Comment, en didactique des mathématiques, prendre en compte les pratiques effectives, en classe, des enseignants de mathématiques du lycée ? une Approche à travers des analyses de pratiques de quelques enseignants de mathématiques dans des séances d'introduction aux vecteurs en classe de seconde.

Christophe Hache, Aline Robert

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Christophe Hache, Aline Robert. Comment, en didactique des mathématiques, prendre en compte les pratiques effectives, en classe, des enseignants de mathématiques du lycée ? une Approche à travers des analyses de pratiques de quelques enseignants de mathématiques dans des séances d'introduction aux vecteurs en classe de seconde.. 1997. hal-02141778

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INSTITUT
DE RECHERCHE
POUR L'ENSEIGNEMENT
DES MATHEMATIQUES

28

MARS 1997

CAHIER DE DIDIREM

Comment, en didactique des mathématiques,
prendre en compte les pratiques effectives, en classe,
des enseignants de mathématiques du lycée ?

Une approche à travers des analyses de pratiques de
quelques enseignants de mathématiques dans des séances
d'introduction aux vecteurs en classe de seconde

Par C. HACHE et A. ROBERT

DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES
UNIVERSITE PARIS VII DENIS DIDEROT
Comment, en didactique des mathématiques,
prendre en compte les pratiques effectives, en classe,
des enseignants de mathématiques du lycée ?

Une approche à travers des analyses de pratiques de
quelques enseignants de mathématiques dans des séances
d'introduction aux vecteurs en classe de seconde

Par C. HACHE et A. ROBERT
Ce document n'aurait pas été réalisé

* sans l'aide apportée par l'appel d'offres 95 de lTUFM de Versailles, qui nous a permis en particulier de réaliser nos video,

* sans les opérateurs professionnels de Marly et St Germain qui nous ont livré un matériel de qualité,

* sans la participation à cet appel d'offres de 15 de nos collègues, chacun à sa façon,

* et sans l'accord de nos 5 collègues enseignants en seconde qui ont accepté de se faire filmer "sans filet"... Et ce n'est pas facile !

Nous remercions très vivement tout le monde et espérons que nos analyses croisées permettront de faire apprendre plus d'élèves !
Comment, en didactique des mathématiques, prendre en compte les pratiques effectives, en classe, des enseignants de mathématiques du lycée ?

Une approche à travers des analyses de pratiques de quelques enseignants de mathématiques dans des séances d'introduction aux vecteurs en classe de seconde (C. Hache, A. Robert).

Comprendre le rapport entre l'enseignement et l'apprentissage d'un contenu donné, pour des élèves donnés, nécessite une analyse approfondie des situations proposées aux élèves en classe (en prenant situations au sens large, contrat compris).

Mais dans quelle mesure les pratiques mêmes de l'enseignant en classe renforcent, ou perturbent, ou compensent les différences entre les mises en scène prévues ? De manière schématique, dans quelle mesure un même scénario pourrait-il avoir des effets différents sur les élèves selon les interventions de l'enseignant dans les phases didactiques, selon les aides, les explications, les éclaircissements qu'il donne, en un mot selon les médiations qu'il construit dans sa classe entre les élèves et le savoir visé ?

La question intéresse bien la didactique des mathématiques, nous semble-t-il : il s'agit d'avoir une idée de l'impact potentiel sur les élèves des pratiques effectives, regardées de manière locale, de l'enseignant en classe ; en conséquence il s'agit de décider s'il y a lieu ou non d'en tenir compte, comme d'une variable... Sinon, c'est que les informations sur le seul déroulement, plus global, en termes de tâches et d'activités (pour les élèves et pour l'enseignant), telles qu'elles peuvent être perçues et analysées à travers des chroniques de séances, suffisent à interpréter ce qui nous concerne dans les rapports enseignement/apprentissage...

Nous nous intéressons ainsi dans ce travail aux rapports entre ce que les élèves ont à faire en classe, en termes de contenus (tâches prescrites, activités cognitives attendues) et le déroulement "fin" de la séance tel qu'il est orchestré par l'enseignant ; nous avons tout particulièrement étudié ce que véhicule, phrase à phrase, le discours de l'enseignant, du moins tel qu'il est reconstitué par notre lecture a posteriori, pour le mettre en correspondance avec ce que les élèves sont censés faire au même moment. Il s'agit en somme de cerner à un niveau local "l'univers" que l'enseignant fait fréquenter à ses élèves, la manière fine dont il organise les contacts entre eux et les contenus (nous revenons plus loin sur ce point).

Tout de suite un absent, de taille : tout ce qui concerne le reste de la prestation de l'enseignant, dont l'étude prendrait tout son sens à ce niveau très local d'analyse, gestes, déplacements, sourires, non verbal en somme... A d'autres !

Dans la première partie de ce travail, nous précisons notre questionnement, par rapport à la didactique et à la formation des enseignants. dans la deuxième partie, nous revenons sur nos positions et nos cadrages théoriques et nous fixons le vocabulaire que nous utilisons.

C'est dans la troisième partie, qu'après avoir décrit le matériel que nous analysons, nous donnons les grandes lignes de notre méthodologie.

Une partie des résultats des analyses de 3 séances retenues (séances d'introduction des vecteurs en seconde) sont exposés dans la quatrième partie.

En conclusion nous revenons sur cette notion d'univers, en essayant d'en dégager quelques
éléments pertinents.

# Plan du travail

## I Des questionnements à l'origine de ces recherches

1) des questionnements internes à la didactique des mathématiques

2) des questionnements plus conjoncturels, liés aux nouvelles institutions de formation initiale des enseignants

## II Positions et cadrages théoriques, précisions sur le vocabulaire

1) Analyses a posteriori en didactique des mathématiques

2) Les pratiques, comme engagées dans un travail social, le point de vue de l'ergonomie cognitive

3) Propositions

## III Méthodologie de la recherche : le matériel, les analyses.

1) Le matériel video

2) Les analyses des transcriptions : analyses locales (teneur du discours, objet du discours, fonction du discours)

3) Les analyses de tâches

4) Ethnométhodologie

## IV Des résultats sur 3 séances d'introduction des vecteurs en seconde

1) Les vecteurs en seconde : les programmes (avant, pendant et après), une réflexion sur la notion et les activités

2) L'analyse des 3 séances : scénarios et discours globaux.

3) Les analyses locales des 3 séances

4) Diverses comparaisons

## Conclusion : quelques pistes de réflexion

# Bibliographie

## Annexes

Le cahier des charges d'un responsable video

Exemples de document d'accompagnement

Tableaux de données

Exemples de transcriptions
# I Des questionnements à l'origine de ces recherches

Plusieurs types de questionnements sont à l'origine de cette démarche :

## 1) Des questionnements internes à la didactique des mathématiques

A l'origine des démarches adoptées en didactique des mathématiques se trouve l'hypothèse fondamentale suivante : pour comprendre des apprentissages, il faut analyser les situations auxquelles sont confrontés les élèves, dans toute leur complexité, ce sont elles qui permettent aux élèves de donner du sens, de construire, de s'approprier ce que l'enseignant expose. C'est cette hypothèse qui fonde notamment les découpages de la réalité choisis par les chercheurs, ainsi que les régularités qui les intéressent.

L'analyse qui est faite de ces situations mobilise les spécificités épistémologiques de la discipline "mathématique", que ce soit en termes d'outil/objet/cadres (analyse mathématique) ou en termes d'action, formulation et validation (analyse plus cognitive). Dans cette perspective, nous entendons ici par "action des élèves" les résolutions de problèmes bien organisées, avant et après le cours, bien dévolues, avec un contrat maîtrisé, avec des dialectiques de la formulation et de la validation mises en place, ou des dialectiques outil/objet selon la dimension de description choisie (tâches ou activités).

Bien sûr ce sont plusieurs situations qui contribuent à élaborer les connaissances des élèves, un temps long est nécessaire, des réseaux doivent se mettre en place.

Bien sûr l'enseignant a une place fondamentale, pour choisir et gérer ces situations, notamment pour y faire entrer les élèves, et pour institutionnaliser des savoirs qu'il a déterminés, en tenant compte de ce qui s'est passé en classe.

Or, pour schématiser, plusieurs travaux de recherche amènent à penser que la conceptualisation attendue chez les élèves ne résulte pas toujours aussi directement qu'on peut l'attendre de ces situations où l'élève doit (pré)construire ses connaissances (les situations étant comprises dans leur durée, compte tenu des restrictions, des contraintes, du contrat et avec les phases d'institutionnalisation).

Certes, les recherches didactiques développent d'abord des analyses, permettant des diagnostics (au sens large), et les théories didactiques (ne) sont (que) des modèles, pour accéder à une réalité trop complexe pour être abordée sans modélisation : cependant les mises en fonctionnement effectives dans l'enseignement de certaines séquences didactiques, même à des fins expérimentales, doivent retenir notre attention, nous semble-t-il, ne serait-ce que pour évaluer la portée des modèles proposés.

On a donc pu constater dans diverses recherches, des dysfonctionnements dans les mises en acte de scénarios didactiques, qui ne mettent pas en jeu les seules représentations des enseignants, ceux-ci étant prêts à en jouer l'esprit et non la lettre (cf. Robert et Robinet (1991)).

Ce peut être lié à la classe, qui rend impossible la réalisation par l'enseignant du scénario, qui est "dénaturé" (cf. Perrin (1991), la question étant de se demander si les contraintes qui pèsent sur les classes concernées permettraient d'autres pratiques. Comment concevoir des scénarios adaptés à la réalité des classes difficiles (adaptés aux enseignants et aux élèves) ?
Nous n'aborderons pas directement ce type de questions ici, encore que l'analyse des pratiques des enseignants peut peut-être contribuer à éclaircir certaines spécificités de ces classes.

Nos recherches sur l'enseignement de l'agèbre linéaire ou de la convergence des suites en DEUG (cf. Dorier et al (1997) ) nous ont amènés à nous <u>interroger d'autre part sur certains contenus</u>, pour lesquels nous avons du mal à trouver des bons problèmes initiaux, certains diraient des situations fondamentales, et donc pour lesquels les situations que l'on peut proposer aux étudiants doivent être modifiées, adaptées à ces contenus particuliers. Citons le passage de Q à R, du discret au continu, du fini à l'infini et l'utilisation de structures algébriques formalisées.

L'analyse des "Activités" proposées systématiquement en seconde pour introduire toutes les notions du programme nous a amené à des interrogations analogues, lorsque nous constatons que les activités proposées aux élèves ne préparent pas (ou pas assez par rapport aux attentes, nous semble-t-il) les notions visées. D'autres travaux sont consacrés à ces questions (cf. Hache (thèse en cours)).

Mais il est une **troisième source de questionnement** : peut-on penser que l'interiorisation individuelle recherchée, qui accompagne la conceptualisation, est, pour suffisamment d'élèves, dans une continuité suffisante avec l'action des élèves (actions au sens large, rappelé ci-dessus) et l'institutionnalisation de l'enseignant, quelles qu'en soient les formes ?

Ces interrogations, comme les premières, amènent en fait à réintroduire une dimension supplémentaire, centrée sur les sujets (élèves et/ou enseignants).

On peut se demander par exemple si les situations d'enseignement ne sont pas trop artificielles, même si ce sont de vrais problèmes pour les élèves, si l'apprentissage n'est pas trop "gratuit" pour qu'on puisse négliger, même en première analyse, et pour certains élèves, des éléments d'ordre social et/ou affectif qui jouent aussi sur le cognitif pour aider ou freiner les acquisitions (cf. Rochex (1994)).

On peut aussi se demander si toutes les institutionnalisations sont "équivalentes". Autrement dit, se demander s'il y a des variables pour les élèves dans ce que l'enseignant choisit de dire au moment où il a la parole, et si cela peut être déterminant. Avec le paradoxe apparent que plus l'enseignant dit de choses, y compris pour aider à la compréhesion, plus il aide éventuellement l'élève (si celui-ci entend) au moment où c'est dit, plus il le prive d'une réflexion autonome, plus il l'empêche de se poser tout seul les problèmes que lui enseignant a pris en charge...

Précisons davantage.

Si on distingue les tâches prescrites, décrites dans le vocabulaire de la discipline envisagée, les tâches attendues par l'enseignant (qui mobilisent des activités de l'élève préjugées grâce à des analyses cognitives des tâches prescrites), les tâches effectives, à savoir celles que résout l'élève, celles qui le mettent donc en activité, on peut dire que l'enseignant conçoit des tâches (en termes de contenus, d'organisation du travail des élèves et de contrat) qui déclenchent, espère-t-il, des activités chez les élèves ; et il fait le pari que, moyennant ses propres interventions bien conçues, elles auront un impact positif sur les apprentissages visés.

Mais autant on a une petite idée de conditions suffisantes à respecter sur la flèche **globale**
tâches prescrites ---> tâches attendues ---> apprentissage, autant il est difficile de préjuger des
flèches locales : tâches prescrites ---> taches effectives ---> activités, puis activités ---> apprentissage.

Or certains auteurs (cf. Bautier (1996)) estiment que précisément les tâches prescrites ne couvrent pas tout ce qui est en jeu dans les activités cognitives attendues. Pour eux, les bons élèves seraient ceux qui identifient (au moins en actes) les activités intellectuelles qui sont nécessaires à la tâche prescrite, mais nécessaires en termes d'apprentissage, pas en termes de simple effectuation de la tâche (qui est souvent contenue, elle, dans la consigne), et qui donc "débordent" la description.

On peut alors interpréter certaines observations en estimant que les tâches attendues par l'enseignant peuvent être très éloignées des activités des élèves, autrement dit que les tâches prescrites n'enclencheront peut être pas les activités prévues, ni a fortiori les apprentissages, pour certains élèves en tout cas.

Les résultats de Comiti, Grenier et Margolinas (1995) sur les dédoublements de situation pourraient s'apparenter d'une certaine manière à ce type de décalages.

Par ailleurs, les défauts majeurs des étudiants "moyens" sortant de licence (cf. Pian (travail en cours)) pourraient évoquer des diagnostics de ce type, même si l'on peut aussi "incriminer" plus fondamentalement le manque d'actions (au sens rappelé ci-dessus) proposées à ces étudiants...
L'atomisation de leurs connaissances, le manque criant d'organisation interne de ces connaissances, la mémorisation exclusive de définitions, théorèmes ou propriétés à l'exclusion d'exemples ou de situations de référence, le manque de disponibilité des connaissances élémentaires, la grande difficulté à identifier dans un exercice autre chose que les outils ou les questions qui y figurent explicitement ne témoignent-ils pas, aussi, de décalages entre des tâches complexes et riches, et des activités réduites à leur plus simple expression de mises en fonctionnement d'outils isolés, qui suffisent à la réussite (sans garantir l'apprentissage...) ?

Une hypothèse avancée par les chercheurs comme Bautier est que les tâches ne se valent pas toutes par rapport à l'entrée dans une activité porteuse d'apprentissage, ce qui est bien l'hypothèse des didacticiens, mais ce qui diffère c'est que les tâches les plus "fécondes" de leur point de vue sont celles qui déclenchent une activité qui déborde justement la simple description, pour lesquelles il est nécessaire (ou facile ?) de se mettre au(x) bon(s) niveau(x) d'activités, et on ne retrouve pas là un critère de didacticien des mathématiques. Il s'agit bien de provoquer une dévolution, mais d'une autre nature.

Du coup, de ce point de vue, tout ce qui est dit en classe pourrait aussi contribuer à ce type de dévolution ; ce qu'on pourrait appeler la culture de la classe, l'univers mathématique construit au jour le jour par l'enseignant, le partage de la connaissance entre les élèves, et les médiations (explications, aides, éclaircissements) apportées par l'enseignant, auraient leur importance à la fois pour expliquer d'éventuels décalages, et pour les prévenir...

**Résumons notre propos** : lorsqu'on évoque le rôle éventuel (sur les apprentissages) du discours de l'enseignant en classe, on peut envisager plusieurs moments. Le moment de la dévolution, lorsqu'on se centre sur la situation proposée (notamment pour la gestion de
l'adidactique, et le choix des tâches). Le moment de l'exploitation de cette situation, lorsqu'on pense
à la conceptualisation dont on espère qu'elle est facilitée par la situation. Déjà là, il peut y avoir des
variables dans les intitutionnalisations, comme nous le disions ci-dessus. Mais si on admet qu'il n'y
a pas toujours une continuité suffisante entre les mises en situations et la conceptualisation des
élèves, si on repense à nos conclusions sur les natures différentes de concepts, si on soupçonne qu'il
y a des différences entre les élèves, notamment dans la dévolution même des situations, on peut
aller jusqu'à se demander s'il n'y a pas des notions pour lesquelles le maître peut non seulement
institutionnaliser avec profit mais doit aussi initialiser quelque chose. Alors nous retrouvons notre
paradoxe : dans quelle mesure l'élève peut-il aussi apprendre après avoir avoir écouté et entendu
l'enseignant, suite à une imitation ? En fait, nous pensons que la bonne question n'est pas celle-ci,
mais pour quelles connaissances et à quels moments de leur conceptualisation les (des) élèves
peuvent-ils bénéficier du discours de l'enseignant, et y a-t-il des modalités de ce discours plus
efficaces que d'autres ?

De toutes ces interrogations, nous avons retenu la question, plus globale, suivante : est-ce que l'analyse locale des pratiques en classe de l'enseignant, analyse évidemment conçue comme imbriquée dans l'analyse des situations proposées, peut enrichir certaines analyses didactiques ?

Encore faudra-t-il que nous définissions ce que nous entendons par pratiques en classe et par analyse locale - c'est l'objet des chapitres suivants. Mais, avant, nous devons signaler une autre source de questionnements.

## 2) Des questionnements plus conjoncturels, liés aux nouvelles institutions de formation initiale des enseignants.

Les renouvellements institutionnels des dispositifs de formation des enseignants amènent d'autres questions, qui concernent d'abord les formateurs, mais qui engagent à terme des investigations de chercheurs.

En premier lieu, le fait d'enseigner des éléments de didactique des mathématiques n'est pas du tout neutre : que devons-nous transmettre ? Est-ce un "savoir" ? Peut-il avoir une portée prescriptive, laquelle ?

Il y a, en tout état de cause, une demande forte, pressante, mais vague quant à la nature des contenus, des futurs enseignants en formation, et notamment une demande de prescriptions, immédiates ; ces "formés" peuvent en particulier être tentés d'effectuer une transformation (transposition) en termes d'actions en classe de ce qui ne se voudrait que savoir informatif, par exemple si le formateur est sans intentions explicitement prescriptives. Bien des dérives peuvent alors avoir lieu, pouvant aller jusqu'au rejet des théories en question...

Cela nous amène, nous semble-t-il, à devoir respecter plusieurs impératifs en tant que formateurs. Notamment cela nous engage à avoir une idée des difficultés éventuelles de l'adoption par "l'enseignant" de certains éléments de didactique qu'il chercherait à "appliquer", de leurs effets éventuels dans les classes, et, surtout, de ce qu'il nous suffit de transmettre en formation pour (au moins) être entendu comme nous le voulons. Or il nous apparaît encore bien des inconnues dans ce programme : des travaux de recherche pourront peut-être en éclaircir quelques-unes, ne serait-ce
que grâce aux changements de points de vue imposés par la démarche de recherche, qui permet de poser de véritables problèmes, indépendamment des contraintes conjoncturelles. Les premiers travaux sur l'adoption de séquences didactiques par des enseignants, en dehors même de tout contexte de formation révèlent pour le moins des difficultés de tous ordres (cf. Bolon (1996)).

D'autre part, et ce n'est pas sans rapport avec ce qui précède, nous avons aussi tous constaté, a contrario, que les transmissions (en formations initiales notamment) exclusivement "théoriques", par le seul discours, ne sont pas toujours efficaces : en particulier elles n'obtiennent pas d'ancrage suffisant (voire pas du tout d'ancrage) dans les pratiques effectives (cf. M.L. Peltier (1995) par exemple). Est-ce seulement lié aux contenus même de ces formations ou à d'autres facteurs liés aux pratiques et à leur formation ?

On peut se demander par exemple à ce sujet si le décalage entre les discours tenus en formation et leur transfert effectif tient à ce que ce qui est exprimé n'est pas suffisant, n'est pas au "bon" niveau, que ce ne sont pas les choses importantes qui sont dites, ou à la forme même de la transmission choisie (par le "dit", à un moment où les "formés" sont peu disponibles).
Le seul recours à une pensée "préparée", construite n'épuise sans doute pas ce qui est à l'oeuvre dans le domaine des pratiques, l'appropriation nécessaire à nourrir, enrichir, modifier une activité comme celle d'enseigner passe peut-être par d'autres "mécanismes" que ceux qu'on sollicite dans l'enseignement "ordinaire"...

Enfin, et c'est une vraie question en formation, les classes que visitent les stagiaires ne montrent pas souvent des fonctionnements comme ceux qui sont évoqués en centre : comment analyser tout de même ces fonctionnements ?

Ainsi la question de la spécificité des pratiques en classe de mathématiques, de leur analyse (par rapport aux connaissances et savoirs de tous ordres), de leurs effets sur les apprentissages des élèves, comme élément pouvant être pris en compte dans l'enseignement, et enfin de leur formation, est posée aux chercheurs en didactique des mathématiques.

Cependant il ne s'agit pas d'analyser ces pratiques in abstracto mais bien en lien avec ce qui nous intéresse in fine - les apprentissages des élèves et leurs rapports avec les enseignements qu'ils ont reçus sur des contenus donnés. Nous allons donc décrire rapidement notre problématique.

## II Positions et cadrages théoriques, précisions sur le vocabulaire.

Tout ce qui précède amène à préciser à la fois ce que nous entendons par pratiques et ce que nous allons faire comme analyses de pratiques. C'est à partir des analyses a posteriori qui existent déjà que nous allons introduire nos objectifs.

### 1) *Analyses a posteriori en didactique des mathématiques et premières définitions de nos objectifs*

Les analyses a posteriori de C. Margolinas (1993), ou de C. Comiti, D. Grenier et C. Margolinas (1995), constituent en effet des premiers exemples, très intéressants, d'analyses de pratiques dans la mesure où elles s'intéressent de manière fine aux échanges réels en classe : ce sont des analyses de protocoles (à partir de transcriptions). Elles mettent en jeu, en les adaptant, les analyses de G. Brousseau sur le milieu (cf. Margolinas (1993)) : il s'agit d'interpréter ces échanges à
différents niveaux, de plus en plus globaux, et notamment à des points de vue de plus en plus généraux qui peuvent être attribués à l'enseignant. Dans ces recherches en effet l'enseignant a comme rôle de gérer des régulations, et analyser ses pratiques consiste à mettre à jour à la fois les régulations et leur gestion. Autrement dit il s'agit de modéliser le jeu du professeur en classe en ces termes.

Mais dans ces recherches les pratiques ne sont pas prises comme des variables qui peuvent être en partie indépendantes des contenus et des scénarios, elles ne sont pas analysées en elles-mêmes. D'autre part les réponses des élèves sont analysées de manière très locale, dans le cadre de la séance, sans mises en rapport entre ces réponses hic et nunc et le reste des cours, ou les particularités de cet enseignant ou de ces élèves, et, du coup, les questions en termes d'effets différentiels sur les élèves ne sont pas posées.

Ce qui est reconstitué, "reconstruit", nous semble-t-il, c'est ainsi plutôt le parcours mathématique global de "la classe", vu de l'extérieur, compte tenu des ingrédients mathématiques apportés par l'enseignant et les élèves, grâce à la situation initiale, et au fur et à mesure du déroulement. Mais la façon dont l'accès des différents élèves à ce parcours est organisé par l'enseignant, l'opacité éventuelle entre les observables pendant une séance et les recompositions plus globales que fait nécessairement chaque élève sont moins abordées. Or ces questions nous concernent aussi, comme nous l'avons signalé.

