avec le module de Coulomb G donné par (Eq. 7.31)

$$G = \frac{E}{2(1 + \nu)}. \qquad (7.61)$$

Alors le torseur de déplacement au point $P_{fin}$ par rapport au torseur de déplacement du point $P_{deb}$ est,

$$ \begin{aligned} \{U_{Pfin}\} &= \left\{ \begin{array}{c} \vec{\omega}_{Pfin} \\ \vec{u}_{Pfin} \end{array} \right\}_{Pfin} \\ &= \left\{ \begin{array}{l} \vec{\omega}_{Pdeb} + \int_{s_{Pdeb}}^{s_{Pfin}} (\alpha_x \vec{x} + \alpha_y \vec{y} + \alpha_z \vec{z}) ds \\ \vec{u}_{Pdeb} + \omega_{Pdeb} \wedge P_{deb} \vec{P}_{fin} + \int_{s_{Pdeb}}^{s_{Pfin}} (\epsilon_x \vec{x} + \gamma_y \vec{y} + \gamma_z \vec{z}) ds \\ + \int_{s_{Pdeb}}^{s_{Pfin}} (\alpha_x \vec{x} + \alpha_y \vec{y} + \alpha_z \vec{z}) \wedge \vec{H} \vec{P}_{fin} ds \end{array} \right\}_{Pfin} \\ &= \left\{ \begin{array}{l} \vec{\omega}_{Pdeb} + \int_{s_{Pdeb}}^{s_{Pfin}} (M_x/GI_0^c \vec{x} + Mf_y/EI_{Hy} \vec{y} + Mf_z/EI_{Hz} \vec{z}) ds \\ \vec{u}_{Pdeb} + \omega_{Pdeb} \wedge P_{deb} \vec{P}_{fin} + \int_{s_{Pdeb}}^{s_{Pfin}} (N/ES \vec{x} + T_y/GS_y \vec{y} + T_z/GS_z \vec{z}) ds \\ + \int_{s_{Pdeb}}^{s_{Pfin}} (M_x/GI_0^c \vec{x} + Mf_y/EI_{Hy} \vec{y} + Mf_z/EI_{Hz} \vec{z}) \wedge \vec{H} \vec{P}_{fin} ds \end{array} \right\}_{Pfin} \end{aligned} \quad (7.62) $$

Dans la formule de Bresse, les sections corrigées $S_y$ et $S_z$ sont indiquées dans la figure 7.37, dans l'avant dernière colonne. Elles diffèrent en fonction de la forme de la section droite.

Pourquoi doit-on utiliser dans les formules de Bresse, les valeurs corrigées des aires des sections et du moment polaire ? La réponse est dans la vidéo 008 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=008. Regarde-la.

A quel moment a-t-on un angle de rotation non nul dans la formule de Bresse ? A quoi correspond-t-il exactement ? La réponse est dans la vidéo 307 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=307. Regarde-la.

Comment utilise-t-on de façon efficace les formules de Bresse ? La réponse est disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=545. Regarde-la, puis évalue son intérêt.

Les formules de Bresse ci-dessus sont relatifs à la cinématique 3. Nous rappelons ci-dessous, les formules de Bresse pour la cinématique 2, qui ne diffèrent que par 3 termes :

$$ \begin{aligned} \{U_{Pfin}\} &= \left\{ \begin{array}{c} \vec{\omega}_{Pfin} \\ \vec{u}_{Pfin} \end{array} \right\} \\ &= \left\{ \begin{array}{l} \vec{\omega}_{Pdeb} + \int_{s_{Pdeb}}^{s_{Pfin}} (M_x/GI_0^c \vec{x} + Mf_y/EI_{Hy} \vec{y} + Mf_z/EI_{Hz} \vec{z}) ds \\ \vec{u}_{Pdeb} + \omega_{Pdeb} \wedge P_{deb} \vec{P}_{fin} + \int_{s_{Pdeb}}^{s_{Pfin}} (N/ES \vec{x} + T_y/GS_y \vec{y} + T_z/GS_z \vec{z}) ds \\ + \int_{s_{Pdeb}}^{s_{Pfin}} (M_x/GI_0^c \vec{x} + Mf_y/EI_{Hy} \vec{y} + Mf_z/EI_{Hz} \vec{z}) \wedge \vec{H} \vec{P}_{fin} ds \end{array} \right\}_{Pfin} \end{aligned} \quad (7.63) $$

• **Érreur classique la plus souvent commise (une seule fois... après vous ne le ferez plus !)** : Les formules de Bresse sont écrites dans le repère local. Lorsque vous faites les calculs et que l'on vous demande à la fin les valeurs de déplacement ou de rotation dans le repère global, il est nécessaire de refaire le changement de repère. Si la poutre est avec un repère local qui dépend continument de $s$, alors exprimez le repère local dans le repère global, puis faite l'intégration.

• **Érreur classique** : Une fois les formules de Bresse utilisées, votre résultat ne doit plus faire apparaître les coordonnées du point $H$. Si c'est le cas, c'est que vous n'avez pas effectué l'intégration entre les abscisses $s_{Pdeb}$ et $s_{Pfin}$.
• **Erreur classique** : Si dans un problème donné, le déplacement en Pfin et connu et que vous recherchez le déplacement en Pdeb, écrivez la formule de Bresse comme ci-dessus, puis passer le termes complémentaires à u̅Pfin de l'autre coté de l'égalité.

• **Erreur classique** : Si vous utilisez les formules de Bresse entre un point sPdeb et sPfin et que vous devez couper l'intégrale en deux en passant par un point sPint (comme "intermédiaire", la formule de Bresse en déplacement s'écrit :

$$
\begin{align}
\vec{u}_{Pfin} = \vec{u}_{Pdeb} &+ \vec{\omega}_{Pdeb} \wedge P_{deb} \vec{P}_{fin} \nonumber \\
&+ \int_{s_{Pdeb}}^{s_{Pint}} (N/ES \, \vec{x} + T_y/GS_y \, \vec{y} + T_z/GS_z \, \vec{z}) ds \nonumber \\
&+ \int_{s_{Pdeb}}^{s_{Pint}} (M_x/GI_0^c \, \vec{x} + M f_y/EI_{Hy} \, \vec{y} + M f_z/EI_{Hz} \, \vec{z}) \wedge \vec{H}P_{fin} ds \nonumber \\
&+ \int_{s_{Pint}}^{s_{Pfin}} (N/ES \, \vec{x} + T_y/GS_y \, \vec{y} + T_z/GS_z \, \vec{z}) ds \nonumber \\
&+ \int_{s_{Pint}}^{s_{Pfin}} (M_x/GI_0^c \, \vec{x} + M f_y/EI_{Hy} \, \vec{y} + M f_z/EI_{Hz} \, \vec{z}) \wedge \vec{H}P_{fin} ds. \tag{7.64}
\end{align}
$$

Vous noterez bien que le vecteur après le produit vectoriel reste $\vec{H}P_{fin}$ dans les deux intégrales.

<figure><img src="image_66.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir le brevet 093, 041, 042, 095, 050, 089, 051, 052, 053 et 096. Si vous avez des difficultés, je vous invite à vous appuyer sur le "coup de pouce" qui décrit la démarche théorique à suivre, mais aussi à contacter le référent du brevet.

brevet 093 : Comparaison expérimentale des moments quadra-
tiques d'une poutre

auteurs : JM Génevaux ; ressource : [?], paragraphe .

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B et C, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0), (l/2,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Les points A et B sont sur des appuis sur rouleau de normale $\vec{j}$, le point C chargé par une force $-\vec{f}\vec{j}$ (avec $F > 0$). La poutre est réalisée par le collage le long de leur génératrice de 8 spaguettis, tel que la section droite soit un assemblage de 4 x 2 spaguettis.

