Sur les différentes définitions d'un espace nucléaire non localement
convexe

par

JEAN PIERRE LIGAUD (Talence, France)

Sommaire. Le présent travail constitue le développement de résultats indi-
qués sommairement dans [3]. L'étude de la connexion entre s-entropic et rapidité
d'approximation d'un q-disque compact d'un espace localement p-convexe, avec
des techniques analogues à celles que A. Dynin et B. S. Mitiagin [4] et [6] ont utilisées dans
le cas convexe, permet, en tenant compte des résultats de [2] et [3], d'obtenir la solu-
tion d'un problème posé par S. Rolewicz au Colloque d'Analyse Fonctionnelle de
Bordeaux (1971) (voir [5] et [3]), à savoir: existe-t-il des espaces métrisables loca-
lement pseudo-convexes complets et non localement convexes, tels que pour tout
compact K et tout voisinage U de 0, on ait $\lim_{n \to \infty} n \hat{d}_n(K, U) = 0$. Pour la terminologie
et les notations, on renvoie à [2] et [3].

Soient A et B deux équilibrés d'un espace vectoriel E; on pose:

$$
d_n(A, B) = \inf\{\lambda > 0; \exists L, \dim L \le n, A \subset \lambda B + L\},
$$

$$
N(A, B) = \inf\{N; \exists x_k \in E, \bigcup_{k=1}^{N} (x_k + B) \supset A\},
$$

$$
M(A, B) = \sup\{M; x_i - x_j \notin B, i \neq j, x_i \in A, i, j = 1, \dots, M\},
$$

$$
\rho(A, B) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\log \log N(A, \epsilon B)}{\log \frac{1}{\epsilon}}.
$$

Si A est une partie équilibrée de E, on pose également, pour tout x de E
|x|_A = inf{t > 0; x ∈ tA} et si A est un p-disque de E, on note la jauge
de A, pour x ∈ E par ||x||_A = inf{λ^p; λ > 0, x ∈ λA}. On a alors ||x||_A = |x|_P.

§ 1. Résultats techniques préliminaires.

LEMME 1. Si S est un p-disque, K un équilibré quelconque, on a

$$
M(K, 2^{1/p}S) \le N(K, S) \le M(K, S).
$$

Preuve. (Voir [1] p. 282, Théorème IV.) Si $M(K, S) = N(K, S)$
$= +\infty$ c'est évident. Si $N(K, S) < +\infty$, soient $y_1, \dots, y_N \in E$ tels que
$K \subset \bigcup_{k=1}^N (y_k + S)$ avec $N = N(K, S)$ et soient $z_1, \dots, z_M \in E$ tels que
$i \neq j \Rightarrow z_i - z_j \notin 2^{1/p}S$. Si $M > N$ il existe deux points $z_{i_1}$ et $z_{i_2} \in K$, distincts tels que $z_{i_1}, z_{i_2} \in y_k + S$ pour un certain $k$. Alors $z_{i_1} - z_{i_2} = z_{i_1} - y_k + y_k - z_{i_2} \in S + S \subset 2^{1/p}S$ d'où une contradiction, et on a donc $M(K, 2^{1/p}S) \subset N(K, S)$. Si $M(K, S) < +\infty$ soit $x_1, \dots, x_M \in K$ tels que $x_i - x_j \notin S$ pour $i \neq j$ avec $M = M(K, S)$. Alors $K \subset \bigcup_{i=1}^M (x_i + S)$ sinon il existerait $y \in K$ et $y \notin x_i + S$ pour tout $i$, donc $y - x_i \notin S$ pour tout $i$ et $M(K, S) \geq M+1$ ce qui est impossible.

**LEMME 2.** *Soit $(U_n)_{n \ge 0}$ une suite d'équilibres et $\varrho_{k,i} = \varrho(U_k, U_i)$ alors $\frac{1}{\varrho_{n,0}} \ge \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\varrho_{k+1,k}}$ (en posant $\frac{1}{\varrho_{k+1,k}} = +\infty$ si $\varrho_{k+1,k} = 0$ et $= 0$ si $\varrho_{k+1,k} = +\infty$).*

Preuve. Voir la démonstration du lemme 9 de [4] p. 78, où la con- vexité des $U_n$ ne joue aucun rôle.

**LEMME 3.** *Soit $(e_i)_{1 \le i \le n}$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$ et soit*

$$P_n = \left\{ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i e_i; \sum_{i=1}^{n} |\lambda_i|^p \le 1 \right\} \quad (p > 0)$$

alors le volume euclidien de $p_n$ est

$$V(p_n) = \frac{2^n \left[ \Gamma\left(\frac{1}{p}\right) \right]^n}{np^{n-1} \Gamma\left(\frac{n}{p}\right)}$$

(où $\Gamma$ est la fonction d'Euler classique).

$$\text{Preuve. } V(p_n) = \sum_{i=1}^{n} \int d\lambda_1 \dots d\lambda_n = 2^n \int d\lambda_1 \dots d\lambda_n. \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i^{1/p} \le 1 \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i^{p} \le 1$$