Cependant se donner les moyens de percevoir les effets (différentiels) sur les élèves de telles ou telles pratiques effectives, puisque c'est en partie ce qui manque, est d'une complexité très grande, trop grande, et nous avons opté, nous aussi, pour un objectif intermédiaire, mieux adapté à ce que nous pouvons recueillir comme données expérimentales : nous essayons d'analyser les pratiques, dans un premier temps, pour détecter dans quel univers mathématique les enseignants font vivre leurs élèves, quelles mathématiques ils leur font fréquenter (et surtout comment ils "managent" cette fréquentation, au quotidien).

Autrement dit qu'est-ce qu'ils transmettent effectivement à leurs élèves, explicitement ou non, qu'est-ce qu'ils contrôlent (cf. analyses classiques), mais aussi, et pour mieux saisir ce qui précède, qu'est-ce qu'ils disent, qu'est-ce qu'ils sous-entendent, qu'est-ce qu'ils reprochent ou valorisent ou admettent "du bout des lèvres" (ou tolèrent), sur quoi ils insistent, qu'est-ce qu'ils ont l'air de juger "négligeable", qu'est-ce qu'ils expliquent et réexpliquent, qu'est-ce qui reste implicite ? Faire des mathématiques chez M. X, cela "veut dire" quoi, par delà ce qu'on peut en partie induire des préparations ? Comment se traduit au quotidien le projet d'apprentissage de M. X ? Comment réalise-t-il en classe ses ambitions de faire comprendre (tous) ses élèves ?

## 2) Les pratiques comme engagées dans un travail social, le point de vue de l'ergonomie cognitive.

Une des grosses difficultés de notre entreprise est justement cette "reconstruction" d'un certain global à partir du local, de la vie de la classe en instantané. C'est comme reconstituer un film à partir de photos : des images presque identiques peuvent traduire une passion effrénée ou un désespoir sans bornes, seul le contexte permet de trancher sans efforts, et c'est précisément ce qui nous manque et nous manquera toujours en partie. Nous cherchons donc ce que nous pouvons
utiliser pour la reconstitution, il ne pourra s'agir que d'observables, remplaçant les éclairages, les décors, la musique, les mimiques les gestes et les intonations que le film restitue aux spectateurs...

Ce n'est bien entendu réalisable que moyennant un cadre théorique adéquat, qui permet de placer les éléments disparates tirés de l'expérience, de l'observation et de les lire dans une certaine globalité, parmi des possibles déjà plus ou moins repérés. La didactique des mathématiques fournit beaucoup d'éléments de ce cadre théorique, même si nous avons été amenés à compléter par endroits.

En fait, nous avons questionné le cadre de la didactique des mathématiques, de l'ergonomie cognitive et de la didactique professionnelle, notamment quant aux variables à retenir ou à rajouter pour analyser les pratiques des enseignants en classe au lieu du rapport enseignement/apprentissage des élèves.

Or nos premières analyses de pratiques faites sur des enseignants débutants nous avaient amenés à distinguer les caractéristiques suivantes des pratiques enseignantes par rapport aux pratiques des élèves (cf. Robert (1995), (1996)) : elles sont sociales (collectives et commandées, rémunérées, vérifiées du point de vue l'institution, validées par les performances des élèves) ; elles sont inscrites dans le temps réel, l'engagement dans l'activité est autre, mais en même temps il y a décentration d'une acquisition personnelle à une acquisition à faire réaliser aux autres, aux élèves, il y a modification du rapport au savoir.

Par ailleurs dans les rapports des conseillers pédagogiques sur ces enseignants débutants, nous avons repéré l'importance du fait que la classe du stagiaire "tourne" : en fait dès que cette condition est remplie l'évaluation institutionnelle de la première année est positive, la réussite des élèves (qui est corrélée au fait que la classe tourne) venant en deuxième position, et leur apprentissage réel loin derrière, en dernière position, ou même pas évoqué... Les discussions que nous avons pu avoir avec des inspecteurs renforcent ce résultat.

Ainsi nous avons retenu comme essentiel pour rendre compte de ce que nous cherchons le fait que les pratiques relèvent d'un travail (social) et le fait que cela modifie le rapport au savoir concerné, en décentrant les objectifs des activités.

Cela nous a mené à choisir comme cadre théorique d'appoint auquel emprunter pour plonger dans le monde des pratiques le cadre de l'ergonomie cognitive (psychologie du travail).

Ajoutons que ceci amène à centrer les analyses sur le sujet (l'enseignant) et à un déplacement des régulatités cherchées (la conjoncture rentre dans ce qui est observé).

Ainsi nous focalisons nos analyses sur les rapports effectifs de l'enseignant aux élèves et au savoir, qui conditionnent en grande partie ses pratiques ; ce ne sont plus seulement les situations globales dans lesquelles on met les élèves qui sont en jeu, mais aussi leur réalisation en temps réel, et les modifications éventuelles du projet qui ont lieu.

Nous réservons ainsi le mot "pratiques d'enseignants en classe" à tout ce que l'enseignant déploie en classe, de manière consciente, c'est à dire qu'il peut retrouver, voire justifier ; tout cela peut être perçu par les élèves, et c'est ce qui détermine notre définition, compte tenu des problèmes posés : cela concerne ce qu'il présente, compte tenu de ce qu'il a préparé, ce qu'il dit, ce
qu'il écrit, ce qu'il regarde, ses gestes, etc.

Autrement dit nous retenons tout ce que l'enseignant fait pendant le temps de la classe, mais compte tenu aussi bien de sa préparation de la séance (et de ses conceptions !) que des réactions des élèves, mais nous le retenons pour étudier comment l'enseignant "manage" au moment du déroulement effectif cet interface "élèves/savoirs" qui est au coeur des apprentissages.

Cette définition est encore en partie empirique, légitimée cependant par nos premières investigations du côté de l'ergonomie cognitive (cf. Robert (1996)) : une remarque, c'est le terme "activités de l'enseignant" qui nous semble le plus proche dans leur vocabulaire de ce que nous mettons sous le mot pratiques.

Pour résumer, voici ce que nous avons admis, en amont de nos recherches (on retrouvera des éléments déjà utilisés implicitement ci-dessus) (cf. Robert (1996)) :

* Les pratiques des enseignants peuvent faire partie des variables à prendre en compte pour comprendre les apprentissages des élèves.

* Ces pratiques ne relèvent pas seulement du domaine privé de chaque enseignant, il y a des régularités chez un enseignant donné, au niveau de la classe, qui peuvent être mises en évidences (invariants).

* Les pratiques professionnelles des enseignants de mathématiques ont des composantes spécifiques liées à cette discipline ; cette dépendance à l'égard des contenus s'explique notamment par d'éventuelles différences d'ordre épistémologique : sur ce plan les concepts mathématiques ou le français, pour prendre un exemple, nous semblent différents, et ceci a des conséquences en terme de transposition et d'activités en classe.

* La formation des pratiques des enseignants est complexe et ne relève pas d'une seule source ; activités, pensées issues de l'action et savoirs plus théoriques se recomposent selon diverses logiques, vraisemblablement un seul modèle ne suffisant pas à en rendre compte. C'est dans le cadre de la didactique professionnelle que ces problèmes de formation des pratioques sont abordés.

Notons pour finir qu'il existe bien d'autres cadres théoriques pour analyser les pratiques d'enseignants en classe, celui de Blanchard Laville par exemple (1996)).

### 3) Propositions

Enfin, nous avons proposé, à des fins d'analyse, de distinguer plusieurs "niveaux" qui interviennent lorsqu'on évoque les pratiques d'un enseignant, et qui sont accessibles séparément même s'ils sont loin d'être indépendants (c'est donc leur recomposition qui sera visée) :

* les lignes d'action, qui prennent en compte tout l'amont de la classe, notamment les connaissances et les conceptions de l'enseignant, et qui se révèlent par la préparation de la séance en cause,

* les singularisations, qui caractérisent le déroulement en temps réel, et qui prennent en compte tout ce qui est conjoncturel ; l'hypothèse essentielle que nous adoptons, encore une fois, étant que le chercheur peut dégager aussi de ce conjoncturel-là du régulier, qui intervient dans l'enseignement dispensé aux élèves et peut modifier les apprentissages (favoriser, bloquer, accélérer, ...).

Nous avons utilisé comme supports de nos analyses des films de séances de classe, nous y reviendrons, commençant par préciser les grandes lignes de notre méthodologie.
Nous développons trois niveaux d'analyse complémentaires, non indépendants, sur nos séances en classe (à partir soit de video, soit des transcriptions correspondantes et des documents d'accompagnement joints aux video) :

* les analyses des préparations (en termes de contenus et de gestion) permettant de reconstituer les lignes d'action pour une séance donnée - à partir des documents d'accompagnement et d'une analyse globale des séances. On retrouve ici les analyses a priori.

* les analyses du déroulement des séances (en termes de contenus et de gestion), permettant de compléter les projets par les descriptions globales de leurs mises en oeuvre. C'est ce qui est donné à entendre aux élèves, film sans arrêt sur image.

Parmi les observables, les actes techniques comme la tenue du tableau, le recours aux cahiers et le cahier de texte, les déplacements et les regards sont accessibles.

Ces analyses, faites sur les video et leurs transcriptions, sont complétées par d'autres informations, indirectes, obtenues à partir des réactions d'autres collègues ou acteurs du système visualisant les séances (sur video).

C'est ce que nous avons appelé "ethnométhodologie" en référence à ce que fait Coulon (1987, 1993), lorsqu'il préconise d'interroger "naïvement" des acteurs de l'intérieur d'un système sur ce système (éducatif en l'occurence).

Ces analyses nous donnent un premier accès aux singularisations, compte tenu des lignes d'action. Elles permettent aussi d'avoir accès à une certaine norme répandue dans le milieu au moment des analyses. Elles nous ont aussi amené à caractériser un type d'expertise de l'enseignant (croisées avec les analyses locales, que nous décrivons ci-dessous).

* les analyses locales des transcriptions permettant de reconstituer ce que l'enseignant propose aux élèves au quotidien, à partir d'une étude "à la loupe" de ses propos.

Elles nous permettent de compléter les singularisations des pratiques d'un enseignant.

Nous pensons en particulier que ces analyses locales remplacent d'une certaine manière les observations sur un temps long, compensent même le manque d'informations de ce type, dans la mesure où, mettant à jour grâce à une étude de détail, qui n'est évidement pas faite par les élèves, des façons de faire et de penser de l'enseignant, elles nous renseignent justement sur ce que les élèves perçoivent, eux, en terme d'habitudes, parce qu'ils y sont soumis sur une longue durée.

Ainsi nous allons développer dans ce travail des analyses de pratiques effectives en classe de seconde, concernant toutes l'introduction du chapitre sur les vecteurs.

Le choix de la seconde est délibéré : classe encore indifférenciée, mais où les connaissances abordées sont complexes et les problèmes de discipline moins présents. Le choix du thème est plus aléatoire, nous avons d'ailleurs d'autres video sur d'autres chapitres.

Ces analyses de trois séances de trois enseignants différents doivent servir à cerner le monde mathématique que (re)construit au jour le jour ces enseignants dans leur classe, essentiellement à partir des activités qu'ils proposent aux élèves et de ce qu'ils disent en classe à propos de ces contenus.
### III Méthodologie de la recherche : le matériel, les analyses.

#### 1) Le matériel video

C'est sur des films tournés en classe (de seconde donc), dont nous avons fait l'hypothèse qu'ils restituent une grande partie de l'information sur les pratiques effectives des enseignants en classe, que nos principales analyses se fondent. En fait ce sont les transcriptions de ces video que nous analysons, mais complétées par quelques visualisations.

Soulignons que les prises de vues ont été très soigneusement préparées par des collègues responsables de chaque séance, et qu'elles ont été réalisées par des professionnels (deux équipes ont été sollicitées, celle du centre audiovisuel de l'TUFM de St Germain, celle du médiapole du lycée de Marly le Roy). Nous joignons en annexe le cahier des charges d'un "responsable video", c'est à dire du collègue chargé de tout organiser pour qu'un tournage se passe bien, depuis les contacts avec l'enseignant filmé jusqu'à la récupération de la bande video, en passant par l'organisation matérielle du tournage lui-même et la production d'un document sur la classe filmée.

Finalement nous disposons pour chaque séance analysée de deux bandes video (une centrée sur l'enseignant et l'autre sur les élèves) et d'un "document d'accompagnement", constitué et rédigé par le responsable video, qui permet de reconstituer le projet de l'enseignant filmé et le cas échéant qui joint ses remarques sur le déroulement de la séance ou des productions d'élèves, permettant une certaine évaluation (cf. annexe).

Dans la mesure du possible nous avons enregistré un même enseignant sur deux contenus différents, ou dans deux classes différentes, et plusieurs enseignants sur le même chapitre : en définitive nous disposons de 7 séries de bandes video, concernant 7 enseignants différents, filmés chacun, sauf une exception, pendant deux ou trois sur séances, dans deux classe différentes pour deux d'entre eux. Soit au total 14 séances différentes, sur les vecteurs, les fonctions et les homothéties, dont nous n'analysons ici que les 3 qui concernent les vecteurs (ou plutôt l'introduction des vecteurs).

#### 2) *Les analyses des transcriptions : analyses locales (teneur du discours, objet du discours, fonction du discours)*

i) introduction : rappels des objectifs, première présentation des catégories utilisées, méthode de travail.

Ces analyses remplissent plusieurs fonctions : préciser les analyses a posteriori, et rajouter des indications fines sur le déroulement des séances (notamment à travers des détails du discours del'enseignant, compte tenu de ses objectifs).

Rappelons en effet que nous cherchons à reconstituer l'univers mathématique dans lequel l'enseignant fait vivre ses élèves, au jour le jour, et que nous cherchons à travers les analyses locales à ajouter des renseignements, complémentaires à ceux des analyses a posteriori, permettant d'y avoir un accès.

Ceci implique des hypothèses sur ce qui importe, ce qui est signifiant, pour reconstituer cet univers : nous considérons d'abord les tâches à effectuer par les élèves, y compris écoute d'un cours, avec les conditions de réalisation, les attendus et leur "portée" possible (analyses a priori) ; nous
analysons le déroulement effectif, avec la confrontation aux attendus et les modifications ou
transformations imprévues, notamment de la part de l'enseignant (analyses a posteriori) ; cela
renseigne sur les différentes situations rencontrées par l'élève avec une estimation de leurs effets
potentiels (cela correspond à l'adoption d'hypothèses de type constuctiviste et didactique : c'est la
situation à laquelle est confrontée l'élève qui détermine son apprentissage, cette situation
remplissant certaines caraatéristiques du fait qu'il s'agit de mathématiques).

Mais nous avons ajouté à ces éléments un peu globaux des éléments plus singuliers, qui dépendent des pratiques des enseignants, et dont nous voulons tester l'hypothèse qu'ils influencent la fréquentation que les élèves ont des mathématiques dans leur classe (et à terme les apprentissages).

Si on se réfère en effet à Vygostki par exemple (et pour parler de manière schématique), l'apprentissage est aussi affaire d'échanges, de médiations et d'aides, d'environnement, la portée de ces médiations dépendant des contenus traités, des connaissances concernées. Or une partie de ce que perçoit l'élève résulte peut-être de cette accumulation de renseignements très fins, sans doute en partie implicites, de plusieurs ordres, qui diffusent à partir du discours (au sens large) de l'enseignant et qui peuvent être assimilées par les élèves suite à une écoute (même partielle) sans cesse renouvelée.

N'oublions pas que les élèves n'écoutent pas tout le temps, et que l'on peut penser par exemple que ce sont les fonctions majoritaires du discours qu'ils auront le plus de chance de percevoir !

Eléments de contrat par exemple, par répétition d'appréciations analogues associées à des causes analogues (le fameux "dépêchez-vous" associé aux tâches dévalorisées par exemple), mais aussi conception même des mathématiques, au moins "pour les élèves" : si l'enseignant réduit toujours ses bilans à des "recettes", s'il se contente d'affirmer sans justifier, s'il "triche" à certains moments clefs en passant par dessus la difficulté, cela peut très bien ne pas apparaître dans le scénario global et cela peut, peut-être, en modifier les effets...

Même conclusion avec ce qui est vraiment l'affaire des élèves pendant les séances ordinaires, par delà le scénario global : comment le déterminer sans une analyse locale non seulement des échanges mais de ce sur quoi portent les échanges par exemple ?

Dans cette perspective, nous avons fait l'hypothèse qu'il peut y avoir une différence intéressante à relever pour nos objectifs (ie pour repérer les mathématiques que l'enseignant fait fréquenter à ses élèves) entre un discours "brut", direct, où ce qui est à transmettre est simplement dit, et qui à la limite pourrait figurer dans un livre, et un discours où sont ajoutés des commentaires, quels qu'ils soient à propos du contenu en cause. Or ceci n'apparaît pas dans les analyses a posteriori, plus globales.

De plus les sollicitations qui sont faites aux élèves, et ce sur quoi elles portent, permettent elles aussi de compléter le rôle des élèves dans une séance, de saisir ce qui leur est réservé comme participation aux mathématiques en jeu, par delà les analyses a priori, et même les analyses a posteriori. Les analyses a priori permettent de saisir par exemple ce qui est réservé aux élèves tout seuls, et ce quí sera du ressort de l'enseignant, elles délimitent ainsi le champ des questions possibles ou même nécessaires. Les analyses a posteriori permettent d'avoir une idée de la prise en
compte des élèves par l'enseignant pendant le déroulement des séances, au niveau de reprises (ou non reprises) éventuelles de réponses, ou d'explications improvisées à des questions imprévues. Nos analyses, qui nous amènent à déterminer précisément sur quoi porte chaque question de l'enseignant selon ce qui est en jeu, pour donner un exemple, permettent de saisir à quel niveau les élèves sont sollicités.

Enfin, le discours, notamment le discours non strictement mathématique, comporte des (plus ou moins légères) transformations du discours brut, ou même des rajouts, très divers, dont on peut penser qu'ils peuvent ou aider les élèves, qui en sont soulagés, qui en profitent pour mieux bénéficier du message, ou qu'elles empêchent les élèves de s'y livrer seuls, les rendant moins autonomes... En tout cas un même scénario, un même déroulement peuvent différer sur ces accompagnements !

Nous analysons donc ces transformations, ces rajouts, et le discours brut de trois façons, complémentaires, en croisant à chaque fois avec les analyses plus globales, qui servent à découper le corpus (selon les activités des élèves) :

*en indiquant précisément s'il y a question, ou si le discours n'est que mathématique, ou comporte autre chose (discours indirect) - c'est ce que nous appelons la teneur du discours,

*en en cherchant la fonction dans le flot du discours, parmi les trois catégories suivantes : informations, sous diverses formes, structurations et aides diverses, ou argumentations (ouvertures, voire réflexions) - c'est ce que nous appelons la fonction du discours,

*et en précisant enfin sur quelles mathématiques l'enseignant parle (mathématiques utilisées pour résoudre un exercice particulier, ou décontextualisées (y compris formalisation ou méthode), ou entre les deux, mathématiques décontextualisées mais qui servent pour résoudre l'exercice ou qui se déduisent de l'exercice) - c'est ce que nous appelons l'objet du discours.

Avant de préciser ces dimensions, il faut bien souligner que ces analyses sont faites sur chacun des épisodes qui correspondent à une tâche-élève bien définie et dont l'ensemble constitue la séance. Une restriction toutefois : nous ne nous intéressons qu'aux phrases ayant un rapport avec les contenus, nous avons enlevé (compte tenu de nos objectifs toute l'animation stricte, du genre "je viendrais à votre match demain", ou "tout le monde a bien compris ?" sauf dans une analyse, très globale, de toutes les questions de nos 4nseignants.

Chaque transcription est ainsi découpée, grâce aux analyses a priori et a posteriori, en une suite de "tâches" à réaliser par les élèves ; un épisode correspond à une tâche (il peut y avoir plusieurs questions analogues), et c'est au sein de chaque épisode que nous analysons chaque phrase de l'enseignant, en lui attribuant 4 codes : une longueur (nombre de demi-phrases, par excès), une teneur, un objet et une fonction.

Ces codes sont relevés dans un tableau : une case de ce tableau indique la longueur totale des phrases de l'épisode ayant une teneur donnée, une fonction donnée et portant sur un objet donné. L'analyse locale de la séance consiste à étudier systématiquement les répartitions des dimensions retenues (teneur, fonction objet) ainsi que leurs croisements deux à deux en fonction de la tâche (cf. tableaux en annexe).
## ii) La teneur du discours : définitions et exemples.

La teneur du discours permet à la fois de déterminer les sollicitations aux élèves (tous les échanges entre le professeur et les élèves sont relevés et codés "questions"), et la répartition du discours restant (non interrogatif) entre mathématique (direct) et non mathématique (indirect).

Cette répartition dépend évidemment du contexte, mais on peut donner les principes généraux que nous avons suivis.

— LES QUESTIONS sont relevées systématiquement, et d'abord classées en "non mathématiques" (animation, acquiescement...) et mathématiques. Puis les questions mathématiques sont analysées comme le reste selon leur fonction et leur objet.

Les questions non spécifiquement mathématiques, qui n'apparaissent pas dans les analyses complètes de chaque épisode, ont été séparées en trois sous catégories : les questions d'animation (ex. : «Bastien ?» pour attirer l'attention de Bastien, «tout le monde est prêt ?», «C'est toi qui m'a interpellé ?», «voulez-vous me répéter ?» ...), les demandes d'acquiescement (ex. : «D'accord ?», «Tout le monde a bien compris ?», «ça va ?») et les fausses questions (questions pour lesquelles le professeur n'attend manifestement pas de réponse, ex. :«Qu'est-ce qu'i' faut retenir ? C'est d'abord que...», «Alors... que nous reste-t-il à faire ?», «Qu'est-ce que j'ai dit ? non, c'est pas ça, c'est...»).

— On réserve le code "DISCOURS MATHÉMATIQUES" (ou plus souvent "discours direct") à des phrases qui énoncent un contenu mathématique strict, quel que soit le langage dans lequel il est exprimé (formel, familier, ordinaire, mixte). Il s'agit de descriptions d'opérations, ou de constructions, ou de figures, ou d'énoncés de théorèmes, ou de propriétés ou de définitions. Cependant, des mots non mathématiques (en petit nombre) peuvent accompagner des phrases étiquetées "discours direct", mots qui sont souvent des repères du contenu évoqué : «on a trouvé», «on en déduit», «implique», «dernier» ou «premier», «je dessine», «je calcule», «j'utilise», «je démontre»...

De plus, «oui», «non», «vrai», «faux» au sein d'un discours mathématique et sans commentaires est aussi assimilé à du discours mathématique.

— On étiquète "DISCOURS INDIRECT" tous les autres segments du discours : il s'agit de commentaires, plus ou moins élaborés, sue les mathématiques, sur les tâches à résoudre, sur les méthodes...

Par exemple : «il n'existe pas de...», «on ne peut pas utiliser...», «il faut démontrer...», «vous devez démontrer...», introduit une idée qui dépasse le simple contenu mathématique ; alors que «on utilise la relation de Chasles» peut relever du discours mathématique si ça apparaît dans une démonstration, si la phrase est «la méthode pour démontrer ce type d'égalité est la relation de Chasles», on sort là encore, dans notre code, du strictement mathématique (idée explicite de méthode). Le fait de classer ou même de nommer en introduisant une idée un peu plus générale que ce qui est le strict énoncé mathématique fait rentrer une phrase dans cette catégorie.
On remarque que sur cette séquence de cours que le discours mathématique paraît cohérent et linéaire, il est parsemé de remarques (structurations, explicitations, formulations, justifications...). Le discours indirect est par conséquent très décousu : les différents passages sont indépendants, ils commentent le passage mathématique précédent ou annoncent le ou les suivants.

Séquence d'exercice :

— (...) Si, Renan, je te demande où tu as placé le point K, qu'est-ce que tu me réponds ?

