# Recherches sur l'utilisation du tableau par des enseignants de mathématiques de seconde pendant des séances d'exercices (rapport de réponse à l'appel d'offres de l'IUFM de Versailles de 99-00)

Aline Robert, Fabrice Vandebrouck, Patrick Beziaud, Dominique Dumortier

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Aline Robert, Fabrice Vandebrouck, Patrick Beziaud, Dominique Dumortier. Recherches sur l'utilisation du tableau par des enseignants de mathématiques de seconde pendant des séances d'exercices (rapport de réponse à l'appel d'offres de l'IUFM de Versailles de 99-00). IREM de Paris. IREM de Paris, 36, 2001, Cahier de DIDIREM, René Cori, 2-86612-208-9. hal-02142422

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Submitted on 28 May 2019

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# CAHIER DE DIDIREM

RECHERCHES SUR L'UTILISATION DU TABLEAU PAR
DES ENSEIGNANTS DE MATHEMATIQUES DE
SECONDE PENDANT DES SEANCES D'EXERCICES

Par A. Robert et F. Vandebrouck
avec la collaboration de P. Béziaud et D. Dumortier

DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES
UNIVERSITE PARIS 7 - DENIS DIDEROT
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CAHIER DE DIDIREM

RECHERCHES SUR L'UTILISATION DU TABLEAU PAR
DES ENSEIGNANTS DE MATHEMATIQUES DE
SECONDE PENDANT DES SEANCES D'EXERCICES

Par A. Robert et F. Vandebrouck
avec la collaboration de P. Béziaud et D. Dumortier

DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES
UNIVERSITE PARIS 7 - DENIS DIDEROT
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# I PROBLEMATIQUE : LE TABLEAU POUR LES ELEVES, LE TABLEAU POUR L'ENSEIGNANT, QUELLES UTILISATIONS....................................................4

## 1) Le point de vue des apprentissages des élèves

a) Description des contenus en jeu

b) Description des accompagnements de l'enseignant

c) Description du travail des élèves

d) Retour au tableau

## 2) Comment étudier le tableau, quoi retenir ? spécificités et fonctions a priori du tableau.

a) Le tableau, support d'un écrit (intermédiaire) - nature de l'écrit au tableau

b) Le tableau, support d'une activité : qui écrit au tableau, selon quelles modalités, avec quelle finalité immédiate ?

c) Gestion du tableau : l'intégration du tableau dans le travail des élèves, le rapport entre l'écrit au tableau et l'oral qui l'accompagne

d) Fonctions du tableau

## 3) Le point de vue du métier de l'enseignant

## 4) Un complément prospectif : le point de vue des élèves a posteriori (effets à court terme du tableau)

# II METHODOLOGIE ET PREMIERES DONNEES..................................................11

## 1) Matériel analysé

## 2) Découpage de chaque transcription et des trois séances.

## 3) Quelles données retenir ?

a) Accompagnements de l'enseignant

b) Travail des élèves et tableau

c) Utilisation du tableau

## 4) les analyses de données, premières données quantifiées

a) Etude globale des colonnes et premières données quantitatives

b) Croisements des scènes (sous-tâches) et des autres colonnes et synthèse

# III RESULTATS..................................................................................17

## 1) Les analyses globales comparées des accompagnements de l'enseignant.

a) Comparaison des séances du point de vue de la nature des accompagnements.

b) Comparaison des accompagnements du point de vue des apports mathématiques et de la dévolution aux élèves

c) Comparaison des accompagnements du point de vue de leur place par rapport aux activités des élèves

d) Comparaison des accompagnements du point de vue des liens directs avec les élèves

e) La régularité suivant le type de demi-séance : exemple de l'enseignant p3.

f) Le rôle du temps : comparaison des enseignants p1 et p2 lorsqu'il y a moins de temps

## 2) Accompagnements des enseignants et utilisation du tableau comparés.

a) Demi-séances avec préparation. Comparaison globale des enseignants p2 et p3 et intégration des résultats sur le tableau.
Recherches sur l'utilisation du tableau par des enseignants de mathématiques de
seconde pendant des séances d'exercices

(rapport en réponse à l'appel d'offres de l'IUFM de Versailles 99-00, rédigé par A. Robert et F. Vandebrouck, avec la collaboration de P. Béziaud et D. Dumortier<fnref n="1" />)

Depuis 1998, dans le cadre d'appels d'offres successifs lancés par l'I.U.F.M. de Versailles, nous nous intéressons au difficile problème des effets sur les élèves des pratiques enseignantes en mathématiques en classe de seconde. Ces recherches s'inscrivent dans le travail de l'équipe interne de l'IUFM qui s'intéresse plus largement à ce même thème, mais elle est aussi menée en liaison étroite avec d'autres recherches, effectuées dans le même temps par des membres de l'équipe Didirem de l'université de Paris VII. Un objectif à long terme est aussi d'élaborer des savoirs de formation.

Le travail précis suivant s'insère dans ce cadre général et concerne une pratique particulière, en classe de mathématiques, l'utilisation du tableau par les enseignants. Nous cherchons à l'analyser en nous appuyant

* d'une part sur les dimensions que nous admettons le mieux caractériser les activités potentielles des élèves provoquées par l'enseignant, c'est à dire sur ce qui est porteur, notamment pendant la classe, d'effets éventuels en termes d'apprentissage ultérieur des mathématiques

* d'autre part sur les dimensions que nous retenons pour caractériser les pratiques de l'enseignant (métier).

Il s'agit donc de repérer en particulier comment le tableau (noir ou vert), pendant les séances, joue son rôle dans la dialectique "tâche prescrite par l'enseignant / activité élève", en analysant aussi la place spécifique que se donne l'enseignant.

En tant que didacticiens en effet, nous disposons déjà d'hypothèses quant aux relations entre tâches et activités des élèves, en termes d'apprentissage ultérieur des élèves. Cette étude est l'occasion de faire travailler, voire de reconfirmer ces hypothèses à propos de l'utilisation du tableau. Elle est aussi l'occasion d'en concevoir de nouvelles que cette même étude ou des études ultérieures viendront peut-être conforter. Cela nous permet également d'enrichir notre connaissance de l'exercice du métier d'enseignant.

Dans ce rapport, nous allons successivement développer la problématique que nous avons adoptée, puis présenter la méthodologie utilisée, avant d'exposer trois cas différents d'utilisation du tableau. Nous exposerons d'abord des analyses comparées des déroulements des séances (tableau et accompagnements des enseignants), puis nous conclurons sur des propositions de types d'utilisation du tableau et sur la cohérence globale des pratiques pour une séance donnée.

Nous pouvons annoncer que, suite à ce premier travail, une étude plus vaste de l'utilisation du tableau comme révélatrice d'alternatives (aux yeux des observateurs) va être menée, permettant de mettre au point des épreuves à proposer aux élèves, pour tester notamment ce qui n'est pas (ou est rarement) choisi par l'enseignant face à une alternative détectée par l'observateur. Cela correspond à la réponse à l'appel d'offres 01-02.

<footnote n="1">¹ P. Béziaud : Professeur Associé à l' IUFM de Versailles, D. Dumortier : Professeur Associé à l' IUFM de Versailles, A. Robert : Professeur d'Universités à l'IUFM de Versailles, F. Vandebrouck : ATER à l' IUFM de Versailles, professeur agrégé.</footnote>
## 1) PROBLEMATIQUE : LE TABLEAU POUR LES ELEVES, LE TABLEAU POUR L'ENSEIGNANT, QUELLES UTILISATIONS ?

Deux types de questions nous intéressent : caractériser l'utilisation du tableau comme élément d'une stratégie d'apprentissage vers les élèves (pour en évaluer éventuellement des effets), et comme élément d'une stratégie d'enseignement de l'enseignant (pour mieux connaître cette pratique, comprendre comment elle peut s'installer).

Autrement dit nous cherchons d'une part comment le tableau s'insère dans le scénario<fnref n="2" /> de l'enseignant (point de vue de l'apprentissage des élèves), et aussi comment le tableau intervient dans le travail de l'enseignant (point de vue du métier de l'enseignant, Rogalski).

La démarche que nous adoptons ici est donc plus pragmatique<fnref n="3" /> que les approches développées par exemple par Brousseau, 1996, Chevallard, 1997, 1999, Margolinas, 1999, Mercier, 1998, Schubauer Leoni, 1999, ou Portugais, 1998, dans leurs études de l'enseignant.

### 1) Le point de vue des apprentissages des élèves

La première question amène à chercher comment s'insère le tableau dans tout ce qui, pendant le déroulement d'une séance, risque d'avoir une influence sur les activités potentielles des élèves. Ce sont en effet ces activités qui nous servent dans cette recherche pour caractériser les apprentissages éventuels<fnref n="4" /> ultérieurs.

Nous n'avons pas accès directement aux activités mais nous en cherchons systématiquement certaines caractéristiques a priori, induites par le scénario. Ces caractères sont déterminés à partir des dimensions retenues en didactique des mathématiques comme pouvant intervenir de manière importante dans les apprentissages<fnref n="5" />, qui concernent la nature des contenus en jeu, tous les échanges ayant lieu pendant le déroulement d'une séance, et les formes de travail des élèves.

#### a) Description des contenus en jeu

Globalement nous nous intéressons d'abord aux dynamiques prévues entre cours et exercices (entre contextualisation et décontextualisation), et à l'organisation des connaissances qui peut se dégager de la suite des contenus proposés. Cela nous renseigne en particulier sur la manière dont l'enseignant gère la prise de sens par les élèves au moment de l'introduction d'une notion, et sur les réinvestissements prévus ensuite.

Ici les trois séances analysées sont des séances (isolées) d'exercices suivant un cours (p1, p3) ou accompagnant un cours (p2). La dynamique en question est donc à peu près classique<fnref n="6" /> : cours puis exercices d'application (pas nécessairement immédiats).

La nature des exercices proposés (tâches prescrites) nous permet de compléter la compréhension que nous cherchons de la manière dont les élèves fréquentent les

<footnote n="2">² Ensemble des activités proposées aux élèves, analysées du point de vue des contenus en jeu et de la gestion en classe.</footnote>

<footnote n="3">³ La différence des points de vue est très bien expliquée dans Perrin, 1999.</footnote>

<footnote n="4">⁴ On se restreint donc à des analyses strictement cognitives.</footnote>

<footnote n="5">⁵ Rappelons à ce sujet que nous avons extrapolé les outils mis au point pour la théorie des situations de Brousseau, en déterminant les dimensions en cause. Ces hypothèses didactiques, strictement cognitives, s'inspirent de théories psychologiques constructivistes et interactionistes, notamment celles de Piaget, Vygotski, Doise, mais les adaptent à la nature même des mathématiques et à la situation scolaire, comme le font partiellement Vergnaud et Duval.</footnote>

<footnote n="6">⁶ Nous n'y reviendrons pas. Signalons que pour p3, on peut noter un cas où des activités précédent le cours sont évoquées pour justifier une phase du cours (cours mené sous formes d'une suite d'exercices).</footnote>
mathématiques dans la séance analysée (activités attendues). Cela amène à déterminer pour chaque énoncé l'ouverture didactique qu'il présente (y compris les niveaux de mise en fonctionnement des connaissances<fnref n="7" />, les adaptations nécessaires, les changements de cadres ou registres à réaliser). *La description succincte de chaque séance et l'analyse détaillée des tâches successives est jointe aux transcriptions des séances étudiées (en annexe 1).*

### b) Description des accompagnements de l'enseignant

Pour atteindre notre objectif, il faut compléter ces analyses par celles de tous les accompagnements que propose l'enseignant, notamment en termes d'aides<fnref n="8" /> (médiations). C'est pour analyser ces aides, directes ou indirectes, explicites ou non, que nous étudions dans le discours de l'enseignant (puis dans les interventions au tableau) ce qui relève

* de l'information strictement mathématique (cela permet notamment l'imitation, l'application ou la réflexion a posteriori) ;

* d'un niveau méta<fnref n="9" /> : structuration, méthodes, écriture mathématique et rigueur, argumentation, explication (cela traduit des aides sur l'organisation des connaissances, cela permet la mise en évidence de liens ou de mises en relations entre différentes connaissances, entre cours et exercices d'applications, entre passé et présent, cela engage une réflexion sur le travail de l'élève et/ou sur les mathématiques) ;

* de questionnements qui engagent les élèves ;

* de validations d'interventions d'élèves (cela indique des prises en compte des interventions des élèves) ;

* d'engagement et d'animation (non strictement mathématiques).

*Une description succincte de ces catégories, illustrée par des exemples, est jointe en annexe 2.*

Une variable supplémentaire intervient : c'est la nature des échanges avec les élèves, précisant le type d'engagement réciproque qui se joue. Quelles sont les questions (vraies ou fausses, venant des élèves ou de l'enseignant), et qu'est-ce qui est fait des réponses ?

Nous pensons enfin que le moment des interventions correspondantes (avant ou après les activités des élèves concernées) est un élément d'information qui complète les précédentes. Il ne revient pas au même par exemple, à propos d'un commentaire de théorème, de le livrer après les activités correspondantes - il s'agit alors d'une institutionnalisation<fnref n="10" /> ou d'une explication a posteriori, favorisant une « imitation intelligente » - ou avant, il s'agit alors d'une préparation à l'action des élèves, qui leur indique ce qu'il y a à faire.

### c) Description du travail des élèves

Enfin, les formes de travail des élèves terminent ces descriptions : travail seul, en petits groupes, temps de la recherche, échanges entre élèves, tous ces facteurs permettent d'évaluer l'autonomie laissée aux élèves, les initiatives qu'ils ont à prendre, avec en particulier le

<footnote n="7">⁷ Les notions visées - ici équation de droite par exemple - doivent-elles être appliquées directement, telles qu'elles figurent dans le cours, ou être adaptées (et alors de quelle manière). Faut-il reconnaître une méthode particulière ?</footnote>

<footnote>Faut-il changer quelque chose pour utiliser ce qui figure dans le cours ?</footnote>

<footnote n="8">⁸ Nous nous référons en particulier aux travaux sur médiation et tutelle, avec en toile de fond les théories de Vygotski sur apprentissage et développement. Les catégories utilisées, méta, aides, information, sont présentées par exemple dans Hache C., Robert A. (1997).</footnote>

<footnote n="9">⁹ Dans la suite du texte, méta pourra être remplacé par méta-mathématique, pour des raisons d'écriture. Le sens est strictement le même.</footnote>

<footnote n="10">¹⁰ On se trouve alors dans une perspective piagétienne, de construction des connaissances.</footnote>
caractère plus ou moins adidactique des moments de recherche et la dévolution qui est faite aux élèves le cas échéant (dévolution des problèmes mais aussi d'autres questions, liées à l'organisation des connaissances par exemple).

Ici les formes de travail des élèves sont assez classiques, mis à part la présence ou non d'un élève au tableau qui sera seule analysée précisément.

### d) Retour au tableau

La recherche spécifique menée ici amène donc à intégrer le tableau dans les analyses précédentes. On le rajoute aux descriptions des tâches, accompagnements et formes de travail. Il s'agit ainsi de déterminer la relation entre une certaine utilisation du tableau et une activité des élèves, en repérant la variabilité de ces modalités d'utilisations du tableau, et les régularités éventuelles (pour un type de tâche, un type de séance, une classe...).

Par exemple, dans quelle mesure, de quelle manière le tableau est-il associé spécifiquement à des activités menant les élèves à des adaptations, ou à des changements de registres explicites, implicites (dont on sait l'importance à nos yeux) ?

Dans quelle mesure le tableau est-il utilisé pour proposer des liens avec le cours, des explic(it)ations, des réflexions, des structurations, des questionnements ?

Dans quelle mesure le tableau participe-t-il à des moments d'autonomie des élèves ?

Nous nous demandons aussi si ce qui se passe au tableau est "transparent", comme on peut l'imaginer au premier abord, tant est "naturelle" la prise de craie par l'enseignant quand il parle. Y a-t-il transparence ? Y a-t-il un questionnement sur le passage entre l'oral (qui précède ou suit l'écrit) et cet écrit ?

On voit que tout cela demande d'abord de préciser ce que nous retenons pour caractériser l'utilisation du tableau, c'est l'objet du paragraphe suivant.

## 2) Comment étudier le tableau, quoi retenir ? spécificités et fonctions a priori du tableau.

Pour nous, le tableau est un espace, que les élèves sont censés regarder (au moins s'ils en sont sollicités), sur lequel on écrit ou on dessine, en général avec un passage explicite entre l'écrit et un oral qui accompagne cet écrit. Nous retenons ces dimensions car "regarder au tableau", "recopier", "écouter des commentaires sur le tableau", voire "chercher ou écrire au tableau" participent (plus ou moins) explicitement aux scénarios analysés. Il y aura donc une participation du tableau à l'activité des élèves, ce que nous recherchons.

Ceci dit, plusieurs aspects, correspondant d'abord aux pratiques matérielles développées au tableau puis à ses fonctions, sont à prendre en compte, pour caractériser ce qui est fait avec le tableau au niveau du détail (cf. Roditi<fnref n="11" />, 1997) compte tenu des questions posées ci-dessus.

### a) Le tableau, support d'un écrit (intermédiaire) - nature de l'écrit au tableau

Globalement, qu'est-ce qui figure au tableau ?

Ce peut être un texte complet, ou fragmentaire, rédigé ou résumé, structuré (titres, sous-titres) ou désordonné...

A quel moment est-ce effacé ?

<footnote n="11">¹¹ Cf. Roditi, 1997 (DEA). Une partie de la méthodologie et certains résultats sur l'utilisation stricte du tableau sont déjà en germe dans ce travail.</footnote>
D'autre part, comme nécessairement "on" écrit au tableau (du moins c'est ce qui nous intéresse ici), il y a toujours une entrée dans un registre d'écriture (sémiotique). Une description détaillée s'impose : de quel registre s'agit-il, est-ce toujours le même ? En particulier, quel est le statut du dessin au tableau ? Des caractéristiques de cet écrit sont-elles apparentes ?

b) Le tableau, support d'une activité : qui écrit au tableau, selon quelles modalités, avec quelle finalité immédiate ?

Qui écrit au tableau ? L'enseignant ou un élève (désigné, volontaire) ?

Si c'est un élève, est-ce un écrit autonome, ou une dictée ?

Est-ce pour que l'enseignant corrige, ou est-ce un écrit correct (à recopier) ?

Si c'est l'enseignant, est-ce prévu ou improvisé : y a-t-il des passages au tableau non prévus, à quoi correspondent-ils, ou l'utilisation du tableau est-elle planifiée ?

c) Gestion du tableau : l'intégration du tableau dans le travail des élèves, le rapport entre l'écrit au tableau et l'oral qui l'accompagne

Comment les élèves (non au tableau) doivent-ils utiliser le tableau : pour écouter, quand ils cherchent, quand on corrige ? pour recopier ?

Est-ce que le tableau est utilisé comme support de ce qui est commenté (monstration)<fnref n="12" /> ? pour des explications ? des exposés ? des corrections ?

Comment l'enseignant gère-t-il le passage entre l'écrit et l'oral : l'écrit précède-t-il l'oral, qui en est alors le commentaire, le suit-il (alors ce peut en être une transformation, un aboutissement) ? Y a-t-il un travail explicite sur le passage écrit /oral ?

Y a-t-il des habitudes, un contrat (explicite ou non) à ce sujet ?

d) Fonctions du tableau

La fonction du tableau dans le déroulement d'une séance dépend évidemment de la façon dont est élaboré l'écrit au tableau et de certaines de ses caractéristiques. Par exemple, une formule mathématique écrite dans un coin du tableau n'aura pas la même fonction si elle est écrite pendant une phase de recherche d'exercice ou pendant une phase d'explication mathématique. Les fonctions de ces écrits intermédiaires produits au tableau que l'on peut penser trouver a priori sont les suivantes, sachant que, dans tous les cas, ce qui écrit est visible par tous, et permet de centrer l'attention sur le même écrit (caractère public et unificateur, accès perceptif, d'une certaine durée). De plus le fait que cet écrit reste un moment permet aux élèves lents ou en retard de se rattraper.

* Des fonctions liées au fait qu'on peut avoir un *écrit intermédiaire* produit en présence des récepteurs, et au caractère mathématique de ce qui figure<fnref n="13" />.

C'est ce fait que l'écrit est produit devant les récepteurs qui nous amène à utiliser le mot "écrit intermédiaire".

Ce qui a été écrit peut être effacé dès que c'est fini. Ce n'est pas forcément à recopier, en revanche, les élèves doivent suivre pendant l'écrit au tableau.

<footnote n="12">¹² Ce mot est ici utilisé au sens naïf, de montrer.</footnote>

<footnote n="13">¹³ On peut penser que dans une discipline comme l'histoire cette fonction serait minorée (seul resterait le caractère intermédiaire).</footnote>
On utilise par exemple le tableau au cours d'une explication comportant un recours au formalisme mathématique ou pour une illustration (dessin, schéma) ou pour un calcul ou une démonstration. Le tableau permet une transcription (écrite), des transformations d'écritures.

C'est bien le processus de production qui est montré par celui qui écrit, le produit apparaît progressivement au tableau, l'utilisation du tableau est d'abord liée au présent.

La dépendance oral / écrit est forte : d'une part l'oral seul (par exemple lecture de la transcription sans vidéo) est en général incompréhensible (l'écrit remplace certaines phrases, ou il est cité implicitement, par un geste notamment, sans la phrase correspondante) ; d'autre part le tableau semble irremplaçable : car l'oral seul ne permet pas de développer le symbolisme qui doit être utilisé (précision de l'écrit, et caractère producteur du formalisme). Même si l'écrit est indispensable dans cette utilisation, c'est l'oral qui organise les interventions correspondantes.

C'est pour cette utilisation que nous posons la question de la transparence de l'écrit au tableau, compte tenu du passage permanent de l'oral à l'écrit alors même qu'il n'y a pas toujours "congruence" des deux (au sens de Duval).

* Des fonctions liées au contraire au caractère *écrit correct* de ce qui figure au tableau (des transparents préparés à l'avance pourraient alors remplacer le tableau).

Cet écrit est plus ou moins structuré, complet. Il est souvent à recopier tel quel, le même pour tous, conçu pour l'avenir.

Le tableau est alors un lieu permettant de garder des informations visibles au moins un moment ou de revenir sur un point antérieur, il permet une participation éventuelle à une mise en mémoire (visuelle), à un écrit recopié par tous, il peut représenter une contribution à une organisation intermédiaire (ou non) des données.

L'enseignant va alors montrer le tableau, soit pour une utilisation immédiate reprenant des écrits antérieurs figurant encore (ou réécrits), soit en espérant que le regard des élèves aboutisse à plus long terme à une mise en mémoire visuelle des objets ou des liens entre eux, grâce à la représentation iconique.

Dans ce cas, on conçoit qu'il est difficile de laisser écrire des choses fausses au tableau (les élèves pourraient ne pas faire le tri entre ce qui doit être retenu et le reste).

De plus l'écrit (correct) peut alors être pris comme un vecteur important du message de l'enseignant, contribuant à organiser les interventions et majorant l'oral.

* Des fonctions liées à l'utilisation ultérieure de ces écrits (recopiés) – non indépendantes des fonctions précédentes.

Ce peut être une occasion de retravailler pour mettre en forme (notes) ou un produit fini à utiliser comme référence, voire comme modèle... Un livre pourrait jouer le même rôle dans ce dernier cas, mis à part que les élèves ont été plus ou moins associés à la production de cet écrit, qu'ils le connaissent déjà partiellement, qu'ils ont pu avoir eu des explications à son propos (on retrouve le caractère intermédiaire très particulier de l'écrit au tableau) et que cet écrit porte la marque de leur enseignant particulier.

### 3) Le point de vue du métier de l'enseignant

Ce qui nous intéresse aussi (c'est la deuxième question indiquée précédemment), c'est l'intégration du tableau dans les pratiques enseignantes - par exemple est-ce que le tableau soulage l'enseignant, renforce certaines activités de l'enseignant, les complète ?

Rappelons en effet que nous supposons qu'assez rapidement (à l'échelle de quelques années) les pratiques des enseignants présentent une cohérence certaine, et même une certaine
stabilité. Elles sont organisées en un système cohérent et relèvent de différentes logiques<fnref n="14" /> imbriquées, voire hiérarchisées, qui composent et étayent cette cohérence. Cela voudrait dire que l'utilisation du tableau n'est pas improvisée à chaque séance et qu'on peut essayer de dégager des modalités de l'utilisation du tableau pour une séance en classe (ou une partie de séance). Ce qui nous intéresse alors est de décrire ces modalités en les mettant en rapport avec l'itinéraire cognitif que l'enseignant fait suivre aux élèves (et notamment en cherchant des relations avec le contenu enseigné), et avec toutes les médiations qu'il organise entre ses élèves et le savoir.