Si on pose

$$I_n = \sum_{\substack{i=1 \\ \sum \lambda_i^p \le 1 \\ \lambda_i \ge 0}}^{n} d\lambda_1 \dots d\lambda_n \quad \text{et} \quad y_i = \lambda_i^p$$

on a

$$I_n = \frac{1}{p^n} \sum_{\substack{i=1 \\ \sum y_i^p \le 1}}^{n} y_1^{\frac{1}{p}-1} \dots y_n^{\frac{1}{p}-1} dy_1 \dots dy_n$$

et en posant $z_i = \frac{y_i}{1-y_n}$ pour $i=1, \dots, n-1$, il vient

$$I_n = \frac{1}{p^n} \int_0^1 (1-y_n)^{\frac{n-1}{p}} y_n^{\frac{1}{p}-1} p^{n-1} I_{n-1} dy_n$$

alors

$$I_n = \frac{I_{n-1}}{p} \frac{\Gamma\left(\frac{1}{p}\right) \Gamma\left(\frac{n-1}{p} + 1\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{p} + 1\right)}$$

donc finalement

$$I_n = \frac{n-1}{n} \frac{I_{n-1}}{p} \frac{\Gamma\left(\frac{1}{p}\right) \Gamma\left(\frac{n-1}{p}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{p}\right)}$$

il vient alors

$$I_n = \frac{\left[ \Gamma\left(\frac{1}{p}\right) \right]^n}{np^{n-1} \Gamma\left(\frac{n}{p}\right)},$$

d'où le résultat annoncé.

**LEMME 4.** *Soit S un p-disque absorbant d'un espace vectoriel E et K un équilibre de E, alors, pour $\varepsilon > 0$ assez petit, on a*

$$\log N(K, \varepsilon S) \le \frac{1}{p} m \left( \frac{2^{1/p}}{\varepsilon} \right) \log \left[ \frac{[8 (\frac{\partial^2}{\partial \varepsilon^2} + \varepsilon^p)]}{\varepsilon^p} \right]$$

$$\text{en posant } d_n = d_n(K, S) \text{ et } m(t) = \sup \left\{ n; d_{n-1} \ge \frac{1}{t} \right\}.$$

Preuve. Si $\varepsilon > 0$ est assez petit, $m\left(\frac{2^{1/p}}{\varepsilon}\right)$ existe, donc il existe un sous-espace $E_m$ de dimension

$$m = m\left(\frac{2^{1/p}}{\varepsilon}\right) \quad \text{tel que } K \subset \left(\frac{\varepsilon^p}{2} + \frac{\varepsilon^p}{4}\right)^{1/p} S + E_m$$

car, d'après la définition de $m$, $d_m < \frac{\varepsilon}{2^{1/p}} < \left(\frac{\varepsilon^p}{2} + \frac{\varepsilon^p}{4}\right)^{1/p}$. On pose

$$P_m(\omega) = \{\omega \in E_m; \omega - \omega(\frac{1}{\omega})^{1/p} \in S\},$$

$$K_m = \bigcup_{\omega \in K} P_m(\omega) = E_m \cap [K + (\frac{1}{\omega})^{1/p} \in S]$$

$$S_m = S \cap E_m, \quad N = N(K_m, (\frac{1}{\omega})^{1/p} \in S_m).$$

Alors il existe $x_1, \dots, x_N$ tels que $K_m = \bigcup_{i=1}^N (x_i + (\frac{1}{\omega})^{1/p} \in S_m)$. Tout point $x$ de $K$ s'écrit sous la forme $x = y + z$ avec $y \in (\frac{1}{\omega})^{1/p} \in S$ et $z \in E_m$, donc

$$z = \omega - y \in E_m \cap [K + (\frac{1}{\omega})^{1/p} \in S] = K_m \subset \bigcup_{i=1}^N [x_i + (\frac{1}{\omega})^{1/p} \in S_m]$$
et, finalement

$$K = \bigcup_{i=1}^{N} \left( (x_i + (\frac{1}{2})^{1/p} \varepsilon S) + (\frac{1}{2})^{1/p} \varepsilon S \right) \subseteq \bigcup_{i=1}^{N} \left( (x_i + \varepsilon S) \right)$$

il en résulte que $N(K, \varepsilon S) \le N = N(K_m, (\frac{1}{2})^{1/p} \varepsilon S_m)$.

D'après le lemme 1, $N(K_m, (\frac{1}{2})^{1/p} \varepsilon S_m) \le M(K_m, (\frac{1}{2})^{1/p} \varepsilon S_m) = M$. Mais $M = \sup\{n; t_i - t_j \le (\frac{1}{2})^{1/p} \varepsilon S_m; i \ne j, i, j = 1, \dots, n; t_i \in K_m\}$. Si on prend les points $t_i$ correspondant à $n = M$, les boules $S^i = t_i + (\frac{1}{2})^{1/p} \varepsilon S_m$ ne se coupent pas, sinon $t_i - t_j \le (\frac{1}{2})^{1/p} \varepsilon S_m + (\frac{1}{2})^{1/p} \varepsilon S_m \subseteq (\frac{1}{2})^{1/p} \varepsilon S_m$, ce qui est impossible. Mais $t_i \in E_m \cap (K + (\frac{1}{2})^{1/p} \varepsilon S) \subseteq E_m \cap [(\frac{1}{2})^{1/p} \varepsilon S + d_0 S] \subseteq (\frac{1}{2})^{1/p} \varepsilon^p + d_0^p)^{1/p} S_m$, Donc $S^i \subseteq (\frac{1}{2})^{1/p} \varepsilon^p + d_0^p)^{1/p} S_m + (\frac{1}{2})^{1/p} \varepsilon S_m \subseteq (\varepsilon^p + d_0^p)^{1/p} S_m$. Si $V$ est le volume euclidien dans $E_m$, on a donc

$$V(\bigcup_{i=1}^{M} S^i) = MV[(\frac{1}{2})^{1/p} \varepsilon S_m] \le V[(\varepsilon^p + d_0^p)^{1/p} S_m]$$
done $M(\frac{1}{2})^{m/p} \varepsilon^m \le (\varepsilon^p + d_0^p)^{m/p}$ et $N(K, \varepsilon S) \le M \le \left[ \frac{8(\varepsilon^p + d_0^p)}{\varepsilon^p} \right]^{m/p}$ donc
$$\log N(K, \varepsilon S) \le m \left(\frac{2^{1/p}}{\varepsilon}\right) \frac{1}{p} \log \left[ \frac{8(\varepsilon^p + d_0^p)}{\varepsilon^p} \right].$$

