# Comptes Rendus
Mathématique

Naoufel Battikh

Formes différentielles non commutatives et Algèbres de Gerstenhaber

Volume 361 (2023), p. 31-44

https://doi.org/10.5802/crmath.386

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Algèbre / Algebra

# Formes différentielles non commutatives et Algèbres de Gerstenhaber

Naoufel Battikh*, a

a Département des mathématiques, UFR des sciences, Université de Versailles-Saint-Quentin, France.

Courriel: naoufel.battikh@uvsq.fr

**Résumé.** In this work we show that for any topological space X having the homotopy type of a CW-complex and for any commutative ring R, the singular cohomology $H^*(X; R)$ is a Gerstenhaber algebra (see. [7]). In fact we prove that $H^*(X; R)$ satisfies the conditions of a generalization of the Gerstenhaber algebras.

**Classification Mathématique (2020).** 17D99, 55N10.

Manuscrit reçu le 26 novembre 2021, révisé le 6 mars 2022 et le 26 mai 2022, accepté le 29 mai 2022.

## 1. Introduction

Les algèbres de Gerstenhaber (cf. [7]) qui sont connues pour être utilisées en physique théorique (cf. [1] ou [11]) sont définies de la façon suivante : soit $\Lambda^*$ une algèbre graduée munie de deux produits. Un premier produit

$$ \Lambda^p \otimes \Lambda^q \longrightarrow \Lambda^{p+q} \\ a \otimes b \longmapsto ab $$

et un deuxième produit (crochet de Lie)

$$ \Lambda^p \otimes \Lambda^q \longrightarrow \Lambda^{p+q-1} \\ a \otimes b \longmapsto [a, b] $$

On dit que $\Lambda^*$ est une algèbre de Gerstenhaber si les deux produits satisfont les conditions suivantes :

* Associativité du premier produit : $a(bc) = (ab)c$

* Commutativité du premier produit : $ab = (-1)^{|a|+|b|} ba$

* Commutativité du deuxième produit $[b, a] = -(-1)^{(|a|-1)(|b|-1)} [a, b]$

<footnote>* Auteur correspondant.</footnote>
* Identité de poisson : $[a, bc] = [a, b]c + (-1)^{\frac{|a|-1}{2}|b|}b[a, c]$ (L'identité de Poisson qu'on adoptera dans cet article sera légèrement différente de l'identité classique. Ainsi, on dira que l'identité de Poisson est vérifiée si : $[a, bc] = (-1)^{|c|}[a, b]c + (-1)^{\frac{|a|-1}{2}|b|}b[a, c]$)

* Identité de Jacobi :

$$(-1)^{\frac{|a|-1}{2}(\frac{|a|-1}{2})} [a, [b, c]] + (-1)^{\frac{|b|-1}{2}(\frac{|b|-1}{2})} [b, [c, a]] + (-1)^{\frac{|c|-1}{2}(\frac{|c|-1}{2})} [c, [a, b]] = 0$$

Dans [7] Gerstenhaber montre que l'algèbre de cohomologie de Hochschild est une algèbre de Gerstenhaber. Comme autres exemples, on peut citer l'algèbre sous-jacente d'une algèbre de Batalin-Vilkovisky (cf. [1]) ou n'importe quelle algèbre extérieure d'une algèbre de Lie.

Dans ce travail on montre que pour tout espace topologique $X$ qui a le type d'homotopie d'un CW-complexe et tout anneau commutatif $R$, l'algèbre de cohomologie singulière $H^*(X; R)$ est une algèbre de Gerstenhaber. Ce résultat on le montre en utilisant les cup i-produits sur les formes différentielles non commutatives (cf. [2]). En effet pour un espace topologique $X$ qui a le type d'homotopie d'un CW-complexe, Karoubi montre dans [9] que pour une algèbre de formes différentielles particulière $\Omega^*$, la cohomologie de l'algèbre différentielle $\Omega^*(X) = \{f : X \to \Omega^*\text{ continues}\}$, est naturellement isomorphe à la cohomologie usuelle $H^*(X; R)$. Pour tout espace topologique $X$ et tout anneau $R$, on définit en utilisant les cup i-produits sur les formes différentielles non commutatives, les opérations de Browder (cf. [4])

$$[\cdot, \cdot]_i : H^p(X; A) \otimes H^q(X; A) \to H^{p+q-i}(X; A)$$

Le crochet de lie est alors égal à $[\cdot, \cdot]_1$. Les propriétés vérifiées dans ce cadre par une algèbre de cohomologie singulière, nous poussent à donner une généralisation de l'algèbre de Gerstenhaber et ce en posant la dé finition suivante : Soit $\Lambda^*$ une algèbre graduée munie de deux produits. Un premier produit

$$\Lambda^p \otimes \Lambda^q \to \Lambda^{p+q} \\ a \otimes b \to ab$$

et un deuxième produit (crochet de Lie)

$$\Lambda^p \otimes \Lambda^q \to \Lambda^{p+q-i} \\ a \otimes b \to [a, b]_i$$

On dit que $\Lambda^*$ est une algèbre de Gerstenhaber généralisée si les deux produits satisfont les conditions suivantes :

* Associativité du premier produit : $a(bc) = (ab)c$

* Commutativité du premier produit : $ab = (-1)^{|a||b|}ba$

* Commutativité du deuxième produit $[b, a]_i = -(-1)^{\frac{|a|-1}{2}(\frac{|a|-1}{2}-i+1)}[a, b]_i$

* Identité de poisson : $[a, bc]_i = (-1)^{|c|}[a, b]_i c + (-1)^{\frac{|a|-1}{2}+|b|}b[a, c]_i$

* Identité de Jacobi :

$$(-1)^{\frac{|a|-1}{2}(\frac{|a|-1}{2})} [a, [b, c]_i]_i + (-1)^{\frac{|b|-1}{2}(\frac{|b|-1}{2})} [b, [c, a]_i]_i + (-1)^{\frac{|c|-1}{2}(\frac{|c|-1}{2})} [c, [a, b]_i]_i = 0$$

On montre alors que pour tout espace topologique $X$ qui a le type d'homotopie d'un CW-complexe et tout anneau commutatif $R$, l'algèbre de cohomologie singulière $H^*(X; R)$ est une algèbre de Gerstenhaber généralisée.

Dans cet article, on montre aussi que pour un espace topologique $X$, $x \in H^p(X; \mathbb{Z}/2)$, $y \in H^q(X; \mathbb{Z}/2)$ et $z \in H^r(X; \mathbb{Z}/2)$, on a :

$$[xz, yz]_i = [x, y]_i \text{Sq}^{r-1}(z)$$

Où $\text{Sq}^{r-1}$ est le carré se Steenrod (cf. [10]).
## 2. Rappels

Commençons par rappeler quelques résultats concernant les formes différentielles non commutatives donnés dans [5] et [9] et la définition des cup i-produits sur ces même formes ainsi que leurs propriétés données dans [2].

