# Sur quelques éléments finis courbes de classe C¹

Michel Bernadou

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Michel Bernadou. Sur quelques éléments finis courbes de classe C¹. [Rapport de recherche] IRIA-RR-281, IRIA. 1978, pp.61. hal-04716509

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115

SUR QUELQUES
ÉLÉMENTS FINIS COURBES
DE CLASSE C¹

Michel BERNADOU

Rapport de Recherche N° 281

Mars 1978
# SUR QUELQUES ÉLÉMENTS FINIS COURBES DE CLASSE $C^1$

Michel Bernadou

## Résumé :

L'objet de ce travail est de construire des éléments finis courbes de classe $C^1$ compatibles avec les éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL. On commence par approcher la frontière courbe puis on construit des éléments finis courbes de classe $C^1$. On termine alors par l'étude de l'erreur d'interpolation.

## Abstract :

The purpose of this paper is to construct curved finite elements of class $C^1$, compatible with the element of ARGYRIS and BELL. We begin by the approximation of the curved boundary and, next, we construct curved finite elements of class $C^1$. We conclude by studying the interpolation error.
Remerciements

Nous exprimons notre gratitude à M. le Professeur P.G. CIARLET qui nous a prodigué conseils et encouragements au cours de la réalisation de ce travail.
# INTRODUCTION

L'approximation de solutions de problèmes d'ordre 4 posés sur des domaines à frontière curviligne par des méthodes d'éléments finis _conformes_ nécessite l'utilisation d'_éléments courbes de classe C¹_.

Dans ce travail, nous étudions des éléments finis courbes de classe C¹, compatibles avec les éléments d'ARGYRIS ou de BELL. Nous trouvons ainsi, de manière indépendante, des résultats analogues à ceux de ZLAMAL [1,2,3] dans le cas d'éléments finis de classe Cº et de ZENISEK [2], KORNEEV-PONOMAREV [1,2] et MANSFIELD [1] dans le cas d'éléments finis de classe C¹.

Dans le numéro 1 nous définissons une triangulation "exacte" du domaine Ω à laquelle nous associons une triangulation "approchée", ce qui conduit à définir un domaine Ωh approché du domaine initial Ω. Alors chaque triangle de la triangulation approchée est en correspondance bijective avec un triangle de référence $\hat{K}$, à l'aide d'une application $F_K$, affine ou non affine selon les cas. Les propriétés de ces applications $F_K$ sont rassemblées dans le Théorème 1.2-1 et des exemples sont donnés dans la section 1.3.

La définition d'éléments finis courbes de classe C¹, compatibles avec les éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL, intervient dans le numéro 2, après un énoncé des différents principes à observer dans la construction de tels éléments. Enfin, à l'aide des mêmes applications $F_K$, nous définissons des éléments finis courbes de classe Cº, compatibles avec l'élément d'Hermite de type 3. Ces derniers éléments sont utilisables dans l'approximation des composantes tangentielles du déplacement pour les problèmes de coques.

Pour ces différents éléments finis courbes, nous montrons dans le numéro 3, que l'erreur d'interpolation est du même ordre que dans le cas des éléments finis rectilignes associés.

**Notations** : Les renvois à BERNADOU-CIARLET [1] et à BERNADOU [4] sont indiqués par (I, ...) et (II, ...) respectivement.
Plan :

1. APPROXIMATION DU DOMAINE Ω

1.1. Triangulation "exacte" du domaine Ω.

1.2. Construction d'une triangulation "approchée" du domaine Ω.

1.3. Exemples.

2. DEFINITION D'ELEMENTS FINIS COURBES DE CLASSE C¹

2.1. Les principes à observer.

2.2. Définition d'éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec les éléments d'ARGYRIS ou de BELL, dans le cas où $F_K \in (P_5)^2$.

2.3. Définition d'éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec les éléments d'ARGYRIS ou de BELL, dans le cas où $F_K \in (P_3)^2$.

2.4. Définition d'un élément fini courbe $C^0$-compatible avec l'élément d'Hermite de type 3, dans le cas où $F_K \in (P_n)^2$, n = 3 ou 5.

3. ESTIMATION DE L'ERREUR D'INTERPOLATION

3.1. Estimation de l'erreur d'interpolation pour les éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec les éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL dans le cas où $F_K \in (P_5)^2$.

3.2. Estimation de l'erreur d'interpolation pour les éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec les éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL dans le cas où $F_K \in (P_3)^2$.

3.3. Estimation de l'erreur d'interpolation pour les éléments finis courbes $C^0$-compatibles avec l'élément d'Hermite de type 3 ($F_K \in (P_n)^2$, n = 3 ou 5).

BIBLIOGRAPHIE
# 1 - APPROXIMATION DU DOMAINE Ω

**Orientation** : Nous considérons des triangulations du domaine Ω composées de deux parties : des triangles rectilignes, d'une part, des triangles ayant un côté curviligne situé sur la frontière Γ = ∂Ω, d'autre part. Chacun des triangles rectilignes K est l'image d'un triangle de référence $\hat{K}$ par une application affine $F_K$. Le côté courbe de chacun des triangles curvilignes est approché par un arc paramétré à l'aide de polynômes de degré n donné, ce qui définit (i) un triangle curviligne approché, (ii) une nouvelle frontière $\Gamma_h$ par assemblage des différents arcs paramétrés, d'où un nouveau domaine $\Omega_h$. Nous définissons alors une application $F_K \in (P_n)^2$ qui associe au triangle de référence $\hat{K}$ le triangle curviligne approché K. Nous terminons ce numéro par une étude de certaines propriétés de l'application $F_K$ (cf. Théorème 1.2-1) et par des exemples.

## 1-1. Triangulation "exacte" du domaine Ω :

Soit Ω un domaine borné du plan $\mathbb{R}^2$. Le plan $\mathbb{R}^2$ est rapporté à un repère orthonormé $(0, \vec{e}_1, \vec{e}_2)$ et on note $(x_1, x_2)$ le système de coordonnées associées. On suppose que la frontière Γ peut être subdivisée en un nombre fini d'arcs, chacun d'eux admettant la représentation paramétrique suivante

$$ (1.1-1) \qquad x_1 = \chi_1(s), \quad x_2 = \chi_2(s), \quad \underline{s \le s \le \overline{s}}. $$

Les fonctions $\chi_1(s)$, $\chi_2(s)$ appartiennent à $C^{q+1}$, q suffisamment grand, et sont telles que l'une au moins des dérivées $(\chi_1)'(s)$, $(\chi_2)'(s)$ est différente de 0 sur l'intervalle $[\underline{s}, \overline{s}]$.

On obtient une triangulation "exacte" du domaine Ω en subdivisant ce domaine en un nombre fini de triangles ayant des côtés rectilignes ou curvilignes. Nous supposons que deux triangles quelconques de la triangulation sont ou bien disjoints, ou bien ont un sommet commun, ou bien ont un côté commun. Nous supposons également que chaque triangle "intérieur" K (i.e. un triangle ayant au plus un sommet sur Γ) a ses côtés rectilignes et que chaque triangle "frontière" $K_c$ a au plus un côté courbe situé sur un arc de type (1.1-1) de la frontière Γ. Par la suite, nous notons $\tilde{K}$ le triangle (rectiligne) ayant les mêmes sommets que le triangle curviligne $K_c$.

Ces considérations sont illustrées par la Figure 1.1-1.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.1-1 : Une triangulation $\mathcal{T}$ du domaine $\Omega$**</figcaption></figure>

Nous considérons désormais des familles **régulières** de triangulations du domaine $\Omega$, i.e.,

(i) Il existe une constante $\sigma$ telle que

$$ (1.1-2) \qquad \forall \mathcal{T}, \forall K \text{ (ou } \tilde{K}) \in \mathcal{T}, \quad \frac{h_K}{\rho_K} \le \sigma, $$

où $h_K = \text{diam}(K)$ et $\rho_K = \sup\{\text{diam. (C)}; C \text{ est un disque contenu dans } K\)$ (pour les triangles $K_c$, ayant un côté curviligne, on remplace $K_c$ par $\tilde{K}$) ;

$$ (1.1-3) \quad \text{(ii) La quantité } h = \max_{K \in \mathcal{T}} h_K \text{ approche zéro.} $$

**Remarque 1.1-1** : Pour $h$ assez petit, chaque triangle $K_c$ est l'image d'un triangle de référence $\tilde{K}$ par un difféomorphisme d'ordre $q$. Cette propriété est établie dans ZLAMAL [2, Théorème 1] et développée dans ZENISEK [2, Théorème 1]. ■

**Remarque 1.1-2** : Dans toute cette partie, nous notons $(x_1,x_2)$ les coordonnées dans le plan $\mathbb{R}^2$. Observons que dans (I) ces mêmes coordonnées ont été notées $(\xi^1, \xi^2)$. ■
1-2. **Construction d'une triangulation "approchée" du domaine Ω:**

Pour construire des éléments finis courbes de classe $C^1$ il est com-
mode d'approcher le côté curviligne de chacun des triangles $K_c$ par un arc
paramétré à l'aide de fonctions **polynômiales**. Ceci revient à associer à
chacun des triangles curvilignes $K_c$ un triangle curviligne approché K
(cf. Figure 1.2-1), ce qui conduit à approcher le domaine initial $\Omega$ par un
domaine $\Omega_h$.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 1.2-1 : Le triangle curviligne "exact" $K_c$ et le triangle curviligne "approché" K.</figcaption></figure>

Ainsi, à la triangulation initiale $\mathcal{T}$ du domaine $\Omega$ on associe une triangulation $\mathcal{T}_h$ du domaine $\Omega_h$. Chaque triangulation $\mathcal{T}_h$ est la réunion
1/ d'une triangulation $\mathcal{T}_h^1$ composée de triangles rectilignes en correspondance affine avec un triangle de référence $\hat{K}$, fixé. Cette triangulation $\mathcal{T}_h^1$ contient, en particulier, tous les triangles intérieurs K du domaine $\Omega$ ;

2/ d'une triangulation $\mathcal{T}_h^2$ composée de triangles ayant deux côtés recti-
lignes, le troisième côté curviligne approchant un arc de la frontière Γ.
Ces triangles K sont les images du triangle de référence $\hat{K}$ par une appli-
cation $F_k$ non affine. A notre connaissance, il existe au moins deux types
de méthodes pour construire une telle application :

*les méthodes du type isoparamétrique décrites par ZIENKIEWICZ [1] et étudiées théoriquement par CIARLET-RAVIART [1] [3] (voir aussi CIARLET [1] [2]). Pour ces méthodes, l'application $F_K$ est construite de manière intrinsèque, i.e., indépendamment d'une représentation paramétrique donnée de
de la frontière Γ, et elle établit une correspondance bijective non seule-
ment entre l'ensemble de référence $\hat{\mathbb{K}}$ et l'ensemble $\mathbb{K}$, mais aussi entre l'es-
pace fonctionnel et les degrés de liberté de l'élément fini de référence,
et l'espace fonctionnel et les degrés de liberté de l'élément fini courbe.
C'est pourquoi ces méthodes sont bien adaptées au cas d'éléments finis de
Lagrange et au cas d'éléments finis d'Hermite ne comportant que des dérivées
premières dans l'ensemble des degrés de liberté.

*les méthodes introduites par ZLAMAL [1] [2] [3], et utilisées par MANSFIELD [1] [2], SCOTT [1] et ZENISEK [2]. Dans ces méthodes, l'applica-
tion polynômiale non affine $F_K$ est construite indépendamment de tout choix
préalable d'un élément fini. Par contre l'application $F_K$ ainsi construite,
dépend de la représentation paramétrique de la frontière Γ.

Ces deux types de méthodes sont en concurrence pour la construction
de sous-espaces d'éléments finis inclus dans $H^1(\Omega)$. Pour ce problème, nous
renvoyons à ZLAMAL [3, pp. 359-361] qui fait une étude comparée des deux
méthodes. Pour notre part, comme il semble que les méthodes du type iso-
paramétrique ne puissent pas être utilisées pour la définition d'éléments
finis courbes de classe $C^1$, nous généralisons par la suite les méthodes
introduites par ZLAMAL [2] [3] et nous trouvons, de façon indépendante,
certains résultats de ZENISEK [2].

Construction d'une application $F_K : \hat{\mathbb{K}} \to \mathbb{K}$, pour tout $K \in \mathcal{C}_h$ :

Deux cas sont à envisager selon que le triangle $K$ considéré appartient
à la triangulation $\mathcal{C}_h^1$ ou à la triangulation $\mathcal{C}_h^2$ :

$\mathbf{1/ \quad Le triangle K appartient à \quad \mathcal{C}_h^1 :}$

L'application $F_K$ est alors **affine** : il existe une matrice carrée inver-
sible $B_K$, de dimension 2, et un vecteur $b_K$ de $\mathbb{R}^2$ tels que

$$
(1.2-1) \quad F_K : (\hat{x}_1, \hat{x}_2) \in \hat{\mathbb{K}} \to F_K(\hat{x}_1, \hat{x}_2) = B_K \begin{bmatrix} \hat{x}_1 \\ \hat{x}_2 \end{bmatrix} + b_K \in \mathbb{K}.
$$

Avec les notations de la Figure 1.2-2 on obtient :

$$
(1.2-2) \quad F_K(\hat{x}_1, \hat{x}_2) = \begin{cases} x_1 = x_{13} + (x_{11}-x_{13})\hat{x}_1 + (x_{12}-x_{13})\hat{x}_2, \\ x_2 = x_{23} + (x_{21}-x_{23})\hat{x}_1 + (x_{22}-x_{23})\hat{x}_2. \end{cases}
$$
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 1.2-2 : Cas d'un triangle $K \in \mathcal{C}_h^1$</figcaption></figure>

## 2/ Le triangle $K$ appartient à $\mathcal{C}_h^2$

Conformément à la Figure 1.2-1, le triangle curviligne $K$ approche le triangle curviligne "exact" $K_c$. La définition de l'application $F_K : \hat{K} \to K$ comporte les deux étapes suivantes :

(i) Interpolation du côté curviligne $a_1a_2$ du triangle $K_c$ par un arc $\gamma_h$ dont les équations paramétriques sont des polynômes à une variable, de degré $n$, $n$ entier $\ge 1$ (cf. équation (1.2-5)) ; d'où le triangle approché $K$.

(ii) Définition de l'application $F_K$ bijective du triangle de référence $\hat{K}$ sur le triangle $K$, dont les composantes sont des polynômes de degré $n$ en $\hat{x}^1$ et $\hat{x}^2$. Les propriétés de l'application $F_K$ sont rassemblées dans le Théorème 1.2-1.

Nous détaillons maintenant chacune de ces étapes.

**Etape 1 : Interpolation du côté curviligne $a_1a_2$ du triangle $K_c$ :**

Introduisons tout d'abord une nouvelle paramétrisation de l'arc $a_1a_2$ à l'aide de la variable $\hat{x}_2$ utilisée dans la définition du triangle $\hat{K}$ (cf. Figure 1.2-2) :

$$ (1.2-3) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} x_1 = \psi_1(\hat{x}_2), & x_2 = \psi_2(\hat{x}_2), \quad 0 \le \hat{x}_2 \le 1 \\ \text{où} & \\ \psi_\alpha(\hat{x}_2) = \chi_\alpha(\underline{s} + (\bar{s}-\underline{s})\hat{x}_2), & \alpha = 1,2. \end{array} \right. $$
L'arc approché $\gamma_h$ est alors défini par les équations paramétriques

$$x_1 = \psi_{1h}(\hat{x}_2), x_2 = \psi_{2h}(\hat{x}_2), 0 \le \hat{x}_2 \le 1,$$

où les fonctions $\psi_{1h}$ et $\psi_{2h}$ satisfont l'hypothèse suivante :

**Hypothèse 1.2-1** : Nous supposons que les fonctions $\psi_{\alpha h}$ sont des polynômes d'interpolation, de type Lagrange ou Hermite, de degré $n \ge 1$, des fonctions $\psi_{\alpha}$, $\alpha = 1,2$, sur l'intervalle $[0,1]$ tels que

$$(1.2-4) \qquad \psi_{\alpha h}(0) = \psi_{\alpha}(0), \psi_{\alpha h}(1) = \psi_{\alpha}(1), \alpha = 1,2.$$

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

En désignant par $x_{\alpha 1}, x_{\alpha 2}, \alpha = 1,2$, les coordonnées des sommets $a_1$ et $a_2$, l'Hypothèse 1.2-1 entraîne pour $\alpha = 1,2$ :

$$(1.2-5) \qquad \psi_{\alpha h}(\hat{x}_2) = x_{\alpha 1} + (x_{\alpha 2} - x_{\alpha 1})\hat{x}_2 + \begin{cases} 0 & \text{si } n = 1, \\ \hat{x}_2(1-\hat{x}_2)P_{n-2;\alpha}(\hat{x}_2) & \text{si } n \ge 2. \end{cases}$$

Dans cette expression, les notations $P_{n-2;1}, P_{n-2;2}$ désignent des polynômes de degré $n-2$ en $\hat{x}_2$. A cette expression, on associe, de manière évidente la relation vectorielle (cf. Figure 1.2-3) :

$$(1.2-6) \qquad \rightarrow \stackrel{\sim}{\rightarrow} \stackrel{\sim}{\rightarrow} OP_h = OP + \tilde{PP}_h.$$

Il convient de souligner que c'est le choix de la méthode d'interpolation qui permet de déterminer les polynômes $P_{n-2;\alpha}$ $\alpha = 1,2, n \ge 2$. Nous donnons des exemples dans la section 1.3.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure 1.2-3**

Construction de l'arc approché $\gamma_h$</figcaption></figure>
### Étape 2 : Définition de l'application $F_K = \hat{K} \to K$

A tout point $\hat{M}$ du triangle de référence $\hat{K}$, l'application $F_K$ associe le point $M_h$ suivant :

$$ (1.2-7) \qquad \overrightarrow{OM_h} = F_{K1}(\hat{x}_1, \hat{x}_2)\overrightarrow{e_1} + F_{K2}(\hat{x}_1, \hat{x}_2)\overrightarrow{e_2} $$

où les fonctions $F_{K\alpha}$, $\alpha = 1,2$, sont définies par les relations

$$ (1.2-8) \quad F_{K\alpha}(\hat{x}_1, \hat{x}_2) = x_{\alpha3} + (x_{\alpha1} - x_{\alpha3})\hat{x}_1 + (x_{\alpha2} - x_{\alpha3})\hat{x}_2 + \begin{cases} 0 & \text{si } n=1, \\ \hat{x}_1 \hat{x}_2 P_{n-2;\alpha}(\hat{x}_2) & \text{si } n \ge 2. \end{cases} $$

Notons que ces fonctions $F_{K\alpha}$ sont construites de telle sorte que $F_{K\alpha}(1-\hat{x}_2, \hat{x}_2) = \psi_{\alpha h}(\hat{x}_2)$, i.e., l'image du côté $\hat{a}_1\hat{a}_2$ du triangle de référence $\hat{K}$ par l'application $F_K$, est l'arc approché $\gamma_h$. Par ailleurs, si l'on désigne par $\tilde{M}$ le point de coordonnées barycentriques $(\hat{x}_1, \hat{x}_2, 1-\hat{x}_1-\hat{x}_2)$ dans le triangle $\tilde{K}$, les relations (1.2-8) s'écrivent encore sous forme vectorielle

$$ (1.2-9) \qquad \overrightarrow{OM_h} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MM_h}. $$

De l'examen des relations (1.2-5) et (1.2-8), on déduit

$$ (1.2-10) \qquad \overrightarrow{MM_h} = \frac{\hat{x}_1}{1-\hat{x}_2} \overrightarrow{PP_h} \text{ si } \hat{x}_2 \neq 1, \quad \tilde{M} \equiv M_h \equiv a_2 \text{ si } \hat{x}_2 = 1. $$

Cette dernière relation montre comment s'effectue le prolongement de l'application $\tilde{P} \to P_h$ à tous les points $\tilde{M}$ du triangle $\tilde{K}$. Cette interprétation géométrique est illustrée par la Figure 1.2-4.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 1.2-4 : $\tilde{M} \to M_h$ (Les triangles $QMM_h$ et $QPP_h$ sont homothétiques dans le rapport $\frac{\hat{x}_1}{1-\hat{x}_2}$)</figcaption></figure>
**Remarque 1.2-1** : Dans les relations (1.2-8) et (1.2-10) les variables $\hat{x}_1$ et $\hat{x}_2$ ne jouent pas un rôle symétrique ; on l'observe également sur la Figure 1.2-4. Ceci provient en fait du choix de la variable $\hat{x}_2$ dans la relation (1.2-5), i.e., dans la correspondance $\tilde{P} \to P_h$. On obtiendrait un autre arc approché $\gamma_h$ (en général différent de celui que l'on vient de définir) en utilisant le paramètre $\hat{x}_1$ dans la relation (1.2-5).

