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# Des non-linéarités physiques à la perception sonore

Samuel Poirot

► To cite this version:

Samuel Poirot. Des non-linéarités physiques à la perception sonore. Acoustique [physics.class-ph]. Aix Marseille Université, 2021. Français. NNT: tel-04350251

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Submitted on 18 Dec 2023

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AIX MARSEILLE UNIVERSITÉ

ÉCOLE DOCTORALE 353

SCIENCES POUR L'INGÉNIEUR : MÉCANIQUE, PHYSIQUE
MICRO ET NANOÉLECTRONIQUE

T H È S E

pour obtenir le titre de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ D'AIX - MARSEILLE

Mention : Acoustique

Présentée par

Samuel POIROT

# Des non-linéarités physiques à la perception sonore

préparée au LABORATOIRE PRISM

(PERCEPTION, REPRÉSENTATIONS, IMAGE, SON, MUSIQUE)

CNRS - AMU - UMR 7061

soutenue le 3 Décembre 2021

Jury :

Président : Sylvain MARCHAND - L3i - Université de La Rochelle

Rapporteurs : Philippe DEPALLE - McGill University
Stefania SERAFIN - Aalborg University Copenhague

Directeurs : Richard KRONLAND-MARTINET - CNRS - PRISM - Aix-Marseille Université
Stefan BILBAO - Acoustics and Audio Group, University of Edinburgh
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Remerciements

La soutenance passée, il est maintenant temps de remercier tous ceux qui m'ont accompagné au cours de cette aventure. Mes premiers remerciements sont naturellement destinés aux personnes impliquées dans l'encadrement de ma thèse : mes co-directeurs Richard Kronland-Martinet et Stefan Bilbao, ainsi que Mitsuko Aramaki et Sølvi Ystad. Merci Richard d'avoir proposé ce sujet « sur mesure » et de m'avoir permis, régulièrement, de prendre du recul et de donner du sens à mes travaux avec bienveillance et bonne humeur. Merci Stefan de m'avoir accueilli à plusieurs reprises à l'université d'Edimbourg pour partager ton expertise concernant la synthèse sonore par modèle physique. Merci Mitsuko et Sølvi pour le temps passé à relire et à corriger mes travaux et pour le soutien quotidien.

J'aimerais également remercier les membres du jury d'avoir pris le temps de lire et de critiquer ce travail, et d'avoir fait le déplacement jusqu'à Marseille depuis Montréal, Copenhague et La Rochelle pour pouvoir en discuter directement.

Un grand merci à tous les collègues/copains de PRISM qui ont rendu le laboratoire si agréable et vivant ces dernières années. L'équipe de coinche « capot pique » puis de tarot en passant par le tennis de table et les barbecues. En particulier Antoine et Simon, toujours présents pour rendre la vie agréable à qui les entoure, qui m'auront accompagné tout au long de cette thèse et avec qui je partage cette passion pour le son et la musique.

Je remercie aussi ma soeur mon frère et mes parents pour leur affection et leur soutien qui m'ont permis d'en être là aujourd'hui.

Enfin je remercie Marion, qui donne un sens à ma vie et qui aura eu le courage de passer la préparation de l'agrégation et le doctorat à mes côtés (pas une mince affaire), et Ariane avec qui nous avons eu la joie de découvrir la parentalité.

À toutes, à tous, merci !
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Site Internet

Ce document est accompagné d'un site internet comprenant des exemples sonores pour la démonstration des outils développés au cours de cette thèse :
https://www.prism.cnrs.fr/publications-media/thesePoirot/
Les références aux exemples sonores seront indiquées par le symbole suivant 🔊.
<figure><img src="image_5.png" /></figure>
# Table des matières

Introduction 1

1 Contexte et enjeux de la thèse 3

1.1 Synthèse sonore 4

1.1.1 Synthèse par modèle physique 5

1.1.2 Synthèse par modèles de signaux 7

1.2 Contrôle de la synthèse sonore 9

1.2.1 Contrôle du timbre 9

1.2.2 Contrôle des attributs de la source sonore. 10

1.2.3 Contrôle gestuel 10

1.3 Perception sonore des objets du quotidien et paradigme d'étude 11

1.3.1 Approche écologique de la perception 11

1.3.2 Le paradigme *action-objet* pour la synthèse de sons d'environnement 12

1.4 Enjeux de la thèse 18

1.4.1 Les phénomènes non-linéaires dans la production des sons solidiens 19

1.4.2 Paradigme Action-Objet étendu : vers le contrôle de la synthèse sonore de phénomènes non-linéaires 25

1.4.3 Méthodologie 27

2 Synthèse d'un corpus par modèle physique et analyse des morphologies sonores 31

2.1 Notations et opérateurs pour les schémas aux différences finies 32

2.1.1 Schémas en 1D 32

2.1.2 Schémas en 2D 33

2.2 Interactions non-linéaires 34

2.2.1 Modélisation physique des collisions et résolution numérique pour la synthèse sonore 35

2.2.2 Excitation : étude de l'impact sur une corde 36

2.2.3 Perturbation : interaction d'une corde avec un obstacle rigide fixe 43

2.3 Non-linéarités géométriques 53

2.3.1 Synthèse du corpus 53

2.3.2 Détermination des morphologies sonores 55

2.4 Conclusion 60
3 Modèle de signal pour la synthèse sonore de phénomènes non-linéaires 61

<table><tr><td>3.1</td><td>Transferts d'énergie entre les modes</td><td>62</td></tr><tr><td>3.1.1</td><td>Généralités</td><td>62</td></tr><tr><td>3.1.2</td><td>Énergie dans un système 1DDL et analogie avec la puissance d'un signal</td><td>63</td></tr><tr><td>3.1.3</td><td>Transferts d'énergie et conservation de la puissance</td><td>65</td></tr><tr><td>3.1.4</td><td>Exemples de transferts de puissance</td><td>66</td></tr><tr><td>3.1.5</td><td>Implémentation en synthèse additive</td><td>73</td></tr><tr><td>3.1.6</td><td>Implémentation en synthèse soustractive et retour sur le paradigme action-objet étendu</td><td>73</td></tr><tr><td>3.2</td><td>Interactions non-linéaires</td><td>77</td></tr><tr><td>3.2.1</td><td>Excitation par un impact</td><td>77</td></tr><tr><td>3.2.2</td><td>Perturbations des vibrations par des collisions</td><td>79</td></tr><tr><td>3.2.3</td><td>Couplage entre deux objets</td><td>82</td></tr><tr><td>3.3</td><td>Non-linéarités géométriques</td><td>88</td></tr><tr><td>3.3.1</td><td>Grandes amplitudes de vibration dans les structures minces</td><td>88</td></tr><tr><td>3.3.2</td><td>Objets pliés, flambage et non-linéarités matérielles</td><td>93</td></tr><tr><td>3.4</td><td>Conclusion</td><td>97</td></tr></table>

4 Contrôle intuitif du modèle de synthèse : calibrations, validations et applications 99

<table><tr><td>4.1</td><td>Interactions non-linéaires</td><td>100</td></tr><tr><td>4.1.1</td><td>Contrôle de l'excitation : Brillance et force d'impact perçue</td><td>100</td></tr><tr><td>4.1.2</td><td>Contrôle des perturbations d'un objet vibrant : Collisions entre une corde vibrante et un obstacle rigide non-résonant</td><td>101</td></tr><tr><td>4.2</td><td>Non-linéarités géométriques</td><td>113</td></tr><tr><td>4.2.1</td><td>Perception de la force d'impact et de la « souffrance » de l'objet dans le cas des plaques minces métalliques pour des grandes amplitudes de vibration</td><td>113</td></tr><tr><td>4.2.2</td><td>Calibration et validation du modèle de signal pour la synthèse de sons rayonnés par des plaques minces.</td><td>119</td></tr><tr><td>4.2.3</td><td>Non-linéarités géométriques et forme de l'objet</td><td>129</td></tr><tr><td>4.3</td><td>Proposition de contrôle perceptif</td><td>148</td></tr></table>

5 Conclusions & perspectives 155

<table><tr><td>5.1</td><td>Conclusions</td><td>155</td></tr><tr><td>5.2</td><td>Perspectives</td><td>157</td></tr></table>

Bibliographie 159
Introduction

Cette thèse s'est déroulée dans le contexte de la naissance du laboratoire inter-
disciplinaire PRISM et du master Acoustique et Musicologie. Cet environnement
dynamique a permis, malgré l'épidémie de COVID-19, de nombreuses discussions
sur la manière de penser la recherche et les collaborations entre des personnes issues
de différents champs disciplinaires autour de la manipulation du son. En particulier,
cette thèse s'inscrit dans l'action structurante « le langage des sons » qui a pour
objectif le décryptage du contenu sémiotique des sons du quotidien en vue de
proposer des modèles et des représentations fondés sur les lois de la perception. Ce
projet vise à constituer un langage sonore non verbal pouvant être utilisé pour in-
former, pour guider, ou même susciter un comportement particulier chez l'auditeur.

Prenons par exemple une situation du quotidien : « quelqu’un frappe à la porte ». À l’écoute des impulsions répétées sur l’ouvrant, nous pouvons évaluer de nombreux éléments concernant l’interaction entre le visiteur et la porte. Si l’usage veut que l’on toque à la porte avec les phalanges, l’utilisation du poing, du plat de la main ou du pied modifie considérablement l’évènement sonore. Dans le cas extrême, l’utilisation d’un bélier entraîne la vibration de tous les éléments alentours et, le plus souvent, la fracture de la porte. Dans cette situation, la transcription de la force des impacts du visiteur sur la porte est portée par des phénomènes non-linéaires : l’interaction non-linéaire entre l’ouvrant, la main et les autres éléments environnants (loquets, gonds, cadre, murs...) et le comportement non-linéaire de l’ouvrant en lui même (par exemple lors de craquements ou de rupture) produisent une évolution du son rayonné en fonction d’intensité de l’action. Ainsi, le son rayonné peut porter l’information de l’intensité de l’action indépendamment de l’intensité sonore. De façon similaire, le comportement vibratoire d’un gong varie largement lors d’impacts de différentes intensités. Plus généralement, on parle de phénomène non-linéaire lorsque la réponse d’un système n’est pas proportionnelle à la sollicitation.

Les travaux effectués dans le cadre de cette thèse cherchent à déterminer les mor-
phologies sonores correspondant aux phénomènes non-linéaires intervenant dans la
modélisation physique des sources sonores. L'objectif est de proposer un modèle de
signal pour la synthèse sonore permettant un contrôle de l'évocation du son en terme
d'attribut de la source sonore. En particulier, il s'agit ici de pouvoir contrôler l'évo-
lution du comportement d'un objet sonore pour que son évocation soit cohérente
avec la sollicitation (le geste d'un utilisateur). Pour répondre à cet objectif, il est
nécessaire de mobiliser différents champs disciplinaires comme la perception sonore,
la modélisation physique des sources sonores et le traitement du signal audio.

La détermination des morphologies sonores correspondant aux phénomènes non-
linéaires dans la production des sons et la synthèse par évocation de ces phénomènes
possèdent de nombreuses applications dans le domaine de la synthèse sonore. En
particulier, la synthèse de sons « inouïs », ou de sons nouveaux [Susini et al., 2014],
qui évoquent des évènements et informent l'auditeur constitue un enjeu actuel et présente un grand intérêt notamment pour le design sonore. Une application explorée depuis les années 80 et toujours utilisée aujourd'hui est la création d'icônes sonores [Gaver, 1986] pour améliorer les interfaces homme-machine, par exemple pour une utilisation dans l'habitacle de véhicules [Graham, 1999], ou pour le remplacement des alarmes pour les appareils médicaux [Webster et Sanderson, 2021]. Un ensemble d'applications récentes concerne la synthèse sonore pour les environnements interactifs [Franinovic et Serafin, 2013], pour lesquels il est nécessaire de proposer des moteurs de synthèse dynamiques et légers. On pense ici nécessairement aux jeux vidéo [Böttcher, 2013] et à la réalité virtuelle [Serafin et al., 2015], mais on peut également citer la sonification de véhicules électriques [Denjean et al., 2019] ou certaines expérimentations pour la pratique musicale [Amazonas et al., 2018] [Çamcı et Hamilton, 2020], comme l'application MuX proposant un environnement de synthèse modulaire en réalité virtuelle<fnref n="1" />.

La plupart de ces applications utilise encore aujourd'hui des banques de sons pré-enregistrés, souvent très volumineuses et difficiles à organiser. L'usage de banques de sons pour répondre à des évènements scriptés implique de prévoir chaque évènement en amont et de concevoir l'échantillon sonore correspondant. À l'inverse, les processus de synthèse en temps réel peuvent s'adapter au déroulement des évènements [Pruvost et al., 2015]. Dans ce contexte, la synthèse par évocation permet de contrôler directement les attributs de la source sonore, ce qui permet au sound designer de manipuler des paramètres intelligibles et directement en rapport avec la tâche qu'il doit effectuer, à savoir lier un son à un évènement de l'environnement interactif.

<footnote n="1">1. https://www.youtube.com/watch?v=2CmDfq97hqs, visité le 25/09/2021</footnote>
# Contexte et enjeux de la thèse

## Sommaire

<table><tr><td>1.1 Synthèse sonore</td><td>4</td></tr><tr><td>1.1.1 Synthèse par modèle physique</td><td>5</td></tr><tr><td>1.1.2 Synthèse par modèles de signaux</td><td>7</td></tr><tr><td>1.2 Contrôle de la synthèse sonore</td><td>9</td></tr><tr><td>1.2.1 Contrôle du timbre</td><td>9</td></tr><tr><td>1.2.2 Contrôle des attributs de la source sonore.</td><td>10</td></tr><tr><td>1.2.3 Contrôle gestuel</td><td>10</td></tr><tr><td>1.3 Perception sonore des objets du quotidien et paradigme d'étude</td><td>11</td></tr><tr><td>1.3.1 Approche écologique de la perception</td><td>11</td></tr><tr><td>1.3.2 Le paradigme action-objet pour la synthèse de sons d'environnement</td><td>12</td></tr><tr><td>1.4 Enjeux de la thèse</td><td>18</td></tr><tr><td>1.4.1 Les phénomènes non-linéaires dans la production des sons solidiens</td><td>19</td></tr><tr><td>1.4.2 Paradigme Action-Objet étendu : vers le contrôle de la synthèse sonore de phénomènes non-linéaires</td><td>25</td></tr><tr><td>1.4.3 Méthodologie</td><td>27</td></tr></table>

Cette thèse s'intéresse à la synthèse sonore des phénomènes non-linéaires in- tervenant dans la modélisation physique des sources sonores. En particulier nous cherchons à modéliser les morphologies sonores correspondant à ces phénomènes pour proposer un modèle de synthèse sonore et des stratégies pour le contrôle in- tuitif de ce modèle. Ce sujet mobilise des connaissances dans les domaines de la modélisation physique des sources sonores, de la synthèse sonore, du contrôle de la synthèse sonore et de la perception auditive.

Dans ce chapitre, nous effectuons une brève présentation des techniques qui constituent le domaine de la synthèse sonore et des problématiques de contrôle associées pour différentes applications. Ensuite nous présentons le paradigme de synthèse *action-objet* inspiré par l'approche écologique de la perception et développé dans le groupe de recherche au sein duquel ces travaux de thèse ont été effectués. Enfin, le paradigme d'étude propre à cette thèse et la méthodologie suivie pour les travaux qui la constitue sont présentés.
## 1.1 Synthèse sonore

La synthèse sonore, souvent associée à l'analyse et au traitement du signal, trouve sa source dans la maîtrise de l'électricité. De nombreuses inventions se sont succédées au cours du XXe siècle, comme le Thérémine, les ondes Martenot ou l'orgue Hammond, pour aboutir aux synthétiseurs tels que nous les connaissions aujourd'hui. Le livre de De Wilde raconte l'histoire de ces inventions et de leurs inventeurs [De Wilde, 2016].

C'est avec l'arrivée des microprocesseurs et les travaux pionniers de Mathews aux laboratoires Bell que l'on commence à créer du son avec des ordinateurs [Mathews et Guttman, 1959]. La synthèse sonore numérique constitue aujourd'hui une discipline à part entière et regroupe différentes techniques pour le traitement et la génération de signaux sonores par un microprocesseur. On ne compte plus les applications de la synthèse sonore pour la pratique musicale et le design sonore, et l'ordinateur est aujourd'hui un élément essentiel de la création sonore. Des logiciels variés mettent à disposition des outils plus ou moins accessibles pour le traitement ou la synthèse de sons, permettant de simuler le son d'instruments réels ou d'explorer de nouveaux espaces sonores.

En particulier, la synthèse sonore permet la création de sons « inouïs » qui portent sens. Cette idée est amenée par le concept d'auditory icon introduit par Gaver [Gaver, 1988]. Plus récemment, Franinovic et Serafin parlent de Sonic Inter-action Design pour l'exploration des moyens par lesquels le son peut être utilisé pour transmettre des informations, du sens, ainsi que des qualités esthétiques et émotionnelles dans des contextes interactifs [Franinovic et Serafin, 2013]. Susini et al. parlent de la création de sons nouveaux dans leur définition du design sonore [Susini et al., 2014]. Conan en propose une illustration intéressante dans sa thèse avec la création de métaphores sonores en utilisant le principe de synthèse croisée sur des invariants perceptifs ce qui permet de contrôler l'évocation de ces sons « inouïs » [Conan, 2014].

Nous pouvons regrouper les techniques de synthèse numérique en deux grandes familles : les modèles physiques et les modèles de signaux (aussi appelés modèles abstraits). La synthèse par modèle physique génère des sons à partir de la simulation du phénomène physique responsable des vibrations à la source du son tandis que la synthèse par modèle de signal propose une représentation directe du signal sonore.

Le fait que le modèle physique soit astreint à respecter une loi de comportement valide sous certaines hypothèses limite le potentiel sonore, mais cela garantit la génération d'un son « vraisemblable » à condition d'avoir un modèle correct. À l'inverse, les modèles de signaux permettent d'explorer des espaces sonores plus larges, mais leur contrôle demande une expertise car il est souvent nécessaire de manipuler un grand nombre de paramètres pour arriver au résultat souhaité et le son ainsi généré est souvent synthétique.

Il existe une certaine porosité entre les familles tant les formulations sont proches entre certains modèles physiques et de signaux. De nombreux modèles de signaux sont largement inspirés de modèles physiques, notamment de la synthèse modale,
sans avoir l'objectif de décrire le comportement d'un système physique. C'est par exemple le parti pris de Rocchesso, qui propose des modèles de synthèse sonore informés par la physique pour les environnements interactifs et les « icônes audio » [Rocchesso et Fontana, 2003], ou de Conan, dont les travaux pour la synthèse de sons de roulement résultent d'un modèle phénoménologique [Conan et al., 2014].

Le travail effectué dans cette thèse s'inscrit dans cette démarche : nous nous inspirons de la physique des sources pour concevoir un modèle de signal en adéquation avec la perception humaine.

### 1.1.1 Synthèse par modèle physique

La synthèse sonore par modèle physique consiste à simuler le phénomène physique responsable du percept sonore. Il s'agit ici de modéliser la propagation des ondes dans les solides et dans les fluides pour calculer les vibrations d'une structure et son rayonnement acoustique. L'objectif poursuivi peut être de prouver la validité d'un modèle en comparant les résultats d'une simulation (c.à.d la synthèse) à des mesures expérimentales [Chaigne et Askenfelt, 1994], ou de proposer des moteurs de synthèse pour des environnements interactifs en remplacement des larges bases de données nécessaires pour ce genre d'environnement. Récemment, l'augmentation des capacités de calcul des processeurs disponibles dans le commerce a rendu possible la conception d'instruments virtuels complexes dépassant la fonction de reproduction d'un système physique existant [Willemsen et al., 2019].

Il existe différentes approches pour la synthèse par modèle physique. Dans le cas où un modèle analytique pour les vibrations du système physique est connu, la résolution numérique par schéma aux différences finies ou les méthodes modales peuvent être utilisées. Dans le cas contraire, certaines méthodes, comme les éléments finis [Djoharian, 2000] ou le lancer de rayons [Raghuvanshi et al., 2007], permettent tout de même de simuler le comportement du système sous certaines hypothèses.

D'autres méthodes de synthèse sont particulièrement adaptées à la création d'environnement modulaires et interactifs, privilégiant l'aspect relatif à la création sonore plutôt que la simulation physique. Si les capacités de calculs des machines permettent aujourd'hui d'envisager ce genre d'environnement pour les schémas aux différences finies, ce sont les réseaux de systèmes masse-ressort, les méthodes modales et les guides d'onde qui ont permis d'envisager cette possibilité en premier de part leur faible coût computationnel.

#### 1.1.1.1 Guides-d'ondes

L'approche de la synthèse sonore par guides d'ondes consiste à approcher les solutions de l'équation des ondes à une dimension par deux lignes de retard représentant l'onde progressive et l'onde régressive dans un milieu unidimensionnel.

L'idée a été proposée par Kelly et Lochbaum dans le cadre de la synthèse de la parole [Kelly et Lochbaum, 1962], puis reprise par Karplus et Strong pour la synthèse de cordes pincées [Karplus et Strong, 1983]. Mais c'est en grande part-
tie les travaux de Julius Smith qui ont contribué à explorer les possibilités offertes par cette approche pour différentes applications dans le domaine de la synthèse sonore [Jaffe et Smith, 1983] [Smith, 1992], notamment avec la modélisation physique d'objet à deux dimensions par un réseau de filtres guides-d'ondes [Van Duyne et Smith, 1993].

### 1.1.1.2 Réseau de systèmes masse-ressort-amortisseur

En vibration, l'étude des systèmes à un degré de liberté masse-ressort-amortisseur constitue invariablement l'introduction avant les systèmes plus complexes. Son comportement oscillatoire est bien connu et simple à calculer par la résolution de l'équation différentielle suivante :

$$M \frac{d^2 x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + K x = 0 \quad (1.1)$$

avec $x(t)$ le déplacement, $M$ la masse, $c$ l'amortissement visqueux, $K$ la raideur du ressort.

La synthèse sonore fondée sur la simulation de réseaux de systèmes masse-ressort-amortisseur a été proposé par Cadoz, Luciani et Florens dès le début des années 1980 avec la conception du langage CORDIS [Cadoz et al., 1983] puis CORDIS Anima [Cadoz et al., 1993], pour la manipulation d'objets sonores et visuels. Cet environnement modulaire permet de connecter les systèmes élémentaires et de les solliciter de différentes manières afin d'atteindre des comportements sonores variés incluant des phénomènes non-linéaires comme les collisions, les déformations plastiques ou la rupture. Cependant, la correspondance du système ainsi modélisé avec des objets physiques réels n'est plus directe, même si des équivalences mathématiques peuvent être établies pour des systèmes simples comme les cordes.

Actuellement, cette méthode fait encore l'objet d'études notamment concernant la conception d'instruments virtuels pour la pratique musicale [Leonard et Villeneuve, 2020].

### 1.1.1.3 Simulation numérique directe par schéma aux différences finies

Une méthode directe très utilisée pour générer un son à partir d'équations aux dérivées partielles est la résolution numérique par schéma aux différences finies. Cette méthode consiste à calculer des solutions approchées aux dérivées partielles en discrétisant l'espace et le temps. Les opérateurs dérivés sont approximés à l'aide de la formule de Taylor-Young et le schéma est construit de manière à établir une relation entre les valeurs connues du pas de temps présent aux valeurs inconnues du pas de temps suivant.

Dès le début des années 70, Hiller et Ruiz ont proposé la synthèse de son de cordes à l'aide de cette méthode [Hiller et Ruiz, 1971]. Plus récemment le livre de Bilbao regroupe de nombreux schémas conservatifs et leur mise en oeuvre pour la synthèse sonore d'instruments de musique [Bilbao, 2009], et ce domaine reste aujourd'hui un champ de recherche actif [Issanchou et al., 2018]
[Ducceschi et Bilbao, 2019]. L'avantage de cette méthode est qu'elle permet d'atteindre des sons très réalistes.

Cependant, une contrainte forte des schémas aux différences finies est qu'il est nécessaire de connaître un modèle analytique des vibrations du système sous forme d'équation aux dérivées partielles. Il est tout de même possible de concevoir des systèmes complexes en associant plusieurs systèmes élémentaires. Les environnements modulaires proposés par Physical audio<fnref n="1" /> et Willemsen [Willemsen et al., 2019] utilisent par exemple des cordes et des barres comme source sonore et leurs vibrations sont transmises à d'autres objets (corde sympathiques, barres, plaques) qui servent de « caisse de résonance ». De plus, l'utilisation de connecteurs et d'excitateurs non-linéaires permet de créer des instruments virtuels dynamiques et interactifs.

1.1.1.4 Synthèse modale

La synthèse modale consiste à décomposer la vibration d'un système en la somme
des contributions de ses modes propres de vibration (solutions du problème aux va-
leurs propres associé). L'évolution temporelle de chaque mode propre de vibration
est décrite par une équation différentielle du second ordre (correspondant à un sys-
tème masse-ressort-amortisseur), dont la solution homogène est une sinusoïde amor-
tie. À chaque mode de vibration est associée une déformée modale. L'analyse modale
(la détermination des paramètres modaux) est directe dans le cas où un modèle ana-
lytique du système est disponible. Dans le cas contraire, il est possible d'estimer les
paramètres modaux avec la méthode des éléments finis [Picard et al., 2009].

Cette approche est connue depuis longtemps [Hou et al., 1969], et est utilisée
par exemple dans l'environnement modulaire MODALYS<fnref n="2" />, développé par l'IRCAM
suite aux travaux de Adrien [Adrien, 1991].