### 2.1. Formes différentielles non commutatives

Soient $k$ un anneau commutatif unitaire et $A$ une $k$-algèbre unitaire. Les formes différentielles étendues de degré $n$ sont les éléments du produit tensoriel de $k$-modules

$$T^n(A) = A \otimes A \otimes \cdots \otimes A$$

(n + 1 facteurs). Sur $T^*(A) = \bigoplus_{n \ge 0} T^n(A)$, on définit un opérateur de carré nul

$$D : T^n(A) \to T^{n+1}(A)$$

par la formule suivante :

$$D(a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) = 1 \otimes a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n - a_0 \otimes 1 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n + \cdots + (-1)^{n+1} a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n \otimes 1$$

et un produit

$$T^n(A) \otimes T^p(A) \to T^{n+p}(A)$$

par la formule

$$(a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n)(b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_p) = a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_p.$$

Pour toutes formes $w \in T^n(A)$ et $\theta \in T^p(A)$, la différentielle D vérifie l'identité de Leibniz

$$D(w\theta) = D(w)\theta + (-1)^n wD(\theta).$$

On a en outre une action à droite du groupe symétrique $S_{n+1}$ sur $T^n(A)$. En effet, en identifiant $S_{n+1}$ à l'ensemble des permutations de $\{0, 1, \dots, n\}$, l'action est définie par la formule suivante :

$$(a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n)^\sigma = a_{\sigma(0)} \otimes a_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes a_{\sigma(n)}.$$

Pour une $k$-algèbre $A$ on pose $\Omega^0(A) = A$ et $\Omega^1(A)$ le noyau de l'application

$$A \otimes A \to A$$

$$x \otimes y \to xy$$

Le produit tensoriel étant celui de $k$-modules. En fait le $k$-module $\Omega^1(A)$ est aussi un $A$-bimodules et les formes différentielles non commutatives de degré $n$ sont les éléments du produit tensoriel de $A$-modules

$$\Omega^n(A) = \Omega^1(A) \otimes \Omega^1(A) \otimes \cdots \otimes \Omega^1(A) (n \text{ facteurs de } \Omega^1(A)).$$

La somme $\Omega^*(A) = \bigoplus_{n \ge 0} \Omega^n(A)$ est une algèbre graduée de manière évidente. Le produit de deux formes étant obtenu en juxtaposant les produits tensoriels. Considérons l'homomorphisme de $k$-modules

$$d : \Omega^0(A) \to \Omega^1(A)$$

défini par la formule

$$d(a) = 1 \otimes a - a \otimes 1$$

On a alors l'isomorphisme suivant

$$A \otimes A/k \to \Omega^1(A)$$

$$x \otimes \bar{y} \to xdy$$
(Le produit tensoriel étant celui de $k$-modules). L'ensemble $\Omega^n(A)$ des formes différentielles non commutatives de degré $n$ s'identifie alors au produit tensoriel de $k$-modules

$$A \otimes A/k \otimes \cdots \otimes A/k (n \text{ facteurs } A/k).$$

Une forme différentielle non commutative de degré $n$ s'écrit donc comme combinaison linéaire de termes de la forme

$$a_0 da_1 \cdots da_n$$

et le morphisme $d$ s'étend aux formes de degré $n$ de $\Omega^*(A)$ par la formule

$$d(a_0 da_1 \cdots da_n) = da_0 da_1 \cdots da_n.$$

Ce morphisme est de carré nul et vérifie, pour toutes formes $w \in \Omega^n(A)$ et $\theta \in \Omega^p(A)$, l'identité de Leibniz :

$$d(w\theta) = d w\theta + (-1)^n w d\theta$$

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a

$$\Omega^n(A) \subset \left(A \otimes_k A\right) \otimes_A \left(A \otimes_k A\right) \otimes_A \cdots \otimes_A \left(A \otimes_k A\right) \simeq A \otimes_k A \otimes_k \cdots \otimes_k A = T^n(A).$$

L'algèbre différentielle graduée $\Omega^*(A)$ est donc incluse dans $T^*(A)$. D'autre part, pour tout $n \ge 0$, on a un opérateur de projection

$$J : T^n(A) \to \Omega^n(A)$$

défini par la formule suivante

$$J(a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) = a_0 da_1 \cdots da_n.$$

L'opérateur $J$ est un morphisme de $k$-modules qui commute avec les différentielles. Il convient de noter que ce morphisme n'est pas un morphisme de $k$-algèbres. Cependant on a la proposition suivante :

**Proposition 1 (cf. [2]).** Soient $A$ est une $k$-algèbre commutative, $w \in T^n(A)$ et $\theta \in T^p(A)$ avec $D(\theta) = 0$. On a alors

$$J(w\theta) = J(w) J(\theta).$$

On définit sur les formes différentielles étendues de degré $n$ un produit, noté $\#$, par la formule suivante :

$$(a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) \# (b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_n) = a_0 b_0 \otimes a_1 b_1 \otimes \cdots \otimes a_n b_n.$$

Rappelons d'autre part, que si $A$ est une $k$-algèbre commutative, une application

$$f : [n] \to [m]$$

(où pour tout $p \in \mathbb{N}$, $[p]$ désigne l'ensemble $\{0, 1, \dots, p\}$), induit un morphisme

$$f_* : T^n(A) \to T^m(A)$$

défini par la correspondance

$$a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n \mapsto b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_m$$

où pour tout $j \in [m]$

$$b_j = \begin{cases} 1 & \text{si } f^{-1}(\{j\}) \text{ est vide} \\ \displaystyle\prod_{f(i)=j}^{a_i} & \text{sinon} \end{cases}$$

On montre alors que pour toutes formes $w$ et $\theta \in T^n(A)$, on a

$$f_*(w\#\theta) = f_*(w)\#f_*(\theta)$$

et que si $w \in T^n(A)$ et $\theta \in T^p(A)$, on a
$$w\theta = f_*(w)\#g_*(\theta).$$

L'application $f$ étant l'inclusion de $[n]$ dans $[n+p]$ et $g: [p] \to [n+p]$ est défini par $g(i) = i+n$. Pour alléger les notations dans ce qui suit, on notera $f$ l'homomorphisme induit sur les formes é tendues par une application $f: [n] \to [m]$ et pour éviter les confusions on notera $J_n$ l'opérateur $J$ en degré $n$. Rappelons enfin que sur les formes étendues de degré $n$ on a

$$D = \sum_{i=0}^{n+1} (-1)^i \delta_i$$

où les $\delta_i: [n] \to [n+1]$ sont les opérateurs cofaces définis par $\delta_i(j) = j$ si $i > j$ et $\delta_i(j) = j+1$ si $i \le j$ et que

$$\Omega^n(A) = \bigcap_{i=0}^{n-1} \ker s_i$$

où les $s_i: [n] \to [n-1]$ sont les opérateurs de codégénérescence définis par $s_i(j) = j$ si $i \ge j$ et $s_i(j) = j-1$ si $i < j$. Soit $n \ge 1$. Pour tout $1 \le i \le n$, considérons l'application

$$f_i: [n] \to [n]$$

définie par la correspondance

$$j \mapsto \begin{cases} j & \text{si } j \neq i \\ i-1 & \text{si } j = i \end{cases}$$

On a alors la proposition suivante

**Proposition 2 (cf. [2]).** Pour tout $n \ge 1$, on a

$$J_n = (1 - f_n)(1 - f_{n-1}) \cdots (1 - f_1).$$

(Le produit des $(1 - f_i)$ étant tout simplement la composée de ces morphismes.)

