Considérons le diagramme

$$
\begin{equation} \tag{52}
\begin{split}
& H_{\text{ét}}^{i}(\mathcal{X}_{\text{OC}}, A\Omega\mathcal{X}_{\text{OC}})_{\mathcal{Q}} \otimes_{\mathcal{A}_{\text{inf}}[\frac{1}{p}]}^{L} \mathcal{A}^{[u,v]}[\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}] \xleftarrow{\sim} H_{\text{cris}}^{i}((\mathcal{X}_{\text{OC}}/p)/\mathcal{A}_{\text{cris}})_{\mathcal{Q}} \otimes_{\mathcal{A}_{\text{cris}}[\frac{1}{p}]}^{L} \mathcal{A}^{[u,v]}[\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}] \\
& \qquad \xleftarrow{\text{Id} \otimes \text{can}} \qquad \qquad \qquad \qquad \xleftarrow{\text{Id} \otimes \text{can}} \\
& H_{\text{ét}}^{i}(\mathcal{X}_{\text{OC}}, A\Omega\mathcal{X}_{\text{OC}})_{\mathcal{Q}} \otimes_{\mathcal{A}_{\text{inf}}[\frac{1}{p}]}^{L} \mathcal{A}_{\text{cris}}[\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}] \xleftarrow{\sim} H_{\text{cris}}^{i}((\mathcal{X}_{\text{OC}}/p)/\mathcal{A}_{\text{cris}})_{\mathcal{Q}} \otimes_{\mathcal{A}_{\text{cris}}[\frac{1}{p}]}^{L} \mathcal{A}_{\text{cris}}[\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}] \\
& \qquad \xleftarrow{\text{f}\tau} \qquad \qquad \qquad \qquad \xleftarrow{\text{can}} \\
& H_{\text{ét}}^{i}(\mathcal{X}_{\text{C}}, \mathcal{Q}_{p}(r)) \leftarrow_{\frac{\alpha_{r}^{0}}{\alpha_{r}^{0}}} H_{\text{syn}}^{i}(\mathcal{X}_{\text{OC}}, r)_{\mathcal{Q}}
\end{split}
\end{equation}
$$

La flèche verticale de gauche $\beta_1 := \text{Id} \otimes \text{can}$ est injective. En effet, par le théorème 9.4, on a

$$
H_{\text{ét}}^{i}(\mathcal{X}_{\text{OC}}, A\Omega\mathcal{X}_{\text{OC}})_{\mathcal{Q}} \otimes_{\mathcal{A}_{\text{inf}}[1/p]}^{L} \mathcal{A}_{\text{inf}}\left[\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}\right] \leftarrow \tilde{H}_{\text{ét}}^{i}(\mathcal{X}_{\text{C}}, \mathcal{Q}_{p}(r)) \otimes_{\mathcal{Q}_{p}}^{L} \mathcal{A}_{\text{inf}}\left[\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}\right],
$$

et on en déduit les isomorphismes

$$
H_{\text{ét}}^{i}(\mathcal{X}_{\text{OC}}, A\Omega\mathcal{X}_{\text{OC}})_{\mathcal{Q}} \otimes_{\mathcal{A}_{\text{inf}}[1/p]}^{L} \mathcal{A}^{[u,v]}\left[\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}\right] \leftarrow \tilde{H}_{\text{ét}}^{i}(\mathcal{X}_{\text{C}}, \mathcal{Q}_{p}(r)) \otimes_{\mathcal{Q}_{p}}^{L} \mathcal{A}^{[u,v]}\left[\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}\right],
$$

$$
H_{\text{ét}}^{i}(\mathcal{X}_{\text{OC}}, A\Omega\mathcal{X}_{\text{OC}})_{\mathcal{Q}} \otimes_{\mathcal{A}_{\text{inf}}[1/p]}^{L} \mathcal{A}_{\text{cris}}\left[\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}\right] \leftarrow \tilde{H}_{\text{ét}}^{i}(\mathcal{X}_{\text{C}}, \mathcal{Q}_{p}(r)) \otimes_{\mathcal{Q}_{p}}^{L} \mathcal{A}_{\text{cris}}\left[\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}\right].
$$

En utilisant que l'application canonique $\mathcal{A}_{\text{cris}}[1/p, 1/\mu] \to \mathcal{A}^{[u,v]}[1/p, 1/\mu]$ est injective et $H_{\text{ét}}^{i}(\mathcal{X}_{\text{C}}, \mathcal{Q}_{p}(r))$
est de rang fini sur $\mathcal{Q}_{p}$, on obtient que $\beta_{1}$ est injective.

