contigus à $K$, converge absolument. Il existe, par conséquent, un sous-intervalle $\Pi$ de $(a, b)$ contenant dans son intérieur des points de $K$, et tel que

$$ \Pi \times K = \Pi \times P_{\mu}. $$

Or, aucun intervalle situé dans l'intérieur d'un des intervalles contigus $\pi_n$, ne contient de points singuliers $\mathcal{L}_\mu$; par conséquent, $f(x)$ est intégrable $(\mathcal{L}_\mu)$ dans chaque tel intervalle et en vertu de (6), la valeur de son intégrale $(\mathcal{L}_\mu)$ y coïncide avec celle de son intégrale $(\mathcal{D})$. Il s'en suit facilement que $f(x)$ est intégrable $(\mathcal{L}_\mu^c)$ sur chaque intervalle $\pi_n$ et que

$$ \mathcal{L}_{\mu}^{c}(f; \pi_{n}) = (\mathcal{D}) \int_{\pi_{n}} f(x) dx, \\ \text{et} \\ O(\mathcal{L}_{\mu}^{c}; f; \pi_{n}) = O(\mathcal{D}; f; \pi_{n})^{1}. $$

$$ \text{On a donc} \quad (9) \qquad \sum_{n} |\mathcal{L}_{\mu}^{c}(f; \pi_{n})| < +\infty, $$

$$ \text{et lorsque la suite } \{\pi_n\} \text{ est infinie, aussi} \quad (10) \qquad \lim_{n} O(\mathcal{L}_{\mu}^{c}; f; \pi_n) = 0. $$

Or, en raison de (7), tous les points de $K$, (au moins ceux qui sont intérieurs à $\Pi$), sont à la fois des points singuliers $(\mathcal{L}_\mu^c)$ de $f(x)$ dans $\Pi$. D'autre part, la fonction $f(x)$ étant sommable sur $K$, elle y est, à plus forte raison, intégrable $\mathcal{L}_\mu^c$ en tant que $\mathcal{L}_\mu^c \supset \mathcal{L}_\mu$ contient l'intégrale lebesguienne. Il s'en suit en raison de (9) et (10) que $f(x)$ est intégrable $(\mathcal{L}_\mu^{ch} = \mathcal{L}_{\mu+1})$ dans $\Pi$ ce qui est évidemment contradictoire avec l'hypothèse que $\Pi$ contient dans son intérieur des points de $P_{\mu+1} = P_\mu$.

Nous avons supposé plus haut que $P_\mu$ ne se réduit pas aux extrémités de l'intervalle $(a, b)$. Or, s'il en était ainsi, on vérifierait de suite que $f(x)$ serait intégrable $(\mathcal{L}_\mu^c)$, donc, à plus forte raison, intégrable $(\mathcal{L}_{\mu+1})$ dans $(a, b)$ ce qui est aussi contradictoire avec l'hypothèse (8).

Ainsi, dans tout cas nous aboutissons avec (8) à une contradiction; il s'en suit que $P_\mu = 0$, c.-à-d. que $f(x)$ est intégrable $(\mathcal{L}_\mu)$ dans $(a, b)$.

Notre assertion est donc démontrée.

## Sur la décomposition du cercle ouvert en arcs simples ouverts.

Par
Stanisława Nikodym (Cracovie).

Le but de cette note consiste à démontrer une propriété de la décomposition des domaines ouverts et plans en arcs simples ouverts. Nous ne considérerons ici que le cas particulier, où le domaine est l'intérieur d'une courbe simple fermée.

**Théorème <fnref n="1" />).** Soit $\mathcal{G}$ l'intérieur d'une courbe simple fermée $\mathcal{C}$. Supposons qu'on ait décomposé $\mathcal{G}$ en des arcs simples ouverts $\{K\}$ jouissant des propriétés suivantes:

1. leurs diamètres surpassent un nombre positif fixe $\epsilon$,

2. ils sont disjoints deux à deux, même si l'on les ferme,

3. les deux bouts $K$ de chaque arc ne coïncident jamais et ils sont des points quise trouvent sur la frontière $C$ du domaine $\mathcal{G}$,

4. par tout point $p \in \mathcal{G}$ passe une courbe $K$.