LEMME 5. Soit $(e_1, \dots, e_n)$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$; $0 < q \le 1$, $0 < \varepsilon \le 1$ et soit $a_k > 0$ et $p_n^* = \{\sum_{k=1}^n |\xi_k| a_k e_k; \sum_{k=1}^n |\xi_k|^q \le 1\}$. Alors si $T_s$ désigne le nombre de points de la forme $y = \sum_{k=1}^n \varepsilon \gamma_k e_k$ où $\gamma_k \in \mathbb{Z}$, contenus dans $p_n^*$, on a

$$T_s \ge \frac{\left[ \Gamma \left( \frac{1}{p} \right) \right]^n}{\varepsilon^n q^n \Gamma \left( \frac{n}{q} + 1 \right)} a_1 \dots a_n.$$

Preuve. On considère les cubes $K_y$, centrés aux points $y$ et dont les côtés ont pour longueur $2\varepsilon$. Alors $p_n^* \subseteq \bigcup K_y$, car si $x \in p_n^*$, $x = \sum_{k=1}^n \xi_k a_k e_k$ avec $\sum_{k=1}^n |\xi_k|^q \le 1$. Soit alors $\gamma_k$ la partie entière de $|\xi_k a_k|/\varepsilon$, affectée du signe de $\xi_k$ et $y = \sum_{k=1}^n \varepsilon \gamma_k e_k$. Alors $y = \sum_{k=1}^n \frac{\varepsilon \gamma_k}{a_k} a_k e_k$ et

$$\sum_{k=1}^n \frac{|\varepsilon \gamma_k|^q}{|a_k|} \le \sum_{k=1}^n \left( \frac{|\varepsilon| \xi_k a_k|}{\varepsilon a_k} \right)^q = \sum_{k=1}^n |\xi_k|^q \le 1$$
done $y \in p_n^*$ et $x-y = \sum_{k=1}^n (\xi_k a_k - \varepsilon \gamma_k) e_k$ avec, d'après la définition de $\gamma_k$, $|\xi_k a_k - \varepsilon \gamma_k| \le \varepsilon$, donc $x \in K_y$. Ceci dit, le volume euclidien $V(p_n^*)$ de $p_n^*$ dans la base $(e_k)$ est égal au produit du volume de $p_n^*$ dans la base $(a_k e_k)$ par le déterminant de la matrice de changement de base

$$\begin{pmatrix} a_1 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & a_n \end{pmatrix}.$$

D'après le lemme 3, on obtient : $V(p_n^*) = \frac{2^n}{nq^{n-1}} \left[ \frac{\Gamma\left(\frac{1}{q}\right)^n}{\Gamma\left(\frac{n}{q}\right)} \right] a_1 \dots a_n$.

Alors $V(p_n^*) \le V(\bigcup_{y \in p_n^*} K_y) \le T_s V(K_y) = T_s 2^n \varepsilon^n \text{ d'où}$

$$T_s \ge \frac{\left[ \Gamma \left( \frac{1}{q} \right) \right]^n}{\varepsilon^n n q^{n-1} \Gamma \left( \frac{n}{q} \right)} a_1 \dots a_n = \frac{\left[ \Gamma \left( \frac{1}{q} \right) \right]^n}{\varepsilon^n q^n \Gamma \left( \frac{n}{q} + 1 \right)} a_1 \dots a_n.$$

LEMME 6. Soit $K$ un $q$-disque, et $S$ un $p$-âdisque. On a alors

$$\log N(K, \varepsilon S) \ge \int_0^{\frac{1}{2\varepsilon}} \frac{l(t)}{t} dt \text{ avec } \theta = \frac{2^{1/p} q}{\Gamma\left(\frac{1}{q}\right)}$$

et

$$l(t) = \sup \left\{ n; \frac{d_{n-1}}{\left( \frac{n}{q} + 1 \right)^{\frac{1}{q} + 1}} \ge \frac{1}{t} \right\}$$

$(l(t) = 0 \text{ si ce dernier ensemble est vide}) \text{ et } d_n = d_n(K, S).$

Preuve. Soit $0 < \lambda < 1$ donné, mais arbitraire, et soit $(\varepsilon_n)_{n \ge 0}$ une suite décroissante vers $0$ de nombres $> 0$ telle que $\prod_{n=0}^{+\infty} (1 - \varepsilon_n) > \lambda$. Remarquons d'abord que $[d_n(K, S)]^p = \inf_{\dim L \le n} \sup_{x \in K} \inf_{y \in L} \|x - y\|_S \text{ donc } d_0^p = \sup_{x \in K} \|x\|_S$. Il existe alors $x_1 \in K$ tel que $a_1^p = \|x_1\|_S \ge (1 - \varepsilon_0) d_0^p$. Si on suppose $x_1, \dots, x_n$ construits et si on désigne par $L_n$ le sous-espace engendré par ces points, $\dim L_n \le n$ donc $\sup_{x \in K} \inf_{y \in L_n} \|x - y\|_S > (1 - \varepsilon_n) d_n^p$. Il existe donc $x_{n+1} \in K$ tel que $a_{n+1}^p = \inf_{y \in L_n} \inf_{x \in K} \|x_{n+1} - y\|_S > (1 - \varepsilon_n) d_n^p$. On construit ainsi une suite de points $x_n \in K$ $(n \ge 1)$ linéairement indépendants tels que $a_{n+1}^p = \inf_{y \in L_n} \inf_{x \in K} \|x_{n+1} - y\|_S > (1 - \varepsilon_n) d_n^p$ pour tout $n \ge 0$.

