>32%</td></tr><tr><th>18%</th><td>15%</td><td>36%</td><td>Struc.</td><td>26%</td><td>Struc.</td><td>4%</td><td>16%</td><td>47%</td></tr><tr><th>9%</th><td>31%</td><td>33%</td><td>Argu.</td><td>29%</td><td>Argu.</td><td>43%</td><td>26%</td><td>21%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>35%</th><td>5%</td><td>45%</td><td>Quest.</td><td>30%</td><td>Quest.</td><td>36%</td><td>38%</td><td>23%</td></tr><tr><th>32%</th><td>15%</td><td>23%</td><td>Direct</td><td>25%</td><td>Direct</td><td>55%</td><td>31%</td><td>13%</td></tr><tr><th>32%</th><td>80%</td><td>32%</td><td>Indir.</td><td>45%</td><td>Indir.</td><td>9%</td><td>31%</td><td>64%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><th>17%</th><td>32%</td><td>39%</td><td>Exo</td><td>14%</td><td>Exo</td><td>24%</td><td>10%</td><td>5%</td></tr><tr><th>43%</th><td>42%</td><td>24%</td><td>Math</td><td>34%</td><td>Math</td><td>41%</td><td>20%</td><td>36%</td></tr><tr><th>39%</th><td>26%</td><td>74%</td><td>Lien</td><td>51%</td><td>Lien</td><td>35%</td><td>70%</td><td>59%</td></tr></tbody></table>

<table><caption>vt,6</caption><thead><tr><th></th><th>global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>effectif</th><td>91</td><td>63</td><td>22</td><td>6</td><td>60</td><td>0</td><td>31</td><td>10</td><td>26</td><td>55</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Pourcentages, tableaux croisés</caption><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th></tr></thead><tbody><tr><th>Info</th><td>5</td><td>26</td><td>32</td><td></td><td>46</td><td>0</td><td>17</td></tr><tr><th>Struc.</th><td>1</td><td>0</td><td>21</td><td></td><td>12</td><td>0</td><td>10</td></tr><tr><th>Argu.</th><td>4</td><td>0</td><td>2</td><td></td><td>2</td><td>0</td><td>4</td></tr><tr><th></th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Exo</th><td>8</td><td>26</td><td>26</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Math</th><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Lien</th><td>2</td><td>0</td><td>29</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>77%</th><td>####</td><td>55%</td><td>Info</td><td>69%</td><td>50%</td><td>100%</td><td>58%</td></tr><tr><th>20%</th><td>####</td><td>32%</td><td>Struc.</td><td>24%</td><td>Struc.</td><td>10%</td><td>0%</td><td>38%</td></tr><tr><th>3%</th><td>####</td><td>13%</td><td>Argu.</td><td>7%</td><td>Argu.</td><td>40%</td><td>0%</td><td>4%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th><th>Global</th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th></tr></thead><tbody><tr><th>8%</th><td>5%</td><td>67%</td><td>Quest.</td><td>11%</td><td>Quest.</td><td>13%</td><td>####</td></tr><tr><th>41%</th><td>0%</td><td>0%</td><td>Direct</td><td>29%</td><td>Direct</td><td>43%</td><td>####</td></tr><tr><th>51%</th><td>95%</td><td>33%</td><td>Indir.</td><td>60%</td><td>Indir.</td><td>43%</td><td>####</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Quest.</th><th>Direct</th><th>Indir.</th><th></th><th>Global</th><th>Info</th><th>Struc.</th><th>Argu.</th></tr></thead><tbody><tr><th>80%</th><td>100%</td><td>47%</td><td>Exo</td><td>66%</td><td>Exo</td><td>73%</td><td>55%</td><td>33%</td></tr><tr><th>0%</th><td>0%</td><td>0%</td><td>Math</td><td>0%</td><td>Math</td><td>0%</td><td>0%</td><td>0%</td></tr><tr><th>20%</th><td>0%</td><td>53%</td><td>Lien</td><td>34%</td><td>Lien</td><td>27%</td><td>45%</td><td>67%</td></tr></tbody></table>
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IREM Université Paris 7
Case 7018
2 Place Jussieu
75251 Paris cedex 05
## TITRE :

Comment, en didactique des mathématiques, prendre en compte les pratiques effectives, en classe, des enseignants de mathématiques du lycée ?

Une approche à travers des analyses de pratiques de quelques enseignants de mathématiques dans des séances d'introduction aux vecteurs en classe de seconde.

## AUTEUR (S) :

Hache. Christophe
Robert. Aline

## RESUME :

Les auteurs montrent comment, en s'appuyant, entre autre, sur les hypothèses et les résultats de la didactique des mathématiques, il est possible d'étudier les pratiques des professeurs de mathématiques en classe, ou plutôt comment il est possible de caractériser " l'univers mathématiques que fait fréquenter le professeur à ses élèves ". A partir, en autre, d'une " analyse locale " du discours de quatre professeurs de seconde introduisant la notion de multiplication d'un vecteur par un nombre réel, les auteurs dégagent différents type d'univers possibles

## MOTS CLES :

Didactique des mathématiques - pratiques professionnelles - professeur - vecteurs - seconde-lycée - vidéo - univers - analyse locale - tâche - activité - discours

Editeur : IREM
Université PARIS 7-Denis Diderot
Directeur responsable de la
publication : R. CORI
Case 7018 - 2 Place Jussieu
75251 PARIS Cedex 05
Dépôt légal : 1997
ISBN : 2-86612-127-9