Soit $p_0, p_1, p_2, \dots$ une suite infinie de points de $\mathcal{G}$ telle que $\lim_{n=p_0} p_n = p_0$ et telle qu'au plus un nombre fini des $p_n$ est situé sur l'arc $K_0$ passant par $p_0$. Soit $K_n$ l'arc de $\{K\}$ passant par $p_n$.

<footnote n="1">¹) $\mathcal{S}$ étant une intégrale et $f(x)$ une fonction quelconque intégrable ($\mathcal{S}$) dans un intervalle $I_0$, $O(\mathcal{S}; f; I_0)$ désigne l'oscillation de l'intégrale ($\mathcal{S}$) de la fonction $f(x)$ dans l'intervalle $I_0$; voir note ¹), p. 259.</footnote>

<footnote n="1">¹) L'étude de telles décompositions m'était proposée par M. O. Nikodym. Le contenu de la note était présenté au I Congrès des Mathématiciens des Pays Slaves à Varsovie (le 24. IX. 1929, Section III).</footnote>
Dans ces conditions il existe une suite partielle

$p_{\nu_1}, p_{\nu_2}, \dots$

telle que $K_{\nu_{n+1}}$ divise $G$ entre $p_0$ et $K_{\nu_n}$.

**Démonstration.** Soit $\{K\}$ une décomposition (du domaine $G$) satisfaisant aux conditions du théorème. Tout $K$ divise $G$ en deux domaines et divise $C$ en deux arcs ouverts que nous appellerons bases de $K$.

**Lemme 1.** Dans les conditions 1º, 2º, 3º, 4º du théorème le diamètre d'aucune base ne peut pas être < $\varepsilon$.

En effet, soit $K_1$ un arc de la décomposition envisagée dont la base $\Delta_1$ possède le diamètre $\delta(\Delta_1) < \varepsilon$. Désignons par $H_1$ l'intérieure de la courbe simple fermée $\overline{K_1} + \overline{\Delta_1}$.

En vertu de l'hypothèse on a

$$ (1) \qquad \delta(H_1) = \delta(\overline{H_1}) \ge \delta(K_1) > \varepsilon. $$

Rangeons tous les points de $H_1$ dans une suite bien ordonnée:

$$ (2) \qquad p_2, \dots, p_\omega, \dots, p_\alpha, \dots $$

les indices commençant par 2.

Nous allons définir pour des nombres ordinaux $\alpha < \Omega$ les points $t_\alpha$, les courbes $K_\alpha$, leurs bases $\Delta_\alpha$ et les domaines $H_\alpha$ de la manière suivante.

Posons $t_2 \stackrel{\overline{\omega}}{=} p_2^{(1)}$.

Comme $t_2 \in G$, par $t_2$ passe un et un seul arc de la décomposition, soit $K_2$. Les bouts de $K_2$ se trouvent nécessairement sur $\Delta_1$, ce qui résulte du théorème de Jordan, étant donné que deux courbes de la décomposition n'ont pas de points communs, même si l'on les ferme.

Soit $\Delta_2$ la base de $K_2$ déterminée par la condition $\Delta_2 \subset \Delta_1$.

Désignons par $H_2$ l'intérieure de la courbe simple fermée

$$ \text{On a} \qquad \overline{K_2} + \overline{\Delta_2}. $$

On démontre aisément que $\delta(\overline{H_1}) > \delta(\overline{H_2})$.

Soient, en effet, $a, b$ deux points de $\overline{H_2}$ tels que $\delta(\overline{H_2})$ est égal à la distance des points $a, b$.