Il s'agit donc sur plusieurs séances, de dégager diverses modalités, intra personnelles, et interpersonnelles, de cette utilisation du tableau, de déterminer si on peut dégager des régularités, correspondant peut-être à des routines, sortes d'organisations régulières, quasi-automatiques, qui se retrouvent dans les pratiques. Mais cela ne peut se faire sans une étude des pratiques de l'enseignant pendant les séances, étude qui « déborde » la seule utilisation du tableau. Nous donnerons ainsi dans cet article quelques résultats élargis à la gestion de la classe, englobant notre objet de recherche premier.

Il se trouve que les activités de l'enseignant en classe sont déjà décrites en grande partie dans le paragraphe "accompagnement de l'enseignant". Il faudrait compléter ces analyses du seul discours par des aspects non verbaux ou autres, ce que nous ne ferons pas ici. Nous nous contenterons de caractériser les activités de l'enseignant à travers son discours (et son utilisation du tableau).

### 4) Un complément prospectif : le point de vue des élèves a posteriori (effets à court terme du tableau)

On peut s'interroger enfin sur le suivi temporel et scriptural du tableau.

On peut étudier notamment le décalage temporel entre l'écrit du tableau et l'écrit du cahier d'élève lorsqu'il y a identité. Est-il constant, s'accroît-il ? Que fait l'enseignant pour gérer éventuellement ce décalage ? Que se passe t-il lorsqu'il y a monstration de la part de l'enseignant au tableau ? Est-ce que l'élève s'arrête d'écrire étant entendu que s'il n'écrit pas, il écoute et regarde l'enseignant ?

On peut aussi étudier le rapport entre l'écrit du tableau et l'écrit de l'élève<fnref n="15" />, voir s'il est identique, différent, en fonction des types de situation. Est-ce que l'élève recopie tout, en rajoute, en enlève ? On peut regarder si l'organisation générale du tableau est reprise sur le cahier de l'élève.

On peut penser que cette comparaison révèle une compréhension, voire même un apprentissage si des remarques personnelles et pertinentes d'élèves sont annotées. On peut, de la même façon, penser que l'on peut déceler des incompréhensions.

Nous avons filmé un cahier d'élève à chaque séance - mais nous ne ferons pas ici l'étude correspondante, encore trop partielle.

Finalement, il s'agit donc d'analyser l'utilisation du tableau pendant une séance donnée, en intégrant les renseignements concernant la pratique "matérielle" du tableau (ce qui est écrit au tableau, qui l'écrit, comment, etc.). dans l'analyse habituelle de l'activité des élèves (scénario).

<footnote n="14">¹⁴ Des travaux en cours (Robert 2000) font référence à 4 logiques : institutionnelle, liée à l'habitus professionnel, personnelle, liée au confort, au risque, au rapport au savoir mathématique et aux conceptions, et les deux dernières s'exprimant localement par les choix des itinéraires cognitifs pour les élèves (scénarios) et les choix des aides apportées en classe.</footnote>

<footnote n="15">¹⁵ Un certain nombre de travaux de DEA en particulier ont déjà montré qu'il y a au mieux recopiage strict...</footnote>
Deux questionnements sont menés, côté activités potentielles des élèves et côté activités de l'enseignant. Le niveau d'analyse choisi (activités des élèves) amène à découper la séance, nous allons expliquer comment ci-dessous. Les différentes descriptions et les comparaisons se font pour chaque séance puis entre les séances.
## II) METHODOLOGIE ET PREMIERES DONNEES

Nous allons préciser le matériel que nous avons recueilli et que nous étudions, et décrire toutes nos analyses : découpage des transcriptions<fnref n="16" />, analyses qualitatives des différentes interventions et de l'utilisation du tableau (avec les catégories retenues) et constitutions de tableaux bruts<fnref n="17" />, analyses quantitatives à l'aide de nouveaux tableaux numériques constitués à partir des précédents (joints au texte).

### 1) Matériel analysé

Nous disposons de films du tableau pour 3 séances d'exercices sur "équations de droites" en classe de seconde, réalisées par des enseignants confirmés (p1, p2, p3). Ces classes appartiennent à un même établissement sans problèmes graves<fnref n="18" />. Nous disposons également des trois transcriptions, réalisées simultanément à partir d'enregistrements audio des enseignants (réalisés à partir de micro cravate et mini magnétophone). Notons que les films ont été réalisés à partir d'une caméra fixe, sur trépied.

Nous disposons également d'une video sur le cahier d'un élève dans chaque séance. Mais elle n'apporte pas grand chose si ce n'est de compléter plus précisément parfois les renseignements sur l'"activité potentielle des élèves". En particulier, dans cette étude, on ne peut pas s'interroger de façon valable sur le suivi de l'élève par rapport au tableau. Ce manque de possibilité d'exploitation est dû en partie à des problèmes matériels : il faudrait en particulier pouvoir visionner la vidéo élève en même temps que la vidéo du tableau pour avoir les décalages et les différences en temps réels ; ce que nous n'avons pas pu faire. De plus, il faudrait observer plus qu'un élève, relever les cahiers éventuellement, etc. On n'aura donc pas un accès immédiat à des éléments liés à une éventuelle compréhension des élèves.

Nous restreignons donc d'emblée notre champ d'investigation puisque nous ne considérons que des séances d'exercices d'une même nature, et seulement pour trois enseignants confirmés, n'analysant qu'une seule vidéo, centrée sur le tableau, et une seule transcription, du discours de l'enseignant. Nos résultats concerneront le rôle du tableau et son intégration pour ce type particulier d'activité (exercices sur un chapitre de géométrie analytique en seconde - les équations de droites). En particulier, nous ne ferons intervenir comme variable (comme nous l'avons signalé ci-dessus) ni la dynamique entre cours et exercices (ici fixée), ni la nature des exercices (cependant analysée).

Du côté des activités enseignantes, la même restriction s'impose, ne seront dégagées des modalités d'emploi du tableau (routines) qu'en rapport à ce type spécifique d'activité. Toutefois, nous pourrons facilement faire des comparaisons entre nos trois enseignants dans la mesure où ils font travailler des élèves de classes analogues<fnref n="19" /> d'un même établissement, sur un contenu analogue.

### 2) Découpage de chaque transcription et des trois séances.

<footnote n="16">¹⁶ Cf. annexe 5.</footnote>

<footnote n="17">¹⁷ Cf. annexe 4.</footnote>

<footnote n="18">¹⁸ Nous avons d'ailleurs déjà étudié ces mêmes classes, une autre année d'un autre point de vue, cf. Beziaud et al (1999).</footnote>

<footnote n="19">¹⁹ D'après les enseignants eux-mêmes.</footnote>
Nous avons travaillé sur les transcriptions, en visualisant les video deux ou trois fois le transcript à la main. Ce sont donc les déroulements qui sont étudiés, à l'aide de ces deux types de traces partielles<fnref n="20" />.

Les premières analyses sont générales : mise à jour du scénario, découpages et analyses de tâches (cf. annexe 1). Nous découpons ainsi les transcriptions en épisodes, définis chacun par une activité potentielle des élèves déclenchée par une tâche prescrite (souvent associé à une question d'un exercice). Pour chaque épisode, nous découpons encore la transcription en scènes, correspondant à des sous-tâches partielles à effectuer par les élèves, reconstituées par nous. C'est au niveau de chaque scène que nous nous livrons à trois types d'analyse : les accompagnements de l'enseignant, l'activité (a priori) des élèves et le tableau.

De plus, dans un premier temps, nous divisons chacune de nos trois séances en deux. Dans le cas de p1, les deux parties portent sur des activités en lien avec des exercices non préparés par les élèves. Dans le cas de p2, il s'agit dans les deux parties d'exercices préparés à la maison. Les deux dernières demi-séances de p1 et p2 sont plus courtes (mais assez « denses » en interventions enseignantes).

Enfin, dans le cas de p3, la première partie porte sur des activités en lien avec un exercice non préparé alors que la seconde partie porte sur un exercice préparé. On regroupe donc nos 6 demi-séances en deux groupes de 3, selon ce critère (préparé ou non) que nous jugeons fondamental. En effet, tout simplement, un élève appelé ou non au tableau, n'aura pas la même activité face à un exercice selon qu'il l'a ou non préparé antérieurement. Ce regroupement permet d'établir des comparaisons plus fines de nos séances.

### 3) Quelles données retenir ?

Les trois types d'analyses citées sont réalisées selon les grilles de questionnements ci-dessous.

Ces questions correspondent exactement aux dimensions relevées dans la problématique.

Les descriptions sont indiquées sur des tableaux (joints en annexe 4). Pour chaque ligne, correspondant à une scène, la première colonne du tableau résume le contenu de la scène, et les autres colonnes permettent de faire figurer les accompagnements de l'enseignant, l'analyse que nous en faisons, les activités des élèves et leur analyse, enfin toutes les indications recherchées sur la pratique matérielle du tableau.

Pour une séance donnée, les accompagnements de l'enseignant (interventions lues sur la transcription) sont regroupées par catégories selon la méthodologie précise indiquée ci-dessous (cf. annexe 2) : plusieurs phrases peuvent donner lieu à une seule ligne dans l'analyse. Par exemple une suite de questions analogues, à un mot (la réponse tient en un mot) peut donner lieu à la ligne « question à un mot ». De plus, on ne retient par intervention analysée qu'une catégorie, jugée dominante (sinon on coupe en plusieurs interventions).

Des considérations strictement matérielles nous ont conduits à remplir deux tableaux par séance, un détaillant les accompagnements et activités, l'autre indiquant leurs analyses et tous les renseignements sur le tableau.

Voici ce que nous relevons, décliné pour chaque scène (déjà analysée sur le plan des contenus)

#### a) Accompagnements de l'enseignant (cf. annexe 2)

<footnote n="20">²⁰ Le travail initial sur video et transcript s'est fait en grande partie à deux, ce qui permet un certain contrôle et une certaine explicitation des critères utilisés.</footnote>
Parmi les interventions (qui seront aussi lues comme des activités) de l'enseignant, nous
notons

- les apports d'information ;

- les rappels d'information ;

- les apports de type méta<fnref n="21" /> (structuration ou mises en relation, méthode, rigueur, argumentation, ou explication) ;

- les questionnements (de cours, sur les mises en fonctionnement, techniques, à un mot) ;

- les validations d'interventions d'élèves (prises en compte des interventions) ;

- les activités d'engagement et d'animation.

On classe de plus d'emblée les interventions de l'enseignant selon qu'elles ont lieu avant ou après les activités mathématiques des élèves auxquelles elles se rapportent. On pense, en effet, rappelons-le, que la temporalité de l'aide enseignante a une influence sur les activités donc sur apprentissages. L'aide enseignante avant l'activité permet aux élèves d'agir, prépare cette action, voire la transforme en simple application ou imitation, alors que l'aide après, même s'il n'y a pas eu de production de l'élève sur l'activité en question, peut permettre un apprentissage différent, plus réflexif (reprise à partir d'éléments apportés par des élèves).

b) Travail des élèves et tableau

Comme nous l'avons signalé ici les formes de travail sont assez classiques. Nous pouvons
cependant ajouter les renseignements concernant le tableau du type

- Regarder au tableau,

- Recopier,

- Ecouter des commentaires sur le tableau,

- Chercher ou écrire au tableau.

Nous nous sommes aidés par la vidéo élève. Cela reste encore insuffisant (cf. annexe 3).

c) Utilisation du tableau

Il faut enfin caractériser l'utilisation du tableau. Compte tenu de la problématique, nous
retenons les variables suivantes, qui nous permettent de définir les colonnes de notre tableau

Nature de l'écrit au tableau (qu'est-ce qui est écrit, registre, comment).

- Quoi : correction écrite, recherche écrite, calcul écrit, cours écrit, méta écrit

- Mode d'écriture (registres) : en français, en langage mathématique, dessin, etc.

- Qualité de l'écriture: brouillon, rédigé, choses soulignées, ordonné ou non

- Auto-consistance (complet ou incomplet)

- Moments d'effaçage

Qui écrit ? selon quelles modalités ? avec quelles finalités ?

- L'enseignant ou un élève (désigné, volontaire, ...)

- Dans quelles conditions (sous la dictée, improvisation de l'enseignant...)

- Ecrit pour être corrigé, écrit correct...

Intégration du tableau dans l'activité des élèves, rapport de l'écrit au tableau au discours de l'enseignant.

- il s'agit de recopier, d'écouter, d'écrire en même temps, après, etc.

<footnote n="21">²¹ Selon les analyses ces apports sont ou non précisés dans le détail.</footnote>
- écrit et oral sont indépendants, légèrement différents dans la forme, l'un précède l'autre, ou le suit tout de suite après

- écrit et oral se complètent (par exemple l'enseignant montre quelque chose au tableau) ou bien l'écrit synthétise le discours...

- l'écrit au tableau est l'objet spécifique du discours

### Fonction supposée du tableau (inférence compte tenu des autres colonnes).

Nous utilisons les fonctions dégagées dans la problématique.

## 4) les analyses de données, premières données quantifiées

Nous disposons donc pour chaque demi-séance toutes les informations qualitatives précédentes (y compris la fonction du tableau analysée localement) en colonnes dans deux tableaux (chaque ligne représente une scène).

### Premier tableau (à partir des transcriptions)

<table><thead><tr><td>Scène</td><td>Accompagnement de l'enseignant</td><td>Activité des élèves</td></tr></thead><tbody><tr><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

### Deuxième tableau (analyses qualitatives)

<table><thead><tr><td>Scène</td><td>Analyse des accompagnements de l'enseignant</td><td>Analyse des activités des élèves</td><td>Qui écrit au tableau modalités</td><td>Nature de l'écrit au tableau: quoi, comment, registre...</td><td>Rapport écrit oral</td><td>Fonction locale de l'écrit au tableau</td></tr></thead><tbody><tr><td>- 1 -</td><td>- 2 -</td><td>- 3 -</td><td>- 4 -</td><td>- 5 -</td><td>- 6 -</td><td>- 7 -</td></tr></tbody></table>

Nous analysons ensuite l'ensemble des scènes pour chaque demi-séance puis pour les deux groupes de demi-séances comparables puis par classe (étude par colonnes, croisements de colonnes, par lignes, étude globale). Des inférences possibles sont indiquées ci-dessous : tableau x scène, tableau x accompagnements, etc.

### a) Etude globale des colonnes et premières données quantitatives

Les analyses des accompagnements (activités) de l'enseignant, des activités des élèves et de l'utilisation du tableau (colonnes 2, 3, 4, 5, 6, 7) sont faites séparément grâce à de nouveaux tableaux quantifiés. Pour établir ces tableaux, pour chaque demi-séance, par colonne, on s'intéresse aux interventions de même nature, et on les totalise. En introduisant le pourcentage correspondant au nombre d'interventions de même nature divisé par le nombre total des interventions analysées, on peut comparer les 3 demi-séances de chaque type. Par exemple, on cherche toutes les occurrences de « questions à un mot » dans la colonne 2 et on divise par le total des interventions comptabilisées dans cette colonne.

Ce total varie de 30 à 100 selon les colonnes ; une différence de pourcentage de plus de 10% sera donc significative à un seuil de 90% (cf. Robert (1982), annexe 7).
## Deux tableaux de données quantifiées pour les deux types de demi-séances :

### Les accompagnements des enseignants pour les séances avec préparation des activités.

Les pourcentages représentent le total des interventions d'une ligne sur le total des interventions analysées.

<table><thead><tr><th></th><th>Enseignant 2<br>partie 1</th><th>Enseignant 2<br>partie 2</th><th>Enseignant 3<br>partie 2</th></tr></thead><tbody><tr><td>Information<br>mathématique<br>avant l'activité</td><td>5 (6%)</td><td>3 (10%)</td><td>12 (31%)</td></tr><tr><td>Information<br>mathématique<br>après<br>l'activité</td><td>13 (16%)</td><td>6 (20%)</td><td></td></tr><tr><td>Rappel d'information<br>avant l'activité</td><td>6 (8%)</td><td>2 (7%)</td><td>1 (3%)</td></tr><tr><td>Rappel d'information<br>après l'activité</td><td>3 (4%)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Méta méthode avant</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Méta structuration<br>avant</td><td>3 (4%)</td><td>1 (3%)</td><td>3 (8%)</td></tr><tr><td>Méta rigueur avant</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Méta méthode après</td><td>3 (4%)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Méta structuration après</td><td>3 (4%)</td><td>2 (7%)</td><td>1 (3%)</td></tr><tr><td>Méta rigueur après</td><td>4 (5%)</td><td>1 (3%)</td><td></td></tr><tr><td>Question de cours</td><td>2 (3%)</td><td>1 (3%)</td><td></td></tr><tr><td>Question à un mot</td><td>2 (3%)</td><td>1 (3%)</td><td>6 (16%)</td></tr><tr><td>Question technique</td><td>11 (13%)</td><td>3 (10%)</td><td>5 (13%)</td></tr><tr><td>Question mise en<br>fonctionnement</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Validation<br>d'intervention</td><td>20 (25%)</td><td>6 (20%)</td><td>4 (10%)</td></tr><tr><td>Engagement/Animation</td><td>5 (6%)</td><td>3 (10%)</td><td>7 (19%)</td></tr><tr><td>Total</td><td>80</td><td>29</td><td>39</td></tr></tbody></table>
Les accompagnements des enseignants pour les séances sans préparation des activités

<table><thead><tr><th></th><th>Enseignant 1<br>partie 1</th><th>Enseignant 1<br>partie 2</th><th>Enseignant 3<br>partie 1</th></tr></thead><tbody><tr><td>Information<br>mathématique<br>avant/pendant l'activité</td><td>11 (12 %)</td><td>9 (27 %)</td><td>29 (36 %)</td></tr><tr><td>Information<br>mathématique<br>après<br>l'activité</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Rappel d'information<br>avant l'activité</td><td>7 (7 %)</td><td>2 (6 %)</td><td>2 (2 %)</td></tr><tr><td>Rappel d'information<br>après l'activité</td><td>3 (3 %)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Méta méthode avant</td><td>5 (5 %)</td><td>1 (3 %)</td><td></td></tr><tr><td>Méta structuration<br>avant</td><td>1 (1 %)</td><td>2 (6 %)</td><td>7 (9 %)</td></tr><tr><td>Méta rigueur avant</td><td>9 (9 %)</td><td>2 (6 %)</td><td></td></tr><tr><td>Méta méthode après</td><td>3 (3 %)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Méta structuration après</td><td>5 (5 %)</td><td>1 (3 %)</td><td>3 (4 %)</td></tr><tr><td>Méta rigueur après</td><td>1 (1 %)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Question de cours</td><td>2 (2 %)</td><td>1 (3 %)</td><td>3 (4 %)</td></tr><tr><td>Question à un mot</td><td>8 (8 %)</td><td></td><td>12 (15 %)</td></tr><tr><td>Question technique</td><td>8 (8 %)</td><td>4 (12 %)</td><td>9 (11 %)</td></tr><tr><td>Question mise en<br>fonctionnement</td><td>2 (2 %)</td><td>1 (3 %)</td><td></td></tr><tr><td>Validation<br>d'intervention</td><td>18 (19 %)</td><td>6 (18 %)</td><td>7 (8 %)</td></tr><tr><td>Engagement/Animation</td><td>13 (14 %)</td><td>4 (12 %)</td><td>8 (10 %)</td></tr><tr><td>Total</td><td>96</td><td>33</td><td>80</td></tr></tbody></table>

b) Croisements des scènes (sous-tâches) et des autres colonnes et synthèses

Ces croisements permettent de repérer d'abord des routines de l'enseignant (croisement des activités de l'enseignant et scène - colonnes 1 et 2 -), quitte à préciser ensuite les caractéristiques des étapes de ces routines, notamment par rapport au tableau (étude de certaines lignes).

Ils permettent aussi de préciser l'intégration du tableau dans le scénario : croisement des colonnes 4 (nature de l'écrit au tableau) avec la nature des scènes (colonne 1). A quelles sous-tâches des élèves le tableau est-il associé ? Quel écrit pour quelle sous-tâche ?

Quand est-ce que personne n'écrit ? Qu'est-ce qui n'est jamais écrit ?

Autre aspect, qu'est-ce que l'enseignant veut que les élèves aient comme traces de la séance : la méthode, les idées générales ou le corrigé mathématique d'un exercice précis ?

L'intégration du tableau dans le travail matériel des élèves au tableau s'obtient en ajoutant le croisement des colonnes 3 ("qui écrit") et 1 (scène) : qui écrit au tableau selon le type de scène ? Dans quelle condition l'écrit est-il alors élaboré (sous la dictée par exemple) ?

Quant à l'intégration de ce tableau dans le travail plus global des élèves, c'est le croisement des scènes et de la fonction attribuée au tableau qui nous permet de le percevoir : quel rôle l'enseignant donne au tableau selon les sous-tâches ? Montre-t-il au tableau, quoi ?
D'une étude globale et de diverses comparaisons, nous dégageons ensuite des régularités, des
routines et des éléments d'une logique d'utilisation du tableau (synthèses).

III RESULTATS

Nous allons présenter d'abord les analyses globales des accompagnements des enseignants sur chaque demi-séance, comparés par type de séance (exercices préparés ou non à la maison) : divers points de vue sont utilisés pour décrire la nature de ces accompagnements.

Nous reprenons ensuite ces analyses en y intégrant les données sur le tableau (avec les mêmes comparaisons).

Nous dressons enfin une synthèse par enseignant des résultats précédents en dégageant des
routines<fnref n="22" />.

1) Les analyses globales comparées des accompagnements de l'enseignant.

Concernant le recueil des différents accompagnements des enseignants, la multitude de ceux-
ci nous a permis d'effectuer des regroupements, permettant chacun de dégager des
caractéristiques spécifiques à chacun des enseignants.

a) Comparaison des séances du point de vue de la nature des accompagnements.

C'est un premier regroupement qui permet de visualiser de façon synthétique la nature des
accompagnements des enseignants aux niveaux des apports d'information mathématique, des
apports d'information méta-mathématique et des activités en lien avec les élèves
/questionnements, validations d'interventions, activités d'animation et d'engagement),
indépendamment de leur place par rapport aux activités des élèves.

<table>
  <thead>
    <tr>
      <th></th>
      <th>Enseignant 2<br>partie 1</th>
      <th>Enseignant 2<br>partie 2</th>
      <th>Enseignant<br>3<br>partie 2</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <th>Mathématiques</th>
      <td>34 %</td>
      <td>37 %</td>
      <td>34 %</td>
    </tr>
    <tr>
      <th>Méta</th>
      <td>17 %</td>
      <td>13 %</td>
      <td>11 %</td>
    </tr>
    <tr>
      <th>Elèves</th>
      <td>50 %</td>
      <td>46 %</td>
      <td>58 %</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

<table>
  <thead>
    <tr>
      <th></th>
      <th>Enseignant 1<br>partie 1</th>
      <th>Enseignant 1<br>partie 2</th>
      <th>Enseignant<br>3<br>partie 1</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <th>Mathématiques</th>
      <td>21 %</td>
      <td>33 %</td>
      <td>38 %</td>
    </tr>
    <tr>
      <th>Méta</th>
      <td>25 %</td>
      <td>18 %</td>
      <td>13 %</td>
    </tr>
    <tr>
      <th>Elèves</th>
      <td>53 %</td>
      <td>48 %</td>
      <td>46 %</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

A ce niveau rien de très significatif ne distingue telle ou telle demi-séance de chaque type. Les trois enseignants ont des comportements assez semblables sous cet angle, réservant toujours à peu près la moitié de leurs activités à la prise en compte<fnref n="23" /> des élèves, indépendamment du type de demi-séance. Il est notamment intéressant de noter que l'on retrouve les mêmes caractéristiques chez p3 dans les deux demi-séances.

<footnote n="22">²² Au sens d'organisation régulière, répétée, quasi-automatique.</footnote>

<footnote n="23">²³ Quel qu'en soit le contenu.</footnote>
Les trois enseignants apportent aussi à peu près un tiers d'information mathématique dans l'ensemble de leur discours sauf p1 dans sa première demi-séance, compensant par un surcroît d'accompagnements méta-mathématiques. Au contraire, on a une légère déficience de ce type d'accompagnement chez p3. Cependant, il est intéressant de constater dès maintenant la différence de nature dans ces apports méta-mathématiques en reprenant dans un deuxième tableau leur répartition, indépendamment de la temporalité par rapport aux activités des élèves.