On en déduit que pour prouver le lemme, il suffit de montrer que le carré extérieur du diagramme (52) commute. Mais en utilisant une nouvelle fois le théorème 9.4 puis le théorème 9.8 (et que $H_{\text{ét}}^{i}(\mathcal{X}_{\text{C}}, \mathcal{Q}_{p}(r))$ est de $\mathcal{Q}_{p}$-rang fini), on a

$$
\begin{align*}
& H_{\text{ét}}^{i}(\mathcal{X}_{\text{OC}}, A\Omega\mathcal{X}_{\text{OC}})_{\mathcal{Q}} \otimes_{\mathcal{A}_{\text{inf}}[1/p]}^{L} \mathcal{A}^{[u,v]}\left[\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}\right] \xrightarrow{\sim} H_{\text{ét}}^{i}\left(R\Gamma(\mathcal{X}_{\text{OC}}, A\Omega\mathcal{X}_{\text{OC}}) \otimes_{\mathcal{A}_{\text{inf}}[1/p]}^{L} \mathcal{A}^{[u,v]}\left[\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}\right]\right), \\
& H_{\text{cris}}^{i}\left(\left(\mathcal{X}_{\text{OC}}/p\right)/\mathcal{A}_{\text{cris}}\right)_{\mathcal{Q}} \otimes_{\mathcal{A}_{\text{cris}}[1/p]}^{L} \mathcal{A}^{[u,v]}\left[\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}\right] \\
& \qquad \xrightarrow{\sim} H^{i}\left(R\Gamma_{\text{cris}}\left(\left(\mathcal{X}_{\text{OC}}/p\right)/\mathcal{A}_{\text{cris}}\right)_{\mathcal{Q}} \otimes_{\mathcal{A}_{\text{cris}}[1/p]}^{L} \mathcal{A}^{[u,v]}\left[\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}\right]\right),
\end{align*}
$$

et il suffit donc de montrer que le diagramme

$$
\begin{equation} \tag{53}
\begin{split}
& \tau_{\le r} R \Gamma_{\text{ét}}(\mathcal{X}_{\text{OC}}, A \Omega \mathcal{X}_{\text{OC}})_{\mathcal{Q}} \otimes_{\mathcal{A}_{\text{inf}}[\frac{1}{p}]}^{L} \mathcal{A}^{[u,v]}[\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}] \xleftarrow{\sim} \tau_{\le r} R \Gamma_{\text{cris}}((\mathcal{X}_{\text{OC}}/p)/\mathcal{A}_{\text{cris}})_{\mathcal{Q}} \otimes_{\mathcal{A}_{\text{cris}}[\frac{1}{p}]}^{L} \mathcal{A}^{[u,v]}[\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}] \\
& \qquad \xleftarrow{\text{f}\tau} \qquad \qquad \qquad \qquad \xleftarrow{\text{can}} \\
& \tau_{\le r} R \Gamma_{\text{ét}}(\mathcal{X}_{\text{C}}, \mathcal{Q}_{p}(r)) \leftarrow_{\frac{\alpha_{r}^{0}}{\alpha_{r}^{0}}} \tau_{\le r} R \Gamma_{\text{syn}}(\mathcal{X}_{\text{OC}}, r)_{\mathcal{Q}}
\end{split}
\end{equation}
$$

commute.
Pour cela, on va montrer que le diagramme suivant est $p^N$-commutatif (pour un $N \in \mathbb{N}$) :