**Décomposition du cercle.**

Ils sont nécessairement situés sur la frontière $\overline{\Delta_2} + \overline{K_2}$.

Au moins un de ces points se trouve placé sur $K_2$ parce que

$$ \delta(\overline{H_2}) \ge \delta(K_2) > \varepsilon \quad \text{et} \quad \delta(\Delta_2) \le \delta(\Delta_1) < \varepsilon. $$

Soit $a \in K_2$, donc $a \in H_1$. Il existe un nombre $\rho > 0$ tel que le cercle fermé $S(a, \rho)$ se trouve dans $H_1$. Si l'on fait prolonger le segment rectiligne $ba$ au delà du point $a$, on obtient un rayon $aa'$ du cercle tel que

$$ (aa') \cdot (ab) = 0 $$

[(aa') et (ab) désignant les intervalles ouverts].

Or $b \in \overline{H_1}$, $a', \epsilon \in \overline{H_1}$ et $\rho(b, a')^1 > \delta(\overline{H_2}) = \text{longueur } (a, b)$.

Cela prouve que

$$ \delta(\overline{H_2}) < \delta(\overline{H_1}). $$

On a de plus:

$$ \delta(\overline{H_2}) \ge \delta(K_2) > \varepsilon. $$

Supposons qu'on ait déjà défini les $t_\alpha$, $H_\alpha$, $\Delta_\alpha$ et $K_\alpha$ pour tous les nombres ordinaux $\alpha$ inférieurs à un nombre $\beta$ donné, où $\beta > 2$.

Supposons de plus que les éléments $t_\alpha$, $\Delta_\alpha$, $K_\alpha$, $H_\alpha$ possèdent les propriétés suivantes :

1. Si $\alpha < \beta$, $H_\alpha$ est un domaine borné dont la frontière est la courbe simple fermée $\overline{K_\alpha} + \overline{\Delta_\alpha}$, $\Delta_\alpha$ est une base de $K_\alpha$,

$$ H_\alpha \subset H_1 \subset G, \quad \delta(\overline{H_\alpha}) > \varepsilon, $$
$K_\alpha$ est un arc $\{K\}$ passant par $t_\alpha$.

2. Si $\alpha' < \alpha'' < \beta$ on a $\overline{H_{a'}} \supset \overline{H_{a''}}$, $K_{a''} \subset H_{a''}$, $\Delta_{a''} \subset \Delta_{a''}$.

3. Si $\alpha' < \alpha'' < \beta$, on a $\delta(\overline{H_{a''}}) < \delta(\overline{H_{a'}})$.

Nous allons définir nos éléments pour l'indice $\beta$. Deux cas peuvent s'y présenter:

1) $\beta$ est de 1re espèce

2) $\beta$ est de 2me espèce.

Dans le cas 1) soit $t_\beta$ le premier point de la suite (2) contenu dans $H_{\beta-1}$. De tels points existent en vertu de la supposition 1º).

<footnote n="1">1) $t_1$ soit choisi arbitrairement sur $K_1$.</footnote>

<footnote n="1">1) $\rho(b, a')$ désigne la distance de $b$ et $a'$.</footnote>
On a $t_β ∈ H_{β-1}$. Comme (en vertu de 2º) $H_{β-1} ⊂ H_1$, on a $t_β ∈ G$; donc par $t_β$ il passe un arc $\{K\}$. Soit $K_β$ cet arc. Une de ses bases $\Delta_β$ est nécessairement contenue dans $\Delta_{β-1}$ puisque $K_β ⊂ H_{β-1}$. Soit $H_β$ le domaine intérieur de la courbe simple fermée $\bar{\Delta}_β + \bar{H}_β$. On voit que $H_β ⊂ H_{β-1}$ et on démontre comme plus haut que

$$ \delta(\bar{H}_\beta) < \delta(\bar{H}_{\beta-1}) \\ \delta(\bar{H}_\beta) > \varepsilon. $$

et que

Il s'ensuit que les propriétés 1º, 2º, 3º subsistent pour tous les nombres ordinaux $\leqslant \beta$.