Les appuis sur rouleau sont réalisé par le contact entre la poutre et deux
cylindres. Le chargement est réalisé par un doigt.

La rigidité de la structure est-elle plus grande lorsque la grande hauteur
de la section droite (4 spaguettis) est parallèle au chargement ?
brevet 041 : Raideur d'un plot en compression, ajusté dans un contenant cylindrique parfaitement lubrifié
auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Soit un cylindre de direction $\vec{j}$, de section droite circulaire de diamètre $d = 10$ mm, en aluminium AU4G, de longueur $l = 50$ mm, ajusté dans un contenant cylindrique indéformable parfaitement lubrifié. Ce plot est soumis à une force $\vec{F} = -200\vec{j}$ sur sa surface supérieure. Sa surface inférieure est bloquée en translation par une surface de normale $\vec{j}$. Sous cette charge, la surface supérieure se déplace d'une valeur $\vec{u} = -u\vec{j}$.

Quelle est la rigidité $k = F/u$ de ce plot ?

brevet 042 : Raideur d'un plot en compression posé sur un plan parfaitement lubrifié
auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Soit un cylindre de direction $\vec{j}$, de section droite circulaire de diamètre $d = 10$ mm, en aluminium AU4G, de longueur $l = 50$ mm. Ce plot est soumis à une force $\vec{F} = -200\vec{j}$ sur sa surface supérieure. Sa surface inférieure est bloquée en translation dans la direction $\vec{j}$ par une surface parfaitement lubrifiée. Sous cette charge, la surface supérieure se déplace d'une valeur $\vec{u} = -u\vec{j}$.

Quelle est la rigidité $k = F/u$ de ce plot ?

brevet 095 : Comparaison expérimentale des rigidités de deux plots en fonction de leur cinématiques possibles
auteurs : JM Génevaux ; ressource : [?], paragraphe .

Le problème est plan tel que représenté figure 7.42. Soit deux poutres de fibres moyennes reliant les points A et B, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0) et (0,l,0) dans un repère orthonormé direct $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Le point A est encastré et le point B est soumis à une force $-F\vec{j}$ (avec $F > 0$). Les poutres sont en caoutchouc, ou en flamby, ou en flan patissier maison. L'une d'elle est insérée dans un cylindre creux parfaitement ajusté et lubrifié, l'autre est libre de se dilater. Les forces égales sont réalisées en posant de façon bien symétrique une masse.

Après chargement, la masse est-elle inclinée (contractions différentes des deux plots) ?

brevet 050 : Déplacement pour une poutre en traction
auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.1$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.2(s+1)$ m dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ et global $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré, et une force à l'extrémité B implique que l'effort normal dans toute la poutre est $N = 1000$ N. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \times 10^{11}$ Pa.

Quel est le déplacement du point B ?
<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>Figure 7.42: Un montage de test de la dépendance de la rigidité à la cinématique possible de section droite.</figcaption></figure>

brevet 089 : Formule de Bresse et intégration

auteurs : B Brouard et JM Génevaux ; ressource : [?], paragraphe .

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B et D, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0), (0,1,0,0) et (0,2,0,1) en m dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). On oriente la poutre de A vers D. Le point A est encastré, le point D chargé par une force $10\vec{i}$ N. La poutre est de section circulaire de diamètre $d = 0.005$ m, en acier de module de Young $E = 2.1 \ 10^{11}$ Pa.

Si l'on note $H_1$ un point courant de AB tel que $\vec{AH}_1 = s_1\vec{i}$, les composantes du torseur des efforts intérieurs sont $N_1 = 10$ N, $T_{y1} = 0$ N et $M_{fz1} = -1$ N.m.

Si l'on note $H_2$ un point courant de BD tel que $\vec{BH}_2 = s_2(\vec{i}/\sqrt{2} + \vec{j}/\sqrt{2})$ alors les composantes du torseur des efforts intérieurs sont $N_2 = 10/\sqrt{2}$ N, $T_{y2} = -10/\sqrt{2}$ N et $M_{fz2} = -(\sqrt{2} - 10s_2)/\sqrt{2}$ N.m.

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.
Quel est le déplacement du point D exprimé dans la base ($\vec{i}, \vec{j}$) ?

brevet 051 : Déplacement pour une poutre en flexion dû au moment fléchissant

auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.15$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02(s+1)$ m dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les repères locaux ($\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$) et global ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$) coïncident. Le point A est encastré, et une force à l'extrémité B dans la direction $\vec{j}$ implique que l'effort tranchant $T_y = 1000$ N et un moment fléchissant $Mf_z(s) = 1000(l-s)$ Nm. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \ 10^{11}$ Pa.

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.
Quel est le déplacement dans la direction $\vec{j}$ du point B dû au moment fléchissant ?
brevet 052 : Déplacement pour une poutre en flexion dû à l'effort tranchant dans le cas de la cinématique 3 (avec voilement de la section droite)

auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.15$ m dans la direction $\vec{z'$) et de hauteur $h = 0.02(s+1)$ m dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ et global $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré, et une force à l'extrémité B dans la direction $\vec{j}$ implique que l'effort tranchant $T_y = 1000$ N et un moment fléchissant $Mf_z(s) = 1000(l-s)$ N.m. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \ 10^{11}$ Pa, son coefficient de Poisson est $\nu = 0.3$.

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.

Quel est le déplacement dans la direction $\vec{j}$ du point B dû à l'effort tranchant dans le cas de la cinématique 3 ?

brevet 053 : Déplacement pour une poutre en flexion dû à l'effort tranchant dans le cas de la cinématique 2

auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.15$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02(s+1)$ m dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ et global $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré, et une force à l'extrémité B dans la direction $\vec{j}$ implique que l'effort tranchant $T_y = 1000$ N et un moment fléchissant $Mf_z(s) = 1000(l-s)$ N.m. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \ 10^{11}$ Pa, son coefficient de Poisson est $\nu = 0.3$.

Quel est le déplacement dans la direction $\vec{j}$ du point B dû à l'effort tranchant dans le cas de la cinématique 2 ?

brevet 096 : Déterminations expérimentales du lieu de déplacement maximal et du lieu de rupture

auteurs : JM Génevaux ; ressource : [?], paragraphe .

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B et C, qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0), (l/3,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Le point A est encastré, le point B chargé par une force $-F\vec{j}$ (avec $F > 0$).

Expérimentalement, la poutre est réalisée avec un spaghetti, l'encastrement à l'aide de deux parallélépipèdes, le chargement par votre doigt.

Quel est le point de déplacement maximum ? Quel est le point où se produit la rupture ?
## 7.4 Résolutions de problèmes

Si l'objectif est de calculer un déplacement (ou une rotation) d'un point de la poutre, il faut :

* choisir un point de départ où le déplacement et/ou la rotation est connue

* orienter la poutre du point de départ au point où s'effectue la recherche de déplacement

* écrire la ou les formules de Bresse nécessaires

* identifier les composantes du torseur des efforts intérieurs qui doivent être calculées, et sur quel segment,

* calculer ces composantes en fonction du chargement (et des éventuelles inconnues hyperstatiques (en vert)). Le choix judicieux du secteur aval ou amont peut parfois permettre d'éviter de calculer les réactions aux liaisons.

* deux cas sont possibles :

- le système est hyperstatique

* il faut écrire une équation supplémentaire : elle concerne le degré de liberté dual de l'inconnue hyperstatique (en vert).

* Si c'est une force dans une direction, c'est le déplacement dans cette direction. Si c'est un moment autour d'un axe, c'est la rotation autour de cet axe.

* Calculer (comme ci-dessus par les formules de Bresse ou une méthode énergétique) le déplacement recherché (ou la rotation recherchée). Ceci vous donne une équation supplémentaire qui lie l'inconnue hyperstatique (en vert) aux chargements (en rouge).