Soit $\sigma_n = \{\sum_{k=1}^n \xi_k \omega_k; \sum_{k=1}^n |\xi_k|^q \le 1\}$. Puisque $K$ est $q$-disqué, $\sigma_n \subset K$ et d'après le lemme 5, si $T_{s,n}$ désigne le nombre de points de la forme $x = \sum_{k=1}^n \varepsilon a_k \frac{1}{a_k} x_k \text{ contenus dans } \sigma_n$, où $a_k \in \mathbb{Z}$, en posant $e_k = \frac{x_k}{a_k}$ on voit
que $T_{s,n} \ge \frac{\left[\Gamma\left(\frac{1}{q}\right)\right]^n}{\varepsilon^n q^n \Gamma\left(\frac{n}{q}+1\right)} a_1 \dots a_n$. Mais si $z_1 = \sum_{k=1}^n \varepsilon a_k \frac{1}{a_k} x_k$ et $z_2 = \sum_{k=1}^n \varepsilon \beta_k \frac{1}{a_k} x_k$ sont deux tels points, et s'ils sont distincts, on a $z = z_1 - z_2 = \sum_{k=1}^m \gamma_k \varepsilon \frac{1}{a_k} x_k$ avec $|\gamma_m| \ge 1$ et $1 \le m \le n$, où m désigne le plus grand indice k pour lequel $a_k \ne \beta_k$. Alors $\|z\|_S \ge \inf_{y \in L_{m-1}} \|z-y\|_S = \inf_{y \in L_{m-1}} \|\gamma_m \varepsilon \frac{1}{a_m} x_m - y\|_S = |\gamma_m|^p \varepsilon^p \frac{1}{a_m^p} \inf_{y \in L_{m-1}} \|x_m - y\|_S = |\gamma_m|^p \varepsilon^p \frac{1}{a_m^p} \varepsilon^p$ et donc $z \notin \varepsilon'S$ pour tout $\varepsilon' < \varepsilon$ et $M(\sigma_n, \varepsilon'S) \ge T_{s,n}$ pour tout $\varepsilon' < \varepsilon$. D'après le lemme 1 on a alors

$$N(K, \varepsilon'S) \ge N(\sigma_n, \varepsilon'S) \ge M(\sigma_n, 2^{1/p} \varepsilon'S) \ge T_{2^{1/p}\sigma_n}$$ $$\ge \frac{\left[\Gamma\left(\frac{1}{q}\right)\right]^n}{2^{n/p} \varepsilon^n q^n \Gamma\left(\frac{n}{q}+1\right)} a_1 \dots a_n.$$

Cette inégalité étant vraie pour $\varepsilon'$ fixé et pour tout $\varepsilon > \varepsilon'$, on a en changeant de notations :

$$N(K, \varepsilon S) \ge \frac{\left[\Gamma\left(\frac{1}{q}\right)\right]^n}{2^{n/p} \varepsilon^n q^n \Gamma\left(\frac{n}{q}+1\right)} a_1 \dots a_n \ge \frac{\left[\Gamma\left(\frac{1}{q}\right)\right]^n}{2^{n/p} \varepsilon^n q^n \Gamma\left(\frac{n}{q}+1\right)}$$ $$\prod_{k=1}^{n} (1 - \varepsilon_{k-1})^{1/p} d_{k-1} \ge \frac{\left[\Gamma\left(\frac{1}{q}\right)\right]^n}{2^{n/p} \varepsilon^n q^n \Gamma\left(\frac{n}{q}+1\right)} \lambda^{1/p} \prod_{k=1}^{n} d_{k-1}$$

et comme ceci est vrai pour un $\lambda$ arbitraire tel que $0 < \lambda < 1$, on a finalement

$$N(K, \varepsilon S) \ge \frac{\left[\Gamma\left(\frac{1}{q}\right)\right]^n}{2^{n/p} \varepsilon^n q^n \Gamma\left(\frac{n}{q}+1\right)} \prod_{k=1}^{n} d_{k-1} \quad \text{pour tout } n \ge 1.$$

Soit maintenant $m = \lfloor \frac{n}{q} \rfloor$ la partie entière de $\frac{n}{q}$. Comme $1 \le \frac{n}{q} \le m+1 \le \frac{n}{q}+1$ et que $\Gamma$ est une fonction croissante sur $[1, +\infty[$, on a $\Gamma(\frac{n}{q}+1) \le \Gamma(m+2) = (m+1)!$.

Mais pour tout $k$, $0 \le k \le m$, $k$ entier, on a $m-k+1 \le \frac{n}{q}-k+1$ donc

$$(m+1)! \le \prod_{k=0}^{m} \left(\frac{n}{q} - k + 1\right) = \prod_{0 \le k \le \frac{n}{q}} \left(\frac{n}{q} - k + 1\right) \le \prod_{s=1}^{n} \prod_{\frac{s-1}{q} < k \le \frac{s}{q}} \left(\frac{n}{q} - k + 1\right)$$

car $\frac{n}{q}-k+1$ est toujours $\ge 1$. Pour $k \in N$, $\frac{s-1}{q} \le k \le \frac{s}{q}$, on a $\frac{n}{q}-k+1 \le \frac{n}{q}-\frac{s-1}{q}+1 = \frac{n-s+1}{q}+1$. Si $N_s$ désigne le nombre d'entiers $k$ tels que $\frac{s-1}{q} \le k \le \frac{s}{q}$, on a

$$\prod_{\frac{s-1}{q} \le k \le \frac{s}{q}} \left(\frac{n}{q} - k + 1\right) \le \left(\frac{n-s+1}{q} + 1\right)^{N_s}.$$