Bien que le cadre conceptuel soit différent, certains modèles de signaux sont
proches de cette méthode car la décomposition en modes propres de vibration
revient à décomposer le signal rayonné en composantes fréquentielles, comme le
propose Fourier ou les méthodes hautes résolutions [Roy et Kailath, 1989]. En par-
ticulier, le modèle de signal pour la synthèse de phénomènes non-linéaires proposé
dans cette thèse est largement inspiré de cette approche.

1.1.2 Synthèse par modèles de signaux

La synthèse par modèles de signaux (parfois appelée synthèse abstraite) propose
une modélisation directe du signal sonore. Il existe de nombreux modèles de signaux
basés sur différentes représentations (synthèse AM/FM, synthèse granulaire). Nous
introduirons ici la synthèse additive et la synthèse soustractive, car nous utiliserons
ces approches plus tard dans le manuscrit.

<footnote n="1">1. https://physicalaudio.co.uk/products/derailer/, visité le 25/09/2021</footnote>

<footnote n="2">2. https://forum.ircam.fr/projects/detail/modalys/, visité le 25/09/2021</footnote>
### 1.1.2.1 Synthèse additive

La synthèse additive, aussi appelé modèle sinusoïdal, consiste à modéliser le signal s fonction du temps t comme une somme de sinusoïdes :

$$s(t) = \sum_{i=1}^{N} A_i(t) \sin\left(\int_{0}^{t} \omega_i(\tau) d\tau + \phi_i\right) \quad (1.2)$$

$A_i$ et $\omega_i$ sont l'amplitude et la pulsation instantanée de la ième sinusoïde et $\phi_i$ sa phase initiale. Malgré son formalisme simple, ce modèle nécessite la manipulation de très nombreux paramètres pour générer des sons complexes. Par exemple, pour un signal comportant 100 sinusoïdes, il est nécessaire de régler la valeur de 300 paramètres dont 200 peuvent évoluer au cours du temps.

Cette approche est complémentaire avec la décomposition en série de Fourier qui permet d'évaluer les paramètres de synthèse pour la reproduction d'un signal dans le cas où la pulsation de chaque sinusoïde est constante. On parle alors d'analyse-synthèse.

Par exemple, McAulay et Quatieri ont proposé un modèle sinusoïdal pour l'analyse-synthèse de la parole [McAulay et Quatieri, 1988]. Serra a ensuite considéré le résidu de la décomposition comme un processus stochastique [Serra, 1990], on parle alors de modèle déterministe plus stochastique ou sinus plus bruit [Serra et Smith, 1990].

### 1.1.2.2 Synthèse soustractive

La synthèse soustractive, ou synthèse source-filtre, consiste à soustraire (filtrer) certaines parties du spectre d'un signal possédant une grande richesse spectrale.

Cette approche est particulièrement efficace pour la synthèse de sons possédant un contenu spectral formantique, comme c'est le cas pour la propagation d'un signal d'excitation dans des tubes. Par exemple, le modèle source-filtre est souvent utilisé pour la synthèse sonore de la propagation de l'onde vibratoire générée par les cordes vocales dans l'appareil phonatoire et est souvent utilisé de manière complémentaire au LPC qui permet l'analyse-synthèse de la voix avec un nombre réduit de paramètres [Arfib et al., 2002].

Différents outils sont dédiés à la synthèse soustractive en permettant de « sculpter » directement le contenu spectro-temporel du signal, comme les logiciels audioSculpt<fnref n="3" />, Spear<fnref n="4" />, ou certaines fonctionnalités des DAW comme Adobe Audition. Cette opération est généralement effectuée grâce aux multiplicateurs de Gabor qui permettent de modifier une transformée temps-fréquence du signal puis d'effectuer la resynthèse du signal temporel correspondant [Dörfler et Torrésani, 2010]. Le logiciel Spear utilise lui un modèle sinusoïdal dérivé du modèle de McAulay et Quatieri pour l'analyse et la resynthèse du signal [Klingbeil, 2005].

<footnote n="3">3. http://anasynth.ircam.fr/home/software/audiosculpt, visité le 25/09/2021</footnote>

<footnote n="4">4. https://www.klingbeil.com/spear/, visité le 25/09/2021</footnote>
La synthèse source-filtre est conceptuellement similaire au modèle *excitateur-résonateur* utilisé pour la modélisation des instruments de musique. Dans ce cas, on traite séparément la modélisation physique de la source du son, dans le cas des instruments à vent par exemple [Fransson, 1966], et la propagation du son dans le résonateur modélisé par des filtres résonants (par exemple des filtres à guide d'onde, voir Sec.1.1.1.1) [Scavone, 1999].

## 1.2 Contrôle de la synthèse sonore

Le contrôle de la synthèse sonore désigne la gestion des moyens offerts à l'utilisateur pour modifier le son généré par un processus de synthèse. Ces modifications sont opérées par la manipulation directe de paramètres par le biais de boutons ou par la récupération de données gestuelles qui sont ensuite traitées par le modèle.

Dans certaines situations, notamment dans le cas de la synthèse par modèles de signaux, le réglage du modèle est long et complexe tant les paramètres de synthèse sont nombreux et ont une influence fine sur le son généré. Dans ce cas, il est intéressant de lier des ensembles de paramètres de synthèse à quelques paramètres de contrôle "macro" plus simple à interpréter par l'utilisateur. On nomme paramètres *bas-niveau* les paramètres du modèle de synthèse et paramètres *haut-niveau* les paramètres plus simples à interpréter pour l'utilisateur par analogie aux langages de programmation (bas-niveau étant proche du langage machine et haut-niveau permettant de manipuler des objets "user-friendly"). La définition des relations entre les paramètres bas-niveau et haut-niveau est appelée *mapping*.

Pour un contrôle *intuitif* (ou *perceptif*) de la synthèse sonore, il est essentiel de définir un mapping qui permette une évolution du son cohérente avec l'action de l'utilisateur sur le modèle. Pour cela, il est nécessaire d'étudier comment les paramètres manipulés par l'utilisateur affectent notre perception du son en terme de qualité sonore (contrôle du timbre) ou de propriétés de la source sonore.

### 1.2.1 Contrôle du timbre

Le timbre désigne l'ensemble des caractéristiques du son autres que sa hauteur, son intensité et sa durée. Il est complexe de définir précisément le timbre et de nombreuses études proposent la définition de descripteurs du timbre, souvent empruntés à d'autres modalités sensorielles. Ainsi, on parle par exemple de couleur [Slawson, 1981], de brillance [Schubert et Wolfe, 2006], de chaleur [Rosi et al., 2020] ou de rugosité [Vassilakis et Kendall, 2010] pour caractériser le timbre d'un son.

De nombreuses études proposent des stratégies de contrôle fondées sur des descriptions du timbre. Wessel [Wessel, 1979] construit un espace de timbre à partir de l'évaluation de la dissemblance entre des sons instrumentaux qu'il utilise pour le contrôle d'un algorithme de synthèse sonore. Depuis cette étude, de nombreux travaux ont été effectués pour le contrôle de la synthèse utilisant des descripteurs du timbre. Une vue d'ensemble de ce type de pratique qui constitue encore aujourd'hui un sujet de recherche est proposée dans [Ystad et al., 2019].
Dans notre cas, nous cherchons à effectuer la synthèse de sons du quotidien et la possibilité de contrôler des attributs de la source sonore semble plus à propos que le contrôle du timbre du son.

### 1.2.2 Contrôle des attributs de la source sonore.

Les travaux de Gaver pour une approche écologique de la perception sonore [Gaver, 1988] [Gaver, 1993], présentés plus en détail dans la section suivante, sont le point de départ de nombreux projets proposant un contrôle de la synthèse sonore fondé sur une description des attributs de la source du son (sa forme, son matériau...) plutôt que sur le timbre. En effet, les travaux sur la perception du son étaient jusqu'alors concentrés sur les notions de musicalité et d'harmonie, et les sons du quotidien, souvent inharmoniques et bruités, n'étaient pas considérés comme des sujets d'études intéressants.

Rocchesso et Fontana proposent un ensemble d'outils pour la synthèse sonore d'objets du quotidien avec le sound design toolkit (SDT) dans le cadre du projet *The Sounding Object* [Rocchesso et Fontana, 2003]. Le SDT est composé d'un ensemble de modèles pour la synthèse de différents évènements sonores solides (impact, friction) ou liquides (bulles). Le SPAD, développé par Veron et al., propose la synthèse de scènes sonores spatialisées incluant des sons de pluie, de feu, de vague, de vent et de pas avec un contrôle de différents attributs comme les craquements du feu [Verron et al., 2009]. Aramaki et al. ont développé un synthétiseur de sons d'impact permettant le contrôle du matériau perçu avec la possibilité d'effectuer des transitions continues entre le métal, le bois et le verre [Aramaki et al., 2011]. Conan et Thoret ont proposé des environnements de synthèse permettant de générer des sons correspondant aux interactions continues frotter, gratter et rouler [Conan et al., 2014] et aux bifurcations entre les phénomènes de couinement et d'auto-oscillation lors de la friction entre deux objets [Thoret et al., 2013]. Enfin, le projet Nemisindo<fnref n="5" /> porté par Reiss rassemble un nombre important de modèles physiquement informés pour le sound design permettant un contrôle des attributs de la source.

### 1.2.3 Contrôle gestuel

Le cas du contrôle gestuel est à part. Contrairement au contrôle direct de paramètres par le biais de boutons ou d'une interface graphique, le contrôle gestuel désigne la récupération de données gestuelles par un capteur (clavier midi, motion capture, Sensel Morph...) et leur mapping avec les paramètres de synthèse. Dans ce cas, l'objectif est de maximiser les capacités expressives de l'utilisateur avec un mapping transparent et dynamique entre le geste de l'utilisateur et le son généré par les processus de synthèse. La transparence est définie comme un indicateur de la distance perceptive entre le geste et la production sonore dans l'esprit de l'utilisateur et de son audience [Fels et al., 2002].

<footnote n="5">5. https://nemisindo.com/, visité le 25/09/2021</footnote>
La mise en place d'un contrôle gestuel transparent est souvent évidente pour les modèles physiques à condition d'avoir un contrôleur adapté. Par exemple, le contrôle d'un modèle de clarinette en temps-réel doit se faire sur plusieurs par-ramètres en simultanés (vitesse et pression à l'embouchure et doigts sur les trous) [Guillemain et al., 2005] et peut être effectué à l'aide de contrôleurs spécialisés pour un contrôle gestuel transparent.

La conception de nouvelles interfaces et le mapping avec les paramètres des modèles de synthèse pour une utilisation plus expressive des synthétiseurs est le sujet de beaucoup de travaux de recherche, en particulier pour des applications musicales (voir par exemple les travaux de Wanderley et Depalle sur le sujet [Wanderley et Depalle, 2004] et les conférences internationales *New Interfaces for Musical Expression* [Jensenius et Lyons, 2017]), et de nouveaux contrôleurs sont régulièrement proposés à la vente (par exemple le Sensel Morph<fnref n="6" />).

1.3 Perception sonore des objets du quotidien et para-
digme d'étude

Les travaux effectués au cours de ce doctorat s'inscrivent dans la conti-
nuité des travaux de Aramaki et al. pour le contrôle intuitif du matériau perçu
[Aramaki et al., 2009], de Conan concernant les interactions continues gratter, frot-
ter et rouler [Conan et al., 2014] et de Thoret pour la transition continue entre
des sons de couinement et d'auto-oscillations [Thoret et al., 2013]. Ces travaux ont
mené à la définition d'un cadre conceptuel inspiré de l'approche écologique de la
perception pour la description et le contrôle perceptif de la synthèse sonore : le para-
digme action-objet. Ce paradigme est accompagné du développement d'un environ-
nement de synthèse sonore en temps-réel pour l'expérimentation et la démonstration
des travaux en cours au laboratoire PRISM. Cet environnement est également des-
tiné à être utilisé dans d'autres cadres comme le sound design ou éventuellement
la pratique musicale. Il s'appuie sur le contrôle d'attributs de la source sonore, en
cohérence avec la classification des sons du quotidien proposée par Gaver.

1.3.1 Approche écologique de la perception

1.3.1.1 Niveaux d'écoute et classification des sons du quotidien

À la fin du siècle dernier, de nombreux travaux prennent les sons environnemen-
taux (non-musicaux) comme objet d'étude. Le concept de paysage sonore (*sound-
scape*) est introduit par Schaffer qui propose « d'écouter le monde comme une vaste
composition musicale » [Schafer, 1993].

Dans ses travaux pour définir une approche écologique de la perception appli-
quée aux évènements sonores, Gaver propose une classification des sons du quotidien
en les regroupant en trois grandes catégories de sources sonores : les objets solides,
liquides et gazeux [Gaver, 1993]. Au sein de chaque catégorie, Gaver identifie la

<footnote n="6">6. https://morph.sensel.com/, visité le 25/09/2021</footnote>
cause physique du son (impact ou grattement pour les solides, variations de pression pour les gaz ...) et établit une cartographie à partir de ses observations (voir Fig.1.1). Les travaux effectués dans cette thèse s'intéressent exclusivement aux sons provenant de sources solides.

Les travaux de Gaver [Gaver, 1988] introduisent également la notion de *everyday listening* (littéralement écoute de tous les jours ou écoute du quotidien) en opposition à l'écoute analytique ou à l'écoute musicale. C'est ce niveau d'écoute que nous utilisons quotidiennement pour collecter des informations sur notre environnement (quelqu'un frappe à la porte, le voisin joue de la guitare, un objet est tombé, une voiture est en approche ...).

### 1.3.1.2 Les invariants morphologiques

L'approche écologique de la perception a été initialement proposée pour la mo-
dalité visuelle par Gibson [Gibson, 1979]. Cette approche suppose l'existence de
structures invariantes, appelés *invariants perceptifs* ou *invariants morphologiques*,
permettant la reconnaissance des évènements. Warren et Verbrugge appliquent le
concept d'invariant perceptif à l'audition, en montrant qu'il est possible de discerner
les évènements sonores de rupture et de rebond d'objets en verre à partir du rythme
d'une série d'impact [Warren et Verbrugge, 1984]. Ils mettent ainsi en évidence la
présence de structures invariantes dans le son permettant la reconnaissance d'évènem-
ments sonores. Le concept d'invariant est ensuite repris et formalisé par McAdams
et Bigand [McAdams et Bigand, 1993].

Les invariants perceptifs sont divisés en deux groupes : les *invariants structurels*
qui mènent à la reconnaissance des propriétés physiques de l'objet sonore et les
*invariants transformationnels* qui décrivent ce qui arrive à cet objet. Par exemple,
si une plaque métallique est impactée, les morphologies sonores permettant la re-
connaissance du fait que l'objet est une plaque en métal de telle taille sont les
*invariants structurels* tandis que les morphologies qui permettent de caractériser
l'impact (son intensité, sa dureté) sont les *invariants transformationnels*. Ainsi,
les *invariants structurels* décrivent l'objet quand les *invariants transformationnels*
décrivent l'action sur cet objet, d'où le paradigme *action-objet*.

## 1.3.2 Le paradigme action-objet pour la synthèse de sons d'environnement

L'objectif du paradigme *action-objet* est de lier la description sémantique d'une
action sur un objet à un modèle de synthèse source-filtre (voir Fig.1.2). Chaque
action, chaque objet est associé à une morphologie sonore particulière (l'invariant
perceptif) qui le caractérise et les sons sont générés à partir d'une description sé-
mantique de la source sonore. Ainsi, il est possible de gratter/frotter/rouler (d'après
les travaux de Conan [Conan, 2014]) sur un objet défini par son matériau, sa forme
et sa taille (d'après les travaux de Aramaki [Aramaki et al., 2011]).
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 1.1 – Cartographie des sons du quotidien répartis en trois catégories (sources solides, liquides et gazeuses) représentées par les sections qui se chevauchent. Dans chaque section, la source du son est indiquée en gras et les attributs importants apparaissent en italique. Extrait de l'article de Gaver [Gaver, 1993].</figcaption></figure>
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 1.2 – Paradigme *action-objet* et modèle de synthèse associé. Extrait de la thèse de S.Conan [Conan, 2014]</figcaption></figure>
1.3.2.1 Modèle de synthèse source-filtre

Le modèle de synthèse source-filtre est particulièrement adapté pour séparer les caractéristiques de l'action et de l'objet : l'objet est décrit par un banc de filtres résonants dont les caractéristiques ne changent pas quelque soit l'action. La distribution fréquentielle des filtres, correspondant aux fréquences modales de l'objet, décrit la forme de l'objet et les amortissements des filtres en fonction de la fréquence portent l'information liée au matériau.

Il est important de noter ici que ce modèle de synthèse permet la prise en compte de phénomènes non-linéaires pour l'action mais que le comportement de l'objet est considéré linéaire (fréquences modales constantes, sinusoïdes exponentiellement décroissantes).

**Conception du banc de filtres résonants.** Chaque composante de la réponse impulsionnelle de l'objet est modélisée par un filtre passe-bande résonant permettant la synthèse de composantes sinusoïdales exponentiellement amorties. Les filtres utilisés sont les filtres définis par Mathews et Smith [Mathews et Smith, 2003]. Leur principe est rapidement présenté ci-dessous.

La réponse impulsionnelle du filtre considéré est une sinusoïde amortie de la forme :

$$
y(n) = Ae^{-\alpha n/f_e} \sin(\omega n/f_e) \quad (1.3)
$$

avec A l'amplitude de la composante, f_e la fréquence d'échantillonage, α le coeffi-
cient d'amortissement et ω la pulsation de la composante.

Soit un vecteur évoluant au cours du temps dans le plan complexe :

$$
z(n) = Z(n)e^{j\phi(n)} = Z(n)[\cos(\phi(n)) + j\sin(\phi(n))] \quad (1.4)
$$

avec Z(n) le module de z(n) et φ(n) son argument.

Pour le cas particulier d'une phase tournant régulièrement (vitesse angulaire constante), et d'une décroissance exponentielle (décrément logarithmique), on peut écrire la relation de récurrence suivante :

$$
z(n + 1) = Re^{j\psi} z(n) \tag{1.5}
$$

$$
\text{avec } R = \frac{Z(n+1)}{Z(n)} = e^{-\alpha/f_e}, \text{ et } \psi = \phi(n+1) - \phi(n) = \omega/f_e
$$

On pose le nombre complexe z₁ constant au cours du temps :

$$
z_1 = Re^{j\psi} = R\cos(\psi) + R\sin(\psi) = X + jY \quad (1.6)
$$

On peut résoudre le système suivant pour la partie réelle et la partie imaginaire de
z(n + 1) (on introduit le terme source u(n) comme étant un nombre réel de façon
arbitraire) :

$$
\begin{align}
x(n + 1) &= Re(z(n + 1)) = Xx(n) - Yy(n) + u(n) \tag{1.7} \\
y(n + 1) &= Im(z(n + 1)) = Xx(n) + Yy(n) \nonumber
\end{align}
$$
$u(n)$ est le signal en entrée du filtre et $x(n)$ ou $y(n)$ sont les signaux en sortie du filtre. Ainsi, si $u(n) = \delta(n)$, alors $x(n)$ est un cosinus exponentiellement amorti et $y(n)$ un sinus exponentiellement amorti, et en combinant $x(n)$ et $y(n)$ on peut contrôler la phase de la sinusoïde générée. Ici, nous choisissons d'utiliser $y(n)$ en sortie de filtre. La pulsation de chaque composante est noté $\omega$ et le coefficient d'amortissement est fonction de la pulsation $\alpha = \alpha(\omega)$. La loi d'amortissement est déterminée par le contrôle du matériau.

**Modèle pour le contrôle perceptif du matériau.** Les travaux de Aramaki et al. [Aramaki et al., 2011] ont conclu que l'amortissement était l'indice acoustique le plus fortement impliqué dans la reconnaissance du matériau d'une source sonore. Il en résulte un modèle d'amortissement exponentiel fonction de la pulsation de la composante :

$$ \alpha(\omega) = e^{\alpha_G + \omega\alpha_R} \qquad (1.8) $$

avec $\alpha_G$ l'amortissement « global » et $\alpha_R$ l'amortissement « relatif ». Des valeurs ont été déterminées (voir table 1.1) pour la reconnaissance de différents matériaux grâce à des tests d'écoutes. Le modèle permet des transitions continues entre les différents matériaux avec une interpolation linéaire des paramètres d'amortissement entre les valeurs déterminées pour chaque matériau.

<table><caption>TABLE 1.1 – Valeurs des paramètres d'amortissement pour les différents matériaux de l'espace de contrôle.</caption><thead><tr><th>Matériau</th><th>α<sub>G</sub></th><th>α<sub>R</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>bois</td><td>1.70000</td><td>0.00036</td></tr><tr><td>pierre</td><td>5.70673</td><td>0.00008</td></tr><tr><td>plastique</td><td>4.79100</td><td>0.00002</td></tr><tr><td>verre</td><td>2.19000</td><td>0.00003</td></tr><tr><td>métal</td><td>0.33220</td><td>0.00004</td></tr></tbody></table>

**Modèle pour le contrôle de l'action.** Le modèle phénoménologique utilisé par Conan pour la production sonore lors des interactions continues gratter, frotter et rouler consiste à décrire ces interactions comme une série de micro-impacts dont la distribution temporelle et l'amplitude répond à une loi statistique. Chaque micro impact est déterminé par son amplitude et sa durée. L'amplitude de chaque impact et le délai entre deux impacts est calculé par un processus aléatoire et un filtre pour introduire de la corrélation entre les impacts. La durée de l'impact est calculée par une loi de puissance fonction de l'amplitude [Conan et al., 2014].

La somme de ces micro-impacts constitue la source du modèle source-filtre présenté plus haut.

Thoret propose un modèle pour simuler le couplage non-linéaire lors de phénomènes de friction à partir d'un filtrage linéaire [Thoret et al., 2013]. Il propose
un modèle pour la source correspondant à un signal harmonique modulé en am-
plitude dont la fréquence fondamentale varie de façon chaotique pour le cas du
couinement jusqu'à s'accorder et devenir constante pour simuler les oscillations
auto-entretenues. Les bifurcations d'un comportement à l'autre sont contrôlées par
un couple de paramètres pression-vitesse recueilli par une interface tactile (voir
Fig.1.3)

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 1.3 – Un exemple de stratégie de contrôle pour définir le comportement vibratoire résultant de l’interaction couplée en fonction des paramètres de pression et de vitesse. Extrait de l’article de Thoret et al. [Thoret et al., 2013].</figcaption></figure>

1.3.2.2 Les métaphores sonores

Un avantage du paradigme *action-objet* est qu'il permet de créer des combinaisons inédites entre des actions et des objets qu'il est physiquement impossible d'associer dans la réalité, comme faire rebondir une goutte d'eau ou frotter du vent.

Conan introduit dans sa thèse le concept de métaphores sonores comme une
méthode permettant de modifier le sens véhiculé par une *texture sonore*. Dans son
travail, il part de différentes textures stationnaires (pluie, nappe de synthétiseur)
qu'il considère comme étant l'objet (le filtre) du synthétiseur. Il associe ensuite
ces objets aux invariants transformationnels correspondant aux différentes actions
pour évoquer des notions abstraites comme « frotter la pluie » ou « faire rouler le
final du requiem de Mozart ». Les tests perceptifs menés pour l'évaluation de cette
méthode montrent que la fusion de l'interaction et de la texture sonore est nettement
meilleure que pour un simple mélange des deux sources et que les interactions sont très bien reconnues [Conan, 2014].

## 1.4 Enjeux de la thèse

Dans cette thèse, nous cherchons à définir les invariants perceptifs correspondant aux phénomènes non-linéaires intervenant dans la modélisation physique des sources sonores. Notre objectif est de concevoir un modèle simplifié pour la synthèse des sons solidiens prenant en compte l'influence des phénomènes non-linéaires sur la perception sonore.

Les phénomènes non-linéaires sont responsables des modifications du comportement vibratoire d'une structure résonante lorsque la sollicitation évolue. La détermination des morphologies sonores importantes pour la reconnaissance de ces phénomènes et la conception de modèles simplifiés pour leur synthèse comporte un intérêt pour améliorer l'aspect dynamique des processus de synthèse. Cet aspect est un enjeu important pour la conception de moteurs de synthèse sonore pour les environnement interactifs, qui nécessite de concevoir des modèles maximisant les capacités expressives de l'utilisateur en restant peu coûteux en temps de calcul.

La conception de ces modèles pourrait également permettre d'envisager certaines applications dans le domaine musical comme des environnements pour la synthèse de gongs, cymbales et caisses claires en temps-réel, remplaçant ainsi les banques de données conséquentes allouées à ces percussions pour la production musicale ou la pratique sur instrument virtuel (banques de sons pour les batteries électroniques par exemple).