— *Un carreau en dessous de E*

— *Un carreau en dessous de E*. (...) Vous avez raison, il est un carreau en dessous, enfin... “en dessous”, tout le monde comprend, hein ? Alors, comment tu as calculé la norme du vecteur $\overrightarrow{EK}$ ? Renan, norme de $\overrightarrow{EK}$ ?

(...)

— *un carreau*.

— *oui, alors on va pas dire “un carreau”, on, on, on sait de toute façon que le côté du carreau est l'unité de longueur...*

— ...un

— *donc, ça fait un, ça fait un*. Tu continues, norme de $EF$, vecteur $EF$ ?

— *j'ai fait avec Pythagore...*

— ...“Tu as fait avec Pythagore”, tu veux nous dire les choses plus précisément ? Qu’est-ce que tu as fait avec Pythagore ? Tu t’es amusé ?

— *non*

— *non*. Oui et dans ce triangle rectangle, tu as utilisé, non pas Pythagore mais ?

— *Le théorème de Pythagore* [c'est un autre élève qui répond]

— *“Le théorème de Pythagore”, c'est quand même autre chose ! et tu as trouvé comme réponse ?*

— $\sqrt{5}$ [de nouveau Renan]

— *oui et tu as raison : $\sqrt{5}$* Qu’est-ce que tu as trouvé pour la norme de $\overrightarrow{GH}$ ?

— $GH=EF$ donc $\sqrt{5}$.

— *Absolument, absolument*. Et pour terminer, puisque tu es bien lancé, la norme de $IJ$ ?

— *On voit que c'est 3.*

— *On voit que c'est 3, c'est pas la peine d'aller chercher Pythagore là, on le laisse tranquille, bien.* Alors euh... est-ce que l'on a l'égalité qui est en dessous ? C'est à dire, Julien, distance $EK$ égale distance $EF$ plus distance $GH$ plus distance $IJ$ ?

— *non*

— *non*, tu vois pourquoi j'ai posé cette question ?

— *oui*

— *oui, et tu me réponds pourquoi ?*

— [*réponse longue*] (...)

— Ça c'est vrai, il ne faut pas confondre la norme d'un vecteur et le vecteur lui-même, mais ça va plus loin la question, que de confondre la norme d'un vecteur et le vecteur, Julien ?
— [réponse longue] (...)

— Voilà, la norme, la norme d'une somme de vecteurs est différente de la somme des normes de chacun des vecteurs, on l'a vu avant-hier et lundi. Bien.

Ici le discours mathématique est de même nature que le discours indirect : ils sont hachés et sont construits autour de l'interaction professeur / élève.

Le discours indirect (explicitation, mise en garde, demande de réflexion) vient en fin de séquence, le discours mathématique est essentiellement un discours de validation des réponses et des méthodes utilisées.

### iii) L'objet du discours : définition et exemples.

L'objet du discours est analysé dans la mesure où un des objectif (et un des moyens) de l'enseignement est justement le passage des exercices (des situations proposées aux élèves) à la conceptualisation, elle-même testée par les mises en applications, passage pour lequel la dialectique exercices/cours semble fondamentale.

Nous avons donc relevé les phrases portant sur des exercices (mathématiques contextualisées), codées "Ex" (et quelquefois "A"), des mathématiques décontextualisées, codées "Ma" (et quelquefois "M"), ou sur le passage exercice<->mathématiques, codée "Lien" (et quelquefois "A<->...", ou "E<->..."). Nous avons aggloméré aux mathématiques décontextualisées ce qui concerne en toute généralité la formalisation et les notations, ainsi que les méthodes. Ceci vaut pour les mathématiques concernées par le passage exercice<->mathématiques.

Nous devons préciser quelques règles que nous avons adoptées à ce propos.

D'abord l'objet d'une validation elliptique (typiquement «oui») est l'objet de ce qui est validé (qui apparaît donc avant).

Ensuite, nous appelons exercices tout ce que l'enseignant demande aux élèves de chercher (même très peu de temps, ou à la maison) et qui est plus ou moins contextualisé. Les tâches peuvent être particulières, ou plus générales : c'est la différence entre "soit le vecteur de composantes (4,5)" (cas particulier), "soit le vecteur $\vec{AB}$ dessiné ci-dessous", ou "soit un vecteur $\vec{u}$" ou "un vecteur $\vec{UV}$" (non dessinés).

Si pendant l'exposé des connaissances il y a un cas particulier traité comme un exercice, ou la reprise d'une activité déjà faite, nous les classerons comme exercice.

Dans tous ces cas différents où nous parlerons d"exercice", ce sont les analyses de tâches qui seront différentes et qui témoignerons de ces différences, comme nous le verrons ci-dessous.

Enfin, les phrases du type A<->... sont de plusieurs types, relatives au contexte d'ailleurs. Il s'agit quelquefois de faire mettre un "quel que soit" après un exercice particulier ou d'introduire quelque autre généralisation ; ce peut être dans l'autre sens l'évocation ou l'utilisation explicites d'un théorème général, rappelé comme tel, comme nous le verrons ci-dessous.
Nous allons donner des exemples (pris sur des questions) de cette typologie.

— QUESTIONS CLASSÉES EN "MATHÉMATIQUES" :

Ce sont des questions qui ne portent plus sur l'exercice en cours mais sur les mathématiques en jeux. Elles comportent au moins un quantificateur "quelque soit" — implicite en général, éventuellement marqué par un "quelconque" ou par l'emploi d'une lettre générique (x ou M)— ou au moins une échappée de l'exercice.

Il peut s'agir de réfléchir sur (ex. : «a-t-on distance uv + distance vw égale distance uw à partir de la relation de Chasles ?», «tu connais le rôle des parenthèses ?»), de reconnaître (ex. : «soustraire un nombre c'est ajouter... ?», «c'est quoi 3/2 ?» [un réel], «c'est l'application du théorème de Thalès, dans quel sens ?», «[la norme du vecteur AE est 3/2] parce que le nombre 3/2 est ?» [positif]), d'utiliser (ex. : «la symétrie conserve les longueurs, elle conserve aussi ?», «il me parle de la projection qui conserve?... ?», «Alors concernant les directions [respectives de u et ku] ?», «Parce que zéro fois le vecteur u+v, ça donne quel vecteur ?») une définition, une opération, un théorème un objet mathématique.

Ou bien de rechercher un cas particulier d'un théorème introduit par l'activité ou l'enseignant (ex. : «Alors k désigne un réel quelconque (...) on va éliminer euh, quel cas particulier tout de suite ?», «J'ai éliminé une situation particulière des vecteurs u et v qui est laquelle ?»).

Ou bien il s'agit de préciser ou de discuter les conditions d'application d'un théorème, d'une définition, d'une opération, les hypothèses nécessaires (ex. : «peut-on quand même avoir distance uv + distance vw égale distance uw ? (...) Dans quelles circonstances ?», «vous l'avez défini comment au collège ?», «Bon, ceci c'est vrai pour trois points particuliers ou c'est vrai chaque fois que j'ai trois points quelconques ?»).

Ce qui est en cause ici pour l'enseignant c'est le "texte du savoir", ce qui pourrait figurer dans un "cours", décontextualisé au moins partiellement.

Les questions suivantes portent sur les notation, le vocabulaire, la façon dont un élève exprime une idée et relèvent de la même catégorie... «si leur somme est nulle on a dit qu'ils étaient ?», «tu as utilisé non pas Pythagore, mais ?» [le théorème de Pythagore], «Alors... Fais moi une phrase complète...», «Dis moi les choses comme il faut», «Tu écris ça comment ?», «Bien! Tu l'appelle comment [ce point] ?», «Quelle est la notation qui caractérise un vecteur ?», «Comment est-ce que vous notez les translations ?», «Vous "faites deux fois"... c'est à dire ?».

— QUESTIONS CLASSÉES EN "EXERCICES<->MATHÉMATIQUES"

Les questions A<->M portent sur le niveau mathématique et le niveau de l'action en cours. Nous en avons trouvé trois types.

Les demandes de justifications (d'une "action") du type "oui, pourquoi ?" ou "non, pourquoi ?", ex. : «Oui, ADBC est un parallélogramme. Pourquoi ?».

Les questions qui comportent une certaine mise à distance de l'exercice en cours, tout en gardant l'exercice à l'esprit. Soit par l'introduction d'un élément de généralisation au moins (des données ou autres) par rapport à la situation de l'exercice, autrement dit l'introduction, même implicite, d'un "quelque soit" (ex. : «quelle est l'égalité de vecteur que
j'ai derrière ?», «Donc, je suppose u non nul, comme ça je pourrai parler de la direction de u. Alors la
direction de vecteur ku d'après ce qu'on a pu voir, ce sera quoi ?», «en utilisant le même résultat [la
même construction] on démontrerait que les droites ?»). Soit par le rapprochement de deux
résultats obtenus de manières distinctes et séparées dans l'exercice (ex. : «Bon... si on
compare ? [tūotṽ(M) construit d'une part et tū+ṽ(M) construit d'autre part]»). Soit par la
contextualisation, même limitée et artificielle, de questions mathématiques générales
(ex. : «est-ce que j'aurais pu choisir un autre représentant du vecteur u que le vecteur AB ?»). Autres
exemple portant plus sur la méthode : «Alors sans entrer dans les détails est-ce que tu m'indiquer
les principes de la démonstration qu'on a utilisée hier ?», «Est-ce que tu peux maintenant me donner une
indication me permettant de poursuivre le travail qu'on est en train de faire pour atteindre le but qu'on
s'est fixé ?», «Vous procédez de quelle manière ?», «Dans ce cas là, AB+CD devient AB+BE. Quel est
l'intérêt ici ?», «Qu'est-ce qu'il faudrait retenir d'essentiel sur tout ce qu'on a vu ?», «Est-ce que tu vois
pourquoi j'ai posé cette question ?», «Alors, c'est plus simple, pourquoi ?», «Quel est l'intérêt des
vecteurs finalement ?».

— QUESTIONS CLASSÉES EN "EXERCICE".

Nous parlerons de ce type de questions lorsqu'elles porteront sur un exercice
particulier (ou une activité), en cours de résolution, une situation contextualisée, la
question n'ayant aucune prétention de généralité. Ce peut être une demande de résultats,
ou une demande d'application immédiate de théorème, de définitions (dans la mesure ou
ce morceau de cours est relativement proche), etc. Le travail en cours peut porter sur : un
calcul numérique ou littéral («sept quart, ça fait à peu près combien ?»), un travail sur une
figure (nommer un élément : «Quelle est cette position ? [le milieu]», «Quelle position occupe-t-
il ?» [c'est le symétrique de B par rapport au point E], reconnaître un élément : «Est-ce que les
vecteurs AB et MN ont même direction ?», «est-ce que le vecteur dessiné correspond au vecteur
AB+BC ?», décrire un élément : «qu'est-ce qu'on peut constater ici sur les droites (US) et (VW)»,
construire quelque chose : «comment allez-vous procéder pour construire ce point ?», calculer des
longueurs ou autres grandeurs numériques liées à la figure : «combien de graduations pour
BD ?», «Qu'est-ce que tu as trouvé pour la norme de ĜH ?», trouver l'effet de transformation :
«Qu'est-ce que je peux dire des points A, E et C par la translation de vecteur AB ?», relecture de la
figure dans un autre cadre : «ABCE parallélogramme, quelle égalité [vectorielle] va traduire cette
situation ?», «[AB=DC] Si j'utilisais le mot translation qu'est-ce que je vais écrire ?»... etc.).

iv) La fonction du discours : définitions et exemples.

La fonction du discours est déterminée par rapport à trois grandes catégorie de
fonctions possibles (assez exhaustives) : l'information — qui correspond à donner des
informations—, la structuration (sans justification) — qui correspond à organiser des
informations et qui peut être conçue comme aide au suivi et à la mémorisation—, enfin les
argumentations réflexions diverses (ouvertures) — qui sont des commentaires
"intelligibles" des informations ou des aides à la compréhension (cf. ergonomie)—.
Parmi LES INFORMATIONS, nous avons distingué :

— les informations brutes (énoncés).

— les résultats (sans commentaires).

— les évaluations et validations (sans commentaires).

Et des informations un peu "truquées", sans explication toujours :

— les informations données par le professeur qui joue à l'élève, ou qui dicte à l'élève au tableau.

— les informations données de manière "ostentive" : soit «vous voyez que», soit «faites [eci]» (par exemple, des transformations insidieuses des consignes données comme information, alors que tout un travail aurait pu être derrière)...

Parmi LES FONCTIONS DE STRUCTURATION (souvent exprimées dans des discours indirectes, de type "méta") nous avons distingué :

— les appréciations (sur la tâche), les mises en garde, souvent porteuses de renseignement sur le contrat.

— les structurations (des contenus, notamment par des titres, ou du déroulement dans le temps).

— les bilans et rappels.

Voici des exemples de discours de structuration, d'appréciations et de mise en garde :

• Exemple 1 •

Les mises en garde, les choses à retenir, le professeur attire l'attention, insiste.

De portée plus ou moins grande, elles sont ou non écrites (au tableau, sur les cahiers des élèves). Elles peuvent porter sur les erreurs des élèves, sur les méthodes, sur les actions... Elles peuvent intervenir avant que la chose se produise (anticipation de l'enseignant, occasion de prouver ses connaissances aux élèves...) ou après ("l'essentiel est...")

Exemple : «contrairement à ce qu'on pourrait croire...», «ne pas penser que c'est la seule méthode», «attention il ne s'agit pas de...», [à propos de la relation de Chasles] «Donc c'est le point d'arrivée qui est le même que le point de départ. Donc il faut faire attention lorsqu'on utilise la relation», [inscrit au tableau à propos de uv+uw:] «Ne pas confondre uv et vu, si on fait cette confusion, on pense à vu+uw [et donc à la relation de Chasles]» [commentaire oral après la dictée:] «Donc vous voyez l'origine de l'erreur, ça c'est une erreur bon... que vous ne ferez peut être jamais, mais attention on a quand même tendance à le faire, «Il ne faut pas confondre la norme d'un vecteur et le vecteur lui-même mais ça va plus loin (...) la norme d'une somme de vecteurs est différente de la somme des normes de chacun des vecteurs», «Tu sais dans le domaine des vecteurs, il faut se méfier des distances parce que la distance est une toute petite disons euh... qualité d'un vecteur, tu sais : il y a une longueur, il y a une direction et un sens. Donc méfie-toi de commencer par les distance : terrain glissant», «c'est pas le TGV qu'on prend,
c'est pour l'instant un omnibus. Après, le TGV c'est quand, quand on a un petit peu plus de bouteille en mathématiques. Parce que sinon on risque de dérailler».

• Exemple 2 •

Les appréciations interviennent plus à propos de questions qu'au milieu d'un discours exposant des connaissances.

Elles sont relativement peu variées dans un même cours, ce sont souvent des adjectifs («simple», «très simple», «très très simple», «facile», «difficile», «barbare», «naturel», «tout à fait naturel», «évident», «intéressant», «important», «puissant», «essentiel», «compliqué», «petites activités»...) ou des adverbes («simplement», «seulement», «rapidement», «en gros»...) ou de petites phrases («ça manque un petit peu d'intérêt», «sans entrer dans les détails», «ne cherchez pas de complications», «sans commentaires», «sans difficulté spéciale», «nécessite une réflexion un peu plus approfondie», «on va quand même regarder un petit peu de plus près cette figure quand même», «d'y a pas un gros gros problème», «c'est un petit détail», «c'est pas grave», «il n'y a rien d'extraordinaire»...).

Elles ont un rôle important, car ce sont des indices par lesquels le professeur se "dévoile" : s'il demande une recherche et s'il ajoute que c'est facile, les élèves ne vont pas chercher de la même façon, la même chose que s'il indique que c'est difficile. Ainsi «il n'est peut être pas évident que ce soit facile» en dit long aux élèves... Ou encore «tout simplement, tout simplement, tout simplement» pour signaler au élèves qu'il faut faire "comme on vient de faire". Si le professeur qualifie une propriété d'"essentielle", il y a fort à parier qu'elle figurera dans un de ses contrôles. De même lorsqu'il dit "j'aime mieux", ça n'est pas une parole en l'air.

En somme, les appréciations nous ont semblé figurer parmi les facteurs du contrat, contrat actuel comme ci-dessus, mais aussi représentation des mathématiques : par exemple lorsque le professeur indique qu'un résultat est "naturel", alors que se joue une analogie, ou une continuité avec d'autres domaines des mathématiques, ou lorsqu'il introduit une quantification en disant «on va quand même dire ce que représentent k, u et v» ou «vous notez une petite phrase pour commencer puis enfin je vous écrirai au tableau les propriétés» [la "petite phrase" est dictée : "étant donné deux vecteurs u et v quelconques et deux réels k et k' quelconques").

• Exemple 3 •

Structuration du cours en train de dérouler, liée au temps : où en est-on ? où va-t-on ?

Plusieurs références sont utilisées pour transmettre aux élèves "où l'on est", "où l'on va", l'échelle du temps concernée étant une variable, ainsi que le degré de généralité sur laquelle porte la structuration.

# Structuration de ce qui va être fait.

Ce peut être un strict rappel d'un numéro d'exercice ou de question (sorte d'index chronologique) ou encore de référence à un titre à, ou à un paragraphe.
Exemple : «C'est la question numéro 3», «On passe à la question 3», «Euh... grand cinq donc "produit d'un vecteur par un réel"», «Alors grand deux "Définition"», «Donc c'était les exercices 5, 6 et 7, hein ?», «dans le dernier dessin», «je vous distribue ça, c'est à mettre dans la partie activité»...

Ce peuvent être aussi des objectifs immédiats définis en référence soit aux connaissances visées (multiplication par exemple), soit au cours lui-même (définition, exercices, démonstrations, méthodes, figures...), ou bien encore aux activité des élèves en train de se dérouler (corrections, démonstrations, travail à la maison, en classe...).

Exemple : «Toute l'activité que l'on va avoir maintenant va consister à avoir un but précis : c'est d'essayer d'écrire ce vecteur sous la forme qui est ici, c'est à dire...», «N'oublions pas ce que l'on veut démontrer», «Alors, la deuxième somme dont on nous parle est un peu différente (...) quelle est la différence ?», «Vous prenez votre livre... 1 page 239. On va essayer de voir justement la différence entre u+v et u-v», «Alors, ça c'était ce que vous aviez à préparer»...

Ce peuvent être des références plus larges, évoquant des objectifs plus vastes (notamment au début du cours, d'un nouveau paragraphe), qui précédent ce qui va être exposé pendant un certain temps (une demi heure, une heure, une semaine...), par exemple l'intérêt d'introduire une certaine notion, ou de faire une démonstration.

Exemple : «C'est cette propriété sur laquelle on va, à laquelle on va s'intéresser aujourd'hui [ce passage se situe au début de la séance, après que le professeur a réécrit au tableau, avec l'aide des élèves, la propriété vue en cours la veille]. Bien, alors euh..., j'y vois deux intérêts principaux, euh, mis à part le fait que, euh, l'intérêt primordial est d'apprendre des méthodes générales de démonstration. Ce qui est quand même l'un des buts poursuivi à partir du moment où l'on entre au lycée. Euh, deuxième intérêt c'est que la démonstration va reposer sur un autre principe que celui qu'on a utilisé hier en travaux dirigés. Et le dernier intérêt que j'y vois, c'est précisément de faire appel à un outil que vous avez vu au niveau du collège qui est, euh, l'outil "théorème de Thalès", et que ce théorème de Thalès est lié de manière assez précise, au niveau du lycée, à, au calcul vectoriel en ce sens qu'on reprend les énoncés de Thalès du collège pour leur donner une coloration vectorielle. Et le, cette démonstration constitue un excellent tremplin pour comprendre pourquoi le théorème de Thalès sous ses deux formes, directe et réciproque, peut être lié au calcul vectoriel. Ça va ? Bien. Alors, euh, on va dire ce qu'on va faire, euh, on va indiquer quel est le plan de l'étude que l'on va faire et on va se lancer au travail. Alors on y va. Donc il s'agit de justifier l'égalité...», «Alors, on commence par les vecteurs, on laisse tomber tout ce qu'on a fait de calculatoire pour l'instant. On reviendra après dessus. Et... vous en avez déjà entendu parler au collège, hein ? Vous avez entendu parler de la somme de deux vecteurs...»...

Des petits mots accompagnent et ponctuent souvent ces interventions («Allez on y va», «on continue», «on progresse»...), ils peuvent ajouter différentes indications aux élèves : on reprend son souffle, inutile de retenir ce qui précède, on se raccroche...

\# Structuration de ce qui a été fait \#

Il s'agit en général de bilan, étiquetages, souvent accompagnés de ce qui sera à retenir (et même précédés de la question fictive "qu'est-ce qu'il faut retenir").
Exemple : «Donc c'est une première chose à voir», cf. ci-dessus : «Et le dernier intérêt que j'y vois, c'est précisément de faire appel à un outil que vous avez vu au niveau du collège qui est, euh, l'outil "théorème de Thalès", et que ce théorème de Thalès est lié de manière assez précise, au niveau du lycée, à, au calcul vectoriel en ce sens qu'on reprend les énoncés de Thalès du collège pour leur donner une coloration vectorielle. Et le, cette démonstration constitue un excellent tremplin pour comprendre pourquoi le théorème de Thalès sous ses deux formes, directe et réciproque, peut être lié au calcul vectoriel.», «Et ça c'est une des propriétés de l'addition...» [découverte "au passage" de la commutativité de l'addition à propos de la construction de la somme $\overline{AB}+\overline{AC}$ avec "le parallélogramme ABDC" ou "le parallélogramme ACDB"], «Qu'est-ce qui' faut retenir ? C'est d'abord...», «Alors, dans cette activité, quelles ont étés les deux idées essentielles... à chaque fois ? (...) Qu'est-ce qui revient à chaque fois ?», «Qu'est-ce qu'il faudrait retenir d'essentiel sur tout ce qu'on, ce qu'on a vu ? Quelles sont les idées, l'idée qui est, enfin il y a deux idées, deux ou trois qui sont essentiellement revenues ?», «Alors bien entendu, euh, on avait fait ça un peu en tâtonnant, hein ? Dans un premier temps vous avez fait tracer 2u, ça fait un nombre très simple, bon, là voyez qu'on commence à tracer des nombres avec des virgules donc des nombres du style trois et demi, euh, sept quart, donc i' va sans dire qu'on va pouvoir généraliser ça au produit de n'importe quel vecteur par n'importe quel nombre réel», «Alors, bon cette activité, ça a fait découvrir les propriétés de ce produit d'un vecteur par un réel et puis on va maintenant le marquer dans le cours»...

Parmi LES FONCTIONS D'ARGUMENTATION ET DE RÉFLEXION (là encore correspondant plus au discours indirect qu'au discours direct) nous avons distingué :

— les mises en relation et autres structurations indirectes, voire implicites.

— les explications, justifications, explicitations.

— les généralisations ou réflexions.

Voici divers exemples de ces types de phrases :

• Exemple 1 •

Structuration indirecte : mise en relation

Elles peuvent être faites par rapport au passé immédiat (on se rappelle un des exemple, qu'on a vu...), au passé plus lointain, au futur immédiat, au futur plus lointain. Ces interventions relèvent du méta (puisqu'elles enclenchent une réflexion sur ce qui se joue), tout en ayant un rôle de structuration.

Ce sont essentiellement des analogies ou des différences qui sont pointées ("c'est la même chose").

Remarquons qu'en se référant au futur le professeur assoit son autorité, sa légitimité.