* Remplacer dans les expressions des composantes d'effort intérieur, l'inconnue hyperstatique (en vert) par son expression en fonction du chargement,

- si le système est isostatique, les composantes du torseur des efforts intérieurs sont alors connues en fonction uniquement des chargements (en rouge).

* injecter ces expressions dans les formules de Bresse,

* faire les intégrales

<figure><img src="image_68.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir les brevets 075. Si vous avez des difficultés, je vous invite à vous appuyer sur le "coup de pouce" qui décrit la démarche théorique à suivre, mais aussi à contacter le référent du brevet.

**brevet 075 : Démarche générale de résolution d'un problème de déplacement en théorie des poutres**

**auteur :** JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution.

Soit un crochet fixé au plafond, représenté par une poutre en acier de diamètre *d*, composé d'un segment droit reliant les points *A* et *B*, puis d'un segment d'arc de cercle de rayon *r* reliant les points *B* et *D*. On appellera *O* le centre du cercle. Les coordonnées des points dans un repère (*O*, *i*, *j*) sont *A*(0, *r* + *l*), *B*(0, *r*), *c*(0, −*r*), *D*($−$*r*, 0). Une force $\vec{F}$ = $−F\vec{j}$ est exercée en *C*.

Donnez la démarche pour calculer le déplacement du point *C* (ne pas faire les calculs).
### 7.4.1 Résolution par superposition

**Hypothèses**

Pour que le principe de superposition soit valide, il faut que la loi de comportement du matériau
utilisé soit linéaire et que les déplacements soient petits devant les dimensions de la structure.
Cette deuxième condition s'exprime plus précisément par le fait qu'il faut que le torseur des efforts
intérieurs ne varie que de façon négligeable s'il est calculé pour la poutre dans sa configuration
initiale et s'il est calculé dans sa configuration déformée.

**Enoncé**

Soit une structure élastique linéaire, sous un ensemble de chargements $\{\tau_1\}$ cette structure subit un champs de déplacement $\{U_1\}$, sous un ensemble de chargements $\{\tau_2\}$ cette structure subit un champs de déplacement $\{U_2\}$, alors si elle est chargée simultanément par $\{\tau_1\} + \{\tau_2\}$, son champs de déplacement est $\{U_1\} + \{U_2\}$.

**Exemple**

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, de moment quadratique $I_{Hz} = 1 \times 10^{-8} m^4$ autour de l'axe $Hz$, reliant les points A et B, tel que $\vec{AP} = l\vec{i}$ et que le point A est encastré.

* Cette poutre sous une charge en B $\vec{F} = 100\vec{j}$ N, subit un déplacement en B qui vaut $\vec{u}_B = 0.0159\vec{j}$ m.

* Cette poutre sous un couple $\vec{C} = 100\vec{k}$ N.m en D, milieu de [AB], subit un déplacement en B qui vaut $\vec{u}_B = 0.0179\vec{j}$ m.

Sous les deux chargements, le déplacement du point B vaut $\vec{u}_B = 0.0338\vec{j}$ m.

<figure><img src="image_69.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir les brevets 056, 074, 097 et 057. Si vous avez des difficultés, je vous invite à vous appuyer sur le "coup de pouce" qui décrit la démarche théorique à suivre, mais aussi à contacter le référent du brevet.

brevet 056 : Le principe de superposition est-il applicable ?

auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.015$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02$ m dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ et global $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré. Un premier chargement est constitué d'une force à l'extrémité B $\vec{F}_1 = 100\vec{j}$. Un second chargement est constitué d'une force à l'extrémité B $\vec{F}_2 = -1000\vec{j}$. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \times 10^{11}$ Pa.

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.

En calculant le déplacement en bout de poutre, dites si les hypothèses du principe de superposition sont vérifiées dans ce cas ?
brevet 074 : Le principe de superposition est-il applicable ? (version 2)

auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.015$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02$ m dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ et global $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré. Un premier chargement est constitué d'une force à l'extrémité B $\vec{F}_1 = 1000\vec{i}$. Un second chargement est constitué d'une force à l'extrémité B $\vec{F}_2 = -100\vec{j}$. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \ 10^{11}$ Pa.

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.

En calculant le moment en A dans la configuration de référence et dans la configuration déformée, dites si les hypothèses du principe de superposition sont vérifiées dans ce cas ?

brevet 097 : Vérification expérimentales approximative du principe de superposition

auteurs : JM Génevaux ; ressource : [?] , paragraphe .

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B, C, et D qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0), (l/3,0,0), (l/2,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Le point A est encastré, le point B chargé par une force $-F_1\vec{j}$ (avec $F_1 > 0$), le point C chargé par une force $-F_2\vec{j}$ (avec $F_2 > 0$).

Faites un dessin de la structure, placez le repère global, les points, les éventuels repères locaux, les liaisons et les chargements.

Expérimentalement, la poutre est réalisée avec un spaghetti, l'encastrement à l'aide de deux parallélépipèdes, les chargements, en suspendant avec un fil un tube de tipex ou un stylo.

Mesurez le déplacement du point D sous le chargement en B dû au tipex, puis lorsque le chargement en C est dû au stylo, puis lorsque les deux chargements sont appliqués simultanément.

Le principe de superposition est-il vérifié approximativement ?

brevet 057 : Énergie de déformation

auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Résolution par superposition* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.15$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02$ m dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ et global $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré. Un chargement est constitué d'une force à l'extrémité B $\vec{F}_2 = 100\vec{j}$ N. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \ 10^{11}$ Pa.

Quelle est l'énergie de déformation $W_{int}$ contenue dans la poutre ?
Formation à la compétence marron de statique des poutres.
## 7.4.2 Méthodes énergétiques

Les formules de Bresse nécessitent des calculs dans des espaces vectoriels, alors que bien souvent, c'est un déplacement dans une direction, une rotation autour d'un axe ou un état de déformation qui est cherché. Ce sont des grandeurs scalaires (des tenseurs d'ordre 0). Il est donc intéressant de mettre en place une méthode de résolution qui utilise une grandeur scalaire : l'énergie.

### Energie de Déformation

Par définition l'énergie de déformation dans une structure composée de poutres correspond à la somme sur toute la poutre de l'énergie de déformation dans chacune des sections droites. Cette énergie de déformation locale est le comoment du torseur des déformations de la section droite et du torseur des efforts intérieurs. Le fait que la structure soit élastique, fait apparaître le coefficient $1/2$ de part la proportionnalité de ces deux torseurs. En utilisant la loi de comportement de la cinématique 3, on peut remplacer le torseur des déformations par son expression du torseur des efforts intérieurs. On obtient ainsi la formule 7.65.

$$W_{int} = \frac{1}{2} \int_{structure} \left( \frac{N^2}{ES} + \frac{T_y^2}{GS_y} + \frac{T_z^2}{GS_z} + \frac{M_x^2}{GI_0^c} + \frac{M f_y^2}{EI_{Hy}} + \frac{M f_z^2}{EI_{Hz}} \right) ds. \quad (7.65)$$

### Travail des chargements extérieurs

Les chargements extérieurs sont de deux types :

* les réactions aux liaisons

* les chargements imposés

Supposons que pour une poutre, un unique chargement soit imposé en un point B et que celui-ci soit représenté par un torseur $\{\tau_B\}$ dont les deux composantes $\vec{F}$ et $\vec{C}$ croissent proportionnellement. Sous l'effet de ce chargement le point B subit un champs de déplacement représenté par le torseur $\{U_B\}$ composé d'une résultante $\vec{\omega}$ et d'un moment $\vec{u}_B$. Le travail de ce torseur de chargement entre l'état repos et l'état chargé est la moitié du comoment des torseurs de chargement et de déplacement :

$$W_{ext} = \frac{1}{2} (\vec{F} \cdot \vec{u}_B + \vec{C} \cdot \vec{\omega}). \quad (7.66)$$

Les réactions aux liaisons, si elles sont parfaites, ne travaillent pas. En effet, soit la composante de déplacement ou de rotation est nulle alors qu'une réaction est présente, soit la composante de déplacement ou de rotation n'est pas nulle, mais la composante de force ou de couple est nulle.