**Remarque 1.2-2** : Nous avons construit une autre application $F_K$, i.e., $F_{K\alpha}$, $\alpha = 1,2$, symétrique en $\hat{x}_1, \hat{x}_2$ telle que

$$ F_{K\alpha}(\hat{x}_1, \hat{x}_2) = x_{\alpha_3} + (x_{\alpha_1} - x_{\alpha_3})\hat{x}_1 + (x_{\alpha_2} - x_{\alpha_3})\hat{x}_2 + \begin{cases} 0 & \text{si } n=1 \\ 4\hat{x}_1\hat{x}_2 P_{n-2;\alpha}(\hat{x}_1-\hat{x}_2) & \text{si } n \ge 2. \end{cases} $$

Il serait intéressant d'étudier cette application et de vérifier si elle satisfait les propriétés du Théorème 1.2-1.

Par la suite nous utilisons les notations suivantes :

$$ (1.2-11) \qquad J_{F_K}(\hat{x}) = \text{Jacobien de } F_K \text{ au point } \hat{x} = (\hat{x}_1, \hat{x}_2), $$

$$ (1.2-12) \qquad J_{F_K^{-1}}(x) = \text{Jacobien de } F_K^{-1} \text{ au point } x = (x_1, x_2), $$

$$ (1.2-13) \qquad \| F_K \|_{\ell, \infty, \hat{K}} + \sup_{\hat{x} \in \hat{K}} \| D^\ell F_K(\hat{x}) \|, $$

$$ (1.2-14) \qquad \| F_K^{-1} \|_{\ell, \infty, K} = \sup_{x \in K} \| D^\ell F_K^{-1}(x) \|. $$

Dans le théorème suivant nous établissons, de manière directe, quelques propriétés de l'application $F_K$. Certains de ces résultats ont été établis par ailleurs par ZLÁMAL [2,3] en utilisant les propriétés du difféomorphisme $\hat{K} \to K_c$ mentionné dans la Remarque 1.1-1.

**Théorème 1.2-1.**

Soit $\mathcal{C}$ une famille régulière de triangulations du domaine $\Omega$, i.e., vérifiant les conditions (1.1-2) et (1.1-3). A tout triangle curviligne $K_c$ de la triangulation "exacte" de $\Omega$ (cf. Figure (1.2-1)), nous associons le triangle curviligne approché $K$ obtenu après interpolation du côté courbe situé sur la frontière $\Gamma$. Nous supposons que cette interpolation vérifie l'Hypothèse 1.2-1, la frontière $\Gamma$ du domaine borné $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ étant supposée de classe $C^{q+1}$, $q \ge n$ ($n$ = degré des $F_{K\alpha}$)

Alors, pour $h_K$ assez petit, on a les propriétés suivantes, indépen-
dantes du degré n des composantes $F_{K\alpha}$ :

(i) L'application $\bar{F}_K : \bar{K} \to K$, définie par les relations (1.2-7)

(1.2-8) est un $C^\infty$-difféomorphisme de $\bar{K}$ sur $K$;

(ii) L'application $\bar{F}_K$ et son inverse $\bar{F}_K^{-1} : K \to \bar{K}$ vérifient les estimations suivantes :

$$
(1.2-15) \qquad \| \bar{F}_K \|_{\ell, \infty, \hat{K}} \le c h_K^{\ell}, \quad \ell = 0, 1, \dots
$$

$$
(1.2-16) \quad \| \bar{F}_K^{-1} \|_{\ell, \infty, K} \le c h_K^{-1}, \quad \ell = 1, 2, \dots
$$

(iii) Les Jacobiens $J_{\bar{F}_K}(\hat{x})$ et $J_{\bar{F}_K^{-1}(x)}$ vérifient les estimations suivantes :

$$
(1.2-17) \quad c_1 h_K^2 \le |J_{\bar{F}_K}|_{0,\infty,\hat{K}} \le c_2 h_K^2, \quad |J_{\bar{F}_K}|_{\ell,\infty,\hat{K}} \le c h_K^{2+\ell}, \quad \ell = 0, \dots, n,
$$

$$
(1.2-18) \qquad \frac{c_1}{h_K^2} \le |J_{F^{-1}}|_{0,\infty,K} \le \frac{c_2}{h_K^2},
$$

où, dans les inégalités (1.2-15) à (1.2-18), les lettres c, indicées ou non, désignent des constantes strictement positives qui ne sont pas nécessairement les mêmes d'une inégalité à la suivante.

**Démonstration** : Lorsque $n=1$ (cas où $F_K$ est affine) ce Théorème est immédiat. Nous supposons désormais $n \ge 2$. La démonstration comporte alors les 7 étapes suivantes :

Étape 1 : L'application $\bar{F}_K$ vérifie les estimations (1.2-15).

Les relations (1.2-8) montrent que pour établir les estimations (1.2-15)
il convient tout d'abord d'estimer les polynômes $P_{n-2} ; \alpha (\hat{x}_2)$ et leurs dérivées.
Reportons-nous à l'expression (1.2-5). Grâce à l'Hypothèse 1.2-1, les fonc-
tions $\psi_{\alpha h}$, $\alpha = 1,2$, sont des interpolées de Lagrange ou d'Hermite, de degré n,
des fonctions $\psi_{\alpha} \in C^{n+1}([0,1])$. Alors, il existe une constante c, indépen-
dante de $h_K$, telle que

$$
(1.2-19) \quad \left| \psi_{\alpha} - \psi_{\alpha h} \right|_{p, \infty} \le c h_K^{n+1-p} \left| \psi_{\alpha} \right|_{n+1, \infty}, \quad p = 0, \dots, n+1.
$$

Grâce à la définition (1.2-3), on obtient aussi

$$
(1.2-20) \qquad |\psi_{\alpha}|_{p,\infty} = |\bar{s}-\underline{s}|^p |\chi_{\alpha}|_{p,\infty}, \quad p=0, \dots, n+1.
$$

Mais

$$
x_{\alpha 2} - x_{\alpha 1} = \chi_{\alpha}(\bar{s}) - \chi_{\alpha}(\underline{s}) = (\bar{s}-\underline{s})(\chi_{\alpha})'(s), s \in [\underline{s}, \bar{s}]
$$
et l'hypothèse $[(\chi_1)']^2 + [(\chi_2)']^2 \neq 0$ sur $[\underline{s}, \overline{s}]$, entraînent immédiatement
$$ (1.2-21) \qquad \overline{s} - \underline{s} \sim x_{\alpha 2} - x_{\alpha 1} = 0(h_K). $$

Les relations (1.2-19) à (1.2-21) entraînent alors (on notera que $|\psi_{\alpha h}|_{p,\infty} = 0$ dès que $p \ge n+1$) :

$$ (1.2-22) \qquad |\psi_{\alpha h}|_{p,\infty} \le c h_K^p, \quad p = 0, 1, \dots $$

Revenons à l'expression (1.2-5) et posons :

$$ (1.2-23) \qquad P_{n-2;\alpha}(X) = a_{n-2;\alpha}X^{n-2} + \dots + a_{1;\alpha}X + a_{0;\alpha}, \quad \alpha = 1, 2, $$

$$ (1.2-24) \qquad b_{\alpha} = x_{\alpha 2} - x_{\alpha 1} = O(h_K). $$

Alors,

$$ (1.2-25) \quad \left\{ \begin{array}{ll} \psi_{\alpha h}(X) = c_{n;\alpha}X^n + \dots + c_{1;\alpha}X + c_{0;\alpha}, & \text{où} \\ c_{n;\alpha} = -a_{n-2;\alpha}, \quad c_{n-1;\alpha} = a_{n-2;\alpha} - a_{n-3;\alpha}, \quad \dots, \quad c_{2;\alpha} = a_{1;\alpha} - a_{0;\alpha}, & \\ c_{1;\alpha} = b_{\alpha} + a_{0;\alpha}, \quad c_{0;\alpha} = x_{\alpha 1}. & \end{array} \right. $$

Les inégalités (1.2-22) entraînent $|c_{p;\alpha}| \le c h_K^p, p = 0, \dots, n$. Des relations (1.2-24) et (1.2-25) on déduit alors :

$$ |a_{p;\alpha}| \le c h_K^{p+2}, \quad p = 0, \dots, n-2, $$

ou encore, avec la relation (1.2-23) :

$$ (1.2-26) \qquad \sup_{\hat{x}_2 \in [0,1]} \left| \left( P_{n-2;\alpha}(\hat{x}_2) \right)^{(m)} \right| \le c h_K^{m+2}, \quad m = 0,1,\dots. $$

De ces estimations, on déduit immédiatement les estimations suivantes sur les fonctions $F_{K\alpha}$, définies par les relations (1.2-8) :

$$ (1.2-27) \qquad \sup_{(\hat{x}_1, \hat{x}_2) \in \hat{K}} \left| \frac{\partial^{i_1+i_2} F_{K\alpha}}{(\partial \hat{x}_1)^{i_1} (\partial \hat{x}_2)^{i_2}} (\hat{x}_1, \hat{x}_2) \right| \le c h_K^{i_1+i_2}, \quad 0 \le i_1+i_2, \alpha = 1,2. $$

Mais pour tout multi-indice $\beta$ tel que $|\beta| = \ell$, on a :

$$ \partial^{\beta} F_K(\hat{x}) = D^\ell F_K(\hat{x}) \cdot (\vec{e}_{1\alpha}, \dots, \vec{e}_{\ell\alpha}), $$

où les vecteurs $\vec{e}_{i\alpha}$, $1 \le i \le \ell$, sont les vecteurs de base $\vec{e}_1$ ou $\vec{e}_2$.
En outre,

$$
\| D^l_{F_K}(\hat{x}) \| = \sup_{\| \xi_i \| \le l} | D^l_{F_K}(\hat{x}) \cdot (\xi_1, \dots, \xi_l) |,
$$

d'où l'existence d'une constante c, ne dépendant que de l, telle que

$$
\| D^l_{F_K}(\hat{x}) \| \le c \max_{|\beta|=l} |\partial^\beta F_K(\hat{x})| \le c h_K^l .
$$

La dernière inégalité est une conséquence des estimations (1.2-27). La défi-
nition (1.2-13) entraîne alors l'estimation

$$
\| F_K \|_{l, \infty, \hat{K}} \le c h_K^l, \quad l = 0, 1, \dots,
$$

qui est indépendante de n.

Étape 2 : L'application $F_K$ vérifie les estimations (1.2-17) :

Par définition,

$$
(1.2-28) \quad J_{F_K}(\hat{x}) = \frac{\partial F_{K1}}{\partial \hat{x}_1}(\hat{x}) \frac{\partial F_{K2}}{\partial \hat{x}_2}(\hat{x}) - \frac{\partial F_{K1}}{\partial \hat{x}_2}(\hat{x}) \frac{\partial F_{K2}}{\partial \hat{x}_1}(\hat{x}),
$$

d'où, avec les expressions (1.2-8) et les estimations (1.2-26) :

$$
(1.2-29) \quad \left| J_{F_K}(\hat{x}) \right| = \left| \overrightarrow{a_3 a_1} \times \overrightarrow{a_3 a_2} \right| + O(h_K^3).
$$

Les inégalités relatives à $|J_{F_K}|_{0,\infty,\hat{K}}$ sont alors une conséquence des hypothèses (1.1-2) et (1.1-3) de régularité de la triangulation. Les inégalités $|J_{F_K}|_{\ell,\infty,\hat{K}} \le c h_K^{2+\ell}$, $\ell = 0, \dots, n$, sont des conséquences directes de la relation (1.2-28) et des estimations (1.2-27).

Étape 3 : Pour $h_K$ assez petit, l'application $F_K$ est injective :

Naturellement, la propriété $J_{F_K} \neq 0$ (cf. (1.2-17)), vérifiée sur tout
le triangle $\tilde{K}$, n'est pas suffisante pour assurer (globalement) l'injectivité
de l'application $F_K$. Il convient donc d'établir cette propriété.

Les relations (1.2-8) (1.2-9) et (1.2-26) entraînent

$$
|\overrightarrow{MM_h}| = |\hat{x}_1 \hat{x}_2| |P_{n-2;\alpha}(\hat{x}_2)| \le |P_{n-2;\alpha}(\hat{x}_2)| \le c_0 h_K^2,
$$

où $c_0$ est une constante indépendante de $h_K$. Désignons par $V(\tilde{K})$ le voisinage
du triangle $\tilde{K}$ défini par
$$
(1.2-30) \qquad V(\tilde{K}) = \{M|M \in \mathbb{R}^2, \text{dist.}(M, \tilde{K}) < 2c_0 h_K^2\}.
$$

Alors

$$
K = F_K(\hat{K}) \subset V(\tilde{K}).
$$

L'application F_K est injective si pour tout point A ∈ V(\~K), de coordonnées cartésiennes (A_1, A_2), il existe _au plus_ un couple (\~x_1, \~x_2) vérifiant le système d'équations et d'inéquations suivant :

$$
(1.2-32) \quad \begin{cases} F_{K\alpha}(\hat{x}_1, \hat{x}_2) = A_{\alpha}, & \alpha = 1, 2, \\ 0 \le \hat{x}_1, 0 \le \hat{x}_2, 0 \le 1-\hat{x}_1-\hat{x}_2. & \end{cases}
$$

Pour alléger l'écriture, posons

$$
(1.2-33) \quad \hat{x}_1 = x, \quad \hat{x}_2 = y, \quad a_\alpha = x_{\alpha 3}, \quad b_\alpha = x_{\alpha 1} - x_{\alpha 3}, \quad d_\alpha = x_{\alpha 2} - x_{\alpha 3},
$$

$$
Q_{\alpha}(y) = P_{n-2; \alpha}(y).
$$

Alors, l'application F_K est injective si, pour tout point A ∈ V(K̃), il existe _au plus_ un couple (x,y) vérifiant le système d'équations et d'inéquations

$$
(1.2-34) \quad \begin{cases} a_1 + b_1 x + d_1 y + xyQ_1(y) = A_1, \\ a_2 + b_2 x + d_2 y + xyQ_2(y) = A_2 \\ 0 \le x, 0 \le y, 0 \le 1-x-y. \end{cases}
$$

L'hypothèse de régularité de la triangulation entraîne

$$
|b_{\alpha}| \geq c h_{K}, \quad c > 0, \quad \alpha = 1, 2.
$$

Par ailleurs, l'inégalité (1.2-26) entraîne, pour h_K assez petit,

$$
|b_{\alpha} + yQ_{\alpha}(y)| \geq c h_{K}, \quad c > 0, \quad \alpha = 1, 2.
$$

Dès lors, la première équation (1.2-34) entraîne

$$
x = \frac{A_1 - a_1 - d_1 y}{b_1 + yQ_1(y)},
$$

d'où, en reportant dans la seconde équation (1.2-34) :

$$
\begin{align*}
& b_2(A_1 - a_1) - b_1(A_2 - a_2) + (d_2 b_1 - d_1 b_2)y + \\
& \qquad + (d_2 y + a_2 - A_2)yQ_1(y) - (d_1 y + a_1 - A_1)yQ_2(y) = 0.
\end{align*}
$$
Cette équation est de la forme

$$
(1.2-35) \qquad B + \Phi(y) = 0, B = \text{constante.}
$$

Mais la définition (1.2-30) de V(K̃), jointe à l'hypothèse A ∈ V(K̃), entraîne
|a_α - A_α| ≤ c h_K. Alors les estimations (1.2-26) jointes aux inégalités
|d_α| ≤ h_K entraînent

$$
\Phi'(y) = d_2 b_1 - d_1 b_2 + O(h_K^3).
$$

Par ailleurs, l'hypothèse de régularité de la triangulation entraîne

$$
|d_2 b_1 - d_1 b_2| = |\overrightarrow{a_3 a_1} \times \overrightarrow{a_3 a_2}| \geq c h_K^2, c > 0.
$$

Il s'ensuit que, pour $y \in [0,1]$, la dérivée $\Phi'(y)$ est continue et toujours différente de 0. Dès lors l'équation (1.2-35) admet **au plus** une solution. Il en va de même pour les systèmes (1.2-34) et (1.2-32).

Étape 4 : L'application F_k est un homéomorphisme de K̃ sur K

L'application F<sub>K</sub> est un homéomorphisme de K̃ sur F<sub>K</sub>(K̃) car elle est
continue et injective (cf. DIEUDONNE [1, (3.17.12) page 64]). Par construc-
tion, les images des côtés â<sub>2</sub>â<sub>3</sub>, â<sub>3</sub>â<sub>1</sub>, â<sub>1</sub>â<sub>2</sub> du triangle K̃ par l'application
F<sub>K</sub>, sont respectivement les côtés a<sub>2</sub>a<sub>3</sub>, a<sub>3</sub>a<sub>1</sub> et l'arc γ<sub>h</sub>. Comme un homéomor-
phisme applique l'intérieur d'une courbe de Jordan sur l'intérieur de son
image, l'application F<sub>K</sub> est un homéomorphisme de K̃ sur K (CARATHEODORY [1,
§ 110 à § 113]).

Étape 5 : L'application F_K est un C^∞-difféomorphisme de K̃ sur K

L'application F<sub>K</sub> est de classe C<sup>∞</sup> et son Jacobien J<sub>F<sub>K</sub></sub>(x̂) est différent
de 0 sur K̃. Il s'ensuit que l'application inverse de l'application F<sub>K</sub> est
aussi de classe C<sup>∞</sup> (cf. CARTAN [1]).