Exemple : «Bon, vous deviez utiliser la relation de Chasles (...) Par rapport au deux méthodes que l'on a vu là, les deux méthodes...», «La différence de deux vecteurs ça va pas être compliqué non plus, c'est un peu comme la différence de deux réels, ça nous ramène à une somme en ajoutant l'opposé du vecteur», «Je mettais au même niveau addition et soustraction (...) au second niveau, je mettais au même
niveau multiplication et division (...) et le troisième niveau d'opération pour moi c'est les puissances»,
«On va essayer de voir justement la différence entre u+v et u-v», «Si tu prends conscience quand même de
la différence fondamentale qu'il y a entre les deux propriétés [alors tu comprendras qu'on ne peut pas
utiliser la même démonstration», «...ce que vous n'avez pas fait au collège», «C'est dans ce but que
j'utilise cette méthode, pour lier, si vous voulez, les énoncés de Thalès et les vecteurs», «un petit peu
comme ce qu'on a fait hier», «on va avoir besoin tout à l'heure d'une figure qui est un parallélogramme»,
«Ce qui explique pourquoi j'ai éliminé la possibilité tout à heure pour les vecteurs d'être colinéaires»,
«on y arrive, aie confiance en moi», «i' y a un mot que vous avez vu au collège»

• Exemple 2 •

Structuration implicite

Un autre type de structurations indirectes, mais implicites, a été trouvé : ce sont
presque des justifications de la décision de l'enseignant de continuer le cours, plus
exactement l'enseignant signifie aux élèves qu'il en a assez dit, et qu'ils doivent être
convaincus ; c'est une sorte d'argumentaire du déroulement interne du cours, qui le
ponctue.

En réalité, un problème, un choix, une idée ou un argument... a été présenté par l'enseignant, éventuellement partiellement justifié (éventuellement de son point de vue exclusif, c'est à dire dans sa propre logique de pensée), éventuellement par un argument d'autorité, et l'enseignant ferme ensuite tout débat à ce sujet en faisant comme si c'était suffisant, comme si une discussion supplémentaire était, "évidemment", inutile. Il est à noter que le professeur peut se voir dans l'obligation de "tricher" ainsi, faute de temps, d'argument, ou bien parce qu'il sait qu'une discussion sur tel ou tel point n'apporterait rien de plus ou l'emmènerait trop loin...

Il y a là recours à un procédé de style, bien connu des journalistes : d'une
proposition hypothétique, on fait le prémisse d'une implication, l'attention est alors
(dé)portée sur l'implication ou sur la seconde partie de l'implication, la première n'étant
plus discuté. Waslawick explique aussi ce type de procédé en citant le changement subtil
qu'on introduit dans une discussion avec un enfant lorsque l'on passe du conflictuel
"veux-tu te laver les dents ?" à la recherche de consensus, bien plus habile, qui décale
l'attention de l'enfant en faisant comme si la prémisse était déjà acquise ; "tu préfères la
brosse à dent rouge ou verte pour te laver les dents ?".

Exemples : «on sait ce que cela veut dire», «puisqu'on s'est mis d'accord», «Il va sans dire», «Vous voyez aussi pourquoi», «Cette activité vous a fait découvrir...» [alors que cela n'a rien d'évident], «alors, on ne va pas insister plus», «ensuite vous pouvez dire "on démontrerait de la même façon", c'est pas la peine de recommencer», «le milieu de [AC], sans commentaire c'est la même chose»..

On peut aussi se demander si les question d'acquiescement ne sont pas souvent à
placer dans cette rubrique, le professeur ne demanderait alors «d'accord ?» que pour
signifier que ce qui précède doit être clair pour tout le monde (cette démarche laisse
théoriquement la possibilité aux élèves de dire non, en pratique sur plus de deux cent
questions de ce type relevées<fnref n="1" /> nous n’avons observé aucune réponse orale, le professeur n’attend que rarement une éventuelle réponse pour continuer son discours, il jauge sans doute la réponse au comportement de sa classe...).

• Exemple 3 •

Étude des explications du professeur.

# Définition et typologie a priori #

Nous réservons l’étiquette explication aux moments où l’enseignant ajoute quelque chose à un discours déjà tenu, par exemple lorsqu’il répond à une question d’élève, ou lorsqu’il décèle, dans les visages ou l’attitude des élèves par exemple, une incompréhension sur ce qui précède et qu’il veut l’éclaircir. Selon cette définition une explication pourrait être supprimée sans que cela n’altère la cohérence et le contenu du discours.

Nous avons choisi de ne pas qualifier d’explication quelques phénomènes dont les caractéristiques se rapprochent de celles décrites ci-dessus. Par exemple certains commentaires diffus, sortes d’explications implicites ou même sorte de mode explicatif, émaillent le discours du professeur, accompagnant par exemple l’exposition des connaissances, et souvent suite à une anticipation sur les difficultés éventuelles des élèves. La structuration que donne l’enseignant, voire le découpage qu’il adopte ou l’enchaînement de ses questions peuvent participer à ce mode explicatif. Mais si cela ne correspond pas à une reprise, liée aux élèves présents et au déroulement actuel de la classe, nous le classerons dans la catégorie *méta*. Les explications sont donc pour nous fondamentalement liées à la vie de la classe, on ne les trouverait pas tel quel dans un livre ni, a priori, dans le même cours du même professeur à une autre classe.

Une fois de plus, le statut explicatif d’une phrase dépend du contexte et ne peut être décidé sans reconstituer l’environnement : en particulier, un “pourquoi ?” n’est pas une annonce systématique d’explication, et réciproquement, il y a des explications qui ne commencent pas par “parce que”.

# Classement des explications rencontrées #

Nous avons trouvé peu de variétés dans les explications de nos enseignants dans les séquences analysées et proportionnellement au volume (en temps écoulé) du discours nous avons trouvé peu d’explication (grossièrement de 0% à 10% selon les professeur et de l’ordre de 3% en moyenne).

Elles sont souvent marquées par l’utilisation du "je" ou du "on" (exemple : «...quand je prends l’opposé...», «...on ne peut parler de sens qu’une fois que...», «...on a vu que...», «...et je m’aperçois que...», «donc ça me fait...»...) et par l’utilisation d’un vocabulaire spécifique, de type justificatif («...effectivement si on compte ses graduation ...», «...il est bien dans le même sens que...», «...donc le réel k i’ sera positif, forcement...»...) ou de type législatif («on doit», «...il faut

<footnote n="1">1 voir aussi le paragraphe étudiant les questions posées par le professeur.</footnote>
alors ajouter...», «il ne faut pas les confondre», «...on dira que...», «Là, c'est quand on peut dire que...», «...on peut distribuer...», «...on écrit toujours...», «... donc je suis obligé de...», «...je ne peux pas utiliser directement...», «...qui est, disons, une obligation...»...)

Elles se terminent souvent par une demande d'acquiescement (en fin d'explication : «...ça fait CB [avec] la relation de Chasles. C'est tout, d'accord ?», «...donc ici on a le droit de (...) d'accord ?», «...par définition, c'est u-v... D'accord ?, Oui ? Ça va ?»). Il est difficile à l'élève de dire non : cela voudrait dire que le professeur explique mal... (Nous n'avons observé qu'une fois un élève redemandant une explication).

* Une première catégorie d'explications regroupe les explications données dans les exercices qui tiennent à une reprise de ce qui vient d'être fait, en termes d'action ("j'ai fait ça, ça et ça": «j'ai remplacé la soustraction, enfin la différence, $\overline{AB}$ moins $\overline{AC}$, j'utilise la même règle qu'ici, je remplace la soustraction par l'addition et je remplace $\overline{AC}$ par son opposé. Alors l'opposé du vecteur $\overline{AC}$ c'est le vecteur $\overline{CA}$. Donc j'ai le droit de remplacer ça par ça. Ensuite...etc.», «...je ne peux pas faire la relation de Chasles directement ! (...) il faudrait que j'ai un B ici [$\overline{AB}+\overline{AC}$] (...) je crée un vecteur égal au vecteur $\overline{AC}$ (...) à l'origine qui correspond à B (...) Donc ça me fait le vecteur $\overline{BD}$ (...) j'obtient un parallélogramme (...) et je m'aperçois que...»). Cette catégorie correspond à une description de la contextualisation d'une technique ou d'un théorème ou d'une définition, dont le nom ou la teneur sont évoqués comme seule justification («...à chaque fois j'utilisais la relation de Chasles...», «...par définition une longueur de vecteur est un nombre positif...», «...du fait que c'est un parallélogramme»).

La raison pour laquelle l'argument mathématique s'applique bien ici n'est pas développée, pas plus que ne sont utilisés d'éventuels changement de registres, de cadres, de points de vue, voire de niveaux pour réfléchir à l'exercice et à ce qui pose problème. Le professeur redit.

Il n'y a pas d'argumentation autre qu'interne : les théorèmes, définitions, règles s'appliquent, ce n'est pas cela qui est à discuter, à valider, c'est légitime («on a le droit de»), c'est donc une affirmation, c'est souvent même présenté comme une obligation («on doit», «il faut»), et tout se passe comme si l'enseignant disait "je vous explique comment ça s'applique" (ou "je vous montre"). L'explication est alors une répétition détaillée, structurée, de la mise en fonctionnement de l'outil mathématique.

* D'autres explications tiennent au vocabulaire utilisé en mathématique, surtout lorsqu'il y a rupture avec l'usage courant (l'exemple typique étant celui du mot direction : «le mot "direction" en français et en math n'a pas du tout le même sens[!]», «...Dans le langage familier (...) lorsque vous allez de Vanves à Clamart ce n'est pas la même direction que Clamart-Vanves. Alors que c'est la même direction au sens [!] mathématique»). Ce sont alors des explications qui s'appuient sur un changement de cadre (recours à la vie familière dans notre exemple ou à l'usage).

Mais on a encore à faire à des affirmations, pour lesquelles c'est une simple référence qui sert de justification Cette référence est alors externe au lieu d'être interne.
Dans d'autres cas c'est le recours au dessin, une ostention donc, qui soutient l'affirmation répétée.

* Nous avons trouvé une explication utilisant un raisonnement par l'absurde («Alors vous êtes en train de me dire que (...), si c'était vrai la figure heu le quadrilatère là qu'on peut construire, ça serait quoi ?...») mais le fait que l'hypothèse est fausse est justifié par ostention sur le dessin («...un parallélogramme (...) hors là, c'est p't' êt' pas un parallélogramme c' qu'on a ici... Non, alors qu'est-ce que vous en pensez ?»).

# Remarques sur les explications #

•• Qu'est ce qui manque donc à l'élève pour l'enseignant ?

Premier constat : souvent le professeur n'essaye pas d'en savoir plus.

De plus, nous pouvons inférer à partir de ses réponses, qu'il n'imagine pas (ou fait semblant de ne pas imaginer) que ce soit la “chose” à utiliser qui pose problème mais uniquement son utilisation. La deuxième question étant plus facile à traiter.

Nous avons là un indice fort sur le monde mathématique dans lequel on place les élèves : il n'y a pas à chercher de raisons dans le choix de l'outil, c'est donc un donné, mais alors cela tient à l'intuition ? ou au professeur (par contrat) ?... En revanche il faut bien savoir “ faire marcher”.

Le professeur se comporte comme s'il avait oublié qu'il n'y avait pas transparence dans le choix de la démarche suivie.

•• Rappelons que M. Mopondi a proposé une typologie des explications, que nous ne reprenons pas intégralement dans la mesure où les élèves concernés n'ont pas le même bagage mathématique, ce qui implique que les ressources auxquelles l'enseignant peut faire appel sont différente, et dans la mesure où nos problématiques sont autres. Cet auteur distingue les explications selon :

— le type d'argumentation qui est proposé (ostention, dessin, reformulation et redescription de la suite des activités mathématiques, exemples, illustrations, commentaires, images, interprétations) — nous rajouterons théorèmes, définitions ou règles, et contre-exemple.

— la manière dont l'explication est donnée : explicite — logique ou rhétorique — ou implicite ; nous rajouterons dans la première catégorie l'utilisation d'un raisonnement par l'absurde.

— le destinataire (un élève, la classe).

— l'origine de la question, et ce sur quoi elle porte.

— sa portée.
• Exemple 4 •

Les explicitations

On trouve dans les cours un certain nombre d'explicitations (ce ne sont pas des "explications" car elles ne répondent pas à une interrogation<fnref n="2" />), ce peut être des éclaircissement, des illustrations. Ce sont souvent des répétitions par recours à un autre registre oral, et qui relèvent en le soulignant ce qui pourra ensuite être appliqué (dans les exercices).

Exemple d'expressions classiques : «C'est le signe de k qui vous donne...», «Donc on peut en fait déplacer les parenthèses...», «le point A il joue un rôle particulier quand même», «là, c'est quand on a deux vecteurs consécutifs (...) je pars de l'origine du premier et j'arrive à l'extrémité du second»,

Autres exemples d'explicitation : «je crée un vecteur», «tu me téléphones la construction», «Dans le langage familier (...) lorsque vous allez de Vanves à Clamart ce n'est pas la même direction que Clamart-Vanves. Alors que c'est la même direction au sens [!] mathématique», [A propos de la relation de Chasles:] «Mais ceci est vrai quelque soient trois points, suffit.

• Exemple 5 •

Les justifications

Elles peuvent ou non suivre un "pourquoi" fictif, question posée par le seul professeur. Les structurations implicites déjà détaillées peuvent servir aussi de justifications a posteriori d'une définition par exemple, du coup pas réellement justifiée. Elles peuvent aussi accompagner un "il est bon" ou un "il est commode" qui transportent le problème réel, du coup non abordé, au niveau de l'action.

# Recours à la loi #

Elles précèdent un "il faut", ou un "c'est obligé", "indispensable", ou un "forcement", comme si l'enseignant justifiait une espèce d'obligation d'usage, plus qu'une nécessité scientifique. Un certain vocabulaire législatif peut même être utilisé. Ce sont souvent :

• Des recours à la communauté mathématique (là encore la légitimité du professeur s'en trouve renforcée). Exemple : «Alors, quand je dis "on" bien sûr c'est la communauté mathématique internationale qui donne cette définition», «certains mathématiciens acceptent cette notation»...

• Des recours au statut de certaines activités dans leur usage justement. Exemple :
«on peut se permettre de mettre le point pour indiquer qu'on fait l'opération et dans la pratique on peut se permettre de l'enlever», «deux "fois" le vecteurs $MN$. Ça risque d'être provisoire ça un petit peu mais enfin on verra plus tard»...

• Des recours à "la loi", ou encore des recours à "l'intérêt". Exemple : [en réponse à la question "pourquoi utilise-t-on les valeurs absolues" (dans la formule de la norme de ku)] «Il y a une

<footnote n="2">² voir le paragraphe étudiant les explicitations.</footnote>
réponse qui n'est pas une réponse mais qui est disons une obligation pour laquelle on écrit la valeur absolue. L'obligation est qu'on s'intéresse ici à des longueurs de vecteurs. Or par définition, une longueur de vecteur est un nombre positif..., «je suis obligé de supposer que...», «on est obligé de faire un paragraphe à part dans notre définition»...

## # Esquive du problème #

Ces justifications précèdent un “faire”, un “vous pouvez faire ça” (et on ne va plus en parler). Il y a un réel problème de fond non abordé, non dévolue aux élèves.

Exemple : [premier cours sur les vecteurs en seconde, activité préparatoire] «La figure (...) nous a permis de savoir ce que cela voulait dire de la multiplication du vecteur $\vec{AB}$ par un demi. (...) Or cette situation là te donnes une position particulière du point B' sur le segment $\vec{AB}$. Quelle est cette position ? [l'élève répond "le milieu"] Le milieu ! Tu peux pas faire quelque chose là [pour tracer $1/2 \cdot \vec{MN}$] ?», «c'est beaucoup plus facile de représenter un vecteur par deux points, que de le représenter par une seule lettre. (...) [pour cette démonstration] tous les vecteurs on va les représenter par des points», et, sur un plan plus mathématique, «$[\overline{tu}(A)=B \text{ car } \vec{u}=\vec{AB}$, $\overline{tu}(C)=D \text{ car } \vec{u}=\vec{CD}$] Alors qu'est-ce qu'on vient de vérifier sur un exemple ? Que quand on fait la translation de vecteur $\vec{u}$, quel que soit le représentant choisi, pour représenter le vecteur $\vec{u}$, ça n'a pas d'influence sur heu l'image du point», «Alors bien entendu, euh, on avait fait ça un peu en tâtonnant, hein ? Dans un premier temps vous avez fait tracer $2\vec{u}$, ça fait un nombre très simple, bon, là voyez qu'on commence à tracer des nombres avec des virgules donc des nombres du style trois et demi, euh, sept quart, donc i' va sans dire qu'on va pouvoir généraliser ça au produit de n'importe quel vecteur par n'importe quel nombre réel», «mais tu as parfaitement raison : c'est à dire que, en l'absence de parenthèse, toute multiplication est prioritaire sur les autres opérations. Même si cette multiplication est la multiplication d'un vecteur par un nombre».

## # Justifications a posteriori #

Exemple : «Alors là vous voyez aussi pourquoi j'ai supposé que k n'était pas nul. Parce que dans le cas où on a zéro, on serait bien ennuyé pour déterminer le sens $[de k \cdot \vec{u}]$ (...) donc on est obligé d'en tenir compte dans la définition», «Alors vous voyez tout de suite qu'on a besoin d'un parallélogramme. Ce qui explique pourquoi j'ai éliminé la possibilité tout à l'heure pour les vecteurs d'être colinéaires», «vous voyez pourquoi je me suis prémuni au départ contre la nullité possible du vecteur AB. Comme ça je suis sûr qu'il n'a qu'une direction».

## • Exemple 7 •

Commentaires sur les méthodes, les techniques ou les moyens.

Ils peuvent porter sur un sujet précis, sur un domaine général, sur le travail... Ils peuvent être ou non explicités comme tels, avec le mot correspondant ou non. Le vocabulaire est variable (familier ou non, en terme d'action ou non...). Le commentaire peut répéter la méthode, ou expliquer ce sur quoi elle porte, ou pourquoi l'utiliser (indices souvent liés plus à l'action qu'aux notions en cause).
• Exemple 8 •

Les évaluations, les corrections et les indications

Ce sont les interventions directement liées au travail des élèves, à l'aide que l'on
peut leur apporter.

• Exemple 9 •

Les réflexions sur les mathématiques

«Si on a en mathématiques à démontrer que deux expressions représentent la même chose (...) quelles techniques générales as-tu à ta disposition», «j'ai fait une figure particulière, 'fin “particulière”, 'fin disons... forcement c'est “particulier” une figure», «c'est un peu la différence entre les math et la physique...», «Donc avant de vous lancer dans une démonstration, mettez bien précisément en place le principe que vous allez utiliser», «quand vous êtes dans une démonstration qui nécessite un certain nombre d'étapes, heu, à un moment donné il faut prendre de la hauteur, respirer et voir le chemin qu'on a parcouru, et voir ce qui reste à parcourir»
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
3) Tâches prescrites (à travers les énoncés d'exercices), activités (mises en jeu par les élèves), quelles analyses ?

i) Introduction : le problème de la complexité, nécessité d'analyses de la tâche particulières

Sans même faire appel à des théories compliquées, bien des dimensions peuvent intervenir, dans les analyses de tâches.

Ce sont évidemment, une fois encore, les hypothèses que l'on a sur le rapport enseignement/apprentissage et ce qu'on cherche qui permettent de choisir les axes d'analyse utilisés.

Or, classiquement, en didactique des mathématiques il est déterminant de connaître la situation proposée à l'élève (le problème ou l'exercice en l'occurence), à la fois en termes d'activités à y déployer, de caractéristiques de contenus, notamment ancien/nouveau, outil/objet, cadres et procédures attendues (compte tenu des conceptions des élèves si on les connaît), et d'organisation du travail, à la fois pendant le problème et dans l'ensemble du déroulement de la classe.

Cela permet de préciser ce que le travail de l'élève peut l'amener à gagner, par rapport à ses connaissances actuelles, et à prévoir ainsi, globalement, des effets possibles sur l'apprentissage.

Cependant, une telle analyse peut être très difficile à faire telle quelle, dans la mesure où la combinatoire des tâches et des activités à déployer devient "explosive" à partir d'un certain degré de complexité des tâches, et dans la mesure où ces tâches sont complexes, au sens où n'importe quel découpage en petites tâches simples n'en restitue pas l'intégralité. Il peut être impossible de reconnaître dans une tâche, l'ancien et le nouveau qui se mélangent inextricablement, ou encore très délicat de déterminer à quoi peut servir telle ou telle résolution dans un apprentissage.

Il va s'agir alors de déterminer des axes, souvent un peu plus globaux, qui pourront jouer le même rôle que les précédents pour nos analyses de didactique des mathématiques.

Nous avons retenu les dimensions suivantes, mise à part la "socio-géographie" de la tâche, qui permet de la situer dans l'ensemble de ce qui est proposé aux élèves :

* une dimension liée aux mathématiques que les élèves vont faire (resp. ont fait) intervenir, avec l'enjeu de la tâche (utilisation d'une méthode, obtention d'un résultat, adoption d'une démarche), sa longueur, le type de preuves attendues, la production attendue, le rapport avec les connaissances des élèves (ancien/nouveau, outil/objet),

* une dimension liée aux activités attendues des élèves (en termes de mises en fonctionnement de connaissances disponibles, mobilisables, de transformations des outils à utiliser, de contrôles),

* une dimension liée aux objectifs et aux prévisions de l'enseignant (en termes de transformations des connaissances des élèves et de degré de difficulté)

ii) Analyses de la tâche prescrite dans un exercice

Nous avons essayé de caractériser chaque tâche (élémentaire) analysée par les dimensions suivantes, en comparant les tâches entre elles grâce à cet outil :

a) *L'environnement de l'exercice, les attentes de l'enseignant*

- l'exercice est isolé, fait partie d'une série, il s'agit d'une question d'un énoncé plus long

- l'exercice a été préparé ou non

- il est proposé comme évaluation (après le cours), introduction (avant le cours), ou pendant le
cours

- les objectifs de l'enseignant pour cet exercice : révision, familiarisation, faire deviner,

- les prévisions de l'enseignant : facile, difficile, telle erreur peut arriver, telle procédure peut (doit) être utilisée, portée de l'exercice (important ou non, etc.), rôle dans l'apprentissage

b) *La tâche* (dans son contexte)

- l'enjeu : résultat (construction, calcul, propriété...) et/ou méthode et/ou démarche

- qu'est-ce qui porte sur de l'ancien ou du nouveau (ou les deux ?) (la question posée, la situation proposée, les méthodes à utiliser, les conclusions)

- le degré de généralité par rapport aux acquisitions en cours dans la situation, dans les mises en fonctionnement (cas particulier, cas quelconque, quel que soit)

c) *l'entrée dans la tâche* : y a-t-il nécessité de modélisation, les questions sont-elles ouvertes, les méthodes sont-elles indiquées ? y a-t-il conjecture, reconnaissance, identification ?

d) *la résolution*

- le nombre d'étapes, l'introduction d'intermédiaires

- quelles techniques ou théorèmes ou modes de raisonnement sont à utiliser, quels cadres et registres sont mobilisés, mobilisables, y a-t-il plusieurs méthodes possibles, des paramètres ?

- le degré de transformation des outils à utiliser par rapport aux utilisations antérieures (changements de points de vue (cadres, registres, etc.), mises en relation, adaptations, interprétations, sélection ou perte d'information)

- les types de preuve (perceptives, techniques, démonstrations, raisonnements par récurrence, par l'absurde, par condition suffisante, par équivalence, avec intervention de quantificateurs quel que soit ou il existe, existence et unicité...)

- les moyens de contrôles des élèves (internes ou externes)

e) *la production*

- figure et/ou formules et/ou raisonnements et/ou propriétés et/ou résultats numériques ou algébriques

f) *activités cognitives supplémentaires préjugées*

- faut-il des initiatives ?

- certaines connaissances sont-elles supposées disponibles ?