## 2.2. Exemples d'algèbres de formes différentielles non commutatives

Soient $s \in \mathbb{N}$, $R$ un anneau commutatif, $A_s$ la $R$-algèbre quotient $R[x_0, x_1, \dots, x_s]/(x_0 + x_1 + \dots + x_s = 1)$ et $\Omega^*(A_s)$ l'algèbre des formes différentielles non commutatives sur $A_s$. Cette algèbre est engendrée non commutativement par les symboles $x_\alpha$ et $dx_\alpha$, $0 \le \alpha \le s$ avec les relations suivantes :

$$\sum x_{\alpha} = 1, \sum dx_{\alpha} = 0 \quad \text{et} \quad x_{\alpha}x_{\beta} = x_{\beta}x_{\alpha}.$$

Soit $\bar{A}_s$ l'algèbre des fonctions de $[s]$ dans $R$. Cette algèbre est augmentée et le $R$-module $\Omega^n(\bar{A}_s)$ s'identifie à celui des fonctions $f: [s]^{n+1} \to R$ vérifiant, $f(x_0, x_1, \dots, x_n) = 0$ si il existe $i$ tel que $x_i = x_{i+1}$. Les algèbres $\Omega^*(A_s)$ et $\Omega^*(\bar{A}_s)$ sont en fait des algèbres différentielles simpliciales. Ces deux algèbres seront notées $\Omega^*$.

**Théorème 3 (cf. [9, p. 4285]).** Pour tout ensemble simplicial $X$, posons $\Omega^*(X) = \text{Mor}(X; \Omega^*)$. La cohomologie de l'algèbre différentielle graduée $\Omega^*(X)$ s'identifie alors naturellement à la cohomologie $H^*(X; R)$.

Soit $X$ un complexe simplicial dénombrable avec un point base $*$ (ou un complexe simplicial quelconque muni de la $k$-topologie (cf. [8, p. 52])). Le nième produit symétrique de $X$ noté $\text{SP}^n(X)$ est le quotient topologique de $X^n$ par l'action naturelle du groupe symétrique $S_n$. Le produit symétrique infini noté $\text{SP}^\infty(X)$ est la limite inductrice des $\text{SP}^n(X)$. L'application $\text{SP}^n(X) \to \text{SP}^{n+1}(X)$ étant définie par la correspondance :

$$(a_0, a_1, \dots, a_n) \mapsto (a_0, a_1, \dots, a_n, *)$$
L'ensemble $SP^\infty(X)$ est alors un monoïde de abélien topologique pour la loi induite par la juxtaposition des suites. Notons $L(X)$ le symétrisé de $SP^\infty(X)$ c'est à dire, le quotient de $SP^\infty(X) \times SP^\infty(X)$ par la relation d'équivalence

$$ (a, b) \sim (c, d) \iff \text{il existe } e \text{ tel que } a+d+e = c+b+e $$

Notons $L(X; R)$ le produit tensoriel $L(X) \otimes R$. Le $R$-module $L(X; R)$ s'identifie alors au $R$-module libre de base $X$ avec la relation $* = 0$. Pour un anneau dénombrable $R$, on a le théorème suivant qui est dû à Dold et Thom [6].

**Théorème 4.** *Soit $X$ un complexe simplicial dénombrable pointé. Pour tout $i \ge 0$, le groupe d'homotopie $\pi_i(L(X; R))$ est isomorphe à la cohomologie réduite $\tilde{H}_i(X; R)$ du complexe $X$ à valeurs dans $R$.*

**Remarque 5.** *Si $X$ est un modèle simplicial de la sphère $S^n$, alors $L(X; R)$ est un modèle de l'espace d'Eilenberg-Maclane $K(R, n)$.*

Considérons maintenant le $R$-module $A = L(B^1; R)$ où $B^1 = [0, 1]$ et $0$ est le point base de $B^1$. On peut alors munir $A$ d'une structure de $R$-algèbre, la multiplication étant induite par celle des nombres réels. Le $R$-module $L(S^1; R)$ s'identifie à $A/R$ et en utilisant l'homéomorphisme suivant :

$$ B^{n+1} \simeq B^1 \wedge S^1 \wedge S^1 \wedge \cdots S^1 $$

(n facteurs $S^1$), on montre que le $R$-module des formes différentielles non commutatives de degré $n$, qu'on notera $\Omega^n$, s'identifie à $L(B^{n+1}; R)$ et que la différentielle $d: \Omega^n \to \Omega^{n+1}$ est l'application composée évidente :

$$ L(B^{n+1}; R) \to L(S^{n+1}; R) \to L(B^{n+2}; R) $$

**Théorème 6 (cf. [9, p. 481]).** *Soient $X$ un espace qui a le type d'homotopie d'un CW-complexe et $\Omega^n(X) = \text{Mor}(X; \Omega^n)$, l'ensemble des applications continues de $X$ dans $\Omega^n$. La cohomologie du complexe $\Omega^*(X)$ est alors naturellement isomorphe à la cohomologie usuelle $H^*(X; R)$.*

## 2.3. Cup i-produits sur les formes différentielles non commutatives

Soient $k$ un anneau commutatif unitaire et $A$ une $k$-algèbre unitaire. Pour tous $p, q \in \mathbb{N}$ et $i \in \mathbb{Z}$, nous allons définir un cup i-produit

$$ T^p(A) \otimes T^q(A) \to T^{p+q-i}(A) $$

Soient donc $p, q \in \mathbb{N}$, $\omega = a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_p \in T^p(A)$ et $\theta = b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q \in T^q(A)$. Soit $i \le \min(p, q)$. Si $i$ est pair, on pose

$$ \omega \underset{i}{\sim} \sum \varepsilon_{\alpha} a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_{j_0} b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_{k_0} a_{j_0+1} \otimes a_{j_0+2} \otimes \cdots \otimes a_{j_1} b_{k_0+1} \\ \otimes b_{k_0+2} \otimes \cdots \otimes b_{k_1} a_{j_1+1} \otimes a_{j_1+2} \otimes \cdots \otimes b_{k_{\frac{1}{2}-1}} a_{j_{\frac{1}{2}}-1+1} \otimes a_{j_{\frac{1}{2}}-1+2} \otimes \cdots \otimes a_p b_{k_{\frac{1}{2}-1}} \otimes b_{k_{\frac{1}{2}-1}+1} \otimes b_{k_{\frac{1}{2}}-1+2} \otimes \cdots \otimes b_q. $$

Le signe $\varepsilon_\alpha$ est la signature de la permutation $\alpha$ de $\{0, 1, \dots, p+q+1\}$ qui envoie la forme

$$ a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_p \otimes b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q $$

sur

$$ a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_{j_0} \otimes b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_{k_0} \otimes a_{j_0+1} \otimes a_{j_0+2} \otimes \cdots \otimes a_{j_1} \otimes b_{k_0+1} \otimes b_{k_0+2} \otimes \cdots \otimes b_{k_1} \otimes a_{j_1+1} \\ \otimes a_{j_1+2} \otimes \cdots \otimes b_{k_{\frac{1}{2}-1}} \otimes a_{j_{\frac{1}{2}}-1+1} \otimes a_{j_{\frac{1}{2}}-1+2} \otimes \cdots \otimes a_p \otimes b_{k_{\frac{1}{2}-1}} \otimes b_{k_{\frac{1}{2}-1}+1} \otimes b_{k_{\frac{1}{2}}-1+2} \otimes \cdots \otimes b_q. $$