$$
\begin{equation} \tag{54}
\begin{aligned}
& \tau_{\le r} R \Gamma_{\text{ét}}(\mathcal{X}_{\mathcal{O}_C}, A \Omega_{\mathcal{X}_{\mathcal{O}_C}}) \hat{\otimes}_{\mathcal{A}_{\text{inf}}}^{L} \mathcal{A}^{[u,v]}[\frac{1}{\mu}] \xleftarrow{\sim} \tau_{\le r} R \Gamma_{\text{cris}}((\mathcal{X}_{\mathcal{O}_C}/p)/\mathcal{A}_{\text{cris}}) \hat{\otimes}_{\mathcal{A}_{\text{cris}}}^{L} \mathcal{A}^{[u,v]}[\frac{1}{\mu}] \\
& \xrightarrow{\text{can}} \tau_{\le r} R \Gamma_{\text{ét}}(\mathcal{X}_C, \mathbb{Z}_p(r)) \xleftarrow[\alpha_r^0]{\sim} \tau_{\le r} R \Gamma_{\text{syn}}(\mathcal{X}_{\mathcal{O}_C}, r)
\end{aligned}
\end{equation}
$$

(ii) *Calcul local.* On suppose dans un premier temps que $\mathcal{X} = \text{Spf}(R)$ avec $R$ la complétion d'une algèbre étale sur $R_{\square}$. On va voir que la principale différence entre la construction du morphisme de [Česnavičius et Koshikawa 2019] et celle de $\alpha_r^0$ est que l'application $\tilde{\beta}$ utilisée par Bhatt et al. est égale à l'inverse de l'application $\beta$ construite plus haut, tordue par $t$. Plus précisément, on va montrer qu'on a un diagramme $p^{c(r)}$-commutatif (pour une certaine constante $c(r) \in \mathbb{N}$) :

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Tous les complexes sont tronqués par $\tau \le r$. L'exposant $[u, v]$ sur la deuxième ligne sert à désigner $(-) \hat{\otimes}_{\mathcal{A}_{\text{inf}}}^{L} \mathcal{A}^{[u,v]}$. On pose $K_{\Gamma}(-) := \text{Kos}(\Gamma, -)$, $K_{\partial}(-) := \text{Kos}(\partial, -)$ et $C_G(-)$ désigne le complexe de cochaînes continues de $G$. Les notations $K_{\varphi, \Gamma}$ et $C_{G, \varphi}(-)$ sont celles du théorème 7.5. On écrit $\eta_{\mu} \tilde{K}_{\Gamma}(\mathcal{A}_{\text{cris}}(R)) := \varinjlim \eta_{\mu} K_{\Gamma}(\mathcal{A}_{\text{cris}}^{(m)}(R))$ et $\eta_{\mu} \tilde{K}_{\Gamma}(\mathcal{A}_{\text{cris}}(R_{\infty})) := \varinjlim \eta_{\mu} K_{\Gamma}(\mathcal{A}_{\text{cris}}^{(m)}(R_{\infty}))$. Enfin, les morphismes $\tilde{\mu}_H$ sont ceux induits par les morphismes

$$
\mathrm{Kos}(\Gamma_R, \mathbb{A}_{R_\infty}^2) \to \mathrm{C}(\Gamma_R, \mathbb{A}_{R_\infty}^2) \to \mathrm{C}(G_R, \mathbb{A}_{\bar{R}}^2)
$$

pour $? \in \{(0, v]+, [u, v]\}$, où la deuxième flèche est le morphisme de bord du recouvrement de Galois $R_{\infty}$ de $R$.
L'application $\beta'$ est donnée par la composée

$$ \tau_{\le r} \operatorname{Kos}(\partial, \varphi, F^r \mathbb{A}_R^{[u,v]}) \xrightarrow{t^\bullet} \tau_{\le r} \operatorname{Kos}(\operatorname{Lie} \Gamma, \varphi, F^r \mathbb{A}_R^{[u,v]}) \leftarrow \tau_{\le r} \operatorname{Kos}(\operatorname{Lie} \Gamma, \varphi, \mathbb{A}_R^{[u,v]}(r)) \\ \leftarrow\beta \quad \tau_{\le r} \operatorname{Kos}(\Gamma, \varphi, \mathbb{A}_R^{[u,v]}(r)) $$