Les questions des variables didactiques qui apparaissent et qui ont été choisies et des activités effectives des élèves sont regardées dans les analyses a posteriori.
4) Ethnométhodologie

Nous faisons donc visualiser une bande vidéo par un public professionnel varié : formateurs en IUFM (responsables de la formation des enseignants débutants, qui sont stagiaires en deuxième année d'IUFM), inspecteurs pédagogiques régionaux (ceux qui vont dans les classes, et qui mettent des notes qui contribuent aux changements de postes et aux avancements), et, lorsque c'est possible, "simples" enseignants.

Nous utilisons simultanément les deux bandes prof et élèves, calées à quelques secondes l'une sur l'autre, en baissant le son de la bande élèves.

Le contrat qui est fixé est le suivant : les enseignants qui regardent réagissent "à chaud", comme ils le feraient (pour les deux premières catégories) dans l'exercice de leur fonction, en géénral en prenant des notes, puis ils écrivent pendant 15 minutes un résumé de leurs réactions, puis ils interviennent à tour de rôle pour raconter ce qu'ils ont envie de dire sur la séance, et éventuellement préciser ce qu'ils diraient au collègue concerné "en vraie grandeur".

Notre objectif est de percevoir ce que "voient" les acteurs du système lorsqu'ils observent un autre acteur, selon la place qu'ils occupent dans ce système, et ce qu'ils ne voient pas : autrement dit, qu'est-ce qu'ils retiennent pour décrire les éléments importants de la vie de la classe perçue à travers une simple observation, pour caractériser l'univers mathématique qui nous occupe ? A quoi sont-ils sensibles ? Sur quels éléments portent leurs jugements ? Y a-t-il accord entre ce qu'ils expliquent et leurs impressions générales ? Comment ont-ils, eux, reconstruit ce qu'ils décrivent, quels indices utilisent-ils ?

Cela nous permet à la fois de préciser ce qui se perçoit par simple observation, en temps réel, ce qui en est retenu, et de déterminer si, selon la place qu'on occupe dans le système éducatif, on s'arrête ou non aux mêmes choses.

Peut-on alors reconstruire une "norme", qui se dégagerait des jugements (dits et non dits) et qui permettrait d'approcher l'image de l'expertise qui traverse le milieu ? Qu'est-ce qui contribue par exemple à l'attribution à un enseignant du qualificatif "expérimenté" ?

Peut-on comparer cette norme à ce qui est explicité en formation, pour retrouver une de nos interrogations initiales ?
# IV Des résultats

## 1) Les vecteurs en seconde

### a) Quelques remarques sur les programmes.

Programmes et instructions utilisés : collège 1989, seconde 1990, première 1991 et terminale 1994.

## i) Vecteurs au collège

### — NOTIONS PROCHES À LA NOTION DE VECTEUR

Les *parallélogrammes* sont évoqués dans les programmes de sixième uniquement comme surface dont on peut calculer l'aire (à partir de celle du rectangle), leur étude systématique a lieu en cinquième (construction et caractérisation, aire, symétrie centrale). En quatrième ils sont considérés comme étant bien connus (c'est à dire qu'il n'est plus étudié pour lui mais comme outils pour l'étude d'autres notions).

Les élèves sont initiés en sixième à manipuler («lire, interpréter et utiliser») «des diagrammes, tableaux et graphiques» de situations, de fonctions. En cinquième ils apprennent à utiliser la notion d'abscisse sur une droite (lire l'abscisse, placer un point d'abscisse donnée, calculer une distance), le repérage du plan est évoqué (et utilisé pour représenter une relation de proportionnalité, ou des données en statistique). En quatrième, puis en troisième ces notions sont simplement revues et réutilisées (toujours d'après les programmes uniquement dans le cadre de l'analyse, le contexte d'utilisation s'enrichissant avec les connaissances des élèves). En troisième, les élèves doivent de plus apprendre à calculer les coordonnées d'un vecteur à partir de celles des extrémités d'un de ses représentant, d'une somme de deux vecteurs, de l'image d'un point par un translation (et «on évitera de donner une place excessive au calcul de coordonnées»).

Les *translations* sont plus qu'une notion proche : elles sont le prétexte à l'introduction des vecteurs. Elles sont introduites «expérimentalement» en quatrième avec les rotations et les projections (sur une droite selon une direction), après les symétries centrales (cinquième) et les symétries axiales (sixième). En troisième, la composition de deux transformations est abordée quant à son action sur des figures (composition de deux translations, de deux symétries centrales, de deux symétrie par rapport à des droites parallèles ou orthogonales).

### — VECTEURS ET TRANSLATIONS EN QUATRIÈME

Il s'agit d'une «initiation». Aucune étude systématique n'est faite.

Les propriétés de la translation sont dégagées «progressivement» et «expérimentalement» (inventaire de figures, conservation de propriété, construction de l'image d'un point, d'une droite...), elle est reliée au parallélogramme.

«Les vecteurs sont introduits «naïvement» par direction, sens et longueur. A toute translation on associe son vecteur. Si, dans une translation, A' est l'image de A et B' est l'image de B, on écrit : $\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{BB'}$» (sans autres précisions).
## — VECTEURS ET TRANSLATIONS EN TROISIÈME

Après l'«initiation» (classe de quatrième), l'élève doit être «familiarisé».

L'égalité vectorielle est reliée à la notion de parallélogramme.

L'élève doit savoir construire l'image d'un point par une translation, connaissant le vecteur de la translation (la seule méthode connue étant le tracé d'un parallélogramme).

L'addition vectorielle est reliée avec la composition de deux translations. La relation de Chasles est vue, ainsi que le lien avec le parallélogramme.

Les coordonnées de l'image d'un point par une translation sont vues, ainsi que les coordonnées d'un vecteur ou de la somme de deux vecteurs («en évitant de donner une place excessive [à ces calculs]»).

## ii) Vecteurs au lycée

Dès la seconde la notion de vecteur est présentée comme un nouvel outil à exploiter. On enseigne de façon dialectique son utilisation et ses propriétés.

## — SECONDE

Le point de vue "direction, sens, longueur" est conservé. «Les élèves doivent connaître et savoir utiliser les relations entre le parallélogramme, la translation, l'égalité et l'addition». L'addition est revue ainsi que la translation.

Les notions suivantes sont introduites (sans commentaire particulier dans les programmes) : notation "û", la norme (l'étude des propriétés de la norme est hors programme), l'opposé (et relation opposé/symétrie centrale), la mesure algébrique (en rapport avec le repérage d'une droite et uniquement pour la relation de Chasles).

Un des apports essentiel de la classe de seconde est la multiplication d'un vecteur par un réel. On étudie à ce propos la colinéarité et ses rapports avec le parallélisme de deux droite, l'alignement de trois points, l'appartenance d'un point à une droite... On utilise la multiplication des vecteurs par les réels pour revoir la configuration de Thalès (elle a été étudiée en troisième mais seulement dans un triangle et avec des distances) dans une interprétation vectorielle. L'homothétie et ses applications au triangles sont étudiées. Quelques propriétés sont introduites visiblement pour préparer à l'introduction de la notion de barycentre en première (et «la notion générale de barycentre est hors programme») : caractérisation du milieu d'un segment, du centre d'un triangle.

L'angle orienté de deux vecteurs unitaires, les notions de vecteurs orthogonaux, de bases orthonormales, de repères orthonormaux sont définis. En ce qui concerne les angles, il s'agit essentiellement d'introduire le radian, les mesures et la mesure principale d'un angle et d'établir le lien avec les notions vues en troisième : les angles aigus, le degré et les relations trigonométriques dans le triangle rectangle. Les fonctions trigonométriques sont étudiées (définition, valeurs remarquables et cercle trigonométrique) comme des fonctions à variable réelle.
Toutes les notions ci-dessus sont aussi abordées du point de vue de la géométrie analytique, «coordonnées d'un point dans un repère, coordonnées d'un vecteur dans une base, coordonnées de $\vec{u}+\vec{v}$, de $\vec{k}$, condition de colinéarité», «d'orthogonalité de deux vecteurs [le produit scalaire est hors programme], de deux droites», lien entre l'équation cartésienne d'une droite, son coefficient directeur, et son vecteur directeur, valeur de la norme d'un vecteur...

## — PREMIÈRE SCIENTIFIQUE

Le produit scalaire et les barycentres entr'aperçus en seconde sont étudiés plus systématiquement (définitions, propriétés...). Le calcul vectoriel et les notions étudiées dans le plan sont prolongés à l'espace "par continuité" (en se limitant globalement à des énoncés simples ou concret). Les notions d'orientation du plan et d'angle de deux vecteurs sont reprise et étudiées plus systématiquement (opération sur les angles orientés : somme, fonctions trigonométriques, influence de la position et du sens des deux vecteurs...)

**Barycentre :** définition (deux puis trois et quatre points), caractérisation, liaison sur des exemples avec les problèmes d'alignements, de concours, simplification de $a\vec{MA}+b\vec{MB}+c\vec{MC}+d\vec{MD}...$

**Produit scalaire :** rapport avec la norme et les distances, formule analytique, rapport avec le cosinus et les angles, symétrie, linéarité, projection orthogonale vectorielle («d'un vecteur sur un axe»), coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormée, équation $"\vec{n} \cdot \vec{AM}=0"$ d'une droite, d'un cercle, lignes de niveaux de $\vec{n} \cdot \vec{AM}$, de $\vec{MA} \cdot \vec{MB}$, de $\vec{MA}^2 \pm \vec{MB}^2...$

**Angles :** définition vectorielle de la rotation du plan.

## — TERMINALE SCIENTIFIQUE

Barycentre de n points, caractérisation d'une droite à l'aide des barycentres, produit scalaire dans l'espace, orthogonalité, équation $"\vec{n} \cdot \vec{AM}=0"$ d'un plan, équation d'une sphère, produit vectoriel.

En spécialité les élèves abordent les lignes de niveaux de $\sum \alpha_i \vec{MA_i}$, de $MA/MB$, de l'angle orienté $(\vec{MA}, \vec{MB})$ ("modulo $\pi$" ou "modulo $2\pi$").
b) A propos des vecteurs et des activités pour préparer la multiplication d'un vecteur par un nombre en seconde.

i) Notre analyse a priori, générale, est que cette loi externe est partie prenante de la notion d'espace vectoriel, que nous classons comme concept généralisateur, unificateur et formalisateur, dont l'emploi dans le plan et l'espace "ordinaires" peut se justifier, alors même qu'il n'est pas indispensable, par une certaine économie d'écriture et de démonstrations (cf. Dorier [1997]).

Seulement en classe de seconde ce n'est pas du tout cette notion d'espace vectoriel qu'on introduit en toute généralité, même implicitement. En fait on rajoute à ce que les élèves savaient déjà sur les vecteurs d'autres propriétés. Et ces propriétés ne prennent effectivement tout leur sens que si on considère que le plan ou l'espace peuvent être modélisés comme des espaces affines sur des espaces vectoriels $R^2$ ou $R^3$, qui correspondent (presque) aux vecteurs du collège. Mais alors on change de point de vue, il s'agit d'une autre introduction des vecteurs (axiomatique algébrique) et du plan d'ailleurs, et on n'aurait plus besoin de l'introduction du collège ; or ce n'est pas du tout le parti pris actuel...

Précisons.

Au collège, on associe à deux points A et B la direction de la droite (AB), un sens (choisi sur la droite) et une longueur (la distance AB), et on parle du vecteur $\vec{AB}$. C'est sur ces objets, qu'on pourrait appeler "vecteurs géométriques" qu'on fait travailler les élèves en définissant une égalité et une somme (dans les programmes actuels avec les translations).

On reconnaît là-dessous l'introduction implicite des vecteurs comme classe d'équivalence de bipoints dans l'espace euclidien.

Deux difficultés nous semblent inhérentes à cette présentation : le caractère euclidien attaché d'emblée à la notion de vecteur, la confusion quasi obligatoire entre vecteur et représentants.

La première difficulté se manifestera plus tard, lorsqu'on dégagera la notion d'espace affine, et qu'on cherchera à distinguer les notions strictement affines des notions métriques (voire projectives).

La deuxième difficulté en revanche amène inéluctablement n'importe quel enseignant à des tours de passe-passe de vocabulaire, peut-être au demeurant plus gênants pour les enseignants que pour les élèves. Deux vecteurs peuvent être à la fois égaux et le même, un seul... Un vecteur n'a pas d'extrémité ni d'origine mais le vecteur $\vec{AB}$ est d'origine A et d'extrémité B...

Au lycée, en seconde, on rappelle les définitions du collège. Puis on rajoute à ce que les élèves ont déjà vus sur les vecteurs géométriques ce que nous appellerions la loi externe de l'espace vectoriel $R^2$ (et quelques-unes de ses propriétés), ainsi que le caractère bijectif de l'application qui à tout M du plan associe le vecteur $\vec{OM}$, O étant fixé (deuxième axiome des espaces affines). Ceci implique qu'on travaille sur les vecteurs et non sur leurs représentants. Mais la confusion demeure en fait, même si l'égalité toute formelle $\vec{u} = \vec{AB} = \vec{CD}$ = ... peut rassurer les enseignants.

En réalité la seule nouveauté (en rupture avec les connaissances du collège) est la définition de la multiplication d'un vecteur par un réel (et pas seulement un rationnel) : on ne peut pas obtenir cette définition en continuité avec ce que les élèves savent du collège (sauf par des arguments qualitatifs,
d'analogie par exemple).

De tout ce qui précède ressort, nous semble-t-il, que le statut de ces rajouts est encore plus
difficile à préciser que s'il était clair qu'on proposait une nouvelle axiomatique, algébrique, du plan
ou de l'espace. Et du même coup les problèmes d'introduction de ce qui est ajouté sont ardus,
surtout si on veut appliquer à la lettre les instructions sur les activités préparatoires....

Ainsi, on ne peut pas expliquer aux élèves le caractère généralisateur de ce qu'on rajoute, dans
la mesure où

* ce caractère est perdu car on ne considère qu'un seul espace vectoriel,

* les élèves ne connaissent pas du tout (par ailleurs) ce qui est généralisé

* l'ambiguïté vecteur/représentant cache le nouveau - pour les élèves on avait déjà presque la même chose au collège.

On ne peut pas exploiter, a fortiori, le caractère unificateur de la notion.

Reste donc le formalisme et l'économie, qu'on peut trouver dans les écritures et les
démonstrations.

Par exemple I est le milieu de [AB] se traduit par une seule égalité vectorielle, et par deux idées
ponctuelles (alignement et égalité de longueurs). Du coup le théorème des milieux et sa réciproque
sont plus simples à énoncer dans le cadre vectoriel. De même l'introduction des homothéties est
grandement facilitée par l'utilisation des vecteurs. Plus généralement, les compositions
d'applications "affines" sont nettement simplifiées si on utilise les applications linéaires associées,
qui ont disparu des programmes récemment. Un certain nombre de démonstrations géométriques de
propriétés d'incidence sont simplifiées par l'emploi des vecteurs (au moins avant d'avoir l'outil
transformation qui leur fait "concurrence").

Seulement les élèves sont peu friands d'économie s'il y a un effort à fournir pour adopter du
nouveau, et rebutés par le formalisme. D'où un réel problème didactique.

ii) Qu'est-ce que nos analyses des séquences en classe nous ont montré ?

Le schéma de beaucoup d'introductions est plus ou moins du type suivant : au début on fait "deviner" la notation $2\vec{u}$ (ou plutôt $2\vec{AB}$), avec force indications, par analogie et application implicite d'un principe de continuité avec les réels dont on souffle qu'il est valide ("c'est naturel"). On fait ainsi construire un vecteur $\vec{AC}$, à partir de $\vec{AB} + \vec{AB}$, et on en fait deviner un "nom" possible, en comparant $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Plus que l'opération, c'est le résultat de l'opération sur lequel on travaille, k étant conçu comme un nombre permettant d'exprimer la comparaison de deux vecteurs colinéaires (c'est à dire de deux représentants). On compare bien sûr les longueurs et les sens.

Mais la devinette nous semble un peu truquée, d'abord pourquoi les élèves se poseraient-ils la
question, ensuite pourquoi deviner que le formalisme algébrique qui s'applique dans R s'applique
ici, à partir des longueurs, alors même qu'on a tant insisté sur la différence entre la somme des
normes et la somme des vecteurs ?

L'enseignant fait ensuite jouer cette formulation comme une méthode, en donnant à k des
valeurs entières positives, négatives, puis des petites fractions. A chaque fois on "dégage" sans
aucune base mathématique réelle (ce serait sinon la définition même, qu'ils ne peuvent deviner) - ou
on fait dégager par un élève - la direction, le sens et la longueur des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{k}$).

On fait fonctionner ensuite sur des cas particuliers simples sur k la "méthode" déduite par analogie du cas multiplication par 2, on "exemplifie" dans tous les sens possibles la triple traduction
$$ \overline{A \times -B \times -C \times} \qquad \overline{A\bar{B} = kA\bar{C}} $$ et " les vecteurs $\overline{A\bar{B}}$ et $\overline{A\bar{C}}$ ont même direction, même sens ou sens contraire selon le signe de k, longueur de $\overline{A\bar{B}}$ égale longueur de $\overline{A\bar{C}}$ multipliée par |k|...". Tout se passe comme si on établissait une page de dictionnaire...

Rien n'indique à coup sûr que les élèves sont vraiment dans le vectoriel et pas toujours dans les représentants des vecteurs, dessinés sur leur figure, les élèves jouant simplement avec une traduction, sans changement d'objet mathématique (bipoint orienté ou vecteur géométrique).

Enfin on fait le "cours", c'est à dire qu'on institutionnalise la méthode précédente, en mettant un quantificateur universel devant le réel k (tous les réels sont-ils des généralisations des petites fractions?) et devant le vecteur. La légitimité de la définition pour k non seulement rationnel mais réel n'est bien sûr pas soulignée, elle est tout à fait hors du champ des connaissances des élèves et n'est même pas dans la continuité de leurs préoccupations mathématiques.

Qu'est-ce qui est donc dévolu à l'élève dans tout ça ?

Le travail d'analogie formelle, algébrique, entre $2x$ et $2\overline{u}$ : on retrouve bien le seul endroit où on peut "jouer", le formalisme, mais cela nous semble très difficile de laisser aux élèves cette dévolution !

Mais le seul "nouveau", la généralisation effectuée sur les valeurs de k (et éventuellement le passage des représentants aux vecteurs) ne sort pas du tout de l'activité. On ne travaille avec les élèves que sur des valeurs rationnelles de k et que sur des représentants dessinés (bipoints), même si l'enseignant parle de vecteurs. Où les élèves travaillent-ils, eux ? Encore une fois, on peut se demander s'ils ont vraiment changé d'objet de travail, changé de cadre : le passage $A,M$ --->$\overline{\text{ vecteur } AM}$ --->$\overline{u}$ ne nous semble pas du tout transparent.

Enfin, la nécessité, ou au moins l'utilité de ce que l'on introduit sont limitées au niveau de la notation, et pas du tout liées à un quelconque problème... Et c'est une des difficultés importantes de cette notion, incontournable, comme nous ne le suggérions dans nos analyses a priori.

### iii) Un essai de synthèse

Il n'y a donc aucun problème réel à résoudre pour les élèves dans tout cela (constat), et pour cause (analyse a priori) : il ne peut pas y en avoir, vu la nature particulière des concepts sous-jacents (espaces vectoriels et espaces affines, notions généralisatrices) et les conditions de leur introduction (limitée à un espace particulier, et non dégagée des introductions antérieures, déjà presque suffisantes).

Nos deux analyses des activités proposées et de la nature de ce qui est en jeu se rencontrent donc. Mais en plus, ce que notre analyse a priori du "nouveau" à introduire montre, c'est qu'il pourrait difficilement en être autrement !

Autrement dit, là où on "triche", c'est quand on fait croire aux enseignants qu'on peut introduire ce type de notion par des activités réellement efficaces pour ménager les apprentissages des élèves. En effet réellement efficaces signifie en général que ces activités (sous réserve d'une
gestion convenable) permettent d'amener les élèves au "nouveau" de manière continue, au moins partiellement, à partir de problèmes qu'ils auraient résolus avec leurs connaissances déjà présentes, même implicites ; l'enseignant extirpe alors le "nouveau" à retenir de ce que les élèves ont fait et l'apprentissage en est facilité.

Plusieurs arguments d'ordre différent, mais très liés, peuvent être évoqués pour nuancer cette recommandation, peut-être trop générale, et trop uniforme, d'activités d'introduction, comprises au sens limité précédent.

*des raisons d'ordre épistémologique - il est très difficile de concevoir des activités adéquates, à cause de la nature même de la notion, de sa génèse historique, de sa fonction en mathématiques et des restrictions imposées par les programmes ; il est très difficile notamment de trouver un vrai problème où les connaissances des élèves leur servent d'outil implicite pour résoudre un problème les conduisant à la définition de (k, U).

* des raisons plus cognitives - l'acquisition de ce type de notion généralisatrice, pour lesquelles le saut entre elle et les connaissances actuelles des élèves est trop grand pour être suffisamment préparé par un problème, doit peut-être se concevoir en plusieurs temps.

Certes on doit ménager dès que possible des résolutions de problèmes, permettant aux élèves de donner du sens à leurs nouvelles connaissances. Mais si c'est impossible, pour l'introduction, peut-être préparée par des révisions mais qui ne prétendent pas aborder la chose nouvelle, on peut concevoir de donner la définition d'emblée de manière magistrale, puis de l'expliquer, ou de proposer certaines tâches, qui ne sont pas de vrais problèmes d'introduction, mais dont l'enjeu, partiel, démarche d'analogie par exemple, est explicité.

Dans ce schéma, on suppose que les élèves sont tout de même assez près de ce que l'on cherche à leur faire construire pour qu'ils puissent s'approprier la notion grâce à l'aide, initiale, de l'enseignant, et grâce aux activités ultérieures qu'on leur proposera (cf. Vygotski).

Dans ces conditions comment nos enseignants vont-ils gérer cette introduction ?
Quels scénarios ont-ils choisi, comment leurs discours les font vivre de manière locale ?
C'est ce que nous allons découvrir maintenant.
## 2) Premières analyses des trois séances

Il s'agit donc de trois séances sur l'introduction des vecteurs en seconde, faites par trois enseignants différents de la banlieue parisienne (dans deux lycées ne présentant pas de problèmes particuliers). Rappelons que nous avons travaillé sur les transcriptions des video de ces séances (ayant visualisé les bandes un certain nombre de fois).

Les trois enseignants sont nommés B2, B1 et R, l'épisode numéro 3 de la séance de R sera étiqueté RV3 (V comme vecteurs).

Plusieurs analyses particulières sont menées : nous regardons d'abord les répartitions globales des diverses dimensions des discours, pendant les cours et les exercices, recherchant ce qui est régulier et dégageant certaines variables, qui tiennent soit à la nature de ce qui est en train d'être fait, soit aux enseignants. Ces répartitions sont mises en relation avec les scénarios globaux mis en oeuvre par les trois enseignants, scénarios que nous exposons en premier lieu. Nous n'avons pas joint à ce travail les analyses a posteriori détaillées (objet d'une autre publication).

Nous donnons ensuite la répartition des échanges avec les élèves, échanges de toute nature (mathématiques ou non).

Puis nous étudions séparément chaque enseignant, introduisant ainsi la chronologie et la place des tâches les unes par rapport aux autres, l'analyse précise des tâches (cf.ci-dessus), avec notamment la prévision de l'enseignant sur la tâche et éventuellement le comportement des élèves pendant le déroulement.

Enfin nous faisons quelques analyses comparatives entre enseignants différents.

C'est l'étude des scénarios qui donne lieu à un découpage de la séance en cours (exposé de connaissances décontextualisées, par l'enseignant) et exercices (corrections et/ou résolutions). L'analyse plus précise des exercices nous permet de déterminer les tâches que l'enseignant propose aux élèves dans ces exercices. L'analyse des tâches est jointe aux scénarios.

Pour la commodité de la présentation, nous parlerons d'épisode pour désigner un moment de la séance homogène par rapport aux activités des élèves : épisode de cours, sur un seul point du cours, ou exercices, sur une même tâche.