Étape 6 : L'application F_K^{-1} vérifie les estimations (1.2-16)

De l'identité F_K ⋅ F_K^{-1} = I, on déduit immédiatement

$$
\frac{\partial F_{K1}^{-1}}{\partial \hat{x}_1} = \frac{1}{J_{F_K}} \frac{\partial F_{K2}}{\partial \hat{x}_2}, \quad \frac{\partial F_{K2}^{-1}}{\partial x_1} = - \frac{1}{J_{F_K}} \frac{\partial F_{K2}}{\partial \hat{x}_1}, \quad \frac{\partial F_{K1}^{-1}}{\partial x_2} = - \frac{1}{J_{F_K}} \frac{\partial F_{K1}}{\partial \hat{x}_2}, \quad \frac{\partial F_{K2}^{-1}}{\partial x_2} = \frac{1}{J_{F_K}} \frac{\partial F_{K1}}{\partial \hat{x}_1}
$$

où, par analogie avec (1.2-7), on pose

$$
\vec{OM} = \hat{x}_1 \vec{e}_1 + \hat{x}_2 \vec{e}_2 = F_{K1}^{-1}(x_1, x_2) \vec{e}_1 + F_{K2}^{-1}(x_1, x_2) \vec{e}_2.
$$
Alors, les estimations (1.2-17) et (1.2-27) entraînent

$$
\| DF_K^{-1}(x) \| \le c \max_{\alpha=1,2} \left| \frac{\partial F_K^{-1}}{\partial x_\alpha}(x) \right| \le \frac{c}{h_K},
$$

d'où l'estimation (1.2-16) pour $\ell = 1$, i.e.,

$$
\| F_K^{-1} \|_{1,\infty,\hat{K}} = \sup_{x \in K} \| DF_K^{-1}(x) \| \le \frac{c}{h_K}.
$$

On suppose ensuite que l'estimation (1.2-16) est vérifiée pour $1 \le \ell \le m-1$
et l'on montre qu'elle est vraie pour $\ell \ne m$. Pour $m \ge 2$ on a (cf. CARTAN [1,
section 7.5]) :

$$
(1.2-36) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\text{m!} & \displaystyle \sum_{\ell=1}^{m} \sum_{j \in J(\ell, m)} \frac{1}{\ell!} D^{\ell} F_K^{-1}(x_1, x_2) \left( \frac{1}{j_1!} D^{j_1} F_K(\hat{x}_1, \hat{x}_2) (\xi_1, \dots, \xi_{j_1}) \right. \\
& \qquad \left. , \dots, \frac{1}{j_\ell!} D^{j_\ell} F_K(\hat{x}_1, \hat{x}_2) (\xi_{m-j_\ell+1}, \dots, \xi_m) \right) = 0, \\
\\
\text{où} & J(\ell,m) = \{ j = (j_1, \dots, j_\ell) \in \mathbb{N}^\ell ; 1 \le j_1, \dots, j_\ell \le m, j_1+j_2+\dots+j_\ell = m \}.
\end{array}
\right.
$$

où

$$
J(\ell, m) = \{ j = (j_1, \dots, j_\ell) \in \mathbb{N}^\ell ; 1 \le j_1, \dots, j_\ell \le m, j_1 + j_2 + \dots + j_\ell = m \}.
$$

Comme l'application $F_K$ est un $\mathcal{C}^\infty$-difféomorphisme de $\bar{\bar{K}}$ sur $\bar{K}$, l'application
$DF_K(\hat{x}_1, \hat{x}_2) : \bar{\bar{K}} \to K$ est bijective. Soit $\eta_i = DF_K(\hat{x}_1, \hat{x}_2) \xi_i$, $i = 1, \dots, m$ et,
inversement, $\xi_i = DF_K^{-1}(x_1, x_2) \eta_i$. La relation (1.2-36) s'écrit encore

$$
(1.2-37) \quad \left\{
\begin{aligned}
& D_K^{m} F_K^{-1}(x) (\eta_1, \dots, \eta_m) \\
& \quad = -m! \sum_{\ell=1}^{m-1} \sum_{j \in J(\ell, m)} \frac{1}{\ell!} D_K^{\ell} F_K^{-1}(x) \left\{ \frac{1}{j_1!} D_K^{j_1} F_K(\hat{x}) (DF_K^{-1}(x) \eta_1, \dots, DF_K^{-1}(x) \eta_{j_1}) \right. \\
& \qquad \left. , \dots, \frac{1}{j_\ell!} D_K^{j_\ell} F_K(\hat{x}) (DF_K^{-1}(x) \eta_{m-j_\ell+1}, \dots, DF_K^{-1}(x) \eta_m) \right\}.
\end{aligned}
\right.
$$

Les estimations (1.2-15) et l'hypothèse du raisonnement par récurrence en-
 traînent immédiatement

$$
\| D_K^{m} F_K^{-1}(x) \| \le \frac{c}{h_K},
$$

d'où $\| F_K^{-1} \|_{m,\infty,\hat{K}} \le c h_K^{-1}$. Grâce au raisonnement par récurrence les estimations (1.2-16) sont alors vérifiées pour $\ell = 1,2, \dots$.
### Etape 7 : L'application $F_K^{-1}$ vérifie les estimations (1.2-18) :
L'égalité

$$J_{F_K} (\hat{x}) J_{F_K}^{-1}(x) = 1,$$

entraîne

$$\left| J_{F_K^{-1}} \right|_{0,\infty,K} = \sup_{x \in K} \left| J_{F_K^{-1}}(x) \right| = \frac{1}{\inf_{\hat{x} \in K} \left| J_{F_K}(\hat{x}) \right|},$$

d'où les inégalités (1.2-18) à partir des inégalités (1.2-17).

### Remarque 1.2-3 : 
Pour la démonstration de la propriété d'injectivité de l'application $F_K$ (cf. Etape 3 de la démonstration du Théorème 1.2-1), P.G. CIARLET nous signale des résultats de MEISTERS-OLECH [1] : en particulier, l'injectivité de l'application $F_K$ à l'intérieur de $\hat{K}$ résulte de l'injectivité de la restriction de l'application $F_K$ à la frontière $\partial\hat{K}$ de $\hat{K}$ et d'autres propriétés usuellement vérifiées.

## 1-3. Exemples

Dans ce paragraphe nous donnons des exemples de construction d'arc approché $\gamma_h$ interpolant un arc donné $a_1a_2$, i.e., nous donnons des exemples d'applications $\psi_{\alpha h}$ (cf. (1.2-5)). Nous nous limitons aux cas d'une interpolation par des polynômes de degré $n = 2,3$ ou $5$, cas qui s'avèrent les plus intéressants en pratique. Pour chaque cas, nous indiquons l'expression des applications $\psi_{\alpha h}$ puis nous en déduisons l'expression des composantes $F_{K\alpha}$ (cf. (1.2-7)(1.2-8)), $\alpha = 1,2$.

### Exemple 1.3-1 : Construction de l'arc approché $\gamma_h$ à l'aide de polynômes de degré 2 ;

Conformément à l'Hypothèse 1.2-1, nous interpolons les fonctions $\psi_\alpha$, $\alpha = 1,2$ (cf. (1.2-2)) sur l'intervalle $[0,1]$ à l'aide de polynômes de Lagrange de degré 2. Les degrés de liberté de l'interpolation sont les valeurs des fonctions $\psi_\alpha$ aux points $0, \frac{1}{2}, 1$, i.e.,

$$(1.3-1) \qquad x_{\alpha 1} = \psi_{\alpha}(0), \quad x_{\alpha 2} = \psi_{\alpha}(1), \quad x_{\alpha 0} = \psi_{\alpha}(\frac{1}{2}), \quad \alpha = 1,2.$$
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 1.3-1
Interpolation de la frontière à l'aide de polynômes de degré 2.</figcaption></figure>

Dès lors, les expressions (1.2-5) donnent

$$ (1.3-2) \quad \psi_{\alpha h}(\hat{x}_2) = x_{\alpha 1} + (x_{\alpha 2} - x_{\alpha 1})\hat{x}_2 + 4\hat{x}_2(1-\hat{x}_2) \left\{ x_{\alpha 0} - \frac{x_{\alpha 1} + x_{\alpha 2}}{2} \right\} $$

d'où l'on déduit, avec les expressions (1.2-8) :

$$ (1.3-3) \quad F_{K\alpha}(\hat{x}_1, \hat{x}_2) = x_{\alpha 3} + (x_{\alpha 1} - x_{\alpha 3})\hat{x}_1 + (x_{\alpha 2} - x_{\alpha 3})\hat{x}_2 + 4 \left\{ x_{\alpha 0} - \frac{x_{\alpha 1} + x_{\alpha 2}}{2} \right\} \hat{x}_1 \hat{x}_2 $$

**Exemple 1.3-2** : Construction de l'arc approché $\gamma_h$ à l'aide de polynômes de degré 3.

Dans ce cas nous interpolons les fonctions $\psi_\alpha$, $\alpha = 1,2$, sur l'intervalle $[0,1]$ à l'aide de polynômes d'Hermite de degré 3. Les degrés de liberté de l'interpolation sont les valeurs des fonctions $\psi_\alpha$ et $\psi'_\alpha$ aux points d'abcisse 0 et 1, i.e.,

$$ \begin{cases} x_{\alpha 1} = \psi_{\alpha}(0) = \chi_{\alpha}(\bar{s}), & x_{\alpha 2} = \psi_{\alpha}(1) = \chi_{\alpha}(\bar{s}), \\ \psi'_{\alpha}(0) = (\bar{s}-s)\chi'_{\alpha}(\bar{s}), & \psi'_{\alpha}(1) = (\bar{s}-s)\chi'_{\alpha}(\bar{s}). \end{cases} $$

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 1.3-2 :
Interpolation de la frontière à l'aide de polynômes de degré 3.</figcaption></figure>
Dès lors, les expressions (1.2-5) donnent

$$
(1.3-5) \quad \left\{
\begin{aligned}
\psi_{\alpha h}(\hat{x}_2) &= x_{\alpha 1} + (x_{\alpha 2} - x_{\alpha 1})\hat{x}_2 + \\
&\quad + \hat{x}_2(1-\hat{x}_2)\{[2(x_{\alpha 2} - x_{\alpha 1}) - (\bar{s}-\underline{s})(\chi'_{\alpha}(\underline{s}) + \chi'_{\alpha}(\bar{s}))]\hat{x}_2 + x_{\alpha 1} - x_{\alpha 2} + (\bar{s}-\underline{s})\chi'_{\alpha}(\underline{s})\}
\end{aligned}
\right\}
$$

d'où l'on déduit, avec les expressions (1.2-8)

$$
(1.3-6) \quad \left\{
\begin{aligned}
F_{K\alpha}(\hat{x}_1, \hat{x}_2) &= x_{\alpha 3} + (x_{\alpha 1} - x_{\alpha 3})\hat{x}_1 + (x_{\alpha 2} - x_{\alpha 3})\hat{x}_2 + \\
&\quad + \hat{x}_1\hat{x}_2\{[2(x_{\alpha 2} - x_{\alpha 1}) - (\bar{s}-\underline{s})(\chi'_{\alpha}(\underline{s}) + \chi'_{\alpha}(\bar{s}))]\hat{x}_2 + x_{\alpha 1} - x_{\alpha 2} + (\bar{s}-\underline{s})\chi'_{\alpha}(\underline{s})\}.
\end{aligned}
\right\}
$$

**Exemple 1.3-3 : Construction de l'arc approché $\gamma_h$ à l'aide de polynômes de degré 5.**

Nous interpolons les fonctions $\psi_\alpha$, $\alpha = 1,2$, sur l'intervalle $[0,1]$ à l'aide de polynômes d'Hermite de degré 5. Les degrés de liberté de l'interpolation sont les valeurs des fonctions $\psi_\alpha, \psi'_\alpha$ et $\psi''_\alpha$ aux points d'abscisse 0 et 1, i.e.,

$$
(1.3-7) \quad \left\{
\begin{aligned}
x_{\alpha 1} &= \psi_{\alpha}(0) = \chi_{\alpha}(\underline{s}), \quad x_{\alpha 2} = \psi_{\alpha}(1) = \chi_{\alpha}(\bar{s}), \\
\psi_{\alpha}^{(\ell)}(0) &= (\bar{s}-\underline{s})^{\ell} \chi_{\alpha}^{(\ell)}(\underline{s}), \quad \psi_{\alpha}^{(\ell)}(1) = (\bar{s}-\underline{s})^{\ell} \chi_{\alpha}^{(\ell)}(\bar{s}), \quad \ell = 1,2.
\end{aligned}
\right.
$$

A partir de l'expression (1.2-5) on obtient

$$
(1.3-8) \quad \psi_{\alpha h}(\hat{x}_2) = x_{\alpha 1} + (x_{\alpha 2} - x_{\alpha 1})\hat{x}_2 + \hat{x}_2(1-\hat{x}_2)[\beta_{\alpha 3}(\hat{x}_2)^3 + \beta_{\alpha 2}(\hat{x}_2)^2 + \beta_{\alpha 1}\hat{x}_2 + \beta_{\alpha 0}]
$$

où les coefficients $\beta_{\alpha l}, \ell = 0,1,2,3$ sont donnés par les relations :

$$
(1.3-9) \quad \left\{
\begin{aligned}
\beta_{\alpha 0} &= x_{\alpha 1} - x_{\alpha 2} + (\bar{s}-\underline{s})\chi'_{\alpha}(\underline{s}) \\
\beta_{\alpha 1} &= x_{\alpha 1} - x_{\alpha 2} + (\bar{s}-\underline{s})\chi'_{\alpha}(\bar{s}) + \frac{(\bar{s}-\underline{s})^2}{2} \chi''_{\alpha}(\underline{s}) \\
\beta_{\alpha 2} &= 9(x_{\alpha 2} - x_{\alpha 1}) - (\bar{s}-\underline{s})[5\chi'_{\alpha}(\underline{s}) + 4\chi'_{\alpha}(\bar{s})] - \frac{(\bar{s}-\underline{s})^2}{2} [2\chi''_{\alpha}(\underline{s}) - \chi''_{\alpha}(\bar{s})] \\
\beta_{\alpha 3} &= 6(x_{\alpha 1} - x_{\alpha 2}) + 3(\bar{s}-\underline{s})[\chi'_{\alpha}(\underline{s}) + \chi'_{\alpha}(\bar{s})] + \frac{(\bar{s}-\underline{s})^2}{2} [\chi''_{\alpha}(\underline{s}) - \chi''_{\alpha}(\bar{s})]
\end{aligned}
\right.
$$

Des expressions (1.2-8) et (1.3-8) on déduit :

$$
(1.3-10) \quad F_{K\alpha}(\hat{x}_1, \hat{x}_2) = x_{\alpha 3} + (x_{\alpha 1} - x_{\alpha 3})\hat{x}_1 + (x_{\alpha 2} - x_{\alpha 3})\hat{x}_2 + \\
\qquad + \hat{x}_1\hat{x}_2[\beta_{\alpha 3}(\hat{x}_2)^3 + \beta_{\alpha 2}(\hat{x}_2)^2 + \beta_{\alpha 1}\hat{x}_2 + \beta_{\alpha 0}]
$$
où les coefficients $\beta_{\alpha l}$, $\ell = 0,1,2,3$ sont donnés par les expressions
(1.3-9).

Remarque 1.3-1. Il est facile de vérifier que les estimations (1.2-15) sont
satisfaites dans les cas particuliers où les applications $F_{K_\alpha}$ sont données
par les expressions (1.3-3) ou (1.3-6). Il en va de même dans le cas où
les applications $F_{K_\alpha}$ sont données pour les relations (1.3-10) : on vérifie
que les coefficients $\beta_{\alpha l}$, $\ell = 0,1,2,3$, donnés par les relations (1.3-9)
satisfont les estimations $\beta_{\alpha l} = O(h^{\ell+2})$, $\ell = 0,1,2,3; \alpha = 1,2$.

<figure><img src="image_10.png" /></figure>
## 2 - DEFINITION D'ELEMENTS FINIS COURBES DE CLASSE $C^1$

**Orientation** : Dans ce numéro nous définissons des éléments finis courbes qui ont un raccordement de classe $C^1$ avec les éléments finis droits d'ARGYRIS et de BELL. Nous énonçons les principes à observer dans la section 2.1. Dans la section 2.2, nous détaillons cette définition dans le cas d'un raccordement entre un élément fini courbe et un élément fini d'ARGYRIS, lorsque la frontière approchée $\gamma_h$ est paramétrée à l'aide de polynômes de degré 5. Au fur et à mesure, nous signalons les modifications qu'il convient d'effectuer pour obtenir un raccordement de classe $C^1$ avec un élément fini de BELL. Dans la section 2.3, suivant une remarque de ZENISEK [2] nous indiquons les simplifications qu'il est loisible d'apporter à cette construction dans le cas de conditions aux limites du type Dirichlet homogène : la frontière approchée $\gamma_h$ peut être paramétrée à l'aide de polynômes de degré 3 seulement. Enfin, dans la section 2.4, nous définissons des éléments finis courbes qui ont un raccordement de classe $C^0$ avec l'élément d'Hermite de type 3. Ces derniers éléments seront utilisés pour approcher les composantes tangentielles du déplacement dans les problèmes de coques.

### 2.1. Les principes à observer :

**Conditions "Indispensables" :**

Nous voulons associer aux triangles curvilignes "approchés" K construits dans le Numéro 1 (cf. Figure 1.2-1) des éléments finis courbes ($K, P_K, \Sigma_K$) ayant des raccordements de classe $C^1$ (nous dirons désormais "$C^1$-compatibles") avec les éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL. Dans le triplet ($K, P_K, \Sigma_K$), on désigne par $P_K$ l'espace fonctionnel et par $\Sigma_K$ l'ensemble des degrés de liberté de l'élément fini. Dans le cas particulier des éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL, le triangle K a ses côtés rectilignes, les espaces $P_K$ et les ensembles $\Sigma_K$ sont définis dans (II, Exemples 2.3-1 et 2.3-2). Ces deux éléments ont en outre les caractéristiques communes suivantes :

(i) ils sont de classe $C^1$;

(ii) les espaces fonctionnels associés sont polynômiaux.

Les raccordements entre les éléments courbes, associés aux triangles curvilignes K, et les éléments finis voisins (droits ou curvilignes) s'effectuent suivant les deux côtés rectilignes $a_{3a_1}$ et $a_{3a_2}$ comme indiqué sur la Figure 2.1-1. Pour chacun des éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 2.1-1</figcaption></figure>

Raccordement des éléments finis associés au triangle curviligne K et aux deux triangles adjacents $K_G$ (curviligne) et $K_D$ (rectiligne)

les traces des fonctions $p \in P_K$ sur un côté $a_3a_1$ de l'élément, et les traces de la dérivée normale $\frac{\partial p}{\partial n_{31}}$ sur ce même côté, sont des polynômes d'une variable dont le degré est précisé sur la Figure 2.1-2. Ces polynômes sont entièrement déterminés par les degrés de liberté afférents au côté considéré.

Nous notons $t_{3\alpha}$ et $n_{3\alpha}$, $\alpha = 1,2$, les vecteurs unitaires et normaux aux côtés $a_3a_1$, $\alpha = 1,2$, respectivement, i.e. (cf. Figure 2.1-3) :

$$ (2.1-1) \qquad t_{3\alpha} = \frac{a_3 a_\alpha}{|a_3 a_\alpha|}, \quad n_{3\alpha} = (e_1 \times e_2) \times t_{3\alpha} \quad \alpha = 1,2. $$

<table><thead><tr><th>Elément fini considéré<br>p ∈ P<sub>K</sub></th><th>ARGYRIS</th><th>BELL</th></tr></thead><tbody><tr><td>d°[p|<sub>a_3α</sub>], α=1,2</td><td>5</td><td>5</td></tr><tr><td>d°[∂p/∂n<sub>3α</sub>|<sub>a_3α</sub>], α=1,2</td><td>4</td><td>3</td></tr></tbody></table>

Figure 2.1-2 : Degrés des traces des fonctions $p \in P_K$ et de leurs dérivées normales, pour les éléments finis d'ARGYRIS et de BELL.
Par suite, le raccordement entre un élément fini courbe et un élément fini d'ARGYRIS ou de BELL le long du côté rectiligne $a_3a_1$, est de classe $C^1$ si, et seulement si, la trace des fonctions $p \in P_K$ et la trace des dérivées normales $\frac{\partial p}{\partial n_{31}}$ le long du côté $a_3a_1$ coïncident avec leurs homologues de l'élément fini adjacent. Pour que ces conditions soient remplies il suffit que les propriétés suivantes soient vérifiées :

$$ (2.1-2) \left\{ \begin{array}{l} \text{*Les degrés de liberté de l'élément fini courbe afférents aux côtés} \\ \qquad a_3 a_\alpha, \alpha = 1,2, \text{ sont identiques à ceux des éléments finis adjacents.} \end{array} \right. $$

$$ (2.1-3) \quad \left\{ \begin{array}{l} \text{\*\*Les traces } p|_{[a_3, a_\alpha]} \text{ et } \frac{\partial p}{\partial n_{3\alpha}}|_{[a_3, a_\alpha]}, \alpha = 1,2, \text{ des fonctions } p \in P_K \\ \text{construites sur le triangle curviligne } K, \text{ sont des polynômes à} \\ \text{une variable, de degré donné (cf. Figure 2.1-2), entièrement} \\ \text{déterminés par les degrés de liberté afférents aux côtés } a_3 a_\alpha \\ \text{($\alpha$ = 1,2).} \end{array} \right. $$

En particulier, ces conditions assurent un raccordement de classe $C^1$ entre deux éléments finis courbes adjacents : c'est le cas pour les éléments finis associés aux triangles $K$ et $K_G$ de la Figure 2.1-1.