Mais $N_s \le \lfloor \frac{1}{q} \rfloor + 1 \le \frac{1}{q} + 1$ et $\frac{n-s+1}{q} + 1 \ge 1$ donc $\left(\frac{n-s+1}{q} + 1\right)^{N_s} \le \left(\frac{n-s+1}{q} + 1\right)^{\frac{1}{q}+1}$. Finalement, nous avons donc

$$N(K, \varepsilon S) \ge \frac{\left[\Gamma\left(\frac{1}{q}\right)\right]^n}{2^{n/p} \varepsilon^n q^n \prod_{k=1}^{n} \left(\frac{n-k+1}{q} + 1\right)^{\frac{1}{q}+1}} \prod_{k=1}^{n} d_{k-1}.$$

Soit encore

$$N(K, \varepsilon S) \ge \prod_{k=1}^{n} \frac{\Gamma\left(\frac{1}{q}\right) d_{k-1}}{2^{1/p} \varepsilon q \left(\frac{k}{q} + 1\right)^{\frac{1}{q}+1}}$$

et, en posant $0 = \frac{2^{1/p} q}{\Gamma\left(\frac{1}{q}\right)}$, $N(K, \varepsilon S) \ge \prod_{k=1}^{n} \frac{d_{k-1}}{\theta \varepsilon \left(\frac{k}{q} + 1\right)^{\frac{1}{q}+1}}$.
La suite

$$ \left( \frac{d_{k-1}}{\left( \frac{k}{q} + 1 \right)^{\frac{1}{q}+1}} \right)_k $$

est décroissante. Si on prend les indices $k$ tels que

$$ \frac{d_{k-1}}{\theta_{\varepsilon}\left(\frac{k}{q}+1\right)^{\frac{1}{q}+1}} \ge 1 $$

on a alors

$$ N(K, \varepsilon S) \ge \prod_{\substack{k \text{ tels que} \\ \theta_{\varepsilon}\left(\frac{k}{q}+1\right)^{\frac{1}{q}+1} \le d_{k-1}}} \frac{d_{k-1}}{\theta_{\varepsilon}\left(\frac{k}{q}+1\right)^{\frac{1}{q}+1}} $$

donc

$$ \log N(K, \varepsilon S) \ge \sum_{\substack{k \text{ tels que} \\ \theta_{\varepsilon}\left(\frac{k}{q}+1\right)^{\frac{1}{q}+1} \le d_{k-1}}} \log \left[ \frac{d_{k-1}}{\theta_{\varepsilon}\left(\frac{k}{q}+1\right)^{\frac{1}{q}+1}} \right] $$

La fonction $l$ définie dans l'énoncé du lemme est une fonction en escalier croissante, définie sur $]0, +\infty[$, et on a, en utilisant l'intégrale de Stieltjes:

$$ \sum_{\substack{k \text{ tels que} \\ \theta_{\varepsilon}\left(\frac{k}{q}+1\right)^{\frac{1}{q}+1} \le d_{k-1}}} \log \left[ \frac{d_{k-1}}{\theta_{\varepsilon}\left(\frac{k}{q}+1\right)^{\frac{1}{q}+1}} \right] = \int_0^{\frac{1}{\theta_{\varepsilon}}} \log \left( \frac{1}{\theta_{\varepsilon}t} \right) dl(t). $$

En intégrant par parties, il vient:

$$ \int_0^{\frac{1}{\theta_{\varepsilon}}} \log \left( \frac{1}{\theta_{\varepsilon}t} \right) \bar{d}l(t) = \left[ l(t) \log \left( \frac{1}{\theta_{\varepsilon}t} \right) \right]_0^{\frac{1}{\theta_{\varepsilon}}} + \int_0^{\frac{1}{\theta_{\varepsilon}}} \frac{l(t)}{t} dt. $$

Pour $t = \frac{1}{\theta_{\varepsilon}}$ on a $l(t)\log(\frac{1}{\theta_{\varepsilon}t}) = l(\frac{1}{\theta_{\varepsilon}})\log 1 = 0$. Quand $t \to 0$, si on suppose que la suite $\bar{d}_n$ est bornée (c'est-à-dire s'il existe un $\lambda > 0$ tel que $K \subset \lambda S$, ce qui sera toujours vérifié par la suite) alors $\bar{d}_n \le \lambda$ et si $n = l(t)$ on a:

$$ \frac{1}{t} \le \frac{d_{n-1}}{\left( \frac{n}{q} + 1 \right)^{\frac{1}{q} + 1}} \le \frac{\lambda}{\left( \frac{n}{q} + 1 \right)^{\frac{1}{q} + 1}} $$

donc $\left(\frac{n}{q} + 1\right)^{\frac{1}{q}+1} \le \lambda t$ et $n = l(t) \le q[\lambda t]^{\frac{q}{q+1}-1} \le q(\lambda t)^{\frac{q}{q+1}}$. Alors $0 \le l(t) \log(\frac{1}{\theta_{\varepsilon}t}) \le q(\lambda t)^{\frac{q}{q+1}+1} \log(\frac{1}{\theta_{\varepsilon}t}) \to 0$ quand $t \to 0$; et .finalement

$$ \log N(K, \varepsilon S) \ge \int_0^{\frac{1}{\theta_{\varepsilon}}} \frac{l(t)}{t} dt. $$

LEMME 7. Soit $K$ un équilibré, et $S$ un p-disque, et soit $\alpha$ l'indice de convergence de la suite $d_n = d_n(K, S)$ (c'est-à-dire que $\alpha = \inf\{\beta > 0; \sum d_n^\beta < +\infty\}$). Alors $\rho(K, S) \le \alpha$.