### Travail d'un chargement constant lors d'un mouvement dû à une autre charge

Supposons qu'un torseur de chargement $\{\tau_A\}$ soit appliqué à un point A et que ce point A subisse un torseur de déplacement $\{U_A\}$ dû à un autre chargement. Le travail de $\{\tau_A\}$ dans le mouvement $\{U_A\}$ est,

$$W_{ext} = (\vec{F} \cdot \vec{u}_A + \vec{C} \cdot \vec{\omega}), \quad (7.67)$$

qui diffère de l'équation 7.66 simplement par l'absence du coefficient $\frac{1}{2}$.

### Théorème de réciprocity de Maxwell-Betti

Supposons maintenant qu'un système subisse :

* un premier chargement $\{\tau_1\}$ en un point A qui implique un champs de déplacement $\{U_1\}$ en tout point de la poutre. Ce premier chargement est suivi d'un second $\{\tau_2\}$ en un point B, qui implique un champs de déplacement supplémentaire $\{U_2\}$. Dans la première phase, le travail extérieur est $W_{11} = \frac{1}{2} (\vec{F}_A \cdot \vec{u}_{1A} + \vec{C}_A \cdot \vec{\omega}_{1A})$. Dans la seconde phase il est $W_{12} + W_{22} = (\vec{F}_A \cdot \vec{u}_{2A} + \vec{C}_A \cdot \vec{\omega}_{2A}) + \frac{1}{2} (\vec{F}_B \cdot \vec{u}_{2B} + \vec{C}_B \cdot \vec{\omega}_{2B})$.
* un premier chargement {$\tau_2$} en un point B qui implique un champs de déplacement {$U_2$} en tout point de la poutre. Ce premier chargement est suivi d'un second {$\tau_1$} en un point A, qui implique un champs de déplacement supplémentaire {$U_1$}. Dans la première phase, le travail extérieur est $W_{22} = \frac{1}{2}(\vec{F}_B \cdot \vec{u}_{2B} + \vec{C}_B \cdot \vec{\omega}_{2B})$. Dans la seconde phase il est $W_{21} + W_{11} = (\vec{F}_B \cdot \vec{u}_{1B} + \vec{C}_B \cdot \vec{\omega}_{1B}) + \frac{1}{2}(\vec{F}_A \cdot \vec{u}_{1A} + \vec{C}_A \cdot \vec{\omega}_{1A})$.

Le champ de déplacement total ne dépend pas de l'ordre dans lequel les chargements ont été appliqués. Le travail des forces extérieures n'en dépend donc pas. Egaler ces travaux amène à l'égalité $W_{12} = W_{21}$ : le travail du chargement 1 dans le déplacement 2 est égal au travail du chargement 2 dans le déplacement 1.

A titre d'illustration, si le chargement 1 est une force $\vec{F}_{1A}$ en A qui implique un déplacement $\vec{u}_{1B}$ en B, le chargement 2 est une force $\vec{F}_{2B}$ en B qui implique un déplacement $\vec{u}_{2A}$ en A, alors,

$$ \vec{F}_{1A} \cdot \vec{u}_{2A} = \vec{F}_{2B} \cdot \vec{u}_{1B}. \qquad (7.68) $$

Si les modules des forces et leurs directions sont les mêmes, et que les déplacements sont mesurés dans les directions de ces forces,

$$ u_{2A} = u_{1B}. \qquad (7.69) $$

Si l'on appelle $c_{12} = \frac{u_{1A}}{\vec{F}_{1A}}$, le coefficient d'influence d'une force en A sur le déplacement en B, on a alors l'égalité des coefficients d'influence,

$$ c_{12} = c_{21}. \qquad (7.70) $$

Le coefficient d'influence n'est rien d'autre que la fonction de réponse en fréquence entre le point A et le point B à fréquence nulle.

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir les brevets 058 et 097bis. Si vous avez des difficultés, je vous invite à vous appuyer sur le "coup de pouce" qui décrit la démarche théorique à suivre, mais aussi à contacter le référent du brevet.

**brevet 058 : Réciprocité**
**auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution**

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre droite de longueur $l = 1$ m, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.015$ m dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02$ m dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ et global $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ coïncident. Le point A est encastré. Un chargement 1 est constitué d'une force à l'extrémité B $\vec{F}_1 = 100\vec{j}$ N. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \times 10^{11}$ Pa. Sous cette charge, le déplacement en milieu de poutre (point C) est $u_C = 0.0139$ m. Le chargement 1 est enlevé. Une seconde charge $\vec{F}_2 = 50\vec{j}$ N est appliquée au point C.

Quelle est le déplacement au point B sous cette seconde charge ?
brevet 097 bis : Vérification expérimentales approximative du théorème de Maxwell-Betti

auteurs : JM Génevaux ; ressource : [?], paragraphe .

Le problème est plan. Soit une poutre reliant les points A, B et C qui ont comme coordonnées respectivement (0,0,0), (l/3,0,0) et (l,0,0) dans un repère orthonormé direct ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$). Le point A est encastré, le point B ou le point C peuvent être chargés par une force $-F_1\vec{j}$ (avec $F_1 > 0$).

Expérimentalement, la poutre est réalisée avec un spaguetti, l'encastrement à l'aide de deux parrallélépipèdes, les chargements, en suspendant avec un fil un tube de tipex.

Mesurez le déplacement du point C sous le chargement en B dû au tipex.

Puis mesurez le déplacement du point B sous le chargement en C dû au tipex.

Les deux déplacement mesurés sont-ils approximativement les mêmes ?

## Théorème de Castigliano

Sur l'exemple du ressort de raideur $k$, montrons que le déplacement $u$ et relié à la force $F$ par $u = \frac{\partial W_{ext}}{\partial F}$. $W_{ext} = \frac{1}{2}uF$, or $u = F/k$, donc $W_{ext} = \frac{1}{2}F^2/k$, d'où $\frac{\partial W_{ext}}{\partial F} = F/k$ et $\frac{\partial W_{ext}}{\partial F} = u$.

Si le système est conservatif, le travail des chargements extérieurs est stoqué sous la forme d'énergie interne. On a donc l'égalité $W_{int} = W_{ext}$.

On peut donc énoncer de façon plus générale, le théorème de Castigliano comme suit.

Pour un effort $F\vec{n}$ en un point A,

$$ \vec{u}_A \cdot \vec{n} = \frac{\partial W_{int}}{\partial F}. \qquad (7.71) $$

Pour un couple $C\vec{n}$ en un point A,

$$ \vec{\omega}_A \cdot \vec{n} = \frac{\partial W_{int}}{\partial C}, \qquad (7.72) $$

Le théorème de Castigliano peut aussi être utilisé en un point non chargé. Pour cela,

* on ajoute au chargement réel un chargement fictif dual du déplacement recherché,

* on calcule le torseur des efforts intérieur dû à ces chargements

* on utilise le théorème de Castigliano, et on trouve le déplacement en fonction du chargement réel et fictif,

* dans le résultat de déplacement, on annule le chargement fictif pour retrouver le problème réel initial.