**Condition "souhaitable" :**

L'application $F_K$, étudiée au numéro 1, associe le triangle curviligne $K$ au triangle de référence $\hat{K}$. Nous utilisons également cette application $F_K$ pour associer à toute fonction $v$ définie sur le triangle $K$, une fonction $\hat{v}$ définie sur le triangle $\hat{K}$, i.e.,

$$ (2.1-4) \quad \left\{ \begin{array}{l} v = \hat{v} \circ F_K^{-1}, \\ \hat{v} = v \circ F_K. \end{array} \right. $$

Dès lors, il est "souhaitable" que la condition suivante soit satisfaite :

$$ (2.1-5) \quad \left\{ \begin{array}{l} \text{\*\*\*A toute fonction } p \in P_K, \text{ définie sur le triangle curviligne } K, \\ \text{la correspondance (2.1-4) associe une fonction} \\ \qquad \hat{p} = p \circ F_K, \\ \text{polynômiale.} \end{array} \right. $$

Cette condition (2.1-5) s'avère commode

- pour l'étude de l'erreur d'approximation ;

- pour la prise en compte de l'intégration numérique ;

- pour la prise en compte des conditions aux limites.
Par contre cette condition conduit à la définition d'éléments finis de référence qui sont plus compliqués que ceux associés aux éléments finis droits. En effet, désignons par $\hat{a}$ un point quelconque du côté $\hat{a}_3\hat{a}_1$ du triangle $\hat{K}$ (cf. Figure 2.1-3). Alors la relation (2.1-5) entraîne (on note $a = F_K(\hat{a})$) :

$$ \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_2}(\hat{a}) = D \hat{p}(\hat{a}) \overrightarrow{e_2} = Dp(a)DF_K(\hat{a}) \overrightarrow{e_2} = Dp(a) \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{a}). $$

Cette relation s'écrit encore

$$ (2.1-6) \quad \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_2}(\hat{a}) = Dp(a) \left\{ < \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{a}), t_{31} > t_{31} + < \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{a}), n_{31} > n_{31} \right\} \\ = < \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{a}), t_{31} > \frac{\partial p}{\partial t_{31}}(a) + < \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{a}), n_{31} > \frac{\partial p}{\partial n_{31}}(a), \end{array} \right. $$

où $<,>$ désigne le produit scalaire usuel de $\mathbb{R}^2$.

De même, pour tout point $\hat{a} \in \hat{a}_3\hat{a}_2$, on a

$$ (2.1-7) \quad \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_1}(\hat{a}) = < \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_1}(\hat{a}), t_{32} > \frac{\partial p}{\partial t_{32}}(a) + < \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_1}(\hat{a}), n_{32} > \frac{\partial p}{\partial n_{32}}(a). $$

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>**Figure 2.1-3**

Repères locaux sur les côtés $a$ $a_\alpha$, $\alpha = 1,2$, du triangle curviligne $K$.</figcaption></figure>
Les relations (1.2-8) montrent que

$$
(2.1-8) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial \hat{x}_2} \hat{\alpha} (\hat{a}), \text{ pour } \hat{a} \in \hat{a}_3 \hat{a}_1, \text{ est un polynôme de} \\
\text{degré } 1 \text{ en } \hat{x}_1 \text{ (resp. 0) si } n \ge 2 \text{ (resp. } n=1).
\end{array}
\right.
$$

$$
(2.1-9) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\text{(ii)} \quad \text{la dérivée } \frac{\partial F}{\partial \hat{x}_1} \hat{\alpha} (\hat{a}), \text{ pour } \hat{a} \in \hat{a}_3 \hat{a}_2, \text{ est un polynôme de} \\
\text{degré } n-1 \text{ en } \hat{x}_2.
\end{array}
\right.
$$

L'hypothèse (2.1-3) montre que

$$
(2.1-10) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\text{(iii) les dérivées } \frac{\partial p}{\partial t_{3\alpha}} (a), \text{ pour } a \in a_3 a_\alpha, \alpha = 1,2 \text{ sont des} \\
\text{polynômes de degré 4 en } \hat{x}_\alpha \text{ (noter que } F_K \text{ est affine sur} \\
\qquad \hat{a}_3 \hat{a}_\alpha) ;
\end{array}
\right.
$$

$$
(2.1-11) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\text{(iv) les dérivées } \frac{\partial p}{\partial n_{3\alpha}} (a), \text{ pour } a \in a_3 a_\alpha, \alpha = 1,2, \text{ sont des} \\
\text{polynômes de degré 4 (ARGYRIS) ou 3 (BELL) en } \hat{x}_\alpha.
\end{array}
\right.
$$

Dès lors, les relations (2.1-6) (2.1-8) (2.1-10) et (2.1-11) en-
 traînent que, pour $\hat{a} \in \hat{a}_3\hat{a}_1$, $\displaystyle\frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_2}(\hat{a})$ est un polynôme de degré 5 en $\hat{x}_1$. De
 même, les relations (2.1-7) (2.1-9) à (2.1-11) entraînent que pour $\hat{a} \in \hat{a}_3\hat{a}_2$,
 $\displaystyle\frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_1}(\hat{a})$ est un polynôme de degré $n+3$ en $\hat{x}_2$.

Désignons par

$$
\hat{p}_K = \{ \hat{p} : \hat{K} \to \mathbb{R} ; \hat{p} = p \circ F_K, p \in P_K \}
$$

l'espace des fonctions définies sur le **triangle de référence** $\hat{K}$ à partir
de l'espace $P_K$ et de l'application $F_K$. Alors, pour que la condition (2.1-5)
soit satisfaite, les remarques précédentes montrent que l'on doit avoir
l'inclusion

$$
(2.1-12) \qquad \hat{P}_K \subset P_{n+4}.
$$

En utilisant ces remarques, nous montrons dans la section 2.2 qu'il
est possible de définir des éléments finis courbes compatibles avec les
éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL dans le cas n = 5, i.e., F<sub>K</sub> ∈ (P<sub>5</sub>)<sup>2</sup>.
Dans la section 2.3, nous examinons le cas plus simple n = 3, qui s'avère
suffisant pour la prise en compte de conditions aux limites homogènes de
type Dirichlet.
## 2-2. Définition d'éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec les éléments d'ARGYRIS ou de BELL, dans le cas où $F_K \in (P_5)^2$.

La définition d'un élément fini courbe $C^1$-compatible avec l'élément fini de BELL est analogue à celle de l'élément fini courbe $C^1$-compatible avec l'élément fini d'ARGYRIS moyennant quelques modifications que nous mentionnons par (resp. BELL : ...). La $C^1$-compatibilité entre deux éléments finis courbes adjacents ne présente aucune difficulté supplémentaire lorsque ces éléments satisfont les conditions (2.1-2) (2.1-3) et (2.1-5), ce qui est le cas pour tous les éléments que nous étudions.

Pour définir un élément fini courbe $C^1$-compatible avec l'élément fini d'ARGYRIS (resp. BELL), nous associons au triangle de référence $\hat{K}$ un **élément fini de base** $(\hat{K}, \hat{P}, \hat{\Sigma})$ pour lequel l'espace fonctionnel $\hat{P}$ est l'espace $P_9$ des polynômes de degré inférieur ou égal à 9, et pour lequel l'ensemble $\hat{\Sigma}$ comporte 55 degrés de liberté $P_9$-unisolvants. Ce choix de $\hat{P}$ prend en compte l'inclusion (2.1-12). Nous choisissons l'appellation d'élément fini de base par opposition à la notion d'élément fini de référence, usuelle dans la théorie affine des éléments finis. Pour obtenir l'élément fini de référence associé aux éléments finis courbes que nous allons construire, il conviendrait d'imposer des contraintes à l'espace $\hat{P}$ et à l'ensemble $\hat{\Sigma}$, i.e., 24 (resp. 27) contraintes pour l'élément fini de référence associé aux éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec l'élément fini d'ARGYRIS (resp. BELL).

L'élément fini de base $(\hat{K}, \hat{P}, \hat{\Sigma})$ :

La définition de l'élément fini de base $(\hat{K}, \hat{P}, \hat{\Sigma})$ et les notations s'y rapportant, sont indiquées sur la Figure 2.2-1.

Il reste à vérifier que le triplet $(\hat{K}, \hat{P}, \hat{\Sigma})$ définit bien un élément fini, autrement dit que l'ensemble des degrés de liberté $\hat{\Sigma}$ est $\hat{P}$-unisolvant.

**Théorème 2.2-1** : Le triplet $(\hat{K}, \hat{P}, \hat{\Sigma})$ de la Figure 2.2-1 définit un **élément fini**.

**Démonstration** : La dimension de l'espace discret $\hat{P}$, i.e. 55, est égale au nombre de degrés de liberté de $\hat{\Sigma}$. Dès lors, l'ensemble $\hat{\Sigma}$ est $\hat{P}$-unisolvant si et seulement si la fonction nulle est la seule fonction appartenant à $\hat{P}$ dont tous les degrés de liberté associés soient nuls.
<figure><img src="image_13.png" /></figure>

K = triangle rectangle unité

P = P<sub>9</sub> ; dim P = 55 ;

Σ = {p(â<sub>i</sub>), i = 1, ..., 15 ; p(d̂<sub>i</sub>), i = 1, ..., 10 ;
- ∂p/∂x̂₁(â<sub>i</sub>), i = 1, ..., 5 ; - ∂p/∂x̂₂(d̂<sub>i</sub>), i = 6, ..., 10 ;

√2[∂p/∂x̂₁ + ∂p/∂x̂₂](b̂ᵢ), i = 1, ..., 15 ;

∂²p/∂x̂₁²(âᵢ), ∂²p/∂x̂₁∂x̂₂(âᵢ), ∂²p/∂x̂₂²(âᵢ),

i = 1, 2, 3.

<caption>Figure 2.2-1</caption>

Elément fini de base pour la construction d'un élément fini courbe
$c^1$-compatible avec l'élément d'ARGYRIS (resp. BELL).
Soit $\hat{p} \in \hat{P}$ une fonction telle que les 55 degrés de liberté de $\hat{\Sigma}$ soient nuls. Sur le côté $\hat{a}_3\hat{a}_1$ la fonction $\hat{p}$ (resp. $\frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_2}$) est un polynôme de degré 9 (resp. 8) en $\hat{x}_1$ qui vérifie

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
\hat{p}(\hat{a}_i) &= 0, \quad i = 1, 3, 8, 9, 10, 11; \\
\frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_1}(\hat{a}_i) &= 0, \quad \frac{\partial^2 \hat{p}}{(\partial \hat{x}_1)^2}(\hat{a}_i) = 0, \quad i = 1, 3.
\end{aligned}
\right. 
$$

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l}
(\text{resp. } \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_2}(\hat{a}_i) = 0, \quad i = 1, 3; \quad \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_2}(\hat{b}_i), \quad i = 6, 7, 8, 9, 10; \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \frac{\partial}{\partial \hat{x}_1}(\frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_2}(\hat{a}_i)) = 0, \quad i = 1, 3).
\end{array}
\right. 
$$

Par suite, la fonction $\hat{p}$ et ses dérivées premières sont nulles sur $\hat{a}_3\hat{a}_1$. Un raisonnement analogue montre qu'il en va de même sur les côtés $\hat{a}_1\hat{a}_2$ et $\hat{a}_2\hat{a}_3$. Dès lors le polynôme $\hat{p}$ s'écrit

$$ \hat{p}(\hat{x}_1, \hat{x}_2) = [\hat{x}_1 \hat{x}_2 (1 - \hat{x}_1 - \hat{x}_2)]^2 \hat{q}(\hat{x}_1, \hat{x}_2), $$

où $\hat{q}$ est un polynôme de degré 3. L'hypothèse $\hat{p}(\hat{d}_i) = 0, \quad i = 1, \dots, 10$, entraîne alors $\hat{q}(\hat{d}_i) = 0$, d'où $\hat{q} \equiv 0$ puisque les points $\hat{d}_i, \quad i = 1, \dots, 10$, sont $P_3$-unisolvants.

**Construction de la fonction interpolée** $v' \to \pi_K v$ :

Nous allons utiliser cet élément fini de base pour associer à toute fonction $v \in C^2(K)$ une fonction interpolée $\pi_K v$. Pour ce faire, nous procédons en 3 étapes :

(i) définition de l'ensemble $\Sigma_K$ des degrés de liberté de l'élément fini courbe ;

(ii) de l'ensemble $\Sigma_K(v)$ des valeurs des degrés de liberté de la fonction $v$ (ensemble à 31 éléments, resp. BELL : 28), on déduit l'ensemble de valeurs $\hat{\Delta}_K(v)$ (comportant 55 éléments) qu'il convient d'attribuer à l'ensemble des degrés de liberté $\hat{\Sigma}$ (cf. Figure 2.2-1) pour obtenir une fonction $\hat{w} \in \hat{P}$ convenable ;

(iii) à l'aide de l'élément fini de base $(\hat{K}, \hat{P}, \hat{\Sigma})$ on construit la fonction $\hat{w} \in \hat{P}$ qui prend l'ensemble de valeurs $\hat{\Delta}_K(v)$ sur l'ensemble des degrés de liberté $\hat{\Sigma}$. Puis, à cette fonction $\hat{w}$ on associe la fonction $w = \hat{w} \circ F_K^{-1}$.

Nous montrons alors dans le Théorème 2.2-2 que la fonction $w$ ainsi déterminée interpole effectivement la fonction $v$ et vérifie les propriétés souhaitées, i.e., (2.1-2)(2.1-3) et (2.1-5). Nous notons alors $w = \pi_K v$.
**Etape 1 : Définition de l'ensemble $\Sigma_K$ des degrés de liberté de l'élément courbe :**

Dans toute cette section 2.2, l'application $F_K$ est l'application définie dans l'Exemple 1.3-3. Posons

$$ (2.2-1) \quad \left\{ \begin{array}{l} a_i = F_K(\hat{a}_i), \quad b_i = F_K(\hat{b}_i), \quad i = 1, \dots, 15; \\ d_i = F_K(\hat{d}_i), \quad i = 1, \dots, 10; \\ t_{3\alpha}, n_{3\alpha}, \alpha = 1,2, \text{ définis par les relations (2.1-1).} \end{array} \right. $$

Alors, l'ensemble $\Sigma_K(v)$ des valeurs des degrés de liberté de la fonction $v \in C^2(K)$, est donné par

$$ (2.2-2) \quad \left\{ \begin{array}{l} \Sigma_K(v) = \{ (D^\alpha v(a_i), |\alpha| = 0,1,2), \ i = 1,2,3 \ ; \ Dv(b_8)n_{31} \ ; \ Dv(b_3)n_{32} \ ; \\ \qquad \qquad \qquad \qquad Dv(b_{13})DF_K(\hat{b}_{13})(\hat{a}_3 - \hat{b}_{13}) \ ; \ v(d_i), \ i = 1, \dots, 10 \}; \end{array} \right. $$

$$ (2.2-3) \quad \left\{ \begin{array}{l} \text{(resp. BELL :} \\ \Sigma_K(v) = \{ (D^\alpha v(a_i), |\alpha| = 0,1,2), \ i = 1,2,3 \ ; v(d_i), \ i = 1, \dots, 10 \} \). \end{array} \right. $$

Ces définitions sont illustrées par la Figure 2.2-2. On note que pour ces deux ensembles de degrés de liberté $\Sigma_K$ on retrouve les degrés de liberté de l'élément fini droit associé, et, en outre, 10 degrés de liberté supplémentaires à l'intérieur du triangle K. On remarque également que ces deux ensembles $\Sigma_K$ vérifient la condition (2.1-2).

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>**Figure 2.2-2**</figcaption></figure>

Les ensembles de degrés de liberté $\Sigma_K$ pour les éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec les éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL $(F_K \in (P_5))^2$.
### Étape 2 : Passage de $\Sigma_K(v)$ à $\hat{\Delta}_K(v)$ :

Considérons la partition suivante de l'ensemble de degrés de liberté $\hat{\Sigma}$ :

$$ (2.2-4) \quad \left\{ \begin{array}{ll} \hat{\Sigma} = \hat{\Sigma}_1 \cup \hat{\Sigma}_2 \cup \hat{\Sigma}_3 & \\ \\ \hat{\Sigma}_1 = \{ (D^\alpha \hat{p}(\hat{a}_i), |\alpha|=0,1,2), i=1,2,3; \hat{p}(\hat{d}_i), i=1, \dots, 10 \}, & \\ \\ \hat{\Sigma}_2 = \{ \hat{p}(\hat{a}_i), i=4, \dots, 11; & - \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_1}(\hat{b}_i), i=1, \dots, 5; \\ & - \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_2}(\hat{b}_i), i=6, \dots, 10 \}, \\ \\ \hat{\Sigma}_3 = \{ \hat{p}(\hat{a}_i), i=12, \dots, 15; & \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_1} + \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_2} \right) (\hat{b}_i), i=11, \dots, 15 \}. \end{array} \right. $$

A l'ensemble de valeurs $\Sigma_K(v)$, nous allons associer des ensembles de valeurs $\hat{\Delta}_{K1}(v)$ qu'il convient d'attribuer aux ensembles de degrés de liberté $\hat{\Sigma}_i$, $i=1,2,3$, pour obtenir une fonction $\hat{w} \in \hat{P}$ convenable. Nous notons $\hat{\Delta}_K(v) = \hat{\Delta}_{K1}(v) \cup \hat{\Delta}_{K2}(v) \cup \hat{\Delta}_{K3}(v)$.

L'application $F_K$ associe à la fonction $v$ une fonction $\hat{v}$, définie sur le triangle de référence $\hat{K}$, grâce à la relation (2.1-4), i.e.,

$$ (2.2-5) \qquad \hat{v} = v \circ F_K. $$

De l'ensemble $\Sigma_K(v)$ on déduit immédiatement l'ensemble

$$ (2.2-6) \quad \hat{\Delta}_{K1}(v) = \{ (D^\alpha \hat{v}(\hat{a}_i), |\alpha|=0,1,2), i=1,2,3; \hat{v}(\hat{d}_i), i=1, \dots, 10 \}. $$

Soit à construire maintenant l'ensemble de valeurs $\hat{\Delta}_{K2}(v)$. Examinons tout d'abord le cas des degrés de liberté de $\hat{\Sigma}_2$ situés sur le côté $\hat{a}_3\hat{a}_1$. Pour que la fonction interpolée $\pi_K v$, que nous désirons construire, vérifie les conditions (2.1-3) il faut que

- d'une part, sa trace $\pi_K v|_{[a_3, a_1]}$ coïncide avec le polynôme d'Hermite, à une variable, de degré 5, défini par la donnée des degrés de liberté

$$ (2.2-7) \quad \{ v(a_1), v(a_3), Dv(a_1)(a_3-a_1), Dv(a_3)(a_1-a_3), D^2v(a_1)(a_3-a_1)^2, \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad D^2v(a_3)(a_1-a_3)^2 \}. $$

Il est loisible de prendre $\hat{x}_1$ comme variable car une paramétrisation du côté $a_3a_1$ est (cf. (1.2-8)):
$$
(2.2-8) \qquad x_1 = x_{13} + (x_{11}-x_{13})\hat{x}_1, x_2 = x_{23} + (x_{21}-x_{23})\hat{x}_2.
$$

Soit

$$
(2.2-9) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\hat{f}_1 \text{ (qui devra coïncider avec } (\pi_K^\nu) \cdot F_K \Big|_{[\hat{a}_3, \hat{a}_1]} \text{)} \\
\text{le polynôme d'Hermite ainsi défini ;} \\
\text{d'autre part, sa dérivée normale } \frac{\partial \pi_K^\nu}{\partial n_{31}} \text{ ait une trace } \frac{\partial \pi_K^\nu}{\partial n_{31}} \Big|_{[a_3, a_1]} \text{.}
\end{array}
\right.
$$

qui coïncide avec le polynôme d'Hermite à une variable, de degré 4 (resp. BELL : 3), défini par la donnée des degrés de liberté (pour $n_{31}$ et $t_{31}$, cf. relations (2.1-1) et Figure 2.1-3)

$$
(2.2-10) \quad \{ \operatorname{Dv}(a_i) n_{31}, D^2 v(a_i)(n_{31}, t_{31}), i = 1,3 ; \operatorname{Dv}(b_\theta) n_{31} \},
$$

(resp. BELL :

$$
(2.2-11) \quad \{ \mathrm{Dv}(a_i)n_{31}, D^2 v(a_i)(n_{31}, t_{31}), i = 1,3 \}.
$$

Par analogie avec (2.2-8) et (2.2-9), nous désignons par

$$
(2.2-12) \quad \hat{g}_1 \text{ (qui devra coïncider avec } \left. \left[ \frac{\partial \pi_K^\nu}{\partial n_{31}} \cdot F_K \right]_{[\hat{a}_3, \hat{a}_1]} \right),
$$

$$
(2.2-13) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\text{resp. BELL : } \hat{h}_1 \\
\text{(qui devra coïncider avec } \left[ \left. \frac{\partial \pi_K^\nu}{\partial n_{31}} \cdot F_K \right|_{[\hat{a}_3, \hat{a}_1]} \right),
\end{array}
\right.
$$

les polynômes d'Hermite ainsi définis.