Nous ne joignons pas ici les résultats des séances dites d'"ethnométhodologie", dont nous signalons simplement qu'elles révèlent un accord assez grand entre les divers observateurs.
a) Les trois scénarios

i) La classe B2

Cette séance n'est pas la première séance de travail avec les élèves sur le thème, mais aucun cours sur les vecteurs n'a encore été fait. A l'issue de la séance précédente, l'enseignant a donné aux élèves à chercher des exercices du manuel.

L'objectif global de la séance est d'arriver à l'introduction formalisée du vecteur $k\vec{U}$ (k réel, $\vec{U}$ vecteur donné).

En fait, dans les exercices qu'il leur a proposés, l'enseignant B2 fait déjà travailler les élèves sur le nombre k : ce nombre est conçu comme permettant de comparer des représentants de différents vecteurs. Ces vecteurs sont d'abord colinéaires (dans 14 cas sur 15) puis dans le dernier cas du dernier exercice non colinéaires, la réponse devant alors être k n'existe pas.

Autrement dit les élèves travaillent sur le résultat de l'opération ($k, \vec{U}$), et ils doivent adopter un point de vue opérationnel : k se calcule, en comparant les longueurs des représentants donnés pour obtenir la valeur absolue, en comparant les sens pour le signe.

Le statut de l'écriture n'est pas abordé, pas plus que l'aspect "opération externe" de la chose.

Tout se passe comme si le problème n'était pas que tout vecteur colinéaire à un autre s'écrit k fois cet autre, ceci n'est pas discuté, l'enjeu est de savoir trouver la valeur de k à partir de représentants des deux vecteurs en question.

*La séance est divisée en 7 épisodes, correspondant à 5 tâches différentes cherchées en exercices et deux épisodes de cours.*

Les 4 premiers exercices, supposés avoir été préparés, sont corrigés (deux élèves sont envoyés au tableau sur le premier exercice). Le tableau récapitulatif des analyses de tâche pour les cinq exercices est joint.

Il s'agit dans chaque cas de travailler sur des produits $k\vec{U}$ (les élèves doivent savoir interpréter cette notation "en actes").

Première tâche : on donne 2 points sur une droite, M et N, il faut dessiner 4 nouveaux points définis comme extrémité de vecteurs d'origine M, définis à partir de $\overrightarrow{MN}$ par une égalité du type $k\overrightarrow{MN}$, k prend des valeurs simples positives puis négatives (3,5, etc).

Deuxième, et troisième tâches : il s'agit de trouver k cette fois-ci, en comparant deux représentants $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AB}$ de vecteurs donnés d'abord directement sur une droite graduée (épisode 2), ensuite le deuxième vecteur étant obtenu à partir d'une somme de représentants, toujours portés par la même droite (épisode 3).

Quatrième tâche : il s'agit d'exprimer en français l'influence du signe de k sur la position relative d'un point P tel que $\overrightarrow{MP} = k\overrightarrow{MN}$ (où tous les points sont toujours sur une même droite). Suivent deux épisodes de cours sur la définition de $\lambda\vec{U}$ et ses premières propriétés (nous dirions de distributivité).

Un dernier exercice est proposé, qui consiste de nouveau à trouver k à partir de représentants de vecteurs obtenus cette fois-ci à partir de points dessiné sur un quadrillage et non sur une droite. Dans le dernier cas, k n'existe pas, les vecteurs étant libres (les élèves n'arrivent pas jusque là).
Activités

■ C. Tracer de points

On donne deux points distincts M et N, et on pose $\vec{v} = \vec{MN}$

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Construire les points P, Q, R, S tels que $\vec{MP} = 3,5 \vec{v}$ ; $\vec{MQ} = - \frac{3}{4} \vec{v}$ ;
$\vec{MR} = \frac{7}{4} \vec{v}$ ; $\vec{MS} = -2,5 \vec{MN}$.

■ D. Relations vectorielles sur une droite

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

1° Compléter les égalités suivantes :

$$ \vec{AE} = \dots ; \vec{AB} ; $$

$$ \vec{AC} = \dots ; \vec{AE} ; $$

$$ \vec{DE} = \dots ; \vec{BD} ; $$

$$ \vec{CE} = \dots ; \vec{BA} . $$

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

2° Exprimer en fonction du vecteur $\vec{CE}$ les sommes vectorielles suivantes :

$$ \text{a)} \vec{AB} + \vec{BC} . $$

$$ \text{b)} \vec{AB} + \vec{CB} . $$

$$ \text{c)} \vec{AB} + \vec{CD} . $$

$$ \text{b)} \vec{BE} + \vec{DE} . $$

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

3° Trois points alignés M, N et P sont tels que $\vec{MP} = k \vec{MN}$.

Comment voit-on, sur le dessin, le signe du nombre réel k ?

T.P.

Objectif : reconnaître des vecteurs colinéaires.

■ A. Avec un quadrillage

Pour chacune des figures ci-dessous, existe-t-il un nombre réel k vérifiant la relation indiquée ?

$$ 1° \vec{AB} = k \vec{CD} . $$

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

$$ 2° \vec{AB} + \vec{AC} = k \vec{BC} . $$

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

$$ 3° \vec{AM} = \vec{AB} + k \vec{AC} . $$

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

<figure><img src="image_19.png" /></figure>
## ii) Classe B1

Cette séance est antérieure à la précédente dans l'ensemble des séances sur l'introduction des vecteurs (même progression pour les deux enseignants qui travaillent ensemble).

Son enjeu est d'introduire la différence de deux vecteurs, sous forme $\vec{u} - \vec{v}$, après avoir rappelé les méthodes pour obtenir la somme de deux vecteurs et avoir fait travaillé sur divers représentants d'un même vecteur.

En fait, il s'agit surtout de comparer des représentants de vecteurs, obtenus de manière diverse : l'enseignant B1 fait travailler ici surtout l'égalité des vecteurs, dans des situations variées. Ce peut être sur des représentants dessinés, sur des représentants obtenus comme somme de deux autres représentants de vecteurs dessinés (la somme devant être faite de plusieurs façons). Au passage il y a aussi un travail sur le changement de représentant.

Seul le dernier exercice fait travailler sur cette différence $\vec{u} - \vec{v}$ introduite dans l'épisode précédent.

Nous avons distingué 10 épisodes dans la séance, trois de cours et 7 tâches propsoées en exercices (cf. tableau d'analyses des tâches joint).

Le premier épisode est un cours très général, rappel de ce qui a été vu au collège et intérêt des vecteurs.

Dans les quatre épisodes suivants, l'enseignant corrige des exercices préparés à la maison (il envoie au tableau ou non selon les cas).

Il s'agit d'exercices du manuel, où il faut repérer si des vecteurs, donnés par des représentants sur un quadrillage, sont ou non égaux (et cocher la case oui ou la case non selon la réponse).

On donne d'abord directement les extrémités des représentants à comparer, puis l'un des représentants est donné comme somme de deux autres (somme du type $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$, puis $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$, puis $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$).

L'épisode suivant est un épisode de cours, bilan des méthodes pour faire la somme de deux vecteurs et introduction implicite de la notation $\vec{u}$ pour un vecteur.

L'exercice qui suit (épisode n°7), toujours préparé, consiste à trouver tous les représentants de vecteurs égaux à partir d'une figure donnée (parallèlogrammes ayant un sommet commun).

Ensuite les élèves corrigent le dernier exercice préparé de la liste, pour lequel la tâche consiste à faire la somme de vecteurs donnés par leur représentant sur la figure précédente et à donner un représentant de la somme éventuellement différent du représentant obtenu directement (origine imposée).

Le cours qui suit (épisode n°9) introduit la différence de deux vecteurs comme la somme $\vec{u} + (-\vec{v})$, et le dernier exercice (épisode 10) permet aux élèves de tracer des représentants de $\vec{u} + \vec{v}$, et $\vec{u} - \vec{v}$.
ACTIVITÉ 2

Avec un quadrillage

Objectif : réviser la somme vectorielle.

Dans chacun des cas ci-dessous, indiquer la bonne réponse.

1° Pour chacune des figures ci-dessous, l'égalité $\vec{AB} = \vec{MN}$ est-elle vraie ?

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

2° Le vecteur tracé représente-t-il $\vec{AB} + \vec{BC}$ ?

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

3° Le vecteur tracé représente-t-il $\vec{AB} + \vec{AC}$ ?

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

4° Le vecteur tracé représente-t-il $\vec{AB} + \vec{CD}$ ?

<figure><img src="image_23.png" /></figure>
ACTIVITÉ 3 Relation de Chasles

Objectif : utiliser la relation de Chasles et introduire une nouvelle notation d'un vecteur.

ABCD est un parallélogramme. Les points G, F et E sont les symétriques res-
pectifs des points C, D, A par rapport au point B.

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

$$
\text{1\textcircled{2} On pose } \vec{DA} = \vec{u} \text{ et } \vec{DC} = \vec{v}. \\
\text{Trouver les vecteurs de la figure égaux au vecteur } \vec{u} \text{, puis ceux égaux au}
$$

Trouver les vecteurs de la figure égaux au vecteur $\vec{u}$, puis ceux égaux au
vecteur $\vec{v}$.

VB_1

2° Compléter les égalités vectorielles :

$$
\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = D\ldots
$$

$$
\overrightarrow{BG} + \overrightarrow{BE} = A\ldots
$$

$$
\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AD} = B\ldots
$$

$$
\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EF} = E\ldots
$$

$$
\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DA} = C\ldots
$$

$$
\overrightarrow{BG} + \overrightarrow{DA} = C\ldots
$$

VB₁ 8

3° Justifier l'égalité $\vec{DB} = \vec{u} + \vec{v}$, puis exprimer en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ les vecteurs $\vec{AG}, \vec{CE}, \vec{BF}$.

TP

Égalité vectorielle, somme de vecteurs

1. Dans chacun des cas suivants :
   - tracer le point A défini par $\vec{MA} = \vec{u} + \vec{v}$ et le point B défini par $\vec{MB} = \vec{u} - \vec{v}$.
   - exprimer le vecteur $\vec{AB}$ en fonction de $\vec{u}$ et de $\vec{v}$.

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

VB₁ 10

(1)
### iii) Classe R

La séance analysée n'est pas la première sur les vecteurs mais elle a comme objectif d'introduire la multiplication $k \vec{U}$.

L'enseignant R annonce d'ailleurs cet objectif dans ces termes mêmes : il va introduire une nouvelle opération, une multiplication "réel par vecteur".

Après avoir fait réviser somme de vecteurs et représentants, il essaie de faire élaborer par les élèves la notation $k\vec{U}$ dans des cas très particuliers ($k = 2, 1/2, 3/2, 2/3$, k entier négatif) par analogie avec la notation sur les réels, puis par développement de cette analogie de manière interne, sur les vecteurs eux-mêmes, sans que cette analogie puisse être alors justifiée autrement que sur des représentants pour la longueur et le sens.

Ainsi si c'est une nouvelle opération qui est annoncée (généralisation), ce que les élèves ont à faire consiste à élaborer une notation à propos de somme de vecteurs ($k$ est entier ou rationnel simple) mobilisant un transfert de définition entre réels et vecteurs (analogie).

Ce n'est pas ici une comparaison de représentants dessinés qui est mobilisée, mais bien une réflexion sur le statut de ce qui est nouveau, dans des cas très particuliers où le moteur de ce qui est demandé aux élèves est l'analogie avec le produit des réels.

Il y a 12 épisodes, dont seul le dernier de cours proprement dit (introduction de $\lambda U$) (cf. tableau joint).

Les quatre premiers épisodes concernent des exercices préparés à la maison et corrigés en classe, l'enseignant interroge à chaque fois des élèves, mais qui restent à leur place. Les textes des exercices sont indiqués sur une feuille polycopiée qui a été distribuée par l'enseignant.

Les tâches des trois premiers exercices sont assez proches, il s'agit de faire fonctionner diverses constructions de somme de vecteurs (sur des représentants), relation de Chasles et règle du parallèlogramme, en attirant l'attention des élèves sur la différence entre segment $[AB]$ et vecteur $\vec{AB}$, notamment en ce qui concerne les longueurs et les normes.

Le quatrième exercice amène à deviner la notation $u - v$, par analogie avec les réels.

Les 5 exercices suivants, non préparés, consistent à préparer ce qui sera nouveau dans la séance, et d'abord $2\vec{u}$. Deux étapes (épisodes 5 et 5bis) : tracer $M\vec{N} + M\vec{N}$, en appliquant ce qui vient d'être révisé et en l'adaptant, deviner la notation $2\vec{AB}$. On passe alors à $(1/2)\vec{u}$, en renversant le sens de la comparaison, pour exprimer le nouveau vecteur par rapport au premier, et on demande de tracer $(M\vec{N} + (1/2)M\vec{N})$, comme précédemment (épisode n°6). Les deux épisodes suivants (6bis et 6 ter) consistent à deviner la notation $3/2\vec{u}$ et à faire fonctionner sur ce vecteur les caractéristiques "direction, sens longueur" habituelles.

Les tâches 7 et 8 font réutiliser systématiquement ce qui précède sur les vecteurs $(-1/2 \vec{AB})$ et $(2/3 \vec{AB})$, $(-2 \vec{AB})$, $(-4/3 \vec{AB})$.

Arrive alors l'épisode de cours, qui institutionnalise la définition de $\lambda\vec{U}$, et où l'enseignant fait travailler sur des exemples génériques.
### IV. La relation de CHASLES : $|\overrightarrow{UV} + \overrightarrow{VW}| = |\overrightarrow{UW}|$

(VR 1)

$$ \text{1. A-t-on } UV + VW = UW? $$

$$ \text{2. Peut-on avoir } UV + VW = UW? \xrightarrow{\rightarrow} \xrightarrow{\rightarrow} $$

(VR 2)

$$ \text{3. que peut-on dire de la somme } UV + VU? $$

$$ \text{4. a) L'égalité } \overrightarrow{UV} + \overrightarrow{UW} = \overrightarrow{VW} \text{ est-elle vraie ?} $$

$$ \text{8. b) Figurez le point S tel que } \overrightarrow{US} + \overrightarrow{SV} = \overrightarrow{VS} $$

L'axe a) Sur le quadrillage a-contre, figurer le point K tel que $\vec{EK} = \vec{EF} + \vec{GH} + \vec{IJ}$

(VR 3)

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

$$ \text{b) Calculer } \|\vec{EK}\| \cdot \|\vec{EF}\| \cdot \|\vec{GH}\| \text{ et } \|\vec{IJ}\| \\ \text{l' somme de longueur - tait le côté } \\ \text{d'un carreau} $$

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

$$ \text{A-t-on } \vec{EK} = \vec{EF} + \vec{GH} + \vec{IJ}? $$

(VR 4)

$$ \text{VI. 1. Comment peut-on définir la différence } \vec{AB} - \vec{CD}? $$

$$ \text{2. Représentier la différence } AB - AC. $$

En résumé

(VR 5) Tracer $\vec{MN} + \vec{MN}$

(VR 5 bio) \{ L'écrire un fauchier de $\vec{AB}$ \\ & E'écrire $\vec{AB}$ en fauchier de $\vec{MN}$

(VR 6) Tracer $\vec{AB} + \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}$

(VR 6 bio) L'écrire un fauchier de $\vec{AB}$

(VR 6ter) Caro c'te'viser le coeur $\frac{3}{2} \vec{AB}$

(VR 7) $\text{"-1/2 AB}$

(VR 8) $\text{"2/3 u, -2u, -2/3 u}$
analyse de tâche

(enjeu)

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

<table><thead><tr><th></th><th>VR 1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th></tr></thead><tbody><tr><td>ENVIRONS, ATTENTES</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Isolé</td><td>X</td><td>X</td><td>X</td><td>X</td><td>X</td><td>non</td></tr><tr><td>Préparé</td><td>X</td><td>X</td><td>X</td><td>X</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Intro, éval, autre</td><td>intro</td><td>intro</td><td>intro</td><td>intro</td><td>intro</td><td>intro</td></tr><tr><td>noté</td><td>non</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>obj. prof.</td><td>Réviser<br>museu<br>guste</td><td>Réviser<br>réglé<br>parolelexi</td><td>Réviser<br>soucie<br>de vêtements</td><td>découvert<br>û - û</td><td>tracer<br>MN + MN<br>apprendre</td><td>tracer<br>û + û</td></tr><tr><td>prév. prof.</td><td>erreurs<br>|| Σ || ≠ Σ||</td><td>ne pas<br>confondre<br>Σ et Σ||</td><td>analogie<br>pour<br>deviner</td><td>appliquer</td><td>enjeu</td><td>apprendre,<br>idéale<br>puisse</td></tr><tr><td>CONTEXTE</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>enjeu</td><td>méthode</td><td>travail et même</td><td>travail</td><td>démarche</td><td>démarche</td><td>travail et même</td></tr><tr><td>nouv/ancien</td><td>Situation N<br>Ancien</td><td>Ancien</td><td>Ancien</td><td>Nouveau</td><td>Nouveau</td><td>Nouveau</td></tr><tr><td>généralité</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>cas cque</td><td>X</td><td>X</td><td></td><td>X</td><td>X</td><td>X</td></tr><tr><td>cas partic</td><td></td><td></td><td>X</td><td></td><td>X</td><td></td></tr><tr><td>ENTRÉE</td><td></td><td></td><td></td><td>Ouv.</td><td>Ouv.</td><td></td></tr><tr><td>modélisation</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>question</td><td>Ouv.</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>méthodes</td><td></td><td>Ouv.</td><td>Ouv.</td><td></td><td>1 seule</td><td>1 seule</td></tr><tr><td>reconnaissance</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>RÉSOLUTION</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>étapes, interméd.</td><td></td><td></td><td>X</td><td></td><td>X</td><td>X</td></tr><tr><td>techniques</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>transfo</td><td>X</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>adaptations</td><td>X</td><td></td><td></td><td></td><td>X</td><td>X</td></tr><tr><td>chgts</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>relations</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>interprétations</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>sélection info</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>PREUVES</td><td>nou expl.</td><td></td><td>nou expl.</td><td></td><td></td><td>Ø</td></tr><tr><td>perceptive</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>démo</td><td></td><td>X</td><td></td><td>X</td><td>X</td><td>X</td></tr><tr><td>récurrence</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>absurde</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>logique</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>CONTRÔLE int.</td><td>figure</td><td></td><td>figure</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>ext.</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>PRODUCTION</td><td>répouse<br>français</td><td>construire<br>calculs</td><td>construire<br>français</td><td>construire<br>français</td><td>construire<br>français</td><td>construire<br>français</td></tr><tr><td>ACTIVITÉ PRÉJUGÉE</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>initiatives</td><td></td><td></td><td></td><td>X</td><td></td><td>X</td></tr><tr><td>disponibles</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>VARIABLES DIDA</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>ACTIV. éLÈVE</td><td></td><td></td><td>(jeune)<br>faible</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
R

<table><thead><tr><th></th><th>6<sup>bi</sup></th><th>6<sup>ti</sup></th><th>7</th><th>8</th><th>9</th></tr></thead><tbody><tr><td>ENVIRONS, ATTENTES</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Isolé</td><td>noi</td><td>noi</td><td>X</td><td>X</td><td></td></tr><tr><td>Préparé</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Intro, éval, autre</td><td>uto</td><td>uto</td><td>uto</td><td>uto</td><td></td></tr><tr><td>noté</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>obj. prof.</td><td>Moussi<br>3/2 A&#773;</td><td>Moussi<br>3/2 A&#773;<br>noi 3 proqui&#773;</td><td>cf. 6<sup>bi</sup><br>noi li&#773;<br>noi 3 proqui&#773;</td><td>Moussi<br>et justifi&#773;</td><td></td></tr><tr><td>prév. prof.</td><td>cf. 5<sup>bi</sup><br>Moussi</td><td>λ = 3/2</td><td>noi - 3/2 A&#773;</td><td>pour 2/3 U&#773;<br>-2U&#773; - 2/3 U&#773;</td><td></td></tr><tr><td>CONTEXTE</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>enjeu</td><td>doulo do</td><td>l&#773;subtot<br>+ w&#773;to</td><td>l&#773;subtot<br>+ w&#773;to</td><td>l&#773;subtot<br>+ w&#773;to</td><td></td></tr><tr><td>nouv/ancien</td><td>N</td><td>N</td><td>N</td><td>N</td><td></td></tr><tr><td>généralité</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>cas gcque</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>cas partic</td><td>X</td><td>X</td><td>X</td><td>X</td><td></td></tr><tr><td>ENTRÉE</td><td>ouvert</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>modélisation</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>question</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>méthodes</td><td></td><td>X</td><td>X</td><td>X</td><td></td></tr><tr><td>reconnaissance</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>RÉSOLUTION</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>étapes, interméd.</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>techniques</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>transfo</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>adaptations</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>chgts</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>relations</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>interprétations</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>sélection info</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>PREUVES</td><td>Ø</td><td>?</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>perceptive</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>démo</td><td></td><td></td><td>X</td><td>X</td><td></td></tr><tr><td>récurrence</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>absurde</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>logique</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>CONTRÔLE int.</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>ext.</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>PRODUCTION</td><td>fraisin</td><td>u k&#773;reflet<br>fr&#773;no</td><td>construit<br>construit</td><td>construit<br>construit</td><td></td></tr><tr><td>ACTIVITÉ PRÉJUGÉE</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>initiatives</td><td>X</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>disponibles</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>VARIABLES DIDA</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>ACTIV. éLÈVE</td><td>faible<br>if. 5<sup>bi</sup></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

( λ&#773; )
#### iv) Comparaisons aux analyses a priori, points communs et différences

Remarquons d'abord que ces séances sont trop isolées et ne permettent pas tout à fait de préjuger de l'ensemble de l'introduction aux vecteurs. Les documents d'accompagnement nous aident dans une certaine mesure à y remédier.

D'autre part ces trois séances sont construites sur le même modèle : correction d'exercices préparés à la maison, mais la préparation à la maison semble variable selon les classes, d'après les video notamment, corrections suivies ou non d'exercices supplémentaires complétant l'introduction et interventions du type cours (exposés de connaissances) en rapport immédiat avec ce qui vient d'être fait. Selon les classes il y a ou non un exercice d'application à la suite. Les exercices préparés ne portent que sur des révisions de collège ou anticipent déjà un peu sur le cours à venir selon les enseignants. Dans tous les cas, les enseignants ont fait réviser les vecteurs des collèges, notamment l'égalité et la somme (avec diverses constructions).

En ce qui concerne les contenus et l'enchaînement des exercices proposés aux élèves, on ne peut pas comparer strictement car les séances sont un peu décalées les unes par raport aux autres. On retrouve cependant localement des éléments prévus par nos analyses a priori, notamment pas de problèmes mais des petits exercices, et, après les révisions, des exercices portant plus sur la formulation que sur l'existence de l'écriture d'un vecteur sous la forme "k fois un autre vecteur", avec mise en fonctionnement répétée un grand nombre de fois, sur ce nouveau vecteur ku, des trois caractéristiques des vecteurs (direction, sens, longueur).

Il y a, semble-t-il, une certaine différence dans l'institutionnalisation entre les trois séances (ce serait à vérifier en examinant plus de séances) : dans un des scénarios, le nombre k n'est pas introduit tout de suite pour comparer des vecteurs, l'enseignant introduit d'abord, lui-même, l'idée d'opération, avant de laisser les élèves appliquer une analogie avec les réels pour deviner la notation 2U.