où la seconde flèche est donnée par

$$ \begin{aligned} \operatorname{Kos}(\operatorname{Lie} \Gamma_R, \mathbb{A}_R^{[u,v]}(r)) & \xrightarrow{1-\varphi} \operatorname{Kos}(\operatorname{Lie} \Gamma_R, \mathbb{A}_R^{[u,v/p]}(r)) \\ \downarrow & \downarrow^{p^r} \\ \operatorname{Kos}(\operatorname{Lie} \Gamma_R, \mathbb{A}_R^{[u,v]}(r)) & \xrightarrow{p^r(1-\varphi)} \operatorname{Kos}(\operatorname{Lie} \Gamma_R, \mathbb{A}_R^{[u,v/p]}(r)) \\ \downarrow^{t^r} & \downarrow^{t^r} \\ \operatorname{Kos}(\operatorname{Lie} \Gamma_R, F^r \mathbb{A}_R^{[u,v]}) & \xrightarrow{p^r-\varphi} \operatorname{Kos}(\operatorname{Lie} \Gamma_R, \mathbb{A}_R^{[u,v/p]}) \end{aligned} $$

et où

$$ \beta : \mathbb{A}_R^{[u,v]}(r)^{J_j} \to \mathbb{A}_R^{[u,v]}(r)^{J_j}, \quad (a_{i_1 \dots i_j}) \mapsto (\beta_{i_j} \dots \beta_{i_1} (a_{i_1 \dots i_j})) \quad \text{avec } \beta_k := \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \tau_k^{n-1}. $$

En particulier, sur le premier terme, $\beta'$ induit

$$ \beta'_1 : \tau_{\le r} \operatorname{Kos}(\partial, F^r \mathbb{A}_R^{[u,v]}) \xrightarrow{t^\bullet} \tau_{\le r} \operatorname{Kos}(\operatorname{Lie} \Gamma, F^r \mathbb{A}_R^{[u,v]}) \xrightarrow{t^r} \tau_{\le r} \operatorname{Kos}(\operatorname{Lie} \Gamma, \mathbb{A}_R^{[u,v]}(r)) \\ \leftarrow\beta \quad \tau_{\le r} \operatorname{Kos}(\Gamma, \mathbb{A}_R^{[u,v]}(r)). \quad (56) $$

Les deux premières flèches sont des $p^{c(r)}$-quasi-isomorphismes (pour certaines constantes $c(r)$) et l'application $\beta$ est un isomorphisme.

L'application $\tilde{\beta}^{(m)} : (\mathbb{A}_{\text{cris}}^{(m)}(R))^{J_i} \to (\mathbb{A}_{\text{cris}}^{(m)}(R))^{J_i}$ est donnée par les $\tilde{\beta}_k = \sum_{n \ge 1} (t^n/n!) \partial_k^{n-1}$. Soit $(a_{i_1 \dots i_j})$ dans $(F^{r-j} \mathbb{A}_R^{[u,v]})^{J_j}$, on a alors

$$ t^r \beta'((a_{i_1 \dots i_j})) = (t^r \beta_{i_1}^{-1} \dots \beta_{i_j}^{-1} (t^{j-r} a_{i_1 \dots i_j})) = ((\beta_{i_1}^{-1} t) \dots (\beta_{i_j}^{-1} t) (a_{i_1 \dots i_j})) $$

et $(\beta_{i_k}^{-1} t) = (\sum_{n \ge 0} b_n \tau_{i_k}^n) t$ où les $b_n$ sont les coefficients de la série $X/\log(1+X)$. Comme

$$ \tilde{\beta}_{i_k} = \sum_{n \ge 1} \frac{t^n}{n!} \partial_{i_k}^{n-1} = \left( \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n!} (t \partial_{i_k})^{n-1} \right) t $$

avec $(t \partial_{i_k}) = \log(\gamma_{i_k})$, on obtient $\beta_{i_k}^{-1} t = \tilde{\beta}_{i_k}$ et on en déduit que le carré

$$ \begin{array}{r@{\quad}c@{\quad}c@{\quad}l} & K_{\partial}(\mathbb{A}_R^{[u,v]}) & \xrightarrow{\tilde{\beta}} & \eta_{\mu} K_{\Gamma}(\mathbb{A}_R^{[u,v]}) \\ & \updownarrow & & \\ & K_{\partial}(F^r \mathbb{A}_R^{[u,v]}) & \xrightarrow{\beta'_1} & K_{\Gamma}(\mathbb{A}_R^{[u,v]}(r)) \end{array} \qquad (57) $$
commute, où $\beta'_1$ est l'application donnée par (56). On obtient finalement que le diagramme (55) est $p^{c(r)}$-commutatif (pour un certain $c(r) \in \mathbb{N}$).