<table><thead><tr><th></th><th>Enseignant 2<br>partie 1</th><th>Enseignant 2<br>partie 2</th><th>Enseignant<br>3<br>partie 2</th></tr></thead><tbody><tr><th>Méta méthode</th><td>3 (4 %)</td><td></td><td></td></tr><tr><th>Méta structuration</th><td>6 (8 %)</td><td>3 (10 %)</td><td>4 (11 %)</td></tr><tr><th>Méta rigueur</th><td>4 (5 %)</td><td>1 (3 %)</td><td></td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Enseignant 1<br>partie 1</th><th>Enseignant 1<br>partie 2</th><th>Enseignant<br>3<br>partie 1</th></tr></thead><tbody><tr><th>Méta méthode</th><td>8 (8 %)</td><td>1 (3 %)</td><td></td></tr><tr><th>Méta structuration</th><td>6 (6 %)</td><td>3 (9 %)</td><td>10 (13 %)</td></tr><tr><th>Méta rigueur</th><td>10 (10 %)</td><td>2 (6 %)</td><td></td></tr></tbody></table>

La nature des accompagnements méta-mathématiques est ainsi variable : il s'agit, pour p1 et p2, d'apports au niveau aussi bien de la structuration, que de la méthode ou de la rigueur. En revanche, p3 ne fait des apports méta-mathématiques qu'au niveau de la structuration, indépendamment là encore du type de demi-séance.

b) Comparaison des accompagnements du point de vue des apports mathématiques et de la dévolution aux élèves

Ce troisième regroupement est une version plus détaillée du premier. Les interventions mathématiques sont scindées selon qu'elles sont des apports nouveaux ou des rappels. Les activités en lien avec les élèves sont distinguées selon qu'elles sont des questions, des validations ou des activités d'animation/engagement.

<table><thead><tr><th></th><th>Enseignant 2<br>partie 1</th><th>Enseignant 2<br>partie 2</th><th>Enseignant<br>3<br>partie 2</th></tr></thead><tbody><tr><th>Information<br>mathématique</th><td>22 %</td><td>30 %</td><td>31 %</td></tr><tr><th>Rappel d'information</th><td>12 %</td><td>7 %</td><td>3 %</td></tr><tr><th>Méta</th><td>17 %</td><td>13 %</td><td>11 %</td></tr><tr><th>Questions</th><td>19 %</td><td>16 %</td><td>29 %</td></tr><tr><th>Validations</th><td>25 %</td><td>20 %</td><td>10 %</td></tr><tr><th>Animation</th><td>6 %</td><td>10 %</td><td>19 %</td></tr></tbody></table>
La comparaison de p2 et p3 met tout d'abord en avant la répartition différente de l'apport d'information mathématique. Il s'agit essentiellement d'apports d'information nouvelle chez p3. Il y a peu de rappels. Cette différence entre p2 et p3 s'atténue si l'on compare uniquement avec la deuxième demi-séance de p2 qui est plus courte en durée que la première et gérée dans une relative urgence. Concernant les apports méta-mathématiques, on l'a déjà évoqué plus haut, ils sont légèrement plus faibles chez p3 que chez p2. Enfin, ce tableau détaillé met aussi en avant qu'il y a beaucoup plus de questions chez p3 que chez p2, et pourtant que le nombre de validations d'interventions d'élèves (témoin de leur prise en compte) est beaucoup plus faible chez p3 que chez p2. Il y a plus d'activités d'animation stricte chez p3.

<table><thead><tr><th></th><th>Enseignant 1<br>partie 1</th><th>Enseignant 1<br>partie 2</th><th>Enseignant<br>3<br>partie 1</th></tr></thead><tbody><tr><td>Information<br>mathématique</td><td>11 %</td><td>27 %</td><td>36 %</td></tr><tr><td>Rappel d'information</td><td>10 %</td><td>6 %</td><td>2 %</td></tr><tr><td>Méta</td><td>25 %</td><td>18 %</td><td>13 %</td></tr><tr><td>Questions</td><td>21 %</td><td>18 %</td><td>28 %</td></tr><tr><td>Validations</td><td>19 %</td><td>18 %</td><td>8 %</td></tr><tr><td>Animation</td><td>13 %</td><td>12 %</td><td>10 %</td></tr></tbody></table>

Le tableau des analyses des séances de p1 et de p3 permet dans un premier temps de constater que les résultats mis en évidence pour p3 dans les précédents tableaux sont analogues, c'est-à-dire qu'on retrouve chez lui les mêmes caractéristiques que pour sa séance d'exercice avec préparation. Non seulement, le rapport information mathématique et information méta reste constant mais la répartition entre information mathématique nouvelle et rappels d'information reste également constante. On retrouve les mêmes constats concernant les questions, les validations et l'animation. Le tableau met aussi en avant une certaine position d'équilibre chez p1 entre les diverses catégories d'interventions, en particulier dans sa première demi-séance. C'est-à-dire, par exemple, que les apports mathématiques sont équilibrés entre apports nouveaux et rappels, ou encore que les validations d'interventions d'élèves équilibrent les questionnements. Il y a (comme on l'a déjà constaté) une plus forte proportion d'apports de type méta. Mais ces constatations particulières chez p1 s'atténuent dans la deuxième demi-séance, ici aussi plus courte en temps. P1 adopte alors, dans les aspects vus par ce tableau, un comportement proche de p2 dans sa deuxième demi-séance, lui-même se rapprochant de celui de p3 en ce qui concerne la répartition des apports mathématiques (comme on l'a vu avec le premier tableau). On reviendra donc dans la suite sur l'importance de la durée des demi-séances.

### c) Comparaison des accompagnements du point de vue de leur place par rapport aux activités des élèves

Le quatrième regroupement met en avant la temporalité du discours significatif (autre que d'animation ou d'engagement) des enseignants.
<table><thead><tr><th></th><th>Enseignant 2<br>partie 1</th><th>Enseignant 2<br>partie 2</th><th>Enseignant<br>3<br>partie 2</th></tr></thead><tbody><tr><td>Discours avant (dont<br>les questions)</td><td>37 %</td><td>39 %</td><td>70 %</td></tr><tr><td>Discours après (dont<br>les validations)</td><td>58 %</td><td>50 %</td><td>12 %</td></tr><tr><td>Animation</td><td>6 %</td><td>10 %</td><td>19 %</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Enseignant 1<br>partie 1</th><th>Enseignant 1<br>partie 2</th><th>Enseignant<br>3<br>partie 1</th></tr></thead><tbody><tr><td>Discours avant (dont<br>les questions)</td><td>55 %</td><td>66 %</td><td>77 %</td></tr><tr><td>Discours après (dont<br>les validations)</td><td>32 %</td><td>21 %</td><td>12 %</td></tr><tr><td>Animation</td><td>13 %</td><td>12 %</td><td>10 %</td></tr></tbody></table>

Ces tableaux mettent en évidence le fait que p3 apporte quasiment toujours son information mathématique et méta-mathématique concernant les activités avant les activités des élèves s'y rapportant, indépendamment du type de demi-séance. P1 également mais dans une moindre mesure. Enfin, p2 apporte, quant à lui, son information surtout après l'activité.

d) Comparaison des accompagnements du point de vue des liens directs avec les élèves

Ce dernier regroupement vise à préciser dans les accompagnements des enseignants, ceux qui sont en lien avec les élèves, selon qu'ils semblent être de fausses ou des vraies prises en comptes.

<table><thead><tr><th></th><th>Enseignant 2<br>partie 1</th><th>Enseignant 2<br>partie 2</th><th>Enseignant<br>3<br>partie 2</th></tr></thead><tbody><tr><td>Animation et<br>questions à un mot</td><td>9 %</td><td>13 %</td><td>35 %</td></tr><tr><td>Vraies questions</td><td>16 %</td><td>13 %</td><td>13 %</td></tr><tr><td>Validations</td><td>25 %</td><td>20 %</td><td>10 %</td></tr></tbody></table>

La différence à noter ici est la plus forte proportion de questions à un mot et de discours d'animation pour p3. En particulier, même si la proportion de vraies questions est sensiblement la même pour les deux enseignants, le taux de validation d'interventions d'élèves est beaucoup plus faible chez p3.

La même conclusion s'impose pour les deux autres demi-séances, comme le montre le tableau ci-dessous :
<table><thead><tr><th></th><th>Enseignant 1<br>partie 1</th><th>Enseignant 1<br>partie 2</th><th>Enseignant<br>3<br>partie 1</th></tr></thead><tbody><tr><td>Animation et<br>questions à un mot</td><td>21 %</td><td>12 %</td><td>25 %</td></tr><tr><td>Vraies questions</td><td>12 %</td><td>18 %</td><td>15 %</td></tr><tr><td>Validations</td><td>19 %</td><td>18 %</td><td>8 %</td></tr></tbody></table>

c) La régularité suivant le type de demi-séance : exemple de l'enseignant p3.

Comme on l'a déjà signalé à plusieurs reprises, on retrouve les mêmes caractéristiques chez p3 pour sa demi-séance d'exercices sans préparation et avec préparation. En effet, dans les deux cas, p3 apporte l'information mathématique et méta-mathématique concernant une activité des élèves avant cette activité (globalement 70% et 77 % des interventions). Dans les deux demi-séances, on ne trouve du discours méta qu'en structuration. Le rapport entre l'information mathématique et l'information méta reste constant (34% et 11%, 38% et 13 %). Une moitié des accompagnements sont en lien direct avec les élèves (58% et 46 % des interventions). On retrouve le même constat concernant la répartition entre information mathématique nouvelle et rappels d'information (31% et 3%, 36% et 2%), les questions, les validations et l'animation.

f) Le rôle du temps : comparaison des enseignants p1 et p2 lorsqu'il y a moins de temps

Pour chacun de ces deux enseignants, on dispose de deux demi-séances. La seconde a la particularité d'être plus courte et traitée dans une relative urgence (plus que la première). Chez p2, cette deuxième demi-séance se caractérise par un surcroît d'information directe et une faible diminution de l'ensemble des autres accompagnements : baisse des rappels d'information, baisse des interventions méta, baisse du taux de questions et de validations d'élèves. Seule compensation, une petite augmentation des activités d'animation. En ce qui concerne p1, la différence se fait à deux niveaux. On retrouve tout d'abord un surcroît d'information directe dans la deuxième demi-séance au détriment des autres activités. Mais en outre, il y a une augmentation de l'apport d'information avant l'activité s'y rapportant. Tout se passe comme si, lorsque le temps presse, les enseignants reviennent à une gestion classique (le savoir d'abord).

## 2) Accompagnements des enseignants et utilisation du tableau comparés.

Voici trois tableaux permettant de synthétiser qui écrit au tableau et comment, la nature de l'écrit au tableau, et les fonctions de l'écrit au tableau
Qui écrit au tableau, modalités<fnref n="24" />

<table><thead><tr><th></th><th>Enseignant 2, partie 1</th><th>Enseignant 2, partie 2</th><th>Enseignant3, partie 2</th><th>Enseignant1, partie1</th><th>Enseignant1, partie2</th><th>Enseignant 3, partie 1</th></tr></thead><tbody><tr><th>Enseignant</th><td>9 (38%)</td><td>5 (55%)</td><td>6 (75%)</td><td>2 (8%)</td><td>4 (50%)</td><td>11 (100%)</td></tr><tr><th>Elève autonome sans intervention de l'enseignant</th><td>13 (54%)</td><td>4 (45%)</td><td>1 (12%)</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Elève guidé ou sous la dictée</th><td>2 (8%)</td><td></td><td>1 (12%)</td><td>14 (56%)</td><td>3 (38%)</td><td></td></tr><tr><th>Elève calcule ou dessine sous le regard de l'enseignant</th><td></td><td></td><td></td><td>9 (39%)</td><td>1 (12%)</td><td></td></tr></tbody></table>

Nature de l'écrit au tableau"

<table><thead><tr><th></th><th>Enseignant 2, partie 1</th><th>Enseignant 2, partie 2</th><th>Enseignant3, partie2</th><th>Enseignant1, partie1</th><th>Enseignant1, partie2</th><th>Enseignant 3, partie 1</th></tr></thead><tbody><tr><th>Dessin</th><td>3 (12%)</td><td>1 (11%)</td><td></td><td>3 (17%)</td><td>2 (28%)</td><td></td></tr><tr><th>Eléments mathématique, pas rédigé mais complet</th><td>14 (56%)</td><td>2 (22%)</td><td>1 (14%)</td><td>6 (35%)</td><td>3 (43%)</td><td>4 (45%)</td></tr><tr><th>Eléments de rigueur</th><td>1 (4%)</td><td>3 (34%)</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Texte français rédigé et complet avec des éléments mathématiques ou de rigueur</th><td>7 (28%)</td><td>1 (11%)</td><td>4 (57%)</td><td>8 (47%)</td><td>2 (28%)</td><td>5 (55%)</td></tr><tr><th>Texte français pas rédigé ou pas complet avec des éléments mathématiques</th><td></td><td>2 (22%)</td><td>2 (28%)</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Fonctions de l'écrit au tableau

<table><thead><tr><th></th><th>Enseignant 2, partie 1</th><th>Enseignant 2, partie 2</th><th>Enseignant3, partie2</th><th>Enseignant1, partie1</th><th>Enseignant1, partie2</th><th>Enseignant 3, partie 1</th></tr></thead><tbody><tr><th>Participe à l'organisation (écrire l'énoncé, la consigne...)</th><td></td><td>1 (9%)</td><td></td><td>3 (17%)</td><td>1 (17%)</td><td></td></tr><tr><th>Faire visualiser un travail accompli</th><td></td><td></td><td>6 (75%)</td><td>10 (55%)</td><td>3 (50%)</td><td>6 (66%)</td></tr><tr><th>Faire visualiser un travail en cours, un calcul...</th><td>17 (52%)</td><td>5 (50%)</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Permet de travailler sur le dessin</th><td>2 (6%)</td><td>1 (9%)</td><td></td><td>4 (22%)</td><td>2 (33%)</td><td></td></tr><tr><th>Permet un retour en arrière sur l'écrit que l'on peut montrer ou retravailler</th><td>9 (27%)</td><td>3 (20%)</td><td></td><td>1 (6%)</td><td></td><td>2 (22%)</td></tr><tr><th>Participe à une explication</th><td>3 (9%)</td><td></td><td>2 (25%)</td><td></td><td></td><td>1 (11%)</td></tr><tr><th>Gérer la rigueur</th><td>2 (6%)</td><td>1 (9%)</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

<footnote n="24">²⁴ Les pourcentages sont calculés sur le total des interventions au tableau analysées dans les trois tableaux ci-joints.</footnote>
a) Demi-séances avec préparation. Comparaison globale des enseignants p2 et p3 et intégration des résultats sur le tableau.

On a déjà constaté les différences entre p2 et p3 aux nivaux des accompagnements qu'ils mettent en œuvre dans leur classe. Rappelons que p2 apporte surtout après les activités des élèves sur chaque tâche, les informations mathématiques et méta-mathématiques relatives à ces activités d'élèves. En revanche, p3 apporte son information surtout avant l'activité des élèves. En outre la nature de ces accompagnements mathématiques et méta-mathématiques est variable : au niveau méta, il s'agit pour p2, d'apports aussi bien de structuration, que de méthode et de rigueur, alors qu'il ne s'agit pour p3 que d'apports de structuration. Cela s'explique par le fait que p3 apporte essentiellement de l'information mathématique nouvelle, et que c'est lui-même qui le fait. Cette information est donc nécessairement rigoureuse et la méthode correcte est introduite naturellement, il n'y a pas lieu de la reprendre. Enfin, la dernière différence significative entre p2 et p3 est la façon d'animer le cours : p2 l'anime en prenant davantage en compte que p3 les interventions d'élèves et en ayant moins recours aux accompagnements d'animation ou aux questions à un mot.

Les résultats concernant les activités potentielles des élèves sont floues au sens où, notamment pour p3, on ne peut pas dire ce que font les élèves. On a un peu plus de renseignements dans les demi-séances de p2, ce qui s'explique par le fait que celui-ci prend davantage en compte les interventions d'élèves et les met davantage en avant.

Une autre différence essentielle tient au fait que p3 écrit lui-même au tableau les trois quarts de ce qui y figure alors que p2 écrit au plus une grosse moitié de ce qui figure au tableau (55%). Dans un autre point de vue, complémentaire, seuls 12% des écrits au tableau sont le fruits d'élèves autonomes chez p3 alors que cela représente environ la moitié des écrits chez p2.

Concernant la nature des écrits, là encore on constate des différences même si on ne peut pas préciser la nature générale des écrits chez p2. Cela dépend de la demi-séance. On peut toutefois dire que le dessin est présent sur le tableau de p2 alors qu'il est totalement absent chez p3. En outre, l'écrit du tableau est très peu rédigé chez p2 (28% - 11%) alors qu'il l'est pour moitié chez p3 (57%).

Enfin, les fonctions du tableau chez p2 sont variées. Cependant, la fonction principale est de faire visualiser un travail en cours alors que la fonction principale de l'écrit au tableau chez p3 est de faire visualiser un travail accompli (75%). Le tableau sert aussi beaucoup à l'enseignant p2 dans tout ce qui est explication, retour en arrière... ce qui exploite l'aspect "écrit qui reste" du tableau.

b) Exercices sans préparation. Comparaison globale des enseignants p1 et p3 et intégration des résultats sur le tableau.

Au niveau des accompagnements, on a vu que p1 apporte de façon plus équilibrée que p3 de l'information avant et après l'activité s'y rapportant. Chez p1, les interventions méta sont variées, non cantonnées à la seule structuration comme chez p3. En ce sens, p1 se rapproche de p2 bien que ce ne soit pas dans le même contexte.

L'enseignant p3 est, dans cette demi-séance d'exercices sans préparation, le seul à écrire au tableau alors que p1 écrit d'abord très peu au tableau puis pour moitié des scènes dans la
deuxième séance. Toutefois, chez les deux enseignants, on ne note aucun écrit qui soit le fruit d'un élève totalement autonome.

Encore une fois, p3 n'utilise pas du tout le registre du dessin alors qu'il est utilisé dans une mesure légèrement supérieure à celle de p2 chez p1 (17% - 28%). Mise à part cette différence les contenus des tableaux sont quasiment semblables chez p1 et p3, et en ce sens, on peut les rapprocher.

### 3) Des résultats par enseignant sur les routines et sur l'intégration du tableau dans les déroulements

Nous allons commenter par enseignant les résultats obtenus par le croisement des colonnes scènes, accompagnements de l'enseignant, activités des élèves et écrit au tableau.

a) Pour l'enseignant p1
Voici un tableau résumant certaines données du tableau qualitatif complet (cf. annexe 4).

<table><thead><tr><th>Contenu de la scène</th><th>Accompagnements de l'enseignant</th><th>Qui écrit, comment</th><th>Ecrit du tableau</th><th>Rapport de l'écrit au discours</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 Rappel d'une consigne</td><td>Rappel d'information</td><td>L'enseignant</td><td>L'énoncé</td><td></td></tr><tr><td>3 Temps de réflexion</td><td></td><td>L'enseignant</td><td>Le dessin</td><td></td></tr><tr><td>4,5 Recherche orale d'une stratégie</td><td>Questions Validation Information, méta</td><td>Personne</td><td></td><td></td></tr><tr><td>6 Début de la correction</td><td>Dictée</td><td>Elève sous la dictée</td><td>Le titre d'une sous-tâche à effectuer (rédigé)</td><td>L'écrit est la synthèse de l'oral.</td></tr><tr><td>7 Correction puis validation par le dessin</td><td></td><td>Elève dirigé ou autonome pour des calculs</td><td>La correction (rédigée) Le dessin complété</td><td>L'écrit suit l'oral et est identique lors des dictée.</td></tr><tr><td>8 Rappel de la méthode et du cheminement</td><td>Information, méta</td><td>Personne</td><td></td><td></td></tr><tr><td>9 Correction</td><td>Information, méta Questions Validations Dictée</td><td>Elève sous la dictée ou autonome pour les calculs</td><td>La correction (rédigée)</td><td>L'écrit suit l'oral</td></tr><tr><td>10, 11 Nouvelle sous-tâche, introduction et traitement (correction)</td><td>Questions Validations Dictée</td><td>Elève sous la dictée</td><td>La correction (rédigée)</td><td>L'écrit suit l'oral</td></tr><tr><td>12, 13 Nouvelle sous-tâche (médiatrice), recherche et traitement</td><td>Questions Validations Dictée</td><td>Elève autonome pour les calculs mais interrompu...puis dictée</td><td></td><td>Idem</td></tr><tr><td>...</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>27 Introduction d'une nouvelle consigne</td><td>Rappel d'information</td><td>L'enseignant</td><td>L'énoncé</td><td></td></tr><tr><td>28 Temps de recherche</td><td></td><td>L'enseignant</td><td>Dessin</td><td></td></tr><tr><td>29, 30, 31, 32, 33, 34 Recherche orale d'une stratégie</td><td>Questions Validations Informations, méta</td><td>Personne sauf pour des activités dessin</td><td></td><td></td></tr><tr><td>35 Rappel de la consigne</td><td></td><td>Personne</td><td></td><td></td></tr><tr><td>36 Recherche orale</td><td>Questions</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>37 Correction</td><td>Validations Dictée à la classe</td><td>Enseignant</td><td>Briques de ce qu'il a dicté</td><td>L'écrit suit l'oral et le synthétise</td></tr><tr><td>...</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
## Routines observées (côté enseignant)

Nous relevons ici ce qui se répète (lignes analogues).

D'abord, on constate que le découpage des activités des élèves est fixé : rappel de la consigne, temps de réflexion, recherche orale commune de méthode, traitement à l'écrit au tableau, vérification éventuelle sur un dessin. Plus précisément chaque étape présente encore d'autres régularités :

* Rappel de consigne ou de méthode : l'enseignant écrit au tableau l'énoncé, en rédigeant. Il fait éventuellement des rappels oraux d'information.

* Temps de réflexion plus ou moins long (éventuellement nul) : l'enseignant se tait et trace éventuellement le dessin pour anticiper le travail.

* Recherche orale commune de stratégie (éventuellement nulle) : l'enseignant, par un jeu de questions, de validations des réponses fournies par les élèves, et d'apport d'information avant l'activité, fixe lui-même les sous-tâches à accomplir (y compris celle de se poser la question de la méthode à adopter).

* Traitement à l'écrit : l'enseignant dicte à un élève au tableau (élève désigné) ce qui vient d'être discuté oralement ou dicte directement l'information si la phase orale a été supprimée par manque de temps. Il peut aussi intervenir directement sur l'écrit du tableau, c'est notamment le cas pendant toute la deuxième demi-séance où le temps presse. Pendant la première demi-séance, l'écrit du tableau se compose pour moitié d'éléments mis en texte français, rédigé et complet. L'autre moitié est constituée de calculs, non rédigés mais complets. On trouve une fois une activité de dessin.

* Vérification éventuelle du résultat sur le dessin.

En somme, on peut décrire l'itinéraire cognitif proposé par p1 de la manière suivante : les élèves ont à résoudre des sous-tâches précises, isolées, définies par l'enseignant. Le tableau montre l'agencement de ces sous-tâches isolées. P1 cherche à faire faire parfaitement aux élèves les sous-tâches, en fournissant un bon modèle écrit au tableau. Il ne dévolue aux élèves au tableau que l'exécution contextualisée des sous-tâches.

On peut se demander si, dans la mesure où l'enseignant « prive » les élèves de trouver eux-mêmes les sous-tâches, les élèves l'apprennent quand-même, notamment grâce aux titres au tableau. Il serait intéressant d'étudier les contrôles de cet enseignant. Est ce, s'il n'est pas indiqué dans le texte, le découpage est retrouvé par (tous) les élèves ?

Les aides sont données surtout avant les activités, elles consistent en questions très limitées, en information et en méta, après les activités des élèves, l'enseignant donne surtout des validations et quelques commentaires méta.

## Où intervient le tableau

Lors de l'introduction de la consigne, le tableau sert à écrire l'énoncé. A ce moment-là, c'est l'enseignant qui écrit et les élèves recopient ou retrouvent leurs notes. Cette consigne ne sera pas effacée durant toute la correction, de sorte qu'elle reste visible.

Il n'y a pas d'utilisation du tableau dans la phase de recherche orale sauf pour des activités de dessin. Il s'agit alors de tracer les données de l'exercice dans un premier temps (scène 3, et éventuellement de conjecturer la solution (scènes 33 à 37). Selon les scènes c'est l'enseignant ou l'élève qui ont la craie.

On retrouve l'utilisation du tableau dans la phase de traitement de la sous-tâche à deux moments bien distincts :

- Pour fixer la méthode (par un titre) : l'écrit suit l'oral.
L'explication orale donne naissance à un titre (Scène 6, début de la 9, fin de la 10 ...). Il est écrit seulement la conclusion de ce qui vient d'être dit. Cette conclusion est rédigée sous forme d'une directive "on construit..., on cherche...".

- Pour la correction complète (sorte d'institutionnalisation) : le traitement mathématique de ce qui vient d'être annoncé est écrit.