### Optimisation classique des calculs : Il ne faut pas calculer l'intégrale de l'énergie de déformation, avant de faire la dérivation par rapport au paramètre $q$, mais échanger les signes intégration et dérivation pour faire la dérivation en premier. En effet, si une composante ne dépend pas du paramètre de dérivation (par exemple $N$), le terme $2N \frac{\partial N}{\partial q} = 0$, cela n'aurait servi à rien de calculer $\frac{1}{2} \int_{poutre} \frac{N^2}{ES} ds$.

Entre formules de Bresse et Castigliano, comment choisir la méthode de résolution ? La réponse est dans la vidéo 009 disponible sur

http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=009. Regarde-la.
<figure><img src="image_71.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir le brevet 059. Si vous avez des difficultés, je vous invite à vous appuyer sur le "coup de pouce" qui décrit la démarche théorique à suivre, mais aussi à contacter le référent du brevet.

brevet 059 : Castigliano
auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Théorème de Castigliano* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit une poutre droite de longueur $l = 1 \text{ m}$, dont la fibre moyenne relie un point A et un point B, de section droite rectangulaire de largeur $b = 0.015 \text{ m}$ dans la direction $\vec{z}$ et de hauteur $h = 0.02 \text{ m}$ dans la direction $\vec{y}$, avec $s$ l'abscisse d'un point courant de la poutre tel que $\vec{AH} = s\vec{i}$. Les repères locaux $(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ et global $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ coincident. Le point A est encastré. Un chargement est constitué d'une force à l'extrémité B $\vec{F}_2 = 100\vec{j}$ N. Le module de Young du matériau est $E = 2.1 \cdot 10^{11}$ Pa.

Quel est le déplacement du point B dans la direction de la force qui lui est appliqué ?

### 7.4.3 Résolution de systèmes hyperstatiques

#### Extérieurement

Dans le paragraphe 5.3, vous avez déterminé si le système étudié était isostatique ou hyperstatique par rapport aux liaisons avec le monde extérieur. Pour chaque inconnue hyperstatique, vous avez écrit, paragraphe 5.3, l'équation cinématique associée permettant d'obtenir une équation supplémentaire. Le calcul de la valeur du degré de liberté associé peut être faite :

* par les formules de Bresse, appliquées au système isostatique associé.

* par Castigliano.

Un exemple de résolution d'un problème hyperstatique extérieurement est présenté dans les figures 7.43, 7.44 et 7.45. La résolution nécessite des calculs d'intégrales. Elles sont faites ici "à la main". Vous pouvez vous aider de *wxmaxima* pour les faire. En consultant l'exemple pour le cas de l'hyperstatisme intérieur, vous trouverez toutes les commandes utiles.
<figure><img src="image_72.png" /></figure>

Le problème est plan.

Équilibre du système.

Bilan des actions.

$$ \{ \mathcal{G}_A \} = \left\{ \begin{array}{l} R_1 \ddot{\epsilon}_1 + R_2 \ddot{\epsilon}_2 \\ C_1 \ddot{\kappa}_1 \end{array} \right\}_A \qquad \text{con en castiment 2D} $$

$$ \{ \mathcal{G}_B \} = \left\{ \begin{array}{l} R_3 \ddot{\epsilon}_3 \\ C_2 \ddot{\kappa}_2 \end{array} \right\}_B \qquad \text{con appuis ou rouler au nommé } \beta \ddot{\epsilon}_3 $$

$$ \{ \mathcal{G}_3 \} = \left\{ \begin{array}{l} \vec{\epsilon}_3 \\ C \vec{\kappa}_3 \end{array} \right\}_D \qquad \text{con chargement.} $$

La somme des terreneurs est nulle.

$$ \{ R_1 \ddot{\epsilon}_1 + R_2 \ddot{\epsilon}_2 \} + \{ R_3 \ddot{\epsilon}_3 \} = \{ C_1 \ddot{\kappa}_1 \} + \{ C_2 \ddot{\kappa}_2 \} = \{ C \ddot{\epsilon}_3 \} = \{ 0 \} $$

$$ \left\{ \begin{array}{l} (R_1)^2 = 0 \\ (R_2)^2 + (R_3)^2 = 0 \\ (C)^2 + a[R_3] + C = 0 \end{array} \right. \qquad \text{Gn choisi } R_3 \text{ comme inconnue hypostatique.} $$

$$ \left\{ \begin{array}{l} R_1 = 0 \\ R_2 = -R_3 \\ C_1 = -C - aR_3 \end{array} \right. $$

Calcul des terreneurs des effets intérieurs.

$$ \text{Soit } H_1 \in [A, B] \quad \{ \text{effet } H_1 \} = - \{ \mathcal{G}_A \} = \left\{ \begin{array}{l} R_3 \ddot{\epsilon}_3 \\ (C+aR_3) \ddot{\kappa}_3 \end{array} \right\}_A = \left\{ \begin{array}{l} R_3 \ddot{\epsilon}_3 \\ (C+aR_3) \ddot{\epsilon}_3 + R_3 \ddot{\kappa}_3 \end{array} \right\}_{H_1} \\ = \left\{ (C+aR_3 - a) R_3 \ddot{\kappa}_3 \right\}_{H_1} $$

<caption>Figure 7.43: Résolution d'un problème hyperstatique extérieurement.</caption>
<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>Figure 7.44: Résolution d'un problème hyperstatique extérieurement.</figcaption></figure>
$$
\begin{align*}
& \int_A^B \left( \frac{\Delta \rho_{3,1}}{\partial R_3} - \frac{\rho_{3,1}}{E \cdot I_{H3}} \right) ds_1 = 0 \\
& \int_A^R (a-s_1) \frac{C + (a-s_1)R_3}{E \cdot I_{H3}} ds_1 = 0 \\
& \int_0^a \left[ C(a-s_1) + (a-s_1)^2 R_3 \right] ds_1 = 0 \\
& \tilde{s} = a-s_1 \\
& \int_a^0 \left[ C \tilde{s} + R_3 \tilde{s}^2 \right] (-d\tilde{s}) = 0 \\
& \left[ C \frac{\tilde{s}^2}{2} + R_3 \frac{\tilde{s}^3}{3} \right]_0^a = 0 \\
& C \frac{a^2}{2} + R_3 \frac{a^3}{3} = 0 \\
& R_3 = \begin{cases} -C \frac{a^2}{2} \frac{3}{a^3} & \quad \text{if } R_3 \le -\frac{3}{2} \frac{C}{a} \\ -\frac{3}{2} \frac{C}{a} & \quad \text{if } R_3 > -\frac{3}{2} \frac{C}{a} \end{cases}
\end{align*}
$$

<caption>Figure 7.45: Résolution d'un problème hyperstatique extérieurement.</caption>
<figure><img src="image_74.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir le brevet 077. Si vous avez des difficultés, je vous invite à vous appuyer sur le "coup de pouce" qui décrit la démarche théorique à suivre, mais aussi à contacter le référent du brevet.

brevet 077 : Démarche générale de résolution d'un problème hyperstatique en théorie des poutres

auteur : JM Génevaux ; ressource : [?] ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Résolution de systèmes hyperstatiques - extérieurement* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit un crochet fixé au plafond, représenté par une poutre en acier de diamètre *d*, composé d'un segment droit reliant les points A et B, puis d'un segment d'arc de cercle de rayon *r* reliant les points B, C, D et E. On appellera *O* le centre du cercle. Les coordonnées des points dans un repère (*O*,*i*,*j*) sont $A(0, r + l)$, $B(0, r)$, $C(r, 0)$, $D(0, -r)$, $E(-r, 0)$. Une force $\vec{F} = -F\vec{j}$ est exercée en D. Le point C (qui touche le mur latéral) est en liaison appui sur rouleau de normale $C(-\vec{i})$.