Des modèles inspirés de la physique pour la synthèse temps-réel de sons dont le comportement de la source est non-linéaire ont déjà été développés. En particulier, le phénomène d'impact et la synthèse de sons percussifs pour différents environnements ont été très étudiés (sans pour autant prendre en compte l'influence de la non-linéarité du contact sur la production sonore à chaque fois). Le modèle proposé par Conan introduit une dépendance entre l'amplitude d'excitation et la durée de l'excitation dont la prise en compte est essentielle pour la synthèse des sons de roulement [Conan, 2014]. D'autre part, différents auteurs proposent des simulations interactives du phénomène de friction. Leonard et Cadoz effectuent la simulation audio-tactile d'instruments virtuels par des réseaux de systèmes masse-ressort-amortisseur (cordes frottées par exemple) [Leonard et Cadoz, 2015]. Avanzini et al. proposent une simulation audio-visuelle de différents cas de frictions pour les sons du quotidien (porte qui grince, doigt qui couine sur un verre) [Avanzini et al., 2005]. Thoret et al. ont conçu un modèle de synthèse dans le parradigme action-objet permettant des transition continues entre les phénomènes de couinement et d'auto-oscillation [Thoret et al., 2013]. Leur modèle permet de se libérer des contraintes de la modélisation physique pour une utilisation, par exemple, à des fins de guidage gestuel pour l'apprentissage [Thoret et al., 2016]. Enfin, le
comportement non-linéaire des objets pour de grandes amplitudes de vibration a
fait l'objet de modèles simplifiés, en particulier pour les plaques car la résolution di-
recte de modèle de vibrations non-linéaires dans ce cas demande un temps de calcul
très important. La modélisation de ce type de structure au comportement com-
plexe peut se faire par des oscillateurs couplés, comme proposé par Chaigne et al.
[Chaigne et al., 2004]. Pierce et Van Duyne proposent un « filtre non-linéaire » pour
la synthèse d'instruments de musique fortement non-linéaires avec des filtres guide
d'onde [Pierce et Van Duyne, 1997]. Cependant, il n'existe pas à notre connaissance
de tentative de modéliser directement les morphologies sonores caractéristiques de
ces phénomènes.

1.4.1 Les phénomènes non-linéaires dans la production des sons solidiens

Nous cherchons à identifier et à classer les phénomènes non-linéaires ayant une
influence décisive sur la production sonore pour les sons solidiens afin de déter-
miner l'étendue des phénomènes concernés par le sujet de cette thèse. Nous nous
appuyons sur les travaux de Houix et al. sur la catégorisation des sons du quotidien
[Houix et al., 2012] . Les résultats de leur étude mettent en évidence deux groupes
de sons « solides » : les sons produits par l'interaction entre plusieurs objets et les
sons produits par la déformation d'un seul objet. Chacun de ces groupes est éga-
lement divisé en deux sous-groupes : les interactions discrètes et continues, et les
déformations avec ou sans destruction.

Les classes que nous proposons sont également inspirées des catégories de non-
linéarités observées en mécanique des structures :

* Conditions aux limites ou chargement non-linéaires (interactions non-linéaires) : contact avec ou sans frottement.

* Non-linéarités géométriques : les modifications de la géométrie de l'objet pendant le chargement ont un effet sur son comportement qui ne peut plus être négligé (grandes déformations élastiques).

* Non-linéarités matérielles (ou de comportement) : Les propriétés matérielles changent en fonction du chargement, les déformations ne sont plus proportionnelles aux contraintes et peuvent devenir irréversibles (plasticité, visco-élasticité, endommagement, fissuration...).

Une liste d'objets sonores appartenant aux différentes classes est présentée. Cette
liste se concentre sur les effets audibles que les phénomènes non-linéaires peuvent
avoir sur le signal sonore. Par exemple, la modélisation physique d'un impact étant
généralement non-linéaire, tous les sons percussifs peuvent être définis comme ré-
sultant d'un phénomène non-linéaire. Cependant, l'aspect non-linéaire de l'impact
ne conduit pas à un effet audible sur un son isolé, mais à une modification de la
brillance entre deux sons produits par des impacts de forces différentes, et c'est à
ce titre que le cas d'un impact simple peut apparaître dans cette liste (par exemple
dans le cas emblématique du marteau sur la corde de piano).
Dans les objets sonores présentés, le cas des instruments de musique est particulièrement discuté. Ce type d'objets étant conçu pour la production sonore, il en résulte une grande variété de phénomènes physiques produisant des sons riches et complexes. C'est ce qui en fait des objets d'étude de choix, même dans le contexte de l'étude des sons écologiques.

Nous séparons les phénomènes non-linéaires intervenant dans la modélisation physique des sources sonores en deux grandes catégories : les interactions non-linéaires et le comportement non-linéaire intrinsèque des objets (non-linéarités géométriques et non-linéarités matérielles).

## 1.4.1.1 Les interactions non-linéaires

Le phénomène de contact entre solides est par essence non-linéaire. L'évolution de la surface de contact à l'écrasement induit une modification de la force de réaction même dans le cadre d'un comportement linéaire du matériau. De plus, lorsque la contrainte est unilatérale (collisions avec un obstacle), la modélisation est forcément non-linéaire car elle implique un comportement radicalement différent entre le moment du contact et le moment du décollement. En revanche, une liaison encastrement ou un appui simple avec un autre solide peut être modélisé par une condition au limite linéaire.

Nous séparons les interactions non-linéaires en deux groupes : les interactions discrètes et les interactions continues.

**Les interactions discrètes : impacts, collisions, rebonds.**

Le timbre du son rayonné par un objet impacté change en fonction de l'excitation. La nature de l'impacteur (baguette, mailloche, ballet, main ...) et le geste (profil de la force d'interaction en fonction du temps et de l'espace) définit la quantité d'énergie et sa distribution sur les modes du résonateur. De manière générale, l'impacteur se durcit lorsque l'intensité de l'impact augmente, induisant un son plus brillant. Cet effet est d'autant plus audible que l'impacteur est mou.

Par exemple, dans le cas des instruments de percussions à main, il est possible d'atteindre une diversité importante de sons avec l'interaction main/membrane. En effet, le comportement fortement non-linéaire des différentes parties de la main (paume/doigts, claque/poing) lors du contact avec un instrument à percussion permet une grande variété de jeu (claquement, basse, sourdine). Ce comportement, lié à la composition hétérogène de la main (os, pulpe, peau), implique une modification de la brillance de l'impact en fonction de la force de frappe mais aussi une modification des propriétés de l'instrument en cas de contact plus ou moins prolongé (dissipation d'énergie).

Dans le cas des instruments à cordes, la dynamique du jeu et les capacités d'expression du musicien sont liées au caractère non-linéaire de l'excitation : le marteau du piano se durcit fortement pour des forces d'impact importantes, l'excitation des cordes pincées (incluant l'utilisation d'un plectre) se termine de façon plus ou moins brutale ce qui permet d'exciter tout le spectre de la corde,
l'interaction avec la table d'harmonie et d'autres éléments pendant la vibration de la corde peut produire une diversité importante d'effets sur le signal sonore. Par exemple, on observe un son très puissant lorsque la corde rentre brutalement en collision avec la table d'harmonie suite à une impulsion de grande intensité (slap).

Lorsque les deux objets interagissant sont liés par une force qui tend à les main-
tenir en contact, une dynamique particulière peut se mettre en place induisant des
impacts successifs. La répartition temporelle de ces impacts varie selon les para-
mètres physiques décrivant les rebonds des objets (la forme de l'objet, la dissipa-
tion dans le choc, la force qui tend à rapprocher les objets). Par exemple, lors de la
frappe d'une percussion avec une baguette, les variations de brillances liées au com-
portement non-linéaire à l'écrasement de l'olive sont limitées. Cependant, certaines
techniques de jeu basées sur les rebonds de la baguette permettent de créer des sons
particuliers parfois proches d'interactions continues (chuintement) entre la baguette
et le tambour (buzz roll - roulement écrasé). D'autres impacteurs, comme les balais
pour batterie, provoquent une multitude d'impacts avec une dynamique particu-
lière. La souplesse des tiges métalliques encourage les rebonds sur le résonateur, ce
qui génèrent des sons riches et complexes.

D'autres instruments à percussions présentent des interactions complexes avec des collisions multiples induites par les vibrations du résonateur. Par exemple, la présence d'éléments partiellement solidaires (éléments cliquetant, tintement) sur certaines percussions (timbre de la caisse claire et du cajon, buzzers du kalimba, grelots et clochettes sur charleston) modifie considérablement le son rayonné en perturbant la vibration de l'objet résonant. Dans d'autres cas, c'est le grand nombre de petits impacts qui constitue la source du son (tambourin, shaker, bâton de pluie, charleston).

De nombreuses configurations présentant des séries d'impacts peuvent éga-
lement être observées dans des situations « quotidiennes ». La chute (sans
destruction) d'objets donne lieu à des rebonds caractéristiques dépendant forte-
ment du comportement lors du contact et de la forme de l'objet. Par exemple,
le comportement d'un bol métallique lors de sa chute pourra aisément être
différencié de la chute d'un stylo en plastique. Le son produit par une règle
flexible maintenue sur le bord d'une table et écartée de sa position d'équilibre
produit également une interaction particulière caractéristique et le son résultant
est souvent utilisé comme bruitage pour les dessins animés. D'autre part, un
impact de très grande intensité sur une table peut faire rebondir l'ensemble des
objets se trouvant sur son plateau, comme une porte claquée très fort fera vibrer
et tomber différents objets alentours. Les machines tournantes comme les moteurs
de voiture ou les machines à laver peuvent également être la source de sons
percussifs répétés au sein du système et suite aux transmissions solidiennes de leurs
vibrations à d'autres objets (vitre de la voiture, objet posé sur la machine à laver...).

Les interactions continues : friction, roulement, jivari.

Lorsque les impacts successifs deviennent très rapprochés ou dans le cas de
contacts maintenus on parle d'interaction continue. Nous pouvons nous rendre compte que la frontière entre interaction discrète et continue est difficile à percevoir et qu'il est parfois possible de passer continuement d'une catégorie à l'autre. Par exemple, le roulement écrasé sur un tambour peut être perçu comme une multitude d'impacts ou comme un phénomène continu selon la fréquence d'occurrence des impacts sur la membrane (fonction de la force d'écrasement de la baguette et de la tension de la membrane). De façon similaire, les rebonds successifs entre les deux cymbales du charleston peuvent être perçus comme un phénomène discret ou continu en fonction de la pression appliquée par le pied de l'instrumentiste pour rapprocher les cymbales. La transition entre la perception d'un phénomène discret à un phénomène continu se situe autour d'une fréquence de 20Hz pour l'occurrence des collisions.

Les collisions très rapprochées dans le temps entre la corde et d'autres éléments est au coeur du timbre particulier produit par certains instruments Indiens comme la sitar, le tanpura ou la rudra vina. Le phénomène acoustique sous-jascent, appelé *jivari* par les Indiens, crée un son bourdonnant soutenu causé par l'interaction entre les cordes et un chevalet légèrement incurvé. Lorsqu'une corde est excitée, elle a une interaction fine et intermittente dont le point de contact avec le chevalet évolue avec l'amplitude des oscillations. Il en résulte une apparition retardée de certains harmoniques et un effet de type « phaser ». Ce phénomène est également appelé *sawari* en musique traditionnelle Japonaise. Un effet similaire peut être obtenu en chatouillant une corde en vibration avec un élément de faible masse comme un fil. D'autre part, lorsque les mains d'un guitariste agissent sur les cordes, le son rayonné est modulé de différentes manières : la main gauche peut agir sur la tension de la corde (bend) ou sur le contact avec la table d'harmonie (tapping, hammer, slide, note « morte » ...), la main droite excite ou étouffe les cordes (palm mute, choke). De manière générale, il est d'usage pour les percussionnistes d'utiliser leurs mains pour étouffer la vibration du résonateur afin de raccourcir le son ou pour un effet « sourdine » (tambour, cymbale, triangle). Ici, les interactions continues viennent perturber le déplacement d'objets déjà en vibration.

Les interactions continues peuvent également être la source des vibrations de l'objet résonant dans les cas regroupant les trains d'impulsions très rapprochés et les phénomènes de frictions : frottement, grattement, roulement, couinement, auto-oscillations. Ces phénomènes peuvent être observés dans de nombreuses situations de la vie quotidienne : une porte qui grince, un rail qui coulisse, une bille qui roule, un crayon qui dessine... En particulier, les machines tournantes produisent beaucoup de phénomènes de ce type dans les éléments permettant la transmission de puissance (engrenages, poulies-courroies) ou les mouvements relatifs entre les différentes parties du système (roulements à billes, coussinets, rotules).

Les phénomènes d'oscillations auto-entretenues et de couinement peuvent être observés lors du frottement de mailloches sur des percussions métalliques. Les sons produits peuvent être complexes (cymbales, gongs) ou purs (bols tibétain). Ce type de phénomènes est également au coeur de la production sonore de certains
idiophones (verres musicaux, harmonica de verre, scie musicale) avec le doigt ou avec un archet, comme dans le cas des cordes frottées. Ce type de phénomène physique et les bifurcations d'un comportement à l'autre sont causées par le couplage fortement non-linéaire lors de l'interaction pouvant produire une grande variété de phénomènes acoustiques riches.

Les interactions peuvent également être la source d'un comportement non-linéaire de l'objet vibrant sans pour autant être la source de la production sonore. Il est possible de faire varier la tension en appuyant avec un doigt ou une baguette sur une membrane, ou à l'aide d'une pédale dans le cas des timbales. De manière analogue, il est possible de faire varier le pitch d'une percussion de type "plaque" en la tordant, comme dans le cas de l'utilisation d'un flexatone ou d'une scie musicale. Le cas de la scie musicale est particulièrement intéressant : c'est en tordant la scie en forme de *S* que l'on vient créer une zone résonante plate dont la largeur varie selon la position du point d'inflexion (qui est également le point d'application de l'excitation). D'autre part, les variations de position du point d'inflexion au cours du temps (causées par l'excitation ou les déplacements de la main tordant la scie) induisent un vibrato faisant penser à une voix chantée.

### 1.4.1.2 Comportement non-linéaire intrinsèque à l'objet

En mécanique des structures, on parle de comportement non-linéaire lorsque la réponse d'un solide n'est pas proportionnelle au chargement. Deux éléments participant à la nature de l'objet peuvent être responsables de ce changement de comportement :

- Non-linéarités géométriques : les modifications de la géométrie de l'objet lors des déformations peut entraîner un comportement non-linéaire pour des propriétés constantes du matériau le constituant (grandes déformations élastiques). Ce comportement est réversible.

- Non-linéarités matérielles : si les déformations sont trop importantes, le matériau change de propriétés (déformation plastique ou rupture). Ce comportement est irréversible.

#### Non-linéarités géométriques : turbulences d'ondes, variations de tension, flambage

Le cas des cymbales et gongs est particulièrement intéressant pour les phénomènes non-linéaires audibles pour de grandes amplitudes de vibration élastiques. On peut entendre une apparition retardée et soutenue de composantes hautes fréquences (déferlement) et un signal bruité caractéristique de ce genre d'instruments lors de forts impacts avec des mailloche molles. Des phénomènes similaires sont observés pour les impacts sur les tôles métalliques, qui sont parfois secouées pour le bruitage du grondement du tonnerre. On observe également un comportement complexe et non-linéaire dans le cas du steel drum (steel pan) induisant une signature sonore particulière.
Dans le cas des membranes tendues (tambour, tom, conga), les grandes amplitudes de vibration induisent une augmentation des fréquences modales causée par les variations de tension dans la membrane. On observe un comportement similaire pour les cordes, qui peut produire un glissando descendant à mesure que son amplitude de vibration décroît.

En revanche, si ces structures souples (voire molles) sont détendues, elles admettent de très grandes déformations et leur comportement vibratoire devient peu résonant. Des sons très caractéristiques de ce genre de comportements sont produits par les feuilles en papier et en aluminium, les textiles (toiles, draps ...) et les sacs en plastique fin lorsqu'ils sont impactés ou secoués. Ces objets lorsqu'ils sont maintenus dans une position possèdent des directions privilégiés dans lesquels ils sont plus raides (on parle parfois de « fil » lors de la tension d'une toile) et leurs modifications par une action extérieure peuvent provoquer un déplacement relativement rapide produisant un son. C'est typiquement le genre de comportement observé pour le cas du flambage ou du voilement de structures minces comme une canette en aluminium, une bouteille en plastique ou un couvercle de boîte métallique. Ces structures passent rapidement d'une position d'équilibre à une autre lors d'une simple pression, ce qui produit un son percussif. En revanche, si la pression sur ce genre d'objets devient trop importante, le pli devient marqué, on parle alors de déformations plastiques.

**Déformations plastiques** : pliage, emboutissage, froissage.

Si les déformations deviennent trop importantes, l'objet subit des modifications irréversibles affectant son comportement vibratoire. Avant la rupture, les matériaux ductiles admettent des déformations plastiques, ils peuvent ainsi être pliés sans rompre. Le pli d'un objet peut produire un son en lui même qui ressemble aux sons de voilement (son percussif court car le matériau est très contraint). Lorsque l'on froisse ou qu'on met en boule une feuille de papier ou d'aluminium, on entend une multitude de sons correspondant aux différents plis et aux frottements entre les différentes parties de l'objet. Le même type de son est produit lors de l'écrasement de structures minces comme des canettes en aluminium ou des bouteilles en plastiques.

Les déformations plastiques peuvent également être le résultat d'un choc intense. Dans ce cas le son de l'impact sera suivi des sons des différents plis et la résonance de l'objet sera modifiée à mesure que sa forme change. Le son rayonné par un objet plié sera généralement plus aigu, moins riche et plus amorti. Dans le cas des contenants comme les canettes et les bouteilles, le fait de les écraser réduit également la taille de leur cavité ce qui augmente sa fréquence de résonance. Dans le cas des matériaux souples et ductiles comme le plomb, le cuivre ou l'étain et pour des impacts de moyenne intensité, la déformation plastique reste localisée à l'endroit du choc et l'énergie est rapidement dissipée, ce qui contribue à étouffer le son percussif : on parle de matage.

**Rupture** : arrachement, fissuration, cisaillement, craquements, casse.

La rupture partielle ou totale d'un objet représente une grande diversité de
phénomènes pouvant produire une grande variété de sons. Comme pour les déformations plastiques, la rupture en elle-même produit un son et les propriétés de l'objet se trouvent ensuite modifiées.

Le son produit par la rupture dépend fortement de l'action appliquée pour casser l'objet : la chute d'un objet fragile produit une rupture soudaine suivie des interactions des différents morceaux avec le sol, l'arrachement ou le déchirement produisent une multitude de craquements successifs, le cisaillement ou la découpe produisent un son composé du frottement du ciseau contre la face de découpe et du craquement de l'objet découpé, une contrainte appliquée progressivement permet d'isoler le son propre à la rupture, souvent percussif et soudain, et peut encourager la propagation de fissures. De nombreuses machines sont conçues pour scier, meuler, disquer, percer, perforer, broyer. Ces machines produisent un son propre et leur interaction avec la matière est également une source sonore importante constituée d'une multitude de chocs souvent périodiques car la plupart d'entre elles sont des machines tournantes. On les rencontre particulièrement dans les domaines du travail artisanal ou industriel de différent matériaux, dans la cuisine (ou l'industrie agro-alimentaire) ou dans l'armement.

De même le comportement de l'objet à la rupture est très différent selon le matériau de l'objet : les objets en verre présentent des ruptures soudaines pour des déformations relativement faibles, certains métaux et plastiques peuvent atteindre de très grandes déformations avant de se casser, les matériaux composites et fibreux comme le bois, le papier ou les textiles se craquent fibre par fibre, et les agrégats comme le béton, le mortier, le platre ou le medium se désagrègent.

Après la rupture, les objets concernés se retrouvent modifiés de façon irréversible. Si l'objet est cassé en plusieurs morceaux, le son produit par chaque morceau sera différent du son de l'objet original mais son comportement vibratoire reste similaire. En revanche, un objet fissuré et tordu peut présenter un comportement vibratoire particulier lorsque les différentes parties de part et d'autre de la fissure interagissent entre elles. Le son produit est similaire aux interactions intermittentes présentées dans la section précédente.

### 1.4.2 Paradigme Action-Objet étendu : vers le contrôle de la synthèse sonore de phénomènes non-linéaires

En résumé, les phénomènes non-linéaires produisent des effets très divers sur le signal sonore rayonné par les solides. On parle d'étouffement, de sourdine, de chatouille, de rebond, de cliquètement, de chuintement, de bourdonnement pour qualifier les interactions. On remarque également la présence répétée du mot "buzz" en anglais (traduction anglaise de "bourdonnement", proche de l'onomatopée "bzzz") pour décrire les collisions dans les instruments de musique (string buzz, kalimba's buzzers, buzz roll). Les termes pour décrire le comportement non-linéaire ont tendance à être plus spécifiques et à engendrer des attentes plus précises en terme de son rayonné : déferlement, pliage, emboutissage, froissage, fissuration, craquement, arrachement, fracture. De plus, la plupart de ces termes font directe-
ment référence à l'aspect non-linéaire du comportement de l'objet résonant.

Les sons correspondant à ces évènements peuvent permettre de qualifier l'intensité de l'interaction ou même l'intention de l'usager (frapper forte-ment/doucement/mollement, tomber de haut, claquer la porte, secouer avec co-lère...). De fait, de nombreux comportements non-linéaires apparaissent pour des ex-citations de grandes amplitudes, induisant des transmissions de vibrations à d'autres objets via des liaisons partielles ou une situation difficile à supporter pour l'objet vibrant (grandes déformations élastiques, déformations plastiques, rupture).

En effet, les phénomènes non-linéaires sont caractérisés par une réponse du système non-proportionnelle aux sollicitations auxquelles il est soumis, ce qui entraîne des effets différents sur le son rayonné quand l'amplitude d'excitation est modifiée. On peut observer des effets de seuil, par exemple pour les phénomènes de contact (les objets ne se touchent pas jusqu'à un certain point, puis le contact apparaît pour une certaine amplitude de vibration) ou les non-linéarités matérielles (le comportement est élastique jusqu'à une certaine déformation puis de la plasticité ou une cassure apparaît). On observe également des effets de couplage, par exemple lors de la friction entre deux objets (le comportement bifurque du couinement vers les oscillations auto-entretenues pour certains jeux de paramètres pression-vitesse) ou lors de couplages internes aux objets (résonances internes pour de grandes amplitudes de vibrations élastiques).

Lorsque la dynamique des deux objets interagissant ne peut pas « s'accorder », l'interaction ne présente pas de couplage. Par exemple pour les rebonds ou le roule-ment d'une bille sur une table épaisse en bois, les vibrations de la table n'influent pas sur la dynamique de la bille et inversement. En revanche les effets non-linéaires de la mécanique du contact ont une influence sur la dynamique de l'interaction et sur le son rayonné car l'interaction est composée d'une succession de micro-impacts de différentes intensités et la non-linéarité introduit une dépendance entre l'amplitude de l'impact et sa durée.

Ce type d'interaction et les morphologies sonores correspondantes ont été lar-gement étudiées par Conan dont les travaux sur le grattement, le frottement et le roulement ont été introduits dans les sections précédentes [Conan et al., 2014] et sont parfaitement décrits dans le paradigme action-objet. De même, les phéno-mènes de friction et le couplage induisant des bifurcations entre les couinements et les auto-oscillations sont l'objet d'une étude de Thoret qui peut s'intégrer dans le même paradigme [Thoret et al., 2013]. Dans ces cas, l'objet est initialement au repos et l'action joue le rôle d'excitation et correspond à la source du son.

Dans d'autres cas, l'objet déjà en vibration et l'action vient perturber son fonc-tionnement. À ce moment là, l'action a toujours un effet direct sur la production sonore en perturbant le comportement vibratoire et le paradigme action-objet peut permettre de décrire l'évènement sonore. En revanche, c'est le lien entre la descrip-tion sémantique et le modèle de synthèse source-filtre qui n'est plus aussi direct. En effet, l'action (la perturbation) vient prendre de l'énergie à l'objet pour la redistrib-
buer entre les deux objets interagissant. C'est l'objet vibrant qui devient la source d'énergie.

L'objet peut également interagir avec d'autres objets de son environnement proche qui peuvent eux-même interagir entre eux. Si les différentes interactions n'ont pas d'effets simultanés sur la production sonore et qu'il n'y a pas de couplage, chaque interaction peut être traitée de façon indépendante comme la somme d'actions sur des objets isolés. En revanche, lorsque la vibration d'un objet est perturbée par d'autres objets, il est nécessaire de considérer l'objet au sein de son environnement lorsque l'on vient agir dessus.

Enfin, le comportement non-linéaire des objets lorsque l'excitation est de grande amplitude a lui aussi une influence sur le modèle de synthèse associé. Les résonances internes pour de grandes amplitudes de vibrations élastiques induisent des redistributions d'énergie entre les modes qui ne peuvent pas être générés lors d'un filtrage linéaire, et les phénomènes liés à la plasticité et à la rupture de l'objet produisent des variations des paramètres modaux qui agissent également sur le filtre.

Pour proposer une description sémantique de ces évènements sonores et un modèle de synthèse associé, il est donc nécessaire de différencier deux types d'actions, les excitations et les perturbations, et de considérer l'objet avec son environnement. Ainsi, l'utilisateur vient agir sur un système comprenant différents objets pouvant interagir entre eux. La description d'évènements sonores complets devient par exemples : « lancer une balle qui rebondit sur du parquet », « impacter une corde qui frise car elle effleure une frette pendant ses vibrations », ou « frotter puis étouffer une cymbale ». Nous considérons donc un système d'objets interagissants que l'on vient exciter ou perturber. Nous pouvons également caractériser l'action plus précisément, en ajoutant un qualificatif relatif à son intensité ou en utilisant un verbe qui implique un comportement précis pour l'objet : « taper fort à la porte », « claquer la porte », « casser la porte ».

Une proposition de généralisation du paradigme action-objet pour intégrer les phénomènes non-linéaire est présentée Fig.1.4. La conception du modèle de synthèse constitue un des enjeux de la thèse et est l'objet du chapitre 3. Nous ne présentons pas le modèle dans ses détails ici mais nous proposons une description schématique du cheminement de l'énergie dans le système. L'objet sur lequel l'utilisateur agit directement est appelé « objet principal » et les objets indirectement excités par les interactions avec l'objet principal sont appelés « objets secondaires ».