C'est une phase où un élève est au tableau, il écrit sous la dictée. L'élève est le secrétaire de l'enseignant et seule lui est dévolue la tâche, non décidée par lui, mais qu'il doit réaliser, de compléter éventuellement les calculs numériques. Toutefois, l'enseignant surveille, voire dirige le calcul. Quand l'élève semble être (trop) autonome pour compléter le calcul, l'enseignant peut reprendre la craie pour gérer la rédaction et la rigueur.

Il y a éventuellement "dessin" après l'exécution de la tâche pour vérification des résultats. (Scènes 7, 40). Le dessin est finalement toujours associé à un accompagnement de l'enseignant.

Remarquons qu'il n'y a pas dans cette gestion d'utilisations du tableau pour montrer quelque chose de précis. A court terme, l'oral précède l'écrit, donc on ne va pas montrer ce qui n'est pas encore écrit !

A plus long terme, le rôle « d'écrit qui reste au tableau » n'est pas exploité par l'enseignant sauf en ce qui concerne l'écrit de l'énoncé. On ne le voit jamais revenir sur un écrit antérieur et le montrer sauf dans un cas pour montrer des données à réinvestir (scène 20). Il lui arrive même de dicter directement aux élèves sur leur cahier (scène 37) pour aller plus vite. Par contre, il montre le dessin quand il est fait référence dans les solutions d'exercices à un point du dessin (un point, une droite...) Le tableau est donc indispensable pour le dessin alors qu'il ne l'est pas pour la rédaction de correction. C'est à ces moments là seulement un prétexte à dicter.

Enfin soulignons que les explications qui amènent à une méthode sont uniquement orales sans référence à un passé immédiat sur le tableau, et ne figurent pas au tableau.

Les commentaires méta ne sont pas non plus au tableau mais la démarche (méthode) est ponctuée par un écrit au tableau ( titre).

Pas non plus de rappels de cours au tableau, ils sont oraux.

Pour conclure, donnons un bilan de cette utilisation du tableau à partir de la première demi-séance (l'enseignant a du temps).

C'est parmi les scènes 1 à 16 que se trouvent les 8 épisodes où l'écrit ne se compose que de texte ou d'éléments mathématiques rédigés. L'enseignant valorise le côté rédaction et le côté modèle : l'écrit au tableau semble être une référence (future). L'écrit fixe un modèle, une norme à imiter, à reproduire (sans pour autant que ce soit nécessairement contractualisé). Les 6 épisodes où cet écrit n'est pas rédigé correspondent à la fin de la première séance et à des phases très calculatoires. En particulier, le calcul numérique dans les scènes 1 à 16 est inclus dans la correction rédigée. Ce qui est donné à voir, ce ne sont pas les explications ou les méthodes mais les formules, les calculs, les résultats et les bifurcations éventuelles. Les explications ne sont présentes dans le scénario qu'oralement. Le format de l'écrit au tableau est toujours identique à savoir : Titre, Numéro de méthode, Formule à utiliser, Calcul effectif, Résultat, Conclusion, et tout ceci est rédigé. Ce qui est donné à voir, c'est le produit fini et non le processus de réflexion ou d'élaboration. Le rôle du dessin est simplement de contrôler un résultat sauf une fois, à la fin, où pour gagner du temps, le dessin sert à conjecturer le résultat sous l'impulsion de l'enseignant.
b) Pour l'enseignant p2

Voici un tableau résumant certaines données du tableau qualitatif complet (cf. annexe 4).

<table><thead><tr><th>Scènes (mise en évidence des routines liées au tableau)</th><th>Accompagnements de l'enseignant</th><th>Qui écrit ? Comment ?</th><th>Ecrit du tableau ?</th><th>Rapport de l'écrit au discours</th></tr></thead><tbody><tr><td>1, 2 Début d'une correction</td><td></td><td>Un élève autonome, en silence</td><td>Dessin, formules, calculs ...</td><td>Indépendant</td></tr><tr><td>3 Commentaire de l'écrit</td><td>Validation de l'écrit Information + méta</td><td>L'élève qui continue</td><td>Idem</td><td>L'oral s'appuie sur l'écrit du tableau</td></tr><tr><td>4, 5 Suite de la correction</td><td>Validation Information + méta</td><td>Idem</td><td>Idem</td><td>Idem</td></tr><tr><td>6 Commentaire de l'écrit</td><td>Validation Information + méta</td><td>La enseignant</td><td>Idem (+ rigueur)</td><td>Identique, oral en même temps que l'écrit</td></tr><tr><td>10, 11 Nouvelle consigne, début de correction</td><td>Validation Information + méta</td><td>Elève autonome, en silence</td><td>Idem</td><td>L'oral s'appuie sur l'écrit du tableau</td></tr><tr><td>12 Commentaire et correction de l'écrit</td><td>Validation Information + méta</td><td>Personne</td><td></td><td>L'oral s'appuie sur l'écrit</td></tr><tr><td>13 Vérification sur le dessin</td><td>Méta</td><td>Elève en silence</td><td>Dessin</td><td>L'oral précède l'écrit</td></tr><tr><td>14 Nouvelle consigne, début de correction</td><td>Méta (dictée)</td><td>Elève en silence</td><td>Idem</td><td>Indépendant sauf l'élément de rigueur dicté</td></tr><tr><td>15 Activité dessin</td><td></td><td>Elève</td><td>Dessin</td><td>L'oral précède l'écrit</td></tr><tr><td>16... Suite de la correction</td><td>Validation Information + méta</td><td>Elève autonome</td><td>Formules, calculs...</td><td>L'oral s'appuie sur l'écrit</td></tr></tbody></table>

Routines observées (côté enseignant)

* Dans le premier temps, les élèves à leur place et l'élève au tableau travaillent essentiellement seuls. L'élève au tableau recopie son cahier et refait le calcul sans intervention de p2. La qualité de ce qui est au tableau est donc fonction de l'élève choisi. En général, la consigne ne figure pas au tableau, ni la méthode, seulement les formules et les résultats. La rédaction est en partie absente (style télégraphique). Comme on a vu un exercice déjà préparé, il n'y a pas ni erreur ni essai au tableau.

* C'est ensuite la solution proposée par l'élève que l'enseignant commente. Il rappelle éventuellement la consigne oralement, rapidement. Il vérifie ce qui est écrit et corrige. Il est vigilant sur les incorrection mathématiques de forme. Il accepte une présentation minimale. Ensuite, il commente les sous-tâches avec des rappels oraux éventuels. Il y a donc une importante structuration orale faite par l'enseignant après les activités des élèves.

* Si ça ne va pas assez vite, l'enseignant écrit lui-même. Même dans cette phase-là, l'écrit est correct mais incomplet, non rédigé, il n'y a ni énoncé, ni conclusion. L'enseignant écrit en questionnant les élèves. Cette fois l'écrit est postérieur à l'oral mais les questions de l'enseignant sont directes pour faire avancer la solution.

* Pour les phases de correction, l'élève est autonome au tableau (54% et 45% des écrits au tableau dans la seconde séance). Donc la production écrite n'est rédigée que si la préparation
de l'élève l'a été. L'enseignant reprend la craie ou dirige l'élève pour gérer la rigueur mathématique ou, dans la séance 2, pour aller plus vite. L'enseignant ne reprend pas la craie pour rajouter des éléments de rédactions comme on peut le voir parfois chez p1. L'important, pour p2, c'est la rigueur du tableau. L'aide ne concerne pas la rédaction mais la correction de la solution proposée. Un rôle "brouillon public" du tableau se dégage ici (52 % (resp. 55% pour la deuxième demi-séance) des écrits au tableau font visualiser un travail en cours). Cependant, le tableau permet un écrit qui reste un moment. C'est un espace de travail public pour effectuer une tâche d'habitude privée, que l'on va corriger. Tout le monde a la même chose en même temps. Cela permet de donner des explications ou de faire des commentaires méta (notamment sur la rigueur) sur des écrits provenant d'un passé immédiat et pas seulement sur un écrit en construction (27% (resp. 20% pour la deuxième demi-séance) des écrits servent à un retour en arrière...).

* Ici, on voit avant d'entendre. Quand un élève écrit, l'enseignant attend, ou répond en aparté à d'autres élèves, l'enseignant dit clairement qu'il attend que quelque chose soit écrit avant de commenter. L'oral qui suit est l'occasion de commenter, de valider mais aussi de broder autour de la solution proposée et de faire du méta (mise en garde, conseils sur les méthodes, sur le dessin, sur les notations). Ce commentaire est l'occasion de réécrire "par dessus". L'écrit peut engendrer un nouvel écrit. La progression de l'écrit n'est pas linéaire. De la même façon, les commentaires oraux concernent tout l'écrit du tableau et pas seulement ce qui vient d'être fait dans le dernière phase. A l'occasion d'une question d'élève, le discours peut porter sur des choses qui ont même pu être effacées par un manque de place. Le tableau est une base pour les commentaires oraux.

Du coup, il y a de nombreuses monstrations chez p2. A l'occasion de ses commentaires, p2 montre souvent des choses déjà écrites, ou le dessin. Alors même que l'élève au tableau, autonome, poursuit l'écriture de la correction. Le tableau est donc ici indispensable non seulement pour dessiner comme il l'était pour p1 mais aussi pour s'y référer sans arrêt.

En somme, chez cet enseignant, le tableau « montre » les mathématiques qu'il faut faire à partir d'un premier écrit d'élève. Tout se passe comme si l'enseignant valorisait les itinéraires cognitifs où les élèves produisent d'abord une solution puis écoutent une correction, avec des commentaires, des compléments. L'enseignant cherche aussi à leur apprendre des méthodes puisque le contexte n'oblige pas du tout à s'emparer de la méthode qui est au tableau, qui ne sert que de base à son discours. Par contre, il n'y a pas de progression locale dans ce que raconte l'enseignant, dans la mesure où cela dépend de ce qui a été produit au tableau. Il y a seulement une structuration globale (au niveau des tâches).

Enfin, l'enseignant est responsable de la rigueur et du dessin.

## Où intervient le tableau ?

Le tableau intervient à tous les moments successivement pour deux phases principales:

**La phase de construction de l'écrit** : c'est à la charge d'un élève. Pendant ce temps, l'enseignant circule dans les rangs et gère des situations particulières.

**La phase de validation et d'institutionnalisation** : à partir du premier écrit. L'enseignant élève la voix et centre l'attention sur l'écrit du tableau. Les élèves suivent alors la production au tableau qui devient propriété de la classe et qui permet d'illustrer les erreurs à ne pas faire, de compléter la solution, de donner des commentaires... A la charge maintenant aux élèves de repérer dans le discours de l'enseignant ce qui leur semble bénéfique au vu de leur production personnelle. La correction écrite au tableau n'a donc pas ce rôle primordial de présenter un modèle rédigé de correction (comme chez p1) mais est exploitée autrement. Ce qui est
valorisé chez p2, c'est le rôle d'écrit qui reste pendant un certain temps, qui permet de s'y
référer, de montrer, d'illustrer.

Le dessin n'a pas ici simplement un rôle de contrôle mais permet ici aussi de montrer,
d'illustrer. Il ne participe jamais au résultat comme ce qu'on a pu trouver une fois chez p1.

c) Pour l'enseignant p3

Routines observées

L'enseignant p3 est le seul des trois pour lequel on dispose des deux types de demi-séances. Il distribue au début de sa séance une feuille polycopiée sur laquelle est mis en place le contenu de la séance. Cette feuille se compose de deux exercices assez similaires à traiter, ce qui permet à p3 de maîtriser totalement l'organisation de la séance. En effet, le premier est traité en commun avec la classe sans préparation, et pour le deuxième, l'enseignant p3 laisse une dizaine de minutes de réflexion à ses élèves avant d'entamer la correction proprement dite. L'enseignant p3 gère en particulier son temps de manière uniforme ; on ne constate pas d'accélération de l'activité dans sa deuxième demi-séance comme on peut le constater chez p1 et p2.

On peut penser qu'ici la routine de l'enseignant est dévoilée à la fin d'une séance entière.
Etant donné que p3 déclare, au début de la séance, distribuer comme d'habitude une feuille à
compléter, on peut penser que les séances ont la même structure, c'est-à-dire

* Distribution de la feuille à compléter, comportant (au moins) deux exercices assez similaires.

* Structuration orale : il s'agit d'introduire l'activité de la feuille, voire du premier exercice et de faire des liens avec certaines feuilles précédentes. Il y a aussi quelques rappels mathématiques mais l'ensemble ne donne pas lieu à un écrit significatif au tableau (sauf pour des explications mathématiques pour lesquelles le tableau est indispensable).

* Correction du premier exercice de la feuille : cette correction prend la forme d'un cours dialogué avec de nombreux apports d'information mathématique avant les activités des élèves s'y rapportant. Ces apports nouveaux sont masqués par une masse de questions à la classe et beaucoup d'animation (beaucoup de questions à un mot notamment). Mais p3 ne valide pas nécessairement toutes les réponses qui lui parviennent. Les apports méta ne sont faits qu'au niveau de la structuration. Ils sont encore oraux ou donnent lieu aux titres. Le discours prend une très grande place dans cette phase. L'enseignant écrit au tableau (à 100 %) au moment précis où son discours passe par cet écrit, qui est exactement ce qu'il faut pour compléter la feuille. En particulier, des compléments importants non prévus par la structure de la feuille semblent n'être traités qu'à l'oral.

* La deuxième partie de la séance (deuxième demi-séance) est consacrée à la résolution d'un exercice similaire pour lequel les adaptations sont mineures. L'enseignant commence lui-même à résoudre l'exercice et assure le lien entre les deux exercices (structuration orale). Son écrit est la reproduction exacte, à quelques adaptations mineures près, de son écrit lors de la première demi-séance (premier exercice). Il n'hésite pas à faire de nombreux commentaires sur le contrat implicite qu'il a passé avec les élèves (voir annexe 1). Il y a ensuite un temps de recherche très long (10 minutes). Puis p3 envoie un élève au tableau. L'élève refait à l'identique la correction du premier exercice. Il est rapidement guidé alors même qu'il s'agit d'un calcul analogue à celui déjà effectué; Puis l'enseignant reprend la craie et on retrouve les mêmes caractéristiques que pour le cours dialogué de la première demi-séance.
Voici un tableau résumant certaines données du tableau qualitatif complet (cf. annexe 4).

<table><thead><tr><th>Scènes (mise en évidence des routines liées au tableau)</th><th>Accompagnements de l'enseignant</th><th>Qui écrit ? Comment ?</th><th>Ecrit au tableau</th><th>Rapport de l'écrit au discours</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 Introduction de l'activité</td><td>Méta lien avant</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>2, 3 Rappels</td><td>Questionne (cours ou à un mot), Validations Information avant Questionne (à un mot) Méta lien avant</td><td>L'enseignant</td><td>Un élément mathématique, incomplet</td><td>Ecrit= l'élément mathématique du discours</td></tr><tr><td>4 Introduction de l'activité</td><td>Méta lien avant</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>5, 6, 7, 8 Cours dialogué</td><td>Questionne (technique ou à un mot) Information avant Engagement Méta lien avant</td><td>L'enseignant</td><td>Ce qu'il faut compléter sur la feuille polycopiée. Titres, textes et symboles de math. Incomplet</td><td>Il lit ce qu'il écrit au moment où il l'écrit</td></tr><tr><td>9, 10, 11 Cours dialogué (suite)</td><td>Information avant Questionne à un mot.</td><td>L'enseignant</td><td>Idem, texte français rédigé complet</td><td>Idem</td></tr><tr><td>12, 13, 14 Interprétation graphique sans dessin</td><td>Méta lien avant Information avant Questions techniques ou à un mot Validations</td><td>Personne</td><td></td><td></td></tr><tr><td>15 Institutionalisation</td><td>Méta lien après Information avant Questions (techniques ou fausses questions)</td><td>L'enseignant</td><td>Texte français rédigé et complet</td><td>Idem</td></tr><tr><td>16, 17 Introduction et début de l'activité (deuxième exercice)</td><td>Méta lien avant Information avant Questionne à un mot ou technique Méta contrat</td><td>L'enseignant</td><td>Ce qu'il faut compléter sur la feuille polycopiée. Titres, textes et symboles de math. Incomplet mais même format que première partie</td><td>Idem</td></tr><tr><td>18 Temps de recherche</td><td>Circule, Information avant Validation</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>19 Suite de l'activité (correction)</td><td>Information avant Méta lien avant Validation</td><td>Un élève autonome pour les données mathématiques puis dirigé pour le développement du calcul</td><td>La correction sous la même forme que la première partie Texte français complet et rédigé avec un calcul mathématique</td><td>Le prof commente l'écrit de l'élève puis dicte à l'élève.</td></tr><tr><td>20, 21, 22 Institutionalisation</td><td>Questionne (technique) Validation Information avant</td><td>L'enseignant</td><td>Texte français rédigé et complet sous le même format que dans la première partie</td><td>Il dit ce qu'il écrit au moment où il l'écrit</td></tr><tr><td>23 Explication sur d'autres points</td><td>Information Questions à un mot</td><td>L'enseignant</td><td>Symboles mathématiques et texte rédigé</td><td>Ecrit= l'élément mathématique du discours + texte postérieur au discours</td></tr></tbody></table>
On peut décrire l'itinéraire cognitif proposé par p3 de la façon suivante : une séance est l'occasion de construire un modèle de correction pour un type précis d'exercice et les élèves auront à le reproduire sur tous les exercices similaires qui leur seront proposés. Dans cette phase de construction, c'est p3 qui dirige totalement la réflexion dans la classe. Les moyens pour y parvenir sont de deux ordres. Tout d'abord, la structure prédéfinie par la feuille polycopiée ne permet pas du tout de s'écarter du scénario prévu par l'enseignant. Ensuite, cette réflexion est faite oralement. Les élèves ne sont sollicités que pour répondre à des questions précises, isolées, définies par l'enseignant. Le nombre important de questions à un mot et d'activités d'animation permet de masquer cette non-dévolution aux élèves. Mais p3 ne prend pas en compte toutes les réponses qui lui parviennent, et ceci pour faire avancer sa correction dans la bonne direction. L'information apportée étant rigoureuse et correcte, il n'y a pas lieu d'apporter des commentaires méta sauf à faire de la structuration. **La feuille complétée devient le modèle de résolution pour un exercice tel que l'exercice 1. L'objectif de l'enseignant est que les élèves sachent maintenant résoudre des exercices similaires. Il pense les aider en leur proposant de résoudre ces exercices sous le même format que celui de l'exercice modèle qu'il vient de traiter. Pour les contraindre à s'engager sur cette voie, à l'occasion de l'exercice 2, il commence lui-même la correction avant-même de laisser chercher et il reproduit au tableau un écrit totalement calqué sur l'écrit du premier exercice. Il ne reste plus aux élèves qu'à reproduire ce que l'enseignant leur a montré dans la première demi-séance. Non seulement, il n'y a que des adaptations mineures mais les élèves sont privés de toute initiative pour la résolution. La structure prédéfinie de la feuille, même pour cet exercice 2, les commentaires sur le contrat rappelés par p3, obligent également les élèves à avoir cette démarche de reproduction.**

Les aides à long terme sont apportées par la feuille qui joue le rôle de modèle (alors que c'est le tableau à recopier qui joue ce rôle chez p1) et par la structure rigide commune aux deux exercices. L'enseignant p3 souhaite certainement que les élèves la mémorisent afin de pouvoir l'associer mécaniquement à tout exercice qui ressembleraient à ceux traités dans cette feuille et donc à pouvoir plus facilement ensuite traiter (mécaniquement encore ?) ces exercices.

Il serait intéressant de voir ces élèves travailler sur un exercice similaire mais sans balise pour les guider dans la résolution. Que se passerait-il d'autre part pour un exercice semblable mais pour lequel le format de la feuille serait inadéquat ?

## Où intervient le tableau ?

L'écrit au tableau commence avec les premiers apports mathématiques. Mais sur le tableau ne sont marqués que les éléments qui permettent de compléter la feuille, ni plus, ni moins. Ces éléments arrivent chronologiquement selon l'ordre établi par cette feuille. L'écrit n'est donc pas nécessairement complet. Sa nature dépend de ce qu'il faut compléter. Ce peut être des **éléments mathématiques**, aussi bien que des **morceaux de phrases** si les compléments nécessaires sont déjà écrits sur la feuille, aussi bien que des **phrases entières rédigées** (la feuille prévoit un emplacement pour rédiger une conclusion par exemple). Cela peut être des éléments de structuration si le complément à apporter à la feuille est un morceau de titre.

Le registre du dessin sur le tableau n'est pas du tout employé par p3 alors qu'il l'est par p1 et p2. En effet, le dessin est déjà prêt sur la feuille et p3 s'y réfère sans le reproduire. Il ne peut désigner un point sur le graphique que par ses coordonnées et ne peut pas le montrer « matériellement ». Il se prive donc en ce sens d'un rôle important du tableau pour aider les élèves dans leurs activités cognitives en lien avec les dessins.
L'écrit au tableau est identique à l'oral qui s'y rapporte (et produit en même temps) mais la démarche de construction de cet écrit n'est exposée qu'à l'oral. L'écrit ponctue le discours et en laisse des traces que les élèves ont à recopier sur leur feuille.

Ponctuellement quand le tableau est indispensable pour participer à une explication (ou à un élément d'une explication), il est utilisé. Alors l'élément mathématique nécessaire n'est pas écrit à la suite de l'écrit permettant de compléter la feuille mais n'importe où ailleurs (scènes 2, 20). C'est une façon de priver les élèves de réflexion autonome, on ne laisse pas s'apercevoir eux-mêmes que ce qui est écrit ainsi ne fait pas partie des compléments à apporter à la feuille. Toutefois, cette fonction du tableau est celle déjà trouvée chez p1 et p2, celle de support visuel nécessaire et spécifique aux mathématiques.

Le tableau est un lieu pour l'écrit de l'enseignant. Un élève ne va au tableau que quand l'enseignant est assuré de ce qui va être écrit. C'est possible grâce à la feuille et à sa structure rigide, grâce au fait que l'enseignant contraint ses élèves à résoudre sous le format de cette feuille (en amorçant au tableau l'écrit de la correction sous ce format, avant même la recherche). Si une marge d'autonomie se dégage (présentation du développement d'un calcul par exemple) l'enseignant guide l'élève ou reprend lui-même la craie, quand bien même il s'agit toujours de l'exercice préparé ( il ne s'agit pas là pour lui d'accélérer le déroulement de la séance comme chez p2 mais bien de maîtriser l'écrit au tableau ). On comprend alors que le rôle principal du tableau (en plus des fonctions déjà signalées) se limite en fait à celui de donner à voir à tout le monde les informations à noter sur la feuille. Aucune information parasite n'a le droit d'exister sur le tableau. Le tableau doit présenter un écrit non seulement correct mais compatible avec les trous de la feuille.
# CONCLUSION

Nous indiquons quelques limites de ce travail. Nous revenons ensuite sur différentes utilisations du tableau puis nous dégageons des caractéristiques de l'intégration du tableau dans les pratiques en classe. Nous concluons sur des perspectives de recherches ultérieures notamment en terme de routines.

## 1) Quelques limites de nos recherches

Une première restriction s'impose : il y a trop peu de corpus analysé pour prétendre avoir mis en évidence des résultats. Ce sont des pistes, et une méthodologie qui sont proposées ici.

Il faudrait éventuellement plus préciser les conditions de production pour n'avoir que la variable enseignant qui change. Ou à contrario, prendre un même enseignant et faire varier l'activité ou l'élève. Cela permettrait de travailler sur notre hypothèse sur la cohérence des pratiques et leur stabilité : est-ce que l'utilisation du tableau dépend de la tâche, ou bien correspond-elle à une organisation régulière (routine, voir automatisme) qui est utilisée pour plusieurs (toutes) les tâches ?

Il y a aussi un problème de choix de quantification : nous avons choisi d'une part d'attribuer éventuellement une seule étiquette à un groupe de phrases jugées analogues dans une même scène – il se peut que cela soit réducteur ; deux étiquettes pourraient être attribuées, même si une catégorie est dominante. De plus les groupes de phrases répertoriées ne correspondent pas à une même durée, et c'est un autre biais que nous avons introduit : on peut compter de la même manière plusieurs phrases longues (analogues de notre point de vue) ou une demi-phrase courte.

Côté élève enfin, on n'apprend rien avec la vidéo élève, en particulier car c'est un élève moyen. On peut aussi essayer de prendre différents cahiers d'élèves.

Il pourrait être plus intéressant de voir plusieurs élèves faibles (éviter ainsi les compensations qu'effectuent peut-être les élèves « à l'aise »).