Donnez la démarche pour calculer le déplacement du point *D* (ne pas faire les calculs).
Formation à la compétence noire de statique des poutres.

<figure><img src="image_75.png" /></figure>

Sur

http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=309,
vous pouvez visualiser une présentation des
cette compétence. Le fichier sont nommé 309
: Méthodologie de résolution pour une structure
hyperstatique intérieurement..
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>Figure 7.46: Un système hyperstatique intérieurement nécessite d'effectuer une coupure en un point arbitraire C.</figcaption></figure>

## Intérieurement

Un système est hyperstatique intérieurement, lorsque la fibre moyenne est fermée (voir figure 7.46).

En effet, si l'on effectue une étude du torseur des efforts intérieurs en un point H, il est nécessaire de définir les segments seg+ et seg -. Or, si la fibre moyenne est fermée, ces segments sont reliés entre eux par la fibre moyenne sans passer par H. Il est alors impossible de définir le torseur des efforts intérieurs.

Le démarche à suivre est donc la suivante :

* on choisit un point de coupure C sur la fibre moyenne fermée.

* on coupe par la pensée la fibre moyenne en C

* on charge les deux faces de la coupure avec deux torseurs {$τ_1$} et {$τ_2$} dont les 6 composantes sont inconnues. Nous avons donc à priori 12 inconnues hyperstatiques. Dans le cas d'un problème plan, les deux torseurs n'auront que 3 inconnues chacun: deux de résultantes et une de moment.

* Des relations existent entre ces 12 composantes. Pour les trouver, on isole un petit tronçon de fibre moyenne de longueur $2ds$ autour du point C ce qui définit les point C' et C", puis on écrit l'équilibre de ce petit tronçon qui est chargé par $-\{τ_1\}_{C'}$, $-\{τ_2\}_{C''}$ et éventuellement un chargement concentré connu en C {$τ_C$}. L'équilibre fournit 6 équations reliant les composantes de {$τ_2$} à celles de {$τ_1$} et {$τ_C$}. On fera tendre $ds$ vers 0, afin de simplifier les relations.

* La fibre moyenne de la structure n'est alors plus fermée, le torseur des efforts intérieurs en un point H peut être calculé classiquement en fonction des chargements extérieurs et des composantes de {$τ_1$}

* Pour déterminer les valeurs des inconnues hyperstatiques, on agira classiquement en utilisant Castigliano : la nullité traduit que le déplacement relatif de C" par rapport à C' est nul et que la rotation relative de C" et C' est nulle.

Pourriez-nous nous éclairer sur la méthode de résolution d'un problème hyperstatique intérieurement ? La réponse est dans la vidéo 012 disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=012. Regarde-la.
**Exemple de résolution** Soit une poutre en acier de section circulaire de diamètre $d = 0.01$ m dont la fibre moyenne est constituée de 4 segments de droite AB, BC, CD et DA dont les coordonnées respectives dans un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ sont $(2a,a,0), (-2a,a,0), (-2a,-a,0), (2a,-a,0)$ avec $a = 0.2$ m. Cette poutre est chargée au point E milieu de DA par une force $F\vec{i}$, et est en appui simple au point G milieu de BC.

La symétrie du système et du chargement par rapport à l'axe $O\vec{i}$ nous invite à travailler sur un demi-système, par exemple GBAE, en bloquant en G la rotation et en E la translation dans la direction $\vec{j}$ et la rotation. Cela revient donc à mettre en G un encastrement et en E une liaison glissière bidimensionnelle d'axe $E\vec{i}$. Le système est devenu hyperstatique extérieurement.

Dans la résolution qui suit, nous ne le ferons pas afin de rester hyperstatique intérieurement et de bien faire apparaître le torseur de coupure. Cette démarche n'est pas optimale, mais rien n'assure que les problèmes que vous aurez à résoudre possèderont des symétries.

Le problème est bidimensionnel. La fibre moyenne est fermée : il est nécessaire de faire une coupure. Nous choisissons de couper au point I milieu de AB. Tout autre point de la fibre moyenne aurait convenu en évitant les points de liaison et de chargement. Le torseur de coupure en I qui agit sur le segment AI sera noté :

$$ \{\tau_c\} = \left\{ \begin{matrix} F_1\vec{i} + F_2\vec{j} \\ C\vec{k} \end{matrix} \right\}_I . \qquad (7.73) $$

Par le principe d'action et de réaction, le torseur en I agissant sur le segment IB est :

$$ \{-\tau_c\} = \left\{ \begin{matrix} -F_1\vec{i} - F_2\vec{j} \\ -C\vec{k} \end{matrix} \right\}_I . \qquad (7.74) $$

Si le point I appartient à un plan de symétrie du problème et que ce point I n'est pas chargé par une force extérieure perpendiculaire à la fibre moyenne, alors $F_2 = 0$.

Si le point I appartient à un plan de symétrie du problème et que ce point I est chargé par une force extérieure $F_3$ perpendiculaire à la fibre moyenne, alors $F_2 = F_3/2$.

Ces simplifications sont obtenues en faisant l'équilibre d'un petit tronçon infiniment petit en I de longueur $\epsilon$ de chaque coté du point I.

Le torseur de coupure sur le segment AI, du fait de la symétrie et du non chargement en I donne

$$ \{\tau_c\} = \left\{ \begin{matrix} F_1\vec{i} \\ C\vec{k} \end{matrix} \right\}_I, \qquad (7.75) $$

et sur le segment IB en

$$ \{-\tau_c\} = \left\{ \begin{matrix} -F_1\vec{i} \\ -C\vec{k} \end{matrix} \right\}_I . \qquad (7.76) $$

Le système est hyperstatique intérieurement de degré 2 avec comme inconnues hyperstatiques $F_1$ et $C$.

Pour le calcul des torseurs d'efforts intérieurs, on oriente la poutre, par exemple dans le sens AIBGCDEA. Soit $H_1$ appartenant à AI, $H_2$ appartenant à IB, $H_3$ appartenant à BG, $H_4$ appartenant à GC, $H_5$ appartenant à CD, $H_6$ appartenant à DE et $H_7$ appartenant à EA.

Soit $H_1$ tel que $A\vec{H}_1 = s_1(-\vec{i})$. Le torseur des efforts intérieurs est calculé à partir de seg+,

$$ \{\tau_{H1}\} = \{\tau_c\} = \left\{ \begin{matrix} F_1\vec{i} \\ C\vec{k} \end{matrix} \right\}_I = \left\{ \begin{matrix} F_1\vec{i} \\ C\vec{k} \end{matrix} \right\}_{H1} . \qquad (7.77) $$

La base locale étant prise en compte avec $\vec{x} = -\vec{i}$, $\vec{y} = -\vec{j}$ et $\vec{z} = \vec{k}$, les composantes sont donc $N_1 = -F_1$, $Mfz_1 = C$.

Soit $H_2$ tel que $I\vec{H}_2 = s_2(-\vec{i})$. Le torseur des efforts intérieurs est calculé à partir de seg-,

$$ \{\tau_{H2}\} = -(-\{\tau_c\}) = \left\{ \begin{matrix} F_1\vec{i} \\ C\vec{k} \end{matrix} \right\}_I = \left\{ \begin{matrix} F_1\vec{i} \\ C\vec{k} \end{matrix} \right\}_{H2} . \qquad (7.78) $$
La base locale étant prise en compte avec $\vec{x} = -\vec{i}$, $\vec{y} = -\vec{j}$ et $\vec{z} = \vec{k}$, les composantes sont donc
$N_2 = -F_1$, $Mfz_2 = C$.