Montrons que le trapèze dans le coin supérieur droit

$$ \begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
  \eta_\mu K_\Gamma(\mathbb{A}_{R_\infty}^+)^{[u,v]} \arrow[r, "\tilde{\mu}_H"'] & \eta_\mu C_G(\mathbb{A}_R^+)^{[u,v]} \arrow[d, "\sim"] \\
  \eta_\mu K_\Gamma(\mathbb{A}_{R_\infty}^{[u,v]}) \arrow[r, "\tilde{\mu}_H"'] & \eta_\mu C_G(\mathbb{A}_R^{[u,v]}) \arrow[d, "\sim"]
\end{tikzcd} \qquad (58) $$

est constitué de quasi-isomorphismes.

La flèche verticale de gauche est un isomorphisme de complexes. La flèche horizontale du haut est un quasi-isomorphisme par (42). Montrons que la flèche verticale de droite est un quasi-isomorphisme. Par définition, le complexe $C_G(\mathbb{A}_R^+)^{[u,v]}$ est égal à

$$ \operatorname{holim}_n \left( (R\Gamma(G, \mathbb{A}_R^+) \otimes_{\mathbb{A}_{\inf}}^L \mathbb{A}^{[u,v]}) \otimes_{\mathbb{A}_{\inf}}^L \mathbb{A}_{\inf} / (\xi, p)^n \right). $$

Mais $R\Gamma(G, \mathbb{A}_R^+)$ est calculé par le complexe borné Kos$(\Gamma_R, \mathbb{A}_{R_\infty}^+)$ dont les termes sont plats sur $\mathbb{A}_{\inf}$.
On a donc

$$ R\Gamma(G, \mathbb{A}_R^+) \otimes_{\mathbb{A}_{\inf}}^L \mathbb{A}^{[u,v]} \cong R\Gamma(G, \mathbb{A}_R^+) \otimes_{\mathbb{A}_{\inf}} \mathbb{A}^{[u,v]}. $$

Pour $n$ suffisamment grand (tel que $\xi^n \in p\mathbb{A}^{[u,v]}$), on a

$$ \operatorname{Tor}^1_{\mathbb{A}_{\inf}} (\mathbb{A}^{[u,v]}, \mathbb{A}_{\inf} / (\xi, p)^n) \hookrightarrow \operatorname{Tor}^1_{\mathbb{A}_{\inf}} (\mathbb{A}^{[u,v]}, \mathbb{A}_{\inf} / p) = 0 $$

et donc

$$ (R\Gamma(G, \mathbb{A}_R^+) \otimes_{\mathbb{A}_{\inf}}^L \mathbb{A}^{[u,v]}) \otimes_{\mathbb{A}_{\inf}}^L \mathbb{A}_{\inf} / (\xi, p)^n \cong R\Gamma(G, \mathbb{A}_R^+) \otimes_{\mathbb{A}_{\inf}} \mathbb{A}^{[u,v]} / (\xi, p)^n. $$

Les termes du complexes ci-dessus sont donnés par

$$ \operatorname{Map}_{\operatorname{cont}}(G^m, \mathbb{A}_R^+) \otimes_{\mathbb{A}_{\inf}} \mathbb{A}^{[u,v]} / (p, \xi)^n, $$

qui est isomorphe à

$$ \operatorname{Map}_{\operatorname{cont}}(G^m, \mathbb{A}_R^+) \otimes_{\mathbb{A}_{\inf}} \mathbb{A}^{[u,v]} / (p, \xi)^n, $$

car $G$ est profini. En prenant la limite sur $n$, on obtient finalement le quasi-isomorphisme

$$ C_G(\mathbb{A}_R^+)^{[u,v]} \xrightarrow{\sim} C_G(\mathbb{A}_R^{[u,v]}). $$

On en déduit que les autres flèches de (58) sont elles aussi des quasi-isomorphismes. Finalement, une chasse au diagramme (dans (55)) montre que (54) et donc (53) commute dans le cas où $\mathcal{X} := \operatorname{Spf}(R)$. Il reste à voir que le résultat reste vrai pour $\mathcal{X}$ global.