Autre différence qui n'apparaît que dans les analyses a posteriori (non jointes) : un des enseignants a beaucoup plus de préoccupations de rigueur d'expression que les autres. Par exemple, il ne veut entendre l'expression "on part de A" pour exprimer que le représentant sur lequel on travaille est d'origine A. Cependant on trouve dans son propre discours, plus loin, une expression relativement analogue, ce qui illustre à nos yeux la difficulté insurmontable à distinguer à tous moments représentants et vecteurs. On peut voir des traces de cette préoccupation particulière dans la répartition de toutes les questions détaillées (importance des questions de formulation chez cet enseignant).
b) Le discours de chaque enseignant pendant toute la séance (cours et exercices réunis puis analysés séparément)

1) Les fonctions (tableau ci-dessous)

L'analyse de la répartition des fonctions des 3 discours montre d'abord que la seule fonction majoritaire est l'information, quel que soit l'enseignant.

Enseigner ici c'est d'abord donner des informations, puis les organiser (autour de 30%) puis donner des argumentations (très uniforme entre 15 et 17%). N'oublions pas que dans tous les cas, les premiers exercices ont été cherchés à la maison et sont corrigés, vraisemblablement tous les élèves n'ont pas fait le travail, c'est même explicite dans la séance de B2, mais cela peut tout de même accentuer cette fonction "informations", notamment par l'intermédiaire des demandes résultats et des évaluations (sans commentaires). Cela pourrait aussi augmenter la part de l'argumentation, mais là intervient peut-être en sens inverse la nature particulière de ces activités d'introduction, évoquée ci-dessus, activités pour lesquelles il est quelquefois difficile de parler de démonstration à proprement parler (cf. analyses de tâches).

Ceci dit les enseignants ne parlent pas tous autant, en tout cas en ce qui concerne les phrases analysées - on verra sur les questions qui portent sur le discours total que c'est la même chose. Il y a des différences de rythme de parole que nous ne prenons pas en compte ici.

Si on étudie cette répartition en distinguant cours et exercices, on retrouve à peu près la même chose pour les exercices (qui sont majoritaires dans les séances analysées) ; en revanche les cours montrent des répartitions plus variables, paradoxalement il y a même moins de la moitié d'information chez un des enseignants, B2, qui compense par plus de structuration.

Autrement dit, pendant les activités qui portent sur cette introduction des vecteurs, dont nous avons fait l'hypothèse qu'elle était difficile à mener en laissant les élèves deviner (pas d'exercices adaptés), tout se passe comme si les enseignants compensaient cette difficulté en apportant déjà les informations pendant les exercices... On peut s'interroger encore plus sur le statut de telles activités.

Les argumentations ont une part très stable, moins de 20%, et cela tient peut-être à la nature de ces activités : il s'agit d'introduire une définition.

Tableaux des répartitions des fonctions des discours pendant les 3 séances

Les pourcentages sont calculés pour chaque enseignant sur le total des phrases analysées, puis sur le total des phrases qui portent sur les exercices (resp. sur les cours).

<table><thead><tr><th>Fonction</th><th>B2 global exercices cours</th><th>B1 global exercices cours</th><th>R global exercices cours</th></tr></thead><tbody><tr><td>Informations</td><td>54%</td><td>64%</td><td>54%</td></tr><tr><td>structurations</td><td>31%</td><td>21%</td><td>30%</td></tr><tr><td>argumentation et réflexions</td><td>15%</td><td>15%</td><td>17%</td></tr></tbody></table>
## 2) La teneur des discours (tableau ci-dessous)

Les questions occupent selon les enseignants un quart du discours au plus (et au moins 10%). Il se marque là une différence : un enseignant sur trois questionne moins ses élèves, que ce soit en cours ou en exercices (pas plus de 13% du discours). Les deux autres interrogent les élèves plutôt plus en exercices qu'en cours proprement dit.

Les discours directs et indirects ont des répartitions globales différentes : pour deux des enseignants sur les trois, le discours direct est en première position (et même majoritaire dans tout le discours chez l'enseignant qui pose le moins de questions), alors que chez le troisième c'est exactement le contraire (discours indirect majoritaire).

Il y a donc là une différence notable dans la répartition globale des discours strictement mathématiques (ou presque) et des discours plus indirects selon les enseignants. D'autant plus qu'il s'agit toujours des moments où on fait des mathématiques (n'oublions pas que nous avons enlevé la stricte animation sans rapports avec les contenus).

Ces répartitions ne sont pas affectées par la nature de la tâche, sauf pour l'enseignant qui produit beaucoup de discours indirect : en cours la part de son discours direct remonte à la moitié du discours non interrogatif. On peut penser que les élèves ont ainsi un indice externe pour repérer la nature de ce qui est en train d'être raconté. On peut aussi penser que l'enseignant essaie d'aider les élèves par un discours plus indirect en exercices qu'en cours, ceci sera infirmé ou confirmé par les analyses des croisements.

## Tableaux des répartitions des teneurs des discours pendant les 3 séances

Les pourcentages sont calculés pour chaque enseignant sur le total des phrases analysées, puis sur le total des phrases qui portent sur les exercices (resp. sur les cours).

<table><thead><tr><th>Teneur</th><th>B2 global exercices cours</th><th>B1 global exercices cours</th><th>R global exercices cours</th></tr></thead><tbody><tr><td>Questions</td><td>11%</td><td>13%</td><td>8%</td></tr><tr><td>discours direct</td><td>56%</td><td>59%</td><td>51%</td></tr><tr><td>discours indirect</td><td>32%</td><td>28%</td><td>41%</td></tr></tbody></table>
### 3) Les objets du discours (tableau ci-dessous)

Nous n'analysons ici que les répartitions séparées exercices/cours.

Deux profils apparaissent : les discours où même si les élèves travaillent sur des exercices, les phrases qui s'y rapportent directement ne sont pas majoritaires (un peu moins de la moitié du discours), un tiers étant réservé aux liens entre activités et mathématiques et un cinquième aux mathématiques hors contexte. Et le discours où la part des phrases sur l'activité dépasse les deux tiers, avec un quart réservé aux liens, et moins de 10% aux mathématiques.

En réalité il y a deux différences : d'une part la somme des discours où interviennent les activités dépasse ou non 80%, laissant ou non une petite place aux mathématiques, et d'autre part, au sein de ces phrases sur les activités, l'importance de celles où les mathématiques interviennent est variable.

En cours, même différence : deux enseignants consacrent plus de 80% de leur discours aux seules mathématiques, le troisième occupe encore un bon quart de ses phrases à des activités.

Si on réunit ces deux constats, on arrive aux profils suivants : un des enseignants parle toujours très majoritairement de ce qu'il est en train de faire (cours ou activités) ; pour les autres, c'est plus mélangé, notamment en exercices.

## Tableaux des répartitions des objets des discours pendant les 3 séances

Les pourcentages sont calculés pour chaque enseignant sur le total des phrases qui portent sur les exercices (resp. sur les cours).

<table><thead><tr><th>Teneur</th><th>B2 exercices cours</th><th>B1 exercices cours</th><th>R exercices cours</th></tr></thead><tbody><tr><td>Exercices</td><td>67% 2%</td><td>42% 27%</td><td>46% 11%</td></tr><tr><td>Mathématiques décontextualisées</td><td>7% 87%</td><td>19% 48%</td><td>19% 81%</td></tr><tr><td>Lien entre exercices et mathématiques décontextualisées</td><td>25% 12%</td><td>39% 25%</td><td>34% 8%</td></tr></tbody></table>
4) Les croisements (tableaux croisés ci-contre)

Quelques régularités pendant les exercices (globalement) :

* l'association privilégiée de la structuration et du discours indirect (dans les deux sens). Autrement dit, pour la première régularité, il y a plus de structuration dans les phrases en discours indirect que dans les autres, et lorsque l'enseignant structure, il utilise plus de discours indirect que lorsqu'il informe ou argumente.

* le fait que dans les moments où s'expriment les liens entre activités et mathématiques les argumentations sont plus développées qu'aux autres moments.

* le fait que les élèves sont peu sollicités sur la structuration, et selon les enseignants plus sur l'information ou plus sur l'argumentation.

Cela semble cohérent avec nos catégories. Cela confirme aussi que c'est bien à l'enseignant d'organiser les connaissances, dans un discours indirect, ce qui pourrait être à rapprocher de notre constat sur l'atomisation des connaissances de nos étudiants.

Pendant les cours, c'est dans les moments où on parle de mathématiques qu'il y a plus d'argumentation que dans les autres moments (les démonstrations font partie des mathématiques) ; d'autre part, deux tableaux présentent les mêmes associations privilégiées : celui de la répartition des fonctions du discours en fonction de la teneur, et celui qui donne la répartition de la teneur en fonction des fonctions.

Ainsi, pendant les cours, c'est plus par les questions et par le discours direct que par le discours indirect que l'information est véhiculée ; les élèves sont plus sollicités sur l'information que sur le reste (est-ce que cela vient des activités préalables ?), et c'est plus en discours direct que l'enseignant la livre qu'en discours indirect. En particulier on retrouve que la structuration échappe en grande partie aux questions, c'est plus variable pour l'argumentation...

En revanche il y a plus de structuration et d'argumentation dans le discours indirect qu'ailleurs.

Le deuxième tableau permet de confirmer : la part du discours direct est plus importante lorsque l'enseignant informe que lorsqu'il structure ou argumente, où c'est la part du discours indirect qui est majorée. Autrement dit en cours l'information est donnée surtout par le discours direct de l'enseignant, et c'est surtout sur cette information que les élèves sont sollicités.
## Tableaux croisés des discours pendant les 3 séances

Les pourcentages sont calculés pour chaque enseignant sur le total des phrases qui portent sur ce qui est indiqué en haut de la colonne (sur les exercices puis sur les cours).

### Les croisements Fonction et objet, Fonction et teneur pendant les exercices et les cours

<table><thead><tr><th>Tot.</th><th>B2 Exos</th><th>Math.</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>direct</th><th>indir</th><th>Exos</th><th>Math.</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>direct</th><th>indir</th><th>Tot.</th></tr></thead><tbody><tr><td>62%</td><td>67%</td><td>50%</td><td>52%</td><td>info</td><td>93%</td><td>64%</td><td>41%</td><td>0</td><td>36%</td><td>71%</td><td>info</td><td>79%</td><td>64%</td><td>1%</td><td>39%</td></tr><tr><td>24%</td><td>28%</td><td>42%</td><td>10%</td><td>struc.</td><td>0%</td><td>22%</td><td>42%</td><td>100%</td><td>45%</td><td>24%</td><td>struc</td><td>7%</td><td>27%</td><td>70%</td><td>43%</td></tr><tr><td>14%</td><td>5%</td><td>8%</td><td>39%</td><td>arg.</td><td>7%</td><td>14%</td><td>18%</td><td>0</td><td>19%</td><td>50%</td><td>arg</td><td>14%</td><td>9%</td><td>29%</td><td>17%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Tot.</th><th>B1 Exos</th><th>Math.</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>direct</th><th>indir</th><th>Exos</th><th>Math.</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>direct</th><th>indir</th><th>Tot.</th></tr></thead><tbody><tr><td>64%</td><td>75%</td><td>58%</td><td>55</td><td>info</td><td>69%</td><td>85%</td><td>39%</td><td>98%</td><td>45%</td><td>69%</td><td>info</td><td>91%</td><td>87%</td><td>16%</td><td>65%</td></tr><tr><td>20%</td><td>21%</td><td>18%</td><td>19%</td><td>struc</td><td>4%</td><td>10%</td><td>39%</td><td>0</td><td>35%</td><td>31%</td><td>struc</td><td>6%</td><td>13%</td><td>54%</td><td>25%</td></tr><tr><td>16%</td><td>4%</td><td>24%</td><td>26%</td><td>arg</td><td>28%</td><td>5%</td><td>21%</td><td>2%</td><td>20%</td><td>0</td><td>arg</td><td>3%</td><td>0</td><td>30%</td><td>10%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Tot.</th><th>R</th><th>Exos</th><th>Math.</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>direct</th><th>indir</th><th>Exos</th><th>Math.</th><th>Lien</th><th>Quest.</th><th>direct</th><th>indir</th><th>Tot.</th></tr></thead><tbody><tr><td>54%</td><td>72%</td><td>27%</td><td>45%</td><td>info</td><td>62%</td><td>80%</td><td>40%</td><td>93%</td><td>45%</td><td>10%</td><td>info</td><td>89%</td><td>69%</td><td>19%</td><td>48%</td></tr><tr><td>29%</td><td>24%</td><td>47%</td><td>27%</td><td>struc</td><td>2%</td><td>8%</td><td>52%</td><td>7%</td><td>30%</td><td>80%</td><td>struc</td><td>11%</td><td>25%</td><td>41%</td><td>32%</td></tr><tr><td>6%</td><td>4%</td><td>26%</td><td>28%</td><td>arg</td><td>36%</td><td>12%</td><td>9%</td><td>0</td><td>25%</td><td>10%</td><td>arg</td><td>0</td><td>5%</td><td>40%</td><td>21%</td></tr></tbody></table>

### Les croisements Teneur et fonction, Teneur et objet pendant les exercices et les cours

<table><thead><tr><th>Tot.</th><th>B2</th><th>Info</th><th>Struc</th><th>Arg</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Info</th><th>Struc</th><th>Arg</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Tot.</th></tr></thead><tbody><tr><td>13%</td><td>20%</td><td>0</td><td>7%</td><td>ques</td><td>15%</td><td>4%</td><td>12%</td><td>16%</td><td>1%</td><td>6%</td><td>Ques</td><td>0</td><td>6%</td><td>19%</td><td>8%</td></tr><tr><td>59%</td><td>62%</td><td>53%</td><td>59%</td><td>Math</td><td>65%</td><td>42%</td><td>47%</td><td>83%</td><td>32%</td><td>26%</td><td>math</td><td>33%</td><td>49%</td><td>71%</td><td>51%</td></tr><tr><td>28%</td><td>18%</td><td>48%</td><td>35%</td><td>indir</td><td>20%</td><td>54%</td><td>41%</td><td>1%</td><td>66%</td><td>68%</td><td>Indir</td><td>67%</td><td>45%</td><td>10%</td><td>41%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Tot.</th><th>B1</th><th>Info</th><th>Struc</th><th>Arg</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Info</th><th>Struc</th><th>Arg</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Tot.</th></tr></thead><tbody><tr><td>24%</td><td>30%</td><td>5%</td><td>6%</td><td>Ques</td><td>39%</td><td>14%</td><td>18%</td><td>26%</td><td>4%</td><td>41%</td><td>Ques</td><td>27%</td><td>15%</td><td>26%</td><td>21%</td></tr><tr><td>39%</td><td>62%</td><td>24%</td><td>0</td><td>Math</td><td>59%</td><td>41%</td><td>44%</td><td>51%</td><td>21%</td><td>11%</td><td>Math</td><td>44%</td><td>42%</td><td>31%</td><td>46%</td></tr><tr><td>37%</td><td>8%</td><td>71%</td><td>94%</td><td>Indi</td><td>2%</td><td>46%</td><td>38%</td><td>23%</td><td>75%</td><td>48%</td><td>Indi</td><td>30%</td><td>43%</td><td>43%</td><td>32%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Tot.</th><th>R</th><th>Info</th><th>Struc</th><th>Arg</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Info</th><th>Struc</th><th>Arg</th><th>Exo</th><th>Math</th><th>Lien</th><th>Tot.</th></tr></thead><tbody><tr><td>26%</td><td>29%</td><td>2%</td><td>56%</td><td>Ques</td><td>24%</td><td>19%</td><td>32%</td><td>13%</td><td>3%</td><td>0</td><td>Ques</td><td>7%</td><td>6%</td><td>20%</td><td>7%</td></tr><tr><td>22%</td><td>33%</td><td>6%</td><td>16%</td><td>Math</td><td>33%</td><td>13%</td><td>14%</td><td>68%</td><td>38%</td><td>12%</td><td>Math</td><td>93%</td><td>45%</td><td>0</td><td>47%</td></tr><tr><td>52%</td><td>38%</td><td>92%</td><td>28%</td><td>Indi</td><td>43%</td><td>69%</td><td>54%</td><td>18%</td><td>60%</td><td>88%</td><td>Indi</td><td>0</td><td>49%</td><td>80%</td><td>46%</td></tr></tbody></table>
les croisements Fonction et objet, Fonction et teneur pendant les exercices et les cours

<table><thead><tr><th>Tot</th><th>B2</th><th>Ques</th><th>Math</th><th>Indir</th><th>Info</th><th>Struc</th><th>Arg</th><th>Ques</th><th>Math</th><th>Indir</th><th>Info</th><th>Struc</th><th>Arg</th><th>Tot</th></tr></thead><tbody><tr><td>67%</td><td></td><td>75%</td><td>75%</td><td>48%</td><td>Exo</td><td>73%</td><td>78%</td><td>26%</td><td>0</td><td>1%</td><td>3%</td><td>Ques</td><td>0</td><td>4%</td><td>0</td><td>2%</td></tr><tr><td>7%</td><td></td><td>2%</td><td>5%</td><td>14%</td><td>Math</td><td>6%</td><td>13%</td><td>4%</td><td>71%</td><td>82%</td><td>95%</td><td>Math</td><td>79%</td><td>90%</td><td>97%</td><td>87%</td></tr><tr><td>25%</td><td></td><td>23%</td><td>20%</td><td>37%</td><td>Lien</td><td>21%</td><td>10%</td><td>70%</td><td>29%</td><td>16%</td><td>3%</td><td>Lien</td><td>21%</td><td>6%</td><td>3%</td><td>12%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Tot</th><th>B1</th><th>Ques</th><th>Math</th><th>Indir</th><th>Info</th><th>Struc</th><th>Arg</th><th>Ques</th><th>Math</th><th>Indir</th><th>Info</th><th>Struc</th><th>Arg</th><th>Tot</th></tr></thead><tbody><tr><td>42%</td><td></td><td>46%</td><td>48%</td><td>33%</td><td>Exo</td><td>49%</td><td>45%</td><td>10%</td><td>48%</td><td>34%</td><td>2%</td><td>exo</td><td>40%</td><td>0</td><td>6%</td><td>27%</td></tr><tr><td>19%</td><td></td><td>12%</td><td>20%</td><td>22%</td><td>Math</td><td>17%</td><td>17%</td><td>28%</td><td>30%</td><td>42%</td><td>68%</td><td>Math</td><td>33%</td><td>68%</td><td>94%</td><td>48%</td></tr><tr><td>39%</td><td></td><td>42%</td><td>32%</td><td>45%</td><td>Lien</td><td>34%</td><td>38%</td><td>62%</td><td>21%</td><td>24%</td><td>30%</td><td>Lien</td><td>27%</td><td>32%</td><td>0</td><td>25%</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Tot</th><th>R</th><th>Ques</th><th>Math</th><th>Indir</th><th>Info</th><th>Struc</th><th>Arg</th><th>Ques</th><th>Math</th><th>Indir</th><th>Info</th><th>Struc</th><th>Arg</th><th>Tot</th></tr></thead><tbody><tr><td>46%</td><td></td><td>43%</td><td>68%</td><td>39%</td><td>Exo</td><td>62%</td><td>37%</td><td>12%</td><td>11%</td><td>22%</td><td>0</td><td>Exo</td><td>22%</td><td>3%</td><td>0</td><td>11%</td></tr><tr><td>19%</td><td></td><td>14%</td><td>11%</td><td>25%</td><td>Math</td><td>10%</td><td>31%</td><td>30%</td><td>67%</td><td>78%</td><td>86%</td><td>Math</td><td>77%</td><td>78%</td><td>96%</td><td>81%</td></tr><tr><td>34%</td><td></td><td>43%</td><td>21%</td><td>36%</td><td>Lien</td><td>29%</td><td>32%</td><td>58%</td><td>22%</td><td>0</td><td>14%</td><td>Lien</td><td>2%</td><td>20%</td><td>4%</td><td>8%</td></tr></tbody></table>
### c) Les questions (tableau ci-dessous).

Rappelons que c'est la seule analyse qui porte sur l'ensemble des discours (animation comprise). Nous appelons "fausses questions" les phrases posées sur le mode interrogatif mais qui n'attendent manifestement pas de réponses, mises à part les demandes d'acquiescement (d'accord ? tout le monde a compris ?) - par exemple quel est l'intérêt des vecteurs ? l'enseignant n'attend d'ailleurs pas pour reprendre la parole.

Nous avons aussi relevé les questions qui viennent des élèves (notées élèves).

Nous avons enfin distingué les questions de mathématiques des questions de formulations (et notations) et de méthodes. Dans les autres tableaux ces deux dernières catégories sont regroupées avec les mathématiques.

Un premier constat, sur les régularités : il y a peu, très peu de questions venant des élèves dans les séances analysées. Il y a tout aussi peu de fausses questions. Les répartitions entre questions à propos de mathématiques et autres questions ne sont pas très différentes non plus.

En revanche, il y a de grandes différences : d'abord sur la quantité de questions (qui varient comme la quantité de phrases produites d'ailleurs). Ensuite sur les questions posées sur les mathématiques : de 19% à 25% à 40%. On voit que les questions sur les méthodes et les formulations sont variables, mais cela dépend tellement de ce qui est traité que nous avons renoncé à cette classification.

Nous pouvons constater d'autre part de grandes différences au niveau des demandes d'acquiescement : un des enseignants a recours à ce type de questions beaucoup plus que les autres. Cela fait un certain style de discours, mais nous n'en dirons pas plus ici. Remarquons toutefois que les autres enseignants compensent par une autre forme d'animation.

### Tableau de répartition des questions posées par les enseignants

Les pourcentages sont calculés sur l'ensemble des questions du discours, le total est l'effectif des questions.

<table><thead><tr><th></th><th>Animation</th><th>Acquiesc.</th><th>Fausses qu.</th><th>Exerc.</th><th>Liens</th><th>Math Formul.</th><th>Méth.</th><th>Elèves</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><th>B2 global</th><td>21%</td><td>17%</td><td>3%</td><td>33%</td><td>4%</td><td>13%</td><td>3%</td><td>6%</td><td>78</td></tr><tr><th>B1 global</th><td>3%</td><td>36%</td><td>1%</td><td>26%</td><td>7%</td><td>14%</td><td>0%</td><td>11%</td><td>294</td></tr><tr><th>R global</th><td>15%</td><td>12%</td><td>1%</td><td>21%</td><td>7%</td><td>20%</td><td>14%</td><td>6%</td><td>268</td></tr></tbody></table>
### 3) Les analyses locales de chaque séance (tableaux en annexe)

#### a) La séance B2

*Un rappel : description rapide de la séance B2 "introduction de la multiplication réel vecteur".*

Il y a 7 épisodes dont deux de cours (n°5 et 6).

Les premiers exercices (1, 2, 3, 4), préparés, consistent à faire comparer des représentants de vecteurs en utilisant la forme $k\vec{U}$, successivement

* en construisant des points sur une droite (définis à partir de $\vec{MP} = k\vec{MN}$),

* puis en évaluant k pour des représentants de vecteurs d'abord dessinés sur une même droite, puis définis indirectement (par une somme).

L'exercice 4 consiste à étudier l'influence du signe de k sur les positions repsectives des points extrémités des vecteurs $\vec{MN}$ et $k\vec{MN}$.

Le dernier exercice, après le cours (n°7) refait évaluer k mais cette fois-ci les deux derniers vecteurs ne sont pas colinéaires (k n'existe pas).

#### A) Les analyses locales des exercices (tâches 1, 2, 3, 4 et 7).

##### 1 La répartition globale des diverses catégories analysées et les évolutions selon les tâches

###### 1) Les fonctions

Les répartitions des fonctions sont assez proches, l'information occupant toujours plus de la moitié du discours (jusqu'aux deux-tiers), la structuration en occupant à peu près un quart (un peu plus ou un peu moins selon les exercices), et l'argumentation restant à la plus faible place (plus ou moins 12%, à une exception près). Précisons, en teannt compte de la nature des tâches.

L'information occupe de 66% à 53% de l'ensemble du discours. C'est dans la deuxième tâche qu'il y en a le moins (53%), au bénéfice de l'argumentation 24%, (contre, pour l'argumentation, entre 8% dans la première tâche, et jusqu'à 16% ensuite).