La somme est prise sur toutes les façons de choisir $\{j_0, j_1, \dots, j_{\frac{1}{2}}\}$ et $\{k_0, k_1, \dots, k_{\frac{1}{2}}\}$ tels que $j_0 \ge 0$, pour tout $s \le \frac{i}{2}-1$, $j_s+1 < j_{s+1}$, $j_{\frac{1}{2}} = p$, $k_0 > 0$, pour tout $s \le \frac{i}{2}-2$, $k_s+1 < k_{s+1}$ et $k_{\frac{1}{2}} = q$.
Pour i impair, on pose

$$ \omega \underset{i}{\rfloor} \theta = \sum \varepsilon_{\alpha} a_{0} \otimes a_{1} \otimes \cdots \otimes a_{j_{0}} b_{0} \otimes b_{1} \otimes \cdots \otimes b_{k_{0}} a_{j_{0}+1} \otimes a_{j_{0}+2} \otimes \cdots \otimes a_{j_{1}} b_{k_{0}+1} \\ \otimes b_{k_{0}+2} \otimes \cdots \otimes b_{k_{1}} a_{j_{1}+1} \otimes a_{j_{1}+2} \otimes \cdots \otimes a_{j_{\frac{i-1}{2}}} b_{k_{\frac{i-1}{2}}+1} \otimes b_{k_{\frac{i-1}{2}-1}} \otimes \cdots \otimes b_{q} a_{j_{\frac{i-1}{2}}} \underset{i}{+1} \otimes a_{j_{\frac{i-1}{2}}-1} \underset{i}{+2} \otimes \cdots \otimes a_{p} $$

Dans ce cas $\{j_0, j_1, \dots, j_{\frac{i-1}{2}}\}$ et $\{k_0, k_1, \dots, k_{\frac{i-1}{2}}\}$ vérifient les conditions suivantes : $j_0 \ge 0$, pour tout $s \le \frac{i-1}{2} - 1$, $j_s + 1 < j_{s+1}$, $j_{\frac{i-1}{2}} \le p-1$, $k_0 > 0$, pour tout $s \le \frac{i-1}{2} - 1$, $k_s + 1 < k_{s+1}$ et $k_{\frac{i-1}{2}} = q$. Pour $i < 0$ ou $i > \min(p, q)$ on pose enfin

$$ \omega \underset{i}{\rfloor} \theta = 0. $$

**Proposition 7 (cf. [2]).** Soient $a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_p \in T^p(A)$ et $b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q \in T^q(A)$.

Pour $i=0$, on a

$$ a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_p \underset{0}{\rfloor} b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q = a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_p b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q. $$

On retrouve donc le produit d'Alexander-Whitney.

Pour $i=1$ on a la formule suivante :

$$ a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_p \underset{1}{\rfloor} b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q = \sum_{i=0}^{p-1} (-1)^{(p-i)(q+1)} a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_i b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q a_{i+1} \otimes a_{i+2} \otimes \cdots \otimes a_p. $$

Pour $i=2$ on a la formule suivante :

$$ a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_p \underset{2}{\rfloor} b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q = \sum_{i=0}^{p-2} \sum q - 1 \underset{j=1}{\overset{i}{\left(\begin{array}{l} p-i \\ j+1 \end{array}\right)}} (-1)^{p-i} \underset{j=1}{\overset{i}{\left(\begin{array}{l} p+q-i \\ j \end{array}\right)}} a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_i b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_j a_{i+1} \otimes a_{i+2} \otimes \cdots \otimes a_p b_{j+1} \otimes b_{j+2} \cdots \otimes b_q. $$

Si l'algèbre $A$ est commutative, pour toutes formes $\omega$ et $\theta \in T^n(A)$, on a

$$ \omega \underset{n}{\rfloor} \theta = (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}} \omega \# \theta. $$

**Proposition 8 (cf. [2]).** Soient $\omega = a_0 \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_p \in T^p(A)$, $\theta = b_0 \otimes b_1 \otimes \cdots \otimes b_q \in T^q(A)$ et $i \le \min(p, q)$. On a alors

$$ D\left(\omega \underset{i}{\rfloor} \theta\right) = D(\omega) \underset{i}{\rfloor} \theta + (-1)^p \omega \underset{i}{\rfloor} D(\theta) + (-1)^{p+q-i} \omega \underset{i-1}{\rfloor} \theta + (-1)^{p+q+p+q} \theta \underset{i-1}{\rfloor} \omega $$

**Proposition 9.** Soient $\omega \in \Omega^p(A)$, $\theta \in \Omega^q(A)$. Étant donné que $\Omega^*(A) \subset T^*(A)$, on définit naturellement $\omega \underset{i}{\rfloor} \theta$ pour tout $i \in \mathbb{Z}$. Et on a $\omega \underset{i}{\rfloor} \theta \in \Omega^{p+q-i}(A)$.

**Démonstration.** Soient $\omega \in \Omega^p(A)$, $\theta \in \Omega^q(A)$. Raisonnons par récurrence sur $\deg\omega + \deg\theta$. Le résultat est vrai quand $\deg\omega + \deg\theta = 0$. Pour $n+1$, si $i$ est impair, on a :

$$ \omega da \underset{i}{\rfloor} \theta = (\omega \otimes a) \underset{i}{\rfloor} \theta - (\omega a \otimes 1) \underset{i}{\rfloor} \theta = (\omega \underset{i}{\rfloor} \theta) da + (-1)^q (\omega \underset{i-1}{\rfloor} \theta a - \omega a \underset{i-1}{\rfloor} \theta) $$

D'après l'hypothèse de récurrence, toutes ces formes sont dans $\Omega^*(A)$. Si $i$ est pair, on a :

$$ \omega \underset{i}{\rfloor} \theta da = \omega \underset{i}{\rfloor} (\theta \otimes a) - \omega \underset{i}{\rfloor} (\theta a \otimes 1) = (\omega \underset{i}{\rfloor} \theta) da + (\omega a \underset{i-1}{\rfloor} \theta - \omega \underset{i-1}{\rfloor} \theta a) $$

Ces formes sont toutes dans $\Omega^*(A)$. D'où le résultat.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

D'après la proposition 2.2.3, la proposition suivante est immédiate.
**Proposition 10.** Soient $\omega \in \Omega^p(A)$ et $\theta \in \Omega^q(A)$. Pour tout $i \le \min(p, q)$ on a

$$d\left(\omega \underset{i}{\rfloor} \theta\right) = d\omega \underset{i}{\rfloor} \theta + (-1)^p \omega \underset{i}{\rfloor} d\theta + (-1)^{p+q-i} \omega \underset{i-1}{\rfloor} \theta + (-1)^{p+q+i} \theta \underset{i-1}{\rfloor} \omega$$

**Définition 11.** Soient I et J deux morphismes de complexes de degré p, définis sur $\Omega^*(A)$. On dira que I et J sont homotopes sur $\Omega^q(A)$ si il existe deux morphismes $L_q$ et $L_{q+1}$ définis sur $\Omega^q(A)$ et $\Omega^{q+1}(A)$ tels que $I - J = dL_q + L_{q+1}d$ en degré q.

**Théorème 12 (cf. [2].)** Soit $I : \Omega^*(A) \to \Omega^*(A)$ un morphisme de complexes de degré p, homotope à 0 sur $\Omega^n(A)$. Le morphisme I est alors homotope à 0 sur $\Omega^q(A)$ pour tout $q \ge n$.

**Proposition 13 (cf. [2].)** Soit $\Omega^*$ l'algèbre de l'exemple 2.1.2. Pour tout $i \in \mathbb{Z}$, les applications

$$\begin{aligned} \Omega^q &\to \Omega^{2q-i} \\ \omega &\longmapsto \omega \underset{i}{\rfloor} \omega \end{aligned}$$

induisent, pour un ensemble simplicial X, des morphismes

$$D_i : H^q(X; R) \to H^{2q-i}(X; R)$$

qui coincident avec les carrés de Steenrod $Sq^{q-i}$ (cf. [10]).