(iii) *Cas global.* Dans un premier temps, on suppose toujours $\mathcal{X} = \operatorname{Spf}(R)$. Si $(\Sigma, \Lambda)$ sont tels qu'on ait une immersion (27), en définissant $R_{\Sigma, \Lambda}^{PD}$, $R_\infty$, $\Sigma$, $\Lambda$, etc. comme précédemment, on peut réécrire le
diagramme (55) en utilisant les versions $(\Sigma, \Lambda)$ des anneaux. On prend ensuite la limite sur l'ensemble des $(\Sigma, \Lambda)$ et on obtient un diagramme commutatif fonctoriel

$$ \lim_{\underset{\Sigma,\Lambda}{\rightarrow}} \tau_{\le r}(\mathrm{Kos}(\partial, R_{\Sigma,\Lambda}^{PD}) \underset{\mathbb{Q}}{\otimes} \underset{\mathbb{A}_{\mathrm{cris}}}{^{L}} [\frac{1}{p}] \mathbb{A}^{[u,v]} [\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}]) \xrightarrow{\sim} \lim_{\underset{\Sigma,\Lambda}{\rightarrow}} \tau_{\le r}(\eta_{\mu} C_G (\mathbb{A}_{\bar{R}_{\Sigma,\Lambda}}^{+}) \underset{\mathbb{Q}}{\otimes} \underset{\mathbb{A}_{\mathrm{inf}}}{^{L}} [\frac{1}{p}] \mathbb{A}^{[u,v]} [\frac{1}{p}, \frac{1}{\mu}]) \\ \uparrow \\ \lim_{\underset{\Sigma,\Lambda}{\rightarrow}} \tau_{\le r} \mathrm{Kos}(\partial, \varphi, F^r R_{\Sigma,\Lambda}^{PD}) \underset{\mathbb{Q}}{\rightarrow} \tau_{\le r} C_G (\mathrm{Kos}(\varphi, \mathbb{A}_{\bar{R}}(r))) \underset{\mathbb{Q}}{\leftarrow\right.} \tau_{\le r} C_G (\mathbb{Z}_p(r)) \underset{\mathbb{Q}}{\rightarrow} \uparrow^t $$

Soit $\mathfrak{X}$ global. En considérant des hyper-recouvrements affines $\mathfrak{U}^\bullet \to \mathfrak{X}$ comme précédemment et en remarquant que les deux complexes de la ligne du haut du diagramme ci-dessus calculent respectivement

$$ \tau_{\le r} R\Gamma_{\mathrm{cris}}((\mathfrak{U}_{\mathcal{O}_C}^k/p)/\mathbb{A}_{\mathrm{cris}}) \underset{\mathbb{Q}}{\otimes} \underset{\mathbb{A}_{\mathrm{cris}}}{^{L}} [1/p] \mathbb{A}^{[u,v]} \left[ \frac{1}{p}, \frac{1}{\mu} \right] $$

et

$$ \tau_{\le r} R\Gamma_{\mathrm{ét}}(\mathfrak{U}_{\mathcal{O}_C}^k, A\Omega_{\mathfrak{X}_{\mathcal{O}_C}}) \underset{\mathbb{Q}}{\otimes} \underset{\mathbb{A}_{\mathrm{inf}}}{^{L}} [1/p] \mathbb{A}^{[u,v]} \left[ \frac{1}{p}, \frac{1}{\mu} \right], $$

on en déduit que le diagramme suivant commute :