La structuration occupe en revanche 30% du discours dans la première tâche, et c'est là qu'il y en a le plus, et entre 22% et 24% ensuite.

Or dans la deuxième tâche l'enseignant introduit des éléments de démonstration, alors que dans la première tâche ce sont plus des méthodes qui sont rappelées avec seulement un début de démonstration, basée sur les seules longueurs et le sens, et plutôt perceptive. Il s'agit en effet dans la première tâche de placer sur une droite donnée des points définis par une égalité vectorielle du type $\vec{MP} = k\vec{MN}$ (M est dessiné initialement sur la droite), et dans la deuxième tâche, il s'agit de trouver k tel qu'un certain vecteur, représenté sur la figure donnée, s'écrive k fois un autre vecteur également représenté, et là l'enseignant veut et donnera des éléments de justification de cette valeur algébrique de k.

Les trois dernières tâches, relativement analogues en ce qui concerne la nature de la démonstration, présentent des répartitions des fonctions du discours très proches. On peut aussi se demander si, par delà la proximité des contenus, un certain style ne s'était pas établi à partir de la troisième tâche. Il s'agit d'abord de justifier la valeur du nombre algébrique k tel que un certain vecteur, qu'il y a à obtenir sur une figure, soit égal à k fois un autre, également représenté (tâche 3),
ensuite de réfléchir à l'influence sur la figure du signe de k (tâche 4), et enfin de trouver k, qui n'existe pas dans le dernier exercice proposé dans la dernière tâche.

L'association "démonstrations" et "discours d'argumentation" se trouve ainsi mise en évidence chez cet enseignant, au niveau des fonctions du discours, avec une majoration la première fois que cela se produit.

## 2) La teneur des discours

Il y a une certaine variabilité du pourcentage de questions posées : elles occupent de 3% à 23% du discours analysé.

En fait c'est sur deux tâches qu'il y a moins de sollicitations : la première et la quatrième, qui correspondent au début du cours et à un premier bilan, marqué notamment par le passage à un cas quelconque (l'enseignant occupe-t-il seul le terrain lorsqu'il fait un bilan ?).

En revanche dans la troisième tâche, peut-être jugée plus facile car analogue aux précédentes il y a presque un quart de questions, et c'est le maximum.

Le discours direct occupe toujours au moins la moitié du discours total analysé, entre 49% et 60%, sauf dans la deuxième tâche, où sa part monte à 80%, et où le discours indirect, simultanément, a la portion congrue (7%) : or c'est la première démonstration que veut l'enseignant, et l'argumentation, très développée comme on l'a vu, est entièrement faite en discours direct... Tout se passe comme si il n'y avait pas encore de place pour les commentaires.

Dans les tâches 1, 3, 4 en revanche, qui peuvent être jugées plus faciles parce qu'elles ressemblent à ce qui a déjà été fait (ce jour ou avant) le discours indirect occupe environ 40% du discours sans les questions. Enfin dans la dernière tâche, particulière puisqu'elle consiste à appliquer le cours qui vient d'être fait, ce discours n'occupe que 29% du discours sans les questions.

Tout se passe comme si quand l'enseignant développe quelque chose de nouveau (ou de difficile ?), il avait plus recours au discours direct, les commentaires veannt dans un deuxième temps.

## 3) L'objet du discours

La part du discours qui porte sur ce qui se joue directement (noté Exo) est de 64% à 78% sauf dans la troisième tâche, plus facile, où l'enseignant force un peu sur le passage E<--- (35% au lieu de 19% à 28% ailleurs).

En revanche la part des mathématiques décontextualisées (Math) oscille très peu, entre 7 et 11%, sauf pour la deuxième tâche, où il n'y en a pas du tout (on en reste au discours sur l'activité et sur le lien avec les mathématiques - démonstration portant sur l'activité).

Tout se passe comme si, là encore, plus la tâche est facile, plus l'enseignant s'autorise à s'éloigner de ce qui se joue (en introduisant des phrases faisant le lien entre l'activité et les mathématiques, en introduisant des mathématiques décontextualisées, ce qu'elle fait peu).

## II Les croisements

Première régularité "massive" : les questions portent très majoritairement, si ce n'est
exclusivement dans les tâches 1, 2 et 4, sur de l'information et sur les activités (en cours).

Dans les tâches 3 et 7, cette tendance existe, en particulier l'association privilégiée des questions sur la seule information est largement vérifiée, mais les questions portent aussi $E<---$ dans la tâche 3 (plus facile) et même sur tout (y compris les mathématiques, dont on vient de parler en cours) dans la tâche 7 (qui suit le cours, rappelons-le).

Autrement dit les élèves sont d'abord sollicités sur des résultats (nous avons vérifié que c'est cette partie de l'information qui intervient), et, si c'est avant le cours, les questions portent prioritairement sur les exercices en cours de correction, sauf peut-être si la tâche est suffisamment facile pour s'aventurer dans les justifications (lien entre exercices et mathématiques). Après le cours les sollicitations, encore sur les seuls résultats, portent aussi sur les mathématiques (dont on vient de parler) et leur lien avec l'exercice.

**Autre régularité** : les structurations relèvent majoritairement plus du discours indirect que les autres fonctions, sauf dans une tâche, celle du premier bilan. Mais leur objet de prédilection s'il y en a un, varie : $E<---$ d'abord, puis Exo, puis Math (tâches 3 et 4), et retour à Exo dans 7 (comme dans 2).

Les argumentations portent davantage sur le lien entre les activités et les math ($E<---$) dès la deuxième tâche, et ceci jusqu'à la fin (c'est même son seul objet dans la tâche 4). Cependant il n'y a pas d'association régulière avec un type de discours particulier : c'est exclusivement indirect dans la première tâche -démonstration perceptive, exclusivement direct dans la deuxième (première démonstration), et c'est variable ensuite. Autrement dit les argumentations peuvent être énoncées de manière strictement mathématique ou non, sans que cela semble avoir un rapport évident avec la tâche.

**C'est général** : les discours indirects et directs n'ont pas d'objets ni de fonctions privilégiés à véhiculer de manière régulière.

## Bilan

Ainsi, les répartitions des fonctions du discours sont assez proches sur les 5 tâches analysées, que ce soit préparé ou non, avant le cours ou juste après, .

En particulier la tâche proposée après le cours ressemble à la deuxième proposée avant le cours, et les répartitions sont proches : l'influence de la tâche serait plus importante que la place du cours ...

On trouve aussi que si une tâche a l'air d'être plus "facile" (par exemple déjà faite de manière presqu'analogue, ici la troisième) il y a plus de questions, et plus de discours sur la transition ($E<--- >$...) : on peut s'éloigner de l'activité proprement dite.

Tout se passe comme si l'enseignant pensait que plus il y a une difficulté, plus il faut parler directement de ce qu'on est en train de faire.
## B) Les analyses locales des cours

Il ya deux épisodes concernés (5 et 6).

Les répartitions de toutes nos catégories sont assez proches, en quelque sorte plus caricaturées dans le premier épisode (même tendance que ci-dessus ?).

L'enseignant réserve 40% de son discours à l'information (moins que pendant les exercices !), à peu près autant ou un peu plus à la structuration (de 38% à 50%), ce qui est plus important que pendant les activités. Ceci laisse une part d'argumentation équivalente à celle des activités (entre 13 et 20%).

Autrement dit, ici, tout se passe comme si le cours consistait moins que les activités à apporter de l'information mais plus à la structurer. Ceci signifie que les activités ont une part importante dans la donnée des informations (plus importante que les cours !), et ceci confirme à la fois la différence entre une gestion adidactique et une gestion didactique et peut-être la nature très particulière des activités sur le sujet abordé ici.

Peu de questions (moins de 11%), et un peu plus de discours direct que de discours indirect dans ce qui reste (56% de discours direct).

Cette répartition est très proche de celle des activités : il n'y a pas là de marqueur qui puisse indiquer aux élèves où on en est.

En revanche, comme dans les activités, le discours porte essentiellement sur les mathématiques (100% et 80%), les liens avec les activités sont très réduits : 17% au maximum, dans le premier épisode, ce qui relativise encore le statut des activités, dans une gestion non adidactique : on y donne beaucoup d'informations, et on les utilise peu dans le cours...
b) La séance B1 (tableaux joints en annexe)

Un rappel : description rapide de la séance B1 (introduction de la différence de deux vecteurs)

Cette séance est divisée en 10 épisodes, dont trois en cours (le début, sorte d'introduction générale, l'épisode n°6, bilan de ce qui précède, et l'épisode n°9 - introduction de la différence).

Les exercices sont tous préparés sauf le dernier, qui suit le cours (n°10).

Il s'agit de réviser l'égalité de vecteurs (tâche 2), et la somme de vecteurs, successivement par la relation de Chasles (tâche 3), la règle du parallèlogramme (tâche 4), sans précision (tâche 5). C'est justement à un bialn sur les méthodes pour faire la somme de deux vecteurs qu'est consacré l'épisode de cours n°6. Les exercices 7 et 8 servent à introduire du travail sur les représentants d'un même vecteur, reprenant les révisions sur l'égalité de vecteurs (tâche 7), et faisant construire un vecteur égal à un vecteur donné d'origine imposée (tâche 8). L'exercice 10 fait fonctionner le cours sur différence.

Il y a presque toujours des étapes dans les exercices, mais c'est explicitement le cas dans les tâches 3, 5, 7 et 8 ; dans ces mêmes tâches il y a plus une adaptation des outils déjà utilisés dans le apssé que dans les autres exercices. Dans la tâche 7, il y a même une transformation à faire.

Les démonstrations sont relativement analogues, avec une part perceptive. Les productions varient entre faire une croix sur oui ou non, dessiner ou écrire.

A) Les analyses locales pendant les exercices (tâches 2, 3, 4, 5, 7, 8 et 10).

I La répartition globale des diverses catégories analysées et les évolutions selon les tâches

1) Les fonctions

Les répartitions des fonctions selon les tâches montrent d'importantes variations : au début l'information occupe la moitié du discours (50, 51%, 59%), mais après sa part augmente notablement (79%, 84%, 66%, 68%). La structuration occupe 30% du discours de la première tâche, puis reste autour de 16% (19, 18, 10, 17) et remonte à24% dans la dernière tâche. L'argumentation varie de 33% (tâche 1) à moins de 8% (tâche 5, tâche 7 et tâche 10), avec trois tâches moyennes, autour de 20% (2, 4 et 8).

Or les tâches 2, 3 et 4 sont relativement faciles, alors que la tâche 5 est plus difficile, ainsi que la tâche 7, spécialement porteuse de l'enjeu de la séance. La tâche 8 reprend la 2 et la 6, et la tâche 10 est une application du cours qui vient d'être fait.

Donc il semble fonctionner l'association "tâche plus facile, moins d'information de l'enseignant", la structuration pouvant être développée dans les tâches où on applique pour al première fois quelque chose, et l'argumentation dans les tâches où on peut donner aux élève sune part du travail.

2) La teneur du discours

Les questions occupent une part non négligeable mais très variable du discours analysé : atteignant 40% dans les tâches 2, 7 (35%), et 8, ce pourcentage oscille autour de 20% dans les tâches 3, 4, 5, 10 (tâches relativement analogues, qui portent sur la somme de vecteurs. On peut
remarquer cependant que la tâche 10 suit un petit morceau de cours, sans que cela modifie le questionnement (au total).

Le discours direct a aussi une place variable : de 53% dans la tâche 2, il plafonne autour de 40% ensuite et il descend à 24% dans la dernière tâche, au bénéfice du discours indirect. Plusieurs corrélations sont possibles - la dernière tâche est à la fin de l'heure, c'est la seule qui a été préparée par un cours...

Quant au discours indirect, il passe de 8% à 60%. Ce sont les épisodes 4 et 10 qui présentent le plus de discours indirect - ce sont des tâches parmi les moins réussies (effectivement). Dans les autres épisodes, ce type de discours occupe de la moitié à un quart du dis cours non interrogatif.

## 3) L'objet du discours

Encore plus variable : au début le discours concernant l'activité en cours occupe 70% des phrases ; dans les trois tâches analogues suivantes, cette part diminue de 46% à 27%, au bénéfice de plus en plus marqué des phrases sur le lien entre activité et mathématiques. Peut-être là est-ce là corrélé à la chronologie : l'enseignant s'autorise à faire de plus en plus de lien au fur et à mesure que la tâche se répète ? Dans les tâches 7 et 8, on retrouve d'abord 65% du discours sur l'activité (nouvelle) et moins sur la seconde, plus classique, encore au bénéfice des liens. Cette part remonte dans l'activité nouvelle 10.

Quant au discours qui concerne sur les mathématiques décontextualisées, il occupe moins de 20% des phrases analysées sauf dans la tâche 3 - celle où il y a une situation nouvelle (autour de la notion de représentant).

## Il Les croisements

Deux régularités se marquent : d'abord lorsque l'enseignant structure il utilise plus de discours indirect qu'en moyenne, ce qui est tout à fait cohérent avec la nature même de la structuration (organisation de l'information). Il y a même trois tâches où c'est le seul discours utilisé pendant la structuration : les tâches 5, 7 et 10.

Ensuite les questions ne portent que peu ou pas du tout sur la structuration (il n'y a aucune question de ce type dans les tâches 2, 3, 5, 7, 10). Les élèves ne sont pas du tout ici sollicités sur l'organisation des connaissances.

Les autres croisements sont variables.

Regardons d'abord les questions. Dans les premiers épisodes et le dernier, elles portent plus sur l'argumentation (2, 3, 10) : les élèves sont sollicités sur les démonstrations au début (premières révisions) et à la fin, après le cours. Ailleurs il n'y a pas de phénomène notable, en particulier selon les tâches il y a plus de questions qu'en moyenne sur l'exercice (4), les mathématiques (7,10) ou le lien entre math et activités (2, 3).

Lorsque l'enseignant développe les liens entre activités et mathématiques, il argumente plus que la moyenne dans les tâches 2, 3, 4, 7, 8, et c'est exactement le contraire dans le discours qui porte sur les activités. Dans la tâche 10, il structure plus dans les phrases qui font le lien.
Deux profils particuliers pour le discours qui porte sur les mathématiques : ou l'enseignant y donne
plus d'information (tâches 2, 4, 7) ou plus d'argumentation (tâches 3 et 10).

## B) Les analyses locales pendant les cours (épisodes n°1, 6 et 9)

### 1) Les fonctions, la teneur et l'objet du discours

L'information occupe les deux tiers du discours, la structuration est plus variable, entre un petit quart et un gros tiers mais toujours plus importante que l'argumentation (entre 0 et 17%).

Les questions ne dépassent pas un quart du discours, plus réduites au début (au tout début et dans le premier épisode de cours). Le discours direct est plus important que le discours indirect et sa part est assez stable (autour de 56% du discours non interrogatif).

En revanche les répartitions selon l'objet du discours sont très variables : au début, il n'y a rien dans la catégorie "activités", ce qui se comprend par la place de cet épisode, en tout début de chapitre. Ensuite en revanche, celles-ci occupent un quart du discours, les phrases sur les mathématiques ne devenant majoritaires que dans le dernier épisode (introduction de la différence de deux vecteurs). Si on rappelle que l'épisode n°6 est un bilan, ces constats sont très cohérents.

### 2) Les croisements

Les régularités globales se retrouvent dans chaque épisode : l'information passe par le discours direct, et les élèves sont plus sollicités sur l'information que sur les autres fonctions. Même chose avec les associations privilégiées de la structuration et de l'argumentation et du discours indirect qui demeurent, si cela a un sens (catégories non vides), dans les deux sens. On peut rajouter que ces deux dernières fonctions s'appliquent plus aux mathématiques qu'aux activités.

On constate que l'enseignant réserve à la seule information soit les moments de lien activités /math soit pendant ce qui concerne des activités, les mathématiques lui permettant de véhiculer aussi les autres fonctions (mais de manière variable). Plus de structuration dans un moment de bilan plus d'argumentation s'il y a des démonstrations.

Les élèves sont plus sollicités sur ce qui correspond à des activités (quand il y en a) ou aux liens entre elles et les mathématiques que sur les mathématiques.

#### Bilan

En plus des régularités globales, qui se retrouvent inchangées dans chaque épisode, on trouve que les élèves sont plus sollicités sur l'information et moins sur les mathématiques. Tout se passe comme si en cours l'enseignant se réservait structuration et argumentation, et mathématiques décontextualisées.
c) La séance R (tableaux joints en annexe)

Un rappel : description rapide de la séance RV "introduction de la multiplication d'un vecteur par un réel"

Cette séance est découpée en 12 épisodes, dont seul le dernier est du cours (l'introduction du produit d'un réel par un scalaire).

Les 3 premiers exercices sont préparés, et portent sur des révisions à propos de la somme de vecteurs, de la différence entre vecteurs et norme de vecteurs, et de constructions (tâches 1, 2 et 3).

L'épisode n°4 est intermédiaire entre cours et exercices : il permet d'introduire quelque chose qui peu être nouveau, la différence entre deux vecteurs, àpropos d'un exercice préparé. C'est la démarche de l'analogie entre réels et vecteurs qui est invoquée pour résoudre la devinette.

Les exercices suivants ne sont plus préaprés et portent sur du nouveau : c'est ce qu'on cherche à introduire en cours à la fin.

Il s'agit de tracer la somme de deux vecteurs identiques, d'en une expression formelle du type $2\vec{U}$, par la même analogie que prédemment, d'étendre le procédé à $(1/2)\vec{U}$, puis d'appliquer à un vecteur $(3/2)\vec{U}$ puis $(-1/2)\vec{U}$ le descriptif des vecteurs en termes de direction, sens, longueur, avant de donner la définition recherchée.

Les tâches 3, 5 et 6, correspondant à des constructions, nécessitent une étape. Les tâches 3 puis de 5 à la fin traitent de cas particuliers. Les tâches 5bis et 6bis, très proches, ne comportent pas de démonstrations puisqu'il s'agit de deviner une définition. Toutes les autres démonstrations reposent soit sur la relation de Chasles, soit sur la définition de la somme de deux vecteurs soit sur la mise en fonctionnement de l'égalité de deux vecteurs (ou la défintion anticipée du produit par un scalaire).

A) Les analyses locales pendant les exercices (tâches 1, 2, 3, 4, 5, 5bis, 6, 6bis, 6ter, 7 et 8).

1 La répartition globale des diverses catégories analysées et les évolutions selon les tâches

1) Les fonctions

L'information occupe une place très variable du discours, de 22% à 82%. Il en est presque de même de la structuration, qui passe de 3% du discours à 52%. Enfin, même l'argumentation est ici variable, de 7% à 45% du discours.

En fait il y a d'abord deux grands types de répartitions selon les tâches : celles où la somme de l'information et de la structuration dépasse 85% du discours, majoritaires (7 tâches sur 11), et les autres (tâches 4, 5bis, 6bis, 6ter) pour les quelles cette somme ne dépasse pas 76%.

Examinons déjà ces deux groupes : le deuxième groupe est formé exactement des 4 tâches dont nous avons estimé que l'enjeu est une démarche (découverte de la différence de deux vecteurs, devinette de la notation $2\vec{U}$, puis $3/2\vec{U}$, et enfin, par analogie, caractérisation de $k\vec{U}$ pour $k = 3/2$ - cas limite de démarche).

Les autres tâches ont comme enjeu des rappels de méthodes et/ou les résultats correspondants.

Ainsi, tout se passe comme si l'enseignant forçait les argumentations lorsqu'il y a l'enjeu maximal, notamment pour cette séance, l'enjeu de la découverte (par analogie) de la multiplication k fois $\vec{U}$.
Dans le premier groupe, on peut mettre en corrélation les différences de répartition entre information et structuration et la nature de la tâche (apparente, pour nous et l'enseignant) : ainsi toutes les tâches où la part du discours d'information dépasse celle de la structuration sont les tâches de construction sur des cas particuliers (2, 3, 5, 6, 7, 8). La seule où c'est le contraire est la première tâche, où la réponse est une phrase en français (comme d'ailleurs dans les tâches du deuxième groupe sauf la dernière). Dans ces tâches il s'agit d'appliquer des méthodes pour obtenir des représentants particuliers de vecteurs ; l'analyse du détail des informations montre que ce sont beaucoup d'informations directes, de demandes de résultats ou de validation. Ceci devra être affiné par l'étude de la teneur et de l'objet du discours.

## 2) La teneur du discours

Les questions ne sont pas plus régulièrement réparties que ce qui précède.

Leur part varie de 11% à 60%.

Détaillons : il y a d'abord deux tâches où la part des questions dépasse la moitié des interventions analysées : la tâche 3, et la tâche 6bis, les deux tâches "faciles", au sens où elles reprennent des choses déjà revues récemment (ou juste avant). L'enseignant d'ailleurs dit que c'est facile pour la première de ces tâches, et va vite. Il y aurait donc corrélation entre le fait que l'enseignant pense que c'est facile et le fait d'interroger massivement les élèves.

Pour les autres, les questions occupent entre 11% et 37% du discours - les tâches 1, 2, 4, 5, 6, 5bis, 6, 7 et 8.

Regardons la répartition des discours direct et indirect : le premier occupe de 14% à 30% des interventions qui ne sont pas des questions sauf pour les tâches 3, 7 et 8, où il occupe de 46% à 80%, tâches que nous avons déjà trouvées parmi celles où il y a beaucoup d'informations.

Le discours indirect est majoritaire en revanche dans les tâches 1, 2, 4, 5, 5bis, 6, 6bis et 6ter (au moins 64%, sans les questions). Ce groupe englobe les tâches où le discours d'argumentation est le plus important et celles où le discours de structuration est important, seule la tâche 2 fait exception.

## 3) L'objet du discours

La part du discours qui porte sur les activités (en cours) varie encore beaucoup : entre 40 et 50% pour les tâches 1, 2, 3, 5, 8, 6ter, elle descend entre 10 et 20% pour les trois tâches 4, 5bis et 6bis et dépasse les deux-tiers pour les tâches 6 et 7.

Les mathématiques décontextualisées occupent entre un quart et un tiers du discours pour les tâches 1, 3, 4, 5, mais se rapprochent de la moitié (43%) pour la tâche 6ter et restent en dessous de 14% pour les tâches 2, 5bis, 6, 6bis, 7 et 8.

Le lien entre activités et mathématiques est plus travaillé explicitement dans les tâches 2, 4, 5bis, 6bis et 8 (entre 42% et 80%): or les trois tâches du milieu ont un enjeu certain dans la séance, s'appuyant toutes les trois sur l'analogie avec les réels (différence et produit) et il est presque "normal" d'y trouver la préparation des mathématiques à venir dans la rubrique E<--- ; la tâche 2 et la tâche 8 représentent peut-être pour l'enseignant des tâches relativement faciles où il peut
introduire ce lien ?

Ce lien est en revanche très peu évoqué dans les tâches 6ter et 7 (10% à 18%) et occupe entre un quart et un tiers des interventions dans le reste (tâches 1, 3, 5, 6).

## Il Les croisements

Première régularité : les questions portent plus, à partir de la deuxième tâche, sur l'argumentation que sur les autres fonctions, et plus dans les moments où se traite le lien $A<---$ que dans les autres moments. Les élèves sont donc assez vite sollicités sur les démonstrations dans les exercices en cours.

Autre régularité : il y a une association privilégiée dans le discours entre le fait de parler des activités, le fait d'informer et le discours direct. Autrement dit l'enseignant informe plus pendant qu'il parle des activités, et ceci directement.

En revanche il structure en utilisant toujours plutôt le discours indirect, soit en mathématiques soit en parlant du lien entre activités et mathématiques.

## B Le cours

Un seul épisode dans le quel on constate que les mathématiques décontextualisées occupent 81% du discours, qui comprend la moitié d'informations, un tiers de structuration, peu de questions (moins de 10%), et autant de discours direct et indirect.

Il n'y a aucune activité présentant ce style de répartition (sauf pour les fonctions, la tâche 6bis).