### 3. Algèbre de Gerstenhaber

**Définition 14.** Une algèbre de Gerstenhaber (cf. [7]) est une algèbre graduée $\Lambda^*$ munie de deux produits. Un premier produit

$$\begin{aligned} \Lambda^p \otimes \Lambda^q &\to \Lambda^{p+q} \\ a \otimes b &\to ab \end{aligned}$$

et un deuxième produit (crochet de Lie)

$$\begin{aligned} \Lambda^p \otimes \Lambda^q &\to \Lambda^{p+q-1} \\ a \otimes b &\to [a, b] \end{aligned}$$

Ces deux produits doivent satisfaire les conditions suivantes :

* Associativité du premier produit : $a(bc) = (ab)c$

* Commutativité du premier produit : $ab = (-1)^{|a||b|} ba$

* Commutativité du deuxième produit : $[b, a] = -(-1)^{(|a|-1)(|b|-1)} [a, b]$

* Identité de poisson : $[a, bc] = (-1)^{|c|} [a, b] c + (-1)^{|a||b|} b[a, c]$

* Identité de Jacobi :

$$(-1)^{(|a|-1)(|c|-1)} [a, [b, c]] + (-1)^{(|b|-1)(|a|-1)} [b, [c, a]] + (-1)^{(|c|-1)(|b|-1)} [c, [a, b]] = 0$$

**Définition 15.** Soient k un anneau commutatif unitaire et A une k-algèbre unitaire. Soient $\omega \in \Omega^p(A)$ et $\theta \in \Omega^q(A)$. Pour tout $i \in \mathbb{Z}$, on pose :

$$[\omega, \theta]_i = (-1)^q \left( \omega \underset{i}{\rfloor} \theta - (-1)^{pq-i} \theta \underset{i}{\rfloor} \omega \right)$$

**Proposition 16.** Pour toutes formes $\omega \in \Omega^p(A)$ et $\theta \in \Omega^q(A)$ on a l'identité suivante :

$$d[\omega, \theta]_i = [d\omega, \theta]_i - (-1)^p [\omega, d\theta]_i$$
**Démonstration.** Soient donc $\omega \in \Omega^p(A)$ et $\theta \in \Omega^q(A)$. On alors

$$
\begin{align*}
d[\omega, \theta]_i &= (-1)^q d\left(\omega \underset{i}{\underbrace{\theta}} - (-1)^{pq-i} \theta \underset{i}{\underbrace{\omega}}\right) \\
&= (-1)^q \left( d\omega \underset{i}{\underbrace{\theta}} + (-1)^p \omega \underset{i}{\underbrace{\theta}} + (-1)^{p+q-i} \omega \underset{i-1}{\underbrace{\theta}} + (-1)^{pq+p+q} \theta \underset{i-1}{\underbrace{\omega}} \right) \\
&\quad - (-1)^q (-1)^{pq-i} \left( d\theta \underset{i}{\underbrace{\omega}} + (-1)^q \theta \underset{i}{\underbrace{\omega}} + (-1)^{p+q-i} \theta \underset{i-1}{\underbrace{\omega}} + (-1)^{pq+p+q} \omega \underset{i-1}{\underbrace{\theta}} \right) \\
&= (-1)^q \left( d\omega \underset{i}{\underbrace{\theta}} - (-1)^{(p+1)q-i} \theta \underset{i}{\underbrace{\omega}} + (-1)^p \left( \omega \underset{i}{\underbrace{d\theta}} - (-1)^{p(q+1)-i} d\theta \underset{i}{\underbrace{\omega}} \right) \right) \\
&= [d\omega, \theta]_i - (-1)^p [\omega, d\theta]_i
\end{align*}
$$

Ainsi si $\omega$ et $\theta$ sont des formes fermées, $[\omega, \theta]_i$ l'est aussi. Maintenant si on considère des formes fermées $\omega \in \Omega^p(A)$ et $\theta \in \Omega^q(A)$ et des formes quelconques $\omega_1 \in \Omega^{p-1}(A)$ et $\theta_1 \in \Omega^{q-1}(A)$, on a

$$
\begin{align*}
[\omega + d\omega_1, \theta + d\theta_1]_i &= [\omega, \theta]_i + [d\omega_1, \theta]_i + [\omega, d\theta_1]_i + [d\omega_1, d\theta_1]_i \\
&= [\omega, \theta]_i + d[\omega_1, \theta]_i - (-1)^p d[\omega, \theta_1]_i + d[\omega_1, d\theta_1]_i \\
&= [\omega, \theta]_i + d([\omega_1, \theta]_i - (-1)^p [\omega, \theta_1]_i + [\omega_1, d\theta_1]_i) \quad \square
\end{align*}
$$

Par conséquent, pour tout espace topologique $X$, tout anneau commutatif $R$ et tout $i \in \mathbb{Z}$, on
a une application bilinéaire

$[.., ..]_i : H^p(X; R) \otimes H^q(X; R) \to H^{p+q-i}(X; R)$

Puisque les opérations $[.., ..]_i$ sont à la base définies sur les formes différentielles non commutatives, on a immédiatement la proposition suivante :

**Proposition 17.** Soient $X, Y$ deux espaces, $R$ un anneau commutatif et $f$ un morphisme de $X$ dans $Y$. En notant $f_*$, le morphisme induit par $f$ en cohomologie, le diagramme suivant est commutatif :

$$
\begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
H^p(Y; R) \otimes H^q(Y; R) \arrow[r, "[.., ..]_i"] & H^{p+q-i}(Y; R) \\
f_* \otimes f_* \arrow[u, "f_*"'] \arrow[dl, "f_*"'] & \\
H^p(X; R) \otimes H^q(X; R) \arrow[r, "[.., ..]_i"] & H^{p+q-i}(X; R)
\end{tikzcd}
$$

**Proposition 18.** Soient $X$ un espace topologique, $R$ un anneau commutatif, $i \in \mathbb{Z}$, $x \in H^p(X; R)$ et $y \in H^q(X; R)$. On a alors

$$
[y, x]_i = -(-1)^{(p-1)(q-1)-i+1} [x, y]_i
$$

**Démonstration.** Soient $\omega \in \Omega^p(A)$ et $\theta \in \Omega^q(A)$. On a

$$
\begin{align*}
[\theta, \omega]_i &= (-1)^p \left( \theta \underset{i}{\underbrace{\omega}} - (-1)^{pq-i} \omega \underset{i}{\underbrace{\theta}} \right) = (-1)^{pq-i+p} \left( \omega \underset{i}{\underbrace{\theta}} - (-1)^{pq-i} \theta \underset{i}{\underbrace{\omega}} \right) \\
&= -(-1)^{pq-i+p+q} [\omega, \theta]_i = -(-1)^{(p-1)(q-1)-i+1} [\omega, \theta]_i \tag*{\hspace{\fill} \square}
\end{align*}
$$

**Proposition 19.** Soient $X$ un espace topologique, $x \in H^p(X; \mathbb{Z}/2)$, $y \in H^q(X; \mathbb{Z}/2)$ et $z \in H^r(X; \mathbb{Z}/2)$. On a alors :

$$
[xz, yz]_i = [x, y]_i S q^{r-1}(z)
$$

Où $Sq^{r-1}$ est le carré de Steenrod.