Soit $H_3$ tel que $\vec{B}\vec{H}_3 = s_3(-\vec{j})$. Le torseur des efforts intérieurs est calculé à partir de seg-,

$$
\{\tau_{H3}\} = -\{\tau_c\} = \left\{ \begin{matrix} F_1 \vec{i} \\ C \vec{k} \end{matrix} \right\}_I = \left\{ \begin{matrix} F_1 \vec{i} \\ (C - F_1 s_3) \vec{k} \end{matrix} \right\}_{H3} . \quad (7.79)
$$

La base locale étant prise en compte avec $\vec{x} = -\vec{j}$, $\vec{y} = \vec{i}$ et $\vec{z} = \vec{k}$, les composantes sont donc
$T_3 = F_1$, $Mfz_3 = C - F_1 s_3$.

Soit $H_4$ tel que $\vec{G}\vec{H}_4 = s_4(-\vec{j})$. Le torseur des efforts intérieurs est calculé à partir de seg+ car
cela évite de passer par le torseur de la liaison, donc nous évite de calculer l'équilibre (fort simple)
de la structure ("Quel finaud !" ;)

$$
\{\tau_{H4}\} = \left\{ \begin{matrix} F_1 \vec{i} \\ C \vec{k} \end{matrix} \right\}_I + \left\{ \begin{matrix} F \vec{i} \\ 0 \vec{k} \end{matrix} \right\}_E = \left\{ \begin{matrix} F_1 \vec{i} \\ (C - F_1(a + s_4)) \vec{k} \end{matrix} \right\}_{H4} + \left\{ \begin{matrix} F \vec{i} \\ -F s_4 \vec{k} \end{matrix} \right\}_{H4} . \quad (7.80)
$$

La base locale étant prise en compte avec $\vec{x} = -\vec{j}$, $\vec{y} = \vec{i}$ et $\vec{z} = \vec{k}$, les composantes sont donc
$T_4 = F_1 + F$, $Mfz_4 = C - F_1(a + s_4) + Fs_4$.

Soit $H_5$ tel que $\vec{C}\vec{H}_5 = s_5\vec{i}$. Le torseur des efforts intérieurs est calculé à partir de seg+,

$$
\{\tau_{H5}\} = \left\{ \begin{matrix} F_1 \vec{i} \\ C \vec{k} \end{matrix} \right\}_I + \left\{ \begin{matrix} F \vec{i} \\ 0 \vec{k} \end{matrix} \right\}_E = \left\{ \begin{matrix} F_1 \vec{i} \\ (C - F_1(2a)) \vec{k} \end{matrix} \right\}_{H5} + \left\{ \begin{matrix} F \vec{i} \\ -F a \vec{k} \end{matrix} \right\}_{H5} . \quad (7.81)
$$

La base locale étant prise en compte avec $\vec{x} = \vec{i}$, $\vec{y} = \vec{j}$ et $\vec{z} = \vec{k}$, les composantes sont donc
$N_5 = F_1 + F$, $Mfz_5 = C - 2F_1a - Fa$.

Soit $H_6$ tel que $\vec{D}\vec{H}_6 = s_6\vec{j}$. Le torseur des efforts intérieurs est calculé à partir de seg+,

$$
\{\tau_{H6}\} = \left\{ \begin{matrix} F_1 \vec{i} \\ C \vec{k} \end{matrix} \right\}_I + \left\{ \begin{matrix} F \vec{i} \\ 0 \vec{k} \end{matrix} \right\}_E = \left\{ \begin{matrix} F_1 \vec{i} \\ (C - F_1(2a - s_6)) \vec{k} \end{matrix} \right\}_{H6} + \left\{ \begin{matrix} F \vec{i} \\ -F(a - s_6) \vec{k} \end{matrix} \right\}_{H6} . \quad (7.82)
$$

La base locale étant prise en compte avec $\vec{x} = \vec{j}$, $\vec{y} = -\vec{i}$ et $\vec{z} = \vec{k}$, les composantes sont donc
$T_6 = -F_1 - F$, $Mfz_6 = C - F_1(2a - s_6) - F(a - s_6)$.

Soit $H_7$ tel que $\vec{E}\vec{H}_7 = s_7\vec{j}$. Le torseur des efforts intérieurs est calculé à partir de seg+,

$$
\{\tau_{H6}\} = \left\{ \begin{matrix} F_1 \vec{i} \\ C \vec{k} \end{matrix} \right\}_I = \left\{ \begin{matrix} F_1 \vec{i} \\ (C - F_1(a - s_7)) \vec{k} \end{matrix} \right\}_{H7} . \qquad (7.83)
$$

La base locale étant prise en compte avec $\vec{x} = \vec{j}$, $\vec{y} = -\vec{i}$ et $\vec{z} = \vec{k}$, les composantes sont donc
$T_7 = -F_1$, $Mfz_7 = C - F_1(a - s_7)$.

Il est maintenant possible de calculer l'énergie de déformation et plus précisément la dérivée de
celle-ci par rapport aux deux inconnues hyperstatiques qui doivent être nulles. Ce calcul se fera
sur wxmaxima.

(% restart; n1:-f1;mfz1:c; n2:-f1;mfz2:c; t3:f1;mfz3(s3):=c-f1*s3; t4:f1+f;mfz4(s4):=c-f1*(a+s4);
i63) n5:f1+f;mfz5:c-f1*(2*a)-f*a; t6:-f1-f;mfz6(s6):=c-f1*(2*a-s6)-f*(a-s6); t7:-f1;mfz7(s7):=c-f1*(a-s7);

restart (% o49)

-f1 (n1)

c (mfz1)
$$-f1 \qquad (n2)$$

$$c \qquad (mfz2)$$

$$f1 \qquad (t3)$$

$$\text{mfz3}(s3) := c - f1 \ s3 \qquad (\% \ o55)$$

$$f1 + f \qquad (t4)$$

$$\text{mfz4}(s4) := c - f1 \ (a + s4) \qquad (\% \ o57)$$

$$f1 + f \qquad (n5)$$

$$-\frac{2f1}{5} - \frac{f}{5} + c \qquad (mfz5)$$

$$-f1 - f \qquad (t6)$$

$$\text{mfz6}(s6) := c - f1 \ (2a - s6) + (-f) \ (a - s6) \qquad (\% \ o61)$$

$$-f1 \qquad (t7)$$

$$\text{mfz7}(s7) := c - f1 \ (a - s7) \qquad (\% \ o63)$$

(% i69) E:2.1e11;nu:0.28;a:1/5;d:0.01; S:%pi*d^2/4;Ihz:%pi*d^4/64;

$$2.110^{11} \qquad (E)$$

$$0.28 \qquad (nu)$$

$$\frac{1}{5} \qquad (a)$$

$$0.01 \qquad (d)$$

$$2.510^{-5}\pi \qquad (S)$$

$$1.562510^{-10}\pi \qquad (Ihz)$$
$$ \begin{array}{lll} \text{($\%$ i88)} & \text{wint1:1/2*integrate} & \text{(n1$^2$/2/(E*S)+mfz1$^2$/2/(E*Ihz), s1,0,2*a); wint2:1/2*integrate} \\ & \text{(n2$^2$/2/(E*S)+mfz2$^2$/2/(E*Ihz), s2,0,2*a); wint3:1/2*integrate} & \text{(mfz3(s3)$^2$/2/(E*Ihz), s3,0,a); wint4:1/2*integrate (mfz4(s4)$^2$/2/(E*Ihz), s4,0,a); wint5:1/2*integrate} \\ & & \text{(n5$^2$/2/(E*S)+mfz5$^2$/2/(E*Ihz), s5,0,4*a); wint6:1/2*integrate (mfz6(s6)$^2$/2/(E*Ihz), s6,0,a); wint7:1/2*integrate (mfz7(s7)$^2$/2/(E*Ihz), s7,0,a);} \end{array} $$