Envisageons maintenant le cas 2), où $\beta$ est un nombre limite. Il existe une suite simplement infinie $\alpha_1 < \alpha_2 < \dots < \beta$ de nombres ordinaux, telle que $\beta = \lim_{n \to \infty} \alpha_n$.

Le produit

$$ H'_{\beta} \overline{\overline{\beta}} \prod_{n=1}^{\infty} \overline{\overline{H}}_{\alpha_n} $$

est indépendant du choix de la suite $\alpha_1, \alpha_2, \dots$.

En effet, soit $\alpha'_1 < \alpha'_2 < \dots < \beta$ une deuxième suite telle que $\lim_{n \to \infty} \alpha'_n = \beta$ et soit $H''_\beta = \prod_{n=1}^\infty \overline{\overline{H}}_{\alpha'_n}$.

Quel que soit $n$ il existe un nombre $\mu$ tel que la relation $m > \mu$ entraîne $\alpha_n < \alpha'_m$. Comme $\alpha_n < \beta$ et $\alpha'_m < \beta$, on a, en vertu de la supposition 2º

$$ \overline{\overline{H}}_{\alpha_n} \supset \overline{\overline{H}}_{\alpha'_m}, $$

ce qui donne $\overline{\overline{H}}_{\alpha_n} \supset \overline{\overline{H}}_{\beta''}$, d'où $\overline{\overline{H}}_{\beta'} \supset \overline{\overline{H}}_{\beta''}$.

D'une manière analogue on démontre que $H_{\beta}'' \supset H_{\beta'}$ ce qui donne $H_{\beta'} = H_{\beta}''$.

L'indépendance en question est ainsi démontrée.

$H'_\beta$ est un ensemble fermé et, on a $\delta(H'_\beta) \geq \varepsilon$, en vertu de la supposition 1º. Si $H'_\beta$ ne contient pas de points de $G$, le procédé s'arrête. Dans le cas contraire soit $t_\beta$ le premier point de la suite (2) intérier de $G$. On a $t_\beta \in H_\alpha$ pour tout $\alpha < \beta$.

En effet, le nombre $\alpha$ peut être toujours considéré comme un élément d'une suite infinie croissant de nombres ordinaux tendant vers $\beta$, ce qui implique $H'_\beta \subset H_\alpha$.

## Décomposition du cercle.

Soit $K_β$ l'arc de $\{K\}$ passant par $t_β$. Une de ses bases $\Delta_β$ est contenue dans $\Delta_α$, où $\alpha < \beta$ et, comme on le démontre sans peine, $\Delta_β$ est indépendant du choix du nombre $\alpha$.

Soit $H_β$ le domaine borné, déterminé par la courbe simple fermée $\bar{\Delta}_β + \bar{K}_β$. On a

$$ \delta(H_\beta) \geq \delta(K_\beta) > \varepsilon $$

et, en outre:

$$ \delta(H_\beta) < \delta(H_\alpha) \quad \text{si} \quad \alpha < \beta. $$

On voit ainsi que, si le procédé peut être poussé jusqu'au nombre $\beta$, les propriétés 1º, 2º, 3º subsistent.

Mais le procédé défini ainsi s'arrête nécessairement parce que dans le cas contraire on aurait une suité transfinie non dénombrable de nombres positifs:

$$ \delta(H_1), \delta(H_2), \dots, \delta(H_\omega), \dots, \delta(H_\alpha), \dots, $$

où la relation $\alpha' < \alpha''$ entraîne $\delta(H_{\alpha'}) < \delta(H_{\alpha''})$.

Il existe donc un nombre $\alpha < \Omega$ tel que les relations

$$ \alpha_1 < \alpha_2 < \dots < \alpha, $$

$$ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \alpha $$

entraînent

$$ H' \overline{\overline{H}} \prod_{n=1}^{\infty} \overline{\overline{H}}_{\alpha_n} \subset C. $$

Par conséquent $H' \subset \Delta_1$.