**Démonstration.** Soient $\omega \in Z^p$, $\theta \in Z^q$ ($Z^*$ désignant l'ensemble des formes fermées de l'algèbre de formes différentielles non commutatives $\Omega^n(\bar{A}_S)$ citée dans le paragraphe 2.1.2. L'algèbre $\bar{A}_S$ étant augmentée, toute forme fermée s'écrit comme combinaison linéaires de formes $da_1 da_2 \cdots da_n$). On a alors

$$
[\omega da, \theta da]_i = \omega da \underset{i}{\underbrace{\theta da}} + \theta da \underset{i}{\underbrace{\omega da}}
$$
Où $a \in \Omega^0$. On a aussi

$$D\left(\omega da \underset{i}{\rfloor} \theta a + \theta da \underset{i}{\rfloor} \omega a\right) = \omega da \underset{i}{\rfloor} \theta da + \omega da \underset{i-1}{\rfloor} \theta a + \theta da \underset{i-1}{\rfloor} \omega da + \theta da \underset{i}{\rfloor} \omega da + \theta da \underset{i-1}{\rfloor} \omega a + \omega da \underset{i-1}{\rfloor} \theta da$$

Supposons que $i$ est paire (Si $i$ est impaire, la démonstration est analogue). En utilisant le fait que pour toutes formes $x$ et $y \in \Omega^*$, $x \underset{i}{\rfloor} y a = (x \underset{i}{\rfloor} y)a$, on a

$$D\left(\omega da \underset{i}{\rfloor} \theta a + \theta da \underset{i}{\rfloor} \omega a\right) = D\left(\left(\omega da \underset{i}{\rfloor} \theta + \theta da \underset{i}{\rfloor} \omega\right)a\right) \\ = \left(\omega da \underset{i}{\rfloor} \theta\right) da + \left(\omega da \underset{i-1}{\rfloor} \theta\right)a + \left(\theta \underset{i-1}{\rfloor} \omega da\right)a + \left(\theta da \underset{i}{\rfloor} \omega\right) da + \left(\theta da \underset{i-1}{\rfloor} \omega\right)a + \left(\omega \underset{i-1}{\rfloor} \theta da\right)a$$

D'où on a

$$\omega da \underset{i}{\rfloor} \theta da + \theta da \underset{i}{\rfloor} \omega da = \omega da \underset{i-1}{\rfloor} \theta a + \theta da \underset{i-1}{\rfloor} \omega a + \left(\omega da \underset{i}{\rfloor} \theta\right) da + \left(\omega da \underset{i-1}{\rfloor} \theta\right)a + \left(\theta da \underset{i}{\rfloor} \omega\right) da + \left(\theta da \underset{i-1}{\rfloor} \omega\right)a$$

Considérons la forme suivante :

$$D\left(\omega a \underset{i}{\rfloor} \theta + \omega \underset{i}{\rfloor} \theta a + \theta a \underset{i}{\rfloor} \omega + \theta \underset{i}{\rfloor} \omega a\right) \\ = \omega da \underset{i}{\rfloor} \theta + \omega \underset{i}{\rfloor} \theta da + \omega a \underset{i-1}{\rfloor} \theta + \theta \underset{i-1}{\rfloor} \omega a + \omega \underset{i-1}{\rfloor} \theta a + \theta da \underset{i}{\rfloor} \omega + \theta \underset{i}{\rfloor} \omega da + \omega \underset{i-1}{\rfloor} \theta a + \theta da \underset{i-1}{\rfloor} \omega + \theta \underset{i-1}{\rfloor} \omega a + \omega da \underset{i-1}{\rfloor} \theta \\ = \omega da \underset{i}{\rfloor} \theta + \omega \underset{i}{\rfloor} \theta da + \theta da \underset{i}{\rfloor} \omega + \theta \underset{i}{\rfloor} \omega da$$

L'application

$$(\omega, da) \longmapsto \omega a \underset{i}{\rfloor} \theta + \omega \underset{i}{\rfloor} \theta a + \theta a \underset{i}{\rfloor} \omega + \theta \underset{i}{\rfloor} \omega a$$

étant bien définie, les formes suivantes :

$$\omega da \underset{i}{\rfloor} \theta + \theta da \underset{i}{\rfloor} \omega \quad \text{et} \quad \omega \underset{i}{\rfloor} \theta da + \theta \underset{i}{\rfloor} \omega da$$

Ont la même classe de cohomologie. Soit alors la forme

$$D\left(\omega \underset{i}{\rfloor} \theta a + \theta \underset{i}{\rfloor} \omega a\right) \\ = \omega \underset{i}{\rfloor} \theta da + \theta \underset{i}{\rfloor} \omega da + \omega \underset{i-1}{\rfloor} \theta a + \theta da \underset{i-1}{\rfloor} \omega + \theta \underset{i-1}{\rfloor} \omega a + \omega da \underset{i-1}{\rfloor} \theta \\ = D\left(\left(\omega \underset{i}{\rfloor} \theta + \theta \underset{i}{\rfloor} \omega\right)a\right) \\ = \left(\omega \underset{i}{\rfloor} \theta + \theta \underset{i}{\rfloor} \omega\right) da + \left(\omega \underset{i-1}{\rfloor} \theta\right)a + \left(\theta \underset{i-1}{\rfloor} \omega\right)a + \left(\theta \underset{i-1}{\rfloor} \omega\right)a + \left(\omega \underset{i}{\rfloor} \theta\right)a$$

Ainsi on a

$$\omega \underset{i}{\rfloor} \theta da + \theta \underset{i}{\rfloor} \omega da = \omega \underset{i-1}{\rfloor} \theta a + \theta \underset{i-1}{\rfloor} \omega a + \left(\omega \underset{i}{\rfloor} \theta + \theta \underset{i}{\rfloor} \omega\right) da + \left(\theta \underset{i-1}{\rfloor} \omega\right)a + \left(\omega \underset{i}{\rfloor} \theta\right)a$$

Donc la forme

$$\omega da \underset{i}{\rfloor} \theta da + \theta da \underset{i}{\rfloor} \omega da$$
possède la même classe de cohomologie que la forme suivante :

$$ \omega da_{i-1} \prec \theta a + \theta da_{i-1} \prec \omega a + (\omega da_{i-1} \prec \theta) a + (\theta da_{i-1} \prec \omega) a + (\omega \prec \theta a) da + (\theta \prec \omega a) da + (\omega \prec \theta + \theta \prec \omega) (da)^2 + (\theta \prec \omega) ada + (\omega \prec \theta) ada $$

Soit la forme suivante :

$$ \begin{aligned} D(\omega a \prec \theta + \theta a \prec \omega) &= \omega da \prec \theta + \omega a \prec \theta + \theta \prec \omega a + \theta da \prec \omega + \theta a \prec \omega + \omega \prec \theta a \\ &= D((\omega \prec \theta + \theta \prec \omega) a) \\ &= (\omega \prec \theta) da + (\theta \prec \omega) da \end{aligned} $$

D'où on a :

$$ \begin{aligned} (\omega da \prec \theta) a + (\theta da \prec \omega) a &= (\omega a \prec \theta) a + (\theta \prec \omega a) a + (\theta a \prec \omega) a + (\omega \prec \theta a) a + (\omega \prec \theta) da a + (\theta \prec \omega) da a \end{aligned} $$

On a aussi :

$$ \begin{aligned} D(\omega a \prec \theta a + \theta a \prec \omega a) &= \omega da \prec \theta a + \omega a \prec \theta da + \theta da \prec \omega a + \theta a \prec \omega da \\ &= D((\omega \prec \theta a + \theta \prec \omega a) a) \\ &= (\omega \prec \theta da) a + (\omega \prec \theta a) a + (\theta a \prec \omega) a \\ &\quad + (\theta \prec \omega da) a + (\theta \prec \omega a) a + (\omega a \prec \theta) a + (\omega \prec \theta a) da + (\theta \prec \omega a) da \end{aligned} $$