1.4.3 Méthodologie

La méthodologie suivie consiste à :

* générer un corpus par la simulation physique de sources sonores dont le comportement non-linéaire est représentatif de percepts sonores préalablement classifiés ;
* déterminer les morphologies sonores correspondantes à partir de l'analyse des signaux non stationnaires du corpus;

* concevoir un modèle de signal simplifié cohérent avec la perception;

* évaluer et calibrer la transcription du phénomène dans le modèle de signal à l'aide de tests d'écoute;

* faire évoluer le modèle de signal et proposer des stratégies de contrôle intuitif des processus de synthèse.

Le chapitre 2 présente la synthèse d'un corpus sonore grâce à la résolution numérique de modèles analytiques par schémas aux différences finies puis la détermination des morphologies sonores associées aux interactions non-linéaires et aux non-linéarités géométriques pour des cas représentatifs de ces phénomènes. Ensuite, un modèle de signal pour la synthèse de ces morphologies est proposé chapitre 3. Il s'agit de la conception d'un banc de filtres couplés permettant les transferts d'énergie entre les modes puis de son utilisation pour générer des sons correspondant aux phénomènes étudiés dans cette thèse. Le chapitre suivant (chapitre 4) détaille l'évaluation et la calibration perceptive des processus de synthèse. Les résultats des tests d'écoute permettent d'améliorer notre compréhension concernant la perception des phénomènes non-linéaires de proposer des stratégies pour un contrôle intuitif de ces processus. Dans le dernier chapitre, nous proposons les conclusions et les perspectives des travaux présentés dans cette thèse.
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 1.4 – Paradigme *action-objet étendu* : représentation schématique de la description sémantique d'un évènement sonore et du modèle de synthèse associé. L'objet principal est l'objet sur lequel l'utilisateur vient agir directement, tandis que les objets secondaires ne sont excités que par l'intermédiaire des vibrations de l'objet principal. Les différents modes de l'objet peuvent être couplés en raison du comportement non-linéaire intrinsèque de l'objet ou des couplages induits par la perturbation de l'utilisateur ou par les interactions avec d'autres objets.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_10.png" /></figure>
# Synthèse d'un corpus par
modèle physique et analyse des
morphologies sonores

## Sommaire

<table><tr><td>2.1 Notations et opérateurs pour les schémas aux différences finies</td><td>32</td></tr><tr><td>2.1.1 Schémas en 1D</td><td>32</td></tr><tr><td>2.1.2 Schémas en 2D</td><td>33</td></tr><tr><td>2.2 Interactions non-linéaires</td><td>34</td></tr><tr><td>2.2.1 Modélisation physique des collisions et résolution numérique pour la synthèse sonore</td><td>35</td></tr><tr><td>2.2.2 Excitation : étude de l'impact sur une corde</td><td>36</td></tr><tr><td>2.2.3 Perturbation : interaction d'une corde avec un obstacle rigide fixe</td><td>43</td></tr><tr><td>2.3 Non-linéarités géométriques</td><td>53</td></tr><tr><td>2.3.1 Synthèse du corpus</td><td>53</td></tr><tr><td>2.3.2 Détermination des morphologies sonores</td><td>55</td></tr><tr><td>2.4 Conclusion</td><td>60</td></tr></table>

Dans ce chapitre, nous présentons la synthèse d'un corpus sonore représentatif des phénomènes non-linéaires audibles dans la production des sons solidiens, puis l'analyse des signaux pour déterminer les caractéristiques importantes correspondant aux comportements non-linéaires. Le positionnement de l'étude est d'utiliser la résolution numérique de modèles physiques pour générer le corpus sonore. En particulier, nous utilisons des schémas aux différences finies pour résoudre les équations aux dérivées partielles décrivant le comportement de structures simples (poutre, plaque), car les récentes avancées dans l'utilisation de cette méthode permettent la synthèse de sons très réalistes<fnref n="1" />. Cette méthode nous permet de rassembler une base de données importante de sons variés sans passer par la conception d'un banc d'essai expérimental pour l'enregistrement de sons dans des conditions contrôlées, qui aurait demandé trop de temps et de moyens financiers pour être mis en place dans le cadre de ce projet.

<footnote n="1">1. http://www.ness.music.ed.ac.uk/, Next Generation Sound Synthesis, page d'accueil du projet ERC, visité le 25/09/2021</footnote>
Nous déterminons les vibrations transversales d'objets résonants en tous points, puis nous positionnons des points d'écoute directement sur la surface d'objet. Ainsi, nous n'étudions pas les effets de la salle, de la directivité, et du couplage fluide-structure sur le son rayonné. Nous nous concentrons sur les modifications du comportement vibratoire des objets résonants induites par les phénomènes non-linéaires.

Notre objectif est de caractériser les morphologies sonores associées aux phénomènes non-linéaires et d'établir la dépendance de ces morphologies aux caractéristiques structurelles de l'objet résonant et à la dynamique de l'interaction. Nous cherchons plus précisément à identifier les caractéristiques importantes des morphologies sonores d'un point de vue perceptif, c'est-à-dire les structures et transformations du son permettant la reconnaissance de l'évènement sonore.

Notre approche consiste à analyser l'évolution du contenu spectral des éléments du corpus synthétisé par modèle physique en fonction de différents paramètres. Nous étudions les phénomènes correspondant aux interactions non-linéaires dans une première section, puis aux non-linéarités géométriques dans une seconde section.

## 2.1 Notations et opérateurs pour les schémas aux différences finies

Les notations utilisées pour la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles par des schémas aux différences finies sont détaillées dans cette section.

### 2.1.1 Schémas en 1D

Nous cherchons à résoudre une équation aux dérivées partielles en une dimension de l'espace pour la fonction continue $u = u(x, t)$. Les dérivées partielles de cette fonction sont notées de la façon suivante :

$$ \partial_t u = \frac{\partial u}{\partial t} \qquad (2.1) $$

$$ \partial_x u = \frac{\partial u}{\partial x} \qquad (2.2) $$

Dans un schéma aux différences finies, la fonction du temps et de l'espace $u(x, t)$ est approximée par une série d'index $l, n$. Nous notons $u_l^n$ l'approximation de $u(x_l, t_n)$ avec $x_l = l \times h$ et $t_n = n \times k$ (voir Fig.2.1) pour un pas de temps $k = 1/f_e$ ($f_e$ est la fréquence d'échantillonage du signal). $h$ est le pas de discrétisation en espace et est fixé selon la limite de stabilité.

Nous introduisons les opérateurs suivants pour se déplacer entre les points de la grille et entre les pas de temps :

$$ e_{t+}u_l^n = u_{l}^{n+1}, \qquad e_{t-}u_l^n = u_l^{n-1} \qquad (2.3a) $$

$$ e_{x+}u_l^n = u_{l+1}^n, \qquad e_{x-}u_l^n = u_{l-1}^n \qquad (2.3b) $$
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 2.1 – Représentation de la grille sur laquelle la fonction $u(x, t)$ est évaluée au pas de temps $n$ puis au pas de temps $n + 1$.</figcaption></figure>

Pour résoudre les équations aux dérivées partielles, nous calculons des solutions approchées des dérivées partielles à l'aide de la formule de Taylor-Young. Par exemple, pour approximer une dérivée temporelle du premier ordre, nous écrivons la formule de Taylor-Young à l'ordre 1 (aussi appelée taux d'accroissement) pour une fonction arbitraire $f = f(t)$ :

$$f(t) \approx f(a) + (t-a)\partial_t f \Leftrightarrow \partial_t f \approx \frac{f(t) - f(a)}{t-a} \quad (2.4)$$

Nous pouvons en déduire les schémas décentré arrière ($t = t_n$ et $a = t_{n-1}$) et centré ($t = t_{n+1}$ et $a = t_{n-1}$) pour la dérivée temporelle du premier ordre :

$$\delta_{t-} = (1 - e_{t-})/k \quad \text{et} \quad \delta_t = (e_{t+} - e_{t-})/2k \quad (2.5)$$

De façon similaire, nous pouvons calculer des opérateurs pour approximer les dérivées secondes temporelles et spatiales $\delta_{tt}$ et $\delta_{xx}$ ainsi que la dérivée spatiale d'ordre 4 $\delta_{xxxx}$. Nous introduisons également l'opérateur effectuant une moyenne temporelle décentrée avant $\mu_{t+}$. Ces opérateurs sont définis ci-dessous :

$$\mu_{t+} = (e_{t+} + 1)/2 \quad (2.6a)$$

$$\delta_t = (e_{t+} - e_{t-})/2k \quad (2.6b)$$

$$\delta_{t-} = (1 - e_{t-})/k \quad (2.6c)$$

$$\delta_{tt} = (e_{t+} - 2 + e_{t-})/k^2 \quad (2.6d)$$

$$\delta_{xx} = (e_{x+} - 2 + e_{x-})/h^2 \quad (2.6e)$$

$$\delta_{xxxx} = (e_{x+}^2 - 4e_{x+} + 6 - 4e_{x-} + e_{x-}^2)/h^4 \quad (2.6f)$$

### 2.1.2 Schémas en 2D

En deux dimensions de l'espace, une variable continue fonction du temps et de l'espace $u(x, y, t)$ est approximée par une série d'index $l, m, n$. Nous notons $u_{l,m}^n$
l'approximation de $u(x_l, y_m, t_n)$ avec $x_l = l \times h$, $y_m = m \times h$ et $t_n = n \times k$ (voir Fig.2.2) pour un pas de temps $k = 1/f_e$. $h$ est le pas de discrétisation en espace identique pour les dimensions selon $x$ et $y$.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE 2.2 – Représentation de la grille sur laquelle la fonction $u(x, y, t)$ est évaluée au pas de temps $n$.</figcaption></figure>

Nous introduisons différents opérateurs, notamment pour l'approximation du Laplacien $\Delta$ et du double laplacien $\Delta\Delta$, calculés avec la formule de Taylor-Young (comme pour le cas selon une seule dimension de l'espace) :

$$e_{t+}u_{l,m}^{n} = u_{l,m}^{n+1}, \qquad e_{t-}u_{l,m}^{n} = u_{l,m}^{n-1} \qquad (2.7a)$$

$$e_{x+}u_{l,m}^{n} = u_{l+1,m}^{n}, \qquad e_{x-}u_{l,m}^{n} = u_{l-1,m}^{n} \qquad (2.7b)$$

$$e_{y+}u_{l,m}^{n} = u_{l,m+1}^{n}, \qquad e_{y-}u_{l,m}^{n} = u_{l,m-1}^{n} \qquad (2.7c)$$

$$\delta_{yy} = (e_{y+} - 2 + e_{y-})/h^2 \qquad (2.7d)$$

$$\mu_{x-,y-} = (e_{x-} + 1)(e_{y-} + 1)/4 \qquad (2.7e)$$

$$\delta_{x+y+} = (e_{x+} - 1)(e_{y+} - 1)/h^2 \qquad (2.7f)$$

$$\delta_{\Delta} = (-4 + e_{x+} + e_{x-} + e_{y+} + e_{y-})/h^2 \qquad (2.7g)$$

$$\delta_{\Delta,\Delta} = (20 + 2[e_{x+}e_{y+} + e_{x+}e_{y-} + e_{x-}e_{y+} + e_{x-}e_{y-}] \\ - 8[e_{x+} + e_{x-} + e_{y+} + e_{y-}] + e_{x+}^2 + e_{x-}^2 + e_{y+}^2 + e_{y-}^2)/h^4 \qquad (2.7h)$$

Il est important de noter que les opérateurs définis pour le cas en 1D sont utilisables pour le cas en 2D.

## 2.2 Interactions non-linéaires

L'étude de la mécanique des interactions non-linéaires entre deux solides passe par la modélisation du phénomène de contact. La mécanique du contact élastique est un sujet d'étude de longue date [Hertz, 1881] et très actif au vingtième siècle pour de nombreuses applications. Une vue d'ensemble des avancées et leurs applications est proposée dans [Wriggers et Laursen, 2006]. De nombreuses
études ont utilisé ces modèles pour la synthèse sonore [Chaigne et Askenfelt, 1994] [Avanzini et Rocchesso, 2001] [Bilbao, 2009].

Le phénomène de contact élastique, ou de collision, est responsable d'une grande variété de comportements dans la production des sons solidiens. Nous traitons séparément le cas de l'excitation d'un objet résonant par un impacteur et le cas de la perturbation des vibrations par un obstacle car ils donnent lieu à des effets distincts sur le son même si leur modélisation physique est similaire. Nous parlons ici d'excitation dans le cas où un objet vient apporter de l'énergie à un autre objet au repos qui transformera cette énergie en vibrations, et de perturbation lorsqu'un objet déjà en vibration voit son comportement modifié par la présence d'un autre objet solide à une distance inférieure à son amplitude de vibration.

Nous concentrons notre étude sur des objets résonants unidimensionnels (corde raide) pour simplifier l'analyse du contenu fréquentiel des sons rayonnés.

### 2.2.1 Modélisation physique des collisions et résolution numérique pour la synthèse sonore

Différentes approches ont été utilisées pour modéliser les collisions pour des applications de synthèse sonore comme les guides d'onde [Krishnaswamy et Smith, 2003] [Evangelista, 2011], les approches modales [Vyasarayani et al., 2009], les différences finies [Chaigne et Askenfelt, 1994] [Chatziioannou et Van Walstijn, 2013]. La méthode des éléments finis est généralement utilisée par défaut en raison de sa flexibilité concernant la géométrie des objets considérés [Hughes et al., 1976]. Cependant, la méthode des différences finies comporte l'avantage d'être souvent plus efficace et d'être plus simple à mettre en oeuvre à condition d'avoir un modèle analytique pour les vibrations du système.

De plus, la résolution numérique par schéma aux différences finies a été utilisée et comparée à des données expérimentales pour la synthèse de nombreux instruments de musique dont la production sonore dépend de collisions. Ainsi, de nombreux schéma de résolution ont été mis en oeuvre dans les cas de l'interaction marteau/corde du piano [Boutillon, 1988] [Chaigne et Askenfelt, 1994], maillet/barre du xylophone [Chaigne et Doutaut, 1997], membrane/timbre de la caisse claire [Bilbao, 2012], corde/frettes de la guitare basse [Issanchou et al., 2018].

Nous utilisons le schéma de résolution proposé par Bilbao [Bilbao et al., 2012] car il assure la stabilité numérique et une précision maximale pour la conservation de l'énergie lors de non-linéarités importantes.

La force d'interaction entre un objet déformable et un obstacle rigide est exprimée à partir d'un potentiel, comme c'est généralement le cas pour les collisions élastiques [Papetti et al., 2011] :

$$F = \frac{d\Phi}{du} = \frac{d\Phi}{dt} / \frac{du}{dt} \qquad (2.8)$$

$u = u(t)$ est la position de l'objet, $F = F(t)$ est la force d'interaction écrite en terme de potentiel $\Phi(u) > 0$. Pour un obstacle rigide localisé en $u = 0$, la force est nulle
pour $u \le 0$. Lorsque $u > 0$, l'objet déformable est comprimé et la force devient non nulle. Le potentiel $\Phi$ est exprimé par une loi de puissance :

$$ \Phi = \frac{K[u]_+^{\alpha+1}}{\alpha+1} \quad \Rightarrow \quad F = K[u]_+^{\alpha} \qquad (2.9) $$

avec $K \ge 0$ la raideur du contact, et $\alpha > 1$ définissant la non-linéarité du contact. On note $[u]_+$ la partie positive de $u$, soit $[u]_+ = (u + |u|)/2$.

La loi de puissance est un choix usuel pour la modélisation des collisions. Le modèle de Hertz permet le calcul analytique des paramètres $K$ et $\alpha$ pour des cas simples comme le contact entre deux sphères [Horvay et Veluswami, 1980]. Pour des cas plus complexes, comme l'interaction entre le marteau et les cordes de piano, les paramètres $K$ et $\alpha$ doivent être déterminés empiriquement [Chaigne et Askenfelt, 1994].

Le modèle avec dissipation non-linéaire pendant le contact peut s'écrire de la façon suivante, comme proposé dans [Hunt et Crossley, 1975] :

$$ F = \frac{d\Phi}{du} + \frac{du}{dt} K \beta[u]_+^\alpha \qquad (2.10) $$

### 2.2.2 Excitation : étude de l'impact sur une corde

Pour étudier l'excitation d'un objet résonant par un impact, nous nous concentrons sur le cas d'étude de l'interaction entre un impacteur et une corde raide. Nous ne prenons pas en compte les dissipations lors du contact dans ce cas.

#### 2.2.2.1 Synthèse du corpus

**Modélisation physique.** Les vibrations transversales d'une corde raide sont décrites par l'équation suivante, souvent utilisée pour la synthèse par modèle physique [Bensa et al., 2003] [Bilbao, 2009] :

$$ \partial_t^2 u = \gamma^2 \partial_x^2 u - \kappa^2 \partial_x^4 u - 2\sigma_0 \partial_t u + 2\sigma_1 \partial_t \partial_x^2 u + \frac{1}{\rho S} \delta(x - x_e) F_e(t) \qquad (2.11) $$

$u(x, t)$ est le déplacement transversal de la corde, fonction du temps $t \in \mathbb{R}^+$ et de la position longitudinale $0 \le x \le L$ avec $L$ la longueur de la corde. Les conditions initiales sont choisies nulles et les conditions aux limites sont choisies simplement supportées : $u = \partial_x^2 u = 0$ pour $x = 0, L$. Dans cette étude, les paramètres de synthèse sont choisis pour correspondre à une corde de guitare en acier, et sont présentés dans la table 2.1 ci-après.

L'équation du mouvement de la corde comporte plusieurs termes : le premier terme à droite de l'égalité est dû à la tension dans la corde, le second à la raideur en flexion, les troisième et quatrième permettent de contrôler les pertes en fonction de la fréquence. Le dernier terme correspond à la contribution de l'interaction avec l'impacteur à la position longitudinale $x_e$ avec $\delta(x)$ la fonction Dirac.

L'équation du déplacement $u_M$ de l'impacteur de masse $M$ est la suivante :

$$ M \frac{d^2 u_M}{dt^2} = -F_e(t) \qquad (2.12) $$
Nous devons fixer les conditions initiales $u_M(0)$ et $\frac{du_M}{dt}\big|_{t=0}$ pour calculer le déplacement de l'impacteur.

Nous définissons la force de l'interaction $F_e(t)$ de la manière suivante :

$$F_e(t) = \frac{d\Phi}{d\eta_e} , \quad \Phi = \frac{K[\eta_e]^{\alpha+1}}{\alpha+1} , \quad \eta_e = u_M - u(x_e, t) \quad (2.13)$$

<table><caption>TABLE 2.1 – Paramètres de synthèse pour la corde raide.</caption><thead><tr><td>Paramètre</td><td>Description</td><td>Valeur</td></tr></thead><tbody><tr><td>γ</td><td>célérité des ondes</td><td>404.02 m·s<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>κ</td><td>constante de raideur</td><td>1.297 m<sup>2</sup>·s<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>σ<sub>0</sub></td><td>paramètre d'amortissement</td><td>0.05 s<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>σ<sub>1</sub></td><td>paramètre d'amortissement</td><td>0.002 m<sup>2</sup>·s<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>ρ</td><td>densité</td><td>7.8×10<sup>3</sup> kg·m<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>S</td><td>aire de la section</td><td>7.85 × 10<sup>-7</sup>m<sup>2</sup></td></tr><tr><td>L</td><td>longueur de la corde</td><td>0.5 m</td></tr></tbody></table>

**Schéma aux différences finies.** En utilisant les opérateurs différentiels définis à la Sec.2.1, une approximation de (2.11) et (2.12) sur une grille de pas spatial $h$ est présentée :

$$\delta_{tt}u_l^n = \gamma^2\delta_{xx}u_l^n - \kappa^2\delta_{xxxx}u_l^n - 2\sigma_0\delta_t u_l^n + 2\sigma_1\delta_t - \delta_{xx}u_l^n + \frac{g_l}{\rho S}F_e^n \quad (2.14)$$

$$M\delta_{tt}u_M = -F_e^n \quad (2.15)$$

$g$ est la fonction de répartition de la force sur les points de la grille. Nous choisissons $x_e$ coïncidant avec un point de la grille, ainsi $g_{l_e} = 1/h$ pour $l_e = \lfloor x_e/h \rfloor$ et $g_l = 0$ pour les autres points ($l \neq l_e$).

Le pas en espace $h$ est choisi au plus près de la limite de stabilité :

$$h \ge \sqrt{\left(\gamma^2 k^2 + 4\sigma_1 k + \sqrt{(\gamma^2 k^2 + 4\sigma_1 k)^2 + 16\kappa^2 k^2}\right)/2} \quad (2.16)$$

La force $F_e$ peut être discrétisée de la façon suivante :

$$F_e^n = \frac{\delta_{t-} \Phi^{n+\frac{1}{2}}}{\delta_t \eta_e^n} , \quad \eta_e^n = u_M^n - u_{l_0}^n \quad (2.17)$$

avec $\Phi^{n+\frac{1}{2}} = \mu_{t+} \Phi(\eta_e^n)$.

L'équation scalaire au point de la grille correspondant à l'interaction regroupe les schémas (2.14), (2.15) et (2.17) et peut s'écrire de la forme suivante :

$$G(r) = r + \frac{m}{r}(\Phi(r+a) - \Phi(a)) + b \quad (2.18)$$
pour une inconnue r définie en fonction de $u^n$ comme suit :

$$r = \eta_e^{n+1} - \eta_e^{n-1} \qquad (2.19)$$

avec les constantes suivantes :

$$ \begin{aligned} m &= k^2 \left( \frac{1}{h^2 \rho S (1 + \sigma_0 k)} + \frac{1}{M} \right) , \quad a = \eta_e^{n-1} \\ b &= -2(u_M^n - u_M^{n-1}) + \frac{k^2}{h(1 + \sigma_0 k)} \left( \frac{2}{k} \delta_{t-} + \gamma^2 \delta_{xx} - \kappa^2 \delta_{xxxx} + 2\sigma_1 \delta_{t-} \delta_{xx} \right) u_e^n \end{aligned} \qquad (2.20) $$

Nous résolvons l'équation non-linéaire Eq.(2.18) avec un algorithme de Newton-Raphson [Ypma, 1995].

### 2.2.2.2 Détermination des morphologies sonores

Les paramètres de l'interaction ayant un effet déterminant sur le signal sont :

* la vécuilité de l'impacteur $v = \frac{du_M}{dt}|_{t=0}$,

* le rapport entre la raideur du contact et la masse de l'impacteur $K_e/M$,

* l'exposant de la loi de puissance $\alpha$,

* la position de l'interaction $x_e$.

Ces paramètres ont un impact sur l'intensité sonore, la brillance du son, et les amplitudes relatives des différents modes.

**Vitesse, masse et intensité sonore.** L'intensité sonore est définie par la quantité d'énergie transmise lors des collisions qui est proportionnelle à la masse du marteau et au carré de sa vécuilité dans le cas non-amorti. À noter que la masse a également un effet important sur la durée d'excitation (donc sur la brillance du signal) tandis que la vécuilité influe principalement sur l'amplitude d'excitation. Nous pouvons tout de même remarquer que l'aspect non-linéaire du contact entraîne une légère influence de la vécuilité sur la durée de contact : un impact de plus grande amplitude est plus court car le contact se durcit (voir Fig.2.3).

**Position de l'excitation et amplitudes initiales des modes.** La position de l'excitation a une influence sur la distribution de la contribution de l'impact sur les différents modes. En effet, les modes possédant un noeud de vibration à la position de l'interaction ne sont pas excités. À l'inverse, les modes dont l'amplitude de la déformée modale est importante à la position de l'interaction sont fortement excités par l'impact. Par exemple, une corde excitée à $x_e = L/2$ produit un son « creux » car l'ensemble de ses harmoniques pairs ne sont pas excités (voir Fig.2.4).
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE 2.3 – Évolution de la force d'interaction en fonction de la masse de l'impacteur et de la vitesse de l'impact. $K_e = 5 \times 10^9 \text{N.m}^{-\alpha}$, $\alpha = 2.5$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 2.4 – Module du spectre du signal normalisé pour différentes positions de l'excitation sur la corde. $M = 3 \text{g}$, $v = 1 \text{m.s}^{-1}$, $K = 5 \times 10^9 \text{N.m}^{-\alpha}$, $\alpha = 2.5$. ▷</figcaption></figure>
**Durée d'excitation et brillance.** La durée de l'excitation est une grandeur importante pour la perception des sons d'impact [Freed, 1990]. En particulier, c'est ce paramètre qui définit la brillance du son produit : un impact plus court excite plus fortement les composantes hautes fréquences (voir Fig.2.5).