Preuve. D'après le lemme 4, pour $\varepsilon > 0$ assez petit, on a

$$ \frac{\log \log N(K, \varepsilon S)}{\log \frac{1}{\varepsilon}} \le \frac{\log m\left(\frac{2^{1/p}}{\varepsilon}\right)}{\log \frac{1}{\varepsilon}} + \frac{\log \log \left[ \frac{8(d_0^p + \varepsilon^p)}{\varepsilon^p} \right]}{\log \frac{1}{\varepsilon}} - \frac{\log p}{\log \frac{1}{\varepsilon}}, \\ m(t) = \sup\{n; d_{n-1} \ge \frac{1}{t}\} = \sup\{n; t \ge \frac{1}{d_{n-1}}\} $$

donc si $\alpha = \inf\{\beta > 0; \sum_{n \ge 0} d_n^\beta = \sup_{n \ge 0} \left(\frac{1}{d_n}\right)^\beta < +\infty\}$. D'après le lemme 7

de ([4], p. 77), puisque $\bar{d}_n \to 0$, $\alpha = \lim_{t \to +\infty} \frac{\log m(t)}{\log t}$ donc $\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\log m\left(\frac{2^{1/p}}{\varepsilon}\right)}{\log \frac{1}{\varepsilon}} = \alpha$.

Comme

$$ \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\log p}{\log \frac{1}{\varepsilon}} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\log \log \left[ \frac{8(d_0^p + \varepsilon^p)}{\varepsilon^p} \right]}{\log \frac{1}{\varepsilon}} = 0 $$

on a $\rho(K, S) \le \alpha$.

LEMME 8. Soit $K$ un $q$-disque et $S$ un $p$-disque. La suite $((n+1)^{\frac{1}{q}})_{n=0}^{\infty} \times d_{n-1}(K, S))_{n=0}^{\infty}$ est bornée pour tout $\beta > \rho(K, S)$.

Preuve. D'après le lemme 6, comme $l(t) \ge 0$ est croissante, on a

$$ \log N(K, \varepsilon S) \ge \int_0^{\frac{1}{\theta_{\varepsilon}}} \frac{l(t)}{t} dt \ge \int_{\frac{1}{\theta_{\varepsilon}}}^{\frac{1}{\theta_{\varepsilon}}} \frac{l(t)}{t} dt \ge l\left(\frac{1}{\theta_{\varepsilon}\varepsilon}\right) \int_{\frac{1}{\theta_{\varepsilon}}}^{\frac{1}{\theta_{\varepsilon}}} \frac{dt}{t} = l\left(\frac{1}{\theta_{\varepsilon}\varepsilon}\right). $$
Alors

$$ \frac{\log l\left(\frac{1}{\theta\epsilon\epsilon}\right)}{\log\left(\frac{1}{\theta\epsilon\epsilon}\right)} \le \frac{\log\log N(K, \epsilon S)}{\log\left(\frac{1}{\epsilon}\right)} \times \frac{\log\frac{1}{\epsilon}}{\log\left(\frac{1}{\theta\epsilon\epsilon}\right)} $$

donc $\lim_{t \to +\infty} \frac{\log l(t)}{\log t} \le \varrho = \varrho(K, S)$. D'après ([4], p. 77, lemme 7), la suite $A_n = \frac{\left(\frac{n}{q} + 1\right)^{\frac{1}{q}+1}}{d_{n-1}}$ vérifie alors $\sum_n \left(\frac{1}{A_n}\right)^\beta < +\infty$ pour $\beta > \varrho$, c'est-à-dire que $\sum_n \left(\frac{d_{n-1}}{\left(\frac{n}{q}+1\right)^{\frac{1}{q}+1}}\right)^\beta < +\infty$. Le terme général de cette suite étant

décroissant, il est classique que pour $n$ assez grand,

$$ \left( \frac{d_{n-1}}{\left( \frac{n}{q} + 1 \right)^{\frac{1}{q} + 1}} \right)^{\beta} (n+1) \le 1, $$

d'où le résultat annoncé.

**§ 2. Application aux espaces vectoriels topologiques nucléaires.** Formément aux définitions de [2] et [3], on dira qu'un evt *E* est nucléaire s'il existe un nombre $\alpha > 0$ tel que pour tout voisinage *U* de 0 il en existe un autre *V* tel que $d_n(V, U) \le \frac{1}{(n+1)^\alpha}$.

D'après [2] et [3] on sait que tout espace localement pseudo-convexe nucléaire est localement convexe.

**PROPOSITION 1.** Soit *E* un evt métrisable et *p* ($0 < p \le 1$). S'il existe une constante *C* ($0 < C < +\infty$) telle que pour tout compact *K* de *E* et tout voisinage *U* de 0, on ait $\varrho(\Gamma_p(K), \Gamma_p(U)) \le C$, alors pour tout voisinage *U* de 0, il en existe un autre *V* tel que $\varrho(\Gamma_p(V), \Gamma_p(U)) \le 2C$.