De manière entièrement similaire on définit des polynômes d'Hermite
sur le second côté rectiligne $a_3a_2$, i.e.,

$$
(2.2-14) \qquad x_1 = x_{13} + (x_{12}-x_{13})\hat{x}_2, x_2 = x_{23} + (x_{22}-x_{23})\hat{x}_2,
$$

$$
(2.2-15) \quad \hat{f}_2 \text{ (qui devra coïncider avec } (\pi_K^\nu) \cdot F_K \Big|_{[\hat{a}_3, \hat{a}_2]} \Big),
$$

$$
(2.2-16) \quad \hat{g}_2 \text{ (qui devra coïncider avec } \left[ \left. \frac{\partial \pi_K^\nu}{\partial n_{32}} \right] \cdot F_K \right]_{[\hat{a}_3, \hat{a}_2]} ,
$$

$$
(2.2-17) \quad (\text{resp. BELL : } \hat{h}_2 \qquad \left. \left[ \left. \frac{\partial \pi_K^\nu}{\partial n_{32}} \cdot F_K \right]_{[\hat{a}_3, \hat{a}_2]} \right).
$$
A ce stade, il convient de souligner que les fonctions polynômiales $\hat{f}_\alpha$, $\hat{g}_\alpha$, $\hat{h}_\alpha$, $\alpha = 1,2$, ne dépendent que des valeurs des degrés de libertés associés à la fonction v, contenus dans l'ensemble $\Sigma_K(v)$, et afférents aux côtés $a_3a_1$ (cf. (2.2-27)(2.2-10) et (2.2-11)) et $a_3a_2$. Alors, l'ensemble de valeurs $\hat{\Delta}_{K2}(v)$ associé à l'ensemble de degrés de liberté $\hat{\Sigma}_2$ (cf. (2.2-4)) est donné par :

$$ (2.2-18) \quad \left\{ \begin{array}{ll} \hat{\Delta}_{K2}(v) = \{\hat{f}_2(\hat{a}_i), i=4, \dots, 7; \hat{f}_1(\hat{a}_i), i=8, \dots, 11; & \\ \quad - \frac{1}{|a_3a_2|} \left\{ \left\langle \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_1}(\hat{b}_i), t_{32} \right\rangle + \frac{\mathrm{d}\hat{f}_2}{\mathrm{d}\hat{x}_2} \left(\frac{6-i}{6}\right) + |a_3a_2| \left\langle \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_1}(\hat{b}_i), n_{32} \right\rangle + \hat{g}_2 \left(\frac{6-i}{6}\right) \right\}, & i=1, \dots, 5; \\ \\ \quad - \frac{1}{|a_3a_1|} \left\{ \left\langle \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_1}(\hat{b}_i), t_{31} \right\rangle + \frac{\mathrm{d}\hat{f}_1}{\mathrm{d}\hat{x}_1} \left(\frac{i-5}{6}\right) + |a_3a_1| \left\langle \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{b}_i), n_{31} \right\rangle + \hat{g}_1 \left(\frac{i-5}{6}\right) \right\}, & i=6, \dots, 10 \end{array} \right. \\ \text{(resp. BELL : remplacer } \hat{g}_\alpha \text{ par } \hat{h}_\alpha, \alpha = 1,2). $$

Pour trouver l'expression des dix derniers éléments de $\hat{\Delta}_{K2}(v)$ nous avons utilisé les relations (2.1-7) et (2.1-6), en observant que, conformément aux conditions (2.2-15) et (2.2-9),

$$ \frac{\mathrm{d}\hat{f}_2}{\mathrm{d}\hat{x}_2} \text{ devra coïncider avec } |a_3a_2| \left[ \frac{\partial \pi_K^V}{\partial t_{32}} \right] \cdot F_K \Big|_{[\hat{a}_3, \hat{a}_2]} $$

$$ \frac{\mathrm{d}\hat{f}_1}{\mathrm{d}\hat{x}_1} \text{ devra coïncider avec } |a_3a_1| \left[ \frac{\partial \pi_K^V}{\partial t_{31}} \right] \cdot F_K \Big|_{[\hat{a}_3, \hat{a}_1]} . $$

Dans un troisième ensemble $\hat{\Delta}_{K3}(v)$ nous allons calculer les valeurs qu'il convient d'attribuer aux 9 degrés de liberté de $\hat{\Sigma}_3$. Observons tout d'abord que la correspondance $\hat{v} = v \circ F_K$ entraîne

$$ (2.2-20) \qquad D\hat{v}(\hat{b}_{13}) (\hat{a}_3 - \hat{b}_{13}) = Dv(b_{13}) DF_K(\hat{b}_{13}) (\hat{a}_3 - \hat{b}_{13}), $$

le second membre étant connu puisqu'il figure parmi les degrés de liberté de $\Sigma_K$ (cf. (2.2-2)). En outre, l'expression (2.2-6) contient les valeurs de $D^\alpha \hat{v}(\hat{a}_i)$, $|\alpha| = 0,1,2$.
Le côté $\hat{a}_1\hat{a}_2$ du triangle $\hat{K}$ peut être paramétré par

$$ (2.2-21) \qquad \hat{x}_1 = \hat{x}_1, \quad \hat{x}_2 = 1-\hat{x}_1. $$

On désigne alors par $\hat{f}_3(\hat{x}_1)$ le polynôme d'Hermite, de degré 5, défini par la donnée des degrés de liberté

$$ (2.2-22) \quad \{\hat{v}(\hat{a}_1), \hat{v}(\hat{a}_2), D\hat{v}(\hat{a}_1)(\hat{a}_2-\hat{a}_1), D\hat{v}(\hat{a}_2)(\hat{a}_1-\hat{a}_2), D^2\hat{v}(\hat{a}_1)(\hat{a}_2-\hat{a}_1)^2, \\ \qquad D^2\hat{v}(\hat{a}_2)(\hat{a}_1-\hat{a}_2)^2\} $$

et par $\hat{g}_3(\hat{x}_1)$ (resp. BELL : $\hat{h}_3(\hat{x}_1)$) le polynôme d'Hermite de degré 4 (resp. BELL : 3), défini par la donnée des degrés de liberté

$$ (2.2-23) \quad \{D\hat{v}(\hat{a}_\alpha)(\hat{a}_3-\hat{b}_{13}), \alpha = 1,2, \ D^2\hat{v}(\hat{a}_1)(\hat{a}_3-\hat{b}_{13},\hat{a}_2-\hat{a}_1), \ D^2\hat{v}(\hat{a}_2)(\hat{a}_3-\hat{b}_{13},\hat{a}_1-\hat{a}_2), \\ \qquad D\hat{v}(\hat{b}_{13})(\hat{a}_3-\hat{b}_{13})\}, $$

$$ (2.2-24) \quad (\text{resp. BELL : } \{D\hat{v}(\hat{a}_i)(\hat{a}_3-\hat{b}_{13}), \ i=1,2, \ D^2\hat{v}(\hat{a}_1)(\hat{a}_3-\hat{b}_{13},\hat{a}_2-\hat{a}_1), \\ \qquad D^2\hat{v}(\hat{a}_2)(\hat{a}_3-\hat{b}_{13},\hat{a}_1-\hat{a}_2)\}). $$

On pose alors

$$ (2.2-25) \quad \hat{\Delta}_{K3}(v) = \{\hat{f}_3(\frac{5-i}{5}), \ i=1, \dots, 4; \ -\sqrt{2} \ \hat{g}_3(\frac{6-i}{6}), \ i=1, \dots, 5\}, \\ \qquad (\text{resp. BELL : remplacer } \hat{g}_3 \text{ par } \hat{h}_3). $$

Il convient, ici aussi, de noter que l'ensemble de valeurs $\hat{\Delta}_{K3}(v)$ ne dépend que des valeurs $\sum_K(v)$ des degrés de liberté de la fonction v.

La réunion $\hat{\Delta}_K(v)$ des trois ensembles de valeurs $\hat{\Delta}_{K1}(v)$, $\hat{\Delta}_{K2}(v)$, $\hat{\Delta}_{K3}(v)$ (respectivement donnés par les relations (2.2-6), (2.2-18) et (2.2-25)) attribue une valeur à chacun des degrés de liberté de $\hat{\sum}$ (cf. Figure 2.2-1).

**Etape 3 :** Passage de l'ensemble de valeurs $\hat{\Delta}_K(v)$ à la fonction w :

Soit $\hat{w}$ la fonction de $\hat{P}$ qui prend l'ensemble de valeurs $\hat{\Delta}_K(v)$ sur l'ensemble des degrés de liberté $\hat{\sum}$ (cf. l'élément fini de la Figure 2.2-1). A cette fonction $\hat{w}$ définie sur le triangle de référence $\hat{K}$, les relations (2.1-4) associent la fonction

$$ (2.2-26) \qquad w = \hat{w}_0 \cdot F_K^{-1}, $$

où la fonction $F_K^{-1}$ est l'inverse de la fonction $F_K : \hat{K} \to K$ définie dans l'Exemple 1.3-3.

<figure><img src="image_16.png" /></figure>
Remarque 2.2-1 : A la fonction $\hat{v}$ définie par la relation (2.2-5), l'élément fini $(\hat{K}, \hat{\Sigma}, \hat{P})$ associe une fonction interpolée $\hat{\pi}v$ qui, en général, ne coïncide pas avec la fonction $\hat{w}$. La différence $\hat{w}-\hat{\pi}\hat{v}$ est étudiée dans le numéro 3.

Dans le théorème suivant nous allons vérifier que la fonction w ainsi construite vérifie les propriétés d'interpolation souhaitées.

**Théorème 2.2-2 :**

La fonction w, définie en (2.2-26), est déterminée de manière unique par la donnée de l'ensemble $\Sigma_K(v)$ des valeurs des degrés de liberté de la fonction v à interpoler, i.e.,

$$ (2.2-27) \quad \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \Sigma_K(v) = \{ (D^\alpha v(a_i), |\alpha|=0,1,2), i=1,2,3; \text{ Dv}(b_8)n_{31}; \text{ Dv}(b_3)n_{32}; \\ \qquad \text{ Dv}(b_{13})DF_K(\hat{b}_{13}) (\hat{a}_3-\hat{b}_{13}) ; v(d_i), i=1,\dots,10 \}. \end{array} \right. $$

En outre, la fonction w vérifie les relations

$$ (2.2-28) \quad D^\alpha w(a_i) = D^\alpha v(a_i), \quad |\alpha| = 0,1,2; \quad i = 1,2,3; $$

$$ (2.2-29) \quad Dv(b_8)n_{31} = Dv(b_8)n_{31}, $$

$$ (2.2-30) \quad Dv(b_3)n_{32} = Dv(b_3)n_{32}, $$

$$ (2.2-31) \quad Dv(b_{13})DF_K(\hat{b}_{13}) (\hat{a}_3-\hat{b}_{13}) = Dv(b_{13})DF_K(\hat{b}_{13}) (\hat{a}_3-\hat{b}_{13}), $$

$$ (2.2-32) \quad w(d_i) = v(d_i), \quad i = 1, \dots, 10, $$

(resp. BELL : la fonction w vérifie les conditions (2.2-28) et (2.2-32)) et elle satisfait les conditions (2.1-2), (2.1-3) et (2.1-5).

**Démonstration :**

Nous avons souligné que l'ensemble de valeurs $\hat{\Delta}_K(v)$ ne dépend que de l'ensemble de valeurs $\Sigma_K(v)$. Dès lors, les fonctions $\hat{w}$ et $w$ qui apparaissent dans la relation (2.2-26) ne dépendent que de l'ensemble de valeurs $\Sigma_K(v)$.

Par construction, la fonction $\hat{w}$ vérifie (cf. (2.2-6)) :

$$ \left\{ \begin{array}{l} D^\alpha \hat{w}(\hat{a}_i) = D^\alpha \hat{v}(\hat{a}_i), \quad |\alpha| = 0,1,2, \quad i = 1,2,3; \\ \hat{w}(\hat{d}_i) = \hat{v}(\hat{d}_i), \quad i = 1, \dots, 10, \end{array} \right. $$

d'où l'on déduit immédiatement les relations (2.2-28) (2.2-32), grâce aux relations (2.2-5) et (2.2-26).
De la même façon les relations $\hat{w} = w \circ F_K$, $\hat{v} = v \circ F_K$ et la construc-
tion de l'ensemble $\hat{\Delta}_{K3}(v)$ (cf. (2.2-23) (2.2-25)) entraînent

$$
\begin{align*}
Dw(\hat{b}_{13})DF_K(\hat{b}_{13}) (\hat{a}_3 - \hat{b}_{13}) &= D\hat{w}(\hat{b}_{13}) (\hat{a}_3 - \hat{b}_{13}) = \hat{g}_3(\frac{1}{2}) \\
&= D\hat{v}(\hat{b}_{13}) (\hat{a}_3 - \hat{b}_{13}) = Dv(\hat{b}_{13})DF_K(\hat{b}_{13}) (\hat{a}_3 - \hat{b}_{13}),
\end{align*}
$$

d'où la relation (2.2-31).

Pour vérifier les relations (2.2-29) (2.2-30) nous allons montrer que

$$
(2.2-33) \qquad \left( \frac{\partial w}{\partial n_{3\alpha}} \right) \cdot F_K \Big|_{[\hat{a}_3, \hat{a}_\alpha]} = \hat{g}_\alpha, \quad \alpha = 1, 2.
$$

Les relations (2.2-29) et (2.2-30) sont alors des conséquences directes
des définitions (2.2-10) (2.2-12) (2.2-16) des fonctions interpolées $\hat{g}_\alpha$
qui vérifient

$$
\hat{g}_1(\hat{b}_8) = Dv(b_8)n_{31}, \quad \hat{g}_2(\hat{b}_3) = Dv(b_3)n_{32}.
$$

Observons tout d'abord que, par construction, on a

$$
(2.2-34) \qquad \hat{w} |_{[\hat{a}_3, \hat{a}_\alpha]} = \hat{f}_\alpha.
$$

Comme l'application $F_K$ est affine sur les côtés $\hat{a}_3\hat{a}_\alpha$, $\alpha=1,2$, les traces $w|_{[a_3,a_\alpha]}$ sont des polynômes à une variable, de degré 5, entièrement déterminés par les degrés de liberté afférents aux côtés $a_3a_\alpha$ ($\alpha=1,2$). Ainsi, la fonction $w|_{[a_3,a_\alpha]}$ réalise la première partie de la condition (2.1-3).

Soit à établir la relation (2.2-33), pour $\alpha=1$. La relation $\hat{w}=w \circ F_K$ entraîne immédiatement (cf. la relation (2.1-6)) :

$$
(2.2-35) \quad D\hat{w}(\hat{a})e_2 = \left\langle \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{a}), t_{31} \right\rangle \frac{\partial w}{\partial t_{31}}(a) + \left\langle \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{a}), n_{31} \right\rangle \frac{\partial w}{\partial n_{31}}(a).
$$

Les fonctions $\frac{\mathrm{d}f_1}{\mathrm{d}\hat{x}_1}$, $\hat{g}_1$ (resp. $\frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}}|_{[\hat{a}_3, \hat{a}_1]}^2$ ) sont des polynômes en $\hat{x}_1$

de degré 4 (resp. 1). Alors, pour tout $\hat{a} \in [\hat{a}_3, \hat{a}_1]$, l'expression

$$
\frac{1}{|a_3 a_1|} < \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{a}), t_{31} > \frac{\mathrm{d}f_1}{\mathrm{d}\hat{x}_1}(\hat{a}) + \left\langle \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{a}), n_{31} > \hat{g}_1(\hat{a})
$$

est un polynôme en $\hat{x}_1$ de degré 5, donc, en particulier, de degré 8. Ce
polynôme est identique au polynôme $D\hat{w}(\hat{a})\hat{e}_2$, de degré 8 en $\hat{x}_1$, car ces
deux polynômes prennent les mêmes valeurs sur l'ensemble des 9 degrés de
liberté, P₈-unisolvant, suivant :

$$
\{\hat{p}(\hat{a}_3); \hat{p}(\hat{a}_1); \hat{p}(\hat{b}_i), i = 6, \dots, 10; \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_1}(\hat{a}_3), \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_1}(\hat{a}_1)\}.
$$

La démonstration de ce dernier point repose sur les égalités

$$
\frac{\mathrm{d}\hat{f}_1}{\mathrm{d}\hat{x}_1}(\hat{a}_i) = |a_3 a_1| \mathrm{Dv}(a_i) t_{31}, \quad \hat{g}_1(\hat{a}_i) = \mathrm{Dv}(a_i) n_{31}, \quad i = 1, 3,
$$

$$
\frac{d^2 \hat{f}_1}{(d\hat{x}_1)^2}(\hat{a}_i) = |a_3 a_1|^2 D^2 v(a_i)(t_{31}, t_{31}), \quad \frac{d \hat{g}_1}{d\hat{x}_1}(\hat{a}_i) = |a_3 a_1| D^2 v(a_i)(n_{31}, t_{31}), \\
\hfill i = 1, 3,
$$

qui sont elles-mêmes des conséquences directes des définitions des polynômes
d'interpolation $\hat{f}_1$ et $\hat{g}_1$.

Dès lors, pour tout point $\hat{a} \in [\hat{a}_3, \hat{a}_1]$

$$
(2.2-36) \quad \mathrm{D}\hat{w}(\hat{a}) \overrightarrow{e_2} = \frac{1}{|a_3 a_1|} \left\langle \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{a}), t_{31} \right\rangle > \frac{\mathrm{d}\hat{f}_1}{\mathrm{d}\hat{x}_1}(\hat{a}) + \left\langle \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{a}), n_{31} \right\rangle > \hat{g}_1(\hat{a}).
$$

Mais les relations (2.2-34) impliquent

$$
\frac{\partial w}{\partial t_{31}}(a) = \frac{1}{|a_3 a_1|} \frac{\partial \hat{f}_1}{\partial \hat{x}_1}(\hat{a}), \quad a = F_K(\hat{a}), \quad \forall \hat{a} \in \hat{a}_3 \hat{a}_1.
$$

Les relations (2.2-35) et (2.2-36) entraînent alors la relation (2.2-33).
En effet, pour tout $\hat{a} \in [\hat{a}_3, \hat{a}_1]$, on a

$$
\left| \left\langle \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{a}), n_{31} \right\rangle \right| = \frac{1}{|a_3 a_1|} |a_3 a_1 \times a_3 a_2| + O(h_K^2) \neq 0,
$$

dès que $h_K$ est assez petit.

Par analogie, on montrerait que la relation (2.2-33) est satisfaite
pour α = 2. Comme l'application F<sub>K</sub> est affine sur les côtés à<sub>3</sub>à<sub>α</sub>, α = 1,2,
les traces ∂w/∂n<sub>3α</sub>|[a<sub>3</sub>,a<sub>α</sub>]<br>
(resp. BELL : 3) entièrement déterminés par les degrés de liberté afférents

aux côtés $a_3 a_\alpha$ ($\alpha$ = 1,2). Ainsi, la fonction $\frac{\partial w}{\partial n_{3\alpha}}|_{[a_3, a_\alpha]}$ réalise la seconde
partie de la condition (2.1-3).
Par construction, la fonction $\hat{w}$ est polynômiale ; par suite, la fonction $w = \hat{w} \cdot F_K^{-1}$ vérifie la condition (2.1-5). Enfin, la définition de l'ensemble $\Sigma_K$ (cf. (2.2-2) (2.2-3)) assure la réalisation de la condition (2.1-2).

Ainsi, à l'ensemble $\Sigma_K(v)$ (cf. (2.2-27)) des valeurs des degrés de liberté d'une fonction quelconque $v \in C^2(K)$, la construction décrite précédemment, associe une fonction $w$ convenable. Nous la notons désormais $\pi_K v = w$. En particulier, soulignons que les relations (2.2-34) (resp. (2.2-33)) entraînent que la fonction interpolée $\pi_K v$ vérifie les conditions (2.2-9) (2.2-15) (resp. (2.2-12), (2.2-16)).