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE 2.5 – Module du spectre du signal normalisé pour différentes durées d'excitation. $K = 5 \times 10^9 \text{N.m}^{-\alpha}$ induit une durée d'excitation de 2.8ms tandis que $K = 5 \times 10^7 \text{N.m}^{-\alpha}$ induit une durée d'excitation de 4ms. $M = 3\text{g}$, $v = 1\text{m.s}^{-1}$, $\alpha = 2.5$. ♪</figcaption></figure>

Le rapport $K/M$ est le facteur le plus influent sur la durée de l'interaction, et son augmentation entraîne un impact plus court (voir Fig.2.6). D'autre part, comme décuté précédemment, la non-linéarité $\alpha$ introduit une dépendance entre l'amplitude et la durée de l'excitation (l'impact se « durcit » pour des amplitudes importantes). Ainsi, une vitesse plus importante réduit la durée de l'interaction (voir Fig.2.3). Nous pouvons également remarquer que les profils de force d'interaction deviennent irréguliers et présentent plusieurs impacts successifs pour des contacts très raides et peu non-linéaires (voir Fig.2.7). À l'inverse, l'augmentation de l'exposant $\alpha$ lisse le profil de force. La non-linéarité $\alpha$ induit également un profil asymétrique de la force de contact.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 2.6 – Évolution de la force d'interaction en fonction de la raideur $K$ du contact. $M = 3\text{g}$, $v = 1\text{m.s}^{-1}$, $\alpha = 2.5$.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE 2.7 – Évolution de la force d'interaction en fonction de la non-linéarité $\alpha$ du modèle de contact. $M = 3g$, $v = 1\text{m.s}^{-1}$, $K = 5 \times 10^9\text{N.m}^{-\alpha}$.</figcaption></figure>

### 2.2.2.3 Le modèle d'excitation en cosinus surélevé

D'un point de vue perceptif, les deux éléments importants concernant le profil de la force d'impact sont la durée de l'interaction, qui définit la brillance du son, et l'amplitude de la force de contact, qui définit l'intensité sonore. L'aspect asymétrique du profil de la force d'interaction causé par la non-linéarité du modèle de contact n'a pas une influence significative sur la perception du son généré, et différentes études proposent d'utiliser des profils de force sans implémenter la mécanique précise du phénomène de contact pour les impacts. Un modèle assez largement utilisé consiste à utiliser un cosinus surélevé qui présente l'avantage d'être très régulier (voir par exemple [Van Den Doel et al., 2001]):

$$F_e(t) = \begin{cases} A_e/2 \times (-\cos(\frac{2\pi}{\tau_e}t) + 1) & \text{si } 0 \le t < \tau_e \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \qquad (2.21)$$

avec $A_e$ l'amplitude d'excitation et $\tau_e$ la durée de l'interaction.

Ce modèle possède l'avantage de proposer des paramètres de contrôle dont les effets sur le signal sont évidents et découplés. Nous pouvons ainsi faire varier l'amplitude d'excitation indépendamment de la durée d'interaction et inversement.

Les sons générés par le modèle de contact Eq.(2.13) et le modèle en cosinus surélevé Eq.(2.21) sont perceptivement proches pour des paramètres d'amplitude et de durée équivalentes, même si le modèle d'interaction produit généralement des sons plus brillants (voir Fig.2.8).

Nous introduisons ici également un modèle simplifié pour la corde pincée :

$$F_e(t) = \begin{cases} A_e/2 \times (-\cos(\frac{\pi}{\tau_e}t) + 1) & \text{si } 0 \le t < \tau_e \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \qquad (2.22)$$

Ce modèle correspond à une demi-période du cosinus surélevé. La corde se déplace progressivement jusqu'à $t = \tau_e$ où la force chute brutalement à 0 (voir Fig.2.9). Le
<figure><img src="image_18.png" /></figure>

FIGURE 2.8 – Module du spectre du signal normalisé pour le modèle d'interaction marteau corde et pour le modèle en cosinus surélevé. Paramètres du modèle marteau corde : M = 3g, v = 1m.s⁻¹, K = 5 × 10⁹N.m⁻α, α = 2.5. Paramètres du modèle en cosinus surélevé : A = 6.26N, τ = 2.75ms. ♪

son résultant correspond à un impact très court, donc à un son très brillant. Un
effet équivalent est obtenu avec une condition initiale triangulaire.

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

FIGURE 2.9 – Profil de force (à gauche) et module du spectre du signal normalisé entre 0 et 10000Hz(à droite) pour le modèle simplifié de corde pincée Eq.(2.22) pour A_e = 10N, τ_e = 3ms. ♪
### 2.2.3 Perturbation : interaction d'une corde avec un obstacle rigide fixe

Après l'étude des sons produits par des impacts excitant une structure au repos, nous cherchons à déterminer les morphologies sonores induites par la perturbation des vibrations d'un objet lorsqu'il entre en collision avec un obstacle rigide. Nous étudions à nouveau le cas particulier d'une corde raide.

#### 2.2.3.1 Synthèse du corpus

**Modélisation physique** Nous utilisons l'équation du mouvement de la corde raide (2.11) soumise, cette fois, à un effort supplémentaire correspondant aux collisions avec un obstacle rigide :

$$ \partial_t^2 u = \gamma^2 \partial_x^2 u - \kappa^2 \partial_x^4 u - 2\sigma_0 \partial_t u + 2\sigma_1 \partial_t \partial_x^2 u + \frac{1}{\rho S} (\delta(x - x_c)F_c(t) + \delta(x - x_e)F_e(t)) \quad (2.23) $$

Le terme comprenant $F_c$ correspond à la force verticale induite par les collisions avec un obstacle rigide positionné en dessous de la position d'équilibre de la corde, en $(x_c, y_c)$ (voir Fig.2.10). Nous utilisons le modèle de contact décrit précédemment Eq.(2.10) pour un obstacle apparaissant à $t = t_0$ :

$$ F_c(t) = -H(t - t_0) \left( \frac{d\Phi}{d\eta_c} + \frac{du}{dt} K \beta [\eta_c]_+^\alpha \right) , \quad \eta_c = u(x_c, t) - y_c \quad (2.24) $$

avec le potentiel $\Phi$ défini de la manière suivante :

$$ \Phi = \frac{K}{\alpha + 1} [\eta_c]_+^{\alpha+1} \geq 0 \quad (2.25) $$

La fonction de Heaviside $H$ est utilisée pour que l'obstacle rigide apparaisse à $t = t_0$.

Nous posons une force d'excitation verticale vers le haut d'amplitude $F_e = F_e(t)$. Cette force ponctuelle agit sur la corde en $x_e = 3L/20$ et correspond au modèle simplifié de la corde pincée Eq.(2.22) pour $\tau_e = 1$ms et $A_e = 100$N.

**Schéma aux différences finies.** Le schéma est très similaire à celui utilisé pour le cas de l'interaction marteau/corde Eq.(2.14)&(2.17) :

$$ \delta_{tt} u_l^n = \gamma^2 \delta_{xx} u_l^n - \kappa^2 \delta_{xxxx} u_l^n - 2\sigma_0 \delta_t u_l^n + 2\sigma_1 \delta_{t-} \delta_{xx} u_l^n + \frac{1}{\rho S} (g_l^{(c)} F_c^n + g_l^{(e)} F_e^n) \quad (2.26) $$

$$ F_c^n = H[n - \lfloor \frac{t_0}{k} \rfloor] \left( \frac{\delta_{t-} \Phi^{n+\frac{1}{2}}}{\delta_t u_l^n} + \delta_t \eta_c^n K \beta [\eta_c^n]_+^\alpha \right) , \quad \eta_c^n = u_{l_c}^n - y_c \quad \text{pour } l_c = \lfloor x_c/h \rfloor \quad (2.27) $$
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE 2.10 – Représentation schématique de la corde, de la force d'excitation $F_e(t)$ et d'un obstacle ponctuel positionné en $(x_c, y_c)$.</figcaption></figure>

avec $\Phi^{n+\frac{1}{2}} = \mu_{t+} \Phi(u_l^n)$.

L'équation scalaire au point de la grille correspondant à l'interaction
corde/obstacle est d'une forme similaire à l'équation correspondant à l'interaction
marteau/corde (2.18), avec un terme supplémentaire $c$ correspondant aux dissipa-
tions :

$$
G(r) = (1 + c)r + \frac{m}{r}(\Phi(r + a) - \Phi(a)) + b \quad (2.28)
$$

pour une inconnue $r$ définie en fonction de $u_l^n$ comme suit :

$$
r = \eta_c^{n+1} - \eta_c^{n-1} \tag{2.29}
$$

avec les constantes suivantes :

$$
\begin{align*}
m &= \frac{k^2}{h^2 \rho S (1 + \sigma_0 k)} \quad , \quad a = \eta_c^{n-1} \quad , \\
b &= \frac{k^2}{h(1 + \sigma_0 k)} \left( \frac{2}{k} \delta_{t-} + \gamma^2 \delta_{xx} - \kappa^2 \delta_{xxxx} + 2\sigma_1 \delta_{t-} \delta_{xx} \right) u_l^n \quad (2.30) \\
c &= \frac{k}{2\rho Sh} K \beta [\eta_c^n]_+^\alpha
\end{align*}
$$

pour $l = x_0/h$.

On note ici que la généralisation vers un obstacle réparti consiste simplement à
résoudre cette équation pour plusieurs points voisins de la grille. Il est possible de
définir une distance à l'obstacle rigide $y_l$ pour chaque point $l$ de la grille.

2.2.3.2 Détermination des morphologies sonores

Nous pouvons examiner le comportement spectro-temporel en détail, en parti-
culier en fonction de la position de l'obstacle $(x_c, y_c)$ et des paramètres du modèle
de contact $K$, $\alpha$ et $\beta$.

Un spectrogramme d'un son caractéristique est présenté Fig.2.11. Trois phases peuvent être distinguées à la lecture de ce spectrogramme :
I Lorsque la corde est pincée, le signal est quasi-harmonique et le mouvement de la corde correspond aux vibrations classiques d'une corde raide dans des conditions linéaires.

II Lorsque l'obstacle rigide entre en collision avec la corde vibrante (à partir de $t = t_0$), le nombre de composantes spectrales augmente : c'est la phase d'interaction. Cette phase dure jusqu'à la fin des contacts intermittents entre la corde et l'obstacle.

III Enfin, le régime de vibration de la corde redevient linéaire mais les amplitudes modales ont étés modifiées par la phase d'interaction (dissipation d'énergie et transferts vers les hautes fréquences).

**Phase d'interaction.** La phase d'interaction (II), pendant laquelle la corde et l'obstacle s'entrechoquent de façon répétée et irrégulière, est le principal point d'intérêt de l'étude. En raison de la raideur importante de l'obstacle, chaque collision provoque l'apparition d'ondes hautes fréquences se propageant dans la corde.

Il nous est utile de définir la mesure courante de l'amplitude de vibration de la corde :

$$U(x, t) = \max_{t' \in W(t)} |u(x, t')| \qquad W(t) = H(t + \frac{1}{2f_0}) - H(t - \frac{1}{2f_0}) \qquad (2.31)$$

qui est la valeur absolue maximale du déplacement de la corde en $x$ sur une durée correspondant à une période. La fréquence fondamentale peut être évaluée par $f_0 \approx \gamma/2L$.

Si $U(x_c, t) > y_c$, des collisions avec l'obstacle vont se produire à chaque oscillation de la corde provoquant une augmentation de l'énergie dans les hautes fréquences. Il est intéressant de remarquer ici que les pertes dans le système sont considérablement augmentées, même dans le cas d'un modèle sans perte pour les collisions ($\beta = 0$), car les pertes dans la corde sont considérablement plus importantes pour les hautes fréquences.

Nous pouvons observer sur le spectrogramme Fig.2.11 que le contenu spectral du signal est modifié dès l'apparition de l'obstacle (à partir de $t = t_0 = 0.5s$, $U(x_c, t) >> y_c$). En particulier, l'interaction induit des variations des fréquences modales, de la distorsion harmonique et des couplages entre les modes. D'un point de vue perceptif, la présence simultanée de ces nouvelles composantes fréquentielles et leurs variations rapides créent des battements, de la rugosité et du signal bruité. Ce processus, entraînant des pertes significatives, implique une réduction rapide de l'amplitude de vibration de la corde à la position longitudinale de l'interaction $U(x_c, t)$ jusqu'à ce qu'elle soit inférieure à $y_c$. La durée de la phase d'interaction et le comportement du signal pendant cette phase dépend de la position de l'obstacle et des paramètres du modèle de contact.

Après la phase d'interaction, le signal correspond aux vibrations naturelles de la corde (signal quasi-harmonique), mais avec une distribution différente de l'énergie entre les modes. Des collisions résiduelles peuvent se produire, provoquant une légère distorsion harmonique.
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>FIGURE 2.11 – Spectrogramme d'un son généré par le modèle de corde raide interagissant avec un obstacle rigide positionné en ($x_c = 5L/12, y_c = 0.1 \times U(x_c, t_0)$) pour les paramètres de contact $K = 5 \times 10^{10} \text{N.m}^{-\alpha}$, $\alpha = 1.4$, $\beta = 0$. Focus sur l'intervalle fréquentiel [0-9000]Hz. ♪</figcaption></figure>

Évolution des morphologies en fonction de la position de l'obstacle rigide ($x_c,y_c$). Pendant la phase d'interaction (II), certains effets sur le signal liés aux collisions varient avec la position de l'obstacle rigide ($x_c,y_c$). En particulier, lorsque $x_c$ est une fraction entière de la longueur de la corde $L$ et pour $y_c \approx 0$, tous les modes dont la déformée modale ne comporte pas de noeud à $x = x_c$ sont dissipés pendant l'interaction. Plusieurs exemples sont présentés Fig.2.12&2.13 pour $x_0 = L/2$ et $x_0 = L/3$ respectivement. Le jeu d'une harmonique naturelle sur une guitare illustre bien ce phénomène.

D'autre part, lorsque $y_c$ augmente (i.e. lorsque l'obstacle s'éloigne de la corde), la durée d'interaction diminue, le signal est moins inharmonique et moins bruité pendant l'interaction, et l'amplitude des modes est moins affectée. Les amplitudes des modes après l'interaction restent à des valeurs plus proches de leur valeur avant l'interaction (voir Fig.2.14). Pour $y_c = 0.99 \times U(x_c, t_0)$, la phase d'interaction n'est presque pas visible sur un spectrogramme (voir Fig.2.15), mais nous pouvons toujours identifier une faible distorsion harmonique causée par des collisions éparses provoquant un bourdonnement de la corde.

En résumé, les collisions entraînent des transferts d'énergie brutaux vers les hautes fréquences dont la quantité est définie par le rapport entre l'amplitude de vibration $U(x_c, t)$ et la position transversale de l'obstacle $y_c$. Ces transferts sont modulés en fonction de la déformée modale à la position longitudinale de l'interaction : un mode est affecté par le processus à mesure de la distance entre la position de l'interaction et les noeuds de vibration de sa déformée modale. Si sa déformée
<figure><img src="image_22.png" /></figure>

FIGURE 2.12 – Spectrogramme d’un son généré par le modèle de corde raide interagissant avec un obstacle rigide positionné en ($x_c = L/2, y_c = 0$) pour les paramètres de contact $K = 5 \times 10^{10} \text{N.m}^{-\alpha}$, $\alpha = 1.4$, $\beta = 0$. Focus sur l’intervalle fréquentiel [0-4000]Hz. ♪

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

FIGURE 2.13 – Spectrogramme d’un son généré par le modèle de corde raide interagissant avec un obstacle rigide positionné en ($x_c = L/3, y_c = 0$) pour les paramètres de contact $K = 5 \times 10^{10} \text{N.m}^{-\alpha}$, $\alpha = 1.4$, $\beta = 0$. Focus sur l’intervalle fréquentiel [0-4000]Hz. ♪
<figure><img src="image_24.png" /></figure>

FIGURE 2.14 – Spectrogramme d’un son généré par le modèle de corde raide interagissant avec un obstacle rigide positionné en ($x_c = L/2, y_c = 0.1 \times U(x_c, t_0)$) pour les paramètres de contact $K = 5 \times 10^{10} \text{N.m}^{-\alpha}$, $\alpha = 1.4$, $\beta = 0$. Focus sur l’intervalle fréquentiel [0-4000]Hz. ■(●)

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

FIGURE 2.15 – Spectrogramme d’un son généré par le modèle de corde raide interagissant avec un obstacle rigide positionné en ($x_c = L/2, y_0 = 0.99 \times U(x_c, t_0)$) pour les paramètres de contact $K = 5 \times 10^{10} \text{N.m}^{-\alpha}$, $\alpha = 1.4$, $\beta = 0$. Focus sur l’intervalle fréquentiel [0-4000]Hz. ■(●)
modale présente un noeud en $x_c$, il ne sera pas affecté par l'interaction. Cette observation est cohérente avec les phénomènes observés pour l'excitation de la corde : les modes dont la déformée modale possède un noeud à la position de l'interaction ne sont pas excités par le marteau.

**Obstacle réparti.** Lorsque l'obstacle est réparti sur une zone plus importante de la corde, la modulation de l'effet observée pour l'obstacle ponctuel tend à disparaître : les modes ont une amplitude similaire après l'interaction. L'effet est assez proche du cas d'un contact ponctuel localisé hors des premières fractions entières de la longueur de la corde, mais le signal pendant la phase d'interaction est plus bruité et la phase d'interaction plus courte (voir Fig.2.16).

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE 2.16 – Spectrogramme d'un son généré par le modèle de corde raide interagissant avec un obstacle rigide réparti tout le long de la corde à une distance $y_c = 0.001$ pour les paramètres de contact $K = 5 \times 10^{11} \text{N.m}^{-\alpha}$, $\alpha = 1.4$, $\beta = 0$. Focus sur l'intervalle fréquentiel [0-10000]Hz. ♫</figcaption></figure>

Il est important de noter que l'effet d'un obstacle réparti sur le son rayonné dépend largement de sa forme. En effet, nous savons que la position de l'interaction entre l'obstacle et la corde peuvent avoir des effets déterminants sur les harmoniques générées lors des collisions. Il est donc possible de concevoir des obstacles pour contrôler la génération de certaines harmoniques en fonction de l'amplitude de vibration de la corde, comme c'est le cas pour les instruments indiens comme les sitars et les tanpuras.

**Évolution du comportement en fonction des paramètres du modèle de contact K, $\alpha$ et $\beta$.** De manière similaire au cas de l'excitation avec un maillet, la raideur du contact K a une influence sur la hauteur de la fréquence des composantes spectrales générées pendant l'interaction : les composantes générées sont
plus hautes fréquences pour une interaction plus raide, ce qui augmente également l'amortissement dans le système et raccourcit la phase d'interaction (voir Fig.2.17). L'exposant $\alpha$ fait varier la raideur du contact pour des impacts plus forts, ce qui a finalement peu d'effets sur le signal. Ces paramètres induisent également des variations plus fines du signal complexe et chaotique pendant l'interaction.

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE 2.17 – Spectrogrammes de sons générés par le modèle de corde raide interagissant avec un obstacle rigide pour une raideur de contact variable (à gauche $K = 5 \times 10^8 \text{N.m}^{-\alpha}$, à droite $K = 5 \times 10^{10} \text{N.m}^{-\alpha}$). les coordonnées de la position de l'interaction sont ($x_c = 5L/12, y_c = 0$) et les autres paramètres de contact sont $\alpha = 1.4$ et $\beta = 0$. Focus sur l'intervalle fréquentiel [0-15]kHz. ■( Audible )</figcaption></figure>

À noter que lorsque la raideur du contact est faible, ce qui correspondrait à des collisions avec un ressort souple, les effets sur le signal deviennent complètement différents et on peut observer des couplages et des bifurcations dans le comportement du système non-linéaire. De plus de longues variations fréquentielles peuvent être observées lorsque le coefficient $\alpha$ devient important. Des exemples sont proposés en écoute sur le site d'accompagnement de la thèse. La plupart de ces sons présentent des situations inhabituelles et ne sont pas écologiques : les objets très souples en condition écologique, comme les mousses ou la peau, sont la plupart du temps très dissipatifs. Nous concentrons notre étude sur les interactions très raides et ne considérons pas ces cas limites peu intéressants d'un point de vue écologique (en dépit de leur intérêt comme objet sonore particulier).

L'amortissement $\beta$ a une influence sur la durée de l'interaction et produit un effet « sourdine » : l'amortissement global des modes affectés se trouve augmenté et l'interaction dure moins longtemps (voir Fig.2.18). Nous notons également que les paramètres d'amortissement de la corde $\sigma_0$ et $\sigma_1$ ont également un effet sur les morphologies sonores : l'interaction est plus courte et moins marquée lorsque la dissipation dans la corde est plus importante.
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE 2.18 – Spectrogrammes de sons générés par le modèle de corde raide interagissant avec un obstacle rigide sans amortissement dans l'interaction à gauche ($\beta = 0$), avec amortissement dans l'interaction à droite ($\beta = 0.5$). les coordonnées de la position de l'interaction sont ($x_c = 5L/12, y_c = 0$) et les autres paramètres de contact sont $K = 5 \times 10^{10} \text{N.m}^{-\alpha}$ et $\alpha = 1.4$. Focus sur l'intervalle fréquentiel $[0-15]\text{kHz}$.</figcaption></figure>

### 2.2.3.3 Récapitulatif et discussions.

Nous déduisons de ces observations que les caractéristiques importantes pour la perception du phénomène d'interaction sont les processus de générations de composantes hautes fréquences (associés aux processus de dissipation), l'aspect rugueux et inharmonique du signal pendant la phase d'interaction (en particulier pour des interactions intenses), et le retour à un son quasi-harmonique après l'interaction.

La phase d'interaction est caractérisée par sa rugosité, comme définie par Vassilakis [Vassilakis et Kendall, 2010] : une interaction forte entraîne un son bourdonnant et rauque produit par la présence de plusieurs composantes fréquentielles dans différentes bandes critiques.

La position longitudinale de l'obstacle $x_c$ détermine la distribution de l'effet de l'interaction sur les différents modes. En particulier, la distance entre $x_c$ et un noeud de vibration de la déformée modale détermine la modification subie par ce mode pendant l'interaction.

La position transversale influence la quantité d'énergie transférée pendant la phase d'interaction. En effet, le rapport entre l'amplitude de vibration de la corde $U(x_c, t)$ et l'éloignement de l'obstacle $y_c$ détermine l'intensité de l'interaction : si $U(x_c, t) \approx y_c$, nous percevons une suite d'impact correspondant aux collisions successives, tandis que le comportement devient couplé et la durée de la phase d'interaction augmente pour $U(x_c, t) \gg y_c$.

Les paramètres $K$ et $\alpha$ du modèle de contact ont un effet sur la brillance du son
et l'aspect bruité du signal pendant l'interaction, tandis que $\beta$ « étouffe » la phase d'interaction en atténuant les composantes spectrales générées lors des collisions.

Les observations effectuées concernant la distribution de l'effet sur les modes en fonction de la position longitudinale de l'obstacle $x_c$ peuvent être extrapolées pour les objets possédant deux dimensions privilégiées (plaques et membranes) : un obstacle interagissant avec une plaque vibrante n'affecte que les modes dont la déformée ne possède pas de noeud à la position de l'obstacle projetée dans le plan de l'objet. Une illustration de ce phénomène est la formation des figures de Chladni lorsque qu'une poudre est disposée sur une plaque vibrant selon un de ses modes propres de vibrations [Zhou et al., 2016].

En revanche, les variations fréquentielles importantes et les phénomènes chaotiques observés pendant la phase d'interaction sont la conséquence d'amplitudes de vibration importantes et il est possible que l'interaction entre une plaque, qui est largement moins souple qu'une corde, et un obstacle rigide induise une succession de collisions sans modification de ses paramètres modaux (pas de couplage).

D'autre part, nous avons négligé l'aspect vibratoire et résonant de l'obstacle dans cette étude qui peut avoir un effet important sur la physionomie de l'interaction. Par exemple, la dynamique des rebonds d'un objet cliquetant dépend de ses mouvements, et les couplages introduits par deux cordes entrant en collision peuvent donner lieu à des comportements complexes et variés. L'aspect rayonnant de l'obstacle peut également avoir un impact sur la perception du phénomène : si l'on approche une feuille de papier d'une corde, le son produit par la feuille est aussi voire plus fort que le son de la corde et donne beaucoup d'informations sur la dynamique de l'interaction.
## 2.3 Non-linéarités géométriques

Lors de grandes déformations élastiques, nous quittons les hypothèses de l'analyse linéaire des structures. En effet, les effets des non-linéarités géométriques ne permettent généralement plus d'exprimer une relation contrainte-déformation linéaire. Ce cas de figure permet à des phénomènes complexes de s'exprimer, comme par exemple dans le cas des plaques minces dont l'amplitude de vibration est au moins de l'ordre de grandeur de son épaisseur. Le son rayonné est alors caractérisé par un déferlement depuis les basses vers les hautes fréquences qui fait la signature des gongs et de certaines cymbales. Les phénomènes physiques sousjacents sont le sujet de nombreuses études [Legge et Fletcher, 1989] [Fletcher, 1999] [Amabili, 2008], notamment concernant la synthèse sonore de gongs et de cymbales [Chaigne et al., 2004] [Bilbao, 2005] [Ducceschi et Touzé, 2015].

La synthèse par modèle physique permet de générer des sons réalistes correspondant à ce genre de phénomène à l'aide d'oscillateurs non-linéaires couplés [Chaigne et al., 2005] ou de la résolution numérique du système de Von Karman [Patrício da Silva et Krauth, 1997] [Bilbao, 2008].

### 2.3.1 Synthèse du corpus

Le corpus sonore pour l'étude des non-linéarités géométriques est généré par la résolution numérique du système de Von Karman. Ce modèle est très utilisé pour la description des vibrations non-linéaires des plaques minces pour des grandes amplitudes de vibrations élastiques car il s'écrit de façon relativement compacte [Bilbao, 2009] :

$$ u_{tt} = - \frac{D}{\rho e} \Delta \Delta u + \frac{1}{\rho e} \mathcal{L}(\phi, u) - 2\sigma_0 u_t + 2\sigma_1 \Delta u_t + \frac{\delta(x - x_e, y - y_e)}{\rho e} F_e(t) \quad (2.32a) $$

$$ \Delta \Delta \phi = - \frac{Ee}{2} \mathcal{L}(u, u) \quad (2.32b) $$

$u(x, y, t)$ est le déplacement transversal de la plaque, fonction du temps $t \in \mathbb{R}^+$ et des coordonnées du point considéré dans le plan de la plaque : $0 \le x \le L_x$ et $0 \le y \le L_y$ avec $L_x$ et $L_y$ les dimensions de la plaque rectangulaire dans ses directions principales. $D$ est la raideur en flexion de la plaque et s'exprime en fonction du module d'Young $E$ et du coefficient de poisson $\nu$ :

$$ D = \frac{Ee^3}{12(1 - \nu^2)}. \quad (2.33) $$

En coordonnées cartésiennes, l'opérateur non-linéaire $\mathcal{L}$ est défini par

$$ \mathcal{L}(\psi_1, \psi_2) = \partial_x^2 \psi_1 \partial_y^2 \psi_2 + \partial_y^2 \psi_1 \partial_x^2 \psi_2 - 2 \partial_x \partial_y \psi_1 \partial_x \partial_y \psi_2 \quad (2.34) $$

pour deux fonctions arbitraires $\psi_1(x, y, t)$ and $\psi_2(x, y, t)$.
Nous définissons des conditions aux limites sur les bords encastrées ($u = u_x = 0$), simplement appuyées ($u = u_{xx} = 0$), ou libres ($u_{xx} + \nu u_{yy} = u_{xxx} + (2 - \nu)u_{xyy} = 0$).