Pour mesurer des effets éventuels des routines, et notamment repérer le devenir de ce qui n'est pas installé par l'enseignant explicitement, une analyse des contrôles ou d'interrogations écrites partiellement proposées par l'observateur (et adaptées à la classe) pourrait être intéressante (cf. l'effet du découpage en sous-tâches chez p1).

## 2) Des utilisations du tableau très semblables par enseignant durant toute une séance, différentes selon les enseignants dans des séances analogues (exercices préparés ou non à la maison), avec quelques points communs cependant.

### a) Les points communs

Premier point commun, un rôle spécifique du tableau : support visuel, visible par tous, permettant la centration de l'attention collective sur l'écrit.

Nous avons déjà signalé ce caractère du tableau, en soulignant aussi la possibilité de rattrapage pour des élèves lents ou en retard du fait que l'écrit reste un moment.

De plus, dans le cas des mathématiques, on retrouve que quand une explication mathématique est compliquée, il est nécessaire d'écrire quelque chose. Les trois enseignants utilisent cet aspect du tableau, qui est spécifique aux mathématiques. C'est très clair pour l'utilisation du dessin. On ne peut pas dire que l'on trace quelque chose sans avoir le support écrit. La
particularité de p3 est que ce support n'est pas le tableau mais sa feuille polycopiée. Mais il
utilise aussi le tableau comme support visuel quand il fait des commentaires sur "y=ax+b"
par exemple, qu'il écrit au milieu du tableau (scène 2).

De plus, les trois enseignants demandent implicitement à tous les élèves de regarder en même temps le tableau, et cela permet de parler du même écrit pour tout le monde.

*Deuxième point commun : le rôle du dessin chez les enseignants, pour la vérification mais pas comme cadre de travail.*

On a mis en évidence dans tous les cas un rôle de contrôle, qui est même clairement dit par les enseignants. Parfois, pour gagner du temps ou économiser des calculs, on voit le dessin servir à donner des résultats ou au mieux à conjecturer des résultats qui seront validés par un démonstration rapide. Pourtant les enseignants ne veulent pas que dessin rime avec démonstration. En particulier, ils ne travaillent pas avec le dessin comme avec un cadre de travail à part entière.

Quels effets cette minoration du dessin a-t-elle sur les élèves ?

b) Deux types d'utilisations (exercices préparés ou non à la maison)

i) L'écrit au tableau succède à l'oral (ou lui est simultané) (p1, p3) : une fonction "écrit correct", très découpée, mais "égalitaire", voire un modèle. Le tableau est plutôt un lieu de savoir.

Les deux enseignants 1 et 3 poussent l'utilisation " support visuel "très loin.

Il s'agit pour eux de synthétiser par l'écrit une discussion qui se clôt. L'oral précède l'écrit.
Les informations dites oralement, doivent être reprises par tout le monde grâce à l'écrit, en
même temps et de la même façon.

Cela peut jouer comme une garantie qu’un maximum d’élèves en même temps aient accès à ce qui a été dit, en donnant une deuxième fois et sous la forme écrite des informations déjà données (d’où le titre "égalitaire").

Cela accentue aussi le découpage en sous-tâches, qui, ayant été de plus indiquées par l'enseignant, semblent peut-être maintenant indépendantes pour les élèves.

On remarque cependant des titres écrits chez p1, qui contribuent à la structuration de détail du tableau - cela prolonge la structuration orale.

De manière analogue, on bouche un trou de la feuille polycopiée chez p3, avant d'engager une réflexion orale pour boucher le trou suivant.

On peut penser que titres au tableau (ou repérage sur la feuille) et réflexion orale préalable à l'écrit correct compensent, d'une certaine manière, pour ces enseignants le fait que c'est eux qui fixent ou introduisent toutes les réflexions.

Soulignons que le tableau participe pleinement à leur stratégie globale (on a vu à quel point le "format" d'utilisation est régulier).

Un rôle spécifique du tableau (pour p1 seul) : rôle de modèle (à utiliser à plus long terme).
L'écrit contient éventuellement des modifications de l'oral, qui ne sont pas discutées d'ailleurs.

Il existe des petites adaptations aux réactions des élèves mais l'écrit au tableau est une production de l'enseignant. C'est un écrit complet, rédigé, avec des éléments mathématiques insérés dans la rédaction. C'est comme un livre. La seule activité des élèves semble être le recopiage. Ce qui a été écrit doit figurer sur chaque cahier et est considéré comme correct en tant que production. En allant plus loin, un élève pourrait quelquefois ne pas regarder le tableau puisque, à un certain moment, p1 dicte directement aux élèves, sans passer par l'intermédiaire du tableau.

Chez p3, ce rôle est joué par la feuille polycopiée complétée.
ii) L'écrit au tableau précède l'oral (p2) : une fonction de brouillon public. Le tableau est plutôt un lieu de travail.

Le tableau donne la possibilité d'un travail public temporaire, pas tout de suite correct, ni définitif. Cela donne à voir la démarche (écrit progressif), la recherche, le processus de production (même si dans ce cas les élèves travaillent en même temps que l'élève au tableau, et donc sont confrontés à la fin au travail fini). Ici, le tableau est indispensable, comme support visuel commun. Tout le monde regarde le même brouillon en même temps et au même moment : cette production permet de recentrer facilement l'attention des élèves (ce qui est pris en charge par le premier rôle chez p1 et p3). Mais c'est une production d'élève qui figure, donc on peut penser que la classe se l'approprie différemment. L'enseignant peut s'appuyer dessus pour faire des remarques légitimes sur le fond ou la forme.

Un détail lié à la gestion : cette utilisation permet de ne pas perdre de temps puisque tout le monde travaille en même temps. Cela permet aussi de consacrer le temps de recherche à gérer des situations particulières et à regarder les productions des autres élèves dans la classe. Cela permet enfin une reprise en main par la centration sur le tableau après des phases de recherche dispersée.

c) Un essai de bilan en termes d'activités élèves liées au tableau, pour l'avenir (recopiage) ou pour le présent (suivi immédiat).

Chez p1, la rédaction donne une légitimité suprême et les élèves recopient sans peut-être s'approprier vraiment tout de suite cette correction. Cela permet de faire suivre un maximum d'élèves mais peut-être certains se laissent-ils porter. Le travail mathématique sera alors pour plus tard.

On peut formuler la même remarque en ce qui concerne l'effet " feuille polycopiée " chez le p3. On peut espérer une utilisation ultérieure.

Pour p1 et p3, l'écrit est identique à l'oral et un élève pourrait ne pas regarder le tableau s'il suit oralement.

Chez p2, le caractère non rédigé mais seulement informatif du brouillon fait que les élèves le comparent avec leur propre brouillon et se contentent, de leur propre initiative, de le recopier ou non, de compléter leur brouillon si besoin est... Ils doivent avoir une activité face à cet apport écrit qu'est le tableau. Ils doivent se servir des commentaires oraux qui vont aller avec pour s'approprier personnellement quelque chose, tout de suite.

Chez p2, l'écrit au tableau est également associé à une possibilité d'un usage légèrement différé, mais toujours en classe, ce qui n'est pas exploité chez p1. P2 montre du "déjà là" qu'il commente ou corrige, en expliquant et en complétant. Le tableau est alors indispensable pour p2. L'oral de nouveau succède à l'écrit, et il l'explique, le précise, voire le dépasse. Chez p2, il est impossible de ne pas regarder le tableau qui joue un rôle de centration.

3) L'utilisation du tableau intégrée dans des séances d'exercices s'inscrit dans une cohérence des pratiques des enseignants, avec certaines compensations.

Tout se passe comme si les pratiques des enseignants, dans une séance d'exercice donnée, se plaçaient entre les deux pôles suivants : la classe est d'abord un lieu de travail mathématique (p2) ou la classe est d'abord un lieu du savoir mathématique (p3, p1 dans une moindre mesure). Rien ne dit qu'un même enseignant ne puisse pas utiliser les deux démarches soit à différents moments, soit pour des classes différentes. La grande régularité trouvée chez les
trois enseignants pour toutes les scènes analogues de séances de même type, le fait qu'un même enseignant (p3) adopte la même démarche que les exercices sont préparés à la maison ou non, renforcent l'hypothèse d'une véritable stratégie, non aléatoire (si ce n'est consciente), pour une séance donnée.

Cependant pour une séance donnée, on trouve des éléments qui nuancent le caractère précédent, sortes de compensation qui brouillent un peu les cartes pour l'observateur non averti. Par exemple les élèves sont "pris en compte" dans les interventions de la même manière. En réalité cette prise en compte se différencie dans le détail, puisqu'elle consiste surtout en brèves questions chez p3, et en validation chez p2 et p1. On constate aussi justement que p1 est intermédiaire.

De plus lorsque le temps presse, l'enseignant est amené à renoncer à certains éléments de sa stratégie, caricaturant un peu sa pratique.

Le tableau s'intègre à la démarche générale choisie, là-encore avec certaines nuances, mais la renforçant d'une certaine manière : on retrouve la cohérence déjà soulignée dans d'autres travaux sur les pratiques (cf. Vergnes, 1999, Masselot, 2000).

Ainsi si, à un moment donné d'une séance, la classe est plutôt lieu de travail, le tableau est davantage utilisé dans sa fonction "écrit intermédiaire", permettant de donner à voir un processus plus qu'un produit (au moins un travail en cours, produit par un élève). L'élève peut écrire au tableau de manière autonome, il peut donc y avoir des "fautes", qui sont discutées. C'est l'oral qui organise les interventions au tableau, l'écrit le précédant, la validation l'emporte sur l'institutionnalisation au tableau. Les accompagnements correspondants peuvent d'ailleurs se faire partiellement après les activités des élèves, qui les induisent et les organisent en partie. Le temps de production des élèves en classe n'est pas une perte de temps.

Si la classe est plutôt lieu de savoir, le tableau est utilisé davantage dans sa fonction "écrit correct", à recopier en général, à mémoriser éventuellement, permettant de donner à voir un produit plutôt qu'un processus. C'est l'enseignant qui écrit ou dicte ce qui est au tableau, à quelques exceptions près - l'élève peut produire un calcul (tâche technique, simple et isolée). L'écrit est le but des interventions, l'institutionnalisation l'emporte - il n'y a pas ou peu besoin de validation puisque c'est l'enseignant qui a l'initiative de ce qui est écrit. Les accompagnements se font plutôt avant les activités des élèves - cela réduit encore les risques d'errements ou d'erreurs au tableau, cela réduit aussi les "pertes de temps" qui pourraient être associées à un temps de production plus long.

## 4) Routines, cohérence et compensations : aides à court terme pour les élèves, obstacles à long terme pour le changement de pratiques ?

Assurant la cohérence des pratiques et en même temps conséquences de celle-ci, permettant peut-être aussi certaines compensations, s'installent des routines dans les pratiques des enseignants, correspondant à des activités régulières (traduisant des schèmes ?).

Le tableau participe peut-être de ces routines - nous avons constaté en tout cas, chez les trois enseignants, des utilisations très régulières, très bien intégrées dans les déroulements globaux. On peut se demander si ces routines aident les élèves (en jouant comme des repères). Est-ce que le fait d'être très familier avec une démarche répétée de l'enseignant, très habitué à un certain mode d'enseignement, facilite ou rend au contraire moins attentif à cet enseignement ? Y a-t-il adaptation positive ou au contraire accoutumance négative des élèves ?

Par exemple quand p1 ne dévolue jamais aux élèves le fait de se poser la question des méthodes, peut-on supposer que cela va s'installer "tout seul" chez les élèves (moyens, fragiles) ?
On peut aussi se demander si ces routines aident les enseignants, les soulageant de répétitions de contrat éventuelles par exemple, créant une complicité avec les élèves (éléments connus des deux parties et rien que d'eux).

On peut enfin se demander si ces routines ne sont pas, pour les enseignants, une aide aux petites compensations mais un obstacle aux changements plus importants. Si on admet ainsi que le plus important pour comprendre les pratiques pendant une séance (ce qui les organise) est la stratégie (par exemple de déterminer si la classe est un lieu de travail / un lieu de savoir pour nos séances d'exercices), ce qui va avec l'hypothèse d'une grande cohérence des pratiques, alors les routines ne permettront que des compensations locales ne mettant pas en cause globalement cette stratégie (Crahay, 1989).
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Annexes

Annexe 1 : Descriptions des séances et analyses des tâches....................................

Annexe 2 : Descriptions des accompagnements de l'enseignant : précisions sur les catégories utilisées dans les tableaux....................................................................

Annexe 3 : Descriptions des activités des élèves....................................................

Annexe 4 : Les tableaux qualitatifs de données (analyses brutes)....................................

Annexe 5 : Les transcriptions
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# Annexe 1 : Descriptions des séances et analyses des tâches

## P1

### Exercice 1 : Trouver l'équation de la médiatrice d'un segment donné [A,B]

C'est une question fermée mais donnée sans indications.

Cependant, l'enseignant indique la question de méthode à se poser (demande des définitions possibles pour médiatrice).

Les élèves n'ont plus qu'à énumérer les méthodes.

L'enseignant explique que les deux définitions possibles vont mener à deux méthodes possibles. Les élèves n'ont plus qu'à choisir la méthode.

### Première méthode : médiatrice comme perpendiculaire passant par le milieu de [A,B]

L'enseignant rappelle une nouvelle fois la définition et implicitement la marche à suivre.

Il reste des étapes.

### 1ère sous-tâche : recherche du coefficient directeur de (A,B). Cadre analytique.

L'enseignant introduit la sous-tâche par un jeu de questions qui abordent même la deuxième sous-tâche. Les élèves n'ont plus qu'à retrouver la formule du cours et à l'appliquer (rechercher une formule de cours + application simple et isolée).

### 2ème sous-tâche : recherche du coefficient directeur de la médiatrice. Même cadre.

Il faut reconnaître l'application d'une nouvelle formule du cours (aa' = -1).

Il introduit la sous-tâche en disant que le coefficient directeur de la médiatrice est un nombre.

Il masque cette introduction en donnant l'initiative de nommer ce nombre.

Les élèves donnent la formule et il ne reste plus qu'à appliquer cette formule (rechercher une formule du cours + application simple et isolée).

### 3ème sous-tâche : recherche des coordonnées du milieu de [A,B]

L'enseignant introduit la sous-tâche par un jeu de questions. Il masque cette introduction en donnant l'initiative du nom du milieu. Il prive les élèves de nommer les variables abscisse et ordonnée du milieu. Il reste aux élèves le calcul des coordonnées (application simple et isolée des formules du cours).

### 4ème sous-tâche : synthèse et construction de l'équation de la médiatrice

L'enseignant introduit par des questions la forme « y=ax+b », le fait que « a » soit connu et demande ce qu'il faut faire pour récupérer « b ».

Il ne reste aux élèves à faire la substitution dans « y=ax+b » pour trouver « b » (reconnaissance de la sous-tâche + application simple et isolée).

### Deuxième méthode : médiatrice comme ensemble des points à égale distance de A et de B.

L'enseignant rappelle la définition. Il nomme la médiatrice.

### 1ère sous-tâche : traduire analytiquement l'égalité des distances.

L'enseignant dicte le début de la méthode et introduit indirectement la sous-tâche.

Il reste aux élèves à écrire l'égalité des distances et à réduire (interprétation de la sous-tâche + application simple et isolée).
(L'enseignant pointe en outre le problème de la racine carrée et introduit indirectement l'élévation au carré)

2ème sous-tâche : mettre l'équation sous la forme « y=ax+b »

L'enseignant introduit directement la sous-tâche « isoler y ».

Il reste à l'élève la mise en place de l'équation (application simple et isolée)

Exercice 2 : Chercher les coordonnées de l'orthocentre d'un triangle (A,B,C) donné.

C'est une question fermée mais donnée sans indication.

L'enseignant indique la méthode en demandant la définition de l'orthocentre.

Il précise la méthode en sous-entendant que deux hauteurs suffisent pour déterminer l'orthocentre. Il nomme l'orthocentre.

1ère sous-tâche : Déterminer par un argument graphique l'abscisse de l'orthocentre.

L'enseignant change de cadre puisqu'il aiguille ses élèves sur le graphique. Il fait trouver aux élèves sur le dessin une hauteur simple (question ouverte, reconnaissance d'un cas particulier simple sur le dessin, en l'occurrence une hauteur parallèle à l'axe des ordonnées). Les élèves doivent également conjecturer l'équation de cette hauteur et en déduire l'abscisse de l'orthocentre.

2ème sous-tâche : Trouver l'ordonnée de l'orthocentre.

L'enseignant introduit la sous-tâche par une question et fait revenir dans le cadre analytique. Il fait introduire à la classe la sous-tâche « chercher une équation de la hauteur (B,H) ». Il impose une nouvelle méthode qu'il donne directement. L'enseignant fait en outre référence à la formule analytique connue pour exprimer l'orthogonalité. Il reste aux élèves à se souvenir de la formule et à l'appliquer (rechercher une formule de cours + application simple et isolée).

L'exercice reste inachevé.

P2

Détermination d'équations de droites caractéristiques dans un triangle (A,B,C) donné.

L'exercice était préparé à la maison. Les tâches accomplies par les élèves sont donc celles prescrites par l'énoncé.

Exercice 1 : Trouver une équation de la médiane issue de B.

Il s'agit d'une question fermée mais découpée en sous-tâches par l'énoncé.

Q1 : Faire la figure (cadre géométrique, aucune indication)

Q2 : Montrer que les trois points A,B,C ne sont pas alignés (on revient au cadre analytique)

La question est fermée mais donnée sans indications. Elle correspond à une tâche précise : calcul de deux vecteurs à partir de 3 points et calcul d'un déterminant (application simple et isolée par l'énoncé)

Q3 : Calcul des coordonnées du milieu I de [A,C]

Application simple et isolée

Q4 : Traduire analytiquement l'appartenance d'un point M de coordonnées (x,y) à une médiane en utilisant deux points de cette médiane (en l'occurrence B et le point I mis en évidence par dans la question Q3).
La question est fermée et correspond à nouveau à une sous-tâche précise, isolée. L'enseignant insiste pour que les élèves appliquent les directives de l'énoncé. Il s'agit de calculer deux vecteurs à partir des trois points et d'écrire la nullité d'un déterminant (reconnaissance de la sous-tâche + application simple et isolée). L'enseignant n'intervient qu'après l'activité. Il évoque d'autres méthodes (non conformes à l'esprit de l'énoncé), et ne donne que des indications à leur sujet.

Exercice 2 : Trouver une équation de la médiatrice de [A,C].

C'est encore une question fermée mais donnée (a priori) cette fois sans indications. Il faut utiliser la question Q3 de l'exercice précédent, introduire un point M sur la médiatrice et traduire l'orthogonalité des deux vecteurs MI et AC (introduction des intermédiaires et des formules, mise en oeuvre de la tâche puis application simple et isolée).

Il y a encore une autre méthode (« médiatrice comme ensemble des points à égale distance de A et de C »). L'enseignante l'introduit par des questions mais ne la traite pas.

P3

L'enseignant P3 distribue au début de sa séance une feuille polycopiée sur laquelle sont donnés les deux exercices à travailler. Les corrections y sont préparées sous forme de titres à compléter, de cases à remplir, liées éventuellement entres elles par des symboles mathématiques déjà inscrits... Il y a des espaces libres pour marquer des commentaires et des conclusions. Il y a un dessin où sont placés trois points A,B,C. Les élèves ont simplement à compléter la feuille (y compris le dessin). En outre, les corrections préparées des deux exercices prennent exactement le même format. Il s'agit de deux exercices qui sont entièrement dans le cadre analytique.

Exercice 1 : Détermination de l'équation d'une droite passant par deux points donnés A et B.

C'est une question fermée à découper en sous-tâche. L'enseignant explique pas à pas la méthode. Il s'agit de considérer un point M sur la droite (A,B) et de traduire analytiquement le fait que les vecteurs AM et AB sont colinéaires. Tout est introduit par l'enseignant (le point M, les vecteurs AM et AB). Les élèves n'ont qu'à compléter leur feuille.

Il y a ensuite une application numérique. Les points A et B sont placés sur le dessin. Les élèves doivent lire les coordonnées. Il faut introduire des coordonnées inconnues (x,y) pour M, calculer les vecteurs AM et AB puis introduire la notion de déterminant de deux vecteurs pour traduire la colinéarité des vecteurs AM et AB. L'enseignant introduit tout et traite entièrement l'application, y compris le calcul du déterminant, sa réduction et la mise en forme de l'équation réduite.

Exercice 2 : Détermination de l'équation d'une droite passant par un point C et parallèle à la droite (A,B).

C'est une question fermée, donnée sans autres indications. L'enseignant introduit les sous-tâches en commençant la correction. Il introduit à nouveau le point M variable. Il donne les vecteurs colinéaires à considérer (en l'occurrence CM et AB). Il introduit directement les inconnues « x » et « y », coordonnées de M. Il précise l'analogie avec le modèle de l'exercice 1. Il précise qu'il faut encore annuler le déterminant des deux vecteurs CM et AB. Il ne reste aux élèves qu'à calculer les deux vecteurs et écrire la nullité de leur déterminant, et à réduire l'expression trouvée en l'équation réduite de (CM) (application simple et isolée, qui plus est, en analogie totale avec l'exercice 1).
<figure><img src="image_6.png" /></figure>
# Annexe 2 : Descriptions des accompagnements de l'enseignant : précisions sur les catégories utilisées dans les tableaux

## Accompagnements de l'enseignant

Nous donnons une brève description de chaque catégorie illustré par un exemple. Les exemples sont tirés du transcript de p1 (sauf pour les exemples 'méta contrat' tirés des transcripts de p3 et p2).

**Information** : Information strictement mathématique, introduite directement par l'enseignant, pouvant faire avancer les élèves si elle est donnée avant une activité ou justifier a posteriori une activité si elle est donnée après.

*Exemple : « on a vu hier <u>une règle</u> qui nous permet de trouver le coefficient directeur d'une droite <u>perpendiculaire</u>... »*

« le coefficient directeur de la médiatrice, <u>c'est un nombre</u>... »

**Rappel d'information** : (mathématique) rappel de cours, rappel de consigne, rappel sur des données...

*Exemple : « La question, c'est chercher une équation de la médiatrice de (AB) »*

**Méta** : Information non strictement mathématique, introduite par l'enseignant et établissant souvent une étape dans la réflexion. Les différents types sont

- structuration (et lien)

*Exemples : « Si vous avez donné deux définitions, ça vous donne deux pistes »*

« On vient de trouver le coefficient directeur de la droite (AB), on a dit qu'on pouvait trouver le coefficient directeur de la médiatrice »

- méthode

*Exemples : « Il y en a qui ont pu procéder avec l'idée : c'est l'ensemble des points à égale distance des extrémités... »*

« Est-ce qu'on va avoir besoin entièrement de l'équation de (AB) ou simplement de... »

- rigueur

*Exemples : « On ne trouvera pas qu'une seule équation cartésienne »*

« Vous écrivez a' égale »

Les tableaux « bruts »

Les transcriptions

- contrat

*Exemples : « On va donner ensemble la condition et vous allez faire les calculs seuls »*

« Donc, comme tout à l'heure, on prend un point ... »

« Vous avez le modèle au dessus du calcul à faire... »

« On va noter la conclusion en trois points comme tout à l'heure »

« Je laisse écrire, on commentera après (chez p2) »

**Questions** : Questions de l'enseignant à la classe où à un élève particulier étant entendu qu'à ce moment là, un autre élève peut répondre en demandant la parole. On distingue des questions

- de mise en fonctionnement

*Exemple : « Qu'est ce que vous feriez de l'équation de la droite (AB) ? »*

- technique

*Exemple : « Comment allez vous trouver le coefficient de la droite (AB) ? »*

- à un mot

*Exemple : « Quand vous me dites 'elle', c'est quoi 'elle' ? »*

- de cours
Exemple : « La médiatrice, qu'est ce que vous connaissez comme définition ? »

**Validation d'intervention d'élève** : prise en compte et évaluation d'une intervention même si celle-ci est inadéquate ou fausse.