Il reste à estimer l'erreur d'interpolation $|v - \pi_K v|_{m,K}$ : c'est ce que nous faisons au numéro 3.

**Remarque 2.2-2** : D'autres types d'éléments finis courbes qui s'apparentent à celui que nous venons de considérer, ont été introduits par KORNEEV-PONOMAREV [1,2].

## 2-3. Définition d'éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec les éléments d'ARGYRIS ou de BELL, dans le cas où $F_K \in (P_3)^2$:

La définition d'éléments finis courbes compatibles avec les éléments d'ARGYRIS ou de BELL dans le cas $F_K \in (P_3)^2$ est en tous points analogue à celle développée dans le paragraphe 2.2 lorsque $F_K \in (P_5)^2$.

La définition du nouvel élément fini de base $(\hat{K}, \hat{P}, \hat{\Sigma})$ et les notations s'y rapportant, sont indiquées sur la Figure 2.3-1. Par analogie avec le Théorème 2.2-1, il vient :

**Théorème 2.3-1** : Le triplet $(\hat{K}, \hat{P}, \hat{\Sigma})$, de la Figure 2.3-1 définit un élément fini.

**Construction de la fonction interpolée** $v \to \pi_K v$ :

A l'aide de cet élément fini de base on associe à toute fonction $v \in C^2(K)$ une fonction interpolée $\pi_K v$. Cette construction comporte les trois étapes suivantes :

**Etape 1** : Définition de l'ensemble $\Sigma_K$ des degrés de liberté de l'élément courbe.

Dans toute cette section 2.3, l'application $F_K$ considérée est celle définie dans l'Exemple 1.3-2. Posons
<figure><img src="image_17.png" /></figure>

$\hat{\mathbf{K}}$ = triangle rectangle unité

$\hat{\mathbf{P}} = P_7$ ; $\dim \hat{\mathbf{P}} = 36$ ;

$\hat{\Sigma} = \{ \hat{p}(\hat{\mathbf{a}}_i) , i = 1, \dots, 9 ; \hat{p}(\hat{\mathbf{d}}_i) , \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{\mathbf{x}}_1}(\hat{\mathbf{a}}_i) , \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{\mathbf{x}}_2}(\hat{\mathbf{a}}_i) , i = 1, 2, 3 ;$

$$
\frac{\sqrt{2}}{2} \left( \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_1} + \frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_2} \right) (\hat{b}_i), \quad i = 7, 8, 9; \quad \frac{\partial^2 \hat{p}}{(\partial \hat{x}_1)^2} (\hat{a}_i), \quad \frac{\partial^2 \hat{p}}{\partial \hat{x}_1 \partial \hat{x}_2} (\hat{a}_i), \quad \frac{\partial^2 \hat{p}}{(\partial \hat{x}_2)^2} (\hat{a}_i), \\
i = 1, 2, 3 \}.
$$

<caption>Figure 2.3-1</caption>

Elément fini de base pour la construction d'un élément fini courbe
$C^1$-compatible avec l'élément d'ARGYRIS (resp. BELL)
$$
(2.3-1) \quad \left\{
\begin{array}{l}
a_i = F_K(\hat{a}_i), \quad b_i = F_K(\hat{b}_i), \quad i = 1, \dots, 9 ; \\
d_i = F_K(\hat{d}_i), \quad i = 1, 2, 3 ; \\
t_{3\alpha}, \ n_{3\alpha}, \ \alpha = 1, 2, \ \text{définis par les relations (2.1-1).}
\end{array}
\right.
$$

Alors l'ensemble $\Sigma_K(v)$ des valeurs des degrés de liberté de la fonction $v \in C^2(K)$, est donné par

$$
(2.3-2) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\Sigma_K(v) = \{ (D^\alpha v(a_i), |\alpha| = 0,1,2), i = 1,2,3; \text{Dv}(b_5)n_{31}; \text{Dv}(b_2)n_{32} ; \\
\qquad \text{Dv}(b_8)\text{DF}_K(\hat{b}_8)(\hat{a}_3 - \hat{b}_8) ; v(d_i), i = 1,2,3 \};
\end{array}
\right.
$$

$$
(2.3-3) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\text{(resp. BELL :} \\
\Sigma_K(v) = \{ (D^\alpha v(a_i), |\alpha| = 0,1,2), i = 1,2,3 ; v(d_i), i = 1,2,3 \} \).
\end{array}
\right.
$$

Ces définitions sont illustrées par la Figure 2.3-2.

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 2.3-2</figcaption></figure>

Les ensembles de degrés de liberté Σ_K pour les éléments finis courbes C^1-compatibles avec les éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL (cas où F_K ∈ (P_3)^2).

Étape 2 : Passage de $\Sigma_K(v)$ à $\hat{\Delta}_K(v)$ :

A l'ensemble de valeurs $\Sigma_K(v)$ comportant 24 éléments (resp. BELL : 21)
nous associons un ensemble de 36 valeurs, $\hat{\Delta}_K(v)$, qu'il convient d'attribuer
à l'ensemble des degrés de liberté $\hat{\Sigma}$, pour obtenir une fonction $\hat{w} \in \hat{P}$ con-
venable. Cette construction est entièrement similaire à celle de l'Etape 2 de la section 2.2 et, c'est pourquoi, nous ne la détaillons pas.

**Etape 3 :** *Passage de l'ensemble de valeurs* $\hat{\Delta}_K(v)$ *à la fonction* w :

Soit $\hat{w}$ la fonction de l'espace $\hat{P}$ qui prend les valeurs $\hat{\Delta}_K(v)$ sur l'ensemble des degrés de liberté $\hat{\Sigma}$ (cf. l'élément fini de la Figure 2.3-1).
A cette fonction $\hat{w}$ définie sur le triangle de référence $\hat{K}$, les relations (2.1-4) associent la fonction

$$ (2.3-4) \qquad w = \hat{w} \circ F_K^{-1}. $$

Il reste alors à montrer que la fonction w ainsi construite vérifie les propriétés souhaitées. C'est l'objet du Théorème 2.3-2 ci-dessous dont la démonstration est en tous points analogue à celle du Théorème 2.2-2.

**Théorème 2.3-2 :** *La fonction* w, *définie en* (2.3-4), *est déterminée de manière unique par la donnée de l'ensemble* $\Sigma_K(v)$ *des valeurs des degrés de liberté de la fonction* v *à interpoler, i.e.,*

$$ (2.3-5) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \Sigma_K(v) = \{ (D^\alpha v(a_i), |\alpha| = 0,1,2), i = 1,2,3; \text{ Dv}(b_5)n_{31}; \text{ Dv}(b_2)n_{32} \} \\ \qquad \text{ Dv}(b_8)DF_K(\hat{b}_8)(\hat{a}_3-\hat{b}_8); v(d_i), i = 1,2,3 \}. \end{array} \right. $$

*En outre, la fonction* w *vérifie les relations*

$$ (2.3-6) \qquad D^\alpha w(a_i) = D^\alpha v(a_i), \quad |\alpha| = 0,1,2; \quad i=1,2,3; $$

$$ (2.3-7) \qquad Dv(b_5)n_{31} = Dv(b_5)n_{31}, $$

$$ (2.3-8) \qquad Dv(b_2)n_{32} = Dv(b_2)n_{32}, $$

$$ (2.3-9) \qquad Dv(b_8)DF_K(\hat{b}_8)(\hat{a}_3-\hat{b}_8) = Dv(b_8)DF_K(\hat{b}_8)(\hat{a}_3-\hat{b}_8) $$

$$ (2.3-10) \qquad w(d_i) = v(d_i), \quad i = 1,2,3, $$

(resp. BELL : *la fonction* w *vérifie les conditions* (2.3-6) *et* (2.3-10)) *et elle satisfait les conditions* (2.1-2), (2.1-3) *et* (2.1-5).

Ainsi, à toute fonction $v \in C^2(K)$ la définition précédente associe une fonction w convenable. Nous la notons désormais $\pi_K v = w$.
2-4 : Définition d'un élément fini courbe $C^0$-compatible avec l'élément d'Hermite de type 3, dans le cas où $F_K \in (P_n)^2$, n = 3 ou 5 :

Nous terminons ce numéro par la définition d'un élément fini courbe $C^0$-compatible avec l'élément d'Hermite de type 3, dans le cas où $F \in (P_n)^2$, $n=3$ ou $5$. Cet élément est utilisé dans les problèmes de coques pour l'approximation des composantes tangentielles du déplacement. Cet élément fini courbe $(K, P_K, \Sigma_K)$ est défini par :

$$ (2.4-1) \quad \left\{ \begin{array}{l} K = F_K(\hat{K}), F_K \in (P_n)^2, n=3 \quad (\text{cf. Exemple 1.3-2}) \text{ ou } n=5 \quad (\text{cf.} \\ \qquad \qquad \text{Exemple 1.3-3}), \\[1em] P_K = \{p : K \to \mathbb{R} ; p = \hat{p} \circ F_K^{-1} ; \hat{p} \in P_3\}, \\[1em] \Sigma_K = \{D^\alpha p(a_i), |\alpha| \le 1, i=1,2,3 ; p(F_K(\hat{a}_0)), \hat{a}_0 = \text{centre de} \\ \qquad \text{gravité du triangle } \hat{K}\} , \end{array} \right. $$

où $P_K, \Sigma_K$ désignent l'espace fonctionnel et l'ensemble des degrés de liberté, respectivement. Cette définition est illustrée par la Figure 2.4-1.

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>**Figure 2.4-1**
L'élément fini courbe $C^0$-compatible avec l'élément fini d'Hermite de type 3 ($F_K \in (P_n)^2$, $n=3$ ou $5$).</figcaption></figure>
Ainsi, à toute fonction $v \in C^1(K)$ on associe la fonction interpolée
$\pi_K v$ définie par (comparer à (II, Exemple 2.2-3)) :

$$
(2.4-2) \qquad \pi_K v = \hat{\pi} \hat{v} \circ F_K^{-1}, \hat{v} = v \circ F_K,
$$

où $\hat{\pi}\hat{v}$ est l'interpolée d'Hermite de type 3 de la fonction $\hat{v}$ sur le triangle de référence $\hat{K}$, i.e.,

$$
(2.4-3) \quad \left\{
\begin{aligned}
\hat{\pi} \hat{v} &= \hat{v}(\hat{a}_0) \hat{p}_{\hat{a}_0}^0 + \sum_{i=1}^3 \{ \hat{v}(\hat{a}_i) \hat{p}_i^0 + D \hat{v}(\hat{a}_i) (\hat{a}_{i-1} - \hat{a}_i) \hat{p}_{i, i-1}^1 + \\
&\qquad \qquad + D \hat{v}(\hat{a}_i) (\hat{a}_{i+1} - \hat{a}_i) \hat{p}_{i, i+1}^1 \}
\end{aligned}
\right.
$$

avec

$$
(2.4-4) \quad \left\{
\begin{aligned}
\hat{p}_{\hat{a}_0}^0 &= 27\hat{x}_1\hat{x}_2\hat{x}_3, \quad \hat{x}_3 = 1-\hat{x}_1-\hat{x}_2, \\
\hat{p}_i^0 &= -2(\hat{x}_i)^3 + 3(\hat{x}_i)^2 - 7\hat{x}_1\hat{x}_2\hat{x}_3, \quad i=1,2,3, \\
\hat{p}_{i, i-1}^1 &= \hat{x}_i\hat{x}_{i-1}(2\hat{x}_i+\hat{x}_{i-1}-1), \quad i=1,2,3, \\
\hat{p}_{i, i+1}^1 &= \hat{x}_i\hat{x}_{i+1}(2\hat{x}_i+\hat{x}_{i+1}-1), \quad i=1,2,3.
\end{aligned}
\right.
$$

Remarque 2.4-1 : La $C^0$-compatibilité résulte (i) du fait que la trace de la fonction interpolée sur les côtés $a_3a_1$ et $a_3a_2$ ne dépend que de la donnée des degrés de liberté aux points $a_3$, $a_1$ d'une part, $a_3$, $a_2$ d'autre part (noter que sur ces côtés l'application $F_K$ est affine), (ii) du fait que ces degrés de liberté sont identiques à ceux des éléments finis droits d'Hermite de type 3.

Remarque 2.4-2 : Dans le cas où $F_K \in (P_3)^2$, l'élément fini courbe défini en (2.4-1), s'apparente à l'élément fini isoparamétrique d'Hermite de type (3) étudié par CIARLET-RAVIART [3, Exemple 6]. Ces deux éléments ne sont cependant pas identiques car notre définition de l'application $F_K$ n'est pas symétrique en $\hat{x}_1$ et $\hat{x}_2$ (cf. Remarque 1.2-1 et équations (1.3-6)).
### 3 - ESTIMATION DE L'ERREUR D'INTERPOLATION

**Orientation** : Dans ce numéro nous donnons un estimation de l'erreur d'interpolation pour les éléments finis courbes de classe $C^1$ construits au numéro précédent. Pour obtenir le même ordre d'erreur d'interpolation que dans le cas des éléments finis droits correspondants, il convient de supposer que la fonction à interpoler est un peu plus régulière, i.e., $v \in H^{k+2}(K)$ pour les éléments courbes quand on suppose $v \in H^{k+1}(K)$ pour les éléments droits.

3-1. **Estimation de l'erreur d'interpolation pour les éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec les éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL dans le cas où $F_K \in (P_5)^2$**.

Comme dans la section 2.2, les démonstrations sont faites dans le cas des éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec les éléments d'ARGYRIS. Pour les éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec les éléments de BELL, les modifications qu'il convient d'apporter sont signalées par (resp. BELL: ).

L'objet de cette section est d'étendre aux éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec les éléments d'ARGYRIS (resp. BELL) les estimations d'erreur d'interpolation démontrées dans le cas des éléments d'ARGYRIS (cf. CIARLET [1, N°13, Théorème 1]) (resp. BELL (cf. CIARLET [6])). Nous allons établir le théorème suivant :

**Théorème 3.1-1** : Il existe une constante $c$, indépendante de $h_K$, telle que pour tous les éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec les éléments finis d'ARGYRIS (resp. BELL) on a

$$ (3.1-1) \quad \forall v \in H^{k+2}(K), \quad |v - \pi_K v|_{m,K} \le c h_K^{k+1-m} (h_K |v|_{k+2,K} + \|v\|_{k+1,K}), $$
$$ k=2, \dots, 5; \quad 0 \le m \le k+1, $$
(resp. BELL :

$$ (3.1-2) \quad \forall v \in H^{k+2}(K), \quad |v - \pi_K v|_{m,K} \le c h_K^{k+1-m} (h_K |v|_{k+2,K} + \|v\|_{k+1,K}), $$
$$ k=2, \dots, 4; \quad 0 \le m \le k+1), $$

où $\pi_K v$ est l'interpolée de la fonction $v$ définie dans la section 2.2.

**Démonstration** : Nous allons établir l'inégalité (3.1-1) (resp. BELL : (3.1-2)) dans le cas $k=5$ (resp. BELL : $k=4$), les autres cas étant obte-
nus de manière analogue. Soient $\hat{v}$ et $\hat{\pi}_K^v$ les fonctions associées aux fonctions $v$ et $\pi_K^v$ par les relations (2.1-4), i.e.,

$$ (3.1-3) \quad \left\{ \begin{array}{l} \hat{v} = v \circ F_K \\ \hat{\pi}_K^v = \pi_K^v \circ F_K \end{array} \right. $$

L'hypothèse $v \in H^7(\mathbb{K})$ entraîne immédiatement $\hat{v} \in H^7(\hat{\mathbb{K}})$. Rappelons par ailleurs que la fonction $\hat{\pi}_K^v$ (resp. $\pi_K^v$) est notée $\hat{w}$ (resp. $w$) dans la section 2.2.

Suivant CIARLET-RAVIART [3, (3.10)] il existe une constante $c$ indépendante de $h_K$ telle que

$$ (3.1-4) \quad \left\{ \begin{array}{l} \forall v \in W^k, P(\mathbb{K}), \quad |v|_{k,p,\mathbb{K}} \le c |J_{F_K}|_{0,\infty,\hat{\mathbb{K}}}^{1/p} \quad \dots \\ \qquad \cdot \sum_{j=1}^k |\hat{v}|_{j,p,\hat{\mathbb{K}}} \sum_{i \in I(j,k)} \left( |F_K^{-1}|_{1,\infty,\mathbb{K}}^{i_1} |F_K^{-1}|_{2,\infty,\mathbb{K}}^{i_2} \dots |F_K^{-1}|_{k,\infty,\mathbb{K}}^{i_k} \right) \end{array} \right. $$

où $|F_K^{-1}|_{m,\infty,\mathbb{K}} = 1 \le m \le k$, est défini par la relation (1.2-14) et où

$$ (3.1-5) \quad I(j,k) = \{i = (i_1, \dots, i_k) \in \mathbb{N}^k; i_1 + i_2 + \dots + i_k = j, i_1 + 2i_2 + \dots + k i_k = k\}, $$
$$ 1 \le j \le k. $$

Ainsi, $\forall v \in H^m(\mathbb{K})$, on a pour $1 \le m \le 6$ (resp. BELL : $\forall v \in H^m(\mathbb{K})$, on a pour $1 \le m \le 5$)

$$ (3.1-6) \quad |v - \pi_K^v|_{m,\mathbb{K}} \le C |J_{F_K}|_{0,\infty,\hat{\mathbb{K}}}^{\frac{1}{2}} \sum_{j=1}^{m} |\hat{v} - \hat{\pi}_K^v|_{j,\hat{\mathbb{K}}} \sum_{i \in I(j,m)} \left( |F_K^{-1}|_{1,\infty,\mathbb{K}}^{i_1} \cdots |F_K^{-1}|_{m,\infty,\mathbb{K}}^{i_m} \right) $$

Nous montrons ci-après qu'il existe une constante $c$ telle que pour tout $v \in H^7(\mathbb{K})$ (resp. BELL : $v \in H^6(\mathbb{K})$) :

$$ (3.1-7) \quad |\hat{v} - \hat{\pi}_K^v|_{j,\hat{\mathbb{K}}} \le c h_K^5 (h_K |v|_{7,\mathbb{K}} + \|v\|_{6,\mathbb{K}}), \quad 0 \le j \le 6, $$

$$ (3.1-8) \quad (\text{resp. BELL : } |\hat{v} - \hat{\pi}_K^v|_{j,\hat{\mathbb{K}}} \le c h_K^4 (h_K |v|_{6,\mathbb{K}} + \|v\|_{5,\mathbb{K}}), \quad 0 \le j \le 5), $$
$$ \text{où } v = \hat{v} \circ F_K^{-1}. $$

Par ailleurs, rappelons que dans le Théorème 1.2-1 nous avons établi les inégalités suivantes : il existe des constantes $c$, indépendantes de $h_K$, telles que
$$
(3.1-9) \quad \left\{
\begin{array}{l}
|F_K|^2 \le c h_K^\ell, \quad \ell = 0, 1, \dots \\
|F_K^{-1}|^2 \le c h_K^{1-\ell}, \quad \ell = 1, 2, \dots \\
|J_{F_K}|^2 \le c h_K^{\ell}, \\
|J_{F_K}^{-1}|^2 \le c h_K^{2-\ell}.
\end{array}
\right.
$$

Alors, si l'on reporte les inégalités (3.1-7) (resp. BELL : (3.1-8))
et (3.1-9) dans l'inégalité (3.1-6) on obtient les inégalités cherchées :

$$
(3.1-10) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\forall v \in H^7(\mathbb{K}), \quad |v - \pi_K v|_{m,\mathbb{K}} \le c h_K^{6-m} (h_K|v|_{7,\mathbb{K}} + \|v\|_{6,\mathbb{K}}), \quad 1 \le m < 6, \\
\text{(resp. BELL : } \forall v \in H^6(\mathbb{K}), |v - \pi_K v|_{m,\mathbb{K}} \le c h_K^{5-m} (h_K|v|_{6,\mathbb{K}} + \|v\|_{5,\mathbb{K}}), \\
\phantom{\text{(resp. BELL : } \forall v \in H^6(\mathbb{K}), |v - \pi_K v|_{m,\mathbb{K}} \le} 1 \le m < 5).
\end{array}
\right.
$$

Notons que les estimations (3.1-10) sont encore valables pour m=0.
Il suffit de remplacer l'inégalité (3.1-6) par la suivante :

$$
(3.1-11) \quad |v - \pi_K v|_{0,K} \le |J_{F_K}|_{0,\omega,\hat{K}}^2 |\hat{v} - \pi_K \hat{v}|_{0,\hat{K}}.
$$

Pour achever la démonstration, nous établissons les estimations (3.1-7)
(resp. BELL : (3.1-8)) :

Désignons par $\hat{\pi}$ l'opérateur de $P_9$-interpolation associé à l'élément fini décrit par la Figure 2.2-1. Alors, pour tout $0 < j < 6$ (resp. BELL : $0 < j \le 5$) il vient:

$$
(3.1-12) \quad |\hat{v} - \hat{\pi}_K \hat{v}|_{j, \hat{K}} \le |\hat{v} - \hat{\pi} \hat{v}|_{j, \hat{K}} + |\hat{\pi} \hat{v} - \hat{\pi}_K \hat{v}|_{j, \hat{K}}.
$$

Mais l'opérateur $\hat{\pi}$ laisse invariant les polynômes de degré 9, donc en particulier les polynômes de degré 5 (resp. BELL : 4). Par suite

$$
(3.1-13) \quad |\hat{v} - \hat{\pi} \hat{v}|_{j, \hat{K}} \le c |\hat{v}|_{6, \hat{K}}, \quad 0 \le j \le 6,
$$

$$
(3.1-14) \quad (\text{resp. BELL : } |\hat{v} - \hat{\pi}\hat{v}|_{j, \hat{K}} \le c |\hat{v}|_{5, \hat{K}}, 0 \le j \le 5).
$$

Par analogie avec la relation (3.1-4), il existe une constante c, indé-
pendante de h_K, telle que
$$
(3.1-15) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  \forall \hat{v} \in \mathbb{W}^{k,p}(\hat{K}), \quad |\hat{v}|_{k,p,\hat{K}} < c |J_{\hat{F}_K-1}|_{0,\omega,\hat{K}}^{1/p} \quad \dots \\
  \phantom{\forall \hat{v} \in \mathbb{W}^{k,p}(\hat{K})} \quad \cdot \sum_{j=1}^k |v|_{j,p,K} \sum_{i \in I(j,k)} \left( \|F_K\|_{1,\omega,\hat{K}}^{i1} \|F_K\|_{2,\omega,\hat{K}}^{i2} \dots \|F_K\|_{k,\omega,\hat{K}}^{ik} \right)
\end{array}
\right.
$$

où l'ensemble I(j,k) est défini par la relation (3.1-5).