La force d'excitation est modélisée par un cosinus surélevé d'amplitude $A_e$ et de durée $\tau_e$ (voir Sec.2.2.2.3) :

$$F_e(t) = \begin{cases} A_e/2 \times (-\cos(2\pi t/\tau_e) + 1) & \text{si } 0 \le t < \tau_e \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$

Nous utilisons ce modèle car il nous permet d'étudier l'effet des non-linéarités géométriques de la plaque sans être pollué par les effets non-linéaires du modèle de contact entre une mailloche et la plaque. Ainsi, nous pouvons étudier les effets de l'amplitude d'excitation et de la durée d'excitation sur les non-linéarités géométriques de façon indépendante.

Les paramètres de synthèse, présentés dans la table 2.2, sont choisis pour simuler le comportement d'une plaque en acier.

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIGURE 2.19 – Représentation schématique d'une plaque rectangulaire simplement appuyée sur deux côtés opposés.</figcaption></figure>

<table><caption>TABLE 2.2 – Paramètres de synthèse pour la corde raide.</caption><thead><tr><td>Paramètre</td><td>Description</td><td>Valeur</td></tr></thead><tbody><tr><td>E</td><td>Module d'Young</td><td>210 GPa</td></tr><tr><td>ν</td><td>coefficient de poisson</td><td>0.3</td></tr><tr><td>ρ</td><td>densité</td><td>7.8×10³ kg·m⁻³</td></tr><tr><td>σ₀</td><td>paramètre d'amortissement</td><td>0.1 s⁻¹</td></tr><tr><td>σ₁</td><td>paramètre d'amortissement</td><td>0.001 m²·s⁻¹</td></tr></tbody></table>

**Schéma aux différences finies.** Nous utilisons le schéma conservatif suivant pour approximer le système de Von Karman (2.32a) sur une grille de pas spatial $h$ (identique dans les directions $x$ et $y$), comme défini dans [Bilbao, 2008] :

$$\delta_{tt} u_{l,m}^{n} = -\frac{D}{\rho e} \delta_{\Delta,\Delta} u_{l,m}^{n} + \frac{1}{\rho e} l(\mu_t \cdot \phi, u_{l,m}^{n}) - 2\sigma_0 \delta_t u_{l,m}^{n} + 2\sigma_1 \delta_t - \delta_{\Delta} u_{l,m}^{n} + \frac{gl_{,m}}{\rho e} F_e^n \quad (2.35a)$$

$$\mu_{t+} \delta_{\Delta,\Delta} \phi = -\frac{Ee}{2} l(u_{l,m}^{n}, e_{t+} + u_{l,m}^{n}) \quad (2.35b)$$

avec

$$l(\psi_1, \psi_2) = \delta_{xx} \psi_1 \delta_{yy} \psi_2 + \delta_{yy} \psi_1 \delta_{xx} \psi_2 - 2\mu_{x-,y-} (\delta_{x+,y+} \psi_1 \delta_{x+,y+} \psi_2) \quad (2.36)$$
$g_{l,m}$ est la fonction de répartition de la force d'excitation sur les points de la grille. Nous choisissons ($x_e, y_e$) coïncidant avec un point de la grille, ainsi $g_{l,e,m_e} = 1/h^2$ pour $l_e = [x_e/h]$ et $m_e = [y_e/h]$, et $g_{l,m} = 0$ pour les autres points.

Plus de détails pour l'implémentation du schéma sont proposés dans la thèse de Torin [Torin, 2016].

### 2.3.2 Détermination des morphologies sonores

De nombreuses études expérimentales réalisées sur des plaques minces, des coques, des gongs, des cymbales, ont mis en évidence les morphologies sonores caractéristiques provoquées par les non-linéarités géométriques dans le cas de vibrations élastiques de grande amplitude : distorsions harmoniques et variations fréquentielles des modes dépendant de l'amplitude, couplage entre les modes et régimes chaotiques [Legge et Fletcher, 1989] [Fletcher, 1985] [Chaigne et al., 2002] [Thomas et al., 2005b] [Thomas et al., 2005a].

En pratique, les modes fortement excités lors d'un impact (particulièrement dans le cas d'une mailloche molle au centre d'un gong) sont des modes basses fréquences. Si leur amplitude est au moins de l'ordre de l'épaisseur de la plaque, leur fréquence varie et leur forme d'onde n'est plus sinusoïdale. Ces modes non-linéaires entrent alors en résonance avec les autres modes dont la fréquence de résonance est proche d'une de ses harmoniques, ce qui peut déclencher une réaction en chaîne de couplages internes résultant en un déferlement des basses fréquences vers les hautes fréquences. La caractéristique typique des sons produits est l'apparition retardée et soutenue de composantes hautes fréquences dans le signal (voir Fig.2.20).

Nous observons également des modulations de fréquence et d'amplitude plus ou moins rapides causées par les couplages entre les modes. Dans le cas de l'apparition de phénomènes chaotiques (pour des amplitudes de vibration importantes), les modulations deviennent très rapides et induisant un signal « bruité ». Le signal bruité est concentré sur des bandes fréquentielles étroites localisées autour des modes couplés. Dans le cas où de nombreux modes couplés interagissent simultanément, le son résultant est perceptivement proche d'un bruit blanc filtré, comme dans le cas de grands gongs.

#### Évolution des morphologies en fonction de l'amplitude d'excitation $A_e$

Le phénomène apparaît pour de grandes déformations élastiques, les morphologies sonores sont donc étroitement liées à l'amplitude de l'excitation : les phénomènes sont de plus en plus audibles et le déferlement monte de plus en plus haut en fréquence à mesure que la force d'interaction augmente (voir Fig.2.21).

En pratique, il existe une limite à partir de laquelle l'objet n'admet plus de déformation élastique et se déforme plastiquement ou rompt. On parle alors de non-linéarités matérielles et nous n'avons plus de modèle analytique des vibrations de la structure dans ce cas de figure.
<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIGURE 2.20 – Spectrogramme d’un enregistrement en chambre anéchoïque d’un gong impacté en son centre par une mailloche. ▶</figcaption></figure>

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIGURE 2.21 – Spectrogramme d’un signal généré avec le modèle physique d’une plaque impactée à chaque seconde avec une excitation dont l’intensité augmente ($A_e$ = 100N pour $t = 0$s, $A_e$ = 200N pour $t = 1$s, ..., $A_e$ = 1000N pour $t = 9$s) pour une épaisseur $e$ = 2mm. L’apparition retardée de composantes au delà de 700Hz est la conséquence de couplages entre les modes. ▶</figcaption></figure>
### Évolution des morphologies en fonction de la durée d'excitation $\tau_e$. 
Pour avoir le déferlement caractéristique des gongs, il est nécessaire que les composantes hautes fréquences soient nulles au moment de l'impact. L'impacteur doit donc être mou, soit une durée d'excitation importante. Dans le cas où l'impacteur est dur, l'apparition des composantes hautes fréquences n'est plus retardée mais ces composantes restent soutenues, comme c'est le plus souvent le cas lorsque l'on frappe une cymbale avec une baguette en bois (voir Fig.2.22). De plus, à amplitude d'excitation constante, l'énergie globale transférée pendant l'impact est moins importante lorsque la durée d'excitation diminue. Ajouté au fait que l'énergie transférée est plus haute en fréquence, cela entraîne des amplitudes de vibration significativement plus faibles pour les modes basses fréquences, limitant l'apparition de phénomènes non-linéaires. Pour que l'énergie apportée au système par l'excitation soit équivalente, le produit $A_e \times \tau_e$ doit rester constant.

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIGURE 2.22 – Spectrogramme d'un signal généré avec le modèle physique d'une plaque impactée à $t = 0$s avec une excitation en cosinus surélevé de paramètres $A_e = 4000$N et $\tau_e = 2$ms (impact « mou »), puis à $t = 2$s avec une excitation en cosinus surélevé de paramètres $A_e = 16000$N et $\tau_e = 0.5$ms (impact « dur »).</figcaption></figure>

### Évolution des morphologies en fonction de la rigidité de la plaque.
L'apparition du phénomène est conditionné par le fait que les amplitudes de vibration soient de l'ordre de l'épaisseur de la plaque. La rigidité en flexion de la plaque a donc une influence sur l'évolution des morphologies : plus la plaque est rigide, plus il faudra une excitation de grande amplitude pour induire de grandes déformations élastiques.

Ainsi, à force d'excitation constante, l'augmentation de l'épaisseur *e* et du module d'Young *E* de la plaque réduit la présence de non-linéarités tandis que l'augmentation des dimensions *L*<sub>x</sub> et *L*<sub>y</sub> encourage l'apparition de phénomènes non-linéaires. Ces paramètres ont également des effets sur les fréquences modales : les
objets plus rigides présentent des fréquences modales plus hautes et une densité spectrale moins importante. Dans ce cas, il est plus simple de distinguer les composantes tonales correspondant aux modes couplés et les variations fréquentielles des modes (sur un spectrogramme ou à l'oreille). Les conditions aux limites peuvent également avoir une influence sur la rigidité de la structure (une plaque encastrée sur ses bords est plus rigide qu'une plaque simplement appuyée).

Il faut également garder à l'esprit que certaines structures, notamment du fait de leur matériau, n'admettent pas de grandes déformations élastiques. Dans ce cas, l'objet se rompt avant de voir apparaître ce genre de phénomènes.

## Évolution des morphologies en fonction des paramètres d'amortissement.

Lors du déferlement, l'énergie à apporter à une composante fréquentielle pour la voir émerger dépend de son amortissement. Ce phénomène ne peut apparaître que pour des systèmes faiblement dissipatifs. Dans le cas où l'amortissement est trop important, les différences causées par les non-linéarités géométriques n'ont pas le temps de s'exprimer.

### 2.3.2.1 Discussions et hypothèses.

En résumé, les caractéristiques du signal résultant des non-linéarités géométriques dans les plaques minces sont :

* l'apparition retardée et soutenue de composantes de plus en plus hautes en fréquences (déferlement),

* la variation fréquentielle des modes en fonction de leur amplitude,

* l'apparition de signal bruité au voisinage des modes couplés.

Afin d'évaluer la quantité de signal bruité et nos capacités à reconstruire ce type de signal avec une somme de composantes tonales, nous avons séparé la partie tonale du reste du signal à l'aide du modèle sinusoïdal proposé par McAulay&Quatieri dans le contexte de la synthèse de la parole [McAulay et Quatieri, 1988]. Une version de cet algorithme développée par Caetano pour faire des morphings du signal [Caetano, 2021] est disponible en ligne<fnref n="2" />. Les sons résultant de la reconstruction par le modèle sinusoïdal sont réalistes et retranscrivent correctement l'évènement sonore (exemple sonore disponible sur le site d'accompagnement). Nous faisons ici l'hypothèse que ce type de sons peut être synthétisé par une somme de composantes tonales.

Nous étudions également les variations fréquentielles en fonction de l'amplitude de vibration d'une plaque de dimensions (0.7m×0.6m×2mm) pour son premier mode audible (≈ 45Hz). Nous effectuons une simulation pour une excitation sinusoïdale de fréquence et d'amplitude variable pour construire la courbe de résonance présentée Fig.2.23. Nous pouvons observer une augmentation de la fréquence de résonance avec l'amplitude d'excitation puis un décrochage, typique du comportement des modes non-linéaires. Ainsi, nous pouvons évaluer la variation fréquentielle

<footnote n="2">2. https://github.com/marcelo-caetano/sinusoidal-model, visité le 25/09/2021</footnote>
de ce mode à environ 15Hz pour des amplitudes de vibration approchant 1cm dans ce cas.

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIGURE 2.23 – Mesure de l'amplitude de vibration au centre sur une plaque soumise à une excitation sinusoïdale en son centre $F_e(t) = A \sin(\omega t)$ dont la fréquence instantanée varie de 1Hz toutes les 5s (dans le sens croissant en trait plein, décroissant en pointillé). L'amplitude de vibration pour chaque fréquence est calculée en prenant le maximum de la valeur absolue du déplacement sur la dernière seconde du palier de fréquence considéré (nous laissons les vibrations se stabiliser 4s avant de prendre la mesure). Une courbe de résonance typique des modes non-linéaires est ajoutée pour comparaison.</figcaption></figure>

Nous pouvons constater que l'amplitude des variations fréquentielles est relativement peu importante dans les sons générés pour ce corpus censé représenter les cas les plus fréquemment rencontrés dans un environnement écologique. Certains gongs et certaines plaques encastrées présentent des variations spectaculaires qui ne sont pas étudiées ici.

Tous ces phénomènes dépendent fortement des caractéristiques structurelles de l'objet résonant. En particulier, l'objet doit vibrer à une amplitude de l'ordre de son épaisseur ce qui n'est possible que pour des objets flexibles et ductiles. De plus, ces phénomènes sont fortement dépendants de l'amortissement dans le système car ils sont caractérisés par l'apparition de composantes hautes fréquences.

En pratique, ces phénomènes sont le plus souvent observés dans le cas de structures minces métalliques qui présentent des taux d'amortissement faibles et permettent des grandes amplitudes de vibrations élastiques.
2.4 Conclusion

Nous avons synthétisé un corpus sonore pour l'étude des phénomènes non-
linéaires audibles dans la production des sons solidiens par la résolution numérique
de modèles physiques à l'aide de schémas aux différences finies et d'algorithmes ité-
ratifs. Ce corpus rassemble principalement des sons de cordes perturbées par un obs-
tacle rigide et des plaques rectangulaires pour des grandes déformations élastiques
dans différentes configurations. La synthèse par modèle physique, contrairement à
l'enregistrement de sons dans un environnement contrôlé, nous a permis de générer
un grand nombre de sons avec un contrôle précis des paramètres expérimentaux
pour une mise en oeuvre relativement courte et simple.

L'analyse du contenu spectro-temporel de ces sons nous a permis de détermi-
ner des morphologies sonores caractéristiques des phénomènes non-linéaire et leurs
évolutions en fonction de différents paramètres.

Dans le cas des interactions non-linéaires, le signal pendant les collisions entre une corde raide et un obstacle rigide est caractérisé par la génération soudaine de composantes hautes fréquences et un aspect rugueux et inharmonique pour les interactions « fortes ». L'intensité de l'interaction est déterminée par le rapport entre l'amplitude de vibration de la corde et la distance à l'obstacle.

Pour les non-linéarités géométriques, le signal résultant pour de grandes ampli-
tudes de vibrations élastiques présente une apparition progressive de composantes
hautes fréquences, des variations fréquentielles des modes et du signal bruité au
voisinage des modes couplés. C'est principalement le rapport entre l'amplitude
d'excitation et la rigidité en flexion qui détermine l'intensité de ces phénomènes
non-linéaires.

Le fait de transférer de l'énergie vers les modes hautes fréquences est un mé-
canisme commun à ces deux familles de phénomènes non-linéaires et constitue un
enjeu central dans la conception du modèle de synthèse présenté dans le prochain
chapitre.

L'inconvénient majeur de la résolution numérique par schéma aux différences finies est qu'un modèle analytique des vibrations de la structure est nécessaire ce qui limite les phénomènes pouvant être étudiés. D'autres méthodes, comme la méthode des éléments finis ou les réseaux de systèmes masse-ressort peuvent être employés pour enrichir le corpus et étudier d'autres phénomènes non-linéaires. En particulier, les phénomènes liés aux objets très souples détendus (tissus, feuilles), à la courbure ou au flambage, aux déformations plastiques, aux ruptures partielles ou totales ne sont pas traités dans cette étude et pourraient faire l'objet de travaux futurs.

De plus, la synthèse par modèle physique nous astreint à la description du comportement des sources sonores. Nous proposons un modèle de synthèse sonore correspondant aux phénomènes non-linéaires basé sur une modélisation du signal dans le prochain chapitre.
# Modèle de signal pour la synthèse sonore de phénomènes non-linéaires

## Sommaire

<table><tr><td>3.1 Transferts d'énergie entre les modes</td><td>62</td></tr><tr><td>3.1.1 Généralités</td><td>62</td></tr><tr><td>3.1.2 Énergie dans un système 1DDL et analogie avec la puissance d'un signal</td><td>63</td></tr><tr><td>3.1.3 Transferts d'énergie et conservation de la puissance</td><td>65</td></tr><tr><td>3.1.4 Exemples de transferts de puissance</td><td>66</td></tr><tr><td>3.1.5 Implémentation en synthèse additive</td><td>73</td></tr><tr><td>3.1.6 Implémentation en synthèse soustractive et retour sur le paradigme action-objet étendu</td><td>73</td></tr><tr><td>3.2 Interactions non-linéaires</td><td>77</td></tr><tr><td>3.2.1 Excitation par un impact</td><td>77</td></tr><tr><td>3.2.2 Perturbations des vibrations par des collisions</td><td>79</td></tr><tr><td>3.2.3 Couplage entre deux objets</td><td>82</td></tr><tr><td>3.3 Non-linéarités géométriques</td><td>88</td></tr><tr><td>3.3.1 Grandes amplitudes de vibration dans les structures minces</td><td>88</td></tr><tr><td>3.3.2 Objets pliés, flambage et non-linéarités matérielles</td><td>93</td></tr><tr><td>3.4 Conclusion</td><td>97</td></tr></table>

Dans ce chapitre, nous proposons un modèle de synthèse pour générer des sons solidiens dont la source présente les phénomènes non-linéaires décrits dans le chapitre précédent. Ce modèle de synthèse est basé sur une modélisation du signal plutôt que sur une modélisation du système physique sous-jacent : on parle ici d'un modèle de signal en opposition à la synthèse par modèle physique utilisée pour générer le corpus. L'objectif de ce modèle est de reproduire les morphologies sonores associées aux évènements sonores non-linéaires en s'affranchissant des contraintes inhérentes à la synthèse par modèle physique pour aller vers un contrôle intuitif des processus de synthèse et pour permettre de générer des sons "inouïs" en temps réel.
L'enjeu principal est de concevoir un modèle pour les transferts d'énergie entre les modes, caractéristique importante des phénomènes non-linéaires.

Dans un premier temps, nous définissons le cadre du modèle de transfert d'énergie. Divers exemples explicatifs sont proposés pour en comprendre le mécanisme et les algorithmes pour l'implémentation des transferts d'énergie en synthèse additive ou soustractive sont présentés. Nous présentons ensuite l'utilisation du modèle pour générer des sons correspondant aux interactions non-linéaires et aux non-linéarités géométriques.

## 3.1 Transferts d'énergie entre les modes

### 3.1.1 Généralités

Le signal à générer est modélisé par une somme de sinusoïdes et du bruit. Le signal est de la forme :

$$s(t) = b(t) + \sum_{i=1}^{N} A_i(t) \sin(\Phi_i(t)) \quad (3.1)$$

$$\Phi_i(t) = \int_0^t \omega_i(\tau) d\tau \quad (3.2)$$

avec $b(t)$ du bruit blanc filtré, $A_i(t)$ et $\Phi_i(t)$ l'amplitude et la phase de la ième composante sinusoïdale. La phase est obtenue en intégrant la pulsation instantanée $\omega_i(t)$ (Eq.(3.2)). N désigne le nombre de modes.

On associe à chaque composante sinusoïdale sa puissance moyenne sur une période, définie comme suit :

$$P_i(t) = A_i^2(t) \int_{-\tau_i/2}^{\tau_i/2} \sin^2(\omega_i t) = \frac{A_i^2(t)}{2} \quad (3.3)$$

avec $\tau_i = 2\pi/\omega_i$ la période de la composante sinusoïdale. On considère pour ce calcul que l'amplitude et la pulsation varient peu sur une période donnée.

On travaille sur un signal échantillonné à $f_e = 44100Hz$. Le pas de temps est noté $n$ :

$$s(n) = b(n) + \sum_{i=1}^{N} A_i(n) \sin(\Phi_i(n)) \quad (3.4)$$

$$\Phi_i(n) = \sum_{m=0}^{n} \frac{\omega_i(m)}{f_e} \quad (3.5)$$

On note $\psi$ le vecteur contenant les valeurs scalaires $\psi_i$ pour $i$ allant de 1 à N.
Dans le cas particulier de la vibration linéaire d'un résonateur, le signal sonore peut généralement se résumer en une somme de sinusoïdes d'amplitudes exponen- tiellement décroissantes et de pulsations constantes :

$$
s(n) = \sum_{i=1}^{N} A_{0(i)} e^{-\alpha_i n / f_e} \sin(\omega_i n / f_e) \quad (3.6)
$$

avec $A_{0(i)}$ l'amplitude initiale et $\alpha_i$ le coefficient d'amortissement de la $i$'ème com-
posante tonale.

3.1.2 Énergie dans un système 1DDL et analogie avec la puissance d'un signal

Pour effectuer les transferts d'énergies entre les composantes tonales dans le
cadre du modèle de synthèse, on cherche à définir une grandeur quadratique à
conserver. Pour cela, on cherche à exprimer l'énergie d'un système physique équi-
valent. On s'appuie sur un système mécanique oscillant élémentaire : le système à
un degré de liberté *masse-ressort-amortisseur*. Pour le cas sous-amorti, ce système
a pour réponse un mouvement d'oscillations sinusoïdales amorties correspondant
aux composantes définies pour le cas linéaire (voir Eq.(3.6)). Ce type de système
est très documenté et est généralement utilisé pour introduire les vibrations des
structures (voir Sec.1.1.1.2).

**Système masse/ressort/amortisseur.** Pour une masse *M*, un ressort de rai-
deur *K* et un amortissement visqueux *c* (voir Fig.3.1), l'équation du mouvement
est la suivante :

$$
M\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + Kx(t) = F(t) \quad (3.7)
$$

avec $x(t)$ le déplacement unidimensionnel autour de sa position d'équilibre de la
masse et $F(t)$ une force extérieure. la pulsation propre du système est $\omega_0 = \sqrt{K/M}$

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>FIGURE 3.1 – Schéma d’un système à 1DDL Masse/Ressort/Amortisseur.</figcaption></figure>

La réponse libre ($F(t) = 0$) du système sous-amorti ($\xi = \frac{c}{2\sqrt{KM}} < 1$) est,
pour des conditions initiales non nulles, un mouvement pseudo-périodique amorti
de pulsation $\omega = \omega_0\sqrt{1 - \xi^2}$.
On peut définir les grandeurs physiques suivantes :

* Énergie cinétique :

$$E_c(t) = \frac{1}{2} M \dot{x}(t)^2 \qquad (3.8)$$

* Énergie potentielle :

$$E_p(t) = \frac{1}{2} K x(t)^2 \qquad (3.9)$$

* Énergie mécanique :

$$E_t(t) = E_c(t) + E_p(t) \qquad (3.10)$$

**Correspondance avec une composante sinusoïdale.** Pour le cas particulier d'un système non-amorti ($c = 0, K = 1, M = 1$) en vibration libre ($F(t) = 0$) pour les conditions initiales ($x(0) = 1$ et $\dot{x}(0) = 0$), le signal résultant est de la forme d'une composante sinusoïdale d'amplitude constante $X(t) = 1$ et de pulsation $\omega_0 = 1$ :

$$x(t) = X(t) \sin(\omega_0 t) = \sin(t) \qquad (3.11)$$

Dans ce cas l'énergie mécanique du système est constante et égale à la puissance du signal correspondant au déplacement de la masse M (voir Fig.3.2) :

$$E_t(t) = \frac{X(t)^2}{2} = \frac{1}{2} \qquad (3.12)$$

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIGURE 3.2 – Déplacement et énergie du système conservatif ($c = 0$).</figcaption></figure>

Pour un système masse/ressort/amortisseur sous-amorti ($c = 0.2, K = 1, M = 1$) en vibration libre ($F(t) = 0$) pour les conditions initiales $x(0) = 1$ et $\dot{x}(0) = 0$, le signal résultant est de la forme d'une composante sinusoïdale exponentiellement décroissante d'amplitude initiale $X(0) = 1$, de coefficient d'amortissement $\alpha = \frac{c}{2M} = 0.1$, et de pulsation $\omega = \omega_0 \sqrt{1 - \xi^2} = 0.99$ :

$$x(t) = \underbrace{X(0)e^{-\alpha t}}_{X(t)} \sin(\omega t) \qquad (3.13)$$
L'énergie du système est affiché Fig.3.3. Dans ce cas la puissance du signal correspond approxmativement à la moyenne de l'énergie sur une période :

$$P(t) = \frac{X(t)^2}{2} = \frac{e^{-2\alpha t}}{2} \qquad (3.14)$$

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>FIGURE 3.3 – Déplacement et énergies du système sous-amorti et puissance du signal.</figcaption></figure>

Pour le reste du manuscrit, on part du principe que l'énergie d'un système 1DDL équivaut à la puissance moyenne du signal résultant de la mesure du déplacement de la masse au cours du temps. Cela revient à négliger certaines variations d'énergies pendant la période en prenant la valeur moyenne.