$$ \frac{\frac{1.90476190476190410^{-7} f1^2}{\pi} + \frac{0.03047619047619047c^2}{\pi}}{5} \quad \text{(wint1)} $$

$$ \frac{\frac{1.90476190476190410^{-7} f1^2}{\pi} + \frac{0.03047619047619047c^2}{\pi}}{5} \quad \text{(wint2)} $$

$$ \frac{4.06349206349206310^{-5} (f1^2 - 15c f1 + 75c^2)}{\pi} \quad \text{(wint3)} $$

$$ \frac{4.06349206349206310^{-5} (7f1^2 - 45c f1 + 75c^2)}{\pi} \quad \text{(wint4)} $$

$$ \frac{2 \left( \frac{1.90476190476190410^{-7} (f1+f)^2}{\pi} + \frac{0.03047619047619047 \left(-\frac{2f1}{5} - \frac{f}{5} + c\right)^2}{\pi} \right)}{5} \quad \text{(wint5)} $$

$$ \frac{4.06349206349206310^{-5} (7f1^2 + (5f - 45c) f1 + f^2 - 15cf + 75c^2)}{\pi} \quad \text{(wint6)} $$

$$ \frac{4.06349206349206310^{-5} (f1^2 - 15c f1 + 75c^2)}{\pi} \quad \text{(wint7)} $$

$$ \begin{array}{ll} \text{($\%$ i105)} & \text{wint}(f1,c) := \text{wint1} + \text{wint2} + \text{wint3} + \text{wint4} + \text{wint5} + \text{wint6} + \text{wint7}; \text{wintf}(f1,c) := \text{float}(\text{expand}(\text{wint}(f1,c))); \\ & \text{eq1:diff}(\text{wintf}(f1,c),f1)=0; \text{eq2:diff}(\text{wintf}(f1,c),c)=0; \end{array} $$

$$ \text{wint}(f1, c) := \text{wint1} + \text{wint2} + \text{wint3} + \text{wint4} + \text{wint5} + \text{wint6} + \text{wint7} \quad \text{($\%$ o102)} $$

$$ \text{wintf}(f1, c) := \notin \{\text{Lispfunction}\} (\notin \{\text{Lispfunction}\} (\text{wint}(f1, c))) \quad \text{($\%$ o103)} $$

$$ 0.001655712619913004f1 + 6.85576843370223710^{-4}f - 0.004656418906460024c = 0 \quad \text{(eq1)} $$

$$ -0.004656418906460024f1 - 0.001746157089922509f + 0.02328209453230011c = 0 \quad \text{(eq2)} $$

$$ \text{($\%$ i112)} \qquad \text{wint}(f1,c) := \text{wint1} + \text{wint2} + \text{wint3} + \text{wint4} + \text{wint5} + \text{wint6} + \text{wint7}; $$

$$ \text{wint}(f1, c) := \text{wint1} + \text{wint2} + \text{wint3} + \text{wint4} + \text{wint5} + \text{wint6} + \text{wint7} \quad \text{($\%$ o112)} $$

$$ \text{($\%$ i113)} \qquad \text{float}(\text{solve}([\text{eq1,eq2}],[f1,c])); $$

rat: replaced -0.004656418906460024 by -1734367/372467992 = -0.004656418906460021rat: replaced 6.8557684337
$$ [[f1 = -0.4642904968084612f, c = -0.01785809936169213f]] \quad (\% 0113) $$

Nous venons d'obtenir les valeurs des inconnues hyperstatiques intérieures en fonction du chargement :

$$ F_1 = -0.46F, \quad (7.84) $$

dont le coefficient est adimensionnel, et

$$ C = -0.018F, \quad (7.85) $$

dont le coefficient est en [m].

<figure><img src="image_77.png" /></figure>

Pour vérifier que vous avez assimilé ce paragraphe, je vous invite à obtenir le brevet 839. Si vous avez des difficultés, je vous invite à vous appuyer sur le "coup de pouce" qui décrit la démarche théorique à suivre, mais aussi à contacter le référent du brevet.

brevet 839 : Détermination d'une inconnue hyperstatique intérieure.

auteur : JM Génevaux ; ressource : cours techno-mécanique ; autoattribution .

Si vous avez du mal à faire ce brevet, je vous invite à lire le paragraphe *Résolution de systèmes hyperstatiques - intérieurement* et de regarder les vidéos afférentes.

Soit les points A, B, et D dont les coordonnées dans un repère orthonormé direct $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ sont respectivement $(a,0,0)$, $(a/\sqrt{2},a/\sqrt{2},0)$ et $(0,a,0)$, avec $l = 0.6$ [m]. Une poutre en aluminium est faite par un arc de cercle de centre l'origine du repère et de rayon $a$, qui passe donc par les points A, B et D. La section droite est carrée de coté $b = 0.01$ [m]. Le point A est en appui simple, le point D en appuis sur rouleau de normale $\vec{i}$, le chargement est une force $\vec{F} = 57$ [N] $\vec{i}$ au point B. Un autre segment de poutre droite en aluminium de section circulaire de rayon $r = 0.002$ [m] relie le point A au point B.

Quelle est la valeur de l'effort normal dans la poutre droite AB ?

### 7.4.4 Systèmes articulé

Si la barre est droite, articulée et non chargée sur sa longueur alors,

$$ \{\tau_H\} = \left\{ \begin{matrix} N\vec{i} \\ \vec{0} \end{matrix} \right\}_H, \quad (7.86) $$

avec $\vec{i}$ direction de la barre

**Treillis plan** Un treillis est un assemblage de poutres droites que l'on peut considérées articulées entre elles ou non. Dans le cas où elles sont considérées articulées entre elles et que les chargements sont appliqués sur les noeuds du treillis, alors, le paragraphe ci-dessus implique qu'elles ne subissent que des efforts normaux. Dans ce cas, la résolution peut être faite progressivement en faisant l'équilibre de chaque noeud, à partir d'un noeud où seuls deux efforts normaux sont inconnus. Une méthode de résolution graphique (Crémona et funiculaire) existe, mais n'est pas vu dans ce cours.
## 7.5 Non linéarités géométriques (grands déplacements)

Le cours a été mené dans l'hypothèse des petites perturbations (petites déformations et petits déplacements par rapport aux dimensions de la structure). Lorsque l'hypothèse des petits déplacement est caduque, il faut réécrire le torseur des efforts intérieurs dans la configuration déformée et non la configuration initiale. Une méthode itérative doit être mise en place.

Ceci ne sera pas fait analytiquement dans ce cour. Vous le ferez numériquement dans le cours de modélisation et expérimentalement lors du travail pratique sur le flambement.
Chapter 8

Feedback
<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>Figure 8.1: Parcours des brevets : chaque couleur cible une capacité. Barrez les brevets que vous avez fait.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>Figure 8.2: Parcours des vidéos : chaque couleur cible une capacité. Si une vidéo ne vous paraît pas pertinente, barrez-là. Si elle vous paraît pertinente entourez là.</figcaption></figure>
Merci de flasher le QR code pour donner votre feedback sur cette séance :

<figure><img src="image_80.png" /></figure>

Pour faciliter vos réponses d'une séance à l'autre, veuillez noter ci-dessous :

* votre numéro d'anonymat :

* votre méthode CRAIES ou CRABE :

et incrémenter pour chaque séance

* le nombre de fiches dans votre boite de Leitner :

* le nombre de capacités obtenues :

* le nombre de brevet faits :

* le nombre de vidéos regardées :

Si vous voulez savoir pourquoi l'enseignant vous demande ce feedback, je vous invite à regarder la vidéo *Stratégies gagnantes pour une étudiante en méthode CRAIES ? Une réponse grâce à l'analyse en composantes principales*. qui est disponible sur http://umotion.univ-lemans.fr/videos/?tag=546.