En reportant les inégalités (3.1-9) dans l'inégalité (3.1-15) écrite
pour k = 6 (resp. BELL : k = 5) et p = 2, on obtient

$$
(3.1-16) \quad \forall \hat{v} \in H^6(\hat{K}), \quad |\hat{v}|_{6,\hat{K}} \le c h_K^5 \|v\|_{6,K},
$$

$$
(3.1-17) \quad (\text{resp. BELL : } \forall \hat{v} \in H^5(\hat{K}), |\hat{v}|_{5,\hat{K}} \le c h_{\hat{K}}^4 \|v\|_{5,\hat{K}}).
$$

Les inégalités (3.1-13) (3.1-16) (resp. (3.1-14) (3.1-17)) donnent
alors

$$
(3.1-18) \quad \forall \hat{v} \in H^6(\hat{K}), \quad |\hat{v} - \hat{\pi} \hat{v}|_{j,\hat{K}} < c h_{\hat{K}}^5 \|v\|_{6,\hat{K}}, \quad 0 < j < 6,
$$

$$
(3.1-19) \quad (\text{resp. BELL : } \forall \hat{v} \in H^5(\hat{K}), |\hat{v} - \hat{\pi}\hat{v}|_{j,\hat{K}} < c h_{\hat{K}}^4 \|v\|_{5,\hat{K}}, 0 \le j \le 5).
$$

Nous montrons alors (en 3 étapes) que :

$$
\forall \hat{v} \in H^7(\hat{K}) \quad (\text{resp. BELL : } \forall \hat{v} \in H^6(\hat{K})), \text{ on a}
$$

$$
(3.1-20) \quad |\hat{\pi}\hat{v} - \hat{\pi}_K v|_{j,\hat{K}} < c h_K^5 (h_K |v|_{7,\hat{K}} + \|v\|_{6,\hat{K}}), \quad 0 < j < 6,
$$

$$
(3.1-21) \quad (\text{resp. BELL : } |\hat{\pi}\hat{v} - \hat{\pi}_K v|_{j,\hat{K}} \le c h_K^4 (h_K |v|_{6,\hat{K}} + \|v\|_{5,\hat{K}}), \quad 0 \le j \le 5.
$$

Étape 1 : Méthode d'évaluation :

Soit à évaluer la différence

$$
(3.1-22) \qquad \hat{\delta}(\hat{x}) = \hat{\pi}\hat{v}(\hat{x}) - \hat{\pi}_K v(\hat{x}).
$$

Il s'agit là d'un polynôme de degré 9, d'où $\hat{\pi}\hat{\delta} = \hat{\delta}$. Si l'on désigne
par $\hat{DL}_i$, $\hat{p}_i$, $1 \le i \le 55$ les degrés de liberté et les polynômes de base cor-
respondants de l'élément fini de base (cf. Figure 2.2-1), dans l'ordre indiqué
en (2.2-4), on a, pour tout $\hat{x} \in \hat{K}$ :

$$
(3.1-23) \qquad \hat{\pi} \hat{\delta}(\hat{x}) = \hat{\delta}(\hat{x}) = \sum_{i=1}^{55} \hat{DL}_i(\hat{\delta}) \hat{p}_i(\hat{x}).
$$
Les ensembles de valeurs des degrés de liberté utilisés pour former
$\hat{\pi}\hat{\nu}$ sont obtenus à partir de $\hat{\Sigma}_1 \cup \hat{\Sigma}_2 \cup \hat{\Sigma}_3$ (cf. (2.2-4)) en remplacant $\hat{p}$ par $\hat{\nu}$.
Les ensembles de valeurs correspondants utilisés dans la construction de
$\hat{\pi}_K\hat{\nu}$ sont donnés par $\hat{\Delta}_{K1}(\nu) \cup \hat{\Delta}_{K2}(\nu) \cup \hat{\Delta}_{K3}(\nu)$ (cf.(2.2-6), (2.2-18) et (2.2-25)).
On observe tout d'abord que les ensembles $\hat{\Sigma}_1(\hat{\nu})$ et $\hat{\Delta}_{K1}(\nu)$ sont identiques,
d'où

$$
(3.1-24) \qquad \hat{DL}_i(\hat{\delta}) = 0, i = 1, \dots, 28.
$$

Etape 2 : Estimation des $\hat{DL}_i(\hat{\delta})$, $i=29, \dots, 46$.

Considérons ensuite $\hat{\Sigma}_2(\hat{\nu})$ (cf.(2.2-4)) et $\hat{\Delta}_{K2}(\nu)$ (cf. (2.2-18)). On a

$$
(3.1-25) \quad \hat{DL}_{25+i}(\hat{\delta}) = \hat{\nu}(\hat{a}_i) - \hat{f}_2(\hat{a}_i), \quad i=4, \dots, 7;
$$

$$
(3.1-26) \quad \hat{DL}_{25+i}(\hat{\delta}) = \hat{\nu}(\hat{a}_i) - \hat{f}_1(\hat{a}_i), \quad i=8, \dots, 11;
$$

$$
(3.1-27) \quad \left\{
\begin{aligned}
\hat{DL}_{36+i}(\hat{\delta}) = & -\frac{\partial \hat{\nu}}{\partial \hat{x}_1}(\hat{b}_i) + \frac{1}{|a_3a_2|} \left\langle \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_1}(\hat{b}_i), t_{32} \right\rangle > \frac{\mathrm{d}\hat{f}_2}{\mathrm{d}\hat{x}_2} \left(\frac{6-i}{6}\right) + \\
& + \left\langle \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_1}(\hat{b}_i), n_{32} \right\rangle > \hat{g}_2 \left(\frac{6-i}{6}\right), \quad i=1, \dots, 5;
\end{aligned}
\right.
$$

$$
(3.1-28) \quad \left\{
\begin{aligned}
\hat{DL}_{36+i}(\hat{\delta}) = & -\frac{\partial \hat{\nu}}{\partial \hat{x}_2}(\hat{b}_i) + \frac{1}{|a_3 a_1|} \left\langle \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{b}_i), t_{31} \right\rangle > \frac{\mathrm{d}\hat{f}_1}{\mathrm{d}\hat{x}_1} \left(\frac{i-5}{6}\right) + \\
& + \left\langle \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{b}_i), n_{31} \right\rangle > \hat{g}_1 \left(\frac{i-5}{6}\right), \quad i=6, \dots, 10.
\end{aligned}
\right.
$$

(resp. BELL : remplacer $\hat{g}_2$ et $\hat{g}_1$ par $\hat{h}_2$ et $\hat{h}_1$, respectivement).

Par définition, la fonction $\hat{f}_1$ interpole la fonction $\nu$ sur le côté $a_3 a_1$, à partir de la donnée des degrés de liberté (2.2-7). Comme sur le côté $\hat{a}_3 \hat{a}_1$ la fonction $F_K$ est affine, la fonction $\hat{f}_1$ est le polynôme d'Hermite de degré 5 qui interpole la fonction $\hat{\nu}$ sur le côté $\hat{a}_3 \hat{a}_1$, à partir de la donnée des degrés de liberté

$$
(3.1-29) \quad \{ \hat{\nu}(\hat{a}_1), \hat{\nu}(\hat{a}_3), D\hat{\nu}(\hat{a}_1)(\hat{a}_3-\hat{a}_1), D\hat{\nu}(\hat{a}_3)(\hat{a}_1-\hat{a}_3), \\
\qquad \qquad \qquad D^2\hat{\nu}(\hat{a}_1)(\hat{a}_3-\hat{a}_1)^2, D^2\hat{\nu}(\hat{a}_3)(\hat{a}_1-\hat{a}_3)^2 \}.
$$
Par hypothèse $\hat{v} \in H^7(\hat{K})$. Le théorème de Sobolev implique en particulier

$$ (3.1-30) \qquad H^6(\hat{K}) \subset\to W^{4,\infty}(\hat{K}) $$

avec injection continue, i.e., il existe une constante $c$ telle que

$$ (3.1-31) \qquad \forall \hat{v} \in H^6(\hat{K}), \quad \|\hat{v}\|_{4,\infty,\hat{K}} < c \|\hat{v}\|_{6,\hat{K}}. $$

Par la suite, nous désignons par une même lettre les fonctions définies sur un triangle et leurs traces sur les côtés du triangle. Comme le polynôme $\hat{f}_1$, de degré 5, interpole la trace de la fonction $\hat{v}$ sur le côté $\hat{a}_3\hat{a}_1$, pour tout $\hat{v} \in W^{4,\infty}(\hat{a}_3\hat{a}_1)$, on obtient

$$ |\hat{v}(\hat{a}_i) - \hat{f}_1(\hat{a}_i)| \le |\hat{v} - \hat{f}_1|_{0,\infty, \hat{a}_3\hat{a}_1} < c|\hat{v}|_{4,\infty, \hat{a}_3\hat{a}_1}, \quad i=8, \dots, 11, $$

d'où avec l'inégalité (3.1-31) :

$$ \forall \hat{v} \in H^6(\hat{K}), \quad |\hat{v}(\hat{a}_i) - \hat{f}_1(\hat{a}_i)| \le c \|\hat{v}\|_{4,\infty,\hat{K}} < c \|\hat{v}\|_{6,\hat{K}}, \quad i=8, \dots, 11. $$

Ainsi, la forme linéaire

$$ \forall \hat{v} \in H^6(\hat{K}) \quad \rightarrow \quad \mathfrak{F}(\hat{v}) = \max_{i=8, \dots, 11} |\hat{v}(\hat{a}_i) - \hat{f}_1(\hat{a}_i)| $$

est continue. Comme elle s'annule pour tout $\hat{v} \in P_5$, le lemme de BRAMBLE-HILBERT [1] entraîne l'existence d'une constante $c$ telle que

$$ \forall \hat{v} \in H^6(\hat{K}), \quad |\hat{v}(\hat{a}_i) - \hat{f}_1(\hat{a}_i)| \le c|\hat{v}|_{6,\hat{K}}, \quad i=8, \dots, 11, $$

ou encore, avec la relation (3.1-16)

$$ (3.1-32) \qquad \forall \hat{v} \in H^6(\hat{K}), \quad |\hat{v}(\hat{a}_i) - \hat{f}_1(\hat{a}_i)| \le c h_K^5 \|\hat{v}\|_{6,\hat{K}}, \quad i=8, \dots, 11. $$

Le même type de raisonnement montre que

$$ (3.1-33) \quad (\text{resp. BELL : } \forall \hat{v} \in H^5(\hat{K}), \quad |\hat{v}(\hat{a}_i) - \hat{f}_1(\hat{a}_i)| \le c h_K^4 \|\hat{v}\|_{5,\hat{K}}, \quad i=8, \dots, 11). $$
Par analogie, on obtiendrait

$$
(3.1-34) \quad \forall \hat{v} \in H^6(\hat{K}), \quad |\hat{DL}_{25+i}(\hat{\delta})| = |\hat{v}(\hat{a}_i) - \hat{f}_2(\hat{a}_i)| < c h_K^5 \|v\|_{6,K}, \quad i=4, \dots, 7
$$

$$
(3.1-35) \quad (\text{resp. BELL : } \forall \hat{v} \in H^5(\hat{K}), \quad |\hat{DL}_{25+i}(\hat{\delta})| = |\hat{v}(\hat{a}_i) - \hat{f}_2(\hat{a}_i)| \le \\
\qquad c h_K^4 \|v\|_{5,K}, \quad i=4, \dots, 7).
$$

Examinons maintenant le cas des degrés de liberté (3.1-28). La corres-
pondance (2.1-4), i.e., $\hat{v} = v \circ F_K$, entraîne pour $i=6, \dots, 10$ :

$$
\begin{align*}
\frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{x}_2}(\hat{b}_i) &= D\hat{v}(\hat{b}_i) \overrightarrow{e}_2 = Dv(b_i)DF_K(\hat{b}_i) \overrightarrow{e}_2 = Dv(b_i) \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{b}_i) \\
&= Dv(b_i) \left[ < \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{b}_i), t_{31} > t_{31} + < \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{b}_i), n_{31} > n_{31} \right], \\
&= \frac{1}{|a_3 a_1|} < \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{b}_i), t_{31} > \frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{x}_1}(\hat{b}_i) + < \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{b}_i), n_{31} > Dv(b_i) n_{31},
\end{align*}
d'où, pour $i=6, \dots, 10$
$$

$$
(3.1-36) \quad \hat{DL}_{36+i}(\hat{\delta}) = \frac{1}{|a_3 a_1|} \left< \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{b}_i), t_{31} \right> \left[ \frac{d\hat{f}_1}{d\hat{x}_1}(\hat{b}_i) - \frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{x}_1}(\hat{b}_i) \right] + \\
\qquad \left< \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{b}_i), n_{31} \right> (\hat{g}_1(\hat{b}_i) - Dv(b_i)n_{31}).
$$

Une démonstration analogue à celle de l'estimation (3.1-32) montre que

$$
(3.1-37) \quad \forall \hat{v} \in H^6(\hat{K}), \quad \left| \frac{1}{|a_3 a_1|} \left< \frac{\partial F_K}{\partial \hat{x}_2}(\hat{b}_i), t_{31} > \left( \frac{d\hat{f}_1}{d\hat{x}_1}(\hat{b}_i) - \frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{x}_1}(\hat{b}_i) \right) \right| \le \\
\qquad c h_K^5 \|v\|_{6,K}, \quad i=6, \dots, 10.
$$

Etudions maintenant le second terme du second membre de la relation
(3.1-36). C'est ici qu'intervient l'hypothèse $v \in H^7(K)$ (resp. BELL :
$v \in H^6(K)$) alors que pour tous les autres termes l'hypothèse $v \in H^6(K)$
ionate $\hat{g}_1(\hat{x}_1)$ interpolate la
$(\text{resp. BELL : } v \in H^5(K))$ suffit (à ce sujet, cf. la Remarque 3.1-1).

Par définition le polynôme d'Hermite de degré 4, $\hat{g}_1(\hat{x}_1)$ interpole la
fonction $Dv(x_1(\hat{x}_1,0), x_2(\hat{x}_1,0))_{n_{31}}$ sur le côté $\hat{a}_3\hat{a}_1$ à partir de la donnée
des degrés de liberté (2.2-10). Mais
$$
(3.1-38) \quad \mathrm{Dv}(x_1(\hat{x}_1,0), x_2(\hat{x}_1,0))_{n31} = \mathrm{D\hat{v}}(\hat{x}_1,0) \mathrm{DF}^{-1}_{\hat{K}}(x_1(\hat{x}_1,0), x_2(\hat{x}_1,0))_{n31}.
$$

Dès lors, pour i = 6, ..., 10 et pour tout $\hat{v} \in H^7(\hat{K})$, il vient :

$$
(3.1-39) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \left| \hat{g}_1(\hat{b}_i) - \mathrm{Dv}(b_i)_{n31} \right| \le |\hat{g}_1(\cdot) - \mathrm{D\hat{v}}(\cdot,0) \mathrm{DF}^{-1}_{\hat{K}}(x^1(\cdot,0), x^2(\cdot,0))_{n31}|_{0,\omega, \hat{a}_3\hat{a}_1} \\
& < c |\mathrm{D\hat{v}}(\cdot,0) \mathrm{DF}^{-1}_{\hat{K}}(x^1(\cdot,0), x^2(\cdot,0))_{n31}|_{5, \hat{a}_3\hat{a}_1} \\
& < \frac{c}{h_{\hat{K}}^4} |\mathrm{D\hat{v}}(\cdot,0)|_{5, \hat{a}_3\hat{a}_1} < c h_{\hat{K}}^{-1} |\hat{v}(\cdot,0)|_{6, \hat{a}_3\hat{a}_1}.
\end{aligned}
\right.
$$

Mais, d'après *NECAS* [1, Théorème 1.2 page 15], il vient

$$
(3.1-40) \quad \forall \hat{v} \in H^7(\hat{K}), \quad |\hat{v}(\cdot,0)|_{6,\hat{a}_3\hat{a}_1} \le c (|\hat{v}|_{7,\hat{K}} + |\hat{v}|_{6,\hat{K}}).
$$

Les inégalités (3.1-15) entraînent alors

$$
(3.1-41) \quad \forall \hat{v} \in H^7(\hat{K}), \quad \begin{cases} |\hat{v}|_{7,\hat{K}} < c h_{\hat{K}}^{-1} h_{\hat{K}}^7 \|v\|_{7,\hat{K}}, \\ |\hat{v}|_{6,\hat{K}} < c h_{\hat{K}}^{-1} h_{\hat{K}}^6 \|v\|_{6,\hat{K}}, \end{cases}
$$

d'où, en regroupant les inégalités (3.1-39) à (3.1-41)

$$
\forall v \in H^7(\hat{K}), |\hat{g}_1(\hat{b}_i) - \mathrm{Dv}(b_i)_{n31}| \le c h_K^4 (h_K |v|_{7,K} + \|v\|_{6,K}).
$$

Finalement, pour i = 6, ..., 10, on obtient

$$
(3.1-42) \quad \forall v \in H^7(\hat{K}), \quad \left| \left. \left\langle \frac{\partial F}{\partial \hat{x}_2} (\hat{b}_i), n_{31} \right\rangle - (\hat{g}_1(\hat{b}_i) - \mathrm{Dv}(b_i)) n_{31} \right| \le c h_K^5 (h_K |v|_{7,K} + \|v\|_{6,K})
$$

En reportant les inégalités (3.1-37) (3.1-42) dans la relation (3.1-36) il
vient alors

$$
(3.1-43) \quad \forall v \in H^7(\hat{K}), \quad |\hat{DL}_{36+i}(\hat{\delta})| \le c h_K^5 (h_K |v|_{7,K} + \|v\|_{6,K}), \quad i = 6, \dots, 10.
$$