### 3.1.3 Transferts d'énergie et conservation de la puissance

**Conservation de la somme des puissances.** Pour notre modèle de synthèse, on considère N modes (composantes tonales) couplés. Pour assurer la conservation d'énergie d'un système physique équivalent composé de N sous-systèmes masse/ressort/amortisseur se transférant de l'énergie de façon indépendante, on cherche à conserver la somme des puissances des signaux correspondant aux N composantes fréquentielles (en dehors des mécanismes de dissipation). On définit une relation de récurrence de la forme :

$$P_i(n + 1) = (P_i(n) + T_i(n)) e^{-2\alpha_i/f_e} \qquad (3.15)$$

avec $P_i(n)$ la puissance associée au mode $i$ et $T_i(n)$ la variation de puissance du mode $i$ liée aux transferts d'énergie entre les modes.

Pour assurer une somme des puissances constante au cours du temps pour un système sans dissipation, on pose :

$$\sum_{i=1}^{N} T_{i}(n) = 0 \qquad (3.16)$$
Dans certains cas, le mécanisme de redistribution est la source de pertes d'énergie. De manière générale, la condition suivante doit être respectée sur les transferts :

$$ \sum_{i=1}^{N} T_i(n) \le 0 \qquad (3.17) $$

### 3.1.4 Exemples de transferts de puissance

**Transferts proportionnels avec seuil.** Pour le premier exemple, on se place dans le cas de 2 modes couplés :

$$ \begin{cases} P_1(n+1) = (P_1(n) + T_1(n)) e^{-2\alpha_1/f_e} \\ P_2(n+1) = (P_2(n) + T_2(n)) e^{-2\alpha_2/f_e} \end{cases} \qquad (3.18) $$

avec $T_1 + T_2 = 0$.

On pose des transferts d'énergie proportionnels à la partie de la puissance de chaque mode $P_i(n)$ excédant le seuil $p_i$ :

$$ \begin{cases} T_1(n) = -\lambda_1 [P_1(n) - p_1]_+ + \eta \lambda_2 [P_2(n) - p_2]_+ \\ T_2(n) = -\lambda_2 [P_2(n) - p_2]_+ + \eta \lambda_1 [P_1(n) - p_1]_+ \end{cases} \qquad (3.19) $$

avec $p_i$ le seuil en dessous duquel le mode $i$ ne distribue plus d'énergie à l'autre mode, $\lambda_1$ et $\lambda_2$ la proportion de la puissance qui sera redistribuée à l'autre mode, et $\eta$ ($0 < \eta < 1$) le « rendement » de la redistribution. Pour tous les exemples, on pose $\eta = 1$ (pas de perte dans la redistribution).

On note $[\psi]_+ = \frac{\psi+|\psi|}{2}$ la partie positive de $\psi$.

Pour ce type de transfert, chaque mode perd une part de sa puissance $P_i(n)$ excédant le seuil $p_i$ pour la redistribuer à l'autre mode.

Dans le cas où les amortissements modaux sont nuls ($\alpha_i = 0$), il en résulte des puissances qui tendent vers un point d'équilibre dépendant de la puissance initiale et de la valeur du seuil (voir Fig.3.4). Sans seuil, le point d'équilibre est identique pour les 2 modes. Lorsqu'il y a de la dissipation, le point d'équilibre décroît au cours du temps (voir Fig.3.5).

On peut généraliser ce type de couplage pour N modes :

$$ \underline{\mathbf{P}}(n+1) = (\underline{\mathbf{P}}(n) + \underline{\mathbf{T}}(n)) \cdot \underline{\mathbf{D}} \qquad (3.20) $$

avec :

$$ \bullet D_i = e^{-2\alpha_i/f_e} $$

$$ \bullet \sum_{i=1}^{N} T_i = 0 $$

et $\underline{\psi} \cdot \underline{\mu}$ le produit matriciel de Hadamard ou produit de Schur (multiplication terme à terme).
<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>FIGURE 3.4 – Évolution de la puissance pour 2 modes couplés sans amortissement ($\alpha_1 = \alpha_2 = 0$). cas 1 : pas de seuil ($p_1 = p_2 = 0$), coefficient de redistribution $\lambda_1 = \lambda_2 = 10^{-5}$; cas 2 : pas de seuil ($p_1 = p_2 = 0$), coefficient de redistribution $\lambda_1 = \lambda_2 = 10^{-4}$; cas 3 : seuil sur le mode 1 ($p_1 = 0.5$; $p_2 = 0$), coefficient de redistribution $\lambda_1 = \lambda_2 = 10^{-5}$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIGURE 3.5 – Évolution de la puissance pour 2 modes couplés sans seuil ($p_1 = p_2 = 0$) pour un coefficient de redistribution $\lambda_1 = \lambda_2 = 10^{-5}$. cas 4 : amortissement $\alpha_1 = 0 \alpha_2 = 0.1$; cas 5 : amortissement $\alpha_1 = 0 \alpha_2 = 1$.</figcaption></figure>
La redistribution entre les modes est définie par l'intermédiaire d'une matrice $\underline{\underline{M}}$ :

$$ \underline{\underline{T}}(n) = \underline{\underline{M}} \left[ \underline{\underline{P}}(n) - \underline{\underline{p}} \right]_+ \quad (3.21) $$

La condition de conservation de la puissance induit la condition suivante sur $\underline{\underline{M}}$ :

$$ \sum_{i=1}^{N} T_i(n) \le 0 \quad \Leftrightarrow \quad \sum_{i=1}^{N} M_{ij} \le 0 \quad \forall j \quad (3.22) $$

Les termes diagonaux de la matrice $M_{ij}$ définissent la proportion de la puissance du $jième$ mode qui sera redistribuée aux autres modes, les autres termes de la colonne $M_{ij}$ définissent la quantité que le $ième$ mode recevra de cette redistribution.

En pratique, on construit la matrice $\underline{\underline{M}}$ en sommant une matrice diagonale $\underline{\underline{\Lambda}}$ et une autre matrice $\underline{\underline{L}}$ :

$$ \underline{\underline{M}} = -\underline{\underline{\Lambda}} + \lambda \eta \underline{\underline{L}} \quad (3.23) $$

avec $\Lambda_{ii} = \lambda$ et $\Lambda_{ij} = 0$ pour $i \neq j$. $\lambda$ est la proportion de puissance excédant le seuil transférée aux autres modes à chaque pas de temps. Dans le cas d'une redistribution sans perte ($\eta = 1$), la somme des transferts est nulle.

La valeur des éléments $L_{ij}$ est la proportion de puissance transférée par le mode $j$ qui sera reçue par le mode $i$, et est définie de la manière suivante :

$$ L_{ij} = \frac{a_{ij}}{\sum_{i=1}^{N} a_{ij}} \quad (3.24) $$

Où $a_{ij}$ est un coefficient pondérant la redistribution depuis le mode $j$ vers le mode $i$. L'avantage de cette formulation est que la conservation de la somme des puissances est assurée quelque soit $< a_{ij} >$ si au moins une valeur par colonne est différente de 0.

Différents exemples pour ce type de redistribution sont présentés ci-dessous pour $N = 5$. Pour chacun de ces exemples, on pose :

* Condition initiale : $P_1(0) = 1$ et $P_i(0) = 0$ pour $i \neq 1$

* Amortissements modaux : $\alpha_i = i \times 0.1$

* Coefficient de redistribution : $\lambda = 10^{-4}$

Exemple n°1 (Fig.3.6)

* Matrice de redistribution uniforme : $a_{ij} = 1 \quad \forall i, j$

* Seuil nul : $p_i = 0 \quad \forall i$

Exemple n°2 (Fig.3.7)

* Matrice de redistribution uniforme : $a_{ij} = 1 \quad \forall i, j$

* Seuil uniforme : $p_i = 0.2 \quad \forall i$
<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE 3.6 – Exemple n°1 : évolution de la puissance des 5 modes couplés pour une matrice de redistribution uniforme avec un seuil nul.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>FIGURE 3.7 – Exemple n°2 : évolution de la puissance des 5 modes couplés pour une matrice de redistribution uniforme avec un seuil non nul.</figcaption></figure>
Exemple n°3 (Fig.3.8)

* Matrice de redistribution tri-diagonale :

$$ \underline{a} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \qquad (3.25) $$

* Seuil nul : $p_i = 0 \quad \forall i$

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIGURE 3.8 – Exemple n°3 : évolution de la puissance des 5 modes couplés pour une matrice de redistribution tri-diagonale avec un seuil nul.</figcaption></figure>

Exemple n°4 (Fig.3.9)

* Matrice de redistribution tri-diagonale

* Seuil uniforme : $p_i = 0.2 \quad \forall i$

**Transferts oscillants.** En introduisant du retard dans le calcul des transferts $T_i(n)$, il est possible de créer des oscillations de la puissance des différents modes. Dans le cas de 2 modes couplés, les termes de transferts s'écrivent :

$$ \begin{cases} T_1(n) = -\lambda_1 P_1(n - N_\delta) + \eta \lambda_2 P_2(n - N_\delta) \\ T_2(n) = -\lambda_2 P_2(n - N_\delta) + \eta \lambda_1 P_1(n - N_\delta) \end{cases} \qquad (3.26) $$

L'apparition d'oscillations dans le système dépend du nombre d'échantillons de retard $N_\delta$ et des paramètres $\lambda_1$ et $\lambda_2$ contrôlant la vitesse des transferts d'énergie. Dans le cas où l'amplitude des oscillations est trop importante, la puissance peut
<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>FIGURE 3.9 – Exemple n°4 : évolution de la puissance des 5 modes couplés pour une matrice de redistribution tri-diagonale avec un seuil non nul.</figcaption></figure>

devenir négative, ce qui n'a pas de sens du point de vue du signal. Il est donc nécessaire d'écrire la condition suivante pour empêcher un mode dont la puissance est nulle de continuer à transférer de la puissance :

$$ \begin{cases} T_1(n) = -\min(P_1(n), \lambda_1 P_1(n - N_\delta)) + \eta \min(P_2(n), \lambda_2 P_2(n - N_\delta)) \\ T_2(n) = -\min(P_2(n), \lambda_2 P_2(n - N_\delta)) + \eta \min(P_1(n), \lambda_1 P_1(n - N_\delta)) \end{cases} \quad (3.27) $$

Des exemples de transferts oscillants entre deux modes sont présentés Fig.3.10.

Ce type de transfert d'énergie permet de recréer des modulations d'amplitude pouvant apparaître lors de transferts d'énergies entre des oscillateurs couplés (par exemple dans le cas de deux pendules simples couplés par un ressort).

De manière analogue aux transferts proportionnels avec seuil, il est possible de généraliser les transferts oscillants pour N modes couplés :

$$ \underline{T}(n) = (\eta \underline{L} - 1) \cdot \underline{P}_{dis}(n) \quad (3.28) $$

avec :

$$ \underline{P}_{dis}(n) = \min(\underline{\Delta P}(n - N_{\delta}), \underline{P}(n)) \quad (3.29) $$

$\Lambda_{ii} = \lambda$ et $\Lambda_{ij} = 0$ pour $i \neq j$. $\lambda$ est la proportion de puissance transférée aux autres modes à chaque pas de temps.

La valeur des éléments $L_{ij}$ est la proportion de puissance transférée par le mode $j$ qui sera reçue par le mode $i$, et est définie de la manière suivante :

$$ L_{ij} = \frac{a_{ij}}{\sum_{i=1}^{N} a_{ij}} \quad (3.30) $$
<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>FIGURE 3.10 – Évolution de la puissance pour 2 modes couplés ($\lambda_1 = \lambda_2 = 5 \times 10^{-5}$) avec des transferts oscillants. Cas 6 : retard $N_\delta = 10000$ échantillons (0.227s), pas d'amortissement ($\alpha_1 = \alpha_2 = 0$). Cas 7 : retard $N_\delta = 10000$ échantillons, avec amortissement ($\alpha_1 = \alpha_2 = 0.5$). Cas 8 : retard $N_\delta = 15000$ échantillons (0.340s), avec amortissement ($\alpha_1 = \alpha_2 = 0.5$).</figcaption></figure>

Un exemple est présenté Fig.3.11 pour une matrice de redistribution tri-diagonale (voir Eq.(3.25)) et pour 5 modes.

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>FIGURE 3.11 – Évolution de la puissance des 5 modes couplés pour des transferts oscillants (retard $N_\delta = 10000$), et une matrice de redistribution tri-diagonale.</figcaption></figure>

Ces différents modèles pour les transferts de puissance accompagnés d'exemples explicatifs permettent de présenter les possibilités offertes par le formalisme que
nous avons proposé. Il est possible de développer d'autres modèles de transfert dans ce cadre pour atteindre d'autres comportements du signal. Par exemple, nous pouvons modifier la dynamique des transferts avec un modèle non-linéaire $T(n) = MP(n)^{\xi}$ et utiliser des processus aléatoires pour rendre le résultat moins prévisible.

Dans le reste du manuscrit, nous utiliserons principalement les transferts proportionnels avec seuil qui suffisent pour reproduire les phénomènes non-linéaires qui nous intéressent pour un temps de calcul limité et des résultats prédicibles.

### 3.1.5 Implémentation en synthèse additive

L'approche la plus directe pour effectuer la synthèse de sons à partir du modèle est de sommer directement des composantes sinusoïdales dont l'amplitude est calculée à partir des puissances des modes. L'algorithme est présenté ci-dessous :

Initialisation :

* Définition des paramètres modaux $\alpha_i$ et $\omega_i$ et des paramètres pour la redistribution $\lambda$, $p_i$ et $a_{ij}$.

* Définition des conditions initiales pour la puissance associée à chaque mode $P_i(0)$ et initialisation de la phase $\Phi_i(0) = 0$.

1. Calcul de l'amplitude des modes à partir de la puissance $P_i(n)$ :

$$A_i(n) = \sqrt{2P_i(n)}$$

2. Calcul de la phase :

$$\Phi_i(n) = \Phi_i(n-1) + \omega_i(n)/f_e$$

3. Calcul du signal au nième pas de temps :

$$s(n) = \sum_{i=1}^{N} A_i(n) \sin(\Phi_i(n))$$

4. Calcul des transferts de puissance $T_i$ puis de la puissance des modes au pas de temps suivant $n + 1$ :

$$P_i(n+1) = (P_i(n) + T_i(n)) e^{-2\alpha_i/f_e}$$

5. Incrémentation du pas de temps $n + 1$ et retour à l'étape 1.

### 3.1.6 Implémentation en synthèse soustractive et retour sur le paradigme action-objet étendu

Dans une optique de synthèse sonore temps-réel avec un contrôle intuitif de la source sonore, nous cherchons à implémenter les transferts d'énergie entre
les résonateurs (définis en section 1.3.2.1) à faible coût computationnel, et à se greffer sur l'implémentation source-filtre proposée dans le paradigme action-objet. L'avantage principal de l'implémentation en synthèse soustractive est de pouvoir s'adapter automatiquement à la source (qui est en entrée du filtre) sans traitement préalable.

Lorsque l'on transfert de l'énergie entre les filtres, nous ne pouvons plus établir une relation de récurrence entre l'amplitude de la composante tonale aux différents pas de temps $Z(n)$ et $Z(n + 1)$ comme c'était le cas pour le cas du filtrage linéaire (voir Eq.(1.5)). Nous devons repartir de la définition de la puissance des composantes tonales $\underline{P}(n)$ pour tenter de définir une nouvelle relation de récurrence :

$$ \underline{P}(n + 1) = [\underline{P}(n) + \underline{T}(n)] \cdot \underline{D} \qquad (3.31) $$

Sachant que la puissance de la composante tonale associée au filtre $i$ est :

$$ P_i(n) = Z_i(n)^2/2 = (x_i(n)^2 + y_i(n)^2)/2 \qquad (3.32) $$

Soit :

$$ \underline{Z}(n) = \sqrt{2\underline{P}(n)} \qquad (3.33) $$

Nous pouvons exprimer l'amplitude de la composante $i$ au pas de temps suivant de la manière suivante (si le terme source est nul) :

$$ Z_i(n + 1) = \sqrt{Z_i(n)^2 + 2T_i(n)} e^{-\alpha_i/f_e} \qquad (3.34) $$

Nous pouvons poser un rapport $R_i(n)$ dépendant du pas de temps $n$ et du mode $i$ :

$$ R_i(n) = \frac{Z_i(n + 1)}{Z_i(n)} = \sqrt{1 + 2\frac{T_i(n)}{Z_i(n)^2}} e^{-\alpha_i/f_e} \quad \text{si } Z_i(n) \neq 0 \qquad (3.35) $$

Ce rapport peut également être exprimé en fonction de $P_i(n)$ :

$$ R_i(n) = \frac{Z_i(n + 1)}{Z_i(n)} = \sqrt{1 + \frac{T_i(n)}{P_i(n)}} e^{-\alpha_i/f_e} \quad \text{si } P_i(n) \neq 0 \qquad (3.36) $$

Nous séparons le terme du gain correspondant aux transferts d'énergie des dissipations :

$$ R_i(n) = R'_i(n)D_i \quad \text{avec} \quad R'_i(n) = \sqrt{1 + \frac{T_i(n)}{x_i(n)^2 + y_i(n)^2}} \quad \text{et} \quad D_i = e^{-\alpha_i/f_e} \qquad (3.37) $$

L'action du couplage non-linéaire entre les filtres peut se résumer à une action sur les variables itératives $x_i(n)$ et $y_i(n)$ lors du filtrage linéaire. Cette action qui consiste à multiplier les variables itératives du filtre par un gain qui dépend des variables des autres filtres :

$$ \tilde{x}_i(n) = R'_i(n)x_i(n) \quad \text{et} \quad \tilde{y}_i(n) = R'_i(n)y_i(n) \qquad (3.38) $$
Si les deux variables sont nulles, on modifie la valeur de $x_i(n)$ et pose directement $\tilde{x}_i(n) = \sqrt{2T_i(n)}$ car $R_i(n)$ tend vers l'infini.

L'algorithme, effectué en parallèle pour chaque filtre couplé $i$ est présenté ci-dessous :

1. Initialisation des variables itératives des filtres $n = 0$ :

$$x_i(0) = y_i(0) = 0 \qquad (3.39)$$

2. Calcul des transferts entre les filtres $\underline{T}(n)$ et modification des variables itératives des filtres.

$$\tilde{x}_i(n) = \begin{cases} R'_i(n)x_i(n) & \text{si } (x_i \neq 0) | (y_i \neq 0) \\ \sqrt{2T_i(n)} & \text{si } (x_i = 0) \& (y_i = 0) \end{cases} \qquad (3.40)$$

$$\tilde{y}_i(n) = \begin{cases} R'_i(n)y_i(n) & \text{si } (x_i \neq 0) | (y_i \neq 0) \\ 0 & \text{si } (x_i = 0) \& (y_i = 0) \end{cases} \qquad (3.41)$$

3. Calcul des variables itératives des filtres au temps suivant $n + 1$ :

$$\begin{aligned} x_i(n + 1) &= X_i x_i(n) - Y_i y_i(n) + u_i(n) \\ y_i(n + 1) &= Y_i x_i(n) + X_i y_i(n) \end{aligned} \qquad (3.42)$$

avec $X_i = D_i \cos(\omega_i(n)/f_e)$ et $Y_i(n) = D_i \sin(\omega_i(n)/f_e)$ et $D_i = e^{-\alpha_i/f_e}$

4. Incrémentation du pas de temps et retour à l'étape 2.

Nous choisissons la variable $y_i(n)$ pour le calcul du signal en sortie

$$s(n) = \sum_{i} y_{i}(n) \qquad (3.43)$$

Un schéma bloc de l'algorithme pour le calcul d'un filtre $i$ est présenté Fig.3.12.

**Définition de l'objet dans le paradigme action-objet étendu.** Nous pouvons ainsi définir l'objet du paradigme action-objet étendu comme étant constitué de $N$ filtres pouvant se transférer de l'énergie (voir Fig.3.13). Les « paramètres modaux » $\omega_i$ et $\alpha_i$ sont définis pour l'évocation des attributs de la structure de l'objet (forme, matériau). Les transferts d'énergies sont effectués par l'intermédiaire du vecteur $\underline{T}(n)$, dont les valeurs sont intégrées dans le bloc $T_i$ (voir l'étape 2 de l'algorithme et le schéma associé Fig.3.12).
<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>FIGURE 3.12 – Schéma bloc pour le calcul de la sortie d'un filtre non-linéaire as- socié à la composante tonale *i*. Le calcul effectué dans le bloc *H*<sub>*i*</sub> correspond au système Eq.(3.42). Les calculs effectués dans le bloc *T*<sub>*i*</sub> correspondent aux équa- tions (3.40)&(3.41).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>FIGURE 3.13 – Définition de l’objet du paradigme action-objet étendu comme un banc de filtres couplés en parallèle.</figcaption></figure>
## 3.2 Interactions non-linéaires

Dans cette section, nous proposons différents paramétrages du modèle de synthèse pour générer des sons correspondant à des interactions non-linéaires particulières.

Nous traitons dans un premier temps le cas de l'excitation par un impact, puis nous cherchons à générer des signaux correspondant à la perturbation des vibrations d'un objet par un obstacle.

### 3.2.1 Excitation par un impact

Nous cherchons à générer des signaux percussifs et à simuler l'effet non-linéaire des impacts (variations de durée de l'excitation avec l'amplitude). Nous proposons un modèle permettant de contrôler la durée, l'amplitude et la position de l'excitation de façon indépendante.

De manière similaire au profil de la force d'excitation dans les modèles physiques (2.2.2.3), Nous modélisons l'impact sur un résonateur par un cosinus surélevé :

$$s_e(t) = \begin{cases} \frac{A_e}{2} \times (-\cos(\frac{2\pi}{\tau_e}t) + 1) & \text{if } 0 \le t < \tau_e \\ 0 & \text{else} \end{cases} \qquad (3.44)$$

Dans le cas de la synthèse soustractive, il est possible d'utiliser directement ce signal temporel discrétisé comme source du banc de filtres. Dans le cas de la synthèse additive, nous calculons la contribution de l'excitation pour chaque mode avec le module de la transformée de Fourier du cosinus surélevé :

$$|S_e(f)| = \frac{A_e \tau_e}{2} \left( \text{sinc}(f\tau_e) + \frac{1}{2} [\text{sinc}(f\tau_e - 1) + \text{sinc}(f\tau_e + 1)] \right) \qquad (3.45)$$

Le spectre de l'excitation est proche d'une cloche de fréquence de coupure égale à $2/\tau_e$ (voir Fig.3.14). La brillance de l'excitation est donc définie par la durée de l'impact $\tau_e$.

La contribution de l'impact à chaque mode $i$ est multipliée par un paramètre $\zeta_i$ qui pondère la contribution de la collision par rapport à la position de l'obstacle. Par exemple dans le cas de la corde :

$$\zeta_i = |\sin(\frac{i\pi}{L}x_e)| \qquad (3.46)$$

avec $x_e$ la position longitudinale de l'impact sur la corde. Cela rend compte du fait qu'un mode ne peut pas être excité par un impact situé sur un de ses noeuds de vibration.

Le spectrogramme d'un exemple sonore présentant les différences de contenus spectraux pour des durées d'impact différentes est proposé Fig.3.15.
<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>FIGURE 3.14 – Module de la transformée de Fourier du signal d’excitation pour différentes durées d’excitation $\tau_e$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>FIGURE 3.15 – Spectrogramme d’un son correspondant à 3 impacts au tiers d’une corde puis à 3 impacts au centre d’une membrane rectangulaire pour différentes durées d’excitation ($\tau_e = 2\text{ms}$ à $t = 0\text{s}$, $\tau_e = 1\text{ms}$ à $t = 1\text{s}$, $\tau_e = 0.5\text{ms}$ à $t = 2\text{s}$, $\tau_e = 2\text{ms}$ à $t = 3\text{s}$, $\tau_e = 1\text{ms}$ à $t = 4\text{s}$, $\tau_e = 0.5\text{ms}$ à $t = 5\text{s}$).</figcaption></figure>
### 3.2.2 Perturbations des vibrations par des collisions

Le cas de la perturbation des vibrations d'un objet par une contrainte unilatérale induisant des collisions successives diffère du cas de l'excitation. En effet, la collision d'un objet vibrant avec un obstacle fixe n'apporte pas d'énergie au système. Au contraire, ce phénomène entraîne des pertes et une éventuelle redistribution de l'énergie. Nous définissons les transferts en fonction des amplitudes modales, de la position de l'obstacle et de la durée de la collision.

**Définition des seuils pour les transferts de puissance.** Nous utilisons des transferts proportionnels avec seuil pour calculer les transferts de puissance dans le signal (voir section 3.1.4). Le choix des paramètres de seuil $p_i$ permet de matérialiser un obstacle en introduisant les déformées associées à chaque mode. Nous définissons pour chaque mode une amplitude limite $\hat{A}_i$ à partir de laquelle le mode interagit avec l'obstacle :

$$p_i = \frac{\hat{A}_i^2}{2} \qquad (3.47)$$

Par exemple, dans le cas d'une corde ou d'une barre de longueur $L$ appuyée sur ses extrémités interagissant avec un obstacle localisé aux coordonnées $(x_c, y_c)$ (voir Fig.3.16), nous définissons l'amplitude limite du ième mode de la manière suivante :

$$\hat{A}_i = \begin{cases} \frac{y_c}{\sin(\frac{i\pi}{L}x_c)} & \sin(\frac{i\pi}{L}x_c) \neq 0 \\ 10^{10} & \sin(\frac{i\pi}{L}x_c) = 0 \end{cases} \qquad (3.48)$$

$\hat{A}_i$ est fixé à un nombre arbitrairement grand pour le cas où sa valeur tend vers l'infini. Ce cas correspond aux déformées modales comportant un noeud de vibration en $x_c$: l'amplitude limite de ces modes n'est pas affectée par le processus de redistribution car leur amplitude reste inférieure à l'amplitude limite. Cela permet, par exemple, de reproduire le cas du jeu d'une harmonique sur une guitare.