Preuve. Soit $(U_n)$ une base de voisinages de 0 de $E$. Si on n'a pas la propriété, il existe un voisinage $U$ de 0 dans $E$ tel que, quelques soit $n$,

$$ \varrho(\Gamma_p(U_n), \Gamma_p(U)) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\log \log N(\Gamma_p(U_n), \epsilon \Gamma_p(U))}{\log \frac{1}{\epsilon}} > 2C. $$

Il existe alors $\delta_n > 0$, aussi petit que l'on veut, tel que

$$ \frac{\log \log N(\Gamma_p(U_n), \delta_n \Gamma_p(U))}{\log \frac{1}{\delta_n}} > \frac{3}{2} C, $$

donc $N(\Gamma_p(U_n), \delta_n \Gamma_p(U)) > e^{\left(\frac{1}{2n}\right)^{\frac{3}{2}C}}$, et alors $M(\Gamma_p(U_n), \delta_n \Gamma_p(U)) > e^{\left(\frac{1}{4n}\right)^{\frac{3}{2}C}}$ d'après le lemme 1. Il existe alors $\omega_1, \dots, \omega_{M_n}, M_n := M(\Gamma_p(U_n), \delta_n \Gamma_p(U))$, tels que $\omega_i - \omega_j \ne 0$ $\delta_n \Gamma_p(U), i \ne j, \omega_i \in \Gamma_p(U_n)$. Alors $\omega_i \in \Gamma_p(C_{i,n})$ où $C_{i,n}$ est une partie finie de $U_n$. Soit $K_n := \bigcup_{i=1}^{M_n} C_{i,n}$, $K_n$ est une partie finie contenue dans $U_n$, donc $K = \{0\} \cup \{\bigcup_n K_n\}$ est un compact de $E$. Alors $\omega_i \in \Gamma_p(K_n)$ donc $M(\Gamma_p(K_n), \delta_n \Gamma_p(U)) \ge M_n$ et $N(\Gamma_p(K), \epsilon \Gamma_p(U)) \ge N(\Gamma_p(K_n), \epsilon \Gamma_p(U))$ et $N(\Gamma_p(K_n), \frac{\delta_n}{2^{1/p}} \Gamma_p(U)) \ge M(\Gamma_p(K_n), \delta_n \Gamma_p(U)) > e^{\left(\frac{1}{4n}\right)^{\frac{3}{2}C}}$. Il en résulte que

$$ \varrho(\Gamma_p(K), \Gamma_p(U)) \ge \lim_{\epsilon_n \to 0} \frac{\log \log N \left( \Gamma_p(K), \frac{\delta_n}{2^{1/p}} \Gamma_p(U) \right)}{\log \frac{2^{1/p}}{\delta_n}}, $$

si on prend la peine de choisir les $\delta_n$ décroissant vers 0. Alors $\varrho(\Gamma_p(K), \Gamma_p(U)) \ge \frac{3}{2}C$, ce qui est impossible.

**PROPOSITION 2.** Soit *E* un evt localement *p*-convexe, séparé; s'il vérifie une des conditions suivantes, il est localement convexe.

a) Il existe une constante $C$ ($0 < C < +\infty$) telle que pour tout voisinage $U$ de 0 il en existe un autre $V$ avec $\varrho(V, U) \le C$.

b) Pour tout voisinage $U$ de 0 il en existe un autre $V$ et une suite $(\omega_n)$ de $E$ tels que $\sum_n |\omega_n|_U < +\infty$ et $V$ soit contenu dans l'enveloppe $l_p$-disquée de la suite $(\omega_n)$.

c) *E* est métrisable et il existe une constante *C* ($0 < C < +\infty$) telle que pour tout compact *K* et tout voisinage *U* de 0, on ait $\varrho(K, U) \le C$.

Preuve. Il est bien connu d'après [4] que ces différentes conditions, pour $p = 1$, impliquent la nucléarité de $E$. On va montrer que ceci reste vrai pour tout $p$ ($0 < p \le 1$), ce qui suffira, d'après [2] et [3].

a) Soit $\delta > 0$ et soit $U$ un voisinage de 0, alors on peut trouver une suite $(U_n)$ de voisinages de 0 telle que $U_0 = \mathcal{J}$ et $\varrho(U_{n+1}, U_n) \le C$. D'après le lemme 2,
$$ \frac{1}{\varrho(U_{n+1}, U)} \geq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\varrho(U_{k+1}, U_k)} \geq \frac{n+1}{C} $$

donc $\varrho(U_{n+1}, U) \leq \delta$ pour $\frac{O}{n+1} \leq \delta$.

Soit maintenant $\delta$ tel que $\frac{1}{\delta} > \frac{1}{p} + 1$, d'après ce qui précède pour tout voisinage $U$ de $0$, $p$-disqué, il en existe un autre $V$ tel que $\varrho(V, U) < \delta$. D'après le lemme 8, la suite $((n+1)^{\frac{1}{\delta}})^{\frac{1}{p}-1} d_{n-1}(V, U)$ est bornée, donc si $0 < \alpha < \frac{1}{\delta} - \frac{1}{p} - 1$, on a $\lim_{n \to +\infty} (n+1)^a d_n(V, U) = 0$ et $E$ est nucléaire.

b) On peut toujours supposer que la suite $(|x_n|_U)$ est décroissante. Soit $L_n$ le sous-espace vectoriel engendré par $x_1, \dots, x_n$. Alors $\dim L_n \le n$ et $d_n(V, U) \le d_n(\Gamma_p(x_k), U)$ si $\Gamma_{lp}(x_k)$ désigne l'enveloppe $l_p$-disqué de la suite $(x_k)$. Si $x \in \Gamma_p(x_k)$, $x = \sum_{i=1}^{+\infty} \lambda_i x_i$ avec $\sum_{i=1}^{+\infty} |\lambda_i|^p \le 1$. Donc

$$ \begin{aligned} |x - \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i|_{U}^{p} &= \|x - \sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i\|_{U} \le \sum_{i=n+1}^{+\infty} |\lambda_i|^p \|x_i\|_{U} \\ &\le \sum_{i=n+1}^{+\infty} |\lambda_i|^p |x_i|_{U}^{p} \le \sum_{i=n+1}^{+\infty} |\lambda_i|^p \le |x_{n+1}|_{U}^{p}. \end{aligned} $$