Un raisonnement analogue permet d'établir les inégalités suivantes :

$$
(3.1-44) \quad (\text{resp. BELL : } \forall v \in H^6(\mathbb{K}), \quad |\hat{DL}_{36+i}(\hat{\delta})| \le c h_K^4 (h_K |v|_{6,K} + \|v\|_{5,K}), \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad i=6, \dots, 10);
$$
$$
(3.1-45) \quad \forall v \in H^7(\mathbb{K}), \quad |\hat{\mathrm{DL}}_{36+i}(\hat{\delta})| \le c h_K^5 (h_K |v|_{7,K} + \|v\|_{6,K}), \quad i=1, \dots, 5;
$$

$$
(3.1-46) \quad (\text{resp. BELL : } \forall v \in H^6(\mathbb{K}), \quad |\hat{\mathrm{DL}}_{36+i}(\hat{\delta})| \le c h_K^4 (h_K |v|_{6,K} + \|v\|_{5,K}) \\
\phantom{(3.1-46) \quad (\text{resp. BELL : } \forall v \in H^6(\mathbb{K}), \quad |\hat{\mathrm{DL}}_{36+i}(\hat{\delta})| \le} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad i=1, \dots, 5).
$$

### Étape 3 : Estimation des $\hat{\mathrm{DL}}_i(\hat{\delta})$, $i=47, \dots, 55$

Considérons enfin les ensembles de degrés de liberté $\hat{\Sigma}_3(\hat{v})$ (cf. (2.2-4)) et $\hat{\Delta}_{K3}(v)$ (cf. (2.2-25)). On a

$$
(3.1-47) \quad \hat{\mathrm{DL}}_{46+i}(\hat{\delta}) = \hat{v}(\hat{a}_{11+i}) - \hat{f}_3(\frac{5-i}{5}), \quad i=1, \dots, 4;
$$

$$
(3.1-48) \quad \hat{\mathrm{DL}}_{50+i}(\hat{\delta}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{x}_1} + \frac{\partial \hat{v}}{\partial \hat{x}_2} \right) (\hat{b}_{10+i}) + \sqrt{2} \hat{g}_3(\frac{6-i}{6}), \quad i=1, \dots, 5.
$$

Par définition, $\hat{f}_3(\hat{x}_1)$ est le polynôme d'Hermite, de degré 5, qui interpole la fonction $\hat{v}$ sur le côté $\hat{a}_1\hat{a}_2$. Ce polynôme est défini par la donnée des degrés de liberté suivants (cf. (2.2-22)):

$$
\{\hat{v}(\hat{a}_1), \hat{v}(\hat{a}_2), D\hat{v}(\hat{a}_1)(\hat{a}_2-\hat{a}_1), D\hat{v}(\hat{a}_2)(\hat{a}_1-\hat{a}_2), D^2\hat{v}(\hat{a}_1)(\hat{a}_2-\hat{a}_1)^2, \\
D^2\hat{v}(\hat{a}_2)(\hat{a}_1-\hat{a}_2)^2\}.
$$

Alors, par analogie avec l'obtention de (3.1-32) (resp. BELL : (3.1-33))
il vient :

$$
(3.1-49) \quad \forall \hat{v} \in H^6(\hat{K}), \quad |\hat{\mathrm{DL}}_{46+i}(\hat{\delta})| = \left| \hat{v}(\hat{a}_{11+i}) - \hat{f}_3(\frac{5-i}{5}) \right| \le c h_K^5 \|v\|_{6,K'}
$$
$$
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad i=1, \dots, 4,
$$

$$
(3.1-50) \quad (\text{resp. BELL : } \forall \hat{v} \in H^5(\hat{K}), \quad |\hat{\mathrm{DL}}_{46+i}(\hat{\delta})| = \left| \hat{v}(\hat{a}_{11+i}) - \hat{f}_3(\frac{5-i}{5}) \right| \le \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad < c h_K^4 \|v\|_{5,K'} \quad i=1, \dots, 4).
$$

Soit à estimer maintenant les termes (3.1-48). Par définition $\hat{g}_3$ est
le polynôme d'Hermite, de degré 4, qui interpole la fonction $D\hat{v}(\cdot)(\hat{a}_3 - \hat{b}_{13})$
sur le côté $\hat{a}_1\hat{a}_2$. Les degrés de liberté de cette interpolation sont
(cf. (2.2-23)):
$$
\{ D\hat{\nu}(\hat{a}) (\hat{a}_3 - \hat{b}_{13}), \alpha = 1,2; D^{2\hat{\nu}}(\hat{a}_1) (\hat{a}_3 - \hat{b}_{13}, \hat{a}_2 - \hat{a}_1); \\
D^{2\hat{\nu}}(\hat{a}_2) (\hat{a}_3 - \hat{b}_{13}, \hat{a}_1 - \hat{a}_2); D\hat{\nu}(\hat{b}_{13}) (\hat{a}_3 - \hat{b}_{13}) \}
$$

Mais l'expression (3.1-48) s'écrit encore

$$
\hat{DL}_{50+i}(\hat{\delta}) = \sqrt{2} [\hat{s}_3(\hat{b}_{10+i}) - D\hat{\nu}(\hat{b}_{10+i})(\hat{a}_3 - \hat{b}_{13})], \quad i = 1, \dots, 5,
$$
d'où, grâce à l'inégalité (3.1-31),

$$
\begin{align*}
\forall \hat{\nu} \in H^6(\hat{K}), \quad |\hat{DL}_{50+i}(\hat{\delta})| &< \sqrt{2} |\hat{s}_3(\cdot) - D\hat{\nu}(\cdot)(\hat{a}_3 - \hat{b}_{13})|_{0,\infty, \hat{a}_1 \hat{a}_2} \\
&< c |D\hat{\nu}(\cdot)(\hat{a}_3 - \hat{b}_{13})|_{3,\infty, \hat{a}_1 \hat{a}_2} \\
&< c |\hat{\nu}|_{4,\infty, \hat{a}_1 \hat{a}_2} < c \|\hat{\nu}\|_{6, \hat{K}}.
\end{align*}
$$

Un raisonnement analogue à celui qui a permis d'obtenir (3.1-32) donne
alors

$$
(3.1-51) \quad \forall \hat{\nu} \in H^6(\hat{K}), \quad |\hat{DL}_{50+i}(\hat{\delta})| < c h_K^5 \|\nu\|_{6,\hat{K}}, \quad i=1, \dots, 5.
$$

De même, on obtiendrait

$$
(3.1-52) \quad (\text{resp. BELL : } \forall \hat{\nu} \in H^5(\hat{K}), \quad |\hat{DL}_{50+i}(\hat{\delta})| < c h_K^4 \|\nu\|_{5,K}, \quad i=1, \dots, 5).
$$

Notons que pour un élément courbe $C^1$-compatible avec l'élément fini $d'$ARGYRIS$'$ on a $\hat{DL}_{53}(\hat{\delta}) = 0$ ; cette propriété n'est en général pas vérifiée pour un élément courbe $C^1$-compatible avec l'élément fini de BELL.

Finalement, les relations (3.1-22) et (3.1-23) entraînent

$$
|\hat{\delta}|_{j, \hat{K}} < |\hat{\pi}\hat{\nu} - \hat{\pi}_{\hat{K}}\hat{v}|_{j, \hat{K}} < c \sum_{i=1}^{.55} |\hat{DL}_i(\hat{\delta})| .
$$

Les relations (3.1-24) (3.1-32) (3.1-34) (3.1-43) (3.1-45) (3.1-49) et
(3.1-51) [resp. BELL : (3.1-24) (3.1-33) (3.1-35) (3.1-44) (3.1-46) (3.1-50)
et (3.1-52)] entraînent l'estimation (3.1-20) (resp. BELL : (3.1-21)). On
obtient les estimations (3.1-47) [resp. BELL : (3.1-8)] en rassemblant
les estimations (3.1-18) et (3.1-20) [resp. BELL : (3.1-19) et (3.1-21)].

Remarque 3.1-1 : Pour obtenir des estimations d'erreur d'interpolation du même ordre que celles trouvées dans le cas d'éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL, nous avons supposé $v \in H^{k+2}(K)$ au lieu de $v \in H^{k+1}(K)$. Ce complément
de régularité n'est utilisé que dans l'estimation des termes

$$g_1(b_i) - Dv(b_i)n_{31}, i = 6, \dots, 10,$$

$$g_2(b_i) - Dv(b_i)n_{31}, i = 1, \dots, 5,$$

pour lesquels il n'est pas possible d'introduire une forme linéaire continue s'annulant pour $\hat{v} \in P_5$. Peut-être est-il possible d'améliorer ce résultat ? Notons cependant que la solution d'un problème formulé sur un ouvert, dont la frontière est assez régulière, est en général plus régulière que la solution d'un problème formulé sur un ouvert polyédrique. ■

**Remarque 3.1-2** : Pour un élément courbe $C^1$-compatible avec l'élément fini d'ARGYRIS, la définition des polynômes d'interpolation $\hat{g}_1$ et $\hat{g}_2$ entraîne
$$ \hat{g}_1(\hat{b}_8) = Dv(b_8)n_{31} \text{ et } \hat{g}_2(\hat{b}_3) = Dv(b_3)n_{32}. \text{ Ces relations permettent de simplifier les estimations (3.1-43) (resp. (3.1-45)) pour } i=8 \text{ (resp. } i=3) \text{ comme suit} $$

$$ \forall v \in H^6(K), \quad |\hat{DL}_{44}(\hat{\delta})| < c h_K^5 \|v\|_{6,K'} \\ \text{(resp. } \forall v \in H^6(K), \quad |\hat{DL}_{39}(\hat{\delta})| < c h_K^5 \|v\|_{6,K}). \quad \blacksquare $$

**Remarque 3.1-3** : En utilisant le même type de méthode il est loisible de donner une nouvelle démonstration de l'estimation d'erreur d'interpolation pour les éléments finis d'ARGYRIS et de BELL (cas particulier où l'application $F_K$ est affine). ■

### 3-2. Estimation de l'erreur d'interpolation pour les éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec les éléments finis d'ARGYRIS ou de BELL dans le cas où $F_K \in (P_3)^2$ :

Lorsqu'on suppose que $F_K \in (P_3)^2$, au lieu de $F_K \in (P_5)^2$, l'estimation de l'erreur d'interpolation reste inchangée, i.e. :

**Théorème 3.2-1** : Il existe une constante $c$, indépendante de $h_K$, telle que pour tous les éléments finis courbes $C^1$-compatibles avec les éléments finis d'ARGYRIS (resp. BELL) on a

$$ (3.2-1) \quad \forall v \in H^{k+2}(K), \quad |v - \pi_K v|_{m,K} \le c h_K^{k+1-m} (h_K |v|_{k+2,K} + \|v\|_{k+1,K}) \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad k=2, \dots, 5, \quad 0 \le m \le k+1, $$
(resp. BELL :

$$
(3.2-2) \quad \forall v \in H^{k+2}(K), \quad |v - \pi_K v|_{m,K} < c h_K^{k+1-m} (h_K |v|_{k+1,K} + \|v\|_{K,K}), \\
\phantom{(3.2-2) \quad \forall v \in H^{k+2}(K), \quad } k = 3, \dots, 5, \ 0 \le m \le k+1,
$$

où $\pi_K v$ est l'interpolée de la fonction $v$ définie dans la section 2.3.

**Démonstration** : On vérifie que la démonstration du Théorème 3.1-1 s'adapte sans difficultés au cas où $F_K \in (P_3)^2$. Ici, l'opérateur $\hat{\pi}$ désigne l'opérateur de $P_7$-interpolation associé à l'élément fini décrit par la Figure 2.3-1.

Remarque 3.2-1 : Comme dans le cas où $F_K \in (P_5)^2$, et pour les mêmes raisons, nous trouvons que pour obtenir des estimations d'erreur d'interpolation du même ordre que celles des éléments d'ARGYRIS ou de BELL, il convient de supposer que $v \in H^{k+2}(K)$ au lieu de $v \in H^{k+1}(K)$.

3.3. **Estimation de l'erreur d'interpolation pour les éléments finis courbes**
$C^0$-compatibles avec l'élément d'Hermite de type 3 ($F_K \in (P_n)^2$, $n=3$ ou $5$):

Dans les problèmes de coques, pour approcher les composantes tangen-
tielles du déplacement, nous sommes amenés à utiliser les éléments finis
courbes C⁰-compatibles avec l'élément d'Hermite de type 3, étudiés dans
la section 2.4. Pour ces éléments, l'erreur d'interpolation est donnée par
le Théorème suivant :

**Théorème 3.3-1** : Il existe une constante $c$, indépendant de $h_K$, telle
que pour tous les éléments finis courbes $C^0$-compatibles avec les éléments
finis d'Hermite de type 3 et pour toute fonction $v \in H^{k+1}(K)$

$$
(3.3-1) \quad |v - \pi_K v|_{m,K} \le c h_K^{k+1-m} \|v\|_{k+1,K}, \quad k = 2,3, \ 0 \le m \le k+1,
$$

où $\pi_K v$ est l'interpolée de la fonction $v$ définie dans la section 2.4.

Démonstration : Les relations (2.4-2) (3.1-6) (3.1-9) et (3.1-11)
entraînent pour tout $v \in H^{k+1}(K)$ :

$$
(3.3-2) \quad |v - \pi_K v|_{m,K} \le C h_K^{1-m} \sum_{j=0}^{m} |\hat{v} - \hat{\pi} \hat{v}|_{j,\hat{K}}, \quad 0 \le m \le k+1.
$$

Mais $\hat{\pi}\hat{v}$ est la fonction $P_3$-interpolée d'Hermite sur le triangle de référence $\hat{K}$,
d'où, pour tout $\hat{v} \in H^{k+1}(\hat{K})$ :

$$ (3.3-3) \qquad |\hat{v} - \hat{\pi}\hat{v}|_{j, \hat{K}} < c|\hat{v}|_{k+1, \hat{K}}, \quad 0 < j < k+1. $$

Les relations (3.1-9) et (3.1-15) entraînent alors pour tout $\hat{v} \in H^{k+1}(\hat{K})$ :

$$ (3.3-4) \qquad |\hat{v}|_{k+1, \hat{K}} < c h_{\hat{K}}^k \|v\|_{k+1, \hat{K}}. $$

En rassemblant les estimations (3.3-2) à (3.3-4) on obtient l'estimation (3.3-1).

<figure><img src="image_20.png" /></figure>
BIBLIOGRAPHIE

ARGYRIS, J.H. ; FRIED, I. ; SCHARPF, D.W.,

[1] The TUBA family of plate elements for the matrix displacement method. The Aeronautical Journal of the Royal Aeronautical Society, **72** (1968), 701-709.

BELL, K.,

[1] A refined triangular plate bending element. Int. J. Num. Meth. Eng., **1** (1969), 101-122.

BERNADOU, M.,

[1] Prise en compte de l'intégration numérique dans les méthodes d'éléments finis conformes pour les coques. C.R. Acad. Sci. Paris, Sér. A, **284** (1977), 1387-1390.

[2] Convergence de la méthode des éléments finis, avec intégration numérique, pour les problèmes de coques. C.R. Acad. Sci. Paris, Sér. A, **284** (1977), 1465-1468.

[3] Conforming finite element methods for shell problems with numerical integration, pp. 91-96. Information Processing 77, B. GILCHRIST, Editor, IFIP, North-Holland Pub. Company (1977).

[4] Méthodes conformes d'éléments finis pour des problèmes de coques avec intégration numérique. Rapport IRIA-LABORIA, No 245, Août 1977.

BERNADOU, M. ; CIARLET, P.G.,

[1] Sur l'ellipticité du modèle linéaire de coques de W.T. KOITER. "Computing Methods in Applied Sciences and Engineering", Lectures Notes in Economics and Mathematical Systems, Vol. **134**, pp. 89-136, Springer Verlag, Berlin, 1976.

[2] Théorème d'existence et d'unicité pour le modèle linéaire de coques de W.T. KOITER. C.R. Acad. Sci. Paris, Sér. A., **282**, (1976), 793-795.

BRAMBLE, J.H. ; HILBERT, S.R.,

[1] Estimation of linear functionals on Sobolev spaces with application to Fourier transforms and spline interpolation. SIAM J. Numer. Anal. **7**, No 1, (1970), 112-124.

CARATHEODORY, C.,

[1] *Theory of functions of a complex variable*. Tome 1. Chelsea Publishing Company, New-York, 1964.
CARTAN, H.,

[1] *Calcul Différentiel*, Paris, Hermann, 1967.

CIARLET, P.G.,

[1] *Numerical Analysis of the Finite Element Method*, Séminaire de Mathématiques Supérieures, Presses de l'Université de Montréal, (1976)

[2] *The Finite Element Method for Elliptic Problems*. North-Holland, (1977).

[3] Conforming finite element methods for the shell problem. A paraître dans les Proceedings of the Conference on the Mathematics of Finite Elements and Applications, Brunel University, 7-10, Avril 1975.

[4] Mise en oeuvre de la méthode des éléments finis pour les problèmes de coques. C.R. Acad. Sci. Paris, Sér. A, **280** (1975), 1229-1232.

[5] Convergence des méthodes d'éléments finis conformes pour les problèmes de coques. C.R. Acad. Sci. Paris, Sér. A, **280** (1975), 1299-1301.

[6] Interpolation error estimates for the reduced Hsieh-Clough-Tocher triangle. Journées Eléments Finis de Rennes, Mai 1977.

CIARLET, P.G. ; RAVIART, P.-A.,

[1] The combined effect of curved boundaries and numerical integration in isoparametric finite element methods. In AZIZ, A.K. (Editor) *The Mathematical Foundations of the Finite Element Method with Applications to Partial Differential Equations*, pp. 409-474, Academic Press, New York (1972).

[2] L'effet de l'intégration numérique dans les méthodes d'éléments finis. A paraître.

[3] Interpolation theory over curved elements, with applications to finite element methods. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, **1** (1972), 217-249.

DIEUDONNE, J.,

[1] *Eléments d'Analyse*, Tome 1, Gauthier-Villars, Paris, 1968.

KORNEEV, V.G. ; PONOMAREV, S.E.,

[1] Use of curvilinear finite elements in schemes for solving linear elliptic equations of order 2n. Part I. Chislennye metody mekhaniki sploshnoi sredy, **5**, No 5, Novosibirsk (1974), pp. 78-97 (Traduit en anglais : UCRL - Trans. 10852).
[2] Use of curvilinear finite elements in schemes for solving linear elliptic equations of order 2n. Part II. Chislennye metody mekhaniki sploshnoi sredy, 6, N°1, Novosibirsk (1975), pp. 47-64 (en russe).

LIONS, J.-L., MAGENES, E.

[1] **Problèmes aux limites non homogènes et applications. Vol. 1**
Dunod, Paris, 1968.

MANSFIELD, L.E.,

[1] Approximation of the boundary in the finite element solution of fourth order problems. A paraître.

[2] A Clough-Tocher type element useful for fourth order problems over non-polygonal domains. Math. Comp. (to appear).

MEISTERS, G.H. ; OLECH, C.,

[1] Locally one-to-one mappings and a classical theorem on Schlicht functions. Duke Math. J., 30 (1963), 63-80.

NECAS, J.,

[1] **Les Méthodes Directes en Théorie des Equations Elliptiques.**
Masson, Paris, 1967.

SCOTT, R.,

[1] Finite element techniques for curved boundaries. Ph.D. M.I.T. -
Juin 1973.

STRANG, G. ; FIX, G.J.,

[1] *An Analysis of the Finite Element Method*, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1973.

ZENISEK, A.,

[1] A general theorem on triangular finite $C^{(m)}$-elements. Rev. Française Automat. Informat. Recherche Opérationnelle, R-2. (1974), 119-127.

[2] Curved triangles finite $C^m$-elements. A paraître.

ZLÁMAL, M.,

[1] The finite element method in domains with curved boundaries. Internat. J. Numer. Methods Engrg., 5 (1973), 367-373.

[2] Curved elements in the finite element method, Part I, SIAM J. Numer. Anal., 10 (1973), 229-240.

[3] Curved elements in the finite element method, Part II, SIAM J. Numer. Anal., 11 (1974), 347-362.