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>FIGURE 3.16 – Schéma d'une corde interagissant avec un obstacle avec la représentation des déformées modales des 3 premiers modes de vibration pour une amplitude égale à l'amplitude limite $\hat{A}_i$.</figcaption></figure>

De manière analogue, dans le cas d'une membrane ou d'une plaque rectangulaire de longueur et largeur $L_x \times L_y$, appuyée sur tous ses bords, interagissant avec un
obstacle localisé aux coordonnées $(x_c, y_c, z_c)$ (voir Fig.3.17), nous définissons l'amplitude limite du mode $i$ de fréquence $f_{kl}$ de la manière suivante :

$$ \hat{A}_i = \begin{cases} \frac{z_c}{\sin(\frac{k\pi}{L_x}x_c) \sin(\frac{l\pi}{L_y}y_c)} & \sin(\frac{k\pi}{L_x}x_c) \sin(\frac{l\pi}{L_y}y_c) \neq 0 \\ 10^{10} & \sin(\frac{k\pi}{L_x}x_c) \sin(\frac{l\pi}{L_y}y_c) = 0 \end{cases} \quad (3.49) $$

Pour les objets 2D, le calcul des paramètres modaux (amplitudes limites includes) se fait sur deux variables d'itérations. Les modes sont ensuite classés par fréquence modale croissante.

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>FIGURE 3.17 – Schéma d’une plaque ou membrane rectangulaire interagissant avec un obstacle avec la représentation de la déformée modale du premier mode de vibration pour une amplitude égale à l’amplitude limite $\hat{A}_1$.</figcaption></figure>

La définition des seuils avec cette méthode n'a de sens que pour un obstacle très localisé (considéré ponctuel). Dans le cas d'un obstacle étendu, nous définissons les seuils $p_i$ tous égaux à une même valeur :

$$ \hat{A}_i = y_c \Leftrightarrow p_i = \frac{y_c^2}{2} \quad (3.50) $$

**Définition de la matrice de redistribution.** Chaque colonne $j$ de la matrice de redistribution est identique et égale à la contribution d'un impact (voir Eq. (3.45)) à la position de l'obstacle sur chaque mode :

$$ a_{ij} = \zeta_i \left( \mathrm{sinc}(f_i \tau_c) + \frac{1}{2} \left[ \mathrm{sinc}(f_i \tau_c - 1) + \mathrm{sinc}(f_i \tau_c + 1) \right] \right)^2 \quad (3.51) $$

avec $\zeta_i$ la pondération de la contribution de la collision par rapport à la position de l'obstacle, comme pour le cas de l'impact. Par exemple dans le cas d'une corde interagissant avec un obstacle localisé en $x_c$, $\zeta_i = |\sin(\frac{i\pi}{L}x_c)|$ (voir Eq.(3.46)). $\tau_c$ correspond à la durée de la collision et retranscrit la dureté de l'interaction.

Remarque : Le terme d'amplitude $\frac{A_e \tau_c}{2}$ présent dans l'équation (3.45) n'est pas présent ici car les coefficients $a_{ij}$ sont pondérés par la somme des coefficients sur la colonne (voir Eq.(3.24)). Multiplier la colonne par une constante n'a donc aucun effet sur la redistribution.
**Déclenchement des collisions.** Avec cette méthode, la redistribution de la puissance causée par une collision est effectuée sur un pas de temps. Il faut ensuite choisir à quel pas de temps et à quelle position apparaît l'obstacle. Les transferts $T_i$ sont alors nuls pour tous les pas de temps sauf à l'instant correspondant à une collision.

Pour un obstacle fixe, il peut être pertinent de déclencher les collisions lorsque le signal dépasse une certaine valeur. Cela correspond approximativement à une fréquence de collisions correspondant à la fréquence fondamentale du signal.

Dans le cas de la retranscription d'une dynamique particulière liée à des rebonds entre des objets, une étude plus poussée pourrait être menée pour évaluer une distribution statistique de collisions pour différents cas de figures. On peut par exemple penser au cas d'un impact sur un charleston ouvert dont la cymbale supérieure rebondit sur la cymbale inférieure.

Lors de plusieurs collisions successives proches dans le temps et d'amortissements modaux faibles, les collisions deviennent indiscernables (à l'exception de la première) et le seul phénomène audible dans le signal est l'apparition soutenue de composantes hautes fréquences (voir Fig.3.18).

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>FIGURE 3.18 – Spectrogramme d'un son généré pour des fréquences modales correspondant à une corde (harmonique) de fréquence fondamentale égale à 300Hz et des collisions identiques toutes les 0.03s. Position de l'excitation $x_e = L/2$ (seuls les modes impairs sont excités à $t = 0s$). Position des collisions $x_c = 0.41 \times L$ (les collisions agissent sur tous les modes). La première collision est visible à $t = 0.03s$ (apparition des modes pairs), les suivantes sont indiscernables car trop rapprochées par rapport à la décroissance des composantes tonales liées aux amortissements modaux. ♪</figcaption></figure>

Pour retrouver le grain lié aux discontinuités causées par les collisions, il faut introduire de l'aléatoire dans les processus de synthèse. L'utilisation de processus
aléatoires dans les transferts d'énergie peut également retranscrire des phénomènes plus fins comme le *jivari*, qui correspond à de nombreuses collisions dont la position évolue au cours du temps.

L'introduction de processus aléatoire peut se faire dans le calcul des coefficients de redistribution $a_{ij}$ afin d'assurer un calcul des transferts de puissances rigoureux. Cette méthode nécessite une mise à jour de la matrice de redistribution à chaque pas de temps ce qui augmente sensiblement le temps de calcul.

Une méthode moins coûteuse en temps de calcul proposant un rendu plus réaliste consiste à remplacer l'augmentation d'amplitude des modes causée par les redistributions d'énergie par une variable aléatoire gaussienne $\chi(n)$ filtrée ($\chi(n) \sim \mathcal{N}(0, 1)$). En synthèse soustractive, une manière simple de l'implémenter est de séparer la contribution négative des transferts $T_{i-}(n)$, que l'on intègre dans l'amortissement $R_i(n)$, et la contribution positive des transferts, que l'on intègre comme terme source (se référer à la section 3.1.6) :

$$R_i(n) = \sqrt{1 + 2\frac{T_{i-}(n)}{A_i(n)^2}}e^{-\alpha_i/f_e} \quad (3.52)$$

$$x_i(n + 1) = X_i(n)x_i(n) - Y_i(n)y_i(n) + u_i(n) + \chi(n)\sqrt{2T_{i+}(n)}e^{-\alpha_i/f_e} \quad (3.53)$$

$$y_i(n + 1) = X_i(n)x_i(n) + Y_i(n)y_i(n)$$

avec $\underline{T}_{-}(n) = -\underline{\Lambda}[\underline{P}(n) - \underline{p}]_{+}$ et $\underline{T}_{+}(n) = \eta\lambda\underline{L}[\underline{P}(n) - \underline{p}]_{+}$

Cette méthode conduit à surestimer l'amplitude des contributions positives ($\sqrt{2(P_i(n) + T_{i-}(n))} + \sqrt{2T_{i+}(n)} \ge \sqrt{2(P_i(n) + T_{i-}(n) + T_{i+}(n))}$). Cependant, les contributions de la source ne conduisent pas forcément à une augmentation de l'amplitude des filtres, qui dépend à la fois de la phase du filtre au moment de la collision et du signe de la variable aléatoire $\chi(n)$.

Pour produire une sensation d'impact, la même variable aléatoire scalaire $\chi(n)$ est utilisée pour chaque filtre composant les modes du système pour une apparition simultanée de toutes les composantes fréquentielles (voir Fig.3.19). Pour que des composantes fréquentielles différentes soient excitées à chaque collision, comme dans le cas du tanpura, nous utilisons une variable aléatoire $\chi_i(n)$ différente pour chaque mode $i$ (voir Fig.3.20).

### 3.2.3 Couplage entre deux objets

Lorsque l'interaction devient couplée, les propriétés du résonateur sont modifiées. Cela peut se traduire par une variation des fréquences modales et/ou une augmentation de la dissipation dans le système.

#### 3.2.3.1 Sourdine et étouffement

Le contact d'un objet vibrant avec un obstacle amortissant (e.g. un feutre, un doigt) atténue les vibrations. Le paramétrage du modèle est très similaire au cas où la vibration de l'objet résonant est perturbé par des collisions avec un obstacle
<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>FIGURE 3.19 – Spectrogramme de deux sons percussifs générés à partir des fréquences modales de membrane circulaire dont le premier partiel est égal à 150Hz. La collision avec un obstacle au milieu de la membrane est simulée 15 fois par seconde pour le premier son ($0s \le t < 2s$) puis 150 fois par seconde pour le second son ($2s \le t < 4s$).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>FIGURE 3.20 – Spectrogramme d'un son généré pour des fréquences modales harmomiques de fréquence fondamentale égale à 250Hz. La redistribution aléatoire différenciée sur chaque mode permet de créer un effet qui évoque le son d'un tanpura.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_54.png" /></figure>
rigide (voir section 3.2.2) : nous utilisons des transferts proportionnels avec des seuils correspondant à la position de l'obstacle. Pour obtenir un son étouffé, il faut baisser le paramètre de « rendement » $\eta$ vers 0, et éventuellement augmenter la durée des collisions $\tau_c$. Si $\eta = 0$, toute l'énergie à redistribuer est dissipée ce qui revient à augmenter l'amortissement des modes dont la puissance dépasse le seuil. Si $\eta > 0$, on observe un enrichissement des composantes hautes fréquences pendant l'étouffement (la fréquence de coupure est égale à $2/\tau_c$). Pour un contact maintenu, à l'inverse des collisions, les transferts ont lieu à tous les pas de temps sur toute la durée du contact. Le spectrogramme d'exemples de sons de corde étouffés est présenté Fig.3.21.

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>FIGURE 3.21 – Spectrogramme de deux sons percussifs générés à partir des fréquences modales d'une corde de fréquence fondamentale $f_1 = 300Hz$ interagissant avec un obstacle dissipant toute l'énergie redistribuée ($\eta = 0$). Pour le premier son ($0 \le t < 1$), l'obstacle est étendu et placé contre la position d'équilibre de la corde ($y_c = 0$). Pour le second son ($t \ge 1$), l'obstacle est ponctuel et localisé en ($x_c = L/3$, $y_c = 10^{-5}$). Dans ce cas, les harmoniques multiples de 3 ne sont pas étouffées. ♪</figcaption></figure>

### 3.2.3.2 Interaction « forte »

Pour reproduire la phase d'interaction rugueuse lors d'une interaction brutale entre un objet vibrant souple (e.g. une corde ou une membrane tendue) et un obstacle rigide et peu amortissant (e.g. un objet métallique), nous augmentons le nombre de composantes tonales pendant la phase d'interaction. Nous proposons ci dessous un modèle pour le cas de la corde.

**Augmentation de la rugosité par la création de nouvelles composantes tonales.** Nous générons jusqu'à deux composantes tonales pour chaque mode pendant l'interaction pour créer un signal rugueux et inharmonique (voir Fig.3.22).
Le signal $s(n)$ s'écrit :

$$s(n) = \sum_{i=1}^{N} [B_i(n) \sin(\Phi_{i+}(n)) + C_i(n) B_i(n) \sin(\Phi_{i-}(n))] \quad (3.54)$$

avec :

— $\Phi_{i+}(n)$, la phase de la composante tonale supérieure associée au mode $i$ :

$$\Phi_{i+}(n) = \Phi_{i+}(n-1) + 2\pi(f_i + C_i(n)\frac{f_1}{3})/f_e$$

— $\Phi_{i-}(n)$, la phase de la composante tonale inférieure associée au mode $i$ :

$$\Phi_{i-}(n) = \Phi_{i-}(n-1) + 2\pi(f_i - \frac{f_1}{3})/f_e$$

— $B_i(n)$, l'amplitude de la composante tonale supérieure associée au mode $i$ :

$$B_i(n) = \sqrt{\frac{2P_i(n)}{1 + C_i(n)^2}}$$

— $0 \le C_i \le 1$, un paramètre permettant la transition continue depuis la phase où deux composantes tonales par mode sont générées ($C_i > 0$) vers la phase hors interaction où une seule composante tonale est associée à chaque mode ($C_i = 0$). $C_i$ devient supérieur à 0 si la puissance redistribuée dépasse une valeur limite $\hat{P}$ et la vitesse à laquelle il se rapproche de 1 est pilotée par le coefficient $c_p$ :

$$C_i(n) = \zeta_i \left[ 1 - \exp \left( -c_p \left( \sum_{i=1}^{N} [P_i(n) - p_i]_+ - \hat{P} \right) \right) \right]_+ \quad (3.55)$$

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>FIGURE 3.22 – Schéma d'une représentation temps-fréquence de 2 composantes sinusoïdales générées pour le mode $i$ de la corde pendant une interaction « forte ». Les niveaux de gris indiquent l'amplitude de la composante sinusoïdale.</figcaption></figure>
La puissance $P_i(n)$ associée à chaque mode est distribuée sur deux composantes tonales. Si la puissance redistribuée par tous les modes $\sum_{i=1}^{N} [P_i(n) - p_i]_+$ est supérieure à une limite arbitraire $\hat{P}$ (i.e. si l'interaction est « forte »), le processus génère deux composantes distinctes pour chaque mode aux fréquences $f_i + C_i(n)f_1/3$ et $f_i - f_1/3$. Puis, avec la décroissance de la puissance redistribuée, la composante inférieure s'estompe et la fréquence de l'autre composante décroît jusqu'à retrouver la valeur d'origine de la fréquence modale $f_i$.

Ces variations sont contrôlées par le paramètre $C_i(n)$. Nous avons choisi une fonction exponentielle pour la définition de ce paramètre pour que la fréquence supérieure reste stable à $f_i + f_1/3$ au début de l'interaction, puis chute rapidement à sa valeur finale $f_i$ (voir Fig. 3.22). D'autre part, $C_i(n)$ est proportionnel au coefficient $\zeta_i$ (les modes sont affectés par cette modification proportionnellement à l'amplitude de leur déformée modale à l'emplacement de l'obstacle, voir Eq.(3.46)). Le résultat de la synthèse d'un son avec ce processus est présenté Fig.3.23.

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>FIGURE 3.23 – Spectrogramme d'un son généré avec le modèle d'interaction « forte » dans le cas d'une corde perturbée par un obstacle rigide positionné en ($x_c = L/2$, $y_c = 0.005 \times |\sin(\pi x_c/L)|$), à partir de $t = 0.5s$. ♪</figcaption></figure>

**Processus aléatoires pour un rendu plus réaliste.** Nous définissons la pulsation comme une variable aléatoire suivant une loi normale pendant l'interaction :

$$ \Omega_i(n) \sim \mathcal{N}(\omega_i(n), \sigma_i) \qquad (3.56) $$

Une représentation temps-fréquence d'un signal correspondant à une sinusoïde avec une pulsation aléatoire $s(n) = \sin(\Phi(n))$ avec $\Phi(n) = \sum_{m=0}^{n} \Omega_i(m)/f_e$ est proposée Fig.3.24.
<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>FIGURE 3.24 – Spectrogramme d'un sinus avec une pulsation aléatoire pour une pulsation moyenne $\omega_i = 2\pi \times 5000 \text{ rad.s}^{-1}$ et un écart-type augmentant linéairement avec le temps de $\sigma_i = 0 \text{ à } t = 0\text{ s jusqu'à } \sigma_i = 1000 \text{ à } t = 10\text{s.}$</figcaption></figure>

Les phases des composantes tonales associées à chaque mode deviennent :

$$ \Phi_{i+}(n) = \Phi_{i+}(n-1) + \frac{\Omega_{i+}(n)}{f_e} \quad (3.57a) $$

$$ \Phi_{i-}(n) = \Phi_{i-}(n-1) + \frac{\Omega_{i-}(n)}{f_e} \quad (3.57b) $$

avec :

$$ \Omega_{i+}(n) \sim \mathcal{N} \left( 2\pi \left( f_i + C_i(n) \frac{f_1}{3} \right), C_i(n) \frac{f_1}{3} \right) \quad (3.58a) $$

$$ \Omega_{i-}(n) \sim \mathcal{N} \left( 2\pi \left( f_i - \frac{f_1}{3} \right), C_i(n) \frac{f_1}{3} \right) \quad (3.58b) $$

Les coefficients $a_{ij}$ peuvent également être multipliés par un nombre aléatoire compris entre 0 et 1.

**Fin de l'interaction.** Après la phase d'interaction, pour une corde interagissant avec un obstacle rigide collé à la position d'équilibre de la corde ($y_c = 0$), on distingue 3 cas de figures (Fig.3.25) :

- tout le signal est dissipé (étouffement),

- seul les modes dont la déformée comporte un noeud de vibration à la position longitudinale de l'obstacle (ponctuel) sont encore présent dans le signal (harmonique naturelle),

- la corde est séparée en deux, le signal se décompose en deux signaux harmomiques dont les fréquences fondamentales dépendent de la position longitudinale de l'obstacle et de la variation de tension dans la corde (jeu avec un
bottleneck, pitch bend). Sur une guitare, la caisse de résonance ou les microphones étant localisés sur un côté de la corde, un des signaux harmoniques est sensiblement plus audible que l'autre pour ce type de cas de figure.

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

FIGURE 3.25 – Spectrogrammes de trois exemples sonores pour des interactions « fortes » entre une corde et un obstacle rigide. A gauche, une corde étouffée par un obstacle étendu ($y_c = 0$). Au centre, une corde perturbée par un obstacle ponctuel rigide ($x_c = L/2, y_c = 0$). A droite, un obstacle positionné en $x_c = L/4$ venant séparer la corde en deux. ♪

## 3.3 Non-linéarités géométriques

Dans cette section, la synthèse de sons dont la source présente des non-linéarités géométriques est présentée. En particulier, nous cherchons à reproduire le déferlement caractéristique apparaissant dans le cas des plaques minces pour des grandes déformations élastiques (gongs et cymbales notamment). D'autres cas de figure seront rapidement présentés par la suite.

### 3.3.1 Grandes amplitudes de vibration dans les structures minces

Les non-linéarités géométriques dans les plaques minces ont principalement trois effets sur le signal sonore rayonné :

- le déferlement vers les hautes fréquences,

- l'apparition de signal bruité au voisinage des modes couplés,

- la variation fréquentielle des modes au cours du temps.

**Déferlement vers les hautes fréquences** Le déferlement vers les hautes fréquences, causé par les turbulences d'ondes dans les plaques, est une caractéristique typique des sons rayonnés par les structures minces pour des grandes amplitudes
de vibration. Nous reproduisons ce phénomène par des transferts entre les modes dont la fréquence est proche. Nous utilisons des transferts proportionnels avec seuils, ce qui nous permet de passer du régime linéaire, lorsque les puissances sont inférieures aux seuils, au régime non-linéaire lorsqu'il y a un dépassement.

Pour définir les seuils, le plus simple est d'utiliser les puissances initiales associées aux différents modes dans un cas linéaire $P_1(0)$ et d'ajouter une valeur constante pour que l'ensemble des seuils soient non nuls :

$$p_i = P_{i}(0) + cste \qquad (3.59)$$

Il suffit ensuite de définir des puissances initiales supérieures à ces valeurs pour que la redistribution se produise.

Pour que l'apparition des composantes hautes fréquences soit retardée et obtenir l'effet cascade, il faut que les transferts aient lieu de proche en proche. En d'autres termes, il faut que les termes non-nuls de la matrice de redistribution soient concentrés près de sa diagonale.

Nous définissons la loi de redistribution entre les modes $i$ et $j$ proportionnellement à la différence de leurs fréquences (voir Fig.3.26) :

$$a_{ij} = \begin{cases} \left[1 - \frac{f_j - f_i}{\Delta f}\right]_+ & f_i \le f_j \\ \left[1 - \frac{f_i - f_j}{\Delta f}\right]_+ & f_i > f_j \end{cases} \qquad (3.60)$$

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>FIGURE 3.26 – Loi de redistribution : valeur des coefficients de redistribution $a_{ij}$ en fonction de la différence de fréquence entre les modes $i$ et $j$.</figcaption></figure>

L'effet de la redistribution d'énergie entre les modes est visible Fig.3.27.

**Apparition de signal bruité.** Nous cherchons à faire apparaître des bandes de bruit à proximité des modes se transférant de l'énergie.

Pour la synthèse de bandes de bruit étroites, on filtre du bruit blanc avec le filtre "high-Q" proposé par Mathews&Smith [Mathews et Smith, 2003] (utilisé notamment pour la synthèse des résonateurs dans Metason, voir section 1.3.2.1). On
<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>FIGURE 3.27 – Spectrogramme de deux sons d’impact générés pour des fréquences modales de plaque. Le premier sans transfert (cas linéaire), le second avec des transferts définis Eq.(3.60) pour $\Delta f = 600\,Hz$. Le cas linéaire est synthétisé pour un impact normalisé ($\max_i(P_{l_i}(0)) = 1$) d’une durée $\tau_e = 2\,ms$. Pour la redistribution, les seuils sont fixés à $p_i = P_{l_i}(0) + 1/2000$ et les puissances initiales sont fixées à $P_i(0) = 2 \times P_{l_i}(0)$. ♪</figcaption></figure>
synthétise une bande de bruit filtré pour chaque composante tonale i avec le système suivant :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
x_i(n+1) = R(\cos(\theta_i)x_i(n) - \sin(\theta_i)y_i(n)) + u(n) \\
y_i(n+1) = R(\cos(\theta_i)y_i(n) + \sin(\theta_i)x_i(n))
\end{array}
\right.
\qquad (3.61)
$$

Avec $y_i(n)$ la sortie du filtre numérique, $u(n)$ le bruit blanc à filtrer (source),
$R = e^{-\alpha_b/f_e}$ et $\theta_i = \omega_i(n)/f_e$. $\alpha_b$ est l'amortissement (largeur de bande) du filtre
numérique.

La puissance moyenne du bruit filtré pour chaque composante est mesurée à priori sur un échantillon long et cette valeur est utilisée pour normaliser la sortie du filtre à une puissance moyenne unitaire. La sortie normalisée est notée $\tilde{y}_i(n)$.

La puissance associée à chaque mode est séparée en deux : une partie pour la synthèse d'une composante tonale et une partie pour la synthèse d'une bande étroite de bruit filtré.

On introduit la proportion de signal bruité $Q(n)$. Le signal complet devient de
la forme suivante :

$$
s(n) = Q(n) \sum_{i=1}^{N} P_i(n) \tilde{y}_i(n) \\
\qquad + \sum_{i=1}^{N} \sqrt{2(1-Q(n))} P_i(n) \sin(\Phi_i(n)) \tag{3.62}
$$

Pour que l'apparition de signal bruité soit concomitante avec le chaos résultant
du couplage entre les modes, nous indexons la proportion de signal bruité à la
quantité de puissance redistribuée (voir Fig.3.28) :

$$
Q(n) = \beta_b \left( \sum_{i=1}^{n} [P_i(n) - p_i]_+ \right)^{\gamma_b} \quad (3.63)
$$

Les paramètres $\beta_b$ et $\gamma_b$ permettent de contrôler l'évolution de la proportion de signal bruité en fonction de la quantité de puissance à redistribuer.

**Variation fréquentielle des modes**
Nous avons observé que la fréquence des modes d'une plaque mince variait avec l'amplitude des vibrations de l'objet. Nous cherchons donc à lier les fréquences modales aux amplitudes de vibration des modes. Une solution est d'indexer la pulsation d'un mode à sa puissance, en restant constant en dessous du seuil (mode linéaire à fréquence constante) $p_i$ puis en variant au delà :

$$
\omega_i(n) = \omega_{0i} \left( 1 + \beta_{\omega} [P_i(n) - p_i]_{+}^{\gamma_{\omega}} \right) \quad (3.64)
$$

Les paramètres $\beta_\omega$ et $\gamma_\omega$ permettent de contrôler les variations de fréquences en fonction de la puissance. La pulsation du mode $i$ reste constante si sa puissance reste inférieure au seuil ($P_i(n) < p_i$). La variation peut être positive ($\beta_\omega > 0$) si l'on cherche à reproduire un comportement rigidifiant ("hardening"), ou négative ($\beta_\omega < 0$) pour un comportement assouplissant ("softening") (voir Fig.3.29).
<figure><img src="image_62.png" /></figure>

FIGURE 3.28 – Spectrogramme de deux sons d’impact générés pour des fréquences modales de plaque et des transferts entre les modes. Le premier son ($0s \le t < 4s$) ne contient pas de signal bruité. Du bruit apparaît dans le second son percussif pour une largeur de bande identique pour tous les modes fixée par $\alpha_b = 15$. Nous fixons les paramètres $\beta_b = 0.3$ et $\gamma_b = 1/4$. ♪

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FIGURE 3.29 – Spectrogramme de deux sons d’impact générés pour des fréquences modales de plaque variant avec l’amplitude des modes. Le premier dans le cas d’un comportement rigidifiant ($\beta_\omega = 1/3$), le second dans le cas d’un comportement assouplissant ($\beta_\omega = -1/3$). L’exposant $\gamma_\omega$ est fixé à 2. ♪