$$ \begin{array}{ccc} \tau_{\le r} R\Gamma_{\mathrm{cris}}(\mathfrak{X})_{\mathbb{Q}}^{[u,v]} & \xrightarrow{\sim} & \tau_{\le r} \mathrm{hocolim} R\Gamma_{\mathrm{cris}}(\mathfrak{U}^{\bullet})_{\mathbb{Q}}^{[u,v]} \xrightarrow{\sim} \tau_{\le r} \mathrm{hocolim} R\Gamma_{\mathrm{ét}}(A\Omega_{\mathfrak{U}^{\bullet}})_{\mathbb{Q}}^{[u,v]} \xleftarrow{\sim} \tau_{\le r} R\Gamma_{\mathrm{ét}}(A\Omega_{\mathfrak{X}})_{\mathbb{Q}}^{[u,v]} \\ \uparrow & & \uparrow \\ \tau_{\le r} R\Gamma_{\mathrm{syn}}(\mathfrak{X}_{\mathcal{O}_C}, r)_{\mathbb{Q}} \xrightarrow{\sim} \tau_{\le r} \mathrm{hocolim} R\Gamma_{\mathrm{syn}}(\mathfrak{U}_{\mathcal{O}_C}^{\bullet}, r)_{\mathbb{Q}} \xrightarrow{\sim} \tau_{\le r} \mathrm{hocolim} R\Gamma_{\mathrm{ét}}(\mathfrak{U}_{\mathcal{O}_C}^{\bullet}, \mathbb{Q}_p(r)) \xleftarrow{\sim} \tau_{\le r} R\Gamma_{\mathrm{ét}}(\mathfrak{X}_{\mathcal{O}_C}, \mathbb{Q}_p(r)) \end{array} $$

On a ici noté $R\Gamma_{\mathrm{cris}}(-) := R\Gamma_{\mathrm{cris}}((-)_{\mathcal{O}_C}/p)/\mathbb{A}_{\mathrm{cris}}$ et $R\Gamma_{\mathrm{ét}}(A\Omega_{(-)_{\mathcal{O}_C}}) := R\Gamma_{\mathrm{ét}}((-)_{\mathcal{O}_C}, A\Omega_{(-)_{\mathcal{O}_C}})$. On obtient le résultat du lemme. $\square$

## Remerciements

Cet article présente les résultats obtenus durant ma thèse à l'ÉNS de Lyon. Je remercie ma directrice de thèse, Wiesława Nizioł, pour m'avoir suggéré ce sujet et pour les conseils et l'aide qu'elle m'a apportés tout au long de ce projet. Je remercie également l'évaluateur pour sa lecture attentive et ses nombreuses remarques et corrections.

Ce projet a reçu des financements du Labex Milyon, dans le cadre du programme Investissements d'Avenir (ANR-11-IDEX-0007) et de l'European Research Council (ERC) dans le cadre du programme European Union's Horizon 2020 research and innovation programme (grant agreement No. 804176).

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Communicated by Bhargav Bhatt

Received 2021-01-26

Revised 2022-03-22

Accepted 2022-05-10

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<table><tr><td>Philippe Michel</td><td>École Polytechnique Fédérale de Lausanne</td></tr><tr><td>Martin Olsson</td><td>University of California, Berkeley, USA</td></tr><tr><td>Irena Peeva</td><td>Cornell University, USA</td></tr><tr><td>Jonathan Pila</td><td>University of Oxford, UK</td></tr><tr><td>Anand Pillay</td><td>University of Notre Dame, USA</td></tr><tr><td>Bjorn Poonen</td><td>Massachusetts Institute of Technology, USA</td></tr><tr><td>Victor Reiner</td><td>University of Minnesota, USA</td></tr><tr><td>Peter Sarnak</td><td>Princeton University, USA</td></tr><tr><td>Michael Singer</td><td>North Carolina State University, USA</td></tr><tr><td>Vasudevan Srinivas</td><td>Tata Inst. of Fund. Research, India</td></tr><tr><td>Shunsuke Takagi</td><td>University of Tokyo, Japan</td></tr><tr><td>Pham Huu Tiep</td><td>Rutgers University, USA</td></tr><tr><td>Ravi Vakil</td><td>Stanford University, USA</td></tr><tr><td>Akshay Venkatesh</td><td>Institute for Advanced Study, USA</td></tr><tr><td>Melanie Matchett Wood</td><td>Harvard University, USA</td></tr><tr><td>Shou-Wu Zhang</td><td>Princeton University, USA</td></tr></table>

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