Donc $(d_n(V, U))^{1/p} \le |x_{n+1}|_U$ car $x \in |x_{n+1}|_U U + L_n$ et $\sum (d_n(V, U))^{1/p} < +\infty$ donc $(nd_n(V, U))^{1/p}$ est une suite bornée et $E$ est nucléaire.

c) La démonstration de la proposition 1 fournit également le résultat suivant: si $E$ est un évit métrisable localement $p$-convexe, et s'il existe une constante $C$ telle que pour tout voisinage $U$ de $0$ et tout compact $K$ on ait $\varrho(K, U) \le C$ alors, pour tout voisinage $U$ de $0$, il en existe un autre $V$ tel que $\varrho(V, U) \le 2C$. Ce résultat et le résultat a) fournissent la démonstration de c).

**PROPOSITION 3.** Soit $E$ un évit localement pseudo-convexe métrisable tel qu'il existe $\alpha > 0$ tel que pour tout voisinage $U$ de $0$ et tout compact $K$ on ait $\lim n^a d_n(K, U) = 0$, alors $E$ est localement convexe.

Preuve. Soit $U$ un voisinage de $0$ de $E$, qu'on peut prendre $p$-disqué pour un certain $p$ et soit $(V_i)$ une base de voisinages de $0$ de $E$. Alors $(\Gamma_p(V_i))$ est une base de voisinages de $0$ pour l'évent enveloppe localement $p$-convexe $E_p$ de $E$ et pour tout compact $K$ de $E$ et tout voisinage $V$ de $0$ de $E$, on a $\lim n^a d_n(\Gamma_p(K), \Gamma_p(V)) = 0$. Soit $E'_p$ le séparé de $E_p$. $E'_p = E_{p|N}$ avec $N = \bigcap_i \Gamma_p(V_i)$. D'après le lemme 7, puisque l'indice de convergence

de la suite $(d_n(\Gamma_p(K), \Gamma_p(V)))$ est $\le \frac{1}{\alpha}$, on a $\varrho(\Gamma_p(K), \Gamma_p(V)) \le \frac{1}{\alpha}$. Alors, d'après la proposition 1, pour tout voisinage $V$ de $0$ dans $E$, il en existe un autre $W$ tel que $\varrho(\Gamma_p(W), \Gamma_p(V)) \le \frac{2}{\alpha}$. Soit $\varrho = E_p \to E'_p$ l'application canonique. Si $n = N(\Gamma_p(W), \Gamma_p(V))$, il existe alors $x_1, \dots, x_n \in E$ tels que $\Gamma'_p(W) = \bigcup_{i=1}^n \{x_i + \Gamma'_p(V)\}$ donc $\varrho(\Gamma'_p(W)) = \bigcup_{i=1}^n [\varrho(x_i) + \varrho(\Gamma'_p(V))]$ et $N(\varrho(\Gamma'_p(W)), \varrho(\Gamma'_p(V))) \le N(\Gamma'_p(W), \Gamma'_p(V))$ et $\varrho(\varrho(\Gamma'_p(W)), \varrho(\Gamma'_p(V))) \le \varrho(\Gamma'_p(W), \Gamma'_p(V)) \le \frac{2}{\alpha}$. D'après la proposition 2, $E'_p$ est localement convexe. Si $B$ est un borné de $E$, $\varrho(B)$ est borné dans $E'_p$ et $\Gamma(\varrho(B)) = \varrho(\Gamma(B))$ est encore borné dans $E'_p$. En particulier il existe un $\lambda > 0$ tel que pour le voisinage $U$ de $0$ dans $E$ choisi au début, on ait $\varrho(\Gamma(B)) = \lambda\varrho(\Gamma_p(U)) = \lambda\varrho(U)$. Alors $\Gamma'(B) = \lambda U + N = \lambda U + \lambda U = 2^{1/p} \lambda U$ et $\Gamma'(B)$ est borné dans $E$. La bornologie de von Neumann de $E$ est convexe, et $E$ est métrisable, donc il est localement convexe.

Cette dernière proposition est la solution du problème n°8 de S. Rolewicz (voir [5]) posé au Colloque d'Analyse Fonctionnelle de Bordeaux (1971).

Bibliographie

[1] A. N. Kolmogorov et B. M. Tikhomirov, *s-entropy and s-capacity of sets in functions spaces*, Analy. Math. Soc. Trans. 17 (1961), p. 277-364.

[2] J. P. Ligaud, *Solution d'un problème de S. Rolewicz sur les espaces nucléaires*, C. R. A. S. t. 273 (1971), p. 113-114.

[3] —, *Sur les rapports de convexité des topologies et bornologies dans les espaces nucléaires*, (à paraître aux Studia Math.).

[4] B. S. Mitiagin, *Approximate dimension and bases in nuclear spaces*, Russian Math. Surveys 16 (1961), p. 59-127.

[5] S. Rolewicz, *Open problems on linear metric spaces*, Colloque d'Analyse Fonctionnelle, Bordeaux (1971), Bull. S. M. F. (à paraître).

[6] A. Dynin et B. S. Mitiagin, *Criterion for nuclearity in terms of approximative dimension*, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 8 (1960), p. 535-540.