**Engagement / Animation / Fausses questions** : Interventions non directement liées à un enjeu mathématique (même si elles peuvent influencer les activités des élèves)

-Engagements

Exemple : « Oui, allez-y ! »

-Animation

Exemple : « Laetitia, au tableau ! »

-Fausses questions

Exemples : « Vous me redonnez les coordonnées de A et de B ? »

« Vous l'appelez comment ce milieu ? »
Annexe 3 : Descriptions des activités des élèves

Le tableau des activités potentielles des élèves

<table><thead><tr><th></th><th>Enseignant 2, partie 1</th><th>Enseignant 2, partie 2</th><th>Enseignant 3, partie 2</th><th>Enseignant 1, partie 1</th><th>Enseignant 1, partie 2</th><th>Enseignant 3, partie 1</th></tr></thead><tbody><tr><td>Travail en silence, autonomie</td><td>6 (13 %)</td><td></td><td></td><td>2 (7 %)</td><td>4 (23 %)</td><td></td></tr><tr><td>Participation orale spontanée</td><td>7 (15 %)</td><td>5 (35 %)</td><td></td><td>2 (7 %)</td><td></td><td>1 (4 %)</td></tr><tr><td>Réponse(s) d'élève(s) à une question</td><td>9 (19 %)</td><td>1 (7 %)</td><td>1 (12 %)</td><td>4 (14 %)</td><td>4 (23 %)</td><td>10 (50 %)</td></tr><tr><td>Recopient</td><td></td><td></td><td></td><td>2 (7 %)</td><td>1 (6 %)</td><td>4 (19 %)</td></tr><tr><td>Ecoute, suivent, regardent</td><td></td><td>3 (21 %)</td><td></td><td>3 (3 %)</td><td>1 (6 %)</td><td></td></tr><tr><td>?</td><td>25 (53 %)</td><td>5 (35 %)</td><td>7 (88 %)</td><td>15 (54 %)</td><td>7 (41 %)</td><td>6 (28 %)</td></tr></tbody></table>

Comme on l'a déjà signalé sous une autre forme, le tableau correspondant aux activités potentielles rencontrées chez les élèves ne permet pas une comparaison significative des décisives. En effet, les forts pourcentages rencontrés sur la dernière ligne traduisent le fait que notre étude ne nous a pas permis de déterminer cette activité dans bon nombre des scènes.
<figure><img src="image_7.png" /></figure>
Annexe 4 : Les tableaux qualitatifs des données (analyses brutes) (la numérotation des pages est indépendante du reste du document)