Ce qui donne l'égalité suivante :

$$ \begin{aligned} \omega da_{i-1} \prec \theta a + \theta da_{i-1} \prec \omega a &= (\omega \prec \theta a) a + (\theta a \prec \omega) a + (\theta \prec \omega a) a + (\omega a \prec \theta) a + (\omega \prec \theta a) da + (\theta \prec \omega a) da \end{aligned} $$

La forme :

$$ \omega da \prec \theta da + \theta da \prec \omega da $$

a donc la même classe de cohomologie que la forme suivante :

$$ \begin{aligned} (\omega \prec \theta) da a + (\theta \prec \omega) da a + (\omega \prec \theta + \theta \prec \omega) (da)^2 + (\theta \prec \omega) ada + (\omega \prec \theta) ada \\ &= (\omega \prec \theta + \theta \prec \omega) (da)^2 + (\omega \prec \theta + \theta \prec \omega) (da a + ada) \\ &= (\omega \prec \theta + \theta \prec \omega) (da)^2 + (\omega \prec \theta + \theta \prec \omega) da^2 \\ &= (\omega \prec \theta + \theta \prec \omega) (da)^2 + (\omega \prec \theta + \theta \prec \omega) da \end{aligned} $$
En effet, on a bien $a^2 = a$ puisque $a$ est une application à valeur dans $\mathbb{Z}/2$. On aura alors :

$$ (\omega \underset{i}{\overline{\text{}} \theta + \theta \underset{i}{\overline{\text{}} \omega}) (da)^2 + (\omega \underset{i-1}{\overline{\text{}} \theta + \theta \underset{i-1}{\overline{\text{}} \omega}) da = [\omega, \theta]_i (da \underset{0}{\overline{\text{}} da) + [\omega, \theta]_{i-1} (da \underset{1}{\overline{\text{}} da) $$

Raisonnons maintenant par récurrence sur $n$. La forme suivante :

$$ [\omega da_1 da_2 \cdots da_n da_{n+1}, \theta da_1 da_2 \cdots da_n da_{n+1}]_i $$

possède la même classe de cohomologie que la forme

$$ [\omega da_1 da_2 \cdots da_n, \theta da_1 da_2 \cdots da_n]_i (da_{n+1} \underset{0}{\overline{\text{}} da_{n+1}}) + [\omega da_1 da_2 \cdots da_n, \theta da_1 da_2 \cdots da_n]_{i-1} (da_{n+1} \underset{1}{\overline{\text{}} da_{n+1}}) $$

Grâce à l'hypothèse de récurrence, cette dernière forme aura la même classe de cohomologie que la forme

$$ \left( \sum_{j+k=i} [\omega, \theta]_j \left( da_1 da_2 \cdots da_n \underset{k}{\overline{\text{}} da_1 da_2 \cdots da_n} \right) \right) \left( da_{n+1} \underset{0}{\overline{\text{}} da_{n+1}} \right) \\ + \left( \sum_{j+k=i-1} (\omega, \theta)_j \left( da_1 da_2 \cdots da_n \underset{k}{\overline{\text{}} da_1 da_2 \cdots da_n} \right) \right) \left( da_{n+1} \underset{1}{\overline{\text{}} da_{n+1}} \right) \\ = \sum_{j+k=i} [\omega, \theta]_j \left( \left( da_1 da_2 \cdots da_n \underset{k}{\overline{\text{}} da_1 da_2 \cdots da_n} \right) \left( da_{n+1} \underset{0}{\overline{\text{}} da_{n+1}} \right) \right. \\ \left. + \left( da_1 da_2 \cdots da_n \underset{k-1}{\overline{\text{}} da_1 da_2 \cdots da_n} \right) \left( da_{n+1} \underset{1}{\overline{\text{}} da_{n+1}} \right) \right) $$

Cette forme a la même classe de cohomologie que la forme

$$ \sum_{j+k=i} [\omega, \theta]_j \left( da_1 da_2 \cdots da_n da_{n+1} \underset{k}{\overline{\text{}} da_1 da_2 \cdots da_n da_{n+1}} \right) $$

D'où la proposition.

□

**Proposition 20.** Les applications $[\cdot, \cdot]_j$ commutent avec la suspension des opérations cohomologiques à coefficients dans $\mathbb{Z}/2$.

Autrement dit, pour un espace topologique $X$, le diagramme suivant est commutatif :

$$ \begin{tikzcd} H^P(X; \mathbb{Z}/2) \otimes \arrow[r, "[\cdot, \cdot]_{i-1}"] & H^q(X; \mathbb{Z}/2) \arrow[r, "[\cdot, \cdot]_{i-1}"] & H^{p+q-i+1}(X; \mathbb{Z}/2) \arrow[d, "\omega"] \\ H^{p+1}(X; \mathbb{Z}/2) \otimes & H^{q+1}(X; \mathbb{Z}/2) \arrow[r, "[\cdot, \cdot]_i"] & H^{p+q-i+2}(X; \mathbb{Z}/2) \arrow[d, "\omega"] \end{tikzcd} $$

Les morphismes verticaux étant les suspensions.

**Démonstration.** Soient $\omega \in Z^p$, $\theta \in Z^q$ et $\gamma \in Z^1$. On a vu dans la démonstration précédente que la forme

$$ [\omega\gamma, \theta\gamma]_i $$

possédait la même classe de cohomologie que la forme

$$ [\omega, \theta]_i \gamma^2 + [\omega, \theta]_{i-1} \gamma $$

Or pour un générateur $u$ de $H^1(S^1; \mathbb{Z}/2)$ représenté par un morphisme $S^1 \to Z^1$ qu'on notera aussi $\gamma$, la forme $\gamma^2$ est cohomologiquement nulle. D'où la proposition. □

**Proposition 21.** Soit $X$ un espace, $R$ un anneau commutatif, $x \in H^p(X; R)$, $y \in H^q(X; R)$ et $z \in H^r(X; R)$. Pour tout $i \in \mathbb{Z}$, on a l'identité de Jacobi suivante :

$$ (-1)^{(p-1)(r-1)} [x, [y, z]_i]_i + (-1)^{(p-1)(q-1)} [y, [z, x]_i]_i + (-1)^{(q-1)(r-1)} [z, [x, y]_i]_i = 0 $$
**Démonstration.** Soient $\theta \in Z^q$ et $\gamma \in Z^r$. Pour tout $i \in \mathbb{Z}$, on a le morphisme suivant :

$$ \alpha_i : \Omega^* \to \Omega^{*+q+r-2i} $$

($\Omega^*$ étant toujours l'une des algèbres de formes différentielles non commutatives citées dans le paragraphe 2.1.2) défini par la correspondance

$$ \omega \to (-1)^{(p-1)(r-1)} [\omega, [\theta, \gamma]]_i + (-1)^{(p-1)(q-1)} [\theta, [\gamma, \omega]]_i + (-1)^{(q-1)(r-1)} [\gamma, [\omega, \theta]]_i $$

Ce morphisme est un morphisme de complexes. En effet, pour tout $\omega \in \Omega^p$ on a,

$$ \begin{aligned} d(\alpha_i(\omega)) &= (-1)^{(p-1)(r-1)} [d\omega, [\theta, \gamma]]_i + (-1)^{(p-1)(q-1)+q+r} [\theta, [\gamma, d\omega]]_i \\ & \qquad + (-1)^{(q-1)(r-1)+r+1} [\gamma, [d\omega, \theta]]_i \\ & = (-1)^{r+1} \alpha_i(d\omega) \end{aligned} $$