Mais cela implique une contradiction puisque on a $\delta(H') \geq \varepsilon$ (étant donné que $\delta(H_{\alpha_n}) > \varepsilon$) et d'autre part $\delta(\Delta_1) < \varepsilon$.

Le lemme 1 est ainsi démontré.

**Lemme 2.** Dans, les conditions du théorème il n'existe pas une infinité de bases qui soient disjoints deux à deux après la ferméture.

En effet, supposons que les bases $\overline{\Delta}_1, \overline{\Delta}_2, \dots, \overline{\Delta}_n, \dots$ des arcs $K_1, K_2, \dots, K_n, \dots$ appartenant à $\{K\}$ sont disjoints. En vertu du lemme 1 on a $\delta(\overline{\Delta}_n) \geq \varepsilon$ ($n=1, 2, \dots$).

D'après le théorème de M. Wawerski<fnref n="1" />) il existe une suite infinie partielle $\overline{\Delta}_{n_1}, \overline{\Delta}_{n_2}, \dots$ pour laquelle l'ensemble limite et l'ensemble d'accumulation coïncident et telle que, si l'on pose :

$$ \Delta = \text{ens. } \lim_{k \to \infty} \overline{\Delta}_{n_k}, $$

<footnote n="1">¹) Fund. Math. T. IV. Sur un continu singulier, p. 229.</footnote>
on a

$$ \Delta \cdot \overline{\Delta}_{n_k} = 0^{1)} $$

Δ est un continu dont le diamètre est $\geqslant \varepsilon$.

Comme

$$ C - \Delta \supset \sum_{k=1}^{\infty} \Delta_{n_k}, $$

on trouve:

$$ (C - \Delta)' \supset \left( \sum_{k=1}^{\infty} \Delta_{n_k} \right)' \supset \Delta. $$

Comme d'autre part

$$ (C - \Delta)' \supset C - \Delta, $$

on en obtient

$$ (C - \Delta)' \supset C, $$

ce qui démontre que $\Delta$ est un continu de condensation pour $C$.

Mais cela est impossible, puisque $C$ est une courbe simple fermée. Le lemme est démontré.

Les lemmes étant établis, passons à la démonstration du théorème.

Soit $p_0 \in G$ et $p_1, p_2, p_3, \dots, p_n, \dots$ une suite infinie de points de $G$ tendant vers $p$ et tels que les courbes $K_0, K_1, K_2, \dots$ de $\{K\}$ passant respectivement par $p_0, p_1, p_2, \dots$ sont différentes.

La courbe $K$ découpe $G$ en deux domaines. Dans un, au moins d'eux, soit $G_1$, il y a une infinité de points $p_n$. Soient $p'_1, p'_2, \dots$ tous ces points et $K'_n$ les courbes correspondantes. On a $\lim_{n \to \infty} p'_n = p_0$. Soit $\Delta_0$ la base de $K_0$ correspondant à $G_1$. Tout $K_n$ possède une base déterminée située dans $\Delta_0$. Désignons la par $\Delta'_n$.

Les bases $\Delta'_n$ et $\Delta'_m$ pour $n \neq m$ ne peuvent pas s'empiéter, à cause du théorème de Jordan.

On démontre qu'il y a au plus un nombre fini d'indices $m$ tels que $\Delta'_m \subset \Delta'_n$. Dans le cas contraire, on aurait pour une infinité de $m$: $K'_m \subset \text{intérieur de la courbe } \overline{K'_n} + \overline{\Delta'_n}$. Donc on aurait une infinité de points $p'_m$ dont la distance de $p$ serait supérieure à un nombre positif.