Premier tableau pour p1

<table><thead><tr><td>SCENE</td><td>ACCOMPAGNEMENTS DE L'ENSEIGNANT (SCENARIO + VIDEO)</td><td>ACTIVITES DES ELEVES (VIDEO)</td></tr></thead><tbody><tr><td>1 Rappel de la consigne.<br/>Contextualisé</td><td>Il écrit l'énoncé au tableau pour le rappeler.<br/>Il interroge les élèves pour avoir les coordonnées des points A et B.<br/>Il rappelle la question.<br/>TRICHE sur "une" équation.</td><td>Écoute et travaillent à leur place.<br/>Un élève relève la triche</td></tr><tr><td>2 Réponse à une question d'élève. Parenthèse décontextualisée</td><td>Il répond à un élève qui relève la triche et explique pourquoi il demande "une" équation en rapport avec les programmes d'enseignement.</td><td>écoutent</td></tr><tr><td>3 Temps de réflexion</td><td>Circule en silence</td><td>cherchent</td></tr><tr><td>4 Recherche orale des stratégies possibles.</td><td>Circule en questionnant un élève.<br/>Demande à un élève ce qu'il connaît comme définition de la médiatrice.<br/>Valide la réponse de l'élève en la répétant.<br/>Demande une autre définition à un élève.<br/>Demande un complément à une réponse juste mais incomplète.<br/>Fait préciser qu'il s'agit d'une droite.<br/>Fait la synthèse des deux définitions et indique les deux pistes pour répondre à l'exercice.</td><td>répondent aidés</td></tr><tr><td>5 Etude orale de la première méthode ; précisions</td><td>Envoie un élève au tableau.<br/>Rappelle les deux définitions et demande à l'élève de choisir l'une des méthodes.<br/>Rappelle encore la définition correspondant à ce choix.<br/>Lui pose des questions vagues. "Ca vous apporterait quoi d'avoir l'équation de (AB)?"<br/>Anticipe sur le fait qu'on a seulement besoin du coefficient directeur avec l'aide de la classe.<br/>Rappelle qu'on sait en déduire le coefficient directeur de la médiatrice.<br/>Dichte "on cherche le coefficient directeur de la médiatrice"</td><td>Un élève au tableau qui a choisi la méthode sur questionnement du prof. Les autres écoutent.</td></tr><tr><td>6 Début de la rédaction de la solution au tableau</td><td></td><td>Copient ce qui est dicté</td></tr><tr><td>7 Recherche du coefficient directeur de (AB) avec visualisation sur le dessin</td><td>Questionne l'élève sur la façon de trouver le coefficient directeur.<br/>TRICHE : Propose de se fier au dessin.<br/>Informe la réponse de l'élève.<br/>Désigne et questionne un autre élève dans la classe.<br/>Rectifie la réponse fausse avec l'aide de la classe.<br/>Dichte la formule qui donne le coefficient directeur de (AB).<br/>Invite l'élève à faire les calculs.</td><td>L'élève au tableau donne une réponse fausse. D'autres, interpellés, répondent.</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>7a</td><td>Propose de regarder le dessin pour visualiser le coefficient directeur.<br>Demande à l'élève de mettre en évidence le coefficient directeur.<br>Résout l'aspect géométrique à la place de l'élève en montrant sur le dessin les grandes sur lesquelles il interroge.</td><td>Suivent le prof sur leur dessin</td></tr><tr><td>8 Rappel de la méthode et du cheminement</td><td>Envoie un nouvel élève au tableau.<br>Rappelle ce qui vient d'être fait.<br>Rappelle qu'on veut trouver le coefficient directeur de la médiatrice.<br>Précise que ce coefficient est un nombre.<br>TRICHE : " On va l'appeler comment ce nombre ? " (Déplacement vers une fausse alternative)</td><td>Un nouvel élève au tableau répond à la fausse question.<br>Les autres ?</td></tr><tr><td>9 Recherche du coefficient directeur de la médiatrice</td><td>Dicte " le coefficient directeur de la médiatrice est a tel que ".<br>Interroge l'élève sur la suite à donner.<br>Stoppe l'élève qui commence répondre.<br>Questionne par les techniques " c'est tel que ??? " (Questions à un mot)<br>Valide la réponse de l'élève.<br>Dicte les liaisons dans les étapes du calcul.<br>Valide l'écrit du tableau en autorisant à lire.</td><td>L'élève au tableau fait le calcul du coefficient directeur de la médiatrice.<br>Les autres ?</td></tr><tr><td>10 Introduction de la nouvelle sous-tâche : Rechercher des coordonnées du milieu de (AB)</td><td>Recadre encore ce qui est fait dans le contexte.<br>Interroge l'élève sur ce qu'il faut ensuite.<br>Fait préciser la réponse à l'élève.<br>Dicte " on cherche les coordonnées du milieu de (AB) "</td><td>L'élève au tableau répond en deux temps sur le fait qu'on a besoin du milieu.<br>Les autres ?</td></tr><tr><td>11 Exécution de cette sous-tâche</td><td>Interroge l'élève sur la lettre qui désignera le milieu.<br>Demande à l'élève et à la classe de chercher les coordonnées du milieu.<br>Il indique les lettres à donner aux coordonnées.<br>Il circule en silence.<br>Il lit les résultats de l'élève au tableau.<br>Il vérifie sur le dessin.</td><td>L'élève au tableau mène les calculs pour chercher les coordonnées.</td></tr><tr><td>12 Recherche de l'équation de la médiatrice (méthode) (très bref, on découvrira la méthode à l'exécution)</td><td>Le prof rappelle que l'on vient de trouver un point de la médiatrice.<br>Il questionne l'élève sur la suite a donner " Oui, et alors ? ".<br>Il trie dans la réponse ce qui l'intéresse.<br>Il questionne par petits morceaux. (Questions à un mot)<br>Il reformule une question très rapidement.<br>Il demande quelle est la forme de l'équation.<br>Questions à un mot sur a et b.<br>Il trie dans les propos de l'élève ce qui l'intéresse pour introduire explicitement la sous-tâche qui est " chercher b ".<br>Vraie question à l'élève sur la façon de trouver b.</td><td>L'élève répond aux questions à un mot.</td></tr></table>
<table><tr><td>13 Idem : Exécution</td><td>Il valide la réponse de l'élève et l'invite à travailler.<br/>Il intervient pour la rigueur et demandant d'écrite " est l'équation cherchée " et en fait, c'est lui même qui le fait.<br/>Il demande à l'élève des précisions sur ce qu'elle a écrit.<br/>Pas la réponse attendue.<br/>Question à un mot.<br/>Validation par répétition<br/>Il gère encore la rigueur en intervenant sur l'écrit du tableau.<br/>Fausse question ("Vous avez fini le travail, qu'est ce qu'il faut faire?")<br/>Détournement des réponses pour dicter la conclusion.</td><td>L'élève écrit "y=ax+b" et remplace les valeurs numériques, puis calcule b.</td></tr><tr><td>14 Commentaire méta sur la vérification graphique</td><td>Le prof impose la vérification graphique par une question fermée.<br/>Il efface le premier tableau à partir du début de la correction, c'est-à-dire qu'il laisse l'énoncé de l'exercice.</td><td>Un autre élève répond.</td></tr><tr><td>15 Exécution de la vérification</td><td>Il questionne la classe sur la vérification graphique.</td><td>Les élèves vérifient sur leur dessin que l'équation trouvée est correcte</td></tr><tr><td>16 Rappel de l'autre méthode</td><td>Il envoie un autre élève au tableau.<br/>Il dicte "autre méthode"<br/>Il rappelle l'autre méthode.</td><td>?</td></tr><tr><td>17 Exécution</td><td>Il dicte le début de la méthode, même la partie mathématique.<br/>Question à l'élève sur la traduction en maths de la définition.<br/>Infirmé la réponse écrite de l'élève.<br/>Il dicte et gère la présentation et la rigueur mathématique.</td><td>L'élève répond "AM=AB"</td></tr><tr><td>18 Synthèse</td><td>Il rappelle qu'on est en analytique.<br/>Il demande comment traduire "AM=MB".<br/>Il dicte pour que l'élève marque le symbole d'équivalence en dessous.<br/>Valide en autorisant à lire.</td><td>L'élève traduit AM=MB avec les racines carrées.</td></tr><tr><td>19 Réflexion sur la suite à mener au calcul</td><td>Le prof dirige le calcul en questionnant avec des questions fermées où la réponse est claire.<br/>Questions à un mot.<br/>La réponse résulte d'un processus technique, comme une fable.</td><td>L'élève du tableau répond<br/>Les autres ???<br/>Un élève interpellé répond</td></tr><tr><td>20 Exécution du calcul</td><td>Le prof commente et rappelle pourquoi on peut élever au carré. Il montre les données à utiliser et anticipe sur ce que doit faire l'élève.</td><td>L'élève fait le calcul, seule (élévation au carré)</td></tr><tr><td>21 Commentaire sur la méthode</td><td>TRICHE : Il indique qu'il faut maintenant développer par un commentaire méta "je n'ai rien de mieux à vous proposer..."</td><td></td></tr><tr><td>22 Poursuite du calcul</td><td>Le prof fait peu à peu le calcul oralement à la place de l'élève. Le prof gère la rédaction et invite toujours a mettre les équivalents mathématiques.</td><td>idem</td></tr></table>
<table><tr><td>23 Rappel de ce qu'on cherche</td><td>Le prof fait le calcul oralement</td><td>idem</td></tr><tr><td>24 Fin du calcul</td><td>Le prof fait rappeler à l'élève sous quelle forme on cherche l'équation par une question à un mot. Il détermine la sous-tâche " isoler y"</td><td>idem</td></tr><tr><td>25 Conclusion sur le résultat des deux méthodes</td><td>Parle et fait remarquer que les deux méthodes mènent au même résultat. Rappelle les deux définitions pour médatrice</td><td></td></tr><tr><td>26 Commentaire sur l'efficacité des méthodes</td><td>Commentaire oral sur le fait de préférer l'une ou l'autre méthode. Rappelle ce qu'elles mettent en jeu.</td><td></td></tr><tr><td>27 Introduction du nouvel exercice et de l'énoncé</td><td>Écrit en l'annonçant le nouvel exercice et la consigne. Il utilise l'ancien énoncé comme support. Temps de recherche assez long. 1'50 Il circule.</td><td>?</td></tr><tr><td>28 Recherche</td><td>Le prof rappelle habilement qu'il faut faire la figure (à son insu peut-être). Il circule. 1'15 Il fait la figure au tableau (tracé du triangle) Il efface la fin de la première méthode.</td><td>ils cherchent sur leur cahier</td></tr><tr><td>29 Elaboration de la méthode pour trouver l'équation de la hauteur</td><td>Le prof demande à un élève ce qu'est l'orthocentre.</td><td>Un élève interpellé répond</td></tr><tr><td>30 Suite</td><td>Le prof interroge pour faire préciser que deux hauteurs suffisent " Dites m'en un peu moins " Il explique pourquoi.</td><td>Répondent en groupe.</td></tr><tr><td>31 Commentaire sur les dessins des élèves</td><td>Le prof circule et commente les cahiers 45"</td><td></td></tr><tr><td>32 Suite de la méthode</td><td>Le prof interroge sur " une hauteur très simple "</td><td>Un élève interpellé répond</td></tr><tr><td>33 Tracé d'une hauteur</td><td>Le prof trace l'une des hauteurs en fonction de la réponse de l'élève mais ce n'était pas celle attendue</td><td></td></tr><tr><td>34 Retour comme à 32</td><td>Le prof interroge à nouveau sur " une hauteur très simple " Il répète la réponse et envoie un élève la tracer. Il nomme l'orthocentre et renvoie l'élève.</td><td>Répondent en groupe. Un élève va tracer la hauteur</td></tr><tr><td>35 Rappel de la consigne</td><td>Le prof rappelle oralement la consigne.</td><td>?</td></tr><tr><td>36 Recherche par le dessin de l'abscisse de H</td><td>Le prof propose de regarder le dessin pour lire l'abscisse de H. Il écarte une réponse d'élève inintéressante. Il questionne sur l'évidence de la réponse.</td><td>Cherchent sur le dessin. Un élève interpellé donne la bonne réponse</td></tr><tr><td>37 Synthèse sur l'abscisse de H</td><td>Le prof répète la réponse et explique pourquoi la réponse est correcte. Il demande à la classe quelle est l'équation de cette hauteur simple Il invite à noter sur le cahier. Il dicte à la classe.</td><td>écoutent et copient. Répondent en groupe.</td></tr><tr><td>38 Méthode pour trouver</td><td>Il interroge un élève sur le fait qu'il faut aussi l'ordonnée.</td><td>Ecoutent</td></tr></table>
<table><tr><td>l'ordonnée de H</td><td>Question à un mot.<br/>Il dicte la réponse et dicte la méthode à appliquer.<br/>Le prof impose une nouvelle méthode et fait du méta pour expliquer pourquoi. Il explique la méthode oralement et fait le lien avec du déjà vu. Il rappelle les autres méthodes déjà utilisées. Il invite à utiliser les formules analytiques.<br/>Il montre sur le dessin pour valider la méthode qu'il impose.</td><td>L'élève interrogé répond.<br/>cherchent</td></tr><tr><td>39 Temps de recherche</td><td>Il circule. 2°<br/>Il écrit au tableau le résultat des recherches orales précédentes.</td><td>recopient</td></tr><tr><td>40 Exécution au tableau par un élève</td><td>Il envoie un élève au tableau.<br/>Il gère la rigueur et la présentation à l'oral puis en intervenant sur l'écrit du tableau<br/>Il invite à vérifier sur le dessin si les résultats sont plausibles</td><td>recopient</td></tr><tr><td>41 Suite du calcul</td><td>Il prend l'initiative de la sous-tâche sur le calcul de AC.<br/>Il dicte le calcul.<br/>Il gère la présentation notamment la gestion des équivalences.</td><td>recopient</td></tr><tr><td>42 Anticipation</td><td>Explique qu'on a tout maintenant pour conclure</td><td>?</td></tr></table>
<table><thead><tr><th>SCENE</th><th>ACCOMPAGNEMENTS DE L'ENSEIGNANT</th><th>ACTIVITES DES ELEVES</th><th>QUI ECRIT ? MODALITE</th><th>ECRIT AU TABLEAU</th><th>RAPPORT DE L'ECRIT AU DISCOURS</th><th>FONCTION LOCALE DE L'ECRIT AU TABLEAU</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 Rappel de la consigne. Contextualisé</td><td>Rappel de consigne (avant)<br>Engagement (fausse question)</td><td>écoutent et<br>travaillent à leur<br>place.<br>Un élève relève la<br>triche</td><td>Prof en interaction<br>avec les élèves<br>pour les<br>coordonnées.</td><td>L'énoncé, rédigé et<br>complet</td><td>Identique</td><td>Remettre en<br>mémoire l'énoncé.<br>Garder l'énoncé<br>visible.</td></tr><tr><td>2 Réponse à une question d'élève. Parenthèse décontextualisée</td><td>Méta rigueur après</td><td>écoutent</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>3 Temps de réflexion</td><td>Circule en silence</td><td>cherchent</td><td>Prof en silence</td><td>Dessin</td><td>Pas d'oral</td><td>Anticiper le travail</td></tr><tr><td>4 Recherche orale des stratégies possibles.</td><td>Question (cours)<br>Validation.<br>Question (cours).<br>Validation<br>Question (à un mot).<br>Validation.<br>Méta structuration après<br>Méta méthode avant.</td><td>répondent aidés</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>5 Etude orale de la première méthode ; précisions</td><td>Engagement (Envoie au tableau)<br>Rappel de cours (avant)<br>Engagement (fausse question).<br>Rappel de définition (avant)<br>Question (mise en fonctionnement)<br>Information pendant<br>Méta méthode avant</td><td>Un élève au<br>tableau qui a<br>choisi la méthode<br>sur<br>questionnement<br>du prof. Les<br>autres écoutent.</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>6 Début de la rédaction de la solution au tableau</td><td>Rappel d'information (dicte sans nouvel apport)</td><td>Copient ce qui est<br>dicté</td><td>Elève sous la<br>dictée.</td><td>Le début de la<br>correction écrite.<br>En français, rédigé<br>et complet</td><td>L'écrit est la<br>synthèse de ce qui<br>vient d'être discuté<br>oralement</td><td>Faire visualiser la<br>sous-tâche qui doit<br>être effectuée<br>(participe à la<br>structuration de<br>détail)</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>7 Recherche du coeff directeur de (AB) avec visualisation sur le dessin</td><td>Question (technique). Validation. Question (technique). Validation Information avant Rappel d'information (dicte sans nouvel apport) Engagement (à calculer)</td><td>L'élève au tableau donne une réponse fausse. D'autres, interpellés, répondent.</td><td>Elève : Tracé de la droite autonome mais conseillé. Ecrit la formule du coefficient directeur sous la dictée. Complète les valeurs numériques suite à la formule</td><td>Dessin de (AB). Texte avec formule mathématique et valeurs numériques insérées. Rédigé et complet.</td><td>Idem</td><td>Faire visualiser la correction rédigée, comme un modèle. Faire visualiser le résultat du travail oral. Faire travailler sur le dessin</td></tr><tr><td>7a</td><td>Information avant (dessin) Question (technique) Information avant</td><td>Suivent le prof sur leur dessin.</td><td>Elève : Tracé guidé de grandeurs sur le dessin.</td><td>L'oral s'appuie sur le dessin.</td><td></td><td>Montrer sur le dessin comment visualiser le coefficient directeur de (AB).</td></tr><tr><td>8 Rappel de la méthode et du cheminement</td><td>Engagement (envoie au tableau) Méta lien après Information avant</td><td></td><td>Un élève, sous la dictée, sauf pour un calcul et la formule. Elève silencieux pendant qu'il écrit</td><td>Correction Texte en français, rédigé, complet avec une formule mathématique et un calcul numérique inséré.</td><td></td><td></td></tr><tr><td>9 Recherche du coefficient directeur de la médiatrice</td><td>Information pendant Question technique. Questionne (à un mot). Validation. Méta rigueur (dicte) Valide l'écrit</td><td></td><td>L'élève sous la dictée</td><td>Suite de la correction écrite. Texte français, rédigé et complet.</td><td>L'écrit suit l'oral ; identique. L'écrit fixe ce qui vient d'être dit</td><td>Faire voir un modèle de correction rédigé</td></tr><tr><td>10 Introduction de la nouvelle sous-tâche : Rechercher des coordonnées du milieu de (AB)</td><td>Méta lien après. Questionne (technique). Validation Rappel d'information (dicte sans nouvel apport)</td><td></td><td>L'élève sous la dictée</td><td>Suite de la correction. Texte français, rédigé et complet avec les formules et les valeurs numériques insérées.</td><td>L'écrit est en même temps et identique à l'oral pour la partie dictée. L'oral valide la partie numérique</td><td>Faire voir la correction rédigée. Faire un calcul à valider.</td></tr><tr><td>11 Exécution de cette sous-tâche</td><td>Engagement (fausse question) Engagement (à calculer) Information avant Circule en silence. Validation de l'écrit.</td><td>L'élève au tableau traite la sous-tâche.</td><td>L'élève sous la dictée pour la partie texte. L'élève est autonome pour les formules et les calculs.</td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
<table><tr><td>12 Recherche de l'équation de la médiatrice (méthode) (très bref, on découvrira la méthode à l'exécution)</td><td>Méta lien après Questionne (mise en fonctionnement) Questionne technique Méta lien avant. Questions à un mot (2 fois). Validation (2 fois) Question à l'élève (technique)</td><td>L'élève a dit seulement « AB et M appartiennent à la médiatrice », ce qui ne traduit rien</td><td></td><td></td><td>faite par l'élève</td><td>Faire voir la correction rédigée. Le dessin sert à vérifier les résultats numériques.</td></tr><tr><td>13 Idem : Exécution</td><td>Validation Méta rigueur pendant. Validation de l'écrit. Question à un mot. Validation. Méta rigueur après. Engagement (fausses question).</td><td>L'élève écrit y=ax+b et remplace les valeurs numériques</td><td>L'élève est autonome mais interrompu par deux fois par le prof qui gère la rédaction en écrivant. L'élève est guidé à la fin, contre son gré (dictée)</td><td>Rédaction de la correction, texte français, rédigé et complet avec formules et calculs insérés.</td><td>L'oral est postérieur à l'écrit. Ce sont des questionnements et des compléments sur l'écrit de l'élève. A la fin écrit=oral pour la conclusion dictée.</td><td></td></tr><tr><td>14 Commentaire méta sur la vérification graphique</td><td>Engagement (fausse question).</td><td>Un élève désigné répond</td><td></td><td></td><td>L'oral invite à utiliser le dessin.</td><td>Faire voir la correction rédigée. Faire voir le calcul de « b ».</td></tr><tr><td>15 Exécution de la vérification</td><td>Engagement (fausse question)</td><td>Regardent sur le dessin pour vérifier</td><td></td><td></td><td></td><td>Le dessin au tableau sert à vérifier l'exactitude du résultat analytique</td></tr><tr><td>16 Rappel de l'autre méthode</td><td>Engagement (Envoie au tableau) Méta lien avant (dicte) Méta méthode avant</td><td></td><td>L'élève sous la dictée</td><td>La correction, texte rédigé et complet.</td><td>Ecrit=oral simultané</td><td></td></tr><tr><td>17 Exécution</td><td>Information avant (dicte) Question (technique). Validation Méta rigueur avant (dicte) Méta lien après.</td><td>Très certainement, recopient car ça va vite</td><td>L'élève sous la dictée, sans degré de liberté.</td><td>Traduction en symbole mathématiques de cette définition de la médiatrice. Complet et</td><td>Ecrit = traduction en langage mathématique de la définition en français</td><td></td></tr></table>
<table><tr><td>18 Suite de l'exécution</td><td>Méta méthode. Questionne l'élève (technique). Méta rigueur avant (dicte) Valide la réponse écrite.</td><td>L'élève, sous la dictée, sauf pour écrire la traduction avec les racines carrées.</td><td>rigoureux. Formule mathématique</td><td>écrit après l'oral sauf quand l'élève écrit sa formule où l'oral est après l'écrit.</td><td>Faire voir un modèle de correction rédigée proprement. Fixer ce qui est annoncé oralement</td></tr><tr><td>19 Réflexion sur la suite à mener au calcul</td><td>Questionne (à un mot) Validation Question à un mot</td><td>L'élève du tableau répond Les autres ??? Un élève interpellé répond</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>20 Exécution du calcul</td><td>Validation. Rappel de cours (avant) Méta rigueur (dicte) Information pendant</td><td>L'élève fait le calcul (élévation au carré)</td><td>L'élève dirigé au départ puis autonome pour le calcul.</td><td>Le calcul dans la correction</td><td>oral avant le calcul</td></tr><tr><td>21 Commentaire sur la méthode</td><td>Engagement (validation de l'écrit) Méta méthode</td><td>idem</td><td></td><td>Idem</td><td>Le tableau permet de montrer les données à utiliser</td></tr><tr><td>22 Poursuite du calcul</td><td>Méta rigueur avant Méta méthode avant Méta rigueur avant (dicte) Validation de l'écrit. Information avant.</td><td>Des élèves notent une erreur.</td><td>L'élève autonome puis dirigé</td><td>Le calcul dans la correction</td><td>Faire voir le calcul correct. Oral précède l'écrit. Moyen pour le prof de vérifier le calcul en l'anticipant.</td></tr><tr><td>23 Rappel de ce qu'on cherche</td><td>Question à un mot. Validation. Information avant.</td><td>idem</td><td>L'élève autonome mais interrompu.</td><td>Idem</td><td>Oral = commentaire sur l'écrit</td></tr><tr><td>24 Fin du calcul</td><td>Validation de l'écrit.</td><td>idem</td><td>idem</td><td>Idem</td><td>Oral = lecture</td></tr><tr><td>25 Conclusion sur le résultat des deux méthodes</td><td>Méta méthode après.</td><td></td><td></td><td></td><td>Oral = commentaire sur l'écrit</td></tr><tr><td>26 Commentaire sur l'efficacité des méthodes</td><td>Méta méthode / structuration après</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>27 Introduction du nouvel exercice et de l'énoncé</td><td>Aide avant (écrit la consigne) Circule. Attend.</td><td>Recherche</td><td>Le prof</td><td>L'énoncé, rédigé et complet.</td><td>Faire visualiser l'énoncé</td></tr><tr><td>28 Recherche</td><td>Information avant</td><td>Recherche</td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
<table><tr><td></td><td>Circule.<br>Information avant (dessine).<br>Attend.</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>29 Elaboration de la<br>méthode pour<br>trouver l'équation de<br>la hauteur</td><td>Question (cours)<br>Validation.</td><td>Un élève<br>interpellé répond</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>30 Suite</td><td>Engagement (Fausse question)<br>Validation<br>Information avant</td><td>?</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>31 Commentaire sur<br>les dessins des élèves</td><td>Circule.<br>Commente les cahiers.</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>32 Suite de la<br>méthode</td><td>Questionne (technique)</td><td>Un élève<br>interpellé répond</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>33 Tracé d'une<br>hauteur</td><td>Valide une réponse d'élève (trace)</td><td></td><td>Le prof</td><td>Dessin</td><td>Faire visualiser à la<br>classe la hauteur et<br>compléter le dessin<br>au tableau</td></tr><tr><td>34 Retour comme à<br>32</td><td>Questionne (technique)<br>Validation<br>Engagement (envoie au tableau)<br>Information avant (dirige le tracé).</td><td>Personne ne<br>répond<br>Un élève va tracer<br>la hauteur</td><td>Un élève</td><td>Dessin</td><td>idem</td></tr><tr><td>35 Rappel de la<br>consigne</td><td>Rappel oral de la consigne (avant)</td><td>?</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>36 Recherche par le<br>dessin de l'abscisse<br>de H</td><td>Question (mise en fonctionnement)<br>Validation (écarte une réponse<br>inintéressante).</td><td>Cherchent sur le<br>dessin. Un élève<br>interpellé donne<br>la bonne réponse</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>37 Synthèse sur<br>l'abscisse de H</td><td>Validation.<br>Information avant.<br>Question à la classe (technique)<br>Réponse collective.<br>Information pendant (dicte)</td><td>écoutent et<br>copient.<br>Répondent.</td><td>Le prof</td><td>La synthèse finale,<br>texte rédigé et<br>complet. Moins<br>précis que ce qu'il<br>a dicté.</td><td>Ecrit = synthèse de<br>l'oral précédent.<br>Le discours dicté<br>est plus complet.</td></tr><tr><td>38 Méthode pour<br>trouver l'ordonnée<br>de H</td><td>Questionne (technique)<br>Validation.<br>Méta méthode avant</td><td>écoutent</td><td></td><td></td><td>Le dessin sert de<br>base pour annoncer<br>l'abscisse de H.<br>Faire voir la<br>correction rédigée</td></tr></table>
<table><tr><td></td><td>Méta lien avant Information avant.</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>39 Temps de recherche</td><td>Circule. Méta structuration</td><td>cherchent</td><td>Le prof</td><td>La méthode pour trouver l'équation de (BH). Equivalences mathématiques. Complet.</td><td>Écrit est postérieure à l'oral s'y rapportant.</td><td>Faire voir la correction rédigée.</td></tr><tr><td>40 Exécution au tableau par un élève</td><td>Engagement (envoie au tableau) Méta rigueur avant (dicte). Engagement (dessin)</td><td>?</td><td>Un élève dirigé puis autonome pour la formule analytique.</td><td>Calcul inséré dans la correction</td><td>oral= commentaire sur l'écrit.</td><td>Faire voir la correction rédigée</td></tr><tr><td>41 Suite du calcul</td><td>Information avant Information avant (dicte le calcul) Méta rigueur avant (dicte)</td><td>?</td><td>Un élève sous la dictée</td><td>idem</td><td>écrit = oral simultané (dictée)</td><td>idem</td></tr><tr><td>42 Anticipation</td><td>Méta lien avant</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
<table><thead><tr><th>SCENE</th><th>ACCOMPAGNEMENTS DE L'ENSEIGNANT (SCENARIO)</th><th>ACCOMPAGNEMENTS DE L'ENSEIGNANT (VIDEO)</th><th>ACTIVITES DES ELEVES (VIDEO)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 Tracé de dessin</td><td>Fait du commentaire sur le tracé et les échelles qui doivent être adaptées.</td><td>Surveille l'élève d'un coin de l'œil Circule dans la classe en regardant les productions d'élèves</td><td>Ecoutent et travaillent certainement en même temps. Elève autonome au tableau, recopie son cahier.</td></tr><tr><td>2 Rappel oral de la consigne</td><td>Elle rappelle oralement la consigne</td><td></td><td>idem</td></tr><tr><td>3 Méthode vectorielle pour la colinéarité</td><td>Commentaire en aparté sur une intervention de l'élève au tableau. Répond à l'élève au tableau sur un problème de méthode, en validant ce qu'il fait. Elle valide deux méthodes en répétant et en enrichissant.</td><td></td><td>idem. L'élève au tableau émet un doute sur ce qu'il fait.</td></tr><tr><td>4 Calcul du déterminant</td><td>Invite l'élève à parler au tableau. Le prof valide directement les réponses orales proposées par l'élève.</td><td></td><td>L'élève au tableau explique ce qu'il fait</td></tr><tr><td>5 Commentaire sur les notations</td><td>Commentaire sur la présentation et la rigueur, non rectifié au tableau mais signalé.</td><td>Elle délimite une zone propre au tableau pour que l'élève continue la correction.</td><td>idem</td></tr><tr><td>6 Bilan et validation</td><td>Elle valide oralement l'écrit du tableau. Elle intervient dans l'écrit sur la présentation mathématique</td><td></td><td>copient, corrigent ou vérifient. L'élève au tableau est autonome, recopie son cahier.</td></tr><tr><td>7 Structuration</td><td>Fait remarquer que rien n'est nouveau jusqu'ici et que la fin de l'exo est nouvelle (pas encore fait en classe)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>8 Question de la prof</td><td>Pose une question à la classe sur l'utilité du début de l'exercice.</td><td></td><td>Un élève répond</td></tr><tr><td>9 Réponse</td><td>Validation orale de la réponse, répétition et explication. Redit que voir n'est pas démontré.</td><td></td><td>?</td></tr><tr><td>10 Nouvelle consigne</td><td>Elle lit la troisième question. Rappelle à nouveau que ce sont jusque là des choses connues et déjà faites.</td><td></td><td>Elève autonome au tableau.</td></tr><tr><td>11 Début de correction</td><td>Validation par un commentaire sur ce qu'écrit l'élève au tableau</td><td></td><td>Un élève a du noter une erreur.</td></tr><tr><td>12 Correction du calcul des</td><td>Validation directe. Elle rappelle l'énoncé et fait corrigir les erreurs au tableau sur</td><td>Elle fait corriger la suite du calcul en relissant avec la classe.</td><td>Des élèves ont noté des erreurs</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>coordonnées du milieu</td><td>intervention de la classe.</td><td></td><td></td></tr><tr><td>13 Vérification du résultat sur le dessin</td><td>Elle impose de vérifier sur le dessin, par une question fermée « En géométrie analytique, vous ??? »<br/>Impose un tracé à l'élève au tableau.</td><td>?</td><td></td></tr><tr><td>13a</td><td>Envoie un autre élève au tableau.</td><td>Discute avec les élèves dans les rangs.<br/>Elle efface la totalité du premier tableau.</td><td>Nouvel élève autonome, ne fait rien.</td></tr><tr><td>14 Nouvelle consigne</td><td>Dicte « quatrièmement ».<br/>Rappelle la consigne.</td><td></td><td>?</td></tr><tr><td>15 Sous-tâche imposée</td><td>Le prof impose de faire le dessin de la médiane.</td><td></td><td>?</td></tr><tr><td>16 Rappel de la définition de la médiane</td><td>Elle rappelle oralement la définition de la médiane car elle a vu que c'est connu en regardant les cahiers.<br/>Elle rappelle la consigne.</td><td>Elle montre la médiane sur le dessin.</td><td>quelques élèves bavardent</td></tr><tr><td>17 Consigne reprise</td><td>Le prof reprend à nouveau oralement la consigne.<br/>Reprise d'une intervention incorrecte de l'élève au tableau.<br/>Reprise orale de la consigne.<br/>Correction de l'intervention de l'élève.<br/>Commentaire sur le fait de toujours d'accrocher à l'énoncé.</td><td></td><td>L'élève au tableau fait une erreur de terminologie mathématique</td></tr><tr><td>18 Suite de la correction</td><td>Le prof reprend la question d'avant avec un élève particulier</td><td></td><td>Un élève parle avec la prof.<br/>Les autres ?<br/>L'élève au tableau écrit tout seul.</td></tr><tr><td>19 Amorce de commentaire du tableau</td><td>Le prof commence a commenter et puis finalement dit clairement qu'elle attend que l'élève ait écrit pour commenter.<br/>Commentaire sur la présentation.<br/>Incite l'élève à parler.</td><td>Lecture du tableau.<br/>Attend une minute en regardant écrire l'élève.</td><td>?</td></tr><tr><td>20 Commentaire de ce qu'a fait l'élève</td><td>Commentaire de la prof sur la base de ce qu'a fait l'élève au tableau.<br/>Questionne la classe pour savoir si ça correspond à des choses déjà vues.</td><td></td><td>?</td></tr><tr><td>21 Parenthèse décontextualisée sur vecteur</td><td>Questionne la classe sur « un » ou « le » vecteur directeur.<br/>Rappel de cours sur les vecteurs.<br/>Elle explique la différence entre parallèle et colinéaire.<br/>Question technique « oui, pourquoi ? »</td><td>Elle entend ce qu'elle veut et fait compléter dans le style fable: « les autres vecteurs, ils sont ??? »</td><td>Un élève donne une réponse vide.<br/>Des élèves répondent plus ou moins bien</td></tr><tr><td>22 Correction du</td><td>Commentaire sur l'écrit du tableau pour valider.</td><td></td><td>Des élèves notent les erreurs</td></tr></table>
<table><tr><td>vecteur BI</td><td>Le prof écrit pour vérifier le calcul dans une petite fenêtre qu'il se crée. Il corrige dans l'écrit de l'élève.</td><td>au tableau. Its font preuve d'impatience</td></tr><tr><td>23 Traduire l'alignement</td><td>Elle lit et enrichit ce qui est écrit</td><td>?</td></tr><tr><td>24 Commentaire sur la traduction de l'alignement de 3 points</td><td>Explication, amorcée par une question d'élève, sur une question de méthode : 2 vecteurs à partir de 3 points. Commentaire sur les différentes traductions.</td><td>Proposition d'élève</td></tr><tr><td>25 Contrôle sur la suite de la correction</td><td>Le prof commente et valide oralement. Commentaire sur le fait qu'il aurait du détailler les calculs.</td><td>Elève autonome au tableau.</td></tr><tr><td>26 Redite orale du raisonnement complet</td><td>Le prof reprend oralement le raisonnement écrit au tableau</td><td></td></tr><tr><td>27 Commentaire : justification de méthode</td><td>Elle valide une autre méthode en répétant ce qu'à dit un élève. Commentaire sur le fait qu'on arrivera au même résultat avec des étapes intermédiaires différentes.</td><td>Question d'un élève</td></tr><tr><td>28 Correction de rigueur au tableau</td><td>L'élève se ménage une fenêtre propre sur le tableau central. TRICHE « Comme la, tu as... ». Elle gère la rigueur en ajoutant un petit égal. Elle pousse l'élève et écrit à sa place pour gérer la présentation.</td><td>Elève autonome au tableau</td></tr><tr><td>28' Silence</td><td>Elle montre le tableau.</td><td></td></tr><tr><td>29 Réponse à une question d'élève</td><td>Elle dirige l'élève pour la rigueur et la présentation en dictant</td><td>Question d'élève</td></tr><tr><td>30 Retour à la rigueur</td><td></td><td>Question de l'élève au tableau</td></tr><tr><td>31 Idem mais en aparté à revoir</td><td></td><td></td></tr><tr><td>32 Résultat de l'équation - discussion sur le résultat</td><td>La prof interpelle un élève pour avoir une autre équation. La prof écrit une autre équation au tableau et explique pourquoi les deux équations sont équivalentes. Questionne (technique) Questionne (à un mot) Commentaire sur équations cartésiennes. Le prof écrit l'équivalence mathématique des deux équations.</td><td>Un élève répond Les élèves sont impliqués. L'élève au tableau est écarté.</td></tr><tr><td>33 Commentaire sur équation réduite</td><td>Questionne pour savoir quel est l'objectif de la question mais répond de suite.</td><td>L'élève reprend seul à travailler</td></tr></table>