Supposons maintenant que $\omega \in \Omega^0$. Si $i \ge 1$ $\alpha_i(\omega) = 0$ et si $i = 0$, on a

$$ \alpha_0(\omega) = (-1)^{q+r-1} \left( \begin{aligned} & \omega\theta\gamma - (-1)^{qr}\omega\gamma\theta - \theta\gamma\omega + (-1)^{qr}\gamma\theta\omega + \theta\gamma\omega - \theta\omega\gamma - \\ & (-1)^{qr}\gamma\omega\theta + (-1)^{qr}\omega\gamma\theta + (-1)^{qr}\gamma\omega\theta - (-1)^{qr}\gamma\theta\omega - \omega\theta\gamma + \theta\omega\gamma \end{aligned} \right) = 0 $$

Ainsi, et en utilisant le théorème 2.2.6, on montre que pour tout $i \in \mathbb{Z}$, le morphisme $\alpha_i$ est homotope à 0 sur $\Omega^*$. D'où la proposition. $\square$

**Proposition 22.** Soit $X$ un espace, $R$ un anneau commutatif, $x \in H^p(X; R)$, $y \in H^q(X; R)$ et $z \in H^r(X; R)$. Pour tout $i \in \mathbb{Z}$, on a l'identité de Poisson suivante :

$$ [x, yz]_i = (-1)^r [x, y]_i z + (-1)^{(p-i)q+q} y [x, z]_i $$

**Démonstration.** Soient $\theta \in Z^q$ et $\gamma \in Z^r$. Pour tout $i \in \mathbb{Z}$, on a le morphisme suivant :

$$ \beta_i : \Omega^* \to \Omega^{*+q+r-i} $$

défini, pour une forme $\omega \in \Omega^p$, par la correspondance

$$ \omega \mapsto [\omega, \theta\gamma]_i - (-1)^r [\omega, \theta]_i \gamma - (-1)^{(p-i)q+q} \theta [\omega, \gamma]_i $$

Pour tout $\omega \in \Omega^p$, on a alors

$$ d\beta_i(\omega) = [d\omega, \theta\gamma]_i - (-1)^r [d\omega, \theta]_i \gamma - (-1)^{(p-i)q+q} \theta [d\omega, \gamma]_i = \beta_i(d\omega) $$

Ainsi $\beta_i$ est un morphisme de complexes. Supposons que $\omega \in \Omega^0$. Si $i \ge 1$ $\beta_i(\omega) = 0$ et si $i = 0$, on a

$$ \begin{aligned} \beta_0(\omega) &= [\omega, \theta\gamma]_0 - (-1)^r [\omega, \theta]_0 \gamma - (-1)^q \theta [\omega, \gamma]_0 \\ &= (-1)^{q+r} (\omega\theta\gamma - \theta\gamma\omega) - (-1)^r (-1)^q (\omega\theta\gamma - \theta\omega\gamma) - (-1)^q (-1)^r (\theta\omega\gamma - \theta\gamma\omega) = 0 \end{aligned} $$

Ces morphismes $\beta_i$ sont donc nul sur $\Omega^0$. En utilisant le théorème 2.2.6, on montre qu'ils sont homotopes à 0 sur $\Omega^*$. D'où la proposition. $\square$

**Notation 23.** Pour tout espace topologique $X$, tout anneau commutatif $R$, on notera $[..,]$ l'application bilinéaire

$$ [..,]_1 : H^p(X; R) \otimes H^q(X; R) \to H^{p+q-1}(X; R) $$

**Proposition 24.** D'après les propositions précédentes, si $X$ est un ensemble simplicial ou un espace topologique qui a le type d'homotopie d'un CW-complexe et $R$ est un anneau commutatif, l'algèbre de cohomologie $H^*(X; R)$ muni du cup produit et du produit $[..,]$ est une algèbre de Gerstenhaber.

**Remarque 25.** Dans [3], il est montré que l'algèbre des formes différentielles non commutatives est une algèbre de Gerstenhaber-Voronov. Ce qui induit une structure d'algèbre de Gerstenhaber sur l'algèbre des formes différentielles non commutatives.

Cependant, cette structure, ne passe pas à l'algèbre de cohomologie singulière.
**Définition 26.** Les constatations précédentes nous poussent naturellement à définir une algèbre de Gerstenhaber généralisée de la façon suivante : Soit une algèbre graduée $\Lambda^*$ munie de deux produits. Un premier produit

$$ \Lambda^p \otimes \Lambda^q \longrightarrow \Lambda^{p+q} \\ a \otimes b \longmapsto ab $$

et pour tout $i \in \mathbb{Z}$, un deuxième produit

$$ \Lambda^p \otimes \Lambda^q \longrightarrow \Lambda^{p+q-i} \\ a \otimes b \longmapsto [a, b]_i $$

Ces deux produits doivent satisfaire les conditions suivantes :

* Associativité du premier produit : $a(bc) = (ab)c$

* Commutativité du premier produit : $ab = (-1)^{|a||b|} ba$

* Commutativité du deuxième produit $[b, a]_i = -(-1)^{(|a|-1)(|b|-1)-i+1} [a, b]_i$

* Identité de poisson : $[a, bc]_i = (-1)^{|c|} [a, b]_i c + (-1)^{(|a|-i+1)|b|} b[a, c]_i$

* Identité de Jacobi :

$$ (-1)^{(|a|-1)(|c|-1)} [a, [b, c]_i]_i + (-1)^{(|b|-1)(|a|-1)} [b, [c, a]_i]_i + (-1)^{(|c|-1)(|b|-1)} [c, [a, b]_i]_i = 0 $$

**Proposition 27.** D'après les résultats précédents, si $X$ est un ensemble simplicial ou un espace topologique qui a le type d'homotopie d'un CW-complexe et $R$ est un anneau commutatif, l'algèbre de cohomologie $H^*(X; R)$ est une algèbre de Gerstenhaber généralisée.

## Références

[1] G. A. Batalin, Igor A. et Vilkovisky, « Gauge algebra and quantization », Phys. Lett., B 102 (1981), n° 1, p. 27-31.

[2] N. Battikh, « Cup $i$-produits sur les formes différentielles non commutatives et carrés de Steenrod », J. Algebra 313 (2007), n° 2, p. 531-553.

[3] N. Battikh, H. Issaoui, « Structures of Gerstenhaber-Voronov algebra on non-commutative differential forms », Rend. Semin. Mat. Univ. Padova 141 (2019), p. 165-183.

[4] W. Browder, « Homology operations and loop spaces », Ill. J. Math. 4 (1960), p. 347-357.

[5] A. Connes, « Noncommutative differential geometry », Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 62 (1985), p. 41-144.

[6] A. Dold, R. Thom, « Une généralisation de la notion d'espace fibré. Application aux produits symétriques infinis », C. R. Math. Acad. Sci. Paris 242 (1956), p. 1680-1682.

[7] M. Gerstenhaber, « The cohomology structure of an associative ring », Ann. Math. 78 (1963), p. 267-288.

[8] B. Gray, *Homotopy theory. An introduction to algebraic topology*, Pure and Applied Mathematics, vol. 64, Academic Press Inc., 1975.

[9] M. Karoubi, « Formes différentielles non commutatives et cohomologie à coefficients arbitraires », Trans. Am. Math. Soc. 347 (1995), n° 11, p. 4277-4299.

[10] J. P. May, « A general algebraic approach to Steenrod operations », in *The Steenrod Algebra and its Applications*, Lecture Notes in Mathematics, vol. 168, Springer, 1970, p. 153-231.

[11] C. Roger, « Gerstenhaber and Batalin-Vilkovsky algebras », Arch. Math., Brno 45 (2009), n° 4, p. 301-324.