Posons $\lambda_1 \overline{\partial} \ 1$. Écartons tous les indices $m$ pour lesquels $\Delta'_m \subset \Delta'_1$. Soit $\lambda_2$ le premier indice restant (on a $\lambda_2 > \lambda_1$). Supposons

qu'on ait défini les indices $\lambda_1 < \dots < \lambda_n$. Supposons, en outre que, 1° si $m < \lambda_n$, et si $m$ est différent de $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{n-1}$, au moins une des relations

$$ \Delta_m^1 \subset \Delta_{\lambda_1}^1, \quad \Delta_m^1 \subset \Delta_{\lambda_2}^1, \dots, \quad \Delta_m^1 \subset \Delta_{\lambda_{n-1}}^1 $$

a lieu, 2° si $s < t \leqslant n$, on a ou $\Delta_{\lambda_s}^1 \subset \Delta_{\lambda_t}^1$, ou bien $\overline{\Delta}_{\lambda_s}^1 \cdot \overline{\Delta}_{\lambda_t}^1 = 0$.

Écartons tous les indices $m$ pour lesquels au moins une des inclusions suivantes subsiste:

$$ \Delta_m \subset \Delta_{\lambda_1}, \quad \Delta_m \subset \Delta_{\lambda_2}, \dots, \quad \Delta_m \subset \Delta_{\lambda_n}. $$

Le premier indice restant sera désigné par $\lambda_{n+1}$. On a nécessairement $\lambda_{n+1} > \lambda_n$. En effet, dans le cas contraire on aurait $\lambda_{n+1} < \lambda_n$. Comme $\lambda_{n+1}$ est différent de $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{n-1}$, on aurait au moins une des relations

$$ \Delta'_{\lambda_{n+1}} \subset \Delta'_{\lambda_1}, \quad \Delta'_{\lambda_{n+1}} \subset \Delta'_{\lambda_2}, \dots, \quad \Delta'_{\lambda_{n+1}} \subset \Delta'_{\lambda_{n-1}}; $$

ce qui est impossible.

On voit aisément que les propriétés 1° et 2° mentionnées ci-dessus subsistent pour les indices $\lambda_1, \lambda_1, \dots, \lambda_{n+1}$.

On obtient ainsi une suite infinie d'indices $\lambda_1 < \lambda_2 < \dots$ qui jouit de la propriété suivante:

Si $n' < n''$, les bases $\overline{\Delta}_{\lambda_{n'}}$, $\overline{\Delta}_{\lambda_{n''}}$ sont ou disjoints ou bien on a $\overline{\Delta}_{\lambda_{n'}} \subset \overline{\Delta}_{\lambda_{n''}}$.

On démontre qu'il existe une suite infinie partielle $\{v_n\}$ de $\{\lambda_n\}$, telle que:

$$ \Delta'_{v_1} \subset \Delta'_{v_2} \subset \Delta'_{v_3} \subset \dots $$

En effet, supposons que cela ne soit pas vrai. Posons $\mu_1 \overline{\partial} \ 1$. Soit $\mu_2$ le premier indice différent de $\mu_1$ (donc $> \mu_1$) tel que $\Delta_{\mu_1} \subset \Delta_{\mu_2}$, $\mu_3$ le premier indice différent de $\mu_2$ (donc $> \mu_2$) tel que $\Delta_{\mu_3} \subset \Delta_{\mu_4}$ etc. Le procédé se définit facilement par induction. Mais il s'arrête, en vertu de la supposition, soit pour $k$.

On a:

$$ (3) \qquad \Delta_{\mu_1} \subset \Delta_{\mu_2} \subset \dots \subset \Delta_{\mu_k} $$

et cette suite ne peut pas être augmentée ni par prolongation ni par l'introduction de membres intermédiaires.