<table><tr><td>34 Décontextualisé, rappel sur équation réduite</td><td>Elle pose une question sur ce qu'est une équation réduite (cours)<br/>Questionne sur les droites de la forme x=constante.<br/>Valide une réponse incomplète et la complète en expliquant.</td><td>Elle triche car elle entend la réponse qu'elle veut<br/>Réponses d'élèves aux questions</td></tr><tr><td>35 Discussion sur éliminer X=este à partir du dessin</td><td>Elle questionne pour savoir si l'équation de l'exercice va être de la forme x=constante.<br/>Demande si ça se voit sur le tableau.<br/>Questionne pour savoir comment éliminer x=constante.<br/>Questionne sur la façon de reconnaître qu'une droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.<br/>Valide la réponse par répétition.<br/>Explique pourquoi la réponse est correcte.</td><td>Elle TRICHE car elle entend la réponse qu'elle souhaite<br/>Elle montre les équations au tableau.<br/>Elle montre le dessin.</td><td>Réponses d'élèves</td></tr><tr><td>36 L'équation réduite</td><td></td><td>Elle écrit les équivalences entre les équations et donne l'équation réduite qu'elle écrit au tableau</td><td></td></tr><tr><td>37 Commentaire sur relire la question après y avoir répondu</td><td>Commentaire sur le fait de toujours se raccrocher à l'énoncé.<br/>Questionne sur la pertinence de la réponse.<br/>Elle corrige son erreur</td><td></td><td>Un élève note une erreur</td></tr><tr><td>38 Nouvelle justification du calcul écrit au tableau</td><td>La prof réexerne chaque étape du calcul que l'élève a fait.<br/>Question à un mot.<br/>Validation par répétition.</td><td>Elle s'appuie sur le tableau pour montrer les équations.</td><td>Un élève dit qu'il n'a pas compris</td></tr><tr><td>39 Suite de 37</td><td>Elle répond elle même à la question qu'elle a posé en 37</td><td></td><td></td></tr><tr><td>40 Autre méthode préliminaires</td><td>Elle questionne les élèves sur l'éventualité d'une autre méthode.<br/>Validation d'une réponse d'élève.<br/>Questionne sur l'autre méthode.<br/>TRICHE sur « deux points ». Elle transforme une réponse incomplète.</td><td>Elle efface puis elle est au tableau</td><td>Un élève répond de façon incomplète</td></tr><tr><td>41 Précaution</td><td>Elle questionne la classe sur y=ax+b.<br/>Validation par anticipation d'une réponse d'élève.</td><td>Elle rédige au tableau</td><td>Un élève répond</td></tr><tr><td>42 Développement de la méthode</td><td>Elle questionne en écrivant et reprend les réponses. Fait référence à la proposition d'un élève. (NOTER LE NOMBRE DE PRENOMS APPARAISSANT)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>43 Sur la résolution du système</td><td>Elle questionne la classe sur la suite de la méthode.<br/>Questions précises sur le système à résoudre.</td><td>Elle écrit la méthode</td><td>Réponses d'élèves</td></tr><tr><td>44 Intervention sur la notation R²</td><td>Elle montre le symbole R², interroge les élèves sur la signification</td><td>Elle écrit le système</td><td></td></tr><tr><td>45 Autre méthode;</td><td>Elle questionne sur la connaissance d'une autre méthode.</td><td>Montre le tableau puis écrit la variante, style</td><td>qq élèves écoutent, qq élèves</td></tr></table>
<table><tr><td>début</td><td>Infirme une réponse d'élève (lire sur le dessin)<br>Valide une réponse incomplète par anticipation.<br>Explique l'autre méthode.</td><td>télégraphique, brique, incomplet.</td><td>bavardent</td></tr><tr><td>46</td><td>Envoie un élève au tableau.<br>Rappelle la consigne.</td><td>La prof parle en apparté avec un élève et se sert du<br>tableau pour montrer : passé immédiat</td><td>Intervention d'élève.<br>L'élève au tableau efface le<br>tableau central et corrige,<br>autonome.</td></tr><tr><td>47</td><td>Lit pour elle même le tableau dans un premier temps (validation).<br>Circule.</td><td></td><td>Du bruit.<br>Réponses groupées.</td></tr><tr><td>48 Retour sur R²</td><td>En apparté, elle ne peut pas se servir du tableau car c'est effacé</td><td></td><td>question d'élève<br>L'élève au tableau,<br>autonome, corrige.</td></tr><tr><td>49 Intermède sur le<br>comportement de<br>l'élève</td><td>L' invite à parler.</td><td></td><td></td></tr><tr><td>50 Début des<br>commentaires</td><td>Gère le français au tableau.<br>Structuration (« il faut trouver un moyen... »)<br>Rappelle la première définition pour médiatrice.<br>Commentaire sur l'écrit.<br>Dessine au tableau.<br>Gère la rigueur mathématiques (équivalences)en dictant.</td><td></td><td>Elèves suivent</td></tr><tr><td>51 Autre méthode</td><td>Elle interroge sur une autre définition pour médiatrice<br>Valide une réponse d'élève par répétition.<br>Introduit la réflexion pour une deuxième méthode en montrant<br>sur le dessin.</td><td></td><td>Elèves interrogés. L'un<br>répond</td></tr><tr><td>52 Réprise de la<br>première méthode</td><td>Elle commente, valide directement la première méthode et<br>demande à l'élève de la finir.<br>Elle donne la traduction analytique de l'orthogonalité en lien<br>avec l'écrit du tableau (déjà écrit).<br>Elle commente, fait référence à l'équivalence et à l'implication,<br>Gère la présentation et la rigueur par une intervention directe<br>écrite dans l'écrit de l'élève (équivalence)<br>Commentaire sur l'implication non connue.<br>Invite l'élève à parler.<br>Commentaire sur le fait de reconnaître la forme du collège.<br>Commentaire sur les inconnues (notations, présentation)</td><td></td><td>Ecoutent et vérifient sur leur<br>cahier<br>Question d'élève</td></tr></table>
<table><tr><td>53 Discussion sur les formes décimales et fractionnaires</td><td>Commentaire décontextualisé sur les formes décimales après tentative de l'élève au tableau.</td><td>Question d'élève sur les virgules</td></tr><tr><td>54 Fin de la correction</td><td>Elle écrit l'équation finale à la place de l'élève.</td><td></td></tr><tr><td>55 Contrôle de ce qu'avaient fait l'élève</td><td>Elle effectue un retour sur les calculs pour les vérifier et réexplique en montrant le tableau les lignes de calcul. Elle rajoute des lignes de calculs. Elle corrige.</td><td>Les élèves ont noté des erreurs de calcul. Un élève annonce qu'il n'a pas compris un passage</td></tr><tr><td>56 Utilisation du dessin pour infirmer ou confirmer.</td><td>Sur l'initiative du prof, on regarde la cohérence du résultat avec le dessin. Voir le signe du coefficient directeur. Question à un mot à la classe (« positif ») Validation en répétant et en expliquant</td><td></td></tr></table>
<table><thead><tr><th>SCENE</th><th>ACCOMPAGNEMENTS DE L'ENSEIGNANT</th><th>ACTIVITES DES ELEVES</th><th>QUI ECRIT ? MODALITE (COMMENT ?)</th><th>ECRIT AU TABLEAU (QUOI ?)</th><th>RAPPORT DE L'ECRIT AU DISCOURS</th><th>FONCTION LOCALE DE L'ECRIT AU TABLEAU</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 Tracer de dessin</td><td>Engagement (envoie au tableau)<br/>Circule.<br/>Méta méthode après</td><td>Ecoutent et travaillent certainement en même temps</td><td>Un élève totalement indépendant.<br/>En silence</td><td>Formules et résultats.<br/>mathématiques<br/>Pas rédigé, complet pour le moment à priori</td><td>Indépendant.</td><td>Montrer une correction qui sera validée par le prof.</td></tr><tr><td>2 Rappel oral de la consigne</td><td>Aide (rappel oral de la consigne)</td><td>idem</td><td>idem</td><td>idem</td><td>Indépendant</td><td>idem</td></tr><tr><td>3 Méthode vectorielle pour la colinéarité</td><td>Validation d'une intervention d'élève.<br/>Validation.<br/>Information après.</td><td>idem.<br/>L'élève au tableau émet un doute sur ce qu'il fait.</td><td>L'élève</td><td>idem</td><td>La prof fait du commentaire à propos de ce qui est au tableau.</td><td>idem</td></tr><tr><td>4 Calcul du déterminant</td><td>Engagement (parler au tableau).<br/>Validation de l'écrit.</td><td>Idem.<br/>L'élève au tableau dit ce qu'il fait</td><td>L'élève explique au tableau.</td><td>idem</td><td>Validation de ce que propose l'élève à l'écrit</td><td>idem</td></tr><tr><td>5 Commentaire sur les notations</td><td>Méta méthode après<br/>Méta rigueur après.</td><td>idem</td><td>Personne.<br/>La prof délimite une zone propre pour continuer</td><td></td><td>L'oral commente le tableau au niveau de la rigueur d'écriture</td><td></td></tr><tr><td>6 Bilan et validation</td><td>Validation de l'écrit.<br/>Méta rigueur après.</td><td>copient, corrigent ou vérifient</td><td>La prof prend la craie</td><td>un élément de rigueur texte français rédigé</td><td>elle dit ce qu'elle écrit</td><td>Assurer un minimum de rigueur.</td></tr><tr><td>7 Structuration</td><td>Méta lien après</td><td>?</td><td>Personne.<br/>L'élève souligne les résultats.</td><td></td><td>indépendant</td><td></td></tr><tr><td>8 Question de la prof</td><td>Question (technique).</td><td>Un élève répond</td><td>Personne</td><td></td><td>le discours appelle à regarder le tableau</td><td>Centrer l'attention (sur la figure de départ). L'écrit illustre la question de la prof</td></tr><tr><td>9 Réponse</td><td>Validation.<br/>Information après.<br/>Méta méthode après.</td><td>?</td><td>Personne</td><td></td><td>indépendant</td><td></td></tr><tr><td>10 Nouvelle consigne</td><td>Rappel de la consigne (avant)</td><td>?</td><td>Personne</td><td></td><td>indépendant</td><td></td></tr></tbody></table>
<table><tr><td></td><td>Engagement (envoie au tableau). Méta lien après.</td><td>Un élève a du noter une erreur.</td><td>Elève en silence</td><td>formules pas rédigé mais complet</td><td>elle commente et valide ce qui vient d'être écrit</td><td>Montrer une correction</td></tr><tr><td>11 Début de correction</td><td>Validation de l'écrit. Information après.</td><td>?</td><td></td><td></td><td>elle corrige et valide oralement ce qui vient d'être écrit</td><td>Montrer une correction</td></tr><tr><td>12 Correction du calcul des coordonnées du milieu</td><td>Validation de l'écrit. Aide après (rappelle l'énonce). Méta rigueur (fait corriger)</td><td>?</td><td></td><td>élève en silence</td><td>dessin : Tracé approximatif de la droite dessin</td><td>l'oral impose et précède ce qu'il faut faire au tableau</td></tr><tr><td>13 Vérification du résultat sur le dessin</td><td>Méta méthode avant (ordre, dessin)</td><td>?</td><td></td><td>un nouvel élève en silence</td><td>formules et résultats complet mais pas rédigé</td><td>indépendant</td></tr><tr><td>14 Nouvelle consigne</td><td>Méta rigueur (dicte) Rappel de la consigne (avant)</td><td>?</td><td></td><td>élève</td><td>dessin</td><td>elle dit ce qu'il faut faire au tableau</td></tr><tr><td>15 Sous-tâche imposée</td><td>Information avant (impose une activité dessin).</td><td>?</td><td></td><td>élève</td><td>dessin</td><td>indépendant</td></tr><tr><td>16 Rappel de la définition de la médiane</td><td>Rappel de définition (avant) Rappel de consigne (avant)</td><td>quelques élèves bavardent</td><td></td><td></td><td></td><td>idem</td></tr><tr><td>17 Consigne reprise</td><td>Rappel de la consigne (avant) Validation d'une intervention.</td><td>L'élève au tableau fait une erreur de terminologie mathématique</td><td></td><td></td><td>indépendant</td><td>aucune fonction</td></tr><tr><td>18 Suite de la correction</td><td>Circule</td><td>Un élève parle avec la prof. Les autres ?</td><td>L'élève est seul au tableau et corrige</td><td>rédigé et complet.</td><td>indépendant</td><td>montrer une correction qui sera validée par le prof</td></tr><tr><td>19 Amorce de commentaire du tableau</td><td>Validation. Méta contrat</td><td>?</td><td>élève corrige en silence</td><td>rédigé un peu mais complet</td><td>elle lit ce qui est au tableau puis elle dit qu'elle attend pour faire un commentaire</td><td>idem</td></tr><tr><td>20 Commentaire de ce qu'a fait l'élève</td><td>Validation. Information après. Méta lien après.</td><td>?</td><td>personne</td><td></td><td>Initialise le discours ; elle peut ainsi amener naturellement à repenser à des</td><td>Base pour les commentaires de la prof</td></tr></table>
<table><tr><td>21 Parenthèse sur les vecteurs</td><td>Question (cours).<br>Information avant.</td><td>Un élève donne une réponse vide.<br>Des élèves répondent plus ou moins bien</td><td>personne</td><td>choses déjà vues</td><td>aucune fonction</td></tr><tr><td>22 Correction du vecteur BI</td><td>Information après (correction)</td><td>Des élèves notent les erreurs au tableau. Ils font preuve d'impatience</td><td>le prof reprend la craie</td><td>indépendant du tableau</td><td>complémentaire</td></tr><tr><td>23 Traduire l'alignement</td><td>Validation de l'écrit.<br>Information après</td><td>?</td><td>personne</td><td>un calcul pas rédigé mais complet</td><td>L'oral complète<br>l'écrit</td></tr><tr><td>24 Commentaire sur la traduction de l'alignement de 3 points</td><td>Information après.</td><td>Proposition d'élève</td><td>personne</td><td></td><td>indépendant</td></tr><tr><td>25 Contrôle sur la suite de la correction</td><td>Validation de l'écrit.<br>Information après.</td><td>?</td><td>personne</td><td></td><td>l'oral dépasse l'écrit</td></tr><tr><td>26 Rédite orale du raisonnement complet</td><td>Reprise de raisonnement (après)</td><td></td><td>l'élève sans rien dire</td><td>formule et résultats pas rédigé et complet</td><td>le prof commente, oral= commentaire à propos de l'écrit</td></tr><tr><td>27 Commentaire sur justification de méthode</td><td>Validation d'une intervention d'élève.</td><td>Question d'un élève</td><td>idem</td><td>idem<br>idem</td><td>indépendant</td></tr><tr><td>28 Correction de rigueur au tableau</td><td>Méta rigueur après.</td><td></td><td>élève dirigé.<br>Le prof pour l'élément de rigueur et pour reprendre la présentation</td><td>Le calcul + un élément de rigueur</td><td>L'oral précise un écrit déjà écrit depuis quelques minutes.</td></tr><tr><td>28' Silence</td><td></td><td></td><td>élève seul, silencieux</td><td>formule et résultat pas rédigé mais complet</td><td>rien</td></tr><tr><td>29 Réponse à une question d'élève</td><td>Commentaire particulier à un élève. Elle montre le tableau</td><td>Question d'élève</td><td>personne</td><td>rien de nouveau.</td><td>le tableau participe à une explication orale</td></tr></table>
<table><tr><td>30 Retour à la rigueur</td><td>Efface.<br>Méta rigueur après (dicte)</td><td></td><td>élève dirigé</td><td>maths</td><td>oral = commentaire<br>et précision sur ce<br>qui est écrit</td><td>Monstration<br>Écrit passé<br>immédiat.<br>Monstration</td></tr><tr><td>31 Idem mais en aparté</td><td>Méta rigueur après</td><td></td><td>élève seul</td><td>maths</td><td>indépendant</td><td>Montrer une<br>correction qui sera<br>validée par le prof</td></tr><tr><td>32 Résultat de l'équation - discussion sur le résultat</td><td>Engagement (implication d'un élève)<br>Information avant<br>Question (technique)<br>Question à un mot.<br>Validation.<br>Information après</td><td>Un élève répond<br>Les élèves sont<br>impliqués</td><td>La prof reprend la craie</td><td>une autre équation<br>rédigé et complet.<br>Symbole d'équivalence<br>entre deux équations.</td><td>Complémentarité. La<br>prof appuie son<br>discours sur le<br>résultat d'un élève<br>de la classe, qu'elle<br>écrit au tableau.</td><td>Montrer l'autre<br>équation. Participe à<br>une explication</td></tr><tr><td>33 Commentaire sur équation réduite</td><td>Méta lien avant.<br>Méta méthode avant.</td><td></td><td>personne</td><td></td><td>aucun</td><td>aucune</td></tr><tr><td>34 Décontextualisé, rappel sur équation réduite</td><td>Question (cours).<br>Questions technique.<br>Validation<br>Information après..</td><td>Réponses d'élèves</td><td>personne</td><td></td><td>aucun</td><td>aucune</td></tr><tr><td>35 Discussion sur éliminer X=cste à partir du dessin</td><td>Question (technique).<br>Question (technique)<br>Validation.<br>Information après.</td><td>Réponses d'élèves</td><td>personne</td><td></td><td>Oral s'appuie sur<br>l'écrit du tableau</td><td>Elle montre la droite<br>(BI) au tableau. Le<br>tableau participe à<br>l'explication</td></tr><tr><td>36 L'équation réduite</td><td>Information pendant.</td><td></td><td>la prof</td><td>équivalences<br>mathématiques<br>maths, complet, et elle<br>rédige un peu</td><td>Elle complète puis<br>elle lit ce qu'elle<br>écrit car elle rédige</td><td>Montrer à la classe<br>les équations<br>équivalentes</td></tr><tr><td>37 Commentaire sur relire la question après y avoir répondu</td><td>Méta méthode après.<br>Question technique.<br>Information après (correction)</td><td>Un élève note une erreur</td><td>personne<br>Elle corrige<br>simplement une erreur<br>repérée par les élèves.</td><td></td><td></td><td>Montre le tableau</td></tr><tr><td>38 Nouvelle justification du calcul écrit au tableau</td><td>Aide après (nouvelle explication)<br>Question à un mot<br>Validation</td><td>Un élève dit qu'il n'a pas compris</td><td>rien de nouveau d'écrit</td><td></td><td>oral complète et<br>explique ce qu'il y a<br>d'écrit</td><td>Le tableau permet de<br>décomposer, pas<br>simplement une<br>monstration,</td></tr></table>
<table><tr><td>39 Suite de 37</td><td>Information avant</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>participe à une explication aucun</td></tr><tr><td>40 Autre méthode préliminaires</td><td>Question technique. Validation. Question technique. Information après.</td><td>Un élève répond de façon incomplète</td><td>personne prof</td><td>le début de l'autre méthode elle rédige</td><td></td><td>aucun</td><td>Elle dit ce qu'elle écrit. Tableau plus complet que l'oral mais résumé.</td><td></td><td>solution publique, centre le regard des élèves</td></tr><tr><td>41 Précaution</td><td>Question technique. Information après.</td><td>Un élève répond</td><td>personne</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>42 Développement de la méthode</td><td>Questions techniques. Validations. Engagement (implication des élèves)</td><td></td><td>la prof</td><td>suite de cette autre méthode symboles mathématiques, complet mais pas rédigé en français</td><td></td><td>elle écrit les réponses alors qu'elle pose oralement les questions</td><td></td><td></td><td>solution publique</td></tr><tr><td>43 Sur la résolution du système</td><td>Question technique. Validation. Méta lien avant.</td><td>Réponses d'élèves</td><td>la prof</td><td>le système à résoudre rédigé mais le système n'est pas résolu</td><td></td><td>elle écrit le système sans le dire. Elle écrit plus</td><td></td><td></td><td>solution publique</td></tr><tr><td>44 Intervention sur la notation R²</td><td>Question technique. Information décontextualisée.</td><td></td><td>Rien de nouveau n'est écrit</td><td></td><td></td><td>l'oral se base sur l'écrit</td><td></td><td></td><td>le tableau sert à montrer m et p. Permet de se référer à du passé immédiat</td></tr><tr><td>45 Autre méthode; début</td><td>Question technique. Validation. Question technique Méta lien avant. Information après.</td><td>qq élèves écoutent, qq élèves bavardent</td><td>prof</td><td>Style télégraphique, brique, pas complet, pas rédigé</td><td></td><td>Écrit après l'oral et reprend l'oral. Le prof a écrit après avoir parlé</td><td></td><td></td><td>synthèse du discours</td></tr><tr><td>46</td><td>Engagement (envoie au tableau) Rappel de consigne (avant)</td><td>Intervention d'élève</td><td>Elève, tout seul</td><td>rédige, complet, en français</td><td></td><td>l'oral s'appuie sur l'écrit du tableau</td><td></td><td></td><td>solution publique et aussi pour montrer le passé immédiat</td></tr><tr><td>47</td><td>Validation de l'écrit. Circule.</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>48 Retour sur R²</td><td></td><td>question d'élève</td><td>Elève tout seul, sans rien dire</td><td></td><td></td><td>aucun</td><td></td><td></td><td>Montrer une correction qui sera validée par la prof</td></tr><tr><td>49 Interméde sur le comportement de</td><td>Engagement (envoie à parler)</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
<table><tr><td>l'élève</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>50 Début des commentaires</td><td>Validation de l'écrit.<br>Méta rigueur après.<br>Méta méthode avant.<br>Rappel de définition (après)<br>Information avant (dessine)<br>Méta rigueur (dicte)</td><td>Elèves suivent</td><td>La prof. Elle a poussé<br>l'élève</td><td>elle dessine et corrige la<br>rigueur<br>dessin et maths</td><td>l'oral s'appuie sur<br>l'écrit</td><td>correction publique</td></tr><tr><td>51 Autre méthode</td><td>Question (cours)<br>Validation.<br>Information avant.</td><td>Elèves interrogés. L'un<br>répond</td><td>rien de nouveau</td><td></td><td>aucun</td><td>sert à montrer le<br>dessin</td></tr><tr><td>52 Reprise de la première méthode</td><td>Information après.<br>Validation de l'écrit.<br>Information après.<br>Méta rigueur (écrit) (après)<br>Méta lien (après)<br>Engagement (à parler).<br>Méta lien après.<br>Méta rigueur après.</td><td>Ecoutent et vérifient sur<br>leur cahier<br>Question d'élève</td><td>l'élève a efficacé à<br>gauche. Ils écrivent à<br>deux. Elle interfère<br>dans l'écrit de l'élève<br>pour la rigueur. Lui<br>écrit sans rien dire</td><td>la correction</td><td>L'écrit sert de base à<br>des commentaires<br>plus ou moins<br>contextualisés</td><td>sert à montrer une<br>correction correcte<br>et rigoureuse sur le<br>plan mathématique</td></tr><tr><td>53 Discussion sur les<br>formes décimales et<br>fractionnaires</td><td>Information après</td><td>Question d'élève sur les<br>virgules</td><td>L'élève</td><td>Début d'équation sous<br>forme décimale<br>maths</td><td>L'écrit est à l'origine<br>de l'intervention sur<br>les écritures<br>décimales</td><td>montrer une base de<br>correction qui sera<br>validée par le prof</td></tr><tr><td>54 Fin de la<br>correction</td><td>Information avant</td><td></td><td>la prof</td><td>la conclusion<br>brève, pas rédigée</td><td>Il y a plus à l'écrit<br>qu'à l'oral</td><td>solution publique</td></tr><tr><td>55 Contrôle de ce<br>qu'avaient fait l'<br>élève</td><td>Information après</td><td>Les élèves ont noté des<br>erreurs de calcul.<br>Un élève annonce qu'il<br>n'a pas compris un<br>passage</td><td>la prof</td><td>correction des calculs<br>Elle rajoute une ligne<br>de calcul</td><td>Oral complète l'écrit</td><td>tableau écrit<br>immédiat, utilisation<br>des traces, permet de<br>ne pas recommencer</td></tr><tr><td>56 Utilisation du<br>dessin pour infirmer<br>ou confirmer.</td><td>Question technique<br>Question à un mot.<br>Validation<br>Information après.</td><td></td><td>personne</td><td></td><td>Oral = commentaire<br>du dessin</td><td>utilisation du dessin<br>pour vérifier le<br>résultat trouvé. Rôle<br>du dessin.<br>Monstration</td></tr></table>
<table><thead><tr><th>SCENE</th><th>ACCOMPAGNEMENTS DE L'ENSEIGNANT</th><th>ACTIVITES DES ELEVES</th></tr></thead><tbody><tr><td>1 Introduction de l'activité</td><td>Méta structuration à priori</td><td>Marque la date sur une feuille blanche</td></tr><tr><td>2 Rappel de cours sur les équations réduites</td><td>Rappel oral de cours sur équations réduites.<br>Questionne la classe (2 questions de cours)<br>Signale que la réponse est incomplète.<br>Questionne (à un mot, plusieurs)<br>Interaction avec la classe.<br>Écrit « y=ax+b »<br>Rappelle le cours sur équations réduite.</td><td>Passif<br>Ne marque rien sur sa feuille blanche<br>Ensemble : Répondent aux questions</td></tr><tr><td>3 Rappel sur des exercices antérieurs</td><td>Rappel sur des exercices « A l'occasion d'exercices, on a déjà rencontré... »<br>Question à un mot à la classe.<br>Validation par répétition.<br>Question de cours.<br>Pas de réponse, passe.</td><td></td></tr><tr><td>4 Introduction de l'activité</td><td>Méta structuration à priori.</td><td></td></tr><tr><td>5 Cours dialogué sur équation définie par deux points</td><td>Introduit la réflexion en questionnant la classe (harcèlement, technique).<br>Valide une réponse en la répétant.<br>Invite à noter et note lui même au tableau « ... par deux points ».<br>Fait référence au dessin de la feuille.<br>Structure « On va chercher... ».<br>Introduit la notion de vecteur directement.<br>Questionne la classe (technique)<br>Introduit la notion de colinéarité en répondant à sa question.<br>Questions techniques à la classe.<br>Aucune réponse. Répond lui même.<br>Traite la tâche.<br>Rempli les cases par le tableau</td><td>Répondent aidés par la feuille « droite définie par ... »<br>Recopient « deux points » « M appartient à AB »<br>Remplit les cases en même temps que le prof</td></tr><tr><td>6 Cours dialogué ; introduction d'une application</td><td>Explique qu'il vont mettre cela en application.<br>Référence au dessin du polycopie.</td><td>Remplit les cases après le prof au tableau</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td></td><td>Fausses questions à la classe sur les coordonnées.<br>Méta structuration « On va traduire ce qu'on a dit au dessus ».<br>Traite la tâche avec structuration.<br>Questions (calculatoire)<br>Écrit au tableau les coordonnées sans forcément attendre la réponse.</td><td></td></tr><tr><td>7 Cours dialogué ; Etape de l'utilisation du déterminant.</td><td>Questionnement type harcèlement à un mot.<br>Introduit la notion de déterminant par une question à un mot.<br>Question (technique).<br>TRICHE : Détournement d'une réponse (répète proportionnel alors que le seul élève ayant répondu a dit oppose)<br>Brève prise en compte d'une intervention intéressante d'élève en l'exploitant.<br>Expose l'utilité du déterminant.<br>Rédige au tableau.<br>TRICHE : « Vous vous souvenez ? » alors qu'il a tracé les deux barres du déterminant<br>Explique la construction du déterminant en interaction faible avec la classe par des questions à un mot.<br>Question à un mot pour introduire « produit en croix »<br>Rédige au tableau.<br>Demande aux élèves de dicter.<br>Les élèves dictent.</td><td>Écrit après le prof, la même chose (peur de salir ?)<br>L'élève soigne la présentation<br>L'élève écrit après le prof, la même chose.</td></tr><tr><td>8 Développement et réduction du déterminant</td><td>Introduit les sous-tâches directement.<br>Commentaire sur la place à la suite d'une interjection d'élève.<br>Dévolue aux élèves le calcul par des questionnements à un mot.<br>Expose et explique les calculs.<br>TRICHE : Fait comme ci il avait entendu une réponse pour continuer son calcul (« 16 »)<br>Questions à un mot « Doit être égal à ... »<br>Efface le « y=ax+b »</td><td>Ne peuvent pas gérer la place sur leur feuille polycopiée car ils ne savent pas quand est la fin.<br>Le prof doit préciser qu'il ne reste plus qu'une étape.<br>A l'oral, les élèves répondent un peu au prof sur les termes du développement.<br>A l'écrit, l'élève attend que le prof ait fini pour écrire (la même chose)</td></tr><tr><td>9 Rédaction de la conclusion de cette première activité</td><td>Méta structuration a posteriori.<br>Rédige au tableau la première conclusion sur le schéma de</td><td>Aucune note historique</td></tr></table>
<table><tr><td></td><td>la feuille.<br/>Parenthèse historique sur Descartes.</td><td></td></tr><tr><td>10 Explication sur « une » et « la »</td><td>Commentaire sur « une » équation cartésienne.<br/>Fait remarquer qu'il emploie « une » et explique pourquoi.<br/>Questions à un mot sur le nombre d'équation.<br/>Valide en répétant.<br/>Explique.<br/>Rédige au tableau la deuxième conclusion.<br/>Interaction par questions à un mot.<br/>Question à un mot sur la multiplication par zéro.<br/>Validation en répétant et en expliquant.<br/>Reprend l'explication.</td><td>Écrit la même autre équation cartésienne de la même droite.</td></tr><tr><td>11 Passage d'équations cartésiennes à l'équation réduite</td><td>TRICHE : introduit la notion d'équation réduite en faisant porter sur « l'article défini ».<br/>Question (technique) sur isoler y.<br/>TRICHE Détournement de la réponse d'élève qui a dit « isoler x ». Il répète « isoler y ».<br/>Les élèves dictent l'équation réduite par des questions à un mot.<br/>Valide en répétant.<br/>Méta structuration a posteriori.<br/>Rédige « est l'équation réduite de (AB)»</td><td>Très peu de réponses pour passer à l'équation réduite.<br/>Elève marque l'équation réduite juste après que le prof la marque au tableau.</td></tr><tr><td>12 Explication graphique du coefficient directeur</td><td>Invite à tracer la droite (AB) sur le dessin.<br/>Attend 30°<br/>Explique ce qu'il vont faire « lire l'équation réduite sur le graphique » (C'est un rappel semble t'il) (Méta structuration)<br/>Question à un mot pour coefficient directeur ou pente.<br/>Validation par répétition avec anticipation (sur « pente »)<br/>Question technique sur la façon de lire le coefficient directeur sur le graphique.<br/>Donne la réponse, TRICHE : Rien ne se dégage de la classe.<br/>Explique ce qu'est le coefficient directeur sur le dessin.</td><td>Elève ne trace pas la droite (AB).<br/>Aucune note de l'élève sur cette interprétation graphique.<br/>Passif</td></tr><tr><td>13 Explication du lien entre la position graphique de la droite et les coefficients de l'équation réduite.</td><td>Explique la position de la droite en interaction avec des questions à un mot.<br/>Explique à nouveau où lire le coefficient et l'autre coefficient.</td><td></td></tr></table>
<table><tr><td>14 Explication des liens au graphique des coefficients de l'équation cartésienne.</td><td>Explique ce qu'il veut faire.<br/>Rappel oral de la situation en centrant sur les objets intéressant (les coeff.).<br/>Introduit des constatations.<br/>Aucune interaction.<br/>Question à un mot (« dans le vecteur ? AB »)<br/>Validation par répétition sans anticipation.<br/>Expose.<br/>Introduit des constatations.<br/>TRICHE : Emploie le terme « vecteur directeur » et l'introduit plus tard, en référence à du déjà vu.<br/>Introduit la sous-tâche (dessin)<br/>Questions techniques qui deviennent à un mot.<br/>Contenu mathématique non évident.<br/>Aucune interaction.<br/>Ne tient pas compte des élèves.</td><td>Aucune note de l'élève.</td></tr><tr><td>15 Explication sur coefficient directeur et vecteur directeur</td><td>Méta structuration orale (« Résumons... »)<br/>Explique ce que représente le vecteur directeur.<br/>Il rédige au tableau<br/>Question technique sur un vecteur directeur.<br/>Il répond lui même.<br/>Un seul élève semble répondre.<br/>Suite de TRICHES<br/>Fausses questions à un mot (2 fois, il s'agit de répéter ce qui vient d'être dit)<br/>Problème de place pour les élèves.<br/>Questions techniques.<br/>Triche sur les réponses.<br/>Expose des maths en s'appuyant sur les réponses.</td><td>Aucune note de l'élève.<br/>L'élève n'a toujours pas tracé la droite (AB).<br/>Rédige la remarque sur l'emplacement de sa feuille en même temps que le prof.<br/>La rédaction est le résultat des longues remarques orales.</td></tr><tr><td>16 Introduction du deuxième paragraphe de cours sous forme d'un exercice à faire</td><td>Structuration orale.<br/>Introduction d'une nouvelle construction d'équations de droites (introduit la réflexion et montre le graphique)<br/>Donne le titre et rédige comme sur la feuille (Donne la consigne)<br/>Demande de tracer.<br/>Méta contrat (« on commence ensemble et vous continuerez seuls »)<br/>Pas d'interaction.</td><td>Elève passif.<br/>Il remplit la case 1.2 juste après le prof.</td></tr></table>
<table><tr><td>17 Début de la correction sur le polycopié et au tableau</td><td>Rappel de l'objectif<br>Méta contrat (« Comme tout à l'heure... »)<br>Écrit au tableau ce qu'il faut mettre dans les cases (Introduit la tâche en écrivant).<br>Dessine la case vide suivante.<br>Questions à un mot (2 fois, « colinéaire »et « orthogonaux »)<br>Très faible interaction.<br>Questions techniques.<br>Anticipe sur les réponses ou triche sur ce qu'il entend.<br>Écrit au tableau le contenu de la case : l'outil à utiliser (première étape de la solution)<br>Méta contrat (« Vous avez le modèle au dessus »).<br>Introduit oralement directement toutes les sous-tâches.<br>Méta contrat (« Vous travaillez seuls et ensuite, un ira au tableau »).<br>Temps de recherche</td><td>Il remplit les cases après le prof au tableau</td></tr><tr><td>18 Temps de recherche</td><td>Circule.<br>Rappelle les sous-tâches à effectuer à des élèves particulier.<br>Commente les productions d'élèves.<br>Invite à tracer les droites, ce que n'ont pas fait les élèves depuis le début.</td><td>N'écrit rien. Prend son crayon de papier.<br>Marque les coordonnées de C. Cherche sur la feuille polycopiée. Ne va pas vite. Très hésitant.<br>Singe la première méthode. Sur intervention à la classe du prof, il trace le segment et non la droite (AB). Continue de singer avec des erreurs. Echange dans la position des coordonnées d'un vecteur dans le déterminant. Développe le déterminant en faisant un produit farfelu (pas en croix, ce qui annule l'erreur)</td></tr><tr><td>19 Suite de la correction de l'exercice au tableau</td><td>Il envoie un élève au tableau, élève dont il semble vérifier qu'il a réussi.<br>Détermine la sous-tâche en dictant le début.<br>TRICHE sur une intervention d'élève (« cartésien »).<br>L'élève singe le premier modèle.<br>Le prof anticipe l'écrit en dictant en continuant à dicter.<br>Méta structuration à priori.<br>Circule.<br>Elève autonome pour l'écriture du déterminant et de l'équation.</td><td>L'élève efface progressivement sa production et réécrit à l'encre.<br>On ne sait pas si il a vu ses erreurs.<br>Son développement était faux</td></tr></table>