Il existe au plus un nombre fini de $\lambda_n$ pour lesquels $\Delta_{\lambda_n} \subset \Delta_{\mu_k}$. Par conséquent, il existe au moins un indice $\lambda_n$ supérieur à $\mu_k$, soit

<footnote n="1">1) Les $\overline{\Delta}_{n_k}$ sont des arcs simples situés sur $C$.</footnote>
$\mu'_i$, tel que $\overline{\Delta}_{\mu'_i} \cdot \overline{\Delta}_{\mu_k} = 0$. On a à fortiori $\overline{\Delta}'_{\mu_k} \cdot \overline{\Delta}'_{\mu'_i} = 0$ pour $s=1, 2, \dots, k$.

Nous allons continuer le procédé en partant de $\overline{\Delta}_{\mu'_i}$ et en formant une suite saturée:

$$ \Delta'_{\mu'_i} \subset \Delta'_{\mu'_i} \subset \dots \subset \Delta'_{\mu'_i}. $$

Remarquons que ces bases sont nécessairement disjoints à $\Delta'_{\mu_k}$ puisque (3) ne peut pas être prolongée.

Soit $\mu'_i$ le premier indice tel que $\mu'_i > \mu'_i$ et que $\overline{\Delta}_{\mu'_i} \cdot \overline{\Delta}_{\mu'_i} = 0$. On procède ainsi indéfiniment.

Les bases $\Delta'_{\mu_1}, \Delta'_{\mu'_1}, \Delta'_{\mu'_1}, \dots$ sont nécessairement disjoints ce qui est impossible, d'après le lemme 2.

L'existence de la suite

$$ \Delta'_{\nu_1} \subset \Delta'_{\nu_1} \subset \dots $$

est ainsi assurée.

On achève facilement la démonstration du théorème, en montrant que

$$ K_{\nu_{n+1}} \text{ divise } G \text{ entre } p \text{ et } K_{\nu_n}. $$

Remarquons que la condition 1º du théorème est essentielle pour que la thèse subsiste.

Si la frontière du domaine n'est pas jordanienne, la thèse peut être en défaut et il y en est de même, si les diamètres des arcs ne sont pas supérieurs à un nombre positif fixe.

## Sur le problème des courbes gauches en Topologie<fnref n="1" />).

Par

Casimir Kuratowski (Lwów).

J'appelle une courbe, ou en général, un ensemble de points A, gauche au sens topologique, lorsque A n'est homéomorphe à aucun ensemble situé sur le plan.

Le problème consiste à caractériser les courbes gauches, ainsi conçues, de façon intrinsèque.

Dans cet ordre d'idées, le premier résultat important fut celui de M. Ważewski <fnref n="2" />): une courbe gauche n'est jamais une dendrite<fnref n="3" />).

Ce résultat fut précisé ensuite par M. Ayres, qui prouva qu'un continu Péanien gauche doit — non seulement contenir une courbe simple fermée, comme l'a prouvé M. Ważewski — mais qu'il contient toujours une courbe de la forme $\eta\theta^u$ (courbe composée de trois arcs coextrémaux n'ayant deux à deux que leurs extrémités en commun) <fnref n="4" />).

Je vais me borner dans cette note à traiter ledit problème dans

<footnote n="1">¹) Les résultats principaux de cette note ont été communiqués à la Soc. Połonaise de Math. (Section de Varsovie) à la séance du 21 juin 1929.</footnote>

<footnote n="2">²) Ann. de la Soc. Pol. Math. 2 (1924), p. 49—170 Cf. aussi une simple démonstration du même théorème donnée par M. Menger, Fund. Math. X (1926). Le théorème de M. Ważewski répond à un problème posé par M. Mazurkiewicz dans Fund, Math. II, p. 130.</footnote>

<footnote n="3">³) Une dendrite est, par définition, un continu Péanien (= image continue d'un intervalle) qui ne contient aucune courbe simple fermée. C'est une généralisation de la notion de l'arbre de la topologie combinatoire.</footnote>

<footnote n="4">⁴) Fund. Math. XIV, p. 92. M. Ayres prouve que la propriété de ne pas contenir de courbes $\theta$ caractérise les continus Péaniens qui sont homéomorphes à la frontière d'une région située sur le plan.</footnote>